KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 9. Merev test kinetikája

9.5 Gyakorló feladatok az impulzus tétel, a perdület tétel, az energiatétel, a munkatétel, a merev test kényszermozgása fejezetekhez

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • adatok alapján meghatározni egy test mozgásának főbb jellemzőit az impulzus tétel, a perdület tétel, az energiatétel, a munkatétel és a merev test kényszermozgása fejezetekben tanultak alapján.
1. feladat: Hasáb haladó mozgása lejtőn

Adott: A haladó mozgást végző m tömegű hasáb, továbbá α,μ,m,g, v S .

Feladat: A hasáb a S gyorsulásának és a hasábra ható támasztó erőrendszer F K eredőjének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feladat megoldás a számítással:

a S = a Sx i F K =μ F N i + F N j .

Impulzus tétel: m a S = G + F K / j / i ,

0=mgcosα+ F N F N =mgcosα   ( ).

m a Sx =mgsinαμ F N ,

m a Sx =mgsinαμmgcosα ,

a Sx =(gsinαμgcosα)() .

a S =g(sinα+μcosα) i ,    F K =mgcosα(μ i + j ) .

b) A feladat megoldása szerkesztéssel:

Impulzus tétel:  m a S = G + F K .

HelyzetábraVektorábra
2. feladat: Hasáb haladó mozgása

Adott: A haladó mozgást végző m tömegű hasáb, továbbá μ,β, F 0 , G , v S .

Feladat: A hasáb a S gyorsulásának és a hasábra ható támasztó erőrendszer F K eredőjének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feladat megoldása szerkesztéssel:

Impulzus tétel: m a S = F 0 + G F e + F K .

HelyzetábraVektorábra

b) A feladat megoldása számítással:

a S = a Sx i , F K =μ F N i + F N j ,

F 0 = F 0x i + F 0y j = F 0 (cosβ i +sinβ j ) .

Impulzus tétel: m a S = F 0 + G + F K , / j / i .

0= F 0y G+ F N , F N =G F 0 sinβ .

m a Sx = F 0x μ F N ,

a Sx = 1 m [ F 0x μ(G F 0y ) ] .

3. feladat: Henger gördülése lejtőn

Adott: A tiszta gördülő mozgást végző henger, továbbá α, μ 0 , m, β, F 0 , M 0 , g, R.

Feladat:
a) A henger S ponti a S gyorsulásának meghatározása.
b) Az A ponti F A támasztóerő meghatározása.
c) A hengerre ható erőrendszer P teljesítményének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A henger S ponti a S gyorsulásának meghatározása:

Perdület tétel az A pontra:

J ¯ ¯ A ε + ω × ( J ¯ ¯ A ω ) ω 0 + r AS ×m a A r AS 0 = M A / k .

Perdület tétel a z-vel párhuzamos a tengelyre:

J a ε= M 0 2R F 0 cosβ+RGsinα ,

ε= M 0 2R F 0 cosβ+RGsinα J a ,    J a = 3 2 m R 2 .

a S = a Sx =Rε .

b) Az A ponti F A támasztóerő meghatározása:

Impulzus tétel: m a S = G + F 0 + F A / j ,

0=Gcosα+ F 0 sinβ+ F Ay F Ay =Gcosα F 0 sinβ .

Perdület tétel:

J s ε= M 0 R F 0 cosβ+R F Ax

F Ax = J s ε M 0 +R F 0 cosβ R

A gördülés feltétele: v A = 0 nyugvásbeli súrlódás.

Az F A kényszererőnek (támasztóerőnek) a nyugvásbeli súrlódási kúpon belül kell lennie: | F Ax | | F Ay | tg ρ 0 = μ 0 .

c) A hengerre ható erőrendszer P teljesítményének meghatározása:

P= G v S + F 0 v B + M 0 ω + F A v A = 0 .

P=Gsinα v S + F 0 cosβ2 v S M 0 v S R .

4. feladat: Rögzített tengely körüli forgómozgás

Adott: ω 1 =31/s , m=40 kg , g10 m/s 2 , l=1m , ϑ= 60 o .

