KURZUS: Statisztika II.

MODUL: II. modul: Hipotézisvizsgálat

5. lecke: Egymintás statisztikai próbák

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • ha ki tudja választani, hogy mely esetekben alkalmazhatóak az egyes próbák,
  • önállóan el tudja dönteni a feladat alapján, hogy a hipotézisvizsgálathoz melyik próbafüggvény szükséges,
  • fel tudja írni a feladatok alapján az alternatív hipotézist,
  • végre tudja hajtani a hipotézisvizsgálatokat a megfelelő próbákkal (z-próba, t-próba, χ 2 -próba),
  • meg tudja határozni a próbák (z-próba, t-próba, χ 2 -próba) elfogadási tartományát.
  • ki tudja választani az eredmények alapján az eredmények helyes megfogalmazását.
Tananyag

Az egymintás statisztikai próbák a sokaság valamely paraméterének tesztelésére szolgálnak.

5.1. Várható értékre irányuló próbák

Azt teszteljük, hogy egy sokaság ismeretlen várható értéke ( μ), megegyezik-e az általunk feltételezett várható értékkel ( μ 0 ). A nullhipotézis a következő:

H0: μ= μ 0

Konkrét minta esetén:

H 0 : x ¯ = x ¯ 0

Az alternatív hipotézisünk háromféle lehet:

H1: μ< μ 0

H1: μ μ 0

H1: μ> μ 0

Konkrét minta esetén:

H 0 : x ¯ x ¯ 0 H 0 : x ¯ x ¯ 0 H 0 : x ¯ x ¯ 0

5.1.1. Egymintás z-próba

A sokaság normális eloszlású és a sokasági szórás ( σ) ismert, akkor hasonlóan a becsléshez, a z-próbafüggvényt alkalmazzunk.

z 0 = μ μ 0 σ n , illetve ismert minta esetén: z 0 = x x 0 σ n

Ez a próbafüggvény standard normális eloszlású valószínűségi változó.

A z-próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:

Alternatív hipotéziselfogadási tartomány
H1: μ< μ 0 [ z α ; [
H1: μ μ 0 [ z α/2 ; z 1α/2 ]
H1: μ> μ 0 ] ˙ ; z 1α ]

z α = z 1α

Bemutató feladat

Egy automata gépsor lisztet csomagol, a szabvány szerint 100 dkg-os tömeggel, és a megengedett szórás 3 dkg. Ellenőrzés céljából 30 db-os mintát veszünk. A lemért lisztes zacskók átlagos tömege 98 dkg. Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a gép megfelelően csomagol-e.

H0: μ=100 dkg.

H1: μ 100 dkg

z 0 = 98100 3 30 =3,65     z0,975 = 1,96; z0,025  = -1,96

Az elfogadási tartomány nem tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét (-3,65), ezért a nullhipotézist elutasítjuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten a töltési tömeg nem felel meg a szabványnak.

5.1.2. Egymintás t-próba

A normális eloszlású sokaság vizsgálatánál végezzük, ha nem ismerjük az eloszlás szórását. Ebben az esetben a

t 0 = μ μ 0 s n próbafüggvényt használjuk, illetve konkrét minta esetén: t 0 = x x 0 s n , a nullhipotézis ellenőrzésére.

Ha a nullhipotézis igaz, és a sokaság eloszlása valóban normális, akkor a t-próbafüggvény szf=n-1 szabadságfokú Student-féle t-eloszlást követ. A t-próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:

Alternatív hipotéziselfogadási tartomány
H1: μ< μ 0 [ t α szf ; [
H1: μ μ 0 [ t α/2 szf ; t 1α/2 szf ]
H1: μ> μ 0 ] ˙ ; t 1α szf ]

t α szf = t 1α szf

Bemutató feladat

Az előző sokaság eloszlása normális, az átlag 98 dkg, a szórást a mintából (n=30) becsültük meg, ami 5,5 dkg Ellenőrizzük 5%-os szignifikancia szinten, hogy a gép megfelelően csomagol-e.

H0: μ=100 dkg.

