MODUL: 12. Egy szabadságfokú összetett szerkezetek kinetikája
12.2. Gyakorló feladatok összetett szerkezetek mozgására
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- adatok alapján meghatározni összetett szerkezetek mozgásának főbb jellemzőit.
|
1. feladat: Emelő szerkezet kinetikája |
|
Adott:. |
Feladat: a) A kötéldob szöggyorsulásának és a teher gyorsulásának meghatározása. b) Az pontban fellépő támasztóerő (csapágyerő) és a K kötélerő meghatározása. |
Kidolgozás: |
Általános koordináta választás: |
| - a kötéldob z tengely körüli szögelfordulása (), | | - a kötéldob szögsebessége (), | | - a kötéldob szöggyorsulása (). |
|
Energia tétel az egész szerkezetre: |
(1+2) . |
A szerkezet kinetikai energiája: . |
, (, ) |
, |
- a szerkezet általános koordinátához tartozó általános (vagy redukált) tömege. |
. |
A szerkezetre ható ER teljesítménye: |
, |
, |
- a általános koordinátához tartozó általános erő (egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény). |
Az energia tételbe behelyettesítve: |

|
. |
, ha és ekkor . |
Ha , akkor a teher gyorsulása felfelé mutat: . |
Impulzus tétel a (2) jelű testre: |
 | (2) . . , . |
|
Impulzus tétel az (1) jelű testre: |
 | (1) . . , . |
|
2. feladat: Összetett szerkezet kinetikája |
|
Adott:, a kötél ideális. |
Feladat: a) A kötéldob szöggyorsulásának és az (1) és (2) jelű hasábok és gyorsulásának meghatározása. b) A lejtőről az (1) jelű testre átadódó kényszererő és az A ponti támasztóerő (csapágyerő) meghatározása. c) Az (1) és (3) jelű test közötti kötélágban fellépő , valamint a (3) és (2) jelű test közötti kötélágban fellépő kötélerő meghatározása. |
Kidolgozás: |
Általános koordináta választás: |
| - a kötéldob z tengely körüli szögelfordulása (), | | - a kötéldob szögsebessége (), | | - a kötéldob szöggyorsulása (). |
|
Energia tétel az egész szerkezetre: |
(1+2+3) . |
A szerkezet kinetikai energiája: |
. |
. |
- a szerkezet általános koordinátához tartozó általános (vagy redukált) tömege. |
. |
A szerkezetre ható ER teljesítménye: |
|
Feltételezés: . |
|
. |
- a általános koordinátához tartozó általános erő (egységnyi koordináta sebességhez tartozó teljesítmény). |
Impulzus tétel az (1) jelű hasábra: |
 | (1) ,
|
|
Ezt figyelembe véve a teljesítmény számításánál: |
. |
Az energia tételbe behelyettesítve: . |

|
. |
|
Impulzus tétel az (1) jelű hasábra: |
(1) |
, |
, |
. |
Impulzus tétel a (2) jelű hasábra: |
 | (2) .
|
|
Impulzus tétel a (3) jelű kötéldobra: |
 | (3) .
|
|
3. feladat: Összetett szerkezet kinetikája |
|
Adott:. A kötél ideális, a henger csúszásmentesen gördül. |
Feladat: a) A henger szöggyorsulásának és a hasáb gyorsulásának meghatározása. b) A kötélben fellépő kötélerő meghatározása. c) Az A és B pontban fellépő és támasztóerő meghatározása. |
Kidolgozás: |
Általános koordináta választás: |
| - a henger z tengely körüli szögelfordulása (), | | - a henger szögsebessége (), | | - a henger szöggyorsulása (). |
|
Energia tétel az egész szerkezetre: |
(1+2) . |
A szerkezet kinetikai energiája: , |
, |
. |
. |
A szerkezetre ható ER teljesítménye: |
. |
Az energia tételbe behelyettesítve: . |

