KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Egyenáramú hálózatok

10. lecke: Szuperpozíció tétele

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • saját szavaival megfogalmazni a szuperpozíció tételét;
  • alkalmazni a szuperpozíció tételét számítási feladatok megoldása során.
Tananyag

Ha a hálózatunk több generátort tartalmaz, akkor használhatjuk a keresett feszültségek és áramok kiszámítására a szuperpozíció tételt. A hálózatban található generátorokat külön-külön, egyenként vesszük figyelembe és ezáltal részeredményeket kapunk. Valamely keresett feszültség vagy áram értékét úgy számítjuk ki, hogy a részeredmények előjelhelyes összegét képezzük. Ez utóbbi lépés a tulajdonképpeni szuperpozíció.

Ahhoz, hogy egy generátor hatását külön tudjuk számítani, az összes többi generátort helyettesíteni, szakkifejezéssel dezaktivizálni kell. A hálózati elemek jellemzésénél megállapítottuk, hogy szélső esetben egy rövidzár tekinthető egy nulla voltos feszültséggenerátornak és egy szakadás egy nulla amperes áramgenerátornak. Ez a dezaktivizálás alapja (10.1. ábra). Természetesen speciális esetben az előbbitől eltérhetünk, ha két vagy három generátor hatása együtt is könnyen számítható. A fontos csak az, hogy a hálózatban található valamennyi generátort egyszer és csakis egyszer vegyük figyelembe.

10.1. ábra

A szuperpozíció tétel csak akkor alkalmazható, ha a hálózatunk lineáris. Ez egyenáramú hálózatban akkor teljesül, ha a benne található valamennyi passzív elem Ohm törvényének eleget tesz, tehát lineáris, ohmos ellenállás. Eddig kizárólag ilyen eseteket tárgyaltunk.

(Megjegyzés: az ohmos ellenállás feszültség-áram karakterisztikája egy origón átfutó ferde egyenes. A karakterisztikát nem szokás megrajzolni, hanem elegendő azt a meredekségével, azaz az ellenállás értékével jellemeznünk. Nemlineáris elem esetén a görbe érintőjének a meredeksége pontról pontra változik. Nemlineáris elemek például a félvezető eszközök, a diódák, tranzisztorok, tirisztorok. A gyártók ezeket vastag katalógusokban megadott, részletes feszültség-áram karakterisztikákkal jellemzik.)

A szuperpozíció tétel az összetett hálózatot több egyszerű részhálózatra bontja. Így a megoldás egyszerűbb, de hosszadalmasabb lesz, mint az összetett hálózatot közvetlenül kezelő módszereké. Szuperpozíció alkalmazása a bonyolultabb hálózatok esetén előnyös inkább.

Vizsgáljuk meg egy példán keresztül a tétel alkalmazását!

10.1. Példa: Tekintsük az 10.2. ábrán látható kapcsolást!

10.2. ábra

U g =100V I g =1A R 1 = R 2 = R 3 =100Ω

1. eset: A feszültséggenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük az áramgenerátort szakadással (10.3. ábra)!

10.3. ábra

Vegyük fel a keresett három feszültség nyílirányát a kiinduló feladatban megadottal azonosan! Különböztessük meg a részfeszültségeket és a részáramot felső vesszővel az eredeti kapcsolásbeli értékektől.

Az R 2 ellenálláson nem folyik áram, mert szakadás kapcsolódik vele sorosan.

I 2 =0A, U 2 = I 2 R 2 =0V

R 1 és R 3 feszültségosztónak tekinthető, áramuk azonos, mivel I 2 értéke nulla.

U 1 = U g R 1 R 1 + R 3 =100V 100Ω 100Ω+100Ω =100V 100Ω 200Ω =50V

U 3 = U g R 3 R 1 + R 3 =100V 100Ω 100Ω+100Ω =100V 100Ω 200Ω =50V

2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral (10.4. ábra)!

10.4. ábra

Vegyük fel a keresett három feszültség nyílirányát ismét a kiinduló feladatban megadottal azonosan! Különböztessük meg a részfeszültségeket és a részáramokat két felső vesszővel a korábbi jelölésektől.

Az R 2 ellenállás árama az áramgenerátor áramával megegyezik.

I 2 = I g , U 2 = I 2 R 2 = I g R 2 =1A100Ω=100V

R 1 és R 3 párhuzamosan vannak kapcsolva, áramosztót képeznek.

I 1 = I 2 R 3 R 1 + R 3 = I g R 3 R 1 + R 3 =1A 100Ω 100Ω+100Ω =1A 100Ω 200Ω =0,5A

I 3 = I 2 R 1 R 1 + R 3 = I g R 1 R 1 + R 3 =1A 100Ω 100Ω+100Ω =1A 100Ω 200Ω =0,5A

Ohm törvénye alapján: U 3 = I 3 R 3 =0,5A100Ω=50V

Az R 1 ellenálláson a feszültség és az áram iránya ellentétes, ezért

U 1 = I 1 R 1 !

Behelyettesítve

U 1 =0,5A100Ω=50V .

Szuperpozíció: Összegezzük előjelhelyesen a részeredményeket! Most élvezzük annak előnyét, hogy mindkét esetben és mindhárom feszültségre következetesen az eredeti irányokat megtartottuk. Ezért valamennyi részfeszültséget pozitív előjellel kell szerepeltetnünk.

