27. lecke: Taylor-sor, MacLaurin-sor
| Tanulási cél: Megismerni a Taylor- és Maclaurin-sor fogalmát, valamint néhány nevezetes függvény sorfejtését, s ezeket alkalmazni feladatok megoldásában.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 7.
Elméleti összefoglaló: Legyen az olyan függvény, mely értelmezett az rögzített hely egy környezetében, s ott -szer folytonosan differenciálható. Ekkor a
polinomot az függvény helyen vett -edfokú Taylor-polinomjának nevezzük. (A nulladik derivált magát a függvényt jelenti, azaz , és .)
A Taylor-polinom közelíti az eredeti függvényt. Minél közelebb van az -hoz, és minél magasabb a polinom rendje, a közelítés általában annál jobb.
Ha az függvény -szer folytonosan differenciálható az intervallumon, akkor minden -hoz van olyan szám az és az között, hogy
.
Az függvény ilyen előállítását Taylor-formulának, az kifejezést pedig Lagrange-féle maradéktagnak nevezzük.
Legyen végtelen sokszor differenciálható az intervallumon. Ha valamely esetén , akkor , azaz
.
Ezt a konvergens végtelen sort az függvény körüli Taylor-sorának nevezzük.
Ha , Maclaurin-polinomról, Maclaurin-formuláról és Maclaurin-sorról beszélünk.
Gyakran alkalmazott sorfejtési technika a következő: Ha ismert az függvény Maclaurin-sora, és , akkor az összetett függvény Maclaurin-sorát Maclaurin-sorából úgy kaphatjuk meg, hogy helyére -et helyettesítünk. Ennek gyakori speciális esete, amikor , azaz a belső függvény számszorosa -nek.
Néhány függvény Maclaurin-sora:
( binomiális sor)
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Írjuk fel az függvény hely körüli Taylor-sorát!
Megoldás: Induljunk ki a Taylor-sor definíciójából, eszerint
Ebben a sorban kell most helyére -at helyettesítenünk.
Amint látható, a konkrét Taylor-sort akkor tudjuk felírni, ha az értékeket maghatározzuk és behelyettesítjük.
Az ennél magasabbrendű deriváltak azonosan zérussal egyenlőek, tehát csak a sor első négy tagjába kell helyettesítenünk. A Taylor-sor most csak véges sok nullától különböző tagot tartalmaz.
A Taylor-sor felírásával úgy alakítottuk át a polinomot, hogy hatványai helyett hatványai szerepelnek benne. Ha elvégeznénk a hatványozásokat és összevonnánk az azonos fokszámú tagokat, természetesen visszakapnánk az eredeti polinomot, ezzel tudnánk ellenőrizni a megoldást.
Megjegyzés: Minden polinom Taylor-sora véges, hisz ha a polinom -edfokú, akkor az -edik és annál magasabbrendű deriváltak azonosan nullával egyenlőek. Ilyenkor a Taylor-sor felírása úgy alakítja át a polinomot, hogy hatványai helyett hatványai fognak szerepelni. Ha , akkor , tehát továbbra is hatványai fognak szerepelni, azaz minden polinom Maclaurin-sora maga a polinom.
|
2. feladat Melyik az a harmadfokú polinom, melyre a következők igazak: ?
Megoldás: Mivel a függvény és deriváltjainak értéke a nulla helyen adott, ezért a Maclaurin-sor felírásából indulunk ki.
Mivel a polinom harmadfokú, ezért a negyedik és annál magasabbrendű deriváltjai azonosan nullával egyenlőek, tehát
.
Nincs más dolgunk, mint a függvény és derivált megadott értékeit behelyettesíteni.
Ha a tagokat a szokott sorrendben írjuk, akkor .
|
3. feladat Hogyan határozhatjuk meg közelítő értékét, ha csak négy alapműveletes számológépünk van?
Megoldás: Mivel , ezért a feladatot úgy is fogalmazhatjuk, hogy adjuk meg közelítőleg az függvény helyen vett helyettesítési értékét. Mivel a "közel van" a nullához, ezért Maclaurin-sorból határozhatjuk meg a közelítő értéket. Ezen függvény Maclaurin-sorát ismerjük, abban kell helyére a megadott értéket behelyettesítenünk.
A sornak azonban végtelen sok tagja van, valamennyibe nem tudunk behelyettesíteni. Ezért csak a sor első néhány tagját vesszük figyelembe, azaz valamelyik Maclaurin-polinomba helyettesítünk. Minél több tagot veszünk figyelembe, a közelítő érték annál pontosabb lesz. Ha például a másodfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk, akkor
.
Ha a negyedfokú polinomba, akkor
.
Ha nem csak négy alapműveletes számológépünk van, akkor egy lépésben kaphatunk közelítő értéket, s így . Amint látható a negyedfokú polinomból kapott érték már 6 tizedesjegyre pontos. Ha ennél is pontosabb értékre van szükség, további tagokat figyelembe véve tetszőleges pontosság érhető el.
Megjegyzés: Felvetődik annak kérdése, hogy ha egy előre megadott pontossággal szeretnénk megkapni a közelítő értéket, akkor hány tagot kell figyelembe vennünk. Ezt a Lagrange-féle maradéktagból tudjuk meghatározni. Ha annak abszolút értéke már a megengedett pontosságnál kisebb, akkor a közelítő érték megfelelő. Ha például 4 tizedesjegy pontosság elérése a feladat, akkor az egyenlőtlenséget kell megoldanunk, melyben lesz az ismeretlen. A feladat adataival
ahol .
Mivel értékét nem ismerjük, ezért -t felülről becsüljük. Az exponenciális függvény szigorúan monoton nő, a legnagyobb értéket az intervallum jobb oldali végpontjában veszi fel, azaz . Az egyenlőtlenség így a következő:
.
Ez az egyenlőtlenség esetben igaz, tehát ha harmadfokú Maclaurin-polinomba helyettesítünk, akkor garantált a 4 tizedesjegynyi pontosság.
|
4. feladat Ha ismerjük az értéket, és van egy négy alapműveletes számológépünk, akkor hogyan határozhatjuk meg közelítő értékét?
Megoldás: Ismerjük egy olyan függvény Maclaurin-sorát, amelyben logaritmus szerepel, ez az .
Egyszerű lenne itt -et helyettesíteni, de ezt nem tehetjük, mert ez a sor csak akkor konvergens, ha . Írjuk -at más alakban.
Mivel -et ismerjük, az közelítő értékét kell meghatároznunk. Ezt helyettesítéssel kapjuk. A konkrét helyettesítést a negyedfokú Maclaurin-polinommal végezzük el.
Térjünk vissza az eredeti kérdéshez.
Ha jobb számológépünk is van, akkor a értéket kapjuk. Bár itt is negyedfokú polinomba helyettesítettünk, mégis kevesebb tizedesjegy pontos. Ez érthető, mert a pontosságot nagymértékben befolyásolja nagysága, hiszen minél nagyobb , annál lassabban tartanak zérushoz a tagok, annál lassabb a konvergencia. Mivel most kétszer akkora volt mint az előző feladatban, ezért kisebb pontosság volt várható. Természetesen ezen javíthatunk, ha a sor több tagját vesszük figyelembe.
|
5. feladat Hogyan határozhatjuk meg közelítőleg értékét, ha csak négy alapműveletes számológépünk van?
Megoldás: Mivel , a binomiális sort használhatjuk fel.
Nyilvánvaló, hogy helyére kerül, az helyébe pedig -öt kellene írnunk. Ez azonban nem járható út, mert a sor csak esetén konvergens. Mint az előző feladatban, most is írjuk más alakban a közelítendő számot.
Így az közelítő értékét kell meghatároznunk, majd azt -del szorozni. Így már nincs baj a konvergenciával, hisz ha , s ez eleget tesz az feltételnek. A számolást most úgy hajtjuk végre, hogy a harmadfokú polinomba helyettesítünk.
Ezután térjünk vissza az eredeti kérdéshez.
Ha "okosabb" számológépet használunk, akkor az értéket kapjuk. Közelítő értékünk elég pontatlan, de ebben nincs semmi meglepő, mert a sornak kevesebb tagját vettük figyelembe mint eddig, s ráadásul is nagyobb, mint az eddigi feladatokban.
Megjegyzés: A meghatározandó számot a következő módon is alakíthattuk volna.
Ezután ugyanúgy járhatunk el mint az előzőekben, de most . Ez bizonyos szempontból még kedvezőbb is, hiszen így kisebb, várhatóan jobb közelítést kapunk.
|
6. feladat Határozzuk meg az függvény harmadfokú Maclaurin-polinomját!
Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. 1.) Induljunk ki a Maclaurin-polinom definíciójából.
Állítsuk elő a szükséges deriváltakat, és határozzuk meg a függvény valamint a deriváltak értékét a nulla helyen. A deriválások egyszerűbbek ha a függvényt átalakítjuk, mert akkor tört helyett összetett függvényünk lesz.
A kapott értékeket helyettesítsük be a polinomba.
2.) Most az a kiindulási alap, hogy ismerjük az függvény Maclaurin-sorát.
Alakítsuk most úgy az függvényt, hogy olyan összetett függvényt kapjunk, melynek külső függvénye , belső függvénye pedig számszorosa.
A belső függvény a lett. Ha ezt helyettesítjük a Maclaurin-sorában az helyére, s -dal szorzunk, akkor megkapjuk Maclaurin-sorát.
A Maclaurin-sorból a harmadfokú Maclaurin-polinomot a harmadfokúnál magasabb fokú tagok elhagyásával kapjuk.
|
7. feladat Határozzuk meg az függvény Maclaurin-sorát!
Megoldás: Az ismert azonosság alapján . Így viszont olyan összetett függvényt kaptunk, melynek belső függvénye számszorosa -nek, a külső függvénynek pedig ismerjük a Maclaurin-sorát.
Az összetett függvény Maclaurin-sorát úgy kapjuk, ha a külső függvény Maclaurin-sorába a belső függvényt helyettesítjük helyére.
Megjegyzés: Amint látható, könnyen előállítható az olyan függvények Maclaurin-sora, melyeknek belső függvénye számszorosa -nek, a külső függvény Maclaurin-sora pedig ismert. Ha kezdetben nem ilyen alakú egy függvény, akkor is érdemes elgondolkodni, hogy algebrai átalakításokkal, vagy egyéb azonosságok felhasználásával nem hozható-e ilyen alakra.
|
8. feladat Határozzuk meg az függvény Maclaurin-sorát!
Megoldás: A függvény ugyan összetett, de a belső függvény sem -nek sem hatványának nem számszorosa , így ebből az alakból nehéz célba érni. Ismerünk két olyan egyszerű azonosságot, melyekben szerepel a , ezek a következők:
Vonjuk ki az első összefüggésből a másodikat, s a kapott egyenletből fejezzük ki -et.
Innentől tulajdonképpen a Maclaurin-sorának előállítása a feladat. Ez pontosan olyan összetett függvény, amilyet szerettünk volna, hiszen a külső függvény Maclaurin-sorát ismerjük, a belső függvény pedig számszorosa -nek.
Helyettesítsük be a belső függvényt.
Ellenőrző kérdések:
|