KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

26. lecke: Soros RLC kapcsolás, rezgőkör. Rezonancia, rezonanciafrakvencia. Jósági tényező. Feszültség-áram vektorábrák különböző frekvenciákon. Az elemek feszültségeinek és áramának frekvenciafüggése. Az impedancia frekvenciafüggése. Párhuzamos rezgőkör

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • elemezni a soros és a párhuzamos rezgőkört;
  • felírni a rezonancia és a jósági tényező képletét;
  • értelmezni a soros áramkör feszültség-áram vektorábráját.
Tananyag
Soros LC kapcsolás

Kapcsoljunk sorosan egy tekercset és egy kondenzátort (26.1. ábra)!

26.1. ábra

Tegyük fel, hogy elemeinken egy külső hálózat szinuszos áramot hajt keresztül.

i(t)= I ^ sinωt

A kondenzátor és a tekercs látszólagos ellenállása:

X C = 1 ωC ,

X L =ωL .

Az áram az elemeken szinuszosan váltakozó feszültségeket hoz létre, melyek körfrekvenciája az áraméval azonos. A feszültségek amplitúdói számíthatók.

U ^ C = I ^ X C = I ^ 1 ωC ,

U ^ L = I ^ X L = I ^ ωL .

A képletekben a kapacitás és az induktivitás a két passzív elem felépítéséből származó jellemző. Ezért a két feszültség arányát kizárólag a közös áram körfrekvenciájával tudjuk befolyásolni.

Ahhoz, hogy a két elem közös eredő feszültségét meghatározzuk, vizsgálnunk kell a részfeszültségek időfüggvényét. A korábbi ismeretek alapján tudjuk, hogy a kondenzátoron a feszültség késik, és a tekercsen a feszültség siet bármilyen szinuszos áram esetén, éspedig pontosan 90°-ot. Ez elegendő az időfüggvények felírásához.

u C (t)= U ^ C sin(ωt90°)= U ^ C cosωt

u L (t)= U ^ L sin(ωt+90°)= U ^ L cosωt

Ábrázolva a három időfüggvényt a két feszültség között egy sajátos kapcsolatot láthatunk (26.2. ábra).

26.2. ábra

A két feszültség pillanatértékei mindig ellentétes előjelűek, egymásból kivonódnak. Kirchhoff huroktörvénye szerint

u e (t)= u L (t)+ u C (t)

Az eredő feszültség amplitúdója a két amplitúdó különbsége.

U ^ e = U ^ L U ^ C

Az eredő feszültség koszinuszos, ha a különbség pozitív, és mínusz koszinuszos, ha negatív. Ebben a sajátos esetben sikerült csupán az időfüggvények vizsgálatával feladatunkat megoldani. Természetesen ugyanezt az eredményt kapjuk a komplex számításmód alkalmazásával is.

A két soros elem eredő impedanciája a részimpedanciák összege.

Z LC ¯ = Z L ¯ + Z C ¯ =jωL+(j 1 ωC )=j(ωL 1 ωC )

Az áram nulla kezdőfázisú, tiszta szinuszos.

I ^ ¯ = I ^

A részfeszültségek komplex amplitúdói:

U ^ C ¯ = I ^ ¯ (j 1 ωC )=j I ^ ωC = I ^ ωC e (j90°)

U ^ L ¯ = I ^ ¯ jωL=j I ^ ωL= I ^ ωL e j90°

Az eredő feszültség komplex amplitúdója:

U ^ e ¯ = I ^ ¯ Z LC ¯ =j I ^ (ωL 1 ωC )= I ^ (ωL 1 ωC ) e j90°

Az időfüggvények amplitúdói és kezdőfázisai a komplex amplitúdókból kiolvasva előző eredményeinkkel megegyeznek.

