KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Integrálszámítás

33. lecke: Területszámítás

Tanulási cél: A határozott integrál alkalmazása területszámítási feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I
Fejezet: 8.5

Elméleti összefoglaló:
A folytonos f ( x ) függvény [ a , b ] intervallumra vett függvénygörbe alatti területén az f ( x ) grafikonja, az x -tengely, valamint az x = a és x = b egyenesek által határolt véges síkrész területét értjük.



Ha az f ( x ) folytonos függvény nem vált előjelet az [ a , b ] intervallumon, akkor az [ a , b ] -re vett függvénygörbe alatti terület:

T = | a b f ( x ) d x | .

Ha az f ( x ) folytonos függvény az x 1 < x 2 < . . . < x k helyeken előjelet vált az ( a , b ) intervallumban, akkor az f ( x ) [ a , b ] -re vett függvénygörbe alatti területe:

T = | a x 1 f ( x ) d x | + | x 1 x 2 f ( x ) d x | + . . . + | x k b f ( x ) d x | .



Ha a folytonos f ( x ) és g ( x ) függvények görbéi nem metszik egymást az ( a , b ) intervallumban, akkor a függvények grafikonjai, valamint az x = a és x = b egyenesek által közrezárt síkrész területe, vagy másképp a függvények görbéi közti terület az [ a , b ] intervallumon:

T = | a b ( f ( x ) g ( x ) ) d x | .



Ha az f ( x ) és g ( x ) folytonos függvények grafikonjai az x 1 < x 2 < . . . < x k helyeken metszik egymást az ( a , b ) intervallumban, akkor a görbéik közti terület az [ a , b ] -n:

T = | a x 1 ( f ( x ) g ( x ) ) d x | + | x 1 x 2 ( f ( x ) g ( x ) ) d x | + . . . + | x k b ( f ( x ) g ( x ) ) d x | .



Lényegében ugyanígy kapjuk meg az f ( x ) és g ( x ) folytonos függvények görbéi által közrezárt terület nagyságát is, csak ekkor az intervallum két végpontja a grafikonok metszéspontjainak helye. Ilyenkor egyenlővé tesszük a két függvényt, s megoldjuk az így kapott egyenletet. Az így kapott a és b lesz az integrálás két határa. Tehát a két függvény grafikonja által közrezárt terület:

T = | a b ( f ( x ) g ( x ) ) d x | .



A görbék közti területek számolása során az abszolút érték elhagyható, ha a felül haladó függvényből vonjuk ki az alul haladót. Annak eldöntéséhez, hogy melyik függvény grafikonja halad alul és melyik felül, célszerű ábrát készíteni.

Több függvény grafikonja által határolt síkrész területének meghatározására, csak bonyolultan lehetne általános szabályt adni. Ilyenkor ábrát kell készíteni, és a síkrészt felbontani olyan részekre, melyeknél függvénygörbe alatti, vagy két függvénygörbe közötti területet kell meghatározni.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x 2 4 x + 5 függvény grafikonja és x -tengely közötti síkrész területét a [ 0, 3 ] intevallumon!

Megoldás: Vizsgáljuk meg, vált-e előjelet a függvény a ( 0, 3 ) intervallumban. Ehhez oldjuk meg az f ( x ) = x 2 4 x + 5 = 0 egyenletet. Mivel azonban ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa, D = ( 4 ) 2 4 . 5 = 4 < 0 , ezért nincsen valós gyök, azaz a függvény sehol sem vált előjelet. Így a keresett terület egyetlen integrállal kiszámolható.

T = | 0 3 ( x 2 4 x + 5 ) d x | = | [ x 3 3 2 x 2 + 5 x ] 0 3 | = | ( 3 3 3 2 . 3 2 + 5 . 3 ) ( 0 3 3 2 . 0 + 5 . 0 ) | = 6



Megjegyzés: Az abszolút értéket elhagyhattuk volna, hiszen a függvény grafikonja egy zérushely nélküli konvex parabola, tehát a függvény mindenütt pozitív. Ha pedig egy mindenütt pozitív függvényt integrálunk, akkor az integrál nem lehet negatív.

2. feladat Mekkora az f ( x ) = 4 x x 2 + 1 és g ( x ) = 1 x függvények grafikonjai közötti terület az
[ 1, 4 ] intervallumon?

