KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: III. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenlete

3.8. lecke: Útgerjesztés - gerjesztés rugón/csillapításon keresztül

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni az útgerjesztés értelmezését;
  • meghatározni a rugón keresztül történő gerjesztés esetén a visszatérítő erő jellemzőjét;
  • kiválasztani a rugón keresztül történő gerjesztés esetén a rugóenergiát, és a mozgásegyenletet meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a rugón keresztül történő gerjesztés esetén az általános visszatérítő erő és az általános gerjesztő erő összegét meghatározó összefüggést;
  • meghatározni a csillapításon keresztül történő gerjesztés esetén a csillapító erő jellemzőjét;
  • kiválasztani a csillapításon keresztül történő gerjesztés esetén a csillapító erő és a gerjesztő erő összegét meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a csillapításon keresztül történő gerjesztés esetén a mozgásegyenletet meghatározó összefüggést.
Tananyag

Útgerjesztés: a gerjesztés nem erővel/nyomatékkal történik, hanem a rezgőrendszer adott pontját (pontjait) előírt módon, időben periodikusan mozgatjuk, vagy a rezgőrendszer adott merev testét (testeit) előírt módon, időben periodikusan forgatjuk.

a) Gerjesztés rugón keresztül:

A mozgásegyenlet felírásánál abban van az eddigiektől eltérés, hogy a Q c általános visszatérítő erőt és a Q g általános gerjesztő erőt nem tudjuk egymástól függetlenül kezelni.

A rugóenergia: U= 1 2 [ y y g (t) ] 2 c .

Az általános visszatérítő erő és az általános gerjesztő erő összege: Q= Q c + Q g = dU dy = 1 2c 2(y y g )= y c Q c (y) + y g (t) c Q g (t) .

A mozgásegyenlet: m y ¨ +k y ˙ + 1 c y= y g (t) c .

b) Gerjesztés csillapításon keresztül:

A mozgásegyenlet felírásánál abban van az eddigiektől eltérés, hogy a Q k általános csillapító erőt és a Q g általános gerjesztő erőt nem tudjuk egymástól függetlenül kezelni.

A csillapító erő és a gerjesztő erő összege: F= F k + F g =k v d =k( y ˙ y ˙ g )= k y ˙ F k ( y ˙ ) + k y ˙ g (t) F g (t) .

A mozgásegyenlet: m y ¨ +k y ˙ + 1 c y=k y ˙ g (t) .

c) Gyakorló feladatok útgerjesztésre:

1.Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapított rezgőrendszer

Adott: Az m tömegű merev henger és m, R, k, c 1 , c 2 , y g (t)= y g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a henger kis szögelfordulása esetén.
b) A redukált rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás:
q=ϕ - szögelfordulás,
q ˙ = ϕ ˙ =ω - szögsebesség,
q ¨ = ϕ ¨ =ε - szöggyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E ϕ ˙ ) E ϕ = Q c + Q g + Q k .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 J s ω 2 = 1 2 ( 1 2 m R 2 ) ϕ ˙ 2 = 1 2 m r ϕ ˙ 2

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =( 1 2 m R 2 ) .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E ϕ ˙ = m r ϕ ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E ϕ ˙ )= m r ϕ ¨ , E q = E ϕ =0 .

A rugóban felhalmozott energia: U= 1 2 f 1 2 c 1 + 1 2 f 2 2 c 2 = 1 2 (Rϕ y g ) 2 c 1 + 1 2 ( R 2 ϕ ) 2 c 2 .

Az általános visszatérítő erő és gerjesztő erő meghatározása: Q= U q = U ϕ = Rϕ y g c 1 R R 2 4 c 2 ϕ= ( R 2 c 1 + R 2 4 c 2 )ϕ Q c + R c 1 y g (t) Q g = 1 c r ϕ+ Q g (t) .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója: 1 c r =( R 2 c 1 + R 2 4 c 2 ) .

Az általános gerjesztő erő: Q g = R c 1 y g (t) .

Az általános csillapító erő meghatározása: Q k = F k β B .

F k =k v d =k v d j =k( R 2 ϕ ˙ ) j =k R 2 ϕ ˙ j ,
β B = v B ϕ ˙ = ( R 2 ϕ ˙ j ) y ˙ B = R 2 j ,
Q k = F k β B =k R 2 4 ϕ ˙ = k r ϕ ˙ .

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált, vagy általános csillapítási tényezője: k r =k R 2 4 .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve:
( 1 2 m R 2 ) ϕ ¨ +k R 2 4 ϕ ˙ +( R 2 c 1 + R 2 4 c 2 )ϕ= R c 1 y g (t) , vagy m r ϕ ¨ + k r ϕ ˙ + 1 c r ϕ= R c 1 y g (t) .

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer:

2. Gyakorló feladat: Gerjesztett csillapított rezgőrendszer

Adott: Az m tömegű merev test (jármű) és m, k, c, y g (t)= y g0 sin(ωt+ε) .

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása.
b) A redukált rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás:
q=y - elmozdulás,
q= y ˙ =v - sebesség,
q= y ¨ =a - gyorsulás.

A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet: d dt ( E y ˙ ) E y = Q c + Q k + Q g .

A rendszer kinetikai energiája: E= 1 2 m v 2 = 1 2 m y ˙ 2 = 1 2 m r y ˙ 2 .

