KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

12. lecke: Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.10. fejezet

Elméleti összefoglaló

Nevezetes diszkrét eloszlások

1. Binomiális eloszlás

Legyen az A esemény bekövetkezésének valószínűsége p, az ellentett A ¯ eseményé pedig 1p . A kísérletet n-szer egymástól függetlenül megismételjük. Legyen a ξ valószínűségi változó értéke az A esemény bekövetkezéseinek száma. A ξ az xk=k (k=0, 1,..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel: P( ξ=k )= p k =( n k ) p k ( 1p ) nk .

ξ eloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük.
ξ várható értéke: M( ξ )=np .

2. Poisson-eloszlás

Egy diszkrét ξ valószínűségi változót λ>0 paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha az xk=k (k=0, 1, 2, ...) értékeket P( ξ=k )= p k = λ k k! e λ , (k=0, 1, 2, ...) valószínűségekkel veheti fel. M( ξ )=λ

Poisson-eloszlással általában azt modellezhetjük, hogy sok, egymástól független, egyenként nagyon kis valószínűséggel bekövetkező esemény közül hány darab következik be (tehát nem az a fontos, hogy melyik, hanem az, hogy összesen mennyi). Ilyen lehet pl. egy augusztusi éjszakán látott hullócsillagok száma, időegység alatt kapott telefonhívások száma, sajtóhibák száma egy oldalon stb.

3. Hipergeometriai eloszlás

Legyen m elemünk, melyből s darabot megkülönböztetünk a többi ms darabtól. Ezután találomra kiválasztunk az m elemből n darabot visszatevés nélkül, ahol ns és nms . Legyen ξ valószínűségi változó értéke az n kiválasztott elem között levő megkülönböztetett elemek száma. A ξ az xk=k (k=0, 1, ..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel: P( ξ=k )= p k = ( s k )( ms nk ) ( m n ) .

ξeloszlását hipergeometriai eloszlásnak nevezzük. M( ξ )=n s m .

Kidolgozott feladatok

1. feladat Találomra kitöltünk egy totószelvényt. Mi a valószínűsége, hogy az első 13 meccsből legalább tízet eltalálunk?

Megoldás: Az egy meccsre adható tippek: 1, 2, X. Ezeket egyenlő, 1 3 valószínűséggel választjuk.
Jelölje a ξ valószínűségi változó a találatok számát. P( ξ10 )=?
P( ξ10 )=P( ξ=10 )+P( ξ=11 )+P( ξ=12 )+P( ξ=13 ) .
P( ξ=k )=( ahányféleképpen  kiválaszthatjuk a k db-ot )( ezeket feltétlenül eltaláljuk )( a többit nem ) Ezek alapján:

P( ξ=10 )=( 13 10 ) ( 1 3 ) 10 ( 2 3 ) 3 1,435 10 3
P( ξ=11 )=( 13 11 ) ( 1 3 ) 11 ( 2 3 ) 2 1,957 10 4
P( ξ=12 )=( 13 12 ) ( 1 3 ) 12 ( 2 3 ) 1 1,631 10 5
P( ξ=13 )=( 13 13 ) ( 1 3 ) 13 ( 2 3 ) 0 6,272 10 7

Így P( ξ10 )1,435 10 3 +1,957 10 4 +1,631 10 5 +6,272 10 7 1,648 10 3 .
Tehát annak valószínűsége, hogy legalább 10 találatunk lesz: 0,001648.

2. feladat Egy szabályos pénzérmét hatszor feldobunk egymás után. Jelentse ξ a fejek számát. Írjuk fel ξ eloszlását! Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább két fejet dobunk?

Megoldás: A feladat szövege alapján ξ binomiális eloszlású valószínűségi változó.
Mivel az érme szabályos, ezért P( fej )=P( írás )= 1 2 .
Így ξeloszlása:
P( ξ=0 )=( 6 0 ) ( 1 2 ) 6 ( 1 2 ) 0 = 1 2 6
P( ξ=1 )=( 6 1 ) ( 1 2 ) 5 ( 1 2 ) 1 = 6 2 6
P( ξ=2 )=( 6 2 ) ( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 2 = 15 2 6
P( ξ=3 )=( 6 3 ) ( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 3 = 20 2 6
P( ξ=4 )=( 6 4 ) ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 4 = 15 2 6
P( ξ=5 )=( 6 5 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 5 = 6 2 6
P( ξ=6 )=( 6 6 ) ( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) 6 = 1 2 6

