KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Egyváltozós függvények differenciálszámítása

18. lecke: Függvények határértéke (1)

Tanulási cél: A többfajta határérték fogalom megismerése, a határértékszámítás legfontosabb tételeinek elsajátítása, valamint a és 0 0 típusú határozatlan határértékek legfontosabb kiszámítási módszereinek megismerése és begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 5.2. és 5.3.

Elméleti összefoglaló: A lim x α f ( x ) = β határétékben a β lehet valós szám, a és a , ez tehát három lehetőség. Az α lehet valós szám, , , és egyoldali határérték esetén a + vagy a . Ez öt újabb lehetőség. Mivel bármelyik bármelyikkel társulhat, összesen 15 fajta határérték fogalom (definíció van) van.

Mindegyik definíció intuitív tartalma az, hogy ha az x független változóval elég közel vagyunk α -hoz, akkor az f ( x ) függvényérték elég közel lesz β -hoz.

Erre a sokféle határértékre persze számos tétel vonatkozik, ezek közül itt csak a leggyakrabban alkalmazásra kerülőket említjük meg.

Legyen a , A , B valós szám, és tegyük fel, hogy lim x a f ( x ) = A , és lim x a g ( x ) = B . Ekkor

lim x a ( f ( x ) + g ( x ) ) = A + B ,

lim x a ( f ( x ) g ( x ) ) = A B ,

lim x a f ( x ) g ( x ) = A B ,

lim x a k . f ( x ) = k . lim x a f ( x ) , ahol k tetszőleges konstans,

lim x a f ( x ) g ( x ) = A B , ha B 0 .

Ha lim x a f ( x ) = vagy lim x a f ( x ) = , akkor lim x a 1 f ( x ) = 0 .

A lim x α f ( x ) kétoldali hatérérték akkor és csak akkor létezik, ha létezik külön a lim x α f ( x ) bal oldali, és külön a lim x α + f ( x ) jobb oldali határérték, és egyenlők egymással. Ekkor a kétoldali limesz is ezzel a közös értékkel egyenlő.

A határozatlan alakú határértékek egyik legfontosabb típusa a típusú határérték. Ilyen típusú törtek határértékének kiszámolásakor a kulcsszó a kiemelés. A számlálóból és a nevezőből is kiemelünk egy olyan mennyiséget, hogy a nevezőben a kiemelés után maradó kifejezés nullától különböző konstanshoz tartson. Ezután a határérték általában kiszámolható, vagy felismerthető, hogy nem létezik.

Gyakran fel fogjuk használni a következő fontos határértéket:

lim x 1 x = 0 .

A másik fontos határozatlan alak a 0 0 típusú határérték. Látjuk majd, hogy itt is a kiemelés fog segíteni. Ehhez fel fogjuk használni a másodfokú polinomok gyöktényezős felbontását is:
ha az a x 2 + b x + c = 0 egyenlet két gyöke x 1 és x 2 , akkor a polinom felírható

a ( x x 1 ) ( x x 2 )

szorzat alakban.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Számoljuk ki a lim x 2 ( x 2 6 x + 3 ) határértéket.

Megoldás: Alkalmazzuk a fenti tételeket. Mivel a függvényünk három tagból álló összeg, az első két tétel alapján három határérték összegére bontjuk az eredeti határértéket:  

lim x 2 ( x 2 6 x + 3 ) = lim x 2 ( x 2 ) lim x 2 ( 6 x ) + lim x 2 ( 3 ) .

Majd a középsőben alkalmazzuk a negyedik tételt, ekkor azt kapjuk, hogy a kiszámítandó határérték

lim x 2 ( x 2 ) 6 lim x 2 ( x ) + lim x 2 ( 3 ) .

Végül, felhasználva a harmadik tételt is,

( lim x 2 ( x ) ) 2 6 lim x 2 ( x ) + lim x 2 ( 3 ) = 2 2 6 . 2 + 3 = 4 12 + 3 = 5 .

2. feladat Számítsuk ki a lim x 1 x 2 + 3 x x 3 határértéket.

Megoldás: Ismét a fenti tételek használatával írhatjuk, hogy

lim x 1 x 2 + 3 x x 3 = lim x 1 ( x 2 + 3 x ) lim x 1 ( x 3 ) = lim x 1 ( x 2 ) + 3 lim x 1 ( x ) lim x 1 ( x ) lim x 1 ( 3 ) = 1 + 3 ( 1 ) 1 3 = 2 4 = 1 2 .

3. feladat Számítsuk ki a lim x 0 ( cos ( x 2 ) . 4 x ) határértéket.

Megoldás: A függvények szorzatának határértékéről szóló harmadik tételt használva

lim x 0 ( cos ( x 2 ) . 4 x ) = lim x 0 cos ( x 2 ) . lim x 0 4 x = cos ( 0 ) . 4 0 = 1 . 2 = 2 .

