KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Többváltozós függvények
5. lecke: Többváltozós függvények, parciális deriválás
Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós függvények fogalmával, különös tekintettel a kétváltozós függvényekre, kétváltozós függvények értelmezési tartományának meghatározása, parciális deriválás. | ||
Motivációs példa | ||
Egy üzem kétféle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a | ||
költségfüggvény adja, ahol az egyik, a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értendő. | ||
Milyen költséggel kell számolni, ha az egyik termék 1000 tonna, a másik pedig 1500? | ||
Hogyan változna a költség, ha a -gyel jelölt termék mennyiségét egy egységgel növelnénk? | ||
Általában hogyan változik a költségfüggvény, ha csak az egyik termék mennyiségét változtatjuk? | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Eddig olyan függvényekkel foglalkoztunk, amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számok halmazának részhalmaza. A közgazdaságtanban számos jelenség leírásához több változó együttes vizsgálatára van szükség. | ||
Azokat a függvényeket, amelyeknek több egymástól független változójuk van, többváltozós függvényeknek nevezzük. |
Definíció: Az függvényt -változós valós értékű függvénynek nevezzük. |
Az függvény az értelmezési tartomány minden pontjához egy valós számot rendel. | ||
Kétváltozós függvényeknek az típusú függvényeket nevezzük. | ||
Az kétváltozós függvény geometriai interpretációját a háromdimenziós Descartes koordinátarendszerben úgy kapjuk, hogy az síkban az koordinátájú pontokhoz az függvény által hozzárendelt értéket mérjük fel merőlegesen. | ||
| ||
A kétváltozós függvény grafikonja a térben leggyakrabban egy felületet alkot. | ||
Nézzünk néhány kétváltozós függvényt. | ||
| ||
| ||
| ||
A kétváltozós függvényeket a hozzárendelési utasítás megadásával definiáljuk. Az értelmezési tartomány az síknak az a legbővebb részhalmaza, amelyre a hozzárendelési utasítás értelmes. | ||
Az értelmezési tartományt legcélszerűbb grafikusan megadni. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Tekintsük a következő , kétváltozós függvényt: | ||
Számítsa ki az helyettesítési értékeket! | ||
Megoldás: Kezdjük kiszámolásával. Ez a jelölés azt jelenti, hogy értékeket kell behelyettesíteni a megfelelő változók helyére: | ||
esetén nagyon hasonló a helyzet, de a fordított sorrend miatt ez most azt jelenti, hogy az behelyettesítéseket kell elvégezni: | ||
esetén pedig mindkét változó helyére hármat kell írni: | ||
2. feladat: Tekintsük a következő , háromváltozós függvényt: . Számítsa ki az helyettesítési értékeket! | ||
Megoldás: Az jelölés azt jelenti, hogy értékeket kell behelyettesíteni a megfelelő változók helyére: | ||
3. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát! | ||
Megoldás: Egy kétváltozós függvény értelmezési tartománya az sík vagy annak valamely részhalmaza lehet. Tehát azt kell vizsgálnunk, hogy milyen pontok esetén van értelmezve függvény. Mivel négyzetgyököt csak nemnegatív számból vonhatunk, így az értelmezési tartomány minden pontjára teljesülnie kell, hogy: | ||
Ezt az egyenlőtlenséget rendezzük -ra: | ||
Az egy olyan egyenes egyenletét jelenti, ami az -tengelyt az pontban metszi, és az -tengelyt a pontban. Az egyenes a teljes síkot két félsíkra osztja. Az egyik félsíkban olyan pontok találhatóak, amelyekre , míg a másikban Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot. Az értelmezési tartomány pontjait az alábbi ábra szemlélteti. | ||
| ||
4. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát! | ||
Megoldás: Mivel ln argumentumában csak pozitív szám állhat, ezért azt kell vizsgálnunk, hogy milyen pontok esetén teljesül: | ||
egyenlőtlenség. Azaz rendezve -ra: | ||
| ||
