KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak
MODUL: I. modul: Differenciálszámítás alkalmazásai
2 lecke: Teljes függvényvizsgálat
Tanulási cél: A függvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. | |||||||||||||||||||||||||
Motivációs példa | |||||||||||||||||||||||||
Jelölje egy adott termék árát , a termék keresleti függvényét pedig . A teljes árbevétel tehát . | |||||||||||||||||||||||||
Milyen árakra van értelmezve a függvény? | |||||||||||||||||||||||||
Milyen árak esetén növekszik a bevétel és milyen értékek esetén csökken? | |||||||||||||||||||||||||
Milyen ár mellett lesz maximális a bevétel? | |||||||||||||||||||||||||
Ha a bevétel növekszik, van-e olyan pontja a függvénynek, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd, azaz szemléletesen van-e inflexiós pontja? | |||||||||||||||||||||||||
Vajon hogy nézhet ki a függvény görbéje? | |||||||||||||||||||||||||
A kérdések alapján szeretnénk minél több tulajdonságát leolvasni a függvénynek Ebben a leckében összefoglaljuk, hogy egy átfogó képhez milyen szempontok alapján vizsgálhatjuk a függvényeket. | |||||||||||||||||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||||||||||||||||
A teljes függvényvizsgálatot a következő lépésekben végezzük: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||||||||||
1. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás | |||||||||||||||||||||||||
1. Az értelmezési tartomány meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Egy egyszerű polinomot fogunk vizsgálni. Mivel bármilyen valós számhoz tudunk helyettesítési értéket számolni, így a függvény mindenütt értelmezve van, ezért | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. A grafikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Egyrészt annak meghatározása, hogy a függvény grafikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az egyenlet megoldásai adják. Oldjuk meg tehát az egyenletet. A megoldáshoz emeljük ki -et. | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
ami akkor teljesül, ha vagy ha . Ebben a két pontban metszi tehát a grafikon az tengelyt. | |||||||||||||||||||||||||
Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a grafikon hol metszi az tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben adja a keresett pontot. A mi esetünkben | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
a grafikon tehát átmegy az origón. | |||||||||||||||||||||||||
3. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata | |||||||||||||||||||||||||
Ebben a pontban vizsgáljuk meg, hogy a függvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az összetett függvény képletének előállításával dönthető el. Ahhoz, hogy -t megkapjuk, az eredeti hozzárendelési utasításba helyettesítsünk be az helyére -t. Ennek eredményeként kapjuk, hogy . | |||||||||||||||||||||||||
A függvény akkor páros, ha ( szemléletesen, ha szimmetrikus az tengelyre), de ez most nem teljesül. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény akkor páratlan, ha (szemléletesen, ha szimmetrikus az origóra), de most ez sem teljesül, mivel . | |||||||||||||||||||||||||
Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan. | |||||||||||||||||||||||||
4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein | |||||||||||||||||||||||||
Egy függvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum felőli egyoldali határértékeket kiszámítani. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza , az intervallum széleit a és jelenti. Ezért két limeszt kell kiszámolnunk: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol. Elkészítjük tehát a derivált függvényt. | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
Megoldjuk az egyenletet. | |||||||||||||||||||||||||
aminek a két gyöke , illetve . | |||||||||||||||||||||||||
A derivált gyökei beletartoznak az értelmezési tartományba, ezért szélsőérték helyek lehetnek. Tudjuk, hogy a derivált függvény zérushelyei közül azok lesznek szélsőérték helyek, ahol a derivált függvény előjelet vált. | |||||||||||||||||||||||||
Készítsünk ezután egy táblázatot. Az értelmezési tartomány ennél a feladatnál a valós számok halmaza, azaz egyetlen összefüggő intervallum. A derivált függvény zérushelyei ezt a intervallumot három részre bontja. A táblázat első sorában ezen intervallumokat és a derivált függvény zérushelyeit tüntessük fel. A második sorban majd azt jelezzük, hogy az adott intervallumon milyen előjelű a derivált. | |||||||||||||||||||||||||
