KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 7. Tömegpont kinetikája

7.2. Gyakorló feladatok tömegpont kinetikájára

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • adatok alapján meghatározni a tömegpont mozgásjellemzőit.
1. feladat: Tömegpont lejtőn történő mozgása

Adott:

  • a ( μ=0 ) sima lejtő α dőlésszöge,
  • az m tömegű anyagi pont v 0 kezdősebessége az (1) jelű helyzetben,
  • az ábrán látható h magasság.

Feladat:
a) Az F K kényszererő (támasztóerő) meghatározása.
b) A tömegpont a gyorsulásának meghatározása.
c) A tömegpont (2) helyzetbeli v h sebességének meghatározása.
d) Annak a t h időnak a meghatározása, amely alatt az anyagi pont az (1) helyzetből a (2) helyzetbe ér.

Kidolgozás:

a) Az F K kényszererő (támasztóerő) meghatározása:

Impulzus tétel: I ˙ = F

m a =m g + F K / n ,

0=mgcosα+ F N F N =mgcosα F K = F N n ,

b) A tömegpont a gyorsulásának meghatározása.

Impulzus tétel: I ˙ = F

m a =m g + F K / e

m a e =mgsinα a e =gsinα a = a e e .

c) A tömegpont (2) helyzetbeli v h sebességének meghatározása:

Munkatétel: E 2 E 1 = W 12 = r = r 1 r 2 F d r = F Δ r ,

,

v h = 2gh+ v 0 2 .

d) Annak a t h időnek a meghatározása, amely alatt az anyagi pont az (1) helyzetből a (2) helyzetbe ér:

Impulzus tétel: I 2 I 1 = t o t h F dt ,

m v h m v 0 =(m g + F K ) t h / e ,

,

t h = v h v 0 gsinα = 2gh+ v 0 2 v 0 gsinα .

2. feladat: Tömegpont mozgása körpályán

Adott:

Az l hosszúságú nyújthatatlan kötélre felfüggesztett m tömegű anyagi pont.

Feladat:
a) Mekkora φ max helyzetig lendül ki a tömegpont, ha kötél függőleges helyzetéből v 0 sebességgel indítjuk?
b) Mekkora a tömegpont a gyorsulása és a tömegpontra ható F K kényszererő a tetszőleges φ (0<φ< φ max ) helyzetben?

Kidolgozás:

a) A φ max meghatározása:

Munkatétel: E 2 E 0 = W 02 = r = r 0 r 2 F d r ,

1 2 m v 2 2 =0 1 2 m v 0 2 = F K d r =0 +m g Δ r ,

,

v 0 2 2gl =(1cos φ max ) ,

cos φ max =1 v 0 2 2gl φ max =arccos(1 v 0 2 2gl ) .

b) A tömegpont a gyorsulása és a tömegpontra ható F K kényszererő meghatározása tetszőleges φ ( 0<φ< φ max ) helyzetben:

Munkatétel: ,

v 2 = v 0 2 gl(1cosφ) .

Impulzus tétel:

I ˙ = F ,

m( a e + a n )= F K +m g / e / n

m a e =0mgsinφ m a n = F N mgcosφ }

Az első egyenletből: a e =gsinφ .

A második egyenletből: F N =m( a n +gcosφ)=m( v 2 l +gcosφ) .

A gyorsulás és a kényszererő vektor:

a = a e e + a n n =gsinφ e + v 2 l n ,  ( a n = v 2 l ).

F K = F N n =m( v 2 l +gcosφ) n .

3. feladat: Tömegpont mozgása körpályán

Adott:

Az R sugarú, sima ( μ=0 ) kényszerpálya, amelynek felső pontjából az m tömegű anyagi pontot v 0 sebességgel indítjuk.

Feladat: Hol hagyja el a tömegpont a kényszerpályát?

Kidolgozás:

Impulzus tétel: m( a e + a n )= F K +m g / n

.

