KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 5. Merev test kinematikája

5.2. Merev test sebességállapota

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a merev test két pontjának sebessége közötti kapcsolatot leíró összefüggést,
  • adatok alapján kiszámítani a merev test tetszőleges pontjának sebességét,
  • adatok alapján megszerkeszteni a sebességpólust és a sebességábrát.
Össszefüggés merev test két pontjának sebessége között

Kérdés: Milyen mennyiségekkel határozható meg egy merev test tetszőleges B pontjának sebessége?

Válasz:

  • a test egy A pontjának v A sebességével és
  • a test ω szögsebességével.

Az ω szögsebesség az egész merev testre jellemző, értéke a test minden pontjában azonos.

A szögsebesség mértékegysége: 1/s , vagy rad/s .

A merev test tetszőleges B pontjának sebessége:

Analógia:

M B = M A + F × r AB - nyomaték,

v B = v A + ω × r AB - sebesség.

Megjegyzés: Lásd Mechanika - Statika kurzust

A test B pontjának v B sebessége = a v A sebességű pillanatnyi haladó mozgás sebessége + az A ponton átmenő, ω -val tengely körüli pillanatnyi forgómozgás sebessége.

Gyakorló feladat: Merev test síkmozgása

Adott: Az A, B, C, D pont helye.

A mozgás síkja: x,y .

v A =(4 i )m/s ,

ω =(1 k )1/s .

Feladat: A v B sebesség meghatározása.

Kidolgozás:

A B pont sebességének meghatározása:

v B = v A + ω × r AB =(4 i )+(1 k )×(2 i )=(4 i 2 j )m/s,

v B =(4 i 2 j )m/s.

Tétel: Merev test két különböző pontjának sebessége általában nem egyenlő: v A v B .

Kivétel:

  • ω = 0 ,
  • ω r AB .
Merev test sebességállapotának megadása

Merev test sebességállapota az A pontba redukált ( ω , v A ) vektorkettőssel adható meg, ahol az A pont megválasztása önkényes.

Megjegyzés: Lásd Mechanika - Statika kurzust

Az ω és v A ismeretében a test bármely pontjának sebessége kiszámítható!

Elemi (pillanatnyi) mozgások osztályozása

1. eset: ω = 0

a) v A = 0 - elemi nyugalom,
b) v A 0 - elemi haladó mozgás,

2. eset: ω 0

a) ω v A =0 - elemi forgómozgás,
b) ω v A 0 - elemi csavarmozgás.
Elemi síkmozgás

Definíció: Ha bármely pont sebessége merőleges ω -ra, vagyis párhuzamos az ω -ra merőleges síkokkal.

Sebességpólus: A síknak az a P pontja, amelynek zérus a sebessége: v P = 0 .

Leggyakrabban előforduló feladatok:

1) Adott: a P, valamint az A és B pont helye a síkon.

Keresett: az A és B ponti sebesség.

Megoldás: v A = v P = 0 + ω × r PA r PA v A =ω r PA ,

v B = v P = 0 + ω × r PB r PB v B =ω r PB .

2) Adott: v A és v B , valamint az A és B pont helye a síkon.
Keresett: a P sebességpólus helye.

Megoldás: a P sebességpólus az A és B pontból a v A és v B -re húzott merőleges egyenesek metszéspontja.

Megjegyzés: Az ábra alapján is látható, hogy létezhet olyan helyzet (a sebességvektorok irányától függően), amikor a P sebességpólus a testen kívülre esik.

Gyakorló feladat: Merev test síkmozgás, sebességpólus

Adott: Az A, B, C, D pont helye.
A mozgás síkja: x,y .

v A =(4 i )m/s ,

ω =(1 k )1/s ,

v B =(4 i 2 j )m/s.

Feladat: A sebességpólus megszerkesztése.

Kidolgozás:
A sebességpólus megszerkesztése:

A sebességpólus a sebességvektorokra merőleges egyenesek metszéspontja.

A szerkesztés lépéseit a következő lapozóskönyv szemlélteti:

A sebességpólus megszerkesztése
1/7
visszaelőre

A következő videofelvétel azt mutatja be, hogy a P sebességpólus helye hogyan változik, ha az egyik sebességvektor iránya megváltozik. Mivel a v A sebességvektor állandó és merőleges az y tengelyre, ezért a P sebességpólus az y tengelyen vándorol a v B sebességvektor változásának hatására.

videó
3971 kByte

3) Sebességábra: Egy adott időpillanatban közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző pontjainak sebességvektorait.

