KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 7. Tömegpont kinetikája

7.1. Tömegpont kinetikája

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az impulzus, a perdület, a kinetikai energia, a teljesítmény, a munka, a kényszermozgás, a kényszer, a sima kényszer, az érdes kényszer definícióját;
  • kiválasztani Newton I., II., III. törvény, D'Alembert elv, a Coulomb-féle súrlódási törvény helyes formáját;
  • kiválasztani az impulzus, a perdület, a kinetikai energia, a teljesítmény, a munka mértékegységeit;
  • kiválasztani az impulzust, a perdületet, a kinetikai energiát, a teljesítményt, a munkát, a Newton II. és III. törvényét és a Coulomb-féle súrlódási törvényt leíró összefüggéseket.

Megjegyzés: A kinetika görög szó. A mechanikának az az ága, amely a mozgásokat a testekre ható erőkkel kapcsolatban vizsgálja.

Tömegpont impulzusa, perdülete
Impulzus (lendület)

Definíció: Anyagi pont impulzusa egyenlő az anyagi pont tömegének és sebességvektorának szorzatával:

I =m v .

Tulajdonság: az I impulzus vektor mennyiség.

Mértékegység: [ kgm/s=Ns ] . (Kilogramm méter per szekundum, Newton - kiejtése: nyúton - szekundum)

Perdület (impulzus nyomaték)

Definíció: Anyagi pont A (helytálló) pontra számított perdülete egyenlő az anyagi pont impulzusvektorának az A pontra számított nyomatékával:

π A = r AP × I .

Tulajdonság:

  • a π A perdület vektor mennyiség,
  • függ az A pont megválasztásától.

Mértékegység: [ kgm 2 /s=Nsm ] .

Impulzusnyomaték átszámítása: π B = π A + I × r AB

Megjegyzés: Analógia: az erő nyomatékával. Lásd Mechanika - Statika kurzust.

Kinetikai energia, teljesítmény, munka
Kinetikai (mozgási) energia

Definíció: Anyagi pont kinetikai energiája egyenlő az anyagi pont tömegének és sebessége négyzete szorzatának felével:

E= 1 2 m v 2 .

Tulajdonsága: a kinetikai energia mindig pozitív skalár mennyiség.

Mértékegység: [ kgm 2 /s 2 ]=[ Nm ]=[ J ](Joule) .

(Kilogramm méter négyzet per szekundum négyzet, nyúton méter, Joule kiejtés: zsúl).

Teljesítmény

Definíció: Anyagi pontra ható F erő teljesítménye egyenlő az erővektor és az anyagi pont sebességvektorának skaláris szorzatával:

P= F v .

Mértékegység: [ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ](Watt)

(nyúton méter per szekundum, zsúl per szekundum, Watt kiejtés: vatt)

Tulajdonsága: a teljesítmény (előjeles!) skalár mennyiség.

Előjel
  • Ha a sebességvektor és az erővektor által bezárt szög kisebb mint 90 o , akkor az erő teljesítménye pozitív.
  • Ha a sebességvektor és az erővektor által bezárt szög 90 o , akkor az erő teljesítménye zérus.
  • Ha a sebességvektor és az erővektor által bezárt szög nagyobb mint 90 o , akkor az erő teljesítménye negatív.
Munka

A munka mindig egy < t1 t2 > időintervallumra vonatkozó fogalom.

Definíció: Az anyagi pontra ható F erő < t1 t2 > időtartam alatt végzett munkája egyenlő az erő P teljesítményének t 1 - t 2 határok között vett idő szerinti integrálja:

W 12 = t 1 t 2 Pdt .

Mértékegység: [ Ws ]=[ Nm ]=[ J ] (vatt szekundum, nyúton méter, zsúl)

Átalakítás:
W 12 = t 1 t 2 F v dt d r elemi elmozdulás vektor = r 1 r 2 F d r .
Állandó erő munkája:
F =állandó .
W 12 = t 1 t 2 F d r = F t 1 t 2 d r = F Δ r 12 .
A Newton törvények
Newton I. törvénye

Minden test megmarad nyugvó, vagy egyenes vonalú egyenletesen mozgó állapotában, amíg valamely rá ható erő állapotának megváltoztatására nem kényszeríti.

Newton II. törvénye (Impulzus tétel)

Anyagi pont impulzusának idő szerinti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erők eredőjével.

d dt (m v )= d I dt = I ˙ = F .

Ha: m = áll. (a mérnöki gyakorlatban leggyakrabban ez fordul elő):

m d v dt =m a = F .

