KURZUS: Mechanika - Rezgéstan

MODUL: V. modul: Többszabadságfokú diszkrét rezgőrendszerek mozgásegyenletei

5.5. lecke: Hajtómű tengelyek hajlító rezgései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a tengely alakváltozását leíró összefüggést;
  • megnevezni a tengely alakváltozását leíró összefüggés változóit;
  • kiválasztani/felírni a hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a mozgásegyenlet-rendszert;
  • megnevezni a mozgásegyenlet-rendszer változóit;
  • kiválasztani az általánosított elmozdulás vektort és az erőoszlop-mátrixot;
  • kiválasztani/felírni a hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a differenciálegyenlet-rendszer mátrix alakját.
Tananyag

Vizsgáljuk meg egy hajtómű tengelyét, amelyen két fogaskerék van. A fogaskerekek a baloldali csapágytól x 1 és x 2 távolságra találhatók. A fogaskereket az egyszerűség kedvéért először tömegpontoknak tekintjük. A tengelyt rugalmasnak, de súlytalannak tételezzük fel.

Feladat: a rendszer mozgásegyenlet-rendszerének a felírása hajlító rezgések esetén. Hajlító rezgéseknél a rúdra merőleges elmozdulások jönnek létre. A rezgések során a rúd hosszváltozásának hatásától eltekintünk, így az egyes tömegek, csak függőleges egyenes mentén mozognak.

A mozgásegyenlet-rendszer felírásánál másként járunk el ebben az esetben, mint azt tettük longitudinális, vagy torziós rezgések esetében. A megoldáshoz a Mechanika-Szilárdságtan c. tantárgyban tanult ismereteken túl Newton II. törvényét használjuk fel. A fenti második ábra a tengely megváltozott alakját szemlélteti. Az ábrán a tömegeket leválasztottuk a rúdról, és külön vizsgáljuk azokat az erőket, amelyek a rúdról az egyes tömegekre, illetve azokat, amelyek az egyes tömegekről a rúdra adódnak át.

Az 1 jelű tömegről a rúdra F 1 erő, a rúdról az 1 jelű tömegre F 1 erő hat. Az 1 jelű tömeg elmozdulása y 1 , gyorsulása y ¨ 1 . Hasonlóan a 2 jelű tömegről a rúdra F 2 erő, a rúdról a 2 jelű tömegre F 2 erő hat. A 2 jelű tömeg elmozdulása y 2 , gyorsulása y ¨ 2 .

Az egyes tömegekre felírva Newton II. törvényét

m 1 y ¨ 1 = F 1 , illetve m 2 y ¨ 2 = F 2

egyenleteket kapjuk. A tengely alakváltozását az F 1 és F 2 erők hozzák létre. A rúdnak az y 1 elmozdulása az 1 jelű tömegnél

y 1 = δ 11 F 1 + δ 12 F 2 ,

illetve az y 2 elmozdulása a 2 jelű tömegnél

y 2 = δ 21 F 1 + δ 22 F 2

összefüggéssel írható le, ahol δ 11 a rúd y 1 elmozdulása egységnyi F 1 erő, δ 12 a rúd y 1 elmozdulása egységnyi F 2 erő hatására. Hasonlóan δ 21 az egységnyi F 1 erőből számolt y 2 elmozdulás, δ 22 pedig az egységnyi F 2 erőből számolt y 2 elmozdulás.

A fenti egyenletekből az F i ,( 1=1,2 ) erőket behelyettesítve és átrendezve

y 1 + δ 11 m 1 y ¨ 1 + δ 12 m 2 y ¨ 2 =0 y 2 + δ 21 m 1 y ¨ 1 + δ 22 m 2 y ¨ 2 =0 }

lineáris, közönséges, másodrendű, hiányos, homogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. Ez a differenciálegyenlet-rendszer a mozgásegyenlet-rendszer. A δ 11 , δ 12 , δ 21 és δ 22 mennyiségek a Maxwell-féle hatásszámok, amelyekre a szimmetria jellemző, vagyis

δ 12 = δ 21 .

A mozgásegyenlet-rendszer ebben az esetben is felírható

m ¯ ¯ y ¨ ¯ ¯ + E ¯ ¯ y ¯ ¯=0

alakban, ahol

[ m ¯ ¯ ]=[ δ 11 m 1 δ 12 m 2 δ 21 m 1 δ 22 m 2 ]

a módosított tömegmátrix, illetve

[ E ¯ ¯ ]=[ 1 0 0 1 ]

az egységmátrix. A m ¯ ¯ módosított tömegmátrix felírható a Maxwell-féle hatásszámokból alkotott D ¯ ¯ mátrix és a láncszerű rendszereknél megszokott M ¯ ¯ tömegmátrix

m ¯ ¯ = D ¯ ¯ M ¯ ¯

szorzataként, ahol [ D ¯ ¯ ]=[ δ 11 δ 12 δ 21 δ 22 ] , illetve [ M ¯ ¯ ]=[ m 1 0 0 m 2 ] .

