KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

11. lecke: A várható érték és a szórás

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.9. fejezet

Elméleti összefoglaló

Egy diszkrét ξ valószínűségi változó várható értékén a

m=M( ξ )= i x i p i , ahol p i =P( ξ= x i ) ,

összeget értjük, amennyiben i | x i | p i < . Egyébként azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik.

Egy folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó várható értékén a

m=M( ξ )= xf( x )dx

integrált értjük, amennyiben | x |f( x )dx < . Egyébként azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik

Legyen ξ egy tetszőleges valószínűségi változó és η=a ξ 2 +bξ+c , ahol az a, b és c tetszőleges valós számok. Ekkor az η valószínűségi változó várható értéke

M( η )=aM( ξ 2 )+bM( ξ )+c ,

amennyiben a ξ és a ξ 2 várható értéke létezik.

Egy ξ valószínűségi változószórásán a ( ξM( ξ ) ) 2 valószínűségi változó várható értékének négyzet-gyökét értjük, amit σ-val vagy D( ξ ) -vel jelölünk. Azaz a ξ szórása

σ=D( ξ )= M ( ( ξM( ξ ) ) 2 ) ,

amennyiben a ξ és a ( ξM( ξ ) ) 2 várható értéke létezik.

Ha a ξ valószínűségi változó és annak négyzetének várható értéke is létezik, akkor a szórása is létezik és a

D( ξ )= M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )

képlettel is kiszámítható.

Legyen ξ egy tetszőleges valószínűségi változó és η=aξ+b . Ekkor az η szórása

D( η )=D( aξ+b )=| a |D( ξ ) ,

amennyiben a ξ szórása létezik.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Legyen ξdiszkrét eloszlású valószínűségi változó, eloszlása pedig: ξ:{ 1 0 1 3 0,1 0,3 0,5 0,1 .
Határozzuk meg ξ várható érétkét és szórását!

Megoldás: A várható érték definíciója szerint M( ξ )=10,1+00,3+10,5+30,1=0,7 .

A szórás meghatározásához először a szórásnégyzetet számítjuk ki a D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ ) összefüggés segítségével. A kifejezés második részében álló M 2 ( ξ ) a várható érték négyzetét jelenti, amely már ismert, hiszen a várható értéket kiszámítottuk. Az első tag ξ 2 várható értéke. Ennek meghatározásához írjuk fel ξ 2 eloszlását. ξ 2 lehetséges értékei ξ lehetséges értékeinek négyzetei a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig az eredeti ξértékhez tartozó valószínűségek.

ξ 2 :{ 1 0 1 9 0,1 0,3 0,5 0,1 .

Vegyük észre, hogy az 1 kétszer szerepel a felsorolásban, hiszen -1 és 1 négyzete is 1. Természetesen a két 1-es ugyanaz a szám, így ξ 2 eloszlása:
ξ 2 :{ 0 1 9 0,3 0,6 0,1

Ebből ξ 2 várható értékét az előzőhöz hasonlóan meghatározhatjuk:
M( ξ 2 )=00,3+10,6+90,1=1,5

Mostmár kiszámíthatjuk a szórásnégyzetet:
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )=1,50,70,7=1,01
Ebből a szórás: D( ξ )= D 2 ( ξ ) = 1,01 1,005

2. feladat A ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek az 1, 2, ..., n számok (n egy véges érték), a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig azonosak, vagyis mindegyik 1 n . Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását!

Megoldás: A feladat szerint ξ eloszlása a következő:

ξ:{ 1 2 . . . n 1 n 1 n . . . 1 n . Pl. n=4 esetén így festene: ξ:{ 1 2 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 .

Mi azonban most az általános esetet fogjuk megoldani.
A várható érték:
M( ξ )=1 1 n +2 1 n +...+n 1 n = 1 n ( 1+2+...+n )

Használjuk fel, hogy az első n db pozitív egész szám összege: 1+2+...+n= n( n+1 ) 2 . Ezzel M( ξ )= 1 n n( n+1 ) 2 = n+1 2 .

A szórást most is a szórásnégyzetből számítjuk ki, amihez szükségünk van M( ξ 2 ) értékére.
ξ 2 eloszlása: ξ 2 :{ 1 4 . . . n 2 1 n 1 n . . . 1 n .

Ebből ξ 2 várható értéke:
M( ξ 2 )=1 1 n +4 1 n +...+ n 2 1 n = 1 n ( 1+4+...+ n 2 )

Használjuk fel, hogy az első n db négyzetszám összege: 1+4+...+ n 2 = n( n+1 )( 2n+1 ) 6 .
Ezzel M( ξ 2 )= 1 n n( n+1 )( 2n+1 ) 6 = ( n+1 )( 2n+1 ) 6 .

A szórásnégyzet így már meghatározható:
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )= ( n+1 )( 2n+1 ) 6 ( n+1 2 ) 2 =( n+1 )( 2n+1 6 n+1 4 )= ( n+1 )( n 3 + 1 6 n 4 1 4 )=( n+1 )( n 12 1 12 )= ( n+1 )( n1 ) 12 = n 2 1 12 .

