KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: I. modul: Kombinatorika, eseményalgebra és valószínűségek meghatározása kombinatorikus úton

4. lecke: Valószínűségek meghatározása

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.3. és 2.4. fejezet

Elméleti összefoglaló

A valószínűség-számítás axiómái a következők:

1.Az adott Ω eseménytér minden egyes A eseményéhez tartozik egy 0 és 1 közé eső P( A ) szám, azaz 0P( A )1 , amelyet az A esemény valószínűségének (valószínűségimértékének) nevezünk.
2.A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P( Ω )=1 .
3.Az egymást páronként kizáró események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségének összegével egyenlő, azaz ha az A 1 , A 2 ,, A i , események esetén A j A k = ha jk , akkor P( i A i )= i P( A i ) . (Ezt a tulajdonságot σ-additivitásnak nevezzük.)

Az A esemény ellentettjének valószínűsége P( A ¯ )=1P( A ) .

Események egy összességét teljeseseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizárják egymást és az összegük a biztos esemény, azaz az A 1 , A 2 ,, A n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha A i A j = (ha ij ) és A 1 + A 2 ++ A n =Ω .

Ha az A 1 , A 2 ,, A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a valószínűségük összege 1, vagyis P( A 1 )+P( A 2 )++P( A n )=1 .

Az A és B események BA különbségének valószínűsége P( BA )=P( B )P( AB ) .

Ha AB , akkor P( BA )=P( B )P( A ) .

Az A és B események összegének valószínűsége P( A+B )=P( A )+P( B )P( AB ) .

Kidolgozott feladatok

1. feladat Legyen A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,5, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,3. Határozzuk meg az alábbiakat:

a) P( A ¯ )=?
b) P( A+B )=?
c) P( AB )=?
d) P( BA )=?
e) P( A ¯ + B ¯ )=?
f) P( A ¯ +B )=?
g) P( A B ¯ )=?

Megoldás: A megoldás során az elméleti összefoglalóban leírtakat fogjuk alkalmazni.

a) P( A ¯ )=1P( A )=10,7=0,3
b) P( A+B )=P( A )+P( B )P( AB )=0,7+0,50,3=0,9
c) P( AB )=P( A )P( AB )=0,70,3=0,4
d) P( BA )=P( B )P( AB )=0,50,3=0,2
e)használjuk fel az előző leckében megismert de Morgan-féle összefüggést: A ¯ + B ¯ = AB ¯ , továbbá alkalmazzuk az a) kérdésben felhasznált tételt: P( A ¯ + B ¯ )=P( AB ¯ )=1P( AB )=10,3=0,7
f)A megoldás menete ugyanaz, mint a b) pontban, csak A helyett A ¯ -t kell írni:
P( A ¯ +B )=P( A ¯ )+P( B )P( A ¯ B ) . Az a) pont alapján P( A ¯ )=0,3 , P( B ) értéke ismert: 0,5, már csak P( A ¯ B ) -t kell meghatározni. Ehhez írjuk fel a B eseményt egy kicsit másképp (lásd előző lecke). B=ΩB=( A+ A ¯ )B=AB+ A ¯ B
Vagyis a B esemény valószínűsége: P( B )=P( AB+ A ¯ B ) .
Ebből P( A ¯ B )=P( B )P( AB )=0,50,3=0,2
Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt: A ¯ B=BA , vagyis P( A ¯ B )=P( BA )=0,2 , mint láttuk a d) pontban. Vagyis a kérdéses valószínűség: P( A ¯ +B)=P( A ¯ )+P(B)P( A ¯ B)=0,3+0,50,2=0,6 .
g)Az f) pont alapján ez már egyszerű:
P( A B ¯ )=P( AB )=P( A )P( AB )=0,4 (lásd c) pont)

2. feladat Legyen BA , és P( A )=0,6 , P( B )=0,1 . Határozzuk meg az alábbiakat:

a) P( AB )=?
b) P( A+B )=?
c) P( AB )=?
d) P( BA )=?

Megoldás:

a)Mivel BA , ezért az AB esemény valószínűsége maga a B esemény lesz. Így P( AB )=P( B )=0,1 .
b)Az előzőhöz hasonlóan, mivel BA , ezért P( A+B )=P( A ) , így P( A+B )=0,6 .
c) P( AB )=P( A )P( AB )=0,60,1=0,5
d) P( BA )=P( B )P( AB )=0,10,1=0
Másképp: BA az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem. Mivel tudjuk, hogy BA , ezért ha B bekövetkezik, akkor A is. Vagyis az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem, a lehetetlen esemény, amelynek valószínűsége 0.
Ellenőrző kérdések
1. Legyen AB , P( B )=0,7 és P( A )=0,2 . Ekkor P( A+B )=?
a) 0,9
b) 0,5
c) 0,7
d) 0,2
2. Legyen AB , P( B )=0,8 és P( A )=0,5 . Ekkor P( BA )=?
a) 0,8
b) 0,5
c) 0,3
d) 0,2
3. Legyen az A esemény valószínűsége 0,6, a B esemény valószínűsége 0,4, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,2. Ekkor P( A+B )=?
a) 0,96
b) 1
c) 0,6
d) 0,8
4. Legyen az A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,7, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,6. Ekkor P( A+ B ¯ )=?
a) 0,8
b) 0,9
c) 0,7
d) 0,6
5. Legyen AB , P( B )=0,7 és P( A )=0,3 . Ekkor P( AB ¯ )=?
a) 0,21
b) 0,3
c) 0,7
d) 0,79
6. Legyen az A esemény valószínűsége 0,2, a B esemény valószínűsége 0,6, és teljesüljön, hogy AB=Ø . Ekkor P( B ¯ A )=?
a) 0,4
b) 0,16
c) 0,24
d) 0,2
7. Legyen P( A )+P( B )=1 . Ekkor...
a) az A és B események egymást kizáróak.
b) az A és B események összege a biztos esemény.
c) az A és B események szorzata a lehetetlen esemény.
d) a fentiek közül egyik sem feltétlenül igaz.
8. Legyen A+B=Ω . Ekkor biztosan igaz, hogy
a) P( A )+P( B )=1
b) P( AB )=0
c) P( A+B )=1
d) P( AB ¯ )=1
9. Ha az A és B eseményekre P( AB )=P( BA ) , akkor biztosan igaz, hogy...
a) A=B
b) AB=Ø
c) P( A+B )=1
d) P( A )=P( B )
10. Ha az A, B, C események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor...
a) P( A+B )=P( A+C )=P( B+C )
b) P( A )=P( B )=P( C )
c) P( A+B+C )=P( A )+P( B )+P( C )=1
d) P( ABC )=P( A )P( B )P( C )=1