KURZUS: Statisztika I.

MODUL: IV. modul: Ismérvek közötti kapcsolatok

10. lecke: Korreláció

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • felsorolásból ki tudja választani, minek a jellemzésére alkalmas a korrelációs együttható;
  • listából ki tudja választani a korrelációs együttható lehetséges értékeit;
  • adott ismérvekről el tudja dönteni, milyen korrelációs együtthatóval jellemezhetők;
  • ki tudja választani a korrelációszámításra alkalmas feladatokat, ehhez nem találtam kérdést;
  • adott adatsor alapján ki tudja számítani a korrelációs együtthatót;
  • ki tudja számolni és értelmezni az előjelkorrelációs együtthatót. Ehhez nem találtam kérdést;
  • ki tudja számolni a rangkorrelációs együtthatót.
Tananyag

Mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolat számszerű jellemzésével és elemzésével a korrelációszámítás foglalkozik.

Feladata:

  • Megállapítani, hogy a két ismérv között valóban fennáll e a kapcsolat, és ha van kapcsolat, akkor az milyen jellegű.
  • A két ismérv között lévő kapcsolat szorosságának a megállapítása.

Két mennyiségi ismérv esetén (x;y), a változók közötti kapcsolat erősségét a korrelációs együttható (r) fejezi ki. Értéke -1és +1 között lehet. Ha r negatív, akkor a két változó ellentétes irányban változik.

0,9 felett igen szoros
0,7-0,9 szoros
0,6-07 közepes
0,5-0,6 gyenge
0,4 alatt laza

10.1. Előjelkorreláció

Az összetartozó értékpárok átlagtól való eltérései előjele alapján méri a kapcsolat szorosságát.

r e = pq p+q

  • ahol p jelenti azoknak az értékpároknak a számát, amelyeknek az átlagtól való eltéréseik előjele megegyezik.
  • ahol q jelenti azoknak az értékpároknak a számát, amelyeknek az átlagtól való eltéréseik előjele eltérő.

Előnye, hogy kevés számítással, gyorsan tájékozódhatunk két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat meglétéről és annak mértékéről.

Hátránya azonban, hogy csak "durva" mérőszám, ezért pontosabb elemzéshez nem használható.

Bemutató feladat

Vizsgáljuk meg, hogy van e összefüggés az egy főre eső GDP (euro) és az 1000 lakosra jutó személygépkocsik számának alakulása között néhány európai ország adatai alapján.

S.szám.1 főre jutó GDP Az Eu országaibanÁtlagtól való eltérés előjele1000 lakosra jutó személygk. számaÁtlagtól való eltérés előjele
1.22380+412+
2.20880+403+
3.25930+310-
4.7290-170-
5.2970-200-
6.23030+485+
7.20460+521+
8.7450-205-
9.13970-335-
10.36080+449+
átlag18044349

p=9  q=1, tehát szoros a kapcsolat

10.2. Rangkorreláció

Ha lehetőségünk van minőségi ismérvek kvantitatív jellemzésére oly módon, hogy az ismérvváltozatokat rangsoroljuk, akkor a rangsor már alkalmas a két minőségi ismérv sztochasztikus kapcsolatának elemzésére.

Ezt a korrelációs együtthatót rangsorkorrelációs vagy Spearman-féle korrelációs együtthatónak nevezzük.

r r =1 6 D i 2 n( n 2 1)     D i 2 = ( x i y i ) 2

ahol
Di=xi-yi
n: pedig az elemek száma

Bemutató feladat

Arra keressük a választ, hogy a tehenek fejéskori és etetéskori viselkedése között (nyugtalanság) van-e valamilyen összefüggés.

SorszámFejés alatti nyugtalanságEtetéskori nyugtalanságDD2
15411
268-24
310739
49900
512-11
62111
735-24
87611
9810-24
104311
Össz.26

r r =1 6 D i 2 n( n 2 1)

r r =1 6*26 10( 10 2 1) =0,84 , a tehenek fejéskori és etetéskori viselkedése között szoros az összefüggés.

Önellenőrző feladatsor

Jelölje be a helyes választ!

1. A korrelációs együttható alkalmas
az ismérvek közötti kapcsolat meglétének bizonyítására.
egy minőségi és egy mennyiségi ismérv közötti kapcsolat szorosságának mérésére.
két mennyiségi ismérv közötti sztochasztikus kapcsolat jellemzésére.
2. A korrelációs együttható értéke
-1 < r < 1
-1 r 1
-1 < r 1
-1 r < 1
3. A rangkorrelációs együttható segítségével
mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot jellemezhetünk.
minőségi ismérvek közötti kapcsolatot jellemezhetünk.
területi ismérvek közötti kapcsolatot jellemezhetünk.
4. Az előjelkorreláció...
az értékek átlagtól való eltérését mutatja.
az értékek átlagtól való eltérésének előjele alapján számolható.
5. Az alma színe és íze közötti összefüggést...
előjel korrelációval lehet meghatározni.
rangsor-korrelációval lehet meghatározni
6. A hajszín és a vizsgaeredmény közötti összefüggést...
rangsor-korrelációval lehet meghatározni.
előjel korrelációval lehet meghatározni.
7. A testmagasság és a testsúly közötti összefüggést...
rangsor-korrelációval lehet meghatározni.
előjel korrelációval lehet meghatározni.

8. Az ősziárpa-termesztéssel kapcsolatos kísérletek során megvizsgálták a felhasznált vetőmag mennyisége és a termésmennyiség közötti összefüggést.

Vetőmag mennyisége (kg/ha)Termés mennyisége (t/ha)
2404,75
1804,40
2804,80
2104,60
2204,65
1904,45
3104,80
2554,80
2954,82
2304,70
Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! A számításokat a vetőmag felhasználásnál egészszámmal, a korrelációnál 1 tizedesjegy pontossággal adja meg!

Az átlagos vetőmag felhasználás kg/ha.
Az átlagtermés t/ha
A korrelációs együttható értéke:

9. Tíz ország egy főre jutó GDP-je és az ezer lakosra jutó személygépkocsik száma az alábbi.

1 főre jutó GDP alapján a rangsor100 lakosra jutó személygépkocsik száma alapján a rangsor
1.2
2.3
3.5
4.1
5.4
6.9
7.6
8.8
9.10
10.7
Állapítsa meg a korrelációs együttható értékét! A számítást 4 tizedesjegy pontossággal végezze!

A korrelációs együttható: