KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

16. lecke: Be- és kikapcsolási jelenségek soros RL körben

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • saját szavaival megfogalmazni a be- és kikapcsolási jelenségeket soros RL körben;
  • felírni az időállandó képletét.
Tananyag
Soros RL elemek egyenfeszültségre kapcsolása

Tekintsük a 16.1. ábrán látható kapcsolást!

16.1. ábra

Most az ellenállás és a tekercs soros kapcsolását csatlakoztatjuk a K kapcsolóval t=0 pillanatban U g egyenfeszültségű generátorra. A kapcsoló zárása előtt, t<0 esetén, minden elemet feszültség-, áram- illetve energiamentesnek tekintünk, a három feszültség és az áram nulla. A kapcsoló zárása után U g egyenfeszültség jut a kapcsolásra. A hurokegyenlet:

u k ( t )= u R ( t )+ u L ( t )

A kapcsoló zárása után:

U g = u R ( t )+ u L ( t )     0t<

Felhasználva az ellenállás feszültsége és árama közötti kapcsolatot:

U g =Ri( t )+ u L ( t )

A tekercs differenciálegyenlete alapján:

U g =Ri( t )+L di( t ) dt

Az ellenállás értékével osztva:

U g R =i( t )+ L R di( t ) dt

Az RC kapcsoláséhoz nagyon hasonló differenciálegyenletet kapunk. A megoldás is hasonló:

i( t )= U g R (1 e t τ )0t<

A további időfüggvények:

u R ( t )=Ri( t )= U g (1 e t τ )

u R ( t )= U g (1 e t τ )0t<
u L ( t )= U g e t τ 0t<

Az időfüggvényeket a RC kapcsoláséhoz hasonlóan, egymás alatt a 16.2. ábrán szemlélhetjük.

16.2. ábra

Az időállandó:

τ= L R

A mértékegységekkel ellenőrizve:

[ L ] [ R ] = Vs A V A =s=[ τ ]=[ t ]

Az időfüggvények megrajzolásánál τ helye ugyanaz, mint RC kapcsolás esetében. Tulajdonképpen az ellenállás és a reaktáns elem feszültségét cseréltük fel. Az áram pedig mindig az ellenállás feszültségének időfüggvényéhez kötődik.

A tekercs differenciálegyenletéből itt kikövetkeztethető, hogy a tekercsnél annak áramában nem lehet ugrás. (Megjegyzés: ez a magyarázata annak a gyakorlatban tapasztalt jelenségnek, hogy a nagyobb tekercset tartalmazó kapcsolások kikapcsolásakor erős szikrázás tapasztalható, ami a kapcsoló élettartamát csökkenti.)

Soros RL elemek kikapcsolása

Az előző, bekapcsolási esetet követheti a kikapcsolás a 16.3. ábra szerinti kapcsolásban.

16.3. ábra

A kikapcsolás a K kapcsolónak a felső állásból az alsó állásba elvileg nulla idő alatt történő átváltásával valósul meg. A gyors, gyakran elektronikus átváltás lehetővé teszi, hogy az áram változatlan maradjon. A kapocsfeszültségben a kapcsoló átváltásakor most a generátorfeszültségből nullába való ugrás következik be. A differenciálegyenlet is egyszerűbb:

u K ( t )=Ri( t )+L di( t ) dt

Az átkapcsolás, t=0 után:

0=Ri( t )+L di( t ) dt       0t<

0=i(t)+ L R di(t) dt       0t<

Ez egy homogén differenciálegyenlet, mely átrendezve így alakul:

i(t)= L R di(t) dt ,

és azt a kérdést veti fel számunkra, hogy (a konstansoktól eltekintve) melyik az a függvény, amelynek a deriváltja önmaga. Erre a matematikában a közismert megoldás a természetes alapú exponenciális függvény.

y= e x

A mi esetünkben a megoldás, a következő:

i(t)= U g R e t τ

A tekercs lassan elveszti áramát, árammentessé válik. Az időfüggvény kiinduló értékét a bekapcsolás utáni, állandósult állapotból "megörököltük". Ez indokolja, hogy bár a kikapcsolás után nem marad U g forrásfeszültségű generátor az áramkörünkben, annak értéke az áram időfüggvényében mégis szerepel. Az időállandó változatlan.

τ= L R

A feszültségek:

u R (t)=Ri(t)= U g e t τ

u R (t)= U g e t τ

u L (t)= u R (t)= U g e t τ

u L (t)= U g e t τ

A kikapcsolási tranziens (átmeneti) folyamat is gyakorlatilag 5 τ idő alatt lezajlottnak tekinthető. Utána az elemek feszültség- és árammentesek lesznek. Egy bekapcsolási, majd annak gyakorlatilag teljes lezajlása után, t1 pillanattól a kikapcsolási átmeneti folyamat időfüggvényeit a 16.4. ábrán szemlélhetjük.

16.4. ábra

Soros RL és RC elemek egyenfeszültségre kapcsolása esetén a feszültségek és az áram keresése a differenciálegyenlet egyértelmű megoldásával exponenciális időfüggvényeket eredményezett. Összetettebb kapcsolás vagy gerjesztő időfüggvény összetettebb megoldást eredményez. Például egy ellenállás-tekercs-kondenzátor kapcsolás saját frekvenciával rendelkezik, és csillapodó lengéseket eredményezhet. Az általános hálózat és időfüggvény tárgyalása elvileg is nehézkes, bonyolult feladat. Jól kezelhetővé problémáink akkor válnak, ha vizsgálatainkat periodikus időfüggvényekre korlátozzuk.

Ellenőrző kérdések
1. Soros RL kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U L e t τ ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) .
2. Soros RL kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után a tekercs feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U L e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) .
3. Soros RL kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az áram időfüggvénye?
i( t )= U g R e τ t ,
i( t )= R U R ( 1 e t τ ) ,
i( t )= U g R e t τ ,
i( t )= U g R ( 1 e t τ ) ,
i( t )= U R R e t τ ,
i( t )= I R ( 1 e t τ ) .
4. Egy tekercsnek melyik időfüggvényében nem lehet ugrás?
a feszültségében,
az áraméban,
egyikben sem lehet,
mindkettőben lehet.
5. Hogyan számítható egy soros RL kapcsolás egyenfeszültségre kapcsolásakor értelmezett időállandó?
τ= R C ,
τ= 1 RL ,
τ=RC ,
τ= R L ,
τ= L R ,
τ=RL .
6. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RL kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után a tekercs feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U L e t τ ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) .
7. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RL kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U L e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) .
8. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RL kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az áram időfüggvénye?
i( t )= U g R e τ t ,
i( t )= R U R ( 1 e t τ ) ,
i( t )= U g R e t τ ,
i( t )= U g R ( 1 e t τ ) ,
i( t )= U R R e t τ ,
i( t )= I R ( 1 e t τ ) .