U 1 = U 1 + U 1 =50V50V=0V U 2 = U 2 + U 2 =0V+100V=100V U 3 = U 3 + U 3 =50V+50V=100V

Értékelés:

Némileg váratlan, hogy az R 1 ellenállás feszültsége nulla, de az ellenőrzés ezt alátámasztja:

U g és U 3 azonos, 100V értékű és R 1 felől nézve ellentétesek. Az eredőjük valóban nulla. R 1 kapcsai között nincs feszültségkülönbség: az A és B pontok "ekvipotenciálisak". Jó tudni, hogy ha egy ellenállás ilyen helyzetbe kerül, akkor elvehetjük, azaz szakadással helyettesíthetjük, rövidre zárhatjuk, illetve értékét tetszőlegesre módosíthatjuk anélkül, hogy a kapcsolás többi elemének villamos állapota megváltozna. Példánkban ez azt jelenti, hogy a feszültséggenerátor árammentes, az R 2 , az R 3 és az áramgenerátor árama 1A . Némi megfontolás után belátható, hogy R 1 változása ezen áramokra nincs hatással.

Végeredményünket alátámasztja a következő gondolatmenet is. Áramgenerátorral sorosan kapcsolt ellenállás árama a generátor áramával, feszültséggenerátorral párhuzamosan kapcsolt ellenállás feszültsége a generátor feszültségével megegyezik. Ezekre az esetekre a szuperpozíció alkalmazása mellőzhető. Példánkban az R 2 árama, és ezzel feszültsége is így ellenőrizhető, és helyes.

A szuperpozíció egy további előnyét is érdemes tanulmányozni. A részeredményeket fizikai tartalommal ugyan nem ruházhatjuk fel, de számítási eljárásunkban sajátos tulajdonságuk van. Valamely generátor megváltozása ugyanis csak azon részeredmények értékére van hatással, amelyeket az adott generátor figyelembevételével számítottunk. A többi részeredmény számításánál az adott generátor dezaktivizált, passzív.

10.2. Példa: Hogyan változnak meg az eredmények az előző példánkban, ha az áramgenerátor kapcsait felcseréljük?

Egy olyan egygenerátoros kapcsolásban, mint amilyen a szuperpozíció tétel alapján végzett részszámításaink során is szerepel, érvényes a következő szabály. A kapcsolás valamennyi árama és feszültsége a generátor jellemzőjének megváltoztatását arányosan követi. Ha a tápláló generátor forrásfeszültségét vagy forrásáramát kétszer, háromszor, négyszer nagyobb értékűre választjuk, akkor a kapcsolás valamennyi feszültsége és árama is kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére nő. (Megjegyzés: az állítás azért igaz, mert lineáris a hálózatunk.) Példánkban a generátor kapcsainak felcserélése egyenértékű I g értékének előjelváltásával. A generátor áramának előjelváltása pedig a hálózat valamennyi feszültségének és áramának előjelváltását eredményezi. Az előző példa 2. esete részeredményeinek előjelváltásával a végeredmény:

U 1 = U 1 U 1 =50V+50V=100V U 2 = U 2 U 2 =0V100V=100V U 3 = U 3 U 3 =50V50V=0V

Értékelés:

Az U 2 előjelváltással követte az áramgenerátor áramának előjelváltását. Ebben a példában az A és C pont ekvipotenciális, R 3 elhagyható, rövidre zárható, megváltoztatható. Végül levonhatunk egy következtetést: a szuperpozíciós részeredmények ismerete jelentős könnyebbséget ad a többgenerátoros hálózat valamely generátora megváltozásának gyors követésére számításainkban.

10.3. Példa: Tekintsük a 10.5. ábrán látható kapcsolást. Az adatok:

10.5. ábra

U g1 = U g2 =100V I g =1A R 1 = R 2 =100Ω ¯ U 1 = U 2 =

1. eset:

10.6. ábra

U 1 = U g1 =100V U 2 =0A R 2 =0V

2. eset:

10.7. ábra

U 1 = U g2 =100V U 2 =0A R 2 =0V

3. eset:

10.8. ábra

U'' ' 1 =0A R 1 =0V I'' ' 2 = I g U'' ' 2 =I'' ' 2 R 2 = I g R 2 =1A100Ω=100V

Összegzés:

U 1 = U 1 + U 1 +U'' ' 1 =100V100V+0V=0V U 2 = U 2 + U 2 +U'' ' 2 =0V+0V100V=100V

Ellenőrzés: U 1 = U g1 U g2 =0V , feszültségmentes (huroktörvény alapján), Ig átfolyik R2-n (soros kapcsolás), ezért U 2 = I g R 2 =100V .

Ellenőrző kérdések
1. Mikor nevezünk egy hálózatot lineárisnak?
ha csak az általunk definiált feszültséggenerátort tartalmazza,
ha csak az általunk definiált áramgenerátort tartalmazza,
ha csak Ohm törvényének eleget tevő ellenállást tartalmaz.
2. Mikor alkalmazható a szuperpozíció tétele?
csak egyszerű hálózat esetében,
csak lineáris hálózat esetében,
csak legalább négy csomópontot tartalmazó hálózat esetében,
3. Mivel kell helyettesíteni a szuperpozíció tétel alkalmazása során a feszültséggenerátorokat?
rövidzárral,
szakadással.
4. Mivel kell helyettesíteni a szuperpozíció tétel alkalmazása során az áramgenerátorokat?
rövidzárral,
szakadással.
5. Hány generátort kell aktívnak meghagyni a szuperpozíció tétel egy-egy részszámítása során?
szigorúan egyet,
lehet többet is, de minden generátort egyszer és csakis egyszer kell figyelembe venni.
6. Milyen fizikai jelentéssel bírnak a szuperpozíció tétel alkalmazása során kapott részeredmények?
nem bírnak fizikai jelentéssel,
az adott generátor részhatását pontosan tükrözik.