KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései

7.6. lecke: Mozgásegyenletek megoldása hajlító kontinuumrezgéseknél

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni a rúd hajlító rezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldásának módszerét;
  • megoldani a hajlító kontinuumrezgések differenciálegyenletét;
  • meghatározni a rúd első három sajátfrekvenciáját és hozzátartozó rezgésképeket.
Tananyag

A rúd hajlító kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását ugyancsak Fourier-módszerrel keressük meg. Az általános megoldást

v( x;t )=W(x)cos( αt+ε )

alakban keressük. A differenciálegyenletbe

2 v t 2 = α 2 W( x )cos( αt+ε ) , illetve 4 v x 4 = W IV ( x )cos( αt+ε )

értékeket helyettesítve

( I z E Aρ W IV ( x )+ α 2 W( x ) )cos( αt+ε )=0

egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha

I z E Aρ W IV ( x )+ α 2 W( x )=0

teljesül. Ez pedig közönséges negyedrendű differenciálegyenlet, aminek megoldása k=α Aρ I z E = α c helyettesítéssel

W( x )= a 1 cos( kx )+ a 2 sin( kx )+ a 3 ch( kx )+ a 4 sh( kx ) ,

vagy átalakítás után

W( x )= D 1 S( kx )+ D 2 T( kx )+ D 3 U( kx )+ D 4 V( kx )

alakú, ahol S(kx), T(kx), U(kx), V(kx) függvények a Krülov-függvények és c= I z E Aρ a hajlító rezgéshullám hangsebessége.

Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Négy jellemző peremfeltétel jöhet számításba. A peremfeltételek közül kettő geometriai, kettő pedig dinamikai. A geometriai peremfeltételek az elmozdulásra, illetve a szögelfordulásra, míg a dinamikai peremfeltételek a nyíróerőre, illetve a hajlító nyomatékra vonatkoznak.

Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket a fenti szempontok szerint. Abban az esetben, ha a rúd vége befalazással van megfogva, akkor ott

v=0 , illetve v x =0

feltételeknek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a rúd vége nincs megfogva, akkor ott a hajlító nyomatéknak és a nyíróerőnek kell megegyezni az ott valóban működő hajlító nyomaték és nyíróerő értékével, így ott az

M h0 = I z E 2 v x 2 , illetve T y0 = M h x = I z E 3 v x 3

feltételeknek kell teljesülnie.

1. Gyakorló feladat: Befalazott rúd hajlító rezgései

Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit.

A fentiekben bemutatott általános megoldást

v( x;t )= [ D 1 S( kx )+ D 2 T( kx )+ + D 3 U( kx )+ D 4 V( kx ) ]cos( αt+ε )

alakban keressük. A peremfeltételek az x=0 helyen v=0 , illetve v =0 . Az első feltétel

v( x;t ) | x=0 = [ D 1 S( kx )+ D 2 T( kx )+ + D 3 U( kx )+ D 4 V( kx ) ] | x=0 cos( αt+ε )=0

csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha D 1 =0 . A másik feltétel (figyelembe véve, hogy D 1 =0 )

v( x;t ) x | x=0 = [ k D 2 S( kx )+ +k D 3 T( kx )+k D 4 U( kx ) ] | x=0 cos( αt+ε )=0

csak akkor teljesül, ha D 2 =0

Ezt figyelembe véve a rúd másik végén írjuk fel a peremfeltételeket. Az x=l helyen se hajlító nyomaték, se nyíróerő nincs. Az elsőből D 1 =0 és D 2 =0 figyelembevételével

2 v( x;t ) x 2 | x=l = [ k 2 D 3 S( kx )+ k 2 D 4 T( kx ) ] | x=l cos( αt+ε )=0

egyenletet kapjuk, ami tetszőleges időpontban csak akkor igaz, ha

k 2 D 3 S( kl )+ k 2 D 4 T( kl )=0

feltétel teljesül. A másik feltételből

3 v( x;t ) x 3 | x=l = [ k 3 D 3 V( kx )+ k 3 D 4 S( kx ) ] | x=l cos( αt+ε )=0

következik, amiből az

k 3 D 3 V( kl )+ k 3 D 4 S( kl )=0

egyenletet kapjuk. A két egyenlet a D 3 , D 4 ismeretlenre

[ k 2 S( kl ) k 2 T( kl ) k 3 V( kl ) k 3 S( kl ) ][ D 3 D 4 ]=[ 0 0 ]

alakban írható fel. Az egyenlet két ismeretlenes lineáris algebrai homogén egyenletrendszer, amelynek csak akkor van triviálistól különböző (zérustól különböző) megoldása, ha a determinánsa zérus.

