| Tanulási cél: A határérték fogalmának megismerése, a küszöbindex kiszámolási módjának elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 3.
Elméleti összefoglaló: Azt mondjuk, az sorozat konvergens és határértéke az szám, ha bármely értékhez megadható olyan küszöbszám (függ értékétől), hogy ha akkor . Jelölésben:
Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek mondjuk.
Az sorozat tart -hez, ha minden szám esetén megadható olyan küszöbszám (függ értékétől), hogy ha , akkor . Jelölésben:
Az sorozat tart -hez, ha minden szám esetén megadható olyan küszöbszám (függ értékétől), hogy ha , akkor . Jelölésben:
Ha egy sorozat -hez vagy -hez tart, akkor tágabb értelemben konvergensnek mondjuk, és használjuk a sorozat határértéke kifejezéseket is.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Döntsük el, konvergens-e az sorozat, adjuk meg a határértékét, és határozzuk meg az -hoz tartozó küszöbszámot!
Megoldás: Fogalmazzuk meg a definíciót más szavakkal, közelebb hozva a köznapi nyelvhez. Akkor mondjuk, hogy egy sorozat határértéke , ha bármilyen kicsi eltérést engedünk is meg -tól, a sorozat kellően nagy indexű elemei még ennél is közelebb vannak -hoz. Azt kell tehát vizsgálnunk; van-e olyan szám, amelyhez egyre jobban közelítenek a sorozat elemei, ha az index nő. Írjuk fel a sorozat néhány elemét, s próbáljunk ebből sejtést felállítani. ( Mivel most a nagy indexű elemek is fontosak, ne csak az első egymás utáni elemeket.)
A sorozat elemei olyan törtek, melyeknek számlálója mindig 1, a nevező pedig egyre nő. Így a tört értéke egyre közelebb kerül a 0-hoz. Sejthető tehát, hogy a sorozat konvergens, és határértéke 0. Bizonyítsuk ezt be! Azt kell igazolnunk, hogy az egyenlőtlenség minden esetén fennáll, ha elég nagy. Ehhez oldjuk meg az egyenlőtlenséget! (Most az ismeretlen, az pedig paraméter.) Mivel az abszolút értéken belüli kifejezés minden természetes szám esetén pozitív, az abszolút érték elhagyható. Kapjuk
Szorozzunk ezután -nel és osszunk -nal.
Vegyük mindkét oldal 2 alapú logaritmusát! (Mivel , létezik a logaritmus.)
Eredményünk azt mutatja, hogy a sorozatnak azon elemei, melyeknek indexe -nál nagyobb, -nál kevesebbel térnek el 0-tól. Az egyenlőtlenség tehát minden esetén rendelkezik olyan megoldással, hogy egy küszöbértéknél legyen nagyobb. Valóban konvergens tehát a sorozat, s a határértéke 0.
Jelölésben:
Ha például a feladatban megadott értéket vesszük, akkor az egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Más szavakkal, a sorozat 20. és annál nagyobb indexű elemei már 1 milliomodnál is közelebb vannak 0-hoz. Így az -hoz tartozó küszöbszám például is lehet a definíció szerint. (Persze minden ennél nagyobb szám is lehetne küszöbszám, azonban lehetőség szerint igyekszünk minél kisebb küszöbszámot adni.)
Megjegyzés: Az egyenlőtlenség megoldásából látszik, hogy más érték esetén más lesz a küszöbszám. Ha például -t még kisebbre választjuk, akkor nagyobb lesz, így is nagyobb lesz, tehát a küszöbszám is nagyobb lesz. A fontos azonban az, hogy minden esetén van küszöbszám.
2. feladat Vizsgáljuk meg, konvergens-e az sorozat, s ha igen, mi a határértéke, valamint adjunk meg -hoz küszöbszámot!
Megoldás:
Írjuk fel a sorozat első, tizedik, századik és ezredik elemét.
Látható, hogy a sorozat egyre negyobb indexű elemei esetén a számlálóban levő +7 és a nevezőben levő -1 egyre kevésbé jelentős az és a mellett. Azaz ha nagy, akkor . A sorozat tehát valószínűleg konvergens, és határértéke 2.5 . (Természetesen nem arról van szó, hogy a sorozat elemei közül bármelyik is 2.5 lenne, csak egyre jobban megközelítik a 2.5-et.) Bizonyítsuk be a sejtést! Induljunk el most is a definícióban levő egyenlőtlenségből , csak helyettesítsük be a konkrét sorozatot megadó képletet. Eszerint
.
Most nem egyértelmű az abszolút értéken belül álló kifejezés előjele, s mivel ez az abszolút érték elhagyása szempontjából fontos, ezért először csak az abszolút értéken belül alakítunk, amíg az előjelet egyértelműen el tudjuk dönteni. Hozzunk közös nevezőre.
Az utolsó törtről már látszik, hogy pozitív, hiszen a számláló egy pozitív szám, s a nevező is pozitív minden természetes szám esetén. Így az abszolút érték egyszerűen elhagyható.
Osszunk -nal és szorozzunk -vel.
Adjunk mindkét oldalhoz 2-t, majd osszunk 4-gyel.
