KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

20. lecke: A komplex impedancia fogalma és elemei

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • saját szavaival meghatározni a komplex impedancia fogalmát;
  • felírni az ellenállás, a kondenzátor és a tekercs impedanciájának képletét;
  • meghatározni sorosan és párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciáját.
Tananyag
Impedancia

Az egyenáramú hálózatokban valamely passzív elem feszültségének és áramának hányadosát, az áramakadályozó-képességet ellenállásnak nevezzük. A szinuszos áramú hálózatokban új fogalmat vezetünk be. Valamely passzív elem komplex feszültség- és áram-amplitúdójának hányadosát impedanciának nevezzük.

Z ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯

Z ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = U ^ e j ϕ U I ^ e j ϕ I = U ^ I ^ e j( ϕ U ϕ I )

Az impedancia abszolút értéke a feszültség- és az áram-amplitúdó hányadosa ohmban. Fázisszöge pedig megadja a feszültség és az áram-időfüggvény egymáshoz képesti eltoltságát, fáziseltolását. Az impedancia fázisszöge természetesen nem változik, ha az idő-koordinátarendszerünk kezdőpontját balra vagy jobbra eltoljuk, hiszen ugyan mindkét fázisszög változik, de a különbségük ugyanakkora marad. (Megjegyzés: a pillanatértékek hányadosa csak ellenállások estén használható. Reaktanciák esetén teljesen értelmezhetetlen, mert egy negyed periódus alatt a hányados befutja a teljes 0, tartományt.)

Ellenállás impedanciája

Kapcsoljuk az ellenállásunkra a következő szinuszos feszültséget!

u(t)= U ^ sinωt

A feszültség komplex időfüggvénye:

u(t) ¯ = U ^ e jωt

Az ellenállás feszültségének komplex amplitúdója tiszta valós:

U ^ ¯ = U ^

Az ellenállás árama:

i(t)= u(t) R

i(t) ¯ = u(t) ¯ R = U ^ e jωt R = U ^ R e jωt = I ^ e jωt , ebből

I ^ ¯ = U ^ R , az ellenállás áramának komplex amplitúdója is tiszta valós.

Ebből az impedancia:

Z R ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = U ^ U ^ R =R

Az ellenállás impedanciája tiszta valós, megegyezik az egyenáramú ellenállással. A feszültség és az áram között nincs fázistolás, ennek megfelelően az ellenállás impedanciájának fázisszöge nulla.

Z R ¯ =R
Kondenzátor impedanciája

Válasszuk a kondenzátor feszültségének a következő időfüggvényt.

u(t)= U ^ sinωt

A feszültség komplex időfüggvénye:

u(t) ¯ = U ^ e jωt

A feszültség komplex amplitúdója ismét tiszta valós:

U ^ ¯ = U ^

Az áram időfüggvénye:

i(t)=C du(t) dt

i(t) ¯ =C d u(t) ¯ dt =C d( U ^ e jωt ) dt =C U ^ d e jωt dt =jωC U ^ e jωt = I ^ e jωt .

Ebből az áram komplex amplitúdója:

I ^ ¯ =jωC U ^ .

A kondenzátor impedanciája:

Z C ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = U ^ jωC U ^ = 1 jωC = 1 jωC j j = j j 2 ωC = j ωC =j 1 ωC .

A kondenzátor impedanciája negatív, tiszta képzetes.

Z C ¯ =j 1 ωC
Tekercs impedanciája

Válasszuk a tekercs áramának a következő időfüggvényt.

i(t)= I ^ sinωt

Az áram komplex időfüggvénye:

i(t) ¯ = I ^ e jωt

Az áram komplex amplitúdója ismét tiszta valós:

I ^ ¯ = I ^

Az feszültség időfüggvénye:

u(t)=L di(t) dt

u(t) ¯ =L d i(t) ¯ dt =L d( I ^ e jωt ) dt =L I ^ d e jωt dt =jωL I ^ e jωt = U ^ ¯ e jωt .

Ebből a feszültség komplex amplitúdója:

U ^ ¯ =jωL I ^ .

A tekercs impedanciája:

Z L ¯ = U ^ ¯ I ^ ¯ = jωL I ^ I ^ =jωL .

A tekercs impedanciája pozitív, tiszta képzetes.

Z L ¯ =jωL

A tekercs és a kondenzátor impedanciája abszolút értékének, az úgynevezett látszólagos ellenállásnak a jelölésére használjuk:

X L =ωL, X C = 1 ωC
Megjegyzés: a tekercs és a kondenzátor impedanciájának fázisszöge 90° illetve -90°, frekvenciától függetlenül!!

A három passzív elem közül az ellenállás frekvenciától független impedanciájú. A tekercs és a kondenzátor látszólagos ellenállása frekvenciafüggő. A tekercs látszólagos ellenállása a frekvenciával egyenesen arányos, egyenáramon nulla és a frekvencia növekedésével tart a végtelenhez. A kondenzátor látszólagos ellenállása a frekvenciával fordítottan arányos. Egyenáramon végtelen és a frekvencia növekedésével tart a nullához. A passzív elemek látszólagos ellenállásának frekvenciafüggését a 20.1. ábra mutatja.

20.1. ábra

A frekvenciafüggés az időfüggvények mellett a másik fontos vizsgálati, szemléleti mód melynek elsősorban jelfeldolgozási, hírközlési berendezések, eszközök minősítésénél van nagy szerepe.

Sorosan kapcsolt elemek eredő impedanciája

Az egyenáramú hálózatoknál megismert levezetés alapján általánosíthatunk.

Tétel: Sorosan kapcsolt passzív elemek eredője az egyes elemek impedanciájának összege.

Z es ¯ = i=1 n Z i ¯
Párhuzamosan kapcsolt elemek eredő impedanciája

Szintén az egyenáramú esethez hasonló a megoldás.

Tétel: Párhuzamosan kapcsolt passzív elemek eredője az egyes elemek impedanciája reciprokából képzett összeg reciproka.

Z ep ¯ = j=1 m 1 1 Z j ¯

Az impedancia-vektorokat ábrázolhatjuk komplex vektorként. Az erre szolgáló koordinátarendszerben megadunk egy hosszúság-ellenállás egyenértéket, amely nemcsak a tengelyek mentén, hanem ferde irányban is megszabja az egy-egy vektornak vagy szakaszhossznak megfelelő ellenállást. Ebben a koordinátarendszerben más mértékegységű mennyiség ábrázolása értelmetlen! A megismert három passzív elem impedancia-vektorát ábrázolja példaképpen a 20.2. ábra.

20.2. ábra
Ellenőrző kérdések
1. Hogyan alakul egy ellenállásnak szinuszos áramú hálózatban mutatott látszólagos ellenállása a frekvencia növekedésének hatására?
csökken,
nő,
nem változik,
mindig nulla,
mindig végtelen.
2. Hogyan alakul egy kondenzátornak szinuszos áramú hálózatban mutatott látszólagos ellenállása a frekvencia növekedésének hatására?
csökken,
nő,
nem változik,
mindig nulla,
mindig végtelen.
3. Hogyan alakul egy tekercsnek szinuszos áramú hálózatban mutatott látszólagos ellenállása a frekvencia növekedésének hatására?
csökken,
nő,
nem változik,
mindig nulla,
mindig végtelen.
4. Hogyan alakul egy ellenállás szinuszos áramú hálózatban értelmezett impedanciája fázisszöge a frekvencia csökkenésének hatására?
csökken,
nő,
nem változik,
mindig 0°,
mindig 90°,
mindig -90°.
5. Hogyan alakul egy kondenzátor szinuszos áramú hálózatban értelmezett impedanciája fázisszöge a frekvencia csökkenésének hatására?
csökken,
nő,
nem változik,
mindig 0°,
mindig 90°,
mindig -90°.
6. Hogyan alakul egy tekercs szinuszos áramú hálózatban értelmezett impedanciája fázisszöge a frekvencia csökkenésének hatására?
csökken,
nő,
nem változik,
mindig 0°,
mindig 90°,
mindig -90°.
7. Hogyan számítható tetszőleges impedanciák soros kapcsolásának eredője?
A részimpedanciák vektoriális összegeként,
A részimpedanciák reciprokának vektoriális összege reciprokaként,
Z es ¯ = i=1 n Z i ¯ ,
Z ep ¯ = j=1 m 1 1 Z j ¯ .
8. Hogyan számítható tetszőleges impedanciák párhuzamos kapcsolásának eredője?
A részimpedanciák vektoriális összegeként,
A részimpedanciák reciprokának vektoriális összege reciprokaként,
Z es ¯ = i=1 n Z i ¯ ,
Z ep ¯ = j=1 m 1 1 Z j ¯ .