KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 12. Egy szabadságfokú összetett szerkezetek kinetikája

12.2. Gyakorló feladatok összetett szerkezetek mozgására

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • adatok alapján meghatározni összetett szerkezetek mozgásának főbb jellemzőit.
1. feladat: Emelő szerkezet kinetikája

Adott: M 0 ,R, m 1 , m 2 .

Feladat:
a) A kötéldob ε 1 szöggyorsulásának és a teher a 2 gyorsulásának meghatározása.
b) Az S 1 pontban fellépő F S1 támasztóerő (csapágyerő) és a K kötélerő meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás:

q= φ 1 - a kötéldob z tengely körüli szögelfordulása ( φ 1 = φ 1 k ),
q ˙ = ω 1 - a kötéldob szögsebessége ( ω 1 = ω 1 k ),
q ¨ = ε 1 - a kötéldob szöggyorsulása ( ε 1 = ε 1 k ).

Energia tétel az egész szerkezetre:

(1+2) E ˙ =P .

A szerkezet kinetikai energiája: E= 1 2 J s1 ω 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 .

v 2 = R 1 ω 1 = R 1 q ˙ , a 2 = R 1 ε 1 = R 1 q ¨ ,  ( v 2 = v 2 j ,   a 2 = a 2 j )

E= 1 2 J s1 ω 1 2 + 1 2 m 2 R 1 2 ω 1 2 = 1 2 ( J s1 + m 2 R 1 2 ) m φ1 ω 1 2 ,

m φ1 - a szerkezet q= φ 1 általános koordinátához tartozó általános (vagy redukált) tömege.

E ˙ = dE dt = m φ1 ω 1 d ω 1 dt = m φ1 ω 1 ε 1 =( 1 2 m 1 R 1 2 + m 2 R 2 2 ) ω 1 ε 1 .

A szerkezetre ható ER teljesítménye:

P= M 0 ω 1 + F S v S = 0 + G 2 v 2 = M 0 ω 1 m 2 g v 2 ,

P= M 0 ω 1 m 2 g R 1 ω 1 = ( M 0 m 2 g R 1 ) Q φ1 ω 1 ,

Q φ1 - a φ 1 általános koordinátához tartozó általános erő (egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény).

Az energia tételbe behelyettesítve:

ε 1 = Q φ1 m φ1 = M 0 m 2 g R 1 1 2 m 1 R 1 2 + m 2 R 1 2 .

ε 1 >0 , ha M 0 > m 2 g R 1 és ekkor a 2 =R ε 1 >0 .

Ha a 2 >0 , akkor a teher gyorsulása felfelé mutat: a 2 =( a 2 j ) .

Impulzus tétel a (2) jelű testre:

(2)  I ˙ 2 = F .
m 2 a 2 = K + G 2 / j .
m 2 a 2 =K m 2 g ,
K= m 2 ( a 2 +g) () .

Impulzus tétel az (1) jelű testre:

(1)  I ˙ 1 = F .
m a S1 =0 = F S1 + K / i / j .
0= F S1x ,
0= F S1y K F S1y =K() .
2. feladat: Összetett szerkezet kinetikája

Adott: m 1 , m 2 , m 3 R 3 ,μ,α , a kötél ideális.

Feladat:
a) A kötéldob ε 3 szöggyorsulásának és az (1) és (2) jelű hasábok a 1 és a 2 gyorsulásának meghatározása.
b) A lejtőről az (1) jelű testre átadódó F K1 kényszererő és az A ponti F A támasztóerő (csapágyerő) meghatározása.
c) Az (1) és (3) jelű test közötti kötélágban fellépő K 1 , valamint a (3) és (2) jelű test közötti kötélágban fellépő K 2 kötélerő meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás:

q= φ 3 - a kötéldob z tengely körüli szögelfordulása ( φ 3 = φ 3 k ),
q ˙ = ω 3 - a kötéldob szögsebessége ( ω 3 = ω 3 k ),
q ¨ = ε 3 - a kötéldob szöggyorsulása ( ε 3 = ε 3 k ).

