KURZUS: Mechanika - Mozgástan
MODUL: 9. Merev test kinetikája
9.2 Merev test impulzusa, impulzusnyomatéka, kinetikai energiája, teljesítmény, munka
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani tömegpontrendszer és merev test esetén az impulzusvektort és az impulzus nyomaték vektort, a kinetikai energiát leíró összefüggéseket;
- kiválasztani a merev testre ható erőrendszer teljesítményét és munkáját leíró összefüggéseket.
|
Merev test impulzusa, impulzusnyomatéka |
|
Az impulzusvektor értelmezése |
Tömegpontrendszer esetén: . |
Merev test esetén: . |
Az impulzusvektor mértékegysége: . |
Az impulzus kiszámítása merev test esetén: . |
m - az test (egész) tömege. |
Impulzusnyomaték (perdület) vektor értelmezése |
Tömegpontrendszer esetén: . |
Merev test esetén: . |
A perdület mértékegysége: . |
Speciális eset: az S ponti perdületvektor kiszámítása |
|
. |
Általában: . |
Kivétel: |
ha a egyik főtengelyével. |
|
Összefüggés test két pontjára számított perdület között |
. |
Analógia (erőrendszerek): . |
| Gyakorló feladat: Tömegpont rendszer impulzusa és perdülete |
|
Adott: A súlytalan, vízszintes rúd az y tengely körül végez forgómozgást. A rúdhoz kötött anyagi pontok tömegei: |
|
. |
A (3) jelű tömegpont sebessége és gyorsulása: , . |
Feladat: a) Az ábrán c-vel jelölt távolság meghatározása. b) Az impulzus vektorrendszer redukált vektorkettősének meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A c távolság meghatározása: |
. |
|
b) Redukált vektorkettős meghatározása: |
. |
, , . |
|
. |
, , . |
|
| Merev test kinetikai energiája, teljesítmény, munka |
Kinetikai (mozgási) energia |
|
- A kinetikai energia értelmezése:
Tömegpontrendszer esetén: . Merev test esetén: . A kinetikai energia mértékegysége: . - A kinetikai energia kiszámítása merev test esetén: .
|
Speciális esetek: |
) Ha az szögsebességvektor a tenzor egyik tehetetlenségi főtengelyével. |
Ekkor: , ahol a test S ponti, -val tehetetlenségi főtengelyére számított tehetetlenségi nyomaték. |
. |
) Ha és "a" az vektorral A ponti tehetetlenségi főtengely, akkor: |
, ahol a test A ponti, -val tehetetlenségi főtengelyére számított tehetetlenségi nyomaték. |
A merev test(ek)re ható erőrendszer teljesítménye |
- Az ER redukált vektorkettősével: .
|
| | - a testre ható erőrendszer S pontba redukált vektorkettőse, | | | - a test szögsebessége és S pontjának sebessége. |
|
- Az ER-t alkotó erőkkel és nyomatékokkal: .
|
| | n - az ER-hez tartozó koncentrált erők száma, | | | m - az ER-hez tartozó koncentrált nyomatékok száma, | | | - az koncentrált erő támadáspontjának sebessége, | | | - annak a merev testnek a szögsebessége, amelyre az koncentrált nyomaték hat. |
|
Merev testre ható erőrendszer munkája |
A merev testre ható erőrendszer < t1, t2 > időtartam alatt végzett munkája egyenlő az erőrendszer teljesítményének - határok között vett idő szerinti integrálja: |
. |
| Gyakorló feladat: Merev test impulzusa, impulzus nyomatéka és kinetikai energiája |
Adott: Az m tömegű merev test szögsebessége, S súlypontjának sebessége, az S pontra vonatkozó tehetetlenségi tenzor mátrixa és az vektor: |
|
, |
, |
, |
, |
. |
Feladat: a) A test impulzusának és súlyponti perdületének meghatározása. b) A test B pontra számított perdületének meghatározása. c) A test b és tengelyekre számított és perdületének meghatározása. d) A test E kinetikai energiájának meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A test impulzusának és súlyponti perdületének meghatározása: |
|
. |
b) A test B pontra számított perdületének meghatározása: |
|
. |
|
c) A test és perdületének meghatározása: |
, . |
d) A test E kinetikai energiájának meghatározása. |
|
. |
| I. Jelölje be az egyetlen jó választ! A tömegpontrendszer impulzusvektorát leíró összefüggés: |
II. Jelölje be az egyetlen jó választ! A tömegpontrendszer impulzusnyomaték vektorát (perdület) leíró összefüggés: |
III. Jelölje be az egyetlen jó választ! A tömegpontrendszer kinetikai energiáját leíró összefüggés: |
IV. Jelölje be az egyetlen jó választ! A merev testre ható erőrendszer teljesítményét redukált vektorkettőssel leíró összefüggés: |
V. Jelölje be az egyetlen jó választ! A merev testre ható erőrendszer < t1 t2 > időtartam alatt végzett munkáját leíró összefüggés: |