KURZUS: Közlekedésstatisztika

MODUL: II. modul: Az empirikus eloszlások elemzése

4. lecke: Számított középértékek

Követelmény

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • szöveges megfogalmazás alapján el tudja dönteni, hogy az milyen átlagot jelent;
  • a felsorolásból ki tudja választani, hogy milyen átlagot lehet kiszámolni;
  • felsorolásból ki tudja választani, hogy egy adott számításához milyen adatokra van szükség;
  • egy sokaság adatait megismerve el tudja dönteni, hogy azokból milyen típusú átlagot lehet kiszámolni;
  • egy eloszlás számtani átlagát meg tudja határozni;
  • mértani-, négyzetes- és harmonikus átlagot számolni.
Tananyag

A viszonyszámok mellett leggyakrabban használt elemzési eszközök az átlagok, melyeket középértéknek is szoktak nevezni. Az átlagokat azonos fajta adatok halmazának tömör, számszerű jellemzésére használjuk. Az átlagokkal szemben támasztott követelmények az alábbiak:

  • a legnagyobb és a legkisebb érték közé essen,
  • egy határozott szám legyen,
  • az adatok többségéhez közel álljon,
  • érzékenyen reagáljon a sokaság tagjainak változására,
  • könnyen kiszámítható legyen.

Természetesen egyszerre minden követelménynek nem lehet eleget tenni, de szakmai megfontolásból el kell tudni dönteni, hogy melyik követelményt tartjuk be

4.1. Számtani átlag

A leggyakrabban alkalmazott középérték, jele: x . A számtani átlag az a szám, amellyel az egyes átlagolandó értékeket helyettesítve azok összege változatlan marad.

Fajtái az átlagolandó értékek előfordulása alapján:

  • Egyszerű számtani átlag: minden átlagolandó érték egyszer fordul elő az adatsorban
    x = x i n

    pl.: Egy hallgató az egyik héten a következő sörmennyiséget (l) fogyasztotta el naponta:
    0,7;  1,6;  2,5;  3,2;  1,6;  2,4;  2,8;

    x = 0,7+1,6+2,5+3,2+1,6+2,4+2,8 7 =2,11 l volt az átlagos napi sörfogyasztása.
  • Súlyozott számtani átlag: az átlagolandó értékek többször fordulnak elő az adatsorban:
    x = f i x i f i

    Mivel g i = f i Σ f i , ezért a relatív gyakoriságokkal is kiszámolható az átlag: x = g i x i

    Pl. a sikeres vizsgát tett hallgatók félévi osztályzata statisztikából az alábbi volt:
Osztályzatfi
214
338
422
59
Összesen83

x = 14*2+38*3+22*4+9*5 83 =3,31 az évfolyam átlaga

Osztályközös gyakorisági sor esetén az osztályközépek töltik be az átlagolandó értékek szerepét. Az osztályközép számítása:

x i = x i(alsóh.) + x i(felsőh.) 2

ahol:
xi(alsóh.): az i-edik osztályköz alsó határa,
xi(felsőh.): az i-edik osztályköz felső határa.

A számításnál nem vesszük figyelembe az elkülönítést szolgáló utolsó számjegyet.

Pl.: 21-50 esetében: x i = 20+50 2 =35

Ha az osztályközök alsó vagy felső határa nincs megadva, akkor nyitott osztályközről beszélünk. Az alsó határt úgy adjuk meg, hogy az osztályköz szélessége azonos legyen az őt követő osztályköz szélességével. A felső határ megadásakor, pedig az előző osztályköz szélességét vesszük figyelembe.

Bemutató feladat

Pl.: 140 villanyégő égési idejét vizsgálva az alábbi adatokat kaptuk:

Élettartam (óra)fiOszt. Közép
-80012750
801-90028850
901-100046950
1001-1100321050
1101-221150
Összesen140

Az első osztályköz alsó határa nincs megadva, mivel a 2. osztályköz hossza 100, ezért az első osztályköz 701-800. Hasonlóan járunk el az utolsó osztályköz esetében is: 1101-1200.

