KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

21. lecke: Soros RC kapcsolás analízise

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • elemezni a soros RC kapcsolást;
  • meghatározni a soros RC kapcsolás eredő impedanciáját;
  • értelmezni az impedancia vektorábrát;
  • értelmezni a feszültség-áram vektorábrát.
Tananyag

Kapcsoljunk sorosan egy ellenállást és egy kondenzátort szinuszos feszültséggenerátorra (21.1. ábra)!

21.1. ábra

A generátort a két soros elem eredő impedanciája terheli.

Z RC ¯ = Z R ¯ + Z C ¯ =Rj 1 ωC

Az impedancia-elemek összegzését grafikusan is elvégezhetjük a 21.2. ábra szerint. Az ellenállás és a kondenzátor impedancia-vektorával párhuzamost rajzolva a két vektort téglalappá egészítjük ki. A két vektor összege a téglalap átlójában húzott ferde eredő vektor.

21.2. ábra

Az eredő abszolút értéke Pythagorasz tétellel számítható. A képzetes egység az abszolút értéket nem befolyásolja, a képletben nem szabad szerepeltetni. Az impedancia abszolút értékét a felülvonás elhagyásával is jelölhetjük.

| Z RC ¯ |= Z RC = R 2 + ( 1 ωC ) 2

Az impedancia fázisszöge

ϕ=arctg 1 ωC R =arctg 1 ωRC

A fázisszög 0 és -90° közötti érték (a kapcsolás "kapacitív").

Válasszunk a generátor feszültségének tiszta szinuszos feszültséget:

u g (t)= U ^ g sinωt .

A komplex időfüggvény:

u g (t) ¯ = U ^ g e jωt .

A komplex amplitúdó:

U ^ g ¯ = U ^ g .

Az eredő impedancia a generátor feszültsége és az áram között teremt kapcsolatot

Z RC ¯ = U ^ g ¯ I ^ ¯ .

Ebből kifejezhető az áram komplex amplitúdója:

I ^ ¯ = U ^ g ¯ Z RC ¯ = U ^ g Z RC ¯ .

Az áram komplex amplitúdója ismeretében a részfeszültségek komplex amplitúdói is számíthatók.

U ^ R ¯ = I ^ ¯ Z R ¯ = I ^ ¯ R

U ^ C ¯ = I ^ ¯ Z C ¯ = I ^ ¯ (j 1 ωC )

Ebből a valós amplitúdók:

I ^ = U ^ g R 2 + ( 1 ωC ) 2 ,

U ^ R = I ^ R ,

U ^ C = I ^ 1 ωC = I ^ X C .

Feszültség-áram vektorábra

A kiszámított feszültségeket és az áramot vektorosan az impedancia-vektorábrától függetlenül, egy újabb, úgynevezett feszültség-áram vektorábrában ábrázolhatjuk (21.3. ábra). Ez a vektorábra a másiktól kissé eltér. Nem rajzolunk tengelyeket és az egymáshoz képest elforgatott, de egyébként egybevágó ábrák ugyanazon vektoregyüttes különböző pillanatbeli állapotát tükrözik. A komplex időfüggvényt egy óramutató járásával ellentétes irányú nyíllal és az " ω" felirattal érzékeltetjük.

21.3. ábra

A feszültség-áram vektorábra az impedancia-vektorábrával lehet egybevágó, de mindenképpen hasonló. Ezt erősíti meg a vektorábrákon a " ϕ" fázisszög szerepeltetése. Az áram és az ellenállás-feszültség vektora egy egyenesbe esik, szorosan egymás mellé kell rajzolni.

Az időfüggvények a vektorábrából felírhatók. Az áram időfüggvényéből célszerű kiindulni, amely ϕ fázisszöggel siet a generátorfeszültséghez képest.

i(t)= I ^ sin(ωt+ϕ)

Az ellenállás feszültsége az árammal fázisban van.

u R (t)= U ^ R sin(ωt+ϕ)

A kondenzátor feszültsége 90°-ot késik az áramhoz képest.

u C (t)= U ^ C sin(ωt+ϕ90°)

Az időfüggvényeket a jó összehasonlíthatóság érdekében közös koordinátarendszerben ábrázoljuk. A vízszintes tengelyen felmért értékeket időben adjuk meg (a fázisszögeket a körfrekvenciával osztani kellene) (21.4. ábra).

21.4. ábra
Ellenőrző kérdések
1. Hogyan számítható soros RC kapcsolás eredő impedanciája abszolút értéke?
Z RC =R+ 1 ωC ,
Z RC ¯ =R+( 1 jωC ) ,
| Z RC ¯ |= Z RC = R 2 + ( 1 2πfC ) 2 ,
| Z RC ¯ |= Z RC = R 2 + ( 1 jωC ) 2 ,
| Z RC ¯ |= Z RC = R 2 + ( 1 ωC ) 2 ,
| Z RC ¯ |= Z RC = R 2 + ( 1 ωC ) 2 ,
Z RC = R 2 + ( 1 ωC ) 2 .
2. Mekkora egy soros RC kapcsolás impedanciájának fázisszöge?
mindig 0°,
0° és 90° közé eső érték,
mindig 90°,
0° és -90° közé eső érték,
mindig -90°.
3. Hogyan alakulnak egy szinuszos feszültséggenerátorral táplált soros RC kapcsolás feszültségei a frekvencia növelésével?
az ellenállás feszültsége nő és a kondenzátor feszültsége csökken,
mindkét feszültség nő,
mindkét feszültség csökken,
az ellenállás feszültsége csökken és a kondenzátor feszültsége nő,