12. lecke: Összehasonlító kritériumok
| Tanulási cél: A majoráns és minoráns kritérium megismerése, és alkalmazása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 4.2.
Elméleti összefoglaló: Azt mondjuk, hogy a sor a sornak majoráns sora, ha teljesül minden index esetén.
Majoráns kritérium: Ha a sorhoz található konvergens majoráns sor, akkor az eredeti sor is konvergens. (Konyhanyelven azt mondhatjuk, ha a nagyobb számok összege nem éri el a végtelent, akkor a kisebb számok összege sem lehet végtelen, s így a sor abszolút konvergens.)
Azt mondjuk, hogy a sor a sornak minoráns sora, ha teljesül minden index esetén.
Minoráns kritérium: Ha a sorhoz található divergens minoráns sor, akkor az eredeti sor is divergens. (Konyhanyelven úgy fogalmazhatunk, ha a kisebb számok összege végtelen, akkor a náluk nagyobb számok összege is végtelen, s így a sor divergens.)
Ha ezen két kritérium valamelyikét szeretnénk alkalmazni, akkor először sejtést kell felállítanunk, hogy a sor konvergens, vagy divergens. Ha azt sejtük, a sor konvergens, akkor majoráns kritériumot kell alkalmaznunk, és majoráns sort kell találnunk. Ha azt sejtjük, a sor divergens, akkor minoráns kritériumot kell alkalmaznunk, azaz minoráns sort kell találnunk. A megfelelő majoráns illetve minoráns sor keresése során általában a sor tagjait megadó képletet módosítjuk úgy, hogy a tagok növekedjenek illetve csökkenjenek. Gyakori módosítások, amikor pozitív számlálójú és nevezőjű tört számlálóját növelve a tört nő, iletve a számlálót csökkentve a tört csökken. Ha a nevezőt növeljük akkor a tört csökken, ha pedig csökkentjük, de továbbra is pozitív marad, akkor pedig nő. A módosítást addig folytatjuk, míg olyan kifejezéshez jutunk, melynek összegzésével egy ismert konvergens vagy divergens sort kapunk.
Majorálásra leggyakrabban a , valamint a konvergens sorokat, illetve ezek számszorosait használjuk.
Minorálásra leggyakrabban a , és divergens sorokat, illetve ezek számszorosait használjuk.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Döntsük el a sorról a majoráns vagy a minoráns kritérum segítségével, hogy konvergens, vagy divergens!
Megoldás: A sor tagjait megadó kifejezés egy olyan tört, melynek számlálója és nevezője is pozitív. A nevező kettővel magasabb fokú mint a számláló, ezért növelésével a kifejezés értéke gyorsan csökkenve közeledik a nullához. A sor valószínűleg konvergens lesz. Ennek belátásához konvergens majoráns sort kell találnunk. Módosítsunk az kifejezésen úgy, hogy növeljük. Írjunk a számlálóban helyére -at, majd egyszerűsítsük a törtet.
A sornak tehát majoráns sora a sor. Erről tudjuk, hogy konvergens, így az eredeti sor is az.
|
2. feladat A majoráns vagy a minoráns kritérium segítségével állapítsuk meg, hogy a sor hogyan viselkedik konvergencia szempontjából!
Megoldás: A sor tagjait ugyanolyan kifejezés adja meg mint az előző feladatban, a sor valószínűleg konvergens. Keressünk ismét majoráns sort. Ha a számlálóban helyére -t írunk, akkor a tört nem csökken.
Sajnos még mindig nem egy olyan ismert sor általános tagját kaptuk, melyről tudjuk, hogy konvergens. Módosítsunk ezért még egyszer, de most csökkentsük a nevezőt. Ha elhagyjuk a nevezőből a tagot, a nevező csökken, s így a tört nő.
A sornak ezért majoráns sora a sor, amely konvergens, hiszen egy konvergens sor ötszöröse, s ebből következően az eredeti sor is konvergens.
|
3. feladat Alkalmas majoráns vagy minoráns sor segítségével döntsük el, hogy konvergens vagy divergens a sor!
Megoldás: A sor tagjait olyan tört adja, melynek számlálója és nevezője is pozitív. A nevezőben álló sokkal gyorsabban nő mint a számlálóban levő és , ezért a tört gyorsan tart nullához, s így a sor várhatóan konvergens. Ezt a majoráns kritériummal tudjuk igazolni. A megfelelő majoráns sort most is két lépésben állítjuk elő. Először írjunk a számlálóban helyére -t, így a tört biztosan nő.
A második lépésben csökkentsük a nevezőt az elhagyásával.
A sort tehát majorálja a sor. Ez egy mértani sor ötszöröse, melyben . Mivel teljesül az egyenlőtlenség, ez a mértani sor konvergens, s ebből következően az eredeti sor is az.
|
4. feladat Döntsük el a sorról megfelelő majoráns vagy minoráns sor segítségével, hogy konvergens vagy divergens!