A számtani átlagot a következőképpen számoljuk ki:

x = 12*750+28*850+..+22*1150 140 =967,14 óra az átlagos élettartam

A számtani átlag típusai összetett sokaság esetén:

  • Részátlag: az egyes részsokaságok átlaga. (A részsokaságokat itt az egyes szakok hallgatói adják.). Az átlagokat szakonként kell kiszámítani:

    x ¯ közgazdász = 20*45+40*55+..+10*95 170 =65 x ¯ jogász = 30*45+40*55+..+5*95 155 =62,10 x ¯ mérnök = 20*45+50*55+..+10*95 220 =65,90

    Pl.: Néhány egyetemi szak hallgatóinak teljesítménye statisztika írásbeli vizsgán
Teljesítmény (pont)KözgazdászJogászMérnök
-50203020
51-60404050
61-70605080
71-80302040
81-90101020
91-10510
Összesen170155220
Részátlagok65,062,1065,9
  • Főátlag: a teljes sokaság átlaga. Kiszámítható a részátlagokból is, a részátlagok elemszámának súlyozásával.

    Pl.: a fenti példában x = 170*65,0+155*62,1+220*65,9 170+155+220 =64,54 pont a hallgatók átlagteljesítménye.
4.2. Négyzetes átlag

Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok négyzetösszege nem változik. Jelentősége, hogy az egyes értékek előjelei közötti különbséget eltünteti. Főleg a szóródás számításánál használjuk. Hasonlóan a számtani átlaghoz ebben az esetben is van egyszerű- és súlyozott forma.

x q = x i 2 n     x q = f i x i 2 f i

Bemutató feladat

A kenyér szabvány szerinti tömege 1000g. Lemértünk 7 db kenyeret, hogy kiszámoljuk a szabványtól valóeltérés átlagát.

SorszámA kenyér tömege (g)A szabványtól való eltérés (g)
1988-12
21023+23
31010+10
4972-28
5957-43
61038+38
71012+12

Az átlagos eltérés számtani átlaggal számolva:

x = 12+23+102843+38+12 7 =0 , azaz a minta alapján a kenyér tömege szabványos.

Az átlagos eltérés négyzetes átlaggal számolva:

x q = x i 2 n = (12) 2 + (23) 2 + (10) 2 + (28) 2 + (43) 2 + (38) 2 + (12) 2 7 26,71

A kenyerek átlagosan 26,71g-mal térnek el a szabványtól.

4.3. Mértani átlag

Az a szám, amelyet az átlagolandó adatok helyébe behelyettesítve, azok szorzata nem változik. Általában egy folyamat relatív változásának vizsgálatakor használjuk, átlagos fejlődési ütemet mutat.

x g = x i n     x g = x i f i f i

A " Π": több tényező folyamatos összeszorzásának matematikai jele.

Pl.: Egy vállalkozó 1000 eurót helyez el a bankba kamatos kamatra. Az első 2 évben 4%, majd 3 évig 5,5%, az utolsó 6. évben pedig 6% a kamat. Mennyi az átlagos kamatnövekedés?

k á = 1,04*1,04*1,055*1,055*1,055*1,06 6 1=0,0508

Azaz a hat év alatt átlagosan 5,08% kamatra számíthat

4.4. Harmonikus átlag

Az a szám, amellyel az egyes átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokának összege nem változik. Általában akkor használjuk, ha a viszonyszámok fordított arányt tükröznek.

x h = n 1 x i     x h = f i f i x i

Pl.: Egy személygépkocsi a teljes útszakasz 1/6-át 100 km/h, 1/3-át 80 km/h és a felét 50 km/h sebességgel teszi meg. Mekkora átlagsebességgel kellene mennie, hogy ezt az utat ugyanannyi idő alatt tegye meg?