A Maxwell-féle hatásszámok szilárdságtani módszerekkel határozhatók meg. Vizsgáljuk meg az alábbi ábrán látható szilárdságtani modellt. A hajlító nyomaték M hz = m y1 F 1 + m y2 F 2 alakban írható fel, ahol m y1 = m y1 ( x ) az egységnyi F 1 erőből számolt, m y2 = m y2 ( x ) az egységnyi F 2 erőből számolt hajlító nyomatéki függvény, amelyek az ábrán ugyancsak fel vannak tüntetve. Az I z = d 4 π 64 , a z tengelyre számolt másodrendű nyomaték, és az E rugalmassági modulus figyelembevételével a tengelyben felhalmozott rugalmas energia:

U= (l) M hz 2 2 I z E dx= (l) ( F 1 m y1 + F 2 m y2 ) 2 2 I z E dx .

Az elmozdulások számítására alkalmazva a Castigliano tételt:

y 1 = U F 1 = F 1 (l) ( F 1 m y1 + F 2 m y2 ) 2 2 I z E dx= F 1 (l) m y1 2 I z E dx + F 2 (l) m y1 m y2 I z E dx ,

y 2 = U F 2 = F 2 (l) ( F 1 m y1 + F 2 m y2 ) 2 2 I z E dx= F 1 (l) m y1 m y2 I z E dx + F 2 (l) m y2 2 I z E dx.

Összehasonlítva az elmozdulásra felírt

y 1 = F 1 δ 11 + F 2 δ 12 = F 1 (l) m y1 2 I z E dx + F 2 (l) m y1 m y2 I z E dx

y 2 = δ 21 F 1 + δ 22 F 2 = F 1 (l) m y1 m y2 I z E dx + F 2 (l) m y2 2 I z E dx

egyenleteket, a Maxwell-féle hatásszámok

δ 11 = (l) m y1 2 I z E dx , δ 12 = δ 21 = (l) m y1 m y2 I z E dx , és δ 22 = (l) m y2 2 I z E dx .

A továbbiakban vizsgáljuk a hajtómű tengelyt úgy, hogy az egyes fogaskerekeket, mint tárcsákat figyelembe vesszük. Az alábbi ábra ezt a modellt szemlélteti. Az ábrán a fogaskerekek, a rúdra ékelt merev tárcsákként vannak figyelembe véve.

Ebben az esetben az bonyolítja a vizsgálatot, hogy a fogaskerekek nemcsak elmozdulhatnak, hanem a z tengely körül el is fordulhatnak. Ez azt jelenti, hogy a mozgás négy koordinátával, az y 1 , y 2 , ϕ 1 és ϕ 2 koordinátákkal írható le.

Az ábra ezt a mozgást szemlélteti azokkal a nyomatékokkal együtt, amelyek hatását az első modellhez képest még figyelembe kell venni. A tárcsák szögelfordulása megegyezik a rúd adott keresztmetszetének a szögelfordulásával, míg a súlypontjuknak az elmozdulása a rúd elmozdulásával egyezik meg.

Alkalmazva az impulzus és perdület tételt, egyrészről

m 1 y ¨ 1 = F 1 , m 2 y ¨ 2 = F 2 , J z1 ϕ ¨ 1 = M 1 , illetve J z2 ϕ ¨ 2 = M 2

írható, míg az elmozdulásokra, szögelfordulásokra

y 1 = δ 11 F 1 + δ 12 F 2 + μ 11 M 1 + μ 12 M 2 ,

y 2 = δ 21 F 1 + δ 22 F 2 + μ 21 M 1 + μ 22 M 2 ,

ϕ 1 = χ 11 F 1 + χ 12 F 2 + κ 11 M 1 + κ 12 M 2 ,

ϕ 2 = χ 21 F 1 + χ 22 F 2 + κ 21 M 1 + κ 22 M 2

egyenletek érvényesek. Bevezetve a

[ D ¯ ¯ ]=[ δ 11 δ 12 μ 11 μ 12 δ 21 δ 22 μ 21 μ 22 χ 11 χ 12 κ 11 κ 12 χ 21 χ 22 κ 21 κ 22 ]

Maxwell-féle hatásszámokból képzett mátrixot, és az általános koordinátákból képzett

[ q ¯ ¯ ]=[ y 1 y 2 ϕ 1 ϕ 2 ]

általánosított elmozdulás vektort, illetve a rúdra ható erő- és nyomatékkoordinátákból képzett

[ Φ ¯ ¯ ]=[ F 1 F 2 M 1 M 2 ]

általánosított erőoszlop-mátrixot, q ¯ ¯ = D ¯ ¯ Φ ¯ ¯ írható.

