KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: IV. modul: Egyszabadságfokú rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldása

4.1. lecke: A homogén mozgásegyenlet megoldásának előállítása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenletének helyes alakját;
  • kiválasztani a komplex változóra történő áttérés után felhasználandó függvényt, változót;
  • kiválasztani a homogén mozgásegyenlet z komplex változós alakját;
  • meghatározni a homogén mozgásegyenlet z komplex változós alakjának elemeit;
  • meghatározni a komplex gerjesztő erő amplitudóját;
  • kiválasztani a homogén mozgásegyenlet általános megoldását;
  • helyes sorrendbe rendezni a homogén mozgásegyenlet megoldásának lépéseit;
  • felírni a karakterisztikus egyenletet;
  • kiválasztani és megnevezni a karakterisztikus egyenlet együtthatóit;
  • kiválasztani a karakterisztikus egyenlet megoldását.
Tananyag

Az egy szabadságfokú rezgőrendszerek mindig visszavezethetők az alábbi redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre:

A redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenlete: m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g0 sin(ωt+ε).

Mivel minden egy szabadságfokú rezgőrendszer mozgása ezzel a mozgásegyenlettel adható meg, ezért ha elő tudjuk állítani ennek a megoldását, akkor az összes egy szabadságfokú rezgőrendszer mozgását meg tudjuk határozni.

a) Áttérés komplex változóra:

Vezessünk be egy olyan z=z(t) komplex változót, amelynek az imaginárius része a keresett q=q(t) függvény:

z=z(t)=x(t)+iq(t)=x+iq .

A z komplex változó bevezetés csak segédeszköz, bennünket a továbbiakban is mindig csak a q(t)=Im[ z(t) ] függvény érdekel, az x(t)=Re[ z(t) ] függvénnyel nem foglalkozunk.

b) A mozgásegyenlet átalakítása:

Írjuk fel a mozgásegyenletet az x=x(t) változóra is:

m r x ¨ + k r x ˙ + 1 c r x= Q g0 cos(ωt+ε) ,

m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g0 sin(ωt+ε) , /i .

A második egyenletet megszorozva az i imaginárius egységvektorral és az egyenleteket összeadva a mozgásegyenlet z komplex változós alakját kapjuk:

m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z= Q g0 [ cos(ωt+ε)+isin(ωt+ε) ] e i(ωt+ε) = e iωt e iε ,

m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z= Q g0 e iε e iωt = P 0 e iωt .

A komplex gerjesztő erő: P 0 e iωt .

A gerjesztő erő komplex amplitúdója: P 0 = Q g0 e iε .

A gerjesztő erő amplitúdója (a komplex amplitúdó abszolút értéke): Q g0 =| P 0 | .

A komplex gerjesztő erő ω szögsebességgel forog óramutató járásával ellentétes irányban az xq komplex síkon.

A következőkben az

m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z= P 0 e iωt

közönséges, másodrendű, inhomogén, komplex változós differenciál egyenlet megoldását állítjuk elő a matematikában tanult módon két rész összegeként:

z(t)= z h (t) homogénmegoldás + z p (t) partikulárismegoldás

A homogén mozgásegyenlet megoldásának előállítása

A homogén mozgásegyenlet: m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z=0 .

A homogén megoldás keresése: z h (t)= x h (t)+i q h (t)=A e iλt , ahol

A=a+ib komplex állandó,
λ valós, vagy komplex szám.

A homogén megoldás mozgásegyenletben szereplő deriváltjai:

z h =A e iλt , z ˙ h =iλA e iλt =iλ z h , z ¨ h = λ 2 A e iλt = λ 2 z h ,

Ezeket a mozgásegyenletbe helyettesítve: A e iλt ( m r λ 2 +i k r λ+ 1 c r )=0 .

Az egyenlet csak akkor állhat fenn, ha a zárójelben álló kifejezés eltűnik karakterisztikus egyenlet:

m r λ 2 i k r λ 1 c r =0 .

