KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: II. modul: Matematikai alapok
2.5. lecke: Mátrix sajátértékei és sajátvektorai
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- felírni egy mátrix sajátérték feladatot;
- meghatározni egy mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
|
Tananyag |
- A sajátérték feladat kitűzése:
Létezik-e olyan oszlopmátrix, amellyel az négyzetes mátrixot megszorozva, az oszlopmátrix valahányszorosát kapjuk: , ahol a skaláris mennyiség? Ha létezik ilyen oszlopmátrix, akkor ezt az négyzetes mátrix sajátvektorának, a skaláris mennyiséget pedig az mátrix sajátértékének nevezzük. - A sajátérték feladat megoldása:
A sajátérték feladat megoldását egy (2×2)-es mátrixon mutatjuk be. Az előző egyenletet részletesen kiírva és bal oldalra rendezve: , , és a szorzásokat elvégezve, az ismeretlenre homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk:
Az egyenletrendszer nemtriviális (nullától különböző) megoldásának feltétele az, hogy a rendszer együttható mátrixából képezett determinánsnak el kell tűnnie:
A determinánst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet: . A karakterisztikus egyenlet megoldásai a mátrix sajátértékei: . A homogén lineáris algebrai egyenletrendszernek csak és esetén van nemtriviális megoldása. A mátrix sajátértékeit általában növekvő sorrendben szokás sorszámozni. Ha az egyes (i=1,2) sajátértékeket behelyettesítjük a homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe, akkor az egyenletrendszer megoldható az ismeretlenre: , ahol i=1,2. Az (i=1,2) sajátértékek behelyettesítése esetén azonban az egyenletrendszer egyenletei egymástól nem lineárisan függetlenek, ezért az egyik egyenletet el kell hagyni és a másik egyenletből csak az , vagy (i=1,2) hányados határozható meg. Az és értékét akkor kapjuk meg egyértelműen, ha az sajátvektoroktól megköveteljük, hogy egységvektorok legyenek: , i=1,2.
|
| Gyakorló feladat |
Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározása |
Adott: . |
Feladat: Az mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak a meghatározása. |
Kidolgozás: |
- A megoldandó homogén lineáris algebrai egyenletrendszer:
, vagy . - A karakterisztikus egyenlet:
, , . - A karakterisztikus egyenlet megoldása, a mátrix sajátértékei:
, , . - A mátrix sajátvektorai, a sajátértékek behelyettesítése a lineáris algebrai egyenletrendszerbe:
A sajátértékhez tartozó sajátvektor: . A 2. és 3. egyenletből: . Az 1. egyenletből: tetszőleges érték. Legyen a sajátvektor egységvektor, így: . A sajátértékhez tartozó sajátvektor: . Az 1. egyenletből: . A 2., vagy 3. egyenletből: . Legyen a sajátvektor egységvektor: , . Tehát a -höz tartozó sajátvektor: . A sajátértékhez tartozó sajátvektor: . Az 1. egyenletből: . A 2., vagy 3. egyenletből: . Legyen a sajátvektor egységvektor: , . Tehát a -höz tartozó sajátvektor: .
|