KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: II. modul: Valószínűség változó, valószínűségi eloszlások

5. lecke: Nevezetes eloszlások

Tananyag
5.1. Diszkrét eloszlások
5.1.1. Karakterisztikus eloszlás

Tekintsünk egy adott kísérlethez tartozó tetszőleges A-eseményt, P( A )=p . Az A-esemény karakterisztikus valószínűségi változójának nevezzük ξ-t, ha

ξ={ 1.........ha.az.Aesemény.következik.be 0.........ha.az. A ¯ esemény.következik.be .

A ξ diszkrét valószínűségi változót karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0, és ezeket az értékeket:

P( ξ=1 )=1 és P( ξ=0 )=1p=q

valószínűséggel veszi ( 0p1 ) .

Várható érték, szórás:

M( ξ )=1p+0q=p

D 2 (ξ)=M( ξ 2 ) [ M(ξ) ] 2 =p p 2 =p(1p)=pq D(ξ)= pq

1. bemutató feladat

Egy dobozban 20 golyó van, amelyek 1/4-e fehér, a többi piros. Legyen A-esemény az, hogy ha 1 golyót kiválasztunk találomra, az fehér lesz. Számítsuk ki a várható értéket és a szórást!

Megoldás:

ξ={ 1.........ha.az.Aesemény.következik.be 0.........ha.az. A ¯ esemény.következik.be

Mivel P( A ) =5/20 és P( A ¯ ) =15/20

P( ξ=1 )=0,25 és P( ξ=0 )=1p=0,75

M( ξ )=p=0,25

D 2 ( ξ )=pq=0,250,75=0,1875

D( ξ )=0,433

5.1.2. Binomiális eloszlás

A valószínűség számítás gyakorlati alkalmazása szempontjából nagyon fontos az úgynevezett binomiális eloszlás vagy Bernoulli-féle eloszlás.

Legyen egy kísérlet valamely A-eseményének valószínűsége P( A )=p és a P( A ¯ )=1p=q . A kísérletet egymástól függetlenül n-szer elvégezzük. Ilyen kísérletsorozatban legyen a ξ valószínűségi változó értéke az A-esemény bekövetkezéseinek száma. Annak valószínűsége, hogy egy kísérletsorozatban a ξ valószínűségi változó az xk=k (k=1, 2, ..., n) értéket veszi fel:

p k =P(ξ=k)=( n k ) p k q nk ....(k=0,1,2,....n)

A ξ valószínűségi változót (n;p) paraméterű (n= pozitív egész szám; 0<p<1) binomiális eloszlásúnak nevezünk, ha a k lehetséges értékeket P( ξ )=k valószínűséggel veszi fel Ennek értelmében binomiális eloszlást követ a visszatevéssel történő mintavétel esetén a hibás darabok száma is.

A binomiális eloszlás várható értéke és szórása:

M( ξ )=np

D 2 ( ξ )=npq

D(ξ)= npq

2. bemutató feladat

Becslések szerint az egyetemen tanuló diákok 20%-a egyszerre két szakon tanul (párhuzamos képzés). Véletlenszerűen kiválasztunk 20 hallgatót. Mi a valószínűsége annak, hogy ebben a 20 fős csoportban 6 olyan hallgató van, aki párhuzamos képzésben vesz részt?

Legyen ξ a kiválasztott hallgatók száma! Számítsuk ki a várható értéket és a szórást!

Megoldás:

p=0,2; n=20; k=6

a)
p 6 =P(ξ=6)=( 20 6 ) 0,2 6 0,8 14 =0,1091

b)
M( ξ )=200,2=4
D 2 ( ξ )=200,20,8=3,2
D(ξ)=1,7889

3. bemutató feladat

Az egy meccsre adható tippek: 1, 2, X. Ezeket egyenlő, 1 3 valószínűséggel választjuk. Jelölje a ξ valószínűségi változó a találatok számát. P( ξ10 )=?

