KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

9. lecke: Az eloszlásfüggvény

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.9. fejezet

Elméleti összefoglaló

Egy ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a ξ valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz

F( x )=P( ξ<x ),xIR.

Tetszőleges ξ valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

1. 0F( x )1
2. F( a )F( b ) , ha ab , (Monoton növekedő.)
3. lim x F( x )=0 , lim x+ F( x )=1 ,
4. P( ξa )=1P( ξ<a )=1F( a ) ,
5. P( aξ<b )=F( b )F( a ) ,
6. P( ξ=a )= lim xa+0 F( x )F( a ) .
Kidolgozott feladatok

1. feladat Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlása a következő:
ξ={ 1 0 1 2 0,2 0,1 0,4 0,3

a)Ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét!
b)Határozzuk meg az alábbi valószínűségeket!
P( ξ=0 )
P( ξ>1 )
P( ξ1 )

Megoldás:

a) Egyszerűen alkalmazzuk az eloszlásfüggvény definícióját: F( x )=P( ξ<x ) . Azaz olyan függvényt akarunk ábrázolni, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a ξ valószínűségi változó ennél a bizonyos x-nél kisebb értéket vesz fel.

Az eloszlás szerint ξ lehetséges értékei: -1; 0 ; 1; 2. Tehát annak valószínűsége, hogy ξ -1-nél kisebb értéket vesz fel, nulla. Vagyis az eloszlásfüggvény -1-hez és a nála kisebb számokhoz nullát rendel.

Tekintsünk egy -1 és 0 közötti értéket. Annak valószínűsége, hogy ennél a számnál kisebb lesz ξértéke: 0,2, hiszen -1-et felvehet a valószínűségi változó (ami kisebb a -1 és 0 közé eső számnál), és ennek valószínűsége 0,2.

Nullánál a helyettesítési érték P( ξ<0 )=0,2 , hiszen a valószínűségi változónak csak egy nullánál kisebb lehetséges értéke van (-1), és ennek valószínűsége 0,2.

Az eloszlásfüggvény 0 és 1 között felvett értékét az előzőhöz hasonlóan határozzuk meg, azzal az eltéréssel, hogy egy tetszőleges 0 és 1 közötti számnál ξ-nek két kisebb értéke van: -1 és 0. Így annak valószínűsége, hogy ξ egy 0 és 1 közé eső számnál ( 0x1 ) kisebbet vesz fel, a két lehetséges eset valószínűségének összege: 0,2+0,1=0,3.

Hasonlóan 1 és 2 közötti ( 1x2 ) értékhez az eloszlásfüggvény 0,2+0,1+0,4=0,7-et rendel.

2-nél nagyobb x-ek esetén az eloszlásfüggvény értéke 1, hiszen a valószínűségi változónak a legnagyobb értéke 2. Vagyis annak valószínűsége nyilván 1, hogy egy 2-nél nagyobb számnál kisebb értéket vesz fel.

Így az eloszlásfüggvény grafikonja:

b) Az eloszlásból leolvasható, hogy ξ a 0 értéket 0,1 valószínűséggel veszi fel, azaz P( ξ=0 )=0,1 .
A valószínűségi változónak három -1-nél nagyobb értéke van: 0; 1; 2, ezek valószínűségei rendre: P( ξ=0 )=0,1 ; P( ξ=1 )=0,4 ; P( ξ=2 )=0,3 . Így annak valószínűsége, hogy ξ -1-nél nagyobb értéket vesz fel: P( ξ>1 )=0,1+0,4+0,3=0,8 .

Másképp: az összes lehetséges érték közül csak a -1 nem felel meg, ennek valószínűsége 0,2, vagyis a keresett valószínűség így: 1-0,2=0,8.

Annak valószínűsége, hogy ξ értéke legfeljebb 1: 0,7, hiszen itt a lehetséges értékek -1; 0; 1, ezek valószínűségeinek összege pedig 0,7.

2. feladat Tekintsük a [ 0;4 ] intervallumot. Ebből választunk teljesen véletlenszerűen egy számot. Jelölje ξ a választott érétket. Adjuk meg és ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét!

Megoldás: Mivel az intervallumból a számokat teljesen véletlenszerűen választjuk, ezért annak valószínűsége, hogy a kiválasztott szám a [ 0;4 ] intervallum valamely részintervallumába esik, arányos ezen részintervallum hosszával (ld. a geometriai valószínűségi mezőről szóló fejezetet). Így például annak valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a [ 0;a [ részintervallumba esik, egyenlő ezen részintervallum hosszának és a teljes intervallum hosszának hányadosával: a 4 .

