KURZUS: Kvantitatív módszerek
MODUL: I. modul: Valószínűség számítás
2. lecke: A valószínűség meghatározásának gyakori lehetőségei
Tananyag | ||
2.1. Klasszikus valószínűség | ||
Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek azonos a valószínűsége, akkor klasszikus valószínűségről beszélünk. | ||
Legyen A a kísérlettel kapcsolatos esemény, elemi eseményeinek száma pedig n. Ha egy A-esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor: | ||
n: az összes lehetséges elemi esemény. | ||
A klasszikus képlet széles körű alkalmazási lehetőségei tárulnak fel az úgynevezett mintavételes feladatoknál. | ||
2.1.1. Visszatevéses véletlen mintavétel | ||
A véletlen mintavétel során egy halmazból véletlenszerűen választunk ki egy elemet, ezen elemek összességét véletlen mintának nevezzük. Ha a kiválasztott elemet a kivétel után megvizsgáljuk és visszatesszük a halmazba, akkor visszatevéses véletlen mintavételről beszélünk. | ||
Legyen egy N-elemű halmazban M-számú megjelölt és N-M-számú jelöletlen elem. Vegyünk mintát úgy, hogy a kiválasztott elemet miután megvizsgáltuk, hogy milyen, visszatesszük. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy ilyen n-húzásból álló sorozatban a megjelölt elemek száma k lesz (a jelöletleneké pedig n-k). | ||
Jelölje a szóban forgó eseményt Ak. | ||
Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott n-elem között pontosan k-darab megjelölt elem van: | ||
Legyen p a megjelölt, illetve q a jelöletlen elemek kiválasztásának valószínűsége. Így | ||
és . | ||
Ekkor | ||
(k=0, 1, 2, ..., n) | ||
Ezt az összefüggést Bernoulli képletnek nevezzük. A P(Ak) helyett sokszor csak a Pk szimbólumot használjuk. |
1. bemutató feladat | |||||||
100 db termékből, melynek 10%-a hibás, visszatevéses módszerrel kiválasztunk 5 elemet. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a mintában 2 hibás elem kerül? | |||||||
Megoldás: | |||||||
| |||||||
Tehát annak valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 elemből 2 hibás lesz, 0,0729. | |||||||
2. bemutató feladat | |||||||
Egy csomag magyar kártyából visszatevéses módszerrel 9 lapot választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind a 8 piros lap a kihúzott kártyák között lesz? | |||||||
Megoldás: | |||||||
| |||||||
2.1.2. Visszatevés nélküli véletlen mintavétel | ||
Legyen egy N-elemű halmazban M-számú megjelölt és (N-M)-számú jelöletlen elem. Végezzük el a mintavételt úgy, hogy a kiválasztott elemet nem tesszük vissza. Ezt a mintavételt kétféleképpen lehet elvégezni. Kivehetjük az n-elemet egyszerre és egyesével is. | ||
Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy ilyen n-húzásból álló sorozatban a megjelölt elemek száma k lesz (a jelöletleneké pedig n-k). | ||
Jelölje a szóban forgó eseményt: Ak. | ||
Ha az n-elem kiválasztása egyszerre történik, akkor az elemi események száma . A kedvező esetek száma pedig k, amelyet - kaphatunk meg. A kedvezőtlen esetek száma (n-k), ezeket pedig -féleképpen lehet kiválasztani. Így az Ak-esemény összesen módon valósulhat meg. | ||
Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott n-elem között pontosan k-darab megjelölt elem van: | ||
(k=0, 1, 2, ..., n) | ||
Ha az n-elemet egyesével választjuk ki, akkor is ugyan ezt a valószínűséget kapjuk. |
3. bemutató feladat | |||||||
100 db termékből, melynek 10%-a hibás, visszatevés nélküli véletlen mintavétellel kiválasztunk 5 elemet. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a mintában 2 hibás elem kerül? | |||||||
Megoldás: | |||||||
| |||||||
Tehát annak valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 elemből 2 hibás lesz, 0,0702. | |||||||
4. bemutató feladat | |||||||
Egy dobozban 3 fehér és 7 fekete golyó van. Mekkora annak a valószínűsége, hogy visszatevés nélkül négyet kihúzva pontosan 2 fehéret és 2 feketét választottunk ki? | |||||||
