KURZUS: Kvantitatív módszerek
MODUL: I. modul: Valószínűség számítás
1. lecke: A valószínűség fogalma
Követelmény | ||
Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha | ||
| ||
Tananyag | ||
A valószínűségelmélet, a valószínűség számítás egy olyan tudomány, amely véletlen jelenségekkel foglalkozik. Feladata e véletlen jelenségek összefüggéseinek, törvényszerűségeinek a feltárása, a közöttük fellelhető kapcsolatok elemzése. | ||
A véletlen jelenségekkel foglalkozó kísérleteket, megfigyeléseket véletlen kísérleteknek, eredményeiket pedig véletlen eseményeknek nevezzük. A kísérletek nemcsak mesterségesen állíthatóak elő, hanem kísérleteknek nevezzük az olyan jelenségek megfigyelését is, amely előidézésében nem vettünk részt. | ||
A valószínűségelmélet tárgya a véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek vizsgálata. A valószínűség fogalmának meghatározásához a relatív gyakoriság fogalmát kell először meghatározni. | ||
Valamely kísérlettel kapcsolatos esemény bekövetkezéseinek számát a kísérlet n-szeri megismétlése során megszámlálhatjuk. Jelöljük a vizsgált eseményt A-val, és tegyük fel, hogy a kísérletsorozatban az A-esemény kA-szor következik be. A kA-számot az A-esemény gyakoriságának nevezzük. Képezzük a kA/n-hányadost, amelyet az A-esemény relatív gyakoriságának nevezünk. | ||
Jelölése: | ||
A relatív gyakoriságot százalékban is ki szoktuk fejezni. Egy esemény relatív gyakorisága megadja, hogy az összes megfigyelés során hány százalékban következett be egy adott esemény. |
1. bemutató feladat | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dobjunk fel egy pénzérmét 20-szor egymás után. Legyen az A-esemény az, hogy írást dobunk. Jegyezzük el az A-esemény bekövetkezésének gyakoriságát, majd számítsuk ki a relatív gyakoriságot. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n: a dobások száma, kA: az A-esemény bekövetkezésének gyakorisága g(A): az A-esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága (kA/n). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Végezzünk el egy másik kísérletet. A dobások száma most 80; 160; 240; 320; 400; 480 és 560 legyen. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha ugyanezt a kísérletet elvégezzük 80; 160; 240; 320; 400; 480 és 560 dobással, látható, hogy a dobások számának növekedésével a gyakoriság is nő. A relatív gyakoriság pedig mindig 0,5 körül ingadozik. Az is megfigyelhető, hogy minél nagyobb a kísérletek száma (n), a relatív gyakoriság ingadozása annál kisebb. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kísérlet során mindannyiszor más és más egymásutánját kapjuk a "fej" és "írás" eredményeknek, mégis az a törvényszerűség fog bekövetkezni, hogy a relatív gyakoriság a kísérletek számának növelésekor a 0,5 közelében fog ingadozni. |
Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük. | |||||||||||
Az A-esemény valószínűségét P(A)-val jelöljük. Mivel a relatív gyakoriság számértéke 0 és +1 között ingadozhat, hiszen k értékére fennáll , így a valószínűségre is igaz, hogy | |||||||||||
Másként megfogalmazva: | |||||||||||
A valószínűség és a relatív gyakoriság rokon fogalmak, sok esetben (tapasztalati úton) a relatív gyakoriságokon keresztül becsüljük meg adott esemény bekövetkezésének valószínűségét. A valószínűséget azonban formailag élesen meg kell különböztetni a relatív gyakoriságtól. Míg a valószínűség egy adott sztochasztikus modellben állandó, azaz rögzített szám, addig a relatív gyakoriság a véletlentől függően esetről esetre változik. | |||||||||||
Ha egy esemény bekövetkezése lehetetlen, akkor kA-értéke minden n-re zérus, vagy a relatív gyakoriság és a valószínűség is zérus. | |||||||||||
Ha egy esemény mindig bekövetkezik, akkor kA=n, a relatív gyakoriság és a valószínűség pedig 1-gyel egyenlő. Ez a biztos esemény. | |||||||||||
Megjegyzés: | |||||||||||
| |||||||||||
A valószínűség axiómái: | |||||||||||
| |||||||||||
|
2. bemutató feladat | |||||||||||||
Legyen A és B két esemény, és legyen és , valamint . Határozzuk meg: | |||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||
a) ; | |||||||||||||
b) ; | |||||||||||||
c) ; | |||||||||||||
d) | |||||||||||||
e) | |||||||||||||
f) | |||||||||||||
g) | |||||||||||||
h) . | |||||||||||||
3. bemutató feladat | |||||||||||||
Egy évfolyam diákjai angol, német és francia nyelvből tettek nyelvvizsgát. Legyen az A-esemény az angol, B-esemény a német és C-esemény a francia nyelvvizsgával rendelkező hallgatók. Az egyes események valószínűsége pedig az alábbi: | |||||||||||||
| |||||||||||||
Mi a valószínűsége annak, hogy ha kiválasztunk az évfolyamból egy hallgatót, az legalább az egyik nyelvből rendelkezik nyelvvizsgával? | |||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||
=0,35+0,40+0,30-0,15-0,20-0,20+0,10=0,60 | |||||||||||||
A kiválasztott hallgató 0,60 valószínűséggel rendelkezik legalább az egyik nyelvből nyelvvizsgával. |
Önellenőrző feladatok | |||||||||
1. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
![]() | |||||||||
2. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
![]() | |||||||||
3. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
![]() | |||||||||
4. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
![]() | |||||||||
5. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
![]() | |||||||||
6. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
![]() | |||||||||
7. Egy készterméket két szempontból vizsgálnak meg. Az A-esemény azt jelenti, hogy a vizsgált termék anyaghibás, a B-esemény pedig azt, hogy mérethibás. Az alábbi valószínűségek ismertek: ; és | |||||||||
Mi a valószínűsége annak, hogy valamely kiválasztott késztermék hibátlan? A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el! Jelölje be a helyes eredményt!
![]() | |||||||||
8. A jeles matematika és jeles statisztika osztályzatot figyeljük meg. Legyen A-esemény a jeles matematika, és B-esemény a jeles statisztika osztályzat. Továbbá ismertek az alábbi valószínűségek: ; ; | |||||||||
Mi a valószínűsége annak, hogy a tetszőlegesen kiválasztott hallgatónak csak matematikából van jeles osztályzata? Jelölje be a helyes eredményt!
![]() | |||||||||
9. Egy irodaépület folyosóján két kávéautomata van elhelyezve. Legyen A-esemény az, hogy az első automata működik, és B-esemény, hogy a másik automata működik. A megfigyelések szerint: ; ; . | |||||||||
a) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az első automata működik, de a második nem!
![]() | |||||||||
b) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a második automata működik, de az első nem!
![]() | |||||||||
c) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy legalább az egyik automata működik!
![]() |