KURZUS: Közlekedésstatisztika
MODUL: II. modul: Az empirikus eloszlások elemzése
5. lecke: Helyzeti középértékek
Követelmények | |||||||||||||||||||||||||||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
Tananyag | |||||||||||||||||||||||||||
A helyzeti középértékek a sokaságban elfoglalt helyzetüknél fogva jellemzik a vizsgált jelenséget vagy folyamatot. Ahhoz, hogy az egyedek sokaságon belüli elhelyezkedése jellemezhető legyen, az egyedeket valamilyen előre rögzített szabály szerint sorba kell rendezni. Általában növekvő sorrendbe rendezzük az ismérvértékeket, azaz rangsort képezünk. | |||||||||||||||||||||||||||
5.1. Módusz | |||||||||||||||||||||||||||
A legegyszerűbb helyzeti mutató a leggyakoribb érték, amely egyben a "legsűrűbb" érték, és módusznak nevezzük. A módusz egy gyakorisági eloszlásnak az az ismérvváltozata, amely a leggyakrabban fordul elő, azaz a legnagyobb gyakorisággal. Egy eloszlásnak több módusza is lehet. | |||||||||||||||||||||||||||
Pl. 927 férfit megkérdeztek a nyakkendőjük számáról: | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
Diagramon ábrázolva: | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
Mo=1 és Mo=5 | |||||||||||||||||||||||||||
Folytonos gyakorisági sor esetén már nehezebb megállapítani a módusz konkrét értékét. Az osztályközös gyakorisággal megadott adatok esetében a statisztikai gyakorlat nem egységes. Kevés ismérvértéket felvehető diszkrét jelenségnél adott osztályköz felső határát meghaladja a következő osztályköz alsó határa, és ekkor az osztályközepeknél az osztályközök tényleges és megadott határai megegyeznek egymással, és az osztályba sorolás egyértelmű. Ekkor az osztályközök megadott alsó és felső határaival kell számolni. Folytonos ismérvértékeknél vagy sok ismérvértékkel rendelkező diszkrét ismérvértékeknél az osztályköz-határok kétféle megadása lehetséges. Első esetben az adott osztályköz felső határa és a következő osztályköz alsó határa megegyezik egymással, és az osztályköz-határral megegyező értékű elemeket az alacsonyabb osztályközbe soroljuk be. Második esetben közölt osztályköz-határokat adunk meg, amelyek csak arról tájékoztatnak, hogy az osztályköz-határokkal megegyező értékű elemeket az alacsonyabb osztályközbe soroljuk. Ekkor az osztályközepek kiszámításához és a módusz és medián becsléséhez az előző osztályköz felső határával számolunk. | |||||||||||||||||||||||||||
mo: a modális osztályköz alsó határa, | |||||||||||||||||||||||||||
Pl.: Egy kiskereskedőnél az egyik hétvégén megvizsgálták az egyes vásárlások összegét. | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
A táblázatban jól látható, hogy a legtöbb adat 501-750 között van, azaz a leggyakoribb érték itt található. | |||||||||||||||||||||||||||
A vásárlások 643 Ft körül sűrűsödtek. | |||||||||||||||||||||||||||
5.2. Medián | |||||||||||||||||||||||||||
A másik leggyakrabban alkalmazott helyzeti középérték a medián. A nagyság szerint sorba rendezett értékek közül a középső. A medián az az érték, amelynél kisebb értékek gyakorisága azonos a nálánál nagyobb értékek gyakoriságával, azaz a medián a megfigyelt értékek rangsorát két egyenlő részre osztja. | |||||||||||||||||||||||||||
Páratlan számú adat esetén | |||||||||||||||||||||||||||
-edik elem a medián. | |||||||||||||||||||||||||||
Pl.: Egy vizsgán 17 hallgató az alábbi pontszámokat érte el: | |||||||||||||||||||||||||||
A medián a 9. elem, így Me=12 | |||||||||||||||||||||||||||
Páros számú adat esetén a medián sorszámát (sMe)az alábbiak alapján számítjuk ki | |||||||||||||||||||||||||||
-edik elem lesz a medián, a hozzátartozó értékeket átlagolni kell. | |||||||||||||||||||||||||||
Pl.: 8 rúdugró az alábbi magasságokat ugrotta át: | |||||||||||||||||||||||||||
4,6; 4,8; 4,8; 4,9; 5,0; 5,0; 5,1; 5,3 (m) | |||||||||||||||||||||||||||
A medián a 4. és 5. elem átlaga lesz: | |||||||||||||||||||||||||||
m | |||||||||||||||||||||||||||
Folytonos gyakorisági sor esetén hasonlóan a móduszhoz, nehezebb megállapítani a középső értéket. | |||||||||||||||||||||||||||
n/2: a medián sorszáma (középső érték) | |||||||||||||||||||||||||||
Pl. 200 diák testmagasságát mérték meg: | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
A kumulált gyakoriságból lehet megállapítani, hogy melyik osztályközben található a medián.200 eleműnk van, így a medián elvileg a 100. és a 201. elem átlaga lenne, ha nem osztályközös gyakorisági sorból állapítanánk meg, így azonban csak azt kell meghatározni, hogy melyik osztályközben találhatóak ezek az elemek. A táblázatból leolvasható, hogy a mediánt a második osztályközben kell keresni, ugyanis itt található a nagyság szerint sorba rendezett adatok közül a 100. és 101. elem. | |||||||||||||||||||||||||||
