KURZUS: Fizikatörténet

MODUL: Fizika a középkorban

2.2. lecke: Középkori matematika

Cél: A lecke célja, hogy röviden megismerkedjünk azokkal a legfontosabb középkori matematikai felfedezésekkel, melyek egyik alapját képezik a természettudományok középkor végén kezdődő ugrásszerű fejlődésének. Kiemelt cél a mai tizedestörtes számjelölés, a trigonometrikus függvények, az egyenletek és a módszeres problémamegoldás kialakulásának megértése.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes önállóan:

  • Felvázolni azt az utat, ami az ókori ékírásos helyiértékes jelöléstől a mai tízes számrendszerű számíráshoz vezetett. (Főbb állomások helyszínnel és közelítő időponttal, mindegyik esetén 2-3 mondatos összefoglalóval.)
  • 3-4 mondatban ismertetni, hol alakultak ki a mai szögfüggvények .
  • 8-10 mondatban ismertetni al Khwarizmi "Hiszab al-dzsebr w'al mukabalah" című művének szerepét a mai egyenletrendezés és a módszeres problémamegoldás kialakulásában.
  • Röviden összefoglalni, miért volt fontos a technikai és tudományos haladás szempontjából az egyenletrendezés és az algoritmikus gondolkozás megjelenése.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 50 percre lesz szüksége.

Tevékenység:

1.Nézze meg a fiztort_06_kozepkori_matematika videót (kb. 35 perc). Ebben a részben a prezentációt a fiztort_06_kozepkori_matematika.pdf fájl tartalmazza (13 oldal). A videó nézése közben a következő témák megértésére figyeljen különösen (ha szükségesnek tartja, jegyzeteljen egy füzetbe):
    • Hogyan alakult ki a mai tízes számrendszerű helyiértékes számírás? Miért nagy ennek a jelentősége?
    • Hogyan alakultak ki a mai szögfüggvények?
    • Az egyenletrendezés és a módszeres problémamegoldás megjelenése.
2.A prezentációs fájl átolvasásával frissítse fel az előadásban hallottakat, különösen figyelve az előbbi kérdésekre.
3.Válaszoljon a lentebbi "Önellenőrző kérdések"-re. A cél most az 50%-osnál jobb eredmény elérése.
4.Olvassa el a lenti "Követelmények"-et és döntse el, képes lenne-e azok teljesítésére.
5.Ha az előző két pontban hiányosságok merültek fel, vegye elő újra a prezentációt vagy az előadás-videót.
6.Ha ismereteit mélyíteni szeretné, olvassa el Simonyi könyvéből a 2.3.1-2.4.1 fejezeteket.
Önellenőrző kérdések
1. Hol kezdték el módszeresen használni a 0 számjegyet és fedezték fel a vele való műveletvégzés szabályait? Válassza ki a helyes megoldást!
Bizáncban.
Az Arab Birodalomban.
Indiában.
A Német-Római Császárság területén.
2. Honnan ered az, hogy az órát ma is 60 percre, azt meg 60 másodpercre osztjuk be? Válassza ki a helyes megoldást!
A mezopotámiai számjelölésből.
Az arab matematikusok találták ki.
Az egyiptomi tudósoktól.
Bibliai alapja van: az ószövetségi zsidóság találta fel ezt.
3. Kik készítették az első, sok jegyre pontos szögfüggvény-táblázatokat a mai szögfüggvényekről? Válassza ki a helyes megoldást!
Kepler és Napier.
Az ókori görögök.
A 19. századi német matematikusok.
Az arab matematikusok.
4. Miért ered az "algoritmus" szó al Khwarizmi nevéből? Válassza ki a helyes megoldást!
Azért, mert al Khwarizmi híres könyvében írja le a módszeres, lépésről lépésre történő problémamegoldás módszerét, amiből a mai algoritmus fogalmunk kialakult.
Az állítás nem is igaz: az "algoritmus" szó és "al Khwarizmi" neve csak véletlenül hasonlít egymásra.
Azért, mert al Khwarizmi híres könyvén keresztül ismertük meg a tízes helyiértékű számjelölést (arab számok) és ez lett később az algoritmusokat lefuttatni tudó számítógépek alapja.
Azért, mert al Khwarizmi már egyszerű számítógépet is szerkesztett, melyeken programokat, "algoritmusokat" futtatott.
1. A tízes számrendszer (tíz alapú helyiértékes számjelölés) története

Az ókori matematikai eredmények ismertetésénél láttuk, hogy a többféle számjelölés közül a mezopotámiai, 60-as helyiértékés alapú tűnt olyannak, ami a leginkább alkalmas nagy számokkal való számolásra. Igaz, a nagy alapszám és a "0" számjegy használatának hiánya kicsit nehézkessé tette ezt a módszert, de már Arkhimédész megsejtette, hogy 10-es alapon ugyanez az ötlet sokkal használhatóbb lenne. Ezt azonban Indiában dolgozták ki részletesen az i. sz. 2. és 7. század között.

