30. lecke: Parciális integrálás
| Tanulási cél: A parciális integrálás módszerének elsajátítása, és alkalmazása feladatok megoldásában.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I Fejezet: 8.4
Elméleti összefoglaló: Ha az és függvények differenciálhatóak, valamint az függvény integrálható, akkor az függvény is integrálható és
.
A módszer alkalmazásának három legfőbb esete: 1. Az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője polinom, a másik pedig az függvények valamelyike. Ilyenkor a polinomot célszerű -nek, s a másik tényezőt pedig -nek választani. A módszer alkalmazásával azt érjük el, hogy a még meghatározandó integrálban eggyel alacsonyabb fokszámú polinom szerepel. Ha a módszert annyiszor alkalmazzuk, amennyi a polinom fokszáma, akkor eltűnik a polinom, s helyén már csak konstans marad, s a még hátralevő integrálban már nem szorzatfüggvényt kell integrálnunk.
2. Az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője polinom, a másik pedig a függvények valamelyike. Ilyenkor a polinomot -nek, a másik tényezőt pedig -nek célszerű választani. A módszert egyszer alkalmazzuk, s a visszamaradó integrált valamilyen más módszerrel határozzuk meg. Gyakran vagy típusú integrál alakuk ki. Bár a módszer alapvetően szorzatfüggvények esetén használatos, de itt előfordulhat az is, hogy a polinom egyszerűen . Nem igazi szorzatot akarunk tehát integrálni, hanem a függvények valamelyikét.
3. Az integrandus olyan szorzat, melynek mindkét tényezője az függvények valamelyike. Ekkor általában kétszer kell alkalmazni a módszert, s a visszamaradó integrál az eredeti integrál valamilyen számszorosa lesz. Az így kapott egyenletet ezután rendezni kell az integrálra. A módszer első alkalmazásánál mindegy melyik tényezőt választjuk -nek és melyiket -nek, a másodiknál azonban ugyanúgy kell választanunk, mint az elsőnél. Az ilyen típusú szorzatok nem mindegyikénél muszáj alkalmazni ezt a módszert. Szerepelt már például a függvény, melyet más módszerrel egyszerűbben tudtunk integrálni.
A módszer alaklmazható egyéb esetekben is, de azok nem ennyire jól körülhatárolhatóak.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat
Megoldás: Az integrandus az első típusba tartozik, éljünk tehát az , és elnevezésekkel. A módszer alkalmazásához meg kell határoznunk az függvény deriváltját.
Szükségünk van még a függvényre is, melyet a integrálásával kapunk.
Mivel most elegendő egyetlen olyan függvényt találnunk, melynek deriváltja , ezért az integrációs konstanst elhagyhatjuk, azaz elegendő -et írnunk. Ezután helyettesítsünk be a szabályba.
A még meghatározandó integrálból kiemelhető az integrál elé, majd az integrálás elvégezhető.
|
2. feladat
Megoldás: Az integrandus az első típusba tartozik. Legyen és . Határozzuk meg deriváltját és függvényt.
Helyettesítsünk be a szabályba.
A még megmaradt integrálból emeljük ki a konstansokat, majd integráljunk.
|
3. feladat
Megoldás: Az integrálandó függvény most is az első típusba tartozik, így az és szereposztás a jó.
A szabály alkalmazásával elértük, hogy a polinom fokszáma eggyel csökkent, de még ugyanolyan típusú szorzatot kell integrálnunk, mint amilyen az eredeti volt. Alkalmazzuk újra a szabályt. Legyen és .
Helyettsítsünk be ismét. Vigyázzunk, mert az integrál előtt negatív előjel állt, s ez az integrál helyére kerülő mindkét tagra vonatkozik. Célszerű az integrál helyére kerülő különbséget zárójelbe tenni.
|
4. feladat
Megoldás: Ez az integrandus már a második típusba tartozik, ezért és .
|
5. feladat
Megoldás: Az integrandus nem szorzat, ezért ilyen formában nem alkalmazható a szabály. Alakítsunk ki szorzatot.
Ebben a szorzatban az polinom, tehát a feladat a második típusba tartozik. Legyen és .
A még integrálandó függvény számlálójába írjunk egy -es szorzót, az integrál elé pedig -et, mert így típusú integrandust kapunk.
|
6. feladat
Megoldás: A szorzatban szereplő egy elsőfokú poliniom, tehát a feladat a második típusba tartozik. Legyen és .
Helyettesítsük be ezeket az integrálási szabályba.
A még megmaradt integrálból emeljük ki az -et, s az integrandust írjuk egyetlen törtbe. Ezután a számlálóhoz adjunk is hozzá egyet, s vonjunk is le belőle egyet.
Ezután a törtet daraboljuk fel két törtre, s egyszerűsítsük az elsőt. Így már csak alapintegrálok maradnak, s befejezhetjük az integrálást.
|
7. feladat
Megoldás: Az integrandus nem szorzat. Járjunk el úgy, mint az 5. feladatban. A szorzat egyik tényezője legyen , s ez egy polinom. Az integrandus tehát a második típusba tartozik, s a szereposztás ekkor a következő: és .
A szabályba ezeket behelyettesítve a következőt kapjuk:
A visszamaradt integrálban az -öt írjuk hatványként, valamint írjunk be egy -es szorzót, az integrál elé pedig -et.
Így már felismerhető, hogy egy típusú integrandusunk van, hiszen .
|
8. feladat
Megoldás: Most olyan szorzatot kell integrálnunk, mely a harmadik típusba tartozik, ezért mindegy, melyik tényezőt válszatjuk -nek és melyiket -nek. Ha az és szereposztás mellett döntünk, akkor
,
.
Ezeket kell behelyettesítenünk a szabályba.
A -t kiemelhettük az integrál elé, hiszen konstans. Osszuk ki újra a szerepeket és alkalmazzuk még egyszer a szabályt. Most már nem választhatunk bárhogyan, ugyanúgy kell, mint az első esetben, tehát és .
A behelyettesítésnél vigyázzunk, mert az integrál előtti konstans szorzó az integrál helyére kerülő különbség mindegyik részére vonatkozik, ezért célszerű zárójelet kitenni.
Bontsuk fel a zárójelet, s az konstanst hozzuk ki az integráljel elé.
A kapott egyenletet rendezzük ezután az integrálra. Adjunk mindkét oldalhoz -et, s emeljük ki a bal oldalon rögtön az integrált.
Az integrációs konstanst eddig nem kellett kiírni, mert a jobb oldalon is volt integrál, s az tartalmazta. Ennél a lépésnél azonban a jobb oldalról eltűnt az integrál, ezért jelent meg a . Az eredményt megkapjuk, ha az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk -mal. A konstanst osztani felesleges, hiszen az bármilyen valós szám lehet.
|
9.feladat
Megoldás: A feladat a harmadik típusba tartozik, a szereposztás legyen például és . Az eddigiekhez képest annyi a változás, hogy ezek összetett függvények, melyeknek belső függvénye lineáris. Figyeljünk oda, mert deriválásnál ilyenkor a belső függvény deriváltjával szoroznunk kell, az integrálásnál pedig osztanunk.
Helyettesítsük be ezeket a szabályba.
A szabály másodszori alkalmazásánál az és szereposztást kell választanunk.
Bontsuk fel a zárójelet, és emeljük ki az integráljel elé a konstansokat.
Adjunk mindkét oldalhoz -et.
Osszunk -del, vagyis szorozzunk -dal.
Ellenőrző kérdések:
|