KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: II. modul: Valószínűség változó, valószínűségi eloszlások

4. lecke: Valószínűségi változó

Tananyag
4.1. A valószínűségi változó fogalma

A véletlen tömegjelenségeken megfigyelt változót, amely azzal jellemzi a véletlen tömegjelenséget, hogy konkrét értékeit különböző valószínűséggel veszi fel, valószínűségi változónak nevezzük.

Azaz: ha egy T-eseménytér elemi eseményeihez 1-1 számértéket rendelünk, így egy függvényt értelmezünk, amelyet valószínűségi változónak nevezünk, és ξ-vel (kszí) jelöljük.

A valószínűségi változó pontos értékét nem tudjuk előre meghatározni, viszont tudjuk, hogy milyen értékei lehetségesek, azaz ismerjük a valószínűségi változó értékkészletét.

Ha a valószínűségi változó csak egymástól különálló meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk; röviden diszkrét valószínűségi változónak nevezzük.

Ha a valószínűségi változó egy megadott intervallum összes értékét felveheti, akkor folytonos eloszlású valószínűségi változóról beszélünk; röviden folytonos valószínűségi változónak nevezzük.

Legyen Ak a T-eseménytér azon elemi eseményeinek a részhalmaza, amelyekhez ξ az xk-értéket rendeli, akkor a

p k =P( ξ= x k )=P( A k )

valószínűségeket a ξ-változó eloszlásának nevezzük, és azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó az xk-értéket pk valószínűséggel veszi fel. Az Ak-események teljes eseményrendszert alkotnak, ezért:

k=1 p k = K=1 p(ξ= x k ) = k=1 P( A k )=1

1. bemutató feladat

Kétszer feldobunk egy érmét egymás után. A két dobás négy azonos valószínűséget eredményezhet: ff; if; fi; ii

Megoldás:

A fej és az írások valószínűsége egyaránt 1/2=0,5, így mind a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1/4=0,25

A ξ valószínűségi változó egyenlő a "fej-dobások" számával. A fej értékeinek száma: 0, 1 és 2 lehet. Az egyes értékek a következő valószínűségeket vehetik fel:

p 2 =P( ξ=2 )=0,25

p 1 =P( ξ=1 )=0,50

p 0 =P( ξ=0 )=0,25

p k =0,25+0,5+0,25=1

2. bemutató feladat

Egy pakli magyar kártyából kétszer húzunk úgy, hogy a kihúzott lapot visszatesszük. Jelentse ξ a kihúzott piros lapok számát. Írjuk fel ξ-eloszlását!

Megoldás:

Mivel kétszer húzunk, ezért a kihúzott pirosak száma lehet 0, 1, 2. A pakliban 32 lap van, ebből 8 piros (24 nem piros). Tehát annak valószínűsége, hogy egy húzás alkalmával pirosat húzunk: 8/32 = 1/4=0,25. Nyilván a nem piros valószínűsége 3/4=0,75.

Annak valószínűsége, hogy nem húzunk pirosat: 3/4* 3/4 = 9/16
Annak valószínűsége, hogy két pirosat húzunk: 1/4* 1/4 = 1/16
Annak valószínűsége, hogy egy pirosat húzunk: 2*1/4* 3/4 = 6/16 (most a pirosat húzhatjuk elsőre vagy másodikra is)

p 2 =P( ξ=2 )= 1 16

p 1 =P( ξ=1 )= 6 16

p 0 =P( ξ=0 )= 9 16

4.2. Eloszlásfüggvény

A P( ξ<x ) értéke csak x értékétől függ, tehát x-nek függvénye, ezért F( x )=P( ξ<x ) jelölést alkalmazzuk. Az F( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Egy ξ valószínűségi változó F( x ) eloszlásfüggvénye azt adja meg, hogy milyen valószínűséggel vesz fel a ξ az x-nél kisebb értéket.

