KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: IV. modul: Lineáris algebra

9. lecke: n-dimenziós vektorok

Tanulási cél: n-dimenziós vektorok fogalmának megismerése, majd műveletek értelmezése. Lineáris függetlenség fogalmának megadása és vizsgálata.

Motivációs feladat

Termelési folyamatokat az átláthatóság miatt célszerű minél egyszerűbben leírni. Például vegyük azt az egyszerű esetet, hogy egy cég három T 1 ; T 2 és T 3 -mal jelölt terméket (jószágot) állít elő. Tegyük fel, hogy T 1 termékből p 1 , T 2 -ből p 2 és T 3 -ból p 3 egységet készítenek. Ha mindig a termékek ugyanazon sorrendjében írjuk le az üzemben termelt egységek számát, akkor egy ( p 1 ; p 2 ; p 3 ) rendezett számhármassal leírható a termelés, amit szokás bruttó kibocsátásnak hívni. Ha az üzem a termelés során T 1 ; T 2 és T 3 termékből z 1 ; z 2 ; z 3 mennyiséget használ fel, ( a ( z 1 ; z 2 ; z 3 ) számhármast szokás termelői fogyasztásnak nevezni), akkor a ( p 1 z 1 ; p 2 z 2 ; p 3 z 3 ) rendezett számhármast szokás nettó kibocsátásnak nevezni. Ha T 1 ; T 2 és T 3 termék árait az ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) rendezett számhármas adja meg, akkor hogyan lehetne leírni a cég bevételét és kiadását?

Jól látható, hogy már egy nagyon leegyszerűsített gazdasági folyamat is leírható rendezett szám- n-esekkel, amelyeket a matematikában vektoroknak nevezünk. A továbbiakban ezt a fogalmat fogjuk általánosítani és definiálunk közöttük műveleteket.

Elméleti összefoglaló

Definíció: A valós számokból álló rendezett szám- n-eseket n-dimenziós vektoroknak nevezzük.

A szám- n-esben előforduló számokat a síkbeli vektorokhoz hasonlóan koordinátáknak nevezzük.

Aszerint, hogy a koordinátákat hogyan írjuk le, megkülönböztetünk sor illetve oszlopvektorokat.

Jelölés: a ¯ =( a 1 , a 2 , a 3 , a n ) n-dimenziós sorvektor, vagy b ¯ =( b 1 b 2 b n ) n-dimenziós oszlopvektor.

Adjunk néhány példát:

a ¯ =( 2;1;0;4;10 ) egy 5 dimenziós (öt db számból áll) sorvektor,

b ¯ =( 1;0 ) egy 2 dimenziós sorvektor,

c ¯ =( 1 1 0 ) egy 3 dimenziós oszlopvektor,

d ¯ =( 2 3 0 1 ) egy 4 dimenziós oszlopvektor,

Speciális vektorok

Zérusvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek minden koordinátája nulla.

Pl.: 0 ¯ =( 0,0,0,0,0 ) egy 5 dimenziós zérusvektor

Összegzővektornak nevezzük azokat a vektorokat, amelynek minden koordinátája 1.

Pl.: 1 ¯ =( 1,1,1 ) egy 3 dimenziós összegző sorvektor.

Egységvektornak nevezzük azt a vektort, amelynek az egyik koordinátája 1, az összes többi pedig 0.

Pl.: ( 0,0,1,0 ) , egy 4 dimenziós egységvektort. Mivel az egyest négy helyre tudjuk tenni, így pontosan négy különböző 4 dimenziós egységvektor adható meg. Ha az alsó indexben jelöljük az egyes helyét, akkor a következő vektorokat írhatjuk fel:

e ¯ 1 =( 1;0;0;0 ), e ¯ 2 =( 0;1;0;0 ), e ¯ 3 =( 0;0;1;0 ), e ¯ 4 =( 0;0;0;1 ),

Definiáljunk műveleteket az n-dimenziós vektorokra. Mivel megadott példákból látszik, hogy a középiskolában használt 2 dimenziós sorvektorok is benne vannak a n-dimenziós vektorok között, ezért a már tanult műveleteket fogjuk általánosítani.

Definíció: Ha a ¯ =( a 1 , a 2 , a 3 , a n ) és b ¯ =( b 1 , b 2 , b 3 , b n ) két n-dimenziós vektor, ahol az a i és b i koordináták és λ valós szám minden 1in esetén, akkor

a ¯ + b ¯ =( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , a n + b n ) ,

a ¯ b ¯ =( a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 , a n b n ) ,

λ a ¯ =( λ a 1 ,λ a 2 ,λ a 3 ,λ a n ) .

