KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: III. modul: Matematikai statisztika

19. lecke: Az egy- és kétmintás u-próba

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 3.5., 3.6.2. és 3.6.3. fejezet

Elméleti összefoglaló

Statisztikai hipotézisen (feltevésen) egy vagy több, valószínűség-eloszlásra vonatkozó feltevést értünk.

Statisztikai próbának nevezzük azt az eljárást, amely alapján egy statisztikai hipotézisről döntünk.

Elméleti lépések:

1.Az ismeretlen eloszlásra vagy az eloszlás ismeretlen paraméterére (például az előző tapasztalatok alapján) egy H 0 nullhipotézist állítunk fel. Az eloszlás vagy paraméter számára a nullhipotézistől eltérő más lehetőségek bizonyos halmazát, esetleg az összes más lehetőséget együttesen ellenhipotézisnek, vagy alternatív hipotézisnek nevezzük és H 1 -gyel jelöljük.
2.A feltevésünk ellenőrzésére mintavételen alapuló konzisztens α ^ n = α ^ n ( ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ n ) statisztikai függvényt konstruálunk.
3.Meghatározzuk a α ^ n statisztikai függvény eloszlását.
4.Kijelöljük az eloszlás kritikus tartományát, ahova a statisztikai α ^ n függvény, mint valószínűségi változó, értéke csak kicsiny ε (pl.: 5%, 1%, 0,1%) valószínűséggel esik. A kritikus tartományt elutasítási tartománynak is nevezzük. A kritikus tartomány komplementerét elfogadási tartománynak hívjuk. A döntés szintjét jellemző 100( 1ε )% számot a próba szignifikancia szintjének vagy röviden a próba szintjének nevezzük.

A kritikus tartomány kijelölése:

1.A P( α ε/2 < α ^ n < α 1ε/2 )=1ε feltétellel megadott kétoldali próba esetén a kritikus tartomány egy ( ; α ε/2 ) és egy ( α 1ε/2 ; ) intervallum uniójából áll. Az intervallumok α ε/2 és a α 1ε/2 határait az α ^ n F α eloszlásfüggvényének felhasználásával az F α ( α ε/2 )= ε 2 és az F α ( 1 α ε/2 )=1 ε 2 feltételekből határozzuk meg. Az elfogadási tartomány ekkor az ( α ε/2 ; α 1ε/2 ) intervallum. (Egyenlőséggel megfogalmazott H 0 hipotézis esetén alkalmazzuk.)
2.A P( α ε < α ^ n )=1ε feltétellel megadott egyoldali próba esetén a kritikus tartomány egy ( ; α ε ) intervallum. Az intervallum α ε határát az α ^ n F α eloszlásfüggvényének felhasználásával a F α ( α ε )=ε feltételből határozzuk meg. Az elfogadási tartomány ekkor az ( α ε ; ) intervallum. (Egyenlőtlenséggel (nagyobb) megfogalmazott H 0 hipotézis esetén alkalmazzuk.)
3.A P( α ^ n < α 1ε )=1ε feltétellel megadott egyoldali próba esetén a kritikus tartomány egy ( α 1ε ; ) intervallum. Az intervallum α 1ε határát az α ^ n F α eloszlásfüggvényének felhasználásával a F α ( α 1ε )=1ε feltételből határozzuk meg. Az elfogadási tartomány ekkor a ( ; α 1ε ) intervallum. (Egyenlőtlenséggel (kisebb) megfogalmazott H 0 hipotézis esetén alkalmazzuk.)

Gyakorlati lépések:

1.Mintát veszünk az alapsokaságból.
2.A minta adatokból kiszámítjuk a statisztikai függvény helyettesítési értékét.
3.A kapott számérték alapján döntünk:
 a)Megtartjuk a nullhipotézist, ha a kiszámított helyettesítési érték az elfogadási tartományba esik.
 b)Elvetjük a nullhipotézist, ha a kiszámított helyettesítési érték a kritikus (elutasítási) tartományba esik. Ekkor a feltételezett eloszláshoz képest egy valószínűtlen esemény következett be. Ekkor szignifikáns (jelentős) az adatokban tükröződő eltérés a feltétevésünkhöz képest.

