KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)

MODUL: II. modul: Valószínűségi változók

15. lecke: A Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.13. fejezet

Elméleti összefoglaló

Markov-egyenlőtlenség: Ha η olyan nem negatív értékeket felvevő valószínűségi változó, amelynek van várható értéke, és az a egy tetszőleges pozitív valós szám, akkor

P( ηa ) M( η ) a .

Csebisev-egyenlőtlenség: Ha a ξ valószínűségi változónak van várható értéke és szórása, és λ tetszőleges pozitív valós szám, akkor

P( | ξM( ξ ) |λD( ξ ) ) 1 λ 2 .

A Csebisev-egyenlőtlenséget általában

P( | ξM( ξ ) |<λD( ξ ) )=1P( | ξM( ξ ) |λD( ξ ) )1 1 λ 2

formában annak becslésére használjuk, hogy a ξ valószínűségi változó milyen valószínűséggel esik egy adott, várható érték körüli szimmetrikus intervallumba.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Köbüki professzort naponta átlagosan nyolcan keresik az irodájában. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy napon legalább 12-en keresik!

Megoldás: A professzort keresők számát jelöljük η-val. Ez nyilván egy nemnegatív értéket felvevő valószínűségi változó, melynek várható értéke a feladat szerint 8. A fentiek ismeretében alkalmazhatjuk a Markov-egyenlőtlenséget:
P( η12 ) 8 12 = 2 3

Tehát annak valószínűsége, hogy legalább 12-en keresik, legfeljebb 2 3 . (tipikus rossz válasz: a valószínűség 2 3 . Ez helytelen, ugyanis most elegendő információ hiányában csak becsülni tudjuk a valószínűséget, ezért csak azt mondhatjuk, hogy legfeljebb 2 3 .)

2. feladat Egy bizonyos típusú izzó élettartama átlagosan 3000 óra. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy az élettartam legalább 4000 óra! Mi a helyzet akkor, ha tudjuk, hogy az élettartam exponenciális eloszlású valószínűségi változó?

Megoldás: Az élettartam csak nemnegatív érték lehet, a megfelelő valószínűségi változót most is jelöljük η-val. A feladat szövege szerint M( η )=3000 . Ennyi információ birtokában a kérdéses valószínűséget csak becsülhetjük a Markov-egyenlőtlenséggel:

P( η4000 ) 3000 4000 =0,75

Tehát azt mondhatjuk, hogy a kérdéses valószínűség legfeljebb 0,75.
Lényegesen több információt jelent, ha ismerjük η eloszlását, ekkor ugyanis a valószínűség pontosan meghatározható.

Emlékeztetőül: a λ paraméterű exponenciális eloszlású η valószínűségi változó várható értéke: M( η )= 1 λ , eloszlásfüggvénye: F( x )={ 1 e λx , ha x>0 0, különben .

Mivel most M( η )=3000 , ezért λ= 1 3000 , így az eloszlásfüggvény:
F( x )={ 1 e x 3000 , ha x>0 0, különben .

Vagyis a kérdéses valószínűség:
P( η4000 )=1P( η<4000 )=1F( 4000 )=1( 1 e 4000 3000 )= e 4 3 0,2636

Láthatjuk, hogy a Markov-egyenlőtlenséggel kapott becslés (legfeljebb 0,75) igen rossz becslése a valódi értéknek (0,2636).

3. feladat A ξ valószínűségi változó várható értéke legyen M( ξ )=60 , szórása pedig D( ξ )=10 . Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy a valószínűségi változó értéke legalább 20 egységgel eltér a várható értéktől!

Megoldás: A Csebisev-egyenlőtlenség: P( | ξM( ξ ) |λD( ξ ) ) 1 λ 2 .

Behelyettesítve λD( ξ )=20 , ebből λ=2 , ugyanis D( ξ )=10 .
Így kapjuk, hogy P( | ξ60 |20 ) 1 4 =0,25 .
Tehát a kérdéses valószínűség legfeljebb 0,25 (nem 0,25, hanem legfeljebb 0,25).

4. feladat A ξ valószínűségi változó várható értéke legyen 4, szórása pedig 2. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy ξ értéke -2 és 10 közé esik! Mi a helyzet akkor, ha tudjuk, hogy ξ normális eloszlású?

Megoldás: Most a valószínűségi változónk negatív értéket is felvehet, így a Markov-egyenlőtlenséget nem, viszont a Csebisev-egyenlőtlenséget alkalmazhatjuk. Figyeljük meg, hogy a valószínűségi változó várható értéke (4) éppen a vizsgálandó intervallum ( [ 2;10 ] ) közepére esik. Vagyis a 2<ξ<10 egyenlőtlenség írható ilyen formában is: | ξ4 |<6 . Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi változó eltérése a várható értéktől kisebb, mint 6.

A Csebisev-egyenlőtlenség megfelelő alakja: P( | ξM( ξ ) |<λD( ξ ) )1 1 λ 2 .

Gyakorlatilag csak ebbe kell behelyettesíteni. Mivel a szórás ( D( ξ ) ) 2, λD( ξ ) pedig 6, ezért λ=3 , ezt felhasználva: P( | ξ4 |<32 )1 1 3 2 = 8 9 0,8 8 . .

