MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
10. lecke: A sűrűségfüggvény
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.9. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
Egy valószínűségi változót folytonoseloszlásúnak mondunk, ha az eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz van olyan függvény, amelyre |
|
Ezt az függvényt a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. |
Tetszőleges folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: |
1. | , | 2. | , | 3. | , | 4. | , | 5. | , | 6. | . |
|
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Határozzuk meg az alábbi eloszlásfüggvényekkel rendelkező valószínűségi változók sűrűségfüggvényeit: |
a) | | b) | |
|
Megoldás: Mindkét esetben azt használjuk fel, hogy a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja, azaz . Azt kell szem előtt tartani, hogy az egyes részintervallumokon mi az függvény. |
a) | Az eloszlásfüggvény 3-nál kisebb, illetve 4-nél nagyobb x-ek setén konstans, tehát ekkor a deriváltja nulla. A két érték között , ennek deriváltja pedig . Így a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . | b) | Most az eloszlásfüggvény esetén konstans, tehát a deriváltja 0. 2-nél nagyobb x-ek esetén , ennek deriváltja . Így a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . |
|
2. feladat Adott a következő függvény: . Mennyi legyen az "a" paraméter értéke, hogy egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen? |
Megoldás: Az függvény akkor lesz sűrűségfüggvény, ha teljesül rá a következő két tulajdonság: minden valós x esetén, és . |
Az első tulajdonság miatt . A második tulajdonság: , mivel elég azon az intervallumon integrálni, ahol nem nulla. Azt szeretnénk, hogy sűrűségfüggvény legyen, vagyis az egyenlőségnek kell teljesülni, ebből pedig "a" paraméter értéke meghatározható: . Ebből pedig következik. |
3. feladat Adott a következő . Mennyi legyen az "a" paraméter értéke, hogy egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen? |
Megoldás: A feladat abban tér el az előzőtől, hogy nem egy határozott, hanem egy impropius integrál kiszámítását igényli. |
Mivel kell, hogy teljesüljön, ezért . Másrészt teljesülnie kell az egyenlőségnek is. Most is elég ott integrálni, ahol nem nulla, tehát . Az "a" paraméter az egyenlőségből határozható meg: . Ebből pedig következik. |
4. feladat A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . |
a) | Igazoljuk, hogy valóban sűrűségfüggvény! | b) | Számítsuk ki a és a valószínűségeket! |
|
Megoldás: |
a) | Az előző feladatok alapján nyilvánvaló, hogy az és az tulajdonságokat kell ellenőriznünk. esetén értelmezett (pozitív x-ek), értéke pozitív, így . A másik tulajdonság vizsgálatánál most is elég ott integrálni, ahol nullától különböző, tehát , így valóban sűrűségfüggvény. | b) | A sűrűségfüggvény tulajdonságai alapján:
, hiszen f(x) 4-nél nagyobb x-ek esetén nulla. . Vagyis |
|
5. feladat Legyen valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . |
a) | Határozzuk meg eloszlásfüggvényét! | b) | Milyen "a" értékre lesz ? |
|
Megoldás: |
a) | A kapcsolatot az eloszlás- és sűrűségfüggvény között a következőképpen is felírhatjuk: . Ebből következően ha , akkor . Ha , akkor pedig . Tehát az eloszlásfüggvény: . | b) | A valószínűség a sűrűségfüggvényből és az eloszlásfüggvényből is felírható: vagy . Az előbbi esetben az , az utóbbi esetben pedig az egyenletet kell "a"-ra megoldani (az integrálás is erre az egyenletre vezet). , ebből . Vegyük mindkét oldal "e" alapú logaritmusát: . Ebből pedig . |
|
6. feladat Legyen valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . Tudjuk, hogy . Határozzuk meg az paraméter értékét! |
Megoldás: Megoldandó az egyenlet. A bal oldal: Tehát azt kapjuk, hogy . Ebből ,ebből következik, hogy , vagyis . |
7. feladat Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . |
a) | Ellenőrizzük le, hogy valóban sűrűségfüggvény-e! | b) | Határozzuk meg a következő valószínűségeket: , , ! |
|
Megoldás: |
a) | Ha , akkor , tehát teljesül. Másrészt , tehát valóban sűrűségfüggvény. | b) | , hiszen értéke a intervallumból származik. . , a fentiek miatt. . |
|
8. feladat Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . Továbbá tudjuk, hogy . Határozzuk meg "a" és "b" értékét! |
Megoldás: Nyilván . Így . Ebből . |
Másrészt tudjuk, hogy , így egyenletből "b" értéke meghatározható. , így pedig . |
Másképp: konstans függvény adott intervallumon vett integrálja a függvény értéke szorozva az intervallum hosszával. Ebből az következik, hogy a példában az intervallum hossza 2, így "a" ismeretében már "b" kiszámítható. |
| Ellenőrző kérdések |
1. Az valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor sűrűségfüggvénye: |
2. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Mennyi "a" paraméter értéke? |
3. Az alábbiak közül melyik nem lehet egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? |
4. Az alábbiak közül melyik lehet egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? |
5. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor |
6. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor |
7. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor |
8. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor |
9. Lehet-e két valószínűségi változó sűrűségfüggvényeinek összege egy harmadik valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? |
10. Az alábbiak közül melyik igaz minden sűrűségfüggvényre |