KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: I. modul: Kombinatorika, eseményalgebra és valószínűségek meghatározása kombinatorikus úton

7. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.7. fejezet

Elméleti összefoglaló

A B 1 , B 2 ...,  B n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha B 1 + B 2 +...+ B n =Ω és B i B j =Ø , ha ij ( i=1, 2... ,n; j=1, 2..., n ) .

[Másképpen P( B 1 )+...+P( B n )=1 és P( B i B j )=0 ]

A teljes valószínűség tétele

Ha a B 1 , B 2 ...,  B n események teljes eseményrendszert alkotnak, és P( B i )0 ( i=1, 2... ,n ) , akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes a következő: P( A )=P( A| B 1 )P( B 1 )+P( A| B 2 )P( B 2 )+...+P( A| B n )P( B n )= i=1 n P( A| B i )P( B i ) .

A Bayes-tétel

Ha a B 1 , B 2 ...,  B n események teljes eseményrendszert alkotnak, és P( B i )0 ( i=1, 2... ,n ) , továbbá A tetszőleges olyan esemény, amelyre P( A )0 , akkor P( B i |A )= P( A| B i )P( B i ) j=1 n P( A| B j )P( B j ) .

Kidolgozott feladatok

1. feladat Egy gyárban 4 gépsoron ugyanazt a terméket készítik. Az elsőn készült darabok 5%-a, a másodikon készültek 8%-a, a harmadikon és negyediken készültek 10%-a hibás. A gépek az összes termelésnek rendre 40, 30, 20, 10 százalékát adják. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék hibás?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: a választott termék hibás
B1: a választott termék az 1. gépen készült
B2: a választott termék a 2. gépen készült
B3: a választott termék a 3. gépen készült
B4: a választott termék a 4. gépen készült

A B1, B2, B3, B4 események teljes eseményteret alkotnak, hisz egymást kizáróak és összegük a biztos esemény (egy munkadarab csak egy gépen készül).

A feladat szerint P( B 1 )=0,4 , P( B 2 )=0,3 , P( B 3 )=0,2 és P( B 4 )=0,1 .

Mi lehet P( A| B 1 ) ? Ez annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a termék hibás, feltéve, hogy az 1. gépen készült. Mivel az 1. gép 5%-ban termel selejtet, ezért P( A| B 1 )=0,05 . Hasonlóan P( A| B 2 )=0,08 , P( A| B 3 )=0,1 és P( A| B 4 )=0,1 .

Így felírhatjuk a teljes valószínűség tételét:
P( A )= i=1 4 P( A| B i )P( B i )= P( A| B 1 )P( B 1 )+P( A| B 2 )P( B 2 )+P( A| B 3 )P( B 3 )+P( A| B 4 )P( B 4 )=
0,050,4+0,080,3+0,10,2+0,10,1=0,074
Tehát a véletlenszerűen kiválasztott termék 0,074 valószínűséggel hibás.

2. feladat Eltévedtünk a piacon. A közelünkben négy ruhaárus, egy újságos és két virágárus van. A távol-keleti ruhákat menedzselők 0,6 valószínűséggel tudják megmondani a helyes irányt, a virágárus nénik 0,7 valószínűséggel, Józsi bácsi, az újságos szinte biztosan, 0,95 valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk, ha a közülük véletlenszerűen kérdezünk meg valakit?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: jó útra térítenek
B1: valamelyik ruhaárustól kérdezünk
B2: valamelyik virágárustól kérdezünk
B3: Józsi bácsit kérdezzük

Összesen 4+2+1=7 árus van a környéken. Annak a valószínűsége, hogy ruhaárust választunk: P( B 1 )= 4 7 ; hogy virágárust választunk P( B 2 )= 2 7 ; hogy Józsi bácsit választjuk P( B 3 )= 1 7 . A feladat szövege szerint annak a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk feltéve, hogy ruhaárustól kérdezünk: P( A| B 1 )=0,6 . A többi: P( A| B 2 )=0,7 és P( A| B 3 )=0,95 .

