KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 2. Mozgástani alapfogalmak

2.1. Mozgástani alapfogalmak

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a kinematika, kinetika, anyagi pont, anyagi pontrendszer, merev test, szabadságfok, skalár mennyiség, vektor mennyiség, tenzor mennyiség fogalmakat;
  • kiválasztani a derékszögű descartesi koordináta-rendszer (DDKR) és a henger koordináta-rendszer (HKR) jelöléseit;
  • megadni az anyagi pont és merev test szabadságságfokát síkbeli és térbeli esetre.

Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Mechanika I. Statika kurzus:

1.1. Mechanika alapfogalmai (merev test, anyagi pont, szabadságfok, koordináta-rendszer);
1.2. Mechanika kapcsolatok modelljei;
2.1. Trigonometria (sin, cos függvények);
2.2. Vektorműveletek (vektor, egységvektor és tulajdonságaik, vektorok szorzatai);
3.1. Erő megadásának lehetőségei (erő megadásának lehetőségei, erő grafikus megadása) leckéit.
Mozgástani alapfogalmak
A mozgástan felosztása a vizsgálat tárgya szerint

Kinematika: a mozgás leírásával foglalkozik, de a mozgást létrehozó okokat (erőhatásokat) nem vizsgálja.

Kinetika: a mozgás okait, a mozgást létrehozó erőhatásokat vizsgálja, célja az okok ismeretében a mozgás meghatározása.

Csak olyan mozgások vizsgálatával foglalkozunk, amelyek sebessége lényegesen kisebb, mint a fénysebesség.

Vonatkoztatási rendszerek

Mechanikai mozgásról mindig valamihez képest, valamire vonatkoztatva lehet beszélni. A mozgások leírásánál a vonatkoztatási alapot a vonatkoztatási rendszer képezi.

Vonatkoztatási rendszer: valamely testhez (legtöbbször a Földhöz) kötött koordináta-rendszer (KR), amelyben a mozgást vizsgáljuk, amelyhez képest írjuk le a mozgást.

A leggyakrabban használt koordináta-rendszerek:

Derékszögű descartesi (dékárti) koordináta-rendszer (DDKR)Henger koordináta-rendszer (HKR)
Helykoordináták: x, y, z.
Egységvektorok: i , j , k
Pont megadása: P(x,y,z) .
Helyvektor: r =x i +y j +z k .
Helykoordináták: R,φ,z .
Egységvektorok: e R , e φ , e z k .
Pont megadása: P(R,φ,z) .
Helyvektor: r =R e R +z e z , e R =cosφ i +sinφ j .

Ezekben a koordináta-rendszerekben az egységvektorok (DDKR: i , j , k , HKR: e R , e φ , e z ) kölcsönösen merőlegesek egymásra.

Megjegyzés: i , j , k az x, y és z tengely irányú egységvektor, abszolút értékük: 1

Megjegyzés: e R , e φ , e z az indexben megadott  irányú  egységvektor, abszolút értékük: 1

A mozgástanban használt test modellek
  • Anyagi pont (tömegpont):
 1. definíció: Olyan test, amelynek méretei a mozgás méreteihez képest elhanyagolhatóan kicsik.
 2. definíció: Olyan test, amelynek mozgása egyetlen pontjának mozgásával jellemezhető.
  • Anyagi pontrendszer: Valamilyen szempontból összetartozó anyagi pontok (tömegpontok) halmaza, összessége.
  • Merev test: Olyan test, amelyben bármely két pont távolsága állandó, erőhatásra sem változik meg. A merev test nem képes alakváltozásra.
Szabadságfok

A szabadságfok a test térbeli, vagy síkbeli helyzetét egyértelműen meghatározó, egymástól lineárisan független skaláris koordinátáknak, skaláris paramétereknek a száma.

Anyagi pont szabadságfoka:23
Merev test szabadságfoka:36
Síkbeli esetTérbeli eset
A mozgások leírására használt mennyiségek
  • Skalár mennyiség: nagyság, (előjel) és mértékegység jellemzi.
    Például: m - tömeg, T - hőmérséklet.
  • Vektor mennyiség: nagyság, irány, (előjel) és mértékegység jellemzi.
    Síkbeli esetben 2, térbeli esetben 3 skaláris mennyiséggel adható meg egy adott koordináta-rendszerben.
    Például: F - erővektor,  v - sebességvektor.
    A vektor mennyiség ábrázolása:

Ha az irány és a nagyság is fontos.

Ha csak az irány fontos.
  • Tenzor mennyiség: Síkbeli esetben 2x2=4, térbeli esetben 3x3=9 skaláris mennyiséggel - mátrixszal - adható meg egy adott koordináta-rendszerben.
    Például: J ¯ ¯ S - súlyponti tehetetlenségi tenzor, F ¯ ¯ - feszültségi tenzor.

A tenzor pontosabb definícióját később adjuk meg.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Határozza meg a szabadságfokot a felsorolt esetekben!
Egészítse ki értelemszerűen az alábbi mondatokat a megfelelő egész számok beírásával!
Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja!

Síkbeli esetben
az anyagi pont szabadságfoka:
a merevtest szabadságfoka:

Térbeli esetben
az anyagi pont szabadságfoka:
a merevtest szabadságfoka:

II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A kinematika:
a mozgás leírásával foglalkozik és vizsgálja a mozgást létrehozó okokat (erőhatásokat).
a mozgás leírásával foglalkozik, de a mozgást létrehozó okokat (erőhatásokat) nem vizsgálja.
az erők vizsgálatával foglalkozik
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A kinetika:
a mozgás okait, a mozgást létrehozó erőhatásokat vizsgálja, célja az okok ismeretében a mozgás meghatározása.
a mozgás leírásával foglalkozik, de a mozgást létrehozó okokat (erőhatásokat) nem vizsgálja.
a külső és belső erők vizsgálatával foglalkozik, és nem vizsgálja a mozgásokat.
IV. Egészítse ki értelemszerűen az alábbi mondatokat a megfelelő egész számok beírásával!
Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja!

A tenzorok egy adott koordináta-rendszerben:

síkbeli esetben: x = skaláris mennyiséggel adhatók meg,

térbeli esetben: x = skaláris mennyiséggel adhatók meg.