KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Váltakozóáramú hálózatok
24. lecke: Teljesítmény-időfüggvény és átlagteljesítmény ellenálláson. A hatásos teljesítmény
Tanulási célok | |||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | |||
| |||
Tananyag | |||
Váltakozóáramú teljesítmény | |||
Az egyenáramú hálózatokhoz hasonlóan, foglalkozzunk most is, a bennünket érdeklő kapcsolások feszültség- és áramállapotainak vizsgálata után, a teljesítményviszonyokkal. Az egyenáramú hálózatoknál ez egyszerű feladat volt, mert ott konstans értékeket kaptunk eredményül. Változó áram és feszültség esetén a szorzatuk, a teljesítmény is természetesen időben változó érték. | |||
Előző vizsgálatainkból azt is tudjuk, hogy a szinuszos feszültség és az áram időfüggvény egymáshoz képest eltérő helyzetű aszerint, hogy milyen áramköri elemen jön létre. A teljesítményviszonyokat is célszerű külön vizsgálni ellenállásra, reaktanciákra és általános impedanciákra vonatkozóan. Az időfüggvény jellegét tekintve csak a periodikus időfüggvény esetén érdemes részletes vizsgálatot végezni. A nemperiodikus időfüggvény vagy véges időtartamú és véges energiájú, tranziens, vagy időben nem korlátozott, és így összességében végtelen energiájú. | |||
Váltakozóáramú teljesítmény ellenálláson | |||
Kapcsoljunk egy ellenállást szinuszos feszültségre. | |||
Az ellenállás árama: | |||
Az ellenállás teljesítménye: | |||
A szinusznégyzet-függvényt ismert trigonometriai átalakítással tovább írhatjuk: | |||
| |||
Ezt a teljesítmény-időfüggvényt ábrázolja a 24.1. ábra. Az időfüggvény a vízszintes tengelyt felülről érinti, minden pillanatértéke nemnegatív, vagyis nulla vagy pozitív érték. Kétszeres frekvenciájú, az amplitúdóértékkel fölfelé eltolt, a jelen ábrázolásban mínusz koszinuszos függvény. A változó teljesítményértéket bármelyik pillanatban leolvashatjuk. Ennél azonban sokkal nagyobb jelentősége van annak, hogy milyen közepes, átlagos teljesítményre számíthatunk hosszabb idő után. | |||
A villamos energiaellátás hazánkban 50 Hz frekvenciájú szinuszos feszültséggel valósul meg. | |||
A periódusidő rövid az emberi cselekvésekhez képest, ezért a mindennapi életben a teljesítmény-időfüggvény helyett valamely elem teljesítményállapotát az egy periódusra vett átlagértékkel jellemezzük. Ezt a felírt függvénynek egy periódusra vett integráljával számítjuk. (Tekintettel arra, hogy a teljesítmény-időfüggvény dupla frekvenciájú, a fél periódusra végzett integrálás is ugyanazt az eredményt adná.) Az átlagteljesítmény jelölésére vezessük be: P. | |||
Az integrálás eredménye, az átlagteljesítmény a feszültség- és az áramamplitúdó szorzatának a fele, ahogyan az időfüggvények ábrájából is sejthető. A vonalkázott területek leforgatva éppen kiegészítik téglalappá a görbe alatti felületet. A kettes osztót pedig megoszthatjuk a két amplitúdó között. | |||
Effektív érték | |||
Az így kapott két értéket effektív értéknek nevezzük. Az effektív értéket a teljesítményszámításnál használjuk. Az effektív érték szinuszos időfüggvények esetén a csúcsérték osztva -vel. | |||
Az effektív érték a leggyakrabban használt érték, ezért jelölését elhagyhatjuk. Szinuszos áramú hálózatokban az alsó index nélküli feszültség vagy áram jel az effektív értéket jelenti, és csak akkor használunk jelölést, ha a csúcsértékre vagy más középértékre akarunk utalni. A szinuszos feszültségre való hivatkozáskor is az effektív értéket adjuk meg. Például az energiaellátó hálózat hagyományosan 220 voltosnak mondott, vagy a napjainkban szabványos 230 voltos értéke is effektív érték. Az ezekhez tartozó csúcsértékek számíthatók. | |||
