KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 8. Tömegpont relatív mozgásának kinetikája

8.1. A tömegpont relatív mozgásának kinetikája

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az inerciarendszer definícióját;
  • kiválasztani a tömegpont mozgását leíró összefüggéseket;
  • adatok alapján meghatározni a tömegpont relatív mozgásának jellemzőit.
A kinetika alaptörvénye nem inerciarendszerben

Inerciarendszer: Olyan koordináta-rendszer, amelyben a mozgás más testek kölcsönhatásával, azaz kizárólag külső erők figyelembevételével magyarázható.

A szokványos mérnöki számításoknál a Földhöz kötött KR-ek jó közelítéssel inerciarendszernek tekinthetők.

Nem inerciarendszer: A külső erők mellett még járulékos erőket is figyelembe kell venni.

Egymáshoz képest mozgó KR-ekre vonatkozó erők kapcsolata

Az álló (abszolút) KR-ben működő külső erők: m a a = F a .
A mozgó (relatív) KR-ben működő külső erők: m a r = F r .

Kapcsolat a tömegpont gyorsulásai között:

a a = a r + a sz + a c /m ,

m a a F a m a sz F sz m a c F c = m a r F r ,

F a + F sz + F c = F r .

A KR-ek mozgásából következő járulékos erők:

  • szállítóerő: F sz =m a sz , ahol
 m - a tömeg,
  a sz = a Ω + ε × ρ + ω ×( ω × ρ ) - a szállító gyorsulás.
  • Coriolis erő: F c =m a c , ahol
 m - a tömeg,
  a c =2 ω × v r a Coriolis-gyorsulás.

A járulékos erők nem más testek közvetlen hatásából adódnak.

Gyakorló feladatok relatív mozgás kinatikájára
1. feladat: Tömegpont relatív mozgásának kinetikája

Adott:

m=4kg , g10 m/s 2 , μ=0,1 ,

α= 20 o , a f = a f j =(2 j ) m/s 2 ,

v rel =(0,8 e ξ )m/s .

Feladat:
a) A tömegpont relatív gyorsulásának meghatározása számítással.
b) A tömegpontra ható kényszererő meghatározása számítással.
c) Az a), b) feladat megoldása szerkesztéssel.
d) Mekkora a f határ gyorsulással mozoghat a felvonó, hogy a tömegpont még éppen ne váljon el a kényszerpályától?

Kidolgozás:

A KR-ek közötti transzformációs összefüggések:

e ξ =(cosα i sinα j ) ,
e η =(sinα i +cosα j ) .
i =(cosα e ξ +sinα e η ) ,
j =(sinα e ξ +cosα e η ) .

a) A tömegpont relatív gyorsulásának meghatározása:

A tömegpontra ható abszolút erők: F absz = F K + G =m a absz ,

A kényszererő: F K = F S + F N =(μ F N e ξ + F N e η ).

A súlyerő: G =(mgsinα e ξ mgcosα e η ).

A tömegpontra ható járulékos erők:

A szállítóerő: a száll = a Ω + ε × ρ ω 2 ρ = 0 = a Ω = a f ,

F száll =(m a száll )=(m a f )=(m a f j ),

F száll =(m a f sinα e ξ m a f cosα e η ).

A Coriolis erő: a cor =2 ω = 0 × v rel = 0 F cor =(m a cor )= 0 .

A tömegpontra ható relatív erő: F rel =m a rel = m a rel e ξ .

A kényszer miatt: a rel =( a rel e ξ ) .

A dinamika alaptörvényének nem inercia-rendszerekre vonatkozó alakja:

F absz + F száll + F cor = F rel ,

( G + F K )+(m a száll )+(m a cor )=m a rel ,

(mgsinα e ξ mgcosα e η )+(μ F N e ξ + F N e η )+

+(m a f sinα e ξ m a f cosα e η )=(m a rel e ξ )/ e ξ / e η ,

mgsinαμ F N +m a f sinα=m a rel ,
m a rel =mgsinαμ F N +m a f sinα
mgcosα+ F N m a f cosα=0 ,
F N =mcosα(g+ a f ) ,
F N =40,939(102)=30,04N.

m a rel = mgsinαμmcosα(g+ a f ) +m a f sinα ,

a rel =gsinαμcosα(g+ a f )+ a f sinα ,

a rel =g(sinαμcosα)+ a f (sinαμcosα) ,

a rel =(sinαμcosα)(g+ a f )=(0,3420,10,939)(102),

a rel =(1,98 e ξ ) m/s 2 .

b) A tömegpontra ható kényszererő meghatározása:

F K = F S + F N =μ F N e ξ + F N e η =0,130,04 e ξ +30,04 e η ,

F K =(3,004 e ξ +30,04 e η )N .

c) Az a) és b) feladat megoldása szerkesztéssel:

( G + F K )+(m a száll )+(m a cor = 0 )=m a rel

d) A pálya elhagyáshoz (elváláshoz) szükséges felvonógyorsulás:

A pálya elhagyásának feltétele F N =0 .

F N =0=mcosα(g a f ),     a f =g   a f * =(10 j ) m/s 2 .

2. feladat: Tömegpont relatív mozgásának kinetikája

Adott:

t 0 =0 -nál v rel =0 ,

g10 m/s 2 ,

G =(100 j )N,

a j =(1,2 i +0,5 j ) m/s 2

sinα= 5 13 ,cosα= 12 13 .

