KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Váltakozóáramú hálózatok
17. lecke: Váltakozóáramú hálózatok. Periodikus időfüggvény matematikai jellemzése. A periódusidő. Fourier tétele. Szinuszos feszültség- illetve áram-időfüggvény jellemzése az időtartományban. Frekvencia és körfrekvencia
Tanulási célok | ||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | ||
| ||
Tananyag | ||
Periodikus időfüggvény matematikai jellemzése | ||
Az általános időfüggvények két csoportba sorolhatók, a véletlenszerű vagy sztochasztikus és a determinisztikus időfüggvények csoportjába. A determinisztikus időfüggvények lehetnek nem periodikusak vagy periodikusak. A periodikus időfüggvény eleget tesz a következő egyenletnek: | ||
| ||
Szavakkal: bármely t időpontban választott függvényérték megegyezik a T idővel későbbi (vagy korábbi) függvényértékkel. Másképp megfogalmazva ez azt is jelenti, hogy ha egy T szélességű "ablakon" keresztül vizsgáljuk a függvényünket, akkor pontosan ugyanazt látjuk, mintha az ablakot T-vel egyszer vagy többször, balra vagy jobbra eltoljuk. Egy megtalált T érték mellett annak kétszerese, háromszorosa, négyszerese stb. is természetesen kielégíti a feltételül szabott egyenletet. Nekünk a legkisebb T értékre van szükségünk. |
Definíció: T a függvény periódusideje, ha nem létezik annál kisebb érték, amely a feltételi egyenletet szintén kielégíti. | ||
Megjegyzés:Itt fizikai mennyiségeknek az idő teljes intervallumán értelmezett folytonos, egyértékű függvényeivel foglalkozunk. Vegyük észre, hogy semmi más kikötést nem teszünk a vizsgált függvényre, mint azt, hogy T periódusidőnként ismétlődjön. A periódusidő a periodikus függvény egyetlen jellemzője. |
A periódusidő reciproka a frekvencia. | |||
A frekvencia a másodpercenkénti periódusok száma. A frekvencia mértékegysége a hertz, jele: Hz. | |||
1 Hz a periodikus függvény frekvenciája, ha egy másodperc alatt egyetlen periódus zajlik le. A gyakorlatban általában lényegesen nagyobb frekvenciájú jelenségekkel találkozunk. Szokásos mértékegységek: Hz, kHz, MHz, GHz (GHz: ejtsd "gigahertz"). | |||
Szinuszos időfüggvény matematikai jellemzése | |||
A periodikus időfüggvények egy speciális esete a szinuszos vagy harmonikus időfüggvény: | |||
Ahol a független változó, az idő, a függő változó, most éppen a feszültség, továbbá | |||
a csúcsérték vagy amplitúdó, | |||
A körfrekvencia az egy másodperc alatti szögelfordulást adja meg radiánban. A szögelfordulás lehet tényleges és lehet, mint esetünkben is, elképzelt. | |||
A körfrekvencia mértékegységében szereplő radián egy puszta viszonyszám. A mértékegységek közötti műveletek során elhagyható, de a körfrekvencia mértékegységében szerepeltetni kell. Az amplitúdó az a szélső érték, amelyet pozitív és negatív előjellel a függvény még éppen felvesz. | |||
| |||
Egy általános szinuszos feszültség-időfüggvényt láthatunk a 17.1. ábrán. | |||
Fourier tétele |
Tétel: Minden periodikus időfüggvény felbontható szinuszos összetevőkre. |
Az összetevők: | ||
| ||
Az egyenkomponens segítségével megadhatjuk, hogy a függvény az alaphelyzethez, vagy egy azzal azonos másik függvényhez képest függőleges irányban mennyire van eltolva. Az egyenkomponenst itt a koszinuszfüggvény végtelen periódusidejű határesetének tekinthetjük. | ||
Az alapharmonikus a periodikus időfüggvény periódusidejével kifejezve | ||
