MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
16. lecke: Két valószínűségi változó együttes eloszlása és korrelációs együtthatója
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.14., 2.16. és 2.20. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
A együtt megfigyelt valószínűségi változók összességét -dimenziósvalószínűségivektorváltozónak nevezzük, és a szimbólummal jelöljük. |
Egy valószínűségi vektorváltozót diszkrétnek (folytonosnak) nevezünk, ha valamennyi komponense diszkrét (folytonos). |
Egy valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, amely minden valós szám--eshez a események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli, azaz , ahol |
Egy valószínűségi vektorváltozó komponensének az eloszlását a -hez tartozó peremeloszlásnak nevezzük és az eloszlásfüggvényét -vel jelöljük. |
Egy folytonos valószínűségi vektorváltozót folytonos eloszlásúnak mondunk, ha az eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz van olyan függvény, amelyre , ahol |
Ezt az függvényt a valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvényének nevezzük. |
Egy folytonos eloszlású valószínűségi vektorváltozó komponensének sűrűségfüggvényét a -hez tartozó peremsűrűségfüggvénynek nevezzük és -vel jelöljük . |
Az eloszlás- és sűrűségfüggvény tulajdonságaira vonatkozó tételeket a kétdimenziós esetre fogalmazzuk meg, de azok természetes módon általánosíthatók az -dimenziós esetre. |
Tetszőleges kétdimenziós valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: |
1. | | 2. | valahányszor és valahányszor . (Mindegyik változójában monoton növekedő.) | 3. | (Értéke -hoz tart, ha bármelyik változója -hez tart.) | 4. | (Értéke -hez tart, ha mindegyik változója -hez tart.) | 5. | és . (Ha az egyik változóját rögzítjük és a többi -hez tart, akkor az értéke a rögzített változó által meghatározott perem-eloszlásfüggvény értékéhez tart.) | 6. | |
|
Tetszőleges folytonos eloszlású kétdimenziós valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: |
1. | (Csak nem negatív értékeket vesz fel.) | 2. | ahol és az eloszlásfüggvény másodrendű vegyes parciális deriváltjait jelölik. (Az eloszlásfüggvényt minden változója szerint egyszer parciálisan differenciálva a sűrűségfüggvényt kapjuk.) | 3. | (Integráljának értéke , ha mindegyik változójában -től -ig integrálunk.) | 4. | illetve . (Ha az egyik változóját rögzítjük és a többiben -től -ig integrálunk, akkor az értéke a rögzített változó által meghatározott perem-sűrűségfüggvény értékével egyenlő.) | 5. | |
|
Tetszőleges diszkrét kétdimenziós valószínűségi vektorváltozó valószínűség eloszlásából a peremeloszlásait a , és a formulákkal állíthatjuk elő, ahol . |
A valószínűségi vektorváltozók függvényének várható értéke a diszkrét esetben a , a folytonos esetben pedig a formulával határozható meg, amennyiben a várható érték létezik. |
Ha a valószínűségi változók várható értéke létezik, akkor létezik az összegük várható értéke is és . |
Ha a független valószínűségi változók várható értéke létezik, akkor létezik a szorzatuk várható értéke is és |
Ha a független valószínűségi változók szórása létezik, akkor létezik az összegük szórása is és |
Ha a független valószínűségi változók szórása megegyezik, akkor ahol a valószínűségi változók közös szórását jelöli. |
A és valószínűségi változók korrelációsegyütthatóján az hányadost értjük, ha az itt szereplő várható értékek és szórások léteznek. |
Ha a és valószínűségi változók korrelációs együtthatója létezik, akkor |
1. | A korrelációs együttható értéke mindig -1 és 1 közé esik, azaz | 2. | Ha a és függetlenek, akkor a korrelációs együttható értéke 0, azaz | 3. | A korrelációs együttható abszolút értéke akkor és csak akkor 1, ha a két valószínűségi változó között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz, , ahol |
|
Ez esetben , ha , és , ha . |
Kidolgozott feladatok |
1. feladat A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen , az valószínűségi változó eloszlásfüggvénye pedig legyen . |
Határozzuk meg várható értékét! |
Megoldás: Tudjuk, hogy , így csak a két valószínűségi változó várható értékét kell meghatározni. Ehhez kellenek a sűrűségfüggvények: és . |
A várható értékek:
|
Tehát az összeg várható értéke: |
2. feladat Dobókockával dobunk, majd a dobott számot két szempont alapján osztályozzuk: értéke legyen 1, ha a dobott szám páros és -1, ha páratlan; értéke legyen 2, ha a dobott szám 4-nél nagyobb, és 0, ha nem. Írjuk fel és együttes eloszlását! Határozzuk meg a peremeloszlásokat! |
Megoldás: lehetséges értékei: 1; -1 lehetséges értékei: 0;2 A számpár lehetséges érétkei: , , , Az egyes számpárokhoz tartozó esetek: : a dobott szám 2 vagy 4, ennek valószínűsége : a dobott szám 6, ennek valószínűsége : a dobott szám 1 vagy 3, ennek valószínűsége : a dobott szám 5, ennek valószínűsége ésegyüttes eloszlása táblázatba foglalva: |
\ | 1 | -1 | 0 | | | 2 | | |
|
A -hez tartozó peremeloszlást az egy oszlopban levő valószínűségek összegeként kapjuk:
|
Az -hoz tartozó peremeloszlást az egy sorban levő valószínűségek összegeként kapjuk:
|
Táblázatos formában: |
\ | 1 | -1 | | 0 | | | | 2 | | | | | | | 1 |
|
3. feladat Legyen és együttes eloszlása a következő: |
\ | -1 | 0 | 1 | 0 | | | | 1 | | | |
|
a) | Határozzuk meg a peremeloszlásokat! | b) | Független-e és ? | c) | Határozzuk meg a korrelációs együtthatót! | d) | | e) | | f) | |
|
Megoldás: |
a) | A peremeloszlásokat most is az egy sorban, illetve egy oszlopban álló valószínűség értékek összegeként kapjuk meg: és | b) | A két valószínűségi változó akkor független, ha a peremvalószínűségek szorzataként előállnak az együttes bekövetkezés valószínűségei: Mivel minden esetben teljesül az egyenlőség, ezért a két valószínűségi változó független. | c) | Az előző pontban azt kaptuk, hogy és függetlenek, ezért . Figyelem! Ez fordítva nem igaz: ha , akkor még nem biztos, hogy és függetlenek! | d) | Valószínűségi változók összegének várható értéke a várható értékek összege, azaz: .