Megoldás: Most azt kell vizsgálnunk, metszi-e egymást a két függvény a megadott intervallum belsejében. Meg kell oldanunk az f ( x ) = g ( x ) egyenletet.

4 x x 2 + 1 = 1 x 4 x 2 x 3 + x = 1

Ez azonban egy harmadfokú egyenlet, melynek megoldási módszere nem része ezen matematika anyagnak. Gondoljuk végig viszont a következőket. Mivel az f ( x ) grafikonja egy konkáv parabolaív, ezért az ív két végpontját összekötő szelő felett halad. A g ( x ) grafikonja egy konvex hiperbolaív, ezért ez az ív végpontjait összekötö szelő alatt halad. Mivel f ( 1 ) = 4 > g ( 1 ) = 1 és f ( 4 ) = 1 > g ( 4 ) = 1 4 , ezért a parabola szelője a hiperboláé felett halad, s így a két grafikon nem metszi egymást az adott intervallumban. Ha ábrázoljuk a két függvényt az [ 1, 4 ] intervallumon, akkor ez az ábráról is világosan leolvasható.



Ha viszont nincs metszéspont, akkor egyszerűen vennünk kell a két függvény különbségét, s azt kell integrálnunk a megadott intervallumon. Használjuk ki, hogy tudjuk, a parabola halad felül, így ha f ( x ) -ből vonjuk ki g ( x ) -et, akkor nincsen szükség abszolút értékre.

T = 1 4 ( 4 x x 2 + 1 1 x ) d x = [ 2 x 2 x 3 3 + x ln x ] 1 4 = ( 2 . 4 2 4 3 3 + 4 ln 4 ) ( 2 . 1 2 1 3 3 + 1 ln 1 ) =

= ( 32 64 3 + 4 ln 4 ) ( 2 1 3 + 1 ) = 12 ln 4 10.61

3. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = e x és g ( x ) = x 2 2 x + 1 függvények grafikonjai közti területet [ 1, 1 ] intervallumon!

Megoldás: Elsőként most is el kell döntenünk, metszi-e egymást a két grafikon az adott intervallumban. Ha a két függvényt egyenlővé tesszük, akkor az e x = x 2 2 x + 1 egyenletet kapjuk, melyet algebrai úton nem tudunk megoldani. Ha ábrázoljuk a két függgvényt, akkor nyilvánvaló, hogy x = 0 esetén metszik egymást. ( f ( 0 ) = e 0 = 1, g ( 0 ) = 0 2 2 . 0 + 1 = 1 ) Más metszéspont azonban nincs, hiszen az exponenciális függvény szigorúan monoton nő, a parabolaív pedig szigorúan monoton csökken a vizsgát intervallumon, így legfeljebb egy közös pontjuk lehet.



A metszéspont miatt a kérdéses területet két integrállal tudjuk meghatározni. Először 1 -től 0 -ig integráljuk g ( x ) f ( x ) -et, majd 0 -tól 1 -ig f ( x ) g ( x ) -et. (Célszerű kihasználni, hogy az ábráról leolvashatjuk, mikor, melyik függvény halad alul, s melyik felül, mert így nem kell az integrálok abszolút értékét vennünk.)

T = 1 0 ( ( x 2 2 x + 1 ) e x ) d x + 0 1 ( e x ( x 2 2 x + 1 ) ) d x = [ x 3 3 x 2 + x e x ] 1 0 + [ e x x 3 3 + x 2 x ] 0 1 =

= ( 0 3 3 0 2 + 0 e 0 ) ( ( 1 ) 3 3 ( 1 ) 2 + ( 1 ) e 1 ) + ( e 1 1 3 3 + 1 2 1 ) ( e 0 0 3 3 + 0 2 0 ) =

= 1 ( 1 3 2 1 e ) + ( e 1 3 ) 1 = e + 1 e 3.09

4. feladat Mekkora területű síkrészt zárnak közre az f ( x ) = x 2 1 és g ( x ) = 1 x függvények grafikonjai?

Megoldás: Mivel két görbe által közrezárt terület a kérdés, ezért meg kell határoznunk a görbék metszéspontjait. Oldjuk meg tehát az f ( x ) = g ( x ) egyenletet.

x 2 1 = 1 x x 2 + x 2 = 0 x 1,2 = 1 + 1 + 8 2 = { 1 2

A kérdéses terület meghatározásához tehát a két függvény különbségét az [ a , b ] = [ 2, 1 ] intervallumon kell integrálnunk, s az eredmény abszolút értékét kell vennünk. Érdemes azonban ábrázolni a két függvényt.



