KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 4. Tömegpont kinematikája

4.2. Sebességfüggvény (sebességvektor), hodográf

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a sebességfüggvény, a pillanatnyi sebességvektor, a pálya menti sebesség fogalmakat;
  • kiválasztani a sebességfüggvény alakját, a pillanatnyi sebességvektor és a pálya menti sebesség tulajdonságait és az ezeket leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a sebességfüggvény koordinátáit DDKR-ben;
  • kiválasztani a hodográf fogalmát;
  • kiválasztani a közepes sebesség fogalmát;
  • kiválasztani a közepes sebességet leíró összefüggést és ábrát.

Sebességfüggvény: a mozgásfüggvény idő szerinti első deriváltja:

v (t)= r (t)= d r (t) dt .

Pillanatnyi sebességvektor: a sebességfüggvény egy adott t 1 időpillanatban felvett értéke:

v 1 = v ( t 1 ) .

Tulajdonságai:

  • A pillanatnyi sebességvektor vektor mennyiség.
  • A sebességvektor iránya megegyezik a pályagörbe érintőjének irányával.

Bizonyítás: v (t)= d r dt = d r ds ds dt = e ds(t) dt = e v(t)=v(t) e .

Pálya menti sebesség (pályasebesség): az ívhossz idő szerinti első deriváltja.

v(t)= ds(t) dt .

Tulajdonságai:

  • A pályasebesség a sebességvektor érintő irányú koordinátája.
  • A pályasebesség előjeles skalár mennyiség.
  • A pályasebesség előjelét az s ívkoordináta irányítása dönti el.

A sebességfüggvény koordinátái DDKR-ben:

A mozgásfüggvény (helyvektor): r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k .

A sebességfüggvény (sebességvektor): v (t)= v x (t) i + v y (t) j + v z (t) k .

A sebességvektor koordinátái: v x (t)= dx(t) dt v y (t)= dy(t) dt v z (t)= dz(t) dt .

Hodográf:
1. definíció: Az a görbe, amelyet a v = v (t) sebességvektorok végpontja ír le a v x , v y , v z koordináta-rendszerben.
2. definíció: A sebességvektorok végpontjai által meghatározott görbe, ha a sebességvektorokat egy közös kezdőpontból mérjük fel

Megjegyzés: a hodográf görög szó. Jelentése: a mozgó pont sebességének változását szemléltető görbe.

A gyorsulásvektorok a hodográf-görbe érintői
Példa

Feladat: a hodográf megrajzolása a [ t 0 t 1 ] idő intervallumra

Adott:
v 0 =(3 i 4 j ) m/s ;
v 1 =(5 i +2 j ) m/s ;
a =(4 i +3 j ) m/s 2 ; a =állandó .

A hodográf párhuzamos a gyorsulásvektorral. Ez egy állandó gyorsulású mozgás.

A következő animáció körmozgás esetében mutatja be a hodográf kialakulását.

videó
3985 kByte

Közepes sebesség: mindig egy megadott időintervallumra vonatkozik

A [ t 1 t 2 ] időintervallumra vonatkozó közepes sebesség:

v k = r ( t 2 ) r ( t 1 ) t 2 t 1 = r 2 r 1 t 2 t 1 = Δ r 12 Δ t 12 ,

ahol r ( t 2 )= r ( t 1 )+Δ r 12 Δ r 12 = r ( t 2 ) r ( t 1 ) .

Példa

Feladat:

A [ t 0 t 1 ] idő intervallumra vonatkozó v k közepes sebesség meghatározása:

Adott:
r 0 = (7 i 6 j )m ,
r 1 = (2 i +3 j )m ,
t 0 = 0,  t 1 =1,5 s.

Kidolgozás:

v k = r 1 r 0 t 1 t 0 = (2 i +3 j )(7i6 j ) 1,5 = (9 i +9 j ) 1,5 =(6 i +6 j )m/s.

Az ábra a közepes sebesség meghatározásának logikáját szemlélteti. A szerkesztés eredményének az origóba történő párhuzamos eltolásával kaptuk a szaggatott vonallal berajzolt vektort.

Gyakorló feladat: Tömegpont síkmozgása

Adott: Az r = r (t)= b t+c t 2 mozgásfüggvény a [ t 0 ; t 1 ] idő intervallumban és
b =(3 i 4 j )m/s, c =(2 i +1,5 j ) m/s 2 ,
t 0 =0, t 1 =2s.

Feladat: a v k közepes sebesség meghatározása.

