KURZUS: Statisztika I.
MODUL: III. modul: Mennyiségi sorok további elemzési eszközei
6. lecke: Szóródási mutatók
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
A középértékek csak egyetlen tulajdonságát rögzítik az eloszlásnak, ezért a statisztikai sokaság jellemzésére általában nem elegendőek. Egy sokaság eloszlása nagyon sokféle lehet, így az eloszlás formája is különböző lehet. | ||
Az ismérvértékek szóródásának mérésére és mérőszámok képzésére különböző lehetőségek vannak. Szóródáson azonos fajta számszerű adatok (általában egy mennyiségi ismérv értékének) különbözőségét értjük. A szóródás mérése az ismérvértékek valamely középértéktől vett eltérései vagy egymás közötti különbségei alapján történik. Ezen eltérések, különbségek alapján számított mérőszámok a szóródás abszolút mutatói, amelyek mértékegysége megegyezik a megfigyelt ismérv mértékegységével. A szóródás relatív mutatói elvonatkoztatnak az ismérvértékek mértékegységétől, nagyságrendjétől, a szóródás térbeli vagy időbeli összehasonlítására szolgálnak. | ||
A szóródás legfontosabb mutatószámai: | ||
| ||
Az egyes mutatószámokra az elmélet végén talál példát! | ||
6.1. A szóródás terjedelme (R) | ||
Azt mutatja meg, hogy a sokaság elemei milyen értékintervallumban helyezkednek el. | ||
R=xmax - xmin | ||
A szóródás terjedelme egy nagyon egyszerű és csak közelítő mérőszáma a szóródásnak. Az eloszlásnak csak a legkisebb és a legnagyobb értékét veszi figyelembe, és a két szélső érték közötti többi értéket nem. Arról, hogy a többi érték hol helyezkedik el, nem mond semmit. | ||
6.2. Átlagos eltérés () | ||
Az átlagos eltérés az ismérvértékek számtani átlagtól vett eltérésein alapul, azaz az egyes értékek számtani átlagtól vett eltérései abszolút értékének számtani átlaga: | ||
| ||
Mivel az átlag nagyságát nem a súlyok abszolút nagysága, hanem a súlyok aránya befolyásolja ezért a relatív gyakoriságból is kiszámítható: | ||
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 96,8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ugyanezekkel az adatokkal dolgozva, csak a gyakoriságokat változtatjuk meg: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 118,4 |
6.3. A szórás | ||
A legismertebb és a leggyakrabban használt mutató a szórás. A szórás az egyes értékek számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga, azaz megmutatja, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el az átlagtól. | ||
Tapasztalati szórás: az egész sokaságra vonatkozik. | ||
| ||
elméleti szórás: a mintából számoljuk ki. | ||
| ||
Az eredeti táblázat (50 villanyégő) adataiból számítsuk ki a szórást | ||
Tulajdonságai: | ||
| ||
A szórás mindig nagyobb értékű, mint az átlagos eltérés! | ||
6.3.1. Variancia | ||
A variancia, vagy szórásnégyzet önálló mutatóként is használatos. Nagy jelentősége például a varianciaanalízisben van, amely több középérték összehasonlítására szolgál. Ezzel az anyaggal majd a Statisztika II-ben találkozunk. Többféle jelölést találunk a szakirodalomban: s2, SS, MQ | ||
6.3.2. A szórásnégyzet és a szórás felbontása | ||
Ha a sokaság részekre, azaz részsokaságokra bontható, akkor a szórásnégyzetet is fel lehet bontani két részre: | ||
| ||
A belső- és külső szórásnégyzet összege a teljes szórásnégyzet: | ||
A belső szórásnégyzet az egyes részsokaságok (csoporton belüli elemek és a csoport főátlaga között értelmezett különbségekből meghatározott) szórásnégyzeteinek az átlaga. | ||
, | ||
ahol | ||
A külső szórásnégyzet az egyes részsokaságok átlagai (részátlag) és a teljes sokasági átlag (főátlag) eltérés négyzetösszegének az átlaga (a részsokaságok nagyságával súlyozva). | ||
, | ||
ahol | ||
A teljes szórás () azt fejezi ki, hogy a vizsgált sokaságban az egyes értékek átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól. | ||
A belső szórás () azt fejezi ki, hogy a részsokaságok egyes értékei átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól. | ||
A külső szórás () azt fejezi ki, hogy a vizsgált sokaságban az egyes részsokaságok átlagai átlagosan mennyivel térnek el a sokasági főátlagtól. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||
A hallgatók szakok szerinti csoportosításban az alábbi eredményt érték el egy vizsgán. A maximálisan elérhető pontszám 100 pont volt. | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Számítsa ki az adatok alapján a belső-, a külső és a teljes szórást, majd értelmezze azokat! | |||||||||||||||||
A vizsga átlagpontszáma, azaz a főátlag: | |||||||||||||||||
A belső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A belső szórás: | |||||||||||||||||
, Az egyes szakokon belül a hallgatók eredménye átlagosan 5,99 ponttal tér el az adott szakon elért átlagos pontszámtól. | |||||||||||||||||
A külső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A külső szórás: | |||||||||||||||||
, az egyes szakok átlagos vizsgaeredménye 5,41 ponttal tér el az összes hallgató által élért átlageredménytől. | |||||||||||||||||
A teljes szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A teljes szórás: | |||||||||||||||||
