KURZUS: Elektrotechnika

MODUL: Váltakozóáramú hálózatok

27. lecke: Teljesítmény-időfüggvény és átlagteljesítmény ellenálláson. A hatásos teljesítmény

Tanulási célok

A lecke áttanulmányozása után Ön képes lesz:

  • felírni a váltakozóáramú teljesítmény képletét;
  • saját szavaival meghatározni az effektív érték fogalmát;
  • saját szavaival meghatározni a hatásos teljesítmény fogalmát.
Tananyag
Váltakozóáramú teljesítmény

Az egyenáramú hálózatokhoz hasonlóan, foglalkozzunk most is, a bennünket érdeklő kapcsolások feszültség- és áramállapotainak vizsgálata után, a teljesítményviszonyokkal. Az egyenáramú hálózatoknál ez egyszerű feladat volt, mert ott konstans értékeket kaptunk eredményül. Változó áram és feszültség esetén a szorzatuk, a teljesítmény is természetesen időben változó érték.

p(t)=u(t)i(t)

Előző vizsgálatainkból azt is tudjuk, hogy a szinuszos feszültség és az áram időfüggvény egymáshoz képest eltérő helyzetű aszerint, hogy milyen áramköri elemen jön létre. A teljesítményviszonyokat is célszerű külön vizsgálni ellenállásra, reaktanciákra és általános impedanciákra vonatkozóan. Az időfüggvény jellegét tekintve csak a periodikus időfüggvény esetén érdemes részletes vizsgálatot végezni. A nemperiodikus időfüggvény vagy véges időtartamú és véges energiájú, tranziens, vagy időben nem korlátozott, és így összességében végtelen energiájú.

Váltakozóáramú teljesítmény ellenálláson

Kapcsoljunk egy ellenállást szinuszos feszültségre.

u(t)= U ^ sinωt

Az ellenállás árama:

i(t)= u(t) R = U ^ sinωt R = U ^ R sinωt= I ^ sinωt

Az ellenállás teljesítménye:

 p(t)=u(t)i(t)= U ^ sin(ωt) I ^ sin(ωt)= U ^ I ^ (sinωt) 2

A szinusznégyzet-függvényt ismert trigonometriai átalakítással tovább írhatjuk:

 p(t)= U ^ I ^ (sinωt) 2 = U ^ I ^ 1cos2ωt 2

27.1. ábra

Ezt a teljesítmény-időfüggvényt ábrázolja a 27.1. ábra. Az időfüggvény a vízszintes tengelyt felülről érinti, minden pillanatértéke nemnegatív, vagyis nulla vagy pozitív érték. Kétszeres frekvenciájú, az   U ^ I ^ 1 2 amplitúdóértékkel fölfelé eltolt, a jelen ábrázolásban mínusz koszinuszos függvény. A változó teljesítményértéket bármelyik pillanatban leolvashatjuk. Ennél azonban sokkal nagyobb jelentősége van annak, hogy milyen közepes, átlagos teljesítményre számíthatunk hosszabb idő után.

A villamos energiaellátás hazánkban 50 Hz frekvenciájú szinuszos feszültséggel valósul meg.

f=50Hz

T= 1 f = 1 50Hz =20ms

A periódusidő rövid az emberi cselekvésekhez képest, ezért a mindennapi életben a teljesítmény-időfüggvény helyett valamely elem teljesítményállapotát az egy periódusra vett átlagértékkel jellemezzük. Ezt a felírt függvénynek egy periódusra vett integráljával számítjuk. (Tekintettel arra, hogy a teljesítmény-időfüggvény dupla frekvenciájú, a fél periódusra végzett integrálás is ugyanazt az eredményt adná.) Az átlagteljesítmény jelölésére vezessük be: P.

 P= 1 T T p(t)dt = 1 T T U ^ I ^ (sinωt) 2 dt = U ^ I ^ 2

Az integrálás eredménye, az átlagteljesítmény a feszültség- és az áramamplitúdó szorzatának a fele, ahogyan az időfüggvények ábrájából is sejthető. A vonalkázott területek leforgatva éppen kiegészítik téglalappá a görbe alatti felületet. A kettes osztót pedig megoszthatjuk a két amplitúdó között.

 P= U ^ I ^ 2 = U ^ 2 I ^ 2

Effektív érték

Az így kapott két értéket effektív értéknek nevezzük. Az effektív értéket a teljesítményszámításnál használjuk. Az effektív érték szinuszos időfüggvények esetén a csúcsérték osztva   2 -vel.

 U eff =U= U ^ 2  I eff =I= I ^ 2

Az effektív érték a leggyakrabban használt érték, ezért jelölését elhagyhatjuk. Szinuszos áramú hálózatokban az alsó index nélküli feszültség vagy áram jel az effektív értéket jelenti, és csak akkor használunk jelölést, ha a csúcsértékre vagy más középértékre akarunk utalni. A szinuszos feszültségre való hivatkozáskor is az effektív értéket adjuk meg. Például az energiaellátó hálózat hagyományosan 220 voltosnak mondott, vagy a napjainkban szabványos 230 voltos értéke is effektív érték. Az ezekhez tartozó csúcsértékek számíthatók.

