KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Halmazok

1. lecke: Halmazok megadása, metszet, unió, kivonás

Tanulási cél: Megismerkedni a halmazok megadásának módjaival, a Venn-diagramokkal, az unió, a metszet és a különbség műveletekkel és ezek tulajdonságaival.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I
Fejezet: 1.1

Elméleti összefoglaló:
Véges halmazokat elemeik felsorolásával lehet megadni, (ha nem állnak nagyon sok elemből). A sokelemű és a végtelen halmazokat elemeik "tulajdonságával" szokás definiálni. Ekkor fontos, hogy a "tulajdonság" olyan legyen, hogy minden dologról egyértelműen eldönthető legyen, hogy rendelkezik-e vele. Ennek a definiálási módnak a szerkezete:

A={ xB:ϕ(x) } ,

ahol ϕ( x ) fejezi ki azt a bizonyos "tulajdonságot".

Fontos, hogy ezzel a definiálási móddal csak egy létező B halmaz elemei közül lehet kiválasztani azokat az elemeket, amelyek rendelkeznek a ϕ tulajdonsággal.

Pl.: A={ x:2 x 2 <19 }={ 2,3,4 } .

Az A és a B halmazok AB -vel jelölt uniójának pontosan azok a dolgok az elemei, amelyek elemei az A vagy a B halmaznak.

Az A és a B halmazok AB -vel jelölt metszetének pontosan azok a dolgok az elemei, amelyek elemei az A és a B halmaznak.

Ezekre a műveletekre teljesülnek az alábbi azonosságok.

Mindkét művelet kommutatív, azaz

AB=BA ,

és

AB=BA .

Mindkét művelet asszociatív, azaz

A(BC)=(AB)C=ABC ,

és

A(BC)=(AB)C=ABC .

Mindkét művelet disztributív a másikra nézve, azaz

A(BC)=(AB)(AC) , ez az unió disztributivitása a metszetre nézve,

illetve

A(BC)=(AB)(AC) , ez a metszet disztributivitása az unióra nézve.

A fenti azonosságok több halmaz esetén is érvényesek.

A 1 A 2 A 3 ... A n = A i 1 A i 2 A i 3 ... A i n ,

A 1 A 2 A 3 ... A n = A i 1 A i 2 A i 3 ... A i n ,

ahol az i 1 , i 2 , i 3 ,..., i n indexek az 1,2,3,...,n indexek egy tetszőleges sorrendje.

Hasonlóan

A( B 1 B 2 B 3 ... B n )=(A B 1 )(A B 2 )(A B 3 )...(A B n ) ,

A( B 1 B 2 B 3 ... B n )=(A B 1 )(A B 2 )(A B 3 )...(A B n ) .

Ezeknek a formuláknak, mint minden formulának, a tartalmát érdemes memorizálni. Például az utolsó formula azt mondja, hogy halmazok unióját úgy kell metszeni egy halmazzal, hogy az unió minden tagját metsszük a halmazzal és vesszük az így kapott halmazok unióját.

Az A és a B halmazok A\B -vel jelölt különbsége az a halmaz, amelynek elemei az A halmaz azon elemei, amelyek nincsenek a B halmazban.

Ha halmazokat a halmazelméleti műveletekkel kapcsolunk össze, akkor halmazalgebrai kifejezéseket kapunk. Egy gyakori feladattípus az, amikor két halmazalgebrai kifejezés egyenlőségét kell bizonyítani.

Háromféle módszer is kínálkozik az ilyen típusú feladatok megoldására.

1. Venn-diagramok felrajzolása

Ez nem egy korrekt bizonyítási módszer, de szemléletes és ezért, ha a korlátjaival tisztában vagyunk, használható, és használni is fogjuk.

A Venn-diagramokkal az a baj, hogy egyrészt sok - négy, öt stb. - halmazt tartalmazó feladatok esetén a kiinduló ábra elkészítése igen körülményes.

A másik, még komolyabb gond, hogy vannak olyan halmazok, amelyeknek olyan sok eleme van, hogy azok a sík részhalmazaival nem reprezentálhatók.

De gond van a Venn-diagramokkal véges halmazok esetén is, mert ilyenkor azt kell tisztázni, hogy az elemek a diagram melyik részhalmazaiba esnek.

Arra azonban kiválóan alkalmasak a Venn-diagramok, hogy ötleteket adjanak a megoldáshoz, hogy segítségükkel megsejtsünk igaz összefüggéseket, vagy leteszteljük, hogy egy állítás lehet-e egyáltalán igaz.

2. Levezetés

Így fogjuk hívni azt a módszert, amikor a halmazelméleti azonosságok felhasználásával addig alakítjuk az egyik oldalt, míg a másikat nem kapjuk, vagy alakítgatjuk mindkét oldalt, amíg egyenlők nem lesznek.

