18. lecke: Függvények határértéke (1)
| Tanulási cél: A többfajta határérték fogalom megismerése, a határértékszámítás legfontosabb tételeinek elsajátítása, valamint a és típusú határozatlan határértékek legfontosabb kiszámítási módszereinek megismerése és begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 5.2. és 5.3.
Elméleti összefoglaló: A határétékben a lehet valós szám, a és a , ez tehát három lehetőség. Az lehet valós szám, , , és egyoldali határérték esetén vagy . Ez öt újabb lehetőség. Mivel bármelyik bármelyikkel társulhat, összesen 15 fajta határérték fogalom (definíció van) van.
Mindegyik definíció intuitív tartalma az, hogy ha az független változóval elég közel vagyunk -hoz, akkor az függvényérték elég közel lesz -hoz.
Erre a sokféle határértékre persze számos tétel vonatkozik, ezek közül itt csak a leggyakrabban alkalmazásra kerülőket említjük meg.
Legyen valós szám, és tegyük fel, hogy , és . Ekkor
,
,
,
, ahol tetszőleges konstans,
, ha .
Ha vagy , akkor .
A kétoldali hatérérték akkor és csak akkor létezik, ha létezik külön a bal oldali, és külön a jobb oldali határérték, és egyenlők egymással. Ekkor a kétoldali limesz is ezzel a közös értékkel egyenlő.
|
A határozatlan alakú határértékek egyik legfontosabb típusa a típusú határérték. Ilyen típusú törtek határértékének kiszámolásakor a kulcsszó a kiemelés. A számlálóból és a nevezőből is kiemelünk egy olyan mennyiséget, hogy a nevezőben a kiemelés után maradó kifejezés nullától különböző konstanshoz tartson. Ezután a határérték általában kiszámolható, vagy felismerthető, hogy nem létezik.
Gyakran fel fogjuk használni a következő fontos határértéket:
.
A másik fontos határozatlan alak a típusú határérték. Látjuk majd, hogy itt is a kiemelés fog segíteni. Ehhez fel fogjuk használni a másodfokú polinomok gyöktényezős felbontását is: ha az egyenlet két gyöke és , akkor a polinom felírható
szorzat alakban.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: Alkalmazzuk a fenti tételeket. Mivel a függvényünk három tagból álló összeg, az első két tétel alapján három határérték összegére bontjuk az eredeti határértéket:
.
Majd a középsőben alkalmazzuk a negyedik tételt, ekkor azt kapjuk, hogy a kiszámítandó határérték
.
Végül, felhasználva a harmadik tételt is,
.
|
2. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Ismét a fenti tételek használatával írhatjuk, hogy
. |
3. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A függvények szorzatának határértékéről szóló harmadik tételt használva
. |
4. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Egy jobb oldali határértéket kell kiszámítani. Ez azt jelenti, hogy úgy tart háromhoz, hogy mindig nagyobb háromnál. Ekkor az különbség a nevezőben nullához tart, de mindig pozitív. A számláló persze háromhoz tart. Ha egy háromhoz tartó mennyiséget egy nagyon kicsi pozitív számmal elosztunk, akkor egy nagyon nagy, pozitív számot kapunk. Minél kisebbel osztunk, annál nagyobbat. Ezért
. |
5. feladat Kiszámítandó a határérték.
Megoldás: Most egy bal oldali határértékkel van dolgunk. Tehát az úgy tart egyhez, hogy mindig kisebb egynél, így a nevezőben nullához tart, de mindig negatív. Külön a számláló határértéke:
.
Tehát egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk egy nullához tartó, de negatív mennyiséggel, az eredmény egy -hez tartó mennyiség, azaz
. |
6. feladat Számítsuk ki a és a határétékeket.
Megoldás: Kezdjük a jobb oldali határértékkel.
Ebben külön a számláló határértéke:
,
külön a nevező határértéke:
.
Egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk tehát egy nullához tartó mennyiséggel.
Ha egy nullától különböző mennyiséget kell osztanunk egy nullához tartó mennyiséggel, akkor mindig tisztázni kell, hogy a nevező azonos előjelűen tart-e a nullához.
Ha most a nevezőt alakban írjuk fel, láthatjuk, hogy az első tényező kettőhöz, a második tényező nullához tart, de mindig pozitív, így a nevező úgy tart nullához, hogy mindig pozitív.
Tehát egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk egy nullához tartó, de pozitív mennyiséggel, az eredmény egy -hez tartó mennyiség, azaz
.
A bal oldali limesz esetén csak annyi a kükönbség, hogy most az , és emiatt az egész nevező, a negatív számokon keresztül tart nullához.
Tehát most egy háromhoz tartó mennyiséget osztunk egy nullához tartó, de mindig negatív mennyiséggel. Az eredmény egy mínusz végtelenbe tartó mennyiség, azaz
.
Az egyoldali határértékek léteznek ugyan, de mivel nem egyenlők, a
kétoldali határérték nem létezik. |
7. feladat Számoljuk ki a határértéket.
Megoldás: A tört nevezőjének határértéke
.
Alkalmazva az utolsó tételünket, az előbbi másodfokú kifejezés reciproka tehát nullához tart, és annak a -szerese is persze nulla, azaz
. |
8. feladat
Megoldás: Mivel a nevező határértéke
,
az utolsónak említett tétel szerint
.
|
9. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Egy polinom valamelyik végtelenben vett határétékét mindig kiszámolhatjuk úgy, hogy kiemeljük a polinom legmagasabb fokú tagját. Ez a kiemelt rész mindig valamelyik végtelenbe tart, a maradék mindig a főegyütthatóhoz, és az előjelek döntik el, hogy végül is melyik végtelen a limesz. (Mindig valamelyik végtelen.)
Most tehát kiemelünk -t:
.
Ebben a szorzatban az tart plusz végtelenbe, a zárójeles mennyiség második két tagja tart nullához, ezért az egész zárójeles kifejezés 1-hez tart. Ezek alapján
. |
10. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Mind a számláló, mind a nevező a plusz végtelenben plusz végtelenhez tart. Tehát egy típusú határértékkel van dolgunk.
Mivel a számláló és a nevező is elsőfokú polinom, kiemelünk a számlálóból és a nevezőből is -et, majd egyszerűsítünk is vele:
.
Most már külön a számláló:
,
felhasználva a fenti nevetetes határétéket.
Külön a nevező:
.
Ezek alapján végül is:
. |
11. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Az első feladatban alkalmazott módszerrel megvizsgáljuk a számló határértékét:
,
hiszen az tényező plusz végtelenbe tart, a zárójeles tényező pedig 2-höz, így a szorzatuk limesze persze plusz végtelen.
Hasonlóan eljárva a nevezőben:
,
mivel a zárójeles tényező most -1-hez tart.
Egy típusú határértékkel van tehát dolgunk. (A végtelenek előjele ebből a szempontból nem fontos.)
Kiemelünk a számlálóból is és a nevezőből is -et, majd egyből egyszerűsítünk is vele. Ekkor
,
hiszen az utolsó tört számlálója 2-höz, a nevezője pedig -1-hez tart.
|
12. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A számlálóban
.
(Az mínusz végtelenben mínusz végtelenhez tart!)
A nevezőben pedig
,
hiszen most a zárójeles tényező -1-hez tart, (az persze a mínusz végtelenben is plusz végtelenhez tart.)
Alkalmazzuk a módszerünket, és kiemelünk a számlálóból is és a nevezőből is -et. Ekkor
,
hiszen az utolsó törtben a számláló mínusz végtelenhez tart, a nevező pedig -1-hez.
A fenti feladatokból leszűrhető a következő:
Két polinom hányadosának a határértékét valamelyik végtelenben mindig kiszámolhatjuk úgy, hogy a számlálóból is és a nevezőből is kiemeljük a nevező legmagasabb fokú tagját. Egyszerűsítés után a nevező a főegyütthatójához fog tartani, ezután a határérték leolvasható.
|
13. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Kezdjük a számlálóval:
.
Ez azért van így, mert az 1 gyöke a számlálónak.
Hasonlóan a nevezőben:
,
mivel az 1 a nevezőnek is gyöke.
Tehát egy típusú határértéket kell kiszámolnunk.
Gyöktényezők szorzatára bontjuk a számlálót is és a nevezőt is.
A számláló két gyöke 1 és 2, tehát
.
A nevező két gyöke -1 és 1, tehát
.
Ezek alapján most már írhatjuk, hogy
.
Ha most egyszerűsítünk az tényezővel, az eredeti határérték a
határérték kiszámolására egyszerűsödik. Itt persze a számláló -1-hez, a nevező 2-höz tart, azaz
. |
14. feladat Kiszámítandó a határérték.
Megoldás: Minthogy
,
illetve
,
ismét típusú határértékkel van dolgunk, aminek megint az az oka, hogy a 2 gyöke a számlálónak is és a nevezőnek is.
Gyöktényezők szorzatára bontjuk a számlálót is és a nevezőt is.
A számláló két gyöke és , a gyöktényezős felbontása tehát
.
A nevező két gyöke és , a gyöktényezős felbontása tehát
.
Felhasználva a szorzatra bontásokat, és egyszerűsítve a problémát okozó tényezővel,
. |
15. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A számlálóban
,
a nevezőben
.
A határérték tehát típusú.
A megoldóképletet használva a számláló gyökei: , a nevező gyökei: . (Persze a -1 mind a kettőnek gyöke.)
Felhasználva a gyöktényezős felbontásokat, majd egyszerűsítve a gondot okozó tényezővel, kapjuk, hogy
.
Ellenőrző kérdések:
|