KURZUS: Közlekedésstatisztika

MODUL: III. modul: Indexszámítás

8. lecke: Aggregát típusú indexszámítás

Követelmények

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • a meghatározások közül ki tudja választani az ár-, érték- és volumenindex helyes jelentését;
  • felsorolásból ki tudja választani, mikor használjuk a bázisidőszaki súlyozást;
  • konkrét adatok alapján ki tudja számolni az egyes indexeket és különbségeiket;
  • a kiszámolt adatok alapján ki tudja egészíteni az adatok jelentésére vonatkozó mondatokat.
Tananyag

Az index-számítás olyan összehasonlító viszonyszámnak, melyek közvetlenül nem összesíthető mennyiségek, együttes, átlagos változását fejezi ki. A termelés, a szolgáltatás, a kereskedés, a fogyasztás, a felhasználás, mint társadalom-gazdasági kategóriák elemzése, különböző mértékegységben rendelkezésre álló, különbözőminőséget képviselő sokaságok együttes vizsgálatát igényli.

A dinamikus viszonyszámokkal mindig csak 1-1 termék árának illetve mennyiségének alakulását vizsgáltuk. A gazdasági életben azonban szükség van olyan számításokra, amelyek egyszerre fejezik ki több termék ár- és mennyiségváltozásának hatását, pl. az árbevételre. Erre szolgálnak az indexszámítások. A változást kifejezhetjük mind relatív (I=index), mind abszolút (K=különbség) módon.

Az összehasonlítás elvégezhető:

  • térben: 2 ország vagy két vállalat adatait hasonlítom,
  • időben: 2 év adatait hasonlítom össze.

Az értékben történő összehasonlítást aggregálásnak, az összesített értékadatokat aggregátumoknak nevezzük.

Jelölések:

  • qi= mennyiség (volumen)
  • pi= ár
  • vi: érték          vi= qi * pi
  • i= egyedi indexek
  • k= egyedi eltérések

Napjainkban nem egyféle árut termelnek és forgalmaznak a vállalkozások, ezért érthető, hogy összevont mutatókkal vizsgálják tevékenységük időbeli alakulását, illetve hasonlítják azt más vállalkozások, területek adataihoz.

Természetesen az egyedi indexeket is használják, mert az egyes termékek ár, mennyiség és értékváltozását ezek fejezik ki. A termékekre számított egyedi indexek dinamikus viszonyszámok.

A termékek mennyiségi és árváltozását együtt vizsgálva legegyszerűbben az érték összehasonlításával oldható meg. A különböző termékekből származó bevételek, termelési értékek azonos mértékegységűek, így összesíthetőek, és összehasonlíthatók mind hányados, mind különbség formájában is. A leggyakrabban az időbeli összehasonlítást végezzük.

8.1. Értékindex, és értékindex differencia

A termelés, a forgalom, a fogyasztás értékének együttes, átlagos változását mutatja, vagyis két olyan aggregátum hányadosa, melyek a mennyiségi és az áradatokban is eltérnek egymástól.

I v = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 0 K v =Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 0

Azaz az értékindex megmutatja, hogy a mennyiség és az ár együttes változása esetén, hogyan változott az érték az összes terméket figyelembe véve (hányszorosára). Az érték különbség (értékindex differencia) pedig azt, hogy mennyivel változott az érték.

Bemutató feladat

Egy piaci árus forgalma két időpontban

Termékek2008. december2009. december
Eladott mennyiségegységárEladott mennyiségegységár
A-termék (db)120020125025
B-termék (kg)250160280210
C-termék(kg)700150500280

1. Hogyan változott az árbevétel?

Értékindex és értékindex differencia

I v = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 0 = 31250+58800+140000 24000+40000+105000 = 230050 169000 =1,3612=136,12% K v =Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 0 =230050169000=61050Ft

A termelési érték változását természetesen termék fajtánként, dinamikus viszonyszámként, is meghatározhatjuk, amelyeket egyedi értékindexnek nevezünk.

