KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei

5.4. lecke: Hajtómű tengelyek torziós rezgései, elágazásos modellek

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • felírni egy hajtómű modell kinetikai energiáját meghatározó összefüggést;
  • felírni egy hajtómű modell torziós rugóiban felhalmozott rugalmas energiát meghatározó összefüggést;
  • felírni a mozgásegyenlet-rendszert;
  • meghatározni a tömegmátrixot;
  • meghatározni a rugómátrixot;
  • értelmezni a rugómátrix jellemzőit.
Tananyag

Vizsgáljunk meg az ábrán látható hajtómű modelljét. Vizsgáljuk, csak a torziós (csavaró) rezgéseket. A rendszer kinetikai energiája:

E= i=1 6 1 2 J i ϕ ˙ i 2 = 1 2 J 1 ϕ ˙ 1 2 + 1 2 J 2 ϕ ˙ 2 2 + 1 2 J 3 ϕ ˙ 3 2 + 1 2 J 4 ϕ ˙ 4 2 + 1 2 J 5 ϕ ˙ 5 2 + 1 2 J 6 ϕ ˙ 6 2 ,

a rugókban felhalmozott rugalmas energia:

U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 2 γ 12 + ( ϕ 4 ϕ 3 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 γ 45 + ( ϕ 6 ϕ 3 ) 2 2 γ 36 .

A 2 és 3 jelű fogaskerekek közötti áttétel alapján ϕ 3 = D 2 D 3 ϕ 2 írható. Amennyiben az áttételtől is meg akarunk szabadulni, akkor a q 1 = D 2 ϕ 1 , q 2 = D 2 ϕ 2 = D 3 ϕ 3 , q 3 = D 3 ϕ 4 , q 4 = D 3 ϕ 5 illetve q 5 = D 3 ϕ 6 transzformációt kell alkalmazni, amivel a kinetikai energia:

E= i=1 5 1 2 m i q ˙ i 2 = 1 2 J 1 D 2 2 q ˙ 1 2 + 1 2 ( J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ) q ˙ 2 2 + 1 2 J 4 D 3 2 q ˙ 3 2 + 1 2 J 5 D 3 2 q ˙ 4 2 + 1 2 J 6 D 3 2 q ˙ 5 2 ,

és a rugókban felhalmozott potenciális energia:

U= ( q 2 q 1 ) 2 2 D 2 2 γ 12 + ( q 3 q 2 ) 2 2 D 3 2 γ 34 + ( q 4 q 3 ) 2 2 D 3 2 γ 45 + ( q 5 q 2 ) 2 2 D 3 2 γ 36 .

A mozgásegyenlet-rendszer ebben az esetben

J 1 D 2 2 q ¨ 1 + 1 D 2 2 γ 12 q 1 1 D 2 2 γ 12 q 2 =0 ( J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ) q ¨ 2 1 D 2 2 γ 12 q 1 +( 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 36 ) q 2 1 D 3 2 γ 34 q 3 1 D 3 2 γ 36 q 5 =0 J 4 D 3 2 q ¨ 3 1 D 3 2 γ 34 q 2 +( 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 ) q 3 1 D 3 2 γ 45 q 4 =0 J 5 D 3 2 q ¨ 4 1 D 3 2 γ 45 q 3 + 1 D 3 2 γ 45 q 4 =0 J 6 D 3 2 q ¨ 5 1 D 3 2 γ 36 q 2 + 1 D 3 2 γ 36 q 5 =0 }

módon írható.

A mozgásegyenlet-rendszerből felépíthető a tömegmátrix:

[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 0 0 0 0 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 0 0 J 4 D 3 2 0 0 0 0 0 J 5 D 3 2 0 0 0 0 0 J 6 D 3 2 ] ;

és a rugómátrix:

[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 0 0 0 1 D 2 2 γ 12 [ 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 36 ] 1 D 3 2 γ 34 0 1 D 3 2 γ 36 0 1 D 3 2 γ 34 ( 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 ) 1 D 3 2 γ 45 0 0 0 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 0 0 1 D 3 2 γ 36 0 0 1 D 3 2 γ 36 ].

A rugómátrix amellett, hogy sorainak, oszlopainak tagjait, ha összeadjuk zérust ad, vagyis nem kötött, és nem áttételes a rendszer, a főátló és a főátló melletti mátrixelemeken kívül is tartalmaz zérustól különböző mátrixelemet. A rugómátrix determinánsa zérus. Az ilyen rendszert nem kötött, áttételmentes, elágazásos rendszernek nevezzük.

Ennek a rendszernek a rezgéstani modellje a következő ábrán látható:

Az ábrázolt elágazásos, nem kötött, áttételmentes rezgéstani modell a fenti hajtómű modellből az alábbi összefüggésekkel származtatható:

q 1 = D 2 ϕ 1 ; q 2 = D 2 ϕ 2 = D 3 ϕ 3 ; q 3 = D 3 ϕ 4 ; q 4 = D 3 ϕ 5 ; q 5 = D 3 ϕ 6 ;

c 12 = D 2 2 γ 12 ; c 23 = D 3 2 γ 34 ; c 34 = D 3 2 γ 45 ; c 25 = D 3 2 γ 36

m 1 = J 1 D 2 2 ; m 2 = J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ; m 3 = J 4 D 3 2 ; m 4 = J 5 D 3 2 ; m 5 = J 6 D 3 2 .

Van olyan transzformáció, amely segítségével az elágazásos láncszerű rendszer áttranszformálható elágazásmentes láncszerű rendszerre, de ezzel, ennek bonyolultsága miatt, e tárgy keretein belül nem foglakozunk.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldást!

A fenti rendszer kinetikai energiáját meghatározó helyes összefüggés:
E= i=3 6 1 2 J i ϕ ˙ i 2 = 1 2 J 3 ϕ ˙ 3 2 + 1 2 J 4 ϕ ˙ 4 2 + 1 2 J 5 ϕ ˙ 5 2 + 1 2 J 6 ϕ ˙ 6 2
E= i=1 6 1 2 J i ϕ ˙ i 2 = 1 2 J 1 ϕ ˙ 1 2 + 1 2 J 2 ϕ ˙ 2 2 + 1 2 J 3 ϕ ˙ 3 2 + 1 2 J 4 ϕ ˙ 4 2 + 1 2 J 5 ϕ ˙ 5 2 + 1 2 J 6 ϕ ˙ 6 2
E= i=1 2 1 2 J i ϕ ˙ i 2 = 1 2 J 1 ϕ ˙ 1 2 + 1 2 J 2 ϕ ˙ 2 2
E= i=1 6 1 2 J i ϕ ˙ i 2 = 1 2 J 1 ϕ ˙ 1 2 + 1 2 J 2 ϕ ˙ 2 2 + 1 2 J 3 ϕ ˙ 3 2 + 1 2 J 4 ϕ ˙ 4 2 + 1 2 J 5 ϕ ˙ 5 2 + 1 2 J 6 ϕ ˙ 6 2
E= i=1 6 1 2 J i ϕ ˙ i 2 = 1 2 J 1 ϕ ˙ 1 2 + 1 2 J 2 ϕ ˙ 2 2 1 2 J 3 ϕ ˙ 3 2 1 2 J 4 ϕ ˙ 4 2 1 2 J 5 ϕ ˙ 5 2 1 2 J 6 ϕ ˙ 6 2

2. Válassza ki a helyes megoldást!

A fenti rendszer esetében a rugókban felhalmozott rugalmas energiát meghatározó helyes összefüggés:
U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 2 γ 12 ( ϕ 4 ϕ 3 ) 2 2 γ 34 ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 γ 45 ( ϕ 6 ϕ 3 ) 2 2 γ 36
U= ( ϕ 1 ϕ 2 ) 2 2 γ 12 + ( ϕ 3 ϕ 4 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 4 ϕ 5 ) 2 2 γ 45 + ( ϕ 3 ϕ 6 ) 2 2 γ 36
U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 2 γ 12 [ ( ϕ 4 ϕ 3 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 γ 45 + ( ϕ 6 ϕ 3 ) 2 2 γ 36 ]
U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 2 γ 12 + ( ϕ 4 ϕ 3 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 γ 45 + ( ϕ 6 ϕ 3 ) 2 2 γ 36
U= ( ϕ 1 ϕ 2 ) 2 2 γ 12 [ ( ϕ 3 ϕ 4 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 4 ϕ 5 ) 2 2 γ 45 + ( ϕ 3 ϕ 6 ) 2 2 γ 36 ]

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A fenti rendszer esetében a mozgásegyenlet-rendszerből felépíthető tömegmátrix:
[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 0 0 0 0 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 0 0 J 4 D 3 2 0 0 0 0 0 J 5 D 3 2 0 0 0 0 0 J 6 D 3 2 ]
[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 1 1 1 1 1 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 1 1 1 1 1 J 4 D 3 2 1 1 1 1 1 J 5 D 3 2 1 1 1 1 1 J 6 D 3 2 ]
[ M ¯ ¯ ]=[ 1 0 0 0 J 1 D 2 2 0 1 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 J 4 D 3 2 0 0 0 J 5 D 3 2 0 1 0 J 6 D 3 2 0 0 0 1 ]
[ M ¯ ¯ ]=[ J 6 D 1 2 0 0 0 0 0 J 1 D 1 2 + J 2 D 2 2 0 0 0 0 0 J 4 D 3 2 0 0 0 0 0 J 5 D 3 2 0 0 0 0 0 J 3 D 3 2 ]
4. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

Hajtómű tengelyek torziós rezgései, elágazásos modellek esetén a rugómátrix amellett, hogy sorainak, oszlopainak tagjait, ha összeadjuk ad, vagyis nem , és nem a rendszer, a főátló és a főátló melletti mátrixelemeken is tartalmaz zérustól különböző mátrixelemet.

5. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Hajtómű tengelyek torziós rezgései, elágazásos modellek esetén a rugómátrix determinánsa .

6. Válassza ki a három helyes megoldást!

A rendszer jellemzői hajtómű tengelyek torziós rezgései esetén:
nem kötött rendszer
kötött rendszer
áttételmentes rendszer
áttételes rendszer
nem elágazásos rendszer
elágazásos rendszer