21. lecke: Deriválási szabályok (1)
| Tanulási cél: A szorzat függvény és a tört függvény deriválási szabályának begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 6.1.4., 6.2. és 6.3.
Elméleti összefoglaló: Két fontos deriválási szabály a szorzat és a tört deriválási szabálya. Ezek az alábbiak:
,
.
Rendkívül fontos ezek alapos begyakorlása.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az függvény derivált függvényét.
Megoldás: Ha elvégezzük a beszorzást és az összevonást, akkor egy polinomot kell deriválnunk, amit az előző leckében tanultak alapján el tudunk végezni. Ha így járunk el, azt kapjuk, hogy
.
Ez alapján pedig
.
Használjuk most a szorzat deriválási szabályát, és oldjuk meg így is a feladatot. Ekkor
.
Az eredmény persze ugyanaz, mint előbb, noha ez az út némileg több számítást igényelt. Gyakran azonban elkerülhetetlen a szorzat deriválási szabályának alkalmazása. |
2. feladat Legyen . Határozzuk meg -et.
Megoldás: Most hiába végeznénk el a beszorzást, a tagok között maradna szorzat függvény. (Trigonometrikus azonosságot felhasználva az eltüntethető lenne, de akkor meg az összetett függvény deriválási szabályára lenne szükségünk, amit csak kesőbb tárgyalunk.) Használjuk tehát a szorzat deriválási szabályát.
.
|
3. feladat Határozzuk meg az függvény derivált függvényét.
Megoldás: Ebben az esetben egy három tényezős szorzatot kell deriválnunk. A szorzás asszociatív, ezért írhatjuk, hogy
.
Most már alkalmazhatjuk a szorzat deriválási szabályát. Persze, amikor az első tényező deriváltját számoljuk majd ismét ezt a szabályt kell alkalmazni. Ezek alapján
.
Egy háromtagú összeget kaptunk, amelynek az első tagjában az első tényező van deriválva, a másik kettő változatlan, a második tagjában a második tényező van deriválva, az első és a harmadik tényező változatlan, végül a harmadik tagjában a harmadik tényező van deriválva, és az első két tényező változatlan. Eredményünk az
képletben foglalható össze.
Az olvasó fogalmazza meg, hogy mi lenne a négy tényezős szorzat deriválási szabálya. |
4. feladat Mivel egyenlő az függvény derivált függvénye?
Megoldás: Ha ebben az alakban deriváljuk a függvényt kétszer kell alkalmazni a szorzat deriválási szabályát. Talán jobban járunk, ha először átalakítjuk a függvényünket:
.
Ezután
.
|
5. feladat Számítsuk ki az függvény deriváltját.
Megoldás: Alkalmazzuk a tört függvény deriválási szabályát. Ekkor
. |
6. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Az ilyen típusú törtek deriválására, (amikor a számláló konstans), a következő leckében látunk egy, talán egyszerűbb, módszert. Most használjuk a tört deriválási szabályát.
. |
7. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás:
.
Felmerülhet, hogy a lehetséges egyszerűsítéseket mindig el kell-e végezni. Úgy fogunk eljárni, hogy amikor csak a derivált függvény a kérdés, csak a nagyon nyilvánvaló egyszerűsítéseket végezzük el. Később, amikor a kapott deriválttal további számításokat kell végezni, célszerű őt a legegyszerűbb alakra hozni. |
8. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Alkalmazva a tört függvény deriválási szabályát:
. |
9. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás:
. |
10. feladat Deriváljuk az függvényt.
Megoldás: Ha ebben a formában deriválnánk a függvényt legalább kétszer alkalmazni kéne a tört deriválási szabályát, ez elég bonyolult képletet eredményezne. Inkább deriválás előtt átalakítjuk a függvényt.
.
A figyelmes olvasó itt közbevetheti, hogy amikor az utolsó lépésben egyszerűsítünk az -el, akkor a kapott függvény nem az eredeti függvény, (az nincs értelmezve a nullában, az egyszerűsítés után kapott igen). Erre azt válaszolhatjuk, hogy a két függvény csak ebben az egy pontban különbözik, az értelmezési tartomány egyébbként is csak bővült, ahol mindkét függvény deriválható, ott a deriváltak egyenlők. Az egyszerűsítésnek van annyi haszna, hogy megérje megtenni.
Most már a derivált függvény:
.
Megjegyezzük, hogy, különösen bonyolultabb függvények esetén, gyakran több úton is elkészíthetjük a derivált függvényt. Iyenkor a kapott képletek látszólag nagyon különbözők lehetnek. Annak kell ekkor teljesülni, hogy a képletek azonosságok felhasználásával egymásba alakíthatók legyenek.
Ellenőrző kérdések: |
| 1. kérdés: Az függvény derivált függvénye |
2. kérdés: |
3. kérdés: |
4. kérdés: |
5. kérdés: |
6. kérdés: |
7. kérdés: |
8. kérdés: |
9. kérdés: |
10. kérdés: |