KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 3. Matematikai alapok

3.2. Mátrixalgebrai összefoglaló

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a mátrix, az oszlopmátrix, a sormátrix, az egységmátrix, a szimmetrikus mátrix és a ferdeszimmetrikus mátrix fogalmakat;
  • jelölésük vagy példa alapján kiválasztani oszlopmátrixot, sormátrixot, egységmátrixot, szimmetrikus mátrixot és ferdeszimmetrikus mátrixot;
  • megadott mátrixokkal mátrixműveleteket (transzponálás, összeadás, kivonás, szorzás) elvégezni.
Mátrixalgebrai összefoglaló
Mátrix értelmezése, jelölése

Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza.

Mátrix jelölése: [ A ¯ ¯ ]=[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ] .

A mátrixokat kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl. A ¯ ¯ , a ¯ ¯ és a 13 , a 2 stb.

Az a 13 mátrixelem az A ¯ ¯ mátrix első sorában és harmadik oszlopában van.

Mátrix mérete: Például a fenti 2x3-as méretű [ A ¯ ¯ ] mátrixnak két sora és három oszlopa van.

Az a 13 mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három.

Oszlopmátrix: [ a ¯ ¯ ]=[ a 1 a 2 a 3 ] , sormátrix: [ a ¯ ¯ T ]=[ a 1 a 2 a 3 ] .

Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van.

A sormátrix ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltja. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli.

A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják (pl.: ( a 11 ,a , 22 ... a nn ) . A következő ábrán egy 3x3-as mátrix főátlóját piros színnel jelöltük.

Mátrixműveletek

A műveleteket (2x2)-es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be.

  • Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra):
    [ A ¯ ¯ ]= [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) [ A ¯ ¯ T ]= [ a 11 a 21 a 12 a 22 ] (2×2) .
    A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében).
    A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig oszlopmátrixot hoz létre.
    Az A ¯ ¯ T jelölés kiejtése (kiolvasása): á transzponált.
Gyakorló feladat

Adott: A ¯ ¯ =[ 24 73 ] B ¯ ¯ =[ 124 63 ]

Feladat: Az A ¯ ¯ T és B ¯ ¯ T transzponált mátrixok meghatározása.

Kidolgozás:

Az A ¯ ¯ T és B ¯ ¯ T transzponált mátrixok meghatározása:

A ¯ ¯ T =[ 27 43 ] B ¯ ¯ T =[ 126 43 ] .

  • Mátrixok összeadása, kivonása:
    Csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, vonhatók ki egymásból. Az összeadás (kivonás) során az azonos indexű elemeket adjuk össze (vonjuk ki egymásból).
    A ¯ ¯ ± B ¯ ¯ = C ¯ ¯ ,
    [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) ± [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] (2×2) = [ ( a 11 ± b 11 ) ( a 12 ± b 12 ) ( a 21 ± b 21 ) ( a 22 ± b 22 ) ] (2×2) = [ c 11 c 12 c 21 c 22 ] (2×2) .
Gyakorló feladat

Adott: A ¯ ¯ =[ 24 73 ] B ¯ ¯ =[ 124 63 ]

Feladat: Az A ¯ ¯ + B ¯ ¯ összegmátrix és az A ¯ ¯ B ¯ ¯ különbségmátrix meghatározása.

Kidolgozás:

Az A ¯ ¯ + B ¯ ¯ összegmátrix és az A ¯ ¯ B ¯ ¯ különbségmátrix meghatározása:

A ¯ ¯ + B ¯ ¯ =[ 24 73 ]+[ 124 63 ]=[ 100 16 ],

A ¯ ¯ B ¯ ¯ =[ 24 73 ][ 124 63 ]=[ 148 130 ].

  • Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció):
    Csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával.
    A ¯ ¯ B ¯ ¯ = C ¯ ¯ ,
    [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] (2×2) = [ ( a 11 b 11 + a 12 b 21 ) ( a 11 b 12 + a 12 b 22 ) ( a 21 b 11 + a 22 b 21 ) ( a 21 b 12 + a 22 b 22 ) ] (2×2) .

