KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei

5.2. lecke: Láncszerű modell

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • értelmezni a longitudinális jelzőt;
  • meghatározni a láncszerű modellek jellemzőit;
  • meghatározni a tömegpontok elmozdulásait leíró jellemzőket;
  • kiválasztani láncszerű modellek esetében az általános koordináták, az általános koordinátasebességek és az általános koordinátagyorsulások felírásának módját;
  • kiválasztani a láncszerű modell esetén a mozgásegyenlet-rendszer alakját;
  • meghatározni a rezgőrendszer tömegmátrixát és a rugómátrixát;
  • kiválasztani a láncszerű modellek esetén a nem kötött és a kötött rendszerek jellemzőit.
Tananyag

Láncszerű longitudinális rendszerek pl. a vasúti vontatásban fordulnak elő. Az ábrán egy vasúti szerelvény sematikus vázlata látható.

A mozdony és a vagonok a tömegek, illetve az ütközőkbe szerelt rugók a vagonok közötti kapcsolatot ábrázolják. Ennek a modelljét ábrázolja az alábbi ábra, amely egy longitudinális rezgőrendszer.

A longitudinális szó hosszirányút jelent, vagyis e rendszereknél az egyes tömegek csak a rugók irányába, azaz hosszirányba térnek ki. A rezgőrendszer mindegyik tömege csak legfeljebb a tömeget megelőző, és a tömeget követő taggal lehet rugóval összekötve, de egyik rugó sincs az állványhoz kötve. Az ilyen rendszereket nem kötött, láncszerű rendszereknek nevezzük.

A rezgőrendszer N tömegpontból áll, amelyek az m 1 , m 2 ,..., m i ,..., m N tömegpontok. A rugók indexe kettős, amely az összekapcsolt tömegpontok indexét tartalmazza. Az 1 és 2 jelű tömegpontok között a c 12 jelű, az i-1 jelű és az i jelű tömegpontok között a c i1,i jelű rugó található.

A tömegpontok elmozdulásait rendre a q 1 , q 2 ,..., q i ,..., q N általános koordinátákkal írjuk le. A rezgőrendszer szabadságfoka itt megegyezik a tömegek számával. Valamennyi általános koordináta az időnek függvénye. Az általános koordinátákat oszlopmátrixba rendezzük

[ q ¯ ¯ ]=[ q 1 q 2 . . . q i . . . q N ]

módon. Hasonlóan az általános koordinátasebességeket, és az általános koordinátagyorsulásokat is:

[ q ˙ ¯ ¯ ]=[ q ˙ 1 q ˙ 2 . . . q ˙ i . . . q ˙ N ] ,      [ q ¨ ¯ ¯ ]=[ q ¨ 1 q ¨ 2 . . . q ¨ i . . . q N ] .

A rendszer kinetikai energiája: E= i=1 N 1 2 m i q ˙ i 2 ,

a rugókban felhalmozódott rugalmas energia:

U= ( q 2 q 1 ) 2 2 c 12 + ( q 3 q 2 ) 2 2 c 23 +...+ ( q i q i1 ) 2 2 c i1,i + ( q i+1 q i ) 2 2 c i,i+1 +...+ ( q N q N1 ) 2 2 c N1,N = i=1 N1 ( q i+1 q i ) 2 2 c i,i+1 .

Építsük fel a rendszer mozgásegyenlet-rendszerét!

A k=1 értékhez tartozó egyenlet baloldala: d dt ( E q ˙ 1 ) E q 1 = m 1 q ¨ 1 ,

a jobb oldala: Q c1 = U q 1 =( q 1 q 2 c 12 )=( 1 c 12 q 1 1 c 12 q 2 ) ,

és átrendezve, az egyenlet m 1 q ¨ 1 + 1 c 12 q 1 1 c 12 q 2 =0 alakú.

A k=2 értékhez tartozó egyenlet baloldala d dt ( E q ˙ 2 ) E q 2 = m 2 q ¨ 2 ,

a jobb oldala: Q c2 = U q 2 =( q 2 q 1 c 12 + q 2 q 3 c 23 )=[ 1 c 12 q 1 +( 1 c 12 + 1 c 23 ) q 2 1 c 23 q 3 ] ,

és átrendezve, az egyenlet: m 2 q ¨ 2 1 c 12 q 1 +( 1 c 12 + 1 c 23 ) q 2 1 c 23 q 3 =0 alakú.

Az i-edik egyenlet bal oldala: d dt ( E q ˙ i ) E q i = m i q ¨ i ,

a jobb oldala: Q ci = U q i =( q i q i1 c i1,i + q i q i+1 c i,i+1 )=[ 1 c i1,i q i1 +( 1 c i1,i + 1 c i,i+1 ) q i 1 c i,i+1 q i+1 ],

és átrendezve, az egyenlet: m i q ¨ i 1 c i1,i q i1 +( 1 c i1,i + 1 c i,i+1 ) q i 1 c i,i+1 q i+1 =0 alakú.

