KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: II. modul: Integrálszámítás

4. lecke: Improprius integrálás

Tanulási cél: Határozott integrál fogalmának kiterjesztése végtelen intervallumra. Definíciók alkalmazása konkrét feladatok esetén.

Motivációs példa

Eddig határozott integrált csak véges zárt intervallumon számoltunk. Ha az integrandus az adott intervallumon folytonos, akkor a határozott integrál létezik és primitív függvény ismeretében könnyen meghatározható.

Valószínűség-számításnál találkozhatunk a következő típusú feladattal.

Legyen f( x )= 1 x 2 ,hax1 .

Bizonyítsuk be, hogy a f függvény és az x tengely által közbezárt terület nagysága 1.

Korábbi ismereteink alapján tudjuk, hogy ha egy f függvény adott intervallumon nem vesz fel negatív értéket, akkor f és az x tengely által közbezárt terület nagyságát f adott intervallumhoz tartozó határozott integrálja adja meg. Tehát ebben az esetben 1 1 x 2 dx integrált kellene kiszámolni. Ezzel az a gond, hogy a határozott integrál számolásánál eddig véges értékekkel dolgoztunk, amelyeket be tudtunk helyettesíteni a Newton-Leibniz-formulába. A -t nem tudjuk behelyettesíteni. A kérdés ezután általánosabban úgy fogalmazható meg, hogy miként tudunk integrálni olyan esetben, amikor az integrálási intervallum nem véges, azaz határai között szerepel a , vagy a , vagy mindkettő. Erre adjuk meg a választ az alábbiakban.

Elméleti összefoglaló

A definíciók jobb megértéséhez próbáljuk meg kikövetkeztetni a 1 1 x 2 dx integrál értékét.

Gondolkodjunk a következőképpen. Számoljuk ki első lépésben a határozott integrált [ 1,100 ] intervallumon. Majd az intervallum felső határát toljuk egyre kijjebb és kijjebb. Mivel az integrandus folytonos, így bármely [ 1,b ] intervallumon ( b>1 ) a határozott integrálok léteznek. Primtitív függvényt tudunk adni, így ezeket az integrálokat ki is tudjuk számolni. Majd vizsgáljuk meg, hogy ezen értékekről mit tudunk mondani.

1 100 1 x 2 dx= 1 100 x 2 dx [ x 1 1 ] 1 100 = [ 1 x ] 1 100 = 1 100 +1= 99 100

1 1000 1 x 2 dx= [ 1 x ] 1 1000 = 1 1000 +1= 999 1000

1 1000000 1 x 2 dx= [ 1 x ] 1 1000000 = 1 1000000 +1= 999999 1000000

Jelöljuk b-vel a felső határt és állítsuk elő vele a határozott integrálokat.

1 b 1 x 2 dx= [ 1 x ] 1 b = 1 b +1=1 1 b

Jól látható, ha a az intervallum felső értékét egyre kijjebb toljuk, akkor egyre kisebb értéket kell kivonni 1-ből. Tehát ha a felső határ végtelen, akkor az integrál értékét 1-nek vehetjük.

Másképp megfogalmazva: mivel a véges zárt intervallumon számolt határozott integrálok értékeit elő tudtuk állítani a felső integrációs határ függvényként, amely egyre közelebb és közelebb esik 1-hez (tart 1-hez), ha a felsőhatár minden határon túl növekszik, ezért 1 1 x 2 dx=1 legyen.

Adjuk meg most már egy folytonos függvénynek egy végtelenbe nyúló intervallumon értelmezett integráljának definícióját, amit szokás improprius integrálnak nevezni.

Definíció: Legyen f(x) az [a,[ intervallum értelmezett folytonos függvény. Ekkor a a f (x)dx improprius integrál pontosan akkor létezik, ha

lim b a b f (x)dx határérték létezik (véges), és ekkor az improprius integrál értéke legyen éppen a kapott határérték, azaz

a f (x)dx= lim b a b f (x)dx.

Ha a határérték létezik, akkor szokás azt mondani, hogy az  improprius integrál konvergens.

