KURZUS: Statisztika II.

MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése

12. lecke: Szezonális ingadozások elemzése

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • tudja mit jelent a szezonalitás,
  • mit jelent a szezonális eltérés és a szezonindex,
  • ki tudja számolni az adatokból a szezonális eltérést és a szezonindexet,
  • a meglévő adatok alapján előrejelzést tud végezni.
Tananyag

A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a szezonalitás milyen mértékben vagy arányban téríti el az idősor értékét az alapirányzattól. Vizsgálatánál az idősor adataiból ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatást. A szezonális komponens eltérő módon viselkedik additív és multiplikatív modell esetén. Additív összefüggéskor a szezonhatás a trendtől való abszolút eltérés, multiplikatív kapcsolat esetén pedig a relatív eltérés formájában jelentkezik. A szezonalitást additív modell esetén szezonális eltérésekkel, multiplikatív modell esetén pedig szezonindexekkel jellemezzük.

12.1. Szezonális eltérés

Additív összefüggés és lineáris trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek összegeként írhatjuk fel.

y ij = y ij + s j + v ij

A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeiből rendre kivonjuk a trendértékeket:

y ij y ij = s j + v ij ij

Az így nyert különbségeket egyedi szezonális eltéréseknek nevezzük. Minden periódusból vesszük a j-edik eltérést és ezek számtani átlagát képezzük, ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk:

s j = ( y ij y ij ) p

ahol p: az adott periódusok száma az idősorban.

A szezonális eltérés megmutatja, hogy a megfigyelt idősor a j-edik szezonban átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől a szabályosan ismétlődő szezonhatás következtében.

Lineáris trend esetében a kapott szezonális eltérések összege nullával egyenlő. Más trendfüggvények esetében:

Σ s j 0

Ilyen esetben a szezonális eltérések korrekciójára van szükség, ekkor a kiszámolt szezonális eltéréseket nyers szezonális eltéréseknek nevezzük. A korrekció azt jelenti, hogy a kiszámolt nyers szezonális eltéréseket átlagoljuk, és az így kapott un. korrekciós tényezőt levonjuk a nyers szezonális indexekből, és megkapjuk a korrigált szezonális eltéréseket.

s j ' = s j s j m .

Ahol m: a periódusok száma az idősorban (pl. 4, ha negyedéves bontásban vannak az adataim).

Bemutató feladat

Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele millió Ft-ban az alábbi volt.

Évnegyedévárbevételti
2004.I.20-5,5
II.30-4,5
III.40-3,5
IV.10-2,5
2005.I.22-1,5
II.33-0,5
III.500,5
IV.131,5
2006.I.252,5
II.363,5
III.604,5
IV.155,5
Összesen3540

A kiszámított trendegyenlet: y =29,5+0,881*t

Helyettesítsük be a trendegyenletbe a ti-értékeket:

pl.
y =29,5+0,881*(5,5)=24,655 y =29,5+0,881*(4,5)=25,536 stb.

Az eredeti adatokból vonjuk ki a kiszámított trendértéket.

Pl.: 20-24655=-4,655

Évnegyedévárbevételytrend(yi-ytrend) Szezonális eltérés
2004.I.2024,655-4,655
II.3025,5364,465
III.4026,41713,584
IV.1027,298-17,298
2005.I.2228,179-6,179
II.3329,0603,941
III.5029,94120,060
IV.1330,822-17,822
2006.I.2531,703-6,703
II.3632,5843,417
III.6033,46526,536
IV.1534,346-19,346
Összesen354

Írjuk át egy másik táblázatba az idősor adatainak és a trendértékeknek a különbségét, azaz az egyedi szezonális eltéréseket. Ezután az egyes negyedévekhez tartozó érékeket átlagolni kell.

Például az I. negyedév esetében (-4,655-6,179-6,703)/3=-5,845

Év(yi-ytrend)
I.II.III.IV.
negyedév
2004-4,6554,46513,584-17,298
2005-6,1793,94120,060-17,822
2006-6,7033,41726,536-19,346
sj-5,8453,94120,060-18,155

Az első negyedévben átlagosan 5,845 millió Ft-tal kevesebb az árbevétel annál, mint ami a hosszú távú tendenciából az egyes évek első negyedéveiből következne.

Korrekcióra nincs szükség, ugyanis az egyes negyedévek szezonális eltéréseinek összege nulla.

12.2. Szezonindex

Multiplikatív összefüggés és exponenciális trend esetén az idősor megfigyelt értékeit a komponensek szorzataként írhatjuk fel:

y ij = y ij s j * v ij *

A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor megfigyelt értékeit rendre elosztjuk a trendértékekkel:

y ij y ij = s j * v ij *

Az így nyert hányadosokat egyedi szezonindexnek nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik szezonindexet és ezeket átlagoljuk vagy számtani vagy mértani átlagot számolunk:

s j = ( y ij y ij ) n p

Ahol n: az adatok száma
P: az adott éven belül a periódusok száma

Mértani átlaggal:

s j = y ij y ij p

A becsült szezonindex azt fejezi ki, hogy a j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa, illetve hány százaléka a trendértéknek a szezonhatás következtében.

