KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Többváltozós függvények

5. lecke: Többváltozós függvények, parciális deriválás

Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós függvények fogalmával, különös tekintettel a kétváltozós függvényekre, kétváltozós függvények értelmezési tartományának meghatározása, parciális deriválás.

Motivációs példa

Egy üzem kétféle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a

C( Q 1 , Q 2 )= Q 1 2 3 Q 1 Q 2 +5 Q 2 2 10 Q 1 18 Q 2 +150,     Q 1 , Q 2 0  és   Q 1 , Q 2

költségfüggvény adja, ahol Q 1 az egyik, Q 2 a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értendő.

Milyen költséggel kell számolni, ha az egyik termék 1000 tonna, a másik pedig 1500?

Hogyan változna a költség, ha a Q 1 -gyel jelölt termék mennyiségét egy egységgel növelnénk?

Általában hogyan változik a költségfüggvény, ha csak az egyik termék mennyiségét változtatjuk?

Elméleti összefoglaló

Eddig olyan függvényekkel foglalkoztunk, amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete a valós számok halmazának részhalmaza. A közgazdaságtanban számos jelenség leírásához több változó együttes vizsgálatára van szükség.

Azokat a függvényeket, amelyeknek több egymástól független változójuk van, többváltozós függvényeknek nevezzük.

Definíció: Az f: n függvényt n-változós valós értékű függvénynek nevezzük.

Az f függvény az értelmezési tartomány minden ( x 1 , x 2 ,... x n ) pontjához egy f( x 1 , x 2 ,... x n )   valós számot rendel.

Kétváltozós függvényeknek az f: 2  ,  ( x, y )  f( x, y ) típusú függvényeket nevezzük.

Az f(x,y) kétváltozós függvény geometriai interpretációját a háromdimenziós Descartes koordinátarendszerben úgy kapjuk, hogy az xy síkban az ( x,y ) koordinátájú pontokhoz az f(x,y) függvény által hozzárendelt értéket mérjük fel merőlegesen.

A kétváltozós függvény grafikonja a térben leggyakrabban egy felületet alkot.

Nézzünk néhány kétváltozós függvényt.

f(x,y)= x 2 + y 2

f(x,y)= x 2 + y 2 9

f(x,y)= x 4 3 x 2 y 2 + y 4

A kétváltozós függvényeket a hozzárendelési utasítás megadásával definiáljuk. Az értelmezési tartomány az xy síknak az a legbővebb részhalmaza, amelyre a hozzárendelési utasítás értelmes.

Az értelmezési tartományt legcélszerűbb grafikusan megadni.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Tekintsük a következő 2 , kétváltozós függvényt:

f(x,y)= x 2 yx+2y 

Számítsa ki az f( 1,2 ), f( 2,1 ) és  f( 3,3 ) helyettesítési értékeket!

Megoldás: Kezdjük f( 1,2 ) kiszámolásával. Ez a jelölés azt jelenti, hogy x=1  és  y=2 értékeket kell behelyettesíteni a megfelelő változók helyére:

f(1,2) =  1 2 21+22 =21+4=5 

f( 2,1 ) esetén nagyon hasonló a helyzet, de a fordított sorrend miatt ez most azt jelenti, hogy az x=2  és  y=1 behelyettesítéseket kell elvégezni:

f(2,1)= 2 2 12+21=42+2=4

f( 3,3 ) esetén pedig mindkét változó helyére hármat kell írni:

f(3,3)= 3 2 33+23=273+6=30 

2. feladat: Tekintsük a következő 3 , háromváltozós függvényt: f(x,y,z)=xyz+yx . Számítsa ki az f( 1,2,3 ) helyettesítési értékeket!

Megoldás: Az f( 1,2,3 ) jelölés azt jelenti, hogy x=1, y=2  és  z=3 értékeket kell behelyettesíteni a megfelelő változók helyére:

f(1,2,3)=123+21=7

3. feladat: Határozza meg az f( x,y ) =  2x  y + 1 kétváltozós függvény értelmezési tartományát!

