29. lecke: Összetett függvények integrálása, ha a belső függvény lineáris
| Tanulási cél: Megismerni az olyan összetett függvények integrálási módszerét, melyek belső függvénye lineáris.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I Fejezet: 8.3
Elméleti összefoglaló: Ha olyan összetett függvényt integrálunk, melynek belső függvénye lineáris, akkor a külső függvényt integráljuk, a belső függvényt változatlanul hagyjuk, s a belső függvény deriváltjával osztunk. Ugyanez képletben:
, ahol teljesül.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat
Megoldás: Olyan összetet függvényt kell integrálnunk, melynek külső függvénye a , belső függvénye pedig a . Mivel a belső függvény lineáris, vagy más szóval elsőfokú, ezért alkalmazható a fenti integrálási módszer. Vegyük a külső függvény integrálját.
Ennek a kompozícióját kell vennünk a belső függvénnyel, s osztani a belső függvény deriváltjával, ami lineáris esetben együtthatója. Azt kapjuk:
.
Megjegyzés: Az ilyen feladatok megoldása során általában az okozza a legtöbb gondot, hogy fel kell ismerni az integrandusról, milyen típusú függvény. Ha már lájuk rajta, hogy összetett, s a belső függvény lineáris, akkor a módszer alkalmazása már könnyű. A felismerésben az segít, hogy tudjuk, az elsőfokú függvényekben -nek csak valamilyen számszorosa szerepel.
|
2. feladat
Megoldás: A külső függvény ebben az esetben az , a belső pedig . Integráljuk a külső függvényt.
Vegyük ennek összetételét a belső függvénnyel, s osszunk a belső függvény deriváltjával. Kapjuk:
.
|
3. feladat
Megoldás: Az integrandus ez esetben egy többszörösen összetett függvény. A külső függvény az , középső a , s belső a . Ha integrálni akarunk, akkor nem célszerű ennyire felbontani a függvényt, hanem csak egyszeresen összetettként kell kezelnünk, melyben a külső, és a belső függvény. Azért célszerű így csinálni, mert az szerepel az alapintegrálok között, a belső függvény pedig lineáris. A külső függvény integrálja most a következő:
.
Vegyük ennek kompozícióját a belső függvénnyel, s osszunk a belső függvény deriváltjával.
Megjegyzés: Integrálásnál a többszörösen összetett függvényeket sokszor nem kell teljesen felbontani részekre, mert az alapintegrálok között sok összetett függvény is szerepel. Olyan függvényt, mely alapintegrál, nem kell tovább bontani külső és belső függvényre. Az alapintegrálok biztos ismeretét egyszer már hangsúlyoztuk, ezen a ponton azonban erre még egyszer felhívjuk a figyelmet. Aki ugyanis nem tudja az alapintegrálokat, az nem vagy nehezen ismeri fel, hogy egy ilyen összetett függvényt miként célszerű felbontani részekre.
|
4. feladat
Megoldás: Az integrandus ezen esetben is összetett függvény. Külső függvény , a belső pedig . Vegyük a külső függvény integrálját.
Az eredeti feladat megoldásához, vegyük ennek összetételét a belső függvénnyel, s osszunk a belső függvény deriváltjával.
|
5. feladat
Megoldás: A külső függvény jelen esetben az alapú exponenciális függvény, azaz , a belső pedig a elsőfokú függvény. A külső függvény integrálja:
.
Vegyük a kompozícióját a belső függvénnyel, s osszunk a belső függvény deriváltjával.
Megjegyzés: A lináris belső függvény általános alakja . Az esetek nagy részében ez könnyen felismerhető, de kicsit nehezebb ezt észrevenni, ha , s ha , mert ilyenkor a belső függvény csupán . Ekkor se feledkezzünk el a -gyel való osztásról. Mindig figyeljünk oda, mi a belső függvény deriváltja. |
6. feladat
Megoldás: Az integrandus nagyon hasonlít az függvényre, mely alapintegrál. Ha a -et inkább alakban írjuk, akkor látható, hogy az előbb említett alapintegrálban szerepét a vette át, hiszen az integrál alakja:
.
Olyan összetett függvényt kell tehát integrálnunk, melynek külső függvénye az , a belső pedig a függvény. A külső függvény integrálja:
.
Ennek vesszük az összetételét a belső függvénnyel, és osztunk a belső függvény deriváltjával.
|
7. feladat
Megoldás: Az integrandus most is az alapintegrálra hasonlít, de más helyen tér el attól. Jó lenne, ha a nevezőben levő helyén állna. Ennek eléréséhez emeljünk ki a nevezőből -et, melyet rögtön az integráljel elé is írhatunk. Így az integrál a következő:
Ez a függvény lényegében olyan, mint az előző feladat integrandusa, alakítsuk ezért úgy, mint az előbb. Írjunk az helyett -t. A feladat alakja ezáltal:
.
Ezen már látszik, hogy összetett függvénnyel állunk szemben, ahol a külső, és a belső függvény. Vegyük a külső függvény integráljának összetételét a belső függvénnyel, s osszunk a belső függvény deriváltjával. Az eredmény tehát:
.
|
8. feladat
Megoldás: Az integrandus egyre kevésbé hasonlít az függvényre, de azért még megpróbáljuk hasonlóvá alakítani. Ehhez a nevezőben ki kell alakítani egy elsőfokú kifejezés négyzetét, amihez egy konstanst adunk még hozzá. Ez a teljes négyzetté alakítás. Mivel , ezért az integrál a következőképpen is írható:
.
Így már jól látható, hogy külső függvény ismét az , a belső pedig a függvény. Alkalmazzuk az eddigiekben használt módszert. Az eredmény:
.
|
9. feladat
Megoldás: Alkalmazzuk azokat az átalakításokat, melyeket az előző három feladatban már használtunk. Először a nevezőt alakítsuk teljes négyzetté. Eközben a számlálóból a konstanst az integrál elé emelhetjük.
Emeljünk ki a nevezőből -et.
Az -et írjuk inkább alakban.
Ezen alakból már nyilvánvaló, hogy az külső, és a belső függvényekből álló összetett függvényt kell integrálnunk. Alkalmazható a leckében ismertetett módszer. Eredményül kapjuk:
.
Megjegyzés: A feladat megoldása során alkalmazott átalakítások segítségével itegrálhatjuk az összes olyan törtet, amelynek számlálója konstans, nevezője pedig másodfokú polinom, de nem teljes négyzet. Ilyenkor a nevezőben teljes négyzetté alakítunk, majd kiemeléssel elérjük, hogy a konstans helyén 1 álljon. Ezután kétféle lehet a nevező alakja, vagy , vagy . Mivel az és függvények mindegyike alapintegrál, ezért az integrálás elvégezhető a leckében ismertetett módszerrel. Ugyanígy itegrálhatók az olyan függvények is, melyekben a számláló konstans a nevezőben pedig másodfokú kifejezés négyzetgyöke szerepel. Ilyenkor a gyök alatt kell végrehajtani a teljes négyzetté alakítást. A kiemeléssel most nem mindig érhető el, hogy a konstans 1 legyen, ha negatív volt a konstans, akkor -1 alakítható ki. (Négyzetgyök alól nem emelhető ki negatív szám.) Ezután a nevező alakja háromféle lehet: vagy . Mivel az és függvények mindegyike alapintegrál, ezért az ilyen függvények is integrálhatók. Valamennyi esetre nem nézünk példát, de egy olyan feladatot még mogoldunk, melyben a nevezőben négyzetgyök alatt áll másodfokú kifejezés.
|
Ellenőrző kérdések:
|