KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Többváltozós függvények

6. lecke: Gradiens vektor, iránymenti deriválás

Tanulási cél: Az iránymenti derivált kiszámolása és a gradiens vektor előállítása.

Motivációs példa

Egy üzem kétféle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a

C( Q 1 , Q 2 )= Q 1 2 3 Q 1 Q 2 +5 Q 2 2 10 Q 1 18 Q 2 +150,     Q 1 , Q 2 0  és   Q 1 , Q 2

költségfüggvény adja, ahol Q 1 az egyik, Q 2 pedig a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értendő.

Tegyük fel, hogy a Q 1 -gyel jelölt termékből q 1 , a Q 2 termékből pedig q 2 tonnát gyártanak. Hogyan változik a költségfüggvény, ha a Q 1 és Q 2 termék mennyiségét valamely u ¯ =( u 1 , u 2 ) irány mentén megváltoztatjuk?

Hogyan kellene változtatni a termékek mennyiségén, hogy a költség a lehetséges legnagyobb mértékben csökkenjen?

Ahogy az előző leckében, itt is a változás mértékét szeretnénk mérni. Kétváltozós függvénynek két független változója különböző módon is változhat. Ebben a leckében arra adunk választ, hogy ezek együttes hatását hogyan lehet számolni.

Elméleti összefoglaló

Az iránymenti derivált egy adott pontból kiindulva a függvény változását méri egy adott irány mentén. Segítségével azt tudjuk vizsgálni, hogy egy adott pontból kiindulva melyik az az irány, amely mentén a függvény értékei a leggyorsabban változnak. Az iránymenti derivált a gradiens vektor irányában a legnagyobb. A gradiens vektor tehát egy adott pontban a függvény legnagyobb növekedésének irányába mutat. Ellentett vektora pedig a legnagyobb csökkenés irányát adja meg.

Az ábrán az f(x,y)= x 2 + y 2 függvény és a ( 2,1 ) ponthoz tartozó gradiens vektor látható.

Az ábrán az f(x,y)= x 2 +1 függvény és a ( 2,0 ) ponthoz tartozó gradiens vektor látható.

Legyen f: 2   függvény (x,y) pontban differenciálható, ekkor (x,y) pontjához tartozó gradiense az a grad f(x,y) -nal vagy f(x,y) -nal jelölt vektor, amelyre teljesül, hogy

f(x,y)=grad f(x,y)=( f x , f y )

Legyen az f: 2 függvény differenciálható, az értelmezési tartomány (x,y) pontjában és annak valamely környezetében. Ekkor az f függvény u ¯ =( u 1 , u 2 ) irányú iránymenti deriváltja az (x,y) pontban:

f u ¯ (x,y)= f(x,y), u ¯ u ¯ = f x u 1 u ¯ + f y u 2 u ¯

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)= x 2 +xy+ y 2 kétváltozós függvény gradiensét a (1,2) pontban!

Megoldás: Első lépésként ki kell számolnunk a parciális deriváltakat, utána pedig be kell helyettesítenünk a megadott pont koordinátáit.

Az x szerinti parciális derivált:

f x (x,y)= f x =2x+y

Az y szerinti parciális derivált:

f y (x,y)= f y =x+2y

Így tehát a függvény gradiense az (x,y) pontban:

f(x,y)=gradf(x,y)=( f x , f y )=( 2x+y,x+2y )

Mivel mi a gradiens (1,2) pontban felvett értékére vagyunk kíváncsiak, így határozzuk meg a parciális deriváltak helyettesítési értékeit:

f(1,2)=grad f(1,2)=( 2(1)+2,1+22 )=(0,3)

2. feladat: Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)=sin(3x y 2 ) függvény gradiensét a (2,1) pontban!

Megoldás: Ez a függvény egy összetett függvény. A külső függvény a szinusz függvény a belső függvény pedig 3x y 2 . Először deriváljuk a külső függvényt a belső függvény szerint, majd utána a belső függvényt kell deriválni a megfelelő változó szerint.

Kezdjük az x szerinti parciális deriválttal:

f x (x,y)= f x =cos(3x y 2 )3 y 2

Az y szerinti parciális derivált:

f y (x,y)= f y =cos(3x y 2 )6xy

Így tehát a függvény gradiense az (x,y) pontban:

f(x,y)=gradf(x,y)=( f x , f y )=( cos(3x y 2 )3 y 2 ,cos(3x y 2 )6xy )

Mivel mi a gradiens (2,1) pontban felvett értékére vagyunk kíváncsiak, így határozzuk meg a parciális deriváltak helyettesítési értékeit:

f(2,1)=gradf(2,1)=( cos(32 1 2 )3 1 2 ;cos(32 1 2 )621 )=(2,88;11,52)

Megjegyzés: Ügyeljünk arra, hogy a cos6 számolásánál a szög, mivel egy valós szám, radiánban értendő. ( cos6cos 6 )

3. feladat: Határozza meg az  f: 2 ,f(x,y)=xln(x+y)  kétváltozós függvény gradiensét a (3,2) pontban!

