KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Többváltozós függvények
6. lecke: Gradiens vektor, iránymenti deriválás
Tanulási cél: Az iránymenti derivált kiszámolása és a gradiens vektor előállítása. | ||
Motivációs példa | ||
Egy üzem kétféle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a | ||
költségfüggvény adja, ahol az egyik, pedig a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értendő. | ||
Tegyük fel, hogy a -gyel jelölt termékből , a termékből pedig tonnát gyártanak. Hogyan változik a költségfüggvény, ha a és termék mennyiségét valamely irány mentén megváltoztatjuk? | ||
Hogyan kellene változtatni a termékek mennyiségén, hogy a költség a lehetséges legnagyobb mértékben csökkenjen? | ||
Ahogy az előző leckében, itt is a változás mértékét szeretnénk mérni. Kétváltozós függvénynek két független változója különböző módon is változhat. Ebben a leckében arra adunk választ, hogy ezek együttes hatását hogyan lehet számolni. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Az iránymenti derivált egy adott pontból kiindulva a függvény változását méri egy adott irány mentén. Segítségével azt tudjuk vizsgálni, hogy egy adott pontból kiindulva melyik az az irány, amely mentén a függvény értékei a leggyorsabban változnak. Az iránymenti derivált a gradiens vektor irányában a legnagyobb. A gradiens vektor tehát egy adott pontban a függvény legnagyobb növekedésének irányába mutat. Ellentett vektora pedig a legnagyobb csökkenés irányát adja meg. | ||
Az ábrán az függvény és a ponthoz tartozó gradiens vektor látható. | ||
| ||
Az ábrán az függvény és a ponthoz tartozó gradiens vektor látható. | ||
| ||
Legyen függvény pontban differenciálható, ekkor pontjához tartozó gradiense az a -nal vagy -nal jelölt vektor, amelyre teljesül, hogy | ||
Legyen az függvény differenciálható, az értelmezési tartomány pontjában és annak valamely környezetében. Ekkor az függvény irányú iránymenti deriváltja az pontban: | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Első lépésként ki kell számolnunk a parciális deriváltakat, utána pedig be kell helyettesítenünk a megadott pont koordinátáit. | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
Így tehát a függvény gradiense az pontban: | ||
Mivel mi a gradiens pontban felvett értékére vagyunk kíváncsiak, így határozzuk meg a parciális deriváltak helyettesítési értékeit: | ||
2. feladat: Határozza meg az függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Ez a függvény egy összetett függvény. A külső függvény a szinusz függvény a belső függvény pedig . Először deriváljuk a külső függvényt a belső függvény szerint, majd utána a belső függvényt kell deriválni a megfelelő változó szerint. | ||
Kezdjük az szerinti parciális deriválttal: | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
Így tehát a függvény gradiense az pontban: | ||
Mivel mi a gradiens pontban felvett értékére vagyunk kíváncsiak, így határozzuk meg a parciális deriváltak helyettesítési értékeit: | ||
Megjegyzés: Ügyeljünk arra, hogy a számolásánál a szög, mivel egy valós szám, radiánban értendő. | ||
3. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Első lépésként ki kell számolnunk a parciális deriváltakat, utána pedig be kell helyettesítenünk a megadott pont koordinátáit. | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
És az szerinti parciális derivált: | ||
Így tehát | ||
A gradiens pontban felvett értéke: | ||
4. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Nyilvánvaló, hogy | ||
Elsőször számoljuk ki a parciális deriváltakat, utána pedig behelyettesítjük a megadott pont koordinátáit. | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
És az szerinti parciális derivált: | ||
Így tehát | ||
A gradiens pontban felvett értéke: | ||
5. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! | ||
Megoldás: Elsőször számoljuk ki a parciális deriváltakat, ügyelve arra, hogy egy törtet deriválunk. | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
És az szerinti parciális derivált: | ||
Így tehát | ||
A gradiens pontban felvett értéke: | ||
6. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Először számoljuk ki az irányvektor hosszát. | ||
Számoljuk ki az szerinti parciális deriváltat: | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
Így az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
7. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Az előbbi eredményt felhasználva az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
. | ||
8. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Először számoljuk ki az irányvektor hosszát. | ||
Számoljuk ki az szerinti parciális deriváltat: | ||
Az szerinti parciális derivált: | ||
Így az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
Így az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
9. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! | ||
Megoldás: Számoljuk ki az irányvektor hosszát. | ||
A parciális deriváltak: | ||
Tehát az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
Az irányú iránymenti derivált a pontban: | ||
10. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! | ||
Megoldás: Számoljuk ki az irányvektor hosszát. | ||
A parciális deriváltak: | ||
Tehát az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
Az irányú iránymenti derivált a pontban: | ||
11. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! | ||
Megoldás: Számoljuk ki az irányvektor hosszát. | ||
A parciális deriváltak: | ||
Tehát az irányú iránymenti derivált az pontban: | ||
Az irányú iránymenti derivált a pontban: | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! ![]() | |||||||||
2. Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! ![]() | |||||||||
3. Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! ![]() | |||||||||
4. Határozza meg az kétváltozós függvény gradiensét a pontban! ![]() | |||||||||
5. Határozza meg az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! ![]() | |||||||||
6. Határozza meg az függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! ![]() | |||||||||
7. Határozza meg az függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! ![]() | |||||||||
8. Határozza meg az függvény irányú iránymenti deriváltját a pontban! ![]() | |||||||||
9. Határozza meg az függvény irányú iránymenti deriváltját az pontban! ![]() |