KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

21. lecke: Ellenállás, tekercs és kondenzátor viselkedése váltakozóáramú körben. Frekvenciafüggés

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • meghatározni ellenállás viselkedését szinuszos feszültség hatására;
  • meghatározni tekercs viselkedését szinuszos feszültség hatására;
  • meghatározni kondenzátor viselkedését szinuszos feszültség hatására.
Tananyag
Ellenállás viselkedése szinuszos feszültség hatására

Kapcsoljunk egy ellenállásra szinuszos feszültséggenerátort (21.1 ábra)!

21.1. ábra

Legyen a generátor feszültségének időfüggvénye

u g (t)= U ^ g sinωt .

Az ellenállás árama kiszámítható:

R= u R (t) i R (t) = u g (t) i(t) ,

i(t)= u g (t) R = U ^ g sinωt R = U ^ g R sinωt .

Az ellenállás árama U ^ g R amplitúdójú, a feszültségével megegyező körfrekvenciájú és kezdőfázisú időfüggvény lesz. A két időfüggvény közös koordinátarendszerben a 21.2. ábrán szemlélhető.

21.2. ábra

Tétel: Ellenálláson a feszültség és az áram fázisban van.

Kondenzátor viselkedése szinuszos feszültség hatására

Kapcsoljunk egy kondenzátorra szinuszos feszültséggenerátort.

21.3. ábra

Legyen a generátor feszültségének időfüggvénye

u g (t)= U ^ g sinωt .

A kondenzátor árama kiszámítható:

i(t)=C du(t) dt általában, esetünkben pedig

i(t)=C d U ^ g sinωt dt =C U ^ g dsinωt dt = U ^ g ωCcosωt= U ^ g ωCsin(ωt+ 90 )

I ^ = U ^ g ωC

A kondenzátor árama I ^ amplitúdójú, a feszültségével azonos körfrekvenciájú, de ahhoz képest 90°-kal, egy negyed periódussal siető szinuszos időfüggvényű.

21.4. ábra

A kondenzátor feszültség- és áramidőfüggvénye közös koordinátarendszerben a 21.4. ábrán szemlélhető.

Tétel: Kondenzátoron az áram 90°-ot siet a feszültséghez képest.

Tekercs viselkedése szinuszos áram hatására

Kapcsoljunk egy tekercsre szinuszos áramgenerátort (21.5. ábra).

21.5. ábra

Legyen a generátor áramának időfüggvénye:

i g (t)= I ^ g sinωt

A tekercs feszültsége:

u(t)=L di(t) dt általában, esetünkben

u(t)=L d I ^ g sinωt dt =L I ^ g dsinωt dt = I ^ g ωLcosωt= I ^ g ωLsin( ωt+ 90 ) .

U ^ = I ^ g ωL

A tekercs feszültsége U ^ amplitúdójú, a feszültségével azonos körfrekvenciájú, az áramhoz képest 90°-kal, azaz egy negyed periódussal siető, szinuszos időfüggvényű. A tekercs feszültség- és áram-időfüggvénye a 21.6. ábrán szemlélhető.

21.6. ábra

Az előző időfüggvény-párokkal való összehasonlíthatóság érdekében az ábrázolást negyed periódussal korábban kezdjük, hogy a feszültség-időfüggvény szinuszos legyen.

Tétel: A tekercs feszültsége 90°-ot siet az áramához képest.

Következtetések: az ellenállásokból, tekercsekből és kondenzátorokból álló általános hálózatra is érvényes úgy, ahogy az elemekre, hogy a hálózatot szinuszos generátorra kapcsolva a hálózat minden feszültsége és árama a generátoréval azonos körfrekvenciájú. A feszültségeket és áramokat két jellemző, amplitúdójuk és kezdőfázisuk különbözteti meg.

A kondenzátor és a tekercs esetén a feszültség és áram pillanatértékek hányadosa nem hordoz információt, mint az ellenállásnál. Egy negyed periódus alatt a hányados nulla és végtelen között minden értéket felvesz. A feszültség és az áram közötti kapcsolat az amplitúdók hányadosában fogalmazható meg. Kondenzátor és tekercs esetén a két amplitúdó közötti kapcsolat frekvenciafüggő, azt a körfrekvencia és a kapacitás illetve az induktivitás szorzata teremti meg.

Ellenőrző kérdések
1. Hogyan alakul egy ellenálláson szinuszos áramú hálózatban a feszültség és az áram időfüggvénye?
az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest,
az áram és a feszültség fázisban van,
az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest,
az áram és a feszültség két különböző frekvenciájú, szinuszos időfüggvény szerint változik,
az áram és a feszültség nem szinuszos időfüggvény szerint változik,
a feszültség szinuszos időfüggvényét az áram nem szinuszos időfüggvénnyel követi.
2. Hogyan alakul egy kondenzátoron szinuszos áramú hálózatban a feszültség és az áram időfüggvénye?
az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest,
az áram és a feszültség fázisban van,
az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest,
az áram és a feszültség két különböző frekvenciájú, szinuszos időfüggvény szerint változik,
az áram és a feszültség nem szinuszos időfüggvény szerint változik,
a feszültség szinuszos időfüggvényét az áram nem szinuszos időfüggvénnyel követi.
3. Hogyan alakul egy tekercsen szinuszos áramú hálózatban a feszültség és az áram időfüggvénye?
az áram siet 90°-ot a feszültséghez képest,
az áram és a feszültség fázisban van,
az áram késik 90°-ot a feszültséghez képest,
az áram és a feszültség két különböző frekvenciájú, szinuszos időfüggvény szerint változik,
az áram és a feszültség nem szinuszos időfüggvény szerint változik,
a feszültség szinuszos időfüggvényét az áram nem szinuszos időfüggvénnyel követi.
4. Melyik ábra felel meg egy ellenálláson létrejövő szinuszos feszültség és áram időfüggvényének?
5. Melyik ábra felel meg egy kondenzátoron létrejövő szinuszos feszültség és áram időfüggvényének?
6. Melyik ábra felel meg egy tekercsen létrejövő szinuszos feszültség és áram időfüggvényének?
7. Mekkora egy szinuszos feszültséggenerátorra kapcsolt ellenálláson kialakuló szinuszos áram amplitúdója?
az ellenállás értékétől független,
a generátor feszültségétől független,
az ellenállás értékétől és a generátor feszültségétől is független,
U ^ g R ,
U ^ g R ,
R U ^ g .
8. Mekkora egy szinuszos feszültséggenerátorra kapcsolt kondenzátoron kialakuló szinuszos áram amplitúdója?
az kapacitás értékétől független,
a generátor feszültségétől független,
az kapacitás értékétől, a körfrekvencia értékétől és a generátor feszültségétől is független,
U ^ g R ,
ωC U ^ g ,
U ^ g ωC ,
U ^ g ωC ,
U ^ g ωL .
9. Mekkora egy szinuszos feszültséggenerátorra kapcsolt tekercsen kialakuló szinuszos áram amplitúdója?
az induktivitás értékétől független,
a generátor feszültségétől független,
a körfrekvencia értékétől független,
U ^ g ωL ,
U ^ g ωC ,
U ^ g ωL ,
ωL U ^ g .