KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

20. lecke: Váltakozóáramú hálózatok. Periodikus időfüggvény matematikai jellemzése. A periódusidő. Fourier tétele. Szinuszos feszültség- illetve áram-időfüggvény jellemzése az időtartományban. Frekvencia és körfrekvencia

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • saját szavaival meghatározni a periódusidő, a frekvencia és a körfrekvencia fogalmát;
  • saját szavaival megfogalmazni Fourier tételét;
  • saját szavaival meghatározni az egyenkomponens, az alapharmonikus és a felharmonikus fogalmát;
  • értelmezni váltakozó áramú hálózat linearitásának fogalmát.
Tananyag
Periodikus időfüggvény matematikai jellemzése

Az általános időfüggvények két csoportba sorolhatók, a véletlenszerű vagy sztochasztikus és a determinisztikus időfüggvények csoportjába. A determinisztikus időfüggvények lehetnek nem periodikusak vagy periodikusak. A periodikus időfüggvény eleget tesz a következő egyenletnek:

f(t)=f(t+T)         <t<+

Szavakkal: bármely t időpontban választott függvényérték megegyezik a T idővel későbbi (vagy korábbi) függvényértékkel. Másképp megfogalmazva ez azt is jelenti, hogy ha egy T szélességű "ablakon" keresztül vizsgáljuk a függvényünket, akkor pontosan ugyanazt látjuk, mintha az ablakot T-vel egyszer vagy többször, balra vagy jobbra eltoljuk. Egy megtalált T érték mellett annak kétszerese, háromszorosa, négyszerese stb. is természetesen kielégíti a feltételül szabott egyenletet. Nekünk a legkisebb T értékre van szükségünk.

Definíció: T a függvény periódusideje, ha nem létezik annál kisebb 0< T 0 <T érték, amely a feltételi egyenletet szintén kielégíti.

Megjegyzés:Itt fizikai mennyiségeknek az idő [,+] teljes intervallumán értelmezett folytonos, egyértékű függvényeivel foglalkozunk. Vegyük észre, hogy semmi más kikötést nem teszünk a vizsgált függvényre, mint azt, hogy T periódusidőnként ismétlődjön. A periódusidő a periodikus függvény egyetlen jellemzője.

A periódusidő reciproka a frekvencia.

f= 1 T

A frekvencia a másodpercenkénti periódusok száma. A frekvencia mértékegysége a hertz, jele: Hz.

1Hz= 1 s

1 Hz a periodikus függvény frekvenciája, ha egy másodperc alatt egyetlen periódus zajlik le. A gyakorlatban általában lényegesen nagyobb frekvenciájú jelenségekkel találkozunk. Szokásos mértékegységek: Hz, kHz, MHz, GHz (GHz: ejtsd "gigahertz").

1GHz= 10 9 Hz

Szinuszos időfüggvény matematikai jellemzése

A periodikus időfüggvények egy speciális esete a szinuszos vagy harmonikus időfüggvény:

u(t)= U ^ sin(ωt+ϕ)

Ahol t a független változó, az idő, u a függő változó, most éppen a feszültség, továbbá

U ^ a csúcsérték vagy amplitúdó,
ω a körfrekvencia vagy szögsebesség és
ϕ a fáziseltolás vagy kezdőfázis.

A körfrekvencia az egy másodperc alatti szögelfordulást adja meg radiánban. A szögelfordulás lehet tényleges és lehet, mint esetünkben is, elképzelt.

ω=2πf= 2π T

[ω]= rad s = 1 s

A körfrekvencia mértékegységében szereplő radián egy puszta viszonyszám. A mértékegységek közötti műveletek során elhagyható, de a körfrekvencia mértékegységében szerepeltetni kell. Az amplitúdó az a szélső érték, amelyet pozitív és negatív előjellel a függvény még éppen felvesz.

20.1. ábra

Egy általános szinuszos feszültség-időfüggvényt láthatunk a 20.1. ábrán.

Fourier tétele

Tétel: Minden periodikus időfüggvény felbontható szinuszos összetevőkre.

Az összetevők:

  • egyenkomponens,
  • alapharmonikus,
  • felharmonikusok.

Az egyenkomponens segítségével megadhatjuk, hogy a függvény az alaphelyzethez, vagy egy azzal azonos másik függvényhez képest függőleges irányban mennyire van eltolva. Az egyenkomponenst itt a koszinuszfüggvény végtelen periódusidejű határesetének tekinthetjük.

Az alapharmonikus a periodikus időfüggvény periódusidejével kifejezve

f= 1 T frekvenciájú szinuszos jel.

Az alapharmonikus a felbontandó periodikus függvényhez igazodó kezdőfázissal és amplitúdóval, a periódusidőnyi szélességű ablakban egyetlen teljes periódust ír le.

