KURZUS: Mechanika - Mozgástan
MODUL: 3. Matematikai alapok
3.4. Tenzorok előállítása
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Matematikában a függvényekről tanultakat. | ||
Tenzorok előállítása | ||
Tenzor értelmezése és tulajdonságai | ||
Tenzor: Homogén, lineáris vektor-vektor függvény által megvalósított leképezés (hozzárendelés). | ||
. | ||
| ||
A tenzor a tetszőleges vektorhoz a képvektort rendeli hozzá. | ||
A vektor-vektor függvény olyan függvénykapcsolat, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is vektor mennyiség. | ||
A tenzor tulajdonságai: | ||
| ||
Ha és , , akkor | ||
. | ||
Az összefüggésekben és tetszőleges skalár együtthatók. | ||
Következmény: A zérus vektorhoz zérus vektort rendel hozzá: . | ||
Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű koordináta-rendszerben | ||
| ||
Legyen ismert három értékpár: | ||
, , | ||
, , | ||
, . | ||
A tenzor diadikus előállítása: . | ||
A tenzor mátrixa: . | ||
A tenzor mátrixát a diadikus előállításban kijelölt diadikus szorzások és az összeadások elvégzésével kapjuk: | ||
, | ||
, | ||
= | ||
A tenzor mátrixának az oszlopai az , , képvektorok koordinátáit tartalmazzák. | ||
A mátrix 1. sorában a képvektorok x koordinátái, 2. sorában a képvektorok y koordinátái, 3. sorában a képvektorok z koordinátái állnak. | ||
Gyakorló feladat: 1. Tenzor előállítása | ||
Adott: m. | ||
| ||
Feladat: | ||
a) Annak a tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordináta-rendszer O kezdőpontjára tükrözött vektorait állítja elő. | ||
b) Meghatározni azt az vektort, amely az vektor origóra vett tükörképe. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A tenzor előállítása: | ||
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: | ||
, . | ||
A két értékpárból a tenzor: | ||
A tenzor mátrixa: . | ||
b) Az origóra tükrözött képvektor meghatározása: | ||
. | ||
. | ||
Az ellenőrzéshez azt kell tudni, hogy az origóra történő tükrözés esetében (mindig) a vektor mindkét skaláris koordinátáját mínusz eggyel (-1) kell megszorozni. Másrészt az ábrából is következően a két vektor összege nullvektor lesz. Végezze el az összeadást! |
Gyakorló feladat: 2. Tenzor előállítása | ||
Adott: m. | ||
| ||
Feladat: | ||
a) Annak a tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordináta-rendszer x tengelyére tükrözött vektorait állítja elő. | ||
b) Meghatározni azt az vektort, amely az vektor x tengelyre vett tükörképe. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A tenzor előállítása: | ||
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: | ||
, . | ||
Az ábrán látható, hogy az x irányú skaláris koordináták azonosak, az y irányú koordináta esetében annak mínusz egyszeresét kell előállítani. Így: . | ||
A két értékpárból a tenzor: | ||
A tenzor mátrixa: . | ||
b) Az x tengelyre tükrözött képvektor meghatározása: | ||
. | ||
. | ||
Az ellenőrzéshez azt kell tudni, hogy a koordináta-rendszer x tengelyére történő tükrözés esetében (mindig) az y irányú skaláris koordinátát mínusz eggyel (-1) kell megszorozni. Másrészt a két vektor összege csak x irányú összetevőt tartalmazhat. Végezze el a műveletet a vektorösszeadás szabályai alapján! |
Gyakorló feladat: 3. Tenzor előállítása | ||
Adott: , m. | ||
| ||
Feladat: | ||
a) Annak a tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül szöggel elforgatott vektorait állítja elő. | ||
b) Meghatározni azt az vektort, amelyet az vektor szöggel történő elforgatásával kapunk. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A tenzor előállítása: | ||
| ||
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: | ||
, | ||
, | ||
mert: | ||
, | ||
és . | ||
A két értékpárból a tenzor: | ||
A vektor esetében Ön is végezze el a fent bemutatott műveleteket. | ||
A diádok kiszámítása: | ||
, | ||
. | ||
A tenzor mátrixa: . | ||
b) Az elforgatott vektor meghatározása: | ||
. | ||
Egy ellenőrzési lehetőség, ha az és az vektorok abszolút értékét összehasonlítjuk. | ||
Milyen eredményt várunk? Végezze el az összehasonlítást! |
Gyakorló feladat: 4. Tenzor előállítása | ||
Adott: , m. | ||
| ||
Feladat: | ||
a) Annak a tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraihoz a helyvektorok z tengely körül szöggel történő elforgatásakor a helyvektorok végpontjainak elmozdulásvektorait rendeli hozzá. | ||
b) Meghatározni vektor végpontjának elmozdulásvektorát a szöggel történő elforgatásnál. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A tenzor előállítása: | ||
| ||
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: | ||
, | ||
, | ||
| ||
mert: | ||
az negatív, így az összetevő: , | ||
az pozitív, így az összetevő: , | ||
ahol az . | ||
A két értékpárból a tenzor: | ||
Az vektor keletkezését a fenti ábrák mutatják be. Az ábra alapján követhető az összetevők előjelének a kialakulása is. | ||
Készítsen ábrát a vektorról! Végezze el a fent bemutatott műveleteket! | ||
A tenzor mátrixa: | ||
. | ||
Figyelem: = és = | ||
b) Az elmozdulásvektor meghatározása: | ||
. | ||
Az elmozdulásvektor az ábra alapján más módon is előállítható. Látható, hogy az . | ||
|
A 3. tenzoros feladatnál bemutattuk a szöggel elforgatott vektorok előállítását. | ||
Ellenőrzésként oldja meg így is a feladatot! Vesse össze a két eredményt! | ||
Önellenőrző kérdések | ||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
I. Jelölje be az egyetlen jó választ! Minden tenzor egyértelműen megadható:
![]() | ||||||||||
II. Jelölje be az egyetlen jó választ! Minden tenzor előállítható:
![]() | ||||||||||
III. Jelölje be az egyetlen jó választ! A tenzor megadása történhet:
![]() | ||||||||||
IV. Számítási feladat | ||||||||||
Adott: m. | ||||||||||
| ||||||||||
Feladat: | ||||||||||
a) Annak a tenzor mátrixának az előállítása, amely a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az xy síkra vett tükörkép-vektorát rendeli hozzá. | ||||||||||
b) Meghatározni vektornak az xy síkra vett tükörkép-vektorát. | ||||||||||
A tükörkép-vektort a következőképpen kapjuk: Az vektor végpontját merőlegesen vetítjük az xy síkra. A D pont a vetítő egyenes döféspontja az xy síkon. | ||||||||||
a) Egészítse ki értelemszerűen az alábbi táblázatot a megfelelő egész számok beírásával! Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! Csak a negatív számoknál írjon előjelet (a numerikus szektort használja)! A hozzárendelést megvalósító tenzor mátrixa: ![]() | ||||||||||
b) Egészítse ki értelemszerűen az alábbi táblázatot a megfelelő egész számok beírásával! Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! Csak a negatív számoknál írjon előjelet (a numerikus szektort használja)! Az tükörkép-vektor skaláris koordinátái, ahol a vektor alakja: ![]() |