KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: II. modul: Matematikai alapok

2.5. lecke: Mátrix sajátértékei és sajátvektorai

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • felírni egy mátrix sajátérték feladatot;
  • meghatározni egy mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Tananyag
  • A sajátérték feladat kitűzése:
    Létezik-e olyan n ¯ ¯ oszlopmátrix, amellyel az A ¯ ¯ négyzetes mátrixot megszorozva, az n ¯ ¯ oszlopmátrix valahányszorosát kapjuk:
    A ¯ ¯ n ¯ ¯ =λ n ¯ ¯,
    ahol a λ skaláris mennyiség?
    Ha létezik ilyen n ¯ ¯ oszlopmátrix, akkor ezt az A ¯ ¯ négyzetes mátrix sajátvektorának, a λ skaláris mennyiséget pedig az A ¯ ¯ mátrix sajátértékének nevezzük.
  • A sajátérték feladat megoldása:
    A sajátérték feladat megoldását egy (2×2)-es mátrixon mutatjuk be.
    Az előző egyenletet részletesen kiírva és bal oldalra rendezve:
    [ a 11 a 12 a 21 a 22 ][ n x n y ]=λ[ n x n y ] , [ a 11 a 12 a 21 a 22 ][ n x n y ]λ[ n x n y ]=[ 0 0 ] ,
    és a szorzásokat elvégezve, az n x , n y ismeretlenre homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk:
    ( a 11 λ) n x + a 12 n y =0, a 21 n x +( a 11 λ) n y =0.
    Az egyenletrendszer nemtriviális (nullától különböző) megoldásának feltétele az, hogy a rendszer együttható mátrixából képezett determinánsnak el kell tűnnie:
    | ( a 11 λ) a 12 a 21 ( a 11 λ) |=0.
    A determinánst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet:
    λ 2 ( a 11 + a 22 )λ+( a 11 a 22 a 12 a 21 )=0 .
    A karakterisztikus egyenlet megoldásai a mátrix sajátértékei:
    λ 1,2 = ( a 11 + a 22 )± ( a 11 + a 22 ) 2 +4 a 12 a 21 2 .
    A homogén lineáris algebrai egyenletrendszernek csak λ= λ 1 és λ= λ 2 esetén van nemtriviális megoldása.
    A mátrix sajátértékeit általában növekvő sorrendben szokás sorszámozni.
    Ha az egyes λ i (i=1,2) sajátértékeket behelyettesítjük a homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe, akkor az egyenletrendszer megoldható az n ix , n iy ismeretlenre:
    ( a 11 λ i ) n ix + a 12 n iy =0 a 21 n ix +( a 11 λ i ) n iy =0 } n ix = n iy = , ahol i=1,2.
    Az λ i (i=1,2) sajátértékek behelyettesítése esetén azonban az egyenletrendszer egyenletei egymástól nem lineárisan függetlenek, ezért az egyik egyenletet el kell hagyni és a másik egyenletből csak az n ix / n iy , vagy n iy / n ix (i=1,2) hányados határozható meg.
    Az n ix és n iy értékét akkor kapjuk meg egyértelműen, ha az n ¯ ¯ i T =[ n ix n iy ] sajátvektoroktól megköveteljük, hogy egységvektorok legyenek:
    n ix 2 + n iy 2 =1 , i=1,2.
Gyakorló feladat

Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása

Adott: A ¯ ¯ =[ 3000 03040 04090 ] .

Feladat: Az A ¯ ¯ mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározása.

Kidolgozás:

  • A megoldandó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer:
    [ (30λ)00 0(30λ)40 040(90λ) ][ n x n y n z ]=[ 0 0 0 ] , vagy
    (30λ) n x =0 (30λ) n y 40 n z =0 40 n y +(90λ) n z =0 } .
  • A karakterisztikus egyenlet:
    | (30λ)00 0(30λ)40 040(90λ) |=0 ,
    (30λ)[ (30λ)(90λ)4040 ]=0 ,
    (30λ)( λ 2 120λ+1100)=0 .
  • A karakterisztikus egyenlet megoldása, a mátrix sajátértékei:
    (30λ)=0 λ 1 =30 ,
    ( λ 2 120λ+1100)=0 λ 2 =10 , λ 3 =110 .
  • A mátrix sajátvektorai, a sajátértékek behelyettesítése a lineáris algebrai egyenletrendszerbe:
    A λ 1 =30 sajátértékhez tartozó sajátvektor:
    (30 λ 1 ) n 1x =0 (30 λ 1 ) n 1y 40 n 1z =0 40 n 1y +(90 λ 1 ) n 1z =0 } (30+30) n 1x =0 (30+30) n 1y 40 n 1z =0 40 n 1y +(90+30) n 1z =0 } .
    A 2. és 3. egyenletből: n 1y = n 1z =0 .
    Az 1. egyenletből: n 1x tetszőleges érték.
    Legyen a sajátvektor egységvektor, így: [ n ¯ ¯ 1 ] T =[ 100 ] .
    A λ 2 =10 sajátértékhez tartozó sajátvektor:
    (30 λ 2 ) n 2x =0 (30 λ 2 ) n 2y 40 n 2z =0 40 n 2y +(90 λ 2 ) n 2z =0 } (3010) n 2x =0 (3010) n 2y 40 n 2z =0 40 n 2y +(9010) n 2z =0 } .
    Az 1. egyenletből: n 2x =0 .
    A 2., vagy 3. egyenletből: n 2y =2 n 2z .
    Legyen a sajátvektor egységvektor: n 2y 2 +4 n 2y 2 =1 , n 2y = 1 5 .
    Tehát a λ 2 -höz tartozó sajátvektor: [ n ¯ ¯ 2 ] T =[ 0 1 5 2 5 ] .
    A λ 3 =110 sajátértékhez tartozó sajátvektor:
    (30 λ 3 ) n 3x =0 (30 λ 3 ) n 3y 40 n 3z =0 40 n 3y +(90 λ 3 ) n 3z =0 } (30110) n 3x =0 (30110) n 3y 40 n 3z =0 40 n 3y +(90110) n 3z =0 } .
    Az 1. egyenletből: n 3x =0 .
    A 2., vagy 3. egyenletből: n 3y =2 n 3z .
    Legyen a sajátvektor egységvektor: n 3y 2 +4 n 3y 2 =1 , n 3y = 1 5 .
    Tehát a λ 3 -höz tartozó sajátvektor: [ n ¯ ¯ 3 ] T =[ 0 1 5 2 5 ] .