Elválási feltétel: F N =0 ,  (Megszűnik a kényszerpálya tömegpontra gyakorolt hatása.)

a nelv = v elv 2 R =gcosφ v elv 2 =Rgcosφ ,

Munkatétel: ,

v e 2 v 0 2 =2gR(1cos φ elv ) ,

Rgcos φ elv 2gR+2gRcos φ elv = v 0 2 ,

Rg(3cos φ elv 2)= v 0 2 ,

3cos φ elv 2= v 0 2 Rg ,

cos φ elv = v 0 2 3Rg + 2 3 φ elv =arccos( v 0 2 3Rg + 2 3 ) .

4. feladat: Tömegpont mozgása érdes síkon

Adott:

m,g, v 0 ,μ=tgρ .

Feladat:
a) Mennyi idő alatt áll meg a tömegpont?
b) Mekkora L utat tesz meg a tömegpont a megállásig?

Kidolgozás:

a) Mennyi idő alatt áll meg a tömegpont?

Impulzus tétel: m a =m g + F K

m( a e e + a n n )=m g μ F N e F S + F N n ,    / n / e .

A pálya egyenes  a n =0 .

0=mg+ F N , F N =mg .

m a e =μ F N ,

.

Impulzus tétel integrál alakja: I L I 0 = 0 t L (m g + F K )dt ,

0 m v 0 =(m g + F K ) t L / e ,

m v 0 =μmg t L ,

t L = v o μg .

b) A megállásig megtett út meghatározása:

Munkatétel integrál alakja: E L E 0 = r = 0 r L (m g + F K )d r ,

,

L= v 0 2 2μg .

5. feladat: Tömegpont mozgása érdes lejtőn

Adott:

G , F 0 ,μ=tgρ, v .

Feladat: A tömegpont gyorsulásának és támasztóerőjének meghatározása
a) számítással és
b) szerkesztéssel.

Kidolgozás:

a) Megoldás számítással:

m a e e =m g + F 0 μ F N e + F N n / e / n ,

m a e =mgsinα+ F 0 cosαμ F N 0=mgcosα F 0 sinα+ F N }

F N =mgcosα+ F 0 sinα ,

a e =g(sinα+μcosα)+ F 0 m (cosαμsinα) .

b) Megoldás szerkesztéssel:

Impulzus tétel: m a = G + F 0 + F K .

HelyzetábraVektorábra
6. feladat: Tömegpont mozgása kényszerpályán

Adott:

Az érdes, vízszintes felületen v 0 kezdeti sebességgel mozgó m tömegű anyagi pont.

μ=0,2; v 0 =2m/s,

m=10kg,g=10 m/s 2 .

Feladat:
a) A tömegpont gyorsulásának meghatározása.
b) A megállásig szükséges idő meghatározása.
c) A megállásig megtett út meghatározása.

Kidolgozás:

a) A tömegpont gyorsulásának meghatározása:

Impulzus tétel: I ˙ = F ,

m a = F K + G , F K = F S e + F N n = F N (μ e + n ) .

m a e e =( F S e + F N n )+(mg n ),/ e / n

m a e =μ F N , 0= F N mg,
a e =μg( ), F N =mg.
a e =(2 e ) m/s 2 . F K =(20 e +100 n )N.

A tömegpont gyorsulása a sebességgel ellentétes irányú, tehát a tömegpont nem gyorsul, hanem lassul.

b) A megállásig szükséges idő kiszámítása:

Az impulzus tétel integrál alakja:

I 1 I 0 = (t) F dt= (t) ( G + F K )dt=( G + F K ) t 0 =0 t 1 dt,

m v 1 =0 e m v 0 e =[ (mg n )+(μ F N e + F N n ) ] t 1 / e ,

m v 0 =μmg t 1 t 1 = v 0 μg = 2 0,210 =1s.

c) A megállásig megtett út kiszámítása:

Munkatétel:

E 1 E 0 = W 01 = r 0 = 0 r 1 [ (μ F N e + F N n )+(mg n ) ] (ds e ) d r ,/ e

1 2 m v 1 2 =0 1 2 m v 0 2 =μmgL,L= v 0 2 2μg = 2 2 20,210 = 4 4 =1m .