Megoldás: Az olyan tört, melynek számlálója és nevezője is pozitív. A nevező eggyel magasabb fokú mint a számláló, ezért ez a tört az előző feladatokban szereplőekhez képest lassabban tart nullához. Ebből az sejthető, a sor divergens. Ennek igazolásához minoráns sorra van szükség. Most nem növeljük, hanem csökkentjük a törtet. Írjunk a számlálóban helyére -et, majd egyszerűsítsük a törtet.
A sornak tehát minoráns sora a sor. Erről tudjuk, hogy divergens, ezért az eredeti sor is az.
|
5. feladat A majoráns vagy a minoráns kritériumot alkalmazva döntsük el, hogy a sor konvergens vagy divergens!
Megoldás: A sor tagjait megadó tört olyan mint az előző feladatban, ezért a sor várhatóan divergens lesz, így ismét minoráns sort keresünk, azaz csökkentjük a törtet. Hagyjuk el első lépésben a számlálóban álló kettest.
Ez még nem egy ismert divergens sor általános tagja, ezért módosítsunk még egyszer. Írjunk a nevezőben helyére -et, s a helyére -et. A nevező így nem csökken, a tört tehát nem nő.
Az eredeti sornak tehát minoráns sora a sor, mely a divergens sor -szorosa, így maga is divergens. Mivel találtunk divergens minoráns sort, ezért az eredeti sor is divergens.
|
6. feladat Alkalmas majoráns vagy minoráns sor segítségével állapítsuk meg, hogy miként viselkedik konvergencia szempontjából a sor!
Megoldás: A tört számlálója és nevezője pozitív, s a számlálóban álló gyorsabban nő a nevzőben levő -nál és -nál, ezért a sor valószínűleg divergens. Állítsunk elő minoráns sort. Hagyjuk el a számlálóból a -et, így a tört biztosan csökken.
A tört tovább csökken, ha a nevezőben helyére kerül.
A sornak tehát minoráns sora a sor. Ez azon mértani sor -szorosa, melyben . Mivel nem teljesül az egyenlőtlenség, ez a sor divergens, s így az eredeti sor is az.
|
7. feladat Megfelelő majoráns vagy minoráns sor segítségével határozzuk meg , hogy konvergens vagy divergens a sor!
Megoldás: A sor általános tagja olyan tört, melynek számlálója is nevezője is pozitív. A számláló korlátos, hiszen . A nevező gyorsan nő, ezért a sor valószínűleg konvergens. Keressünk majoráns sort. Írjuk a számlálóba a legnagyobb értéket, amit felvehet.
A sornak tehát majoráns sora a sor. Ez egy mértani sor -szerese, melyben . Teljesül a egyenlőtlenség, így a majoráló sor konvergens, s ebből következően az eredeti is az.
|
8. feladat Állapítsuk meg a sorról a majoráns vagy a minoráns kritérium segítségével, hogy konvergens vagy divergens!
Megoldás: A sor várhatóan divergens, mert a nevező nem nő nagyon gyorsan, hiszen csak elsőfokú, s a számláló nem nullához tart. Keressünk minoráns sort. A számlálóban helyére -et írva a tört csökken.
Ha most a nevezőben helyére -t írunk, a tört nem nő.
A sor tehát minoráns sora a sornak. Mivel ez a divergens sor -szerese, ezért divergens, s így az eredeti sor is az.
|
9. feladat Keressünk megfelelő majoráns vagy minoráns sort a sorhoz, és határozzuk meg hogyan viselkedik konvergencia szempontjából!
Megoldás: A sor általános tagja pozitív és alakban is írható. A számláló felülről korlátos, a nevező pedig másodfokú, ezért a sor valószínűleg konvergens, így majoráns sort próbálunk találni. Írjuk a számlálóba a legnagyobb értéket, amit felvehet.
A sort tehát majorálja a sor, amely konvergens. Mivel találtunk konvergens majoráns sort, az eredeti sor is konvergens.
|
10. feladat A majoráns vagy a minoráns kritérium alkalmazásával döntsük el a sorról, hogy konvergens vagy divergens!
Megoldás: A sor tagjai pozitívak, s mivel a nevező lassan nő a logaritmus miatt, ezért sejtésünk szerint divergens. Keressünk minoráns sort. Ehhez a sor általános tagját írjuk alakban. Mivel igaz a egyenlőtlenség, ha a nevezőben helyére -t írunk, akkor a tört csökken.
A sornak tehát minoráns sora a sor. Ez divergens, hiszen a divergens sorból az első tag elhagyásával, majd -del szorzással kapjuk, de ezek a sor divergens voltát nem befolyásolják. Így találtunk divergens minoráns sort, s ebből következően az eredeti sor is divergens.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Melyik igaz az alábbi állítások közül, a sorra? |
2. kérdés: A következő állítások közül melyik igaz a sorra? |
3. kérdés: Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz a sorra? |
4. kérdés: A sorra melyik állítás igaz? |
5. kérdés: Az alábbi állítások közül melyik igaz a sorra? |
6. kérdés: Tekintsük a sort. A következő állítások közül, melyik igaz erre sorra? |
7. kérdés: A következő állítások közül melyik igaz a sorra? |
8. kérdés: Döntse el melyik állítás igaz a sorra. |