MODUL: 9. Merev test kinetikája
9.5 Gyakorló feladatok az impulzus tétel, a perdület tétel, az energiatétel, a munkatétel, a merev test kényszermozgása fejezetekhez
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- adatok alapján meghatározni egy test mozgásának főbb jellemzőit az impulzus tétel, a perdület tétel, az energiatétel, a munkatétel és a merev test kényszermozgása fejezetekben tanultak alapján.
|
1. feladat: Hasáb haladó mozgása lejtőn |
|
Adott: A haladó mozgást végző m tömegű hasáb, továbbá . |
Feladat: A hasáb gyorsulásának és a hasábra ható támasztó erőrendszer eredőjének meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A feladat megoldás a számítással: |
, . |
Impulzus tétel: , |
(). |
, |
, |
. |
, . |
b) A feladat megoldása szerkesztéssel: |
Impulzus tétel: . |
Helyzetábra | Vektorábra |  |  |
|
2. feladat: Hasáb haladó mozgása |
|
Adott: A haladó mozgást végző m tömegű hasáb, továbbá . |
Feladat: A hasáb gyorsulásának és a hasábra ható támasztó erőrendszer eredőjének meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A feladat megoldása szerkesztéssel: |
Impulzus tétel: . |
Helyzetábra | Vektorábra |  |  |
|
b) A feladat megoldása számítással: |
, , |
. |
Impulzus tétel: . |
. |
, |
. |
3. feladat: Henger gördülése lejtőn |
|
Adott: A tiszta gördülő mozgást végző henger, továbbá , m, g, R. |
Feladat: a) A henger S ponti gyorsulásának meghatározása. b) Az A ponti támasztóerő meghatározása. c) A hengerre ható erőrendszer P teljesítményének meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A henger S ponti gyorsulásának meghatározása: |
Perdület tétel az A pontra: |
. |
Perdület tétel a z-vel párhuzamos a tengelyre: |
, |
, . |
. |
b) Az A ponti támasztóerő meghatározása: |
Impulzus tétel: |
. |
Perdület tétel:  |
|
|
A gördülés feltétele: nyugvásbeli súrlódás. |
Az kényszererőnek (támasztóerőnek) a nyugvásbeli súrlódási kúpon belül kell lennie: . |
c) A hengerre ható erőrendszer P teljesítményének meghatározása: |
|
. |
4. feladat: Rögzített tengely körüli forgómozgás |
|
Adott:, , , , . |
Feladat: a) A súlypont gyorsulásának és az támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben. b) A (2) helyzetbeli szögsebesség meghatározása. c) A súlypont gyorsulásának és az támasztóerőnek a meghatározása a (2) jelű helyzetben. |
Kidolgozás: |
a) A súlypont gyorsulásának és az támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben: |
- A súlyponti gyorsulás meghatározása: |
Perdülettétel az A pontra: |
. |
A z tengely (a tengely) tehetetlenségi főtengely. |
, |
,
|
, |
, |
. |
- A támasztóerő meghatározása: |
Impulzus tétel: |
, |
. |
. |
b) A (2) helyzetbeli szögsebesség meghatározása: |
Munkatétel: , |
, . |
, |
, . |
c) A súlypont gyorsulásának és az támasztóerőnek a meghatározása a (2) jelű helyzetben: |
Perdülettétel az a tengelyre: , |

|
. |
Impulzus tétel: , |
, . |
, . |
. |
5. feladat: Két ponton támaszkodó hasáb haladó mozgása |
|
Adott: |
, , , , , , . |
Feladat: a) A súlypont gyorsulásának és a támasztóerőknek a meghatározása. b) A megállásig megtett út és a megállásig szükséges idő meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A súlypont gyorsulásának és a támasztóerőknek a meghatározása: |
Impulzus tétel: . |
|
, |
. |
. |
. |
Perdület tétel: |
, mert párhuzamos . |
|
. |
. |
, |
. |
b) A megállásig megtett út és a megállásig szükséges idő meghatározása: |
Munkatétel: , |
, |
, |
, |
. |
|
6. feladat: Hasáb haladó mozgása |
|
