KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Többváltozós függvények

8. lecke: Integrálás téglalaptartomány felett

Tanulási cél: A kétszeres integrálok kiszámolásának begyakorlása.

Elméleti összefoglaló

Definíció: Legyen [ a;b ] és [ c;d ] két intervallum. Az [ a;b ]×[ c;d ] téglalapon

a következő halmazt értjük:

T=[a;b] × [c;d] = { ( x;y ) 2 :axb,cyd }.

A téglalap tehát a koordinátatengelyekkel párhuzamos téglalapot jelent.

Ha megvan a téglalap fogalma, akkor definiálni tudjuk egy függvény téglalap tartományon vett határozott integrálját, amit szokás kettős integrálnak nevezni. Az egyszerűség kedvéért folytonos függvényekkel fogunk foglalkozni.

Tétel: Legyen f( x,y ) egy folytonos függvény a T={ ( x;y ) 2 :axb,cyd }. téglalaptartományon, akkor az f( x,y ) kettős integrálja a T tartomány felett visszavezethető egyváltozós függvények határozott integráljának kiszámítására és

T f( x,y ) dxdy= c d ( a b f( x,y ) dx ) dy= a b ( c d f( x,y ) dy ) dx

A tétel azt mondja ki, hogy téglalap tartományon egy f függvény integrálja úgy határozható meg, ha az f függvényt először csak x függvényeként tekintjük ( y konstans) és f-t integráljuk x szerint a hozzátartozó határok között. Majd a kapott függvényt integráljuk y szerint. A tétel azt is kimondja, hogy az integrálás sorrendje felcserélhető.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Számolja ki az alábbi kettős integrált!

1 2 ( 0 1 (x+y+2) dx ) dy

Megoldás: A felírt integrálokban a zárójelen belüli integrált belső, a zárójelen kívülit pedig külső integrálnak hívjuk. A számolása során mindig a belső integrált határozzuk meg előbb.

Jelen esetben az x szerinti integrállal kell kezdeni. Az x szerinti integrálásnál y-t konstansnak vesszük, és a határokat pedig x helyére írjuk be.

0 1 (x+y+2) dx= [ x 2 2 +yx+2x ] 0 1 =( 1 2 2 +y1+21 )( 0 2 2 +y0+20 )= 5 2 +y

Majd következik a második integrál, ahol az y változó szerint integrálunk.

1 2 ( 5 2 +y ) dy= [ 5 2 y+ y 2 2 ] 1 2 =( 5 2 2+ 2 2 2 )( 5 2 ( 1 )+ (1) 2 2 )=9

2. feladat: Számítsa ki a következő kettős integrált!

1 3 ( 0 2 x y( x 2 y 2 1)dy ) dx

Megoldás: Először is érdemes felbontani a zárójelet az integrandusban, mert ebben az alakban nehézkes lenne integrálni:

1 3 ( 0 2 x y( x 2 y 2 1)dy ) dx= 1 3 ( 0 2 ( x 3 y 3 xy) dy ) dx

Végezzük el a belső integrálást y szerint. Most az x változót konstansnak tekintjük, és a határokat pedig y helyére írjuk be.

0 2 ( x 3 y 3 xy) dy= [ x 3 y 4 4 x y 2 2 ] 0 2 =( x 3 2 4 4 x 2 2 2 )( x 3 0 4 4 x 0 2 2 )=4 x 3 2x

Most következik az x szerinti integrálás.

1 3 ( 4 x 3 2x ) dx= [ x 4 x 2 ] 1 3 =( 3 4 3 2 )( 1 4 1 2 )=72

3. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x1;0y2 } tartományon!

 f(x,y)=xy

Megoldás: Használjuk fel, hogy a kettős integrálás téglalaptartományon kétféleképpen is felírható:

0 2 ( 0 1 (xy) dx ) dy= 0 1 ( 0 2 (xy) dy ) dx.

Végezzük el a számolást mindkét alakkal.

1. megoldás: 0 2 ( 0 1 (xy) dx ) dy

Jelen esetben az x szerinti integrállal kell kezdeni:

0 1 (xy) dx= [ x 2 2 y ] 0 1 = 1 2 2 y 0 2 y= y 2 .

Az x szerinti integrálásnál y-t konstansnak tekintettük, és a határokat pedig csak x helyére írtuk be.

Majd következik a második integrál:

0 2 y 2 dy= [ y 2 4 ] 0 2 = 2 2 4 0=1.

Végezzük el a számolást a másik sorrendben is!

2. megoldás: 0 1 ( 0 2 (xy) dy ) dx= 0 1 [ x y 2 2 ] 0 2 dx= 0 1 ( x 2 2 2 x 0 2 ) dx= 0 1 2 xdx= [ x 2 ] 0 1 = 1 2 0=1

Ez is ugyan azt a végeredményt adja, ahogy vártuk.

3. megoldás: Ha téglalap alakú tartományon az integrandus szorzat, vagyis f(x)g(y) alakú, akkor alkalmazható a következő integrálási szabály:

a b ( c d f (x)g(y)dx ) dy= a b g (y)dy c d f (x)dx

Alkalmazzuk a tételt erre az esetre és számoljuk ki az integrált harmadszor is:

0 2 ( 0 1 (xy) dx ) dy=( 0 2 y dy )( 0 1 x dx )= [ y 2 2 ] 0 2 [ x 2 2 ] 0 1 =2 1 2 =1

4. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :2x0;1y2 }   tartományon!

 f(x,y)=2x3y

Megoldás: Mivel a határok fixek, a tartomány téglalap alakú.

