KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Integrálszámítás

30. lecke: Parciális integrálás

Tanulási cél: A parciális integrálás módszerének elsajátítása, és alkalmazása feladatok megoldásában.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I
Fejezet: 8.4

Elméleti összefoglaló:
Ha az f ( x ) és g ( x ) függvények differenciálhatóak, valamint az f ' ( x ) . g ( x ) függvény integrálható, akkor az f ( x ) . g ' ( x ) függvény is integrálható és

f ( x ) . g ' ( x ) d x = f ( x ) . g ( x ) f ' ( x ) . g ( x ) d x .

A módszer alkalmazásának három legfőbb esete:
1. Az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője polinom, a másik pedig az a x , e x , sin x , cos x függvények valamelyike. Ilyenkor a polinomot célszerű f ( x ) -nek, s a másik tényezőt pedig g ' ( x ) -nek választani. A módszer alkalmazásával azt érjük el, hogy a még meghatározandó integrálban eggyel alacsonyabb fokszámú polinom szerepel. Ha a módszert annyiszor alkalmazzuk, amennyi a polinom fokszáma, akkor eltűnik a polinom, s helyén már csak konstans marad, s a még hátralevő integrálban már nem szorzatfüggvényt kell integrálnunk.

2. Az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője polinom, a másik pedig a log a x , ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x függvények valamelyike. Ilyenkor a polinomot g ' ( x ) -nek, a másik tényezőt pedig f ( x ) -nek célszerű választani. A módszert egyszer alkalmazzuk, s a visszamaradó integrált valamilyen más módszerrel határozzuk meg. Gyakran f α ( x ) . f ' ( x ) vagy f ' ( x ) f ( x ) típusú integrál alakuk ki.
Bár a módszer alapvetően szorzatfüggvények esetén használatos, de itt előfordulhat az is, hogy a polinom egyszerűen 1 . Nem igazi szorzatot akarunk tehát integrálni, hanem a log a x , . . . arcctg x függvények valamelyikét.

3. Az integrandus olyan szorzat, melynek mindkét tényezője az a x , . . . cos x függvények valamelyike. Ekkor általában kétszer kell alkalmazni a módszert, s a visszamaradó integrál az eredeti integrál valamilyen számszorosa lesz. Az így kapott egyenletet ezután rendezni kell az integrálra. A módszer első alkalmazásánál mindegy melyik tényezőt választjuk f ( x ) -nek és melyiket g ' ( x ) -nek, a másodiknál azonban ugyanúgy kell választanunk, mint az elsőnél. Az ilyen típusú szorzatok nem mindegyikénél muszáj alkalmazni ezt a módszert. Szerepelt már például a sin x . cos x függvény, melyet más módszerrel egyszerűbben tudtunk integrálni.

A módszer alaklmazható egyéb esetekben is, de azok nem ennyire jól körülhatárolhatóak.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat ( 3 x 4 ) . sin x d x =

Megoldás: Az integrandus az első típusba tartozik, éljünk tehát az f ( x ) = 3 x 4 , és g ' ( x ) = sin x elnevezésekkel. A módszer alkalmazásához meg kell határoznunk az f ( x ) függvény deriváltját.

f ' ( x ) = ( 3 x 4 ) ' = 3

Szükségünk van még a g ( x ) függvényre is, melyet a g ' ( x ) integrálásával kapunk.

g ( x ) = g ' ( x ) d x = sin x d x = cos x + c

Mivel most elegendő egyetlen olyan függvényt találnunk, melynek deriváltja g ' ( x ) , ezért az integrációs konstanst elhagyhatjuk, azaz elegendő g ( x ) = cos x -et írnunk. Ezután helyettesítsünk be a szabályba.

( 3 x 4 ) . sin x d x = ( 3 x 4 ) . ( cos x ) 3 . ( cos x ) d x =

A még meghatározandó integrálból 3 kiemelhető az integrál elé, majd az integrálás elvégezhető.

( 3 x 4 ) . cos x + 3 cos x d x = ( 4 3 x ) . cos x + 3 sin x + c

2. feladat ( 2 x + 7 ) . 5 x d x =

Megoldás: Az integrandus az első típusba tartozik. Legyen f ( x ) = 2 x + 7 és g ' ( x ) = 5 x . Határozzuk meg f ( x ) deriváltját és g ( x ) függvényt.

f ' ( x ) = ( 2 x + 7 ) ' = 2

g ( x ) = g ' ( x ) d x = 5 x d x = 5 x ln 5

Helyettesítsünk be a szabályba.

( 2 x + 7 ) . 5 x d x = ( 2 x + 7 ) . 5 x ln 5 2 . 5 x ln 5 d x =

A még megmaradt integrálból emeljük ki a konstansokat, majd integráljunk.

( 2 x + 7 ) . 5 x ln 5 2 ln 5 5 x d x = ( 2 x + 7 ) . 5 x ln 5 2 ln 5 . 5 x ln 5 + c = 5 x ln 5 ( 2 x + 7 2 ln 5 ) + c

3. feladat ( 4 x 2 6 x + 5 ) . cos x d x =

Megoldás: Az integrálandó függvény most is az első típusba tartozik, így az f ( x ) = 4 x 2 6 x + 5 és g ' ( x ) = cos x szereposztás a jó.

f ' ( x ) = ( 4 x 2 6 x + 5 ) ' = 8 x 6

g ( x ) = g ' ( x ) d x = cos x d x = sin x

( 4 x 2 6 x + 5 ) . cos x d x = ( 4 x 2 6 x + 5 ) . sin x ( 8 x 6 ) . sin x d x =

A szabály alkalmazásával elértük, hogy a polinom fokszáma eggyel csökkent, de még ugyanolyan típusú szorzatot kell integrálnunk, mint amilyen az eredeti volt. Alkalmazzuk újra a szabályt. Legyen f ( x ) = 8 x 6 és g ' ( x ) = sin x .

f ' ( x ) = ( 8 x 6 ) ' = 8

g ( x ) = g ' ( x ) d x = sin x d x = cos x

Helyettsítsünk be ismét. Vigyázzunk, mert az integrál előtt negatív előjel állt, s ez az integrál helyére kerülő mindkét tagra vonatkozik. Célszerű az integrál helyére kerülő különbséget zárójelbe tenni.

( 4 x 2 6 x + 5 ) . sin x ( ( 8 x 6 ) . sin x d x ) = ( 4 x 2 6 x + 5 ) . sin x + ( 8 x 6 ) . cos x 8 cos x d x =

= ( 4 x 2 6 x + 5 ) . sin x + ( 8 x 6 ) . cos x 8 sin x + c = ( 4 x 2 6 x 3 ) . sin x + ( 8 x 6 ) . cos x + c

4. feladat x . ln x d x =

Megoldás: Ez az integrandus már a második típusba tartozik, ezért f ( x ) = ln x és g ' ( x ) = x .

f ' ( x ) = 1 x

g ( x ) = x d x = x 2 2

x . ln x d x = ln x . x 2 2 1 x . x 2 2 d x = x 2 2 ln x 1 2 x d x = x 2 2 ln x 1 2 x 2 2 + c = x 2 2 ( ln x 1 2 ) + c

5. feladat arctg x d x =

Megoldás: Az integrandus nem szorzat, ezért ilyen formában nem alkalmazható a szabály. Alakítsunk ki szorzatot.

arctg x d x = 1 . arctg x d x

Ebben a szorzatban az 1 polinom, tehát a feladat a második típusba tartozik. Legyen f ( x ) = arctg x és g ' ( x ) = 1 .

f ' ( x ) = 1 1 + x 2

g ( x ) = 1 d x = x

arctg x d x = arctg x . x 1 1 + x 2 x d x = x . arctg x x 1 + x 2 d x =

A még integrálandó függvény számlálójába írjunk egy 2 -es szorzót, az integrál elé pedig 1 2 -et, mert így f ' ( x ) f ( x ) típusú integrandust kapunk.

x . arctg x 1 2 2 x 1 + x 2 d x = x . arctg x 1 2 ( 1 + x 2 ) ' 1 + x 2 d x = x . arctg x 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + c

6. feladat x . arctg x d x =

Megoldás: A szorzatban szereplő x egy elsőfokú poliniom, tehát a feladat a második típusba tartozik. Legyen f ( x ) = arctg x és g ' ( x ) = x .

f ' ( x ) = 1 1 + x 2

g ( x ) = x d x = x 2 2

Helyettesítsük be ezeket az integrálási szabályba.

x . arctg x d x = x 2 2 . arctg x x 2 2 . 1 1 + x 2 d x =

A még megmaradt integrálból emeljük ki az 1 2 -et, s az integrandust írjuk egyetlen törtbe. Ezután a számlálóhoz adjunk is hozzá egyet, s vonjunk is le belőle egyet.

