KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása

4.5. lecke: A csillapított szabad rendszer rezgései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • értelmezni a csillapított és szabad (rezgőrendszer) fogalmakat;
  • kiválasztani a csillapított szabad rezgőrendszer helyettesítő modelljét;
  • kiválasztani a csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenletét;
  • kiválasztani a csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenletében szereplő változók jelentését;
  • kiválasztani a csillapított szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldását;
  • kiválasztani a csillapított szabad rezgőrendszer általános megoldásában szereplő változók megnevezését;
  • kiválasztani a csillapított szabad rezgések esetén a csillapítás mértékének a hatásait és az ezekhez kapcsolódó összefüggéseket;
  • meghatározni a logaritmikus dekrementum jelentését;
  • kiválasztani a logaritmikus dekrementumot meghatározó összefüggést;
  • meghatározni csillapított szabad rezgőrendszer esetén a rezgőrendszer körfrekvenciáját;
  • eldönteni, hogy csillapított szabad rezgőrendszer esetén mikor alakul ki rezgés;
  • előállítani csillapított szabad rezgőrendszer esetén a mozgásegyenlet megoldását;
  • meghatározni csillapított szabad rezgőrendszer esetén a logaritmikus dekrementumot;
  • meghatározni csillapított szabad rezgőrendszer esetén a kitérés és a sebesség közötti fázisszöget.
Tananyag

Csillapított: a rezgőrendszerben van csillapító elem.

Szabad: a rezgőrendszerben nincs gerjesztés.

A csillapított szabad rezgőrendszer helyettesítő modellje:

Q g (t)0 .

A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete: m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z=0 vagy z ¨ +2β z ˙ + α 2 z=0 ,

ahol 2β= k r m r és α 2 = 1 m r c r .

β - a rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség,
α - a csillapítatlan szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája.

A mozgásegyenlet általános megoldása: z(t)=A e βt e iνt =(a+ib) e (β+iν)t , ahol

A=a+ib - komplex állandó,
ν= α 2 β 2 - a csillapított szabad rezgőrendszer körfrekvenciája.

Csillapított szabad rezgések esetén a csillapítás mértékétől függően három eset léphet fel:

a) Rezgések alakulnak ki, ha α > β azaz, ha ν valós mennyiség.

Ekkor az általános megoldás: z(t)=A e (β+iν)t =A e βt e iνt = (a+ib) e βt komplex amplitúdó e iνt νszögsebességgel forgóegységvektor .

A komplex sebességvektor: z ˙ (t)=(a+ib)(β+iν) e (β+iν)t .

Kezdeti feltételek:

q(t=0)= q 0 = y 0 =Im[ z(t=0) ]=bb= y 0 ,

q ˙ (t=0)= q ˙ 0 = v 0 =Im[ z ˙ (t=0) ]=bβ+aνa= v 0 ν + q 0 β ν .

Tehát a komplex megoldás: z(t)=( v 0 ν + q 0 β ν +i q 0 ) e βt e iνt .

A komplex sebességvektor: z ˙ (t)=A (β+iν) D e (β+iν)t =Dz(t) , D=β+iν komplex szám.

D=β+iν= D 0 skalár e i( π 2 +ϑ ) ,

D= β 2 + ν 2 D 0 e i( π 2 +ϑ ) ,

tgϑ= β ν .

ϑ a csillapítás mértékét jellemző szög.

z ˙ (t)=Dz(t)= D 0 z(t) e i( π 2 +ϑ ) .

A z(t) és z ˙ (t) komplex vektorok ( π 2 +ϑ ) szöget zárnak be egymással. (Az összefüggésből látható, hogy z-ből a z ˙ az óramutató járásával ellentétes irányú, ( 90 o +ϑ) nagyságú elforgatással kapható.)

A z(t) komplex elmozdulás vektor az xq komplex síkon logaritmikus spirálist ír le.

A= a 2 + b 2 .

A legnagyobb kitérést nem a képzetes tengelyen kapjuk, hanem előtte ϑ szöggel.

A csillapítás mértéke: logaritmikus dekrementum.

Vizsgájuk meg, hogy egy (tetszőleges) periódus alatt mennyit csökken a kitérés (elmozdulás).

