KURZUS: Statisztika II.
MODUL: III. modul: Korreláció- és regresszió-számítás
9. lecke: Többváltozós korreláció- és regresszió-számítás
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
9.1. Többváltozós regresszióanalízis | ||
A társadalmi-gazdasági élet jelenségei összetettebbek, bonyolultabbak annál, mint amit két tényező összefüggése kifejez. Egy-egy jelenség változása általában több tényező változásával van összefüggésben. Az eredményváltozóra ható tényezők körének kibővítésével többszörös vagy többváltozós sztochasztikus kapcsolathoz jutunk. | ||
A többváltozós regresszióanalízis segítségével több ismérv eredményváltozóra gyakorolt hatását vizsgáljuk. A kapcsolat az ismérvek száma szerint 3, 4 stb. változós, a függvény típusa szerint pedig lineáris és nem lineáris lehet. | ||
A többváltozós lineáris regressziós modell az alábbi: | ||
Példaként csak 3 változós lineáris kapcsolattal foglalkozunk, de az itt elmondottak akármennyi változóra általánosíthatóak. Három változó esetén a függvényünk az alábbi: | ||
Y'=f(x1;x2) | ||
Azaz a regressziós függvényünk az alábbi lesz: | ||
Az egyes paraméterek meghatározásához hasonlóan a kétváltozós regresszióhoz, itt is a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk. | ||
Háromváltozós függvény minimumát kell keresni. Ebből meghatározhatóak a regressziós együtthatók. | ||
A statisztikai elemzések során azonban főleg mintával találkozunk és elemzünk, így a minta segítségével becsüljük meg a regressziós függvényt. Ha az Y eredményváltozó értéke valószínűségi változó, de a magyarázóváltozók értékei ismertek, akkor standard lineáris regressziónak nevezzük. | ||
A legkisebb négyzetek módszerét használjuk a becslésre, és a feladat többváltozós szélsőérték számítással oldható meg. Így becslőfüggvénye az alábbi: | ||
=(XT*X)-1*XT*y, feltéve, hogy XT*X inverze létezik. | ||
Konkrét minta esetén a normálegyenletek az alábbiak: | ||
| ||
Vezessünk be új változókat: | ||
| ||
A zérussal egyenlő összegek elhagyása után a normálegyenlet maradványaiból a paraméterek könnyen meghatározhatóak. | ||
A 2. és 3. normálegyenletre: | ||
| ||
Ebből b1 és b2 könnyen meghatározható, a középiskolában tanult kétismeretes egyenletek megoldása szerint. | ||
Az első egyenletből pedig meghatározható a b0. | ||
A regressziós függvény paramétereinek értelmezése | ||
A becslőfüggvényünk: | ||
. | ||
| ||
A regressziós együttható tehát kifejezi, hogy egy adott tényezőváltozó egységnyi növekedése mekkora növekedést vagy csökkenést okoz az eredményváltozó becsült értékében, miközben a másik tényezőváltozók értéke változatlan. A regressziós együtthatók tehát 1-1 tényezőváltozó részleges hatását mutatják, ezért ezeket parciális regressziós együtthatóknaknevezzük. | ||
A paraméterek értelmezésekor fontos hogy a multikollineritást figyelembe vegyük. Multikollineritásnak nevezzük a tényezőváltozók közötti lineáris kapcsolatot. Ez a kapcsolat zavarhatja az eredmények értelmezését. | ||
A parciális regressziós együtthatóhoz hasonlóan a parciális rugalmassági együttható is értelmezhető. Ez a mutató arra ad választ, hogy egy adott tényezőváltozó relatív változása milyen relatív változást eredményez az y eredményváltozóban a másik változók változatlan színvonala mellett. Képlete: | ||
Regressziós függvényünkre alkalmazva: | ||
Mint látható, a parciális rugalmassági együttható nagysága attól függ, hogy azt a tényezőváltozók milyen színvonala mellett számítjuk ki. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 elemű minta alapján vizsgáljuk meg a szállítási időtartam (y), a szállítási távolság (x1), és a szállítási tömeg (x2) közötti összefüggést: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A 2. és 3. normálegyenletre: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Megoldás a regressziós együtthatókra: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b1=1,025 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b0=27-1,025*15-2,148*6=-1,263 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A háromváltozós regresszió becslése: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y'=-1,263+1,025x1+2,148x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A parciális rugalmassági együttható: az x1 szerinti átlagos rugalmassága: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ez azt jelenti, hogy átlagos szállítási távolság és átlagos szállítandó tömeg esetében 1%-os szállításút növekedés 0,569%-os menetidő növekedést okoz. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