Egy statisztikai próbát paraméteres próbának nevezünk, ha az alapsokaság valamely paraméterére vagy paramétereire vonatkozik.

A továbbiakban egy statisztikai mintát nagy elemszámúnak mondunk, ha a mintaelemek n száma legalább 30, mivel ekkor a standard normális és a Student-eloszlással számított valószínűség értékek már alig különböznek.

Az egymintás u-próba

Alkalmazása: Egy ismert D( ξ )=σ szórású, de ismeretlen M( ξ )=m várható értékű normális eloszlású ξ valószínűségi váltózó várható értékére vonatkozó m 0 hipotézis helyességének ellenőrzése.

A próba statisztika: u ^ = m ^ n m 0 σ n , ahol n a minta elemszáma.

Eloszlása: A nullhipotézis fennállása esetén u ^ standard normális eloszlású valószínűségi változó.

Megjegyzések.

1.Nagy elemszámú minta esetén, a centrális határérték tétel miatt a próba a ξ eloszlásától függetlenül közelítőleg normális eloszlású, ezért ebben az esetben a próba nem normális eloszlású valószínűségi változó esetén is alkalmazható.
2.Nagy elemszámú minta esetén a próba akkor is alkalmazható, ha a σ szórás nem ismert. Ekkor a szórás a mintából történő becslésével helyettesíthető és a próba statisztika u ^ = m ^ n m 0 s ^ n n alakúra módosul.
3.Nagy elemszámú minta esetén, ha ξ egy A esemény karakterisztikus valószínűségi változója, akkor a próbával az A esemény p=P( A ) valószínűségére vonatkozó p 0 hipotézis ellenőrzésére is alkalmazható, mivel ekkor M( ξ )=p .

A kétmintás u-próba

Alkalmazása: Ismert D( ξ )= σ 1 és D( η )= σ 2 szórású, de ismeretlen M( ξ )= m 1 és M( η )= m 2 várható értékű normális eloszlású ξ és η valószínűségi változók várható értékének különbségére vonatkozó m 0 = m 0,1 m 0,2 hipotézis helyességének ellenőrzése.

A próba statisztika: u ^ = m ^ n 1 m ^ n 2 m 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 , ahol n 1 a ξ-re, n 2 pedig az η-ra vonatkozó független minta elemszáma.

Eloszlása: A nullhipotézis fennállása esetén u ^ standard normális eloszlású valószínűségi változó.

Megjegyzések.

1.Nagy elemszámú minta esetén a centrális határérték tétel miatt a próba a ξ és η eloszlásától függetlenül közelítőleg normális eloszlású. Ezért ebben az esetben a próba nem normális eloszlású valószínűségi változók esetében is alkalmazható.
2.Ha σ= σ 1 = σ 2 , azaz a szórások megegyeznek, akkor a próbastatisztika u ^ = m ^ n 1 m ^ n 2 m 0 σ 1 n 1 + 1 n 2 alakúra egyszerűsíthető.
3.Nagy elemszámú minta esetén ha σ= σ 1 = σ 2 , de a közös σ szórás nem ismert, akkor az a mintából történő becslésével helyettesíthető és a próba statisztika:  u ^ = m ^ n 1 m ^ n 2 m 0 ( n 1 1 ) s ^ n 1 2 +( n 2 1 ) s ^ n 2 2 n 1 + n 2 2 1 1 n 1 + 1 n 2 alakúra módosul.
Kidolgozott feladatok

1. feladat Egy bizonyos alkatrész egyik jellemző mérete az előírás szerint 3,2 mm. Tudjuk, hogy ez a méret normális eloszlást követ, továbbá az is ismert, hogy a szórás 0,054 mm. 10 db véletlenszerűen kiválasztott alkatrész megfelelő méretének átlaga 3,28 mm. Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy az alkatrész jellemző méretének várható értéke 3,2 mm?