Energia tétel az egész szerkezetre:

(1+2+3)  E ˙ =P .

A szerkezet kinetikai energiája: E= 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 J a3 ω 3 2 + 1 2 m 2 v 2 2

v 1 = R 3 ω 3 , v 2 = v 1 = R 3 ω 3 , a 1 = R 3 ε 3 , a 2 = a 1 = R 3 ε 3 .

E= 1 2 m 1 R 3 2 ω 3 2 + 1 2 J a3 ω 3 2 + 1 2 m 2 R 3 2 ω 3 2 = 1 2 ( m 1 R 3 2 + J a3 + m 2 R 3 2 ) m φ3 ω 3 2 .

m φ3 - a szerkezet φ 3 általános koordinátához tartozó általános (vagy redukált) tömege.

E ˙ = dE dt = m ϕ3 ω 3 d ω 3 dt = m ϕ3 ω 3 ε 3 =( m 1 R 3 2 + 1 2 m 3 R 3 2 + m 2 R 3 2 ) ω 3 ε 3 = m ϕ3 ω 3 ε 3 .

A szerkezetre ható ER teljesítménye:

P= G 1 v 1 + F K1 v 1 + F A v A = 0 + G 2 v 2

Feltételezés:  ω 3 = ω 3 k , ε 3 = ε 3 k , F K1 = F T1 i + F N1 j .

P= m 1 gsinα v 1 F T1 v 1 + m 2 g v 2 = m 1 gsinα R 3 ω 3 F T1 R 3 ω 3 + m 2 g R 3 ω 3 =

= ( m 1 gsinα R 3 F T1 R 3 + m 2 g R 3 ) Q φ3 ω 3 .

Q φ3 - a φ 3 általános koordinátához tartozó általános erő (egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény).

Impulzus tétel az (1) jelű hasábra:

(1)  I ˙ 1 = F
m a 1 = G 1 + F K + K 1 / j ,
0= m 1 gcosα+ F N1 +0, F N1 = m 1 gcosα ( ), F T1 =μ F N1 =μ m 1 gcosα ( ).

Ezt figyelembe véve a teljesítmény számításánál:

P= m 1 gsinα R 3 ω 3 μ m 1 gcosα R 3 ω 3 + m 2 g R 3 ω 3 = ( m 1 gsinα R 3 μ m 1 gcosα R 3 + m 2 g R 3 ) Q ϕ3 ω 3 .

Az energia tételbe behelyettesítve: E ˙ =P .

ε 3 = Q φ3 m φ3 = m 1 gsinαμ m 1 gcosα+ m 2 g ( m 1 + m 2 + 1 2 m 3 ) R 3 .

a 1 = a 2 = R 3 ε 3

Impulzus tétel az (1) jelű hasábra:

(1)  I ˙ 1 = F

m 1 a 1 = m 1 g + F K1 + K 1 / i ,

m 1 a 1 = m 1 g sinαμ m 1 gcosα+ K 1 ,

K 1 = m 1 ( a 1 +gsinα+μgcosα) .

Impulzus tétel a (2) jelű hasábra:

(2) I ˙ 2 = F .
m 2 a 2 = G 2 + K 2 / j m 2 a 2 = G 2 + K 2 , K 2 = m 2 a 2 + m 2 g.

Impulzus tétel a (3) jelű kötéldobra:

(3) I ˙ 3 = F .
0 = F A + K 1 + K 2 / i / j ,
0= F Ax K 1 cosα, 0= F Ay K 1 sinα K 2 ,
F Ax = K 1 cosα. F Ay = K 1 sinα+ K 2 .
3. feladat: Összetett szerkezet kinetikája

Adott: R 1 , m 1 , m 2 , m 3 0 .
A kötél ideális, a henger csúszásmentesen gördül.

