KURZUS: Statisztika I.

MODUL: V. modul: Standardizálás

12. lecke: Főátlag-, részátlag-, összetételindex és különbségeik

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • adott adatatok alapján felsorolásból ki tudja választani, mit fejez ki a főátlag-index, a részátlag-index és az összetétel-index;
  • meg tudja határozni a főátlagokat;
  • adott adatatok alapján ki tudja számolni a főátlag-indexet, a részátlag indexet és az összetételindexet;
  • a kiszámított statisztikai mutatókkal ki tudja egészíteni a mutatók értelmezésére vonatkozó mondatokat.
Tananyag

Ha valamilyen ismérv szempontjából heterogén sokaságból átlagot számolunk, elemzésünk csak akkor lesz teljes, ha a sokaság összetételét nem hagyjuk figyelmen kívül. A sokaságok főátlagának térbeli vagy időbeli összehasonlításakor (azaz a sokaság átlagának időbeli változását, vagy két sokaság átlagát) figyelembe kell venni a részsokaságok átlagának és összetételének a változását.

12.1.Főátlag-index

A főátlag-index a főátlag változását fejezi ki, azaz megmutatja, hogy hogyan változik a heterogén sokaság főátlaga a részátlagok színvonalának és arányának együttes változása esetén.

I= V 1 ¯ V 0 ¯ , általában százalékban fejezzük ki.

V i = Σ A ij Σ B ij = Σ B ij * V ij Σ B ij = Σ f ij * x ij Σ f ij , egyszerűbben kifejezve: V i = Σ A i Σ B i = Σ B i * V i Σ B i = Σ f i * x i Σ f i

Ez a főátlagok relatív változását mutatja meg. A változást abszolút mértékben is kifejezhetjük különbségfelbontással. Ez a mennyiségi változást mutatja meg.

K= V 1 ¯ V 0 ¯ vagy K= Σ B 1 * V 1 Σ B 1 Σ B 0 * V 0 Σ B 0

A főátlag különbség (vagy differenciál) megmutatja, hogy mennyivel változott a főátlag a részátlagok színvonalának és arányának együttes változása esetén.

Bemutató feladat

A szellemi foglalkozású munkavállalók létszám és béradatai egy vállalkozásnál

Nem20082009
Létszám (fő)Átlagbér (Ft/fő/hó)Létszám (fő)Átlagbér (Ft/fő/hó)
Férfiak50200.00060220.000
Nők80190.00070205.000
Összesen.130-130-
1.Számítsa ki, hogyan változott a vállalati átlagbér.
2.Mutassa ki a vállalati átlagbér változását befolyásoló tényezők hatását.
3.Írjon szöveges elemzést.

Az előző lecke során már kiszámítottuk külön a nők és a férfiak átlagbérének a változását.

Férfiak átlagbérének változása:

i 1 = v 11 v 10 = 220000 200000 =1,1=110% k 1 = v 11 v 10 =220000200000=20000

A nők átlagkeresetének változása:

i 2 = v 21 v 20 = 205000 190000 =1,0789=107,89% k 2 = v 21 v 20 =205000190000=15000

Most megvizsgáljuk az átlagbér alakulását az egész vállalkozásra.

2008. év: V ¯ 0 = Σ B 0 * V 0 Σ B 0 = 50*200000+80*190000 50+80 =193846 Ft/fő/hó

2009. év V ¯ 1 = Σ B 1 * V 1 Σ B 1 = 60*220000+70*205000 60+70 =211923 Ft/fő/hó

A vállalati átlagbér változása:

I= V 1 ¯ V 0 ¯ = 211923 193846 =1,0933=109,33% K= V ¯ 1 V ¯ 0 =211923193846=18077Ft/Fő/hó

12.2. Részátlag-index

A részátlagok színvonalváltozásának hatását fejezi ki a főátlag változásában úgy, hogy állandónak tekinti az összetételt. Ez kétféleképpen történhet:

  • Állandónak tekintjük a bázisidőszak adatait (amihez hasonlítunk). Ilyenkor standard átlagot számolunk:

    V ¯ s: B 0 = Σ B 0 * v 1 Σ B 0

    Ebben az esetben a részátlag-index:

    I ' = V sB0 ¯ V 0 ¯
  • Állandónak tekintjük a tárgyidőszak adatait (amit hasonlítunk).

    V ¯ s: B 1 = Σ B 1 * V 0 Σ B 1

    Ebben az esetben a részátlag-index:

    I ' = V 1 ¯ V s ¯

A részátlag-indexet is százalékos formában adjuk meg. Ebben az esetben is kiszámoljuk az abszolút változást is.

K ' = V 1 ¯ V ¯ s: B 1 vagy K ' = V ¯ s: B 0 V ¯ 0

A részátlag-index különbség megmutatja, hogy a részviszonyszámok közötti eltérések önmagukban mekkora eltérést indokolnak a két főátlag között.

Bemutató feladat

Folytassuk az előző feladatot!

A standard főátlag kiszámítása: állandó a bázis év létszáma

V ¯ s = Σ B 0 * V 1 Σ B 0 = 50*220000+80*205000 50+80 =210769 Ft/fő/hó

A részviszonyszámok változásának hatása:

I'= V s ¯ V 0 ¯ = 210769 193846 =1,0873=108,73% K'= V ¯ s V ¯ 0 =210769193846=16923Ft/fő/hó

12.3. Összetételindex

Az összetételindex a fősokaság összetételében bekövetkezett változásoknak a főátlagra gyakorolt hatását fejezi ki. Azaz az összetételindex megmutatja, hogy mennyire változott a főátlag csak az összetétel-változás hatására. Hasonlóan a részátlag-indexhez, ebben az esetben is kétféle számítás lehetséges.

