KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: I. modul: Differenciálszámítás alkalmazásai
1 lecke: Konvexitás, elaszticitás
Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a függvény konvexitására vonatkozóan. Elaszticitás fogalmának megismerése. | ||
Motivációs példa | ||
A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk, akkor az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha 1 euróval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis 1 kg kenyér árának 1 eurós növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának 1 eurós növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát 1%-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük. | ||
Egy termékből eladott mennyiséget az függvény adja meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik? | ||
Konvexitás | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Az elsőrendű derivált előjele meghatározza a függvény monotonitását. A másodrendű derivált előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a függvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben a függvény konvexitására vonatkozóan. |
Definíció: Egy intervallumon értelmezett valós függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe felett halad. Egy intervallumon értelmezett valós függvény konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad. | ||
|
Tétel: Legyen az függvény kétszer differenciálható az intervallumon. Az függvény akkor és csak akkor konvex az -n, ha az intervallumon, illetve az függvény akkor és csak akkor konkáv az -n, ha az intervallumon. |
Definíció: Legyen az függvény folytonos az intervallumon és . Ha konvex -n és konkáv -n, vagy konkáv -n és konvex -n, akkor inflexiós pontja az függvénynek. |
Tétel: Legyen az függvény a hely környezetében kétszer differenciálható. Ha a pontban az függvénynek inflexiós pontja van, akkor . | |||||||||||||||||||
Fontos megjegyezni, hogy a tétel megfordítása nem igaz. Abból, hogy az , még nem következik, hogy inflexiós pont. | |||||||||||||||||||
Tétel: Ha az függvény kétszer differenciálható -ben és , továbbá -n és -n , vagy -n és -n , azaz az függvény -ben előjelet vált, akkor inflexiós pontja az függvénynek. | |||||||||||||||||||
A fenti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a függvényeket konvexitás és inflexiós pont szempontjából. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összefoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk le az adatokat. | |||||||||||||||||||
Az inflexiós pontnak van egy szemléletes jelentése is. Ha függvény az inflexiós pontja előtt és után is növekvő, akkor ez az a pont, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd. Ha a függvény csökkenve halad át az inflexiós pontján, akkor abban a pontban a csökkenés mértéke kezd lelassulni. | |||||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||||
1. feladat: Az függvény értelmezési tartománya . Hol konvex az függvény, ha második deriváltja ? | |||||||||||||||||||
Megoldás: Amikor egy függvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konvex, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál. Ilyenkor azonban a második derivált előjelével kell foglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy függvény második deriváltja, ott konvex a függvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Először meghatározzuk a második derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, így a szorzat két egyenletre bontható. | |||||||||||||||||||
vagy | |||||||||||||||||||
Ezen egyenletek megoldásai: és . | |||||||||||||||||||
Most hasonló táblázatot készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk függvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd fel. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált előjele. Ha egyelőre csak az első sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz. | |||||||||||||||||||
Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, hogy mindegyik intervallumból kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítjük a függvénybe. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk a szorzat előjelére. | |||||||||||||||||||
Ha a intervallumból választunk egy számot, akkor nyilván , azaz a derivált első tényezője negatív. Ekkor szintén teljesül, amiből is következik, tehát a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Hasonlóan, ha intervallumból választunk egy tetszőleges számot, akkor és , amiből . Vagyis a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
Végül ha intervallumból választunk egy számot, akkor és , amiből . Tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Mivel a második derivált mindkét zérushelyében megváltozik a második derivált előjele, így mindkét helyen inflexiós pontja van a függvénynek. | |||||||||||||||||||
Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Legvégül adjunk választ a feladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a függvény konvex az és intervallumokon. Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a függvény a halmazon konvex. | |||||||||||||||||||
2. feladat: Az függvény értelmezési tartománya . Hol konkáv az függvény, ha második deriváltja ? | |||||||||||||||||||
Megoldás: Oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk. | |||||||||||||||||||
Ennek az egyenletnek a megoldása . | |||||||||||||||||||
Mivel egy függvény előjele ott is változhat, ahol a függvény nincs értelmezve az értelmezési tartományt a szakadási helyek is részekre bontják. Tehát az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. | |||||||||||||||||||
Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. | |||||||||||||||||||
A intervallumom és a nevező pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
