KURZUS: Fizikatörténet

MODUL: Az ókor természettudománya

1.5. lecke: Ókori mechanika I. / Statika, kinematika

Cél: A lecke egyik célja, hogy megismertessen az ókori statikai elméletek geometriai jellegével, Arkhimédész csigasorokra és emelőkre vonatkozó felfedezéseinek lényegével. A másik cél, hogy Zénón paradoxonjain keresztül megértsük, milyen nehézségekbe, látszólagos önellentmondásokba (paradoxonokba) futottak bele az ókori görög filozófusok a mozgások leírása kapcsán és hogy ezek hogyan oldhatók fel mai tudásunk alapján.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes önállóan:

  • Felrajzolni egy kétkarú emelőt és ennek egyensúlyának geometriai feltételét.
  • Megadni legalább két egyszerű gép nevét, melyet Arkhimédész fejlesztett ki vagy javította meg a hatásfokát.
  • Leírni Zénón tanult mozgási paradoxonjainak (Akhilleusz és a teknősbéka, vonuló katonák, kilőtt nyílvessző) lényegét és mai gondolkozásunk alapján történő feloldását. (Mindegyik esetben 8-12 mondat, esetleg 1-2 magyarázó ábra.)

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 40 percre lesz szüksége.

Tevékenység:

1.Nézze meg a fiztort_03_okori_mechanika videót az elejétől 25:35-ig. Ebben a részben a prezentációt a fiztort_03_okori_mechanika.pdf fájl 1-22. oldalai közti rész tartalmazza. A videó nézése közben a következő témák megértésére figyeljen különösen (ha szükségesnek tartja, jegyzeteljen egy füzetbe):
    • Arkhimédész statikai törvényei és az egyszerű gépek működése.
    • Az eleai Zénon mozgási paradoxonjai és azok feloldása.
2.A prezentációs fájl átolvasásával frissítse fel az előadásban hallottakat, különösen figyelve az előbbi kérdésekre.
3.Válaszoljon a lentebbi "Önellenőrző kérdések"-re. A cél most az 50%-osnál jobb eredmény elérése.
4.Olvassa el a lenti "Követelmények"-et és döntse el, képes lenne-e azok teljesítésére.
5.Ha az előző két pontban hiányosságok merültek fel, vegye elő újra a prezentációt vagy az előadás-videót.
6.Ha ismereteit mélyíteni szeretné, olvassa el Simonyi könyvéből az 1.2.3 fejezetet.
Önellenőrző kérdések
1. Mit értett Arkhimédész az alatt, hogy "Adjatok egy szilárd pontot, hol lábamat megvethetem és kimozdítom helyéből a Földet!"? Válassza ki a helyes megoldást!
Azt, hogy az általa kifejlesztett erősokszorozó gépek segítségével elvben akár a Föld is kimozdítható egyetlen ember erejével, ha van hova rögzíteni a gépet a Földön kívül.
Arkhimédész így fejezte ki burkoltan azt, hogy a Föld szerinte mozog, de ezt csak a Földtől távol merné nyíltan kifejezni, ahová nem ér el az inkvizíció keze.
Ez a kijelentés valójában az általános tömegvonzási törvény megsejtésére utal: azt fejezi ki, hogy a Földön kívüli szilárd pontok (bolygók, holdak) vonzása a Földet kimozdítja normál pályájáról.
Ez egy pontatlan fordítás eredménye. Arkhimédész csak azt akarta kifejezni, hogy gépeivel a kézi munkavégzésnél sokkal hatékonyabban lehet nagy földtömegeket megmozgatni pl. csatornaépítéskor. (Csak jó alapozásra van szüksége.)
2. Az alábbi kijelentések közül melyik az, amelyiket Zénon "Akhilleusz és a teknősbéka" paradoxonjának feloldásához használhatunk?
Végtelen sok időszakasz összege is lehet véges, ha nagyságuk elég gyorsan csökken.
Véges sok időszakasz összege sosem lehet végtelen nagyságú.
Véges hosszúságú időszakaszt csak véges sok részre lehet felosztani.
Mozgásról csak akkor tudunk egyértelműen beszélni, ha megadjuk a vonatkoztatási rendszert.
3. A tanult 3 mozgási paradoxon közül melyik az, amelyik elsősorban a mozgások személytől függő voltát mutatja be?
A vonuló katonák esete.
A kilőtt nyílvessző esete.
Akhilleusz és a teknősbéka esete.
Egyik sem.
1. Statika az ókorban

Az ókor civilizációi olyan épületeket, csatornákat, szobrokat hagytak ránk, melyek megléte a statika gyakorlati ismeretéről tesz bizonyságot. Bizonyos, hogy pl. emelőket, ékeket az ókor előtt is használtak nehéz tárgyak mozgatásához, így némi statikai tudással rendelkeztek távoli elődeink is. Ezeket az egyszerű eszközöket olyan ügyesen használták, hogy a modern ember sokszor nehezen hiszi el, hogy pl. az egyiptomi piramisokat vagy a megalitikus kőköröket valóban ilyen "primitív" eszközökkel építették. Mára a "kísérleti régészet" sok ősi fogást próbált ki sikerrel, melyek lehetővé teszik az ezeknél használt nagy tömegek emberi erővel való mozgatását, így biztosak lehetünk azzal, hogy ezek a nagy építmények megépíthetők egyszerű eszközökkel.