4. feladat Számítsuk ki a lim x 3 + x x 3 határértéket.

Megoldás: Egy jobb oldali határértéket kell kiszámítani. Ez azt jelenti, hogy x úgy tart háromhoz, hogy mindig nagyobb háromnál. Ekkor az x 3 különbség a nevezőben nullához tart, de mindig pozitív. A számláló persze háromhoz tart. Ha egy háromhoz tartó mennyiséget egy nagyon kicsi pozitív számmal elosztunk, akkor egy nagyon nagy, pozitív számot kapunk. Minél kisebbel osztunk, annál nagyobbat. Ezért

lim x 3 + x x 3 = .

5. feladat Kiszámítandó a lim x 1 x + 3 + x x 1 határérték.

Megoldás: Most egy bal oldali határértékkel van dolgunk. Tehát az x úgy tart egyhez, hogy mindig kisebb egynél, így a nevezőben x 1 nullához tart, de mindig negatív.
Külön a számláló határértéke:

lim x 1 ( x + 3 + x ) = 1 + 3 + 1 = 3 .

Tehát egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk egy nullához tartó, de negatív mennyiséggel, az eredmény egy -hez tartó mennyiség, azaz

lim x 1 x + 3 + x x 1 = .

6. feladat Számítsuk ki a lim x 2 + x + 1 x 2 2 x és a lim x 2 x + 1 x 2 2 x határétékeket.

Megoldás: Kezdjük a jobb oldali határértékkel.

Ebben külön a számláló határértéke:

lim x 2 + ( x + 1 ) = 3 ,

külön a nevező határértéke:

lim x 2 + ( x 2 2 x ) = lim x 2 + ( x 2 ) 2 . lim x 2 + ( x ) = 4 4 = 0 .

Egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk tehát egy nullához tartó mennyiséggel.

Ha egy nullától különböző mennyiséget kell osztanunk egy nullához tartó mennyiséggel, akkor mindig tisztázni kell, hogy a nevező azonos előjelűen tart-e a nullához.

Ha most a nevezőt x 2 2 x = x ( x 2 ) alakban írjuk fel, láthatjuk, hogy az első tényező kettőhöz, a második tényező nullához tart, de mindig pozitív, így a nevező úgy tart nullához, hogy mindig pozitív.

Tehát egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk egy nullához tartó, de pozitív mennyiséggel, az eredmény egy -hez tartó mennyiség, azaz

lim x 2 + x + 1 x 2 2 x = .

A bal oldali limesz esetén csak annyi a kükönbség, hogy most az x 2 , és emiatt az egész nevező, a negatív számokon keresztül tart nullához.

Tehát most egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk egy nullához tartó, de mindig negatív mennyiséggel. Az eredmény egy mínusz végtelenbe tartó mennyiség, azaz

lim x 2 x + 1 x 2 2 x = .

Az egyoldali határértékek léteznek ugyan, de mivel nem egyenlők, a

lim x 2 x + 1 x 2 2 x

kétoldali határérték nem létezik.

7. feladat Számoljuk ki a lim x 2 x 2 + 4 x + 2 határértéket.

Megoldás: A tört nevezőjének határértéke

lim x ( x 2 + 4 x + 2 ) = lim x ( x 2 ) + 4 lim x ( x ) + 2 = + + 2 = .

Alkalmazva az utolsó tételünket, az előbbi másodfokú kifejezés reciproka tehát nullához tart, és annak a 2 -szerese is persze nulla, azaz

lim x 2 x 2 + 4 x + 2 = 0 .

8. feladat lim x 1 2 x 2 = ?

Megoldás: Mivel a nevező határértéke

lim x ( 2 x 2 ) = 2 lim x ( x 2 ) = 2 = ,

az utolsónak említett tétel szerint

lim x 1 2 x 2 = 0 .

9. feladat Számítsuk ki a lim x ( x 3 x 2 + 2 ) határértéket.

Megoldás: Egy polinom valamelyik végtelenben vett határétékét mindig kiszámolhatjuk úgy, hogy kiemeljük a polinom legmagasabb fokú tagját. Ez a kiemelt rész mindig valamelyik végtelenbe tart, a maradék mindig a főegyütthatóhoz, és az előjelek döntik el, hogy végül is melyik végtelen a limesz. (Mindig valamelyik végtelen.)

Most tehát kiemelünk x 3 -t:

lim x ( x 3 x 2 + 2 ) = lim x x 3 ( 1 1 x + 2 x 3 ) .

Ebben a szorzatban az x 3 tart plusz végtelenbe, a zárójeles mennyiség második két tagja tart nullához, ezért az egész zárójeles kifejezés 1-hez tart. Ezek alapján

lim x x 3 ( 1 1 x + 2 x 3 ) = . 1 = .