A determinánst kifejtve

f(kl)= S 2 (kl)T(kl)V(kl)=0

egyenlethez jutunk. Az összefüggésben k=k( α ) , mint az α függvénye az ismeretlen. A cél azon α i ,( i=1,2,3,... ) értékek meghatározása, amelyek esetén a determináns értéke zérus.

Ezek szolgáltatják a rendszer saját körfrekvenciáit.

Az egyenlet nem algebrai (trigonometrikus is és exponenciális is), így zérus helyeit általában csak numerikusan tudjuk megkeresni. Gyököket csak azokban az intervallumokban kell keresni, amely intervallumokban a determináns értéke előjelet vált. Itt a szokásos eljárás az intervallum felezésének módszere.

2. Gyakorló feladat: Befalazott kör keresztmetszetű rúd hajlító rezgései (kontinuum modell)

Adott: az egyik végén befalazott kör keresztmetszetű, l hosszúságú rúd anyaga és geometriája:

A=314 mm 2 ,l=5m,ρ=7800 kg/m 3 ,

E=2 10 11 N/mm 2 , I z =7852,5 mm 4 .

Feladat:

a) A hajlító kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása.

b) A rúd első három saját körfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és szemléltetése.

Feltételezzük, hogy a rúd az xy síkban végez hajlító rezgéseket. Az z tengely a keresztmetszetek szimmetria tengelye, ezért a rúd igénybevétele egyenes hajlítás.

Kidolgozás:

a) A hajlító kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása:

A hajlító kontinuum-rezgés mozgásegyenlete: 2 v t 2 = I z E Aρ 4 v x 4 = c 2 4 v x 4 .

aholc= I z E Aρ ahajlító rezgéshullám terjedési sebessége a rúdban.

c= I z E Aρ = 7852,5 314,1 2 10 11 7,8 10 3 25318m/s.

A differenciálegyenletben a v=v( x,t ) a rugalmas szál pontjainak (a K keresztmetszet S súlypontjának) y irányú elmozdulása.

A megoldást Fourier módszerrel egy, csak a helykoordinátától függő W(x) és egy, csak az időtől függő T(t) függvény szorzatának alakjában keressük:

v( x,t )=[ a 1 ch( kx )+ a 2 sh( kx )+ a 3 cos( kx )+ a 4 sin( kx ) ][ cos( αt+ε ) ]=W( x )T( t ),

ahol k 2 = α c =α Aρ I z E .

A megoldásban szereplő a 1 , a 2 , a 3 , a 4 állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozhatók meg:

Az x=0 helyen v(x=0,t)=0 és ϕ( x=0,t )= v ( x=0,t )=0.  

Az x=l helyen M hz (x=l,t)= I z E d 2 v d x 2 (x=l,t)= I z E v (x=l,t)=0 , v (x=l,t)=0.

Az x=l helyen T y (x=l,t)= I z E d 3 v d x 3 (x=l,t)= I z E v (x=l,t)=0 , v (x=l,t)=0.

A megoldást behelyettesítve a peremfeltételekbe:

[ a 1 ch( k0 ) =1 + a 2 sh( k0 ) =0 + a 3 cos( k0 ) =1 + a 4 sin( k0 ) =0 ][ cos( αt+ε ) ]=0,

k[ a 1 sh( k0 ) =0 + a 2 ch( k0 ) =1 a 3 sin( k0 ) =0 + a 4 cos( k0 ) =1 ][ cos( αt+ε ) ]=0,

k 2 [ a 1 ch( kl )+ a 2 sh( kl ) a 3 cos( kl ) a 4 sin( kl ) ][ cos( αt+ε ) ]=0,

k 3 [ a 1 sh( kl )+ a 2 ch( kl )+ a 3 sin( kl ) a 4 cos( k ) ][ cos( αt+ε ) ]=0.