Megoldás:

P( ξ10 )=P( ξ=10 )+P( ξ=11 )+P( ξ=12 )+P( ξ=13 ) P( ξ=k )=( ahányféleképpen  kiválaszthatjuk a k db-ot )( ezeket feltétlenül eltaláljuk )( a többit nem )

Ezek alapján:

P( ξ=10 )=( 13 10 ) ( 1 3 ) 10 ( 2 3 ) 3 1,435 10 3

P( ξ=11 )=( 13 11 ) ( 1 3 ) 11 ( 2 3 ) 2 1,957 10 4

P( ξ=12 )=( 13 12 ) ( 1 3 ) 12 ( 2 3 ) 1 1,631 10 5

P( ξ=13 )=( 13 13 ) ( 1 3 ) 13 ( 2 3 ) 0 6,272 10 7

Így P( ξ10 )1,435 10 3 +1,957 10 4 +1,631 10 5 +6,272 10 7 1,648 10 3

Tehát annak valószínűsége, hogy legalább 10 találatunk lesz: 0,001648.

5.1.3. Hipergeometrikus eloszlás

Legyen N elemünk, melyből M darabot megkülönböztetünk a többi N-M darabtól. Ezután találomra kiválasztunk az N-elemből n darabot visszatevés nélkül, ahol M<N és nNM . Legyen ξ valószínűségi változó értéke az n kiválasztott elem között levő megkülönböztetett elemek száma. A ξ az xk=k (k=0, 1, ..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel:

p k =P(=k)= ( M k )( NM nk ) ( N n ) ....(k=0,1,2,...n)

A hipergeometrikus eloszlás a visszatevés nélküli mintavétel problémaköréhez tartozik.

A hipergeometrikus eloszlás várható értéke és szórása:

M( ξ )=np , ahol p=M/N

D 2 (ξ)=npq(1 n1 N1 ) D(ξ)= npq(1 n1 N1 )

Ha M és N elég nagyok a k-hoz képest, akkor a hipergeometrikus eloszlás tagjait jól közelíthetjük az (n; M/N) paraméterű binomiális eloszlás megfelelő tagjaival. Ez abból adódik, hogy ha N elég nagy, akkor mindegy, hogy visszatevéses, vagy visszatevés nélküli a mintavétel.

4. bemutató feladat

Egy dobozban 9 golyó van, amelyek közül 4 db fekete. Találomra kiveszünk 3 golyót. A ξ valószínűségi változó értéke a kivett golyók között lévő fekete golyók száma. Számítsuk ki a valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását!

Megoldás:

N=9; M=4; n=3; k=0, 1, 2, 3

p 0 =P(ξ=0)= ( 4 0 )( 5 3 ) ( 9 3 ) .= 5 42

p 1 =P(ξ=1)= ( 4 1 )( 5 2 ) ( 9 3 ) .= 10 21

p 2 =P(ξ=2)= ( 4 2 )( 5 1 ) ( 9 3 ) .= 5 14

p 3 =P(ξ=1)= ( 4 3 )( 5 0 ) ( 9 3 ) .= 1 21

p=M/N=4/9

M(ξ)=3 4 9 = 4 3 D(ξ)= npq(1 n1 N1 ) = 3 4 9 5 9 (1 3 8 ) = 5 3

5. bemutató feladat

Egy osztályban 16 fiú és 10 lány van. Közülük találomra kiválasztunk egy 4 fős csoportot. A ξ valószínűségi változó értéke legyen a csoportban lévő lányok száma. Adjuk meg a ξ eloszlását és várható értékét!

Megoldás:

A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, mert a 26 ember között van 10 kitüntetett, hiszen azt nézzük, hogy ebből a kitüntetett csoportból (vagyis a lányok közül) hányat választunk ki.

