MODUL: 7. Tömegpont kinetikája
7.2. Gyakorló feladatok tömegpont kinetikájára
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- adatok alapján meghatározni a tömegpont mozgásjellemzőit.
|
1. feladat: Tömegpont lejtőn történő mozgása |
Adott: |
|
- a () sima lejtő dőlésszöge,
- az m tömegű anyagi pont kezdősebessége az (1) jelű helyzetben,
- az ábrán látható h magasság.
|
Feladat: a) Az kényszererő (támasztóerő) meghatározása. b) A tömegpont gyorsulásának meghatározása. c) A tömegpont (2) helyzetbeli sebességének meghatározása. d) Annak a időnak a meghatározása, amely alatt az anyagi pont az (1) helyzetből a (2) helyzetbe ér. |
Kidolgozás: |
a) Az kényszererő (támasztóerő) meghatározása: |
Impulzus tétel: |
, |
, |
b) A tömegpont gyorsulásának meghatározása. |
Impulzus tétel: |
|
. |
c) A tömegpont (2) helyzetbeli sebességének meghatározása: |
Munkatétel: , |
,
|
. |
d) Annak a időnek a meghatározása, amely alatt az anyagi pont az (1) helyzetből a (2) helyzetbe ér: |
Impulzus tétel: , |
, |
,
|
. |
2. feladat: Tömegpont mozgása körpályán |
Adott: |
|
Az l hosszúságú nyújthatatlan kötélre felfüggesztett m tömegű anyagi pont. |
Feladat: a) Mekkora helyzetig lendül ki a tömegpont, ha kötél függőleges helyzetéből sebességgel indítjuk? b) Mekkora a tömegpont gyorsulása és a tömegpontra ható kényszererő a tetszőleges helyzetben? |
Kidolgozás: |
a) A meghatározása: |
Munkatétel: , |
, |
,
|
, |
. |
b) A tömegpont gyorsulása és a tömegpontra ható kényszererő meghatározása tetszőleges () helyzetben: |
Munkatétel: , |
. |
Impulzus tétel: |
, |
|
|
|
Az első egyenletből: . |
A második egyenletből: . |
A gyorsulás és a kényszererő vektor: |
, (). |
. |
3. feladat: Tömegpont mozgása körpályán |
Adott: |
|
Az R sugarú, sima () kényszerpálya, amelynek felső pontjából az m tömegű anyagi pontot sebességgel indítjuk. |
Feladat: Hol hagyja el a tömegpont a kényszerpályát? |
Kidolgozás: |
Impulzus tétel: |
.
|
Elválási feltétel: , (Megszűnik a kényszerpálya tömegpontra gyakorolt hatása.) |
, |
Munkatétel: , |
, |
, |
, |
, |
. |
4. feladat: Tömegpont mozgása érdes síkon |
Adott: |
|
. |
Feladat: a) Mennyi idő alatt áll meg a tömegpont? b) Mekkora L utat tesz meg a tömegpont a megállásig? |
Kidolgozás: |
a) Mennyi idő alatt áll meg a tömegpont? |
Impulzus tétel: |
, . |
A pálya egyenes . |
. |
, |
.
|
Impulzus tétel integrál alakja: , |
, |
, |
. |
b) A megállásig megtett út meghatározása: |
Munkatétel integrál alakja: , |
,
|
. |
5. feladat: Tömegpont mozgása érdes lejtőn |
Adott: |
|
. |
Feladat: A tömegpont gyorsulásának és támasztóerőjének meghatározása a) számítással és b) szerkesztéssel. |
Kidolgozás: |
a) Megoldás számítással: |
, |
|
, |
. |
b) Megoldás szerkesztéssel: |
Impulzus tétel: . |
Helyzetábra | Vektorábra |  |  |
|
6. feladat: Tömegpont mozgása kényszerpályán |
Adott: |
|
|
Az érdes, vízszintes felületen kezdeti sebességgel mozgó m tömegű anyagi pont. |
|
|
Feladat: a) A tömegpont gyorsulásának meghatározása. b) A megállásig szükséges idő meghatározása. c) A megállásig megtett út meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A tömegpont gyorsulásának meghatározása: |
Impulzus tétel: , |
, . |
|
| | | | | |
|
A tömegpont gyorsulása a sebességgel ellentétes irányú, tehát a tömegpont nem gyorsul, hanem lassul. |
b) A megállásig szükséges idő kiszámítása: |
Az impulzus tétel integrál alakja: |
|
|
|
c) A megállásig megtett út kiszámítása: |
Munkatétel: |
|
. |
7. feladat: Tömegpont mozgása érdes lejtőn |
Adott: |
