13. lecke: Közgazdasági alkalmazások 1.
| Tanulási cél: A kamatszámítási módszerek valamint az inflációszámítás elsajátítása, és alkalmazása feladatokban.
Elméleti összefoglaló: Ha egy kezdetben nagyságú pénzösszeg százalékkal megváltozik, akkor az új pénzösszeg a összefüggéssel határozható meg, melyben . Ha például egy összeg százalékkal nő, akkor . (Természetesen ha egy összeg csökken, akkor negatív.) Az ilyen változások egyik leggyakoribb esete a kamatozás, amikor egy bizonyos idő (kamatperiódus) eltelte után a pénzösszeg (tőke) megnő a kamattal. Ilyenkor az szám, melyet kamatlábnak nevezünk, azt adja meg, hogy a növekmény hányad része az eredeti összegnek.
Ha nem egy kamatperiódusnyi idő telik el, akkor kétféle lehetőség van aszerint, hogy a kamatot csak az összes kamatperiódus letelte után egyben írják a tőkéhez, vagy minden kamatperiódus után megteszik ezt, azaz tőkésítenek.
Az első esetben kamatperiódus elteltével a összefüggésből kapjuk a megváltozott tőke nagyságát. Ilyenkor lineáris kamatozásról beszélünk. Ezt leggyakrabban akkor alkalmazzák, amikor nem telik el egy teljes kamatperiódusnyi idő, s így csak a részarányos kamatot fizetik. (Az szám ilyenkor tehát nem csak pozitív egész lehet.)
A második esetben, amikor minden kamatperiódus elteltével hozzáírják a kamatot a tőkéhez, a öszefüggés írja le a tőke változását kamatperiódus elteltével. Ilyenkor kamatos kamatról beszélünk, hiszen a tőkésített kamatok is kamatoznak a későbbi kamatperiódusok alatt. Ha egy feladatban nem szerepel, hogy a kamatszámítás lineáris, és több kamatperiódusnyi idő telik el, akkor kamatos kamattal kell számolni. (Ilyenkor pozitív egész szám.)
Gyakran előforduló eset, hogy éves kamatlábat adnak meg, de a kamatot gyakrabban, például havonta tőkésítik. Ilyen esetekben a megadott kamatlábat nominális kamatlábnak nevezzük . A nominális kamatlábból a tőkésítési periódusra eső kamatlábat időarányosan kapjuk, s ezután kamatos kamattal számolunk. Ha például a tőkésítési idő az év -ed része, akkor év eltelte után a összefüggés adja a megnövekedett tőke nagyságát. Ilyenkor egy másik kamatlábról is szokás beszélni, az úgynevezett reális kamatlábról , mely azt adja meg, hogy egy év alatt hányad részével nő meg a tőke. A reális kamatláb a nominális kamatlábnál nagyobb. Ha az évközi tőkésítések számát minden határon túl növeljük, akkor folyamatos tőkésítésről beszélünk, s ekkor év elteltével lesz a megnövekedett tőke.
A hétköznapokban tapasztaljuk, hogy pénzünk gyarapodása nem feltétlenül jelenti életszinvonalunk emelkedését. Ha az árak gyorsabban nőnek mint a fizetések, akkor nem élünk jobban. Nem elég csak azt nézni, hogy egy pénzösszeg mennyivel nőtt, hanem azt is vizsgálni kell, mennyi árut lehet érte kapni, azaz a pénz vásárlóértékét kell nyomonkövetni. Az árszínvonal emelkedését, s így a vásárlóérték változását az inflációval fejezzük ki. Ha az infláció mértéke százalék, akkor nagyságú pénzösszeg vásárlóértéke év elteltével a összefüggéssel határozható meg, melyben . Ha a kezdeti összeg például kamatozás révén kamtalábbal gyarapszik, akkor év elteltével lesz a megnövekedett összeg vásárlóértéke.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Egy öltöny árát %-kal felemelték, majd az emelt árat újabb %-kal megemelték. Az eredeti árhoz képest hány százalékkal emelkedett az öltöny ára?
Megoldás: Legyen az öltöny eredeti ára , az első emelés utáni ár , a második utáni pedig , az áremelések aránya pedig és . Az első emelés utáni árat az eredetiből a összefüggésből kapjuk. A második emelés utáni ár az első utániból lesz. A feladatban azonban a második emelés utáni árat, az eredetihez kell viszonyítanunk, ezért helyettesítsünk be helyére.