Definíció: Ha a ¯ =( a 1 , a 2 , a 3 , a n ) és b ¯ =( b 1 , b 2 , b 3 , b n ) két n-dimenziós vektor, akkor az a ¯ b ¯ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ++ a n b n szorzatösszeget a két vektor skaláris szorzatának nevezzük.

Skaláris szorzatot szokás még a ¯ ; b ¯ alakban is megadni.

A megadott műveletekre a következő tulajdonságok adhatók meg.

Tétel: Ha a ¯ =( a 1 , a 2 , a 3 , a n ) és b ¯ =( b 1 , b 2 , b 3 , b n ) két n-dimenziós vektor, ahol λ és μ valós számok, akkor

a ¯ + b ¯ = b ¯ + a ¯

( a ¯ + b ¯ )+ c ¯ = a ¯ +( b ¯ + c) ¯

( λμ ) a ¯ =λ(η a ¯ )

λ( a ¯ + b ¯ )=λ a ¯ +λ b ¯

a ¯ b ¯ = b ¯ a ¯

(λ a ¯ ) b ¯ =λ a ¯ b ¯ = a ¯ (λ b ¯ )

a ¯ ( b ¯ + c ¯ )= a ¯ b ¯ + a ¯ c ¯

Definíció: Ha a ¯ =( a 1 , a 2 , a 3 , a n ) és b ¯ =( b 1 , b 2 , b 3 , b n ) két n-dimenziós vektor és αésβ két valós szám, akkor α a ¯ +β b ¯ szintén n-dimenziós vektort szokás a ¯ és b ¯ vektorok lineáris kombinációjának nevezni.

Definíció: Legyen a ¯ 1 , a ¯ 2 , a ¯ 3 , a ¯ r tetszőleges r számú n-dimenziós vektor. Ha a ¯ 1 , a ¯ 2 , a ¯ 3 , a ¯ r vektorok lineáris kombinációja a zérus vektort csak a triviális csupa nulla konstansokkal állítja elő, azaz ha λ 1 a ¯ 1 + λ 2 a ¯ 2 + λ 3 a ¯ 3 ++ λ r a ¯ r = 0 ¯ csak akkor teljesül, ha λ 1 = λ 2 == λ r =0 , akkor az a ¯ 1 , a ¯ 2 , a ¯ 3 , a ¯ r vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük.

Ha létezik olyan λ i együttható ( 1ir ), amely nem nulla, akkor a vektorokat lineárisan összefüggőeknek nevezzük.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Határozzuk meg az 5 a ¯ , az b ¯ , az 1 2 c ¯ és 5 a ¯ b ¯ + 1 2 c ¯ vektorokat, ha

a ¯ =( 0;1;3;4;0 )

b ¯ =( 1;0;2;1;7 )

c ¯ =( 3;1;7;9;0 ).

Megoldás

5 a ¯ =5( 0;1;3;4;0 )=( 50;5(1);53;54;50 )=( 0;5;15;20;0 )

b ¯ =1( 1;0;2;1;7 )=( ( 1 )1;( 1 )0;( 1 )(2);( 1 )(1);( 1 )7 )=( 1;0;2;1;7 )

1 2 c ¯ = 1 2 ( 3;1;7;9;0 )=( 1 2 (3); 1 2 1; 1 2 7; 1 2 9; 1 2 0 )=( 3 2 ; 1 2 ; 7 2 ; 9 2 ;0 )

5 a ¯ b ¯ + 1 2 c ¯ =( 01 3 2 ;50+ 1 2 ;15+2+ 7 2 ;20+1+ 9 2 ;07+0 )=( 5 2 ; 9 2 ; 41 2 ; 51 2 ;7 )

2. feladat: Határozzuk meg 3 a ¯ , 5 b ¯ , 2 c ¯ és a ¯ 2 b ¯ +4 c ¯ vektorokat, ha

a ¯ =( 1 2 5 0 )   b ¯ =( 3 4 0 2 )   c ¯ =( 5 4 2 3 ).

Megoldás

3 a ¯ =3( 1 2 5 0 )=( 31 32 3(5) 30 )=( 3 6 15 0 )

5 b ¯ =5( 3 4 0 2 )=( ( 5 )3 ( 5 )4 ( 5 )0 ( 5 )(2) )=( 15 20 0 10 )

2 c ¯ = 2 ( 5 4 2 3 )=( 5 2 4 2 2 2 3 2 )

a ¯ 2 b ¯ +4 c ¯ =( 1 2 5 0 )2( 3 4 0 2 )+4( 5 4 2 3 )=( 123+45 224+4( 4 ) 520+42 02( 2 )+43 )=( 15 22 3 16 )

3. feladat: Határozzuk meg az a ¯ b ¯ , az b ¯ 2 és (5 a ¯ ) b ¯ skaláris szorzatokat, ha

a ¯ =( 0;1;3;4;0 )

b ¯ =( 1;0;2;1;7 )

Megoldás: Használjuk a definíciót:

a ¯ b ¯ = a ¯ ; b ¯ =01+( 1 )0+3( 2 )+4( 1 )+07=10

b ¯ 2 = b ¯ b ¯ = b ¯ ; b ¯ = 1 2 + 0 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 + 7 2 =55

(5 a ¯ ) b ¯ = (5 a ¯ ); b ¯ =01+( 5 )0+15( 2 )+20( 1 )+07=50

De a megadott műveleti tulajdonságokat felhasználva a számolás gyorsabb.

