KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

18. lecke: Be- és kikapcsolási jelenségek soros RC körben

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • saját szavaival megfogalmazni a be- és kikapcsolási jelenségeket soros RC körben;
  • felírni az időállandó képletét.
Tananyag
Soros RC elemek egyenfeszültségre kapcsolása

Tekintsük a 18.1. ábrán látható kapcsolást!

18.1. ábra

Az ellenállás és kondenzátor soros kapcsolását a K kapcsolóval t=0 pillanatban U g egyenfeszültségű generátorra kapcsoljuk. Az u k feszültségben egy U g nagyságú ugrás jön létre. Ez az a változás, amely az ellenállás feszültségében, a kondenzátor feszültségében és a kör áramában változásokat okoz! Írjuk fel a huroktörvényt az áramkörre!

u k = u R + u C

Vizsgáljuk azt az általános esetet, amikor a bekapcsolás előtt a passzív elemeink energia- és feszültségmentesek.

t<0 esetén u k ( t )=0 , u R ( t )=0 , u C ( t )=0 .

A kapcsoló zárásával az u k kapocsfeszültség felveszi a generátorfeszültség értékét, tehát:

t0 esetén U g = u k (t)= u R ( t )+ u C ( t ) .

Használjuk fel az ellenállásra megismert összefüggést.

u R ( t )=Ri( t ) ebből

U g =Ri( t )+ u C ( t )

A közös áram szerepel a kondenzátor egyenletében is.

i( t )=C d u C ( t ) dt , ebből        (1)

U g =RC d u C ( t ) dt + u C ( t )

Egy inhomogén differenciálegyenletet kaptunk, melyben a kondenzátor feszültségének időfüggvénye az egyetlen ismeretlen. A differenciálegyenlet megoldása függvénykeresés. Keressük a kondenzátor feszültségének azon időfüggvényét, amely kielégíti a differenciálegyenletet. Az ilyen típusú differenciálegyenlet megoldása az e x exponenciális függvény valamely alkalmas transzformáltja.

A kondenzátor (1) differenciálegyenletéből még egy hasznos következtetést vonhatunk le. Ha a kondenzátor feszültségében ugrás van, akkor abban a pillanatban a feszültség deriváltja és ezzel az árama végtelen értéket vesz fel, ami gyakorlatilag lehetetlen. A kondenzátor feszültsége tehát a bekapcsolás pillanatában meg kell, hogy tartsa a bekapcsolás előtti nulla értékét. Az ezt a feltételt is teljesítő, a differenciálegyenletet kielégítő megoldás:

u C ( t )= U g ( 1 e t τ )0t<

Az időfüggvényt a 18.2. ábrán tekinthetjük meg. A kondenzátor feszültsége bekapcsoláskor nulláról indulva aszimptotikusan közelíti U g értékét.

18.2. ábra

Az exponenciális függvény kitevőjében a független változó, az idő, fizikai mennyiség, tehát van mértékegysége. A kitevő nevezőjében szereplő konstans szintén idő mértékegységű mennyiség, így a teljes kitevő mértékegység nélküli, és akár egészként, akár törtként a matematika szabályai szerint értelmezhető. Az áramkör további időfüggvényei:

u R ( t )= U g e t τ 0t<
i( t )= u R ( t ) R = U g R e t τ 0t<

A huroktörvény teljesül:

u R ( t )+ u C ( t )= U g e t τ + U g (1 e t τ )= U g ( e t τ +1 e t τ )= U g     0t< .

Az időállandó

A kitevőben szereplő konstans értékének változtatása vízszintes nyújtást vagy zsugorítást eredményez. A neve: időállandó, jele: τ. Szerkesztéssel a bekapcsolás pillanatában az időfüggvényhez húzott érintővel az érintési pontja és a végtelenbeli vízszintes érintő metszéspontja közötti vízszintes távolságként kaphatjuk meg. Algebrai kifejezését a differenciálegyenletben a deriváltfüggvény szorzójaként szereplő kifejezésként találjuk meg. Soros RC kapcsolás időállandója:

τ=RC

Ellenőrizzük a mértékegységeket:

[ R ][ C ]= V A As V =s=[ τ ]=[ t ] .

