24. lecke: Függvények menetének vizsgálata (1)
| Tanulási cél: A függvénydiszkusszió során használatos fogalmak, (növekedés, fogyás, szélsőérték, stb.) és a függvényvizsgálat lépéseinek megismerése.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.8.
Elméleti összefoglaló: Függvénydiszkusszión annak vizsgálatát értjük, hogy egy függvény az értelmezési tartományának mely pontjaiban, vagy mely részhalmazain rendelkezik a függvényekre jellemző tulajdonságok valamelyikével.
A jellemző tulajdonságokat két csoportba oszthatjuk.
Az első csoportba az úgynevezett globális tulajdonságok tartoznak. Ide soroljuk azokat, amelyekkel egy függvény az értelmezési tartományának egy egész részhalmazán rendelkezik vagy nem rendelkezik, pl. növekedés vagy konvexitás.
A másik csoportba a lokális tulajdonságok tartoznak. Ezek azok, amelyek az értelmezési tartomány egy pontjában lépnek fel, pl. lokális szélsőérték, zérushely, stb.
A függvények diszkusszióját a következő lépésekben végezzük:
1) Az értelmezési tartomány. 2) Alaki tulajdonságok. 3) Limeszek a szélein. 4) Lokális szélsőértékek. 5) Monotonitási szakaszok. 6) Inflexiós pontok. 7) Konvex, konkáv szakaszok. 8) Grafikon. 9) Értékkészlet
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
Egyszerű most a helyzetünk, mert látható, hogy a függvény mindenütt értelmezve van, ezért
.
2) Alaki tulajdonságok.
Ezen értjük egyrészt annak meghatározását, hogy a függvény grafikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az egyenlet megoldásai adják. Megoldjuk tehát az
egyenletet. kiemelésével
,
ami akkor teljesül, ha vagy ha . Ebben a két pontban metszi tehát a grafikon az tengelyt.
Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a grafikon hol metszi a tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben adja a keresett pontot. A mi esetünkben
,
a grafikon tehát átmegy az origón.
Továbbá ebben a pontban vizsgáljuk meg, hogy a függvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az összetett függvény képletének előállításával kezdődik.
.
A függvény akkor páros, ha, ez most nem teljesül.
A függvény akkor páratlan, ha, most ez sem teljesül.
Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan.
3) Limeszek a szélein.
Egy függvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum felőli egyoldali határértékeket kiszámítani.
Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, ezért két limeszt kell kiszámolnunk:
,
.
4) Lokális szélsőértékek.
Tudjuk, hogy lokálisszélsőérték ott lehet, ahol. Elkészítjük tehát a derivált függvényt:
,
és megoldjuk az egyenletet.
,
,
aminek a két gyöke , illetve .
A derivált gyökei közül az értelmezési tartományba is beletartozók a lehetséges szélsőértékek. Mivel most az egész valós számok halmaza az értelmezési tartomány, mindkét gyököt meg kell vizsgálnunk.
Tudjuk, hogy a jelöltek közül azok valóban szélsőérték helyek, ahol a derivált függvény előjelet vált.
A jelöltek az értelmezési tartományt (további) darabokra bontják, és ezeken a darabokon a derivált függvény állandó előjelű, ezeket az előjeleket kell először meghatározni. Ezeket egy-egy, a darabokba eső számnak a derivált függvénybe való behelyettesítésével kaphatjuk meg. Az egész eljárást célszerű egy táblázatba foglalni.
A táblázat első sora a szélsőérték jelölteket és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza (a valós számok természetes rendezésében).
A második sorban az egyes darabokbeli előjele szerepel, (és az, hogy a derivált a jelöltekben nulla).
Az értelmezési tartományunk egy darabból áll, és két jelöltünk van, ezek tehát három darabra bontják az értelmezési tartományt.
A darabból véve mondjuk a -1-et, kapjuk, hogy , ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele.
A darabból vegyük például az 1-et, ekkor , ezért az egész darabon negatív az előjel.
Végül a darabból válasszuk a hármat, ekkor , ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele.
Az alábbi táblázat első két sorában látjuk ezeket feltüntetve.
Látjuk azt is, hogy mindkét jelöltünk esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőérték hely.
Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maximum van.
A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum van.
Ki kell még számolni a maximum és a minimum értékét:
, illetve . |
| | | | | | | + | 0 | - | 0 | + | | | lok. max. | | lok. min. | |
|
5) Monotonitási szakaszok.
