KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Sorozatok és sorok

8. lecke: Számsorozatok határértékének meghatározása 3.

Tanulási cél: Az 1 típusú sorozatok egyik osztálya esetén, a határérték meghatározására szolgáló módszer elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 3.

Elméleti összefoglaló:

Az 1 típusú sorozatok  kritikusak, határértékükről nem lehet egyértelműen nyilatkozni.
Ismerünk azonban néhány nevezetes határértéket:

lim n ( 1 + 1 n ) n = e

lim n ( 1 + k n ) n = e k

lim n ( 1 + k a n ) a n = e k , ahol a n bármilyen végtelenhez tartó sorozat lehet.

A feladatokban igyekszünk úgy alakítani a sorozatokat, hogy ezen nevezetes határértékek valamelyike jelenjen meg.

Kidolgozott feladatok:

1.feladat lim n ( 1 + 1 n ) 3 n = ?

Megoldás:
Mint ezt már a határértékek meghatározásánál megszoktuk, először a típust vizsgáljuk meg. Mivel a kifejezésben hatványozás szerepel, külön vizsgáljuk az alapot és a kitevőt.

A hatvány alapja: lim n ( 1 + 1 n ) = 1 , hiszen 1 n tart 0-hoz.

A kitevő: lim n 3 n =

A sorozat típusa tehát 1 .
A feladatban szereplő kifejezés nagyon hasonlít az elméleti összefoglalóban felsorolt 1. illetve 2. nevezetes határértékhez, a különbség csupán az, hogy a nevezetes határértékben az alapban levő tört nevezője és a kitevő megegyezik, itt pedig nem. Használjuk fel a hatványozás azon azonosságát, hogy ha egy kitevőben szorzat áll, akkor az ismételt hatványozásként is írható. Kifejezésünk így a következőképpen alakul.

lim n ( ( 1 + 1 n ) n ) 3 = e 3

Az ismételt hatványozás első része e -hez tart, s mivel ezt még 3. hatványra emeljük, a határérték e 3 lesz.

2. feladat lim n ( 1 + 1 n ) 3 n 4 = ?

Megoldás:
A típus nyilvánvalóan 1 .
Mivel a kitevőben nem olyan szorzat van, melynek egyik tényezője az alapban levő nevező, egy kicsit többet kell alakítanunk. Szorozzuk meg először a kitevőt n -nel, és osszuk is vele, majd ezután írjunk ismételt hatványozást.

lim n ( 1 + 1 n ) n 3 n 4 n = lim n ( ( 1 + 1 n ) n ) 3 n 4 n = e 3

Az első hatvány e -hez tart, a második kitevő pedig 3-hoz, hiszen

lim n 3 n 4 n = lim n ( 3 4 n ) = 3 ,

s ezért a határérték e 3 lesz.

3. feladat lim n ( 1 + 1 2 n + 4 ) 5 n 1 = ?

Megoldás:
A típus most is 1 .
A alakítsuk a kifejezést hasonlóan mint az előző feladatban, szorozzuk a kitevőt és osszuk is 2 n + 4 -gyel, majd írjunk ismételt hatványozást.

lim n ( 1 + 1 2 n + 4 ) ( 2 n + 4 ) 5 n 1 2 n 4 = lim n ( ( 1 + 1 2 n + 4 ) 2 n + 4 ) 5 n 1 2 n + 4 = e 5 2

A zárójelben levő hatvány e -hez tart, a felső kitevő pedig 5 2 -hez, hiszen

lim n 5 n 1 2 n + 4 = lim n 5 1 n 2 + 4 n = 5 2 ,

ezért lesz a határérték e 5 2 = e 2.5 .

4. feladat lim n ( 3 n + 4 3 n 1 ) 2 n + 5 = ?

Megoldás:
A kitevő végtelenhez tart, az alap pedig 1-hez, hiszen a már többször alkalmazott egyszerűsítéssel

lim n 3 n + 4 3 n 1 = lim n 3 + 4 n 3 1 n = 1 ,

tehát ismét 1 a határérték típusa.
Az alap viszont más alakú, mint az eddigi feladatokban, ez azonban csak látszat. Kis átalakítással olyanná válik, mint eddig. Írjuk most csak az alapot, s a számlálót bontsuk olyan összegre vagy különbségre, melynek első része egyenlő a nevezővel.

3 n + 4 3 n 1 = ( 3 n 1 ) + 5 3 n 1

Bontsuk ezt két törtté, és egyszerűsítsük ez elsőt.

3 n 1 3 n 1 + 5 3 n 1 = 1 + 5 3 n 1

Írjuk be ezután ezt a határértékben a hatvány alapjába, majd alkalmazzuk a kitevőben az előző feladatokban megismert eljárást.

lim n ( 1 + 5 3 n 1 ) 2 n + 5 = lim n ( 1 + 5 3 n 1 ) ( 3 n 1 ) 2 n + 5 3 n 1 = lim n ( ( 1 + 5 3 n 1 ) 3 n 1 ) 2 n + 5 3 n 1 = ( e 5 ) 2 3 = e 10 3

A zárójelben levő hatvány most e 5 -hez tart, hiszen az alapban levő tört számlálója most 5, a kitevő határértéke pedig egyszerűsítés után 2 5 , az egész kifejezésé pedig így e 10 3 .

5. feladat lim n ( 2 n 5 2 n + 3 ) 6 n + 4 = ?