A statikával kapcsolatos elméleti megfontolások elsősorban a görög kultúrából maradtak ránk az ókorból, bár sejtjük, hogy más kultúráknak is voltak ilyen törvényszerűségei.

A korábban tanultakkal összhangban a görögök törvényeiket elsősorban szövegesen vagy geometriai úton fogalmazták meg. Így a statika alaptörvényét is geometriailag, az erőkarok és az erők rajzain mérhető területek segítségével fogalmazták meg. Pl. az egyszerű kétkarú emelő esetén azt ismerték fel, hogy itt látható ábrának megfelelően ha a két világoskék paralelogramma területe egyenlő, akkor lesz a két erőnek azonos a forgató hatása a jelölt tengelyre nézve. (Természetesen az ókori görögök nem írtak "T" vagy "F1" betűket az ábrába.) Ez mai ismeretünk szerint is helyes: könnyű bebizonyítani, hogy a jelölt területek a forgatónyomatékkal, azaz az "erő szorozva az erőkarral" mennyiséggel egyenesen arányosak.

Arkhimédész ebből az egyszerű egyensúlyi törvényből igen bonyolult eredményekig jutott el, pl. bonyolult erőrendszerek összegzését is el tudta végezni és ennek során lényegében rájött a "súlypont" fogalmára. Gyakorlati alkalmazásként emelőrendszereket és csigasorokat konstruált, melyek segítségével az emberi erőt meg tudta sokszorozni. Úgy látta, hogy az erősokszorozásnak nincs elvi felső korlátja, így egy külső rögzített pontra szerelt gépezet segítségével akár a Föld is elmozdítható lenne a helyéről. Gépeit felhasználták pl. a védekezésben, amikor városát (Szirakuzát) több éven át ostromolták a római seregek. (Épített pl. olyan darut, mellyel a falakhoz túl közel merészkedő római hajókat emberi erővel ki lehetett emelni a vízből.)

Sok egyéb gépet is felfedezett vagy tökéletesített Arkhimédész, pl. a mai értelemben vett szivattyúk és fogaskerekek ősével is foglalkozott. Mások egyszerű gőzgépeket is konstruáltak. Érdekes, hogy ezeket az eredményeket nem használták fel széles körben, az emberi és állati erő kiváltására. E kérdésre a következő lecke végén még visszatérünk.

2. Ókori kinematika

Az ókori ember sok tapasztalattal rendelkezett a mozgásokról, hisz léteztek állati erővel vontatott járművek, vitorláshajók, hajítógépek, íjak, de még az ember mozgása, futása is nagy figyelmet kapott a hadműveletek vagy az olimpiai versenyek során. A téma tehát érdekes volt, foglalkoztak is vele az ókori gondolkodók, de meglepően kevés helyes elméleti eredményre jutottak. Úgy tűnik, hogy a mozgás fogalmát az ókori görög filozófusok által használt kódolások (szöveges törvények és geometria) egyikével sem sikerült jól megfogni. Ez nem meglepő: a mozgások leírására ma a mozgásegyenleteket tartjuk a legalkalmasabb eszköznek, geometriai eszközként pedig a hely-idő, sebesség-idő és egyéb grafikonokat használjuk a mozgási problémákban, de az egyenletek és a grafikonok egy jóval későbbi kor, a középkor felfedezései közé tartoznak.

A mozgások leírásában, azaz a kinematikában tett sikertelen görög próbálkozásokat jól lehet bemutatni az eleai Zénon három híres kinematikai paradoxonjával (látszólagos ellentmondásaival). Ezek megismerésénél vegyük figyelembe a már tanultakat: az ókori emberek jól tudtak gondolkozni és nyilvánvalóan tudták, hogy pl. Akhilleusz utol fogja érni a teknősbékát (lásd később), de a más esetekben oly kiválóan működő szóbeli törvényekkel nem sikerült ezeket az eseteket megfelelően kezelni.

1. paradoxon: Akhilleusz és a teknősbéka

A paradoxon lényege a következő: Akhilleusz és egy teknősbéka versenyt futnak. A teknős némi előnnyel rendelkezik a verseny legelején. Akhilleusznak először el kell érnie azt a pontot, ahonnan a teknős indult. Ez valamennyi időbe telik és közben a teknős egy keveset előbbre jutott egy új pontba. Most a folyamat hasonlóképp, csak kisebb méretekben ismétlődik: Akhilleusz most ezt az új pontot kell elérje először, de eközben a teknős egy még újabb pontig jut előre. Ez a folyamat a végtelenségig folytatódik: Akhilleusz végtelen sokszor kell utolérje a teknős új és új helyzeteit.

Akhilleusz tehát végtelen sok időszakaszt kell teljesítsen a teknős utoléréséig. Végtelen sok időintervallum összege pedig csak végtelen hosszú lehet, ezért végtelen időbe telik neki, azaz sosem éri utol a teknőst.

