KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 4. Tömegpont kinematikája

4.1. Mozgásfüggvény (mozgástörvény), pálya (pályagörbe)

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a mozgásfüggvény definícióját;
  • kiválasztani a mozgásfüggvény vektoriális és skaláris alakját DDKR-ben és HKR-ben;
  • kiválasztani az s ívkoordináta, az érintő irányú egységvektor, a főnormális egységvektor, a binormális egységvektor fogalmát;
  • kiválasztani az érintő irányú egységvektort, a főnormális egységvektort, a binormális egységvektort leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a helyvektor - idő, a helyvektor - ívkoordináta és az ívkoordináta (út) - idő függvényt.
Mozgásfüggvény (mozgástörvény), pálya (pályagörbe)
A mozgásfüggvény megadása DDKR-ben, vagy HKR-ben

Mozgásfüggvény: Az anyagi pont térbeli helyzetét meghatározó r = r (t) helyvektor-idő (vektor-skalár) függvény.

Pályagörbe:
1.definíció: Az a térgörbe, amelyen az anyagi pont a mozgás során végighalad.
2.definíció: Az r = r (t) mozgásfüggvény által meghatározott térgörbe.

A pályagörbét az r (t) vektorok végpontja írja le.

A mozgásfüggvény vektoriális megadása:

DDKR: r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k .

HKR: r (t)=R(t) e R +z(t) e z e R =cosφ i +sinφ j .

A mozgásfüggvény skaláris megadása:

DDKR:  x=x(t) y=y(t) z=z(t) .

HKR:  R=R(t) φ=φ(t) z=z(t) .

A mozgásfüggvény természetes koordináta-rendszerben

Az s ívkoordináta: A pályagörbén egy O kezdőponttól mért előjeles távolság (előjeles ívhossz).

e , n , b - egymásra kölcsönösen merőleges egységvektorok (a pályagörbe természetes koordináta-rendszere, vagy kísérő triéder).

e - az érintő irányú egységvektor: e = d r ds | e |=1 .
n - a főnormális egységvektor: d e ds =κ n = 1 ρ n | n |=1 .
b - a binormális egységvektor: b = e × n | b |=1 .

Figyelje meg, hogy a pályagörbéhez képest hol helyezkedik el: az e - az érintő irányú egységvektor, n - a főnormális egységvektor, b - a binormális egységvektor.

ρ - a térgörbe P pontbeli görbületi sugara,
κ=1/ρ - a térgörbe P pontbeli görbülete.
O - a pályagörbe P pontbeli görbületi középpontja.

Az n főnormális egységvektor mindig a görbületi középpont felé mutat.

Simulósík: Az e érintő irányú egységvektor és az n főnormális egységvektor által meghatározott sík.

Az anyagi pont helye a pályagörbén többféleképpen is megadható:

  • Helyvektor - idő függvény: r = r (t) ,
  • Helyvektor - ívkoordináta függvény: ,
  • Ívkoordináta (út) - idő függvény: .
    (Pályabefutás függvény)
    Ennél a megadásnál ismerni kell a pályagörbét és az ívkoordináta kezdőpontját a pályán.
Gyakorló feladat: Tömegpont síkmozgása

Adott: Az r = r (t)= b 0 + b 1 (c t 2 ) mozgásfüggvény a [ t 0 ; t 1 ] idő intervallumban és
b 0 =( i +2 j )m, b 1 =(4 i 4 j ) m/s 2 ,
t 0 =0, t 1 =1,5s,c=2 s 2 .

Feladat:

a) A pályagörbe alakjának meghatározása.

b) Az r 0 = r ( t 0 ), r 1 = r 1 ( t 1 ) helyvektorok meghatározása.

Kidolgozás:

a) A pályagörbe alakjának meghatározása:

A pályagörbe r (t)= r 0 + c f(t) alakú egyenes ( r 0 = b 0 és c = b 1 ).

b) A tömegpont helyének meghatározása a t 0 és t 1 időpillanatban:

A mozgásfüggvény: r = r (t)= b 0 + b 1 (c t 2 ),

r 0 = r ( t 0 )= b 0 + b 1 (c t 0 2 )=( i +2 j )+(4 i 4 j )(20)=

=( i +2 j )+(8 i 8 j )=(7 i 6 j )m .

r 1 = r ( t 1 )= b 0 + b 1 (c t 1 2 )=( i +2 j )+(4 i 4 j )(2 1,5 2 )=

=( i +2 j )+(4 i 4 j )(0,25)=(2 i +3 j )m.

Önellenőrző kérdések
I. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A mozgásfüggvény:
az anyagi pont térbeli helyzetét meghatározó v 1 = v ( t 1 ) sebesség-idő függvény.
az anyagi pont térbeli helyzetét meghatározó s=s(t) ívkoordináta-idő függvény.
az anyagi pont térbeli helyzetét meghatározó r = r (t) helyvektor-idő (vektor-skalár) függvény.
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A mozgásfüggvény vektoriális megadása DDKR-ben:
r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k
r (t)= x (t) i + y (t) j + z (t) k
r(t)=x(t)+y(t)+z(t) .
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A mozgásfüggvény skaláris megadása HKR-ben:
R=R(t) e , φ=φ(t) e , z=z(t) e .
R=R(t) , φ=φ(t) , z=z(t) .
r(t)=x(t)+y(t)+z(t) .

IV. Az ábra alapján párosítsa a vektorokat a megfelelő fogalommal!

1) e
2) n
3) O
4) b

Írja a számot a megfelelő fogalom elé! Egy jelnek nincs párja!
JelFogalom
Binormális egységvektor
Érintő irányú egységvektor
Főnormális egységvektor