Megoldás: Első lépésként ki kell számolnunk a parciális deriváltakat, utána pedig be kell helyettesítenünk a megadott pont koordinátáit.

Az x szerinti parciális derivált:

f x =1ln(x+y)+x 1 x+y =ln(x+y)+ x x+y

És az y szerinti parciális derivált:

f y =x 1 x+y = x x+y

Így tehát

f(x,y)=gradf(x,y)=( f x , f y )=( ln(x+y)+ x x+y , x x+y )

A gradiens ( 3,2 ) pontban felvett értéke:

f(3,2)=grad f(3,2)=( ln(32)+ 3 32 , 3 32 )=(3,3)

4. feladat: Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)= y 2 x 2 +y kétváltozós függvény gradiensét a (2,3) pontban!

Megoldás: Nyilvánvaló, hogy

f(x,y)= y 2 x 2 +y = y 2 ( x 2 +y) 1 2

Elsőször számoljuk ki a parciális deriváltakat, utána pedig behelyettesítjük a megadott pont koordinátáit.

Az x szerinti parciális derivált:

f x = y 2 1 2 ( x 2 +y) 1 2 2x= x y 2 x 2 +y

És az y szerinti parciális derivált:

f y =2y ( x 2 +y) 1 2 + y 2 1 2 ( x 2 +y) 1 2 1=2y x 2 +y + y 2 2 x 2 +y

Így tehát

f(x,y)=grad f(x,y)=( f x , f y )=( x y 2 x 2 +y ,2y x 2 +y + y 2 2 x 2 +y )

A gradiens ( 2,3 ) pontban felvett értéke:

f(2,3)=grad f(2,3)=( 2 (3) 2 2 2 +(3) ,2(3) 2 2 +(3) + (3) 2 2 2 2 +(3) )=( 18, 9 2 )

5. feladat: Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)= x y 2 2 x 2 + y 2 kétváltozós függvény gradiensét a (0,1) pontban!

Megoldás: Elsőször számoljuk ki a parciális deriváltakat, ügyelve arra, hogy egy törtet deriválunk.

Az x szerinti parciális derivált:

f x = y 2 ( 2 x 2 + y 2 )x y 2 4x ( 2 x 2 + y 2 ) 2 = y 2 ( 2 x 2 + y 2 ) ( 2 x 2 + y 2 ) 2

És az y szerinti parciális derivált:

f y = 2xy( 2 x 2 + y 2 )x y 2 2y ( 2 x 2 + y 2 ) 2 = 4 x 3 y ( 2 x 2 + y 2 ) 2

Így tehát

f(x,y)=grad f(x,y)=( f x , f y )=( y 2 ( 2 x 2 + y 2 ) ( 2 x 2 + y 2 ) 2 , 4 x 3 y ( 2 x 2 + y 2 ) 2 )

A gradiens ( 0,1 ) pontban felvett értéke:

f(0,1)=grad f(0,1)=( 1 2 ( 2 0 2 + 1 2 ) ( 2 0 2 + 1 2 ) 2 , 4 0 3 1 ( 2 0 2 + 1 2 ) 2 )=( 1,0 )

6. feladat: Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)=2x y 2 y kétváltozós függvény u ¯ =(1,2) irányú iránymenti deriváltját az (x,y) pontban!

Megoldás: Először számoljuk ki az irányvektor hosszát.

u ¯ = 1 2 + 2 2 = 5

Számoljuk ki az x szerinti parciális deriváltat:

f x (x,y)= f x =2 y 2

Az y szerinti parciális derivált:

f y ( x,y )= f y =4xy1

Így az u ¯ =(1,2) irányú iránymenti derivált az ( x,y ) pontban: f u ¯ (x,y)= f x u 1 u ¯ + f y u 2 u ¯ =2 y 2 1 5 +( 4xy1 ) 2 5 = 2 y 2 +8xy2 5

7. feladat: Határozza meg az  f: 2 ,f(x,y)=2x y 2 y  kétváltozós függvény u ¯ =(1,2) irányú iránymenti deriváltját az (1,1) pontban!

Megoldás: Az előbbi eredményt felhasználva az u ¯ =(1,2)  irányú iránymenti derivált az (1,1) pontban:

f u ¯ (1,1)=2 ( 1 ) 2 1 5 +( 41( 1 )1 ) 2 5 = 8 5 .

8. feladat: Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= ( x 3 y) 2 kétváltozós függvény u ¯ =(1,1) irányú iránymenti deriváltját az (1,1) pontban!

Megoldás: Először számoljuk ki az irányvektor hosszát.

u ¯ = ( 1 ) 2 + 1 2 = 2

f(x,y)= ( x 3 y) 2 = x 6 y 2

Számoljuk ki az x szerinti parciális deriváltat:

f x (x,y)= f x =6 x 5 y 2

Az y szerinti parciális derivált:

f y ( x,y )= f y =2 x 6 y

Így az u ¯ =(1,1)  irányú iránymenti derivált az ( x,y ) pontban:

f u ¯ (x,y)= f x u 1 u ¯ + f y u 2 u ¯ =6 x 5 y 2 1 2 +2 x 6 y 1 2

Így az u ¯ =(1,1) irányú iránymenti derivált az ( 1,1 ) pontban:

f u ¯ (1,1)=6 1 5 ( 1 ) 2 1 2 +2 1 6 ( 1 ) 1 2 = 8 2

9. feladat: Határozza meg az  kétváltozós függvény u ¯ =(5,2) irányú iránymenti deriváltját a (0,0) pontban!