Megoldás: Egy kétváltozós függvény értelmezési tartománya az xy  sík vagy annak valamely részhalmaza lehet. Tehát azt kell vizsgálnunk, hogy milyen ( x,y ) pontok esetén van értelmezve f( x,y ) függvény. Mivel négyzetgyököt csak nemnegatív számból vonhatunk, így az értelmezési tartomány minden pontjára teljesülnie kell, hogy:

2xy+10

Ezt az egyenlőtlenséget  rendezzük y-ra:

y2x+1

Az y=2x+1 egy olyan egyenes egyenletét jelenti, ami az y-tengelyt az 1 pontban metszi, és az x-tengelyt a ( 0,5 ) pontban. Az egyenes a teljes síkot két félsíkra osztja. Az egyik félsíkban olyan pontok találhatóak, amelyekre y>2x+1 , míg a másikban y<2x+1.  Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot. Az értelmezési tartomány pontjait az alábbi ábra szemlélteti.

4. feladat: Határozza meg az f( x,y )=  e 1x +ln( y2 ) kétváltozós függvény értelmezési tartományát!

Megoldás: Mivel ln argumentumában csak pozitív szám állhat, ezért azt kell vizsgálnunk, hogy milyen ( x,y ) pontok esetén teljesül:

y2>0

egyenlőtlenség. Azaz rendezve y-ra:

y>2

Vizsgáljuk meg most a gyökös kifejezést. Mivel négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, így a kifejezés olyan ( x,y ) pontokban van értelmezve, amelyekre

 1x0

kell, hogy teljesüljön. Vegyük észre, hogy rendezve x-re

x1

Ahhoz, hogy f( x,y ) értelmezve legyen, az előbbi két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az f( x,y ) értelmezési tartományába, amelyekre mindkét feltétel egyszerre teljesül. Ezt szemlélteti az alábbi ábra:

5. feladat: Határozza meg az f( x,y )=  lg( x 2 + y 2 25) 2x+y kétváltozós függvény értelmezési tartományát!

Megoldás: Nézzük először a logaritmusos kifejezést. Mivel lg argumentumában csak pozitív szám állhat, így a kifejezés olyan ( x,y ) pontokban van értelmezve, amelyekre

  x 2 + y 2  25 >0

kell, hogy teljesüljön. Vegyük észre, hogy az

x 2 +  y 2 = 5 2

egyenlőség egy origó középpontú, 5 sugarú körvonal pontjaira teljesül. Az

x 2 +  y 2 > 5 2

egyenlőtlenséget pedig azon pontok teljesítik az xy síkban, amelyek 5-nél nagyobb távolságra vannak az origótól, azaz az origó középpontú, 5 sugarú körön kívül helyezkednek el.

Mivel négyzetgyökös kifejezés a nevezőben található, így az értelmezési tartomány minden pontjára teljesülnie kell, hogy:

2x+y>0

Ezt az egyenlőtlenséget rendezzük y-ra:

y>2x

Az y=2x egy olyan egyenes egyenletét jelenti, ami áthalad az origón. Az egyenes a teljes síkot két félsíkra osztja. Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot.

Ahhoz, hogy f( x,y ) értelmezve legyen, az előbbi két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az f( x,y ) értelmezési tartományába, amelyekre mindkét feltétel egyszerre teljesül. Ezt szemlélteti az alábbi ábra:

6. feladat: Határozza meg az f( x,y )=  4 x 2 y + y2x+2 kétváltozós függvény értelmezési tartományát!

Megoldás: Vizsgáljuk meg először a 4 x 2 y kifejezést. Mivel négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, így a keresett ( x,y ) pontokra:

4 x 2 y0

teljesül. Ezt y-ra rendezve

y x 2 +4

Először ábrázoljuk az y= x 2 +4 egyenletű parabolát. Ekkor a parabola két félsíkra osztja az xy síkot. Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot. Az egyenlőtlenségnek eleget tevő pontok halmaza az alábbi ábrán látható.

A másik gyökös kifejezésnél a négyzetgyök alatt szintén csak nemnegatív szám szerepelhet, így a keresett ( x,y ) pontokra:

y2x+20

teljesül. Ezt y-ra rendezve

y2x2

Az y=2x2 egy olyan egyenes egyenletét jelenti, ami az y-tengelyt az 1 pontban metszi, és az x-tengelyt a ( 2 ) pontban. Az egyenes a teljes síkot két félsíkra osztja. Egy tetszőleges érték behelyettesítésével kiválaszthatjuk a megfelelő félsíkot.

Az értelmezési tartomány pontjait az alábbi ábra szemlélteti.

7. feladat: Határozza meg az f( x,y )=  x 2 + y 2 4 +ln( y x 2 +1 ) kétváltozós függvény értelmezési tartományát!