Látható, hogy a g ( x ) grafikonja halad felül az integrálási intervallumon, s az f ( x ) grafikonja pedig alul. Célszerű tehát a g ( x ) f ( x ) különbséget integrálni, mert így az abszolút érték elhagyható.

T = 2 1 ( ( 1 x ) ( x 2 1 ) ) d x = 2 1 ( 2 x x 2 ) d x = [ 2 x x 2 2 x 3 3 ] 2 1 =

= ( 2 . 1 1 2 2 1 3 3 ) ( 2 . ( 2 ) ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 3 3 ) = 4.5

5. feladat Számítsuk ki az f ( x ) = ln x és g ( x ) = x 1 e 1 függvények grafikonjai által közrezárt síkrész területét!

Megoldás: Ez a feladat ugyanolyan, mint az előző volt, ezért az f ( x ) = g ( x ) egyenlet megoldásával kell indulnunk.

ln x = x 1 e 1

Az ilyen típusú egyenleteket általában algebrai úton nem tudjuk megoldani, ezért már az egyenlet megoldásához is célszerű ábrát készíteni.



Ez alapján azt sejthetjük, hogy az egyenlet két megoldása a = 1 és b = e lesz. Arról, hogy ezek valóban megoldások, egyszerű behelyettesítéssel győződhetünk meg.

f ( 1 ) = ln 1 = 0, g ( 1 ) = 1 1 e 1 = 0 , f ( e ) = ln e = 1, g ( e ) = e 1 e 1 = 1

Integráljuk tehát a két függvény különbségét az [ a , b ] = [ 1, e ] intervallumon, s mivel az f ( x ) halad felül ezen az intervallumon, ezért f ( x ) -ből vonjuk ki g ( x ) -et.

T = 1 e ( ln x x 1 e 1 ) d x

Az ln x primitív függvényének előállításához parciális integrálásra van szükség, ezért ezt a határozatlan integrálást végezzük el külön. Az integrandust úgy alakítjuk szorzattá, hogy beleírunk egy 1 -et szorzóként, a szereposztás pedig f ( x ) = ln x és g ' ( x ) = 1 lesz. Ekkor f ' ( x ) = ( ln x ) ' = 1 x és g ( x ) = 1 d x = x . Ezeket helyettesítjük a parciális integrálás szabályába.

ln x d x = 1 . ln x d x = x . ln x x . 1 x d x = x . ln x 1 d x = x . ln x x + c

Térjünk vissza a területhez.

T = 1 e ( ln x x 1 e 1 ) d x = [ x . ln x x 1 e 1 ( x 2 2 x ) ] 1 e =

= ( e . ln e e 1 e 1 ( e 2 2 e ) ) ( 1 . ln 1 1 1 e 1 ( 1 2 2 1 ) ) =

= ( e . 1 e 1 e 1 . e 2 2 e 2 ) ( 1 . 0 1 1 e 1 . ( 1 2 ) ) = e 2 2 e 2 2 e + 1 1 2 e 2 = e 2 2 e + 1 2 2 e + 1 =

= ( e 1 ) 2 2 ( e 1 ) + 1 = e 1 2 + 1 0.14

6. feladat Határozzuk meg, mekkora az f ( x ) = sin x és g ( x ) = 2 x π függvények grafikonjai által közrezárt alakzat területe!

Megoldás: Ismét az f ( x ) = g ( x ) egyenlet megoldásával kell kezdenünk.

sin x = 2 x π

Ez az egyenlet sem oldható meg algebrailag, ezért készítsünk ábrát.



Ebből az a sejtés alakul ki, hogy a két függvény grafikonja három helyen is metszi egymást, s ezek a helyek az a = π 2 , b = 0, c = π 2 . Behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy ezek valóban metszéspontok.

f ( π 2 ) = sin ( π 2 ) = 1, g ( π 2 ) = 2 ( π 2 ) π = 1, f ( 0 ) = sin 0 = 0, g ( 0 ) = 2 . 0 π = 0,

f ( π 2 ) = sin ( π 2 ) = 1, g ( π 2 ) = 2 ( π 2 ) π = 1

Mivel a két grafikon két síkrészt is közrefog, ezért a területet két integrállal kell számolnunk. Az elsőben a [ π 2 , 0 ] intervallumon kell integrálnunk, s mivel itt g ( x ) halad felül, ezért a g ( x ) f ( x ) -et, a másodikban pedig a [ 0, π 2 ] intervallumon integráljuk az f ( x ) g ( x ) -et, hiszen itt f ( x ) halad felül. Használjuk ki azonban azt is, hogy a grafikonok szimmetrikusak az origóra, s ezért a két rész területe megegyezik. Elég tehát az egyik integrálást elvégezni, s venni az eredmény kétszeresét.

T = π 2 0 ( 2 x π sin x ) d x + 0 π 2 ( sin x 2 x π ) d x = 2 0 π 2 ( sin x 2 x π ) d x = 2 [ cos x 2 π . x 2 2 ] 0 π 2 =

= 2 [ cos x x 2 π ] 0 π 2 = 2 ( ( cos π 2 ( π 2 ) 2 π ) ( cos 0 0 2 π ) ) = 2 ( ( 0 π 4 ) ( 1 0 ) ) = 2 ( 1 π 4 ) 0.43

7. feladat Mekkora a területe annak a síkidomnak, melyet az f ( x ) = x 2 2 x + 2 és g ( x ) = x 3 függvények grafikonjai, valamint az y -tengely határolnak?

Megoldás: Most is meg kell oldanunk az f ( x ) = g ( x ) egyenletet.

x 2 2 x + 2 = x 3 0 = x 3 x 2 + 2 x 2 = x 2 ( x 1 ) + 2 ( x 1 ) = ( x 1 ) ( x 2 + 2 )

Egy szorzat csak úgy lehet 0 , ha valamelyik tényező 0 .

Ha x 1 = 0 x = 1 . Az x 2 + 2 = 0 egyenletnek pedig nincsen megoldása.

A két függvény grafikonja tehát csak az x = 1 helyen metszi egymást.
Célszerű ábrát készíteni.



A kérdéses területet úgy kapjuk, ha az f ( x ) g ( x ) függvényt a [ 0, 1 ] intevallumon integráljuk.

T = 0 1 ( x 2 2 x + 2 x 3 ) d x = [ x 3 3 x 2 + 2 x x 4 4 ] 0 1 = ( 1 3 3 1 2 + 2 . 1 1 4 4 ) ( 0 3 3 0 2 + 2 . 0 0 4 4 ) =

= ( 1 3 1 + 2 1 4 ) 0 = 13 12

8. feladat Számoljuk ki annak a véges síkrésznek a területét, melyet az alábbi függvények grafikonjai határolnak!

f ( x ) = x 2 + 1, g ( x ) = 2 x x 2 + 1, h ( x ) = x 1

Megoldás: Most meg kellene keresnünk a függvénygrafikonok minden metszéspontját. Ehhez három egyenletet is meg kéne oldanunk, hiszen bármelyik két függvényt egyenlővé kellene tennünk. Készítsünk inkább ábrát, és olvassuk le az ábráról a metszéspontok helyét.



Négy helyen van metszéspont: 1, 0, 1, 2 .
(Annak ellenőrzését, hogy ezek valóban metszéspontok, már nem írjuk le, de a feladat megoldása ezzel együtt korrekt.)

A területet most három részletben kell számolnunk. Először a g ( x ) h ( x ) függvényt kell integrálnunk a [ 1, 0 ] intervallumon, majd az f ( x ) h ( x ) -et a [ 0, 1 ] intervallumon, s végül újra a g ( x ) h ( x ) -et az [ 1, 2 ] intervallumon.