Ha a határérték nem létezik (nem véges), akkor az improprius integrál nem létezik. Ilyen esetben szokás azt mondani, hogy az  improprius integrál divergens.

A határozott integrálhoz hasonlóan az improprius integrálhoz is tudunk geometriai jelentés adni. Ha f(x)0 az [ a, [ intervallumon és a f(x)dx konvergens, akkor az improprius integrál értéke éppen f függvény és az x tengely által közbezárt terület mérőszámát adja az [ a, [ intervallumon. Ha f(x)0 az [ a, [ intervallumon és a f(x)dx konvergens, akkor az improprius integrál értéke biztosan nempozitív, de abszolút értéke éppen a függvény és az x tengely által közbezárt terület mérőszámát adja meg.

Tehát általában egy függvény [ a, [ intervallumon vett integrálja szemléletesen annak a síkrésznek az előjeles területét adja meg, ami a függvény grafikonja és az x tengely között helyezkedik el az [ a, [ intervallumon. Ebben az az érdekes, hogy olyan alakzat területéről beszélünk, ami vízszintes irányban a -ig nyúlik, tehát nem korlátos.

Szemléletesen nyilvánvaló, hogy egy ilyen alakzatnak csak akkor létezhet területe, ha a felé haladva az alakzat egyre keskenyebb lesz, azaz a függvény grafikonja simul az x tengelyhez, ami azt jelenti, a függvény határértéke a végtelenben 0. (De ez önmagában nem elegendő feltétel az improprius integrál konvergenciájára. Ha egy függvény határértéke a végtelenben nulla, az improprius integrálja még lehet divergens.)

Definíció: Legyen f(x) a ],a] intervallumon értelmezett folytonos függvény. Ekkor a b f (x)dx improprius integrál pontosan akkor létezik, ha

lim a a b f (x)dx határérték létezik (véges) és ekkor az improprius integrál értéke legyen éppen a kapott határérték, azaz

b f (x)dx= lim a a b f (x)dx.

Ha a határérték véges, akkor szokás azt mondani, hogy az improprius integrál konvergens. Minden más esetben az  improprius integrál nem létezik, másképpen divergens.

Itt is kimondhatjuk, hogy egy függvény ],a] intervallumon vett integrálja szemléletesen annak a síkrésznek az előjeles területét adja meg, ami a függvény grafikonja és az x tengely között helyezkedik el az ],a] intervallumon.

Nyilván csak akkor lehet konvergens egy ilyen integrál, ha az f( x ) függvény határértéke a -ben 0, azaz lim x f( x )=0 .

Definíció: Ha az egyik integrációs határ sem véges, akkor az integrálást úgy fogjuk fel, hogy mind az alsó, mind a felső határt végesnek választjuk, majd mindkettőt egyre kijjebb és kijjebb toljuk (az alsót mínusz végtelenbe, a felsőt plusz végtelenbe) és ekkor

f (x)dx= lim a b a b f(x)dx .

Az improprius integrál akkor lesz konvergens, ha a határértékek külön-külön léteznek, minden más esetben pedig divergens.

Egy függvény ] , [ intervallumon vett integrálja szemléletesen annak a síkrésznek az előjeles területét adja meg, ami a függvény grafikonja és az x tengely közötti helyezkedik el az ] , [ intervallumon.

Nyilván csak akkor lehet konvergens egy ilyen integrál, ha az f( x ) függvény határértéke a -ben és a -ben is 0, azaz lim x f( x )= lim x f( x )=0 .

Kidolgozott feladatok

Határozzuk meg az alábbi improprius integrálok értékét.

1. feladat: 2 4 x 3 dx

Megoldás: Az integrandus értelmezve van és folytonos a [2,[ , Továbbiakban a folytonosságot nem vizsgáljuk, csak olyan feladatot nézünk, amelyekre a feltételek teljesülnek.

Alkalmazhatjuk a definíciót. A felső integrációs határban szerepelő jelét cseréljük le b-re.