A deriváltfüggvény előjelének eldöntéséhez minden intervallumból válasszunk ki egy-egy tetszőleges pontot, és helyettesítsük be az függvénybe. | |||||||||||||||||||||||||
A intervallumból kivesszük mondjuk a -et, és ekkor azt kapjuk, hogy , ezért az egész intervallumon pozitív az első derivált előjele. | |||||||||||||||||||||||||
A intervallumból vegyük például az egyet, ekkor . Az intervallumon negatív a derivált függvény előjele. | |||||||||||||||||||||||||
Végül a intervallumból válasszuk a hármat, ekkor . Az intervallumon pozitív az első derivált előjele. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy ahol az első derivált pozitív, ott növekvő a függvény, ahol negatív, ott csökkenő. A táblázat harmadik sorában ezt tüntetjük fel. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Látjuk azt is, hogy mindkét zérushely esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőértékhely. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maximum hely van. A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum hely van. | |||||||||||||||||||||||||
Ki kell még számolni a lokális szélsőérték helyekhez tartozó helyettesítési értékeket, azaz a függvény lokális maximum és a minimum értékét: | |||||||||||||||||||||||||
6. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pontok meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Inflexiós pont ott lehet, ahol. Állítsuk elő a második deriváltat: | |||||||||||||||||||||||||
Oldjuk meg a következő egyenletet: | |||||||||||||||||||||||||
Megoldásként pontot kapjuk. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez inflexiós pont is lehet. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy a második derivált zérushelyei közül az(ok) valóban inflexiós pont(ok), ahol a második derivált előjelet vált. Ezt a szélsőértékeknél használt eljáráshoz hasonlóan lehet megvizsgálni. Az eredményeket most is egy táblázatba foglaljuk. | |||||||||||||||||||||||||
A második deriváltnak most csak egy zérushelye van. Ez a pont két intervallumra bontja a teljes értelmezési tartományt. A táblázat első sorában ezt a felbontást és a második derivált zérushelyét tüntessük fel. | |||||||||||||||||||||||||
A második derivált előjelének vizsgálatához minden intervallumból válasszunk ki egy-egy pontot és helyettesítsük be az függvénybe. | |||||||||||||||||||||||||
A intervallumból vegyük ki a például a nullát, itt , ezért az egész intervallumon negatív a második derivált. | |||||||||||||||||||||||||
A második intervallumból vegyük ki a kettőt, ekkor , tehát az egész intervallumon pozitív a második derivált. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konvex a függvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megvan tehát a szükséges előjelváltás, az 1 inflexiós pont. Ki kell még számítanunk az inflexiós ponthoz tartozó függvényértéket: | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
7. Grafikon rajzolása | |||||||||||||||||||||||||
Az eddig megszerzett információkat felhasználva felvázolható a függvény grafikonja. | |||||||||||||||||||||||||
Felvéve egy koordináta-rendszert, először a nevezetes pontokat jelöljük meg. (tengelymetszetek, szélsőértékek, inflexiós pontok) | |||||||||||||||||||||||||
Ezután vegyük figyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. | |||||||||||||||||||||||||
Végül, a konvexitási információkat is figyelembe véve, rajzoljuk meg a grafikont. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
8. Az értékkészlet meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
A (helyes) grafikonról leolvasható az értékkészlet. | |||||||||||||||||||||||||
2. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás | |||||||||||||||||||||||||
1. Az értelmezési tartomány meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
A függvény mindenütt értelmezve van, ezért . | |||||||||||||||||||||||||
2. A grafikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Egyrészt annak meghatározása, hogy a függvény grafikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az egyenlet megoldásai adják. Oldjuk meg tehát az egyenletet. Egyszerű kiemelést alkalmazva | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
ami akkor teljesül, ha , ugyanis az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán. (Ha egy pozitív számhoz hozzáadunk egy nemnegatív számot, az összeg biztosan pozitív lesz.) | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben adja a keresett pontot. | |||||||||||||||||||||||||
