KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 4. Tömegpont kinematikája

4.4. A mozgásjellemzők közötti kapcsolat összefoglalása, foronómiai függvények (görbék)

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a mozgásfüggvény ismeretében a sebességfüggvényt és a gyorsulásfüggvényt;
  • kiválasztani a gyorsulásfüggvény és a sebesség- és mozgásfüggvényre vonatkozó kezdeti feltételek ismeretében a sebesség- és a mozgásfüggvényt;
  • kiválasztani a sebesség- és a mozgásfüggvényre vonatkozó kezdeti feltétel ismeretében a gyorsulás- és a mozgásfüggvényt;
  • kiválasztani az út-idő (ívkoordináta-idő) függvény ismeretében a pályasebesség és pályagyorsulás függvényt;
  • kiválasztani a pályagyorsulás-idő függvény és az ívkoordinátára és pályasebességre vonatkozó kezdeti feltételek ismeretében a pályasebesség-idő és az ívkoordináta-idő függvényt;
  • kiválasztani a pályasebesség függvény és az ívkoordinátára vonatkozó kezdeti feltételek ismeretében a pályagyorsulás-idő és az ívkoordináta-idő függvényt.
Kapcsolat tömegpont mozgásjellemzői között

1. feladat: Ismert: r = r (t) .

Meghatározandó:

v (t)= r ˙ (t)= d r (t) dt =v(t) e ,

a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 = a e (t) e + a n (t) n .

A feladat differenciálással oldható meg.

2. feladat: Ismert: a = a (t) és a v (t= t 0 )= v 0 r (t= t 0 )= r 0 }kezdeti feltételek .

Meghatározandó:

v (t)= v 0 + t 0 t a (t)dt ,

r (t)= r 0 + t 0 t v (t)dt .

A feladat integrálással oldható meg.

3. feladat: Ismert: v = v (t) és az r (t= t 0 )= r 0 kezdeti feltétel .

Meghatározandó:

a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 = a e (t) e + a n (t) n ,

r (t)= r 0 + t 0 t v (t)dt .

A feladat differenciálással és integrálással oldható meg.

Foronómiai függvények (görbék)

Az s=s(t) , v=v(t) és az a e = a e (t) pálya menti mozgásjellemzőket foronómiai, vagy kinematikai függvényeknek (görbéknek) nevezzük.

A foromómiai (kinematikai) függvények az anyagi pont egy megadott térgörbén végbemenő mozgását jellemzik.

Példa: Az a e =állandó pályagyorsulású mozgás foronómiai görbéi.

Kezdeti feltételek: s(t=0)= s 0 =0 és v(t=0)= v 0 =0 .

s(t)= s 0 + v 0 t+ a e t 2 2 .
A másodfokú függvény (parabola) t=0 pontbeli érintője a t tengely, a t= t 1 pontbeli érintője a t 1 /2 pontot a függvényértékkel összekötő egyenes.
v(t)= v 0 + a e t .
a e =állandó .

1. feladat: Ismert: s=s(t) .

Meghatározandó:

v=v(t)= s ˙ (t)= ds dt ,

a e = a e (t)= v ˙ (t)= dv dt = s ¨ (t)= d 2 s d t 2 .

A feladat differenciálással oldható meg.

2. feladat: Ismert: a e = a e (t) és a v 0 , s 0 kezdeti feltételek.

Meghatározandó:

v=v(t)= v 0 + t 0 t a e (t)dt ,

s=s(t)= s 0 + t 0 t v(t)dt .

A feladat integrálással oldható meg.

3. feladat: Ismert: v=v(t) és az, s 0 kezdeti feltétel.

Meghatározandó:

a e = a e (t)= v ˙ (t)= dv dt = s ¨ (t)= d 2 s d t 2 ,

s=s(t)= s 0 + t 0 t v(t)dt .

A feladat differenciálással és integrálással oldható meg.

Gyakorló feladat: Tömegpont mozgásának foronómiai görbéi

Adott: A foronómiai görbék folytonos vonallal megadott szakaszai.

Feladat: A foronómiai görbék hiányzó szakaszainak meghatározása.

Kidolgozás: A megoldást az ábrákon szaggatott vonal jelöli.

A parabola szerkesztést lásd a Mechanika I. Statika kurzus igénybevételi ábrák fejezeténél.
s= s 0 + t 0 t vdt .
v= v 0 + t 0 t a e dt , vagy v= ds dt .
a e = dv dt .
Gyakorló feladat: Tömegpont ferde hajítása

Adott: A kezdeti helyzet és a kezdősebesség:

r 0 =0, v 0 =(100 i +60 j )m/s, g =(10 j ) m/s 2 .

