KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 3. Matematikai alapok

3.4. Tenzorok előállítása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a tenzor fogalmát;
  • kiválasztani a tenzor tulajdonságait;
  • tenzort előállítani jobbsodratú, derékszögű koordináta-rendszerben mátrixos és diadikus felírással.

Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Matematikában a függvényekről tanultakat.

Tenzorok előállítása
Tenzor értelmezése és tulajdonságai

Tenzor: Homogén, lineáris vektor-vektor függvény által megvalósított leképezés (hozzárendelés).

w =f( v )= T ¯ ¯ v .

A T ¯ ¯ tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá.

A vektor-vektor függvény olyan függvénykapcsolat, amelynek v értelmezési tartománya és w értékkészlete is vektor mennyiség.

A tenzor tulajdonságai:

  • Homogén lineáris: Ha egy vektort két másik vektor lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor a vektor képvektora egyenlő a lineáris kombinációban szereplő vektorok képvektorainak lineáris kombinációjával.

Ha v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 és w 1 =f( v 1 ) , w 2 =f( v 2 ) , akkor

w =f( v )=f( λ 1 v 1 + λ 2 v 2 )= λ 1 f( v 1 )+ λ 2 f( v 2 )= λ 1 w 1 + λ 2 w 2 .

Az összefüggésekben λ 1 és λ 2 tetszőleges skalár együtthatók.

Következmény: A zérus vektorhoz zérus vektort rendel hozzá: 0 =f( 0 ) .

Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű koordináta-rendszerben
  • Tenzor megadása:
    • a tenzor koordinátáival (mátrixával) és
    • a koordináta-rendszerrel történik.
  • Tenzor koordinátáinak jelölése mátrixba rendezve:
    [ T ¯ ¯ ] xyz =[ T xx T xy T xz T yx T yy T yz T zx T zy T zz ]=[ T 11 T 12 T 13 T 21 T 22 T 23 T 31 T 32 T 33 ] .
    A tenzor-koordináták jelölésének kiejtése (kiolvasása):
    Pl.: T 21 - té kettő egy, T zy - té zé ipszilon.
  • Tenzor előállítása:

    1. Tétel: Térbeli esetben minden tenzor egyértelműen megadható három egymásra merőleges egységvektor és ezek képvektorai (három értékpár) ismeretében.
    Síkbeli esetben minden tenzor egyértelműen megadható két egymásra merőleges (síkbeli) egységvektor és ezek képvektorai (két értékpár) ismeretében.

    2. Tétel: Térbeli esetben minden tenzor előállítható három diád összegeként.
    Síkbeli esetben minden tenzor előállítható két diád összegeként.

Legyen ismert három értékpár:

i a =f( i ) a = a x i + a y j + a z k ,

j b =f( j ) b = b x i + b y j + b z k ,

k c =f( k ) c = c x i + c y j + c z k .

A tenzor diadikus előállítása: T ¯ ¯ =( a i + b j + c k ) .

A tenzor mátrixa: [ T ¯ ¯ ] xyz =[ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ] .

A tenzor mátrixát a diadikus előállításban kijelölt diadikus szorzások és az összeadások elvégzésével kapjuk:

a i =[ a x a y a z ][ 1 0 0 ]=[ a x 0 0 a y 0 0 a z 0 0 ] ,

b i =[ b x b y b z ][ 0 1 0 ]=[ 0 b x 0 0 b y 0 0 b z 0 ] ,

c i =[ c x c y c z ][ 0 0 1 ]=[ 0 0 c x 0 0 c y 0 0 c z ]

T ¯ ¯ =( a i + b j + c k ) = [ a x 0 0 a y 0 0 a z 0 0 ]+[ 0 b x 0 0 b y 0 0 b z 0 ]+[ 0 0 c x 0 0 c y 0 0 c z ]=[ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ]

A tenzor mátrixának az oszlopai az a , b , c képvektorok koordinátáit tartalmazzák.

A mátrix 1. sorában a képvektorok x koordinátái, 2. sorában a képvektorok y koordinátái, 3. sorában a képvektorok z koordinátái állnak.

a b c

i j k [ a x b x c x a y b y c y a z b z c z ]

Gyakorló feladat: 1. Tenzor előállítása

Adott: r P =(4 i +2 j ) m.

