KURZUS: Matematika 2.

MODUL: IV. modul Többváltozós függvények

10. lecke: Kétváltozós függvények integrálszámítása

Tanulási cél: Az egyváltozós függvények esetében nagyon sokat foglalkoztunk a határozatlan és a határozott integrál fogalmával. Ebben a leckében a határozott integrál fogalmát kiterjesztjük kétváltozós függvényekre.

Elméleti összefoglaló

Emlékezzünk arra, hogy egyváltozós függvények esetében a határozott integrál az f( x ) függvény görbe alatti előjeles területét jelentette egy véges zárt [ a,b ] intervallumon, melyet a Newton-Leibniz tétel segítségével számoltunk ki.

Először bevezetjük a véges zárt intervallum kétdimenziós megfelelőjét, a téglalap fogalmát.

Definíció: Legyen [ a,b ] és [ c,d ] két intervallum. Ekkor az [ a,b ]×[ c,d ] téglalapon a következő tartományt értjük:

[ a,b ]×[ c,d ]={ ( x,y ) R 2 | axb,cyd } .

Tehát a továbbiakban a téglalap mindig olyan téglalap alakú tartományt jelent, amelynek oldalai párhuzamosak a koordináta tengelyekkel.

Definíció: Legyen f( x,y ) folytonos függvény az [ a,b ]×[ c,d ] téglalapon. Kétszeres integrálnak az

c d ( a b f( x,y )dx )dy és az a b ( c d f( x,y )dy )dx

típusú integrálokat nevezzük.

A zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A kétszeres integrálok kiszámolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb. A dx illetve dy szimbólum mutatja, hogy melyik változó szerint kell először integrálnunk. Ekkor a belső integrál mindig a második változónak a függvénye lesz, és ezt kell a külső integrálban kiszámolnunk.

Tétel: Legyen f( x,y ) egy olyan kétváltozós függvény, amely az [ a,b ]×[ c,d ] téglalapon értelmezett, mindkét változó szerint parciálisan differenciálható, és a parciális deriváltak folytonosak az egész téglalapon. Ekkor:

c d ( a b f( x,y )dx ) dy= a b ( c d f( x,y )dy )dx ,

azaz az integrálás sorrendje felcserélhető.

Eddig csak téglalap alakú tartományon értelmeztük a kettős integrál fogalmát. Lépjünk egy kicsit tovább.

Definíció: Legyen [ a,b ] intervallum, és tegyük fel, hogy az f( x ) és a g( x ) függvényekre teljesül, hogy minden x[ a,b ] esetén f( x )g( x ) . Ekkor az

N={ ( x,y ) R 2 | axb,f( x )yg( x ) }

halmazt normáltartománynak nevezzük.

Definíció: Normáltartományon a kétszeres integrál a következőt jelent:

a b ( f( x ) g( x ) f( x,y )dy )dx .

Megjegyzés: Ebben az esetben azonban fontos az integrálok sorrendje és az nem cserélhető fel! Az x az a változó, amely szabadon mozog egy [ a,b ] intervallumban, az y pedig olyan, hogy annak határai az x függvényei. Így a külső integrálnak kell x szerintinek lennie, a belsőnek pedig az y szerintinek. Ekkor ha a belső függvény integráljánál beírjuk a határokat, továbbra is x függvényét kapjuk, amelyet x szerint kiintegrálva számot kapunk

Egyváltozós függvények esetén a határozott integrál szemléletes jelentése a görbe alatti előjeles terület volt. Ezt a fogalmat most kiterjesztjük a kétváltozós függvények esetére.

Definíció: Legyen az f( x,y ) kétváltozós függvény folytonos egy tetszőleges H R 2 halmazon és legyen f( x,y )0 minden ( x,y )H esetén. Ekkor az

{ ( x,y,z ) R 3 | ( x,y )H,0zf( x,y ) }

térbeli halmaz egy test. Ez a test egy olyan H alapú hasáb, amelyet alulról az xy sík, felülről pedig az f( x,y ) függvény grafikonja határol. Ennek a testnek a térfogatát a

V= H f(x,y)dA

kettősintegrállal definiáljuk.

A következőkben megmutatunk egy egyszerű alkalmazást a kettős integrálok témakörben.

Tétel: Legyen H egy egyszerű síkidom. Ekkor H területét a

H 1dA

kettős integrál adja.

Ezt a tételt egyszerű meggondolni, hiszen a kettős integrál geometriai jelentése miatt ez éppen a H alapú, egységnyi magasságú hasáb térfogata, ami így a H halmaz területével egyenlő. A kettős integrál segítségével nem csak a halmaz területe, hanem a súlypontjának koordinátái is meghatározhatók.

Tétel: Jelölje a H halmaz súlypontját ( S x , S y ) . Ekkor

S x = H xdA H 1dA , S y = H ydA H 1dA .

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált:

1 2 ( 0 1 ( 2x3 y 2 )dx )dy .