N=26; M=10; n=4; k=0, 1, 2, 3, 4

Így a megoldás:

P( ξ=0 )= ( 16 4 )( 10 0 ) ( 26 4 ) 0,122 ;

P( ξ=1 )= ( 16 3 )( 10 1 ) ( 26 4 ) 0,375 ;

P( ξ=2 )= ( 16 2 )( 10 2 ) ( 26 4 ) 0,361 ;

P( ξ=3 )= ( 16 1 )( 10 3 ) ( 26 4 ) 0,128

P( ξ=4 )= ( 16 0 )( 10 4 ) ( 26 4 ) 0,014

M( ξ )=4 10 26 = 20 13 1,538

5.1.4. Poisson eloszlás

Egy diszkrét ξ valószínűségi változót λ>0 paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha az xk=k (k=0, 1, 2, ...) értékeket

P( ξ=k )= p k = λ k k! e λ , (k=0, 1, 2, ...)

valószínűségekkel veheti fel.

A ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem megszámlálhatóan végtelen.

Poisson-eloszlással általában azt modellezhetjük, hogy sok, egymástól független, egyenként nagyon kis valószínűséggel bekövetkező esemény közül hány darab következik be (tehát nem az a fontos, hogy melyik, hanem az, hogy összesen mennyi). Ilyen lehet pl. egy augusztusi éjszakán látott hullócsillagok száma, időegység alatt kapott telefonhívások száma, sajtóhibák száma egy oldalon stb.

Várható érték, szórás:

M( ξ )=λ D(ξ)= λ ahol λ=n M N

A Poisson eloszlás jól közelíti a binomiális eloszlást, ha az abban szereplő n elég nagy és a p elég kicsi, pontosabban érvényes a következő:

lim n ( n k ) p k q nk = λ k k! e λ

Ha n a végtelenbe tart, akkor p a nullához tart úgy, hogy közben np=λ>0 szorzat állandó érték marad.

6. bemutató feladat

Egy készülék meghibásodásainak száma átlagosan 10000 működési óra alatt 10, a meghibásodások száma csak a vizsgált időszak hosszától függ. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik!

Megoldás:

n=200; p=10/10000

λ=200 10 10000 =0,2

Annak valószínűsége, hogy 200 óra alatt nem romlik el:

p 0 =P(ξ=0)= e 0,2

Annak valószínűsége, hogy 200 óra alatt elromlik el:

p 1 =1P(ξ=0)=1 e 0,2 =0,18

7. bemutató feladat

Egy kéziratban 200 oldalon 400 sajtóhiba található. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy oldalon 0, 1 vagy 3-nál több hiba van?

Megoldás:

Egy oldalon minden egyes karakter igen kis valószínűséggel lesz hibás, ezek a hibák egymástól függetlenül következnek be, így az egy oldalon levő hibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (jelöljük ξ-vel). Tudjuk, hogy a Poisson-eloszlás paramétere megegyezik az eloszlás várható értékével. Egy oldalon átlagosan 400 200 =2 sajtóhiba található, így az eloszlás paramétere: λ=2 .

Ez alapján:

P( ξ=0 )= 2 0 0! e 2 = 1 e 2 0,135

P( ξ=1 )= 2 1 1! e 2 = 2 e 2 0,271

P( ξ>3 )=1P( ξ3 )= 1( P( ξ=0 )+P( ξ=1 )+P( ξ=2 )+P( ξ=3 ) )= 1( 1 e 2 + 2 e 2 + 2 2 2! 1 e 2 + 2 3 3! 1 e 2 )= 1 19 3 e 2 0,143

5.1.5. Diszkrét egyenletes eloszlás

Egy ξ diszkrét valószínűségi változót diszkrét egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha a lehetséges értékeinek száma n N + , és ezeket az x 1 ,   x 2 x k R értékeket egyenlő valószínűséggel veszi fel:

P(ξ= x k )= 1 n ...(k=1,2,...,n)

A ξ lehetséges értékeinek a száma nem lehet végtelen, ugyanis mindegyik érték egyenlően valószínű.

Várható érték és szórás:

M(ξ)= k=1 n p k x k = 1 n k=1 n x k D 2 (ξ)=M( ξ 2 ) [ M(ξ) ] 2 = 1 n x k 2 ( 1 n x k ) 2

8. bemutató feladat

Két pénzérmével dobunk. A kísérlethez tartozó eseménytér:
II; IF; FI; FF (I=írás; F=fej)

A ξ valószínűségi változó jelentése a dobások száma:
x1=1; x2=2; x3=3; x4=4

Határozzuk meg a várható értéket és a szórást!

