KURZUS: Közlekedésstatisztika
MODUL: II. modul: Az empirikus eloszlások elemzése
7. lecke: Aszimmetria, koncentráció
Követelmények | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
7.1. Aszimmetria | ||
A statisztikai sorokat ábrázolva nagyon változatos görbéket kapunk, de nagy többségük szabályszerűséget mutat. Az eloszlások típusától függ a görbe lefutása. Az eloszlások az alábbiak lehetnek: | ||
| ||
Az eloszlások ábrázolásánál a vízszintes tengelyen az ismérvváltozatok értékeit tüntetjük fel, a függőleges tengelyen az ismérvváltozatokhoz tartozó megfigyelt adatokat. | ||
Az egy móduszú gyakorisági soroknak egy helyi maximuma van. 3 típusát különböztetjük meg. | ||
| ||
Egy móduszú eloszlásoknál az aszimmetria (vagy ferdeség) fokának jellemzésére több mutatószám is használható. A mutatószámokkal szemben támasztott főbb követelmények: | ||
| ||
7.1.1. Pearson-féle mutatószám | ||
Az aszimmetria egyik általános úgynevezett "A mérőszámának" kidolgozása K. Person nevéhez fűződik. A mérőszám képzése abból indul ki, hogy szimmetrikus eloszlásnál a számtani átlag és a módusz megegyezik, míg aszimmetrikus eloszlásnál eltérnek egymástól. | ||
Ha , akkor már erős aszimmetriáról beszélünk. Szélsőséges esetben 1-nél nagyobb érték is előfordulhat. Ha A>0, akkor bal oldali, ha A<0, akkor jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Mivel a módusz osztályközös gyakorisági sorból lett meghatározva, nem eléggé megbízható, ezért a mediánból is kiszámolható az aszimmetria egy másik Pearson-féle mutatószámmal. |
Bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy kiskereskedőnél az egyik hétvégén megvizsgálták az egyes vásárlások összegét. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az adatsorra gyenge bal oldali aszimmetria jellemező. |
7.1.2. Pearson-féle mutatószám 2 | ||
Ez azon gyakorlati megfigyelésen alapul, hogy a mérsékelten aszimmetrikus eloszlások esetében a medián az átlagtól az átlag és a módusz közötti teljes távolság mintegy egyharmadával balra vagy jobbra esik | ||
A mutató értéke -3 és +3 közé esik. A 0-hoz közeli érték gyenge aszimmetriát jelent. Normális eloszlás esetén P=0. Ha P>0, akkor bal oldali, ha P<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Ha P<-0,5, illetve P>0,5 esetében erős ferdeség jellemzi az eloszlást. |
Bemutató feladat | ||
Az előző feladatból: | ||
Hasonló eredményt kaptunk, azaz gyenge bal oldali aszimmetria. |
7.2. Ferdeségi mutató | ||
A ferdeségi mutató az alsó és a felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul. | ||
A mutató megoszlási viszonyszám jellegű, tehát értéke -1 és +1 között mozog. Ha F=0, akkor normális az eloszlás. Ha F>0, akkor bal oldali, ha F<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. | ||
Bal oldali aszimmetria esetén a medián az alsó kvartilishez (Q1), jobb oldali aszimmetria esetén pedig a felső (Q3) kvartilishez esik közelebb. A 0-hoz közeli érték az aszimmetria hiányát mutatja, de 0,2-nél nagyobb érték esetén már nagyfokú aszimmetriáról beszélünk. |
Bemutató feladat | ||
Az előző feladatból: |
Önellenőrző feladatok | |||||||
Válassza ki a helyes meghatározást! | |||||||
1. Bal oldali aszimmetria esetén
![]() | |||||||
2. A ferdeségi mutató értéke:
![]() | |||||||
3. Az alábbi adatok egy évfolyam testmagasságának vizsgálatából származnak. Az évfolyam átlagos testmagassága 170,5 cm, 9,99 cm szórással. A medián értéke 170,4 cm. A leggyakoribb érték pedig 169,6 cm. | |||||||
3/a. Határozza meg az aszimmetria fokát az "A"-mutató alapján, és értelmezze azt! Az eredményt 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! Az aszimmetria mérőszáma 'A'= . ![]() | |||||||
3/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
![]() | |||||||
4. Az alábbi adatok egy évfolyam vizsgaeredményeinek teljesítményét bemutató statisztikai sorból származnak. Az évfolyam átlagos teljesítménye 65 pont. A medián értéke 63,5 pont. Az alsó kvartilis értéke 56,625 pont, a felső kvartilisé pedig 73,5 pont. | |||||||
4/a. Határozza meg a ferdeségi mutató értékét, és értelmezze azt! Az eredményt 3 tizedesjegy pontossággal adja meg! A ferdeségi mutató: ![]() | |||||||
4/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
![]() |