Írjuk fel a teljes valószínűség tételét:
P( A )=P( A| B 1 )P( B 1 )+P( A| B 2 )P( B 2 )+P( A| B 3 )P( B 3 )= 0,6 4 7 +0,7 2 7 +0,95 1 7 = 4,75 7 0,678
Vagyis 0,678 valószínűséggel kapunk helyes útmutatást.

3. feladat Egy rekeszben (20 üveg) fele-fele arányban van barna és világos sör. Az üvegeket véletlenszerűen választva elkezdjük pusztítani a készletet. Mi a valószínűsége, hogy a harmadik kivett üveg barna nedűt tartalmaz?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: a 3. üvegben barna sör van
B1: a 3. sör előtt 10 világos és 8 barna sör van a rekeszben
B2: a 3. sör előtt 9 világos és 9 barna sör van a rekeszben
B3: a 3. sör előtt 8 világos és 10 barna sör van a rekeszben
C1: elsőre világos sört választunk
C2: másodikra világos sört választunk
C 1 ¯ : elsőre barna sört választunk
C 2 ¯ : másodikra barna sört választunk

B1, B2, B3 teljes eseményrendszert alkotnak. Fejezzük ki ezeket C1 és C2-vel!

P( B 1 )=P( C 1 ¯ C 2 ¯ )=P( C 2 ¯ | C 1 ¯ )P( C 1 ¯ )= 9 19 10 20 = 9 38
P( B 2 )=P( C 1 C 2 ¯ + C 1 ¯ C 2 )=P( C 1 C 2 ¯ )+P( C 1 ¯ C 2 )=P( C 2 ¯ | C 1 )P( C 1 )+P( C 1 ¯ | C 2 )P( C 2 )= 10 19 10 20 + 10 19 10 20 = 20 38
P( B 3 )=P( C 1 C 2 )=P( C 2 | C 1 )P( C 1 )= 9 19 10 20 = 9 38
P( A| B 1 )= 8 18 , P( A| B 2 )= 9 18 , P( A| B 3 )= 10 18
P( A )= i=1 3 P( A| B i )P( B i )= 8 18 9 38 + 9 18 20 38 + 10 18 9 38 = 8+20+10 76 = 1 2

(Megjegyzés: Az eredmény nem meglepő, ha belegondolunk.)

4. feladat Egy évfolyamon a lányok 0,7, a fiúk 0,6 valószínűséggel vizsgáznak sikeresen egy bizonyos tárgyból. Mi lehet az évfolyam százalékos összetétele, ha tudjuk, hogy az évfolyam 63%-a vizsgázik sikeresen?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: sikeresen vizsgázik egy hallgató P( A )=0,63
B1: egy véletlenszerűen választott hallgató lány P( B 1 )=p
B2: egy véletlenszerűen választott hallgató fiú P( B 2 )=1p

P( A| B 1 )=0,7
P( A| B 1 )=0,7

A teljes valószínűség tételét alkalmazva:
P( A )=P( A| B 1 )p+P( A| B 2 )( 1p ) 0,63=0,7p+0,6( 1p ) 0,03=0,1p
p=0,3
1p=0,7

Vagyis az évfolyam 30%-a lány, 70%-a pedig fiú.

5. feladat Egy üzemben 3 gépsor gyártja ugyanazt a terméket. Az első a termékek 30%-át, a második az 50%-át, a harmadik a 20%-át adja. Az elsőn készült termékek 5%-a, a másodikon készültek 7%-a, a harmadikon készültek 3%-a selejt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott selejtes termék az első gépsoron készült?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: a termék selejtes
B1: a termék az 1. gépsorral készült
B2: a termék a 2. gépsorral készült
B3: a termék a 3. gépsorral készült

Így a feladatban megadott valószínűségek:
P( B 1 )=0,3 , P( B 2 )=0,5 , P( B 3 )=0,2 .
P( A| B 1 )=0,05 , P( A| B 2 )=0,07 , P( A| B 3 )=0,03 .