(5 a ¯ ) b ¯ =5( a ¯ b ¯ )=5( 10 )=50

4. feladat: Egy üzem három terméket állít elő. A bruttó kibocsátási vektora p ¯ =( 5;7;4 ) , a termelői fogyasztás vektora z ¯ =( 1;2;1 ) . Írjuk fel az üzem nettó kibocsátás vektorát! Ha a termékek árvektora a ¯ =( 10;12;8 ) , akkor adjuk meg az üzem bevételét és kiadását.

Megoldás: A nettó kibocsátás vektora:

y ¯ = p ¯ z ¯ =( 5;7;4 )( 1;2;1 )=( 4;5;3 )

Az üzem bevétele valójában a nettó kibocsátás és az árvektor skaláris szorzata:

a ¯ y ¯ = a ¯ ; y ¯ =( 10;12;8 )( 4;5;3 )=104+125+83=124 pénzegység.

5. feladat: Bizonyítsuk be, hogy az alábbi sorvektorok lineárisan függetlenek.

c ¯ 1 =( 1;2 ) c ¯ 2 =( 4;3 )

Megoldás: A két vektor lineárisan független, ha lineáris kombinációjuk a zérusvektort csak a triviális módon állítja elő. Azaz az x 1 c ¯ 1 + x 2 c ¯ 2 = 0 ¯ egyenlőség csak akkor teljesül, ha x 1 =0 és x 2 =0 .

A koordináták ismeretében a következő egyenlethez jutunk:

x 1 ( 1;2 )+ x 2 ( 4;3 )=( 0;0 )

Végezzük el bal oldalon a kijelölt műveleteket, azaz először a szorzás, majd az összeadás műveletét.

x 1 ( 1;2 )+ x 2 ( 4;3 )=( x 1 1; x 1 (2) )+( x 2 4; x 2 3 )=( x 1 +4 x 2 ;2 x 1 +3 x 2 )

Két vektor akkor egyenlő, ha koordinátáik rendre megegyeznek, azaz

( x 1 +4 x 2 ;2 x 1 +3 x 2 )=( 0;0 ) ,

ha

x 1 + 4 x 2 = 0 2 x 1 + 3 x 2 = 0

Ezt az egyenletrendszert kell megoldanunk. A leggyakoribb ötlet, hogy kifejezzük valamelyik egyenletből az egyik ismeretlent a másikkal, majd behelyettesítünk a másik egyenletbe, ahol már csak egy ismeretlennel kell dolgozni. Majd visszahelyettesítéssel kapunk megoldást a másik ismeretlenre.

Egy másik módszer az egyenlő együtthatók módszere. Ha sikerül elérnünk, hogy az egyik ismeretlen együtthatója mindkét egyenletben azonos legyen, akkor kivonással jutunk el egy egy ismeretlenes egyenlethez.

Mi ezt az utóbbi módszert fogjuk választani, mert több ismeretlen esetén gyorsabban és átláthatóbban lehet vele dolgozni. Mivel összeadni általában jobban tudunk, annyiban módosítunk az ötleten, hogy a kiválasztott ismeretlen együtthatóját a két egyenletben ellentétesnek fogjuk választani, majd összeadjuk őket.

Tehát válasszuk ki az egyik ismeretlent, amelyiket összeadással eltüntetünk, idegen szóval eliminálunk. Legyen ez például most x 1 . Az első egyenletben az együtthatója 1, a másodikban pedig ( 2 ) . Ha az első egyenlet 2-szeresét hozzáadnánk a másodikhoz, akkor x 1 kiesik, és csak x 2 szerepel majd az új egyenletben.

x 1 + 4 x 2 = 0 2 x 1 + 3 x 2 = 0 2 x 1 + 8 x 2 = 0 2 x 1 + 3 x 2 = 0

Az összeadás eredménye:

11 x 2 =0     x 2 =0

Behelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy x 1 =0

Tehát csak a triviális csupa 0 megoldás létezik, a két vektor tényleg lineárisan független.