| |||
A villamos mérőműszereket is effektív értékre szokás skálázni. Az effektív érték tulajdonképpen egy középérték, mégpedig négyzetes középérték. Kiszámítása általános periodikus időfüggvény esetén integrálással lehetséges. | |||
A számítás során rövid, dt időtartamra állandónak tekintjük a pillanatérték négyzetét és egy kicsiny dt szélességű, magasságú téglalap területét képezzük. Az integrálás ezen keskeny téglalapoknak az összegzése egy teljes periódusidőre. Az integrálás eredményét úgy tekintjük, mint egy periódusidő szélességű, átlagos feszültségnégyzet magasságú téglalap területét. A télalap magasságát periódusidővel való osztás révén kapjuk meg. A négyzetes középérték a téglalap magasságából vont négyzetgyök. (Megjegyzés: nyelvünk szépen érzékelteti, hogy egy középérték "közepes", azaz a csúcsértéknél nem nagyobb. A középértékek, és így az effektív értékek is általában csúcsértéknél kisebbek, nulla és csúcsérték közé esnek. Kivétel az időtengelyre szimmetrikusan azonos értéket felvevő négyszögjel, melynek effektív értéke megegyezik a csúcsértékkel, nem kisebb annál.) | |||
Hatásos teljesítmény | |||
A vizsgálatainkban szereplő szinuszos feszültség az ellenálláson munkát végez. Az egy periódus alatt elvégzett munkát integrálással számíthatjuk. | |||
A teljesítmény-pillanatértéket rövid időre állandónak tekintjük, és képezzük egy elemi, keskeny téglalapnak a területét. A terület egy elemi munkarész. Az integrálás az elemi, keskeny téglalapok területének összegét, a göbe alatti területet eredményezi. Ez éppen az a mód, ahogyan korábban ellenállásunkon az átlagteljesítményt is számítottuk. Ezért az integrálás helyett az átlagteljesítményt felhasználva is kifejezhetjük az egy periódus alatt elvégzett munkát a szorzattal. | |||
Megjegyzés: a hatásos teljesítmény nem tévesztendő össze a "hasznos"-sal. | Az ellenálláson a villamos teljesítmény elfogyasztásra kerül. Átalakul más (mechanikai, hő, fény, kémiai, stb.) teljesítménytípussá. Azt a váltakozóáramú teljesítményt, amely más teljesítménytípussá átalakul, hatásos teljesítménynek nevezzük. |
Tétel: Ellenálláson mindig hatásos teljesítmény jön létre. | ||
Tétel: Hatásos teljesítmény csak ellenálláson jön létre. |
A hatásos teljesítmény jele: P. | ||
Mértékegység jele: W, neve: watt. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||||||||
1. Milyen a teljesítmény-időfüggvény egy szinuszos áramú hálózatban ellenálláson?
![]() | |||||||||||||||
2. Milyen értékeket vesz fel a teljesítmény-időfüggvény ellenálláson szinuszos feszültség mellett?
![]() | |||||||||||||||
3. Milyen teljesítményértékkel jellemezzük egy ellenállás teljesítményállapotát?
![]() | |||||||||||||||
4. Hogyan számítható egy szinuszos időfüggvény effektív értéke?
![]() | |||||||||||||||
5. Hogyan számítható egy általános periodikus u(t) függvény effektív értéke?
![]() | |||||||||||||||
6. Milyen teljesítmény jön létre ellenálláson?
![]() | |||||||||||||||
7. Milyen elemen jön létre hatásos teljesítmény?
![]() | |||||||||||||||
8. Mi a hatásos teljesítmény jele?
![]() | |||||||||||||||
9. Mi a hatásos teljesítmény mértékegységének a jele?
![]() | |||||||||||||||
10. Mi jellemzi a hatásos teljesítményt?
![]() |