KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: I. modul: Kombinatorika, eseményalgebra és valószínűségek meghatározása kombinatorikus úton
7. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.7. fejezet | |||
Elméleti összefoglaló | |||
A események teljes eseményrendszert alkotnak, ha és , ha . | |||
[Másképpen és ] | |||
A teljes valószínűség tétele | |||
Ha a események teljes eseményrendszert alkotnak, és , akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes a következő: . | |||
A Bayes-tétel | |||
Ha a események teljes eseményrendszert alkotnak, és , továbbá A tetszőleges olyan esemény, amelyre , akkor . | |||
Kidolgozott feladatok | |||
1. feladat Egy gyárban 4 gépsoron ugyanazt a terméket készítik. Az elsőn készült darabok 5%-a, a másodikon készültek 8%-a, a harmadikon és negyediken készültek 10%-a hibás. A gépek az összes termelésnek rendre 40, 30, 20, 10 százalékát adják. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék hibás? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
A B1, B2, B3, B4 események teljes eseményteret alkotnak, hisz egymást kizáróak és összegük a biztos esemény (egy munkadarab csak egy gépen készül). | |||
A feladat szerint , , és . | |||
Mi lehet ? Ez annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a termék hibás, feltéve, hogy az 1. gépen készült. Mivel az 1. gép 5%-ban termel selejtet, ezért . Hasonlóan , és . | |||
Így felírhatjuk a teljes valószínűség tételét: | |||
2. feladat Eltévedtünk a piacon. A közelünkben négy ruhaárus, egy újságos és két virágárus van. A távol-keleti ruhákat menedzselők 0,6 valószínűséggel tudják megmondani a helyes irányt, a virágárus nénik 0,7 valószínűséggel, Józsi bácsi, az újságos szinte biztosan, 0,95 valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk, ha a közülük véletlenszerűen kérdezünk meg valakit? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
Összesen 4+2+1=7 árus van a környéken. Annak a valószínűsége, hogy ruhaárust választunk: ; hogy virágárust választunk ; hogy Józsi bácsit választjuk . A feladat szövege szerint annak a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk feltéve, hogy ruhaárustól kérdezünk: . A többi: és . | |||
Írjuk fel a teljes valószínűség tételét: | |||
3. feladat Egy rekeszben (20 üveg) fele-fele arányban van barna és világos sör. Az üvegeket véletlenszerűen választva elkezdjük pusztítani a készletet. Mi a valószínűsége, hogy a harmadik kivett üveg barna nedűt tartalmaz? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
B1, B2, B3 teljes eseményrendszert alkotnak. Fejezzük ki ezeket C1 és C2-vel! | |||
| |||
(Megjegyzés: Az eredmény nem meglepő, ha belegondolunk.) | |||
4. feladat Egy évfolyamon a lányok 0,7, a fiúk 0,6 valószínűséggel vizsgáznak sikeresen egy bizonyos tárgyból. Mi lehet az évfolyam százalékos összetétele, ha tudjuk, hogy az évfolyam 63%-a vizsgázik sikeresen? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
A teljes valószínűség tételét alkalmazva: | |||
Vagyis az évfolyam 30%-a lány, 70%-a pedig fiú. | |||
5. feladat Egy üzemben 3 gépsor gyártja ugyanazt a terméket. Az első a termékek 30%-át, a második az 50%-át, a harmadik a 20%-át adja. Az elsőn készült termékek 5%-a, a másodikon készültek 7%-a, a harmadikon készültek 3%-a selejt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott selejtes termék az első gépsoron készült? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
Így a feladatban megadott valószínűségek: | |||
Ezekre alkalmazva a Bayes-tételt: | |||
Tehát 0,268 a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott selejtes termék az első gépsoron készült. | |||
6. feladat Egy gyárban készült termékek 70%-a másodosztályú, 30%-a első osztályú. A termékek minősítésekor a következő hibát követik el: első osztályú terméket 5% valószínűséggel minősítenek másodosztályúnak, másodosztályú terméket 2% valószínűséggel minősítenek első osztályúvá. Mi a valószínűsége annak, hogy egy első osztályúnak minősített termék valóban első osztályú? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
A valószínűségek: | |||
Ezekkel a Bayes-tétel: | |||
Tehát 0,953 a valószínűsége annak, hogy egy első osztályúnak minősített termék valóban első osztályú. | |||
7. feladat Négy doboz mindegyikében 4 golyó van, melyek közül rendre 1, 2, 3, 4 piros. Kiválasztunk egy dobozt és abból visszatevéssel háromszor húzunk. Azt találjuk, hogy mindhárom kihúzott golyó piros. Mi a valószínűsége, hogy a dobozban levő golyók közül éppen kettő volt piros? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