, A vizsgán megjelent hallgatók eredménye átlagosan 8,08 ponttal tér el az összes hallgató által élért átlageredménytől. |
6.4. Relatív szórás (V, CV) | ||||||||||||||||||||||||||
Sok esetben a szóródás vizsgálatára a szórás, mint átlagos szóródási paraméter nem elegendő. Továbbá bizonyos esetekben szükség lehet arra, hogy az ismérvértékek nagyságrendjétől illetve mértékegységétől elvonatkoztatott "tiszta szám" jellegű mérőszámmal mérjünk, és összehasonlíthatóvá tegyük a szórásokat. E célból bármelyik eddig bemutatott mérőszámot viszonyíthatjuk az átlaghoz. A legismertebb ilyen szóródási mérőszám a relatív szórás vagy variációs koefficiens, amely kifejezi, hogy a szórás az átlag hányad része. Általában százalékban kifejezve adjuk meg. | ||||||||||||||||||||||||||
Kifejezi, hogy a sokaság egyes egyedeinek értéke átlagosan hány százalékkal tér el az átlagtól. | ||||||||||||||||||||||||||
A relatív szórás százalékosan kifejezve a gazdasági gyakorlatban a változékonyságot az alábbiak szerint minősíthetjük: | ||||||||||||||||||||||||||
0-10%: állandóságot (homogenitást) | ||||||||||||||||||||||||||
6.5. Átlagos különbség (G) | ||||||||||||||||||||||||||
Az átlagos eltérés () és a szórás () a számtani átlag alapján méri az ismérvértékek különbözőségét. A szóródás az ismérvértékek egymás közötti különbségei alapján is vizsgálható, illetve mérhető. E mutató bevezetését Corrado Gini, olasz statisztikus javasolta, ezért Gini-féle mérőszámnak is nevezik. | ||||||||||||||||||||||||||
Az átlagos különbség (G) az ismérvértékek egymástól számított különbségei abszolút értékének számtani átlaga. | ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
Az átlagos különbség azt fejezi ki, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el egymástól. | ||||||||||||||||||||||||||
Számításához három munkatábla szükséges: | ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
fi*fj | ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
fi*fj* | ||||||||||||||||||||||||||
|
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R (Terjedelem): 1100-600= 500 óra | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mivel a főátlóra szimmetrikus mátrixot kapunk, ezért a táblázatnak csak egy részét töltjük ki. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fi*fj | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fi*fj* | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mivel a táblázatot nem teljesen töltöttük ki, ezért a kapott eredményt meg kell szorozni kettővel. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
G= 2*168100/50*49= 137,22 óra Az egyes égők élettartama átlagosan 137,22 órával különböznek egymástól. |
Önellenőrző feladatok | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Jelölje meg az alábbiak közül a szóródásra jellemző meghatározást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Válassza ki a helyes állítást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Válassza ki a szórás definícióját!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Jelölje meg az alábbiak közül a belső szórásra jellemző meghatározást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Válassza ki a helyes állítást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. A megadott adatok alapján határozza meg a sokaság szórását, a relatív szórást és az átlageltérést! A számolás során csak a végeredményt kerekítse! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy évfolyamban az átlagos testmagasságot vizsgálva 200 hallgató testmagassága az alábbi volt. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A sokaság átlaga: 170,5 cm | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A sokaság szórása (2 tizedjegy pontossággal): cm. ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Számítsa ki az átlagos különbség mutatószámát! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A hallgatók átlagos vizsgaeredménye az alábbi volt: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/a. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mivel a főátlóra szimmetrikus mátrixot kapunk, ezért csak a táblázat egyik felét kell kitöltenie! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fi*fj
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fi*fj*
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/b. Egészítse ki a mondatot! Az eredményt 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! Az egyes hallgatók érdemjegyei egymástól átlagosan -dal térnek el. ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket! Az eredményeket 3 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! A sokaság átlaga: 6,716 Egy állattenyésztő juhállományának megoszlása fajta és gyapjúhozam szerint
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9/a. Az előző feladat adataiból számítsa ki a belső szórást, a külső szórást, és a teljes szórást, 3 tizedesjegy pontossággal. A belső szórás: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9/b. Válassza ki a helyes megfogalmazást.
![]() |