KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei
5.1. lecke: Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenlet-rendszer
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszeren merev testekből, tömegpontokból, és a köztük lévő súlytalan rugalmas elemekből (rugókból) felépített rendszert értünk, amely tartalmazhat még csillapításokat és gerjesztéseket is. | ||
Többszabadságfokú a rendszer, ha a rendszer mozgását egyértelműen leíró koordinátáknak a száma nagyobb egynél. | ||
Többszabadságfokú diszkrét rendszerek mozgását általános koordinátákkal írjuk le. Az általános koordináták az időnek kétszer folytonosan deriválható függvényei, amelyeknek a száma megegyezik a rendszer szabadságfokával. Vizsgáljunk egy N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszert. A rendszert leíró általános koordináták, valamint idő szerinti első és második deriváltjaik az alábbiak: | ||
az általános koordináták; | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszert diszkrét tömegpontrendszerekre vezetjük be, majd általánosítjuk arra az esetre, ha a rendszer merev testeket is tartalmaz. | ||
Legyen az n tömegpontból álló rendszer N szabadságfokú (). Az i jelű tömegpont helyvektora az általános koordináták | ||
függvénye. Az i jelű tömegpont sebessége a helyvektor idő szerinti deriváltjából | ||
alakú, amely egyszerűen átírható | ||
alakra, vagy még egyszerűbben | ||
írható. Ha a általános koordinátasebesség éppen egységnyi, a többi koordinátasebesség pedig zérus, akkor az i jelű tömegpont sebessége éppen , amely | ||
módon számítható. Az i jelű tömegpont sebességének az összefüggésből az is látszik, hogy | ||
összefüggés is érvényes. Könnyen belátható, hogy mennyiségnek a k jelű általános koordináta szerinti parciális deriváltjára igaz, hogy | ||
, | ||
illetve a mennyiségnek az idő szerinti deriváltja | ||
. | ||
Legyen az i jelű tömegpontra ható erők eredője . Írjuk fel mindegyik tömegpontra a Newton II. törvényét, amely n egyenletből áll. Ez | ||
, | ||
vagy más alakban | ||
egyenletrendszerre vezet. A fenti n egyenlet közül az első egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg -val, a másodikat -val, és így tovább az n-ediket -val, és adjuk össze az egyenleteket. Amennyiben elvégezzük ezt N-szer, értékekre is, az alábbi, N db. egyenletből álló egyenletrendszert kapjuk: | ||
. | ||
Bevezetve a , k-adik általános erőt, és az egyenlet bal oldalát átalakítva, a | ||
összefüggést kapjuk, amelyek figyelembevételével a | ||
Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszerhez jutunk, ahol a (tömegpont) rendszer kinetikai energiája. | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer alakja nem változik akkor sem, ha a rendszerben merev testek is találhatók. A rendszer kinetikai energiáját a rendszerhez tartozó merev testek, tömegpontok kinetikai energiájának az összegeként állítjuk elő. | ||
Az ilyen rendszereknél a testek nyomatékokkal is terhelhetők, ezért az általános erő összefüggésében ezek hatását is figyelembe kell venni. Hasson a rendszerre erő, melyek támadáspontjainak a sebessége , illetve a testekre nyomaték, mely testeknek a szögsebessége . A rendszerben található erők és nyomatékok csak olyanok lehetnek, hogy azok nem függnek az általános koordinátasebességektől. A rendszerben található erők és nyomatékok teljesítménye ebben az esetben | ||
összefüggéssel írható fel. A általános erőt, merev testeket is, és a fenti feltételnek megfelelő erőket és nyomatékokat is tartalmazó rendszer esetében | ||
összefüggésből számíthatjuk, ahol a j jelű merev test egységnyi koordinátasebességhez tartozó szögsebessége. | ||
Az általános erőnek ilyen módon való kiszámítása természetesen akkor is igaz, ha a rendszer nem tartalmaz merev testeket, de a rendszerben található erők illetve nyomatékok a koordinátasebességektől függetlenek. | ||
Hasonlóan a 3.7. pontban leírtakhoz többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén is az általános erő az általános koordináta, az általános koordinátasebesség és az idő függvénye a legáltalánosabb esetben. E tárgy keretein belül csak olyan rezgőrendszerekkel foglalkozunk, amelynél a k jelű általános koordinátához tartozó általános erő: | ||
