KURZUS: Fizikatörténet

MODUL: Az ókor természettudománya

1.4. lecke: Ókori matematika II. / Geometria

Cél: A tananyag célja, hogy megismertessen az ókor fő geometriai eredményeivel, különösen a görög tudósokra koncentrálva. Eukleidész geometriai alapművének kapcsán az axiomatikus gondolkozásmód megértése is cél. A leckében megismerkedünk még néhány érdekes geometriai témával, a kúpszeletekkel, Arkhimédész térfogat-számítási eredményeivel és három, az ókori görögök által megoldhatatlannak talált problémával.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes önállóan:

  • Leírni szöveggel és mai jelölésű képlettel, mit is jelentett egy szakasz aranymetszéssel való kettéosztása.
  • 1-2 mondatban leírni miért tartották a görögök esztétikusnak az aranymetszésnek megfelelő arány felbukkanását.
  • Ismertetni a definíciók, posztulátumok és axiómák szerepét Eukleidész geometriájában és azt, milyen elven építette fel ebből Eukleidész a teljes geometriát.
  • Jellemezni az axiomatikus felépítés előnyeit.
  • Röviden (5-6 mondat) összefoglalni Arkhimédész terület- és térfogatszámítással kapcsolatos eredményeit.
  • Néhány mondatban ismertetni legalább két olyan geometriai problémát, melyet az ókori görögök nem tudtak megoldani.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 30 percre lesz szüksége.

Tevékenység:

1.Nézze meg a fiztort_02_okori_matematika videót 1:00:30-tól a végéig (1:19:23). Ebben a részben a prezentációt a fiztort_02_okori_matematika.pdf fájl 37-54. oldalai közti rész tartalmazza. A videó nézése közben a következő témák megértésére figyeljen különösen (ha szükségesnek tartja, jegyzeteljen egy füzetbe):
    • Mit jelent az aranymetszés fogalma és mit mutat meg ez a görög gondolkozásból?
    • Hogyan összegezte Eukleidész az addigi geometriai ismereteket? Mi az axiomatikus felépítés lényege és előnyei?
2.A prezentációs fájl átolvasásával frissítse fel az előadásban hallottakat, különösen figyelve az előbbi kérdésekre.
3.Válaszoljon a lentebbi "Önellenőrző kérdések"-re. A cél most az 50%-osnál jobb eredmény elérése.
4.Olvassa el a lenti "Követelmények"-et és döntse el, képes lenne-e azok teljesítésére.
5.Ha az előző két pontban hiányosságok merültek fel, vegye elő újra a prezentációt vagy az előadás-videót.
6.Ha ismereteit mélyíteni szeretné, olvassa el Simonyi könyvéből az 1.4.4 és 1.4.5 fejezeteket.
Önellenőrző kérdések
1. Ha egy szakaszt aránymetszéssel osztunk két részre, akkor a kisebbik és a nagyobbik rész hosszának aránya... Válassza ki a helyes megoldást!
ugyanakkora, mint a nagyobbik rész és a teljes szakasz hosszának aránya.
ugyanakkora, mint a kisebbik rész és a teljes szakasz hosszának aránya.
ugyanakkora, mint a négyzet oldalának és átlójának aránya.
pontosan háromnegyed.
2. Miért nevezzük Eukleidész geometriai rendszerét axiomatikus szerkezetűnek? Válassza ki a helyes megoldást!
Azért, mert néhány egyszerű alapelvből, axiómából és posztulátumból vezeti le az összes tételt.
Azért, mert Eukleidésznél találkozunk először az axonometrikus ábrázolással, aminek segítségével sok térgeometriai problémát tudott síkban lerajzolni.
Azért, mert azt feltételezte, hogy létezik végtelenül kicsi pont és végtelenül vékony vonal.
Azért, mert művének geometriai része görögül az "Axioma" nevet viselte.
3. Hogyan tudták az ókori görögök megszerkeszteni egy adott kockánál kétszer nagyobb térfogatú kocka élhosszát? Válassza ki a helyes megoldást!
Sehogyan sem: ez az egyik híres megoldatlan problémájuk.
Az aranymetszésre használható szerkesztés kis módosításával.
Ezt a problémát nem szerkesztéssel, hanem számolással oldották meg: a köbgyök kettő értékét határozták meg és ez volt a szerkesztés alapja.
Nem tudjuk, talán fel sem merült e szerkesztési feladat az ókori görögöknél.
1. Az ókori geometria

A nagy ókori kultúrák mindegyike igen sok geometriai ismerettel rendelkezett. Tükröződik ez a nagy és láthatóan gondosan tervezett építményekben, pl. a piramisok szerkezetében és tájolásában vagy a kiépített csatornarendszerben. E sokrétű gyakorlati és elméleti ismeretek azonban egyértelműen egy helyen, az ókori Görögországban integrálódtak egy olyan egységes rendszerré, mely azóta is a tudománytörténet egyik csúcsteljesítményének számít. Mivel a tárgy a fizika történetére koncentrál, ezért csak ezt a csúcsot, a görög geometriát tekintjük át röviden.

Az előző leckében már volt róla szó, hogy az irracionális számokkal kapcsolatos "kudarc" után a görög tudósok elsősorban a geometriában találták meg azt az elméletet (kódolást), mely a valóság leírására, a mélyebb összefüggések felderítésére szolgált. A geometria elméletének önmagában történő fejlesztésén túl praktikus feladatokra is széles körben használták, pl. az épületek tervezésénél, de a zene, a szobrászat, festészet és a geometria kapcsolatát is vizsgálták. Az egyik legjellemzőbb példája ennek a törekvésnek az "aranymetszés" fogalma.

Az aranymetszés egyik megközelítése szakaszok "arányos", "esztétikus" kettéosztásával kapcsolatos. Ha egy távolságot két részre kell vágnunk, akkor igen "unalmas" eredményt ad a pontos felezés, de ha a vágás nagyon aszimmetrikus, az sem néz ki jól. A görögök egyik megközelítése erre az volt: osszuk fel úgy a teljes szakaszt egy kisebb és nagyobb részre, hogy a nagyobb rész hossza úgy arányuljon a kisebbikéhez, mint a teljes hossz a nagyobbik részéhez. A görög filozófusok több módszert is kitaláltak arra, hogy lehet szerkesztéssel ezt a felosztást megkapni, és az aranymetszés több érdekes geometriai jelentését is megtalálták. (Pl. ha egy téglalapról egy vágással egy négyzetet levágunk, és a maradék téglalap hasonló lesz az eredetihez, akkor a téglalap oldalaránya az aranymetszés arányának felel meg.)

A mai gondolkodáshoz inkább a számolós megközelítés áll közelebb: könnyű belátni, hogy az aranymetszéssel előálló a és b rész-szakaszok arányára az a/b=(a+b)/a egyenlet vonatkozik, és innen ma már könnyű megkapni, hogy a/b=(51/2-1)/2=0,618... Az ókori görögök azonban nem ismerték az egyenleteket és az irracionális számok jelölését, ezért szerkesztéssel kaptak meg pl. a fenti ábrához hasonló téglalapot vagy végeztek szakaszfelosztást.

Sok ókori görög szobron, épületen bukkan fel az aranymetszés aránya, mert ezt esztétikusnak tartották.

2. Eukleidész axiomatikus rendszere

Eukleidész (ie. 325-265?), az ókor egyik legnagyobb matematikusa, egy 13 kötetes műben, az "Elemek"-ben egy nagy összegzést adott az egész addigi geometriai tudásról és sok új eredményt is leírt pl. a számok oszthatóságával, az irracionális számok geometriai megjelenésével, térfogatszámítással kapcsolatosan.

A tudománytörténet szempontjából az "Elemek" geometriai részének az a legjelentősebb sajátossága, hogy axiomatikus felépítésű, azaz néhány magától értetődő alapigazságot ad meg (ezek az axiómák és a posztulátumok) és ezek kombinálásával lépésről lépésre épít fel egyre bonyolultabb és bonyolultabb tételeket.