Feladat:

a) Annak a T ¯ ¯ tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordináta-rendszer O kezdőpontjára tükrözött vektorait állítja elő.

b) Meghatározni azt az r A vektort, amely az r P vektor origóra vett tükörképe.

Kidolgozás:

a) A tenzor előállítása:

Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:

i     a = i ,   j     b = j .

A két értékpárból a tenzor: T=( a i + b j )

[ T ¯ ¯ ]=[ 1 0 ][ 1 0 ]+[ 0 1 ][ 0 1 ]=[ 1 0 0 0 ]+[ 0 0 0 1 ]=[ 1 0 0 1 ]

A tenzor mátrixa: [ T ¯ ¯ ]=[ 10 01 ] .

b) Az origóra tükrözött r A képvektor meghatározása:

r A = T ¯ ¯ r P =[ 10 01 ][ x P y P ]=[ 10 01 ][ 4 2 ]=[ 4 2 ] .

r A =(4 i 2 j ) m .

Az ellenőrzéshez azt kell tudni, hogy az origóra történő tükrözés esetében (mindig) a vektor mindkét skaláris koordinátáját mínusz eggyel (-1) kell megszorozni. Másrészt az ábrából is következően a két vektor összege nullvektor lesz. Végezze el az összeadást!

Gyakorló feladat: 2. Tenzor előállítása

Adott: r P =(4 i +3 j ) m.

Feladat:

a) Annak a T ¯ ¯ tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordináta-rendszer x tengelyére tükrözött vektorait állítja elő.

b) Meghatározni azt az r A vektort, amely az r P vektor x tengelyre vett tükörképe.

Kidolgozás:

a) A tenzor előállítása:

Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:

i     a = i j     b = j .

Az ábrán látható, hogy az x irányú skaláris koordináták azonosak, az y irányú koordináta esetében annak mínusz egyszeresét kell előállítani. Így: i i és j (1) j .

A két értékpárból a tenzor: T=( a i + b j )

[ T ¯ ¯ ]=[ 1 0 ][ 1 0 ]+[ 0 1 ][ 0 1 ]=[ 1 0 0 0 ]+[ 0 0 0 1 ]=[ 1 0 0 1 ]

A tenzor mátrixa: [ T ¯ ¯ ]=[ 10 01 ] .

b) Az x tengelyre tükrözött r A képvektor meghatározása:

r A = T ¯ ¯ r P =[ 10 01 ][ x P y P ]=[ 10 01 ][ 4 3 ]=[ 4 3 ] .

r A =(4 i 3 j ) m .

Az ellenőrzéshez azt kell tudni, hogy a koordináta-rendszer x tengelyére történő tükrözés esetében (mindig) az y irányú skaláris koordinátát mínusz eggyel (-1) kell megszorozni. Másrészt a két vektor összege csak x irányú összetevőt tartalmazhat. Végezze el a műveletet a vektorösszeadás szabályai alapján!

Gyakorló feladat: 3. Tenzor előállítása

Adott: φ= 30 o , r P =(4 i + j ) m.

Feladat:

a) Annak a T ¯ ¯ tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül φ szöggel elforgatott vektorait állítja elő.

b) Meghatározni azt az r A vektort, amelyet az r P vektor φ szöggel történő elforgatásával kapunk.

Kidolgozás:

a) A tenzor előállítása:

Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:

i     a =(cosφ i +sinφ j ) ,

j     b =(sinφ i +cosφ j ) ,

mert: a =( a x i + a y j ),

a x = cosφ | a | a y = sinφ | a |

és | a |=1 .

A két értékpárból a tenzor:

T=( a i + b j )

A b vektor esetében Ön is végezze el a fent bemutatott műveleteket.

A diádok kiszámítása:

[ a i ]=[ a x a y ][ 10 ]=[ a x 0 a y 0 ]=[ cosφ0 sinφ0 ] ,

[ b j ]=[ b x b y ][ 01 ]=[ 0 b x 0 b y ]=[ 0sinφ 0cosφ ] .

A tenzor mátrixa: [ T ¯ ¯ ]=[ cosφsinφ sinφcosφ ]=[ 0,8660,5 0,50,866 ] .

b) Az elforgatott r A vektor meghatározása:

r A = T ¯ ¯ r P =[ cosφsinφ sinφcosφ ][ x P y P ]=[ 0,8660,5 0,50,866 ][ 4 1 ]=[ 2,964 2,866 ]

r A =(2,964 i +2,866 j )m .

