KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai

6.3. lecke: Sajátfrekvenciákhoz tartozó rezgéskép láncszerű rendszereknél

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni az N szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek sajátosságát;
  • meghatározni az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszer lehetséges viselkedéseit;
  • meghatározni az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben a szomszédos tömegek pillanatnyi sebességeinek a lehetséges irányait és ezek hatását;
  • meghatározni a csomópont, virtuális csomópont fogalmát és ezek jelentését;
  • kiválasztani az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben a csomópontok minősítésének a szempontjait;
  • minősíteni a csomópontok alapján az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszer saját körfrekvenciáit;
  • felírni az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét;
  • megoldani a N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszer karakterisztikus egyenletét;
  • meghatározni a csomópontok helyét az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszereknél;
  • meghatározni a helyben maradó csomópontok hatását az N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerek vizsgálatánál;
  • meghatározni a rezgésképet;
  • meghatározni a csomópontokat kötött rezgőrendszerek esetén.
Tananyag

Az N szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek sajátossága, hogy szétesik N db egyszabadságfokú rezgőrendszerre. Ezt jól illusztrálja az 5. pontban bemutatott 5.6.5. példa. Az ott bemutatott példa maga olyan, hogy a mozgásegyenlet-rendszer esik szét két, egymástól nem függő egyszabadságfokú rezgőrendszer egyenletére.

Vizsgáljuk meg az ábrán látható N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszert.

Ha megvizsgáljuk, hogy az egyes tömegek milyen mozgást végeznek, amikor a rendszer valamely saját körfrekvenciáján rezeg, akkor megállapíthatjuk, hogy az egyes tömegek pillanatnyi sebességei lehetnek azonos irányúak, de lehetnek ellentétes irányúak is.

Amennyiben az egymással szomszédos tömegek pillanatnyi sebességeit vizsgáljuk, akkor két eset lehetséges. Az egyik esetben a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor a közöttük lévő rugó valamennyi pontjának sebessége is megegyezik e sebesség irányával és nagyságával, vagyis a rugó ebben az esetben merevtestszerűen mozdul el. Ebben az esetben nemcsak a rugó pontjainak a sebessége azonos, hanem a rugót bármelyik irányban meghosszabbítva is, azonos sebességű ponthoz jutunk. Vagyis nem találunk sem a rugón, sem annak meghosszabbításában olyan pontot, amelynek a sebessége zérus lenne.

A másik esetben a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve, nem azonosak. Ebben az estben a közöttük lévő rugó pontjainak a sebessége a tömegtől mért távolság függvényében lineárisan változik.

Ha a rugó mentén a nagyobb sebességű tömegponttól elindulunk a kisebb sebességű tömegpont felé, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rugó pontjainak a sebessége a tömegponttól mért távolsággal arányosan csökken. Ha a rugó mentén elegendő utat megteszünk, akkor elérünk egy olyan ponthoz, amely pontnak a sebessége zérus. Ezt a pontot a rugó csomópontjának (zérussebességű pontjának) nevezzük. Könnyen belátható, hogy a csomópont ráesik a rugóra, ha a szomszédos tömegek sebessége egymáshoz képest ellentétes irányú, illetve nem esik rá a rugóra, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak. Abban az esetben, ha a csomópont ráesik a rugóra, akkor valóságos csomópontról beszélünk, egyébként a csomópont virtuális.

Csomópontnak a rezgő rugó azon pontját értjük, amely rezgés közben helyben marad. A csomópont valóságos, ha a rugó valódi pontjára esik, egyébként virtuális.

A csomópontok alapján minősíthetjük a rendszer α i , ( 1i ) saját körfrekvenciáit:

Az N szabadságfokú nem kötött rezgőrendszernek mindig van N-1 számú csomópontja. Ezek közül i számú ( 1iN1 ) valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához ( α i ), i számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális.

Az N szabadságfokú, egyik oldalon kötött rezgőrendszernek N számú csomópontja van. Ezek közül i számú ( 1iN ) valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához ( α i ), i számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális.

Az N szabadságfokú, mindkét oldalon kötött rezgőrendszernek N+1 számú csomópontja van. Ezek közül i számú ( 2iN+1 ) valódi, a többi virtuális. A rendszernek i-edik saját körfrekvenciájához ( α i ), i+1 számú valódi csomópont tartozik a többi csomópont virtuális.

