26. lecke: Szélsőérték feladatok, közgazdasági alkalmazások
| Tanulási cél: A szöveges szélsőérték feladatok során alkalmazható módszerek elsajátítása, használatuk begyakorlása, az elaszticitás fogalmának megismerése.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.9.
Elméleti összefoglaló:
A szöveges szélsőérték feladatok során valamilyen, gyakran geometriai jellegű, feltételekkel meghatározott változó mennyiség legnagyobb vagy legkisebb lehetséges értékét kell megkeresnünk.
Első lépésként egy általunk választott független változó függvényében fel kell írnunk a szóbanforgó változó mennyiség változását leíró függvény képletét. Ezután tisztázni kell, hogy - a feladat feltételeiből adódóan -, a független változó milyen értékeket vehet fel. A felírt függvények ebbe az értelmezési tartományba eső szélsőérték helyét kell megkeresni a teljes függvényvizsgálat során megismert 4)-es pontban foglaltak szerint.
Az függvény elaszticitás-függvényének nevezzük az függvényt. Az elaszticitás-függvény azt adja meg, hogy ha a változót, azaz -et 1 %-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a függvény értéke, azaz . Ha a függvény nő, akkor az elaszticitás pozitív, ha pedig csökken a függvény, akkor az elaszticitás negatív.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Egy téglalap kerülete 20 cm. Milyen oldalméretek esetén lesz a terület maximális?
Megoldás:
Jelöljük a téglalap oldalait -el és -al. Ekkor a terület persze
.
Ebben a felírásban azonban két változó szerepel. De a feladat feltételei szerint a két változó között kapcsolat van, ugyanis tudjuk, hogy a kerület 20 cm. Felírva a kerületet az oldalakkal, kapjuk, hogy
,
azaz
,
amiből kifejezhetjük, például az változót az -szel, s ezt visszaírva a területképletbe, azt az változó függvényében kapjuk meg. Tehát
,
és
.
Ez a függvény írja le a terület változását az egyik oldal függvényében.
Most a feladat szövegéből az a feltétel adódik, hogy , hiszen az pozitív, mert hosszúság, és -nek kisebbnek kell lenni mint a kerület, azaz kisebbnek mint 20, de azért a a 20-hoz bármilyen közel is lehet egy igen keskeny téglalap esetén.
Keressük tehát a fenti függvénynek azt a lokális maximum helyét, amely a intervallumba esik.
Miután
,
akkor és csak akkor teljesül, ha . Az 5 benne van a intervallumban, ezért ő az egyetlen lokális maximum hely jelölt. A szokásos táblázat elkészítésével döntsük el, valóban maximum hely-e. |
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
A jelöltünk tehát valóban lokális maximum hely. A lokális maximum értéke
.
A keresett oldalméretek tehát cm, és cm.
A terület tehát akkor maximális, ha a téglalap négyzet. A geometriai jellegű feladatokban gyakran a "legszabályosabb" alakzat adja a keresett szélsőértéket.
Most elég természetes volt, hogy a független változónak valamelyik oldal hosszát választjuk. Eljárhattunk volna azonban máshogy is.
Mivel a két oldal összege 10, amennyivel az egyik oldal rövidebb 5-nél a másik annyival hosszab.
Az egész szituációt elképzelhetjük úgy, hogy a intervallumot egy belső pontjával két szakaszra bontjuk. Az így kapott szakaszok az oldalak. A bal oldali szakaszt jelöljük -szel, a jobb oldalit -nal.
Ha a -öt választjuk független változónak, akkor, miután
és ,
a terület
,
és most a feltételnek kell teljesülnie.
Minthogy , pontosan akkor teljesül, ha . Könnyen leelenőrizhető, hogy a függvénynek a 0 valóban lokális maximum helye, és így az oldalakra megint 5-öt kapunk. |
2. feladat Egy téglalap alakú papírlapból felül nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a sarkokból kis négyzeteket vágunk ki, majd a keletkezett füleket felhajtjuk, és összeregasztjuk, ahogy azt az alábbi ábrán látjuk. Ha a kinduló papírlap oldalai 10 cm és 20 cm, milyen méretek esetén lesz a doboz térfogata maximális?