Megoldás:

P( ξ=1 ) =P( ξ=2 ) =P( ξ=3 ) =P( ξ=4 ) = 1 4 M(ξ)= 1 4 (1+2+3+4)= 10 4 =2,5 D 2 ( ξ ) = 1 4 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) - ( 2,5 ) 2 =1,25 D( ξ ) = 1,25 =1,118

5.2. Folytonos eloszlások

Ha a ξ valószínűségi változó folytonos, akkor bármely konkrét értéket 0 valószínűséggel vesz fel, tehát a ξ valószínűségi változó jellemzésére a sűrűségfüggvényt vagy az eloszlás függvényt kell használni.

5.2.1. Egyenletes eloszlás

Egy folytonos ξ valószínűségi változót az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

f( x )={ 0,       ha   xa 1 b-a , ha a<xb 0,       ha    x>b ;

eloszlásfüggvénye:

F( x )={ 0,       ha   xa x-a b-a , ha a<xb 1,       ha    x>b .

ξ várható értéke:

M( ξ )= a+b 2 ,

szórása:

D( ξ )= ba 12

9. bemutató feladat

Egy városi buszmegállóba 15 percenként érkeznek a buszok. Tegyük fel, hogy a buszmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül jön a busz. Legyen ξ valószínűségi változó a várakozási idő. Írjuk fel a sűrűség és eloszlásfüggvényt, számítsuk ki a várható értéket és a szórást.

Megoldás:

a=1; b=15

f( x )={ 1 14 , ha 1<x15 0,       minden más esetben

F( x )={ 0,       ha   x1 x-1 14 , ha 1<x15 1,       ha    x>15

M( ξ )= a+b 2 = 1+15 2 =8perc

D( ξ )= ba 12 = 14 12 =4,04perc

10. bemutató feladat

Legyen ξ valamely pozitív intervallumon értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Legyen továbbá M( ξ )=10 , D( ξ )= 3 . Határozzuk meg ξ sűrűség- és eloszlásfüggvényét!

Megoldás:

Az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke: a+b 2 , szórása: ba 12 . Ezekkel a következő egyenletrendszert kapjuk:

a+b 2 =10 ba 12 = 3 } a+b=20 ba= 36 =6 } b=13 a=7

Ebből a sűrűségfüggvény: f( x )={ 0,  ha x7 1 6 ,  ha 7<x13 0,  ha x>13

az eloszlásfüggvény: F( x )={ 0,  ha  x7 x7 6 ,  ha  7<x13 1,  ha  x>13 .

5.2.2. Exponenciális eloszlás

Egy folytonos ξ valószínűségi változót λ>0 paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

f( x )={ 0,         ha   x0 λ e -λx , ha    x>0 ;

Ahol λ tetszőleges pozitív szám lehet, amelyet az eloszlás paraméterének nevezünk.

eloszlásfüggvénye:

F( x )={ 0,         ha   x0 1 e -λx , ha    x>0 .

ξ várható értéke:

M( ξ )= 1 λ ,

szórása:

D( ξ )= 1 λ .

Exponenciális eloszlással általában berendezések, alkatrészek élettartamát szokás modellezni.

11. bemutató feladat

Egy izzólámpa átlagos élettartama a gyári mérések szerint 1000 óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az égő 1000 óránál hamarabb megy tönkre, ill. mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiszemelt égő 3000 órán belül mégsem megy tönkre?

Megoldás:

a) M( ξ=1000 )= 1 λ λ= 1 1000 P(ξ1000)=F(1000)=1 e 1 1000 1000 =1 e 1 =0,332

b) P(ξ3000)=1P(ξ3000)=1F(3000)=1(1 e 1 1000 3000 )= e 3 =0,05

12. bemutató feladat

Egy bizonyos alkatrész első meghibásodásáig eltelt idő legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 2000 óra várható értékkel. Írjuk fel a valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mekkora annak a valószínűsége, hogy az alkatrész legalább 4000 óráig hibátlanul működik?