A peremfeltételekből egy homogén, lineáris egyenletrendszert kapunk az a 1 , a 2 , a 3 , a 4 állandókra. Ezt mátrixos formában felírva:

[ 1 0 1 0 0 1 0 1 ch( kl ) sh( kl ) cos( kl ) sin( kl ) sh( kl ) ch( kl ) sin( kl ) cos( kl ) ][ a 1 a 2 a 3 a 4 ]=[ 0 0 0 0 ] A ¯ ¯ a ¯ ¯ = 0 ¯ ¯.

A homogén, lineáris egyenletrendszernek akkor van nem zérus megoldása, ha az A ¯ ¯ mátrix determinánsa zérus.

A determinánst kifejtve: det A ¯ ¯ =ch( k i l)cos( k i l )+1=0.

Az egyenlet baloldalán álló függvényt ábrázolva kapjuk a zérushelyeket:

Zérushelyek az ábrából:

i=1 k 1 l=1,875. i=2 k 2 l=4,694.

További zérushelyek:

i=3 k 3 l=7,855. i=4 k 4 l=10,996.

A hajlító kontinuum-rezgés saját körfrekvenciái:

  • Az első saját körfrekvencia:
    k 1 l=1,875 k 1 = 1,875 l
    α 1 = k 1 2 c= k 1 2 I z E Aρ = 1,875 2 l 2 c= ( 1,875 5 ) 2 25318=3560,3 rad s .
  • A második saját körfrekvencia:
    k 2 l=4,694 k 2 = 4,694 l
    α 2 = k 2 2 c= k 2 2 I z E Aρ = 4,694 2 l 2 c= ( 4,694 5 ) 2 2531822311 rad s .
  • A harmadik saját körfrekvencia:
    k 3 l=7,855 k 3 = 7,855 l
    α 3 = k 3 2 c= k 3 2 I z E Aρ = 7,855 2 l 2 c= ( 7,855 5 ) 2 2531862486 rad s .

b) A rúd első három saját körfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és szemléltetése:

A rezgésképek meghatározásánál a differenciál-egyenlet megoldásának a Rayleigh-féle (vagy Krülov-féle) függvényekkel felírt alakját használjuk fel:

v( x )=[ D 1 S( kx )+ D 2 T( kx )+ D 3 ( kx )+ D 4 V( kx ) ],

v ( x )=k[ D 1 V( kx )+ D 2 S( kx )+ D 3 T( kx )+ D 4 U( kx ) ],

v ( x )= I z E k 2 [ D 1 U( kx )+ D 2 V( kx )+ D 3 S( kx )+ D 4 T( kx ) ],

v ( x )= I z E k 3 [ D 1 T( kx )+ D 2 U( kx )+ D 3 V( kx )+ D 4 S( kx ) ],

ahol:S( kx )= 1 2 [ ch( kx )+cos( kx ) ],T( kx )= 1 2 [ sh( kx )+sin( kx ) ],

U( kx )= 1 2 [ ch( kx )cos( kx ) ],V( kx )= 1 2 [ sh( kx )sin( kx ) ].

A peremfeltételekből felírt homogén lineáris algabrai egyenletrendszerbe behelyettesítjük a saját körfrekvenciákat (az egyenletrendszernek csak ezekre van triviálistól különböző megoldása).

Az első saját körfrekvenciához tartózó rezgéskép:

[ S(0) T(0) U(0) V(0) V(0) S(0) T(0) U(0) U( k 1 l ) V( k 1 l ) S( k 1 l ) T( k 1 l ) T( k 1 l ) U( k 1 l ) V( k 1 l ) S( k 1 l ) ][ D 1 D 2 D 3 D 4 ]=[ 0 0 0 0 ] D 1 =0, D 2 =0, D 3 =1, D 4 =0,734.

W 1 ( x )= 1 2 [ ch( k 1 x )cos( k 1 x ) ] 0,734 2 [ sh( k 1 x )sin( k 1 x ) ],

W 1 ( x )= 1 2 [ ch( 1,875 l x )cos( 1,875 l x ) ] 0,734 2 [ sh( 1,875 l x )sin( 1,875 l x ) ],

W 1 ( x )=0,5[ ch( 0,369x )cos( 0,369x ) ]0,367[ sh( 0,369x )sin( 0,369x ) ].

A W 1 (x) első rezgéskép szemléltetése:

α 1 3560 rad s .

