KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései

7.5. lecke: Mozgásegyenlet megoldása torziós kontinuumrezgéseknél

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni a rúd torziós rezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldásának módszerét;
  • kiválasztani rúd torziós rezgései esetén a saját körfrekvenciák számát;
  • kiválasztani a befalazott rúd csavaró rezgései esetén az i-edik saját körfrekvenciát meghatározó összefüggést.
Tananyag

A rúd torziós rezgéseit leíró differenciálegyenletet, ugyancsak Fourier-módszerrel oldjuk meg. Az általános megoldást

ϕ( x;t )=Φ(x)cos( αt+ε )

alakban keressük. A differenciálegyenletbe

2 ϕ t 2 = α 2 Φ( x )cos( αt+ε ) , illetve 2 ϕ x 2 = Φ ( x )cos( αt+ε )

értékeket helyettesítve

( G ρ Φ ( x )+ α 2 Φ( x ) )cos( αt+ε )=0

egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha

G ρ Φ ( x )+ α 2 Φ( x )=0

teljesül. Ez pedig közönséges másodrendű differenciálegyenlet, aminek megoldása b= G ρ helyettesítéssel

Φ( x )= D 1 cos α b x+ D 2 sin α b x

alakú, ahol b a csavaró hullám hangsebessége.

Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Két jellemző peremfeltétel jöhet számításba. Az egyiknél a perem meg van fogva, a másiknál a perem nincs megfogva. Abban az esetben, ha a perem meg van fogva

Φ=0

feltételnek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a perem nincs megfogva, szabad rúdvég, akkor ott a csavaró nyomatéknak kell megegyezni az ott valóban működő csavaró nyomaték értékével, így ott az M cs0 = I p G ϕ x feltételnek kell teljesülnie.

Gyakorló feladat: Befalazott rúd csavaró rezgései

Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit.

A fentiekben bemutatott általános megoldást

ϕ( x;t )=( D 1 cos α b x+ D 2 sin α b x)cos( αt+ε )

alakban keressük. A peremfeltételek x=0 helyen ϕ=0 , tehát

ϕ( x;t ) | x=0 = ( D 1 cos α b x+ D 2 sin α b x) | x=0 cos( αt+ε )=0

csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha D 1 =0 . Ezt figyelembe véve a másik peremfeltétel az, hogy az x=l helyen nincs csavaró nyomaték, vagyis ott

M cs = I p G ϕ x =0 ϕ x | x=l =0 ,

ϕ x | x=l = [ x ( D 2 sin α b x)cos( αt+ϵ ) ] | x=l = α b D 2 ( cos α b l ) cos( αt+ϵ ) =0.

feltételnek teljesülnie kell minden időpillanatban. Ez pedig csak akkor teljesül, ha cos α b l=0 , ami α b l= π 2 +kπ,( k=0,1,2,... ) esetén teljesül. Ebből a sajátértékek

α i = b l [ π 2 +( i1 )π ],i=1,2,3,...

egyenletből meghatározhatók.

A legkisebb, vagyis az első saját körfrekvencia α 1 = G l ρ π 2 ,

a második saját körfrekvencia α 2 = G l ρ 3π 2 ,

a harmadik saját körfrekvencia α 3 = G l ρ 5π 2 ,

és az i-edik saját körfrekvencia α i = G l ρ ( 2i1 )π 2 ,( i=1,2,3,... ) .

A rúdnak tehát torziós kontinuumrezgések esetén végtelen sok saját körfrekvenciája van.

Kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák száma végtelen.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A rúd torziós rezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását -módszerrel keressük.

2. Válassza ki a helyes megoldást!

A rúd torziós rezgései esetén a saját körfrekvenciák száma:
végtelen
50
25
5
3
2
1
0

3. Válassza ki a helyes megoldást!

Rúd torziós kontinuumrezgése esetén az i-edik saját körfrekvencia meghatározásának helyes összefüggése:
α i = G l ρ 2iπ,( i=1,2,3,... ) .
α i = G l ρ ( 3i2 )π 4 ,( i=1,2,3,... ) .
α i = G l ρ ( 2i1 )π 2 ,( i=1,2,3,... ) .
α i = G l ρ iπ,( i=1,2,3,... ) .
α i = G l ρ π 2i ,( i=1,2,3,... )