Állítsuk elő a periódus kezdetén és a periódus végén fellépő kitérés hányadosát: z(t) z(t+T)

Átalakítás: z(t) z(t+T) = A e βt e iνt A e β(t+T) e iν(t+T) = 1 e βT e iνT = e βT e iνT

A periódus idő (rezgésidő): ν= 2π T T= 2π ν .

Ezt behelyettesítve a hányadosba: z(t) z(t+T) = e βT e iνT = e β 2π ν e iν 2π ν = e β 2π ν e i2π =1 = e β 2π ν .

Az ábra hasonló háromszögeiből: q 1 q 2 = q(t) q(t+T) = | z(t) | | z(t+T) | =| z(t) z(t+T) |= e 2π β ν .

Logaritmikus dekrementum: Λ=ln q 1 q 2 =ln( e 2π β ν )=2π β ν .

A rezgőrendszer csillapítására jellemző mennyiség.

b) Nem alakulnak ki rezgések, ha α = β azaz, ha ν=0 .

Ekkor az általános megoldást z(t)=A e iλt alakban keressük.

A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ 1 = λ 2 =iβ .

A matemetikából tanultak alapján az általános megoldás: z(t)=(A+Ct) e βt , ahol A és C kezdeti feltételekből meghatározható állandók.

A megoldás ebben az esetben aperiodikus (nem periodikus) mozgást ír le.

lim q q=0 a mozgás "lecseng" (a kitérések nullához tartanak).

c) Nem alakulnak ki rezgések, ha α < β azaz, ha ν képzetes.

Ekkor az általános megoldást z(t)=A e iλt alakban keressük.

A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ 1,2 =iβ±i β 2 α 2 μ =i(β± μ valós szám ) .

Az általános megoldás: z(t)= A 1 e (β+μ)t + A 2 e (βμ)t , ahol:

  • Az A 1 komplex állandó a q(t) kitérés függvény kezdeti feltételeiből meghatározható meg.
  • Az A 2 komplex állandó az x(t) függvény kezdeti feltételeiből meghatározható meg, ezért a megoldás második tagját elhagyjuk: z(t)= A 1 e (β+μ)t .

A megoldás ebben az esetben is aperiodikus (nem periodikus) mozgást ír le.

lim q q=0 a mozgás "lecseng" (a kitérések nullához tartanak).

Gyakorló feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer

Adott:

m 0 =20 kg,
c 0 =2 10 2 mm/N,
k 0 =1600 Ns/m,
y 0 =3 mm,
v 0 =0,18 m/s.

Feladat:

a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása.
b) Kialakul-e rezgés?
c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása.
d) A logaritmikus dekrementum meghatározása.
e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása:

α 2 = 1 m 0 c 0 = 1 2 10 5 20 = 10 4 4 =2500 rad 2 s 2 ,

α= 2500 =50rad/s ,

β= k 0 2 m 0 = 1600 220 =40 Ns mkg =40 1 s ,

ν= α 2 β 2 = 25001600 =30 rad/s.

ν=2π f ν f ν = ν 2π = 30 6,283 4,77Hz .

ν= 2π T ν T ν = 2π ν = 1 f ν = 6,283 30 0,209s .

b) Kialakul-e rezgés?

α>β , ezért kialakul rezgés.

c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása:

z(t)=(a+ib) e (β+iν)t , z ˙ (t)=iα(a+ib)(β+iν) e (β+iν)t ,

z(t=0)=a+ib ,

z ˙ (t=0)=iα(a+ib)(β+iν)=(aβ+bν)+i(aνbβ) ,

Kezdeti feltételek:
t=0
Im[ z(0) ]=b= y 0 b= y 0 =3 mm,
Im[ z ˙ (0) ]=νaβb= v 0 a= v 0 +β y 0 ν = 180+340 30 =10 mm.

z(t)=(a+ib) e βt e iνt = e βt (a+ib)(cosνt+isinνt)=eβt[ (acosνtbsinνt)+i(bcosνt)asinνt) ] .

y(t)=Imz(t)= e βt (bcosνt+asinνt)= e 40t (3cos30t+10sin30t) mm.

d) A logaritmikus dekrementum meghatározása: Λ=ln y 1 y 2 =2π β ν =6,283 40 30 =8,377 .

e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása:

Φ= π 2 +ϑ , tgϑ= β ν = 40 30 =1,33 3 ˙ , ϑ53,13 o .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Csillapított rezgőrendszerben van elem.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Szabad rezgőrendszerben nincs .