7. feladat: Tömegpont mozgása érdes lejtőn

Adott: φ=ψ= 30 o ,m=10kg, μ=tgρ=0,2; v 0 =(8 i )m/s.

Feladat:
a) Annak meghatározása, hogy mekkora F 1 erő esetén marad a tömegpont a kényszerpályán.
b) A tömegpont gyorsulásának meghatározása a pálya elhagyásának pillanatában.

Kidolgozás:

a) Az F 1 erő meghatározása a pálya elhagyásának pillanatában:

Az ismert irányú mennyiségek:

F 1 = F 1 e 1 ,ahol e 1 =cosψ i +sinψ j , a =a i ,

G =m g =m(gsinφ i gcosφ j ),

F K = F S + F N =(μ F N i + F N j ).

Impulzus tétel: m a = F m a = F 1 + G + F K

ma i = F 1 (cosψ i +sinψ j )+mg(sinφ i cosφ j )+(μ F N i + F N j )
A vektoregyenletet skalárisan megszorozva i -vel és j -vel:

ma= F 1 cosψmgsinφμ F N , F 1 sinψmgcosφ+ F N =0, F N =mgcosφ F 1 sinψ.

ma= F 1 cosψmgsinφμ(mgcosφ F 1 sinψ) .

A kényszerpályán maradás feltétele: F N 0 .

F N =mgcosφ F 1 sinψ0, F 1 F 1max = mgcosφ sinψ = 10100,866 0,5 =173,2N.

b) A tömegpont gyorsulásának meghatározása a pálya elhagyásának pillanatában:

ma= F 1 cosψmgsinφμ(mgcosφ F 1 sinψ),

ma= F 1 (cosψ+μsinψ)mg(sinφ+μcosφ),

a= F 1 m (cosψ+μsinψ)g(sinφ+μcosφ).

A tömegpont gyorsulása a pálya elhagyásának pillanatában:

a= 173,2 10 (0,866+0,20,5)10(0,5+0,20,866)=

=16,736,73=10 m/s 2 .

ag=10 m/s 2 , a =(10 j ) m/s 2 .

8. feladat: Tömegpont mozgása körpályán

Adott:

G =(60 j )N , g10 m/s 2 , v =(v e ), v=2 m/s, μ=tgρ=0,2 , e =(0,8 i 0,6 j ) ,

n =(0,6 i +0,8 j ) , R=2m .

Feladat: A tömegpont gyorsulásának és a tömegpontra ható kényszererőnek a meghatározása
a) számítással,
b) szerkesztéssel.

Kidolgozás:

a) A feladat megoldása számítással:

A súlyerő vektor: G e = G e =(60 j )(0,8 i 0,6 j )=36N ,

G n = G n =(60 j )(0,6 i +0,8 j )=48N ,

G = G e e + G n n =(36 e 48 n )N .

A támasztóerő (kényszererő): F K = F S + F N =(μ F N e + F N n ).

A tömeg: m= G g = 60 10 =6kg.

A gyorsulás:

a = a e + a n = a e e + a n n ,

a n = v 2 R = 2 2 2 =2 m/s 2 .

Impulzus tétel:

m a = G + F K

m a e e +m a n n =( G e e + G n n )+(μ F N e + F N n ),

m a e e +m2 n =(36 e 48 n )+(μ F N e + F N n ),/ e / n

m a e =36μ F N ,   2m=48+ F N ,

F N =48+2m=48+26=60N ,

a e = 36μ F N m = 360,260 6 =4 m/s 2 ,

a =(4 e +2 n ) m/s 2 .

F K = F S + F N =μ F N e + F N n =(0,260 e +60 n )=(12 e +60 n )N.

b) A feladat megoldása szerkesztéssel:

Impulzus tétel: m a e e +m a n n = G +(μ F N e + F N n ).

HelyzetábraVektorábra
9. feladat: Tömegpont mozgása sima lejtőn

Adott:

Az α jelű, sima kényszerpályán csúszó G súlyú hasáb, amelynek kezdősebessége v 0 . A testre ható F 1 erő a kényszerpályával ψ szöget zár be.

