11. lecke: Gyökkritérium
| Tanulási cél: A gyökkritérium megismerése, alkalmazásának elsajátítása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 4.2.
Elméleti összefoglaló: A gyökkritérium: Ha a található olyan szám, hogy minden index esetén fenáll egyenlőtlenség, akkor a sor abszolút konvergens. (A tétel feltétele gyengíthető, a minden helyett elég ha véges sok kivételével teljesül az egyenlőtlenség.)
A feladatok megolása során inkább a következő tételre hivatkozunk: Ha a esetén konvergens az sorozat, és
a) , akkor a sor abszolút konvergens, s így konvergens.
b) , akkor a sor divergens.
c) , akkor a gyökritériummal nem dönthető el a konvergencia.
Az tétel nagyon hasonlít az előző leckében szereplőhöz. Elegendő egy határértéket megvizsgálnunk, s ha az nem egyenlő eggyel, akkor eldönthető a konvergencia kérdése. Itt is szeretnénk hangsúlyozni, hogy ez a határérték általában nem azonos a sorösszeggel, azaz .
A feladatok megoldása során hivatkozni fogunk a következő két nevezetes határértékre:
1)
2)
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat A gyökkritérium alkalmazásával próbájuk eldönteni a sorról, hogy abszolút konvergens-e!
Megoldás: Az sorozat tagjait összegezzük, így
Mivel a sor tagjai pozitívak, az abszolút érték elhagyható. A gyökvonás tuladonságait kihasználva alakítsunk a kifejezésen, hogy a határértéket meghatározhassuk.
A kapott határérték egynél kisebb, ezért a sor abszolút konvergens.
Megjegyzés: A későbbiekben az abszolút érték elhagyását nem említjük meg külön, de ha a sor tagjai pozitívak, akkor megtesszük.
|
2. feladat Ha lehetséges, döntsük el a gyökkritériummal, hogy abszolút konvergens-e a sor!
Megoldás: Most .
Mivel egynél nagyobb értéket kaptunk, ezért a sor divergens.
|
3. feladat Eldönthető-e a gyökkritériummal, hogyan viselkedik konvergencia szempontjából a sor!
Megoldás:
A gyökkritérummal tehát nem dönthető el hogyan viselkedik a sor konvergencia szempontjából.
Megjegyzés: A sor konvergens, s ezt ugyanúgy láthatjuk be, mint az előző lecke hasonló feladatában. Bontsuk fel a sort két sor összegére.
A és sorok konvergensek, s így ezek számszorosai, és azok összege is konvergens.
|
4. feladat A sorról eldönthető-e a gyökkritérium segítségével a konvergencia?
Megoldás:
Mivel a határérték egy lett, a gyökkritériummal nem lehet eldönteni hogyan viselkedik a sor konvergencia szempontjából.
Megjegyzés: A sor divergens, s ezt hasonlóan igazolhatjuk, mint ahogyan az előző feladatban jártunk el. Ezt a sort is felbontjuk két sor összegére.
A disvergens sor négyszerese is divergens, s ehhez adjuk a konvergens sort, így divergens sort kapunk.
|
5. feladat Megmutatja-e a gyökkritérium, hogy miként viselkedik konvergencia szempontjából a sor?
Megoldás:
A kapott érték egynél kisebb, a sor tehát abszolút konvergens.
|
6. feladat A gyökkritériumot alkalmazva, próbáljuk meg eldönteni, hogy abszolút konvergens-e a sor!
Megoldás:
A kritériumban szereplő határérték kisebb mint egy, ezért a sor abszolút konvergens.
|
7. feladat El lehet-e dönteni a gyökkritériummal hogyan viselkedik konvergencia szempontjából a sor?
Megoldás:
A határérték egynél nagyobb, ezért a sor divergens.
|
8. feladat A gyökkritérium segítségevel eldönthető-e a sorról a konvergencia?
Megoldás:
A határérték egy lett, a gyökkritériummal tehát nem dönthető el a konvergencia.
Megjegyzés: A sor divergens, mert , hiszen
Csak olyan sor lehet konvergens, melynek tagjai nullához tartanak.
|
9. feladat Ha lehetséges, döntsük el a gyökkritérium alkalmazásával, hogy abszolút konvergens-e a sor!
Megoldás:
Mivel egynél nagyobb értéket kaptunk, a sor divergens.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határérték, s mi következik ebből a konvergenciára? |
2. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határérték, s mit mondhatunk ez alapján a konvergeciára nézve? |
3. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határéréték, s mit mondhatunk ebből a konvergenciára nézve? |
4. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határérték, s konvergencia szempontjából mi következik ebből? |
5. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határérték, s mi következik ebből a konvergenciára nézve? |
6. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határérték, s mit mondhatunk ez alapján a konvergenciáról? |
7. kérdés: Tekintsük a sort. Mivel egyenlő a határérték, s mit állíthatunk ez alapján a konvergenciára nézve? |