A második saját körfrekvenciához tartózó rezgéskép:

A homogén lineáris egyenletrendszer megoldása:

D 1 =0, D 2 =0, D 3 =1, D 4 =1,018.

W 2 ( x )= 1 2 [ ch( 4,694 l x )cos( 4,694 l x ) ] 1.018 2 [ sh( 4,694 l x )sin( 4,694 l x ) ],

W 2 ( x )=0,5[ ch( 0,9388x )cos( 0,9388x ) ]0.509[ sh( 0,9388x )sin( 0,9388x ) ].

A W 2 (x) második rezgéskép szemléltetése:

α 2 22311 rad s .

A harmadik saját körfrekvenciához tartózó rezgéskép:

A homogén lineáris egyenletrendszer megoldása:

D 1 =0, D 2 =0, D 3 =1, D 4 =0,999.

W 3 ( x )= 1 2 [ ch( 7,855 l x )cos( 7,855 l x ) ] 0,999 2 [ sh( 7,855 l x )sin( 7,855 l x ) ],

W 3 ( x )=0,5[ ch( 1,571x )cos( 1,571x ) ]0,4995[ sh( 1,571x )sin( 1,571x ) ].

A W 3 (x) harmadik rezgéskép szemléltetése:

α 3 =62486 rad s .

3. Gyakorló feladat: Tengely hajlító rezgései

Oldjuk meg az ábrán látható tengely hajlító kontinuum rezgéseit.

A tengely mechanikai modellje a következő.

A megoldást most ne a Krülov-függvények segítségével keressük, hanem induljunk ki a

v( x,t )= [ a 1 cos( kx )+ a 2 sin( kx ) + + a 3 ch( kx )+ a 4 sh( kx ) ]cos( αt+ε )

alakból.

Peremfeltételek az x=0 valamint az x=l helyen írhatók elő. Az x=0 mind az y irányú elmozdulás, mind a hajlító nyomaték zérusértékű, vagyis

v( x,t ) | x=0 = [ a 1 cos( kx )+ a 2 sin( kx )+ + a 3 ch( kx )+ a 4 sh( kx ) ] | x=0 cos( αt+ε )= =[ a 1 + a 3 ]cos( αt+ε )=0,

illetve

M hz | x=0 = I z E 2 v( x,t ) x 2 | x=0 =0,

amiből

2 v( x,t ) x 2 | x=0 = [ a 1 cos( kx ) a 2 sin( kx )+ + a 3 ch( kx )+ a 4 sh( kx ) ] | x=0 cos( αt+ε )= =[ a 1 + a 3 ]cos( αt+ε )=0.

Az első feltétel akkor teljesül, ha a 1 + a 3 =0 , míg a második peremfeltétel a 1 + a 3 =0 esetén teljesül.

Újabb két peremfeltétel írható az x=l helyre, hiszen ott is mind az y irányú elmozdulás, mind a hajlító nyomaték zérusértékű, vagyis

v( x,t ) | x=l = [ a 1 cos( kx )+ a 2 sin( kx )+ + a 3 ch( kx )+ a 4 sh( kx ) ] | x=l cos( αt+ε )= = [ a 1 cos( kl )+ a 2 sin( kl ) + + a 3 ch( kl )+ a 4 sh( kl ) ]cos( αt+ε )=0,

illetve

M hz | x=l = I z E 2 v( x,t ) x 2 | x=l =0,

amiből

2 v( x,t ) x 2 | x=l = [ a 1 cos( kx ) a 2 sin( kx )+ + a 3 ch( kx )+ a 4 sh( kx ) ] | x=l cos( αt+ε )= = [ a 1 cos( kl ) a 2 sin( kl ) + + a 3 ch( kl )+ a 4 sh( kl ) ]cos( αt+ε )=0.

