32. lecke: Határozott integrál
| Tanulási cél: A határozott integrál fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I Fejezet: 8.5
Elméleti összefoglaló: Tekintsük az -n értelmezett függvényt, és bontsuk fel az -t részintervallumra. Az függvényt az -n Riemann-integrálhatónak mondjuk, ha létezik a
határérték, ahol jelenti az -edik részintervallumának hosszát, pedig az -edik részintervallum tettszőleges pontjához tartozó függvényértéket. A azt jelenti, úgy vesszük az összeg határértékét, hogy -t egyre több részintervallumra bontjuk oly módon, hogy a leghosszabb részintervallum hossza is közeledik -hoz. Ha létezik ez a határérték, akkor ezt az függvény -n vett határozott integráljának nevezzük, és -szel jelöljük. Mivel a határozott integrál egy határérték, ezért ez szám. Értéke az függvény grafikonja és az -tengely közti előjeles terület nagyságával egyenlő. Ha egy terület az -tengely felett van, akkor pozitív, ha alatta, akkor negatív.
Ha az függvény folytonos az -n, akkor integrálható az -n.
A határozott integrál néhány tuljdonsága: 1. A határok felcserélésére az integrál előjelet vált, azaz
.
2. Ha integrálható -n és az belső pontja, akkor
,
azaz részintervallumokon vett integrálok összege megadja a teljes intervallumra vonatkozó integrált. A tétel akkor is igaz, ha az -n kívül helyezkedik el, és integrálható az és intervallumokon.
3. A határozott integrál és a konstanssal szorzás sorrendje felcserélhető, azaz
.
4. Függvények összegének határozott integrálja azonos a határozott integrálok összegével.
A Newton-Leibniz formula:
,
ahol az egy tetszőleges primitív függvénye, s azt jelenti, hogy helyen vett helyettesítési értékéből ki kell vonni az a helyen vett helyettesítési értékét. A számolás szempontjából ez a tétel a legfontosabb, hiszen ez mondja ki, hogy a határozott integrálás két lépésből áll. Elsőként keresünk egy primitív függvényt, ami tulajdonképpen határozatlan integrálást jelent. Ezután behelyettesítjük a primitív függvénybe az integrálási határokat, és vesszük a helyettesítési értékek különbségét.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat
Megoldás: A függvény folytonos az integrálási intervallumon, tehát létezik a keresett integrál. (A későbbiekben ezt nem fogjuk minden esetben megjegyezni.) Alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát. Ehhez először keresünk egy primitív függvényt.
, tehát megfelelő. Helyettesítsük ezt be.
Megjegyzés: A feladatok megoldását kétféle módon szokták leírni. Az egyikben külön végzik el a határozatlan integrálást, majd behelyettesítenek a Newton-Leibniz formulába, mint ahogyan ezt mi is tettük. Akkor célszerű így eljárni, ha a határozatlan integrálás nem egyszerű, hanem több lépésben is kell alakítani az integranduson. Ha a határozatlan integrálás egyszerű, mint ebben a feladatban is, akkor felesleges ezt külön leírni, ezt rögtön a határok feltüntetésével végezhetjük.
|
2. feladat
Megoldás: Írjuk fel az integrandust egyetlen hatványként, így rögtön meghatározhatunk egy primitív függvényt, melybe behelyettesíthetjük az integrálási határokat.
|
3. feladat
Megoldás: Járjunk el ugyanúgy, mint az előző feladatban, csak most reciprokot kell felírnunk hatványként.