Az F( x ) eloszlásfüggvény tulajdonságai:

a) 0F( x )1
b) F( x ) monoton nő, azaz F( x 2 )F( x 1 ) , ha x 2 x 1
c) lim x F(x)=0 (lehetetlen esemény)
d) lim x F(x)=1 (biztos esemény)
e)Minden helyen balról folytonos, azaz lim x x 0 0 F(x)=F( x 0 )
f) P(ξ=a)= lim xa+0 F(x)=F(a)
g) P( ξa )=1P( ξ<a )=1F( a )
h) P( aξ<b )=F( b )F( a ) . Ez egy nem folytonos függvény, úgynevezett lépcsős függvény, mert ξ valószínűségi változó diszkrét.
i)Diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F(x)=P(ξx)= x i <x P(ξ= x i )
3. bemutató feladat

Kétszer feldobunk egy érmét egymás után. A két dobás négy azonos valószínűséget eredményezhet: ff; if; fi; ii

A fej és az írások valószínűsége egyaránt 1/2=0,5, így mind a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1/4=0,25

A ξ valószínűségi változó egyenlő a "fej-dobások" számával. A fej értékeinek száma: 0, 1 és 2 lehet. Az egyes értékek a következő valószínűségeket vehetik fel:

p 2 =P( ξ=2 )=0,25

p 1 =P( ξ=1 )=0,50

p 0 =P( ξ=0 )=0,25

Megoldás:

A diszkrét ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

F( 1 )=P( ξ<1 )= p 0 = 1 4

F( 2 )=P( ξ<2 )= p 0 + p 1 = 1 4 + 1 2 = 3 4

F( 3 )=P( ξ<3 )= p 0 + p 1 + p 2 = 1 4 + 1 2 + 1 4 =1

Így a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

F(x)={ 0,...x0 1 4 ;..0<x1 3 4 ;...1<x2 1.....2<x ...xR

4. bemutató feladat

Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő:

F( x )={ 0, ha x2 x2 3 , ha 2<x5 1, ha x>5

Határozzuk meg a következő valószínűségeket:

a) P( ξ<3 )
b) P( ξ=4 )
c) P( ξ>4 )
d) P( 3ξ<4,5 )
e) P( ξ<1 )
f) P( ξ>6 )
g) P( 0ξ<3 )

Megoldás:

a) P( ξ<3 )=F( 3 )= 32 3 = 1 3

b) P( ξ=4 )= lim x4+ F( x )F( 4 )= 2 3 2 3 =0 , mivel F( x ) folytonos függvény (azt is mondhattuk volna, hogy ξ folytonos eloszlású, tehát az egyenlőség valószínűsége 0).

c) P( ξ>4 )=1P( ξ4 ) , hiszen P( A )=1P( A ¯ ) .
Továbbá P( ξ4 )=P( ξ<4 )+P( ξ=4 )=F( 4 )+0= 42 3 = 2 3 .
Így a keresett valószínűség: P( ξ>4 )=1 2 3 = 1 3 .

d) P( 3ξ<4,5 )=F( 4,5 )F( 3 )= 4,52 3 32 3 = 2,5 3 1 3 = 1,5 3 =0,5 .

e) Jusson eszünkbe, hogy F(x) 2-nél kisebb értékekre 0, így P( ξ<1 )=F( 1 )=0 .

f) P( ξ>6 )=1P( ξ6 )=1[ P( ξ=6 )+P( ξ<6 ) ]=1[ 0+F( 6 ) ]=1( 0+1 )=0 , hiszen F( x ) 5-nél nagyobb x-ekre 1.

Megjegyzés: az előző két pontra úgy is válaszolhattunk volna, hogy ξ értékei 2 és 5 közé esnek, ezért az 1-nél kisebb és a 6-nál nagyobb értéknek is 0 a valószínűsége.

g) P( 0ξ<3 )=F( 3 )F( 0 )= 32 3 0= 1 3 .

h) P( 0ξ<10 )=F( 10 )F( 0 )=10=1 .

