KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei

5.6. lecke: Gyakorló feladatok a többszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének felírására

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • felírni a két szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletét;
  • kiválasztani a megfelelő általános koordinátákat;
  • meghatározni a statikus egyensúlyi helyzetet;
  • megalkotni a láncszerű modellt;
  • meghatározni a Maxwell-féle hatásmátrix elemeit;
  • felírni a mozgásegyenlet-rendszert.
Tananyag
1. Gyakorló feladat: Két szabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása

Adott: Az 1 jelű m h tömegű homogén tömegeloszlású R sugarú merev henger, amely a vízszintes talajon csúszásmentesen gördül, valamint 2 jelű, a C pontban csapágyazott m r tömegű homogén tömegeloszlású l hosszúságú merev prizmatikus rúd. A merev testek B és D pontjait c rugóállandójú rugó köti össze.

a) A rendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása ϕ 1 , ϕ 2 általános koordinátákkal, és a helyettesítő rezgéstani modell minősítése.

b) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell nem áttételes, longitudinális és láncszerű.

a) A rendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása ϕ 1 , ϕ 2 általános koordinátákkal, és a helyettesítő rezgéstani modell minősítése:

E= 1 2 J a1 ω 1 2 + 1 2 J c2 ω 2 2 = 1 2 J a1 ϕ ˙ 1 2 + 1 2 J c2 ϕ ˙ 2 2 , ahol

J a1 = 3 2 m h R 2 , J c2 = 1 3 m r l 2 , és U= f 2 2c = (l ϕ 2 2R ϕ 1 ) 2 2c .

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet-rendszer:

d dt ( E q ˙ k ) E q k = Q k ,(k=1,2) ,

és a rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszere:

J a1 ϕ ¨ 1 + 4 R 2 c ϕ 1 2Rl c ϕ 2 =0 J c2 ϕ ¨ 2 2Rl c ϕ 1 + l 2 c ϕ 2 =0 ¯ } .

A tömegmátrix [ M ¯ ¯ ]=[ J a1 0 0 J c2 ] ,

és a rugómátrix [ C ¯ ¯ ]= 1 c [ 4 R 2 2Rl 2Rl l 2 ] .

A rugómátrixból látható, hogy a rezgőrendszer áttételes.

b) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell nem áttételes, longitudinális és láncszerű:

Válasszuk általános koordinátákként a q 1 =2R ϕ 1 , illetve q 2 =l ϕ 2 koordinátákat.

A kinetikai energia:

E= 1 2 J a1 4 R 2 q ˙ 1 2 + 1 2 J c2 l 2 q ˙ 2 2 = 1 2 3 m h 8 q ˙ 1 2 + 1 2 m r 3 q ˙ 2 2 ,

a potenciális energia U= f 2 2c = ( q 2 q 1 ) 2 2c ,

a mozgásegyenlet-rendszer m h 8 q ¨ 1 + 1 c q 1 1 c q 2 =0 m r 3 q ¨ 2 1 c q 1 + 1 c q 2 =0 ¯ } .

A tömegmátrix [ M ¯ ¯ ]=[ m h 8 0 0 m r 3 ] , és a rugómátrix [ C ¯ ¯ ]=[ 1 c 1 c 1 c 1 c ] .

A helyettesítő longitudinális rezgéstani modell: m 1 = m h 8 , m 2 = m r 3 , c 12 =c .

2. Gyakorló feladat: Lejtős felvonó mozgásegyenlet-rendszerének felírása, visszavezetés a láncszerű modellre

Adott: m h , m e , m t , c 1 , c 2 ,R,γ . A súrlódásoktól eltekintünk! A meghajtó nyomaték M 0 =áll . A henger és a kötél között a μ 0 súrlódási tényező elegendő nagy, hogy ne csússzon meg a kötél a hengeren.

Feladat:

a) A rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása s t ,ϕ, s e általános koordinátákkal, és a rezgéstani modell megalkotása.

b) A statikus egyensúlyi helyzet, és az ehhez szükséges M 0st hajtónyomaték meghatározása.

c) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell láncszerű (nem áttételes).

a) A rezgőrendszer mozgásegyenlet-rendszerének felírása s t ,ϕ, s e általános koordinátákkal, és a rezgéstani modell megalkotása:

A kinetikai energia:

E= 1 2 m t v t 2 + 1 2 J a2 ω 2 2 + 1 2 m e v e 2 = 1 2 m t s ˙ t 2 + 1 2 J a2 ϕ ˙ 2 + 1 2 m e s ˙ e 2 ,

ahol J a2 = 3 2 m h R 2 , U= i=1 2 f i 2 2 c i = (Rϕ s t ) 2 2 c 1 + ( s e Rϕ) 2 2 c 2 .

A rendszerre ható külső erőrendszer: az M 0 hajtónyomaték, a G t = m t g , G h = m h g , G e = m e g súlyerők, és a teherre a lejtőről átadódó F tα valamint a hengerre az A tengelyen átadódó F Ah kényszererők. Amennyiben a súrlódást elhanyagoljuk a kényszererők teljesítménye nulla. A henger súlyerejének teljesítménye ugyancsak nulla.

A külső erőrendszer teljesítménye:

P= M 0 ω + G t v t + G e v e , ahol M 0 = M 0 k , ω = ϕ ˙ k ,

G t = m t g j , v t = s ˙ t ( e x cosγ+ e y sinγ ) , G e = m e g j ,

v e = s ˙ e j .

Az erőrendszer teljesítménye így P= M 0 ϕ ˙ m t g s ˙ t sinγ+ m e g s ˙ e ,

amiből a statikus általános erő: Q k = P q ˙ k .

Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer:

m t s ¨ t + 1 c 1 s t R c 1 ϕ= m t gsinγ J a2 ϕ ¨ R c 1 s t +( R 2 c 1 + R 2 c 2 )ϕ R c 2 s e = M 0 m e s ¨ e R c 2 ϕ+ 1 c 2 s e = m e g } .

A tömegmátrix [ M ¯ ¯ ]=[ m t 0 0 0 J a2 0 0 0 m e ] , a rugómátrix [ C ¯ ¯ ]=[ 1 c 1 R c 1 0 R c 1 R 2 c 1 + R 2 c 2 R c 2 0 R c 2 1 c 2 ] .

A rugómátrixból látszik, hogy a rendszer áttételes.

b) A statikus egyensúlyi helyzetet és az ehhez szükséges M 0st hajtónyomaték meghatározása:

Statikus állapotban s ˙ t s ˙ e ϕ ˙ s ¨ t s ¨ e ϕ ¨ 0 .

A C ¯ ¯ rugómátrix determinánsa zérus, ezért a jobboldalon kell lenni ismeretlennek, ez az M 0st . Az egyik koordináta szabadon felvehető. Célszerű a ϕ koordináta statikus értékét nullára választani ϕ st =0 .

Ezzel az egyenletrendszer: 1 c 1 s tst = m t gsinγ R c 1 s tst R c 2 s est = M 0st 1 c 2 s est = m e g } ,

amiből s tst = c 1 m t gsinα , s est = c 2 m e g , és M 0st =R( m t gsinα m e g ) .

c) Olyan általános koordináták választása, amellyel a rezgéstani modell láncszerű (nem áttételes):

Válasszuk általános koordinátákként a q 1 = s t , q 2 =Rϕ illetve q 3 = s e koordinátákat.

Ezzel a kinetikai energia:

E= 1 2 m t v t 2 + 1 2 J a2 ω 2 2 + 1 2 m e v e 2 = = 1 2 m t q ˙ 1 2 + 1 2 J a2 R 2 q ˙ 2 2 1 2 m e q ˙ 3 2 = 1 2 m t q ˙ 1 2 + 1 2 m h 2 q ˙ 2 2 + 1 2 m e q ˙ 3 2 ,

a rugalmas energia U= ( q 2 q 1 ) 2 2 c 1 + ( q 3 q 2 ) 2 2 c 2 .

Az erők teljesítménye P= M 0 R q ˙ 2 m t gsinγ q ˙ 1 + m e g q ˙ 3 , amiből a statikus általános erő Q k = P q ˙ k összefüggésből adódik.

