KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Egyváltozós függvények differenciálszámítása

21. lecke: Deriválási szabályok (1)

Tanulási cél: A szorzat függvény és a tört függvény deriválási szabályának begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.1.4., 6.2. és 6.3.

Elméleti összefoglaló: Két fontos deriválási szabály a szorzat és a tört deriválási szabálya. Ezek az alábbiak:

( f ( x ) . g ( x ) ) ' = f ( x ) . g ( x ) + f ( x ) . g ( x ) ,

( f ( x ) g ( x ) ) ' = f ( x ) . g ( x ) f ( x ) . g ( x ) ( g ( x ) ) 2 .

Rendkívül fontos ezek alapos begyakorlása.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = ( 3 2 x 4 x 3 ) ( x 5 + 7 ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Ha elvégezzük a beszorzást és az összevonást, akkor egy polinomot kell deriválnunk, amit az előző leckében tanultak alapján el tudunk végezni. Ha így járunk el, azt kapjuk, hogy

f ( x ) = 4 x 8 2 x 6 + 3 x 5 28 x 3 14 x + 21 .

Ez alapján pedig

f ( x ) = 32 x 7 12 x 5 + 15 x 4 84 x 2 14 .

Használjuk most a szorzat deriválási szabályát, és oldjuk meg így is a feladatot. Ekkor

f ( x ) = ( 3 2 x 4 x 3 ) ' ( x 5 + 7 ) + ( 3 2 x 4 x 3 ) ( x 5 + 7 ) ' =

= ( 2 12 x 2 ) ( x 5 + 7 ) + ( 3 2 x 4 x 3 ) ( 5 x 4 ) =

= 2 x 5 12 x 7 14 84 x 2 + 15 x 4 10 x 5 20 x 7 =

= 32 x 7 12 x 5 + 15 x 4 84 x 2 14 .

Az eredmény persze ugyanaz, mint előbb, noha ez az út némileg több számítást igényelt. Gyakran azonban elkerülhetetlen a szorzat deriválási szabályának alkalmazása.

2. feladat Legyen f ( x ) = ( 1 + cos x ) ( 1 sin x ) . Határozzuk meg f ( x ) -et.

Megoldás: Most hiába végeznénk el a beszorzást, a tagok között maradna szorzat függvény. (Trigonometrikus azonosságot felhasználva az eltüntethető lenne, de akkor meg az összetett függvény deriválási szabályára lenne szükségünk, amit csak kesőbb tárgyalunk.) Használjuk tehát a szorzat deriválási szabályát.

f ( x ) = ( 1 + cos x ) ' ( 1 sin x ) + ( 1 + cos x ) ( 1 sin x ) ' =

( 0 sin x ) ( 1 sin x ) + ( 1 + cos x ) ( 0 cos x ) = sin x ( 1 sin x ) + ( 1 + cos x ) ( cos x ) =

= sin x + sin 2 x cos x cos 2 x .

3. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = e x . sin x . ln x függvény derivált függvényét.

Megoldás: Ebben az esetben egy három tényezős szorzatot kell deriválnunk. A szorzás asszociatív, ezért írhatjuk, hogy

f ( x ) = ( e x sin x ) ln x .

Most már alkalmazhatjuk a szorzat deriválási szabályát. Persze, amikor az első tényező deriváltját számoljuk majd ismét ezt a szabályt kell alkalmazni. Ezek alapján

f ( x ) = ( e x sin x ) ' ln x + ( e x sin x ) ( ln x ) ' =

= ( ( e x ) ' sin x + e x ( sin x ) ' ) ln x + ( e x sin x ) ( ln x ) ' =

= ( e x sin x + e x cos x ) ln x + e x sin x . 1 x = e x sin x . ln x + e x cos x . ln x + e x sin x . 1 x .

Egy háromtagú összeget kaptunk, amelynek az első tagjában az első tényező van deriválva, a másik kettő változatlan, a második tagjában a második tényező van deriválva, az első és a harmadik tényező változatlan, végül a harmadik tagjában a harmadik tényező van deriválva, és az első két tényező változatlan. Eredményünk az

( f ( x ) g ( x ) h ( x ) ) ' = f ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ( x )

képletben foglalható össze.

