KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 5. Merev test kinematikája

5.3. Merev test gyorsulásállapota

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • párosítani a merev test sebességállapota, merev test gyorsulásállapota, merev test síkmozgása, merev test haladómozgása, merev test forgómozgása, merev test véges mozgása, merev test elemi mozgása fogalmakat a megfelelő definíciókkal,
  • kiválasztani a merev test mozgását leíró definíciót.
Össszefüggés merev test két pontjának gyorsulása között

Kérdés: Milyen mennyiségekkel határozható meg egy merev test tetszőleges B pontjának gyorsulása?

Válasz:

  • a test egy pontjának a A gyorsulásával,
  • a test ω szögsebességével és
  • a test ε szöggyorsulásával.

Az ω és az ε az egész merev testre jellemző, értéke a test minden pontjában azonos. A szöggyorsulás mértékegysége: 1/s 2 , vagy rad/s 2 .

A test tetszőleges B pontjának gyorsulása: a B = a A + ε × r AB + ω ×( ω × r AB ) .

Síkmozgás ( ω r AB =0) esetén: a B = a A + ε × r AB ω 2 r AB .

Ha az xy sík a mozgás síkja: ω =ω k , ε =ε k .

Merev test gyorsulásállapotának megadása

Merev test gyorsulásállapota az A ponti a A gyorsulásvektorral és a test ω szögsebességével és ε szöggyorsulásával adható meg, ahol az A pont megválasztása tetszőleges.

Az ε , ω és a A ismeretében a test bármely pontjának gyorsulása kiszámítható!

Gyakorló feladat: Merev test síkmozgása, gyorsulásállapot

Adott: Az xy síkban síkmozgást végző test A, B,C pontja. Ismert a test szögsebessége, szöggyorsulása és az A pont gyorsulása.

ω =(3 k )1/s, ε =(3 k ) 1/s 2 ,

a A =(6 j ) m/s 2 .

Feladat: Számítsa ki a test B és C pontjának gyorsulását!

Kidolgozás: A B és C ponti gyorsulásvektorok kiszámítása:

a B = a A + ε × r AB ω 2 r AB =(6 j )+(3 k )×(2 i )9(2 i )=

=(18 i +12 j ) m/s 2 ,

a C = a A + ε × r AC ω 2 r AC =(6 j )+(3 k )×(3 j )9(3 j )=

=(9 i 21 j ) m/s 2 .

Gyorsulásábra

Egy adott időpillanatban közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző gyorsulásvektorait.

A gyorsulásállapot elemi síkmozgás esetén szemléltethető gyorsulásábrával.

Gyorsuláspólus: A testnek az a Q pontja, amelynek zérus a gyorsulása: a Q = 0 .

Adott: ε , ω , v A , valamint a merev testet megadó (jellemző) A, B, C pontok (háromszög).

Feladat: Az A, B, C pontok a A , a B , a C gyorsulásainak meghatározása szerkesztéssel.

A merev test gyorsulásábrája: A B C .

Helyzetábra:Gyorsulásábra:
Hosszlépték: N h ( m mm ) Gyorsuláslépték: N a ( m/s 2 mm )

A gyorsulásábra megrajzolása:

  • Az O a kezdőpontból felrajzoljuk az a A gyorsulásvektort.
  • Az O a kezdőpontból felrajzoljuk az a B gyorsulásvektort:
    a B = a A + ε × r AB r AB ω 2 r AB r AB .
  • Az O a kezdőpontból felrajzoljuk az a C gyorsulásvektort:
    a C = a A + ε × r AC r AC ω 2 r AC r AC .

A helyzetábra és a gyorsulásábra hasonló: ABCΔ A B C Δ .

Tétel: A gyorsulásábra A B egyenese a helyzetábra AB egyeneséhez képest ε irányban (πφ) szöggel van elforgatva.

A φ szög a gyorsulásábrán látható derékszögű háromszögből határozható meg: tgφ= ε ω 2

Tétel: A gyorsulásábra hasonló a helyzetábrához, de a gyorsulásábra (180o- φ) szöggel el van forgatva a helyzetábrához képest az ε forgásértelmével megegyező irányban.

Gyorsuláspólus: A helyzetábrába a gyorsulásábra B A O a háromszögével ( O a Q) hasonló BAQ háromszöget rajzolunk.

