25. lecke: Függvények menetének vizsgálata (2)
| Tanulási cél: A függvényvizsgálat további gyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.8. |
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
Mivel minden -re, ezért .
2) Alaki tulajdonságok.
Megoldjuk először az
egyenletet. Mivel a logaritmus egyedül 1-ben nulla, az kell, hogy
legyen, ami esetén teljesül. Persze ekkor is fennáll, a grafikon tehát átmegy az origón.
,
most tehát páros függvénnyel van dolgunk.
3) Limeszek az értelmezési tartomány szélein.
,
.
A párosság miatt ezek nem is lehetnek eltérők.
4) Lokális szélszőértékek.
.
akkor és csak akkor, ha , egy szélsőérték jelöltünk van tehát. A szokásos táblázat elkészítésével megvizsgáljuk, hogy valóban az-e. |
| | | | | - | 0 | + | | | lok. min. | |
|
Látjuk, hogy a jelöltünk valóban szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, a minimum értéke: .
5) Monotonitási szakaszok.
A harmadik sorból látszik, hogy a minimum hely előtt csökken, utána nő a függvény.
6) Inflexiós pontok.
.
akkor és csak akkor, ha vagy .
Az alábbi táblázatban mindkét jelöltet megvizsgáljuk. |
| | | | | | | - | 0 | + | 0 | - | | konkáv | inf. pont | konvex | inf. pont | konkáv |
|
Mindkét jelölt valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: .
7) Konvex, konkáv szakaszok.
Látjuk a harmadik sorból, hogy a függvény az inflexiós pontok között konvex, azokon kívül konkáv.
8) Grafikon.
Figyelembe véve az eddig megszerzett információkat most az alábbi az alábbi grafikont kapjuk.

Most is ügyeljünk arra, hogy a párosság, azaz a grafikon tengelyre való szimmetrikussága, látszódjon.
9) Értékkészlet.
Látjuk, hogy . |
2. feladat Végezzünk teljes függvényviszgálatot az függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
.
2) Alaki tulajdonságok.
akkor és csak akkor, ha , a grafikon átmegy az origón.
.
Ez nem az , és nem is annak mínusz egyszerese, tehát a függvény se nem páros, se nem páratlan.
3) Limeszek az értelmezési tartomány szélein.
,
hiszen az szorzat első tényezője mínusz végtelenbe, a második tényezője plusz végtelenbe tart.
A határérték típusú, de átírható alakban törté, és ez a típusú limesz a L'Hospital-szabály segítségével könnyen kiszámolható. A deriváltak hányadosának limesze
,
ezért
.
4) Lokális szélsőértékek.
.
pontosan akkor, ha , mivel a szorzat második tényezője sehol sem lehet nulla.
A szokásos táblázatban megvizsgáljuk a jelöltet. |
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
Az 1-ben tehát szélsőérték van, mégpedig lokális maximum, aminek értéke .
5) Monotonitási viszonyok.
A harmadik sor alapján a függvény 1-ig nő, utána fogy.
6) Inflexiós pontok.
.
pontosan akkor, ha . Megvizsgáljuk a jelöltünket. A táblázat most
|
| | | | | - | 0 | + | | konkáv | inf. pont | konvex |
|
A második derivált előjele az tényező előjelével azonos. Ez 2 előtt negatív, utána pozitív.
A 2-ben tehát inflexiós pont van. az inflexiós pont második koordinátája.
7) Konvex, konkáv szakaszok.
A második sor alapján az inflexiós pont előtt konkáv a függvény, utána konvex.
8) Grafikon.
Figyelembe véve az eddigieket a függvény ábrája:

9) Értékkészlet.
A ábra alapján a függvény a lokális maximumát, és az annál kisebb értékeket veszi fel, (a lokális maximum most globális maximum is).
. |
3. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
A nevezőbeli miatt
.
2) Alaki tulajdonságok.
A függvény sehol sem nulla, hiszen a számláló semmilyen -re sem nulla, a grafikon nem metszi a vízszintes tengelyt.
Mivel , a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt sem.
,
amiből látszik, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.
3) Limeszek a szélein.
Négy határértéket kell kiszámolnunk.
Alkalmazva a L'Hospital-szabályt az eredeti típusú limeszre:
.
,
hiszen a számláló 1-hez, a nevező pedig nullához tart, de mindig negatív.
,
mivel most a nevező a pozitív számokon keresztül tart nullához.
Végül, ismét felhasználva a L'Hospital-szabályt,
.
4) Lokális szélsőértékek.
.
pontosan akkor, ha .
Figyeljünk most arra, hogy a jelölt a jobb oldali felébe esik, azt vágja ketté, ezért a fejléc az alábbi három darabot tartalmazza. |
| | | | | | | - | | - | 0 | + | | | | | lok. min. | |
|
Az 1-ben tehát lokális minimum van, amelynek értéke: .
5) Monotonitási viszonyok.
Figyeljük meg, hogy - összhangban a nulla körüli limeszekkel - a nulla bal és jobb oldali környezetében is fogyó a függvény.
6) Inflexiós pontok.
.
Mivel diszkriminánsa negatív , tehát nincs inflexiós pont.
7) Konvex, konkáv szakaszok.
Nincs ugyan inflexiós pont, de a második táblázatot most is el kell készíteni, mert a konvex és konkáv szakaszok abból olvashatók ki. |
| | | | | - | | + | | konkáv | | konvex |
|
Az előjelekkel kapcsolatban jegyezzük meg, hogy most előjele, lévén, hogy a számlálója mindig pozitív, a nevezője előjelével egyezik meg, az pedig negatív x-ekre negatív, pozitívakra pozitív.
8) Grafikon.
Ezek után elkészíthetjük a függvény ábráját, ami az alábbi:

9) Az ábra alapján
.
Ellenőrző kérdések: |