KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása

4.3. lecke: A mozgásegyenlet általános megoldásának előállítása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • megnevezni a mozgásegyenlet általános megoldásában szereplő mennyiségeket;
  • kiválasztani a rezgésidőt és a rezgési frekvenciákat meghatározó összefüggéseket és mértékegységeiket;
  • kiválasztani mozgásegyenlet általános megoldását;
  • kiválasztani az általános megoldás idő szerinti első deriváltját.
Tananyag

A mozgásegyenlet általános megoldása: z(t)= z h (t)+ z p (t)=A e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt .

Ha ν valós mennyiség, akkor az általános megoldás két rezgés szuperpozíciójaként állítható elő.

Az általános megoldásban szereplő mennyiségek:

A=a+ib - két állandó, amelyek kezdeti feltételekből határozhatók meg,
e iνt , e iωt - két forgó egységvektor,
ν= α 2 β 2 - a csillapított szabad rezgőrendszer körfrekvenciája,
ω - a gerjesztés körfrekvenciája,
P 0 = Q g0 e iε - a gerjesztő erő komplex amplitúdója ( ε fázisszög),
Z= k r +i( ω m r 1 ω c r ) - a rezgőrendszer komplex ellenállása

Rezgésidők: T ν = 2π ν , T ω = 2π ω .

Rezgési frekvenciák: f ν = ν 2π , f ω = ω 2π .

A rezgésidő mértékegysége: [ s ] .

A rezgési körfrekvencia mértékegysége: [ rad s ] .

A rezgési frekvencia mértékegysége: [ 1 s =Hz ] .

Az általános megoldás: z(t)=(a+ib) e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt .

Az általános megoldás idő szerinti első deriváltja: z ˙ (t)=(a+ib)(β+iν) e βt e iνt + P 0 iωZ iω e iωt

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

A mozgásegyenlet általános megoldása: z(t)= z h (t)+ z p (t)=A e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt . Ha ν valós mennyiség, akkor az általános megoldás rezgés állítható elő.

2. A következő kérdés a mozgásegyenlet általános megoldásában szereplő mennyiségekre vonatkozik. Csoportosítsa a mennyiségeket a nevükkel!

z(t)= z h (t)+ z p (t)=A e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt

a) A=a+ib
b) e iνt , e iωt
c) ν
d) ω
e) P 0
f) Z

Írja a mennyiségek (változók) előtti kisbetűt a megfelelő név (fogalom) elé!
BetűjelNév (fogalom)
a gerjesztő erő komplex amplitúdója ( ε fázisszög)
két forgó egységvektor
a gerjesztés körfrekvenciája
a rezgőrendszer komplex ellenállása
a csillapított szabad rezgőrendszer körfrekvenciája
két állandó, amelyek kezdeti feltételekből határozhatók meg

3. Válassza ki a két helyes megoldást!

A rezgésidőket meghatározó két helyes összefüggés:
T ν =2πν
T ν = ν 2π
T ν = 2π ν
T ν = α 2 β 2 2π ν
T ω =2πω
T ω = 2π ω
T ω = ω 2π
T ω = α 2 β 2 ω 2π

4. Válassza ki a két helyes megoldást!

A rezgési frekvenciákat meghatározó két helyes összefüggés:
f ν = 2π ν
f ν = ν 2π
f ν =2πν
f ν =(a+ib) ν 2π
f ω =(a+ib) ω 2π
f ω =2πω
f ω = 2π ω
f ω = ω 2π

5. Válassza ki a helyes megoldását!

A mozgásegyenlet általános megoldása:
z(t)=(a+ib) e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt
z(t)= e βt e iνt (a+ib) + P 0 iωZ e iωt
z(t)=(a+ib) e βt e iνt + P 0 iωZ e iωt
z(t)= P 0 iωZ(a+ib) e βt e iνt e iωt
z(t)=(a+ib) e βt + P 0 iωZ