Az N-edik egyenlet baloldala: d dt ( E q ˙ N ) E q N = m N q ¨ N ,

a jobb oldala: Q cN = U q N =( q N q N1 c N1,N )=[ 1 c N1,N q N1 + 1 c N1,N q N ],

és átrendezve, az egyenlet: m N q ¨ N 1 c N1,N q N1 + 1 c N1,N q N =0 alakú.

Összeszedve az egyes egyenleteket az

m 1 q ¨ 1 + 1 c 12 q 1 1 c 12 q 2 =0 m 2 q ¨ 2 1 c 12 q 1 +( 1 c 12 + 1 c 23 ) q 2 1 c 23 q 3 =0 . . m i q ¨ i 1 c i1,i q i1 +( 1 c i1,i + 1 c i,i+1 ) q i 1 c i,i+1 q i+1 =0 . . m N q ¨ N 1 c N1,N q N1 + 1 c N1,N q N =0 }

egyenletrendszerhez jutunk.

Bevezetve az

[ M ¯ ¯ ]=[ m 1 0 0 0 0 m 2 0 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 m i 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 m N ]

tömegmátrixot, és a

[ C ¯ ¯ ]=[ 1 c 12 1 c 12 0 0 0 1 c 12 1 c 12 + 1 c 23 1 c 23 0 0 0 1 c 23 1 c 23 + 1 c 34 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 c i,i+1 0 0 0 0 1 c i1,i + 1 c i,i+1 0 0 0 0 1 c i,i+1 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 1 c N1,N 0 0 0 0 1 c N1,N ]

rugómátrixot, a mozgásegyenlet-rendszer az

M ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ ¯= 0 ¯ ¯

egyszerű alakra hozható.

Az M ¯ ¯ tömegmátrixban csak a főátlóban található zérustól különböző elem, de a főátlóban minden elem zérustól különböző, ezért diagonális (átlós) mátrixnak nevezzük. Mivel a főátló sorrendben az egyes tömegeket tartalmazza, ezért a mátrix determinánsa (itt a főátló elemeinek szorzata) garantáltan pozitív.

A C ¯ ¯ rugómátrix láncszerű rendszereknél szimmetrikus. A főátló kk indexű elemében a k jelű tömegponthoz csatlakozó rugóknak a reciprokösszege található. A főátlón kívül a kj és jk indexű elem zérus, ha a k és j jelű tömegek között nincs rugó, és azon rugó rugóállandójának negatív reciproka található itt, amely rugó a j és k jelű tömegek között található. Láncszerű rendszereknél csak a szomszédos elemek között van rugó, ezért itt csak a főátló és a mellette lévő mátrixelem lehet zérustól különböző. Az ilyen mátrixokat kodiagonális mátrixoknak nevezzük.

Fontos még, hogy a vizsgált láncszerű rezgőrendszer olyan, hogy nincs egy pontja sem az állványhoz kötve. A C ¯ ¯ rugómátrix bármelyik sorában, vagy oszlopában található elemeknek az összege nulla. A C ¯ ¯ mátrix determinánsa nulla. Az ilyen rendszereket nem kötött rendszereknek nevezzük.

Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható modellt. Az 1 jelű tömeg a c 01 rugóállandójú rugóval az állványhoz kötött. Az ilyen rezgőrendszert kötött rendszernek hívjuk.

Könnyen belátható, hogy a rendszer mozgásegyenlet-rendszere itt is

M ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ ¯= 0 ¯ ¯

alakra vezet, csak a rugómátrix különbözik. Ebben az esetben a rugómátrix

[ C ¯ ¯ ]= =[ 1 c 01 + 1 c 12 1 c 12 0 0 0 1 c 12 1 c 12 + 1 c 23 1 c 23 0 0 0 1 c 23 1 c 23 + 1 c 34 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 1 c i,i+1 0 0 0 0 1 c i1,i + 1 c i,i+1 0 0 0 0 1 c i,i+1 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 1 c N1,N 0 0 0 0 1 c N1,N ]

alakú. A rugómátrix itt is kodiagonális, de az első sora és első oszlopa, amely ahhoz a tömeghez kapcsolódik, amely tömeg a falhoz kötött, olyanná vált, hogy a tagok összege nem nulla. A rugómátrix determinánsa kötött rendszernél nem nulla.

