KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
9. lecke: Az eloszlásfüggvény
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.9. fejezet | |||||||||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||||||||
Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az függvényt, amely minden valós értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó -nél kisebb értéket vesz fel, azaz | |||||||||||||||||
Tetszőleges valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||
1. feladat Legyen a valószínűségi változó eloszlása a következő: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||
a) Egyszerűen alkalmazzuk az eloszlásfüggvény definícióját: . Azaz olyan függvényt akarunk ábrázolni, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó ennél a bizonyos x-nél kisebb értéket vesz fel. | |||||||||||||||||
Az eloszlás szerint lehetséges értékei: -1; 0 ; 1; 2. Tehát annak valószínűsége, hogy -1-nél kisebb értéket vesz fel, nulla. Vagyis az eloszlásfüggvény -1-hez és a nála kisebb számokhoz nullát rendel. | |||||||||||||||||
Tekintsünk egy -1 és 0 közötti értéket. Annak valószínűsége, hogy ennél a számnál kisebb lesz értéke: 0,2, hiszen -1-et felvehet a valószínűségi változó (ami kisebb a -1 és 0 közé eső számnál), és ennek valószínűsége 0,2. | |||||||||||||||||
Nullánál a helyettesítési érték , hiszen a valószínűségi változónak csak egy nullánál kisebb lehetséges értéke van (-1), és ennek valószínűsége 0,2. | |||||||||||||||||
Az eloszlásfüggvény 0 és 1 között felvett értékét az előzőhöz hasonlóan határozzuk meg, azzal az eltéréssel, hogy egy tetszőleges 0 és 1 közötti számnál -nek két kisebb értéke van: -1 és 0. Így annak valószínűsége, hogy egy 0 és 1 közé eső számnál kisebbet vesz fel, a két lehetséges eset valószínűségének összege: 0,2+0,1=0,3. | |||||||||||||||||
Hasonlóan 1 és 2 közötti értékhez az eloszlásfüggvény 0,2+0,1+0,4=0,7-et rendel. | |||||||||||||||||
2-nél nagyobb x-ek esetén az eloszlásfüggvény értéke 1, hiszen a valószínűségi változónak a legnagyobb értéke 2. Vagyis annak valószínűsége nyilván 1, hogy egy 2-nél nagyobb számnál kisebb értéket vesz fel. | |||||||||||||||||
Így az eloszlásfüggvény grafikonja: | |||||||||||||||||
b) Az eloszlásból leolvasható, hogy a 0 értéket 0,1 valószínűséggel veszi fel, azaz . | |||||||||||||||||
Másképp: az összes lehetséges érték közül csak a -1 nem felel meg, ennek valószínűsége 0,2, vagyis a keresett valószínűség így: 1-0,2=0,8. | |||||||||||||||||
Annak valószínűsége, hogy értéke legfeljebb 1: 0,7, hiszen itt a lehetséges értékek -1; 0; 1, ezek valószínűségeinek összege pedig 0,7. | |||||||||||||||||
2. feladat Tekintsük a intervallumot. Ebből választunk teljesen véletlenszerűen egy számot. Jelölje a választott érétket. Adjuk meg és ábrázoljuk eloszlásfüggvényét! | |||||||||||||||||
Megoldás: Mivel az intervallumból a számokat teljesen véletlenszerűen választjuk, ezért annak valószínűsége, hogy a kiválasztott szám a intervallum valamely részintervallumába esik, arányos ezen részintervallum hosszával (ld. a geometriai valószínűségi mezőről szóló fejezetet). Így például annak valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a részintervallumba esik, egyenlő ezen részintervallum hosszának és a teljes intervallum hosszának hányadosával: . | |||||||||||||||||
A intervallumban (analízisből tudjuk) nem megszámlálhatóan végtelen sok szám van, így annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket választunk ki, mindig nulla, . Általában igaz, hogy folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén az egyenlőség valószínűsége mindig nulla. (Lásd a 6. tulajdonságot) | |||||||||||||||||
Ennyi információ birtokában már fel lehet írni az eloszlásfüggvényt: | |||||||||||||||||
Ábrázolva: | |||||||||||||||||
3. feladat Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: | |||||||||||||||||
Határozzuk meg a következő valószínűségeket: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: Az elméleti összefoglalóban felsorolt tulajdonságokat fogjuk felhasználni: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
4. feladat A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: | |||||||||||||||||
Számítsuk ki a következő valószínűségeket: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
5. feladat A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: | |||||||||||||||||
Számítsuk ki az alábbi valószínűségeket: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: Idézzük a feltételes valószínűség definícióját: . Vagyis az "A feltéve, hogy B" esemény valószínűsége egyenlő az együttes bekövetkezés valószínűsége osztva a feltétel valószínűségével. | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
6. feladat A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: . | |||||||||||||||||
Számítsuk ki az alábbi valószínűségeket: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
2. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
3. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
4. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
5. Az alábbiak közül melyik lehet eloszlásfüggvény?
![]() | |||||||||
6. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
7. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
8. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
9. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
10. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() |