KURZUS: Fizikatörténet

MODUL: Újkori fizika

3.2. lecke: A newtoni mechanika II. / Newton utáni eredmények

Cél: A lecke célja, hogy megértsük, Newton után milyen utakon fejlődött tovább a mechanika tudománya. Megismerjük, hogy a "newtoni mechanika" valójában Leonhard Euler munkássága nyomán nyerte el mai formáját, majd bepillantás nyerünk a mechanika egy Newtonétól teljesen eltérő szemléletű, "variációs" megfogalmazásába. Végül röviden szólunk az égitestek mozgástanának Newton utáni fejlődéséről.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes önállóan:

  • 7-8 mondatban összefoglalni Euler mechanikai munkásságának legfőbb eredményeit.
  • 8-10 mondatban leírni, mi a különbség a mechanika differenciális (lokális) és variációs (globális) szemlélete között, megadni Maupertuis "minimális hatás elvét" és azt, mi a viszonya a differenciális és variációs mechanikai elveknek.
  • Röviden összefoglalni, milyen problémákon dolgoztak Newton után az égi mechanika kutatói és leírni a Neptunusz felfedezésének történetét.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 45 percre lesz szüksége.

Tevékenység:

1.Nézze meg a fiztort_09_newtoni_mechanika videót 0:35:24-től 1:02:47-ig. Ebben a részben a prezentációt a fiztort_09_newtoni_mechanika.pdf fájl 13-22. oldalai közti rész tartalmazza. A videó nézése közben a következő témák megértésére figyeljen különösen (ha szükségesnek tartja, jegyzeteljen egy füzetbe):
    • Milyen fontos eredményeket köszönhetünk a mechanikában Leonhard Eulernek?
    • Miben különbözik a mechanika differenciális (lokális) és variációs (globális) szemlélete? Milyen viszonyban állnak ezek egymással?
    • Hogyan fejlődött az égi mechanika Newton után?
2.A prezentációs fájl átolvasásával frissítse fel az előadásban hallottakat, különösen figyelve az előbbi kérdésekre.
3.Válaszoljon a lentebbi "Önellenőrző kérdések"-re. A cél most az 50%-osnál jobb eredmény elérése.
4.Olvassa el a lenti "Követelmények"-et és döntse el, képes lenne-e azok teljesítésére.
5.Ha az előző két pontban hiányosságok merültek fel, vegye elő újra a prezentációt vagy az előadás-videót.
6.Ha ismereteit mélyíteni szeretné, olvassa el Simonyi könyvéből a 4.2.2-4.2.4 fejezeteket.
Önellenőrző kérdések
1. Ki volt az a kutató, aki megadta a pörgettyűmozgás elméletét? Válassza ki a helyes megoldást!
Leonhard Euler
Isaac Newton
Pierre-Louis Maupertuis
Galileo Galilei
2. Tanultuk, hogy a mechanika variációs és differenciális megfogalmazásai matematikailag egyenértékűek. Miért van értelme mindegyikkel megismerkedni? Válassza ki a helyes megoldást!
Az állítás hamis, valójában a differenciális szemléletű megoldások mindig célszerűbbek a variációsnál, csak utóbbiakat könnyebb megérteni.
Az állítás hamis, valójában a variációs szemléletű megoldások mindig célszerűbbek a differenciálisnál, csak utóbbiakat könnyebb megérteni.
Azért, mert bizonyos feladatokra az egyik, másokra a másik szemléletű megoldást lehet könnyebben alkalmazni.
Azért, mert mindegyik feladatra csak az egyik vagy csak a másik módszer alkalmazható, így mindkettőt ismerve nő az elvben kezelhető feladatok száma.
3. Mi vezetett a Neptunusz felfedezéséhez? Válassza ki a helyes megoldást!
Az, hogy az Uránusz pályáján bizonyos torzulások csak egy addig ismeretlen bolygó vonzásával voltak magyarázhatók ezért távcsövekkel, módszeresen keresték az új bolygót, amire e keresés során esetlegesen bukkantak rá.
A felfedezés teljesen véletlenül történt.
Az, hogy az Uránusz pályáján bizonyos torzulások csak egy addig ismeretlen bolygó vonzásával voltak magyarázhatók, és ezt számítással végigkövetve pontosan sikerült a Neptunusz helyét előre jelezni.
A gravitációval kapcsolatos méréssorozatok közvetlenül kimutatták a Neptunusz gravitációs vonzását, ami megmutatta irányát, így már könnyű volt távcsővel megtalálni.
1. A Newton utáni mechanika

