KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Egyenáramú hálózatok
10. lecke: Szuperpozíció tétele
Tanulási célok | |||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | |||
| |||
Tananyag | |||
Ha a hálózatunk több generátort tartalmaz, akkor használhatjuk a keresett feszültségek és áramok kiszámítására a szuperpozíció tételt. A hálózatban található generátorokat külön-külön, egyenként vesszük figyelembe és ezáltal részeredményeket kapunk. Valamely keresett feszültség vagy áram értékét úgy számítjuk ki, hogy a részeredmények előjelhelyes összegét képezzük. Ez utóbbi lépés a tulajdonképpeni szuperpozíció. | |||
Ahhoz, hogy egy generátor hatását külön tudjuk számítani, az összes többi generátort helyettesíteni, szakkifejezéssel dezaktivizálni kell. A hálózati elemek jellemzésénél megállapítottuk, hogy szélső esetben egy rövidzár tekinthető egy nulla voltos feszültséggenerátornak és egy szakadás egy nulla amperes áramgenerátornak. Ez a dezaktivizálás alapja (10.1. ábra). Természetesen speciális esetben az előbbitől eltérhetünk, ha két vagy három generátor hatása együtt is könnyen számítható. A fontos csak az, hogy a hálózatban található valamennyi generátort egyszer és csakis egyszer vegyük figyelembe. | |||
| |||
A szuperpozíció tétel csak akkor alkalmazható, ha a hálózatunk lineáris. Ez egyenáramú hálózatban akkor teljesül, ha a benne található valamennyi passzív elem Ohm törvényének eleget tesz, tehát lineáris, ohmos ellenállás. Eddig kizárólag ilyen eseteket tárgyaltunk. | |||
(Megjegyzés: az ohmos ellenállás feszültség-áram karakterisztikája egy origón átfutó ferde egyenes. A karakterisztikát nem szokás megrajzolni, hanem elegendő azt a meredekségével, azaz az ellenállás értékével jellemeznünk. Nemlineáris elem esetén a görbe érintőjének a meredeksége pontról pontra változik. Nemlineáris elemek például a félvezető eszközök, a diódák, tranzisztorok, tirisztorok. A gyártók ezeket vastag katalógusokban megadott, részletes feszültség-áram karakterisztikákkal jellemzik.) | |||
A szuperpozíció tétel az összetett hálózatot több egyszerű részhálózatra bontja. Így a megoldás egyszerűbb, de hosszadalmasabb lesz, mint az összetett hálózatot közvetlenül kezelő módszereké. Szuperpozíció alkalmazása a bonyolultabb hálózatok esetén előnyös inkább. | |||
Vizsgáljuk meg egy példán keresztül a tétel alkalmazását! |
10.1. Példa: Tekintsük az 10.2. ábrán látható kapcsolást! | |||
| |||
1. eset: A feszültséggenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük az áramgenerátort szakadással (10.3. ábra)! | |||
| |||
Vegyük fel a keresett három feszültség nyílirányát a kiinduló feladatban megadottal azonosan! Különböztessük meg a részfeszültségeket és a részáramot felső vesszővel az eredeti kapcsolásbeli értékektől. | |||
Az ellenálláson nem folyik áram, mert szakadás kapcsolódik vele sorosan. | |||
és feszültségosztónak tekinthető, áramuk azonos, mivel értéke nulla. | |||
2. eset: Az áramgenerátor hatásának vizsgálata. Helyettesítsük a feszültséggenerátort rövidzárral (10.4. ábra)! | |||
| |||
Vegyük fel a keresett három feszültség nyílirányát ismét a kiinduló feladatban megadottal azonosan! Különböztessük meg a részfeszültségeket és a részáramokat két felső vesszővel a korábbi jelölésektől. | |||
Az ellenállás árama az áramgenerátor áramával megegyezik. | |||
és párhuzamosan vannak kapcsolva, áramosztót képeznek. | |||
Ohm törvénye alapján: | |||
Az ellenálláson a feszültség és az áram iránya ellentétes, ezért | |||
! | |||
Behelyettesítve | |||
. | |||
Szuperpozíció: Összegezzük előjelhelyesen a részeredményeket! Most élvezzük annak előnyét, hogy mindkét esetben és mindhárom feszültségre következetesen az eredeti irányokat megtartottuk. Ezért valamennyi részfeszültséget pozitív előjellel kell szerepeltetnünk. | |||
