KURZUS: Kvantitatív módszerek
MODUL: II. modul: Valószínűség változó, valószínűségi eloszlások
5. lecke: Nevezetes eloszlások
Tananyag | ||
5.1. Diszkrét eloszlások | ||
5.1.1. Karakterisztikus eloszlás | ||
Tekintsünk egy adott kísérlethez tartozó tetszőleges A-eseményt, . Az A-esemény karakterisztikus valószínűségi változójának nevezzük -t, ha | ||
. | ||
A diszkrét valószínűségi változót karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük, ha a változónak csak két lehetséges értéke van, =1 és =0, és ezeket az értékeket: | ||
és | ||
valószínűséggel veszi . | ||
Várható érték, szórás: | ||
1. bemutató feladat | ||
Egy dobozban 20 golyó van, amelyek 1/4-e fehér, a többi piros. Legyen A-esemény az, hogy ha 1 golyót kiválasztunk találomra, az fehér lesz. Számítsuk ki a várható értéket és a szórást! | ||
Megoldás: | ||
Mivel =5/20 és =15/20 | ||
és | ||
5.1.2. Binomiális eloszlás | ||
A valószínűség számítás gyakorlati alkalmazása szempontjából nagyon fontos az úgynevezett binomiális eloszlás vagy Bernoulli-féle eloszlás. | ||
Legyen egy kísérlet valamely A-eseményének valószínűsége és a . A kísérletet egymástól függetlenül n-szer elvégezzük. Ilyen kísérletsorozatban legyen a valószínűségi változó értéke az A-esemény bekövetkezéseinek száma. Annak valószínűsége, hogy egy kísérletsorozatban a valószínűségi változó az xk=k (k=1, 2, ..., n) értéket veszi fel: | ||
A valószínűségi változót (n;p) paraméterű (n= pozitív egész szám; 0<p<1) binomiális eloszlásúnak nevezünk, ha a k lehetséges értékeket valószínűséggel veszi fel Ennek értelmében binomiális eloszlást követ a visszatevéssel történő mintavétel esetén a hibás darabok száma is. | ||
A binomiális eloszlás várható értéke és szórása: | ||
2. bemutató feladat | ||
Becslések szerint az egyetemen tanuló diákok 20%-a egyszerre két szakon tanul (párhuzamos képzés). Véletlenszerűen kiválasztunk 20 hallgatót. Mi a valószínűsége annak, hogy ebben a 20 fős csoportban 6 olyan hallgató van, aki párhuzamos képzésben vesz részt? | ||
Legyen a kiválasztott hallgatók száma! Számítsuk ki a várható értéket és a szórást! | ||
Megoldás: | ||
p=0,2; n=20; k=6 | ||
a) | ||
b) | ||
3. bemutató feladat | ||
Az egy meccsre adható tippek: 1, 2, X. Ezeket egyenlő, valószínűséggel választjuk. Jelölje a valószínűségi változó a találatok számát. | ||
Megoldás: | ||
Ezek alapján: | ||
Így | ||
Tehát annak valószínűsége, hogy legalább 10 találatunk lesz: 0,001648. |
5.1.3. Hipergeometrikus eloszlás | ||
Legyen N elemünk, melyből M darabot megkülönböztetünk a többi N-M darabtól. Ezután találomra kiválasztunk az N-elemből n darabot visszatevés nélkül, ahol M<N és . Legyen valószínűségi változó értéke az n kiválasztott elem között levő megkülönböztetett elemek száma. A az xk=k (k=0, 1, ..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel: | ||
A hipergeometrikus eloszlás a visszatevés nélküli mintavétel problémaköréhez tartozik. | ||
A hipergeometrikus eloszlás várható értéke és szórása: | ||
, ahol p=M/N | ||
Ha M és N elég nagyok a k-hoz képest, akkor a hipergeometrikus eloszlás tagjait jól közelíthetjük az (n; M/N) paraméterű binomiális eloszlás megfelelő tagjaival. Ez abból adódik, hogy ha N elég nagy, akkor mindegy, hogy visszatevéses, vagy visszatevés nélküli a mintavétel. |
4. bemutató feladat | ||
Egy dobozban 9 golyó van, amelyek közül 4 db fekete. Találomra kiveszünk 3 golyót. A valószínűségi változó értéke a kivett golyók között lévő fekete golyók száma. Számítsuk ki a valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: | ||