H1: μ 100 dkg

t 0 = 98100 5,5 30 =1,99

t290,975=2,05; t290,025= -2,05

Az elfogadási tartomány tartalmazza a próbafüggvény aktuális értékét (-1,99), ezért a nullhipotézist elfogadjuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten a töltési tömeg megfelel a szabványnak.

5.1.3. Asszimptotikus z-próba

Véges szórású tetszőleges eloszlásból származó nagy minta esetén alkalmazzuk:

z 0 = μ μ 0 s n     z 0 = x x 0 s n

A továbbiakban megegyezik az egymintás z-próbával.

5.2. Sokasági szórásra vonatkozó próba

A sokasági szórás becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk. A konfidencia intervallum meghatározását a χ 2 -eloszlásra (khí) alapozzuk.

χ 0 2 = (n1)* s 2 σ 0 2 próbafüggvényt használjuk, amely szf=n-1 szabadságfokú χ 2 -eloszlást követ. A nullhipotézisünk:

H0: σ= σ 0

A χ 2 -próba elfogadási tartományának határai az alábbiak:

Alternatív hipotéziselfogadási tartomány
H1: σ< σ 0 [ χ α( szf ) 2 ; [
H1: σ σ 0 [ χ α/2( szf ) 2 ; χ 1α/2( szf ) 2 ]
H1: σ> σ 0 ] 0; χ 1α( szf ) 2 ]
Bemutató feladat

Az előző példában feltételezzük, hogy a gép 3 dkg-os szórással tölt. A 30 elemű mintából számított szórás 5,5 dkg volt. Ellenőrizzük, hogy helyes volt-e a feltevés, hogy a gép maximum 3 dkg szórással tölt, 5%-os szifnifikancia szinten.

H0: σ=3 dkg.

H1: σ>3 dkg

χ 0 2 = (301)* 5,5 2 3 2 =97,5

A χ 0,95(29) 2 =42,6 , tehát az elfogadási tartomány (0; 42,6), a próbafüggvény értéke nem esik bele ebbe a tartományba, ezért a nullhipotézist elutasítjuk, azaz a töltés során a szórás meghaladja az előírást.

5.3. Sokasági arányszámmal (valószínűséggel) kapcsolatos próba

A sokasági arányt P-vel jelöljük. Ez azt jeleni, hogy egy egyedet kiválasztva P a valószínűsége annak, hogy az egyed rendelkezik az adott tulajdonsággal. Ellenőrizni akarjuk, hogy a sokasági arány egyenlő-e egy általunk előre feltételezett P0-értékkel. A nullhipotézis a következő:

H0:P=P0

A nullhipotézis helyességet z-próbafüggvény segítségével ellenőrizhetjük.

z P 0 = P P 0 P 0 *(1 P 0 ) n

A továbbiakban megegyezik az egymintás z-próbával.

Az eddigiek során csak egy sokasági jellemzőre vonatkozó feltételezés vizsgálatát végeztük el. A hipotézisvizsgálattal azonban egy sokaságnak két sokasági jellemzője között fennálló kapcsolatot is ellenőrizhetünk.

5.4. Függetlenségvizsgálat

A függetlenségvizsgálat azon nullhipotézis ellenőrzésére szolgál, hogy két ismérv független egymástól. Az alternatív hipotézisben pedig azt fogalmazzuk meg, hogy nem függetlenek.

Ha a sokaságról teljes körű információval rendelkezünk, akkor az előző félévben tanult kontingenciatábla segítségével döntjük el a függetlenséget.

A két ismérv akkor független egymástól, ha a peremmegoszlási viszonyszámok (relatív gyakoriságok) szorzata egyenlő s megfelelő együttes viszonyszámokkal:

f 1f N * f 1 N = f 11 N

Ha nem ismerjük a véges sokaságot, akkor a mintából származó adatokkal kell eldönteni a függetlenséget. Ilyenkor is egy kontingenciatáblából indulunk ki, de a táblázat ekkor a mintában észlelt gyakoriságokat tartalmazza.

