KURZUS: Statisztika II.
MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése
12. lecke: Szezonális ingadozások elemzése
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a szezonalitás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál az idősor adataiból ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatást. A szezonális komponens eltérő módon viselkedik additív és multiplikatív modell esetén. Additív összefüggéskor a szezonhatás a trendtől való abszolút eltérés, multiplikatív kapcsolat esetén pedig a relatív eltérés formájában jelentkezik. A szezonalitást additív modell esetén szezonális eltérésekkel, multiplikatív modell esetén pedig szezonindexekkel jellemezzük. | ||
12.1. Szezonális eltérés | ||
Additív összefüggés és lineáris trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek összegeként írhatjuk fel. | ||
A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeiből rendre kivonjuk a trendértékeket: | ||
Az így nyert különbségeket egyedi szezonális eltéréseknek nevezzük. Minden periódusból vesszük a j-edik eltérést és ezek számtani átlagát képezzük, ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk: | ||
ahol p: az adott periódusok száma az idősorban. | ||
A szezonális eltérés megmutatja, hogy a megfigyelt idősor a j-edik szezonban átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől a szabályosan ismétlődő szezonhatás következtében. | ||
Lineáris trend esetében a kapott szezonális eltérések összege nullával egyenlő. Más trendfüggvények esetében: | ||
Ilyen esetben a szezonális eltérések korrekciójára van szükség, ekkor a kiszámolt szezonális eltéréseket nyers szezonális eltéréseknek nevezzük. A korrekció azt jelenti, hogy a kiszámolt nyers szezonális eltéréseket átlagoljuk, és az így kapott un. korrekciós tényezőt levonjuk a nyers szezonális indexekből, és megkapjuk a korrigált szezonális eltéréseket. | ||
. | ||
Ahol m: a periódusok száma az idősorban (pl. 4, ha negyedéves bontásban vannak az adataim). |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele millió Ft-ban az alábbi volt. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kiszámított trendegyenlet: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Helyettesítsük be a trendegyenletbe a ti-értékeket: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pl. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az eredeti adatokból vonjuk ki a kiszámított trendértéket. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl.: 20-24655=-4,655 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Írjuk át egy másik táblázatba az idősor adatainak és a trendértékeknek a különbségét, azaz az egyedi szezonális eltéréseket. Ezután az egyes negyedévekhez tartozó érékeket átlagolni kell. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Például az I. negyedév esetében (-4,655-6,179-6,703)/3=-5,845 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az első negyedévben átlagosan 5,845 millió Ft-tal kevesebb az árbevétel annál, mint ami a hosszú távú tendenciából az egyes évek első negyedéveiből következne. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Korrekcióra nincs szükség, ugyanis az egyes negyedévek szezonális eltéréseinek összege nulla. |
12.2. Szezonindex | ||
Multiplikatív összefüggés és exponenciális trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek szorzataként írhatjuk fel: | ||
A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeit rendre elosztjuk a trendértékekkel: | ||
Az így nyert hányadosokat egyedi szezonindexnek nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik szezonindexet és ezeket átlagoljuk vagy számtani vagy mértani átlagot számolunk: | ||
Ahol n: az adatok száma | ||
Mértani átlaggal: | ||
A becsült szezonindex azt fejezi ki, hogy a j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa, illetve hány százaléka a trendértéknek a szezonhatás következtében. | ||
A szezonindexnél is célszerű korrekciót végezni, ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le. A korrekciós tényező az előzőekben kiszámolt nyers szezonindexek átlaga. A korrigált szezonindexet pedig úgy kapjuk, hogy a nyers szezonindexeket elosztjuk a korrekciós tényezővel. | ||
Ha a nyers szezonindexet számtani átlaggal számítottuk ki, akkor a korrigált szezonindex az alábbi: | ||
Ahol m: a periódusok száma az idősorban (pl. 4, ha negyedéves bontásban vannak az adataim). | ||
Ha a nyers szezonindexet mértani átlaggal számítottuk ki, akkor a korrigált szezonindex az alábbi: | ||
