KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása
4.1. lecke: A homogén mozgásegyenlet megoldásának előállítása
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Az egy szabadságfokú rezgőrendszerek mindig visszavezethetők az alábbi redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre: | ||
A redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
Mivel minden egy szabadságfokú rezgőrendszer mozgása ezzel a mozgásegyenlettel adható meg, ezért ha elő tudjuk állítani ennek a megoldását, akkor az összes egy szabadságfokú rezgőrendszer mozgását meg tudjuk határozni. | ||
a) Áttérés komplex változóra: | ||
Vezessünk be egy olyan komplex változót, amelynek az imaginárius része a keresett függvény: | ||
. | ||
A z komplex változó bevezetés csak segédeszköz, bennünket a továbbiakban is mindig csak a függvény érdekel, az függvénnyel nem foglalkozunk. | ||
b) A mozgásegyenlet átalakítása: | ||
Írjuk fel a mozgásegyenletet az változóra is: | ||
, | ||
, . | ||
A második egyenletet megszorozva az i imaginárius egységvektorral és az egyenleteket összeadva a mozgásegyenlet z komplex változós alakját kapjuk: | ||
, | ||
. | ||
A komplex gerjesztő erő: . | ||
A gerjesztő erő komplex amplitúdója: . | ||
A gerjesztő erő amplitúdója (a komplex amplitúdó abszolút értéke): . | ||
A komplex gerjesztő erő szögsebességgel forog óramutató járásával ellentétes irányban az xq komplex síkon. | ||
A következőkben az | ||
közönséges, másodrendű, inhomogén, komplex változós differenciál egyenlet megoldását állítjuk elő a matematikában tanult módon két rész összegeként: | ||
A homogén mozgásegyenlet megoldásának előállítása | ||
A homogén mozgásegyenlet: . | ||
A homogén megoldás keresése: , ahol | ||
komplex állandó, | ||
A homogén megoldás mozgásegyenletben szereplő deriváltjai: | ||
, , , | ||
Ezeket a mozgásegyenletbe helyettesítve: . | ||
Az egyenlet csak akkor állhat fenn, ha a zárójelben álló kifejezés eltűnik karakterisztikus egyenlet: | ||
. | ||
A karakterisztikus egyenlet másodfokú algebrai egyenlet a változóra nézve. | ||
Átalakítás: , . | ||
A karakterisztikus egyenlet együtthatói: | ||
- a rezgőrendszer csillapítását jellemzi, | ||
A karakterisztikus egyenlet megoldása: . | ||
- a csillapított szabad rendszer körfrekvenciája. | ||
A karakterisztikus egyenlet gyökei (megoldásai): | ||
és . | ||
és . | ||
A homogén differenciál egyenlet általános megoldása: | ||
Az idő monoton növekszik. Az első tagot meghagyjuk, mert komplex vektora pozitív forgású, a második tagot elhagyjuk, mert komplex vektora negatív forgású. | ||
Tehát a homogén mozgásegyenlet általános megoldása: . | ||
Az a és b konstansok a -re megadott kezdeti feltételekből számíthatók. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Minden rezgőrendszer mozgása a mozgásegyenlettel adható meg. ![]() | |||||||||||
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! Ha elő tudjuk állítani a mozgásegyenlet , akkor az összes rezgőrendszer mozgását meg tudjuk határozni. ![]() | |||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást (képet)! | |||||||||||
Az egy szabadságfokú rezgőrendszerek mindig visszavezethetők az alábbi redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre:
![]() | |||||||||||
4. A következő kérdés a redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenletére vonatkozik. Nevezze meg az egyenlet néhány elemét! | |||||||||||
a) | |||||||||||
Írja az elemek előtti kisbetűt a neki megfelelő megnevezés mellé! A megnevezésekhez csak egy-egy elem tartozik!
![]() | |||||||||||
5. A következő kérdés a redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenletére vonatkozik. | |||||||||||
Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval! A gerjesztő erő forog óramutató járásával irányban az xq síkon. ![]() | |||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A homogén mozgásegyenlet általános megoldása: ![]() | |||||||||||
7. A következő kérdés a karakterisztikus egyenlet együtthatóira vonatkozik. | |||||||||||
Egészítse ki a következő két mondatot a hiányzó egy-egy szóval! - a rezgőrendszer jellemzi. ![]() | |||||||||||
8. Döntse el, hogy a következő állítás igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||
9. Döntse el, hogy a következő állítás igaz vagy hamis!
![]() |