KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

10. lecke: A sűrűségfüggvény

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.9. fejezet

Elméleti összefoglaló

Egy ξ valószínűségi változót folytonoseloszlásúnak mondunk, ha az eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz van olyan f függvény, amelyre

x f( t )dt =F( x ),xIR.

Ezt az f függvényt a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük.

Tetszőleges folytonos eloszlású ξ valószínűségi változó f sűrűségfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik:

1. F =f ,
2. f( x )0,x D f ,
3. + f( t )dt=1 ,
4. P( ξ<a )=F( a )= a f( t )dt ,
5. P( ξa )=1F( a )=1 a f( t )dt = a + f( t )dt ,
6. P( aξ<b )=F( b )F( a )= a b f( t )dt .
Kidolgozott feladatok

1. feladat Határozzuk meg az alábbi eloszlásfüggvényekkel rendelkező valószínűségi változók sűrűségfüggvényeit:

a) F( x )={ 0, ha x3 x 2 9 7 , ha 3<x4 1,ha x>4
b) F( x )={ 0, ha x2 1 16 x 4 , ha 2<x

Megoldás: Mindkét esetben azt használjuk fel, hogy a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja, azaz f( x )=F'( x ) . Azt kell szem előtt tartani, hogy az egyes részintervallumokon mi az F( x ) függvény.

a)Az eloszlásfüggvény 3-nál kisebb, illetve 4-nél nagyobb x-ek setén konstans, tehát ekkor a deriváltja nulla. A két érték között F( x )= x 2 9 7 , ennek deriváltja pedig F'( x )= 2x 7 . Így a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 2x 7 , ha 3<x4 0,különben .
b)Most az eloszlásfüggvény x2 esetén konstans, tehát a deriváltja 0. 2-nél nagyobb x-ek esetén F( x )=1 16 x 4 , ennek deriváltja F'( x )= 64 x 5 . Így a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 0, ha x2 64 x 5 , ha 2<x .

2. feladat Adott a következő függvény: f( x )={ a x 2 , ha 1<x3 0,különben . Mennyi legyen az "a" paraméter értéke, hogy f( x ) egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen?

Megoldás: Az f( x ) függvény akkor lesz sűrűségfüggvény, ha teljesül rá a következő két tulajdonság: f( x )0 minden valós x esetén, és f( x )dx=1 .

Az első tulajdonság miatt a0 . A második tulajdonság: f( x )dx= 1 3 a x 2 dx , mivel elég azon az intervallumon integrálni, ahol f( x ) nem nulla. Azt szeretnénk, hogy f( x ) sűrűségfüggvény legyen, vagyis az 1 3 a x 2 dx=1 egyenlőségnek kell teljesülni, ebből pedig "a" paraméter értéke meghatározható:
1 3 a x 2 dx=a 1 3 x 2 dx=a [ x 3 3 ] 1 3 =a( 27 3 1 3 )=a 26 3 =1 .
Ebből pedig a= 3 26 következik.

3. feladat Adott a következő f( x )={ a x 4 , ha 3<x 0,különben . Mennyi legyen az "a" paraméter értéke, hogy f( x ) egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen?

Megoldás: A feladat abban tér el az előzőtől, hogy nem egy határozott, hanem egy impropius integrál kiszámítását igényli.

Mivel f( x )0 kell, hogy teljesüljön, ezért a0 . Másrészt teljesülnie kell az f( x )dx=1 egyenlőségnek is. Most is elég ott integrálni, ahol f( x ) nem nulla, tehát f( x )dx= 3 a x 4 dx . Az "a" paraméter az 3 a x 4 dx=1 egyenlőségből határozható meg: 3 a x 4 dx=a 3 1 x 4 dx=a 3 x 4 dx=a [ x 3 3 ] 3 =a [ 1 3 x 3 ] 3 =0( a ) 1 327 = a 81 =1 . Ebből pedig a=81 következik.

4. feladat A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ 3 14 x , ha 1<x4 0,különben .

a)Igazoljuk, hogy f( x ) valóban sűrűségfüggvény!
b)Számítsuk ki a P( 2<ξ3 ) és a P( ξ>3 ) valószínűségeket!

