KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete

3.7. lecke: Gyakorló feladatok egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírására

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni a rezgőrendszer mozgásegyenletét;
  • meghatározni a redukált (helyettesítő) rezgőrendszer jellemzőit.
Tananyag

Az egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének felírásakor mindig arra is törekszünk, hogy a vizsgált rendszert a 3.5. leckében látható ún. redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre vezessük vissza.

1. Gyakorló feladat: Szabad csillapítatlan rezgőrendszer

Adott: A 2a hosszúságú, súlytalan, merev rúd és m, a, c 1 , c 2 .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a merev rúd kis szögelfordulása esetén.
b) A redukált (helyettesítő) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

1. A feladat megoldása q=ϕ általános koordináta választással

Általános koordináta:
q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E q ˙ ) E q =Q .

Az anyagi pont sebessége: ν=2aϖ=2a ϕ ˙ .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m v 2 = 1 2 m ( 2aϖ ) 2 = 1 2 m4 a 2 ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =4 a 2 m .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugókban felhalmozott energia: U= y 1 2 2 c 1 + y 2 2 2 c 2 = (aϕ) 2 2 c 1 + (2aϕ) 2 2 c 2 = 1 2 ( a 2 c 1 + 4 a 2 c 2 ) ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált, vagy általános rugóállandója: 1 c r =( a 2 c 1 + 4 a 2 c 2 ) .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:

4m a 2 ϕ ¨ +( a 2 c 1 + 4 a 2 c 2 )ϕ=0 , vagy m r ϕ ¨ + 1 c r ϕ=0.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + 1 c r q=0.

2. A feladat megoldása q= y B általános koordináta választással

Általános koordináta:

q= y B - a B pont elmozdulása,
q ˙ = y ˙ B = ν B - a B pont sebessége,
q ¨ = y ¨ B = a B - a B pont gyorsulása.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E q ˙ ) E q =Q .

Az anyagi pont sebessége: ν= ν B = y ˙ B .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m v 2 = 1 2 m v B 2 = 1 2 m y ˙ B 2 = 1 2 m r y ˙ B 2 .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =m .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E y ˙ B = m r y ˙ B , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E y ˙ B )= m r y ¨ B , E q = E y B =0 .

A rugókban felhalmozott energia: U= y 1 2 2 c 1 + y 2 2 2 c 2 = ( y B 2 ) 2 2 c 1 + ( y B ) 2 2 c 2 = 1 2 ( 1 4 c 1 + 1 c 2 ) y B 2 = 1 2 y B 2 c r .

A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált, vagy általános rugóállandója: 1 c r =( 1 4 c 1 + 1 c 2 ) .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U y B = 1 c r y B .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:

m y ¨ B +( 1 4 c 1 + 1 c 2 ) y B =0 , vagy m r y ¨ B + 1 c r y B =0.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + 1 c r q=0.

A redukált rezgőrendszer:

Megjegyzés: A redukált mennyiségek ( m r és c r ) függenek az általános koordináta választástól!

2. Gyakorló feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer

Adott: A homogén tömegeloszlású, merev henger és m, k, R, c 1 , c 2 .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a merev henger kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

1. A feladat megoldása q=ϕ általános koordináta választással

Általános koordináta:

q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c + Q k .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 J a ω 2 = 1 2 ( 3 2 m R 2 ) ω 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r = 3 2 m R 2 .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugókban felhalmozott energia: U= y B 2 2 c 1 + y B 2 2 c 2 = (2Rϕ) 2 2 c 1 + (2Rϕ) 2 2 c 2 = 1 2 ( 4 R 2 c 1 + 4 R 2 c 2 ) ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált, vagy általános rugóállandója: 1 c r =( 4 R 2 c 1 + 4 R 2 c 2 ) .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az általános csillapító erő meghatározása: Q k = F k β S .

F k =k v d =k v S =k(R ϕ ˙ ) j ,
β S = v S ϕ ˙ = (R ϕ ˙ j ) ϕ ˙ =(R j ) .

Q k = F k β S =k R 2 ϕ ˙ = k r ϕ ˙ .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője: k r =k R 2 .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:

( 3 2 m R 2 ) ϕ ¨ +k R 2 ϕ ˙ +( 4 R 2 c 1 + 4 R 2 c 2 )ϕ=0 , vagy m r ϕ ¨ + k r ϕ ˙ + 1 c r ϕ=0.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q=0.