 220 2 V310V              220 2 V310V

A villamos mérőműszereket is effektív értékre szokás skálázni. Az effektív érték tulajdonképpen egy középérték, mégpedig négyzetes középérték. Kiszámítása általános periodikus időfüggvény esetén integrálással lehetséges.

 U eff = 1 T T [u(t)] 2 dt

A számítás során rövid, dt időtartamra állandónak tekintjük a pillanatérték négyzetét és egy kicsiny dt szélességű, [u(t)] 2 magasságú téglalap területét képezzük. Az integrálás ezen keskeny téglalapoknak az összegzése egy teljes periódusidőre. Az integrálás eredményét úgy tekintjük, mint egy periódusidő szélességű, átlagos feszültségnégyzet magasságú téglalap területét. A télalap magasságát periódusidővel való osztás révén kapjuk meg. A négyzetes középérték a téglalap magasságából vont négyzetgyök. (Megjegyzés: nyelvünk szépen érzékelteti, hogy egy középérték "közepes", azaz a csúcsértéknél nem nagyobb. A középértékek, és így az effektív értékek is általában csúcsértéknél kisebbek, nulla és csúcsérték közé esnek. Kivétel az időtengelyre szimmetrikusan azonos értéket felvevő négyszögjel, melynek effektív értéke megegyezik a csúcsértékkel, nem kisebb annál.)

Hatásos teljesítmény

A vizsgálatainkban szereplő szinuszos feszültség az ellenálláson munkát végez. Az egy periódus alatt elvégzett munkát integrálással számíthatjuk.

 W T = T p(t)dt =PT

A teljesítmény-pillanatértéket rövid időre állandónak tekintjük, és képezzük egy elemi, keskeny  p(t)dt téglalapnak a területét. A terület egy elemi munkarész. Az integrálás az elemi, keskeny téglalapok területének összegét, a göbe alatti területet eredményezi. Ez éppen az a mód, ahogyan korábban ellenállásunkon az átlagteljesítményt is számítottuk. Ezért az integrálás helyett az átlagteljesítményt felhasználva is kifejezhetjük az egy periódus alatt elvégzett munkát a  PT szorzattal.

Megjegyzés: a hatásos teljesítmény nem tévesztendő össze a "hasznos"-sal.

Az ellenálláson a villamos teljesítmény elfogyasztásra kerül. Átalakul más (mechanikai, hő, fény, kémiai, stb.) teljesítménytípussá. Azt a váltakozóáramú teljesítményt, amely más teljesítménytípussá átalakul, hatásos teljesítménynek nevezzük.

Tétel: Ellenálláson mindig hatásos teljesítmény jön létre.

Tétel: Hatásos teljesítmény csak ellenálláson jön létre.

A hatásos teljesítmény jele: P.

Mértékegység jele: W, neve: watt.

Ellenőrző kérdések
1. Milyen a teljesítmény-időfüggvény egy szinuszos áramú hálózatban ellenálláson?
állandó,
exponenciálisan változó,
szinuszosan változó, egyszeres frekvenciájú,
szinuszosan változó, kétszeres frekvenciájú.
2. Milyen értékeket vesz fel a teljesítmény-időfüggvény ellenálláson szinuszos feszültség mellett?
csak nulla,
pozitív és negatív értékeket tetszőlegesen,
pozitív és negatív értékeket de csak szimmetrikusan,
csak nemnegatív (pozitív és nulla),
csak pozitív.
3. Milyen teljesítményértékkel jellemezzük egy ellenállás teljesítményállapotát?
pillanatértékekkel,
a vizsgált időtartamra képezett átlagértékkel,
a periódusidőre képezett átlagértékkel.
4. Hogyan számítható egy szinuszos időfüggvény effektív értéke?
U eff = U ^ 2 ,
U eff = U ^ 2 ,
U eff = U ^ 2 ,
U eff = U ^ 2 2 ,
U eff = U ^ 2 2 ,
5. Hogyan számítható egy általános periodikus u(t) függvény effektív értéke?
U eff = 1 T T u (t) 2 dt ,
U eff = T u (t) 2 dt ,
U eff = 1 T T u (t) 2 dt ,
U eff = 1 T T u (t) 2 dt ,
U eff = T T u (t) 2 dt ,
U eff = 1 T T u(t)dt .
6. Milyen teljesítmény jön létre ellenálláson?
csak hatásos,
csak meddő,
csak látszólagos,
hatásos és meddő,
hatásos és látszólagos,
meddő és látszólagos,
mindhárom.
7. Milyen elemen jön létre hatásos teljesítmény?
csak ellenálláson,
csak tekercsen,
csak kondenzátoron,
ellenálláson és tekercsen,
ellenálláson és kondenzátoron,
tekercsen és kondenzátoron,
mindhárom elemen.
8. Mi a hatásos teljesítmény jele?
P,
Q,
S.
9. Mi a hatásos teljesítmény mértékegységének a jele?
W,
VAr,
var,
VA.
10. Mi jellemzi a hatásos teljesítményt?
teljes egészében átalakul más teljesítménytípussá, elfogyasztásra kerül,
teljesítménylengés generátor és fogyasztó között, nem kerül elfogyasztásra,
részben elfogyasztásra kerül, részben teljesítménylengés generátor és fogyasztó között.