KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása

4.6. lecke: Állandósult gerjesztett rezgések

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • értelmezni a gerjesztett rezgés, kényszerrezgés fogalmakat;
  • kiválasztani a gerjesztett, csillapított rezgőrendszer differenciál egyenletének általános megoldásából az állandósult rezgéseket leíró megoldást;
  • kiválasztani a rezonancia függvényt;
  • kiválasztani a rezonancia kialakulásának a feltételeit;
  • kiválasztani a kitérés maximum lehetséges intervallumát;
  • kiválasztani a csillapítás hatását az elmozdulás nagyságára (a rezonanciára);
  • kiválasztani csillapítatlan rendszer esetében a rezonancia függvényt;
  • kiválasztani a rezonancia hatását;
  • kiválasztani a rezonancia hatását valóságos szerkezetekben;
  • kiválasztani a rezonancia elkerülésének elvét és lehetséges megoldásait;
  • felírni a rezgőrendszer mozgásegyenletét
  • előállítani a mozgásegyenlet megoldását állandósult gerjesztett rezgés esetén;
  • meghatározni a rezgőrendszer komplex ellenállását;
  • megrajzolni a rezgőrendszer vektorábráját;
  • megrajzolni a rezgőrendszer rezonancia görbéjét;
  • meghatározni a gerjesztett rezgés legnagyobb kitérését;
  • meghatározni a gerjesztett rezgés legnagyobb sebességét;
  • meghatározni a gerjesztett rezgés legnagyobb gyorsulását;
  • meghatározni a gerjesztett rezgés esetén a rugóban fellépő legnagyobb erőt;
  • meghatározni a gerjesztett rezgés esetén a csillapításban fellépő legnagyobb erőt.
Tananyag

A csillapított gerjesztett rezgőrendszer helyettesítő modellje:

Szóhasználat: gerjesztett rezgés kényszerrezgés.

A gerjesztett, csillapított rezgőrendszer differenciál egyenletének általános megoldása:

z(t)= z h (t)+ z p (t)= A e βt e iνt időbenlecsengő rezgésirész + P 0 iωZ e iωt állandósult rezgésirész .

A továbbiakban csak a mérnöki szempontból érdekes állandósult rezgéseket (azaz a partikuláris megoldást) vizsgáljuk.

a) Rezonancia kialakulása:

Tapasztalat: Bizonyos gerjesztési frekvencia esetén a rezgőrendszerben nagyon nagy amplitúdójú rezgések lépnek fel.

Feladat: Annak a gerjesztési frekvenciának a meghatározása, amelynél ez a jelenség (a rezonancia jelenség) fellép.

Az állandósult gerjesztett rezgés megoldása (elmozdulás, vagy kitérés-függvénye):

z(t) z p (t)= z g (t)= P 0 iωZ f e iωt = P 0 e iωt iω[ k r +i( ω m r 1 ω c r ) ] .

f= P 0 iωZ = Q g0 e iε iωZ - az ω szögsebességgel forgó komplex elmozdulás (kitérés) vektor.

A rezgés amplitúdója (a legnagyobb kitérés): A= q max =| f | .

A következőkben matematikai átalakításokat hajtunk végre az f komplex elmozdulás vektoron: megszorozzuk a számlálót és nevezőt is c r -rel, majd a nevezőben a szögletes zárójelből kiemeljük m r -t:

f= P 0 iω[ k r +i( ω m r 1 ω c r ) ] = c r P 0 iω c r m r 1 α 2 [ k r m r 2β +iω+ 1 iω c r m r ] =

= α 2 c r P 0 f 0 iω2β+( ω 2 + α 2 ) = f 0 α 2 ( α 2 ω 2 )+i2βω .

Jelölés: f 0 = c r P 0

  • a komplex gerjesztő erő amplitúdójának, mint statikus terhelésnek az alkalmazásakor fellépő komplex elmozdulás vektor.
    q st =| f 0 |=| c r P 0 |= c r | P 0 |= c r Q g0
  • a Q g0 statikus (időben nem változó) erő hatására bekövetkező elmozdulás (kitérés).

