KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai

6.1. lecke: Diszkrét rezgőrendszerek

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének a mátrixos alakját;
  • kiválasztani a mozgásegyenlet-rendszer jellemzőit;
  • kiválasztani a vizsgált differenciálegyenlet-rendszer q ¯ ¯ = q ¯ ¯ h + q ¯ ¯ pmegoldását;
  • kiválasztani a A ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ h + B ¯ ¯ q ¯ ¯ h= 0 ¯ ¯ homogén egyenlet általános megoldását;
  • meghatározni a ( α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0= 0 ¯ ¯ lineáris homogén algebrai egyenletrendszer triviálistól különböző megoldását;
  • kiválasztani a homogén differenciálegyenlet általános megoldását azokban az esetekben, ha a legkisebb körfrekvencia zérus, illetve ha nem zérus;
  • kiválasztani a hajlító lengések esetén a homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldását;
  • kiválasztani a karakterisztikus egyenletet megoldásának a módját;
  • kiválasztani a csillapításmentes gerjesztett rendszer megoldásának a módját.
Tananyag

Az 5. leckében tárgyalt N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének legáltalánosabb alakjára az A ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + B ¯ ¯ q ¯ ¯= Q ¯ ¯ mátrixegyenlet írható.

A mozgásegyenlet-rendszer közönséges, másodrendű, lineáris, hiányos, inhomogén differenciálegyenlet-rendszer. Mind az A ¯ ¯ mátrix, mind a B ¯ ¯ mátrix mérete N×N , vagyis a mátrixok N sort és N oszlopot tartalmaznak.

Az ilyen differenciálegyenlet-rendszer megoldását

q ¯ ¯ = q ¯ ¯ h + q ¯ ¯ p

alakban keressük, ahol q ¯ ¯ h a homogén differenciálegyenlet-rendszernek az általános, míg q ¯ ¯ p az inhomogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása.

Keressük először a

A ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ h + B ¯ ¯ q ¯ ¯ h= 0 ¯ ¯

homogén egyenlet általános megoldását

q ¯ ¯ h = q ¯ ¯ 0 ( asinαt+bcosαt )

alakban. Helyettesítsük vissza az általános megoldást a differenciálegyenlet-rendszerbe. A második derivált

q ¨ ¯ ¯ h = α 2 q ¯ ¯ 0 ( asinαt+bcosαt )= α 2 q ¯ ¯ h,

amit a differenciálegyenletbe helyettesítve

( α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0( asinαt+bcosαt )= 0 ¯ ¯

egyenletet kapjuk. Mivel ( asinαt+bcosαt ) nem azonosan nulla, ezért az egyenlet csak akkor teljesül minden időpontban, ha az együtthatójuk zérus értékű. Ezzel a fenti egyenletből az

( α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0= 0 ¯ ¯,

általánosított sajátérték feladatot kapjuk, amely egy lineáris homogén egyenletrendszert ad q ¯ ¯ 0 oszlopmátrix elemeire, ahol α 2 a sajátérték, q ¯ ¯ 0 a sajátvektor.

A fenti lineáris homogén egyenletrendszernek akkor van triviálistól különböző (zérustól különböző) megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa zérusértékű, vagyis

det| α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ |=0.

Ennek a determinánsnak a kifejtésével a

( 1 ) N K N α 2N + ( 1 ) ( N1 ) K N1 α 2( N1 ) +...+ ( 1 ) 1 K 1 α 2 + K 0 =0

N-ed fokúra visszavezethető karakterisztikus egyenlethez jutunk.

Ha A ¯ ¯ szimmetrikus és pozitív definit, valamint B ¯ ¯ szimmetrikus és pozitív szemidefinit, akkor bizonyítható, hogy ennek a karakterisztikus egyenletnek α 2 -re való megoldása mindig N db. nulla vagy pozitív értékre ( α i 2 0 ) vezet, amiből az α i ,( i=1,2,...,N ) saját körfrekvenciák számíthatók. Tehát egy N szabadságfokú diszkrét rendszernek N db. saját körfrekvenciája van.

A saját körfrekvenciákat növekvő sorrendben sorba rendezzük: 0 α 1 2 α 2 2 ... α i 2 ... α N 2 . Ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus értékű akkor azt nulladik saját körfrekvenciának, a legkisebb nullától különbözőt első, és így tovább a legnagyobb saját körfrekvenciát ( N1 ) -edik saját körfrekvenciának nevezzük.