A növekedés tehát az eredeti ár -ed része, s így az emelés %-os.
|
2. feladat Mivel egy nagyobb vásárlást szerettünk volna lebonyolítani, ezért kölcsönt vettünk fel egy évre évi %-os kamatlábra. Mire azonban a hitelt elintéztük, elfogyott az a termék, amit meg akartunk venni. A pénzt ezért bankba tettük, hogy csökkentsük a veszteségünket. A bankbetét kamatlába %. Hány százaléknyi veszteségünk van a hitelen, a bankban történő elhelyezéshez viszonyítva?
Megoldás: Erre a kérdésre sokan rávágnák, hogy %, de gondoljuk végig, mit mihez kell viszonyítani ebben a feladatban. A veszteségünket ugyanis nem a felvett hitel összegéhez kell viszonyítani, hanem a bankban történő elhelyezéshez. Legyen a felvett hitel összege , a hitel kamatlába , a betété pedig . Ekkor egy év elteltével öszeget kell visszafizetnünk. A bank a betétünkre összeget fizet nekünk. A feltett kérdésre ezen két összeg arányának ismeretében válaszolhatunk.
Mivel , ezért a hitel %-kal kedvzőtlenebb a bankbetétnél.
|
3. feladat Egy országban, ahol a személyi jövedelemadózás sávosan történik, a következő adósávok vannak érvényben. (Az ország pénznemét jelöljük Pe-vel.) Pe adómentes Pe % adó Pe % adó Pe fölött % adó Mennyi adót fizet egy olyan állampolgár, akinek a bruttó jövedelme Pe?
Megoldás: Számoljuk ki külön-külön a jövedelem egyes adósávokba eső részei után az adót, majd adjuk össze ezeket. Az adómentes sávba Pe jövedelem esik, ezután Pe adót kell fizetni. A %-os sávba Pe jövedelem esik, ezután Pe adót kell fizetni. A %-os sávba Pe jövedelem esik, ezután Pe adót kell fizetni. A %-os sávba Pe jövedelem esik, ezután Pe adót kell fizetni.
Az adott állampolgárnak összesen Pe adót kell fizetnie az államnak.
|
4. feladat Az előző feladatban szereplő ország egyik állampolgára Pe adót fizett be az államnak. Mennyi volt a bruttó jövedelme?
Megoldás: Először határozzuk meg a legmagasabb olyan adósávot, amelybe még esett jövedelme az állampolgárnak. Ha csak a %-os sávba esett volna jövedelem, akkor a befizett adó nem lehetne több Pe-nél, tehát biztosan esett jövedelem a %-os sávba. A %-os sávba azonban nem esik már jövedelem, hiszen akkor a befizetett adó több lenne mint Pe, mert akkor az állampolgár a %-os és %-os adósávokat teljesen kimerítené. Állampolgárunk jövedelme tehát Pe és Pe közé esik. Adója ezért két részből áll, Pe a %-os jövedelemsávba eső rész után, és Pe a jövedelem %-os sávba eső része után. Most visszafelé kell számolnunk, azaz azt kell megmondanunk, minek a %-a a Pe.
Az adott állampolgárnak tehát Pe jövedelme esett a %-os sávba. Mivel Pe jövedelme van ezen sáv alatt is, ezért összes jövedelme Pe.
|
5. feladat Beteszünk a bankba Ft-ot évi %-os kamatlábra. Mekkora összeg lesz a számlánkon 5 év múlva, ha a) a bank lineáris kamatozással számol? b) a bank kamatos kamattal számol?
Megoldás: Most .
a)
Lineáris kamatozás esetén tehát Ft lesz a számlánkon.
b)
Kamatos kamattal számolva pedig Ft lesz a követelésünk.
|
6. feladat a) Mennyi ideig tartsuk pénzünket a bankban, ha minimum a dupláját akarjuk visszakapni? Az éves kamatláb %, s a bank csak a teljes évekre fizet kamatot. b) Mekkora az éves kamatláb, ha pénzünk év alatt duplázódik meg?
Megoldás: a) Most , a kezdeti tőkét pedig nem ismerjük. Tudjuk azonban, hogy pénzünk megduplázódik, ezért .