G =(60 i 80 j )N , μ=0 ,

tgψ=0,4 , g10 m/s 2 ,

F 1 =(85 i +34 j )N .

Feladat: Annak meghatározása, hogy
a) mekkora F 1 erő esetén mozoghat a test állandó sebességgel,
b) mekkora a test a gyorsulása és az F α kényszererő,
c) mekkora F 1max erő esetén szűnik meg a test és a lejtő közötti kapcsolat.

Kidolgozás:

a) Az állandó sebességű mozgás biztosításához szükséges F 1 erő meghatározása:

Impulzus tétel: m a = G + F 1 + F α ,

ahol: G = G x i + G y j F α = N α j ,

F 1 =( F 1 cosψ i + F 1 sinψ j )= F 1x i + F 1y j .

Állandó sebességű mozgás: a = 0 .

0 =(60 i 80 j )+ F 1 (cosψ i +sinψ j )+ N α j / i

0=60 F 1 cosψ= G x + F 1x F 1x = G x =60N .

tgψ= | F 1y | | F 1x | | F 1y |=| F 1x |tgψ=600,4=24N .

F 1 =(60 i +24 j )N.

b) Az a gyorsulás és az F α kényszererő (támasztóerő) meghatározása:

Impulzus tétel: m a = G + F 1 + F α .

m( a x i +a j y )=( G x i + G y j )+( F 1x i + F 1y j )+( N α j )/ i / j

m a x = G x + F 1x , a x = G x + F 1x m = 6085 10 =2,5 m/s 2 .

m a y 0 = G y + F 1y + N α ,N = α G y F 1y =8034=46 N .

a =(2,5 i ) m/s 2 F = α (46 j )N.

c) Az F 1max meghatározása:

Az elválás feltétele: N α = G y F 1y 0 F 1y G y =80N ,

| F 1x max |= | F 1y | tgψ = 80 0,4 =200 N.

F 1max =(200 i +80 j )N.

10. feladat: Tömegpont mozgása vízszintes síkon

Adott:

Az α jelű vízszintes kényszerpályán v S0 pillanatnyi sebességgel haladó mozgást végző hasábra a G súlyerő és az F 1 erő hat.

v S0 =(3 i )m/s , g10 m/s 2 ,

F 1 =(0,2 i )kN , b=2m ,

G =(0,8 j )kN , h=0,8m .

Feladat: Meghatározni szerkesztéssel

1) μ=0 (sima kényszerpálya) esetén
 a)a hasáb súlypontjának a S gyorsulását, v S sebességét és a támasztó erőrendszer F α eredőjét az idő függvényében.
 b) értékét, amelynél bekövetkezik a hasáb felbillenése.
2) μ=0,2 (érdes kényszerpálya) esetén a hasáb súlypontjának a S gyorsulását és v S sebességét az idő függvényében.

Kidolgozás:

1) A feladat megoldása sima kényszerpálya esetén ( μ=0 ):
a) A gyorsulás, a támasztóerő és a sebesség meghatározása:

Szerkesztés: m a S = F 1 + G F er + F α .

SzerkezetábraVektorábra

Számítás:

Impulzus tétel: m a S = F 1 + G F er + F α = F er + F α .

m a S i =(F 1 i )+(G j )+( μ N α i = 0 + N α j ),/ i / j

m a S =F 1 , 0=G+ N α ,
a S = F 1 m = 200 80 =2,5 m/s 2 , N α =G=0,8kN,
a S =(2,5 i ) m/s 2 =áll. F α =(0,8 j )kN=áll.

v S = v S (t)= v S 0 + a S (t)t=(3 i )+(2,5t i )m/s.

b)Billenés: Ha a támasztóerő hatásvonala nem metsz bele az érintkezési felületbe.

Számítás: π ˙ d = M d =0 .

0= F 1max h 2 +G b 2 , F 1max =G b h =800 2 0,8 =2000N=2kN.

