KURZUS: Statisztika II.

MODUL: III. modul: Korreláció- és regresszió-számítás

8. lecke: Kétváltozós korreláció- és regresszió-számítás: exponenciális és hatványkitevős függvények

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • tudja a hatványkitevős és az exponenciális regresszió jelentését,
  • tudja a nem lineáris regresszió szorosságának mérésére szolgáló mutatót,
  • az adatok alapján ki tudja számolni a hatványkitevős és az exponenciális regressziót,
  • az adatok alapján el tudja dönteni hogy milyen típusú regressziós függvény illeszkedik a legjobban.
Tananyag

Két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat leírására sok esetben nem alkalmas a lineáris függvény. Ha az x-változó y-változóra gyakorolt hatásának mértéke függ az x-változó nagyságától, akkor a lineáris regresszió nem alkalmas az adatok közötti kapcsolat elemzésére.

8.1. Hatványkitevős regressziós függvény

Ha a független változó szorzatos növekedésével a függő változó is szorzatosan változik, akkor regressziós függvény az alábbi:

Olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az x és y változók logaritmusai között van lineáris összefüggés.

β 1 regressziós együttható azt fejezi ki, hogy az x magyarázó változó egységnyi relatív (1%-os) változása mekkora relatív (hány százalékos) változást idéz elő az eseményváltozóban.

Megoldásához linearizálni kell a regressziós függvényt:

lgy=lg β 0 + β 1 lgx

Látható, hogy az x és az y változók logaritmusa között lineáris a kapcsolat.

β 1 = ( lg x i lgx ¯ ) *( lg y i lgy ¯ ) ( lg x i lgx ¯ ) 2 lg β 0 = lgy ¯ β 1 * lgx ¯

Vezessünk be új ismeretleneket:

lgy=Y; lgx=X;  lg β 0 =B

Így a függvényünk az alábbi:

Y=B+ β 1 x

A regressziós együtthatók így már a tanultak szerint számíthatóak:

β 1 = ( X i X ) *( Y i Y ) ( X i X ) 2 B= Y β 1 * X β 0 = 10 B

A paraméterek jelentése:

  • A β 0 : ha az x=1része a függvény értelmezési tartományának, akkor van jelentése, azaz az x=1 helyen felvett regressziós érték.
  • A β 1 : a magyarázóváltozó 1%-os változása az eredményváltozásban éppen A β 1 %-os változást okoz. A β 1 -együttható elaszticitási (rugalmassági) együttható is egyben, mivel megmutatja hogy az 1%-kal nagyobb x-értékhez hány százalékkal nagyobb vagy kisebb y-érték tartozik.

A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki:

I= 1- e i 2 ( y i - y ¯ ) 2 e i 2 = ( y i - y i ) 2

A korrelációs index értéke:

0I1

A korrelációs index négyzetét százalékban fejezzük ki.

Bemutató feladat

Nézzük meg, hogy mennyire van hatással a gyökér súlya a gyökér felületére cukorrépa esetében.

Először az eredeti adatok logaritmusát kell meghatározni. A továbbiakban ezekkel az értékekkel dolgozunk, azaz X és Y-értékei kerülnek a képletekbe.

gyökér súlya x változógyökér felülete y váltólgx=Xlgy=YX2X-Xátlag(X-Xátlag)2(Y-Yátlag)(Y-Yátlag)2(X-Xátlag)*(Y-Yátlag)
 2687044724,4292683,65050219,618411,4612682,1353031,2225021,4945111,786402
 1566041524,1947923,61825717,596281,2267921,5050181,1902571,4167131,460198
 618017283,7909883,23754414,371590,8229880,677310,8095440,6553610,666245
 29009043,4623982,95616811,98820,4943980,2444290,5281680,2789620,261125
 15004723,1760912,67394210,087560,2080910,0433020,2459420,0604870,051178
 6502602,8129132,4149737,912482-0,155090,024052-0,013030,000170,00202
 280482,4471581,6812415,988582-0,520840,271276-0,746760,5576490,388943
 130392,1139431,5910654,468756-0,854060,729413-0,836940,7004610,71479
 60241,7781511,3802113,161822-1,189851,41574-1,047791,0978611,24671
 30121,4771211,0791812,181887-1,490882,222719-1,348821,8193122,010925
össz.542601211129,6828224,2830897,375570,0028249,2685630,0030858,0814868,588538
átlag54261211,12,9682822,428308      

β 1 = ( X i X ) *( Y i Y ) ( X i X ) 2 = 8,5885 9,2686 =0,9266 B 0 = Y β 1 * X =2,42830,9266*2,9683=0,3222 β 0 = 10 0,3222 =0,4762 y =0,4762* x 0,9266

8.2. Exponenciáliss regressziós függvény

Ha az adatok közötti összefüggést a:

y = β 0 * β 1 x

Függvénnyel írható le, akkor exponenciális regresszióról beszélünk. Olyan esetekben alkalmazzuk, ha az y-változó növekedése arányos az adott helyen felvett x-változó értékével. Az exponenciális függvények esetében is igaz, hogy lineáris összefüggés van az eredményváltozó logaritmusa és a magyarázóváltozó között. Hasonlóan a hatványkitevős regresszióhoz, ebben az esetben is visszavezetjük lineáris regresszióra:

lg y =lg β 0 +x*lg β 1 Y= B 0 + B 1 *x

B 1 = ( x i x ) *( Y i Y ) ( x i x ) 2 β 1 = 10 B 1 B 0 = Y B 1 * x β 0 = 10 B 0

A paraméterek jelentése:

A β 1 regressziós paraméter arra ad választ, hogy az x-változó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az y-változó értékét.

