KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Sorozatok és sorok

13. lecke: Közgazdasági alkalmazások 1.

Tanulási cél: A kamatszámítási módszerek valamint az inflációszámítás elsajátítása, és alkalmazása feladatokban.

Elméleti összefoglaló:
Ha egy kezdetben C 0 nagyságú pénzösszeg R százalékkal megváltozik, akkor az új pénzösszeg a C = C 0 ( 1 + r ) összefüggéssel határozható meg, melyben r = R 100 . Ha például egy összeg R = 20 százalékkal nő, akkor r = 0.2 . (Természetesen ha egy összeg csökken, akkor r negatív.) Az ilyen változások egyik leggyakoribb esete a kamatozás, amikor egy bizonyos idő (kamatperiódus) eltelte után a pénzösszeg (tőke) megnő a kamattal. Ilyenkor az r szám, melyet kamatlábnak nevezünk, azt adja meg, hogy a növekmény hányad része az eredeti összegnek.

Ha nem egy kamatperiódusnyi idő telik el, akkor kétféle lehetőség van aszerint, hogy a kamatot csak az összes kamatperiódus letelte után egyben írják a tőkéhez, vagy minden kamatperiódus után megteszik ezt, azaz tőkésítenek.

Az első esetben n kamatperiódus elteltével a C n = C 0 ( 1 + n . r ) összefüggésből kapjuk a megváltozott tőke nagyságát. Ilyenkor lineáris kamatozásról beszélünk. Ezt leggyakrabban akkor alkalmazzák, amikor nem telik el egy teljes kamatperiódusnyi idő, s így csak a részarányos kamatot fizetik. (Az n szám ilyenkor tehát nem csak pozitív egész lehet.)

A második esetben, amikor minden kamatperiódus elteltével hozzáírják a kamatot a tőkéhez, a C n = C 0 ( 1 + r ) n öszefüggés írja le a tőke változását n kamatperiódus elteltével. Ilyenkor kamatos kamatról beszélünk, hiszen a tőkésített kamatok is kamatoznak a későbbi kamatperiódusok alatt. Ha egy feladatban nem szerepel, hogy a kamatszámítás lineáris, és több kamatperiódusnyi idő telik el, akkor kamatos kamattal kell számolni. (Ilyenkor n pozitív egész szám.)

Gyakran előforduló eset, hogy éves kamatlábat adnak meg, de a kamatot gyakrabban, például havonta tőkésítik. Ilyen esetekben a megadott kamatlábat nominális kamatlábnak nevezzük ( r n o m ) . A nominális kamatlábból a tőkésítési periódusra eső kamatlábat időarányosan kapjuk, s ezután kamatos kamattal számolunk. Ha például a tőkésítési idő az év m -ed része, akkor   n év eltelte után a C n = C 0 ( 1 + r n o m m ) m . n összefüggés adja a megnövekedett tőke nagyságát. Ilyenkor egy másik kamatlábról is szokás beszélni, az úgynevezett reális kamatlábról ( r r e ) , mely azt adja meg, hogy egy év alatt hányad részével nő meg a tőke. A reális kamatláb a nominális kamatlábnál nagyobb.
Ha az évközi tőkésítések számát ( m ) minden határon túl növeljük, akkor folyamatos tőkésítésről beszélünk, s ekkor n év elteltével C n = C 0 . e r n o m . n lesz a megnövekedett tőke.

A hétköznapokban tapasztaljuk, hogy pénzünk gyarapodása nem feltétlenül jelenti életszinvonalunk emelkedését. Ha az árak gyorsabban nőnek mint a fizetések, akkor nem élünk jobban. Nem elég csak azt nézni, hogy egy pénzösszeg mennyivel nőtt, hanem azt is vizsgálni kell, mennyi árut lehet érte kapni, azaz a pénz vásárlóértékét kell nyomonkövetni. Az árszínvonal emelkedését, s így a vásárlóérték változását az inflációval fejezzük ki. Ha az infláció mértéke I százalék, akkor C 0 nagyságú pénzösszeg vásárlóértéke n év elteltével a C n = C 0 1 ( 1 + i ) n összefüggéssel határozható meg, melyben i = I 100 . Ha a kezdeti C 0 összeg például kamatozás révén r kamtalábbal gyarapszik, akkor n év elteltével C n = C 0 ( 1 + r 1 + i ) n lesz a megnövekedett összeg vásárlóértéke.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Egy öltöny árát 5 %-kal felemelték, majd az emelt árat újabb 10 %-kal megemelték. Az eredeti árhoz képest hány százalékkal emelkedett az öltöny ára?

