KURZUS: Fizikatörténet

MODUL: Újkori fizika

3.1. lecke: A newtoni mechanika I. / Newton eredményei

Cél: A lecke célja, hogy megértsük, milyen előzmények után és milyen formában történt a mechanika alaptörvényeinek felfedezése, és milyen addig nyitott kérdéseket oldott meg ezzel a felfedezéssel Isaac Newton. Külön kiemeljük az általános tömegvonzási törvény felfedezését és jelentőségét.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes önállóan:

  • 4-5 mondatban összefoglalni, miért volt fontos a differenciál- és integrálszámítás felfedezése a newtoni mechanika megalapozásához.
  • Felírni mai jelölésekkel Newton eredeti mozgástörvényét és megmagyarázni, miért ebben az alakban írta ő fel azt, és hogy ez miért egyenértékű ez a mai "F=m a"-val.
  • 8-10 mondatban ismertetni Newton általános tömegvonzási törvényét, felsorolni a segítségével megoldott problémákat és azt, miért próbálkoztak Newton és kortársai e törvény megindoklásával, a mögötte levő mechanizmus feltárásával.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 45 percre lesz szüksége.

Tevékenység:

1.Nézze meg a fiztort_09_newtoni_mechanika videót az elejétől 35:24-ig. Ebben a részben a prezentációt a fiztort_09_newtoni_mechanika.pdf fájl 1-12. oldalai közti rész tartalmazza. A videó nézése közben a következő témák megértésére figyeljen különösen (ha szükségesnek tartja, jegyzeteljen egy füzetbe):
    • Milyen előzményei voltak Newton mechanikájának a mechanikában és a matematikában?
    • Hogyan fogalmazta meg Newton a mechanika alaptörvényét a Principiában és milyen problémákat oldott meg ennek segítségével?
    • Mi volt Newton általános tömegvonzási törvénye és miért jelentette ez az égi és földi mozgások egységes természetének bebizonyítását?
2.A prezentációs fájl átolvasásával frissítse fel az előadásban hallottakat, különösen figyelve az előbbi kérdésekre.
3.Válaszoljon a lentebbi "Önellenőrző kérdések"-re. A cél most az 50%-osnál jobb eredmény elérése.
4.Olvassa el a lenti "Követelmények"-et és döntse el, képes lenne-e azok teljesítésére.
5.Ha az előző két pontban hiányosságok merültek fel, vegye elő újra a prezentációt vagy az előadás-videót.
6.Ha ismereteit mélyíteni szeretné, olvassa el Simonyi könyvéből a 3.7.1-3.7.5 fejezeteket.
Önellenőrző kérdések
1. Az alábbiak közül melyik az a matematikai témakör, melyben Isaac Newton jelentős eredményeket ért el és amely szükséges is volt a mechanika elméletének megalapozásához? Válassza ki a helyes megoldást!
Az eukleidészi geometria.
A nem-eukleidészi geometria.
A differenciál- és integrálszámítás.
A valószínűség-számítás.
2. Miért mondjuk, hogy Newton mechanikájában központi szerepet játszik a Buridan által bevezetett "impetus" (a tömeg és sebesség szorzata) fogalom? Válassza ki a helyes megoldást!
A Buridan által bevezetett impetus fogalom évszázadokig tűnt célszerűnek a mechanika megalapozásában. Newton tudott ezen túllépni, és kimutatni, hogy az impetus semmi lényegeset nem ad meg, és csak ennek felismerése után tudta a valódi törvényeket felfedezni.
Azért, mert Newton úgy fogalmazta meg alaptörvényét, hogy az impetus megváltozása egy elemi időintervallum alatt egyenlő a kölcsönhatás erejének és az időintervallum hosszának szorzatával.
Azért, mert Newton levezette az "F=m a" törvényből azt, hogy zárt rendszer össz-lendülete, azaz össz-impetusa állandó, amit sok feladat megoldásában jól lehetett használni.
Az állítás nem igaz: Newton nem is használta az impetus fogalmát.
3. Miért állíthatta megalapozottan Newton, hogy az égitestek és a földi testek mozgása ugyanolyan természetű? Válassza ki a helyes megoldást!
Azért, mert mozgástörvényét és az általa felfedezett általános tömegvonzási törvényt felhasználva levezette a Kepler-törvényeket, amik ugyan az égitestekre vonatkoztak, de hatásuk a Földről is érzékelhető volt. (Hisz innen végzett megfigyelésekkel fedezték fel.)
Azért, mert mozgástörvényét és az általa felfedezett általános tömegvonzási törvényt felhasználva rájött a mesterséges holdak ötletére és egy kisebbet Föld körüli pályára is állított. (Igaz, rádiótechnika hiányában csak távcsővel nézni tudták annak röptét, semmi gyakorlati haszna nem volt.)
Newton ezt az állítását nem tudta bizonyítani, csak azért állította, mert alkimista is volt egyben, és az alkimisták egyik nagy alapelve volt, hogy "Ami lent van, az megfelel annak, ami fent van." (Tabula Smaragdina.)
Azért, mert mozgástörvényét és az általa felfedezett általános tömegvonzási törvényt felhasználva számszerűen helyesen leírta a földközeli testek gravitációs mozgását (pl. egy alma esése), a Hold Föld körüli keringését és az égitestek Nap körüli keringését is.
1. Newton mechanikájának előzményei