A q st statikus kitérésre vonatkoztatott q max amplitúdó (maximális kitérés): q max q st =| f f 0 |= α 2 ( α 2 ω 2 ) 2 +4 β 2 ω 2 .

A q max amplitúdó (maximális kitérés) erőteljesen függ az ω gerjesztési körfrekvenciától!

Új változó bevezetése: ξ= ω α .

ω - a gerjesztés körfrekvenciája,
α - a csillapítatlan szabad rendszer körfrekvenciája.

A rezonancia görbe (rezonancia függvény): q max q st = 1 (1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2

Rezonancia:

  • Ha β=0 , akkor rezonancia a ξ=1 , azaz a ω=α= 1 m r c r esetben lép fel.
  • Ha β0 , akkor ott van rezonancia, ahol a rezonancia görbe nevezőjében álló (1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2 kifejezésnek minimuma (azaz a q max / q st hányadosnak maximuma) van.

A kitérés maximum mindig 0<ξ<1 tartományon lép fel.

Elnevezés: Az α a szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája, vagy rezonancia körfrekvenciája.

  • Ha nincs csillapítás (β=0) , akkor az ω=α -nál végtelen nagy elmozdulások lépnek fel.
  • Ha a β csillapítás növekszik, akkor ω=α -nál egyre kisebb elmozdulás maximumok alakulnak ki.
  • Ha a β csillapítás nagyon nagy, akkor ω=α -nál nem alakul ki rezonancia.

Speciális eset (határeset): csillapítatlan rendszer: β=0 .

A rezonancia görbe (rezonancia függvény): q max q st = 1 (1 ξ 2 ) 2 .

lim ξ1 q max q st = lim ξ1 1 (1 ξ 2 ) 2 .

A ξ=1 , azaz az ω=α -nál végtelen nagy elmozdulások lépnek fel a rezgőrendszer (a szerkezet) tönkremegy!

A valóságos szerkezetekben mindig van kisebb, vagy nagyobb mértékű csillapítás, ezért végtelen nagy kitérések nem fognak fellépni. Viszont felléphetnek olyan nagy kitérések, amelyek a rendszer tönkremeneteléhez vezetnek.

A rezonancia jelenséget el kell kerülni!

A rezonancia jelenség a rezgőrendszer elhangolásával kerülhető el:

  • Megváltoztatjuk a gerjesztés ω körfrekvenciáját.
  • Megváltoztatjuk a rezgőrendszer α= 1 m r c r sajátfrekvenciáját.

a) Vektorábra: a t=0 időpontban ábrázoljuk a rezgést jellemző komplex mennyiségeket.

A gerjesztő erő komplex amplitúdója a vízszintes tengellyel ε szöget zár be: P 0 = Q g0 e iε = Q g0 ( cosε+isinε ) .

A gerjesztő erő amplitúdója: | P 0 |= Q g0 .

A rendszer komplex ellenállása: Z= k r +i( ω m r 1 ω c r ) .

A komplex ellenállás vízszintes tengellyel bezárt szöge: tgψ= ω m r 1 ω c r k r .

Az Im( Z )=( ω m r 1 ω c r ) lehet pozitív és negatív érték is: a ψ>0 , ψ<0 és ψ=0 eset is előfordulhat.

A komplex kitérés: z g (t=0)= P 0 iωZ .

A komplex kitérés a komplex gerjesztő erőhöz képest ϕ szöget késik ( ϕ szöggel van elforgatva az ω irányával szemben).

A fáziskésés szöge: ϕ= π 2 +ψ .

A komplex kitérésben az i-vel való osztás π 2 -vel, a Z-vel való osztás további ψ szöggel történő szögelfordulást okoz a P 0 komplex gerjesztő erőhöz képest az óramutató járásával megegyező irányban.

A P 0 komplex gerjesztő erő és a z g komplex kitérés egymáshoz képest mereven rögzítve ω szögsebességgel forog (az óramutató járásával ellentétes irányban).

A komplex sebesség: z ˙ g (t=0)=iω z g (t=0)=iω P 0 iωZ = P 0 Z .

A komplex sebesség 90°-ot siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 90°-kal) a komplex kitéréshez képest.