Megoldás: Jelöljük a kivágott kis négyzetek oldalát -el, és tekintsük az alábbi ábrát.

Látjuk, hogy ekkor a dobozunk alaplapja egy , illetve oldalú téglalap, a magassága pedig . Ezért a térfogata
.
Most az 0 és 5 közé esik, (a rövidebb oldalnak is ki kell adni -et).
Keressük tehát a fenti függvény intervallumba eső lokális maximumát.
.
A egyenlet két megoldása: és . Ezek közül csak esik a intervallumba, ezért csak őt kell megvizsgálni. A táblázat:
|
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
A sorában az előjeleket például a következőképp kaphatjuk. Mivel , a bal oldali intervallumból választhatjuk az 1-et, a jobb oldaliból a 3-at. Ekkor
,
illetve
.
A jelöltünkben tehát valóban lokális maximum van. A keresett méretek tehát:
magasság: , a hosszabbik oldal: , a rövidebb oldal: . |
3. feladat Egy ember 3 km-re van egy csónakban az egyenes tóparttól. Egy parton elhelyezkedő, tőle 5 km távolságban lévő helyre akar a lehető legrövidebb idő alatt eljutni. Evezni km/h, gyalogolni km/h sebességgel tud. Mennyi az a legrövidebb idő, ami alatt eljuthat a céljába?
Megoldás: Készítsünk egy ábrát!

Az derékszögű háromszögben a és a pontok távolsága a Pitagorasz tételből 4 km.
Az világos, hogy a legrövidebb ideig tartó út során valahol a és a közötti pontban ér partot az emberünk. (Miért?)
Válasszuk független változónak a pont -től való távolságát, és jelöljük -el.
Ekkor az evezve megtett út az
távolság, ennek megtétele nyilván
óráig tart.
A gyalogolva megtett út az
távolság, ennek megtétele
óráig tart.
Most már az függvényében az útvonal megtételéhez szükséges teljes idő
.
Ennek a függvénynek keressük a feltételeket kielégítő lokális minimumát.
.
Megoldjuk a egyenletet. Ekkor
,
,
,
.
Ennek az egyetlen szóbajövő pozitív megoldása az . Ezt vizsgáljuk meg az alábbi táblázatban. |
| | | | | - | 0 | + | | | lok. min. | |
|
Az előjeleket megkaphatjuk ha az első intervallumból 1-et, a másodikkból 2-t helyettesítünk a deriváltba. Ekkor
,
.
A tehát valóban minimum hely, és a legrövidebb ideig tartó út
óráig tart.
Megoldjuk a feladatot más úton is.
Válasszuk most független változónak az derékszögű háromszög -nál lévő szögét, és jelöljük ezt -val.
Ekkor az ábránkon szereplő távolságra adódik.
Az evezve megtett távolság , ez óráig tart.
A gyalogolva megtett távolság , ez óráig tart.
A teljes idő tehát a radiánban mért szög függvényében
.
Az szög most (radiánban mérve) nyilván 0 és közé esik.
Ezután
.
Ebből azt kapjuk, hogy akkor és csak akkor, ha , amiből .
A most már jól ismert táblázat elkészítésével leellenőrizhető, hogy valóban ez a minimum hely. Miután , persze ugyanarra az eredményre jutunk, mint az előbb.
A legtöbb geometriai jellegű feladatban távolság helyett szöget is lehet független változónak választani. Ilyenkor a keresett függvény általában trigonometrikus függvény lesz, és a szélsőérték jelölteket trigonometrikus egyenlet megoldásából kapjuk. Fontos, hogy a szöget mindig radiánban mérjük. |
4. feladat Adott egy 3 és 4 egység befogójú derékszögű háromszög. Tekintsük azokat a háromszögbe írható téglalapokat, amelyeknek egyik csúcsa a háromszög derékszöge, az ezzel szemközti csúcs pedig az átfogóra esik. Az ilyen tulajdonságú téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe?
Megoldás: Rajzoljunk egy ábrát.