t 1 = s 1 v 1       t=t1+t2+t3

v á = s t = 1 1 6 v 1 + 1 3 v 2 + 1 2 v 3 = 1 1 6100 + 1 380 + 1 250 = 1 2 1200 + 5 1200 + 12 1200 1200 19 =63,158km/h

4.5. Összefüggés a különböző átlagok között

Ha ugyanazon adatsorból mindegyik átlagot kiszámítjuk, akkor az alábbi összefüggést figyelhetjük meg:

x h x g x x q

Önellenőrző kérdések

Figyelem! Az itt kiszámított értékek a következő modulokban szükségesek. Javasoljuk Önnek, hogy jegyezze fel azokat egy papírra!

1. Jelölje meg, hogy az alábbi átlag milyen típusú!
Statisztika vizsgán a dolgozatok átlagpontszáma az összes szakra vonatkozóan:
Számtani átlag
Mértani átlag
Főátlag
Részátlag
2. Egy vállalkozásnál a dolgozók átlagkeresete 121.000 Ft/hó. Az alábbi felsorolt adatok közül melyiket kell felhasználni az előző érték kiszámításakor?
A dolgozók létszáma bérkategóriák szerint,
Csak a dolgozók összlétszáma
A bérkategóriák osztályközbe sorolva
A dolgozóknak kifizetett összes bér egy összegben.
3. Egy vállalkozásnál a fizikai foglalkozásúak átlagbére 120.000 Ft/hó, a szellemi foglalkozásúak átlagkeresete pedig 130.000 Ft/hó. Állapítsa meg az átlagok típusát!
Főátlag
Részátlag
Egyszerű számtani átlag
Súlyozott számtani átlag
4. Döntse el, hogy az alábbi adatok ismeretében milyen átlagot kell számolni! A Magyarországra érkező külföldiek számára vonatkozó viszonyszámok 1990-től 2006-ig.
számtani átlag
mértani átlag
négyzetes átlag
harmonikus átlag
Egy településes a családok megoszlása a családban élő gyermekek száma szerint
Gyermekek száma (fő)Családok száma (db)
0992
1954
2761
3148
440
515
65
Összesen2915
5. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze az átlagnál!

A településen elő gyermekek száma fő.
Egy családban a gyermekek száma átlagosan fő.

6/a. Töltse ki a táblázat celláit, és jelölje be a helyes választ!
Egy évfolyamban az átlagos testmagasságot vizsgálva 200 hallgató testmagassága az alábbi volt.
Testmagasság (cm)Hallgatók száma (fő)Osztályközép
-16025
161-17080
171-18065
181-19020
191-10
Összesen200
6/b. Válassza ki a jó megfogalmazást!
A hallgatók átlagos testmagassága 170 cm
A hallgatók átlagos testmagassága 170,5 cm
A hallgatók átlagos testmagassága 171 cm
A hallgatók átlagos testmagassága 170,4 cm

7. Számítsa ki a megfelelő átlagot, és ez alapján oldja meg a feladatokat! A számítást 3 tizedesjegy pontossággal végezze!

A reáljövedelmek alakulása az előző év százalékában
ÉvEgy főre jutó reáljövedelem az előző év százalékában (%)
199699,4
1997100,9
1998103,6
1999100,8
2000104,3
2001104,8
2002106,3
2003104,9
2004104,2
2005103,7
7/a. Egészítse ki a mondatot!

A reáljövedelmek a vizsgált időszakban átlagosan %-kal emelkedtek.

7/b. Jelölje meg a kiszámított átlag típusát!
Számtani átlag
Mértani átlag
Harmonikus átlag
Négyzetes átlag
8. Egy személygépkocsi egy útvonal négy azonos hosszúságú szakszát a következő átlagsebességekkel teszi meg: 40 km/h¸50 km/h; 80 km/h és 100 km/h. Mekkora átlagsebesség kellene az egész út megtételéhez ugyanekkora menetidő esetén.

Az átlagsebesség (1 tizedesjegy pontossággal): km/h.