KURZUS: Matematika 2.
MODUL: IV. modul Többváltozós függvények
9. lecke: Kétváltozós valós értékű függvények differenciálszámítása
Tanulási cél: A kétváltozós függvények differenciálszámítása és annak gyakorlati alkalmazásával való megismerkedés. | |
Elméleti összefoglaló | |
A parciális derivált fogalma | |
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az függvény szerint parciálisan differenciálható az pontban, ha a | |
határérték létezik és véges. Ekkor ezt a véges határértéket az függvény pontban vett szerint parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés: | |
. | |
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az függvény szerint parciálisan differenciálható az pontban, ha a | |
határérték létezik és véges. Ekkor ezt a véges határértéket az függvény pontban vett szerint parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés: | |
. | |
Definíció: Azt az új függvényt, amelynek értelmezési tartománya az függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, ahol az függvény szerint parciálisan deriválható, és értéke minden ilyen pontban megegyezik az adott ponthoz tartozó szerinti parciális derivált értékével, az függvény szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: | |
. | |
Definíció: Azt az új függvényt, amelynek értelmezési tartománya az függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, ahol az függvény szerint parciálisan deriválható, és értéke minden ilyen pontban megegyezik az adott ponthoz tartozó y szerinti parciális derivált értékével, az függvény y szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele: | |
. | |
A definícióból következik, hogy a parciális deriváltfüggvények meghatározásakor az egyváltozós függvények deriválási szabályai használhatók úgy, hogy amikor az egyik változó szerinti parciális deriváltfüggvényt állítjuk elő, akkor a másik változót konstansnak kell tekinteni. | |
Megjegyzés: A parciális deriváltak lényegében a rétegvonalak deriváltjai. Geometriai jelentésüket az ábra mutatja. | |
| |
Az elsőrendű parciális deriváltak maguk is kétváltozós függvények. Ha ezeket újra deriváljuk, akkor kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Ezeket úgy jelöljük, hogy sorban leírjuk azokat a változókat, amelyek szerint deriválunk. Eszerint másodrendű parciális deriváltból négy létezik. Ezek a következők: | |
azt jelenti, hogy az függvényt először x szerint, majd másodszor is x szerint deriváljuk parciálisan. | |
azt jelenti, hogy az függvényt először y szerint, majd másodszor is szerint deriváljuk parciálisan. | |
azt jelenti, hogy az függvényt először x szerint, majd másodszor szerint deriváljuk parciálisan. | |
azt jelenti, hogy az függvényt először szerint, majd másodszor szerint deriváljuk parciálisan. | |
Az és függvények a tiszta, míg az és függvények a vegyes másodrendű parciális deriváltak. | |
A Young-tétel kimondja, hogy kétszer folytonosan deriválható függvényekre a magasabbrendű parciális deriváltak függetlenek a deriválás sorrendjétől, azaz | |
. | |
Kidolgozott feladatok | |
1. feladat: Legyen . Számítsuk ki az és értékeket! Képezzük az összes másodrendű parciális deriváltat is! | |
Megoldás: A feladat megoldásához először el kell végeznünk a parciális deriválást az adott változók szerint, majd következik a behelyettesítés. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. Azaz: | |
, | |
mivel deriváltja , az deriváltja pedig . Ezt követően elvégezve a behelyettesítést: | |
. | |
kiszámítása hasonlóan történik, most y szerint deriválunk, és az -et tekintjük konstansnak: | |
. | |
Elvégezve a behelyettesítést: | |
. | |
Ha az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriváljuk, akkor kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Ezek meghatározása következik. | |
. | |
Látható, hogy a vegyes másodrendű parciális deriváltak valóban megegyeznek egymással. | |
2. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | |
Megoldás: Ha szerint deriválunk, akkor y és ezzel együtt az is konstansnak tekintendő, ezért | |
. | |
Ha y szerint deriválunk, akkor az és ezzel együtt az is konstansnak tekintendő, ezért | |
. | |
Itt a deriválásnál ne felejtsük el, hogy az egy összetett függvény. | |
. | |
3. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | |
Megoldás: Ha a függvényre függvényeként tekintünk, akkor egy összetett függvényt látunk. Ugyanez lesz a helyzet akkor is, ha majd az -t tekintjük változónak, az -et pedig konstansnak. Ennek megfelelően a parciális deriváltak meghatározásánál figyelembe kell venni az egyváltozós összetett függvények deriválásánál megtanult deriválási szabályt. | |
. | |
4. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | |
Megoldás: Ez is egy összetett függvény, ennek megfelelően a parciális deriváltak a következő módon alakulnak: | |
. | |
A másodrendű deriváltak meghatározásánál emlékezni kell az egyváltozós függvények szorzatának deriválási szabályára, amely a következő: | |
. | |
Ezt felhasználva a másodrendű parciális deriváltak a következők lesznek: | |
. | |
5. feladat: Legyen . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat! | |
Megoldás: Ez a függvény is egy összetett függvény, ezért a parciális deriváltak meghatározásánál figyelembe kell venni az egyváltozós függvények esetében megtanult összetett függvények deriválására vonatkozó szabályt is. | |
A másodrendű parciális deriváltak meghatározásánál az egyváltozós függvények esetében megtanult törtek deriválására vonatkozó szabályra kell emlékezni, amely a következő volt: | |
. | |
Ezt felhasználva képezzük a másodrendű parciális deriváltakat: | |
6. feladat: Állítsuk elő a következő háromváltozós függvény elsőrendű parciális deriváltjait: . | |
Megoldás: Az függvénynek most három változója van, így három elsőrendű parciális deriváltat tudunk megadni. Kezdjük az x szerinti deriválással. Ilyenkor az y-t és z-t konstansnak kell tekinteni. | |
. | |
Ha y szerint deriválunk, akkor az x-et és a z-t tekintjük konstansnak: | |
. | |
Ha z szerint deriválunk, akkor az -et és az -t tekintjük konstansnak: | |
. |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
1. kérdés: Legyen . Számítsuk ki az és értékeket!
![]() | ||||||||
2. kérdés: Legyen . Mivel egyenlő ? ![]() | ||||||||
3. kérdés: Legyen . Mivel egyenlő és ?
![]() | ||||||||
4. kérdés: Legyen . Mivel egyenlő és ?
![]() | ||||||||
5. kérdés: Legyen . Határozza meg a tiszta másodrendű parciális deriváltakat!
![]() | ||||||||
6. kérdés: Legyen . Határozza meg az és függvényeket!
![]() |
Elméleti összefoglaló | |
A gradiensvektor | |
Definíció: Legyen az függvény differenciálható az pontban. Ekkor az függvény gradiensvektora (röviden gradiense) az pontban az alábbi vektor: | |
. | |
Megjegyzés: Egy pontban a gradiens vektor az a vektor, amelynek irányába a függvény a leggyorsabban nő, az ezzel ellentétes irányba pedig a függvény a leggyorsabban csökken. A gradiensre merőleges két irányba a függvény a leglassabban változik. | |
Az iránymenti derivált | |
Definíció: Legyen az függvény differenciálható az pontban és legyen egy tetszőleges, nem nulla vektor. Ekkor az függvény irányú deriváltja az pontban: | |
, | |
ahol a vektor hossza, pedig a irányú egységvektor. | |
Megjegyzés: Ez lényegében a parciális derivált általánosítása. Az szerinti parciális derivált a irányú, az szerinti parciális derivált pedig a irányú iránymenti deriváltnak felel meg. | |
Az érintősík | |
Definíció: Legyen az kétváltozós függvény deriválható az pontban. Ekkor a felületet az pontban olyan sík érinti, melynek normálvektora , így az érintősík egyenlete: | |
. | |
Megjegyzés: Ha ezt a formulát -re rendezzük, akkor ez a sík tekinthető egy kétváltozós függvény grafikonjának. Hasonlóan az egyváltozós esethez, ez a sík az érintési pont közelében nagyon jól közelíti az eredeti függvényt, ezért tekinthető az függvény -beli linearizáltjának. | |
Kidolgozott feladatok | |
7. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét az pontban! | |
Megoldás: Először meg kell határoznunk a parciális deriváltak értékét az pontban. | |
. | |
Ezek ismeretében már fel tudjuk írni a gradienst: | |
. | |
8. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! | |
Megoldás | |
. | |
9. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | |
Megoldás: Először határozzuk meg a függvény gradiensét ebben a pontban. | |
. | |
Szükségünk van a irányú egységvektorra: | |
. | |
Minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy az iránymenti deriváltat ki tudjuk számolni: | |