A rezgőrendszer q=y általános koordináta választáshoz tartozó redukált, vagy általános tömege: m r =m .

A mozgásegyenlet bal oldalán álló deriváltak előállítása: E q ˙ = E y ˙ = m r y ˙ , d dt ( E q ˙ )= d dt ( E y ˙ )= m r y ¨ , E q = E y =0 .

A rugóban felhalmozott alakváltozási energia: U= 1 2 (y y g ) 2 c .

Az általános visszatérítő erő és a gerjesztő erő egyik részének meghatározása: Q= U q = U y = y c Q c + y g (t) c Q g1

Az általános csillapító erő és a gerjesztő erő másik részének meghatározása: Q k = F k β =k v d j =k v d =k( y ˙ y ˙ g )= k y ˙ Q k + k y ˙ g (t) Q g2 .

Az előállított mennyiségeket behelyettesítve a mozgásegyenletbe és az általános gerjesztő erő kivételével mindent az egyenlet bal oldalára rendezve: m y ¨ +k y ˙ + 1 c y= 1 c y g (t)+k y ˙ g (t) Q g (t) .

A redukált rezgőrendszer mozgásegyenlete: m q ¨ +k q ˙ + 1 c q= Q g (t).

A redukált rezgőrendszer:

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó öt szóval!

Útgerjesztés: a gerjesztés erővel/nyomatékkal történik, hanem a rezgőrendszer adott pontját/pontjait előírt módon, időben , vagy a rezgőrendszer adott merev testét/testeit előírt módon, időben .

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

Rugón keresztül történő gerjesztés esetén a mozgásegyenlet felírásánál abban van az eddigiektől eltérés, hogy a Q c általános visszatérítő erőt és a Q g általános gerjesztő erőt tudjuk kezelni.

3. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

Csillapításon keresztül történő gerjesztés esetén a mozgásegyenlet felírásánál abban van az eddigiektől eltérés, hogy a Q k általános erőt és a Q g általános erőt nem tudjuk kezelni.

4. Válassza ki a helyes megoldást!

Rugón keresztül történő gerjesztés esetén a rugóenergiát meghatározó összefüggés helyes alakja:
U= 1 2 [ 3y+2 y g (t) ] 2 4c
U= 1 2 [ y g (t) ] 2 cy
U= 1 2 [ y 2 y g (t) ] 2 c
U= 1 2 [ y y g (t) ] 2 c

5. Válassza ki a helyes megoldást!

Rugón keresztül történő gerjesztés esetén a mozgásegyenlet helyes alakja:
m y ¨ +k y ˙ + 3 c y= y g (t) 3c
m y ¨ +k y ˙ + 1 2c y= 2 y g (t) 4c
m y ¨ +k y ˙ + 1 2c y=k y g (t)
m y ¨ +k y ˙ + 1 c y= y g (t) c

6. Válassza ki a helyes megoldást!

Csillapításon keresztül történő gerjesztés esetén a mozgásegyenlet helyes alakja:
m y ¨ +k y ˙ + 3 c y= y g (t) 3c
m y ¨ +k y ˙ + 1 c y=k y ˙ g (t)
m y ¨ +k y ˙ + 1 2c y=k y g (t)
m y ¨ +k y ˙ + 1 c y= y g (t) c

7. Határozza meg a következő adatok és ábra segítségével megadott gerjesztett csillapított rezgőrendszer mozgásegyenletét és a helyettesítő rezgőrendszer jellemzőit!

Adott: Az m tömegű merev prizmatikus rúd és m, R, k, c, y g (t)= y g0 cos(ωt+ε) .

Általános koordináta választás: q=ϕ - a rúd szögelfordulása.

Feladat:
a) A rezgőrendszer mozgásegyenletének felírása a rúd kis szögelfordulása esetén.
b) A helyettesítő rezgőrendszer jellemzőinek meghatározása.

I. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó redukált tömege:
m r =m a 2
m r = 1 2 ma
m r = 4 3 m a 2
m r = 2 3 m a 2

II. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó k r redukált csillapítási tényezője:
k r =ak
k r =4 a 2 k
k r = 1 3k a 2
k r = a 3 4 k

III. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer q=ϕ általános koordináta választáshoz tartozó c r redukált rugóállandója:
1 c r = acosα c
1 c r =c a 2 sinα
1 c r = a 2 c cos 2 α
1 c r = a 2 cos 2 α c

IV. Válassza ki a helyes megoldást!

Általános koordináta választás: q=ϕ - a rúd szögelfordulása.

A rezgőrendszer mozgásegyenlete:
m a 2 ϕ ¨ +4 1 3k a 2 + a 2 cos 2 α c ϕ=akω y g0 cos(ωt+ε)
( m a 2 2 ) ϕ ¨ +2 a 4 k ϕ ˙ + a 2 c cos 2 α ϕ=4akω y g0 sin 2 (ωt+ε)
( m a 2 4 ) ϕ ¨ + 1 3k a 2 ϕ ˙ +c a 2 sinαϕ=6akω y g0 sin(ωt+ε)
( 1 3 m a 2 ) ϕ ¨ +2 a 4 k ϕ ˙ + acosα c ϕ=7akω y g0 cos(ωt+ε)
( 4 3 m a 2 ) ϕ ¨ +4 a 4 k ϕ ˙ + a 2 cos 2 α c ϕ=2akω y g0 sin(ωt+ε)