KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 9. Merev test kinetikája

9.3. Gyakorló feladatok impulzus, impulzusnyomaték, kinetikai energia, teljesítmény, munka kiszámítására merev test(ek) esetén

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • adatok alapján meghatározni a tömegpontrendszer és a merev test impulzusát, impulzus nyomatékát, kinetikai energiáját, munkáját és teljesítményét.
1. feladat: Impulzus és perdület

Adott: Az R sugarú, m tömegű korong a hozzá kötött ξηζ KR-rel együtt a z tengely körül ω pillanatnyi szögsebességgel és ε szöggyorsulással forog. A szerkezethez az m 1 és m 2 jelű tömegek mereven kapcsolódnak.

ω =(2 k )rad/s ,

ε =(1,5 k ) rad/s 2 ,   l=0,8m,

R=1m ,   m 1 =20kg ,

m 2 =15kg ,   m 3 =10kg.

Feladat: Meghatározni a szerkezet:
a) impulzus vektorrendszerének A pontbeli ( I , π A ) vektorkettősét, valamint 
b) ξ , η és ζ tengelyre számított impulzus nyomatékát.

Kidolgozás:

a) Az impulzus vektorrendszer A pontbeli ( I , π A ) vektorkettőse:

A tömegpontok és a korong súlypontjának sebessége:

v 1 = ω × r 1 =(2 k )×(0,5R j )= (2 k )×(0,5 j +l k )=( i )m/s,

v 2 = ω × r 2 =(2 k )×(R i )= (2 k )×( i +2l k )=(2 j )m/s,

v S3 = 0 , mert a korong S súlypontja rajta van a forgástengelyen.

A rendszer impulzusa:

I 1 = m 1 v 1 =20(1 i )=(20 i ) kgm s ,

I 2 = m 2 v 2 =15(2 j )=(30 j ) kgm s ,

I 3 = m 3 v S3 = 0 .

I = i=1 3 m i v i = I 1 + I 2 + I 3 =(20 i 30 j ) kgm s .

A rendszer impulzusnyomatéka az A pontra:

π A = i=1 2 r Ai × I i + π A3 = r A1 × I 1 + r A2 × I 2 + π A3 .

r A1 =(1,5R j +l k )=(1,5 j +0,8 k )m, r A2 =(R i R j +2l k )=( i j +1,6 k )m,

π A1 = r A1 × I 1 =| i j k 0 1,5 0,8 20 0 0 |=(16 j 30 k ),

π A2 = r A2 × I 2 =| i j k 1 1 1,6 0 30 0 |=(48 i 30 k ),

π S3 = J z3 ω =( 1 2 m R 2 ) ω =5(2 k )=(10 k ),

π A3 = π S3 + I 3 × r SA =(10 k ),

π A =(16 j 30 k )+(48 i 30 k )+(10 k )=(48 i 16 j 70 k ) kgm 2 s .

b) A ξ, η és ζ tengelyre számított impulzusnyomatékok:

π ξ = π A e ξ = π A i = (48 i 16 j 70 k ) i =48 kgm 2 s .

π η = π A e η = π A j = (48 i 16 j 70 k ) j =16 kgm 2 s .

π ζ = π A e ζ = π A k = (48 i 16 j 70 k ) k =70 kgm 2 s .

2. feladat: Merev test impulzusa és perdülete

Adott: Az m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd a hozzá kötött ξηζ KR-rel együtt a z tengely körül ω pillanatnyi szögsebességgel forog, miközben a S súlypontjának gyorsulása a S .

m=80kg , l=3m ,

a S =(24 n +4,5 t ) m/s 2 , α= 30 o .

Feladat:
a) A rúd impulzusának meghatározása.
b) A rúd S pontra számított impulzusnyomatékának meghatározása.
c) A rúd A pontra számított impulzusnyomatékának meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rúd impulzusának meghatározása:

I =m v S =m v S t =(480 t )kgm/s.

Az S pont sebessége:

a Sn = v S 2 l 2 v S = l a Sn 2 = 36 =6m/s.

A rúd pillanatnyi szögsebessége: ω= v S l 2 = 6 1,5 =41/s ,

ω =(4 k )rad/s.

b) A rúd S pontra számított impulzusnyomatékának meghatározása:

π S = J s ω = m l 2 12 (4 k )= 80 3 2 12 (4 k )=60(4 k )=(240 k ) kgm 2 /s .

c) A rúd A pontra számított impulzusnyomatékának meghatározása:

π A = J a ω =( m l 2 3 ) ω = 80 3 2 3 (4 k )=240(4 k )=(960 k ) kgm 2 /s ,

vagy

π B =(60 i +40 j 60 k )+(300 i 90 j +150 k )=(240 i 50 j +90 k ) kgm 2 /s. .

3. feladat: Merev test impulzusa, impulzusnyomatéka

Adott: Az R sugarú hengeres felületen gördülő, r sugarú, m tömegű homogén körhenger, amelynek ω a szögsebessége:

ω =(2 k )rad/s , m=20kg ,

R=1m , r=0,25m .

Feladat: A gördülő henger impulzusvektorának, valamint S és A ponti perdület vektorának meghatározása.

Kidolgozás:

A gördülő henger impulzusa:

I =m v S =mrω i =200,254 i =(20 i )kgm/s=Ns.

Az S súlypontra számított perdület vektor:

π S = J s ω =( 1 2 m r 2 ) ω = 1 2 20 0,25 2 (4 k )=(2,5 k ) kgm 2 /s.

Az A pontra számított perdület vektor:

π A = π S + I × r SA .