6. feladat: Vizsgáljuk meg,hogy az alábbi vektorok lineárisan összefüggőek vagy függetlenek-e. Ha összefüggőek írjuk fel az egyik vektort a másik kettő lineáris kombinációjaként.

b ¯ 1 =( 2 1 0 ) b ¯ 2 =( 0 1 0 ) b ¯ 3 =( 2 0 3 )

Megoldás: Az a kérdés, hogy az x 1 b ¯ 1 + x 2 b ¯ 2 + x 3 b ¯ 3 = 0 ¯ egyenlőség milyen x 1 , x 2 és x 3 valós számok esetén teljesül? Helyettesítsük be a vektorok helyére a koordinátákat.

x 1 ( 2 1 0 )+ x 2 ( 0 1 0 )+ x 3 ( 2 0 3 )=( 0 0 0 )

Végezzük el a kijelölt műveleteket. Első lépésként a szorzást, majd az összeadást.

x 1 ( 2 1 0 )+ x 2 ( 0 1 0 )+ x 3 ( 2 0 3 )=( 2 x 1 1 x 1 0 x 1 )+( 0 x 2 1 x 2 0 x 2 )+( 2 x 3 0 x 3 3 x 3 )=( 2 x 1 +0 x 2 +2 x 3 1 x 1 +1 x 2 +0 x 3 0 x 1 +0 x 2 +3 x 3 )=( 0 0 0 )

Két vektor akkor egyenlő, ha koordinátáik rendre megegyeznek. Írjuk fel a koordinátákra vonatkozó egyenleteket:

2 x 1 + 2 x 3 = 0 x 1 + x 2 = 0 3 x 3 = 0

A harmadik egyenletből adódik, hogy x 3 =0

Behelyettesítve az első egyenletbe kapjuk, hogy x 1 =0 .

Ha x 1 =0 behelyettesítjük a második egyenletbe, akkor kapjuk, hogy x 2 =0 .

Tehát csak a triviális megoldás létezik, a három vektor lineárisan független.

7. feladat: Vizsgáljuk meg,hogy az alábbi vektorok lineárisan összefüggőek vagy függetlenek.

a ¯ 1 =( 1;3;2 ) a ¯ 2 =( 2;1;5 ) a ¯ 3 =( 8;1;20 )

Megoldás: Meg kell nézni, hogy milyen x 1 , x 2 és x 3 valós számok esetén teljesül az x 1 a ¯ 1 + x 2 a ¯ 2 + x 3 a ¯ 3 = 0 ¯ egyenlőség.

A kapott vektoregyenletbe írjuk be a koordinátákat.

x 1 ( 1;3;2 )+ x 2 ( 2;1;5 )+ x 3 ( 8;1;20 )=( 0,0,0 )

A bal oldalon végezzük el első lépésként a szorzást.

x 1 ( 1;3;2 )+ x 2 ( 2;1;5 )+ x 3 ( 8;1;20 )= =( 1 x 1 ;3 x 1 ;2 x 1 )+( 2 x 2 ;1 x 2 ;5 x 2 )+( 8 x 3 ;1 x 3 ;20 x 3 )=

Jöhet az összeadás.

( 1 x 1 +2 x 2 +8 x 3 ;3 x 1 +1 x 2 1x;2 x 1 +5 x 2 +20 x 3 )=( 0;0;0 )

Két vektor akkor egyenlő, ha koordinátáik rendre megegyeznek. Írjuk fel a koordinátákra vonatkozó egyenlőségeket:

x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 = 0 3 x 1 + x 2 x 3 = 0 2 x 1 + 5 x 2 + 20 x 3 = 0

Oldjuk meg az egyenletrendszert. Válasszuk ki az egyik ismeretlent, amelyiket két egyenletből is el szeretnénk tüntetni, eliminálni.

Legyen ez az x 1 és küszöböljük ki a második és harmadik egyenletből.

1. lépés: Az első egyenlet ( 3 ) -szorosát adjuk hozzá a második egyenlethez. A szorzást fejben fogjuk elvégezni, csak az összeadás után írjuk le az új egyenletet. Az alábbi egyenletrendszert kapjuk:

x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 = 0 5 x 2 25 x 3 = 0 2 x 1 + 5 x 2 + 20 x 3 = 0

2. lépés: Az első egyenlet ( 2 ) -szeresét adjuk hozzá a harmadik egyenlethez. Most sem írjuk le az első sor ( 2 ) -szeresét, csak az összedás eredményét adjuk meg.

