KURZUS: Közlekedésstatisztika
MODUL: IV. modul: Idősorok elemzése
11. lecke: Analitikus trendszámítás
Követelmények | ||||||||||||||||||||||||||||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
Tananyag | ||||||||||||||||||||||||||||
Ha a vizsgált jelenség tartós irányzatát az idő függvényében valamilyen regressziós függvénnyel határozzuk meg, akkor analitikus trendszámításról beszélünk. Az analitikus trendszámítás tehát a regresszió-számítás egy speciális esete, amennyiben az idősorban bekövetkezett változásokat az időtényező (t) függvényében vizsgáljuk. | ||||||||||||||||||||||||||||
Először meg kell határozni, hogy a tartós alapirányzat milyen típusú függvénnyel jellemezhető a legjobban, azaz ábrázolni kell az adatokat, és kiválasztani a függvény típusát. | ||||||||||||||||||||||||||||
Az idősor trendjét az a függvény fejezi ki a legjobban, amelynél a számított függvényértékek és az eredeti adatok közötti eltérés négyzetösszeg a legkisebb. | ||||||||||||||||||||||||||||
11.1. Lineáris trend | ||||||||||||||||||||||||||||
A lineáris trendet úgy értelmezzük, hogy a vizsgált jelenség egységnyi idő alatt azonos mértékben növekszik vagy csökken, azaz a tartós alapirányzat egyenletes abban az értelemben, hogy az abszolút változás állandó. | ||||||||||||||||||||||||||||
Ha az adatokra az egyenletes változás jellemző, akkor lineáris trenddel határozzuk meg az alapirányzat értékeit. | ||||||||||||||||||||||||||||
A függvény illesztésekor a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk, a normálegyenletek a következők: | ||||||||||||||||||||||||||||
A megoldáshoz kódolnunk kell az idősor adatait. Ez többféleképpen lehetségesféleképpen történhet: | ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
A normálegyenleteket átalakítva megkapjuk a trendfüggvény együtthatóit: | ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
Ebben az esetben a normálegyenletek egyszerűbbek, és a trendfüggvény együtthatóit az alábbi képletekkel kapjuk meg: | ||||||||||||||||||||||||||||
A paraméter az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke, előjelétől függően növekedést vagy csökkenést jelez. | ||||||||||||||||||||||||||||
Ha t=0, és az időpontok száma páros, akkor az időegységenkénti átlagos abszolút változás mértéke. | ||||||||||||||||||||||||||||
A paraméter az alapirányzat értéke a t=0 időpontban: | ||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||
Ezután a regresszió számításhoz hasonlóan, kiszámoljuk a reziduális szórásnégyzetet. | ||||||||||||||||||||||||||||
, | ||||||||||||||||||||||||||||
és a reziduális szórás mutatószámát: | ||||||||||||||||||||||||||||
Ez a valós értékektől való átlagos eltérését mutatja a trendértékeknek. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A villamosenergia-termelés Magyarországon
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
átlag: 33501,27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az yt-értékeket úgy kapjuk meg, hogy a trendegyenletbe rendre behelyettesítjük a t-értékeket. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
yt=33501,27+1010,018*(-5)=28451,18 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A függvény szerinti villamosenergia-termelés 1,77%-os hibával illeszkednek a tényleges adatokhoz. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nézzük meg, ha másmódon kódoljuk az időt, mi lesz a trendegyenlet! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
átlag: 33501,27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b1=1010,02 |
11.2. Exponenciális trend | ||
A társadalmi-gazdasági folyamatok változó környezetben nem mindig mutatnak lineáris tendenciát. Ha az időegységenkénti relatív változás ingadozik egy állandó körül, akkor a tartós irányzatot exponenciális trenddel fejezzük ki. Az exponenciális trendegyenletet logaritmus segítségével visszavezetjük lineárisra: | ||
A normálegyenlet: | ||
A esetében a normálegyenletek leegyszerűsödnek: | ||
A paraméter a trendfüggvényre nézve az időszakonkénti állandó relatív változást mutatja, az idősorra nézve pedig az időszakonkénti relatív változások átlagát fejezi ki. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Exponenciális trend esetében először logaritmizálni kell az yi értékeket. A továbbiakban ezekkel az értékekkel számolunk. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy üdülőövezet vendégeinek száma
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A függvény szerinti létszámok 17,68%-os hibával illeszkednek a tényleges adatokhoz. |
11.3. Választás a trendegyenletek közül | ||
A trendszámításnál sok esetben nehéz eldönteni, hogyan melyik függvényt használjuk az elemzéshez. A kiválasztáshoz a legkisebb négyzetek módszerét használjuk. Az a függvény illeszkedik a legjobban az idősor adataihoz, amelyiknél a legkisebb. | ||
11.4. Extrapoláció | ||
A trendegyenlet meghatározásával előrejelzést (extrepoláció) végezhetünk. Fontos, hogy előrejelzést csak abban az esetben végezhetünk, ha: | ||
|
Önellenőrző feladatok | |||||||||||||||||||||
1. Jelölje be a helyes állítást! | |||||||||||||||||||||
1/a. Trendszámításról beszélünk, ha...
![]() | |||||||||||||||||||||
1/b. Ha az adatokra az egyenletes változás jellemző, akkor...
![]() | |||||||||||||||||||||
1/c. A paraméter lineáris trend esetében...
![]() | |||||||||||||||||||||
1/d. Ha az adatokra időegységenkénti relatív változás jellemző, akkor...
![]() | |||||||||||||||||||||
1/e. A paraméter az exponenciális trend esetében...
![]() | |||||||||||||||||||||
1/f. Extrtapolációt végezhetünk...
![]() | |||||||||||||||||||||
2. Egy áruház forgalmának éves alakulása (millió Ft) a következő trendfüggvénnyel írható le: , (t=1, 2, 3, ..., n). Válassza ki a helyes megállapítást!
![]() | |||||||||||||||||||||
3. A gabonatermesztés alakulása Magyarországon (millió tonna) 1994-2002 között | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
3/a. Határozza meg a lineáris trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! (t=1, 2, 3, ..., n) A -paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||
3/b. Határozza meg a reziduális szórást és a trend becslés relatív hibáját! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A reziduális szórás értéke: millió tonna ![]() | |||||||||||||||||||||
3/c. Határozza meg az exponenciális trendfüggvény paramétereit! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! (t=1, 2, 3, ..., n) A -paraméter értéke: ![]() | |||||||||||||||||||||
3/d. Határozza meg a reziduális szórást és a trend becslés relatív hibáját! Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket 3 tizedesjegy pontossággal! A reziduális szórás értéke: millió tonna ![]() | |||||||||||||||||||||
3/e. Jelölje meg, melyik trendfüggvény illeszkedik jobban az adatokra!
![]() |