KURZUS: Mechanika - Mozgástan

MODUL: 4. Tömegpont kinematikája

4.5. Tömegpont speciális mozgásai

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az egyenes vonalú mozgás definícióját;
  • kiválasztani a mozgástörvény, a sebességfüggvény és a gyorsulásfüggvény alakját egyenes vonalú mozgás esetén;
  • kiválasztani az egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást és az egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgást leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a síkmozgás definícióját;
  • kiválasztani az állandó gyorsulású mozgás, a harmonikus lengő mozgás és a körmozgás definícióját;
  • kiválasztani az állandó gyorsulású mozgást, a harmonikus lengő mozgást és a körmozgást leíró függvényeket.

Figyelem: a könnyebb feldolgozás érdekében ismételje át a Mechanika - Statika kurzus:

2.1. Trigonometria (sin, cos függvények) leckét.
Tömegpont egyenes vonalú mozgása

Egyenes vonalú mozgás: ha a tömegpont pályájának nincs görbülete ( κ=0 ), azaz a pálya minden pontjában a görbületi sugár ρ (ró tart végtelenhez).

A mozgástörvény: r (t)= r 0 + c f(t) ,

ahol f(t) tetszőleges skalárfüggvény.

Az f(t) skalár érték adja meg, hogy a P 0 pontból a c vektor hányszorosát kell felmérni ahhoz, hogy megkapjam az anyagi pont helyét.

P 0 - a pálya egy adott pontja,
c - a pálya (az egyenes) irányvektora

A sebességfüggvény: v (t)= c df dt = c f ˙ .

A gyorsulásfüggvény: a (t)= c d 2 f d t 2 = c f ¨ .

Speciális esetek:

  • Egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgás:
    v =áll.     f(t)=bt , ahol b - tetszőleges skaláris állandó.
    df dt =b     v = c b=b c .
  • Egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgás:
    a =áll.     f ¨ (t)=a , ahol a - tetszőleges skaláris állandó,
    (a a pálya menti gyorsulás).
    f ˙ (t)=at+b ,
    f ˙ (t)= a 2 t 2 +bt+c , ahol b, c - a kezdeti feltételektől függő skaláris állandók.
Tömegpont síkmozgásai

Síkmozgás: ha az anyagi pont a mozgása során a v 0 kezdősebesség és az a 0 kezdőgyorsulás vektorok síkjából nem lép ki.

Speciális esetek:

1. Állandó gyorsulású mozgás:

  • A gyorsulásfüggvény: a =áll. és v 0 nem párhuzamos a -val.
  • A sebességfüggvény:
    v (t)= v 0 + t 0 t a (t)dt =
    = v 0 + a t .
    A mozgás hodográfja egyenes.
  • A mozgásfüggvény (pályagörbe):
    r (t)= r 0 + t 0 t v (t)dt ,
    r (t)= r 0 + t 0 t ( v 0 + a t)dt = r 0 + v 0 t+ a t 2 2
    A pályagörbe parabola vagy egyenes.

Az állandó gyorsulású mozgás speciális esete az egyenes vonalú mozgás, amely akkor jön létre, ha v 0 és a párhuzamos egymással.

A parabolát három pontja és a három pontbeli érintője ismeretében rajzoljuk meg.

A parabola tengelye párhuzamos az a gyorsulásvektorral.

A pályagörbe szerkesztésének gondolatmenete:

  • A P 1 és P 2 pont meghatározása a mozgásfüggvényből.
  • A P 1 és P 2 pontbeli v 1 és v 2 érintők meghatározása a sebességfüggvényből.
  • A parabola tengely a irányának meghatározása a gyorsulásfüggvényből.
  • A P 3 pont meghatározása a P 1 P 2 parabolaszelő felezéspontja és a P 1 , P 2 pontbeli érintők metszéspontja közé eső egyenes szakasz felezésével.
  • A P 3 pontbeli érintő párhuzamos a parabola P 1 P 2 szelőjével.
Gyakorló feladat

Feladat: A pályagörbe megrajzolása.

Adott:

A mozgásfüggvény r = r (t)= b t+c t 2 a [ t 0 ; t 1 ] idő intervallumban

b =(3 i 4 j )m/s, c =(2 i +1,5 j ) m/s 2 ,

t 0 =0, t 1 =2s.

Meghatároztuk:

A sebességfüggvényt:

v 0 =(3 i 4 j )m/s ,

v 1 =(5 i +2 j )m/s .

A gyorsulásfüggvényt:

a =(4 i +3 j ) m/s 2 , a =állandó .

Kidolgozás:

A szerkesztés lépéseit lásd fent.