Adott: Az jelű, sima kényszerpályán G súlyú hasáb csúszik. Kezdő sebessége A testre ható erő a kényszerpályával szöget zár be. |
, , ; |
, |
Feladat: Annak meghatározása, hogy a) mekkora erő esetén mozoghat a test állandó sebességgel, b) mekkora a test gyorsulása és az kényszererő, c) mekkora erő esetén szűnik meg a test és a lejtő közötti kapcsolat. |
Kidolgozás: |
a) Az állandó sebességű mozgás biztosításához szükséges erő meghatározása: |
Impulzus tétel: , ahol , |
. |
, |
. |
. |
|
b) Az gyorsulás és az kényszererő (támasztóerő) meghatározása: |
|
|
|
. |
|
c) Az meghatározása: |
Az elválás feltétele: , |
|
7. feladat: Hasáb mozgása kényszerpályán |
|
Adott: Az jelű kényszerpályán pillanatnyi sebességgel haladó mozgást végző hasábra a súlyerő és az erő hat. |
, , , , , . |
Feladat: Határozza meg számítással és szerkesztéssel |
1) | (sima kényszerpálya) esetén | | a) | a hasáb súlypontjának gyorsulását, sebességét és a támasztó erőrendszer eredőjét az idő függvényében! | | b) | az értékét, amelynél bekövetkezik a hasáb felbillenése! | 2) | (érdes kényszerpálya) esetén a hasáb súlypontjának gyorsulását és sebességét az idő függvényében! |
|
Kidolgozás: |
1) A feladat megoldása sima kényszerpálya esetén (). a) A gyorsulás, a támasztóerő és a sebesség meghatározása: |
- Számítás: |
|
|
|
|
|
- Szerkesztés: |
Szerkezetábra | Vektorábra |  |  |
|
b) Billenés: Ha a támasztóerő hatásvonala nem metsz bele az érintkezési felületbe. |
- Szerkesztés: |
Szerkezetábra | Vektorábra |  |  |
|
- Számítás: |
. |
2) A feladat megoldása érdes kényszerpálya esetén (). |
- Számítás: |
|
|
|
. |
|
|
- Szerkesztés: |
Szerkezetábra | Vektorábra |  |  |
|
8. feladat: Hasáb mozgása kényszerpályán |
|
Adott: Az érdes, hajlásszögű felületen pillanatnyi sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb. |
, , c = 1 m, b = 2 m, |
Feladat: A hasáb súlyponti gyorsulásának, valamint a hasábra ható kényszererőnek és az erő hatásvonalának meghatározása a) számítással, b) szerkesztéssel. |
Kidolgozás: |
a) A feladat megoldása számítással: |
|
Impulzus tétel: |
|
, |
, |
. |
, |
|
|
. |
A kényszererő: |
A kényszererő hatásvonala a perdület tételből: |
, |
|
b) A feladat megoldása szerkesztéssel: |
Helyzetábra | Vektorábra |  |  |
|
9. feladat: Henger gördülése sík kényszerpályán |
|
Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger. |
Feladat: a) Az adott gyorsulás fenntartásához szükséges erő meghatározása. b) Az kényszererő meghatározása. c) A csúszásmentes gördülő mozgás megvalósításához szükséges nyugvásbeli súrlódási tényező meghatározása. d) A hengerre ható erőrendszernek az hosszon végzett munkájának meghatározása. |
Kidolgozás: |
A henger szöggyorsulása |
A hengerre ható kényszererő (támasztóerő) . |
a) Az erő meghatározása: |
|
Perdület tétel az A pontra: |
, |
, |
mert a tehetetlenségi főtengely. |
|
|
b) Az kényszererő (támasztóerő) meghatározása: |
Impulzus tétel: |
|
|
|
|
Ellenőrzés: perdület tétel a henger S súlypontjára: |
|
|
c) A csúszásmentes gördüléshez szükséges minimális nyugvásbeli súrlódási tényező: |
|
d) Az szakaszon végzett munka: |
|
10. feladat: Henger gördülése sík kényszerpályán |
|
Adott: A sík kényszerpályán tiszta gördülő mozgást végző körhenger. |
, |
Feladat: a) A henger szöggyorsulásának és S pontja gyorsulásának meghatározása. b) A hengerre ható kényszererő (támasztóerő) meghatározása. c) A nyomaték legnagyobb értékének meghatározása, amelynél a henger még éppen nem csúszik meg. |
