4. lecke: Függvényábrázolás
| Cél: Műszaki és gazdasági folyamatoknál a vizsgált jelenség szinte minden esetben - egyszerű vagy bonyolultabb - matematikai függvényekkel írható le, vagy esetleg közelíthető ilyenekkel. Bármely, a jelenség természetével kapcsolatos kérdés megválaszolásához hasznos (vagy akár: elengedhetetlen), ha ábrázoljuk ezeket a függvényeket, és a további elemzést (pl.: szélsőértékek, trendek, előrejelzés) az ábra alapján végezzük el. |
Sok programrendszer nyújt magas szintű támogatást és kínál kényelmes eszközrendszert a függvényábrázoláshoz és -vizsgálathoz. Az Excel vonatkozó lehetőségeinek megismerése ("klasszikus függvényvizsgálat") után tananyagunkban még továbblépünk a regressziós és a paraméterbecslési problémákra. Ráadásul - mint a későbbiekben látni fogjuk - a Matlab rendszerben is hasonló ötletekkel és eszközökkel találkozunk majd a feladatok megoldásánál, az itt megszerzett tudás tehát nagy részben eszközfüggetlen, univerzális. Mindezt Ön is jól tudja majd a saját munkájában hasznosítani, az alkalmazások tárháza meglepően széleskörű. |
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha (az Excel segítségével) |
- El tud készíteni a(z egyváltozós) függvényábrázoláshoz egy megfelelően sűrű alappont-sorozatot;
- A megadott matematikai képlet alapján be tudja írni az Excelbe a(z egyváltozós) függvényértéket meghatározó másolható (!) kifejezést;
- Képes ábrázolni a megfelelő diagramtípus kiválasztása után az x és y adatsorozatokat;
- Képes a nyers grafikon megfelelő "hangolására";
- Szükség esetén fel tud vinni új adatsorokat már létező diagramra;
- Meg tudja határozni Solverrel (az egyváltozós esetben) a nevezetes pontokat, és ezeket jelölővel fel is tudja vinni a diagramra;
- Képes paraméteresen adott (ha ismert az x és y értékeket előállító képlet) függvények ábrázolására, a grafikon hangolására, nevezetes pontok meghatározására és ábrára történő felvitelére;
- Képes egyszerű regressziós feladatok megoldására.
|
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához (a feladatok megoldásával együtt) hozzávetőlegesen 3 órára lesz szüksége. |
Kulcsfogalmak |
- Függvény grafikonja, pont diagramtípus, jelölő;
- "Hangolás", nevezetes pontok;
- Paraméteresen adott függvény;
- Regresszió, R-négyzet érték.
|
Áttekintés, matematikai alapok |
Ha függvényeket szeretnénk ábrázolni, akkor legalább a praktikus használat szintjén tisztában kell lennünk a megfelelő matematikai meghatározásokkal és tulajdonságokkal! Ez a jegyzet nem matematikai témájú, ezért a részletezés helyett az alábbiakban csak felsoroljuk azokat a fogalmakat (ismereteket), amelyeket mi is természetesen használni fogunk. Az időnként szükséges további részleteket a megfelelő tevékenység (feladatrész) leírásánál külön közöljük majd. Az érdeklődő olvasónak bevezető felsőoktatási matematika tankönyveket javaslunk tanulmányozásra. |
Szükséges fogalmak, ismeretek: |
- Függvény definíciója (reláció, rendezett pár, ...);
- Értelmezési tartomány, értékkészlet, leképezés (képhalmaz, őskép);
- Alapfüggvények diagramja (parabola, négyzetgyökfüggvény, polinomfüggvények, gyökfüggvények, trigonometrikus függvények, exponenciális és logaritmikus függvények);
- Függvényvizsgálat (szakadási helyek, határértékek, monotonitás, szélsőértékek, konvexitás, inflexiós pontok);
- A szélsőérték létezésének szükséges és elégséges feltételei;
- Derivált függvény, primitív függvény.