Feladat:
a) A súlypont a S1 gyorsulásának és az F A1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben.
b) A (2) helyzetbeli ω 2 szögsebesség meghatározása.
c) A súlypont a S2 gyorsulásának és az F A2 támasztóerőnek a meghatározása a (2) jelű helyzetben.

Kidolgozás:

a) A súlypont a S1 gyorsulásának és az F A1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben:

- A súlyponti gyorsulás meghatározása:

Perdülettétel az A pontra:

J ¯ ¯ A ε ε + ω × ( J A ω ) ω + r As ×m a A =0 = M A / k .

A z tengely (a tengely) tehetetlenségi főtengely.

J a ε 1 = M a = l 2 cosϑmg ,    J a = J s +m l 2 4 = m l 2 3 , J s = m l 2 12 ,

,

ε 1 = 3 2 gcosϑ l =7,5 1/s 2 ,

a S1e = ε 1 l 2 =3,75 m/s 2 , a S1n = l 2 ω 1 2 =4,5 m/s 2 ,

a S1 = a S1e e + a S1n n =+ 3 2 gcosϑ l e + l 2 ω 1 2 n =(3,75 e +4,5 n ) m/s 2 .

- A támasztóerő meghatározása:

Impulzus tétel: m a S1 =m g + F A1 / e / n

m a S1e =mgcosϑ+ F A1e F A1e =50N ,

m a S1n =mgsinϑ+ F A1n F A1n =16,64N .

F A1 =(50 e 16,64 n )N .

b) A (2) helyzetbeli ω 2 szögsebesség meghatározása:

Munkatétel: E 2 E 1 = W 12 = F Δ r = G Δ r S + F A Δ r A 0 ,

1 2 J a ( ω 2 2 ω 1 2 )=mg l 2 sinϑ+0 ,    J a = m l 2 3 .

ω 2 2 = ω 1 2 + 2mg J a l 2 sinϑ= ω 1 2 + 3gsinϑ l ,

ω 2 =5,911/s ω 2 =(5,91 k )1/s .

c) A súlypont a S2 gyorsulásának és az F A2 támasztóerőnek a meghatározása a (2) jelű helyzetben:

Perdülettétel az a tengelyre: J a ε 2 = l 2 mg ,

a S2 =( ε 2 l 2 e + ω 2 2 l 2 n )=(7,5 e +17,46 n ) m/s 2 .

Impulzus tétel: m a S2 =m g + F A2 / e / n ,

m l 2 3g 2l =mg+ F A2e , F A2e =( 3g 4 g )m=100N .

m l 2 ω 2 2 =0+ F A2n ,    F A2n =m l 2 ω 2 2 =699,6N .

F A2 =(100 e +699,6 n )N .

5. feladat: Két ponton támaszkodó hasáb haladó mozgása

Adott:

G=500N , g10 m/s 2 , F 0 =400N , v S0 =1,4m/s , h=0,6m , b=0,8m , μ=0,1 .

Feladat:
a) A súlypont gyorsulásának és a támasztóerőknek a meghatározása.
b) A megállásig megtett út és a megállásig szükséges idő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A súlypont gyorsulásának és a támasztóerőknek a meghatározása:

Impulzus tétel: m a S = G + F 0 + F A + F B F AB / j / e ρ .

F AB =( F An + F Bn )(μ i + j ) ,

e ρ =( i +μ j ) .

0=G+( F An + F Bn )( F An + F Bn )=G=500N .

m a S =Gμ F 0 a S = 1 m (Gμ+ F 0 )= 1 50 (50+400)=9 m s 2 .

Perdület tétel:

π ˙ c = M c π ˙ C = π ˙ S = 0 + r CS × I ˙ = 0 , mert r CS párhuzamos I ˙ .

0=G( b 2 +μ h 2 )+ F 0 h 2 + F Bn b

F Bn = 1 2 [ G( b 2 +μ h z ) F 0 h z ]= 1 0,8 [ 500(0,4+0,03)4000,3 ]= 1 0,8 (215120)=118,75N .

F Bn =118,75N,   F An =G F Bn =500118,75=381,25N .