Feladat:
a) A henger ε 1 szöggyorsulásának és a hasáb a 2 gyorsulásának meghatározása.
b) A kötélben fellépő K kötélerő meghatározása.
c) Az A és B pontban fellépő F A és F B támasztóerő meghatározása.

Kidolgozás:

Általános koordináta választás:

q= φ 1 - a henger z tengely körüli szögelfordulása ( φ 1 = φ 1 k ),
q ˙ = ω 1 - a henger szögsebessége ( ω 1 = ω 1 k ),
q ¨ = ε 1 - a henger szöggyorsulása ( ε 1 = ε 1 k ).

Energia tétel az egész szerkezetre:

(1+2)  E ˙ =P .

A szerkezet kinetikai energiája: E= 1 2 J a1 ω 1 2 + 1 2 m 2 v S2 2 ,

v 2 = v C =2 v S1 =2 R 1 ω 1 , a 2 = a Ce =2 a S1 =2 R 1 ε 1 ,

E= 1 2 J a1 ω 1 2 + 1 2 m 2 4 R 1 2 ω 1 2 = 1 2 ( J a1 +4 m 2 R 1 2 ) Q φ1 ω 1 2 .

E ˙ = dE dt = m ϕ1 ω 1 ε 1 =( J a1 +4 m 2 R 1 2 ) ω 1 ε 1 =( 3 2 m 1 R 1 2 +4 m 2 R 1 2 ) ω 1 ε 1 .

A szerkezetre ható ER teljesítménye:

P= G 1 v S =0 + F A v A = 0 + G 2 v 2 = m 2 g v 2 = ( m 2 g2R ) Q φ1 ω 1 .

Az energia tételbe behelyettesítve: E ˙ =P .

ε 1 = 2 m 2 g 3 2 m 1 R 1 +4 m 2 R 1 = 4 m 2 g (3 m 1 +8 m 2 ) R 1 .

a S1 = R 1 ε 1 = 4 m 2 g 3 m 1 +8 m 2 , a S2 =2 R 1 ε 1 =2 a S1 ,

Impulzus tétel a (2) jelű testre:

(2) I ˙ 2 = F .
m 2 a S2 = m 2 gK, K= m 2 (g a S2 ).

Impulzus tétel az (1) jelű testre:

(1) I ˙ 1 = F .
m 1 a S1 = G 1 + F A + K 0= G 1 + F Ay
(1) π ˙ s1 = M s1 .
J s1 ε 1 = R 1 K R 1 F Ax ,
J s1 ε 1 = R 1 m 2 (g a S2 ) R 1 F Ax ,

F Ax = m 2 (g a S2 ) J s1 R 1 ε 1 = m 2 (g2 R 1 ε 1 ) 3 2 m 1 R 1 ε 1 .

Impulzus tétel a (3) jelű testre:

(3) I ˙ 3 = F .
m 3 0 a S3 a B = 0 = F B + K 1 + K 2 / i / j ,
| K 1 |=| K 2 | ,
0= F Bx K,0= F By K,
F Bx =K(), F By =K().
4. feladat: Emelő szerkezet kinetikája

Adott: Az R 1 sugarú, m 1 tömegű emelőszerkezet, amelyet M 0 nyomatékkal hajtunk meg. A szerkezet kötéldobja ideális kötéllel egy m 2 tömegű terhet emel.

m 1 =10kg, m 2 =5kg, R 1 =1m, M 0 =40Nm, g=10 m/s 2 .

Feladat:
a) A teher a S2 gyorsulásának meghatározása.
b) A kötélben ébredő K kötélerő meghatározása.
c) Az A pontban fellépő F A támasztóerő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A teher gyorsulásának meghatározása:

Energia tétel:  E ˙ =P .

Az egész rendszer (1+2) kinetikai energiája:

E = 1 2 J a 1 ω 1 2 + 1 2 m 2 v S2 2 = 1 2 ( 1 2 m 1 R 1 2 ) v S2 2 R 1 2 + 1 2 m 2 v S2 2 ,

E = 1 2 ( 1 2 m 1 + m 2 ) m red v S2 2 = 1 2 m red v S2 2 .