Az egyedi termékek értékének eltérését mutatja, azaz hogyan változott az adott termékre vonatkozó termelési érték, forgalom a bázisidőszakról a tárgyidőszakra.

i v = v i1 v i0 = q i1 * p i1 q i0 * p i0 = i q * i p k v = v i1 v i0

A vizsgált termékek értékének változása részben az árak változásának, részben a mennyiségek változásának köszönhető.

8.2. Árindex és árindex differencia

Az árváltozás hatásának vizsgálatakor a mennyiséget állandónak tételezzük fel. Különböző statisztikusok eltérő súlyozást használtak, így a következő módon számolhatunk.

1.Tárgyévi súlyozás: Paashe-féle árindex: I p 1 = I p P = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 0
2.Bázisévi súlyozás:Laspeyres-féle árindex: I p 0 = I p L = Σ q 0 * p 1 Σ q 0 * p 0
3.A két árindex mértani átlaga: Fisher-féle árindex: I p F = I p 1 * I p 0
4.Eltérések: K p 1 =Σ q 1 p 1 Σ q 1 p 0 K p 0 =Σ q 0 p 1 Σ q 0 p 0

Az árindex kifejezi, hogy hányszorosára változott az érték, csak az árváltozás hatására, az árindex differencia pedig azt, hogy mennyivel változott az érték.

A képletekben szereplő q0p1 és q1p0 szorzatok összegzéseként kapott értékadatokat fiktív aggregátumoknak nevezzük, mivel ezek a valóságban nem léteznek.

Bemutató feladat

Folytassuk az előző feladatot!

Árindex és árindex differencia:

I p 1 = I p P = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 0 = 230050 1250*20+280*160+500*150 = 230050 144800 =1,5887 I p 0 = I p L = Σ q 0 * p 1 Σ q 0 * p 0 = 1200*25+250*210+700*280 169000 = 278500 169000 =1,6479 I p F = I p 1 * I p 0 = 1,5887*1,6479 =1,6180=161,80%

K p 1 =Σ q 1 p 1 Σ q 1 p 0 =230050144800=85250Ft K p 0 =Σ q 0 p 1 Σ q 0 p 0 =278500169000=109500Ft

Természetesen az árindexet illetve az árváltozásból adódó különbséget is meghatározhatjuk termékenként, ebben az esetben egyedi árindexről illetve egyedi árindex különbségről beszélünk.

Adott termék árváltozását fejezi ki.

i p = p i1 p i0 k p = p i1 p i0

8.3. Volumenindex és volumenindex differencia

Ebben az esetben az árat tekintjük állandónak, így itt is kétféle súlyozás lehetséges.

1.Tárgyévi súlyozás: Paashe-féle mennyiségindex: I q 1 = I q P = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 1
2.Bázisévi súlyozás:Laspeyres-féle mennyiségindex: I q 0 = I p L = Σ q 1 * p 0 Σ q 0 * p 0
3.A két árindex mértani átlaga: Fisher-féle mennyiségindex: I q F = I q 1 * I q 0
4.Eltérések: K q 1 =Σ q 1 p 1 Σ q 0 p 1 K q 0 =Σ q 1 p 0 Σ q 0 p 0

A volumenindex kifejezi, hogy hányszorosára változik az érték, csak a mennyiségi változás hatására, a volumenindex differencia pedig azt, hogy mennyivel változik az érték. Az egyedi volumindex és egyedi volumenindex különbség is meghatározható termékenként:

i q = q i1 q i0 k q = q i1 q i0

Ha érték formájában jelenítjük meg mind az árak, mind a mennyiségek változásának hatását, akkor az alábbi összefüggések írhatók fel:

  • az ár hatása: q i1 p i1 q i1 p i0 q i0 p i1 q i0 p i0
  • a mennyiség hatása: q i1 p i1 q i0 p i1 q i1 p i0 q i0 p i0

A mennyiségi változása termékenként:
az iq: a termékek mennyiségének relatív változása a kq a termékek eladott mennyiségének abszolút változása

Bemutató feladat

Folytassuk az előző feladatot!

