KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 9. Merev test kinetikája

9.2 Merev test impulzusa, impulzusnyomatéka, kinetikai energiája, teljesítmény, munka

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani tömegpontrendszer és merev test esetén  az impulzusvektort és az impulzus nyomaték vektort, a kinetikai energiát leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a merev testre ható erőrendszer teljesítményét és munkáját leíró összefüggéseket.
Merev test impulzusa, impulzusnyomatéka
Az impulzusvektor értelmezése

Tömegpontrendszer esetén: I = i=1 n m i v i .

Merev test esetén: I = (m) v dm = (V) v ρdV .

Az impulzusvektor mértékegysége: [ kg m s ]=[ kg m s 2 s ]=[ Ns ] .

Az impulzus kiszámítása merev test esetén: I =m v S .

m - az test (egész) tömege.

Impulzusnyomaték (perdület) vektor értelmezése

Tömegpontrendszer esetén: π O = i=1 n r i × m i v i = i=1 n r i × I i .

Merev test esetén: π O = (m) r × v dm = (m) r ×d I .

A perdület mértékegysége: [ kg m 2 s ]=[ kg m 2 s 2 s ]=[ m Ns ] .

Speciális eset: az S ponti perdületvektor kiszámítása

π S = J ¯ ¯ S ω .

Általában: .

Kivétel:

ha ω a J ¯ ¯ S egyik főtengelyével.

π S = J ¯ ¯ S ω =[ J x J xy J xz J yx J y J yz J zx J zy J z ][ ω x ω y ω z ]=[ J x ω x J xy ω y J xz ω z J yx ω x J y ω y J yz ω z J zx ω x J zy ω y J z ω z ]

Összefüggés test két pontjára számított perdület között

π B = π A + r BA × I = π A + I × r AB .

Analógia (erőrendszerek): M B = M A + r BA × F = M A + F × r AB .

Gyakorló feladat: Tömegpont rendszer impulzusa és perdülete

Adott: A súlytalan, vízszintes rúd az y tengely körül végez forgómozgást. A rúdhoz kötött anyagi pontok tömegei:

m 1 =4 m 0 , m 2 = m 0 , m 3 =2 m 0 .

m 0 =4kg .

A (3) jelű tömegpont sebessége és gyorsulása: v 3 =(3 k )m/s , a 3 =(6 i +6 k ) m/s 2 .

Feladat:
a) Az ábrán c-vel jelölt távolság meghatározása.
b) Az impulzus vektorrendszer ( I , π A ) redukált vektorkettősének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A c távolság meghatározása:

a 3 =( a 3n e n + a 3t e t )=(6 i +6 k ) m/s 2 .

| a 3n |= v 3 2 c =6 m/s 2 c= v 3 2 | a 3n | = 3 2 6 =1,5m.

b) Redukált vektorkettős meghatározása:

I = i=1 3 m i v i = m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 .

v 1 =(6 k )m/s v 2 =(3 k )m/s v 3 =(3 k )m/s .

I = i=1 3 m i v i =16(6 k )+4(3 k )+8(3 k )=(84 k ) kgm s =Ns.

π A = i=1 3 ( r i × m i v i ) = r 1 × I 1 + r 2 × I 2 + r 3 × I 3 .

r 1 =(3 i )m r 2 =(1,5 i )m r 3 =(1,5 i )m .

π A =(3 i )×(96 k )+(1,5 i )×(12 k )+(1,5 i )×(24 k )=(342 j ) kgm s 2 =Nms.

Merev test kinetikai energiája, teljesítmény, munka
Kinetikai (mozgási) energia
  • A kinetikai energia értelmezése:
    Tömegpontrendszer esetén: E= 1 2 i=1 n m i v i 2 .
    Merev test esetén: E= 1 2 (m) v 2 dm .
    A kinetikai energia mértékegysége:  [ kg m 2 s 2 ]=[ Nm ]=[ J ](joule) .
  • A kinetikai energia kiszámítása merev test esetén: E= 1 2 ( v S I + ω π S )= 1 2 m v S 2 + 1 2 ω J ¯ ¯ S ω .

Speciális esetek:

α) Ha az ω szögsebességvektor a J ¯ ¯ S tenzor egyik tehetetlenségi főtengelyével.

Ekkor: ω J ¯ ¯ S ω = J s ω 2 , ahol J s a test S ponti, ω -val tehetetlenségi főtengelyére számított tehetetlenségi nyomaték.

E= 1 2 m v S 2 + 1 2 J s ω 2 .

