KURZUS: Fizikatörténet

MODUL: Újkori fizika

3.12. lecke: A speciális relativitáselmélet története II. / A téridő

Cél: A lecke célja, hogy megismerkedjünk a téridő fogalmával, valamint azzal, hogyan keverednek az idő- és térkoordináták a speciális relativitáselmélet alapján, továbbá a téridő geometriáját leíró Minkowski-féle alaptörvénnyel. Megismerjük azt is, hogy a téridő szerkezetéből miért következik a fénysebesség határsebesség volta, illetve hogy valójában a téridő-szerkezetben van a határsebesség elrejtve, a fény csak ezt a határsebességet követi és nem okozza azt. Zárásul röviden megemlítjük a speciális relativitáselmélet néhány kísérleti bizonyítékát.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes önállóan:

  • 5-6 mondatban összefoglalni, hogyan merült fel már a relativitáselmélet előtt is a téridő gondolata és hogy ez miért nem vált nagy jelentősségűvé akkoriban.
  • 8-10 mondatban leírni Minkowski elméletének lényegét a téridőről, beleértve a téridő-intervallum hossz meghatározását is és hogy milyen kapcsolatban van ez a relativitáselmélet korábbi eredményeivel.
  • Leírni 2 példát olyan mennyiségekre, melyek korábban függetlennek tűntek, de kiderült, hogy a téridő-alapú szemléletben összekapcsolódnak.
  • 6-8 mondatban ismertetni, milyen értelemben borítaná fel az ok-okozati viszonyokat, ha létezne fénysebességnél gyorsabb utazás vagy üzenetküldés.
  • Legalább 3 olyan kísérletet leírni (mindegyiket 1-2 mondatban), melyek a speciális relativitáselmélet születése után történtek és bizonyítják annak igazát.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 35 percre lesz szüksége.

Tevékenység:

1.Nézze meg a fiztort_14_spec_realtivitas videót 0:53:42-től a végéig (1:14:30). Ebben a részben a prezentációt a fiztort_14_spec_relativitas.pdf fájl 27-38. oldalai közti rész tartalmazza. A videó nézése közben a következő témák megértésére figyeljen különösen (ha szükségesnek tartja, jegyzeteljen egy füzetbe):
    • A Minkowski-féle alapösszefüggés a téridő-intervallumról.
    • A tér- és időkoordináták keveredése és annak szemléltetése.
    • Kapcsolódó mennyiségek a téridőben.
    • Az időrendi sorrendiség és az ok-okozati összefüggések a téridőben.
    • A speciális relativitáselmélet kísérleti bizonyítékai.
2.A prezentációs fájl átolvasásával frissítse fel az előadásban hallottakat, különösen figyelve az előbbi kérdésekre.
3.Válaszoljon a lentebbi "Önellenőrző kérdések"-re. A cél most az 50%-osnál jobb eredmény elérése.
4.Olvassa el a lenti "Követelmények"-et és döntse el, képes lenne-e azok teljesítésére.
5.Ha az előző két pontban hiányosságok merültek fel, vegye elő újra a prezentációt vagy az előadás-videót.
6.Ha ismereteit mélyíteni szeretné, olvassa el Simonyi könyvéből az 5.2.5 fejezetet.
Önellenőrző kérdések
1. Mikor és kinél jelent meg először az a gondolat, hogy a 3 tér és 1 idődimenzió együtt egy négydimenziós téridőt alkot? Válassza ki a helyes megoldást!
Az 1300-as években Oresmiusnál.
Az 1600-as években Newtonnál.
Az 1900-as évek elején Einsteinnél.
Az 1900-as évek elején Minkowskinál.
2. Az alábbiak közül melyik az a mennyiség, amelyik Minkowski felfedezése szerint vonatkoztatási rendszertől független, ha két esemény időbeli eltérése Δt , térbeli eltérése Δr ?
s 2 = c 2 ( Δt ) 2 + ( Δr ) 2
s 2 = ( Δt ) 2 c 2 ( Δr ) 2
s 2 = c 2 ( Δt ) 2 ( Δr ) 2
s 2 = ( Δt ) 2 + c 2 ( Δr ) 2
3. Mit értünk az alatt, hogy a lendület 3 komponense és a test energiája egy 4 dimenziós vektort alkot a téridőben? Válassza ki a helyes megoldást!
Azt, hogy a lendületkomponensek és az energia négyzetösszege állandó.
Ez egy pontatlan megfogalmazás, mert valójában a lendület komponenseinek négyzetösszegéből meghatározható a test teljes energiája, ha a test tömegének kétszeresével leosztunk. Ez a valódi kapcsolat, 4 dimenziós vektorról nincs szó.
Azt, hogy a nagyobb energia nagyobb tömeget is jelent, ami növeli a lendületet is, így egy laza kapcsolat van az említett mennyiségek közt.
Azt, hogy vonatkoztatási rendszer váltáskor ezek úgy változnak, mint egy 4 dimenziós vektor koordinátái a tengelyek megváltoztatásakor.
4. Az alábbiak közül melyik az a hétköznapokra is hatással levő probléma, melyhez szükséges a relativitáselmélet használata, mert a newtoni mechanika alapján pontatlan értékeket kapnánk? Válassza ki a helyes megoldást!
A puskagolyók pontos röppálya-számítása.
A GPS műholdak pontos pályaszámítása.
Nagy fordulatszámú benzinmotorok mechanikájának számítása.
Nincs ilyen probléma, a relativitáselmélet csak a fizikusoknak fontos.
1. A téridő megjelenése a speciális relativitáselméletben

