KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Többváltozós függvények

7. lecke: Lokális szélsőérték meghatározása

Tanulási cél: A kétváltozós függvények lokális szélsőértékének meghatározása.

Motivációs példa

Egy üzem kétféle terméket állít elő. A két termék havi előállítási költségét a

C( Q 1 , Q 2 )= Q 1 2 3 Q 1 Q 2 +5 Q 2 2 10 Q 1 18 Q 2 +150,     Q 1 , Q 2 0  és   Q 1 , Q 2

költségfüggvény adja, ahol Q 1 az egyik, Q 2 a másik termék mennyiségét jelenti tonnában, a költség pedig millió forintban értendő.

Milyen termékösszetételnél lesz a költség minimális?

Ebben a leckében módszert adunk annak eldöntésére, hogy egy kétváltozós függvények van-e szélsőértéke és ha van milyen típusú.

Elméleti összefoglaló

Vegyünk egy f(x,y) kétváltozós függvényt, amely kétszer folytonosan deriválható.

Definíció: Az f(x,y) függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla az f(x,y) függvény stacionárius pontjainak nevezzük.

Definíció: Az f(x,y) függvénynek az ( x 0 , y 0 ) pontban lokális maximuma van, ha létezik az ( x 0 , y 0 ) pontnak olyan környezete, melyben az f( x 0 , y 0 ) a legnagyobb érték.

Definíció: Az f(x,y) függvénynek az ( x 0 , y 0 ) pontban lokális minimuma van, ha létezik az ( x 0 , y 0 ) pontnak olyan környezete, melyben az f( x 0 , y 0 ) a legkisebb érték.

Tétel: Ha egy kétváltozós f függvény az értelmezési tartományának valamely ( x 0 , y 0 ) pontjában mindkét változója szerint parciálisan differenciálható és az adott pontban a függvénynek lokális szélsőértéke van, akkor f x ( x 0 , y 0 )=0 és f y ( x 0 , y 0 )=0 , azaz ( x 0 , y 0 ) pont f egy stacionárius pontja.

Tehát egy kétváltozós f függvénynek egy ( x 0 , y 0 ) pontban csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha a pont f egy stacionárius pontja. De sajnos a parciális deriváltak zérus volta nem elegendő feltétel a szélsőérték létezésére.

Tétel: Egy kétváltozós f függvénynek az ( x 0 , y 0 ) pontban akkor van lokális szélsőértéke, ha az ( x 0 , y 0 ) pont f egy stacionárius pontja és teljesül, hogy

D( x 0 , y 0 )=| f xx ( x 0 , y 0 )    f xy ( x 0 , y 0 ) f yx ( x 0 , y 0 )    f yy ( x 0 , y 0 ) |>0

azaz

D( x 0 , y 0 )= f xx ( x 0 , y 0 ) f yy ( x 0 , y 0 )+ f xy ( x 0 , y 0 ) f yx ( x 0 , y 0 )>0 .

Ha D( x 0 , y 0 )<0 , akkor az függvénynek az ( x 0 , y 0 ) pontban nincs lokális szélsőértéke. Az függvénynek az ( x 0 , y 0 ) pontban nyeregpontja van.

Ha D( x 0 , y 0 )=0 , akkor további vizsgálatok szükségesek annak eldöntésére, hogy van-e szélsőérték az ( x 0 , y 0 ) pontban vagy nincs.

A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az f xx ( x 0 , y 0 ) előjele alapján állapíthatjuk meg. Ha f xx ( x 0 , y 0 )>0 akkor az függvénynek lokális minimuma van, ha f xx ( x 0 , y 0 )<0 akkor az függvénynek lokális maximuma van.

Foglaljuk össze a lokális szélsőérték vizsgálatának lépéseit.

1. lépés: az elsőrendű parciális deriváltak megadása.
2. lépés: megkeresni a stacionárius pontot vagy pontokat
3. lépés: előállítani a másodrendű parciális deriváltakat.
4. lépés: felírni a D(x,y) függvényt
5. lépés: stacionárius pont vagy pontok vizsgálata
6. lépés: a szélsőértékhelyhez tartozó helyettesítési érték meghatározása

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)= e 2x sin(3y) kétváltozós függvény másodrendű parciális deriváltjait!

Megoldás: A feladat megoldásához először meg kell határozni az elsőrendű parciális deriváltakat az adott változók szerint.

Parciális deriválásnál csak azt a változót tekintjük változónak, ami szerint éppen deriválunk. A másik változó pedig rögzített konstansként viselkedik.

