KURZUS: Matematika 2.
MODUL: IV. modul Többváltozós függvények
10. lecke: Kétváltozós függvények integrálszámítása
Tanulási cél: Az egyváltozós függvények esetében nagyon sokat foglalkoztunk a határozatlan és a határozott integrál fogalmával. Ebben a leckében a határozott integrál fogalmát kiterjesztjük kétváltozós függvényekre. | |
Elméleti összefoglaló | |
Emlékezzünk arra, hogy egyváltozós függvények esetében a határozott integrál az függvény görbe alatti előjeles területét jelentette egy véges zárt intervallumon, melyet a Newton-Leibniz tétel segítségével számoltunk ki. | |
Először bevezetjük a véges zárt intervallum kétdimenziós megfelelőjét, a téglalap fogalmát. | |
Definíció: Legyen és két intervallum. Ekkor az téglalapon a következő tartományt értjük: | |
. | |
Tehát a továbbiakban a téglalap mindig olyan téglalap alakú tartományt jelent, amelynek oldalai párhuzamosak a koordináta tengelyekkel. | |
Definíció: Legyen folytonos függvény az téglalapon. Kétszeres integrálnak az | |
és az | |
típusú integrálokat nevezzük. | |
A zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A kétszeres integrálok kiszámolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb. A illetve szimbólum mutatja, hogy melyik változó szerint kell először integrálnunk. Ekkor a belső integrál mindig a második változónak a függvénye lesz, és ezt kell a külső integrálban kiszámolnunk. | |
Tétel: Legyen egy olyan kétváltozós függvény, amely az téglalapon értelmezett, mindkét változó szerint parciálisan differenciálható, és a parciális deriváltak folytonosak az egész téglalapon. Ekkor: | |
, | |
azaz az integrálás sorrendje felcserélhető. | |
Eddig csak téglalap alakú tartományon értelmeztük a kettős integrál fogalmát. Lépjünk egy kicsit tovább. | |
Definíció: Legyen intervallum, és tegyük fel, hogy az és a függvényekre teljesül, hogy minden esetén . Ekkor az | |
halmazt normáltartománynak nevezzük. | |
Definíció: Normáltartományon a kétszeres integrál a következőt jelent: | |
. | |
Megjegyzés: Ebben az esetben azonban fontos az integrálok sorrendje és az nem cserélhető fel! Az az a változó, amely szabadon mozog egy intervallumban, az pedig olyan, hogy annak határai az függvényei. Így a külső integrálnak kell szerintinek lennie, a belsőnek pedig az szerintinek. Ekkor ha a belső függvény integráljánál beírjuk a határokat, továbbra is függvényét kapjuk, amelyet szerint kiintegrálva számot kapunk | |
Egyváltozós függvények esetén a határozott integrál szemléletes jelentése a görbe alatti előjeles terület volt. Ezt a fogalmat most kiterjesztjük a kétváltozós függvények esetére. | |
Definíció: Legyen az kétváltozós függvény folytonos egy tetszőleges halmazon és legyen minden esetén. Ekkor az | |
térbeli halmaz egy test. Ez a test egy olyan alapú hasáb, amelyet alulról az sík, felülről pedig az függvény grafikonja határol. Ennek a testnek a térfogatát a | |
kettősintegrállal definiáljuk. | |
A következőkben megmutatunk egy egyszerű alkalmazást a kettős integrálok témakörben. | |
Tétel: Legyen egy egyszerű síkidom. Ekkor területét a | |
kettős integrál adja. | |
Ezt a tételt egyszerű meggondolni, hiszen a kettős integrál geometriai jelentése miatt ez éppen a alapú, egységnyi magasságú hasáb térfogata, ami így a halmaz területével egyenlő. A kettős integrál segítségével nem csak a halmaz területe, hanem a súlypontjának koordinátái is meghatározhatók. | |
Tétel: Jelölje a halmaz súlypontját . Ekkor | |
, . | |
Kidolgozott feladatok | |
1. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: | |
. | |
Megoldás: Mindig a belső integrál kiszámításával kezdjük. A belül elhelyezkedő szimbólum azt jelöli, hogy az változó szerint integrálunk először. Ilyenkor, akárcsak a parciális deriválásnál, az -ra úgy kell tekintenünk, mint egy konstansra: | |
. | |