3. Kétoldali tartalmazás

Tétel: AB és BA akkor, és csak akkor teljesül, ha A=B .

Ha erre a tételre alapozva úgy mutatjuk meg két halmaz egyenlőségét, hogy bebizonyítjuk az egyik oldal is része a másiknak és a másik oldal is része az egyiknek, akkor mondjuk azt, hogy kétoldali tartalmazással bizonyítunk.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Tekintsük az A={ 1,2,3,4,10,11,12,13 } , a B={ 1,3,5,6,7,11,12 } és a C={ 1,2,5,8,9,12,13 } halmazokat. Határozzuk meg az ( AB )\C halmazt.

Megoldás: Először meghatározzuk az AB halmazt. Mivel a metszetben azok az elemek vannak, amelyek mindkét halmazban benne vannak AB={ 1,3,11,12 } . A kivonást úgy kell elvégezni, hogy ennek a halmaznak az elemei közül el kell hagynunk azokat, amelyek a C halmazba esnek, azaz az 1 és a 12 elemeket. Így

( AB )\C={ 3,11 } .

2. feladat Tekintsük az A={ x: x 3 25x=0 } és a B={ x:x< 50, x prím , x eg y négyzetszámo t követ ő szám } halmazokat.

Határozzuk meg AB -t.

Megoldás: Először meghatározzuk az A halmaz elemeit. Mivel x 3 25x=x( x 2 25 )=0 pontosan akkor teljesül, ha x=0 vagy x=±5 , az A halmaz tehát

A={ 5,0,5 } .

Meghatározzuk a B halmaz elemeit. Az ötvennél kisebb prímszámok közül azok, amelyek eggyel nagyobbak egy négyzetszámnál a következők: 2, 5, 17, 37, hiszen az 1 is négyzetszám, vagyis

B={ 2,5,17,37 } .

Ezek felhasználásával

AB={ 5,0,2,5,17,37 } .

3. feladat Legyenek A, B és C tetszőleges halmazok. Ábrázoljuk Venn-diagram segítségével a ( B\C )( ABC ) halmazt.

Megoldás: Feltesszük persze, hogy olyan halmazokról van szó, amelyekhez Venn-diagram rajzolható. Ez a további feladatokra is érvényes, amelyekben Venn-diagramról beszélünk, vagy azt rajzolunk.

Az alábbi ábrából indulunk ki:

1-1. ábra

Azért ilyen ábrából indulunk ki, mert ha semmi információnk nincs a halmazokról, akkor azt kell feltételezni, hogy mindhárom halmaznak vannak olyan elemei, amelyek a másik két halmazban nincsenek benne, bármely két halmaz metszetének vannak olyan elemei, amelyek a harmadik halmazhoz nem tartoznak hozzá és végül a három halmaz metszete sem üres.

A formulánk egy kéttagú unió, az unió tagjai B\C és ABC . Úgy fogunk eljárni, hogy egy ábrán megjelöljük az unió egyik tagját, egy másikon a másik tagját, végül egy harmadik ábrán ezek unióját. (Lehetne egy ábrán is dolgozni, de akkor - különösen bonyolultabb feladatoknál - nehéz lehet a sok jelölés között kiigazodni. A gyakorlás elején célszerű több ábrát készíteni.)

A következő ábrán balra dőlő vonalkázással megjelöljük a B\C halmaz elemeit:

1-2. ábra

: B\C

Egy újabb ábrán jobbra dőlő vonalkázással megjelöljük az ABC halmaz elemeit:

1-3. ábra

: ABC

Végül ennek a két megjelölt halmaznak kell az unióját venni, azaz az utolsó ábrán megjelölni minden olyan elemet, amelyet az előző két ábra valamelyikén megjelöltünk. Ezt mutatja a következő ábra:

1-4. ábra

: ( B\C )( ABC ) .

4. feladat Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Igazoljuk az

( A\B )( AB )( B\A )=AB

formulát Venn-diagram felhasználásával és kétoldali tartalmazással is.

Megoldás: Két halmaz esetén persze a kiinduló Venn-diagram az alábbi:

1-5. ábra

A bizonyítandó formula bal oldala most egy háromtagú unió. A következő ábrán egyszerre megjelöltük ennek az uniónak a tagjait.

1-6. ábra

: A\B , : AB , : B\A .

Láthatjuk, hogy azok az elemek, amelyek valamilyen módon meg vannak jelölve kiadják az AB halmaz minden elemét. Ezzel Venn-diagramokat használva "igazoltuk" a formulánkat.

Most a matematika szempontból korrekt kétoldali tartalmazás módszerével bebizonyítjuk a formulánkat.

Először megmutatjuk, hogy ( A\B )( AB )( B\A )AB .

Legyen x( A\B )( AB )( B\A ) . Azt kell belátnunk, hogy ekkor xAB is teljesül.