Figyeljük meg gondosan a 18.2. ábra négy, azonos léptékben egymás alá rajzolt időfüggvényét! Bármely pillanatban húzott függőleges rendező négy olyan pillanatértéket jelöl ki, melyek között a huroktörvény ellenőrizhető.

Az exponenciális függvények elméletileg csak a végtelenben érik el vízszintes érintőjüket. De mennyi idő alatt zajlik le a bekapcsolás gyakorlatilag? Ezt ahhoz az időponthoz kötjük, amelynél a görbék az U g feszültségnek az 1%-ánál kisebb hibával megközelítik a végső értéküket. Keressük a következő egyenlet megoldását: 0,01= e t τ . A megoldás: t=4,6τ . A műszaki gyakorlatban a leegyszerűsített szabály: 5 τ idő alatt a tranziens folyamat lezajlik, és állandósult állapot jön létre.

Állandósult állapot

Soros RC kapcsolásunkban ez az állandósult állapot azt jelenti, hogy az ellenálláson elhanyagolhatóan kis feszültség esik, és a kondenzátor magára veszi gyakorlatilag a teljes U g feszültséget, ami megfelel az egyenáramú állapotnak.

18.3. ábra
Soros RC elemek kikapcsolása

Ha a feltöltött kondenzátort a soros ellenállással t=0 pillanatban rövidre zárjuk (18.3. ábra), egy kikapcsolási tranziens folyamat játszódik le. A feltöltött kondenzátor a kikapcsolás pillanatában az ellenállásra az előzővel ellentétes irányú, U g nagyságú feszültségugrást kényszerít rá. A megoldást most egy homogén differenciálegyenlet adja.

A végeredmények ( 0t< ):

u R ( t )= U g e t τ
u C ( t )= U g e t τ
i(t)= U g R e t τ

A huroktörvény szerint:

u R ( t )+ u C ( t )= U g e t τ + U g e t τ =0

Az időállandó most is:

τ=RC .

Ha az ellenállás és kondenzátor soros kapcsolását t=0 pillanatban U g egyenfeszültségű generátorra kapcsoljuk, majd az állandósult állapot jó megközelítését, legalább 5 τ időt kivárva t 1 pillanatban kikapcsoljuk, a 18.4. ábra szerinti folyamatok játszódnak le.

18.4. ábra
Ellenőrző kérdések
1. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U C e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) .
2. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után a kondenzátor feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U C e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) .
3. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az áram időfüggvénye?
i( t )= U g R e τ t ,
i( t )= R U R ( 1 e t τ ) ,
i( t )= U g R e t τ ,
i( t )= U g R ( 1 e τ t ) ,
i( t )= U R R e t τ ,
i( t )= I R ( 1 e t τ ) .
4. Egy kondenzátornak melyik időfüggvényében nem lehet ugrás?
a feszültségében,
az áraméban,
egyikben sem lehet,
mindkettőben lehet.
5. Hogyan számítható egy soros RC kapcsolás egyenfeszültségre kapcsolásakor értelmezett időállandó?
τ= R C ,
τ= C R ,
τ=RC ,
τ= R L ,
τ= L R ,
τ= 1 RC .
6. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U C e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) .
7. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után a kondenzátor feszültség-időfüggvénye?
u( t )= U g e τ t ,
u( t )= U R ( 1 e t τ ) ,
u( t )= U g e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e τ t ) ,
u( t )= U C e t τ ,
u( t )= U g ( 1 e t τ ) .
8. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az áram időfüggvénye?
i( t )= U g R e τ t
i( t )= R U R ( 1 e t τ )
i( t )= U g R e t τ
i( t )= U g R ( 1 e τ t )
i( t )= U R R e t τ
i( t )= I R ( 1 e t τ )