Az eredményből látható, hogy ha egy -tól függő küszöbértéknél nagyobb, akkor teljesül az egyenlőtlenség, s ez minden értékre teljesül. Valóban konvergens tehát a sorozat, és határértéke 2.5 .
Jelölésben:
Helyettesítsük be az eredmenybe a feladatban megadott értéket.
Eszerint a sorozat 4751. és annál nagyobb indexű elemei, már közelebb vannak 2.5-hez mint 1 ezred, azaz a küszöbszám már 4750 is lehet.
3.feladat Vizsgáljuk meg konvergens-e az sorozat! Ha igen, adjuk meg a határértékét, valamint -hoz számoljunk küszöbindexet!
Megoldás: A feladat hasonló mint az előző, így haladjunk ugyanazon az úton.
Ezen elemek alapján a sorozat konvergensnek tűnik, és határértéke valószínűleg -1.5 lesz. Helyettesítsünk a definícióban szereplő egyenlőtlenségbe.
Hozzunk közös nevezőre.
Az abszolút értéken belül olyan tört áll, melynek számlálója pozitív, nevezője pedig, ha , akkor pozitív, de ha , akkor negatív. Mivel a határérték szempontjából nem a sorozat elején levő elemek az érdekesek, ezért mondhatjuk azt, hogy az első négy elemtől eltekintünk, s így egyértelművé válik a tört előjele. (A sorozat elejéről véges sok elemtől nyugodtan eltekinthetünk, mert egy küszöb feletti indexű elemeknek kell a határértékhez közel lenniük.) Mivel az abszolút értéken belül így negatív kifejezés áll, az abszolút érték a -1-szerese lesz. (Nem az egyenlőtlenséget szorozzuk meg -1-gyel, hanem az abszolút értéket hagyjuk el, csak a törtet kell szoroznunk -1-gyel.)
Szorozzunk -nel! Vigyázat, ez a kifejezés negatív, az egyenlőtlenség megfordul!
Osszunk -nal.
Vonjunk ki 18-at.
Osszunk -4-gyel. Az egyenlőtlenség újra fordul.
Megint olyan erdeményt kaptunk, hogy legyen egy -tól függő értéknél nagyobb. A sorozat tehát konvergens, és határértéke -1.5 .
Jelölésben:
Ha vesszük a megadott értéket, akkor
tehát a küszöbszám már 729 is lehet. (A feladat megoldása lényegében azonos volt az előzőével, azonban több ponton is jobban figyelni kellett. Egyrészt az abszolút érték helyes elhagyásánál, másrészt pedig a negatív kifejezésekkel való szorzásnál és osztásnál.)
|
4. feladat Konvergens-e az sorozat?
Megoldás:
Most azt látjuk, a sorozat elemei egyre nagyobbak, és nincs olyan véges érték ami felé közelítenének. Sejtésünk az lehet, hogy a sorozat a végtelenbe tart, azaz nem konvergens, csak tágabb értelemben. A bizonyításhoz azt kell belátnunk, hogy bármilyen nagy számot adunk is meg, van olyan küszöb, amelynél nagyobb indexű elemek még ennél is nagyobbak. Most a definícióban szereplő egyenlőtlenségből kell elindulnunk, de be kell helyettesítenünk a konkrét sorozatot megadó képletet.
Mint az előző feladatokban, most is az ismeretlen, s most lesz paraméter. Vegyük mindkét oldal 2 alapú logaritmusát. (-ról feltehetjük, hogy pozitív, hiszen bármilyen nagy is lehet, tehát létezik a logaritmus.)
Eredményünk olyan, mint amit vártunk, legyen egy -tól függő küszöbértéknél nagyobb. Ha értékét növeljük, természetesen -nek is nagyobbnak kell lennie ahhoz, hogy az egyenlőtlenség teljesüljön. Vegyünk most egy konkrét értéket, pl. . Behelyettesítve kapjuk
,
azaz a sorozat 27. és annál nagyobb indexű elemei még -nál is nagyobbak lesznek. Tehát a sorozat sejtésünknek megfelelően divergens, csak tágabb értelemben konvergál a végtelenhez.
Jelölésben:
|
5. feladat Konvergens-e az sorozat?
Megoldás:
Most azt sejtjük, a sorozat mínusz végtelenbe tart, tehát nem konvergens. Az induló egyenlőtlenség ez esetben az lesz, amelyben bármilyen kicsi szám is lehet. (Vigyázat, a kicsi nem valamilyen 0-hoz közeli pozitív értéket jelent, hanem nagy abszolút értékű negatív számokat, pl. -et!) Behelyettesítve a konkrét sorozatot
Szorozzunk -1-gyel. (Az egyenlőtlenség fordul.)
Emeljünk négyzetre. (-ról feltehetjük, hogy negatív, hiszen bármilyen kicsi is lehet, ekkor azonban pozitív, ezért a négyzetre emelés nem változtatja meg az egyenlőtlenség irányát.)
Az eredmény megint az elvárásunknak megfelelő, az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha egy -tól függő küszöbnél nagyobb. Ha pl. , akkor
azaz a sorozat -nál nagyobb indexű elemei, még -nél is kisebbek. A sorozat tehát valóban divergens, a mínusz végtelen csak tágabb értelemben a határértéke.
Jelölésben:
|