KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete
3.6. lecke: A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet egy szabadságfokú mozgások esetén
A lecke követelményei | |||||||||||||||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
Tananyag | |||||||||||||||||||
Olyan rezgőrendszereket vizsgálunk, amelyek egy tömegpontot, vagy merev testet tartalmaznak és amelyek mozgása egyetlen általános koordináta felhasználásával leírható. | |||||||||||||||||||
a) A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: | |||||||||||||||||||
A Lagrange-féle (kiejtés: lagranzs) másodfajú mozgásegyenlet fizikai tartalom vonatkozásában egyenértékű az impulzus/perdület tétellel. | |||||||||||||||||||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet használata azonban az esetek többségében előnyösebb, mert azok az erők nem jelennek meg benne, amelyeknek nincs teljesítménye. | |||||||||||||||||||
A mozgásegyenlet: , ahol | |||||||||||||||||||
t az idő, d a differenciálás jele, a parciális differenciálás jele, | |||||||||||||||||||
A Q általános erő fizikai tartalma: egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény: . | |||||||||||||||||||
b) Síkmozgást végző testek kinetikai energiája: | |||||||||||||||||||
Általános alak: , ahol | |||||||||||||||||||
- a rezgőrendszer általános koordinátához tartozó redukált tömege. | |||||||||||||||||||
Anyagi pont kinetikai energiája: . | |||||||||||||||||||
m - az anyagi pont tömege, | |||||||||||||||||||
Merev test kinetikai energiája: . | |||||||||||||||||||
m - a merev test tömege, | |||||||||||||||||||
c) A leggyakrabban előforduló, síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékai: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
d) Speciális síkmozgást végző testek kinetikai energiája: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
e) A Q általános erő meghatározása: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
f) A Q általános erő speciális esetben: | |||||||||||||||||||
Csak olyan egyszerűbb rezgőrendszereket vizsgálunk, ahol az általános erő az alábbi három részre bontható: | |||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
g) Rezgőrendszerek osztályozása: | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
h) Gyakorlati példák egyszabadságfokú rezgőrendszerekre: | |||||||||||||||||||
1. példa: vasúti kocsi ütközése vágány végét lezáró baknak. | |||||||||||||||||||
2. példa: felvonó kötéllel, vontató kötéllel történő mozgatás. | |||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||
3. példa: hatómű tengelye. | |||||||||||||||||||
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó hat szóval! Az egy szabadságfokú mozgások esetén olyan rezgőrendszereket vizsgálunk, amelyek , vagy tartalmaznak, és amelyek mozgása koordináta felhasználásával leírható. ![]() | |||||||||||||||||
2. A következő kérdés a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletre vonatkozik. Nevezze meg az egyenlet elemeit! Írja az elemek neve előtti kisbetűt a neki megfelelő jel (egyenlet elem) mellé! a) idő b) a differenciálás jele c) a parciális differenciálás jele x) a kinetikai energia y) az általános koordináta sebesség z) az általános koordináta w) az általános erő
![]() | |||||||||||||||||
3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! A Q általános erő fizikai tartalma: koordináta tartozó . ![]() | |||||||||||||||||
4. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Az anyagi pont kinetikai energiáját meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
5. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Síkmozgást végző testek esetében a merev testkinetikai energiáját meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A kérdés a síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékaira vonatkozik. | |||||||||||||||||
A merev henger tehetetlenségi nyomatékát a mozgás síkjára merőleges S ponti tengelyre meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
7. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A kérdés a síkmozgást végző testek tehetetlenségi nyomatékaira vonatkozik. | |||||||||||||||||
A merev prizmatikus rúd tehetetlenségi nyomatékát a mozgás síkjára merőleges S ponti tengelyre meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
8. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A Steiner-tétel helyes alakja, ahol: ..., s és a a mozgás síkjára merőleges, egymással párhuzamos tengelyek. ![]() | |||||||||||||||||
9. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A kérdés a speciális síkmozgást végző testek kinetikai energiájára vonatkozik. | |||||||||||||||||
A gördülő mozgást végző test kinetikai energiájának a P ponti tengelyre számított jellemzővel felírt helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
10. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A kérdés a rögzített pont körüli forgó mozgást (fizikai inga) végző testek kinetikai energiájára vonatkozik. | |||||||||||||||||
A rögzített pont körüli forgó mozgást végző test kinetikai energiájának az A ponti tengelyre számított jellemzővel felírt helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
11. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A kérdés a rögzített pont körüli forgó mozgást (fizikai inga) végző testek kinetikai energiájára vonatkozik. | |||||||||||||||||
A rögzített pont körüli forgó mozgást végző test kinetikai energiájának az S ponti tengelyre számított jellemzővel felírt helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
12. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Merev testre ható általános erőrendszer teljesítményét meghatározó helyes összefüggés: ..., ahol: n - az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma, m - az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma, - az erő támadáspontjának a sebessége, - a merev test szögsebessége. ![]() | |||||||||||||||||
13. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Q általános erőt meghatározó helyes összefüggés: ..., ahol: n - az erőrendszerhez tartozó koncentrált erők száma, m - az erőrendszerhez tartozó koncentrált nyomatékok száma, - az erő támadáspontjának az egységnyi koordináta sebességhez tartozó sebessége, - a merev testnek az egységnyi koordináta sebességhez tartozó szögsebessége. ![]() |