KURZUS: Statisztika II.
MODUL: III. modul: Korreláció- és regresszió-számítás
8. lecke: Kétváltozós korreláció- és regresszió-számítás: exponenciális és hatványkitevős függvények
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
Két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat leírására sok esetben nem alkalmas a lineáris függvény. Ha az x-változó y-változóra gyakorolt hatásának mértéke függ az x-változó nagyságától, akkor a lineáris regresszió nem alkalmas az adatok közötti kapcsolat elemzésére. | ||
8.1. Hatványkitevős regressziós függvény | ||
Ha a független változó szorzatos növekedésével a függő változó is szorzatosan változik, akkor regressziós függvény az alábbi: | ||
Olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az x és y változók logaritmusai között van lineáris összefüggés. | ||
regressziós együttható azt fejezi ki, hogy az x magyarázó változó egységnyi relatív (1%-os) változása mekkora relatív (hány százalékos) változást idéz elő az eseményváltozóban. | ||
Megoldásához linearizálni kell a regressziós függvényt: | ||
Látható, hogy az x és az y változók logaritmusa között lineáris a kapcsolat. | ||
Vezessünk be új ismeretleneket: | ||
lgy=Y; lgx=X; | ||
Így a függvényünk az alábbi: | ||
A regressziós együtthatók így már a tanultak szerint számíthatóak: | ||
A paraméterek jelentése: | ||
| ||
A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki: | ||
A korrelációs index értéke: | ||
A korrelációs index négyzetét százalékban fejezzük ki. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nézzük meg, hogy mennyire van hatással a gyökér súlya a gyökér felületére cukorrépa esetében. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Először az eredeti adatok logaritmusát kell meghatározni. A továbbiakban ezekkel az értékekkel dolgozunk, azaz X és Y-értékei kerülnek a képletekbe. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8.2. Exponenciáliss regressziós függvény | ||
Ha az adatok közötti összefüggést a: | ||
Függvénnyel írható le, akkor exponenciális regresszióról beszélünk. Olyan esetekben alkalmazzuk, ha az y-változó növekedése arányos az adott helyen felvett x-változó értékével. Az exponenciális függvények esetében is igaz, hogy lineáris összefüggés van az eredményváltozó logaritmusa és a magyarázóváltozó között. Hasonlóan a hatványkitevős regresszióhoz, ebben az esetben is visszavezetjük lineáris regresszióra: | ||
A paraméterek jelentése: | ||
A regressziós paraméter arra ad választ, hogy az x-változó egységnyi növekedése hányszorosára változtatja az y-változó értékét. | ||
A kapcsolat szorosságát a korrelációs index fejezi ki: | ||
A korrelációs index értéke: | ||
8.3. Választás a különböző regressziós egyenlet-típusok közül | ||
Ugyanarra az adatsorra kiszámolva mindhárom regressziós függvényt, felvetődik a kérdés, hogy melyik jellemzi legjobban a változók kapcsolatát. A függvények kiválasztáshoz az egyenletek illeszkedési módszerét, azaz a legkisebb eltérések-négyzetét használjuk. Az az egyenlet illeszkedik legjobban az adatokra, ahol az és az is a legkisebb, illetve ahol a kapcsolat szorosságát kifejező mutató a legnagyobb. |
Önellenőrző feladatok | |||||||||||||||||||||||||||||||
Válassza ki a helyes állítást! | |||||||||||||||||||||||||||||||
1/a
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
1/b. Ha a magyarázóváltozó szorzatos növekedésével a függőváltozó is szorzatosan nő, akkora kapcsolat
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
1/c. Ha az eredményváltozó növekedése arányos az adott helyen felvett értékével, akkor a kapcsolat
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
1/d. Nem lineáris regresszió esetében a kapcsolat szorosságát a...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
30 véletlenszerűen kiválasztott négytagú aktív keresős háztartás adatai alapján vizsgálták a jövedelem és az üdülésre fordított kiadás nagyságát. | |||||||||||||||||||||||||||||||
A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre: | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
2/a. Határozza meg a regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 4 tizedesjegy pontossággal! A -paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
Az egy főre jutó bruttó hazai termék és az egy főre jutó informatikai kiadást vizsgálva 9 európai országban az alábbi volt. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
3. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! | |||||||||||||||||||||||||||||||
3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket a 3 tizedesjegy pontossággal! A paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
3/b. Jelölje be a helyes meghatározást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
3/c. Vizsgálja meg a kapcsolat szorosságát! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A korrelációs index értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
4. Egy zárthelyi dolgozat (maximum 50 pontot lehetett elérni) után felmérést készítettek a hallgatók körében, ki hány órát töltött tanulással. A felmérés során 10 hallgató tanulással töltött ideje és a vizsgán elért pontszámok között különböző regressziós függvények segítségével próbálták megállapítani a kapcsolt meglétét. | |||||||||||||||||||||||||||||||
A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre: | |||||||||||||||||||||||||||||||
=8,279 =13,638 =1,1047 | |||||||||||||||||||||||||||||||
=2,0458 =0,6654 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
=19,483 | |||||||||||||||||||||||||||||||
=442,02 =139,36 =195,03 | |||||||||||||||||||||||||||||||
4/a. Határozza meg az exponenciális regressziós függvény paramétereit és a korrelációs indexet! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
4/b. Határozza meg a lineáris regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
4/c. Határozza meg a hatványkitevős regressziós függvény paramétereit és értelmezze azokat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 2 tizedesjegy pontossággal! A paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||
4/d. Egészítse ki a mondatot a megfelelőszóval! "A tanulásra fordított idő és az elért pontszám kapcsolatát a legjobban a ... regresszióval lehet kifejezni."
![]() |