23. lecke: A L'Hospital-féle szabály
| Tanulási cél: Egy újabb, hatékony határértékszámítási eszköz, a L'Hospital-féle szabály megismerése, és alkalmazásának elsajátítása a különböző típusú határozatlan határértékek esetében.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.7.
Elméleti összefoglaló:
Tegyük fel, hogy a
határérték vagy típusú, és egy környezetében, esetleg -tól eltekintve, is és is differenciálható, továbbá itt és . Ha még
is teljesül, akkor
.
Röviden, és pontatlanul, mondva: a tört limesze aderiváltak hányadosának a limesze.
Fontos, hogy csak határozatlan alakú határértékek kiszámolására próbáljuk a tételt alkalmazni, különben hibás eredményt ad.
Ha szükséges, a deriváltak hányadosának a limeszét is megpróbálhatjuk a L'Hospital-szabállyal kiszámolni. Ilyenkor célszerű a lehetséges egyszerűsítéseket előbb elvégezni.
A következő feladatokban a tétel feltételeinek teljesülését nem fogjuk vizsgálni. (A feltételek minden feladatban teljesülnek.)
|
Ha az szorzat, (a szóbanforgó helyen), típusú, akkor az
,
vagy az
formulák valamelyikét felhasználva, a kérdéses határérték átalakítható , vagy típusúvá, és aztán alkalmazható a L'Hospital-szabály.
Gyakran a kétféle átírási lehetőség közül csak az egyik használható, azzal érdemes először próbálkozni, amelyik deriválás szempontjából egyszerűbbnek tűnik.
A határozatlan alakú típusú határértékek logaritmálással visszavezethetők típusú határértékre.
A típusú határértékek, ha eleve törtek különbségéről van szó, közös nevezőre hozással tört alakba írhatók, és alkalmazható a L'Hospital-szabály. Ha nem törtek különbségéről van szó, akkor általában kiemeléssel lehet visszavezetni a feladatot olyan alakra, ahol a L'Hospital-szabály alkalmazhatóvá válik. (A típust úgy kell érteni, hogy azonos előjelű végtelenek különbsége a limesz.)
Az alábbiakban midegyik esetre mutatunk példákat.
|
Kidolgozott feladatok:
1.feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Egy tört határértékét kell kiszámolnunk. Leellenőrizzük, hogy a határérték vagy típusú-e. Mindig ez legyen az első lépés!
Most egy típusú határértékkel van dolgunk. A L'Hospital-féle szabályt fogjuk alkalmazni. Ennek érdekében tekintjük a deriváltak hányadosának az eredeti helyen vett határértékét. Ez most
.
Ebben a formájában ez egy típusú határérték, látszólag nem jutottunk előre. De az utóbbi határérték átalakítható, és ezután könnyen kiszámolható:
.
A deriváltak hányadosának plusz végtelen a limesze, így tételünk értelmében ennyi az eredeti limesz is, azaz
. |
2. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Egy típusú határértéket kell kiszámolni. Tekintjük a deriváltak hányadosának a határértékét.
.
Ez is egy típusú határérték. Kiszámolásához a L'Hospital-szabályt fogjuk alkalmazni.
A deriváltak hányadosának határértéke most
.
A tételünk értelmében ekkor
is teljesül, majd még egyszer alkalmazva a tételt
is fennáll.
|
3. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A limesz típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét:
.
Ez még mindig típusú. Nézzük tehát a
határértéket, de ez még mindig típusú. Végül, még egyszer képezve a deriváltak hányadosának határértékét, kapjuk, hogy
,
ezért sorban minden limesz nullával egyenlő, az eredeti is, azaz
. |
4. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: Ez a limesz típusú. Tehát tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét, ami
.
Ennyi tehát az eredeti limesz is:
. |
5. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A limesz típusú. Vesszük a deriváltak hányadosának limeszét:
.
Tehát az eredeti határértékre is
. |
6. feladat Kiszámolandó a határérték.
Megoldás: Limeszünk típusú. Most a deriváltak hányadosának limesze:
,
ami típusú. Ebből kapjuk, képezve a deriváltak hányadosát, a
eredményt, s így ennyi az eredeti limesz is,
.
Észrevehettük volna azonban, hogy
.
Ez persze így is egy típusú limesz, de ha most vesszük a deriváltak hányadosának limeszét, azt kapjuk, hogy
,
és ismét hivatkozhatunk arra, hogy a tételünk alapján az eredeti is ennyi.
Ezen az úton a deriválás némileg egyszerűbb volt.
A ilyenféle átalakítások gyakran jelentős egyszerűsödést tudnak eredményezni.
|
7. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: A limesz típusú. A deriváltak hányadosának limesze:
.
Ez továbbra is típusú, de átalakítható a következő módon:
.
