KURZUS: Közlekedésstatisztika

MODUL: II. modul: Az empirikus eloszlások elemzése

7. lecke: Aszimmetria, koncentráció

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • el tudja dönteni, hogy aszimmetria esetén milyen összefüggés van a módusz és a medián közötti;
  • felsorolásból ki tudja választani ferdeségi mutató értékére vonatkozó igaz állítást;
  • ki tudja számolni az aszimmetria mutatószámait;
  • felsorolásból ki tudja választani a kiszámolt mutatószámok helyes értelmezését;
  • az eredmények alapján ki tudja választani az aszimmetria mérőszámainak jelentését.
Tananyag
7.1. Aszimmetria

A statisztikai sorokat ábrázolva nagyon változatos görbéket kapunk, de nagy többségük szabályszerűséget mutat. Az eloszlások típusától függ a görbe lefutása. Az eloszlások az alábbiak lehetnek:

  • egy móduszú,
    • Szimmetrikus: az adatok átlaga, módusza és mediánja azonos.
    • Aszimmetrikus: az adatok átlaga, módusza és mediánja  nem azonos.
  • több móduszú:

Az eloszlások ábrázolásánál a vízszintes tengelyen az ismérvváltozatok értékeit tüntetjük fel, a függőleges tengelyen az ismérvváltozatokhoz tartozó megfigyelt adatokat.

Az egy móduszú gyakorisági soroknak egy helyi maximuma van. 3 típusát különböztetjük meg.

Egy móduszú eloszlásoknál az aszimmetria (vagy ferdeség) fokának jellemzésére több mutatószám is használható. A mutatószámokkal szemben támasztott főbb követelmények:

  • A mérőszám dimenzió nélküli legyen,
  • Szimmetrikus eloszlás esetén a nulla értéket vegye fel.
7.1.1. Pearson-féle mutatószám

Az aszimmetria egyik általános úgynevezett "A mérőszámának" kidolgozása K. Person nevéhez fűződik. A mérőszám képzése abból indul ki, hogy szimmetrikus eloszlásnál a számtani átlag és a módusz megegyezik, míg aszimmetrikus eloszlásnál eltérnek egymástól.

A= x M 0 σ

Ha 0,5| A| , akkor már erős aszimmetriáról beszélünk. Szélsőséges esetben 1-nél nagyobb érték is előfordulhat. Ha A>0, akkor bal oldali, ha A<0, akkor jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Mivel a módusz osztályközös gyakorisági sorból lett meghatározva, nem eléggé megbízható, ezért a mediánból is kiszámolható az aszimmetria egy másik Pearson-féle mutatószámmal.

Bemutató feladat

Egy kiskereskedőnél az egyik hétvégén megvizsgálták az egyes vásárlások összegét.

Vásárláskor fizetett összeg (Ft)Vásárlók száma (fő)OsztályközépKumulált gyakoriság
1-2502912529
251-5003437563
501-75054625117
751-100039875156
1001-1250201125176
1251-1500181375194
1501-1750121625206
Összesen206

Mo=500+ 5434 (5434)+(5439) *250643

x ¯ =733 σ=421 A= 733643 421 =0,214

Az adatsorra gyenge bal oldali aszimmetria jellemező.

7.1.2. Pearson-féle mutatószám 2

Ez azon gyakorlati megfigyelésen alapul, hogy a mérsékelten aszimmetrikus eloszlások esetében a medián az átlagtól az átlag és a módusz közötti teljes távolság mintegy egyharmadával balra vagy jobbra esik

P= 3( x M e ) σ

A mutató értéke -3 és +3 közé esik. A 0-hoz közeli érték gyenge aszimmetriát jelent. Normális eloszlás esetén P=0. Ha P>0, akkor bal oldali, ha P<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Ha P<-0,5, illetve P>0,5 esetében erős ferdeség jellemzi az eloszlást.

Bemutató feladat

Az előző feladatból: Me=685 P= 3(733685) 421 =0,342

Hasonló eredményt kaptunk, azaz gyenge bal oldali aszimmetria.

7.2. Ferdeségi mutató

A ferdeségi mutató az alsó és a felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul.

F= ( Q 3 Me)(Me Q 1 ) ( Q 3 Me)+(Me Q 1 )

A mutató megoszlási viszonyszám jellegű, tehát értéke -1 és +1 között mozog. Ha F=0, akkor normális az eloszlás. Ha F>0, akkor bal oldali, ha F<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk.

Bal oldali aszimmetria esetén a medián az alsó kvartilishez (Q1), jobb oldali aszimmetria esetén pedig a felső (Q3) kvartilishez esik közelebb.  A 0-hoz közeli érték az aszimmetria hiányát mutatja, de 0,2-nél nagyobb érték esetén már nagyfokú aszimmetriáról beszélünk.

Bemutató feladat

Az előző feladatból: Q 1 =415 Q 3 =990 F= (990685)(685415) (990685)+(685415) =0,061

Önellenőrző feladatok

Válassza ki a helyes meghatározást!

1. Bal oldali aszimmetria esetén
a módusz nagyobb, mint a medián
a módusz kisebb, mint a medián
a módusz egyenlő a mediánnal.
2. A ferdeségi mutató értéke:
egynél nagyobb,
csak egynél kisebb.
Mindig -1 és +1 közé esik.

3. Az alábbi adatok egy évfolyam testmagasságának vizsgálatából származnak. Az évfolyam átlagos testmagassága 170,5 cm, 9,99 cm szórással. A medián értéke 170,4 cm. A leggyakoribb érték pedig 169,6 cm.

3/a. Határozza meg az aszimmetria fokát az "A"-mutató alapján, és értelmezze azt! Az eredményt 2 tizedesjegy pontossággal adja meg!

Az aszimmetria mérőszáma 'A'= .

3/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
Az aszimmetria mérőszáma jobb oldali aszimmetriát jelez.
Az aszimmetria mérőszáma bal oldali aszimmetriát jelez.
Az aszimmetria mérőszáma szimmetriát jelez.

4. Az alábbi adatok egy évfolyam vizsgaeredményeinek teljesítményét bemutató statisztikai sorból származnak. Az évfolyam átlagos teljesítménye 65 pont. A medián értéke 63,5 pont. Az alsó kvartilis értéke 56,625 pont, a felső kvartilisé pedig 73,5 pont.

4/a. Határozza meg a ferdeségi mutató értékét, és értelmezze azt! Az eredményt 3 tizedesjegy pontossággal adja meg!

A ferdeségi mutató:

4/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
A ferdeségi mutató mérőszáma jobb oldali aszimmetriát jelez.
A ferdeségi mutató mérőszáma bal oldali aszimmetriát jelez.
A ferdeségi mutató mérőszáma szimmetriát jelez.