KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei
5.3. lecke: Rudak torziós lengései, egyszerű hajtómű modell
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható hajtómű modelljét! A hajtómű két tengelyből és öt fogaskerékből áll. A 2 és 3 jelű fogaskerekek hézag nélkül kapcsolódnak egymáshoz. A fogaskerekeket merev tárcsákkal (korongokkal), míg a tengelyeket súlytalan, rugalmas rudakkal modellezzük. A tengelyeknél csak a csavarodási rugalmasságot vesszük figyelembe. | ||
Jelölje az egyes fogaskerekek szögelfordulását . Az egyes fogaskerekeknek a forgástengelyre számolt tehetetlenségi nyomatéka . | ||
A rendszer kinetikai energiája: . | ||
A tengelyek poláris másodrendű nyomatékai: | ||
, | ||
torziós rugóállandói (lásd 4.3. pont): | ||
. | ||
A tengelyekben felhalmozódott rugalmas energia | ||
. | ||
Tekintsük először a szögelfordulásokat a rendszer általános koordinátáinak. A 2 és 3 jelű fogaskerekek közötti áttétel alapján írható, ezzel a kinetikai energia: | ||
, | ||
illetve a rugóenergia: | ||
. | ||
A mozgásegyenlet-rendszer | ||
alakú. | ||
Bevezetve az általános koordináták | ||
oszlopmátrixát, illetve annak második deriváltját, a mozgásegyenlet-rendszerre | ||
írható, ahol a tömegmátrix és a rugómátrix | ||
, | ||
alakú. | ||
A tömegmátrix kielégíti a láncszerű rendszerekre vonatkozó feltételeket, de a rugómátrix nem, hiszen az egyes sorainak vagy oszlopainak a tagjait, ha összeadjuk nem kapunk nullát, annak ellenére, hogy a rendszer nem kötött. | ||
Az áttételes rendszer egy alkalmasan megválasztott transzformációval áttételmentes rendszerre hozható. Vezessük be a , , , illetve transzformációt. Ezzel a rendszer kinetikai energiája | ||
, | ||
a rugóenergia | ||
összefüggésre vezet. A mozgásegyenlet-rendszerre ebben az esetben | ||
írható. | ||
A tömegmátrix ebben az esetben | ||
, | ||
amely kielégíti a láncszerű rezgőrendszerre vonatkozó kritériumot. | ||
A rugómátrix | ||
alakúra változott, amely szintén kielégíti a láncszerű rezgőrendszerre vonatkozó kritériumokat. | ||
A hajtómű helyettesítő láncszerű modellje | ||
alakú, amely nem kötött rendszer. A modellben a , , , illetve általános koordinátaválasztáshoz tartozó általános (redukált) tömegek és általános (redukált) rugóállandók az alábbi összefüggésekkel származtathatók: | ||
Többszabadságfokú láncszerű rendszereknél előfordul, hogy a rendszer több láncszerű rendszerre esik szét, amely rendszerek szabadságfokainak összege megegyezik a többszabadságfokú rendszer szabadságfokával. Az is előfordulhat, hogy e részrendszerek között egyszabadságfokú rezgőrendszer is található. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval! Egyszerű hajtómű modell esetén a fogaskerekeket , míg a tengelyeket és rúddal modellezzük. ![]() | |||||||||
2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Egyszerű hajtómű modell esetén a tengelyeknél csak a vesszük figyelembe ![]() | |||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||
A tömegmátrix jellemző alakja egy áttételmentes rendszerben: ![]() | |||||||||
4. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||
A rugómátrix jellemző alakja egy áttételmentes rendszerben: ![]() |