KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete

3.2. lecke: A leggyakrabban előforduló rugók rugóállandói

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • csoportosítani a leggyakrabban alkalmazott rugókat és a nekik megfelelő mechanikai modelleket;
  • kiválasztani a húzott-nyomott rugó, a lemezrugó és az egyenszilárdságú lemezrugó, a csavarásra igénybevett rugó mechanikai modelljét;
  • kiválasztani a húzott-nyomott rugó hosszváltozását és a rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a lemezrugó végének a lehajlását és a rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani az egyenszilárdságú lemezrugó rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a csavarásra igénybevett rugó két szélső keresztmetszete közötti szögelfordulást és a torziós rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a síkbeli spirálrugó rugó tengelyének a szögelfordulását és a torziós rugóállandóját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a hengeres csavarrugó hosszváltozását, a szokásos menetemelkedésű hengeres csavarrugók esetén a rugó közelítő hosszváltozását és a közelítő rugóállandót meghatározó összefüggést.
Tananyag

a) Húzott-nyomott rugó:

Például lift, vagy daru drótkötele, motor felfogó gumituskó stb.

Mechanikai modell: húzott-nyomott prizmatikus rúd.

A - a keresztmetszet területe,
E - az anyag rugalmassági modulusa.

A rugó hosszváltozása: λ=l ε x =l σ x E = l AE F
A rugó rugóállandója: c= l AE .

Húzott rugó - daru drótkötél
Nyomott rugó - gumituskó

b) Lemezrugó:

Mechanikai modell: lapos téglalap keresztmetszetű befogott tartó.

A keresztmetszet z tengelyre számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka: I z = a b 3 12 .

A hajlító nyomaték függvény: M hz = M hz (x)=F(lx) .

A rugalmas szál differenciál-egyenlete: v = d 2 v d x 2 = M hz I z E = F I z E (lx) .

A keresztmetszetek szögelfordulása: v =ϕ(x)= (l) M hz (x) I z E dx+ ϕ 0 =0 = F I z E (lx x 2 2 ) .

A középvonal pontjainak y irányú elmozdulása: v= (l) ( (l) M hz (x) I z E dx ) dx+ v 0 =0 = F I z E (l x 2 2 x 3 6 ) .

A rugó végének (B pont) lehajlása: y= v B = F I z E (l l 2 2 l 3 6 )= l 3 3 I z E F
A rugó rugóállandója: c= l 3 3 I z E .

c) Egyenszilárdságú lemezrugó:

Egyenszilárdságú: a rugó minden keresztmetszetében ugyanakkora a legnagyobb feszültség.
Mechanikai modell: lineárisan változó szélességű, lapos téglalap keresztmetszetű befogott tartó.

A rugó szélességváltozása: a(x)= a 0 l x .

A keresztmetszetek z tengelyre számított másodrendű nyomatéka: I z (x)= a 0 b 3 12 x l = I z0 x l , ahol b a keresztmetszet y irányú mérete.

A rugóban fellépő legnagyobb feszültség: σ xmax = Fl I z0 b 2 =állandó , I z0 = a o b 3 12 .

A b) pontban részleten ismertetett gondolatmenet alapján az egyenszilárdságú rugó rugóállandója: c= l 3 2 I z0 E .

Az egyenszilárdságú rugó gyakorlati megvalósítása:

A rugót az alábbi ábrán látható módon sávokra vágjuk és az így kapott lemezsávokat egymás alá és fölé rendezve összefogjuk.

A szaggatott vonalak a ténylegesen egymás alá/fölé rendezett lemezsávok hosszát jelölik. A sávok minimális szélességét az határozza meg, hogy a rugónak nyírásra is meg kell felelnie.

Egyenszilárdságú lemezrugók
Beépített lemezrugó

d) Csavarásra igénybevett rugó:

Például tengelyek, csőtengelyek, stb.

Mechanikai modell: kör, vagy körgyűrű keresztmetszetű prizmatikus rúd.

ϑ - a fajlagos szögelfordulás,
G - az anyag csúsztató rugalmassági modulusa

A két szélső keresztmetszet közötti szögelfordulás: ψ=ϑl= M c I p G l= l I p G M c .

A torziós rugóállandó: γ= l I p G .

Kör keresztmetszet esetén: I p = D 4 π 32 .

Körgyűrű keresztmetszet esetén: I p = ( D 4 d 4 )π 32 .

Torziós rugók

e) Síkbeli spirálrugó:

Például hagyományos óraszerkezetekben, mérőműszerekben fordult elő.

A rugószál szokásos keresztmetszete kör, vagy téglalap.

A rugószál igénybevétele tiszta hajlítás: M hz (s)= M 0 =állandó .

l - a rugószál hossza,
E - az anyag rugalmassági modulusa,
I z - a rugószál keresztmetszetének z tengelyre számított másodrendű nyomatéka.

A tengely szögelfordulása: ψ= l I z E M 0 .

A spirálrugó torziós rugóállandója: γ= l I z E .