Megoldás: Vizsgáljuk meg először a gyökös kifejezést. Mivel négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám szerepelhet, így a keresett ( x,y ) pontokra:

  x 2 + y 2  4 0

kell, hogy teljesüljön. Vegyük észre, hogy az

x 2 +  y 2 2 2

egyenlőség egy origó középpontú, 2 sugarú körvonal pontjaira teljesül. Az

x 2 +  y 2 2 2

egyenlőtlenséget pedig azon pontok teljesítik az xy síkban, amelyek 2 vagy 2-nél nagyobb távolságra vannak az origótól, azaz az origó középpontú, 2 sugarú körön vagy azon kívül helyezkednek el.

Mivel ln argumentumában csak pozitív szám állhat, így a második kifejezés olyan ( x,y ) pontokban van értelmezve, amelyekre

 y x 2  +1>0

y-ra rendezve:

y> x 2 1

Ábrázoljuk az y= x 2 1 egyenletű parabolát. Ekkor a parabola két félsíkra osztja az xy síkot. Az egyenlőtlenségnek eleget tevő pontok halmaza az alábbi ábrán látható.

Ahhoz, hogy az f( x,y ) függvény értelmezve legyen, az előbbi két feltételnek egyszerre kell teljesülnie, tehát csak azok a pontok tartoznak bele az f( x,y ) értelmezési tartományába, amelyekre mindkét feltétel egyszerre teljesül. A halmazok nyelvén megfogalmazva, f( x,y ) értelmezési tartományát a két feltételhez tartozó halmaz metszete adja. Ezt szemlélteti az alábbi ábra:

Ellenőrző kérdések
1. Tekintsük a következő 2 , kétváltozós függvényt:
f(x,y) = xln y 
Számítsa ki az f( 1,1 ) helyettesítési értékeket!
1
0
1
nem létezik
2. Tekintsük a következő 3 , háromváltozós függvényt:
f(x,y,z)=xyz+yx
Számítsa ki az f( 1,1,2 ) helyettesítési értékeket!
2
1
1
2
3. Határozza meg az f( x,y )=ln( 2xy6 ) kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
4. Határozza meg az f( x,y )=  2 x3 +lg( y1 ) kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
5. Határozza meg az f( x,y )=  lg(16 x 2 y 2 ) 4x+1+y kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
6. Határozza meg az f( x,y )=  y+9 x 2 + x+2y kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
7. Határozza meg az f( x,y ) =ln( x 2 + y 2 36 )+ y+ x 2 1 kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
Elméleti összefoglaló

Az egyváltozós függvényeknél megismert összegre, szorzatra, hányadosra és összetett függvényre vonatkozó deriválási szabályok a parciális deriválásnál is érvényesek.

Amikor valamelyik változó szerint parciálisan deriválunk, akkor az egyváltozós függvények deriválásakor megtanult szabályokat kell alkalmazni úgy, hogy azokat a változókat, amelyek szerint nem deriválunk konstansnak kell tekinteni.

Kétváltozós függvények parciális deriválásakor ez azt jelenti, hogy az x szerinti parciális deriválás során y-t, az y szerinti parciális deriválás során pedig x-et konstansként kezeljük.

Az f(x,y) függvényt az x változó szerint deriválva kapjuk az f x (x,y) -nal vagy f x -nal jelölt és az x szerinti elsőrendű parciális deriváltnak nevezett kétváltozós függvényt.

Az f(x,y) függvényt az y változó szerint deriválva pedig kapjuk az f y (x,y) -nal vagy f y -nal jelölt és az y szerinti elsőrendű parciális deriváltnak nevezett kétváltozós függvényt.

Ezeket a függvényeket szokás az f(x,y) függvény elsőrendű parciális deriváltjainak nevezni.

Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az f x (x,y)= f x függvényből deriválással két új, szintén kétváltozós függvényt kapunk.

Az x változó szerint deriválva kapjuk az f xx (x,y) -nal vagy 2 f x 2 -nal jelölt függvényt, amit szokás x szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltnak nevezni.

Az x szerinti elsőrendű parciális deriváltat y változó szerint újra deriválva kapjuk f függvény vegyes másodrendű parciális deriváltját, amit szokás f xy (x,y) -nal vagy 2 f xy -nal jelölni.

Hasonlóan az f y (x,y)= f y függvényből is két új kétváltozós függvényt kapunk.

Az x változó szerint deriválva kapjuk az f yx (x,y) -nal vagy 2 f yx -nal jelölt vegyes másodrendű parciális deriváltat.

Az y változó szerint deriválva pedig kapjuk az f yy (x,y) -nal vagy 2 f y 2 -nal jelölt y szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltat.

