KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: IV. modul: Lineáris algebra
9. lecke: n-dimenziós vektorok
Tanulási cél: -dimenziós vektorok fogalmának megismerése, majd műveletek értelmezése. Lineáris függetlenség fogalmának megadása és vizsgálata. | ||
Motivációs feladat | ||
Termelési folyamatokat az átláthatóság miatt célszerű minél egyszerűbben leírni. Például vegyük azt az egyszerű esetet, hogy egy cég három -mal jelölt terméket (jószágot) állít elő. Tegyük fel, hogy termékből , -ből és -ból egységet készítenek. Ha mindig a termékek ugyanazon sorrendjében írjuk le az üzemben termelt egységek számát, akkor egy rendezett számhármassal leírható a termelés, amit szokás bruttó kibocsátásnak hívni. Ha az üzem a termelés során termékből mennyiséget használ fel, ( a számhármast szokás termelői fogyasztásnak nevezni), akkor a rendezett számhármast szokás nettó kibocsátásnak nevezni. Ha termék árait az rendezett számhármas adja meg, akkor hogyan lehetne leírni a cég bevételét és kiadását? | ||
Jól látható, hogy már egy nagyon leegyszerűsített gazdasági folyamat is leírható rendezett szám--esekkel, amelyeket a matematikában vektoroknak nevezünk. A továbbiakban ezt a fogalmat fogjuk általánosítani és definiálunk közöttük műveleteket. | ||
Elméleti összefoglaló |
Definíció: A valós számokból álló rendezett szám--eseket -dimenziós vektoroknak nevezzük. |
A szám--esben előforduló számokat a síkbeli vektorokhoz hasonlóan koordinátáknak nevezzük. | ||
Aszerint, hogy a koordinátákat hogyan írjuk le, megkülönböztetünk sor illetve oszlopvektorokat. | ||
Jelölés: -dimenziós sorvektor, vagy -dimenziós oszlopvektor. | ||
Adjunk néhány példát: | ||
egy dimenziós (öt db számból áll) sorvektor, | ||
egy dimenziós sorvektor, | ||
egy dimenziós oszlopvektor, | ||
egy dimenziós oszlopvektor, | ||
Speciális vektorok | ||
Zérusvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek minden koordinátája nulla. | ||
Pl.: egy dimenziós zérusvektor | ||
Összegzővektornak nevezzük azokat a vektorokat, amelynek minden koordinátája . | ||
Pl.: egy dimenziós összegző sorvektor. | ||
Egységvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek az egyik koordinátája , az összes többi pedig . | ||
Pl.: , egy dimenziós egységvektort. Mivel az egyest négy helyre tudjuk tenni, így pontosan négy különböző dimenziós egységvektor adható meg. Ha az alsó indexben jelöljük az egyes helyét, akkor a következő vektorokat írhatjuk fel: | ||
Definiáljunk műveleteket az -dimenziós vektorokra. Mivel megadott példákból látszik, hogy a középiskolában használt dimenziós sorvektorok is benne vannak a -dimenziós vektorok között, ezért a már tanult műveleteket fogjuk általánosítani. |
Definíció: Ha és két -dimenziós vektor, ahol az koordináták és valós szám minden esetén, akkor | ||
, | ||
, | ||
. | ||
Definíció: Ha és két -dimenziós vektor, akkor az szorzatösszeget a két vektor skaláris szorzatának nevezzük. |
Skaláris szorzatot szokás még alakban is megadni. | ||
A megadott műveletekre a következő tulajdonságok adhatók meg. | ||
Tétel: Ha és két -dimenziós vektor, ahol és valós számok, akkor | ||
Definíció: Ha és két -dimenziós vektor és két valós szám, akkor szintén -dimenziós vektort szokás vektorok lineáris kombinációjának nevezni. | ||
Definíció: Legyen tetszőleges számú -dimenziós vektor. Ha vektorok lineáris kombinációja a zérus vektort csak a triviális csupa nulla konstansokkal állítja elő, azaz ha csak akkor teljesül, ha, akkor az vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük. | ||
Ha létezik olyan együttható (), amely nem nulla, akkor a vektorokat lineárisan összefüggőeknek nevezzük. |
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Határozzuk meg az az , az és vektorokat, ha | ||
Megoldás | ||
2. feladat: Határozzuk meg , , és vektorokat, ha | ||
Megoldás | ||
3. feladat: Határozzuk meg az az és skaláris szorzatokat, ha | ||
Megoldás: Használjuk a definíciót: | ||
