MODUL: II. modul: Matematikai alapok
2.2. lecke: Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- felírni és értelmezni egy komplex mennyiség algebrai, trigonometrikus, exponenciális alakját;
- meghatározni egy komplex mennyiség abszolút értékét, konjugáltját;
- elvégezni a komplex mennyiségek szorzását és osztását;
- elvégezni a komplex mennyiségek szög szerinti differenciálását, értelmezni az eredményt.
|
Tananyag |
Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. |
a) Komplex mennyiség algebrai alakja:, |
x - a z komplex szám valós (reális) része, y - a z komplex szám képzetes (imaginárius) része, i - a képzetes (imaginárius) egységvektor |

|
A képzetes egységvektor tulajdonságai: |
- , abszolút értéke egy,
- , önmagával vett szorzata mínusz egy.
|
A z komplex szám i-vel történő szorzása a z vektor 90°-os elforgatását eredményezi az óramutató forgásával ellentétes irányban: . |
b) Komplex mennyiség trigonometrikus alakja:, |
- a z komplex szám abszolút értéke (nagysága), - a z komplex szám x tengellyel bezárt szöge, - a z komplex szám valós (reális) része, - a z komplex szám képzetes (imaginárius) része. |

|
c) Komplex mennyiség exponenciális alakja:, ahol a természetes szám és r a komplex szám abszolút értéke (nagysága). |
Megjegyzés: |
- Az exponenciális alak az függvény sorfejtésével vezethető be.
- A trigonometrikus és az exponenciális alak egybevetéséből következik, hogy a komplex mennyiség az x tengellyel szöget bezáró komplex egységvektor: .
|
d) Komplex mennyiség abszolút értéke:. |
Az abszolút érték tulajdonságai: |
- ,
- ,
- a esetben.
|
e) Komplex mennyiség konjugáltja: |
A komplex szám konjugáltja: . |
Műveletek a konjugálttal: |
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
|
f) Komplex mennyiségek szorzása: |
- Szorzás algebrai alak esetén: .
- Szorzás trigonometrikus alak esetén:
. - Szorzás exponenciális alak esetén: .
|
Megjegyzés: |
- Az , és az x tengellyel , és szöget bezáró egységvektorok: .
- A szorzás komplex eredményvektora a komplex vektorhoz képest szöggel el van forgatva az óramutató járásával ellentétes irányban.
|
g) Komplex mennyiségek osztása: |
- Osztás algebrai alak esetén:
. - Osztás trigonometrikus alak esetén:
- Osztás exponenciális alak esetén: .
|
Megjegyzés: |
- Az , és az x tengellyel , és szöget bezáró egységvektorok: .
- Az osztás komplex eredményvektora a komplex vektorhoz képest szöggel el van forgatva az óramutató járásával megegyező irányban.
|
h) Komplex mennyiségek szög szerinti differenciálása: |
- Differenciálás exponenciális alak esetén: .
|
Az szög szerinti differenciálás a z komplex mennyiséget 90°-kal elforgatja az óramutató járásával ellentétes irányban |

|
- Differenciálás trigonometrikus alak esetén: .
|