KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Váltakozóáramú hálózatok
23. lecke: Soros RLC kapcsolás, rezgőkör. Rezonancia, rezonanciafrakvencia. Jósági tényező. Feszültség-áram vektorábrák különböző frekvenciákon. Az elemek feszültségeinek és áramának frekvenciafüggése. Az impedancia frekvenciafüggése. Párhuzamos rezgőkör
Tanulási célok | |||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | |||
| |||
Tananyag | |||
Soros LC kapcsolás | |||
Kapcsoljunk sorosan egy tekercset és egy kondenzátort (23.1. ábra)! | |||
| |||
Tegyük fel, hogy elemeinken egy külső hálózat szinuszos áramot hajt keresztül. | |||
A kondenzátor és a tekercs látszólagos ellenállása: | |||
, | |||
. | |||
Az áram az elemeken szinuszosan váltakozó feszültségeket hoz létre, melyek körfrekvenciája az áraméval azonos. A feszültségek amplitúdói számíthatók. | |||
, | |||
. | |||
A képletekben a kapacitás és az induktivitás a két passzív elem felépítéséből származó jellemző. Ezért a két feszültség arányát kizárólag a közös áram körfrekvenciájával tudjuk befolyásolni. | |||
Ahhoz, hogy a két elem közös eredő feszültségét meghatározzuk, vizsgálnunk kell a részfeszültségek időfüggvényét. A korábbi ismeretek alapján tudjuk, hogy a kondenzátoron a feszültség késik, és a tekercsen a feszültség siet bármilyen szinuszos áram esetén, éspedig pontosan 90°-ot. Ez elegendő az időfüggvények felírásához. | |||
Ábrázolva a három időfüggvényt a két feszültség között egy sajátos kapcsolatot láthatunk (23.2. ábra). | |||
| |||
A két feszültség pillanatértékei mindig ellentétes előjelűek, egymásból kivonódnak. Kirchhoff huroktörvénye szerint | |||
Az eredő feszültség amplitúdója a két amplitúdó különbsége. | |||
Az eredő feszültség koszinuszos, ha a különbség pozitív, és mínusz koszinuszos, ha negatív. Ebben a sajátos esetben sikerült csupán az időfüggvények vizsgálatával feladatunkat megoldani. Természetesen ugyanezt az eredményt kapjuk a komplex számításmód alkalmazásával is. | |||
A két soros elem eredő impedanciája a részimpedanciák összege. | |||
Az áram nulla kezdőfázisú, tiszta szinuszos. | |||
A részfeszültségek komplex amplitúdói: | |||
Az eredő feszültség komplex amplitúdója: | |||
Az időfüggvények amplitúdói és kezdőfázisai a komplex amplitúdókból kiolvasva előző eredményeinkkel megegyeznek. | |||
Rezonancia | |||
Az eredő feszültség komplex amplitúdójának zárójeles kifejezése két látszólagos ellenállás különbségét tartalmazza. A körfrekvencia növekedésével a tekercsé monoton nő, a kondenzátoré monoton csökken. Létezik egy olyan speciális eset, amikor a két látszólagos ellenállás egyenlő, a különbségük nulla. Az így előálló helyzet a rezonancia. Ekkor az ideális tekercs és kondenzátor soros kapcsolása rövidzárként viselkedik. Az az érték amelynél a két elem látszólagos ellenállása megegyezik, a rezonancia-körfrekvencia, jele: , értéke a következőképpen számítható: | |||
Megjegyzés: A rendszer energia-felvétel nélkül sajátrezgést végez. Hasonló történik, mint a mechanikában egy rugóra függesztett tömeg csillapítatlan rezgése esetén. | Ez az úgynevezett Thomson képlet. Rezonancián az a sajátos helyzet áll elő, hogy miközben a tekercsen is és a kondenzátoron is jól mérhető szinuszos feszültség esik, a két elem eredő feszültsége nulla. Ez azzal is magyarázható, hogy a 23.2. ábrán a kondenzátor és a tekercs feszültségének amplitúdója azonos, pillanatértékeik minden időpontban kivonódva egymásból nullát adnak eredményül. | ||
