KURZUS: Matematika 2.

MODUL: IV. modul Többváltozós függvények

9. lecke: Kétváltozós valós értékű függvények differenciálszámítása

Tanulási cél: A kétváltozós függvények differenciálszámítása és annak gyakorlati alkalmazásával való megismerkedés.

Elméleti összefoglaló
A parciális derivált fogalma

Definíció: Legyen ( x 0 , y 0 ) az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az f( x,y ) függvény x szerint parciálisan differenciálható az ( x 0 , y 0 ) pontban, ha a

lim x x 0 f(x, y 0 )f( x 0 , y 0 ) x x 0

határérték létezik és véges. Ekkor ezt a véges határértéket az f( x,y ) függvény ( x 0 , y 0 ) pontban vett x szerint parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés:

f x ( x 0 , y 0 )= x f( x 0 , y 0 )= lim x x 0 f( x, y 0 )f( x 0 , y 0 ) x x 0 .

Definíció: Legyen ( x 0 , y 0 ) az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az f( x,y ) függvény y szerint parciálisan differenciálható az ( x 0 , y 0 ) pontban, ha a

lim y y 0 f( x 0 ,y )f( x 0 , y 0 ) y y 0

határérték létezik és véges. Ekkor ezt a véges határértéket az f( x,y ) függvény ( x 0 , y 0 ) pontban vett y szerint parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés:

f y ( x 0 , y 0 )= y f( x 0 , y 0 )= lim x x 0 f( x 0 ,y )f( x 0 , y 0 ) y y 0 .

Definíció: Azt az új függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, ahol az f( x,y ) függvény x szerint parciálisan deriválható, és értéke minden ilyen pontban megegyezik az adott ponthoz tartozó x szerinti parciális derivált értékével, az f( x,y ) függvény x szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele:

f x ( x,y )= x f( x,y )= f x .

Definíció: Azt az új függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, ahol az f( x,y ) függvény y szerint parciálisan deriválható, és értéke minden ilyen pontban megegyezik az adott ponthoz tartozó y szerinti parciális derivált értékével, az f( x,y ) függvény y szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Jele:

f y ( x,y )= y f( x,y )= f y .

A definícióból következik, hogy a parciális deriváltfüggvények meghatározásakor az egyváltozós függvények deriválási szabályai használhatók úgy, hogy amikor az egyik változó szerinti parciális deriváltfüggvényt állítjuk elő, akkor a másik változót konstansnak kell tekinteni.

Megjegyzés: A parciális deriváltak lényegében a rétegvonalak deriváltjai. Geometriai jelentésüket az ábra mutatja.

Az elsőrendű parciális deriváltak maguk is kétváltozós függvények. Ha ezeket újra deriváljuk, akkor kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Ezeket úgy jelöljük, hogy sorban leírjuk azokat a változókat, amelyek szerint deriválunk. Eszerint másodrendű parciális deriváltból négy létezik. Ezek a következők:

f xx ( x,y )= x ( x f( x,y ) )= 2 f xx

azt jelenti, hogy az f( x,y ) függvényt először x szerint, majd másodszor is x szerint deriváljuk parciálisan.

f yy ( x,y )= y ( y f( x,y ) )= 2 f yy

azt jelenti, hogy az f( x,y ) függvényt először y szerint, majd másodszor is y szerint deriváljuk parciálisan.

f xy ( x,y )= y ( x f( x,y ) )= 2 f xy

azt jelenti, hogy az f( x,y ) függvényt először x szerint, majd másodszor y szerint deriváljuk parciálisan.

f yx ( x,y )= x ( y f( x,y ) )= 2 f yx

azt jelenti, hogy az f( x,y ) függvényt először y szerint, majd másodszor P 2 ( 1,0 ) szerint deriváljuk parciálisan.

Az f xx ( x,y ) és f yy ( x,y ) függvények a tiszta, míg az f xy ( x,y ) és f yx ( x,y ) függvények a vegyes másodrendű parciális deriváltak.

A Young-tétel kimondja, hogy kétszer folytonosan deriválható függvényekre a magasabbrendű parciális deriváltak függetlenek a deriválás sorrendjétől, azaz

f xy ( x,y )= f yx ( x,y ) .

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Legyen f( x,y )=3 x 2 y2x y 4 . Számítsuk ki az f x ( 1,2 ) és f y ( 1,2 ) értékeket! Képezzük az összes másodrendű parciális deriváltat is!

Megoldás: A feladat megoldásához először el kell végeznünk a parciális deriválást az adott változók szerint, majd következik a behelyettesítés. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. Azaz:

f x ( x,y )=32xy21 x 0 y 4 =6xy2 y 4 ,

mivel x 2 deriváltja 2x , az x deriváltja pedig 1. Ezt követően elvégezve a behelyettesítést:

f x (1,2)=61(2)2 (2) 4 =1232=44 .

f y ( x,y ) kiszámítása hasonlóan történik, most y szerint deriválunk, és az x-et tekintjük konstansnak:

f y ( x,y )=3 x 2 1 y 0 2x4 y 3 =3 x 2 8x y 3 .

Elvégezve a behelyettesítést:

f y (1,2)=3 1 2 81 (2) 3 =3+64=67 .

Ha az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriváljuk, akkor kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Ezek meghatározása következik.

f xx ( x,y )= x ( 6xy2 y 4 )=6y

f xy ( x,y )= y ( 6xy2 y 4 )=6x8 y 3

f yx ( x,y )= x ( 3 x 2 8x y 3 )=6x8 y 3

f yy ( x,y )= y ( 3 x 2 8x y 3 )=24x y 2 .

Látható, hogy a vegyes másodrendű parciális deriváltak valóban megegyeznek egymással.

2. feladat: Legyen f( x,y )= x 3 e 5y . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat!

Megoldás: Ha x szerint deriválunk, akkor y és ezzel együtt az e 5y is konstansnak tekintendő, ezért

f x ( x,y )= f( x,y ) x = e 5y x x 3 =3 x 2 e 5y .

Ha y szerint deriválunk, akkor az x és ezzel együtt az x 3 is konstansnak tekintendő, ezért

f y ( x,y )= f( x,y ) y = x 3 y e 5y = x 3 5 e 5y =5 x 3 e 5y .

Itt a deriválásnál ne felejtsük el, hogy az e 5y egy összetett függvény.

f xx ( x,y )= x ( 3 x 2 e 5y )= e 5y x ( 3 x 2 )= e 5y 6x=6x e 5y

f xy ( x,y )= y ( 3 x 2 e 5y )=3 x 2 y ( e 5y )=3 x 2 5 e 5y =15 x 2 e 5y

f yx ( x,y )= x ( 5 x 3 e 5y )=5 e 5y x ( x 3 )=5 e 5y 3 x 2 =15 x 2 e 5y

f yy ( x,y )= y ( 5 x 3 e 5y )=5 x 3 y e 5y =5 x 3 5 e 5y =25 x 3 e 5y .

3. feladat: Legyen f( x,y )=sin( 2x+3y ) . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat!

Megoldás: Ha a függvényre x függvényeként tekintünk, akkor egy összetett függvényt látunk. Ugyanez lesz a helyzet akkor is, ha majd az y-t tekintjük változónak, az x-et pedig konstansnak. Ennek megfelelően a parciális deriváltak meghatározásánál figyelembe kell venni az egyváltozós összetett függvények deriválásánál megtanult deriválási szabályt.

f x ( x,y )= x ( sin( 2x+3y ) )= cos( 2x+3y ) külsőderiváltja 2 belsőderiváltja =2cos( 2x+3y )

f y ( x,y )= y ( sin( 2x+3y ) )= cos( 2x+3y ) külsőderiváltja 3 belsőderiváltja =3cos( 2x+3y )

f xx ( x,y )= x ( 2cos( 2x+3y ) )= 2( sin( 2x+3y ) ) külsőderiváltja 2 belsőderiváltja =4sin( 2x+3y )

f xy ( x,y )= y ( 2cos( 2x+3y ) )= 2( sin( 2x+3y ) ) külsőderiváltja 3 belsőderiváltja =6sin( 2x+3y )

f yx ( x,y )= x ( 3cos( 2x+3y ) )= 3( sin( 2x+3y ) ) külsőderiváltja 2 belsőderiváltja =6sin( 2x+3y )

f yy ( x,y )= y ( 3cos( 2x+3y ) )= 3( sin( 2x+3y ) ) külsőderiváltja 3 belsőderiváltja =9sin( 2x+3y ) .

4. feladat: Legyen f( x,y )= e x 2 2 y 3 . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat!

Megoldás: Ez is egy összetett függvény, ennek megfelelően a parciális deriváltak a következő módon alakulnak:

f x ( x,y )= x ( e x 2 2 y 3 )= e x 2 2 y 3 külsőderiváltja ( 2x0 ) belsőderiváltja =2x e x 2 2 y 3

f y ( x,y )= y ( e x 2 2 y 3 )= e x 2 2 y 3 külsőderiváltja ( 06 y 2 ) belsőderiváltja =6 y 2 e x 2 2 y 3 .

A másodrendű deriváltak meghatározásánál emlékezni kell az egyváltozós függvények szorzatának deriválási szabályára, amely a következő:

( f( x )g( x ) ) = f ( x )g( x )+f( x ) g ( x ) .

Ezt felhasználva a másodrendű parciális deriváltak a következők lesznek:

f xx ( x,y )= x ( 2x e x 2 2 y 3 )= x ( 2x ) e x 2 2 y 3 +2x x e x 2 2 y 3 =

=2 e x 2 2 y 3 +2x e x 2 2 y 3 2x= e x 2 2 y 3 ( 2+4 x 2 )

f xy ( x,y )= y ( 2x e x 2 2 y 3 )=2x y e x 2 2 y 3 =2x e x 2 2 y 3 (6 y 2 )=12x y 2 e x 2 2 y 3

f yx ( x,y )= x ( 6 y 2 e x 2 2 y 3 )=6 y 2 x e x 2 2 y 3 =6 y 2 e x 2 2 y 3 2x=12x y 2 e x 2 2 y 3

f yy ( x,y )= y ( 6 y 2 e x 2 2 y 3 )= y ( 6 y 2 ) e x 2 2 y 3 +( 6 y 2 ) y e x 2 2 y 3 =

=( 12y ) e x 2 2 y 3 +( 6 y 2 ) e x 2 2 y 3 ( 6 y 2 )= e x 2 2 y 3 ( 12y+36 y 4 ) .

5. feladat: Legyen f( x,y )=ln( 2xy+3 y 4 ) . Határozzuk meg az elsőrendű és a másodrendű parciális deriváltakat!

Megoldás: Ez a függvény is egy összetett függvény, ezért a parciális deriváltak meghatározásánál figyelembe kell venni az egyváltozós függvények esetében megtanult összetett függvények deriválására vonatkozó szabályt is.

f x ( x,y )= x ( ln( 2xy+3 y 4 ) )= 1 2xy+3 y 4 külsőderiváltja ( 2y ) belsőderiváltja = 2y 2xy+3 y 4

f y ( x,y )= y ( ln( 2xy+3 y 4 ) )= 1 2xy+3 y 4 külsőderiváltja ( 2x+12 y 3 ) belsőderiváltja = 2x+12 y 3 2xy+3 y 4

A másodrendű parciális deriváltak meghatározásánál az egyváltozós függvények esetében megtanult törtek deriválására vonatkozó szabályra kell emlékezni, amely a következő volt:

( f( x ) g( x ) ) = f ( x )g( x )f( x ) g ( x ) g 2 ( x ) .

Ezt felhasználva képezzük a másodrendű parciális deriváltakat:

f xx ( x,y )= x ( 2y 2xy+3 y 4 )= 0( 2xy+3 y 4 )2y( 2y+0 ) ( 2xy+3 y 4 ) 2 = 4 y 2 ( 2xy+3 y 4 ) 2

f xy ( x,y )= y ( 2y 2xy+3 y 4 )= 2( 2xy+3 y 4 )2y( 2x+12 y 3 ) ( 2xy+3 y 4 ) 2 = 6 y 2 24 y 4 ( 2xy+3 y 4 ) 2

f yx ( x,y )= x ( 2x+12 y 3 2xy+3 y 4 )= ( 2+0 )( 2xy+3 y 4 )( 2x+12 y 3 )( 2y+0 ) ( 2xy+3 y 4 ) 2 = 18 y 4 ( 2xy+3 y 4 ) 2

f yy ( x,y )= y ( 2x+12 y 3 2xy+3 y 4 )= ( 0+36 y 2 )( 2xy+3 y 4 )( 2x+12 y 3 )( 2x+12 y 3 ) ( 2xy+3 y 4 ) 2 = 24x y 3 36 y 6 4 x 2 ( 2xy+3 y 4 ) 2

6. feladat: Állítsuk elő a következő háromváltozós függvény elsőrendű parciális deriváltjait: f( x,y,z )=x y 2 z 3 +2x3 y 2 +4 z .