frekvenciájú szinuszos jel. | ||
Az alapharmonikus a felbontandó periodikus függvényhez igazodó kezdőfázissal és amplitúdóval, a periódusidőnyi szélességű ablakban egyetlen teljes periódust ír le. | ||
A felharmonikusok a periodikus függvénynek olyan, különböző amplitúdójú és kezdőfázisú (szinuszos) összetevői, amelyeknek frekvenciája rendre | ||
Megjegyzés: "alharmonikus" nincs! A k=1 értékhez pedig az alapharmonikus tartozik. | , ahol k=2, 3, 4, 5, 6... | |
A váltakozóáramú hálózat linearitásáról | ||
Az egyenáramú hálózatok tárgyalása során megtudtuk, hogy lineáris hálózatban alkalmazható a szuperpozíció elve. A csak ohmos ellenállást tartalmazó váltakozóáramú hálózat természetesen szintén ugyanúgy lineárisnak tekinthető. De vajon érvényes-e a kondenzátorra, hogy rajta kétszer, háromszor négyszer nagyobb feszültség hatására kétszer, háromszor, négyszer nagyobb áram folyik? | ||
Ha az | ||
differenciálegyenletbe a feszültség-időfüggvény konstansszorosát írjuk, akkor a differenciálás szabályai szerint a konstanst kiemelve az áram-időfüggvény konstansszorosát kapjuk. | ||
Tehát a kondenzátor - és ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy a tekercs is - lineáris elem. Ebből következik, hogy a csak ohmos ellenállást, kondenzátort és tekercset tartalmazó váltakozóáramú hálózat lineáris hálózat, tehát alkalmazható és érvényes rá a szuperpozíció tétele. (Megjegyzés: a hálózat linearitása tetszőlegesen változó áramú hálózat esetén is igaz, de ez most számunkra kevésbé fontos.) | ||
Fourier tételének és a hálózat linearitásának következménye | ||
Egy tetszőleges, periodikus időfüggvényű feszültséggenerátor felfogható Fourier tételét figyelembe véve, szinuszos feszültséggenerátorok soros kapcsolásának. Egy tetszőleges, periodikus időfüggvényű áramgenerátor pedig hasonló megfontolások alapján felfogható szinuszos áramgenerátorok párhuzamos kapcsolásának. Ha a szuperpozíció elvét alkalmazzuk, akkor elegendő minden szinuszos generátorral külön-külön foglalkozni. | ||
Ez a gondolatmenet igen nagy elvi jelentőséggel bír. Nemcsak az általános periodikus időfüggvényű egyes gyakorlati esetek számítását befolyásolja, hanem meghatározó jelentőségű a váltakozóáramú hálózatok elméletét tárgyaló fejezet elvi felépítésében is. Végkövetkeztetésként ugyanis kijelentjük, hogy elegendő csak szinuszos áramú hálózatokkal foglalkoznunk, mindaddig, amíg R, L és C passzív elemeket használunk. Ez lényegesen egyszerűbb matematikai tárgyalást tesz majd lehetővé. | ||
Következzen tehát a megismert három elem és az ezekkel felépített hálózatok vizsgálata szinuszos feszültségű vagy áramú generátorok mellett. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||||||
1. Mi a frekvencia?
![]() | |||||||||||||
2. Hogyan számítható a frekvencia a periódusidőből?
![]() | |||||||||||||
3. Hogyan számítható a körfrekvencia a frekvenciából?
![]() | |||||||||||||
4. Hogyan számítható a periódusidő a frekvenciából?
![]() | |||||||||||||
5. Fourier tétele szerint minden periodikus függvény felbontható a következőkre.
![]() | |||||||||||||
6. Szinuszos időfüggvény teljes meghatározásához a következő adatok elegendők.
![]() | |||||||||||||
7. Melyik két jellemzővel teszünk különbséget szinuszos generátorral táplált kapcsolásban két időfüggvény között?
![]() |