KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 9. Merev test kinetikája

9.1. Merev test tömegeloszlásának jellemzői

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a pontra számított statikai nyomatékot, a tömegközéppont helyét, a tehetetlenségi nyomatékokat, a Steiner-tételt leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a test S ponti tehetetlenségi tenzorát, a tehetetlenségi tenzort a főtengelyek koordináta-rendszerében.

Kontinuum: olyan test, amelynek az anyaga a test térfogatát folyamatosan tölti ki.

Diszkrét tömegeloszlású test (tömegpontrendszer): Olyan test, amely elhanyagolható tömegű merev vázszerkezet meghatározott pontjaihoz rögzített anyagi pontokból áll.

Homogén tömegeloszlású test: olyan test, amelynek tömegsűrűsége állandó (nem függ a helytől).

Statikai (lineáris) nyomaték
  • Pontra számított statikai nyomaték:
S A = i=1 n r Ai m i . S A = (m) r dm= (V) r ρdV .
ρ - a test anyagának tömegsűrűsége.
  • Pontra számított statikai nyomaték átszámítása: S B = S A m r AB .
Tömegközéppont

A tömegközéppont a testnek az a T pontja, amelyre számított statikai nyomaték zérus.

S T = 0 .

A tömegközéppont helyének kiszámítása:

S T = 0 = S A m r AT , r AT = S A m = (V) r ρdV m = i m i r Ai m .

Lásd a Mechanika I. - Statika jegyzet 7. fejezetét.

Tétel: A tömegközéppont és súlypont egybeesik, ha a g gravitációs gyorsulás állandó.

Tehetetlenségi (másodrendű) nyomatékok
x y z } súlyponti tengelyek.
  • A koordináta-tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok: J x = (m) ( y 2 + z 2 )dm , J y = (m) ( x 2 + z 2 )dm , J z = (m) ( x 2 + y 2 )dm .
    A tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték értelmezésének általánosítása:
    J a = (m) d 2 dm , ahol d - a dm tömegelemnek az a tengelytől mért távolsága.
    A tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték mértékegysége: [ kg m 2 ](kilogramm méter négyzet).
  • A síkpárra számított (centrifugális) tehetetlenségi nyomatékok:
    J xy = (m) xydm - az yz-zx síkpárra számított tehetetlenségi nyomaték,
    J yz = (m) yzdm - az zx-xy síkpárra számított tehetetlenségi nyomaték,
    J xz = (m) xzdm - az yz-xy síkpárra számított tehetetlenségi nyomaték.
    A síkpárra számított tehetetlenségi nyomatékok integranduszában a tömegelemnek a síkoktól mért előjeles távolságai szerepelnek.
    A síkpárra számított tehetetlenségi nyomaték mértékegysége: [ kg m 2 ].
A test S ponti tehetetlenségi tenzora

[ J ¯ ¯ S ]=[ J x J xy J xz J yx J y J yz J zx J zy J z ] - szimmetrikus tenzor.

Az S ponti tehetetlenségi tenzort az S ponti koordináta-tengelyekre és az S ponti koordináta-síkpárokra számított tehetetlenségi nyomatékok határozzák meg.

A tehetetlenségi tenzor mértékegysége: [ kg m 2 ].

Tétel: A test S ponti J ¯ ¯ S tehetetlenségi tenzora meghatározza az S pontra illeszkedő összes e jelű tengelyre számított J e tehetetlenségi nyomatékot:

J e = e J ¯ ¯ e e = [ e x e y e z ] (1x3) [ J x J xy J xz J yx J y J yz J zx J zy J z ] (3x3) [ e x e y e z ] (3x1) | e |=1 .

Tétel: A test S ponti J ¯ ¯ S tehetetlenségi tenzora meghatározza az S pontra illeszkedő összes n , m (normális) irányok által adott síkpárra számított J mn = J nm tehetetlenségi nyomatékot:

J mn = J nm = n J ¯ ¯ S m = m J ¯ ¯ S n =

= [ n x n y n z ] (1x3) [ J x J xy J xz J yx J y J yz J zx J zy J z ] (3x3) [ m x m y m z ] (3x1) ,

| n |=| m |=1, n m =0 .