Ezért

2 0 ( 1 2 (2x3y) dy ) dx= 1 2 ( 2 0 (2x3y) dx ) dy

Végezzük el a számolást a következő alakban:

2 0 ( 1 2 (2x3y) dy ) dx= 2 0 [ 2xy 3 2 y 2 ] 1 2 dx=

2 0 [ ( 4x6 )( 2x 3 2 ) ] dx= 2 0 ( 2x 9 2 ) dx=

[ x 2 9 2 x ] 2 0 =0( 4+ 9 2 2 )=13

5. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0xln3;0yln4 } tartományon!

 f(x,y)= e 2xy

Megoldás: Mivel a határok fixek, a tartomány téglalap alakú.

Ezért

0 ln4 ( 0 ln3 e 2xy dx ) dy= 0 ln3 ( 0 ln4 e 2xy dy ) dx

Végezzük el a számolást a következő alakban:

0 ln4 ( 0 ln3 e 2xy dx ) dy= 0 ln4 [ 1 2 e 2xy ] 0 ln3 dy= 0 ln4 ( 1 2 e 2ln3y 1 2 e 20y ) dy

Mivel e 2ln3y = e 2ln3 e y = ( e ln3 ) 2 e y = 3 2 =9 e y , ezért

0 ln4 ( 9 2 e y 1 2 e y ) dy= 0 ln4 4 e y dy= [ 4 1 1 e y ] 0 ln4 = [ 4 e y ] 0 ln4 =

4 e ln4 +4 e 0 =4 ( e ln4 ) 1 +41=4 1 4 +4=3

6. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x1;1y2 } tartományon!

f(x,y)= ( 2x+3y ) 4

Megoldás: Mivel a határok fixek, a tartomány téglalap alakú.

Ezért

1 2 ( 0 1 (2x+3y) 4 dx ) dy= 0 1 ( 1 2 ( 2x+3y ) 4 dy ) dx

Végezzük el a számolást a következő alakban:

1 2 ( 0 1 (2x+3y) 4 dx ) dy= 1 2 [ 1 2 ( 2x+3y ) 5 5 ] 0 1 dy= 1 2 [ 1 10 ( 2x+3y ) 5 ] 0 1 dy=

1 2 ( 1 10 ( 2+3y ) 5 1 10 ( 0+3y ) 5 ) dy= 1 2 ( 1 10 ( 2+3y ) 5 243 10 y 5 ) dy=

[ 1 10 1 3 ( 2+3y ) 6 6 243 10 y 6 6 ] 1 2 = [ 1 180 ( 2+3y ) 6 123 60 y 6 ] 1 2 =1114,4

7. feladat: Számolja ki az alábbi függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x 1 2 ;0yπ } tartományon!

f(x,y)=xcos(xy)

Megoldás: Ezt a kettős integrált ismét kétféleképpen lehet felírni kétszeres integrálként, hiszen most is téglalap alakú tartományon integrálunk.

Vagy

0 1 2 ( 0 π x cos(xy)dy ) dx,

vagy

0 π ( 0 1 2 x cos( xy )dx )dy

alakban írhatjuk fel ezt a kettős integrált. Azonban kis vizsgálódás után észrevehetjük, hogy a két sorrendben nem azonos nehézségű integrálokat kell elvégezni. A második felírás esetén az x szerinti integrál elvégzése nagyon nehéz és hosszadalmas lenne, míg az első felírási módban az y szerinti integrál gond nélkül elvégezhető. Szélsőséges esetben elképzelhető, hogy egy kétszeres integrálnak nem létezik zárt alakban megadható primitív függvénye az integrálás adott sorrendje mellett, de a sorrendet felcserélve az integrálás elvégezhető.

Induljuk ki emiatt az első felírásból:

0 1 2 ( 0 π x cos(xy)dy ) dx= 0 1 2 [ x 1 x sin(xy) ] 0 π dx= 0 1 2 [ sin(xy) ] 0 π dx=

0 1 2 ( sin( xπ )sin( x0 ) )dx = 0 1 2 sin ( xπ )dx,

hiszen sin(x0)=0 .

0 1 2 sin ( xπ )= [ cos( xπ ) 1 π ] 0 1 2 =cos( 1 2 π ) 1 π +cos( 0π ) 1 π = 1 π

hiszen cos( π 2 )=0

Ellenőrző kérdések
1. Számolja ki az alábbi kettős integrált!
1 1 ( 0 2 ( x 2 2y+1) dx ) dy
14 5
28 3
30 7
19 4
2. Számolja ki az alábbi kettős integrált!
2 5 ( 1 2 x 2 y(x y 2 2)dy ) dx
226,51
372,48
456,94
645,12
3. Számolja ki az alábbi kettős integrált!
1 1 ( 1 3 ( 2x+y ) 2 dy ) dx
24
68 3
71 4
17
4. Számolja ki az  f(x,y)= x 3 y 2 függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x1;2y3 }   tartományon!
17 4
7 3
9 5
19 12
5. Számolja ki az  függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x2;1y2 } tartományon!
4
20 3
21 4
18
6. Számolja ki az  f(x,y)= e 2y3x függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0xln2;0yln3 } tartományon!
ln5
ln2
3 e 5
7 6
7. Számolja ki az  f(x,y)= ( 2xy ) 5 függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x3;1y0 } tartományon!
3487,23
5321,8
6471,5
7821,57
8. Számolja ki az  f(x,y)=ysin(xy) függvény kettős integrálját a { (x,y) 2 :0x 1 2 ;0yπ } tartományon!
23,45
1,14
0,23
0,64