Newton III. törvénye (Hatás, ellenhatás törvénye)

Két test egymásra gyakorol hatásának nagysága mindig egyenlő és a hatások iránya mindig ellentétes irányú.

F 12 = F 21
F 12 - az 1-es testről a 2-es testre átadódó erő,
F 21 - a 2-es testről az 1-es testre átadódó erő,
A kinetika tételei
A D' Alembert elv: (kiejtés: dalamber)

A kinetikai feladatok a tehetetlenségi (inercia) erő bevezetésével statikai feladatokra vezethetők vissza.

Impulzus tétel: m a = F .

0 = m a T + F = T + F .

Az anyagi pontra ható F eredő erő és a T tehetetlenségi erő együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak.

Perdület  tétel

Differenciális alak: d π A dt = π ˙ A = M A .

Anyagi pont álló pontra számított perdületének idő szerinti első deriváltja egyenlő az anyagi pontra ható erőnek ugyanarra a pontra számított nyomatékával.

Integrál alak: π A ( t 2 ) π A ( t 1 )= t 1 t 2 M A dt .

Álló pontra számított perdület < t1 t2 > időtartam alatti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erő ugyanarra az álló pontra számított nyomatékának idő szerinti integráljával.

Energiatétel, munkatétel

Differenciális alak (energiatétel): dE dt = E ˙ =P .

Anyagi pont kinetikai energiájának idő szerinti deriváltja egyenlő az anyagi pontra ható erők teljesítményével.

Integrál alak (munkatétel): E 2 E 1 = W 12 = t 1 t 2 Pdt .

Anyagi pont kinetikai energiájának  < t1 t2 >  időtartam alatti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erőknek az időtartam alatt végzett munkájával.

A munkatétel anyagi pontra: 1 2 m v 2 2 1 2 m v 1 2 = r 1 r 2 F d r .

Konzervatív erőtér (erőrendszer)

Definíció: Konzervatív erőtérről (erőrendszerről) abban az esetben beszélünk, ha létezik olyan U=U( r ) skalár függvény, amelyből az erő negatív gradiensképzéssel származtatható:

F =gradU= dU d r =( U x i + U x j + U x k ) .

U( r ) - potenciál függvény (helyzeti energia),

U x , U y , U z - a potenciál függvény x, y, z szerinti parciális deriváltjai.

Tétel: A konzervatív erőtérben végzett munka csak a kezdő és végső helyzettől függ, értéke egyenlő az U( r ) potenciál kezdő és végpontban felvett értékének különbségével.

W 12 =U( r 1 )U( r 2 )
U( r 1 ) - potenciál a kezdő (1) helyzetben.
U( r 2 ) - potenciál a végső (2) helyzetben.

Megjegyzés: Konzervatív erőtérben a munka nagysága független a pályagörbe alakjától.

A mechanikai energiamegmaradás tétele:

Konzervatív erőtérben (erőrendszerben) a mozgás során a kinetikai és helyzeti energiák összege állandó:

E+U=állandó .

Tömegpont szabad mozgása

Definíció: a test (anyagi pont) mozgását más testek nem akadályozzák.

Anyagi pont hajítása

(az egyik leggyakrabban előforduló szabad mozgás)

Adott:

  • a kezdő helyzet: r (t=0)= r 0 = 0 ,
  • a kezdő sebesség: v (t=0)= v 0 .

Kérdés:
a) Az a (t) gyorsulásfüggvény, a v (t) sebességfüggvény és az r (t) mozgásfüggvény.
b) Mennyi idő szükséges a pálya legmagasabb pontjának eléréséhez és mennyi az egész hajítási idő?
c) Milyen magasra és milyen távolra repül az anyagi pont?

A feladat megoldása:

a) Az a (t) gyorsulásfüggvény, a v (t) sebességfüggvény és az r (t) mozgásfüggvény meghatározása:

Impulzus tétel: m a = G =m g a = g =állandó .

A sebességfüggvény: v (t)= v 0 + g dt= v 0 + g t .

A mozgásfüggvény: r (t)= r 0 = 0 + v 0 t+ g t 2 2 .

b) A pálya legmagasabb pontjának eléréséhez szükséges és az egész hajítási idő meghatározása:

Az impulzus tétel integrál alakja: I (B) I (A)= t 0 t B F dt .

m v B m v 0 = m g t B / i / j

m v B m v 0x =0 v B = v 0x .

m v 0y =mg t B t B = v 0y g

A pálya legmagasabb pontjának eléréséhez szükséges idő: t B .