Ezekre alkalmazva a Bayes-tételt:
P( B 1 |A )= P( A| B 1 )P( B 1 ) i=1 3 P( A| B i )P( B i ) = 0,050,3 0,050,3+0,070,5+0,030,2 = 0,015 0,015+0,035+0,006 = 0,015 0,056 = 15 56 0,268 .

Tehát 0,268 a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott selejtes termék az első gépsoron készült.

6. feladat Egy gyárban készült termékek 70%-a másodosztályú, 30%-a első osztályú. A termékek minősítésekor a következő hibát követik el: első osztályú terméket 5% valószínűséggel minősítenek másodosztályúnak, másodosztályú terméket 2% valószínűséggel minősítenek első osztályúvá. Mi a valószínűsége annak, hogy egy első osztályúnak minősített termék valóban első osztályú?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
B1: a termék első osztályú
B2: a termék másodosztályú
A: a terméket első osztályúnak minősítik

A valószínűségek:
P( B 1 )=0,3
P( B 2 )=0,7
P( A| B 1 )=10,05=0,95
P( A| B 2 )=0,02

Ezekkel a Bayes-tétel:
P( B 1 |A )= P( A| B 1 )P( B 1 ) P( A| B 1 )P( B 1 )+P( A| B 2 )P( B 2 ) = 0,950,3 0,950,3+0,020,7 = 285 299 0,953 .

Tehát 0,953 a valószínűsége annak, hogy egy első osztályúnak minősített termék valóban első osztályú.

7. feladat Négy doboz mindegyikében 4 golyó van, melyek közül rendre 1, 2, 3, 4 piros. Kiválasztunk egy dobozt és abból visszatevéssel háromszor húzunk. Azt találjuk, hogy mindhárom kihúzott golyó piros. Mi a valószínűsége, hogy a dobozban levő golyók közül éppen kettő volt piros?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: mindhárom kihúzott golyó piros.
B1: az 1. dobozt választjuk P( B 1 )= 1 4
B2: a 2. dobozt választjuk P( B 2 )= 1 4
B3: a 3. dobozt választjuk P( B 3 )= 1 4
B4: a 4. dobozt választjuk P( B 4 )= 1 4

Az 1. dobozban 1 db piros golyó van, a 2.-ban 2, a 3.-ban 3, a 4.-ben pedig 4.

Annak a valószínűsége, hogy egy húzásra az 1. dobozból piros golyót húzunk: 1 4 .
Annak a valószínűsége, hogy egy húzásra a 2. dobozból piros golyót húzunk: 2 4 .
Annak a valószínűsége, hogy egy húzásra a 3. dobozból piros golyót húzunk: 3 4 .
Annak a valószínűsége, hogy egy húzásra a 4. dobozból piros golyót húzunk: 4 4 .

Annak a valószínűsége, hogy háromszor egymás után húzva piros golyót húzunk:

az 1. dobozból: ( 1 4 ) 3 =P( A| B 1 ) ;
a 2. dobozból: ( 2 4 ) 3 =P( A| B 2 ) ;
a 3. dobozból: ( 3 4 ) 3 =P( A| B 3 ) ;
a 4. dobozból: ( 4 4 ) 3 =P( A| B 4 ) .

Ezekkel a Bayes-tétel:
P( B 2 |A )= P( A| B 2 )P( B 2 ) i=1 4 P( A| B i )P( B i ) = 8 64 1 4 1 64 1 4 + 8 64 1 4 + 27 64 1 4 + 64 64 1 4 = 8 1+8+27+64 = 8 100 =0,08 .

Tehát 0,08 a valószínűsége, hogy a dobozban levő golyók közül éppen kettő volt piros.