A szezonindexnél is célszerű korrekciót végezni, ha a trendet nem exponenciális függvénnyel írtuk le. A korrekciós tényező az előzőekben kiszámolt nyers szezonindexek átlaga. A korrigált szezonindexet pedig úgy kapjuk, hogy a nyers szezonindexeket elosztjuk a korrekciós tényezővel.

Ha a nyers szezonindexet számtani átlaggal számítottuk ki, akkor a korrigált szezonindex az alábbi:

s j ' = s j s j m

Ahol m: a periódusok száma az idősorban (pl. 4, ha negyedéves bontásban vannak az adataim).

Ha a nyers szezonindexet mértani átlaggal számítottuk ki, akkor a korrigált szezonindex az alábbi:

s j ' = s j s j m

Bemutató feladat

Az előző feladat alapján nézzük meg a szezonális eltéréseket.

A kiszámított trendegyenlet: y =25,915* 1,020 t

Helyettesítsük be a trendegyenletbe a ti-értékeket:

pl.
y =25,915* 1,020 5,5 =23,241

Évnegyedévárbevételytrend(yi/ytrend) Szezonindex
2004.I.2023,2410,861
II.3023,7061,266
III.4024,1801,654
IV.1024,6630,405
2005.I.2225,1570,875
II.3325,6601,286
III.5026,1731,910
IV.1326,6960,487
2006.I.2527,2300,918
II.3627,7751,296
III.6028,3302,118
IV.1523,2410,861
Összesen3540

Írjuk át az egyedi szezonindexeket egy másik táblázatba:

Év(yi/ytrend)
I.II.III.IV.
negyedév
20040,8611,2661,6540,405
20050,8751,2861,910,487
20060,9181,2962,1180,519
sj* (számtani átlaggal)0,8851,2831,8940,470
sj*'0,7811,1321,6720,415
sj* (mértani átlaggal)0,88431,28261,88440,4678
sj*'0,88431,28271,88450,4678

Számtani átlaggal számolva a nyers szezonindexeket ismét átlagolni kell, azaz ki kell számolni a korrekciós tényezőt: (0,885+1,283+1,894+0,470)/4=1,133. Ezzel a korrekciós tényezővel kell elosztani mindegyik nyers szezonindexet.

Pl.: 0,885/1,133=0,781

Mértani átlaggal számolva a korrekciós tényező:

0,8843*1,2826*1,8844*0,4678 4 =0,99996 , ezzel kell mindegyik nyers szezonindexet elosztani.

Pl.: 0,8843/0,99996=0,8843

12.3. Véletlenhatás

Az alapadatok és a trendadatok közötti eltérést a szezonhatás és a véletlenhatás okozza. Az azonos szezonokra vonatkozó eltérések átlagolásával kiszámítottuk a periodikus ingadozás abszolút (szezonális eltérés) vagy relatív (szezonindex) nagyságát. Az idősor komponenseiből már csak a véletlen tagot kell meghatározni.

Additív összefüggés esetén:

v ij = y ij y ij s j

A véletlenhatás számításakor nem az egyes időpontok és a trendadatok közti különbségeket, hanem az egyes szezonokra jellemző korrigált szezonhatásokkal számolunk. A véletlenhatások várható értéke általában nulla, és nem jelezhetők előre.

Bemutató feladat

Egy építőipari vállalkozás tevékenységének árbevétele millió Ft-ban az alábbi volt.

Évnegyedévárbevételytrend(yi-ytrend) Szezonális eltérés v ij (addítív esetben)
2004.I.2024,655-4,6551,1905
II.3025,5364,4650,5235
III.4026,41713,584-6,4765
IV.1027,298-17,2980,8575
2005.I.2228,179-6,179-0,3335
II.3329,0603,941-0,0005
III.5029,94120,060-0,0005
IV.1330,822-17,8220,3335
2006.I.2531,703-6,703-0,8575
II.3632,5843,417-0,5245
III.6033,46526,5366,4755
IV.1534,346-19,346-1,1905
Összesen354

Multiplikatív összefüggéskor pedig: v ij * = y ij y ij s j *

Évnegyedévárbevételytrend(yi/ytrend) Szezonindex v ij (multiplikatív esetben)
2004.I.2023,2410,8610,7611
II.3023,7061,2661,6232
III.4024,1801,6543,1174
IV.1024,6630,4050,1897
2005.I.2225,1570,8750,7734
II.3325,6601,2861,6496
III.5026,1731,9103,6000
IV.1326,6960,4870,2278
2006.I.2527,2300,9180,8119
II.3627,7751,2961,6625
III.6028,3302,1183,9910
IV.1523,2410,8610,2428

A véletlenhatások szorzatának várható értéke általában egy, és nem jelezhetők előre.

12.4. Extrapoláció

A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. A meghatározott trendegyenletbe behelyettesítjük a becsülni kívánt évhez tartozó "ti"-értéket, és kiszámoljuk a trendértékét. Ezután ha van szezonhatás, akkor azzal korrigálunk. Additív összefüggés esetén a kiszámított trendértéket hozzáadjuk a szezonális eltérést, multiplikatív összefüggéskor a trendértéket megszorozzuk a szezonindexszel.