Az indiai matematikusoknak (pl. Brahmaguptának) köszönhetjük a 0 számjegy használatának módszeres bevezetését. A 0 számjegy és a tízes alapszám használata nagy mértékben gyorsította a számításokat. Ezzel éltek is az indiai matematikusok, pl. csillagászati számításaik során.

Indiában rájöttek arra, hogy a "0"-t nem csak mint helykitöltőt kell értelmezni, hanem mint egy valódi számot, amivel műveletek végezhetők, még ha ezek többnyire igen egyszerű eredményre vezetnek. Ugyancsak Indiában fedezték fel a negatív számok és a végtelen fogalmát, nagyot tágítva ezzel az ókori számfogalmon. A görögöktől eltérően az indiai matematikusoknak nem okozott elvi problémát az irracionális számokkal való számolás sem.

Indiából az arab matematikusok vették át a tízes helyiértékes számjelölés ötletét, akik sok számításban használták, és felvetették, hogy a törtek jelölésére is ki kell terjeszteni a 10-es alapot. Addig ugyanis a törteket "perc", "másodperc", "harmadperc" stb. módon jelölték, azaz itt még egy ideig megmaradt a 60-as alapszám.

Mai formáját az 1500-as évek végén, Napier és Kepler munkája nyomán nyerte el a tízes számrendszer. Ők már teljesen a mai értelemben használták a tizedes törteket, csak abban nem sikerült egységesen megállapodniuk, hogy vesszővel vagy ponttal válasszák el az egészrészt a törtrésztől. (Ez a kettősség azóta is okoz sok bosszankodást, amikor valaki mondjuk angolok által készített Excel táblát olvas be magyar verziójú programba.)

A számjelölés itt vázolt fejlődése igen fontos volt a tudomány szempontjából. A mai tizedestörtes jelöléssel egységnyi idő alatt 10-szer vagy akár 100-szor annyi műveletet lehetett elvégezni, mint az ókori jelölésekkel. Sok felfedezés, pl. Kepler bolygópálya-számításai nem is tudott volna elkészülni ilyen nagy számítási sebesség nélkül.

A számjelölés áttekinthető, egyszerű volta megnyitotta az utat a mechanikus számolóeszközök (pl. az abakusz) és az egyszerű mechanikus számológépek előtt, valamint a szemléletet is formálta, mert azt sugallta, hogy a számok egy egyszerű, áttekinthető rendszert alkotnak. Az, hogy az alapműveletek elvégzése egyszerűbbé vált, megalapozta a bonyolultabb függvények, pl. a logaritmusfüggvény felfedezését és használatát is.

Valójában egyszerű technikai részletkérdés, de érdemes egy ábra erejéig megnézni, hogyan alakultak a számjegyek az egyes kultúrákban. Ezt mutatja be a mellékelt ábra. Látható, hogy bizonyos számjegyek már a brahmi írásban is hasonlóak voltak, mint a maiban, de vannak teljesen eltérő jegyek is.

2. A szögfüggvények kialakulása

Az ötlet, hogy a különböző szögekhez bizonyos speciális alakzatok oldalarányát rendeljük, már az ókori Görögországban felmerült. Igaz, ott nem a mai szinusz, koszinusz, stb. függvények bevezetéséről volt még szó, hanem az adott szöghöz tartozó húrhossz és ívhossz arányáról. Az ilyen jellegű számítások elterjedését azonban akadályozta a nehézkes számjelölés, ezért nem véletlen, hogy a tízes számrendszer kifejlesztésével váltak igazán hasznossá az efféle számítások és táblázatok.

A mai szinusz és koszinusz függvények Indiában bukkantak fel először, majd az arab matematikusok fejlesztették tovább és alakították ki lényegében a maival megegyező rendszerüket. Ők nemcsak további függvényeket adtak a rendszerhez (tangens, cotangens...), hanem ezek közti összefüggéseket is felfedeztek, pl. a sin( 3α )=3sinα4 sin 3 α egyenlőséget, több addíciós tételt, de a szögfüggvényekkel kapcsolatos végtelen sorfejtésekkel is foglalkoztak. Ezek a vizsgálataik nemcsak elméleti jellegűek voltak: építési tervezési feladatoknál, csillagászati és földmérési problémáknál aktívan használták is e tudást. A kor előrehaladtával egyre pontosabb szögfüggvény-táblázatokat készítettek, melynek csúcsaként a 15. században már 9 tizedesjegy pontosságú, 1' felbontású táblázatok álltak elő.