Az előző leckékben részletesen ismertettük Newton dinamikájának mechanikai előzményeit. Newton korára már nem volt kérdéses, hogy az arisztotelészi mechanika alapvető tévedéseket tartalmaz (Oresmius, Buridan, Stevin, Galilei, ...), hogy a testek mozgását csak valamihez viszonyítva van értelme leírni (Oresmius, Galilei, Descartes), hogy a természetes állapot nem a nyugalom, hanem az egyenes vonalú egyenletes mozgás (Buridan, Galilei, Descartes), és hogy a Buridan által az 1300-as években bevezetett "impetus" fogalma központi fontosságú, aminek segítségével Isaac Beeckman már 1618-ban egyszerű elvekből le tudta vezetni a mások által sokat tanulmányozott szabadesés törvényeit.

A newtoni mechanika másik fontos előzménye a matematika jelentős mértékű fejlődése volt. Említettük, hogy az 1500-as években megjelent a mai számjelölés és az egyenletek maihoz hasonló, tömör alakja, ami lehetővé tette a korábbinál sokkal bonyolultabb összefüggések kezelését és hogy Descartes az 1600-as évek első felében kifejlesztette a koordináta-geometriát, mely lehetővé tette a síkbeli és térbeli alakok és mozgások formulákkal történő leírását.

Nem szóltunk viszont a differenciál- és integrálszámítás kialakulásáról, pedig enélkül nem lehetett volna megoldani a newtoni törvények alapján felírt egyenleteket. Sajnos a téma túl összetett ahhoz, hogy e kurzusban részletesen ismertessük, ezért csak pár gondolat erejéig tudunk kitérni rá.

Az integrálszámítás megalapozójának még az ókori Arkhimédészt tekinthetjük, aki a görbék által határolt területek és a testek térfogatának kiszámítására fejlesztett ki olyan módszert, mely a görbék egyre finomabb felosztásán és a keletkező kis területek összegzésén alapult. Mai értelemben vett algebra (egyenletek felírása, kezelése) hiányában azonban ezeket a műveleteket csak geometriai úton hajtotta végre, ami akadályozta az általánosabb használatot.

A differenciálszámítás néhány alapelve az 1300-as években a grafikonrajzolás kapcsán merült fel, amikor rájöttek, hogy pl. a hely-idő grafikon lépcsőzöttségének meredeksége a sebességet adja meg. A szimbolikus formulák kezelésének hiányossága miatt itt sem tudott ez komoly számítási módszerré válni.