4.3. Sűrűségfüggvény

Ha a ξ valószínűségi változóhoz tartozó F( x ) függvény folytonos és differenciálható, akkor folytonosnak nevezzük a ξ valószínűségi változót és annak eloszlását is. Ebben az esetben fennáll, hogy

F ( x )=f( x )

Egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük az f( x ) függvényt, ha ezzel a ξ valószínűségi változó F( x ) eloszlásfüggvénye az alábbi módon adható meg:

F(x)= - f(t)dt

Az f( x ) sűrűségfüggvény tulajdonságai:

a)Mivel ξ értéke és + közé esik, ezért: f(x)dx=1
b) f( x )>0
c) P(ξ<a)=F(a)= a f(t)dt
d) P(ξa)=1F(a)=1 a f(t)dt
e)A számegyenes minden (a,b) intervalluma esetén: F(b)F(a)=P(a<ξ<b)= a b f(x)dx fennáll.
5. bemutató feladat

Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

F(x)={ 0.............x0 2x x 2 ...0x1 1...............1x

Megoldás:

A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét az F( x ) eloszlásfüggvény szakaszonkénti deriválásával kapjuk, azaz

f(x)={ 0.............x0 22x...0x1 0...............1x

6. bemutató feladat

A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

f(x)={ 0.............x2 a x 3 ..........2x , határozzuk meg az a-együttható értékét. Írjuk fel a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét.

Megoldás:

f(x)dx=1 , adott függvényünkre 2 a x 3 dx=1 , ebből fejezzük ki a-együtthatót:

a= 1 2 dx x 3 .

Végezzük el az integrálást:

2 dx x 3 = 2 x 3 dx= [ x 2 2 ] 2 = [ 1 2 x 2 ] 2 =0( 1 2 2 2 )= 1 8

Helyettesítsünk vissza a-együttható képletébe:

a= 1 1 8 =8

Legyen x>2, ekkor:

f(t)dt= 2 x 8 t 3 dt=8 2 x t 3 dt=8 [ t 2 2 ] 2 x=8 [ 1 2 t 2 ] 2 x=8( 1 2 x 2 + 1 8)=1 4 x 2

Tehát az eloszlásfüggvény:

F(x)={ 0...........x2 1 4 x 2 ...x2

4.4. Várható érték

Az eloszlásfüggvény teljes mértékben meghatározza a valószínűségi változó ingadozásait. Adott esetben azonban mégis előfordulhat, hogy szeretnénk a véletlen ingadozást egyetlen számértékkel jellemezni.

Ha ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, ..., xn, amelyeket p1, p2, ..., pn valószínűséggel vesz fel, akkor a ξ valószínűségi változó lehetséges értékeiből ezek valószínűségeinek, mint súlyokkal képezett középértéket a ξ valószínűségi változó várható értékének nevezzük. Jelölése:

M(ξ)= p k x k

Ha a ξ valószínűségi változó végtelen sok diszkrét értéket vehet fel, akkor a várható értéket csak akkor értelmezzük, ha a fenti képlet abszolút konvergens, vagyis

k=1 (| x k | p k )

Ha a ξ folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye f( x ) , akkor a várható értéke:

M(ξ)= xf(x)dx ,

feltéve, hogy xf(x)dx konvergens. Ellenkező esetben a diszkrét, illetve folytonos valószínűségi változónak nincs várható értéke.

7. bemutató feladat

Kockadobásnál a ξ valószínűségi változó a dobott szám értékével egyenlő. Számítsuk ki a várható értéket!

Megoldás:

xk=k (k=1, 2, ..., 6); pk=1/6

M(ξ)= p k x k = k=1 6 1 6 x k = 1 6 (1+2+3+4+5+6)=3,5

8. bemutató feladat

Ha egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

f(x)={ 0...........x0 22x...0x1 0...........1x .

Számítsuk ki a várható értéket!

Megoldás:

M(ξ)= xf(x)dx = 0 1 x(22x)dx = 0 1 (2x2 x 2 )dx = [ 2 x 2 2 2 x 3 3 ] 0 1=(1 2 3)0= 1 3

9. bemutató feladat

Egy dobókockát háromszor elgurítunk. Jelentse ξ a dobott hatosok számát. Számítsuk ki ξ várható értékét!

Megoldás:

ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek:

P( 0 db hatos )= ( 5 6 ) 3 = 125 216

P( 1 db hatos )=3 1 6 ( 5 6 ) 2 = 75 216

P( 2 db hatos )=3 ( 1 6 ) 2 5 6 = 15 216

P( 3 db hatos )= ( 1 6 ) 3 = 1 216

Ugyanis minden dobásnál hatféle lehetőségünk van, ez a három dobásra így 666=216 -féle lehetőség. Ha nem dobunk hatost, akkor minden dobásnál 5 lehetőségünk van, ez így 555=125 eset. Ha egy hatost dobunk, akkor ezt háromféleképpen tehetjük (elsőre, másodikra vagy harmadikra) a nem hatosokra pedig 55 -féle lehetőség van, ez így 355=75 eset. A két hatos esete hasonlóan számítható, itt 15 esetet kapunk, három hatost pedig csak egyféleképpen dobhatunk.

Így ξ eloszlása

ξ:{ 0 1 2 3 125 216 75 216 15 216 1 216

ξvárható értéke:

M( ξ )=0 125 216 +1 75 216 +2 15 216 +3 1 216 = 108 216 = 1 2

4.5. Szórás

Egy ξ valószínűségi változó várható értéke azt a számértéket jelenti, amely körül a változó véletlen ingadozásokat mutat, de az ingadozás mértékét nem lehet megállapítani. Ezt az ingadozást a szórás mutatja meg. Ennek négyzete a szórásnégyzet, amely ξ és M( ξ ) eltérésnégyzetének várható értéke.

A ξ valószínűségi változó szórásnégyezetén a

D 2 (ξ)=M{ [ ξM(ξ) ] 2 }=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )

kifejezést értjük

A szórást D( ξ ) -vel jelöljük:

D(ξ)= M{ [ ξM(ξ) ] 2 } = M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )

Ha ξ diszkrét valószínűségi változó, amely az x1, x2, ..., xn értékeket p1, p2, ..., pn valószínűséggel veszi fel, akkor a ξ valószínűségi változó szórásnégyezete:

D 2 (ξ)= k=1 x k 2 p k ( k=1 x k p k ) 2

Ha a ξ folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye f(x), akkor a szórásnégyzet értéke - amennyiben létezik -:

D 2 (ξ)= x 2 f(x)dx [ xf(x)dx ] 2

10. bemutató feladat

Kockadobásnál a ξ valószínűségi változó a dobott szám értékével egyenlő. Számítsuk ki a szórást!

Megoldás:

xk=k (k=1, 2, ..., 6); pk=1/6

M(ξ)= p k x k = k=1 6 1 6 x k = 1 6 (1+2+3+4+5+6)= 21 6

D 2 (ξ)=M{ [ ξM(ξ) ] 2 }=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )

M( ξ 2 )= k=1 6 p k x k 2 = 1 6 k=1 6 ( 1+4+16+25+36 )= 91 6 [ M( ξ ) ] 2 = ( 21 6 ) 2 = ( 7 2 ) 2 = 49 4 D 2 ( ξ )= 91 6 49 4 = 35 12 D( ξ )= 49 12 =1,71

11. bemutató feladat

Ha egy ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

f(x)={ 0...........x0 22x...0x1 0...........1x .

Számítsuk ki a szórást!

Megoldás:

M(ξ)= xf(x)dx = 0 1 x(22x)dx = 0 1 (2x2 x 2 )dx = [ 2 x 2 2 2 x 3 3 ] 0 1=(1 2 3)0= 1 3

D 2 ( ξ ) = - x 2 *f( x ) dx - [ - x*f( x ) dx ] 2 = 0 1 x 2 *( 2-2x ) dx - ( 1 3 ) 2 = [ 2 x 3 3 - 2 x 4 4 ] 0 1 - 1 9 = = 1 6 - 1 9 = 1 18 D( ξ ) = 1 18 =0,236

4.6. A valószínűségi változó néhány jellemzője
4.6.1. Medián

Valamely ξ valószínűségi változó mediánja, med( ξ ) az a szám, amelyre:

P(ξmed(ξ)) 1 2 és P(ξmed(ξ)) 1 2 , ha ξ valószínűségi változó diszkrét, és

P(ξmed(ξ))=F(med(ξ))= 1 2 , ha ξ valószínűségi változó folytonos.

Azaz a medián általában az a szám, amelytől kisebb, illetve nagyobb értékeket egyenlő valószínűséggel vesz fel a valószínűségi változó.