Megoldás: Ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére vonatkozó hipotézist vizsgálunk, ezért jogos az u-próba alkalmazása.
nullhipotézis: H 0 :m=3,2 mm
ellenhipotézis: H 1 :m3,2 mm
Kétoldali próbát alkalmazunk, mert H 0 -t egyenlőséggel fogalmaztuk meg (nem egyenlő lehet kisebb is és nagyobb is).
A kritikus és az elfogadási tartomány kijelölése:
Tudjuk, hogy a próbastatisztika standard normális eloszlású, ezért a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényéből tudjuk meghatározni a tartományok határait.
Az elfogadási tartomány ( u 1 ; u 2 ) alakú, míg az elutasítási (kétoldali) tartomány ( ; u 1 ) és ( u 2 ; ) .
A feltétel szerint P( u 1 < u ^ < u 2 )=0,98 , P( u ^ < u 1 )=0,01 és P( u 2 < u ^ )=0,01 . Az utóbbi másként P( u ^ < u 2 )=0,99 , vagyis Φ( u 2 )=0,99 . Ebből u 2 =2,32 . A szimmetria miatt u 1 =2,32 .
Tehát az elfogadási tartomány: ( 2,32;2,32 ) .
Az elutasítási (kritikus) tartomány: ( ;2,32 ) és ( 2,32; ) .
Határozzuk meg a próbastatisztika helyettesítési értékét!
u ^ = m ^ n m 0 σ n = 3,283,2 0,054 10 =4,6848
Mivel a kapott érték a kritikus tartományba esik, ezért a hipotézist az adott szinten elvetjük.

2. feladat Egy konzerv töltőtömege normális eloszlású valószínűségi változó, 15 g szórással. A konzervgyár szerint a töltőtömeg várható értéke legalább 250 g. Ennek ellenőrzésére egy villámteszten 12 mérést végeztek. A kapott mintaátlag 248,2 g. Igaz-e a konzervgyár állítása 95%-os szignifikanciaszinten?

Megoldás: Ismert szórású, normális eloszlású valószínűségi változó várhatóértékére vonatkozó hipotézist vizsgálunk, ezért alkalmazhatjuk az u-próbát.
nullhipotézis: H 0 :m250 g
ellenhipotézis: H 1 :m<250 g
Egyoldali próbát alkalmazunk, mert H 0 -t egyenlőtlenséggel fogalmaztuk meg.
A kritikus és az elfogadási tartomány kijelölése:
A kritikus tartomány ( ;u ) , az elfogadási tartomány pedig ( u; ) alakú. u-t most is a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényéből határozzuk meg.
A feltétel szerint P( u ^ <u )=0,05 és P( u ^ >u )=0,95 .
Az előbbi szerint Φ( u )=0,05 , de tudjuk, hogy Φ( u )=1Φ( u ) , így Φ( u )=0,95 , ebből u=1,65 , vagyis u=1,65 .
Tehát a kritikus tartomány ( ;1,65 ) , az elfogadási tartomány pedig ( 1,65; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n m 0 σ n = 248,2250 15 12 =0,4157
Mivel a kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a konzervgyár állítását igaznak fogadjuk el az adott szignifikanciaszinten.

3. feladat Egy termék élettartamának vizsgálatakor 150 mérést végeztek. A kapott eredmények (órában) m ^ n =984,6 és s ^ n =72,1 . Igaz-e 98%-os szignifikancia szinten, hogy a termék élettartamának várható értéke legfeljebb 1000 óra?

Megoldás: Bár nem tudjuk, hogy az élettartam milyen eloszlást követ és a szórás sem ismert, de a nagy elemszámú minta (150 mérés) miatt alkalmazhatjuk az u-próbát.
nullhipotézis: H 0 :m1000 óra
ellenhipotézis: H 1 :m>1000 óra
Most is egyoldali próbát alkalmazunk az egyenlőtlenséggel megfogalmazott H 0 miatt.
A kritikus és az elfogadási tartomány kijelölése:
Az elfogadási tartomány ( ;u ) , a kritikus tartomány pedig ( u; ) alakú. u meghatározását most is Φ( x ) segítségével végezzük.
P( u ^ <u )=0,98 és P( u ^ >u )=0,02 . Az elsőből u meghatározható: Φ( u )=0,98 , vagyis u=2,06 .
Tehát az elfogadási tartomány: ( ;2,06 ) , a kritikus tartomány pedig ( 2,06; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n m 0 σ n = 984,61000 72,1 150 =2,6159
Mivel a kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a nullhipotézist az adott szignifikancia szinten elfogadjuk.