módon három részből áll, amelyek közül az általános visszatérítő erő, amely csak az általános koordináták függvénye, az általános gerjesztő erő, amely csak az idő függvénye, illetve a konstans statikus általános erő, amiből a rendszer statikus egyensúlyi állapota, vagyis a rugók statikus előfeszítése határozható meg. A sorolható lenne az általános gerjesztő erőhöz, de a könnyebb kezelés, és a pontosabb tárgyalás miatt, ezt különválasztjuk. A rezgések a statikus egyensúlyi állapot körül alakulnak ki. | ||
A általános visszatérítő erő más módon is kiszámítható. Tartalmazzon a vizsgált rendszerünk K darab rugót, amelyek közül az i jelű rugónak a megnyúlása, és a rugóállandója. A rugókban felhalmozódó rugalmas energiát az egyes rugókban felhalmozott energiák összege adja: | ||
összefüggés érvényes. Ezzel a általános visszatérítő erőt negatív gradiens képzéssel a | ||
összefüggésből is számíthatjuk. | ||
Az is előfordulhat, hogy az általános erők között találunk olyanokat, amelyek az időtől nem függnek, konstans értékűek. Az ilyen esetben meghatározhatjuk a rendszer statikus állapotát. A rendszer statikus állapotának azt az állapotot tekintjük, amikor az egyensúly, az általános koordináták konstans értékei mellett teljesül. Statikus állapotban az időtől függő általános erőket zérusra választjuk, majd megoldjuk a mozgásegyenlet-rendszert csak a konstans általános erőkre és , illetve , vagyis statikus értékekre. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó hat szóval! Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszeren , , és a köztük lévő súlytalan elemekből (rugókból) felépített rendszert értünk, amely tartalmazhat még és is. ![]() | |||||||||||
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! Többszabadságfokú a rendszer, ha a rendszer mozgását egyértelműen leíró a száma . ![]() | |||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Többszabadságfokú a rendszer, ha a rendszer mozgását egyértelműen leíró koordinátáknak a száma:
![]() | |||||||||||
4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Többszabadságfokú diszkrét rendszerek mozgását általános koordinátákkal írjuk le. Az általános koordináták az időnek folytonosan deriválható függvényei, amelyeknek a száma a rendszer szabadságfokával. ![]() | |||||||||||
5. Csoportosítsa a többszabadságfokú rendszert leíró koordinátákat a jelentésükkel! Írja a jelentések melletti kisbetűt a megfelelő koordináta mellé! a) általános koordináták s) általános koordinátasebességek g) általános koordinátagyorsulások
![]() | |||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Többszabadságfokú diszkrét rendszerek esetén a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer helyes alakja: ![]() | |||||||||||
7. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén csak olyan rezgőrendszerekkel foglalkozunk, amelynél a k jelű általános koordinátához tartozó általános erő:
![]() | |||||||||||
8. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén az általános erőt meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() | |||||||||||
9. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval! Többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén a a erő amelyből, a rendszer statikus egyensúlyi állapota, vagyis a rugók határozható meg. ![]() | |||||||||||
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Többszabadságfokú rendszerek esetében foglalkozunk csillapításokkal. ![]() | |||||||||||
11. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Többszabadságfokú rendszerek esetében a rugókban felhalmozódó rugalmas energiát meghatározó összefüggés helyes alakja: ..., ahol: K rugók száma a megnyúlás a rugóállandó. ![]() | |||||||||||
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! A rugókban felhalmozódó rugalmas energiát az egyes rugókban energiák adja. ![]() | |||||||||||
13. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Az általános visszatérítő erőt képzéssel származtatjuk. ![]() | |||||||||||
14. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A általános visszatérítő erőt a következő összefüggésből is számíthatjuk: ![]() | |||||||||||
15. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A rendszer statikus állapotának azt az állapotot tekintjük, amikor az egyensúly, az általános koordináták értékei mellett teljesül. ![]() | |||||||||||
16. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! Statikus állapotban az időtől függő általános erőket zérusra választjuk, majd megoldjuk a mozgásegyenlet-rendszert csak a erőkre és , illetve , vagyis értékekre. ![]() |