A téglalap és oldala között most a hasonlóság alapján lehet összefüggést találni.
A és a derékszögű háromszögek hasonlók, ezért
.
Rendezve:
,
.
Ez alapján a téglalap területe az oldal függvényében:
.
Ennek a függvénynek keressük a intervallumba eső maximumát.
.
akkor és csak akkor, ha . A szokásos táblázat kitöltésével megvizsgáljuk ezt az egyetlen jelöltet. |
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
A táblázat alapján a 2 tehát valóban lokális maximum hely. A keresett oldalak pedig
és egység
hosszúak. |
5. feladat Egy egyenes körkúpba az alábbi ábrán látható módon hengert írunk, amelynek alaplapja a kúp alaplapján van, fedőlapja pedig érinti a kúp palástját. Milyen méretek esetén lesz a henger térfogata maximális, ha a kúp alaplapjának sugara 10, magassága 20 egység?

Megoldás: A térbeli alakzatokról szóló feladatoknál általában egy olyan ábra nyújtja a legtöbb segítséget, amely az eredeti alakzat egy alkalmas síkkal való metszésekor keletkezik. Ez a sík a legtöbb esetben átmegy az eredeti alakzat szimmetria középpontján, vagy ha van, akkor a szimmetria tengelyén is.
Most elmetszük a kúpot a beírt hengerrel együtt a kúp és a henger közös tengelyén átmenő síkkal. Ekkor, a szükséges pontokat és jelöléseket is feltüntetve, az alábbi ábrát kapjuk.

A beírt hengerünk sugara és magassága között most is a hasonlóság teremt kapcsolatot. A derékszögű háromszög hasonló a derékszögű háromszöghöz. Ezért
,
azaz
.
Ennek felhasználásával a beírt henger térfogata az függvényében:
.
Ennek a függvénynek keressük a lokális maximumát a feltétel mellett.
.
Most akkor és csak akkor, ha vagy , de az értelmezési tartományba csak esik bele, ez az egyetlen szélsőérték jelölt. (Az értelmezési tartományt, mint most is, a leggyakrabban szigorú egyenlőtlenségek jelölik ki. Az egyenlőségek a széleken azért nincsenek megengedve, mert akkor az alakzat általában elfajuló lenne. Most ugye nulla sugarú, vagy esetén, nulla magasságú henger nem adhatja a maximális térfogatú hengert.)
A szokásos táblázat most: |
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
Látjuk, hogy -ban lokális maximum van, a maximális térfogatú beírt henger magassága pedig
.
Arra is figyeljünk, hogy az eredetileg feltett kérdésre válaszoljunk. Most nem a maximális térfogatot kérdezték, hanem az azt szolgáltató henger méreteit, ezért nem számoltuk ki a térfogatot. |
6. feladat Adott, 10 egység sugarú, gömbbe kúpot írunk, úgy, hogy annak csúcsa is, és alapköre is a gömb felületére illeszkedik. Az ilyen tulajdonságú kúpok közül melyiknek a legnagyobb a térfogata?
Megoldás: Elmetszük a térbeli alakzatot egy olyan síkkal, amely átmegy a beírt kúpnak a gömb középpontját is tartalmazó szimmetria tengelyén. Ekkor az alábbi ábrát kapjuk. Ezen egyből feltüntettük a fontosabb pontokat, és a kúpot meghatározó adatok jelöléseit is.
Célszerű most független változónak az ábrán feltüntetett távolságot választani.

