KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

17. lecke: A nagy számok törvényei

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.17. és 2.25. fejezet

Elméleti összefoglaló

A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakja

Ha a ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n azonos várható érétkű és szórású független valószínűségi változók M( ξ i )=m várható értékkel és D( ξ i )=σ szórással ( i=1,2,,n ) , akkor P( | ξ 1 + ξ 2 ++ ξ n n m |ε ) σ 2 ε 2 n . tetszőleges ε>0 pozitív szám esetén.

A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakja független, azonos várható értékű és szórású valószínűségi változók számtani közepének a közös várható értéktől való eltérésére ad becslést.

A nagy számok Bernoulli-féle törvénye

Ha n független kísérletet végzünk egy p=P( A ) valószínűségű A esemény megfigyelésére és a kísérletek során az A esemény k n -szer következett be, akkor P( | k n n p |ε ) p( 1p ) ε 2 n , tetszőleges ε>0 pozitív szám esetén.

A nagy számok Bernoulli-féle törvényét általában P( | k n n p |<ε )=1P( | k n n p |ε )1 p( 1p ) ε 2 n formában annak becslésére használjuk, hogy a relatív gyakoriság milyen valószínűséggel közelíti meg az adott A esemény pvalószínűségét.

Mivel p( 1p ) 1 4 , ezért a Bernoulli-féle törvényből a P( | k n n p |ε ) 1 4 ε 2 n egyenlőtlenség teljesülése is következik, ami ismeretlen p esetén is alkalmazható P( | k n n p |<ε )=1P( | k n n p |ε )1 1 4 ε 2 n becslést tesz lehetővé.

Központi (centrális) határeloszlás tétel

Ha a ξ 1 , ξ 2 ,, ξ n ,... azonos eloszlású és véges szórású független valószínűségi változók egy sorozata, M( ξ i )=m , és D( ξ i )=σ ( i=1,2,... ) , akkor a 0 várható értékű és 1 szórású η n = ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ n nm n σ , ( n=1,2,... ) valószínűségi változók sorozata aszimptotikusan standard normális eloszlású, azaz lim n P( η n <x )=Φ( x ) , ahol Φ( x ) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét jelöli.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy szabályos dobókockát feldobnunk ahhoz, hogy annak valószínűsége, hogy a dobott számok átlaga legalább 0,1-del eltér a várható értéktől, 0,05-nél kisebb legyen?

Megoldás: Legyen ξ i az i-edik dobott számot jelentő valószínűségi változó.
Ekkor ξ i várható értéke: M( ξ i )=1 1 6 +2 1 6 +3 1 6 +4 1 6 +5 1 6 +6 1 6 =3,5 ,
ξ i 2 várható értéke: M( ξ i 2 )=1 1 6 +4 1 6 +9 1 6 +16 1 6 +25 1 6 +36 1 6 = 91 6 ,
ξ i szórásnégyzete: D 2 ( ξ i )=M( ξ i 2 ) M 2 ( ξ i )2,9167
A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakját alkalmazva:
P( | ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ n n m |ε ) σ 2 ε 2 n
Most m=3,5 , σ 2 2,9167 és ε=0,1 .
Behelyettesítve: P( | ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ n n 3,5 |0,1 ) 2,9167 0,01n
A feladatban szereplő feltétel teljesül, ha 2,9167 0,01n 0,05 ,
ebből azt kapjuk, hogy n5833,4 .
Tehát a becslésünk szerint ha legalább 5834-szer feldobjuk a dobókockát, akkor a feladatban kiszabottak teljesüljenek.

2. feladat Valamely termékben a selejtek arányát szeretnénk megállapítani. Ehhez 12 000 mérést végeztek és 358 selejtet találtak. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy a kapott relatív gyakoriság 0,005-nél kevesebbel tér el a tényleges értéktől, vagyis annak valószínűségétől, hogy egy véletlenszerűen választott termék selejtes!