Volumenindex és volumen differencia

I q 1 = I q P = Σ q 1 * p 1 Σ q 0 * p 1 = 230050 267500 =0,8260

I q 0 = I p L = Σ q 1 * p 0 Σ q 0 * p 0 = 144800 169000 =0,8568

I q F = I q 1 * I q 0 = 0,8260*0,8568 =0,8413=84,13%

K q 1 =Σ q 1 p 1 Σ q 0 p 1 =230050267500=48450Ft K q 0 =Σ q 1 p 0 Σ q 0 p 0 =144800169000=24200Ft

Bemutató feladat

Az eddig kiszámolt mutatók szöveges elemzése:

Egy piaci árus árbevételének alakulását vizsgáltuk 2008 és 2009 decemberi adatainak összehasonlításával. Az árak mindhárom termék esetében nőttek, a legnagyobb mértékben a C termék egységára emelkedett 86,67%-kal, a legkisebb mértékben az A termék eladási ára, 25%-kal. A B termék egységára 31255-kal nőtt. Az A termékből az eladott mennyiség csak 4,15%-kal volt több 2009 decemberében, a B termékből azonban 12%-kal adtak el többet. A C termék eladott mennyisége csökkent 2008-hoz képest 28,57%-kal. A fentiek hatására az egyes termékekből származó árbevétel növekedése a B termék esetében a legnagyobb, 47%. A C termék eladásából származó árbevétel 2009-ben 32,33%-kal volt több, mint 2008-ban, az A-termék pedig 30,21%-kal.

Az egységárak és az eladott mennyiségek változása miatt a kereskedő árbevétele 2009-ben 36,12%-kal volt több mint 2008-ban, ez 61.050 Ft-nak felel meg. Az átlagos árváltozás 61,80%volt, míg az eladott mennyiségek átlagosan 15,78%-kal csökkentek.

8.4. Indexek közötti összefüggések

Mivel az ár- és a volumenindex csak az egyik tényező változását fejezi ki, ezért szorzatuk az értékindexet adja, mivel az az ár és a mennyiség együttes változásának a hatását fejezi ki.

I v = I p 0 * I q 1 = I p 1 * I q 0 = I p F * I q F K v = K p 1 + K q 0 = K p 0 + K q 1

8.5. Az indexek átlagformái

Az indexek nemcsak aggregát formában számíthatók, hanem az egyedi indexek átlagával is. Ilyenkor a súly szerepét az indexben szereplő valamelyik - éppen rendelkezésre álló - aggregátum, illetve annak mennyiségi viszonyszámai töltik be. A súlyozás módja pedig attól függ, hogy az illető aggregátum az index számlálójában vagy nevezőjében foglal helyet.

Ha csak a bázisidőszaki vagy csak a tárgyidőszaki értékösszeg áll rendelkezésünkre, akkor az indexek átlagformában számíthatóak.

8.5.1. Az értékindex átlagformái

Abban az esetben, ha csak a bázisidőszaki ár és mennyiségi adatok ismertek, illetve az egyes termékcsoportok egyedi értékindexe, akkor az értékindexet számtani átlag formában tudjuk kiszámolni. A súly ebben az esetben a bázisidőszak aggregátuma.

I v = Σ q 0 p 0 * i v Σ q 0 * p 0

Ha a tárgyidőszaki ár és mennyiségi adatok ismertek, illetve az egyes termékcsoportok egyedi értékindexe, akkor az értékindexet harmonikus átlag formában tudjuk kiszámolni. A súly ebben az esetben a tárgyidőszak aggregátuma.

I v == Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 1 i v

8.5.2. Az árindex átlagformái

Hasonlóan az értékindexhez, ebben az esetben is kétféle számítás lehetséges:

  • Számtani átlag: I p 0 = Σ q 0 p 0 * i p Σ q 0 * p 0     I p 1 = Σ q 1 p 0 * i p Σ q 1 * p 0
  • harmonikus átlag formában: I p 0 = Σ q 0 * p 1 Σ q 0 * p 1 i p     I p 1 = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 1 i p
8.5.3. A volumenindex átlagformái

A volumenindex is meghatározható mindkét átlagolással.