A grafikon tehát átmegy az origón. | |||||||||||||||||||||||||
3. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata | |||||||||||||||||||||||||
Ebben a pontban azt vizsgáljuk meg, hogy a függvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az összetett függvény képletének előállításával kezdődik.. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény akkor páros, ha (tehát szimmetrikus az tengelyre), de ez most nem teljesül. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény akkor páratlan, ha (tehát szimmetrikus az origóra), ami most teljesül, mivel . | |||||||||||||||||||||||||
4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein | |||||||||||||||||||||||||
Egy függvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum felőli egyoldali határértékeket kiszámítani. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza , ezért két limeszt kell kiszámolnunk: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol. Elkészítjük tehát a derivált függvényt. | |||||||||||||||||||||||||
Ott lehetnek lokális szélsőértékek, ahol az . Esetünkben egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán, mivel egy pozitív számhoz, azaz kettőhöz mindig egy nemnegatív számot adunk, az eredmény csak pozitív lehet. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek nincs lokális szélsőértéke. | |||||||||||||||||||||||||
Az függvény tetszőleges valós szám esetén pozitív, amiből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az függvény az egész értelmezési tartományon nő. | |||||||||||||||||||||||||
6. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pontok meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Inflexiós pont ott lehet, ahol . Állítsuk elő a második deriváltat: | |||||||||||||||||||||||||
Oldjuk meg a következő egyenletet: | |||||||||||||||||||||||||
Megoldásként pontot kapjuk. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez az inflexiós pont lehet. | |||||||||||||||||||||||||
Tervezzük meg a táblázatot. Az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és ezt az összefüggő intervallumot a második derivált függvény zérushelye két részre bontja. | |||||||||||||||||||||||||
A intervallumból vegyük ki a nullát, itt , ezért az egész intervallumon negatív a második derivált. | |||||||||||||||||||||||||
A második intervallumból vegyük a kettőt, ekkor , tehát az egész intervallumon pozitív a második derivált. | |||||||||||||||||||||||||
Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konvex a függvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megvan tehát a szükséges előjelváltás, a nulla inflexiós pont. Ki kell még számítanunk az inflexiós pont második koordinátáját: | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
7. Grafikon rajzolása | |||||||||||||||||||||||||
Az eddig megszerzett információkat felhasználva felvázolható a függvény grafikonja. | |||||||||||||||||||||||||
Felvéve egy koordináta-rendszert, először a nevezetes pontokat jelöljük meg. (tengelymetszetek, szélsőértékek, inflexiós pontok) | |||||||||||||||||||||||||
Ezután vegyük figyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. | |||||||||||||||||||||||||
Végül, a konvexitási információkat is figyelembe véve, rajzoljuk meg a grafikont. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
8. Az értékkészlet meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
A (helyes) grafikonról leolvasható az értékkészlet. | |||||||||||||||||||||||||
3. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás | |||||||||||||||||||||||||
1. Az értelmezési tartomány meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Mivel nullával nem tudunk osztani, ezért vizsgáljuk, hogy mikor teljesül. Mivel egy pozitív számhoz, azaz egyhez mindig egy nemnegatív számot adunk, az eredmény csak pozitív lehet. Így | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. A grafikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenlet megoldása , ami az tengellyel vett metszetet adja, azonban miatt, itt metszi a grafikon a függőleges tengelyt is. | |||||||||||||||||||||||||
3. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. | |||||||||||||||||||||||||
A függvény paritását vizsgálva látjuk, hogy | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
tehát a függvény páratlan. | |||||||||||||||||||||||||
