KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai
6.3. lecke: Sajátfrekvenciákhoz tartozó rezgéskép láncszerű rendszereknél
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Az N szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek sajátossága, hogy szétesik N db egyszabadságfokú rezgőrendszerre. Ezt jól illusztrálja az 5. pontban bemutatott 5.6.5. példa. Az ott bemutatott példa maga olyan, hogy a mozgásegyenlet-rendszer esik szét két, egymástól nem függő egyszabadságfokú rezgőrendszer egyenletére. | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszert. | ||
Ha megvizsgáljuk, hogy az egyes tömegek milyen mozgást végeznek, amikor a rendszer valamely saját körfrekvenciáján rezeg, akkor megállapíthatjuk, hogy az egyes tömegek pillanatnyi sebességei lehetnek azonos irányúak, de lehetnek ellentétes irányúak is. | ||
Amennyiben az egymással szomszédos tömegek pillanatnyi sebességeit vizsgáljuk, akkor két eset lehetséges. Az egyik esetben a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor a közöttük lévő rugó valamennyi pontjának sebessége is megegyezik e sebesség irányával és nagyságával, vagyis a rugó ebben az esetben merevtestszerűen mozdul el. Ebben az esetben nemcsak a rugó pontjainak a sebessége azonos, hanem a rugót bármelyik irányban meghosszabbítva is, azonos sebességű ponthoz jutunk. Vagyis nem találunk sem a rugón, sem annak meghosszabbításában olyan pontot, amelynek a sebessége zérus lenne. | ||
A másik esetben a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve, nem azonosak. Ebben az estben a közöttük lévő rugó pontjainak a sebessége a tömegtől mért távolság függvényében lineárisan változik. | ||
Ha a rugó mentén a nagyobb sebességű tömegponttól elindulunk a kisebb sebességű tömegpont felé, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rugó pontjainak a sebessége a tömegponttól mért távolsággal arányosan csökken. Ha a rugó mentén elegendő utat megteszünk, akkor elérünk egy olyan ponthoz, amely pontnak a sebessége zérus. Ezt a pontot a rugó csomópontjának (zérussebességű pontjának) nevezzük. Könnyen belátható, hogy a csomópont ráesik a rugóra, ha a szomszédos tömegek sebessége egymáshoz képest ellentétes irányú, illetve nem esik rá a rugóra, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak. Abban az esetben, ha a csomópont ráesik a rugóra, akkor valóságos csomópontról beszélünk, egyébként a csomópont virtuális. | ||
Csomópontnak a rezgő rugó azon pontját értjük, amely rezgés közben helyben marad. A csomópont valóságos, ha a rugó valódi pontjára esik, egyébként virtuális. | ||
A csomópontok alapján minősíthetjük a rendszer , () saját körfrekvenciáit: | ||
Az N szabadságfokú nem kötött rezgőrendszernek mindig van N-1 számú csomópontja. Ezek közül i számú () valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához (), i számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális. | ||
Az N szabadságfokú, egyik oldalon kötött rezgőrendszernek N számú csomópontja van. Ezek közül i számú () valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához (), i számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális. | ||
Az N szabadságfokú, mindkét oldalon kötött rezgőrendszernek N+1 számú csomópontja van. Ezek közül i számú () valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához (), i+1 számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális. | ||
Abban az esetben, ha megoldása a karakterisztikus egyenletnek (nem kötött rezgőrendszerek), akkor esetén nincsen egyetlen egy csomópont sem, tehát ez a saját körfrekvencia a nulladik . | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható három szabadságfokú nem kötött rezgőrendszert. | ||
Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet: | ||
A karakterisztikus egyenletnek egy megoldása . Ez a nulladik saját körfrekvencia, vagyis . Keressük a nullától különböző saját körfrekvenciákat! Az egyenletet -tel végigosztva másodfokú egyenlethez jutunk, amelyben az | ||
, | ||
, | ||
változók bevezetésével | ||
az egyik (kisebb), és | ||
a másik (nagyobbik) | ||
saját körfrekvencia. | ||
Amennyiben a rendszer saját körfrekvenciával rezeg, akkora a rendszer úgy mozog, hogy csak az egyik rugón van valóságos csomópont, a másikon virtuális a csomópont. Ha a rendszer saját körfrekvenciával rezeg, akkora a rendszer úgy mozog, hogy mindkét rugón valóságos csomópont található. | ||