x 2 2 . arctg x 1 2 x 2 1 + x 2 d x = x 2 2 . arctg x 1 2 1 + x 2 1 1 + x 2 d x =

Ezután a törtet daraboljuk fel két törtre, s egyszerűsítsük az elsőt. Így már csak alapintegrálok maradnak, s befejezhetjük az integrálást.

x 2 2 . arctg x 1 2 ( 1 + x 2 1 + x 2 1 1 + x 2 ) d x = x 2 2 . arctg x 1 2 ( 1 1 1 + x 2 ) d x = x 2 2 . arctg x 1 2 ( x arctg x ) + c

7. feladat arcsin x d x =

Megoldás: Az integrandus nem szorzat. Járjunk el úgy, mint az 5. feladatban. A szorzat egyik tényezője legyen 1 , s ez egy polinom. Az integrandus tehát a második típusba tartozik, s a szereposztás ekkor a következő: f ( x ) = arcsin x és g ' ( x ) = 1 .

f ' ( x ) = 1 1 x 2

g ( x ) = 1 d x = x

A szabályba ezeket behelyettesítve a következőt kapjuk:

arcsin x d x = x . arcsin x x . 1 1 x 2 d x =

A visszamaradt integrálban az 1 -öt írjuk hatványként, valamint írjunk be egy 2 -es szorzót, az integrál elé pedig 1 2 -et.

x . arcsin x ( 1 2 ) ( 1 x 2 ) 1 2 . ( 2 x ) d x =

Így már felismerhető, hogy egy f α ( x ) . f ' ( x ) típusú integrandusunk van, hiszen ( 1 x 2 ) ' = 2 x .

x . arcsin x + 1 2 ( 1 x 2 ) 1 2 . ( 1 x 2 ) ' d x = x . arcsin x + 1 2 ( 1 x 2 ) 1 2 1 2 + c = x . arcsin x + 1 x 2 + c

8. feladat 3 x . cos x d x =

Megoldás: Most olyan szorzatot kell integrálnunk, mely a harmadik típusba tartozik, ezért mindegy, melyik tényezőt válszatjuk f ( x ) -nek és melyiket g ' ( x ) -nek. Ha az f ( x ) = 3 x és g ' ( x ) = cos x szereposztás mellett döntünk, akkor

f ' ( x ) = ( 3 x ) = 3 x . ln 3 ,

g ( x ) = cos x d x = sin x .

Ezeket kell behelyettesítenünk a szabályba.

3 x . cos x d x = 3 x . sin x 3 x . ln 3 . sin x d x = 3 x . sin x ln 3 . 3 x . sin x d x

A ln3 -t kiemelhettük az integrál elé, hiszen konstans.
Osszuk ki újra a szerepeket és alkalmazzuk még egyszer a szabályt. Most már nem választhatunk bárhogyan, ugyanúgy kell, mint az első esetben, tehát f ( x ) = 3 x és g ' ( x ) = sin x .

f ( x ) = ( 3 x ) ' = 3 x . ln 3

g ( x ) = sin x d x = cos x

A behelyettesítésnél vigyázzunk, mert az integrál előtti konstans szorzó az integrál helyére kerülő különbség mindegyik részére vonatkozik, ezért célszerű zárójelet kitenni.

3 x . cos x d x = 3 x . sin x ln 3 . ( 3 x ( cos x ) 3 x . ln 3 . ( cos x ) d x )

Bontsuk fel a zárójelet, s az ln 3 konstanst hozzuk ki az integráljel elé.

3 x . cos x d x = 3 x . sin x + ln 3 . 3 x . cos x ln 2 3 . 3 x . cos x d x

A kapott egyenletet rendezzük ezután az integrálra. Adjunk mindkét oldalhoz ln 2 . 3 x . cos x d x -et, s emeljük ki a bal oldalon rögtön az integrált.

( 1 + ln 2 3 ) . 3 x . cos x d x = 3 x . sin x + ln 3 . 3 x . cos x + c

Az integrációs konstanst eddig nem kellett kiírni, mert a jobb oldalon is volt integrál, s az tartalmazta. Ennél a lépésnél azonban a jobb oldalról eltűnt az integrál, ezért jelent meg a c . Az eredményt megkapjuk, ha az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk ( 1 + ln 2 3 ) -mal. A konstanst osztani felesleges, hiszen az bármilyen valós szám lehet.