4. feladat Egy termék hossza névlegesen 100 mm. Ennek ellenőrzésére 120 mérést végeztek. A kapott eredmények m ^ n =100,6 mm és s ^ n =2,3 mm . Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a hossz várható értéke 100 mm?

Megoldás: A termék hosszának eloszlása és szórása nem ismert, de a nagy elemszámú minta (120) miatt most is használhatjuk az u-próbát.
nullhipotézis: H 0 :m=100 mm
ellenhipotézis: H 1 :m100 mm
Kétoldali próbát alkalmazunk, mert H 0 -t egyenlőséggel fogalmaztuk meg.
Az elfogadási tartományra P( u 1 < u ^ < u 2 )=0,98 , míg a kritikus tartományra P( u ^ < u 1 )=0,01 és P( u 2 < u ^ )=0,01 . u1, és u2 Φ( x ) segítségével meghatározható. Az utolsó kifejezésből P( u ^ < u 2 )=0,99 , tehát Φ( u 2 )=0,99 , amiből u 2 =2,32 és a szimmetria miatt u 1 =2,32 .
Tehát az elfogadási tartomány: ( 2,32;2,32 ) , az elutasítási tartomány pedig ( ;2,32 ) és ( 2,32; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n m 0 σ n = 100,6100 2,3 120 =2,8576
Mivel a kapott érték az elutasítási (kritikus) tartományba esik, ezért a nullhipotézist elvetjük.

5. feladat Egy horgászzsinór teherbírása névlegesen 20 kg. Ennek ellenőrzésére 400 mérést végeztek. A kapott eredmények: m ^ n =19,8 kg és s ^ n =1,08 kg . Igaz-e 99%-os szignifikanciaszinten, hogy a teherbírás várható értéke 20kg?

Megoldás: Ismeretlen az eloszlás típusa és szórása, de a nagy elemszámú minta miatt most is használhatjuk az u-próbát.
nullhipotézis: H 0 :m=20 kg
ellenhipotézis: H 1 :m20 kg
Kétoldali próbát alkalmazunk. Az elfogadási tartományra P( u 1 < u ^ < u 2 )=0,99 , míg a kritikus tartományra P( u ^ < u 1 )=0,005 és P( u 2 < u ^ )=0,005 .
Az utóbbi kifejezésből P( u ^ < u 2 )=0,995 , tehát Φ( u 2 )=0,995 . Ebből u 2 =2,57 és a szimmetria miatt u 1 =2,57 .
Tehát az elfogadási tartomány: ( 2,57;2,57 ) , az elutasítási tartomány pedig ( ;2,57 ) és ( 2,57; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n m 0 σ n = 19,820 1,08 400 =3,7037
Mivel a kapott érték az elutasítási (kritikus) tartományba esik, ezért a nullhipotézist nem fogadjuk el, nem igaz, hogy a teherbírás várható értéke 20 kg.

6. feladat Az előző példában igaz-e 99%-os szignifikancaiszinten, hogy a teherbírás várható értéke legalább 19,5 kg?

Megoldás: nullhipotézis: H 0 :m19,5 kg
ellenhipotézis: H 1 :m<19,5 kg
Egyoldali próbát alkalmazunk: P( u ^ <u )=0,01 és P( u ^ >u )=0,99 .
P( u ^ <u )=0,01 miatt Φ( u )=0,01 . Mivel Φ( u )=1Φ( u ) , ezért Φ( u )=0,99 , amiből u=2,32 , vagyis u=2,32 .
Tehát a kritikus tartomány ( ;2,32 ) , az elfogadási tartomány pedig ( 2,32; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n m 0 σ n = 19,819,5 1,08 400 =5,5556
Mivel a kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a nullhipotézist elfogadjuk, vagyis a teherbírás várható értéke legalább 19,5 kg.

7. feladat Két üzemben deszkákat készítenek. A deszkák hossza mindkét esetben normális eloszlást követ, az egyik gyárban σ 1 =2 cm , a másikban σ 2 =2,4 cm szórással. Az egyik üzemben 10, a másikban 12 elemű mintán vizsgálták a deszkák hosszát. A kapott eredmények: m ^ n 1 =201,7 cm és m ^ n 2 =200,1 cm . Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a deszkák hosszának várható értéke a két üzemben megegyezik?