Valamennyi saját körfrekvencia kielégíti a karakterisztikus egyenletet, így a homogén egyenlet általános megoldásában ezek szuperpozícióját írhatjuk. A homogén differenciálegyenlet általános megoldása így

q ¯ ¯ há = i=1 N ( a i sin α i t+ b i cos α i t ) q ¯ ¯ 0i

alakban írható, ha a legkisebb saját körfrekvencia nem zérus, és

q ¯ ¯ há =( s 0 +t v 0 ) q ¯ ¯ 00 + i=1 N1 ( a i sin α i t+ b i cos α i t ) q ¯ ¯ 0i

alakban írható, ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus.

A fenti összefüggésekben s 0 , v 0 , a i , b i mennyiségek a kezdeti paraméterekből határozhatók meg. A q ¯ ¯ 00 oszlop minden elemének értéke 1, míg q ¯ ¯ 0i oszlopmátrixok koordinátái az

( α i 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0i = 0 ¯ ¯

általánosított sajátérték feladatból határozható meg. Megoldásként q ¯ ¯ 0i oszlopmátrix koordinátáit kapjuk, amelyek a rezgés amplitúdójával arányosak, illetve rögzített i értékhez tartozóan, ezen amplitúdók egymáshoz viszonyított arányát kapjuk. Ez a viszony megadja az i-edik sajátfrekvenciához tartozó rezgésképet. Ezzel a kérdéssel a 6.3. leckében foglalkozunk.

Hajlító lengések esetén, a homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása során

[ m ¯ ¯ α 2 + E ¯ ¯ ] q ¯ ¯ 0= 0 ¯ ¯

lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Az egyenletrendszert α 2 -tel végigosztva, és bevezetve a λ= 1 α 2 mennyiséget, a karakterisztikus egyenletet az

det| m ¯ ¯ λ E ¯ ¯ |=0

determináns kifejtésével nyerjük. Ez pedig nem más, mint az m ¯ ¯ mátrix sajátérték feladata.
A λ= 1 α 2 mennyiségeket tehát az m ¯ ¯ mátrix sajátértékei szolgáltatják.

A csillapításmentes gerjesztett rendszer megoldását mindig olyan alakban keressük, mint amilyen alakban a differenciálegyenlet jobboldalán álló un. zavaró mátrix adott. Így abban az esetben, ha a zavaró mátrix függvénye Q ¯ ¯ = Q ¯ ¯ 0 sin( ωt+ε ) alakban van megadva, akkor a partikuláris megoldást is q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin( ωt+ε ) alakban keressük. Hasonlóan, ha a zavaró mátrix Q ¯ ¯ = Q ¯ ¯ 0 sin( 2ωt+ε ) alakú, akkor a partikuláris megoldást is q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin( 2ωt+ε ) alakban keressük. Ha a zavaró mátrix több tagból áll, akkor a partikuláris megoldást is több tagban keressük mindegyik zavaró tagmátrixhoz külön-külön megkeresve a megoldást.

Legyen a zavaró mátrix Q ¯ ¯ = Q ¯ ¯ 0 sin( ωt+ε ) alakú.

Ebben az esetben a partikuláris megoldást q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin( ωt+ε )alakban keressük, amelynek az idő szerinti második deriváltja q ¨ ¯ ¯ p = ω 2 q ¯ ¯ p0 sin( ωt+ε )= ω 2 q ¯ ¯ p.

A fenti összefüggéseket a differenciálegyenlet-rendszerbe helyettesítve

( ω 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ p0 sin( ωt+ε )= Q ¯ ¯ 0sin( ωt+ε ) egyenletrendszert kapjuk, amelynek minden időpontban teljesülnie kell.

Ebből az következik, hogy a sin( ωt+ε ) trigonometrikus függvény együtthatójának a két oldalon meg kell egyezni: ( ω 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ p0 = Q ¯ ¯ 0.

Ezzel a q ¯ ¯ p0 mátrix elemeire egy lineáris algebrai inhomogén egyenletrendszert kaptunk, amelynek megoldása adja a keresett partikuláris megoldás együtthatómátrixát. Ennek az inhomogén egyenletrendszernek akkor van egyértékű megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa nem nulla, vagyis

det| ω 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ |0

teljesül. (Könnyen belátható, hogy ha a determináns zérus, akkor ω megegyezik valamelyik sajátértékkel ( ω= α i ) . Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen gerjesztés esetében rezonanciajelenség - lásd az 5. pontban bemutatott megoldásokat - lép fel, ami csillapítás nélkül, végtelen nagy elmozdulásokat eredményez. Ezzel a kérdéssel e tárgy keretein belül több szabadságfokú rendszereknél nem foglalkozunk.)

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldást!