2 4 x 3 dx= lim b 2 b 4 x 3 dx=

Első lépésként végezzük el az integrálást, és utána jöhet a határérték keresése.

Szükségünk van egy primitív függvényre. Azért hogy a megoldás jobban átlátható legyen, végezzük el külön a határozatlan integrál keresését, majd térjünk vissza az improprius integrál meghatározásához.

4 x 3 dx=4 x 3 dx=4 x 2 2 +c=2 1 x 2 +c

Folytassuk az improprius integrálást:

2 4 x 3 dx= lim b 2 b 4 x 3 dx= lim b [ 2 1 x 2 ] 2 b = lim b [ 2 1 b 2 + 2 4 ]=

Alkalmazzuk a korábbi határértékre vonatkozó ismereteinket. Első lépésként elég 1 b 2 határértékét vizsgálni. Mivel a nevező minden határon túl növekedni fog, azért a reciproka egyre kisebb pozitív szám lesz, azaz

hab b 2 1 b 2 1 =0

Most már tudunk határértéket adni.

lim b [ 2 1 b 2 + 1 2 ]=20+ 1 2 = 1 2

Tehát a határérték létezik (véges), az improprius integrál konvergens és értéke 2 4 x 3 dx= 1 2

2. feladat: 8 1 x+4 3 dx

Megoldás: Ez is egy improprius integrál, mert a felső határ . Alkalmazzuk a definíciót. A jelét cseréljük le b-re.

8 1 x+4 3 dx= lim b 8 b 1 x+4 3 dx=

Külön végezzük el a határozatlan integrál számítását. Vegyük észre, hogy az integrandus most egy lineáris kifejezés negatív kitevős hatványaként írható fel. Ekkor használható az alábbi integrációs szabály:

f( ax+b )dx= F( ax+b ) a +c , ha F (x)=f(x) .

1 x+4 3 dx= 1 (x+4) 1 3 dx= (x+4) 1 3 dx= (x+4) 2 3 2 3 1 +c= 3 2 (x+4) 2 3 +c

Van primitív függvényünk, folytassuk az improprius integrálást:

8 1 x+4 3 dx= lim b 8 b 1 x+4 3 dx= lim b 8 b (x+4) 1 3 dx= lim b [ 3 2 (x+4) 2 3 ] 8 b=

lim b [ 3 2 (b+4) 2 3 + 3 2 12 2 3 ]= lim b [ 3 2 (b+4) 2 3 +3 36 3 ]=

Most is az összeg első tagját kell vizsgálnunk, mivel a második tag konstans, így önmagához tart. Használjuk fel korábbi határértékre vonatkozó ismereteinket, azaz

hab (b+4) 2 (b+4) 2 3

Tehát

lim b [ 3 2 (b+4) 2 3 +3 36 3 ]=+3 36 3 =

Mivel a határérték nem egy véges valós szám, hanem ezért az improprius integrál nem létezik, azaz divergens.

3. feladat: 0 e 3x dx

Megoldás: Egy improprius integrállal van dolgunk. A definíció szerint írjuk át az integrált.

0 e 3x dx= lim b 0 b e 3x dx=

Első lépésként adjunk primitív függvényt. Vegyük észre, hogy egy összetett függvénnyel van dolgunk. A belső függvény 3x , újra használható az alábbi integrációs szabály:

f( ax+b )dx= F( ax+b ) a +c , ha F (x)=f(x) .

Így:

e 3x dx= e 3x 3 +c

Folytassuk az integrálást a kapott primitív függvény felhasználásával. lim b 0 b e 3x dx= lim b [ e 3x 3 ] 0 b = lim b [ e 3b 3 e 0 3 ]= lim b [ e 3b 3 + 1 3 ]=

Mivel egy konstans függvény mindig önmagához tart, ezért csak azt kellene vizsgálni, hogy az első tag, azaz 1 3 e 3b vajon hova tart, ha b .

Használjuk fel, hogy mivel lim b [ 3 e 3b ]= , akkor lim b [ e 3b 3 ]= lim b [ 1 3 e 3b ]=( 1 )=0 .