Megoldás: Mivel a deszkák hossza mindkét esetben normális eloszlást követ és a szórások is ismertek, ezért alkalmazhatjuk a várható értékek különbségeinek vizsgálatára a kétmintás u-próbát. Mivel a várható értékek egyezését vizsgáljuk, ezért
nullhipotézis: H 0 : m 1 m 2 =0
ellenhipotézis: H 1 : m 1 m 2 0
Az egyenlőség miatt kétoldali próbát használunk.
Mivel u ^ standard normális eloszlású, ezért az elfogadási és a kritikus tartományt most is Φ( x ) segítségével határozhatjuk meg.
P( u 1 < u ^ < u 2 )=0,95 , P( u ^ < u 1 )=0,025 és P( u 2 < u ^ )=0,025 .
Mivel Φ( u 1 )=0,025 , ezért Φ( u 1 )=0,975 . Ebből pedig u 1 =1,96 , tehát u 1 =1,96 következik.
A szimmetria miatt u 2 =1,96 .
Az elfogadási tartomány: ( 1,96;1,96 ) .
A kritikus tartomány: ( ;1,96 ) és ( 1,96; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n 1 m ^ n 2 m 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 201,7200,10 4 10 + 5,76 12 =1,7056
Mivel a kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a H 0 hipotézist elfogadjuk.

8. feladat Az előző két üzemben új gépsort állítottak munkába. Azt nem tudjuk, hogy milyen eloszlást követ az elkészült deszkák hossza, de az ismert, hogy a szórás mindkét esetben kereken 2 cm. Ismét azt vizsgáljuk, hogy a két üzemben készült deszkák hosszának várható értéke egyenlő-e. Az első üzemben 100, a másodikban 120 elemű mintát vizsgáltak. A kapott eredmények: m ^ n 1 =200,3 cm és m ^ n 2 =202,1 cm . Most igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a minták várható értéke egyenlő?

Megoldás: Bár a deszkák hosszának eloszlása nem ismert, de a nagy elemszámú minták és az ismert szórások miatt alkalmazhatjuk a kétmintás u-próbát.
nullhipotézis: H 0 : m 1 m 2 =0
ellenhipotézis: H 1 : m 1 m 2 0
Mivel a szignifikanciaszint azonos az előzővel, ezért az elfogadási és a kritikus tartomány is ugyanaz, mint előbb: az elfogadási tartomány: ( 1,96;1,96 ) , a kritikus tartomány: ( ;1,96 ) és ( 1,96; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
u ^ = m ^ n 1 m ^ n 2 m 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 200,3202,10 4 100 + 4 120 =6,6469
Mivel a kapott érték az elutasítási (kritikus) tartományba esik, ezért most nem fogadjuk el a hipotézist, vagyis a két új gépsoron készült deszkák hosszának várható értéke nem egyezik meg.

9. feladat Ismét lecserélték a gépsort mindkét üzemben, de az új gépekről sem azt nem tudjuk, hogy milyen eloszlás szerint dolgoznak, sem azt, hogy milyen szórással, csupán annyi információ áll rendelkezésünkre, hogy a szórások megegyeznek. Most a mérési adatok: n 1 =110 és n 2 =140 , m ^ n 1 =200,4 cm és m ^ n 2 =201,9 cm , s ^ n 1 =1,8 cm és s ^ n 2 =2,1 cm . Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a deszkák hosszának várható értéke megegyezik?

Megoldás: A nagy elemszámú, ismeretlen eloszlású, ismeretlen, de megegyező szórású minták miatt az u-próba megfelelő alakja használható:
u ^ = m ^ n 1 m ^ n 2 m 0 ( n 1 1 ) s ^ n 1 2 +( n 2 1 ) s ^ n 2 2 n 1 + n 2 2 1 1 n 1 + 1 n 2
A nullhipotézis és az ellenhipotézis ugyanaz, mint az előző feladatokban:
nullhipotézis: H 0 : m 1 m 2 =0
ellenhipotézis: H 1 : m 1 m 2 0
Az elfogadási tartományra: P( u 1 < u ^ < u 2 )=0,98 .
Az elutasítási tartományra: P( u ^ < u 1 )=0,01 és P( u 2 < u ^ )=0,01 .
Mivel Φ( u 1 )=0,01 , ezért Φ( u 1 )=0,99 , amiből u 1 =2,32 következik.
Az elfogadási tartomány: ( 2,32;2,32 ) .
Az elutasítási tartomány: ( ;2,32 ) és ( 2,32; ) .
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
200,4201,90 1093,24+1394,41 248 1 1 110 + 1 140 =5,9646
A kapott érték az elutasítási tartományba esik, ezért a hipotézist nem fogadjuk el.