A redukált rezgőrendszer:

2. A feladat megoldása q= y B általános koordináta választással

Általános koordináta:

q= y B - a B pont elmozdulása,
q ˙ = y ˙ B = v B - a B pont sebessége,
q ¨ = y ¨ B = a B - a B pont gyorsulása.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E y ˙ B ) E y B = Q c + Q k .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 J a ω 2 = 1 2 ( 3 2 m R 2 ) ω 2 = 1 2 ( 3 2 m R 2 ) ( y ˙ B 2R ) 2 = 1 2 ( 3 8 m ) m r y ˙ B 2 .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r = 3 8 m .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E y ˙ B = m r y ˙ B , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E y ˙ B )= m r y ¨ B , E q = E y B =0 .

A rugókban felhalmozott energia: U= y B 2 2 c 1 + y B 2 2 c 2 = 1 2 ( 1 c 1 + 1 c 2 ) y B 2 = 1 2 y B 2 c r .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált, vagy általános rugóállandója: 1 c r =( 1 c 1 + 1 c 2 ) .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U y B = 1 c r y B .

Az általános csillapító erő meghatározása: Q k = F k β S .

F k =k v d =k v S =k( y ˙ B 2 ) j ,
β S = v S y ˙ B = ( y ˙ B 2 j ) y ˙ B =( 1 2 j ) .

Q k = F k β S = k 2 1 2 y ˙ B = k r y ˙ B .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője: k r =k/4 .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:

( 3 8 m ) y ¨ B + k 4 y ˙ B +( 1 c 1 + 1 c 2 ) y B =0 , vagy m r y ¨ B + k r y ˙ B + 1 c r y B =0.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q=0.

A redukált rezgőrendszer:

Megjegyzés: A redukált mennyiségek ( m r , k r és c r ) függenek az általános koordináta választástól!

3. Gyakorló feladat: Szabad csillapítatlan rezgőrendszer

Adott: A merev és súlytalan CAB rúdszerkezet és m 1 , m 2 a, b, c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , γ 0 , ϑ.

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a CAB rúdszerkezet kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás: q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 ( b ϕ ˙ ) 2 + 1 2 m 2 ( 2a ϕ ˙ ) 2 = 1 2 ( m 1 b 2 + m 2 4 a 2 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =( m 1 b 2 +4 m 2 a 2 ) .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A c 5 rugóállandójú rugó hosszváltozása: h=aϕcosϑ .

A rugókban felhalmozott energia:

U= 1 2 ( bϕ ) 2 c 1 + 1 2 ( bϕ ) 2 c 2 + 1 2 ( aϕ ) 2 ( c 3 + c 4 ) + 1 2 ( acosϑϕ ) 2 c 5 + 1 2 ϕ 2 γ 0 =

= 1 2 [ b 2 c 1 + b 2 c 2 + a 2 ( c 3 + c 4 ) + ( acosϑ ) 2 c 5 + 1 γ 0 ] ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r =[ b 2 c 1 + b 2 c 2 + a 2 ( c 3 + c 4 ) + ( acosϑ ) 2 c 5 + 1 γ 0 ] .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:

( m 1 b 2 +4 m 2 a 2 ) ϕ ¨ +( b 2 c 1 + b 2 c 2 + a 2 ( c 3 + c 4 ) + a 2 cos 2 ϑ c 5 + 1 γ 0 )ϕ=0 , vagy m r ϕ ¨ + 1 c r ϕ=0.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + 1 c r q=0.

A redukált rezgőrendszer:

4. Gyakorló feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer

Adott: A merev, homogén tömegeloszlású AB rúd és m, l, k, γ 0 , ϑ.

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása az AB rúd kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás: q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c + Q k .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 J a ω 2 = 1 2 ( J s +m l 2 4 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 ( m l 2 12 +m l 2 4 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 ( m l 2 3 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =( m l 2 3 ) .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugókban felhalmozott energia: U= 1 2 1 γ 0 ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r = 1 γ 0 .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az általános csillapító erő meghatározása: Q k = F k β S .

β S = v S ϕ ˙ = ( l 2 ϕ ˙ j ) ϕ ˙ =( l 2 j ) .

A csillapító erő: F k =k v d .

A dugattyú relatív sebességének meghatározása: v d = v S sinϑ= l 2 ϕ ˙ sinϑ , v d = v d (cosϑ i +sinϑ j ) .

F k =k v d =k l 2 (sinϑcosϑ i + sin 2 ϑ j ) ϕ ˙ .

Q k = F k β S =k l 4 4 sin 2 ϑ ϕ ˙ = k r ϕ ˙ .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője: k r =k l 2 4 sin 2 ϑ .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ( m l 2 3 ) ϕ ¨ +k l 2 4 sin 2 ϑ ϕ ˙ + 1 γ 0 ϕ=0 , vagy m r ϕ ¨ + k r ϕ ˙ + 1 c r ϕ=0.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q=0.