Megoldás: A mérések száma: n=12000 , a selejtek száma k=358 , ebből a relatív gyakoriság: k n =0,02983 . Reményeink szerint a selejt valószínűsége ezen értéktől nem tér el túlságosan. Mivel az a p valószínűség nem ismert, ezért a nagy számok Bernoulli-féle törvényének alábbi alakját kell használnunk: P( | k n p |<ε )1 1 4 ε 2 n .

Jelen esetben ε=0,005 .
Behelyettesítve azt kapjuk, hogy 1 1 4 ε 2 n =1 1 4 0,005 2 12000 = 1 6

Vagyis csupán azt állíthatjuk, hogy a kapott relatív gyakoriság érték 1 6 -nál nagyobb valószínűséggel 0,005-nél kevesebbel tér el az ismeretlen p valószínűségtől. Nyilván ez nem túl meggyőző érték, tehát a vizsgált minta elemszámának növelésére van szükség.

3. feladat Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy szabályos dobókockát feldobni ahhoz, hogy a 4-esek relatív gyakorisága legalább 0,9 valószínűséggel 0,02-nál kevesebbel tér el 1 6 -tól!

Megoldás: Alkalmazzuk a nagy számok Bernoulli-féle törvényét! P( | k n p |<ε )1 p(1p) ε 2 n
A feladatban p= 1 6 és ε=0,02 .
Ha teljesül, hogy 1 p( 1p ) ε 2 n 0,9 , akkor a kívánt feltételnek is eleget tettünk.
1 p( 1p ) ε 2 n 0,9 , vagyis 1 1 6 5 6 0,0004n 0,9 , ebből n3472,2 .
Tehát becslésünk szerint, ha legalább 3473-szor feldobjuk a dobókockát, akkor a feladatban kiszabottak teljesülnek.

4. feladat Egy tömegtermelésben készülő terméket vizsgálunk, hatalmas mennyiség áll rendelkezésünkre. Becsüljük meg, hogy legalább hány elemű mintát kell venni ahhoz, hogy a hibás termékek arányát 95%-os biztonsággal, 0,05-nál kisebb eltéréssel meg tudjuk adni!

Megoldás: Mivel nem ismert az, hogy egy termék mekkora valószínűséggel hibás, ezért a Bernoulli-féle törvény alábbi alakját kell használnunk: P( | k n p |<ε )1 1 4 ε 2 n .
Most ε=0,05 és 1 1 4 ε 2 n 0,95 teljesülését kell vizsgálni.
Behelyettesítve: 1 1 40,0025n 0,95 , ebből n2000 .
Tehát becslésünk szerint legalább 2000 elemű mintát kell venni.

5. feladat Népszavazáson egy bizonyos kérdés eldöntéséhez 50%+1 beleegyező szavazatra van szükség. A szavazatok feldolgozásának egy korai szakaszában azt tapasztaljuk, hogy 400 000 szavazó közül 180 000 szavazott igennel a feltett kérdésre. Mekkora annak valószínűsége, hogy a népszavazáson az igen szavazatok szerezzenek többséget?

Megoldás: Jelen állás szerint a beleegyező szavazatok relatív gyakorisága 180000 400000 =0,45 . Ahhoz, hogy az igenek legyenek többségben p>0,5 szükséges, tehát Bernoulli tételében ε>0,05 kell.
A tétel szerint: P( | k n p |ε ) 1 4 ε 2 n .
ε=0,05 és n=400000 esetén a helyettesítési érték:
1 4 ε 2 = 1 40,0025400000 =0,00025 . (0,05-nál nagyobb ? esetén ennél még kisebb értéket kapunk)
Tehát becslésünk szerint az igen szavazatok többségének 0,00025 a valószínűsége (0,025% - "gyakorlatilag nulla")

6. feladat Egy fűrészüzemben 2 cm vastag deszkákat készítenek, a tapasztalat szerint 2 mm szórással. Raktározáskor 100 db deszka kerül közvetlenül egymásra. Milyen magas tároló helyiségre van szükség ahhoz, hogy a deszkák 90%-os valószínűséggel elférjenek benne?

