KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

16. lecke: Két valószínűségi változó együttes eloszlása és korrelációs együtthatója

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.14., 2.16. és 2.20. fejezet

Elméleti összefoglaló

A ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n együtt megfigyelt valószínűségi változók összességét n-dimenziósvalószínűségivektorváltozónak nevezzük, és a ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) szimbólummal jelöljük.

Egy ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) valószínűségi vektorváltozót diszkrétnek (folytonosnak) nevezünk, ha valamennyi komponense diszkrét (folytonos).

Egy ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) valószínűségi vektorváltozó eloszlásfüggvényének nevezzük azt a függvényt, amely minden ( x 1 , x 2 ,, x n ) valós szám- n-eshez a { ξ 1 < x 1 },{ ξ 2 < x 2 },,{ ξ n < x n } események együttes bekövetkezésének valószínűségét rendeli, azaz F( x 1 , x 2 ,, x n )=P( ξ 1 < x 1 , ξ 2 < x 2 ,, ξ n < x n ) , ahol ( x 1 , x 2 ,, x n )I R n .

Egy ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) valószínűségi vektorváltozó ξ i ( i=1,2,,n ) komponensének az eloszlását a ξ i -hez tartozó peremeloszlásnak nevezzük és az eloszlásfüggvényét F i -vel jelöljük.

Egy folytonos ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) valószínűségi vektorváltozót folytonos eloszlásúnak mondunk, ha az eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz van olyan f függvény, amelyre x 1 x 2 x n f( t 1 , t 2 ,, t n ) d t n d t 2d t 1=F( x 1 , x 2 ,, x n ), ahol ( x 1 , x 2 ,, x n )I R n .

Ezt az f függvényt a valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvényének nevezzük.

Egy folytonos eloszlású ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) valószínűségi vektorváltozó ξ i komponensének sűrűségfüggvényét a ξ i -hez tartozó peremsűrűségfüggvénynek nevezzük és f i -vel jelöljük ( i=1,2,,n ) .

Az eloszlás- és sűrűségfüggvény tulajdonságaira vonatkozó tételeket a kétdimenziós esetre fogalmazzuk meg, de azok természetes módon általánosíthatók az n-dimenziós esetre.

Tetszőleges kétdimenziós ( ξ,η ) valószínűségi vektorváltozó F eloszlásfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

1. 0F( x,y )1
2. F( x 1 ,b )F( x 2 ,b ), valahányszor x 1 < x 2 , és F( a, y 1 )F( a, y 2 ), valahányszor y 1 < y 2 . (Mindegyik változójában monoton növekedő.)
3. lim x F( x,b )= lim y F( a,y )= lim x lim y F( x,y )=0. (Értéke 0-hoz tart, ha bármelyik változója -hez tart.)
4. lim x+ lim y+ F( x,y )=1. (Értéke 1-hez tart, ha mindegyik változója + -hez tart.)
5. lim y+ F( a,y )= F 1 ( a )   és  lim x+ F( x,b )= F 2 ( b ) . (Ha az egyik változóját rögzítjük és a többi + -hez tart, akkor az értéke a rögzített változó által meghatározott perem-eloszlásfüggvény értékéhez tart.)
6. P( a 1 ξ a 2 , b 1 η b 2 )=F( a 2 , b 2 )+F( a 1 , b 1 )F( a 1 , b 2 )F( a 2 , b 1 ).

Tetszőleges folytonos eloszlású kétdimenziós ( ξ,η ) valószínűségi vektorváltozó f sűrűségfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

1. f( x,y )0,( x,y )I R 2 . (Csak nem negatív értékeket vesz fel.)
2. x y F= y x F=f, ahol x y F és y x F az F eloszlásfüggvény másodrendű vegyes parciális deriváltjait jelölik. (Az eloszlásfüggvényt minden változója szerint egyszer parciálisan differenciálva a sűrűségfüggvényt kapjuk.)
3. + ( + f( x,y )dy ) dx=1. (Integráljának értéke 1, ha mindegyik változójában -től + -ig integrálunk.)
4. + f( a,t )dt= f 1 ( a )   illetve + f( s,b )ds= f 2 ( b ) . (Ha az egyik változóját rögzítjük és a többiben -től + -ig integrálunk, akkor az értéke a rögzített változó által meghatározott perem-sűrűségfüggvény értékével egyenlő.)
5. P( a 1 ξ a 2 , b 1 η b 2 )= a 1 a 2 ( b 1 b 2 f( s,t )dt ) ds.

