KURZUS: Fizikatörténet
MODUL: Az ókor természettudománya
1.3. lecke: Ókori matematika I. / A számfogalom és a számírás
Önellenőrző kérdések | |||||||||
1. Milyen kapcsolatot fedeztek fel a pitagóreusok a racionális számok és a zenei összhangzás között? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() | |||||||||
2. Ha egy ókori görög írásban elárulják egy ember nevének számértékét, akkor ebből biztosan kitalálható-e az illető neve? Miért? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() | |||||||||
3. Egy babilóniai ékírásos táblán az alábbi számot olvashatjuk (mai betűkkel közelítve az ékírásos jeleket): "| <<|||". Mi az a legkisebb egész szám, amit ez leírhat? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() | |||||||||
4. Az egyiptomi számjelölés 10-es alapú volt, a babilóniai kevert 10-es és 60-as jelölés. Mégis azt mondjuk, hogy a babilóniai jelölés a közelebbi őse a mai számjelölésnek. Miért? Válassza ki a helyes megoldást!
![]() |
1. A számfogalom kialakulása | ||
A számok megjelenése a történelemírás előttre nyúlik vissza. Nyilvánvaló, hogy a legősibb időkben is hasznos volt pl. csoportok létszámát ismerni, hisz ez a törzs munkamegosztásának, egy vadászat tervezésének vagy a kialakuló eszközkészítésnek hasznos segítséget adott. Így a "természetes számok" fogalma feltehetően sok helyen, egymástól függetlenül, a csoportok leszámlálásával kapcsolatban alakult ki. A leszámlálás tényéből adódóan a 0 és a negatív számok nem szerepeltek az ókori számok között. | ||
A mai "racionális szám"-hoz hasonló fogalom megjelenésének helye és ideje sem ismert, mert pl. az osztozkodási problémáknál az ősidőkben is felmerülhetett az igény ezek használatára, így valamilyen módon, különböző jelölésekkel minden ókori nagy kultúra tudta kezelni a "hogyan osszunk szét 7 lepényt 4 ember közt úgy, hogy mindenki ugyanannyit kapjon" jellegű problémákat. A görög filozófusok különösen kedvelték azokat a mennyiségeket, melyek két egész szám hányadosaként állíthatók elő, és ismerték az ezekkel való műveletvégzés szabályait. Arra törekedtek, hogy minden mennyiséget két egész szám hányadosaként írjanak fel, ezért okozott zavart, amikor Pithagorasz filozófiai iskolájának egyik tagja felfedezte, hogy néhány egyszerűen megrajzolható geometriai alakzat oldalaránya nem fejezhető ki két egész szám hányadosával. Az ilyen számokat "alogosz", azaz "érthetetlen", "kifejezhetetlen" névvel illették, és ez a jelentés a mai, latin átiratban "irracionális" szó jelentésében is benne van. Hogy ezt jobban megértsük, kicsit általánosabban is beszélni kell Pithagorasz filozófiai iskolájáról. | ||
2. A pitagóreusok | ||
Pithagoraszt (i. e. 582-496?) mindenki a máig is használt Pithagorasz-tételről ismeri, ami valóban egy alapvető fontosságú tétel, de a nagy görög filozófus tevékenysége igen szerteágazó volt. Nem is elegendő magát a személyt tanulmányozni, mert az általa alapított filozófiai iskola sok évszázadon keresztül működött és számtalan jelentős eredményt ért el a természettudományok területén, de voltak politikai és vallási dimenziói is. Sajnos a pitagóreusok zárt közösségként működtek, így ma nincs teljes körű ismeretünk arról, meddig is jutottak egy-egy téma megismerésében és arról, pontosan ki is tett egy-egy nagyobb felfedezést közülük. | ||
A pitagóreusok egyik fő alapelve: "A dolgok lényege a szám". Ez azt jelenti, hogy mindenütt a számszerű összefüggéseket keresték, ez által kívánták a világot megérteni. E hozzáállás a természettudományok szempontjából igen gyümölcsözőnek bizonyult. | ||
