KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 5. Merev test kinematikája

5.4. Merev test gördülőmozgása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a tiszta gördülést, a körhenger kijelölt pontjainak sebességét és gyorsulását leíró összefüggést,
  • adatok alapján meghatározni körhenger kijelölt pontjainak sebességét és gyorsulását,
  • meghatározni a körhenger sebességpólusának és gyorsuláspólusának a helyét.

Gördülés (tiszta gördülés): A talajjal érintkező pont pillanatnyi sebessége nulla.

Következmény: Az érintkező pont a gördülő mozgást végző merev test pillanatnyi sebességpólusa.

Az egyenletes sebességgel gördülő körhenger pontjainak sebessége és gyorsulása:

Síkmozgás: ω =ω k . (Az ábrán látható esetben ω<0 .)

Tiszta gördülés: v P = 0 .

Egyenletes sebesség: v S = v S i =állandó     ω=áll.

A körhenger bejelölt pontjainak sebessége:

S pont: v S = v P = 0 + ω × r PS =ω k ×R j =ωR i .

v S = v S i =ωR i ω= v S R .

B pont: v B = v P = 0 + ω × r PB =ω k ×2R j =2 Rω v S i .

v B =2 v S i =2 v S .

A pont: v A = v P = 0 + ω × r PA =ω k ×(R i +R j ) .

v A = ωR v S j ωR v S i = v S i + v S j .

C pont: v C = v P = 0 + ω × r PC =ω k ×(R i +R j ) .

v C = ωR v S j ωR v S i = v S i v S j .

Gyakorló feladat: Merev test síkmozgása, sebességállapot

Adott: Az xy síkban síkmozgást végző, állandó ω szögsebességgel gördülő R sugarú merev test szögsebessége.

ω =(1 k )1/s , R=1m.

Feladat: A P sebességpólus helyének, valamint az A, B, C és D pontok sebességvektorainak meghatározása.

Kidolgozás:

Tiszta gördülés: v D = 0     PD .

v S = v S i = v D = 0 + ω × r DS =(ω k )×(R j )=(1 k )× j =( i )m/s ,

v B = v D = 0 + ω × r DB =(ω k )×(2R j )=( k )×(2 j )=(2 i )m/s,

v A = v D = 0 + ω × r DA =(ω k )×(R i +R j )= Rω = v S i Rω = v S j =

=( v S i + v S j )=(1 i +1 j )m/s ,

v C = v D = 0 + ω × r DC =(ω k )×(R i +R j )=( v S i v S j )=( i j )m/s .

A körhenger bejelölt pontjainak gyorsulása:

S pont: v S =áll. a S = 0 a Se =0, a Sn =0SQ .

ω =áll. ε = 0 . Az S pont a gyorsuláspólus.

P pont: a P = a S = 0 + ε S = 0 × r SP ω 2 r SP R j = ω 2 R j .

B pont: a B = a S = 0 + ε = 0 × r SB ω 2 r SB = ω 2 R j .

A pont: a A = a S = 0 + ε = 0 × r SA ω 2 r SA = ω 2 (R) i = ω 2 R i .

C pont: a C = a S = 0 + ε = 0 × r SC ω 2 r SC = ω 2 R i .

Gyakorló feladat:  Merev test síkmozgása, gyorsulásállapot

Adott: Az xy síkban síkmozgást végző, állandó ω szögsebességgel gördülő R sugarú merev test szögsebessége.

ω =(1 k )1/s , R=1m.

Feladat: A Q gyorsuláspólus, valamint az A, B, C és D pontok gyorsulásának meghatározása.

Kidolgozás:

v S =állandó a S = 0 a Se =0, a Sn =0 SQ .

Az S pont a test Q gyorsuláspólusa.

ω =állandó ε = 0 .

a A = a S = 0 + ε = 0 × r SA ω 2 r SA = ω 2 (R i )=(1 i ) m/s 2 ,

a D = a S = 0 + ε = 0 × r SP ω 2 r SD = ω 2 (R j )=( j ) m/s 2 ,

a B = a S = 0 + ε = 0 × r SB ω 2 r SB = ω 2 (R j )=( j ) m/s 2 ,

a C = a S = 0 + ε = 0 × r SC ω 2 r SC = ω 2 (R i )=(1 i ) m/s 2 .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Határozza meg a feladatban leírt jellemzőket, majd válaszoljon a következő kérdésekre!

Merev testek kinematikája (Traktor modell)

Adott: A talajon csúszásmentesen gördülő, R 1 és R 2 sugarú henger, amelyek súlypontjait merev rúd köti össze.

ω 1 =5rad/s, ε 1 =10 rad/s 2 , R 1 =2m, R 2 =4m.

Feladat: Az A,B,CésD pontok
a) v A, v B , v C , v D sebességének meghatározása.
b) a A, a B , a C , a D gyorsulásának meghatározása.

1. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A csúszásmentes gördülés feltétele:
v A = 0 m/s, v D 0 m/s .
v A 0 m/s, v D = 0 m/s .
v A v D .
v A v D .
v A = v D = 0 m/s .
2. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A v B sebesség értéke:
v B =(10 i )m/s .
v B =(10 i )m/s .
v B =( 0 )m/s .
v B =(10 j )m/s .
v B =(10 j )m/s .
3. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A v C sebesség értéke:
v B =(10 i )m/s .
v B =( 0 )m/s .
v B =(10 i )m/s .
v B =(10 j )m/s .
v B =(10 j )m/s .
3. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A a B sebesség értéke:
a B =(20 i ) m/s 2 .
a B =(20 i ) m/s 2 .
a B =(20 j ) m/s 2 .
a B =(20 j ) m/s 2 .
a B =( 0 ) m/s 2 .
4. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A a A sebesség értéke:
a A =(50 j ) m/s 2 .
a A =(10 i +50 j ) m/s 2 .
a A =(50 i ) m/s 2 .
a A =(50 j ) m/s 2 .
a A =( 0 ) m/s 2 .
5. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A a C sebesség értéke:
a C =(20 i ) m/s 2 .
a C =(20 j ) m/s 2 .
a C =(20 j ) m/s 2 .
a C =( 0 ) m/s 2 .
a C =(20 i ) m/s 2 .
6. Válassza ki az egyetlen helyes megoldást!
A a D sebesség értéke:
a D =(25 j ) m/s 2 .
a D =(25 j ) m/s 2 .
a D =(25 i +25 j ) m/s 2 .
a D =(25 i ) m/s 2 .
a D =( 0 ) m/s 2 .