Ha az x eleme a baloldali uniónak, akkor eleme az unió valamelyik tagjának.

Ha xA\B , akkor a kivonás definíciója alapján x benne van A-ban, és ezért benne van az A-nál bővebb AB -ben is, azaz xAB .

Ha xAB , akkor benne van A-ban és B-ben is, tehát most is igaz, hogy xAB .

Végül ha xB\A , akkor x benne van B-ben és így most is xAB .

Mivel a baloldali unió tetszőleges eleméről kimutattuk, hogy az a jobboldali uniónak is eleme, ebből következik, hogy valóban ( A\B )( AB )( B\A )AB .

Most megmutatjuk, hogy AB( A\B )( AB )( B\A ) .

Legyen xAB tetszőleges. Ekkor xA vagy xB .

Ha xA , akkor két eset lehetséges. Az x vagy benne van B-ben vagy nem. Ha nincs B-ben, akkor A\B -ben van, (mivel A-ban benne van), és ekkor benne van ( A\B )( AB )( B\A ) -ban is. Ha pedig benne van B-ben, akkor benne van AB -ben is, tehát ismét benne van ( A\B )( AB )( B\A ) -ban.

Teljesen hasonlóan, ha x azért van az AB -ben, mert xB , akkor ismét két eset lehet. Ha x nincs A-ban, akkor benne van B\A -ban és így ( A\B )( AB )( B\A ) -ban is, ha pedig x benne van A-ban, akkor ismét xAB , amiből megint csak az következik, hogy x( A\B )( AB )( B\A ) . Ezzel megmutattuk, hogy AB( A\B )( AB )( B\A ) .

Tehát az eredeti formulánk bal oldalán álló halmaz része a jobb oldalon álló halmaznak és a jobb oldalon álló halmaz is része a bal oldali halmaznak. Ez csak úgy lehet, ha ezek a halmazok egyenlők.

5. feladat Tegyük fel, hogy AB . Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetszőleges C halmaz esetén ( AC )( C\B )= .

Megoldás: Rajzoljunk egy Venn-diagramot. Ezt mutatja az alábbi ábra.

1-7. ábra

Az ábra megrajzolásakor persze figyelembe vettük az AB feltételt, és C-t úgy vettük fel, hogy ne csak B-vel, de A-val is legyen közös része, ez ugyanis a legáltalánosabb eset.

Ezek után az alábbi ábrán megjelöljük az AC és a C\B halmaz elemeit:

1-8. ábra

Látjuk, hogy nincsenek olyan elemek, amelyeket mindkét fajta vonalkázással megjelöltünk, tehát a megjelölt halmazok metszete üres. A Venn-diagram tehát legalábbis hihetővé teszi a feladat állítását. Lássunk most egy korrekt bizonyítást.

Megmutatjuk, hogy az AC halmaz egyetlen eleme sem lehet benne a C\B halmazban. Ez valóban bizonyítja, hogy a metszetük üres.

Legyen xAC . Ekkor, xA -nak is, és mivel AB , következik, hogy xB . De B-beli elem nem lehet C\B -ben, így xC\B . Tehát a feladat állítása valóban igaz.

6. feladat Bizonyítsuk be, hogy AC=BC -ből nem következik, hogy A=B .

Megoldás: A feladat azt állítja, hogy az AC=BC egyenletet nem lehet C-vel egyszerűsíteni. Azt, hogy bizonyos feltételekből nem következik egy állítás, úgy lehet a legegyszerűbben bizonyítani, hogy megadunk a feltételeket kielégítő dolgokat, amelyekre a következtetés nem igaz. Ezt szokás ellenpéldának hívni. Mi most úgy fogunk eljárni, hogy megadunk három halmazt, A-t, B-t és C-t, amelyekre AC=BC , de AB .

Tudjuk, hogy ha két halmaz közül az egyik része a másiknak, akkor az uniójuk a bővebb halmaz. Elég tehát megadnunk egy C halmazt és két különböző részhalmazát, A-t és B-t, ezek a feltételt teljesíteni fogják, de a konstrukció alapján AB . Szemléletesen ez látható a következő ábrán.

1-9. ábra

Ezután könnyen adhatunk konkrét példát is. Legyen mondjuk C={ 1,2,3,4,5,6,7 } , és tekintsük az A={ 1,2,3,4 } , B={ 4,5,6,7 } halmazokat. Ekkor nyilván AC=C=BC , de AB .

7. feladat Igazoljuk, hogy AC=BC -ből nem következik, hogy A=B .

Megoldás: Most is a legegyszerűbb ellenpéldát adni. Ehhez elég, ha eszünkbe jut, hogy ha egy halmaz része egy másik halmaznak, akkor a metszetük a szűkebb halmaz. Elég tehát megadnunk két halmazt, A-t és B-t és a metszetüknek egy részhalmazát. Ezek a feltételt kielégítik, de valóban nem igaz rájuk a következtetés. Szemléletesen ezt mutatja az alábbi Venn-diagram.

