KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 10. Forgó alkatrészek kiegyensúlyozása

10.1. A forgó alkatrész támasztó erőrendszere, a forgó alkatrész tömegkiegyensúlyozása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a statikus és a dinamikus kiegyensúlyozottság definícióját egy rögzített tengely körül forgó szerkezet esetében;
  • kiválasztani a statikus és a dinamikus kiegyensúlyozottságot leíró összefüggéseket.
A forgó alkatrész támasztó erőrendszere

Adott: A szerkezet (alkatrész) geometriája és a külső ER: G , M 0 . A szerkezet a z tengely körül végez forgó mozgást.

Feladat:
Az F A =( F Ax i + F Ay j + F Az k ) és
F B =( F Bx i + F By j ) támasztóerők meghatározása és annak biztosítása, hogy a támasztóerők ne függjenek a szerkezet forgását jellemző ω , ε mennyiségektől.

Jelölés: a szerkezet S ponti tehetetlenségi főtengelyei.

A szerkezet súlypontjának helyvektora:

r S = R S + z S k =( x S i + y S j )+ z S k .

A támasztóerők összesen 3+2=5 db skaláris ismeretlent tartalmaznak.

A feladat megoldása:

Impulzus tétel: m a S = G + F A + F B / k

0=G+ F Az F Az = .

Perdület tétel az A pontra:

k ×/ J ¯ ¯ A ε + ω × J ¯ ¯ A ω + r AS ×m a A = 0 = M 0 + r S × G +l k × F B .

Az alkatrész a z tengely körül forog: ε =(ε k ), ω =(ω k ) .

k × J ¯ ¯ A k ε+ k ×( k × J ¯ ¯ A k ) ω 2 = 0 + k ×( R S × G ) R S G + k ×(l k × F B ) F B l ( k k ) =1 ,

F B = 1 l [ G R S k × J ¯ ¯ A k ε k ×( k × J ¯ ¯ A k ) ω 2 ].

Az előzővel megegyező gondolatmenetből:

F A = 1 l [ G R S + k × J ¯ ¯ B k ε+ k ×( k × J ¯ ¯ B k ) ω 2 ]+G k .

Célkitűzés:A forgás következtében ne lépjenek fel támasztóerők.

(A támasztóerők ne függjenek a szerkezet forgását jellemző ω , ε mennyiségektől.)

Kérdés: Ez  a célkitűzés milyen feltételek mellett teljesül?

Feltételek:

a) 0 = F A + F B + G akkor teljesül, ha a S = 0 .

       

Az S pontnak a forgástengelyre kell esnie.

       

    R S = 0 .

Definíció:Statikusan kiegyensúlyozottnak nevezünk egy rögzített tengely körül forgó szerkezetet (merev testet), ha S pontja a forgástengelyre esik.

b) F A + G = 0 , F B = 0 akkor teljesül, ha J ¯ ¯ A k k és J ¯ ¯ B k k .

       

A z tengelynek a forgó test tehetetlenségi főtengelyének kell lennie.

Ha R S = 0 , akkor a Steiner-tételből következően mindegy, hogy a test A, B vagy S ponti tehetetlenségi tenzorát vesszük a feltétel teljesítésénél:

J ¯ ¯ S k k     J ¯ ¯ A k k     J ¯ ¯ B k k .

Ha J ¯ ¯ A k k és J ¯ ¯ B k k akkor a támasztóerőkre kapott összefüggésben eltűnik a 2. és a 3. (a forgástól függő) tag.

Definíció:Dinamikusan kiegyensúlyozottnak nevezünk egy rögzített tengely körül forgó testet, ha a forgástengely a test S ponti tehetetlenségi főtengelye.

Megjegyzés:

  • Az a) feltétel helyett m R S = 0 is írható.
  • A b) feltétel helyett a J xz = J yz =0 , vagy a k ×( J z × k )= J xz i + J yz j = 0 feltétel is írható.
A forgó alkatrész tömegkiegyensúlyozása
  • Az a) feltétel teljesül, ha a szerkezet S pontja rajta van a forgástengelyen.
  • A b) feltétel teljesül, ha a forgástengely a szerkezet tehetetlenségi főtengelye.

Megoldás: Ezeket a feltételeket az eredeti (kiegyensúlyozatlan) szerkezethez tömegek hozzáadásával (+ tömeg), vagy elvételével ( tömeg) lehet teljesíteni.

Tömeg elvétele: pl. lyukat fúrunk az alkatrészbe.

Eredeti szerkezet tömege: m

Hozzáadott/elvett tömegpontok tömegei: m 1 , m 2

Az eredeti szerkezet és a hozzáadott/elvett tömegpontok mereven kapcsolódnak egymáshoz.

A hozzáadott/elvett tömegpontok helyvektorai:

R 1 = x 1 i + y 1 j , R 2 = x 2 i + y 2 j ,

r 1 = R 1 + z 1 k , r 2 = R 2 + z 2 k .

A statikus tömegkiegyensúlyozás feltétele (első feltétel):

m R S + m 1 R 1 + m 2 R 2 = 0 .

(Az eredeti szerkezet és a két tömegpont közös súlypontjának a forgástengelyre kell esnie.)

A dinamikus tömegkiegyensúlyozás feltétele (második feltétel):

J xz i + J yz j + m 1 R 1 z 1 + m 2 R 2 z 2 = 0 .

(Az eredeti szerkezetből és a két tömegpontból álló rendszernek a z forgástengelynek tehetetlenségi főtengelyének kell lennie.)

A fenti két feltételi vektor egyenletnek megfelelő skaláris egyenletek:

m x S + m 1 x 1 + m 2 x 2 =0 m y S + m 1 y 1 + m 2 y 2 =0 J xz + m 1 x 1 z 1 + m 2 x 2 z 2 =0 J yz + m 1 y 1 z 1 + m 2 y 2 z 2 =0 }         m 1 x 1 + m 2 x 2 =m x S m 1 y 1 + m 2 y 2 =m y S m 1 x 1 z 1 + m 2 x 2 z 2 = J xz m 1 y 1 z 1 + m 2 y 2 z 2 = J yz } .

Ez egy négy egyenletből álló inhomogén, algebrai egyenletrendszer.

Az egyenletrendszerben szereplő ismeretlenek: m 1 , x 1 , y 1 , z 1 , m 2 , x 2 , y 2 , z 2 (8 db skalár mennyiség).

Probléma: 4 db. skalár egyenlet, 8 db. ismeretlen.

Megoldás: 4 db. skalár ismeretlen önkényesen felvehető.

Példa:az autókerekek kiegyensúlyozása.

Térjünk át a descartesi helykoordinátákról henger koordinátákra:

m 1 , x 1 , y 1 , z 1 , m 2 , x 2 , y 2 , z 2 }     m 1 , R 1 , φ 1 , z 1 , m 2 , R 2 , φ 2 , z 2 } .

Ha z 1 , z 2 , R 1 , R 2 -t felvesszük, akkor a m 1 , φ 1 , m 2 , φ 2 ismeretlenek az egyenletredszerből az alábbi módon számíthatók ki:

m 1 = 1 R 1 | z 2 z 1 | [ ( J xz m x S z 2 ) 2 + ( J yz m y S z 2 ) 2 ] ,

m 2 = 1 R 2 | z 1 z 2 | [ ( J xz m x S z 1 ) 2 + ( J yz m y S z 1 ) 2 ] ,

tg φ 1 = J yz m y S z 2 J xz m x S z 2      tg φ 2 = J yz m y S z 1 J xz m x S z 1 .