KURZUS: Mechanika - Mozgástan
MODUL: 7. Tömegpont kinetikája
7.1. Tömegpont kinetikája
A lecke követelményei | |||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||
| |||||
Megjegyzés: A kinetika görög szó. A mechanikának az az ága, amely a mozgásokat a testekre ható erőkkel kapcsolatban vizsgálja. | |||||
Tömegpont impulzusa, perdülete | |||||
Impulzus (lendület) | |||||
Definíció: Anyagi pont impulzusa egyenlő az anyagi pont tömegének és sebességvektorának szorzatával: | |||||
. | |||||
Tulajdonság: az impulzus vektor mennyiség. | |||||
Mértékegység: . (Kilogramm méter per szekundum, Newton - kiejtése: nyúton - szekundum) | |||||
Perdület (impulzus nyomaték) | |||||
Definíció: Anyagi pont A (helytálló) pontra számított perdülete egyenlő az anyagi pont impulzusvektorának az A pontra számított nyomatékával: | |||||
| |||||
. | |||||
Tulajdonság: | |||||
| |||||
Mértékegység: . | |||||
Impulzusnyomaték átszámítása: | |||||
Megjegyzés: Analógia: az erő nyomatékával. Lásd Mechanika - Statika kurzust. | |||||
Kinetikai energia, teljesítmény, munka | |||||
Kinetikai (mozgási) energia | |||||
Definíció: Anyagi pont kinetikai energiája egyenlő az anyagi pont tömegének és sebessége négyzete szorzatának felével: | |||||
. | |||||
Tulajdonsága: a kinetikai energia mindig pozitív skalár mennyiség. | |||||
Mértékegység: . | |||||
(Kilogramm méter négyzet per szekundum négyzet, nyúton méter, Joule kiejtés: zsúl). | |||||
Teljesítmény | |||||
Definíció: Anyagi pontra ható erő teljesítménye egyenlő az erővektor és az anyagi pont sebességvektorának skaláris szorzatával: | |||||
. | |||||
Mértékegység: | |||||
(nyúton méter per szekundum, zsúl per szekundum, Watt kiejtés: vatt) | |||||
Tulajdonsága: a teljesítmény (előjeles!) skalár mennyiség. | |||||
| |||||
| |||||
Munka | |||||
A munka mindig egy < t1 t2 > időintervallumra vonatkozó fogalom. | |||||
Definíció: Az anyagi pontra ható erő < t1 t2 > időtartam alatt végzett munkája egyenlő az erő teljesítményének - határok között vett idő szerinti integrálja: | |||||
. | |||||
Mértékegység: (vatt szekundum, nyúton méter, zsúl) | |||||
| |||||
A Newton törvények | |||||
Newton I. törvénye | |||||
Minden test megmarad nyugvó, vagy egyenes vonalú egyenletesen mozgó állapotában, amíg valamely rá ható erő állapotának megváltoztatására nem kényszeríti. | |||||
Newton II. törvénye (Impulzus tétel) | |||||
Anyagi pont impulzusának idő szerinti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erők eredőjével. | |||||
. | |||||
Ha: m = áll. (a mérnöki gyakorlatban leggyakrabban ez fordul elő): | |||||
. | |||||
Newton III. törvénye (Hatás, ellenhatás törvénye) | |||||
Két test egymásra gyakorol hatásának nagysága mindig egyenlő és a hatások iránya mindig ellentétes irányú. | |||||
| |||||
A kinetika tételei | |||||
A D' Alembert elv: (kiejtés: dalamber) | |||||
A kinetikai feladatok a tehetetlenségi (inercia) erő bevezetésével statikai feladatokra vezethetők vissza. | |||||
Impulzus tétel: . | |||||
. | |||||
Az anyagi pontra ható eredő erő és a tehetetlenségi erő együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak. | |||||
Perdület tétel | |||||
Differenciális alak:. | |||||
Anyagi pont álló pontra számított perdületének idő szerinti első deriváltja egyenlő az anyagi pontra ható erőnek ugyanarra a pontra számított nyomatékával. | |||||
Integrál alak:. | |||||
Álló pontra számított perdület < t1 t2 > időtartam alatti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erő ugyanarra az álló pontra számított nyomatékának idő szerinti integráljával. | |||||
Energiatétel, munkatétel | |||||
Differenciális alak (energiatétel):. | |||||
Anyagi pont kinetikai energiájának idő szerinti deriváltja egyenlő az anyagi pontra ható erők teljesítményével. | |||||