Vizsgáljuk meg most a gyökös kifejezést. Mivel négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, így a kifejezés olyan pontokban van értelmezve, amelyekre | ||
kell, hogy teljesüljön. Vegyük észre, hogy rendezve x-re | ||
| ||
Ahhoz, hogy értelmezve legyen, az előbbi két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az értelmezési tartományába, amelyekre mindkét feltétel egyszerre teljesül. Ezt szemlélteti az alábbi ábra: | ||
| ||
5. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát! | ||
Megoldás: Nézzük először a logaritmusos kifejezést. Mivel lg argumentumában csak pozitív szám állhat, így a kifejezés olyan pontokban van értelmezve, amelyekre | ||
kell, hogy teljesüljön. Vegyük észre, hogy az | ||
egyenlőség egy origó középpontú, 5 sugarú körvonal pontjaira teljesül. Az | ||
egyenlőtlenséget pedig azon pontok teljesítik az síkban, amelyek 5-nél nagyobb távolságra vannak az origótól, azaz az origó középpontú, 5 sugarú körön kívül helyezkednek el. | ||
| ||
Mivel négyzetgyökös kifejezés a nevezőben található, így az értelmezési tartomány minden pontjára teljesülnie kell, hogy: | ||
Ezt az egyenlőtlenséget rendezzük -ra: | ||
Az egy olyan egyenes egyenletét jelenti, ami áthalad az origón. Az egyenes a teljes síkot két félsíkra osztja. Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot. | ||
| ||
Ahhoz, hogy értelmezve legyen, az előbbi két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az értelmezési tartományába, amelyekre mindkét feltétel egyszerre teljesül. Ezt szemlélteti az alábbi ábra: | ||
| ||
6. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát! | ||
Megoldás: Vizsgáljuk meg először a kifejezést. Mivel négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, így a keresett pontokra: | ||
teljesül. Ezt -ra rendezve | ||
Először ábrázoljuk az egyenletű parabolát. Ekkor a parabola két félsíkra osztja az síkot. Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot. Az egyenlőtlenségnek eleget tevő pontok halmaza az alábbi ábrán látható. | ||
| ||
A másik gyökös kifejezésnél a négyzetgyök alatt szintén csak nemnegatív szám szerepelhet, így a keresett pontokra: | ||
teljesül. Ezt -ra rendezve | ||
Az egy olyan egyenes egyenletét jelenti, ami az -tengelyt az pontban metszi, és az -tengelyt a pontban. Az egyenes a teljes síkot két félsíkra osztja. Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot. | ||
| ||
Az értelmezési tartomány pontjait az alábbi ábra szemlélteti. | ||
| ||
7. feladat: Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát! | ||
Megoldás: Vizsgáljuk meg először a gyökös kifejezést. Mivel négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, így a keresett pontokra: | ||
kell, hogy teljesüljön. Vegyük észre, hogy az | ||
egyenlőség egy origó középpontú, 2 sugarú körvonal pontjaira teljesül. Az | ||
egyenlőtlenséget pedig azon pontok teljesítik az síkban, amelyek 2 vagy 2-nél nagyobb távolságra vannak az origótól, azaz az origó középpontú, 2 sugarú körön vagy azon kívül helyezkednek el. | ||
| ||
Mivel ln argumentumában csak pozitív szám állhat, így a második kifejezés olyan pontokban van értelmezve, amelyekre | ||
-ra rendezve: | ||
Ábrázoljuk az egyenletű parabolát. Ekkor a parabola két félsíkra osztja az síkot. Az egyenlőtlenségnek eleget tevő pontok halmaza az alábbi ábrán látható. | ||
| ||
Ahhoz, hogy az függvény értelmezve legyen, az előbbi két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az értelmezési tartományába, amelyekre mindkét feltétel egyszerre teljesül. A halmazok nyelvén megfogalmazva, értelmezési tartományát a két feltételhez tartozó halmaz metszete adja. Ezt szemlélteti az alábbi ábra: | ||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Tekintsük a következő , kétváltozós függvényt: Számítsa ki az helyettesítési értékeket!