ξ={ 0 1 2 3 4 5 6 1 2 6 6 2 6 15 2 6 20 2 6 15 2 6 6 2 6 1 2 6

A valószínűségek ábrázolása:

Az eloszlásfüggvény:
P( ξ<0 )=0
P( ξ<1 )=P( ξ=0 )= 1 2 6
P( ξ<2 )=P( ξ=0 )+P( ξ=1 )= 7 2 6
P( ξ<3 )=P( ξ=0 )+P( ξ=1 )+P( ξ=2 )= 22 2 6
P( ξ<4 )=P( ξ<3 )+P( ξ=3 )= 42 2 6
P( ξ<5 )=P( ξ<4 )+P( ξ=4 )= 57 2 6
P( ξ<6 )=P( ξ<5 )+P( ξ=5 )= 63 2 6
P( ξ<7 )=1

P( ξ2 )=P( ξ=2 )+P( ξ=3 )+P( ξ=4 )+P( ξ=5 )+P( ξ=6 )= 1( P( ξ=0 )+P( ξ=1 ) )=1 7 2 6 = 57 64 =0,890625

Tehát annak a valószínűsége, hogy hat dobás alkalmával legalább 2 fejet dobunk 0,890625.

3. feladat Egy kéziratban 200 oldalon 400 sajtóhiba található. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy oldalon 0, 1 vagy 3-nál több hiba van?

Megoldás: Egy oldalon minden egyes karakter igen kis valószínűséggel lesz hibás, ezek a hibák egymástól függetlenül következnek be, így az egy oldalon levő hibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (jelöljük ξ-vel). Tudjuk, hogy a Poisson-eloszlás paramétere megegyezik az eloszlás várható értékével. Egy oldalon átlagosan 400 200 =2 sajtóhiba található, így az eloszlás paramétere: λ=2 .

Ez alapján:
P( ξ=0 )= 2 0 0! e 2 = 1 e 2 0,135
P( ξ=1 )= 2 1 1! e 2 = 2 e 2 0,271
P( ξ>3 )=1P( ξ3 )= 1( P( ξ=0 )+P( ξ=1 )+P( ξ=2 )+P( ξ=3 ) )= 1( 1 e 2 + 2 e 2 + 2 2 2! 1 e 2 + 2 3 3! 1 e 2 )= 1 19 3 e 2 0,143

4. feladat A tapasztalat azt mutatja, hogy óránként egyszer csörög a telefon az irodában. Mi a valószínűsége annak, hogy fél óra alatt 2 hívás érkezik?

Megoldás: A fél óra alatt befutó hívások száma Poisson-eloszlásúnak tekinthető (az egyes hívások kis valószínűséggel, egymástól függetlenül következnek be). Óránként átlagosan egy, vagyis félóránként átlagosan fél hívás érkezik be, így a valószínűségi változó várható értéke 0,5, ami megegyezik az eloszlás paraméterével, tehát λ=0,5 .

A keresett valószínűség pedig: 0,5 2 2! e 0,5 = 1 8 e 0,0758 .

5. feladat Ellentmondó-e az alábbi két kijelentés?

1."A valószínűség-számítás jegyzetben oldalanként átlagosan kétszer annyi sajtóhiba található, mint az analízis jegyzetben."
2."Az analízis jegyzetben átlagosan háromszor annyi hibátlan oldal van, mint a valószínűség-számítás jegyzetben."

Megoldás: Az oldalankénti sajtóhibák eloszlását itt is tekinthetjük Poisson-eloszlásúnak. Az első kijelentés szerint λ 1 =2 λ 2 , ahol λ 1 a valószínűség-számítás jegyzetben, λ 2 az analízis jegyzetben található hibák átlagos száma oldalanként.

A második állítás szerint ha átlagosan 3-szor annyi hibátlan oldal van, akkor annak esélye, hogy az oldal hibátlan, 3-szor annyi, vagyis
3 λ 1 0 0! e λ 1 = λ 2 0 0! e λ 2 , így 3 e λ 1 = 1 e λ 2 .

A kapott egyenletrendszer:
λ 1 =2 λ 2 3 e λ 1 = e λ 2 }

Ebből:
3 e 2 λ 2 = e λ 2 e λ 2 =3 λ 2 =ln31,0986

Visszahelyettesítve:
λ 1 =2ln32,1972

Tehát létezik olyan λ 1 és λ 2 paraméter-pár, amelyek esetén mindkét állítás igaz.

