KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

22. lecke: Soros RL kapcsolás analízise

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • elemezni a soros RL kapcsolást;
  • meghatározni a soros RL kapcsolás eredő impedanciáját;
  • értelmezni az impedancia vektorábrát;
  • értelmezni a feszültség-áram vektorábrát.
Tananyag

Kapcsoljunk sorosan egy ellenállást és egy tekercset szinuszos feszültséggenerátorra (22.1. ábra)!

22.1. ábra

A generátort a két soros elem eredő impedanciája terheli.

Z RL ¯ = Z R ¯ + Z L ¯ =R+jωL

A két impedanciaelem összegzése a vektorábrában szemléletesen követhető (22.2. ábra). Az ellenállás és a tekercs impedancia-vektorát téglalappá egészítjük ki. A két vektor összege a téglalap átlójában húzott ferde vektor.

22.2. ábra

Az eredő abszolút értéke Pythagorasz tétellel számítható.

| Z RL ¯ |= Z RL = R 2 + ( ωL ) 2

Az impedancia fázisszöge

ϕ=arctg ωL R

A fázisszög 0 és +90° közötti érték (a kapcsolás "induktív").

Legyen a kapcsolást tápláló generátor feszültsége ismét tiszta szinuszos feszültség.

u g (t)= U ^ g sinωt

A generátorfeszültség komplex időfüggvénye:

u g (t) ¯ = U ^ g e jωt .

A komplex amplitúdó:

U ^ g ¯ = U ^ g

Az eredő impedancia:

Z RL ¯ = U ^ g ¯ I ^ ¯

Ebből az áram komplex amplitúdója:

I ^ ¯ = U ^ g ¯ Z RL ¯ = U ^ g Z RL ¯

Az áram komplex amplitúdója ismeretében a részfeszültségek komplex amplitúdói számíthatók.

U ^ R ¯ = I ^ ¯ Z R ¯ = I ^ ¯ R

U ^ L ¯ = I ^ ¯ Z L ¯ = I ^ ¯ jωL

Ebből a valós amplitúdók:

I ^ = U ^ g R 2 + ( ωL ) 2

U ^ R = I ^ R

U ^ L = I ^ ωL= I ^ X L

Az eredményt a feszültség-áram vektorábrán vizsgálhatjuk (22.3.a ábra).

22.3. ábra

A vektorábrát olyan helyzetben vettük fel, hogy a generátorfeszültség időfüggvényét kissé módosítottuk.

u g (t)= U ^ g sin(ωt+ϕ)

Vizsgáljuk meg most azt, hogyan származtathatók a vektorábrából az időfüggvények. A feszültség-áram vektorábra elemei komplex amplitúdók. A komplex időfüggvényre utalunk a körbeforgás jelzésével és hozzá az ? körfrekvencia megadásával. A vektorábra a t=0 pillanatban mutatja a vektoraink helyzetét. Egy más, t1 időpontban a vektorok ω t 1 szöggel elfordított helyzetben vannak. A valós időfüggvény úgy képezhető, hogy a komplex időfüggvény képzetes részét vesszük.

u(t)=Im u(t) ¯

Ez a mi ábrázolásunk mellett megfelel a függőleges vetületnek. Az időfüggvényeket tehát úgy származtathatjuk, hogy először vektoraink végpontjait a függőleges tengelyre vetítjük. Utána tetszőleges időpontnak megfelelően a vektorábrát elforgatjuk, és a vektorok végpontjait az új időpontnak megfelelő függőleges rendezőre vetítjük. A vetítést érzékeltetjük a vektorábra mellé, balra rajzolt, stilizált szem-mel. Az eredményt a 22.3.b ábra szemlélteti. Az ábrán ellenőrizhető, hogy minden pillanatértékre érvényesül Kirchhoff huroktörvénye.

u g (t)= u R (t)+ u L (t)

Ellenőrző kérdések
1. Hogyan számítható soros RL kapcsolás eredő impedanciája abszolút értéke?
Z RL =R+ωL ,
Z RL ¯ =R+jωL ,
Z RL = R 2 + ( j2πfL ) 2 ,
| Z RL ¯ |= Z RL = R 2 + ( ωL ) 2 ,
| Z RL ¯ |= Z RL = R 2 + ( ωL ) 2 ,
Z RL = R 2 ( ωL ) 2 .
2. Mekkora egy soros RL kapcsolás impedanciájának fázisszöge?
mindig 0°,
0° és 90° közé eső érték,
mindig 90°,
0° és -90° közé eső érték,
mindig -90°.
3. Hogyan alakulnak egy szinuszos feszültséggenerátorral táplált soros RL kapcsolás feszültségei a frekvencia növelésével?
az ellenállás feszültsége nő és a tekercs feszültsége csökken,
mindkét feszültség nő,
mindkét feszültség csökken,
az ellenállás feszültsége csökken és a tekercs feszültsége nő,