MODUL: VI. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenlet-rendszerének megoldásai
6.5. lecke: Gyakorló feladatok diszkrét rezgőrendszerek mozgás-egyenlet-rendszerének a megoldásaira
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- meghatározni láncszerű rezgőrendszer saját körfrekvenciáit;
- meghatározni a láncszerű rezgőrendszer rezgésképeit;
- meghatározni a hajtómű tengely saját körfrekvenciáit;
- meghatározni a hajtómű tengely rezgésképeit a saját körfrekvenciákon.
|
Tananyag |
1.Gyakorló feladat: Nem kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei |
Adott: kg, kg, kg, m/N, m/N. |

|
Feladat: |
a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián |
Megoldás: |
a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. |
A karakterisztikus egyenlet betűkkel: |
|
Behelyettesítve: |
|
Szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényező nulla, így megoldást, illetve másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei: |
|
rad/s, rad/s, amit egészít ki. |
b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. |

|
A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből , amiből m/N. |
, vagyis a rugón a csomópont a 2 jelű tömegre esik. Ez azt jelenti, hogy a 2 jelű tömeg helyben marad, ha a rezgőrendszer rad/sec frekvencián rezeg. |
A 2 jelű tömeg, vagyis a középső egyszabadságfokú rezgőrendszer vizsgálatának így nincs értelme. |
A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből , amiből m/N adódik. |
, vagyis a rugón is a csomópont a 2 jelű tömegre esik. A rezgőrendszernek tehát egy csomópontja van, és az a 2 jelű tömegre esik. A rezgéskép ábrázolása: |

|
Az amplitúdókra igaz, amiből , illetve . |
c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián. |
rad/s, esetén , amiből m/N. |
, vagyis a rugón a csomópont valóságos. |

|
A középső egyszabadságfokú rezgőrendszerből , amiből |
|
A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből illetve m/N, a csomópont valóságos. Másik oldalról is kiszámítható: m/N. |
Az amplitúdókra igaz, amiből , illetve igaz, amiből , ezzel . |
A rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvenciánál: |

|
2. Gyakorló feladat: Kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei |
Adott: kg, kg, m/N, m/N. |

|
Feladat: |
a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása. b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián. c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián |
Megoldás: |
a) A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása: |
A karakterisztikus egyenlet betűkkel: |
Behelyettesítve: |
Megoldandó a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: |
|
rad/s, rad/s. |
b) Rezgéskép meghatározása az első saját körfrekvencián: |

|
A jobboldali egyszabadságfokú rezgőrendszerből , amiből m/N. |
, vagyis a rugón a csomópont virtuális. |
A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a egyenletnek, ami teljesül is. |
A rezgéskép ábrázolása: |

|
Az amplitúdókra igaz, amiből , illetve . |
c) Rezgéskép meghatározása a második saját körfrekvencián: |
rad/s, esetén , amiből m/N. |
, vagyis a rugón a csomópont valóságos. |
A baloldali egyszabadságfokú rezgőrendszert ellenőrzésre használjuk, így teljesülnie kell a egyenletnek, ami teljesül is. |
A rezgéskép ábrázolása: |

|
A kitérésekre igaz, amiből , illetve . |
3.Gyakorló feladat: Két oldalon kötött láncszerű rezgőrendszer sajátfrekvenciái és rezgésképei |
Adott:kg, kg, m/N, m/N, m/N. |

|
Feladat: A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenlet-rendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián. |
Kidolgozás: |
A rezgőrendszer saját körfrekvenciáinak a meghatározása, majd a differenciálegyenlet-rendszer megoldásából kiindulva a rezgéskép meghatározása mind az első, mind a második saját körfrekvencián: |
A karakterisztikus egyenlet betűkkel: |
|
Behelyettesítve: |
|
|
Megoldandó a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: |
|
rad/s, rad/s. |
Amplitúdók a saját körfrekvencián: |
|
Első saját körfrekvencián (): |
|
behelyettesítve , azaz . Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek azonos nagyságú és előjelű a kitérése. Nincs a rugónak zérus helye az első saját körfrekvencián: . |
Rezgéskép ábrázolása az első saját körfrekvencián: |