Amennyiben a modell olyan, hogy az utolsó, az N jelű elem kötött c N0 rugóállandójú rugóval a falhoz, akkor a rugómátrixnak a főátlóban lévő utolsó eleme 1 c N1,N + 1 c N0 értékre módosul. A kötött láncszerű rendszer csak olyan lehet, hogy vagy a baloldali, vagy a jobboldali, vagy mindkét végével az állványhoz kötött.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

A longitudinális szó irányút jelent, vagyis e rendszereknél az egyes tömegek csak a irányába, azaz irányba térnek ki.

2. Döntse el a következő állításról, hogy igaz vagy hamis!
A longitudinális szó keresztirányút jelent.

3. Válassza ki a két helyes megoldást!

A nem kötött, láncszerű rendszerek jellemzői:
a rezgőrendszer mindegyik tömege csak a tömeget megelőző két taggal lehet rugóval összekötve
a rezgőrendszer mindegyik tömege csak legfeljebb a tömeget megelőző, és a tömeget követő taggal lehet rugóval összekötve
a rezgőrendszer mindegyik tömege csak a tömeget követő két taggal lehet rugóval összekötve
egyik rugó sincs az állványhoz kötve
egy rugó az állványhoz kötött
mindig az első rugó az állványhoz kötött
mindig az utolsó rugó az állványhoz kötött
mindig az első és azt utolsó rugó az állványhoz kötött
4. Egészítse ki a következő két mondatot a hiányzó két szóval!

Láncszerű rendszerek esetén a tömegpontok elmozdulásait rendre a q 1 , q 2 ,..., q i ,..., q N koordinátákkal írjuk le. A tömegek száma és a száma azonos.

5. Válassza ki a helyes megoldást!

Láncszerű rendszerek esetén:
valamennyi általános koordináta az elmozdulásnak függvénye
valamennyi általános koordináta a gyorsulásnak függvénye
valamennyi általános koordináta a kitérésnek függvénye
valamennyi általános koordináta az időnek függvénye

6. Válassza ki a helyes megoldást!

Láncszerű rendszerek esetén:
az általános koordinátákat sormátrixba rendezzük
az általános koordinátákat oszlopmátrixba rendezzük
az általános koordinátákat nem rendezzük mátrixba
az általános koordinátákat rendezhetjük oszlop- és sormátrixba is
7. Döntse el a következő állításról, hogy igaz vagy hamis!
Láncszerű rendszerek esetén a tömegek száma a szabadságfokok számával egyezik meg.

8. Válassza ki a helyes megoldást!

Láncszerű rendszerek esetén a mozgásegyenlet-rendszer helyes alakja:
M ¯ ¯ q ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯= 0 ¯ ¯
M ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ ¯ 0 ¯ ¯
M ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ ¯= 0 ¯ ¯
M ¯ ¯ q ˙ ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ ¯> 0 ¯ ¯
M ¯ ¯ q ˙ ¯ ¯ + C ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯= 0 ¯ ¯

9. Válassza ki a két helyes megoldást!

Láncszerű rendszerek esetén az M ¯ ¯ tömegmátrixban:
csak a főátlóban található zérustól különböző elem
a főátlóban nincs zérustól különböző elem
a főátlón kívül minden elem nem zérus
a mátrix determinánsa garantáltan negatív
a mátrix determinánsa garantáltan pozitív
a mátrix determinánsa garantáltan nulla

10. Válassza ki a helyes megoldást!

Láncszerű rendszerek esetén az C ¯ ¯ rugómátrix:
szimmetrikus
aszimmetrikus
lehet szimmetrikus és aszimmetrikus is

11. Válassza ki a helyes megoldást!

Láncszerű rendszerek esetén az C ¯ ¯ rugómátrixban:
csak a főátló lehet zérustól különböző
csak a főátló és a mellette lévő mátrixelem lehet zérustól különböző
csak a főátló mellett lévő mátrixelem lehet zérustól különböző
nem lehet zérustól különböző elem
minden elem különbözik a zérustól
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Azokat a mátrixokat, ahol csak a és a lévő mátrixelem lehet zérustól különböző, kodiagonális mátrixoknak nevezzük.

13. Válassza ki a három helyes megoldást!

Láncszerű nem kötött rendszerek esetén az C ¯ ¯ rugómátrix:
bármely sorában található elemeknek az összege nulla
bármely sorában található elemeknek az összege nem nulla
bármely oszlopában található elemeknek az összege nulla
bármely oszlopában található elemeknek az összege nem nulla
a C ¯ ¯ mátrix determinánsa nem nulla
a C ¯ ¯ mátrix determinánsa nulla

14. Válassza ki a helyes megoldást!

Láncszerű kötött rendszerek esetén a C ¯ ¯ rugómátrix:
determinánsa nulla.
determinánsa nem nulla.
determinánsa lehet nulla és nem nulla is