A tétel alapján az eredeti limesz is ennyi:
.
Ha a fenti átalakítási lehetőséget nem vesszük észre, akkor ismét a L'Hospital-szabály alkalmazásával próbálkozhatnánk, ekkor azt kapnánk, hogy:
.
Most tehát igy is célhoz értünk. Néha azonban az egyszerűsítések elvégzése nélkül nem számítható ki a limesz.
|
8. feladat
Megoldás: Egy típusú limesszel van dolgunk. Most a deriváltak hányadosának limesze:
.
Ez továbbra is típusú. Vegyük észre azonban, hogy a problémát okozó tényezővel egyszerűsíthetünk. Ekkor kapjuk, hogy
.
Persze az eredeti limesz is ezzel egyenlő:
.
Ha most a deriváltak hányadosában nem egyszerűsítenénk a tényezővel, hanem ismét tekintenénk a deriváltak hányadosának limeszét, az továbbra is típusú maradna, és ez történne akarhányszor vennénk, az egyébbként egyre bonyolultabb, deriváltak hányadosának limeszét.
Ezért, hacsak lehet, egyszerűsítsünk!
|
9.feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Ez a határérték egy típusú szorzat. A negatív kitevőjű hatvány miatt kínálkozik a
tört alakú átírás.
Így egy típusú tört határértékének a kiszámítására vezettük vissza a feladatot. Véve a deriváltak hányadosának határértékét, arra jutunk, hogy
.
Tehát az eredeti limesz is ennyi:
. |
10. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A szorzatunk limesze típusú. Mivel elemi alapfüggvény, a
átírást választjuk.
Így egy típusú határérték kiszámítása a feladatunk. Tekintsük a deriváltak hányadosának határértékét:
.
Ez egy típusú határérték. Alkalmazhatjuk ismét a L'Hospital-szabályt, és egy lépésben célhoz jutunk, de talán még egyszerűbb, ha felhasználjuk a nevezetes határértéket. Ekkor
.
Ezzel egyenlő az eredeti limesz is:
. |
11. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Egy típusú határértéket kell kiszámolni. Vezessük be a
jelölést.
Vegyük ezután mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. Ezt megtehetjük, mert ha létezik a limesz, akkor . (Az hatvány definíciójánál fogva pozitív.) Ekkor, felhasználva még a logaritmus függvény folytonosságát is, írhatjuk, hogy
,
,
majd felhasználva a logaritmus egy azonosságát
.
A bal oldalon álló határérték típusú. Átírjuk őt tört alakba:
.
Így típusú határértékre jutunk. Vegyük a deriváltak hányadosának a határértékét, felhasználva, hogy
,
és abban szabaduljunk meg az emeletes törttől. Ekkor kapjuk, hogy
.
Ez utóbbi egy típusú határérték, amit egyszerű átalakításokkal kiszámolhatunk.
.
Azt kaptuk tehát, hogy
,
amiből
.
Ennyi tehát az eredti limesz is:
.
|
12. feladat
Megoldás: A határérték típusú. A szokásos eljárást alkalmazva
,
,
,
.
A bal oldalon álló limesz típusú. Törtté átírva az alábbi limeszhez jutunk:
.
Ezzel típusúvá alakítottuk a kiszámolandó limeszt. Vesszük a deriváltak hányadosának határértékét, és egyszerűsítünk:
,
lévén, hogy az első tényező limesze 1. Az így kapott limesz típusú, amit
alakban törtté alakítunk. Így típusú limeszt kapunk, alkalmazhatjuk tehát a L'Hospital-szabályt. Veszük a deriváltak hányadosának limeszét:
.
Tehát
, (ne feledkezzünk meg a limesz előtt álló -1-ről),
amiből
.
Végül is tehát
.
|
13. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Könnyen látható, hogy egy típusú határértékkel van dolgunk. A következőképp járhatunk el.
Kiemelünk mindkét tagból -t. (A gyorsabban növőt célszerű kiemelni, ha el tudjuk dönteni, hogy melyik az.) Ekkor a
határétékhez jutunk. Itt az első tényező plusz végtelenbe tart, továbbá kétszer alkalmazva a L'Hospital-szabályt
,
ezért a zárójeles kifejezés limesze 1. A szorzat is tart tehát a plusz végtelenbe.
. |
14. feladat
Megoldás: Akár jobbról, akár balról tart az nullához, az és az azonos előjelűen tart nullához, tehát a reciprokuk különbségének határértéke azonos előjelű végtelenek különbsége.
A törtek különbsége miatt közös nevezőre hozunk:
.
Ez típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának határértékét:
,
ami továbbra is típusú. Még egyszer véve a deriváltak hányadosának limeszét:
.
Ezért
.
Ellenőrző kérdések:
|