KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 3. Matematikai alapok

3.3. Vektorok skaláris, vektoriális, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • megadott vektorok skaláris szorzatát mátrixszorzással előállítani;
  • megadott vektorok kétszeres vektoriális szorzását az értelmezés és a kifejtési szabály felhasználásával elvégezni;
  • adatok alapján a vektorok diadikus szorzását mátrixművelettel elvégezni.

Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Mechanika - Statika kurzus:

2.1. Trigonometria (sin, cos függvények);
2.2. Vektorműveletek (vektor, egységvektor, skaláris szorzás, vektoriális szorzás, műveletek egységvektorokkal és ezek tulajdonságai) leckéit.
Vektorok skaláris, vektoriális, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata
Vektorok skaláris szorzata

A skaláris szorzás értelmezése: a b =| a || b |cosα . ( α a vektorok között bezárt szög, απ .)

A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással:

a b =[ a x a y a z ][ b x b y b z ]= a x b x + a y b y + a z b z .

Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el.

Megjegyzés: Az azonos indexű elemeket szorozzuk össze.

A skaláris szorzás eredménye egy skaláris mennyiség (előjeles szám).

Ha a b =0akkor a b , mert a b =| a || b |cosα , akkor nulla, ha α= 90 o abban az esetben, ha a 0 és b 0 .

Megjegyzés: lásd Mechanika - Statika kurzus, Vektorműveletek lecke.

Gyakorló feladat

Adott: a =( 4 i +6 j k ) m,  b =( 3 i + j k ) m
Mértékegység: m - méter.

Feladat: Az a b szorzat meghatározása.

Kidolgozás:

Az a b szorzat meghatározása:

a b =[ 461 ][ 3 1 1 ]=4(3)+61+(1)(1)=5 m 2

Vektorok vektoriális szorzata

A vektoriális szorzás értelmezése: a × b =| a || b |sinα

Ha a × b =0akkor a b , mert a × b =| a || b |sinα az a 0 és b 0 esetben  akkor nulla, ha α= 0 o

Az ábra és az összefüggés a vektoriális szorzás elvégzését a determináns kifejtési szabályának a felhasználásával mutatja be.

a × b = i ( a y b z b y a z ) j ( a x b z b x a z )+ k ( a x b y b x a y )

Vektorok vektoriális szorzatának ( a × b ) eredménye egy olyan vektor, amely mindkét szorzó tényező vektorra ( a , b ) merőleges: a × b a és a × b b és az a × b vektor az a és b vektorral jobbsodratú vektorhármast (KR-t) alkot.

Megjegyzés: lásd Mechanika - Statika kurzus, Vektorműveletek lecke.

Vektorok kétszeres vektoriális szorzata

Vektorok kétszeres vektoriális szorzata: ( a × b )× c , vagy a ×( b × c ) .

Kiszámítás kétféle úton lehetséges:

  • a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével,
  • a kifejtési szabállyal:
    ( a × b )× c = b ( a c ) a ( b c ) , ill. a ×( b × c )= b ( a c ) c ( a b ) .
Gyakorló feladat

Adott: b =(20 i +40 j 30 k ) m,  e a =(0,8 j 0,6 k ) .

Feladat:

a) A b vektor e a egységvektorral párhuzamos b összetevőjének meghatározása.

b) A b vektor e a egységvektorra merőleges b összetevőjének meghatározása kétszeres vektoriális szorzással.

c) A b vektor e a egységvektorra merőleges b összetevőjének meghatározása a kifejtési szabállyal.

Megjegyzés: Az e a egységvektor abszolút értéke: 1, mert  | e a |= 0,8 2 + 0,6 2 =1

Kidolgozás:

a) A b párhuzamos összetevő meghatározása:

Megjegyzés: lásd a Mechanika - Statika jegyzetet.

b =( e a b ) e a =( [ 00,80,6 ][ 20 40 30 ] ) e a =(32+18) e a =50 e a

b =50 e a =50(0,8 j 0,6 k )=(40j30 k ) m.

A párhuzamos összetevő abszolút értéke 50, mert 50 e a (ahol e a egységvektor), illetve | b || |= 40 2 + (30) 2 =50 m

b) A b merőleges összetevő meghatározása kétszeres vektoriális szorzással:

Megjegyzés: lásd a Mechanika - Statika jegyzetet.

b =( e a × b )× e a .

( e a ×b)=| i j k 0 0,8 0,6 20 40 30 |= i (24+24) j (12)+ k (16) ,

( e a × b )× e a =| i j k 0 12 16 0 0,8 0,6 |= i (7,2+12,8) j (0)+ k (0) .

b =( e a × b )× e a =(20 i ) m.

c) A b összetevő meghatározása a kifejtési szabállyal:

b =( e a × b )× e a = b ( e a e a ) e a ( b e a )= b b .

b = b b =(20 i +40 j 30 k )(40 j 30 k )=(20 i ) m.

A b) és c) eredmény természetesen azonos (20 i ) m , csak a kiszámítási módszer különbözik.

Ellenőrzés:

Az ábra alapján a két megoldás ellenőrizhető.

b = b || + b =(40 j 30 k )+(20 i )= =(20 i +40 j 30 k )m
A b és a b vektorok összeadása a b vektort eredményezi.
Vektorok diadikus szorzata

Legyen adott az a , b és c tetszőleges vektor.

Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád.

Az a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé.

Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük:

  • a diadikus szorzás és a skaláris szorzás asszociatív (csoportosítható, azaz szorzások elvégzésének sorrendje felcserélhető):
    ( a b ) c = a ( b c ) ,
    Megjegyzés: figyelje meg, hogy csak a zárójelezés (műveleti sorrend) változott.
  • a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mindegy, hogy egy diádot jobbról, vagy balról szorzunk meg skalárisan egy vektorral, mert más eredményt kapunk):
    c ( a b )( a b ) c .
    Megjegyzés: figyelje meg, hogy a tényezők sorrendje megváltozott.

Ha a szorzás a fenti összefüggéseket kielégíti, akkor a szorzás diadikus.

Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodrású, derékszögű koordináta-rendszerben:

[ a b ]=[ a x a y a z ][ b x b y b z ]=[ a x b x a x b y a x b z a y b x a y b y a y b z a z b x a z b y a z b z ] .

Az első szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit sormátrixba rendezzük és a szorzást a mátrix szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy kilenc skaláris mennyiséget tartalmazó mátrix.

Az ábra a diadikus szorzás logikáját mutatja be.

Egységvektorok diadikus szorzata:

[ i i ]=[ 1 0 0 ][ 100 ]=[ 100 000 000 ] [ j j ]=[ 0 1 0 ][ 010 ]=[ 000 010 000 ] ,

[ k k ]=[ 0 0 1 ][ 001 ]=[ 000 000 001 ] [ i j ]=[ 1 0 0 ][ 010 ]=[ 010 000 000 ] ,

[ i k ]=[ 1 0 0 ][ 001 ]=[ 001 000 000 ] [ j k ]=[ 0 1 0 ][ 001 ]=[ 000 001 000 ] ,

[ j i ]=[ 0 1 0 ][ 100 ]=[ 000 100 000 ] [ k i ]=[ 0 0 1 ][ 100 ]=[ 000 000 100 ] ,

[ k j ]=[ 0 0 1 ][ 010 ]=[ 000 000 010 ] .

Megjegyzés: az egységvektorok diadikus szorzása mindig olyan mátrixot eredményez, amelyben 3 sor és 3 oszlop van. Az eredménymátrixban egyetlen 1-es található, a többi elem nulla (0).

Megjegyzés: ismételje át az egységvektorok skaláris és vektoriális szorzását is.

A skalár számmal történő szorzás mindig diadikus, vagy más szóhasználattal általános szorzás.

Gyakorló feladat

Adott: a =( 4 i +6 j k ) m,  b =( 3 i + j k ) m,  c =( 2 j 6 k ) m.
Mértékegység: m - méter.

Feladat:

a) Az a b szorzat meghatározása.

b) Az ( a b ) c és a c ( a b ) szorzat meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az a b szorzat meghatározása:

a b =( 4 i +6 j k )( 3 i + j k )=

= [ ( 12 i 18 j +3 k ) i +( 4 i +6 j k ) j +

+( 4 i 6 j + k ) k ] m2.

A szögletes zárójelben lévő diádok első szorzó tényezőinek koordinátái a tenzor mátrixának oszlopaiban jelennek meg:

[ a b ]=[ 4 6 1 ][ 3 1 1 ]=[ 12 4 4 18 6 6 3 1 1 ] m2.

Megjegyzés: lásd a diadikus szorzás logikáját.

Megjegyzés: A végrehajtási szabályból (két azonos mértékegységgel rendelkező szám összeszorzása) következik, hogy az eredmény mértékegysége m2.

b) Az ( a b ) c és a c ( a b ) szorzat meghatározása:

  • Az ( a b ) c meghatározása az értelmezés alapján:
    ( a b ) c = a ( b c )=
    =( 4 i +6 j k )[ ( 3 i + j k )( 2 j 5 k ) ]=
    =( 4 i +6 j k )[ 2+5 ]=( 12 i +18 j 3 k ) m3,
  • Az ( a b ) c meghatározása mátrixszorzással:
    [ ( a b ) ][ c ]=[ 12 4 4 18 6 6 3 1 1 ][ 0 2 5 ]=[ 8+20 12+30 25 ]= [ 12 18 3 ] m3.
    Megjegyzés: A kétféle módon előállított eredmény természetesen megegyezik.
  • A c ( a b ) meghatározása az értelmezés alapján:
    c ( a b )=( c a ) b =
    =[ ( 2 j 5 k )( 4 i +6 j k ) ]( 3 i + j k )=
    =[ 12+5 ]( 3 i + j k )=(21 i 7 j +7 k ) .
  • A c ( a b ) meghatározása mátrixszorzással:
    [ c ][ ( a b ) ]=[ 025 ][ 12 4 4 18 6 6 3 1 1 ]=
    =[ (3615)(12+5)(125) ]=[ 2177 ] m3
    Megjegyzés: A kétféle módon előállított eredmény természetesen megegyezik.

Az ( a b ) c és a c ( a b ) szorzatok eredménye - az azonos kiindulási adatok ellenére - természetesen eltérő. Lásd a Vektorok diadikus szorzatának tulajdonságait.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Végezze el a c a műveletet!

Adott: c =(2 i 3 j + k ) m a =( i +2 j 3 k ) m

Egészítse ki értelemszerűen az alábbi mátrixot (táblázatot) a megfelelő egész számok beírásával!
Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! Csak a negatív számoknál írjon előjelet (a numerikus szektort használja)!
m2
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A vektorok skaláris szorzásának eredménye:
egy vektor.
két vektor.
egy mátrix.
egy skalár mennyiség (előjeles szám).
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A vektorok vektoriális szorzásának eredménye:
egy vektor.
két vektor.
egy szám.
nulla.