|
Ha szükségét érzi, keressen egy megfelelő bevezető matematika tankönyvet, és frissítse fel ismereteit a fenti témákban! |
A tangens függvény hibás és korrekt ábrázolása (Maple rendszer) | |
Elemezze a tangens függvény kirajzoltatására készült két ábrát (Maple rendszer)! Milyen hibákat lát a bal oldali ábrarészen? A rajzoló parancs alapján milyen ötlettel javítottuk a hibákat a jobb oldali ábrarészen? |
A következőkben áttekintjük azokat az általános lépéseket (megfelelő magyarázattal), amelyeket követve Excelben a függvényábrázolási feladat megoldható. |
Az ábrázoláshoz és értékeket tartalmazó táblázat szükséges, ezt kell először elkészíteni (látni fogjuk, hogy más megoldás is alkalmazható lenne, pl. szimbolikusan vagy függvénydefiníció alapján is meg lehetne valósítani ugyanezt - Matlab vagy Maple rendszer). |
Az értéktáblázat jellemzői: |
- Célszerűen fejléces;
- A beosztást (értelmezési tartomány pontjai) célszerű megfelelően sűrűre venni (ne legyen "szaggatott" a függvény; az értelmezési tartomány szakadásait fel kell ismernünk!);
- A beosztás matematikai függvényábrázolási feladatnál kötelezően monoton növekvő sorozat;
- A második adatoszlop/sor a beosztás pontjain felvett függvényértékeket tartalmazza;
- Egyszerű esetben 2 adatoszlop/sor, de több is lehet (ha több függvényt szeretnénk egyszerre ábrázolni).
|
Az elkészült értéktáblázat kijelölése után indítjuk a varázslót (Beszúrás/Diagramok). A Pont alaptípust válasszuk, görbített vonalakkal, jelölők nélkül (vigyázzunk, más kézenfekvőnek tűnő választások nem alkalmasak erre a célra!). |
A beszúrt diagramot tekintsük át, hogy a függvény lefutása megfelel-e előzetes elképzelésünknek (ellenőrzés). Ha esetleg hibát követtünk el, az adatsort javítsuk. |
Az elkészült nyers grafikon szinte biztosan tartalmaz néhány olyan szépséghibát, amelyek korrekcióra szorulnak ("hangolás"). Ide tartozó tevékenységek tipikusan: |
- Tengelyek léptékének beállítása;
- Grafikon vonalvastagságának és színének beállítása.
|
Az utólagos módosítás egyéb lehetőségeit hajtjuk végre utoljára, amennyiben ilyenek szükségesek. Ilyen tevékenység lehet: |
- A forrásadatok bővítése új adatsorral;
- További adatsorhoz másodlagos tengely rendelése és ennek hangolása.
|
Egyes nevezetes pontok ábrán való megjelenítése is a feladat részét képezheti. A függvényábrázoláshoz kapcsolódó kiegészítő tevékenység lehet a regressziós elemzés és a hozzá kapcsolódó előrejelzés. |
A leckében bemutatjuk az Excel támogatását a kétváltozós függvények ábrázolásához is, de ez nem képezi a törzsanyag tárgyát. |
Egyváltozós függvények ábrázolása |
A függvényábrázolás fent megismert lépéseit egy konkrét feladaton keresztül mutatjuk be részletesen. |
Ábrázoljuk a következő függvényeket a [-4; 4] intervallumban! |
|
Ezek a standard normális eloszlást jellemző függvények. (Az Excelbe beépítettek, NORM.ELOSZLÁS(), ill. NORM.ELOSZL() - 2003-as Excel - néven!) |
A kidolgozott lépéseket a következőkben próbálja ki Ön is a parancsok begépelésével, ill. a megfelelő menüpontok hívásával. |
1. lépés: Az adattábla létrehozása |
- Fejlécek begépelése (görög betűk és egyéb jelek esetén: Beszúrás/Szimbólum).
- Az x oszlopbeli adatok kitöltése (kellően sűrű sorozat, kitöltéssel a már ismert módon). Nálunk most a kezdőérték -4, a megfelelő lépésköz 0,1.
