KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
13. lecke: Nevezetes folytonos eloszlású valószínűségi változók
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.10. fejezet | |||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||
Nevezetes folytonos eloszlások | |||||||
1. Egyenletes eloszlás | |||||||
Egy folytonos valószínűségi változót az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
várható értéke: , szórása: | |||||||
2. Exponenciális eloszlás | |||||||
Egy folytonos valószínűségi változót >0 paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
várható értéke: , szórása: . | |||||||
Exponenciális eloszlással általában berendezések, alkatrészek élettartamát szokás modellezni. | |||||||
3. Normális eloszlás | |||||||
Egy folytonos valószínűségi változót m, (>0) paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
várható értéke: , szórása: . | |||||||
Az m = 0, =1 paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. | |||||||
Ha standard normális eloszlású, akkor fennáll, hogy . | |||||||
Ha m, paraméterű normális eloszlású változó, akkor standardizáltja, az valószínűségi változó standard normális eloszlású. | |||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||
1. feladat Egy 800 m hosszú vezeték mentén az egyes pontokban történő meghibásodás egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változó. | |||||||
| |||||||
Megoldás: Legyen a meghibásodás helyét jelentő valószínűségi változó . | |||||||
| |||||||
2. feladat Legyen valamely pozitív intervallumon értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Legyen továbbá , . Határozzuk meg sűrűség- és eloszlásfüggvényét! | |||||||
Megoldás: Az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke: , szórása: . Ezekkel a következő egyenletrendszert kapjuk: | |||||||
3. feladat Egy bizonyos alkatrész első meghibásodásáig eltelt idő legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 2000 óra várható értékkel. Írjuk fel a valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mekkora annak a valószínűsége, hogy az alkatrész legalább 4000 óráig hibátlanul működik? | |||||||
Megoldás: Jelöljük a szóban forgó valószínűségi változót -vel! | |||||||
, és mivel exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért , vagyis az eloszlás paramétere . | |||||||
Így a sűrűségfüggvény: ; | |||||||
A keresett valószínűség: . | |||||||
4. feladat Egy berendezésben 100 egyforma alkatrész található, melyek egyenként átlagosan 10 000 órát bírnak ki meghibásodás nélkül. Az egyes elemek élettartama egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Tudjuk, hogy a berendezés akkor üzemel hiba nélkül, ha a 100-ból legalább 95 alkatrész hiba nélkül működik. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább 1000 órát működik a berendezés hiba nélkül? | |||||||
Megoldás: Jelölje egy alkatrész élettartamának megfelelő valószínűségi változót! | |||||||
, így a sűrűségfüggvény: , az eloszlásfüggvény: , ha . | |||||||
Legyen p annak a valószínűsége, hogyegy alkatrész legalább 1000 órát üzemel hiba nélkül! Ekkor és ebből . | |||||||
Ezzel | |||||||
5. feladat Egy üzemben 2 m hosszú munkadarabokat gyártanak 3 cm szórással. 1000 db elkészítésekor várhatóan hány darab selejt keletkezik, ha a 195 és 205 cm közötti termékeket még elfogadhatónak tekinthetjük? (A munkadarabok mérete normális eloszlásúnak tekinthető.) | |||||||
Megoldás: A feladat szerint egy munkadarab mérete és paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, melyet jelöljünk -vel. | |||||||
Mivel normális eloszlású, ezért ha kivonjuk belőle a várható értékét és elosztjuk a szórásával, akkor standard normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. Tehát a fenti valószínűségre írhatjuk, hogy: | |||||||
(A függvény értékét természetesen táblázat segítségével határoztuk meg.) | |||||||
6. feladat Egy búzaföld évi hozama átlagosan 140 mázsa. A feljegyzések szerint átlagosan 8 évente történik meg, hogy a termés meghaladja a 170 mázsát. Hány évente fordul elő 100 mázsánál kevesebb termés? | |||||||
Megoldás: A termés évenkénti eloszlása normálisnak vehető (hiszen az egyes kalászok termésmennyisége független, azonos eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, így összegük közel normális eloszlású) m = 140 várható értékkel. Jelöljük -vel a valószínűségi változónkat! | |||||||
