KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: Melléklet

Gyakorló feladatok

1. Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f =\{ 2 } . Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x)= (3x6) 4 10+5x ?
] ;2 [
] 2; [
] ;2 [
] 2; [
2. Az f( x ) függvény egy termék iránti keresletet adja meg, x pedig a termék egységárát forintban. Ha f( x )= e 0,03x+10 , akkor mit jelent E( 150 ) ?
Ha termék 150 forintos egységárát 1% -kal növeljük, akkor a kereslet 3% -kal csökken.
Ha termék 150 forintos egységárát 1% -kal növeljük, akkor a kereslet 4,5% -kal csökken.
A termék elaszticitása 150 forintos egységár esetén 3.
A termék elaszticitása 150 forintos egységár esetén 4,5 .
3. Az f( x )= x 4 +4 x 3 függvénynek
nincs lokális szélsőértéke és nincs inflexiós pontja
1 lokális szélsőértéke van és nincs inflexiós pontja
2 lokális szélsőértéke és 2 inflexiós pontja van
1 lokális szélsőértéke és 2 inflexiós pontja van
4. Az f( x )= x 4 +4 x 3 függvény
páros függvény és lim x f( x )=és lim x f( x )=
páratlan függvény és lim x f( x )=és lim x f( x )=
nem páros, nem páratlan és lim x f( x )=és lim x f( x )=
páros függvény és lim x f( x )=és lim x f( x )=
5. cosx e 2sinx dx
sinx e 2cosx +c
sinx e 2cosx +c
sinx e 2cosx +c
e 2sinx 2 +c
6. ( 13 x 2 )lnxdx
( x 3 x )lnx+x x 3 3 +c
( x x 3 )lnxx3 x 3 +c
6xlnx(13 x 2 ) 1 x +c
( x x 3 )lnxx+ x 3 3 +c
7. 0 12 ( 2x4 ) 4 dx=
Az improprius integrál divergens.
1 32
1 32
1 16
8. 0 10 5x+3 dx
Az improprius integrál divergens.
2ln3
2ln| 5x+3 |+c
2ln3+c
9. Határozza meg az f( x,y ) =ln( 36 x 2 y 2 )+ 1+ x 2 y kétváltozós függvény értelmezési tartományát!
10. Ha f: 2 ,  f(x,y)=5 y 2 cos(3x) , határozza meg a függvény tiszta másodrendű parciális derivált függvényeit!
f xx (x,y)=45 y 2 sin( 3x )és f yy (x,y)=10cos( 3x )
f xx (x,y)=45 y 2 cos( 3x )és f yy (x,y)=10cos( 3x )
f xy (x,y)=30ycos( 3x )és f yx (x,y)=30ysin( 3x )
f x (x,y)=15 y 2 cos( 3x )és f y (x,y)=10ycos( 3x )
11. Határozza meg az f: 2 ,   f(x,y)=cos(xy+ x 2 ) kétváltozós függvény gradiensét a (3,1) pontban!
( 4,12;1,61 )
( 3,77;1,61 )
( 3,77;1,61 )
nem létezik
12. Határozza meg az f: 2 ,  f(x,y)= x x 2 y függvény u ¯ =(3,3) irányú iránymenti deriváltját a (2,3) pontban!
0
9 6
3 2
9 2
13. Az f: 2 :   f(x,y)= x 3 + y 2 xy kétváltozós függvénynek
lokális maximuma van
nincs lokális szélsőértéke
egy stacionárius pontja van
két stacionárius pontja van
14. Számolja ki az alábbi kettős integrált!
1 0 ( 0 2 ( 2x+4xy ) dy ) dx
6 x 2
6
6
6 x 2
15. Számolja ki az  f(x,y)= x 3 + y 2 függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x1;1y3 } tartományon!
17 6
28 3
55 6
31 3
16. Az f: 2 :   f(x,y)= x 3 y 2 +4xy5x+4y3 kétváltozós függvénynek
lokális maximuma van
nincs lokális szélsőértéke
egy stacionárius pontja van
lokális minimuma van
17. Ha a ¯ =( 2;0;3;5 ) , b ¯ =( 1;0;2;1 ) és c ¯ =( 3;1;2;1 ) ,akkor 2 a ¯ b ¯ + c ¯ 2 értéke
( 13;1;8;9 ).
