KURZUS: Mechanika - Mozgástan
MODUL: 3. Matematikai alapok
3.2. Mátrixalgebrai összefoglaló
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Mátrixalgebrai összefoglaló | ||
Mátrix értelmezése, jelölése | ||
Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza. | ||
Mátrix jelölése: . | ||
A mátrixokat kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl. és stb. | ||
Az mátrixelem az mátrix első sorában és harmadik oszlopában van. | ||
Mátrix mérete: Például a fenti 2x3-as méretű mátrixnak két sora és három oszlopa van. | ||
Az mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három. | ||
Oszlopmátrix: , sormátrix: . | ||
Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. | ||
A sormátrix ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltja. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli. | ||
A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják (pl.: . A következő ábrán egy 3x3-as mátrix főátlóját piros színnel jelöltük. | ||
| ||
Mátrixműveletek | ||
A műveleteket (2x2)-es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be. | ||
|
Gyakorló feladat | ||
Adott: , | ||
Feladat: Az és transzponált mátrixok meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
Az és transzponált mátrixok meghatározása: | ||
, . |
|
Gyakorló feladat | ||
Adott: , | ||
Feladat: Az összegmátrix és az különbségmátrix meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
Az összegmátrix és az különbségmátrix meghatározása: | ||
, | ||
. |
| ||
| ||
A fenti ábra a szorzás logikáját két 2x2-es mátrix bemutatásával szemlélteti. Az első mátrix az eredményelem sor-, a második mátrix az eredményelem oszlop-koordinátáit határozza meg. A szorzás algoritmusából következik a korábban leírt szabály is (csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával). | ||
Gondolja végig, miért csak ilyen mátrixok szorozhatók össze! | ||
Két 2x2-es mátrix összeszorzásának lépésit szemlélteti a következő ábra. A sárga elemeket a világoskék, a narancssárga elemeket a sötétkék elemekkel szorozzuk össze, majd az eredményeket összegezzük. Látható, hogy az eredmény helyét az első mátrix sor koordinátája és a második mátrix oszlop koordinátája határozza meg. | ||
| ||
, | ||
. | ||
, | ||
. |
Gyakorló feladat | ||
Az szorzatmátrix meghatározása. | ||
Adott: , . | ||
. |
Különleges mátrixok | ||
| ||
Önellenőrző kérdések | ||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
I. Végezze el az mátrixműveletet! | |||||||||||
Adott: , | |||||||||||
Egészítse ki értelemszerűen az alábbi táblázatot a megfelelő egész számok beírásával! Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! = ![]() | |||||||||||
II. Jelölje be az egyetlen jó választ! A mátrix főátlóját a(z):
![]() | |||||||||||
III. Jelölje be az egyetlen jó választ! A sormátrix transzponáltja:
![]() | |||||||||||
IV. Jelölje be az egyetlen jó választ! A mátrix méreteinek megadásánál az első szám a mátrix sorainak, a második szám az oszlopainak a számát jelöli. Ha egy 2x3-as mátrixot és egy 3x3-as mátrixot szorzunk össze, akkor:
![]() |