10. feladat Számítsuk ki a lim x 6 x + 4 3 x 5 határértéket.

Megoldás: Mind a számláló, mind a nevező a plusz végtelenben plusz végtelenhez tart. Tehát egy típusú határértékkel van dolgunk.

Mivel a számláló és a nevező is elsőfokú polinom, kiemelünk a számlálóból és a nevezőből is x -et, majd egyszerűsítünk is vele:

lim x 6 x + 4 3 x 5 = lim x x ( 6 + 4 x ) x ( 3 5 x ) = lim x 6 + 4 x 3 5 x .

Most már külön a számláló:

lim x ( 6 + 4 x ) = 6 + 4 . lim x 1 x = 6 + 4 . 0 = 6 ,

felhasználva a fenti nevetetes határétéket.

Külön a nevező:

lim x ( 3 5 x ) = 3 5 . lim x 1 x = 3 5 . 0 = 3 .

Ezek alapján végül is:

lim x 6 + 4 x 3 5 x = 6 3 = 2 .

11. feladat Számítsuk ki a lim x 2 x 2 3 x + 1 x 2 + 6 x + 2 határértéket.

Megoldás: Az első feladatban alkalmazott módszerrel megvizsgáljuk a számló határértékét:

lim x ( 2 x 2 3 x + 1 ) = lim x x 2 ( 2 3 x + 1 x 2 ) = ,

hiszen az x 2 tényező plusz végtelenbe tart, a zárójeles tényező pedig 2-höz, így a szorzatuk limesze persze plusz végtelen.

Hasonlóan eljárva a nevezőben:

lim x ( x 2 + 6 x + 2 ) = lim x x 2 ( 1 + 6 x + 2 x 2 ) = ,

mivel a zárójeles tényező most -1-hez tart.

Egy típusú határértékkel van tehát dolgunk. (A végtelenek előjele ebből a szempontból nem fontos.)

Kiemelünk a számlálóból is és a nevezőből is x 2 -et, majd egyből egyszerűsítünk is vele. Ekkor

lim x 2 x 2 3 x + 1 x 2 + 6 x + 2 = lim x x 2 ( 2 3 x + 1 x 2 ) x 2 ( 1 + 6 x + 2 x 2 ) = lim x 2 3 x + 1 x 2 1 + 6 x + 2 x 2 = 2 ,

hiszen az utolsó tört számlálója 2-höz, a nevezője pedig -1-hez tart.

12. feladat Számítsuk ki a lim x x 3 + x 2 x + 1 x 2 + 5 x 2 határértéket.

Megoldás: A számlálóban

lim x ( x 3 + x 2 x + 1 ) = lim x x 3 ( 1 + 1 x 1 x 2 + 1 x 3 ) = .

(Az x 3 mínusz végtelenben mínusz végtelenhez tart!)

A nevezőben pedig

lim x ( x 2 + 5 x 2 ) lim x x 2 ( 1 + 5 x 2 x 2 ) = ,

hiszen most a zárójeles tényező -1-hez tart, (az x 2 persze a mínusz végtelenben is plusz végtelenhez tart.)

Alkalmazzuk a módszerünket, és kiemelünk a számlálóból is és a nevezőből is x 2 -et. Ekkor

lim x x 3 + x 2 x + 1 x 2 + 5 x 2 = lim x x 2 ( x + 1 1 x + 1 x 2 ) x 2 ( 1 + 5 x 2 x 2 ) = lim x x + 1 1 x + 1 x 2 1 + 5 x 2 x 2 = ,

hiszen az utolsó törtben a számláló mínusz végtelenhez tart, a nevező pedig -1-hez.

A fenti feladatokból leszűrhető a következő:

Két polinom hányadosának a határértékét valamelyik végtelenben mindig kiszámolhatjuk úgy, hogy a számlálóból is és a nevezőből is kiemeljük a nevező legmagasabb fokú tagját. Egyszerűsítés után a nevező a főegyütthatójához fog tartani, ezután a határérték leolvasható.

13. feladat Számítsuk ki a lim x 1 x 2 3 x + 2 x 2 1 határértéket.

Megoldás: Kezdjük a számlálóval:

lim x 1 ( x 2 3 x + 2 ) = 1 3 + 2 = 0 .

Ez azért van így, mert az 1 gyöke a számlálónak.

Hasonlóan a nevezőben:

lim x 1 ( x 2 1 ) = 1 1 = 0 ,

mivel az 1 a nevezőnek is gyöke.

Tehát egy 0 0 típusú határértéket kell kiszámolnunk.

Gyöktényezők szorzatára bontjuk a számlálót is és a nevezőt is.