3 .
( 13;2;8;8 ).
3
18. Fejezze be a mondatot! A b ¯ 1 =( 8,6 )és b ¯ 2 =( 4,3 ) vektorok lineárisan
függetlenek, mert a 8 x 1 4 x 2 = 0 6 x 1 + 3 x 2 = 0 egyenletrendszernek csak egy megoldása van az x 1 = x 2 =0
összefüggőek, mert a 8 x 1 4 x 2 = 0 6 x 1 + 3 x 2 = 0 egyenletrendszernek csak egy megoldása van az x 1 = x 2 =0
függetlenek, mert a 8 x 1 4 x 2 = 0 6 x 1 + 3 x 2 = 0 egyenletrendszer egyik megoldása x 1 =1és x 2 =2
összefüggőek, mert a 8 x 1 4 x 2 = 0 6 x 1 + 3 x 2 = 0 egyenletrendszer egyik megoldása x 1 =1és x 2 =2
19. Legyen A=( 2 3 4 1 3 0 ) , és B=( 0 5 2 3 1 1 ) , akkor
B T A T művelet nem végezhető el
B T A T =( 9 3 0 7 21 15 1 9 6 )
B T A T =( 6 0 4 5 3 0 )
B T A T =( 26 1 5 10 )
20. Ha A=( 3 4 0 2 2 5 2 1 1 3 2 1 )B=( 0 4 5 6 1 1 )C=( 2 3 4 5 ) , akkor az ABC , az A T BC és C B T A szorzatok közül
egy sem végezhető el.
mind a három elvégezhető.
csak egy végezhető el.
kettő végezhető el.
21. Gauss-eliminálással egy lineáris egyenletrendszer megoldása során a következő táblázatot kaptuk. (Az ismeretleneket jelöljük a szokott módon x ¯ 1 , x ¯ 2 , x ¯ 3 -mal.)
( 1 2 3 0 2 4 0 0 0 | 6 10 0 )
Melyik állítás igaz?
{ x 1 =167t x 2 =5+2t x 3 =t t
{ x 1 =155t x 2 =42t x 3 =t t
{ x 1 =7 x 2 =5 x 3 =2
{ x 1 =10 x 2 =1 x 3 =2
22. Az x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 0 x 1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 10 x 4 = 0 x 1 + 4 x 2 + 10 x 3 + 20 x 4 = 0 lineáris egyenletrendszer megoldása
{ x 1 =0 x 2 =0 x 3 =0 x 4 =0
az egyenletrendszernek nincs megoldása
{ x 1 =1+t x 2 =2+t x 3 =9t x 4 =t t
{ x 1 =3t x 2 =0 x 3 =9t x 4 =t t
23. Az A=( 5 1 2 3 4 1 2 5 0 ) mátrix determinánsának értéke:
10.
13.
23.
14.
24. Milyen x esetén lesz az A=( 1 3 4 4 x 2 1 1 x ) mátrix determinánsa éppen 9 ?
Ha x=17 vagy x=1
Ha x=16 és x=1
Ha x=17 és x=1
Ha x16 vagy x1
25. Az A=( 1 2 3 4 ) mátrix inverze:
A 1 =( 2 1 3 2 1 2 )
A 1 =( 1 2 1 3 2 2 )
A 1 =( 2 1 3 2 1 2 )
A 1 =( 1 2 3 2 1 2 )
26. Az A=( 4 2 3 1 1 0 2 5 4 ) mátrix inverze:
A 1 =( 4 21 4 4 22 3 3 16 2 ).
A 1 =( 4 23 3 4 22 3 3 16 2 ).
A 1 =( 4 23 3 4 21 3 3 16 2 ).
A 1 =( 4 23 4 4 22 3 0 16 2 ).