KURZUS: Statisztika I.
MODUL: III. modul: Mennyiségi sorok további elemzési eszközei
7. lecke: Aszimmetria, koncentráció
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
7.1. Aszimmetria | ||
A statisztikai sorokat ábrázolva nagyon változatos görbéket kapunk, de nagy többségük szabályszerűséget mutat. Az eloszlások típusától függ a görbe lefutása. Az eloszlások az alábbiak lehetnek: | ||
| ||
Az eloszlások ábrázolásánál a vízszintes tengelyen az ismérvváltozatok értékeit tüntetjük fel, a függőleges tengelyen az ismérvváltozatokhoz tartozó megfigyelt adatokat. | ||
Az egy móduszú gyakorisági soroknak egy helyi maximuma van. 3 típusát különböztetjük meg. | ||
Egy móduszú eloszlásoknál az aszimmetria (vagy ferdeség) fokának jellemzésére több mutatószám is használható. A mutatószámokkal szemben támasztott főbb követelmények: | ||
| ||
7.1.1. Pearson-féle mutatószám | ||
Az aszimmetria egyik általános úgynevezett "A mérőszámának" kidolgozása K. Person nevéhez fűződik. A mérőszám képzése abból indul ki, hogy szimmetrikus eloszlásnál a számtani átlag és a módusz megegyezik, míg aszimmetrikus eloszlásnál eltérnek egymástól. | ||
Ha , akkor már erős aszimmetriáról beszélünk. Szélsőséges esetben 1-nél nagyobb érték is előfordulhat. Ha A>0, akkor bal oldali, ha A<0, akkor jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Mivel a módusz osztályközös gyakorisági sorból lett meghatározva, nem eléggé megbízható, ezért a mediánból is kiszámolható az aszimmetria egy másik Pearson-féle mutatószámmal. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy kiskereskedőnél az egyik hétvégén megvizsgálták az egyes vásárlások összegét. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az adatsorra gyenge bal oldali aszimmetria jellemező. |
7.1.2. Pearson-féle mutatószám2 | ||
Ez azon gyakorlati megfigyelésen alapul, hogy a mérsékelten aszimmetrikus eloszlások esetében a medián az átlagtól az átlag és a módusz közötti teljes távolság mintegy egyharmadával balra vagy jobbra esik | ||
A mutató értéke -3 és +3 közé esik. A 0-hoz közeli érték gyenge aszimmetriát jelent. Normális eloszlás esetén P=0. Ha P>0, akkor bal oldali, ha P<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Ha P<-0,5, illetve P>0,5 esetében erős ferdeség jellemzi az eloszlást. |
Bemutató feladat | ||
Az előző feladatból: | ||
Hasonló eredményt kaptunk, azaz gyenge bal oldali aszimmetria. |
7.1.3 Ferdeségi mutató | ||
A ferdeségi mutató az alsó és a felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul. | ||
A mutató megoszlási viszonyszám jellegű, tehát értéke -1 és +1 között mozog. Ha F=0, akkor normális az eloszlás. Ha F>0, akkor bal oldali, ha F<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. | ||
Bal oldali aszimmetria esetén a medián az alsó kvartilishez (Q1), jobb oldali aszimmetria esetén pedig a felső (Q3) kvartilishez esik közelebb. A 0-hoz közeli érték az aszimmetria hiányát mutatja, de 0,2-nél nagyobb érték esetén már nagyfokú aszimmetriáról beszélünk. |
Bemutató feladat | ||
Az előző feladatból: |
7.2. Koncentráció | ||
Koncentrációnak nevezzük azt a jelenséget, hogy a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg (az ismérv előfordulási értékeinek összege) jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul. Az értékösszeg jele: Si | ||
Ha a sokaság elemszáma (n) kicsi, akkor már önmagában is koncentrációt jelent, hiszen a teljes értékösszeg kevés egységre összpontosít. A koncentráció kiszámításához: | ||
| ||
A koncentráció vizsgálatának egyik legfontosabb és legelterjedtebb eszköze a Lorenz-görbe. Ez egy egységnyi oldalú négyzetben elhelyezett vonaldiagram, amely a kumulált relatív gyakoriság (gi') függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszegeket (zi'). | ||
Ha az ábrázolt görbe az átlón fut, akkor a sokaságban nem figyelhető meg koncentráció, ha átlóhoz közel, akkor pedig gyenge koncentráció jellemzi a sokaságot. Minél nagyobb az átló és a görbe közötti terület, annál nagyobb a koncentráció mértéke. | ||
A koncentrációs együttható egy megoszlási viszonyszám is egyben. A területekhez integrálszámításra van szükség, de a mutató a Gini-féle mutató segítségével is kiszámítható. | ||
Koncentrációs együttható: | ||
ahol | ||
A K=0, a koncentráció teljes hiányát mutatja. A K=1 pedig a teljes koncentráltságot. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||
A Gini-féle mutatónál található feladat folytatása. | ||||||||||||||||||||||
Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva. | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Átlag= 860 óra | ||||||||||||||||||||||
, azaz gyenge koncentráció jellemzi az adatsort. |
Önellenőrző feladatok | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Válassza ki a helyes meghatározást! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Bal oldali aszimmetria esetén...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. A ferdeségi mutató értéke:
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Az alábbi adatok egy évfolyam testmagasságának vizsgálatából származnak. Az évfolyam átlagos testmagassága 170,5 cm, 9,99 cm szórással. A medián értéke 170,4 cm. A leggyakoribb érték pedig 169,6 cm. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Határozza meg az aszimmetria fokát az "A"-mutató alapján, és értelmezze azt! Az eredményt 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3/a Az aszimmetria mérőszáma 'A'= ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Az alábbi adatok egy évfolyam vizsgaeredményeinek teljesítményét bemutató statisztikai sorból származnak. Az évfolyam átlagos teljesítménye 65 pont. A medián értéke 63,5 pont.. Az alsó kvartilis értéke 56,625 pont, a felső kvartilisé pedig 73,5 pont. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Határozza meg a ferdeségi mutató értékét, és értelmezze azt! Az eredményt 3 tizedesjegy pontossággal adja meg! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/a A ferdeségi mutató: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket! Az értékösszeg esetén egész számokkal dolgozzon, a gyakoriság, a kumulált gyakoriság, az értékösszeg-gyakoriság és a kumulált értékösszeg gyakoriság esetében 4 tizedesjegy pontossággal! Közgazdász hallgató statisztika eredménye
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5/a. Az előzőekben kiszámolt adatok közül melyek szükségesek a Lorenz-görbe ábrázolásához?
![]() |