Az előző leckében tanultuk, hogy Newton lerakta a mechanika tudományának alapjait és számtalan sikert ért el. Sok nyitott kérdés marad még azonban az utókorra. A legfontosabbak:

  • Newton mechanikája nehezen volt használható, részben a differenciálszámítás akkori nehézkes jelölésrendszere, részben azért, mert nem jöttek még rá, hogy érdemes bizonyos fogalmakat bevezetni, melyek könnyítik a problémák megértését. (Pl. gyorsulások érintő- és sugárirányú komponensei, a perdület fogalma...)
  • Folyadékok és gázok dinamikája. Newton sejtette, hogy az áramló közegek kis részeire hasonló törvények vonatkoznak, mint amiket a bolygómozgásra alkalmazott, de a kérdést nem tanulmányozta részleteiben.
  • Kiterjedt testek dinamikája. Az előzőhöz hasonló eset, pedig pl. gépek forgó alkatrészeinek leírásához ez szükséges.
  • Ez az egyetlen helyes leírásmód? Newton elmélete helyes eredményeket ad, de a kérdéskört máshogy is meg lehet közelíteni. (Lásd még ebben a leckében a variációs elveknél.)
  • Mi a tömegvonzás oka? (Lásd az előző leckében.)

Newton mechanikájának sikere miatt annak néhány feltételezése automatikusan elfogadásra került, és sokáig senki nem is vizsgálta ezeket a kérdéseket. Ilyenek pl.:

  • Valóban állandó a testek tömege?
  • A tér és az idő valóban eleve adott színtere a testek mozgásának, vagy a mozgások befolyásolják azokat?
  • Van-e kitüntetett vonatkoztatási rendszer, egy "ős-inerciarendszer"?

Ezeket a kérdéseket majd két évszázaddal Newton után veszik elő komolyan, amikor a relativitáselméletet megalapozó kísérletek miatt újra kell értelmezni sok fogalmat.

2. Leonhard Euler mechanikai munkássága

Leonhard Euler (1701-1783) egy generációval élt Newton után. Ő már tanulmányai során találkozott a newtoni mechanikával, ami akkor igen népszerű, de nagy felkészültséget igénylő elmélet volt. Euler, aki zseniális matematikus (is) volt, alaposan tanulmányozta a témát, és számtalan újítást alkalmazott, amivel használhatóbbá tette a mechanika tudományát. Eredményeit részben másokkal közösen érte el, vezető szerepe azonban megkérdőjelezhetetlen a következő témákban:

  • A differenciál- és integrálszámítás modern jelölésrendszerének kidolgozása. Pl. ő vezette be a mai "df/dx" típusú jelölést, amivel a számítások sokkal áttekinthetőbbekké váltak. Euler e témában írt műveinek jelölését a mai egyetemek "Analízis" kurzusait elvégző emberek megértenék, ugyanez Newtonról nem mondható el.
  • Sok alapfogalom pontosítása, pl. tömegpont, erő-ellenerő, érintő menti gyorsulás, stb. Ezek segítettek a bonyolult feladatok megértésben, kezelésében.
  • A Newton-törvények mai alakjának felírása. Euler írta le az "F=m a" összefüggést, amit saját eredményének tartott. Igaz ugyan, hogy ez egyenértékű a newtoni " Δ(m v ¯ ) = F ¯ Δt "-vel, de könnyebben használható a problémák megoldásában és matematikailag is precízebben értelmezhető. Érdekes, hogy az utókor az "F=m a"-t Newtonnak tulajdonítja. Kétségtelen az ő érdeme az újszerű mechanika alapjainak lerakása, de igazságosabb lenne a törvényt "Newton-Euler-törvény"-nek hívni. Az elnevezés azonban túlságosan elterjedt, így nehéz lenne megváltoztatni.
  • Folytonos közegek mozgásának alapegyenletei. A súrlódásmentes gázok dinamikai egyenletét azóta is "Euler-egyenletnek" nevezik. Ennek felírásában az az alapgondolat vezérelte, hogy a kiterjedt közeget kis részekre lehet osztani, melyek mozgása a tömegpont mozgásával közelíthető.
  • A merev testek mozgásának leírása. Eulernek köszönhetjük a tehetetlenségi nyomaték fogalmát, a pörgettyűmozgás leírását, a forgómozgást végző tárgyak (pl. gépalkatrészek) elméletét.

