9. lecke: Számsor fogalma, sorösszeg, mértani sor
| Tanulási cél: A számsor, a részletösszeg és a sorösszeg fogalmának megismerése, valamint a mértani sorok összegére vonatkozó összefüggés elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 4.1.
Elméleti összefoglaló: Legyen egy tetszőleges sorozat. A belőle képezett végtelen sok tagú összeget végtelen sornak nevezzük. (Végtelen sort tehát úgy kapunk, hogy egy sorozat elemeit összeadjuk.)
Az összeget a sor -edik részletösszegének nevezzük. A részletösszegek egy új sorozatot alkotnak.
Ha az sorozatnak létezik véges határértéke , akkor azt a sor összegének nevezzük, és -sel jelöljük. Ilyenkor a sort konvergensnek mondjuk. Ha a részletösszegek sorozatának nincs véges határértéke, akkor a numerikus sort divergensnek mondjuk.
Ha a sor konvergens és összege , akkor minden esetén a sor is konvergens, és .
Ha a és sorok konvergensek és összegük illetve , akkor a sor is konvergens, és .
A sort mértani sornak nevezzük. Ha , akkor a sor konvergens és összege , ha , akkor pedig divergens.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat A sor esetében számoljuk ki az részletösszegeket, és határozzuk meg a sor összegét!
Megoldás: A részletösszegekben a sor annyi tagját adjuk össze, ahányadik részletösszegről van szó. Az első részletösszegben tehát csak az első tagot kell venni, azaz
.
A második részletösszegben már az első két tagot adjuk össze, így
.
A harmadik részletösszeget az első három tagból kapjuk, tehát
.
Látható, hogy az egymás utáni részletösszegekben, csak egy plusz tag szerepel. Ezért az -edik részletösszegből az -edik az összefüggésből is számolható. Most például a harmadik részletösszeget az formában is megkaphattuk volna.
Lássuk ezután a sor összegét! Mivel ez a részletösszegek sorozatának határértéke, ezért írjuk fel mit is jelent a részletösszegek sorozatának -edik tagja, azaz .
Ebből az alakból nem tudjuk meghatározni a határértékét, ezért alakítsuk át. Foglalkozzunk először csak az összegben szereplő utolsó törttel. Ennek számlálója egy konstans, nevezőjében pedig két olyan elsőfokú kifejezés szorzata áll, amelyekben együtthatója azonos. Az ilyen törtek mindig felírhatóak két olyan tört különbségeként, melyeknek számlálója ugyanaz a konstans, nevezőjeik pedig az eredeti tört nevezőjében levő tényezők, jelen esetben tehát
.
A számlálókban álló konstanst meghatározhatjuk, ha a törteket közös nevezőre hozzuk, és a számlálóban elvégezzük a műveleteket.
A sor elején és végén álló két tört nevezője azonos, ezért csak úgy lehetnek egyenlők, ha számlálójuk is megegyezik.
Írjuk a részletösszegben szereplő többi törtet is ilyen formában.
Emeljünk ki -et, s hagyjuk el a felesleges zárójeleket.
Sok olyan tört van, mely pozitív és negatív előjellel is szerepel, ilyenek az , ezek elűnnek.
Ebből az alakból már meghatározható a határérték, hiszen .
A részletösszegek sorozatának határértéke így a következő: .
Ez a sor összege, azaz .
|
2. feladat Tekintsük a sort. Határozzok meg az részletösszegeket! Döntsük el konvergens-e a sor, s ha igen, adjuk meg a sorösszeget!
Megoldás: Az részletösszeg azt jelenti, hogy vesszük azon sorozat első két elemének az összegét, melyből a sort képeztük. Ez a sorozat most . Így a következőt kapjuk:
Ugyanígy kapjuk értékét is, de ehhez már a sorozat első négy elemét kell összeadnunk.
Ez volt a feladat könnyebb része. A következő részhez írjuk fel mit is jelent .
Sajnos ebből az alakból nem tudjuk meghatározni a határértéket, ezért alakítsunk rajta úgy mint az előző feladatban. Nézzük először az utolsó törtet, és alakítsuk szorzattá a nevezőt.