N=9; M=4; n=3; k=0, 1, 2, 3 | ||
p=M/N=4/9 | ||
5. bemutató feladat | ||
Egy osztályban 16 fiú és 10 lány van. Közülük találomra kiválasztunk egy 4 fős csoportot. A valószínűségi változó értéke legyen a csoportban lévő lányok száma. Adjuk meg a eloszlását és várható értékét! | ||
Megoldás: | ||
A valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, mert a 26 ember között van 10 kitüntetett, hiszen azt nézzük, hogy ebből a kitüntetett csoportból (vagyis a lányok közül) hányat választunk ki. | ||
N=26; M=10; n=4; k=0, 1, 2, 3, 4 | ||
Így a megoldás: | ||
; | ||
; | ||
; | ||
5.1.4. Poisson eloszlás | ||
Egy diszkrét valószínűségi változót paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha az xk=k (k=0, 1, 2, ...) értékeket | ||
, (k=0, 1, 2, ...) | ||
valószínűségekkel veheti fel. | ||
A valószínűségi változó lehetséges értékeinek halmaza nem véges, hanem megszámlálhatóan végtelen. | ||
Poisson-eloszlással általában azt modellezhetjük, hogy sok, egymástól független, egyenként nagyon kis valószínűséggel bekövetkező esemény közül hány darab következik be (tehát nem az a fontos, hogy melyik, hanem az, hogy összesen mennyi). Ilyen lehet pl. egy augusztusi éjszakán látott hullócsillagok száma, időegység alatt kapott telefonhívások száma, sajtóhibák száma egy oldalon stb. | ||
Várható érték, szórás: | ||
ahol | ||
A Poisson eloszlás jól közelíti a binomiális eloszlást, ha az abban szereplő n elég nagy és a p elég kicsi, pontosabban érvényes a következő: | ||
Ha n a végtelenbe tart, akkor p a nullához tart úgy, hogy közben szorzat állandó érték marad. |
6. bemutató feladat | ||
Egy készülék meghibásodásainak száma átlagosan 10000 működési óra alatt 10, a meghibásodások száma csak a vizsgált időszak hosszától függ. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a készülék 200 működési óra alatt elromlik! | ||
Megoldás: | ||
n=200; p=10/10000 | ||
Annak valószínűsége, hogy 200 óra alatt nem romlik el: | ||
Annak valószínűsége, hogy 200 óra alatt elromlik el: | ||
7. bemutató feladat | ||
Egy kéziratban 200 oldalon 400 sajtóhiba található. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy oldalon 0, 1 vagy 3-nál több hiba van? | ||
Megoldás: | ||
Egy oldalon minden egyes karakter igen kis valószínűséggel lesz hibás, ezek a hibák egymástól függetlenül következnek be, így az egy oldalon levő hibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (jelöljük -vel). Tudjuk, hogy a Poisson-eloszlás paramétere megegyezik az eloszlás várható értékével. Egy oldalon átlagosan sajtóhiba található, így az eloszlás paramétere: . | ||
Ez alapján: | ||
5.1.5. Diszkrét egyenletes eloszlás | ||
Egy diszkrét valószínűségi változót diszkrét egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha a lehetséges értékeinek száma , és ezeket az értékeket egyenlő valószínűséggel veszi fel: | ||
A lehetséges értékeinek a száma nem lehet végtelen, ugyanis mindegyik érték egyenlően valószínű. | ||
Várható érték és szórás: | ||
8. bemutató feladat | ||
Két pénzérmével dobunk. A kísérlethez tartozó eseménytér: | ||
A valószínűségi változó jelentése a dobások száma: | ||
Határozzuk meg a várható értéket és a szórást! | ||
Megoldás: | ||
5.2. Folytonos eloszlások | ||
Ha a valószínűségi változó folytonos, akkor bármely konkrét értéket 0 valószínűséggel vesz fel, tehát a valószínűségi változó jellemzésére a sűrűségfüggvényt vagy az eloszlás függvényt kell használni. | ||
5.2.1. Egyenletes eloszlás | ||
