KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei
5.5. lecke: Hajtómű tengelyek hajlító rezgései
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Vizsgáljuk meg egy hajtómű tengelyét, amelyen két fogaskerék van. A fogaskerekek a baloldali csapágytól és távolságra találhatók. A fogaskereket az egyszerűség kedvéért először tömegpontoknak tekintjük. A tengelyt rugalmasnak, de súlytalannak tételezzük fel. | ||
Feladat: a rendszer mozgásegyenlet-rendszerének a felírása hajlító rezgések esetén. Hajlító rezgéseknél a rúdra merőleges elmozdulások jönnek létre. A rezgések során a rúd hosszváltozásának hatásától eltekintünk, így az egyes tömegek, csak függőleges egyenes mentén mozognak. | ||
A mozgásegyenlet-rendszer felírásánál másként járunk el ebben az esetben, mint azt tettük longitudinális, vagy torziós rezgések esetében. A megoldáshoz a Mechanika-Szilárdságtan c. tantárgyban tanult ismereteken túl Newton II. törvényét használjuk fel. A fenti második ábra a tengely megváltozott alakját szemlélteti. Az ábrán a tömegeket leválasztottuk a rúdról, és külön vizsgáljuk azokat az erőket, amelyek a rúdról az egyes tömegekre, illetve azokat, amelyek az egyes tömegekről a rúdra adódnak át. | ||
Az 1 jelű tömegről a rúdra erő, a rúdról az 1 jelű tömegre erő hat. Az 1 jelű tömeg elmozdulása , gyorsulása . Hasonlóan a 2 jelű tömegről a rúdra erő, a rúdról a 2 jelű tömegre erő hat. A 2 jelű tömeg elmozdulása , gyorsulása . | ||
Az egyes tömegekre felírva Newton II. törvényét | ||
, illetve | ||
egyenleteket kapjuk. A tengely alakváltozását az és erők hozzák létre. A rúdnak az elmozdulása az 1 jelű tömegnél | ||
, | ||
illetve az elmozdulása a 2 jelű tömegnél | ||
összefüggéssel írható le, ahol a rúd elmozdulása egységnyi erő, a rúd elmozdulása egységnyi erő hatására. Hasonlóan az egységnyi erőből számolt elmozdulás, pedig az egységnyi erőből számolt elmozdulás. | ||
A fenti egyenletekből az erőket behelyettesítve és átrendezve | ||
lineáris, közönséges, másodrendű, hiányos, homogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. Ez a differenciálegyenlet-rendszer a mozgásegyenlet-rendszer. A , , és mennyiségek a Maxwell-féle hatásszámok, amelyekre a szimmetria jellemző, vagyis | ||
. | ||
A mozgásegyenlet-rendszer ebben az esetben is felírható | ||
alakban, ahol | ||
a módosított tömegmátrix, illetve | ||
az egységmátrix. A módosított tömegmátrix felírható a Maxwell-féle hatásszámokból alkotott mátrix és a láncszerű rendszereknél megszokott tömegmátrix | ||
szorzataként, ahol , illetve . | ||
A Maxwell-féle hatásszámok szilárdságtani módszerekkel határozhatók meg. Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható szilárdságtani modellt. A hajlító nyomaték alakban írható fel, ahol az egységnyi erőből számolt, az egységnyi erőből számolt hajlító nyomatéki függvény, amelyek az ábrán ugyancsak fel vannak tüntetve. Az , a z tengelyre számolt másodrendű nyomaték, és az E rugalmassági modulus figyelembevételével a tengelyben felhalmozott rugalmas energia: | ||
. | ||
Az elmozdulások számítására alkalmazva a Castigliano tételt: | ||
Összehasonlítva az elmozdulásra felírt | ||
egyenleteket, a Maxwell-féle hatásszámok | ||
, , és . | ||
