KURZUS: Statisztika II.
MODUL: II. modul: Hipotézisvizsgálat
6. lecke: Két- és több mintás statisztikai próbák
Követelmények | |||||||||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | |||||||||
| |||||||||
Tananyag | |||||||||
Gyakran előfordul, hogy két sokaságot akarunk vizsgálni, és a hipotézis két paraméter értékének egymáshoz való viszonyára vonatkozik. Ilyenkor kétmintás próbát hajtunk végre, azaz a sokaságokból 1-1 független, véletlen mintát veszünk a hipotézis ellenőrzése céljából. Az egymással összehasonlításra kerülő sokaságok időben, térben vagy bármilyen más tekintetben különbözhetnek egymástól. | |||||||||
6.1. Várható értékek különbözőségére irányuló próbák | |||||||||
Két sokaságból külön-külön és egymástól függetlenül vett minta alapján ellenőrizni kívánjuk a vagy konkrét minta esetén a hipotézis helyességét. | |||||||||
6.1.1. Kétmintás z-próba | |||||||||
Ha a két sokaság normális eloszlású, és ismert mindkét sokaság szórása, akkor a z-próbafüggvényt alkalmazzuk: | |||||||||
A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás z-próba elfogadási tartományával: | |||||||||
| |||||||||
6.1.2. Kétmintás t-próba | |||||||||
Ha a két normális eloszlású sokaság szórását nem ismerjük, és feltételezzük, hogy szórásuk lényegesen nem különbözik, ilyenkor t-próbát alkalmazunk: | |||||||||
(közös szórás) | |||||||||
A szabadságfok szf=n1+n2-2 | |||||||||
A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás t-próba elfogadási tartományával. |
Bemutató feladat | ||
Egy üzemben a szerelési műveleteket két eltérő módon tanították be. A két csoportból mintát vettek, és feljegyezték a dolgozók teljesítményét. A kérdés, hogy 5%-os valószínűségi szinten van-e különbség a két szerelési mód között? | ||
n1=16, =128 s1=18 | ||
n2=11, =112 s2=29 | ||
H0:x1 x2, | ||
H1:x1 < x2, | ||
Szf=25 t0,05(25)= -1,71, az elfogadási tartomány: | ||
, azaz | ||
Mivel a számított t-érték beleesik az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz az első betanítási módszer nem jobb, mint a második. |
6.2. Két sokasági szórás egyezőségére irányuló próba | |||||||||
Ha a két sokaság normális eloszlású, a szórások egyezőségének vizsgálatára az F-próbafüggvény alkalmazható, ezért F-próbának nevezzük. | |||||||||
H0: , | |||||||||
a szabadságfokok az alábbiak: szf1=n1-1; szf2=n2-1. | |||||||||
vagy | |||||||||
Az F-eloszlás nem szimmetrikus, elfogadási tartománya a következő: | |||||||||
| |||||||||
Bemutató feladat | ||
Az előző példa folytatása. Ellenőrizzük 10%-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a munkások teljesítményének szórása megegyezik. | ||
H0: , H1: | ||
szf1=15; szf2=10 | ||
A számított érték belesik az elfogadási tartományba, így a nullhípotézist elfogadjuk, azaz a teljesítmények szórása között nincs szignifikáns különbség. |
6.3. Két sokasági arányra vonatkozó próba | ||
Két sokaság aránya p1 és p2. Ellenőrizni kívánjuk, hogy a két sokaság aránya egyezik-e. A vizsgálathoz a kétmintás z-próbát alkalmazzuk. | ||
H0:p1=p2 H1:p1p2 | ||
A próba elfogadási tartománya megegyezik az egymintás z-próba elfogadási tartományával: |
Bemutató feladat | ||
Közvélemény kutatást végeznek két alkalommal, egy hónapos eltéréssel 1000 ember megkérdezésével. Az első esetben 32% volt az igenlő válaszadó, a második esetben 38%. Vizsgáljuk meg 5%-os valószínűségi szinten, hogy nőtt-e az igent válaszolók aránya. | ||
n1=n2=1000, p1=0,32 p2=0,38 | ||
H0:p1=p2 H1:p1<p2 | ||
Az elfogadási tartomány:(-1,64;). A számított érték nem esik bele az elfogadási tartományba, ezért a nullhipotézist elutasítjuk, és az alternatív hipotézist fogadjuk el, tehát 5%-os szignifikancia szinten nem egyezik meg az igenlő válaszadók aránya a lakosság körében. |
6.4. Két eloszlás egyezőségének a vizsgálata | ||
Két eloszlás egyezőségének a vizsgálatát homogenitás vizsgálatnak is nevezzük. | ||
Feltételezzük, hogy valamely változó két sokaságon belüli eloszlása azonos. Erre a -eloszlású próbafüggvényt alkalmazzuk. A két minta elemszáma n1 és n2, akkor értéke: | ||
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A virágárakat vizsgálva a pesti és budai virágüzletekben arra keresték a választ, hogy a virágárak eloszlása azonos-e a két helyen 99%-os konfidenciaszinten. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
szf=7-1=6 =0,005 =0,995 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ca=0,68 cf=18,5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tehát az elfogadási tartomány: (0.676; 18,5). |
6.5. Varianciaanalízis | |||||||||||||||||||||
Varianciaanalízissel kettőnél több sokaság várható értékének egyezősége tesztelhető. | |||||||||||||||||||||
A varianciaanalízis annak a nullhipotézisnek az ellenőrzésére szolgál, hogy kettőnél több, azonos szórású normális eloszlású valószínűségi változónak azonos-e a várható értéke. | |||||||||||||||||||||
H0: ==..== | |||||||||||||||||||||
A varianciaanalízis abból indul ki, hogy minden megfigyelés 3 komponens összege: | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
