KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 11. Testek ütközése

11.2. A centrikus ütközés

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az ütközés típusának megfelelő ütközési tényezőt;
  • kiválasztani az ütközés utáni sebességet meghatározó ütközési diagramot;
  • kiválasztani az ütközést leíró impulzus- és perdület tételt;
  • megszerkeszteni az ütközési diagramot;
  • meghatározni a testek súlypontjainak ütközés utáni sebességét.

Impulzus tétel az egész rendszerre (mindkét testre együtt):

(1+2)    I ˙ = F = 0 I =állandó .

m 1 v S1 + m 2 v S2 = m 1 V S1 + m 2 V S2 =állandó

A rendszer (1+2 test) S pontjának v S sebességének bevezetésével:

m 1 v S1 + m 2 v S2 = m 1 V S1 + m 2 V S2 =( m 1 + m 2 ) v S =m v S .

m= m 1 + m 2 - a rendszer (1+2 test) tömege.

Impulzus tétel az (1) testre:

(1)    I ˙ 1 = m 1 a S1 = F 1 =λ n ,/ (Δt) dt ,

λ  -  skalár együttható,

Δt - az ütközés időtartama.

Δ I 1 = m 1 ( V S1 v S1 )= (Δt) F 1 dt= (Δt) λdt C n

Az (1) test S ponti sebességének megváltozása párhuzamos az ütközési normálissal.

Impulzus tétel a (2) testre:

(1)    I ˙ 2 = m 2 a S2 = F 2 =λ n ,/ (Δt) dt,

Δ I 2 = m 2 ( V S2 v S2 )= (Δt) F 2 dt= (Δt) λdt C n .

A (2) test S ponti sebességének megváltozása párhuzamos az ütközési normálissal.

Az (1) és (2) testre kapott eredmények következménye:

m 1 ( V S1 v S1 )= m 2 ( V S2 v S2 )

Az ütközés során az (1) jelű test impulzusának megváltozása a (2) jelű test impulzus változásának mínusz egyszerese.

Perdület tétel az (1) testre:

(1)    π ˙ s1 = M s1 =0 π s1 =állandó. ω 1 = Ω 1 .

s1 - az S 1 súlyponton átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengely jele,

Ω 1 - az (1) jelű test ütközés utáni szögsebessége.

Perdület tétel a (2) testre:

(2)    π ˙ s2 = M s2 =0 π s2 =állandó. ω 2 = Ω 2 .

s2 - az S 2 súlyponton átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengely jele,

Ω 2 - az (2) jelű test ütközés utáni szögsebessége.

A centrikus ütközés során a testek szögsebességei nem változnak meg.

Ütközési tényező: az anyagtörvényt veszi figyelembe.

k= m 1 | n S 1 n v Sn | m 1 | v S 1 n v Sn | = m 2 | n S 2 n v Sn | m 2 | v S 2 n v Sn | .

Az eltávolodási szakaszban bekövetkező impulzusváltozás és a közeledési szakaszban bekövetkező impulzusváltozás hányadosa.

k=1   - tökéletesen rugalmas ütközés,

k=0 - tökéletesen képlékeny (vagy tökéletesen rugalmatlan) ütközés,

0<k<1 - rugalmas-képlékeny ütközés.

Ütközési diagram: az ütközés utáni sebességek meghatározása szerkesztéssel.

A szerkesztés gondolatmenete:

  • Az O v kezdőpontból felrajzoljuk az ütközés előtti v S1 , v S2 sebességvektorokat, az n ütközési normálist és a v S1 , v S2 sebességvektorok végpontjain át párhuzamos egyeneseket húzunk az ütközési normálissal.
  • A v S = m 1 v S1 + m 2 v S2 m 1 + m 2 összefüggéssel meghatározzuk a rendszer súlypontjának sebességét. (A v x , v y síkon meghatározzuk az m 1 , m 2 tömegpontrendszer súlypontját.)
  • Az S ponton keresztül merőlegest rajzolunk az n ütközési normálisra.
  • Ezzel meghatároztuk a | v S1n v Sn | és a | v S2n v Sn | mennyiségeket.
  • Ezeknek a mennyiségeknek a k-szorosát felmérjük a S ponton át, az ütközési normálisra húzott merőleges egyenes másik (ellenkező) oldalára, mert: | v Sn n S1n |=k| v S1n v Sn | és | v Sn n S2n |=k| v S2n v Sn | .
  • Ezzel megkapjuk a az ütközés utáni V S1 és V S2 sebességvektorokat.

Ellenőrzés:

A V S1 és V S2 sebességvektorok végpontjait összekötő egyenesnek is kell mennie az S ponton, mert v S = m 1 V S1 + m 2 V S2 m 1 + m 2 .

Önellenőrző kérdések

I. Párosítsa az ütközési tényező lehetséges értékeit a megfelelő ütközési típussal!

1) Tökéletesen rugalmas ütközés.
2) Tökéletesen képlékeny ütközés.
3) Rugalmas-képlékeny ütközése.

Írja az ütközési típus előtti számot a megfelelő k érték elé!
JelDefiníció
k=0 .
0<k<1 .
k=1 .

II. Párosítsa a tételeket a megfelelő összefüggéssel!

1) Impulzus tétel az egész rendszerre
2) Impulzus tétel az (1) testre:
3) Impulzus tétel a (2) testre:
4) Perdület tétel az (1) testre:
5) Perdület tétel a (2) testre:

Írja a tétel előtti számot a megfelelő összefüggések elé!
A hibás összefüggésekhez írjon egy "N" betűt!
JelÖsszefüggése
I ˙ = F = 0 I állandó .
v S1 + v S2 = V S1 + V S2 állandó
I ˙ = F = 0 I =állandó .
m 1 v S1 + m 2 v S2 = m 1 V S1 + m 2 V S2 =állandó
π ˙ s1 = M s1 =0 π s1 =állandó. ω 1 = Ω 1 .
π ˙ s1 = M s1 =0 π s1 =állandó. ω 1 Ω 1 .
I ˙ 2 = m 2 a S2 = F 2 =λ n ,/ (Δt) dt,
I ˙ 2 =λ n a S2 ,/ (Δt) dt,
π ˙ s2 = M s2 =0 π s2 =állandó. ω 2 Ω 2 .
π ˙ s2 = M s2 =0 π s2 =állandó. ω 2 = Ω 2 .
I ˙ 1 =λ n m 1 ,/ (Δt) dt ,
I ˙ 1 = m 1 a S1 = F 1 =λ n ,/ (Δt) dt ,
III. Jelölje, hogy az állítás igaz vagy hamis!
A centrikus ütközés során a testek szögsebességei nem változnak meg.