A középkori mechanikáról tanultaknál megemlítettük, hogy az 1300-as években (amikor először rajzoltak fel hely-idő és sebesség-idő grafikonokat) észrevették, mennyire hasonló természetű a tér és az idő. Oresmius konkrétan fel is vetette, hogy a világ történéseit a 3 tér és 1 idő dimenzió együttesében kellene szemlélni. Később, a mai matematikai formalizmus megszületése előtti időszakban sok kutató a mozgástani problémákat geometriai megfogalmazásban, szerkesztési feladatként kezelte. Pl. Galilei a Discorsiban az időtartamok hosszát nem számmal, hanem szakaszhosszal adta meg és a feladatok megoldásában szerkesztéssel kellett ebből más időtartamok hosszát meghatározni. A tér és az idő hasonló jellegének a gondolata tehát régóta élt az emberekben, de az egységes "téridő" fogalma csak egy elméleti érdekesség volt a relativitáselmélet megszületéséig. Ennek oka, hogy a klasszikus fizika szerint különböző vonatkoztatási rendszerekből nézve az idő- és helykoordináták ugyan mások és mások lesznek, de pl. két téridőbeli pont időbeli eltérése ugyanaz marad, azaz a téridő koordinátái nem "keverednek" úgy, mint a térkoordináták egymás között a vonatkoztatási rendszer elforgatásakor.

Az előző leckében tanultuk, hogy a speciális relativitáselmélet kiderítette: két történés (pl. két lámpa felvillanása) időbeli eltérése, sőt, még az is, melyik volt előbb a kettő közül, függhet a vonatkoztatási rendszertől, azaz a mozgás megváltoztatja a időbeli eltérések nagyságát és néha még az előjelét is. Sőt, a térbeli eltérés is megváltozik, amit pl. a mozgásirányú rövidülés fejez ki. A problémát matematikailag tökéletesen leírja a Lorentz-transzformáció, de többen elgondolkodtak rajta, nincs-e valami speciális jelentése ennek, ha a 3+1 dimenziós téridőben vizsgálódunk.

