KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Egyenáramú hálózatok
10. lecke: Helyettesítő generátorok (Thevenin és Norton) tétele
Tanulási célok | ||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | ||
| ||
Tananyag | ||
Valós feszültséggenerátor | ||
Az ideális feszültséggenerátor kapcsain a feszültség minden körülmények között a rá megadott, "definiált" érték. Nem függ attól, hogy mekkora terhelő ellenállást csatlakoztatunk rá, vagy más megfogalmazásban attól, hogy mekkora árammal terheljük. És nem változik meg attól sem, ha bármilyen összetett hálózatra csatlakoztatjuk. | ||
A gyakorlatban generátoraink többnyire feszültséggenerátorok, az áramgenerátor megvalósítása nehézkesebb. Mégis ritkán fogadhatjuk el a műszaki megvalósítást ideálisnak. Nem kell azonban az eddig megismert, ideális elemekkel történő modellezést feladunk. |
Tétel: Egy valós feszültséggenerátor modellezhető egy ideális feszültséggenerátor és egy úgynevezett "belső ellenállás" soros kapcsolásával (10.1. ábra). | |||
|
A valós feszültséggenerátor közel ideális, ha terhelt állapotban (10.2. ábra) a kapocsfeszültség, megegyezik -vel, vagy ahhoz közeli értékű. Ha a körben áram folyik, akkor a belső ellenálláson egy belső feszültségesés jön létre. Ez a kapocsfeszültséget csökkenti: | |||
| |||
. | |||
A kapocsfeszültség tehát akkor közelíti meg az ideális generátor forrásfeszültségét, ha mind az áram, mind a belső ellenállás kicsi. Ebből a felismerésből két következtetés vezethető le. Az egyik az, hogy ha a belső ellenállás értéke nulla, akkor a valós feszültséggenerátor határeseteként az ideális feszültséggenerátorhoz jutunk. Ha nem így lenne, akkor következtetés-láncolatunkban valahol hibát követtünk volna el. | |||
A másik kérdés az, hogy mikor fogadhatjuk el a valós feszültséggenerátort közel ideálisnak. Ez akkor teljesül, ha | |||
, | |||
, | |||
, | |||
. | |||
Az áramot kifejezhetjük a generátorfeszültség és a két ellenállás soros eredőjének hányadosával: | |||
, | |||
ebből | |||
, | |||
, | |||
, | |||
reláció következik. | |||
A valós feszültséggenerátor tehát akkor tekinthető közel ideálisnak, ha a belső ellenállása az éppen alkalmazott terhelő ellenállásnál lényegesen kisebb. A reláció általános érvényű, de a mértékét minden esetben a támasztott pontossági követelmények alapján külön-külön kell meghatározni. | |||
A kapocsfeszültség alakulását egy diagramon is szemlélhetjük (10.3. ábra). Ha a terhelő áram nulla, akkor a kapocsfeszültség a generátorfeszültséggel megegyezik. Ebből a pontból a diagramon ideális feszültséggenerátor esetén egy vízszintes egyenes, valós generátor esetén egy enyhén lejtő ferde egyenes indul ki. Minél kisebb a ferde egyenes lejtése, annál jobban közelíti a valós generátor az ideálisat. | |||
| |||
Valós áramgenerátor | |||
Az ideális áramgenerátor mindig a rá jellemző, "definiált" áramot hajtja keresztül a csatlakozó hálózaton. A gyakorlatban áramgenerátorokat legtöbbször elektronikusan valósítunk meg és ezek csak jól meghatározott korlátok között képesek az ideálisat megközelíteni. Generátoraink kapcsait gyakran hagyjuk szabadon. Ez a feszültséggenerátornál nem, de az áramgenerátornál ellentmondáshoz vezet. A szakadáson ugyanis nem folyhat áram, az ideális generátornak viszont át kellene hajtani az áramát. Ilyenkor az áramgenerátorunk hibája megmutatkozik. | |||
A valós áramgenerátor modellje egy ideális áramgenerátorból és egy párhuzamosan kapcsolt belső ellenállásból áll (10.4. ábra). | |||
| |||
A valós áramgenerátor akkor közelíti az ideálisat, ha belső ellenállása kellően nagy. Az ideális áramgenerátor belső ellenállása végtelen nagy. | |||
| |||
Ha az áramgenerátor nem ideális, akkor a forrásárama megoszlik a belső ellenállás és a terhelő ellenállás között (10.5. ábra). | |||
A valós áramgenerátor közel ideális, ha a generátoráram csaknem teljes egészében a terhelésre jut. | |||
Ez akkor teljesül, ha a terhelő ellenállás árama mellett a belső ellenállás árama elhanyagolható. | |||
