KURZUS: Statisztika I.

MODUL: Melléklet

Képletek

1. Alapfogalmak, viszonyszámok
1.1. Adatközlési abszolút és relatív hiba
Abszolút hiba: a 10 k 2 , ahol
a : a becsült abszolút hiba
k: pedig az utolsó szignifikáns számjegy helyi értéke
A relatív hiba: α = a A'
1.2. Viszonyszámok
Megoszlási viszonyszám V m = x i x i
w j = n j n j
Bázis-viszonyszám l i ( V b )= y i y 0
Lánc-viszonyszám l b ( V l )= y i y i1
A fejlődés átlagos üteme V l = V l1 * V l2 *...* V ln n1 = = V ln n1 = y n y 0 n1

Összefüggések l i = b i b i1 ; b k = l 2 * l 3 ** l k = i=2 k l i , ahol k az idősor feladat szerint megjelölt tagja

2. Empirikus eloszlások elemzése

A mennyiségi sorok jellemző értékeinek kiszámítása

2.1. Középértékek és kvantilisek

Jelölések: xi az i-edik adat értéke vagy az i-edik osztály közepe, n az adatok száma, r az osztályok száma, fi az i-edik osztályba tartozó adatok száma.

Egyedi adatokbólGyakorisági adatokból
Számtani közép x ¯ = i=1 n x i n x ¯ = i=1 r f i * x i i=1 r f i = i=1 r s i i=1 r f i = i=1 n g i * x i
Harmonikus átlag x ¯ h = n i=1 n 1 x i x ¯ h = i=1 r f i i=1 r f i x i = 1 i=1 r g i x i
Geometriai átlag x ¯ g = i=1 n x i n x ¯ g = i=1 r x i f i n
Négyzetes átlag x ¯ q = i=1 n x i 2 n x ¯ q = i=1 r f i x i 2 n
Módusz becslése Mo= x mo,a + d a d a + d f h mo

d a = f mo f mo1 , d f = f mo f mo+1

M o = m 0 + f m o - f m o-1 ( f m o - f m o-1 ) +( f m o - f m o+1 ) *h
Medián becslése: Me= x me,a + n 2 f ' me1 f me h me
Kvantilisek becslése K V = x kv,a + j k *n f kv1 f kv * h kv
2.2. Szóródási mutatók
Terjedelem: R(T)= x max x min
Interkvartilis terjedelem: IQT= Q 3 Q 1
Szórás:Egyedi adatokból:
σ= i=1 n ( x i x ¯ ) 2 n vagy σ= i=1 n x i 2 n x ¯ 2 n
Gyakorisági adatokból:
σ= i=1 r f i ( x i x ¯ ) 2 n vagy σ= i=1 r f i x i 2 n x ¯ 2 n
Relatív szórás: V(CV)= σ x ¯
Teljes szórásnégyzet összetevői: σ 2 = σ B 2 + σ K 2 ,
SST=SSB+SSK ,
SSK= n j ( x ¯ j x ¯ ) 2 ,
SSB= n j σ j 2 = j i ( x ij x ¯ j ) 2
Belső szórásnégyzet: σ B 2 = n j σ j 2 n , ahol: j: a csoportosító ismérv változatainak száma
Külső szórásnégyzet: σ K 2 = n j d j 2 n , ahol d j 2 = ( x ¯ j x ¯ ) 2
Átlagos eltérés: δ= i=1 r f i | x i x ¯ | i=1 r f i vagy δ= i=1 r g i | x i x ¯ |
Átlagos különbség: G= i=1 n j=1 n | x i x j | n( n1 )     G= i=1 r j=1 r f i f j | x i x j | n( n1 )
Koncentráció (Lorenz-féle területarány): K= T k T b = G 2 x
2.3. Eloszlások, gyakorisági sorok jellemzői
Aszimmetria mértéke: A= x ¯ Mo σ
P= 3( x ¯ a Me ) σ
Ferdeségi mutató: F= ( Q 3 Me )( Me Q 1 ) ( Q 3 Me )+( Me Q 1 ) ,
Csúcsosság: K= Q 3 Q 1 2( D 9 D 1 )
3. Összefüggés-vizsgálat egyszerűbb eszközei
3.1. Asszociáció
Yule-féle együttható: A(Y)= f 11 f 22 f 21 f 12 f 11 f 22 + f 21 f 12
Csuprov-féle asszociációs együttható: T= χ 2 n ( s1 )( t1 ) , ahol
χ 2 = n i=1 s j=1 t ( f ij 2 f i. f .j 1) , ahol n az adatok száma, s a sorok száma, t az oszlopok száma,

vagy

χ 2 = i j ( f ij f ij * ) 2 f ij * , ahol
f ij * = f i. f .j n   i=1,2s , j=1,2t
Cramer-féle együttható: C= χ 2 n( s1 ) , ahol: st
3.2. Korrelációs együtthatók:
Spearman-féle rangkorrelációs együttható: r r =1 6 i=1 n D i 2 n*( n 2 1) , ahol D i = x i y i
Előjel-korrelációs együttható: r e = pq p+q
3.3. Vegyes kapcsolat

