KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Egyváltozós függvények differenciálszámítása

23. lecke: A L'Hospital-féle szabály

Tanulási cél: Egy újabb, hatékony határértékszámítási eszköz, a L'Hospital-féle szabály megismerése, és alkalmazásának elsajátítása a különböző típusú határozatlan határértékek esetében.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.7.

Elméleti összefoglaló:

Tegyük fel, hogy a

lim x α f ( x ) g ( x )

határérték vagy 0 0 típusú, és α egy környezetében, esetleg α -tól eltekintve, f is és g is differenciálható, továbbá itt g ( x ) 0 és g ( x ) 0 . Ha még

lim x α f ( x ) g ( x ) = β

is teljesül, akkor

lim x α f ( x ) g ( x ) = β .

Röviden, és pontatlanul, mondva: a tört limesze aderiváltak hányadosának a limesze.

Fontos, hogy csak határozatlan alakú határértékek kiszámolására próbáljuk a tételt alkalmazni, különben hibás eredményt ad.

Ha szükséges, a deriváltak hányadosának a limeszét is megpróbálhatjuk a L'Hospital-szabállyal kiszámolni. Ilyenkor célszerű a lehetséges egyszerűsítéseket előbb elvégezni.

A következő feladatokban a tétel feltételeinek teljesülését nem fogjuk vizsgálni.
(A feltételek minden feladatban teljesülnek.)

Ha az f ( x ) g ( x ) szorzat, (a szóbanforgó helyen), 0 . típusú, akkor
az

f ( x ) g ( x ) = f ( x ) 1 g ( x ) ,

vagy az

f ( x ) g ( x ) = g ( x ) 1 f ( x )

formulák valamelyikét felhasználva, a kérdéses határérték átalakítható , vagy 0 0 típusúvá, és aztán alkalmazható a L'Hospital-szabály.

Gyakran a kétféle átírási lehetőség közül csak az egyik használható, azzal érdemes először próbálkozni, amelyik deriválás szempontjából egyszerűbbnek tűnik.

A határozatlan alakú 0 0 , 0 , 1 típusú határértékek logaritmálással visszavezethetők 0 . típusú határértékre.

A típusú határértékek, ha eleve törtek különbségéről van szó, közös nevezőre hozással tört alakba írhatók, és alkalmazható a L'Hospital-szabály. Ha nem törtek különbségéről van szó, akkor általában kiemeléssel lehet visszavezetni a feladatot olyan alakra, ahol a L'Hospital-szabály alkalmazhatóvá válik. (A típust úgy kell érteni, hogy azonos előjelű végtelenek különbsége a limesz.)

Az alábbiakban midegyik esetre mutatunk példákat.

Kidolgozott feladatok:

1.feladat Számítsuk ki a lim x x ln x határértéket.

Megoldás: Egy tört határértékét kell kiszámolnunk. Leellenőrizzük, hogy a határérték vagy 0 0 típusú-e. Mindig ez legyen az első lépés!

Most egy típusú határértékkel van dolgunk. A L'Hospital-féle szabályt fogjuk alkalmazni. Ennek érdekében tekintjük a deriváltak hányadosának az eredeti helyen vett határértékét. Ez most

lim x 1 2 x 1 x .

Ebben a formájában ez egy 0 0 típusú határérték, látszólag nem jutottunk előre. De az utóbbi határérték átalakítható, és ezután könnyen kiszámolható:

lim x 1 2 x 1 x = lim x x 2 x = lim x x 2 = .

A deriváltak hányadosának plusz végtelen a limesze, így tételünk értelmében ennyi az eredeti limesz is, azaz

lim x x ln x = .

2. feladat Számítsuk ki a lim x e 2 x x 2 határértéket.

Megoldás: Egy típusú határértéket kell kiszámolni. Tekintjük a deriváltak hányadosának a határértékét.

lim x 2 e 2 x 2 x = lim x e 2 x x .

Ez is egy típusú határérték. Kiszámolásához a L'Hospital-szabályt fogjuk alkalmazni.

A deriváltak hányadosának határértéke most

lim x 2 e 2 x 1 = lim x ( 2 e 2 x ) = .

A tételünk értelmében ekkor

lim x e 2 x x =

is teljesül, majd még egyszer alkalmazva a tételt

lim x e 2 x x 2 =

is fennáll.

3. feladat Számítsuk ki a lim x x 3 x 2 + e x határértéket.

Megoldás: A limesz típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x 3 x 2 2 x + e x .

