MODUL: I. modul: Kombinatorika, eseményalgebra és valószínűségek meghatározása kombinatorikus úton
4. lecke: Valószínűségek meghatározása
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.3. és 2.4. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
A valószínűség-számítás axiómái a következők: |
1. | Az adott eseménytér minden egyes eseményéhez tartozik egy és közé eső szám, azaz , amelyet az esemény valószínűségének (valószínűségimértékének) nevezünk. | 2. | A biztos esemény valószínűsége , azaz . | 3. | Az egymást páronként kizáró események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségének összegével egyenlő, azaz ha az események esetén ha , akkor . (Ezt a tulajdonságot -additivitásnak nevezzük.) |
|
Az esemény ellentettjének valószínűsége . |
Események egy összességét teljeseseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizárják egymást és az összegük a biztos esemény, azaz az események teljes eseményrendszert alkotnak, ha (ha ) és . |
Ha az események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a valószínűségük összege 1, vagyis . |
Az és események különbségének valószínűsége . |
Ha , akkor . |
Az és események összegének valószínűsége . |
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Legyen A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,5, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,3. Határozzuk meg az alábbiakat: |
a) | | b) | | c) | | d) | | e) | | f) | | g) | |
|
Megoldás: A megoldás során az elméleti összefoglalóban leírtakat fogjuk alkalmazni. |
a) | | b) | | c) | | d) | | e) | használjuk fel az előző leckében megismert de Morgan-féle összefüggést: , továbbá alkalmazzuk az a) kérdésben felhasznált tételt: | f) | A megoldás menete ugyanaz, mint a b) pontban, csak A helyett -t kell írni: . Az a) pont alapján , értéke ismert: 0,5, már csak -t kell meghatározni. Ehhez írjuk fel a B eseményt egy kicsit másképp (lásd előző lecke). Vagyis a B esemény valószínűsége: . Ebből Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt: , vagyis , mint láttuk a d) pontban. Vagyis a kérdéses valószínűség: . | g) | Az f) pont alapján ez már egyszerű: (lásd c) pont) |
|
2. feladat Legyen , és , . Határozzuk meg az alábbiakat: |
a) | | b) | | c) | | d) | |
|
Megoldás: |
a) | Mivel , ezért az esemény valószínűsége maga a B esemény lesz. Így . | b) | Az előzőhöz hasonlóan, mivel , ezért , így . | c) | | d) | Másképp: az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem. Mivel tudjuk, hogy , ezért ha B bekövetkezik, akkor A is. Vagyis az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem, a lehetetlen esemény, amelynek valószínűsége 0. |
|
| Ellenőrző kérdések |
1. Legyen , és . Ekkor |
2. Legyen , és . Ekkor |
3. Legyen az A esemény valószínűsége 0,6, a B esemény valószínűsége 0,4, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,2. Ekkor |
4. Legyen az A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,7, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,6. Ekkor |
5. Legyen , és . Ekkor |
6. Legyen az A esemény valószínűsége 0,2, a B esemény valószínűsége 0,6, és teljesüljön, hogy . Ekkor |
7. Legyen . Ekkor... |
8. Legyen . Ekkor biztosan igaz, hogy |
9. Ha az A és B eseményekre , akkor biztosan igaz, hogy... |
10. Ha az A, B, C események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor... |