A megoldásra Hermann Minkowski (1864-1909) jött rá, aki 1907-ben és 1908-ban tette közzé eredményeit. Minkowski a következőképp közelítette meg a problémát:

Nevezzük a téridő pontjait "eseményeknek", hisz ezek egy adott helyet és adott időt egyszerre rögzítenek. Egy adott vonatkoztatási rendszerből nézve megadható két esemény időbeli és térbeli eltérése ( Δt és Δr ). Nevezzük "téridő-intervallum"-nak az alábbi egyenlet által meghatározott s mennyiséget: (c a fénysebesség)

s 2 = c 2 ( Δt ) 2 ( Δr ) 2 = c 2 ( Δt ) 2 ( ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2 + ( Δz ) 2 )

Megjegyzések:

  • Ha x, y és z egy derékszögű koordináta-rendszer koordinátái, akkor a Pitagorasz-tétel szerint ( Δr ) 2 = ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2 + ( Δz ) 2 .
  • Bizonyos könyvek így definiálják s2-et, mások épp a -1 -szeresét használják. Ez nem okoz lényegi változást a gondolatmenetben.
  • s2 akár negatív is lehet, ami képzetes s-et jelent.

Minkowski egy nagyon egyszerűen megfogalmazható törvényt fedezett fel:

Két esemény közti téridő-intervallum független a vonatkoztatási rendszertől.

A döbbenetes tény az, hogy ebből az egyetlen állításból, mint axiómából le tudta vezetni a Lorentz-transzformációt és a speciális relativitáselmélet addigi összes eredményét! Maga a levezetés meghaladja tantárgyunk kereteit, bár megértése valójában nem igényel nagy előképzettséget: egy emelt szintű matematika és fizika érettségi anyagának birtokában minden lépés követhető. Csak a szemlélet a furcsa, mert a számítások jelentése ellentmondani látszik a tapasztalatoknak, hisz pl. arról beszél, hogy mozgó rendszerben lassabban telik az idő, vagy hogy bizonyos események (nem az összes!) esetén nem mondható meg objektíven, melyik volt előbb, mint a másik.

Ezután a speciális relativitáselméletre úgy is tekinthetünk, mint ami a téridő geometriáját leíró Minkowski-féle alaptételből egyértelműen levezethető, így amit Poincarétól kezdve Einsteinen át Planckig elmondtunk, az csak ehhez az egyszerű alaptételhez vezető kissé kanyargós út volt.

2. A téridő és a tér geometriájának eltérése

Nézzük meg Minkowski alaptételének szemléletes jelentését. Először is vegyük észre, hogy c 2 ( Δt ) 2 = ( Δ( ct ) ) 2 , azaz ha az időt t helyett (ct)-vel jellemezzük, akkor az időt mintegy méterben mérjük, és a kiemelt szorzófaktor eltűnik. Elsőre talán furcsán hat ez a gondolat, de valójában természetesen merül fel az ötlet: mivel a természet ad nekünk egy univerzális sebesség-egységet, a fénysebességet, ezért nem kell külön távolság és külön időegységet használnunk, hanem mindent mérhetünk méterben. A távolságoknál ez a megszokott, az időnél meg azt mondjuk, hogy "1 m-nyi idő alatt a fény 1 m távolságot tesz meg". Így átfogalmazva a Minkowski-féle téridő-egyenletet:

s 2 = ( Δ( ct ) ) 2 ( ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2 + ( Δz ) 2 ) = állandó

Ha ebben a formulában az egyetlen mínusz jel helyett plusz állna, az egyenlet meglepően hasonlítana a sima tér geometriájára. A "hagyományos" 3 dimenziós térben a koordináta eltérések négyzetösszege ugyanis független a koordináta-rendszertől, azaz a térre nézve d 2 = ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2 + ( Δz ) 2 =állandó, hisz különböző koordináta-rendszerekből egy szakasz végpontjainak eltérését jellemző Δx , Δy , Δz különböző értékeket adhat, de négyzetösszegük a Pitagorasz-tétel miatt ugyanaz marad: a szakasz hosszának négyzete.

A téridő geometriáját megadó összefüggés tehát lényegében csak egy "-" jelben különbözik a tér megfelelő egyenletétől, de ez a különbség alapvető jelentőségű: ezen az előjelen múlik, hogy a téridő geometriájából az egész relativitáselmélet levezethető. A levezetés helyett itt csak egy kis szemléltetést szeretnénk adni. A téridő ugyanis szemléltethető a papír síkjában, ha egyenes vonalú mozgásokat vizsgálunk, azaz csak egyetlen tér-koordinátánk van: x.