Ez még mindig típusú. Nézzük tehát a

lim x 6 x 2 + e x

határértéket, de ez még mindig típusú. Végül, még egyszer képezve a deriváltak hányadosának határértékét, kapjuk, hogy

lim x 6 e x = 0 ,

ezért sorban minden limesz nullával egyenlő, az eredeti is, azaz

lim x x 3 x 2 + e x = 0 .

4. feladat Számoljuk ki a lim x 0 e x 1 sin x határértéket.

Megoldás: Ez a limesz 0 0 típusú. Tehát tekintjük a deriváltak hányadosának limeszét, ami

lim x 0 e x cos x = 1 .

Ennyi tehát az eredeti limesz is:

lim x 0 e x 1 sin x = 1 .

5. feladat Számítsuk ki a lim x 0 x e x 1 e 2 x határértéket.

Megoldás: A limesz 0 0 típusú. Vesszük a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x 0 e x + x e x 2 e 2 x = 1 + 0 2 = 1 2 .

Tehát az eredeti határértékre is

lim x 0 x e x 1 e 2 x = 1 2 .

6. feladat Kiszámolandó a lim x 0 sin 2 x 1 cos 3 x határérték.

Megoldás: Limeszünk 0 0 típusú. Most a deriváltak hányadosának limesze:

lim x 0 2 sin x . cos x 3 sin 3 x ,

ami 0 0 típusú. Ebből kapjuk, képezve a deriváltak hányadosát, a

lim x 0 2 cos 2 x 2 sin 2 x 9 cos 3 x = 2 0 9 = 2 9

eredményt, s így ennyi az eredeti limesz is,

lim x 0 sin 2 x 1 + cox 3 x = 2 9 .

Észrevehettük volna azonban, hogy

lim x 0 2 sin x cos x 3 sin 3 x = lim x 0 sin 2 x 3 sin 3 x .

Ez persze így is egy 0 0 típusú limesz, de ha most vesszük a deriváltak hányadosának limeszét, azt kapjuk, hogy

lim x 0 2 cos 2 x 9 cos 3 x = 2 9 ,

és ismét hivatkozhatunk arra, hogy a tételünk alapján az eredeti is ennyi.

Ezen az úton a deriválás némileg egyszerűbb volt.

A ilyenféle átalakítások gyakran jelentős egyszerűsödést tudnak eredményezni.

7. feladat Számoljuk ki a lim x 0 x tg x sin x x határértéket.

Megoldás: A limesz 0 0 típusú. A deriváltak hányadosának limesze:

lim x 0 1 1 cos 2 x cos x 1 .

Ez továbbra is 0 0 típusú, de átalakítható a következő módon:

lim x 0 1 1 cos 2 x cos x 1 = lim x 0 cos 2 x 1 cos 2 x cos x 1 = lim x 0 cos 2 x 1 cos 2 x ( cos x 1 ) =

= lim x 0 ( cos x + 1 ) ( cos x 1 ) cos 2 x ( cos x 1 ) = lim x 0 cos x + 1 cos 2 x = 1 + 1 1 = 2 .

A tétel alapján az eredeti limesz is ennyi:

lim x 0 x tg x sin x x = 2 .

Ha a fenti átalakítási lehetőséget nem vesszük észre, akkor ismét a L'Hospital-szabály alkalmazásával próbálkozhatnánk, ekkor azt kapnánk, hogy:

lim x 0 ( 1 1 cos 2 x ) ' ( cos x 1 ) ' = lim x 0 2 sin x cos 3 x sin x = lim x 0 2 cos 3 x = 2 .

Most tehát igy is célhoz értünk. Néha azonban az egyszerűsítések elvégzése nélkül nem számítható ki a limesz.

8. feladat lim x ln ( 1 + e x ) sin ( 3 x ) = ?

Megoldás: Egy 0 0 típusú limesszel van dolgunk. Most a deriváltak hányadosának limesze:

lim x 1 1 + e x ( e x 2 ) cos ( 3 x ) ( 3 x 2 ) .

Ez továbbra is 0 0 típusú. Vegyük észre azonban, hogy a problémát okozó 1 x 2 tényezővel egyszerűsíthetünk. Ekkor kapjuk, hogy

lim x 1 1 + e x ( e x 2 ) cos ( 3 x ) ( 3 x 2 ) = lim x 1 1 + e x ( e ) cos ( 3 x ) ( 3 ) = e 3 .

Persze az eredeti limesz is ezzel egyenlő:

lim x ln ( 1 + e x ) sin ( 3 x ) = e 3 .

