KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete

3.6. lecke: A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet egy szabadságfokú mozgások esetén

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni a vizsgált rezgőrendszerek jellemzőit;
  • kiválasztani a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet helyes alakját;
  • meghatározni a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet jellemzőit;
  • kiválasztani a Q általános erő fizikai tartalmát;
  • kiválasztani a síkmozgást végző testek kinetikai energiáját meghatározó helyes összefüggéseket;
  • kiválasztani a síkmozgást végző testek (merev henger, prizmatikus rúd) tehetetlenségi nyomatékait meghatározó összefüggéseket;
  • kiválasztani a Steiner-tétel helyes alakját;
  • kiválasztani a speciális síkmozgást végző (gördülő mozgás, rögzített pont körüli forgó mozgás) testek kinetikai energiáját meghatározó összefüggéseket;
  • kiválasztani a merev testre ható általános erőrendszer teljesítményét meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a Qáltalános erőt meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a Qáltalános erő speciális esetre jellemző tulajdonságait;
  • osztályozni a rezgőrendszereket.
Tananyag

Olyan rezgőrendszereket vizsgálunk, amelyek egy tömegpontot, vagy merev testet tartalmaznak és amelyek mozgása egyetlen q=q(t) általános koordináta felhasználásával leírható.

a) A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet:

A Lagrange-féle (kiejtés: lagranzs) másodfajú mozgásegyenlet fizikai tartalom vonatkozásában egyenértékű az impulzus/perdület tétellel.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet használata azonban az esetek többségében előnyösebb, mert azok az erők nem jelennek meg benne, amelyeknek nincs teljesítménye.

A mozgásegyenlet: d dt ( E q ˙ ) E q =Q , ahol

t az idő, d a differenciálás jele, a parciális differenciálás jele,
E a kinetikai energia, q ˙ az általános koordináta sebesség, q az általános koordináta, Q az általános erő.

A Q általános erő fizikai tartalma: egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény: Q=P/ q ˙ .

b) Síkmozgást végző testek kinetikai energiája:

Általános alak: E= 1 2 m r q ˙ 2 , ahol

m r - a rezgőrendszer q általános koordinátához tartozó redukált tömege.

Anyagi pont kinetikai energiája: E= 1 2 m v 2 .

m - az anyagi pont tömege,
v - az anyagi pont sebessége.

Merev test kinetikai energiája: E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2 .

m - a merev test tömege,
v S - a merev test S ponti sebessége,
J s - a merev testnek a mozgás síkjára merőleges S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka,
ω - a merev test szögsebessége.

c) A leggyakrabban előforduló, síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékai:

J s = 1 2 m R 2 ,
s - mozgás síkjára merőleges S ponti tengely,
J a = 3 2 m R 2 ,
a - mozgás síkjára merőleges A ponti tengely.
J s = 1 12 m l 2 ,
s - mozgás síkjára merőleges S ponti tengely,
J a = 1 3 m l 2 ,
a - mozgás síkjára merőleges A ponti tengely.
Steiner-tétel:
J a = J s +m d 2 ,
s és a a mozgás síkjára merőleges, egymással párhuzamos tengelyek.

d) Speciális síkmozgást végző testek kinetikai energiája:

  • Gördülő mozgás:
E= 1 2 J p ω 2 , J p = 3 2 m R 2 ,
vagy
E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2 , J s = 1 2 m R 2 , v S =Rω .
  • Rögzített pont körüli forgó mozgás (fizikai inga):
E= 1 2 J a ω 2 , J a = J s +m l 2 ,
vagy
E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2 , v S =lω .

e) A Q általános erő meghatározása:

  • Merev testre ható általános erőrendszer teljesítménye:
    P= i=1 n F i v i + j=1 m M j ω , ahol
    n - az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma,
    m - az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma,
    v i - az F i erő támadáspontjának a sebessége,
    ω - a merev test szögsebessége.
  • Az általános erő:
    P=Q q ˙ , a Q általános erő egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény.
    Q= i=1 n F i β i + j=1 m M j b , ahol
    n - az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma,
    m - az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma,
    β i = v i q ˙ - az F i erő támadáspontjának az egységnyi koordináta sebességhez tartozó sebessége,
    b = ω q ˙ - a merev testnek az egységnyi koordináta sebességhez tartozó szögsebessége.
    Q általános esetben a q általános koordináta, a q ˙ általános koordináta sebesség és a t idő függvénye lehet: Q=Q(q, q ˙ ,t) ,

f) A Q általános erő speciális esetben:

Csak olyan egyszerűbb rezgőrendszereket vizsgálunk, ahol az általános erő az alábbi három részre bontható:

Q(q, q ˙ ,t)= Q c (q)+ Q k ( q ˙ )+ Q g (t) .

  • A Q c általános visszatérítő erő csak a q általános koordináta függvénye.
    A Q c általános visszatérítő erő mindig felírható Q c = 1 c r q alakban, ahol c r a q általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandó.
  • A Q k általános csillapító erő csak a q ˙ általános koordináta sebesség függvénye.
    A Q k általános csillapító erő mindig felírható Q k = k r q ˙ alakban, ahol k r a q általános koordináta választáshoz tartozó redukált csillapítási tényező.
  • A Q g általános gerjesztő erő csak a t idő periodikus függvénye.
    A Q g általános gerjesztő erő mindig felírható Q g = Q g0 sin(ωt+ε) , vagy Q g = Q g0 cos(ωt+ε) alakban, ahol Q g0 a gerjesztő erő q általános koordináta választáshoz tartozó amplitúdója, ω a gerjesztés körfrekvenciája és ε a gerjesztés fázisszöge.

g) Rezgőrendszerek osztályozása:

1.Szabad rezgőrendszerek (szabad rezgések) Q g =0 .
 a)Szabad csillapítatlan rezgőrendszerek
(szabad csillapítatlan rezgések) Q g =0 és Q k =0 .
 b)Szabad csillapított rezgőrendszerek
(szabad csillapított rezgések) Q g =0 és Q k 0 .
2.Gerjesztett rezgőrendszerek (gerjesztett rezgések) Q g 0 .
 a)Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszerek
(gerjesztett csillapítatlan rezgések) Q g 0 és Q k =0 .
 b)Gerjesztett csillapított rezgőrendszerek
(gerjesztett csillapított rezgések) Q g 0 és Q k 0 .

h) Gyakorlati példák egyszabadságfokú rezgőrendszerekre:

1. példa: vasúti kocsi ütközése vágány végét lezáró baknak.

2. példa: felvonó kötéllel, vontató kötéllel történő mozgatás.

                   

3. példa: hatómű tengelye.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó hat szóval!

Az egy szabadságfokú mozgások esetén olyan rezgőrendszereket vizsgálunk, amelyek , vagy tartalmaznak, és amelyek mozgása q=q(t) koordináta felhasználásával leírható.

2. A következő kérdés a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletre vonatkozik. Nevezze meg az egyenlet elemeit! Írja az elemek neve előtti kisbetűt a neki megfelelő jel (egyenlet elem) mellé!

d dt ( E q ˙ ) E q =Q

a) idő
b) a differenciálás jele
c) a parciális differenciálás jele
x) a kinetikai energia
y) az általános koordináta sebesség
z) az általános koordináta
w) az általános erő
BetűjelLagrange-féle másodfajú mozgásegyenletben található jelek, változók
E
d
Q
q ˙
q
t
3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

A Q általános erő fizikai tartalma: koordináta tartozó .

4. Válassza ki a helyes megoldást!

Az anyagi pont kinetikai energiáját meghatározó összefüggés helyes alakja:
E= 1 2 m r q ˙ 2
E= 1 2 J s ω 2
E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2
E= 1 2 m r q ˙ 2
E= 1 2 m v 2

5. Válassza ki a helyes megoldást!

Síkmozgást végző testek esetében a merev testkinetikai energiáját meghatározó összefüggés helyes alakja:
E= 1 2 m v 2
E= 1 2 m v S 2
E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2
E= 1 2 m r q ˙ 2
E= 1 2 m r q ˙ 2
E= 1 2 J s ω 2

6. Válassza ki a helyes megoldást!

A kérdés a síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékaira vonatkozik.