H0: P ij = P i * P j (i=1,2,....,s; j= 1,2,....t)

H1: P ij P i * P j

Pij: az első ismérv i-edik és a második ismérv j-edik változata együttes előfordulásának valószínűsége a sokaságban.

A valószínűségeket a mintából becsüljük:

p i = n i n     p j = n j n

χ 2 = i=1 s j=1 t ( n ij n ij * ) 2 n ij * =n*( i=1 s j=1 t n ij 2 n i * n j 1 ) n ij * =n* p i * p j = n i * n j n

Vagy a Csuprov-féle együttható szerint, ahol

f i = n i n χ 2 = i=1 s j=1 t ( f ij f ij * ) 2 f ij * f ij * =n* P i * P j

A szabadságfok: szf=(s-1)*(t-1)

Ez a próba jobb oldali módon hajtható végre. A minta akkor tekinthető elég nagynak, ha még a legkisebb n*ij is legalább 5, de még jobb, ha legalább 10.

Bemutató feladat

Egy szociológiai vizsgálat során azt kívánjuk ellenőrizni, hogy az egyetemet végzett férfiak és nők előrejutási lehetőségei azonosnak tekinthetők-e. Ehhez a 15 éve végzett hallgatók közül 200 főt kiválasztva véletlenszerűen, az alábbi mintát kaptuk.

Megn.Férfi n i
Beosztott204060
középvezető6040100
Felső vezető301040
n j 11090200

A vizsgálatot 5%-os szignifikancia szinten végezzük el.

H0: P ij = P i * P j     H1: P ij P i * P j

Megnevezésnijn*ij = n i * n j n ( n ij n ij * ) 2 n ij *
FérfiBeosztott2060*110/200=335,121
középvezető60550,455
Felső vezető30222,909
Beosztott40276,259
középvezető40450,556
Felső vezető10183,556
Σ20020018,856

χ 2 0=18,856    szf=(3-1)*(2-1)=2

χ 2 0,95(2)=5,99

Mivel a kritikus érték kisebb, mint a számított érték, a H0-t elutasítjuk, tehát az adatok alapján 5%-os szignifikancia szinten elmondható, hogy a nemhez való tartozás és a beosztás függenek egymástól, azaz elutasítjuk a függetlenséget.

5.5. Illeszkedésvizsgálat

Egy valószínűségi változó eloszlására vonatkozó állítás vagy feltételezés ellenőrzését illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Attól függően, hogy a hipotézisünket mennyire konkretizáljuk, kétféle illeszkedésvizsgálatot különböztetünk meg:

  • Ha a feltételezett eloszlás egyértelműen meghatározott - a típusát és a paramétereit előre rögzítjük -, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk.
  • Ha a feltételezett eloszlásnak csak a típusát adjuk meg - a paramétereit pedig a mintából becsüljük -, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk.

A sokaságot egy ismérv (többnyire mennyiségi, néha minőségi) alapján k-számú részre bontjuk, azaz az adott ismérv alapján osztályozzuk a sokaság egységeit. Ugyanezt azt osztályozást a mintán belül is elvégezzük.

OsztályA kategória előfordulásának
valószínűségegyakoriságarelatív gyakorisága
a mintában
c1P1f1g1
c2P2f2g2
....
....
ckPkfkgk
összesen1,00n1,00

Az általunk feltételezett sokaság eloszlása minden ismérvváltozathoz egy maghatározott Pi valószínűséget rendel. A nullhipotézis tehát:

H0:P(ci)=Pi    i=1,2,...k, az alternatív hipotézisünk pedig:

H1:P(ci) Pi

A H0 helyességét a χ 2 -próbafüggvénnyel vizsgálhatjuk meg:

χ 2 = I=1 K ( f i n* P i ) 2 n* P i = ( f i f i * ) 2 f i * =n*( g i 2 P i 1) f i * =n* P i

Ez a statisztikai vizsgálat a nullhipotézis helyessége esetén jó közelítéssel szf=(k-b-1) szabadságfokú χ 2 -eloszlású, ahol a b a Pi valószínűségek meghatározásához szükséges olyan paraméterek száma, amelyeket a mintából becsülünk.

b=1, ha a minta átlaga vagy szórása ismert
b=2, ha a minta átlaga és szórása is ismert
b=0, ha az alapsokaság átlaga vagy szórása adott

Tiszta illeszkedésvizsgálat esetén a b=0.