Megoldás: Az f( x,y,z ) függvénynek most három változója van, így három elsőrendű parciális deriváltat tudunk megadni. Kezdjük az x szerinti deriválással. Ilyenkor az y-t és z-t konstansnak kell tekinteni.

f x ( x,y,z )= x ( x y 2 z 3 +2x3 y 2 +4 z )= y 2 z 3 +2 .

Ha y szerint deriválunk, akkor az x-et és a z-t tekintjük konstansnak:

f y ( x,y,z )= y ( x y 2 z 3 +2x3 y 2 +4 z )=2xy z 3 6y .

Ha z szerint deriválunk, akkor az x-et és az y-t tekintjük konstansnak:

f z ( x,y,z )= z ( x y 2 z 3 +2x3 y 2 +4 z )=3x y 2 z 2 +4 1 2 z =3x y 2 z 2 + 2 z .

Ellenőrző kérdések
1. kérdés: Legyen f( x,y )=3 x 2 y 3 2x+5 y 2 . Számítsuk ki az f x ( 1,1 ) és f y ( 1,1 ) értékeket!
f x ( 1,1 )=1 és f y ( 1,1 )=8
f x ( 1,1 )=9 és f y ( 1,1 )=3
f x ( 1,1 )=8 és f y ( 1,1 )=1
f x ( 1,1 )=3 és f y ( 1,1 )=5
2. kérdés: Legyen f( x,y )= 4 x + x 2 y+ y 4 . Mivel egyenlő f x ( x,y )+ f y ( x,y ) ?
x 2 4 x 2 +2xy+ 1 4
x 2 4 x 2 +2xy+ y 4
x 2 4 x 2 +2xy
x 2 4 x 2 +xy+ y 4
3. kérdés: Legyen f( x,y )= 4 x + x 2 y+ y 4 . Mivel egyenlő f xy ( x,y ) és f yy ( x,y ) ?
f xy ( x,y )=2x és f yy ( x,y )=0
f xy ( x,y )=0 és f yy ( x,y )= 1 4
f xy ( x,y )=2x+ y 4 és f yy ( x,y )= 4 x + x 2
f xy ( x,y )=2x és f yy ( x,y )= 1 4
4. kérdés: Legyen f( x,y )=cos( 8x4y ) . Mivel egyenlő f y ( x,y ) és f yx ( x,y ) ?
f y ( x,y )=8sin( 8x4y ) és f yx ( x,y )=64cos( 8x4y )
f y ( x,y )=4sin( 8x4y ) és f yx ( x,y )=16cos( 8x4y )
f y ( x,y )=4sin( 8x4y ) és f yx ( x,y )=16cos( 8x4y )
f y ( x,y )=4sin( 8x4y ) és f yx ( x,y )=32cos( 8x4y )
5. kérdés: Legyen f( x,y )= e x 3 +3 y 2 . Határozza meg a tiszta másodrendű parciális deriváltakat!
f xx ( x,y )= e x 3 +3 y 2 ( 6xy+9 x 4 ) és f yy ( x,y )= e x 3 +3 y 2 ( 6 x 2 +36 y 2 )
f xx ( x,y )=6 x 2 e x 3 +3 y 2 és f yy ( x,y )=6 e x 3 +3 y 2
f xx ( x,y )= e x 3 +3 y 2 ( 6x+9 x 4 ) és f yy ( x,y )= e x 3 +3 y 2 ( 6+36 y 2 )
f yy ( x,y )= e x 3 +3 y 2 ( 6 x 2 +36 y 2 ) és f yy ( x,y )=6 e x 3 +3 y 2
6. kérdés: Legyen f( x,y )=ln( 4 x 2 +9 y 3 ) . Határozza meg az f y ( x,y ) és f xy ( x,y ) függvényeket!
f y ( x,y )= 27 y 2 4 x 2 +9 y 3 és f xy ( x,y )= 216x y 2 ( 4 x 2 +9 y 3 ) 2
f y ( x,y )= 1 4 x 2 +9 y 3 és f xy ( x,y )= 8x ( 4 x 2 +9 y 3 ) 2
f y ( x,y )= 27 y 2 4 x 2 +9 y 3 és f xy ( x,y )= 729 y 5 ( 4 x 2 +9 y 3 ) 2
f y ( x,y )= 27 y 2 4 x 2 +9 y 3 és f xy ( x,y )= 54y 4 x 2 +27y
Elméleti összefoglaló
A gradiensvektor

Definíció: Legyen az f( x,y ) függvény differenciálható az ( x 0 , y 0 ) pontban. Ekkor az f(x,y) függvény gradiensvektora (röviden gradiense) az ( x 0 , y 0 ) pontban az alábbi vektor:

gradf( x 0 , y 0 )=f( x 0 , y 0 )=( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ) ) .

Megjegyzés: Egy pontban a gradiens vektor az a vektor, amelynek irányába a függvény a leggyorsabban nő, az ezzel ellentétes irányba pedig a függvény a leggyorsabban csökken. A gradiensre merőleges két irányba a függvény a leglassabban változik.
A gradiensvektor merőleges a pontban átmenő szintvonalra!

Az iránymenti derivált

Definíció: Legyen az f( x,y ) függvény differenciálható az ( x 0 , y 0 ) pontban és legyen v( v 1 , v 2 ) egy tetszőleges, nem nulla vektor. Ekkor az f( x,y ) függvény v irányú deriváltja az ( x 0 , y 0 ) pontban:

f v ( x 0 , y 0 )= f x ( x 0 , y 0 ) v 1 v + f y ( x 0 , y 0 ) v 2 v = gradf( x 0 , y 0 ), v e ,

ahol v = v 1 2 + v 2 2 a v vektor hossza, v e pedig a v irányú egységvektor.

Megjegyzés: Ez lényegében a parciális derivált általánosítása. Az x szerinti parciális derivált a v( 1,0 ) irányú, az y szerinti parciális derivált pedig a v( 0,1 ) irányú iránymenti deriváltnak felel meg.

Az érintősík

Definíció: Legyen az f( x,y ) kétváltozós függvény deriválható az ( x 0 , y 0 ) pontban. Ekkor a felületet az ( x 0 , y 0 , z 0 ) pontban olyan sík érinti, melynek normálvektora n=( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ),1 ) , így az érintősík egyenlete:

f x ( x 0 , y 0 )( x x 0 )+ f y ( x 0 , y 0 )( y y 0 )1( z z 0 )=0 .