Szerkesztés: m a Smax = F 1max + G F er + F bill .

SzerkezetábraVektorábra

2) A feladat megoldása érdes kényszerpálya esetén ( μ=0,2 ):

Számítás: m a S = F 1 + G F er + F α = F er + F α .

m a S i =(F 1 i )+(G j )+(μ| N α | i + N α j )/ j / i

0=G+ N α , N α =G=0,8 kN .

m a S =F 1 μ| N α |, a S = F 1 μ| N α | m = 2000,2800 80 =0,5 m/s 2 .

a S =(0,5 i ) m/s 2 =áll.

F α =(μ| N α | i + N α j ) =(160 i +800 j )N=áll.

v S = v S (t)= v S0 + a S (t)t=(3 i )+(0,5t i )m/s.

Szerkesztés: m a S = F 1 + G F er + F α .

SzerkezetábraVektorábra
11. feladat: Tömegpont mozgása kényszerpályán

Adott:

Az érdes, α hajlásszögű felületen v S pillanatnyi sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb.

μ=0,25; v S =(10 i )m/s , m=40kg , g=10 m/s 2 ,

α= 30 o , c=1m , b=2m ,

F 0 =(200 i 100 j )N .

Feladat: A hasáb súlyponti gyorsulásának és a  hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása
a) számítással és
b) szerkesztéssel.

Kidolgozás:

a) A hasáb súlyponti gyorsulásának és a hasábra ható kényszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása számítással:

Impulzus tétel: m a S =( G + F 0 + F K ).

(m a S i )=(mgsinα i mgcosα j )+ ( F 0x i + F 0y j )+(μ F N i + F N j )

Az egyenletet skalárisan beszorozva először j -vel, majd i -vel:

0=mgcosα+ F 0y + F N , F N =346,4+100=446,4N.

m a S =mgsinα+ F 0x +μ F N a S = 1 m (mgsinα+ F 0x +μ F N )

a S = 1 40 (40100,5+200+0,25446,4)=2,91 m/s 2 .

A súlyponti gyorsulás: a S =(2,91 i ) m/s 2 .

A kényszererő: F K =(μ F N i + F N j )=(111,6 i +446,4 j )N.

A kényszererő hatásvonala a perdület tételből: π ˙ s = M s ,

0= c 2 F 0x b 2 F 0y +h F N , h= c 2 F 0x F N + b 2 F 0y F N =0,5 200 446,4 + 100 446,4 =0,448m.

b) A feladat megoldása szerkesztéssel: m a S =( G + F 0 F er + F K ).

HelyzetábraVektorábra
Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

Tömegpont mozgása lejtőn

Adott:

G =(30 i 40 j )N ,

v 0 =(10 i )m/s,

s 1 =5m μ=tgρ=0,15 ,

F 0 =(100 i )N.

Feladat:
a) Számítással és szerkesztéssel meghatározni, hogy az indulási helyzetben mekkora a tömegpont gyorsulása.
b) Meghatározni az F 0 erőnek azt az értékét, amely esetén a tömegpont s 1 út megtétele után megáll.

I. Számítással határozza meg az indulási helyzetben a tömegpont gyorsulását!
Jelölje be az egyetlen jó választ!
a =(5,2 j ) m/s 2 .
a =(15,2 i ) m/s 2 .
a =(4,2 i ) m/s 2 .
a =(15,2 i ) m/s 2 .
a =(1,9 i ) m/s 2 .
a =(4,2 i ) m/s 2 .

II. Szerkesztéssel határozza meg az indulási helyzetben a tömegpont gyorsulását!
A következő lapozóskönyv 2. és 3. oldalán megtalálja a megoldást.

Kiindulási ábra1/3
visszaelőre
III. Számítással határozza meg az s 1 út megtételéhez szükséges erőt!
Jelölje be az egyetlen jó választ!
F 0 =(100 j )N.
F 0 =(74 i )N.
F 0 =(74 j )N.
F 0 =(100 i +74 i )N.
F 0 =(5 i +9 j )N.
F 0 =(74 i )N.