KURZUS: Közlekedésstatisztika
MODUL: V. modul: Ismérvek közötti kapcsolatok
13. lecke: A sztochasztikus kapcsolatok
Követelmények | |||||||||||||||||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Tananyag | |||||||||||||||||
Ha egy sokaságot statisztikai módszerekkel vizsgálunk, akkor többféle szempont (ismérv) alapján is csoportosíthatjuk (pl. a hallgatókat: nem, magasság, tanulmányi átlag, stb.). A különféle csoportosításokkal kapcsolatban feltehető a kérdés, hogy mutatnak-e ezek hasonlóságot, azonosságot, vagy teljesen más jellegűek. Ha a vizsgált sokaság különböző ismérvek alapján feltáruló szerkezete hasonlóságot, azonosságot mutat, akkor ismérvek közötti kapcsolatról beszélünk. Ez a kapcsolat lehet: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Sztochasztikus (valószínűségi) kapcsolatnak nevezzük az olyan összefüggést, amikor az egyik jelenség egy másik jelenségre hatással van, de nem határozza meg egyértelműen annak alakulását, mert arra más tényezők is hatnak. | |||||||||||||||||
Két minőségi ismérv (pl. iskolai végzettség és beosztás), vagy két területi ismérv (születési hely és lakhely), vagy egy minőségi és egy területi ismérv (választott szak és a gyakorlati hely) közötti kapcsolat elemzésére szolgál. Az említett esetekben nem számadatokkal megfogalmazható ismérvek alapján történt a csoportosítás. | |||||||||||||||||
13.1 Asszociáció | |||||||||||||||||
Az asszociáció (ismérvek közötti kapcsolat) kimutatása érdekében a sokaság elemeit úgynevezett kontingencia táblába rendezzük. Két ismérv esetén a tábla a következő: | |||||||||||||||||
|
Bemutató példa | |||||||||||||||||
Egy vállaltnál 50 diplomás dolgozik, és közülük 15 a nő. A középfokú végzettségűek létszáma 150, és ebből 60 a nő. Rendezzük az adatokat táblázatba: | |||||||||||||||||
|
Kettőnél több ismérvváltozat esetén értelemszerűen több sor vagy oszlop lesz a kontingencia táblázatban. | ||
Az asszociációs mutatók a következők lehetnek: | ||
| ||
13.1.1.Yule-féle asszociációs együttható | ||
Csak alternatív (azaz két ismérv) ismérvek esetén használható. Alapgondolata a függetlenséghez kapcsolódik. Két egymástól független esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő a két esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával: | ||
Mivel alternatívak az ismérvek, ezért a függetlenség az alábbi: | ||
ha f11*f22-f21*f12=0, akkor nincs kapcsolat. | ||
Minden nullától való eltérés esetén kiszámítható a kapcsolat szorossága. | ||
vagy | ||
A '0' a kapcsolat hiányát, azaz a függetlenséget jelenti. Az 1 pedig a teljes meghatározottságot. Ha , akkor a kapcsolat szorossága már erősnek mondható. |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||
A hallgatókat a szakterület és a karriercéllal való rendelkezés alapján csoportosítottuk: | ||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
1. Vizsgálja meg, hogy van e kapcsolat a hallgató szakterülete és a karrier céllal való rendelkezés között? | ||||||||||||||||||||
A vizsgált hallgatói körben a szakterület és a karrier céllal rendelkezés között gyenge kapcsolat van. |
13.1.2. Csuprov-féle asszociációs együttható | ||
Ha az ismérvváltozatok száma kettőnél több, akkor használjuk. Ez is a függetlenségvizsgálathoz kapcsolódik. | ||
T: Csuprov-féle együttható, | ||
| ||
fij: tapasztalati gyakoriság | ||
ha s<t | ||
Ha s=t, akkor T=1, azaz az ismérvek között összefüggés nagyon intenzív. Általában úgy válasszuk meg az ismérvek jelölését, hogy s<t legyen. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
A hallgatókat a szakterület és az oktatással való elégedettség rendelkezés alapján csoportosítottuk: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Elméleti előfordulások számítása: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
stb. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
A összetevői: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ki kell számolni a T-intervallumát: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
azaz, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
A szakterület és az oktatással való elégedettség között gyenge a kapcsolat (T=0,1955). |
13.1.3. Cramer-féle asszociációs együttható | |||||||
Az asszociációs összefüggések térbeli vagy időbeli összehasonlításakor gondot okozhat, hogy ugyanazon ismérv változatainak száma nem azonos a két helyen vagy a két időpontban (az előző bemutató példában, ha a jogászok nem minden kérdésre válaszolnak). Ilyen esetben a Csuprov-féle asszociációs együttható nem használható az elemzés során, helyette a Cramer-féle asszociációs együtthatót használjuk. | |||||||
13.2. Vegyes kapcsolat | |||||||
Ha egy vizsgált sokaságot egy mennyiségi ismérv és egy minőségi ismérv alapján is felosztunk, és arra keressük a választ, hogy a két felosztás között, azaz a két ismérv között van-e összefüggés, akkor egy vegyes kapcsolatot elemzünk. A kapcsolat meglétét, vagy annak hiányát a H-mutató segítségével határozhatjuk meg. | |||||||
Az összetett sokaságot felosztjuk részsokaságokra, és megvizsgáljuk: | |||||||
| |||||||
Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy egy vegyes kapcsolat jellemzésére alkalmas mutatót képezzünk: | |||||||
A kapcsolat jellemzésére a mutató négyzetét is használhatjuk (H2), amelyet százalékos formában adunk meg. A mutató arra ad választ, hogy hány százalékban magyarázza a csoportosító ismérv (minőségi vagy területi) a sokaság mennyiségi ismérv szerinti szóródását. | |||||||
Bemutató feladat | |||||||||||||||||
A hallgatók szakok szerinti csoportosításban az alábbi eredményt érték el egy vizsgán. A maximálisan elérhető pontszám 100 pont volt. | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Számítsa ki az adatok alapján a belső-, a külső és a teljes szórást, majd értelmezze azokat! | |||||||||||||||||
