KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása

Modulzáró kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a IV. modul leckéi alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldást!

A redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenlete:
m r + k r q ˙ = Q g0
q ¨ + q ˙ +q= Q g0 sin(ωt+ε)
m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g0 sin(ωt+ε)
m r ( q ¨ + k r q ˙ )+q= Q g0 cos(ωt+ε).
m r q ¨ k r q ˙ c r q= Q g0 sin(ωt+ε)
2. Rendezze megfelelő sorrendbe a homogén mozgásegyenlet megoldásának lépéseit!
Az első lépés legyen az 1-es szám! Minden lépés elé írja be a megfelelő számot!
karakterisztikus egyenlet: m r λ 2 i k r λ 1 c r =0
homogén megoldás keresése: z h (t)= x h (t)+i q h (t)=A e iλt
a homogén mozgásegyenlet általános megoldása: z h (t)=(a+ib) e βt e iνt
homogén mozgásegyenlet: m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z=0
mozgásegyenletbe helyettesítés: A e iλt ( m r λ 2 +i k r λ+ 1 c r )=0
homogén differenciál egyenlet általános megoldása: z h (t)= A 1 e βt e iνt + A 2 e βt e iνt
homogén megoldás mozgásegyenletben szereplő deriváltjai: z h =A e iλt , z ˙ h =iλA e iλt =iλ z h , z ¨ h = λ 2 A e iλt = λ 2 z h

3. Válassza ki a helyes megoldást!

A mozgásegyenlet partikuláris megoldása:
z p (t)= x p (t)+i q p (t)=B e iωt
m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z= P 0 e iωt
m r ω 2 z p +iω k r z p + 1 c r z p = P 0 e iωt
z p (t)= P 0 iωZ e iωt
Z= k r +iω m r + 1 iω c r = k r +i( ω m r 1 ω c r )
z p =B e iωt

4. Válassza ki a helyes megoldását!

A mozgásegyenlet általános megoldásának idő szerinti első deriváltja:
z ˙ (t)= (β+iν) (a+ib) e βt + P 0 iωZ iω e iωt
z ˙ (t)= e βt e iνt (a+ib) + P 0 iωZ iω e iωt
z ˙ (t)=(β+iν) e iνt P 0 iωZ(a+ib) iω e iωt
z ˙ (t)=(a+ib)(β+iν) e βt e iνt + P 0 iωZ iω e iωt
z ˙ (t)= e iνt + P 0 iωZ iω e iωt

5. Válassza ki a két helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer komplex változós mozgásegyenlete:
m r z ¨ + 1 c r z=0
m r z ¨ + c r z=0
m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z=0
z ¨ + z α =0
z ¨ +2β z ˙ + α 2 z=0
z ¨ + α 2 z=0

6. Válassza ki a helyes megoldást!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer mozgásegyenletének általános megoldása:
z(t)= ib a e iαt
z(t)=(2a+ ib 3 ) e iαt
z(t)=( a 2 + ib 3 ) e iαt
z(t)=(a+ib) e iαt

7. Oldja meg a szabad csillapított rezgőrendszerrel kapcsolatos feladatokat, majd válaszoljon a feltett kérdésekre!

Adott:

m 0 =4 kg,
c 0 = 10 4 m/N,
k 0 =320 Ns/m,
y 0 =4 mm,
v 0 =40 mm/s.

Feladat:

a) A rezgőrendszer körfrekvenciájának meghatározása.
b) Kialakul-e rezgés?
c) A mozgásegyenlet megoldásának előállítása.
d) A logaritmikus dekrementum meghatározása.
e) A kitérés és a sebesség közötti fázisszög meghatározása.

I. Írja be a helyes eredményt (egész számot)!

A csillapítatlan szabad rezgőrendszer saját körfrekvenciája: rad/s.

II. Írja be a helyes eredményt (egész számot)!

A rezgőrendszer csillapítását jellemző mennyiség: 1 s

III. Írja be a helyes eredményt (egész számot)!

A fenti rezgőrendszer körfrekvenciája: rad/s.