Így

lim b [ 1 3 e 3b + 1 3 ]=0+ 1 3 = 1 3

Tehát az improprius integrál konvergens és értéke

0 e 3x dx= 1 3

4. feladat: 4 10 ( 32x ) 5 dx

Megoldás: Egy improprius integrállal van dolgunk. A definíció szerint írjuk át az integrált. 4 10 ( 32x ) 5 dx= lim b 4 b 10 ( 32x ) 5 dx=

Ahhoz, hogy tovább tudjunk lépni, szükségünk van egy primitív függvényre. Vegyük észre, hogy az integrandus egy összetett függvény, amelyben a külső függvény 10 x 5 , a belső függvény pedig 32x , azaz egy lineáris függvény. A külső függvény miatt az integrandust negatív kitevőjű hatványba írható, és akkor van integrálási módszerünk:

10 ( 32x ) 5 dx= 10 ( 32x ) 5 dx=10 ( 32x ) 4 ( 4 )( 2 ) +c= 10 8 ( 32x ) 4 +c

lim b 4 b 10 ( 32x ) 5 dx= lim b [ 5 4 ( 32x ) 4 ] 4 b = lim b [ 5 4 ( 32b ) 4 5 4 5 4 ]=

Használjuk fel, hogy 1 4 5 3 egy szám, ezért önmagához fog tartani, így csak azt kell vizsgálni, ha b egy nagyon nagy értékeket vesz fel, akkor 5 4 ( 32b ) 4 hova fog tartani.

Mivel lim b 4 ( 32b ) 4 =4 ( ) 4 = , így lim n 5 4 ( 32b ) 4 = 5 =0 .

Most már térjünk vissza az eredeti feladathoz.

lim b [ 5 4 ( 32b ) 4 5 4 5 4 ]=0 1 4 5 3 = 1 4 5 3 = 1 500

Tehát az improprius integrál konvergens és értéke

4 10 ( 32x ) 5 dx= 1 500

Ellenőrző kérdések
1. 10 8 x 5 dx=
Az integrál divergens.
0,0002
0,002
0,0008
2. 0 1 ( x+1 ) 4 5 dx=
Az integrál divergens.
5
1 5
0
3. 6 1 ( x5 ) 4 dx=
Az integrál divergens.
3
1 3
1 3
4. 0 4 e 5x dx
Az integrál divergens.
4 5
4 5
5 4
Kidolgozott feladatok

5. feladat: 1 5 4x+3 dx

Megoldás: Alkalmazzuk a definíciót. Most az alsó integrációs határban szerepelő -t kell lecserélni. Az új alsó határ legyen a.

1 5 4x+3 dx= lim a a 1 5 4x+3 dx=

Ahhoz, hogy tovább tudjunk lépni, szükségünk van egy primitív függvényre. Vizsgáljuk meg a 5 4x+3 dx határozatlan integrált. Mivel a nevező egy elsőfokú (lineáris) polinom, így a deriváltja egy szám, ebben az esetben éppen 4. Egy bővítéssel kialakíthatjuk a számlálóban a nevező deriváltját, majd használhatjuk az f ( x ) f( x ) =ln| f( x ) |+c integrálási szabályt.

5 4x+3 dx= 5 4 4 4x+3 dx= 5 4 ln| 4x+3 |+c

Van primitív függvényünk, folytassuk az improprius integrálást.

1 5 4x+3 dx= lim a a 1 5 4x+3 dx= lim a 5 4 [ ln| 4x+3 | ] a 1 =

Használjuk a Newton-Leibniz tételt, ügyelve arra, hogy az alsó integrációs határ most éppen a.

lim a 5 4 [ ln| 4x+3 | ] a 1 = lim a 5 4 [ ln| 1 |ln| 4a+3 | ]= lim a 5 4 [ ln1ln| 4a+3 | ]=

lim a 5 4 [ 0ln| 4a+3 | ]= lim a 5 4 [ ln| 4a+3 | ]= lim a 5 4 ln| 4a+3 |=

Korábbi határértékekre vonatkozó ismereteink alapján mondhatjuk, ha a , akkor | 4a+3 || |= . Mivel minden határon túl növekvő számok természetes alapú logaritmusa is minden határon túl növekvő, így

lim a 5 4 ln| 4a+3 |= 5 4 =

Tehát az improprius integrál nem létezik, másképpen divergens, mivel a vizsgált határérték nem véges.