A [ 0;4 ] intervallumban (analízisből tudjuk) nem megszámlálhatóan végtelen sok szám van, így annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket választunk ki, mindig nulla, P( ξ=x )=0 . Általában igaz, hogy folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén az egyenlőség valószínűsége mindig nulla. (Lásd a 6. tulajdonságot)

Ennyi információ birtokában már fel lehet írni az eloszlásfüggvényt:
Annak valószínűsége, hogy ξ<a , ahol a0 , P( ξ<a )=0 , hiszen a [ 0;4 ] intervallumból választunk.
Annak valószínűsége, hogy ξb , ahol b>4 , P( ξb )=1 , hiszen a [ 0;4 ] intervallumból választunk.
Annak valószínűsége, hogy 0ξ<a , ahol 0a4 : P( 0ξ<a )= a 4 .
Vagyis az eloszlásfüggvény: F( x )={ 0, ha x0 x 4 , ha 0<x4 1, ha x>4 .

Ábrázolva:

3. feladat Legyen a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő:
F( x )={ 0, ha x2 x2 3 , ha 2<x5 1, ha x>5 .

Határozzuk meg a következő valószínűségeket:

a) P( ξ<3 )
b) P( ξ=4 )
c) P( ξ>4 )
d) P( 3ξ<4,5 )
e) P( ξ<1 )
f) P( ξ>6 )
g) P( 0ξ<3 )
h) P( 0ξ<10 )

Megoldás: Az elméleti összefoglalóban felsorolt tulajdonságokat fogjuk felhasználni:

a) P( ξ<3 )=F( 3 )= 32 3 = 1 3
b) P( ξ=4 )= lim x4+ F( x )F( 4 )=0 , mivel F( x ) folytonos függvény (azt is mondhattuk volna, hogy ξ folytonos eloszlású, tehát az egyenlőség valószínűsége 0).
c) P( ξ>4 )=1P( ξ4 ) , hiszen P( A )=1P( A ¯ ) .
Továbbá P( ξ4 )=P( ξ<4 )+P( ξ=4 )=F( 4 )+0= 42 3 = 2 3 .
Így a keresett valószínűség: P( ξ>4 )=1 2 3 = 1 3 .
d) P( 3ξ<4,5 )=F( 4,5 )F( 3 )= 4,52 3 32 3 = 2,5 3 1 3 = 1,5 3 =0,5 .
e)Jusson eszünkbe, hogy F(x) 2-nél kisebb értékekre 0, így P( ξ<1 )=F( 1 )=0 .
f) P( ξ>6 )=1P( ξ6 )=1[ P( ξ=6 )+P( ξ<6 ) ]=1[ 0+F( 6 ) ]=1( 0+1 )=0 , hiszen F( x ) 5-nél nagyobb x-ekre 1.
Megjegyzés: az előző két pontra úgy is válaszolhattunk volna, hogy ξ értékei 2 és 5 közé esnek, ezért az 1-nél kisebb és a 6-nál nagyobb értéknek is 0 a valószínűsége.
g) P( 0ξ<3 )=F( 3 )F( 0 )= 32 3 0= 1 3 .
h) P( 0ξ<10 )=F( 10 )F( 0 )=10=1 .

4. feladat A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő:
F( x )={ 0, ha x2 1 4 x 2 , ha 2<x .

Számítsuk ki a következő valószínűségeket:

a) P( 1ξ<4 )
b) P( ξ>10 )
c) P( 3ξ<3 )
d) P( ξ=10 )
e) P( ξ<1 )
f) P( ξ>0 )

Megoldás:

a) P( 1ξ<4 )=F( 4 )F( 1 )=1 4 16 0= 12 16 =0,75
b) P( ξ>10 )=1P( ξ10 )=1[ P( ξ=10 )+P( ξ<10 ) ]= 1[ 0+F( 10 ) ]=1( 1 4 100 )= 4 100 =0,04 , hiszen ξ folytonos eloszlású, így P( ξ=10 )=0 .
c) P( 3ξ<3 )=F( 3 )F( 3 )=1 4 9 0= 5 9 0,555
d) P( ξ=10 )=0 , hiszen ξ folytonos eloszlású.
e) P( ξ<1 )=F( 1 )=0
f) P( ξ>0 )=1P( ξ0 )=1[ P( ξ=0 )+P( ξ<0 ) ]=1( 0+0 )=1 , másképp: ξ értékei a [ 2; [ intervallumból származnak, tehát biztosan nagyobb a felvett érték 0-nál.

5. feladat A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő:
F( x )={ 0, ha x3 1 81 x 4 , ha 3<x .

