KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: II. modul: Matematikai alapok

2.4. lecke: Mátrixalgebrai összefoglaló

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a mátrix, az oszlopmátrix, a sormátrix, az egységmátrix, a szimmetrikus mátrix és a ferdeszimmetrikus mátrix fogalmakat;
  • jelölésük vagy példa alapján kiválasztani oszlopmátrixot, sormátrixot, egységmátrixot, szimmetrikus mátrixot és ferdeszimmetrikus mátrixot;
  • megadott mátrixokkal mátrixműveleteket (transzponálás, összeadás, kivonás, szorzás) elvégezni;
  • meghatározni, értelmezni és kiszámítani a mátrix adjungáltját, determinánsát, inverzét.
Tananyag

a) Mátrix értelmezése, jelölése:

Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza.

Mátrix jelölése: [ A ¯ ¯ ]=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ] .

[ A ¯ ¯ ]=[ a ij ] , (i=1, 2, ... n), (j=1, 2, ... m).

A mátrixokat kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl. A ¯ ¯ , a ¯ ¯ és a 13 , a 2 stb.

Az a 13 mátrixelem az A ¯ ¯ mátrix első sorában és harmadik oszlopában van.

Mátrix mérete: Például a fenti 2x3-as méretű [ A ¯ ¯ ] mátrixnak két, vagy n sora és három, vagy m oszlopa van.

Az a 13 mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három.

Oszlopmátrix: [ a ¯ ¯ ]=[ a 1 a 2 a 3 ] , sormátrix: [ a ¯ ¯ T ]=[ a 1 a 2 a 3 ] .

Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van.

A sormátrix ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltja. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli.

A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják (pl.: ( a 11 ,a , 22 ... a nn ) . A következő ábrán egy 3x3-as mátrix főátlóját piros színnel jelöltük.

b) Mátrixműveletek:

A műveleteket (2×2) -es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be.

  • Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra): [ A ¯ ¯ ]= [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) [ A ¯ ¯ T ]= [ a 11 a 21 a 12 a 22 ] (2×2) .
    A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében).
    A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig oszlopmátrixot hoz létre.
    Az A ¯ ¯ T jelölés kiejtése (kiolvasása): á transzponált.
Gyakorló feladat

Adott: A ¯ ¯ =[ 24 73 ] , B ¯ ¯ =[ 124 63 ]

Feladat: Az A ¯ ¯ T és B ¯ ¯ T transzponált mátrixok meghatározása.

Kidolgozás: Az A ¯ ¯ T és B ¯ ¯ T transzponált mátrixok meghatározása: A ¯ ¯ T =[ 27 43 ] , B ¯ ¯ T =[ 126 43 ] .

  • Mátrixok összeadása, kivonása:
    Csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, vonhatók ki egymásból. Az összeadás (kivonás) során az azonos indexű elemeket adjuk össze (vonjuk ki egymásból).
    A ¯ ¯ ± B ¯ ¯ = C ¯ ¯ ,
    [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) ± [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] (2×2) = [ ( a 11 ± b 11 ) ( a 12 ± b 12 ) ( a 21 ± b 21 ) ( a 22 ± b 22 ) ] (2×2) = [ c 11 c 12 c 21 c 22 ] (2×2) .
Gyakorló feladat

Adott: A ¯ ¯ =[ 24 73 ] , B ¯ ¯ =[ 124 63 ]

Feladat: Az A ¯ ¯ + B ¯ ¯ összegmátrix és az A ¯ ¯ B ¯ ¯ különbségmátrix meghatározása.

Kidolgozás: Az A ¯ ¯ + B ¯ ¯ összegmátrix és az A ¯ ¯ B ¯ ¯ különbségmátrix meghatározása:

A ¯ ¯ + B ¯ ¯ =[ 24 73 ]+[ 124 63 ]=[ 100 16 ],

A ¯ ¯ B ¯ ¯ =[ 24 73 ][ 124 63 ]=[ 148 130 ].

  • Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció):
    Csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával.
    A ¯ ¯ B ¯ ¯ = C ¯ ¯ ,
    [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] (2×2) = [ ( a 11 b 11 + a 12 b 21 ) ( a 11 b 12 + a 12 b 22 ) ( a 21 b 11 + a 22 b 21 ) ( a 21 b 12 + a 22 b 22 ) ] (2×2) .

A fenti ábra a szorzás logikáját két 2x2-es mátrix bemutatásával szemlélteti. Az első mátrix az eredményelem sor-, a második mátrix az eredményelem oszlop-koordinátáit határozza meg. A szorzás algoritmusából következik a korábban leírt szabály is (csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával).

Gondolja végig, miért csak ilyen mátrixok szorozhatók össze!

Két 2×2-es mátrix összeszorzásának lépésit szemlélteti a következő ábra. A sárga elemeket a világoskék, a narancssárga elemeket a sötétkék elemekkel szorozzuk össze, majd az eredményeket összegezzük. Látható, hogy az eredmény helyét az első mátrix sor koordinátája és a második mátrix oszlop koordinátája határozza meg.