|
Második saját körfrekvencián (): |
|
összevonásokkal , azaz . Ez azt jelenti, hogy a két tömegnek ellentétes előjelű a kitérése. A rugónak a zérus helye az tömegtől a rugó egyharmad részén van a második saját körfrekvencián: . |
Rezgéskép ábrázolása a második saját körfrekvencián: |

|
4. Gyakorló feladat: Hajtómű tengely torziós rezgései |
Adott:mm, mm, mm, mm, kg, kg, GPa. |

|
Feladat: A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon. |
Kidolgozás: |
A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon: |
, |
rad/N, |
, |
, |
Láncszerű modell: |

|
ahol ; ; ; ; . |
A karakterisztikus egyenlet: |
; behelyettesítve |
|
Megoldandó a |
másodfokú egyenlet: |
|
A saját körfrekvenciák: |
rad/s; és rad/s. |
Rezgésképek meghatározása: |

|
Az első saját körfrekvencián , amiből rad/Nm. , amiből |
rad/Nm. A csomópont virtuális. |
Ellenőrzés: ami kerekítési hibákkal megegyezik a kívánt értékkel. |
Az -hoz tartozó rezgéskép: |

|
Az amplitúdók aránya , amiből |
, illetve. |
A második saját körfrekvencián , amiből |
rad/Nm. , amiből |
rad/Nm, a csomópont valóságos. |
Ellenőrzés: ami kerekítési hibákkal megegyezik a kívánt értékkel. |
Az -hoz tartozó rezgéskép: |

|
Az amplitúdók aránya , amiből |
5. Gyakorló feladat: Hajtómű tengely hajlító rezgései |
Adott:mm, mm, kg, kg, GPa. |

|
Feladat: A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon. |
Kidolgozás: |
A hajtómű tengely saját körfrekvenciáinak meghatározása, rezgésképek meghatározása a saját körfrekvenciákon: |

|
Az 5.5. lecke alapján ; ; és ; . |
A differenciálegyenlet-rendszer: |
. |
, . |
A Maxwell-féle hatásszámok meghatározása: |
|
|
|
A módosított tömegmátrix: |
|
A differenciálegyenlet-rendszer: |
, |
az amplitúdókra vonatkozó egyenlet: |
, |
amelynek akkor van zérustól különböző megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa nulla. |
helyettesítéssel a karakterisztikus egyenlet sajátérték feladatra vezethető vissza, ugyanis az módosított tömegmátrix sajátértékei a saját körfrekvenciák reciprokait adják. |
Megoldandó tehát a sajátérték feladat, amely karakterisztikus egyenletre vezet, ahol az módosított tömegmátrix első, az módosított tömegmátrix második skalár invariánsa. |
Az első skalár invariáns a főátló elemeinek az összege: |
, |
a második skalár invariáns a mátrix determinánsa: |
|
A karakterisztikus egyenletbe helyettesítéssel |
egyenlethez jutunk, amely |
alakú. |
A megoldás: |
|
A saját körfrekvenciák: |
; . |
- Rezgéskép az első saját körfrekvencián.
Behelyettesítve értékét a lineáris egyenletbe , az első egyenlet . Elvégezve a kijelölt műveleteket , vagyis . A második egyenletből is ugyanezt kell kapni. Vizsgáljuk meg! A második egyenlet . Elvégezve a kijelölt műveleteket , vagyis . Ez numerikusan azonos, így. A rezgéskép olyan, hogy a két tömeg azonos irányba tér ki, így nincs közöttük zérus hely. A csomópont virtuális. - Rezgéskép a második saját körfrekvencián:
Behelyettesítve értékét a lineáris egyenletbe , az első egyenlet . Elvégezve a kijelölt műveleteket , vagyis . A második egyenletből is ugyanezt kell kapni. Vizsgáljuk meg! A második egyenlet . Elvégezve a kijelölt műveleteket , vagyis . Ez nem csak numerikusan azonos. A rezgéskép olyan, hogy a két tömeg kitérése ellenkező előjelű, így közöttük van zérus hely. A csomópont valóságos.
|