I × r SA =m v S × r SA =(20 i )×(0,25 j )=(5 k ) kgm 2 /s,

r SA =(r j )=(0,25 j )m,

π A = π S + I × r SA =(2,5 k )+(5 k )=(7,5 k ) kgm 2 /s.

vagy

π A = J a ω =( 3 2 m r 2 ) ω = 3 2 20 0,25 2 (4 k )=(7,5 k ) kgm 2 /s.

4. feladat: Merev test kinetikai energiája, és a rá ható ER teljesítménye

Adott: v S1 = v S2 =(2 i )m/s, g10 m/s 2 , m 2 =8kg , m 1 =10kg ,

F 1 =(60 i +20 j )N , F 2 =(80 j )N , M 1 =(20 k )Nm ,

R=0,5m , β= 30 o .

A henger csúszásmentesen gördül, a rúd a C pontban csúszik a lejtőn. A C pontban az érintkező felületek simák. A rúd a hengerhez az S 1 pontban csuklóval kapcsolódik.

Feladat:
a) A szerkezet kinetikai energiájának meghatározása.
b) A szerkezetre ható erőrendszer teljesítményének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A szerkezet kinetikai energiája:

E 1 = 1 2 m 1 v S1 2 + 1 2 J s1 ω 1 2 = 1 2 ( m 1 R 2 ω 1 2 + J s1 ω 1 2 )=

1 2 ( m 1 R 2 + J s1 ) ω 1 2 = 1 2 J a1 ω 1 2 .

J a = 3 2 m 1 R 2 = 3 2 10 0,5 2 =3,75 kgm 2 .

E 1 = 1 2 J a ω 1 2 =0,53,75 4 2 =30J.

E 2 = 1 2 m 2 v S2 2 = 1 2 m 2 (R ω 1 ) 2 =0,58 2 2 =16J.

E= i=1 2 E i = E 1 + E 2 =30+16=46J.

b) A szerkezetre ható erőrendszer teljesítménye:

P G 1 = G 1 v S1 = m 1 g(sinβ i +cosβ j )( v S1 i )= m 1 gsinβ v S1 =10102 1 2 =100W.

P G 2 = G 2 v S2 = m 2 g(sinβ i +cosβ j )( v S2 i )= m 2 gsinβ v S2 =8102 1 2 =80W.

P F 1 = F 1 v B =( F 1x i + F 1y j )(2 v S1 i )=(60 i +20 j )(4 i )=240W

P F 2 = F 2 v S2 =(80 j )(2 i )=0.

A C pontban ható F C kényszererő (támasztóerő):

F C = F N =( F N j ) .

P F C = F C v C = F C v S2 =0 , mert  F C v S2 v S1 .

P F A = F A v A =0 , mert  v A = 0 .

P M 1 = M 1 ω 1 =( M 1 k )( ω 1 k )=(20 k )(4 k )=80W,

mert ω 1 = v S1 R = 2 0,5 =4, ω 1 =(4 k )1/s.

Az erőrendszer teljesítménye:

P= i P i = P G 1 + P G 2 + P F 1 + P F 2 + P F A + P F C + P M 1 =10080240+0+0+0+80=340W .

Önellenőrző kérdések

I. Tömegpontrendszer impulzus vektorrendszere

Adott: m 0 =1kg , a=1m , ω 0 =(2 i )1/s=áll.

A tömegpontokat összekötő rudak merevek és súlytalanok.

Feladat: A tömegpontrendszer I impulzusának és az A és B pontra számított perdületének meghatározása.

A lapozós könyv 2. oldalán megtalálja a tömegpontok sebesség és impulzus vektorait.
Csak a számítás elvégzése után, ellenőrzésként tekintse meg!!

1/2
visszaelőre
1. Határozza meg a tömegpontrendszer I impulzusát!
Válassza ki az egyetlen helyes választ!
I =( j )kg m s
I =(36 k )kg m s
I =(36 j )kg m s
I =(5 j )kg m s
2. Határozza meg a rendszer A pontra számított eredő π A perdület vektorát!
Válassza ki az egyetlen helyes választ!
π A =(132 i )kg m 2 s
π A =( i )kg m 2 s
π A =(36 i )kg m 2 s
π A =(6 k )kg m 2 s
2. Határozza meg a rendszer B pontra számított eredő π B perdület vektorát!
Válassza ki az egyetlen helyes választ!
π B =(60 j )Nms.
π B =( i )Nms.
π B =(132 i )Nms.
π B =(60 i )Nms.

II. Merev testre ható erőrendszer teljesítménye

Adott: Az R sugarú, G súlyú homogén henger β hajlásszögű lejtőn gördül. A henger súlypontjának pillanatnyi sebessége v S .

G=100N , v S =(2 i )m/s ,

M 2 =(20 k )Nm , β= 30 o ,

R=0,5m , F 1 =(60 i +20 j )N.

Feladat: A G súlyerő P G teljesítményének,
az F 1 erő P F 1 teljesítményének,
az M 2 nyomaték P M 2 teljesítményének,
és az F A támasztóerő P F A teljesítményének kiszámítása.

1. Határozza meg a G súlyerő P G teljesítményét!
Írja be előjel helyesen az eredményt! A számok bevitelére a numerikus szektort használja!

A G súlyerő P G teljesítménye = W

2. Határozza meg az F 1 erő P F 1 teljesítményét!
Írja be előjel helyesen az eredményt! A számok bevitelére a numerikus szektort használja!

Az F 1 erő P F 1 teljesítménye = W

3. Határozza meg az M 2 nyomaték P M 2 teljesítményét!
Írja be előjel helyesen az eredményt! A számok bevitelére a numerikus szektort használja!

Az M 2 nyomaték P M 2 teljesítménye = W

4. Határozza meg az F A támasztóerő P F A teljesítményét!
Írja be előjel helyesen az eredményt! A számok bevitelére a numerikus szektort használja!

Az F A támasztóerő P F A teljesítménye = W