KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai
6.1. lecke: Diszkrét rezgőrendszerek
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
Az 5. leckében tárgyalt szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének legáltalánosabb alakjára az mátrixegyenlet írható. | ||
A mozgásegyenlet-rendszer közönséges, másodrendű, lineáris, hiányos, inhomogén differenciálegyenlet-rendszer. Mind az mátrix, mind a mátrix mérete , vagyis a mátrixok N sort és N oszlopot tartalmaznak. | ||
Az ilyen differenciálegyenlet-rendszer megoldását | ||
alakban keressük, ahol a homogén differenciálegyenlet-rendszernek az általános, míg az inhomogén differenciálegyenlet-rendszernek egy partikuláris megoldása. | ||
Keressük először a | ||
homogén egyenlet általános megoldását | ||
alakban. Helyettesítsük vissza az általános megoldást a differenciálegyenlet-rendszerbe. A második derivált | ||
, | ||
amit a differenciálegyenletbe helyettesítve | ||
egyenletet kapjuk. Mivel nem azonosan nulla, ezért az egyenlet csak akkor teljesül minden időpontban, ha az együtthatójuk zérus értékű. Ezzel a fenti egyenletből az | ||
, | ||
általánosított sajátérték feladatot kapjuk, amely egy lineáris homogén egyenletrendszert ad oszlopmátrix elemeire, ahol a sajátérték, a sajátvektor. | ||
A fenti lineáris homogén egyenletrendszernek akkor van triviálistól különböző (zérustól különböző) megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa zérusértékű, vagyis | ||
. | ||
Ennek a determinánsnak a kifejtésével a | ||
N-ed fokúra visszavezethető karakterisztikus egyenlethez jutunk. | ||
Ha szimmetrikus és pozitív definit, valamint szimmetrikus és pozitív szemidefinit, akkor bizonyítható, hogy ennek a karakterisztikus egyenletnek -re való megoldása mindig N db. nulla vagy pozitív értékre vezet, amiből az saját körfrekvenciák számíthatók. Tehát egy N szabadságfokú diszkrét rendszernek N db. saját körfrekvenciája van. | ||
A saját körfrekvenciákat növekvő sorrendben sorba rendezzük: . Ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus értékű akkor azt nulladik saját körfrekvenciának, a legkisebb nullától különbözőt első, és így tovább a legnagyobb saját körfrekvenciát -edik saját körfrekvenciának nevezzük. | ||
Valamennyi saját körfrekvencia kielégíti a karakterisztikus egyenletet, így a homogén egyenlet általános megoldásában ezek szuperpozícióját írhatjuk. A homogén differenciálegyenlet általános megoldása így | ||
alakban írható, ha a legkisebb saját körfrekvencia nem zérus, és | ||
alakban írható, ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus. | ||
A fenti összefüggésekben mennyiségek a kezdeti paraméterekből határozhatók meg. A oszlop minden elemének értéke 1, míg oszlopmátrixok koordinátái az | ||
általánosított sajátérték feladatból határozható meg. Megoldásként oszlopmátrix koordinátáit kapjuk, amelyek a rezgés amplitúdójával arányosak, illetve rögzített i értékhez tartozóan, ezen amplitúdók egymáshoz viszonyított arányát kapjuk. Ez a viszony megadja az i-edik sajátfrekvenciához tartozó rezgésképet. Ezzel a kérdéssel a 6.3. leckében foglalkozunk. | ||
Hajlító lengések esetén, a homogén differenciálegyenlet-rendszer megoldása során | ||
lineáris egyenletrendszerhez jutunk. Az egyenletrendszert -tel végigosztva, és bevezetve a mennyiséget, a karakterisztikus egyenletet az | ||
determináns kifejtésével nyerjük. Ez pedig nem más, mint az mátrix sajátérték feladata. | ||
A csillapításmentes gerjesztett rendszer megoldását mindig olyan alakban keressük, mint amilyen alakban a differenciálegyenlet jobboldalán álló un. zavaró mátrix adott. Így abban az esetben, ha a zavaró mátrix függvénye alakban van megadva, akkor a partikuláris megoldást is alakban keressük. Hasonlóan, ha a zavaró mátrix alakú, akkor a partikuláris megoldást is alakban keressük. Ha a zavaró mátrix több tagból áll, akkor a partikuláris megoldást is több tagban keressük mindegyik zavaró tagmátrixhoz külön-külön megkeresve a megoldást. | ||
Legyen a zavaró mátrix alakú. | ||
Ebben az esetben a partikuláris megoldást alakban keressük, amelynek az idő szerinti második deriváltja . | ||
A fenti összefüggéseket a differenciálegyenlet-rendszerbe helyettesítve | ||
egyenletrendszert kapjuk, amelynek minden időpontban teljesülnie kell. | ||
Ebből az következik, hogy a trigonometrikus függvény együtthatójának a két oldalon meg kell egyezni: . | ||
Ezzel a mátrix elemeire egy lineáris algebrai inhomogén egyenletrendszert kaptunk, amelynek megoldása adja a keresett partikuláris megoldás együtthatómátrixát. Ennek az inhomogén egyenletrendszernek akkor van egyértékű megoldása, ha az egyenletrendszer együtthatómátrixának a determinánsa nem nulla, vagyis | ||
teljesül. (Könnyen belátható, hogy ha a determináns zérus, akkor megegyezik valamelyik sajátértékkel . Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen gerjesztés esetében rezonanciajelenség - lásd az 5. pontban bemutatott megoldásokat - lép fel, ami csillapítás nélkül, végtelen nagy elmozdulásokat eredményez. Ezzel a kérdéssel e tárgy keretein belül több szabadságfokú rendszereknél nem foglalkozunk.) |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||
1. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||
Az szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének legáltalánosabb alakjára felírható mátrixegyenlet helyes alakja: ![]() | |||||||||||||
2. Válassza ki a két helyes megoldást! | |||||||||||||
Az szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mátrixegyenletében az:
![]() | |||||||||||||
3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval! Az szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszere közönséges, , lineáris, , inhomogén differenciálegyenlet-rendszer. ![]() | |||||||||||||
4. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||
Az szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek differenciálegyenlet-rendszerének a megoldását a következő alakban keressük: ![]() | |||||||||||||
5. Válassza ki a két helyes megoldást! | |||||||||||||
Az szabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek differenciálegyenlet-rendszerének a megoldásában:
![]() | |||||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||
Ha az homogén egyenlet általános megoldását alakban keressük, és ezt a megoldást behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, akkor az alábbi egyenletet kapjuk: ![]() | |||||||||||||
7. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása, ha a legkisebb saját körfrekvencia zérus:
![]() | |||||||||||||
8. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! A csillapításmentes gerjesztett rendszer megoldását mindig olyan keressük, mint amilyen alakban a differenciálegyenlet álló ún. mátrix adott. ![]() | |||||||||||||
9. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||
Ha a zavaró mátrix függvénye alakban van megadva, akkor a partikuláris megoldást: ![]() | |||||||||||||
10. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||||
Ha a zavaró mátrix függvénye alakban van megadva, akkor a partikuláris megoldást: ![]() |