A mozgásegyenlet-rendszer:

m t q ¨ 1 + 1 c 1 q 1 1 c 1 q 2 = m t gsinγ J a2 R 2 q ¨ 2 1 c 1 q 1 +( 1 c 1 + 1 c 2 ) q 2 1 c 2 q 3 = M 0 R m e q ¨ 3 1 c 2 q 2 + 1 c 2 q 3 = m e g } .

A tömegmátrix [ M ¯ ¯ ]=[ m t 0 0 0 J a2 R 2 0 0 0 m e ] , a rugómátrix [ C ¯ ¯ ]=[ 1 c 1 1 c 1 0 1 c 1 1 c 1 + 1 c 2 1 c 2 0 1 c 2 1 c 2 ] .

A longitudinális láncszerű modell:

m 1 = m t , m 2 = J a2 R 2 , m 3 = m e , c 12 = c 1 , c 23 = c 2 , Q 1 = m t gsinγ , Q 2 = M 0 R , Q 3 = m e g .

3.Gyakorló feladat: Síkbeli gépalap modell excentrikus gerjesztéssel

Adott: Gépalap síkbeli modellje: m, J s ,a,b,c, F g0 ,ω .

Feladat:

a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása.
b) Statikus egyensúlyi helyzet meghatározása.
c) Láncszerű modell megalkotása.

Kidolgozás:

a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása:

Általános koordináták:
y S - a gépalap súlypontjának az elmozdulása;
ϕ - a gépalap szögelfordulása.

A kinetikai energia: E= 1 2 m y ˙ S 2 + 1 2 J s ϕ ˙ 2 ,

a rugóenergia: U= 1 2 [ ( y S bϕ ) 2 c + ( y S +bϕ ) 2 c ] ,

az erők teljesítménye: P=G y ˙ S + F g ( y ˙ S +a ϕ ˙ ) .

A mozgásegyenlet-rendszer: m y ¨ S +( 1 c + 1 c ) y S =G+ F g J s ϕ ¨ +( b 2 c + b 2 c )ϕ=a F g } .

b) Statikus egyensúlyi helyzet meghatározása:

Statikus állapotban az időtől függő mennyiségek zérusértékűek, így: y ˙ S = y ¨ S = ϕ ˙ = ϕ ¨ = F g =0 .

Ezzel az egyenletrendszernek a statikus egyensúlyi helyzetben a megoldása: y Sst = cG 2 ; ϕ st =0 .

c) Láncszerű modell megalkotása:

A mozgásegyenlet-rendszer két egyszabadságfokú rezgőrendszerre esik szét, így két egyszabadságfokú modellt kapunk, melyeknek a saját körfrekvenciáit is meghatározhatjuk.

     

q 1 = y S , m 1 =m , c 01 = c 2 , Q 1 =G+ F g0 sinωt , α 1 = 2 mc , q 2 =ϕ , m 2 = J s , c 02 = c 2 b 2 , Q 2 =a F g0 sinωt , α 2 = 2 b 2 J s c .

4. Gyakorló feladat: Torziós rezgések mozgásegyenlet-rendszere fogaskerekes hajtóműnél

Adott: D i , J i ,( i=1,2,3,4,5 ) , d i,i+1 , l i,i+1 ,( i=1,2,4 ) , M 1 , M 5 , és az M1, és M5 nyomatékok nem függnek az időtől.

Feladat:

a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása, a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak.

b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell meghatározása.

c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása.

Kidolgozás:

a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása, a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak:

A kinetikai energia E= i=1 5 1 2 J i ϕ ˙ i 2 , a D 3 ϕ 3 = D 4 ϕ 4 áttétel figyelembevételével és ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 5 általános koordináták választásával E= 1 2 [ J 1 ϕ ˙ 1 2 + J 2 ϕ ˙ 2 2 +( J 3 + J 4 D 3 2 D 4 2 ) ϕ ˙ 3 2 + J 5 ϕ ˙ 5 2 ] .