Megjegyzés: Ha ezt a formulát z-re rendezzük, akkor ez a sík tekinthető egy kétváltozós függvény grafikonjának. Hasonlóan az egyváltozós esethez, ez a sík az érintési pont közelében nagyon jól közelíti az eredeti függvényt, ezért tekinthető az f( x,y ) függvény ( x 0 , y 0 ) -beli linearizáltjának.

Kidolgozott feladatok

7. feladat: Határozzuk meg az f( x,y )=2 x 2 y+3x4 y függvény gradiensét az ( 1,9 ) pontban!

Megoldás: Először meg kell határoznunk a parciális deriváltak értékét az ( 1,9 ) pontban.

f x ( x,y )=4xy+3 f x ( 1,9 )=419+3=39

f y ( x,y )=2 x 2 4 1 2 y =2 x 2 2 y f y ( 1,9 )=2 1 2 2 9 =2 2 3 = 4 3 .

Ezek ismeretében már fel tudjuk írni a gradienst:

gradf( 1,9 )=( 39, 4 3 ) .

8. feladat: Határozzuk meg az f( x,y )=xln( xy ) függvény gradiensét a ( 2e,e ) pontban!

Megoldás

f ( x,y )=1ln( xy )+x 1 xy 1=ln( xy )+ x xy f x ( 2e,e )=ln( 2ee )+ 2e 2ee =1+2=3

gradf( 2e,e )=( 3,2 ) .

9. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )=2x y 3 3x+y függvény v( 1,2 ) irányú iránymenti deriváltját az ( 1,0 ) pontban!

Megoldás: Először határozzuk meg a függvény gradiensét ebben a pontban.

f x ( x,y )=2 y 3 3 f x ( 1,0 )=03=3

f y ( x,y )=6x y 2 +1 f y ( 1,0 )=0+1=1

gradf( 1,0 )=( 3,1 ) .

Szükségünk van a  v( 1,2 )  irányú egységvektorra:

v = 1 2 + 2 2 = 5 v e ( 1 5 , 2 5 ) .

Minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy az iránymenti deriváltat ki tudjuk számolni:

f v ( 1,0 )= ( 3,1 ),( 1 5 , 2 5 ) = 3 5 + 2 5 = 1 5 .

10. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )=x e y y e x függvény v( 3,4 ) irányú iránymenti deriváltját az ( 1,1 ) pontban!

Megoldás: Először határozzuk meg a függvény gradiensét az adott pontban.

f x ( x,y )= e y y e x f x ( 1,1 )= e 1 ( e )= 1 e +e

f y ( x,y )=x e y e x f y ( 1,1 )=1 e 1 e= 1 e e .

gradf( 1,1 )=( 1 e +e, 1 e e ) .

Szükségünk lesz a v( 3,4 ) irányú egységvektorra:

v = 3 2 + ( 4 ) 2 = 25 =5 v e ( 3 5 , 4 5 ) .

A keresett iránymenti derivált:

f v ( 1,1 )= ( 1 e +e, 1 e e ),( 3 5 , 4 5 ) = 3 5e + 3 5 e 4 5e + 4 5 e= 1 5e + 7 5 e3,73 .

11. feladat: Írjuk fel az f( x,y )=2 x 2 +2 y 2 +y függvény érintősíkjának egyenletét a ( 1,1 ) pontban!

Megoldás: Először határozzuk meg az érintési pont z 0 =f( x 0 , y 0 ) harmadik koordinátáját:

z 0 =f( 1,1 )=2 ( 1 ) 2 +2 1 2 +1=2+2+1=5 .

Most határozzuk meg a parciális deriváltak értékeit az adott pontban:

f x ( x,y )=4x f x ( 1,1 )=4

f y ( x,y )=4y+1 f y ( 1,1 )=4+1=5 .

Eszerint olyan síkot keresünk, amelynek ismert pontja és normálvektora a következő:

P 0 ( 1,1,5 )n( 4,5,1 ) .

Így a keresett sík egyenlete:

4( x+1 )+5( y1 )1( z5 )=0 .

Rendezve a szokásos alakra:

4x+5yz=4 .

A feladat megoldását az ábra mutatja. A térbeli koordináta rendszer egy kicsit el van forgatva azért, hogy jobban látható legyen az érintősík.

Ellenőrző kérdések
7. kérdés Határozzuk meg az f( x,y )=2 x 3 y+ 3 x y függvény gradiensét az ( 8,1 ) pontban!
gradf( 8,1 )=( 56 3 ,5 )
gradf( 8,1 )=( 23 192 ,5 )
gradf( 8,1 )=( 23 192 , 35 8 )
gradf( 8,1 )=( 56 3 , 35 8 )
8. kérdés: Határozzuk meg az f( x,y )=yln( 4x5y ) függvény gradiensét a ( e,e ) pontban!
gradf( e,e )=( 4,6 )
gradf( e,e )=( 4,6 )
gradf( e,e )=( 6,1 )
gradf( e,e )=( 4,6 )
9. kérdés: Számítsuk ki az f( x,y )= x 2 y 3 +2yx függvény v( 8,15 ) irányú iránymenti deriváltját a ( 1,0 ) pontban!
f v = 38 17
f v = 22 17
f v = 8 17
f v = 30 17
10. kérdés: Írjuk fel az f( x,y )= x 3x y függvény érintősíkjának egyenletét az ( 1,1 ) pontban!
5x3y+2z=4
3x+5y+2z=4
5x+3y+2z=4
2x+3y+2z=4
11. kérdés: Írjuk fel az f( x,y )= x y függvény érintősíkjának egyenletét az ( 1,1 ) pontban!
x+yz=1
xy+z=1
xy+z=1
xyz=1
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározása

A kétváltozós függvények értelmezési tartományának belső pontjaiba eső szélsőértékeinek meghatározásával foglalkozunk, és azt is feltételezzük, hogy a függvények egy-egy ilyen pontban akárhányszor differenciálhatók.

Definíció: Legyen ( x 0 , y 0 ) az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Az ( x 0 , y 0 ) lokális maximum hely, ha van olyan ( x 0 , y 0 ) középpontú körlap, hogy ennek minden pontjában f( x,y )f( x 0 , y 0 ) .

Definíció: Legyen ( x 0 , y 0 ) az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Az ( x 0 , y 0 ) lokális minimum hely, ha van olyan ( x 0 , y 0 ) középpontú körlap, hogy ennek minden pontjában f( x 0 , y 0 )f( x,y ) .

