KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete

3.1. lecke: A visszatérítő erő (rugóerő)

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni az egyszabadságfokú rezgőmozgás definícióját;
  • kiválasztani a rezgőrendszerekben előforduló erők típusait;
  • kiválasztani a visszatérítő erő definícióját;
  • kiválasztani a visszatérítő erőt meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani és jellemezni a rugó karakterisztika két szakaszát;
  • kiválasztani a kis rezgések jellemzőit;
  • kiválasztani a rugópotenciál (rugóenergia) jellemzőit;
  • kiválasztani a rugópotenciált (rugóenergiát) meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a visszatérítő erő és a rugópotenciál közötti kapcsolatot;
  • kiválasztani a két, azonos megnyúlású rugó helyettesítésének szabályát, modelljét; a két rugót helyettesítő rugó rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani két, egymáshoz kapcsolódó rugó helyettesítésének szabályát, modelljét és helyettesítő rugó rugóállandóját;
  • kiválasztani a ferde rugó helyettesítése rúdra merőleges rugóval esetben a helyettesítő modellt, a rugóenergiát és a helyettesítő rugó rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a különböző irányú rugók helyettesítése esetén a helyettesítő modellt, a rugóenergiát és a helyettesítő rugó rugóállandóját meghatározó összefüggést;
Tananyag

Egyszabadságfokú mozgás: a mozgás egy általános koordinátával (skaláris változóval) leírható.

A rezgőmozgás erők hatására jön létre.

A rezgőrendszerekben leggyakrabban előforduló erők alaptípusai:

  • visszatérítő erő (rugóerő)
  • csillapító erő,
  • gerjesztő erő.
A visszatérítő erő (rugóerő)

A rendszerben levő rugalmas elem (rugó) a vizsgált testet mindig az egyensúlyi (nyugalmi) helyzetbe igyekszik visszatéríteni.

Az F c visszatérítő erő a rugóról (rugalmas elemről) a vizsgált testre működő erőhatás.

Példák: nyugalmi helyzetükből kitérített anyagi pontokra

A visszatérítő erő: F c = 1 c y .

c - rugóállandó (a rugalmas elem rugalmasságát jellemző tényező)

Tulajdonságai:

  • mindig az egyensúlyi helyzet felé mutat,
  • iránya mindig ellentétes a kitéréssel (elmozdulással),
  • arányos a kitéréssel/elmozdulással (az arányossági tényező a rugóállandó reciproka).

Rugó karakterisztika: az F c = F c (y) függvénykapcsolat.

U - a rugóban felhalmozott alakváltozási energia (rugóenergia rugópotenciál - a rugó karakterisztika alatti - sárga - terület.).

A rugó karakterisztikának általában van lineáris és nemlineáris szakasza.

Lineáris szakasz: kisebb elmozdulások és erők esetén,
Nemlineáris szakasz: nagyobb elmozdulások és erők esetén.

Rugók sematikus ábrázolása (jelölése):

Kis rezgések:

  • a rezgések amplitúdója a vizsgált szerkezet méreteihez képest kicsi,
  • a rezgések amplitúdója a rugó karakterisztika lineáris szakaszán belül marad,
  • a rezgőmozgás során fellépő elmozdulások és szögelfordulások között lineáris kapcsolat áll fenn.

Rugópotenciál (rugóenergia): az U=U(y) skalár függvény.

Az energia mindig pozitív, skaláris mennyiség.

A rugópotenciál a rugó karakterisztika alatti terület.

U= W c = 1 2 F c y= y 2 2c , ahol W c - a visszatérítő erő munkája.

Megjegyzés: W c <0 , mert F c = 1 c y .

A visszatérítő erő származtatása a rugópotenciálból: F c = dU dy .

A visszatérítő erő a rugópotenciálból negatív gradiens képzéssel származtatható.

Kiszámítás: F c = dU dy = d dy ( y 2 2c )= y c .