Abban az esetben, ha α=0 megoldása a karakterisztikus egyenletnek (nem kötött rezgőrendszerek), akkor α=0 esetén nincsen egyetlen egy csomópont sem, tehát ez a saját körfrekvencia a nulladik α 0 =0 .

Vizsgáljuk meg az ábrán látható három szabadságfokú nem kötött rezgőrendszert.

Írjuk fel a karakterisztikus egyenletet:

m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ( α 2 ) 3 +[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ( α 2 ) 2 [ m 1 + m 2 + m 3 ] α 2 =0.

A karakterisztikus egyenletnek egy megoldása α=0 . Ez a nulladik saját körfrekvencia, vagyis α 0 =0 . Keressük a nullától különböző saját körfrekvenciákat! Az egyenletet α 2 -tel végigosztva másodfokú egyenlethez jutunk, amelyben az

a= m 1 c 12 m 2 c 23 m 3 ,

b=[ m 1 c 12 m 2 + m 1 ( c 12 + c 23 ) m 3 + m 2 c 23 m 3 ] ,

c=[ m 1 + m 2 + m 3 ]

változók bevezetésével

α 1 = b b 2 4ac 2a az egyik (kisebb), és

α 2 = b+ b 2 4ac 2a a másik (nagyobbik)

saját körfrekvencia.

Amennyiben a rendszer α 1 saját körfrekvenciával rezeg, akkora a rendszer úgy mozog, hogy csak az egyik rugón van valóságos csomópont, a másikon virtuális a csomópont. Ha a rendszer α 2 saját körfrekvenciával rezeg, akkora a rendszer úgy mozog, hogy mindkét rugón valóságos csomópont található.

A csomópontok helye is meghatározható, hiszen a csomópontok a rezgés során helyben maradnak, ezért úgy viselkednek, mintha a rugó ott meg lenne fogva, vagyis a csomópontok helyére befalazást tehetünk. Ezzel a fenti, három szabadságfokú rezgőrendszer három egyszabadságfokú rezgőrendszerre esik szét az ábrán látható szemléltetés szerint.

Az egyes rugókra vonatkozóan fennállnak a c 12 = c 12 + c 12 , illetve c 23 = c 23 + c 23 összefüggések.

A fentiek, és az egyszabadságfokú rezgőrendszereknél leírtak alapján könnyen meghatározhatjuk a csomópontokat. A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszer esetén

α 2 = 1 m 1 c 12 írható, amiből c 12 = 1 m 1 α 2 számítható.

Mivel c 12 = c 12 + c 12 , így c 12 = c 12 c 12 számítható. Ezután a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer esetén α 2 =( 1 c 12 + 1 c 23 ) 1 m 1 = c 12 + c 23 m 1 c 12 c 23 írható, amiből c 23 = c 12 m 1 α 2 c 12 1 számítható.

Miután c 23 = c 23 + c 23 , így c 23 = c 23 c 23 számítható. Ezzel a jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszer ellenőrzésre használható. Igaznak kell lennie az α 2 = 1 m 3 c 23 egyenlőségnek.

Abban az esetben, ha a c 12 vagy a c 12 közül az egyik negatív (itt csak c 12 lehet negatív), akkor a c 12 rugón a csomópont virtuális. Abban az esetben, ha a c 23 vagy a c 23 közül az egyik negatív (itt csak c 23 lehet negatív), akkor a c 23 rugón a csomópont virtuális.

A csomópontok szemléltethetők is. Vizsgáljunk meg egy lehetséges rezgésképet az α 1 saját körfrekvencia esetén. Tételezzük fel, hogy a baloldali rugón valódi, a jobboldali rugón virtuális csomópont van. Az alábbi ábra szemlélteti a rezgésképet. A rajzhoz rugóléptéket kell felvenni. Az m 1 és m 2 tömegeket c 12 , az m 2 és m 3 tömegeket c 23 távolságra rajzoljuk fel.