1-10. ábra

A konkrét ellenpélda lehet a következő: A={ 1,2,3,4,5,6,7 } , B={ 3,4,5,6,7,8,9 } és C={ 4,5,6 } . Ekkor valóban AC=C=BC , de AB .

8. feladat Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A, B és C halmazok esetén, ha AC=BC és AC=BC , akkor A=B .

Megoldás: Az előző két feladat mutatja, hogy külön-külön egyik feltétel sem elég ahhoz, hogy A=B legyen. A feladat azt állítja, hogy együtt viszont már elegendőek.

Azt kell tehát bizonyítani, hogy a feltételek esetén A=B .

Most kiinduló Venn-diagramot nem nagyon lehet rajzolni, és a levezetés sem járható út, (nem nagyon van mit egyszerűsíteni). Marad a kétoldali tartalmazással való bizonyítás.

Először belátjuk, hogy AB .

Legyen xA tetszőleges. Azt kell megmutatnunk, hogy xB is fennáll.

Ha xA , akkor xAC -nek és így a feltétel szerint vele egyenlő BC -nek is. Ha x azért eleme a BC halmaznak, mert eleme B-nek, akkor készen is vagyunk. Ha nem ez a helyzet, akkor xC , de a kiinduló feltételünk miatt xA , ezért xAC is fennáll. A második feltétel szerint viszont AC=BC , tehát xBC , amiből nekünk csak az a fontos, hogy akkor xB is teljesül.

Tehát valóban AB .

Mivel mind a feltételek, mind a konklúzió szimmetrikusak A-ban és B-ben, készen is vagyunk. Az előző gondolatmentben csak fel kell cserélni A és B szerepét. Azért a rend kedvért, és gyakorlásképpen, belátjuk a BA tartalmazást is.

Legyen tehát xB . Ekkor xBC=AC . Ha x azért eleme az AC -nek, mert A-ban van készen vagyunk. Ha nem, akkor muszáj, hogy xC legyen, de akkor xBC=AC is igaz, tehát most is következik, hogy xA -nak is.

9. feladat Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A és B halmazok esetén igaz a következő állítás:

AB=AB akkor és csak akkor, ha A=B .

Megoldás: Két állítás ekvivalenciáját kell igazolnunk, azaz megmutatni, hogy az egyik állításból következik a másik, és fordítva.

Az egyik irány nyilvánvaló, hiszen ha A=B , akkor AB=A=B és AB=A=B , tehát ekkor igaz a bal oldalon álló egyenlőség.

Bizonyítsuk be azt is, hogy AB=AB esetén A=B .

Most is kétoldali tartalmazással fogunk bizonyítani.

Legyen xA , ekkor xAB , de AB=AB , tehát xAB , amiből következik, hogy xB . Ez azt jelenti, hogy AB .

A szimmetria folytán teljesen hasonlóan legyen xB . Ekkor xAB=AB , ami csak úgy lehet, hogy xA . Ebből következik, hogy BA .

Ez a két tartalmazás együtt azt jelenti, hogy valóban A=B .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Legyen A={ 3,4,5,6,7,9,10 } , B={ 1,2,3,4,5 } és C={ 2,3,4,7,8 } . Ekkor A\( BC )=
{ 6,9,10 } .
{ 8,9,10 } .
{ 7,8,9 } .
{ 7,9,10 } .
2. kérdés: Legyen A={ x: x 2 x120 } és B={ x:3x x 2 >0 } . Ekkor AB=
{ 1,2,3 } .
{ 2,3 } .
{ 1,2 } .
{ 1,3 } .
3. kérdés: Legyenek A, B és C tetszőleges halmazok. Ekkor ( AB )( C\( AB ) ) Venn-diagramja:
4. kérdés: Legyenek A, B és C tetszőleges halmazok. Ekkor ( ( ABC )\A )\B Venn-diagramja
5. kérdés: Tetszőleges A, B és C halmazok esetén A\( BC )=
A\( ABC ) .
( A\B )\C .
A\( B\C ) .
A\( BC ) .
6. kérdés: Tetszőleges A, B és C halmazok esetén ( AB )\C=
( A\C )( B\C ) .
A( B\C ) .
( AB )\( BC ) .
( A\B )( B\C ) .
7. kérdés: Tetszőleges A, B és C halmazok esetén ( A\B )\C=
A\( B\C ) .
( A\B )( B\C ) .
( A\C )( B\C ) .
( A\C )\( B\C ) .
8. kérdés: Tetszőleges A, B és C halmazok esetén A\( BC )=
( A\B )C .
( AB )C .
( A\B )\C .
A\( B\C ) .