Megoldás:
A határérték típusa 1 , az indoklás úgy történik, mint az előző feladatban, s a megoldás lépései is teljesen azonosak. Először alakítsuk az alapot.

lim n ( 2 n 5 2 n + 3 ) 6 n + 4 = lim n ( ( 2 n + 3 ) 8 2 n + 3 ) 6 n + 4 = lim n ( 2 n + 3 2 n + 3 + 8 2 n + 3 ) 6 n + 4 = lim n ( 1 + 8 2 n + 3 ) 6 n + 4

Azután a kitevőt.

lim n ( 1 + 8 2 n + 3 ) ( 2 n + 3 ) 6 n + 4 2 n + 3 = lim n ( ( 1 + 8 2 n + 3 ) 2 n + 3 ) 6 n + 4 2 n + 3 = ( 3 8 ) 6 2 = e 24

A zárójelben levő hatvány tart e 8 -hoz, hiszen az alapban a tört számlálója -8, a kitevőről pedig a szokásos egyszerűsítéssel látszik, hogy 3-hoz tart, így az egész kifejezés határértéke e 24 .

6. feladat lim n ( 3 n + 2 2 n + 4 ) 5 n + 1 = ?

Megoldás:
Vizsgáljuk meg a típust. A kitevő végtelenhez tart, az alapot pedig a szokott módon egyszerűsítve a következőt kapjuk.

lim n 3 n + 2 2 n + 4 = lim n 3 + 2 n 2 + 4 n = 3 2 1

A feladatban tehát most nem 1 , hanem ( 3 2 ) típusú határérték szerepel. Ez nem kritikus, hiszen ha egy 1-nél nagyobb számot egyre nagyobb kitevőre emelünk, akkor egyre nagyobb értékeket kapunk, a hatvány minden határon túl növekszik, s így a határérték végtelen lesz.

Megjegyzés:
Aki az előző feladatok után megpróbál a típus vizsgálata nélkül átalakításokat végrehajtani, s a határértéket az előzőekben vázolt módszerrel meghatározni, az zsákutcába kerül. A típus vizsgálata azért nagyon fontos, mert ha egy határérték nem kritikus, akkor azzal nem kell tenni semmit, csak le kell olvasni. Mindenféle átalakítás felesleges ilyenkor, sőt esetleg még ronthat is a helyzeten.

7.feladat lim n ( 4 n 1 7 n + 2 ) 3 n 1 = ?

Megoldás:
Az alap határértéke:

lim n 4 n 1 7 n + 2 = lim n 4 1 n 7 + 2 n = 4 7 .

A kitevő végtelenhez tart, így a típus ( 4 7 ) . Ez sem kritikus. Mivel | 4 7 | < 1 , ha egyre nagyobb kitevőre emeljük, akkor 0-hoz egyre közelebbi értéket kapunk, a határérték 0 lesz. (Hivatkozhatunk a q n sorozat határértékére, az | q | < 1 esetben.)

8. feladat lim n ( 5 n + 3 5 n 1 ) 3 n 2 + 2 = ?

Megoldás:
A típus most is 1 . Az indoklás hasonló, mint korábban már többször láttuk.
Alakítsuk először az alapot,

lim n ( ( 5 n 1 ) + 4 5 n 1 ) 3 n 2 + 2 = lim n ( 1 + 4 5 n 1 ) 3 n 2 + 2 ,

majd a kitevőt

lim n ( 1 + 4 5 n 1 ) ( 5 n 1 ) 3 n 2 + 2 5 n 1 = lim n ( ( 1 + 4 5 n 1 ) 5 n 1 ) 3 n 2 + 2 5 n 1 .

A zárójelben levő hatvány e 4 -hez tart.
A kitevő határértékét egyszerűsítés után kapjuk.

lim n 3 n 2 + 2 5 n 1 = lim n 3 n + 2 n 5 1 n =

A típus az átalakítás után ( e 4 ) lett, azaz 1-nél nagyobb végest egyre nagyobb kitevőre emelünk, s így a határérték végtelen lesz.

9. feladat lim n ( 2 n 2 + 5 2 n 2 3 ) 3 n 1 = ?

Megoldás:
A típus 1 . .
Hajtsuk végre az előző feladatokban megismert átalakításokat.

lim n ( ( 2 n 2 3 ) + 8 2 n 2 3 ) 3 n 1 = lim n ( 1 + 8 2 n 2 3 ) 3 n 1 = lim n ( ( 1 + 8 2 n 2 3 ) 2 n 2 3 ) 3 n 1 2 n 2 3

A zárójelben levő hatvány tart e 8 -hoz. A kitevőt egyszerűsítsük.

lim n 3 n 1 2 n 2 3 = lim n 3 n 1 n 2 2 3 n 2 = 0

Mivel egy nem 0 értéket emelünk 0. hatványra, a határérték 1 lesz.

Ellenőrző kérdések:

1.kérdés: lim n ( 5 n + 4 5 n + 1 ) 10 n + 2 = ?
0
1
e 2
e 6
e 10
2.kérdés: lim n ( 3 n + 4 4 n + 3 ) 2 n 1 = ?
0
1
e 2
e 3
3. kérdés: lim n ( 2 n 3 2 n + 5 ) 4 n + 6 = ?
1
e 2
e 4
e 16
4.kérdés: lim n ( 3 n + 2 2 n + 3 ) 5 n 9 = ?
1
e 3
e 5
e 15
5. kérdés: lim n ( 4 n 2 1 4 n 2 + 3 ) 2 n + 3 = ?
0
1
e 2
e 4