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az előző feladat alapján nézzük meg a szezonális eltéréseket. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kiszámított trendegyenlet: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Helyettesítsük be a trendegyenletbe a ti-értékeket: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pl. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Írjuk át az egyedi szezonindexeket egy másik táblázatba: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Számtani átlaggal számolva a nyers szezonindexeket ismét átlagolni kell, azaz ki kell számolni a korrekciós tényezőt: (0,885+1,283+1,894+0,470)/4=1,133. Ezzel a korrekciós tényezővel kell elosztani mindegyik nyers szezonindexet. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl.: 0,885/1,133=0,781 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mértani átlaggal számolva a korrekciós tényező: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, ezzel kell mindegyik nyers szezonindexet elosztani. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl.: 0,8843/0,99996=0,8843 |
12.3. Véletlenhatás | ||
Az alapadatok és a trendadatok közötti eltérést a szezonhatás és a véletlenhatás okozza. Az azonos szezonokra vonatkozó eltérések átlagolásával kiszámítottuk a periodikus ingadozás abszolút (szezonális eltérés) vagy relatív (szezonindex) nagyságát. Az idősor komponenseiből már csak a véletlen tagot kell meghatározni. | ||
Additív összefüggés esetén: | ||
A véletlenhatás számításakor nem az egyes időpontok és a trendadatok közti különbségeket, hanem az egyes szezonokra jellemző korrigált szezonhatásokkal számolunk. A véletlenhatások várható értéke általában nulla, és nem jelezhetők előre. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele millió Ft-ban az alábbi volt. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiplikatív összefüggéskor pedig: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A véletlenhatások szorzatának várható értéke általában egy, és nem jelezhetők előre. |
12.4. Extrapoláció | ||
A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. A meghatározott trendegyenletbe behelyettesítjük a becsülni kívánt évhez tartozó "ti"-értéket, és kiszámoljuk a trendértékét. Ezután ha van szezonhatás, akkor azzal korrigálunk. Additív összefüggés esetén a kiszámított trendértéket hozzáadjuk a szezonális eltérést, multiplikatív összefüggéskor a trendértéket megszorozzuk a szezonindexszel. |
Bemutató feladat | ||
Becsüljük meg 2007. II. negyedévére a várható árbevételt! | ||
Additív esetben: | ||
A trendegyenlet: | ||
A III. negyedév szezonális eltérése: 20,06 | ||
Multiplikatív esetben: | ||
A III. negyedév szezonindexe:1,8844 |
Önellenőrző feladatok | |||||||||||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes állítást! | |||||||||||||||||||||||||||||
1/a. Az idősor szezonális kiigazítása azt jelenti, hogy
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
1/b. Mit jelent a szezonálisan kiigazított idősor?
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
1/c. A szezonindex azt fejezi ki, hogy...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
1/d. A szezonális eltérés azt fejezi ki, hogy...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
1/e. Egy Balaton-parti étterem forgalmának negyedéves korrigált szezonindexei az alábbiak: | |||||||||||||||||||||||||||||
A III. negyedévi szezonindex azt jelenti, hogy...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
2. Egy egész évben nyitva tartó fagylaltárus negyedéves forgalmának alakulása | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
Az alapirányzatot leíró trendfüggvény: , (t=0). A szezonhatás eredményeit az alábbi táblázat tartalmazza: | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
2/a. Számítsa ki a szezonális összetevők nagyságát az egyes negyedévekre. Írja be a cellákba a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
2/b. Becsülje meg 2006. III. negyedévére várható fagylaltforgalmat! Írja be a mezőbe a megfelelő értéket 3 tizedesjegy pontossággal! 2006. III. negyedévében a várható forgalom ezer gombóc. ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
3. Egy áruház negyedéves eladási forgalmának (millió Ft) trendje 2003-2005 között: | |||||||||||||||||||||||||||||
(t=1,2,3,...n). | |||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||
3/a. Mennyi a IV. negyedévi szezonális eltérés? Jelölje be a megfelelő értéket!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
3/b Becsülje meg 2006. IV. negyedévére várható forgalmat! Írja be a mezőbe a megfelelő értéket 3 tizedesjegy pontossággal! 2006. IV. negyedévében a várható forgalom millió Ft. ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
4. A vándorfecskék számának negyedéves, 1998-2003 közötti adatai alapján ismert, hogy a hosszú távú trendet a (t=1,2,3..n) függvény írja le, míg a szezonális eltérések rendre: -260; 420; 380; -540. Mekkora a 2004. IV. negyedévére várható fecskeszám? Jelölje be a megfelelő értéket!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||
5. egy sportboltban az elmúlt hatévi negyedéves síléceladások adataiból számított hosszú távú trendet a (t=1,2,3..n) függvény írja le. A szezonindexek rendre: 1,60; 0,25; 1,35; 1,85. Számítsa ki a vizsgált időszakot követő év III. negyedévére várható forgalmat! Jelölje be a megfelelő értéket!
![]() |