- Első függvényértékek bevitele a B és C oszlopokba:
- =NORM.ELOSZLÁS(A2;0;1;0) =NORM.ELOSZLÁS(A2;0;1;1)
|
Ezt másoljuk az oszlop többi cellájába. A NORM.ELOSZLÁS() függvény 2. és 3. adata egy normális eloszlás várhatóérték és szórás paramétereit közli, ami standardizált eloszlások esetén mindig 0 és 1. Az utolsó 4. adat egy flag, ami azt jelzi, hogy a valószínűségsűrűség-függvényre, vagy a kumulatív eloszlásfüggvényre van-e szükségünk. |
2. lépés: A diagram elkészítése |
Kijelöljük a forrásadat-tartományt - az x, , oszlopokat - fejléccel együtt, majd a diagramot létrehozzuk a Beszúrás/Diagramok/Pontdiagramok/Pont görbített vonalakkal jelölők nélkül menüsoron keresztül. |
Fejléces értéktáblázatból jelölő nélküli görbített vonalas diagram | |
3. lépés: A grafikon hangolása |
A hangolást a Diagrameszközök/Elrendezés menüszalagon kezdeményezhetjük. A Diagramterület legördülő menüben kiválasztjuk azt a grafikus objektumot, amit módosítani akarunk, majd Kijelölés formázása indításával elvégezzük a hangolást. (Ugyanezt jobb egérklikkel is aktiválhatjuk.) |
A függvénygörbéink színét és vonalvastagságát állítjuk be először (következő ábra). |
Vonalstílus-beállítások | |
Jelölő nélküli görbített vonalas diagram 0,5 pontos vonallal | |
Ezután a tengelyek rendbetétele következik. Itt a következő beállítási lehetőségeket alkalmazhatjuk (megjegyezzük, hogy nem kell minden esetben az összes alapbeállítást módosítani, csak a szükségeseket): |
- Min. és max. értékek korrigálása (a tényleges intervallumra korlátozás);
- Fő lépték beállítása;
- Tengelyek metszéspontja;
- Számformátum - tizedes jegyek;
- Tengelyfeliratok helye - pl. alul.
|
Mi most a függvények kirajzoltatását a tényleges intervallumra korlátoztuk és módosítottuk az y tengelynél a számformátumot, ill. a tengelyfelirat helyét (következő ábra). |
Adott intervallumra korlátozott görbített vonalas diagram | |
Az alacsonyabbik vonalat másodlagos tengellyel is elláthatjuk az Adatsor formázásakor (jobb egérklikk), amit természetesen ismét hangolhatunk. Ez a lépés általánosan akkor lehet fontos, ha a két függvény értékei nagyságrendileg is különbözők. Az előző ábrán a felvett másodlagos tengely skálázásának számformátuma még nem lett hangolva! Láthatóan még ezt is be kell állítani! |
Másodlagos értéktengellyel ellátott görbített vonalas diagram | |
Mit gondol, hogyan azonosítható egyértelműen az első és a másodlagos y tengelyhez tartozó két függvény? Figyelje meg az ábrán a színek megfelelő használatát! |
4. lépés: Új adatsor készítése és felvétele |
A továbbiakban numerikus integrálással meg akarjuk határozni a sűrűségfüggvény alatti területet (alappontonként), és fel szeretnénk rakni a diagramra. (Reményeink szerint így közelítőleg az eloszlásfüggvény pontjait kapjuk.) |
Az integrál közelítő meghatározására a nagyon egyszerűen számolható trapéz formulát alkalmazzuk. Egy kis trapéz területe úgy áll elő, hogy két szomszédos alappont távolságát megszorozzuk a szomszédos függvényértékek összegének a felével, és ehhez még hozzá kell adni az előző sorban szereplő területértéket (D oszlop, következő ábra). A D2-es cella másolással kap értéket (C2-ből). |
Új adatsor/oszlop készítése a trapézszabály alkalmazásával | |
Az új adatsor/oszlop diagramra történő felvitele egyszerűen egy már létező grafikonon történő jobb egérkattintással kezdeményezhető, itt a helyi menüben az Adatok kijelölése... pontot választjuk (a funkció a Tervezés menüszalagon is elérhető). A megjelenő párbeszédablakban a Hozzáadás gombra kattintunk, és értelemszerűen megadjuk az adatsor jellemzőit. |