Vigyázni kell arra, hogy a Newton-Leibniz-szabály alkalmazása során abba a változóba helyettesítsük be az integrálok határait, amelyik változó szerint az integrálás történt. Így lesz a belső integrál a másik változó függvénye, hiszen mint látható, a kifejezésből el is tűnt az . Ekkor a kettős integrál: | |
. | |
2. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: | |
. | |
Megoldás: Most is először külön kiszámoljuk a belső integrált, amely szerinti integrálást jelent, ilyenkor az -t konstansnak tekintjük, majd az helyére beírva a megfelelő határokat: | |
. | |
Ezt követően: | |
. | |
3. feladat: Számítsuk ki az függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: . | |
Megoldás: Mivel téglalap alakú a tartomány, ezért az integrál kétféleképpen is felírható: | |
. | |
Mivel az eredmény mindkét sorrend mellett azonos lesz, ezért szabadon választhatunk, hogy milyen sorrendben kívánunk integrálni. | |
. | |
4. feladat: Legyen . Rajzoljuk fel a tartományt és számítsuk ki az függvény kettősintegrálját az tartományon! | |
Megoldás: A normáltartományt mutatja az ábra: | |
A definíció szerint a következő integrált kell kiszámolni: | |
. | |
Először külön kiszámoljuk a belső integrált: | |
. | |
Most a külső integrállal folytatva: | |
. |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
1. kérdés: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: . ![]() | ||||||||
2. kérdés: Számítsuk ki az függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: . ![]() | ||||||||
3. kérdés: Legyen . Számítsuk ki az függvény kettősintegrálját az tartományon! ![]() |
Összetett feladatok | |
5. feladat: Számítsuk ki az alábbi kettős integrált: . | |
Megoldás: Ebben a feladatban az szerinti integrálás határai függnek az -től. Ez azt jelenti, hogy először szerint integrálunk és a kapott eredménybe helyére helyettesítünk. | |
Most is a belső integrállal kezdünk: | |
. | |
A külső integrállal folytatva: | |
. | |
6. feladat: Számítsuk ki az függvény kettős integrálját az | |
görbék által határolt normáltartományon. Rajzoljuk fel a tartományt is! | |
Megoldás: Célszerű először lerajzolni a keresett tartományt, majd a szokásos alakban is megadni. | |
A keresett normáltartomány: | |
. | |
Ekkor a keresett kettős integrál: | |
. | |
7. feladat: Számítsuk ki az függvény integrálját az és az görbék által határolt tartományon. | |
Megoldás: Készítsünk ábrát a keresett tartományról. | |
Ahhoz, hogy fel tudjuk írni a normáltartományt, először ki kell számolni a két függvény metszéspontját. Ehhez meg kell oldani a következő egyenletet: | |
. | |
Felírva a feladathoz tartozó normáltartományt: | |
. | |
Ekkor a keresett integrál: | |
. | |
A belső integrállal kezdünk: | |
. | |
A kapott eredményt behelyettesítve a külső integrálba: | |
. | |
8. feladat: Számítsa ki az függvény kettős integrálját az , és pontok által határolt háromszög felett. | |
Megoldás: Rajzoljuk fel az adott csúcspontokkal rendelkező háromszöget. | |
Ez a tartomány felfogható egy olyan normáltartománynak, amelyet balról az , jobbról az , alulról az x tengely (), felülről pedig az () egyenesek határolnak. Azaz: | |
. | |
Ekkor a kettős integrál: | |
. | |
Itt | |
, | |
ebből pedig | |
. | |
9. feladat: Számítsuk ki az és a görbék által határolt véges területű H síkidom súlypontjának koordinátáit! | |
Megoldás: Célszerű először ábrát készíteni. | |
Számítsuk ki a két függvény metszéspontját. | |
. | |
Ekkor fel tudjuk írni a síkidomot, mint egy normáltartományt: | |
. | |
Ekkor a kettős integrálok a következő módon írhatók fel: | |
. | |
Innen a súlypont: | |
, . |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
4. kérdés: Számítsa ki az függvény kettős integrálját az y tengely, az és az egyenesek által határolt háromszög felett. ![]() | ||||||||
5. kérdés: Az függvény kettős integrálja az és az görbék által határolt tartomány felett:
![]() | ||||||||
6. kérdés: Számítsa ki az függvény kettős integrálját az , és pontok által határolt háromszög felett. ![]() |