Bontsuk fel a törtet két tört különbségére.
Hozzuk közös nevezőre a két törtet, majd a számlálóban végezzük el a kivonást.
Mivel végig egyenlőség áll, ezért a sor elején és végén álló két tört egyenlő. Nevezőjük azonos, ezért a számlálóik is egyenlőek, azaz . A részletösszegben szereplő utolsó tört ezért a következő módon alakítható át:
.
Ugyanilyen átalakítást végezhetünk azonban a többi törtön is, amikor helyén valamilyen konkrét szám áll. A részletösszeg ezért így írható:
.
A zárójelek előtti kiemelhető, a törteket pedig összeadhatjuk. Nagyon sok olyan tört van azonban, ami pozitív és negatív előjellel is szerepel, így ezek eltűnnek. Ilyenek az . Az előző feladathoz viszonyítva az a különbség, hogy ezek a törtek nem közvetlenül egymás mellett állnak, és több tört marad meg az elején és a végén is. A következő kifejezést kapjuk:
.
Ennek a kifejezésnek már meg tudjuk határozni a határértékét. Mivel mindegyike -hoz tart, ezért
.
Ez lesz tehát a sorösszeg, azaz .
|
3. feladat Határozzuk meg a sor esetén értékét, majd döntsük el konvergens vagy divergens a sor, s ha konvergens, akkor adjuk meg a sorösszeget!
Megoldás: A 3. részletösszeg meghatározásához az sorozat első három elemét kell összeadnunk.
A konvergencia eldöntéséhez most elvileg úgy kellene eljárnunk, mint az előző feladatban, a részletösszegek sorozatánal határértékét kellene meghatároznunk. Ez általában nem könnyű feladat, így ha lehtőségünk van rá, akkor egy sort megpróbálunk visszavezetni olyan sorra, amelyet már ismerünk. Vegyük észre, hogy a részletösszegben szereplő tagok az előző feladatban a 4. részletösszegében is előfordultak, de ott még egy tag, az is előttük volt. Ezek alapján az sejthető, hogy ez a sor lényegében azonos az előző feladatban szereplővel, csak abból elhagytuk az első tagot. Ennek bizonyításához tekintsük az összegzett sorozatot definiáló kifejezést, és alakítsuk szorzattá a nevezőt.
A nevező gyökei: .
Ebből ,
illetve .
A nevezőben szereplő tényezők tehát pontosan eggyel nagyobbak, mint az előző feladatban, azaz a sejtésünk igaz, az előző feladatban szereplő sor első tagját elhagyva kapjuk az ezen feladatban levő sort. (Formálisan azt tehetnénk, hogy helyére -t írunk, s az összegzést nem egytől hanem kettőtől indítjuk.) Mivel véges sok tag elhagyása vagy hozzávétele nem befolyásolja egy sor konvergenciáját, ezért ezen sor is konvergens lesz, s az összeget az előző feladat eredményét felhasználva kapjuk.
A sorösszeg tehát .
Megjegyzés: A sorokban az összegzést általában 1-től indítjuk, de indíthatjuk máshonnan is. Mint a feladatból látható, ha 1-nél magasabbról indulunk, akkor tagokat kell elhagyni a sorból, ha 0-tól vagy negatív számtól indulunk, akkor pedig tagokat kell hozzávennünk a sorhoz.
|
4. feladat A esetén határozzuk meg és értékét, valamint döntsük el konvergens-e a sor, s ha igen adjuk meg a sorösszeget!
Megoldás: Most az sorozat elemeit kell összegezni.
Nyilvánvaló, hogy a részletösszegek sorozata végtelenhez tart, mert az összeg utolsó tagja, is végtelenhez tart, és ehhez adunk még pozitív értékeket.
A sor divergens, nem létezik véges sorösszeg.
|
5. feladat Döntsük el konvergens-e a sor, s ha igen adjuk meg a sorösszeget!