Integrál alak (munkatétel): . | |||||
Anyagi pont kinetikai energiájának < t1 t2 > időtartam alatti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erőknek az időtartam alatt végzett munkájával. | |||||
A munkatétel anyagi pontra: . | |||||
Konzervatív erőtér (erőrendszer) | |||||
Definíció: Konzervatív erőtérről (erőrendszerről) abban az esetben beszélünk, ha létezik olyan skalár függvény, amelyből az erő negatív gradiensképzéssel származtatható: | |||||
. | |||||
- potenciál függvény (helyzeti energia), | |||||
- a potenciál függvény x, y, z szerinti parciális deriváltjai. | |||||
Tétel: A konzervatív erőtérben végzett munka csak a kezdő és végső helyzettől függ, értéke egyenlő az potenciál kezdő és végpontban felvett értékének különbségével. | |||||
| |||||
Megjegyzés: Konzervatív erőtérben a munka nagysága független a pályagörbe alakjától. | |||||
A mechanikai energiamegmaradás tétele: | |||||
Konzervatív erőtérben (erőrendszerben) a mozgás során a kinetikai és helyzeti energiák összege állandó: | |||||
. | |||||
Tömegpont szabad mozgása | |||||
Definíció: a test (anyagi pont) mozgását más testek nem akadályozzák. | |||||
Anyagi pont hajítása | |||||
(az egyik leggyakrabban előforduló szabad mozgás) |
Adott: | ||
| ||
Kérdés: | ||
| ||
A feladat megoldása: | ||
a) Az gyorsulásfüggvény, a sebességfüggvény és az mozgásfüggvény meghatározása: | ||
Impulzus tétel: . | ||
A sebességfüggvény: . | ||
A mozgásfüggvény: . | ||
b) A pálya legmagasabb pontjának eléréséhez szükséges és az egész hajítási idő meghatározása: | ||
Az impulzus tétel integrál alakja: . | ||
. | ||
A pálya legmagasabb pontjának eléréséhez szükséges idő: . | ||
Az egész hajítási idő: . | ||
c) Az anyagi pont pályájának magassága és hossza: | ||
Munkatétel integrál alakja: | ||
. | ||
. | ||
A pálya magassága: . | ||
Mozgástörvényből: . | ||
A pálya hossza: . |
Megjegyzés: Lásd a 4.4 és 4.6 leckét. | |||
Tömegpont kényszermozgása | |||
Kényszermozgás: Ha az anyagi pont mozgását más testek előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozzák. | |||
Kényszer: Az a test (testek) amelyek az általunk vizsgált test mozgását előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozza. | |||
Tétel: A kényszer hatását a kényszererő teljes mértékben helyettesíti. | |||
Sima kényszer: A kényszererő merőleges az érintkező felületekre. (Nincs súrlódás.) | |||
Érdes kényszer: A kényszererő normális és tangenciális koordinátája közötti a Coulomb-féle (kiejtés: kulomb) súrlódási törvény teremt kapcsolatot. | |||
A Coulomb-féle súrlódási törvény | |||
Mozgásbeli súrlódás: a testek érintkezési pontjában (pontjaiban) egymáshoz képest van érintő irányú (tangenciális) elmozdulás (sebesség). | |||
| |||
Törvény: A kényszererő tangenciális koordinátájának nagysága a normál erő -szöröse, iránya pedig ellentétes a sebesség irányával. | |||
Az érintő irányú összetevő: . | |||
Az érintő irányú koordináta: . | |||
- a mozgásbeli súrlódási tényező: . | |||
A súrlódási tényező az érintkező testek anyagának minőségétől és az érintkező felületek minőségétől (simaságától) függ. | |||
Önellenőrző kérdések |
I. Párosítsa a fogalmat, tételt, definíciót a megfelelő összefüggéssel! | |||||||||||||||
1) Anyagi pont impulzusa. | |||||||||||||||
Írja a számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak, tételnek, definíciónak nincs párja!
![]() | |||||||||||||||
II. Párosítsa a fogalmat a megfelelő mértékegységgel! | |||||||||||||||
1) Erő. | |||||||||||||||
Írja a számot a megfelelő mértékegység elé! Egy fogalomnak nincs párja!
![]() | |||||||||||||||
III. Párosítsa a törvényt, elvet a helyes megfogalmazással! | |||||||||||||||
1) Newton I. törvénye | |||||||||||||||
Írja a számot a helyes mondat elé! Egy törvénynek, elvnek nincs párja!
![]() |