Az olvasó fogalmazza meg, hogy mi lenne a négy tényezős szorzat deriválási szabálya.

4. feladat Mivel egyenlő az f ( x ) = x 2 e x + x e x függvény derivált függvénye?

Megoldás: Ha ebben az alakban deriváljuk a függvényt kétszer kell alkalmazni a szorzat deriválási szabályát. Talán jobban járunk, ha először átalakítjuk a függvényünket:

f ( x ) = x 2 e x + x e x = ( x 2 + x ) e x .

Ezután

f ( x ) = ( x 2 + x ) ' e x + ( x 2 + x ) ( e x ) ' =

= ( 2 x + 1 ) e x + ( x 2 + x ) e x = ( x 2 + 3 x + 1 ) e x .

5. feladat Számítsuk ki az f ( x ) = 2 x 1 3 x + 6 függvény deriváltját.

Megoldás: Alkalmazzuk a tört függvény deriválási szabályát. Ekkor

f ( x ) = ( 2 x 1 ) ' ( 3 x + 6 ) ( 2 x 1 ) ( 3 x + 6 ) ' ( 3 x + 6 ) 2 =

= 2 ( 3 x + 6 ) ( 2 x 1 ) 3 ( 3 x + 6 ) 2 = 15 ( 3 x + 6 ) 2 .

6. feladat Deriváljuk az f ( x ) = 2 4 x 3 függvényt.

Megoldás: Az ilyen típusú törtek deriválására, (amikor a számláló konstans), a következő leckében látunk egy, talán egyszerűbb, módszert. Most használjuk a tört deriválási szabályát.

f ( x ) = ( 2 ) ' ( 4 x 3 ) 2 ( 4 x 3 ) ' ( 4 x 3 ) 2 = 0 ( 4 x 3 ) 2 . 4 ( 4 x 3 ) 2 = 8 ( 4 x 3 ) 2 .

7. feladat Deriváljuk az f ( x ) = x + 1 x + 2 x függvényt.

Megoldás:

f ( x ) = ( x + 1 ) ' ( x + 2 x ) ( x + 1 ) ( x + 2 x ) ' ( x + 2 x ) 2 =

= ( x + 2 x ) ( x + 1 ) ( 1 2 x + 2 x ln 2 ) ( x + 2 x ) 2 .

Felmerülhet, hogy a lehetséges egyszerűsítéseket mindig el kell-e végezni. Úgy fogunk eljárni, hogy amikor csak a derivált függvény a kérdés, csak a nagyon nyilvánvaló egyszerűsítéseket végezzük el. Később, amikor a kapott deriválttal további számításokat kell végezni, célszerű őt a legegyszerűbb alakra hozni.

8. feladat Deriváljuk az f ( x ) = x 2 + sin x + ln x e x cos x + x függvényt.

Megoldás: Alkalmazva a tört függvény deriválási szabályát:

f ( x ) = ( x 2 + sin x + ln x ) ' ( e x cos x + x ) ( x 2 + sin x + ln x ) ( e x cos x + x ) ' ( e x cos x + x ) 2 =

= ( 2 x + cos x + 1 x ) ( e x cos x + x ) ( x 2 + sin x + ln x ) ( e x + sin x + 1 2 x ) ( e x cos x + x ) 2 .

9. feladat Deriváljuk az f ( x ) = x cos x x 3 + 2 x 2 10 x függvényt.

Megoldás:

f ( x ) = ( x cos x ) ' ( x 3 + 2 x 2 10 x ) ( x cos x ) ( x 3 + 2 x 2 10 x ) ' ( x 3 + 2 x 2 10 x ) 2 =

= ( cos x 2 x x sin x ) ( x 3 + 2 x 2 10 x ) ( x cos x ) ( 3 x 2 + 4 x 10 x + 2 x 2 10 x ln 10 ) ( x 3 + 2 x 2 10 x ) 2 .

10. feladat Deriváljuk az f ( x ) = x x + x x + 1 x függvényt.

