KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
12. lecke: Nevezetes diszkrét eloszlású valószínűségi változók
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.10. fejezet | |||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||
Nevezetes diszkrét eloszlások | |||||||||
1. Binomiális eloszlás | |||||||||
Legyen az A esemény bekövetkezésének valószínűsége p, az ellentett eseményé pedig . A kísérletet n-szer egymástól függetlenül megismételjük. Legyen a valószínűségi változó értéke az A esemény bekövetkezéseinek száma. A az xk=k (k=0, 1,..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel: . | |||||||||
eloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük. | |||||||||
2. Poisson-eloszlás | |||||||||
Egy diszkrét valószínűségi változót >0 paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezünk, ha az xk=k (k=0, 1, 2, ...) értékeket , (k=0, 1, 2, ...) valószínűségekkel veheti fel. | |||||||||
Poisson-eloszlással általában azt modellezhetjük, hogy sok, egymástól független, egyenként nagyon kis valószínűséggel bekövetkező esemény közül hány darab következik be (tehát nem az a fontos, hogy melyik, hanem az, hogy összesen mennyi). Ilyen lehet pl. egy augusztusi éjszakán látott hullócsillagok száma, időegység alatt kapott telefonhívások száma, sajtóhibák száma egy oldalon stb. | |||||||||
3. Hipergeometriai eloszlás | |||||||||
Legyen m elemünk, melyből s darabot megkülönböztetünk a többi darabtól. Ezután találomra kiválasztunk az m elemből n darabot visszatevés nélkül, ahol és . Legyen valószínűségi változó értéke az n kiválasztott elem között levő megkülönböztetett elemek száma. A az xk=k (k=0, 1, ..., n) értékeket ekkor a következő valószínűségekkel veszi fel: . | |||||||||
eloszlását hipergeometriai eloszlásnak nevezzük. . | |||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||
1. feladat Találomra kitöltünk egy totószelvényt. Mi a valószínűsége, hogy az első 13 meccsből legalább tízet eltalálunk? | |||||||||
Megoldás: Az egy meccsre adható tippek: 1, 2, X. Ezeket egyenlő, valószínűséggel választjuk. | |||||||||
Így . | |||||||||
2. feladat Egy szabályos pénzérmét hatszor feldobunk egymás után. Jelentse a fejek számát. Írjuk fel eloszlását! Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább két fejet dobunk? | |||||||||
Megoldás: A feladat szövege alapján binomiális eloszlású valószínűségi változó. | |||||||||
A valószínűségek ábrázolása: | |||||||||
Az eloszlásfüggvény: | |||||||||
Tehát annak a valószínűsége, hogy hat dobás alkalmával legalább 2 fejet dobunk 0,890625. | |||||||||
3. feladat Egy kéziratban 200 oldalon 400 sajtóhiba található. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy oldalon 0, 1 vagy 3-nál több hiba van? | |||||||||
Megoldás: Egy oldalon minden egyes karakter igen kis valószínűséggel lesz hibás, ezek a hibák egymástól függetlenül következnek be, így az egy oldalon levő hibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (jelöljük -vel). Tudjuk, hogy a Poisson-eloszlás paramétere megegyezik az eloszlás várható értékével. Egy oldalon átlagosan sajtóhiba található, így az eloszlás paramétere: . | |||||||||
Ez alapján: | |||||||||
4. feladat A tapasztalat azt mutatja, hogy óránként egyszer csörög a telefon az irodában. Mi a valószínűsége annak, hogy fél óra alatt 2 hívás érkezik? | |||||||||
Megoldás: A fél óra alatt befutó hívások száma Poisson-eloszlásúnak tekinthető (az egyes hívások kis valószínűséggel, egymástól függetlenül következnek be). Óránként átlagosan egy, vagyis félóránként átlagosan fél hívás érkezik be, így a valószínűségi változó várható értéke 0,5, ami megegyezik az eloszlás paraméterével, tehát . | |||||||||
A keresett valószínűség pedig: . | |||||||||
5. feladat Ellentmondó-e az alábbi két kijelentés? | |||||||||
| |||||||||
Megoldás: Az oldalankénti sajtóhibák eloszlását itt is tekinthetjük Poisson-eloszlásúnak. Az első kijelentés szerint , ahol a valószínűség-számítás jegyzetben, az analízis jegyzetben található hibák átlagos száma oldalanként. | |||||||||
A második állítás szerint ha átlagosan 3-szor annyi hibátlan oldal van, akkor annak esélye, hogy az oldal hibátlan, 3-szor annyi, vagyis | |||||||||