Az új egyenletrendszer:

x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 = 0 5 x 2 25 x 3 = 0 x 2 + 4 x 3 = 0

Ha észrevesszük, hogy a második egyenletnél öttel lehet egyszerűsíteni, akkor még kezelhetőbb egyenlethez jutunk.

x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 = 0 x 2 5 x 3 = 0 x 2 + 4 x 3 = 0

Két új egyenletet kaptunk, amelyekben már csak két ismeretlen van. Ezek közül válasszunk ki egyet, amelyiket kiküszöbölünk, hogy csak egy egy ismeretlenes egyenletet kapjunk. Mivel x 2 együtthatói a két egyenletben csak előjelben tér el egymástól, célszerű x 2 -t választani. A második egyenletet adjuk hozzá a harmadikhoz.

x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 = 0 x 2 5 x 3 = 0 x 3 = 0

A harmadik egyenletből leolvasható, hogy x 3 =0

Ezt az értéket a második illetve az első egyenletbe behelyettesítve, kapjuk, hogy x 2 =0és x 1 =0 .

Tehát vektoregyenletnek csak a csupa nulla, azaz csak a triviális megoldása létezik, a három vektor lineárisan független.

Megjegyzés: Természetesen az ismeretlenek kiküszöbölésére nem csak ez a lépéssor létezik. De sajnos a számolásba nagyon könnyen bele lehet kavarodni. Ezért célszerű a lépéseket előre tervezetten megadni. A jegyzetben a megoldás mindig az, hogy elsőként x 1 -t, majd x 2 -t, tehát az indexek sorrendjében végezzük az eliminálást. Ettől csak akkor térjünk el, ha a számolás túl bonyolult lenne.

8. feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az alábbi vektorok lineárisan függetlenek-e.

a ¯ 1 =( 2 1 1 ) a ¯ 2 =( 1 4 2 ) a ¯ 3 =( 10 2 10 )

Megoldás: Nézzük meg milyen x 1 , x 2 és x 3 valós számok esetén teljesül, hogy x 1 a ¯ 1 + x 2 a ¯ 2 + x 3 a ¯ 3 = 0 ¯ ? Helyettesítsük be a vektorok koordinátáit.

x 1 ( 2 1 1 )+ x 2 ( 1 4 2 )+ x 3 ( 10 2 10 )=( 0 0 0 )

A koordinátákkal végezzük el a kijelölt műveleteket. Kezdjük a szorzással.

( 2 x 1 x 1 x 1 )+( x 2 4 x 2 2 x 2 )+( 10 x 3 2 x 3 10 x 3 )=( 0 0 0 )

Majd jöhet az összeadás.

( 2 x 1 + x 2 +10 x 3 x 1 +4 x 2 2 x 3 x 1 +2 x 2 10 x 3 )=( 0 0 0 )

Mivel két vektor akkor egyenlő, ha az azonos indexű koordinátái rendre megegyeznek, a következő egyenletrendszert tudjuk felírni.

2 x 1 + x 2 +10 x 3 =0 x 1 +4 x 2 2 x 3 =0 x 1 +2 x 2 10 x 3 =0

Oldjuk meg az egyenletrendszert.

Fokozatosan csökkentsük az ismeretlenek számát. Kezdjük x 1 -gyel. Az első egyenletben az együtthatója 2. Ha az első egyenlet ( 1 2 ) - szeresét a második egyenlethez adjuk az x 1 eltűnik, de a többi ismeretlen együtthatója nem egész szám lesz. Ha lehet ezt kerüljük el. Ennek egyik módja, ha az első két egyenletet felcseréljük.

x 1 +4 x 2 2 x 3 =0 2 x 1 + x 2 +10 x 3 =0 x 1 +2 x 2 10 x 3 =0

Most már könnyen tudjuk eliminálni az első egyenlettel x 1 -t a többiből.

Az első egyenlet (2) -szeresét adjuk hozzá a második egyenlethez.

Majd az első egyenletet adjuk hozzá a harmadikhoz.

x 1 +4 x 2 2 x 3 =0 7 x 2 +14 x 3 =0 6 x 2 12 x 3 =0

Folytassuk x 2 eliminálásával. Hogy ne kelljen törtekkel számolni, osszuk végig a második egyenletet 7-tel.

x 1 +4 x 2 2 x 3 =0 x 2 +2 x 3 =0 6 x 2 12 x 3 =0

Most már egész számokkal tudunk dolgozni. A második egyenlet 6-szorosát adjuk a harmadikhoz.

x 1 + 4 x 2 2 x 3 = 0 x 2 + 2 x 3 = 0

A teljes harmadik egyenlet eltűnt.

Vegyük észre, hogy az utolsó egyenlet a második egyenlet többszöröse volt. Így ez az egyenlet új információt nem adott az ismeretlenekről. Az eliminálás eltünteti ezt az egyenletet és csak két egyenlet marad.

Vizsgáljuk először a másodikat.

x 2 +2 x 3 =0 x 2 =2 x 3

Ez azt jelenti, hogy a két ismeretlen nem független egymástól.

