KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei

5.1. lecke: Másodfajú Lagrange-féle mozgásegyenlet-rendszer

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni a többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek alkotó elemeit;
  • meghatározni a többszabadságfokú rendszer fogalmát;
  • kiválasztani a többszabadságfokú diszkrét rendszerek mozgását leíró koordinátákat;
  • felírni a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszert diszkrét tömegpontrendszerekre;
  • felírni a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszert diszkrét tömegpontrendszerekre akkor, ha a rendszer merev testeket is tartalmaz;
  • kiválasztani a rezgőrendszerben található erők és nyomatékok teljesítményét leíró összefüggést;
  • kiválasztani a Q k általános erőt meghatározó összefüggést merev testeket, erőket és nyomatékokat is tartalmazó rendszer esetében;
  • meghatározni az általános erő részeit;
  • kiválasztani a rugókban felhalmozódó rugalmas energiát meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani az általános visszatérítő erőt a rugalmas energiából meghatározó összefüggést;
  • értelmezni a rendszer statikus állapota fogalmat.
Tananyag

Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszeren merev testekből, tömegpontokból, és a köztük lévő súlytalan rugalmas elemekből (rugókból) felépített rendszert értünk, amely tartalmazhat még csillapításokat és gerjesztéseket is.

Többszabadságfokú a rendszer, ha a rendszer mozgását egyértelműen leíró koordinátáknak a száma nagyobb egynél.

Többszabadságfokú diszkrét rendszerek mozgását általános koordinátákkal írjuk le. Az általános koordináták az időnek kétszer folytonosan deriválható függvényei, amelyeknek a száma megegyezik a rendszer szabadságfokával. Vizsgáljunk egy N szabadságfokú diszkrét rezgőrendszert. A rendszert leíró általános koordináták, valamint idő szerinti első és második deriváltjaik az alábbiak:

q i ( t ),(i=1,2,3,...N) az általános koordináták;
q ˙ i ( t ),(i=1,2,3,...N) az általános koordinátasebességek;
q ¨ i ( t ),(i=1,2,3,...N) az általános koordinátagyorsulások.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszert diszkrét tömegpontrendszerekre vezetjük be, majd általánosítjuk arra az esetre, ha a rendszer merev testeket is tartalmaz.

Legyen az n tömegpontból álló rendszer N szabadságfokú ( nN ). Az i ( i=1,2,...,n ) jelű tömegpont helyvektora az általános koordináták

r i = r i [ q 1 ( t ), q 2 ( t ),..., q N ( t ) ],( i=1,2,...,n )

függvénye. Az i ( i=1,2,...,n ) jelű tömegpont sebessége a helyvektor idő szerinti deriváltjából

v i = r i q 1 d q 1 dt + r i q 2 d q 2 dt +...+ r i q N d q N dt ,( i=1,2,...,n )

alakú, amely egyszerűen átírható

v i = r i q 1 q ˙ 1 + r i q 2 q ˙ 2 +...+ r i q N q ˙ N ,( i=1,2,...,n )

alakra, vagy még egyszerűbben

v i = j=1 N r i q j q ˙ j = j=1 N β ij q ˙ j ,( i=1,2,...,n )

írható. Ha a q ˙ j általános koordinátasebesség éppen egységnyi, a többi koordinátasebesség pedig zérus, akkor az i jelű tömegpont v i sebessége éppen β ij , amely

v i | q ˙ j =1 q ˙ k =0,hakj = β ij = r i q j ,( i=1,2,...,n ),( j,k=1,2,...,N )

módon számítható. Az i ( i=1,2,...,n ) jelű tömegpont v i sebességének az összefüggésből az is látszik, hogy

β ij = v i q ˙ j ,( i=1,2,...,n ),( j=1,2,...,N )

összefüggés is érvényes. Könnyen belátható, hogy β ij mennyiségnek a k jelű általános koordináta szerinti parciális deriváltjára igaz, hogy

β ij q k = 2 r i q k q j = 2 r i q j q k = β ik q j ,

illetve a β ij mennyiségnek az idő szerinti deriváltja

β ˙ ij = d dt r i q j = v i q j .

Legyen az i jelű tömegpontra ható erők eredője F i . Írjuk fel mindegyik tömegpontra a Newton II. törvényét, amely n egyenletből áll. Ez

m i a i = F i ,( i=1,2,...,n ) ,

vagy más alakban

m i v ˙ i = F i ,( i=1,2,...,n )

egyenletrendszerre vezet. A fenti n egyenlet közül az első egyenlet mindkét oldalát szorozzuk meg β 1k -val, a másodikat β 2k -val, és így tovább az n-ediket β nk -val, és adjuk össze az egyenleteket. Amennyiben elvégezzük ezt N-szer, k=1,2,...,N értékekre is, az alábbi, N db. egyenletből álló egyenletrendszert kapjuk:

i=1 n m i v ˙ i β ik = i=1 n F i β ik ,( k=1,2,...,N ) .

