KURZUS: Kvantitatív módszerek
MODUL: I. modul: Valószínűség számítás
3. lecke: Valószínűség-számítási tételek
Tananyag | ||
A valószínűségelmélet minden kísérletnél adott körülmények között vizsgál, és az események véletlen jellegét e körülmények határozzák meg. Egy-egy esemény bekövetkezésének valószínűségét nagymértékben befolyásolja egy másik esemény, illetve annak bekövetkezési valószínűsége. | ||
3.1. Feltételes valószínűség | ||
Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos tetszőleges két esemény, ahol a B-esemény valószínűsége nem nulla, azaz . Vizsgáljuk meg mennyi az A-esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha a B-esemény bekövetkezett. A vizsgált eseményt A\B-vel, a valószínűséget pedig -val jelöljük. Az esemény bekövetkezésének valószínűsége: | ||
A valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük. | ||
Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B-esemény bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy az A-esemény bekövetkezik. A fentiekből kifejezett egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük. | ||
A feltételes valószínűség többnyire nemcsak abból áll, hogy meghatározzuk és a valószínűségeket. | ||
Ha A és B egy H eseménytér két eseménye és , akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A-eseményB-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének szorzatával, azaz | ||
, | ||
vagy | ||
, |
1. bemutató feladat | |||||||
Egy dobozban 10 fehér és 15 fekete golyó van. Találomra kiválasztunk egymás után 2 golyót visszatevés nélküli véletlen mintavétellel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a második alkalommal fehér golyót választunk ki, feltéve, hogy az első alkalommal is fehéret választottunk ki? | |||||||
Megoldás: | |||||||
Legyen az első kiválasztás az A-esemény, illetve a második kiválasztás a B-esemény. Keressük a valószínűséget. | |||||||
| |||||||
2. bemutató feladat | |||||||
Egy áru 96%-a megfelel a minőségi előírásoknak, és ennek 60%-a I. osztályú, a többi II. osztályú termék. Válasszunk ki egy terméket az összes áruból. Mi a valószínűsége annak, hogy: | |||||||
| |||||||
Megoldás: | |||||||
| |||||||
Másképp megoldva: | |||||||
| |||||||
3. bemutató feladat | |||||||
Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak? | |||||||
Megoldás: | |||||||
Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||
| |||||||
A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: | |||||||
Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket! | |||||||
P(a második orosz, feltéve, hogy a harmadik magyar)==5/11, mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk). | |||||||
P(az első magyar, feltéve, hogy a második orosz és a harmadik magyar)= =3/10, mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10. | |||||||
A fentiekből következik, hogy = 3/10* 5/11* 1/3 = 1/22 0,045. |
3.2. Teljes valószínűség | ||
Ha a B1, B2, ..., Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és (i=1, 2, ..., n), akkor A-esemény bekövetkezésének valószínűsége: | ||
Ez a teljes valószínűség tétele, mert egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozza meg. |
4. bemutató feladat | |||||||||
Van három dobozunk, mindegyikben fehér és fekete golyók vannak az alábbiak szerint: | |||||||||
| |||||||||
A kísérlet során 1/2 1/3, és 1/6 valószínűséggel kerülnek kiválasztásra az egyes dobozok. A kiválasztott dobozból kiveszünk 1 db golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kivett golyó fehér? | |||||||||
Megoldás: | |||||||||
; ; | |||||||||
Az I. dobozban: P(A\B1)=2/5 | |||||||||
=2/5*1/2+4/5*1/3+3/10*1/6=0,5167 | |||||||||
Azaz 0,5167 a valószínűsége annak, hogy a véletlenül kiválasztott dobozból fehér golyót veszünk ki | |||||||||
5. bemutató feladat | |||||||||
Eltévedtünk a piacon. A közelünkben négy ruhaárus, egy újságos és két virágárus van. A ruhaárusok 0,6 valószínűséggel tudják megmondani a helyes irányt, a virágárus nénik 0,7 valószínűséggel, az újságos szinte biztosan, 0,95 valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk, ha a közülük véletlenszerűen kérdezünk meg valakit? | |||||||||
Megoldás: | |||||||||
Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
| |||||||||
Összesen 4+2+1=7 árus van a környéken. | |||||||||
| |||||||||
feltéve, | |||||||||
| |||||||||
Írjuk fel a teljes valószínűség tételét: |
3.3. Bayes-valószínűség tétele | ||
Ha B1, B2, ..., Bn-események teljes eseményrendszert alkotnak, és (i=1, 2, ..., n), továbbá A tetszőleges esemény, amelyre , akkor | ||
Ez Bayas-tétele, melyet a klasszikus valószínűség-számításban az "okok valószínűsége tételének" neveznek. |
6. bemutató feladat | |||||||
Van három dobozunk, mindegyikben fehér és fekete golyók vannak az alábbiak szerint: | |||||||
| |||||||
A kísérlet során 1/2 1/3, és 1/6 valószínűséggel kerülnek kiválasztásra az egyes dobozok. A kiválasztott dobozból kiveszünk 1 db golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a húzás az első dobozból történik és a kivett golyó fehér lesz? | |||||||
Megoldás: | |||||||
; ; | |||||||
Azaz 0,3871 a valószínűsége annak, hogy az első dobozból fehér golyót veszünk ki | |||||||
7. bemutató feladat | |||||||
Labdarúgó edzésen jártunk. Tudjuk, hogy a résztvevő 20 játékos közül a csatárok (5 fő) 0,9 valószínűséggel, a középpályások (7 fő) 0,8, a védők (6 fő) 0,75, a kapusok (2 fő) 0,7 valószínűséggel lövik be a büntetőt. Látunk egy játékost, aki kihagyja a büntetőjét. Mi a valószínűsége, hogy ő csatár? | |||||||
Megoldás: | |||||||
Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||
| |||||||
Hasonlóan: | |||||||
| |||||||
Alkalmazzuk a Bayes-tételt: | |||||||
Tehát az ismeretlen játékos 0,125 valószínűséggel csatár. |
3.4. Események függetlensége | ||
Ha két esemény A és B egymástól függetlenek, az azt jelenti, hogy az egyik bekövetkezésének valószínűségét a másik esemény bekövetkezésének valószínűsége nem befolyásolja. Ebben az esetben teljesül a , vagyis: | ||
Az A-eseményt két egymást kizáró eseményként is felírhatjuk: | ||
és | ||
így | ||
Mivel: | ||
8. bemutató feladat | ||
Egy elektromos készülék 3 alkatrésze egymástól függetlenül 02; 0,6; és 0,4 valószínűséggel hibásodik meg egy bizonyos hőmérséklet elérésekor. Ha a három alkatrész közül bármelyik meghibásodik, akkor a készülék nem működik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a készülék az adott hőmérsékletet túllépve is még működik. | ||
Megoldás: | ||
; ; | ||
0,192 annak valószínűsége, hogy az adott hőmérsékletet túllépve is még működik a készülék. |
Önellenőrző feladatok | |||||||||
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
2. Feltételes valószínűség esetén:
![]() | |||||||||
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
![]() | |||||||||
4.Események függetlensége esetén: ![]() | |||||||||
5. Egy piacon két kereskedő árul körtét. Az egyiknek 100 kg I. osztályú, és 150 kg II. osztályú körtéje van. A másik eladónak 120 kg I. és 80 kg II. osztályú. Az első árusnak mindig szebb áruja van, mint a másodiknak, ezért 2-szer nagyobb valószínűséggel vásárolnak nála. 60 kg körte vásárlásakor mi a valószínűsége annak, hogy a második eladótól vásárolunk.
![]() | |||||||||
6. A 32 lapos magyar kártyából 3 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első kihúzott lap ász, a második tízes, a harmadik pedig ismét ász lesz.
![]() | |||||||||
7. Egy termékből két tételünk van, az egyikből 15 db, a másikból 20 db. Mindkét tételben 1 db hibás termék van. Az első tételből egy véletlenül kiválasztott darabot átteszünk a mások tételbe. Ezután ebből a tételből kiválasztunk egy terméket és megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott termék selejtes?
![]() | |||||||||
8. Két dolgozó azonos alkatrészeket gyárt, az egyik 0,8, a másik 0,7 valószínűséggel I. osztályút. Az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek függetlenek egymástól. Az első dolgozótól 3 db, a másiktól 2 db elkészült alkatrészt választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 kiválasztott alkatrész I. osztályú?
![]() | |||||||||
9. Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy mind a három gyerek fiú?
![]() |