Az elődök munkájára alapozva a mai értelemben vett differenciál- és integrálszámítás végül az 1600-as években alakult ki, többek között Pierre Fermat, Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz munkássága nyomán. (Érdekes, hogy Newton és Leibniz hosszú ideig tartó kemény szakmai vitát folytatott arról, melyikük fedezte fel előbb az integrálszámítás alaptörvényét. Az elsőbbség valójában nem megállapítható, mert kb. egyszerre történt a felfedezés. Ma ezért ezt a törvényt "Newton-Leibniz formulá"-nak hívjuk.) Ők már lényegében minden alapelvet ismertek az 1600-as évek végén, ami szükséges volt a számításokhoz, de a témakör ekkor még nem volt precízen megalapozva és nehézkes jelölésrendszere miatt a számításokat a mainál sokkal körülményesebben lehetett elvégezni. Ezen csak Newton után változtatott Leonhard Euler, aki lényegében a mai alakra hozta az alkalmazott formulákat és ezzel a módszer szélesebb elterjedését és bonyolultabb problémák megoldását tette lehetővé.

2. Newton mozgástörvénye

Newton, az elődök gondolatainak nyomán azt tartotta egy alapvető törvénynek, hogy a testek megőrzik impetusukat, és ennek megváltoztatására csak a más testekkel végzett kölcsönhatás készteti őket. Ezt írta fel konkrétan úgy, hogy egy elemi idő alatti impetusváltozás megegyezik a kölcsönhatás erejének és az elemi időintervallum hosszának szorzatával, azaz mai jelölésekkel:

Δ(mv)=FΔt

Fontos megjegyezni, hogy Newton ezt kicsit körülményesebb jelölésekkel írta fel, de az idő rövidsége miatt az akkori jelölés és szóhasználat ismertetésére nem térünk ki.

Könnyű belátni, hogy ez egyenértékű azzal, amit ma Newton II. törvényének nevezünk, hisz könnyen átalakítható:

Δ(m v ¯ )/Δt= F ¯ ,

azaz mivel m állandó:

mΔ v ¯ /Δt= F ¯ ,

tehát:

m a ¯ = F ¯ .

Newton tehát az impetus elemi megváltozásaira alapozta a mozgások leírását. Ezt az ötletet Isaac Beeckman már korábban sikeresen alkalmazta a lehető legegyszerűbb nem egyenletes mozgásra, a szabadesésre, amikor is az erő állandó. Newton azáltal, hogy a kis időszakaszok alatti változások hatását akkor is ki tudta számolni, ha az erő a hely vagy az idő függvényében változott, a problémák sokkal szélesebb körére alkalmazta sikeresen elméletét. (Ehhez volt szüksége a differenciál- és integrálszámításra.)

Felfedezéseit az 1687-ben megjelent "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" könyvében tette közzé, melyet sokszor csak a rövidített "Principia" néven nevezünk meg. E műben Newton számtalan probléma sikeres vizsgálatát végezte el mozgástörvénye alapján. Címszavakban a legfontosabbak:

  • Esés, hajítás. (Közegellenállás figyelembe vételével is.)
  • Bolygómozgás, egyetemes tömegvonzási törvény.
  • Miért nem érezzük a Föld forgását? (Kimutatta, hogy a föld vonzerejénél 100000-szer kisebb a forgás hatása.)
  • Miért lapult a Föld?
  • Lövedékek befúródásának mértéke.
  • Ütközési problémák.

A Principiában Newton törekedett az axiomatikus felépítésre: definíciókat, posztulátumokat, írt fel, ezek ismételt alkalmazásával vezetett le bonyolultabb összefüggéseket, tételeket.

Érdekes, hogy az olvasók miatt Newton igyekezett a differenciál- és integrálszámítás direkt használatát kerülni és többnyire geometriai bizonyításokat alkalmazni, hisz ez utóbbi volt közismert a kor tudósai között. Feljegyzéseiből azonban tudjuk, hogy felfedezéseit az új matematikai módszerrel tette, és sokszor csak később találta meg az ehhez megfelelő geometriai alakot.