12. bemutató feladat

Ha egy kockával dobunk és ξ valószínűségi változó a dobott szám értéke, akkor a medián definíciójának bármely a ]3;4[ intervallumba eső szám eleget tesz, hiszen

P( ξ<3;4 )=P( ξ3;4 )= 1 2

13. bemutató feladat

Valamely ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

F( x ) ={ 0...................x2 1 16 ( x-2 ) 2 ...2<x6 1...................6<x

Határozzuk meg a mediánt!

Megoldás:

1 16 ( x-2 ) 2 = 1 2
ebből
x 1 =2+ 2 med( ξ ) =2+ 2

4.6.2. Módusz

Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó móduszának nevezzük. Folytonos sűrűségi függvény esetén a ξ valószínűségi változó módusza a sűrűségfüggvény maximumhelye. A módusz jele: mod( ξ ) .

14. bemutató feladat

Valamely ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

F( x ) ={ 0...................x2 1 16 ( x-2 ) 2 ...2<x6 1...................6<x

Határozzuk meg a móduszt!

Megoldás:

A sűrűségfüggvény:

f(x)={ 0...................x2 1 8 (x2)...2x6 1...................6x f x ' = 1 8

A sűrűségfüggvény, illetve a valószínűségi változó lényeges tulajdonsága nem változik, ha a szakadási pontban tetszés szerint választott f-értéket, például a példánkban legyen ez az érték x=6. Ekkor f(6)=4/8=1/2, azaz létezik módusz, mod( ξ )=6 .

Önellenőrző kérdések
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
Ha a valószínűségi változó meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.
Ha a valószínűségi változó csak egymástól különálló meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.
Ha a valószínűségi változó egy adott intervallumban meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk.
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
Az F( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük
Az f( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük
Az F ( x ) függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
F( x )= f ( x )
F ( x )=f( x )
F( x )=f( x )
4. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
Minden ξ diszkrét valószínűségi változónak van várható értéke és szórása.
Nem minden ξ diszkrét valószínűségi változónak van várható értéke és szórása.
A ξ diszkrét valószínűségi változónak van várható értéke és szórása.
5. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó várható értékének nevezzük.
Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó mediánjának nevezzük.
Ha a ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a ξ valószínűségi változó móduszának nevezzük.

6. Egy csomag 32 lapos magyar kártyából visszatevés nélkül kihúzunk 4 lapot. A ξ valószínűségi változó jelentse a kihúzott lapok közül a zöldek számát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy:

a) legalább 2, de legfeljebb 3 zöld lap lesz a kiválasztottak között;
0,7116
0,7996
0,7026
0,8096
b) legalább 2 olyan lapot húzunk, amelyik nem zöld?
0,9607
0,8607
0,9217
0,8617

7. Egy utcában a kábel TV-csatorna vételére az erősítőtől az utolsó házig 500 m kábelt fektettek le, amely valahol meghibásodott, ezért csak a hibahely és az erősítő közötti szakaszon biztosítja a vételt. Annak valószínűsége, hogy a hiba egy adott szakaszon következik be arányos kérdéses szakasz hosszával. A ξ valószínűségi változó jelentse a vételre alkalmas szakasz hosszát.

a) Adja meg ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!
F(x)={ 0..........0x x 500 .....0x.0500 1..........500x
F(x)={ 0..........0x x 500 .....0x.0500 1..........500x
F(x)={ 0..........0x x 500 .....0x.0500 1..........500x
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kábel meghibásodása az erősítőtől 150 m-nél távolabb, de legfeljebb 300 m-re van?
0,3
0,4
0,5
0,6
c) Határozza meg a sűrűségfüggvényt!
f(x)={ 0......0x 1 500 ..0x500 0......500x
f(x)={ 0......0x 1 500 ..0x500 0......500x
f(x)={ 0......0x 1 500 ..0x500 0......500x
f(x)={ 0......0x 1 500 ..0x500 0......500x

8. Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f(x)={ 0........x1 3 x 4 .....1x
Számítsa ki a várható értéket és a szórást!

a) A várható érték:
3/4
3/2
2/3
4/3
b) A szórás:
0,766
0,899
0,866
0,756