A fenti ábra a szorzás logikáját két 2x2-es mátrix bemutatásával szemlélteti. Az első mátrix az eredményelem sor-, a második mátrix az eredményelem oszlop-koordinátáit határozza meg. A szorzás algoritmusából következik a korábban leírt szabály is (csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával).

Gondolja végig, miért csak ilyen mátrixok szorozhatók össze!

Két 2x2-es mátrix összeszorzásának lépésit szemlélteti a következő ábra. A sárga elemeket a világoskék, a narancssárga elemeket a sötétkék elemekkel szorozzuk össze, majd az eredményeket összegezzük. Látható, hogy az eredmény helyét az első mátrix sor koordinátája és a második mátrix oszlop koordinátája határozza meg.

A ¯ ¯ b ¯ ¯ = c ¯ ¯ ,

[ a 11 a 12 a 21 a 22 ] (2×2) [ b 1 b 2 ] (2×1) = [ ( a 11 b 1 + a 12 b 2 ) ( a 21 b 1 + a 22 b 2 ) ] (2×1) = [ c 1 c 2 ] (2×1) .

a ¯ ¯ T B ¯ ¯ = d ¯ ¯ T ,

[ a 1 a 2 ] (1×2) [ b 11 b 12 b 21 b 22 ] (2×2) = [ ( a 1 b 11 + a 2 b 21 ) ( a 1 b 12 + a 2 b 22 ) ] (1×2) = [ d 1 d 2 ] (1×2) .

Gyakorló feladat

Az A ¯ ¯ B ¯ ¯ szorzatmátrix meghatározása.

Adott: A ¯ ¯ =[ 24 73 ] B ¯ ¯ =[ 124 63 ] .

A ¯ ¯ B ¯ ¯ =[ 24 73 ][ 124 63 ]=[ 2(12)+(4)(6)24+(4)3 7(12)+3(6)74+33 ]=

=[ 484 10237 ] .

Különleges mátrixok
  • Egységmátrix: E ¯ ¯ =[ 1 0 0 1 ] . Tulajdonsága: E ¯ ¯ A ¯ ¯ = A ¯ ¯ E ¯ ¯ = A ¯ ¯ .
    Az egységmátrix a főátlójában 1-es koordinátákat, a főátlóján kívül 0 elemeket tartalmaz.
    Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. Az alábbi példa ezt szemlélteti.
    [ 1 0 0 1 ][ 2 1 3 4 ]=[ { 12+03 } { 1(1)+04 } { 02+13 } { 0( 1 )+14 } ]=[ 2 1 3 4 ]
  • Szimmetrikus mátrix: A ¯ ¯ T = A ¯ ¯ .
    A mátrix elemei megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel.
    Például [ A ¯ ¯ ]=[ 12 29 ] szimmetrikus mátrix.
  • Ferdeszimmetrikus mátrix: A ¯ ¯ T = A ¯ ¯ .
    A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből az következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek.
    Például [ A ¯ ¯ ]=[ 03 30 ] ferdeszimmetrikus mátrix.
Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Végezze el az A ¯ ¯ C ¯ ¯ mátrixműveletet!

Adott: A ¯ ¯ =[ 0 2 1 3 ] C ¯ ¯ =[ 1 2 3 4 ]

Egészítse ki értelemszerűen az alábbi táblázatot a megfelelő egész számok beírásával!
Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja!
A ¯ ¯ C ¯ ¯ =
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A mátrix főátlóját a(z):
egyes (1) indexű elemek alkotják.
mindig nulla (0) értékű elemek alkotják.
azonos indexű elemek alkotják.
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A sormátrix transzponáltja:
egységmátrix.
mindig szimmetrikus mátrix.
mindig ferdeszimmetrikus mátrix.
oszlopmátrix.
IV. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A mátrix méreteinek megadásánál az első szám a mátrix sorainak, a második szám az oszlopainak a számát jelöli.
Ha egy 2x3-as mátrixot és egy 3x3-as mátrixot szorzunk össze, akkor:
egy 1x2-es sormátrixot kapunk.
egy 2x2-es mátrixot kapunk.
egy 2x3-as mátrixot kapunk.
egy 3x3-as mátrixot kapunk.
a művelet nem végezhető el.