KURZUS: Kvantitatív módszerek
MODUL: II. modul: Valószínűség változó, valószínűségi eloszlások
4. lecke: Valószínűségi változó
Tananyag | ||
4.1. A valószínűségi változó fogalma | ||
A véletlen tömegjelenségeken megfigyelt változót, amely azzal jellemzi a véletlen tömegjelenséget, hogy konkrét értékeit különböző valószínűséggel veszi fel, valószínűségi változónak nevezzük. | ||
Azaz: ha egy T-eseménytér elemi eseményeihez 1-1 számértéket rendelünk, így egy függvényt értelmezünk, amelyet valószínűségi változónak nevezünk, és -vel (kszí) jelöljük. | ||
A valószínűségi változó pontos értékét nem tudjuk előre meghatározni, viszont tudjuk, hogy milyen értékei lehetségesek, azaz ismerjük a valószínűségi változó értékkészletét. | ||
Ha a valószínűségi változó csak egymástól különálló meghatározott értékeket vehet fel, akkor diszkrét eloszlású valószínűségi változóról beszélünk; röviden diszkrét valószínűségi változónak nevezzük. | ||
Ha a valószínűségi változó egy megadott intervallum összes értékét felveheti, akkor folytonos eloszlású valószínűségi változóról beszélünk; röviden folytonos valószínűségi változónak nevezzük. | ||
Legyen Ak a T-eseménytér azon elemi eseményeinek a részhalmaza, amelyekhez az xk-értéket rendeli, akkor a | ||
valószínűségeket a -változó eloszlásának nevezzük, és azt mondjuk, hogy a valószínűségi változó az xk-értéket pk valószínűséggel veszi fel. Az Ak-események teljes eseményrendszert alkotnak, ezért: | ||
1. bemutató feladat | |||||||
Kétszer feldobunk egy érmét egymás után. A két dobás négy azonos valószínűséget eredményezhet: ff; if; fi; ii | |||||||
Megoldás: | |||||||
A fej és az írások valószínűsége egyaránt 1/2=0,5, így mind a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1/4=0,25 | |||||||
A valószínűségi változó egyenlő a "fej-dobások" számával. A fej értékeinek száma: 0, 1 és 2 lehet. Az egyes értékek a következő valószínűségeket vehetik fel: | |||||||
2. bemutató feladat | |||||||
Egy pakli magyar kártyából kétszer húzunk úgy, hogy a kihúzott lapot visszatesszük. Jelentse a kihúzott piros lapok számát. Írjuk fel -eloszlását! | |||||||
Megoldás: | |||||||
Mivel kétszer húzunk, ezért a kihúzott pirosak száma lehet 0, 1, 2. A pakliban 32 lap van, ebből 8 piros (24 nem piros). Tehát annak valószínűsége, hogy egy húzás alkalmával pirosat húzunk: 8/32 = 1/4=0,25. Nyilván a nem piros valószínűsége 3/4=0,75. | |||||||
| |||||||
4.2. Eloszlásfüggvény | |||||||||||||||||||
A értéke csak x értékétől függ, tehát x-nek függvénye, ezért jelölést alkalmazzuk. Az függvényt a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye azt adja meg, hogy milyen valószínűséggel vesz fel a az x-nél kisebb értéket. | |||||||||||||||||||
Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: | |||||||||||||||||||
|
3. bemutató feladat | |||||||||||||||
Kétszer feldobunk egy érmét egymás után. A két dobás négy azonos valószínűséget eredményezhet: ff; if; fi; ii | |||||||||||||||
A fej és az írások valószínűsége egyaránt 1/2=0,5, így mind a négy esemény bekövetkezésének valószínűsége 1/4=0,25 | |||||||||||||||
A valószínűségi változó egyenlő a "fej-dobások" számával. A fej értékeinek száma: 0, 1 és 2 lehet. Az egyes értékek a következő valószínűségeket vehetik fel: | |||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||
A diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: | |||||||||||||||
Így a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: | |||||||||||||||
4. bemutató feladat | |||||||||||||||
Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: | |||||||||||||||
Határozzuk meg a következő valószínűségeket: | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||
a) | |||||||||||||||