Kidolgozás:

a) A közepes sebesség meghatározása:

r 0 = r ( t 0 )= 0 ,

r 1 = r ( t 1 )= b t 1 + c t 1 2 =2(3 i 4 j )+4(2 i +1,5 j )=(2 i 2 j )m,

v k = Δ r 01 Δ t 01 = r 1 r 0 t 1 t 0 = 2 i 2 j 2 =( i j )m/s.

Gyakorló feladat: Tömegpont mozgásának hodográfja

Adott: A tömegpont pályagörbéje. A köríveken a tömegpont pályasebessége állandó, az egyenes szakaszokon a gyorsulás állandó.

R=10m , r=5m , v A =15m/s , v D =5m/s , v F =10m/s .

Feladat: a hodográf megrajzolása.

Kidolgozás:

A pályagörbeA hodográf
Gyakorló feladat: Tömegpont síkmozgása

Adott: Az r = r (t)= b 0 + b 1 (c t 2 ) mozgásfüggvény a [ t 0 ; t 1 ] idő intervallumban és
b 0 =( i +2 j )m, b 1 =(4 i 4 j ) m/s 2 ,
t 0 =0, t 1 =1,5s,c=2 s 2 .

Feladat:

a) A pályagörbe alakjának meghatározása.

b) Az r 0 = r ( t 0 ), r 1 = r 1 ( t 1 ) helyvektorok meghatározása.

c) A v (t) sebességfüggvény meghatározása.

d) A v k közepes sebesség meghatározása.

Kidolgozás:

a) A pályagörbe alakjának meghatározása:

A pályagörbe r (t)= r 0 + c f(t) alakú egyenes ( r 0 = b 0 és c = b 1 ).

b) A tömegpont helyének meghatározása a t 0 és t 1 időpillanatban:

A mozgásfüggvény: r = r (t)= b 0 + b 1 (c t 2 ),

r 0 = r ( t 0 )= b 0 + b 1 (c t 0 2 )=( i +2 j )+(4 i 4 j )(20)=

=( i +2 j )+(8 i 8 j )=(7 i 6 j )m .

r 1 = r ( t 1 )= b 0 + b 1 (c t 1 2 )=( i +2 j )+(4 i 4 j )(2 1,5 2 )=

=( i +2 j )+(4 i 4 j )(0,25)=(2 i +3 j )m.

c) A sebességfüggvény meghatározása:

v = v (t)= d r dt =2 b 1 t=(8 i +8 j )t,

v 0 = v ( t 0 )= 0 ,   v 1 = v ( t 1 )=(12 i +12 j )m/s.

d) A közepes sebesség meghatározása:

v k = r 1 r 0 t 1 t 0 = (2 i +3 j )(7i6 j ) 1,5 = (9 i +9 j ) 1,5 =(6 i +6 j )m/s.

Önellenőrző kérdések

I. Párosítsa az alábbi sebességgel kapcsolatos fogalmakat a megfelelő összefüggéssel!

1) v 1 = v ( t 1 )
2) r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k
3) v (t)= r ˙ (t)= d r (t) dt
4) v k = r ( t 2 ) r ( t 1 ) t 2 t 1 = r 2 r 1 t 2 t 1 = Δ r 12 Δ t 12
5) v(t)= ds(t) dt

Írja a számot a megfelelő fogalom elé! Egy összefüggésnek nincs párja!
JelFogalom
Sebességfüggvény
Pillanatnyi sebességvektor
Pálya menti sebesség (pályasebesség)
Közepes sebesség
I. Jelölje be a három (3) jó választ!
A sebességfüggvény koordinátái DDKR-ben:
v x (t)= dx(t) dt
z=z(t)
x=x(t)
v y (t)= dy(t) dt
φ=φ(t)
v z (t)= dz(t) dt
y=y(t)
R=R(t)
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A hodográf:
az a görbe, amelyet a v = v (t) sebességvektorok kezdőpontja ír le a v x , v y , v z koordináta-rendszerben.
az a görbe, amelyet a r = r (t) helyvektorok skaláris koordinátái ( x=x(t) , y=y(t) , z=z(t) ) írnak le DDKR-ben.
az a görbe, amelyet a r = r (t) helyvektorok skaláris koordinátái ( R=R(t) , φ=φ(t) , z=z(t) ) írnak le HKR-ben.
az a görbe, amelyet a v = v (t) sebességvektorok végpontja ír le a v x , v y , v z koordináta-rendszerben.