KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: II. modul: Matematikai alapok

2.6. lecke: Vektorok skaláris szorzata

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • megadott vektorok skaláris szorzatát mátrixszorzással előállítani.

Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Mechanika - Statika kurzus:
2.1 Trigonometria (sin, cos függvények);
2.2 Vektorműveletek (vektor, egységvektor, skaláris szorzás, műveletek egységvektorokkal és ezek tulajdonságai) leckéit.

Tananyag

Vektorok skaláris szorzata:

A skaláris szorzás értelmezése: a b =| a || b |cosα .

( α a vektorok között bezárt szög, απ .)

Az a b művelet kiolvasása: á skalárisan szorozva bével, vagy á skalár bé.

A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: a b =[ a x a y a z ][ b x b y b z ]= a x b x + a y b y + a z b z .

Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el.

Megjegyzés: Az azonos indexű koordinátákat szorozzuk össze.

A skaláris szorzás eredménye egy skaláris mennyiség (előjeles szám).

Ha a b =0akkor a b , mert a b =| a || b |cosα , akkor nulla, ha α= 90 o és a 0és b 0 .

Megjegyzés: lásd Mechanika - Statika kurzus, Vektorműveletek lecke.

Gyakorló feladat

Adott: a =( 4 i +6 j k ) m, b =( 3 i + j k ) m,

Mértékegység: m - méter.

Feladat: Az a b szorzat meghatározása.

Kidolgozás:

Az a b szorzat meghatározása: a b =[ 461 ][ 3 1 1 ]=4(3)+61+(1)(1)=5 m 2

Gyakorló feladat

Vektor adott iránnyal párhuzamos összetevőjének meghatározása

Adott: b =(20 i +40 j 30 k ) m, e a =(0,8 j 0,6 k ) .

Feladat: A b vektor e a egységvektorral párhuzamos b összetevőjének meghatározása.

Kidolgozás: A b párhuzamos összetevő meghatározása:

b =( e a b ) e a =( [ 00,80,6 ][ 20 40 30 ] ) e a =(32+18) e a =50 e a

b =50 e a =50(0,8 j 0,6 k )=(40j30 k ) m.