, ugyanis 8 évből 7-szer a termés nem haladja meg a 170 mázsát. | |||||||
A függvény táblázatából kiolvasható, hogy , így , vagyis . | |||||||
Ezzel a keresett valószínűség: | |||||||
Tehát annak valószínűsége, hogy egy évben 100 mázsánál kevesebb búza terem kb. 0,06; vagyis , tehát kb. 16 évente fordul elő 100 mázsánál kevesebb termés. | |||||||
7. feladat Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 5000 óra várható értékkel. | |||||||
| |||||||
Megoldás: Exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, keressük az eloszlás paraméterét. Mivel exponenciális eloszlás esetén, ezért , így . | |||||||
Ebből meghatározható a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: , valamint eloszlásfüggvénye: (nyilván pozitív x-ek esetén, egyébként pedig 0). | |||||||
| |||||||
8. feladat Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 3. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke | |||||||
| |||||||
Megoldás: Jelölje a valószínűségi változónkat. Mivel most és , ezért nem standard normális eloszlású valószínűségi változóval állunk szemben, vagyis a megoldás során a valószínűségi változót standardizálni kell. Erre azért van szükség, mert a standard normális eloszlás értékei állnak rendelkezésünkre táblázat formájában. | |||||||
A standardizált valószínűségi változó: . | |||||||
| |||||||
9. feladat Egy város lakosainak magasságáról a következőket tudjuk: | |||||||
| |||||||
Tételezzük fel, hogy a város lakosainak magasság adatai normális eloszlású valószínűségi változót alkotnak. Határozzuk meg ennek várható értékét és szórását! | |||||||
Megoldás: Jelölje a valószínűségi változót, m a várható értéket, pedig a szórást. | |||||||
A második esetben: | |||||||
Táblázatból visszakeresve megkapjuk, hogy =1,65. | |||||||
Szorozzuk meg mindkét egyenletet -val, majd a 2. egyenletből vonjuk ki az 1.-t. Így: | |||||||
10. feladat Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó 5-nél kisebb értéket vesz fel: 0,1. Határozzuk meg azt az intervallumot, melyen ezt a valószínűségi változót értelmezzük. Mennyi a valószínűségi változó szórása? | |||||||
Megoldás: Legyen az egyenletes eloszlás értelmezve az [a; b] intervallumon. A várható értéke: , vagyis . | |||||||
Az 5-nél kisebb érték valószínűsége 0,1. Az egyenletes eloszlás miatt: . | |||||||
Tehát az alábbi egyenletrendszert kaptuk: | |||||||
A 2. egyenletet rendezve: | |||||||
Ezt visszahelyettesítve az 1.-be: | |||||||
Ebből | |||||||
Tehát az egyenletes eloszlású valószínűségi változót az intervallumon értelmeztük. |
Ellenőrző feladatok | |||||||||
1. 4 m hosszú anyagot vásárolunk egy új ruhához. Az anyag hossza mentén bárhol lehet szálhiba, a hiba helye egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Mi a valószínűsége, hogy az anyag első 80 cm-e hibátlan?
![]() | |||||||||
2. Mi a valószínűsége, hogy az előző feladatban vásárolt anyag pontosan a felénél hibás?
![]() | |||||||||
3. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Egy ilyen típusú alkatrész átlagosan 500 óra időtartam alatt megy tönkre. Mi a valószínűsége, hogy 800 órát kibír?
![]() | |||||||||
4. A fenti alkatrész egy újabb változatánál azt tapasztalták, hogy az esetek 70%-ában 800 órát is működik hiba nélkül. Hány óra lehet most az átlagos élettartam?
![]() | |||||||||
5. Az új alkatrész piacra dobásakor a cég 10 000 Ft kárpótlást ígér, ha az 500 óránál hamarabb tönkre megy. Átlagosan mennyi kárpótlást fizetnek egy termék után?
![]() | |||||||||
6. Mennyi legyen egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értéke ahhoz, hogy a valószínűségi változó értéke az esetek 90 %-ában 1000-nél nagyobb legyen?
![]() | |||||||||
7. Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 3, szórása 1. mi a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke 4-nél kisebb lesz?
![]() | |||||||||
8. Mi a valószínűsége, hogy egy 10 várható értékű, 3 szórású normális eloszlású valószínűségi változó értéke 7 és 12 közé esik?
![]() | |||||||||
9. Egy üzemben 30 dkg töltőtömegű konzervet gyártanak. A töltőtömeg normális eloszlásúnak tekinthető. A termékek 90%-ának töltőtömege 28 és 32 dkg közötti. Mekkora a töltőtömeget leíró valószínűségi változó szórása?
![]() |