A H0 helyességét próbafüggvénnyel vizsgáljuk, és ez az F-próbafüggvény. | |||||||||||||||||||||
SSK: a csoportok közötti eltérés négyzetösszege (külső szórás négyzete) | |||||||||||||||||||||
A varianciatáblázat a következő lesz: | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
Az F-próba jobboldali próba. Ha a tapasztalati F-érték (számított) nagyobb az elméleti F-értéknél (táblázatbeli), akkor a várható értékek egyezőségére vonatkozó nullhipotézist az adott szignifikanciaszint mellet elvetjük, és az alternatív hipotézist fogadjuk el. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||
Egy kis élelmiszerbolt tulajdonosa feltételezte, hogy a hétfői és szombati napokon nem ugyanannyi a sajt forgalma, mint a hét többi napján. Azért, hogy a sajtrendelésit jobban le tudja adni, feljegyezte a forgalmat az adott napokon: | ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
Ellenőrizzük 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a sajtforgalom azonos a megfigyelt napokon. | ||||||||||||||||||||||||||
SST=21*111,17=2334,57 | ||||||||||||||||||||||||||
sk2=SSK/(M-1)= 1065,47/2=532,735 | ||||||||||||||||||||||||||
A sajtforgalom variancianalízis táblázata | ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
Mivel F0,95(2;19)=3,52, a várható értékek egyezését állító nullhipotézis elvethető. A hét vizsgált napjain 5%-os szignifikancia szinten nem egyforma a sajtforgalom átlagos nagysága. |
Önellenőrző kérdések | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Jelölje meg a helyes választ! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1/a. Több várható érték egyezőségének vizsgálatát
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1/b. Két sokaság várható értékének egyezőségét
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1/c. Két eloszlás egyezőségét
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1/d. Két sokaság szórásának azonosságát
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Egy automata töltőgép az egyik fajta szárazsüteményt dobozokba tölti. A dobozok töltési tömegének szórása 8 gramm. A töltési tömeg normális eloszlású. Két egymást követő napon 40-40 dobozt vizsgáltak meg. A mintában az átlagos töltési tömegek: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Állapítsa meg, hogy van-e szignifikáns különbség a két napon töltött dobozok átlagos töltési tömege között 5%-os szignifikancia szinten! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2/b. Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2/c. Válassza ki a helye megfogalmazást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Egy konzervgyár két azonos kapacitású üzemében egy héten keresztül mérték az uborka-feldolgozás során elfogyasztott víz mennyiségét. A mérési eredményeket a következő táblázat tartalmazza (vízmennyiség m3). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Állapítsa meg, hogy van-e szignifikáns különbség a két üzem átlagos vízfelhasználása között 5%-os szignifikancia szinten! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3/b. Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3/c. Válassza ki a helye megfogalmazást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Állapítsa meg, hogy van-e szignifikáns különbség a két üzem átlagos vízfelhasználásának ingadozása között 10%-os szignifikancia szinten! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/c. Válassza ki a helye megfogalmazást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. A személysérüléssel járó közúti közlekedési balesetekre vonatkoznak az alábbi, mintavételből származó adatok: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5/a. Azonos-e a balesetek számának eloszlása a két helyen 5%-os szignifikancia szinten? Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5/b. Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Egy cég négy különböző típusú autógumi kopásállóságát vizsgáltatta meg. Az 5-5 elemű mintákban a futófelület kopása alapján meghatározott élettartamok ezer km-ben kifejezve az alábbiak voltak: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/a. Varianciaanalízissel ellenőrizze, hogy az egyes gumiabroncsok kopásállósága 5%-os szignifikancia szinten azonosnak tekinthető-e! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 1 tizedesjegy pontossággal adja meg! A próbafüggvény számított értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/b Válassza ki a helye megfogalmazást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Két gimnázium tanulóinak nyelvtudását hasonlították össze. Mindkét gimnáziumból 1000 főt kérdeztek meg. Az egyik gimnáziumban (I.) a tanulók 27%-ka beszélt valamilyen idegen nyelvet, a másik gimnáziumban (II.) pedig 34%-kuk. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ellenőrizze azt a feltevést, hogy a második gimnáziumban nagyobb az idegen nyelvet beszélők aránya, mint az első gimnáziumban (=0,05)! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! Ha szükséges a számok helyett használja a matematikai karaktereket! A próbafüggvény számított értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
![]() |