KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei

5.3. lecke: Rudak torziós lengései, egyszerű hajtómű modell

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • meghatározni az egyszerű hajtóműmodell elemeinek a jellemzőit;
  • kiválasztani az egyszerű hajtóműmodell mozgásegyenletét;
  • meghatározni a rezgőrendszer tömeg- és rugómátrixát;
  • kiválasztani az áttételmentes rendszer jellemzőit.
Tananyag

Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható hajtómű modelljét! A hajtómű két tengelyből és öt fogaskerékből áll. A 2 és 3 jelű fogaskerekek hézag nélkül kapcsolódnak egymáshoz. A fogaskerekeket merev tárcsákkal (korongokkal), míg a tengelyeket súlytalan, rugalmas rudakkal modellezzük. A tengelyeknél csak a csavarodási rugalmasságot vesszük figyelembe.

Jelölje az egyes fogaskerekek szögelfordulását ϕ i (i=1,2,3,4,5) . Az egyes fogaskerekeknek a forgástengelyre számolt tehetetlenségi nyomatéka J i (i=1,2,3,4,5) .

A rendszer kinetikai energiája: E= i=1 5 1 2 J i ϕ ˙ i 2 .

A tengelyek poláris másodrendű nyomatékai:

I pi,i+1 = π d i,i+1 4 32 ,(i=1,3,4) ,

torziós rugóállandói (lásd 4.3. pont):

γ i,i+1 = l i,i+1 I pi,i+1 G = 32 l i,i+1 π d i,i+1 4 G ,(i=1,3,4) .

A tengelyekben felhalmozódott rugalmas energia

U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 2 γ 12 + ( ϕ 4 ϕ 3 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 γ 45 .

Tekintsük először a ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 4 , ϕ 5 szögelfordulásokat a rendszer általános koordinátáinak. A 2 és 3 jelű fogaskerekek közötti áttétel alapján ϕ 3 = D 2 D 3 ϕ 2 írható, ezzel a kinetikai energia:

E= 1 2 [ J 1 ϕ ˙ 1 2 +( J 2 + J 3 D 2 2 D 3 2 ) ϕ ˙ 2 2 + J 4 ϕ ˙ 4 2 + J 5 ϕ ˙ 5 2 ] ,

illetve a rugóenergia:

U= ( ϕ 2 ϕ 1 ) 2 2 γ 12 + ( ϕ 4 D 2 D 3 ϕ 2 ) 2 2 γ 34 + ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 γ 45 .

A mozgásegyenlet-rendszer

J 1 ϕ ¨ 1 + 1 γ 12 ϕ 1 1 γ 12 ϕ 2 =0 ( J 2 + D 2 2 D 3 2 J 3 ) ϕ ¨ 2 1 γ 12 ϕ 1 +( 1 γ 12 + D 2 2 D 3 2 1 γ 34 ) ϕ 2 1 γ 34 ϕ 4 =0 J 4 ϕ ¨ 4 D 2 D 3 1 γ 34 ϕ 2 +( 1 γ 34 + 1 γ 45 ) ϕ 4 1 γ 45 ϕ 5 =0 J 5 ϕ ¨ 5 1 γ 45 ϕ 4 + 1 γ 45 ϕ 5 =0 }

alakú.

Bevezetve az általános koordináták [ ϕ ¯ ¯ ]=[ ϕ 1 ϕ 2 ϕ 4 ϕ 5 ]

oszlopmátrixát, illetve annak ϕ ¨ ¯ ¯ második deriváltját, a mozgásegyenlet-rendszerre

M ¯ ¯ ϕ ¨ ¯ ¯ + C ¯ ¯ ϕ ¯ ¯=0

írható, ahol M ¯ ¯ a tömegmátrix és C ¯ ¯ a rugómátrix

[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 0 0 0 0 J 2 + D 2 2 D 3 2 J 3 0 0 0 0 J 4 0 0 0 0 J 5 ] ,

[ C ¯ ¯ ]=[ 1 γ 12 1 γ 12 0 0 1 γ 12 1 γ 12 + D 2 2 D 3 2 1 γ 34 D 2 D 3 1 γ 34 0 0 D 2 D 3 1 γ 34 1 γ 34 + 1 γ 45 1 γ 45 0 0 1 γ 45 1 γ 45 ] alakú.

A tömegmátrix kielégíti a láncszerű rendszerekre vonatkozó feltételeket, de a rugómátrix nem, hiszen az egyes sorainak vagy oszlopainak a tagjait, ha összeadjuk nem kapunk nullát, annak ellenére, hogy a rendszer nem kötött.