Mivel χ 2 -próbafüggvény a nullhipotézistől való jelentős eltérést nagy pozitív értékkel jelzi, ezért az illeszkedésvizsgálatot a jobb oldali kritikus tartományra kell végrehajtani, azaz a felső kritikus értéket kell keresni, tehát az elfogadási tartomány pedig:

[ 0; χ 1α(szf) 2 ] .

Bemutató feladat

Egy gyorsbüfé hálózatban a vevőket 45 másodperc alatt kell kiszolgálni. A kiszolgálási idő megengedett szórása 7 másodperc. 400 véletlenül kiválasztott vendég kiszolgálási idő szerinti megoszlása a következő:

kiszolgálási idő (másodperc)vendégek száma (fő)
0-3520
35-4080
40-45100
45-50100
50-5560
55-40
Összesen400

Ellenőrizzük azt a feltevést, hogy a minta az előírt paraméterű (átlag=45, szórás=7 másodperc) normális eloszlásból származott, P=5%-os szignifikancia szinten.

kiszolgálási idő (másodperc)vendégek száma (fő)zif=(xif- μ)/ σ ΦZ(if)=
P'i
Pif*i=
n*Pi
(fi-f*i)2/f*i
0-3520-1,430,07640,076430,563,65
35-4080-0,710,23890,1625653,46
40-4510000,50,2611104,440,19
45-501000,710,76110,2611104,440,19
50-55601,430,92360,1625650,38
55-40 10,076430,562,92
Összesen40040010,79

A táblázatban vastagított számokat az alábbiak szerint kapjuk:

zif=(xif- μ)/ σ=35-45/7=-1,43

Φ(-Z(if))=1-P(zi1) táblázatból

Pi=P'ik-P'ik-1=0,2389-0,0764=0,1625

f*i=n*Pi=400*0,0764=30,56

(fi-f*i)2/f*i=(20-30,56)2/30,56=3,65

Ugyan így kell a többi értéket is kiszámítani

χ 2 0=10,79

Szf=6-1=5, χ 2 1-0,05(5)=11,1, az elfogadási tartomány (0;11,1). A számított érték az elfogadási tartományba esik, így elfogadjuk a nullhipotézist. A kiszolgálási időt 5%-os szignifikancia szinten 45 másodperc várható értékű és 7 másodperc szórású normális eloszlású valószínűségi változónak lehet tekinteni.

2. Egy széleskörű vizsgálat során, Magyarországon a 15 éves és idősebb népesség 15%-a sovány, 25 %-a normál súlyú, és 60 %-a túlsúlyos volt 1996-ban. 2005-ben 500 véletlenszerűen kiválasztott minta alapján 72 fő sovány, 176 fő normál súlyú és 252 fő pedig túlsúlyos volt. 1%-os szignifikancia szinten állíthatjuk-e, hogy a két eloszlás egyforma. A kérdés az illeszkedésvizsgálattal válaszolható meg.

OsztályA kategória előfordulásának
valószínűségegyakoriságarelatív gyakorisága
a mintában
Sovány0,157272/500=0,144
Normál0,25176176/500=0,352
túlsúlyos0,60252252/500=0,504
összesen1,005001,00

χ 2 =n*( g i 2 P i 1)=500*( 0,1444 2 0,15 + 0,352 2 0,25 + 0,504 2 0,60 1)=28,608

szf=3-1=2

χ 2 0,99(2)=9,21

A két eloszlás nem egyezik.

Önellenőrző feladatok

Jelölje meg a helyes választ!