A komplex gyorsulás: z ¨ g (t=0)=iω z ˙ g (t=0)= ω 2 z g (t=0) .

A komplex gyorsulás 180°-ot siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 180°-kal) a komplex kitéréshez képest.

A komplex gyorsulás 90°-ot siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 90°-kal) a komplex sebességhez képest.

A P 0 (t) , z g (t) , z ˙ g (t) és z ¨ g (t) komplex vektorok egymással bezárt szöge a rezgőmozgás során nem változik, mind a négy vektor ω szögsebességgel forog (az óramutató járásával ellentétes irányban).

A gerjesztett rezgés kitérése: q g (t)=Im[ z g (t) ] .

A gerjesztett rezgés sebessége: v g (t)= q ˙ g (t)=Im[ z ˙ g (t) ] .

A gerjesztett rezgés gyorsulása: a g (t)= q ¨ g (t)=Im[ z ¨ g (t) ] .

A gerjesztett rezgés kitérését, sebességét és gyorsulását az ω szögsebességgel forgó z g (t) , z ˙ g (t) és z ¨ g (t) komplex vektorok függőleges tengelyre eső vetülete adja meg.

A gerjesztett rezgést jellemző mennyiségek maximális értékei:

  • Maximális kitérés: q gmax = | P 0 | ω| Z | = Q g0 ω k r 2 + ( ω m r 1 ω c r ) 2 .
  • Maximális sebesség: v gmax = q ˙ gmax =ω q gmax .
  • Maximális gyorsulás: a gmax = q ¨ gmax = ω 2 q gmax .
  • A rugóban fellépő maximális erő: F cmax = q gmax c r .
  • A csillapításban fellépő maximális erő: F kmax = k r q ˙ gmax = k r ω q gmax .
Gyakorló feladat: Csillapított gerjesztett rezgőrendszer

Adott:

m 0 =20 kg,
c 0 =2 10 2 mm/N,
k 0 =600 Ns/m,
F g0 =300 N,
ω=100 rad/s.

Feladat:

a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása.
b) A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása.
c) A rezgőrendszer komplex ellenállásának meghatározása.
d) A rezgőrendszer vektorábrájának megrajzolása.
e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása.
g) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása:

A mozgásegyenlet: m 0 z ¨ + k 0 z ˙ + 1 c 0 z= F g0 e iωt .

A komplex kitérés: z(t)=x(t)+iy(t) .

b) A rezgőrendszer általános megoldásának előállítása: z(t)= z h (t)+ z g (t)= A e βt e iνt lecsengő rész + F g0 iωZ e iωt .

c) A rezgőrendszer komplex ellenállása: Z= k 0 +i( ω m 0 1 ω c 0 )=600+i( 10020 10 5 2100 )= 600+i1500 Ns m .

d) A rezgőrendszer vektorábrájának megrajzolása:

z g (t=0)= F g0 iωZ ,

z ˙ g (t=0)=iω z g (t=0) ,

z ¨ g (t=0)= ω 2 z ˙ g (t=0) ,

tgψ= ω m 0 1 ω c 0 k 0 = 1500 600 =2,5 ,

ψ= 68,2 o , ϕ= π 2 +ψ= 158,2 o .

e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása:

y max y st = 1 ( 1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2 , ξ= ω α .

α 2 = 1 m 0 c 0 = 1 2 10 5 20 = 10 4 4 =2500 rad 2 s 2 , α= 2500 =50 rad s ,

β= k 0 2 m 0 = 600 40 =15 1 s ,

y max y st (ξ=1)= 1 4 15 2 50 2 = 50 215 = 5 3 =1,66 6 ˙ .

f) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása: ξ 0 = ω α = 100 50 =2 .

y st = c 0 F g0 =2 10 5 300=6 10 3 m=6mm ,

y max = y st ( 1 ξ 0 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 0 2 = 6 9+44 ( 15 50 ) 2 = 6 10,44 = 6 3,231 =1,857 mm.

y max y st (ξ=2)= 1,857 6 =0,31 .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A gerjesztett rezgés rezgés.