  • Tárgyidőszaki súlyozás: V ¯ s: V 1 = Σ B 0 * V 1 Σ B 0
    Az összetételindex pedig: I '' = V 1 ¯ V s: V 1 ¯
  • Bázis időszaki súlyozással: V ¯ s: v i = Σ B 1 * V 0 Σ B 1
    Az összetételindex pedig: I '' = V ¯ s: v 0 V 0 ¯

Hasonlóan a részátlag indexhez az összetételhatást is ki lehet fejezni a különbségek felbontásával, azaz kiszámolhatjuk, hogy csak az összetétel-változás hatására mennyivel változott a főátlag.

K '' = V s ¯ V ¯ 0 vagy K"= V ¯ 1 V ¯ s

Bemutató feladat

Folytassuk az előző feladatot!

Az összetétel változásának hatása

I''= V 1 ¯ V s ¯ = 211923 210769 =1,0055=100,55% K''= V ¯ 1 V ¯ s =211923210769=1154FT/fő/hó

12.4. Az indexek és a különbségek közötti összefüggések

Mivel a részátlag- és az összetétel-index a főátlagban bekövetkező változásokat fejezi ki külön-külön, ezért főátlag-index (amely az együttes változást fejezi ki), ezek szorzata.

I=I"*I”= V 1 ¯ V s ¯ * V ¯ s V 0 ¯ = V s ¯ V 0 ¯ * V 1 ¯ V s ¯

Hasonló összefüggés van a különbségek esetében is: K=K'+K''

Természetesen ezek az összefüggések csak akkor igazak, ha "keresztbe standardizálunk", azaz ha a részátlag-indexnél tárgyidőszaki súlyozást használunk (B1), akkor az összetétel-index esetében bázisidőszaki (V0) súlyozást kell használni, illetve fordítva.

Bemutató feladat

Folytassuk az előző feladatot!

Összefüggések

I=I'*I"=1,0873*1,0055=1,0933=109,33%
K=K'+K"=16923+1154=18077 Ft/fő/hó

12.5. Az indexek és a különbségek szöveges értelmezése

A kapott számszerű eredmények értelmezésénél fontos a megfogalmazás. Időbeli összehasonlítás esetén növekedésről vagy csökkenésről beszélünk. Térbeli összehasonlításkor az eltérést a kisebb, kevesebb, nagyobb, több jelzőkkel értelmezzük.

Az indexeket százalékban fejezzük ki. A 100% feletti rész jelenti a növekedés mértékét, a 100% alatti rész pedig a csökkenést fejezi ki úgy, hogy a kapott értéket levonjuk 100-ból.

Bemutató feladat

Szöveges értékelés

A vizsgált vállalkozásnál a vállalati átlagbér a nők és férfiak átlagkeresetének és létszámának változása miatt 2008-ról 2009-re 9,33%-kal emelkedett, ami 18077 Ft-os átlagbér-növekedést jelent. A férfiak és nők átlagbérének növekedése 8,73%-os vállalati átlagbér növekedést eredményezett, azaz 16923 Ft-tal nőtt átlagosan a dolgozók bére. Csak a létszám összetételében bekövetkezett változás miatt a vállalati átlagbérek 0,55%-kal emelkedtek, ami 1154 Ft-nak felel meg.

Önellenőrző feladatok

1. Egy vállalatnál egy terméket kétféle technológiával gyártanak. A két technológia termelési és önköltségi adatai a következők:

Technológia20082009
Termelés (edb)Önköltség (Ft/db)Termelés (edb)Önköltség (Ft/db)
I.200500300530
II.200700200735
Összesen.400-500-

Válassza ki a helyes állításokat!

1/a.
A részátlag-index a termelés költség változását fejezi ki.
A részátlag-index az önköltség változásának hatását fejezi ki.
A részátlag-index megmutatja, hogy mennyivel változott az önköltség.
1/b
A főátlag-index a vállalati önköltség változását fejezi ki.
A főátlag-index az önköltségek változását fejezi ki.
A főátlag-index megmutatja, hogy mennyivel változott a termelési költség.
1/c
Az összetétel-index a termelés mennyiségi változását fejezi ki.
Az összetétel-index kifejezi a termelési mennyiség változásának hatását a vállalati önköltség változásában.
Az összetétel-index megmutatja, hogy mennyivel változott a termelt mennyiség.

Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el!

2/a

Főátlag-index: %
Részátlag-index: %
Összetétel-index: %

2/b

A főátlagok különbsége: Ft
A részátlag különbség: Ft

2/c

A vállalati átlagbérek a vizsgált időszakban %-kal növekedtek.
2009-ben az átlagos önköltség Ft/db.
A standardizált önköltség Ft/db.
Az egyes telephelyek az önköltségének változása miatt a vállalati önköltség %-kal emelkedett.
A vállalati önköltség 2009-ben Ft-tal volt több mint 2008-ban.
A vállalati önköltség a termelt mennyiség változása miatt %-kal csökkent.