KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Egyenáramú hálózatok

10. lecke: Helyettesítő generátorok (Thevenin és Norton) tétele

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • valós generátorokat modellezni ideális generátorral és ideális belső ellenállással;
  • saját szavaival megfogalmazni a helyettesítő generátorok tételét;
  • alkalmazni a helyettesítő generátorok tételét számítási feladatok megoldására.
Tananyag
Valós feszültséggenerátor

Az ideális feszültséggenerátor kapcsain a feszültség minden körülmények között a rá megadott, "definiált" érték. Nem függ attól, hogy mekkora terhelő ellenállást csatlakoztatunk rá, vagy más megfogalmazásban attól, hogy mekkora árammal terheljük. És nem változik meg attól sem, ha bármilyen összetett hálózatra csatlakoztatjuk.

A gyakorlatban generátoraink többnyire feszültséggenerátorok, az áramgenerátor megvalósítása nehézkesebb. Mégis ritkán fogadhatjuk el a műszaki megvalósítást ideálisnak. Nem kell azonban az eddig megismert, ideális elemekkel történő modellezést feladunk.

Tétel: Egy valós feszültséggenerátor modellezhető egy ideális feszültséggenerátor és egy úgynevezett "belső ellenállás" soros kapcsolásával (10.1. ábra).

10.1. ábra

A valós feszültséggenerátor közel ideális, ha terhelt állapotban (10.2. ábra) a kapocsfeszültség, U k megegyezik U g -vel, vagy ahhoz közeli értékű. Ha a körben áram folyik, akkor a belső ellenálláson egy belső feszültségesés jön létre. Ez a kapocsfeszültséget csökkenti:

10.2. ábra

U k = U g U b = U g I R b .

A kapocsfeszültség tehát akkor közelíti meg az ideális generátor forrásfeszültségét, ha mind az áram, mind a belső ellenállás kicsi. Ebből a felismerésből két következtetés vezethető le. Az egyik az, hogy ha a belső ellenállás értéke nulla, akkor a valós feszültséggenerátor határeseteként az ideális feszültséggenerátorhoz jutunk. Ha nem így lenne, akkor következtetés-láncolatunkban valahol hibát követtünk volna el.

A másik kérdés az, hogy mikor fogadhatjuk el a valós feszültséggenerátort közel ideálisnak. Ez akkor teljesül, ha

U k U g ,

U g U b U g ,

U b << U g ,

I R b << U g .

Az áramot kifejezhetjük a generátorfeszültség és a két ellenállás soros eredőjének hányadosával:

I= U g R b + R t ,

ebből

U g R b + R t R b << U g ,

R b R b + R t <<1 ,

R b << R b + R t ,

R b << R t

reláció következik.

A valós feszültséggenerátor tehát akkor tekinthető közel ideálisnak, ha a belső ellenállása az éppen alkalmazott terhelő ellenállásnál lényegesen kisebb. A reláció általános érvényű, de a mértékét minden esetben a támasztott pontossági követelmények alapján külön-külön kell meghatározni.

A kapocsfeszültség alakulását egy diagramon is szemlélhetjük (10.3. ábra). Ha a terhelő áram nulla, akkor a kapocsfeszültség a generátorfeszültséggel megegyezik. Ebből a pontból a diagramon ideális feszültséggenerátor esetén egy vízszintes egyenes, valós generátor esetén egy enyhén lejtő ferde egyenes indul ki. Minél kisebb a ferde egyenes lejtése, annál jobban közelíti a valós generátor az ideálisat.

10.3. ábra
Valós áramgenerátor

Az ideális áramgenerátor mindig a rá jellemző, "definiált" áramot hajtja keresztül a csatlakozó hálózaton. A gyakorlatban áramgenerátorokat legtöbbször elektronikusan valósítunk meg és ezek csak jól meghatározott korlátok között képesek az ideálisat megközelíteni. Generátoraink kapcsait gyakran hagyjuk szabadon. Ez a feszültséggenerátornál nem, de az áramgenerátornál ellentmondáshoz vezet. A szakadáson ugyanis nem folyhat áram, az ideális generátornak viszont át kellene hajtani az áramát. Ilyenkor az áramgenerátorunk hibája megmutatkozik.

A valós áramgenerátor modellje egy ideális áramgenerátorból és egy párhuzamosan kapcsolt belső ellenállásból áll (10.4. ábra).

10.4. ábra

A valós áramgenerátor akkor közelíti az ideálisat, ha belső ellenállása kellően nagy. Az ideális áramgenerátor belső ellenállása végtelen nagy.

10.5. ábra

Ha az áramgenerátor nem ideális, akkor a forrásárama megoszlik a belső ellenállás és a terhelő ellenállás között (10.5. ábra).

I g = I b + I t

A valós áramgenerátor közel ideális, ha a generátoráram csaknem teljes egészében a terhelésre jut.

I g I t

Ez akkor teljesül, ha a terhelő ellenállás árama mellett a belső ellenállás árama elhanyagolható.

I g >> I b

és

I t >> I b .

Utóbbiba behelyettesítve:

U R t >> U R b

1 R t >> 1 R b

R t << R b

A valós áramgenerátor tehát akkor tekinthető közel ideálisnak, ha a belső ellenállása az éppen alkalmazott terhelő ellenállásnál lényegesen nagyobb.