Feladat: a) Annak meghatározása, hogy mekkora erő esetén marad a tömegpont a kényszerpályán. b) A tömegpont gyorsulásának meghatározása a pálya elhagyásának pillanatában. |
|
Kidolgozás: |
a) Az erő meghatározása a pálya elhagyásának pillanatában: |
Az ismert irányú mennyiségek: |
|
|
|
Impulzus tétel: |
A vektoregyenletet skalárisan megszorozva -vel és -vel:
|
|
. |
A kényszerpályán maradás feltétele: . |
|
b) A tömegpont gyorsulásának meghatározása a pálya elhagyásának pillanatában: |
|
|
|
A tömegpont gyorsulása a pálya elhagyásának pillanatában: |
|
. |
|
8. feladat: Tömegpont mozgása körpályán |
Adott: |
|
, , v=2 m/s, , , |
, . |
Feladat: A tömegpont gyorsulásának és a tömegpontra ható kényszererőnek a meghatározása a) számítással, b) szerkesztéssel. |
Kidolgozás: |
a) A feladat megoldása számítással: |
A súlyerő vektor: , |
, |
. |
A támasztóerő (kényszererő): |
|
A tömeg: |
A gyorsulás: |
|
. |
Impulzus tétel: |
|
|
|
|
, |
|
|
|
b) A feladat megoldása szerkesztéssel: |
Impulzus tétel: |
Helyzetábra | Vektorábra |  |  |
|
9. feladat: Tömegpont mozgása sima lejtőn |
Adott: |
|
Az jelű, sima kényszerpályán csúszó súlyú hasáb, amelynek kezdősebessége A testre ható erő a kényszerpályával szöget zár be. |
, , |
, , |
. |
Feladat: Annak meghatározása, hogy a) mekkora erő esetén mozoghat a test állandó sebességgel, b) mekkora a test gyorsulása és az kényszererő, c) mekkora erő esetén szűnik meg a test és a lejtő közötti kapcsolat. |
Kidolgozás: |
a) Az állandó sebességű mozgás biztosításához szükséges erő meghatározása: |
Impulzus tétel: , |
ahol: , , |
. |
Állandó sebességű mozgás: . |
|
. |
. |
|
b) Az gyorsulás és az kényszererő (támasztóerő) meghatározása: |
Impulzus tétel: |
|
. |
. |
, |
c) Az meghatározása: |
Az elválás feltétele: , |
|
|
10. feladat: Tömegpont mozgása vízszintes síkon |
Adott: |
|
Az jelű vízszintes kényszerpályán pillanatnyi sebességgel haladó mozgást végző hasábra a súlyerő és az erő hat. |
, , |
, , |
, . |
Feladat: Meghatározni szerkesztéssel |
1) | (sima kényszerpálya) esetén | | a) | a hasáb súlypontjának gyorsulását, sebességét és a támasztó erőrendszer eredőjét az idő függvényében. | | b) | értékét, amelynél bekövetkezik a hasáb felbillenése. | 2) | (érdes kényszerpálya) esetén a hasáb súlypontjának gyorsulását és sebességét az idő függvényében. |
|
Kidolgozás: |
1) A feladat megoldása sima kényszerpálya esetén (): a) A gyorsulás, a támasztóerő és a sebesség meghatározása: |
Szerkesztés: |
Szerkezetábra | Vektorábra |  |  |
|
Számítás: |
Impulzus tétel: |
|
| | | | | |
|
|
b)Billenés: Ha a támasztóerő hatásvonala nem metsz bele az érintkezési felületbe. |
Számítás: . |
|
Szerkesztés: |
Szerkezetábra | Vektorábra |  |  |
|
2) A feladat megoldása érdes kényszerpálya esetén (): |
Számítás: |
|
. |
. |
|
|
|
Szerkesztés: |
Szerkezetábra | Vektorábra |  |  |
|
11. feladat: Tömegpont mozgása kényszerpályán |
Adott: |
|
Az érdes, hajlásszögű felületen pillanatnyi sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb. |
, , , |
, ,, |
. |
Feladat: A hasáb súlyponti gyorsulásának és a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása a) számítással és b) szerkesztéssel. |
Kidolgozás: |
a) A hasáb súlyponti gyorsulásának és a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása számítással: |
|
Impulzus tétel: |
|
Az egyenletet skalárisan beszorozva először -vel, majd -vel: |
|
|
. |
A súlyponti gyorsulás: |
A kényszererő: |
A kényszererő hatásvonala a perdület tételből: , |
|
b) A feladat megoldása szerkesztéssel: |
Helyzetábra | Vektorábra |  |  |
|
Önellenőrző kérdések |
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |