22. lecke: Deriválási szabályok (2), magasbbrendű deriváltak
| Tanulási cél: Az összetett függvény deriválási szabályának begyakorlása. Elsajátítani a logaritmikus deriválás módszerét, s megismerkedni a magasabbrendű deriváltakkal.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.2.-6.4.
Elméleti összefoglaló:
A legfontosabb deriválási szabály az összetett függvény láncszabálynak is nevezett deriválási szabálya.
Két tagú kompozíció esetén ez a következő:
.
Három tagú kompozíció esetén pedig:
.
Többtagú kompozíciókra hasonló formula igaz.
A képletek sikeres alkalmazásához az összetett függvényt fel kell tudni bontani alkalmas függvények kompozíciójára.
|
A típusú hatvány függvények alapja és kitevője is változó. Az ilyen függvények deriváltja a logaritmikus deriválással kapható meg. Ennek képlete
,
de ehelyett a formula helyett talán célszerűbb magát azt - a kidolgozott feladatokban megmutatott - eljárást használni, amivel a fenti képlet is megkapható.
Az függvény derivált függvényének a derivált függvényét második deriváltjának hívjuk és -el jelöljük. A harmad- és magasabb rendű deriváltak fogalma hasonló. Ha a deriválás rendje háromnál nagyobb, nem vesszővel jelöljük, hanem a deriválás rendjét zárójelben az kitevőjébe írjuk. Pl. a tizedik deriváltat jelöli. A magasabb rendű deriváltak a későbbiekben fontos szerepet fognak kapni.
|
Kidolgozott feladatok:
1.feladat Határozzuk meg a függvény derivált függvényét.
Megoldás: Egy polinommal van dolgunk, de a magas fokszám miatt a hatványozás elvégzése fáradságos lenne. Az öszzetett fügvény deriválási szabályát fogjuk alkalmazni.
Ennek érdekében felírjuk a függvényünket
alakban.
Most nyilván az
és a
választással célszerű élni. Ekkor valóban
.
Mivel
,
és
,
az összetett függvény deriválási szabálya alapján
.
|
2. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Alkalmazhatnánk a tört deriválási szabályát is, de most máshogy járunk el.
Felírjuk a függvényt
alakban.
Most az eredeti függvény
alakban írható fel az és a választással.
Miután
,
és
,
kapjuk, hogy
.
Általában is igaz, hogy
. |
3. feladat Határozzuk meg a függvény derivált függvényét.
Megoldás: Függvényünk a alakba írható az
és a választással.
Mivel
,
ezért
. |
4. feladat Mivel egyenlő a függvény derivált függvénye?
Megoldás: Most a függvény az , választással
alakba írható. Mivel és , kapjuk, hogy
.
Gyakran előfordul, érdemes általában is megjegyezni, hogy
. |
5. feladat?
Megoldás: Jelöljük a deriválandó függvényt -val. Ekkor az és a választással
.
Most
,
.
Ezek segítségével
.
Máshogy is megoldhattuk volna a feladatot. Ha felhasználjuk a logaritmus azonosságait, azt írhatjuk, hogy
,
amiből
. |
6. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Ha bevezetjük az
,
függvényeket, akkor
.
Miután
,
,
azt kapjuk, hogy
. |
7. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Ha a részletes kiírással már jól begyakorolta az olvasó az összetett függvény deriválási szabályának alkalmazását némileg kevesebb képlet leírásával is megkapható az eredmény.
Így okoskodhatunk:
A külső függvény most az , ennek deriváltja .
Ezt kell venni a "belső függvény helyen", azaz a helyen, ami .
Végül ezt kell még szorozni a belső függvény deriváltjával, ami
.
Ezeket felhasználva tehát
.
(Javasoljuk, hogy az olvasó próbálja egyszerűbb alakra hozni az eredményt.)
|
8. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Mellőzve most a részletes kiírást, és a magyarázatokat azt kapjuk, hogy
.
Tanácsoljuk, hogy az olvasó addig gyakorolja a deriválási szábályokat, amíg ilyen módon is biztonsággal meg nem tudja oldani a feladatokat. |
9. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Az függvény egy többszörösen összetett függvény.
Bevezetve az , a és a függvényeket
.
Ezek deriváltjai rendre
,
,
.
Ezek felhasználásával
. |
10. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás:
.
A negatív előjelet tartalmazó szorzótényezőket zárójelbe kell tenni, mint itt a -et. |
11. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Olyan hatványfüggvénnyel van dolgunk, ahol az alap és a kitevő is változik, tehát a logaritmikus deriválást kell alkalmaznunk.
A hatványozás definíciója alapján a fenti függvény mindenütt, ahol értelmezve van, pozitív. Vehetjük tehát mindkét oldal természetes alapú logaritmusát:
.
A logaritmusra vonatkozó azonosság alapján ebből
adódik.
Azonos függvények deriváltja is azonos. Ezért vehetjük mindkét oldal deriváltját. A bal oldalon összetett függvény áll, a jobb oldalon egy szorzat. Vagyis azt kapjuk, hogy
,
.
Ebből átszorzással
.
Ezt az eredményt kapnánk persze a fenti képlet direkt alkalmazásával is. |
12. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Az előző feladatban alkalmazott módszert használjuk. Ekkor
,
,
,
amiből rendezéssel
. |
13. feladat Deriváljuk a függvényt.
Megoldás: Használjuk most a fenti közvetlen képletet az , választással. Ekkor
,
hiszen . |
14. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Egy függvény megadásakor az argumentum mondja meg, hogy a definiáló képletben mit tekintünk független változónak. Most az -et. Minden más konstansnak, úgynevezett paraméternek tekintendő. A feladatunkban tehát és paraméterek, amelyek deriváláskor úgy viselkednek, mint a konstansok.
Ezért
. |
15. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Az és a most is paraméter, és konstans, ezért
. |
16. feladat Készítsük el az függvény derivált függvényét.
Megoldás: Az függvény argumentuma most , tehát a feladatban ez a változó. Minden más, most például az , konstansnak számít.
Persze attól, hogy -vel jelöljük a változót a deriválási szabályok még ugyanazok maradnak ( helyett -vel).
Ezek alapján tehát
. |
17. feladat Készítsük el az és a függvények derivált függvényeit.
Megoldás:
,
. |
18. feladat Határozzuk meg az függvény második és harmadik deriváltját.
Megoldás: Használva a szorzatfüggvény deriválási szabályát a deriváltak rendre:
,
,
.
Ebből meg lehet sejteni, hogy - mondjuk a századik derivált - , amit teljes indukcióval be is lehet bizonyítani. Ha az olvasó ismeri ezt a módszert próbálkozzon meg vele. |
19. feladat Készítsük el az függvény harmadik deriváltját.
Megoldás: Érdemes átírni függvényünket az alakba, és hatvány függvényként, nem tört függvényként, deriválni őt. Ekkor
,
,
.
Az olvasó próbálja felismerni a kibontakozó szabályszerűséget, és írja fel a tizedik deriváltat. |
20. feladat Igazoljuk, hogy .
Megoldás: Tudjuk, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
.
Deriváljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát. Ekkor
.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: |
2. kérdés: |
3. kérdés: |
4. kérdés: |
5. kérdés: |
6. kérdés: |
7. kérdés: |
8. kérdés: |
9. kérdés: Az függvény derivált függvénye |
10. kérdés: Az függvény derivált függvénye |
11. kérdés: Az függvény derivált függvénye |
12. kérdés: Az függvény negyedik deriváltja |
13. kérdés: A ötödik deriváltja |
14. kérdés: Az függény harmadik deriváltja |
15. kérdés: Az függvény harmadik deriváltja |