KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: IV. modul: Lineáris algebra

Modulzáró ellenőrző kérdések

1. Legyen a ¯ =( 3;1;4;0 ) , b ¯ =( 1;0;2;1 ) és c ¯ =( 3;1;7;0 ). Határozza meg a 2 a ¯ 3 b ¯ +4 c ¯ vektort!
( 9;4;30;3 ).
( 15;6;26;3 )
( 9;2;42;3 ).
( 9;6;14;3 ).
2. Állítsuk elő b ¯ oszlopvektort az a ¯ 1 , a ¯ 2 és a ¯ 3 oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, ha
b ¯ =( 3 7 3 ) a ¯ 1 =( 2 2 2 ) a ¯ 2 =( 1 3 1 ) a ¯ 3 =( 3 1 5 ).
2 a ¯ 1 + a ¯ 2 + a ¯ 3 = b ¯
2 a ¯ 1 a ¯ 2 = b ¯
a ¯ 1 2 a ¯ 2 = b ¯
2 a ¯ 1 + a ¯ 2 a ¯ 3 = b ¯
3. Fejezze be a mondatot! Az a ¯ 1 =( 2;1;1 ) a ¯ 2 =( 3;5;1 ) a ¯ 3 =( 2;14;6 ) vektorok lineárisan
összefüggőek, mert a 2 x 1 + 3 x 2 2 x 3 = 0 x 1 + 5 x 2 + 14 x 3 = 0 x 1 x 2 6 x 3 = 0 egyenletrendszert megoldva van a triviálistól eltérő megoldás.
összefüggőek, mert a 2 x 1 x 2 + x 3 = 0 3 x 1 + 5 x 2 x 3 = 0 2 x 1 + 14 x 2 6 x 3 = 0 egyenletrendszert megoldva csak a triviális megoldása van.
függetlenek, mert a 2 x 1 + 3 x 2 2 x 3 = 0 x 1 + 5 x 2 + 14 x 3 = 0 x 1 x 2 6 x 3 = 0 egyenletrendszert megoldva csak a triviális megoldás létezik.
függetlenek, mert a 2 x 1 x 2 + x 3 = 0 3 x 1 + 5 x 2 x 3 = 0 2 x 1 + 14 x 2 6 x 3 = 0 egyenletrendszert megoldva van a triviálistól eltérő megoldás.
4. Legyen A=( 2 3 4 1 3 0 ) , és B=( 0 5 2 3 1 1 ) , akkor
( BA ) T művelet nem végezhető el
( BA ) T =( 9 3 0 7 21 15 1 9 6 )
( BA ) T =( 6 0 4 5 3 0 )
( BA ) T =( 26 1 5 10 )
5. Legyen A=( 4 3 2 1 ) , és B=( 5 1 1 2 ) , akkor
B 2 A 2 =( 2 8 17 4 )
B 2 A 2 =( 9 8 3 3 )
B 2 A 2 =( 9 8 3 3 )
B 2 A 2 =( 2 8 17 4 )
6. Ha A=( 3 4 0 2 2 5 2 1 1 3 2 1 ) b ¯ =( 5 0 1 1 ) c ¯ T =( 1;2;3 ) , akkor
c ¯ T A b ¯ =21
c ¯ T A b ¯ =19
c ¯ T A b ¯ =( 20;2;3;0 )
c ¯ T A b ¯ szorzás nem végezhető el.
7. Gauss-eliminálással egy lineáris egyenletrendszer megoldása során a következő táblázatot kaptuk. (Az ismeretleneket jelöljük a szokott módon x ¯ 1 , x ¯ 2 , x ¯ 3 -mal.)
( 3 1 2 0 2 3 0 0 4 | 7 5 4 )
A megoldás
{ x 1 =1t x 2 =5+t x 3 =t t
{ x 1 =7t x 2 =t x 3 =t t
{ x 1 =3 x 2 =4 x 3 =1
{ x 1 =3 x 2 =4 x 3 =0
8. Az x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 + 10 x 4 = 3 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 6 x 4 = 9 2 x 1 + 6 x 2 + 10 x 3 + 20 x 4 = 20 lineáris egyenletrendszer megoldása:
{ x 1 =9+t x 2 =43t x 3 =t x 4 =t t
{ x 1 =1 x 2 =3 x 3 =2 x 4 =2
{ x 1 =t x 2 =2t x 3 =t x 4 =2t t
{ x 1 =2 x 2 =1 x 3 =3 x 4 =2
9. Az x 1 + x 2 x 3 + 2 x 4 = 8 2 x 1 x 2 + x 3 2 x 4 = 2 3 x 1 2 x 2 + 2 x 3 2 x 4 = 18 2 x 1 x 2 + x 3 = 10 lineáris egyenletrendszer megoldása:
{ x 1 =2 x 2 =6+t x 3 =t x 4 =0 t
{ x 1 =8t x 2 =1+t x 3 =t x 4 =1 t
{ x 1 =1 x 2 =0 x 3 =3 x 4 =3
az egyenletrendszernek nincs megoldása
10. Ha A=( 4 8 2 3 ) , akkor det( A 1 ) értéke:
4.
1 4 .
4.
1 4 .
11. Az A=( 4 2 3 1 1 0 2 5 4 ) mátrix determinánsának értéke:
0.
1.
3.
4.
12. Melyik sor illetve oszlop szerinti kifejtését látjuk az alábbi determinánsnak?
| 4 3 0 1 2 1 5 6 1 |=3 ( 1 ) 1+2 | 1 1 5 1 |+( 2 ) ( 1 ) 2+2 | 4 0 5 1 |+6 ( 1 ) 3+2 | 4 0 1 1 |
első sor szerinti
második oszlop szerinti
második sor szerinti
harmadik oszlop szerinti
13. Milyen x esetén nincs inverze az A=( x 4 2 1 x 1 0 4 2 ) mátrixnak?
Ha x=2 vagy x=4
Ha x=2 és x=4
Ha x2 és x4
Ha x2 vagy x4
14. Az A=( 1 1 1 1 0 1 1 4 0 ) mátrix inverze
nincs inverze, mivel det(A)=0
A 1 =( 4 4 1 1 1 0 4 5 1 )
A 1 =( 4 4 1 0 1 2 4 5 2 )
A 1 =( 4 4 1 1 1 0 4 5 1 )