KURZUS: Statisztika II.
MODUL: I. modul: Becslés
3. lecke: Becslés rétegezett mintavétel setén
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
A rétegezett mintavétel lényege az, hogy ha a sokaság heterogén, és van ismeretünk arra vonatkozóan, hogy hogyan lehet többé-kevésbé homogén részekre bontani, akkor ezeket, a homogén részsokaságokat tekintjük rétegeknek, a mintavételt és a becslést rétegenként hajtjuk végre. Ezt követően a kapott eredményeket átlagolva jutunk el a fősokaságra vonatkozó becsléshez. | ||
Egy N-elemű sokaságot M-rétegre bontunk. Minden rétegből mintát veszünk. | ||
A sokasági főátlag becslésére a rétegminta-átlagok sokasági rétegsúlyokkal súlyozott átlagát használjuk. Mivel a rétegsúlyokat ismertnek tekintjük, és a rétegátlagok torzítatlanul becsülik a megfelelő sokasági rétegátlagokat, a főátlag becslése is torzítatlan lesz. | ||
3.1. Becslés nem arányos elosztás esetén | ||
Nem arányos elosztás esetén a minta átlagát az alapsokasági adatokból számítjuk ki. | ||
A konfidencia intervallum meghatározásához szükségünk van a becslőfüggvény standard hibájára, de a könnyebb számolás miatt először annak négyzetét számoljuk ki: | ||
Ahol: | ||
A becsléshez a z-próbafüggvényt alkalmazzuk: | ||
A konfidencia intervallum pedig: | ||
Ha a sokaság rétegszórását nem ismerjük, akkor a mintákból kell kiszámítani: | ||
Nagy elemszámú minta esetén a z-, és t-próba értékei megegyeznek, és a rétegezett mintavétel esetén nagy mintával dolgozunk. | ||
Ha az alapsokaság elemszáma a mintához képest nagyon nagy, pl egy nagyvárosban megkérdezünk 200 főt, akkor az -vel nem számolunk, azt elhagyjuk a képletből. | ||
3.2. Becslés arányos elosztás esetén | ||
Az egyes rétegek aránya megegyezik, azaz: | ||
Azaz a becslőfüggvény a rétegátlagoknak a mintabeli rétegarányokkal súlyozott számtani átlaga. Szükségünk van a belső szórásnégyzetre, ugyanis a kombinált becslés szórása csak a rétegeken belüli szóródásoktól függ, és független a rétegek közötti (külső) szóródástól. | ||
Az intervallum pedig: | ||
3.3. Értékösszegsor becslés | ||
Rétegezett mintavétel esetén az értékösszegsor becslésekor a kiszámított sokaság várható értékére adott konfidencia intervalluma határait meg kell szorozni a sokaság elemszámával. | ||
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||
1. Egy gazdaságban 2000 almafa össztermését kívánják megbecsülni. Két almafajta terméséből vettek rétegezett mintát | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A becslést 95%-os megbízhatósági intervallumban szeretnék megkapni. | |||||||||||||||||||||||||
Az átlag: | |||||||||||||||||||||||||
Egy almafa átlagos termése103,04 kg és 107,46. kg között várható. Az egész gazdaságra vonatkozóan értékösszegsort kell becsülni: 2000*(105,252,21)kg. A gazdaságban 206,08 t és 214,92 t közötti mennyiség várható almából. | |||||||||||||||||||||||||
2. Egy gazdaságban 2000 almafa össztermését kívánják megbecsülni. Két almafajta terméséből vettek rétegezett mintát | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A becslést 95%-os megbízhatósági intervallumban szeretnék megkapni. | |||||||||||||||||||||||||
Az átlag: | |||||||||||||||||||||||||
A kiválasztási arány: | |||||||||||||||||||||||||
A belső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||||||||||
Az átlag hibanégyzete: | |||||||||||||||||||||||||
A standard hiba: | |||||||||||||||||||||||||
=0,05 =0,975 z0,975=1,96 | |||||||||||||||||||||||||
=1,5660*1,96=3,069 | |||||||||||||||||||||||||
(105,253,069) | |||||||||||||||||||||||||
102,18 kg és 108,32 kg között várható az átlagtermés gyümölcsfánként. | |||||||||||||||||||||||||
Értékösszeg becslésekor a várható érték konfidencia határait kell megszorozni N-nel. | |||||||||||||||||||||||||
A példánkban így a teljes termés 204,36 t és 216,64 t között várható |
Önellenőrző feladatok | ||||||||||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes állítást! | ||||||||||||||||||||||||||||
1/a
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
1/b
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
1/c
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
2. A házimunkára fordított időt vizsgálva egy 80.000 lakosú lakótelepen, ahol a lakosok közül 36.000 a férfi, 1000 elemű mintát vettek. Az alábbi adatok ismertek: | ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
2/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A férfiak aránya a sokaságban: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
2/b Határozza meg a házi munkával töltött napi átlagos időt a felnőtt lakosság egészére 95%-os megbízhatósági szinten. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat a standard hiba esetén 3 tizedesjegy, a többi esetben 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! A standard hiba: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
3. Postai levélforgalmat vizsgálva 3 (A, B, C) rétegbe osztották forgalom szerint a hivatalokat és mindegyik rétegből mintát vettek az alábbiak szerint: | ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
3/a. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 3 tizedesjegy pontossággal végezze el! Az 'A' részsokaság aránya az alapsokaságban: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
3/b Határozza meg az átlagos levélforgalmat 95%-os megbízhatósági szinten. Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat a táblázatbeli érték esetén 2 tizedesjegy a többi esetben 3 tizedesjegy pontossággal végezze el! A standard hiba: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||
3/c. Mennyi a posták összes levélforgalma 95%-os megbízhatósági szinten? A végeredményt kerekítse egész számra! A posták összes levélforgalma és ezer db. ![]() |