Megoldás: Ha ebben a formában deriválnánk a függvényt legalább kétszer alkalmazni kéne a tört deriválási szabályát, ez elég bonyolult képletet eredményezne. Inkább deriválás előtt átalakítjuk a függvényt.

f ( x ) = x x + x x + 1 x = x x + x x 2 + 1 x = x x + x 2 x 2 + 1 = x x 3 + x + x 2 x 2 + 1 = x 3 + x x 3 + x 2 + x = x 2 + 1 x 2 + x + 1 .

A figyelmes olvasó itt közbevetheti, hogy amikor az utolsó lépésben egyszerűsítünk az x -el, akkor a kapott függvény nem az eredeti függvény, (az nincs értelmezve a nullában, az egyszerűsítés után kapott igen). Erre azt válaszolhatjuk, hogy a két függvény csak ebben az egy pontban különbözik, az értelmezési tartomány egyébbként is csak bővült, ahol mindkét függvény deriválható, ott a deriváltak egyenlők. Az egyszerűsítésnek van annyi haszna, hogy megérje megtenni.

Most már a derivált függvény:

f ( x ) = ( x 2 + 1 ) ' ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ' ( x 2 + x + 1 ) 2 = 2 x ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 2 =

= ( 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x ) ( 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 2 = x 2 1 ( x 2 + x + 1 ) 2 .

Megjegyezzük, hogy, különösen bonyolultabb függvények esetén, gyakran több úton is elkészíthetjük a derivált függvényt. Iyenkor a kapott képletek látszólag nagyon különbözők lehetnek. Annak kell ekkor teljesülni, hogy a képletek azonosságok felhasználásával egymásba alakíthatók legyenek.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Az f ( x ) = ( x 3 + 2 ) ( 2 x x 4 ) függvény derivált függvénye
f ( x ) = 7 x 6 12 x 5 + 6 x 2 2 .
f ( x ) = 7 x 6 12 x 4 + 6 x 2 2 .
f ( x ) = 7 x 6 12 x 3 + 6 x 2 2 .
f ( x ) = 7 x 6 12 x 3 + 6 x 2 + 2
2. kérdés: ( sin x ( 1 2 cos x ) ) ' =
cos x 4 cos 2 x + 2 .
cos x + 4 cos 2 x + 2 .
cos x 4 cos 2 x 2 .
sin x 4 cos 2 x + 2 .
3. kérdés: ( 2 x x 3 cos x ) ' =
2 x x 2 ( ln 2 x cos x + 3 cos x x sin x ) .
2 x x 3 cos xln x + x 2 x x 2 cos x + 2 x x 3 sin x .
x 2 x 1 3 x 2 sin x .
6 sin x .
4. kérdés: ( ( x 2 + 1 ) arctg x ) ' =
2 x . arctg x + 1 .
2 arctg x + 1 .
2 x . arcctg x .
2 x . arctg ( x + 1 ) .
5. kérdés: ( 1 x 2 x + 1 ) ' =
3 ( 2 x + 1 ) 2 .
1 2 .
4 x 3 ( 2 x + 1 ) 2 .
3 ( 2 x + 1 ) 2 .
6. kérdés: ( 1 3 x 1 ) ' =
1 ( x 1 ) 2 .
3 ( 3 x 1 ) 2 .
3 9 x 2 + 1 .
3 ( 3 x 1 ) 2 .
7. kérdés: ( ln x + x x 1 ) ' =
x . ln x + 1 x ( x 1 ) 2 .
ln x + 1 x 1 .
ln x + 1 ( x 1 ) 2 .
1 x . ln x x ( x 1 ) 2 .
8. kérdés: ( x + 1 x 1 ) ' =
1 ( x 1 ) 2 .
2 ( x 1 ) 2 .
2 x 2 1 .
1 x 2 2 x + 1
9. kérdés: ( x 2 + x + 1 x 3 ) ' =
1 x 2 2 x 3 3 x 4 .
x 4 + 2 x 2 + 3 x 4 .
2 x 4 + x 3 3 x 2 3 x x 6 .
2 x + 1 3 x 2 .
10. kérdés: ( x x 1 x 1 x ) ' =
x 2 1 x 2 2 .
2 x ( x 2 2 ) 2 .
1 x 2 .
1 2 .