A harmadik feltétel akkor teljesül, ha

a 1 cos( kl )+ a 2 sin( kl )+ a 3 ch( kl )+ a 4 sh( kl )=0

míg a negyedik feltétel

a 1 cos( kl ) a 2 sin( kl )+ a 3 ch( kl )+ a 4 sh( kl )=0

esetén igaz. Gyűjtsük össze a feltételeket egy egyenletrendszerbe, amely

a 1 + a 3 =0 a 1 + a 3 =0 a 1 cos( kl )+ a 2 sin( kl )+ a 3 ch( kl )+ a 4 sh( kl )=0 a 1 cos( kl ) a 2 sin( kl )+ a 3 ch( kl )+ a 4 sh( kl )=0 ¯ } .

alakú. Az egyenletrendszer homogén lineáris algebrai négy ismeretlenes. Csak akkor van triviálistól különböző megoldása, ha a determinánsa zérus, azaz

| 1 0 1 0 1 0 1 0 coskl sinkl ch kl sh kl coskl sinkl ch kl sh kl |=4sh klsinkl=0

teljesül. Kifejtve a determinánst sh klsinkl=0 egyenlethez jutunk. Vizsgáljuk meg az egyenlet teljesülésének a feltételeit! Mivel sh kl nem lehet zérus, így elég a sinkl=0 egyenletet vizsgálni, amely végtelen sok zérus hellyel rendelkezik. Ezek kl=nπ,( n=1,2,3,... ) , amelyből a saját körfrekvenciák

α n = n 2 π 2 l 2 Aρ E I z

összefüggésből számíthatók.

A fenti négy ismeretlenes egyenletrendszerbe sinkl=0 feltételt visszahelyettesítve a 1 = a 3 = a 4 =0 adódik, így a rugalmas szál y irányú elmozdulása:

v( x,t )= a 2 sinkxcos( αt+ε ) .

4. Gyakorló feladat: Kéttámaszú tartó (rúd) hajlító rezgései (kontinuum modell)

Feltételezzük, hogy a rúd az xy síkban végez hajlító rezgéseket. Az z tengely a keresztmetszetek szimmetria tengelye, ezért a rúd igénybevétele egyenes hajlítás.

Adott: a két végén megtámasztott, l hosszúságú rúd anyaga és geometriája:

A=314 mm 2 ,l=8m, E=2 10 11 N/mm 2 , I z =7852,5 mm 4 , ρ=7800 kg/m 3 .

Feladat:

a) A hajlító kontinuumrezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása.

b) A rúd első három saját körfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és szemléltetése.

Kidolgozás:

a) A hajlító kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása:

A hajlító kontinuum-rezgés mozgásegyenlete: 2 v t 2 = I z E Aρ 4 v x 4 = c 2 4 v x 4 .

A differenciál egyenletben v=v(x,t) a rugalmas szál pontjainak (a K keresztmetszet S pontjának) y irányú elmozdulása és c= I z E Aρ a hajlító rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban.

A megoldást Fourier-módszerrel egy, csak a helykoordinátától függő W(x) és egy, csak az időtől függő T(t) függvény szorzatának alakjában keressük:

v( x,t )=[ a 1 ch( kx )+ a 2 sh( kx )+ a 3 cos( kx )+ a 4 sin( kx ) ]cos( αt+ε )=W( x )T( t ),

ahol k 2 = α c =α Aρ I z E

A megoldásban szereplő a 1 , a 2 , a 3 , a 4 állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozható meg:

Az x=0 helyen v(x=0,t)=0 és M hz (x=0,t)= I z E d 2 v d x 2 (x=0,t)= I z E v (x=0,t)=0 , amiből v (x=0,t)=0.

Az x=l helyen v(x=l,t)=0 és M hz (x=l,t)= I z E d 2 v d x 2 (x=l,t)= I z E v (x=l,t)=0 , amiből v (x=l,t)=0.

A megoldást behelyettesítve a peremfeltételekbe:

[ a 1 ch( k0 ) =1 + a 2 sh( k0 ) =0 + a 3 cos( k0 ) =1 + a 4 sin( k0 ) =0 ]cos( αt+ε )=0,

k 2 [ a 1 ch( k0 ) =1 + a 2 sh( k0 ) =0 a 3 cos( k0 ) =1 a 4 sin( k0 ) =0 ]cos( αt+ε )=0,

[ a 1 ch( kl )+ a 2 sh( kl )+ a 3 cos( kl )+ a 4 sin( kl ) ]cos( αt+ε )=0,

k 2 [ a 1 ch( kl )+ a 2 sh( kl ) a 3 cos( kl ) a 4 sin( kl ) ]cos( αt+ε )=0.