Ha most a deriváltak hányadosában nem egyszerűsítenénk a 1 x 2 tényezővel, hanem ismét tekintenénk a deriváltak hányadosának limeszét, az továbbra is 0 0 típusú maradna, és ez történne akarhányszor vennénk, az egyébbként egyre bonyolultabb, deriváltak hányadosának limeszét.

Ezért, hacsak lehet, egyszerűsítsünk!

9.feladat Számítsuk ki a lim x ( x e 2 x ) határértéket.

Megoldás: Ez a határérték egy 0 . típusú szorzat. A negatív kitevőjű hatvány miatt kínálkozik a

lim x ( x e 2 x ) = lim x x e 2 x

tört alakú átírás.

Így egy típusú tört határértékének a kiszámítására vezettük vissza a feladatot. Véve a deriváltak hányadosának határértékét, arra jutunk, hogy

lim x 1 2 e 2 x = 0 .

Tehát az eredeti limesz is ennyi:

lim x ( x e 2 x ) = 0 .

10. feladat Számítsuk ki a lim x 0 + ( tg x . ln x ) határértéket.

Megoldás: A szorzatunk limesze 0 . típusú. Mivel 1 tg x = ctg x elemi alapfüggvény, a

lim x 0 + ( tg x . ln x ) = lim x 0 + ln x 1 tg x = lim x 0 + ln x ctg x

átírást választjuk.

Így egy típusú határérték kiszámítása a feladatunk. Tekintsük a deriváltak hányadosának határértékét:

lim x 0 + 1 x 1 sin 2 x = lim x 0 + ( sin 2 x x ) .

Ez egy 0 0 típusú határérték. Alkalmazhatjuk ismét a L'Hospital-szabályt, és egy lépésben célhoz jutunk, de talán még egyszerűbb, ha felhasználjuk a nevezetes lim x 0 + sin x x = 1 határértéket. Ekkor

lim x 0 + ( sin 2 x x ) = lim x 0 + sin x x . lim x 0 + ( sin x ) = 1 . 0 = 0 .

Ezzel egyenlő az eredeti limesz is:

lim x 0 + ( tg x . ln x ) = 0 .

11. feladat Számítsuk ki a lim x 0 + x sin x határértéket.

Megoldás: Egy 0 0 típusú határértéket kell kiszámolni. Vezessük be a

lim x 0 + x sin x = A

jelölést.

Vegyük ezután mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. Ezt megtehetjük, mert ha létezik a limesz, akkor A > 0 . (Az x sin x hatvány definíciójánál fogva pozitív.) Ekkor, felhasználva még a logaritmus függvény folytonosságát is, írhatjuk, hogy

ln ( lim x 0 + x sin x ) = ln ( A ) ,

lim x 0 + ln ( x sin x ) = ln ( A ) ,

majd felhasználva a logaritmus egy azonosságát

lim x 0 + ( sin x . ln x ) = ln ( A ) .

A bal oldalon álló határérték 0 . típusú. Átírjuk őt tört alakba:

lim x 0 + ( sin x . ln x ) = lim x 0 + ln x 1 sin x .

Így típusú határértékre jutunk. Vegyük a deriváltak hányadosának a határértékét, felhasználva, hogy

( 1 sin x ) ' = ( ( sin x ) 1 ) ' = 1 ( sin x ) 2 cos x = cos x sin 2 x ,

és abban szabaduljunk meg az emeletes törttől. Ekkor kapjuk, hogy

lim x 0 + 1 x cos x sin 2 x = lim x 0 + ( sin 2 x x cos x ) .

Ez utóbbi egy 0 0 típusú határérték, amit egyszerű átalakításokkal kiszámolhatunk.

lim x 0 + ( sin 2 x x cox x ) = lim x 0 + ( sin x x . sin x cos x ) = lim x 0 + ( sin x x ) . lim x 0 + tg x = 1 . 1 . 0 = 0 .

Azt kaptuk tehát, hogy

ln ( A ) = 0 ,

amiből

A = 1 .

Ennyi tehát az eredti limesz is:

lim x 0 + x sin x = 1 .

12. feladat lim x [ cos ( 2 x ) ] x 2 = ?

Megoldás: A határérték 1 típusú. A szokásos eljárást alkalmazva

lim x [ cos ( 2 x ) ] x 2 = A ,

ln ( lim x [ cos ( 2 x ) ] x 2 ) = ln ( A ) ,

lim x ln ( [ cos ( 2 x ) ] x 2 ) = ln ( A ) ,

lim x ( x 2 . ln ( cos ( 2 x ) ) ) = ln ( A ) .