A karakterisztikus egyenlet másodfokú algebrai egyenlet a λ változóra nézve.

Átalakítás: λ 2 k r m r 2β λ 1 c r m r α 2 =0 , λ 2 2βλ α 2 =0 .

A karakterisztikus egyenlet együtthatói:

2β= k r m r - a rezgőrendszer csillapítását jellemzi,
α 2 = 1 c r m r - a rezgőrendszer rugalmasságát jellemzi.

A karakterisztikus egyenlet megoldása: λ 1,2 = i2β± 4 β 2 +4 α 2 2 =iβ± α 2 β 2 =iβ±ν .

ν= α 2 β 2 - a csillapított szabad rendszer körfrekvenciája.

A karakterisztikus egyenlet gyökei (megoldásai):

λ 1 =iβ+ν és λ 2 =iβν .

i λ 1 =β+iν és i λ 2 =βiν .

A homogén differenciál egyenlet általános megoldása: z h (t)= A 1 e βt e iνt + A 2 e βt e iνt

Az idő monoton növekszik. Az első tagot meghagyjuk, mert komplex vektora pozitív forgású, a második tagot elhagyjuk, mert komplex vektora negatív forgású.

Tehát a homogén mozgásegyenlet általános megoldása: z h (t)=(a+ib) e βt e iνt .

Az a és b konstansok a q h (t) -re megadott kezdeti feltételekből számíthatók.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó két szóval!

Minden rezgőrendszer mozgása a m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g0 sin(ωt+ε) mozgásegyenlettel adható meg.

2. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

Ha elő tudjuk állítani a m r q ¨ + k r q ˙ + 1 c r q= Q g0 sin(ωt+ε) mozgásegyenlet , akkor az összes rezgőrendszer mozgását meg tudjuk határozni.

3. Válassza ki a helyes megoldást (képet)!

Az egy szabadságfokú rezgőrendszerek mindig visszavezethetők az alábbi redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszerre:

4. A következő kérdés a redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenletére vonatkozik. Nevezze meg az egyenlet néhány elemét!

m r z ¨ + k r z ˙ + 1 c r z= Q g0 e iε e iωt = P 0 e iωt

a) P 0 e iωt
b) k r z ˙
c) 1 c r z
d) Q g0
e) m r z ¨
f) P 0

Írja az elemek előtti kisbetűt a neki megfelelő megnevezés mellé! A megnevezésekhez csak egy-egy elem tartozik!
BetűjelMegnevezés
gerjesztő erő komplex amplitúdója
gerjesztő erő amplitúdója (a komplex amplitúdó abszolút értéke)
komplex gerjesztő erő

5. A következő kérdés a redukált, vagy helyettesítő rezgőrendszer mozgásegyenletére vonatkozik.

Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó négy szóval!

A gerjesztő erő ω forog óramutató járásával irányban az xq síkon.

6. Válassza ki a helyes megoldást!

A homogén mozgásegyenlet általános megoldása:
λ 1,2 = i2β± 4 β 2 +4 α 2 2 =iβ± α 2 β 2 =iβ±ν
z h (t)=(a+ib) e βt e iνt
A e iλt ( m r λ 2 +i k r λ+ 1 c r )=0
z h (t)= x h (t)+i q h (t)=A e iλt
m r λ 2 i k r λ 1 c r =0

7. A következő kérdés a karakterisztikus egyenlet együtthatóira vonatkozik.

Egészítse ki a következő két mondatot a hiányzó egy-egy szóval!

2β= k r m r - a rezgőrendszer jellemzi.

α 2 = 1 c r m r - a rezgőrendszer jellemzi.

8. Döntse el, hogy a következő állítás igaz vagy hamis!
A 2β= k r m r - a rezgőrendszer csillapítását jellemzi.
9. Döntse el, hogy a következő állítás igaz vagy hamis!
A α 2 = 1 c r m r - a rezgőrendszer csillapítását jellemzi.