3 x . cos x d x = 3 x . sin x + ln 3 . 3 x . cos x 1 + ln 2 3 + c = 3 x . ( sin x + ln 3 . cos x ) 1 + ln 2 3 + c

9.feladat e 2 x . sin 3 x d x =

Megoldás: A feladat a harmadik típusba tartozik, a szereposztás legyen például f ( x ) = e 2 x és g ' ( x ) = sin 3 x . Az eddigiekhez képest annyi a változás, hogy ezek összetett függvények, melyeknek belső függvénye lineáris. Figyeljünk oda, mert deriválásnál ilyenkor a belső függvény deriváltjával szoroznunk kell, az integrálásnál pedig osztanunk.

f ' ( x ) = ( e 2 x ) ' = e 2 x . 2

g ( x ) = sin 3 x d x = cos 3 x 3

Helyettesítsük be ezeket a szabályba.

e 2 x . sin 3 x d x = e 2 x . cos 3 x 3 e 2 x . 2 . cos 3 x 3 d x = 1 3 e 2 x . cos 3 x + 2 3 e 2 x . cos 3 x d x

A szabály másodszori alkalmazásánál az f ( x ) = e 2 x és g ' ( x ) = cos 3 x szereposztást kell választanunk.

f ' ( x ) = ( e 2 x ) ' = e 2 x . 2

g ( x ) = cos 3 x d x = sin 3 x 3

e 2 x . sin 3 x d x = 1 3 e 2 x . cos 3 x + 2 3 ( e 2 x . sin 3 x 3 e 2 x . 2 . sin 3 x 3 d x )

Bontsuk fel a zárójelet, és emeljük ki az integráljel elé a konstansokat.

e 2 x . sin 3 x d x = 1 3 e 2 x . cos 3 x + 2 9 e 2 x . sin 3 x 4 9 e 2 x . sin 3 x d x

Adjunk mindkét oldalhoz 49e2x.sin3xdx -et.

13 9 e 2 x . sin 3 x d x = 1 3 e 2 x . cos 3 x + 2 9 e 2 x . sin 3 x + c

Osszunk 13 9 -del, vagyis szorozzunk 9 13 -dal.

e 2 x . sin 3 x d x = 3 13 e 2 x . cos 3 x + 2 13 e 2 x . sin 3 x + c = e 2 x 13 ( 3 cos 3 x + 2 sin 3 x ) + c

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: ( 2 x + 5 ) . cos x d x =
( 2 x + 5 ) . sin x + 2 cos x + c
( 2 x + 5 ) . sin x 2 cos x + c
( 2 x + 5 ) . cos x + 2 sin x + c
( 2 x + 5 ) . cos x 2 sin x + c
2. kérdés: ( x 2 + 5 x 4 ) . sin x d x =
( x 2 + 5 x 2 ) . cos x + ( 2 x + 5 ) . sin x + c
( 2 5 x x 2 ) . cos x + ( 2 x + 5 ) . sin x + c
( x 2 + 5 x 6 ) . cos x + ( 2 x + 5 ) . sin x + c
( 6 5 x x 2 ) . cos x + ( 2 x + 5 ) . sin x + c
3. kérdés: ln x d x =
x . ln x x + c
x . ln x + x + c
x x . ln x + c
x x . ln x + c
4. kérdés: x 2 . lg x d x =
x 3 3 ( lg x 1 3 . ln 10 ) + c
x 3 3 ( lg x + 1 3 . ln 10 ) + c
x 3 3 ( lg x 1 ln 10 ) + c
x 3 3 ( lg x + 1 ln 10 ) + c
5. kérdés: 4 x . sin x d x =
4 x ( ln 4 . sin x cos x ) 1 ln 2 4 + c
4 x ( ln 4 . sin x cos x ) 1 + ln 2 4 + c
4 x ( ln 4 . sin x + cos x ) 1 ln 2 4 + c
4 x ( ln 4 . sin x + cos x ) 1 + ln 2 4 + c
6. kérdés: e 3 x . cos 2 x d x =
e 3 x 13 ( 3 sin 2 x 2 cos 2 x ) + c
e 3 x 13 ( 3 sin 2 x + 2 cos 2 x ) + c
e 3 x 13 ( 2 sin 2 x 3 cos 2 x ) + c
e 3 x 13 ( 2 sin 2 x + 3 cos 2 x ) + c