Új adatsor/oszlop felvitele a diagramra | |
A diagramot ezután viszont újra hangolni kell, mert az új adatsor (alapbeállítás szerint zöld színnel) teljesen elfedi a régi eloszlásfüggvényt. A megoldás az, hogy a folytonos vonalas megjelenítést az új adatoszlopnál jelölősre módosítjuk. A jelölő típusa legyen kör, mérete pl. 2-es, a zöld színt nem kell megváltoztatni. |
Végezze el önállóan a hangolást (adatsor formázása, nincs vonal, jelölő van, lásd következő ábra). |
Jelölő beállításai | |
Az új adatsor jelölős megjelenítése | |
5. lépés: Nevezetes pontok keresése, ábrázolása |
A függvények nevezetes pontjainak meghatározására a Solver eszközt használjuk fel (célérték keresés). Ilyen típusú feladatok megoldásakor mindig másolt, külön kis adattáblázattal dolgozunk, az eredeti adatsort nem szabad módosítani! |
Példaképpen kerestessük meg az eloszlásfüggvényen azokat a helyeket, ahol az a 0,25 illetve a 0,75 értékeket veszi fel (kvartilisek). Ehhez az értéktáblázatból alkalmas üres területre kimásolunk egy megfelelő szeletet, ezután ellenőrizzük a hivatkozásokat, majd elvégezzük a Solveres keresést. |
Nevezetes pontok keresése, inicializálás és a megoldott feladat | |
Ezután az aktív diagramon a másodlagos egérrel (jobb kattintás) kezdeményezett menüben az Adatok kijelölése pontot választjuk, és a kis értéktáblázatunk , koordinátájú pontjait felvesszük a grafikonra. Végül folytonos vonal helyett jelölős megjelenítést választunk. Vigyázzunk arra, hogy pontok kijelölése rákattintással általában nem lehetséges! (Itt a Tervezés menüszalag használata célszerű.) |
Nevezetes pontok a diagramon, megjelenésük hangolás után | |
További nevezetes pontok meghatározása szintén célérték kereséssel oldható meg. Zérushely esetében a feladat egyértelmű. Minimum- vagy maximumpontnál nemcsak a függvényértékek minimalizálását vagy maximalizálását kérhetjük, hanem azt is, hogy a deriváltfüggvény értéke az adott helyen legyen 0. (Már persze amennyiben van deriváltfüggvényünk.) |
Függvények metszéspontját úgy célszerű előállítanunk, hogy a különbségfüggvény zérushelyét határozzuk meg. Ilyen esetekben tilos második értéktengelyt használni! |
Határozza meg a sűrűség- és az eloszlásfüggvény metszéspontját, és vigye fel az ábrára! Próbálja ki, hogy mi történik, ha másodlagos értéktengelyt állít be! |
Paraméteresen adott függvények |
A műszaki életben sok síkgörbe csak paraméteresen adható meg, a pontjainak x és y koordinátái közötti kapcsolatot direkt képlettel nem lehet leírni. Sok esetben a paraméteres megadást a polárkoordinátás leírás jelenti. Más esetekben a paraméterek jelentése már összetettebb lehet. |
Ilyen, paraméteresen adott görbék például a kardiodid, epiciklois, lemniszkáta, Descartes-levél, Archimédeszi spirális stb. Ezeket a görbéket az Excel segítségével nem túl bonyolult feladat ábrázolni, amennyiben a képletüket ismerjük. (A képletek megtalálhatók matematikai, műszaki, közgazdász zsebkönyvekben, illetve az interneten is.) |
Vegyük például a körevolvenst és az epicikloist. Ezek metszik egymást. Az ábrázolás mellett feladatunk az lesz, hogy a metszéspontjaikat meghatározzuk. |
Egyenleteik paraméteresen adottak: |

|
Legyenek a síkgörbéink paraméterei: |
, , . |
Első lépésként elkészítjük az értéktáblázataikat, a körevolvensét 2 fokonként, az epicikloisét fokonként 0-tól 360 fokig (A és E oszlop). A fokok alapján radiánt számolunk, ehhez beépített függvény vagy direkt képlet is használható (B és F oszlop). Az és az értékek előállításánál a számolt radián értékeket használjuk fel (C és D, ill. G és H oszlop), a paraméterekre nevesítve hivatkozunk (következő ábra). |