Síkbeli spirálrugók

f) Hengeres csavarrugó:

l - a rugószál hossza,
G - az anyag csúsztató rugalmassági modulusa,
ν - az anyag Poisson tényezője,
α - a rugó menetemelkedési szöge.

A rugószál igénybevételei:
N=Fsinα , M c =Frcosα ,
T=Fsinα , M h =Frsinα .

A rugó hosszváltozása: q= r 2 l I p G ( 1 1+ν sin 2 α+ cos 2 α )F .

A rugószál keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatéka: I p = d 4 π 32 .

Ha ν=0,3 és α= 10 o , akkor ( 1 1+ν sin 2 α+ cos 2 α )0,99 .

Ha ν=0,3 és α= 20 o , akkor ( 1 1+ν sin 2 α+ cos 2 α )0,97 .

Szokásos ( α< 20 o ) menetemelkedésű hengeres csavarrugók esetén a rugó közelítő hosszváltozása: q r 2 l I p G F .

A közelítő rugóállandó: c r 2 l I p G .

Hengeres csavarrugók - húzó igénybevételhez
Hengeres csavarrugó - nyomó igénybevételhez
Beépített hengeres csavarrugók
Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Húzott-nyomott rugó mechanikai modellje: húzott-nyomott .

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Lemezrugó mechanikai modell: lapos téglalap keresztmetszetű .

3. Egészítse ki a következő mondatot a három hiányzó szóval!

Egyenszilárdságú lemezrugó mechanikai modellje: lineárisan változó , lapos téglalap keresztmetszetű .

4. Egészítse ki a következő mondatot a négy hiányzó szóval!

Csavarásra igénybevett rugó mechanikai modellje: , vagy keresztmetszetű .

5. A következő kérdés a leggyakrabban előforduló rugók mechanikai modelljeire vonatkozik. A rugótípus melyik mechanikai modellhez tartozik? Írja rugótípus előtti kisbetűt a neki megfelelő mechanikai modell elé!
h) húzott-nyomott rugó
l) lemezrugó
e) egyenszilárdságú lemezrugó
c) csavarásra igénybevett rugó
Betűjel
(h, l,e,c )
Mechanikai modell
lineárisan változó szélességű, lapos téglalap keresztmetszetű befogott tartó
húzott-nyomott prizmatikus rúd
lapos téglalap keresztmetszetű befogott tartó
kör, vagy körgyűrű keresztmetszetű prizmatikus rúd

6. Válassza ki a helyes megoldást!

Húzott-nyomott rugó rugóállandóját meghatározó összefüggés:
c= l 3 3 I z E
c= l AE
c= l 3 2 I z0 E
γ= l I p G
γ= l I z E
c r 2 l I p G

7. Válassza ki a helyes megoldást!

Lemezrugó rugó rugóállandóját meghatározó összefüggés:
c= l 3 3 I z E
c= l AE
c= l 3 2 I z0 E
γ= l I p G
γ= l I z E
c r 2 l I p G

8. Válassza ki a helyes megoldást!

A csavarásra igénybevett rugó rugóállandóját meghatározó összefüggés:
c= l 3 3 I z E
c= l AE
c= l 3 2 I z0 E
γ= l I p G
γ= l I z E
c r 2 l I p G

9. Válassza ki a helyes megoldást!

A síkbeli spirálrugó rugóállandóját meghatározó összefüggés:
c= l 3 3 I z E
c= l AE
c= l 3 2 I z0 E
γ= l I p G
γ= l I z E
c r 2 l I p G

10. Válassza ki a helyes megoldást!

A hengeres csavarrugó rugóállandóját meghatározó összefüggés:
c= l 3 3 I z E
c= l AE
c= l 3 2 I z0 E
γ= l I p G
γ= l I z E
c r 2 l I p G

11. Válassza ki a helyes megoldást!

Húzott-nyomott rugó hosszváltozását meghatározó összefüggés:
y= l 3 3 I z E F
q r 2 l I p G F
λ=l ε x =l σ x E = l AE F
ψ=ϑl= M c I p G l= l I p G M c
ψ= l I z E M 0

12. Válassza ki a helyes megoldást!

Lemezrugó rugó végének a lehajlását meghatározó összefüggés:
y= l 3 3 I z E F
q r 2 l I p G F
λ=l ε x =l σ x E = l AE F
ψ=ϑl= M c I p G l= l I p G M c
ψ= l I z E M 0

13. Válassza ki a helyes megoldást!

Csavarásra igénybevett rugó két szélső keresztmetszete közötti szögelfordulást meghatározó összefüggés:
y= l 3 3 I z E F
q r 2 l I p G F
λ=l ε x =l σ x E = l AE F
ψ=ϑl= M c I p G l= l I p G M c
ψ= l I z E M 0

14. Válassza ki a helyes megoldást!

Szokásos ( α< 20 o ) menetemelkedésű hengeres csavarrugók esetén a rugó hosszváltozását meghatározó összefüggés:
y= l 3 3 I z E F
q r 2 l I p G F
λ=l ε x =l σ x E = l AE F
ψ=ϑl= M c I p G l= l I p G M c
ψ= l I z E M 0