A sok probléma közül az általános tömegvonzási törvénnyel kapcsolatosak különösen fontosak, ezért erről külön szólunk.

3. Az általános tömegvonzási törvény

Newton megsejtette, hogy az az erő, ami a hétköznapi testek esését okozza, azonos azzal, ami a Holdat Föld körüli pályán tartja. A sokféle változatban keringő "Newton almája" történetek ezt mesélik el. E történetek Newton halála után keletkeztek, így a részleteik talán nem pontosak (például igen valószínű, hogy nem pottyant az alma Newton fejére), de a történet magva valószínűleg igaz. Eszerint Newton azon gondolkozott el, hogy az az erő, amivel a Föld vonzza az almát, minden tapasztalat szerint tetszőleges magasságig hat, hisz senki nem talált még olyan magas fát, hegyet, oszlopot, mely tetejéről leejtve valamit, az ne esett volna a Föld középpontja felé. Ha ez az erő, azaz a gravitáció tényleg akármeddig hat, akkor akár a Holdra is kihathat, és lehet, hogy ez tartja Föld körüli pályán.

Newton utánaszámolt, és azt kapta, hogy ha feltételezi, hogy bármely két test közt vonzóerő ébred, mely mindegyik test tömegével egyenesen, de középpontjaik távolságának négyzetével fordítottan arányos, akkor ezzel ugyanarra az erőre tudja visszavezetni az alma esését és a Hold Föld körüli keringését is. Formulával:

F=γ m 1 m 2 / r 2

ahol γ egy univerzális állandó. (Mai mértékegységekben értéke 6,67*10-11.)

Newton azt is bebizonyította, hogy ugyanezzel az erővel a bolygók Nap körüli keringésének törvényei, a Kepler-törvények is megmagyarázhatók. Sőt, pontosított is rajtuk:

  • Észrevette, hogy a bolygók vonzásának hatására a Nap is mozog egy kicsit, azaz valójában a bolygók nem a Nap körül, hanem a Nap és a bolygó a közös tömegközéppontja körül keringenek. (Hasonlóan a Föld és a Hold is közös tömegközéppont körül kering.)
  • Figyelembe tudta venni, hogy a bolygók egymásra is vonzást gyakorolnak, ami ugyan sokkal kisebb, mint a náluk nagyságrendekkel nagyobb tömegű Nap hatása, de ez a bolygók és a Hold pályájának lassú változását eredményezi. Ezek közül a folytonos pályamódosulások közül néhány már ismert volt Newton korában is, és ezek egy részét ő sikeresen számolta végig elmélete alapján.

Newton elmélete tehát egyrészt megadta a Kepler-törvények okát, másrészt olyan pontos bolygómozgás-elméletekhez vezetett, melyek megfeleltek a kor távcsöves, ívmásodperc nagyságrendű hibával rendelkező megfigyeléseinek. Másrészt egy nagy elvi jelentőségű eredménye is volt: kimutatta, hogy az égi és földi mozgások azonos törvényszerűségek szerint történnek. Ez egy több évezredes, filozófiai vonzatokkal is járó megállapítás, ami a kortársak közt igen nagy feltűnést keltett, nemcsak fizikusi körökben.

Az égi és földi mozgások egységességéről Newton annyira meg volt győződve, hogy ki is számolta: ha egy magas hegyről elég nagy sebességgel a helyi vízszintesnek megfelelő irányban kilövünk egy ágyúgolyót, az elvben sosem esik le, hanem körpályára áll a Föld körül, akárcsak a Hold. Ezzel Newton a mesterséges holdak alapötletét vázolta fel, de helyesen ki is számolta, hogy a szükséges sebesség kb. 8000 m/s, azaz a kor technikája számára elérhetetlen. (A leggyorsabb akkori ágyúgolyók még a huszadát sem érték el ennek a sebességnek.)

