KURZUS: Matematika 2.
MODUL: V. modul: Lineáris algebra
11. lecke: Mátrixok, determinánsok
Tanulási cél: Ebben a modulban megismerkedünk a lineáris algebra legfontosabb fogalmaival. Ezek közül a legalapvetőbb a mátrix fogalma. A lineáris algebra egyik központi problémája a lineáris egyenletrendszerek megoldása. Kiderült, hogy itt a mátrixok és determinánsok nagyon hatékonyan felhasználhatók. A lineáris algebra másik fontos területe a lineáris transzformációk tanulmányozása. Ebben ismét csak a mátrixok játszanak kulcsszerepet a sajátértékek és sajátvektorok mellet. | |
A modul fő célja az itt említett fogalmak megismertetése, és a velük kapcsolatos legfontosabb számítások begyakoroltatása. | |
Elméleti összefoglaló | |
Számadatokat sokszor célszerű táblázatos formába rendezni. Az ilyen táblázatokat hívjuk mátrixoknak. Mi csak olyan mátrixokkal fogunk foglalkozni, amelyek valós számokból épülnek fel. | |
Ha az mátrixnak sora és oszlopa van, akkor azt mondjuk, hogy a mátrix típusú, és ezt így fogjuk jelölni: . Az mátrix elemeire kettős indexeléssel hivatkozunk: jelöli az mátrix -edik sorának -edik elemét. | |
Például az | |
mátrix típusú, és . Szokás a két index közötti vesszőt nem kiírni, ha nem kell félreértéstől tartani. | |
Két mátrix egyenlő, ha azonos a típusuk, és az azonos indexű elemeik egyenlők. | |
A mátrixok körében műveleteket definiálhatunk, amelyek segítségével adott mátrixokból újabbakat készíthetünk. | |
Legyen , és tetszőleges szám. Ekkor az mátrix -szorosa az a szintén típusú mátrix, amelyre minden és esetén. | |
Tehát egy mátrixot úgy szorzunk meg egy számmal, hogy minden elemét megszorozzuk a számmal. | |
Legyen . (Azaz legyen és két tetszőleges típusú mátrix.) Ekkor és összege az a szintén típusú mátrix, amelyre minden és esetén. Tehát azonos típusú mátrixok összeadhatók, és az összeg elemeit úgy kapjuk, hogy rendre összeadjuk az azonos indexű elemeket. | |
Legyen . Ekkor és különbsége az a szintén típusú mátrix, amelyre minden és esetén. | |
Nyilvánvaló, hogy . | |
A számmal szorzásra és az összeadásra érvényesek a következő tételek. Ezeket, és a későbbi tételeket is, mindig úgy kell érteni, hogy, ha az összefüggések egyik oldalán álló műveleteket el lehet végezni, akkor elvégezhetők a másik oldalon álló műveletek is, és az eredményül kapott mátrixok egyenlők. | |
Tétel: Legyen , . Ekkor | |
. | |
. | |
, azaz a számmal szorzás disztributív az összeadásra nézve. | |
, azaz az összeadás kommutatív. | |
, azaz az összeadás asszociatív. | |
A mátrixok szorzásának definíciója kicsit bonyolultabb az eddigi műveletek definíciójától. | |
Legyen és , vagyis az mátrixnak legyen oszlopa, a mátrixnak pedig sora. Ekkor és szorzata az a mátrix, amelynek típusa és | |
minden és esetén. | |
Tehát a szorzat mátrix -edik sorának -edik elemét úgy kapjuk, hogy az elöl álló mátrix -edik sorának az elemeit rendre megszorozzuk a hátul álló mátrix -dik oszlopának elemeivel, és ezeket a szorzatokat összeadjuk. | |
Azt a feltételt, hogy szorzáskor az elöl álló mátrixnak annyi oszlopa kell, hogy legyen, mint ahány sora a hátul álló mátrixnak van, kompatibilitási feltételnek hívjuk. | |
Például legyen és . Ekkor az mátrix típusa , a mátrix típusa , teljesül tehát a kompatibilitási feltétel, (a két bekeretezett szám egyenlő). Létezik tehát a szorzatmátrix, amelynek típusa . Sorra kiszámoljuk a elemeit. | |
, | |
, | |
, | |
, | |
, | |
. | |
Vagyis azt kaptuk, hogy | |
. | |
A szorzat ebben az esetben nem létezik, mert a típusok rendre és , és a bekeretezett számok nem egyenlők, nem teljesül a kompatibilitási feltétel. | |
Legyen . Ekkor transzponáltja az az mátrix, amelynek típusa , és minden és esetén. | |
Tehát a transzponálás során az eredeti mátrix első sora lesz a transzponált első oszlopa, második sora a transzponált második oszlopa, és így tovább. A transzponálás felcseréli a sorokat és az oszlopokat. | |
Az előbbi szorzás során szerepelt mátrix esetén | |