4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza , ezért csak a végtelenekben kell kiszámolni a határértékeket. A számlálóból is és a nevezőből is kiemelve -et kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||||||||
Teljesen hasonlóan | |||||||||||||||||||||||||
5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
A derivált nulla, ha a tört számlálója nulla, ez nyilván és esetén teljesül. Mindkét gyök az értelmezési tartományban van. | |||||||||||||||||||||||||
Elkészítjük a táblázatot. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az első intervallumból a -t helyettesítve . | |||||||||||||||||||||||||
A második intervallumból -t helyettesítve . | |||||||||||||||||||||||||
Végül a harmadik intervallumból -t helyettesítve . | |||||||||||||||||||||||||
Így kaptuk a második sor előjeleit. Látjuk, hogy az első derivált mindkét zérushelye esetén megvan az előjelváltás, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig a lokális minimum hely, az lokális maximum hely. | |||||||||||||||||||||||||
A minimum értéke , a maximum értéke (a páratlanság miatt is) . | |||||||||||||||||||||||||
6. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pontok meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenletnek most három megoldása van: . Mindhárom az értelmezési tartományban van. | |||||||||||||||||||||||||
Most az alábbi táblázatot készíthetjük el. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az előjeleket, például, a következő számok behelyettesítésével kaphatjuk: | |||||||||||||||||||||||||
az első tartományból válasszuk a -t, ekkor , | |||||||||||||||||||||||||
a második tartományból a -et, ekkor , | |||||||||||||||||||||||||
a harmadikból az -et, ekkor , | |||||||||||||||||||||||||
a negyedikből -t, ekkor . | |||||||||||||||||||||||||
Látjuk, hogy a második derivált mindhárom zérushelye esetén megvan az előjelváltás, mind a három valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok függvényértékei: ; és . | |||||||||||||||||||||||||
7. Grafikon rajzolása | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A grafikont most is a nevezetes pontok berajzolásával kezdjük. Figyelembe véve a monotonitási és konvexitási viszonyokat is, az alábbi ábrát kaphatjuk: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A határértékek azt mondják, hogy a függvény a végtelenek felé hozzásimul az tengelyhez. Ügyeljünk a páratlanság érzékeltetésére, azaz arra, hogy a grafikon az origóra szimmetrikus. | |||||||||||||||||||||||||
8. Az értékkészlet meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Az ábra alapján világos, hogy a függvény a lokális minimuma és a lokális maximuma közötti értékeket veszi fel, beleértve azokat is, tehát | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
4. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás | |||||||||||||||||||||||||
1. Az értelmezési tartomány meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a nevezőben nulla nem lehet, így | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
2. A grafikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenletnek most két gyöke van: és . Mivel a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak, a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt. | |||||||||||||||||||||||||
3. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
a függvény tehát páratlan. | |||||||||||||||||||||||||
4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein | |||||||||||||||||||||||||
Az értelmezési tartomány két intervallumból áll, ezeknek négy széle van, négy limeszt kell tehát kiszámolnunk. (Valójában a páratlanság miatt csak kettőt.) | |||||||||||||||||||||||||
Ezek: | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
hiszen a számláló -hez tart, a nevező pedig nullához, de mindig negatív. | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
a páratlanság miatt persze az előző limesz mínusz egyszerese, és végül | |||||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||||
most is igaz, hogy ez a mínusz végtelenben vett határérték mínusz egyszerese. | |||||||||||||||||||||||||
5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Az egyenlet megoldásai: , . | |||||||||||||||||||||||||
Az első derivált mindkét zérushelye az értelmezési tartományba esik, meg kell őket vizsgálnunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az előjeleit rendre a következő helyettesítésekkel kaptuk: | |||||||||||||||||||||||||