A számláló két gyöke 1 és 2, tehát

x 2 3 x + 2 = ( x 1 ) ( x 2 ) .

A nevező két gyöke -1 és 1, tehát

x 2 1 = ( x + 1 ) ( x 1 ) .

Ezek alapján most már írhatjuk, hogy

lim x 1 x 2 3 x + 2 x 2 1 = lim x 1 ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 1 ) ( x + 1 ) .

Ha most egyszerűsítünk az x 1 tényezővel, az eredeti határérték a

lim x 1 x 2 x + 1

határérték kiszámolására egyszerűsödik. Itt persze a számláló -1-hez, a nevező 2-höz tart, azaz

lim x 1 x 2 3 x + 2 x 2 1 = lim x 1 ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 1 ) ( x + 1 ) = lim x 1 x 2 x + 1 = 1 2 = 1 2 .

14. feladat Kiszámítandó a lim x 2 x 2 4 x + 4 x 2 + x 6 határérték.

Megoldás: Minthogy

lim x 2 ( x 2 4 x + 4 ) = 4 8 + 4 = 0 ,

illetve

lim x 2 ( x 2 + x 6 ) = 4 + 2 6 = 0 ,

ismét 0 0 típusú határértékkel van dolgunk, aminek megint az az oka, hogy a 2 gyöke a számlálónak is és a nevezőnek is.

Gyöktényezők szorzatára bontjuk a számlálót is és a nevezőt is.

A számláló két gyöke x 1 = 2 és x 2 = 2 , a gyöktényezős felbontása tehát

( x 2 ) ( x 2 ) .

A nevező két gyöke x 1 = 3 és x 2 = 2 , a gyöktényezős felbontása tehát

( x + 3 ) ( x 2 ) .

Felhasználva a szorzatra bontásokat, és egyszerűsítve a problémát okozó x 2 tényezővel,

lim x 2 x 2 4 x + 4 x 2 + x 6 = lim x 2 ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 2 ) ( x + 3 ) = lim x 2 x 2 x + 3 = 0 5 = 0 .

15. feladat Számítsuk ki a lim x 1 2 x 2 4 x 6 3 x 2 + 15 x + 12 határértéket.

Megoldás: A számlálóban

lim x 1 ( 2 x 2 4 x 6 ) = 2 + 4 6 = 0 ,

a nevezőben

lim x 1 ( 3 x 2 + 15 x + 12 ) = 3 15 + 12 = 0 .

A határérték tehát 0 0 típusú.

A megoldóképletet használva a számláló gyökei: x 1 = 1, x 2 = 3 , a nevező gyökei: x 1 = 4, x 2 = 1 . (Persze a -1 mind a kettőnek gyöke.)

Felhasználva a gyöktényezős felbontásokat, majd egyszerűsítve a gondot okozó x + 1 tényezővel, kapjuk, hogy

lim x 1 2 x 2 4 x 6 3 x 2 + 15 x + 12 = lim x 1 2 ( x + 1 ) ( x 3 ) 3 ( x + 1 ) ( x + 4 ) = lim x 1 2 ( x 3 ) 3 ( x + 4 ) = 2 ( 4 ) 3 ( 3 ) = 8 9 .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő a lim x 1 ( 2 x 2 x + 2 ) határérték?
5 .
3 .
3 .
1 .
2. kérdés: A lim x 2 2 x x 2 x + 1 határérték egyenlő
1-gyel.
-1-gyel.
0-val.
-nel.
3. kérdés: Mi az értéke a lim x 0 x + 9 . e x 2 x határértéknek?
0.
9.
3.
-1.
4. kérdés: lim x 2 + x + 1 x 2 =
3.
.
.
0.
5. kérdés: lim x 2 2 x 2 4 x 2 =
.
0.
.
1.
6. kérdés: lim x 1 x + 2 x x 2 =
.
0.
-1.
.
7. kérdés: Mivel egyenlő a lim x 4 x + 2 3 x 1 határérték?
3 4 .
4 3 .
-2.
4 3 .
8. kérdés: lim x ( 2 x 3 x + 3 ) =
.
3.
0.
.
9. kérdés: lim x x 2 + x + 1 2 x 2 + 3 x 6 =
1 2 .
1 6 .
1 6 .
0 .
10. kérdés: lim x x 3 x 2 + x + 1 x 4 x 2 + 2 x + 1 =
1.
-1.
.
0.
11. kérdés: lim x 1 x 2 x 2 x 2 1 =
3 2 .
2 3 .
2.
3 2 .
12. kérdés: lim x 1 x 2 + 6 x + 5 x 2 3 x 4 =
5 4 .
4 5 .
4 5 .
5 4 .
13. kérdés: lim x 2 2 x 2 8 x 2 x + 6 =
8 6 .
8 5 .
8 5 .
8 6 .