A pitagóreusok által tanulmányozott főbb matematikai témakörök: számok oszthatósági kérdései, prímszámok, a számok geometriai jelentésének tanulmányozása, geometriai alakzatok osztályozása, egyéb geometriai eredmények. Nem álltak meg a téma elméleti tárgyalásánál, hanem a természetben is a számok által képviselt rendet keresték. Így bukkantak rá pl. a zeneelmélet egyik alapösszefüggésére. Azonos anyagú és feszítettségű húrokat pengetve arra jöttek rá, hogy két húr akkor ad egymással harmóniában levő hangot (azaz akkor kellemes az emberi fül számára a két hang egyszerre megszólaltatása), ha hosszaik aránya kis számlálójú és nevezőjű racionális számként fejezhető ki. Mai tudásunk szerint is pontos ez az eredmény és a mai zenében is a hangtávolságok racionális számokkal vannak kifejezve, pl. az oktáv 1:2, a kvint 2:3, a kvart 3:4, ... frekvencia-arányt jelent. (A húrokat feszítő erő és a harmonikus összecsengés közt pedig a négyzetszámoknak megfelelő arányosságot találtak.) | ||
A számok geometriai jelentését keresve tanulmányozták a testek szimmetriáit, a szabályos testeket, az elemi egységekből kirakható szabályos síkidomok darabszámának összefüggéseit (pl. négyzetszámok). Az volt az elképzelésük, hogy a testek nem oszthatók a végtelenségig hanem létezik egy igen kicsi egység, melyből, mint építőkőből összerakhatók a testek, így mindenképp egész számok arányaként írhatók fel az oldalhosszak. | ||
Ezt az elképzelést zúzta szét az, hogy felfedezték: egyszerű alakzatokban is vannak oldalak, melyek hosszainak aránya nem fejezhető ki racionális számokkal. Történetileg vitatott, melyik alakzat oldalairól bizonyították ezt be először (talán a szabályos ötszög átlójának és oldalának arányáról), de legegyszerűbb a gondolatmenetet az egységnégyzet átlójára végigvinni. Ez a bizonyítás részletesen szerepel a videón (és Simonyi könyvében is), ezért itt terjedelmi okokból nem írjuk le. | ||
Az irracionális számok létének felfedezése sok görög filozófust "sokkolt" és többekben megingatta a világ megismerhetőségébe vetett hitet. Praktikus szempontból ez oda vezetett, hogy a görög tudósok inkább fordultak a geometria, semmint a számok felé és tervezési módszereikben is a szerkesztést részesítették előnyben a számításokkal szemben. | ||
3. A számírás kialakulása | ||
A legősibb számjelölés egyszerű "strigulázás" jellegű és sok őskori leleten látjuk ennek nyomait. Az "annyi vonalkát húzunk, amekkora számot le akarunk írni" megközelítés azonban nyilvánvalóan nehézkes, ezért a történelem előtti időkben is sokszor használtak külön jelet számcsoportokra. Nagyon gyakran ez egy "tíz" értékű jel volt, ami nyilvánvalóan az emberi kéz ujjainak számát fejezi ki, így az ősi számjelölésekben a tízes csoportosítás mindig kiemelt szerephez jut. Nem szabad azonban ezt a mai tízes számrendszerrel keverni, ami csak a középkorban nyerte el ma használt alakját. Az ókorban több jelölésrendszert is alkalmaztak, ezek mindegyikének megvolt a maga előnye és hátránya. | ||
| ||
Az egyiptomi számírás egyik, gyakran használt változata az előbbi folyamat logikus folytatása volt: az "egy" jele 1 pálcika, a "kettő"-é 2 pálcika, ... a "kilenc"-é 9 pálcika, de a "tízre" egy külön jel szolgált. Így pl. a negyvenkettőt 4 darab tízes és 2 darab egyes jelként jegyeztek le az egyiptomiak. Hasonlóképp külön jele volt a száznak, ezernek, tízezernek, százezernek és egymilliónak. Ezekkel a mai 10-es számrendszeren nevelkedett ember hamar megtanul összeadni, kivonni, de a szorzást elbonyolítja a sok különböző jel létezése: külön kell megtanulni, hogy a tíz jelét az ezer jelével szorozva a tízezres jelet kapjuk, ugyanúgy, mint a százszor száz esetében stb. | ||
Az egyiptomiaknak külön jelölésük volt a mai reciprok fogalomra, és ennek segítségével fejeztek ki racionális számokat. | ||
| ||