A felharmonikusok a periodikus függvénynek olyan, különböző amplitúdójú és kezdőfázisú (szinuszos) összetevői, amelyeknek frekvenciája rendre

Megjegyzés: "alharmonikus" nincs! A k=1 értékhez pedig az alapharmonikus tartozik.

f=k 1 T , ahol k=2, 3, 4, 5, 6...

A váltakozóáramú hálózat linearitásáról

Az egyenáramú hálózatok tárgyalása során megtudtuk, hogy lineáris hálózatban alkalmazható a szuperpozíció elve. A csak ohmos ellenállást tartalmazó váltakozóáramú hálózat természetesen szintén ugyanúgy lineárisnak tekinthető. De vajon érvényes-e a kondenzátorra, hogy rajta kétszer, háromszor négyszer nagyobb feszültség hatására kétszer, háromszor, négyszer nagyobb áram folyik?

Ha az

i(t)=C du(t) dt

differenciálegyenletbe a feszültség-időfüggvény konstansszorosát írjuk, akkor a differenciálás szabályai szerint a konstanst kiemelve az áram-időfüggvény konstansszorosát kapjuk.

C dkonstu(t) dt =konstC du(t) dt =konsti(t)

Tehát a kondenzátor - és ugyanilyen gondolatmenettel belátható, hogy a tekercs is - lineáris elem. Ebből következik, hogy a csak ohmos ellenállást, kondenzátort és tekercset tartalmazó váltakozóáramú hálózat lineáris hálózat, tehát alkalmazható és érvényes rá a szuperpozíció tétele. (Megjegyzés: a hálózat linearitása tetszőlegesen változó áramú hálózat esetén is igaz, de ez most számunkra kevésbé fontos.)

Fourier tételének és a hálózat linearitásának következménye

Egy tetszőleges, periodikus időfüggvényű feszültséggenerátor felfogható Fourier tételét figyelembe véve, szinuszos feszültséggenerátorok soros kapcsolásának. Egy tetszőleges, periodikus időfüggvényű áramgenerátor pedig hasonló megfontolások alapján felfogható szinuszos áramgenerátorok párhuzamos kapcsolásának. Ha a szuperpozíció elvét alkalmazzuk, akkor elegendő minden szinuszos generátorral külön-külön foglalkozni.

Ez a gondolatmenet igen nagy elvi jelentőséggel bír. Nemcsak az általános periodikus időfüggvényű egyes gyakorlati esetek számítását befolyásolja, hanem meghatározó jelentőségű a váltakozóáramú hálózatok elméletét tárgyaló fejezet elvi felépítésében is. Végkövetkeztetésként ugyanis kijelentjük, hogy elegendő csak szinuszos áramú hálózatokkal foglalkoznunk, mindaddig, amíg R, L és C passzív elemeket használunk. Ez lényegesen egyszerűbb matematikai tárgyalást tesz majd lehetővé.

Következzen tehát a megismert három elem és az ezekkel felépített hálózatok vizsgálata szinuszos feszültségű vagy áramú generátorok mellett.

Ellenőrző kérdések
1. Mi a frekvencia?
a frekvencia a periódusidő 2 π -szerese,
a frekvencia az 1 másodperc alatti szögelfordulás radiánban,
a frekvencia a másodpercenkénti periódusok száma,
a frekvencia az időállandó reciproka,
a frekvencia a nemperiodikus időfüggvények jellemzője.
2. Hogyan számítható a frekvencia a periódusidőből?
f=T ,
f= T 2π ,
f=2πT ,
f= 2π T ,
f= 1 T .
3. Hogyan számítható a körfrekvencia a frekvenciából?
ω=f ,
 ω= f 2π ,
ω=2πf ,
ω= 2π f ,
ω= 1 f .
4. Hogyan számítható a periódusidő a frekvenciából?
T=f ,
T= f 2π ,
T=2πf ,
T= 2π f ,
T= 1 f .
5. Fourier tétele szerint minden periodikus függvény felbontható a következőkre.
alharmonikus és felharmonikus,
egyenkomponens, alapharmonikus és felharmonikus,
egyenkomponens, alapharmonikus és felharmonikusok,
egyenkomponens és alharmonikusok,
alapharmonikus és felharmonikusok,
egyenkomponensek, alapharmonikusok és felharmonikusok.
6. Szinuszos időfüggvény teljes meghatározásához a következő adatok elegendők.
amplitúdó, frekvencia és kezdőfázis,
csúcsérték és körfrekvencia,
csúcsérték, körfrekvencia és kezdőfázis,
amplitúdó, csúcsérték és fázisszög,
körfrekvencia, periódusidő és kezdőfázis,
periódusidő, csúcsérték és kezdőfázis.
7. Melyik két jellemzővel teszünk különbséget szinuszos generátorral táplált kapcsolásban két időfüggvény között?
csúcsérték és körfrekvencia,
amplitúdó és kezdőfázis,
amplitúdó és körfrekvencia,
periódusidő és kezdőfázis,
amplitúdó és frekvencia,
frekvencia és kezdőfázis.