KURZUS: Matematika (Függvénytan)
MODUL: Halmazok
1. lecke: Halmazok megadása, metszet, unió, kivonás
Tanulási cél: Megismerkedni a halmazok megadásának módjaival, a Venn-diagramokkal, az unió, a metszet és a különbség műveletekkel és ezek tulajdonságaival. | |||
Tananyag: | |||
Elméleti összefoglaló: | |||
, | |||
ahol fejezi ki azt a bizonyos "tulajdonságot". | |||
Fontos, hogy ezzel a definiálási móddal csak egy létező halmaz elemei közül lehet kiválasztani azokat az elemeket, amelyek rendelkeznek a tulajdonsággal. | |||
Pl.: . | |||
Az és a halmazok -vel jelölt uniójának pontosan azok a dolgok az elemei, amelyek elemei az vagy a halmaznak. | |||
Az és a halmazok -vel jelölt metszetének pontosan azok a dolgok az elemei, amelyek elemei az és a halmaznak. | |||
Ezekre a műveletekre teljesülnek az alábbi azonosságok. | |||
Mindkét művelet kommutatív, azaz | |||
, | |||
és | |||
. | |||
Mindkét művelet asszociatív, azaz | |||
, | |||
és | |||
. | |||
Mindkét művelet disztributív a másikra nézve, azaz | |||
, ez az unió disztributivitása a metszetre nézve, | |||
illetve | |||
, ez a metszet disztributivitása az unióra nézve. | |||
A fenti azonosságok több halmaz esetén is érvényesek. | |||
, | |||
, | |||
ahol az indexek az indexek egy tetszőleges sorrendje. | |||
Hasonlóan | |||
, | |||
. | |||
Ezeknek a formuláknak, mint minden formulának, a tartalmát érdemes memorizálni. Például az utolsó formula azt mondja, hogy halmazok unióját úgy kell metszeni egy halmazzal, hogy az unió minden tagját metsszük a halmazzal és vesszük az így kapott halmazok unióját. | |||
Az és a halmazok -vel jelölt különbsége az a halmaz, amelynek elemei az halmaz azon elemei, amelyek nincsenek a halmazban. | |||
Ha halmazokat a halmazelméleti műveletekkel kapcsolunk össze, akkor halmazalgebrai kifejezéseket kapunk. Egy gyakori feladattípus az, amikor két halmazalgebrai kifejezés egyenlőségét kell bizonyítani. | |||
Háromféle módszer is kínálkozik az ilyen típusú feladatok megoldására. | |||
1. Venn-diagramok felrajzolása | |||
Ez nem egy korrekt bizonyítási módszer, de szemléletes és ezért, ha a korlátjaival tisztában vagyunk, használható, és használni is fogjuk. | |||
A Venn-diagramokkal az a baj, hogy egyrészt sok - négy, öt stb. - halmazt tartalmazó feladatok esetén a kiinduló ábra elkészítése igen körülményes. | |||
A másik, még komolyabb gond, hogy vannak olyan halmazok, amelyeknek olyan sok eleme van, hogy azok a sík részhalmazaival nem reprezentálhatók. | |||
De gond van a Venn-diagramokkal véges halmazok esetén is, mert ilyenkor azt kell tisztázni, hogy az elemek a diagram melyik részhalmazaiba esnek. | |||
Arra azonban kiválóan alkalmasak a Venn-diagramok, hogy ötleteket adjanak a megoldáshoz, hogy segítségükkel megsejtsünk igaz összefüggéseket, vagy leteszteljük, hogy egy állítás lehet-e egyáltalán igaz. | |||
2. Levezetés | |||
Így fogjuk hívni azt a módszert, amikor a halmazelméleti azonosságok felhasználásával addig alakítjuk az egyik oldalt, míg a másikat nem kapjuk, vagy alakítgatjuk mindkét oldalt, amíg egyenlők nem lesznek. | |||
3. Kétoldali tartalmazás | |||