E ˙ = 1 2 m red 2 v S2 a S2 = m red v S2 a S2 .

A szerkezetre ható ER teljesítménye:

P= M 0 ω 1 + F A v A = 0 + G 2 v S2 = M 0 ω 1 m 2 g v S2 = M 0 v S2 R 1 m 2 g v S2 .

Az energia tételbe behelyettesítve:

m red v S2 a S21 = M 0 v S2 R 1 m 2 g v S2 ,

a S2 = M 0 R 1 m 2 g m red = M 0 m 2 g R 1 m red R 1 ,

a S2 = 405101 (0,510+5)1 = 4050 10 = 10 10 =1 m/s 2 () .

a S2 =(1 j ) m/s 2 .

b) A kötélerő meghatározása:

Impulzus tétel a (2) jelű testre:  m 2 a S2 = F

m 2 a S2 j = m 2 g j +K j / j ,

K= m 2 ( a S2 +g)=5(1+10)=45N.

c) Az A ponti támasztóerő (csapágyerő) meghatározása:

Az (1) jelű testre felírt impulzus tétel:  m 1 a S1 = m 1 a A = 0 = F .

0 =( F A + G 1 + K )= F Ax i + F Ay j m 1 g j K j / i / j ,

0= F Ax ,         0= F Ay m 1 gK,

F Ax =0,         F Ay = m 1 g+K=1010+45=145N,

F A =(145 j )N.

11.2.4. feladat: Jármű modell kinetikája

Adott: α= 10 o , m 1 = m 3 =50kg, m 2 =600kg, μ 0 =tg ρ 0 =0,6, R 1 = R 3 =R=0,3m, l=2,4m, a 0 =(0,1 i ) m/s 2 .

Az (1) és (3) jelű kerék a lejtőn csúszásmentesen gördül felfelé.

Feladat:
a) Annak az M 3 nyomatéknak a meghatározása, amellyel az a 0 gyorsulás biztosítható.
b) A B pontban ébredő F B kényszererő (támasztóerő) meghatározása.
c) Döntse el, hogy megcsúszik-e a meghajtott, (3) jelű kerék!
d) A (2) jelű testről a (3) jelű testre átadódó F 23 belső erő meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az M 3 nyomaték meghatározása:  M 3 = M 3 k és ε 3 = ε 3 k .

A jármű haladó mozgást végez, ezért:

v S1 = v S2 = v S3 = v S =( v S i ) a 0 =( a 0 i )= a S1 = a S2 = a S3 .

Az R 1 = R 3 miatt ω 1 = ω 3 =(ω k ) .

Csúszásmentes gördülés esetén:

v S =Rω=R φ ˙ ω 1 = ω 3 = v S /R .

Energia tétel:  E ˙ =P .

A rendszer kinetikai energiája:

E= 1 2 J a1 ω 1 2 + 1 2 m 2 v S2 2 + 1 2 J b3 ω 3 2 = 1 2 J a1 ( v S R ) 2 + 1 2 m 2 v S 2 + 1 2 J b3 ( v S R ) 2 ,

E= 1 2 ( J a 1 1 R 2 + m 2 + J b 3 1 R 2 ) m red v S 2 = 1 2 m red v S 2 ,

m red = 1 R 2 ( J a1 + J b3 )+ m 2 = 1 R 2 ( 3 2 m 1 R 2 + 3 2 m 3 R 2 )+ m 2 ,

m red =( 3 2 m 1 + 3 2 m 3 )+ m 2 =75+75+600=750kg .

E ˙ = d dt ( 1 2 m red v S 2 )= 1 2 m red 2 v S a S = m red v S a 0 .

A rendszerre ható erők és nyomatékok teljesítménye:

P= M 3 ω 3 + G 1 v S1 + G 2 v S2 + G 3 v S3 = M 3 ω 3 +( G 1 + G 2 + G 3 ) v S ,

P=( M 3 k )( ω 3 k )+( G 1 sinα i G 1 cosα j )( v S i )+( G 2 sinα i G 2 cosα j )( v S i )+

+( G 3 sinα i G 3 cosα j )( v S i ),

P= M 3 ω 3 ( G 1 + G 2 + G 3 )sinα v S .

