KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása

4.4. lecke: A csillapítatlan szabad rendszer rezgései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • értelmezni a csillapítatlan és szabad (rezgőrendszer) fogalmakat;
  • kiválasztani a csillapítatlan szabad rezgőrendszer helyettesítő modelljét;
  • kiválasztani a csillapítatlan szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenletét;
  • kiválasztani a csillapítatlan szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a csillapítatlan szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldását;
  • meghatározni a csillapítatlan szabad rezgőrendszer általános megoldásában szereplő állandókat;
  • kiválasztani a csillapítatlan szabad rezgőrendszer kezdeti feltételeit meghatározó összefüggéseket;
  • meghatározni a z(t) komplex elmozdulás-vektor, a z ˙ (t) komplex sebességvektor és a z ¨ (t) komplex gyorsulásvektor kapcsolatát és elhelyezkedését a xq komplex síkon;
  • kiválasztani a rezgés amplitúdóját, a legnagyobb sebességet, a legnagyobb gyorsulást és a rugóban fellépő maximális erőt meghatározó összefüggést;
  • meghatározni a csillapítatlan szabad rezgőrendszer körfrekvenciáját, frekvenciáját és rezgésidejét;
  • előállítani a csillapítatlan szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének a megoldását;
  • meghatározni a csillapítatlan szabad rezgőrendszer rezgésének az amplitúdóját és maximális rugóerejét.
Tananyag

Csillapítatlan: a rezgőrendszerben nincs csillapító elem.

Szabad: a rezgőrendszerben nincs gerjesztés.

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer helyettesítő modellje:

k r =0β=0 ,
Q g (t)0 .

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete:

m r z ¨ + 1 c r z=0 , vagy z ¨ + α 2 z=0 , ahol α 2 = 1 m r c r .

α - a csillapítatlan szabad rendszer saját körfrekvenciája.

A mozgásegyenlet általános megoldása: z(t)=A e iλt =(a+ib) e iαt .

Az általános megoldásban szereplő állandók meghatározása:

z(t)=(a+ib) e iαt ,
z ˙ (t)=iα(a+ib) e iαt =iαz(t) .

Kezdeti feltételek:

q(t=0)= q 0 = y 0 =Im[ z(t=0) ]=bb= y 0 ,
q ˙ (t=0)= q ˙ 0 = v 0 =Im[ z ˙ (t=0) ]=αaa= v 0 α .

Az állandókat behelyettesítve a komplex változós általános megoldásba:

z(t)=( v 0 α +i y 0 ) e iαt =( v 0 α +i y 0 )( cosαt+isinαt )= ( v 0 α cosαt y 0 sinαt )+i( v 0 α sinαt+ y 0 cosαt ) .

Bennünket a komplex változós általános megoldás képzetes része érdekel:

q(t)=Im[ z(t) ]= v 0 α sinαt+ y 0 cosαt .

A megoldás szemléltetése (az elmozdulás, a sebesség és a gyorsulás időbeli változásának ábrázolása):

z(t)=(a+ib) e iαt ,
z ˙ (t)=iα(a+ib) e iαt =iαz(t) ,
z ¨ (t)= α 2 (a+ib) e iαt = α 2 z(t) .

A z ˙ (t) komplex sebességvektor a z(t) komplex elmozdulás-vektorhoz képest 90°-kal van elforgatva az óramutató járásával ellentétes irányban. A z ¨ (t) komplex gyorsulásvektor a z ˙ (t) komplex sebességvektorhoz képest 90°-kal van elforgatva az óramutató járásával ellentétes irányban, azaz a z(t) komplex elmozdulás-vektorral ellentétes fázisban van.

A z(t) komplex elmozdulás-vektor, a z ˙ (t) komplex sebességvektor és a z ¨ (t) komplex gyorsulásvektor egymáshoz mereven rögzítve α szögsebességgel végez forgó mozgást az xq komplex síkon.

A z(t) , z ˙ (t) és z ¨ (t) komplex vektorok függőleges tengelyre eső vetületei adják meg a rezgés q(t) elmozdulás függvényét, v(t)= q ˙ (t) sebesség függvényét és a(t)= q ¨ (t) gyorsulás függvényét.

A rezgés amplitúdója: q max =| A |= a 2 + b 2 = ( v 0 α ) 2 + q 0 2 .

A legnagyobb sebesség: v max =α| A |=α ( v 0 α ) 2 + q 0 2 = v 0 2 + α 2 q 0 2 .

