MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei
5.6. lecke: Gyakorló feladatok a többszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének felírására
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- felírni a két szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletét;
- kiválasztani a megfelelő általános koordinátákat;
- meghatározni a statikus egyensúlyi helyzetet;
- megalkotni a láncszerű modellt;
- meghatározni a Maxwell-féle hatásmátrix elemeit;
- felírni a mozgásegyenlet-rendszert.
|
Tananyag |
1. Gyakorló feladat: Két szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása |
Adott: Az 1 jelű tömegű homogén tömegeloszlású R sugarú merev henger, amely a vízszintes talajon csúszásmentesen gördül, valamint 2 jelű, a C pontban csapágyazott tömegű homogén tömegeloszlású l hosszúságú merev prizmatikus rúd. A merev testek B és D pontjait c rugóállandójú rugó köti össze. |

|
a) A rendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása általános koordinátákkal, és a helyettesítő rezgéstani modell minősítése. |
b) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell nem áttételes, longitudinális és láncszerű. |
a) A rendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása általános koordinátákkal, és a helyettesítő rezgéstani modell minősítése: |
, ahol |
, , és . |
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer: |
, |
és a rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszere: |
. |
A tömegmátrix , |
és a rugómátrix . |
A rugómátrixból látható, hogy a rezgőrendszer áttételes. |
b) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell nem áttételes, longitudinális és láncszerű: |
Válasszuk általános koordinátákként a , illetve koordinátákat. |
A kinetikai energia: |
, |
a potenciális energia , |
a mozgásegyenlet-rendszer . |
A tömegmátrix , és a rugómátrix . |
A helyettesítő longitudinális rezgéstani modell: , , . |

|
2. Gyakorló feladat: Lejtős felvonó mozgásegyenlet-rendszerének felírása, visszavezetés a láncszerű modellre |
Adott:. A súrlódásoktól eltekintünk! A meghajtó nyomaték. A henger és a kötél között a súrlódási tényező elegendő nagy, hogy ne csússzon meg a kötél a hengeren. |

|
Feladat: |
a) A rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása általános koordinátákkal, és a rezgéstani modell megalkotása. |
b) A statikus egyensúlyi helyzet, és az ehhez szükséges hajtónyomaték meghatározása. |
c) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell láncszerű (nem áttételes). |
a) A rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása általános koordinátákkal, és a rezgéstani modell megalkotása: |
A kinetikai energia: |
, |
ahol , . |
A rendszerre ható külső erőrendszer: az hajtónyomaték, a súlyerők, és a teherre a lejtőről átadódó valamint a hengerre az A tengelyen átadódó kényszererők. Amennyiben a súrlódást elhanyagoljuk a kényszererők teljesítménye nulla. A henger súlyerejének teljesítménye ugyancsak nulla. |
A külső erőrendszer teljesítménye: |
, ahol , , |
, , , |
. |
Az erőrendszer teljesítménye így , |
amiből a statikus általános erő: . |
Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer: |
. |
A tömegmátrix , a rugómátrix . |
A rugómátrixból látszik, hogy a rendszer áttételes. |
b) A statikus egyensúlyi helyzetet és az ehhez szükséges hajtónyomaték meghatározása: |
Statikus állapotban . |
A rugómátrix determinánsa zérus, ezért a jobboldalon kell lenni ismeretlennek, ez az . Az egyik koordináta szabadon felvehető. Célszerű a koordináta statikus értékét nullára választani . |
Ezzel az egyenletrendszer: , |
amiből , , és . |
c) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell láncszerű (nem áttételes): |
Válasszuk általános koordinátákként a , illetve koordinátákat. |
Ezzel a kinetikai energia: |
|
a rugalmas energia . |
Az erők teljesítménye , amiből a statikus általános erő összefüggésből adódik. |
A mozgásegyenlet-rendszer: |
. |
A tömegmátrix , a rugómátrix . |
A longitudinális láncszerű modell: |
, , , , , , , . |

|
3.Gyakorló feladat: Síkbeli gépalap modell excentrikus gerjesztéssel |
Adott: Gépalap síkbeli modellje: . |

|
Feladat: |
a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása. b) Statikus egyensúlyi helyzet meghatározása. c) Láncszerű modell megalkotása. |
Kidolgozás: |
a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása: |
Általános koordináták: - a gépalap súlypontjának az elmozdulása; - a gépalap szögelfordulása. |
A kinetikai energia: , |
a rugóenergia: , |
az erők teljesítménye: . |
A mozgásegyenlet-rendszer: . |
b) Statikus egyensúlyi helyzet meghatározása: |
Statikus állapotban az időtől függő mennyiségek zérusértékűek, így: . |
Ezzel az egyenletrendszernek a statikus egyensúlyi helyzetben a megoldása: . |
c) Láncszerű modell megalkotása: |
A mozgásegyenlet-rendszer két egyszabadságfokú rezgőrendszerre esik szét, így két egyszabadságfokú modellt kapunk, melyeknek a saját körfrekvenciáit is meghatározhatjuk. |

|
, , , , , , , , , . |
4. Gyakorló feladat: Torziós rezgések mozgásegyenlet-rendszere fogaskerekes hajtóműnél |
Adott:, , , és az M1, és M5 nyomatékok nem függnek az időtől. |