8. feladat Labdarúgó edzésen jártunk. Tudjuk, hogy a résztvevő 20 játékos közül a csatárok (5 fő) 0,9 valószínűséggel, a középpályások (7 fő) 0,8, a védők (6 fő) 0,75, a kapusok (2 fő) 0,7 valószínűséggel lövik be a büntetőt. Látunk egy játékost, aki kihagyja a büntetőjét. Mi a valószínűsége, hogy ő csatár?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
A: a játékos kihagyja a büntetőt.
B1: a véletlenszerűen választott játékos csatár,  P( B 1 )= 5 20 =0,25
B2: a véletlenszerűen választott játékos középpályás,  P( B 2 )= 7 20 =0,35
B3: a véletlenszerűen választott játékos védő, P( B 3 )= 6 20 =0,3
B4: a véletlenszerűen választott játékos kapus,  P( B 4 )= 2 20 =0,1

P( A| B 1 )=1P( belövi| B 1 )=10,9=0,1

Hasonlóan:
P( A| B 2 )=10,8=0,2 ,
P( A| B 3 )=10,75=0,25 ,
P( A| B 4 )=10,7=0,3 .

Alkalmazzuk a Bayes-tételt:
P( B 1 |A )= P( A| B 1 ) i=1 4 P( A| B i )P( B i ) = 0,10,25 0,10,25+0,20,35+0,250,3+0,30,1 = 1 8 =0,125

Tehát az ismeretlen játékos 0,125 valószínűséggel csatár.

9. feladat Egy kereskedő négy beszállítótól kap árut. Az első a teljes áru mennyiségének a felét, a másodiktól a negyedét, a harmadiktól és a negyediktől egyaránt a nyolcadát szerzi be. Tapasztalata szerint a legnagyobb szállítótól kapott áru 60%-a első osztályú, a többi másodosztályú. A másodiknál ez az arány 50-50%, a maradék kettőnél 40-60%. A készletéből választott áru mekkora valószínűséggel lesz első osztályú?

Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket:
B1: az árut az első szállító hozta
B2: az árut a 2. szállító hozta
B3: az árut a 3. szállító hozta
B4: az árut a 4. szállító hozta
A: a választott áru első osztályú

A feladat szövege szerint az első szállító a teljes mennyiség felét adja, tehát annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott áru tőle származik: P( B 1 )=0,5 . Hasonlóan: P( B 2 )=0,25 , P( B 3 )=P( B 4 )=0,125 .

Az elsőtől kapott áru 60%-a első osztályú, a többi másodosztályú. Vagyis feltéve, hogy egy áru az 1. szállítótól származik, az 0,6 valószínűséggel első osztályú. Tehát: P( A| B 1 )=0,6 . Hasonlóan a többire: P( A| B 2 )=0,5 , P( A| B 3 )=0,4 , P( A| B 4 )=0,4 .

Most már felírhatjuk a teljes valószínűség tételét:
P( A )= i=1 4 P( A| B i )P( B i )=0,60,5+0,50,25+0,40,125+0,40,125=0,525 .

Tehát a kereskedőtől vett áru 0,525 valószínűséggel első osztályú.

10. feladat Az előbb említett kereskedő a reklamációk miatt szeretné kideríteni, hogy egy véletlenszerűen választott másodosztályú áru mekkora valószínűséggel származik az egyes beszállítóktól. Segítsünk neki!

Megoldás: A kérdés az, mi annak a valószínűsége, hogy az áru az 1. (2., 3., 4.) szállítótól származik, feltéve, hogy másodosztályú.

Használjuk fel az előző példa jelöléseit. Mivel csak első és másodosztályú áru fordul elő, ezért A ¯ jelöli azt az eseményt, hogy az áru másodosztályú. Ezek szerint a következő valószínűségeket kell meghatározni: P( B 1 | A ¯ ) , P( B 2 | A ¯ ) , P( B 3 | A ¯ ) , P( B 4 | A ¯ ) .

Az előző példából ismertek az alábbi valószínűségek: P( B 1 )=0,5 , P( B 2 )=0,25 , P( B 3 )=0,125 , P( B 4 )=0,125 , P( A )=0,525 , tehát P( A ¯ )=1P( A )=0,475 .