F A = F An (μ i + j )=(38,125 i +381,25 j )N ,

F B = F Bn (μ i + j )=(11,875 i +118,75 j )N .

b) A megállásig megtett út és a megállásig szükséges idő meghatározása:

Munkatétel: E 1 E 0 = F Δ r ,

1 2 m( v 1 2 =0 v 0 2 )= G s 1 i =0 + F 0 s 1 i + F A s 1 i + F B s 1 i ,

1 2 m v 0 2 =0 F 0 s 1 Gμ s 1 ,

1 2 m v 0 2 =( F 0 +μG) s 1 ,

s 1 = m v 0 2 2( F o +μG) = 50 1,4 2 2(400+50) =0,108m .

a S =állandó s 1 = s 0 + v 0 t 1 + a 2 t 1 2 , v 1 =0 = v 0 +a t 1 , t 1 = 1,4 9 =0,19 s.

6. feladat: Hasáb haladó mozgása

Adott: Az α jelű, sima kényszerpályán G súlyú hasáb csúszik. Kezdő sebessége v 0 . A testre ható F 1 erő a kényszerpályával ψ szöget zár be.

G =(60 i 80 j )N , g10 m/s 2 , tgψ=0,4 ;

F 1 =(85 i +34 j )N , μ=0.

Feladat: Annak meghatározása, hogy
a) mekkora F 1 erő esetén mozoghat a test állandó sebességgel,
b) mekkora a test a gyorsulása és az F α kényszererő,
c) mekkora F 1max erő esetén szűnik meg a test és a lejtő közötti kapcsolat.

Kidolgozás:

a) Az állandó sebességű mozgás biztosításához szükséges F 1 erő meghatározása:

Impulzus tétel: m a = G + F 1 + F α , ahol G = G x i + G y j , F α = N α j

F 1 =( F 1 cosψ i + F 1 sinψ j )= F 1x i + F 1y j .

0 =(60 i 80 j )+ F 1 (cosψ i +sinψ j )+ N α j / i ,

0=60 F 1 cosψ= G x + F 1x F 1x = G x =60N () .

tgψ= | F 1y | | F 1x | | F 1y |=| F 1x |tgψ=600,4=24N () .

F 1 =(60 i +24 j )N.

b) Az a gyorsulás és az F α kényszererő (támasztóerő) meghatározása:

m a = G + F 1 + F α .

m( a x i +a j y )=( G x i + G y j )+( F 1x i + F 1y j )+( N α j )/ i / j

m a x = G x + F 1x ,     a x = G x + F 1x m = 6085 10 =2,5 m/s 2 ,

m a y 0 = G y + F 1y + N α ,     N α = G y F 1y =8034=46N .

a =(2,5 i ) m/s 2 .       F α =(46 j )N.

c) Az F 1max meghatározása:

Az elválás feltétele: N α = G y F 1y 0           F 1y G y =80N ,

| F 1x max |= | F 1y | tgψ = 80 0,4 =200N.     F 1max =(200 i +80 j )N.

7. feladat: Hasáb mozgása kényszerpályán

Adott: Az α jelű kényszerpályán v S0 pillanatnyi sebességgel haladó mozgást végző hasábra a G súlyerő és az F 1 erő hat.

v S0 =(3 i )m/s g10 m/s 2 F 1 =(0,2 i )kN b=2m G =(0,8 j )kN h=0,8m .

Feladat: Határozza meg számítással és szerkesztéssel

1) μ=0 (sima kényszerpálya) esetén
 a)a hasáb súlypontjának a S gyorsulását, v S sebességét és a támasztó erőrendszer F α eredőjét az idő függvényében!
 b)az  értékét, amelynél bekövetkezik a hasáb felbillenése!
2) μ=0,2 (érdes kényszerpálya) esetén a hasáb súlypontjának a S gyorsulását és v S sebességét az idő függvényében!

Kidolgozás:

1) A feladat megoldása sima kényszerpálya esetén ( μ=0 ).
a) A gyorsulás, a támasztóerő és a sebesség meghatározása:

- Számítás: m a S = F 1 + G F er + F α = F er + F α .

m a S i =(F 1 i )+(G j )+( μ N α i = 0 + N α j ),/ i / j

m a S =F 1 ,     a S = F 1 m = 200 80 =2,5 m/s 2 .

