KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

14. lecke: Valószínűségi változó transzformáltjának eloszlása

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.12. fejezet

Elméleti összefoglaló

Legyenek a diszkrét ξ valószínűségi változó lehetséges értékei x 1 , x 2 , és ezek bekövetkezési valószínűségei p 1 , p 2 , . Az η=h( ξ ) valószínűségi változó lehetséges értékei ekkor az y 1 =h( x 1 ), y 2 =h( x 2 ), számok (amelyek között megegyezők is lehetnek) és ezek bekövetkezési valószínűségei a

q k =P( η= y k )= h( x i )= y k P( ξ= x i ) = h( x i )= y k p i ,( k=1,2, )

értékek, ahol az összegzés mindazon x i -re vonatkozik, amelyre h( x i )= y k fennáll.

Ha az η=h( ξ ) valószínűségi változó a ξ-nek szigorúan monoton függvénye, akkor az η valószínűségi változó y k =h( x k )( k=1,2, ) értékeihez tartozó valószínűség eloszlás megegyezik a ξ valószínűségi változó eloszlásával.

Valószínűségi változó transzformációja: Legyen a h egy szigorúan monoton, differenciálható függvény és a ξ egy folytonos eloszlású valószínűségi változó, amelynek a sűrűségfüggvénye f. Ekkor az η=h( ξ ) valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

g( y )=f( h 1 ( y ) )| ( h 1 ) ( y ) |,y D h 1 ,

ahol h 1 a h inverz függvényét jelöli.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Legyen a ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó eloszlása a következő:
ξ:{ 1 0 1 2 4 0,1 0,3 0,2 0,05 0,35
Határozzuk meg ξ 2 eloszlását és várható értékét!

Megoldás: Mivel ξ értékei -1, 0, 1, 2, 4, ezért ξ 2 lehetséges értékei ezen értékek négyzetei: 1, 0, 1, 4, 16. Minden értékhez annak a ξ értéknek a valószínűsége tartozik, amelyből az adott érték származik. Mivel az 1 -1-nek és 1-nek is a négyzete, ezért az 1-hez ξ 2 eloszlásában a -1-hez és az 1-hez tartozó valószínűségek összege tartozik. Így ξ 2 eloszlása:
ξ 2 :{ 0 1 4 16 0,3 0,3 0,05 0,35
ξ 2 várható érétke:
M( ξ 2 )=00,3+10,3+40,05+160,35=6,1

Vegyük észre (és jegyezzük is meg), hogy ξ 2 várható értéke nem egyenlő ξ várható értékének négyzetével, hiszen ekkor a szórásnégyzet ( D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ ) ) nulla lenne.

2. feladat Legyen a ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó M( ξ )=100 várható értékkel. Határozzuk meg e ξ sűrűségfüggvényét!

Megoldás: A feladat szövege rengeteg információt rejt magában: exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, tehát sűrűségfüggvénye: f( x )={ λ e λx , ha x>0 0 különben , eloszlásfüggvénye: F( x )={ 1 e λx , ha x>0 0 különben és M( ξ )= 1 λ .

Mivel most M( ξ )=100 , ezért λ= 1 100 , így a sűrűségfüggvény: f( x )={ 1 100 e x 100 , ha x>0 0 különben .

e x szigorúan monoton függvény, ezért alkalmazhatjuk a transzformált sűrűségfüggvényére vonatkozó formulát:
g( x )=f( h 1 ( x ) )| ( h 1 ) ( x ) |

Esetünkben e x , ezért h( x )= e x és ( h 1 ) ( x )= 1 x . Így a transzformált sűrűségfüggvénye: g( x )=λ e λlnx 1 x =λ ( e lnx ) λ 1 x =λ x λ 1 x = λ x λ+1
Vagyis g( x )={ λ x λ+1 , ha x>0 0 különben .

