KURZUS: Mechanika - Mozgástan
MODUL: 3. Matematikai alapok
3.3. Vektorok skaláris, vektoriális, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata
A lecke követelményei | |||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||
| |||||
Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Mechanika - Statika kurzus: | |||||
| |||||
Vektorok skaláris, vektoriális, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata | |||||
Vektorok skaláris szorzata | |||||
A skaláris szorzás értelmezése: . ( a vektorok között bezárt szög, .) | |||||
A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: | |||||
. | |||||
Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. | |||||
Megjegyzés: Az azonos indexű elemeket szorozzuk össze. | |||||
A skaláris szorzás eredménye egy skaláris mennyiség (előjeles szám). | |||||
Ha , mert , akkor nulla, ha abban az esetben, ha . | |||||
Megjegyzés: lásd Mechanika - Statika kurzus, Vektorműveletek lecke. |
Gyakorló feladat | ||
Adott: m, m | ||
Feladat: Az szorzat meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
Az szorzat meghatározása: | ||
Vektorok vektoriális szorzata | ||
A vektoriális szorzás értelmezése: | ||
Ha , mert az esetben akkor nulla, ha | ||
Az ábra és az összefüggés a vektoriális szorzás elvégzését a determináns kifejtési szabályának a felhasználásával mutatja be. | ||
| ||
Vektorok vektoriális szorzatának () eredménye egy olyan vektor, amely mindkét szorzó tényező vektorra (, ) merőleges: és az vektor az és vektorral jobbsodratú vektorhármast (KR-t) alkot. | ||
Megjegyzés: lásd Mechanika - Statika kurzus, Vektorműveletek lecke. | ||
Vektorok kétszeres vektoriális szorzata | ||
Vektorok kétszeres vektoriális szorzata: , vagy . | ||
Kiszámítás kétféle úton lehetséges: | ||
|
Gyakorló feladat | |||
Adott: m, . | |||
| |||
Feladat: | |||
a) A vektor egységvektorral párhuzamos összetevőjének meghatározása. | |||
b) A vektor egységvektorra merőleges összetevőjének meghatározása kétszeres vektoriális szorzással. | |||
c) A vektor egységvektorra merőleges összetevőjének meghatározása a kifejtési szabállyal. | |||
Megjegyzés: Az egységvektor abszolút értéke: 1, mert | |||
Kidolgozás: | |||
a) A párhuzamos összetevő meghatározása: | |||
Megjegyzés: lásd a Mechanika - Statika jegyzetet. | |||
m. | |||
A párhuzamos összetevő abszolút értéke 50, mert 50 (ahol egységvektor), illetve | |||
b) A merőleges összetevő meghatározása kétszeres vektoriális szorzással: | |||
Megjegyzés: lásd a Mechanika - Statika jegyzetet. | |||
. | |||
, | |||
. | |||
m. | |||
c) A összetevő meghatározása a kifejtési szabállyal: | |||
. | |||
m. | |||
A b) és c) eredmény természetesen azonos , csak a kiszámítási módszer különbözik. | |||
Ellenőrzés: | |||
Az ábra alapján a két megoldás ellenőrizhető. | |||
|
Vektorok diadikus szorzata | ||
Legyen adott az és tetszőleges vektor. | ||
Két vektor diadikus szorzatának jelölése: , elnevezése: diád. | ||
Az jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé. | ||
Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük: | ||
| ||
Ha a szorzás a fenti összefüggéseket kielégíti, akkor a szorzás diadikus. | ||
Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodrású, derékszögű koordináta-rendszerben: | ||
. | ||
Az első szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit sormátrixba rendezzük és a szorzást a mátrix szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy kilenc skaláris mennyiséget tartalmazó mátrix. | ||
Az ábra a diadikus szorzás logikáját mutatja be. | ||
| ||
Egységvektorok diadikus szorzata: | ||
, , | ||
, , | ||
, , | ||
, , | ||
. | ||
Megjegyzés: az egységvektorok diadikus szorzása mindig olyan mátrixot eredményez, amelyben 3 sor és 3 oszlop van. Az eredménymátrixban egyetlen 1-es található, a többi elem nulla (0). | ||
Megjegyzés: ismételje át az egységvektorok skaláris és vektoriális szorzását is. | ||
A skalár számmal történő szorzás mindig diadikus, vagy más szóhasználattal általános szorzás. |
Gyakorló feladat | ||
Adott: m, m, m. | ||
Feladat: | ||
a) Az szorzat meghatározása. | ||
b) Az és a szorzat meghatározása. | ||
Kidolgozás: | ||
a) Az szorzat meghatározása: | ||
m2. | ||
A szögletes zárójelben lévő diádok első szorzó tényezőinek koordinátái a tenzor mátrixának oszlopaiban jelennek meg: | ||
m2. | ||
Megjegyzés: lásd a diadikus szorzás logikáját. | ||
Megjegyzés: A végrehajtási szabályból (két azonos mértékegységgel rendelkező szám összeszorzása) következik, hogy az eredmény mértékegysége m2. | ||
b) Az és a szorzat meghatározása: | ||
| ||
Az és a szorzatok eredménye - az azonos kiindulási adatok ellenére - természetesen eltérő. Lásd a Vektorok diadikus szorzatának tulajdonságait. |
Önellenőrző kérdések | ||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
I. Végezze el a műveletet! | ||||||||||
Adott: | ||||||||||
Egészítse ki értelemszerűen az alábbi mátrixot (táblázatot) a megfelelő egész számok beírásával! Ügyeljen arra, hogy a számbillentyűket használja! Csak a negatív számoknál írjon előjelet (a numerikus szektort használja)! m2 ![]() | ||||||||||
II. Jelölje be az egyetlen jó választ! A vektorok skaláris szorzásának eredménye:
![]() | ||||||||||
III. Jelölje be az egyetlen jó választ! A vektorok vektoriális szorzásának eredménye:
![]() |