KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai

6.2. lecke: Megoldás elágazásmentes láncszerű szabad rezgőrendszerek esetében

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani/felírni a három és a négy szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét;
  • kiválasztani/meghatározni a három és a négy szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletének a szabályszerűségeit;
  • kiválasztani/felírni az egyik és a mindkét oldalon kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét;
  • kiválasztani/megadni az egyik és a mindkét oldalon kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletének a szabályszerűségeit.
Tananyag

Vizsgáljuk meg az ábrán látható három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes láncszerű, szabad rezgőrendszert.

A saját körfrekvenciák meghatározására felírható determináns

det| - α 2 [ m 1 0 0 0 m 2 0 0 0 m 3 ]+[ 1 c 12 1 c 12 0 1 c 12 1 c 12 + 1 c 23 1 c 23 0 1 c 23 1 c 23 ] |=0 alakú.

Alakítsuk át a determinánst: | 1 c 12 α 2 m 1 1 c 12 0 1 c 12 1 c 12 + 1 c 23 α 2 m 2 1 c 23 0 1 c 23 1 c 23 α 2 m 3 |=0 .

A determináns kifejtésével kapjuk a rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét:

( 1 c 12 α 2 m 1 )( 1 c 12 + 1 c 23 α 2 m 2 )( 1 c 23 α 2 m 3 )( 1 c 12 α 2 m 1 ) ( 1 c 23 ) 2 ( 1 c 23 α 2 m 3 ) ( 1 c 12 ) 2 =0,

majd végezzük el a kijelölt műveleteket:

m 1 m 2 m 3 ( α 2 ) 3 +[ m 1 m 2 1 c 23 + m 1 ( 1 c 12 + 1 c 23 ) m 3 + 1 c 12 m 2 m 3 ] ( α 2 ) 2
[ m 1 ( 1 c 12 + 1 c 23 ) 1 c 23 + 1 c 12 m 2 1 c 23 + 1 c 12 ( 1 c 12 + 1 c 23 ) m 3 ] α 2 +
+ 1 c 12 ( 1 c 12 + 1 c 23 ) 1 c 23 1 c 12 ( 1 c 23 ) 2 + α 2 m 1 ( 1 c 23 ) 2 1 c 23 ( 1 c 12 ) 2 + α 2 m 3 ( 1 c 12 ) 2 =0.

Szorozzuk be az egyenletet c 12 és c 23 szorzatával, majd végezzük el a megfelelő összevonásokat, ezzel a

m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 3 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 2 [ m 1 + m 2 + m 3 ] α 2 =0

harmadfokú egyenletre visszavezethető karakterisztikus egyenlethez jutunk. A nem kötött rendszerhez tartozó karakterisztikus egyenletet megvizsgálva az alábbi szabályszerűséget tudjuk megállapítani:

Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg.

Nincs konstans tag (a rugómátrix determinánsa nulla), tehát az α 2 =0 megoldása a karakterisztikus egyenletnek. Ez azt jelenti, hogy α 2 =0 megoldás esetén, a rendszer valamennyi pontjának állandó sebességű mozgatása ( q i = q 0 + v 0 t,i=1,2,...,N ) , megoldása a kiinduló differenciál-egyenletrendszernek. Az α=0 saját körfrekvenciát nulladik saját körfrekvenciának ( α 0 ) nevezzük.

Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű hatványaihoz pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványaihoz negatív előjelű együttható tartozik.

Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő rugóállandókkal együtt.

Az ( α 2 ) i ,( i=1,2,...,N ) együtthatójában annyi tag szerepel, ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Az együttható minden tagjában i számú tömeg szerepel szorzótényezőként (minden variációban), a közöttük lévő rugóállandók szorzatával együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a két tömeg között lévő rugóállandók összege áll szorzatként.

Az α 2 -es tag együtthatója a tömegek összegeként áll elő, és előjele negatív.

A fenti szabályszerűségek szem előtt tartásával felírhatjuk egy négy szabadságfokú (lásd az ábrán) nem kötött rendszer karakterisztikus egyenletét:

m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 c 34 m 4 ( α 2 ) 4 [ m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 + m 1 c 12 m 2 ( c 23 + c 34 ) m 4 + + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 c 34 m 4 + m 2 c 23 m 3 c 34 m 4 ] ( α 2 ) 3 + [ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 1 ( c 12 + c 23 + c 34 ) m 4 + + m 2 c 23 m 3 + m 2 ( c 23 + c 34 ) m 4 + m 3 c 34 m 4 ] ( α 2 ) 2 [ m 1 + m 2 + m 3 + m 4 ] α 2 =0.