A kúpunk magassága ekkor
,
alapkörének sugara pedig
miatt
.
(A nem lehet , mert a maximális térfogatú kúp esetén a kúp csúcsa és alapköre nem esik egy félgömbbe. Az olvasó gondolja meg, hogy miért van ez így.)
A kúp térfogata
,
a sugár és a magasság -el kifejezett értékét ide beírva kapjuk, hogy
.
Ennek a függvénynek keressük a feltételt kielégítő lokális maximumát.
(Most is előfordulhatna, de mindjárt látni fogjuk, hogy a szóbajövő jelölt pozitív, tehát maradhat az értelmezési tartomány a fenti.)
Elvégezve a műveleteket
.
Most már deriválhatunk:
.
A egyenletnek a két megoldása és . Ezek közül persze csak -el kell a továbbiakban foglalkozni. Elkészítjük a táblázatot. |
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
A tehát lokális miximum hely. Ezek alapján a maximális térfogatú kúp jellemző méretei:
,
.
|
7. feladat Valamely joghurt iránti keresletet az függvény fejezi ki, melyben a joghurt egységára Ft-ban, pedig a hozzá tartozó heti kereslet. Milyen egységár mellett lenne a heti árbevétel maximális? Mekkora heti kereslet tartozik ezen egységárhoz, s mekkora a maximális heti árbevétel?
Megoldás: Az árbevételt a kereslet és az egységár szorzataként kapjuk, azaz a függvény írja le. Ennek a függvénynek kell megkeressük a maximumát az feltétel mellett. (Az árak sajnos pozitívak.) Deriváljuk a függvényt.
Oldjuk meg a egyenletet. Mivel szorzat, valamelyik tényezőnek kell nullának lennie. Az első tényező azonban mindig pozitív, ezért csak a második lehet nulla.
Készítsük el a sokásos táblázatot, melyben megvizsgáljuk, hogy ez valóban szélsőérték-e. |
| | | | | + | 0 | - | | | lok. max. | |
|
Mint a táblázatból látható az valóban maximum hely, tehát a maximális árbevétel akkor érhető el, ha a joghurt egységára 50 Ft.
Az ehhez tartozó heti keresletet az függvénybe történő helyettesítéssel kapjuk.
Ilyen áron tehát 8103 darab joghurt adható el hetenként.
Ekkor a heti árbevétel Ft lesz.
|
8. feladat Egy adott termék termelési költségét a termelt mennyiség függvényében az függvény adja meg, ahol a termelt mennyiség, pedig ezen termékmennyiség előállításának a költsége. Határozzuk meg, hogy mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagköltség minimális?
Megoldás: Az átlagköltség a termelési költség és a termelt mennyiség hányadosa, s így a függvény írja le a termelt mennyiség függvényében. Ennek a függvénynek keressük a minimumát az feltétel mellett. (A termelt mennyiség pozitív.) Deriváljuk a függvényt.
Oldjuk meg a egyenletet.
A negatív gyök a feltétel miatt kizárható, csak a másikkal foglalkozunk. Készítsük el a monotonitási táblázatot. |
| | | | | - | 0 | + | | | lok. min. | |
|
A táblázatból látható, hogy az valóban lokális minimumhely, azaz a minimális termelési átlagköltség 500 darabos szériával érhető el.
|
9. feladat Határozzuk meg az függvény elaszticitás-függvényét, valamint az helyhez tartozó elaszticitást!
Megoldás: Először deriváljuk a függvényt.
Helyettesítsünk be az elaszticitás definíciójába.
A kapott elaszticitás-függvénybe helyettesítsük be a megadott értéket.
Ha tehát értékét 4-ről 1 %-kal megnöveljük, akkor a függvény értéke közelítőleg 22 %-kal nő meg.
|
10. feladat Tekintsük az függvényt az intervallumon. Határozzuk meg a függvényhez tartozó elaszticitás-függvényt, és adjuk meg értékkészletét!
Megoldás: Először állítsuk elő a függvény deriváltját.
Helyettesítsünk az elaszticitás-függvény definíciójába.
Az értékkészlet meghatározásához döntsük el, hogy az elaszticitás-függvény nő vagy csökken, esetleg van ahol nő, van ahol csökken. Deriváljuk ezért -et.
A derivált biztosan pozitív, hiszen a számláló egy pozitív konstans, a nevező pedig valaminek a négyzete. Ebből következően, az elaszticitás-függvény szigorúan monoton nő. A legkisebb értéket ezért az helyen veszi fel, a legnagyobbat pedig az helyen. Mivel az elaszticitás-függvény folytonos, ezért a legnagyobb és a legkisebb érték között minden értéket felvesz, így az értékkészlet a minimális és maximális érték által meghatározott zárt intervallum lesz. Számoljuk ki ezért értékét az és helyeken.
Az elaszticitás-függvény értékkészlete tehát a intervallum.
Ellenőrző kérdések:
|