Megoldás: Mindig a belső integrál kiszámításával kezdjük. A belül elhelyezkedő dx szimbólum azt jelöli, hogy az x változó szerint integrálunk először. Ilyenkor, akárcsak a parciális deriválásnál, az y-ra úgy kell tekintenünk, mint egy konstansra:

0 1 ( 2x3 y 2 )dx = [ x 2 3 y 2 x ] 0 1 =( 13 y 2 )( 00 )=13 y 2 .

Vigyázni kell arra, hogy a Newton-Leibniz-szabály alkalmazása során abba a változóba helyettesítsük be az integrálok határait, amelyik változó szerint az integrálás történt. Így lesz a belső integrál a másik változó függvénye, hiszen mint látható, a kifejezésből el is tűnt az x. Ekkor a kettős integrál:

1 2 ( 0 1 ( 2x3 y 2 )dx )dy = 1 2 ( 13 y 2 )dy= [ y y 3 ] 1 2 =( 2 2 3 )( 1 ( 1 ) 3 )=6 .

2. feladat: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált:

1 1 ( 0 1 ( 2x y 2 +3 x 3 y )dx )dy .

Megoldás: Most is először külön kiszámoljuk a belső integrált, amely x szerinti integrálást jelent, ilyenkor az y-t konstansnak tekintjük, majd az x helyére beírva a megfelelő határokat:

0 1 ( 2x y 2 +3 x 3 y )dx = [ x 2 y 2 + 3 4 x 4 y ] 0 1 =( y 2 + 3 4 y )0= y 2 + 3 4 y .

Ezt követően:

1 1 ( y 2 + 3 4 y )dy = [ y 3 3 + 3 8 y 2 ] 1 1 =( 1 3 + 3 8 )( 1 3 + 3 8 )= 2 3 .

3. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )= x 2 y függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: 0x1,1ye .

Megoldás: Mivel téglalap alakú a tartomány, ezért az integrál kétféleképpen is felírható:

1 e ( 0 1 x 2 y dx )dy = 0 1 ( 1 e x 2 y dy )dx .

Mivel az eredmény mindkét sorrend mellett azonos lesz, ezért szabadon választhatunk, hogy milyen sorrendben kívánunk integrálni.

1 e ( 0 1 x 2 y dx )dy = 1 e [ x 3 3y ] 0 1dy= 1 e ( 1 3y )dy= 1 3 [ ln| y | ] 1e= 1 3.

4. feladat: Legyen N={ ( x,y ) R 2 | 0x1,xy x } . Rajzoljuk fel a tartományt és számítsuk ki az f( x,y )=4x y 2 függvény kettősintegrálját az N tartományon!

Megoldás: A normáltartományt mutatja az ábra:

A definíció szerint a következő integrált kell kiszámolni:

0 1 ( x x ( 4x y 3 )dy )dx .

Először külön kiszámoljuk a belső integrált:

x x ( 4x y 3 )dy = [ x y 4 ] x x =( x 3 )( x 5 ) .

Most a külső integrállal folytatva:

0 1 ( x x ( 4x y 3 )dy )dx = 0 1 ( x 3 x 5 )dx= [ x 4 4 x 6 6 ] 0 1 =( 1 4 1 6 )( 0 )= 1 12 .

Ellenőrző kérdések
1. kérdés: Számolja ki az alábbi kétszeres integrált: 0 2 ( 1 3 ( x 3 y 3 xy )dx )dy .
70
72
74
76
2. kérdés: Számítsuk ki az f( x,y )= 2x y 2 függvény kettős integrálját a következő téglalap alakú tartományon: 0x1,1y2 .
1 3
1 2
0
1 2
3. kérdés: Legyen N={ ( x,y ) R 2 | 0x1,xy x } . Számítsuk ki az f( x,y )=2xy függvény kettősintegrálját az N tartományon!
1 6
1 8
1 10
1 12
Összetett feladatok

5. feladat: Számítsuk ki az alábbi kettős integrált: 0 1 x1 x+1 ( ( x2y )dy )dx .

Megoldás: Ebben a feladatban az y szerinti integrálás határai függnek az x-től. Ez azt jelenti, hogy először y szerint integrálunk és a kapott eredménybe y helyére helyettesítünk.

Most is a belső integrállal kezdünk:

x1 x+1 ( x2y )dy= [ xy y 2 ] x+1 x+1 =( x( x+1 ) ( x+1 ) 2 )( x( x1 ) ( x1 ) 2 )=

= x 2 +x( x 2 2x+1 )( x 2 x x 2 +2x1 )=2 x 2 +2x .

A külső integrállal folytatva:

0 1 ( 2 x 2 +2x )dx= [ 2 x 3 3 + x 2 ] 0 1 =( 2 3 +1 )0= 1 3 .

6. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )=xy függvény kettős integrálját az

x=0,x=1,y= x 5 ,y=2 x

görbék által határolt normáltartományon. Rajzoljuk fel a tartományt is!

