KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: II. modul: Matematikai alapok

2.3. lecke: A hiperbolikus és a Krülov-függvények

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • felírni/ábrázolni és értelmezni az exponenciális, hiperbolikus függvény algebrai és grafikus alakját;
  • felírni és értelmezni a Krülov-függvényeket, valamint x szerinti első, második és harmadik deriváltjukat.
Tananyag

a) Az exponenciális függvény:

Értelmezése: y= e x = lim n ( 1+ x n ) n = n=0 x n n! .

Kiejtés: y egyenlő é ad x.

A faktoriális (n faktoriális): n!=1234n .

A természetes szám: e 1 =e= lim n ( 1+ 1 n ) n = n=0 1 n! 2,718281 .

b) A hiperbolikus függvények:

Értelmezés: y=shx= e x e x 2 .

Kiejtés: y egyenlő szinusz hiperbolikusz x.

y=chx= e x + e x 2 .

Kiejtés: y egyenlő koszinusz hiperbolikusz x.

c) A Krülov-függvények:

Értelmezés: a Krülov függvényeket hiperbolikus és trigonometrikus függvények lineáris kombinációja szolgáltatja:

S(kx)= 1 2 ( chkx+coskx ) , T(kx)= 1 2 ( shkx+sinkx ) ,

U(kx)= 1 2 ( chkxcoskx ) , V(kx)= 1 2 ( shkxsinkx ) ,

ahol k valós állandó.

A függvények x szerinti első deriváltjai:

dS dx =k 1 2 ( shkxsinkx )=kV(kx) , dT dx =k 1 2 ( chkx+coskx )=kS(kx) ,

dU dx = 1 2 ( shkx+sinkx )=kT(kx) , dV dx = 1 2 ( chkxcoskx )=kU(kx) .

A függvények második és harmadik deriváltjai:

d 2 S d x 2 = k 2 U(kx) , d 2 T d x 2 = k 2 V(kx) , d 2 U d x 2 = k 2 S(kx) , d 2 V d x 2 = k 2 T(kx) .

d 3 S d x 3 = k 3 T(kx) , d 3 T d x 3 = k 3 U(kx) , d 3 U d x 3 = k 3 V(kx) , d 3 V d x 3 = k 3 S(kx) .