6. feladat: 1 36 ( 3x4 ) 7 5 dx

Megoldás: Alkalmazzuk a definíciót. Most is az alsó integrációs határt kell lecserélni.

1 36 ( 3x4 ) 7 5 dx= lim a a 1 36 ( 3x4 ) 7 5 dx=

A következő lépés a primitív függvény előállítása. Az integrandus most is összetett függvény egy lineáris belső függvénnyel. A külső függvény 36 x 7 5 , amit csak akkor tudunk integrálni, ha átírjuk x negatív kitevős hatványaként. Majd alkalmazzuk a lineáris belső függvényre vonatkozó integrálási szabályt:

f( ax+b )dx= F( ax+b ) a +c , ha F (x)=f(x) .

Hajtsuk végre a megadott lépéseket.

36 ( 3x4 ) 7 5 dx= 36 ( 3x4 ) 7 5 dx=36 ( 3x4 ) 2 5 2 5 3 +c=

36 5 6 1 ( 3x4 ) 2 5 +c=30 1 ( 3x4 ) 2 5 +c

A primitív függvény ismeretében folytassuk az improprius integrálást.

lim a a 1 36 ( 3x4 ) 7 5 dx= lim a [ 30 ( 3x4 ) 2 5 ] a 1 = lim a [ 30 1 + 30 ( 3a4 ) 2 5 ]=

Most az összeg első tagja egy konstans, ami önmagához, azaz 30 -hoz tart. A második tag határértékét kell vizsgálni. Haladjunk lépésenként.

Ha a , akkor (3a4) 2 ( ) 2 = . Mivel minden határon túl növekvő pozitív számok ötödik gyöke is minden határon túl növekvő szám lesz, ezért lim a ( 3a4 ) 2 5 = . Minden határon túl növekvő pozitív számok reciprokai pedig egyre közelebb esnek nullához, azaz

lim a 36 ( 3a4 ) 2 5 = 36 =0

Most már be tudjuk fejezni az improprius integrálást.

lim a [ 30 1 + 30 ( 3a4 ) 2 5 ]=30+0=30

Tehát az improprius integrál konvergens és értéke éppen 1 36 ( 3x4 ) 7 5 dx=30 .

7. feladat: 1 8 e 7x+5 dx

Megoldás: Alkalmazzuk a szokott módon a definíciót.

1 8 e 7x+5 dx= lim a a 1 8 e 7x+5 dx=

A következő lépés most is a primitív függvény előállítása. Az integrandus egy összetett függvény egy lineáris belső függvénnyel. Most is alkalmazzuk az alábbi integrálási szabályt:

f( ax+b )dx= F( ax+b ) a +c , ha F (x)=f(x) .

8 e 7x+5 dx=8 e 7x+5 7 +c= 8 7 e 7x+5 +c

Térjünk vissza az improprius integrálhoz.

1 8 e 7x+5 dx= lim a a 1 8 e 7x+5 dx= lim a [ 8 7 e 7x+5 ] a 1 = lim a [ 8 7 e 2 8 7 e 7a+5 ]=

A határérték előállításához azt kell megnézni, hogy nagyon kicsi negatív a esetén e 7a+5 vajon hova tart? Haladjunk most is lépésenként.

Ha a , akkor 7a+5 . De nagyon kicsi negatív számokhoz közelítve e 7a+5 nullához egyre közelebbi értékeket vesz fel, azaz lim a e 7a+5 =0 .