A másodrendű nyomatékok I pi,i+1 = π d i,i+1 4 32 ,(i=1,2,4) ,

a torziós rugóállandók γ i,i+1 = l i,i+1 I pi,i+1 G = 32 l i,i+1 π d i,i+1 4 G ,(i=1,2,4) .

A rugókban felhalmozott energia: U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 γ 12 + ( ϕ 3 ϕ 2 ) 2 γ 23 + ( ϕ 5 D 3 D 4 ϕ 3 ) 2 γ 45 .

A külső erőrendszer teljesítménye P= M 1 ϕ ˙ 1 M 5 ϕ ˙ 5 , mivel a 4 és 5 jelű fogaskerekeknél a pozitív szögelfordulás iránya az áttétel miatt fordított az 1,2,3 jelű fogaskerekekhez képest.

Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer:

J 1 ϕ ¨ 1 + 1 γ 12 ϕ 1 1 γ 12 ϕ 2 = M 1 J 2 ϕ ¨ 2 1 γ 12 ϕ 1 +( 1 γ 12 + 1 γ 23 ) ϕ 2 1 γ 23 ϕ 3 =0 ( J 3 + J 4 D 3 2 D 4 2 ) ϕ ¨ 3 1 γ 23 ϕ 2 +( 1 γ 23 + D 3 2 D 4 2 γ 45 ) ϕ 3 D 3 D 4 γ 45 ϕ 5 =0 J 5 ϕ ¨ 5 D 3 D 4 γ 45 ϕ 3 + 1 γ 45 ϕ 5 = M 5 } .

b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása:

Válasszuk általános koordinátáknak a q 1 = D 3 ϕ 1 , q 2 = D 3 ϕ 2 , q 3 = D 3 ϕ 3 = D 4 ϕ 4 , q 4 = D 4 ϕ 5 koordinátákat.

Ezzel a kinetikai energia:

E= 1 2 [ J 1 1 D 3 2 q ˙ 1 2 + J 2 1 D 3 2 q ˙ 2 2 + ( J 3 1 D 3 2 + J 4 1 D 4 2 ) q ˙ 3 2 + J 5 1 D 4 2 q ˙ 4 2 ] .

A rugókban felhalmozódott rugóenergia: U= ( q 2 q 1 ) 2 D 3 2 γ 12 + ( q 3 q 2 ) 2 D 3 2 γ 23 + ( q 4 q 3 ) 2 D 4 2 γ 45 .

A teljesítmény P= M 1 D 3 q ˙ 1 M 5 D 5 q ˙ 4 .

A mozgásegyenlet-rendszer:

J 1 D 3 2 q ¨ 1 + 1 D 3 2 γ 12 q 1 1 D 3 2 γ 12 q 2 = M 1 D 3 J 2 D 3 2 q ¨ 2 1 D 3 2 γ 12 q 1 +( 1 D 3 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 23 ) q 2 1 D 3 2 γ 23 q 3 =0 ( J 3 D 3 2 + J 4 D 4 2 ) q ¨ 3 1 D 3 2 γ 23 q 2 +( 1 D 3 2 γ 23 + 1 D 4 2 γ 45 ) q 3 1 D 4 2 γ 45 q 4 =0 J 5 D 4 2 q ¨ 4 1 D 4 2 γ 45 q 3 + 1 D 4 2 γ 45 q 4 = M 5 D 5 } .

A rezgőrendszer mozgása láncszerű modellel leírható.

A rendszer tömegmátrixa: [ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 3 2 0 0 0 0 J 2 D 3 2 0 0 0 0 J 3 D 3 2 + J 4 D 4 2 0 0 0 0 J 5 D 4 2 ] ;

a rugómátrix:

[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 3 2 γ 12 1 D 3 2 γ 12 0 0 1 D 3 2 γ 12 1 D 3 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 23 1 D 3 2 γ 23 0 0 1 D 3 2 γ 23 1 D 3 2 γ 23 + 1 D 4 2 γ 45 1 D 4 2 γ 45 0 0 1 D 4 2 γ 45 1 D 4 2 γ 45 ] .