A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki:

I= 1- e i 2 ( y i - y ¯ ) 2 e i 2 = ( y i - y i ) 2

A korrelációs index értéke:

0I1

8.3. Választás a különböző regressziós egyenlet-típusok közül

Ugyanarra az adatsorra kiszámolva mindhárom regressziós függvényt, felvetődik a kérdés, hogy melyik jellemzi legjobban a változók kapcsolatát. A függvények kiválasztáshoz az egyenletek illeszkedési módszerét, azaz a legkisebb eltérések-négyzetét használjuk. Az az egyenlet illeszkedik legjobban az adatokra, ahol az ( y i y i ) 2 és az ( x i x i ) 2 is a legkisebb, illetve ahol a kapcsolat szorosságát kifejező mutató a legnagyobb.

Önellenőrző feladatok

Válassza ki a helyes állítást!

1/a
A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat általában lineáris.
A mennyiségi ismérvek közötti kapcsolat sok esetben nem írható fel lineáris függvénnyel.
1/b. Ha a magyarázóváltozó szorzatos növekedésével a függőváltozó is szorzatosan nő, akkora kapcsolat
Lineáris függvénnyel jellemezhető.
Hatványkitevős függvénnyel jellemezhető.
Exponenciális függvénnyel jellemezhető.
1/c. Ha az eredményváltozó növekedése arányos az adott helyen felvett értékével, akkor a kapcsolat
Lineáris függvénnyel jellemezhető.
Hatványkitevős függvénnyel jellemezhető
Exponenciális függvénnyel jellemezhető.
1/d. Nem lineáris regresszió esetében a kapcsolat szorosságát a...
korrelációs együttható fejezi ki.
a korrelációs index fejezi ki.

30 véletlenszerűen kiválasztott négytagú aktív keresős háztartás adatai alapján vizsgálták a jövedelem és az üdülésre fordított kiadás nagyságát.

A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:

  • lg x i =77,1873
  • lg y i =22,2639
  • ( lg x i lgx ¯ ) *( lg y i lgy ¯ ) =3,4003
  • ( lg x i lgx ¯ ) 2 =2,0633
2/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 4 tizedesjegy pontossággal!

A β 0 -paraméter értéke:
A β 1 -paraméter értéke:

Az egy főre jutó bruttó hazai termék és az egy főre jutó informatikai kiadást vizsgálva 9 európai országban az alábbi volt.

Sorszám1 főre jutó GDP (ezer euró)1 főre jutó informatikai kiadás (ezer euró)
1.3,538
2.4,475
3.11,588
4.4,7136
5.11,9150
6.19,5375
7.24,8525
8.25,7585
9.26,7884

3. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat!

3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket a 3 tizedesjegy pontossággal!

A β 0 paraméter értéke:
A β 1 paraméter értéke:

3/b. Jelölje be a helyes meghatározást!
A β 0 paraméter, hogy 1 ezer euróval nagyobb 1 főre jutó GDP-hez átlagosan hány százalékal nagyobb 1 főre jutó informatikai kiadás tartozik.
A β 0 paramétert nem értelmezzük.
A β 1 paramétert nem értelmezzük.
A β 1 paraméter kifejezi, hogy 1 ezer euróval nagyobb 1 főre jutó GDP-hez átlagosan hány százalékkal nagyobb 1 főre jutó informatikai kiadás tartozik.
3/c. Vizsgálja meg a kapcsolat szorosságát! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal!

A korrelációs index értéke:

4. Egy zárthelyi dolgozat (maximum 50 pontot lehetett elérni) után felmérést készítettek a hallgatók körében, ki hány órát töltött tanulással. A felmérés során 10 hallgató tanulással töltött ideje és a vizsgán elért pontszámok között különböző regressziós függvények segítségével próbálták megállapítani a kapcsolt meglétét.

A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre:

lg x i =8,279    lg y i =13,638    ( lg x i lgx ¯ ) *( lg y i lgy ¯ ) =1,1047

( lg x i lgx ¯ ) 2 =2,0458    ( lg y i lgy ¯ ) 2 =0,6654

( x i )=105     ( y i )=271 ( x i x ¯ ) 2 =716,5     ( y i y ¯ ) 2 =1907

( x i x ¯ )*( y i y ¯ )=1107,5

( x i x ¯ ) *( lg y i lgy ¯ ) =19,483

e exp. 2 =442,02    e hatv. 2 =139,36    e lin. 2 =195,03

4/a. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és a korrelációs indexet! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal!

A β 0 paraméter értéke:
A β 1 paraméter értéke:
A korrelációs index:

4/b. Határozza meg a lineáris regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal!

A β 0 paraméter értéke:
A β 1 paraméter értéke:
A korrelációs együttható:

4/c. Határozza meg a hatványkitevős regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 2 tizedesjegy pontossággal!

A β 0 paraméter értéke:
A β 1 paraméter értéke:
A korrelációs index:

4/d. Egészítse ki a mondatot a megfelelőszóval!
"A tanulásra fordított idő és az elért pontszám kapcsolatát a legjobban a ... regresszióval lehet kifejezni."
hatványkitevős
exponenciális