Zénon és az ókori görögök természetesen pontosan tudták, hogy véges idő alatt megtörténik az utolérés és az előzés, épp ezért érezték, hogy a fenti, hibátlannak tűnő gondolat valahol hibás, de nem jöttek rá, hol a hiba.

Ma már tudjuk, hogy a "Végtelen sok időintervallum összege pedig csak végtelen hosszú lehet" kijelentés a kulcs, itt történik egy nagy tévedés. Ismerjük pl., hogy az egynél kisebb együtthatójú végtelen mértani sorok összege véges (pl. 1+0,1+0,01+0,001+...=1,111..=10/9) és látjuk, hogy Zénon valójában ott hibázott, hogy az utolérés véges időtartamát egyre kisebb és kisebb időszakaszokra osztotta fel a végtelenségig.

Ma az ilyen problémákat pl. a mozgásegyenletek felírásával vagy hely-idő grafikonokkal oldjuk meg, de ezek vagy az előbb említett mértani sor nem tartoztak az ókori matematika fegyvertárába. (De még a fenti egyszerű számpélda sem volt leírható az akkori jelölésekkel.)

A szöveges kódolás itt nagyon alkalmatlannak mutatkozott. A kritikus "Végtelen sok időintervallum összege pedig csak végtelen hosszú lehet." kijelentés szövegesen logikusan hangzik de fejlett számfogalom és számírás vagy egyenletek nélkül, pusztán szóbeli érveléssel nehezen cáfolható.

2. paradoxon: Vonuló katonák

A vonuló katonák paradoxonja az előzőhöz hasonlóan egy hétköznapi tapasztalat sikertelen filozófiai megközelítésén alapul. Képzeljük el, hogy egy katonai parádén három sorban állnak a katonák, majd egyszerre csak a második sor (kék) balra, a harmadik (zöld) jobbra indul, míg az első sor helyben marad. Mit mondhatunk az első sor (piros) katonáinak mozgásáról? A közönség úgy látja, állnak. A második sor katonái úgy látják, jobbra mozognak. A harmadik sor katonái pedig úgy érzékelik, hogy az első sorbeliek balra mozdulnak el.

Ez a gondolatsor arra vezetett, hogy Zénon kijelentette: a mozgás függ a megfigyelő személytől. Ez viszont azt jelenti (gondolta), hogy a mozgás szubjektív fogalom, hasonlóan pl. a szépérzékhez, azaz a mozgás nem a külvilág, hanem az elménk terméke. Ez a gondolat sok gondolatrendszerben megjelenik és pl. a görög filozófiában a szolipszizmusban igen sarkalatos formában nyilvánul meg. (A szolipszizmus alapgondolata, hogy "csak én létezem", minden érzékelés az én elmém terméke.)

Mai tudásunkkal azt mondhatjuk, hogy ismét kódolási problémával állunk szemben: a szöveges törvények kezelése nehézkes, mert a szavak jelentése nem olyan élesen behatárolt, mint a matematikai fogalmaké. Így szövegben nehéz megkülönböztetni azt, hogy a mozgások teljesen csak a megfigyelőtől függnek attól a modern felfogástól, melyben a mozgások leírását különböző koordináta-rendszerekben, azok közti áttérés pontos szabályait ismerve tudjuk kezelni. Ma tehát tudjuk, hogy a vonatkoztatási rendszer a kinematika egy fontos alapfogalma és tudjuk, hogy a köztük való áttérés pontos szabályoknak tesz eleget, de ez még az ókorban nem volt ismert.

3. paradoxon: A repülő nyílvessző

A repülő nyílvessző mozgásával kapcsolatban a következő értelmezési nehézséget ismerték fel az ókori görögök: Ha a repülő nyílvesszőre egy adott időpontban ránézek, az egy meghatározott helyen van, egy adott térrészt tölt ki. A nyílvessző tehát adott pillanatban áll. Ez azonban minden időpontra igaz, így a nyílvessző mindig áll, tehát sosem mozog.

Bár ezt sokkal bonyolultabban fejezték ki, de mai szemmel azt kell mondnunk, hogy csak a szöveges megfogalmazásokba bonyolódtak bele a görög filozófusok. Valójában az, hogy egy időpontbeli állapotot nézek egyszerre, kizárja a mozgás vagy nyugalom felismerésének lehetőségét, így természetesen rossz végeredményre jutunk.

A tévedés oka itt is hasonló az előzőekhez: a görögök által szeretett szöveges és geometriai megközelítés nem jó a mozgások kódolására.

Ezek és a többi hasonló kinematikai paradoxon azt mutatja, hogy a görög tudomány nem tudta igazán kezelni a mozgásokat. Sok filozófiai irányzat jelentette ki, hogy "minden mozgás illúzió" és a tudományos mechanikai elméletek is megrekedtek. Az első komoly előrelépést e téren majd az 1300-as évek Európájában teszik Oresmius és társai, akik a hely-idő és sebesség-idő grafikonok felrajzolásával mégis geometriai kódolást adnak a mozgástannak.