0=G+ N α ,     N α =G=0,8kN.

a S =(2,5 i ) m/s 2 =áll.   F α =(0,8 j )kN=áll.

v S = v S (t)= v S0 + a S (t)t=(3 i )+(2,5t i )m/s.

- Szerkesztés: m a S = F 1 + G F er + F α .

SzerkezetábraVektorábra

b) Billenés: Ha a támasztóerő hatásvonala nem metsz bele az érintkezési felületbe.

- Szerkesztés: m a Smax = F 1max + G F er + F bill .

SzerkezetábraVektorábra

- Számítás:  π ˙ d = M d =0

0= F 1max h 2 +G b 2 ,     F 1max =G b h =800 2 0,8 =2000N=2kN .

2) A feladat megoldása érdes kényszerpálya esetén ( μ=0,2 ).

- Számítás: m a S = F 1 + G F er + F α = F er + F α .

m a S i =(F 1 i )+(G j )+(μ| N α | i + N α j )/ i / j

m a S =F 1 μ| N α |,               0=G+ N α ,

a S = F 1 μ| N α | m == 40 80 =0,5 m/s 2 ,     N α =G=0,8kN,

a S =(0,5 i ) m/s 2 , a S =állandó .

v S = v S (t)= v S0 + a S (t)t=(3 i )+(0,5 i )tm/s.

F α =(μ| N α | i + N α j ),     F α =(160 i +800 j )N, F α =áll.

- Szerkesztés: m a S = F 1 + G F er + F α .

SzerkezetábraVektorábra
8. feladat: Hasáb mozgása kényszerpályán

Adott: Az érdes, α hajlásszögű felületen v S pillanatnyi sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb.

v S =(10 i )m/s,     μ=0,25,m=40kg,     g10 m/s 2 ,     α= 30 o ,    c = 1 m,      b = 2 m,     F 0 =(200 i 100 j )N.

Feladat: A hasáb súlyponti gyorsulásának, valamint a hasábra ható kényszererőnek és az erő hatásvonalának meghatározása
a) számítással,
b) szerkesztéssel.

Kidolgozás:

a) A feladat megoldása számítással:

Impulzus tétel:

m a S =( G + F 0 + F K ).

a S =( a S i ) ,

F 0 =( F 0x i + F 0y j ) ,

F K =(μ F N i + F N j ) .

(m a S i )=(mgsinα i mgcosα j )+ ( F 0x i + F 0y j )+(μ F N i + F N j ) ,   / j / i

0=mgcosα+ F 0y + F N ,     F N =346,4+100=446,4N.

m a S =mgsinα+ F 0x +μ F N , a S = 1 m (mgsinα+ F 0x +μ F N ),

a S = 1 40 (40100,5+200+0,25446,4)=2,91 m/s 2 .

A kényszererő: F K =(μ F N i + F N j )=(111,6 i +446,4 j )N.

A kényszererő hatásvonala a perdület tételből:

π ˙ s = M s ,

0= c 2 F 0x b 2 F 0y +h F N , h= c 2 F 0x F N + b 2 F 0y F N =0,5 200 446,4 + 100 446,4 =0,448m.

b) A feladat megoldása szerkesztéssel: m a S =( G + F 0 F er + F K ).

HelyzetábraVektorábra
9. feladat: Henger gördülése sík kényszerpályán

Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger. a S =(8 i ) m/s 2 , g10 m/s 2 , l AB =2m, R=0,1m, m=30kg.

Feladat:
a) Az adott gyorsulás fenntartásához szükséges F 0 = F 0 i erő meghatározása.
b) Az F K kényszererő meghatározása.
c) A csúszásmentes gördülő mozgás megvalósításához szükséges μ 0min nyugvásbeli súrlódási tényező meghatározása.
d) A hengerre ható erőrendszernek az l AB hosszon végzett W AB munkájának meghatározása.

Kidolgozás:

A henger szöggyorsulása ε =ε k = a S R k = 8 0,1 k =(80 k ).