Ha például x 3 =1 , akkor x 2 =2 .

Ha például x 3 =4 , akkor x 2 =8 .

Akkor legyen x 3 =t , ahol t egy tetszőleges valós szám (paraméternek szokás nevezni), akkor x 2 =2t .

Ezen paraméteres értékekkel fejezzük ki az első egyenletből x 1 -t.

x 1 +42t2t=0 , innen x 1 =6t .

Az egyenletrendszer megoldása:

{ x 1 = 6t x 2 = 2t x 3 = t ést

Tehát kaptunk a triviálistól eltérő megoldást is, így a három vektor lineárisan összefüggő.

Legyen például t=1 , ekkor x 3 =1 , x 2 =2 és x 1 =6 .

Ezen konstansokra teljesül, hogy 6 a _ 1 +2 a _ 2 + a _ 3 = 0 _

Általában igaz, hogy 6t a _ 1 +2t a _ 2 +t a _ 3 = 0 _ , ahol t egy tetszőleges valós szám.

9. feladat: Vizsgáljuk meg, hogy a b ¯ 1 =( 1 1 1 1 ) b ¯ 2 =( 1 2 0 1 ) b ¯ 3 =( 3 1 1 1 ) b ¯ 4 =( 1 4 2 1 )  oszlopvektorok lineárisan függetlenek-e.

Megoldás: A megadott négy oszlopvektor akkor lineárisan független, ha az x 1 b ¯ 1 + x 2 b ¯ 2 + x 3 b ¯ 3 + x 4 b ¯ 4 = 0 ¯ vektoregyenletnek csak a csupa nulla, azaz csak triviális megoldása létezik. Tehát vizsgáljuk meg, hogy milyen x 1 , x 2 , x 3 és x 4 valós számok esetén teljesül az egyenlőség.

x 1 ( 1 1 1 1 )+ x 2 ( 1 2 0 1 )+ x 3 ( 3 1 1 1 )+ x 4 ( 1 4 2 1 )=( 0 0 0 0 )

Írjuk fel a koordinátákra vonatkozó egyenleteket:

x 1 + x 2 + 3 x 3 x 4 = 0 x 1 + 2 x 2 x 3 + 4 x 4 = 0 x 1 x 3 + 2 x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani. A számolásba könnyen bele lehet keveredni, ezért haladjunk az indexek sorrendjében az eliminálással. Tehát kezdjük x 1 -gyel. Mivel minden egyenletben az együtthatója 1, az első egyenlet ( 1 ) -szeresét adjuk a többihez. Az első egyenletet változatlanul leírjuk, csak a többinél lesz változás.

Az új egyenletrendszer:

x 1 + x 2 + 3 x 3 x 4 = 0 x 2 4 x 3 + 5 x 4 = 0 x 2 4 x 3 + 3 x 4 = 0 2 x 3 + 2 x 4 = 0

Az első egyenlettel további eliminálást már nem tudunk végezni, mert visszahozná x 1 -t.

Csak az új egyenletekkel foglalkozzunk. Most x 2 eliminálásával folytatjuk. Ha a második egyenletet hozzáadjuk a harmadikhoz, akkor az utolsó két egyenletben már csak x 3 és x 4 ismeretlen marad.

x 1 + x 2 + 3 x 3 x 4 = 0 x 2 4 x 3 + 5 x 4 = 0 8 x 3 + 8 x 4 = 0 2 x 3 + 2 x 4 = 0

Most már x 3 eliminálása következik. Csak az utolsó két egyenletet nézzük. Ha a harmadik egyenlet ( 1 4 ) -szeresét hozzáadjuk a negyedikhez, akkor mindkét ismeretlen eltűnik.

Az új egyenletrendszer a következő három egyenletre egyszerűsödik:

x 1 + x 2 + 3 x 3 x 4 = 0 x 2 4 x 3 + 5 x 4 = 0 8 x 3 + 8 x 4 = 0

Ha a harmadik egyenletet osztjuk 8-cal, akkor egyszerűbb alakot kapunk.

x 1 + x 2 + 3 x 3 x 4 = 0 x 2 4 x 3 + 5 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0

Olyan egyenletet most nem tudunk adni, amelyben csak x 4 szerepel, így az eliminálást befejeztük. Olvassuk le a megoldást.

Induljunk ki abból az egyenletből, amelyikben csak két ismeretlen van:

x 3 + x 4 =0 x 3 = x 4

Ha x 3 és x 4 közül az egyiknek adunk egy értéket, akkor a másik már egyértelműen meghatározható.

Például ha x 4 =2 , akkor x 3 is 2, ha x 4 =5 , akkor x 3 is 5 .

Tehát bármilyen értéket adunk x 4 -nak, x 3 ugyanannyi lesz.