Egy folytonos valószínűségi változót az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: | ||
; | ||
eloszlásfüggvénye: | ||
. | ||
várható értéke: | ||
, | ||
szórása: | ||
9. bemutató feladat | ||
Egy városi buszmegállóba 15 percenként érkeznek a buszok. Tegyük fel, hogy a buszmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül jön a busz. Legyen valószínűségi változó a várakozási idő. Írjuk fel a sűrűség és eloszlásfüggvényt, számítsuk ki a várható értéket és a szórást. | ||
Megoldás: | ||
a=1; b=15 | ||
10. bemutató feladat | ||
Legyen valamely pozitív intervallumon értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Legyen továbbá , . Határozzuk meg sűrűség- és eloszlásfüggvényét! | ||
Megoldás: | ||
Az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke: , szórása: . Ezekkel a következő egyenletrendszert kapjuk: | ||
Ebből a sűrűségfüggvény: | ||
az eloszlásfüggvény: . |
5.2.2. Exponenciális eloszlás | ||
Egy folytonos valószínűségi változót paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: | ||
; | ||
Ahol tetszőleges pozitív szám lehet, amelyet az eloszlás paraméterének nevezünk. | ||
eloszlásfüggvénye: | ||
. | ||
várható értéke: | ||
, | ||
szórása: | ||
. | ||
Exponenciális eloszlással általában berendezések, alkatrészek élettartamát szokás modellezni. |
11. bemutató feladat | ||
Egy izzólámpa átlagos élettartama a gyári mérések szerint 1000 óra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az égő 1000 óránál hamarabb megy tönkre, ill. mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiszemelt égő 3000 órán belül mégsem megy tönkre? | ||
Megoldás: | ||
a) | ||
b) | ||
12. bemutató feladat | ||
Egy bizonyos alkatrész első meghibásodásáig eltelt idő legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 2000 óra várható értékkel. Írjuk fel a valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mekkora annak a valószínűsége, hogy az alkatrész legalább 4000 óráig hibátlanul működik? | ||
Megoldás: | ||
Jelöljük a szóban forgó valószínűségi változót -vel! | ||
, és mivel exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért , vagyis az eloszlás paramétere . | ||
Így a sűrűségfüggvény: ; | ||
az eloszlásfüggvény: . | ||
A keresett valószínűség: | ||
. | ||
Vagyis az alkatrész 0,135 valószínűséggel működik hibátlanul legalább 4000 óráig. |
5.2.3. Normális eloszlás | ||
Egy folytonos valószínűségi változót (m;) paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye: | ||
; | ||
Ahol m valós szám, , állandó. | ||
Az függvény görbéjét Gauss-görbének is és harang-görbének is nevezik. A függvény szimmetrikus az m-pontra és ez az egyetlen maximumhelye. Az helyeken van az függvény inflexióspontja. | ||
eloszlásfüggvénye: | ||
. | ||
várható értéke: | ||
, | ||
szórása: | ||
. | ||
Az m = 0, paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. Ennek sűrűség- és eloszlásfüggvényét görög betűvel jelöljük. | ||
Sűrűségfüggvénye: | ||
; | ||
Eloszlásfüggvénye: | ||
. | ||
Ha standard normális eloszlású, akkor fennáll, hogy: | ||
. | ||
Ha m, paraméterű normális eloszlású változó, akkor standardizáltja, az valószínűségi változó standard normális eloszlású. A normális eloszlás a gyakorlatban legtöbbet használt eloszlás, szinte mindenhol előfordul. |
13. bemutató feladat | |||||||
Egy üzemben 2 m hosszú munkadarabokat gyártanak 3 cm szórással. 1000 db elkészítésekor várhatóan hány darab selejt keletkezik, ha a 195 és 205 cm közötti termékeket még elfogadhatónak tekinthetjük? (A munkadarabok mérete normális eloszlásúnak tekinthető.) | |||||||