Vegyük mindkét oldal logaritmusát. (A logaritmus alapja legyen , de természetesen más is lehetne.)
A duplázódás ideje tehát év, de ez a valóságban azt jelenti, hogy pénzünket legalább évig kellene a bankban tartani. Ekkor viszont már a kétszeres összegnél többet kapnánk vissza.
b) igaz most is, és .
Vonjunk mindkét oldalból ötödik gyököt.
A pénzünk alatti megduplázódásához tehát %-os kamatlábra van szükség.
|
7. feladat Egy ingatlan eladásából nagyobb összeghez jutottunk. A pénz egy részét vállalkozásunk fejlesztésére fordítjuk, másik részéből egyetlen gyermekünk, aki most 12 éves, jövöjét kívánjuk megalapozni. A jelenleg elérhető legmagasabb fix éves kamatláb %. Mekkora összeget helyezzünk el most a bankban, ha azt szeretnénk, hogy gyermekünk 23 éves korában, amikor várhatóan befejezi az egyetemet, megvehessen egy Ft értékű lakást?
Megoldás: Az adatok a szöveg alapján: .
Elegendő tehát 1 619 190 Ft-ot elhelyeznünk, s gyermekünk 11 év múlva 10 000 000 Ft-tal fog rendelkezni. (A kérdés csak az, hol találunk olyan befektetést, mely ilyen hosszú távon, ilyen magas kamatlábat garantál.)
Megjegyzés: A feladatban egy bizonyos pénzösszeg jövöbeni értékét ismerjük, s arra vagyunk kíváncsiak, mekkora ennek az összegnek a jelenlegi értéke. Ilyenkor visszafelé kamatolunk. Ezt nevezik diszkontálásnak.
|
8. feladat Egy telket akarunk eladni. Az érdeklődők közül négyen tesznek érdemleges vételi ajánlatot. A vevő ajánlata: most fizet 2 000 000 Ft-ot B vevő ajánlata: most fizet 1 000 000 Ft-ot, s 1 év múlva 1 200 000 Ft-ot C vevő ajánlata: most fizet 600 000 Ft-ot, majd évenként még háromszor 600 000 Ft-ot D vevő ajánlata: most fizet 500 000 Ft-ot, majd kétévente kétszer 1 000 000 Ft-ot Melyik a legkedvezőbb ajánlat, ha az éves kamatláb 15 %?
Megoldás: Az ajánlatok összehasonlítását az nehezíti meg, hogy a kifizetések nem azonos időpontban történnek. Ilyenkor azonos időpontra kamatoljuk a különböző összegeket, s így hasonlítjuk össze őket. A két leggyakrabban használt számolási mód, amikor a feladatban szereplő legkésőbbi időpontra kamatolunk, illetve amikor a legkorábbi időpontra kamatolunk, azaz diszkontálunk. Számoljunk most a legutolsó idő ponttal, ez a vétel után 4 évvel lesz. Ekkor fizeti be az utolsó részletet a legkésőbb fizető D vevő. Határozzuk meg a különböző vevőktől kapott pénzösszegek ezen időpontbeli értékét.
A vevő:
B vevő:
C vevő:
D vevő:
Az ajánlatokat így összehasonlítva látható, hogy a B vevő ajánlata a legkedvezőbb, ezt célszerű elfogadni.
Megjegyzés: Érdekes lenne vizsgálni azt a kérdést, hogy különböző kamatlábak esetén melyik vevő ajánlata a legkedvezőbb. Ha a kamatláb magas, akkor általában célszerűbb minél előbb megkapni a pénzt, mert annál több kamat rakódik rá. Ez ellensúlyozhatja azt, hogy a vevőtől kézhez kapott összeg kisebb. Ha alacsony a kamatláb, akkor célszerű a vevőtől minél több pénzt kézhez kapni, mert azt nem sokkal növeli a kamat. Persze konkrét esetben csak a pontos számolás után tudunk jól dönteni.
|
9. feladat Elhelyezünk 100 000 Ft-ot 18 % nominális kamatlábra a bankban. Mennyi pénz lesz a számlánkon egy év elteltével, és mekkora a reális kamatláb, ha a) havonta tőkésít a bank? b) naponta tőkésít a bank? c) folyamatosan tőkésít a bank?
