KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai

6.5. lecke: Gyakorló feladatok diszkrét rezgőrendszerek mozgás-egyenlet-rendszerének a megoldásaira

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni láncszerű rezgőrendszer saját körfrekvenciáit;
  • meghatározni a láncszerű rezgőrendszer rezgésképeit;
  • meghatározni a hajtómű tengely saját körfrekvenciáit;
  • meghatározni a hajtómű tengely rezgésképeit a saját körfrekvenciákon.
Tananyag
1.Gyakorló feladat: Nem kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei

Adott: m 1 =2 kg, m 2 =1 kg, m 3 =1 kg, c 12 =0,5 10 4 m/N, c 23 = 10 4 m/N.

Feladat:

a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása.
b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián.
c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián

Megoldás:

a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása.

A karakterisztikus egyenlet betűkkel:

m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 3 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 2 [ m 1 + m 2 + m 3 ] α 2 =0.

Behelyettesítve:

{ 20,5 10 4 1 10 4 1 ( α 2 ) 2 +
+[ 20,5 10 4 1+2( 0,5 10 4 + 10 4 )1+1 10 4 1 ] α 2
[ 2+1+1 ] } α 2 =0.

Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla, így α 0 2 =0 megoldást, illetve 10 8 ( α 2 ) 2 5 10 4 α 2 +4=0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei:

α 12 2 = = 5 10 4 ± ( 5 10 4 ) 2 4 10 8 4 2 10 8 = 5±3 2 10 4 = 4 10 4 , 10 4 .

α 1 = 10 4 =100 rad/s, α 2 = 4 10 4 =200 rad/s, amit α 0 =0 egészít ki.

b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián.

A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből α 1 2 = 1 m 1 c 12 , amiből c 12 = 1 m 1 α 1 2 = 1 2 10 4 =0,5 10 4 m/N.

c 12 = c 12 c 12 =0,5 10 4 0,5 10 4 =0 , vagyis a c 12 rugón a csomópont a 2 jelű tömegre esik. Ez azt jelenti, hogy a 2 jelű tömeg helyben marad, ha a rezgőrendszer α 1 =100 rad/sec frekvencián rezeg.

A 2 jelű tömeg, vagyis a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálatának így nincs értelme.

A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből α 1 2 = 1 m 1 c 23 , amiből c 23 = 1 m 3 α 1 2 = 1 1 10 4 =1 10 4 m/N adódik.

c 23 = c 23 c 23 = 10 4 10 4 =0 , vagyis a c 23 rugón is a csomópont a 2 jelű tömegre esik. A rezgőrendszernek tehát egy csomópontja van, és az a 2 jelű tömegre esik. A rezgéskép ábrázolása:

Az amplitúdókra q 11 c 12 = q 31 c 23 igaz, amiből q 31 = c 23 c 12 q 11 =2 q 11 , illetve [ q ¯ ¯ 01 ]=[ 1 0 2 ] .

c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián.

α 2 =200 rad/s, esetén α 2 2 = 1 m 1 c 12 , amiből c 12 = 1 m 1 α 1 2 = 1 24 10 4 =0,125 10 4 m/N.

c 12 = c 12 c 12 =0,5 10 4 0,125 10 4 =0,375 10 4 , vagyis a c 12 rugón a csomópont valóságos.

A középső egyszabadságfokú rezgőrendszerből α 1 2 = c 12 + c 23 c 12 m 1 c 23 , amiből

c 23 = c 12 c 12 m 2 α 1 2 1 = 0,375 10 4 0,375 10 4 14 10 4 1 =0,75 10 4 m/N.

A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből c 23 = c 23 + c 23 illetve c 23 = c 23 c 23 =0,25 10 4 m/N, a csomópont valóságos. Másik oldalról is kiszámítható: c 23 = 1 m 3 α 1 2 = 1 14 10 4 =0,25 10 4 m/N.

Az amplitúdókra q 12 c 12 = q 22 c 12 igaz, amiből q 22 = c 12 c 12 q 12 =3 q 12 , illetve q 32 c 23 = q 22 c 23 igaz, amiből q 32 = c 23 c 23 q 22 = 1 2 q 22 = q 12 , ezzel [ q ¯ ¯ 02 ]=[ 1 3 1 ] .

A rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvenciánál:

2. Gyakorló feladat: Kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei

Adott: m 1 =2 kg, m 2 =1 kg, c 01 = 10 4 m/N, c 12 =2 10 4 m/N.

Feladat:

a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása.
b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián.
c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián

Megoldás:

a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása:

A karakterisztikus egyenlet betűkkel: c 01 m 1 c 12 m 2 ( α 2 ) 2 [ c 01 m 1 +( c 01 + c 12 ) m 2 ] α 2 +1=0.

Behelyettesítve: 10 4 22 10 4 ( α 2 ) 2 [ 10 4 2+( 10 4 +2 10 4 )1 ] α 2 +1=0.

Megoldandó a 4 10 8 ( α 2 ) 2 5 10 4 α 2 +1=0 másodfokú egyenletet, amelynek gyökei:

α 12 2 = 5 10 4 ± ( 5 10 4 ) 2 44 10 8 24 10 8 = 5±3 8 10 4 = 10 4 , 2500.

α 1 = 2500 =50 rad/s, α 2 = 10 4 =100 rad/s.

b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián:

A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből α 1 2 = 1 m 2 c 12 , amiből c 12 = 1 m 2 α 1 2 = 1 12500 =4 10 4 m/N.

c 12 = c 12 c 12 =2 10 4 4 10 4 =2 10 4 , vagyis a c 12 rugón a csomópont virtuális.

A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a α 1 2 = c 01 + c 12 c 01 m 1 c 12 egyenletnek, ami α 1 2 = c 01 + c 12 c 01 m 1 c 12 = 10 4 +( 2 10 4 ) 10 4 2( 2 10 4 ) =2500 teljesül is.

A rezgéskép ábrázolása:

Az amplitúdókra q 11 c 12 = q 21 c 23 igaz, amiből q 21 = c 12 c 12 q 11 =2 q 11 , illetve [ q ¯ ¯ 01 ]=[ 1 2 ] .

c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián:

α 2 =100 rad/s, esetén α 2 2 = 1 m 2 c 12 , amiből c 12 = 1 m 2 α 1 2 = 1 1 10 4 = 10 4 m/N.

c 12 = c 12 c 12 =2 10 4 10 4 = 10 4 , vagyis a c 12 rugón a csomópont valóságos.

A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a α 2 2 = c 01 + c 12 c 01 m 1 c 12 egyenletnek, ami α 1 2 = c 01 + c 12 c 01 m 1 c 12 = 10 4 + 10 4 10 4 2 10 4 = 10 4 teljesül is.

A rezgéskép ábrázolása:

A kitérésekre q 12 c 12 = q 22 c 23 igaz, amiből q 22 = c 12 c 12 q 12 = q 12 , illetve [ q ¯ ¯ 02 ]=[ 1 1 ] .

3.Gyakorló feladat: Két oldalon kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei

Adott: m 1 =100 kg, m 2 =50 kg, c 01 = 10 4 m/N, c 12 = 10 4 m/N, c 20 =2 10 4 m/N.

Feladat: A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenlet-rendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián.

Kidolgozás:

A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenlet-rendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián:

A karakterisztikus egyenlet betűkkel:

c 01 m 1 c 12 m 2 c 20 ( α 2 ) 2 [ c 01 m 1 ( c 12 + c 20 ) + ( c 01 + c 12 ) m 2 c 20 ] α 2 +( c 12 + c 20 + c 20 )=0.

Behelyettesítve:

10 4 100 10 4 502 10 4 ( α 2 ) 2 [ 10 4 100( 10 4 +2 10 4 ) +

+ ( 10 4 + 10 4 )502 10 4 ] α 2 + 10 4 + 10 4 +2 10 4 =0

Megoldandó a 10 8 ( α 2 ) 2 5 10 6 α 2 +4 10 4 =0 másodfokú egyenletet, amelynek gyökei:

α 12 2 = 5 10 6 ± ( 5 10 6 ) 2 4 10 8 4 10 4 2 10 8 = 5±3 2 10 2 = 4 10 2 , 10 2 .