A hengerre ható kényszererő (támasztóerő) F K = F T i + F N j .

a) Az F 0 erő meghatározása:

Perdület tétel az A pontra:

π ˙ A = M A ,

J ¯ ¯ A ε + ω × π A = 0 ,( ω π A ) = M A ,

J a ε = M A , mert a tehetetlenségi főtengely.

( J a ε k )=( F 0 2R k )/ k

F 0 = J a ε 2R = 3 2 m R 2 ε 2R = 1,530 0,1 2 80 20,1 =180N.

b) Az F K kényszererő (támasztóerő) meghatározása:

Impulzus tétel: m a S = F .         m a S = F 0 + G + F K .

( F 0 i mg j + F T i + F N j )=(m a S i )/ i / j

F 0 + F T =m a S ,       mg+ F N =0,

F T =m a S F 0 =308180=60N,     F N =mg=3010=300N.

F K = F T i + F N j =(60 i +300 j )N.

Ellenőrzés: perdület tétel a henger S súlypontjára:

J s ε = M S ,     J s ε k = ( F 0 R k )+( F S R k )/ k

F T = F 0 J s ε R = F 0 1 2 m R 2 ε R =180 0,530 0,1 2 80 0,1 =60N.

c) A csúszásmentes gördüléshez szükséges minimális nyugvásbeli súrlódási tényező:

μ 0min = | F T | | F N | = 60 300 =0,2.

d) Az l AB szakaszon végzett munka:

W AB = t A t B Pdt = t A t B ( F 0 v C + G v S =0 + F K v A = 0 )dt = t A t B F 0 2 v S dt =2 F 0 l AB =21802=720J.

10. feladat: Henger gördülése sík kényszerpályán

Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger.

M 0 =(36 k )Nm,   g10 m/s 2 ,   R=0,3m,   m=20kg,   J s =1,2 kgm 2 ,   μ 0 =tg ρ 0 =0,4 ,     μ=tgρ=0,3.

Feladat:
a) A henger ε =(ε k ) szöggyorsulásának és S pontja a S =( a S i ) gyorsulásának meghatározása.
b) A hengerre ható F K kényszererő (támasztóerő) meghatározása.
c) A nyomaték legnagyobb M 0max értékének meghatározása, amelynél a henger még éppen nem csúszik meg.

Kidolgozás:

a) A henger ε =(ε k ) szöggyorsulása és a S =( a S i ) gyorsulása:

A szöggyorsulás és az S ponti gyorsulás kapcsolata: a S =Rε , vagy ε= a S R .

A hengerre ható kényszererő F K = F T i + F N j .

π ˙ A = M A

J ¯ ¯ A ε + ω × π A = 0 ,mert -ak = M A

J a ε = M A , mert a tehetetlenségi főtengely.

J a ε k = M 0 k / k

ε= M 0 J a = M 0 J s +m R 2 = 36 1,2+200,09 = 36 3 =121 /s 2 .

a S = a Se i + a Sn j = 0 =εR i =120,3 i =(3,6 i ) m/s 2 .

b) Az F K kényszererő (támasztóerő) meghatározása:

Impulzus tétel: m a S = F         m a S =( G + F K ) .

m a S i =(mg j + F T i + F N j )/ i / j .

m a S = F T ,     0=mg+ F N ,

F T =m a S =203,6=72N ,    F N =mg=2010=200N .

F K = F T i + F N j =(72 i +200 j )N.

c) A megcsúszáshoz tartozó M 0max nyomaték meghatározása:

F Tmax = μ 0 F N =0,4200=80N,

F Tmax =m a Smax =mR ε max =80N   ( ) .

ε max = F Tmax mR = 80 200,3 = 40 3 1/s 2 .

J a ε max = M 0max ,         M 0max =3 40 3 =40Nm,

M 0max =(40 k )Nm.

