28. lecke: A határozatlan integrál fogalma, alapintegrálok
| Tanulási cél: A határozatlan integrál fogalmának megismerése, alapintegrálokra visszavezethető integrálási feladatok megoldása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I Fejezet: 8.1, 8.2
Elméleti összefoglaló: A függvényt az függvény primitív függvényének nevezzük, ha .
Az függvény határozatlan integráljának nevezzük és -szel jelöljük primitív függvényeinek összességét. Azaz , ahol és .
, ahol , azaz integrálásnál a konstans szorzó változatlan marad.
, azaz függvények összegét tagonként lehet integrálni.
Hasonlóan igaz függvények különbségére, hogy .
Bár itt nem soroljuk fel őket, de feltétlenül ismerni kell az úgynevezett alapintegrálokat, tankönyv 1.2. fejezet.
Ezen kívül használni fogjuk a következő trigonometrikus azonosságokat.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Legyen . Integráljuk a függvényt!
Megoldás: Mivel függvények összegéről és különbségéről van szó, tagonként integrálhatunk.
Az első tagban szereplő konstans szorzó kiemelhető.
Már csak alapintegrálok szerepelnek, melyeket egyszerűen behelyettesítünk. Az első részben egy hatványfüggvényt kell integrálnunk, ekkor az alapintegrál szerint eggyel megnöveljük a kitevőt, s az új kitevővel osztunk.
A megoldás helyességét deriválással ellenőrizhetjük. Ha az eredményt deriváljuk, visszakapjuk -et.
|
2. feladat Integráljuk az függvényt!
Megoldás: Először alakítsuk át a függvényt! A gyököket írjuk inkább hatványként.
Végezzük el a zárójelen belül a szorzást!
Mivel egy hatványt hatványozunk, a kitevők szorzódnak.
Ezután már csak egyetlen hatványt kell integrálnunk. Ekkor az integrálás során, mint az előző feladatban, az alapintegrál szerint a kitevőt eggyel megnöveljük, s az új kitevővel pedig osztanunk kell.
Ez nem csak ilyen alakban írható, hanem a törtkitevős hatvány gyökös kifejezéssé alkítható. Ekkor eredményünk a következő:
Megjegyzés: Az integrálási feladatok általában azért tűnnek nehezebbeknek, mert az integrálás előtt sokszor át kell alakítani a függvényeket, hogy az integrálás elvégezhető legyen. Az alapintegrálok biztos ismerete azért is szükséges, mert előre kell látni, hogy milyenné célszerű alakítani a függvényt.
|
3. feladat Integráljuk az függvényt!
Megoldás: Függvények szorzatát kell integrálnunk, amire nincsen általánosan integrálási szabály. Próbáljuk meg ezért úgy átalakítani a függvényt, hogy eltűnjön a szorzás. Írjuk át a köbgyököt törtkitevős hatvánnyá, és bontsuk fel a zárójelet.
Mindkét tagban azonos alapú hatványok szorzata szerepel, melyeket egyetlen hatványként is írhatunk. (A kitevők összeadódnak.)
Sikerült elérnünk, hogy már nem szerepel függvények szorzata, hanem csak különbsége, melyet külön-külön integrálhatunk.
A második részben az integrálás és a 3-mal szorzás sorrendje felcserélhető, amit szemléletesen úgy mondhatunk, hogy a 3-as szorzó az integrál elé kiemelhető.
Mindkét esetben hatványfüggvényt kell integrálnunk, azaz a kitevőt eggyel megnöveljük, s az új kitevővel osztunk. Eredményünk a következő:
.
Ugyanez más alakban:
.
|
4. feladat Legyen . Mi a függvény határozatlan integrálja?
Megoldás: Most függvények hányadosa szerepel, amire ugyanúgy nincs általánosan integrálási szabály, mint a függvények szorzatára. Most is tudunk azonban alakítani a függvényen. A számlálóban levő összeg tagjait külön-külön oszthatjuk a nevezővel, s a gyököt pedig hatvány alakban is írhatjuk.
Végezzül el az osztásokat. (A kitevők most kivonódnak.)
Ezután tagonként integrálhatunk, s a konstans szorzókat pedig az integrál elé emelhetjük.
Ismét hatványfüggvényeket kell integrálnunk, azaz a kitevőt eggyel megnöveljük, s az új kitevővel osztunk. Kapjuk:
.
Ugyanez gyökös alakban:
.
Megjegyzés: A 3. és 4. feladat megoldása során azt használtuk fel, hogy azonos alapú hatványok szorzata és hányadosa egyetlen hatványként is írható, s így eltűnik a függvények szorzata illetve hányadosa, amelyekre nincsen integrálási szabály. Az eddigi feladatokban részletesen leírtuk, hogy függvények összegét és különbségét külön-külön integráljuk, s a konstanssal való szorzás és az integrálás sorrendje felcserélhető. A további feladatokban ezt már nem fogjuk ennyire részletezni.
|
5. feladat
Megoldás: Mivel a számlálóban különbség áll. a függvény felbontható két tört különbségére.
Mindkét tört egyszerűsíthető.
A második törtet írjuk inkább negatív kitevővel hatványként.
Alapintegrálok különbsége szerepel, külön-külön integrálhatunk. Kapjuk:
.
|
6. feladat
Megoldás: A feladat megoldása hasonlít az előzőre, azonban mielőtt a függvényt két törtre bontjuk, a számlálót írjuk fel két olyan tag összegeként, melyek közül az egyik a nevezőben levő szorzat egyik tényezőjével, a másik pedig a nevezőben levő másik tényezővel osztható.
Ezután bontsuk két törtre és egyszerűsítsünk.
Az első tört számlálójából a 2-t írjuk inkább a tört elé szorzóként, a másodikat pedig írjuk hatványként.
Már csak alapintegrálok szerepelnek, hiszen . Eredményünk a következő:
.
Megjegyzés: Az 5. és 6. feladat megoldása során olyan törteket integráltunk, melyeknek a nevezőjében szorzat állt, a számlálóban pedig a nevezőben szereplő tényezők számszorosainak összege. Az ilyen esetekben a törtet két törtre bontjuk, melyeket egyszerűsíteni tudunk. Ehhez fel kell ismernünk, hogy a számlálót miként kell részekre bontanunk ahhoz, hogy benne a nevezőben szereplő tényezők számszorosainak összege legyen. Természetesen ez nem minden törttel hajtható végre, de ez egy lehetséges arra, hogy egy törtet integrálható függvények összegére bontsunk.
|
7. feladat
Megoldás: Az integrálandó függvény, más néven integrandus, most trigonometrikus függvények hányadosaként áll elő. Ezért az átalakítás során a trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságokat használhatjuk.
Jelen esetben a és azonosságokra van szükségünk. A következőt kapjuk:
.
Egyszerűsítsük a törtet -szel, és emeljünk ki -et az integrál elé.
Egy alapintegrált kaptunk, melyet csupán be kell helyettesítenünk. Végeredményünk:
. |
8. feladat
Megoldás: Megint trigonometrikus összefüggést használunk, . Így az integrál a következő lesz:
.
Használjuk fel, hogy , s bontsuk fel a függvényt két törtre, valamint egyszerűsítsünk.
Már csak alapintegrálok szerepelnek, melyeket behelyettesítünk. Az eredmény:
.
|
Ellenőrző kérdések:
|