MODUL: 8. Tömegpont relatív mozgásának kinetikája
8.1. A tömegpont relatív mozgásának kinetikája
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani az inerciarendszer definícióját;
- kiválasztani a tömegpont mozgását leíró összefüggéseket;
- adatok alapján meghatározni a tömegpont relatív mozgásának jellemzőit.
|
A kinetika alaptörvénye nem inerciarendszerben |
Inerciarendszer: Olyan koordináta-rendszer, amelyben a mozgás más testek kölcsönhatásával, azaz kizárólag külső erők figyelembevételével magyarázható. |
A szokványos mérnöki számításoknál a Földhöz kötött KR-ek jó közelítéssel inerciarendszernek tekinthetők. |
Nem inerciarendszer: A külső erők mellett még járulékos erőket is figyelembe kell venni. |
Egymáshoz képest mozgó KR-ekre vonatkozó erők kapcsolata |
|
Az álló (abszolút) KR-ben működő külső erők: . A mozgó (relatív) KR-ben működő külső erők: . |
Kapcsolat a tömegpont gyorsulásai között: |
, |
, |
. |
A KR-ek mozgásából következő járulékos erők: |
- szállítóerő: , ahol
|
| | m - a tömeg, | | | - a szállító gyorsulás. |
|
- Coriolis erő: , ahol
|
| | m - a tömeg, | | | a Coriolis-gyorsulás. |
|
A járulékos erők nem más testek közvetlen hatásából adódnak. |
Gyakorló feladatok relatív mozgás kinatikájára |
1. feladat: Tömegpont relatív mozgásának kinetikája |
Adott: |
|
, , , |
, , |
. |
Feladat: a) A tömegpont relatív gyorsulásának meghatározása számítással. b) A tömegpontra ható kényszererő meghatározása számítással. c) Az a), b) feladat megoldása szerkesztéssel. d) Mekkora határ gyorsulással mozoghat a felvonó, hogy a tömegpont még éppen ne váljon el a kényszerpályától? |
Kidolgozás: |
A KR-ek közötti transzformációs összefüggések: |
, . | , . |
|
a) A tömegpont relatív gyorsulásának meghatározása: |
A tömegpontra ható abszolút erők: |
A kényszererő: |
A súlyerő: |
A tömegpontra ható járulékos erők: |
A szállítóerő: |
|
|
|
A Coriolis erő: , |
A tömegpontra ható relatív erő: |
A kényszer miatt: . |
A dinamika alaptörvényének nem inercia-rendszerekre vonatkozó alakja: |
, |
|
|
, |
,
| , ,
|
|
, |
, |
, |
|
|
b) A tömegpontra ható kényszererő meghatározása: |
, |
. |
c) Az a) és b) feladat megoldása szerkesztéssel: |
|
|
d) A pálya elhagyáshoz (elváláshoz) szükséges felvonógyorsulás: |
A pálya elhagyásának feltétele. |
, . |
2. feladat: Tömegpont relatív mozgásának kinetikája |
Adott: |
|
-nál , |
, |
|
|
|
Feladat: a) A tömegpont relatív gyorsulásának és a tömegpontra ható kényszererő meghatározása, ha . b) Annak a értéknek a meghatározása, amelynél a test nyugalomban marad. c) A tömegpont relatív gyorsulásának és a tömegpontra ható kényszererő meghatározása, ha és |
Kidolgozás: |
a) A relatív gyorsulás és a kényszererő meghatározása esetén: |
. |
|
A kényszererő: . |
A súlyerő: |
A szállító erő: . |
A Coriolis erő: |
A tömegpont relatív gyorsulása a kényszer miatt: |
Ezeket behelyettesítve: |
|
|
|
|
|
b) A nyugalomban maradáshoz szükséges súrlódási tényező meghatározása: |
Relatív nyugalom: |
. |
, |
|
, |
|
|
|
|
c) A relatív gyorsulás és a kényszererő meghatározása és esetén: |
A tömegpont a járműhez képest megcsúszik. |
. |
. |
A relatív sebesség: . |
A kényszererő: |
, |
|
|
|
. |
3. feladat: Tömegpont relatív mozgásának kinetikája |
Adott: |
|
, , |
Egy gyorsulással mozgó jármű, melyben az m tömegű anyagi pont kezdősebességgel, gyorsulással szabadon esik. A koordináta-rendszer a járművel együtt mozog. |
, |
. |
Feladat: a) Az m tömegpontra ható relatív erő és az relatív gyorsulás meghatározása. b) A tömegpont pályájának meghatározása a illetve esetekre. |
Kidolgozás: |
(álló koordináta-rendszer). |
(mozgó koordináta-rendszer): , . |
a) A tömegpontra ható relatív erő és relatív gyorsulás meghatározása: |
A tömegpontra ható abszolút erő: . |
A tömegpontra ható járulékos erők: |
A szállító erő: |
|
|
A Coriolis erő: |
A tömegpontra ható relatív erő a dinamika alaptörvényének nem inercia-rendszerekre vonatkozó alakja: . |
A tömegpontra ható relatív erő: |
|
A tömegpont relatív gyorsulása: |
. |
b) A tömegpont pályájának meghatározása: |
|
, |
- A eset:
A pályagörbe egyenes. - eset:
, .
|
A pályagörbe parabola. |