KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Sorozatok és sorok

6. lecke: Számsorozatok határértékének meghatározása 1.

Tanulási cél: A konvergens sorozatokkal végzett műveletekre vonatkozó tételek megismerése, s ezek segítségével határértékek meghatározása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 3.

Elméleti összefoglaló:

lim n 1 n = 0

lim n n k = { 0 ha k < 0 ha k > 0

lim n q n = { 0 ha | q | < 1 1 ha q = 1
Egyéb q értékek esetén a sorozat divergens. Ha q > 1 a sorozat tart végtelenhez, ha q 1 , akkor azonban a sorozat tágabb értelemben sem konvergens.

Ha lim n a n = A és lim n b n = B , akkor lim n ( a n + b n ) = A + B . ( A , B R )
Hasonló tétel mondható ki a többi művelet esetén is, ha a határértékekkel a műveletek elvégezhetőek. (0-val való osztás nem értelmezett)

A fentihez hasonló tételek igazak, ha a műveleteket tágabb értelemben konvergens sorozatokkal is végezzük, azonban vannak kritikus esetek, amikor a határértékről semmit nem tudunk mondani.
Ilyenek például rövid jelöléssel a   , 0 . , 0 0 , típusú sorozatok. (Egy sorozat típusa alatt azt értjük, valamint röviden azt jelöljük, hogy a műveletben szereplő sorozatok hova tartanak. A 0 0 jelölés például azt jelenti, hogy egy 0-hoz tartó sorozatot egy másik 0-hoz tartó sorozattal osztunk.)
A kritikus esetekben a sorozatokat valamilyen azonos átalakítással nem kritikus típusba visszük át, s ezután határozzuk meg határértéküket.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az a n = 5 n 2 6 n 1 sorozat határértékét!

Megoldás:
Ilyen sorozat határértékét már az előző leckében meghatároztuk, de az eljárás elég nehézkes volt. Most csináljuk ezt hatékonyabban. Először is állapítsuk meg, hova tart a számláló és a nevező.

A számláló: lim n ( 5 n 2 ) = .

Mivel n nyilván 5 n is igaz, s egy végetlenhez tartóból 2-t kivonva továbbra is végtelenhez tartót kapunk. (Konyhanyelven ez úgy mondható, valami iszonyú nagyból elvéve valami kicsit, továbbra is iszonyúan nagyot kapunk.)

A nevező: lim n ( 6 n 1 ) = .

Ez ugyanúgy gondolható végig, mint a számláló.
A későbbiekben ezt nem fogjuk ennyire részletezni, hanem röviden a következőt írjuk majd.

lim n 5 n 2 6 n 1 , ez egy típusú határérték.

Mivel ez kritikus, át kell alakítanunk. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az átalakítások mindig olyanok, melyek a kifejezés értékét nem változtatják meg, azaz ha végrehajtunk egy műveletet, akkor mindig végrehajtjuk annak megfordítottját is. Törtek estén ennek tipikus esete az egyszerűsítés, hiszen ekkor a számlálót is és a nevezőt is osztjuk, azaz magát a törtet valamivel osztjuk is és szorozzuk is. (A nevező osztása tulajdonképpen a tört szorzását jelenti.) Most egyszerűsítsünk n -nel.

lim n 5 2 n 6 1 n -et kapunk.

Vizsgáljuk újra a típusát. A számlálóban lévő 2 n és a nevezőben lévő 1 n mindegyike 0-hoz tart. Így már a számlálóban csak 5, a nevezőben pedig 6 marad, azaz a határérték 5 6 lesz.
(A sok magyarázat miatt ez még nem biztos, hogy rövidebbnek tűnik mint az előző leckében bemutatott megoldás, de a későbbiekben ezt sokkal rövidebben írjuk majd.)

2.feladat lim n 4 n 2 + 5 n 9 n 2 7 = ?

Megoldás:
Ez egy típusú határérték. Most célszerű n 2 -tel egyszerűsíteni.

lim n 4 + 5 n 9 7 n 2 -et kapunk.

A számláló határértéke most már 4, a nevezőé 9, tehát a tört határértéke 4 9 .

3. feladat lim n 2 n + 9 4 n 2 7 n = ?

Megoldás:
Most ismét típusú határértékünk van. Célszerű ismét n 2 -tel egyszerűsíteni.

lim n 2 n + 9 n 2 4 7 n = 0 4 = 0

A számláló mindegyik tagja és a nevező második tagja is 0-hoz tart. Ezért a számláló 0-hoz tart, a nevező pedig 4-hez, s így a tört határértéke 0 lesz.

4. feladat lim n 4 n 3 n 2 + 6 n = ?

Megoldás:
Most a hátárérték típusa, ez lényegében az előzőekkel azonos, mert az előjelet a tört elé is írhatjuk. Most is n 2 -tel célszerű egyszerűsíteni.

lim n 4 n 2 n 1 + 6 n = 1 =

A számláló tart mínusz végtelenbe, a nevező pedig 1-hez, így a határérték mínusz végtelen lesz.
A sorozat tehát divergens.