11. feladat: Gördülő mozgás kinetikája

Adott: Az R sugarú, G súlyú merev körhenger, amely a rá ható M 1 nyomaték hatására felfelé gördül az érdes lejtőn. A gördülő ellenállás karja f g . G =(100 j 240 k )N , f g =5mm, M 1 =(59 i )Nm , R=0,5m , μ=0,4 , μ 0 =0,5 , s AB =3,9m, ω B =(4,9 i )rad/s.

Feladat:
a) A henger ε =(ε k ) szöggyorsulásának és az F C =( F Cy j + F Cz k ) támasztóerő meghatározása.
b) Mekkora ω A szögsebességgel kell a hengernek elindulnia, hogy a B pontban az előírt ω B legyen a szögsebessége?

Kidolgozás:

a) A szöggyorsulás és a támasztóerő meghatározása:

m a S = G + F C .     G = G y j + G z k .

m a Se j =( G y j + G z k )+( Y C y j + Z C z k )/ k

0= G z + F Cz ,

F Cz = G z =240N.

π ˙ a = M a ,

J a ε= M 1 + G y R+ F Cz f g ,

m= | G | g = 100 2 + 240 2 10 =26kg,

J a = J s +m R 2 = 3 2 m R 2 = 3 2 26 0,5 2 =9,75 kgm 2 ,

ε= M 1 + G y R+ Z C z f g J a = 59+1000,5+2400,005 26 =0,8 rad/s 2 ,

ε=0,8 1/s 2 , ε =(0,8 i ) 1/s 2 ,

a Se =Rε=0,50,8=0,4 m/s 2 .

m a Se j =( G y j + G z k )+( F Cy j + F Cz k )/ j

m a Se = G y + F Cy ,

F Cy =m a Se G y =260,4+100=110,4N ,

F C =(110,4 j +240 k )N.

A megcsúszás ellenőrzése:

F C =( F Cy j + F Cz k ) .    tgφ= | F Cy | | F Cz | = 110,4 240 =0,46 .

Mivel tgφ=0,46 < tg ρ 0 = μ 0 =0,5 ,        A henger nem csúszik meg.

b) A henger indulási szögsebességének meghatározása:

E B E A = W AB = t A t B Pdt .       P= G v S + M 1 ω + M A ω .

P=( G y j + G z k )( v S j )+( M 1 i )(ω i )+( F Cz f g i )(ω i ),

P= G y v S + M 1 ω F Cz f g ω= G y v S +( M 1 F Cz f g )ω,

E B E A = W AB = P dt=

= G y t A t B v S dt +( M 1 F Cz f g ) t A t B ωdt= G y s AB +( M 1 F Cz f g ) φ AB ,

1 2 J a ( ω B 2 ω A 2 )= G y s AB +(M 1 F Cz f g ) s AB R ,

ω A 2 = ω B 2 + 2 s AB ( G y R M 1 + F Cz f g ) J a R ,

ω A 2 = 4,9 2 + 23,9(1000,559+2400,005) 9,750,5 =

=24,01+ 7,8(5059+1,2) 4,875 =11,53 1/s 2 .

ω A = 11,53 =3,395rad/s.       ω A =(3,395 i )rad/s .

12. feladat: Álló tengely körüli forgó mozgás kinetikája (Fizikai inga)

Adott: ω 0 =4rad/s , g10 m/s 2 , m=10kg , l=0,2m , α 0 = 60 o , J s =0,15 kgm 2 .

Feladat:
a) Az indítás pillanatában az a S0 gyorsulás és az F A0 támasztóerő meghatározása.
b) Az (1) helyzetben az S pont a S1 gyorsulása és az A pontban ható F A1 kényszererő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, (0) jelű helyzetben:

Az A ponti kényszererő: F A0 =( F A0e e + F A0n n ) .

Az S pont gyorsulása: a S0 =( a 0e e + a 0n n ) .

Az inga szöggyorsulása: ε 0 =( ε 0 k ) .

Az inga szögsebessége: ω 0 =(4 k )1/s.

Az A pontra felírt perdület tétel:

π ˙ A0 = M A0         J ¯ ¯ A ε 0 + ω 0 × π A0 = 0 ,mert ω 0 π A0 = M A0 .

J a ε 0 = M A0 .