A lokális maximum helyet és a lokális minimum helyet összefoglalva lokális szélsőérték helynek hívjuk. A lokális maximum helyen felvett értéket lokális maximumnak, a lokális minimum helyen felvett értéket pedig lokális minimumnak, a kettőt együtt lokális szélsőértéknek hívjuk.

Definíció: Az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük.

Tétel: Legyen ( x 0 , y 0 ) az f( x,y ) függvény értelmezési tartományának egy belső pontja. Ha az f( x,y ) függvénynek az ( x 0 , y 0 ) pontban lokális szélsőértéke van, és itt mindkét változó szerint parciálisan deriválható, akkor

f x ( x 0 , y 0 )=0 f y ( x 0 , y 0 )=0 .

Megjegyzés: Lokális szélsőérték hely csak stacionárius pont lehet. De nem minden stacionárius pont lesz lokális szélsőérték hely!

Ahhoz, hogy a stacionárius pontok közül ki tudjuk választani a szélsőérték helyeket, szükségünk lesz a Hesse-mátrix ismeretére.

Definíció: Az f( x,y ) kétváltozós függvény Hesse mátrixának a következő 2×2-es mátrixot nevezzük:

H( x,y )=( f xx ( x,y ) f xy ( x,y ) f yx ( x,y ) f yy ( x,y ) ) .

A Hesse mátrix mindig egy szimmetrikus mátrix. Ha kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, akkor a következő kifejezéshez jutunk:

D( x,y )= f xx ( x,y ) f yy ( x,y ) f xy ( x,y ) f yx ( x,y ) .

Tétel: Legyen ( x 0 , y 0 ) az f( x,y ) függvény egy stacionárius pontja. Ekkor

  • ha D( x 0 , y 0 )>0 és f xx ( x,y )>0 , akkor ( x 0 , y 0 ) lokális minimum hely,
  • ha D( x 0 , y 0 )>0 és f xx ( x,y )<0 , akkor ( x 0 , y 0 ) lokális maximum hely.
  • ha D( x 0 , y 0 )<0 , akkor ( x 0 , y 0 ) nyeregpont,
  • ha D( x 0 , y 0 )=0 , akkor az ( x 0 , y 0 ) pontról nem tudunk semmiféle megállapítást tenni.
Kidolgozott feladatok

12. feladat: Határozzuk meg az f( x,y )=2 x 2 +4 y 2 +2xy+6 függvény lokális szélsőérték helyeit!

Megoldás: Függvényünk mindenhol értelmezve van és mindenhol kétszer parciálisan deriválható is.

Első lépésként meg kell határozni az elsőrendű parciális deriváltakat.

f x ( x,y )=2x+2y

f y ( x,y )=8y+2x .

Utána ezeket egyenlővé téve nullával, meg kell oldani az így kapott egyenletrendszert. Az egyenletrendszer megoldásai adják a stacionárius pontokat, amelyek a lehetséges szélsőérték helyek. Azaz:

4x+2y=0 8y+2x=0 }

Ha az első egyenletből kivonjuk a második egyenlet kétszeresét, akkor

2y16y=0y=0x=0

Tehát most egyetlen egy stacionárius pontot kaptunk: P( 0,0 ) .

Most el kell döntenünk, hogy ez a stacionárius pont szélsőérték hely lesz-e. Ehhez előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat, majd felírjuk a Hesse mátrix determinánsát.

f xx ( x,y )=4

f xy ( x,y )=2

f yx ( x,y )=2

f yy ( x,y )=8 .

H( 0,0 )=( 4 2 2 5 )D( x,y )=4822=28>0 .

Mivel a determináns pozitív és f xx ( 0,0 )=4>0 , ezért a P( 0,0 ) egy lokális minimum hely. A minimum értéke ebben a pontban:

f( 0,0 )=6 .

A függvény grafikonja:

13. feladat: Határozzuk meg az f( x,y )=3 x 2 30x+ y 3 6xy15y+8 függvény lokális szélsőérték helyeit!

Megoldás: Első lépés az elsőrendű parciális deriváltak előállítása:

f x ( x,y )=6x306y

f y ( x,y )=3 y 2 6x15

Második lépésként stacionárius pontokat keresünk az alábbi egyenletrendszert megoldva:

6x306y=0 3 y 2 6x15=0 } .

Az első egyenletből fejezzük ki x-et:

6x306y=0x=5+y .

Az így kapott kifejezést helyettesítsük be a második egyenletbe, majd rendezzünk:

3 y 2 6( 5+y )15=03 y 2 6y45=0 y 2 2y15=0 .

Egy másodfokú egyenlethez jutunk. A megoldóképletből y 1 =5 és y 2 =3 értékeket kapjuk. Mindegyikhez kiszámoljuk a neki megfelelő x értéket is. Eszerint két stacionárius pontot kapunk: P 1 ( 10,5 ) és P 1 ( 2,3 ) .

Előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat és a Hesse mátrixot:

f xx =6 f xy =6 f yx =6 f yy =6y .

H( x,y )=( 6 6 6 6y )D( x,y )=36y36 .

A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőértéke helyek-e vagy sem.

D( 10,5 )=36536=144>0 és f xx =6>0 , ezért a P 1 ( 10,5 ) lokális minimum hely.

D( 2,3 )=36( 3 )36=144<0 , ezért a P 1 ( 2,3 ) pont nyeregpont.

14. feladat: Keressük meg az f( x,y )=2+xy x 3 y 2 függvény lokális szélsőérték helyeit!

Megoldás: Ugyanazt az utat követjük, mint az előző feladatban. Először a stacionárius pontok megkereséséhez előállítjuk az elsőrendű parciális deriváltakat.

f x ( x,y )=y3 x 2

f y ( x,y )=x2y .

Második lépésként stacionárius pontokat keresünk az alábbi egyenletrendszert megoldva:

y3 x 2 =0 x2y=0 } .

A második egyenletből kifejezzük az x változó, majd ezt a kifejezést az első egyenletbe visszahelyettesítve, a kapott másodfokú egyenletet megoldjuk:

x=2yy3 ( 2y ) 2 =0y12 y 2 =0

Ez egy hiányos másodfokú egyenlet, amit szorzattá alakítással oldunk meg, kihasználva, hogy egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

y12 y 2 =0y( 112y )=0 y 1 =0 y 2 = 1 12 .

Eszerint két stacionárius pontot kapunk:

y 1 =0 x 1 =0 P 1 ( 0,0 )

y 2 = 1 12 x 2 = 1 6 P 1 ( 1 6 , 1 12 ) .