|
Feladat: |
a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása, a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak. |
b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell meghatározása. |
c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása. |
Kidolgozás: |
a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása, a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak: |
A kinetikai energia , a áttétel figyelembevételével és általános koordináták választásával . |
A másodrendű nyomatékok , |
a torziós rugóállandók . |
A rugókban felhalmozott energia: . |
A külső erőrendszer teljesítménye , mivel a 4 és 5 jelű fogaskerekeknél a pozitív szögelfordulás iránya az áttétel miatt fordított az 1,2,3 jelű fogaskerekekhez képest. |
Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer: |
. |
b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása: |
Válasszuk általános koordinátáknak a , , , koordinátákat. |
Ezzel a kinetikai energia: |
. |
A rugókban felhalmozódott rugóenergia: . |
A teljesítmény . |
A mozgásegyenlet-rendszer: |
. |
A rezgőrendszer mozgása láncszerű modellel leírható. |
A rendszer tömegmátrixa: ; |
a rugómátrix: |
. |
A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer: |

|
A modellben az egyes tömegek és rugóállandók az alábbi összefüggésekkel származtathatók: |
|
c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása: |
Statikus állapot nem függ az időtől, így az általános koordináták második idő szerinti deriváltjai zérus értékűek. Mivel a rendszer láncszerű, elágazásmentes, nem kötött, ezért a rugómátrix determinánsa ugyancsak zérus értékű. |
Ebből következően egy koordináta szabadon felvehető. |
Válasszuk a értéket ezzel az első egyenletből . |
A második egyenletbe és értéket helyettesítve . |
A harmadik egyenletbe és értéket helyettesítve |
. |
Az utolsó egyenletbe és értéket helyettesítve egyenlet adódik, vagyis egyenlet teljesülése esetén van a rendszer egyensúlyban. |
5. Gyakorló feladat: Hajtómű torziós rezgéseinek mozgásegyenlet-rendszere |
Adott: , továbbá M1, és M6 nyomatékok nem függnek az időtől. |

|
Feladat: |
a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak. |
b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása. |
c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása. |
Kidolgozás: |
a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak: |
A kinetikus energia . |
A és áttétel figyelembevételével és általános koordináták választásával |
. |
A másodrendű nyomatékok , |
a torziós rugóállandók . |
A tengelyekben felhalmozott rugalmas energia: |
. |
A külső erőrendszer teljesítménye , mivel a 3 és 4 jelű fogaskerekeknél a pozitív szögelfordulás iránya az áttétel miatt fordított, addig az 5, 6 jelű és az 1, 2 jelű fogaskerekeknek egymással azonos a forgásiránya. |
Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer: |
. |
A szerkezet rezgéstani modellje áttételes rezgőrendszer. |
b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása: |
Válasszuk általános koordinátáknak a , , , koordinátákat. |
Ezzel a kinetikus energia: |
. |
A rugókban felhalmozott rugóenergia: |
, |
a teljesítmény pedig: . |
A mozgásegyenlet-rendszer: |
. |
A rendszer tömegmátrixa: |
, |
a rugómátrix: |
. |
A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer: |

|
A modellben az egyes mennyiségek az alábbi összefüggésekkel származtathatók: |
|
|
|
c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása: |
Statikus állapot nem függ az időtől, így az általános koordináták második idő szerinti deriváltjai zérus értékűek. Mivel a rendszer láncszerű elágazásmentes, nem kötött, ezért a rugómátrix determinánsa ugyancsak zérus értékű. Ebből következően egy koordináta szabadon felvehető. |
Válasszuk a értéket ezzel az első egyenletből |
. |
A második egyenletbe és értéket helyettesítve |
. |
A harmadik egyenletbe és értéket helyettesítve |
|
Az utolsó egyenletbe és értéket helyettesítve egyenlet adódik, vagyis egyenlet teljesülése esetén van a rendszer egyensúlyban. |
6. Gyakorló feladat: Hajlító rezgések fogaskerekes hajtóműben |
Adott: |

|
Feladat: |
a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek meghatározása. b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása. |
Kidolgozás: |
a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek meghatározása: |
Válasszuk általános koordinátáknak a koordinátákat. |
A nyomatéki ábrák megrajzolása: |

|
. |
Az integrálok kiszámítása (részletezés nélkül): |
, , , , , , , , , . |
Ezekkel a Maxwell-féle hatásmátrix: |
. |
b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása: |
Az módosított tömegmátrix: |
|
|
Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer: |
|
|
7. Gyakorló feladat: Hajtómű tengely hajlító rezgéseinek mozgásegyenlet-rendszere |
Feladat: |
a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek a meghatározása. b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása. |
Adott: |

|
Kidolgozás: |
a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek a meghatározása: |
Válasszuk általános koordinátáknak az koordinátákat. |
Ezzel: |
. |
A nyomatéki ábrák: |

|
Az integrálok kiszámítása (részletezés nélkül): |
, , , , , , , , , . |
A Maxwell-féle hatásmátrix: |
. |
b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása: |
Az módosított tömegmátrix: |
|
|
Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer: |
|