A szögfüggvényeket az araboktól vette át Európa, és használta szintúgy tervezési, földmérési és csillagászati feladatokban. Ma már azt is tudjuk, hogy ezek a függvények később számtalan téren nyertek fontos alkalmazást, pl. a rezgőmozgások és a váltóáramú körök leírásánál vagy a hullámtani jelenségek matematikai modelljénél. Mindezeket a problémák kezelhetetlenek lennének a középkorban kialakult szögfüggvények nélkül.

3. Algebra és algoritmus

A tudománytörténet egyik legjelentősebb, mégis a szélesebb közönség által kevésbé ismert műve egy Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi (790-840) nevű tudós "Hiszab al-dzsebr w'al mukabalah" című könyve. Ebben a szerző egyrészt összefoglalást adott sok addigi matematikai felfedezésről, így pl. leírta a tízes számrendszerű jelölés és az abban való műveletvégzés szabályait. E könyvet olvasták később Európában, így jutott el oda a tízes számrendszer, és ez az oka, hogy a mai napig "arab számoknak" hívjuk számjelölésünket.

Al-Khwarizmi művében azonban egészen újszerű dolgok is megtalálhatók. Az egyik ezek közül a mai egyenletrendezési szabályok megjelenése. Bár ebben a korban még nem volt a mai szimbolikus "3x+1=10x-8" jellegű tömör jelölés, szövegesen igen hasonló formára hozták a megoldandó problémákat ("Az ismeretlen mennyiség háromszorosához ha egyet adunk, az ugyanannyi lesz, mint ha az ismeretlen mennyiség tízszereséből nyolcat vonunk ki.") Erre pedig a mai egyenletrendezési szabályokat használta al-Khwarizmi, azaz pl. "Az egyenlőség mindkét oldalából ugyanazt a mennyiséget szabad elvennünk.", "Az egyenlőség mindkét oldalát szabad ugyanazzal a mennyiséggel elosztanunk.", stb. Ezzel a módszerrel másodfokú egyenleteket is meg tudott oldani, de némely harmadfokú egyenlet közelítő megoldása is kezelhető volt.

Ezekre a rendezési eljárásokra "al-dzsebr" kifejezéssel hivatkozott (ez a könyv címének is része), ami a "dolgok helyükre tételét" jelentette. Innen származik a mai "algebra" szavunk, mely a matematika e témakörrel foglalkozó ága.

Az algebra megszületésén kívül a módszeres problémamegoldás, az algoritmikus gondolkozás eredetét is e könyvhöz köti a tudománytörténet: az "algoritmus" szó egyszerűen "al-Khwarizmi" nevének torzításából származik. Al-Khwarizmi ugyanis nemcsak szabályokat adott az egyenletrendezésre, hanem már a probléma felírását is igyekezett szabályokba foglalni és az egyenletrendezés célszerű módját is tanította. (Gyűjtsük egyik oldalra az ismeretlent, a másik oldalra az ismert tagokat...)

Az algoritmikus gondolkozás sokkal több probléma megoldását tette lehetővé, mint a görögök intuitív hozzáállása. Az ilyen felfogás jobban tanítható is, és a mai iskolákban is használjuk ezt a felfogást a feladatmegoldásban. Enélkül sok probléma csak zseniális megérzésekkel lenne megoldható, azaz sokkal kevesebb ember lenne képes ilyen problémák kezelésére és az igazán összetetteket (mondjuk egy háromismeretlenes egyenletrendszert) senki sem tudná megoldani.

Nagyobb távlatban gondolkozva azt mondhatjuk, hogy az algoritmikus gondolkozás a mai számítástechnikai és informatika alapja is.

4. Egyéb eredmények

Idő hiányában csak felsorolásszerűen említünk meg pár további fontos felfedezést a középkori matematika eredményei közül.

  • Harmadfokú egyenletek pontos megoldása.
  • Képzetes számok.
  • Mai egyenletírási forma.
  • Pontos térképészeti eljárások.
  • Függvény-grafikonok (ld. később).

Mindezek azt mutatják, hogy a középkori matematikai eredmények alapvető fontosságúak voltak. Nélkülük nem jött volna létre az a robbanásszerű fejlődés a tudományban, ami az 1500-as évek végén kezdődött.