KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
17. lecke: A nagy számok törvényei
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.17. és 2.25. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakja | ||
Ha a azonos várható érétkű és szórású független valószínűségi változók várható értékkel és szórással , akkor tetszőleges pozitív szám esetén. | ||
A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakja független, azonos várható értékű és szórású valószínűségi változók számtani közepének a közös várható értéktől való eltérésére ad becslést. | ||
A nagy számok Bernoulli-féle törvénye | ||
Ha független kísérletet végzünk egy valószínűségű esemény megfigyelésére és a kísérletek során az esemény -szer következett be, akkor tetszőleges pozitív szám esetén. | ||
A nagy számok Bernoulli-féle törvényét általában formában annak becslésére használjuk, hogy a relatív gyakoriság milyen valószínűséggel közelíti meg az adott esemény valószínűségét. | ||
Mivel , ezért a Bernoulli-féle törvényből a egyenlőtlenség teljesülése is következik, ami ismeretlen esetén is alkalmazható becslést tesz lehetővé. | ||
Központi (centrális) határeloszlás tétel | ||
Ha a azonos eloszlású és véges szórású független valószínűségi változók egy sorozata, , és , akkor a 0 várható értékű és 1 szórású , valószínűségi változók sorozata aszimptotikusan standard normális eloszlású, azaz , ahol a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét jelöli. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy szabályos dobókockát feldobnunk ahhoz, hogy annak valószínűsége, hogy a dobott számok átlaga legalább 0,1-del eltér a várható értéktől, 0,05-nél kisebb legyen? | ||
Megoldás: Legyen az i-edik dobott számot jelentő valószínűségi változó. | ||
2. feladat Valamely termékben a selejtek arányát szeretnénk megállapítani. Ehhez 12 000 mérést végeztek és 358 selejtet találtak. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy a kapott relatív gyakoriság 0,005-nél kevesebbel tér el a tényleges értéktől, vagyis annak valószínűségétől, hogy egy véletlenszerűen választott termék selejtes! | ||
Megoldás: A mérések száma: , a selejtek száma , ebből a relatív gyakoriság: . Reményeink szerint a selejt valószínűsége ezen értéktől nem tér el túlságosan. Mivel az a p valószínűség nem ismert, ezért a nagy számok Bernoulli-féle törvényének alábbi alakját kell használnunk: . | ||
Jelen esetben . | ||
Vagyis csupán azt állíthatjuk, hogy a kapott relatív gyakoriság érték -nál nagyobb valószínűséggel 0,005-nél kevesebbel tér el az ismeretlen p valószínűségtől. Nyilván ez nem túl meggyőző érték, tehát a vizsgált minta elemszámának növelésére van szükség. | ||
3. feladat Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy szabályos dobókockát feldobni ahhoz, hogy a 4-esek relatív gyakorisága legalább 0,9 valószínűséggel 0,02-nál kevesebbel tér el -tól! | ||
Megoldás: Alkalmazzuk a nagy számok Bernoulli-féle törvényét! | ||
4. feladat Egy tömegtermelésben készülő terméket vizsgálunk, hatalmas mennyiség áll rendelkezésünkre. Becsüljük meg, hogy legalább hány elemű mintát kell venni ahhoz, hogy a hibás termékek arányát 95%-os biztonsággal, 0,05-nál kisebb eltéréssel meg tudjuk adni! | ||
Megoldás: Mivel nem ismert az, hogy egy termék mekkora valószínűséggel hibás, ezért a Bernoulli-féle törvény alábbi alakját kell használnunk: . | ||
5. feladat Népszavazáson egy bizonyos kérdés eldöntéséhez 50%+1 beleegyező szavazatra van szükség. A szavazatok feldolgozásának egy korai szakaszában azt tapasztaljuk, hogy 400 000 szavazó közül 180 000 szavazott igennel a feltett kérdésre. Mekkora annak valószínűsége, hogy a népszavazáson az igen szavazatok szerezzenek többséget? | ||
Megoldás: Jelen állás szerint a beleegyező szavazatok relatív gyakorisága . Ahhoz, hogy az igenek legyenek többségben szükséges, tehát Bernoulli tételében kell. | ||
6. feladat Egy fűrészüzemben 2 cm vastag deszkákat készítenek, a tapasztalat szerint 2 mm szórással. Raktározáskor 100 db deszka kerül közvetlenül egymásra. Milyen magas tároló helyiségre van szükség ahhoz, hogy a deszkák 90%-os valószínűséggel elférjenek benne? | ||