A nem kötött rendszerek karakterisztikus egyenleteiből könnyen származtathatjuk a kötött rendszerekét. Vizsgáljuk meg az ábrán látható egyik oldalon kötött rendszert.

A karakterisztikus egyenlet felírásánál, a négy szabadságfokú nem kötött rendszer karakterisztikus egyenletéből indulunk ki, miután azt α 2 -tel végigosztottuk. A befalazást m 0 tömegnek vesszük, amely végtelen nagy, ezért az egyenletet m 0 mennyiséggel végigosztva, és képezve a határátmenetet ( m 0 ), az alábbi egyenletet kapjuk:

c 01 m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 3 +
+ [ c 01 m 1 c 12 m 2 + c 01 m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 +( c 01 + c 12 ) m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 2
[ c 01 m 1 +( c 01 + c 12 ) m 2 +( c 01 + c 12 + c 23 ) m 3 ] α 2 +1=0 .

Ha a másik oldalon van a befalazás, akkor a karakterisztikus egyenletet a fentiekhez hasonló elvek alapján írhatjuk fel:

m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 c 30 ( α 2 ) 3 +
+ [ m 1 c 12 m 2 ( c 23 + c 30 )+ m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 c 30 + + m 2 c 23 m 3 c 30 ] ( α 2 ) 2
[ m 1 ( c 12 + c 23 + c 30 )+ m 2 ( c 23 + c 30 )+ m 3 c 30 ] α 2 +1=0 .

Egyik oldalon befalazott láncszerű rendszer karakterisztikus egyenletének felírásánál az alábbi szabályok írhatók fel:

Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg.
A konstans tag értéke 1. (A rugómátrix determinánsa nem nulla.)

Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű hatványához pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványához negatív előjelű együttható tartozik.

Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő, és az állványhoz rögzítő rugó rugóállandóival együtt.

Az ( α 2 ) i ,( i=1,2,...N ) együtthatójában annyi tag szerepel ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Minden tagban i számú tömeg szerepel szorzatként (az összes tagban minden variációban), a közöttük, valamint az állvány és a szélső tömegek közötti rugóállandókkal együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a közöttük lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Ugyanez vonatkozik az állvány és a hozzá közelebbi tömeg közötti rugóállandókra.

Az α 2 -es tag együtthatója az egyes tömegek összegeként áll elő, tagonként megszorozva az állvány és a tömeg közötti rugóállandók összegével. Az előjele negatív.

A legkisebb saját körfrekvencia becslésére Dunkerley egy közelítő formulát alkotott, amit róla neveztek el. Ez arra alapoz, hogy a karakterisztikus egyenletben zérusnak vesszük az α 2 magasabb rendű hatványainak együtthatóit, csak az α 2 -ben lineáris tagot és a konstans tagot tartjuk meg. Ezzel

α 2 = 1 m 1 ( c 12 + c 23 + c 30 )+ m 2 ( c 23 + c 30 )+ m 3 c 30

összefüggést kapjuk a jobboldalon kötött rendszer esetében, míg a baloldalon kötött rendszer esetében

α 2 = 1 c 01 m 1 +( c 01 + c 12 ) m 2 +( c 01 + c 12 + c 23 ) m 3

összefüggés adja a legkisebb saját körfrekvencia ( α 2 ) alulról közelítő értékét. Dunkerley közelítő formulája természetesen érvényes más több szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek esetében is.

Amennyiben mindkét oldalon kötött a rezgőrendszer, akkor a két tömeggel bővített, nem kötött rezgőrendszerhez tartozó karakterisztikus egyenletben lévő tagok közül csak azok a tagok maradnak bent, amelyekben mindkét szélső tömeg szerepel, mivel ezen a tömegekkel végigosztjuk az egyenletet, és határátmenetet képezünk úgy, hogy e tömegek tartanak a végtelenhez. Tehát azok a tagok, amelyekben nem szerepel mindkét szélső tömeg, zérussá válnak, azokban a tagokban, amelyekben mindkét szélső tömeg szerepel, e tömegek helyébe 1 írandó.

Vizsgáljuk meg az ábrán látható, mindkét végén befalazott láncszerű longitudinális rezgőrendszert. A rezgőrendszerhez tartozó karakterisztikus egyenlet az alábbi:

c 01 m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 c 30 ( α 2 ) 3 +
+ [ c 01 m 1 c 12 m 2 ( c 23 + c 30 )+ c 01 m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 c 30 +
+ ( c 01 + c 12 ) m 2 c 23 m 3 c 30 ] ( α 2 ) 2
[ c 01 m 1 ( c 12 + c 23 + c 30 )+( c 01 + c 12 ) m 2 ( c 23 + c 30 )+
+ ( c 01 + c 12 + c 23 ) m 3 c 30 ] α 2 + ( c 01 + c 12 + c 23 + c 30 )=0 .

E karakterisztikus egyenletnél az alábbi törvényszerűségek állapíthatók meg:

Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a tömegek számával egyezik meg.

A konstans tag értéke a rugóállandók összege. (A rugómátrix determinánsa nem nulla.)

Az együtthatók előjelei alternálóan változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű hatványához pozitív, míg a páratlan kitevőjű hatványához negatív előjelű együttható tartozik.

Az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő, és az állványhoz rögzítő rugók rugóállandóival együtt.

Az ( α 2 ) i ,( i=1,2,...N ) együtthatójában annyi tag szerepel ahányféleképpen az i számú tömeg kiválogatható az összes tömegből. Minden tagban i számú tömeg szerepel szorzatként (az összes tagban minden variációban), a közöttük, valamint az állvány és a szélső tömegek közötti rugóállandókkal együtt. Ha két, nem szomszédos tömeg szorzata szerepel, akkor a közöttük lévő rugóállandók összege áll szorzatként. Ugyanez vonatkozik az állvány és a hozzá közelebbi tömeg közötti rugóállandókra.

Az α 2 -es tag együtthatója az egyes tömegek összegeként áll elő, megszorozva az állvány és a tömeg közötti rugóállandók összegével. Az előjele negatív.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldást!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenlete:
m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 4 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 3 α 2 [ m 1 + m 2 + m 3 ] =0
m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 2 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 4 =0
m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 3 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 2 [ m 1 + m 2 + m 3 ] α 2 =0
m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 4 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 3 +[ m 1 + m 2 + m 3 ] α 2 =0
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a számával egyezik meg.

3. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: van konstans tag.
4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag.

5. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az α=0 saját körfrekvenciát nulladik saját körfrekvenciának ( α 0 ) nevezzük.
6. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az α=0 saját körfrekvenciát körfrekvenciának ( α 0 ) nevezzük.

7. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az α 2 páros kitevőjű hatványaihoz negatív, míg a páratlan kitevőjű hatványaihoz pozitív előjelű együttható tartozik.
8. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az együtthatók előjelei változnak a kitevő változásával. Az α 2 páros kitevőjű hatványaihoz , míg a páratlan kitevőjű hatványaihoz előjelű együttható tartozik.

9. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szorzatként szerepel a közöttük lévő rugóállandókkal együtt.
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az α 2 legmagasabb kitevőjű hatvány együtthatójába valamennyi tömeg szerepel a közöttük lévő együtt.

11. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az α 2 -es tag együtthatója a tömegek összegeként áll elő, és előjele negatív.
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

A három szabadságfokú, nem kötött, elágazásmentes, láncszerű, szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az α 2 -es tag együtthatója a tömegek áll elő, és előjele .

13. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Egyik oldalon befalazott, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében: az α 2 legmagasabb kitevőjű hatványa a számával egyezik meg.

14. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Egyik oldalon befalazott, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag.

15. Írja be a helyes megoldást (egész számot)!

Egyik oldalon befalazott láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében a konstans tag értéke .

16. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Mindkét oldalon kötött, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag.

17. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
Mindkét oldalon kötött, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében konstans tag értéke a rugóállandók összege
18. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás?
Mindkét oldalon kötött, elágazásmentes, láncszerű szabad rezgőrendszer karakterisztikus egyenletében az α 2 -es tag együtthatója az egyes tömegek szorzataként áll elő, hozzáadva az állvány és a tömeg közötti rugóállandókat.