Tehát a kérdéses valószínűség legalább 0,8 8 . (nem 0,8 8 . , hanem legalább 0,8 8 . ).
Ha ismerjük ξ eloszlását, akkor most is pontosan meg tudjuk határozni a kívánt valószínűséget. Mivel ξ normális eloszlású, ezért át kell térnünk a standard normális eloszlásra:
P( 2<ξ<10 )=P( 24 2 < ξ4 2 < 104 2 )=P( 3< ξ4 2 <3 )= Φ( 3 )Φ( 3 )=Φ( 3 )( 1Φ( 3 ) )=2Φ( 3 )1=0,9975

Láthatjuk, hogy a Csebisev-egyenlőtlenséggel kapott becslés most nem túl jó becslése a tényleges valószínűségnek.

5. feladat Forgatáshoz férfi statisztát keresnek. Az első szűrésen átesett jelöltek magasságának átlaga 184 cm, szórása 2,3 cm. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy a végső kiválasztott magassága nem esik bele a ( 180;188 ) tartományba!

Megoldás: Szűrjük ki az ismert adatokat! A jelentkezők magassága valószínűségi változónak tekinthető, jelöljük a változatosság kedvéért ξ-vel. A szövegből M( ξ )=184 , D( ξ )=2,3 . Ha a kiválasztott magassága nem esik bele a ( 180;188 ) tartományba, akkor a várható értéktől (184) vett eltérése legalább 4. Ez a 4 a szórás (2,3) kb. 1,74-szerese.

Mostmár felírhatjuk a Csebisev-egyenlőtlenség megfelelő alakját:
P( | ξM( ξ ) |λD( ξ ) ) 1 λ 2 .

Behelyettesítve:
P( | ξ184 |1,742,3 ) 1 1,74 2 = 1 3,0276 0,33
Vagyis a kérdéses valószínűség legfeljebb 0,33.

6. feladat Egy gyárban 2 m hosszú rudakat gyártanak 2 cm szórással. Selejtesnek minősül az a termék, melynek hossza legalább 5 cm-rel eltér az elvárt hosszúságtól. Adjunk becslést arra, hogy 1000 darabból átlagosan hány lesz selejtes! Mi lenne a válasz, ha normális eloszlást tételeznénk fel?

Megoldás: A Csebisev-egyenlőtlenség alapján becsüljük meg annak valószínűségét, hogy egy rúd legalább 5 cm-rel eltér az előírt nagyságtól:
P( | ξ200 |5 )=P( | ξ200 |2,52 ) 1 6,25 =0,16 , mivel D( ξ )=2 és így λ=2,5 .

Tehát annak valószínűsége, hogy egy darab selejtes lesz, kisebb, mint 0,016. Így 1000 darabból átlagosan 160 darabnál kevesebb lesz selejtes.

Normális eloszlásnál a keresett valószínűség:
P( | ξ200 |5 )=1P( | ξ200 |<5 )=1P( 5<ξ200<5 )=1P( 5 2 < ξ200 2 < 5 2 )
(standardizáltuk a valószínűségi változót)
=1( Φ( 5 2 )Φ( 5 2 ) )=1( 2Φ( 5 2 )1 )=22Φ( 2,5 )=0,0124

Vagyis ebben az esetben 1000 darabból átlagosan 13-nál kevesebb lesz selejtes. Láthatóan a Csebisev-egyenlőtlenség igen durva becslést adott.

Ellenőrző kérdések
1. Legyen ξ egy pozitív értékeket felvevő valószínűségi változó M( ξ )=10 . Ekkor annak valószínűsége, hogy ξ értéke legalább 16 (a Markov-egyenlőtlenséggel becsülve):
a) legfeljebb 0,625
b) 0,625
c) Legalább 0,625
d) 0
2. A ξ valószínűségi változó várható értéke 4, szórása 2. Ekkor annak valószínűsége, hogy ξ 2 értéke legalább 30 (a Markov-egyenlőtlenséggel becsülve):
a) legalább 1 3
b) legfeljebb 2 3
c) legfeljebb 1 2
d) legfeljebb 3 4
3. Egy valószínűségi változó várható értéke 30, szórása 4. Annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó által felvett érték 20 és 40 közé esik (a Csebisev-egyenlőtlenséggel becsülve):
a) nagyobb, mint 0,16
b) kisebb, mint 0,84
c) kisebb, mint 0,16
d) nagyobb, mint 0,84
4. Egy valószínűségi változó várható értéke 50, szórása 2. Annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó által felvett érték legalább 60 vagy legfeljebb 40 (a Csebisev-egyenlőtlenséggel becsülve):
a) legfeljebb 0,04
b) legalább 0,2
c) kisebb, mint 0,04
d) nagyobb, mint 0,04
5. Egy gyárban készített dobozos margarin töltőtömegének várható értéke 250 g, szórása 12 g. A Csebisev-egyenlőtlenséggel adjunk becslést arra, hogy 1000 dobozból hány darab tömege esik 230 g és 270 g közé!
a) legalább 360 darab
b) legfeljebb 640 darab
c) több, mint 640
d) kevesebb, mint 360
6. Egy zászlóalj tagjainak átlagmagassága 180 cm, 2,5 cm szórással. A díszszemléhez 175 és 185 cm közötti katonákat keresnek. Véletlenszerűen kiválasztunk valakit. A Csebisev-egyenlőtlenség segítségével adjunk becslést annak valószínűségére, hogy megfelel a díszszemlére!
a) körülbelül 1 4
b) legfeljebb 3 4
c) legalább 3 4
d) legfeljebb 1 4