Számítsuk ki az alábbi valószínűségeket:

a) P( ξ>4 |ξ<10 )
b) P( ξ<6 |ξ>5 )

Megoldás: Idézzük a feltételes valószínűség definícióját: P( A|B )= P( AB ) P( B ) . Vagyis az "A feltéve, hogy B" esemény valószínűsége egyenlő az együttes bekövetkezés valószínűsége osztva a feltétel valószínűségével.

a)A fenti jelölésekkel: A=ξ>4 , B=ξ<10 . Az együttes bekövetkezés: AB=4<ξ<10 . Ezzel P( ξ>4 |ξ<10 )= P( 4<ξ<10 ) P( ξ<10 ) . Innen kezdve a számlálót és a nevezőt ugyanúgy kiszámítjuk, mint az előző feladatokban:
F( 10 )F( 4 ) F( 10 ) = 1 81 10000 ( 1 81 256 ) 1 81 10000 =0,311
b)Most az együttes bekövetkezés: ξ<6 és ξ>5 , azaz 5<ξ<6 . Így P( ξ<6 |ξ>5 )= P( 5<ξ<6 ) P( ξ>5 ) = F( 6 )F( 5 ) 1F( 5 ) = 1 81 1296 ( 1 81 625 ) 1( 1 81 625 ) =0,518

6. feladat A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: F( x )={ 0, ha x5 1 125 x 3 , ha 5<x .

Számítsuk ki az alábbi valószínűségeket:

a) P( ξ>10 |ξ>6 )
b) P( ξ<8 |ξ>9 )
c) P( ξ<8 |ξ<6 )
d) P( ξ>10 |ξ>12 )

Megoldás:

a)Az együttes bekövetkezés: ξ>10 és ξ>6 egyszerre teljesül, vagyis ξ>10 . Ezzel: P( ξ>10 |ξ>6 )= P( ξ>10 ) P( ξ>6 ) = 1F( 10 ) 1F( 6 ) = 1( 1 125 10 3 ) 1( 1 125 6 3 ) = 216 1000 =0,216 .
b)Az együttes bekövetkezés: ξ<8 és ξ>9 . E kettő egyszerre nyilván nem teljesülhet, a két esemény kizárja egymást, így a kérdéses esemény valószínűsége 0.
c)Az együttes bekövetkezés: ξ<8 és ξ<6 egyszerre teljesül, vagyis ξ<6 . Így P( ξ<8 |ξ<6 )= P( ξ<6 ) P( ξ<6 ) =1 .
A kérdés szövegesen megfogalmazva: "Feltéve, hogy ξ<6 , mi a valószínűsége, hogy ξ<8 ?" Nyilvánvaló, hogy a feltétel teljesülés esetén ξ<8 mindig teljesül, így ez a valószínűség 1.
d)Az együttes bekövetkezés: ξ>10 és ξ>12 egyszerre teljesül, vagyis ξ>12 . Így P( ξ>10 |ξ>12 )= P( ξ>12 ) P( ξ>12 ) =1 .
A kérdés szövegesen megfogalmazva: "Feltéve, hogy ξ>12 , mi a valószínűsége, hogy ξ>10 ?" Nyilvánvaló, hogy a feltétel teljesülés esetén ξ>10 mindig teljesül, így ez a valószínűség is 1.
Ellenőrző kérdések
1. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 1 x 3 , ha 1<x 0,         különben .
Ekkor P( ξ<4 )=?
a) 63 64
b) 1 64
c) 3 4
d) 1 8
2. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 4 x 2 , ha 2<x 0,         különben .
Ekkor P( ξ>6 )=?
a) 32 36
b) 1 9
c) 1 3
d) 2 3
3. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 0,           ha x5 x 2 25 24 , ha 5<x7 1,            ha x>7 . Ekkor P( ξ=6 )=?
a) 1 2
b) 11 24
c) 13 24
d) 0
4. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 0,           ha x1 x 3 1 124 , ha 1<x5 1,            ha x>5 .
Ekkor P( 4<ξ6 )=?
a) 152 124
b) 63 124
c) 75 124
d) 61 124
5. Az alábbiak közül melyik lehet eloszlásfüggvény?
a) F( x )={ x 2 4 x 2 , ha 2<x 0,         különben
b) F( x )=1 1 x 3
c) F( x )={ x 3 16 x 2 , ha 4<x 0,         különben
d) F( x )={ 1 x 2 , ha 1<x 0,    különben
6. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 9 x 2 , ha 3<x 0,         különben .
Ekkor P( 4<ξ<4 )=?
a) 7 16
b) 0
c) 9 16
d) 7 16
7. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 0,        ha x2 x2 4 , ha 2<x6 1,         ha x>6 .
Ekkor P( ξ>4| ξ<5 )=?
a) 1 4
b) 1 3
c) 3 4
d) 1
8. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 27 x 3 , ha 3<x 0,         különben .
Ekkor P( ξ>3| ξ>6 )=?
a) 7 8
b) 1 8
c) 1
d) 19 27
9. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 e 4x , ha 0<x 0,          különben .
Ekkor P( ξ<4| ξ>1 )=?
a) 1 e 12
b) e 12
c) 1 e 3
d) e 9
10. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 36 x 2 , ha 6<x 0,         különben .
Ekkor P( ξ<10| ξ>8 )=?
a) 81 400
b) 9 25
c) 81 175
d) 0