Megoldás: Az egyes deszkák vastagsága egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változónak tekinthető (ugyanott készültek), M( ξ )=20 mm várható értékkel, és D( ξ )=2 mm szórással. A központi határeloszlás-tétel szerint független, azonos eloszlású valószínűségi változók összegének standardizáltja közelítőleg standard normális eloszlású, azaz P( ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ n nM( ξ ) n D( ξ ) <x )Φ( x ) , ahol Φ( x ) a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét jelöli.

A kérdés tulajdonképpen az, hogy mi az az érték, aminél a valószínűségi változók összege 90% valószínűséggel kisebb, vagyis milyen x esetén lesz Φ( x )=0,9 .

Táblázatból kikeresve adódik, hogy x=1,28 .
Azt kapjuk tehát, hogy
P( ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ n nM( ξ ) n D( ξ ) <1,28 )0,9 .

Behelyettesítve a szövegben szereplő értékeket:
P( ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ 100 10020 100 2 <1,28 )=P( ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ 100 <25,6+2000 )= P( ξ 1 + ξ 2 +...+ ξ 100 <2025,6 )0,9
Tehát a deszkahalom magassága (a deszkák vastagságának összege) 0,9 valószínűséggel 202,56 cm-nél kisebb, vagyis legalább ilyen magas tároló helyiségre van szükség.

7. feladat Egy 100 személyes sétahajó kapitánya hosszú idő alatt azt tapasztalja, hogy a jeggyel rendelkezőknek mindössze 90%-a jelenik meg a beszállásnál. Ezen felbuzdulva egy alkalommal 110 jegyet ad el. Mi a valószínűsége, hogy lesz olyan utas, aki nem fér fel a hajóra?

Megoldás: Feltételezhetjük, hogy az utasok egymástól függetlenül döntenek arról, hogy utaznak vagy sem. Átlagosan 90%-uk dönt az utazás mellett, tehát annak valószínűsége, hogy egy bizonyos utas megjelenik a beszállásnál p=0,9 .

Minden egyes jeggyel rendelkező utashoz rendeljünk egy valószínűségi változót:
ξ i :{ 1, ha az i-edik utas utazik 0, ha nem 

Az eloszlása:
ξ i :{ 1 0 0,9 0,1

Az induláskor megjelentek száma a ξ i -k összege lesz. Ha legalább 101 utas jelenik meg beszállásnál, akkor valakinek biztosan nem jut hely. Tehát a kérdés annak valószínűsége, hogy a ξ i -k összege nagyobb 100-nál.

P( ξ 1 +...+ξ 110 101 )=1P( ξ 1 +...+ξ < 110 101 )

A P( ξ 1 +...+ξ < 110 101 ) valószínűség meghatározásához használjuk fel a központi határeloszlás tételt.
M( ξ i )=0,9 , D( ξ i )= 0,90,90,9 =0,3
P( ξ 1 +...+ξ < 110 101 )=P( ξ 1 +...+ξ 110 1100,9 110 0,3 < 1011100,9 110 0,3 )= P( ξ 1 +...+ξ 110 99 3,1464 <0,6356 )Φ( 0,6356 ) , ahol Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét jelöli. Táblázatból Φ( 0,6356 )0,7375 .
Így P( ξ 1 +...+ξ 110 101 )10,7375=0,2625 .
Tehát becslésünk szerint kb. 26,25% annak a valószínűsége, hogy valaki nem fér fel a hajóra (a tényleges valószínűség ennél nagyobb, kb. 0,329).

8. feladat Micimackó mézet akart lopni a méhektől, de rajtavesztett: mind a 200 méhecske egyszerre támadt rá. Tudjuk, hogy minden egyes méh 0,4 valószínűséggel csípi meg a tolvajt. Mi a valószínűsége, hogy Micimackó 50 csípésnél kevesebbel megússza a kalandot?

Megoldás: Más irányú tanulmányainkból (biológia, élővilág, környezetismeret, stb.) tudjuk, hogy egy méhecske csak egyszer tud csípni. Így minden egyes méhecskéhez rendelhetünk egy valószínűségi változót:
ξ i :{ 1, ha az i-edik méhecske csípett 0, ha nem 

Eloszlása:
ξ i :{ 1 0 0,4 0,6

Várható értéke: M( ξ i )=0,4 , szórása: D( ξ i )= 0,40,40,4 0,4898 .

