17. lecke: Az inverz függvény
| Tanulási cél: Begyakorolni az inverz függvény képletének előállítását egyszerűbb függvények esetén.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 5.1.
Elméleti összefoglaló: Minden függvény az értelmezési tartományát képezi le az értékkészletére. Ezt így is szoktuk jelölni:
.
Ha az függvény kölcsönösen egyértelmű, akkor léteik az -nel jelölt inverzfüggvénye, mely az értékkészletét képezi le az értelmezési tartományára, tehát a fenti jelöléssel:
,
és teljesül rá, hogy
esetén.
Arra, hogy mikor létezik az inverz függvény, egy jól használható feltétel az alábbi.
Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverz függvénye.
Az inverz függvény képletét az egyenlet -re való megoldásával lehet előállítani.
Az elemi alapfüggvények között több függvény-inverz függvény pár található, például az
pár is ilyen.
Az inverz függvény inverz függvénye az eredeti függvény.
Szavakban megfogalmazva az inverz függvény "visszacsinálja" az eredeti függvény hatását.
Ha nem szigorúan monoton, akkor gyakran meg lehet őt szorítani egy olyan halmazra, ahol már az, és ennek a megszorításnak lehet képezni az inverz függvényét. Erre példa az
és a
elemi függvény pár.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az függvény inverz függvényét.
Megoldás: Az értelmezési tartománya a valós számok halmaza, szigorúan monoton növő (garfikonja egy emelkedő egyenes), értékkészlete szintén a valós számok halmaza. Így létezik az inverz függvénye és az is a valós számok halmazán van értelmezve. Az inverz függvény képletének előállításához megoldjuk az
egyenletet -re, hiszen most azt keressük, hogy mit kell az -al csinálni, hogy belőle visszakapjuk az -et.
Rendezéssel azt kapjuk, hogy
.
Ebből az inverz függvény képletét úgy kapjuk, hogy az helyére -et írunk, mivel a függvények argumentumát -el szoktuk jelölni. Tehát az inverz függvény képlete:
. |
2. feladat Határozzuk meg az függvény inverz függvényét.
Megoldás: Az függvény elemi alapfüggvény, mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a valós számok halmaza, és szigorúan monoton növő. Ugyanezek igazak az függvényre is. (Az elemi alapfüggvények ismerete nélkül ezekkel az információkkal nem rendelkeznénk és el sem tudnánk kezdeni a feladat megoldását!)
Létezik tehát az inverz függvény, ami szintén minden valós számra értelmezett. Előállítjuk a képletét. Megoldjuk -re az
egyenletet. Kapjuk, hogy
,
.
Innen az inverz függvény
. |
3. feladat Határozzuk meg az függvény inverz függvényét.
Megoldás: Először is , hiszen a nevező nem lehet nulla. Az értékkészlet meghatározása egy kicsit bonyolultabb.
Egy függvény értékkészlete azokból az számokból áll, amelyekhez található olyan -beli , hogy .
A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy benne van az értékkészletben, ha megoldható -re az
egyenlet. Persze csak olyan jöhet szóba, amelyre .
Az látszik, hogy nem lehet nulla, hiszen a törtünk számlálója soha nem nulla. De bármely nullától különböző szám lehet. (Ezt onnan tudhatjuk, hogy az hiperbola eltoltja 2 egységgel balra. A hiperbola elemi alapfüggvény, melynek értékkészlete a nullától különböző számokból áll.)
Ezért .
Az függvény nem szigorúan monoton, de kölcsönösen egyértelmű, létezik tehát az inverz függvény. Hátra van meg a képletének előállítása. Ennek érdekében megoldjuk -re az
egyenletet, feltételezve, hogy . Kapjuk, hogy
.
Ebből az inverz függvény
. |
4. feladat Határozzuk meg az függvény inverz függvényét.
Megoldás: A függvényünk mindenütt értelmezett és értékkészlete , továbbá szigorúan monoton növő. (Most is egy elemi alapfüggvény lineáris transzformáltjáról van szó.) Létezik tehát az inverz függvény. Az inverz képletének előállításához megoldjuk az
egyenletet, feltéve, hogy .
Ekkor
,
majd mindkét oldal kettes alapú logaritmusát véve, és felhasználva a logaritmus egyik azonosságát kapjuk, hogy
,
,
,
.
Végül is az inverz függvény képlete
. |
5. feladat Tekinsük az függvényt. Határozzuk meg egy alkalmas megszorításának az inverz függvényét.
Megoldás: A függvényünk képe egy parabola, ez látható az alábbi ábrán.

Az felírásból látszik, hogy a normálparabola eltoltja két egységgel jobbra. Nem szigorúan monoton tehát az egész értelmezési tartományán, de ha megszorítjuk a kettőnél nagyobb, vagy egyenlő számokra, a megszorítás már az lesz.
Tekintsük tehát a függvényt, és ennek határozzuk meg az inverzét. értékkészlete, az ábrája alapján, . Ez lesz az inverz értelmezési tartománya.
Megoldjuk az feltételek mellett -re az
egyenletet.
,
, (tudjuk, hogy , ezért nem kell itt -t írnunk),
.
A inverz függvénye tehát
.
|
6. feladat Tekintsük az függvényt és alkalmas megszorításának határozzuk meg az inverzét.
Megoldás: Teljes négyzetté kiegészítéssel alakítsuk át a függvényünk képletét a következő módon:
.
Ez is a normálparabola lineáris transzformáltja, a grafikonját úgy kapjuk, hogy a normálparabolát eltoljuk úgy, hogy a csúcspontja a koordinátájú pontba kerül, majd tükrözzük őt a csúcspontján átmenő vízszintes egyenesre. Grafikonja az alábbi.

Az ábrája alapján látszik, hogy ha megszorítjuk a függvényünket a -nél nagyobb, vagy egyenlő számokra, akkor egy szigorúan monoton csökkenő függvényt kapunk.
Tekintsük tehát a
függvényt és határozzuk meg az inverzét.
Az ábrája alapján világos, hogy .
Megoldjuk tehát az feltételek mellett -re az
egyenletet.
,
, (az abszolút értéket megint nem kell kitenni, hiszen a feltételek miatt ).
Ebből
.
Ez alapján az inverz függvény
.
Ellenőrző kérdések: |
| 1. kérdés: Az függvény inverz függvénye |
2. kérdés: Az függvény inverz függvénye |
3. kérdés: Az függvény inverz függvénye |
4. kérdés: Mi az függvény inverz függvénye? |
5. kérdés: Az függvény szigorúan monoton növő az alábbi intervallumon. |
6. kérdés: Az függvény inverze az alábbi függvény. |