2. Harmonikus lengő (rezgő) mozgás:

A sin, vagy cos függvénnyel leírható periodikus (ismétlődő) mozgás.

A mozgásfüggvény: x(t)=x(t+T)= v 0 α sin[ αt+ε ] , ahol

v 0 [ m/s ] - kezdősebesség, T= 2π α [ s ] - periódusidő,

α= 2π T [ 1/s ] - rezgési körfrekvencia, ε[ rad ] - fázisszög.

Megjegyzés: A megszokottól eltérően itt az x tengely a függőleges irányú, az α t   tengely a vízszintes irányú. A baloldali ábrát úgy kaptuk, hogy a jobboldali ábrát az x tengely körül 90 fokkal elforgattuk.

A sebességfüggvény: v(t)= x ˙ (t)= v 0 cosαt .
A gyorsulásfüggvény: a(t)= x ¨ (t)=α v 0 sinαt .

3. Körmozgás:

Az anyagi pont pályagörbéje kör.

A sebességvektor: v (t)=v(t) e φ = Rω(t) v(t) e φ ,

R - a pálya sugara,

ω= v(t) R - a mozgás szögsebessége.

A sebességvektorA gyorsulásvektor

A gyorsulásvektor: a (t)= Rε(t) a e (t) e φ R ω 2 (t) a n (t) e R

ε= a e (t) R - a mozgás szöggyorsulása.

A pályagyorsulás (érintő irányú gyorsulás): a e =εR .

A normális gyorsulás: a n =R ω 2 = v 2 R .

Gyakorló feladat: Tömegpont körmozgása

Adott: A φ(t)= c 0 + c 1 t 2 , mozgástörvény, amelyben c 0 =1,5rad , c 1 =4 rad/s 2 , t 0 =0s, t 1 =2,5s,R=5m.

Feladat:

a) A v k közepes sebesség meghatározása.

b) A v 1 pályasebesség és az a t1 , a n1   gyorsuláskoordináták meghatározása.

Kidolgozás:

a) A közepes sebesség abszolút értékének meghatározása:

φ 0 =φ( t 0 =0)= c 0 =1,5rad 85,95 o ,

φ 1 =φ( t 1 =2,5sec)= c 0 + c 1 t 2 =1,5+46,25=26,5rad 1518,4 o ,

4körülfordulás 1440,0 o ,

1518,4 o 1440,0 o = 78,4 o .

Δφ= φ 1 φ 0 = 7,55 o =0,132rad,
v k = r 1 r 0 t 1 t 0 = Δ r 01 Δ t 01

| v k |= | Δ r | Δt RΔφ Δt = 50,132 2,5 =
=0,264m/s

b) A t 1 időpillanatbeli pályasebesség és a gyorsulás koordináták meghatározása:

ω(t)= dφ(t) dt = d( c 0 + c 1 t 2 ) dt =2 c 1 t.

v 1 =v( t 1 )=Rω( t 1 )=R2 c 1 t 1 =5242,5=100m/s, ε(t)= dω(t) dt = d(2 c 1 t) dt =2 c 1 .

a t ( t 1 )=Rε( t 1 )=R2 c 1 =524=40 m/s 2 ,

a n ( t 1 )= v 1 2 R = 100 2 5 =2000 m/s 2 .

Önellenőrző kérdések

I. A tömegpont egyenes vonalú mozgását jellemezzük.
Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggéssel!

1) Gyorsulásfüggvény
2) Sebességfüggvény
3) Mozgástörvény
4) Főnormális vektor

Írja a fogalmakat jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja!
v (t)= c df dt = c f ˙
r (t)= r 0 + c f(t)
a (t)= c d 2 f d t 2 = c f ¨

II. A harmonikus lengő (rezgő) mozgást jellemezzük.
Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggéssel!

1) Gyorsulásfüggvény
2) Sebességfüggvény
3) Mozgásfüggvény
4) Helyvektor

Írja a fogalmakat jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja!
x(t)=x(t+T)= v 0 α sin[ αt+ε ]
a(t)= x ¨ (t)=α v 0 sinαt
v(t)= x ˙ (t)= v 0 cosαt

III. A körmozgást jellemezzük.
Párosítsa az alábbi fogalmakat a megfelelő összefüggéssel!

1) Gyorsulásvektor
2) Sebességvektor
3) Pályagyorsulás
4) Normális gyorsulás
5) Binormális egységvektor

Írja a fogalmakat jelölő számot a megfelelő összefüggés elé! Egy fogalomnak nincs párja!
a n =R ω 2
a e =εR
a (t)= Rε(t) a e (t) e φ R ω 2 (t) a n (t) e R
v (t)=v(t) e φ = Rω(t) v(t) e φ