KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: I. modul: Valószínűség számítás

3. lecke: Valószínűség-számítási tételek

Tananyag

A valószínűségelmélet minden kísérletnél adott körülmények között vizsgál, és az események véletlen jellegét e körülmények határozzák meg. Egy-egy esemény bekövetkezésének valószínűségét nagymértékben befolyásolja egy másik esemény, illetve annak bekövetkezési valószínűsége.

3.1. Feltételes valószínűség

Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos tetszőleges két esemény, ahol a B-esemény valószínűsége nem nulla, azaz P( B )0 . Vizsgáljuk meg mennyi az A-esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha a B-esemény bekövetkezett. A vizsgált eseményt A\B-vel, a valószínűséget pedig P( A\B ) -val jelöljük. Az esemény bekövetkezésének valószínűsége:

P(A\B)= P(AB) P(B)

A P( A\B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.

Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B-esemény bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy az A-esemény bekövetkezik. A fentiekből kifejezett P(AB)=P(A\B)P(B) egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük.

A feltételes valószínűség többnyire nemcsak abból áll, hogy meghatározzuk P( AB ) és a P( B ) valószínűségeket.

Ha A és B egy H eseménytér két eseménye és P( B )0 , akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A-eseményB-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének szorzatával, azaz

P(AB)=P(A\B)P(B) , P( B )0

vagy

P(AB)=P(B\A)P(A) , P( A )0

1. bemutató feladat

Egy dobozban 10 fehér és 15 fekete golyó van. Találomra kiválasztunk egymás után 2 golyót visszatevés nélküli véletlen mintavétellel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a második alkalommal fehér golyót választunk ki, feltéve, hogy az első alkalommal is fehéret választottunk ki?

Megoldás:

Legyen az első kiválasztás az A-esemény, illetve a második kiválasztás a B-esemény. Keressük a P( B\A ) valószínűséget.

P(B\A)= P(AB) P(A)   P(AB)= 109 2524 = 9 60

P(A)= 1024 2524 = 24 60

P(B\A)= P(AB) P(A) = 9 60 24 60 = 9 24 =0,375

2. bemutató feladat

Egy áru 96%-a megfelel a minőségi előírásoknak, és ennek 60%-a I. osztályú, a többi II. osztályú termék. Válasszunk ki egy terméket az összes áruból. Mi a valószínűsége annak, hogy:

a)I. osztályú árut választunk ki (A1-esemény)
b)II. osztályú árut választunk ki (A2-esemény)

Megoldás:

a) P( A 1 ) =0,96*0,6=0,576
b) P( A 2 ) =0,96*0,4=0,384

Másképp megoldva:
Legyen B-esemény az az esemény, hogy minőségileg megfelelő terméket választunk.

a) P( B A 1 )=P( A 1 \B )P( B ) =0,6*0,96=0,576
b) P( B A 2 )=P( A 2 \B )P( B ) =0,4*0,96=0,384
3. bemutató feladat

Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak?

Megoldás:

Tekintsük a következő eseményeket:

A1-esemény: az első helyezett magyar lett
A2-esemény: a második helyezett orosz lett
A3-esemény: a harmadik helyezett magyar

A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz P( A 1 A 2 A 3 ) értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: P( A 1 A 2 A 3 )=P( A 1 \ A 2 A 3 )P( A 2 A 3 )=P( A 1 \ A 2 A 3 )P( A 2 \ A 3 )P( A 3 )

Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket!
Összesen 12 versenyző indult, ebből 4 magyar, vagyis P( A 3 ) = 4/12 = 1/3.

P(a második orosz, feltéve, hogy a harmadik magyar)= P( A 2 \ A 3 ) =5/11, mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk).

P(az első magyar, feltéve, hogy a második orosz és a harmadik magyar)= P( A 1 \ A 2 A 3 ) =3/10, mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10.

A fentiekből következik, hogy P( A 1 A 2 A 3 ) = 3/10* 5/11* 1/3 = 1/22 0,045.

3.2. Teljes valószínűség

Ha a B1, B2, ..., Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P( B i )0 (i=1, 2, ..., n), akkor A-esemény bekövetkezésének valószínűsége:

P(A)= i=1 n P(A \B i )P( B i )

Ez a teljes valószínűség tétele, mert egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozza meg.

4. bemutató feladat

Van három dobozunk, mindegyikben fehér és fekete golyók vannak az alábbiak szerint:

I.2 fehér és 3 fekete golyó;
II.4 fehér és 1 fekete golyó;
III.3 fehér és 7 fekete golyó.

A kísérlet során 1/2 1/3, és 1/6 valószínűséggel kerülnek kiválasztásra az egyes dobozok. A kiválasztott dobozból kiveszünk 1 db golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kivett golyó fehér?

