KURZUS: Mechanika - Mozgástan
MODUL: 9. Merev test kinetikája
9.1. Merev test tömegeloszlásának jellemzői
A lecke követelményei | |||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||||
| |||||||
Kontinuum: olyan test, amelynek az anyaga a test térfogatát folyamatosan tölti ki. | |||||||
Diszkrét tömegeloszlású test (tömegpontrendszer): Olyan test, amely elhanyagolható tömegű merev vázszerkezet meghatározott pontjaihoz rögzített anyagi pontokból áll. | |||||||
Homogén tömegeloszlású test: olyan test, amelynek tömegsűrűsége állandó (nem függ a helytől). | |||||||
Statikai (lineáris) nyomaték | |||||||
| |||||||
| |||||||
| |||||||
Tömegközéppont | |||||||
A tömegközéppont a testnek az a T pontja, amelyre számított statikai nyomaték zérus. | |||||||
. | |||||||
A tömegközéppont helyének kiszámítása: | |||||||
. | |||||||
Lásd a Mechanika I. - Statika jegyzet 7. fejezetét. | Tétel: A tömegközéppont és súlypont egybeesik, ha a gravitációs gyorsulás állandó. | ||||||
Tehetetlenségi (másodrendű) nyomatékok | |||||||
| |||||||
| |||||||
A test S ponti tehetetlenségi tenzora | |||||||
- szimmetrikus tenzor. | |||||||
Az S ponti tehetetlenségi tenzort az S ponti koordináta-tengelyekre és az S ponti koordináta-síkpárokra számított tehetetlenségi nyomatékok határozzák meg. | |||||||
A tehetetlenségi tenzor mértékegysége: []. | |||||||
Tétel: A test S ponti tehetetlenségi tenzora meghatározza az S pontra illeszkedő összes e jelű tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékot: | |||||||
, . | |||||||
Tétel: A test S ponti tehetetlenségi tenzora meghatározza az S pontra illeszkedő összes (normális) irányok által adott síkpárra számított tehetetlenségi nyomatékot: | |||||||
, | |||||||
. | |||||||
Tehetetlenségi főtengelyek, fő tehetetlenségi nyomaték |
Definíció: Az irány (tengely) tehetetlenségi főirány (főtengely), ha teljesíti az alábbi feltételt: | ||
, , , | ||
ahol skalár számok, fő tehetetlenségi nyomatékok. |
Az irányvektorok egységvektorok: , , és kölcsönösen merőlegesek egymásra: , , . | ||
| ||
- tehetetlenségi főtengely (főirány), | ||
Tehetetlenségi tenzor a főtengelyek koordináta-rendszerében: . | ||
Tétel: A 1,2,3 főirányok koordináta-rendszerében valamennyi síkpárra számított nyomaták zérus: | ||
, , . | ||
Tétel: Merev test S pontjában mindig van legalább három olyan egymásra kölcsönösen merőleges tengely (irány), amelyekre a síkpárra számított nyomaték zérus. | ||
Steiner-tétel | ||
A Steiner-tétel megadja a kapcsolatot az egymással párhuzamos tengelyekre és síkpárokra számított tehetetlenségi nyomatékok között. | ||
| ||
, | ||
A két koordináta-rendszer tengelyei párhuzamosak: | ||
Steiner-tétel: | ||
Tétel: Párhuzamos tengelyek közül az S ponton átmenő tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. (Ez a megállapítás az összefüggésekből könnyen belátható.) | ||
Homogén test tehetetlenségi főirányai | ||
| ||
Gyakran előforduló tehetetlenségi nyomatékok meghatározása | ||
Gyakorló feladatok | ||
1. Karcsú, prizmatikus rúd tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka | ||
| ||
Adott: A rúd geometriai méretei: és az anyag tömegsűrűsége. | ||
Feladat: A , és az x,y tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
Ha (karcsú rúd), akkor | ||
Steiner-tétel: | ||
. | ||
. | ||
2. Henger tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka | ||
| ||
Adott: A henger geometriai méretei: R, h és az anyag tömegsűrűsége. | ||
Feladat: A és az z tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték meghatározása. | ||
| ||
Kidolgozás: | ||
= | ||
Steiner-tétel: | ||
. | ||
Önellenőrző kérdések |
I. Jelölje be az egyetlen jó választ! Az A pontra számított statikai nyomatékot leíró összefüggés helyes alakja: ![]() ![]() | |||||||||||||||||||
II. Jelölje be az egyetlen jó választ! A tömegközéppont helyét meghatározó összefüggés helyes alakja: ![]() ![]() | |||||||||||||||||||
III. Jelölje be az egyetlen jó választ! A koordináta-tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékokat meghatározó helyes össszefüggések: ![]() ![]() | |||||||||||||||||||
IV. Jelölje be a három jó választ! A Steinet-tétel helyes alakja: ![]() ![]() | |||||||||||||||||||
V. Jelölje be a jó választ! A test S ponti tehetetlenségi tenzorának helyes alakja: ![]() | |||||||||||||||||||
VI. Jelölje be a jó választ! A tehetetlenségi tenzor a főtengelyek koordináta-rendszerében: ![]() ![]() |