KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: II. modul: Matematikai alapok

2.2. lecke: Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • felírni és értelmezni egy komplex mennyiség algebrai, trigonometrikus, exponenciális alakját;
  • meghatározni egy komplex mennyiség abszolút értékét, konjugáltját;
  • elvégezni a komplex mennyiségek szorzását és osztását;
  • elvégezni a komplex mennyiségek α szög szerinti differenciálását, értelmezni az eredményt.
Tananyag

Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor.

a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z=x+iy ,

x - a z komplex szám valós (reális) része,
y - a z komplex szám képzetes (imaginárius) része,
i - a képzetes (imaginárius) egységvektor

A képzetes egységvektor tulajdonságai:

  • | i |=1 , abszolút értéke egy,
  • ii=1 , önmagával vett szorzata mínusz egy.

A z komplex szám i-vel történő szorzása a z vektor 90°-os elforgatását eredményezi az óramutató forgásával ellentétes irányban: zi=(x+iy)i=ixy=y+ix .

b) Komplex mennyiség trigonometrikus alakja: z=r(cosα+isinα) ,

r=| z | - a z komplex szám abszolút értéke (nagysága),
α - a z komplex szám x tengellyel bezárt szöge,
x=Re(z)=rcosα - a z komplex szám valós (reális) része,
y=Im(z)=rsinα - a z komplex szám képzetes (imaginárius) része.

c) Komplex mennyiség exponenciális alakja: z=r e iα , ahol e2,718281 a természetes szám és r a komplex szám abszolút értéke (nagysága).

Megjegyzés:

  • Az exponenciális alak az e x = e iα függvény sorfejtésével vezethető be.
  • A trigonometrikus és az exponenciális alak egybevetéséből következik, hogy a z= e iα komplex mennyiség az x tengellyel α szöget bezáró komplex egységvektor: | e iα |=1 .

d) Komplex mennyiség abszolút értéke: | z |= x 2 + y 2 = r 2 ( cos 2 α+ sin 2 α ) =1 =r .

Az abszolút érték tulajdonságai:

  • | z 1 + z 2 || z 1 |+| z 2 | ,
  • | z 1 z 2 |=| z 1 || z 2 | ,
  • | z 1 z 2 |= | z 1 | | z 2 | a z 2 0 esetben.

e) Komplex mennyiség konjugáltja:

A z=x+iy=r(cosα+isinα)=r e iα komplex szám konjugáltja: z ¯ =xiy=r(cosαisinα)=r e iα .

Műveletek a konjugálttal:

  • z+ z ¯ =(x+iy)+(xiy)=2x ,
  • z z ¯ =(x+iy)(xiy)=2iy ,
  • z z ¯ =(x+iy)(xiy)= x 2 + y 2 ixy+iyx= x 2 + y 2 = | z | 2 = r 2 ,
  • z 1 + z 2 ¯ = ( x 1 +i y 1 )+( x 1 +i y 1 ) ¯ =( x 1 i y 1 )+( x 2 i y 2 )= z ¯ 1 + z ¯ 2 ,
  • z 1 z 2 ¯ = z ¯ 1 z ¯ 2 .

f) Komplex mennyiségek szorzása:

  • Szorzás algebrai alak esetén: z 1 z 2 =( a 1 +i b 1 )( a 2 +i b 2 )= a 1 a 2 b 1 b 2 +i( a 1 b 2 + a 2 b 1 ) .
  • Szorzás trigonometrikus alak esetén: z 1 z 2 = r 1 (cos α 1 +isin α 1 ) r 2 (cos α 2 +isin α 2 )=
    = r 1 r 2 [ cos( α 1 + α 2 )+isin( α 1 + α 2 ) ] .
  • Szorzás exponenciális alak esetén: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i α 1 e i α 2 = r 1 r 2 e i( α 1 + α 2 ) .

Megjegyzés:

  • Az e i α 1 , e i α 2 és e i( α 1 + α 2 ) az x tengellyel α 1 , α 1 és ( α 1 + α 2 ) szöget bezáró egységvektorok: | e i α 1 |=| e i α 2 |=| e i( α 1 + α 2 ) |=1 .
  • A szorzás z= z 1 z 2 komplex eredményvektora a z 1 komplex vektorhoz képest α 2 szöggel el van forgatva az óramutató járásával ellentétes irányban.

g) Komplex mennyiségek osztása:

  • Osztás algebrai alak esetén: z 1 z 2 = ( a 1 +i b 1 ) ( a 2 +i b 2 ) = a 1 z ¯ 2 ( a 2 +i b 2 ) z ¯ 2 + i b 1 z ¯ 2 ( a 2 +i b 2 ) z ¯ 2 =
    = a 1 ( a 2 i b 2 ) a 2 2 + b 2 2 + i b 1 ( a 2 i b 2 ) a 2 2 + b 2 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 a 2 2 + b 2 2 +i b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 2 + b 2 2 .
  • Osztás trigonometrikus alak esetén: z 1 z 2 = r 1 (cos α 1 +isin α 1 ) r 2 (cos α 2 +isin α 2 ) = r 1 r 2 [ cos( α 1 α 2 )+isin( α 1 α 2 ) ]
  • Osztás exponenciális alak esetén: z 1 z 2 = r 1 e i α 1 r 2 e i α 2 = r 1 r 2 e i( α 1 α 2 ) .

Megjegyzés:

  • Az e i α 1 , e i α 2 és e i( α 1 + α 2 ) az x tengellyel α 1 , α 1 és ( α 1 + α 2 ) szöget bezáró egységvektorok: | e i α 1 |=| e i α 2 |=| e i( α 1 + α 2 ) |=1 .
  • Az osztás z= z 1 / z 2 komplex eredményvektora a z 1 komplex vektorhoz képest α 2 szöggel el van forgatva az óramutató járásával megegyező irányban.

h) Komplex mennyiségek α szög szerinti differenciálása:

  • Differenciálás exponenciális alak esetén: dz dα = d(r e iα ) dα =r e iα i=zi .

Az α szög szerinti differenciálás a z komplex mennyiséget 90°-kal elforgatja az óramutató járásával ellentétes irányban

  • Differenciálás trigonometrikus alak esetén: dz dα = d[ r(cosα+isinα) ] dα =r(sinα+icosα)=iz .