KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Váltakozóáramú hálózatok
22. lecke: Szinuszos feszültség- illetve áram-időfüggvény komplex leírása. Komplex időfüggvény és komplex amplitúdó
Tanulási célok | |||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | |||
| |||
Tananyag | |||
A szinuszos időfüggvények megadásához két adat, az amplitúdó és a kezdőfázis szükséges. Ellentétben az egyenáramú hálózatokkal, ahol elegendő egyetlen adat. A mennyiségenként két adat síkbeli vektoros megadással lehetséges. Erre a komplex számok matematikai eszközkészletét használjuk. | |||
Komplex számok | |||
Egy komplex szám két részből, a valós vagy reális és a képzetes vagy imaginárius részből áll. A képzetes rész a képzetes egységgel meg van szorozva. A képzetes egység jele az elektrotechnikában: j. | |||
A komplex számok négy alakját használjuk. | |||
Algebrai alak: , ahol | |||
a valós vagy reális rész, | |||
Trigonometrikus alak: , ahol | |||
K abszolút érték, | |||
Exponenciális vagy Euler alak: . | |||
Az kifejezés jelentése: egységnyi abszolút értékű, fázisszögű komplex szám. | |||
Grafikus ábrázolás (22.1. ábra): egy komplex számot derékszögű koordinátarendszerben tudunk megadni. A fázisszöget a valós tengelytől óramutató járásával ellentétes irányban mérjük. Az egyenáramú hálózatokban három alaptörvényünk volt. Ohm törvényében szorzás vagy osztás, Kirchhoff törvényeiben összeadás és kivonás műveleteket kellett végeznünk. A törvények általánosítása után a komplex számok körében is a négy alapművelettel kell majd számításainkat végeznünk. Az összeadás és a kivonás elvégzésére az algebrai alak a legmegfelelőbb. De fogjuk komplex vektorok összegét és különbségét képezni grafikusan is, az ismert nyílfolyam vagy paralelogramma módszerrel. | |||
| |||
Műveletek komplex számokkal | |||
Legyen két komplex számunk: | |||
, | |||
. | |||
Összeadás, kivonás: | |||
Szorzás: | |||
Osztás: | |||
Konjugált: | |||
A komplex szám konjugáltját kapjuk a képzetes rész előjelének váltásával, vagy a vektornak a valós tengelyre való tükrözésével. A konjugált jele a felső csillag. | |||
Ha , akkor a konjugált | |||
. | |||
Jó tudni, hogy az imaginárius egységgel való szorzás 90 fokkal való forgatás pozitív irányban. A j-vel való osztás megfelel mínusz j-vel való szorzásnak, azaz forgatás 90 fokkal negatív irányban. | |||
Például: | |||
Szinuszos időfüggvények komplex leírása | |||
Tekintsük a következő általános szinuszos időfüggvényt: | |||
. | |||
A komplex időfüggvény | |||
Képezzünk komplex időfüggvényt az amplitúdó és a szinusz argumentumában levő teljes kifejezés, mint fázisszög felhasználásával. | |||
A komplex időfüggvényből visszatérhetünk a valós időfüggvényhez a trigonometrikus alakon keresztül. | |||
A valós időfüggvény a komplex időfüggvény képzetes része. (A differenciálegyenletek a komplex időfüggvényekre is érvényesek.) | |||
A komplex amplitúdó | |||
A feszültség és áramidőfüggvény komplex leírásával célunk olyan tárgyalási módot találni, amely a számításainkat egyszerűsíti. Ehhez a komplex időfüggvény még nem megfelelő. Alakítsuk tovább kifejezésünket! | |||
Az kifejezést komplex amplitúdónak nevezzük. Ez nem tartalmazza az időfüggő részt - ebből származik az amplitúdó elnevezés, de a valós amplitúdó mellett a fázisszöget is megtaláljuk benne. Ezek miatt a tulajdonságok miatt a szinuszos időfüggvényű hálózatok tárgyalása jelentősen leegyszerűsödik a komplex amplitúdó alkalmazásával. | |||
Kirchhoff törvényei érvényesek komplex amplitúdókkal is. A csomóponti törvény: | |||
A huroktörvény: | |||
Ellenőrző kérdések | |||||||||||||||||||
1. Mi az imaginárius (képzetes) egység?
![]() | |||||||||||||||||||
2. Melyik egy komplex szám algebrai alakja?
![]() | |||||||||||||||||||
3. Melyik egy komplex szám trigonometrikus alakja?
![]() | |||||||||||||||||||
4. Melyik egy komplex szám exponenciális alakja?
![]() | |||||||||||||||||||
5. Mi a hatása a j-vel való szorzásnak?
![]() | |||||||||||||||||||
6. Mi a hatása a j-vel való osztásnak?
![]() | |||||||||||||||||||
7. A komplex számnak a valós (reális) része:
![]() | |||||||||||||||||||
8. A komplex számnak a képzetes (imaginárius) része:
![]() | |||||||||||||||||||
9. A komplex számnak az abszolút értéke:
![]() | |||||||||||||||||||
10. Hogyan állítjuk vissza az eredeti időfüggvényt a komplex időfüggvényből?
![]() | |||||||||||||||||||
11. Ha , akkor a komplex amplitúdó:
![]() | |||||||||||||||||||
12. Érvényes-e a csomóponti törvény a komplex amplitúdók körében?
![]() | |||||||||||||||||||
13. Érvényes-e a huroktörvény a komplex amplitúdók körében?
![]() |