A peremfeltételekből egy homogén, lineáris algebrai egyenletrendszert kaptunk az a 1 , a 2 , a 3 , a 4 állandókra. Ezt mátrixos formában felírva:

[ 1010 1010 ch(kl)sh(kl)cos(kl)sin(kl) ch(kl)sh(kl)cos(kl)sin(kl) ][ a 1 a 2 a 3 a 4 ]=[ 0 0 0 0 ] A ¯ ¯ a ¯ ¯ = 0 ¯ ¯.

A homogén, lineáris egyenletrendszernek akkor van nem zérus megoldása, ha az A ¯ ¯ mátrix determinánsa zérus.

A determinánst kifejtve: det A ¯ ¯ =4 sh( kl ) 0 sin( kl )=0.

Mivel a sh(x) függvény csak x=0-nál zérus, ezért a másik szorzó tényezőnek kell zérusnak lennie:

sin( kl )=0 , ha kl=iπ , (i=0,1,2,3,....,) .

Ebből a feltételből kapjuk a hajlító kontinuum-rezgés saját körfrekvenciáit:

k i l= α i c l=iπ k i 2 l 2 = α i c l 2 = i 2 π 2 α i = i 2 π 2 l 2 c= i 2 π 2 l 2 I z E Aρ , (i=0,1,2,3,....,) .

A fenti négy ismeretlenes homogén, lineáris algebrai egyenletrendszerbe sin( kl )=0 -t behelyettesítve: a 1 + a 3 =0 a 1 a 3 =0 a 1 ch(kl)+ a 2 sh(kl)+ a 3 cos(kl)=0 a 1 ch(kl)+ a 2 sh(kl) a 3 cos(kl)=0 } .

Az első két egyenletből: a 1 = a 3 =0 , a harmadik egyenletből a 2 =0 megoldás adódik, viszont az a 4 0 tetszőleges érték lehet (az előző feladatokhoz hasonlóan.)

A mozgásegyenlet megoldása: v( x,t )= a 4 sin( k i x )cos( αt+ε )=W( x )T( t ),

(i=0,1,2,3,....,)

b) A rúd első három sajátfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és megrajzolása:

Az összefüggésben szereplő c= I z E Aρ = 7852,5 314,1 2 10 11 7,8 10 3 25318m/s állandó fizikai jelentése: a hajlító rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban.

A rezgésképeket a W=W( x ) függvény ábrázolásával kapjuk: W i = W i ( x )= a 4 sin( α i c x ) .

Legyen a továbbiakban a 4 =1 , így v ( x ) i = W i ( x )=sin( i π l x ).

i=1 - első saját körfrekvencia, első rezgéskép:

Az első saját körfrekvencia:

α 1 = 1 2 π 2 l 2 c= 3,141 2 8 2 25318,

α 1 =3901 rad s .

Az első rezgéskép:

W 1 = W 1 ( x )=sin( 1π x l )

Jellemző értékek

azx=0ésx=lhelyen:

W 1 = W 1 ( 0 )=sin( 1π 0 l )=0,

W 1 = W 1 ( l )=sin( 1π l l )=0.

A rezgésképen a függvényértékek az elmozdulás nagyságát és irányát is szemléltetik, mert ebben az esetben a rúd középvonalára merőleges elmozdulások lépnek fel.

i=2 - második saját körfrekvencia, második rezgéskép:

A második saját körfrekvencia:

α 2 = 2 2 π 2 l 2 c=4 3,141 2 8 2 25318,

α 2 =15605 rad s .

A második rezgéskép:

W 2 = W 2 ( x )=sin( 2π x l )

Jellemző értékek

azx=0ésx=lhelyen:

W 2 = W 2 ( 0 )=sin( 2π 0 l )=0,

W 2 = W 2 ( l )=sin( 2π l l )=0.

i=3 - harmadik saját körfrekvencia, harmadik rezgéskép:

A harmadik saját körfrekvencia:

α 3 = 3 2 π 2 l 2 c=9 3,141 2 8 2 25318,

α 3 =35109 rad s .

A harmadik rezgéskép:

W 3 = W 3 ( x )=sin( 3π x l )

Jellemző értékek

azx=0ésx=lhelyen:

W 3 = W 3 ( 0 )=sin( 3π 0 l )=0,

W 3 = W 3 ( l )=sin( 3π l l )=0.