19. lecke: Függvények határértéke (2)
| Tanulási cél: A határozatlan alakú határértékek újabb típusainál alkalmazható megoldási módszerek megismerése és begyakorlása, valamint nevezetes határértékekre visszavezethető típusú határértékek meghatározására alkalmazható eljárások elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 5.2., 5.3. és 5.5.
Elméleti összefoglaló: A típusú határértékek egyik fajtája az, amikor azonos kitevőjű gyökök különbsége miatt alakul ki az azonos előjelű végtelenek különbsége.
Ilyenkor a gyöktelenítésnek nevezett eljárás használható. Ennek lényege, hogy (maradva a négyzetgyökök különbségének eseténél), felhasználva a
azonosságot, a gyökök különbségét lecseréljük a jobb oldalon álló törtre. Ezután, esetleg további kiemeléseket is felhasználva, kiszámolható a szóbanforgó határérték. Emlékeztetünk arra, hogy gyökös kifejezésekből való kiemelés a
képlet alapján végezhető (pozitív esetén, a mi esetünkben mindig ez lesz a helyzet).
Az típusú határértékek közül azokkal fogunk foglalkozni, amelyek azonosságok felhasználásával átalakíthatók úgy, hogy az alábbi tételek felhasználásával a határérték kiszámolható:
.
Ennek általánosítása a következő.
Ha , akkor tetszőleges egész szám esetén
.
Ha és , akkor
,
feltéve, hogy az itt szereplő hatványozások értelmesek.
A differenciálszámításban is fontos a következő két nevezetes határérték:
és
.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: Mindkét gyök alatti mennyiség plusz végtelenbe tart, ezért persze a négyzetgyökük is plusz végtelenbe tart. Egy típusú határértékkel van tehát dolgunk.
Az azonos kitevőjű gyökök különbsége miatt gyöktelenítést végzünk. A fenti formulát alkalmazva az választással, kapjuk, hogy
.
Ebben a törtben a nevező tart a plusz végtelenbe, ezért a reciproka tart 0-hoz, és persze annak 3-szorosa is, azaz
. |
2. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A gyök alatti mennyiségek, és velük a gyökök is, tartanak a plusz végtelenbe. A gyökök különbsége miatt gyöktelenítünk. Ekkor arra jutunk, hogy
.
Ebben a törtben a számláló is és a nevező is tart a plusz végtelenbe, tehát ez egy típusú limesz.
A számláló egy elsőfokú polinom. A nevező egy másodfokú polinom négyzetgyöke, aminek a nagyságrendje szintén elsőfokú. (Ez utóbbin azt értjük, hogy két mennyiség nagyságrendje egyenlő, ha a hányadosuk végtelenben vett limesze konstans.)
Mindezek alapján úgy járunk el, hogy számlálóból is és a nevezőből is kiemelünk -et. (A nevezőben a gyök alatti mennyiségekből kiemelünk -et, ezt kihozva a gyökjel elé -et kapunk, ezt emeljük ki a nevező mindkét tagjából.) Ekkor
.
Egyszerűsítve -el, a számláló tart 2-höz, a nevezőben a gyök alatti mennyiségek tartanak 1-hez és így a gyökük is tart 1-hez, azaz a nevező tart 2-höz. Végül is tehát
.
|
3. feladat
Megoldás: A gyökös kifejezés tart a plusz végtelenbe és a is. Ezért típusú a limesz. De nem azonos kitevőjű gyökök különbsége szerepel a formulában. Ezen úgy segíthetünk, hogy felhasználjuk a
azonosságot. Az tart a plusz végtelenbe, tehát előbb-utóbb pozitív lesz, azaz jogos az előbbi felírás.
Átírhatjuk az eredeti feladatunkat tehát az alábbi módon:
.
Gyöktelenítés után a
határértékhez jutunk. Ebben a törtben a számláló mínusz végtelenhez, a nevező plusz végtelenhez tart. A számláló elsőfokú, és a nevező nagyságrendje is elsőfokú. Kiemelünk emiatt a számlálóból is és a nevezőből is -et, és rögtön egyszerűsítünk is vele:
.
A kapott tört nevezőjében álló első gyökjel alatti mennyiség tart 4-hez, így a gyöke tart kettőhöz, ezért
. |
4. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A törtünk számlálója, miután a plusz végtelenben nullához tart, tart 1-hez. A nevezőben pedig gyökök különbsége miatti végtelenek különbsége van. Gyöktelenítjük tehát a törtünk nevezőjét:
.
Elvégezve az egyszerűsítést, és megszabadulva az emeletes törttől kapjuk, hogy
.
