KURZUS: Elektrotechnika
MODUL: Váltakozóáramú hálózatok
18. lecke: Be- és kikapcsolási jelenségek soros RC körben
Tanulási célok | |||
A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz: | |||
| |||
Tananyag | |||
Soros RC elemek egyenfeszültségre kapcsolása | |||
Tekintsük a 18.1. ábrán látható kapcsolást! | |||
| |||
Az ellenállás és kondenzátor soros kapcsolását a K kapcsolóval pillanatban egyenfeszültségű generátorra kapcsoljuk. Az feszültségben egy nagyságú ugrás jön létre. Ez az a változás, amely az ellenállás feszültségében, a kondenzátor feszültségében és a kör áramában változásokat okoz! Írjuk fel a huroktörvényt az áramkörre! | |||
Vizsgáljuk azt az általános esetet, amikor a bekapcsolás előtt a passzív elemeink energia- és feszültségmentesek. | |||
esetén , , . | |||
A kapcsoló zárásával az kapocsfeszültség felveszi a generátorfeszültség értékét, tehát: | |||
esetén . | |||
Használjuk fel az ellenállásra megismert összefüggést. | |||
ebből | |||
A közös áram szerepel a kondenzátor egyenletében is. | |||
, ebből (1) | |||
Egy inhomogén differenciálegyenletet kaptunk, melyben a kondenzátor feszültségének időfüggvénye az egyetlen ismeretlen. A differenciálegyenlet megoldása függvénykeresés. Keressük a kondenzátor feszültségének azon időfüggvényét, amely kielégíti a differenciálegyenletet. Az ilyen típusú differenciálegyenlet megoldása az exponenciális függvény valamely alkalmas transzformáltja. | |||
A kondenzátor (1) differenciálegyenletéből még egy hasznos következtetést vonhatunk le. Ha a kondenzátor feszültségében ugrás van, akkor abban a pillanatban a feszültség deriváltja és ezzel az árama végtelen értéket vesz fel, ami gyakorlatilag lehetetlen. A kondenzátor feszültsége tehát a bekapcsolás pillanatában meg kell, hogy tartsa a bekapcsolás előtti nulla értékét. Az ezt a feltételt is teljesítő, a differenciálegyenletet kielégítő megoldás: | |||
Az időfüggvényt a 18.2. ábrán tekinthetjük meg. A kondenzátor feszültsége bekapcsoláskor nulláról indulva aszimptotikusan közelíti értékét. | |||
| |||
Az exponenciális függvény kitevőjében a független változó, az idő, fizikai mennyiség, tehát van mértékegysége. A kitevő nevezőjében szereplő konstans szintén idő mértékegységű mennyiség, így a teljes kitevő mértékegység nélküli, és akár egészként, akár törtként a matematika szabályai szerint értelmezhető. Az áramkör további időfüggvényei: | |||
A huroktörvény teljesül: | |||
. | |||
Az időállandó | |||
A kitevőben szereplő konstans értékének változtatása vízszintes nyújtást vagy zsugorítást eredményez. A neve: időállandó, jele: . Szerkesztéssel a bekapcsolás pillanatában az időfüggvényhez húzott érintővel az érintési pontja és a végtelenbeli vízszintes érintő metszéspontja közötti vízszintes távolságként kaphatjuk meg. Algebrai kifejezését a differenciálegyenletben a deriváltfüggvény szorzójaként szereplő kifejezésként találjuk meg. Soros RC kapcsolás időállandója: | |||
Ellenőrizzük a mértékegységeket: | |||
. | |||
Figyeljük meg gondosan a 18.2. ábra négy, azonos léptékben egymás alá rajzolt időfüggvényét! Bármely pillanatban húzott függőleges rendező négy olyan pillanatértéket jelöl ki, melyek között a huroktörvény ellenőrizhető. | |||
Az exponenciális függvények elméletileg csak a végtelenben érik el vízszintes érintőjüket. De mennyi idő alatt zajlik le a bekapcsolás gyakorlatilag? Ezt ahhoz az időponthoz kötjük, amelynél a görbék az feszültségnek az 1%-ánál kisebb hibával megközelítik a végső értéküket. Keressük a következő egyenlet megoldását: 0,01=. A megoldás: . A műszaki gyakorlatban a leegyszerűsített szabály: 5 idő alatt a tranziens folyamat lezajlik, és állandósult állapot jön létre. | |||
Állandósult állapot | |||
Soros RC kapcsolásunkban ez az állandósult állapot azt jelenti, hogy az ellenálláson elhanyagolhatóan kis feszültség esik, és a kondenzátor magára veszi gyakorlatilag a teljes feszültséget, ami megfelel az egyenáramú állapotnak. | |||
| |||
Soros RC elemek kikapcsolása | |||
Ha a feltöltött kondenzátort a soros ellenállással pillanatban rövidre zárjuk (18.3. ábra), egy kikapcsolási tranziens folyamat játszódik le. A feltöltött kondenzátor a kikapcsolás pillanatában az ellenállásra az előzővel ellentétes irányú, nagyságú feszültségugrást kényszerít rá. A megoldást most egy homogén differenciálegyenlet adja. | |||
A végeredmények (): | |||
A huroktörvény szerint: | |||
Az időállandó most is: | |||
. | |||
Ha az ellenállás és kondenzátor soros kapcsolását pillanatban egyenfeszültségű generátorra kapcsoljuk, majd az állandósult állapot jó megközelítését, legalább 5 időt kivárva pillanatban kikapcsoljuk, a 18.4. ábra szerinti folyamatok játszódnak le. | |||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||||||
1. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
![]() | |||||||||||||
2. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után a kondenzátor feszültség-időfüggvénye?
![]() | |||||||||||||
3. Soros RC kapcsolás t=0 pillanatban történő egyenfeszültségre kapcsolása után az áram időfüggvénye?
![]() | |||||||||||||
4. Egy kondenzátornak melyik időfüggvényében nem lehet ugrás?
![]() | |||||||||||||
5. Hogyan számítható egy soros RC kapcsolás egyenfeszültségre kapcsolásakor értelmezett időállandó?
![]() | |||||||||||||
6. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az ellenállás feszültség-időfüggvénye?
![]() | |||||||||||||
7. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után a kondenzátor feszültség-időfüggvénye?
![]() | |||||||||||||
8. Egyenfeszültségre csatlakozó soros RC kör t=0 pillanatban történő kikapcsolása után az áram időfüggvénye? ![]() |