A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer:

A modellben az egyes tömegek és rugóállandók az alábbi összefüggésekkel származtathatók:

m 1 = J 1 D 3 2 , m 2 = J 2 D 3 2 , m 3 = J 3 D 3 2 + J 4 D 4 2 , m 4 = J 5 D 4 2 , 1 c 12 = 1 D 3 2 γ 12 , 1 c 23 = 1 D 3 2 γ 23 , 1 c 34 = 1 D 4 2 γ 45 , Q 1 = M 1 D 3 , Q 4 = M 5 D 4 .

c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása:

Statikus állapot nem függ az időtől, így az általános koordináták második idő szerinti deriváltjai zérus értékűek. Mivel a rendszer láncszerű, elágazásmentes, nem kötött, ezért a rugómátrix determinánsa ugyancsak zérus értékű.

Ebből következően egy koordináta szabadon felvehető.

Válasszuk a q 1st =0 értéket ezzel az első egyenletből q 2st = D 3 γ 12 M 1 = c 12 Q 1 .

A második egyenletbe q 1st =0 és q 2st értéket helyettesítve
q 3st = D 3 ( γ 12 + γ 23 ) M 1 =( c 12 + c 23 ) Q 1 .

A harmadik egyenletbe q 2st és q 3st értéket helyettesítve

q 4st =( D 3 2 γ 12 + D 3 2 γ 23 + D 4 2 γ 45 ) M 1 D 3 =( c 12 + c 23 + c 34 ) Q 1 .

Az utolsó egyenletbe q 3st és q 4st értéket helyettesítve Q 1 = Q 4 egyenlet adódik, vagyis M 1 D 3 = M 5 D 4 egyenlet teljesülése esetén van a rendszer egyensúlyban.

5. Gyakorló feladat: Hajtómű torziós rezgéseinek mozgásegyenlet-rendszere

Adott: J 1 , J 2 , J 3 , J 4 , J 5 , J 6 , D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6 , l 12 , l 34 , l 56 , d 12 , d 34 , d 56 , M 1 , M 6 , továbbá M1, és M6 nyomatékok nem függnek az időtől.

Feladat:

a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak.

b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása.

c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása.

Kidolgozás:

a) Mozgásegyenlet-rendszer felírása a fogaskerekek szögelfordulását választva általános koordinátáknak:

A kinetikus energia E= i=1 5 1 2 J i ϕ ˙ i 2 .

A D 2 ϕ 2 = D 3 ϕ 3 és D 4 ϕ 4 = D 5 ϕ 5 áttétel figyelembevételével és ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 4 , ϕ 6 általános koordináták választásával

E= 1 2 [ J 1 ϕ ˙ 1 2 +( J 2 + J 3 D 2 2 D 3 2 ) ϕ ˙ 2 2 +( J 4 + J 5 D 4 2 D 5 2 ) ϕ ˙ 4 2 + J 6 ϕ ˙ 6 2 ] .

A másodrendű nyomatékok I pi,i+1 = π d i,i+1 4 32 ,(i=1,3,5) ,

a torziós rugóállandók γ i,i+1 = l i,i+1 I pi,i+1 G = 32 l i,i+1 π d i,i+1 4 G ,(i=1,3,5) .

A tengelyekben felhalmozott rugalmas energia:

U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 γ 12 + ( ϕ 4 D 2 D 3 ϕ 2 ) 2 γ 34 + ( ϕ 6 D 4 D 5 ϕ 4 ) 2 γ 56 .

A külső erőrendszer teljesítménye P= M 1 ϕ ˙ 1 + M 6 ϕ ˙ 6 , mivel a 3 és 4 jelű fogaskerekeknél a pozitív szögelfordulás iránya az áttétel miatt fordított, addig az 5, 6 jelű és az 1, 2 jelű fogaskerekeknek egymással azonos a forgásiránya.

Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer:

J 1 ϕ ¨ 1 + 1 γ 12 ϕ 1 1 γ 12 ϕ 2 = M 1 ( J 2 + J 3 D 2 2 D 3 2 ) ϕ ¨ 2 1 γ 12 ϕ 1 +( 1 γ 12 + D 2 2 D 3 2 γ 34 ) ϕ 2 D 2 D 3 γ 34 ϕ 4 =0 ( J 4 + J 5 D 4 2 D 5 2 ) ϕ ¨ 4 D 2 D 3 γ 34 ϕ 2 +( 1 γ 34 + D 4 2 D 5 2 γ 56 ) ϕ 4 D 4 D 5 γ 56 ϕ 6 =0 J 6 ϕ ¨ 6 D 4 D 5 γ 56 ϕ 4 + 1 γ 56 ϕ 6 = M 6 } .

A szerkezet rezgéstani modellje áttételes rezgőrendszer.

b) Olyan általános koordináta választása, amellyel a modell láncszerűvé válik, és a láncszerű modell maghatározása:

Válasszuk általános koordinátáknak a q 1 = D 2 ϕ 1 , q 2 = D 2 ϕ 2 = D 3 ϕ 3 , q 3 = D 3 ϕ 4 = D 3 D 5 D 4 ϕ 5 , q 4 = D 3 D 5 D 4 ϕ 6 koordinátákat.

Ezzel a kinetikus energia:

E= 1 2 [ J 1 D 2 2 q ˙ 1 2 +( J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ) q ˙ 2 2 + ( J 4 D 3 2 + D 4 2 J 5 D 3 2 D 5 2 ) q ˙ 3 2 + D 4 2 J 6 D 3 2 D 5 2 q ˙ 4 2 ] .

A rugókban felhalmozott rugóenergia:

U= ( q 2 q 1 ) 2 D 2 2 γ 12 + ( q 3 q 2 ) 2 D 3 2 γ 34 + D 4 2 ( q 4 q 3 ) 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 ,

a teljesítmény pedig: P= M 1 D 2 q ˙ 1 + D 4 M 5 D 3 D 5 q ˙ 5 .

A mozgásegyenlet-rendszer:

J 1 D 2 2 q ¨ 1 + 1 D 2 2 γ 12 q 1 1 D 2 2 γ 12 q 2 = M 1 D 2 ( J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ) q ¨ 2 1 D 2 2 γ 12 q 1 + +( 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 ) q 2 1 D 3 2 γ 34 q 3 =0 ( J 4 D 3 2 + D 4 2 J 5 D 3 2 D 5 2 ) q ¨ 3 1 D 3 2 γ 34 q 2 + +( 1 D 3 2 γ 34 + D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 ) q 3 D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 q 4 =0 D 3 2 D 5 2 J 5 D 3 2 q ¨ 4 D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 q 3 + D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 q 4 = D 4 M 6 D 3 D 5 } .

A rendszer tömegmátrixa:

[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 0 0 0 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 0 J 4 D 3 2 + D 4 2 J 5 D 3 2 D 5 2 0 0 0 0 D 4 2 J 6 D 3 2 D 5 2 ] ,

a rugómátrix:

[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 0 0 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 0 0 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 + D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 0 0 D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 ] .

A láncszerű modell elágazásmentes, amely nem kötött rendszer:

A modellben az egyes mennyiségek az alábbi összefüggésekkel származtathatók:

  m 1 = J 1 D 3 2 , m 2 = J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 , m 3 = J 4 D 3 2 + D 4 2 J 5 D 3 2 D 5 2 ,

m 4 = D 4 2 J 6 D 3 2 D 5 2 , 1 c 12 = 1 D 2 2 γ 12 , 1 c 23 = 1 D 3 2 γ 34 , 1 c 34 = D 4 2 D 3 2 D 5 2 γ 56 ,

Q 1 = M 1 D 2 , Q 4 = D 4 M 6 D 3 D 5 .

c) Statikus egyensúlyi helyzet megadása:

Statikus állapot nem függ az időtől, így az általános koordináták második idő szerinti deriváltjai zérus értékűek. Mivel a rendszer láncszerű elágazásmentes, nem kötött, ezért a rugómátrix determinánsa ugyancsak zérus értékű. Ebből következően egy koordináta szabadon felvehető.

Válasszuk a q 1st =0 értéket ezzel az első egyenletből

q 2st = D 2 γ 12 M 1 = c 12 Q 1 .