Kiindulhattunk volna abból is, hogy ha ismerjük e ξ eloszlásfüggvényét, akkor meg tudjuk határozni a sűrűségfüggvényét is. Az eloszlásfüggvényt pedig vissza lehet vezetni ξ eloszlásfüggvényére (lásd a jegyzetben a tétel bizonyítását). Jelölje G( x ) e ξ eloszlásfüggvényét. Az eloszlásfüggvény definíciója szerint: G( x )=P( e ξ <x ) . Az egyenlőtlenségben vegyük mindkét oldal logaritmusát (ezt megtehetjük, hiszen mindkét oldal pozitív és a logaritmus szigorúan monoton függvény).
P( e ξ <x )=P( ξ<lnx )

Ekkor viszont már a ξ valószínűségi változóról állítottunk valamit, tehát ez a valószínűség nem más, mint a ξ eloszlásfüggvénye az lnx helyen:
P( ξ<lnx )=F( lnx )
Vagyis azt kaptuk, hogy ha x>0
G( x )=P( e ξ <x )=P( ξ<lnx )=F( lnx )
F( lnx )=1 e λlnx =1 ( e lnx ) λ =1 x λ =1 1 x λ
Így g( x )= G ( x )= ( 1 1 x λ ) = λ x λ+1
x0 esetén g( x ) nyilván 0, hiszen az exponenciális függvény nem lehet negatív.

3. feladat Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlása a következő: F( x )={ 0,         ha x1 x 2 1 15 ,  ha 1<x4 1,          ha x>4 . Határozzuk meg ξ eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és várható értékét!

Megoldás: Jelölje ξ eloszlásfüggvényét G( x ) . Ekkor (hasonlóan az előző feladathoz) G( x )=P( ξ <x )=P( ξ< x 2 )=F( x 2 ) . Vagyis  ξ eloszlásfüggvényét megkaphatjuk úgy, hogy ξeloszlásfüggvényébe x helyére x 2 -et írunk. Már csak az eloszlásfüggvénybeli határokat kell tisztázni. Mivel G( x )=F( x 2 ) , ezért G( x ) függvény x1 esetén 0, x>2 esetén pedig 1. Vagyis G( x )={ 0,         ha x1 x 4 1 15 ,  ha 1<x2 1,          ha x>2 .

Tudjuk, hogy a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja ( g( x )= G ( x ) ), így g( x )={ 4 x 3 15 ,  ha 1<x2 0,       különben .

A várható érték pedig:
M( ξ )= 1 2 x 4 x 3 15 dx= 1 2 4 15 x 4 dx= [ 4 15 x 5 5 ] 1 2 = 4 75 ( 321 )= 124 75 1,653

4. feladat Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 192 x 4 ,  ha x>4 0,       különben . Határozzuk meg ξ 2 várható értékét!

Megoldás: Az egyik lehetséges megoldás: meghatározzuk ξ 2 sűrűségfüggvényét, majd ezzel ξ 2 várható értékét.

ξ lehetséges értékeinek halmaza: [ 4; ) , így ξ 2 lehetséges értékei: [ 16; ) . A [ 4; ) intervallumon a négyzetre emelés szigorúan monoton függvény, tehát alkalmazhatjuk a transzformált valószínűségi változó sűrűségfüggvényére vonatkozó formulát.

f( x )= 192 x 4 , a transzformációs függvény: h( x )= x 2 , ebből h 1 ( x )= x .
( h 1 ( x ) ) = 1 2 x
Vagyis ξ 2 sűrűségfüggvénye:
g( x )=f( h 1 ( x ) )| ( h 1 ) ( x ) |= 192 ( x ) 4 1 2 x = 192 x 2 1 2 x = 86 x 2 x , ha x>16 .

Részletesebben: g( x )={ 86 x 2 x ,  ha x>16 0,            különben .

Ezzel a várható érték:
M( ξ 2 )= 16 xg( x )dx= 16 x 86 x 2 x dx = 16 86 x x dx = 16 86 x 3 2 dx= [ 86 x 1 2 1 2 ] 16 = [ 192 x ] 16 =0( 48 )=48 .