Az áttételes rendszer egy alkalmasan megválasztott transzformációval áttételmentes rendszerre hozható. Vezessük be a q 1 = D 2 ϕ 1 , q 2 = D 2 ϕ 2 = D 3 ϕ 3 , q 3 = D 3 ϕ 4 , illetve q 4 = D 3 ϕ 5 transzformációt. Ezzel a rendszer kinetikai energiája

E= 1 2 [ J 1 D 2 2 q ˙ 1 2 +( J 1 D 2 2 + J 3 D 3 2 ) q ˙ 2 2 + J 4 D 3 2 q ˙ 3 2 + J 5 D 3 2 q ˙ 4 2 ] ,

a rugóenergia

U= ( q 2 q 1 ) 2 2 D 2 2 γ 12 + ( q 4 q 2 ) 2 2 D 3 2 γ 34 + ( ϕ 5 ϕ 4 ) 2 2 D 3 2 γ 45

összefüggésre vezet. A mozgásegyenlet-rendszerre ebben az esetben

J 1 D 2 2 q ¨ 1 + 1 D 2 2 γ 12 q 1 1 D 2 2 γ 12 q 2 =0 ( J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ) q ¨ 2 1 D 2 2 γ 12 q 1 +( 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 ) q 2 1 D 3 2 γ 34 q 3 =0 J 4 D 3 2 q ¨ 3 1 D 3 2 γ 34 ϕ 2 +( 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 ) q 3 1 D 3 2 γ 45 q 4 =0 J 5 D 3 2 q ¨ 4 1 D 3 2 γ 45 q 3 + 1 D 3 2 γ 45 q 4 =0 }

írható.

A tömegmátrix ebben az esetben

[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 0 0 0 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 0 J 4 D 3 2 0 0 0 0 J 5 D 3 2 ] ,

amely kielégíti a láncszerű rezgőrendszerre vonatkozó kritériumot.

A rugómátrix

[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 0 0 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 0 0 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 0 0 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 ]

alakúra változott, amely szintén kielégíti a láncszerű rezgőrendszerre vonatkozó kritériumokat.

A hajtómű helyettesítő láncszerű modellje

alakú, amely nem kötött rendszer. A modellben a q 1 = D 2 ϕ 1 , q 2 = D 2 ϕ 2 = D 3 ϕ 3 , q 3 = D 3 ϕ 4 , illetve q 4 = D 3 ϕ 5 általános koordinátaválasztáshoz tartozó általános (redukált) tömegek és általános (redukált) rugóállandók az alábbi összefüggésekkel származtathatók:

m 1 = J 1 D 2 2 ; m 2 = J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 ; m 3 = J 4 D 3 2 ; m 4 = J 5 D 3 2 ; 1 c 12 = 1 D 2 2 γ 12 ; 1 c 23 = 1 D 3 2 γ 34 ; 1 c 34 = 1 D 3 2 γ 45 .

Többszabadságfokú láncszerű rendszereknél előfordul, hogy a rendszer több láncszerű rendszerre esik szét, amely rendszerek szabadságfokainak összege megegyezik a többszabadságfokú rendszer szabadságfokával. Az is előfordulhat, hogy e részrendszerek között egyszabadságfokú rezgőrendszer is található.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

Egyszerű hajtómű modell esetén a fogaskerekeket , míg a tengelyeket és rúddal modellezzük.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Egyszerű hajtómű modell esetén a tengelyeknél csak a vesszük figyelembe

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A tömegmátrix jellemző alakja egy áttételmentes rendszerben:
[ M ¯ ¯ ]=[ 0 J 1 D 2 2 0 0 0 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 0 J 4 D 3 2 J 5 D 3 2 0 0 0 ]
[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 0 0 1 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 1 0 0 1 J 4 D 3 2 0 1 0 0 J 5 D 3 2 ]
[ M ¯ ¯ ]=[ J 1 D 2 2 0 0 0 0 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 0 0 J 4 D 3 2 0 0 0 0 J 5 D 3 2 ]
[ M ¯ ¯ ]=[ 1 0 0 J 1 D 2 2 0 1 J 2 D 2 2 + J 3 D 3 2 0 0 J 4 D 3 2 1 0 J 5 D 3 2 0 0 1 ]

4. Válassza ki a helyes megoldást!

A rugómátrix jellemző alakja egy áttételmentes rendszerben:
[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 2 2 γ 12 0 0 1 0 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 1 0 0 1 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 0 1 0 0 1 D 3 2 γ 45 ]
[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 0 0 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 0 0 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 0 0 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 ]
[ C ¯ ¯ ]=[ 1 D 2 2 γ 12 0 1 D 2 2 γ 12 0 0 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 0 0 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 0 1 D 2 2 γ 12 1 D 3 2 γ 45 0 ]
[ C ¯ ¯ ]=[ 0 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 1 D 2 2 γ 12 0 1 D 3 2 γ 34 0 1 D 2 2 γ 12 + 1 D 3 2 γ 34 1 D 3 2 γ 34 0 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 34 + 1 D 3 2 γ 45 1 D 3 2 γ 45 0 ]