β) Ha v A = 0 és "a" az ω vektorral A ponti tehetetlenségi főtengely, akkor:

E= 1 2 J a ω 2 , ahol J a a test A ponti, ω -val tehetetlenségi főtengelyére számított tehetetlenségi nyomaték.

A merev test(ek)re ható erőrendszer teljesítménye
  • Az ER redukált vektorkettősével: P= F v S + M S ω .
  F , M S - a testre ható erőrendszer S pontba redukált vektorkettőse,
  ω , v S - a test szögsebessége és S pontjának sebessége.
  • Az ER-t alkotó erőkkel és nyomatékokkal: P= i=1 n F i v i + j=1 m M j ω j .
 n - az ER-hez tartozó koncentrált erők száma,
 m - az ER-hez tartozó koncentrált nyomatékok száma,
  v i - az F i koncentrált erő támadáspontjának sebessége,
  ω j - annak a merev testnek a szögsebessége, amelyre az M j koncentrált nyomaték hat.
Merev testre ható erőrendszer munkája

A merev testre ható erőrendszer < t1, t2 > időtartam alatt végzett munkája egyenlő az erőrendszer P teljesítményének t 1 - t 2 határok között vett idő szerinti integrálja:

W 12 = t= t 1 t 2 Pdt .

Gyakorló feladat: Merev test impulzusa, impulzus nyomatéka és kinetikai energiája

Adott: Az m tömegű merev test ω szögsebessége, S súlypontjának v S sebessége, az S pontra vonatkozó tehetetlenségi tenzor [ J ¯ ¯ S ] mátrixa és az r SB vektor:

r SB =(0,5 j +0,3 k )m ,

[ J ¯ ¯ S ]=[ 2 0 0 0 3 1 0 1 4 ] kgm 2 ,

ω =(30 i +20 j 20 k )1/s ,

v S =(2 i +4 j )m/s ,

m=150kg .

Feladat:
a) A test I impulzusának és súlyponti π S perdületének meghatározása.
b) A test B pontra számított π B perdületének meghatározása.
c) A test b és η tengelyekre számított π b és π η perdületének meghatározása.
d) A test E kinetikai energiájának meghatározása.

Kidolgozás:

a) A test I impulzusának és súlyponti π S perdületének meghatározása:

I =m v S =(300 i +600 k )kgm/s,

π S = J ¯ ¯ S ω =[ 2 0 0 0 3 1 0 1 4 ][ 30 20 20 ]=(60 i +40 j 60 k ) kgm 2 /s .

b) A test B pontra számított π B perdületének meghatározása:

π B = π S + I × r SB .

I × r SB =| i j k 300 0 600 0 0,5 0,3 |=(300 i 90 j +150 k ) kgm 2 /s .

π B =(60 i +40 j 60 k )+(300 i 90 j +150 k )=(240 i 50 j +90 k ) kgm 2 /s.

c) A test π b és π η perdületének meghatározása:

π b = π B e ζ = π B e z =90 kgm 2 /s , π η = π S e η = π S e y =40 kgm 2 /s .

d) A test E kinetikai energiájának meghatározása.

E= 1 2 ( π S ω + I v S ).

E= 1 2 (60 i +40 j 60 k )(30 i +20 j 20 k )+ 1 2 (300 i +600 k )(2 i +4 k )=3400J .

Önellenőrző kérdések
I. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A tömegpontrendszer impulzusvektorát leíró összefüggés:
I = i=1 n m i v i
I = i=1 n m i 2 v i
I = i=1 n m i v i
I = i=1 n m i v i
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A tömegpontrendszer impulzusnyomaték vektorát (perdület) leíró összefüggés:
π O = i=1 n r i m i v i = i=1 n r i I i
π O = i=1 n r i m i v i = i=1 n r i I i
π O = i=1 n r i × m i v i = i=1 n r i × I i
π O = i=1 n r i × v i
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A tömegpontrendszer kinetikai energiáját leíró összefüggés:
E= i=1 n m i v i 2
E= i=1 n 1 2 m i v i 2
E= i=1 n 1 2 m i v i
E= i=1 n 1 2 m i 2 v i
IV. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A merev testre ható erőrendszer teljesítményét redukált vektorkettőssel leíró összefüggés:
P= F v S + M S ω
P= F v S M S ω
P= F v S
P= M S ω
V. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A merev testre ható erőrendszer < t1 t2 > időtartam alatt végzett munkáját leíró összefüggés:
W 12 = t 1 t 2 F M S dt
W 12 = t 1 t 2 PMdt
W 12 = t 1 t 2 vωdt
W 12 = t 1 t 2 Pdt