KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Integrálszámítás

31. lecke: Helyettesítéses integrálás

Tanulási cél: A helyettesítéssel történő integrálás módszerének elsajátítása, és alkalmazása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I
Fejezet: 8.3

Elméleti összefoglaló:
Ha az f ( x ) egy primitív függvénye F ( x ) , akkor f ( g ( x ) ) . g ' ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + c . Ennek helyességét deriválással könnyen ellenőrizhetjük. Azaz tudjuk integrálni az olyan szorzatokat, melyeknek egyik tényezője egy összetett függvény, integrálható külső függvénnyel, a másik tényezője pedig az összetett függvény belső függvényének deriváltja, vagy annak számszorosa. A feladatok megoldását áttekinthetőbbé tehetjük, ha a következő leírási móddal élünk. Legyen t = g ( x ) . Deriváljuk mindkét oldalt, és t -nek x szerint deriváltját jelöljük d t d x -szel. Kapjuk: d t d x = g ' ( x ) , melyből g ' ( x ) d x = d t . Írjuk be ezeket az integrandusba.

f ( g ( x ) ) . g ' ( x ) d x = f ( t ) d t = F ( t ) + c = F ( g ( x ) ) + c

Azaz a g ( x ) függvényt egy új változóval helyettesítjük, s a kapott függvényt ezen új változó szerint integráljuk. Az eredményben vissza kell helyettesíteni az új változó helyére a függvényt, melyet helyettesítettünk.
A feladatok megoldása során gyakran nem a t = g ( x ) egyenlőség két oldalát deriváljuk x szerint, hanem ezt rendezzük x -re, és kapjuk, hogy x = g 1 ( t ) , ahol g 1 a g függvény inverze, s ezt deriváljuk t szerint. Ennek eredménye d x d t = ( g 1 ( x ) ) ' lesz, melyből d x = ( g 1 ( x ) ) ' d t . A helyettesítés során mindenképpen azt kell elérnünk, hogy a régi változót teljesen kiküszöböljük, és csak az új változó maradjon az integrandusban. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy a régi és az új változó differenciálja, d x és d t , általában nem egyenlő. A köztük fennálló kapcsolatot, a helyettesítést leíró egyenlet deriválásával kapjuk.

Bizonyos esetekben nem az x változó egy függvényét célszerű egy új változóval helyettesíteni, hanem az x helyére az új változó valamilyen függvényét írni, azaz a régi változót helyettesítjük egy függvénnyel. Ilyenkor x = g ( t ) . Ezt deriváljuk t szerint, és d x d t = g ' ( t ) -t kapunk, melyből d x = g ' ( t ) d t .

Beírva az integrandusba: f ( x ) d x = f ( g ( t ) ) . g ' ( t ) d t .

Ezután elvégezzük az integrálást, majd visszahelyettesítünk.

A helyettesítés bármelyik módját hasznájuk, a helyettesítéssel nem magát az integrálást végezzük el. Ilyenkor az integrandust alakítjuk át, s célunk egy könnyebben integrálható függvényt kapni, mint amilyen az eredeti volt. Az integrálási lépés majd ezután következik.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat sin x x d x =

Megoldás: Az integrandus számlálójában szerepel egy összetett függvény, érdemes megpróbálnunk helyettesíteni ennek belső függvényét egy új változóval.

t = x

Rendezzük ezt x -re.

x = t 2

Deriváljuk méndkét oldalt t szerint.

d x d t = 2 t d x = 2 t d t

Helyettesítsük be ezeket az integrandusba, egyszerűsítsünk, végezzük el az integrálást, és helyettesítsünk vissza.

sin x x d x = sin t t 2 t d t = 2 sin t d t = 2 cos t + c = 2 cos x + c

2. feladat x cos 2 x 2 d x =

Megoldás: Az integranduson belül most is látható egy összetett függvény, próbálkozhatunk a belső függvény helyettesítésével.

t = x 2

Fejezzük ki x -et.

x = t

Deriváljunk t szerint.

d x d t = 1 2 t d x = 1 2 t d t

Végezzük el a helyettesítést az integrandusban, majd egyszerűsítsünk, hajtsuk végre az integrálást, és helyettesítsünk vissza.

x cos 2 x 2 d x = t cos 2 t . 1 2 t d t = 1 2 1 cos 2 t d t = 1 2 tg t + c = 1 2 tg x 2 + c

3. feladat 1 x + x ln 2 x d x =

Megoldás: Ebben a feladatban is találhatunk egy összetett függvényt, a ln 2 x -et, célszerű ennek belső függvényét az új változónak tekinteni.

t = ln x

Átrendezve x -re.

x = e t

Hajtsuk végre a t szerinti deriválást.

d x d t = e t d x = e t d t

Írjuk be ezeket az integrandusba, utána egyszerűsítsünk, integráljunk, s térjünk vissza a régi változóra.

