8. lecke: Számsorozatok határértékének meghatározása 3.
| Tanulási cél: Az típusú sorozatok egyik osztálya esetén, a határérték meghatározására szolgáló módszer elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Fejezet: 3.
Elméleti összefoglaló:
Az típusú sorozatok kritikusak, határértékükről nem lehet egyértelműen nyilatkozni. Ismerünk azonban néhány nevezetes határértéket:
, ahol bármilyen végtelenhez tartó sorozat lehet.
A feladatokban igyekszünk úgy alakítani a sorozatokat, hogy ezen nevezetes határértékek valamelyike jelenjen meg.
Kidolgozott feladatok:
1.feladat
Megoldás: Mint ezt már a határértékek meghatározásánál megszoktuk, először a típust vizsgáljuk meg. Mivel a kifejezésben hatványozás szerepel, külön vizsgáljuk az alapot és a kitevőt.
A hatvány alapja: , hiszen tart 0-hoz.
A kitevő:
A sorozat típusa tehát . A feladatban szereplő kifejezés nagyon hasonlít az elméleti összefoglalóban felsorolt 1. illetve 2. nevezetes határértékhez, a különbség csupán az, hogy a nevezetes határértékben az alapban levő tört nevezője és a kitevő megegyezik, itt pedig nem. Használjuk fel a hatványozás azon azonosságát, hogy ha egy kitevőben szorzat áll, akkor az ismételt hatványozásként is írható. Kifejezésünk így a következőképpen alakul.
Az ismételt hatványozás első része -hez tart, s mivel ezt még 3. hatványra emeljük, a határérték lesz.
|
2. feladat
Megoldás: A típus nyilvánvalóan . Mivel a kitevőben nem olyan szorzat van, melynek egyik tényezője az alapban levő nevező, egy kicsit többet kell alakítanunk. Szorozzuk meg először a kitevőt -nel, és osszuk is vele, majd ezután írjunk ismételt hatványozást.
Az első hatvány -hez tart, a második kitevő pedig 3-hoz, hiszen
,
s ezért a határérték lesz.
|
3. feladat
Megoldás: A típus most is . A alakítsuk a kifejezést hasonlóan mint az előző feladatban, szorozzuk a kitevőt és osszuk is -gyel, majd írjunk ismételt hatványozást.
A zárójelben levő hatvány -hez tart, a felső kitevő pedig -hez, hiszen
,
ezért lesz a határérték .
|
4. feladat
Megoldás: A kitevő végtelenhez tart, az alap pedig 1-hez, hiszen a már többször alkalmazott egyszerűsítéssel
,
tehát ismét a határérték típusa. Az alap viszont más alakú, mint az eddigi feladatokban, ez azonban csak látszat. Kis átalakítással olyanná válik, mint eddig. Írjuk most csak az alapot, s a számlálót bontsuk olyan összegre vagy különbségre, melynek első része egyenlő a nevezővel.
Bontsuk ezt két törtté, és egyszerűsítsük ez elsőt.
Írjuk be ezután ezt a határértékben a hatvány alapjába, majd alkalmazzuk a kitevőben az előző feladatokban megismert eljárást.
A zárójelben levő hatvány most -hez tart, hiszen az alapban levő tört számlálója most 5, a kitevő határértéke pedig egyszerűsítés után , az egész kifejezésé pedig így .
|
5. feladat
Megoldás: A határérték típusa , az indoklás úgy történik, mint az előző feladatban, s a megoldás lépései is teljesen azonosak. Először alakítsuk az alapot.
Azután a kitevőt.
A zárójelben levő hatvány tart -hoz, hiszen az alapban a tört számlálója -8, a kitevőről pedig a szokásos egyszerűsítéssel látszik, hogy 3-hoz tart, így az egész kifejezés határértéke .
|
6. feladat
Megoldás: Vizsgáljuk meg a típust. A kitevő végtelenhez tart, az alapot pedig a szokott módon egyszerűsítve a következőt kapjuk.
A feladatban tehát most nem , hanem típusú határérték szerepel. Ez nem kritikus, hiszen ha egy 1-nél nagyobb számot egyre nagyobb kitevőre emelünk, akkor egyre nagyobb értékeket kapunk, a hatvány minden határon túl növekszik, s így a határérték végtelen lesz.
Megjegyzés: Aki az előző feladatok után megpróbál a típus vizsgálata nélkül átalakításokat végrehajtani, s a határértéket az előzőekben vázolt módszerrel meghatározni, az zsákutcába kerül. A típus vizsgálata azért nagyon fontos, mert ha egy határérték nem kritikus, akkor azzal nem kell tenni semmit, csak le kell olvasni. Mindenféle átalakítás felesleges ilyenkor, sőt esetleg még ronthat is a helyzeten.
|
7.feladat
Megoldás: Az alap határértéke:
.
A kitevő végtelenhez tart, így a típus . Ez sem kritikus. Mivel , ha egyre nagyobb kitevőre emeljük, akkor 0-hoz egyre közelebbi értéket kapunk, a határérték 0 lesz. (Hivatkozhatunk a sorozat határértékére, az esetben.)
|
8. feladat
Megoldás: A típus most is . Az indoklás hasonló, mint korábban már többször láttuk. Alakítsuk először az alapot,
,
majd a kitevőt
.
A zárójelben levő hatvány -hez tart. A kitevő határértékét egyszerűsítés után kapjuk.
A típus az átalakítás után lett, azaz 1-nél nagyobb végest egyre nagyobb kitevőre emelünk, s így a határérték végtelen lesz.
|
9. feladat
Megoldás: A típus . Hajtsuk végre az előző feladatokban megismert átalakításokat.
A zárójelben levő hatvány tart -hoz. A kitevőt egyszerűsítsük.
Mivel egy nem 0 értéket emelünk 0. hatványra, a határérték 1 lesz.
Ellenőrző kérdések:
|