Most meg kell vizsgálnunk, hogy ezen stacionárius pontok valóban szélsőérték helyek-e. Ehhez szükségünk lesz a másodrendű parciális deriváltakra.

f xx ( x,y )=6x

f xy ( x,y )=1

f yx ( x,y )=1

f yy ( x,y )=2

A másodrendű deriváltakból felírjuk a Hesse-mátrixot:

H( x,y )=( 6x 1 1 2 )D( x,y )=12x1 .

A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőértéke helyek-e vagy sem.

D( 0,0 )=1201=1<0 , ezért a P 1 ( 0,0 ) pont nyeregpont.

D( 1 6 , 1 12 )=12 1 6 1=1>0 és f xx =1<0 , ezért a P 1 ( 1 6 , 1 12 ) lokális maximum hely. Ebben a pontban a függvény értéke:

f( 1 6 , 1 12 )=2+ 1 6 1 12 ( 1 6 ) 3 ( 1 12 ) 2 = 865 432 .

Ellenőrző kérdések
12. kérdés: Keressük meg az f( x,y )=3 ( x+2 ) 2 +4 ( y1 ) 2 függvény lokális szélsőérték helyeit!
P( 2,1 ) lokális minimum hely
P( 2,1 ) lokális maximum hely
P( 2,1 ) nyeregpont
nincs lokális szélsőértéke.
13. kérdés: Keressük meg az f( x,y )= x 3 3xy y 3 függvény lokális szélsőérték helyeit!
P( 0,0 ) lokális maximum hely
P( 0,0 ) lokális minimum hely
P( 1,1 ) lokális maximum hely
P( 1,1 ) nyeregpont
14. kérdés: Az f( x,y )= x 3 12x+ y 3 12y függvénynek
két stacionárius pontja van.
három stacionárius pontja van.
két lokális minimuma van.
egy lokális minimuma és egy lokális maximuma van.
15. kérdés: Az f( x,y )=62xy x 3 y 3 függvénynek
1 stacionárius pontja van.
2 lokális minimuma van.
1 lokális maximuma van.
nincs szélsőértéke.
Összetett feladatok

15. feladat: Számítsuk ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit:

f( x,y )=( 4 x 2 y 3 x )ln( 2 x 2 5y ) .

Megoldás: Ebben a feladatban egy szorzatot kell parciálisan deriválni, ráadásul a második tényező összetett függvény.

Alkalmazva az egyváltozós függvényeknél a szorzat deriváltjára tanult szabályt:

f ( x,y )=( x ( 4 x 2 y 3 x ) )ln( 2 x 2 5y )+( 4 x 2 y 3 x ) x ( ln( 2 x 2 5y ) )=

=( 8xy 3 x ln3 )ln( 2 x 2 5y )+( 4 x 2 y 3 x ) 1 2 x 2 5y 4x .

f y ( x,y )=( y ( 4 x 2 y 3 x ) )ln( 2 x 2 5y )+( 4 x 2 y 3 x ) y ( ln( 2 x 2 5y ) )=

=4 x 2 ln( 2 x 2 5y )+( 4 x 2 y 3 x ) 1 2 x 2 5y ( 5 ) .

16. feladat: Számítsuk ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit:

f( x,y )= 2x y 2 4 y 2 x 2 y 3 +x .

Megoldás: Ebben a feladatban egy törtet kell parciálisan deriválni, ráadásul a számláló egy összetett függvény.

Alkalmazva az egyváltozós függvényeknél a hányados deriváltjára tanult szabályt:

f x = x f( x,y )= ( x 2x y 2 4 y 2 )( x 2 y 3 +x ) 2x y 2 4 y 2 ( x ( x 2 y 3 +x ) ) ( x 2 y 3 +x ) 2 =

= 1 2 2x y 2 4 y 2 ( 2 y 2 )( x 2 y 3 +x ) 2x y 2 4 y 2 ( 2x y 3 +1 ) ( x 2 y 3 +x ) 2 .

f y = y f( x,y )= ( y 2x y 2 4 y 2 )( x 2 y 3 +x ) 2x y 2 4 y 2 ( y ( x 2 y 3 +x ) ) ( x 2 y 3 +x ) 2 =

= 1 2 2x y 2 4 y 2 ( 4xy8y )( x 2 y 3 +x ) 2x y 2 4 y 2 ( 3 x 2 y 2 ) ( x 2 y 3 +x ) 2 .

17. feladat: Határozzuk meg az f( x,y )=ln x 2 + y 2 függvény gradiensét a ( 4,3 ) pontban!

Megoldás: Végezzünk algebrai átalakításokat a deriválás előtt.

f( x,y )=ln x 2 + y 2 =ln ( x 2 + y 2 ) 1 2 = 1 2 ln( x 2 + y 2 ) .

Most kiszámolva a parciális deriváltak értékeit:

f x ( x,y )= 1 2 1 x 2 + y 2 2x= x x 2 + y 2 f x ( 4,3 )= 4 ( 4 ) 2 + 3 2 = 4 25

f y ( x,y )= 1 2 1 x 2 + y 2 2y= y x 2 + y 2 f ( 4,3 ) y = 3 ( 4 ) 2 + 3 2 = 3 25 .

A parciális deriváltak értékeiből már elő tudjuk állítani a gradienst:

gradf( 4,3 )=( 4 25 , 3 25 ) .

18. feladat: Határozzuk meg az f( x,y )=x e yx függvény gradiensét a ( 2,1 ) pontban!

Megoldás: Először a parciális deriváltakat kell kiszámolni. A deriválás során használnunk kell a szorzatra és az összetett függvényre vonatkozó deriválási szabályokat is:

f x ( x,y )=1 e yx +x e yx ( 1 )= e yx ( 1x ) f x ( 2,1 )= e 12 ( 12 )= e 1 = 1 e

f y ( x,y )=x e yx 1=x e yx f y ( 2,1 )=2 e 12 =2 e 1 = 2 e .

Ezek ismeretében már elő tudjuk állítani a gradienst a ( 2,1 ) pontban:

gradf( 2,1 )=( 1 e , 2 e ) .

19. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )=x e 2x +y e 2y függvény v( 5,12 ) irányú iránymenti deriváltját az ( 1,2 ) pontban!

Megoldás: Először meg kell határoznunk a gradiens vektort az adott pontban. A parciális deriváltak meghatározásánál alkalmaznunk kell a szorzat függvény és az összetett függvény deriválási szabályát:

f x ( x,y )= e 2x +2x e 2x f x ( 1,2 )= e 2 +21 e 2 =3 e 2

f y ( x,y )= e 2y 2y e 2y f y ( 1,2 )= e 4 22 e 4 =3 e 4 .