Megoldás:
Legyen az öltöny eredeti ára C 0 , az első emelés utáni ár C 1 , a második utáni pedig C 2 , az áremelések aránya pedig r 1 = 0.05 és r 2 = 0.1 .
Az első emelés utáni árat az eredetiből a C 1 = C 0 ( 1 + r 1 ) = C 0 ( 1 + 0.05 ) = C 0 . 1.05 összefüggésből kapjuk.
A második emelés utáni ár az első utániból C 2 = C 1 ( 1 + r 2 ) = C 1 ( 1 + 0.1 ) = C 1 . 1.1 lesz.
A feladatban azonban a második emelés utáni árat, az eredetihez kell viszonyítanunk, ezért helyettesítsünk be C 1 helyére.

C 2 = C 0 ( 1 + r 1 ) ( 1 + r 2 ) = C 0 . 1.05 . 1.1 = C 0 . 1.155

A növekedés tehát az eredeti ár r = 0.155 -ed része, s így az emelés 15.5 %-os.

2. feladat Mivel egy nagyobb vásárlást szerettünk volna lebonyolítani, ezért kölcsönt vettünk fel egy évre évi 25 %-os kamatlábra. Mire azonban a hitelt elintéztük, elfogyott az a termék, amit meg akartunk venni. A pénzt ezért bankba tettük, hogy csökkentsük a veszteségünket. A bankbetét kamatlába 18 %. Hány százaléknyi veszteségünk van a hitelen, a bankban történő elhelyezéshez viszonyítva?

Megoldás:
Erre a kérdésre sokan rávágnák, hogy 7 %, de gondoljuk végig, mit mihez kell viszonyítani ebben a feladatban. A veszteségünket ugyanis nem a felvett hitel összegéhez kell viszonyítani, hanem a bankban történő elhelyezéshez.
Legyen a felvett hitel összege C , a hitel kamatlába r h , a betété pedig r b .
Ekkor egy év elteltével C h = C ( 1 + r h ) = C ( 1 + 0.25 ) = C . 1.25 öszeget kell visszafizetnünk.
A bank a betétünkre C b = C ( 1 + r b ) = C ( 1 + 0.18 ) = C . 1.18 összeget fizet nekünk.
A feltett kérdésre ezen két összeg arányának ismeretében válaszolhatunk.

Mivel C h C b = C . 1.25 C . 1.18 1.059 , ezért a hitel 5.9 %-kal kedvzőtlenebb a bankbetétnél.

3. feladat Egy országban, ahol a személyi jövedelemadózás sávosan történik, a következő adósávok vannak érvényben. (Az ország pénznemét jelöljük Pe-vel.)
0 50 000 Pe  adómentes
50 001 600 000 Pe   20 % adó
600 001 1 400 000 Pe   30 % adó
1 400 000 Pe fölött    40 % adó
Mennyi adót fizet egy olyan állampolgár, akinek a bruttó jövedelme 1 850 000 Pe?

Megoldás: Számoljuk ki külön-külön a jövedelem egyes adósávokba eső részei után az adót, majd adjuk össze ezeket.
Az adómentes sávba 50 000 Pe jövedelem esik, ezután 0 Pe adót kell fizetni.
A 20 %-os sávba 600 000 50 000 = 550 000 Pe jövedelem esik, ezután 0.2 . 550 000 = 110 000 Pe adót kell fizetni.
A 30 %-os sávba 1 400 000 600 000 = 800 000 Pe jövedelem esik, ezután 0.3 . 800 000 = 240 000 Pe adót kell fizetni.
A 40 %-os sávba 1 850 000 1 400 000 = 450 000 Pe jövedelem esik, ezután 0.4 . 450 000 = 180 000 Pe adót kell fizetni.

Az adott állampolgárnak összesen 110 000 + 240 000 + 180 000 = 530 000 Pe adót kell fizetnie az államnak.

4. feladat Az előző feladatban szereplő ország egyik állampolgára 290 000 Pe adót fizett be az államnak. Mennyi volt a bruttó jövedelme?

Megoldás: Először határozzuk meg a legmagasabb olyan adósávot, amelybe még esett jövedelme az állampolgárnak. Ha csak a 20 %-os sávba esett volna jövedelem, akkor a befizett adó nem lehetne több 110 000 Pe-nél, tehát biztosan esett jövedelem a 30 %-os sávba. A 40 %-os sávba azonban nem esik már jövedelem, hiszen akkor a befizetett adó több lenne mint 110 000 + 240 000 = 350 000 Pe, mert akkor az állampolgár a 20 %-os és 30 %-os adósávokat teljesen kimerítené. Állampolgárunk jövedelme tehát 600 001 Pe és 1 400 000 Pe közé esik. Adója ezért két részből áll, 110 000 Pe a 20 %-os jövedelemsávba eső rész után, és 290 000 110 000 = 180 000 Pe a jövedelem 30 %-os sávba eső része után. Most visszafelé kell számolnunk, azaz azt kell megmondanunk, minek a 30 %-a a 180 000 Pe.