A ¯ ¯ b ¯ ¯ = c ¯ ¯ ,

[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) [ b 1 b 2 ] (2×1) = [ ( a 11 b 1 + a 12 b 2 ) ( a 21 b 1 + a 22 b 2 ) ] (2×1) = [ c 1 c 2 ] (2×1) .

a ¯ ¯ T B ¯ ¯ = d ¯ ¯ T ,

[ a 1 a 2 ] (1×2) [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] (2×2) = [ ( a 1 b 11 + a 2 b 21 ) ( a 1 b 12 + a 2 b 22 ) ] (1×2) = [ d 1 d 2 ] (1×2) .

Gyakorló feladat

Adott: A ¯ ¯ =[ 24 73 ] , B ¯ ¯ =[ 124 63 ] .

Feladat: Az A ¯ ¯ B ¯ ¯ szorzatmátrix meghatározása.

A ¯ ¯ B ¯ ¯ =[ 24 73 ][ 124 63 ]=[ 2(12)+(4)(6)24+(4)3 7(12)+3(6)74+33 ]=[ 484 10237 ]

c) Különleges mátrixok:

  • Egységmátrix: E ¯ ¯ =[ 1 0 0 1 ] . Tulajdonsága: E ¯ ¯ A ¯ ¯ = A ¯ ¯ E ¯ ¯ = A ¯ ¯ .
    Az egységmátrix a főátlójában 1-es koordinátákat, a főátlóján kívül 0 elemeket tartalmaz.
    Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. Az alábbi példa ezt szemléltei.
    [ 1 0 0 1 ][ 2 1 3 4 ]=[ { 12+03 } { 1(1)+04 } { 02+13 } { 0( 1 )+14 } ]=[ 2 1 3 4 ]
  • Szimmetrikus mátrix: A ¯ ¯ T = A ¯ ¯
    A mátrix elemei megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel.
    Például [ A ¯ ¯ ]=[ 12 29 ] szimmetrikus mátrix.
  • Ferdeszimmetrikus mátrix: A ¯ ¯ T = A ¯ ¯ .
    A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből az következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek.
    Például [ A ¯ ¯ ]=[ 03 30 ] ferdeszimmetrikus mátrix.

d) Mátrix adjungáltja, determinánsa, inverze:

  • Adjungált mátrix: a mátrix elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsokból képezett mátrix.
    Jelölése: adj a ij = A ij .
  • Mátrix determinánsa: a mátrix elemeiből megadott "kifejtési" szabály szerint előállított skalár szám.
    det| a ij |=det| A ¯ ¯ |=| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |= a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 =
    = a 11 | a 22 a 23 a 32 a 33 |+ a 12 { | a 21 a 13 a 31 a 33 | }+ a 13 | a 21 a 22 a 31 a 32 |=
    = a 11 ( a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 ( a 21 a 33 a 13 a 31 )+ a 13 ( a 21 a 32 a 22 a 31 ) .
  • Inverz mátrix (reciprok mátrix): A ¯ ¯ A ¯ ¯ 1 = A ¯ ¯ 1 A ¯ ¯ = E ¯ ¯ .
    Az A ¯ ¯ 1 mátrix az A ¯ ¯ mátrix inverze, vagy reciproka.
    Csak négyzetes mátrixnak létezik inverze (reciproka) abban az esetben, ha az A ¯ ¯ mátrix elemeiből képezett determináns nem nulla.
    Az inverz mátrix kiszámítása: A ¯ ¯ 1 = adj A ¯ ¯ det| A ¯ ¯ | .
Gyakorló feladat

Adott: A ¯ ¯ =[ 212 331 221 ] .

Feladat: Az A ¯ ¯ mátrix inverzének meghatározása.

Kidolgozás:

  • A mátrix determinánsa: det| A ¯ ¯ |=2(32)1(3+2)+2(6+6)=15 .
  • Az adjungált mátrix elemei:
    adj a 11 =32=5 , adj a 12 =(3+2)=1 , adj a 13 =6+6=12 ,
    adj a 21 =(1+4)=5 , adj a 22 =2+4=2 , adj a 23 =(4+2)=6 ,
    adj a 31 =16=5 , adj a 32 =(26)=4 , adj a 33 =63=3 .
  • Az adjungált mátrix: adj A ¯ ¯ =[ 5112 526 543 ] .
  • Az inverz (reciprok) mátrix: A ¯ ¯ 1 = adj A ¯ ¯ det| A ¯ ¯ | = 1 15 [ 555 124 1263 ]
  • Ellenőrzés: A ¯ ¯ A ¯ ¯ 1 =[ 212 331 221 ] 1 15 [ 555 124 1263 ]= 1 15 [ 1500 0150 0015 ]= E ¯ ¯ .