KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései

7.4. lecke: Mozgásegyenletek megoldása longitudinális kontinuumrezgéseknél

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni a rúd longitudinális kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldásának módszerét;
  • kiválasztani kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák számát;
  • kiválasztani a befalazott rúd longitudinális rezgései esetén az i-edik saját körfrekvenciát meghatározó összefüggést.
Tananyag

A rúd longitudinális kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását Fourier-módszerrel keressük meg.

Az általános megoldás u( x;t )=f(x)cos( αt+ε ) alakú.

A differenciálegyenletbe

2 u t 2 = α 2 f( x )cos( αt+ε ) , illetve 2 u x 2 = f ( x )cos( αt+ε )

értékeket helyettesítve

( E ρ f ( x )+ α 2 f( x ) )cos( αt+ε )=0

egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha

E ρ f ( x )+ α 2 f( x )=0

teljesül. Ez pedig közönséges másodrendű differenciálegyenlet, aminek megoldása a= E ρ helyettesítéssel

f( x )= D 1 cos α a x+ D 2 sin α a x

alakú, ahol a a longitudinális hullám hangsebessége.

Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Két jellemző peremfeltétel jöhet számításba. Az egyiknél a perem x irányban meg van fogva, a másiknál a perem nincs megfogva. Abban az esetben, ha a perem x irányban meg van fogva, akkor a

f=0

feltételnek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a perem nincs megfogva, akkor ott a rúderőnek kell megegyezni az ott valóban működő rúderő értékével, így ott az N 0 =AE u x feltételnek kell teljesülnie.

Gyakorló feladat: Befalazott rúd longitudinális rezgései

Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit.

A fentiekben bemutatott általános megoldást

u( x;t )=( D 1 cos α a x+ D 2 sin α a x)cos( αt+ε )

alakban keressük. A peremfeltételek x=0 helyen u=0 , tehát

u( x;t ) | x=0 = ( D 1 cos α a x+ D 2 sin α a x) | x=0 cos( αt+ε )=0

csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha D 1 =0 . Ezt figyelembe véve a másik peremfeltétel az x=l helyen nincs rúderő, vagyis ott

N=AE u x =0 u x | x=l =0

u x | x=l = [ x ( D 2 sin α a x)cos( αt+ϵ ) ] | x=l = α a D 2 ( cos α a l ) cos( αt+ϵ ) =0

feltételnek teljesülnie kell minden időpillanatban. Ez pedig csak akkor teljesül, ha cos α a l=0 , ami α a l= π 2 +kπ,( k=0,1,2,... ) esetén teljesül.

Ebből a sajátértékek az α i = a l [ π 2 +( i1 )π ],i=1,2,3,...

egyenletből meghatározhatók.

A legkisebb, vagyis az első saját körfrekvencia α 1 = E l ρ π 2 ,

a második saját körfrekvencia α 2 = E l ρ 3π 2 ,

a harmadik saját körfrekvencia α 3 = E l ρ 5π 2 ,

és az i-edik saját körfrekvencia α i = E l ρ ( 2i1 )π 2 ,( i=1,2,3,... ) .

A rúdnak tehát végtelen sok saját körfrekvenciája van.

Kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák száma végtelen.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

A rúd longitudinális kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását -módszerrel keressük meg.

2. Válassza ki a helyes megoldást!

Kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák száma:
1
2
6
8
9
10
100
végtelen

3. Válassza ki a helyes megoldást!

Befalazott rúd longitudinális rezgései esetén az i-edik saját körfrekvenciát meghatározó összefüggés helyes alakja:
α i = E l ρ iπ,( i=1,2,3,... )
α i = E l ρ ( 2i1 )π 2 ,( i=1,2,3,... )
α i = E l ρ ( 4 3 i1 )π,( i=1,2,3,... )
α i = E l ρ ( 3i1 )π,( i=1,2,3,... )