180 000 = 0.3 . x x = 180 000 0.3 = 600 000

Az adott állampolgárnak tehát 600 000 Pe jövedelme esett a 30 %-os sávba. Mivel 600 000 Pe jövedelme van ezen sáv alatt is, ezért összes jövedelme 1 200 000 Pe.

5. feladat Beteszünk a bankba 400 000 Ft-ot évi 15 %-os kamatlábra. Mekkora összeg lesz a számlánkon 5 év múlva, ha
a) a bank lineáris kamatozással számol?
b) a bank kamatos kamattal számol?

Megoldás: Most C 0 = 400 000, r = 0.15, n = 5 .

a) C n = C 0 ( 1 + n . r ) C 5 = 400 000 ( 1 + 5 . 0.15 ) = 700 000

Lineáris kamatozás esetén tehát 700 000 Ft lesz a számlánkon.

b) C n = C 0 ( 1 + r ) n C 5 = 400 000 ( 1 + 0.15 ) 5 804 542.9

Kamatos kamattal számolva pedig 804 543 Ft lesz a követelésünk.

6. feladat
a) Mennyi ideig tartsuk pénzünket a bankban, ha minimum a dupláját akarjuk visszakapni? Az éves kamatláb 10 %, s a bank csak a teljes évekre fizet kamatot.
b) Mekkora az éves kamatláb, ha pénzünk 5 év alatt duplázódik meg?

Megoldás:
a) Most r = 0.1 , a kezdeti tőkét C 0 pedig nem ismerjük. Tudjuk azonban, hogy pénzünk megduplázódik, ezért C n = 2 C 0 .

C n = C 0 ( 1 + r ) n 2 C 0 = C 0 . 1.1 n 2 = 1.1 n

Vegyük mindkét oldal logaritmusát. (A logaritmus alapja legyen 10 , de természetesen más is lehetne.)

lg 2 = n . lg 1.1 n = lg 2 lg 1.1 7.27

A duplázódás ideje tehát 7.27 év, de ez a valóságban azt jelenti, hogy pénzünket legalább 8 évig kellene a bankban tartani. Ekkor viszont már a kétszeres összegnél többet kapnánk vissza.

b) C n = 2 C 0 igaz most is, és n = 5 .

C n = C 0 ( 1 + r ) n 2 C 0 = C 0 ( 1 + r ) 5 2 = ( 1 + r ) 5

Vonjunk mindkét oldalból ötödik gyököt.

2 5 = 1 + r r = 2 5 1 0.149

A pénzünk 5 alatti megduplázódásához tehát 14.9 %-os kamatlábra van szükség.

7. feladat Egy ingatlan eladásából nagyobb összeghez jutottunk. A pénz egy részét vállalkozásunk fejlesztésére fordítjuk, másik részéből egyetlen gyermekünk, aki most 12 éves, jövöjét kívánjuk megalapozni. A jelenleg elérhető legmagasabb fix éves kamatláb 18 %. Mekkora összeget helyezzünk el most a bankban, ha azt szeretnénk, hogy gyermekünk 23 éves korában, amikor várhatóan befejezi az egyetemet, megvehessen egy 10 000 000 Ft értékű lakást?

Megoldás: Az adatok a szöveg alapján: r = 0.18, n = 11, C n = 10 000 000 .

C n = C 0 ( 1 + r ) n C 0 = C n ( 1 + r ) n C 0 = 10 000 000 1.18 11 1 619 190

Elegendő tehát 1 619 190 Ft-ot elhelyeznünk, s gyermekünk 11 év múlva 10 000 000 Ft-tal fog rendelkezni.
(A kérdés csak az, hol találunk olyan befektetést, mely ilyen hosszú távon, ilyen magas kamatlábat garantál.)

Megjegyzés: A feladatban egy bizonyos pénzösszeg jövöbeni értékét ismerjük, s arra vagyunk kíváncsiak, mekkora ennek az összegnek a jelenlegi értéke. Ilyenkor visszafelé kamatolunk. Ezt nevezik diszkontálásnak.