Az energia tételbe behelyettesítve:

m red v S a 0 = M 3 ω 3 ( G 1 + G 2 + G 3 )sinα v S = M 3 v S R ( G 1 + G 2 + G 3 )sinα v S .

m red R a 0 = M 3 ( G 1 + G 2 + G 3 )Rsinα ,

M 3 = m red R a 0 ( G 1 + G 2 + G 3 )Rsinα,

M 3 =7500,30,1(500+6000+500)0,30,174=22,5365,4=387,9Nm.

M 3 =(387,9 k )Nm.

b) A B pontban fellépő F B kényszererő (támasztóerő) meghatározása:

A (2) jelű test haladó mozgást végez , ezért ε 2 = 0 .

A (3) jelű testről a (2) jelű testre átadódó belső erő F 32 =( F 32x i + F 32y j ) , az (1) jelű testről a (2) jelű testre átadódó belső erő F 12 =( F 12x i + F 12y j ) alakban írható.

Perdület tétel a (2) jelű test S1 pontján átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengelyre:

(2)  π ˙ s1 =0 = M s1 = F 32y l G 2 cosα l 2 ,

F 32y = G 2 2 cosα= 1 2 60000,985=2954,4N.

Az "akció-reakció" elv alapján a (2) jelű testről a (3) jelű testre átadódó belső erő:

F 23 + F 32 = 0     F 23 =( F 23x i 2954,4 j )N.

A (3) jelű testre felírt impulzus tétel:

(3)  m 3 a S3 = m 3 a 0 = F ,

m 3 a 0 =( F 23 + G 3 + F B ).

m 3 a 0 i =( F 23x i + F 23y j )+( G 3 sinα i G 3 cosα j )+( F T i + F N j )/ i / j

m 3 a 0 = F 23x G 3 sinα+ F T ,       F 23y G 3 cosα+ F N =0,

F 23x = m 3 a 0 + G 3 sinα F T .       F N = G 3 cosα F 23y ,

F N =5000,985+2954,4=3446,8N.

A (3) jelű test S3 pontjára felírt perdület tétel:

(3)  π ˙ S3 = M S3 ,

J ¯ ¯ S3 ε 3 + ω 3 × π S3 = 0 ,mert ω 3 π S3 = M S3 ,

( J s3 ε 3 )= M S3 ,

( J s3 ε 3 k )=( F T R 3 k )+( M 3 k )/ k ,

J s3 ε 3 = F T R 3 + M 3     1 2 m 3 R 3 2 a 0 R 3 = F T R 3 + M 3 ,

F T = M 3 R 3 1 2 m 3 a 0 = 387,9 0,3 1 2 500,1=11432,5=1140,5N.

F B =( F T i + F N j )=(1140,5 i +3446,8 j )N.

c) A (3) jelű kerék megcsúszásának vizsgálata:

μ 0 min = | F T | | F N | = 1140,5 3446,8 =0,331< μ 0 =0,6 .

A kerék nem csúszik meg.

d) Az F 23 belső erő meghatározása:

A (3) jelű testre felírt impulzus tételből:

(3)  m 3 a 0 = F 23x G 3 sinα+ F T ,

F 23x =1140,5+5000,174+500,1=1048,5N.

F 23 =( F 23x i + F 23y j )=(1048,5 i 2954,4 j )N ,

F 32 = F 23 =(1048,5 i +2954,4 j )N.

5. feladat: Lánc/szíjhajtás kinetikája

Adott: J a1 =200  kgm 2 , J b1 =100  kgm 2 , R 1 =0,3m , R 2 =0,15m, M 1 =300Nm.

A lánc/szíj nyújthatatlan, tökéletesen hajlékony és tömege elhanyagolható.