Megoldás:

Jelöljük a szóban forgó valószínűségi változót ξ-vel!

M( ξ )=2000 , és mivel exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért M( ξ )= 1 λ , vagyis az eloszlás paramétere λ= 1 2000 =0,0005 .

Így a sűrűségfüggvény: f( x )={ 0,  ha  x0 0,0005 e 0,0005x ,  ha  x>0 ;

az eloszlásfüggvény: F( x )={ 0,  ha  x0 1 e 0,0005x ,  ha  x>0 .

A keresett valószínűség:

P( ξ4000 )=1P( ξ<4000 )=1F( 4000 )=1( 1 e 0,00054000 )= e 2 0,135 .

Vagyis az alkatrész 0,135 valószínűséggel működik hibátlanul legalább 4000 óráig.

5.2.3. Normális eloszlás

Egy folytonos ξ valószínűségi változót (m; σ) paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye:

f( x )= 1 σ 2π e ( xm ) 2 2 σ 2 ;

Ahol m valós szám, σ>0 , állandó.

Az f( x ) függvény görbéjét Gauss-görbének is és harang-görbének is nevezik. A függvény szimmetrikus az m-pontra és ez az egyetlen maximumhelye. Az m±σ helyeken van az f( x ) függvény inflexióspontja.

eloszlásfüggvénye:

F( x )=P( ξ<x )= 1 σ 2π x e ( tm ) 2 2 σ 2 dt .

ξ várható értéke:

M( ξ )=m ,

szórása:

D( ξ )=σ .

Az m = 0, σ=1 paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. Ennek sűrűség- és eloszlásfüggvényét görög betűvel jelöljük.

Sűrűségfüggvénye:

ϕ( x )= 1 2π e x 2 2 ;

Eloszlásfüggvénye:

Φ( x )=P( ξ<x )= 1 2π x e t 2 2 dt .

Ha ξ standard normális eloszlású, akkor fennáll, hogy:

P( xξ<x )=Φ( x )Φ( x )=Φ( x )( 1Φ( x ) )=2Φ( x )1 .

Ha ξ m, σ paraméterű normális eloszlású változó, akkor standardizáltja, az η= ξm σ valószínűségi változó standard normális eloszlású. A normális eloszlás a gyakorlatban legtöbbet használt eloszlás, szinte mindenhol előfordul.

13. bemutató feladat

Egy üzemben 2 m hosszú munkadarabokat gyártanak 3 cm szórással. 1000 db elkészítésekor várhatóan hány darab selejt keletkezik, ha a 195 és 205 cm közötti termékeket még elfogadhatónak tekinthetjük? (A munkadarabok mérete normális eloszlásúnak tekinthető.)

Megoldás:

A feladat szerint egy munkadarab mérete m=200 és σ=3 paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, melyet jelöljünk ξ-vel. Annak valószínűsége, hogy egy elkészült munkadarab hossza 195 és 205 cm közé esik: P( 195ξ205 )=P( 5ξ2005 )=P( 5 3 ξ200 3 5 3 )

Mivel ξ normális eloszlású, ezért ha kivonjuk belőle a várható értékét és elosztjuk a szórásával, akkor standard normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. Tehát a fenti valószínűségre írhatjuk, hogy:

Φ( 5 3 ) -Φ( - 5 3 ) =Φ( 5 3 ) -( 1-Φ( 5 3 ) ) =2Φ( 5 3 ) -1 2Φ( 1,67 ) -120,9525-10,905 .

A Φ függvény értékét "A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényeinek értékei" című táblázatból kell kikeresni. Pl.: Φ( 1,67 ) : a táblázatban az oldallécben az 1,6-t a fejlécben a 7-es számot keressük meg, és a kettő találkozásánál van a 0,9525.

A kapott eredmény szerint 1000 darabból átlagosan 905 a megadott intervallumba esik, így átlagosan 95 selejtes munkadarab készül.

14. bemutató feladat

Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 3. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke

a)kisebb, mint 10;
b)8 és 15 közé esik;
c)Nagyobb, mint 0.