Megoldás:

P( B 1 )= 1 2 ; P( B 2 )= 1 3 ; P( B 3 )= 1 6

P( A )=P( A\ B 1 )P( B 1 )+P( A\ B 2 )P( B 2 )+P( A\ B 3 )P( B 3 )

Az I. dobozban: P(A\B1)=2/5
A II. dobozban: P(A\B2)=4/5
A III. dobozban: P(A\B3)=3/10

P( A ) =2/5*1/2+4/5*1/3+3/10*1/6=0,5167

Azaz 0,5167 a valószínűsége annak, hogy a véletlenül kiválasztott dobozból fehér golyót veszünk ki

5. bemutató feladat

Eltévedtünk a piacon. A közelünkben négy ruhaárus, egy újságos és két virágárus van. A ruhaárusok 0,6 valószínűséggel tudják megmondani a helyes irányt, a virágárus nénik 0,7 valószínűséggel, az újságos szinte biztosan, 0,95 valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk, ha a közülük véletlenszerűen kérdezünk meg valakit?

Megoldás:

Tekintsük a következő eseményeket:

A-esemény: helyes útbaigazítást kapunk
B1-esemény: valamelyik ruhaárustól kérdezzük meg a helyes irányt
B2-esemény: valamelyik virágárustól kérdezzük meg a helyes irányt
B3-esemény: az újságárustól kérdezzük meg a helyes irányt

Összesen 4+2+1=7 árus van a környéken.
Annak a valószínűsége:

  • hogy ruhaárust választunk: P( B 1 )= 4 7 ;
  • hogy virágárust választunk: P( B 2 )= 2 7 ;
  • hogy az újságárust választjuk: P( B 3 )= 1 7 -t kapunk

feltéve,

  • hogy ruhaárustól kérdezünk: P( A\ B 1 )=0,6
  • a többi: P( A\ B 2 )=0,7 és P( A\ B 3 )=0,95 .

Írjuk fel a teljes valószínűség tételét:
P( A )=P( A\ B 1 )P( B 1 )+P( A\ B 2 )P( B 2 )+P( A\ B 3 )P( B 3 ) = 0,6*4/7 +0,7*2/7+0,95*1/7 = 0,6786
Azaz 0,6786 valószínűséggel kapunk helyes útmutatást.

3.3. Bayes-valószínűség tétele

Ha B1, B2, ..., Bn-események teljes eseményrendszert alkotnak, és P( B i )0 (i=1, 2, ..., n), továbbá A tetszőleges esemény, amelyre P( A )0 , akkor

P( B i \A)= P(A\B i )P( B i ) j=1 n P(A \B j )P( B j )

Ez Bayas-tétele, melyet a klasszikus valószínűség-számításban az "okok valószínűsége tételének" neveznek.

6. bemutató feladat

Van három dobozunk, mindegyikben fehér és fekete golyók vannak az alábbiak szerint:

I.2 fehér és 3 fekete golyó;
II.4 fehér és 1 fekete golyó;
III.3 fehér és 7 fekete golyó.

A kísérlet során 1/2 1/3, és 1/6 valószínűséggel kerülnek kiválasztásra az egyes dobozok. A kiválasztott dobozból kiveszünk 1 db golyót. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a húzás az első dobozból történik és a kivett golyó fehér lesz?

Megoldás:

P( B 1 )= 1 2 ; P( B 2 )= 1 3 ; P( B 3 )= 1 6
Az I.dobozban: P( A\ B 1 )= 2 5
A II. dobozban: P( A\ B 2 )= 4 5
A III. dobozban: P( A\ B 3 )= 3 10

P( B 1 \A)= P(A\B 1 )P( B 1 ) j=1 3 P(A \B j )P( B j ) = 2 5 1 2 ( 2 5 1 2 )+( 4 5 1 3 )+( 3 10 1 6 ) = 12 31 =0,3871

Azaz 0,3871 a valószínűsége annak, hogy az első dobozból fehér golyót veszünk ki

7. bemutató feladat

Labdarúgó edzésen jártunk. Tudjuk, hogy a résztvevő 20 játékos közül a csatárok (5 fő) 0,9 valószínűséggel, a középpályások (7 fő) 0,8, a védők (6 fő) 0,75, a kapusok (2 fő) 0,7 valószínűséggel lövik be a büntetőt. Látunk egy játékost, aki kihagyja a büntetőjét. Mi a valószínűsége, hogy ő csatár?