Tetszőleges diszkrét kétdimenziós ( ξ,η ) valószínűségi vektorváltozó valószínűség eloszlásából a peremeloszlásait a p i =P( ξ= x i )= k p i,k , és a q k =P( η= y k )= i p i,k formulákkal állíthatjuk elő, ahol p i,k =P( ξ= x i ,η= y k ) .

A ( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) valószínűségi vektorváltozók h:I R n IR függvényének várható értéke a diszkrét esetben a M( h( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) )= i 1 i 2 i n h( x i 1 , x i 2 ,, x i n ) p i 1 , i 2 ,, i n , a folytonos esetben pedig a M( h( ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ) )= + + + h( x 1 , x 2 ,, x n )f( x 1 , x 2 ,, x n )d x n d x 2 d x 1 formulával határozható meg, amennyiben a várható érték létezik.

Ha a ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n valószínűségi változók várható értéke létezik, akkor létezik az összegük várható értéke is és M( ξ 1 + ξ 2 ++ ξ n )=M( ξ 1 )+M( ξ 2 )++M( ξ n ) .

Ha a ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n független valószínűségi változók várható értéke létezik, akkor létezik a szorzatuk várható értéke is és M( ξ 1 ξ 2 ξ n )=M( ξ 1 )M( ξ 2 )M( ξ n ).

Ha a ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n független valószínűségi változók szórása létezik, akkor létezik az összegük szórása is és D( ξ 1 + ξ 2 ++ ξ n )= D 2 ( ξ 1 )+ D 2 ( ξ 2 )++ D 2 ( ξ n ) .

Ha a ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n független valószínűségi változók szórása megegyezik, akkor D( ξ 1 + ξ 2 ++ ξ n )= n σ, ahol σ a valószínűségi változók közös szórását jelöli.

A ξ és η valószínűségi változók korrelációsegyütthatóján az R( ξ,η )= cov( ξ,η ) D( ξ )D( η ) = M( ξη )M( ξ )M( η ) D( ξ )D( η ) hányadost értjük, ha az itt szereplő várható értékek és szórások léteznek.

Ha a  ξ és η valószínűségi változók korrelációs együtthatója létezik, akkor

1.A korrelációs együttható értéke mindig -1 és 1 közé esik, azaz 1R( ξ,η )1.
2.Ha a ξ és η függetlenek, akkor a korrelációs együttható értéke 0, azaz R( ξ,η )=0.
3.A korrelációs együttható abszolút értéke akkor és csak akkor 1, ha a két valószínűségi változó között lineáris kapcsolat áll fenn, azaz, η=aξ+b , ahol a0.

Ez esetben R( ξ,η )=1 , ha a>0 , és R( ξ,η )=1 , ha a<0 .

Kidolgozott feladatok

1. feladat A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen F( x )={ 1 16 x 4 , ha x>2 0 különben ,
az η valószínűségi változó eloszlásfüggvénye pedig legyen G( x )={ 1 27 x 3 , ha x>3 0 különben .

Határozzuk meg ξ+η várható értékét!

Megoldás: Tudjuk, hogy M( ξ+η )=M( ξ )+M( η ) , így csak a két valószínűségi változó várható értékét kell meghatározni. Ehhez kellenek a sűrűségfüggvények:
f( x )=F'( x )={ 64 x 5 , ha x>2 0 különben és g( x )=G'( x )={ 81 x 4 , ha x>3 0 különben .

A várható értékek:
M( ξ )= xf( x )dx= 2 x 64 x 5 dx= 2 64 x 4 dx= [ 64 1 3 x 3 ] 2 =0( 8 3 )= 8 3
M( η )= xg( x )dx= 3 x 81 x 4 dx= 3 81 x 3 dx= [ 81 1 2 x 2 ] 3 =0( 9 2 )= 9 2

Tehát az összeg várható értéke: M( ξ+η )=M( ξ )+M( η )= 8 3 + 9 2 = 43 6 7,167

2. feladat Dobókockával dobunk, majd a dobott számot két szempont alapján osztályozzuk: ξ értéke legyen 1, ha a dobott szám páros és -1, ha páratlan; η értéke legyen 2, ha a dobott szám 4-nél nagyobb, és 0, ha nem.
Írjuk fel ξ és η együttes eloszlását! Határozzuk meg a peremeloszlásokat!