Körevolvens és epiciklois fejléces értéktáblázata | |
A leírás alapján Ön is hozza létre az értéktáblázatokat, majd a további lépéseket követve ábrázolja a függvényeket és határozza meg a metszéspontokat. |
Ezután következik a diagram létrehozása. Először az , értékpárokból készítjük el a folytonos vonalú pontdiagramot, majd aktív diagramterületnél az Adatok kijelölése menüben Hozzáadjuk az , értékpárokat. A vonalak színét, vastagságát, a tengelyeket meghangoljuk (következő ábra). |
Jegyezze meg, hogy paraméteresen adott görbék esetében a fok, ill. radián értékeket nem vesszük bele az ábrázolni kívánt sorozatok közé! |
Három metszéspontot találunk. A metszéspontok közelítő koordinátapárjait megkeressük mindkét síkgörbe táblázatában, és ezeket a szögadatokkal együtt külön táblázatrészbe másoljuk azért, hogy a Solverrel a metszéspontokat pontosítsuk. |
A Solvernek azt a feladatot adjuk, hogy egy metszéspont megkeresése érdekében az |
|
értékét minimalizálja a és az értékek módosítása révén (négyzetes eltérés). Az egyszerre módosítandó cellák az első metszéspont keresésekor a ábrán látható táblázat J28; N28 cellái lesznek. |
Körevolvens és epiciklois metszéspontjai, és a Solveres kereséshez szükséges táblázat | |
Mindhárom metszéspont meghatározása után az Adatok kijelölése menüben a zölddel jelölt területről Hozzáadjuk a metszéspontok koordinátáit csak jelölővel, de vonal nélkül. |
Felületábrázolás |
Folytonos kétváltozós függvénnyel megadott felületet is gyorsan lehet ábrázolni az Excellel. Ehhez szintén értéktáblázat kell, oly módon, hogy az alapsíkon egy rácsháló szélein az ill. értékeit felsoroljuk és a belső rácspontokban felvett függvényértékeket a belső cellákban elhelyezzük. |
Példaként tekintsük a következő hiperbolikus paraboloidot: |
|
Legyen az paraméter értéke 2, a paraméteré pedig 3 (a megfelelő cellákat elneveztük). Az előkészített rácsháló a következő ábrán látható. |
Létrehozunk egy "x" nevet, amelyik az A oszlopra hivatkozik (vegyes hivatkozással), és egy "y" nevet, amelyik a 3. sorra. Így mindegyik belső cellába ugyanaz a képlet kerül, mint amit a D6 cellában látunk. |
A leírás alapján Ön is hozza létre a 2-dimneziós értéktáblázatot, majd a további lépéseket követve ábrázolja a kétváltozós függvényt. |
Kétváltozós függvény megjelenítéséhez szükséges értéktáblázat  | |
Jelöljük ki az és értékeket is tartalmazó A3:V24 blokkot és a Beszúrás/Egyéb diagramnál a Felületet válasszuk. Az aktív diagram vásznán másodlagos egérgombbal válasszuk a Forgatás menüpontot, és a forgatási szöget ízlésünk szerint beállíthatjuk. |
A függvény megjelenítése után szükséges lehet még további hangolás (értéktengelyek skálázása), ezt a korábbiaknak megfelelően hajthatjuk végre. |
Kétváltozós függvény megjelenítése forgatással  | |
Trendvonalak |
Gyakori feladat az, hogy mérési adatsorainkhoz a feladat fizikai, gazdasági törvényszerűségeinek megfelelő függvényt illesszünk. Az illesztett függvényről többnyire nem követeljük meg azt, hogy minden mérési pontra illeszkedjék (interpoláció esete), hanem csak azt, hogy összességében a lehető legkisebb hibával közelítse a mérési adatpontjainkat (regressziós feladat). Az Excel néhány egyszerűbb típusfüggvényre ezt az illesztést azonnali szolgáltatásként nyújtja, amit az Excel trendvonalnak nevez. |
A trendvonal szolgáltatáshoz először el kell készíteni az (x; y) pontpárjaink pontdiagramját (fontos: ne kössük össze a pontokat). A trendvonal szolgáltatás aktív diagram mellett kérhető a Diagrameszközök/Elrendezés/Elemzés/Trendvonal menüben. Itt mindig célszerű a További trendvonal beállításokat választani. A kiválasztott típushoz további szolgáltatásokat is kérhetünk, mint például a képlet, vagy R-négyzet megjelenítését, vagy a megadott x intervallumon túli folytatást (előrejelzés) is. |