4. Amivel Newton adós maradt

Newton az egész mechanikát forradalmasította. Nem férhetett azonban egy ember életébe bele minden nyitott kérdés megoldása, így nem negatív kritika, ha megállapítjuk, milyen fontos kérdéseket hagyott nyitva.

  • A differenciál- és integrálszámítás elméletének pontos megalapozása. Mint sok felfedezés esetén, az első eredményeknél még nem sikerül a legegyszerűbb és precíz formalizmust kialakítani. Ez a Newton utáni generációkra maradt.
  • A kiterjedt testek mozgásának leírása. Newton lényegében csak a kicsiny, pontszerű testek mozgásával foglalkozott, közegek áramlásával vagy kerekek forgásával nem.
  • A gravitációs vonzás okának megadása. Newton korában elfogadott szemlélet volt, hogy testek közti kölcsönhatást csak közvetlen érintkezés válthat ki. Ezért a világűrön keresztül, sok millió kilométeren át ható gravitáció gondolata elfogadhatatlannak tűnt a kortársak számára, egy kicsit misztikus, okkult varázserő jelleget kölcsönözve a gravitációnak. Ezért sokan sokféle okát próbálták adni a gravitációnak, pl. a Világmindenséget kitöltő finom anyag áramlásából vagy kicsiny repülő golyócskákkal történő ütközésekből levezetve az általános tömegvonzás törvényét. Mindegyik elmélet megbukott a számszerű teszteken, így Newton egy idő után kijelentette, hogy nem fog "hipotéziseket fabrikálni" a gravitáció okának keresésben.
5. Egyebek

Ebben a leckében csak Newton mechanikai munkáiról volt szó. Pedig több témát kutatott és az élet más területein is jelentős eredményeket ért el. Ezekről csak röviden emlékezünk meg.

  • A fizika sok területét kutatta, pl. jelentős eredményeket ért el az optikában. (Lásd később.)
  • Sok időt szánt arany előállítási próbálkozásaira, alkímiai kísérletekre, ami nála nem valami misztikus tevékenységet jelentett, hanem kémiai kutatásokat. (Abban a korban még nem lehetett tudni, hogy kémiai eszközökkel nem lehet aranyat csinálni.)
  • Több teológiai munkát írt, melyekre élete végén büszkébb volt, mint mechanikájára. (Hívő keresztény volt.)
  • Politikai karriert is befutott, nemesi rangot kapott, egy időben az angol király pénzügyeit intézte, nagy sikerrel.

Newton művei, különösen a mechanikában elért sikerei a filozófiára nagy hatással voltak. Azzal, hogy sikeresen magyarázta a bolygómozgást és sok egyéb jelenséget, sokak szemében az addig titokzatos jelenségek megértőjeként tűnt fel és elméletét halála után sok materialista filozófiai irányzat tekintette alapvetőnek. A sikerek széles skálája ugyanis azt sugallta sokaknak, hogy ezzel az ember megértette a teljes természetet, nincs szükség Istenre annak magyarázatához. Maga Newton ezzel nagyon nem értett volna egyet, de kicsit hasonlóan járt, mint Kopernikusz, aki szintúgy nem tehetett semmit halála után, amikor Giordano Bruno elméletét valami egész más jellegű filozófiai gondolatsor alapjává tette meg.

Isaac Newton így a tudomány egyik legendás alakjává vált, akihez vitathatatlan érdemein túl is sok eredményt kapcsolnak. Láthattuk azonban, hogy ő maga is bevallotta: "Csak azért láttam kicsit messzebb a többieknél, mert óriások vállán álltam.", azaz sok eredménye nem nála bukkan fel először (pl. a tehetetlenség törvénye). A következő leckékben azt is megtanuljuk, hogy a mechanika fejlődése Newton után is folytatódott, így pl. kikristályosodtak az úgynevezett "Newton-törvények", melyet ő nem is írt fel abban az alakban, ahogy ma azt tesszük, de újszerű megközelítések is születtek.