KURZUS: Fizikatörténet
MODUL: Fizika a középkorban
2.2. lecke: Középkori matematika
Önellenőrző kérdések | |||||||||
1. Hol kezdték el módszeresen használni a 0 számjegyet és fedezték fel a vele való műveletvégzés szabályait? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() | |||||||||
2. Honnan ered az, hogy az órát ma is 60 percre, azt meg 60 másodpercre osztjuk be? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() | |||||||||
3. Kik készítették az első, sok jegyre pontos szögfüggvény-táblázatokat a mai szögfüggvényekről? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() | |||||||||
4. Miért ered az "algoritmus" szó al Khwarizmi nevéből? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() |
1. A tízes számrendszer (tíz alapú helyiértékes számjelölés) története | ||
Az ókori matematikai eredmények ismertetésénél láttuk, hogy a többféle számjelölés közül a mezopotámiai, 60-as helyiértékés alapú tűnt olyannak, ami a leginkább alkalmas nagy számokkal való számolásra. Igaz, a nagy alapszám és a "0" számjegy használatának hiánya kicsit nehézkessé tette ezt a módszert, de már Arkhimédész megsejtette, hogy 10-es alapon ugyanez az ötlet sokkal használhatóbb lenne. Ezt azonban Indiában dolgozták ki részletesen az i. sz. 2. és 7. század között. | ||
Az indiai matematikusoknak (pl. Brahmaguptának) köszönhetjük a 0 számjegy használatának módszeres bevezetését. A 0 számjegy és a tízes alapszám használata nagy mértékben gyorsította a számításokat. Ezzel éltek is az indiai matematikusok, pl. csillagászati számításaik során. | ||
Indiában rájöttek arra, hogy a "0"-t nem csak mint helykitöltőt kell értelmezni, hanem mint egy valódi számot, amivel műveletek végezhetők, még ha ezek többnyire igen egyszerű eredményre vezetnek. Ugyancsak Indiában fedezték fel a negatív számok és a végtelen fogalmát, nagyot tágítva ezzel az ókori számfogalmon. A görögöktől eltérően az indiai matematikusoknak nem okozott elvi problémát az irracionális számokkal való számolás sem. | ||
Indiából az arab matematikusok vették át a tízes helyiértékes számjelölés ötletét, akik sok számításban használták, és felvetették, hogy a törtek jelölésére is ki kell terjeszteni a 10-es alapot. Addig ugyanis a törteket "perc", "másodperc", "harmadperc" stb. módon jelölték, azaz itt még egy ideig megmaradt a 60-as alapszám. | ||
Mai formáját az 1500-as évek végén, Napier és Kepler munkája nyomán nyerte el a tízes számrendszer. Ők már teljesen a mai értelemben használták a tizedes törteket, csak abban nem sikerült egységesen megállapodniuk, hogy vesszővel vagy ponttal válasszák el az egészrészt a törtrésztől. (Ez a kettősség azóta is okoz sok bosszankodást, amikor valaki mondjuk angolok által készített Excel táblát olvas be magyar verziójú programba.) | ||
A számjelölés itt vázolt fejlődése igen fontos volt a tudomány szempontjából. A mai tizedestörtes jelöléssel egységnyi idő alatt 10-szer vagy akár 100-szor annyi műveletet lehetett elvégezni, mint az ókori jelölésekkel. Sok felfedezés, pl. Kepler bolygópálya-számításai nem is tudott volna elkészülni ilyen nagy számítási sebesség nélkül. | ||
| ||
A számjelölés áttekinthető, egyszerű volta megnyitotta az utat a mechanikus számolóeszközök (pl. az abakusz) és az egyszerű mechanikus számológépek előtt, valamint a szemléletet is formálta, mert azt sugallta, hogy a számok egy egyszerű, áttekinthető rendszert alkotnak. Az, hogy az alapműveletek elvégzése egyszerűbbé vált, megalapozta a bonyolultabb függvények, pl. a logaritmusfüggvény felfedezését és használatát is. | ||
Valójában egyszerű technikai részletkérdés, de érdemes egy ábra erejéig megnézni, hogyan alakultak a számjegyek az egyes kultúrákban. Ezt mutatja be a mellékelt ábra. Látható, hogy bizonyos számjegyek már a brahmi írásban is hasonlóak voltak, mint a maiban, de vannak teljesen eltérő jegyek is. | ||
2. A szögfüggvények kialakulása | ||
Az ötlet, hogy a különböző szögekhez bizonyos speciális alakzatok oldalarányát rendeljük, már az ókori Görögországban felmerült. Igaz, ott nem a mai szinusz, koszinusz, stb. függvények bevezetéséről volt még szó, hanem az adott szöghöz tartozó húrhossz és ívhossz arányáról. Az ilyen jellegű számítások elterjedését azonban akadályozta a nehézkes számjelölés, ezért nem véletlen, hogy a tízes számrendszer kifejlesztésével váltak igazán hasznossá az efféle számítások és táblázatok. | ||
