KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete

3.9. lecke: A rugó tömegének figyelembe vétele

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni, hogy mikor kell figyelembe venni a rugó tömegét;
  • kiválasztani a longitudinális rugó kinetikai energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani longitudinális rugó esetében a rezgőrendszer mozgási energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a tengely, mint torziós rugó kinetikai energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani tengely, mint torziós rugó esetében a rezgőrendszer mozgási energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a lemezrugó kinetikai energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani lemezrugó esetében a rezgőrendszer mozgási energiáját meghatározó összefüggést.
Tananyag

Ha a rugó (rugalmas elem) tömege a rendszerhez tartozó többi alkatrész (test) tömegéhez képest nem elhanyagolhatóan kicsi, akkor a rugó tömegét is figyelembe kell venni a rendszer kinetikai energiájának számításánál.

a) Longitudinális rugó tömegének figyelembe vétele:

l - a rugó hossza,
μ - a rugó hosszúságra vonatkoztatott fajlagos tömege,
η ˙ - a μdη elemi tömeg sebessége,
y ˙ - a rugó végének sebessége.

A rugó kinetikai energiája: E r = 1 2 η=0 l μ ( η ˙ ) 2 dη .

Feltételezzük, hogy a sebesség változása a rugó hossza mentén lineáris: η ˙ y ˙ = η l η ˙ = η l y ˙ .

Ezt behelyettesítve a kinetikai energiába: E r = 1 2 η=0 l μ η 2 l 2 ( y ˙ ) 2 dη= 1 2 μ y ˙ 2 l 2 [ η 3 3 ] η=0 l = 1 2 y ˙ 2 μl 3 = 1 2 m r 3 y ˙ 2 .

A rezgőrendszer mozgási energiája: E= 1 2 m y ˙ 2 + 1 2 m r 3 y ˙ 2 = 1 2 ( m+ m r 3 ) y ˙ 2 .

b) Tengely, mint torziós rugó tehetetlenségének figyelembe vétele:

Θ z - a rugó z tengelyre számított, hosszra vonatkoztatott fajlagos tehetetlenségi nyomatéka,
J s - a merev tárcsa (fogaskerék) z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka
ϕ ˙ - a dζ hosszúságú szakasz szögsebessége,
Φ - a rugó (tengely) végének szögelfordulása,
Φ ˙ - a rugó (tengely) végének szögsebessége.

A rugó (tengely) kinetikai energiája: E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ( ϕ ˙ ) 2 dζ .

Feltételezzük, hogy a szögsebesség változása a rugó hossza mentén lineáris: ϕ ˙ Φ ˙ = ζ l ϕ ˙ = ζ l Φ ˙ .

Ezt behelyettesítve a kinetikai energiába: E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ζ 2 l 2 ( Φ ˙ ) 2 dζ= 1 2 Θ z Φ ˙ 2 l 2 [ ζ 3 3 ] ζ=0 l = 1 2 Φ ˙ 2 Θ z l 3 = 1 2 J zr 3 Φ ˙ 2 .

J zr - a rugó (tengely) z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka.

A rezgőrendszer mozgási energiája: E= 1 2 J s Φ ˙ 2 + 1 2 J zr 3 Φ ˙ 2 = 1 2 ( J s + J zr 3 ) Φ ˙ 2 .

c) Lemezrugó tömegének figyelembe vétele:

μ - a lemezrugó dζ hosszúságú szakaszának tömege,
η - a dζ hosszúságú szakasz lehajlása,
η ˙ - a dζ hosszúságú szakasz sebessége,
y - a lemezrugó végének lehajlása,
y ˙ - a lemezrugó végének sebessége.

A lemezrugó kinetikai energiája: E r = 1 2 ζ=0 l μ ( η ˙ ) 2 dζ .

A rugóvégre ható F y =1kN erőhöz tartozó hajlító nyomaték függvény: M hx =1(lζ) kNm.

A rugalmas szál differenciál egyenlete: I x E η = I x E d 2 η d ζ 2 =(lζ) .