Tétel: és akkor, és csak akkor teljesül, ha . | |||
Ha erre a tételre alapozva úgy mutatjuk meg két halmaz egyenlőségét, hogy bebizonyítjuk az egyik oldal is része a másiknak és a másik oldal is része az egyiknek, akkor mondjuk azt, hogy kétoldali tartalmazással bizonyítunk. | |||
Kidolgozott feladatok: | |||
1. feladat Tekintsük az , a és a halmazokat. Határozzuk meg az halmazt. | |||
Megoldás: Először meghatározzuk az halmazt. Mivel a metszetben azok az elemek vannak, amelyek mindkét halmazban benne vannak . A kivonást úgy kell elvégezni, hogy ennek a halmaznak az elemei közül el kell hagynunk azokat, amelyek a halmazba esnek, azaz az és a elemeket. Így | |||
. | |||
2. feladat Tekintsük az és a halmazokat. | |||
Határozzuk meg -t. | |||
Megoldás: Először meghatározzuk az halmaz elemeit. Mivel pontosan akkor teljesül, ha vagy , az halmaz tehát | |||
. | |||
Meghatározzuk a halmaz elemeit. Az ötvennél kisebb prímszámok közül azok, amelyek eggyel nagyobbak egy négyzetszámnál a következők: 2, 5, 17, 37, hiszen az 1 is négyzetszám, vagyis | |||
. | |||
Ezek felhasználásával | |||
. | |||
3. feladat Legyenek , és tetszőleges halmazok. Ábrázoljuk Venn-diagram segítségével a halmazt. | |||
Megoldás: Feltesszük persze, hogy olyan halmazokról van szó, amelyekhez Venn-diagram rajzolható. Ez a további feladatokra is érvényes, amelyekben Venn-diagramról beszélünk, vagy azt rajzolunk. | |||
Az alábbi ábrából indulunk ki: | |||
| |||
Azért ilyen ábrából indulunk ki, mert ha semmi információnk nincs a halmazokról, akkor azt kell feltételezni, hogy mindhárom halmaznak vannak olyan elemei, amelyek a másik két halmazban nincsenek benne, bármely két halmaz metszetének vannak olyan elemei, amelyek a harmadik halmazhoz nem tartoznak hozzá és végül a három halmaz metszete sem üres. | |||
A formulánk egy kéttagú unió, az unió tagjai és . Úgy fogunk eljárni, hogy egy ábrán megjelöljük az unió egyik tagját, egy másikon a másik tagját, végül egy harmadik ábrán ezek unióját. (Lehetne egy ábrán is dolgozni, de akkor - különösen bonyolultabb feladatoknál - nehéz lehet a sok jelölés között kiigazodni. A gyakorlás elején célszerű több ábrát készíteni.) | |||
A következő ábrán balra dőlő vonalkázással megjelöljük a halmaz elemeit: | |||
| |||
| |||
Egy újabb ábrán jobbra dőlő vonalkázással megjelöljük az halmaz elemeit: | |||
| |||
| |||
Végül ennek a két megjelölt halmaznak kell az unióját venni, azaz az utolsó ábrán megjelölni minden olyan elemet, amelyet az előző két ábra valamelyikén megjelöltünk. Ezt mutatja a következő ábra: | |||
| |||
| |||
4. feladat Legyenek és tetszőleges halmazok. Igazoljuk az | |||
formulát Venn-diagram felhasználásával és kétoldali tartalmazással is. | |||
Megoldás: Két halmaz esetén persze a kiinduló Venn-diagram az alábbi: | |||
| |||
A bizonyítandó formula bal oldala most egy háromtagú unió. A következő ábrán egyszerre megjelöltük ennek az uniónak a tagjait. | |||
| |||
| |||
Láthatjuk, hogy azok az elemek, amelyek valamilyen módon meg vannak jelölve kiadják az halmaz minden elemét. Ezzel Venn-diagramokat használva "igazoltuk" a formulánkat. | |||
