KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései

7.2. lecke: Rudak csavaró kontinuumrezgései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani azokat a keresztmetszeteket, amely esetében vizsgáljuk a rudak csavaró (torziós) kontinuumrezgéseit;
  • kiválasztani a csavaró rezgések keletkezésének a jellemzőjét;
  • kiválasztani a csavaró rezgések vizsgálatának a főbb előfeltételeit;
  • kiválasztani a prizmatikus rudak csavaró kontinuumrezgéseire vonatkozó másodrendű parciális differenciálegyenletet.
Tananyag

Csak kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak csavaró (torziós) kontinuumrezgéseit vizsgáljuk. Csavaró rezgések akkor keletkeznek, ha a rúd keresztmetszetei a hossztengely körül elfordulnak. Az ilyen rezgéseknél feltételezzük, hogy a keresztmetszetek síkok maradnak, mindig a középvonalon marad a súlypont, és nem mozdulnak ki a középvonal irányába sem.

Az ábrán egy kör keresztmetszetű prizmatikus rúd látható, melynek egy tetszőleges x koordinátájú pontjában a dx hosszúságú elemi rúdszakasz ϕ szöggel fordul el. Ennek az elemi rúdszakasznak az x tengelyre számolt d J x tehetetlenségi nyomatéka

d J x = (A) r 2 ρdAdx =ρ (A) r 2 dAdx =ρ I p dx ,

és az x tengelyre felírt perdület-tétel

J x ε= M x d J x ϕ ¨ = M c + M c x dx M c ,

ami a Mechanika-Szilárdságtan tantárgyban tanultak szerint ϕ x = M c I p G helyettesítéssel átrendezés után

2 ϕ t 2 = G ρ 2 ϕ x 2

alakban írható.

Ez utóbbi másodrendű parciális differenciálegyenlet a csavaró kontinuumrezgésekre vonatkozó mozgásegyenlet prizmatikus rudak esetében.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Válassza ki a helyes megoldásokat!

Rudak csavaró kontinuumrezgései esetében a következő keresztmetszeteket vizsgáljuk:
négyzetet
kört
téglalapot
rombuszt
körgyűrűt

2. Válassza ki a helyes megoldást!

Csavaró rezgések akkor keletkeznek, ha a rúd:
keresztmetszetei a hossztengely körül elfordulnak
keresztmetszetei a hossztengelyre merőleges tengely körül elfordulnak
keresztmetszetei a hossztengely és a hossztengelyre merőleges tengely körül egyaránt elfordulnak

3. Válassza ki a három helyes megoldást!

Csavaró rezgéseknél feltételezzük, hogy:
a keresztmetszetek síkok maradnak
a keresztmetszetek nem maradnak síkok
nem marad a középvonalon a súlypont
a középvonalon marad a súlypont
a keresztmetszetek nem mozdulnak ki a középvonal irányába
a keresztmetszetek elmozdulnak a középvonal irányába

4. Válassza ki a helyes megoldást!

A prizmatikus rudak esetében a csavaró kontinuumrezgésekre vonatkozó mozgásegyenlet helyes alakja:
2 u t 2 = E ρ 2 u x 2
2 ϕ t 2 = G ρ 2 ϕ x 2
2 ϕ t = G ρ 2 ϕ 2 x
x t = G ρ ϕ ϕ
2 u t 2 = E ρ 2 u x 2