Feladat:

a) A hajítás t C idejének meghatározása.

b) A tömegpont B és C pontbeli sebességének meghatározása.

c) A mozgás hodográfjának megrajzolása.

d) A pálya H magasságának és L hosszúságának meghatározása.

Kidolgozás:

a) A hajítás idejének meghatározása:
A pálya legmagasabb pontja a B pontján a sebességvektor vízszintes irányú:

v B = v 0 + g t B .

( v Bx i + v By j )=( v 0x i + v 0y j )+(g j ) t B   / i / j

v Bx = v 0x =100m/s v B =( v Bx i )=(100 i )m/s.

v By =0= v 0y g t B , t B = v 0y g = 60 10 =6s.

A C ponti becsapódás időpontja (a hajítási idő):

t C =2 t B =26=12s.

b) A tömegpont B és C pontbeli sebességének meghatározása:

v B =( v Bx i )=(100 i )m/s.

Megjegyzés: Itt csak vízszintes összetevője van a sebességvektornak.

v C = v 0 + g t C =(100 i +60 j )+(10 j )12=(100 i 60 j )m/s.

Megjegyzés: Figyelje meg, hogy a becsapódáskor a sebességvektornak csak az y irányú összetevője   változott meg az indításhoz képest (előjele negatív lett). A hajítás teljes időtartama alatt az x irányú sebesség összetevő állandó.

c) A mozgás hodográfjának megrajzolása:
A mozgás hodográfja v 0 és v C ismeretében megrajzolható.

Megjegyzés: A hodográf egyenes. Ekkor a gyorsulás állandó (nehézségi vagy gravitációs gyorsulás). Ez a hodográfon is látható. (1) a B pontban a függőleges irányú sebességkoordináta nulla (vízszintes a sebességvektor), (2) ha a v 0 sebességvektort tükrözzük a v B sebességvektor irányára (vízszintes tengelyre), akkor megkapjuk a v C sebességvektort: v 0 =( 100 i +60 j ) m s v C =( 100 i 60 j ) m s .

d) A pálya H magasságának és L hosszúságának meghatározása:

r B = r 0 + v 0 t B + g t B 2 2 .

( x B i + y B j )=( x 0 i + y 0 j )+( v 0x i + v 0y j ) t B + 1 2 (g j ) t B 2 ,/ j

y B y 0 =H = v 0y t B g 2 t B 2 H=606536=180m.

Megjegyzés: A H magasságot a v 0 sebességvektor y iránykoordinátájánakek a nagysága határozza meg (g állandó).

r C = r 0 + v 0 t C + g t C 2 2 .

( x C i + y C j )=( x 0 i + y 0 j )+( v 0x i + v 0y j ) t C + 1 2 (g j ) t C 2 ,/ i

x C x 0 =L = v 0x t C L=10012=1200m.

Megjegyzés: Az L hosszúságot a v 0 sebességvektor x irányú koordinátájának a nagysága határozza meg ( s= v 0x t=10012=1200m ).

A következő animáció a ferde hajítást szemlélteti. Megfigyelhető a sebességvektor változása, a pályagörbe alakja és a hodográf.

videó
1843 kByte
Önellenőrző kérdések
I. Jelölje be az egyetlen jó választ!

Ismert: r = r (t) .
Meghatározandó: v (t) , a (t) .
v (t)= r ˙ (t)= d r (t) dt =a(t) e a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 = r e (t) e + r n (t) n .
v (t)= r ˙ (t)= d r (t) dt =r(t) e a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 = v e (t) e + v n (t) n .
v (t)= r ˙ (t)= d r (t) dt =v(t) e a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 = a e (t) e + a n (t) n .
v (t)= r ˙ (t)= d r (t) dt =v(t) a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 = a e (t)+ a n (t) .
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
Ismert: a = a (t) és a v (t= t 0 )= v 0 r (t= t 0 )= r 0 }kezdeti feltételek .
Meghatározandó: r (t) , v (t) .
v (t)= v 0 + t 0 t r (t)dt r (t)= r 0 + t 0 t r (t)dt .
v (t)= t 0 t a (t)dt r (t)= t 0 t v (t)dt .
v (t)= v 0 + t 0 t v (t)dt r (t)= r 0 + t 0 t a (t)dt .
v (t)= v 0 + t 0 t a (t)dt r (t)= r 0 + t 0 t v (t)dt .

III. Párosítsa az alábbi ábrákat a megfelelő összefüggéssel!

12
34
Írja az ábrát jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy ábrának nincs párja!
JelÖsszefüggés
s(t)= s 0 + v 0 t+ a e t 2 2
v(t)= v 0 + a e t
a e =állandó