KURZUS: Matematika 2. közgazdászoknak

MODUL: I. modul: Differenciálszámítás alkalmazásai

1 lecke: Konvexitás, elaszticitás

Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a függvény konvexitására vonatkozóan. Elaszticitás fogalmának megismerése.

Motivációs példa

A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk, akkor az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha 1 euróval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis 1 kg kenyér árának 1 eurós növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának 1 eurós növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát 1%-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük.

Egy termékből eladott mennyiséget az f( x )=10+ 4000 x függvény adja meg, ahol x a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik?

Konvexitás
Elméleti összefoglaló

Az elsőrendű derivált előjele meghatározza a függvény monotonitását. A másodrendű derivált előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a függvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben a függvény konvexitására vonatkozóan.

Definíció: Egy intervallumon értelmezett valós függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe felett halad. Egy intervallumon értelmezett valós függvény konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad.

Tétel: Legyen az f függvény kétszer differenciálható az ] a,b [ intervallumon. Az f függvény akkor és csak akkor konvex az [ a,b ] -n, ha f (x)>0 az ] a,b [ intervallumon, illetve az f függvény akkor és csak akkor konkáv az [ a,b ] -n, ha f (x)<0 az ] a,b [ intervallumon.

Definíció: Legyen az f függvény folytonos az ] a,b [ intervallumon és c] a,b [ . Ha f konvex ] a,c [ -n és konkáv ] c,b [ -n, vagy konkáv ] a,c [ -n és konvex ] c,b [ -n, akkor c inflexiós pontja az f függvénynek.

Tétel: Legyen az f függvény a c hely környezetében kétszer differenciálható. Ha a c pontban az ffüggvénynek inflexiós pontja van, akkor f (c)=0 .

Fontos megjegyezni, hogy a tétel megfordítása nem igaz. Abból, hogy az f (c)=0 , még nem következik, hogy c inflexiós pont.

Tétel: Ha az f függvény kétszer differenciálható c-ben és f (c)=0 , továbbá ] a,c [ -n f ( x )>0 és ] c,b [ -n f ( x )<0 , vagy ] a,c [ -n f ( x )<0 és ] c,b [ -n f ( x )>0 , azaz az f ( x ) függvény c-ben előjelet vált, akkor c inflexiós pontja az f függvénynek.

A fenti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a függvényeket konvexitás és inflexiós pont szempontjából.

1.Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a függvény értelmezhető.
2.Kétszer deriváljuk a függvényt.
3.Megoldjuk az f ( x )=0 egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol inflexiós pont lehet.
4.Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a másodrendű derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s az adott részeken megvizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba behelyettesítünk.
5.Az értelmezési tartomány egyes részein a másodrendű derivált előjeléből következtetünk a konvexitásra.

Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összefoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk le az adatokat.

Az inflexiós pontnak van egy szemléletes jelentése is. Ha függvény az inflexiós pontja előtt és után is növekvő, akkor ez az a pont, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd. Ha a függvény csökkenve halad át az inflexiós pontján, akkor abban a pontban a csökkenés mértéke kezd lelassulni.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f = . Hol konvex az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x)=(x2) (x+7) 3 ?

Megoldás: Amikor egy függvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konvex, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál. Ilyenkor azonban a második derivált előjelével kell foglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy függvény második deriváltja, ott konvex a függvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a függvény.

Először meghatározzuk a második derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk az f (x)=0 egyenletet.

(x2) (x+7) 3 =0

Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, így a szorzat két egyenletre bontható.

x2=0 vagy (x+7) 3 =0

Ezen egyenletek megoldásai: x=2 és x=7 .

Most hasonló táblázatot készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk függvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd fel. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált előjele. Ha egyelőre csak az első sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz.

x ] ;7 [ 7 ] 7;2 [ 2 ] 2; [
f (x)
f(x)

Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, hogy mindegyik intervallumból kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítjük a f (x) függvénybe. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk a szorzat előjelére.

Ha a ] ;7 [ intervallumból választunk egy számot, akkor nyilván x2<0 , azaz a derivált első tényezője negatív. Ekkor x+7<0 szintén teljesül, amiből (x+7) 3 <0 is következik, tehát a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz x] ;7 [ esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény.

Hasonlóan, ha ] 7;2 [ intervallumból választunk egy tetszőleges számot, akkor x2<0 és x+7>0 , amiből (x+7) 3 >0 . Vagyis a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a függvény.

Végül ha ] 2; [ intervallumból választunk egy számot, akkor x2>0 és x+7>0 , amiből (x+7) 3 >0 . Tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konvex a függvény.

Mivel a második derivált mindkét zérushelyében (x=7,x=2) megváltozik a második derivált előjele, így mindkét helyen inflexiós pontja van a függvénynek.

Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is.

x ] ;7 [ 7 ] 7;2 [ 2 ] 2; [
f (x) + 0 0 +
f(x) konvex
inflexiós pontkonkáv
inflexiós pontkonvex

Legvégül adjunk választ a feladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a függvény konvex az ] ;7 [ és ] 2; [ intervallumokon. Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a függvény a ] ;7 [] 2; [ halmazon konvex.

2. feladat: Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f =\{ 0,5 } . Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x)= (10x) (4x+2) 6 ?

Megoldás: Oldjuk meg az f (x)=0 egyenletet.

(10x) (4x+2) 6 =0

Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk.

10x=0

Ennek az egyenletnek a megoldása x=10 .

Mivel egy függvény előjele ott is változhat, ahol a függvény nincs értelmezve az értelmezési tartományt a szakadási helyek is részekre bontják. Tehát az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre.

Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk.

x ] ;0,5 [ 0,5 ] 0,5;10 [ 10 ] 10; [
f (x) X
f(x) X

Vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden x 1 2 esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk.

A ] ;0,5 [ intervallumom 10x>0 és a nevező pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz x] ;0,5 [ esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konvex a függvény.

A ] 0,5;10 [ intervallumom 10x>0 és a nevező is pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz ezen az intervallunom szintén pozitív a második derivált, s ebből következően itt is konvex a függvény.

Végül ha a ] 10; [ intervallumból választunk egy számot, akkor 10x<0 és a nevező pozitív. Ebben az esetben a hányados negatív. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a függvény.

x ] ;0,5 [ 0,5 ] 0,5;10 [ 10 ] 10; [
f (x) +X+ 0
f(x) konvex
Xkonvex
inflexiós pontkonkáv

A táblázatból kiolvasható, hogy a függvény a ] 10; [ intervallumon konkáv.

3. feladat: Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f = . Hol van inflexiós pontja az f(x) függvénynek, ha második deriváltja f (x)= (x7) 6 ( e x 1) ?

Megoldás: Oldjuk meg az f (x)=0 egyenletet. Egy függvénynek ugyanis ott lehet inflexiós pontja, ahol a második deriváltja 0.

(x7) 6 ( e x 1)=0

Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk.

(x7) 6 =0 vagy e x 1=0

Az első egyenlet megoldása nyilván x=7 . A második egyenletet rendezzük át.

e x 1=0       e x =1

Vegyük mindkét oldal logaritmusát.

ln( e x )=ln1

Mivel a bal oldalon egy függvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszerűen x szerepel.

x=ln1=0

A második egyenlet megoldása így x=0 .

Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az x=0 és az x=7 .

Ezek után a táblázat első sora kitölthető.

x ] ;0 [ 0 ] 0;7 [ 7 ] 7; [
f (x)
f(x)

Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első tényezője nem vesz fel negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második tényező előjelével kell foglalkoznunk.

A ] ;0 [ intervallumon e x <1 , ezért e x 1<0 . Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv a függvény.

A ] 0;7 [ intervallumon e x >1 , ezért e x 1>0 . Így itt pozitív a második derivált, tehát konvex a függvény.

A ] 7; [ intervallumon e x >1 , ezért e x 1>0 . Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konvex a függvény.

Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az x=0 helyen előjelet vált a második derivált, így itt inflexiós pontja van a függvénynek. Viszont az x=7 helyen a második derivált nem vált előjelet, így itt nincs inflexiós pont.

Töltsük ki a teljes táblázatot.

x ] ;0 [ 0 ] 0;7 [ 7 ] 7; [
f (x) 0 + 0 +
f(x) konkáv
inflexiós pontkonvex
nincs inflexiós pontkonvex

A függvénynek tehát az x=0 helyen van inflexiós pontja.

4. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket!

f(x)= e 1 x

Megoldás: Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben x0 , azaz D f =\{0} .

Állítsuk elő a függvény második deriváltját, mert a konvexitás vizsgálatához erre lesz szükségünk.

Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az első derivált előállításakor összetett függvényt deriválunk. A külső függvény az e x , a belső függvény pedig az 1 x , azaz x 1 .

f (x)= e 1 x ( x 2 )= e 1 x 1 x 2

A második deriválás során a szorzatra vonatkozó szabályt használjuk.

f (x)= e 1 x ( x 2 )( x 2 )+ e 1 x ( 2 x 3 )= e 1 x x 4 +2 e 1 x x 3 = e 1 x 1 x 4 +2 e 1 x 1 x 3

Ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet.

f (x)= e 1 x 1 x 3 ( 1 x +2 )

Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az f (x)=0 egyenletet.

e 1 x 1 x 3 ( 1 x +2 )=0

Az első tényező nem lehet egyenlő nullával, hiszen az exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel. A második tényező szintén nem lehet nulla. Ennek következtében elég csak a harmadik tényezőt vizsgálnunk.

