KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete
3.7. lecke: Gyakorló feladatok egyszabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírására
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Az egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenletének felírásakor mindig arra is törekszünk, hogy a vizsgált rendszert a 3.5. leckében látható ún. redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre vezessük vissza. | ||
1. Gyakorló feladat: Szabad csillapítatlan rezgőrendszer | ||
Adott: A hosszúságú, súlytalan, merev rúd és m, a, , . | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
1. A feladat megoldása általános koordináta választással | ||
Általános koordináta: | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
Az anyagi pont sebessége: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugókban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: | ||
, vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
2. A feladat megoldása általános koordináta választással | ||
Általános koordináta: | ||
- a B pont elmozdulása, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
Az anyagi pont sebessége: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugókban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: | ||
, vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
Megjegyzés: A redukált mennyiségek ( és ) függenek az általános koordináta választástól! | ||
2. Gyakorló feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer | ||
Adott: A homogén tömegeloszlású, merev henger és m, k, R, , . | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
1. A feladat megoldása általános koordináta választással | ||
Általános koordináta: | ||
- szögelfordulás, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugókban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános csillapító erő meghatározása: . | ||
, | ||
. | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános csillapítási tényezője: . | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: | ||
, vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
2. A feladat megoldása általános koordináta választással | ||
Általános koordináta: | ||
- a B pont elmozdulása, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugókban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános csillapító erő meghatározása: . | ||
, | ||
. | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános csillapítási tényezője: . | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: | ||
, vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
Megjegyzés: A redukált mennyiségek (, és ) függenek az általános koordináta választástól! | ||
3. Gyakorló feladat: Szabad csillapítatlan rezgőrendszer | ||
Adott: A merev és súlytalan CAB rúdszerkezet és , a, b, , , , , , ,. | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
Általános koordináta választás: - szögelfordulás, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugóállandójú rugó hosszváltozása: . | ||
A rugókban felhalmozott energia: | ||
. | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: | ||
, vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
4. Gyakorló feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer | ||
Adott: A merev, homogén tömegeloszlású AB rúd és , l, k, ,. | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
Általános koordináta választás: - szögelfordulás, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugókban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános csillapító erő meghatározása: . | ||
. | ||
A csillapító erő: . | ||
A dugattyú relatív sebességének meghatározása: , . | ||
. | ||
. | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános csillapítási tényezője: . | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: , vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
5. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszer | ||
Adott: Az R sugarú, merev, homogén tömegeloszlású henger és , R, c, valamint. | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
Általános koordináta választás: - szögelfordulás, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugókban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános gerjesztő erő meghatározása: . | ||
, | ||
. | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános visszatérítő erőt az egyenlet bal oldalára rendezve: , vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
6. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapítatlan rezgőrendszer | ||
Adott: A merev, súlytalan ABC rúdszerkezet és , a, b, , . | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
Általános koordináta választás: - szögelfordulás, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugó hosszváltozása: . | ||
A rugóban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános gerjesztő erő meghatározása: . | ||
, | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános visszatérítő erőt az egyenlet bal oldalára rendezve: , vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
7. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapított rezgőrendszer | ||
Adott: A merev, súlytalan ABCD rúdszerkezet és , , a, b, , k,. | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
Általános koordináta választás: - szögelfordulás, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugó hosszváltozása: . | ||
A rugóban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános csillapító erő meghatározása: . | ||
. | ||
A csillapító erő: . | ||
A dugattyú relatív sebességének meghatározása: ,. | ||
A csillapító erő: . | ||
. | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános csillapítási tényezője: . | ||
Az általános gerjesztő erő meghatározása: . | ||
, | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: | ||
, vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
8. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapított rezgőrendszer | ||
Adott: Az R sugarú, tömegű merev, homogén tömegeloszlású tárcsa és , , R, c, k, , , . | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
Általános koordináta választás: - a B pont elmozdulása, | ||
A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: . | ||
A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: , , . | ||
A rugó hosszváltozása: | ||
. | ||
A rugóban felhalmozott energia: . | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: . | ||
Az általános visszatérítő erő meghatározása: . | ||
Az általános csillapító erő meghatározása: . | ||
A dugattyú relatív sebességének meghatározása: | ||
, | ||
, | ||
. | ||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános csillapítási tényezője: . | ||
Az általános gerjesztő erő meghatározása: . | ||
, , | ||
. | ||
Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: , vagy | ||
A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: | ||
A redukált rezgőrendszer: | ||
Önellenőrző kérdések | |||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||
I. Határozza meg a következő adatok és ábra segítségével megadott gerjesztett csillapított rezgőrendszer mozgásegyenletét és a helyettesítő rezgőrendszer jellemzőit! | |||||||||||
Adott: A 2l hosszúságú, tömegű merev prizmatikus rúd és , , l, c, k, ,. | |||||||||||
Feladat: | |||||||||||
Általános koordináta választás: - a rúd szögelfordulása. | |||||||||||
1. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: ![]() | |||||||||||
2. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános csillapítási tényezője: ![]() | |||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezgőrendszer általános koordináta választáshoz tartozó redukált rugóállandója: ![]() | |||||||||||
4. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezgőrendszerhez tartozó általános gerjesztő erő: ![]() | |||||||||||
5. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Általános koordináta választás: - a rúd szögelfordulása. | |||||||||||
A rezgőrendszer mozgásegyenlete a rúd kis szögelfordulása esetén: ![]() |