KURZUS: Kvantitatív módszerek

MODUL: I. modul: Valószínűség számítás

1. lecke: A valószínűség fogalma

Követelmény

Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha

  • Szöveges megfogalmazás alapján el tudja dönteni, hogy mit jelent a kísérlet, a relatív gyakoriság, a valószínűség.
  • A felsorolásból ki tudja választani, a teljes, a teljes valószínűségre, a lehetetlen eseményre, a valószínűségre vonatkozó téteket.
  • A megadott adatokból ki tudja számolni adott esemény valószínűségét.
Tananyag

A valószínűségelmélet, a valószínűség számítás egy olyan tudomány, amely véletlen jelenségekkel foglalkozik. Feladata e véletlen jelenségek összefüggéseinek, törvényszerűségeinek a feltárása, a közöttük fellelhető kapcsolatok elemzése.

A véletlen jelenségekkel foglalkozó kísérleteket, megfigyeléseket véletlen kísérleteknek, eredményeiket pedig véletlen eseményeknek nevezzük. A kísérletek nemcsak mesterségesen állíthatóak elő, hanem kísérleteknek nevezzük az olyan jelenségek megfigyelését is, amely előidézésében nem vettünk részt.

A valószínűségelmélet tárgya a véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek vizsgálata. A valószínűség fogalmának meghatározásához a relatív gyakoriság fogalmát kell először meghatározni.

Valamely kísérlettel kapcsolatos esemény bekövetkezéseinek számát a kísérlet n-szeri megismétlése során megszámlálhatjuk. Jelöljük a vizsgált eseményt A-val, és tegyük fel, hogy a kísérletsorozatban az A-esemény kA-szor következik be. A kA-számot az A-esemény gyakoriságának nevezzük. Képezzük a kA/n-hányadost, amelyet az A-esemény relatív gyakoriságának nevezünk.

Jelölése:

g(A)= k A n

A relatív gyakoriságot százalékban is ki szoktuk fejezni. Egy esemény relatív gyakorisága megadja, hogy az összes megfigyelés során hány százalékban következett be egy adott esemény.

1. bemutató feladat

Dobjunk fel egy pénzérmét 20-szor egymás után. Legyen az A-esemény az, hogy írást dobunk. Jegyezzük el az A-esemény bekövetkezésének gyakoriságát, majd számítsuk ki a relatív gyakoriságot.

n123456789
kA112233345
g(A)10,500,670,500,600,500,430,500,56
n1011121314151617181920
kA677899910101011
g(A)0,600,640,580,620,640,600,560,590,560,530,55

n: a dobások száma, kA: az A-esemény bekövetkezésének gyakorisága g(A): az A-esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága (kA/n).
Megfigyelhető, hogy a relatív gyakoriság statikusan ingadozik egy számérték körül.

Végezzünk el egy másik kísérletet. A dobások száma most 80; 160; 240; 320; 400; 480 és 560 legyen.

n80160240320400480560
kA4086122163200241287
g(A)0,5000,5380,5080,5090,5000,5020,513

Ha ugyanezt a kísérletet elvégezzük 80; 160; 240; 320; 400; 480 és 560 dobással, látható, hogy a dobások számának növekedésével a gyakoriság is nő. A relatív gyakoriság pedig mindig 0,5 körül ingadozik. Az is megfigyelhető, hogy minél nagyobb a kísérletek száma (n), a relatív gyakoriság ingadozása annál kisebb.

A kísérlet során mindannyiszor más és más egymásutánját kapjuk a "fej" és "írás" eredményeknek, mégis az a törvényszerűség fog bekövetkezni, hogy a relatív gyakoriság a kísérletek számának növelésekor a 0,5 közelében fog ingadozni.

Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük.

Az A-esemény valószínűségét P(A)-val jelöljük. Mivel a relatív gyakoriság számértéke 0 és +1 között ingadozhat, hiszen k értékére fennáll 0kn , így a valószínűségre is igaz, hogy

0P( A )1

Másként megfogalmazva:

limg( A )=P( A )

A valószínűség és a relatív gyakoriság rokon fogalmak, sok esetben (tapasztalati úton) a relatív gyakoriságokon keresztül becsüljük meg adott esemény bekövetkezésének valószínűségét. A valószínűséget azonban formailag élesen meg kell különböztetni a relatív gyakoriságtól. Míg a valószínűség egy adott sztochasztikus modellben állandó, azaz rögzített szám, addig a relatív gyakoriság a véletlentől függően esetről esetre változik.

Ha egy esemény bekövetkezése lehetetlen, akkor kA-értéke minden n-re zérus, vagy a relatív gyakoriság és a valószínűség is zérus.

P( )=0

Ha egy esemény mindig bekövetkezik, akkor kA=n, a relatív gyakoriság és a valószínűség pedig 1-gyel egyenlő. Ez a biztos esemény.

P( H )=1

Megjegyzés:

  • Csak statisztikus szabályosságot (véletlen) mutató eseményeknél beszélünk valószínűségről.
  • A valószínűség nem utal arra, hogy melyik esemény fog bekövetkezni legközelebb.
  • Ha a kísérleti körülmények megváltoznak, akkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége is megváltozik.