Eszerint a gradiens vektor az ( 1,2 ) pontban:

gradf( 1,2 )=( 3 e 2 ,3 e 4 ) .

Szükségünk van a v(5,12) irányú egységvektorra:

v = 5 2 + 12 2 = 169 =13 v e ( 5 13 , 12 13 ) .

Minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy az iránymenti deriváltat ki tudjuk számolni:

f v (1,2)= ( 3 e 2 ,3 e 4 ),( 5 13 , 12 13 ) = 15 13 e 2 36 13 e 4 8,48 .

20. feladat: Számítsuk ki az f( x,y )= ( 2x+y ) 4 függvény v( 3,4 ) irányú iránymenti deriváltját a ( 2,1 ) pontban!

Megoldás: Első lépés a gradiens előállítása az adott pontban:

f x ( x,y )=4 ( 2x+y ) 3 2=8 ( 2x+y ) 3 f x ( 2,1 )=8 ( 4+1 ) 3 =1000

f y ( x,y )=4 ( 2x+y ) 3 1=4 ( 2x+y ) 3 f y ( 2,1 )=4 ( 4+1 ) 3 =500 s

gradf( 2,1 )=( 1000,500 ) .

Szükségünk van a v( 3,4 ) irányú egységvektorra:

v = 3 2 + ( 4 ) 2 = 25 =5 v e ( 3 5 , 4 5 ) .

Ekkor a keresett iránymenti derivált:

f v ( 2,1 )= ( 1000,500 ),( 3 5 , 4 5 ) =600400=200 .

21. feladat: Írjuk fel az f( x,y )= 64 x 2 4y függvény érintősíkjának egyenletét a ( 6,3 ) pontban!

Megoldás: Elsőként határozzuk meg az érintési pont z 0 =f( x 0 , y 0 ) harmadik koordinátáját:

z 0 =f( 6,3 )= 64 6 2 43 = 16 =4 .

Most számítsuk ki a parciális deriváltak értékeit a ( 6,3 ) pontban. A függvény mindkét változója szerint összetett függvény.

f x ( x,y )= 1 2 64 x 2 4y ( 2x )= x 64 x 2 4y f x ( 6,3 )= 6 64 6 2 43 = 6 4 = 3 2

f y ( x,y )= 1 2 64 x 2 4y ( 4 )= 2 64 x 2 4y f y ( 6,3 )= 2 64 6 2 43 = 2 4 = 1 2

Eszerint olyan síkot keresünk, amelynek ismert pontja és normálvektora a következő:

P 0 ( 6,3,4 )n( 3 2 , 1 2 ,1 ) .

Tehát a keresett sík egyenlete:

3 2 ( x6 ) 1 2 ( y3 )1( z4 )=0 .

Rendezve a szokásos alakra:

3xy2z=29 .

22. feladat: Keressük meg az f( x,y )=4 x 2 e y 2 x 4 e 4y függvény lokális szélsőérték helyeit!

Megoldás: Az f( x,y ) függvény ebben a feladatban is folytonos második deriváltakkal rendelkezik, és értelmezési tartománya a teljes sík, így szélsőértéke csak a stacionárius pontokban lehet. A stacionárius pontokat meghatározó elsőrendű parciális deriváltak:

f x ( x,y )=8x e y 8 x 3

f y ( x,y )=4 x 2 e y 4 e 4y .

A stacionárius pontokat megadó egyenletrendszer:

8x e y 8 x 3 =0 4 x 2 e y 4 e 4y =0 } .

Az első egyenletet alakítsuk szorzattá:

8x( e y x 2 )=0 .

Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, tehát első esetben:

8x=0x=0 .

Ezt behelyettesítve a második egyenletbe:

40 e y 4 e 4y =04 e 4y =0 ,

ami soha nem teljesül, mivel e-t bármire is emeljük, mindig pozitív számot kapunk eredményül. Tehát ezen az ágon az egyenletrendszernek megoldása nincs.

Második esetben a szorzat második tényezője legyen nulla:

e y x 2 =0 e y = x 2 .

Ezt behelyettesítve a második egyenletbe:

4 x 2 x 2 4 ( x 2 ) 4 =04 x 4 4 x 8 =0x=±1 .

Az egyenletből még az x=0 eredmény is kiszámolható, de azt már az előző részben láttuk, hogy nem lesz megoldás.

Visszahelyettesítve a kapott eredményt:

x=±1 e y =1y=0 .

Eszerint két stacionárius pont van:

P 1 ( 1,0 ) és P 2 ( 1,0 ) .

Következő lépésben előállítjuk a másodrendű parciális deriváltakat és a Hesse mátrixot.

f xx ( x,y )=8 e y 24 x 2

f xy ( x,y )=8x e y

f yx ( x,y )=8x e y

f yy ( x,y )=4 x 2 e y 16 e 4y

H( x,y )=( 8 e y 24 x 2 8x e y 8x e y 4 x 2 e y 16 e 4y )D( x,y )=( 8 e y 24 x 2 )( 4 x 2 e y 16 e 4y ) ( 8x e y ) 2 .

Most a stacionárius pontok vizsgálata következik:

D( 1,0 )=( 824 )( 416 ) ( 8 ) 2 =128>0 és f xx ( 1,0 )=16<0 ,

ezért a P 1 ( 1,0 ) pontban maximum hely van. A maximum értéke: f( 1,0 )=1 .

D( 1,0 )=( 824 )( 416 ) ( 8 ) 2 =128>0 és f xx ( 1,0 )=16<0

ezért a P 2 ( 1,0 ) pontban is maximum hely van. A maximum értéke: f( 1,0 )=1 .

23. feladat: Határozza meg az f( x,y )= x 2 + y 2 + 2 xy függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás: Mivel a függvény nevezőjében szerepel x és y, ezért az értelmezési tartomány a teljes sík, kivéve a két koordináta tengely pontjai. Ahol a függvény értelmezve van, ott a parciális deriváltjai is léteznek.

f x ( x,y )=2x 2 x 2 y

f y ( x,y )=2y 2 x y 2 .

Meg kell oldani az alábbi egyenletrendszert:

2x 2 x 2 y =0 2y 2 x y 2 =0 } .