Az 1. dobozban 1 db piros golyó van, a 2.-ban 2, a 3.-ban 3, a 4.-ben pedig 4. | |||
| |||
Annak a valószínűsége, hogy háromszor egymás után húzva piros golyót húzunk: | |||
| |||
Ezekkel a Bayes-tétel: | |||
Tehát 0,08 a valószínűsége, hogy a dobozban levő golyók közül éppen kettő volt piros. | |||
8. feladat Labdarúgó edzésen jártunk. Tudjuk, hogy a résztvevő 20 játékos közül a csatárok (5 fő) 0,9 valószínűséggel, a középpályások (7 fő) 0,8, a védők (6 fő) 0,75, a kapusok (2 fő) 0,7 valószínűséggel lövik be a büntetőt. Látunk egy játékost, aki kihagyja a büntetőjét. Mi a valószínűsége, hogy ő csatár? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
Hasonlóan: | |||
Alkalmazzuk a Bayes-tételt: | |||
Tehát az ismeretlen játékos 0,125 valószínűséggel csatár. | |||
9. feladat Egy kereskedő négy beszállítótól kap árut. Az első a teljes áru mennyiségének a felét, a másodiktól a negyedét, a harmadiktól és a negyediktől egyaránt a nyolcadát szerzi be. Tapasztalata szerint a legnagyobb szállítótól kapott áru 60%-a első osztályú, a többi másodosztályú. A másodiknál ez az arány 50-50%, a maradék kettőnél 40-60%. A készletéből választott áru mekkora valószínűséggel lesz első osztályú? | |||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||
A feladat szövege szerint az első szállító a teljes mennyiség felét adja, tehát annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott áru tőle származik: . Hasonlóan: , . | |||
Az elsőtől kapott áru 60%-a első osztályú, a többi másodosztályú. Vagyis feltéve, hogy egy áru az 1. szállítótól származik, az 0,6 valószínűséggel első osztályú. Tehát: . Hasonlóan a többire: , , . | |||
Most már felírhatjuk a teljes valószínűség tételét: | |||
Tehát a kereskedőtől vett áru 0,525 valószínűséggel első osztályú. | |||
10. feladat Az előbb említett kereskedő a reklamációk miatt szeretné kideríteni, hogy egy véletlenszerűen választott másodosztályú áru mekkora valószínűséggel származik az egyes beszállítóktól. Segítsünk neki! | |||
Megoldás: A kérdés az, mi annak a valószínűsége, hogy az áru az 1. (2., 3., 4.) szállítótól származik, feltéve, hogy másodosztályú. | |||
Használjuk fel az előző példa jelöléseit. Mivel csak első és másodosztályú áru fordul elő, ezért jelöli azt az eseményt, hogy az áru másodosztályú. Ezek szerint a következő valószínűségeket kell meghatározni: , , , . | |||
Az előző példából ismertek az alábbi valószínűségek: , , , , , tehát . | |||
Mivel mindenki csak első vagy másodosztályú árut hoz, ezért | |||
Most már minden adott a Bayes-tétel alkalmazásához: |
Ellenőrző feladatok | |||||||||
1. Egy középiskolában 4 érettségiző osztály van. Az egyikben a tanulók negyede, a másikban fele, a harmadikban és a negyedikben ötöde vizsgázott jelesre matematikából. Minden osztályba ugyanannyian járnak. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott érettségiző diák jelesre vizsgázott?
![]() | |||||||||
2. Egy üzemben 3 munkás szortírozza az elkészült termékeket. Az egyik 0,05 valószínűséggel hibázik a minősítéskor, a második és a harmadik rendre 0,03, illetve 0,02 valószínűséggel. Egy óra alatt az első átlagosan 28, a második 36, a harmadik 42 terméket vizsgál meg. Ha az üzem termékei közül véletlenszerűen választunk egyet, akkor mi a valószínűsége, hogy az hibás minősítést kapott?
![]() | |||||||||
3. Egy városban a keresőképes lakosság 28%-a rendelkezik diplomával. A munkanélküliek aránya a diplomások között 5,3%, a többiek között 7,8%. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy embert, mekkora a valószínűsége, hogy ő munkanélküli?
![]() | |||||||||
4. Az előző feladatban szereplő városban találkoztunk egy emberrel. Megtudtuk, hogy nincs munkája. Mi a valószínűsége, hogy rendelkezik diplomával?
![]() | |||||||||
5. Egy nemzetközi kézilabda-kupában a legjobb nyolc közé 1 magyar, 2 spanyol, 2 német, 2 orosz és 1 szlovén csapat jutott, vaksorsolással (kiemelés nélkül) párosítják őket. A magyar csapat spanyol ellenféllel szemben 0,2, némettel szemben 0,5, orosszal szemben 0,45, a szlovénnal szemben pedig 0,7 valószínűséggel szerepel sikeresen. Mi a valószínűsége, hogy továbbjut a magyar gárda?
![]() | |||||||||
6. Feltéve, hogy a fenti magyar csapat továbbjutott, mi a valószínűsége, hogy orosz ellenfelet ejtett ki?
![]() | |||||||||
7. Feltéve, hogy nem jutott tovább a magyar csapat, mi a valószínűsége, hogy papíron nála erősebbtől kapott ki?
![]() |