KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Többváltozós függvények
7. lecke: Lokális szélsőérték meghatározása
Tanulási cél: A kétváltozós függvények lokális szélsőértékének meghatározása. | ||
Motivációs példa | ||
Egy üzem kétféle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a | ||
költségfüggvény adja, ahol az egyik, a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értendő. | ||
Milyen termékösszetételnél lesz a költség minimális? | ||
Ebben a leckében módszert adunk annak eldöntésére, hogy egy kétváltozós függvények van-e szélsőértéke és ha van milyen típusú. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Vegyünk egy kétváltozós függvényt, amely kétszer folytonosan deriválható. |
Definíció: Az függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla az függvény stacionárius pontjainak nevezzük. | ||
Definíció: Az függvénynek az pontban lokális maximuma van, ha létezik az pontnak olyan környezete, melyben az a legnagyobb érték. | ||
Definíció: Az függvénynek az pontban lokális minimuma van, ha létezik az pontnak olyan környezete, melyben az a legkisebb érték. |
Tétel: Ha egy kétváltozós függvény az értelmezési tartományának valamely pontjában mindkét változója szerint parciálisan differenciálható és az adott pontban a függvénynek lokális szélsőértéke van, akkor és , azaz pont egy stacionárius pontja. | ||
Tehát egy kétváltozós függvénynek egy pontban csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha a pont egy stacionárius pontja. De sajnos a parciális deriváltak zérus volta nem elegendő feltétel a szélsőérték létezésére. | ||
Tétel: Egy kétváltozós függvénynek az pontban akkor van lokális szélsőértéke, ha az pont egy stacionárius pontja és teljesül, hogy | ||
azaz | ||
. | ||
Ha , akkor az függvénynek az pontban nincs lokális szélsőértéke. Az függvénynek az pontban nyeregpontja van. | ||
Ha , akkor további vizsgálatok szükségesek annak eldöntésére, hogy van-e szélsőérték az pontban vagy nincs. | ||
A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az előjele alapján állapíthatjuk meg. Ha akkor az függvénynek lokális minimuma van, ha akkor az függvénynek lokális maximuma van. | ||
Foglaljuk össze a lokális szélsőérték vizsgálatának lépéseit. | ||
1. lépés: az elsőrendű parciális deriváltak megadása. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény másodrendű parciális deriváltjait! | ||
Megoldás: A feladat megoldásához először meg kell határozni az elsőrendű parciális deriváltakat az adott változók szerint. | ||
Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. | ||
Nézzük az szerinti elsőrendű parciális deriváltat. Most az változót konstansnak tekintjük, így -t is. | ||
. | ||
kiszámítása nagyon hasonlóan történik, csak most szerint deriválunk, és -et tekintjük konstansnak, így -t is. | ||
Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az függvényből két új függvényt kapunk. | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Az függvényből szintén két új függvényt kapunk. | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Vegyük észre, hogy . | ||
2. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit! | ||
Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész sík, azaz . | ||
Első lépésként meg kell keresnünk a stacionárius pontokat, vagyis azokat a helyeket, ahol szélsőértéke lehet a függvénynek. Ezeket az | ||
egyenletekből kaphatjuk meg. | ||
Az elsőrendű parciális deriváltak: | ||
Az alábbi egyenletrendszert megoldva | ||
kapjuk a megoldást. Tehát csupán egy stacionárius pont van a . | ||
Annak eldöntésére, hogy a pont lokális szélsőértékhely-e, a függvény másodrendű parciális deriváltjaira lesz szükség. | ||
Mivel , ezért az origó lokális szélsőérték. A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az előjele alapján állapíthatjuk meg. Mivel , ezért a függvénynek a pontban lokális minimuma van. | ||
Mivel nincsen több szélsőértékhelye a függvénynek, így abszolút minimum hely is egyben. A függvény értéke az origóban: | ||
3. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit! | ||
Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész sík, azaz . | ||
Az elsőrendű parciális deriváltak: | ||
A feladat megoldását a stacionárius pontok megkeresésével folytatjuk. | ||
Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. Fejezzük ki valamelyik változót az egyik egyenletből, és helyettesítsük be a másikba: | ||
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így két megoldást kapunk: | ||
Ebből két stacionárius pontot kapunk: | ||
A stacionárius pontok . | ||
Most meg kell vizsgálnunk, hogy ezek a stacionárius pontok valóban szélsőértékhelyek-e. Ehhez szükségünk lesz a másodrendű parciális deriváltakra. | ||
Vizsgáljuk meg először a pontot: | ||
Mivel , ezért a pont nem lokális szélsőértékhely. | ||
Most vizsgáljuk meg a pontot: | ||
Mivel , ezért ez a pont lokális szélsőérték. A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az előjele alapján állapíthatjuk meg. , ezért a függvénynek a pontban lokális maximuma van. | ||
Ebben a pontban a függvény értéke: | ||
4. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit! | ||
Megoldás: A feladat megoldását kezdjük az értelmezési tartomány megadásával. A függvény nincs értelmezve az osztás miatt olyan pontokban, ahol vagy . Tehát az értelmezési tartomány az sík, kivéve a koordinátatengelyeket. | ||
Az elsőrendű parciális deriváltak: | ||
A stacionárius pontokat megadó egyenletek: | ||
Fejezzük ki például az első egyenletből -t: | ||
Ezt írjuk be a második egyenletbe: | ||
Rendezve kapjuk, hogy | ||
Ha | ||
Tehát két stacionárius pontot találtunk: . Mivel mind a kettő eleme az értelmezési tartománynak, így tovább folytathatjuk a vizsgálódást. | ||
A másodrendű parciális deriváltak: | ||
Vizsgáljuk meg az pontot. | ||
Mivel , ezért az pont lokális szélsőérték hely. A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az előjele alapján állapíthatjuk meg. , ezért a függvénynek az pontban lokális minimuma van. A függvény értéke . | ||
Vizsgáljuk meg a pontot. | ||
Mivel , ezért a pont lokális szélsőérték hely. Mivel , ezért a függvénynek a pontban lokális minimuma van. A függvény értéke ebben a pontban . | ||
5. feladat: Határozza meg az | ||
kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit! | ||
Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész sík, azaz . | ||
Az elsőrendű parciális deriváltak: | ||
Most is kaptunk egy egyenletrendszert: | ||
Alakítsuk szorzattá az első egyenletet. | ||
Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. | ||
Ha az , akkor ezt a második egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy | ||
Ez azonban nem teljesülhet semmilyen -ra, így biztosan nem lehet 0. | ||
Nézzük a másik esetet, ha | ||
Behelyettesítve a második egyenlet a következő alakot kapjuk: | ||
Ha | ||
Tehát két stacionárius pontot találtunk: . | ||
A másodrendű parciális deriváltak: | ||
Nézzük a pontot: | ||
Mivel , ezért az pont egy lokális szélsőértékhely. Mivel , ezért a függvénynek az pontban lokális maximuma van. A függvény értéke . | ||
Hasonlóan vizsgáljuk meg az pontot: | ||
Mivel , ezért a pont is lokális szélsőértékhely. Mivel , ezért a függvénynek a pontban is lokális maximuma van. A függvény értéke szintén . |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Határozza meg az kétváltozós függvény másodrendű parciális deriváltjait! ![]() | |||||||||
2. Határozza meg az kétváltozós függvény másodrendű parciális deriváltjait! ![]() | |||||||||
3. Határozza meg az kétváltozós függvény stacionárius pontjait!
![]() | |||||||||
4. Az kétváltozós függvény stacionárius pontja . Döntse el, hogy ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milyen jellegű!
![]() | |||||||||
5. Határozza meg az kétváltozós függvény stacionárius pontjait!
![]() | |||||||||
6. Tudjuk, hogy az kétváltozós függvény stacionárius pontjai . Döntse el, hogy ezek a pontok lokális szélsőértékek-e és ha igen, milyen jellegűek!
![]() | |||||||||
7. Az függvénynek
![]() | |||||||||
8. Az kétváltozós függvénynek
![]() |