KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Egyváltozós függvények differenciálszámítása

17. lecke: Az inverz függvény

Tanulási cél: Begyakorolni az inverz függvény képletének előállítását egyszerűbb függvények esetén.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 5.1.

Elméleti összefoglaló: Minden f függvény az értelmezési tartományát képezi le az értékkészletére. Ezt így is szoktuk jelölni:

f : D f R f .

Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű, akkor léteik az f 1 -nel jelölt inverzfüggvénye, mely az f értékkészletét képezi le az f értelmezési tartományára, tehát a fenti jelöléssel:

f 1 : R f D f ,

és teljesül rá, hogy

f 1 ( f ( x ) ) = x , x D f esetén.

Arra, hogy mikor létezik az inverz függvény, egy jól használható feltétel az alábbi.

Ha egy függvény szigorúan monoton, akkor van inverz függvénye.

Az inverz függvény képletét az f ( x ) = y egyenlet x -re való megoldásával lehet előállítani.

Az elemi alapfüggvények között több függvény-inverz függvény pár található, például az

f ( x ) = e x , g ( x ) = ln x

pár is ilyen.

Az inverz függvény inverz függvénye az eredeti függvény.

Szavakban megfogalmazva az inverz függvény "visszacsinálja" az eredeti függvény hatását.

Ha f nem szigorúan monoton, akkor gyakran meg lehet őt szorítani egy olyan halmazra, ahol már az, és ennek a megszorításnak lehet képezni az inverz függvényét. Erre példa az

f ( x ) = x 2 , D f = [ 0, )

és a

g ( x ) = x

elemi függvény pár.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 2 x 3 függvény inverz függvényét.

Megoldás: Az f értelmezési tartománya a valós számok halmaza, szigorúan monoton növő (garfikonja egy emelkedő egyenes), értékkészlete szintén a valós számok halmaza. Így létezik az inverz függvénye és az is a valós számok halmazán van értelmezve. Az inverz függvény képletének előállításához megoldjuk az

y = 2 x 3

egyenletet x -re, hiszen most azt keressük, hogy mit kell az y = f ( x ) = 2 x 3 -al csinálni, hogy belőle visszakapjuk az x -et.

Rendezéssel azt kapjuk, hogy

x = y + 3 2 .

Ebből az inverz függvény képletét úgy kapjuk, hogy az y helyére x -et írunk, mivel a függvények argumentumát x -el szoktuk jelölni. Tehát az inverz függvény képlete:

f 1 ( x ) = x + 3 2 = x 2 + 3 2 .

2. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x 3 + 1 függvény inverz függvényét.

Megoldás: Az x 3 függvény elemi alapfüggvény, mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a valós számok halmaza, és szigorúan monoton növő. Ugyanezek igazak az x 3 + 1 függvényre is. (Az elemi alapfüggvények ismerete nélkül ezekkel az információkkal nem rendelkeznénk és el sem tudnánk kezdeni a feladat megoldását!)

Létezik tehát az inverz függvény, ami szintén minden valós számra értelmezett. Előállítjuk a képletét. Megoldjuk x -re az

y = x 3 + 1

egyenletet. Kapjuk, hogy

x 3 = y 1 ,

x = y 1 3 .

Innen az inverz függvény

f 1 ( x ) = x 1 3 .

3. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 1 x + 2 függvény inverz függvényét.

Megoldás: Először is D f = ( , 2 ) U ( 2, ) , hiszen a nevező nem lehet nulla. Az értékkészlet meghatározása egy kicsit bonyolultabb.

Egy függvény értékkészlete azokból az y számokból áll, amelyekhez található olyan D f -beli x , hogy f ( x ) = y .

A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy y benne van az értékkészletben, ha megoldható x -re az

y = 1 x + 2

egyenlet. Persze csak olyan x jöhet szóba, amelyre x 2 .

Az látszik, hogy y nem lehet nulla, hiszen a törtünk számlálója soha nem nulla. De y bármely nullától különböző szám lehet. (Ezt onnan tudhatjuk, hogy f az 1 x hiperbola eltoltja 2 egységgel balra. A hiperbola elemi alapfüggvény, melynek értékkészlete a nullától különböző számokból áll.)

Ezért R f = ( , 0 ) U ( 0, ) .

Az f függvény nem szigorúan monoton, de kölcsönösen egyértelmű, létezik tehát az inverz függvény. Hátra van meg a képletének előállítása. Ennek érdekében megoldjuk x -re az

y = 1 x + 2

egyenletet, feltételezve, hogy y 0, x 2 . Kapjuk, hogy

x = 1 y 2 .

Ebből az inverz függvény

f 1 ( x ) = 1 x 2 .

4. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 2 x 1 + 3 függvény inverz függvényét.

Megoldás: A függvényünk mindenütt értelmezett és értékkészlete R f = ( 3, ) , továbbá szigorúan monoton növő. (Most is egy elemi alapfüggvény lineáris transzformáltjáról van szó.) Létezik tehát az inverz függvény. Az inverz képletének előállításához megoldjuk az

y = 2 x 1 + 3

egyenletet, feltéve, hogy y > 3 .