Hasonlóan berajzoljuk csomópontokat is. A c 12 rugón a K 12 csomópont az m 1 tömegtől c 12 , az m 2 tömegtől c 12 távolságra van. Ez valóságos csomópont. A c 23 rugón a K 23 csomópont az m 2 tömegtől c 23 ( c 23 előjele negatív), az m 3 tömegtől c 23 távolságra van. Ez virtuális csomópont. Az 1 és 2 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában az ábrán látható arányos háromszögekből látszik, hogy

q 11 c 12 = q 21 c 12

Hasonlóan a 2 és 3 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában q 21 c 23 = q 31 c 23 írható.

A fenti összefüggésekből q 21 = c 12 c 12 q 11 , illetve q 31 = c 23 c 23 c 12 c 12 q 11 .

Nem szabad elfelejteni, hogy az összefüggésekben c 23 előjele negatív.

A kezdeti értékek megadása tehát nem lehet tetszőleges, ha a rezgés frekvenciája rögzített. Ebben az esetben csak az egyik tömeg elmozdulása és sebessége adható meg, a többi kiadódik.

Vizsgáljunk meg egy lehetséges rezgésképet az α 2 saját körfrekvencia esetén is. Ebben az esetben mindkét rugón valódi csomópont van. Az alábbi ábra szemlélteti a rezgésképet. A rajzhoz rugóléptéket kell felvenni. Az m 1 és m 2 tömegeket c 12 , az m 2 és m 3 tömegeket c 23 távolságra rajzoljuk fel.

Hasonlóan berajzoljuk csomópontokat is. A c 12 rugón a K 12 csomópont az m 1 tömegtől c 12 , az m 2 tömegtől c 12 távolságra van. Ez valóságos csomópont. A c 23 rugón a K 23 csomópont az m 2 tömegtől c 23 , az m 3 tömegtől c 23 távolságra van. Ez is valóságos csomópont. Az 1 és 2 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában az ábrán látható arányos háromszögekből látszik, hogy q 12 c 12 = q 22 c 12 .

Hasonlóan a 2 és 3 jelű tömegek amplitúdóinak viszonyában q 22 c 23 = q 32 c 23 írható.

A fenti összefüggésekből q 22 = c 12 c 12 q 12 , illetve q 32 = c 23 c 23 c 12 c 12 q 12 .

Nem szabad elfelejteni, hogy az összefüggésekben valamennyi rugóállandó előjele pozitív.

Mindkét esetre igaz, hogy a homogén mozgásegyenlet-rendszer megoldásában szereplő q ¯ ¯ 0i oszlopmátrix

[ q ¯ ¯ 0i ]=[ 1 c 12 c 12 c 23 c 23 c 12 c 12 ],( i=1,2 )

alakban írható fel. Az összefüggésben szereplő, a két saját körfrekvenciához tartozó c 12 , c 12 , c 23 , c 23 mennyiségek, a saját körfrekvenciától függően más és más értékre adódnak. Ezt, az így is bonyolult indexelés miatt, már külön nem indexeltük.

Hasonlóan járunk el az N szabadságfokú nem kötött rendszer esetén is. A rezgőrendszer itt is szétesik N db. egyszabadságfokú rezgőrendszerre. Az alábbi ábra szemlélteti ennek a modelljét.

A vesszős és kétvesszős rugóállandók meghatározása itt is hasonlóan történik, mint azt a három szabadságfokú rendszer esetén bemutattuk. A rezgőrendszer egyik végéről elindulunk, és megyünk tömegről tömegre a vesszős és kétvesszős rugóállandók, ezzel a csomópontok meghatározásában.

Ugyanígy járunk el a kötött rezgőrendszerek esetében is. Kötött rezgőrendszer esetében az egyik oldalon kötött rendszer esetében egy rugónak, mindkét oldalon kötött rendszer esetében két rugónak ismert a csomópontja. Ez/ezek a rugó/rugók az/azok, amely/amelyek a rezgőrendszert az állványhoz köti/kötik. Ez/ezek a csomópont/csomópontok független/függetlenek attól, hogy a rezgőrendszer melyik saját körfrekvencián rezeg. Az első saját körfrekvencián az állványhoz kötött rugón/rugókon kívül nincs valóságos csomópont egyik közbülső rugón sem. A második saját körfrekvencián csak egyik közbülső rugónak van valóságos csomópontja. És így tovább az i-edik saját körfrekvencián i-1 közbülső rugónak van valódi csomópontja. A számítási eljárás megegyezik a nem kötött rendszerre vonatkozó eljárással.