Feladat: A (2) jelű kerék ε 2 szöggyorsulásának meghatározása.

Kidolgozás:

A lánc (szíj) nyújthatatlan:

R 1 φ 1 = R 2 φ 2     R 1 ω 1 = R 2 ω 2   ω 1 = R 2 R 1 ω 2 .

ω 1 =( ω 1 k ), ω 2 =( ω 2 k ), ε 2 =( ε 2 k ), M 1 =( M 1 k ) .

Energia tétel:  E ˙ =P.

A rendszer kinetikai energiája:

E= 1 2 J a 1 ω 1 2 + 1 2 J b 2 ω 2 2 = 1 2 J a 1 ( R 2 R 1 ω 2 ) 2 + 1 2 J b 2 ω 2 2 = 1 2 ( J a 1 R 2 2 R 1 2 + J b 2 ) ω 2 2 = 1 2 J red ω 2 2 .

A redukált tehetetlenségi nyomaték:

J red =( J a 1 R 2 2 R 1 2 + J b 2 )=200 0,15 2 0,3 2 +100=150 kgm 2 .

A kinetikai energia idő szerinti deriváltja:

E ˙ = d dt ( 1 2 J red ω 2 2 )= 1 2 J red 2 ω 2 ε 2 = J red ω 2 ε 2 .

A rendszerre ható erők és nyomatékok teljesítménye:

P= M 1 ω 1 =( M 1 k )( ω 1 k )= M 1 ω 1 = M 1 R 2 R 1 ω 2 .

Az energia tételbe behelyettesítve:

J red ω 2 ε 2 = M 1 R 2 R 1 ω 2 ,   ε 2 = M 1 R 2 R 1 1 J red =300 0,15 0,3 1 150 =1 rad/s 2 ,

ε 2 =(1 k ) rad/s 2 .

6. feladat: Emelő szerkezet/lift kinematikája

Adott: J a =1 kgm 2 , m 1 =400kg , m 2 =500kg , m 0 =50kg , R 1 =0,2m , R 2 =0,15m , M 0 =200Nm.

Mindkét kötél ideális.

Feladat:
a) A kötéldob ε 0 szöggyorsulásának meghatározása.
b) A lift a 1 gyorsulásának meghatározása.
c) Az ellensúly a 2 gyorsulásának meghatározása.

Kidolgozás:

A lift sebessége v 1 = R 1 ω 0 , az ellensúly sebessége v 2 = R 2 ω 0 .

A lift gyorsulása a 1 = R 1 ε 0 , az ellensúly gyorsulása a 2 = R 2 ε 0 .

Síkmozgás: ω 0 =( ω 0 k ), ε 0 =( ε 0 k ), M 0 =( M 0 k ) .

a) A kötéldob gyorsulásának meghatározása:

Energia tétel:  E ˙ =P.

A rendszer kinetikai energiája:

E= 1 2 J a ω 0 2 + 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 J a ω 0 2 + 1 2 m 1 ( R 1 ω 0 ) 2 + 1 2 m 2 ( R 2 ω 0 ) 2 ,

E= 1 2 ( J a + m 1 R 1 2 + m 2 R 2 2 ) ω 0 2 = 1 2 J red ω 0 2 .

A redukált tehetetlenségi nyomaték:

J red =( J a + m 1 R 1 2 + m 2 R 2 2 )=1+400 0,2 2 +500 0,15 2 =28,25 kgm 2 .

A kinetikai energia idő szerinti deriváltja:

E ˙ = d dt ( 1 2 J red ω 0 2 )= 1 2 J red 2 ω 0 ε 0 = J red ω 0 ε 0 .

A rendszerre ható erők és nyomatékok teljesítménye:

P= M 0 ω 0 + G 1 v 1 + G 2 v 2 =( M 0 k )( ω 0 k )+( G 1 j )( v 1 j )+( G 2 j )( v 2 j ),

P= M 0 ω 0 + G 1 v 1 G 2 v 2 = M 0 ω 0 + G 1 R 1 ω 0 G 2 R 2 ω 0 = =( M 0 + G 1 R 1 G 2 R 2 ) ω 0 .