Kétszer folytonosan deriválható függvények esetén a vegyes másodrendű parciális deriváltak függetlenek a deriválás sorrendjétől, vagyis f xy ( x,y ) =  f yx ( x,y ) . Viszont a megfordítása nem feltétlenül igaz, tehát például abból, hogy f xy ( x,y ) =  f yx ( x,y ) , még nem következik, hogy f( x,y ) kétszer folytonosan deriválható.

Kidolgozott feladatok

8. feladat: Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:

f: 2 ,  f(x,y)= x 2 yx y 3 +x

Számítsa ki f x ( 1,2 ) és f y ( 1,2 ) értékeit!

Majd képezze az összes másodrendű parciális deriváltat!

Megoldás: A feladat megoldásához először el kell végeznünk a parciális deriválást az adott változók szerint, majd következik a behelyettesítés. Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik.

f x (x,y)= f x =2xy y 3 +1 .

hiszen x 2 deriváltja 2x és x deriváltja pedig 1.

Majd elvégezve a behelyettesítést:

f x (1,2)=212 2 3 +1=3

f y (x,y) kiszámítása nagyon hasonlóan történik: most y szerint deriválunk, és x-et tekintjük konstansnak:

f y (x,y)= f y = x 2 3x y 2 +0

Elvégezve a behelyettesítést:

f y (1,2)= 1 2 31 2 2 =11

Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az f x (x,y)= f x =2xy y 3 +1 függvényből két új függvényt kapunk.

Az x változó szerint deriválva: f xx (x,y)= 2 f x 2 =2y

Az y változó szerint deriválva: f xy (x,y)= 2 f xy =2x3 y 2

Az f y (x,y)= f y = x 2 3x y 2 függvényből szintén két új függvényt kapunk.

Az x változó szerint deriválva: f yx (x,y)= 2 f yx =2x3 y 2

Az y változó szerint deriválva: f yy (x,y)= 2 f y 2 =6xy

Vegyük észre, hogy f xy ( x,y ) =  f yx ( x,y ) .

9. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit!

f: 2 ,   f(x,y)= x 2 e 2y

Megoldás: Kezdjük az x szerinti deriválással. Ekkor y, és így e 2y is konstansnak tekintendő.

f x (x,y)= f x =2x e 2y =2x e 2y

Most y szerinti deriválva x 2 lesz konstans:

f y (x,y)= f y = x 2 e 2y 2=2 x 2 e 2y

10. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit!

f: 2 ,   f(x,y)= ( 2xy y 3 ) 3

Megoldás: Ez a függvény egy összetett függvény. A külső függvény egy harmadfokú függvény a belső függvény pedig 2xy y 3 . Először deriváljuk a külső függvényt a belső függvény szerint, majd utána a belső függvényt kell deriválni a megfelelő változó szerint.

Kezdjük az x szerinti deriválással.

f x (x,y)= f x = 3 ( 2xy y 3 ) 2 külsőder. 2y belsőder. az x változó szerint =6y ( 2xy y 3 ) 2

f y (x,y) kiszámítása:

f y (x,y)= f y = 3 ( 2xy y 3 ) 2 külsőder. (2x3 y 2 ) belsőder. az y változó szerint =3 ( 2xy y 3 ) 2 (2x3 y 2 )

11. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit!

f: 2 ,  f(x,y)= x 2 y 2 y 4

Megoldás: Ez ismét egy összetett függvény, így a megoldás menete úgy zajlik, mint az előző feladatban: először deriválni kell a külső függvényt a belső függvény szerint (jelen esetben a négyzetgyök függvényt), majd utána a belső függvényt kell deriválni a megfelelő változó szerint. A négyzetgyök függvényt érdemes hatvány alakban felírni:

f(x,y)= x 2 y 2 y 4 = ( x 2 y 2 y 4 ) 1 2

Ezután a külső függvényt már, mint hatványfüggvényt lehet deriválni:

f x (x,y)= f x = 1 2 ( x 2 y 2 y 4 ) 1 2 külsőder. (2x y 2 ) belsőder. az x változó szerint = 1 2 2x y 2 x 2 y 2 y 4 = x y 2 x 2 y 2 y 4

f y (x,y)= f y = 1 2 ( x 2 y 2 y 4 ) 1 2 külsőder. ( x 2 2y4 y 3 ) belsőder. az y vátozó szerint = 1 2 (2 x 2 y4 y 3 ) x 2 y 2 y 4 = ( x 2 y2 y 3 ) x 2 y 2 y 4   