Megjegyzés: Ha a primitív függvényben szerepel valamilyen konstans szorzó, mint jelen esetben , akkor a behelyettesítés során ezt rögtön kiemelhetjük, nem kell külön kiírni mindkét alkalommal. A későbbiekben így fogunk eljárni a megoldások során.
|
4. feladat
Megoldás: Az integrandus most nem alakítható alapintegrállá, de felismerhető, hogy olyan összetett függvény, melynek belső függvénye lineáris. Ez még jobban látszik, ha a számlálóból az -öt kiemeljük az integrál elé. A külső függvény a reciprok, azaz , a belső pedig a . Alkalmazzuk a megfelelő integrálási módszert, tehát integráljuk a külső függvényt, megtartva a belsőt, és osszunk a belső függvényből együtthatójával. A primitív függvény meghatározása után végezzük el a behelyettesítést.
|
5. feladat
Megoldás: Az integrandus típusa ugyanolyan mint az előző feladatban, összetett függvény lineáris belső függvénnyel. A külső függvény az , a belső pedig , s hajtsuk végre ugyanazokat a lépéseket, mint az előbb.
|
6. feladat
Megoldás: Az integrandusban egy polinomot szorzunk az exponenciális függvénnyel, így a primitív függvény meghatározásához parciálisan kell integrálnunk. Most először határozatlanul integráljunk, s legyen valamint a szereposztás.
Ekkor és .
Helyettesítsük be ezeket a parciális integrálás szabályába, s határozzuk meg a visszamaradó integrált is.
Térjünk vissza a határozott integrálhoz, s helyettesítsük be a primitív függvényt, majd az integrálási határokat.
|
7.feladat
Megoldás: Ismét olyan szorzatot kell integrálnunk, amelynél parciális integrálásra van szükség, célszerűbb most is külön leírni a határozatlan integrálást. A szereposztás most a következő, és .
Ebből és .
Írjuk be ezeket a parciális integrálás szabályába, a megmaradó integrálon belül egyszerűsítsünk, s végezzük el az integrálást.
Végezzük el ezután a megfelelő behelyettesítéseket.
|
8. feladat
Megoldás: Az integrandus olyan tört, melynek nevezőjében egy elsőfokú kifejezés gyöke áll. A primitív függvény előállításához célszerű a gyökös kifejezés helyettesítésével próbálkoznunk. A határozatlan integrálást most is végezzük el külön.
Legyen , s fejezzük ki ebből -et.
Deriváljuk mindkét oldalt szerint.
Végezzük el a helyettesítést az integrandusban, majd egyszerűsítsünk. Hajtsuk végre az integrálást, és helyettesítsük vissza az eredeti változót.
Most térjünk vissza az eredeti feladathoz, írjuk be a primitív függvényt, s helyettesítsük be a határokat.
Megjegyzés: Az olyan feladatokban, melyekben határozott integrál kiszámolásakor helyettesítéssel integrálunk, kétféle módon járhatunk el. Az egyik út az, melyen most jártunk, amikor a primitív függvénybe visszahelyettesítettük az eredeti változót, s így a Newton-Leibniz formulába az eredeti integrálási határokat kellett beírnunk. A másik esetben nem helyettesítjük vissza az eredeti változót, de ekkor ki kell számolnunk, hogy a helyettesítéssel miként változnak meg az integrálási határok. A helyettesítést most a egyenlet írta le. Írjuk be itt helyére először az alsó, majd a felső integrálási határt, s így megkapjuk az új integrálási határokat. (Ezeket jelölje .)
Ezeket a határokat írjuk a Newton-Leibniz formulában a primitív függvény visszahelyettesítés előtti alakjába, amikor még a változó.
A számolást a végén már nem részleteztük, mert ugyanazokat a lépéseket kell elvégezni, mint a másik úton. Természetesen mindegy melyik utat választjuk a kettő közül.Fontos azonban, hogy ha egy integrál meghatározása közben helyettesítenünk kell a változót, akkor általában megváltoznak az integrálási határok. A határok mindig csak egy bizonyos változóhoz tartoznak, ha új változóra térünk át, akkor a helyettesítést leíró egyenletből tudjuk kiszámolni az új határokat, amennyiben nem akarjuk visszahelyettesíteni az eredeti változót.
|