b), mivel folytonos függvény (azt is mondhattuk volna, hogy folytonos eloszlású, tehát az egyenlőség valószínűsége 0). | |||||||||||||||
c), hiszen . | |||||||||||||||
d). | |||||||||||||||
e) Jusson eszünkbe, hogy F(x) 2-nél kisebb értékekre 0, így . | |||||||||||||||
f), hiszen 5-nél nagyobb x-ekre 1. | |||||||||||||||
Megjegyzés: az előző két pontra úgy is válaszolhattunk volna, hogy értékei 2 és 5 közé esnek, ezért az 1-nél kisebb és a 6-nál nagyobb értéknek is 0 a valószínűsége. | |||||||||||||||
g). | |||||||||||||||
h). |
4.3. Sűrűségfüggvény | |||||||||||
Ha a valószínűségi változóhoz tartozó függvény folytonos és differenciálható, akkor folytonosnak nevezzük a valószínűségi változót és annak eloszlását is. Ebben az esetben fennáll, hogy | |||||||||||
Egy valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük az függvényt, ha ezzel a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az alábbi módon adható meg: | |||||||||||
Az sűrűségfüggvény tulajdonságai: | |||||||||||
|
5. bemutató feladat | ||
Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: | ||
Megoldás: | ||
A valószínűségi változó sűrűségfüggvényét az eloszlásfüggvény szakaszonkénti deriválásával kapjuk, azaz | ||
6. bemutató feladat | ||
A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: | ||
, határozzuk meg az a-együttható értékét. Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét. | ||
Megoldás: | ||
, adott függvényünkre , ebből fejezzük ki a-együtthatót: | ||
. | ||
Végezzük el az integrálást: | ||
Helyettesítsünk vissza a-együttható képletébe: | ||
Legyen x>2, ekkor: | ||
Tehát az eloszlásfüggvény: | ||
4.4. Várható érték | ||
Az eloszlásfüggvény teljes mértékben meghatározza a valószínűségi változó ingadozásait. Adott esetben azonban mégis előfordulhat, hogy szeretnénk a véletlen ingadozást egyetlen számértékkel jellemezni. | ||
Ha diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x1, x2, ..., xn, amelyeket p1, p2, ..., pn valószínűséggel vesz fel, akkor a valószínűségi változó lehetséges értékeiből ezek valószínűségeinek, mint súlyokkal képezett középértéket a valószínűségi változó várható értékének nevezzük. Jelölése: | ||
Ha a valószínűségi változó végtelen sok diszkrét értéket vehet fel, akkor a várható értéket csak akkor értelmezzük, ha a fenti képlet abszolút konvergens, vagyis | ||
Ha a folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye , akkor a várható értéke: | ||
, | ||
feltéve, hogy konvergens. Ellenkező esetben a diszkrét, illetve folytonos valószínűségi változónak nincs várható értéke. |
7. bemutató feladat | ||
Kockadobásnál a valószínűségi változó a dobott szám értékével egyenlő. Számítsuk ki a várható értéket! | ||
Megoldás: | ||
xk=k (k=1, 2, ..., 6); pk=1/6 | ||
8. bemutató feladat | ||
Ha egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: | ||
. | ||
Számítsuk ki a várható értéket! | ||
Megoldás: | ||
9. bemutató feladat | ||
Egy dobókockát háromszor elgurítunk. Jelentse a dobott hatosok számát. Számítsuk ki várható értékét! | ||
Megoldás: | ||
lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek: | ||
Ugyanis minden dobásnál hatféle lehetőségünk van, ez a három dobásra így -féle lehetőség. Ha nem dobunk hatost, akkor minden dobásnál 5 lehetőségünk van, ez így eset. Ha egy hatost dobunk, akkor ezt háromféleképpen tehetjük (elsőre, másodikra vagy harmadikra) a nem hatosokra pedig -féle lehetőség van, ez így eset. A két hatos esete hasonlóan számítható, itt 15 esetet kapunk, három hatost pedig csak egyféleképpen dobhatunk. | ||
Így eloszlása | ||
várható értéke: | ||
4.5. Szórás | ||