A csomópontok keresésénél előfordulhat, hogy valamelyik csomópont a rugó szélére esik. Ez azt jelenti, hogy ezen a frekvencián annak a tömegnek a rezgési amplitúdója zérussá válik, amelyik tömeg egybeesik a rugó csomópontjával. Sőt, mivel a tömeg elmozdulása zérus, annak a rugónak is ide esik a csomópontja, amelyik rugó a tömeg másik oldalán van. Ebben az esetben két rugón is található csomópont, de ez nem két csomópont, hanem csak egy, mivel a két csomópont egybeesik.

Az ilyen egybeeső csomópontokat hangolásra is felhasználhatjuk. Minden frekvenciához találhatók olyan rugó- és tömegparaméterek, amelyeknél egy kiválasztott tömegnek az elmozdulása zérusértékűvé válik. Ez felhasználható rezgésszigetelésre, ha egy munkaasztalt meg akarunk védeni egy bizonyos frekvenciájú rezgéstől, akkor olyan rezgőrendszert kell kiépíteni, amely ezt biztosítja. A kidolgozott példák között találunk ilyen megoldott feladatot is. Az egybeeső csomópontoknál a rugó menti sebességnövekmény a két rugónál megegyezik, vagyis a két rugót sebesség és elmozdulás szempontjából úgy kell tekinteni, mintha az egyetlen rugó lenne, amelynek a zérus elmozdulású pontja éppen a közöttük lévő tömegre esik.

Csomópontok keresésénél előfordul, hogy egy rugónak a csomópontja végtelen távol kerül a rugó mindkét végétől. Ez azt jelenti, hogy a rugó valamennyi pontja azonos sebességgel mozog. Ilyenkor azon tömegeknek, amely tömegek a rugó két végén található, azonos a kitérése. Ilyen rugó bármelyik rezgésképnél előfordulhat, ha nem a legmagasabb saját körfrekvenciához tartozó rezgésképről van szó.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Az N szabadságfokú láncszerű rezgőrendszerek sajátossága, hogy N db rezgőrendszerre.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó öt szóval!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, amikor a rendszer valamely saját körfrekvenciáján , akkor megállapíthatjuk, hogy az egyes pillanatnyi lehetnek azonos , de lehetnek ellentétes is.

3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor a közöttük lévő rugó valamennyi pontjának sebessége is e sebesség és , vagyis a rugó ebben az esetben mozdul el.

4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei azonos irányúak és azonos nagyságúak, akkor nem találunk sem a , sem annak olyan pontot, amelynek a sebessége lenne.

5. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, akkor a közöttük lévő rugó pontjainak a sebessége a mért függvényében .

6. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak és a rugó mentén a nagyobb sebességű tömegponttól elindulunk a kisebb sebességű tömegpont felé, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rugó pontjainak a sebessége a való arányosan .

7. Válassza ki a helyes megoldást!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, akkor:
létezik egy olyan pont, amelynek a sebessége zérus
nem létezik egy olyan pont, amelynek a sebessége zérus
mindig több olyan pont létezik, amelynek a sebessége zérus

8. Válassza ki a helyes megoldást!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ha a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, akkor elérünk egy olyan ponthoz, amely pontnak a sebessége zérus. Ezt pontot:
a rugó osztópontjának nevezzük
a rugó csomópontjának nevezzük
a rugó középpontjának nevezzük
a rugó főpontjának nevezzük

9. Válassza ki a helyes megoldást!

N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ahol a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, ottha a szomszédos tömegek sebessége egymáshoz képest ellentétes irányú:
akkor a csomópont ráeshet a rugóra
akkor a csomópont nem eshet rá a rugóra
akkor a csomópont mindig rá esik a rugóra
10. Döntse le, hogy igaz vagy hamis az állítás!
N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ahol a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, ha csomópont ráesik a rugóra, akkor valóságos csomópontról beszélhetünk.
11. Döntse le, hogy igaz vagy hamis az állítás!
N szabadságfokú nem kötött longitudinális rezgőrendszerben, ahol a szomszédos tömegek sebességei vagy az irányt, vagy a nagyságot tekintve nem azonosak, ha csomópont ráesik a rugóra, akkor virtuális csomópontról beszélhetünk.