20. lecke: A differenciálhányados és az érintő
| Tanulási cél: A differenciálhányados és a derivált függvény fogalmának megismerése, a legegyszerűbb deriválási szabályok begyakorlása, és a függvénygörbe adott pontjában húzható érintő egyenletére vonatkozó képlet megismerése.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.1.1., 6.1.2.
Elméleti összefoglaló: Az függvény az pontban differenciálható, ha a
határérték létezik, és értéke egy véges szám. Ilyenkor ezt a határértéket hívjuk az függvény -beli differenciálhányadosának. Ezt jelöli, azaz
.
Adott függvény esetén azt a függvényt, amely ott van értelmezve, ahol az függvény differenciálható, és minden ilyen számhoz az függvény itteni differenciálhányadosát rendeli, az függvény derivált függvényének hívjuk. Ezt a függvényt jelöli.
A derivált függvény a későbbiekben rendkívül fontosnak fog bizonyulni, és alapvető, hogy minnél több függvénynek meg tudjuk határozni a derivált függvényét. A következő néhány lecke ennek a begyakorlásában kíván segítséget nyújtani.
A derivált függvény meghatározását az elemi alapfüggvények, az úgynevezett alapderiváltak, és a deriválási szabályok ismeretében lehet elvégezni. Nyomatékkal felhívjuk ezek biztos ismeretére az olvasó figyelmét.
A két legegyszerűbb deriválási szabály az összegre és a számszorosra vonatkozó. Ezek
,
.
Szavakban: összeget tagonként lehet deriválni, és deriváláskor a konstans szorzó változatlan marad.
Ezekből következik, hogy
.
Fontos szabály, hogy a konstans függvény deriváltja a konstans nulla függvény, azaz
ha , akkor .
Megjegyezzük még, hogy az összegre és a különbségre vonatkozó szabály kettő helyett több tagra is érvényes.
Az függvény grafikonjának az abszcisszájú koordinátájú pontjában húzható érintő egyenlete a
formulából határozható meg.
Az érintő egy egyenes, ami egy függvény grafikonjának is tekinthető. Ez a függvény felírható a következő alakban:
.
Ezt a függvényt hívják az függvény -beli linearizáltjának. A linearizált két legfontosabb tulajdonsága, hogy az , az érintési pont, közelében nagyon jól közelíti az eredeti függvényt, és az, hogy a képlete egyszerű, (elsőfokú polinom). Ezek a tulajdonságok alkalmassá teszik őt ("bonyolult") függvények helyettesítési értékének közelítő meghatározására.
A további feladatokban feltételezzük, hogy a feladatokban szereplő függvények a szóbanforgó helyeken a kellő számban differenciálhatók, és nem vizsgáljuk, hogy az adott függvények derivált függvényeinek mi az értelmezési tartománya.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az függvény derivált függvényét és számoljuk ki a differenciálhányados értékét az -ben.
Megoldás: Az függvény elemi alapfüggvény és felírhatjuk alakban. Így az deriválási szabály alkalmazható az választással:
.
Ez tehát a derivált függvény.
Ennek az -ben vett helyettesítési értéke adja a keresett differenciálhányadost, azaz
. |
2. feladat Határozzuk meg az függvény derivált függvényét.
Megoldás: A függvényünk egy összeg függvény, deriválásakor az erre vonatkozó deriválási szabályt kell alkalmaznunk, azaz tagonként deriválhatunk. Felhasználva a trigonometrikus alapderiváltakat is azt kapjuk, hogy
.
|
3. feladat Határozzuk meg az függvény derivált függvényét.
Megoldás: Ha felírjuk -et az alakban, láthatjuk, hogy ismét az deriválási szabály alkalmazható az választással. Ezért
. |
4. feladat Készítsük el az függvény derivált függvényét.
Megoldás: Egy négy tagú összeggel van dolgunk, amelynek minden tagja elemi alapfüggvény számszorosa. Tagonként deriválunk, kiemelve a konstansokat, és alkalmazva az -ra vonatkozó deriválási szabályt:
.
Látható az eddigiekből, hogy a derivált függvény elkészítésekor az első lépésben csak kijelöljük az elvégzendő deriválásokat, majd ezután végezzük el azokat. Ezzel a kijelöléssel lényegében minden függvény deriválását az elemi alapfüggvények deriválására vezetjük vissza . Tanácsoljuk, hogy a deriválási szabályok alapos begyakorlása érdekében az olvasó is így járjon el. |
5. feladat Határozzuk meg az függvény derivált függvényét.
Megoldás: Felhasználva a , illetve az átalakításokat, továbbá az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy
.
Mivel gyakran van rájuk szükség, érdemes megjegyezni, hogy
,
és
. |
6. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Persze tagonként fogunk deriválni, felhasználva az deriválási szabályt is. Ekkor
. |
7. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: A egy konstans, tehát deriváltja nulla, így
,
ahol felhasználtuk az és a alapderiváltakat is.
|
8. feladat Írjuk fel az függvény -beli érintőjének egyenletét.
Megoldás: Kezdjük az érintési pont második koordinátájának meghatározásával:
.
Az érintő egyenes tehát átmegy a koordinátájú ponton.
Hátra van még a meredekség kiszámolása. Ehhez először a derivált függvényre van szükség. Most
.
Ezt felhasználva a meredekség:
.
Így az érintő egyenlete az
,
,
formulából átrendezéssel
,
. |
9. feladat Írjuk fel az függvény meredekségű érintőjének egyenletét.
Megoldás: Most az érintési pontot kell meghatározni. Keressük tehát először azt az számot, amelyre
.
Mivel az
egyenlet kell megoldanunk.
Átrendezve azt kapjuk, hogy , aminek a megoldása ,
vagyis az -beli érintő egyenletét keressük.
Szükség van még az érintési pont második koordinátájára. Ez
.
Most már a keresett érintő egyenes egyenlete:
,
,
. |
10. feladat A 8 körüli linearizáltat felhasználva számoljuk ki közelítöen értékét.
Megoldás: Mivel egy köbgyököt kell közelítőn kiszámolni, ezért az függvény linearizáltját fogjuk használni.
Felírjuk az körüli linearizált képletét. Először is . Mivel
,
.
Ezért a 8 körüli linearizált:
.
Ennek 8.12-ben vett helyettesítési értékével közelíthetjük . Vagyis
.
A pontos érték egyébként 2.009950413, tehát elég jó közelítést kaptunk. |
11. feladat Alkalmas linearizáltat használva számoljuk ki közelítően értékét.
Megoldás: A függvénytanban a trigonometrikus függvények argumentumát radiánban mérjük. Átszámoljuk a formulát használva a -ot radiánra:
, tehát
.
közelítő értékét keressük tehát.
Mivel a közel van a -hoz, az függvény -beli linearizáltját fogjuk használni.
Felírjuk a linearizált egyenletét. Mert
,
és
,
továbbá
,
a linearizált képlete:
.
Most már a keresett közelítő érték:
.
Kalkulátorral közvetlenül számolva a értéket kapjuk, tehát a közelítésünk most is elég jó.
Ellenőrző kérdések: |
| 1. kérdés: Mi az függvény derivált függvénye? |
2. kérdés: Legyen . Ekkor |
3. kérdés: Ha , akkor |
4. kérdés: |
5. kérdés: |
6. kérdés: |
7. kérdés: |
8. kérdés: Az függvény -beli érintőjének egyenlete |
9. kérdés: Az függvény -beli érintőjének egyenlete |