KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai
6.2. lecke: Megoldás elágazásmentes láncszerű szabad rezgőrendszerek esetében
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes láncszerű, szabad rezgőrendszert. | ||
A saját körfrekvenciák meghatározására felírható determináns | ||
alakú. | ||
Alakítsuk át a determinánst: . | ||
A determináns kifejtésével kapjuk a rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét: | ||
majd végezzük el a kijelölt műveleteket: | ||
Szorozzuk be az egyenletet és szorzatával, majd végezzük el a megfelelő összevonásokat, ezzel a | ||
harmadfokú egyenletre visszavezethető karakterisztikus egyenlethez jutunk. A nem kötött rendszerhez tartozó karakterisztikus egyenletet megvizsgálva az alábbi szabályszerűséget tudjuk megállapítani: | ||
Az legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg. | ||
Nincs konstans tag (a rugómátrix determinánsa nulla), tehát az megoldása a karakterisztikus egyenletnek. Ez azt jelenti, hogy megoldás esetén, a rendszer valamennyi pontjának állandó sebességű mozgatása , megoldása a kiinduló differenciál-egyenletrendszernek. Az saját körfrekvenciát nulladik saját körfrekvenciának () nevezzük. | ||
Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az páros kitevőjű hatványaihoz pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványaihoz negatív előjelű együttható tartozik. | ||
Az legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő rugóállandókkal együtt. | ||
Az együtthatójában annyi tag szerepel, ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Az együttható minden tagjában i számú tömeg szerepel szorzótényezőként (minden variációban), a közöttük lévő rugóállandók szorzatával együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a két tömeg között lévő rugóállandók összege áll szorzatként. | ||
Az -es tag együtthatója a tömegek összegeként áll elő, és előjele negatív. | ||
A fenti szabályszerűségek szem előtt tartásával felírhatjuk egy négy szabadságfokú (lásd az ábrán) nem kötött rendszer karakterisztikus egyenletét: | ||
A nem kötött rendszerek karakterisztikus egyenleteiből könnyen származtathatjuk a kötött rendszerekét. Vizsgáljuk meg az ábrán látható egyik oldalon kötött rendszert. | ||
A karakterisztikus egyenlet felírásánál, a négy szabadságfokú nem kötött rendszer karakterisztikus egyenletéből indulunk ki, miután azt -tel végigosztottuk. A befalazást tömegnek vesszük, amely végtelen nagy, ezért az egyenletet mennyiséggel végigosztva, és képezve a határátmenetet (), az alábbi egyenletet kapjuk: | ||
| ||
Ha a másik oldalon van a befalazás, akkor a karakterisztikus egyenletet a fentiekhez hasonló elvek alapján írhatjuk fel: | ||
| ||
Egyik oldalon befalazott láncszerű rendszer karakterisztikus egyenletének felírásánál az alábbi szabályok írhatók fel: | ||
Az legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg. | ||
Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az páros kitevőjű hatványához pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványához negatív előjelű együttható tartozik. | ||
Az legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő, és az állványhoz rögzítő rugó rugóállandóival együtt. | ||
Az együtthatójában annyi tag szerepel ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Minden tagban i számú tömeg szerepel szorzatként (az összes tagban minden variációban), a közöttük, valamint az állvány és a szélső tömegek közötti rugóállandókkal együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a közöttük lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Ugyanez vonatkozik az állvány és a hozzá közelebbi tömeg közötti rugóállandókra. | ||
Az -es tag együtthatója az egyes tömegek összegeként áll elő, tagonként megszorozva az állvány és a tömeg közötti rugóállandók összegével. Az előjele negatív. | ||
A legkisebb saját körfrekvencia becslésére Dunkerley egy közelítő formulát alkotott, amit róla neveztek el. Ez arra alapoz, hogy a karakterisztikus egyenletben zérusnak vesszük az magasabb rendű hatványainak együtthatóit, csak az -ben lineáris tagot és a konstans tagot tartjuk meg. Ezzel | ||
összefüggést kapjuk a jobboldalon kötött rendszer esetében, míg a baloldalon kötött rendszer esetében | ||
összefüggés adja a legkisebb saját körfrekvencia () alulról közelítő értékét. Dunkerley közelítő formulája természetesen érvényes más több szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek esetében is. | ||
Amennyiben mindkét oldalon kötött a rezgőrendszer, akkor a két tömeggel bővített, nem kötött rezgőrendszerhez tartozó karakterisztikus egyenletben lévő tagok közül csak azok a tagok maradnak bent, amelyekben mindkét szélső tömeg szerepel, mivel ezen a tömegekkel végigosztjuk az egyenletet, és határátmenetet képezünk úgy, hogy e tömegek tartanak a végtelenhez. Tehát azok a tagok, amelyekben nem szerepel mindkét szélső tömeg, zérussá válnak, azokban a tagokban, amelyekben mindkét szélső tömeg szerepel, e tömegek helyébe 1 írandó. | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, mindkét végén befalazott láncszerű longitudinális rezgőrendszert. A rezgőrendszerhez tartozó karakterisztikus egyenlet az alábbi: | ||
| ||
E karakterisztikus egyenletnél az alábbi törvényszerűségek állapíthatók meg: | ||
Az legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg. | ||
A konstans tag értéke a rugóállandók összege. (A rugómátrix determinánsa nem nulla.) | ||
Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az páros kitevőjű hatványához pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványához negatív előjelű együttható tartozik. | ||
Az legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő, és az állványhoz rögzítő rugók rugóállandóival együtt. | ||
Az együtthatójában annyi tag szerepel ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Minden tagban i számú tömeg szerepel szorzatként (az összes tagban minden variációban), a közöttük, valamint az állvány és a szélső tömegek közötti rugóállandókkal együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a közöttük lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Ugyanez vonatkozik az állvány és a hozzá közelebbi tömeg közötti rugóállandókra. | ||
Az -es tag együtthatója az egyes tömegek összegeként áll elő, megszorozva az állvány és a tömeg közötti rugóállandók összegével. Az előjele negatív. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||
1. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||
A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenlete: ![]() | |||||||||
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az legmagasabb kitevőjű hatványa a számával egyezik meg. ![]() | |||||||||
3. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() | |||||||||
4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag. ![]() | |||||||||
5. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() | |||||||||
6. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az saját körfrekvenciát körfrekvenciának () nevezzük. ![]() | |||||||||
7. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() | |||||||||
8. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az együtthatók előjelei változnak a kitevő változásával. Az páros kitevőjű hatványaihoz , míg a páratlan kitevőjű hatványaihoz előjelű együttható tartozik. ![]() | |||||||||
9. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() | |||||||||
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szerepel a közöttük lévő együtt. ![]() | |||||||||
11. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() | |||||||||
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az -es tag együtthatója a tömegek áll elő, és előjele . ![]() | |||||||||
13. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Egyik oldalon befalazott, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az legmagasabb kitevőjű hatványa a számával egyezik meg. ![]() | |||||||||
14. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Egyik oldalon befalazott, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag. ![]() | |||||||||
15. Írja be a helyes megoldást (egész számot)! Egyik oldalon befalazott láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében a konstans tag értéke . ![]() | |||||||||
16. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Mindkét oldalon kötött, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag. ![]() | |||||||||
17. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() | |||||||||
18. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
![]() |