KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

19. lecke: Szinuszos feszültség- illetve áram-időfüggvény komplex leírása. Komplex időfüggvény és komplex amplitúdó

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • komplex számokkal megadni szinuszos feszültség- illetve áram időfüggvényt;
  • felírni a komplex amplitúdó képletét;
  • komplex amplitúdóval megadni Kirchoff törvényeit.
Tananyag

A szinuszos időfüggvények megadásához két adat, az amplitúdó és a kezdőfázis szükséges. Ellentétben az egyenáramú hálózatokkal, ahol elegendő egyetlen adat. A mennyiségenként két adat síkbeli vektoros megadással lehetséges. Erre a komplex számok matematikai eszközkészletét használjuk.

Komplex számok

Egy K ¯ komplex szám két részből, a valós vagy reális és a képzetes vagy imaginárius részből áll. A képzetes rész a képzetes egységgel meg van szorozva. A képzetes egység jele az elektrotechnikában: j.

j= 1

A komplex számok négy alakját használjuk.

Algebrai alak: K ¯ =a+jb , ahol

a valós vagy reális rész,
b képzetes vagy imaginárius rész.

Trigonometrikus alak: K ¯ =K(cosϕ+jsinϕ) , ahol

K abszolút érték, K= a 2 + b 2
ϕ kezdőfázis, ϕ=arctg b a

Exponenciális vagy Euler alak: K ¯ =K e jϕ .

Az e jϕ kifejezés jelentése: egységnyi abszolút értékű, ϕ fázisszögű komplex szám.

e jϕ =cosϕ+jsinϕ

cosϕ= e jϕ + e jϕ 2

sinϕ= e jϕ e jϕ 2j

Grafikus ábrázolás (19.1. ábra): egy komplex számot derékszögű koordinátarendszerben tudunk megadni. A fázisszöget a valós tengelytől óramutató járásával ellentétes irányban mérjük. Az egyenáramú hálózatokban három alaptörvényünk volt. Ohm törvényében szorzás vagy osztás, Kirchhoff törvényeiben összeadás és kivonás műveleteket kellett végeznünk. A törvények általánosítása után a komplex számok körében is a négy alapművelettel kell majd számításainkat végeznünk. Az összeadás és a kivonás elvégzésére az algebrai alak a legmegfelelőbb. De fogjuk komplex vektorok összegét és különbségét képezni grafikusan is, az ismert nyílfolyam vagy paralelogramma módszerrel.

19.1. ábra
Műveletek komplex számokkal

Legyen két komplex számunk:

K 1 ¯ = a 1 +j b 1 = K 1 e j ϕ 1 ,

K 2 ¯ = a 2 +j b 2 = K 2 e j ϕ 2 .

Összeadás, kivonás:

K 1 ¯ + K 2 ¯ =( a 1 + a 2 )+j( b 1 + b 2 )

Szorzás:

K 1 ¯ K 2 ¯ = K 1 K 2 e j( ϕ 1 + ϕ 2 )

Osztás:

K 1 ¯ K 2 ¯ = K 1 K 2 e j( ϕ 1 ϕ 2 )

Konjugált:

A K ¯ komplex szám konjugáltját kapjuk a képzetes rész előjelének váltásával, vagy a vektornak a valós tengelyre való tükrözésével. A konjugált jele a felső csillag.

Ha K ¯ =a+jb , akkor a konjugált

K ¯ * =ajb .

Jó tudni, hogy az imaginárius egységgel való szorzás 90 fokkal való forgatás pozitív irányban. A j-vel való osztás megfelel mínusz j-vel való szorzásnak, azaz forgatás 90 fokkal negatív irányban.

Például:

K 3 ¯ =a

j K 3 ¯ =ja

K 3 ¯ j = a j = a j j j = ja j 2 = ja 1 =ja

Szinuszos időfüggvények komplex leírása

Tekintsük a következő általános szinuszos időfüggvényt:

u(t)= U ^ sin(ωt+ϕ) .

A komplex időfüggvény

Képezzünk komplex időfüggvényt az amplitúdó és a szinusz argumentumában levő teljes kifejezés, mint fázisszög felhasználásával.

u(t) ¯ = U ^ e j(ωt+ϕ)

A komplex időfüggvényből visszatérhetünk a valós időfüggvényhez a trigonometrikus alakon keresztül.

u(t) ¯ = U ^ e j(ωt+ϕ) = U ^ (cos(ωt+ϕ)+jsin(ωt+ϕ))= U ^ cos(ωt+ϕ)+j U ^ sin(ωt+ϕ)

u(t)=Im u(t) ¯

A valós időfüggvény a komplex időfüggvény képzetes része. (A differenciálegyenletek a komplex időfüggvényekre is érvényesek.)

A komplex amplitúdó

A feszültség és áramidőfüggvény komplex leírásával célunk olyan tárgyalási módot találni, amely a számításainkat egyszerűsíti. Ehhez a komplex időfüggvény még nem megfelelő. Alakítsuk tovább kifejezésünket!

u(t) ¯ = U ^ e j(ωt+ϕ) = U ^ e jϕ e jωt = U ^ ¯ e jωt

Az U ^ ¯ = U ^ e jϕ kifejezést komplex amplitúdónak nevezzük. Ez nem tartalmazza az időfüggő részt - ebből származik az amplitúdó elnevezés, de a valós amplitúdó mellett a fázisszöget is megtaláljuk benne. Ezek miatt a tulajdonságok miatt a szinuszos időfüggvényű hálózatok tárgyalása jelentősen leegyszerűsödik a komplex amplitúdó alkalmazásával.

Kirchhoff törvényei érvényesek komplex amplitúdókkal is. A csomóponti törvény:

j=1 n I ^ j ¯ =0

A huroktörvény:

i=1 m U ^ i ¯ =0
Ellenőrző kérdések
1. Mi az imaginárius (képzetes) egység?
j= 1 ,
j= e ,
j =1 ,
1= e j ,
j= 1 ,
j=ln(1) .
2. Melyik egy komplex szám algebrai alakja?
K ¯ =K e jϕ ,
K ¯ =a+jb ,
K ¯ =K(cosϕ+jsinϕ) .
3. Melyik egy komplex szám trigonometrikus alakja?
K ¯ =K e jϕ ,
K ¯ =a+jb ,
K ¯ =K(cosϕ+jsinϕ) .
4. Melyik egy komplex szám exponenciális alakja?
K ¯ =K e jϕ ,
K ¯ =a+jb ,
K ¯ =K(cosϕ+jsinϕ) .
5. Mi a hatása a j-vel való szorzásnak?
az abszolút érték nő, a fázisszög változatlan,
az abszolút érték csökken, a fázisszög változatlan,
az abszolút érték változatlan, a fázisszög csökken 90°-kal,
az abszolút érték változatlan, a fázisszög nő 90°-kal,
az abszolút érték és a fázisszög is csökken,
az abszolút érték és a fázisszög is nő.
6. Mi a hatása a j-vel való osztásnak?
az abszolút érték nő, a fázisszög változatlan,
az abszolút érték csökken, a fázisszög változatlan,
az abszolút érték változatlan, a fázisszög csökken 90°-kal,
az abszolút érték változatlan, a fázisszög nő 90°-kal,
az abszolút érték és a fázisszög is csökken,
az abszolút érték és a fázisszög is nő.
7. A K ¯ =K e jϕ =a+jb komplex számnak a valós (reális) része:
K ¯ ,
ϕ,
K,
Kcosϕ ,
Ksinϕ ,
a,
b,
jb ,
a 2 + b 2 .
8. A K ¯ =K e jϕ =a+jb komplex számnak a képzetes (imaginárius) része:
K ¯ ,
ϕ,
K,
Kcosϕ ,
Ksinϕ ,
a,
b,
jb ,
a 2 + b 2 .
9. A K ¯ =K e jϕ =a+jb komplex számnak az abszolút értéke:
K ¯ ,
ϕ,
K,
Kcosϕ ,
Ksinϕ ,
a,
b,
jb ,
a 2 + b 2 .
10. Hogyan állítjuk vissza az eredeti időfüggvényt a komplex időfüggvényből?
u(t) ¯ =Imu(t) ,
u(t) ¯ =Reu(t) ,
u(t)=Im u(t) ¯ ,
u(t) ¯ = U ^ ¯ ,
u(t)= U ^ ¯ .
11. Ha u(t) ¯ = U ^ ¯ e jωt , akkor a komplex amplitúdó:
U ^ ,
U ^ ¯ ,
U ^ ¯ e jωt ,
U ^ ¯ e jϕ ,
U ^ e jωt ,
U ^ e jϕ .
12. Érvényes-e a csomóponti törvény a komplex amplitúdók körében?
igen,
nem.
13. Érvényes-e a huroktörvény a komplex amplitúdók körében?
igen,
nem.