Ekkor

2 x 1 = y 3 ,

majd mindkét oldal kettes alapú logaritmusát véve, és felhasználva a logaritmus egyik azonosságát kapjuk, hogy

log 2 ( 2 x 1 ) = log 2 ( y 3 ) ,

( x 1 ) log 2 ( 2 ) = log 2 ( y 3 ) ,

x 1 = log 2 ( y 3 ) ,

x = log 2 ( y 3 ) + 1 .

Végül is az inverz függvény képlete

f 1 ( x ) = log 2 ( x 3 ) + 1 .

5. feladat Tekinsük az f ( x ) = x 2 4 x + 4 függvényt. Határozzuk meg egy alkalmas megszorításának az inverz függvényét.

Megoldás: A függvényünk képe egy parabola, ez látható az alábbi ábrán.



Az x 2 4 x + 4 = ( x 2 ) 2 felírásból látszik, hogy f a normálparabola eltoltja két egységgel jobbra. Nem szigorúan monoton tehát az egész értelmezési tartományán, de ha megszorítjuk a kettőnél nagyobb, vagy egyenlő számokra, a megszorítás már az lesz.

Tekintsük tehát a g ( x ) = x 2 4 x + 4, D g = [ 2, ) függvényt, és ennek határozzuk meg az inverzét. g értékkészlete, az ábrája alapján, R g = [ 0, ) . Ez lesz az inverz értelmezési tartománya.

Megoldjuk az y 0, x 2 feltételek mellett x -re az

y = x 2 4 x + 4 egyenletet.

( x 2 ) 2 = y ,

x 2 = y , (tudjuk, hogy x 2 0 , ezért nem kell itt | x 2 | -t írnunk),

x = y + 2 .

A g inverz függvénye tehát

g 1 ( x ) = x + 2 .

6. feladat Tekintsük az f ( x ) = x 2 2 x + 1 függvényt és alkalmas megszorításának határozzuk meg az inverzét.

Megoldás: Teljes négyzetté kiegészítéssel alakítsuk át a függvényünk képletét a következő módon:

f ( x ) = ( x 2 + 2 x 1 ) = ( ( x + 1 ) 2 2 ) = ( x + 1 ) 2 + 2 .

Ez is a normálparabola lineáris transzformáltja, a grafikonját úgy kapjuk, hogy a normálparabolát eltoljuk úgy, hogy a csúcspontja a ( 1, 2 ) koordinátájú pontba kerül, majd tükrözzük őt a csúcspontján átmenő vízszintes egyenesre. Grafikonja az alábbi.



Az ábrája alapján látszik, hogy ha megszorítjuk a függvényünket a 1 -nél nagyobb, vagy egyenlő számokra, akkor egy szigorúan monoton csökkenő függvényt kapunk.

Tekintsük tehát a

g ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2 , D g = [ 1, )

függvényt és határozzuk meg az inverzét.

Az ábrája alapján világos, hogy R g = ( , 2 ] .

Megoldjuk tehát az y 2, x 1 feltételek mellett x -re az

y = 2 ( x + 1 ) 2

egyenletet.

( x + 1 ) 2 = 2 y ,

x + 1 = 2 y , (az abszolút értéket megint nem kell kitenni, hiszen a feltételek miatt x + 1 0 ).

Ebből

x = 2 y 1 .

Ez alapján az inverz függvény

g 1 ( x ) = 2 x 1 .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Az f ( x ) = 2 3 x függvény inverz függvénye
f 1 ( x ) = 1 3 x + 2 3 .
f 1 ( x ) = x 3 + 2 3 .
f 1 ( x ) = 2 x 3 1 3 .
f 1 ( x ) = 1 3 x + 1 3 .
2. kérdés: Az f ( x ) = x 1 5 függvény inverz függvénye
f 1 ( x ) = x 5 + 1 .
f 1 ( x ) = ( x + 1 ) 5 .
f 1 ( x ) = 1 x 5 .
f 1 ( x ) = x 5 + 1 .
3. kérdés: Az f ( x ) = 2 x 1 függvény inverz függvénye
f 1 ( x ) = x 2 + 1 .
f 1 ( x ) = 2 x 1 .
f 1 ( x ) = 2 x x .
f 1 ( x ) = 2 + x x .
4. kérdés: Mi az f ( x ) = e 1 x 2 függvény inverz függvénye?
f 1 ( x ) = ln ( x + 2 ) + 1 .
f 1 ( x ) = 1 + ln ( x 2 ) .
f 1 ( x ) = 1 ln ( x + 2 ) .
f 1 ( x ) = ln ( 1 x ) + 2 .
5. kérdés: Az f ( x ) = x 2 6 x + 10 függvény szigorúan monoton növő az alábbi intervallumon.
[ 3, ) .
[ 1, 4 ] .
( , 6 ) .
( , 3 ) .
6. kérdés: Az f ( x ) = x 2 + 4 x + 2, D f = [ 2, ) függvény inverze az alábbi függvény.
f 1 ( x ) = x + 2 2 .
f 1 ( x ) = x + 2 .
f 1 ( x ) = x 2 + 2 .
f 1 ( x ) = x + 2 + 2 .