az x2 szerinti átlagos rugalmassága: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ez azt jelenti, hogy átlagos szállítási távolság és átlagos szállítandó tömeg esetében 1%-os szállítási tömegnövekedés 0,477%-os menetidő növekedést okoz. |
9.2. Többváltozós korrelációszámítás | ||
Célja a többváltozós korreláció szorosságának mérése. Kettőnél több változó esetén vizsgálható: | ||
| ||
Páronkénti korrelációs együttható: | ||
Két-két változó közötti szorosságot mérjük. A kiszámított korrelációs együtthatókat az R-korrelációs mátrixba rendezzük. | ||
Ez egy szimmetrikus mátrix. A mátrix fődiagonálisában szereplő korrelációs együtthatók értéke 1. | ||
Y és x1 között: | ||
Y és x2 között: | ||
x1 és x2 között: |
Bemutató feladat | ||
Szoros, pozitív irányú kapcsolat van a menetidő és a távolság, illetve a menetidő és a rakomány súlya között. A távolság és a rakomány súlya között is erős a sztochasztikus kapcsolat. |
Parciális korrelációs együttható: | ||
Megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat valamelyik kiválasztott tényező és a függő változó között, ha a többi tényezőváltozó hatását mind a vizsgált tényezőváltozóból, mind az eredményváltozóból kiszűrjük. | ||
Y és x1 között, ha x2 hatását kiszűrjük: | ||
Y és x2 között, ha x1 hatását kiszűrjük: | ||
x1 és x2 között, ha y hatását kiszűrjük: |
Bemutató feladat | ||
Látható, hogy lazább a kapcsolat, ha kiszűrjük a másik tényező hatását, a páronkénti kapcsolatot tehát a harmadik változó hatása mindegyik esetben felerősítette. |
Többszörös korrelációs együttható | ||
Egy speciális korrelációs együttható, amely az y eredményváltozó és a magyarázóváltozók alapján becsült regressziós értékek kapcsolatának szorosságát méri. | ||
A páronkénti korrelációs együtthatókból is kiszámolható, 3 változós esetben az alábbi: | ||
A többszörös korrelációs együttható négyzete a többszörös determinációs együttható, amely megmutatja, hogy az eredményváltozó teljes szórásnégyzetéből mekkora a regressziónak tulajdonítható, tehát a magyarázóváltozókkal magyarázható hányad. |
Bemutató feladat | ||
R2=0,95682=95,6% |
Önellenőrző feladatok | ||||||||||
Jelölje be a helyes állítást! | ||||||||||
1/a
![]() | ||||||||||
1/b
![]() | ||||||||||
1/c
![]() | ||||||||||
1/d
![]() | ||||||||||
1/e
![]() | ||||||||||
1/f
![]() | ||||||||||
2. Az egy főre jutó GDP, az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás (x1) és az egy főre jutó külföldi befektetések (x2) alakulását (mindegyik mutató: ezer Ft) vizsgálták Magyarország megyéiben és Budapesten. A regresszió számításból az alábbi információk állnak rendelkezésre: | ||||||||||
| ||||||||||
2/a. Határozza meg a többváltozós regressziós függvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A paraméter értéke: ![]() | ||||||||||
2/b Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! A mennyiben az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás 1 ezer Ft-tal nagyobb, az egy főre jutó GDP átlagosan ezer Ft-tal magasabb, azonos egy főre jutó külföldi tőkebefektetés mellett. ![]() | ||||||||||
2/c. Határozza meg a parciális rugalmassági együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! E(y; x1): ![]() | ||||||||||
2/d. Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! Az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés átlagos értékének 1%-os növekedése átlagosan %-os egy főre jutó GDP növekedést eredményez, azonos egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás mellett. ![]() | ||||||||||
2/e Határozza meg a páronkénti korrelációs együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! ry1= ![]() | ||||||||||
2/f. Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés között szoros pozitív irányú kapcsolat van, a korrelációs együttható . ![]() | ||||||||||
2/g. Határozza meg a parciális korrelációs együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! ry1.2= ![]() | ||||||||||
2/h. Írja be a megfelelő értékeket a hiányzó helyekre! Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés nagysága között laza pozitív irányú kapcsolat van, az egy főre jutó GDP hatását kiszűrve a korrelációs együttható . ![]() | ||||||||||
2/i. Határozza meg a többszörös korrelációs és determinációs együtthatókat! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! Többszörös korrelációs együttható: ![]() | ||||||||||
2/j Írja be a megfelelő értéket a hiányzó helyre! Az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás és az egy főre jutó külföldi tőkebefektetés együttesen %-ban magyarázza az egy főre jutó GDP szóródását. ![]() |