. | |
A következő tétel a szorzással és a transzponálttal kapcsolatos azonosságokat foglalja össze. | |
Tétel: Feltéve, hogy a formulákban szükséges kompatibilitási feltételek mind teljesülnek | |
, | |
, a szorzás nem kommutatív, | |
, a szorzás asszociatív, | |
, és , a szorzás disztributív az összeadásra, | |
, | |
. | |
Az típusú mátrixokat négyzetes mátrixoknak hívjuk. Egy négyzetes mátrixnak tehát annyi sora van ahány oszlopa. | |
Minden négyzetes mátrixhoz hozzá lehet rendelni egy számot, a mátrix determinánsát, amit fog jelölni. | |
Az típusú mátrix determinánsát megkapjuk, ha az -edik sor minden elemét megszorozzuk az elemhez tartozó előjeles aldeterminánssal, és az így kapott szorzatokat összeadjuk. Az -edik sor -edik eleméhez (azaz -hez) tartozó előjeles aldeterminánst úgy kapjuk, hogy töröljük az mátrix -edik sorát és -edik oszlopát, és a kapott típusú mátrix determinánsát megszorozzuk -vel. | |
Ezt hívjuk az -edik sor szerinti kifejtésnek. A kifejtésben szereplő típusú mátrixok determinánsát ugyanígy valamelyik soruk szerint kifejtve még eggyel kisebb méretű determinánsokat kapunk, és így tovább. Végül csupa típusú mátrix determinánsát kapjuk. Az mátrix determinánsa pedig | |
. | |
Ugyanilyen módon egy determinánst bármelyik oszlopa szerint is ki lehet fejteni. | |
Példaként kiszámoljuk az | |
mátrix determinánsát úgy, hogy kifejtjük a sora szerint. | |
. | |
Ugyanennek a mátrixnak a determinánsa kifejtve az első oszlopa szerint | |
. | |
A két végeredmény természetesen ugyanaz. | |
Egy típusú mátrix determinánsát először vissza kell vezetni darab méretű mátrix determinánsára, és azokat a fenti módon kiszámítani. Látható, hogy ez igen fáradságos. Ezért nagy jelentősége van az olyan tételeknek, amelyekkel ezt az eljárást egyszerűsíteni lehet. Ezek közül a legfontosabb az alábbi. | |
Tétel: Legyen típusú mátrix. Tekintsük az mátrix -edik és -edik sorát, ahol . Ha az -edik sort elemenként megszorozzuk tetszőleges számmal és azt elemenként hozzáadjuk a -edik sorhoz, a többi sort pedig változatlanul hagyjuk, akkor az így kapott új mátrixnak ugyanannyi a determinánsa, mint az eredetinek. Ezt az átalakítást így fogjuk jelölni: . | |
Ennek a tételnek az ismételt alkalmazásával elérhető, hogy az eredeti mátrixot átalakítsuk úgy, hogy egy általunk kiválasztott oszlopának egy kivételével minden eleme nullává váljon, és a determináns értéke mégsem változik. Ha ezután a determinánst kifejtjük ezen oszlopa szerint csak egy darab eggyel kisebb méretű determinánst kell kiszámolnunk, a többi ugyanis a kifejtésben úgyis nullával szorzódna. | |
Például, ha az előbbi mátrix első sorának mínusz kétszeresét hozzáadjuk a második sorhoz, akkor ezt kapjuk: | |
, | |
és itt a jobb oldalon álló mátrixnak ugyanannyi a determinánsa, mint -nak. Ha most a jobb oldali mátrix első sorának mínusz háromszorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz a kapott mátrixnak ismét annyi marad a determinánsa, mint az eredeti -nak: | |
. | |
Erről könnyen meggyőződhetünk, hiszen ha az utolsó mátrix determinánsát úgy számoljuk ki, hogy kifejtjük az első oszlopa szerint, akkor | |
. | |
Kidolgozott feladatok | |
1. feladat: Legyen , és . Számoljuk ki a mátrixot. | |
Megoldás: Mindkét mátrix típusú, és ilyen minden számszorosuk is, tehát a kijelölt műveletek elvégezhetők. A számmal való szorzás és az összeadás definíciójából következik, hogy ezeket a műveleteket elemenként kell elvégezni. Például | |
. | |
hasonlóan számolva a többi elemet | |
. | |
2. feladat: Legyen , és . Számítsuk ki a mátrixot. | |
Megoldás: Mint az előbb, most is azzal kezdünk, hogy ellenőrizzük, hogy a kívánt műveleteket el lehet-e végezni. Most a szorzatban az elöl álló mátrix, a , típusa , a hátul álló mátrixé , tehát teljesül a kompatibilitási feltétel, a két mátrix ebben a sorrendben szorozható, és a szorzat típusa . A mátrixok szorzásának definíciója alapján például | |
. | |
Hasonlóan számolva a többi elemet | |