  • Számtani átlag: I q 0 = Σ q 0 p 0 * i q Σ q 0 * p 0     I q 1 = Σ q 0 p 1 * i q Σ q 0 * p 1
  • harmonikus átlag formában: I q 0 = Σ q 1 * p 0 Σ q 1 * p 0 i q     I q 1 = Σ q 1 * p 1 Σ q 1 * p 1 i q
Bemutató feladat

Egy vállalkozás kereskedelmi tevékenységére vonatkozó adatok:

ÁrucsoportÁrbevétel 2007-ben (eFt)Értékesített mennyiségÁrbevétel
2008-ban a 2007. év %-ában
A4.000115,00145,00
B9.000110,00125,00
C3.000125,00140,00
D12.00098,00120,00

Feladat: Számítsa ki a négy árucsoportra vonatkozóan az érték-, ár- és volumenindexeket!

A 2007. évi árbevétel a tárgyévi adat, azaz ismert minden árucsoportra a q0p0.

Az értékesített mennyiségi változás az iq, az árbevétel változása az iv.

I v = Σ q 0 p 0 * i v Σ q 0 * p 0 = 40001,45+90001,25+30001,40+120001,20 4000+9000+3000+12000 =1,2732=127,32%

I q 0 = Σ q 0 p 0 * i q Σ q 0 * p 0 = 40001,15+90001,10+30001,25+120000,98 4000+9000+3000+12000 =1,0718=107,18%

Az egyedi árindexek kiszámíthatók:

ipA=1,45/1,15=1,26
ipB=1,25/1,1=1,14
ipC= 1,4/1,25=1,12
ipD= 1,2/0,98=1,02

I p 0 = Σ q 0 p 0 * i p Σ q 0 * p 0 = 40001,26+90001,14+30001,12+120001,02 4000+9000+3000+12000 =1,1036=110,36%

I q 1 = 1,2732 1,1036 =1,1537 I p 1 = 1,2732 1,0718 =1,1879

Ezután a Fisher-féle ár- és volumenindex már könnyen meghatározható.

8.6. Az aggregát indexek használata területi összehasonlítás esetén

Az aggregát típusú indexeket területi összehasonlításra is használjuk. Azonban csak abban az esetben használhatók, ha:

  • Azonos időszakra vagy időpontra vonatkozó adatokat hasonlítunk össze,
  • Az összehasonlítás alapja (bázisa) a vizsgálattól függ, vagy az elemző dönti el.
  • A számszerű eredmények megfogalmazásakor nem használhatók a növekedés vagy csökkenés kifejezések. Helyettük a nagyobb, kisebb, magasabb, eltérő szavak használatosak.

A területi összehasonlítás speciális esete két ország (eltérő valutájú) adatainak összevetése, elemzése.

Az értékindexnek nincs jelentése, hiszen különböző pénznem szerepel a számlálóban és a nevezőben. Az ár- és volumenindexnél csak a Fisher-féle képleteket értelmezzük, mivel nagy lehet az eltérés mind az árakban, mind a mennyiségekben. Az árindex jelentése és kifejezési formája megváltozik. Árszínvonalat hasonlítunk összes, így nem lehet százalékos formában felírni, hanem a vizsgált valuták hányadosaként jelenik meg. A valutákat a nemzetközileg megszokott jelekkel használjuk, pl.: a forintot HUF- jelöléssel. A mennyiségi index megőrzi eredeti jelentését, a két ország lakóinak a vizsgált termékekből való fogyasztásának hányadosaként.

Bemutató feladat

Két ország élelmiszerfogyasztását az alábbi adatok jellemzik

TermékD országG ország
Egy főre jutó fogyasztásEladási ár (delta pénznemben)Egy főre jutó fogyasztásEladási ár (gamma pénznemben)
1. termék203408
2. termék304109

Hasonlítsa össze a két ország 1 főre jutó fogyasztásának mennyiségét és a valuták vásárlóerejét. A viszonyítási alap a D ország legyen.

I q G (G/D)= 40*8+10*9 20*8+30*9 = 410 430 =0,9535

I q D (G/D)= 40*3+10*4 20*3+30*4 = 160 180 =0,8889

I q F (G/D)= 0,9535*0,8889 =0,9206=92,60

A termékek körét vizsgálva az egy főre jutó fogyasztás G-országban 7,4%-kal kevesebb volt, mint D-országban.