α 1 = 10 2 =10 rad/s, α 2 = 4 10 2 =20 rad/s.

Amplitúdók a saját körfrekvencián:

{ [ m 1 0 0 m 2 ] α i 2 +[ 1 c 01 + 1 c 12 1 c 12 1 c 12 1 c 12 + 1 c 20 ] }[ q 1i q 2i ]=[ 0 0 ],( i=1,2 ).

Első saját körfrekvencián ( α 1 =10rad/s ):

{ [ 100 0 0 50 ]100 + [ 1 10 4 + 1 10 4 1 10 4 1 10 4 1 10 4 + 1 2 10 4 ] }[ q 11 q 21 ]=[ 0 0 ],

behelyettesítve [ 10 4 10 4 10 4 10 4 ][ q 11 q 21 ]=[ 0 0 ] , azaz q 11 = q 21 . Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek azonos nagyságú és előjelű a kitérése. Nincs a c 12 rugónak zérus helye az első saját körfrekvencián: [ q ¯ ¯ 01 ]=[ 1 1 ] .

Rezgéskép ábrázolása az első saját körfrekvencián:

Második saját körfrekvencián ( α 2 =20rad/s ):

{ [ 100 0 0 50 ]400 + [ 1 10 4 + 1 10 4 1 10 4 1 10 4 1 10 4 + 1 2 10 4 ] }[ q 12 q 22 ]=[ 0 0 ],

összevonásokkal [ 2 10 4 10 4 10 4 0,5 10 4 ][ q 12 q 22 ]=[ 0 0 ] , azaz q 12 =0,5 q 22 . Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek ellentétes előjelű a kitérése. A c 12 rugónak a zérus helye az m 1 tömegtől a rugó egyharmad részén van a második saját körfrekvencián: [ q ¯ ¯ 02 ]=[ 1 2 ] .

Rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvencián:

4. Gyakorló feladat: Hajtómű tengely torziós rezgései

Adott: d=120 mm, l=500 mm, D 1 =400 mm, D 2 =500 mm, m 1 =160 kg, m 2 =250 kg, G=80 GPa.

Feladat: A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon.

Kidolgozás:

A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon:

I p = d 4 π 32 = 120 4 π 32 =20,35 10 6 mm 4 ,

γ= l I p G = 500 20,35 10 6 80 10 3 =0,307 10 9 rad/N,

J 1 = m 1 ( D 1 2 ) 2 =160 20 2 =6,4 10 4 kgmm 2 =0,064 kgm 2 ,

J 2 = m 2 ( D 2 2 ) 2 =250 25 2 =156250 kgmm 2 =0,15625 kgm 2 ,

Láncszerű modell:

ahol c 01 = c 12 =γ ; m 1 = J 1 ; m 2 = J 2 ; q 1 = ϕ 1 ; q 2 = ϕ 2 .

A karakterisztikus egyenlet:

γ J 1 γ J 2 ( α 2 ) 2 [ γ J 1 +2γ J 1 ] α 2 +1=0 ; behelyettesítve

( 0,307 10 9 ) 2 6,4 10 2 15,625 10 2 ( α 2 ) 2 [ 0,307 10 9 6,4 10 2 + 20,307 10 9 15,625 10 2 ] α 2 +1=0.

Megoldandó a

9,4249 10 22 ( α 2 ) 2 11,5524 10 11 α 2 +1=0 másodfokú egyenlet:

α 12 2 = 11,5524 10 11 ± ( 11,5524 10 11 )49,4249 10 22 29,4249 10 22 = = 11,5524±9,7856 18,8498 10 11 = 1,132 10 11 ; 9,373 10 9 .

A saját körfrekvenciák:

α 1 = 93,73 10 8 =9,6814 10 4 rad/s; és α 2 = 11,32 10 10 =3,3645 10 5 rad/s.

Rezgésképek meghatározása:

Az első saját körfrekvencián α 1 2 = 1 J 2 γ , amiből γ = 1 J 2 α 1 2 = 1 15,625 10 2 9,373 10 9 =0,683 10 9 rad/Nm. γ= γ + γ , amiből

γ =γ γ =( 0,3070,683 ) 10 9 =0,376 10 9 rad/Nm. A csomópont virtuális.

Ellenőrzés: α 1 2 = γ+ γ γ J 1 γ = ( 0,3070,376 ) 10 9 0,307 10 9 6,4 10 2 ( 0,376 10 9 ) 9,34 10 9 , ami kerekítési hibákkal megegyezik a kívánt értékkel.

Az α 1 =9,6814 10 4 rad/s -hoz tartozó rezgéskép:

Az amplitúdók aránya ϕ 11 0,376 = ϕ 21 0,683 , amiből

ϕ 21 = 0,683 0,376 ϕ 11 =1,816 ϕ 11 , illetve [ ϕ ¯ ¯ 01 ]=[ ϕ 11 ϕ 21 ]=[ 1 1,816 ] .

A második saját körfrekvencián α 2 2 = 1 J 2 γ , amiből

γ = 1 J 2 α 2 2 = 1 15,625 10 2 11,32 10 10 =0,05654 10 9 rad/Nm. γ= γ + γ , amiből

γ =γ γ =( 0,3070,05654 ) 10 9 =0,2416 10 9 rad/Nm, a csomópont valóságos.

Ellenőrzés: α 2 2 = γ+ γ γ J 1 γ = = ( 0,307+0,2416 ) 10 9 0,307 10 9 6,4 10 2 0,2416 10 9 1,156 10 11 , ami kerekítési hibákkal megegyezik a kívánt értékkel.

Az α 2 =3,3645 10 5 rad/s -hoz tartozó rezgéskép:

Az amplitúdók aránya ϕ 12 0,2416 = ϕ 22 0,05654 , amiből

5. Gyakorló feladat: Hajtómű tengely hajlító rezgései

Adott: d=60 mm, l=500 mm, m 1 =160 kg, m 2 =250 kg, E=200 GPa.

Feladat: A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon.

Kidolgozás:

A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon:

Az 5.5. lecke alapján m 1 y ¨ 1 = F 1 ; m 2 y ¨ 2 = F 2 ; és y 1 = δ 11 F 1 + δ 12 F 2 ; y 2 = δ 21 F 1 + δ 22 F 2 .

A differenciálegyenlet-rendszer:

[ δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 ][ m 1 0 0 m 2 ][ y ¨ 1 y ¨ 2 ]+[ 1 0 0 1 ][ y 1 y 2 ]=[ 0 0 ] .

I z = d 4 π 64 = 60 4 π 64 =6,36 10 5 mm 4 , I z E=1,27 10 11 Nmm 2 =1,27 10 5 Nm 2 .

A Maxwell-féle hatásszámok meghatározása:

δ 11 = 1 I z E ( 2l ) m y1 2 dx= 10 5 1,27 0,5 6 [ 1 2 +4 0,5 2 ]=1,31 10 6 m/N;

δ 12 = δ 21 = 1 I z E ( 2l ) m y1 m y2 dx= 10 5 1,27 0,5 6 [ 1 2 +40,50,75 ]=1,64 10 6 m/N;

δ 22 = 1 I z E ( 2l ) m y2 2 dx= 10 5 1,27 1 6 [ 1 2 +4 0,5 2 ]=2,62 10 6 m/N.

A módosított tömegmátrix:

[ m ¯ ¯ ]=[ D ¯ ¯ ][ M ¯ ¯ ]= 10 6 [ 1,31 1,64 1,64 2,62 ][ 160 0 0 250 ]= 10 6 [ 209,6 410 262,4 655 ] s 2.

A differenciálegyenlet-rendszer:

10 6 [ 209,6 410 262,4 655 ][ y ¨ 1 y ¨ 2 ]+[ 1 0 0 1 ][ y 1 y 2 ]=[ 0 0 ] ,

az amplitúdókra vonatkozó egyenlet:

{ 10 6 [ 209,6 410 262,4 655 ] α 2 +[ 1 0 0 1 ] }[ y 10 y 20 ]=[ 0 0 ] ,

amelynek akkor van zérustól különböző megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa nulla.