Vagyis a szórás:
D( ξ )= n 2 1 12 .

3. feladat A ξdiszkrét eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek az 1, 2, ... számok (végtelen sok érték!), a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig 1 2 , 1 6 , ..., a k értékhez tartozó 1 k( k+1 ) tartozzon. Határozzuk meg ξvárható értékét és szórását!

Megoldás: ξeloszlása a következő:
ξ:{ 1 2 ... k ... 1 2 1 6 ... 1 k( k+1 ) ...

Első ránézésre egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy az 1 2 , 1 6 , ..., 1 k( k+1 ) számok valószínűség eloszlást alkotnak, tehát ezt le kellene ellenőriznünk. Annak kell teljesülnie, hogy minden valószínűség érték legyen nemnegatív, a valószínűségek összege pedig legyen 1. Ebből az első feltétel nyilván teljesül. A másodikhoz ki kell számítani az alábbi végtelen összeget: 1 2 + 1 6 +...+ 1 k( k+1 ) +... . Ez az összeg felírható a következőképpen is: k=1 1 k( k+1 ) , vagyis egy (remélhetőleg) ismerős sor összege a kérdés. Az 1 k( k+1 ) kifejezés felírható 1 k 1 k+1 formában is (közös nevezőre hozással ellenőrizzük le!). Vagyis az összeg k=1 ( 1 k 1 k+1 ) alakban is írható. Ebből még persze nem látszik, hogy mennyi lenne maga az összeg, érdemes ehhez felírni az első néhány tagot: k=1 1 k( k+1 ) = k=1 ( 1 k 1 k+1 ) =1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4 +... Az első n tag részösszege 1 1 n , így a végtelen sor összege 1 lesz, vagyis ezek a számok tényleg valószínűség eloszlást alkotnak, értelmes kérdés így a várható érték is.

A várható érték az alábbi végtelen összeg.

1 1 2 +2 1 6 +...+k 1 k( k+1 ) +... rövidebben: k=1 k 1 k( k+1 ) = k=1 1 ( k+1 ) . Amit kaptunk, az az egynél nagyobb pozitív egészek reciprokainak összege, melyről tudjuk, hogy divergens (végtelenhez tart). Vagyis ebben az esetben a várható érték nem létezik, ebből következően a szórás sem.

4. feladat Egy dobókockát háromszor elgurítunk. Jelentse ξ a dobott hatosok számát. Számítsuk ki ξ várható értékét és szórását!

Megoldás: ξ lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek:
P( 0 db hatos )= ( 5 6 ) 3 = 125 216
P( 1 db hatos )=3 1 6 ( 5 6 ) 2 = 75 216
P( 2 db hatos )=3 ( 1 6 ) 2 5 6 = 15 216
P( 3 db hatos )= ( 1 6 ) 3 = 1 216

Ugyanis minden dobásnál hatféle lehetőségünk van, ez a három dobásra így 666=216 -féle lehetőség. Ha nem dobunk hatost, akkor minden dobásnál 5 lehetőségünk van, ez így 555=125 eset. Ha egy hatost dobunk, akkor ezt háromféleképpen tehetjük (elsőre, másodikra vagy harmadikra) a nem hatosokra pedig 55 -féle lehetőség van, ez így 355=75 eset. A két hatos esete hasonlóan számítható, itt 15 esetet kapunk, három hatost pedig csak egyféleképpen dobhatunk.

Így ξ eloszlása:
ξ:{ 0 1 2 3 125 216 75 216 15 216 1 216

ξvárható értéke:
M( ξ )=0 125 216 +1 75 216 +2 15 216 +3 1 216 = 108 216 = 1 2

ξ 2 eloszlása:
ξ 2 :{ 0 1 4 9 125 216 75 216 15 216 1 216

ξ 2 várható értéke:
M( ξ 2 )=0 125 216 +1 75 216 +4 15 216 +9 1 216 = 144 216

A szórásnégyzet:
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )= 144 216 ( 1 2 ) 2 = 2 3 1 4 = 5 12

Így a szórás:
D( ξ )= 5 12 0,6455

5. feladat A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ x 3 60 , ha 2x4 0     különben . Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását!

Megoldás: Először is ellenőrizzük le, hogy f( x ) valóban sűrűségfüggvény-e. f( x )>0 nyilvánvalóan teljesül. Másrészt f( x )dx= 2 4 x 3 60 dx= [ 1 60 x 4 4 ] 2 4 = 1 240 ( 25616 )=1 , tehát valóban sűrűségfüggvényről van szó.

A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értékének definíciója szerint: M( ξ )= xf( x )dx . Most is elég ott integrálni, ahol f( x ) nullától különbözik, tehát M( ξ )= 2 4 x x 3 60 dx= 2 4 1 60 x 4 dx= [ 1 60 x 5 5 ] 2 4 = 1 300 ( 102432 )= 992 300 = 248 75 3,3067 .