Az N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének legáltalánosabb alakjára felírható mátrixegyenlet helyes alakja:
A ¯ ¯ q ˙ ¯ ¯ B ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯= Q ¯ ¯
A ¯ ¯ q ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯= Q ¯ ¯
A ¯ ¯ q ˙ ¯ ¯ + B ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯= Q ¯ ¯
A ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + B ¯ ¯ q ¯ ¯= Q ¯ ¯

2. Válassza ki a két helyes megoldást!

Az N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mátrixegyenletében az:
az A ¯ ¯ mátrix mérete N×N
az A ¯ ¯ mátrix mérete N×N1
az A ¯ ¯ mátrix mérete N1×N
a B ¯ ¯ mátrix mérete N1×N
a B ¯ ¯ mátrix mérete N×N1
a B ¯ ¯ mátrix mérete N×N
3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Az N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszere közönséges, , lineáris, , inhomogén differenciálegyenlet-rendszer.

4. Válassza ki a helyes megoldást!

Az N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek differenciálegyenlet-rendszerének a megoldását a következő alakban keressük:
q ¯ ¯ = q ¯ ¯ h q ¯ ¯ p
q ¯ ¯ = q ¯ ¯ h + q ¯ ¯ p
q ¯ ¯ = A ¯ ¯ q ¯ ¯ h + q ¯ ¯ p
q ¯ ¯ = q ¯ ¯ h + B ¯ ¯ q ¯ ¯ p

5. Válassza ki a két helyes megoldást!

Az N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek differenciálegyenlet-rendszerének a megoldásában:
q ¯ ¯ h a homogén differenciálegyenlet-rendszernek az általános megoldása
q ¯ ¯ h a homogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása
q ¯ ¯ h az inhomogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása
q ¯ ¯ p az inhomogén differenciálegyenlet-rendszernek az általános megoldása
q ¯ ¯ p az inhomogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása
q ¯ ¯ p a homogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása

6. Válassza ki a helyes megoldást!

Ha az A ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ h + B ¯ ¯ q ¯ ¯ h= 0 ¯ ¯ homogén egyenlet általános megoldását q ¯ ¯ h = q ¯ ¯ 0 ( asinαt+bcosαt ) alakban keressük, és ezt a megoldást behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, akkor az alábbi egyenletet kapjuk:
( α 2 B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0 ( asinαt+bcosαt )= 0 ¯ ¯
( α A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0( asinαt+bcosαt )= 0 ¯ ¯
( α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0( asinαt+bcosαt )= 0 ¯ ¯
( α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) q ¯ ¯ 0( asinαt+bcosαt )= 0 ¯ ¯
q ¯ ¯ 0 ( asinαt+bcosαt ) ( α 2 A ¯ ¯ + B ¯ ¯ ) = 0 ¯ ¯

7. Válassza ki a helyes megoldást!

A homogén differenciálegyenlet általános megoldása, ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus:
akkor q ¯ ¯ há = i=1 N ( a i sin α i t+ b i cos α i t ) q ¯ ¯ 0i alakú
akkor q ¯ ¯ há = i=1 N ( a i sin α i t b i cos α i t ) q ¯ ¯ 0i alakú
akkor q ¯ ¯ há = q ¯ ¯ 00 + i=1 N1 ( a i sin α i t+ b i cos α i t ) q ¯ ¯ 0i alakú
akkor q ¯ ¯ há =( s 0 +t v 0 ) q ¯ ¯ 00 + i=1 N1 ( a i sin α i t+ b i cos α i t ) q ¯ ¯ 0i alakú
8. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

A csillapításmentes gerjesztett rendszer megoldását mindig olyan keressük, mint amilyen alakban a differenciálegyenlet álló ún. mátrix adott.

9. Válassza ki a helyes megoldást!

Ha a zavaró mátrix függvénye Q ¯ ¯ = Q ¯ ¯ 0 sin( ωt+ε ) alakban van megadva, akkor a partikuláris megoldást:
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 cos( ωt )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin( ωt+ε )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin 2 ( ωt+εt )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 cos( 2ωt ε )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin 2 ( 2ωt+2ε )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 cos( 2ωt+ε )

10. Válassza ki a helyes megoldást!

Ha a zavaró mátrix függvénye Q ¯ ¯ = Q ¯ ¯ 0 sin( 2ωt+ε ) alakban van megadva, akkor a partikuláris megoldást:
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 cos( ωt )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin( ωt+ε )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin 2 ( ωt+εt )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 cos( 2ωt ε )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 cos 2 ( 2ωt+2ε )
q ¯ ¯ p = q ¯ ¯ p0 sin( 2ωt+ε )