Ha tehát x 4 =t , ahol t egy tetszőleges valós szám, és x 3 =t , akkor a harmadik egyenlet teljesül.

Ezeket az értékeket helyettesítsük be a második egyenletbe:

x 2 4t+5t=0 x 2 =t .

Most már csak x 1 - t kellene meghatározni, helyettesítsünk be az első egyenletbe.

x 1 +( t )+3tt=0 x 1 =t .

Tehát a megoldás: x 1 =t , x 2 =t , x 3 =t és x 4 =t és t egy tetszőleges valós szám.

Például ha t=2 , akkor x 3 = x 4 =2 és x 1 = x 2 =2 , ha t=3 , akkor x 3 = x 4 =3 és x 1 = x 2 =3 .

Tehát az egyenletrendszernek létezik a triviális eltérő megoldása, így a megadott négy vektor lineárisan összefüggő.

Ebben az esetben például felírható, hogy 2 b ¯ 1 2 b ¯ 2 +2 b ¯ 3 +2 b ¯ 4 = 0 ¯ .

Általában igaz, hogy t b ¯ 1 t b ¯ 2 +t b ¯ 3 +t b ¯ 4 = 0 ¯ , ahol t egy tetszőleges valós szám.

10. feladat: Állítsuk elő b ¯ oszlopvektort az a ¯ 1 , a ¯ 2 és a ¯ 3 oszlopvektorok lineáris kombinációjaként., ha

b ¯ =( 3 9 4 ) a ¯ 1 =( 2 3 1 ) a ¯ 2 =( 1 2 1 ) a ¯ 3 =( 1 1 2 ).

Megoldás: Ennél a feladatnál meg kell keresnünk azokat a számokat (jelöljük őket x 1 , x 2 és x 3 -mal), amelyekkel ha a ¯ 1 , a ¯ 2 és a ¯ 3 oszlopvektorokat megszorozzuk, akkor éppen a b vektort kapjuk.

Tehát oldjuk meg a következő vektoregyenletet:

x 1 a ¯ 1 + x 2 a ¯ 2 + x 3 a ¯ 3 = b ¯ .

Írjuk fel a vektorokat a koordinátáikkal.

x 1 ( 2 3 1 )+ x 2 ( 1 2 1 )+ x 3 ( 1 1 2 )=( 3 9 4 )

Végezzük el a kijelölt műveleteket és írjuk fel a két vektor egyenlőségét.

( 2 x 1 x 2 + x 3 3 x 1 2 x 2 x 3 x 1 x 2 + 3 x 3 )=( 3 9 4 )

Két vektor tudjuk csak akkor lehet egyenlő, ha a koordinátáik rendre megegyeznek. Írjuk fel ezeket az egyenleteket.

2 x 1 x 2 + x 3 = 3 3 x 1 2 x 2 x 3 = 9 x 1 x 2 + 3 x 3 = 4

A megoldást kezdjük azzal, hogy x 1 -t eltüntetjük két egyenletből. A számolás akkor a legegyszerűbb, ha az utolsó egyenlet többszöröseit adjuk a többi egyenlethez. A jobb átláthatóság miatt cseréljük fel az első és a harmadik egyenletet.

x 1 x 2 + 3 x 3 = 4 3 x 1 2 x 2 x 3 = 9 2 x 1 x 2 + x 3 = 3

Adjuk az első egyenlet ( 3 ) -szorosát a második egyenlethez. Ezzel a második egyenletből kiesik x 1 . Ugyanezt érjük el a harmadik egyenletben az első sor ( 2 ) -szeresének hozzáadásával.

x 1 x 2 + 3 x 3 = 4 x 2 10 x 3 = 21 x 2 5 x 3 = 11

Kaptunk két olyan egyenletet, amiben már csak két ismeretlen van. Csökkentsük az ismeretlenek számát úgy, hogy a második egyenlet ( 1 ) -szeresét adjuk hozzá a harmadikhoz.

x 1 x 2 + 3 x 3 = 4 x 2 10 x 3 = 21 5 x 3 = 10

Az utolsó egyenletből adódik, hogy x 3 =2 . Ha ezt behelyettesítjük a második egyenletbe,

x 2 10( 2 )=21 , akkor x 2 =1 .

Most már ismerjük x 2 -t és x 3 -t. A kapott értékeket helyettesítsük be az első egyenletbe.

x 1 1+3( 2 )=4 , akkor x 1 =3 .

Egyetlen megoldás kaptunk mindhárom ismeretlenre:

{ x 1 =3, x 2 =1 x 3 =2 .