12. feladat: Számítsa ki az alábbi kétváltozós függvény elsőrendű parciális derivált függvényeit!

f: 2 ,  f(x,y)= y 4 sin( x 2 y)

Megoldás: Kezdjük az x szerinti deriválással.

f x (x,y)= f x = y 4 cos( x 2 y)2xy=2x y 5 cos( x 2 y)

f y (x,y) kiszámításánál egy szorzatot kell deriválni. A szorzat egyik tényezője sin( x 2 y) összetett függvény.

f y (x,y)= f y =4 y 3 sin( x 2 y)+ y 4 cos( x 2 y) x 2 =4 y 3 sin( x 2 y)+ x 2 y 4 cos( x 2 y)

13. feladat: Ha f: 2 ,  f(x,y)=3 x 3 siny , határozza meg függvény másodrendű parciális derivált függvényeit!

Megoldás: A szokott módon állítsuk elő az elsőrendű parciális deriváltakat.

f x (x,y)= f x =9 x 2 siny=9 x 2 siny

f y (x,y)= f y =3 x 3 cosy

A kapott függvényeket külön-külön deriváljuk újra mindkét változó szerint.

f xx (x,y)= 2 f x 2 =18xsiny=18xsiny

f xy (x,y)= 2 f xy =9 x 2 cosy

f yy (x,y)= 2 f y 2 =3 x 3 (siny)=3 x 3 siny

f yx (x,y)= 2 f yx =9 x 2 cosy

Ellenőrző kérdések
8. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= x 4 y 3 x y 2 +y
Számítsa ki f x ( 1,3 ) értékét!
18
117
99
84
9. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= x 4 y 3 x y 2 +y
Számítsa ki f y ( 1,1 ) értékét!
3
4
5
6
10. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= x 4 y 3 x y 2 +y
Határozza meg a 2 f yx másodrendű derivált függvényt!
2 f yx =12 x 3 y 2 2y
2 f yx =12 x 3 y 2 2y+1
2 f yx =12 x 3 y 2 2xy
2 f yx =12 x 3 y 2 2xy+1
11. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= x 4 y 3 x y 2 +y
Határozza meg az f xx (x,y) másodrendű derivált függvényt!
f xx (x,y)=12 x 2 y 3 y 2 +1
f xx (x,y)=12 x 2 y 3 y+1
f xx (x,y)=12 x 2 y 3 y 2
f xx (x,y)=12 x 2 y 3
12. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,   f(x,y)= x 3 e 6y4
Határozza meg az f y (x,y) elsőrendű derivált függvényt!
f y (x,y)= x 3 e 6y4
f y (x,y)=6 x 3 e 6y4
f y (x,y)=3 x 2 e 6y4
f y (x,y)= x 3 e 6y4 (6y4)
13. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= ( 4 x 2 y y 3 +5x ) 7
Határozza meg az f x (x,y) elsőrendű derivált függvényt!
  f x (x,y)= ( 8xy y 3 +5 ) 7
  f x (x,y)= ( 8xy+5 ) 7
  f x (x,y)=7 ( 4 x 2 y y 3 +5x ) 6 (8xy+5)
  f x (x,y)=7 ( 4 x 2 y y 3 +5x ) 6 (8xy y 3 +5)
14. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= 3xy+ y 3 5
Határozza meg az f y (x,y) elsőrendű derivált függvényt!
f y (x,y)= 1 5 ( 3xy+ y 3 ) 4 5 ( x+3 y 2 )
f y (x,y)= 1 5 ( 3xy+ y 3 ) 4 5 ( y+3 y 2 )
f y (x,y)= 1 5 ( 3y+3 y 2 ) 4 5
f y (x,y)= 1 5 ( y+3 y 2 ) 4 5
15. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= x 2 sin(x+ y 2 )
Határozza meg az f y (x,y) elsőrendű derivált függvényt!
f y ( x,y )= x 2 cos( x+ y 2 )
f y ( x,y )=2xsin( x+ y 2 )+ x 2 cos( x+ y 2 )
f y ( x,y )=2 x 2 ycos( x+ y 2 )
f y ( x,y )= x 2 cos( x+2y )
16. Vegyük az alábbi kétváltozós függvényt:
f: 2 ,  f(x,y)= x 2 sin(xy)
Határozza meg az f x elsőrendű derivált függvényt!
f x =2xcos( y )
f x =2xcos( xy )
f x =2xsin( xy )+ x 2 cos( y )
f x =2xsin( xy )+ x 2 ycos( xy )