KURZUS: Statisztika II.

MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése

10. lecke: Egyszerű elemzési módszerek

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • tudja mit jelent az additív és a multiplikatív kapcsolat,
  • tud páratlan számú mozgóátlagolással trendet számolni,
  • tud páros számú mozgóátlagolással trendet számolni.
Tananyag

A jelenségek időbeli alakulásának, lefolyásának vizsgálata minden tudományágnak, így a gazdasági tudományoknak is egyik központi kérdése. A statisztikai soroknál és a viszonyszámoknál mát találkoztunk idősorokkal, hisz a dinamikus viszonyszámokat ezekből határoztuk meg. Az idősor elemzése abból indul ki, hogy az idősort tartósan érvénysülő hosszú távú tendencia (trend), tartósan ható szabályok, jól modellezhető hullámmozgás (szezonalítás) határozza meg. A statisztikai elemzés szempontjából az idősornak három összetevője van.

  • alapirányzat (trend): ez a legfontosabb összetevő. A trend az idősorban hosszabb időszakon át, tartósan érvényesülő tendencia. Ez is több tényező együttes hatásának a következménye.
  • Periodikus ingadozás: az idősorokban rendszeresen ismétlődő hullámzást jelent. Két típusát különböztetjük meg, a szezonális vagy idényszerű hullámzást, és a konjukturális ingadozást. A szezonális hullámzás a trendtől való abszolút vagy relatív mértékű eltérés-periodicitást mutat.
  • véletlenszerű ingadozás: ezt az összetevőt valószínűségi változónak tekintjük.

Az idősorok elemzésének alapvető feladata a komponensek elkülönítése. Az egyes komponensek között lehet additív (összegszerű) és multiplikatív (szorzatszerű), vagy ennél bonyolultabb kapcsolat.

Additív kapcsolat: a komponensek összege adja az idősort.

y ij = y ij + s j + v ij     sj: szezonális ingadozás

A szezonális eltérés a periódusok különböző szakaszában más és más mértékű és irányú lehet. A véletlen komponens (vij) valószínűségi változó, additív kapcsolat esetén feltételezzük, hogy a várható értéke nullával egyenlő.

Multiplikatív kapcsolat: a komponensek szorzata adja az idősort.

y ij = y ij * s j * * v ij *

A szezonális komponens relatív módon fejezi ki a hatását, ez a szezonális ingadozás (s*j).

A trendszámítás során az idősor kiegyenlítése, kisimítása a célunk úgy, hogy a periodikus ingadozás és a véletlen ingadozás hatását kiszűrjük. Ez többféle módon történhet, pl.: átlagolással, mozgóátlagolással, vagy analitikus trendszámítással.

10.1. Egyszerű elemzési módszerek

Átlagolás

A flow (tartam) jellegű idősor adatait egyszerű számtani átlaggal számoljuk ki.

y _ = Σ y i n

A stock (állapot) jellegű idősor adatainál a számtani átlag nem használható, ekkor a kronológikus átlagot használjuk:

y _ = y 1 n + y 2 +....+ y n 2 n1

Átlagos változás mutatói:

  • a változás átlagos mértéke: Az időegységre jutó átlagos változást adja meg.

    d _ = y n y 1 n1 .
  • a változás átlagos üteme: Ez viszonyszámként adja meg a változás ütemét, fejlődést tükröz:

    l _ = Πl n1 = y n y 1 n1
10.2. Mozgóátlagolásos trendszámítás

Általában akkor alkalmazzuk, ha nincs kellő ismeretünk a vizsgálandó folyamatról. Ez egy egyszerű idősor-elemző módszer. A mozgóátlagolásos trendszámítás során a trendet az idősor dinamikus átlagolásával határozzuk meg úgy, hogy az idősor minden eleméhez kiszámítjuk annak környezetében lévő elemek átlagát. Az átlagolással kiküszöböljük a szezonális komponenst és csökkentjük a véletlen tényező hatását.

A mozgóátlagolásnál először az átlagolás tagszámát kell meghatározni. Az időszak mindig k-nyi elemét adjuk összes és ebből a k-val való osztás során kapunk egy átlagot. Fontos, hogy 'n' egy egész periódust fogjon át. Egy periódus azt az időszakot jelenti, amely alatt ugyanaz a szezonhatás nem ismétlődik.