A továbbiakban vizsgáljuk a hajtómű tengelyt úgy, hogy az egyes fogaskerekeket, mint tárcsákat figyelembe vesszük. Az alábbi ábra ezt a modellt szemlélteti. Az ábrán a fogaskerekek, a rúdra ékelt merev tárcsákként vannak figyelembe véve. | ||
Ebben az esetben az bonyolítja a vizsgálatot, hogy a fogaskerekek nemcsak elmozdulhatnak, hanem a tengely körül el is fordulhatnak. Ez azt jelenti, hogy a mozgás négy koordinátával, az és koordinátákkal írható le. | ||
Az ábra ezt a mozgást szemlélteti azokkal a nyomatékokkal együtt, amelyek hatását az első modellhez képest még figyelembe kell venni. A tárcsák szögelfordulása megegyezik a rúd adott keresztmetszetének a szögelfordulásával, míg a súlypontjuknak az elmozdulása a rúd elmozdulásával egyezik meg. | ||
Alkalmazva az impulzus és perdület tételt, egyrészről | ||
, , , illetve | ||
írható, míg az elmozdulásokra, szögelfordulásokra | ||
, | ||
, | ||
, | ||
egyenletek érvényesek. Bevezetve a | ||
Maxwell-féle hatásszámokból képzett mátrixot, és az általános koordinátákból képzett | ||
általánosított elmozdulás vektort, illetve a rúdra ható erő- és nyomatékkoordinátákból képzett | ||
általánosított erőoszlop-mátrixot, írható. | ||
Az impulzus és perdület tételt felírva, majd a fenti mátrixokat helyettesítve és átrendezve, | ||
lineáris, közönséges, másodrendű, hiányos, homogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. A differenciálegyenlet-rendszer átírható | ||
mátrixalakba is. Az módosított tömegmátrix itt is felírható | ||
alakban, ahol | ||
a láncszerű rendszereknél megszokott tömegmátrix. Az egységmátrix: | ||
. | ||
A Maxwell-féle hatásszámok meghatározásához írjuk fel a rúdra vonatkozóan a hajlító nyomatékot | ||
alakba. Az ábrán az és , egységnyi és nyomatékokhoz tartozó nyomatéki ábrákat megrajzoltuk. (Az és nyomatéki ábrákat már az előző példánál meghatároztuk.) | ||
Írjuk fel a rugalmas energiát: | ||
. | ||
Alkalmazva a Castigliano tételt az elmozdulásokra, szögelfordulásokra: | ||
Ezzel felírható a Maxwell-féle hatásmátrix: | ||
. | ||
A Maxwell-féle hatásmátrixban az integrál természetesen mátrixelemenként elvégzendő. Az összefüggésből látszik, hogy a Maxwell-féle hatásmátrix szimmetrikus. | ||
A Maxwell-féle hatásmátrix determinánsa nem nulla, így meghatározható a inverze. Egy mátrix inverzével, ha beszorozzuk a mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk: . Ha az egyenletrendszert balról mátrixszal beszorozzuk, akkor | ||
egyenlethez jutunk, ahol a Maxwell mátrix inverze a rendszer rugómátrixa: | ||
. | ||
Ezzel ezt a problémát is | ||
egyenletre vezettük vissza. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! A hajtómű tengelyek hajlító rezgéseit két fogaskerék esetén leíró differenciálegyenlet-rendszer: , közönséges, , hiányos, . ![]() | |||||||||||
2. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a mozgásegyenlet-rendszerrel mátrix alakja: ![]() | |||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Az általánosított elmozdulás vektor helyes alakja (hajtómű tengelyek hajlító rezgései, két fogaskerék esetén): ![]() | |||||||||||
4. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Az általánosított erőoszlop-mátrix helyes alakja (hajtómű tengelyek hajlító rezgései, két fogaskerék esetén): ![]() | |||||||||||
5. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás!
![]() | |||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a mozgásegyenlet helyes alakja: ![]() |