Tehetetlenségi főtengelyek, fő tehetetlenségi nyomaték

Definíció: Az e 1 , e 2 , e 3 irány (tengely) tehetetlenségi főirány (főtengely), ha teljesíti az alábbi feltételt:

J ¯ ¯ S e 1 = J 1 e 1 ,    J ¯ ¯ S e 2 = J 2 e 2 ,    J ¯ ¯ S e 3 = J 3 e 3 ,

ahol J 1 , J 2 , J 3 skalár számok, fő tehetetlenségi nyomatékok.

Az e 1 , e 2 , e 3 irányvektorok egységvektorok: | e 1 |=1 , | e 2 |=1 , | e 3 |=1 és kölcsönösen merőlegesek egymásra: e 1 e 2 =0 , e 1 e 3 =0 , e 2 e 3 =0 .

e 1 , e 2 , e 3 - tehetetlenségi főtengely (főirány),
J 1 , J 2 , J 3 - fő tehetetlenségi nyomaték.

Tehetetlenségi tenzor a főtengelyek koordináta-rendszerében: J ¯ ¯ S (123) =[ J 1 0 0 0 J 2 0 0 0 J 3 ] .

Tétel: A 1,2,3 főirányok koordináta-rendszerében valamennyi síkpárra számított nyomaták zérus:

J 12 = J 21 =0 ,    J 13 = J 31 =0 ,    J 23 = J 32 =0 .

Tétel: Merev test S pontjában mindig van legalább három olyan egymásra kölcsönösen merőleges e 1 , e 2 , e 3 tengely (irány), amelyekre a síkpárra számított nyomaték zérus.

Steiner-tétel

A Steiner-tétel megadja a kapcsolatot az egymással párhuzamos tengelyekre és síkpárokra számított tehetetlenségi nyomatékok között.

r SA = x SA i + y SA j + z SA k ,

A két koordináta-rendszer tengelyei párhuzamosak: xξ, yη, zζ.

Steiner-tétel:

J ξ = J x +m( y SA 2 + z SA 2 ), J ξη = J xy +m x SA y SA ,

J η = J y +m( x SA 2 + z SA 2 ), J ηζ = J yz +m y SA z SA ,

J ζ = J z +m( x SA 2 + y SA 2 ), J ξζ = J xz +m x SA z SA .

Tétel: Párhuzamos tengelyek közül az S ponton átmenő tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. (Ez a megállapítás az összefüggésekből könnyen belátható.)

Homogén test tehetetlenségi főirányai
  • Ha a testnek egy szimmetriasíkja van, akkor a szimmetria síkra S ponti tengely tehetetlenségi főtengely.
  • Ha a testnek két szimmetriasíkja van, akkor e síkok metszésvonala tehetetlenségi főtengely.
  • Tengelyszimmetria esetén a szimmetriatengely és a rá S ponti síkban levő összes tengely tehetetlenségi főtengely.
Gyakran előforduló tehetetlenségi nyomatékok meghatározása
Gyakorló feladatok
1. Karcsú, prizmatikus rúd tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka

Adott: A rúd geometriai méretei: la és az anyag ρ tömegsűrűsége.

Feladat: A ξ, η és az x,y tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok meghatározása.

Kidolgozás:

J ξ = (m) ( η 2 + ζ 2 )dm= ξ= a 2 a 2 η= a 2 a 2 ζ= l 2 l 2 ( η 2 + ζ 2 )ρdξdηdζ=

=aρ ζ= l 2 l 2 [ η 3 3 + ζ 2 η ] η= a 2 a 2 dζ= aρ ζ= l 2 l 2 ( b 3 24 + ζ 2 b 2 + b 3 24 + ζ 2 b 2 )dζ=

=acρ b 3 12 +aρ b 2 [ ζ 3 3 ] ζ= l 2 l 2 = a 2 lρ 12 ( a 2 + l 2 )= m 12 ( a 2 + l 2 ).

J ξ = J η = m 12 ( a 2 + l 2 ).

Ha la (karcsú rúd), akkor J ξ = J η = m l 2 12 .