Helyettesítő generátorok tétele

Tétel: Egy általános, (ellenállásokat, feszültséggenerátorokat, áramgenerátorokat tartalmazó) lineáris hálózat két pontjára helyettesíthető mind egy valós feszültséggenerátorral, Thevenin generátorral, mind egy valós áramgenerátorral, Norton generátorral.

A két pontot megkülönböztetésül A-val és B-vel jelöljük (10.6. ábra).

10.6. ábra

A Thevenin és a Norton generátor természetesen egymásba is átalakítható. A helyettesítő generátorok jellemző adatainak meghatározásához a helyettesítendő hálózat két tetszőleges, különböző állapotát kell ismernünk. Legegyszerűbb, ha az üresjárási és a rövidzárási állapotot vizsgáljuk.

Üresjárási állapot

Üresjárásban egy hálózat kimenetén áram nem folyik. Ezért elegendő a három esetre az üresjárási feszültséget meghatározni. Ha a három kapcsolás üresjárási feszültsége megegyezik, akkor erre az esetre a három kapcsolás azonosan viselkedik, egymást helyettesíti. Jelöljük a helyettesítendő hálózat üresjárási feszültséget U ü -vel! Értékét számítással vagy méréssel határozhatjuk meg, a feladat jellegének megfelelően.

A Thevenin generátor üresjárási feszültsége megegyezik feszültséggenerátorának forrásfeszültségével. Ezért a helyettesítéshez az

U T = U ü

azonosságot kell biztosítani.

A Norton generátor kapcsain üresjárásban a generátoráram által a belső ellenálláson ejtett feszültség jelenik meg. A helyettesítéshez tehát teljesítendő:

I N R bN = U ü .

Rövidzárási állapot

Rövidre zárt állapotban egy hálózat kimenetén feszültség nem esik. Ezért elegendő a három, egymást helyettesítő esetre a rövidzárási áramot meghatározni. Ha a három kapcsolás rövidzárási árama megegyezik, akkor erre az esetre a három kapcsolás azonosan viselkedik, egymást helyettesíti. Jelöljük a helyettesítendő hálózat rövidzárási áramát I rz -vel! Határozzuk meg az értékét!

A Norton generátor áramgenerátorának árama teljes egészében a rövidzáron folyik. A belső ellenálláson nem folyik áram. Ezért

I N = I rz

A Thevenin generátor rövidre zárásával egy zárt áramkör alakul ki. A kialakuló áramot a feszültséggenerátor feszültsége és a belső ellenállás nagysága határozza meg. Ezért az

U T R bT = I rz

egyenlőséget kell a helyettesítéshez teljesíteni.

A Thevenin generátor belső ellenállása:

R bT = U T I rz = U ü I rz .

A Norton generátor belső ellenállása:

R bN = U ü I N = U ü I rz

A két belső ellenállás tehát megegyezik, ahogyan az a 10.6. ábra jelöléseiben is látható:

R b = U ü I rz

A belső ellenállás úgy is meghatározható, hogy a kapcsolásban található összes feszültséggenerátort rövidzárral, az összes áramgenerátort szakadással helyettesítjük (a hálózatot "dezaktivizáljuk"). Az ezután az A-B kapcsok között kialakuló eredő ellenállás megegyezik a belső ellenállással.

Tétel: Ha az általános lineáris hálózatunkat egy Thevenin illetve egy Norton generátor két tetszőleges állapotban (például üresjárásban és rövidzár esetén) helyettesíti, akkor minden más állapotban is helyettesíti.

A helyettesítő generátorok alkalmazása akkor célszerű, ha egy hálózatunknak az A-B kapcsaira csatlakozó több különböző terhelése mellett kell a feszültség- és az áramállapotát meghatároznunk.

Ellenőrző kérdések
1. Milyen egy valós feszültséggenerátor modellje?
egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása,
egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása.
2. Milyen egy valós áramgenerátor modellje?
egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
egy ideális feszültséggenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása,
egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás soros kapcsolása,
egy ideális áramgenerátor és egy ideális ellenállás párhuzamos kapcsolása.
3. Hogyan számítható ki a Thevenin generátor forrásfeszültsége?
az eredeti generátor forrásfeszültségével egyezik meg,
a rövidzárási áram és a terhelő ellenállás szorzata,
az üresjárási feszültséggel egyezik meg,
a rövidzárási árammal egyezik meg.
4. Hogyan számítható ki a Norton generátor forrásárama?
az eredeti generátor forrásáramával egyezik meg,
a üresjárási feszültség és a terhelő ellenállás hányadosa,
az üresjárási feszültséggel egyezik meg,
a rövidzárási árammal egyezik meg.
5. Hogyan aránylik egy Thevenin és egy Norton generátor belső ellenállása?
fele,
kétszerese,
megegyezik.
6. Hogyan számítható ki a belső ellenállás?
a terhelő ellenállással egyezik meg,
az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosaként,
az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram szorzataként,
a dezaktivizált hálózatnak a csatlakozó kapcsok felőli eredő ellenállásaként.
7. Hogyan számítható egy Thevenin generátor forrásfeszültségéből a Norton generátor forrásárama?
I N = U T R b ,
I N = U T R b ,
I N = U T + R b ,
I N = U T +I R b .