Ellenőrző kérdések
1. Kétoldali u-próba esetén a 95%-os szignifikanciaszinthez tartozó elfogadási tartomány:
a) ( 2,32;2,32 )
b) ( 1,65;1,65 )
c) ( 1,96;1,96 )
d) ( 0,95;0,95 )
2. Egymintás u-próba esetén az m m 0 esetén a 98%-os szignifikanciaszinthez tartozó elutasítási (kritikus) tartomány:
a) ( ;2,05 )
b) ( ;2,32 )
c) ( ;1,65 )
d) ( ;1,96 )
3. Az alábbiak közül melyik hamis:
a) Az egymintás u-próba nagy elemszámú minta esetén akkor is alkalmazható, ha a szórás ismeretlen.
b) Az egymintás u-próba nagy elemszámú minta esetén akkor is alkalmazható, ha az eloszlás ismeretlen.
c) Az egymintás u-próba kis elemszámú minta esetén nem alkalmazható.
d) Az egymintás u-próba esetén a próbastatisztika standard normális eloszlású.
4. Az alábbiak közül melyik igaz:
a) A kétmintás u-próba ismeretlen elemszámú minták esetén is alkalmazható.
b) A kétmintás u-próba csak normális eloszlású minták esetén alkalmazható.
c) A kétmintás u-próba ismeretlen szórás esetén is alkalmazható.
d) A kétmintás u-próba csak azonos elemszámú minták esetén alkalmazható.
5. Egy termék hosszának vizsgálatakor 200 mérést végeztek. A mérési adatok alapján m ^ n =199,6 cm és s ^ n =1,9 cm . Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a hossz várható értéke 200 cm?
a) Nem igaz, a próbastatisztika értéke -2,977.
b) Nem igaz, a próbastatisztika értéke -5,374.
c) Igaz, a próbastatisztika értéke -2,977.
d) Igaz, a próbastatisztika értéke -5,374.
6. Egy normális eloszlású valószínűségi változó szórása 1,2, egy 12 elemű mintából meghatározott mintaátlag 11,3. Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a valószínűségi változó várható értéke legalább 11,5?
a) A kritikus tartomány ( ;2,32 ) , a hipotézist elfogadjuk.
b) A kritikus tartomány ( ;2,05 ) , a hipotézist elvetjük.
c) A kritikus tartomány ( ;2,05 ) , a hipotézist elfogadjuk.
d) A kritikus tartomány ( ;2,32 ) , a hipotézist elvetjük.
7. Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékét szeretnénk összehasonlítani. Az egyik szórása 2,1, a másik szórása 2,4. Mindkét esetben 10 elemű mintát vizsgáltunk, a mintaátlagok 22,3 és 21,8. Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a két valószínűségi változó várható értéke megegyezik.
a) A próbastatisztika értéke 0,496, a hipotézist elfogadjuk.
b) A próbastatisztika értéke 0,745, a hipotézist elfogadjuk.
c) A próbastatisztika értéke 1,111, a hipotézist elfogadjuk.
d) A próbastatisztika értéke 0,501, a hipotézist elfogadjuk.
8. Két valószínűségi változó várható értékét szeretnénk összehasonlítani. Az egyikből 100, a másikból 160 elemű minta áll rendelkezésünkre. Tudjuk, hogy mindkettő szórása 3,2. Az egyik minta átlaga 110,8, a másiké pedig 108,1. Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a két valószínűségi változó várható értéke megegyezik?
a) A próbastatisztika értéke 0,8437, a hipotézist elfogadjuk.
b) A próbastatisztika értéke 51,9230, a hipotézist elvetjük.
c) A próbastatisztika értéke 6,6189, a hipotézist elvetjük.
d) A próbastatisztika értéke 0,7205, a hipotézist elfogadjuk.