Megoldás: Számoljuk ki az irányvektor hosszát.

u ¯ = ( 5 ) 2 + 2 2 = 29

A parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x = e y y e x

f y ( x,y )= f y =x e y e x

Tehát az u ¯ =(5,2) irányú iránymenti derivált az ( x,y ) pontban:

f u ¯ (x,y)= f x u 1 u ¯ + f y u 2 u ¯ =( e y y e x ) 5 29 +( x e y e x ) 2 29

Az u ¯ =(5,2) irányú iránymenti derivált a ( 0,0 ) pontban:

f u ¯ (0,0)=( e 0 0 e 0 ) 5 29 +( 0 e 0 e 0 ) 2 29 = 7 29

10. feladat: Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= ( y+3x ) 4 kétváltozós függvény u ¯ =(3,1) irányú iránymenti deriváltját az (1,1) pontban!

Megoldás: Számoljuk ki az irányvektor hosszát.

u ¯ = 3 2 + ( 1 ) 2 = 10

A parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x =4 ( y+3x ) 3 3=12 ( y+3x ) 3

f y ( x,y )= f y =4 ( y+3x ) 3 1=4 ( y+3x ) 3

Tehát az u ¯ =(3,1) irányú iránymenti derivált az ( x,y ) pontban:

f u ¯ (x,y)= f x u 1 u ¯ + f y u 2 u ¯ =12 ( y+3x ) 3 3 10 +4 ( y+3x ) 3 1 10

Az u ¯ =(3,1) irányú iránymenti derivált a ( 1,1 ) pontban:

f u ¯ (1,1)=12 ( 1+3( 1 ) ) 3 3 10 +4 ( 1+3( 1 ) ) 3 1 10 = 256 10

11. feladat: Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= xy x+y kétváltozós függvény u ¯ =(1,1) irányú iránymenti deriváltját a (2,1) pontban!

Megoldás: Számoljuk ki az irányvektor hosszát.

u ¯ = ( 1 ) 2 + 1 2 = 2

A parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x = 1( x+y )( xy )1 ( x+y ) 2 = 2y ( x+y ) 2

f y ( x,y )= f y = 1( x+y )( xy )1 ( x+y ) 2 = 2x ( x+y ) 2

Tehát az u ¯ =(1,1) irányú iránymenti derivált az ( x,y ) pontban:

f u ¯ (x,y)= f x u 1 u ¯ + f y u 2 u ¯ = 2y ( x+y ) 2 1 2 + 2x ( x+y ) 2 1 2

Az u ¯ =(1,1) irányú iránymenti derivált a ( 2,1 ) pontban:

f u ¯ (2,1)= 21 ( 2+1 ) 2 1 2 + 22 ( 2+1 ) 2 1 2 = 6 9 2 = 2 3 2

Ellenőrző kérdések
1. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)=2x+ x 3 yy kétváltozós függvény gradiensét a (2,2) pontban!
( 22,8 )
( 22,7 )
( 14,7 )
( 14,8 )
2. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)=y e x+2y kétváltozós függvény gradiensét a (2,1) pontban!
( 1,1 )
( 0,0 )
( 1,0 )
( 1,2 )
3. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)= x 3 (x y 2 1) 4 kétváltozós függvény gradiensét a (2,1) pontban!
( 44,128 )
( 44,128 )
( 44,128 )
( 44,128 )
4. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)= x y 2 2 x 2 + y 2 kétváltozós függvény gradiensét a (0,1) pontban!
( 1,0 )
( 0,1 )
( 1,1 )
( 0,0 )
5. Határozza meg az  függvény u ¯ =(4,3) irányú iránymenti deriváltját az (x,y) pontban!
f u ¯ (x,y)= 12 x 2 y+6y4 x 3 5
f u ¯ (x,y)= 12 x 2 y+6y4 x 3 25
f u ¯ (x,y)= 48 x 2 y+18y12 x 3 25
f u ¯ (x,y)= 48 x 2 y18y+12 x 3 5
6. Határozza meg az  függvény u ¯ =(4,3) irányú iránymenti deriváltját a (2,1) pontban!
156 5
306 5
114 5
74 5
7. Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= ( x 2 y 4 ) 3 függvény u ¯ =(1,2) irányú iránymenti deriváltját a (1,1) pontban!
18 5
18 5
4 5
12 3
8. Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= x 2 e y y e x +1 függvény u ¯ =(2,1) irányú iránymenti deriváltját a (0,0) pontban!
1 5
2 5
1 5
2 5
9. Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= ( 2 x 2 + y 5 ) 3 függvény u ¯ =(2,3) irányú iránymenti deriváltját az (1,1) pontban!
21 13
27 13
27 13
2 13