Tehát a határérték véges, az improprius integrál konvergens és értéke:

lim a [ 8 7 e 2 8 7 e 7a+5 ]= 8 7 e 2 8 7 0= 8 7 e 2 = 8 7 e 2

8. feladat: 0 e x 2+ e x dx

Megoldás: Induljunk el a szokott módon.

0 e x 2+ e x dx= lim a a 0 e x 2+ e x dx=

Folytassuk a primitív függvény megadásával. Tört integrandus esetén az az első amit érdemes megnézni, hogy vajon mi a nevező deriváltja. Látható, hogy a számlálóban éppen a nevező deriváltja szerepel. Így van integrálási szabályunk, amit tudunk alkalmazni.

e x 2+ e x dx=ln| 2+ e x |+c=ln( 2+ e x )+c

Felhasználva, hogy 2+ e x csak pozitív értékeket vehet fel, az abszolút érték egyszerűen elhagyható.

Térjünk vissza az improprius integrálhoz.

0 e x 2+ e x dx= lim a a 0 e x 2+ e x dx= lim a [ ln( 2+ e x ) ] a 0 = lim a [ ln3ln( 2+ e a ) ]

A határértéknél most is lépésenként haladjunk.

Ha a , akkor 2+ e a 2+0=2 és ekkor ln( 2+ e a )ln2

A határérték tehát véges, az improprius integrál konvergens és értéke:

0 e x 2+ e x dx= lim a [ ln3ln( 2+ e a ) ]=ln3ln2=ln 3 2

Ellenőrző kérdések
5. 2 10 x 3 dx=
5 4
4 5
5 4
Az integrál divergens.
6. 1 5 7x9 dx=
5
5 2
5 9
Az integrál divergens.
7. 1 1 43x 5 dx=
1
5 3
1 6
Az integrál divergens.
8. 0 1 ( 8x1 ) 7 3 dx=
3 8
3 4
3 32
Az integrál divergens.
9. 4 5 e x+4 dx
5 4
5
5
Az integrál divergens.
Kidolgozott feladatok

9. feladat: e 3x 1+ e 3x dx

Megoldás: Egyik határ sem véges, így mindkettőt megváltoztatjuk, majd a megváltoztatott határokkal tartunk az eredetiekhez. Így kettős határértékünk lesz.

e 3x 1+ e 3x dx= lim a b a b e 3x 1+ e 3x dx=

Primitív függvényt kell előállítani. Az integrandus egy törtfüggvény, amelynek a számlálójában majdnem a nevező deriváltja látható. Mivel ( 1+ e 3x ) =3 e 3x , ezért bővítsünk 3-mal és használjuk f f =ln| f |+c integrálási szabályt.

e 3x 1+ e 3x dx= 1 3 3 e 3x 1+ e 3x dx= 1 3 ln|1+ e 3x |+c= 1 3 ln( 1+ e 3x )+c

Mivel 1+ e 3x minden lehetséges x esetén pozitív értéket vesz fel, az abszolút érték elhagyható.

Folytassuk az improprius integrálást.

lim a b a b e 3x 1+ e 3x dx= lim a b [ 1 3 ln(1+ e 3b ) ] a b =

Használjuk fel, hogy haa e 3a 01+ e 3a 1 és

hab e 3b 1+ e 3b , így

lim b 1 3 ln(1+ e 3b ) lim a 1 3 ln(1+ e 3a )= 1 3 1 3 ln1=

Tehát az egyik határérték nem létezik, így a e 3x 1+ e 3x dx improprius integrál divergens.

10. feladat: x 1+3 x 2 dx

Megoldás: Az alsó és felső határt is le kell cserélni, majd az alábbi két határértéket kell vizsgálni:

x 1+3 x 2 dx= lim a b a b x 1+3 x 2 dx=

Végezzük el a primitív függvény keresését. Az integrandus egy törtfüggvény. Vegyük észre, hogy a számlálóban bővítéssel kialakítható a nevező deriváltja. Mivel (1+3 x 2 ) =6x , bővítsünk 6-tal.

x 1+3 x 2 dx= 1 6 6x 1+3 x 2 dx= 1 6 ln|1+3 x 2 |+C

Mivel 1+3 x 2 >0 minden valós x esetén, ezért az abszolút értéket a továbbiakban elhagyjuk.

lim a b a b x 1+3 x 2 dx= lim a b [ 1 6 ln(1+3 x 2 ) ] a b = lim b 1 6 ln(1+3 b 2 ) lim a 1 6 ln(1+3 a 2 )=

Vizsgáljuk meg az első határértéket:

ha  b1+3 b 2 ln(1+3 b 2 ) .