Az impulzus és perdület tételt felírva, majd a fenti mátrixokat helyettesítve és átrendezve,

y 1 + δ 11 y ¨ 1 + δ 12 y ¨ 1 + γ 11 ϕ ¨ 1 + γ 12 ϕ ¨ 2 =0 y 2 + δ 21 y ¨ 1 + δ 22 y ¨ 1 + γ 21 ϕ ¨ 1 + γ 22 ϕ ¨ 2 =0 ϕ 1 + χ 11 y ¨ 1 + χ 12 y ¨ 1 + κ 11 ϕ ¨ 1 + κ 12 ϕ ¨ 2 =0 ϕ 2 + χ 21 y ¨ 1 + χ 22 y ¨ 1 + κ 21 ϕ ¨ 1 + κ 22 ϕ ¨ 2 =0 }

lineáris, közönséges, másodrendű, hiányos, homogén differenciálegyenlet-rendszert kapjuk. A differenciálegyenlet-rendszer átírható

m ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + E ¯ ¯ q ¯ ¯= 0 ¯ ¯

mátrixalakba is. Az m ¯ ¯ módosított tömegmátrix itt is felírható

m ¯ ¯ = D ¯ ¯ M ¯ ¯

alakban, ahol

[ M ¯ ¯ ]=[ m 1 0 0 0 0 m 2 0 0 0 0 J z1 0 0 0 J z2 ]

a láncszerű rendszereknél megszokott tömegmátrix. Az egységmátrix:

[ E ¯ ¯ ]=[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] .

A Maxwell-féle hatásszámok meghatározásához írjuk fel a rúdra vonatkozóan a hajlító nyomatékot

M hz = m y1 F 1 + m y2 F 2 + m ϕ1 M 1 + m ϕ2 M 2

alakba. Az ábrán az m ϕ1 és m ϕ2 , egységnyi M 1 és M 2 nyomatékokhoz tartozó nyomatéki ábrákat megrajzoltuk. (Az m y1 és m y2 nyomatéki ábrákat már az előző példánál meghatároztuk.)

Írjuk fel a rugalmas energiát:

U= (l) M hz 2 2 I z E dx= (l) ( m y1 F 1 + m y2 F 2 + m ϕ1 M 1 + m ϕ2 M 2 ) 2 2 I z E dx .

Alkalmazva a Castigliano tételt az elmozdulásokra, szögelfordulásokra:

y 1 = U F 1 = F 1 (l) ( m y1 F 1 + m y2 F 2 + m ϕ1 M 1 + m ϕ2 M 2 ) 2 2 I z E dx= = F 1 (l) m y1 2 I z E dx + F 2 (l) m y1 m y2 I z E dx + M 1 (l) m y1 m ϕ1 I z E dx+ M 2 (l) m y1 m ϕ2 I z E dx,

y 2 = U F 2 = F 2 (l) ( m y1 F 1 + m y2 F 2 + m ϕ1 M 1 + m ϕ2 M 2 ) 2 2 I z E dx= = F 1 (l) m y1 m y2 I z E dx + F 2 (l) m y2 2 I z E dx + M 1 (l) m y2 m ϕ1 I z E dx+ M 2 (l) m y2 m ϕ2 I z E dx,

ϕ 1 = U M 1 = M 1 (l) ( m y1 F 1 + m y2 F 2 + m ϕ1 M 1 + m ϕ2 M 2 ) 2 2 I z E dx= = F 1 (l) m y1 m ϕ1 I z E dx + F 2 (l) m y2 m ϕ1 I z E dx + M 1 (l) m ϕ1 2 I z E dx+ M 2 (l) m ϕ1 m ϕ2 I z E dx,

ϕ 2 = U M 2 = M 2 (l) ( m y1 F 1 + m y2 F 2 + m ϕ1 M 1 + m ϕ2 M 2 ) 2 2 I z E dx= = F 1 (l) m y1 m ϕ2 I z E dx + F 2 (l) m y2 m ϕ2 I z E dx + M 1 (l) m ϕ1 m ϕ2 I z E dx+ M 2 (l) m ϕ2 2 I z E dx.