8. feladat Egy telket akarunk eladni. Az érdeklődők közül négyen tesznek érdemleges vételi ajánlatot.
A vevő ajánlata: most fizet 2 000 000 Ft-ot
B vevő ajánlata: most fizet 1 000 000 Ft-ot, s 1 év múlva 1 200 000 Ft-ot
C vevő ajánlata: most fizet 600 000 Ft-ot, majd évenként még háromszor 600 000 Ft-ot
D vevő ajánlata: most fizet 500 000 Ft-ot, majd kétévente kétszer 1 000 000 Ft-ot
Melyik a legkedvezőbb ajánlat, ha az éves kamatláb 15 %?

Megoldás: Az ajánlatok összehasonlítását az nehezíti meg, hogy a kifizetések nem azonos időpontban történnek. Ilyenkor azonos időpontra kamatoljuk a különböző összegeket, s így hasonlítjuk össze őket. A két leggyakrabban használt számolási mód, amikor a feladatban szereplő legkésőbbi időpontra kamatolunk, illetve amikor a legkorábbi időpontra kamatolunk, azaz diszkontálunk. Számoljunk most a legutolsó idő ponttal, ez a vétel után 4 évvel lesz. Ekkor fizeti be az utolsó részletet a legkésőbb fizető D vevő. Határozzuk meg a különböző vevőktől kapott pénzösszegek ezen időpontbeli értékét.

A vevő: C A = 2 000 000 . 1.15 4 = 3 498 012.5

B vevő: C B = 1 000 000 . 1.15 4 + 1 200 000 . 1.15 3 = 3 574 056.25

C vevő: C C = 600 000 . 1.15 4 + 600 000 . 1.15 3 + 600 000 . 1.15 2 + 600 000 . 1.15 = 3 355 428.75

D vevő: C D = 500 000 . 1.15 4 + 1 000 000 . 1.15 2 + 1 000 000 = 3 197 003.125

Az ajánlatokat így összehasonlítva látható, hogy a B vevő ajánlata a legkedvezőbb, ezt célszerű elfogadni.

Megjegyzés: Érdekes lenne vizsgálni azt a kérdést, hogy különböző kamatlábak esetén melyik vevő ajánlata a legkedvezőbb. Ha a kamatláb magas, akkor általában célszerűbb minél előbb megkapni a pénzt, mert annál több kamat rakódik rá. Ez ellensúlyozhatja azt, hogy a vevőtől kézhez kapott összeg kisebb. Ha alacsony a kamatláb, akkor célszerű a vevőtől minél több pénzt kézhez kapni, mert azt nem sokkal növeli a kamat. Persze konkrét esetben csak a pontos számolás után tudunk jól dönteni.

9. feladat Elhelyezünk 100 000 Ft-ot 18 % nominális kamatlábra a bankban. Mennyi pénz lesz a számlánkon egy év elteltével, és mekkora a reális kamatláb, ha  
a) havonta tőkésít a bank?
b) naponta tőkésít a bank?
c) folyamatosan tőkésít a bank?

Megoldás: Mindhárom esetben C 0 = 100 000 és r n o m = 0.18 .

a) A tőkésítések száma m = 12 .

C n = C 0 ( 1 + r n o m m ) m . n C 1 = 100 000 ( 1 + 0.18 12 ) 12 . 1 119 561.8

Számlánkon tehát 119 562 Ft lesz.
C 1 és C 0 ismeretében a reális kamatláb is megkapható.

C 1 = C 0 ( 1 + r r e ) r r e = C 1 C 0 1 = 119 562 100 000 1 0.196

A reális kamatláb eszerint 19.6 %.

b) A tőkésítések száma ekkor m = 365 .

C n = C 0 ( 1 + r n o m m ) m . n C 1 = 100 000 ( 1 + 0.18 365 ) 365 . 1 119 716.4

Követelésünk a bank felé 119 716 Ft lesz.
Határozzuk meg a reális kamatlábat  is.

C 1 = C 0 ( 1 + r r e ) r r e = C 1 C 0 1 = 119 716 100 000 1 0.197

Napi tőkésítéssel tehát 19.7 % lesz a reális kamatláb.

c) Folyamatos tőkésítésnél más összefüggésből számolunk.

C n = C 0 . e r n o m . n C 1 = 100 000 . e 0.18 . 1 119 721.7

A banktól így 119 722 Ft-ot kapunk az év elteltével.
Számoljuk a reális kamatlábat is.

C 1 = C 0 ( 1 + r r e ) r r e = C 1 C 0 1 = 119 722 100 000 1 0.197

Mint látható a reális kamatláb most is 19.7 %, hiszen számlánk egyenlege alig nagyobb mint a naponkénti tőkésítés esetében.