A intervallumom és a nevező is pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz ezen az intervallunom szintén pozitív a második derivált, s ebből következően itt is konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Végül ha a intervallumból választunk egy számot, akkor és a nevező pozitív. Ebben az esetben a hányados negatív. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
A táblázatból kiolvasható, hogy a függvény a intervallumon konkáv. | |||||||||||||||||||
3. feladat: Az függvény értelmezési tartománya . Hol van inflexiós pontja az függvénynek, ha második deriváltja ? | |||||||||||||||||||
Megoldás: Oldjuk meg az egyenletet. Egy függvénynek ugyanis ott lehet inflexiós pontja, ahol a második deriváltja . | |||||||||||||||||||
Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk. | |||||||||||||||||||
vagy | |||||||||||||||||||
Az első egyenlet megoldása nyilván . A második egyenletet rendezzük át. | |||||||||||||||||||
Vegyük mindkét oldal logaritmusát. | |||||||||||||||||||
Mivel a bal oldalon egy függvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszerűen szerepel. | |||||||||||||||||||
A második egyenlet megoldása így . | |||||||||||||||||||
Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az és az . | |||||||||||||||||||
Ezek után a táblázat első sora kitölthető. | |||||||||||||||||||
Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első tényezője nem vesz fel negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második tényező előjelével kell foglalkoznunk. | |||||||||||||||||||
A intervallumon , ezért . Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv a függvény. | |||||||||||||||||||
A intervallumon , ezért . Így itt pozitív a második derivált, tehát konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
A intervallumon , ezért . Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konvex a függvény. | |||||||||||||||||||
Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az helyen előjelet vált a második derivált, így itt inflexiós pontja van a függvénynek. Viszont az helyen a második derivált nem vált előjelet, így itt nincs inflexiós pont. | |||||||||||||||||||
Töltsük ki a teljes táblázatot. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
A függvénynek tehát az helyen van inflexiós pontja. | |||||||||||||||||||
4. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket! | |||||||||||||||||||
Megoldás: Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben , azaz . | |||||||||||||||||||
Állítsuk elő a függvény második deriváltját, mert a konvexitás vizsgálatához erre lesz szükségünk. | |||||||||||||||||||
Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az első derivált előállításakor összetett függvényt deriválunk. A külső függvény az , a belső függvény pedig az , azaz . | |||||||||||||||||||
A második deriválás során a szorzatra vonatkozó szabályt használjuk. | |||||||||||||||||||
Ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet. | |||||||||||||||||||
Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Az első tényező nem lehet egyenlő nullával, hiszen az exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel. A második tényező szintén nem lehet nulla. Ennek következtében elég csak a harmadik tényezőt vizsgálnunk. | |||||||||||||||||||
Mivel , ezért az egyenlet a következő alakra hozható. | |||||||||||||||||||
Ennek megoldása pedig . | |||||||||||||||||||
Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Vegyük figyelembe, hogy az csak pozitív értékeket vehet fel. | |||||||||||||||||||
Töltsük ki a teljes táblázatot. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Ezután már csak az inflexiós ponthoz tartozó függvényértéket kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a függvénybe az értéket. | |||||||||||||||||||
5. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket! | |||||||||||||||||||
Megoldás: Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. A logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés , azaz . | |||||||||||||||||||
Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a szorzatra vonatkozó szabályt alkalmazzuk). | |||||||||||||||||||
A második derivált előállítása: | |||||||||||||||||||
Oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||
Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a következő alakra hozható: | |||||||||||||||||||
Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása. Ugyanis most csak pozitív szám lehet, akkor és is csak pozitív lehet. Ez pedig azt jelenti, hogy az függvénynek nincs inflexiós pontja. A intervallumon , tehát a függvény ezen az intervallumon konvex. | |||||||||||||||||||
6. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket! | |||||||||||||||||||
Megoldás: Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés . Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra fennáll, mivel a polinomnak nincs zérushelye (diszkrimináns negatív). Tehát a függvény minden valós számra értelmezhető, . | |||||||||||||||||||
Először az elsőrendű deriváltat számoljuk ki. Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||
A másodrendű derivált kiszámolásánál a hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||
Alkalmazva, hogy a tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, így a következő egyszerűbb egyenletet kapjuk. | |||||||||||||||||||
zérushelyei: | |||||||||||||||||||
Készítsük el a táblázatot, majd vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Még az inflexiós pontokhoz tartozó függvényértékeket kell meghatároznunk. | |||||||||||||||||||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Az függvény értelmezési tartománya . Hol konkáv az függvény, ha második deriváltja ? ![]() | |||||||||