![]() | |||||||||
2. Tekintsük a következő , háromváltozós függvényt: Számítsa ki az helyettesítési értékeket! ![]() | |||||||||
3. Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
![]() | |||||||||
4. Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
![]() | |||||||||
5. Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
![]() | |||||||||
6. Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
![]() | |||||||||
7. Határozza meg az kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
![]() |
Elméleti összefoglaló | ||
Az egyváltozós függvényeknél megismert összegre, szorzatra, hányadosra és összetett függvényre vonatkozó deriválási szabályok a parciális deriválásnál is érvényesek. | ||
Amikor valamelyik változó szerint parciálisan deriválunk, akkor az egyváltozós függvények deriválásakor megtanult szabályokat kell alkalmazni úgy, hogy azokat a változókat, amelyek szerint nem deriválunk konstansnak kell tekinteni. | ||
Kétváltozós függvények parciális deriválásakor ez azt jelenti, hogy az szerinti parciális deriválás során -t, az szerinti parciális deriválás során pedig -et konstansként kezeljük. | ||
Az függvényt az változó szerint deriválva kapjuk az -nal vagy -nal jelölt és az szerinti elsőrendű parciális deriváltnak nevezett kétváltozós függvényt. | ||
Az függvényt az változó szerint deriválva pedig kapjuk az -nal vagy -nal jelölt és az szerinti elsőrendű parciális deriváltnak nevezett kétváltozós függvényt. | ||
Ezeket a függvényeket szokás az függvény elsőrendű parciális deriváltjainak nevezni. | ||
Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az függvényből deriválással két új, szintén kétváltozós függvényt kapunk. | ||
Az változó szerint deriválva kapjuk az -nal vagy -nal jelölt függvényt, amit szokás szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltnak nevezni. | ||
Az szerinti elsőrendű parciális deriváltat változó szerint újra deriválva kapjuk függvény vegyes másodrendű parciális deriváltját, amit szokás -nal vagy -nal jelölni. | ||
Hasonlóan az függvényből is két új kétváltozós függvényt kapunk. | ||
Az változó szerint deriválva kapjuk az -nal vagy -nal jelölt vegyes másodrendű parciális deriváltat. | ||
Az változó szerint deriválva pedig kapjuk az -nal vagy -nal jelölt szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltat. | ||
Kétszer folytonosan deriválható függvények esetén a vegyes másodrendű parciális deriváltak függetlenek a deriválás sorrendjétől, vagyis . Viszont a megfordítása nem feltétlenül igaz, tehát például abból, hogy , még nem következik, hogy kétszer folytonosan deriválható. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
8. feladat: Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: | ||
Számítsa ki és értékeit! | ||
Majd képezze az összes másodrendű parciális deriváltat! | ||
Megoldás: A feladat megoldásához először el kell végeznünk a parciális deriválást az adott változók szerint, majd következik a behelyettesítés. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik. | ||
. | ||
hiszen deriváltja és deriváltja pedig . | ||
Majd elvégezve a behelyettesítést: | ||
kiszámítása nagyon hasonlóan történik: most szerint deriválunk, és -et tekintjük konstansnak: | ||
Elvégezve a behelyettesítést: | ||
Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az függvényből két új függvényt kapunk. | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Az függvényből szintén két új függvényt kapunk. | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Az változó szerint deriválva: | ||
Vegyük észre, hogy . | ||
9. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit! | ||
Megoldás: Kezdjük az szerinti deriválással. Ekkor , és így is konstansnak tekintendő. | ||
Most szerinti deriválva lesz konstans: | ||
10. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit! | ||
Megoldás: Ez a függvény egy összetett függvény. A külső függvény egy harmadfokú függvény a belső függvény pedig . Először deriváljuk a külső függvényt a belső függvény szerint, majd utána a belső függvényt kell deriválni a megfelelő változó szerint. | ||
Kezdjük az szerinti deriválással. | ||
kiszámítása: | ||
11. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit! | ||
Megoldás: Ez ismét egy összetett függvény, így a megoldás menete úgy zajlik, mint az előző feladatban: először deriválni kell a külső függvényt a belső függvény szerint (jelen esetben a négyzetgyök függvényt), majd utána a belső függvényt kell deriválni a megfelelő változó szerint. A négyzetgyök függvényt érdemes hatvány alakban felírni: | ||
Ezután a külső függvényt már, mint hatványfüggvényt lehet deriválni: | ||
12. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit! | ||
Megoldás: Kezdjük az szerinti deriválással. | ||
kiszámításánál egy szorzatot kell deriválni. A szorzat egyik tényezője összetett függvény. | ||
13. feladat: Ha , határozza meg függvény másodrendű parciális derivált függvényeit! | ||
Megoldás: A szokott módon állítsuk elő az elsőrendű parciális deriváltakat. | ||
A kapott függvényeket külön-külön deriváljuk újra mindkét változó szerint. | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
8. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Számítsa ki értékét! ![]() | |||||||||
9. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Számítsa ki értékét! ![]() | |||||||||
10. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg a másodrendű derivált függvényt! ![]() | |||||||||
11. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg az másodrendű derivált függvényt! ![]() | |||||||||
12. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg az elsőrendű derivált függvényt! ![]() | |||||||||
13. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg az elsőrendű derivált függvényt! ![]() | |||||||||
14. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg az elsőrendű derivált függvényt! ![]() | |||||||||
15. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg az elsőrendű derivált függvényt! ![]() | |||||||||
16. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt: Határozza meg az elsőrendű derivált függvényt! ![]() |