KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 4. Tömegpont kinematikája

4.6. Gyakorló feladatok tömegpont mozgására

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • adatok alapján meghatározni a szükséges mozgásjellemzőket
  • adatok alapján kiválasztani a helyesen megrajzolt hodográfot és pályagörbét
1. feladat: Tömegpont ferde hajítása

Adott: A kezdeti helyzet és a kezdősebesség: r 0 =(50 i +10 j )m,   v 0 =10m/s, α=30°,g=10 m/s 2 .

Feladat:

a) Az t 0 =0 indítási helyzet  mozgásjellemzőinek meghatározása.

b) A pálya A ponti helyvektorának és A ponti sebességvektorának meghatározása.

c) A hajítás idejének és hosszának meghatározása.

d) A pálya görbületi sugarának meghatározása a becsapódási pontban:

Kidolgozás:

a) Az indítási helyzet ( t 0 =0 ) mozgásjellemzőinek meghatározása:

a 0 = a = g =állandó ,

v 0 = v 0 cosα i + v 0 sinα j =10 3 2 i +10 1 2 j =(8,66 i +5 j )m/s ,

r 0 = x 0 i + y 0 j =(50 i +10 j )m.

b) A pálya A ponti helyvektorának és A ponti sebességvektorának meghatározása:

v A = v 0 + g t A ,   r A = r 0 + v 0 t A + g t A 2 2 .

Az A ponti sebesség vízszintes irányú koordinátája:

v A = v 0 cosα=5 3 =8,66m/s v A =(8,66 i )m/s.

Az A ponti sebesség függőleges irányú koordinátája zérus:

v A j = v Ay =0= v 0 sinαg t A t A = v 0 sinα g = 100,5 10 =0,5s .

Az A pont helyvektora:

x A = x 0 + v 0 cosα t A =50+8,660,5=54,33m,

y A = y 0 + v 0 sinα t A g t A 2 2 =10+50,550,25=11,25m,

r A =(54,33 i +11,25 j )m.

c) A hajítás idejének és hosszának meghatározása:

v B = v 0 + g t B ,   r B = r 0 + v 0 t B + g t B 2 2 .

A becsapódási hely függőleges koordinátája ismert: y B =0

y B =0= y 0 + v 0 sinα t B g t B 2 2 ,

0=10+5 t B 5 t B 2 .

t B = 5± 25+200 10 = 5±15 10 = t B 1 =1s t B 2 =2s } t B =2s,

mert a t B 1 =1s megoldás fizikailag nem értelmezhető.

A hajítás hossza:

x B = x 0 + v 0 cosα t B =50+8,662=67,32m,

y B =0,

r B = x B i + y B j =(67,32 i +0 j )m.

Sebesség a B pontban:

v B = v 0 + g t B = =(8,88 i +5 j )+(10 j )2= =(8,66 i 15 j )m/s.

v B =| v B |= v Bx 2 + v By 2 = = 8,66 2 + 15 2 =17,32m/s.

A mozgás hodográfja

A becsapódás szöge: cosβ= v Bx v B = 8,66 17,32 =0,5β=60°.

d) A pálya görbületi sugarának meghatározása a becsapódási pontban:


a n = v B 2 ρ B

a n =gcosβ

a n = v B 2 ρ B =gcosβ ρ B = v B 2 gcosβ = 17,32 2 100,5 59,996m.

2. feladat: Tömegpont mozgása

Adott: Egy traktor elindul az A pontból a szántóföldön lévő C pont felé az AB és BC egyenesek mentén. A traktor sebessége az úton v 1 =állandó, míg a szántóföldön v 2 =állandó.

v 1 =20km/h v 2 =10km/h.

Kérdés: Hol kell az útról elfordulnia a traktornak, hogy az ABC út megtételéhez szükséges idő minimális legyen?

Az AB távolság megtételéhez szükséges idő: t AB = x AB v 1 .

A BC távolság megtételéhez szükséges idő:

t BC = 3 2 + (4 x AB ) 2 v 2 .

Az ABC távolság megtételéhez szükséges idő:

t ABC = t AB + t BC = x AB v 1 + 3 2 + (4 x AB ) 2 v 2 .

A t ABC idő akkor minimális, ha  d t ABC d x ABC =0.

d t ABC dx =0= 1 v 1 + 1 v 2 1 2 1 3 2 + (4 x AB ) 2 2(4 x AB )(1)=0.

3 2 + (4 x AB ) 2 v 1 = 4 x AB v 2 3 2 v 1 2 + (4 x AB ) 2 v 1 2 = (4 x AB ) 2 v 2 2

x AB =4± 3 v 2 v 1 2 v 2 2 =4± 310 20 2 10 2 =4± 3

x A B 1 =4 3 =2,27km,

x A B 2 =4+ 3 =5,73km. (nincs értelme).

Tehát: x AB = x A B 1 =2,27km.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

Tömegpont ferde hajítása

Adott: A hajítási idő és a kezdősebesség, v 0 =80m/s, t 1 = t B =6s , g=10 m/s 2 .

Feladat:
a) A v 1 = v B sebesség meghatározása.
b) Az L hajítási távolság kiszámítása.
c) A H magasság kiszámítása.
d) A B pontban a becsapódási szög meghatározása.
e) A B pontban a pályagörbe ρ B görbületi sugarának meghatározása.

I. Határozza meg a becsapódási sebességet a B pontban!
Írja be a hiányzó adatokat (egész számokat) az üres mezőkbe!

A keresett v 1 = v B sebesség: ( e x e x ) m/s

II. Határozza meg a hajítási távolságot!
Írja be a hiányzó adatot (egész számot) az egyenlőségjel után!

L = m

III. Határozza meg az indítási magasságot!
Írja be a hiányzó adatot (egész számot) az egyenlőségjel után!

H = m

IV. Határozza meg a becsapódási szöget a B pontban!
Írja be a hiányzó adatokat az egyenlőségjel után!

cosβ= (egy tizedes jegy pontossággal)
β= ° (két tizedes jegy pontossággal)

V. Határozza meg a pálya görbületi sugarát a becsapódási pontban (B)!
Írja be a hiányzó adatot (egész számot) a egyenlőség jel után!

ρ B = m