Nézzük az x szerinti elsőrendű parciális deriváltat. Most az y változót konstansnak tekintjük, így sin(3y) -t is.

f x (x,y)= f x = e 2x 2sin(3y)=2 e 2x sin( 3y ) .

f y (x,y) kiszámítása nagyon hasonlóan történik, csak most y szerint deriválunk, és x-et tekintjük konstansnak, így e 2x -t is.

f y (x,y)= f y = e 2x cos(3y)3=3 e 2x cos( 3y )

Az elsőrendű parciális deriváltakat újra deriválva, kapjuk a másodrendű parciális deriváltakat. Az f x (x,y)= f x =2 e 2x sin( 3y ) függvényből két új függvényt kapunk.

Az x változó szerint deriválva: f xx (x,y)= 2 f x 2 =2 e 2x 2sin( 3y )=4 e 2x sin( 3y )

Az y változó szerint deriválva: f xy (x,y)= 2 f xy =2 e 2x cos( 3y )3=6 e 2x cos( 3y )

Az f y (x,y)= f y =3 e 2x cos( 3y ) függvényből szintén két új függvényt kapunk.

Az x változó szerint deriválva: f yx (x,y)= 2 f yx =3 e 2x 2cos( 3y )=6 e 2x cos( 3y )

Az y változó szerint deriválva: f yy (x,y)= 2 f y 2 =3 e 2x ( sin( 3y ) )3=9 e 2x sin( 3y )

Vegyük észre, hogy f xy ( x,y ) =  f yx ( x,y ) .

2. feladat: Határozza meg az  kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész xy sík, azaz D f = 2 .

Első lépésként meg kell keresnünk a stacionárius pontokat, vagyis azokat a helyeket, ahol szélsőértéke lehet a függvénynek. Ezeket az

f x (x,y)=0

f y (x,y)=0

egyenletekből kaphatjuk meg.

Az elsőrendű parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x =2y+4x

f y (x,y)= f y =2x+8y

Az alábbi egyenletrendszert megoldva

2y+4x=0 2x+8y=0

kapjuk a x=0,y=0 megoldást. Tehát csupán egy stacionárius pont van a ( 0,0 ) .

Annak eldöntésére, hogy a ( 0,0 ) pont lokális szélsőértékhely-e, a függvény másodrendű parciális deriváltjaira lesz szükség.

f xx (x,y)= 2 f x 2 =4

f xy (x,y)= 2 f xy =2

f yx (x,y)= 2 f yx =2

f yy (x,y)= 2 f y 2 =8

D( 0,0 )= f xx ( 0,0 ) f yy ( 0,0 )+ f xy ( 0,0 ) f yx ( 0,0 )=4822=28

Mivel D( 0,0 )=28>0 , ezért az origó lokális szélsőérték. A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az f xx ( 0,0 ) előjele alapján állapíthatjuk meg. Mivel f xx ( 0,0 )=4>0 , ezért a függvénynek a ( 0,0 ) pontban lokális minimuma van.

Mivel nincsen több szélsőértékhelye a függvénynek, így abszolút minimum hely is egyben. A függvény értéke az origóban:

f(0,0)=6

3. feladat: Határozza meg az  f: 2 ,f(x,y)=xy x 3 y 2  kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész sík, azaz D f = 2 .

Az elsőrendű parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x =y3 x 2

f y (x,y)= f y =x2y

A feladat megoldását a stacionárius pontok megkeresésével folytatjuk.

y3 x 2 =0

x2y=0

Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. Fejezzük ki valamelyik változót az egyik egyenletből, és helyettesítsük be a másikba:

y=3 x 2 x2(3 x 2 )=0x(16x)=0

Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így két megoldást kapunk:

x 1 =0   x 2 = 1 6

Ebből két stacionárius pontot kapunk:

x 1 =0 y 1 =0

x 2 = 1 6 y 2 = 1 12

A stacionárius pontok ( 0,0 )és( 1 6 , 1 12 ) .

Most meg kell vizsgálnunk, hogy ezek a stacionárius pontok valóban szélsőértékhelyek-e. Ehhez szükségünk lesz a másodrendű parciális deriváltakra.

f xx (x,y)= 2 f x 2 =6x

f xy (x,y)= 2 f xy =1

f yx (x,y)= 2 f yx =1

f yy (x,y)= 2 f y 2 =2

Vizsgáljuk meg először a (0,0) pontot:

D( 0,0 )= f xx ( 0,0 ) f yy ( 0,0 )+ f xy ( 0,0 ) f yx ( 0,0 )=0( 2 )11=1

Mivel D( 0,0 )=1<0 , ezért a (0,0) pont nem lokális szélsőértékhely.