IV. Válassza ki a helyes megoldást!

A fenti rezgőrendszer esetében kialakul-e a rezgés?
igen, mert: α=β
igen, mert: α>β
igen, mert: α<β

V. Válassza ki a helyes megoldást!

A keresett függvény:
y(t)=Imz(t) =(sin6.3 3 ˙ t+20sin30t) e 50t mm
y(t)=Imz(t) =(50sin20t+30cos30t) e 10t mm
y(t)=Imz(t) =(cos50t+20sin30t) e 30t mm
y(t)=Imz(t) =(4cos30t+6,6 6 ˙ sin30t) e 40t mm
y(t)=Imz(t) =(sin10t+20sin30t) e 10t mm

VI. Válassza ki a helyes megoldást!

A logaritmikus dekrementum értéke:
Λ=18,377
Λ=30
Λ=6.6 6 ˙
Λ=20
Λ=4,32

VII. Válassza ki a helyes megoldást!

A kitérés és a sebesség közötti fázisszög értéke:
Φ101,25 o
Φ53,13 o
Φ10,76 o
Φ 89,47 o
Φ143,13 o

8. Oldja meg a csillapított gerjesztett rezgőrendszerrel kapcsolatos feladatokat, majd válaszoljon a feltett kérdésekre!

Adott:

m 0 =4 kg
c 0 =4 10 4 m/N
k 0 =20 Ns/m
F g0 =10 N
ω=50 rad/s

Feladat:

a) A rezgőrendszer állandósult rezgéseinek felírása.
b) A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérésének meghatározása.
c) A rezgőrendszer rezonancia görbéjének megrajzolása.

I. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgőrendszer állandósult rezgései:
z(t) z g (t)=B e iωt = F g0 ( iω k r + 1 c 0 m 0 ω 2 ) e iωt
z(t) z g (t)=B e iωt = F g0 m 0 ω 2 ( 2iω k r + 1 3 c 0 ) e iωt
z(t) z g (t)=B e iωt = F g0 i k r ( 3 2 c 0 5 m 0 ω ) e iωt
z(t) z g (t)=B e iωt = 3i ω 2 k r 1 4 m 0 c 0 2 + ω 2 F g0 e iωt

II. Válassza ki a helyes megoldást!

A gerjesztett rezgés legnagyobb kitérése, y max :
0,64 mm
0,93 mm
0,41 mm
1,32 mm
1,65 mm

III. Írja be a megfelelő eredményt (egész számot)!

A rezonancia görbe megszerkesztéséhez szükséges adatok:

Az y st = mm.

IV. Írja be a megfelelő eredményt (egész számot)!

A rezonancia görbe megszerkesztéséhez szükséges adatok:

Az y max | α=ω = mm.

V. Írja be a megfelelő eredményt (egész számot)!

A rezonancia görbe megszerkesztéséhez szükséges adatok:

Az α= rad s .

VI. Rajzolja meg a rezonancia görbét, majd a lapozóskönyv 2. oldalán ellenőrizze a megoldást!

1. oldal1/2
visszaelőre

9. Válassza ki a helyes megoldást!

A rezgésszigetelés jóságát megadó összefüggés helyes alakja:
F gmax F amax = ( 1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 ξ 2 1+4 β 2 ξ 2
F amax F gmax = 1+4 β 2 ξ 2 ( 1 ξ 2 ) 2 +4 β 2 ξ 2
F amax F gmax = 1+ ξ 2 ( 1 ξ 2 ) 2 + β 2
F amax F gmax = ξ 2 1+ β 2 1 ξ 2

10. Válassza ki a helyes megoldást!

A görbeseregből az alábbi következtetések vonhatók le:
Ha ξ< 2 , akkor nincs rezgésszigetelés.
Ha ξ< 2 , akkor van rezgésszigetelés.
Ha ξ> 2 , akkor nincs rezgésszigetelés.

11. Döntse el, mikor legjobb a rezgésszigetelés!
Akkor legjobb a rezgésszigetelés, ha van csillapítás.