Az első egyenletből y= 1 x 3 kapható, ezt behelyettesítve a második egyenletbe:

2 1 x 3 2 x 1 x 6 =0 2 x 3 2 x 5 =0 x 8 =1

egyenlethez jutunk. Ennek két valós gyöke van, az x 1 =1 és az x 2 =1 . A megfelelő y értékek rendre: y 1 =1 és y 2 =1 . Ennek megfelelően két stacionárius pont van:

P 1 ( 1,1 ) és P 2 ( 1,1 ) .

Következnek a másodrendű parciális deriváltak és a Hesse mátrix:

f xx ( x,y )=2+ 4 x 3 y

f xy ( x,y )= 2 x 2 y 2

f yx ( x,y )= 2 x 2 y 2

f yy ( x,y )=2+ 4 x y 3 .

H( x,y )=( 2+ 4 x 3 y 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2+ 4 x y 3 )D( x,y )=( 2+ 4 x 3 y )( 2+ 4 x y 3 ) ( 2 x 2 y 2 ) 2 .

A stacionárius pontok vizsgálata:

D( 1,1 )=( 2+4 )( 2+4 ) ( 2 ) 2 =32>0 és f xx ( 1,1 )=6>0 ,

ezért a P 1 ( 1,1 ) pont minimum hely. A minimum értéke f( 1,1 )=4 .

D( 1,1 )=( 2+4 )( 2+4 ) ( 2 ) 2 =32>0 és f xx ( 1,1 )=6>0 ,

ezért a P 2 ( 1,1 ) pont is minimum hely. A minimum értéke: f( 1,1 )=4 .

24. feladat: Bontsa fel a 12 -t három részre úgy, hogy a kapott számok szorzata maximális legyen!

Megoldás: Legyen a keresett három rész: x, y és 12xy . Képezzük ezek szorzatát, mivel ezek szorzatának maximumát keressük. Az így kapott szorzat valójában egy kétváltozós függvény.

f( x,y )=xy( 12xy )=12xy x 2 yx y 2 .

A szélsőérték meghatározása a szokásos módon történik.

f x ( x,y )=12y2xy y 2

f y ( x,y )=12x x 2 2xy .

12y2xy y 2 =0 12x x 2 2xy=0 }

Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat, majd alakítsunk szorzattá:

12y12x y 2 + x 2 =012( xy )+( xy )( x+y )=0( xy )( x+y12 )=0

Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz

xy=0x=y

vagy

x+y12=0x=12y

Ha x=y , akkor ezt behelyettesítve az első egyenletbe

12y2 y 2 y 2 =012y3 y 2 =0 y 1 =0, y 2 =4 .

A kapott értékeket visszahelyettesítve:

y 1 =0 x 1 =0 y 2 =4 x 2 =4

Tehát ezen az ágon két stacionárius pontot kaptunk:

P 1 ( 0,0 ) P 2 ( 4,4 )

Ha x=12y , akkor ezt behelyettesítve az első egyenletbe:

12y2( 12y )y y 2 =0 y 2 12y=0 .

Megoldva a kapott másodfokú egyenletet, majd a kapott eredményt visszahelyettesítve:

y 3 =0 x 3 =12 y 4 =12 x 4 =0 .

Ezen az ágon további két stacionárius pontot kaptunk:

P 3 ( 12,0 ) P 4 ( 0,12 )

Írjuk fel a Hesse-mátrixot.

f xx ( x,y )=2y

f xy ( x,y )=122x2y

f yx ( x,y )=122x2y

f yy ( x,y )=2x

H( x,y )=( 2y 122x2y 122x2y 2x )D( x,y )=4xy ( 122x2y ) 2 .

A stacionárius pontokat egyenként megvizsgáljuk, hogy el tudjuk róluk dönteni, hogy szélsőérték helyek-e vagy sem.

D( 0,0 )=400 ( 1200 ) 2 =144<0 , ezért a P 1 ( 0,0 ) pont nyeregpont.

D( 4,4 )=444 ( 1244 ) 2 =6416=48>0 és f xx ( x,y )=8<0 , ezért a P 2 ( 4,4 ) pont lokális maximum hely.

D( 12,0 )=4120 ( 122120 ) 2 =144<0 , ezért a P 3 ( 12,0 ) pont nyeregpont.

D( 0,12 )=4012 ( 12024 ) 2 =144<0 , ezért a P 4 ( 0,12 ) pont is nyeregpont.

Tehát a keresett három rész: 4, 4 és 4, azaz a 12-t három egyenlő részre kell osztani ahhoz, hogy ezek szorzata maximális legyen.

Ellenőrző kérdések
16. kérdés: Legyen f( x,y )= e x 2 y ln( xy ) . Mivel egyenlő f x ( x,y ) ?
e x 2 y ( 2xyln( xy )+ 1 x )
e x 2 y ( 2xln( xy )+ 1 x )
e x 2 y ( 2xyln( xy )+ 1 y )
e x 2 y ( 2xln( xy )+ 1 x )
17. kérdés: Legyen f( x,y )=xsin( 2x+5y )+ycos( xy ) . Mivel egyenlő f x ( x,y ) ?
cos( 2x+5y )ysin( xy )
sin( 2x+5y )+2xcos( 2x+5y )sin( xy )
sin( 2x+5y )+2xcos( 2x+5y )ysin( xy )
sin( 2x+5y )+2xcos( 2x+5y )+ysin( xy )
18. kérdés: Legyen f( x,y )=sin( xy )+cos( xy ) . Határozzuk meg a gradiens értékét a ( π 2 ,1 ) pontban?
gradf( π 2 ,1 )=( 0, π 2 )
gradf( π 2 ,1 )=( 1, π 2 )
gradf( π 2 ,1 )=( 1, π 2 )
gradf( π 2 ,1 )=( 1,0 )
19. kérdés: Számítsuk ki az f( x,y )= 4x+3 y 2 függvény v( 1,1 ) irányú iránymenti deriváltját az ( 1,1 ) pontban!
1 14
1 14
5 7
5 14
20. kérdés: Írjuk fel az f( x,y )= e x 2 y 3 függvény érintősíkjának egyenletét a ( 1,1 ) pontban!
2x+3y+z=2
2x3y=1
2x3yz=2
2x3y+z=2
21. kérdés::Írjuk fel az f( x,y )= 2x+y x2y függvény érintősíkjának egyenletét az ( 1,1 ) pontban!
5x+5y+9z=3
5x5y+9z=0
5x+5y9z=3
5x5y+9z=3
22. kérdés: Az f( x,y )=2 x 3 y+2xy3 y 2 függvénynek
2 stacionárius pontja van.
2 lokális maximuma van.
1 lokális maximuma van.
nyeregpontja van.