MODUL: I. modul: Kombinatorika, eseményalgebra és valószínűségek meghatározása kombinatorikus úton
3. lecke: Műveletek eseményekkel
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.1. és 2.2. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
Véletlen tömegjelenségek megfigyelését kísérletnek nevezzük, a kísérlet egy lehetséges kimenete: az elemi esemény. Ezen elemi események összessége az eseménytér (). Az eseménytér részhalmazait eseményeknek nevezzük () |
: biztos esemény : lehetetlen esemény : A bekövetkezése maga után vonja B bekövetkezését |
Műveletek eseményekkel (A és B eseményekre): |
: A és B közül legalább az egyik bekövetkezik : A is és B is bekövetkezik : A bekövetkezik, de B nem : A nem következik be (az A esemény ellentettje, komplementere) Ha , akkor A és B egymást kizáró események. |
Műveleti tulajdonságok: |
|
|
|
|
|
|
de Morgan azonosságok: |
|
Az eseményalgebra az eseménytér olyan G részhalmaza, amelyre |
1. | ha , akkor | 2. | ha , akkor | 3. | ha , akkor |
|
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Kirándulni megyünk a hétvégén. Legyen az A esemény az, hogy esni fog az eső, B pedig, hogy vonattal megyünk. Értelmezzük a következő eseményeket: , , , , ! |
Megoldás: : Esni fog az eső, és vonattal megyünk. : Nem fog esni az eső és nem vonattal megyünk. : A de Morgan azonosság szerint , vagyis ez megegyezik az előzővel. : A de Morgan azonosság szerint , vagyis a nem fog esni az eső és a nem vonattal megyünk események közül legalább az egyik bekövetkezik. (Tipikus hibás válasz: nem fog esni az eső és nem vonattal megyünk.) : , vagyis esni fog, de nem vonattal megyünk. |
2. feladat Kockával dobunk kétszer egymás után. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első dobás eredménye páros, B pedig azt, hogy a második páros. Fejezzük ki A és B segítségével az alábbiakat: |
a) | a dobott számok összege páros | b) | a dobott számok szorzata páros | c) | a dobott számok különbsége páratlan | d) | a dobott számok szorzata páratlan | e) | a dobott számok összege páratlan |
|
Megoldás: |
a) | A dobott számok összege úgy lehet páros, ha vagy mindkettő páros (), vagy mindkettő páratlan (), tehát az összeg páros: . | b) | A szorzat úgy lehet páros, ha valamelyik tényező páros: . | c) | A különbség úgy lehet páratlan, ha az egyik páros, a másik pedig páratlan. Az első páros, a második páratlan: ; az első páratlan, a második páros: . A kettő közül valamelyiknek teljesülnie kell ahhoz, hogy a különbség páratlan legyen, tehát: . | d) | A szorzat akkor lesz páratlan, ha mindkettő páratlan, tehát: . | e) | Az összeg akkor lesz páratlan, ha egyik páros, a másik páratlan, tehát ugyanúgy, mint a c) pontban: . Másképpen: ez az a) feladat ellentettje, vagyis . A de Morgan azonosság alapján: , mivel és lehetetlen esemény. |
|
3. feladat Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre: ! |
Megoldás: Alakítsuk át mindkét oldalt! |
Bal oldal: Jobb oldal: Azonos átalakításokkal mindkét oldalra ugyanazt az eredményt kaptuk, tehát ezzel igazoltuk az egyenlőséget. |
4. feladat Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C, D eseményekre:! |
Megoldás: A baloldalt a de Morgan azonosság felhasználásával átalakítjuk: . Ezzel igazoltuk az egyenlőséget. |
5. feladat Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, eseményekre: ! |
Megoldás:
Ezzel az egyenlőséget igazoltuk. |
6. feladat Egy irodában több telefon is van. Tekintsük a következő eseményeket: A: minden készlék jó; B: van rossz készülék. Értelmezzük az alábbi eseményeket: |
a) | | b) | | c) | | d) | |
|
Megoldás: |
a) | Definíció szerint az esemény jelentése az, hogy A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Mivel a "minden készülék jó" és a "van rossz készülék" események közül az egyik mindig fennáll, ezért (biztos esemény). | b) | jelentése: A és B közül mindegyik bekövetkezik. Vagyis itt annak kellene teljesülni, hogy egyrészt minden készülék jó, másrészt van rossz készülék is. E kettő természetesen kizárja egymást, így . | c) | az az esemény, ami akkor következik be, amikor A nem következik be. Vigyázzunk a "minden készülék jó" esemény ellentettje (komplementere) nem a "minden készlék rossz" esemény, hanem a "van rossz készülék" esemény lesz. (Gondoljunk bele jelentésébe!) Így . | d) | jelentése: nem következik be a "van rossz készülék" esemény. Ezek szerint nincs rossz készülék, vagyis minden készülék jó. Tehát most . |
|
7. feladat Egy pénzérmét háromszor egymás után feldobunk. Tekintsük a következő eseményeket: A: csak fejet dobunk; B: egy fej és két írás lesz; C: két fej és egy írás lesz. Fejezzük ki A, B és C esemény segítségével a "csak írás lesz" eseményt! |
Megoldás: Vezessük be a következő jelölést: D: csak írást dobunk. Tipikus rossz megoldás: |
A: csak fejet dobunk, tehát : csak írást dobunk. |
Az A esemény ellentettje (komplementere) az az esemény, amely akkor következik be, ha A nem következik be. |
Mikor fordul elő, hogy nem következik be a "csak fejet dobunk"? Ha mindhárom dobás eredménye írás, vagy két írás - egy fej, vagy két fej - egy írás dobásunk van. Vagyis . Ebből, mivel A, D, B, C egymást kizáró események: . (Vagyis azokból az eseményekből, ahol nem teljesül, hogy csak fejet dobunk, elhagyjuk azokat, amikor egy fej - két írást, illetve két fej - egy írást dobunk. Marad a csak írást dobunk esemény. |
8. feladat Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B eseményekre ! |
Megoldás: Használjuk az alábbi összefüggést (lásd elméleti összefoglaló): . Ezzel az egyenlőség bal oldala: . |
Hasonló elven átalakítható az egyenlőség jobb oldala is, csak most A és B szerepe felcserélődik: . |
Ezzel az egyenlőség: . |
Mindkét oldalon különbség áll, alakítsuk az oldalakat a már felhasznált azonosság ismételt alkalmazásával:
|
Használjuk fel a de Morgan azonosságokat:
|
Ezzel az egyenlőség:
Mivel , illetve , továbbá , ezért a két oldal megegyezik. |
A bizonyítás során csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az eredeti egyenlőség is fennáll, tehát az állítást igazoltuk. |