Az energia tételbe behelyettesítve:

J red ω 0 ε 0 =( M 0 + G 1 R 1 G 2 R 2 ) ω 0 ,

ε 0 = 1 J red ( M 0 + G 1 R 1 G 2 R 2 )= 1 28,25 (200+40000,250000,15)=5,31 1/s 2 ,

ε 0 =(5,31 k ) 1/s 2 .

b) A lift gyorsulásának meghatározása:

a 1 = R 1 ε 0 =0,25,31=1,062 m/s 2 a 1 =(1,062j) m/s 2 .

c) Az ellensúly gyorsulásának meghatározása:

a 2 = R 2 ε 0 =0,15(5,31)=0,796 m/s 2 a 2 =(0,796j) m/s 2 .

7. feladat: Összetett szerkezet kinematikája

Adott: Az R 1 sugarú, m 1 tömegű csörlőszerkezet, amelyet M 0 nyomatékkal hajtunk meg. A csörlő ideális kötéllel egy m 2 tömegű terhet mozgat egy érdes, vízszintes felületen.

m 1 =20kg, m 2 =50kg, μ=0,2, M 0 =400Nm, R 1 =1m, g=10 m/s 2 .

Feladat:
a) A teher a S2 gyorsulásának meghatározása.
b) A kötélben ébredő K kötélerő meghatározása.
c) Az A pontban fellépő F A támasztóerő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A teher gyorsulásának meghatározása:

ω 1 = ω 1 k , v S2 = v S2 i v S2 = ω 1 R 1 .

Energia tétel:  E ˙ =P .

Az egész szerkezet (1+2) kinetikai energiája:

E= 1 2 J a 1 ω 1 2 + 1 2 m 2 v S2 2 = 1 2 ( 1 2 m 1 R 1 2 ) ω 1 2 + 1 2 m 2 R 1 2 ω 1 2 ,

E= 1 2 ( 1 2 m 1 + m 2 ) R 1 2 m red ω 1 2 = 1 2 m red ω 1 2 .

E ˙ = 1 2 m red 2 ω 1 ε 1 = m red ω 1 ε 1 .

Az (1+2) egész rendszerre ható erők teljesítménye:

P= M 0 ω 1 + F A v A = 0 + G 2 v S2 =0 + F K2 v S2 = M 0 ω 1 μ F N 2 v S2 = M 0 ω 1 +μ G 2 R 1 ω 1 .

Az energia tételbe behelyettesítve:

m red ω 1 ε 1 = M 0 ω 1 μ G 2 R 1 ω 1 ,

ε 1 = M 0 ω 1 μ G 2 R 1 ω 1 m red ω 1 = M 0 μ m 2 g R 1 m red ,

ε 1 = 4000,250101 (0,520+50) 1 2 = 400100 60 = 300 60 =5 1/s 2 , ε 1 =(5 k ) 1/s 2

a S2 = R 1 ε 1 =15=5  m/s 2 ,    a S2 =(5 i ) m/s 2 .

b) A kötélerő meghatározása:

Perdület tétel az (1) jelű test A ponti, a mozgás síkjára merőleges tengelyére:

(1)  π ˙ a = M a .

J a 1 ε 1 = M 0 K R 1 ,

K= M 0 J a 1 ε 1 R 1 = M 0 1 2 m 1 R 1 2 ε 1 R 1 = 400 1 2 20 1 2 5 1 =350N.

c) Az A ponti támasztóerő meghatározása:

Az (1) jelű testre felírt impulzus tétel:

(1) m 1 a S1 = m 1 a A = 0 = F .

0 =( F A + G 1 + K )= F Ax i + F Ay j m 1 g j +K i / i / j ,

0= F Ax +K,       0= F Ay m 1 g,

F Ax =K=350N ,        F Ay = m 1 g=200N,

F A =(350 i +200 j )N.