1/a. Mely esetben alkalmazna z-próbát?
Ha ismert a sokaság átlaga és a minta szórása.
Ha ismert a sokaság szórása és átlaga.
Ha ismeret a minta átlaga és szórása.
1/b. Mely esetben alkalmazna t-próbát?
Ha ismert a sokaság átlaga és a minta szórása.
Ha ismert a sokaság szórása és a minta átlaga.
1/c. Milyen próbát alkalmazna a sokasági szórás ellenőrzésére?
z-próba.
t-próba
χ 2 -próba
1/d. Milyen próbát alkalmazna a sokasági arány ellenőrzésére?
z-próba.
t-próba
χ 2 -próba
1/e. Milyen próbát alkalmazna egy sokasági változói eloszlásának vizsgálatára?
z-próba.
t-próba
χ 2 -próba
1/f. Függetlenségvizsgálat során arra keressük a választ,
hogy egy sokaság két ismérve független-e egymástól
hogy két sokaság függetlene egymástól

2. Egy édesipari üzemben a cukorkát tartalmazó zacskók szabvány szerinti töltési tömege 50 dkg. A töltési tömeg normális eloszlású. Egy vizsgálat során a véletlenül kiválasztott 25 zacskó töltési tömege (dkg) az alábbi volt:

51,250,049,348,552,0
47,848,951,348,750,0
49,650,748,547,550,6
48,252,550,851,448,3
53,146,647,648,048,9
2/a. Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia szinten, hogy a zacskók töltési tömege megfelel-e a szabvány szerinti tömegnek! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat az átlag esetében 1 tizedesjegy, a többi esetben 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A minta alapján az átlagos töltősúly: 49,6 dkg

A minta alapján az átlagos töltősúly szórása: dkg
A próbafüggvény számított értéke:
Az elfogadási tartomány alsó határa:
Az intervallum felső határa:

2/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
H0
H1

3. Egy fémmegmunkáló üzemben az egyik csavartípus hosszmérete 50,00 mm 0,10mm szórással. A hosszméret normális eloszlású valószínűségi változó. A gyártás során véletlenül kiválasztottak 26 db csavart annak vizsgálatára, hogy nincs-e szignifikáns eltérés a névleges hosszmérettől. A mérések eredményei az alábbiak (mm):

49,8148,3049,7249,9849,9249,9950,0349,8150,03
50,0150,0150,0250,0349,9950,0250,0249,9650,06
49,9850,5549,9349,9449,9350,0149,9550,06
3/a. Vizsgálja meg 1%-os szignifikancia szinten, hogy van-e szignifikáns eltérés a legyártott csavarok névleges és tényleges hosszmérete között! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat az átlag esetében 1 tizedesjegy, a többi esetben 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A minta alapján az átlagos hosszméret: 49,925 mm

A próbafüggvény számított értéke:
Az elfogadási tartomány alsó határa:
Az intervallum felső határa:

3/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
H1
H0
3/c Válassza ki a helye megfogalmazást!
A nullhipotézist elfogadjuk, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között nincs eltérés.
A nullhipotézist elvetjük, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között van eltérés.
A alternatív hipotézist elfogadjuk, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között nincs eltérés.
Az alternatív hipotézist elvetjük, mert 1%-os szignifikancia szinten a csavarok névleges és a tényleges hosszmérete között van eltérés.

4. Egy adott technológiával gyártott háztartási gép szabvány szerinti élettartama 12 ezer üzemóra, 3 ezer üzemóra szórással. Módosítottak a gyártási technológián és az új technológiával készült háztartási gépek közül kiválasztottak 100-at, ezek az átlagos élettartama 15 ezer üzemóra 3,2 ezer üzemóra szórással.

Ellenőrizze 2%-os szignifikancia szinten, hogy az új technológiával gyártott háztartási gépek átlagos élettartama meghaladja-e a szabvány szerintit!

4/a Válassza ki a helyes hipotézist!
H1: μ<12 ezer óra
H1: μ>12 ezer óra
H1: μ12 ezer óra
4/b Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Ha szükséges a számok helyett használja a matematikai karaktereket!

A próbafüggvény számított értéke:
Az intervallum felső határa:

4/c Jelölje be a helyes állítást!
Az elfogadási tartomány alsó határa a mínusz végtelen.
Az elfogadási tartomány alsó határa nulla.