Tehát a keresett lineáris kombináció: 3 a ¯ 1 + a ¯ 2 2 a ¯ 3 = b ¯

Ellenőrző kérdések
1. A 2 x 1 + x 2 + x 3 = 0 4 x 1 5 x 2 3 x 3 = 0 4 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0 egyenletrendszer második és harmadik egyenletében szeretnénk kieliminálni az x 1 ismeretlent. Melyik lépéssorral tudjuk ezt elérni?
Az első egyenlet 2-szeresét adjuk a másodikhoz, majd az első egyenlet ( 2 ) -szeresét a harmadikhoz.
Az első egyenlet ( 2 ) -szeresét adjuk a második egyenlethez, majd az első 2-szeresét a harmadikhoz.
Az első egyenlet 1 2 -szeresét adjuk a második egyenlethez, majd az első ( 1 2 ) -szeresét a harmadikhoz.
Mindkét egyenlethez adjuk az első egyenlet 2-szeresét.
2. Az x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = 0 3 x 2 x 3 = 0 x 2 2 x 3 = 0 egyenletrendszeren a következő lépéseket hajtjuk végre. Felcseréljük a második és harmadik sort, majd hozzáadjuk a második sor 3-szorosát a harmadikhoz. Melyik egyenletrendszert kapjuk?
x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = 0 3 x 2 x 3 = 0 7 x 3 = 0
x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = 0 x 2 x 3 = 0 2 x 3 = 0
x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = 0 x 2 2 x 3 = 0 7 x 3 = 0
x 1 + 5 x 2 + 4 x 3 = 0 x 2 2 x 3 = 0 5 x 3 = 0
3. Legyen a ¯ =( 0;1;3;4;0 ) , b ¯ =( 1;0;2;1;7 ) és c ¯ =( 4;10;6;0;2 ). Határozza meg a a ¯ +2 b ¯ 1 2 c ¯ vektort!
( 4;4;10;6;13 )
( 0;6;4;6;15 )
( 4;6;4;2;13 ).
( 4;4;2;2;15 ).
4. Legyen a ¯ =( 1;1;4;0 ) és b ¯ =( 1;0;2;1 ) . Határozza meg a a ¯ ;3 b ¯ szorzat értékét!
( 3;3;24;3 ).
( 1;6;6;3 )
21
21
5. Fejezze be a mondatot! A b _ 1 =( 4,3 ) és b _ 2 =( 2,5 ) vektorok lineárisan
függetlenek, mert a 4 x 1 2 x 2 = 0 3 x 1 + 5 x 2 = 0 egyenletrendszernek csak egy megoldása van az x 1 = x 2 =0
összefüggőek, mert a 4 x 1 2 x 2 = 0 3 x 1 + 5 x 2 = 0 egyenletrendszernek csak egy megoldása van az x 1 = x 2 =0
függetlenek, mert a 4 x 1 2 x 2 = 0 3 x 1 + 5 x 2 = 0 egyenletrendszer egyik megoldása az x 1 =2és x 2 =3
összefüggőek, mert a 4 x 1 2 x 2 = 0 3 x 1 + 5 x 2 = 0 egyenletrendszer egyik megoldása az x 1 =2és x 2 =3
6. Állítsuk elő b ¯ oszlopvektort az a ¯ 1 , a ¯ 2 és a ¯ 3 oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, ha
b ¯ =( 0 9 6 ) a ¯ 1 =( 1 2 4 ) a ¯ 2 =( 1 2 3 ) a ¯ 3 =( 4 1 3 ).
3 a ¯ 1 + a ¯ 2 +2 a ¯ 3 = b ¯
a ¯ 1 +2 a ¯ 2 5 a ¯ 3 = b ¯
2 a ¯ 1 + a ¯ 2 a ¯ 3 = b ¯
3 a ¯ 1 a ¯ 2 + a ¯ 3 = b ¯
7. Fejezze be a mondatot! Az a ¯ 1 =( 3 0 1 ) a ¯ 2 =( 1 1 1 ) a ¯ 3 =( 4 2 0 ) vektorok lineárisan
összefüggőek, mert a 3 x 1 + x 3 = 0 x 1 + x 2 x 3 = 0 4 x 1 2 x 2 = 0 egyenletrendszert megoldva csak a triviális megoldás létezik.
összefüggőek, mert a 3 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 0 x 2 2 x 3 = 0 x 1 x 2 = 0 egyenletrendszert megoldva van a triviálistól eltérő megoldás.
függetlenek, mert a 3 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 0 x 2 2 x 3 = 0 x 1 x 2 = 0 egyenletrendszert megoldva csak a triviális megoldás létezik.
függetlenek, mert a 3 x 1 + x 2 + 4 x 3 = 0 x 2 2 x 3 = 0 x 1 x 2 = 0 egyenletrendszert megoldva van a triviálistól eltérő megoldás.