A mai szinusz és koszinusz függvények Indiában bukkantak fel először, majd az arab matematikusok fejlesztették tovább és alakították ki lényegében a maival megegyező rendszerüket. Ők nemcsak további függvényeket adtak a rendszerhez (tangens, cotangens...), hanem ezek közti összefüggéseket is felfedeztek, pl. a egyenlőséget, több addíciós tételt, de a szögfüggvényekkel kapcsolatos végtelen sorfejtésekkel is foglalkoztak. Ezek a vizsgálataik nemcsak elméleti jellegűek voltak: építési tervezési feladatoknál, csillagászati és földmérési problémáknál aktívan használták is e tudást. A kor előrehaladtával egyre pontosabb szögfüggvény-táblázatokat készítettek, melynek csúcsaként a 15. században már 9 tizedesjegy pontosságú, 1' felbontású táblázatok álltak elő. | ||
A szögfüggvényeket az araboktól vette át Európa, és használta szintúgy tervezési, földmérési és csillagászati feladatokban. Ma már azt is tudjuk, hogy ezek a függvények később számtalan téren nyertek fontos alkalmazást, pl. a rezgőmozgások és a váltóáramú körök leírásánál vagy a hullámtani jelenségek matematikai modelljénél. Mindezeket a problémák kezelhetetlenek lennének a középkorban kialakult szögfüggvények nélkül. | ||
3. Algebra és algoritmus | ||
A tudománytörténet egyik legjelentősebb, mégis a szélesebb közönség által kevésbé ismert műve egy Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi (790-840) nevű tudós "Hiszab al-dzsebr w'al mukabalah" című könyve. Ebben a szerző egyrészt összefoglalást adott sok addigi matematikai felfedezésről, így pl. leírta a tízes számrendszerű jelölés és az abban való műveletvégzés szabályait. E könyvet olvasták később Európában, így jutott el oda a tízes számrendszer, és ez az oka, hogy a mai napig "arab számoknak" hívjuk számjelölésünket. | ||
Al-Khwarizmi művében azonban egészen újszerű dolgok is megtalálhatók. Az egyik ezek közül a mai egyenletrendezési szabályok megjelenése. Bár ebben a korban még nem volt a mai szimbolikus "3x+1=10x-8" jellegű tömör jelölés, szövegesen igen hasonló formára hozták a megoldandó problémákat ("Az ismeretlen mennyiség háromszorosához ha egyet adunk, az ugyanannyi lesz, mint ha az ismeretlen mennyiség tízszereséből nyolcat vonunk ki.") Erre pedig a mai egyenletrendezési szabályokat használta al-Khwarizmi, azaz pl. "Az egyenlőség mindkét oldalából ugyanazt a mennyiséget szabad elvennünk.", "Az egyenlőség mindkét oldalát szabad ugyanazzal a mennyiséggel elosztanunk.", stb. Ezzel a módszerrel másodfokú egyenleteket is meg tudott oldani, de némely harmadfokú egyenlet közelítő megoldása is kezelhető volt. | ||
Ezekre a rendezési eljárásokra "al-dzsebr" kifejezéssel hivatkozott (ez a könyv címének is része), ami a "dolgok helyükre tételét" jelentette. Innen származik a mai "algebra" szavunk, mely a matematika e témakörrel foglalkozó ága. | ||
Az algebra megszületésén kívül a módszeres problémamegoldás, az algoritmikus gondolkozás eredetét is e könyvhöz köti a tudománytörténet: az "algoritmus" szó egyszerűen "al-Khwarizmi" nevének torzításából származik. Al-Khwarizmi ugyanis nemcsak szabályokat adott az egyenletrendezésre, hanem már a probléma felírását is igyekezett szabályokba foglalni és az egyenletrendezés célszerű módját is tanította. (Gyűjtsük egyik oldalra az ismeretlent, a másik oldalra az ismert tagokat...) | ||
Az algoritmikus gondolkozás sokkal több probléma megoldását tette lehetővé, mint a görögök intuitív hozzáállása. Az ilyen felfogás jobban tanítható is, és a mai iskolákban is használjuk ezt a felfogást a feladatmegoldásban. Enélkül sok probléma csak zseniális megérzésekkel lenne megoldható, azaz sokkal kevesebb ember lenne képes ilyen problémák kezelésére és az igazán összetetteket (mondjuk egy háromismeretlenes egyenletrendszert) senki sem tudná megoldani. | ||
Nagyobb távlatban gondolkozva azt mondhatjuk, hogy az algoritmikus gondolkozás a mai számítástechnikai és informatika alapja is. | ||
4. Egyéb eredmények | ||
Idő hiányában csak felsorolásszerűen említünk meg pár további fontos felfedezést a középkori matematika eredményei közül. | ||
| ||
Mindezek azt mutatják, hogy a középkori matematikai eredmények alapvető fontosságúak voltak. Nélkülük nem jött volna létre az a robbanásszerű fejlődés a tudományban, ami az 1500-as évek végén kezdődött. |