Tudjuk, hogy ahol az első derivált pozitív, ott növő a függvény, ahol negatív, ott fogyó.
Az előző táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza, felfelé mutató nyíllal jelölve a növekedést, illetve lefelé mutatóval a fogyást. A növekedési viszonyokból is leolvasható, hogy egy adott szélsőérték hely maximum hely, vagy minimum hely.
6) Inflexiós pontok.
Tudjuk, hogy inflexiós pont ott lehet, ahol. Elkészítjük tehát a második deriváltat:
.
Megoldva az
, azaz a
egyenletet megoldásként adódik. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez az inflexiós pont jelölt.
Tudjuk, hogy a jelöltek közül az(ok) valóban inflexiós pont(ok), ahol a második derivált előjelet vált. Ezt a szélsőértékeknél használt eljáráshoz hasonlóan lehet megvizsgálni. Az eredményeket most is egy táblázatba foglaljuk.
Az első sor most az inflexiós pont jelölteket, és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza.
A második sor a második derivált előjelét tartalmazza a keletkezett darabokon, és azt, hogy a jelöltünkben az értéke nulla. Egy jelöltünk van, ami az értelmezési tartományt két részre bontja.
Az első darabból vegyük a nullát, itt , ezért az egész darabon negatív a második derivált.
A második darabból vegyük a kettőt, ekkor , tehát az egész darabon pozitív a második derivált.
Az alábbi táblázatban láthatjuk ezeket.
Megvan tehát a szükséges előjelváltás, az 1 inflexiós pont. Ki kell még számítanunk az inflexiós pont második koordinátáját:
. |
| | | | | - | 0 | + | | konkáv | inf. pont | konvex |
|
7) Konvex, konkáv szakaszok.
Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konvex a függvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az információkat tartalmazza.
8) Grafikon.
Az eddig megszerzett információkat felhasználva felvázolható a függvény grafikonja.
Felvéve egy koordináta-rendszert először a nevezetes pontokat jelöljük meg, (tengelymetszetek, szélsőértékek, inflexiós pontok.)
Ezután vegyük figyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat.
Végül, a konvexitási információkat is figyelembe véve, rajzoljuk meg a grafikont.
Ezt látjuk az alábbi ábrán.

9) Értékkészlet.
A (helyes) grafikonról leolvasható az értékkészlet.
Most azt kapjuk, hogy
. |
2. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
A nevező, , soha nem lehet nulla, így
.
2) Alaki tulajdonságok.
Az egyenlet megoldása , és ekkor, miatt, itt metszi a grafikon a függőleges tengelyt is.
,
tehát a függvény páratlan.
3) Limeszek az értelmezési tartomány szélein.
Ismét csak a végtelenekben kell kiszámolni a határértékeket. A számlálóból is és a nevezőből is kiemelve -et kapjuk, hogy
.
Teljesen hasonlóan
.
4) Lokális szélsőértékek.
.
A derivált nulla, ha a tört számlálója nulla, ez nyilván és esetén teljesül. Mindkét gyök az értelmezési tartományban van, meg kell ezért őket vizsgálni.
Elkészítjük a táblázatot. |
| | | | | | | - | 0 | + | 0 | - | | | lok. min. | | lok. max. | |
|
Az első darabból a -2-t helyettesítve .
A második darabból 0-t helyettesítve .
Végül a harmadik darabból 2-t helyettesítve .
Így kaptuk a második sor előjeleit. Látjuk, hogy mindkét jelölt esetén megvan az előjelváltás, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig a -1 lokális minimum hely, az 1 lokális maximum hely.
A minimum értéke , a maximum értéke, a páratlanság miatt is, .
5) Monotonitási szakaszok.
A fenti táblázat harmadik sorában megjelöltük a monotonitási szakaszokat. Látjuk, hogy a szélsőértékeken kívül a függvény fogyó, a szélsőértékek között növő.
6) Inflexiós pontok.
.
Az egyenletnek most három megoldása van: . Mindhárom az értelmezési tartományban van, ezért meg kell őket vizsgálni. Most az alábbi táblázatot készíthetjük el. |
| | | | | | | | | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | | konkáv | inf. pont | konvex | inf. pont | konkáv | inf. pont | konvex |
|
Az előjeleket, például, a következő számok behelyettesítésével kaphatjuk:
az első tartományból válasszuk a -2-t, ekkor , a második tartományból a -1-et, ekkor , a harmadikból az 1-et, ekkor , a negyedikből 2-t, ekkor .
