6. lecke: Számsorozatok határértékének meghatározása 1.
| Tanulási cél: A konvergens sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó tételek megismerése, s ezek segítségével határértékek meghatározása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 3.
Elméleti összefoglaló:
Egyéb értékek esetén a sorozat divergens. Ha a sorozat tart végtelenhez, ha , akkor azonban a sorozat tágabb értelemben sem konvergens.
Ha és , akkor . Hasonló tétel mondható ki a többi művelet esetén is, ha a határértékekkel a műveletek elvégezhetőek. (0-val való osztás nem értelmezett)
A fentihez hasonló tételek igazak, ha a műveleteket tágabb értelemben konvergens sorozatokkal is végezzük, azonban vannak kritikus esetek, amikor a határértékről semmit nem tudunk mondani. Ilyenek például rövid jelöléssel a típusú sorozatok. (Egy sorozat típusa alatt azt értjük, valamint röviden azt jelöljük, hogy a műveletben szereplő sorozatok hova tartanak. A jelölés például azt jelenti, hogy egy 0-hoz tartó sorozatot egy másik 0-hoz tartó sorozattal osztunk.) A kritikus esetekben a sorozatokat valamilyen azonos átalakítással nem kritikus típusba visszük át, s ezután határozzuk meg határértéküket.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az sorozat határértékét!
Megoldás: Ilyen sorozat határértékét már az előző leckében meghatároztuk, de az eljárás elég nehézkes volt. Most csináljuk ezt hatékonyabban. Először is állapítsuk meg, hova tart a számláló és a nevező.
A számláló: .
Mivel nyilván is igaz, s egy végetlenhez tartóból 2-t kivonva továbbra is végtelenhez tartót kapunk. (Konyhanyelven ez úgy mondható, valami iszonyú nagyból elvéve valami kicsit, továbbra is iszonyúan nagyot kapunk.)
A nevező: .
Ez ugyanúgy gondolható végig, mint a számláló. A későbbiekben ezt nem fogjuk ennyire részletezni, hanem röviden a következőt írjuk majd.
, ez egy típusú határérték.
Mivel ez kritikus, át kell alakítanunk. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az átalakítások mindig olyanok, melyek a kifejezés értékét nem változtatják meg, azaz ha végrehajtunk egy műveletet, akkor mindig végrehajtjuk annak megfordítottját is. Törtek estén ennek tipikus esete az egyszerűsítés, hiszen ekkor a számlálót is és a nevezőt is osztjuk, azaz magát a törtet valamivel osztjuk is és szorozzuk is. (A nevező osztása tulajdonképpen a tört szorzását jelenti.) Most egyszerűsítsünk -nel.
-et kapunk.
Vizsgáljuk újra a típusát. A számlálóban lévő és a nevezőben lévő mindegyike 0-hoz tart. Így már a számlálóban csak 5, a nevezőben pedig 6 marad, azaz a határérték lesz. (A sok magyarázat miatt ez még nem biztos, hogy rövidebbnek tűnik mint az előző leckében bemutatott megoldás, de a későbbiekben ezt sokkal rövidebben írjuk majd.)
|
2.feladat
Megoldás: Ez egy típusú határérték. Most célszerű -tel egyszerűsíteni.
-et kapunk.
A számláló határértéke most már 4, a nevezőé 9, tehát a tört határértéke .
|
3. feladat
Megoldás: Most ismét típusú határértékünk van. Célszerű ismét -tel egyszerűsíteni.
A számláló mindegyik tagja és a nevező második tagja is 0-hoz tart. Ezért a számláló 0-hoz tart, a nevező pedig 4-hez, s így a tört határértéke 0 lesz.
|
4. feladat
Megoldás: Most a hátárérték típusa, ez lényegében az előzőekkel azonos, mert az előjelet a tört elé is írhatjuk. Most is -tel célszerű egyszerűsíteni.
A számláló tart mínusz végtelenbe, a nevező pedig 1-hez, így a határérték mínusz végtelen lesz. A sorozat tehát divergens.
Megjegyzés: Az előző négy feladat azonos jellegű volt. Olyan kifejezések határértékét kerestük, melyekben polinomot polinommal osztottunk, s a határérték típusa volt. Ilyenkor célszerű -nek a nevezőben levő legmagasabb kitevőjű hatványával egyszerűsíteni a törtet. Ezután a nevező határértéke valamilyen véges, de nem 0 érték lesz, a számláló pedig 0-hoz, véges nem 0 értékhez, vagy végtelenhez tart. Ebből a határérték meghatározható.
|
5. feladat
Megoldás: A határérték típusa . A gyökök miatt most nem olyan könnyű egyszerűsíteni, mint az előző feladatokban, célszerű előbb a számlálóban és a nevezőben is egy kiemelést végrehajtani. A számlálóban emeljünk ki -et, a nevezőben pedig -et.
Mivel a számláló és a nevező is szorzat, ez két tört szorzatára bontható, melyeknek külön-külön vizsgálhatjuk a határértékét.
A második tört határértéke egy nem 0 véges érték, hiszen a számláló -hoz, a nevező pedig -hez tart. A tört határértéke tehát . Az első törtben a gyököket célszerű inkább hatvány alakra átírni, ekkor az osztást el is tudjuk végezni, s csak egyetlen hatványt kapunk.
Mivel véges értéket végtelenhez tartóval osztunk, ennek a résznek 0 lesz a határértéke. (Konyhanyelvi megfogalmazás: kicsit osztunk nagyon naggyal, nagyon kicsit kapunk.) Vegyük a két rész határértékének szorzatát, -át kapunk, ez az eredeti kifejezésünk határértéke.
Megjegyzés: Vigyázzunk nagyon a különböző gyökös kifejezésekkel, ha gyök alatt összeg vagy különbség áll, nem szabad tagonként gyököt vonni. Ismerni kell ezenkívül a gyökös kifejezések hatvánnyá való átírását, illetve fordítva. Hol az egyik, hol a másik alak a célszerűbb.
|
6. feladat
Megoldás: A határéték típusa , azonban a kifejezés jellege most nem polinom per polinom. Az egyszerűsítés viszont most is segít. Célszerű -nel egyszerűsíteni, mert így tudjuk elérni, hogy a nevező határértéke egy nem 0 véges érték legyen.
A számláló mindkét tagja 0-hoz tart, s a nevező második tagja is. Így a tört határértéke 0.
Megjegyzés: Az eddigi feladatokban a hatványok alapjában szerepelt, most azonban a kitevőben. Ilyenkor a típusú kifejezések határértékére hivatkozunk a nagysága szerint.
|
7. feladat
Megoldás:
A határérték típusa . Némi változás az előző feladathoz képest, hogy a kitevőben nem csak egyszerűen szerepel. Egyszerűsítés előtt alkalmazzuk most a hatványozás azonosságait.
Sikerült elérnünk, hogy mindegyik kitevőben ugyanaz álljon. Most egyszerűsítsünk -nel.
Megjegyzés: Összegezzük a lecke feladatainak tanulságát! Ha egy sorozat határértékének típusa, akkor sok esetben egyszerűsítéssel ki tudunk lépni a kritikus típusból. Általában vagy típusú kifejezéssel egyszerűsítünk. Az egyszerűsítés során használjuk a hatványozás azonosságait. Célunk általában az, hogy a nevező határértéke valamilyen nem 0 véges érték legyen.
Ellenőrző kérdések:
|