KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: I. modul: Kombinatorika, eseményalgebra és valószínűségek meghatározása kombinatorikus úton
6. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.7. és 2.8. fejezet | |||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||
Ha A és B egy kísérlettel kapcsolatos két tetszőleges esemény és , akkor az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségét a kifejezéssel definiáljuk. | |||||||||||
Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A bekövetkezik. | |||||||||||
A fentiekből kifejezett egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük. | |||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||
1. feladat Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak? | |||||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||||
A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: | |||||||||||
Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket! | |||||||||||
Összesen 12 versenyző indult, ebből 4 magyar, vagyis . | |||||||||||
, mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk). | |||||||||||
, mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10. | |||||||||||
A fentiekből következik, hogy . | |||||||||||
2. feladat Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre ( esetén) teljesül a következő egyenlőség: . | |||||||||||
Megoldás: Alakítsuk át a baloldali kifejezést: . | |||||||||||
A számláló: . | |||||||||||
Ezt felhasználva kapjuk: | |||||||||||
3. feladat Ismertek a következő valószínűségek: , és . Határozzuk meg a és értékét! | |||||||||||
Megoldás: A feltételes valószínűségek definíciója alapján kétféleképpen is felírható: | |||||||||||
Behelyettesítve a megadott értékeket: | |||||||||||
Fejezzük ki -t segítségével! | |||||||||||
Ezt visszahelyettesítjük az előzőleg kapott összefüggésbe: | |||||||||||
4. feladat Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy 1, 2, vagy 3 fiú van? | |||||||||||
Megoldás: Tegyük fel, hogy a fiúgyermek születésének valószínűsége (lányé szintén ). | |||||||||||
Ugyanis a 3 közül kell kiválasztani azt az egyet, amelyik fiú és ezt -féleképpen tehetjük meg. | |||||||||||
Hasonlóan | |||||||||||
Vagyis a kapott valószínűségek: ; ; . | |||||||||||
5. feladat Az 52 lapos francia kártyát 4 játékos között osztják szét. Jancsi kezében 5 pikk van. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a sorrendben előtte ülőnek is 5 pikk van a kezében? | |||||||||||
Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: | |||||||||||
Ezek szerint keresett a valószínűség. | |||||||||||
Az összes lehetséges leosztások száma: | |||||||||||
Azon esetek száma, mikor Jancsinál 5 pikk van: | |||||||||||
Vagyis annak a valószínűsége, hogy Jancsi kezében 5 pikk van: | |||||||||||
Azon esetek száma, mikor Jancsinál is és az előtte ülőnél is 5 pikk van: | |||||||||||
Vagyis így . | |||||||||||
Ezzel . | |||||||||||
Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0,0545. | |||||||||||
6. feladat Hasonlóan az előző feladathoz most is kiosztjuk a francia kártya 52 lapját négy játékos között. Feltéve, hogy Jancsinál van pikk, mi a valószínűsége, hogy 2-nél több van nála? | |||||||||||
Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: | |||||||||||
. | |||||||||||
(Ugyanis Jancsi csak a 39 nem pikk közül kaphat lapot, majd a többiek a megmaradt 39 lapon osztozhatnak.) | |||||||||||
. | |||||||||||
Azaz , így | |||||||||||
Ezzel . | |||||||||||
Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0,711. | |||||||||||
7. feladatA és B legyenek független események, és . Határozzuk meg az alábbiakat: | |||||||||||
| |||||||||||
Megoldás: | |||||||||||
|
Ellenőrző feladatok | |||||||||
1. Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Feltéve, hogy dobunk hatost, mi a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk hatost?
![]() | |||||||||
2. Jancsi 0,7 valószínűséggel visz virágot Juliskának. Ha Juliska virágot kap, 0,6 valószínűséggel puszit ad érte. Mi a valószínűsége, hogy Jancsi virágot visz és puszit is kap érte?
![]() | |||||||||
3. Holnap 0,8 valószínűséggel esni fog az eső. Annak valószínűsége, hogy esik az eső és kirándulni megyünk 0,6. Feltéve, hogy holnap esik az eső, mekkora valószínűséggel megyünk kirándulni?
![]() | |||||||||
4. Egy osztályban 10 fiú és 12 lány van. Három tanuló felel egy órán. Mi a valószínűsége, hogy az első fiú, a második lány, a harmadik ismét fiú, ha mindenki ugyanakkora valószínűséggel felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felehet az órán)?
![]() | |||||||||
5. A fenti osztályban mi annak a valószínűsége, hogy egymás után három fiú felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felelhet)?
![]() | |||||||||
6. Egy bajnokságban 4 budapesti és 12 vidéki csapat játszik. Mi a valószínűsége, hogy az első helyezett budapesti, a második vidéki, és a harmadik is vidéki csapat lesz? (Feltételezzük, hogy a csapatok azonos eséllyel versenyeznek a bajnoki címért.)
![]() | |||||||||
7. A és B legyenek független események, és . Ekkor
![]() | |||||||||
8. Ha A és B független események, és , , akkor
![]() |