MODUL: III. modul: Matematikai statisztika
20. lecke: Az egy- és kétmintás t-próba
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 3.6.4., és 3.6.5. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
Az egymintás t-próba |
Alkalmazása: Ismeretlen szórású és ismeretlen várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére vonatkozó hipotézis helyességének ellenőrzése. |
A próba statisztika:, ahol n a minta elemszáma. |
Eloszlása: A (n-1) szabadságfokú Student-eloszlású valószínűségi változó. |
Megjegyzés. Általában csak kis minta elemszám esetén használjuk, mivel nagy elemszámú minta esetén az eloszlása közelítőleg standard normális eloszlású és az u próba megfelelő alakjával helyettesíthető. |
A kétmintás t-próba |
Alkalmazása: Ismeretlen és , de megegyező szórású és ismeretlen és várható értékű normális eloszlású és valószínűségi változók várható értékének különbségére vonatkozó hipotézis helyességének ellenőrzése. |
A próba statisztika: , ahol a -re, pedig az -ra vonatkozó független minta elemszáma. |
Eloszlása: A -szabadságfokú Student-eloszlású valószínűségi változó. |
Megjegyzés: Általában csak kis minta elemszám esetén használjuk, mivel nagy elemszámú minta esetén az eloszlása közelítőleg standard normális eloszlású és az u próba megfelelő alakjával helyettesíthető. |
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Egy bizonyos típusú csavar tömege normális eloszlást követ, de sem a szórást, sem a várható értéket nem ismerjük. Egy 10 elemű mintát vizsgálva a csavarok tömegére az alábbiakat kaptuk (g): 12,01; 12,03; 11,95; 12,1; 11,9; 11,96; 12,12; 11,16; 11,87; 12,22. Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a csavarok tömegének várható értéke 12 g? |
Megoldás: Kis elemszámú, normális eloszlásból származó minta áll rendelkezésünkre, várható értékét vizsgáljuk, tehát jogosan alkalmazzuk a t-próbát. nullhipotézis: ellenhipotézis: Az egyenlőséggel megfogalmazott nullhipotézis miatt kétoldali próbát alkalmazunk. A minta elemszáma , ezért a próbastatisztika szabadsági fogú Student (t) eloszlású. Tudjuk, hogy ; és . A Student-eloszlás táblázatát felhasználva és értéke meghatározható. Jelöljük a k-szabadsági fokú Student eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét -szel. Ekkor mivel , ezért . Tehát , ebből adódik, a szimmetria miatt pedig . Tehát az elfogadási tartomány: . Az elutasítási tartomány: és . A megadott minta jellemzői:
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
Mivel a kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a hipotézist elfogadjuk. |
2. feladat Egy iskola egyik évfolyamán a tanulók magassága normális eloszlást követ. 16 tanuló magasságát megmérve azt tapasztaljuk, hogy az átlagmagasságuk 165,2 cm, a korrigált tapasztalati szórás pedig 6,3 cm. Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a tanulók magasságának várható értéke legalább 166 cm? |
Megoldás: Normális eloszlásból származó, kis elemszámú, ismeretlen szórású mintát vizsgálunk, tehát alkalmazhatjuk a t-próbát. nullhipotézis: ellenhipotézis: Az egyenlőtlenséggel megadott nullhipotézis miatt egyoldali próbát alkalmazunk. Mivel a minta elemszáma , ezért a próbastatisztika szabadsági fokú Student (t) eloszlású. A és kifejezésekből -et meghatározhatjuk. A szimmetria miatt , vagyis . Táblázatból visszakeresve azt kapjuk, hogy , így . Az elutasítási tartomány: . Az elfogadási tartomány: . A próbastatisztika helyettesítési értéke:
Mivel a kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a hipotézist elfogadjuk. |
3. feladat Egy fagylaltárus által kiadott gombócok tömegét vizsgáltuk, és a következő eredményeket kaptuk (dkg): 4,1; 4,6; 4,5; 3,9; 4,2; 4,5; 3,8; 4,3. Tételezzük fel, hogy a gombócok tömege normális eloszlást követ. Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a tömeg várható értéke kevesebb, mint 4 dkg? |
Megoldás: Kis elemszámú, normális eloszlásból származó minta alapján akarunk dönteni a várható értékről, tehát alkalmazhatjuk a t-próbát. nullhipotézis: ellenhipotézis: Az egyenlőtlenséggel megfogalmazott nullhipotézis miatt egyoldali próbát alkalmazunk. A és kifejezésekből értéke meghatározható. Mivel a minta elemszáma , ezért eloszlása szabadsági fokú Student (t) eloszlás. Így -ből . Táblázatból visszakeresve adódik. Tehát az elfogadási tartomány: . Az elutasítási tartomány: . A feladatban szereplő minta jellemzői:
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
A kapott érték az elutasítási tartományba esik, ezért a hipotézist nem fogadjuk el az adott szignifikanciaszinten. |
4. feladat Egy termék hossza névlegesen 10 mm. Ellenőrzésképp 12 mérést végeztek. A kapott eredmények 10,2; 9,4; 10,1; 9,8; 10,4; 10,0; 10,2; 9,6; 11,1; 10,8; 10,3; 10,4. Tételezzük fel, hogy a termék hossza normális eloszlást követ. Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a hossz várható értéke 10 mm? |