Kidolgozás: |
a) A henger szöggyorsulása és gyorsulása: |
A szöggyorsulás és az S ponti gyorsulás kapcsolata: , vagy . |
A hengerre ható kényszererő |
|
|
|
, mert a tehetetlenségi főtengely. |
|
. |
|
b) Az kényszererő (támasztóerő) meghatározása: |
Impulzus tétel: . |
. |
, |
, . |
|
c) A megcsúszáshoz tartozó nyomaték meghatározása: |
|
. |
. |
|
|
11. feladat: Gördülő mozgás kinetikája |
|
Adott: Az R sugarú, súlyú merev körhenger, amely a rá ható nyomaték hatására felfelé gördül az érdes lejtőn. A gördülő ellenállás karja , , , , , |
Feladat: a) A henger szöggyorsulásának és az támasztóerő meghatározása. b) Mekkora szögsebességgel kell a hengernek elindulnia, hogy a B pontban az előírt legyen a szögsebessége? |
Kidolgozás: |
a) A szöggyorsulás és a támasztóerő meghatározása: |
|
. |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
, , |
. |
|
|
, |
|
|
A megcsúszás ellenőrzése: |
. . |
Mivel <, A henger nem csúszik meg. |
b) A henger indulási szögsebességének meghatározása: |
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
. |
12. feladat: Álló tengely körüli forgó mozgás kinetikája (Fizikai inga) |
Adott:, , , , , . |
|
Feladat: a) Az indítás pillanatában az gyorsulás és az támasztóerő meghatározása. b) Az (1) helyzetben az S pont gyorsulása és az A pontban ható kényszererő meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, (0) jelű helyzetben: |
Az A ponti kényszererő: . |
Az S pont gyorsulása: . |
Az inga szöggyorsulása: . |
Az inga szögsebessége: |
Az A pontra felírt perdület tétel: |
. |
. |
, |
|
|
. |
|
A súlyponti gyorsulás: |
. |
. |
|
Impulzus tétel: |
|
|
|
|
. |
|
b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (1) jelű helyzetben: |
Az inga szögsebessége a függőleges helyzetben . |
Munkatétel: , |
, |
, |
, |
|
Az A pontra felírt perdület tétel: |
, . |
, |
|
. |
|
, |
, |
|
Impulzus tétel: |
|
. |
|
|
|
A két helyzetben fellépő mennyiségek szemléltetése: |
|
13. feladat: Álló tengely körüli forgó mozgás kinetikája (Fizikai inga) |
|
Adott: Az m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd, amely az A pont körül a függőleges síkban végez forgómozgást. Az szöggel meghatározott (1) jelű helyzetben a rúd S pontjának sebessége zérus. |
, , , |
Feladat: a) A rúd S pontja gyorsulásának és az támasztóerőnek a meghatározása az (1) jelű helyzetben. b) A rúd S pontja gyorsulás át és az támasztóerőnek , valamint az szögsebességének a meghatározása a (2) jelű helyzetben. |
Kidolgozás: |
a) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, (1) jelű helyzetben: |
Az A ponti kényszererő: , |
Az S pont gyorsulása , |
A rúd szöggyorsulása |
A rúd szögsebessége |
Az A pontra felírt perdület tétel: |
. |
|
, |
|
. |
|
. |
|
A súlyponti gyorsulás: |
|
|
. |
Impulzus tétel: |
|
|
|
|
|
|
|
b) A súlyponti gyorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, (2) jelű helyzetben: |
Munkatétel: |
|
|
, |
|
Az A pontra felírt perdület tétel: |
|
A súlyponti gyorsulás: |
. |
|
|
Impulzus tétel: |
|
|
|
|
14. feladat: Hasáb mozgása kényszerpályán |
|
Adott: Az érdes kényszerpályán az m tömegű téglatest sebességgel mozog felfelé. A mozgásbeli súrlódási tényező . |
, , , . |
Feladat: a) Az m tömegű test gyorsulása hogyan függ az erő nagyságától, ha ? b) Az m tömegű test gyorsulása hogyan függ az erő nagyságától, ha az elválás megtörtént? |
Kidolgozás: |
a) Ha akkor a test kényszermozgást végez. |
, |
|
b) Ha elválik, akkor a test szabad mozgást végez. |
|