Megoldás:

Jelölje ξ a valószínűségi változónkat. Mivel most m=10 és σ=3 , ezért nem standard normális eloszlású valószínűségi változóval állunk szemben, vagyis a megoldás során a valószínűségi változót standardizálni kell. Erre azért van szükség, mert a standard normális eloszlás értékei állnak rendelkezésünkre táblázat formájában.

A standardizált valószínűségi változó: ξ * = ξm σ .

a)A esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb 10-nél.

P( A )=P( ξ<10 )=P( ξ10 3 < 1010 3 )=P( ξ10 3 <0 )= P( ξ * <0 )=Φ( 0 )=0,5

b)B esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke 8 és 15 közé esik.

P( B )=P( 8<ξ<15 )=P( 810 3 < ξ10 3 < 1510 3 )= P( 2 3 < ξ * < 5 3 )=Φ( 5 3 )Φ( 2 3 )=Φ( 5 3 )( 1Φ( 2 3 ) )= Φ( 5 3 )+Φ( 2 3 )10,9515+0,74541=0,6969

c)C esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke nagyobb, mint 0.

P( C )=P( ξ>0 )=1P( ξ0 )=1[ P( ξ<0 )+P( ξ=0 ) ]

Mivel folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket felvesz, minden pontban 0. Így P( ξ=0 )=0 .

Ezzel P( C )=1P( ξ<0 )=1P( ξ10 3 < 010 3 )= 1Φ( 10 3 )=1( 1Φ( 10 3 ) )=Φ( 10 3 )0,9995

Önellenőrző kérdések
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
A ξ diszkrét valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0 .
A ξ diszkrét valószínűségi változót karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0 .
A ξ diszkrét valószínűségi változót diszkrét egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, ξ=1 és ξ=0 .
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
A binomiális eloszlás várható értéke: M( ξ )=np
A binomiális eloszlás várható értéke: M( ξ )=nq
A binomiális eloszlás várható értéke: M( ξ )=pq
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában egyenletes eloszlású.
A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában binomiális eloszlású.
A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában hipergeometrikus eloszlású.
A visszatevés nélküli mintavétel valószínűségi változója általában folytonos eloszlású.
4. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem megszámlálhatóan végtelen.
A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem végtelen.
A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem végtelen, hanem megszámlálhatóan véges.
A Poisson eloszlás esetében ξ valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza véges.

5. Megfigyelések szerint 1000 újszülöttből 516 a fiú és 484 a lánygyermek. A háromgyermekes családok közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Legyen ξ valószínűségi változó a lánygyermekek száma. Határozza meg a várható értéket és a szórást!

a) Várható érték:
0,484
1,884
1,452
0,452
b) A szórás:
0,966
0,034
0,134
0,866
6. Az első évfolyamon 300 diák tanul, Annak valószínűsége, hogy Magyarország népességéből valaki milliomossá válik 0,5%-kal egyenlő. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy diák az évfolyamból milliomos lesz?
0,2231
0,7769
0,5000
0,8000
7. Egy üzletben 100 csomag kávé található. Tegyük fel, hogy ezek között 5 olyan csomag van, amelyek belsejében sorsjegy van. Egy vásárló 3 csomag kávét vásárol. Legyen ξ valószínűségi változó a 3 csomag között található sorsjegyet tartalmazó csomagok száma. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik csomagban van sorsjegy?
0,0192
0,1203
0,1381
0,1498
8. Legyen ξ valószínűségi változó egyenletes eloszlású, amelynek várható értéke és szórása is 2. mekkora valószínűséggel vesz fel a ξ pozitív értéket?
0,36
0,13
0,28
0,42
9. Egy pénz automatánál állunk és várjuk, hogy az előttünk lévő befejezze a műveletet. Az illető véletlentől függő ideig van az automatánál. Az automata használatának sűrűségfüggvénye:
f(x)={ 1 3 e x 3 ......x0 0............x0
Az időt percben mérjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az automata használata 3 percnél tovább tart!
0,3831
0,3813
0,3679
0,3997