Megjegyzés:
Az előző négy feladat azonos jellegű volt. Olyan kifejezések határértékét kerestük, melyekben polinomot polinommal osztottunk, s a határérték típusa volt. Ilyenkor célszerű n -nek a nevezőben levő legmagasabb kitevőjű hatványával egyszerűsíteni a törtet. Ezután a nevező határértéke valamilyen véges, de nem 0 érték lesz, a számláló pedig 0-hoz, véges nem 0 értékhez, vagy végtelenhez tart. Ebből a határérték meghatározható.

5. feladat lim n 3 n + 5 n 2 + 7 3 = ?

Megoldás:
A határérték típusa . A gyökök miatt most nem olyan könnyű egyszerűsíteni, mint az előző feladatokban, célszerű előbb a számlálóban és a nevezőben is egy kiemelést végrehajtani. A számlálóban emeljünk ki n -et, a nevezőben pedig n 2 3 -et.

lim n n . 3 + 5 n n 2 3 . 1 + 7 n 2 3

Mivel a számláló és a nevező is szorzat, ez két tört szorzatára bontható, melyeknek külön-külön vizsgálhatjuk a határértékét.

lim n n n 2 3 . 3 + 5 n 1 + 7 n 2 3 = lim n n n 2 3 . lim n 3 + 5 n 1 + 7 n 2 3

A második tört határértéke egy nem 0 véges érték, hiszen a számláló 3 -hoz, a nevező pedig 1 3 = 1 -hez tart. A tört határértéke tehát 3 .
Az első törtben a gyököket célszerű inkább hatvány alakra átírni, ekkor az osztást el is tudjuk végezni, s csak egyetlen hatványt kapunk.

lim n n n 2 3 = lim n n 1 2 n 2 3 = lim n n ( 1 2 2 3 ) = lim n n 1 6 = lim n 1 n 6

Mivel véges értéket végtelenhez tartóval osztunk, ennek a résznek 0 lesz a határértéke.
(Konyhanyelvi megfogalmazás: kicsit osztunk nagyon naggyal, nagyon kicsit kapunk.)
Vegyük a két rész határértékének szorzatát, 0 . 3 = 0 -át kapunk, ez az eredeti kifejezésünk határértéke.

Megjegyzés:
Vigyázzunk nagyon a különböző gyökös kifejezésekkel, ha gyök alatt összeg vagy különbség áll, nem szabad tagonként gyököt vonni. Ismerni kell ezenkívül a gyökös kifejezések hatvánnyá való átírását, illetve fordítva. Hol az egyik, hol a másik alak a célszerűbb.

6. feladat lim n 2 n + 1 3 n 4 = ?

Megoldás:
A határéték típusa , azonban a kifejezés jellege most nem polinom per polinom. Az egyszerűsítés viszont most is segít. Célszerű 3 n -nel egyszerűsíteni, mert így tudjuk elérni, hogy a nevező határértéke egy nem 0 véges érték legyen.

lim n 2 n 3 n + 1 3 n 1 4 3 n = lim n ( 2 3 ) n + 1 3 n 1 4 3 n = 0 1 = 0

A számláló mindkét tagja 0-hoz tart, s a nevező második tagja is. Így a tört határértéke 0.

Megjegyzés:
Az eddigi feladatokban n a hatványok alapjában szerepelt, most azonban a kitevőben. Ilyenkor a q n típusú kifejezések határértékére hivatkozunk a q nagysága szerint.

7. feladat lim n 4 n + 1 9 2 2 n 1 + 3 n = ?

Megoldás:

A határérték típusa . Némi változás az előző feladathoz képest, hogy a kitevőben nem csak egyszerűen n szerepel. Egyszerűsítés előtt alkalmazzuk most a hatványozás azonosságait.

lim n 4 . 4 n 9 2 1 . 2 2 n + 3 n = lim n 4 . 4 n 9 1 2 . 4 n + 3 n

Sikerült elérnünk, hogy mindegyik kitevőben ugyanaz álljon. Most egyszerűsítsünk 4 n -nel.

lim n 4 9 4 n 1 2 + ( 3 4 ) n = 4 1 2 = 8

Megjegyzés:
Összegezzük a lecke feladatainak tanulságát! Ha egy sorozat határértékének típusa, akkor sok esetben egyszerűsítéssel ki tudunk lépni a kritikus típusból. Általában n k vagy q n típusú kifejezéssel egyszerűsítünk. Az egyszerűsítés során használjuk a hatványozás azonosságait. Célunk általában az, hogy a nevező határértéke valamilyen nem 0 véges érték legyen.

Ellenőrző kérdések:

1.kérdés: Mi a határértéke a a n = 3 n 1 2 n 2 sorozatnak?
1.5
0
-0.5
2. kérdés: lim n 100 n n 3 7 n 2 + 19 = ?
1 7
0
100 19
3. kérdés: lim n 2 n 2 3 n 4 5 n 2 = ?
2
0.4
-0.75
-0.6
-0.4
4.kérdés: lim n 7 n 6 + 5 n 3 2 n 4 + 9 n 3 = ?
7 3 2
5 3 3
0
5. kérdés: lim n 6 . 5 n 2 n 3 n + 7 . 4 n = ?
0
6
6 7
2 7
6.kérdés: lim n 6 9 n 1 3 2 n + 1 + 2 n = ?
0
1 3
1 9
1 27