A redukált rezgőrendszer:

5. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszer

Adott: Az R sugarú, merev, homogén tömegeloszlású henger és m, R, c, valamint F g (t)= F g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének fel-írása a henger kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás: q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c + Q g .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 J a ω 2 = 1 2 ( 3m R 2 2 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =( 3 2 m R 2 ) .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugókban felhalmozott energia: U= 1 2 (Rϕ) 2 c = 1 2 R 2 c ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r = R 2 c .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az általános gerjesztő erő meghatározása: Q g = F g β B .

F g = F g0 sin(ωt+ε) j ,
β B = v B ϕ ˙ = ( 2R ϕ ˙ j ) ϕ ˙ =( 2R j ) .

Q g = F g β B =2R F g (t) .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános visszatérítő erőt az egyenlet bal oldalára rendezve: ( 3m R 2 2 ) ϕ ¨ + R 2 c ϕ=2R F g (t) , vagy m r ϕ ¨ + 1 c r ϕ= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + 1 c r q= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer:

6. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszer

Adott: A merev, súlytalan ABC rúdszerkezet és m 1 , m 2 a, b, c, M g = M g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a ABC rúdszerkezet kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás: q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c + Q g .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 ( a ϕ ˙ ) 2 + 1 2 m 2 ( l ϕ ˙ ) 2 = 1 2 [ m 1 a 2 + m 2 (4 a 2 + b 2 ) ] ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =[ m 1 a 2 + m 2 (4 a 2 + b 2 ) ] .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugó hosszváltozása: h=lϕsinα .

A rugóban felhalmozott energia: U= 1 2 h 2 c = 1 2 (lϕsinα) 2 c = 1 2 (4 a 2 + b 2 ) sin 2 α c ϕ 2 = 1 2 b c ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r = (lsinα) 2 c = (4 a 2 + b 2 ) sin 2 α c = b c .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az általános gerjesztő erő meghatározása: Q g = M g (t) b .

M g (t)= M g (t) k = M g0 sin(ωt+ε) k ,
b = ω ϕ ˙ = ( ϕ ˙ k ) ϕ ˙ = k ,
Q g = M g (t) b = M g (t) .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános visszatérítő erőt az egyenlet bal oldalára rendezve: [ m 1 a 2 + m 2 (4 a 2 + b 2 ) ] ϕ ¨ + b c ϕ= M g (t) , vagy m r ϕ ¨ + 1 c r ϕ= M g (t).

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + 1 c r q= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer:

7. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapított rezgőrendszer

Adott: A merev, súlytalan ABCD rúdszerkezet és m 1 , m 2 , a, b, c, k, F g (t)= F g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a ABCD rúdszerkezet kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás: q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c + Q k + Q g .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 ( l ϕ ˙ ) 2 + 1 2 m 2 ( l ϕ ˙ ) 2 = 1 2 ( m 1 + m 2 )( a 2 + b 2 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =( m 1 + m 2 )( a 2 + b 2 ) .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugó hosszváltozása: h=lϕsinα .

A rugóban felhalmozott energia: U= 1 2 h 2 c = 1 2 (lϕsinα) 2 c = 1 2 ( a 2 + b 2 ) sin 2 α c ϕ 2 = 1 2 ϕ 2 c r .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r = (lsinα) 2 c = ( a 2 + b 2 ) sin 2 α c .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U ϕ = 1 c r ϕ .

Az általános csillapító erő meghatározása: Q k = F k β C .

β C = v C ϕ ˙ = ( l ϕ ˙ e C ) ϕ ˙ =( l e C )=l(sinϑ i +cosϑ j ) .

A csillapító erő: F k =k v d .

A dugattyú relatív sebességének meghatározása: v d = v C sinϑ=l ϕ ˙ sinϑ , v d = v d i =lsinϑ ϕ ˙ i .

A csillapító erő: F k =k v d =klsinϑ ϕ ˙ i .

Q k = F k β C =k l 2 sin 2 ϑ ϕ ˙ =k b 2 ϕ ˙ = k r ϕ ˙ .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője: k r =k b 2 .

Az általános gerjesztő erő meghatározása: Q g = F g (t) β C .

F g (t)= F g (t) i = F g0 sin(ωt+ε) i ,
β C = v C ϕ ˙ = ( l ϕ ˙ e C ) ϕ ˙ =( l e C )=l(sinϑ i +cosϑ j ) ,
Q g = F g (t) β C = F g (t)lsinϑ= F g b .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:

[ ( m 1 + m 2 )( a 2 + b 2 ) ] ϕ ¨ +k b 2 ϕ ˙ + b 2 c ϕ= F g (t)b , vagy m r ϕ ¨ + k r ϕ ˙ + 1 c r ϕ= F g (t)b.