A második egyenletbe q 1st =0 és q 2st értéket helyettesítve

q 3st =( D 2 2 γ 12 + D 3 2 γ 34 ) M 1 D 2 =( c 12 + c 23 ) Q 1 .

A harmadik egyenletbe q 2st és q 3st értéket helyettesítve

q 4st = =( D 2 2 γ 12 + D 3 2 γ 34 + D 3 2 D 5 2 D 4 2 γ 56 ) M 1 D 2 =( c 12 + c 23 + c 34 ) Q 1 .

Az utolsó egyenletbe q 3st és q 4st értéket helyettesítve Q 1 = Q 4 egyenlet adódik, vagyis M 6 = D 3 D 5 D 2 D 4 M 1 egyenlet teljesülése esetén van a rendszer egyensúlyban.

6. Gyakorló feladat: Hajlító rezgések fogaskerekes hajtóműben

Adott: m 1 , m 2 , J z1 , J z2 , I z =áll.,E=áll., x 1 =0,5l, x 2 =1,5l.

Feladat:

a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek meghatározása.
b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása.

Kidolgozás:

a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek meghatározása:

Válasszuk általános koordinátáknak a y 1 , y 2 , ϕ 1 , ϕ 2 , koordinátákat.

A nyomatéki ábrák megrajzolása:

[ D ¯ ¯ ]= 1 I z E (l) [ m y1 2 m y1 m y2 m y1 m ϕ1 m y1 m ϕ2 m y1 m y2 m y2 2 m y2 m ϕ1 m y2 m ϕ2 m y1 m ϕ1 m y2 m ϕ1 m ϕ1 2 m ϕ1 m ϕ2 m y1 m ϕ2 m y2 m ϕ2 m ϕ1 m ϕ2 m ϕ2 2 ] dx .

Az integrálok kiszámítása (részletezés nélkül):

(1,5l) m y1 2 dx = l 3 48 , (1,5l) m y1 m y2 dx = l 3 16 , (1,5l) m y1 m ϕ1 dx =0 , (1,5l) m y1 m ϕ2 dx = l 2 8 , (1,5l) m y2 2 dx = l 3 8 , (1,5l) m y2 m ϕ1 dx = l 2 16 , (1,5l) m y2 m ϕ2 dx = 5 l 2 24 , (1,5l) m ϕ1 2 dx = l 12 , (1,5l) m ϕ1 m ϕ2 dx = l 8 , (1,5l) m ϕ2 2 dx = 5l 6 .

Ezekkel a Maxwell-féle hatásmátrix:

[ D ¯ ¯ ]= 1 I z E [ l 3 48 l 3 16 0 l 2 8 l 3 16 l 3 8 l 2 16 5 l 2 24 0 l 2 16 l 12 l 8 l 2 8 5 l 2 24 l 8 5l 6 ] .

b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása:

Az m ¯ ¯ = D ¯ ¯ M ¯ ¯ módosított tömegmátrix:

[ m ¯ ¯ ] = 1 I z E [ l 3 48 l 3 16 0 l 2 8 l 3 16 l 3 8 l 2 16 5 l 2 24 0 l 2 16 l 12 l 8 l 2 8 5 l 2 24 l 8 5l 6 ][ m 1 0 0 0 0 m 2 0 0 0 0 J z1 0 0 0 0 J z2 ]=

= 1 I z E [ l 3 48 m 1 l 3 16 m 2 0 l 2 8 J z2 l 3 16 m 1 l 3 8 m 2 l 2 16 J z1 5 l 2 24 J z2 0 l 2 16 m 2 l 12 J z1 l 8 J z2 l 2 8 m 1 5 l 2 24 m 2 l 8 J z1 5l 6 J z2 ].

Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer:

1 I z E [ l 3 48 m 1 l 3 16 m 2 0 l 2 8 J z2 l 3 16 m 1 l 3 8 m 2 l 2 16 J z1 5 l 2 24 J z2 0 l 2 16 m 2 l 12 J z1 l 8 J z2 l 2 8 m 1 5 l 2 24 m 2 l 8 J z1 5l 6 J z2 ][ y ¨ 1 y ¨ 2 ϕ ¨ 1 ϕ ¨ 2 ]+

+[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ][ y 1 y 2 ϕ 1 ϕ 2 ]=[ 0 0 0 0 ].

