MODUL: 4. Tömegpont kinematikája
4.5. Tömegpont speciális mozgásai
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani az egyenes vonalú mozgás definícióját;
- kiválasztani a mozgástörvény, a sebességfüggvény és a gyorsulásfüggvény alakját egyenes vonalú mozgás esetén;
- kiválasztani az egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást és az egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgást leíró összefüggéseket;
- kiválasztani a síkmozgás definícióját;
- kiválasztani az állandó gyorsulású mozgás, a harmonikus lengő mozgás és a körmozgás definícióját;
- kiválasztani az állandó gyorsulású mozgást, a harmonikus lengő mozgást és a körmozgást leíró függvényeket.
|
Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Mechanika - Statika kurzus: |
| 2.1. Trigonometria (sin, cos függvények) leckét. |
|
Tömegpont egyenes vonalú mozgása |
Egyenes vonalú mozgás: ha a tömegpont pályájának nincs görbülete (), azaz a pálya minden pontjában a görbületi sugár (ró tart végtelenhez). |
A mozgástörvény: , |
ahol tetszőleges skalárfüggvény. |
Az skalár érték adja meg, hogy a pontból a vektor hányszorosát kell felmérni ahhoz, hogy megkapjam az anyagi pont helyét. |
|
| - a pálya egy adott pontja, | | - a pálya (az egyenes) irányvektora |
|
A sebességfüggvény: . |
A gyorsulásfüggvény: . |
Speciális esetek: |
- Egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgás:
, ahol b - tetszőleges skaláris állandó. . - Egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgás:
, ahol a - tetszőleges skaláris állandó, (a a pálya menti gyorsulás). , , ahol b, c - a kezdeti feltételektől függő skaláris állandók.
|
Tömegpont síkmozgásai |
Síkmozgás: ha az anyagi pont a mozgása során a kezdősebesség és az kezdőgyorsulás vektorok síkjából nem lép ki. |
Speciális esetek: |
1. Állandó gyorsulású mozgás: |
- A gyorsulásfüggvény: és nem párhuzamos -val.
- A sebességfüggvény:
. A mozgás hodográfja egyenes.
|
|
- A mozgásfüggvény (pályagörbe):
,
A pályagörbe parabola vagy egyenes.
|
Az állandó gyorsulású mozgás speciális esete az egyenes vonalú mozgás, amely akkor jön létre, ha és párhuzamos egymással. |
A parabolát három pontja és a három pontbeli érintője ismeretében rajzoljuk meg. |
A parabola tengelye párhuzamos az gyorsulásvektorral. |
|
A pályagörbe szerkesztésének gondolatmenete: |
- A és pont meghatározása a mozgásfüggvényből.
- A és pontbeli és érintők meghatározása a sebességfüggvényből.
- A parabola tengely irányának meghatározása a gyorsulásfüggvényből.
- A pont meghatározása a parabolaszelő felezéspontja és a pontbeli érintők metszéspontja közé eső egyenes szakasz felezésével.
- A pontbeli érintő párhuzamos a parabola szelőjével.
|
| Gyakorló feladat |
Feladat: A pályagörbe megrajzolása. |
Adott: |
A mozgásfüggvény a [] idő intervallumban |
|
|
Meghatároztuk: |
A sebességfüggvényt: |
, |
. |
A gyorsulásfüggvényt: |
. |
Kidolgozás: |
|
A szerkesztés lépéseit lásd fent. |
| 2. Harmonikus lengő (rezgő) mozgás: |
A sin, vagy cos függvénnyel leírható periodikus (ismétlődő) mozgás. |
A mozgásfüggvény: , ahol |
- kezdősebesség, - periódusidő, |
- rezgési körfrekvencia, - fázisszög. |
|
Megjegyzés: A megszokottól eltérően itt az x tengely a függőleges irányú, az tengely a vízszintes irányú. A baloldali ábrát úgy kaptuk, hogy a jobboldali ábrát az x tengely körül 90 fokkal elforgattuk. |
A sebességfüggvény: . A gyorsulásfüggvény: . |
3. Körmozgás: |
Az anyagi pont pályagörbéje kör. |
A sebességvektor: , |
R - a pálya sugara, |
- a mozgás szögsebessége. |
A sebességvektor | A gyorsulásvektor |  |  |
|
A gyorsulásvektor: |
- a mozgás szöggyorsulása. |
A pályagyorsulás (érintő irányú gyorsulás): . |
A normális gyorsulás: . |
| Gyakorló feladat: Tömegpont körmozgása |
Adott: A mozgástörvény, amelyben , |
Feladat: |
a) A közepes sebesség meghatározása. |
b) A pályasebesség és az gyorsuláskoordináták meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A közepes sebesség abszolút értékének meghatározása: |
|
|
|
|
 |
|
|
b) A időpillanatbeli pályasebesség és a gyorsulás koordináták meghatározása: |
|
|
|
|
| I. A tömegpont egyenes vonalú mozgását jellemezzük. Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggéssel! |
1) Gyorsulásfüggvény 2) Sebességfüggvény 3) Mozgástörvény 4) Főnormális vektor |
Írja a fogalmakat jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja! |
II. A harmonikus lengő (rezgő) mozgást jellemezzük. Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggéssel! |
1) Gyorsulásfüggvény 2) Sebességfüggvény 3) Mozgásfüggvény 4) Helyvektor |
Írja a fogalmakat jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja! |
III. A körmozgást jellemezzük. Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggéssel! |
1) Gyorsulásvektor 2) Sebességvektor 3) Pályagyorsulás 4) Normális gyorsulás 5) Binormális egységvektor |
Írja a fogalmakat jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja! |