T = 1 0 ( ( 2 x x 2 + 1 ) ( x 1 ) ) d x + 0 1 ( ( x 2 + 1 ) ( x 1 ) ) d x + 1 2 ( ( 2 x x 2 + 1 ) ( x 1 ) ) d x =

= 1 0 ( x x 2 + 2 ) d x + 0 1 ( x 2 x + 2 ) d x + 1 2 ( x x 2 + 2 ) d x =

= [ x 2 2 x 3 3 + 2 x ] 1 0 + [ x 3 3 x 2 2 + 2 x ] 0 1 + [ x 2 2 x 3 3 + 2 x ] 1 2 =

= ( ( 0 2 2 0 3 3 + 2 . 0 ) ( ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 3 3 + 2 . ( 1 ) ) ) + ( ( 1 3 3 1 2 2 + 2 . 1 ) ( 0 3 3 0 2 2 + 2 . 0 ) ) +

+ ( ( 2 2 2 2 3 3 + 2 . 2 ) ( 1 2 2 1 3 3 + 2 . 1 ) ) = ( 0 ( 7 6 ) ) + ( 11 6 0 ) + ( 20 6 13 6 ) = 25 6

9. feladat Mekkora az f ( x ) = 4 2 x 2 , g ( x ) = x 2 + 4, h ( x ) = 6 x 4 függvények grafikonjai által határolt véges síkidom területe?

Megoldás: Mivel az alakzatot három függvény grafikonja határolja, ismét több egyenletet kellene megoldanunk. Célszerűbb ábrázolni a görbéket, s leolvasni a közös pontok helyét.



A három közös pont helye: 0, 1, 2 . (Behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban metszéspontok.)
A terület meghatározásához két integrált kell kiszámolnunk. Az egyikben a g ( x ) f ( x ) -et integráljuk a [ 0, 1 ] intervallumon, a másikban pedig a g ( x ) h ( x ) -et az [ 1, 2 ] intervallumon.

T = 0 1 ( ( x 2 + 4 ) ( 4 2 x 2 ) ) d x + 1 2 ( ( x 2 + 4 ) ( 6 x 4 ) ) d x = 0 1 3 x 2 d x + 1 2 ( x 2 6 x + 8 ) d x =

= [ x 3 ] 0 1 + [ x 3 3 3 x 2 + 8 x ] 1 2 = ( 1 3 0 3 ) + ( ( 2 3 3 3 . 2 2 + 8 . 2 ) ( 1 3 3 3 . 1 2 + 8 . 1 ) ) =

= 1 + ( 8 3 12 + 16 ) ( 1 3 3 + 8 ) = 7 3

Megjegyzés: Amikor függvények grafikonjai által határolt síkidom területét kell meghatározni, akkor általában többféle módon is számolhatunk. Jelen esetben például ha T 1 a g ( x ) függvény és az x -tengely közötti terület a [ 0, 2 ] intervallumon, T 2 az f ( x ) és az x -tengely közti terület a [ 0, 1 ] intervallumon, valamint T 3 a h ( x ) grafikonja és az x -tengely közti terület, akkor T = T 1 T 2 T 3 .
Ha felírjuk a szükséges integrálokat:

T = 0 2 ( x 2 + 4 ) d x 0 1 ( 4 2 x 2 ) d x 1 2 ( 6 x 4 ) d x .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mekkora az f ( x ) = ( 2 x 1 ) 2 függvény grafikonja és az x -tengely közötti terület az [ 1, 2 ] intervallumon?
13 3
14 3
26 3
28 3
2. kérdés: Mekkora az f ( x ) = x 2 2 x függvény grafikonja és az x -tengely közti terület az [ 1, 3 ] intervallumon?
2 3
4 3
2
8 3
3. kérdés: Hány egységnyi az f ( x ) = sin x és g ( x ) = cos x függvények grafikonja közötti terület a [ π 2 , π ] intervallumon?
1
π 2
2
π
4. kérdés: Mekkora az f ( x ) = e x és g ( x ) = 2 x x 2 + 2 függvények grafikonja közti terület a [ 0, 1 ] intervallumon?
5 3 e
5 3 + e
11 3 e
11 3 + e
5. kérdés: Mekkora az f ( x ) = x 2 és g ( x ) = 3 x függvények grafikonjai által közrezárt terület?
3
4.5
6
9
6. kérdés: Mekkora területet zárnak közre az f ( x ) = x 3 4 x és g ( x ) = 3 x függvények grafikonjai?
1 4
1 2
1
2
7. kérdés: Mekkora területű véges síkidomot határol az f ( x ) = sin x és g ( x ) = 4 x π + 1 függvény grafikonja, valamint az y -tengely?
1
π 2
1 π 4
π 2 1
8. kérdés: Mekkora területű véges síkrészt  határolnak a következő függvények grafikonjai: f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 2 4 + 3, h ( x ) = 2 x ?
14 3
16 3
20 3
8