. | |
10. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | |
Megoldás: Először határozzuk meg a függvény gradiensét az adott pontban. | |
. | |
. | |
Szükségünk lesz a irányú egységvektorra: | |
. | |
A keresett iránymenti derivált: | |
. | |
11. feladat: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét a pontban! | |
Megoldás: Először határozzuk meg az érintési pont harmadik koordinátáját: | |
. | |
Most határozzuk meg a parciális deriváltak értékeit az adott pontban: | |
. | |
Eszerint olyan síkot keresünk, amelynek ismert pontja és normálvektora a következő: | |
. | |
Így a keresett sík egyenlete: | |
. | |
Rendezve a szokásos alakra: | |
. | |
A feladat megoldását az ábra mutatja. A térbeli koordináta rendszer egy kicsit el van forgatva azért, hogy jobban látható legyen az érintősík. | |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
7. kérdés Határozzuk meg az függvény gradiensét az pontban! ![]() | ||||||||
8. kérdés: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! ![]() | ||||||||
9. kérdés: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! ![]() | ||||||||
10. kérdés: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét az pontban! ![]() | ||||||||
11. kérdés: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét az pontban! ![]() |
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározása | |
A kétváltozós függvények értelmezési tartományának belső pontjaiba eső szélsőértékeinek meghatározásával foglalkozunk, és azt is feltételezzük, hogy a függvények egy-egy ilyen pontban akárhányszor differenciálhatók. | |
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Az lokális maximum hely, ha van olyan középpontú körlap, hogy ennek minden pontjában . | |
Definíció: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Az lokális minimum hely, ha van olyan középpontú körlap, hogy ennek minden pontjában . | |
A lokális maximum helyet és a lokális minimum helyet összefoglalva lokális szélsőérték helynek hívjuk. A lokális maximum helyen felvett értéket lokális maximumnak, a lokális minimum helyen felvett értéket pedig lokális minimumnak, a kettőt együtt lokális szélsőértéknek hívjuk. | |
Definíció: Az függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük. | |
Tétel: Legyen az függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Ha az függvénynek az pontban lokális szélsőértéke van, és itt mindkét változó szerint parciálisan deriválható, akkor | |
. | |
Megjegyzés: Lokális szélsőérték hely csak stacionárius pont lehet. De nem minden stacionárius pont lesz lokális szélsőérték hely! | |
Ahhoz, hogy a stacionárius pontok közül ki tudjuk választani a szélsőérték helyeket, szükségünk lesz a Hesse-mátrix ismeretére. | |
Definíció: Az kétváltozós függvény Hesse mátrixának a következő 2×2-es mátrixot nevezzük: | |
. | |
A Hesse mátrix mindig egy szimmetrikus mátrix. Ha kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, akkor a következő kifejezéshez jutunk: | |
. | |
Tétel: Legyen az függvény egy stacionárius pontja. Ekkor | |
| |
Kidolgozott feladatok | |
12. feladat: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | |
Megoldás: Függvényünk mindenhol értelmezve van és mindenhol kétszer parciálisan deriválható is. | |
Első lépésként meg kell határozni az elsőrendű parciális deriváltakat. | |
. | |
Utána ezeket egyenlővé téve nullával, meg kell oldani az így kapott egyenletrendszert. Az egyenletrendszer megoldásai adják a stacionárius pontokat, amelyek a lehetséges szélsőérték helyek. Azaz: | |
Ha az első egyenletből kivonjuk a második egyenlet kétszeresét, akkor | |
Tehát most egyetlen egy stacionárius pontot kaptunk: . | |
Most el kell döntenünk, hogy ez a stacionárius pont szélsőérték hely lesz-e. Ehhez előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat, majd felírjuk a Hesse mátrix determinánsát. | |
. | |
. | |
Mivel a determináns pozitív és , ezért a egy lokális minimum hely. A minimum értéke ebben a pontban: | |
. | |
A függvény grafikonja: | |
13. feladat: Határozzuk meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | |
Megoldás: Első lépés az elsőrendű parciális deriváltak előállítása: | |
Második lépésként stacionárius pontokat keresünk az alábbi egyenletrendszert megoldva: | |