Megoldás: | |||||||
A feladat szerint egy munkadarab mérete és paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, melyet jelöljünk -vel. Annak valószínűsége, hogy egy elkészült munkadarab hossza 195 és 205 cm közé esik: | |||||||
Mivel normális eloszlású, ezért ha kivonjuk belőle a várható értékét és elosztjuk a szórásával, akkor standard normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. Tehát a fenti valószínűségre írhatjuk, hogy: | |||||||
. | |||||||
A függvény értékét "A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényeinek értékei" című táblázatból kell kikeresni. Pl.: : a táblázatban az oldallécben az 1,6-t a fejlécben a 7-es számot keressük meg, és a kettő találkozásánál van a 0,9525. | |||||||
A kapott eredmény szerint 1000 darabból átlagosan 905 a megadott intervallumba esik, így átlagosan 95 selejtes munkadarab készül. | |||||||
14. bemutató feladat | |||||||
Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 3. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke | |||||||
| |||||||
Megoldás: | |||||||
Jelölje a valószínűségi változónkat. Mivel most és , ezért nem standard normális eloszlású valószínűségi változóval állunk szemben, vagyis a megoldás során a valószínűségi változót standardizálni kell. Erre azért van szükség, mert a standard normális eloszlás értékei állnak rendelkezésünkre táblázat formájában. | |||||||
A standardizált valószínűségi változó: . | |||||||
a)A esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb 10-nél. | |||||||
b)B esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke 8 és 15 közé esik. | |||||||
c)C esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke nagyobb, mint 0. | |||||||
Mivel folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket felvesz, minden pontban 0. Így . | |||||||
Ezzel |
Önellenőrző kérdések | |||||||||
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
2. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
4. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
5. Megfigyelések szerint 1000 újszülöttből 516 a fiú és 484 a lánygyermek. A háromgyermekes családok közül egyet véletlenszerűen kiválasztunk. Legyen valószínűségi változó a lánygyermekek száma. Határozza meg a várható értéket és a szórást! | |||||||||
a) Várható érték:
![]() | |||||||||
b) A szórás:
![]() | |||||||||
6. Az első évfolyamon 300 diák tanul, Annak valószínűsége, hogy Magyarország népességéből valaki milliomossá válik 0,5%-kal egyenlő. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább egy diák az évfolyamból milliomos lesz?
![]() | |||||||||
7. Egy üzletben 100 csomag kávé található. Tegyük fel, hogy ezek között 5 olyan csomag van, amelyek belsejében sorsjegy van. Egy vásárló 3 csomag kávét vásárol. Legyen valószínűségi változó a 3 csomag között található sorsjegyet tartalmazó csomagok száma. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik csomagban van sorsjegy?
![]() | |||||||||
8. Legyen valószínűségi változó egyenletes eloszlású, amelynek várható értéke és szórása is 2. mekkora valószínűséggel vesz fel a pozitív értéket?
![]() | |||||||||
9. Egy pénz automatánál állunk és várjuk, hogy az előttünk lévő befejezze a műveletet. Az illető véletlentől függő ideig van az automatánál. Az automata használatának sűrűségfüggvénye: Az időt percben mérjük. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az automata használata 3 percnél tovább tart!
![]() |