2. Az függvény értelmezési tartománya . Hol konvex az függvény, ha második deriváltja ? ![]() | |||||||||
3. Az függvény értelmezési tartománya . Hol van inflexiós pontja az függvénynek, ha második deriváltja ?
![]() | |||||||||
4. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
5. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
6. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
7. Az függvény inflexiós pontja (pontjai)
![]() | |||||||||
8. Az függvény inflexiós pontja (pontjai)
![]() | |||||||||
9. Az függvény inflexiós pontjának függvényértéke ![]() |
Elaszticitás | ||
Elméleti összefoglaló | ||
A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. | ||
Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha 1 euróval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis 1 kg kenyér árának 1 eurós növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának 1 eurós növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát 1%-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük. | ||
Az elaszticitás megmutatja, hogy a független változó értékét 1%-kal növelve, hány százalékkal változik a függő változó . | ||
Az elaszticitást a következő módon tudjuk definiálni: | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Határozza meg az függvény elaszticitását! | ||
Megoldás: Első lépésként határozzuk meg az függvényt. | ||
2. feladat: Egy termék iránti keresletet az ártól függően az függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 200 Ft-os árát 1%-kal emelik? | ||
Megoldás: Első lépésként határozzuk meg az függvényt. | ||
Az elaszticitás azt mutatja meg, hogy ha a termék árát 1%-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Most a termék ára 200 Ft, tehát | ||
A kereslet tehát 0,96 százalékkal csökken. | ||
3. feladat: Egy termék iránti keresletet az ártól függően az függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 200 Ft-os árát 4%-kal csökkentik? | ||
Megoldás: Az előző feladat eredményeit felhasználva tudjuk, hogy . | ||
Az elaszticitás az 1%-kos növeléshez tartozó változást írja le, a 4 százalékkal való csökkentést az elaszticitás (-4)-szerese adja. | ||
Ha a termék ára 4 százalékkal csökken, akkor a kereslet 3,84 százalékkal nő. | ||
4. feladat: Egy termékből eladott mennyiséget az függvény adja meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik? | ||
Megoldás: Az elaszticitás segítségével tudjuk meghatározni, hogy hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik. | ||
Első lépésként határozzuk meg az függvényt. | ||
A termék ára 1000 Ft, tehát | ||
Az elaszticitás az 1%-kos növeléshez tartozó változást írja le, akkor a 2 százalékkal való növekedést az elaszticitás 2-szerese adja. | ||
Ha a termék ára 2 százalékkal nő, akkor a kereslet 0,58 százalékkal csökken. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
10. Határozza meg az függvény elaszticitását! ![]() | |||||||||
11. Az függvény egy termék iránti keresletet adja meg, pedig a termék egységárát forintban. Ha , akkor mit jelent ?
![]() | |||||||||
12. Az függvény egy termék iránti keresletet adja meg, pedig a termék egységárát forintban. Állítsa elő az elaszticitás függvényt, ha ! ![]() | |||||||||
13. Egy termék iránti keresletet az ártól függően az függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 4 euros árát 3%-kal növelik?
![]() | |||||||||
14. Egy termék iránti keresletet az ártól függően az függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 4 euros árát 2%-kal csökkentik?
![]() |