KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: VII. modul: Rudak kontinuumrezgései
7.6. lecke: Mozgásegyenletek megoldása hajlító kontinuumrezgéseknél
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
A rúd hajlító kontinuumrezgéseit leíró differenciálegyenlet megoldását ugyancsak Fourier-módszerrel keressük meg. Az általános megoldást | ||
alakban keressük. A differenciálegyenletbe | ||
, illetve | ||
értékeket helyettesítve | ||
egyenlethez jutunk. Ebből az egyenletből látszik, hogy csak akkor van tetszőleges időpillanatban megoldása, ha | ||
teljesül. Ez pedig közönséges negyedrendű differenciálegyenlet, aminek megoldása helyettesítéssel | ||
, | ||
vagy átalakítás után | ||
alakú, ahol S(kx), T(kx), U(kx), V(kx) függvények a Krülov-függvények és a hajlító rezgéshullám hangsebessége. | ||
Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket! Négy jellemző peremfeltétel jöhet számításba. A peremfeltételek közül kettő geometriai, kettő pedig dinamikai. A geometriai peremfeltételek az elmozdulásra, illetve a szögelfordulásra, míg a dinamikai peremfeltételek a nyíróerőre, illetve a hajlító nyomatékra vonatkoznak. | ||
Vizsgáljuk meg a peremfeltételeket a fenti szempontok szerint. Abban az esetben, ha a rúd vége befalazással van megfogva, akkor ott | ||
, illetve | ||
feltételeknek teljesülnie kell. Abban az esetben, ha a rúd vége nincs megfogva, akkor ott a hajlító nyomatéknak és a nyíróerőnek kell megegyezni az ott valóban működő hajlító nyomaték és nyíróerő értékével, így ott az | ||
, illetve | ||
feltételeknek kell teljesülnie. |
1. Gyakorló feladat: Befalazott rúd hajlító rezgései | ||
Vizsgáljuk meg az ábrán látható rúd sajátrezgéseit. | ||
A fentiekben bemutatott általános megoldást | ||
alakban keressük. A peremfeltételek az helyen , illetve . Az első feltétel | ||
csak akkor teljesül minden időpillanatban, ha . A másik feltétel (figyelembe véve, hogy ) | ||
csak akkor teljesül, ha | ||
Ezt figyelembe véve a rúd másik végén írjuk fel a peremfeltételeket. Az helyen se hajlító nyomaték, se nyíróerő nincs. Az elsőből és figyelembevételével | ||
egyenletet kapjuk, ami tetszőleges időpontban csak akkor igaz, ha | ||
feltétel teljesül. A másik feltételből | ||
következik, amiből az | ||
egyenletet kapjuk. A két egyenlet a ismeretlenre | ||
alakban írható fel. Az egyenlet két ismeretlenes lineáris algebrai homogén egyenletrendszer, amelynek csak akkor van triviálistól különböző (zérustól különböző) megoldása, ha a determinánsa zérus. | ||
A determinánst kifejtve | ||
egyenlethez jutunk. Az összefüggésben , mint az függvénye az ismeretlen. A cél azon értékek meghatározása, amelyek esetén a determináns értéke zérus. | ||
Ezek szolgáltatják a rendszer saját körfrekvenciáit. | ||
Az egyenlet nem algebrai (trigonometrikus is és exponenciális is), így zérus helyeit általában csak numerikusan tudjuk megkeresni. Gyököket csak azokban az intervallumokban kell keresni, amely intervallumokban a determináns értéke előjelet vált. Itt a szokásos eljárás az intervallum felezésének módszere. | ||
2. Gyakorló feladat: Befalazott kör keresztmetszetű rúd hajlító rezgései (kontinuum modell) | ||
Adott: az egyik végén befalazott kör keresztmetszetű, l hosszúságú rúd anyaga és geometriája: | ||
Feladat: | ||
a) A hajlító kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása. | ||
b) A rúd első három saját körfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és szemléltetése. | ||
Feltételezzük, hogy a rúd az xy síkban végez hajlító rezgéseket. Az z tengely a keresztmetszetek szimmetria tengelye, ezért a rúd igénybevétele egyenes hajlítás. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A hajlító kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása: | ||
A hajlító kontinuum-rezgés mozgásegyenlete: | ||
A differenciálegyenletben a a rugalmas szál pontjainak (a K keresztmetszet S súlypontjának) y irányú elmozdulása. | ||
A megoldást Fourier módszerrel egy, csak a helykoordinátától függőés egy, csak az időtől függő függvény szorzatának alakjában keressük: | ||
ahol | ||
A megoldásban szereplő állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozhatók meg: | ||
Az helyen és | ||
Az helyen , | ||
Az helyen , | ||
A megoldást behelyettesítve a peremfeltételekbe: | ||
A peremfeltételekből egy homogén, lineáris egyenletrendszert kapunk az állandókra. Ezt mátrixos formában felírva: | ||
A homogén, lineáris egyenletrendszernek akkor van nem zérus megoldása, ha az mátrix determinánsa zérus. | ||
A determinánst kifejtve: | ||
Az egyenlet baloldalán álló függvényt ábrázolva kapjuk a zérushelyeket: | ||
Zérushelyek az ábrából: | ||
További zérushelyek: | ||
A hajlító kontinuum-rezgés saját körfrekvenciái: | ||
| ||
b) A rúd első három saját körfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és szemléltetése: | ||
A rezgésképek meghatározásánál a differenciál-egyenlet megoldásának a Rayleigh-féle (vagy Krülov-féle) függvényekkel felírt alakját használjuk fel: | ||
