KURZUS: Közlekedésstatisztika
MODUL: II. modul: Az empirikus eloszlások elemzése
6. lecke: A szóródás és mérése
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
A középértékek csak egyetlen tulajdonságát rögzítik az eloszlásnak, ezért a statisztikai sokaság jellemzésére általában nem elegendőek. Egy sokaság eloszlása nagyon sokféle lehet, így az eloszlás formája is különböző lehet. | ||
Az ismérvértékek szóródásának mérésére és mérőszámok képzésére különböző lehetőségek vannak. | ||
Szóródáson azonos fajta számszerű adatok (általában egy mennyiségi ismérv értékének) különbözőségét értjük. A szóródás mérése az ismérvértékek valamely középértéktől vett eltérései vagy egymás közötti különbségei alapján történik. | ||
Ezen eltérések, különbségek alapján számított mérőszámok a szóródás abszolút mutatói, amelyek mértékegysége megegyezik a megfigyelt ismérv mértékegységével. | ||
A szóródás relatív mutatói elvonatkoztatnak az ismérvértékek mértékegységétől, nagyságrendjétől, a szóródás térbeli vagy időbeli összehasonlítására szolgálnak. | ||
A szóródás legfontosabb mutatószámai: | ||
| ||
Az egyes mutatószámokra az elmélet végén talál példát! | ||
6.1. A szóródás terjedelme (R) | ||
Azt mutatja meg, hogy a sokaság elemei milyen értékintervallumban helyezkednek el. | ||
A szóródás terjedelme alatt az előforduló legkisebb és legnagyobb érték különbségét értjük: | ||
A szóródás terjedelme egy nagyon egyszerű és csak közelítő mérőszáma a szóródásnak. Az eloszlásnak csak a legkisebb és a legnagyobb értékét veszi figyelembe, és a két szélső érték közötti többi értéket nem. Arról, hogy a többi érték hol helyezkedik el, nem mond semmit. | ||
6.2. Átlagos eltérés () | ||
Az átlagos eltérés az ismérvértékek számtani átlagtól vett eltérésein alapul, azaz az egyes értékek számtani átlagtól vett eltérései abszolút értékének számtani átlaga: | ||
| ||
Mivel az átlag nagyságát nem a súlyok abszolút nagysága, hanem a súlyok aránya befolyásolja ezért a relatív gyakoriságból is kiszámítható: | ||
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 96,8 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ugyanezekkel az adatokkal dolgozva, csak a gyakoriságokat változtatjuk meg: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 118,4 |
6.3. A szórás | ||
A legismertebb és a leggyakrabban használt mutató a szórás. A szórás az egyes értékek számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga, azaz megmutatja, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el az átlagtól. | ||
Tapasztalati szórás: az egész sokaságra vonatkozik. | ||
| ||
elméleti szórás: a mintából számoljuk ki. | ||
| ||
Az eredeti táblázat (50 villanyégő) adataiból számítsuk ki a szórást | ||
Tulajdonságai: | ||
| ||
A szórás mindig nagyobb értékű, mint az átlagos eltérés! | ||
6.3.1. Variancia | ||
A variancia, vagy szórásnégyzet önálló mutatóként is használatos. Nagy jelentősége például a varianciaanalízisben van, amely több középérték összehasonlítására szolgál. Többféle jelölést találunk a szakirodalomban: s2, SS, MQ. | ||
A szórásnégyzet, azaz a variancia a számtani és a négyzetes átlag ismeretében is kiszámolható: | ||
6.3.2. A szórásnégyzet és a szórás felbontása | ||
Ha a sokaság részekre, azaz részsokaságokra bontható, akkor a szórásnégyzetet is fel lehet bontani két részre: | ||
| ||
A belső- és külső szórásnégyzet összege a teljes szórásnégyzet: | ||
A belső szórásnégyzet az egyes részsokaságok (csoporton belüli elemek és a csoport főátlaga között értelmezett különbségekből meghatározott) szórásnégyzeteinek az átlaga. Ebben a mérőszámban a csoportosító ismérven kívüli, egyéb tényezőknek a szóródó ismérve gyakorolt hatása jelenik meg. | ||
, | ||
ahol | ||
A külső szórásnégyzet az egyes részsokaságok átlagai (részátlag) és a teljes sokasági átlag (főátlag) eltérés négyzetösszegének az átlaga (a részsokaságok nagyságával súlyozva). Ebben a mutatószámban fejeződik ki a csoportképző ismérvnek a vizsgált mennyiségi ismérvre gyakorolt hatása. | ||
, | ||
ahol | ||
A teljes szórás () azt fejezi ki, hogy a vizsgált sokaságban az egyes értékek átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól. | ||