Mivel mindenki csak első vagy másodosztályú árut hoz, ezért
P( A ¯ | B 1 )=1P( A| B 1 )=0,4 ,
P( A ¯ | B 2 )=1P( A| B 2 )=0,5 ,
P( A ¯ | B 3 )=1P( A| B 3 )=0,6 ,
P( A ¯ | B 4 )=1P( A| B 4 )=0,6 .

Most már minden adott a Bayes-tétel alkalmazásához:
P( B 1 | A ¯ )= P( A ¯ | B 1 )P( B 1 ) i=1 4 P( A ¯ | B i )P( B i ) = 0,40,5 0,40,5+0,50,25+0,60,125+0,60,125 = 0,2 0,475 =0,421
P( B 2 | A ¯ )= P( A ¯ | B 2 )P( B 2 ) i=1 4 P( A ¯ | B i )P( B i ) = 0,50,25 0,475 = 0,125 0,475 =0,263
P( B 3 | A ¯ )= P( A ¯ | B 3 )P( B 3 ) i=1 4 P( A ¯ | B i )P( B i ) = 0,60,125 0,475 = 0,075 0,475 =0,158
P( B 4 | A ¯ )= P( A ¯ | B 4 )P( B 4 ) i=1 4 P( A ¯ | B i )P( B i ) = 0,60,125 0,475 = 0,075 0,475 =0,158

Ellenőrző feladatok
1. Egy középiskolában 4 érettségiző osztály van. Az egyikben a tanulók negyede, a másikban fele, a harmadikban és a negyedikben ötöde vizsgázott jelesre matematikából. Minden osztályba ugyanannyian járnak. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott érettségiző diák jelesre vizsgázott?
a) 0,2432
b) 0,2500
c) 0,2174
d) 0,2875
2. Egy üzemben 3 munkás szortírozza az elkészült termékeket. Az egyik 0,05 valószínűséggel hibázik a minősítéskor, a második és a harmadik rendre 0,03, illetve 0,02 valószínűséggel. Egy óra alatt az első átlagosan 28, a második 36, a harmadik 42 terméket vizsgál meg. Ha az üzem termékei közül véletlenszerűen választunk egyet, akkor mi a valószínűsége, hogy az hibás minősítést kapott?
a) 0,033
b) 0,031
c) 0,106
d) 0,096
3. Egy városban a keresőképes lakosság 28%-a rendelkezik diplomával. A munkanélküliek aránya a diplomások között 5,3%, a többiek között 7,8%. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy embert, mekkora a valószínűsége, hogy ő munkanélküli?
a) 0,0632
b) 0,0655
c) 0,0710
d) 0,0682
4. Az előző feladatban szereplő városban találkoztunk egy emberrel. Megtudtuk, hogy nincs munkája. Mi a valószínűsége, hogy rendelkezik diplomával?
a) 0,234
b) 0,838
c) 0,280
d) 0,209
5. Egy nemzetközi kézilabda-kupában a legjobb nyolc közé 1 magyar, 2 spanyol, 2 német, 2 orosz és 1 szlovén csapat jutott, vaksorsolással (kiemelés nélkül) párosítják őket. A magyar csapat spanyol ellenféllel szemben 0,2, némettel szemben 0,5, orosszal szemben 0,45, a szlovénnal szemben pedig 0,7 valószínűséggel szerepel sikeresen. Mi a valószínűsége, hogy továbbjut a magyar gárda?
a) 0,428
b) 0,462
c) 0,264
d) 0,356
6. Feltéve, hogy a fenti magyar csapat továbbjutott, mi a valószínűsége, hogy orosz ellenfelet ejtett ki?
a) 0,300
b) 0,450
c) 0,225
d) 0,150
7. Feltéve, hogy nem jutott tovább a magyar csapat, mi a valószínűsége, hogy papíron nála erősebbtől kapott ki?
a) 0,924
b) 0,675
c) 0,462
d) 0,337