KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
11. lecke: A várható érték és a szórás
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.9. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Egy diszkrét valószínűségi változó várható értékén a | ||
, ahol , | ||
összeget értjük, amennyiben . Egyébként azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik. | ||
Egy folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értékén a | ||
integrált értjük, amennyiben. Egyébként azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik | ||
Legyen egy tetszőleges valószínűségi változó és , ahol az , és tetszőleges valós számok. Ekkor az valószínűségi változó várható értéke | ||
, | ||
amennyiben a és a várható értéke létezik. | ||
Egy valószínűségi változószórásán a valószínűségi változó várható értékének négyzet-gyökét értjük, amit -val vagy -vel jelölünk. Azaz a szórása | ||
, | ||
amennyiben a és a várható értéke létezik. | ||
Ha a valószínűségi változó és annak négyzetének várható értéke is létezik, akkor a szórása is létezik és a | ||
képlettel is kiszámítható. | ||
Legyen egy tetszőleges valószínűségi változó és . Ekkor az szórása | ||
, | ||
amennyiben a szórása létezik. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat Legyen diszkrét eloszlású valószínűségi változó, eloszlása pedig: . | ||
Megoldás: A várható érték definíciója szerint . | ||
A szórás meghatározásához először a szórásnégyzetet számítjuk ki a összefüggés segítségével. A kifejezés második részében álló a várható érték négyzetét jelenti, amely már ismert, hiszen a várható értéket kiszámítottuk. Az első tag várható értéke. Ennek meghatározásához írjuk fel eloszlását. lehetséges értékei lehetséges értékeinek négyzetei a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig az eredeti értékhez tartozó valószínűségek. | ||
. | ||
Vegyük észre, hogy az 1 kétszer szerepel a felsorolásban, hiszen -1 és 1 négyzete is 1. Természetesen a két 1-es ugyanaz a szám, így eloszlása: | ||
Ebből várható értékét az előzőhöz hasonlóan meghatározhatjuk: | ||
Mostmár kiszámíthatjuk a szórásnégyzetet: | ||
2. feladat A diszkrét eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek az 1, 2, ..., n számok (n egy véges érték), a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig azonosak, vagyis mindegyik . Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: A feladat szerint eloszlása a következő: | ||
. Pl. n=4 esetén így festene: . | ||
Mi azonban most az általános esetet fogjuk megoldani. | ||
Használjuk fel, hogy az első n db pozitív egész szám összege: . Ezzel . | ||
A szórást most is a szórásnégyzetből számítjuk ki, amihez szükségünk van értékére. | ||
Ebből várható értéke: | ||
Használjuk fel, hogy az első n db négyzetszám összege: . | ||
A szórásnégyzet így már meghatározható: | ||
Vagyis a szórás: | ||
3. feladat A diszkrét eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek az 1, 2, ... számok (végtelen sok érték!), a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig , , ..., a k értékhez tartozó tartozzon. Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás:eloszlása a következő: | ||
Első ránézésre egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy az , , ..., számok valószínűség eloszlást alkotnak, tehát ezt le kellene ellenőriznünk. Annak kell teljesülnie, hogy minden valószínűség érték legyen nemnegatív, a valószínűségek összege pedig legyen 1. Ebből az első feltétel nyilván teljesül. A másodikhoz ki kell számítani az alábbi végtelen összeget: . Ez az összeg felírható a következőképpen is: , vagyis egy (remélhetőleg) ismerős sor összege a kérdés. Az kifejezés felírható formában is (közös nevezőre hozással ellenőrizzük le!). Vagyis az összeg alakban is írható. Ebből még persze nem látszik, hogy mennyi lenne maga az összeg, érdemes ehhez felírni az első néhány tagot: Az első n tag részösszege , így a végtelen sor összege 1 lesz, vagyis ezek a számok tényleg valószínűség eloszlást alkotnak, értelmes kérdés így a várható érték is. | ||
A várható érték az alábbi végtelen összeg. | ||
rövidebben: . Amit kaptunk, az az egynél nagyobb pozitív egészek reciprokainak összege, melyről tudjuk, hogy divergens (végtelenhez tart). Vagyis ebben az esetben a várható érték nem létezik, ebből következően a szórás sem. | ||
4. feladat Egy dobókockát háromszor elgurítunk. Jelentse a dobott hatosok számát. Számítsuk ki várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek: | ||
Ugyanis minden dobásnál hatféle lehetőségünk van, ez a három dobásra így -féle lehetőség. Ha nem dobunk hatost, akkor minden dobásnál 5 lehetőségünk van, ez így eset. Ha egy hatost dobunk, akkor ezt háromféleképpen tehetjük (elsőre, másodikra vagy harmadikra) a nem hatosokra pedig -féle lehetőség van, ez így eset. A két hatos esete hasonlóan számítható, itt 15 esetet kapunk, három hatost pedig csak egyféleképpen dobhatunk. | ||
Így eloszlása: | ||
várható értéke: | ||
eloszlása: | ||
várható értéke: | ||
A szórásnégyzet: | ||
Így a szórás: | ||
5. feladat A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: Először is ellenőrizzük le, hogy valóban sűrűségfüggvény-e. nyilvánvalóan teljesül. Másrészt , tehát valóban sűrűségfüggvényről van szó. | ||
A folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értékének definíciója szerint: . Most is elég ott integrálni, ahol nullától különbözik, tehát . | ||
A szórásnégyzet meghatározásához most is ki kell számítanunk várható értékét: . | ||
Ez most . | ||
Így a szórásnégyzet: | ||
6. feladat A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: . Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: Először is sűrűségfüggvényét kell kiszámítani. Ehhez az eloszlásfüggvényt kell deriválnunk: . | ||
, így a sűrűségfüggvény: . | ||
A várható érték: | ||
várható értéke: | ||
Így a szórásnégyzet: | ||
7. feladat A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen a következő: . | ||
Megoldás: teljesül, másrészt , tehát valóban sűrűségfüggvényről van szó. | ||
A várható érték: . | ||
Tehát a várható érték ebben az esetben nem létezik, így a szórás sem. | ||
8. feladat A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen: . | ||
Megoldás: Először sűrűségfüggvényét kell meghatározni: , így . | ||
A várható érték: parciálisan kell integrálnunk, mégpedig úgy, hogy az 'x' legyen az, amit majd deriválni fogunk. | ||
Így: . | ||
Tehát . |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. A valószínűségi változó eloszlása a következő: .
![]() | |||||||||
2. A valószínűségi változó eloszlása a következő: .
![]() | |||||||||
3. A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
4. A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
5. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
6. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
7. A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
8. Ha , akkor
![]() | |||||||||
9. Ha , akkor
![]() | |||||||||
10. Az alábbiak közül melyik nem igaz:
![]() |