Rezonancia

Az eredő feszültség komplex amplitúdójának zárójeles kifejezése két látszólagos ellenállás különbségét tartalmazza. A körfrekvencia növekedésével a tekercsé monoton nő, a kondenzátoré monoton csökken. Létezik egy olyan speciális eset, amikor a két látszólagos ellenállás egyenlő, a különbségük nulla. Az így előálló helyzet a rezonancia. Ekkor az ideális tekercs és kondenzátor soros kapcsolása rövidzárként viselkedik. Az az érték amelynél a két elem látszólagos ellenállása megegyezik, a rezonancia-körfrekvencia, jele: ω 0 , értéke a következőképpen számítható:

ω 0 L= 1 ω 0 C

ω 0 2 = 1 LC

ω 0 = 1 LC
Megjegyzés: A rendszer energia-felvétel nélkül sajátrezgést végez. Hasonló történik, mint a mechanikában egy rugóra függesztett tömeg csillapítatlan rezgése esetén.

Ez az úgynevezett Thomson képlet. Rezonancián az a sajátos helyzet áll elő, hogy miközben a tekercsen is és a kondenzátoron is jól mérhető szinuszos feszültség esik, a két elem eredő feszültsége nulla. Ez azzal is magyarázható, hogy a 26.2. ábrán a kondenzátor és a tekercs feszültségének amplitúdója azonos, pillanatértékeik minden időpontban kivonódva egymásból nullát adnak eredményül.

Soros RLC kapcsolás

Az előző, ideális soros rezgőkörhöz képest a gyakorlatban - elsősorban a tekercsek veszteségei miatt - egy soros ellenállással kiegészített modell a megfelelő (26.3. ábra).

26.3. ábra

Ennek vizsgálatát már csak komplex számításmóddal végezzük el. A kapcsolás eredő impedanciája:

Z RLC ¯ = Z R ¯ + Z L ¯ + Z C ¯ =R+jωL+(j 1 ωC )=R+j(ωL 1 ωC )

Tételezzük fel, hogy továbbra is nulla kezdőfázisú, szinuszos áram folyik az elemeken.

i(t)= I ^ sinωt

I ^ ¯ = I ^

Az egyes elemek feszültségének komplex amplitúdói:

U ^ R ¯ = I ^ ¯ R= I ^ R

U ^ L ¯ = I ^ ¯ jωL=j I ^ ωL= I ^ ωL e j90°

U ^ C ¯ = I ^ ¯ (j 1 ωC )=j I ^ ωC = I ^ ωC e (j90°)

Az eredő feszültség komplex amplitúdója:

U ^ e ¯ = I ^ ¯ Z RLC ¯ = I ^ [R+j(ωL 1 ωC )]= I ^ Z RLC e jϕ , ahol

ϕ=arctg ωL 1 ωC R

Rezonancia továbbra is az

ω 0 = 1 LC körfrekvencia mellett áll elő.

Ilyenkor

U ^ L ¯ U ^ C ¯ =0

U ^ L = U ^ C

u LC (t)0

Rezonancián impedancia-minimum van, melynek értéke

Z RLCmin ¯ = Z RLC ( ω 0 ) ¯ =R .

Megjegyzés: sokfrekvenciás, kevert jel fordul elő például rádiótechnikai vevőkészülékek - rádió, TV, mobiltelefon stb. - bemenetén, és sokcsatornás, úgynevezett frekvenciamultiplex kábeles rendszerekben.

Ezért rezonancián alakul ki a legnagyobb áram, feltéve, hogy nem ideális áramgenerátor táplálja a rezgőkört. A soros rezgőkörnek a rezonancia környékén mutatott viselkedését frekvenciaszelektív tulajdonságnak nevezzük. Ugyanis kevert, sok, különböző frekvenciájú szinuszos feszültségből álló táplálás hatására a rezonanciafrekvenciával megegyező, vagy ahhoz közeli frekvenciájú komponensekre kiugróan nagy árammal válaszol. A frekvenciaszelektív tulajdonsággal kapcsolatban szokás a soros rezgőkör jóságát definiálni.