A csomópontok helye is meghatározható, hiszen a csomópontok a rezgés során helyben maradnak, ezért úgy viselkednek, mintha a rugó ott meg lenne fogva, vagyis a csomópontok helyére befalazást tehetünk. Ezzel a fenti, három szabadságfokú rezgőrendszer három egyszabadságfokú rezgőrendszerre esik szét az ábrán látható szemléltetés szerint. | ||
Az egyes rugókra vonatkozóan fennállnak a , illetve összefüggések. | ||
A fentiek, és az egyszabadságfokú rezgőrendszereknél leírtak alapján könnyen meghatározhatjuk a csomópontokat. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszer esetén | ||
írható, amiből számítható. | ||
Mivel , így számítható. Ezután a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer esetén írható, amiből számítható. | ||
Miután , így számítható. Ezzel a jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszer ellenőrzésre használható. Igaznak kell lennie az egyenlőségnek. | ||
Abban az esetben, ha a vagy a közül az egyik negatív (itt csak lehet negatív), akkor a rugón a csomópont virtuális. Abban az esetben, ha a vagy a közül az egyik negatív (itt csak lehet negatív), akkor a rugón a csomópont virtuális. | ||
A csomópontok szemléltethetők is. Vizsgáljunk meg egy lehetséges rezgésképet az saját körfrekvencia esetén. Tételezzük fel, hogy a baloldali rugón valódi, a jobboldali rugón virtuális csomópont van. Az alábbi ábra szemlélteti a rezgésképet. A rajzhoz rugóléptéket kell felvenni. Az és tömegeket , az és tömegeket távolságra rajzoljuk fel. | ||
Hasonlóan berajzoljuk csomópontokat is. A rugón a csomópont az tömegtől , az tömegtől távolságra van. Ez valóságos csomópont. A rugón a csomópont az tömegtől ( előjele negatív), az tömegtől távolságra van. Ez virtuális csomópont. Az 1 és 2 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában az ábrán látható arányos háromszögekből látszik, hogy | ||
Hasonlóan a 2 és 3 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában írható. | ||
A fenti összefüggésekből , illetve . | ||
Nem szabad elfelejteni, hogy az összefüggésekben előjele negatív. | ||
A kezdeti értékek megadása tehát nem lehet tetszőleges, ha a rezgés frekvenciája rögzített. Ebben az esetben csak az egyik tömeg elmozdulása és sebessége adható meg, a többi kiadódik. | ||
Vizsgáljunk meg egy lehetséges rezgésképet az saját körfrekvencia esetén is. Ebben az esetben mindkét rugón valódi csomópont van. Az alábbi ábra szemlélteti a rezgésképet. A rajzhoz rugóléptéket kell felvenni. Az és tömegeket , az és tömegeket távolságra rajzoljuk fel. | ||
Hasonlóan berajzoljuk csomópontokat is. A rugón a csomópont az tömegtől , az tömegtől távolságra van. Ez valóságos csomópont. A rugón a csomópont az tömegtől , az tömegtől távolságra van. Ez is valóságos csomópont. Az 1 és 2 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában az ábrán látható arányos háromszögekből látszik, hogy . | ||
Hasonlóan a 2 és 3 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában írható. | ||
A fenti összefüggésekből , illetve . | ||
Nem szabad elfelejteni, hogy az összefüggésekben valamennyi rugóállandó előjele pozitív. | ||
Mindkét esetre igaz, hogy a homogén mozgásegyenlet-rendszer megoldásában szereplő oszlopmátrix | ||
alakban írható fel. Az összefüggésben szereplő, a két saját körfrekvenciához tartozó mennyiségek, a saját körfrekvenciától függően más és más értékre adódnak. Ezt, az így is bonyolult indexelés miatt, már külön nem indexeltük. | ||
Hasonlóan járunk el az N szabadságfokú nem kötött rendszer esetén is. A rezgőrendszer itt is szétesik N db. egyszabadságfokú rezgőrendszerre. Az alábbi ábra szemlélteti ennek a modelljét. | ||
A vesszős és kétvesszős rugóállandók meghatározása itt is hasonlóan történik, mint azt a három szabadságfokú rendszer esetén bemutattuk. A rezgőrendszer egyik végéről elindulunk, és megyünk tömegről tömegre a vesszős és kétvesszős rugóállandók, ezzel a csomópontok meghatározásában. | ||
Ugyanígy járunk el a kötött rezgőrendszerek esetében is. Kötött rezgőrendszer esetében az egyik oldalon kötött rendszer esetében egy rugónak, mindkét oldalon kötött rendszer esetében két rugónak ismert a csomópontja. Ez/ezek a rugó/rugók az/azok, amely/amelyek a rezgőrendszert az állványhoz köti/kötik. Ez/ezek a csomópont/csomópontok független/függetlenek attól, hogy a rezgőrendszer melyik saját körfrekvencián rezeg. Az első saját körfrekvencián az állványhoz kötött rugón/rugókon kívül nincs valóságos csomópont egyik közbülső rugón sem. A második saját körfrekvencián csak egyik közbülső rugónak van valóságos csomópontja. És így tovább az i-edik saját körfrekvencián i-1 közbülső rugónak van valódi csomópontja. A számítási eljárás megegyezik a nem kötött rendszerre vonatkozó eljárással. | ||
A csomópontok keresésénél előfordulhat, hogy valamelyik csomópont a rugó szélére esik. Ez azt jelenti, hogy ezen a frekvencián annak a tömegnek a rezgési amplitúdója zérussá válik, amelyik tömeg egybeesik a rugó csomópontjával. Sőt, mivel a tömeg elmozdulása zérus, annak a rugónak is ide esik a csomópontja, amelyik rugó a tömeg másik oldalán van. Ebben az esetben két rugón is található csomópont, de ez nem két csomópont, hanem csak egy, mivel a két csomópont egybeesik. | ||
Az ilyen egybeeső csomópontokat hangolásra is felhasználhatjuk. Minden frekvenciához találhatók olyan rugó- és tömegparaméterek, amelyeknél egy kiválasztott tömegnek az elmozdulása zérusértékűvé válik. Ez felhasználható rezgésszigetelésre, ha egy munkaasztalt meg akarunk védeni egy bizonyos frekvenciájú rezgéstől, akkor olyan rezgőrendszert kell kiépíteni, amely ezt biztosítja. A kidolgozott példák között találunk ilyen megoldott feladatot is. Az egybeeső csomópontoknál a rugó menti sebességnövekmény a két rugónál megegyezik, vagyis a két rugót sebesség és elmozdulás szempontjából úgy kell tekinteni, mintha az egyetlen rugó lenne, amelynek a zérus elmozdulású pontja éppen a közöttük lévő tömegre esik. | ||
Csomópontok keresésénél előfordul, hogy egy rugónak a csomópontja végtelen távol kerül a rugó mindkét végétől. Ez azt jelenti, hogy a rugó valamennyi pontja azonos sebességgel mozog. Ilyenkor azon tömegeknek, amely tömegek a rugó két végén található, azonos a kitérése. Ilyen rugó bármelyik rezgésképnél előfordulhat, ha nem a legmagasabb saját körfrekvenciához tartozó rezgésképről van szó. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Az N szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek sajátossága, hogy N db rezgőrendszerre. ![]() | |||||||||
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó öt szóval! N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, amikor a rendszer valamely saját körfrekvenciáján , akkor megállapíthatjuk, hogy az egyes pillanatnyi lehetnek azonos , de lehetnek ellentétes is. ![]() | |||||||||
3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval! N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor a közöttük lévő rugó valamennyi pontjának sebessége is e sebesség és , vagyis a rugó ebben az esetben mozdul el. ![]() | |||||||||
4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor nem találunk sem a , sem annak olyan pontot, amelynek a sebessége lenne. ![]() | |||||||||
5. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval! N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, akkor a közöttük lévő rugó pontjainak a sebessége a mért függvényében . ![]() | |||||||||
6. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak és a rugó mentén a nagyobb sebességű tömegponttól elindulunk a kisebb sebességű tömegpont felé, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rugó pontjainak a sebessége a való arányosan . ![]() | |||||||||
7. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||
N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, akkor:
![]() | |||||||||
8. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||
N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, akkor elérünk egy olyan ponthoz, amely pontnak a sebessége zérus. Ezt pontot:
![]() | |||||||||
9. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||
N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ahol a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, ottha a szomszédos tömegek sebessége egymáshoz képest ellentétes irányú:
![]() | |||||||||
10. Döntse le, hogy igaz vagy hamis az állítás!
![]() | |||||||||
11. Döntse le, hogy igaz vagy hamis az állítás!
![]() |