A valószínűség axiómái:

I. 0P( A )1
II. P( )=0 és P( H )=1
III.Ha A és B egymást kizáró esemény ( AB=0 ), akkor P( AB )=P( A )+P( B )
IV.Ha A1, A2, ...., An egymást kizáró események, vagyis A i A k =0 és ik , akkor P( A 1 A 2 A n )=P( A 1 )+P( A 2 )++P( A n )
a)Ha az A-esemény maga után vonja B-eseményt, azaz AB fennáll, akkor P( B\A )=P( B )P( A )
b)Legyen A és B egy kísérlet két eseménye akkor annak valószínűsége, hogy közülük legalább az egyik teljesül: P( AB )=P( A )+P( B )P( AB )
c)Ha A, B, C egy kísérlet három eseménye, akkor: P( ABC )=P( A )+P( B )+P( C )P( AB )P( AC )P( BC )+P( ABC )
d)Ha A1, A2, ..., An eseményrendszert alkotnak, akkor P( A 1 )+P( A 2 )++P( A n )=1
e)Ha valamely kísérlet eredménye A-esemény és ennek ellentettje A ¯ -esemény, akkor P( A )+P( A ¯ )=1
Illetve
P( A ¯ )=1P( A )
2. bemutató feladat

Legyen A és B két esemény, és legyen P( A )= 1 2 és P( B )= 1 4 , valamint P( AB )= 1 12 . Határozzuk meg:
a) P( A ¯ ) ;
b) P( B ¯ ) ;
c) P( AB ) ;
d) P( AB ¯ );
e) P( A ¯ B ¯ );
f) P( AB ¯ );
g) P( A\B ) ;
h) P( B\A ) események valószínűségét!

Megoldás:

a) P( A ¯ )=1P( A )=1 1 2 = 1 2 ;

b) P( B ¯ )=1P( B )=1 1 4 = 3 4 ;

c) P( AB )=P( A )+P( B )P( AB )= 1 2 + 1 4 1 12 = 2 3 ;

d) P( AB ¯ )=1P(AB)=1 2 3 = 1 3 ;

e) P( A ¯ B ¯ )=P( A ¯ )+P( B ¯ )P( A ¯ B ¯ )= 1 2 + 3 4 1 3 = 11 12 ;

f) P( AB ¯ )=1P(AB)=1 1 12 = 11 12 ;

g) P(A\B)=P(A B ¯ )=P(A)P(AB)= 1 2 1 12 = 5 12

h) P(B\A)=P(B A ¯ )=P(B)P(AB)= 1 4 1 12 = 2 12 .

3. bemutató feladat

Egy évfolyam diákjai angol, német és francia nyelvből tettek nyelvvizsgát. Legyen az A-esemény az angol, B-esemény a német és C-esemény a francia nyelvvizsgával rendelkező hallgatók. Az egyes események valószínűsége pedig az alábbi:

P( A )=0,35 és P( AB )=0,15 illetve P( ABC )=0,10
P( B )=0,40 P( AC )=0,20
P( C )=0,30 P( BC )=0,20

Mi a valószínűsége annak, hogy ha kiválasztunk az évfolyamból egy hallgatót, az legalább az egyik nyelvből rendelkezik nyelvvizsgával?

Megoldás:

P( ABC )=P( A )+P( B )+P( C )P( AB )P( AC )P( BC )+P( ABC ) =0,35+0,40+0,30-0,15-0,20-0,20+0,10=0,60

A kiválasztott hallgató 0,60 valószínűséggel rendelkezik legalább az egyik nyelvből nyelvvizsgával.

Önellenőrző feladatok
1. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
A kísérletek csak mesterséges úton állíthatóak elő.
A kísérletek nem csak mesterséges úton állíthatóak elő.
A kísérletekben mindig van emberi részvétel
2. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
A relatív gyakoriság a kísérletek számát jelenti.
A relatív gyakoriság az összes megfigyelés számát jelenti.
A relatív gyakoriság az megfigyelések számát jelenti az összes megfigyeléshez viszonyítva.
3. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük
Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény valószínűségének nevezzük
Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény gyakorisága statisztikai ingadozást mutat, az adott esemény relatív gyakoriságának nevezzük
4. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
A valószínűségre igaz: 0P( A )1
A valószínűségre igaz: 0<P( A )1
A valószínűségre igaz: 0P( A )<1
5. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
A lehetetlen események valószínűsége: P( A )=0
A lehetetlen események valószínűsége: P( H )=0
A lehetetlen események valószínűsége: P( )=0
6. Az alábbi megállapítások közül válassza ki a helyes állítást!
A teljes valószínűség: P( A )=1
A teljes valószínűség: P( H )=1
A teljes valószínűség: P( )=1

7. Egy készterméket két szempontból vizsgálnak meg. Az A-esemény azt jelenti, hogy a vizsgált termék anyaghibás, a B-esemény pedig azt, hogy mérethibás. Az alábbi valószínűségek ismertek: P( A )=0,15 ; P( B )=0,30 és P( AB )=0,08

Mi a valószínűsége annak, hogy valamely kiválasztott késztermék hibátlan? A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el!  Jelölje be a helyes eredményt!
0,37
0,63
0,33
0,47

8. A jeles matematika és jeles statisztika osztályzatot figyeljük meg. Legyen A-esemény a jeles matematika, és B-esemény a jeles statisztika osztályzat. Továbbá ismertek az alábbi valószínűségek: P( B )=0,11 ; P( AB )=0,16 ; P( AB )=0,09

Mi a valószínűsége annak, hogy a tetszőlegesen kiválasztott hallgatónak csak matematikából van jeles osztályzata? Jelölje be a helyes eredményt!
0,28
0,27
0,37
0,14

9. Egy irodaépület folyosóján két kávéautomata van elhelyezve. Legyen A-esemény az, hogy az első automata működik, és B-esemény, hogy a másik automata működik. A megfigyelések szerint: P( A )=0,8 ; P( B )=0,9 ; P( AB )=0,72 .

a) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az első automata működik, de a második nem!
0,18
0,08
0,008
0,018
b) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a második automata működik, de az első nem!
0,18
0,08
0,008
0,018
c) Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy legalább az egyik automata működik!
0,18
0,58
0,88
0,98