Ezzel felírható a Maxwell-féle hatásmátrix:

[ D ¯ ¯ ]= 1 I z E (l) [ m y1 2 m y1 m y2 m y1 m ϕ1 m y1 m ϕ2 m y1 m y2 m y2 2 m y2 m ϕ1 m y2 m ϕ2 m y1 m ϕ1 m y2 m ϕ1 m ϕ1 2 m ϕ1 m ϕ2 m y1 m ϕ2 m y2 m ϕ2 m ϕ1 m ϕ2 m ϕ2 2 ] dx .

A Maxwell-féle hatásmátrixban az integrál természetesen mátrixelemenként elvégzendő. Az összefüggésből látszik, hogy a Maxwell-féle hatásmátrix szimmetrikus.

A Maxwell-féle hatásmátrix determinánsa nem nulla, így meghatározható a D ¯ ¯ 1 inverze. Egy mátrix inverzével, ha beszorozzuk a mátrixot, akkor egységmátrixot kapunk: D ¯ ¯ 1 D ¯ ¯ = E ¯ ¯. Ha az m ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + E ¯ ¯ q ¯ ¯= 0 ¯ ¯ egyenletrendszert balról D ¯ ¯ 1 mátrixszal beszorozzuk, akkor

M ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + D ¯ ¯ 1 q ¯ ¯= 0 ¯ ¯

egyenlethez jutunk, ahol a Maxwell mátrix inverze a rendszer rugómátrixa:

D ¯ ¯ 1 = C ¯ ¯ .

Ezzel ezt a problémát is

M ¯ ¯ q ¨ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ = 0 ¯

egyenletre vezettük vissza.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Egészítse ki a következő mondatot a hiányzó három szóval!

A hajtómű tengelyek hajlító rezgéseit két fogaskerék esetén leíró differenciálegyenlet-rendszer: y 1 + δ 11 m 1 y ¨ 1 + δ 12 m 2 y ¨ 2 =0 y 2 + δ 21 m 1 y ¨ 1 + δ 22 m 2 y ¨ 2 =0 } , közönséges, , hiányos, .

2. Válassza ki a helyes megoldást!

Hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a mozgásegyenlet-rendszerrel mátrix alakja:
E ¯ ¯ y ¨ ¯ ¯ + m ¯ ¯ y ¯ ¯=0
m ¯ ¯ y ¯ ¯ E ¯ ¯ y ¨ ¯ ¯=0
m ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + E ¯ ¯q=0
m ¯ ¯ y ¨ ¯ ¯ + E ¯ ¯ y ¯ ¯=0
E ¯ ¯ q ¨ ¯ ¯ + m ¯ ¯ q ˙=0

3. Válassza ki a helyes megoldást!

Az általánosított elmozdulás vektor helyes alakja (hajtómű tengelyek hajlító rezgései, két fogaskerék esetén):
[ q ¯ ¯ ]=[ δ 1 δ2 ϕ 1 ϕ 2 ]
[ q ¯ ¯ ]=[ y 1 y 2 ϕ 1 ϕ 2 ]
[ q ¯ ¯ ]=[ y 1 y 2 δ 1 δ 2 ]
[ q ¯ ¯ ]=[ y ˙ 1 y ¨ 2 ϕ ˙ 1 ϕ ¨ 2 ]

4. Válassza ki a helyes megoldást!

Az általánosított erőoszlop-mátrix helyes alakja (hajtómű tengelyek hajlító rezgései, két fogaskerék esetén):
[ Φ ¯ ¯ ]=[ δ 1 δ2 ϕ 1 ϕ 2 ]
[ Φ ¯ ¯ ]=[ F 1 F 2 M 1 M 2 ]
[ Φ ¯ ¯ ]=[ F 1 0 0 1 0 M 1 1 0 0 1 F 2 0 1 0 0 M 2 ]
[ Φ ¯ ¯ ]=[ F 1 F 2 M 1 M 2 ]
[ Φ ¯ ¯ ]=[ 1 0 0 δ 1 0 1 δ2 0 0 ϕ 1 1 0 ϕ 2 0 0 1 ]
5. Döntse el, hogy igaz vagy hamis az állítás!
Hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a Maxwell mátrix inverze a rendszer rugómátrixa: D ¯ ¯ 1 = C ¯ ¯ .

6. Válassza ki a helyes megoldást!

Hajtómű tengelyek hajlító rezgései esetén a mozgásegyenlet helyes alakja:
M ¯ ¯ q ¨ ¯ + D ¯ ¯ q ¯ = 0 ¯
M ¯ ¯ q ¨ ¯ + C ¯ ¯ q ¯ = 0 ¯
M ¯ ¯ q ¨ ¯ + E ¯ ¯ q ¯ = 0 ¯
M ¯ ¯ q ¯ C ¯ ¯ q ¨ ¯ = 0 ¯
C ¯ ¯ q ¨ ¯ + m ¯ ¯ q ¯ = 0 ¯