Itt a számláló első tényezője 1-hez, a második tényezője plusz végtelenbe tart, ezért
. |
5. feladat
Megoldás: Most is típusú a határérték. Gyöktelenítés előtt a második gyökjel előtt alló konstans szorzót bevisszük a gyökjel alá:
.
Elvégezzük a gyöktelenítést és az egyszerűsítést:
.
Ez utóbbi egy típusú limesz, hiszen a számláló is és a nevező is tart plusz végtelenbe. Mindkettő nagyságrendje elsőfokú, ezért kiemelünk mindkettőből -et, és rögtön egyszerűsítünk is vele:
.
A kapott tört számlálója 5-höz tart, a nevezőben mindkét gyök alatti mennyiség 4-hez, így az egész nevező is 4-hez tart, azaz
. |
6. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: Először megvizsgáljuk az alap határértékét:
.
A kitevő nyilvánvalóan plusz végtelenbe tart. Tehát egy típusú határértékkel van dolgunk.
A sorozatok körében megismert átalakításokat fogjuk használni.
Először az alap számlálóját felírjuk a nevező és még egy mennyiség összegeként. Most a -hoz -4-et kell hozzáadni, hogy -et kapjunk, azaz
elosztva a nevezővel a számláló két tagját
ezután a nevezőt becsempésszük az alap kitevőjébe, és az eredeti kitevőt elosztjuk vele, hogy az egyenlőség megmaradjon
.
Itt a szögletes zárójelen belüli kifejezés a fenti tétel alapján tart -hez. A szögletes zárójelben lévő kifejezés kitevőjében lévő tört határértéke pedig
.
Mivel , egy egynél kisebb számot emelünk plusz végtelenhez tartó kitevőjű hatványra, az eredmény persze nullához tart, vagyis
. |
7. feladat Kiszámolandó a határérték.
Megoldás: Mivel
,
és
,
tehát a limesz típusú. Az előző feladatban is alkalmazott lépéseket követve
.
A tételünk értelmében a szögletes zárójelen belüli kifejezés limesze . A szögletes zárójel kitevőjében lévő törté pedig
.
Ezért
. |
8. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Most
és
,
vagyis típusú a limesz.
Alkalmazva a szokásos átalakításokat
.
Most a szögletes zárójelen belüli kifejezés -hez tart, a kitevőjében
.
Végül is
.
|
9.feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Egy típusú határértéket kell kiszámolnunk.
Két megoldást is mutatunk. Az elsőben felhasználjuk a fontos
azonosságot. Ekkor írhatjuk, hogy
.
A másik megoldás azt használja fel, hogy a fenti nevezetes határértékekben csak az a fontos, hogy a trigonometrikus függvények argumentuma ugyanúgy tartson nullához, mint a tört nevezője. Ezért átalakíthatjuk a képletünket így:
.
Ha most bevezetjük az helyettesítést, akkor -el együtt persze is nullához tart, és kapjuk, hogy
. |
10. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: A limesz ismét típusú. Most a következőképp járhatunk el:
.
(Becsempésztük a szorzótényezőt, amit egy további szorzótényező becsempészésével kompenzáltunk, így végül is 1-el szoroztuk meg a függvényt, tehát igaz a egyenlőség.) Ezután
.
Felhasználtuk azt, hogy ha , akkor a tört reciprokának a limesze is 1. |
11. feladat Mivel egyenlő a határéték?
Megoldás: A határérték típusú. Kiszámolásakor a következő módon járhatunk el:
. |
12. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A limesz persze típusú. Átalakítjuk a törtet úgy, hogy a fenti nevezetes határértékek jelenjenek meg benne:
. |
13. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Átalakítjuk az eredetileg típusú határértékünket, felhasználva a
azonosságot:
. |
14. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A limesz most is típusú.
Esetleg arra gondolhatnánk, hogy visszavezetjük a feladatot a nevezetes határétékre, de ekkor ennek a reciprokának a határértékére is szükségünk lenne, az viszont nem létezik. (Az eredeti függvény nem állandó előjelűen tart nullához).
Mást kell megpróbálni. Vegyük észre, hogy
.
Ez alapján:
.
Itt a második limeszre
.
Az első tényező pedig a következőképpen intézhető el:
.
Ellenőrző kérdések: |
| 1. kérdés: |
2. kérdés: |
3. kérdés: |
4. kérdés: |
5. kérdés: |
6. kérdés: |
7. kérdés: |
8. kérdés: |
9. kérdés: |
10. kérdés: |
11. kérdés: |
12. kérdés: |
13. kérdés: |
14. kérdés: |