A belső szórás () azt fejezi ki, hogy a részsokaságok egyes értékei átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól. | ||
A külső szórás () azt fejezi ki, hogy a vizsgált sokaságban az egyes részsokaságok átlagai átlagosan mennyivel térnek el a sokasági főátlagtól. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||
A hallgatók szakok szerinti csoportosításban az alábbi eredményt érték el egy vizsgán. A maximálisan elérhető pontszám 100 pont volt. | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Számítsa ki az adatok alapján a belső, a külső és a teljes szórást, majd értelmezze azokat! | |||||||||||||||||
A vizsga átlagpontszáma, azaz a főátlag: | |||||||||||||||||
A belső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A belső szórás: | |||||||||||||||||
, Az egyes szakokon belül a hallgatók eredménye átlagosan 5,99 ponttal tér el az adott szakon elért átlagos pontszámtól. | |||||||||||||||||
A külső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A külső szórás: | |||||||||||||||||
, az egyes szakok átlagos vizsgaeredménye 5,41 ponttal tér el az összes hallgató által élért átlageredménytől. | |||||||||||||||||
A teljes szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A teljes szórás: | |||||||||||||||||
, a vizsgán megjelent hallgatók eredménye átlagosan 8,08 ponttal tér el az összes hallgató által élért átlageredménytől. |
6.3.3. A szóráshányados | ||
A szórásnégyzet felbontásának segítségével meghatározhatjuk a szóráshányadost, amely a csoportképző ismérv (területi, minőségi, esetleg mennyiségi) és a vizsgált mennyiségi ismérv kapcsolatát jellemzi, kapcsolatának szorosságát fejezi ki: | ||
Értéke: 0 H 1 lehet. | ||
6.4. Relatív szórás (V, CV) | ||
Sok esetben a szóródás vizsgálatára a szórás, mint átlagos szóródási paraméter nem elegendő. Továbbá bizonyos esetekben szükség lehet arra, hogy az ismérvértékek nagyságrendjétől illetve mértékegységétől elvonatkoztatott "tiszta szám" jellegű mérőszámmal mérjünk, és összehasonlíthatóvá tegyük a szórásokat. E célból bármelyik eddig bemutatott mérőszámot viszonyíthatjuk az átlaghoz. A legismertebb ilyen szóródási mérőszám a relatív szórás vagy variációs koefficiens, amely kifejezi, hogy a szórás az átlag hányad része. Általában százalékban kifejezve adjuk meg. | ||
Kifejezi, hogy a sokaság egyes egyedeinek értéke átlagosan hány százalékkal tér el az átlagtól. | ||
A relatív szórás százalékosan kifejezve a gazdasági gyakorlatban a változékonyságot az alábbiak szerint minősíthetjük: | ||
0-10%: állandóságot (homogenitást) |
Önellenőrző feladatok | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Jelölje meg az alábbiak közül a szóródásra jellemző meghatározást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Válassza ki a helyes állítást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Válassza ki a szórás definícióját!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Jelölje meg az alábbiak közül a belső szórásra jellemző meghatározást!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. A megadott adatok alapján határozza meg a sokaság szórását, a relatív szórást és az átlageltérést! A számolás során csak a végeredményt kerekítse! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy évfolyamban az átlagos testmagasságot vizsgálva 200 hallgató testmagassága az alábbi volt. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A sokaság átlaga: 170,5 cm | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A sokaság szórása (2 tizedjegy pontossággal): cm. ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket! Az eredményeket 3 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! Egy állattenyésztő juhállományának megoszlása fajta és gyapjúhozam szerint
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/a. Az előző feladat adataiból számítsa ki a belső szórást, a külső szórást, és a teljes szórást, 3 tizedesjegy pontossággal. A belső szórás: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/b. Válassza ki a helyes megfogalmazást.
![]() |