A csípések számát ξ i valószínűségi változók összegeként kapjuk. A kérdés annak valószínűsége, hogy ez az összeg 50-nél kevesebb-e. Ezt a valószínűséget ismét a központi határeloszlás tétel segítségével határozhatjuk meg:
P( ξ 1 +...+ξ < 200 50 )=P( ξ 1 +...+ξ 200 200M( ξ i ) 200 D( ξ i ) < 50200M( ξ i ) 200 D( ξ i ) )= P( ξ 1 +...+ξ 200 80 6,9268 <4,331 )Φ( 4,331 )=1Φ( 4,331 )=11=0

Megjegyzés: Φ( 4,331 ) értéke nem mindenhol szerepel a táblázatban, de mivel már Φ( 3 )=0,99999997 , ezért ez az érték 1-nek vehető.
Tehát 0 annak valószínűsége, hogy Micimackó 50csípésnél kevesebbel megússza a kalandot.

Ellenőrző kérdések
1. Egy szabályos pénzérmét 1000-szer feldobunk. A Bernoulli-féle törvénnyel becsülve mekkora lehet annak valószínűsége, hogy a fejek számának relatív gyakorisága legalább 0,05-dal eltér 1 2 -től?
a) legfeljebb 1 10
b) legalább 1 10
c) pontosan 1 10
d) legfeljebb 0,05
2. Egy ismeretlen valószínűségű esemény valószínűségét szeretnénk megbecsülni a relatív gyakorisággal. Adjunk becslést a Bernoulli-féle törvénnyel arra, hányszor kell végrehajtani az adott esemény megfigyelésére vonatkozó kísérletet, ha azt akarjuk, hogy a relatív gyakoriság legalább 0,95 valószínűséggel 0,1-nél kevesebbel térjen el a valószínűségtől?
a) legalább 950
b) legalább 500
c) legalább 1000
d) legalább 1800
3. Egy játékban 0,5 valószínűséggel nyerünk, vagy 0,5 valószínűséggel veszítünk 100 Ft-ot. A nagy számok törvényének Csebisev-féle alakját felhasználva adjunk becslést arra, hogy hány játék után mondhatjuk el: a nyereményünk átlaga legalább 90%-os valószínűséggel 0,05-nál kevesebbel tér el a várható értéktől?
a) legalább 4 10 7
b) legalább 5 10 6
c) legalább 4 10 6
d) legalább 5 10 7
4. Egy alkalommal a 100 fős évfolyam számára kiírt "Valószínűség számítás és matematikai statisztika" című előadást egy 90 fő befogadására alkalmas terembe tették. A hallgatók egymástól függetlenül 0,8 valószínűséggel mennek el az órára. Mi lehet annak a valószínűsége, hogy minden megjelent befér?
a) 0,8888
b) 0,7365
c) 0,001
d) 0,9938
5. Valamely típusú alkatrész élettartama exponenciális valószínűségi változó 200 óra várható értékkel. Ha az alkatrész meghibásodik, akkor azonnal cserélik, időveszteség nélkül. Tudjuk, hogy az alkatrész hiányában a teljes berendezés működésképtelen. Ha 100 ilyen alkatrész áll rendelkezésünkre, akkor mi a valószínűsége, hogy legalább 24 000 óráig működőképes marad a berendezés?
a) 0,9772
b) e 2000
c) 0,3842
d) 0,0228
6. Adott 80 darab független, azonos eloszlású valószínűségi változó, melyek várható értéke 10, szórása 4. Annak valószínűsége, hogy ezek átlaga nagyobb, mint 11:
a) 0,9875
b) 0,2236
c) 0,0125
d) 0,0257
7. Egy érmét 1000-szer feldobva 452 fejet és 548 írást kapunk. A Bernoulli-törvény alapján mi lehet annak valószínűsége, hogy az érme szabályos?
a) legfeljebb 0,1085
b) legalább 0,1085
c) legalább 0,8915
d) legfeljebb 0,8915