Könnyű belátni, hogy ha a Galilei-transzformáció lenne igaz, akkor a szemléltetéskor az egymáshoz képest mozgó rendszerek x-tengelyei párhuzamosak maradnának, csak a t-tengelyek ferdülnének el, hisz az idő legfeljebb egy konstans elcsúszással (alappont) különbözhet a klasszikus mechanikában. Galilei-transzformáció esetén tehát Δt=Δt' de általában ΔxΔx' . A newtoni mechanikában egyidejű eseményekre a térbeli távolság nem változik, azaz Δt=0 esetén Δx=Δx' .

Ezzel szemben a relativitáselmélet szerint valójában az időbeli eltérések is rendszerfüggők és a térbeli eltérés is máshogy számolandó. Ez mindkét tengely elferdülését jelenti: ilyenkor általában ΔtΔt' és ΔxΔx' , sőt, még Δt=0 esetén is előfordul, hogy ΔxΔx' . Mégsem össze-vissza változnak a tér- és idő-koordináták, hanem egy határozott összefüggés teljesül: Minkowski szerint ( Δ( ct ) ) 2 ( Δx ) 2 = ( Δ( ct' ) ) 2 ( Δx' ) 2 .

3. Kapcsolódó mennyiségek a téridőben

Minkowski munkája egész más szemléletet adott a relativitáselmélet kutatóinak és sok mennyiségről derült ki, hogy 4-dimenziós mennyiségek komponenseiről van szó, melyeket eddig független értékekként kezeltünk, de valójában ezek szorosan kapcsolódnak.

Kiderült, hogy a lendület 3 komponense és az energia együtt egy 4D vektorba foglalható össze. Más vonatkoztatási rendszer más lendületet és energiát jelent, és ez a Minkowski-féle téridőben a 4D "energia-impulzus vektor" különböző koordináta-rendszerekben mérhető eltérő komponenseinek felel meg.

Az is bebizonyosodott, hogy az elektromos és mágneses terek 3-3 komponense egy speciális 4D lineáris leképezés (úgynevezett "antiszimmetrikus tenzor") komponensei, melyek szintén a vetületek változásának megfelelően alakulnak át a viszonyítási rendszerek között. Ezért az, hogy álló töltéseknek csak elektromos tere van, de mozgó töltések esetén mágneses tér is fellép, csak ilyen vetítési jelenség: az egységes, téridőben értelmezhető elektromágneses tér különböző koordináta-tengelyekre vett vetületei hol tartalmaznak bizonyos komponenseket, hol nem. Ezzel pl. a Trouton-Noble kísérlet is megmagyarázhatóvá vált, de az indukció és az eltolási áram mögött meghúzódó mélyebb okra is fény derült.

Négydimenziós alakban a Maxwell-egyenletek addig fel nem fedezett szimmetria-tulajdonságokat mutattak, melyekből egyszerűen következett pl. a fénysebesség vonatkozási rendszertől független volta.

E kutatások nyomán bizonyossá vált, hogy a természeti törvények közül sok egyszerűbbé válik, ha 4D téridőben gondolkozunk és így új összefüggések felfedezése előtt nyílik meg az út.

