KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései
7.4. lecke: Mozgásegyenletek megoldása longitudinális kontinuumrezgéseknél
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
A rúd longitudinális kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását Fourier-módszerrel keressük meg. | ||
Az általános megoldás alakú. | ||
A differenciálegyenletbe | ||
, illetve | ||
értékeket helyettesítve | ||
egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha | ||
teljesül. Ez pedig közönséges másodrendű differenciálegyenlet, aminek megoldása helyettesítéssel | ||
alakú, ahol a longitudinális hullám hangsebessége. | ||
Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Két jellemző peremfeltétel jöhet számításba. Az egyiknél a perem x irányban meg van fogva, a másiknál a perem nincs megfogva. Abban az esetben, ha a perem x irányban meg van fogva, akkor a | ||
feltételnek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a perem nincs megfogva, akkor ott a rúderőnek kell megegyezni az ott valóban működő rúderő értékével, így ott az feltételnek kell teljesülnie. |
Gyakorló feladat: Befalazott rúd longitudinális rezgései | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit. | ||
A fentiekben bemutatott általános megoldást | ||
alakban keressük. A peremfeltételek helyen , tehát | ||
csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha . Ezt figyelembe véve a másik peremfeltétel az helyen nincs rúderő, vagyis ott | ||
feltételnek teljesülnie kell minden időpillanatban. Ez pedig csak akkor teljesül, ha , ami esetén teljesül. | ||
Ebből a sajátértékek az | ||
egyenletből meghatározhatók. | ||
A legkisebb, vagyis az első saját körfrekvencia , | ||
a második saját körfrekvencia , | ||
a harmadik saját körfrekvencia , | ||
és az i-edik saját körfrekvencia . | ||
A rúdnak tehát végtelen sok saját körfrekvenciája van. |
Kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák száma végtelen. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A rúd longitudinális kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását -módszerrel keressük meg. ![]() | |||||||||||||||||
2. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Kontinuumrezgések esetén a saját körfrekvenciák száma:
![]() | |||||||||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||||||
Befalazott rúd longitudinális rezgései esetén az i-edik saját körfrekvenciát meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() |