Megoldás:
ξlehetséges értékei: 1; -1
η lehetséges értékei: 0;2
A ( ξ;η ) számpár lehetséges érétkei: ( 1;0 ) , ( 1;2 ) , ( 1;0 ) , ( 1;2 )
Az egyes számpárokhoz tartozó esetek:
( 1;0 ) : a dobott szám 2 vagy 4, ennek valószínűsége 2 6
( 1;2 ) : a dobott szám 6, ennek valószínűsége 1 6
( 1;0 ) : a dobott szám 1 vagy 3, ennek valószínűsége 2 6
( 1;2 ) : a dobott szám 5, ennek valószínűsége 1 6
ξés ηegyüttes eloszlása táblázatba foglalva:

η\ ξ1-1
0 2 6 2 6
2 1 6 1 6

A ξ-hez tartozó peremeloszlást az egy oszlopban levő valószínűségek összegeként kapjuk:
ξ:{ 1 1 3 6 3 6

Az η-hoz tartozó peremeloszlást az egy sorban levő valószínűségek összegeként kapjuk:
η:{ 0 2 4 6 2 6

Táblázatos formában:

η\ ξ1-1 η
0 2 6 2 6 4 6
2 1 6 1 6 2 6
ξ 3 6 3 6 1

3. feladat Legyen ξ és η együttes eloszlása a következő:

η\ ξ-101
0 1 12 1 8 1 24
1 1 4 3 8 1 8
a)Határozzuk meg a peremeloszlásokat!
b)Független-e ξ és η?
c)Határozzuk meg a korrelációs együtthatót!
d) M( ξ+η )=?
e) M( ξη )=?
f) D( ξ+η )=?

Megoldás:

a)A peremeloszlásokat most is az egy sorban, illetve egy oszlopban álló valószínűség értékek összegeként kapjuk meg:
ξ:{ 1 0 1 1 3 1 2 1 6 és η:{ 0 1 1 4 3 4
b)A két valószínűségi változó akkor független, ha a peremvalószínűségek szorzataként előállnak az együttes bekövetkezés valószínűségei:
1 3 1 4 = 1 12     1 2 1 4 = 1 8     1 6 1 4 = 1 24
1 3 3 4 = 1 4     1 2 3 4 = 3 8     1 6 3 4 = 1 8
Mivel minden esetben teljesül az egyenlőség, ezért a két valószínűségi változó független.
c)Az előző pontban azt kaptuk, hogy ξ és η függetlenek, ezért R( ξ,η )=0 .
Figyelem! Ez fordítva nem igaz: ha R( ξ,η )=0 , akkor még nem biztos, hogy ξ és η függetlenek!
d)Valószínűségi változók összegének várható értéke a várható értékek összege, azaz: M( ξ+η )=M( ξ )+M( η ) .
M( ξ )=1 1 3 +0 1 2 +1 1 6 = 1 6
M( η )=0 1 4 +1 3 4 = 3 4
Tehát M( ξ+η )= 1 6 + 3 4 = 7 12
e)Tudjuk, hogy független valószínűségi változók esetén a szorzat várható érétke a várható értékek szorzata. Mivel ξ és η függetlenek, ezért M( ξη )= 1 6 3 4 = 1 8
f)Tudjuk, hogy független valószínűségi változók esetén D( ξ+η )= D 2 ( ξ )+ D 2 ( η ) . Tehát szükségünk van mindkét valószínűségi változó szórásnégyzetére. A szórásnégyzet kiszámításához kell a várható érték négyzete és a négyzet várható értéke:
M( ξ )= 1 6     M 2 ( ξ )= 1 36     M( η )= 3 4     M 2 ( η )= 9 16
ξ 2 eloszlása:
ξ 2 :{ 0 1 1 2 1 2 Ebből M( ξ 2 )= 1 2
η 2 eloszlása:
η 2 :{ 0 1 1 4 3 4 Ebből M( η 2 )= 3 4
A szórásnégyzetek:
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )= 1 2 1 36 = 17 36
D 2 ( η )=M( η 2 ) M 2 ( η )= 3 4 9 16 = 3 16
Ezzel az összeg szórása:
D( ξ+η )= D 2 ( ξ )+ D 2 ( η ) = 17 36 + 3 16 = 95 144 = 95 12 0,8122