10. feladat Egy dolgozó 120 000 Ft-os nettó jövedelme az év során 15 %-kal emelkedik. Mennyi az emelt fizetés vásárlóértéke, ha az inflációs ráta 10%? Hány százalékkal nőtt a fizetés vásárlóértéke az év során?

Megoldás: A szöveg alapján C 0 = 120 000, r = 0.15, i = 0.1, n = 1 .

C n = C 0 ( 1 + r 1 + i ) n C 1 = 120 000 1 + 0.15 1 + 0.1 125 454.5

A dolgozó fizetésének vásárlóérétke év végén így 125 455 Ft lesz.
A második kérdésre sokan azt mondanák, 5 % a növekedés, mert a fizetés növekedésének mértékéből kivonnák az infláció mértékét. De ez így nem igaz hiszen most az év végi vásárlóértéket, kezdeti vásárlóértékhez kell viszonyítani.

C 1 C 0 = 125 455 120 000 1.0454

A fizetés vásárlóértéke tehát csak 4.5 %-kal nőtt.

11. feladat Legalább hány százalékos jövedelmezőséggel kell befektetni a pénzünket, ha azt akarjuk, hogy vásárlóértéke 10 év alatt, 6 %-os infláció mellett megduplázódjon?

Megoldás: A szövegből C n = 2 C 0 , i = 0.06, n = 10 , az ismeretlen pedig r .

C n = C 0 ( 1 + r 1 + i ) n 2 C 0 = C 0 ( 1 + r 1 + 0.06 ) 10 2 = ( 1 + r 1.06 ) 10

Vonjunk mindkét oldalból tizedik gyököt.

2 10 = 1 + r 1.06 r = 1.06 . 2 10 1 0.136

Pénzünket tehát minimum 13.6 %-os jövedelmezőséggel kell befektetnünk.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Egy adott hónapban minden héten emelte a benzin árát a MOL. Az első héten 1 %-kal, a másodikon 2 %-kal, a harmadikon 3 %-kal, a negyediken pedig 4 %-kal. Hány százalékos volt a benzin árának emelkedése az adott hónapban?
10 %
10.21 %
10.36 %
10.48 %
2. kérdés: Bergengóciában, ahol a pénznem a Fabatka (Fb), a következő adósávok vannak érvényben:
0 Fb - 5 000 Fb   10 % adó
5 001 Fb - 10 000 Fb    15 % adó
10 000 Fb fölött   20 % adó
Mennyi adót fizet Bergengóciában az az állampolgár, akinek az éves jövedelme 17 000 Fb?
2 550 Fb
2 650 Fb
2 750 Fb
2 850 Fb
3. kérdés: Betettünk a bankba 500 000 Ft-ot évi 12 %-os kamatlábra. Sajnos három hónap után ki kellett vennünk a pénzt, így a bank csak a megfelelő időre jutó részarányos kamatot fizette. Mennyi pénzt kaptunk?
507 500 Ft
510 000 Ft
512 500 Ft
515 000 Ft
4. kérdés: Öt évvel ezelőtt elhelyeztünk a bankban 100 000 Ft-ot. Mennyi volt az éves kamatláb, ha az öt év elteltével 176 234 Ft-ot kaptunk vissza?
10 %
11 %
12 %
13 %
5. kérdés: Szeretnénk eladni egy gazdaságunkban feleslegessé vált traktort. A környékbeli gazdák közül négyen tesznek vételi ajánlatot.
1. ajánlat: most fizet 1 500 000 Ft-ot
2. ajánlat: most fizet 1 000 000 Ft-ot, majd egy év múlva 600 000 Ft-ot
3. ajánlat: most fizet 600 000 Ft-ot, majd egy év múlva 1 100 000 Ft-ot
4. ajánlat: most fizet 600 000 Ft-ot, majd még kétszer 600 000 Ft-ot évenként
Melyik ajánlatot fogadjuk el, ha az éves kamatláb 10 %?
az elsőt
a másodikat
a harmadikat
a negyediket
6. kérdés: Mekkora reális kamatlábnak felel meg folyamatos tőkésítés esetén a 25 %-os nominális kamatláb?
27.2 %
27.5 %
27.9 %
28.4 %
7. kérdés: Egy befektetéssel évi 24 %-os hozamot értünk el. Mennyi volt az infláció mértéke, ha pénzünk vásárlóértéke 5 év alatt a másfélszeresére nőtt?
13.6 %
14.3 %
15.1 %
15.8 %