1 x +2=0

Mivel x0 , ezért az egyenlet a következő alakra hozható.

1+2x=0

Ennek megoldása pedig x=0,5 .

Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre.

x ] ;0,5 [ 0,5 ] 0,5;0 [ 0 ] 0; [
f (x) X
f(x) X

Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Vegyük figyelembe, hogy az e 1 x csak pozitív értékeket vehet fel.

Töltsük ki a teljes táblázatot.

x ] ;0,5 [ 0,5 ] 0,5;0 [ 0 ] 0; [
f (x) 0 +X +
f(x) konkáv
inflexiós pontkonvex
Xkonvex

Ezután már csak az inflexiós ponthoz tartozó függvényértéket kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a függvénybe az x=0,5 értéket.

f(0,5)= e 1 0,5 = e 2 = 1 e 2

5. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket!

f(x)= x 3 +xlnx

Megoldás: Elsőként most is a függvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. A logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés x>0 , azaz D f =] 0; [ .

Először az első derivált függvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a szorzatra vonatkozó szabályt alkalmazzuk).

f (x)=3 x 2 +1lnx+x 1 x =3 x 2 +lnx+1

A második derivált előállítása:

f (x)=6x+ 1 x

Oldjuk meg az f (x)=0 egyenletet.

6x+ 1 x =0

Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy x csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a következő alakra hozható:

6 x 2 +1=0

Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása. Ugyanis x most csak pozitív szám lehet, akkor x 2 és 6 x 2 +1 is csak pozitív lehet. Ez pedig azt jelenti, hogy az f( x ) függvénynek nincs inflexiós pontja. A ] 0; [ intervallumon 6 x 2 +1>0 , tehát a függvény ezen az intervallumon konvex.

6. feladat: Adja meg a függvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konvexitás szempontjából a függvényt! Számolja ki az inflexiós pont(ok)hoz tartozó függvényértéket!

f(x)=ln( x 2 +2x+2)

Megoldás: Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés x 2 +2x+2>0 . Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra fennáll, mivel a polinomnak nincs zérushelye (diszkrimináns negatív). Tehát a függvény minden valós számra értelmezhető, D f = .

Először az elsőrendű deriváltat számoljuk ki. Az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva kapjuk, hogy

f (x)= 1 x 2 +2x+2 (2x+2)= 2x+2 x 2 +2x+2

A másodrendű derivált kiszámolásánál a hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy

f (x)= 2( x 2 +2x+2) (2x+2) 2 ( x 2 +2x+2) 2 = 2 x 2 4x ( x 2 +2x+2) 2

Alkalmazva, hogy a tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, így a következő egyszerűbb egyenletet kapjuk.

2 x 2 4x=0

f (x) zérushelyei: 2;0

Készítsük el a táblázatot, majd vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden x esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk.

x ] ;2 [ 2 ] 2;0 [ 0 ] 0; [
f (x) 0+0
f(x) konkáv
inflexiós pontkonvex
inflexiós pontkonkáv

Még az inflexiós pontokhoz tartozó függvényértékeket kell meghatároznunk.

f(2)=ln2=0,693 f(0)=ln2=0,693

Ellenőrző kérdések
1. Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f = . Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x)= (x+3) 2 (x5) 3 ?
] 3; [
] ;5 [
] 5; [
] ;3 [] 5; [
2. Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f =\{ 4 } . Hol konvex az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x)= (63x) (x+4) 8 ?
] 2; [
] 4; [
] ;4 [] 2; [
] ;4 [] 4;2 [
3. Az f(x) függvény értelmezési tartománya D f = . Hol van inflexiós pontja az f(x) függvénynek, ha második deriváltja f (x)= (32x) 5 ( e x 1) ?
0 és 1,5
-1,5 és 1,5
1,5
nincs inflexiós pontja
4. Hány inflexiós pontja van az f( x )= x 5 30 x 3 +2 függvénynek?
0
1
2
3
5. Hány inflexiós pontja van az f( x )=4 x 3 +xlnx függvénynek?
0
1
2
3
6. Hány inflexiós pontja van az f( x )= 3 2 x 3 +xxlnx függvénynek?
0
1
2
3
7. Az f( x )= x 5 30 x 3 +2 függvény inflexiós pontja (pontjai)
3
-3;3
-3;0;3
nincs inflexiós pontja
8. Az f( x )=ln( x 2 +2x+5) függvény inflexiós pontja (pontjai)
-3;0
-3;1
1;0
nincs inflexiós pontja
9. Az f( x )= e x ( x1 ) függvény inflexiós pontjának függvényértéke
e 2
e 2 1
2 e
2e
Elaszticitás
Elméleti összefoglaló

A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást.

Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha 1 euróval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis 1 kg kenyér árának 1 eurós növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának 1 eurós növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát 1%-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük.

Az elaszticitás megmutatja, hogy a független változó ( x ) értékét 1%-kal növelve, hány százalékkal változik a függő változó ( f( x ) ) .

Az elaszticitást a következő módon tudjuk definiálni:

E( x )= x f( x ) f (x)

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Határozza meg az f(x)= 3 x 3 függvény elaszticitását!

Megoldás: Első lépésként határozzuk meg az f (x) függvényt.

f (x)=3( 3 ) x 4 = 9 x 4

E( x )= x f( x ) f (x)=   x   3 x 3 ( 9 x 4 )= x 4 3 ( 9 x 4 )=3

2. feladat: Egy termék iránti keresletet az x ártól függően az f( x )= 100 x+8 függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 200 Ft-os árát 1%-kal emelik?

Megoldás: Első lépésként határozzuk meg az f (x) függvényt.

f (x)= 100 ( x+8 ) 2

E( x )= x f( x ) f (x)=    x    100 x+8 ( 100 ( x+8 ) 2 )= x( x+8 ) 100 ( 100 ( x+8 ) 2 )= x x+8

Az elaszticitás azt mutatja meg, hogy ha a termék árát 1%-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Most a termék ára 200 Ft, tehát

E( 200 )= 200 200+8 =0,96150,96

A kereslet tehát 0,96 százalékkal csökken.

3. feladat: Egy termék iránti keresletet az x ártól függően az f( x )= 100 x+8 függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 200 Ft-os árát 4%-kal csökkentik?

Megoldás: Az előző feladat eredményeit felhasználva tudjuk, hogy E( 200 )=0,96 .

Az elaszticitás az 1%-kos növeléshez tartozó változást írja le, a 4 százalékkal való csökkentést az elaszticitás (-4)-szerese adja.

( 4 )E( 200 )=( 4 )( 0,96 )=3,84

Ha a termék ára 4 százalékkal csökken, akkor a kereslet 3,84 százalékkal nő.

4. feladat: Egy termékből eladott mennyiséget az f( x )=10+ 4000 x függvény adja meg, ahol x a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik?

Megoldás: Az elaszticitás segítségével tudjuk meghatározni, hogy hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 1000 Ft-os árát 2%-kal növelik.

Első lépésként határozzuk meg az f (x) függvényt.

f (x)= 4000 x 2

E( x )= x f( x ) f (x)=   x   10+ 4000 x ( 4000 x 2 )=    x 2    10x+4000 ( 4000 x 2 )=   4000   10x+4000

A termék ára 1000 Ft, tehát

E( 1000 )=   4000   101000+4000 =0,28570,29

Az elaszticitás az 1%-kos növeléshez tartozó változást írja le, akkor a 2 százalékkal való növekedést az elaszticitás 2-szerese adja.

2E( 1000 )=2( 0,29 )=0,58

Ha a termék ára 2 százalékkal nő, akkor a kereslet 0,58 százalékkal csökken.

Ellenőrző kérdések
10. Határozza meg az f( x )= x függvény elaszticitását!
1 2
1
1 2 x
x 2 x
11. Az f( x ) függvény egy termék iránti keresletet adja meg, x pedig a termék egységárát forintban. Ha f( x )= e 0,04x+12 , akkor mit jelent E( 50 ) ?
Ha termék 50 forintos egységárát 1% -kal növeljük, akkor a kereslet 1 százalékkal csökken.
Ha termék 50 forintos egységárát 1% -kal növeljük, akkor a kereslet 2 százalékkal csökken.
A termék elaszticitása 50 forintos egységár esetén 1.
A termék elaszticitása 50 forintos egységár esetén 2.
12. Az f( x ) függvény egy termék iránti keresletet adja meg, x pedig a termék egységárát forintban. Állítsa elő az elaszticitás függvényt, ha f( x )= 5 ( x3 ) 2 !
E( x )= 10 ( x3 ) 3
E( x )= 10x ( x3 ) 3
E( x )= 2x ( x3 ) 2
E( x )= 2x x3
13. Egy termék iránti keresletet az x ártól függően az f( x )=8000 x 1,5 függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 4 euros árát 3%-kal növelik?
1,2 százalékkal csökken
0,12 százalékkal csökken
4,5 százalékkal csökken
nem változik
14. Egy termék iránti keresletet az x ártól függően az f( x )=8000 x 1,5 függvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 4 euros árát 2%-kal csökkentik?
3 százalékkal nő
3 százalékkal csökken
8 százalékkal nő
0,08 százalékkal nő