Egy valószínűségi változó várható értéke azt a számértéket jelenti, amely körül a változó véletlen ingadozásokat mutat, de az ingadozás mértékét nem lehet megállapítani. Ezt az ingadozást a szórás mutatja meg. Ennek négyzete a szórásnégyzet, amely és eltérésnégyzetének várható értéke. | ||
A valószínűségi változó szórásnégyezetén a | ||
kifejezést értjük | ||
A szórást -vel jelöljük: | ||
Ha diszkrét valószínűségi változó, amely az x1, x2, ..., xn értékeket p1, p2, ..., pn valószínűséggel veszi fel, akkor a valószínűségi változó szórásnégyezete: | ||
Ha a folytonos valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye f(x), akkor a szórásnégyzet értéke - amennyiben létezik -: | ||
10. bemutató feladat | ||
Kockadobásnál a valószínűségi változó a dobott szám értékével egyenlő. Számítsuk ki a szórást! | ||
Megoldás: | ||
xk=k (k=1, 2, ..., 6); pk=1/6 | ||
11. bemutató feladat | ||
Ha egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: | ||
. | ||
Számítsuk ki a szórást! | ||
Megoldás: | ||
4.6. A valószínűségi változó néhány jellemzője | ||
4.6.1. Medián | ||
Valamely valószínűségi változó mediánja, az a szám, amelyre: | ||
és , ha valószínűségi változó diszkrét, és | ||
, ha valószínűségi változó folytonos. | ||
Azaz a medián általában az a szám, amelytől kisebb, illetve nagyobb értékeket egyenlő valószínűséggel vesz fel a valószínűségi változó. |
12. bemutató feladat | ||
Ha egy kockával dobunk és valószínűségi változó a dobott szám értéke, akkor a medián definíciójának bármely a ]3;4[ intervallumba eső szám eleget tesz, hiszen | ||
13. bemutató feladat | ||
Valamely valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: | ||
Határozzuk meg a mediánt! | ||
Megoldás: | ||
|
4.6.2. Módusz | ||
Ha a valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a valószínűségi változó móduszának nevezzük. Folytonos sűrűségi függvény esetén a valószínűségi változó módusza a sűrűségfüggvény maximumhelye. A módusz jele: . |
14. bemutató feladat | ||
Valamely valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: | ||
Határozzuk meg a móduszt! | ||
Megoldás: | ||
A sűrűségfüggvény: | ||
A sűrűségfüggvény, illetve a valószínűségi változó lényeges tulajdonsága nem változik, ha a szakadási pontban tetszés szerint választott f-értéket, például a példánkban legyen ez az érték x=6. Ekkor f(6)=4/8=1/2, azaz létezik módusz, . |
Önellenőrző kérdések | |||||||||
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást! ![]() | |||||||||
4. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
5. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
6. Egy csomag 32 lapos magyar kártyából visszatevés nélkül kihúzunk 4 lapot. A valószínűségi változó jelentse a kihúzott lapok közül a zöldek számát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy: | |||||||||
a) legalább 2, de legfeljebb 3 zöld lap lesz a kiválasztottak között;
![]() | |||||||||
b) legalább 2 olyan lapot húzunk, amelyik nem zöld?
![]() | |||||||||
7. Egy utcában a kábel TV-csatorna vételére az erősítőtől az utolsó házig 500 m kábelt fektettek le, amely valahol meghibásodott, ezért csak a hibahely és az erősítő közötti szakaszon biztosítja a vételt. Annak valószínűsége, hogy a hiba egy adott szakaszon következik be arányos kérdéses szakasz hosszával. A valószínűségi változó jelentse a vételre alkalmas szakasz hosszát. | |||||||||
a) Adja meg valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! ![]() | |||||||||
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kábel meghibásodása az erősítőtől 150 m-nél távolabb, de legfeljebb 300 m-re van?
![]() | |||||||||
c) Határozza meg a sűrűségfüggvényt! ![]() | |||||||||
8. Egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: | |||||||||
a) A várható érték:
![]() | |||||||||
b) A szórás:
![]() |