KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
14. lecke: Valószínűségi változó transzformáltjának eloszlása
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.12. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Legyenek a diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei és ezek bekövetkezési valószínűségei . Az valószínűségi változó lehetséges értékei ekkor az számok (amelyek között megegyezők is lehetnek) és ezek bekövetkezési valószínűségei a | ||
értékek, ahol az összegzés mindazon -re vonatkozik, amelyre fennáll. | ||
Ha az valószínűségi változó a -nek szigorúan monoton függvénye, akkor az valószínűségi változó értékeihez tartozó valószínűség eloszlás megegyezik a valószínűségi változó eloszlásával. | ||
Valószínűségi változó transzformációja: Legyen a egy szigorúan monoton, differenciálható függvény és a egy folytonos eloszlású valószínűségi változó, amelynek a sűrűségfüggvénye . Ekkor az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye | ||
ahol a inverz függvényét jelöli. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat Legyen a diszkrét eloszlású valószínűségi változó eloszlása a következő: | ||
Megoldás: Mivel értékei -1, 0, 1, 2, 4, ezért lehetséges értékei ezen értékek négyzetei: 1, 0, 1, 4, 16. Minden értékhez annak a értéknek a valószínűsége tartozik, amelyből az adott érték származik. Mivel az 1 -1-nek és 1-nek is a négyzete, ezért az 1-hez eloszlásában a -1-hez és az 1-hez tartozó valószínűségek összege tartozik. Így eloszlása: | ||
Vegyük észre (és jegyezzük is meg), hogy várható értéke nem egyenlő várható értékének négyzetével, hiszen ekkor a szórásnégyzet () nulla lenne. | ||
2. feladat Legyen a exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értékkel. Határozzuk meg sűrűségfüggvényét! | ||
Megoldás: A feladat szövege rengeteg információt rejt magában: exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, tehát sűrűségfüggvénye: , eloszlásfüggvénye: és . | ||
Mivel most , ezért , így a sűrűségfüggvény: . | ||
szigorúan monoton függvény, ezért alkalmazhatjuk a transzformált sűrűségfüggvényére vonatkozó formulát: | ||
Esetünkben , ezért és . Így a transzformált sűrűségfüggvénye: | ||
Kiindulhattunk volna abból is, hogy ha ismerjük eloszlásfüggvényét, akkor meg tudjuk határozni a sűrűségfüggvényét is. Az eloszlásfüggvényt pedig vissza lehet vezetni eloszlásfüggvényére (lásd a jegyzetben a tétel bizonyítását). Jelölje eloszlásfüggvényét. Az eloszlásfüggvény definíciója szerint: . Az egyenlőtlenségben vegyük mindkét oldal logaritmusát (ezt megtehetjük, hiszen mindkét oldal pozitív és a logaritmus szigorúan monoton függvény). | ||
Ekkor viszont már a valószínűségi változóról állítottunk valamit, tehát ez a valószínűség nem más, mint a eloszlásfüggvénye az helyen: | ||
3. feladat Legyen a valószínűségi változó eloszlása a következő: . Határozzuk meg eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és várható értékét! | ||
Megoldás: Jelölje eloszlásfüggvényét . Ekkor (hasonlóan az előző feladathoz) . Vagyis eloszlásfüggvényét megkaphatjuk úgy, hogy eloszlásfüggvényébe x helyére -et írunk. Már csak az eloszlásfüggvénybeli határokat kell tisztázni. Mivel , ezért függvény esetén 0, esetén pedig 1. Vagyis . | ||
Tudjuk, hogy a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja (), így . | ||
A várható érték pedig: | ||
4. feladat Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Határozzuk meg várható értékét! | ||
Megoldás: Az egyik lehetséges megoldás: meghatározzuk sűrűségfüggvényét, majd ezzel várható értékét. | ||
lehetséges értékeinek halmaza: , így lehetséges értékei: . A intervallumon a négyzetre emelés szigorúan monoton függvény, tehát alkalmazhatjuk a transzformált valószínűségi változó sűrűségfüggvényére vonatkozó formulát. | ||
, a transzformációs függvény: , ebből . | ||
Részletesebben: . | ||
Ezzel a várható érték: | ||
Egy másik lehetséges út: | ||
5. feladat Egy kocka élhossza egyenletes eloszlású valószínűségi változó az intervallumon. Határozzuk meg a térfogatának várható érétkét! | ||
Megoldás: Jelölje a kocka élhosszát. Ekkor a térfogata . Mivel egyenletes eloszlású az intervallumon, ezért sűrűségfüggvénye: | ||
A várható érték pedig . | ||
A térfogat várható értékének meghatározásához az előző feladat második megoldásában alkalmazott módszert választjuk: | ||
6. feladat Milyen eloszlás szerint változtassuk egy kocka élhosszát ahhoz, hogy térfogata egyenletes eloszlású legyen az intervallumon? | ||
Megoldás: A feladat tulajdonképpen az, hogy határozzuk meg a feltételnek megfelelő élhossz eloszlásfüggvényét. A térfogat egyenletes eloszlású az intervallumon, így eloszlásfüggvénye: . | ||
Ha a kocka térfogatát -vel jelöljük, akkor kérdés eloszlásfüggvénye. Jelöljük ezt -szel. Ebben a már ismert eljárás szerint: | ||
7. feladat Legyen standard normális eloszlású valószínűségi változó, ezért sűrűségfüggvénye: , eloszlásfüggvénye pedig: . Mi lesz eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye? | ||
Megoldás: Jelölje eloszlásfüggvényét. Ekkor (ez a valószínűség nyilván 0, ha ). | ||
Itt már a valószínűségi változóról van szó, tehát alkalmazhatjuk eloszlásfüggvényét: , ami az ismert összefüggéssel: | ||
Vagyis . | ||
Ebből sűrűségfüggvénye (mivel ): . | ||
8. feladat Legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, várható értékkel. Határozzuk meg eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és várható érékét! | ||
Megoldás: Beugratós kérdés: Mivel exponenciális eloszlású, ezért csak pozitív értékei lehetnek, így . | ||
A rend kedvéért: |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. A valószínűségi változó eloszlása: . Ekkor eloszlása:
![]() | |||||||||
2. Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Határozzuk meg eloszlásfüggvényét!
![]() | |||||||||
3. Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Határozzuk meg eloszlásfüggvényét!
![]() | |||||||||
4. Legyen a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Határozzuk meg várható értékét!
![]() | |||||||||
5. Egy gömb sugara egyenletes eloszlású valószínűségi változó az intervallumon. Határozzuk meg a gömb térfogatának várható értékét ()!
![]() | |||||||||
6. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: . Határozzuk meg sűrűségfüggvényét!
![]() | |||||||||
7. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: . Határozzuk meg eloszlásfüggvényét!
![]() | |||||||||
8. A fenti sűrűségfüggvénye:
![]() |