KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 4. Tömegpont kinematikája

4.3. Gyorsulásfüggvény (gyorsulásvektor)

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a gyorsulásfüggvény, a pillanatnyi gyorsulásvektor, a pálya menti gyorsulás, normális gyorsulás fogalmakat;
  • kiválasztani a gyorsulásfüggvény alakját, a pillanatnyi gyorsulásvektor és a pálya menti gyorsulás, normális gyorsulás tulajdonságait és az ezeket leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a gyorsulásfüggvény koordinátáit DDKR-ben.

Gyorsulásfüggvény: a sebességfüggvény idő szerinti első deriváltja, illetve a mozgásfüggvény idő szerinti második deriváltja.

a (t)= d v (t) dt = d 2 r (t) d t 2 .

Pillanatnyi gyorsulásvektor: a gyorsulásfüggvény egy adott t 2 időpillanatban vett értéke:

a 2 = a ( t 2 ) .

Tulajdonságai:

  • A pillanatnyi gyorsulásvektor vektor mennyiség.
  • A gyorsulásvektor a pályagörbe simulósíkjába esik és a pályagörbe érintője és főnormálisa irányába eső összetevőkből áll.

Bizonyítás: a (t)= d v (t) dt = d dt [ v(t) e (t) ]= dv(t) dt e +v d e (t) dt ,

d e dt = d e ds ds dt = 1 ρ n v(t)= v ρ n ,

a (t)= dv dt e + v 2 ρ n = a e (t) e + a n (t) n .

Pálya menti gyorsulás (pályagyorsulás): a sebesség nagyságának változását jellemzi.

a e (t)= dv(t) dt .

Normális gyorsulás: a sebesség irányának változását jellemzi.

a n (t)= [ v(t) ] 2 ρ .

A gyorsulásfüggvény koordinátái DDKR-ben:

A helyvektor: r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k .

A sebességvektor: v (t)= v x (t) i + v y (t) j + v z (t) k .

A gyorsulásvektor: a (t)= a x (t) i + a y (t) j + a z (t) k .

A gyorsulásvektor koordinátái:

a x (t)= v ˙ x (t)= x ¨ (t) a y (t)= v ˙ y (t)= y ¨ (t) a z (t)= v ˙ z (t)= z ¨ (t) ,

vagy másképpen írva:

a x (t)= d v x (t) dt = d 2 x(t) d t 2 a y (t)= d v y (t) dt = d 2 y(t) d t 2 a z (t)= d v z (t) dt = d 2 z(t) d t 2 .

Gyakorló feladat: Tömegpont síkmozgása

Adott: Az r = r (t)= b t+c t 2 mozgásfüggvény a [ t 0 ; t 1 ] idő intervallumban és
b =(3 i 4 j )m/s, c =(2 i +1,5 j ) m/s 2 ,
t 0 =0, t 1 =2s.

Feladat: a v (t) sebességfüggvény és az a (t) gyorsulásfüggvény meghatározása.

Kidolgozás:

A sebesség- és a gyorsulásfüggvény meghatározása:

A sebességfüggvény:

v = v (t)= d r dt = b +2 c t=(3 i 4 j )+2(2 i +1,5 j )t,

v 0 = v ( t 0 )=(3 i 4 j )m/s,

v 1 = v ( t 1 )= b +4 c =(3 i 4 j )+(8 i +6 j )=(5 i +2 j )m/s.

A gyorsulásfüggvény:

a = a (t)= d v dt =2 c =(4 i +3 j ) m/s 2 , a =állandó.

Önellenőrző kérdések

I. Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő definícióval (megállapítással)!

1) Gyorsulásfüggvény
2) Pillanatnyi gyorsulásvektor
3) Pálya menti gyorsulás (pályagyorsulás)
4) Binormális gyorsulásvektor
5) Normális gyorsulás

Írja a számot a megfelelő definíció elé! Egy fogalomnak nincs párja!
JelDefiníció
a sebesség nagyságának változását jellemzi.
a gyorsulásfüggvény egy adott idő pillanatban vett értéke.
a sebesség irányának változását jellemzi.
a sebességfüggvény idő szerinti első deriváltja, illetve a mozgásfüggvény idő szerinti második deriváltja.

II. Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggésekkel!

1) Mozgásfüggvény
2) Sebességfüggvény
3) Binormális gyorsulásvektor
4) Gyorsulásvektor koordinátái
5) Gyorsulásfüggvény

Írja a számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja!
JelDefiníció
a (t)= a x (t) i + a y (t) j + a z (t) k
a x (t)= v ˙ x (t)= x ¨ (t) , a y (t)= v ˙ y (t)= y ¨ (t) , a z (t)= v ˙ z (t)= z ¨ (t)
v (t)= v x (t) i + v y (t) j + v z (t) k
r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k