Tétel: Az egy anyagi ponthoz / egy merev testhez kapcsolódó rugalmas elemek mindig modellezhetők (helyettesíthetők) egyetlen rugóval, amelynek rugóállandója c h (a h index jelentése: helyettesítő)

Gyakorló feladatok a modell helyettesítő rugóállandójának meghatározására

1. Gyakorló feladat

Két, azonos megnyúlású rugó helyettesítése

a)b)

Az a) és b) ábrán látható m tömegű, két rugót tartalmazó rendszer rezgéstani szempontból azonos, mert mindkét rugónak azonos a hosszváltozása.

A rugóenergia: U= y 2 2 c 1 + y 2 2 c 2 = 1 2 ( 1 c 1 + 1 c 2 ) y 2 = y 2 2 c h .

A helyettesítő rugó c h állandója: 1 c h =( 1 c 1 + 1 c 2 )

A helyettesítő modell:

A fenti ábrán látható m tömegű, két rugót tartalmazó rendszer mindig helyettesíthető egy c h állandójú rugót tartalmazó rezgőrendszerrel.

2. Gyakorló feladat

Két, egymáshoz kapcsolódó rugó helyettesítése

A rugóvégek elmozdulásai: y 1 és y 2 .

A rugók hosszváltozása: f 1 = y 1 és f 2 =( y 2 y 1 ) .

A (2) jelű rugó megnyúlása: f 2 =( y 2 y 1 ) .

A (2) jelű rugó energiája: U 2 = 1 2 f 2 2 c 2 = 1 2 ( y 2 y 1 ) 2 c 2 .

A két rugóban azonos nagyságú erő lép fel: F c = f 1 c 1 = f 2 c 2 f 1 = c 1 F c , f 2 = c 2 F c .

Az m tömeg elmozdulása a rugók hosszváltozásának (megnyúlásának) összege: y 2 = f 1 + f 2 = c 1 F c c 2 F c =( c 1 + c 2 ) F c = c h F c .

A helyettesítő rugó c h állandója: c h =( c 1 + c 2 )

A helyettesítő modell:

3. Gyakorló feladat

Ferde rugó helyettesítése rúdra merőleges rugóval

Kis rezgés: yl és y=lϕ .

A rugó hosszváltozása: f=ysinϑ .

A rugóenergia: U= 1 2 f 2 c = 1 2 (ysinϑ) 2 c = 1 2 sin 2 ϑ c y 2 = 1 2 y 2 c h .

A redukált rugóállandó: 1 c h = sin 2 ϑ c .

A helyettesítő modell:

4. Gyakorló feladat

Különböző irányú rugók helyettesítése

Kis rezgés: yR és y=Rϕ .

A rugóenergia: U= 1 2 y 2 c 1 + 1 2 (y/2) 2 c 2 = 1 2 ( 1 c 1 + 1 4 c 2 ) y 2 = 1 2 y 2 c h .

A helyettesítő rugóállandó: 1 c h =( 1 c 1 + 1 4 c 2 ) .

A helyettesítő modellek:

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Egyszabadságfokú mozgás: a mozgás általános koordinátával (skaláris változóval) leírható.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A rezgőmozgás hatására jön létre.

3. Egészítse ki a következő mondatot a három hiányzó szóval!

A rezgőrendszerekben leggyakrabban előforduló erők alaptípusai:
- erő (rugóerő)
- erő,
- erő.

4. Válassza ki a helyes megoldást!

Az F c visszatérítő erő:
a rugóról (rugalmas elemről) a vizsgált testre működő erőhatás
vizsgált testről a rugóra (rugalmas elemre) működő erőhatás
a rugóról (rugalmas elemről) a vizsgált testre működő erőhatás vagy a vizsgált testről a rugóra (rugalmas elemre) működő erőhatás

5. Válassza ki a helyes megoldást!

Az F c visszatérítő erőt meghatározó összefüggés helyes alakja:
F c = 1 c y
F c = 1 c y
F c = 1 y c
F c = 1 c y
F c = 1 y c

6. Válassza ki a helyes megoldást!

A rugó karakterisztika jelentése:
a görbealatti terület
a zöld és piros vonallal jelölt függvény (függvénykapcsolat)
csak a piros lineáris szakaszt jelölő függvény (függvénykapcsolat)
csak a zöld nem lineáris szakaszokat jelölő függvény függvénykapcsolat)
csak a pozitív F c függvény (függvénykapcsolat)
csak a negatív F c függvény (függvénykapcsolat)

