15. lecke: Függvények értelmezési tartománya
| Tanulási cél: Az értelmezési tartományok meghatározásakor leggyakrabban alkalmazott eljárások begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 5.1. és 5.6.
Elméleti összefoglaló: Egy függvényt két dolog határoz meg: a hozzárendelési utasítás és az értelmezési tartomány. Ugyanakkor szokás függvényeket csupán a hozzárendelési utasítás megadásával definiálni. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számok azon legbővebb részhalmzát tekintjük, amelyen a hozzárendelési utasítás értelmes. Ennek a részhalmaznak a meghatározása gyakran fontos. Ezzel foglalkozik az első lecke.
Nyomatékkal felhívjuk az olvasó figyelmét arra, hogy a függvénytani részt kezdje az elemi alapfüggvényekkelvaló alapos megismerkedéssel. Minden alapfüggvény esetén legyen tisztában a függvény definíciójával, (például, hogy mit jelent tetszőleges valós szám esetén), azzal, hogy mi az értelmezési tartomány, és ismerje a függvény grafikonját. Minden feladat lényegében az elemi alapfüggvényekből a függvénytani műveletekkel felépített bonyolultabb függvényekről szól, így az alapfüggvények biztos ismerete elengedhetetlen.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: A függvény hozzárendelési utasítása egy tört. Tudjuk, hogy egy tört nevezője nem lehet nulla. Most tehát a valós számok közül azokat kell kizárni az értelmezési tartományból, amelyekre a nevező nulla. Megoldjuk tehát az
egyenletet. Használhatjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, vagy az szorzatra bontást.
Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azt kapjuk, hogy egyenletünk két megoldása: és .
Ebből a két számból álló halmazt kell tehát a valós számok halmazából kivonni. Így az függvény -el jelölt értelmezési tartománya:
. |
2. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Négyzetgyököt a valós számok körében csak nemnegatív számból vonhatunk. Ezért az a feltétel, hogy
.
Ennek az egyenlőlenségnek a megoldáshalmaza adja az értelmezési tartományt.
A másodfokú egyenlőtlenség megoldását a következőképp kaphatjuk meg. Először megoldjuk az
egyenletet. Szorzatra bontva a másodfokú kifejezést
,
a két gyök tehát és . Persze a megoldóképletet is használhattuk volna.
A másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, így grafikonja egy felfelé nyíló parabola, tehát a kifejezés a két gyökén kívül pozitív, és a két gyöke között negatív. Az értelmezési tartományt úgy kapjuk meg, hogy a valós számok közül elhagyjuk azokat, ahol a másodfokú kifejezés negatív, azaz a nyílt intervallum pontjait.
Ezek alapján
.
Figyeljünk a zárójelekre! Az előző feladatban a valós számok halmazából egy kételemű halmazt vontunk ki, ezért használtunk ott kapcsos zárójelet. A mostani feladatban egy nyílt intervallum összes elemét kellett elhagyni a valós számok közül. |
3. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Most két dolog jelent korlátozást. Az első az, hogy logaritmusát csak pozitív számnak vehetjük, tehát teljesülnie kell az
egyenlőtlenségnek.
A második az, hogy a nevezőben nem állhat nulla.
Az értelmezési tartományt tehát úgy kapjuk meg, hogy a fenti egyenlőtlenség megoldáshalmazából elhagyjuk a nevező gyökhelyeit.
Megoldjuk az egyenlőtlenséget. Mivel , a másodfokú kifejezés minden -től különböző szám esetén pozitív. Tehát az egyenlőtlenség megoldáshalmaza
.
Mivel a logaritmus függvény csak 1-ben nulla, a nevező akkor lesz nulla, ha
,
azaz, ha
.
Ennek a másodfokú egyenletnek a két megoldása és . Ezt a két számot kell tehát még elhagyni a halmazból.
Ezek alapján végül is
. |
4. feladat Mi az értelmezési tartománya az függvénynek?
Megoldás: Nyilván értelmesnek kell lenni külön a gyökös és külön a logaritmusos kifejezésnek is.
Jelölje azt a halmazt, ahol a gyökös kifejezés értelmes, azt a részhalmazt, ahol a logaritmusos kifejezés értelmes.
A ennek a két halmaznak a metszete.
Meghatározzuk először -et. Az a feltétel, hogy
,
azaz legyen. Ez alapján
.
esetén az a feltétel, hogy
,
azaz legyen. Ebből
.
Ennek a két halmaznak a metszetéből kapjuk, hogy
.
Egyváltozós függvények értelmezési tartományát gyakran valós számok részhalmazainak metszeteként, vagy uniójaként kapjuk meg. A valós számok részhalmazai ábrázolhatók a valós számegyenesen. Az ilyen részhalmazok metszeteit és unióit, különösen, ha azok tagjai több darabból állnak, grafikusan célszerű meghatározni a következő módon.
A metszet, vagy unió minden tagját feltüntetjük egy valós számegyenesen, úgy, hogy a halmazhoz tartozó pontokat megvastagítjuk. Ezeket egymás alá rajzoljuk, úgy, hogy a origók egy függőleges volnaban legyenek. Az egységet is mindegyik ábrán ugyanakkorának választjuk. Az üres kör azt jelzi, hogy az a szám nincs a halmazban, a teli kör azt, hogy benne van.
Ezután a metszetet úgy kapjuk, hogy legalul felveszünk még egy számegyenest, ügyelve arra, hogy az origója és az egysége a fentiek alá essen, és azon megjelöljük azokat a pontokat, amelyek mindegyik számegyenesen meg voltak jelölve. Az uniónál azokat a pontokat kell a legalsó számegyenesen megjelölni, amelyek valamelyik fentin meg voltak jelölve.
A feladatunk esetében ezt mutatja az alábbi ábra.
 |
5. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Annak kell teljesülni, hogy
.
Ez akkor igaz, ha a tört értéke nulla, ami a valós számok egy részhalmazán teljesül, vagy ha a tört értéke pozitív, ami egy részhalmazon teljesül. Most ennek a két halmaznak az uniója adja a -et.
Kezdjük meghatározásával.
Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevező pedig értelmes. Az feltétel teljesül, ha . Mivel -ben a nevező nem nulla, így ez a tört egyetlen zérushelye, vagyis
.
Rátérünk meghatározására.
Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, ez egy halmaz pontjaiban teljesül, vagy ha mind a számláló, mind a nevező negatív, ez egy pontjaiban teljesül. Ezek uniója adja -t.
Meghatározzuk először -t. Annak kell teljesülni, hogy
,
azaz ,
és
,
azaz .
Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az számokra teljesül, tehát
.
esetén annak kell teljesülni, hogy
,
azaz ,
és
,
azaz .
Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az számokra teljesül, vagyis
.
Ezeket felhasználva, amint az az alábbi ábráról is leolvasható
.

