KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 11. Testek ütközése

11.3. Gyakorló feladatok testek centrikus ütközésére

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • adatok alapján meghatározni a test (testek) ütközés utáni viselkedését, sebességét (sebességeit).
1. feladat: Járművek ütközése

Adott: m 1 =3600kg, v 1 =25m/s, m 2 =1200kg, v 2 =10m/s,k=0,8.

Feladat: Meghatározni a járművek ütközés utáni sebességét
a) számítással,
b) szerkesztéssel.

Mechanikai modell:

A feladat mechanikai szempontból centrikus, egyenes ütközés.

Kidolgozás:

a) A feladat megoldása számítással:

  • A közös súlypont sebessége:
    m 1 v 1 + m 2 v 2 =( m 1 + m 2 ) v S ,
    v S = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 = 360025+120010 3600+1200 =21,25m/s .
  • A járművek ütközés utáni sebessége:
    V 1 v S =k( v 1 v S ) ,
    V 1 = v S k( v 1 v S )=21,250,8(2521,25)=18,25m/s .
    V 2 v S =k( v 2 v S ) ,
    V 2 = v S +k( v S v 2 )=21,25+0,8(21,2510)=30,25m/s .

b) A feladat megoldása szerkesztéssel:

Egyenes ütközésnél a v 1 , v 2 ütközés előtti sebességeket az O v (függőleges) kezdő egyenestől mérjük fel. A v 1 , v 2 sebességvektorok távolságának felvétele tetszőleges.

2. feladat: Labda visszapattanása

Labdát ejtünk H magasságból a vízszintes talajra.

Adott: H=1,2m, m 2 =1kg, g10 m/s 2 ,k=0,7.

Feladat: Meghatározni, hogy milyen magasra pattan a labda.

Kidolgozás:

  • A labda ütközés előtti sebességének meghatározása:
    Munkatétel:
    v 2 = 2gH = 24 =4,9m/s .
  • Ütközés: m 1 , v 1 =0 .
    v S = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 0 ,    V 2 =k v 2 =0,74,9=3,43m/s .
  • A visszapattanási magasság meghatározása:
    Munkatétel:
    h= V 2 2 2g = 3,43 2 20 =0,588m .
3. feladat: Hajók ütközése

Adott: m 1 =1000kg , m 2 =3000kg , v S1 =(40 i 10 j )m/s , k=0,8, v S2 =(30 j )m/s .

Feladat: A súlypontok ütközés utáni V S1 és V S2 sebességének meghatározása
a) számítással,
b) szerkesztéssel.

Kidolgozás:

a) Számítás:

  • A közös súlypont sebessége:
    m 1 v 1 + m 2 v 2 =( m 1 + m 2 ) v S ,
    v S = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 = 1000(40 i 10 j )+3000(30 j ) 4000 =(10 i +20 j )m/s .
  • A járművek ütközés utáni sebessége:
    ( v Sn V S1n )=k( v S1n v Sn ) ,
    V S1n = v Sn k( v S1n v Sn )=100,8(4010)=14m/s .
    v Sn V S2n =k( v S2n v Sn ) ,
    V S2n = v Sn k( v S2n v Sn )=100,8(010)=18m/s .
    V S1 =(14 i 10 j )m/s , V S2 =(18 i +30 j )m/s .

b) Ütközési diagram:

4. feladat: Golyók ütközése

Adott: m 1 =2kg , v S1 =(4 i +4 j )m/s , m 2 =6kg , v S2 =(4 j )m/s .

Feladat: A golyók ütközés utáni súlyponti sebességeinek meghatározása k=0 , k=1 és k=0,6 ütközési tényezők esetén
a) szerkesztéssel és
b) számítással.

Kidolgozás:

a) Megoldás szerkesztéssel:

k=0 esetén:
V S1 =( i +4 j )m/s, V S2 =( i 4 j )m/s.
k=1 esetén:
V S1 =(2 i +4 j )m/s, V S2 =(2 i 4 j )m/s.
k=0,6 esetén:
V S1 =(0,8 i +4 j )m/s, V S2 =(1,6 i 4 j )m/s.

b) Megoldás számítással:

A rendszer S súlypontjának sebessége:

v S = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 = 2(4 i +4 j )+6(4 j ) 2+6 =( i 2 j )m/s.

A v S vektornak az n ütközési normálissal párhuzamos összetevője: v Sn =( i )m/s.

  • Tökéletesen rugalmatlan ütközés (k=0):
    V S1n = v Sn (1+k)k v S1n =1(1+0)04=1m/s,
    V S1 =( i +4 j )m/s.
    V S2n = v Sn (1+k)k v S2n =1(1+0)00=1m/s,
    V S2 =(1 i 4 j )m/s.
  • Tökéletesen rugalmas ütközés (k=1):
    V S1n = v Sn (1+k)k v S1n =1(1+1)14=2m/s,
    V S1 =(2 i +4 j )m/s.
    V S2n = v Sn (1+k)k v S2n =1(1+1)10=2m/s,
    V S2 =(2 i 4 j )m/s.
  • Rugalmas-képlékeny ütközés:  k=0,6:
    V S1n = v Sn (1+k)k v S1n =1(1+0,6)0,64=0,8m/s,
    V S1 =(0,8 i +4 j )m/s.
    V S2n = v Sn (1+k)k v S2n =1(1+0,6)0,60=1,6m/s,
    V S2 =(1,6 i 4 j )m/s.
5. feladat: Golyó lejtőre ejtése

Adott: Az m tömegű golyót az α hajlásszögű lejtőre ejtve, az vízszintes irányban pattan el:

v =(0,5 j )m/s ,   V =(V i ),    tgα=0,75.

Feladat: Az ütközés utáni V sebesség és a k ütközési tényező meghatározása.

Kidolgozás: Centrikus ütközés: m 1 =m , m 2 .

Ütközési diagram:
Az ütközési diagramból:
tgα= | V | | v | ,
| V |=| v |tgα=0,50,75=0,375,
V =(0,375 i )m/s.
Az ütközési tényező:
k= | V n v Sn | | v Sn v n | = | V n | | v n | ,
k= Vsinα vcosα = 0,3750,6 0,50,8 =0,5625.

A v végpontjából -t húzunk az ütközési normálissal.