Első intervallum: | |||||||||||||||||||||||||
Második intervallum: | |||||||||||||||||||||||||
Harmadik intervallum: | |||||||||||||||||||||||||
Negyedik intervallum: | |||||||||||||||||||||||||
Az első derivált mindkét zérushelyén előjelet vált, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, lokális maximum hely. A lokális minimum értéke , a lokális maximum, a páratlanság miatt, ennek mínusz egyszerese, . | |||||||||||||||||||||||||
6. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pontok meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
akkor és csak akkor, ha , . A második derivált mindkét zérushelye az értelmezési tartományba esik. A táblázatunk most az alábbi: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az előjeleket, alkalmas számok behelyettesítésével meghatározhatóak. | |||||||||||||||||||||||||
Azonban az előjelek megkaphatók a következő okoskodással is. | |||||||||||||||||||||||||
Egy tört előjelét kell kiszámolnunk. Ez akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyforma előjelű, akkor negatív, ha különböző előjelűek. | |||||||||||||||||||||||||
A számlálóban egy másodfokú kifejezés áll, amelynek képe egy felfelé nyíló parabola, ez tehát a gyökein kívül pozitív, a gyökei között pedig negatív. A nevezőben álló hatvány, a páratlan kitevő miatt, negatív -ekre negatív, pozitívakra pozitív. | |||||||||||||||||||||||||
Ezek alapján is megkaphatjuk a fenti előjeleket. | |||||||||||||||||||||||||
A második derivált mindkét zérushelye inflexiós pont tehát. Az inflexiós pontok második koordinátái: , . | |||||||||||||||||||||||||
A nulla előtti és utáni darabon is más előjelű a második derivált, de a nulla persze nem inflexiós pont, hiszen ott értelmezve sincs a függvény. Jól mutatja ez azonban azt, hogy a és közötti részt nem lehet egy intervallumként szerepeltetni a fejlécben. | |||||||||||||||||||||||||
7. Grafikon rajzolása | |||||||||||||||||||||||||
Az eddigiek figyelembevételével az alábbi ábrát rajzolhatjuk fel: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
8. Az értékkészlet meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
5. feladat: Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen. | |||||||||||||||||||||||||
Megoldás | |||||||||||||||||||||||||
1. Az értelmezési tartomány meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Mivel minden valós -re, ezért . | |||||||||||||||||||||||||
2. A grafikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
A függvény grafikonja és az tengely metszéspontját az egyszerűbb meghatározni. Mivel a eleme az értelmezési tartománynak, akkor csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. (A grafikon az tengelyt legfeljebb egy pontban metszheti.) | |||||||||||||||||||||||||
A grafikon és az tengely több helyen is metszheti egymást. Ezen metszéspontok helyét az egyenlet megoldásai adják, azaz ilyenkor a függvény zérushelyeit határozzuk meg. Jelen esetben az alábbi egyenletet kell megoldanunk. | |||||||||||||||||||||||||
Tekintsük mindkét oldalt kitevőnek, s emeljük fel az számot a kitevőre. | |||||||||||||||||||||||||
A bal oldalon függvény és inverze áll egy összetételben, így ott valójában csak az argumentum, azaz áll. | |||||||||||||||||||||||||
Ennek az egyenletnek pedig nyilvánvalóan csak az a megoldása. A függvénynek tehát most csak egy zérushelye van, és ez az . A függvény grafikonja tehát átmegy az origón, így egyetlen helyen van közös pontja az és az tengellyel. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel korábban már kiderült, hogy , így előre tudhattuk, hogy az zérushely lesz. Az egyenlet megoldásával azt igazoltuk, hogy csak ez az egyetlen zérushely létezik. | |||||||||||||||||||||||||
3. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata | |||||||||||||||||||||||||
Mivel tudjuk, az páros függvény, s jelen esetben ez a belső függvény egy összetett függvényben, így sejthető, hogy függvényünk páros lesz. Igazoljuk ezt. Egy függvény akkor páros, ha minden esetén. Ennek teljesülését kell ellenőriznünk. | |||||||||||||||||||||||||
Ez minden esetén teljesül, tehát valóban páros a függvény. A grafikonja így szimmetrikus lesz az tengelyre. | |||||||||||||||||||||||||
4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein | |||||||||||||||||||||||||