Összességében elmondható, hogy Euler volt az, aki Newton elméletét igazán használhatóvá tette, megnyitva ezzel az utat a bonyolultabb problémák tanulmányozása felé.

3. Variációs elvek a mechanikában

A newtoni mechanika szemlélete differenciális vagy lokális szemlélet. A testek mozgása mögé a következő mechanizmust lehet elképzelni:

1.A testnek egy időpontban van helye, sebessége.
2.Egy kis idő alatt a test közel e pillanatnyi sebességnek megfelelően halad tovább: helye megváltozik.
3.A testre ható erők eredője meghatározza a gyorsulást, és ennek megfelelően a test sebessége is megváltozik.
4.Folytassuk az 1. ponttól.

A mozgás tehát a newtoni szemléletben pontról- pontra dől el, a mostani mozgáshoz helyről-helyre (lokálisan) hozzáadódó kis változások (differenciák) alakítják.

Felvetődik viszont a mozgástörvények egy másik lehetséges csoportja: a variációs vagy globális szemlélet lehetősége. Ez nem a fentihez hasonló pontról-pontra történő változást feltételez, hanem azt gondolja, hogy a természet számba veszi azt, milyen pályákon, milyen ütemezésben juthat el a test a mozgás kezdő és végpontja között, és eme végtelen sok lehetőség közül a számára legmegfelelőbbet választja, és ezen fog mozogni. A "legmegfelelőbb" az valamilyen mennyiségnek a mozgás során történő összegzésének minimumát vagy maximumát jelenti.

A két szemlélet gyökeresen különbözik egymástól. Az ember a lokálisat tartja természetesnek, és első pillanatban hihetetlennek tűnik, hogy a testek mozgására létezik helyes eredményt adó variációs elv. Pedig ilyen van, méghozzá több is.

Az első variációs jellegű mechanikai törvényt Pierre-Louis Maupertuis (1698-1759) írta fel az 1740-es években. Ö eredetileg a fényre fogalmazta meg, hogy annak mozgása során az út mentén összeadott sebesség-abszolútértékek összege. Ez Euler munkája nyomán nyerte el végleges alakját, melyet pontszerű testek mozgására is lehetett alkalmazni, ha a test összenergiája megmaradt. Ily módon a Maupertuis-elv szokásos felírása:

Azaz P1 és P2 pontok között a test a végtelen sok lehetséges pálya közül azt választja, melyen az mv mennyiség integráljának (összegzésének) szélsőértéke van.

Maupertuis eredménye után több variációs szemléletű mechanikai törvény is született, pl. a D'Alambert-elv, vagy a Hamilton-elv. Utóbbi alakja:

ahol konzervatív erők esetén L a mozgási és helyzeti energia különbsége.

Ezek a variációs elvű mechanikai elméletek matematikailag túl bonyolultak ahhoz, hogy részleteikben tárgyaljuk őket, de történeti szerepük miatt pár dolgot meg kell említeni róluk.

Bebizonyosodott, hogy érdekes módon ezek a variációs elvek egyenértékűek a Newton-törvényekkel abban az értelemben, hogy ha mindegyiket meg lehet oldani egy probléma esetében, akkor ugyanazt az eredményt adják. Mégis van értelme annak, hogy egy képzett mechanikával foglalkozó ember mindegyiket ismerje, mert bizonyos problémák az egyik, mások a másik szemlélettel kezelhetők hatékonyabban. Pl. a súrlódást, közegellenállást is tartalmazó (nem konzervatív) problémák a newtoni, differenciális, a kényszerfeltételként görbe felszíneket vagy vonalakat tartalmazó problémák pedig a variációs szemlélettel kezelhetők jól.

A mechanikai alaptörvények ezen gazdagsága azonban egy fontos problémát vet fel: a fizika vajon megmondja a törvények okát vagy sem? Hiszen a differenciális és a variációs szemléletű elméletek teljesen más mechanizmust sugallnak, ami a természetet "működteti". Előbbi szerint a mozgás során mindig a pillanatnyi körülmények a meghatározók, a jövőbeli helyzet és sebesség nem számít, utóbbiban viszont a természet mintegy optimumszámítást végez, melyben az egész mozgást figyelembe veszi, azaz a mostani mozgásra a későbbi, távolabbi körülmények is kihatnak. Filozófiailag ez a "ható ok" és a "cél-ok" közti különbséggel írható le.

A kérdéskör boncolgatása meghaladja tárgyunk kereteit.