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer:

8. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapított rezgőrendszer

Adott: Az R sugarú, m 2 tömegű merev, homogén tömegeloszlású tárcsa és m 1 , m 2 , R, c, k, α, ϑ, M g (t)= M g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a tárcsa kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás: q= y B - a B pont elmozdulása,
q ˙ = y ˙ B = v B - a B pont sebessége,
q ¨ = y ¨ B = a B - a B pontgyorsulása.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E y ˙ B ) E y B = Q c + Q k + Q g .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m 1 v B 2 + 1 2 J a2 ω 2 = 1 2 ( m 1 + 1 2 m 2 R 2 1 R 2 ) y ˙ B 2 = 1 2 m r y ˙ B 2 .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =( m 1 + 1 2 m 2 ) .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E y ˙ B = m r y ˙ B , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E y ˙ B )= m r y ¨ B , E q = E y B =0 .

A rugó hosszváltozása: | y B |=| y D |

h= y B sinα .

A rugóban felhalmozott energia: U= 1 2 h 2 c = 1 2 sin 2 α c y B 2 = 1 2 y B 2 c r .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r = sin 2 α c .

Az általános visszatérítő erő meghatározása: Q c = U q = U y B = 1 c r y B = sin 2 α c y B .

Az általános csillapító erő meghatározása: Q k = F k β C .

A dugattyú relatív sebességének meghatározása: | v C |=| v B |=| y ˙ B |

v d = v C cosϑ= y ˙ B cosϑ ,
v d = v d e d = v d (cosϑ i +sinϑ j ) .

β C = v C y ˙ B = ( y ˙ B i ) y ˙ B = i ,
F k =k v d =k v d e d =kcosϑ y ˙ B (cosϑ i +sinϑ j ) .

Q k = F k β C =k cos 2 ϑ y ˙ B = k r y ˙ B .

A rezgőrendszer q= y B általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője: k r =k cos 2 ϑ .

Az általános gerjesztő erő meghatározása: Q g = M g (t) b .

M g (t)= M g (t) k = M g0 sin(ωt+ε) k , b = ω y ˙ B = ( y ˙ B R k ) y ˙ B = 1 R k ,

Q g = M g (t) b = 1 R M g (t) .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: ( m 1 + 1 2 m 2 ) y ¨ B +k cos 2 ϑ y ˙ B + sin 2 α c y B = M g (t) 1 R , vagy m r y ¨ B + k r y ˙ B + 1 c r y B = M g (t) 1 R .

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer:

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Határozza meg a következő adatok és ábra segítségével megadott gerjesztett csillapított rezgőrendszer mozgásegyenletét és a helyettesítő rezgőrendszer jellemzőit!

Adott: A 2l hosszúságú, m 2 tömegű merev prizmatikus rúd és m 1 , m 2 , l, c, k, α, F g (t)= F g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a rúd kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő (redukált) rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Általános koordináta választás: q=ϕ - a rúd szögelfordulása.

1. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege:
m r =( m 1 + m 2 )l
m r =( m 1 4 + m 2 3 ) l 2
m r = lm 2
m r = l 2 m 1 + m 2
m r =( m 1 6 + m 2 8 ) l 2

2. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője:
k r =2kl sin 2 α
k r =k l 2 2 sinα
k r =k l 2 3 cos 2 α
k r =k l 2 2 sin 2 α
k r =k l 2 4 sin 2 α

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója:
1 c r = l 2 sin 2 α c
1 c r =clsinα
1 c r = l 2 cos 2 α c
1 c r = c l 2 sin 2 α
1 c r = l 2 c sin 2 α

4. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszerhez tartozó általános gerjesztő erő:
Q g = l 2 F g (t)
Q g =l F g (t)
Q g = l F g (t)
Q g = l 2 2 F g (t)
Q g = l 2 F g (t)

5. Válassza ki a helyes megoldást!

Általános koordináta választás: q=ϕ - a rúd szögelfordulása.

A rezgőrendszer mozgásegyenlete a rúd kis szögelfordulása esetén:
( m 1 + m 2 )l ϕ ¨ +k l 2 2 sinα ϕ ˙ +lsinαϕc= l 2 F g (t)
lm 2 ϕ ¨ +2kl sin 2 α ϕ ˙ + c l 2 sin 2 α ϕ= l 2 F g (t)
( m 1 4 + m 2 3 ) l 2 ϕ ¨ +k l 2 4 sin 2 α ϕ ˙ + l 2 sin 2 α c ϕ=l F g (t)
( m 1 6 + m 2 8 ) l 2 ϕ ¨ +k l 2 2 sin 2 α ϕ ˙ l 2 c sin 2 α ϕ= l F g (t)
l 2 ϕ ¨ m 1 + m 2 +k l 2 3 cos 2 α ϕ ˙ + l 2 cos 2 α c ϕ= l 2 2 F g (t)