Megoldás:

Tekintsük a következő eseményeket:

  • A-esemény: a játékos kihagyja a büntetőt.
  • B1-esemény: a véletlenszerűen választott játékos csatár: P( B 1 )= 5 20 =0,25
  • B2-esemény: a véletlenszerűen választott játékos középpályás: P( B 2 )= 7 20 =0,35
  • B3-esemény: a véletlenszerűen választott játékos védő: P( B 3 )= 6 20 =0,3
  • B4-esemény: a véletlenszerűen választott játékos kapus: P( B 4 )= 2 20 =0,1

P( A\ B 1 )=1P( belövi\ B 1 )=10,9=0,1

Hasonlóan:

P( A\ B 2 )=10,8=0,2 ,
P( A\ B 3 )=10,75=0,25 ,
P( A\ B 4 )=10,7=0,3 .

Alkalmazzuk a Bayes-tételt:

P( B 1 \A)= P(A\B 1 )P( B 1 ) j=1 4 P(A \B j )P( B j ) = 0,10,25 (0,10,25)+(0,20,35)+(0,250,3)+(0,30,1) =0,125

Tehát az ismeretlen játékos 0,125 valószínűséggel csatár.

3.4. Események függetlensége

Ha két esemény A és B egymástól függetlenek, az azt jelenti, hogy az egyik bekövetkezésének valószínűségét a másik esemény bekövetkezésének valószínűsége nem befolyásolja. Ebben az esetben teljesül a P( A\B )=P( A ) , vagyis:

P( AB )=P( A )P( B )

Az A-eseményt két egymást kizáró eseményként is felírhatjuk:

A=( AB )( A B ¯ )

és

( AB )( A B ¯ )0

így

P( A )=P( AB )P( A B ¯ )

Mivel:

P( AB )=P( A )P( B )

P( A B ¯ )=P( A )P( AB )=P( A )P( A )P( B )=P( A )[ 1P( B ) ]=P( A )P( B ¯ )

8. bemutató feladat

Egy elektromos készülék 3 alkatrésze egymástól függetlenül 02; 0,6; és 0,4 valószínűséggel hibásodik meg egy bizonyos hőmérséklet elérésekor. Ha a három alkatrész közül bármelyik meghibásodik, akkor a készülék nem működik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a készülék az adott hőmérsékletet túllépve is még működik.

Megoldás:

P( A 1 )=0,8 ; P( A 2 )=0,4 ; P( A 3 )=0,6

P( A 1 A 2 A 3 )=P( A 1 )P( A 2 )P( A 3 )=0,80,40,6=0,192

0,192 annak valószínűsége, hogy az adott hőmérsékletet túllépve is még működik a készülék.

Önellenőrző feladatok
1. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
A P( AB ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
A P( A\B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
A P( AB ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
A P( A/B ) valószínűséget az A-esemény B-eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük.
2. Feltételes valószínűség esetén:
P( AB )=P( AB )P( B ) , P( B )0
P( AB )=P( AB )P( A ) , P( A )0
P( AB )=P( A/B )P( A ) , P( A )0
P( AB )=P( A\B )P( B ) , P( B )0
3. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
Feltételes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozzuk meg.
Teljes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét feltételes valószínűségekből határozzuk meg.
Feltételes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét teljes valószínűségekből határozzuk meg.
Teljes valószínűség esetén egy A-esemény valószínűségét teljes valószínűségekből határozzuk meg.
4.Események függetlensége esetén:
P( AB )=P( A )P( B )
P( AB )=P( A )P( B )
P( AB )=P( A )\P( B )
P( A/B )=P( A )P( B )
5. Egy piacon két kereskedő árul körtét. Az egyiknek 100 kg I. osztályú, és 150 kg II. osztályú körtéje van. A másik eladónak 120 kg I. és 80 kg II. osztályú. Az első árusnak mindig szebb áruja van, mint a másodiknak, ezért 2-szer nagyobb valószínűséggel vásárolnak nála. 60 kg körte vásárlásakor mi a valószínűsége annak, hogy a második eladótól vásárolunk.
0,25
0,40
0,50
0,55
6. A 32 lapos magyar kártyából 3 lapot húzunk egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első kihúzott lap ász, a második tízes, a harmadik pedig ismét ász lesz.
0,0005
0,0037
0,0042
0,0016
7. Egy termékből két tételünk van, az egyikből 15 db, a másikból 20 db. Mindkét tételben 1 db hibás termék van. Az első tételből egy véletlenül kiválasztott darabot átteszünk a mások tételbe. Ezután ebből a tételből kiválasztunk egy terméket és megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott termék selejtes?
0,091
0,088
0,078
0,051
8. Két dolgozó azonos alkatrészeket gyárt, az egyik 0,8, a másik 0,7 valószínűséggel I. osztályút. Az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek függetlenek egymástól. Az első dolgozótól 3 db, a másiktól 2 db elkészült alkatrészt választunk ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 kiválasztott alkatrész I. osztályú?
0,251
0,315
0,362
0,226
9. Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy mind a három gyerek fiú?
1/7
2/7
3/7
4/7