Az bizonyos, hogy egy generációval Newton differenciális szemléletű mechanikai elmélete után megszületett a variációs szemléletű mechanika is, ami bizonyos problémakörben a newtoninál jobban használható eszköznek bizonyult. Ez az új szemlélet több modern fizikai meggondolás alapjául szolgált a 19-20. század fordulója környékén, pl. jelentős szerepet kapott a kvantummechanika megalapozásában.

4. Az égi mechanika Newton után

Láthattuk, hogy a bolygómozgás alapvető elméletét Newton megadta. Kiderült azonban, hogy az egymást is vonzó bolygók Nap körüli mozgásának pontos leírása nem olyan egyszerű.

  • Az elméleteknek igen pontosnak kellett lenniük, hogy az egyre jobb távcsöves megfigyelések pontosságát elérjék.
  • Jó lenne megmondani, hosszú távon stabilak-e a bolygópályák, azaz évezredes vagy nagyobb időskálán nem nő vagy csökken-e a földpálya átlagos mérete.
  • Hogyan lehet megoldani a fordított problémákat, azaz ha ismerünk egy újonnan felfedezett bolygóról néhány irány-adatot, akkor ebből hogyan mondható meg a bolygó pályája, vagy ha ismerjük egy bolygó pályájának torzulásait, hogyan mondjuk meg, hogy azt milyen pályán haladó bolygó okozza?

A problémakört számos neves matematikus, fizikus és csillagász tanulmányozta, pl. Carl Friedrich Gauss, Urbain Jean Joseph Le Verrier, Pierre Simon Laplace. A sok eredmény közül csak egyet említünk meg részletesen: a Neptunusz felfedezését.

A csillagászok az ókorban is ismert 6 bolygó (köztük a Föld) mellé találtak egy hetediket, az Uránuszt. (1781, William Herschel) Ez a felfedezés a véletlen műve volt. Az új bolygó pályáját alaposan tanulmányozták a csillagászok, és csakhamar kiderült, hogy a többiekhez hasonlóan ellipszispályán mozog, mely a többi bolygó vonzásának hatására folytonos torzulásokat szenved el. E pályatorzulások már ismerősek voltak a csillagászoknak és csakhamar meg is magyarázták nagy részüket az ismert többi bolygó hatásával, de volt maradék is: bizonyos torzulásokra nem találtak okot. Felvetődött, hogy egy addig ismeretlen, további bolygó az ok, de igen nehéz volt kiszámítani, milyen tömegű és pályájú az a bolygó, ami épp ezt a torzulást okozza. Le Verrier azonban több évi számítás után (kézzel, táblázatokkal számolt!) mégis megoldotta a problémát és megadta az ismeretlen bolygó pálya-adatait. Számításai végeztével, 1846-ban azokat közölte azokat egy megfigyelő csillagásszal, Johann Gottfried Galle-lal, aki kb. 1 órai keresés után, a jelzett pozíciótól kevesebb, mint 1 foknyira meg is találta az új bolygót, amit később Neptunusznak neveztek el.

Ez a felfedezés a newtoni mechanika hatalmas sikerét jelentette: bebizonyította, hogy nemcsak a már ismert jelenségek magyarázatára, hanem addig ismeretlen bolygók felfedezésére is alkalmas. Ezzel egész más szintet képvisel, mint sok leíró tudomány, de különösen más a szintje, mint az áltudományoknak. A Neptunusz felfedezése után joggal lehetett az asztrológiában hívőknek szegezni: ha a bolygók valóban hatnak a jellemekre és a sorsokra, akkor miért nem az asztrológia találta meg a Neptunuszt (és az Uránuszt). Ha tényleg van hatásuk, akkor felfedezésük előtt látni kellett volna, hogy a számítások és a megfigyelések eltérnek, és az eltérésből még akár közelítő pozíciót is kellett volna tudni mondani. Ez a siker azt sugallta, hogy a newtoni mechanika valóban megtalált valamit a természet alaptörvényeiből, nemcsak a megfigyelések egyszerű összegzését jelenti.

E sikerek hatására a korábban kritizált "távolbahatást'" mindenki tényként fogadta el, azaz már nem keresték a közvetítőt, ami a testek gravitációs vonzását okozza, hanem elfogadták, hogy a testeket valamilyen láthatatlan "gravitációs tér" veszi körül. Ez a fizikai tér-szemlélet igen jelentősen segítette az elektromos és mágneses kölcsönhatások megismerését, azoknak terekkel történő leírását.