KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései
7.5. lecke: Mozgásegyenlet megoldása torziós kontinuumrezgéseknél
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
A rúd torziós rezgéseit leíró differenciálegyenletet, ugyancsak Fourier-módszerrel oldjuk meg. Az általános megoldást | ||
alakban keressük. A differenciálegyenletbe | ||
, illetve | ||
értékeket helyettesítve | ||
egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha | ||
teljesül. Ez pedig közönséges másodrendű differenciálegyenlet, aminek megoldása helyettesítéssel | ||
alakú, ahol a csavaró hullám hangsebessége. | ||
Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Két jellemző peremfeltétel jöhet számításba. Az egyiknél a perem meg van fogva, a másiknál a perem nincs megfogva. Abban az esetben, ha a perem meg van fogva | ||
feltételnek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a perem nincs megfogva, szabad rúdvég, akkor ott a csavaró nyomatéknak kell megegyezni az ott valóban működő csavaró nyomaték értékével, így ott az feltételnek kell teljesülnie. |
Gyakorló feladat: Befalazott rúd csavaró rezgései | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit. | ||
A fentiekben bemutatott általános megoldást | ||
alakban keressük. A peremfeltételek helyen , tehát | ||
csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha . Ezt figyelembe véve a másik peremfeltétel az, hogy az helyen nincs csavaró nyomaték, vagyis ott | ||
, | ||
feltételnek teljesülnie kell minden időpillanatban. Ez pedig csak akkor teljesül, ha , ami esetén teljesül. Ebből a sajátértékek | ||
egyenletből meghatározhatók. | ||
A legkisebb, vagyis az első saját körfrekvencia , | ||
a második saját körfrekvencia , | ||
a harmadik saját körfrekvencia , | ||
és az i-edik saját körfrekvencia . | ||
A rúdnak tehát torziós kontinuumrezgések esetén végtelen sok saját körfrekvenciája van. |
Kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák száma végtelen. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A rúd torziós rezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását -módszerrel keressük. ![]() | |||||||||||||||||
2. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A rúd torziós rezgései esetén a saját körfrekvenciák száma:
![]() | |||||||||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Rúd torziós kontinuumrezgése esetén az i-edik saját körfrekvencia meghatározásának helyes összefüggése:
![]() |