Most vizsgáljuk meg a ( 1 6 , 1 12 ) pontot:

D( 1 6 , 1 12 )= f xx ( 1 6 , 1 12 ) f yy ( 1 6 , 1 12 )+ f xy ( 1 6 , 1 12 ) f yx ( 1 6 , 1 12 )=( 1 )( 2 )11=1

Mivel D( 1 6 , 1 12 )=1>0 , ezért ez a pont lokális szélsőérték. A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az f xx ( 1 6 , 1 12 ) előjele alapján állapíthatjuk meg. f xx ( 1 6 , 1 12 )=1<0 , ezért a függvénynek a ( 1 6 , 1 12 ) pontban lokális maximuma van.

Ebben a pontban a függvény értéke: f( 1 6 , 1 12 )= 1 432

4. feladat: Határozza meg az  f: 2 ,   f(x,y)= x 2 + y 2 + 2 xy  kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás: A feladat megoldását kezdjük az értelmezési tartomány megadásával. A függvény nincs értelmezve az osztás miatt olyan pontokban, ahol x=0 vagy y=0 . Tehát az értelmezési tartomány az xy sík, kivéve a koordinátatengelyeket.

Az elsőrendű parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x =2x 2 x 2 y

f y (x,y)= f y =2y 2 x y 2

A stacionárius pontokat megadó egyenletek:

2x 2 x 2 y =0

2y 2 x y 2 =0

Fejezzük ki például az első egyenletből y-t:

y= 1 x 3

Ezt írjuk be a második egyenletbe:

2 x 3 2 x 1 x 6 =0 2 x 3 2 x 5 =0

Rendezve kapjuk, hogy

1= x 8     x=±1  

Ha

x=1      y= 1 x 3      y= 1 1    y=1 x=1      y= 1 x 3      y= 1 1     y=1

Tehát két stacionárius pontot találtunk: ( 1,1 )és( 1,1 ) . Mivel mind a kettő eleme az értelmezési tartománynak, így tovább folytathatjuk a vizsgálódást.

A másodrendű parciális deriváltak:

f xx (x,y)= 2 f x 2 =2+ 4 x 3 y

f xy (x,y)= 2 f xy = 2 x 2 y 2

f yx (x,y)= 2 f yx = 2 x 2 y 2

f yy (x,y)= 2 f y 2 =2+ 4 x y 3

Vizsgáljuk meg az (1,1) pontot.

D( 1,1 )= f xx ( 1,1 ) f yy ( 1,1 )+ f xy ( 1,1 ) f yx ( 1,1 )=6622=32

Mivel D( 1,1 )=32>0 , ezért az (1,1) pont lokális szélsőérték hely. A lokális szélsőérték jellegét (maximum vagy minimum) az f xx ( 1,1 ) előjele alapján állapíthatjuk meg. f xx ( 1,1 )=6>0 , ezért a függvénynek az ( 1,1 ) pontban lokális minimuma van. A függvény értéke f( 1,1 )=4 .

Vizsgáljuk meg a (1,1) pontot.

D( 1,1 )= f xx ( 1,1 ) f yy ( 1,1 )+ f xy ( 1,1 ) f yx ( 1,1 )=6622=32

Mivel D( 1,1 )=32>0 , ezért a (1,1) pont lokális szélsőérték hely. Mivel f xx ( 1,1 )=6>0 , ezért a függvénynek a ( 1,1 ) pontban lokális minimuma van. A függvény értéke ebben a pontban f( 1,1 )=4 .

5. feladat: Határozza meg az

f: 2 ,   f(x,y)=4 x 2 e y 2 x 4 e 4y

kétváltozós függvény lokális szélsőértékeit!

Megoldás: A függvény értelmezési tartománya az egész xy sík, azaz D f = 2 .

Az elsőrendű parciális deriváltak:

f x (x,y)= f x =8x e y 8 x 3

f y (x,y)= f y =4 x 2 e y 4 e 4y

Most is kaptunk egy egyenletrendszert:

8x e y 8 x 3 =0

4 x 2 e y 4 e 4y =0

Alakítsuk szorzattá az első egyenletet.

8x e y 8 x 3 =8x( e y x 2 )=0

Egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

Ha az x=0 , akkor ezt a második egyenletbe behelyettesítve kapjuk, hogy

4 e 4y =0

Ez azonban nem teljesülhet semmilyen y-ra, így x biztosan nem lehet 0.

Nézzük a másik esetet, ha

e y x 2 =0 e y = x 2

Behelyettesítve a második egyenlet a következő alakot kapjuk:

4 x 4 4 ( x 2 ) 4 =0 x 4 =1x=±1

Ha

x=1      e y = x 2      e y =1   y=0 x=1      e y = x 2      e y =1   y=0

Tehát két stacionárius pontot találtunk: ( 1,0 )és( 1,0 ) .