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapított szabad rezgőrendszer esetében:
Q g (t)>0
Q g (t)0
Q g (t)<0
Q g (t)0

4. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete:
m r z ¨ + z ˙ k r + c r z=0
4 m r z ¨ +3 k r z ˙ + 2 c r z=0
m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z=0
2 z ¨ + z ˙ 2β +αz=0
z ¨ +2β z ˙ + α 2 z=0
z ¨ + α 2 z ˙ +2βz=0

5. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapított szabad rezgőrendszer z ¨ +2β z ˙ + α 2 z=0 komplex változós mozgásegyenletében a β jelentése:
a rezgőrendszer frekvenciáját jellemző mennyiség
a rezgőrendszer saját körfrekvenciáját jellemző mennyiség
a rezgőrendszer rezgésidejét jellemző mennyiség
a rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség

6. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapított szabad rezgőrendszer z ¨ +2β z ˙ + α 2 z=0 komplex változós mozgásegyenletében az α jelentése:
a rezgőrendszer frekvenciáját jellemző mennyiség
a rezgőrendszer saját körfrekvenciáját jellemző mennyiség
a rezgőrendszer rezgésidejét jellemző mennyiség
a rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség

7. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapított szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldása:
z(t)=( a 2 +i b ) e (β+iν)t
z(t)=(b+ia) e (β+iν)t
z(t)=3(a+ ib 2 ) e (β+iν)t
z(t)=(a+ib) e (β+iν)t

8. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapított szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldásában a ν= α 2 β 2 jelentése:
a rezgőrendszer körfrekvenciája
a rezgőrendszer frekvenciája
a rezgőrendszer rezgésideje
a rezgőrendszer csillapítása

9. Válassza ki a helyes megoldást!

Csillapított szabad rezgések esetén rezgések alakulnak ki, ha:
α = β azaz, ha ν=0
α < β azaz, ha ν képzetes mennyiség
α > β azaz, ha ν valós mennyiség
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Logaritmikus dekrementum a rezgőrendszer jellemző mennyiség.

11. Válassza ki a két helyes megoldást!

A logaritmikus dekrementumot meghatározó összefüggés helyes alakja:
Λ=ln q 1 q 2
Λ=log q 1 q 2
Λ=ln q 2 q 1
Λ=log q 1 q 2
Λ=2πβν
Λ=2β
Λ= ν πβ
Λ=2π β ν

12. Oldja meg a szabad csillapított rezgőrendszerrel kapcsolatos feladatokat, majd válaszoljon a feltett kérdésekre!

Adott:

m 0 =25 kg,
c 0 = 10 4 m/N,
k 0 =800 Ns/m,
y 0 =4 mm,
v 0 =32 mm/s.

Feladat:

a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának meghatározása.
b) Kialakul-e rezgés?
c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása.
d) A logaritmikus dekrementum meghatározása.
e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása.

I. Írja be a helyes eredményt (egész számot)!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája: rad/s.

II. Írja be a helyes eredményt (egész számot)!

A rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség: 1 s

III. Írja be a helyes eredményt (egész számot)!

A fenti rezgőrendszer körfrekvenciája: rad/s.

IV. Válassza ki a helyes megoldást!

A fenti rezgőrendszer esetében kialakul-e a rezgés?
igen, mert: α=β
igen, mert: α>β
igen, mert: α<β
nem, mert: α>β
igen, mert: α<β

V. Válassza ki a helyes megoldást!

A keresett függvény:
y(t)=Imz(t)= (2cos20t+3sin10t) e 20t mm
y(t)=Imz(t)= (sin10t+2cos15t) e 7t mm
y(t)=Imz(t)= (sin30t+4cos17t) e 8t mm
y(t)=Imz(t)= (8cos12t+15sin20t) e 16t mm
y(t)=Imz(t)= (4cos30t+8sin30t) e 16t mm

VI. Válassza ki a helyes megoldást!

A logaritmikus dekrementum értéke:
Λ=6,78
Λ=8,377
Λ=13,434
Λ=23,12
Λ=9,56

VII. Válassza ki a helyes megoldást!

A kitérés és a sebesség közötti fázisszög értéke:
Φ101,25 o
Φ53,13 o
Φ143,13 o
Φ10,76 o
Φ 89,47 o