A merev henger tehetetlenségi nyomatékát a mozgás síkjára merőleges S ponti tengelyre meghatározó összefüggés helyes alakja:
J s = 3 2 m R 2
J s = 1 12 l 2 m
J s = 1 12 m R 2
J s = 1 2 m R 2
J s = 1 2m R 2

7. Válassza ki a helyes megoldást!

A kérdés a síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékaira vonatkozik.

A merev prizmatikus rúd tehetetlenségi nyomatékát a mozgás síkjára merőleges S ponti tengelyre meghatározó összefüggés helyes alakja:
J s = 1 2 l 2 m
J s = 1 3 m l 2
J s = 1 12 m R 2
J s = 1 3m l 2
J s = 1 12 m l 2

8. Válassza ki a helyes megoldást!

A Steiner-tétel helyes alakja, ahol: ..., s és a a mozgás síkjára merőleges, egymással párhuzamos tengelyek.
J a = J s md
J a = J s m d 2
J a = J s +m d 2
J a = m d J s
J a = J s m+ m d

9. Válassza ki a helyes megoldást!

A kérdés a speciális síkmozgást végző testek kinetikai energiájára vonatkozik.

A gördülő mozgást végző test kinetikai energiájának a P ponti tengelyre számított jellemzővel felírt helyes alakja:
E= 1 2 J p ω 2
E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2
E= 1 2 J p ω 2
E= 1 2 J p m v S 2
E= 1 2 m v S 2 1 2 J s

10. Válassza ki a helyes megoldást!

A kérdés a rögzített pont körüli forgó mozgást (fizikai inga) végző testek kinetikai energiájára vonatkozik.

A rögzített pont körüli forgó mozgást végző test kinetikai energiájának az A ponti tengelyre számított jellemzővel felírt helyes alakja:
E= 1 2 J a m ω 2
E= 1 2 m v a 2 + 1 2 J a ω 2
E= 1 2 m v S 2
E= 1 2 J a ω 2
E= 1 2 J a ω 2

11. Válassza ki a helyes megoldást!

A kérdés a rögzített pont körüli forgó mozgást (fizikai inga) végző testek kinetikai energiájára vonatkozik.

A rögzített pont körüli forgó mozgást végző test kinetikai energiájának az S ponti tengelyre számított jellemzővel felírt helyes alakja:
E= 1 2 J s m ω 2
E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2
E= 1 2 m v S 2
E= 1 2 m v S 2 1 2 J s m ω 2
E= 1 2 J s ω 2

12. Válassza ki a helyes megoldást!

Merev testre ható általános erőrendszer teljesítményét meghatározó helyes összefüggés: ..., ahol:
n - az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma,
m - az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma,
v i - az F i erő támadáspontjának a sebessége,
ω - a merev test szögsebessége.
P= j=1 m M j ω
P= 1 2 j=1 m M j ω i=1 n F i v i
P= i=1 n F i ω + j=1 m M j v i
P= i=1 n F i v i j=1 m M j ω
P= i=1 n F i v i
P= i=1 n F i v i + j=1 m M j ω

13. Válassza ki a helyes megoldást!

Q általános erőt meghatározó helyes összefüggés: ..., ahol:
n - az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma,
m - az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma,
β i - az F i erő támadáspontjának az egységnyi koordináta sebességhez tartozó sebessége,
b - a merev testnek az egységnyi koordináta sebességhez tartozó szögsebessége.
Q= i=1 n F i β i
Q= i=1 n F i β i j=1 m M j b
Q= 1 2 j=1 m M j b i=1 n F i β i
Q= i=1 n F i β i + j=1 m M j b
Q= j=1 m M j b