5. Vizsgálja meg 5%-os szignifikancia szinten az előző feladat adati alapján, hogy a gépek élettartamának szórása eltér-e szabványtól!

5/a Válassza ki a helyes hipotézist!
H1: σ<3 ezer óra
H1: σ>3 ezer óra
H1: σ3 ezer óra
5/b Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! Ha szükséges a számok helyett használja a matematikai karaktereket! A számításokat 1 tizedesjegy pontossággal végezze el!

A próbafüggvény számított értéke:
Az elfogadási tartomány alsó határa:
Az intervallum felső határa:

5/c Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
H0
H1

6. Az egy főre jutó húsfogyasztás vizsgálatára 160 elemű mintát vettek, a minta adatai az alábbiak:

1 főre jutó húsfogyasztás (kg)Megfigyelt személyek száma
-4512
45-5516
55-6560
65-7540
75-8518
85-14
Összesen160

Állapítsa meg, hogy az egy főre jutó húsfogyasztás tekinthető-e normális eloszlású valószínűségi változónak 5%-os szignifikancia szinten! A számításokat az átlag és a szórás esetében 1 tizedesjegy, a többi esetben a bemutató feladatnál látható pontossággal végezze el!

6/a Válassza ki a helyes hipotézist!
H1: P(Xi)< Pi
H1: P(Xi > Pi
H1: P(Xi) Pi
Megjegyzés: b=2, mert a minta átlaga és szórása ismert.
6/b Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A próbafüggvény számított értékét és az intervallum felső határát 2 tizedesjegy pontossággal számítsa ki!

A próbafüggvény számított értéke:
Az elfogadási tartomány alsó határa:
Az intervallum felső határa:

6/c Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
H1
H0

7. Egy diabetikus szeretné meghatározni, hogy a napszak befolyásolja-e a kávéfogyasztást. A kávéház vendéginek mintája alapján feljegyezték a fogyasztást:

Kora reggelKéső reggelKora délutánKéső délután
Kávé rendelés35811
Egyéb rendelés52485147

5%-os szignifikancia szinten a diabetikus elfogadja, vagy elutasítja azt a nullhipotézist, hogy a kávérendelések száma azonos a különböző napszakokban?

7/a Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A próbafüggvény számított értékét és az intervallum felső határát 2 tizedesjegy pontossággal számítsa ki!

A próbafüggvény számított értéke:
Az elfogadási tartomány alsó határa:
Az intervallum felső határa:

7/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
H0
H1
7/c Válassza ki a helye megfogalmazást!
A kávérendelések száma azonos a különböző napszakokban, azaz a kávéfogyasztás független a napszakoktól.
A kávérendelések száma nem azonos a különböző napszakokban, azaz a napszak meghatározza a kávéfogyasztást.

8. A televíziós főszezon első 13 hetén keresztül vizsgálták szombat este 8-9 óra között a nézettségi arányokat: Az A-televíziót a nézők 29%-a, a B-televíziót a nézők 28%-a, a C-televíziót a nézők 25%-a, a D-televíziót a nézők 18%-a választotta. A társaságok megváltoztatták szombat esti programjaikat, majd a változtatás után két héttel 300 háztartást megkérdeztek, melyik adást nézik: A-televízió 95 háztartás, B-televízió 70 háztartás, C-televízió 89 háztartás, D-televízió 46 háztartás. Legyen a szignifikancia szint α=0,05 és vizsgálja, hogy megváltoztak-e a nézettségi arányok!

8/a Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A próbafüggvény számított értékét 2 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! A relatív gyakoriságot 2 tizedesjegyre kerekítve használja a számítások során!

A próbafüggvény számított értéke:
Az elfogadási tartomány alsó határa:
Az intervallum felső határa:

8/b Jelölje meg, hogy melyik hipotézist fogadjuk el!
H1
H0
8/c Válassza ki a helye megfogalmazást!
A nézettségi arányok megváltoztak a programváltozások után.
A nézettségi arányok nem változtak meg a programváltozások után.