A szórásnégyzet meghatározásához most is ki kell számítanunk ξ 2 várható értékét: M( ξ 2 )= x 2 f( x )dx .

Ez most M( ξ 2 )= 2 4 x 2 x 3 60 dx= 2 4 1 60 x 5 dx= [ 1 60 x 6 6 ] 2 4 = 1 360 ( 409664 )= 4032 360 =11,2 .

Így a szórásnégyzet:
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )=11,2 ( 248 75 ) 2 0,2659 .
A szórás pedig: D( ξ )0,5156 .

6. feladat A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: F( x )={ 1 27 x 3 , ha x>3 0,         ha x3      . Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását!

Megoldás: Először is ξ sűrűségfüggvényét kell kiszámítani. Ehhez az eloszlásfüggvényt kell deriválnunk: f( x )= F ( x ) .

( 1 27 x 3 ) = 81 x 4 , így a sűrűségfüggvény: f( x )={ 81 x 4 , ha x>3 0,    ha x3      .

A várható érték:
M( ξ )= xf( x )dx= 3 x 81 x 4 dx= 3 81 x 3 dx= 3 81 x 3 dx= [ 81 x 2 2 ] 3 = [ 81 2 1 x 2 ] 3 = 0( 81 2 1 9 )= 9 2 =4,5

ξ 2 várható értéke:
M( ξ 2 )= x 2 f( x )dx = 3 x 2 81 x 4 dx= 3 81 x 2 dx= 3 81 x 2 dx= [ 81 x 1 1 ] 3 = [ 81 1 x ] 3 =0( 81 3 )=27

Így a szórásnégyzet:
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )=27 4,5 2 = 27 4 =6,75 .
Ebből a szórás: D( ξ )= 27 4 = 3 3 2 2,598 .

7. feladat A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen a következő: f( x )={ 1 x 2 , ha x1 0,    ha x<1 .
Határozzuk meg ξvárható értékét és szórását!

Megoldás: f( x )0 teljesül, másrészt f( x )dx= 1 1 x 2 dx = [ 1 x ] 1 =0( 1 )=1 , tehát valóban sűrűségfüggvényről van szó.

A várható érték: M( ξ )= xf( x )dx= 1 x 1 x 2 dx= 1 1 x dx= [ lnx ] 1 = .

Tehát a várható érték ebben az esetben nem létezik, így a szórás sem.

8. feladat A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen: F( x )={ 1 e 3x , ha x>0 0,         ha x0      .
Határozzuk meg ξvárható értékét!

Megoldás: Először ξ sűrűségfüggvényét kell meghatározni: f( x )= F ( x ) , így f( x )={ 3 e 3x , ha x>0 0,         ha x0      .

A várható érték: M( ξ )= xf( x )dx= 0 x3 e 3x dx parciálisan kell integrálnunk, mégpedig úgy, hogy az 'x' legyen az, amit majd deriválni fogunk.

Így: 0 x3 e 3x dx = [ 3x e 3x 3 ] 0 0 3 e 3x 3 dx=0+ 0 e 3x dx= [ e 3x 3 ] 0 =0( 1 3 )= 1 3 .

Tehát M( ξ )= 1 3 .

Ellenőrző kérdések
1. A ξ valószínűségi változó eloszlása a következő: ξ:{ 0 1 2 5 0,3 0,2 0,4 0,1 . M( ξ )=?
a) 1,5
b) 1,8
c) 0,7
d) 1,2
2. A ξ valószínűségi változó eloszlása a következő: ξ:{ 1 0 1 0,4 0,3 0,3 . D( ξ )=?
a) 0,8306
b) 0,69
c) 0,71
d) 0,8426
3. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ 72 x 3 , ha x>6 0,    különben . M( ξ )=?
a) 72
b) 12
c) -12
d) 36
4. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ 3 x 4 , ha x>1 0,    különben . D( ξ )=?
a) 3 4
b) 9 4
c) 3 2
d) 3
5. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 25 x 2 , ha x>5 0,    különben . D( ξ )=?
a) nem létezik
b) 100
c) 10
d) 1
6. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 e 8x , ha x>0 0,    különben .
M( ξ )=?
a) 1 64
b) 8
c) 64
d) 1 8
7. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ 1 10 , ha 1<x11 0,    különben . D( ξ )=?
a) 6
b) 3 5 3
c) 133 3
d) 5 3
8. Ha M( ξ )=8 , akkor M( 2ξ+3 )=?
a) 13
b) 8
c) -16
d) -13
9. Ha D( ξ )=4 , akkor D( 3ξ+7 )=?
a) -12
b) 12
c) -5
d) 19
10. Az alábbiak közül melyik nem igaz:
a) A szórás mindig nemnegatív.
b) A várható érték lehet nagyobb a szórásnál.
c) A szórás mindig kisebb a várható értéknél.
d) A várható érték tetszőleges valós szám lehet.