De a megadott műveleti tulajdonságokat felhasználva a számolás gyorsabb. | ||
4. feladat: Egy üzem három terméket állít elő. A bruttó kibocsátási vektora , a termelői fogyasztás vektora . Írjuk fel az üzem nettó kibocsátás vektorát! Ha a termékek árvektora , akkor adjuk meg az üzem bevételét és kiadását. | ||
Megoldás: A nettó kibocsátás vektora: | ||
Az üzem bevétele valójában a nettó kibocsátás és az árvektor skaláris szorzata: | ||
pénzegység. | ||
5. feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi sorvektorok lineárisan függetlenek. | ||
Megoldás: A két vektor lineárisan független, ha lineáris kombinációjuk a zérusvektort csak a triviális módon állítja elő. Azaz az egyenlőség csak akkor teljesül, ha és . | ||
A koordináták ismeretében a következő egyenlethez jutunk: | ||
Végezzük el bal oldalon a kijelölt műveleteket, azaz először a szorzás, majd az összeadás műveletét. | ||
Két vektor akkor egyenlő, ha koordinátáik rendre megegyeznek, azaz | ||
, | ||
ha | ||
Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. A leggyakoribb ötlet, hogy kifejezzük valamelyik egyenletből az egyik ismeretlent a másikkal, majd behelyettesítünk a másik egyenletbe, ahol már csak egy ismeretlennel kell dolgozni. Majd visszahelyettesítéssel kapunk megoldást a másik ismeretlenre. | ||
Egy másik módszer az egyenlő együtthatók módszere. Ha sikerül elérnünk, hogy az egyik ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen, akkor kivonással jutunk el egy egy ismeretlenes egyenlethez. | ||
Mi ezt az utóbbi módszert fogjuk választani, mert több ismeretlen esetén gyorsabban és átláthatóbban lehet vele dolgozni. Mivel összeadni általában jobban tudunk, annyiban módosítunk az ötleten, hogy a kiválasztott ismeretlen együtthatóját a két egyenletben ellentétesnek fogjuk választani, majd összeadjuk őket. | ||
Tehát válasszuk ki az egyik ismeretlent, amelyiket összeadással eltüntetünk, idegen szóval eliminálunk. Legyen ez például most . Az első egyenletben az együtthatója , a másodikban pedig . Ha az első egyenlet -szeresét hozzáadnánk a másodikhoz, akkor kiesik, és csak szerepel majd az új egyenletben. | ||
Az összeadás eredménye: | ||
Behelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy | ||
Tehát csak a triviális csupa megoldás létezik, a két vektor tényleg lineárisan független. | ||
6. feladat: Vizsgáljuk meg,hogy az alábbi vektorok lineárisan összefüggőek vagy függetlenek-e. Ha összefüggőek írjuk fel az egyik vektort a másik kettő lineáris kombinációjaként. | ||
Megoldás: Az a kérdés, hogy az egyenlőség milyen valós számok esetén teljesül? Helyettesítsük be a vektorok helyére a koordinátákat. | ||
Végezzük el a kijelölt műveleteket. Első lépésként a szorzást, majd az összeadást. | ||
Két vektor akkor egyenlő, ha koordinátáik rendre megegyeznek. Írjuk fel a koordinátákra vonatkozó egyenleteket: | ||
A harmadik egyenletből adódik, hogy | ||
Behelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy . | ||
Ha behelyettesítjük a második egyenletbe, akkor kapjuk, hogy . | ||
Tehát csak a triviális megoldás létezik, a három vektor lineárisan független. | ||
7. feladat: Vizsgáljuk meg,hogy az alábbi vektorok lineárisan összefüggőek vagy függetlenek. | ||
Megoldás: Meg kell nézni, hogy milyen valós számok esetén teljesül az egyenlőség. | ||
A kapott vektoregyenletbe írjuk be a koordinátákat. | ||
A bal oldalon végezzük el első lépésként a szorzást. | ||
Jöhet az összeadás. | ||
Két vektor akkor egyenlő, ha koordinátáik rendre megegyeznek. Írjuk fel a koordinátákra vonatkozó egyenlőségeket: | ||
Oldjuk meg az egyenletrendszert. Válasszuk ki az egyik ismeretlent, amelyiket két egyenletből is el szeretnénk tüntetni, eliminálni. | ||
Legyen ez az és küszöböljük ki a második és harmadik egyenletből. | ||
1. lépés: Az első egyenlet -szorosát adjuk hozzá a második egyenlethez. A szorzást fejben fogjuk elvégezni, csak az összeadás után írjuk le az új egyenletet. Az alábbi egyenletrendszert kapjuk: | ||