Feladat:
a) A tömegpont a rel relatív gyorsulásának és a tömegpontra ható F K kényszererő meghatározása, ha μ= μ 0 =0 .
b) Annak a μ 0 min értéknek a meghatározása, amelynél a test nyugalomban marad.
c) A tömegpont a rel relatív gyorsulásának és a tömegpontra ható F K kényszererő meghatározása, ha μ=tgρ=0,1 és μ 0 =tg ρ 0 =0,11

Kidolgozás:

a) A relatív gyorsulás és a kényszererő meghatározása μ= μ 0 =0 esetén:

F absz + F száll + F cor = F rel .

( G + F K )+(m a száll )+(m a cor )=m a rel .

A kényszererő: F K = F S + F N =( F N j ) .

A súlyerő: G =(mg j ).

A szállító erő: F száll =m a száll =m a j =(12 i 5 j )N .

A Coriolis erő: F cor =m a cor =m(2 ω = 0 × v rel )= 0 .

A tömegpont relatív gyorsulása a kényszer miatt: a rel =( a rel i ) F rel =m a rel =( F rel i ).

Ezeket behelyettesítve:

(mg j )+( F N j )+(m a j )=(m a rel i ),

(100 j )+( F N j )+(12 i 5 j )=(m a rel i )/ i / j ,

12=m a rel ,100+ F N 5=0,

a rel = 12 m =1,2, F N =105,

a rel =(1,2 i ) m/s 2 . F K = F N =(105 j )N.

b) A nyugalomban maradáshoz szükséges μ 0min súrlódási tényező meghatározása:

Relatív nyugalom: a rel = 0 .

F absz + F száll + F cor = F rel .

( G + F K )+(m a száll )+(m a cor = 0 )=(m a rel ) ,

(mg j )+( F S i + F N j )+(m a j )=(m a rel = 0 i ),

(100 j )+( F S i + F N j )+(12 i 5 j )= 0 / i / j ,

F S 12=0,100+ F N 5=0,

F S =12N. F N =105N.

F K = F S + F N =( F S i + F N j )=(12 i +105 j )N.

μ 0 min | F S | | F N | = 12 105 =0,114.

c) A relatív gyorsulás és a kényszererő meghatározása μ=0,1 és μ 0 =0,11 esetén:

A tömegpont a járműhez képest megcsúszik.

F absz + F száll + F cor = F rel .

( G + F K )+(m a száll )+(m a cor = 0 )=(m a rel ) .

A relatív sebesség: v rel =( v rel i ) .

A kényszererő: F K =( F S i + F N j ).

(100 j )+(μ F N i + F N j )+(12 i 5 j )=(m a rel i )/ i / j ,

μ F N 12=m a rel ,100+ F N 5=0,

a rel = μ F N 12 m = 0,110512 10 , F N =105N,

a rel =0,15 m/s 2 ,

a rel =(0,15 i ) m/s 2 . F K =(10,5 i +105 j )N .

3. feladat: Tömegpont relatív mozgásának kinetikája

Adott:

a = j (7,5 j ) m/s 2 =áll. , v ( t 0 )= v 0 = 0 ,

Egy a j gyorsulással mozgó jármű, melyben az m tömegű anyagi pont v 0 kezdősebességgel, g gyorsulással szabadon esik. A ξηζ koordináta-rendszer a járművel együtt mozog.

m=4kg ,

g =(10 k ) m/s 2 .

Feladat:
a) Az m tömegpontra ható F rel relatív erő és az a rel relatív gyorsulás meghatározása.
b) A tömegpont pályájának meghatározása a v j0 = 0 , illetve v j0 0 esetekre.

Kidolgozás:

KR 0 :yz (álló koordináta-rendszer).

KR 1 :ηζ (mozgó koordináta-rendszer): ω 01 =0, ε 01 = 0 a 01 = a j .

a) A tömegpontra ható relatív erő és relatív gyorsulás meghatározása:

A tömegpontra ható abszolút erő: F absz =m g =(40 k )N .

A tömegpontra ható járulékos erők:

A szállító erő:

F száll =m a száll =m( a 01 + ε 01 = 0 × ρ + ω 01 = 0 ×( ω 01 = 0 × ρ ))=m a j ,

F száll =m a j =4(7,5 j )=(30 j )N.

A Coriolis erő: F cor =m a cor =m(2 ω 01 = 0 × v rel )= 0 .

A tömegpontra ható relatív erő a dinamika alaptörvényének nem inercia-rendszerekre vonatkozó alakja: F absz + F száll + F cor = F rel .

A tömegpontra ható relatív erő:

F rel = F absz + F száll =(40 k )+(30 j )=(30 j 40 k )N.

A tömegpont relatív gyorsulása:

F rel =m a rel a rel = F rel m = (30 j 40 k ) 4 =(7,5 j 10 k ) m/s 2 .

b) A tömegpont pályájának meghatározása:

v absz = v száll + v rel = v 0 + g t.

v száll = v 01 + ω 01 = 0 × ρ = v j = v j0 + a j t ,    v rel = v rel0 + a rel t.

  • A v j0 = 0 eset:
    v 0 = 0 = v j0 = 0 + v rel0 v rel0 = 0 ,
    v rel (t)= a rel t ρ (t)= ρ 0 + 1 2 a rel t 2 . A pályagörbe egyenes.
  • v j0 0 eset:
    v 0 = 0 = v j0 + v rel0 v rel0 = v j0 ,
    v rel (t)= v j0 + a rel t ρ (t)= ρ 0 v j0 t+ 1 2 a rel t 2 .

A pályagörbe parabola.