Trendvonalak a pontdiagramon | |
Az R-négyzet, az ún. determinációs együttható a közelítés jóságát jellemzi. Ez valójában az eredeti és a becsült y értékpárok korrelációs együtthatójának a négyzete. Minél közelebb van 1-hez, annál jobb a közelítés. A grafikonra kikért információk helye, színe, betűtípusa, a számok tizedes jegyeinek száma, stb. utólag is hangolható. |
Mivel az Excel alapértelmezésben mindig fekete színt használ a trendvonalas ábrákhoz, ezért ha már legalább két regressziós görbét felrakunk az ábrára, akkor állítsuk be a színeket különbözőre (pl. első görbe: piros, második görbe: kék, harmadik görbe: zöld stb.). A görbék színének megfelelően a jelmagyarázatot is színezzük át (előző ábra). |
Vegyen fel néhány adatpontot egy munkalapra, és a kapott pontdiagramhoz kérjen különböző fokszámú trendvonalakat. Kérje ki az egyenleteket és az R-négyzet együtthatókat is. Állítsa be megfelelően a színeket. Figyelje meg, hogy magasabb fokú közelítés esetén az R-négyzet együttható értéke közelebb van 1-hez. |
Nemlineáris regresszió, paraméterbecslés (olvasmány) |
Az Excel beépített trendvonal szolgáltatásai csak az egyszerűbb függvényekkel való közelítésre alkalmasak. Összetettebb, több paraméterrel rendelkező függvénnyel való közelítésre a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazva a Solver ad lehetőséget. |
Ekkor a következőképp járunk el. Legyen adott az és összetartozó értékpárok sorozata. A probléma jellegéből adódóan tudjuk (nagyjából vagy akár egészen pontosan), hogy milyen típusú függvényt kell illesztenünk és a paraméterek szóba jöhető értékintervallumát is ismerjük (lásd még az alfejezet végére írt megjegyzést). Ez utóbbiból választunk kezdő paraméter értékeket, majd ezek és a képlet segítségével becslést adunk az y értékekre. A tényleges és becsült y értékek persze jócskán eltérhetnek. |
Nemlineáris többparaméteres regresszió előkészítése  | |
Az előző ábrán egy speciálisan gerjesztett, de időben csillapodó rendszer időbeli viselkedésének paramétereit becsüljük a mért adatokból. Az A, B paraméterek elsősorban a gerjesztést jellemzik, a D csillapítási tényező a rendszertől függ és az E paraméter a végső és stabil egyensúlyi állapotot jellemzi. A mért adatok a gyakorlatban mérési hibával terheltek, ezért az y adatsor láthatóan "szőrös". |
Nemlineáris többparaméteres regresszió a paraméterek meghatározása után  | |
Beszúrjuk és szebbé formáljuk az (x, y) ill. (x, regresszió) diagramot. Kiszámítjuk az eltérések négyzetösszegét, és ezt az egyetlen értéket minimalizáljuk a Solver segítségével oly módon, hogy az A, B, D, E paraméterek értékeit változtatjuk meg. Ezek lesznek a változó cellákban. A Solvert ezután a következőképpen paraméterezzük fel: A megoldási módszer a Nemlineáris ARG legyen, a pontosság 1E-15. A nemkorlátozott változók nemnegatívvá tételét jelző pipát ki kell kapcsolni. |
A Solveres pontosítás után a regressziós függvényünk igen jól fog illeszkedni (előző ábra). Nyilvánvaló ugyanakkor, hogy az eltérési hiba a közelítés végrehajtása után sem lesz 0, ezt nem is várhatjuk el. |
A mellékelt Regresszió.xlsx munkafüzet felhasználásával hajtsa végre Ön is a megadott regressziós feladatot! |
Megjegyezzük, hogy az ilyen típusú, becslésen alapuló általános regressziós feladatoknál a modell felállítása mély, a gyakorlatban megszerezhető mérnöki-gazdasági szakmai ismereteket igényel. |