Mivel az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, így két határértéket kell csak vizsgálnunk, egyrészt a mínusz végtelenben, másrészt pedig a végtelenben. Mert összetett függvény határértékét kell vizsgálnunk, így először a belső függvény határértékét határozzuk meg, majd vesszük a külső függvény határértékét azon a helyen, ahova a belső függvény tart. | |||||||||||||||||||||||||
Kihasználva, hogy | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a függvény páros, így előre tudhattuk, hogy a mínusz végtelenben és a végtelenben meg fog egyezni a határérték. | |||||||||||||||||||||||||
5. Monotonitás és szélsőérték vizsgálata | |||||||||||||||||||||||||
Deriváljuk a függvényt. Az összetett függvényekre vonatkozó szabályt használjuk. | |||||||||||||||||||||||||
Oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||||||||
Csak a számlálót kell vizsgálnunk, így a egyenletet kapjuk, aminek nyilván az egyetlen megoldása. | |||||||||||||||||||||||||
Készítsük el a szokásos táblázatot. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A minimum értékét megkapjuk, ha a függvénybe -t helyettesítünk. Mivel ezt már korábban megtettük, így tudjuk, hogy | |||||||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||||||
Nem csak áthalad tehát az origón a függvény, hanem itt lokális minimuma is van. A táblázatból az is látható, hogy ez a minimum nem csak lokális, hanem globális is, azaz a függvény a teljes értelmezési tartományán itt veszi fel a legkisebb értéket. | |||||||||||||||||||||||||
6. Konvexitás vizsgálata, inflexiós pontok meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Állítsuk elő a második deriváltat is. Most a törtekre vonatkozó szabályt kell alkalmaznunk. | |||||||||||||||||||||||||
Oldjuk meg az egyenletet. | |||||||||||||||||||||||||
Ismét csak a számlálóval kell foglalkoznunk, így a egyenletet kapjuk. | |||||||||||||||||||||||||
Ebből az egyenlet következik, aminek megoldásai . | |||||||||||||||||||||||||
A második derivált előjelének vizsgálatakor nyilván csak a számlálóval kell foglalkozni, hisz a nevező biztosan pozitív. | |||||||||||||||||||||||||
Mivel a olyan másodfokú függvény, amelyben a főegyüttható negatív, így a két gyök között vesz fel pozitív, s a kisebb gyök előtt ill. a nagyobb gyök után negatív értékeket. Így az alábbiakat mondhatjuk. | |||||||||||||||||||||||||
Ha , akkor . | |||||||||||||||||||||||||
Ha , akkor . | |||||||||||||||||||||||||
Ha , akkor . | |||||||||||||||||||||||||
Készítsük most el a konvexitásról a táblázatot. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Határozzuk meg az inflexiós pontok második koordinátáit. Helyettesítsük a függvénybe az inflexiós pontok helyét, azaz a -et. Mivel a függvény páros, így nyilván meg fog egyezni a két helyen a függvény értéke. | |||||||||||||||||||||||||
7. Grafikon rajzolása | |||||||||||||||||||||||||
Az eddig megszerzett információk alapján vázlatosan megrajzolhatjuk a függvény grafikonját. Először jelöljük meg a nevezetes pontokat a koordináta rendszerben. Ilyenek a tengelymetszetek, a szélsőértékek, és az inflexiós pontok. Ezután felhasználva a határértékeket, a monotonitási és konvexitási viszonyokat vázoljuk a grafikont. Így az ábrán látható alakú grafikont kapjuk. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
8. Az értékkészlet meghatározása | |||||||||||||||||||||||||
Az ábráról leolvasható, hogy a legkisebb érték, melyet felvesz a függvény. Így a függvény értékkészlete a következő: | |||||||||||||||||||||||||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Hol metszi az tengelyt az függvény grafikonja?
![]() | |||||||||
2. Hol metszi az tengelyt az függvény grafikonja?
![]() | |||||||||
3. Az függvény
![]() | |||||||||
4. Az függvény
![]() | |||||||||
5. Hány lokális szélsőértéke van a függvénynek?
![]() | |||||||||
6. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
7. Hány lokális szélsőértéke van a függvénynek?
![]() | |||||||||
8. Hány inflexiós pontja van az függvénynek?
![]() | |||||||||
9. Az függvény lokális minimumának függvényértéke
![]() | |||||||||
10. Az függvény lokális maximumának függvényértéke
![]() | |||||||||
11. Az függvény lokális szélsőértékhelyei
![]() | |||||||||
12. Az függvény nő az alábbi intervallum(ok)on
![]() | |||||||||
13. Az függvény csökken az alábbi intervallum(ok)on
![]() | |||||||||
14. Az függvény nő az alábbi intervallum(ok)on
![]() | |||||||||
15. Az függvény lokális minimumának függvényértéke
![]() | |||||||||
16. Az függvény lokális maximumának függvényértéke
![]() | |||||||||
17. Hol konkáv az függvény? ![]() |