KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései

7.3. lecke: Rudak hajlító kontinuumrezgései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a hajlító rezgések keletkezésének jellemzőit;
  • kiválasztani a rudak hajlító kontinuumrezgéseire vonatkozó mozgásegyenletet.
Tananyag

Hajlító rezgések akkor keletkeznek, ha a keresztmetszetek mozgása az y tengellyel párhuzamos mozgásból, és a z tengely körüli szögelfordulásból tevődik össze. A következőkben csak az előbbit vizsgáljuk.

Általános koordinátának a keresztmetszet súlypontjának y irányú v=v( x,t ) elmozdulását választjuk. A z tengely körüli szögelfordulás és az elmozdulás között ϕ z = v x összefüggés érvényes.

Az elemi rúdszakasz tömege dm=ρAdx , amivel az y irányú impulzus tétel

m a y = F y ρAdx v ¨ =T+ T x dxT .

Kis rezgések esetén érvényes a rugalmas szál M h = I z E 2 v x 2 differenciálegyenlete (lásd Mechanika-Szilárdságtan tantárgy), illetve az igénybevételek közötti T = M h x egyensúlyi egyenlet (lásd Mechanika-Statika tantárgy). Ezzel az impulzus tétel prizmatikus rudakra átrendezés után

2 v t 2 = I z E Aρ 4 v x 4

negyedrendű parciális differenciálegyenletre vezet. Ez a differenciálegyenlet a rudak hajlító kontinuumrezgéseire vonatkozó legegyszerűbb mozgásegyenlete.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldást a következő ábra alapján!

Hajlító rezgések akkor keletkeznek, ha a keresztmetszetek mozgása:
az x tengellyel párhuzamos mozgásból és a y tengely körüli szögelfordulásból tevődik össze
az y tengelyre merőleges mozgásból és az x tengely körüli szögelfordulásból tevődik össze
az y tengellyel párhuzamos mozgásból és a z tengely körüli szögelfordulásból tevődik össze
az z tengellyel párhuzamos mozgásból és a y tengely körüli szögelfordulásból tevődik össze

2. Válassza ki a helyes megoldást!

A rudak hajlító kontinuumrezgéseire vonatkozó mozgásegyenlet helyes alakja:
2 v t = I z E Aρ 3 v x 3
2 t 2 v = I z E Aρ 2 v x 2
3 v t = I z G Aρ 3 v x 3
4 v t 4 = Aρ I z E 2 v x 2
2 v t 2 = I z E Aρ 4 v x 4