Megoldás: | |||||||
Legyen A-esemény: 2 fehéret és 2 feketét választottunk, és keressük. Tulajdonképpen 10 közül választunk 4-et úgy, hogy a sorrend nem számít, csak az, hogy egygolyót választunk-e vagy nem. | |||||||
Összesen 10 golyó van, tehát az összes lehetőségek száma: | |||||||
A kedvező esetek száma: a 3 fehér közül kiválasztunk kettőt, a 7 fekete közül szintén kettőt, eztrendre és -féleképpen tehetjük meg, vagyis a kedvező esetek száma: | |||||||
Így a keresett valószínűség: | |||||||
2.2. Geometriai valószínűség | ||
Ha egy kísérlettel kapcsolatos események egy geometriai alakzat részhalmazainak feleltethetőek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége a megfelelő alakzat mértékével (hossz, terület, térfogat) arányos, akkor az események és valószínűségeik geometriai valószínűségi mezőt alkotnak. | ||
Más megfogalmazásban: Ha feltehető, hogy egy geometriai alakzattal megadott H eseménytérben annak valószínűsége, hogy egy véletlen pont az résztartományba esik, arányos az A-tartomány mértékével (amennyiben ez létezik), geometriai valószínűségről beszélünk | ||
Legyen A-esemény egy kísérlettel kapcsolatos. A kísérlettel kapcsolatban szóba jövő teljes geometriai alakzat mértéke M, az A-eseménynek megfelelő részhalmazok mértéke pedig m, akkor az A-esemény bekövetkezésének valószínűsége: | ||
5. bemutató feladat | ||
Két ember találkozót beszél meg. 6 és 7 óra között véletlenszerűen érkeznek meg a megbeszélt helyre, és várnak társuk érkezéséig. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az előbb érkezőnek 10 percnél többet kell várnia? | ||
Megoldás: | ||
A-esemény: 10 percnél többet kell várni valamelyiküknek. | ||
| ||
A kedvező eseménynek megfelelő rész területe: m = 50×50/ 2 + 50×50 /2 =2500. | ||
6. bemutató feladat | ||
A Duna egyik szakaszán jégtorlasz keletkezett, amelyet robbantással lehet csak eltávolítani. A robbantás akkor hatásos, ha olyan pontra esik a robbanóanyag, ahol a jég 8 cm-nél vékonyabb. A jég teljes felülete 3000 m2, és csak 500 m2 területen vékonyabb a jég 8 cm-nél. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a jégtorlaszra eső robbanóanyag hatásos? | ||
Megoldás: | ||
M=3000 m2; m=500m2 | ||
Önellenőrző feladatok | |||||||||
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
4. Egy raktárba érkezett áru 3%-a selejt. Visszatevéses módszerrel 100 elemű mintát választunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy selejtek darabok aránya 2,5-3-5% lesz?
![]() | |||||||||
5. Egy dobozban 20 golyó található, amelynek 10%-a fehér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy visszatevés nélkül 4 golyót kiválasztva nem lesz köztük fehér?
![]() | |||||||||
6. Egy dobozban 5 fehér, 2 fekete és 3 piros golyó van. Mennyi a valószínűsége annak, hogy visszatevés nélkül 6 golyót egyszerre kiválasztva azok között 2 fehér, 1 fekete és 3 piros lesz?
![]() | |||||||||
7. Egy ember elfelejtette felhúzni az óráját, és az így megállt. Feltételezzük, hogy annak valószínűsége, hogy a nagymutató a számlap kerületének valamely megadott ívén áll meg, arányos az ív hosszával. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a nagymutató a 3-as és a 6-os között áll meg?
![]() | |||||||||
8. Egy távbeszélő állomás és a központi vezeték távolsága 450 m. Mi a valószínűsége annak, hogy az első hiba a vezetéknek a központtól 180 m-nél távolabbi helyen lép fel, ha a vezeték mentén bárhol azonos a meghibásodás veszélye?
![]() | |||||||||
9. Egy osztályba 18 fiú és 12 lány jár. Történelemből ketten felelnek. Mi a valószínűsége, hogy mindkét felelő fiú?
![]() | |||||||||
10. Matematikából egy alkalommal 30 fő vizsgázott (20 lány, 10 fiú). Sajnos, csak 12 ember vizsgája volt sikeres. Mi a valószínűsége, hogy 6 fiú és 6 lány ment át?
![]() |