Következik a másik határérték:

ha  a1+3 a 2 ln(1+3 a 2 ) .

Tehát

lim b 1 6 ln(1+3 b 2 ) lim a 1 6 ln(1+3 a 2 )=

Mivel a határértékek nem végesek, az improprius integrál nem létezik. (Már az első határértékszámolás után mondhattuk volna, hogy az improprius integrál divergens.)

11. feladat: x e x 2 dx

Megoldás: Most is azzal kell kezdeni a feladatot, mind az alsó, mind a felső integrációs határt lecseréljük.

x e x 2 dx= lim a b a b x e x 2 dx=

Szükségünk van egy primitív függvényre, hogy tovább tudjunk lépni. Az ilyen típusú integráloknál észre kell venni, hogy e x 2 egy összetett függvény, amelynek belső függvénye x 2 . A belső függvény deriváltja pedig 2x , ami egy egyszerű bővítéssel kialakítható az integrandusban. Ha pedig egy összetett függvényt szorzunk éppen a belső függvényének deriváltjával, akkor használható a korábbról ismert integrálási szabály:

f( g( x ) ) g ( x )dx=F( g( x ) )+c , ahol F ( x )=f( x )

Végezzük el a számolást:

x e x 2 dx= 1 2 2x e x 2 dx= 1 2 e x 2 +c

A primitív függvény segítségével határozzuk meg az improprius integrált. Alkalmazzuk az új határokra a Newton-Leibniz tételt:

x e x 2 dx= lim a b a b x e x 2 dx= lim a b [ 1 2 e x 2 ] a b = lim b [ 1 2 e b 2 ] lim a [ 1 2 e a 2 ]=

A határértékek vizsgálata következik. Haladjunk lépésenként.

Habakkor b 2 és e b 2 0

Hasonló következtetésre jutunk a másik határértéknél is.

Haaakkor a 2 és e a 2 0

Tehát a két határérték külön-külön létezik, az improprius integrál konvergens és értéke:

lim b [ 1 2 e b 2 ] lim a [ 1 2 e a 2 ]= 1 2 0+ 1 2 0=0

Megjegyzés: Az eredmény meglehetősen furcsa. Ha azonban ábrázoljuk a függvényt, a végeredmény egyértelmű. Jól látható, hogy a függvény az origóra szimmetrikus és így a két görbe alatti terület megegyezik. De az x tengely feletti és alatti területeket az integrálás ellentétes előjellel adja meg. Így az összegük nulla lesz.

Ellenőrző kérdések
10. x 5 x 2 +6 dx
3 10
6 5
6
Az integrál divergens.
11. 5x e 3 x 2 dx
1 4
0
1
Az integrál divergens.
12. e 5x e 5x +3 dx
Az integrál divergens.
1 3
5 2
0
13. Melyik számolás helyes? x 5 x 2 +6 dx=
lim a b a b x 5 x 2 +6 dx= lim b 1 10 ln( 5 b 2 +6 ) lim a 1 10 ln( 5 a 2 +6 )=
lim a b a b x 5 x 2 +6 dx= lim b 1 10 ln( 10b+6 )+ lim a 1 10 ln( 10a+6 )=+
lim a b a b x 5 x 2 +6 dx= lim b 1 10 ( 5 b 2 +6 ) 0 lim a 1 10 ( 5 a 2 +6 ) 0 =11=0
lim a b a b x 5 x 2 +6 dx= lim b 1 ( 5 b 2 +6 ) 2 lim a 1 ( 5 a 2 +6 ) 2 =00=0