és | |||
. | |||
Utóbbiba behelyettesítve: | |||
A valós áramgenerátor tehát akkor tekinthető közel ideálisnak, ha a belső ellenállása az éppen alkalmazott terhelő ellenállásnál lényegesen nagyobb. | |||
Helyettesítő generátorok tétele |
Tétel: Egy általános, (ellenállásokat, feszültséggenerátorokat, áramgenerátorokat tartalmazó) lineáris hálózat két pontjára helyettesíthető mind egy valós feszültséggenerátorral, Thevenin generátorral, mind egy valós áramgenerátorral, Norton generátorral. |
A két pontot megkülönböztetésül A-val és B-vel jelöljük (10.6. ábra). | |||
| |||
A Thevenin és a Norton generátor természetesen egymásba is átalakítható. A helyettesítő generátorok jellemző adatainak meghatározásához a helyettesítendő hálózat két tetszőleges, különböző állapotát kell ismernünk. Legegyszerűbb, ha az üresjárási és a rövidzárási állapotot vizsgáljuk. | |||
Üresjárási állapot | |||
Üresjárásban egy hálózat kimenetén áram nem folyik. Ezért elegendő a három esetre az üresjárási feszültséget meghatározni. Ha a három kapcsolás üresjárási feszültsége megegyezik, akkor erre az esetre a három kapcsolás azonosan viselkedik, egymást helyettesíti. Jelöljük a helyettesítendő hálózat üresjárási feszültséget -vel! Értékét számítással vagy méréssel határozhatjuk meg, a feladat jellegének megfelelően. | |||
A Thevenin generátor üresjárási feszültsége megegyezik feszültséggenerátorának forrásfeszültségével. Ezért a helyettesítéshez az | |||
azonosságot kell biztosítani. | |||
A Norton generátor kapcsain üresjárásban a generátoráram által a belső ellenálláson ejtett feszültség jelenik meg. A helyettesítéshez tehát teljesítendő: | |||
. | |||
Rövidzárási állapot | |||
Rövidre zárt állapotban egy hálózat kimenetén feszültség nem esik. Ezért elegendő a három, egymást helyettesítő esetre a rövidzárási áramot meghatározni. Ha a három kapcsolás rövidzárási árama megegyezik, akkor erre az esetre a három kapcsolás azonosan viselkedik, egymást helyettesíti. Jelöljük a helyettesítendő hálózat rövidzárási áramát -vel! Határozzuk meg az értékét! | |||
A Norton generátor áramgenerátorának árama teljes egészében a rövidzáron folyik. A belső ellenálláson nem folyik áram. Ezért | |||
A Thevenin generátor rövidre zárásával egy zárt áramkör alakul ki. A kialakuló áramot a feszültséggenerátor feszültsége és a belső ellenállás nagysága határozza meg. Ezért az | |||
egyenlőséget kell a helyettesítéshez teljesíteni. | |||
A Thevenin generátor belső ellenállása: | |||
. | |||
A Norton generátor belső ellenállása: | |||
A két belső ellenállás tehát megegyezik, ahogyan az a 10.6. ábra jelöléseiben is látható: | |||
A belső ellenállás úgy is meghatározható, hogy a kapcsolásban található összes feszültséggenerátort rövidzárral, az összes áramgenerátort szakadással helyettesítjük (a hálózatot "dezaktivizáljuk"). Az ezután az A-B kapcsok között kialakuló eredő ellenállás megegyezik a belső ellenállással. |
Tétel: Ha az általános lineáris hálózatunkat egy Thevenin illetve egy Norton generátor két tetszőleges állapotban (például üresjárásban és rövidzár esetén) helyettesíti, akkor minden más állapotban is helyettesíti. |
A helyettesítő generátorok alkalmazása akkor célszerű, ha egy hálózatunknak az A-B kapcsaira csatlakozó több különböző terhelése mellett kell a feszültség- és az áramállapotát meghatároznunk. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Milyen egy valós feszültséggenerátor modellje?
![]() | |||||||||
2. Milyen egy valós áramgenerátor modellje?
![]() | |||||||||
3. Hogyan számítható ki a Thevenin generátor forrásfeszültsége?
![]() | |||||||||
4. Hogyan számítható ki a Norton generátor forrásárama?
![]() | |||||||||
5. Hogyan aránylik egy Thevenin és egy Norton generátor belső ellenállása?
![]() | |||||||||
6. Hogyan számítható ki a belső ellenállás?
![]() | |||||||||
7. Hogyan számítható egy Thevenin generátor forrásfeszültségéből a Norton generátor forrásárama?
![]() |