Megoldás:

a)Az előző feladatok alapján nyilvánvaló, hogy az f( x )0 és az f( x )dx=1 tulajdonságokat kell ellenőriznünk. 1<x4 esetén x értelmezett (pozitív x-ek), értéke pozitív, így f( x )0 . A másik tulajdonság vizsgálatánál most is elég ott integrálni, ahol f( x ) nullától különböző, tehát
f( x )dx= 1 4 3 14 x dx= 3 14 1 4 x 1 2 dx = 3 14 [ x 3 2 3 2 ] 1 4= 3 14 2 3 [ x 3 2 ] 1 4= 1 7( 81 )=1,
így f( x ) valóban sűrűségfüggvény.
b)A sűrűségfüggvény tulajdonságai alapján:
P( 2<ξ3 )= 2 3 f( x )dx= 2 3 3 14 x dx = 3 14 [ 2 3 x 3 2 ] 2 3 = 1 7 ( 27 8 )0,338
P( ξ>3 )= 3 f( x )dx= 3 4 3 14 x dx , hiszen f(x) 4-nél nagyobb x-ek esetén nulla.
3 4 3 14 x dx = 1 7 [ x 3 2 ] 3 4 = 1 7 ( 8 27 )0,400 .
Vagyis P( ξ>3 )0,400

5. feladat Legyen ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ 5 e 5x , ha 0<x 0,különben .

a)Határozzuk meg ξ eloszlásfüggvényét!
b)Milyen "a" értékre lesz P( ξ<a )= 1 2 ?

Megoldás:

a)A kapcsolatot az eloszlás- és sűrűségfüggvény között a következőképpen is felírhatjuk: F( x )= x f( t )dt . Ebből következően ha x0 , akkor F( x )=0 . Ha x>0 , akkor pedig F( x )= 0 x 5 e 5t dt= [ e 5t ] 0 x = e 5x ( e 50 )=1 e 5x .
Tehát az eloszlásfüggvény: F( x )={ 1 e 5x , ha 0<x 0,különben .
b)A P( ξ<a ) valószínűség a sűrűségfüggvényből és az eloszlásfüggvényből is felírható: P( ξ<a )= a f( x )dx vagy P( ξ<a )=F( a ) .
Az előbbi esetben az 0 a 5 e 5x dx= 1 2 , az utóbbi esetben pedig az 1 e 5a = 1 2 egyenletet kell "a"-ra megoldani (az integrálás is erre az egyenletre vezet).
1 e 5a = 1 2 , ebből e 5a = 1 2 . Vegyük mindkét oldal "e" alapú logaritmusát: 5a=ln 1 2 . Ebből pedig a= ln 1 2 5 = ln2 5 0,1386 .

6. feladat Legyen ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ α x α+1 , ha 1<x 0,különben . Tudjuk, hogy P( 1ξ<2 )= 3 4 . Határozzuk meg az α paraméter értékét!

Megoldás: Megoldandó az 1 2 α x α+1 dx = 3 4 egyenlet.
A bal oldal: 1 2 α x α+1 dx = 1 2 α x ( α+1 ) dx = [ x α ] 1 2 = 2 α ( 1 α )=1 1 2 α
Tehát azt kapjuk, hogy 1 1 2 α = 3 4 . Ebből 1 2 α = 1 4 ,ebből következik, hogy 2 α =4 , vagyis α=2 .

7. feladat Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ sinx 2 , ha 0x<π 0,különben .

a)Ellenőrizzük le, hogy f( x ) valóban sűrűségfüggvény-e!
b)Határozzuk meg a következő valószínűségeket: P( 0ξ< π 4 ) , P( ξ< π 2 ) , P( ξ> π 3 ) !