A legnagyobb gyorsulás: a max = α 2 | A |=α v max =α v 0 2 + α 2 q 0 2 .

A rugóban fellépő maximális erő: F max = F cmax = c r q max = c r ( v 0 α ) 2 + q 0 2 .

Gyakorló feladat: Csillapítatlan szabad rezgőrendszer

Adott:
c 0 =2 10 2 mm/N, m 0 =20 kg,
y 0 =4 mm, v 0 =0,15 m/s.

Feladat:
a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása.
b) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása.
c) A rezgés amplitúdójának meghatározása.
d) A maximális rugóerő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának, frekvenciájának és rezgésidejének meghatározása:

α 2 = 1 m 0 c 0 = 1 2 10 5 20 = 10 4 4 =2500 rad 2 s 2 ,
α= 2500 =50rad/s .

α=2π f α f α = α 2π = 50 6,283 7,94Hz .

α= 2π T α T α = 2π α = 1 f α = 6,283 50 0,126s .

b) A mozgásegyenlet megoldása: z(t)=(a+ib) e iαt , z ˙ (t)=iα(a+ib) e iαt .

Kezdeti feltételek: t=0

Im[ z(0) ]=b= y 0 b= y 0 =4 mm,

Im[ z ˙ (0) ]=αa= v 0 a= v 0 α = 150 50 =3 mm.

z(t)=(a+ib)(cosαt+isinαt)=(acosαtbsinαt)+i(bcosαt+asinαt) .

y(t)=Imz(t)=bcosαt+asinαt= y 0 cosαt+ v 0 α sinαt .

y(t)=4cos50t+3sin50t mm.

c) A rezgés amplitúdójának meghatározása: A= a 2 + b 2 = y 0 2 + ( v 0 α ) 2 = 3 2 + 4 2 =5 mm.

d) A maximális rugóerő meghatározása: F cmax = y max c 0 = A c 0 = 5 2 10 2 =250 N.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Csillapítatlan rezgőrendszerben csillapító elem.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó szóval!

Szabad rezgőrendszerben gerjesztés.

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer esetében:
k r >0β0 , Q g (t)0
k r =0β<0 , Q g (t)0
k r =0β=0 , Q g (t)0
k r 0β0 , Q g (t)0
k r 0β>0 , Q g (t)0

4. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete:
m r z ¨ + 1 c r z=0
m r z ¨ + c r z=0
m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z=0
z ¨ + z α =0
z ¨ +2β z ˙ + α 2 z=0
z ¨ + α 2 z=0

5. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer komplex változós általános megoldásának a képzetes része:
q(t)=Im[ z(t) ]= v 0 αcosαt+ y 0 sinαt
q(t)=Im[ z(t) ]= v 0 α sinαt+ y 0 cosαt
q(t)=Im[ z(t) ]= v 0 α cosαt+ y 0 cosαt
q(t)=Im[ z(t) ]= v 0 2α sin 2 αt+3 y 0 cosαt

6. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszerben a rezgés amplitúdóját meghatározó összefüggés helyes alakja:
q max =| A |= v 0 α+ q 0 2
q max =| A |= v 0 α 2 + q 0
q max =| A |= ( v 0 α ) 2 + q 0 2
q max =| A |= a 2 + b 2
q max =| A |= a + b
q max =| A |= a 5 +2 b 2

7. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszerben a legnagyobb sebességet meghatározó összefüggés helyes alakja:
v max =α| A |= v 0 2 + α 2 q 0 2
v max =α| A |= v 0 2 2 +α q 0 3
v max =α| A |= v 0 2 + α 2
v max =α| A |= v 0 3 +2 α 3 q 0 2

8. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszerben a legnagyobb gyorsulást meghatározó összefüggés helyes alakja:
a max =α v 0 +4 α q 0
a max = α 2 v 0 2 2 + α q 0 2
a max =α v 0 2 + α 2 q 0 2
a max = α 2 2 v 0 2 + α 2 q 0 2 3
a max = α 3 α 2 v 0 2 + q 0 2 3

9. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszerben a rugóban fellépő maximális erőt meghatározó összefüggés helyes alakja:
F max = c r v 0 α+ q 0 2
F max = c r ( v 0 α ) 2 + q 0 2
F max = c r v 0 α 2 + q 0
F max = c r ( v 0 α ) 2 +α q 0 2