A bal oldalon álló limesz 0 . típusú. Törtté átírva az alábbi limeszhez jutunk:

lim x ( x 2 . ln ( cos ( 2 x ) ) ) = lim x ln ( cos ( 2 x ) ) 1 x 2 .

Ezzel 0 0 típusúvá alakítottuk a kiszámolandó limeszt. Vesszük a deriváltak hányadosának határértékét, és egyszerűsítünk:

lim x 1 cos ( 2 x ) ( sin ( 2 x ) ) ( 2 x 2 ) 2 1 x 3 = lim x x . sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) =

= lim x 1 cos ( 2 x ) . lim x ( x . sin ( 2 x ) ) = lim x ( x . sin ( 2 x ) ) ,

lévén, hogy az első tényező limesze 1. Az így kapott limesz 0 . típusú, amit

lim x ( x . sin ( 2 x ) ) = lim x sin ( 2 x ) 1 x

alakban törtté alakítunk. Így 0 0 típusú limeszt kapunk, alkalmazhatjuk tehát a L'Hospital-szabályt. Veszük a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x cos ( 2 x ) ( 2 x 2 ) 1 x 2 = lim x ( 2 cos ( 2 x ) ) = 2 .

Tehát

ln ( A ) = 2 , (ne feledkezzünk meg a limesz előtt álló -1-ről),

amiből

A = e 2 = 1 e 2 .

Végül is tehát

lim x [ cos ( 2 x ) ] x 2 = 1 e 2 .

13. feladat Számítsuk ki a lim x ( e x x 2 ) határértéket.

Megoldás: Könnyen látható, hogy egy típusú határértékkel van dolgunk. A következőképp járhatunk el.

Kiemelünk mindkét tagból e x -t. (A gyorsabban növőt célszerű kiemelni, ha el tudjuk dönteni, hogy melyik az.) Ekkor a

lim x e x ( 1 x 2 e x )

határétékhez jutunk. Itt az első tényező plusz végtelenbe tart, továbbá kétszer alkalmazva a L'Hospital-szabályt

lim x x 2 e x = lim x 2 x e x = lim x 2 e x = 0 ,

ezért a zárójeles kifejezés limesze 1. A szorzat is tart tehát a plusz végtelenbe.

lim x ( e x x 2 ) = .

14. feladat lim x 0 ( 1 x 1 e x 1 ) = ?

Megoldás: Akár jobbról, akár balról tart az x nullához, az x és az e x 1 azonos előjelűen tart nullához, tehát a reciprokuk különbségének határértéke azonos előjelű végtelenek különbsége.

A törtek különbsége miatt közös nevezőre hozunk:

lim x 0 ( 1 x 1 e x 1 ) = lim x 0 e x 1 x x ( e x 1 ) .

Ez 0 0 típusú. Tekintjük a deriváltak hányadosának határértékét:

lim x 0 e x 1 e x 1 + x e x ,

ami továbbra is 0 0 típusú. Még egyszer véve a deriváltak hányadosának limeszét:

lim x 0 e x e x + e x + x e x = 1 1 + 1 + 0 = 1 2 .

Ezért

lim x 0 ( 1 x 1 e x 1 ) = 1 2 .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: lim x ln x x 2 =
1.
.
0.
1 2 .
2. kérdés: lim x x 3 e 2 x =
0.
6.
.
3 2 .
3. kérdés: lim x e x 1 x 2 =
.
0.
1 2 .
1.
4. kérdés: lim x 0 1 cos x x 2 =
0.
1 2 .
-1.
1 2 .
5. kérdés: lim x 0 1 e 2 x x 2 + 3 x =
0.
2 3 .
2 3 .
1.5.
6. kérdés: lim x 1 ln ( 5 x 4 ) ln ( 3 2 x ) =
5 2 .
5 2 .
1.
-1.
7. kérdés: lim x ( x 2 e x ) =
.
1.
0.
2.
8. kérdés: lim x ( x sin ( π x ) ) =
0.
π .
.
π .
9. kérdés: lim x 0 + x x =
1.
0.
e .
1 e .
10. kérdés: lim x 0 + ( 1 + sin x ) 1 x =
e .
1.
0.
1 e .
11. kérdés: lim x ( x ln x ) =
.
.
0.
1.
12. kérdés: lim x 0 + ( 1 e x 1 x ) =
.
.
0.
1 e .