KURZUS: Matematika (Valószínűség-számítás és matematikai statisztika)
MODUL: II. modul: Valószínűségi változók
15. lecke: A Markov- és a Csebisev-egyenlőtlenség
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Valószínűség-számítás és matematikai statisztika 2.13. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Markov-egyenlőtlenség: Ha olyan nem negatív értékeket felvevő valószínűségi változó, amelynek van várható értéke, és az a egy tetszőleges pozitív valós szám, akkor | ||
Csebisev-egyenlőtlenség: Ha a valószínűségi változónak van várható értéke és szórása, és tetszőleges pozitív valós szám, akkor | ||
A Csebisev-egyenlőtlenséget általában | ||
formában annak becslésére használjuk, hogy a valószínűségi változó milyen valószínűséggel esik egy adott, várható érték körüli szimmetrikus intervallumba. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat Köbüki professzort naponta átlagosan nyolcan keresik az irodájában. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy napon legalább 12-en keresik! | ||
Megoldás: A professzort keresők számát jelöljük -val. Ez nyilván egy nemnegatív értéket felvevő valószínűségi változó, melynek várható értéke a feladat szerint 8. A fentiek ismeretében alkalmazhatjuk a Markov-egyenlőtlenséget: | ||
Tehát annak valószínűsége, hogy legalább 12-en keresik, legfeljebb . (tipikus rossz válasz: a valószínűség . Ez helytelen, ugyanis most elegendő információ hiányában csak becsülni tudjuk a valószínűséget, ezért csak azt mondhatjuk, hogy legfeljebb .) | ||
2. feladat Egy bizonyos típusú izzó élettartama átlagosan 3000 óra. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy az élettartam legalább 4000 óra! Mi a helyzet akkor, ha tudjuk, hogy az élettartam exponenciális eloszlású valószínűségi változó? | ||
Megoldás: Az élettartam csak nemnegatív érték lehet, a megfelelő valószínűségi változót most is jelöljük -val. A feladat szövege szerint . Ennyi információ birtokában a kérdéses valószínűséget csak becsülhetjük a Markov-egyenlőtlenséggel: | ||
Tehát azt mondhatjuk, hogy a kérdéses valószínűség legfeljebb 0,75. | ||
Emlékeztetőül: a paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értéke: , eloszlásfüggvénye: . | ||
Mivel most , ezért , így az eloszlásfüggvény: | ||
Vagyis a kérdéses valószínűség: | ||
Láthatjuk, hogy a Markov-egyenlőtlenséggel kapott becslés (legfeljebb 0,75) igen rossz becslése a valódi értéknek (0,2636). | ||
3. feladat A valószínűségi változó várható értéke legyen , szórása pedig . Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy a valószínűségi változó értéke legalább 20 egységgel eltér a várható értéktől! | ||
Megoldás: A Csebisev-egyenlőtlenség: . | ||
Behelyettesítve , ebből , ugyanis . | ||
4. feladat A valószínűségi változó várható értéke legyen 4, szórása pedig 2. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy értéke -2 és 10 közé esik! Mi a helyzet akkor, ha tudjuk, hogy normális eloszlású? | ||
Megoldás: Most a valószínűségi változónk negatív értéket is felvehet, így a Markov-egyenlőtlenséget nem, viszont a Csebisev-egyenlőtlenséget alkalmazhatjuk. Figyeljük meg, hogy a valószínűségi változó várható értéke (4) éppen a vizsgálandó intervallum () közepére esik. Vagyis a egyenlőtlenség írható ilyen formában is: . Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi változó eltérése a várható értéktől kisebb, mint 6. | ||
A Csebisev-egyenlőtlenség megfelelő alakja: . | ||
Gyakorlatilag csak ebbe kell behelyettesíteni. Mivel a szórás () 2, pedig 6, ezért , ezt felhasználva: . | ||
Tehát a kérdéses valószínűség legalább (nem , hanem legalább ). | ||
Láthatjuk, hogy a Csebisev-egyenlőtlenséggel kapott becslés most nem túl jó becslése a tényleges valószínűségnek. | ||
5. feladat Forgatáshoz férfi statisztát keresnek. Az első szűrésen átesett jelöltek magasságának átlaga 184 cm, szórása 2,3 cm. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy a végső kiválasztott magassága nem esik bele a tartományba! | ||
Megoldás: Szűrjük ki az ismert adatokat! A jelentkezők magassága valószínűségi változónak tekinthető, jelöljük a változatosság kedvéért -vel. A szövegből , . Ha a kiválasztott magassága nem esik bele a tartományba, akkor a várható értéktől (184) vett eltérése legalább 4. Ez a 4 a szórás (2,3) kb. 1,74-szerese. | ||
Mostmár felírhatjuk a Csebisev-egyenlőtlenség megfelelő alakját: | ||
Behelyettesítve: | ||
6. feladat Egy gyárban 2 m hosszú rudakat gyártanak 2 cm szórással. Selejtesnek minősül az a termék, melynek hossza legalább 5 cm-rel eltér az elvárt hosszúságtól. Adjunk becslést arra, hogy 1000 darabból átlagosan hány lesz selejtes! Mi lenne a válasz, ha normális eloszlást tételeznénk fel? | ||
Megoldás: A Csebisev-egyenlőtlenség alapján becsüljük meg annak valószínűségét, hogy egy rúd legalább 5 cm-rel eltér az előírt nagyságtól: | ||
Tehát annak valószínűsége, hogy egy darab selejtes lesz, kisebb, mint 0,016. Így 1000 darabból átlagosan 160 darabnál kevesebb lesz selejtes. | ||
Normális eloszlásnál a keresett valószínűség: | ||
Vagyis ebben az esetben 1000 darabból átlagosan 13-nál kevesebb lesz selejtes. Láthatóan a Csebisev-egyenlőtlenség igen durva becslést adott. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Legyen egy pozitív értékeket felvevő valószínűségi változó . Ekkor annak valószínűsége, hogy értéke legalább 16 (a Markov-egyenlőtlenséggel becsülve):
![]() | |||||||||
2. A valószínűségi változó várható értéke 4, szórása 2. Ekkor annak valószínűsége, hogy értéke legalább 30 (a Markov-egyenlőtlenséggel becsülve):
![]() | |||||||||
3. Egy valószínűségi változó várható értéke 30, szórása 4. Annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó által felvett érték 20 és 40 közé esik (a Csebisev-egyenlőtlenséggel becsülve):
![]() | |||||||||
4. Egy valószínűségi változó várható értéke 50, szórása 2. Annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó által felvett érték legalább 60 vagy legfeljebb 40 (a Csebisev-egyenlőtlenséggel becsülve):
![]() | |||||||||
5. Egy gyárban készített dobozos margarin töltőtömegének várható értéke 250 g, szórása 12 g. A Csebisev-egyenlőtlenséggel adjunk becslést arra, hogy 1000 dobozból hány darab tömege esik 230 g és 270 g közé!
![]() | |||||||||
6. Egy zászlóalj tagjainak átlagmagassága 180 cm, 2,5 cm szórással. A díszszemléhez 175 és 185 cm közötti katonákat keresnek. Véletlenszerűen kiválasztunk valakit. A Csebisev-egyenlőtlenség segítségével adjunk becslést annak valószínűségére, hogy megfelel a díszszemlére!
![]() |