6. feladat Egy osztályban 16 fiú és 10 lány van. Közülük találomra kiválasztunk egy 4 fős csoportot. A ξ valószínűségi változó értéke legyen a csoportban lévő lányok száma. Adjuk meg a ξ eloszlását és várható értékét!

Megoldás: A ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, mert a 26 ember között van 10 kitüntetett, hiszen azt nézzük, hogy ebből a kitüntetett csoportból (vagyis a lányok közül) hányat választunk ki.

Így P( ξ=k )= p k = ( s k )( ms nk ) ( m n ) , ahol s=10, m=26, n=4; M( ξ )=n s m .

A feladatot másképp, a kombinatorikai ismereteinkre támaszkodva is megoldhatjuk.

Az összes lehetőségek száma: ( 26 4 ) ; azon esetek száma, amikor pontosan k db lány van a kiválasztottak között: ( 10 k )( 16 4k ) .

Így a megoldás:
P( ξ=0 )= ( 16 4 )( 10 0 ) ( 26 4 ) 0,122 ;
P( ξ=1 )= ( 16 3 )( 10 1 ) ( 26 4 ) 0,375 ;
P( ξ=2 )= ( 16 2 )( 10 2 ) ( 26 4 ) 0,361 ;
P( ξ=3 )= ( 16 1 )( 10 3 ) ( 26 4 ) 0,128
P( ξ=4 )= ( 16 0 )( 10 4 ) ( 26 4 ) 0,014
M( ξ )=4 10 26 = 20 13 1,538

7. feladat Adjuk meg az ötös lottón elért találatainkat jellemző valószínűségi változó eloszlását és várható értékét!

Megoldás: A keresett ξ valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ugyanis 90 számból 5 nyerő, 85 nem nyerő (selejt), ezek közül választunk ki visszatevés nélkül ötöt, úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít.

A találatok valószínűségei: P( ξ=k )= ( 5 k )( 85 5k ) ( 90 5 ) .

Így:
P( ξ=0 )= ( 5 0 )( 85 5 ) ( 90 5 ) 0,746 ;
P( ξ=1 )= ( 5 1 )( 85 4 ) ( 90 5 ) 0,23 ;
P( ξ=2 )= ( 5 2 )( 85 3 ) ( 90 5 ) 0,022 ;
P( ξ=3 )= ( 5 3 )( 85 2 ) ( 90 5 ) 0,0008 ;
P( ξ=4 )= ( 5 4 )( 85 1 ) ( 90 5 ) 0,000009 ;
P( ξ=5 )= ( 5 5 )( 85 0 ) ( 90 5 ) 0,00000002 .

A találatok számának várható értéke, mivel ξ hipergeometriai eloszlású: 5 5 90 = 5 18 0,277 .

8. feladat Egy binomiális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzete 2,4, várható értéke 4. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke

a)2;
b)2-nél nagyobb;
c)10-nél nagyobb?

Megoldás: Jelöljük a valószínűségi változót ξ-vel. Ekkor M( ξ )=4 és D 2 ( ξ )=2,4 . Tudjuk, hogy binomiális eloszlású valószínűségi változóról van szó, tehát M( ξ )=np és D 2 ( ξ )=np( 1p ) .
Vagyis az alábbi egyenleteket kapjuk:
np=4
np( 1p )=2,4
A második egyenletet az elsővel osztva:
( 1p )=0,6 p=0,4
Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe:
n0,4=4 n=10
Ezek felhasználásával válaszolhatunk a kérdésekre:

a) P( ξ=2 )=( 10 2 ) 0,4 2 0,6 8 450,160,0170,121
b) P( ξ>2 )=1P( ξ2 )=1[ P( ξ=0 )+P( ξ=1 )+P( ξ=2 ) ]=
1[ ( 10 0 ) 0,4 0 0,6 10 +( 10 1 ) 0,4 1 0,6 9 +( 10 2 ) 0,4 2 0,6 8 ]
1[ 0,006+0,004+0,121 ]
10,1310,869
c)Mivel n=10 , ezért a valószínűségi változó által felvehető maximális érték 10, így P( ξ>10 )=0 .

9. feladat Egy 300 oldalas könyvben 250 hibátlan oldalt találtunk. Körülbelül hány oldalon lehet 2 hiba?

Megoldás: Jelentse ξ az egy oldalon levő sajtóhibák számát. Mivel ezek a hibák egyenként kis valószínűséggel és függetlenül következnek be, ezért eloszlásuk modellezhető Poisson-eloszlással.

Annak valószínűsége, hogy egy oldalon k db hiba található: P( ξ=k )= λ k e λ k!