Megoldás: Most is jogos a t-próba alkalmazása, akárcsak az előző esetekben. nullhipotézis: ellenhipotézis: Az egyenlőséggel megfogalmazott nullhipotézis miatt kétoldali próbát alkalmazunk. A ; és egyenlőségekből és értéke meghatározható. Mivel , ezért . A minta elemszáma , ezért eloszlása szabadsági fokú Student (t) eloszlás. Így . Ebből adódik, a szimmetria miatt pedig . Tehát az elfogadási tartomány: . Az elutasítási tartomány: és . A feladatban szereplő minta jellemzői:
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
A kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a hipotézist elfogadjuk. |
5. feladat Két különböző (A és B) gyár által készített, ugyanolyan célt szolgáló termékek tömegét vizsgáltuk. A kapott eredmények (g):
Tételezzük fel, hogy a termékek hossza mindkét esetben normális eloszlású, a szórás pedig mindkét esetben azonos. Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a két gyár által készített termékek tömegének várható értéke egyenlő? |
Megoldás: Két kis elemszámú, azonos szórású normális eloszlásból származó minta alapján hasonlítjuk össze a két sokaság várható értékét, tehát alkalmazhatjuk a kétmintás t-próbát. nullhipotézis: (azaz ) ellenhipotézis: Az egyenlőséggel megfogalmazott nullhipotézis miatt kétoldali próbát alkalmazunk. A minták elemszáma és , így szabadsági fokú Student (t) eloszlású. , és . Mivel , ezért . Így . Ebből adódik, a szimmetria miatt pedig . Az elfogadási tartomány: . Az elutasítási tartomány: és . Az adott minták jellemzői:
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
A kapott érték az elfogadási tartományba esik, azaz a két gyár által készített termékek hosszának várható értéke az adott szignifikanciaszinten megegyezik. |
6. feladat Józsi bácsi és Mari néni szomszédok, mindketten dinnyét termesztenek. Egy alkalommal megmértek 6-6 véletlenszerűen kiválasztott dinnyét. A kapott értékek (kg): . Tételezzük fel, hogy a dinnyék tömege mindkét esetben normális eloszlást követ, és a szórásuk megegyezik. Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy Józsi bácsi dinnyéi tömegének nagyobb a várható értéke? |
Megoldás: Kis elemszámú, egyező szórású, normális eloszlásból származó mintákat vizsgálunk a várható érték szempontjából, így alkalmazhatjuk a kétmintás t-próbát. Vizsgáljuk a feltett kérdés (igaz-e, hogy ) helyett az ellentettjét (igaz-e, hogy ). Ekkor alkalmazhatjuk a már eddig is használt módszereket. nullhipotézis: (azaz ) ellenhipotézis: |
Az egyenlőtlenséggel megfogalmazott nullhipotézis miatt egyoldali próbát alkalmazunk. és . Mivel a minták elemszáma és , ezért eloszlása szabadsági fokú t-eloszlás. |
-ből adódik, amiből adódik. Az elfogadási tartomány: . Az elutasítási tartomány: . |
Az adatok jellemzői: Józsi bácsi:
Mari néni:
|
A próbastatisztika helyettesítési értéke:
|
A kapott érték az elfogadási tartományba esik, ezért a hipotézist elfogadjuk az adott szignifikanciaszinten, vagyis az adott szignifikanciaszinten nem igaz, hogy Józsi bácsi dinnyéi tömegének nagyobb a várható értéke (hiszen ennek ellenkezőjét fogadtuk el). |
| Ellenőrző kérdések |
1. Az hipotézist vizsgáljuk 95%-os szignifikanciaszinten egymintás t-próbával. Ha 14 elemű mintával dolgozunk, akkor az elfogadási tartomány: |
2. Az hipotézist vizsgáljuk 98%-os szignifikanciaszinten egymintás t-próbával. Ha 10 elemű mintával dolgozunk, akkor a kritikus tartomány: |
3. Az hipotézist vizsgáljuk 99%-os szignifikanciaszinten egymintás t-próbával. Ha 15 elemű mintával dolgozunk, akkor az elfogadási tartomány tartomány: |
4. Egy bizonyos üdítőital palackban lévő mennyiségét vizsgálva az alábbi eredményeket kaptuk (cm3): 246, 243, 251, 251, 247, 248, 252, 250. tudjuk, hogy a palackba került ital mennyisége normális eloszlást követ. Igaz-e 95%-os szignifikanciaszinten, hogy a térfogat várható értéke 250 cm3? |
5. Egy normális eloszlású valószínűségi változót 12 elemű minta alapján vizsgálunk. A minta jellemzői: és . Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a valószínűségi változó várható értéke 80? |
6. Két indián néptörzs, a toltékok és a truztékok fiainak magasságát vizsgáljuk. Feltételezhetjük, hogy a magasság mindkét esetben normális eloszlást követ, és ezen normális eloszlású valószínűségi változók szórása megegyezik. A mérési adatok (cm): Toltékok: 165, 163, 170, 158, 162, 159, 173, 168, 167. Truztékok: 162, 159, 172, 163, 180, 173, 161.Igaz-e 98%-os szignifikanciaszinten, hogy a magasságok várható értéke megegyezik? |
7. Két azonos szórású normális eloszlásból származó minta alapján vizsgáljuk a várható értékek egyenlőségét 95%-os szignifikanciaszinten. A minták elemszáma 10 és 12. Ekkor az elfogadási tartomány: |