1 x + x ln 2 x d x = 1 e t + e t . t 2 e t d t = 1 1 + t 2 d t = arctg t + c = arctg ( ln x ) + c

4. feladat e x . cos e x d x =

Megoldás: A cos e x egy összetett függvény az integranduson belül, ennek belső függvényét tekinthetjük az új változónak. Utána hajtsuk végre ugyanazokat a lépéseket, mint az előző feladatokban.

t = e x x = ln t

d x d t = 1 t d x = 1 t d t

e x . cos e x d x = t . cos t 1 t d t = cos t d t = sin t + c = sin e x + c

5. feladat ( 3 x + 2 ) 4 x + 1 d x =

Megoldás: Az integrandus második tényezője ugyan egy összetett függvény, azonban most nem ennek belső függvényét célszerű helyettesíteni, hanem jobb az egész gyökös kifejezést új változónak tekinteni, mert ekkor az integrandusból el fog tűnni a gyök.

t = 4 x + 1 t 2 = 4 x + 1 t 2 1 = 4 x x = t 2 1 4

d x d t = 2 t 4 = t 2 d x = t 2 d t

Írjunk be mindezt az integrandusba, és hozzuk a függvényt egyszerűbb alakra.

( 3 x + 2 ) 4 x + 1 d x = ( 3 t 2 1 4 + 2 ) t t 2 d t = ( 3 4 t 2 + 5 4 ) t 2 2 d t = ( 3 8 t 4 + 5 8 t 2 ) d t =

Ezután integráljuk a kapott polinomot, majd helyettesítsünk vissza.

( 3 x + 2 ) 4 x + 1 d x = 3 8 . t 5 5 + 5 8 . t 3 3 + c = 3 40 ( 4 x + 1 ) 5 + 5 24 ( 4 x + 1 ) 3 + c

6. feladat 2 x 5 3 x + 1 d x =

Megoldás: Most az integrandus nevezője egy összetett függvény, azonban most is célszerűbb új változónak az egész gyökös kifejezést tekinteni.

t = 3 x + 1 t 2 = 3 x + 1 t 2 1 = 3 x x = t 2 1 3

d x d t = 2 t 3 d x = 2 3 t d t

Miután behelyettesítettünk az integrandusba, a kapott függvényt hozzuk egyszerűbb alakra.

2 x 5 3 x + 1 d x = 2 t 2 1 3 5 t 2 3 t d t = 2 3 ( 2 3 t 2 17 3 ) d t = 4 9 t 2 34 9 d t =

Már csak egy polinomot kell integrálnunk, s azt követően visszahelyettesítenünk.

2 x 5 3 x + 1 d x = 4 9 t 3 3 34 9 t + c = 4 27 ( 3 x + 1 ) 3 34 9 3 x + 1 + c

7. feladat 1 x . x 3 + 2 x + x 2 3 d x =

Megoldás: Olyan törtet kell integrálnunk, melyben többször is szerepel x 3 , így célszerű ezt kezelni új változóként. Az ilyen esetben a helyettesítés várhatóan racionális törtfüggvényt eredményez.

t = x 3 x = t 3

d x d t = 3 t 2 d x = 3 t 2 d t

Végezzük el az integrandusban a helyettesítést, és egyszerűsítsük a kapott függvényt.

1 x . x 3 + 2 x + x 2 3 d x = 1 t 4 + 2 t 3 + t 2 3 t 2 d t = 3 1 t 2 + 2 t + 1 d t = 3 1 ( t + 1 ) 2 d t =

A várakozásnak megfelelően racionális törtfüggvényt kaptunk, ráadásul egy olyan egyszerű törtet, melyet rögtön tudunk integrálni, csak célszerűbb negatív kitevős hatványként írni. Az integrálás után térjünk vissza a régi változóra, azaz helyettesítsünk vissza.

1 x . x 3 + 2 x + x 2 3 d x = 3 ( t + 1 ) 2 d t = 3 ( t + 1 ) 1 1 + c = 3 t + 1 + c = 3 x 3 + 1 + c

8. feladat x 3 . 1 x 2 d x =

Megoldás: Az integrálandó függvényben a négyzetgyökös kifejezés az, ami problémát okoz. Jó lenne úgy helyettesíteni, hogy megszabaduljunk a gyöktől. Ehhez a gyök alatt teljes négyzetnek kell kialakulnia. Induljunk el az 1 = sin 2 t + cos 2 t azonosságból, s rendezzük át a következő módon: cos 2 t = 1 sin 2 t . Ebből látszik, hogy ha a gyök alatt x 2 helyett sin 2 t állna, akkor teljes négyzet lenne, s kiküszöbölhetnénk a gyököt. Most tehát a változó helyére célszerű egy függvényt helyettesíteni, az alábbiak szerint.