Kicsit közelebbről megvizsgálva: Eukleidész először 23 definíciót (meghatározást) ad meg, melyek közül az első négy így hangzik:

1.Pont az, aminek nincs része.
2.A vonal szélesség nélküli hosszúság.
3.A vonal végei pontok.
4.Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.

Ezután 5 "posztulátum" és 9 "axióma" következik. A posztulátumok:

1.Minden pontból minden más pontba húzható egyenes.
2.Egy szakasz mindig meghosszabbítható egyenes irányban folytatva.
3.Bármely pont körül bármely sugárral rajzolhatunk kört.
4.A derékszögek egymással egyenlők.
5.Ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két egyenes meghosszabbításai azon az oldalon találkoznak, amelyiken az két derékszögnél kisebb szögösszegű szögek vannak.

Az első néhány axióma:

1.Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők.
2.Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, az összegek egyenlők.
3.Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, a maradékok egyenlők.

Eukleidész megmutatta, hogy csupán ezek felhasználásával sok addig ismert tétel (pl. Pithagorasz tétele) is bebizonyítható, de a rendszerből új és új tételek, matematikai igazságok is levezethetők, melyre addig senki sem gondolt.

Ez a lépésről lépésre való felépítés látszólag egyszerű, valójában azonban igen nagy koncentrációt és absztrakt gondolkozást igénylő agytornát jelent. Még ma is csak az egyetemi matematikus képzésben tananyag e felépítményt szigorúan követve bizonyítani bonyolult tételeket. Ez is azt bizonyítja, hogy az ókori ember képességeit tekintve a maival egyenrangú volt, ahogy azt a bevezetőben tanultuk.

Eukleidész axiomatikus felépítése a mai napig is a matematikai és fizikai elméletek által elérni kívánt, ideális célt jelenti. Látni fogjuk, hogy bár a témából kifolyólag nem tudja azt ilyen mélységben véghezvinni, de Isaac Newton is ilyen axiomatikus felépítést próbál a mechanikát megalapozó művének adni és általában is a legtöbb matematikus és sok fizikus tűzi ki a célt, hogy egy-egy elméletet axiomatikusan építsenek fel. Ez a törekvés érthető: csak az alapigazságokat kell helyesen megválasztani és akkor az ezekből következő tételek is biztosan igaznak tekinthetők. Ez egy adott terület ismereteinek módszeres felfedezését teszi lehetővé és egyértelmű feltételt ad az "igazságra": egy axiómarendszeren belül azt kell "igaz" állításnak tekinteni, ami az alaptételekből levezethető.

3. További eredmények

A görög geometria számtalan eredményéből csak néhányat tudunk itt megemlíteni.

Arkhimédész (i. e. 287-212) az integrálszámításhoz hasonló módszert használva sikeresen határozta meg a gömb és a kúp térfogatát, a parabolaszeletek területét és az addigi legpontosabb eredményt adta meg a kör kerületének és átmérőjének arányára, a π-re. (Azt bizonyította, hogy 3+10/71 és 3+1/7 közé esik, ami mai jelöléssel 2 tizedesjegy pontosságú eredmény.)

Apollóniosz (i. e. 265-190) a kúpszeletekkel kapcsolatban bizonyított több fontos tételt.

Érdekes, hogy a görög tudósok néhány olyan problémával is találkoztak, melyekre nem ismerték a megoldást. Többükről kiderült (némelyikről csak a 19. században), hogy az Eukleidész által megengedettnek tartott szerkesztési eszközökkel (csak egyenes vonalzó, körző és ceruza használatával) nem is oldhatók meg. Három ilyen nevezetes probléma:

1.Kocka térfogat kettőzés: Adott egy kocka élhossza. Szerkesszük meg azt az élhosszat, mely a kétszer ekkora térfogatú kockához tartozik!
2.Szögharmadolás: Adott egy szög. Szerkesszük meg azt a szöget, aminek háromszorosa az eredeti szög.
3.Kör négyszögesítése: Szerkesszük meg egy körhöz a vele egyező területű négyzetet!