KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Többváltozós függvények

Modulzáró ellenőrző kérdések

1. Határozza meg az f( x,y )=   y+9 x 2 x2+y kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
2. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= 4 x 4 2 x 2 y+y 3
Határozza meg az elsőrendű parciális derivált függvényeket!
f x ( x,y )= 16 x 3 4xy 3 ,    f y ( x,y )= 2 x 2 +1 3
f x ( x,y )= 1 3 ( 16 x 3 4xy ) 2 3 ,    f y ( x,y )= 1 3 ( 2 x 2 +1 ) 2 3
f x ( x,y )= 1 3 ( 4 x 4 2 x 2 y+y ) 2 3 ( 16 x 3 4xy+y ),    f y ( x,y )= 1 3 ( 4 x 4 2 x 2 y+y ) 2 3 ( 4 x 4 2 x 2 +1 )
f x ( x,y )= 1 3 ( 4 x 4 2 x 2 y+y ) 2 3 ( 16 x 3 4xy ),    f y ( x,y )= 1 3 ( 4 x 4 2 x 2 y+y ) 2 3 ( 2 x 2 +1 )
3. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)=2xsin( x 2 +y)
Határozza meg az elsőrendű parciális derivált függvényeket!
f x =2sin( x 2 +y)+2xcos(2x+y),    f y =2xcos( x 2 +1)
f x =4xcos(2x+y),    f y =2xcos( x 2 +1)
f x =2sin( x 2 +y)+4 x 2 cos( x 2 +y),    f y =2xcos( x 2 +y)
f x =4xcos( x 2 +y),    f y =2xcos( x 2 +y)
4. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)= x 3 x+2 y 2 kétváltozós függvény gradiensét a (1,1) pontban!
grad f(1,1)=( 8 9 , 4 9 )
grad f(1,1)=( 1,0 )
grad f(1,1)=( 1, 1 5 )
grad f(1,1)=( 3,0 )
5. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)=x e 4x+ y 2 kétváltozós függvény gradiensét a (1,2) pontban!
grad f(1,2)=( e 4 ,0 )
grad f(1,2)=( 1,1 )
grad f(1,2)=( 3,4 )
grad f(1,2)=( e 8 ,1 )
6. Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= ( 2y+ x 2 ) 3 kétváltozós függvény u ¯ =(2,2) irányú iránymenti deriváltját az (1,1) pontban!
f u ¯ (1,1)= 216 2
f u ¯ (1,1)= 106 2
f u ¯ (1,1)= 216 8
f u ¯ (1,1)= 184 8
7. Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)=ln( x 2 +2 y 2 ) kétváltozós függvény f xx ( x,y ), f xy ( x,y ) másodrendű parciális deriváltjait!
f xx ( x,y )= 2 ( x 2 +2 y 2 ) 2 ,    f xy ( x,y )= 8xy ( x 2 +2 y 2 ) 2
f xx ( x,y )= 2 2x+4y ,    f xy ( x,y )= 8xy 2x+4y
f xx ( x,y )= 2 x 2 +4 y 2 ( x 2 +2 y 2 ) 2 ,    f xy ( x,y )= 8xy ( x 2 +2 y 2 ) 2
f xx ( x,y )= 2 x 2 ( x 2 +2 y 2 ) 2 ,    f xy ( x,y )= 4 y 2 ( x 2 +2 y 2 ) 2
8. Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)=2 x 2 y+2xy3 y 2 kétváltozós függvény stacionárius pontjait!
( 0,0 ),( 1,0 ),( 1 2 , 1 12 )
( 0,0 ),( 1 2 , 1 12 )
( 0,0 ),( 1,1 )
( 0,0 ),( 1,0 ),( 1,1 )
9. Az f: 2 :   f(x,y)=2 x 2 y+2xy3 y 2 kétváltozós függvény stacionárius pontja ( 0,0 ) . Döntse el, hogy ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milyen jellegű!
inflexiós pont
nem lokális szélsőérték
lokális minimum
lokális maximum
10. Az f: 2 :   f(x,y)=2 x 2 y+2xy3 y 2 kétváltozós függvény stacionárius pontja  ( 1 2 , 1 12 ) . Döntse el, hogy ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milyen jellegű!
nem lokális szélsőérték
lokális minimum
lokális maximum
inflexiós pont
11. Számolja ki az alábbi kettős integrált!
3 5 ( 1 2 x y 3 (3 x 2 y4)dy ) dx
1453,4
3472.6
852,7
2572,8
12. Számolja ki az  f(x,y)= ( 4x5y ) 3 függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :2x2;1y4 } tartományon!
41475
23784
12657
34789