Megoldás: Az egyes deszkák vastagsága egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (ugyanott készültek), várható értékkel, és szórással. A központi határeloszlás-tétel szerint független, azonos eloszlású valószínűségi változók összegének standardizáltja közelítőleg standard normális eloszlású, azaz , ahol a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét jelöli. | ||
A kérdés tulajdonképpen az, hogy mi az az érték, aminél a valószínűségi változók összege 90% valószínűséggel kisebb, vagyis milyen x esetén lesz . | ||
Táblázatból kikeresve adódik, hogy . | ||
Behelyettesítve a szövegben szereplő értékeket: | ||
7. feladat Egy 100 személyes sétahajó kapitánya hosszú idő alatt azt tapasztalja, hogy a jeggyel rendelkezőknek mindössze 90%-a jelenik meg a beszállásnál. Ezen felbuzdulva egy alkalommal 110 jegyet ad el. Mi a valószínűsége, hogy lesz olyan utas, aki nem fér fel a hajóra? | ||
Megoldás: Feltételezhetjük, hogy az utasok egymástól függetlenül döntenek arról, hogy utaznak vagy sem. Átlagosan 90%-uk dönt az utazás mellett, tehát annak valószínűsége, hogy egy bizonyos utas megjelenik a beszállásnál . | ||
Minden egyes jeggyel rendelkező utashoz rendeljünk egy valószínűségi változót: | ||
Az eloszlása: | ||
Az induláskor megjelentek száma a -k összege lesz. Ha legalább 101 utas jelenik meg beszállásnál, akkor valakinek biztosan nem jut hely. Tehát a kérdés annak valószínűsége, hogy a -k összege nagyobb 100-nál. | ||
A valószínűség meghatározásához használjuk fel a központi határeloszlás tételt. | ||
8. feladat Micimackó mézet akart lopni a méhektől, de rajtavesztett: mind a 200 méhecske egyszerre támadt rá. Tudjuk, hogy minden egyes méh 0,4 valószínűséggel csípi meg a tolvajt. Mi a valószínűsége, hogy Micimackó 50 csípésnél kevesebbel megússza a kalandot? | ||
Megoldás: Más irányú tanulmányainkból (biológia, élővilág, környezetismeret, stb.) tudjuk, hogy egy méhecske csak egyszer tud csípni. Így minden egyes méhecskéhez rendelhetünk egy valószínűségi változót: | ||
Eloszlása: | ||
Várható értéke: , szórása: . | ||
A csípések számát valószínűségi változók összegeként kapjuk. A kérdés annak valószínűsége, hogy ez az összeg 50-nél kevesebb-e. Ezt a valószínűséget ismét a központi határeloszlás tétel segítségével határozhatjuk meg: | ||
Megjegyzés: értéke nem mindenhol szerepel a táblázatban, de mivel már , ezért ez az érték 1-nek vehető. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Egy szabályos pénzérmét 1000-szer feldobunk. A Bernoulli-féle törvénnyel becsülve mekkora lehet annak valószínűsége, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább 0,05-dal eltér -től?
![]() | |||||||||
2. Egy ismeretlen valószínűségű esemény valószínűségét szeretnénk megbecsülni a relatív gyakorisággal. Adjunk becslést a Bernoulli-féle törvénnyel arra, hányszor kell végrehajtani az adott esemény megfigyelésére vonatkozó kísérletet, ha azt akarjuk, hogy a relatív gyakoriság legalább 0,95 valószínűséggel 0,1-nél kevesebbel térjen el a valószínűségtől?
![]() | |||||||||
3. Egy játékban 0,5 valószínűséggel nyerünk, vagy 0,5 valószínűséggel veszítünk 100 Ft-ot. A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakját felhasználva adjunk becslést arra, hogy hány játék után mondhatjuk el: a nyereményünk átlaga legalább 90%-os valószínűséggel 0,05-nál kevesebbel tér el a várható értéktől?
![]() | |||||||||
4. Egy alkalommal a 100 fős évfolyam számára kiírt "Valószínűség számítás és matematikai statisztika" című előadást egy 90 fő befogadására alkalmas terembe tették. A hallgatók egymástól függetlenül 0,8 valószínűséggel mennek el az órára. Mi lehet annak a valószínűsége, hogy minden megjelent befér?
![]() | |||||||||
5. Valamely típusú alkatrész élettartama exponenciális valószínűségi változó 200 óra várható értékkel. Ha az alkatrész meghibásodik, akkor azonnal cserélik, időveszteség nélkül. Tudjuk, hogy az alkatrész hiányában a teljes berendezés működésképtelen. Ha 100 ilyen alkatrész áll rendelkezésünkre, akkor mi a valószínűsége, hogy legalább 24 000 óráig működőképes marad a berendezés?
![]() | |||||||||
6. Adott 80 darab független, azonos eloszlású valószínűségi változó, melyek várható értéke 10, szórása 4. Annak valószínűsége, hogy ezek átlaga nagyobb, mint 11:
![]() | |||||||||
7. Egy érmét 1000-szer feldobva 452 fejet és 548 írást kapunk. A Bernoulli-törvény alapján mi lehet annak valószínűsége, hogy az érme szabályos?
![]() |