|
. |
, |
Impulzus tétel a (2) jelű testre: |
 | (2) .
|
|
Impulzus tétel az (1) jelű testre: |
 | (1) .
(1) . , , |
|
. |
Impulzus tétel a (3) jelű testre: |
 | (3) . , ,
|
|
4. feladat: Emelő szerkezet kinetikája |
|
Adott: Az sugarú, tömegű emelőszerkezet, amelyet nyomatékkal hajtunk meg. A szerkezet kötéldobja ideális kötéllel egy tömegű terhet emel. |
|
Feladat: a) A teher gyorsulásának meghatározása. b) A kötélben ébredő kötélerő meghatározása. c) Az A pontban fellépő támasztóerő meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A teher gyorsulásának meghatározása: |
Energia tétel: . |
Az egész rendszer (1+2) kinetikai energiája: |
|
. |
|
A szerkezetre ható ER teljesítménye: |
. |
Az energia tételbe behelyettesítve: |
, |
, |
. |
|
b) A kötélerő meghatározása: |
Impulzus tétel a (2) jelű testre: |
|
|
c) Az A ponti támasztóerő (csapágyerő) meghatározása: |
Az (1) jelű testre felírt impulzus tétel: . |
|
|
|
|
11.2.4. feladat: Jármű modell kinetikája |
|
Adott: |
Az (1) és (3) jelű kerék a lejtőn csúszásmentesen gördül felfelé. |
Feladat: a) Annak az nyomatéknak a meghatározása, amellyel az gyorsulás biztosítható. b) A B pontban ébredő kényszererő (támasztóerő) meghatározása. c) Döntse el, hogy megcsúszik-e a meghajtott, (3) jelű kerék! d) A (2) jelű testről a (3) jelű testre átadódó belső erő meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) Az nyomaték meghatározása: és . |
A jármű haladó mozgást végez, ezért: |
, . |
Az miatt . |
Csúszásmentes gördülés esetén: |
. |
Energia tétel: . |
A rendszer kinetikai energiája: |
|
, |
, |
. |
. |
A rendszerre ható erők és nyomatékok teljesítménye: |
|
|
|
. |
Az energia tételbe behelyettesítve: |
. |
, |
|
|
|
b) A B pontban fellépő kényszererő (támasztóerő) meghatározása: |
A (2) jelű test haladó mozgást végez , ezért |
A (3) jelű testről a (2) jelű testre átadódó belső erő , az (1) jelű testről a (2) jelű testre átadódó belső erő alakban írható. |
|
Perdület tétel a (2) jelű test S1 pontján átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengelyre: |
(2) |
|
Az "akció-reakció" elv alapján a (2) jelű testről a (3) jelű testre átadódó belső erő: |
|
|
A (3) jelű testre felírt impulzus tétel: |
(3) |
|
|
|
|
|
A (3) jelű test S3 pontjára felírt perdület tétel: |
(3) , |
, |
, |
, |
|
|
|
c) A (3) jelű kerék megcsúszásának vizsgálata: |
. |
A kerék nem csúszik meg. |
d) Az belső erő meghatározása: |
A (3) jelű testre felírt impulzus tételből: |
(3) |
|
, |
|
5. feladat: Lánc/szíjhajtás kinetikája |
|
Adott: , , , |
A lánc/szíj nyújthatatlan, tökéletesen hajlékony és tömege elhanyagolható. |
Feladat: A (2) jelű kerék szöggyorsulásának meghatározása. |
Kidolgozás: |
A lánc (szíj) nyújthatatlan: |
|
. |
Energia tétel: |
A rendszer kinetikai energiája: |
. |
A redukált tehetetlenségi nyomaték: |
|
A kinetikai energia idő szerinti deriváltja: |
|
A rendszerre ható erők és nyomatékok teljesítménye: |
|
Az energia tételbe behelyettesítve: |
, |
|
6. feladat: Emelő szerkezet/lift kinematikája |
|
Adott:, , , , , , |
Mindkét kötél ideális. |
Feladat: a) A kötéldob szöggyorsulásának meghatározása. b) A lift gyorsulásának meghatározása. c) Az ellensúly gyorsulásának meghatározása. |
Kidolgozás: |
A lift sebessége , az ellensúly sebessége . |
A lift gyorsulása , az ellensúly gyorsulása . |
Síkmozgás: . |
a) A kötéldob gyorsulásának meghatározása: |
Energia tétel: |
A rendszer kinetikai energiája: |
|
|
A redukált tehetetlenségi nyomaték: |
|
A kinetikai energia idő szerinti deriváltja: |
|
A rendszerre ható erők és nyomatékok teljesítménye: |
|
|
Az energia tételbe behelyettesítve: |
|
|
|
b) A lift gyorsulásának meghatározása: |
|
c) Az ellensúly gyorsulásának meghatározása: |
|
7. feladat: Összetett szerkezet kinematikája |
|
Adott: Az sugarú, tömegű csörlőszerkezet, amelyet nyomatékkal hajtunk meg. A csörlő ideális kötéllel egy tömegű terhet mozgat egy érdes, vízszintes felületen. |
|
Feladat: a) A teher gyorsulásának meghatározása. b) A kötélben ébredő kötélerő meghatározása. c) Az A pontban fellépő támasztóerő meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A teher gyorsulásának meghatározása: |
, . |
Energia tétel: . |
Az egész szerkezet (1+2) kinetikai energiája: |
|
. |
|
Az (1+2) egész rendszerre ható erők teljesítménye: |
|
Az energia tételbe behelyettesítve: |
, |
|
, |
, |
b) A kötélerő meghatározása: |
Perdület tétel az (1) jelű test A ponti, a mozgás síkjára merőleges tengelyére: |
(1) |
, |
|
c) Az A ponti támasztóerő meghatározása: |
Az (1) jelű testre felírt impulzus tétel: |
(1) |
|
|
, |
|