Ha a szezonális komponens periódusának hossza páratlan, akkor a 'n' is páratlan lesz (n=2k+1), így a páratlan tagszámú mozgóátlagolással kiszámított trendet az alábbi képlettel kapjuk meg:

y i = y ik + y ik+1 +...+ y i +...+ y i+k 2k+1

Például egy 3-tagú mozgóátlagolás a következő:

Időszakidősor adataimozgó összeg (Öi)Mozgóátlag
y i
1y1--
2y2Ö2=y1+y2+y3Ö2/3
3y3Ö3=y2+y3+y4Ö3/3
4y4Ö4=y3+y4+y5Ö4/3
....
....
n-2yn-2Ön-2=yn-3+yn-2+yn-1Ön-2/3
n-1yn-1Ön-1=yn-2+yn-1+ynÖn-1/3
nyn--

Ha a szezonális komponens periódusának hossza páros, akkor a mozgóátlagolással nem kapunk azonnal trendértéket, mivel a kiszámított átlag nem esik időponthoz. Ekkor az úgynevezett centírozásra van szükség, amely kéttagú mozgóátlagolást jelent, és így már időponthoz tudjuk rendelni az értékeket.

Pl.: negyedéves adatok, akkor páros számú mozgóátlagolást végzünk.

IdőszakIdősor adataimozgó összeg (Öi)MozgóátlagCentrírozás
y i
1y1--
2y2Ö2,5=y1+y2+y3+y4Ö2,5/4-
3y3Ö3,5=y2+y3+y4+y5Ö3,5/4Ö2,53,5/2
4y4Ö4,5=y3+y4+y5+y6Ö4,5/4Ö3,54,5/2
....
....
n-2yn-2Ön-2,5=yn-4+yn-3+yn-2+ yn-1Ön-2,5/4Ön-2,5n-1,5/2
n-1yn-1Ön-1,5=yn-3+yn-2+yn-1+ ynÖn-1,5/4-
nyn---

A mozgóátlagolással kiegyenlített idősor rövidebb, mint az eredeti idősor.

A módszer előnye, hogy egyszerű és gyors. Hátránya, hogy rövidebb lesz a kiegyenlített idősor, és nem kapunk analitikusan ismert trendfüggvényt, illetve nem tudunk előrejelzést végezni.

Önellenőrző feladatok

Jelölje meg a helyes állítást!

1/a. Idősor elemzés esetén akkor van szó additív modellről, ha...
az idősor komponensei szorzatszerűen kapcsolódnak egymáshoz.
az idősor komponensei összegszerűen kapcsolódnak egymáshoz.
1/b. Ha az idősor adatát a három komponens szorzata adja, akkor...
multiplikatív kapcsolatról beszélünk.
additív kapcsolatról beszélünk

Egy hosszabb idősor utolsó néhány eleme:

100, 110, 112, 118, 120, 121, 124, 125

2/a. Állapítsa meg a két utolsó négytagú mozgóátlag értékét és válassza ki a helyes eredményt!
121,7 ; 123,0
120,75 ; 122,5
119,25 ; 121,625
119,3 ; 116,8
2/b. Állapítsa meg a még meghatározható két utolsó trendértékét és válassza ki a helyes eredményt!
119,3 ; 121,6
119,3 ; 116,8
119,25 ; 121,625
120,75; 122,5

3. A kereskedelmi szálláshelyek forgalmára jellemző adatok egy városban

Év, idényVendégek száma (ezer fő)
2003Előszezon500
Főszezon700
Utószezon400
2004Előszezon520
Főszezon750
Utószezon410
2005Előszezon560
Főszezon800
Utószezon400
2006Előszezon600
Főszezon840
Utószezon450
3/a. Mozgóátlagolással számítsa ki a trendértéket és írja be az üres cellákba! Ahova nem kerül szám, tegyen "-" jelet! A számítások végeredményét kerekítse egészszámra!
Év, idényVendégek száma (ezer fő)Trendérték
2003Előszezon500
Főszezon700
Utószezon400
2004Előszezon520
Főszezon750
Utószezon410
2005Előszezon560
Főszezon800
Utószezon400
2006Előszezon600
Főszezon840
Utószezon450

4. Egy építőanyagokat forgalmazó vállalkozás által értékesített csempe mennyiségének alakulása (millió db)

ÉvNegyedév
I.II.III.IV.
200440546652
200538587054
200644607060
4/a. Határozza meg az áruforgalom alapirányzatát mozgóátlagolással! A kiszámított értékeket írja be az üres cellákba! Ahova nem kerül szám, tegyen "-" jelet! Az eredményeket 2 tizedesjegy pontossággal adja meg!
ÉvA trendszerinti értékesítés negyedéves adatai (millió db)
I.II.III.IV.
2004
2005
2006