. | |
3. feladat: Az előző feladatban megadott és mátrix esetén számoljuk ki a szorzatot is. | |
Megoldás: Ez a szorzat is létezik, mert most az elöl álló mátrix típusa , a hátul állóé , teljesül a kompatibilitási feltétel, és a szorzat mátrix típusa . Például a | |
. | |
Hasonlóan számolva a többi elemet | |
. | |
4. feladat: Legyen . Számoljuk ki az mátrixot. | |
Megoldás: Az persze azt jelenti, hogy -t önmagával szorozzuk: . Mivel négyzetes mátrix, ez a szorzás elvégezhető, és is típusú. A szorzást úgy a legbiztonságosabb elvégezni, hogy először egymás mellé leírjuk a szorzatban szereplő sorrendben a mátrixokat. | |
Ezután az elöl álló mátrix első sorát és a hátul álló mátrix első oszlopát elemenként szorozva és a szorzatokat összeadva kapjuk a szorzat első sorának első elemét. | |
Az elöl álló mátrix első sorát és a hátul álló mátrix második oszlopát elemenként szorozva és a szorzatokat összeadva kapjuk a szorzat első sorának második elemét. És így tovább. | |
. | |
5. feladat: Legyen , és . Számoljuk ki a mátrixot. | |
Megoldás: Az egyik lehetséges számolási mód a következő: először kiszámoljuk -t, majd , és a megfelelő sorrendben kivonjuk ezeket egymásból. Mivel | |
. | |
Ezután, felhasználva, hogy , és így , | |
. | |
A másik lehetőség, hogy a műveleti azonosságokat felhasználva átalakítjuk a kiszámolandó formulát. Ekkor | |
. | |
Ennek az átalakításnak az az előnye, hogy így csak egy szorzást kell végrehajtani. Felhasználva, hogy , kapjuk, hogy | |
. | |
A végeredmény persze ugyanaz, mint az előbb. | |
6. feladat: Számoljuk ki az mátrix determinánsát. | |
Megoldás: Tudjuk, hogy egy determináns bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejthető. Kifejtjük most a második sora szerint. Ekkor | |
. | |
7. feladat: Számoljuk ki az mátrix determinánsát. | |
Megoldás: Átalakítjuk úgy a mátrixunkat, hogy a determinánsa ne változzon, de az első oszlopában az első elemen kívül minden elem nulla legyen. Tudjuk az említett tételből, hogy ennek érdekében az első sor mínusz kétszeresét kell a második sorhoz hozzáadni, illetve az első sor mínusz egyszeresét kell a harmadik sorhoz hozzáadni. Ez a két átalakítás egy lépésben is elvégezhető. | |
. | |
(Ha az átalakítást jelképező nyílra több átalakítást is írunk, akkor a végrehajtás sorrendje fölülről lefelé értendő.) A jobb oldali mátrixot az első oszlopa szerint kifejtve | |
. | |
8. feladat: Tekintsük az . Hogyan kell az valós szám értékét megválasztani, hogy a kapott mátrix determinánsa legyen? | |
Megoldás: Mivel az mátrix egyik eleme függ -től, a determinánsa is függ -től. Mivel az első sorban már van egy nulla elem, most célszerű a determinánst az első sora szerint kifejteni. (Ez jobb, mint a harmadik oszlop szerinti kifejtés, mert abban az oszlopban nagyobb számok állnak.) | |
. | |
Mivel azt az számot keressük, amire a determináns , megoldjuk a | |
egyenletet, amiből . Tehát az | |
mátrix determinánsa . | |
9. feladat: Tekintsük az . Hogyan kell az valós szám értékét megválasztani, hogy a kapott mátrix determinánsa legyen? | |
Megoldás: Kifejtjük a determinánst az első sora szerint. | |
. | |
A , azaz rendezés után a másodfokú egyenletből az , adódik. Tehát az és az mátrixok determinánsa egyaránt . |
Ellenőrző kérdések | ||||||||
1. kérdés: Legyen és . Ekkor a mátrix
![]() | ||||||||
2. kérdés: Legyen és . Ekkor a mátrix
![]() | ||||||||
3. kérdés: Legyen és . Ekkor az mátrix
![]() | ||||||||
4. kérdés: Legyen . Ekkor az mátrix
![]() | ||||||||
5. kérdés: Legyen . Ekkor az mátrix
![]() | ||||||||
6. kérdés: Legyen . Ekkor az mátrix determinánsa
![]() | ||||||||
7. kérdés: Legyen . Ekkor az mátrix determinánsa
![]() | ||||||||
8. kérdés: Legyen . Ekkor az mátrix determinánsa
![]() | ||||||||
9. kérdés: Mennyinek kell választani az szám értékét, hogy az mátrix determinánsa legyen?
![]() | ||||||||
10. kérdés: Mennyi legyen az szám értéke, hogy az mátrix determinánsa legyen?
![]() |