2. lépés: Az első egyenlet -szeresét adjuk hozzá a harmadik egyenlethez. Most sem írjuk le az első sor -szeresét, csak az összedás eredményét adjuk meg. | ||
Az új egyenletrendszer: | ||
Ha észrevesszük, hogy a második egyenletnél öttel lehet egyszerűsíteni, akkor még kezelhetőbb egyenlethez jutunk. | ||
Két új egyenletet kaptunk, amelyekben már csak két ismeretlen van. Ezek közül válasszunk ki egyet, amelyiket kiküszöbölünk, hogy csak egy egy ismeretlenes egyenletet kapjunk. Mivel együtthatói a két egyenletben csak előjelben tér el egymástól, célszerű -t választani. A második egyenletet adjuk hozzá a harmadikhoz. | ||
A harmadik egyenletből leolvasható, hogy | ||
Ezt az értéket a második illetve az első egyenletbe behelyettesítve, kapjuk, hogy . | ||
Tehát vektoregyenletnek csak a csupa nulla, azaz csak a triviális megoldása létezik, a három vektor lineárisan független. | ||
Megjegyzés: Természetesen az ismeretlenek kiküszöbölésére nem csak ez a lépéssor létezik. De sajnos a számolásba nagyon könnyen bele lehet kavarodni. Ezért célszerű a lépéseket előre tervezetten megadni. A jegyzetben a megoldás mindig az, hogy elsőként -t, majd -t, tehát az indexek sorrendjében végezzük az eliminálást. Ettől csak akkor térjünk el, ha a számolás túl bonyolult lenne. | ||
8. feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetlenek-e. | ||
Megoldás: Nézzük meg milyen valós számok esetén teljesül, hogy ? Helyettesítsük be a vektorok koordinátáit. | ||
A koordinátákkal végezzük el a kijelölt műveleteket. Kezdjük a szorzással. | ||
Majd jöhet az összeadás. | ||
Mivel két vektor akkor egyenlő, ha az azonos indexű koordinátái rendre megegyeznek, a következő egyenletrendszert tudjuk felírni. | ||
Oldjuk meg az egyenletrendszert. | ||
Fokozatosan csökkentsük az ismeretlenek számát. Kezdjük -gyel. Az első egyenletben az együtthatója . Ha az első egyenlet - szeresét a második egyenlethez adjuk az eltűnik, de a többi ismeretlen együtthatója nem egész szám lesz. Ha lehet ezt kerüljük el. Ennek egyik módja, ha az első két egyenletet felcseréljük. | ||
Most már könnyen tudjuk eliminálni az első egyenlettel -t a többiből. | ||
Az első egyenlet -szeresét adjuk hozzá a második egyenlethez. | ||
Majd az első egyenletet adjuk hozzá a harmadikhoz. | ||
Folytassuk eliminálásával. Hogy ne kelljen törtekkel számolni, osszuk végig a második egyenletet -tel. | ||
Most már egész számokkal tudunk dolgozni. A második egyenlet -szorosát adjuk a harmadikhoz. | ||
A teljes harmadik egyenlet eltűnt. | ||
Vegyük észre, hogy az utolsó egyenlet a második egyenlet többszöröse volt. Így ez az egyenlet új információt nem adott az ismeretlenekről. Az eliminálás eltünteti ezt az egyenletet és csak két egyenlet marad. | ||
Vizsgáljuk először a másodikat. | ||
Ez azt jelenti, hogy a két ismeretlen nem független egymástól. | ||
Ha például , akkor . | ||
Ha például , akkor . | ||
Akkor legyen , ahol egy tetszőleges valós szám (paraméternek szokás nevezni), akkor . | ||
Ezen paraméteres értékekkel fejezzük ki az első egyenletből -t. | ||
, innen . | ||
Az egyenletrendszer megoldása: | ||
Tehát kaptunk a triviálistól eltérő megoldást is, így a három vektor lineárisan összefüggő. | ||
Legyen például , ekkor , és . | ||
Ezen konstansokra teljesül, hogy | ||
Általában igaz, hogy , ahol egy tetszőleges valós szám. | ||
9. feladat: Vizsgáljuk meg, hogy a oszlopvektorok lineárisan függetlenek-e. | ||
Megoldás: A megadott négy oszlopvektor akkor lineárisan független, ha az vektoregyenletnek csak a csupa nulla, azaz csak triviális megoldása létezik. Tehát vizsgáljuk meg, hogy milyen valós számok esetén teljesül az egyenlőség. | ||
Írjuk fel a koordinátákra vonatkozó egyenleteket: | ||
Ezt az egyenletrendszert kell megoldani. A számolásba könnyen bele lehet keveredni, ezért haladjunk az indexek sorrendjében az eliminálással. Tehát kezdjük -gyel. Mivel minden egyenletben az együtthatója , az első egyenlet -szeresét adjuk a többihez. Az első egyenletet változatlanul leírjuk, csak a többinél lesz változás. | ||