Egy ellenőrzési lehetőség, ha az  r A és az r P vektorok abszolút értékét összehasonlítjuk.

Milyen eredményt várunk? Végezze el az összehasonlítást!

Gyakorló feladat: 4. Tenzor előállítása

Adott: φ= 45 o , r P =(5 i +2 j ) m.

Feladat:

a) Annak a T ¯ ¯ tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraihoz a helyvektorok z tengely körül φ szöggel történő elforgatásakor a helyvektorok végpontjainak elmozdulásvektorait rendeli hozzá.

b) Meghatározni r P vektor végpontjának u P elmozdulásvektorát a φ szöggel történő elforgatásnál.

Kidolgozás:

a) A T ¯ ¯ tenzor előállítása:

Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg:

i a =(1cosφ) i +sinφ j ,

j b =sinφ i (1cosφ) j ,

mert:

az a x negatív, így az összetevő:   (1cosφ) i ,

az a y pozitív, így az összetevő:  sinφ j ,

ahol az a = a x + a y .

A két értékpárból a tenzor:

T=( a i + b j )

Az a vektor keletkezését a fenti ábrák mutatják be. Az ábra alapján követhető az összetevők előjelének a kialakulása is.

Készítsen ábrát a b vektorról! Végezze el a fent bemutatott műveleteket!

A tenzor mátrixa:

[ T ¯ ¯ ]=[ (cosφ1)sinφ sinφ(cosφ1) ]=[ 0,2930,707 0,7070,293 ] .

Figyelem: (1cosφ) i = (cosφ1) i és (1cosφ) j = (cosφ1) j

b) Az u P elmozdulásvektor meghatározása:

u P = T ¯ ¯ r P =[ 0,2930,707 0,7070,293 ][ 5 2 ]=[ 2,879 2,949 ]

u P =(2,879 i +2,949 j ) m .

Az elmozdulásvektor az ábra alapján más módon is előállítható. Látható, hogy az r A = r P + u P .

A 3. tenzoros feladatnál bemutattuk a φ szöggel elforgatott vektorok előállítását.

Ellenőrzésként oldja meg így is a feladatot! Vesse össze a két eredményt!

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Jelölje be az egyetlen jó választ!
Minden tenzor egyértelműen megadható:
egyetlen egységvektorral;
három egymásra merőleges egységvektor és ezek képvektorai (három értékpár) ismeretében;
három egymásra merőleges egységvektor ismeretében;
három képvektor ismeretében.
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
Minden tenzor előállítható:
három diád vektoriális szorzataként;
három diád összegeként;
három diád skaláris szorzataként;
három vektor vektoriális szorzataként.
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A tenzor megadása történhet:
a tenzor koordinátáival (mátixával) és a koordináta-rendszerrel;
koordináta-rendszerrel és egy vektorral;
a tenzor koordinátáival (mátixával) és két vektorral;
két sorvektorral és egy oszlopvektorral.

IV. Számítási feladat

Adott: r P =(3 i +4 j +6 k ) m.

Feladat:

a) Annak a T ¯ ¯ tenzor mátrixának az előállítása, amely a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az xy síkra vett tükörkép-vektorát rendeli hozzá.

b) Meghatározni r P vektornak az xy síkra vett r A tükörkép-vektorát.

A tükörkép-vektort a következőképpen kapjuk: Az r P vektor végpontját merőlegesen vetítjük az xy síkra. A D pont a vetítő egyenes döféspontja az xy síkon.

a) Egészítse ki értelemszerűen az alábbi táblázatot a megfelelő egész számok beírásával!
Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! Csak a negatív számoknál írjon előjelet (a numerikus szektort használja)!
A hozzárendelést megvalósító tenzor mátrixa:
b) Egészítse ki értelemszerűen az alábbi táblázatot a megfelelő egész számok beírásával!
Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! Csak a negatív számoknál írjon előjelet (a numerikus szektort használja)!
Az r A tükörkép-vektor skaláris koordinátái, ahol a vektor alakja: r A =( x i +y j +z k )
i j k
r A