Megoldás: Célszerű először lerajzolni a keresett tartományt, majd a szokásos alakban is megadni.

A keresett normáltartomány:

N={ ( x,y ) R 2 | 0x1, x 5 y2 x } .

Ekkor a keresett kettős integrál:

0 1 ( x 5 2 x ( xydy ) )dx = 0 1 [ x y 2 2 ] x 5 2 x dx= 0 1 ( 2 x 2 x 3 50 )dx = [ 2 x 3 3 x 4 200 ] 0 1= 397 600 .

7. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )=x+2y függvény integrálját az y= x 2 és az y= x görbék által határolt tartományon.

Megoldás: Készítsünk ábrát a keresett tartományról.

Ahhoz, hogy fel tudjuk írni a normáltartományt, először ki kell számolni a két függvény metszéspontját. Ehhez meg kell oldani a következő egyenletet:

x 2 = x x 4 =xx( x 3 1 )=0 x 1 =0, x 0 =1 .

Felírva a feladathoz tartozó normáltartományt:

N={ ( x,y ) R 2 | 0x1, x 2 y x } .

Ekkor a keresett integrál:

0 1 ( x 2 x ( x+2y )dy )dx .

A belső integrállal kezdünk:

x 2 x ( x+2y )dy = [ xy+ y 2 ] x 2 x =( x x +x )( x 3 + x 4 )= x 3 2 +x x 3 x 4 .

A kapott eredményt behelyettesítve a külső integrálba:

0 1 ( x 3 2 +x x 3 x 4 )dx = [ x 5 2 5 2 + x 2 2 x 4 4 x 5 5 ] 0 1 = 2 5 + 1 2 1 4 1 5 = 9 20 .

8. feladat: Számítsa ki az f( x,y )= 5 x 2 +1 függvény kettős integrálját az A( 0,0 ) , B( 1,0 ) és C( 1,2 ) pontok által határolt háromszög felett.

Megoldás: Rajzoljuk fel az adott csúcspontokkal rendelkező háromszöget.

Ez a tartomány felfogható egy olyan normáltartománynak, amelyet balról az x=0 , jobbról az x=1 , alulról az x tengely ( f( x )=0 ), felülről pedig az y=2x ( g( x )=2x ) egyenesek határolnak. Azaz:

N={ ( x,y ) R 2 | 0x1,0y2x } .

Ekkor a kettős integrál:

0 1 ( 0 2x 5 x 2 +1 dy )dx .

Itt

0 2x 5 x 2 +1 dy = 5 x 2 +1 [ y ] 0 2x = 10x x 2 +1 ,

ebből pedig

0 1 10x x 2 +1 dx =5 0 1 2x x 2 +1 dx =5 [ ln| x 2 +1 | ] 0 1 =5ln25ln1=5ln2 .

9. feladat: Számítsuk ki az f( x )= x 2 1 és a g( x )=x+1 görbék által határolt véges területű H síkidom súlypontjának koordinátáit!

Megoldás: Célszerű először ábrát készíteni.

Számítsuk ki a két függvény metszéspontját.

f( x )=g( x ) x 2 1=x+1 x 2 x2=0 x 1 =1, x 2 =2 .

Ekkor fel tudjuk írni a H síkidomot, mint egy normáltartományt:

H={ ( x,y ) R 2 | 1x2, x 2 1yx+1 } .

Ekkor a kettős integrálok a következő módon írhatók fel:

H 1dA= 1 2 x 2 1 x+1 ( 1dy )dx = 1 2 [ y ] x 2 1 x+1 = 1 2 ( 2+x x 2 )dx= [ 2x+ x 2 2 x 3 3 ] 1 2 = 9 2

H xdA= 1 2 x 2 1 x+1 ( xdy )dx = 1 2 [ xy ] x 2 1 x+1 = 1 2 ( 2x+ x 2 x 3 )dx= [ x 2 + x 3 3 x 4 4 ] 1 2 = 9 4

H ydA= 1 2 x 2 1 x+1 ( ydy )dx = 1 2 [ y 2 2 ] x 2 1 x+1 = 1 2 ( x+ 3 x 2 2 x 4 2 )dx= [ x 2 2 + x 3 2 x 5 10 ] 1 2 = 27 10 .

Innen a súlypont:

S x = 9 4 9 2 = 1 2 , S y = 27 10 9 2 = 3 5 .

Ellenőrző kérdések
4. kérdés: Számítsa ki az f( x,y )=xy függvény kettős integrálját az y tengely, az y=2x és az y=x egyenesek által határolt háromszög felett.
1 3
1 2
2 3
3 2
5. kérdés: Az f( x,y )=x2y függvény kettős integrálja az y=0 és az y=x x 2 görbék által határolt tartomány felett:
1 16
1 18
1 20
1 22 .
6. kérdés: Számítsa ki az f( x,y )=xy függvény kettős integrálját az A(0,0) , B( 1,1 ) és C( 1,1 ) pontok által határolt háromszög felett.
2 3
3 4
3 2
4 3