Az új egyenletrendszer: | ||
Az első egyenlettel további eliminálást már nem tudunk végezni, mert visszahozná -t. | ||
Csak az új egyenletekkel foglalkozzunk. Most eliminálásával folytatjuk. Ha a második egyenletet hozzáadjuk a harmadikhoz, akkor az utolsó két egyenletben már csak és ismeretlen marad. | ||
Most már eliminálása következik. Csak az utolsó két egyenletet nézzük. Ha a harmadik egyenlet -szeresét hozzáadjuk a negyedikhez, akkor mindkét ismeretlen eltűnik. | ||
Az új egyenletrendszer a következő három egyenletre egyszerűsödik: | ||
Ha a harmadik egyenletet osztjuk -cal, akkor egyszerűbb alakot kapunk. | ||
Olyan egyenletet most nem tudunk adni, amelyben csak szerepel, így az eliminálást befejeztük. Olvassuk le a megoldást. | ||
Induljunk ki abból az egyenletből, amelyikben csak két ismeretlen van: | ||
Ha és közül az egyiknek adunk egy értéket, akkor a másik már egyértelműen meghatározható. | ||
Például ha , akkor is , ha , akkor is . | ||
Tehát bármilyen értéket adunk -nak, ugyanannyi lesz. | ||
Ha tehát , ahol egy tetszőleges valós szám, és , akkor a harmadik egyenlet teljesül. | ||
Ezeket az értékeket helyettesítsük be a második egyenletbe: | ||
. | ||
Most már csak - t kellene meghatározni, helyettesítsünk be az első egyenletbe. | ||
. | ||
Tehát a megoldás: , , és és egy tetszőleges valós szám. | ||
Például ha , akkor és , ha , akkor és . | ||
Tehát az egyenletrendszernek létezik a triviális eltérő megoldása, így a megadott négy vektor lineárisan összefüggő. | ||
Ebben az esetben például felírható, hogy . | ||
Általában igaz, hogy , ahol egy tetszőleges valós szám. | ||
10. feladat: Állítsuk elő oszlopvektort az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként., ha | ||
Megoldás: Ennél a feladatnál meg kell keresnünk azokat a számokat (jelöljük őket -mal), amelyekkel ha oszlopvektorokat megszorozzuk, akkor éppen a vektort kapjuk. | ||
Tehát oldjuk meg a következő vektoregyenletet: | ||
. | ||
Írjuk fel a vektorokat a koordinátáikkal. | ||
Végezzük el a kijelölt műveleteket és írjuk fel a két vektor egyenlőségét. | ||
Két vektor tudjuk csak akkor lehet egyenlő, ha a koordinátáik rendre megegyeznek. Írjuk fel ezeket az egyenleteket. | ||
A megoldást kezdjük azzal, hogy -t eltüntetjük két egyenletből. A számolás akkor a legegyszerűbb, ha az utolsó egyenlet többszöröseit adjuk a többi egyenlethez. A jobb átláthatóság miatt cseréljük fel az első és a harmadik egyenletet. | ||
Adjuk az első egyenlet -szorosát a második egyenlethez. Ezzel a második egyenletből kiesik . Ugyanezt érjük el a harmadik egyenletben az első sor -szeresének hozzáadásával. | ||
Kaptunk két olyan egyenletet, amiben már csak két ismeretlen van. Csökkentsük az ismeretlenek számát úgy, hogy a második egyenlet -szeresét adjuk hozzá a harmadikhoz. | ||
Az utolsó egyenletből adódik, hogy . Ha ezt behelyettesítjük a második egyenletbe, | ||
, akkor . | ||
Most már ismerjük -t és -t. A kapott értékeket helyettesítsük be az első egyenletbe. | ||
, akkor . | ||
Egyetlen megoldás kaptunk mindhárom ismeretlenre: | ||
. | ||
Tehát a keresett lineáris kombináció: |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. A egyenletrendszer második és harmadik egyenletében szeretnénk kieliminálni az ismeretlent. Melyik lépéssorral tudjuk ezt elérni?
![]() | |||||||||
2. Az egyenletrendszeren a következő lépéseket hajtjuk végre. Felcseréljük a második és harmadik sort, majd hozzáadjuk a második sor -szorosát a harmadikhoz. Melyik egyenletrendszert kapjuk? ![]() | |||||||||
3. Legyen , és Határozza meg a vektort! ![]() | |||||||||
4. Legyen és . Határozza meg a szorzat értékét! ![]() | |||||||||
5. Fejezze be a mondatot! A és vektorok lineárisan
![]() | |||||||||
6. Állítsuk elő oszlopvektort az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, ha ![]() | |||||||||
7. Fejezze be a mondatot! Az vektorok lineárisan
![]() |