2. Válassza ki a helyes megoldást!

A gerjesztett, csillapított rezgőrendszer differenciál egyenletének általános megoldásából az állandósult rezgési rész:
z h (t)+ z p (t)
A e βt e iνt
P 0 iωZ e iωt
A e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezonancia függvény helyes alakja:
q max q st = 1 ( ξ 2 ) 2
q max q st = 1 (1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2
q max q st = 1 β 2 α 2 ξ 2
q max q st = (1 ξ 2 ) 2 β 2 α 2 ξ 2

4. Válassza ki a helyes megoldást!

Rezonancia, ha:
β=0 , akkor a ξ1 helyen lép fel
β0 , akkor a ξ=1 helyen lép fel
β0 , akkor ξ=1 , azaz a ω=α= 1 m r c r helyen lép fel
β=0 , akkor ξ=1 , azaz a ω=α= 1 m r c r helyen lép fel

5. Válassza ki a helyes megoldást!

Ott van rezonancia a β0 esetben, ahol:
(1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2 kifejezésnek minimuma van
(1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2 kifejezésnek maximuma van
(1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 α 2 ξ 2 kifejezésnek minimuma vagy maximuma van

6. Válassza ki a helyes megoldást!

β0 esetben, a kitérés maximum mindig:
1<ξ<1,5 tartományon lép fel
0<ξ<0,5 tartományon lép fel
0<ξ<1 tartományon lép fel
0,5<ξ<1,5 tartományon lép fel
7. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
Ha nincs csillapítás (β=0) , akkor az ω=α -nál nem alakul ki rezonancia.
8. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
Ha a β csillapítás növekszik, akkor ω=α -nál egyre nagyobb elmozdulás maximumok alakulnak ki.
9. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
Ha a β csillapítás nagyon nagy, akkor ω=α -nál nem alakul ki rezonancia.
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

A valóságos szerkezetekben mindig csillapítás, ezért nagy kitérések fognak fellépni.

11. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
A rezonancia jelenséget el kell kerülni.
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A rezonancia jelenség a rezgőrendszer kerülhető el.

13. Válassza ki az összes helyes megoldást!

A rezonancia jelenség elkerülhető el, ha:
megváltoztatjuk a gerjesztés ω körfrekvenciáját
megváltoztatjuk a rezgőrendszer α= 1 m r c r sajátfrekvenciáját
megváltoztatjuk a gerjesztés ω körfrekvenciáját vagy megváltoztatjuk a rezgőrendszer α= 1 m r c r sajátfrekvenciáját
nem változtatjuk meg a gerjesztés ω körfrekvenciáját és nem változtatjuk meg a rezgőrendszer α= 1 m r c r sajátfrekvenciáját

14. Oldja meg a csillapított gerjesztett rezgőrendszerrel kapcsolatos feladatokat, majd válaszoljon a feltett kérdésekre!

Adott:

m 0 =2 kg
c 0 =2 10 4 m/N
k 0 =160 Ns/m
F g0 =10 N
ω=100 rad/s

Feladat:

a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása.
b) A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása.
c) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása.
d) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása.

I. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer mozgásegyenlete:
m 0 z ¨ + z ˙ k 0 + c 0 z= F g0 e iωt
m 0 z ¨ + k 0 z ˙ + 1 c 0 z= F g0 e iωt
2 m 0 z ¨ + k 0 z ˙ 3 + 5 c 0 z= F g0 e iωt
m 0 z ¨ 3 + k 0 z ˙ 2 + c 0 z= F g0 e iωt

II. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer általános megoldása (mérnöki szempontból fontos eleme, elemei):
z(t)A e βt e iνt
z(t)= A e βt e iνt B e iωt
z(t)= B e iωt A e βt e iνt
z(t)B e iωt

III. Válassza ki a helyes megoldást!

A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérése, y max :
0,231 mm
0,651 mm
0,456 mm
0,132 mm
0,572 mm

IV. Rajzolja meg a rezonancia görbét, majd a lapozóskönyv 2. és 3. oldalán ellenőrizze a megoldást!

1. oldal1/3
visszaelőre