Jósági tényező

A jósági tényező jele: Q0. A rezonancia-köfrekvencián mutatott látszólagos ellenállások hányadosával számítható.

Q 0 = ω 0 L R = 1 ω 0 C R

A soros rezgőkör jó, ha Q 0 >>1 .

26.4. ábra
Vektorábra

Rajzoljuk meg a soros rezgőkör feszültség-áram vektorábráját (26.4. ábra) rezonanciafrekvencián, ω= ω 0 és Q 0 4 mellett.

U ^ L ¯ + U ^ C ¯ =0 , mert a két vektor azonos hosszúságú és pontosan ellentétes irányú. Ezért a generátorfeszültség teljes egészében az ellenállásra jut.

U ^ R ¯ = U ^ g ¯ .

Az áramot csak az - általában kis értékű - ellenállás korlátozza.

I ^ ¯ = U ^ g ¯ R ,            I ^ = U ^ g R .

26.5. ábra
Frekvenciafüggés

A soros rezgőkör látszólagos ellenállása a rezonanciafrekvencián kis érték (R), attól távolodva mind a csökkenő, mind a növekvő frekvenciák felé tart a végtelenhez:

Z RLC = R 2 + (ωL 1 ωC ) 2

Létrehozhatunk R L és C elemek párhuzamos kapcsolásával is rezgőkört. Ennek neve párhuzamos rezgőkör. Rezonanciafrekvenciája a soroséval megegyező, de frekvenciafüggése fordított. Ennek látszólagos ellenállása a rezonanciafrekvencián nagy érték (R), attól távolodva mind a csökkenő, mind a növekvő frekvenciák felé tart a nullához.

Ellenőrző kérdések
1. Szinuszos áramgenerátorral táplált soros LC kapcsolás elemein a feszültség
időben állandó,
exponenciális időfüggvényű,
szinuszos, azonos kezdőfázisú, azonos előjelű,
szinuszos, azonos kezdőfázisú, ellentétes előjelű, (fél periódussal eltolt szinuszos)
szinuszos, azonos amplitúdójú.
2. A soros LC kapcsolás impedanciája
tiszta valós,
tiszta képzetes,
valós és képzetes részt is tartalmaz,
3. Mi a soros LC kapcsolásban a rezonancia feltétele?
a két elem impedanciája egyenlő,
a két elem látszólagos ellenállása egyenlő,
a két elem látszólagos ellenállása szorzata 1,
a két elem látszólagos ellenállása mértani középértéke 1,
a két elem impedanciája összege nulla,
a két elem látszólagos ellenállása összege nulla.
4. Hogyan számítható soros LC kapcsolás rezonancia-körfrekvenciája?
ω 0 =LC ,
ω 0 = LC ,
ω 0 = L 2 C 2 ,
ω 0 = 1 LC ,
ω 0 = 1 (LC) 2 ,
ω 0 = 1 LC .
5. Mi jellemzi a feszültséggenerátorral táplált soros RLC kapcsolást rezonancián?
árammaximum,
áramminimum,
feszültségmaximum,
feszültségminimum,
impedancia-maximum,
impedancia-minimum.
6. Mi a soros veszteséges rezgőkör jósági tényezője?
Q 0 = R ω 0 C ,
Q 0 = R ω 0 L ,
Q 0 =R ω 0 C ,
Q 0 =R ω 0 L ,
Q 0 = 1 R ω 0 C ,
Q 0 = ω 0 L R ,
az eredő impedancia és az ellenállás hányadosa rezonancián.
az egyik reaktáns elem látszólagos ellenállása és az ellenállás hányadosa rezonancián.
7. Mi jellemzi az áramgenerátorral táplált párhuzamos RLC kapcsolást rezonancián?
árammaximum,
áramminimum,
feszültségmaximum,
feszültségminimum,
impedancia-maximum,
impedancia-minimum.