4. Ok-okozati összefüggések, kauzalitás

A téridő geometriájának elemzése kimutatta, hogy két esemény időbeli elkülönülésének mértéke (fent: ?t) ugyan függ a koordináta-rendszertől, de ez a függés törvényszerűségek által behatárolt. Ezekből megmutatható, hogy ha egy tárgy c-nél gyorsabban mozogna, és időnként villanna egyet, akkor két ilyen villanás által alkotott eseménypár bizonyos rendszerekből nézve egy bizonyos sorrendű lenne, de van olyan másik rendszer, melyből nézve épp az ellentétes volna a sorrend, azaz ?t előjele is rendszerfüggő lenne. Ez viszont azt jelentené, hogy a fénysebességnél gyorsabb részecske esetén az is rendszerfüggő, pályájuk melyik pontján haladnak át előbb, melyiken később, ami azért gond, mert felrúgja ez egész emberi gondolkozás egy alappillérét, az ok-okozati összefüggéseket. Egyszerű példával: ha a fénysebességnél gyorsabb tárgy egy ágyúgolyó, akkor eszerint nem lehet megmondani, ki lőtte ki kire; vagy ha egy üzenetről van szó, nem tudni, ki üzeni kinek.

A megfontolásokból olyan bizarr dolgok is kijöttek, mint a következő gondolatkísérletben: Képzeljünk el egy c-nél lassabban mozgó űrhajót, melynek tudunk rádióhullámokkal is üzenni, de onnan egy c-nél gyorsabb hullámmal üzenhetnek vissza. Megbeszéljük, hogy naponta ellenőrizzük a műszerek épségét: minden nap délben, 12:00-kor itt a Földön eldöntjük, hogy 0-t vagy 1-et "üzenünk" az űrhajónak, ahol egy automatika csak annyit tesz, hogy ugyanezt visszaküldi nekünk. Abból, hogy ugyanazt kapjuk vissza, amit küldtünk, tudjuk, hogy a műszerek működőképesek.

A probléma téridőbeli vizsgálatából kiderült, hogy ha az űrhajó is c sebességgel tud üzenetet visszaküldeni, akkor semmi probléma: elküldjük, hogy "1" 12:00-kor és mondjuk 12:07-kor visszaér a jel, hogy "1". Ellenben ha c-nél gyorsabban tudna válaszolni az űrhajó, akkor bizonyos Földhöz viszonyított sebességeknél előfordulhatna, hogy a válasz mondjuk 11:54-kor már meg is érkezik! Ez nyilvánvalóan ellentmondás: hisz ha 11:54-kor azt vesszük az űrből, hogy "0", attól még 12:00-kor akár "0"-t, akár "1"-et is küldhetünk.

Hasonlóképp: ha fénysebességnél gyorsabban lehetne utazni, akkor vissza lehetne menni a múltba, ami ugyan egy érdekes jelenség lenne, de nyilvánvaló ellentmondásokra vezetne. Ez az ötlet sok sci-fi könyv és film alapja, de ezek mind súlyos önellentmondásokba bonyolódnak. (Pl. mi van, ha valaki visszamegy a múltba és tévedésből saját nagyapja gyerekkori halálát okozza; ekkor nagyapja nem nőne fel, ő maga meg se születhetne, de akkor nem menne vissza a múltba, a nagyapa mégis felnőne, az időutazó megszületne...)

E gondolatokkal érdekes eljátszani, de a tudományos megközelítés arra vezet, hogy az ilyen önellentmondások egész gondolkozásunk alapjait rombolnák le: az ok-okozat sorrendiségét, az úgynevezett kauzalitást. Emiatt a tudományos álláspont az, hogy nem lehetséges a c-nél gyorsabb utazás vagy üzenetküldés. Ezt a következtetést a fénysebességnél gyorsabb részecskék megfigyelésére tett kísérletek sikertelen volta is megerősíti.

A Minkowski-féle téridő ezen megfontolások szerint 3 tartományra osztható, ha rögzítünk egy alappontot ("itt és most", piros pötty az ábrán):

  • Jövő: azon pontok a téridőben, melyekbe legfeljebb c sebességgel tudok üzenetet küldeni az alappontból. Ezekre tud hatással lenni bármilyen, alappontbeli történés.
  • Múlt: azon pontok a téridőben, melyekből indított, legfeljebb c sebességgel mozgó üzenet el tudja érni az alappontot. Ezen pontokbeli események tudnak hatással lenni az alappontbeli történésekre.
  • Elérhetetlen tartomány: Minden, ami nem a múlt vagy a jövő része. A téridő e pontjaira sem mi nem lehetünk hatással, sem azok ránk nem gyakorolnak hatást.