Bemutató feladat

Becsüljük meg 2007. II. negyedévére a várható árbevételt!
ti=8,5

Additív esetben:

A trendegyenlet: y =29,5+0,881*8,5=36,9885

A III. negyedév szezonális eltérése: 20,06
A várható árbevétel 36,9885+20,060=57,0485 millió Ft.

Multiplikatív esetben:

y =25,915* 1,020 t =25,915* 1,020 8,5 =30,666

A III. negyedév szezonindexe:1,8844
A várható árbevétel 30,666*1,888457,787 millió Ft.

Önellenőrző feladatok

Jelölje be a helyes állítást!

1/a. Az idősor szezonális kiigazítása azt jelenti, hogy
A nyers szezonmutatókat korrigáljuk azok átlagával.
Az idősor tényleges adataiból kiszűrjük a szezonhatást.
Az eredeti és a trendadatok különbsége (hányadosa) alapján következtetünk a szezonhatásra.
Az adott periódusra vonatkozó trendtől megtisztított idősor adatait átlagoljuk.
1/b. Mit jelent a szezonálisan kiigazított idősor?
A szezonhatás becslését a szezonális eltéréssel vagy szezonindexszel
A trend és a szezonalitás összekapcsolását.
Az eredeti adatból a szezonhatás kiszűrését.
Az eredeti adatból a véletlen tényező kiszűrését.
1/c. A szezonindex azt fejezi ki, hogy...
A szezonális kilengések mértéke az egyes időszakokra mekkora.
A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől.
A j-edik szezonban a szezonhatás értéke átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
1/d. A szezonális eltérés azt fejezi ki, hogy...
A szezonális kilengések mértéke az egyes időszakokra mekkora.
A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan mennyivel tér el a trendértéktől.
A j-edik szezonban a szezonhatás értéke átlagosan hányszorosa a trendértéknek.
A j-edik szezonban a megfigyelt idősor átlagosan hányszorosa a trendértéknek.

1/e. Egy Balaton-parti étterem forgalmának negyedéves korrigált szezonindexei az alábbiak:
s*I.=0,8    s*II.=0,9    s*III.=0    s*IV.=0,7

A III. negyedévi szezonindex azt jelenti, hogy...
A III. negyedévben a forgalom a szezonhatás miatt a kétszerese a trend szerinti értéknek.
A III. negyedévben a forgalom a szezonhatás miatt fele a trend szerinti értéknek.
A III. negyedévben a forgalom megegyezik a trend szerinti értékkel.

2. Egy egész évben nyitva tartó fagylaltárus negyedéves forgalmának alakulása

ÉvForgalom (ezer gombóc)
I.II.III.IV.
negyedév
200395152255118
2004102146248124
200597156245122

Az alapirányzatot leíró trendfüggvény: y =155+1,762*t , ( Σt=0). A szezonhatás eredményeit az alábbi táblázat tartalmazza:

Év(yi-ytrend) Szezonális eltérés (ezer gombóc)
I.II.III.IV.
negyedév
2003-50,3094,929106,167-32,595
2004-50,357-8,11992,119-33,643
2005-62,405-5,16782,071-42,691
2/a. Számítsa ki a szezonális összetevők nagyságát az egyes negyedévekre. Írja be a cellákba a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal!
Év(yi-ytrend)
I.II.III.IV.
negyedév
sj
2/b. Becsülje meg 2006. III. negyedévére várható fagylaltforgalmat! Írja be a mezőbe a megfelelő értéket 3 tizedesjegy pontossággal!

2006. III. negyedévében a várható forgalom ezer gombóc.

3. Egy áruház negyedéves eladási forgalmának (millió Ft) trendje 2003-2005 között:

y =80+3*t (t=1,2,3,...n).

IV. negyedévi értékesítések
2003155
2004163
2005180
3/a. Mennyi a IV. negyedévi szezonális eltérés? Jelölje be a megfelelő értéket!
160%
80 millió Ft
62 millió Ft
62%
3/b Becsülje meg 2006. IV. negyedévére várható forgalmat! Írja be a mezőbe a megfelelő értéket 3 tizedesjegy pontossággal!

2006. IV. negyedévében a várható forgalom millió Ft.

4. A vándorfecskék számának negyedéves, 1998-2003 közötti adatai alapján ismert, hogy a hosszú távú trendet a y =21+37*t (t=1,2,3..n) függvény írja le, míg a szezonális eltérések rendre: -260; 420; 380; -540. Mekkora a 2004. IV. negyedévére várható fecskeszám? Jelölje be a megfelelő értéket!
1057
517
797
1477
5. egy sportboltban az elmúlt hatévi negyedéves síléceladások adataiból számított hosszú távú trendet a y =120 1,03 t (t=1,2,3..n) függvény írja le. A szezonindexek rendre: 1,60; 0,25; 1,35; 1,85. Számítsa ki a vizsgált időszakot követő év III. negyedévére várható forgalmat! Jelölje be a megfelelő értéket!
266 db
360db
186 db
148 db