Szórásnégyzet-hányados: H 2 = σ K 2 σ 2 = SSK SST vagy H= σ K σ T = 1 σ B 2 σ T 2

4. Indexszámítás
4.1.Standardizáláson alapuló indexszámítás
4.1.1.Különbségek
Főátlagok különbsége: K= V ¯ 1 V ¯ 0 = B 1 V 1 B 1 B 0 V 0 B 0
Részátlagok különbsége: K'= V ¯ 1 V ¯ st: B 1 vagy K'= V ¯ st: B 0 V ¯ 0 ,
ahol
V ¯ st: B 1 = V ¯ st: v 0 = B 1 v 0 B 1
V ¯ st: B 0 = V ¯ st: v 1 = B 0 v 1 B 0
Összetételből eredő különbség: K"= V ¯ st: v 0 V ¯ 0 vagy K"= V ¯ 1 V ¯ st: v 1
Összefüggés: K=K'+K"
4.1.2. Indexek
Főátlagindex: I= V ¯ 1 V ¯ 0
Részátlagindex: I = V ¯ 1 V ¯ st: B 1 vagy K= V ¯ 1 V ¯ st: B 1
I = B 1 V 1 B 1 B 1 V 0 B 1 illetve I = B 0 V 1 B 0 B 0 V 0 B 0
Összetételhatás indexe: I = V ¯ st: v 0 V ¯ 0 vagy I = V ¯ 1 V ¯ st: v 1
I"= B 1 V 0 B 1 B 0 V 0 B 0 illetve I"= B 1 V 1 B 1 B 0 V 1 B 0

Összefüggés: I=I'I"

Megjegyzés: A 0 és 1 index-megjelölés időbeli és térbeli összehasonlításra egyaránt utalhat.

4.2. Érték-, ár- és volumenindexek
4.2.1.Egyedi értékindex

i v = v i1 v i0 = q i1 p i1 q i0 p i0

4.2.2.Egyedi volumenindex

i q = q i1 q i0

4.2.3.Egyedi árindex

i p = p i1 p i0

4.2.4. Különbségek

K v = q 1 p 1 q 0 p 0

K p 0 = q 0 p 1 q 0 p 0

K p 1 = q 1 p 1 q 1 p 0

K q 1 = q 1 p 1 q 0 p 1

K q 0 = q 1 p 0 q 0 p 0

K v = K p 1 + K q 0 = K p 0 + K q 1

4.2.5.Értékindex

I v = q 1 p 1 q 0 p 0 = q 0 p 0 * i v q 0 p 0 = q 1 p 1 q 1 p 1 i v

4.2.6.Volumenindex
Laspeyres-féle (bázis súlyozás): I q L = I q 0 = q 1 p 0 q 0 p 0 = q 0 p 0 * i q q 0 p 0 = q 1 p 0 q 1 p 0 i q
Paasche-féle (tárgy időszaki súlyozás): I q P = I q 1 = q 1 p 1 q 0 p 1 = q 0 p 1 * i q q 0 p 1 = q 1 p 1 q 1 p 1 i q
Fisher-féle: I q F = I q L I q P
Edgeworth-Marshall-féle: I q EM = q 1 ( p 0 + p 1 ) q 0 ( p 0 + p 1 )
4.2.7. Árindex
Laspeyres-féle (bázis súlyozás): I p L = I p 0 = q 0 p 1 q 0 p 0 = q 0 p 0 * i p q 0 p 0 = q 0 p 1 q 0 p 1 i p
Paasche-féle (tárgy időszaki súlyozás): I p P = I p 1 = q 1 p 1 q 1 p 0 = q 1 p 0 * i p q 1 p 0 = q 1 p 1 q 1 p 1 i p
Fisher-féle: I p F = I p L I p P
4.2.8. Indexek közötti összefüggés

I v = I q P I p L = I q L I p P = I q F I p F

4.2.9. Területi indexek

I q( A/B ) A = q A p A q B p A ;    I q( A/B ) B = q A p B q B p B ;    I q( A/B ) F = I q( A/B ) A I q( A/B ) B

I p( A/B ) A = q A p A q A p B ;    I p( A/B ) B = q B p A q B p B ;    I p F = I p( A/B ) A I p( A/B ) B