KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései

7.1. lecke: Rudak longitudinális kontinuumrezgései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a longitudinális rezgés fogalmát;
  • kiválasztani a longitudinális rezgés mozgásegyenletének felírásának előfeltételét;
  • kiválasztani a prizmatikus rúdnak a longitudinális kontinuumrezgésekre vonatkozó mozgásegyenletét.
Tananyag

Leggyakoribb kontinuumrezgési feladatok a rudak köréből vetődnek fel, de ilyen rezgések rúdszerkezetek, lemezek, héjak, vagy egyéb szerkezeteknél is kialakulnak. Itt csak prizmatikus rudak rezgéseivel foglalkozunk. Amikor a rúd a hossztengely irányában rezeg (longitudinális rezgések), a hossztengely körül rezeg (torziós vagy csavaró rezgések), vagy a hossztengelyre merőleges irányba (hajlító rezgések) rezeg.

Rudak longitudinális kontinuumrezgései

Longitudinális rezgések akkor keletkeznek, ha a rúd keresztmetszetei a rúd hossztengelyének irányában mozdulnak el. Az ilyen rezgések mozgásegyenletének felírásánál feltételezzük, hogy rezgés közben a keresztmetszetek síkok maradnak. Legyen az ábrán látható, A keresztmetszetű prizmatikus rúd tetszőleges x koordinátájú helyén az igénybevétele a helynek és az időnek N=N( x,t ) függvénye. A rúd keresztmetszeteinek x irányú u elmozdulásai ugyancsak a helynek és az időnek u=u( x,t ) függvényei. Legyen a rúd anyaga homogén. Jelölje E a rugalmassági modulust és ρ a sűrűséget.

Az ábra egy tetszőleges x koordinátájú helyen dx hosszúságú rúdelemet mutat, amelynek tömege dm=ρAdx , és előtte az igénybevétel N, utána pedig N+ N x dx . A rúdelemre felírt impulzustétel szerint

ma=Fdm u ¨ =d F x ρAdx 2 u t 2 =N+ N x dxN,

a rúderőre pedig igaz, hogy N=A σ x =AE ε x =AE u x (lásd Mechanika-Szilárdságtan tantárgy).

Ezzel az impulzus tétel ρAdx 2 u t 2 =AE 2 u x 2 dx alakban írható.

Elvégezve az egyszerűsítéseket, és az egyenletet átrendezve

2 u t 2 = E ρ 2 u x 2

másodrendű parciális differenciálegyenlethez jutunk, amely a prizmatikus rúdnak a longitudinális kontinuumrezgésekre vonatkozó mozgásegyenlete.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldást!

Longitudinális rezgések akkor keletkeznek:
ha a rúd keresztmetszetei a rúd keresztirányú tengelyének irányában mozdulnak el
ha a rúd keresztmetszetei a rúd hossztengelyének irányában mozdulnak el
ha a rúd keresztmetszetei a rúd keresztirányú és hossztengelyének irányában is elmozdulnak

2. Válassza ki a helyes megoldást!

Longitudinális rezgések mozgásegyenletének felírásánál feltételezzük, hogy rezgés közben:
a keresztmetszetek síkok maradnak
a keresztmetszetek nem maradnak síkok
a keresztmetszetek állapota nem határozható meg

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A prizmatikus rúdnak a longitudinális kontinuumrezgésekre vonatkozó helyes mozgásegyenlete:
2 t 2 u = E ρ 2 u x 2
2 u t 2 = ρ E 2 u 2 x
2 t u = ρ E 2 t 2 x
2 u t 2 = E ρ 2 u x 2