Látjuk, hogy mindhárom jelölt esetén megvan az előjelváltás, mind a három valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: , és .
7) Konvex, konkáv szakaszok.
A második táblázat harmadik sorában szerepelnek ezek az információk. Látjuk, hogy most az inflexiós pontok választják el a konkáv és konvex szakaszokat.
8) Grafikon.
A grafikont most is a nevezetes pontok berajzolásával kezdjük. A határértékek azt mondják, hogy a függvény a végtelenek felé belesimul az x tengelybe. Figyelembe véve a monotonitási és konvexitási viszonyokat is, az alábbi ábrát kaphatjuk:

Ügyeljünk a páratlanság érzékeltetésére, azaz arra, hogy a grafikon az origóra szimmetrikus.
9) Értékkészlet.
Az ábra alapján világos, hogy a függvény a lokális minimuma és a lokális maximuma közötti értékeket veszi fel, beleértve azokat is, tehát
. |
3. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
Mivel a nevezőben nulla nem lehet
.
2) Alaki tulajdonságok.
Az egyenletnek most két gyöke van: és . Mivel a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak, a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt.
,
a függvény tehát páratlan.
3) Limeszek az értelmezési tartomány szélein.
Az értelmezési tartomány két darabból áll, ezeknek négy széle van, négy limeszt kell tehát kiszámolnunk. (Valójában a páratlanság miatt csak kettőt.)
Ezek:
,
,
hiszen a számláló -1-hez tart, a nevező pedig nullához, de mindig negatív.
,
a páratlanság miatt persze az előző limesz mínusz egyszerese, és végül
,
most is igaz, hogy ez a mínusz végtelenben vett határérték mínusz egyszerese.
4) Lokális szélsőértékek.
.
Az egyenlet megoldásai: .
Mindkét jelölt az értelmezési tartományba esik, meg kell őket vizsgálnunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza.
Figyeljünk arra, hogy most a eleve két darabból áll. Ezeket vágja ketté a két jelölt, mivel különböző darabokba esnek. A táblázat fejlécében ezért négy darabot kell szerepeltetni.
|
| | | | | | | | | - | 0 | + | | + | 0 | - | | | lok. min. | | | | lok. max. | |
|
A szürkítéssel az akarjuk jelölni, hogy a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak.
Az előjeleit rendre a következő helyettesítésekkel kaptuk:
,
,
,
.
Mindkét jelöltben előjelet vált a derivált, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, lokális maximum hely. A lokális minimum értéke , a lokális maximum, a páratlanság miatt, ennek mínusz egyszerese, .
5) Monotonitási viszonyok.
A táblázatunk harmadik sorából láthatjuk, hogy mik a monotonitási viszonyok.
6) Inflexiós pont.
.
akkor és csak akkor, ha , . Mindkét jelölt az értelmezési tartományba esik. A táblázatunk most az alábbi: |
| | | | | | | | | - | 0 | + | | - | 0 | + | | konkáv | inf. pont | konvex | | konkáv | inf. pont | konvex |
|
Az előjeleket, alkalmas számok behelyettesítésével, ellenőrizze le most az olvasó.
Az előjelek megkaphatók a következő okoskodással is.
Egy tört előjelét kell kiszámolnunk. Ez akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyforma előjelű, akkor negatív, ha különböző előjelűek.
A számlálóban egy másodfokú kifejezés áll, amelynek képe egy felfelé nyíló parabola, ez tehát a gyökein kívül pozitív, a gyökei között pedig negatív. A nevezőben álló hatvány, a páratlan kitevő miatt, negatív -ekre negatív, pozitívakra pozitív.
Ezek alapján is megkaphatjuk a fenti előjeleket.
Mindkét jelölt inflexiós pont tehát. Az inflexiós pontok második koordinátái: , .
A nulla előtti és utáni darabon is más előjelű a második derivált, de a nulla persze nem inflexiós pont, hiszen ott értelmezve sincs a függvény. Jól mutatja ez azonban azt, hogy a és közötti részt nem lehet egy darabként szerepeltetni a fejlécben.
7) Konvex, konkáv szakaszok.
A táblázat harmadik sorában szereplenek az erre vonatkozó információk.
8) Grafikon.
Az eddigek figyelembevételével az alábbi ábrát rajzolhatjuk fel:

9) Az ábráról látszik, hogy
.
Ellenőrző kérdések: |