Az egész hajítási idő: t C =2 t B .

c) Az anyagi pont pályájának magassága és hossza:

Munkatétel integrál alakja:

1 2 m v B 2 1 2 m v 0 2 = 0 r B m g d r =m g r B .

v 0x 2 v 0 2 =2g y B .

A pálya magassága: y B = v 0 2 v 0x 2 2g .

Mozgástörvényből: x B = v 0x t B .

A pálya hossza: x C =2 x B =2 v 0x t B .

Megjegyzés: Lásd a 4.4 és 4.6 leckét.

Tömegpont kényszermozgása

Kényszermozgás: Ha az anyagi pont mozgását más testek előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozzák.

Kényszer: Az a test (testek) amelyek az általunk vizsgált test mozgását előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozza.

Tétel: A kényszer hatását a kényszererő teljes mértékben helyettesíti.

Sima kényszer: A kényszererő merőleges az érintkező felületekre. (Nincs súrlódás.)

Érdes kényszer: A kényszererő normális és tangenciális koordinátája közötti a Coulomb-féle (kiejtés: kulomb) súrlódási törvény teremt kapcsolatot.

A Coulomb-féle súrlódási törvény

Mozgásbeli súrlódás: a testek érintkezési pontjában (pontjaiban) egymáshoz képest van érintő irányú (tangenciális) elmozdulás (sebesség).

A támasztóerő összetevői: F K = F S + F N .
F S - a támasztóerő érintő irányú összetevője.
F N - a támasztóerő normális irányú összetevője.
A támasztóerő (kényszererő) koordinátái: F K = F S e + F N n .

Törvény: A kényszererő tangenciális koordinátájának nagysága a normál erő μ-szöröse, iránya pedig ellentétes a sebesség irányával.

Az érintő irányú összetevő:  F S =μ F N v | v | .

Az érintő irányú koordináta: F S =μ F N .

μ - a mozgásbeli súrlódási tényező: μ=tgρ .

A súrlódási tényező az érintkező testek anyagának minőségétől és az érintkező felületek minőségétől (simaságától) függ.

Önellenőrző kérdések

I. Párosítsa a fogalmat, tételt, definíciót a megfelelő összefüggéssel!

1) Anyagi pont impulzusa.
2) Anyagi pont A (helytálló) pontra számított perdülete.
3) Anyagi pont kinetikai energiája.
4) Anyagi pontra ható F erő teljesítménye
5) Az anyagi pontra ható F erő < t1 t2 > időtartam alatt végzett munkája.
6) Impulzus tétel.
7) Coulomb-féle súrlódási törvény

Írja a számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak, tételnek, definíciónak nincs párja!
JelÖsszefüggés
π A = r AP × I
P= F v
m a = F
I =m v
E= 1 2 m v 2
W 12 = t 1 t 2 Pdt

II. Párosítsa a fogalmat a megfelelő mértékegységgel!

1) Erő.
2) Impulzus.
3) Perdület.
4) Kinetikai energia.
5) Teljesítmény.

Írja a számot a megfelelő mértékegység elé! Egy fogalomnak nincs párja!
JelMértékegység
[ kgm 2 /s=Nsm ]
[ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ](Watt)
[ kgm/s=Ns ]
[ kgm 2 /s 2 ]=[ Nm ]=[ J ](Joule)

III. Párosítsa a törvényt, elvet a helyes megfogalmazással!

1) Newton I. törvénye
2) Newton II. törvénye
3) Newton III. törvénye
4) Coulomb-féle súrlódási törvény
5) D' Alembert elv

Írja a számot a helyes mondat elé! Egy törvénynek, elvnek nincs párja!
JelTörvény, elv
Két test egymásra gyakorol hatásának nagysága mindig egyenlő és a hatások iránya mindig ellentétes irányú.
A kinetikai feladatok a tehetetlenségi (inercia) erő bevezetésével statikai feladatokra vezethetők vissza.
Az anyagi pontra ható F eredő erő és a T tehetetlenségi erő együtt egyensúlyi erőrendszert alkotnak.
Minden test megmarad nyugvó, vagy egyenes vonalú egyenletesen mozgó állapotában, amíg valamely rá ható erő állapotának megváltoztatására nem kényszeríti.
Anyagi pont impulzusának idő szerinti megváltozása egyenlő az anyagi pontra ható erők eredőjével.