J a ε 0 k =mgsin α 0 l k / k ,

J a ε 0 =mgsin α 0 l,

ε 0 = mgsin α 0 l J a = mgsin α 0 l J s +m l 2 = 10100,8660,2 0,15+10 0,2 2 =

= 17,2 0,55 =31,5 rad/s 2 .

ε 0 =(31,5 k ) rad/s 2 .

A súlyponti gyorsulás: a S0 =( a S0e e + a S0n n ),

a S0e =l ε 0 =0,2(31,5)=6,3 m/s 2 a S0e =(6,3 e ) m/s 2 .

a S0n = v S0 2 l =l ω 0 2 =0,216=3,2 m/s 2 a S0n =(3,2 n ) m/s 2 .

a S0 =( a S0e e + a S0n n )=(6,3 e +3,2 n ) m/s 2 .

Impulzus tétel: m a S0 = F         m a S0 =( F A0 + G ).

(m a S0e e +m a S0n n )=

=( F A0e e + F A0n n )+(mgsin α 0 e mgcos α 0 n )/ e / n

m a S0e = F A0e mgsin α 0 ,       m a S0n = F A0n mgcos α 0 ,

F A0e =m(gsin α 0 + a S0e ),       F A0n =m(gcos α 0 + a S0n ),

F A0e =10(100,8666,3)=23,6N. F A0n =10(100,5+3,2)=82N .

F A0 =(23,6 e +82 n )N.

b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (1) jelű helyzetben:

Az inga szögsebessége a függőleges helyzetben ω 1 .

Munkatétel: E 1 E 0 = W 01 ,

1 2 J a ω 1 2 1 2 J a ω 0 2 =mgl(1cos α 0 ) ,

ω 1 2 = ω 0 2 + 2ml J a (1cos α 0 )= 16+ 210100,2 0,55 (10,5)=52,36 ,

ω 1 =±7,2361/s ,

ω 1 =(7,236 k )1/s.

Az A pontra felírt perdület tétel:

π ˙ A1 = M A1   J ¯ ¯ A ε 1 + ω 1 × π A1 = 0 ,mert ω 1 π A1 = M A1     J a ε 1 = M A1 .

J a ε 1 k = 0 / k ,

J a ε 1 =0     ε 1 =0 rad/s 2 .

a S1 =( a S1e e + a S1n n ) .

a S1e =l ε 1 =0,20=0 a S1e = 0 ,

a S1n = v S 1 2 l =l ω 1 2 =0,2 7,236 2 =10,47 m/s 2 ,

a S1n =(10,47 n ) m/s 2 ,

a S1 =( a S1e e + a S1n n )=(10,47 n ) m/s 2 .

Impulzus tétel:

m a S1 = F         m a S1 =( F A1 + G ),

(m a S1e e +m a S1n n )=( F A1e e + F A1n n )+(mg n )/ e / n .

m a S1e = F A1e ,       m a S1n = F A1n mg,

F A1e =m a S1e =0.       F A1n =m(g+ a S1n )=10(10+10,47)=204,7N.

F A1 =(204,7 n )N.

A két helyzetben fellépő mennyiségek szemléltetése:

13. feladat: Álló tengely körüli forgó mozgás kinetikája (Fizikai inga)

Adott: Az m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd, amely az A pont körül a függőleges síkban végez forgómozgást. Az α szöggel meghatározott (1) jelű helyzetben a rúd S pontjának sebessége zérus.

α= 30 o , g10 m/s 2 , m=2kg , l=2m.

Feladat:
a) A rúd S pontja a S1 gyorsulásának és az F A1 támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben.
b) A rúd S pontja a S2 gyorsulás át és az F A2 támasztóerőnek , valamint az ω 2 szögsebességének a meghatározása a (2) jelű helyzetben.

Kidolgozás:

a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, (1) jelű helyzetben:

Az A ponti kényszererő: F A1 =( F A1e e + F A1n n ) ,

Az S pont gyorsulása a S1 =( a S1e e + a S1n n ) ,

A rúd szöggyorsulása ε 1 =( ε 1 k ).

A rúd szögsebessége ω 1 =( ω 1 k )= 0 .