Megoldás: Mindhárom esetben és .
a) A tőkésítések száma .
Számlánkon tehát 119 562 Ft lesz. és ismeretében a reális kamatláb is megkapható.
A reális kamatláb eszerint 19.6 %.
b) A tőkésítések száma ekkor .
Követelésünk a bank felé 119 716 Ft lesz. Határozzuk meg a reális kamatlábat is.
Napi tőkésítéssel tehát 19.7 % lesz a reális kamatláb.
c) Folyamatos tőkésítésnél más összefüggésből számolunk.
A banktól így 119 722 Ft-ot kapunk az év elteltével. Számoljuk a reális kamatlábat is.
Mint látható a reális kamatláb most is 19.7 %, hiszen számlánk egyenlege alig nagyobb mint a naponkénti tőkésítés esetében.
|
10. feladat Egy dolgozó 120 000 Ft-os nettó jövedelme az év során 15 %-kal emelkedik. Mennyi az emelt fizetés vásárlóértéke, ha az inflációs ráta 10%? Hány százalékkal nőtt a fizetés vásárlóértéke az év során?
Megoldás: A szöveg alapján .
A dolgozó fizetésének vásárlóérétke év végén így 125 455 Ft lesz. A második kérdésre sokan azt mondanák, 5 % a növekedés, mert a fizetés növekedésének mértékéből kivonnák az infláció mértékét. De ez így nem igaz hiszen most az év végi vásárlóértéket, kezdeti vásárlóértékhez kell viszonyítani.
A fizetés vásárlóértéke tehát csak 4.5 %-kal nőtt.
|
11. feladat Legalább hány százalékos jövedelmezőséggel kell befektetni a pénzünket, ha azt akarjuk, hogy vásárlóértéke 10 év alatt, 6 %-os infláció mellett megduplázódjon?
Megoldás: A szövegből , az ismeretlen pedig .
Vonjunk mindkét oldalból tizedik gyököt.
Pénzünket tehát minimum 13.6 %-os jövedelmezőséggel kell befektetnünk.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Egy adott hónapban minden héten emelte a benzin árát a MOL. Az első héten 1 %-kal, a másodikon 2 %-kal, a harmadikon 3 %-kal, a negyediken pedig 4 %-kal. Hány százalékos volt a benzin árának emelkedése az adott hónapban? |
2. kérdés: Bergengóciában, ahol a pénznem a Fabatka (Fb), a következő adósávok vannak érvényben: 0 Fb - 5 000 Fb 10 % adó 5 001 Fb - 10 000 Fb 15 % adó 10 000 Fb fölött 20 % adó Mennyi adót fizet Bergengóciában az az állampolgár, akinek az éves jövedelme 17 000 Fb? |
3. kérdés: Betettünk a bankba 500 000 Ft-ot évi 12 %-os kamatlábra. Sajnos három hónap után ki kellett vennünk a pénzt, így a bank csak a megfelelő időre jutó részarányos kamatot fizette. Mennyi pénzt kaptunk? |
4. kérdés: Öt évvel ezelőtt elhelyeztünk a bankban 100 000 Ft-ot. Mennyi volt az éves kamatláb, ha az öt év elteltével 176 234 Ft-ot kaptunk vissza? |
5. kérdés: Szeretnénk eladni egy gazdaságunkban feleslegessé vált traktort. A környékbeli gazdák közül négyen tesznek vételi ajánlatot. 1. ajánlat: most fizet 1 500 000 Ft-ot 2. ajánlat: most fizet 1 000 000 Ft-ot, majd egy év múlva 600 000 Ft-ot 3. ajánlat: most fizet 600 000 Ft-ot, majd egy év múlva 1 100 000 Ft-ot 4. ajánlat: most fizet 600 000 Ft-ot, majd még kétszer 600 000 Ft-ot évenként Melyik ajánlatot fogadjuk el, ha az éves kamatláb 10 %? |
6. kérdés: Mekkora reális kamatlábnak felel meg folyamatos tőkésítés esetén a 25 %-os nominális kamatláb? |
7. kérdés: Egy befektetéssel évi 24 %-os hozamot értünk el. Mennyi volt az infláció mértéke, ha pénzünk vásárlóértéke 5 év alatt a másfélszeresére nőtt? |