A másodrendű parciális deriváltak:

f xx (x,y)= 2 f x 2 =8 e y 24 x 2

f xy (x,y)= 2 f xy =8x e y

f yx (x,y)= 2 f yx =8x e y

f yy (x,y)= 2 f y 2 =4 x 2 e y 16 e 4y

Nézzük a ( 1,0 ) pontot:

D(1,0)= f xx (1,0) f yy (1,0)+ f xy (1,0) f yx (1,0)=( 16 )( 12 )88=128

Mivel D( 1,0 )=128>0 , ezért az (1,0) pont egy lokális szélsőértékhely. Mivel f xx ( 1,0 )=16<0 , ezért a függvénynek az ( 1,0 ) pontban lokális maximuma van. A függvény értéke f( 1,0 )=1 .

Hasonlóan vizsgáljuk meg az (1,0) pontot:

D(1,0)= f xx (1,0) f yy (1,0)+ f xy (1,0) f yx (1,0)=( 16 )( 12 )( 8 )( 8 )=128

Mivel D( 1,0 )=128>0 , ezért a (1,0) pont is lokális szélsőértékhely. Mivel f xx ( 1,0 )=16<0 , ezért a függvénynek a ( 1,0 ) pontban is lokális maximuma van. A függvény értéke szintén f( 1,0 )=1 .

Ellenőrző kérdések
1. Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)= y 3 e x 2 +y kétváltozós függvény f xx ( x,y ), f xy ( x,y ) másodrendű parciális deriváltjait!
f xx ( x,y )=2 y 3 e x 2 +y +2x y 3 e x 2 +y , f xy ( x,y )=6x y 2 e x 2 +y +2x y 3 e x 2 +y
f xx ( x,y )=2 y 3 e x 2 +y +4 x 2 y 3 e x 2 +y , f xy ( x,y )=6x y 2 e x 2 +y +2x y 3 e x 2 +y
f xx ( x,y )=2 y 3 e x 2 +y +2x y 3 e x 2 +y , f xy ( x,y )=3x y 2 e x 2 +y +2x y 3 e x 2 +y
f xx ( x,y )=2 y 3 e x 2 +y +2x y 3 e x 2 +y , f xy ( x,y )=6x y 2 e x 2 +y +2 x 2 y 3 e x 2 +y
2. Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)=x e x 2 y kétváltozós függvény f yy ( x,y ), f yx ( x,y ) másodrendű parciális deriváltjait!
f yy ( x,y )=x e x 2 +y , f yx ( x,y )= e x 2 +y +2 x 2 e x 2 +y
f yy ( x,y )=xy e x 2 +y , f yx ( x,y )= e x 2 +y +2x e x 2 +y
f yy ( x,y )=xy e x 2 +y , f yx ( x,y )= e x 2 +y +2 x 2 e x 2 +y
f yy ( x,y )=x e x 2 +y , f yx ( x,y )= e x 2 +y +2x e x 2 +y
3. Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)= x 2 xy+ y 2 +5x3y+1 kétváltozós függvény stacionárius pontjait!
nincs stacionárius pontja
( 7 3 , 1 3 )
( 7 3 , 1 3 )
( 7 3 , 1 3 )
4. Az f: 2 :   f(x,y)= x 2 xy+ y 2 +5x3y+1 kétváltozós függvény stacionárius pontja ( 7 3 , 1 3 ) . Döntse el, hogy ez a pont lokális szélsőérték-e és ha igen, milyen jellegű!
nem lokális szélsőérték
lokális minimum
lokális maximum
inflexiós pont
5. Határozza meg az f: 2 :   f(x,y)= x 3 3xy+ y 3 kétváltozós függvény stacionárius pontjait!
( 0,0 )
( 1,1 )
( 0,0 ),( 1,1 )
nincs stacionárius pontja
6. Tudjuk, hogy az f: 2 :   f(x,y)= x 3 3xy+ y 3 kétváltozós függvény stacionárius pontjai ( 0,0 )és( 1,1 ) . Döntse el, hogy ezek a pontok lokális szélsőértékek-e és ha igen, milyen jellegűek!
( 0,0 ) lokális maximum, ( 1,1 ) lokális minimum
( 0,0 ) nem szélsőérték, ( 1,1 ) lokális minimum
( 0,0 ) lokális minimum, ( 1,1 ) lokális maximum
( 0,0 ) lokális maximum, ( 1,1 ) nem szélsőérték
7. Az f: 2 :   f(x,y)= x 2 +2xy+3 y 2 függvénynek
nincs lokális szélsőértéke
lokális maximuma van
lokális minimuma van
két lokális szélsőértéke van
8. Az f: 2 :   f(x,y)= x 2 +xy+2x+3y1 kétváltozós függvénynek
nincs stacionárius pontja
nincs lokális szélsőértéke
lokális minimuma van
lokális maximuma van