Az A pontra felírt perdület tétel: π ˙ A1 = M A1 .

J ¯ ¯ A ε 1 + ω 1 × π A1 = 0 ,mert ω 1 π A1 = M A1 .

J a ε 1 = M A1 ,

J a ε 1 k =mgsinα l 2 k / k

J a ε 1 =mgsinα l 2 .

ε 1 = mgsinαl 2 J a = mgsinαl 2[ J S +m ( l 2 ) 2 ] =

= mgsinαl 2( 1 3 m l 2 ) = 3 2 g l sinα .

ε 1 = 3 2 10 2 0,5=3,75 rad/s 2 , ε 1 =(3,75 k ) rad/s 2 .

A súlyponti gyorsulás: a S1 =( a S1e e + a S1n n ).

a S1e = l 2 ε 1 =13,75=3,75 m/s 2 a S1e =(3,75 e ) m/s 2 ,

a S1n = 2 v S1 2 l = l 2 ω 1 2 =1 0 2 =0 a S1n = 0 ,

a S1 =(3,75 e ) m/s 2 .

Impulzus tétel: m a S1 =( F A1 + G ),

(m a S1e e +m a S1n n )=

=( F A1e e + F A1n n )+(mgsinα e mgcosα n ),/ e / n

m a S1e = F A1e +mgsin α 0 ,

F A1e =m( a S1e gsinα)=2(3,75100,5)=2,5N,

m a S1n = F A1n mgcosα,

F A1n =m(gcosα+ a S1n =0 )=2100,866=17,3N.

F A1 =(2,5 e +17,3 n )N.

b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (2) jelű helyzetben:

Munkatétel: E 2 E 1 = W 12 .

1 2 J a ω 2 2 1 2 J a ω 1 2 =0 =mg l 2 (1cosα),

1 2 J a ω 2 2 =mg l 2 (1cosα),

ω 2 2 = mgl(1cosα) 1 3 m l 2 = 3g l (1cosα)= 310(10,866) 2 =2,01 ,

ω 2 = 2,01 =1,417rad/s.

Az A pontra felírt perdület tétel: π ˙ A2 = M A2 .

J ¯ ¯ A ε 2 + ω 2 × π A 2 = 0 ,mert ω 2 π A2 = M A 2 = 0 , ε 2 = 0 .

A súlyponti gyorsulás: a S2 =( a S2e e + a S2n n ).

a S2e = l 2 ε 2 =0 .

a S2n = 2 v S2 2 l = l 2 ω 2 2 =1 1,417 2 =2,01 a S2n =(2,01 n ),

a S2 =(2,01 n ) m/s 2

Impulzus tétel:  m a S2 =( F A2 + G ),

(m a S2e e +m a S2n n )=( F A2e e + F A2n n )+(mg n ),/ e / n

m a S2e = F A2e ,       m a S2n = F A2n mg,

F A2e =m a S2e =0 =0.       F A2n =m(g+ a S2e )=2(10+2,01)=24,02N.

F A2 =(24,02 n )N.

14. feladat: Hasáb mozgása kényszerpályán

Adott: Az érdes kényszerpályán az m tömegű téglatest v 0 sebességgel mozog felfelé. A mozgásbeli súrlódási tényező μ.

v 0 =(8 i )m/s , g10 m/s 2 , m=10kg, μ=0,2 , φ=ψ= 30 o .

Feladat:
a) Az m tömegű test a S gyorsulása hogyan függ az F 1 erő nagyságától, ha N α 0 ?
b) Az m tömegű test a S gyorsulása hogyan függ az F 1 erő nagyságától, ha az elválás megtörtént?

Kidolgozás:

a) Ha N α 0, akkor F α 0 a test kényszermozgást végez.

a S =( a Sx i ) a Sx =g(sinφ+cosφ)+ F 1 m (cosψμsinψ),

N α 0 F 1 mgcosφ sinψ =100 3 2 1 2 =100 3 =173,2N.

b) Ha elválik, akkor N α 0 F α = 0     a test szabad mozgást végez.

a S =( F 1 m cosψgsinφ) i +( F 1 m sinψ+gcosφ) j .