Steiner-tétel:

J x = J ξ +m ( l 2 ) 2 = m l 2 12 + m l 2 4 = m l 2 3 .

J y = J η +m ( l 2 ) 2 = m l 2 12 + m l 2 4 = m l 2 3 .

2. Henger tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka

Adott: A henger geometriai méretei: R, h és az anyag ρ tömegsűrűsége.

Feladat: A η és az z tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték meghatározása.

Kidolgozás:

J ζ = (m) ( ξ 2 + η 2 )ρdV = z= h 2 + h 2 r=0 R φ=0 2π r 2 ρ rdφdrdz dV =ρh2π r=0 R r 3 dr =

=ρh2π [ r 4 4 ] 0 R = 1 2 R 2 πh =V ρ R 2 = 1 2 m R 2 .

Steiner-tétel:

J z = J ζ +m R 2 = 1 2 m R 2 +m R 2 = 3 2 m R 2 .

Önellenőrző kérdések
I. Jelölje be az egyetlen jó választ!
Az A pontra számított statikai nyomatékot leíró összefüggés helyes alakja:
S A = i=1 n r Ai + m i
S A = i=1 n r Ai m i
S A = i=1 n r Ai m i
S A = i=1 n r Ai m i
II. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A tömegközéppont helyét meghatározó összefüggés helyes alakja:
r AT = i m i r Ai
r AT = i m i r Ai m 2
r AT = i r Ai m
r AT = i m i r Ai m
III. Jelölje be az egyetlen jó választ!
A koordináta-tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékokat meghatározó helyes össszefüggések:
J x = (m) ( y 2 + z 2 )dm , J y = (m) ( x 2 + z 2 )dm , J z = (m) ( x 2 + y 2 )dm
J y = (m) ( y 2 + z 2 )dm , J z = (m) ( x 2 + z 2 )dm , J x = (m) ( x 2 + y 2 )dm
J x = (m) ( y + z )dm , J y = (m) ( x + z )dm , J z = (m) ( x + y )dm
J x = (m) ( y 2 + x 2 )dm , J y = (m) ( x 2 + y 2 )dm , J z = (m) ( x 2 + z 2 )dm
IV. Jelölje be a három jó választ!
A Steinet-tétel helyes alakja:
J ξ = J x +m( y SA 2 + z SA 2 ), J ζη = J xy +m x SA y SA ,
J ξ = J x + y SA + z SA , J ξη = J xy + x SA y SA ,
J ξ = J x + z SA 2 , J ξη = J xy +m y SA ,
J η = J y +m( x SA 2 + z SA 2 ), J ηζ = J yz +m y SA z SA ,
J η = J y + x SA 2 + z SA 2 ), J ηζ = J yz + y SA z SA ,
J η = J y + x SA 2 , J ηζ = J yz +m z SA ,
J ζ = J z +m( x SA 2 + y SA 2 ), J ξζ = J xz +m x SA z SA .
J ζ = J z + x SA 2 + y SA 2 , J ξζ = J xz + x SA z SA .
J ζ = J z + y SA 2 , J ξζ = J xz +m x SA .
V. Jelölje be a jó választ!
A test S ponti tehetetlenségi tenzorának helyes alakja:
[ J ¯ ¯ S ]=[ J 1 J xy J xz J yx J 2 J yz J zx J zy J 3 ]
[ J ¯ ¯ S ]=[ 1 J xy J xz J yx 1 J yz J zx J zy 1 ]
[ J ¯ ¯ S ]=[ J x J xy J xz J yx J y J yz J zx J zy J z ]
[ J ¯ ¯ S ]=[ 0 J xy J xz J yx 0 J yz J zx J zy 0 ]
VI. Jelölje be a jó választ!
A tehetetlenségi tenzor a főtengelyek koordináta-rendszerében:
J ¯ ¯ S (123) =[ J 1 1 1 1 J 2 1 1 1 J 3 ]
J ¯ ¯ S (123) =[ J 1 J y J z J x J 2 J z J x J y J 3 ]
J ¯ ¯ S (123) =[ J x 0 0 0 J y 0 0 0 J z ]
J ¯ ¯ S (123) =[ J 1 0 0 0 J 2 0 0 0 J 3 ]