KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása
4.5. lecke: A csillapított szabad rendszer rezgései
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Csillapított: a rezgőrendszerben van csillapító elem. | ||
Szabad: a rezgőrendszerben nincs gerjesztés. | ||
A csillapított szabad rezgőrendszer helyettesítő modellje: | ||
. | ||
A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete: vagy , | ||
ahol és . | ||
- a rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség, | ||
A mozgásegyenlet általános megoldása: , ahol | ||
- komplex állandó, | ||
Csillapított szabad rezgések esetén a csillapítás mértékétől függően három eset léphet fel: | ||
a) Rezgések alakulnak ki, ha > azaz, ha valós mennyiség. | ||
Ekkor az általános megoldás: . | ||
A komplex sebességvektor: . | ||
Kezdeti feltételek: | ||
, | ||
. | ||
Tehát a komplex megoldás: . | ||
A komplex sebességvektor: , komplex szám. | ||
, | ||
, | ||
. | ||
a csillapítás mértékét jellemző szög. | ||
. | ||
A és komplex vektorok szöget zárnak be egymással. (Az összefüggésből látható, hogy -ből a az óramutató járásával ellentétes irányú, nagyságú elforgatással kapható.) | ||
A komplex elmozdulás vektor az xq komplex síkon logaritmikus spirálist ír le. | ||
. | ||
A legnagyobb kitérést nem a képzetes tengelyen kapjuk, hanem előtte szöggel. | ||
A csillapítás mértéke: logaritmikus dekrementum. | ||
Vizsgájuk meg, hogy egy (tetszőleges) periódus alatt mennyit csökken a kitérés (elmozdulás). | ||
Állítsuk elő a periódus kezdetén és a periódus végén fellépő kitérés hányadosát: | ||
Átalakítás: | ||
A periódus idő (rezgésidő): . | ||
Ezt behelyettesítve a hányadosba: . | ||
Az ábra hasonló háromszögeiből: . | ||
Logaritmikus dekrementum: . | ||
A rezgőrendszer csillapítására jellemző mennyiség. | ||
b) Nem alakulnak ki rezgések, ha = azaz, ha . | ||
Ekkor az általános megoldást alakban keressük. | ||
A karakterisztikus egyenlet megoldása: . | ||
A matemetikából tanultak alapján az általános megoldás: , ahol A és C kezdeti feltételekből meghatározható állandók. | ||
A megoldás ebben az esetben aperiodikus (nem periodikus) mozgást ír le. | ||
a mozgás "lecseng" (a kitérések nullához tartanak). | ||
c) Nem alakulnak ki rezgések, ha < azaz, ha képzetes. | ||
Ekkor az általános megoldást alakban keressük. | ||
A karakterisztikus egyenlet megoldása: . | ||
Az általános megoldás: , ahol: | ||
| ||
A megoldás ebben az esetben is aperiodikus (nem periodikus) mozgást ír le. | ||
a mozgás "lecseng" (a kitérések nullához tartanak). | ||
Gyakorló feladat: Szabad csillapított rezgőrendszer | ||
Adott: | ||
kg, | ||
Feladat: | ||
a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása: | ||
, | ||
, | ||
, | ||
rad/s. | ||
. | ||
. | ||
b) Kialakul-e rezgés? | ||
, ezért kialakul rezgés. | ||
c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása: | ||
, , | ||
, | ||
, | ||
Kezdeti feltételek: | ||
. | ||
mm. | ||
d) A logaritmikus dekrementum meghatározása: . | ||
e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása: | ||
, , . |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Csillapított rezgőrendszerben van elem. ![]() | |||||||||||||||||
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Szabad rezgőrendszerben nincs . ![]() | |||||||||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A csillapított szabad rezgőrendszer esetében: ![]() | |||||||||||||||||
4. Válassza ki a két helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete: ![]() | |||||||||||||||||
5. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenletében a jelentése:
![]() | |||||||||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A csillapított szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenletében az jelentése:
![]() | |||||||||||||||||
7. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A csillapított szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldása: ![]() | |||||||||||||||||
8. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A csillapított szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldásában a jelentése:
![]() | |||||||||||||||||
9. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Csillapított szabad rezgések esetén rezgések alakulnak ki, ha:
![]() | |||||||||||||||||
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! Logaritmikus dekrementum a rezgőrendszer jellemző mennyiség. ![]() | |||||||||||||||||
11. Válassza ki a két helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A logaritmikus dekrementumot meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||
12. Oldja meg a szabad csillapított rezgőrendszerrel kapcsolatos feladatokat, majd válaszoljon a feltett kérdésekre! | |||||||||||||||||
Adott: | |||||||||||||||||
kg, | |||||||||||||||||
Feladat: | |||||||||||||||||
a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának meghatározása. | |||||||||||||||||
I. Írja be a helyes eredményt (egész számot)! A csillapítatlan szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája: rad/s. ![]() | |||||||||||||||||
II. Írja be a helyes eredményt (egész számot)! A rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség: ![]() | |||||||||||||||||
III. Írja be a helyes eredményt (egész számot)! A fenti rezgőrendszer körfrekvenciája: rad/s. ![]() | |||||||||||||||||
IV. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A fenti rezgőrendszer esetében kialakul-e a rezgés?
![]() | |||||||||||||||||
V. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A keresett függvény:
![]() | |||||||||||||||||
VI. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A logaritmikus dekrementum értéke: ![]() | |||||||||||||||||
VII. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
A kitérés és a sebesség közötti fázisszög értéke: ![]() |