Egy másik lehetséges út:
Használjuk fel, hogy ha az f( x ) sűrűségfüggvénnyel rendelkező ξ valószínűségi változót a h( x ) függvénnyel transzformáljuk, akkor a transzformált h( ξ ) valószínűségi változó várható értékére (71. oldal)
M( h( ξ ) )= h( x )f( x )dx
Vagyis M( ξ 2 )= 4 x 2 192 x 4 dx= 4 192 x 2 dx = [ 192 x 1 1 ] 4 = [ 192 x ] 4 =0( 48 )=48.

5. feladat Egy kocka élhossza egyenletes eloszlású valószínűségi változó az [ 1;3 ] intervallumon. Határozzuk meg a térfogatának várható érétkét!

Megoldás: Jelölje ξ a kocka élhosszát. Ekkor a térfogata ξ 3 . Mivel ξ egyenletes eloszlású az  [ 1;3 ] intervallumon, ezért sűrűségfüggvénye: f( x )={ 1 2 ,  ha  1<x3 0,    különben

A várható érték pedig M( ξ )= 1+3 2 =2 .

A térfogat várható értékének meghatározásához az előző feladat második megoldásában alkalmazott módszert választjuk:
M( ξ 3 )= x 3 f( x )dx= 1 3 x 3 1 2 dx= [ 1 2 x 4 4 ] 1 3 = 1 8 ( 811 )=10
Figyeljük meg, hogy ( M( ξ ) ) 3 =8M( ξ 3 )=10

6. feladat Milyen eloszlás szerint változtassuk egy kocka élhosszát ahhoz, hogy térfogata egyenletes eloszlású legyen az [ 1;27 ] intervallumon?

Megoldás: A feladat tulajdonképpen az, hogy határozzuk meg a feltételnek megfelelő élhossz eloszlásfüggvényét. A térfogat egyenletes eloszlású az  [ 1;27 ] intervallumon, így eloszlásfüggvénye: F( x )={ 0,        ha  x1 x1 26 ,  ha 1<x27 1,         ha x>27 .

Ha a kocka térfogatát ξ-vel jelöljük, akkor kérdés ξ 3 eloszlásfüggvénye. Jelöljük ezt G( x ) -szel. Ebben a már ismert eljárás szerint:
G( x )=P( ξ 3 <x )=P( ξ< x 3 )=F( x 3 ) .
G( x )=F( x 3 ) , így G( x ) x1 esetén 0, x>3 esetén pedig 1.
Így G( x )={ 0,        ha  x1 x 3 1 26 ,  ha 1<x3 1,         ha x>3 .

7. feladat Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó, ezért sűrűségfüggvénye: ϕ( x )= 1 2π e x 2 2 , eloszlásfüggvénye pedig: Φ( x )= 1 2π x e t 2 2 dt . Mi lesz | ξ | eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye?

Megoldás: Jelölje G( x ) | ξ | eloszlásfüggvényét. Ekkor G( x )=P( | ξ |<x )=P( x<ξ<x ) (ez a valószínűség nyilván 0, ha x<0 ).

Itt már a ξ valószínűségi változóról van szó, tehát alkalmazhatjuk ξeloszlásfüggvényét: P( x<ξ<x )=Φ( x )Φ( x ) , ami az ismert összefüggéssel:
Φ( x )Φ( x )=Φ( x )( 1Φ( x ) )=2Φ( x )1

Vagyis G( x )={ 2Φ( x )1,  ha  x>0 0,                különben .

Ebből | ξ | sűrűségfüggvénye (mivel Φ ( x )=ϕ( x ) ): g( x )= G ( x )={ 2ϕ( x ),  ha  x>0 0,           különben ={ 2 π e x 2 2 , ha x>0 0,             különben .

8. feladat Legyen ξ exponenciális eloszlású valószínűségi változó, M( ξ )=200 várható értékkel. Határozzuk meg | ξ | eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és várható érékét!

Megoldás: Beugratós kérdés: Mivel ξ exponenciális eloszlású, ezért csak pozitív értékei lehetnek, így | ξ |=ξ .