A peremfeltételekből felírt homogén lineáris algabrai egyenletrendszerbe behelyettesítjük a saját körfrekvenciákat (az egyenletrendszernek csak ezekre van triviálistól különböző megoldása). | ||
Az első saját körfrekvenciához tartózó rezgéskép: | ||
A első rezgéskép szemléltetése: | ||
A második saját körfrekvenciához tartózó rezgéskép: | ||
A homogén lineáris egyenletrendszer megoldása: | ||
A második rezgéskép szemléltetése: | ||
A harmadik saját körfrekvenciához tartózó rezgéskép: | ||
A homogén lineáris egyenletrendszer megoldása: | ||
A harmadik rezgéskép szemléltetése: | ||
3. Gyakorló feladat: Tengely hajlító rezgései | ||
Oldjuk meg az ábrán látható tengely hajlító kontinuum rezgéseit. | ||
A tengely mechanikai modellje a következő. | ||
A megoldást most ne a Krülov-függvények segítségével keressük, hanem induljunk ki a | ||
alakból. | ||
Peremfeltételek az valamint az helyen írhatók elő. Az mind az y irányú elmozdulás, mind a hajlító nyomaték zérusértékű, vagyis | ||
illetve | ||
amiből | ||
Az első feltétel akkor teljesül, ha , míg a második peremfeltétel esetén teljesül. | ||
Újabb két peremfeltétel írható az helyre, hiszen ott is mind az y irányú elmozdulás, mind a hajlító nyomaték zérusértékű, vagyis | ||
illetve | ||
amiből | ||
A harmadik feltétel akkor teljesül, ha | ||
míg a negyedik feltétel | ||
esetén igaz. Gyűjtsük össze a feltételeket egy egyenletrendszerbe, amely | ||
. | ||
alakú. Az egyenletrendszer homogén lineáris algebrai négy ismeretlenes. Csak akkor van triviálistól különböző megoldása, ha a determinánsa zérus, azaz | ||
teljesül. Kifejtve a determinánst egyenlethez jutunk. Vizsgáljuk meg az egyenlet teljesülésének a feltételeit! Mivel nem lehet zérus, így elég a egyenletet vizsgálni, amely végtelen sok zérus hellyel rendelkezik. Ezek , amelyből a saját körfrekvenciák | ||
összefüggésből számíthatók. | ||
A fenti négy ismeretlenes egyenletrendszerbe feltételt visszahelyettesítve adódik, így a rugalmas szál y irányú elmozdulása: | ||
. | ||
4. Gyakorló feladat: Kéttámaszú tartó (rúd) hajlító rezgései (kontinuum modell) | ||
Feltételezzük, hogy a rúd az xy síkban végez hajlító rezgéseket. Az z tengely a keresztmetszetek szimmetria tengelye, ezért a rúd igénybevétele egyenes hajlítás. | ||
Adott: a két végén megtámasztott, l hosszúságú rúd anyaga és geometriája: | ||
Feladat: | ||
a) A hajlító kontinuumrezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása. | ||
b) A rúd első három saját körfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és szemléltetése. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A hajlító kontinuum-rezgések differenciálegyenletének megoldása, az első három saját körfrekvencia meghatározása: | ||
A hajlító kontinuum-rezgés mozgásegyenlete: | ||
A differenciál egyenletben a rugalmas szál pontjainak (a K keresztmetszet S pontjának) y irányú elmozdulása és a hajlító rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban. | ||
A megoldást Fourier-módszerrel egy, csak a helykoordinátától függő és egy, csak az időtől függő függvény szorzatának alakjában keressük: | ||
ahol | ||
A megoldásban szereplő , , , állandók a rúd két végére felírt peremfeltételekből határozható meg: | ||
Az helyen és , amiből | ||
Az helyen és , amiből | ||
A megoldást behelyettesítve a peremfeltételekbe: | ||
A peremfeltételekből egy homogén, lineáris algebrai egyenletrendszert kaptunk az , , , állandókra. Ezt mátrixos formában felírva: | ||
A homogén, lineáris egyenletrendszernek akkor van nem zérus megoldása, ha az mátrix determinánsa zérus. | ||
A determinánst kifejtve: | ||
Mivel a sh(x) függvény csak x=0-nál zérus, ezért a másik szorzó tényezőnek kell zérusnak lennie: | ||
, ha , . | ||
Ebből a feltételből kapjuk a hajlító kontinuum-rezgés saját körfrekvenciáit: | ||
, . | ||
A fenti négy ismeretlenes homogén, lineáris algebrai egyenletrendszerbe -t behelyettesítve: . | ||
Az első két egyenletből: , a harmadik egyenletből megoldás adódik, viszont az tetszőleges érték lehet (az előző feladatokhoz hasonlóan.) | ||
A mozgásegyenlet megoldása: | ||
b) A rúd első három sajátfrekvenciájához tartozó rezgéskép meghatározása és megrajzolása: | ||
Az összefüggésben szereplő állandó fizikai jelentése: a hajlító rezgés (rezgéshullám) terjedési sebessége a rúdban. | ||
A rezgésképeket a függvény ábrázolásával kapjuk: . | ||
Legyen a továbbiakban , így | ||
i=1 - első saját körfrekvencia, első rezgéskép: | ||
Az első saját körfrekvencia: | ||
Az első rezgéskép: | ||
Jellemző értékek | ||
A rezgésképen a függvényértékek az elmozdulás nagyságát és irányát is szemléltetik, mert ebben az esetben a rúd középvonalára merőleges elmozdulások lépnek fel. | ||
i=2 - második saját körfrekvencia, második rezgéskép: | ||
A második saját körfrekvencia: | ||
A második rezgéskép: | ||
Jellemző értékek | ||
i=3 - harmadik saját körfrekvencia, harmadik rezgéskép: | ||
A harmadik saját körfrekvencia: | ||
A harmadik rezgéskép: | ||
Jellemző értékek | ||