A vizsga átlagpontszáma: | |||||||||||||||||
A belső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A belső szórás: . | |||||||||||||||||
A külső szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A külső szórás: , | |||||||||||||||||
A teljes szórásnégyzet: | |||||||||||||||||
A teljes szórás: , | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
A szak és a vizsgán elért pontszám között közepes erősségű a kapcsolat. A szakterülethez való tartozás 44,93%-ban befolyásolja az elért pontszámok szóródását. |
13.3. Korreláció | ||
Mennyiségi ismérvek közötti sztochasztikus kapcsolat számszerű jellemzésével és elemzésével a korrelációszámítás foglalkozik. | ||
Feladata: | ||
| ||
Két mennyiségi ismérv esetén (x;y), a változók közötti kapcsolat erősségét a korrelációs együttható (r) fejezi ki. Értéke -1és +1 között lehet. Ha r negatív, akkor a két változó ellentétes irányban változik. | ||
0,9 felett igen szoros | ||
13.3.1. Előjel korreláció | ||
Az összetartozó értékpárok átlagtól való eltérései előjele alapján méri a kapcsolat szorosságát. | ||
| ||
Előnye, hogy kevés számítással, gyorsan tájékozódhatunk két mennyiségi ismérv közötti kapcsolat meglétéről és annak mértékéről. | ||
Hátránya azonban, hogy csak "durva" mérőszám, ezért pontosabb elemzéshez nem használható. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vizsgáljuk meg, hogy van e összefüggés az egy főre eső GDP (euro) és az 1000 lakosra jutó személygépkocsik számának alakulása között néhány európai ország adatai alapján. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p=9, q=1, tehát szoros a kapcsolat |
13.3.2. Rangkorreláció | ||
Ha lehetőségünk van minőségi ismérvek kvantitatív jellemzésére oly módon, hogy az ismérvváltozatokat rangsoroljuk, akkor a rangsor már alkalmas a két minőségi ismérv sztochasztikus kapcsolatának elemzésére. | ||
Ezt a korrelációs együtthatót rangsorkorrelációs vagy Spearman-féle korrelációs együtthatónak nevezzük. | ||
| ||
ahol |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Arra keressük a választ, hogy a tehenek fejéskori és etetéskori viselkedése között (nyugtalanság) van-e valamilyen összefüggés. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, a tehenek fejéskori és etetéskori viselkedése között szoros az összefüggés. |
Önellenőrző feladatok | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Válassza ki a 3 helyes választ úgy, hogy egy igaz állítást kapjunk! Sztochasztikus kapcsolatnak nevezzük az olyan összefüggés, amikor
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Jelölje meg a helyes választ!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. A rangkorrelációs együttható segítségével
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Az előjelkorreláció...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Egy városban terjesztett időszaki lapok megoszlása 2005-ben | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5/a. Állapítsa meg a Yule-féle asszociációs együttható értékét! A számítást 3 tizedesjegy pontossággal végezze! Yule-féle asszociációs együttható: ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Egy vállalkozás 4 különböző (A, B, C, D) telephelyének azonos termékeiből 300 darabot vizsgáltak meg és ezeket osztályokba sorolták. A vizsgálat eredménye a következő: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Döntse el, hogy melyik mutatót lehet kiszámítani, és állapítsa meg, van-e kapcsolat a termék gyártási helye és minősége között! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A feladat megoldása érdekében először az alábbi tábla alapján írja be a megfelelő adatot a megadott mezőbe! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Számított adatok (függetlenség feltételezése melletti elméleti adatok) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/a. Milyen szám kerül a táblázatban az "a"-val jelölt cellába?
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kapcsolatot jellemző mutatóhoz szükséges adatok: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/b. Milyen adat kerül a táblában az "a"-val jelölt cellába?
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/c. Számítsa ki a kapcsolatot jellemző Csuprov-féle asszociációs együttható értékét! (2 tizedesjegy pontossággal)
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Egy város vendéglátóhelyeit csoportosítottuk aszerint, hogy milyen szolgáltatást nyújtanak. Az üzletek éves forgalmi adatai millió Ft-ban a következők: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/a. Számítsa ki az előző feladatból a következőket! Az átlagot 3 tizedesjeggyel, a szórásokat pedig 4 tizedesjegy pontossággal! Vendéglátó ipari egységek átlagos forgalma millió Ft. ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/b. Állapítsa meg a kapcsolat szorosságát kifejező mutató értékét! (3 tizedesjegy pontossággal). A H mutató ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7/c. Állapítsa meg a befolyásolás mértékét kifejező mutató értékét! (2 tizedesjegy pontossággal). A H2 mutató % ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Az ősziárpa-termesztéssel kapcsolatos kísérletek során megvizsgálták a felhasznált vetőmag mennyisége és a termésmennyiség közötti összefüggést. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! A számításokat a vetőmag felhasználásnál egészszámmal, a korrelációnál 1 tizedesjegy pontossággal adja meg! Az átlagos vetőmag felhasználás kg/ha. ![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Tíz ország egy főre jutó GDP-je és az ezer lakosra jutó személygépkocsik száma az alábbi. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Állapítsa meg a korrelációs együttható értékét! A számítást 4 tizedesjegy pontossággal végezze! A korrelációs együttható: ![]() |