A differenciál egyenletet kétszer integrálva: I x E η = I x E dη dζ =lζ ζ 2 2 + c 1 , I x Eη(ζ)=l ζ 2 2 ζ 3 23 + c 1 ζ+ c 2 .

A megoldásban szereplő c 1 és c 2 állandók peremfeltételekből (befogás a rugó bal oldali végén) határozhatók meg: η (ζ=0)=0= c 1 , η(ζ=0)=0= c 2 .

A rugóvégre ható F y =1kN erőhöz tartozó lehajlás (y irányú elmozdulás) függvény: η(ζ)= 1 I x E ζ 2 2 (l ζ 3 ) .

Ebből meghatározható a lemezrugó rugóállandója: c l = l 3 3 I x E

Feltételezzük, hogy a sebességek aránya a rugó hossza mentén azonos a kitérések arányával: η ˙ y ˙ = η y = 1 I x E ζ 2 2 ( l ζ 3 ) l 3 3 I x E = 3 ζ 2 2 l 3 ( l ζ 3 ) η ˙ 2 = 9 ζ 2 4 l 6 ( l ζ 3 ) 2 y ˙ 2

Ezt behelyettesítve a lemezrugó kinetikai energiájába: E r = 1 2 ζ=0 l μ ( η ˙ ) 2 dζ= 1 2 9μ 4 l 6 y ˙ 2 ζ=0 l ζ 4 ( l 2 2 3 lζ+ ζ 2 9 ) dζ= = 9 8 μ l 6 y ˙ 2 [ ζ 5 5 l 2 ζ 6 9 l+ ζ 7 63 ] ζ=0 ζ=l = 9 8 μl m r y ˙ 2 ( 1 5 1 9 + 1 63 ) 0,10476 .

m r - a lemezrugó tömege.

A rezgőrendszer mozgási energiája: E 1 2 m y ˙ 2 + 1 2 m r 4,24 y ˙ 2 = 1 2 ( m+ m r 4,24 ) y ˙ 2 .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó öt szóval!

Ha a rugó tömege a rendszerhez tartozó többi alkatrész képest elhanyagolhatóan , akkor a rugó is figyelembe kell venni a rendszer energiájának számításánál.

2. Válassza ki a helyes megoldást!

A longitudinális rugó kinetikai energiáját meghatározó összefüggés helyes alakja:
E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ( ϕ ˙ ) dζ
E r = 1 2 η=0 l ( η ˙ ) 2 μ dη
E r = 1 2 η=0 l μ ( η ˙ ) 2 dη
E r = 1 2 η=0 l η ˙ dη
E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ( ϕ ˙ ) 2 dζ
E r = 1 2 ζ=0 l ( ϕ ˙ ) 2 Θ z dζ

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A torziós rugó (tengely) kinetikai energiáját meghatározó összefüggés helyes alakja:
E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ( ϕ ˙ ) dζ
E r = 1 2 η=0 l ( η ˙ ) 2 μ dη
E r = 1 2 η=0 l μ ( η ˙ ) 2 dη
E r = 1 2 η=0 l η ˙ dη
E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ( ϕ ˙ ) 2 dζ
E r = 1 2 ζ=0 l Θ z ( ϕ ˙ ) 2 dζ

4. Válassza ki a helyes megoldást!

A torziós rugó esetében a rezgőrendszer mozgási energiája meghatározó összefüggés helyes alakja:
E= 1 2 ( 4 J s +2 J zr ) Φ ˙ 2
E= 1 2 J zr 3 Φ ˙ 2
E= 1 2 ( J s + J zr 3 ) Φ ˙ 2
E= 1 2 ( J s 4 + J zr ) Φ ˙ 2
E= 1 2 J zr 3 J s Φ ˙ 2

5. Válassza ki a helyes megoldást!

A lemezrugó rugó esetében a rezgőrendszer mozgási energiája meghatározó összefüggés helyes alakja:
E 1 2 ( m+ m r 4,01 ) y ˙ 2
E 1 2 ( m 2 + m r 3,21 ) y ˙ 2
E 1 2 ( 1 m + m r 2,76 ) y ˙ 2
E 1 2 ( m + m r 2,11 ) y ˙ 2
E 1 2 ( m+ m r 4,24 ) y ˙ 2