A rend kedvéért:
az eloszlásfüggvény: F( x )={ 1 e x 200 ,  ha  x>0 0,           különben ,
a sűrűségfüggvény: f( x )={ 1 200 e x 200 ,  ha  x>0 0,               különben ,
a várható érték pedig M( ξ )=200 .

Ellenőrző kérdések
1. A ξ valószínűségi változó eloszlása: ξ:{ 2 0 1 2 1 4 1 2 1 6 1 12 . Ekkor η= ξ 2 +2 eloszlása:
a) η:{ 0 1 4 1 2 1 6 1 3
b) η:{ 2 3 6 1 2 1 6 1 3
c) η:{ 2 3 6 1 2 1 6 1 4
d) η:{ 0 1 2 1 2 1 6 1 3
2. Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő:
F ξ ( x )={ 0,         ha x4 x4 5 ,  ha 4<x9 1,          ha x>9 . Határozzuk meg ξ 2 eloszlásfüggvényét!
a) F ξ 2 ( x )={ 0,         ha x16 x 4 5 ,  ha 16<x81 1,          ha x>81
b) F ξ 2 ( x )={ 0,         ha x4 x 2 4 5 ,  ha 4<x9 1,          ha x>9
c) F ξ 2 ( x )={ 0,         ha x2 x 2 4 5 ,  ha 2<x3 1,          ha x>3
d) F ξ 2 ( x )={ 0,         ha x16 x 2 4 5 ,  ha 16<x81 1,          ha x>81
3. Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F ξ ( x )={ 1 81 x 2 ,  ha 9<x 0           különben . Határozzuk meg ξ eloszlásfüggvényét!
a) F ξ ( x )={ 1 81 x ,  ha 81<x 0           különben
b) F ξ ( x )={ 1 81 x 4 ,  ha 9<x 0           különben
c) F ξ ( x )={ 1 81 x 4 ,  ha 3<x 0           különben
d) F ξ ( x )={ 1 81 x ,  ha 81<x 0           különben
4. Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 162 x 3 ,  ha x>9 0,       különben .
Határozzuk meg ξ várható értékét!
a) 18
b) 18
c) 6
d) 4
5. Egy gömb sugara egyenletes eloszlású valószínűségi változó az [ 1;3 ] intervallumon. Határozzuk meg a gömb térfogatának várható értékét
( V gömb = 4π R 3 3 )!
a) 80 3 π
b) 40 3 π
c) 32 3 π
d) 64 3 π
6. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F ξ ( x )={ 1 512 x 3 ,  ha 8<x 0           különben .
Határozzuk meg ξ 3 sűrűségfüggvényét!
a) f ξ 3 ( x )={ 512 x ,  ha 512<x 0           különben
b) f ξ 3 ( x )={ 512 x 2 ,  ha 512<x 0           különben
c) f ξ 3 ( x )={ 512 x 3 ,  ha 8<x 0           különben
d) f ξ 3 ( x )={ 512 x 2 ,  ha 64<x 0           különben
7. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye: F ξ ( x )={ 0,        ha x2 x+2 4 ,  ha -2<x2 1,         ha x>2 .
Határozzuk meg | ξ | eloszlásfüggvényét!
a) F | ξ | ( x )={ 0,        ha x0 x+2 4 ,  ha 0<x2 1,         ha x>2
b) F | ξ | ( x )={ 0,        ha x0 | x |+2 4 ,  ha 0<x2 1,         ha x>2
c) F | ξ | ( x )={ 0,        ha x0 x+2 2 ,  ha 0<x2 1,         ha x>2
d) F | ξ | ( x )={ 0,        ha x0 x 2 ,  ha 0<x2 1,         ha x>2
8. A fenti | ξ | sűrűségfüggvénye:
a) f | ξ | ( x )={ 1 2 ,  ha 0<x2 0,   különben
b) f | ξ | ( x )={ 1 4 ,  ha 0<x2 0,   különben
c) f | ξ | ( x )={ x 2 ,  ha 0<x2 0,   különben
d) f | ξ | ( x )={ x 4 ,  ha 0<x2 0,   különben