KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei
5.2. lecke: Láncszerű modell
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Láncszerű longitudinális rendszerek pl. a vasúti vontatásban fordulnak elő. Az ábrán egy vasúti szerelvény sematikus vázlata látható. | ||
A mozdony és a vagonok a tömegek, illetve az ütközőkbe szerelt rugók a vagonok közötti kapcsolatot ábrázolják. Ennek a modelljét ábrázolja az alábbi ábra, amely egy longitudinális rezgőrendszer. | ||
A longitudinális szó hosszirányút jelent, vagyis e rendszereknél az egyes tömegek csak a rugók irányába, azaz hosszirányba térnek ki. A rezgőrendszer mindegyik tömege csak legfeljebb a tömeget megelőző, és a tömeget követő taggal lehet rugóval összekötve, de egyik rugó sincs az állványhoz kötve. Az ilyen rendszereket nem kötött, láncszerű rendszereknek nevezzük. | ||
A rezgőrendszer N tömegpontból áll, amelyek az tömegpontok. A rugók indexe kettős, amely az összekapcsolt tömegpontok indexét tartalmazza. Az 1 és 2 jelű tömegpontok között a jelű, az i-1 jelű és az i jelű tömegpontok között a jelű rugó található. | ||
A tömegpontok elmozdulásait rendre a általános koordinátákkal írjuk le. A rezgőrendszer szabadságfoka itt megegyezik a tömegek számával. Valamennyi általános koordináta az időnek függvénye. Az általános koordinátákat oszlopmátrixba rendezzük | ||
módon. Hasonlóan az általános koordinátasebességeket, és az általános koordinátagyorsulásokat is: | ||
, . | ||
A rendszer kinetikai energiája: , | ||
a rugókban felhalmozódott rugalmas energia: | ||
Építsük fel a rendszer mozgásegyenlet-rendszerét! | ||
A értékhez tartozó egyenlet baloldala:, | ||
a jobb oldala: , | ||
és átrendezve, az egyenlet alakú. | ||
A értékhez tartozó egyenlet baloldala , | ||
a jobb oldala: , | ||
és átrendezve, az egyenlet: alakú. | ||
Az i-edik egyenlet bal oldala: , | ||
a jobb oldala: | ||
és átrendezve, az egyenlet: alakú. | ||
Az N-edik egyenlet baloldala: , | ||
a jobb oldala: | ||
és átrendezve, az egyenlet: alakú. | ||
Összeszedve az egyes egyenleteket az | ||
egyenletrendszerhez jutunk. | ||
Bevezetve az | ||
tömegmátrixot, és a | ||
rugómátrixot, a mozgásegyenlet-rendszer az | ||
egyszerű alakra hozható. | ||
Az tömegmátrixban csak a főátlóban található zérustól különböző elem, de a főátlóban minden elem zérustól különböző, ezért diagonális (átlós) mátrixnak nevezzük. Mivel a főátló sorrendben az egyes tömegeket tartalmazza, ezért a mátrix determinánsa (itt a főátló elemeinek szorzata) garantáltan pozitív. | ||
A rugómátrix láncszerű rendszereknél szimmetrikus. A főátló kk indexű elemében a k jelű tömegponthoz csatlakozó rugóknak a reciprokösszege található. A főátlón kívül a kj és jk indexű elem zérus, ha a k és j jelű tömegek között nincs rugó, és azon rugó rugóállandójának negatív reciproka található itt, amely rugó a j és k jelű tömegek között található. Láncszerű rendszereknél csak a szomszédos elemek között van rugó, ezért itt csak a főátló és a mellette lévő mátrixelem lehet zérustól különböző. Az ilyen mátrixokat kodiagonális mátrixoknak nevezzük. | ||
Fontos még, hogy a vizsgált láncszerű rezgőrendszer olyan, hogy nincs egy pontja sem az állványhoz kötve. A rugómátrix bármelyik sorában, vagy oszlopában található elemeknek az összege nulla. A mátrix determinánsa nulla. Az ilyen rendszereket nem kötött rendszereknek nevezzük. | ||
Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható modellt. Az 1 jelű tömeg a rugóállandójú rugóval az állványhoz kötött. Az ilyen rezgőrendszert kötött rendszernek hívjuk. | ||
Könnyen belátható, hogy a rendszer mozgásegyenlet-rendszere itt is | ||
alakra vezet, csak a rugómátrix különbözik. Ebben az esetben a rugómátrix | ||
alakú. A rugómátrix itt is kodiagonális, de az első sora és első oszlopa, amely ahhoz a tömeghez kapcsolódik, amely tömeg a falhoz kötött, olyanná vált, hogy a tagok összege nem nulla. A rugómátrix determinánsa kötött rendszernél nem nulla. | ||
Amennyiben a modell olyan, hogy az utolsó, az N jelű elem kötött rugóállandójú rugóval a falhoz, akkor a rugómátrixnak a főátlóban lévő utolsó eleme értékre módosul. A kötött láncszerű rendszer csak olyan lehet, hogy vagy a baloldali, vagy a jobboldali, vagy mindkét végével az állványhoz kötött. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! A longitudinális szó irányút jelent, vagyis e rendszereknél az egyes tömegek csak a irányába, azaz irányba térnek ki. ![]() | |||||||||||||||||
2. Döntse el a következő állításról, hogy igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||||||||
3. Válassza ki a két helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A nem kötött, láncszerű rendszerek jellemzői:
![]() | |||||||||||||||||
4. Egészítse ki a következő két mondatot a hiányzó két szóval! Láncszerű rendszerek esetén a tömegpontok elmozdulásait rendre a koordinátákkal írjuk le. A tömegek száma és a száma azonos. ![]() | |||||||||||||||||
5. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű rendszerek esetén:
![]() | |||||||||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű rendszerek esetén:
![]() | |||||||||||||||||
7. Döntse el a következő állításról, hogy igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||||||||
8. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű rendszerek esetén a mozgásegyenlet-rendszer helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
9. Válassza ki a két helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű rendszerek esetén az tömegmátrixban:
![]() | |||||||||||||||||
10. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű rendszerek esetén az rugómátrix:
![]() | |||||||||||||||||
11. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű rendszerek esetén az rugómátrixban:
![]() | |||||||||||||||||
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Azokat a mátrixokat, ahol csak a és a lévő mátrixelem lehet zérustól különböző, kodiagonális mátrixoknak nevezzük. ![]() | |||||||||||||||||
13. Válassza ki a három helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű nem kötött rendszerek esetén az rugómátrix:
![]() | |||||||||||||||||
14. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Láncszerű kötött rendszerek esetén a rugómátrix:
![]() |