7. Gyakorló feladat: Hajtómű tengely hajlító rezgéseinek mozgásegyenlet-rendszere

Feladat:

a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek a meghatározása.
b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása.

Adott: m 1 , m 2 , J z1 , J z2 , I z =áll.,E, x 1 =l, x 2 =2l.

Kidolgozás:

a) A Maxwell-féle hatásmátrix elemeinek a meghatározása:

Válasszuk általános koordinátáknak az y 1 , y 2 , ϕ 1 , ϕ 2 , koordinátákat.

Ezzel:

[ D ¯ ¯ ]= 1 I z E (l) [ m y1 2 m y1 m y2 m y1 m ϕ1 m y1 m ϕ2 m y1 m y2 m y2 2 m y2 m ϕ1 m y2 m ϕ2 m y1 m ϕ1 m y2 m ϕ1 m ϕ1 2 m ϕ1 m ϕ2 m y1 m ϕ2 m y2 m ϕ2 m ϕ1 m ϕ2 m ϕ2 2 ] dx .

A nyomatéki ábrák:

Az integrálok kiszámítása (részletezés nélkül):

(2l) m y1 2 dx = l 3 3 , (2l) m y1 m y2 dx = 5 6 l 3 , (2l) m y1 m ϕ1 dx = l 2 2 , (2l) m y1 m ϕ2 dx = l 2 2 , (1,5l) m y2 2 dx = 8 3 l 3 , (1,5l) m y2 m ϕ1 dx = 3 2 l 2 , (1,5l) m y2 m ϕ2 dx =2 l 2 , (1,5l) m ϕ1 2 dx =l , (1,5l) m ϕ1 m ϕ2 dx =l , (1,5l) m ϕ2 2 dx =2l .

A Maxwell-féle hatásmátrix:

[ D ¯ ¯ ]= 1 I z E [ 1 2 l 3 5 6 l 3 1 2 l 2 1 2 l 2 5 6 l 3 8 3 l 3 3 2 l 2 2 l 2 1 2 l 2 3 2 l 2 l l 1 2 l 2 2 l 2 l 2l ] .

b) A mozgásegyenlet-rendszer felírása:

Az m ¯ ¯ = D ¯ ¯ M ¯ ¯ módosított tömegmátrix:

[ m ¯ ¯ ] = 1 I z E [ 1 2 l 3 5 6 l 3 1 2 l 2 1 2 l 2 5 6 l 3 8 3 l 3 3 2 l 2 2 l 2 1 2 l 2 3 2 l 2 l l 1 2 l 2 2 l 2 l 2l ][ m 1 0 0 0 0 m 2 0 0 0 0 J z1 0 0 0 0 J z2 ]=

= 1 I z E [ 1 2 l 3 m 1 5 6 l 3 m 2 1 2 l 2 J z1 1 2 l 2 J z2 5 6 l 3 m 1 8 3 l 3 m 2 3 2 l 2 J z1 2 l 2 J z2 1 2 l 2 m 1 3 2 l 2 m 2 l J z1 l J z2 1 2 l 2 m 1 2 l 2 m 2 l J z1 2l J z2 ].

Ezzel a mozgásegyenlet-rendszer:

1 I z E [ 1 2 l 3 m 1 5 6 l 3 m 2 1 2 l 2 J z1 1 2 l 2 J z2 5 6 l 3 m 1 8 3 l 3 m 2 3 2 l 2 J z1 2 l 2 J z2 1 2 l 2 m 1 3 2 l 2 m 2 l J z1 l J z2 1 2 l 2 m 1 2 l 2 m 2 l J z1 2l J z2 ][ y ¨ 1 y ¨ 2 ϕ ¨ 1 ϕ ¨ 2 ]+ +[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ][ y 1 y 2 ϕ 1 ϕ 2 ]=[ 0 0 0 0 ].