Megoldás:

a)Ha 0x<π , akkor sinx0 , tehát f( x )0 teljesül.
Másrészt 0 π sinx 2 dx = [ cosx 2 ] 0 π = 1 2 ( 1 2 )=1 , tehát valóban sűrűségfüggvény.
b) P( 0ξ< π 4 )= 0 π 4 sinx 2 dx = [ cosx 2 ] 0 π 4 = 2 4 ( 1 2 )0,1464
P( ξ< π 2 )=P( 0ξ< π 2 ) , hiszen ξ értéke a [ 0;π ] intervallumból származik. P( 0ξ< π 2 )= 0 π 2 sinx 2 dx = [ cosx 2 ] 0 π 2 =0( 1 2 )= 1 2 .
P( ξ> π 3 )=P( π 3 <ξ<π ) , a fentiek miatt.
P( π 3 <ξ<π )= π 3 π sinx 2 dx = [ cosx 2 ] π 3 π = 1 2 ( 1 2 2 )= 3 4 .

8. feladat Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: f( x )={ 1 2 , ha ax<b 0,különben .
Továbbá tudjuk, hogy P( ξ<3 )=0,2 . Határozzuk meg "a" és "b" értékét!

Megoldás: Nyilván a<3<b . Így P( ξ<3 )=P( a<ξ<3 )= a 3 1 2 dx = [ x 2 ] a 3 = 3 2 a 2 =0,2 . Ebből a=2,6 .

Másrészt tudjuk, hogy a b f( x )dx=1 , így 2,6 b 1 2 dx=1 egyenletből "b" értéke meghatározható.
2,6 b 1 2 dx= [ x 2 ] 2,6 b = b 2 2,6 2 =1 , így pedig b=4,6 .

Másképp: konstans függvény adott intervallumon vett integrálja a függvény értéke szorozva az intervallum hosszával. Ebből az következik, hogy a példában az [ a;b ] intervallum hossza 2, így "a" ismeretében már "b" kiszámítható.

Ellenőrző kérdések
1. Az ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: F( x )={ 1 1 x 5 , ha x>1 0,         különben .
Ekkor ξ sűrűségfüggvénye:
a) f( x )={ 1 5 x 6 , ha x>1 0,         különben
b) f( x )= 5 x 6
c) f( x )={ 5 x 6 , ha x>1 0,    különben
d) f( x )={ 1 x 6 , ha x>1 0,    különben
2. Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ a x 4 , ha x>2 0,    különben .
Mennyi "a" paraméter értéke?
a) 16
b) 24
c) 32
d) 8
3. Az alábbiak közül melyik nem lehet egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye?
a) f( x )={ 7 e 7x , ha x>0 0,          különben
b) f( x )={ 384 x 7 , ha x>2 0,      különben
c) f( x )={ 1 5 , ha 3<x8 0,  különben
d) f( x )={ 15 x 3 , ha x>5 0,    különben
4. Az alábbiak közül melyik lehet egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye?
a) f( x )={ cosx, ha 0<xπ 0,       különben
b) f( x )={ sin x 2 , ha 0<x2π 0,        különben
c) f( x )={ sinx, ha 0<x 3π 2 0,       különben
d) f( x )={ cosx, ha 0<x 3π 2 0,       különben
5. Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 2x 15 , ha 1<x4 0,     különben .
Ekkor P( ξ<3 )=?
a) 6 15
b) 8 15
c) 9 15
d) 1 3
6. Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ x 2 18 , ha -3<x3 0,    különben .
Ekkor P( 1<ξ<1 )=?
a) 1 18
b) nem létezik
c) 1 54
d) 1 27
7. Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 1 8 , ha 1<x9 0,  különben .
Ekkor P( ξ=5 )=?
a) 1 8
b) 0
c) 5 8
d) 1 2
8. Az ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )={ 72 x 3 , ha x>6 0,    különben .
Ekkor P( ξ>8 )=?
a) 9 16
b) 2 3
c) 7 16
d) 11 24
9. Lehet-e két valószínűségi változó sűrűségfüggvényeinek összege egy harmadik valószínűségi változó sűrűségfüggvénye?
a) igen ez mindig így van
b) igen, ha a két valószínűségi változó megegyezik
c) igen, ha a két valószínűségi változó különbözik
d) nem, ez lehetetlen
10. Az alábbiak közül melyik igaz minden sűrűségfüggvényre
a) csak pozitív értékeket vesz fel
b) a teljes számegyenesen vett integrálja 1
c) monoton növekvő
d) monoton csökkenő