Gyakorló feladat: Merev test síkmozgás, gyorsulásábra

Adott: Az xy síkban síkmozgást végző test A, B,C pontja. Ismert a test szögsebessége, szöggyorsulása és az A pont gyorsulása.

ω =(3 k )1/s, ε =(3 k ) 1/s 2 ,

a A =(6 j ) m/s 2 ,

a B =(18 i +12 j ) m/s 2 ,

a C =(9 i 21 j ) m/s 2 .

Feladat:
a) Határozza meg a Q gyorsuláspólus helyvektorát!
b) Rajzolja meg a test gyorsulásábráját!

Kidolgozás:

a) A Q gyorsuláspólus helyvektorának meghatározása:

a Q = 0 = a A + ε × r AQ ω 2 r AQ ,

0 =(6 j )+(3 k )×( x AQ i + y AQ j )9( x AQ i + y AQ j ).

0 =6 j +3 x AQ j 3 y AQ i 9 x AQ i 9 y AQ j ,/ i / j

0=3 y AQ 9 x AQ ,   0=6+3 x AQ 9 y AQ ,

y AQ =3 x AQ ,     0=6+3 x AQ 9(3 x AQ )= 6+30 x AQ ,

y AQ =3(0,2)=0,6m.   x AQ =0,2m.

r AQ =( x AQ i + y AQ j )=(0,2 i +0,6j)m.

b) A gyorsulásábra megrajzolása:

A gyorsulás ábra szerkesztésének lépéseit a következő lapozóskönyv szemlélteti.

{á:5_23a.png}
1/7
visszaelőre

A szerkesztés eredménye és az ABC pontokkal rögzített test képe látható az alábbi ábrán. A helyzetábra és a gyorsulásábra léptéke eltérő!

A gyakorló feladat megoldását - helyzetábrát és a gyorsulásábrát - mutatja be a következő kép is. A szürke és a rózsaszín területek jelölik a hasonló háromszögeket.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Határozza meg a feladatban leírt jellemzőket, majd válaszoljon a következő kérdésekre!

Merev test síkmozgása, gyorsulásállapot

Adott: A merev test A,B,C pontja, ω =( 4 k )rad/s ,

ε =(8 k ) rad/s 2 ,

a A =(10 i ) m/s 2 .

Feladat:
a) Az a B és a C gyorsulások meghatározása számítással.
b) Az a C gyorsulás meghatározása szerkesztéssel.

1. Határozza meg a a B gyorsulásvektort.
Válassza ki az egyetlen jó választ!
a B =(26 i +8 j ) m/s 2 .
a B =(26 i 8 j ) m/s 2 .
a B =(8 i +26 j ) m/s 2 .
a B =(42 i +24 j ) m/s 2 .
a B =(26 i +8 j ) m/s 2 .
2. Határozza meg a a C gyorsulásvektort.
Válassza ki az egyetlen jó választ!
a C =(42 i 24 j ) m/s 2 .
a C =(42 i +24 j ) m/s 2 .
a C =(2 i 4 j ) m/s 2 .
a C =(42 i 24 j ) m/s 2 .
a C =(11 i 30 j ) m/s 2 .
3. Határozza meg a v C sebességvektort.
Válassza ki az egyetlen jó választ!
v C =(4 i )m/s.
v C =(4 i 4 j )m/s.
v C =(4 i )m/s.
v C =(4 j )m/s.
v C =(4 i +4 j )m/s.

4. Rajzolja meg a gyorsulásábrát! Határozza meg a C gyorsulást szerkesztéssel!
A következő lapozóskönyv 2. oldalán megtalálja a helyes megoldást (ábrát).

1/2
visszaelőre
II. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A merev test tetszőleges B pontjának gyorsulását leíró összefüggés:
a B = a A + ε × r AB + ω ×( ω × r AB ) .
a B = a A + r AB + ω ×( ω × r AB ) .
a B = a A + ε × r AB +( ω × r AB ) .
a B = a A + ε + ω .
a B = a A + ε × r AB + ω × ω .
III. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A merev test tetszőleges B pontjának gyorsulását leíró összefüggés síkmozgás ( ω r AB =0) esetén:
a B = a A + ε ω 2 r AB .
a B = a A + ε × r AB ω r AB .
a B = a A + r AB ω 2 r AB .
a B = a A + ε ω 2 .
a B = a A + ε × r AB ω 2 r AB .