Tehát | e) | Tudjuk, hogy független valószínűségi változók esetén a szorzat várható érétke a várható értékek szorzata. Mivel és függetlenek, ezért | f) | Tudjuk, hogy független valószínűségi változók esetén . Tehát szükségünk van mindkét valószínűségi változó szórásnégyzetére. A szórásnégyzet kiszámításához kell a várható érték négyzete és a négyzet várható értéke: eloszlása: Ebből eloszlása: Ebből A szórásnégyzetek:
Ezzel az összeg szórása:
|
|
4. feladat A és valószínűségi változók együttes eloszlása legyen a következő: |
\ | 0 | 1 | 2 | -1 | 0,1 | 0,15 | 0,1 | 0 | 0,05 | 0,1 | 0,15 | 1 | 0,15 | 0,1 | 0,1 |
|
Határozzuk meg és korrelációs együtthatóját! Igaz-e, hogy és függetlenek? |
Megoldás: A peremeloszlások: |
Mivel a peremvalószínűségek szorzata nem adja ki az együttes bekövetkezés valószínűségét ( pl. ), ezért a két valószínűségi változó nem független. Ennélfogva a korrelációs együtthatót sem ússzuk meg olyan egyszerűen, mint az előző feladatban. |
A korrelációs együttható:
|
Ehhez egy kicsit számolgatni kell:
eloszlása: |
Így már megvan a számláló: A szórások kiszámításához szükségünk van és várható értékére: Ebből Ebből Ebből Ebből
Vagyis a korrelációs együttható:
Ez azt jelenti, hogy a két valószínűségi változó közötti igen gyenge lineáris kapcsolat áll fenn. |
5. feladat Legyen és valószínűségi változók együttes eloszlása a következő: |
\ | 0 | 1 | 2 | 3 | 0,05 | 0,1 | 0,15 | 5 | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 7 | 0,15 | 0,05 | 0,25 |
|
Határozzuk meg és korrelációs együtthatóját! |
Megoldás: A peremeloszlások: |
Mivel a peremeloszlásokban ugyanazok a valószínűségi értékek szerepelnek (0,3; 0,25; 0,45), ezért érdemes megvizsgálni, hogy van-e valamilyen kapcsolat a két valószínűségi változó között, nevezetesen van-e olyan lineáris transzformáció, amellyel az egyik értékeiből a másik értékei meghatározhatók. A , , számpároknak megfelelő pontok az egyenletű egyenesen helyezkednek el. (Ellenőrizzük le!) Tehát a két valószínűségi változó között lineáris kapcsolat van: , ezért . |
6. feladat A és valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye legyen: , ahol H az , , és pontok által meghatározott téglalapot jelenti. |
a) | Határozzuk meg az "a" paraméter értékét! | b) | Számítsuk ki a valószínűséget! | c) | Határozzuk meg a peremsűrűségfüggvényeket! |
|
Megoldás: |
a) | Mivel sűrűségfüggvényről van szó, ezért kell, hogy teljesüljön, így . Másrészt teljesülnie kell az egyenlőségnek is. Ebből lehet majd meghatározni az "a" paraméter értékét. A H tartomány:

Vagyis a változók határai: és Ezzel: Ebből . | b) | Az együttes sűrűségfüggvény egyik tulajdonsága szerint . Behelyettesítve: Tehát | c) | és (Ha az egyik változó szerint integrálunk, akkor a másik szerinti peremsűrűségfüggvényt kapjuk.)
Vagyis az első változó szerinti peremsűrűségfüggvény: .
Vagyis a második változó szerinti peremsűrűségfüggvény: . |
|
7. feladat Határozzuk meg az előző feladatban szereplő együttes sűrűségfüggvénnyel rendelkező és valószínűségi változók korrelációs együtthatóját a következő lépésekben: |
a) | | b) | | c) | | d) | | e) | | f) | | g) | | h) | |
|
Megoldás: |
a) |
| b) |
| c) |
| d) |
| e) | Mivel és , ezért , ebből pedig | f) |
| g) | Mivel és , ezért , ebből pedig | h) | Most már csak a kapott értékeket kell behelyettesíteni:
Tehát a két valószínűségi változó között igen gyenge lineáris kapcsolat áll fenn. |
|