KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása
4.6. lecke: Állandósult gerjesztett rezgések
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
A csillapított gerjesztett rezgőrendszer helyettesítő modellje: | ||
Szóhasználat: gerjesztett rezgés kényszerrezgés. | ||
A gerjesztett, csillapított rezgőrendszer differenciál egyenletének általános megoldása: | ||
. | ||
A továbbiakban csak a mérnöki szempontból érdekes állandósult rezgéseket (azaz a partikuláris megoldást) vizsgáljuk. | ||
a) Rezonancia kialakulása: | ||
Tapasztalat: Bizonyos gerjesztési frekvencia esetén a rezgőrendszerben nagyon nagy amplitúdójú rezgések lépnek fel. | ||
Feladat: Annak a gerjesztési frekvenciának a meghatározása, amelynél ez a jelenség (a rezonancia jelenség) fellép. | ||
Az állandósult gerjesztett rezgés megoldása (elmozdulás, vagy kitérés-függvénye): | ||
. | ||
- az szögsebességgel forgó komplex elmozdulás (kitérés) vektor. | ||
A rezgés amplitúdója (a legnagyobb kitérés): . | ||
A következőkben matematikai átalakításokat hajtunk végre az komplex elmozdulás vektoron: megszorozzuk a számlálót és nevezőt is -rel, majd a nevezőben a szögletes zárójelből kiemeljük -t: | ||
. | ||
Jelölés: | ||
| ||
A statikus kitérésre vonatkoztatott amplitúdó (maximális kitérés): . | ||
A amplitúdó (maximális kitérés) erőteljesen függ az gerjesztési körfrekvenciától! | ||
Új változó bevezetése: . | ||
- a gerjesztés körfrekvenciája, | ||
A rezonancia görbe (rezonancia függvény): | ||
Rezonancia: | ||
| ||
A kitérés maximum mindig tartományon lép fel. | ||
Elnevezés: Az a szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája, vagy rezonancia körfrekvenciája. | ||
| ||
Speciális eset (határeset): csillapítatlan rendszer: . | ||
A rezonancia görbe (rezonancia függvény): . | ||
. | ||
A , azaz az -nál végtelen nagy elmozdulások lépnek fel a rezgőrendszer (a szerkezet) tönkremegy! | ||
A valóságos szerkezetekben mindig van kisebb, vagy nagyobb mértékű csillapítás, ezért végtelen nagy kitérések nem fognak fellépni. Viszont felléphetnek olyan nagy kitérések, amelyek a rendszer tönkremeneteléhez vezetnek. | ||
A rezonancia jelenséget el kell kerülni! | ||
A rezonancia jelenség a rezgőrendszer elhangolásával kerülhető el: | ||
| ||
a) Vektorábra: a t=0 időpontban ábrázoljuk a rezgést jellemző komplex mennyiségeket. | ||
A gerjesztő erő komplex amplitúdója a vízszintes tengellyel szöget zár be: . | ||
A gerjesztő erő amplitúdója: . | ||
A rendszer komplex ellenállása: . | ||
A komplex ellenállás vízszintes tengellyel bezárt szöge: . | ||
Az lehet pozitív és negatív érték is: a , és eset is előfordulhat. | ||
A komplex kitérés:. | ||
A komplex kitérés a komplex gerjesztő erőhöz képest szöget késik ( szöggel van elforgatva az irányával szemben). | ||
A fáziskésés szöge:. | ||
A komplex kitérésben az -vel való osztás -vel, a -vel való osztás további szöggel történő szögelfordulást okoz a komplex gerjesztő erőhöz képest az óramutató járásával megegyező irányban. | ||
A komplex gerjesztő erő és a komplex kitérés egymáshoz képest mereven rögzítve szögsebességgel forog (az óramutató járásával ellentétes irányban). | ||
A komplex sebesség:. | ||
A komplex sebesség 90°-ot siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 90°-kal) a komplex kitéréshez képest. | ||
A komplex gyorsulás:. | ||
A komplex gyorsulás 180°-ot siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 180°-kal) a komplex kitéréshez képest. | ||
A komplex gyorsulás 90°-ot siet (az óramutató járásával ellentétesen el van forgatva 90°-kal) a komplex sebességhez képest. | ||
A , , és komplex vektorok egymással bezárt szöge a rezgőmozgás során nem változik, mind a négy vektor szögsebességgel forog (az óramutató járásával ellentétes irányban). | ||
A gerjesztett rezgés kitérése: . | ||
A gerjesztett rezgés sebessége: . | ||
A gerjesztett rezgés gyorsulása: . | ||
A gerjesztett rezgés kitérését, sebességét és gyorsulását az szögsebességgel forgó , és komplex vektorok függőleges tengelyre eső vetülete adja meg. | ||
A gerjesztett rezgést jellemző mennyiségek maximális értékei: | ||
| ||
Gyakorló feladat: Csillapított gerjesztett rezgőrendszer | ||
Adott: | ||
kg, | ||
Feladat: | ||
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása: | ||
A mozgásegyenlet: . | ||
A komplex kitérés: . | ||
b) A rezgőrendszer általános megoldásának előállítása: . | ||
c) A rezgőrendszer komplex ellenállása: . | ||
d) A rezgőrendszer vektorábrájának megrajzolása: | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, . | ||
e) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása: | ||
, . | ||
, , | ||
, | ||
. | ||
f) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása: . | ||
, | ||
mm. | ||
. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||
1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A gerjesztett rezgés rezgés. ![]() | |||||||||||
2. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A gerjesztett, csillapított rezgőrendszer differenciál egyenletének általános megoldásából az állandósult rezgési rész: ![]() | |||||||||||
3. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezonancia függvény helyes alakja: ![]() | |||||||||||
4. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Rezonancia, ha:
![]() | |||||||||||
5. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
Ott van rezonancia a esetben, ahol:
![]() | |||||||||||
6. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
esetben, a kitérés maximum mindig:
![]() | |||||||||||
7. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||
8. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||
9. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||
10. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval! A valóságos szerkezetekben mindig csillapítás, ezért nagy kitérések fognak fellépni. ![]() | |||||||||||
11. Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis!
![]() | |||||||||||
12. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval! A rezonancia jelenség a rezgőrendszer kerülhető el. ![]() | |||||||||||
13. Válassza ki az összes helyes megoldást! | |||||||||||
A rezonancia jelenség elkerülhető el, ha:
![]() | |||||||||||
14. Oldja meg a csillapított gerjesztett rezgőrendszerrel kapcsolatos feladatokat, majd válaszoljon a feltett kérdésekre! | |||||||||||
Adott: | |||||||||||
kg | |||||||||||
Feladat: | |||||||||||
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása. | |||||||||||
I. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezgőrendszer mozgásegyenlete: ![]() | |||||||||||
II. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A rezgőrendszer általános megoldása (mérnöki szempontból fontos eleme, elemei): ![]() | |||||||||||
III. Válassza ki a helyes megoldást! | |||||||||||
A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérése, :
![]() | |||||||||||
IV. Rajzolja meg a rezonancia görbét, majd a lapozóskönyv 2. és 3. oldalán ellenőrizze a megoldást! | |||||||||||
|