Végül is
.
Az garfikus előállítása szerepel a következő ábrán.
 |
6. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Az függvény értelmezési tartománya a intervallum, az tehát a feltétel, hogy
.
Megoldjuk ezt a kettős egyenlőtlenséget. Az ezekre vonatkozó ekvivalens átalakítási lehetőségek hasonlóak az egyenlőtlenségekre vonatkozókhoz. Szabad például minden "oldalhoz" hozzáadni ugyanazt a számot. Ötöt hozzáadva minden "oldalhoz" azt kapjuk, hogy
.
Kettővel végigosztva
.
Így tehát
. |
7. feladat Meghatározandó az függvény értelmezési tartománya.
Megoldás: Most is az a feltétel, hogy
.
Ekvivalens átalakításokat végezve kapjuk, hogy
,
,
.
Így végül
. |
8. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Az osztás miatt .
Az arcsin miatti feltétel az, hogy
.
Mivel a nevező nem állandó előjelű, két esetet kell vizsgálni, ha pozitív és ha negatív. (A nullát már kizártuk.)
Ha , vagyis , akkor az eredeti kettős egyenlőtlenség azzal ekvivalens, hogy
.
Ennek megoldáshalmazát jelöljük -gyel.
Ha azonban , akkor az eredeti kettős egyenlőtlenség azzal ekvivalens, hogy
. (Ha negatív számmal szorzunk megfordulnak az egyenlőtenségek irányai.)
Ennek megoldáshalmazát jelölje .
Ennek a két halmaznak az uniója adja -et.
Foglalkozzunk először meghatározásával.
Ekkor, az feltételen túl, annak kell teljesülni, hogy
,
azaz ,
és
,
azaz .
Ez a három egyenlőtlenség egyszerre teljesül, ha , tehát
.
Ezt mutatja az alábbi ábra.

esetén, az feltételen túl, annak kell teljesülni, hogy
,
azaz ,
és
,
azaz .
Ez a három egyenlőtlenség egyszerre teljesül, ha , tehát
.
Grafikusan mindez.

Ezek alapján végül
.
Az unió grafikus előállítását mutatja az alábbi ábra.

|
9. feladat Hatátozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Az a feltétel most, hogy teljesüljön az
egyenlőtlenség.
Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, vagy ha mind a kettő negatív.
Bevezetjük a következő jelöléseket.
-el jelöljük azt a halmazt, ahol a számláló és a nevező is pozitív, -vel azt, ahol mindkettő negatív. Ezek uniója adja az értelmezési tartományt.
Kezdjük meghatározásával.
Mivel a számláló és a nevező képe is felfelé nyíló parabola, ezek a gyökeiken kívül pozitívak, és a gyökeik között negatívak.
Egyenlővé téve a számlálót is és a nevezőt is nullával, és megoldva az egyenleteket, azt kapjuk, hogy a számláló gyökei -1 és 2, a nevező gyökei pedig -2 és 1.
az a halmaz, ahol a számláló pozitív, az, ahol a nevező pozitív. Ezek metszete .
Megrajzolva a megfelelő ábrát leolvashatjuk, hogy
.

Térjünk rá meghatározására.
jelölje azt a halmazt, ahol a számláló negatív, azt, ahol a nevező negatív. Ezek metszete .
Az ábra alapján
.

Végül, az uniót is grafikusan meghatározva, az alábbi ábrából kapjuk, hogy
.

Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mi az függvény értelmezési tartománya? |
2. kérdés: Mi az értelmezési tartománya az függvénynek? |
3. kérdés: Legyen . Ekkor |
4. kérdés: Az függvény értelmezési tartománya |
5. kérdés: Mi az értelmezési tartománya az függvénynek? |
6. kérdés: Az értelmezési tartománya |
7. kérdés: Az függvény értelmezési tartománya |