a diákok fele 168,75 cm-nél alacsonyabb, fele pedig magasabb. | |||||||||||||||||||||||||||
5.3. Kvantilisek | |||||||||||||||||||||||||||
A középértékek mellett fontos helyzeti mutatók a kvantilisek. Ha a rangsorba rendezett sokaságot egy X-ismérvérték q:(1-q) arányban osztja ketté, akkor ezt az ismérvértéket q-ad rendű vagy q-adik kvantikisnek nevezzük. A kvantilisek meghatározása egyúttal a sokaság egy osztályozását jelenti. Ezen osztályozás során egyenlő gyakoriságú osztályközöket kapunk. | |||||||||||||||||||||||||||
5.3.1. Kvartilisek | |||||||||||||||||||||||||||
A sokaságot négy egyenlő elemszámú részsokaságra bontjuk. | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
Az alsó kvartilis sorszáma: | |||||||||||||||||||||||||||
A felső kvartilis sorszáma pedig: | |||||||||||||||||||||||||||
A képletek megegyeznek a medián képletével, természetesen a megfelelő fogalmak cseréje esetén. | |||||||||||||||||||||||||||
Pl. a felső kvartilis kiszámítása: | |||||||||||||||||||||||||||
3*n/4: a felső kvartilis sorszáma | |||||||||||||||||||||||||||
5.3.2. Tercilisek | |||||||||||||||||||||||||||
Ha két osztópont segítségével három egyenlő részre osztjuk a sokaságot, akkor terciliseket kapunk (T1 és T2). Az alsó tercilis (T1) a sokaság alső harmadolópontja, amely megmutatja, hogy mely értéknél kisebb a sokaság 1/3-ad része, illetve mely értéknél nagyobb a sokaság 2/3-ad része. A felső tercilis (T2) a sokaság felső harmadolópontja, amely megmutatja, hogy mely értéknél kisebb a sokaság 2/3-ad része, illetve mely értéknél nagyobb a sokaság 1/3-ad része. | |||||||||||||||||||||||||||
Kiszámításuk a mediánhoz hasonló. | |||||||||||||||||||||||||||
Az alsó tercilis képletet: | |||||||||||||||||||||||||||
A felső tercilis képlete: |
Bemutató feladat | ||||||||||||||||||||||
Pl. 200 diák testmagasságát mérték meg: | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
A felső kvartilis az adatok 3/4-t jelenti, azaz a 150. és 151. elem átlaga lenne (3*200/4), de osztályközös gyakorisági sornál a kumulált gyakoriság alapján az osztályközt kell először meghatározni. A táblázatból kiolvasható, hogy a felső kvartilis a 3. osztályközben található, értéke: | ||||||||||||||||||||||
, azaz a diákok 3/4-ed része alacsonyabb 175,71cm-nél 1/4-ed része pedig ennél magasabb. | ||||||||||||||||||||||
Az alsó tercilis (hasonlóan kell meghatározni, mint a mediánt vagy a kvartilist): | ||||||||||||||||||||||
, azaz a diákok 1/3-ad része alacsonyabb 164,58cm-nél 2/3-ad része pedig ennél magasabb. |
Önellenőrző kérdések | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Figyelem! Az itt kiszámított értékek a következő Modulokban szükségesek. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Válassza ki a helyes definíciót!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Válassza ki a módusz definícióját!
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Egy vizsgán a hallgatók az alábbi eredményt érték el: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Döntse el, hogy az alábbi mondatok a mediánra vagy a móduszra vonatkoznak. A válaszok mellé írja a megfelelő számot az alábbiak szerint: Medián: 1 ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Állapítsa meg a következő statisztikai sor móduszát és mediánját! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy településes a családok megoszlása a családban élő gyermekek száma szerint
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/a. Adja meg a módusz értékét! Módusz: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4/b. Adja meg a medián értékét: Medián: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Forrás: Magyar statisztikai zsebkönyv, 2006. | 5. Számítsa ki a kumulált gyakoriságot, és számítsa ki a statisztikai sor mediánját és móduszát! Az eredményt kerekítse egész számokra! A nyugdíjban részesülők megoszlása 2007. januárban
![]() | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5/a. Adja meg a medián értékét! Medián: Ft ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5/b. Adja meg a módusz értékét! Módusz: Ft ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Számítsa ki az alsó és felső kvartilis értékét. Az eredményt a kvartilisnál 3 tizedesjegy pontossággal, a decilis esetében egészszámokra kerekítve adja meg! Közgazdász hallgatók teljesítménye statisztika írásbeli vizsgán
![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/a. Adja meg az alsó kvartilis értékét! Az alsó kvartilis értéke: ![]() | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6/b. Adja meg a felső kvartilis értékét! Az felső kvartilis értéke: ![]() |