A kapott egyenletrendszer: | |||||||||
Ebből: | |||||||||
Visszahelyettesítve: | |||||||||
Tehát létezik olyan és paraméter-pár, amelyek esetén mindkét állítás igaz. | |||||||||
6. feladat Egy osztályban 16 fiú és 10 lány van. Közülük találomra kiválasztunk egy 4 fős csoportot. A valószínűségi változó értéke legyen a csoportban lévő lányok száma. Adjuk meg a eloszlását és várható értékét! | |||||||||
Megoldás: A valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, mert a 26 ember között van 10 kitüntetett, hiszen azt nézzük, hogy ebből a kitüntetett csoportból (vagyis a lányok közül) hányat választunk ki. | |||||||||
Így , ahol s=10, m=26, n=4; . | |||||||||
A feladatot másképp, a kombinatorikai ismereteinkre támaszkodva is megoldhatjuk. | |||||||||
Az összes lehetőségek száma: ; azon esetek száma, amikor pontosan k db lány van a kiválasztottak között: . | |||||||||
Így a megoldás: | |||||||||
7. feladat Adjuk meg az ötös lottón elért találatainkat jellemző valószínűségi változó eloszlását és várható értékét! | |||||||||
Megoldás: A keresett valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású, ugyanis 90 számból 5 nyerő, 85 nem nyerő (selejt), ezek közül választunk ki visszatevés nélkül ötöt, úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít. | |||||||||
A találatok valószínűségei: . | |||||||||
Így: | |||||||||
A találatok számának várható értéke, mivel hipergeometriai eloszlású: . | |||||||||
8. feladat Egy binomiális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzete 2,4, várható értéke 4. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke | |||||||||
| |||||||||
Megoldás: Jelöljük a valószínűségi változót -vel. Ekkor és . Tudjuk, hogy binomiális eloszlású valószínűségi változóról van szó, tehát és . | |||||||||
| |||||||||
9. feladat Egy 300 oldalas könyvben 250 hibátlan oldalt találtunk. Körülbelül hány oldalon lehet 2 hiba? | |||||||||
Megoldás: Jelentse az egy oldalon levő sajtóhibák számát. Mivel ezek a hibák egyenként kis valószínűséggel és függetlenül következnek be, ezért eloszlásuk modellezhető Poisson-eloszlással. | |||||||||
Annak valószínűsége, hogy egy oldalon k db hiba található: | |||||||||
A megadottak szerint 300 oldalból 250 hibátlan, tehát a hibátlan oldal valószínűsége kb. . | |||||||||
A Poisson-eloszlás szerint: | |||||||||
A paraméter ismeretében már válaszolhatunk a kérdésre. | |||||||||
10. feladat Egy 30 fős osztályból húszan beszélnek angolul. Véletlenszerűen kiválasztunk az osztályból 6 embert. Mi a valószínűsége annak, hogy | |||||||||
| |||||||||
Megoldás: A feladat modellezhető hipergeometriai eloszlással. | |||||||||
Jelentse a kiválasztottak között az angolul tudók számát: | |||||||||
|
Ellenőrző feladatok | |||||||||
1. Hatszor feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy pontosan egyszer dobunk hatost?
![]() | |||||||||
2. Egy pakli magyar kártyából négyszer húzunk visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok fele piros?
![]() | |||||||||
3. Mi a valószínűsége, hogy a fenti módon húzva legalább két pirosat húzunk?
![]() | |||||||||
4. Egy nyolcfős bizottságból mindenki azonos, 20%-os valószínűséggel hiányzik. A bizottság döntésképes, ha a tagok fele + 1 fő jelen van. Mi a valószínűsége, hogy a bizottság döntésképtelen lesz?
![]() | |||||||||
5. Találomra kitöltünk egy lottószelvényt. Mi a valószínűsége, hogy 2 páros és 3 páratlan számot jelöltünk be?
![]() | |||||||||
6. Egy vizsgán 60 jelentkezőből 18-an kaptak jelest, de a dolgozatok közül később négyet elveszített a szórakozott vizsgáztató. Mi a valószínűsége, hogy a négyből pontosan egy volt jeles?
![]() | |||||||||
7. A dolgozatok később előkerültek és kiderült, hogy mind a négy jeles volt. Mekkora volt ennek a valószínűsége?
![]() | |||||||||
8. Egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó 0,3 valószínűséggel vesz fel 0 értéket. Mekkora valószínűséggel lesz az értéke 2?
![]() | |||||||||
9. Ha egy feladatban átlagosan 0,2 hiba található, akkor mekkora valószínűséggel lehet hibátlan egy feladat?
![]() | |||||||||
10. A COEDU rendszerben átlagosan hetente (sajnos) csak 3 levelet kapok. Mi a valószínűsége, hogy valamelyik héten 6 levél érkezik?
![]() |