Megoldás: Eljárhatnánk olyan módon, mint az előző feladatokban, tehát meghatározhatnánk a részletösszegek sorozatának határértékét, de ez elég fáradságos. Írjuk inkább a sort alakban, s ekkor láthatóan egy mértani sort kapunk, melyben . A konvergencia vizsgálatához így elegendő azt megnézni, hogy vagy teljesül. Mivel , ezért a sor konvergens lesz.
A mértani sor összegéről tudjuk: .
Ezért ennek a sornak az összege: .
|
6. feladat Vizsgáljuk meg konvergens-e a sor, s ha igen adjuk meg a sorösszeget!
Megoldás: Alakítsuk át a sort.
Egy olyan mértani sor -szörösét kaptuk, melyben . Mivel , ezért ez a mértani sor divergens, s ha pozitív számmal szorozzuk, akkor is divergens sort kapunk.
|
7. feladat Konvergens-e a sor, s ha igen mi a sorösszeg?
Megoldás: Végezzünk most is átalakításokat.
Most két mértani sor számszorosának összegére bontottuk a sort, melyekben illetve . Mivel és teljesül, ezért mindkét sor konvergens, s így számszorosaik összege is konvergens. A konvergens mértani sorokra vonatkozó összefüggés alapján a sorösszeg:
.
|
8. feladat Vizsgáljuk meg milyen értékek esetén konvergens a sor. Amikor konvergens, mi a sorösszeg? ( és )
Megoldás: Ismét mértani sorról van szó, . A konvergencia eldöntéséhez az egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Ez az egyenlőtlenség formában is írható. Ennek megoldását a tangens függvény grafikonjáról olvassuk le. Az ábrán csak egy periódust tüntettünk fel, de vegyük figyelembe, hogy a függvény periodikus.

Az egyenlőtlenség megoldása: . Ekkor a sor konvergens, és a
sorösszeg: .
A megengedett egyéb értékek estén a sor divergens. |
9. feladat Egy egységnyi oldalú négyzet belsejébe az ábrán látható módon egység oldalú négyzetet írunk, majd annak belsejébe egység oldalú négyzetet, s ezt így folytatjuk tovább. A négyzetek belsejét az ábrán látható módon kiszínezzük. Mekkora a fekete színű síkrészek területének összege?

Megoldás: A feladatot kétféle gondolatmenettel is megoldjuk. 1. gondolatmenet: A legnagyobb négyzet területe 1 egység, a következőé , az utána következőé stb. Induljunk el a legnagyobb négyzet területéből, és vonjunk le belőle egységet, mintha a teljes jobb alsó negyed fehér lenne. Ez azonban nem igaz, ezért adjunk hozzá egységet, mintha a következő négyzet teljesen fekete lenne. Ezután ismét vonjunk egységet, mintha a következő négyzet teljesen fehér lenne, s folytassuk így tovább. Eszerint a területet a következő sor adja:
.
Ez egy olyan mértani sor, melyben . Mivel , ezért a sor konvergens, és a sorösszeg, ami a fekete síkrészek területének összege, a következő:
.
2. gondolatmenet: Foglalkozzunk most csak a fekete síkrészekkel, ezek nyilvánvalóan hasonlóak, s két egymást követő fekete síkrész között a hasonlóság aránya . A hasonló alakzatok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő, ezért két egymást követő fekete síkrész területének aránya . Mivel a legnagyobb fekete síkrész területe , ezért a következő területe , a következőé pedig . A kérdéses terület ezért a következő sor összegeként kapható:
.
Ez egy mértani sor számszorosa, s most . Az egyenlőtlenség most is igaz, tehát a sor konvergens, s összege a következő:
.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mivel egyenlő a sor negyedik részletösszege, azaz ? |
2. kérdés: Az előző kérdésben szereplő sornak mennyi az összege? |
3. kérdés: A sornak mennyi a sorösszege? |
4. kérdés: Mi a sor összege? |
5. kérdés: Konvergens-e a sor, s ha igen mi az összege? |
6. kérdés: A sornak mi az összege? |
7. kérdés: Konvergens-e a sor, s ha igen mi az összege? |
8. kérdés: Milyen értékek esetén konvergens a sor? |
|