Bevezetve a Q k = i=1 n F i β ik , k-adik általános erőt, és az egyenlet bal oldalát átalakítva, a

i=1 n m i v ˙ i β ik = d dt ( i=1 n m i v i β ik ) i=1 n m i v i β ˙ ik = d dt q ˙ k ( i=1 n 1 2 m i v i 2 ) q k ( i=1 n 1 2 m i v i 2 )

összefüggést kapjuk, amelyek figyelembevételével a

d dt ( E q ˙ k ) E q k = Q k ,( k=1,2,...,N )

Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszerhez jutunk, ahol E= i=1 n 1 2 m i v i 2 a (tömegpont) rendszer kinetikai energiája.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer alakja nem változik akkor sem, ha a rendszerben merev testek is találhatók. A rendszer kinetikai energiáját a rendszerhez tartozó merev testek, tömegpontok kinetikai energiájának az összegeként állítjuk elő.

Az ilyen rendszereknél a testek nyomatékokkal is terhelhetők, ezért az általános erő összefüggésében ezek hatását is figyelembe kell venni. Hasson a rendszerre F i ,(i=1,2,...,M) erő, melyek támadáspontjainak a sebessége v i ,(i=1,2,...,M) , illetve a testekre M j ,(j=1,2,...,L) nyomaték, mely testeknek a szögsebessége ω j ,(j=1,2,...,L) . A rendszerben található erők és nyomatékok csak olyanok lehetnek, hogy azok nem függnek az általános koordinátasebességektől. A rendszerben található erők és nyomatékok teljesítménye ebben az esetben

P= i=1 M F i v i + j=1 L M j ω j

összefüggéssel írható fel. A Q k általános erőt, merev testeket is, és a fenti feltételnek megfelelő erőket és nyomatékokat is tartalmazó rendszer esetében

Q k = P q ˙ k = ( i=1 M F i v i + j=1 L M j ω j ) q ˙ k = i=1 M F i v i q ˙ k + j=1 L M j ω j q ˙ k = i=1 M F i β ik + j=1 L M j b jk ,( k=1,2,...,N )

összefüggésből számíthatjuk, ahol b jk = ω j q ˙ k a j jelű merev test egységnyi q ˙ k koordinátasebességhez tartozó szögsebessége.

Az általános erőnek ilyen módon való kiszámítása természetesen akkor is igaz, ha a rendszer nem tartalmaz merev testeket, de a rendszerben található erők illetve nyomatékok a koordinátasebességektől függetlenek.

Hasonlóan a 3.7. pontban leírtakhoz többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén is az általános erő az általános koordináta, az általános koordinátasebesség és az idő függvénye a legáltalánosabb esetben. E tárgy keretein belül csak olyan rezgőrendszerekkel foglalkozunk, amelynél a k jelű általános koordinátához tartozó Q k általános erő:

Q k = Q k ( q 1 , q 2 ,..., q n ,t )= Q ck ( q 1 , q 2 ,..., q n )+ Q gk ( t )+ Q 0k ,( k=1,2,...,N )

módon három részből áll, amelyek közül Q ck az általános visszatérítő erő, amely csak az általános koordináták függvénye, Q gk az általános gerjesztő erő, amely csak az idő függvénye, illetve a konstans Q 0k statikus általános erő, amiből a rendszer statikus egyensúlyi állapota, vagyis a rugók statikus előfeszítése határozható meg. A Q 0k sorolható lenne az általános gerjesztő erőhöz, de a könnyebb kezelés, és a pontosabb tárgyalás miatt, ezt különválasztjuk. A rezgések a statikus egyensúlyi állapot körül alakulnak ki.

A Q ck általános visszatérítő erő más módon is kiszámítható. Tartalmazzon a vizsgált rendszerünk K darab rugót, amelyek közül az i jelű rugónak f i a megnyúlása, és c i a rugóállandója. A rugókban felhalmozódó rugalmas energiát az egyes rugókban felhalmozott energiák összege adja:

U= i=1 K U i = i=1 K 1 2 f i 2 c i

összefüggés érvényes. Ezzel a Q k általános visszatérítő erőt negatív gradiens képzéssel a

Q k = U q k

összefüggésből is számíthatjuk.

Az is előfordulhat, hogy az általános erők között találunk olyanokat, amelyek az időtől nem függnek, konstans értékűek. Az ilyen esetben meghatározhatjuk a rendszer statikus állapotát. A rendszer statikus állapotának azt az állapotot tekintjük, amikor az egyensúly, az általános koordináták konstans értékei mellett teljesül. Statikus állapotban az időtől függő általános erőket zérusra választjuk, majd megoldjuk a mozgásegyenlet-rendszert csak a konstans általános erőkre és q ˙ ¯ ¯ st = 0 ¯ ¯ , illetve q ¨ ¯ ¯ st = 0 ¯ ¯ , vagyis statikus értékekre.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó hat szóval!

Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszeren , , és a köztük lévő súlytalan elemekből (rugókból) felépített rendszert értünk, amely tartalmazhat még és is.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

Többszabadságfokú a rendszer, ha a rendszer mozgását egyértelműen leíró a száma .

3. Válassza ki a helyes megoldást!

Többszabadságfokú a rendszer, ha a rendszer mozgását egyértelműen leíró koordinátáknak a száma:
egy
nulla
nagyobb egynél
4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Többszabadságfokú diszkrét rendszerek mozgását általános koordinátákkal írjuk le. Az általános koordináták az időnek folytonosan deriválható függvényei, amelyeknek a száma a rendszer szabadságfokával.

5. Csoportosítsa a többszabadságfokú rendszert leíró koordinátákat a jelentésükkel! Írja a jelentések melletti kisbetűt a megfelelő koordináta mellé!
a) általános koordináták
s) általános koordinátasebességek
g) általános koordinátagyorsulások
BetűjelKoordináták
q ¨ i ( t ),(i=1,2,3,...N)
q ˙ i ( t ),(i=1,2,3,...N)
q i ( t ),(i=1,2,3,...N)

6. Válassza ki a helyes megoldást!

Többszabadságfokú diszkrét rendszerek esetén a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer helyes alakja:
d dt ( q ˙ k E )+ q k E = Q k ,( k=1,2,...,N )
d dt ( E q ˙ k ) E q k = Q k ,( k=1,2,...,N )
d dt ( E q ¨ k ) E q ˙ k = Q k ,( k=1,2,...,N )
d dt ( E q ˙ k ) E q k = Q k ,( k=1,2,...,N )

7. Válassza ki a helyes megoldást!

Többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén csak olyan rezgőrendszerekkel foglalkozunk, amelynél a k jelű általános koordinátához tartozó Q k általános erő:
maximum egy részből áll
maximum két részből áll
maximum három részből áll
maximum négy részből áll

8. Válassza ki a helyes megoldást!

Többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén az Q k általános erőt meghatározó összefüggés helyes alakja:
Q k = Q gk ( t )+ Q 0k ,( k=1,2,...,N )
Q k = Q ck ( q 1 , q 2 ,..., q n )+ Q 0k ,( k=1,2,...,N )
Q k = Q ck ( q 1 , q 2 ,..., q n )+ Q gk ( t ) Q 0k ,( k=1,2,...,N )
Q k = Q ck ( q 1 , q 2 ,..., q n )+ Q gk ( t )+ Q 0k ,( k=1,2,...,N )
Q k = Q ck ( q 1 , q 2 ,..., q n ) Q gk ( t ) Q 0k ,( k=1,2,...,N )
9. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

Többszabadságfokú rezgőrendszerek esetén a Q 0k a erő amelyből, a rendszer statikus egyensúlyi állapota, vagyis a rugók határozható meg.

10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Többszabadságfokú rendszerek esetében foglalkozunk csillapításokkal.

11. Válassza ki a helyes megoldást!

Többszabadságfokú rendszerek esetében a rugókban felhalmozódó rugalmas energiát meghatározó összefüggés helyes alakja: ..., ahol:
K rugók száma
f i a megnyúlás
c i a rugóállandó.
U= i=1 K f i c i
U= i=1 K 2 f i 2 c i i=1 K U i
U= i=1 K 1 2 c i f i 2 q i
U= i=1 K 1 2 f i c i
U= i=1 K U i = i=1 K 1 2 f i 2 c i
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

A rugókban felhalmozódó rugalmas energiát az egyes rugókban energiák adja.

13. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Az Q k általános visszatérítő erőt képzéssel származtatjuk.

14. Válassza ki a helyes megoldást!

A Q k általános visszatérítő erőt a következő összefüggésből is számíthatjuk:
Q k = Q gk ( t ) Q 0k ,( k=1,2,...,N )
Q k = U q k ,( k=1,2,...,N )
Q k = d dt ( q ˙ k E ) q k E ,( k=1,2,...,N )
Q k =U q k ,( k=1,2,...,N )
15. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A rendszer statikus állapotának azt az állapotot tekintjük, amikor az egyensúly, az általános koordináták értékei mellett teljesül.

16. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

Statikus állapotban az időtől függő általános erőket zérusra választjuk, majd megoldjuk a mozgásegyenlet-rendszert csak a erőkre és q ˙ ¯ ¯ st = 0 ¯ ¯ , illetve q ¨ ¯ ¯ st = 0 ¯ ¯ , vagyis értékekre.