A sebességállapot elemi síkmozgás esetén szemléltethető sebességábrával.

Megjegyzés: A sebességábra csak elemi síkmozgás esetén rajzolható.

Adott: ω , v A , valamint a merev testet megadó (jellemző) A, B, C pontok (háromszög).

Feladat: Az A, B, C pontok v A , v B , v C sebességeinek meghatározása szerkesztéssel.

A merev test sebességábrája: A B C .

HelyzetábraSebességábra
Hosszlépték: N h ( m mm ) Sebességlépték: N v ( m/s mm )

Az ábrákon a kis vonalakkal történő áthúzások az egymással párhuzamos vonalakat jelöli.

A sebességábra megrajzolása:

  • Az O v kezdőpontból felrajzoljuk a v A sbességvektort.
  • Az O v kezdőpontból felrajzoljuk a v B sebességvektort:
    v B = v A + ω × r AB r AB .
  • Az O v kezdőpontból felrajzoljuk a v C sebességvektort:
    v C = v A + ω × r AC r AC .

A helyzetábra és a sebességábra hasonló: ABCΔ A B C Δ .

Tétel: A sebességábra hasonló a helyzetábrához, de a sebességábra 90o-kal el van forgatva a helyzetábrához képest az ω forgásértelmével megegyező irányban.

Sebességpólus meghatározása: A sebességeket berajzoljuk a helyzetábrába és merőlegest húzunk rájuk.

Gyakorló feladat: Merev test síkmozgás, sebességábra

Adott: Az A, B, C, D pont helye.
A mozgás síkja: x,y .

v A =(4 i )m/s ,

ω =(1 k )1/s ,

v B =(4 i 2 j )m/s.

Feladat: A sebességábra megszerkesztése.

A sebességábra megrajzolása:

v D = v A + ω × r AD r AD v D = v B + ω × r BD r BD } D v C = v D + ω × r DC r DC v C = v B + ω × r BC r BC } C .

A helyzetábra és a sebességábra hasonló.

A sebességábra a helyzetábrához képest 90°-kal el van forgatva az ω forgásértelmével megegyező irányban.

A szerkesztés lépéseit a következő lapozóskönyv szemlélteti:

A sebességábra megrajzolása
1/7
visszaelőre
Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Határozza meg a feladatban leírt jellemzőket, majd válaszoljon a következő kérdésekre!

Merev test síkmozgása, sebességállapot

Adott: Az xy síkban síkmozgást végző merev test A, B, C pontja.
Ismert az A és B pont v A és v B sebességének e A és e B irány egységvektora, valamint a test szögsebessége:

e A =( i ) , e B =( 2 2 i + 2 2 j ) ,

ω =(4 k )rad/s .

Feladat:
a) A P pillanatnyi sebességpólus meghatározása.
b) A v A , v B és v C sebességvektorok meghatározása.
c) A test sebességábrájának megrajzolása.

1. Határozza meg a P pillanatnyi sebességpólust!
Válassza ki az egyetlen jó választ!
r P =(1 j )m.
r P =(2 j )m.
r P =(1 i )m.
r P =(1 j )m.
r P =(1 i +1 j )m.
2. Határozza meg a v A sebességvektort.
Válassza ki az egyetlen jó választ!
v A =(4 i )m/s.
v A =(4 i 4 j )m/s.
v A =(4 i )m/s.
v A =(4 j )m/s.
v A =(4 i +4 j )m/s.
3. Határozza meg a v B sebességvektort.
Válassza ki az egyetlen jó választ!
v B =(4 i 4 j )m/s.
v B =(4 i +4 j )m/s.
v B =(4 i +4 j )m/s.
v B =(4 i 4 j )m/s.
v B =(4 i 4 j )m/s.
4. Határozza meg a v C sebességvektort.
Válassza ki az egyetlen jó választ!
v C =(4 i )m/s.
v C =(4 i 4 j )m/s.
v C =(4 i )m/s.
v C =(4 j )m/s.
v C =(4 i +4 j )m/s.

4. Rajzolja meg a sebességábrát!

A következő lapozóskönyv 2. oldalán megtalálja a helyes megoldást (ábrát).

1/2
visszaelőre
II. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A merev test tetszőleges B pontjának sebességét leíró összefüggés:
v B = r AB + ω × v A
v B = v A + ω × r AB
v B = ω + v A × r AB
v B = v A + ω
v B = ω + r AB