A megadottak szerint 300 oldalból 250 hibátlan, tehát a hibátlan oldal valószínűsége kb. 250 300 = 5 6 0,83 .

A Poisson-eloszlás szerint:
P( ξ=0 )= λ 0 e λ 0! = e λ 0,83
Ebből λ=ln0,83 λ=ln0,830,186 .

A paraméter ismeretében már válaszolhatunk a kérdésre.
Annak valószínűsége, hogy egy oldalon pontosan 2 hiba van:
P( ξ=2 )= λ 2 e λ 2! 0,186 2 e 0,186 2! 0,014 .
Mivel 3000,014=4,2 , ezért a 300 oldalból kb. 4 oldalon lehet két hiba.

10. feladat Egy 30 fős osztályból húszan beszélnek angolul. Véletlenszerűen kiválasztunk az osztályból 6 embert. Mi a valószínűsége annak, hogy

a)van közöttük angolul tudó;
b)mindannyian beszélnek angolul?

Megoldás: A feladat modellezhető hipergeometriai eloszlással.
Összes ember: 30 fő
Angolul beszélők: 20 fő
Angolul nem beszélők: 10 fő
Kiválasztottak száma: 6 fő

Jelentse ξ a kiválasztottak között az angolul tudók számát:
P( ξ=k )= ( 20 k )( 10 6k ) ( 30 6 ) , (k=0, 1, ..., 6)
Ezzel már meghatározhatók a kérdéses valószínűségek.

a)Van közöttük angolul tudó:
Vezessük be a következő jelöléseket:
A: van közöttük angolul tudó
A ¯ : nincs közöttük angolul tudó
P( A )=1P( A ¯ )=1P( ξ=0 )=1 ( 20 0 )( 10 6 ) ( 30 6 ) =1 ( 10 6 ) ( 30 6 ) =1 210 593775 0,9996
Vagyis 0,9996 valószínűséggel van közöttük angolul tudó.
b)Vezessük be a következő jelölést:
B: mindannyian beszélnek angolul
P( B )=P( ξ=6 )= ( 20 6 )( 10 0 ) ( 30 6 ) = ( 20 6 ) ( 30 6 ) = 38760 593775 0,065
Tehát annak a valószínűsége, hogy mind a hat kiválasztott tanuló beszél angolul: 0,065.
Ellenőrző feladatok
1. Hatszor feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy pontosan egyszer dobunk hatost?
a) 0,402
b) 0,167
c) 0,066
d) 0,327
2. Egy pakli magyar kártyából négyszer húzunk visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok fele piros?
a) 0,035
b) 0,187
c) 0,211
d) 0,164
3. Mi a valószínűsége, hogy a fenti módon húzva legalább két pirosat húzunk?
a) 0,422
b) 0,789
c) 0,211
d) 0,261
4. Egy nyolcfős bizottságból mindenki azonos, 20%-os valószínűséggel hiányzik. A bizottság döntésképes, ha a tagok fele + 1 fő jelen van. Mi a valószínűsége, hogy a bizottság döntésképtelen lesz?
a) 0,056
b) 0,224
c) 0,001
d) 0,216
5. Találomra kitöltünk egy lottószelvényt. Mi a valószínűsége, hogy 2 páros és 3 páratlan számot jelöltünk be?
a) 0,062
b) 0,319
c) 0,250
d) 0,303
6. Egy vizsgán 60 jelentkezőből 18-an kaptak jelest, de a dolgozatok közül később négyet elveszített a szórakozott vizsgáztató. Mi a valószínűsége, hogy a négyből pontosan egy volt jeles?
a) 0,423
b) 0,023
c) 0,411
d) 0,022
7. A dolgozatok később előkerültek és kiderült, hogy mind a négy jeles volt. Mekkora volt ennek a valószínűsége?
a) 0,006
b) 0,008
c) 0,229
d) 0,032
8. Egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó 0,3 valószínűséggel vesz fel 0 értéket. Mekkora valószínűséggel lesz az értéke 2?
a) 0,065
b) 0,432
c) 0,216
d) 0,130
9. Ha egy feladatban átlagosan 0,2 hiba található, akkor mekkora valószínűséggel lehet hibátlan egy feladat?
a) 0,800
b) 0,818
c) 0,872
d) 0,834
10. A COEDU rendszerben átlagosan hetente (sajnos) csak 3 levelet kapok. Mi a valószínűsége, hogy valamelyik héten 6 levél érkezik?
a) 0,005
b) 0,505
c) 0,050
d) 0,055