λ= 1 α 2 helyettesítéssel a karakterisztikus egyenlet sajátérték feladatra vezethető vissza, ugyanis az m ¯ ¯ módosított tömegmátrix sajátértékei a saját körfrekvenciák reciprokait adják.

Megoldandó tehát a | 10 6 [ 209,6λ 410 262,4 655λ ] |=0 sajátérték feladat, amely λ 2 m I λ+ m II =0 karakterisztikus egyenletre vezet, ahol m I az m ¯ ¯ módosított tömegmátrix első, m II az m ¯ ¯ módosított tömegmátrix második skalár invariánsa.

Az első skalár invariáns a főátló elemeinek az összege:

m I =( 209,6+655 ) 10 6 =864,6 10 6 s 2 ,

a második skalár invariáns a mátrix determinánsa:

m II = 10 6 | 209,6 410 262,4 655 |= =[ 209,6655410262,4 ] 10 12 =29704 10 12 s 4 .

A karakterisztikus egyenletbe α 2 = 1 λ helyettesítéssel

m II ( α 2 ) 2 m I α 2 +1=0 egyenlethez jutunk, amely

29704 10 12 ( α 2 ) 2 864,6 10 6 α 2 +1=0 alakú.

A megoldás:

α 12 2 = 864,6 10 6 ± ( 864,6 10 6 ) 2 429704 10 12 229704 10 12 = 864,6±792,9 59408 10 6 = 2,79 10 4 ; 0,12069 10 4 .

A saját körfrekvenciák:

α 1 = 0,12069 10 4 =34,74rad/s ; α 2 = 2,79 10 4 =167rad/s .

  • Rezgéskép az első saját körfrekvencián.
    Behelyettesítve α 1 2 értékét a lineáris egyenletbe
    { 10 6 [ 209,6 410 262,4 655 ]1206,9+[ 1 0 0 1 ] }[ y 11 y 21 ]=[ 0 0 ] , az első egyenlet
    ( 1209,61206,9 10 6 ) y 11 4101206,9 10 6 y 21 =0 .
    Elvégezve a kijelölt műveleteket
    0,747 y 11 0,4948 y 21 =0 , vagyis y 11 = 0,4948 0,747 y 21 =0,6624 y 21 .
    A második egyenletből is ugyanezt kell kapni. Vizsgáljuk meg! A második egyenlet
    262,41206,9 10 6 y 11 +( 16551206,9 10 6 ) y 21 =0 .
    Elvégezve a kijelölt műveleteket
    0,3167 y 11 +0,2095 y 21 =0 , vagyis
    y 11 = 0,2095 0,3167 y 21 =0,6615 y 21 .
    Ez numerikusan azonos, így [ y ¯ ¯ 01 ]=[ y 11 y 21 ]=[ 0,6615 1 ] .
    A rezgéskép olyan, hogy a két tömeg azonos irányba tér ki, így nincs közöttük zérus hely. A csomópont virtuális.
  • Rezgéskép a második saját körfrekvencián:
    Behelyettesítve α 2 2 értékét a lineáris egyenletbe
    { 10 6 [ 209,6 410 262,4 655 ]27900+[ 1 0 0 1 ] }[ y 12 y 22 ]=[ 0 0 ] , az első egyenlet
    ( 1209,6279 10 4 ) y 12 410279 10 4 y 22 =0 .
    Elvégezve a kijelölt műveleteket
    4,848 y 12 11,439 y 22 =0 , vagyis y 12 = 11,439 4,848 y 22 =2,36 y 22 .
    A második egyenletből is ugyanezt kell kapni. Vizsgáljuk meg! A második egyenlet
    262,4279 10 4 y 12 +( 1655279 10 4 ) y 22 =0 . Elvégezve a kijelölt műveleteket 7,32 y 12 17,274 y 22 =0 , vagyis y 12 = 17,274 7,32 y 22 =2,36 y 22 . Ez nem csak numerikusan azonos. [ y ¯ ¯ 02 ]=[ y 12 y 22 ]=[ 2,36 1 ]
    A rezgéskép olyan, hogy a két tömeg kitérése ellenkező előjelű, így közöttük van zérus hely. A csomópont valóságos.