7. Válassza ki a három helyes megoldást!

A kis rezgések jellemzői:
a rezgések amplitúdója a vizsgált szerkezet méreteihez képest kicsi
a rezgések amplitúdója a vizsgált szerkezet méreteihez képest nagy
a rezgések amplitúdója a rugó karakterisztika nem lineáris szakaszára is kiterjed
a rezgések amplitúdója a rugó karakterisztika lineáris szakaszán belül marad
a rezgőmozgás során fellépő elmozdulások és szögelfordulások között lineáris kapcsolat áll fenn
a rezgőmozgás során fellépő elmozdulások és szögelfordulások között exponenciális kapcsolat áll fenn

8. Válassza ki a két helyes megoldást!

Az energia:
pozitív mennyiség
pozitív és negatív mennyiség
negatív mennyiség
skaláris mennyiség
vektor mennyiség
9. Válassza ki a helyes összefüggést, ha:
W c - a visszatérítő erő munkája
U - rugópotenciál
U< W c
U= W c
U= W c
U= 1 W c
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Az egy anyagi ponthoz / egy merev testhez kapcsolódó rugalmas elemek mindig (helyettesíthetők) rugóval, amelynek rugóállandója c h (a h index jelentése: helyettesítő).

11. Válassza ki a helyes megoldást!

Az egy anyagi ponthoz / egy merev testhez kapcsolódó rugalmas elemek:
mindig modellezhetők (helyettesíthetők) egyetlen rugóval
csak két rugóval modellezhetők (helyettesíthetők)
nem modellezhetők (helyettesíthetők) egyetlen rugóval
csak kettőnél több rugóval modellezhetők (helyettesíthetők)

12. Válassza ki a helyes megoldást!

Két, egymáshoz kapcsolódó rugó helyettesítése esetén a helyettesítő rugóállandót meghatározó összefüggés helyes alakja: ..., ahol a helyettesítő rugó állandója c h .
c h = c 1 + c 2
c h = c 1 c 2
c h = c 2 c 1
1 c h = 1 c 1 + 1 c 2
c h = c 1 + c 2
13. A következő kérdés a helyettesítő rugó c h állandójának meghatározására vonatkozik. A fogalom melyik képhez tartozik? Írja fogalom előtti kisbetűt a megfelelő képek elé!
a) két, azonos megnyúlású rugó helyettesítése,
b) két, egymáshoz kapcsolódó rugó helyettesítése.
Betűjel (a, b )Kép

14. Válassza ki a helyes megoldást!

Ferde rugó helyettesítése rúdra merőleges rugóval esetén a helyettesítő rugóállandót meghatározó összefüggés helyes alakja: ..., ahol a helyettesítő rugó állandója c h
c h = c 1 + c 2
1 c h = sin 2 ϑ c
c h = c 1 + c 2
c h =sinϕc
c h =cosϕc
c h = sinϑ 2 c

15. Válassza ki a helyes megoldást!

Különböző irányú rugók helyettesítése esetén a helyettesítő rugóállandót meghatározó összefüggés helyes alakja: ..., ahol a helyettesítő rugó állandója c h
c h = c 1 + c 2
c h = sin 2 ϑ 2 c
c h = 1 c 1 + 1 c 2
c h = c 1 + c 2
c h =sinϕc
c h =cosϑc
1 c h =( 1 c 1 + 1 4 c 2 )

16. A következő kérdés a helyettesítő rugó c h állandójának meghatározására vonatkozik. Az összefüggés melyik képhez tartozik?

a 1 c h =( 1 c 1 + 1 4 c 2 )
b 1 c h = sin 2 ϑ c
c c h = c 1 + c 2
d 1 c h =( 1 c 1 + 1 c 2 )
Írja összefüggés előtti kisbetűt a megfelelő képek elé!
Betűjel (a, b, c,d )Kép (rugó modell)