KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Többváltozós függvények
8. lecke: Integrálás téglalaptartomány felett
Tanulási cél: A kétszeres integrálok kiszámolásának begyakorlása. | ||
Elméleti összefoglaló |
Definíció: Legyen és két intervallum. Az téglalapon | ||
a következő halmazt értjük: | ||
A téglalap tehát a koordinátatengelyekkel párhuzamos téglalapot jelent. | ||
Ha megvan a téglalap fogalma, akkor definiálni tudjuk egy függvény téglalap tartományon vett határozott integrálját, amit szokás kettős integrálnak nevezni. Az egyszerűség kedvéért folytonos függvényekkel fogunk foglalkozni. | ||
Tétel: Legyen egy folytonos függvény a téglalaptartományon, akkor az kettős integrálja a tartomány felett visszavezethető egyváltozós függvények határozott integráljának kiszámítására és | ||
A tétel azt mondja ki, hogy téglalap tartományon egy függvény integrálja úgy határozható meg, ha az függvényt először csak függvényeként tekintjük ( konstans) és -t integráljuk szerint a hozzátartozó határok között. Majd a kapott függvényt integráljuk szerint. A tétel azt is kimondja, hogy az integrálás sorrendje felcserélhető. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Számolja ki az alábbi kettős integrált! | ||
Megoldás: A felírt integrálokban a zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A számolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb. | ||
Jelen esetben az szerinti integrállal kell kezdeni. Az szerinti integrálásnál -t konstansnak vesszük, és a határokat pedig helyére írjuk be. | ||
Majd következik a második integrál, ahol az változó szerint integrálunk. | ||
2. feladat: Számítsa ki a következő kettős integrált! | ||
Megoldás: Először is érdemes felbontani a zárójelet az integrandusban, mert ebben az alakban nehézkes lenne integrálni: | ||
Végezzük el a belső integrálást szerint. Most az változót konstansnak tekintjük, és a határokat pedig helyére írjuk be. | ||
Most következik az szerinti integrálás. | ||
3. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a tartományon! | ||
Megoldás: Használjuk fel, hogy a kettős integrálás téglalaptartományon kétféleképpen is felírható: | ||
Végezzük el a számolást mindkét alakkal. | ||
1. megoldás: | ||
Jelen esetben az szerinti integrállal kell kezdeni: | ||
Az szerinti integrálásnál -t konstansnak tekintettük, és a határokat pedig csak helyére írtuk be. | ||
Majd következik a második integrál: | ||
Végezzük el a számolást a másik sorrendben is! | ||
2. megoldás: | ||
Ez is ugyan azt a végeredményt adja, ahogy vártuk. | ||
3. megoldás: Ha téglalap alakú tartományon az integrandus szorzat, vagyis alakú, akkor alkalmazható a következő integrálási szabály: | ||
Alkalmazzuk a tételt erre az esetre és számoljuk ki az integrált harmadszor is: | ||
4. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a tartományon! | ||
Megoldás: Mivel a határok fixek, a tartomány téglalap alakú. | ||
Ezért | ||
Végezzük el a számolást a következő alakban: | ||
5. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a tartományon! | ||
Megoldás: Mivel a határok fixek, a tartomány téglalap alakú. | ||
Ezért | ||
Végezzük el a számolást a következő alakban: | ||
Mivel , ezért | ||
6. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a tartományon! | ||
Megoldás: Mivel a határok fixek, a tartomány téglalap alakú. | ||
Ezért | ||
Végezzük el a számolást a következő alakban: | ||
7. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a tartományon! | ||
Megoldás: Ezt a kettős integrált ismét kétféleképpen lehet felírni kétszeres integrálként, hiszen most is téglalap alakú tartományon integrálunk. | ||
Vagy | ||
vagy | ||
alakban írhatjuk fel ezt a kettős integrált. Azonban kis vizsgálódás után észrevehetjük, hogy a két sorrendben nem azonos nehézségű integrálokat kell elvégezni. A második felírás esetén az szerinti integrál elvégzése nagyon nehéz és hosszadalmas lenne, míg az első felírási módban az szerinti integrál gond nélkül elvégezhető. Szélsőséges esetben elképzelhető, hogy egy kétszeres integrálnak nem létezik zárt alakban megadható primitív függvénye az integrálás adott sorrendje mellett, de a sorrendet felcserélve az integrálás elvégezhető. | ||
Induljuk ki emiatt az első felírásból: | ||
hiszen . | ||
hiszen |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Számolja ki az alábbi kettős integrált! ![]() | |||||||||
2. Számolja ki az alábbi kettős integrált! ![]() | |||||||||
3. Számolja ki az alábbi kettős integrált! ![]() | |||||||||
4. Számolja ki az függvény kettős integrálját a tartományon! ![]() | |||||||||
5. Számolja ki az függvény kettős integrálját a tartományon! ![]() | |||||||||
6. Számolja ki az függvény kettős integrálját a tartományon! ![]() | |||||||||
7. Számolja ki az függvény kettős integrálját a tartományon! ![]() | |||||||||
8. Számolja ki az függvény kettős integrálját a tartományon! ![]() |