4. feladat A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása legyen a következő:

η\ ξ012
-10,10,150,1
00,050,10,15
10,150,10,1

Határozzuk meg ξ és η korrelációs együtthatóját!
Igaz-e, hogy ξ és η függetlenek?

Megoldás:
A peremeloszlások:
ξ:{ 0 1 2 0,3 0,35 0,35     η:{ 1 0 1 0,35 0,3 0,35

Mivel a peremvalószínűségek szorzata nem adja ki az együttes bekövetkezés valószínűségét ( pl. 0,30,350,1 ), ezért a két valószínűségi változó nem független. Ennélfogva a korrelációs együtthatót sem ússzuk meg olyan egyszerűen, mint az előző feladatban.

A korrelációs együttható:
R( ξ,η )= cov( ξ,η ) D( ξ )D( η ) = M( ξη )M( ξ )M( η ) D( ξ )D( η )

Ehhez egy kicsit számolgatni kell:
M( ξ )=1,05     M( η )=0

ξη eloszlása:
ξη:{ 2 1 0 1 2 0,1 0,15 0,55 0,1 0,1     M( ξη )=0,05

Így már megvan a számláló: cov( ξ,η )=M( ξη )M( ξ )M( η )=0,051,050=0,05
A szórások kiszámításához szükségünk van ξ 2 és η 2 várható értékére:
ξ 2 :{ 0 1 4 0,3 0,35 0,35 Ebből M( ξ 2 )=1,75
η 2 :{ 0 1 0,3 0,7 Ebből M( η 2 )=0,7
D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )=1,751,051,05=0,6475 Ebből D( ξ )0,8046
D 2 ( η )=M( η 2 ) M 2 ( η )=0,700=0,7 Ebből D( η )0,8366

Vagyis a korrelációs együttható:
R( ξ,η )= cov( ξ,η ) D( ξ )D( η ) = 0,05 0,80460,8366 =0,074

Ez azt jelenti, hogy a két valószínűségi változó közötti igen gyenge lineáris kapcsolat áll fenn.

5. feladat Legyen ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása a következő:

η\ ξ012
30,050,10,15
50,10,10,05
70,150,050,25

Határozzuk meg ξ és η korrelációs együtthatóját!

Megoldás:
A peremeloszlások:
ξ:{ 0 1 2 0,3 0,25 0,45     η:{ 3 5 7 0,3 0,25 0,45

Mivel a peremeloszlásokban ugyanazok a valószínűségi értékek szerepelnek (0,3; 0,25; 0,45), ezért érdemes megvizsgálni, hogy van-e valamilyen kapcsolat a két valószínűségi változó között, nevezetesen van-e olyan lineáris transzformáció, amellyel az egyik értékeiből a másik értékei meghatározhatók. A ( 0;3 ) , ( 1;5 ) , ( 2;7 ) számpároknak megfelelő pontok az f( x )=2x+3 egyenletű egyenesen helyezkednek el. (Ellenőrizzük le!) Tehát a két valószínűségi változó között lineáris kapcsolat van:
η=2ξ+3 , ezért R( ξ,η )=1 .

6. feladat A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye legyen:
f( x,y )={ a( x 2 +y ), ha ( x,y )H 0 különben ,
ahol H az A( 1;2 ) , B( 4;2 ) , C( 4;6 ) és D( 1;6 ) pontok által meghatározott téglalapot jelenti.

a)Határozzuk meg az "a" paraméter értékét!
b)Számítsuk ki a P( 2ξ<3; 4η<5 ) valószínűséget!
c)Határozzuk meg a peremsűrűségfüggvényeket!

Megoldás:

a)Mivel sűrűségfüggvényről van szó, ezért f( x,y )0 kell, hogy teljesüljön, így a>0 .
Másrészt teljesülnie kell az f( x,y )dxdy=1 egyenlőségnek is. Ebből lehet majd meghatározni az "a" paraméter értékét.
A H tartomány:



Vagyis a változók határai: 1x4 és 2y6
Ezzel: f( x,y )dxdy= 2 6 1 4 a( x 2 +y )dxdy= a 2 6 1 4 ( x 2 +y )dxdy= a 2 6 [ x 3 3 +xy ] 1 4 dy= a 2 6 ( 64 3 +4y 1 3 y ) dy=a 2 6 ( 21+3y ) dy=a [ 21y+3 y 2 2 ] 2 6 = a( 126+54426 )=a132=1
Ebből a= 1 132 .
b)Az együttes sűrűségfüggvény egyik tulajdonsága szerint P( a 1 ξ< b 1 ;  a 2 η< b 2 )= a 2 b 2 a 1 b 1 f( x,y )dxdy .
Behelyettesítve: P( 2ξ<3; 4η<5 )= 4 5 2 3 1 132 ( x 2 +y )dxdy= 1 132 4 5 2 3 ( x 2 +y )dxdy= 1 132 4 5 [ x 3 3 +xy ] 2 3 dy= 1 132 4 5 ( 27 3 +3y 8 3 2y ) dy= 1 132 4 5 ( 19 3 +y )dy = 1 132 [ 19 3 y+ y 2 2 ] 4 5 = 1 132 ( 95 3 + 25 2 76 3 16 2 )= 1 132 65 6 0,082
Tehát P( 2ξ<3; 4η<5 )0,082
c) f 1 ( x )= f( x,y )dy és f 2 ( y )= f( x,y )dx (Ha az egyik változó szerint integrálunk, akkor a másik szerinti peremsűrűségfüggvényt kapjuk.)
f 1 ( x )= f( x,y )dy = 2 6 1 132 ( x 2 +y )dy= 1 132 2 6 ( x 2 +y )dy= 1 132 [ x 2 y+ y 2 2 ] 2 6= 1 132 ( 6 x 2 +182 x 2 2 )= 1 132 ( 4 x 2 +16 )= 1 33 ( x 2 +4 )
Vagyis az első változó szerinti peremsűrűségfüggvény: f 1 ( x )={ 1 33 ( x 2 +4 ), ha 1x<4 0 különben .
f 2 ( x )= f( x,y )dx = 1 4 1 132 ( x 2 +y )dx= 1 132 1 4 ( x 2 +y )dx= 1 132 [ x 3 3 +yx ] 1 4= 1 132 ( 64 3 +4y 1 3 y )= 1 132 ( 21+3y )= 1 44 ( y+7 )
Vagyis a második változó szerinti peremsűrűségfüggvény: f 2 ( x )={ 1 44 ( y+7 ), ha 2y<6 0 különben .

7. feladat Határozzuk meg az előző feladatban szereplő együttes sűrűségfüggvénnyel rendelkező ξ és η valószínűségi változók korrelációs együtthatóját a következő lépésekben:

a) M( ξ )=?
b) M( η )=?
c) M( ξη )=?
d) M( ξ 2 )=?
e) D( ξ )=?
f) M( η 2 )=?
g) D( η )=?
h) R( ξ,η )=?

Megoldás:

a) M( ξ )= x f 1 ( x )dx= 1 4 x 1 33 ( x 2 +4 )dx= 1 33 1 4 ( x 3 +4x )dx=
1 33 [ x 4 4 +2 x 2 ] 1 4 = 1 33 ( 64+32 1 4 2 )= 1 33 375 4 = 375 132 2,8409
b) M( η )= y f 2 ( y )dy= 2 6 y 1 44 ( y+7 )dy= 1 44 2 6 ( y 2 +7y )dy=
1 44 [ y 3 3 +7 y 2 2 ] 2 6 = 1 44 ( 72+126 8 3 14 )= 544 132 4,1212
c) M( ξη )= xyf( x,y )dxdy= 2 6 1 4 xy 1 132 ( x 2 +y )dxdy=
1 132 2 6 1 4 ( x 3 y+x y 2 ) dxdy= 1 132 2 6 [ x 4 4 y+ x 2 2 y 2 ] 1 4 dy=
1 132 2 6 ( 64y+8 y 2 1 4 y 1 2 y 2 )dy= 1 132 2 6 ( 255 4 y+ 15 2 y 2 )dy=
1 132 [ 255 4 y 2 2 + 15 2 y 3 3 ] 2 6 = 1 132 ( 2295 2 +540 255 2 20 )= 1 132 154011,6667
d) M( ξ 2 )= x 2 f 1 ( x )dx= 1 4 x 2 1 33 ( x 2 +4 )dx= 1 33 1 4 ( x 4 +4 x 2 )dx=
1 33 [ x 5 5 +4 x 3 3 ] 1 4 = 1 33 ( 1024 5 + 256 3 1 5 4 3 )8,7454
e)Mivel M( ξ )=2,8409 és M( ξ 2 )=8,7454 , ezért D 2 ( ξ )=M( ξ 2 ) M 2 ( ξ )0,6747 , ebből pedig D( ξ )0,8214
f) M( η 2 )= y 2 f 2 ( y )dy= 2 6 y 2 1 44 ( y+7 )dy= 1 44 2 6 ( y 3 +7 y 2 )dy=
1 44 [ y 4 4 +7 y 3 3 ] 2 6 = 1 44 ( 320+504 56 3 )18,3030
g)Mivel M( η )=4,1212 és M( η 2 )=18,3030 , ezért D 2 ( η )=M( η 2 ) M 2 ( η )1,3187 , ebből pedig D( η )1,1483
h)Most már csak a kapott értékeket kell behelyettesíteni:
R( ξ,η )= M( ξη )M( ξ )M( η ) D( ξ )D( η ) =0,0437
Tehát a két valószínűségi változó között igen gyenge lineáris kapcsolat áll fenn.
Ellenőrző kérdések
1. A ξ és η valószínűségi változókról tudjuk, hogy M( ξ )=10 és M( η )=4 .
Ekkor M( ξ+η )=?
a) 14
b) 6
c) -40
d) 10
2. A ξ és η független valószínűségi változókról tudjuk, hogy M( ξ )=2 és M( η )=5 .
Ekkor M( ξη )=?
a) -10
b) 10
c) 5 2
d) 2 5
3. A ξ és η független valószínűségi változókról tudjuk, hogy D( ξ )=6 és D( η )=2 .
Ekkor D( ξ+η )=?
a) 8
b) 40
c) 40
d) 8
4. A ξ és η független valószínűségi változók. Ekkor R( ξ;η )=?
a) 1
b) -1
c) nem létezik
d) 0
5. A ξ és η valószínűségi változókról tudjuk, hogy η= 2ξ1 3 . Ekkor R( ξ;η )=?
a) 1
b) -1
c) nem létezik
d) 0
6. A ξ és η valószínűségi változókról tudjuk, hogy η+2ξ=4 . Ekkor R( ξ;η )=?
a) 1
b) -1
c) nem létezik
d) 0

7. A ξ és η valószínűségi változók együttes eloszlása a következő:

η\ ξ012
10,10,250,2
30,20,150,1
Ekkor R( ξ;η )=?
a) -0,2595
b) -0,3425
c) 0,2020
d) 0,2344
8. A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye legyen:
f( x,y )={ a( x+ y 2 ), ha ( x,y )H 0 különben ,
ahol H az A( 0;0 ) , B( 2;0 ) , C( 2;1 ) és D( 0;1 ) pontok által meghatározott téglalapot jelenti.
Az 'a' paraméter értéke:
a) 3 14
b) 8 3
c) 14 3
d) 3 8
9. A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye legyen az előző.
Ekkor P( 1 2 <ξ1;  η> 1 2 )=?
a) 1 48
b) 1 3
c) 1 8
d) 3 16
10. A ξ és η valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye legyen az előző. Ekkor a peremsűrűségfüggvények:
a) f 1 ( x )= 3 8 x+ 1 8 és f 2 ( y )= 3 4 y 2 + 3 4
b) f 1 ( x )=x+ 1 3 és f 2 ( y )=2 y 2 +2
c) f 1 ( x )= 3 8 x és f 2 ( y )= 3 8 y 2
d) f 1 ( x )= 3 x 2 +3 8 és f 2 ( y )= 3y+1 8