A görög számjelölés a betűk számértékén alapult. A görög ABC minden betűjéhez számértéket rendeltek, mely értékek a 10-es alapszámot tükrözték (1, 2, 3, ..., 9, 10, 20, 30, ..., 90, 100, 200, ..., 900) és egyszerűen összeadták az egymás után írt betűk számértékét. Használtak még módosítókat, pl. a betű elé írt vessző 1000-szeres szorzót jelentett. E jelölés sokkal kompaktabb volt az egyiptominál, de már összeadni is sokkal bonyolultabb volt a göröggel, a szorzás pedig összehasonlíthatatlanul több időbe került. Ráadásul a jelölés nem is egyértelmű: ugyanaz a szám igen sok betűkombinációból kijöhetett. Ezt a többértelműséget a görögök szerették fejtörőkre, titkos utalásokra és számmisztikai megfontolásokra felhasználni. E jelölés szerint ugyanis minden szónak van számértéke, és ez számmisztikai megfontolások kiindulópontja lehet. Elterjedt volt pl. emberek nevének számértékét kiszámolni és e szám tulajdonságai alapján következtetni az ember jellemére, sorsára. Az ilyen dolgokra való utalásokkal a mai napig sok helyütt találkozunk. | ||
Ez a számjelölés tökéletesen megfelelt a hétköznapokban előforduló nagyságrendeknél, de Arkhimédész egy speciális, igen nagy számok jelölésére is alkalmas módszert is kifejlesztett. Ezzel (mai jelöléssel leírva) 1063 nagyságú számokkal is számolt egyik művében. | ||
| ||
A mezopotámiai (babilóniai) ékírásos számjelölés 1 és 59 közt igen hasonló az egyiptomihoz: az "egy" egy pálcika, a "tíz" egy speciális jel (ami igen hasonlít a mai "kisebb" jelre) és ezekkel könnyű számokat leírni. A 60-at azonban nem 6 db "tízes" jellel jelölték, hanem csak egy "egyes" jelet írtak le és észben tartották, hogy 60-asból van 1 darabunk. A 61 így két, kis távolságban levő "egyes" jel (vonal) lett, a 70 pedig egy "egyes" után egy "tízes". Felismerhetjük, hogy a mai tízes alapú helyiértékes jelöléshez hasonlít ez a gondolkozás: egy jel értékét az is meghatározza, hogy a sok számjegy közt hol helyezkedik el; minden helynyi előrelépés 60-szoros szorzót jelentett. Úgy is mondhatjuk, hogy az ékírásos számjelölés 10-es rendszerben felírt jelcsoportokat használt számjegyként egy 60-as alapú helyiértékes jelöléshez. A 60-as rendszer nyomai a mai napig itt élnek velünk az óra/perc/másodperc illetve fok/perc/másodperc jelölésben. | ||
Érdekes, hogy az ékírásos jelölésben igen sokáig nem jöttek rá a "nulla" jegy használatának szükségességére. Ez némi nehézséget okozhatott a számításokban: mindig tudni kellett, mekkora számokkal is dolgoznak és figyelni kellett az üresen hagyott részek méretére. Végül az i. e. 4. század környékén megjelent egy jel, mint helykitöltő, amit a "0" előfutárának tekinthetünk. Bár ez az ékírásos számírás első pillantásra nehézkesebbnek tűnhet a görög vagy az egyiptomi jelölésénél, könnyű belátni, hogy összeadni, kivonni igen egyszerű e jelöléssel, de a szorzás sem bonyolult: az egyre nagyobb nagyságrendekkel való számolás nem igényli újabb számjegyek és az azokkal végzett műveletek megjegyzését, csak a szorzatok megfelelő helyre történő csoportosítását, hasonlóan ahhoz, ahogy ma is szorzunk a tízes helyiértékes rendszerben. | ||
A leletek alapján úgy tűnik, hogy a babilóniaiak jól tudtak számolni e jelölésekkel. Találtak pl. egy kőbe karcolt négyzetet, melynek átlójára egy 4 db 60-as rendszerbeli jelcsoportból álló szám volt felírva, ami az ábrázolási pontosságig az egységnégyzet átlójának hosszát adta meg. (Mai jelöléssel ez 7 tizedesjegy pontosság!) Úgy tűnik, a mezopotámiai kultúrkörben nem merült fel a fentebb említett probléma a négyzet átlójának irracionális voltával kapcsolatban: ekkora pontossággal ki tudták annak hosszát fejezni és ez minden gyakorlati célra bőven megfelelő volt nekik. | ||
A tízes alapszámú helyiértékes jelölés jelen tudásunk szerint Arkhimédésznél merült fel először az i. e. 3. században, de teljes kidolgozása az indiai matematikusokra várt, majd arab közvetítéssel Európába jutva a középkorban nyerte el mai formáját. |