Soros RLC kapcsolás | |||
Az előző, ideális soros rezgőkörhöz képest a gyakorlatban - elsősorban a tekercsek veszteségei miatt - egy soros ellenállással kiegészített modell a megfelelő (23.3. ábra). | |||
| |||
Ennek vizsgálatát már csak komplex számításmóddal végezzük el. A kapcsolás eredő impedanciája: | |||
Tételezzük fel, hogy továbbra is nulla kezdőfázisú, szinuszos áram folyik az elemeken. | |||
Az egyes elemek feszültségének komplex amplitúdói: | |||
Az eredő feszültség komplex amplitúdója: | |||
, ahol | |||
Rezonancia továbbra is az | |||
körfrekvencia mellett áll elő. | |||
Ilyenkor | |||
Rezonancián impedancia-minimum van, melynek értéke | |||
. | |||
Megjegyzés: sokfrekvenciás, kevert jel fordul elő például rádiótechnikai vevőkészülékek - rádió, TV, mobiltelefon stb. - bemenetén, és sokcsatornás, úgynevezett frekvenciamultiplex kábeles rendszerekben. | Ezért rezonancián alakul ki a legnagyobb áram, feltéve, hogy nem ideális áramgenerátor táplálja a rezgőkört. A soros rezgőkörnek a rezonancia környékén mutatott viselkedését frekvenciaszelektív tulajdonságnak nevezzük. Ugyanis kevert, sok, különböző frekvenciájú szinuszos feszültségből álló táplálás hatására a rezonanciafrekvenciával megegyező, vagy ahhoz közeli frekvenciájú komponensekre kiugróan nagy árammal válaszol. A frekvenciaszelektív tulajdonsággal kapcsolatban szokás a soros rezgőkör jóságát definiálni. | ||
Jósági tényező | |||
A jósági tényező jele: Q0. A rezonancia-köfrekvencián mutatott látszólagos ellenállások hányadosával számítható. | |||
A soros rezgőkör jó, ha . | |||
| |||
Vektorábra | |||
Rajzoljuk meg a soros rezgőkör feszültség-áram vektorábráját (23.4. ábra) rezonanciafrekvencián, és mellett. | |||
, mert a két vektor azonos hosszúságú és pontosan ellentétes irányú. Ezért a generátorfeszültség teljes egészében az ellenállásra jut. | |||
. | |||
Az áramot csak az - általában kis értékű - ellenállás korlátozza. | |||
, . | |||
| |||
Frekvenciafüggés | |||
A soros rezgőkör látszólagos ellenállása a rezonanciafrekvencián kis érték (R), attól távolodva mind a csökkenő, mind a növekvő frekvenciák felé tart a végtelenhez: | |||
Létrehozhatunk R L és C elemek párhuzamos kapcsolásával is rezgőkört. Ennek neve párhuzamos rezgőkör. Rezonanciafrekvenciája a soroséval megegyező, de frekvenciafüggése fordított. Ennek látszólagos ellenállása a rezonanciafrekvencián nagy érték (R), attól távolodva mind a csökkenő, mind a növekvő frekvenciák felé tart a nullához. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||||||||||
1. Szinuszos áramgenerátorral táplált soros LC kapcsolás elemein a feszültség
![]() | |||||||||||||||||
2. A soros LC kapcsolás impedanciája
![]() | |||||||||||||||||
3. Mi a soros LC kapcsolásban a rezonancia feltétele?
![]() | |||||||||||||||||
4. Hogyan számítható soros LC kapcsolás rezonancia-körfrekvenciája?
![]() | |||||||||||||||||
5. Mi jellemzi a feszültséggenerátorral táplált soros RLC kapcsolást rezonancián?
![]() | |||||||||||||||||
6. Mi a soros veszteséges rezgőkör jósági tényezője?
![]() | |||||||||||||||||
7. Mi jellemzi az áramgenerátorral táplált párhuzamos RLC kapcsolást rezonancián?
![]() |