A múlt és a jövő pontjai kúpokat alkotnak a téridőben: ezeket szokás "fénykúpnak" nevezni, mert a fénysugarak ezek felületén haladnak c-vel.

Felmerülhet az emberben: miért is ennyire fontos a fény, hogyan lehet, hogy ez a jelenség ennyire meghatározó a téridő szerkezete szempontjából. Kiderült az, hogy egész máshogy kell a kérdést megközelíteni: a természet alaptörvénye a Minkowski-féle téridő-szerkezet, melyben szerepel egy c paraméter, ami a természet által megengedett legnagyobb sebesség, és ezt nem a fény határozza meg. Épp ellenkezőleg: a fény, mivel nyugalmi tömege 0, képes a legnagyobb sebességgel haladni, azaz elérni ezt a határsebességet, de a fény haladása csak "kitapogatja" a téridő által engedett korlátot. A 20. században fedeztek fel más, ilyen tulajdonságú részecskéket is, melyek közül a legismertebb a neutrínó. Ezek is 0 nyugalmi tömegűek és a mérések szerint pontosan c-vel haladnak.

5. Kísérleti bizonyítékok és tanulságok

A speciális relativitáselmélet felfedezése óta eltelt évszázad alatt számtalan kísérlet bizonyította, hogy a meglepő következtetések a téridő furcsa viselkedéséről valóban helytállóak. Minden olyan jelenség, mely a nagy sebességű mozgásokkal kapcsolatos, pontosan az elmélet által előre megmondottak szerint zajlott, ami megerősíti, hogy jó az elképzelés és a természet tényleg így működik. Itt csak címszavakban említünk meg pár kísérleti bizonyítékot, melyek az elmélet megszületése után keletkeztek:

  • Részecskegyorsítókban és a kozmikus sugárzásban a gyors elemi részecskék (elektronok, protonok stb.) esetén is kimutatták a tömegnövekedést és az időlassulást.
  • Gyors repülőkön szállított atomórák lassabban járnak, mint a felszínen hagyottak.
  • A műholdak pontos pályaszámításába a tömegnövekedés és idő más ütemű múlása is beleszámít. (GPS műholdak.)
  • A tömeg-energia egyenértékűség a magreakciókban mérhető hatásokat okoz.
  • Nem találunk c-nél gyorsabb részecskéket.

Ezek alapján kijelenthetjük: bár a relativitáselmélet olyan dolgokról beszél, melyek ellentmondani látszanak a mindennapi tapasztalatnak és a józan észnek, minden azt bizonyítja, hogy a természet alaptörvényeiről van szó. Az elméletet a GPS-rendszereknél, a katódsugárcsöves TV-készülékeknél és néhány egyéb helyen a mérnöki gyakorlat is használja, de a felfedezés menete sok elméleti tanulságot is hordoz.

Láthattuk, hogy a mechanika és az elektromágnesességtan külön-külön kiváló elméletek voltak, de együttes alkalmazásuk nagy elméleti és kísérleti problémákhoz vezetett. Ezek értelmezése során néha úgy tűnt, mintha minden a feje tetejére állna (mégiscsak áll a Föld?), de ez csak a nagy felfedezések előjele volt. Azokhoz eljutni viszont a korábbi, az évszázadok alatt elfogadott és alapigazságként kezelt tényeken történő átlépéssel volt lehetséges, ezért a fizikában készen kell állni a világról alkotott modelljeink teljes újragondolására. El kell fogadni pl., hogy a természet beépített korlátokat tartalmaz (a fény sebességénél gyorsabb kommunikációt és utazást tiltja), hogy a testek tömege egyenesen arányos energiatartalmukkal vagy hogy az energia és a lendület egy 4-dimenziós vektor komponensei, valamint hogy az olyan kézenfekvőnek tűnő fogalmak, mint az éter értelmetlenek a fizikában, ha semmiképp nem tudjuk kimérni azok hatását.