. | |
Az első egyenletből fejezzük ki -et: | |
. | |
Az így kapott kifejezést helyettesítsük be a második egyenletbe, majd rendezzünk: | |
. | |
Egy másodfokú egyenlethez jutunk. A megoldóképletből és értékeket kapjuk. Mindegyikhez kiszámoljuk a neki megfelelő x értéket is. Eszerint két stacionárius pontot kapunk: és . | |
Előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat és a Hesse mátrixot: | |
. | |
. | |
A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőértéke helyek-e vagy sem. | |
és , ezért a lokális minimum hely. | |
, ezért a pont nyeregpont. | |
14. feladat: Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | |
Megoldás: Ugyanazt az utat követjük, mint az előző feladatban. Először a stacionárius pontok megkereséséhez előállítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat. | |
. | |
Második lépésként stacionárius pontokat keresünk az alábbi egyenletrendszert megoldva: | |
. | |
A második egyenletből kifejezzük az változó, majd ezt a kifejezést az első egyenletbe visszahelyettesítve, a kapott másodfokú egyenletet megoldjuk: | |
Ez egy hiányos másodfokú egyenlet, amit szorzattá alakítással oldunk meg, kihasználva, hogy egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. | |
. | |
Eszerint két stacionárius pontot kapunk: | |
. | |
Most meg kell vizsgálnunk, hogy ezen stacionárius pontok valóban szélsőérték helyek-e. Ehhez szükségünk lesz a másodrendű parciális deriváltakra. | |
A másodrendű deriváltakból felírjuk a Hesse-mátrixot: | |
. | |
A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőértéke helyek-e vagy sem. | |
, ezért a pont nyeregpont. | |
és , ezért a lokális maximum hely. Ebben a pontban a függvény értéke: | |
. | |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
12. kérdés: Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit!
![]() | ||||||||
13. kérdés: Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit!
![]() | ||||||||
14. kérdés: Az függvénynek
![]() | ||||||||
15. kérdés: Az függvénynek
![]() |
Összetett feladatok | |
15. feladat: Számítsuk ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit: | |
. | |
Megoldás: Ebben a feladatban egy szorzatot kell parciálisan deriválni, ráadásul a második tényező összetett függvény. | |
Alkalmazva az egyváltozós függvényeknél a szorzat deriváltjára tanult szabályt: | |
. | |
. | |
16. feladat: Számítsuk ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit: | |
. | |
Megoldás: Ebben a feladatban egy törtet kell parciálisan deriválni, ráadásul a számláló egy összetett függvény. | |
Alkalmazva az egyváltozós függvényeknél a hányados deriváltjára tanult szabályt: | |
. | |
. | |
17. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! | |
Megoldás: Végezzünk algebrai átalakításokat a deriválás előtt. | |
. | |
Most kiszámolva a parciális deriváltak értékeit: | |
. | |
A parciális deriváltak értékeiből már elő tudjuk állítani a gradienst: | |
. | |
18. feladat: Határozzuk meg az függvény gradiensét a pontban! | |
Megoldás: Először a parciális deriváltakat kell kiszámolni. A deriválás során használnunk kell a szorzatra és az összetett függvényre vonatkozó deriválási szabályokat is: | |
. | |
Ezek ismeretében már elő tudjuk állítani a gradienst a pontban: | |
. | |
19. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | |
Megoldás: Először meg kell határoznunk a gradiens vektort az adott pontban. A parciális deriváltak meghatározásánál alkalmaznunk kell a szorzat függvény és az összetett függvény deriválási szabályát: | |
. | |
Eszerint a gradiens vektor az pontban: | |
. | |
Szükségünk van a irányú egységvektorra: | |
. | |
Minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy az iránymenti deriváltat ki tudjuk számolni: | |
. | |
20. feladat: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! | |
Megoldás: Első lépés a gradiens előállítása az adott pontban: | |
s | |
. | |
Szükségünk van a irányú egységvektorra: | |
. | |
Ekkor a keresett iránymenti derivált: | |
. | |
21. feladat: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét a pontban! | |
Megoldás: Elsőként határozzuk meg az érintési pont harmadik koordinátáját: | |
. | |
Most számítsuk ki a parciális deriváltak értékeit a pontban. A függvény mindkét változója szerint összetett függvény. | |
Eszerint olyan síkot keresünk, amelynek ismert pontja és normálvektora a következő: | |
. | |
Tehát a keresett sík egyenlete: | |
. | |
Rendezve a szokásos alakra: | |
. | |
22. feladat: Keressük meg az függvény lokális szélsőérték helyeit! | |
Megoldás: Az függvény ebben a feladatban is folytonos második deriváltakkal rendelkezik, és értelmezési tartománya a teljes sík, így szélsőértéke csak a stacionárius pontokban lehet. A stacionárius pontokat meghatározó elsőrendű parciális deriváltak: | |
. | |
A stacionárius pontokat megadó egyenletrendszer: | |
. | |
Az első egyenletet alakítsuk szorzattá: | |
. | |
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, tehát első esetben: | |
. | |
Ezt behelyettesítve a második egyenletbe: | |
, | |
ami soha nem teljesül, mivel -t bármire is emeljük, mindig pozitív számot kapunk eredményül. Tehát ezen az ágon az egyenletrendszernek megoldása nincs. | |
Második esetben a szorzat második tényezője legyen nulla: | |
. | |
Ezt behelyettesítve a második egyenletbe: | |
. | |
Az egyenletből még az eredmény is kiszámolható, de azt már az előző részben láttuk, hogy nem lesz megoldás. | |
Visszahelyettesítve a kapott eredményt: | |
. | |
Eszerint két stacionárius pont van: | |
és . | |
Következő lépésben előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat és a Hesse mátrixot. | |
. | |
Most a stacionárius pontok vizsgálata következik: | |
és , | |
ezért a pontban maximum hely van. A maximum értéke: . | |
és | |
ezért a pontban is maximum hely van. A maximum értéke: . | |
23. feladat: Határozza meg az függvény lokális szélsőértékeit! | |
Megoldás: Mivel a függvény nevezőjében szerepel x és y, ezért az értelmezési tartomány a teljes sík, kivéve a két koordináta tengely pontjai. Ahol a függvény értelmezve van, ott a parciális deriváltjai is léteznek. | |
. | |
Meg kell oldani az alábbi egyenletrendszert: | |
. | |
Az első egyenletből kapható, ezt behelyettesítve a második egyenletbe: | |
egyenlethez jutunk. Ennek két valós gyöke van, az és az . A megfelelő y értékek rendre: és . Ennek megfelelően két stacionárius pont van: | |
és . | |
Következnek a másodrendű parciális deriváltak és a Hesse mátrix: | |
. | |
. | |
A stacionárius pontok vizsgálata: | |
és , | |
ezért a pont minimum hely. A minimum értéke . | |
és , | |
ezért a pont is minimum hely. A minimum értéke: . | |
24. feladat: Bontsa fel a -t három részre úgy, hogy a kapott számok szorzata maximális legyen! | |
Megoldás: Legyen a keresett három rész: , és . Képezzük ezek szorzatát, mivel ezek szorzatának maximumát keressük. Az így kapott szorzat valójában egy kétváltozós függvény. | |
. | |
A szélsőérték meghatározása a szokásos módon történik. | |
. | |
Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat, majd alakítsunk szorzattá: | |
Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz | |
vagy | |
Ha , akkor ezt behelyettesítve az első egyenletbe | |
. | |
A kapott értékeket visszahelyettesítve: | |
Tehát ezen az ágon két stacionárius pontot kaptunk: | |
Ha , akkor ezt behelyettesítve az első egyenletbe: | |
. | |
Megoldva a kapott másodfokú egyenletet, majd a kapott eredményt visszahelyettesítve: | |
. | |
Ezen az ágon további két stacionárius pontot kaptunk: | |
Írjuk fel a Hesse-mátrixot. | |
. | |
A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőérték helyek-e vagy sem. | |
, ezért a pont nyeregpont. | |
és , ezért a pont lokális maximum hely. | |
, ezért a pont nyeregpont. | |
, ezért a pont is nyeregpont. | |
Tehát a keresett három rész: 4, 4 és 4, azaz a 12-t három egyenlő részre kell osztani ahhoz, hogy ezek szorzata maximális legyen. |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
16. kérdés: Legyen . Mivel egyenlő ? ![]() | ||||||||
17. kérdés: Legyen . Mivel egyenlő ? ![]() | ||||||||
18. kérdés: Legyen . Határozzuk meg a gradiens értékét a pontban? ![]() | ||||||||
19. kérdés: Számítsuk ki az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! ![]() | ||||||||
20. kérdés: Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét a pontban! ![]() | ||||||||
21. kérdés::Írjuk fel az függvény érintősíkjának egyenletét az pontban! ![]() | ||||||||
22. kérdés: Az függvénynek
![]() |