Értékelés: | |||
Némileg váratlan, hogy az ellenállás feszültsége nulla, de az ellenőrzés ezt alátámasztja: | |||
és azonos, értékű és felől nézve ellentétesek. Az eredőjük valóban nulla. kapcsai között nincs feszültségkülönbség: az A és B pontok "ekvipotenciálisak". Jó tudni, hogy ha egy ellenállás ilyen helyzetbe kerül, akkor elvehetjük, azaz szakadással helyettesíthetjük, rövidre zárhatjuk, illetve értékét tetszőlegesre módosíthatjuk anélkül, hogy a kapcsolás többi elemének villamos állapota megváltozna. Példánkban ez azt jelenti, hogy a feszültséggenerátor árammentes, az , az és az áramgenerátor árama . Némi megfontolás után belátható, hogy változása ezen áramokra nincs hatással. | |||
Végeredményünket alátámasztja a következő gondolatmenet is. Áramgenerátorral sorosan kapcsolt ellenállás árama a generátor áramával, feszültséggenerátorral párhuzamosan kapcsolt ellenállás feszültsége a generátor feszültségével megegyezik. Ezekre az esetekre a szuperpozíció alkalmazása mellőzhető. Példánkban az árama, és ezzel feszültsége is így ellenőrizhető, és helyes. | |||
A szuperpozíció egy további előnyét is érdemes tanulmányozni. A részeredményeket fizikai tartalommal ugyan nem ruházhatjuk fel, de számítási eljárásunkban sajátos tulajdonságuk van. Valamely generátor megváltozása ugyanis csak azon részeredmények értékére van hatással, amelyeket az adott generátor figyelembevételével számítottunk. A többi részeredmény számításánál az adott generátor dezaktivizált, passzív. | |||
10.2. Példa: Hogyan változnak meg az eredmények az előző példánkban, ha az áramgenerátor kapcsait felcseréljük? | |||
Egy olyan egygenerátoros kapcsolásban, mint amilyen a szuperpozíció tétel alapján végzett részszámításaink során is szerepel, érvényes a következő szabály. A kapcsolás valamennyi árama és feszültsége a generátor jellemzőjének megváltoztatását arányosan követi. Ha a tápláló generátor forrásfeszültségét vagy forrásáramát kétszer, háromszor, négyszer nagyobb értékűre választjuk, akkor a kapcsolás valamennyi feszültsége és árama is kétszeresére, háromszorosára, négyszeresére nő. (Megjegyzés: az állítás azért igaz, mert lineáris a hálózatunk.) Példánkban a generátor kapcsainak felcserélése egyenértékű értékének előjelváltásával. A generátor áramának előjelváltása pedig a hálózat valamennyi feszültségének és áramának előjelváltását eredményezi. Az előző példa 2. esete részeredményeinek előjelváltásával a végeredmény: | |||
Értékelés: | |||
Az előjelváltással követte az áramgenerátor áramának előjelváltását. Ebben a példában az A és C pont ekvipotenciális, elhagyható, rövidre zárható, megváltoztatható. Végül levonhatunk egy következtetést: a szuperpozíciós részeredmények ismerete jelentős könnyebbséget ad a többgenerátoros hálózat valamely generátora megváltozásának gyors követésére számításainkban. | |||
10.3. Példa: Tekintsük a 10.5. ábrán látható kapcsolást. Az adatok: | |||
| |||
1. eset: | |||
| |||
2. eset: | |||
| |||
3. eset: | |||
| |||
Összegzés: | |||
Ellenőrzés:, feszültségmentes (huroktörvény alapján), Ig átfolyik R2-n (soros kapcsolás), ezért . |
Ellenőrző kérdések | |||||||
1. Mikor nevezünk egy hálózatot lineárisnak?
![]() | |||||||
2. Mikor alkalmazható a szuperpozíció tétele?
![]() | |||||||
3. Mivel kell helyettesíteni a szuperpozíció tétel alkalmazása során a feszültséggenerátorokat?
![]() | |||||||
4. Mivel kell helyettesíteni a szuperpozíció tétel alkalmazása során az áramgenerátorokat?
![]() | |||||||
5. Hány generátort kell aktívnak meghagyni a szuperpozíció tétel egy-egy részszámítása során?
![]() | |||||||
6. Milyen fizikai jelentéssel bírnak a szuperpozíció tétel alkalmazása során kapott részeredmények?
![]() |