I p G (G/D)= 40*8+10*9 40*3+10*4 = 410 160 =2,5625

I p D (G/D)= 20*8+30*9 20*3+30*4 = 430 180 =2,3889

I p F (G/D)= 2,5625*2,3889 =2,4742G/D

D ország egy valutájának (delta) vásárlóereje egyenlő 2,4742 gamma valuta vásárlóerejével (G ország valutájával).

8.7. Indexsorok

Gyakran nem kettő, hanem több időszak (időpont) adatait kell összehasonlítani. Ekkor minden időszakhoz (időponthoz) ki kell számítani az indexeket. Az így kapott értékek indexsort alkotnak.

Az összehasonlítástól függően a dinamikus viszonyszámokhoz hasonlóan lehet bázis- és lánc-indexsor. A súlyozás módja szerint az ár- és volumen-indexsor lehet

  • Állandó súlyozású indexsor
  • Változó súlyozású indexsor.
Önellenőrző feladatok
1. Jelölje meg a helyes állítást!
Az értékindex az árváltozás hatását fejezi ki.
Az értékindex az árváltozás és a mennyiségi változás együttes hatását fejezi ki.
Az értékindex a termékek egységárainak változása miatt bekövetkező árváltozást mutatja.
2. Jelölje meg a helyes állítást!
Az árindex a különböző termékek árváltozását fejezi ki.
Az árindex a különböző termékek egységárának átlagos változását fejezi ki.
Az árindex a termékek árbevételének változását mutatja meg.
3. Jelölje meg a helyes állítást!
A bázisidőszaki súlyozást az értékindex számításánál használjuk.
A bázisidőszaki súlyozást az árindex számításánál használjuk.
A bázisidőszaki súlyozást csak az árindex számításánál használjuk.
4. Jelölje meg a helyes állítást!
A volumenindex a forgalom értékének változását fejezi ki.
A volumenindex a mennyiségi változás hatását fejezi ki.
A volumenindex a termékek árainak változását fejezi ki.
5. Az értékindex az alábbi képlettel számítható ki:
I v = I p F * I q 1
I v = I p * I q
I v = I p F * I q F
I v = I p 1 * I q 1

6. Egy farmerruházati bolt a forgalmi adatai

TermékEladott mennyiség (db)Eladási ár (Ft/db)
2008200920082009
Nadrág70075011.00012.500
Ing3503205.8005.900
Dzseki20015012.00013.100
6/a. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! Az indexek esetében 2 tizedesjegy pontossággal dolgozzon!

Az árak átlagosan %-kal emelkedtek.
A kereskedelmi egység forgalma %-kal nőtt 2008-ról 2009-re.
Az eladott mennyiség átlagosan %-kal csökkent
Az árbevétel növekedés Ft.

7. Egy vállalat három termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalomról az alábbi adatok ismertek

Termék megnevezéseA forgalom értéke 2009-ben (ezerFt)A forgalom értékének változásaAz árak változása
2008. évi adatok=100%
A4500140%136%
B2000130%140%
C3500146%120%
Összesen:10000--
7/a. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! Az indexek esetében 2 tizedesjegy pontossággal dolgozzon!

A vállalat forgalma 2009-ben %-al volt magasabb, mint 2008-ban.
Az árak átlagos változása (tárgyidőszaki súlyozással) %.
A volumenindex értéke (bázisidőszaki súlyozással) %.

8. Két ország élelmiszerfogyasztását az alábbi adatok jellemzik

TermékA országB ország
Egy főre jutó fogyasztásEladási ár (alfa font pénznemben)Egy főre jutó fogyasztásEladási ár (béta frank pénznemben)
rák3118
hal0,550,430

Hasonlítsa össze a két ország 1 főre jutó fogyasztásának mennyiségét és a valuták vásárlóerejét. A viszonyítási alap a B ország legyen.

8/a. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! Az indexek esetében 2 tizedesjegy pontossággal dolgozzon!

Az egy főre jutó napi hal és rákfogyasztás A országban %-kal magasabb, mint B országban.

Egy béta frank vásárlóereje átlagosan alfa fonttal egyenlő.