7. lecke: Számsorozatok határértékének meghatározása 2.
| Tanulási cél: Módszer megismerése a típusú sorozatok egyik fajtája esetén a határérték meghatározására.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 3.
Elméleti összefoglaló: Ha egy sorozatot két másik sorozat különbségeként állítunk elő, és mindkét sorozat határértéke végtelen, akkor a különbségként kapott sorozat határértékéről semmit nem tudunk mondani, azaz a típusú határérték kritikus típusú.
Középiskolából ismert a négyzetgyökös kifejezések különbségének gyöktelenítése, akár számlálóban, akár nevezőben. Ilyenkor a négyzetgyökös kifejezések összegével bővítünk. Pl.
Mint látható, a számlálóban nincsenek már gyökök, ha ismertek, a kivonás elvégezhető.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Mi a határértéke az sorozatnak?
Megoldás: Mindkét négyzetgyökös kifejezés tart végtelenhez, így a sorozat típusa . Szorozzunk és osszunk is, azaz bővítsünk a gyökös kifejezések összegével, majd végezzük el a számlálóban a kivonást.
A határérték így már nem volt kritikus, hiszen a számláló egy véges érték (5), a nevezőben pedig mindkét tag a végtelenhez tart, így összegük is végtelenhez tart. (Két nagyon nagy összege is nagyon nagy.) Ilyen módon végest osztunk végtelenhez tartóval, ami 0-hoz tart. (Kicsi osztva nagyon naggyal, eredményül nagyon kicsit ad.)
|
2. feladat
Megoldás: Vizsgáljuk, mint mindig, a határérték típusát. Mindkét négyzetgyökös kifejezés tart végtelenbe, tehát -t kapunk. Hajtsuk végre az előzőek szerinti bővítést. (Vigyázat, "hosszú" gyök egyben zárójel is!)
Végezzük el a számlálóban a kivonást.
Sajnos most a bővítés után még nem egyértelmű a határérték, hiszen a számláló végtelenhez tart, s a nevező is, mert ott két végtelenhez tartó összege van. Ilyen feladatokkal foglalkoztunk az előző leckében. Egyszerűsíteni kellene, de előtte a nevezőben célszerű kiemelni -et.
Egyszerűsítsünk -nel.
Az egyszerűsítés után már nem volt gond, a számláló tart végtelenhez, mert első tagja tart végtelenbe, míg második része 0-hoz. A nevező első tagja tart -hoz, második tagja pedig -höz, így összegük egy nem 0 véges értékhez. Összességében tehát végtelenhez tartót osztunk véges értékkel (pozitív), így végtelent kapunk.
|
3. feladat
Megoldás: A típus , ezért bővítünk. Ennek leírását már rövidítjük, a számlálóban egyből a gyökök alatti kifejezések különbségét írjuk, majd elvégezzük utána a kivonást is.
Mint az előző feladatban, most is típusú határértéket kaptunk. Az egyszerűsítés előtt, itt is célszerű kiemelni. Mivel a nevezőben a gyökök alatt most is előfordul, ezért -et ( mert természetes szám) célszerű kiemelni. (A kiemelés során az a cél, hogy a gyökök alatt véges, nem 0 értékekhez tartó kifejezések maradjanak.)
Egyszerűsítsünk -nel.
A határérték így már egyértelmű lett, hiszen mindegyike 0-hoz tart, a többi rész pedig konstans.
|
4. feladat
Megoldás: A sorozat típusú, ezért a szokásos módon bővítünk a gyökös kifejezések összegével, majd a kapott tört számlálójában elvégezzük a kivonást.
Emeljünk ki a számlálóban és a nevezőben is -et, majd egyszerűsítsük a törtet.
A számláló végtelenhez tart a miatt, a nevező pedig -hoz, ami pozitív, véges érték. Ezzel osztva egy végtelenhez tartót, végtelent kapunk.
|
5. feladat
Megoldás: A különbség természetesen most is típusú. Az eddigiekhez képest csak az furcsa, hogy csupán egy gyök van. Bővíteni azonban ekkor is lehet a két kifejezés összegével, tehát -nel.
Most kiemelés nélkül is jól követhető az egyszerűsítés, így rögtön osszuk a számlálót és a nevezőt -nel.
A számláló ezután nyilvánvalóan végtelenhez tart, a nevező pedig 1-hez, maga a tört pedig végtelenhez.
|
6. feladat
Megoldás: A feladat csak annyiban más, mint az előzőek, hogy most a tört nevezőjében van egy típusú kifejezés, ezért most nem a számlálót gyöktelenítjük, hanem a nevezőt, de ez a bővítést nem befolyásolja.
Most a nevezőben tudtuk elvégezni a kivonást, s ezután kaptunk típusú határértéket.
Emeljünk ki a számlálóban -et majd egyszerűsítsünk is vele.
Mint az előzőekben, most is egyértelművé vált a határérték, hiszen a kifejezésben szereplő tagok 0-hoz tartanak, vagy konstansok.
|
7. feladat
Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan, most is a nevezőben van egy típusú kifejezés, s bár ez nem két gyökös kifejezés különbsége, gyökteleníteni most is lehet.
Egyszerűsítsünk -nel.
A számlálóban az első tényező határértéke , a másodiké pedig végtelen, ezért a szorzat is végtelenbe tart. Ezt egy pozitív, végessel osztjuk, ezért végtelent kapunk.
Megjegyzés: Ebben a feladatban a gyöktelenítés elkerülhető. Emeljünk ki a számlálóból és a nevezőből is rögtön -et, majd egyszerűsítsünk.
A számláló most -hoz tart, a nevező pedig -hoz. Mivel , ezért a nevező pozitív, így a határérték végtelen lesz. (Ha nagyon kicsivel osztunk egy nem nagyon kicsit, akkor az eredmény nagyon nagy lesz.)
Ez a megoldás egyszerűbbnek tűnik, mint az előző, de bizonyos szempontból veszélyesebb. Ha ugyanis a nevező nullához tart, akkor nagyon fontos, hogy ezt hogyan teszi, pozitívan vagy negatívan. Ha ugyanis most a nevező negatív lett volna, akkor a végtelen helyett mínusz végtelen lenne a határérték, ha pedig hol pozitív hol negatív lenne, akkor egyáltalán nem lenne határérték. Ha tehát a nevező nullához tart, akkor nagyon fontos a nevező előjelének vizsgálata, s a határértéket csak ezután lehet megmondani.
Ellenőrző kérdések:
|