x = sin t

Rendezésre most nincsen szükség, hiszen eleve x van kifejezve, így rögtön deriválhatunk.

d x d t = cos t d x = cos t d t

Hajtsuk végre a helyettesítést, és hozzuk egyszerűbb alakra a függvényt.

x 3 . 1 x 2 d x = sin 3 t . 1 sin 2 t cos t d t = sin 3 t . cos 2 t cos t d t = sin 3 t . cos 2 t d t =

Az átalakítás során felhasználtuk, hogy cos 2 t = cos t , ami nem minden esetben igaz, hanem általánosan csak cos 2 t = | cos t | mondható. A helyettesítés során azonban nem a teljes sin t , t R függvényt írjuk be az x helyére, hanem annak egy olyan leszűkítését, amely szigorúan monoton, s ezáltal invertálható. A visszahelyettesítésnél ugyanis majd a t helyére kell beírnunk, hogy miként fejezhető ki x -szel, s ehhez léteznie kell a helyettesítésben szereplő függvény inverzének. Ez ebben az esetben azt jelenti, hogy mi a sin t , t [ π 2 , π 2 ] függvényt helyettesítettük csak. Ez a megszorítás viszont azt jelenti, hogy cos t 0 , és így | cos t | = cos t .

Térjünk vissza az integrálhoz. Az első tényezőt célszerűbb szorzattá bontani a következő módon: sin 3 t = sin t . sin 2 t . Ezután a sin 2 t helyére 1 cos 2 t írható, majd felbonthatjuk a zárójelet.

sin t . sin 2 t . cos 2 t d t = sin t ( 1 cos 2 t ) cos 2 t d t = ( cos 2 t . sin t cos 4 t . sin t ) d t =

Mivel ( cos t ) ' = sin t , az integrál mindkét tagja f α ( t ) . f ' ( t ) típusú, ahol f ( t ) = cos t , csak az előjeleket kell megfelelő helyre írni. Ezután végezzük is el az integrálást.

( 1 ) cos 2 t ( sin t ) + cos 4 t ( sin t ) d t = cos 2 t ( cos t ) ' + cos 4 t ( cos t ) ' d t = cos 3 t 3 + cos 5 t 5 + c

A visszahelyettesítéshez szükségünk van arra, hogyan fejezhető ki t az x segítségével. Mivel x = sin t , a sin inverzét kell vennünk, azaz t = arcsin x lesz. Ezt kell beírnunk az integrálás eredményébe.

x 3 . 1 x 2 d x = cos 5 ( arcsin x ) 5 cos 3 ( arcsin x ) 3 + c

Lényegében készen vagyunk, hiszen az integrálás megtörtént, s visszatértünk a régi változóra. Eredményünk azonban még alakítható. Használjuk fel, hogy cos α = 1 sin 2 α , ha cos α 0 .

cos ( arcsin x ) = 1 sin 2 ( arcsin x ) = 1 ( sin ( arcsin x ) ) 2 = 1 x 2

Itt kihasználtuk, hogy ha egy összetett függvényben a külső függvény inverze a belső függvény, akkor egyszerűen a változót kapjuk. Jelen esetben sin ( arcsin x ) = x .
Írjuk be ezt az integrálás eredményébe.

x 3 . 1 x 2 d x = ( 1 x 2 ) 5 5 ( 1 x 2 ) 3 3 + c = 1 5 ( 1 x 2 ) 5 1 3 ( 1 x 2 ) 3 + c

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: cos x x d x =
2 x . sin x + c
x . sin x 2 + c
2 sin x + c
sin x 2 + c
2. kérdés: e x sin 2 e x d x =
ctg e x + c
ctg e x + c
e x . ctg e x + c
e x . ctg e x + c
3. kérdés: x . cos x 2 d x =
1 2 x 2 . sin x 2 + c
2 x 2 . sin x 2 + c
1 2 sin x 2 + c
2 sin x 2 + c
4. kérdés: 6 x + 4 2 x 1 d x =
( 3 x 2 + 4 ) 2 x 1 + c
( 2 x + 6 ) 2 x 1 + c
( 3 x 2 + 4 ) 2 x 1 2 + c
( 2 x 1 ) 3 + 5 2 x 1 + c
5. kérdés: e 3 x 4 d x =
2 3 e 3 x 4 ( 3 x 4 + 1 ) + c
2 3 e 3 x 4 ( 3 x 4 1 ) + c
1 3 e 3 x 4 ( 3 x 4 + 1 ) + c
1 3 e 3 x 4 ( 3 x 4 1 ) + c