KURZUS: Mechanika - Rezgéstan
MODUL: II. modul: Matematikai alapok
2.4. lecke: Mátrixalgebrai összefoglaló
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Tananyag | ||
a) Mátrix értelmezése, jelölése: | ||
Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza. | ||
Mátrix jelölése: . | ||
, (i=1, 2, ... n), (j=1, 2, ... m). | ||
A mátrixokat kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl. és stb. | ||
Az mátrixelem az mátrix első sorában és harmadik oszlopában van. | ||
Mátrix mérete: Például a fenti 2x3-as méretű mátrixnak két, vagy n sora és három, vagy m oszlopa van. | ||
Az mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három. | ||
Oszlopmátrix: , sormátrix: . | ||
Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. | ||
A sormátrix ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltja. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli. | ||
A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják (pl.: . A következő ábrán egy 3x3-as mátrix főátlóját piros színnel jelöltük. | ||
b) Mátrixműveletek: | ||
A műveleteket -es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be. | ||
|
Gyakorló feladat | ||
Adott: , | ||
Feladat: Az és transzponált mátrixok meghatározása. | ||
Kidolgozás: Az és transzponált mátrixok meghatározása: , . |
|
Gyakorló feladat | ||
Adott: , | ||
Feladat: Az összegmátrix és az különbségmátrix meghatározása. | ||
Kidolgozás: Az összegmátrix és az különbségmátrix meghatározása: | ||
, | ||
. |
| ||
A fenti ábra a szorzás logikáját két 2x2-es mátrix bemutatásával szemlélteti. Az első mátrix az eredményelem sor-, a második mátrix az eredményelem oszlop-koordinátáit határozza meg. A szorzás algoritmusából következik a korábban leírt szabály is (csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával). | ||
Gondolja végig, miért csak ilyen mátrixok szorozhatók össze! | ||
Két 2×2-es mátrix összeszorzásának lépésit szemlélteti a következő ábra. A sárga elemeket a világoskék, a narancssárga elemeket a sötétkék elemekkel szorozzuk össze, majd az eredményeket összegezzük. Látható, hogy az eredmény helyét az első mátrix sor koordinátája és a második mátrix oszlop koordinátája határozza meg. | ||
, | ||
. | ||
, | ||
. |
Gyakorló feladat | ||
Adott: , . | ||
Feladat: Az szorzatmátrix meghatározása. | ||
c) Különleges mátrixok: | ||
| ||
d) Mátrix adjungáltja, determinánsa, inverze: | ||
|
Gyakorló feladat | ||
Adott: . | ||
Feladat: Az mátrix inverzének meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
|