Most a matematika szempontból korrekt kétoldali tartalmazás módszerével bebizonyítjuk a formulánkat. | |||
Először megmutatjuk, hogy . | |||
Legyen . Azt kell belátnunk, hogy ekkor is teljesül. | |||
Ha az eleme a baloldali uniónak, akkor eleme az unió valamelyik tagjának. | |||
Ha , akkor a kivonás definíciója alapján benne van -ban, és ezért benne van az -nál bővebb -ben is, azaz . | |||
Ha , akkor benne van -ban és -ben is, tehát most is igaz, hogy . | |||
Végül ha , akkor benne van -ben és így most is . | |||
Mivel a baloldali unió tetszőleges eleméről kimutattuk, hogy az a jobboldali uniónak is eleme, ebből következik, hogy valóban . | |||
Most megmutatjuk, hogy . | |||
Legyen tetszőleges. Ekkor vagy . | |||
Ha , akkor két eset lehetséges. Az vagy benne van -ben vagy nem. Ha nincs -ben, akkor -ben van, (mivel -ban benne van), és ekkor benne van -ban is. Ha pedig benne van -ben, akkor benne van -ben is, tehát ismét benne van -ban. | |||
Teljesen hasonlóan, ha azért van az -ben, mert , akkor ismét két eset lehet. Ha nincs -ban, akkor benne van -ban és így -ban is, ha pedig benne van -ban, akkor ismét , amiből megint csak az következik, hogy . Ezzel megmutattuk, hogy . | |||
Tehát az eredeti formulánk bal oldalán álló halmaz része a jobb oldalon álló halmaznak és a jobb oldalon álló halmaz is része a bal oldali halmaznak. Ez csak úgy lehet, ha ezek a halmazok egyenlők. | |||
5. feladat Tegyük fel, hogy . Bizonyítsuk be, hogy ekkor tetszőleges halmaz esetén . | |||
Megoldás: Rajzoljunk egy Venn-diagramot. Ezt mutatja az alábbi ábra. | |||
| |||
Az ábra megrajzolásakor persze figyelembe vettük az feltételt, és -t úgy vettük fel, hogy ne csak -vel, de -val is legyen közös része, ez ugyanis a legáltalánosabb eset. | |||
Ezek után az alábbi ábrán megjelöljük az és a halmaz elemeit: | |||
| |||
Látjuk, hogy nincsenek olyan elemek, amelyeket mindkét fajta vonalkázással megjelöltünk, tehát a megjelölt halmazok metszete üres. A Venn-diagram tehát legalábbis hihetővé teszi a feladat állítását. Lássunk most egy korrekt bizonyítást. | |||
Megmutatjuk, hogy az halmaz egyetlen eleme sem lehet benne a halmazban. Ez valóban bizonyítja, hogy a metszetük üres. | |||
Legyen . Ekkor, -nak is, és mivel , következik, hogy . De -beli elem nem lehet -ben, így . Tehát a feladat állítása valóban igaz. | |||
6. feladat Bizonyítsuk be, hogy-ből nem következik, hogy. | |||
Megoldás: A feladat azt állítja, hogy az egyenletet nem lehet -vel egyszerűsíteni. Azt, hogy bizonyos feltételekből nem következik egy állítás, úgy lehet a legegyszerűbben bizonyítani, hogy megadunk a feltételeket kielégítő dolgokat, amelyekre a következtetés nem igaz. Ezt szokás ellenpéldának hívni. Mi most úgy fogunk eljárni, hogy megadunk három halmazt, -t, -t és -t, amelyekre , de . | |||
Tudjuk, hogy ha két halmaz közül az egyik része a másiknak, akkor az uniójuk a bővebb halmaz. Elég tehát megadnunk egy halmazt és két különböző részhalmazát, -t és -t, ezek a feltételt teljesíteni fogják, de a konstrukció alapján . Szemléletesen ez látható a következő ábrán. | |||
| |||
Ezután könnyen adhatunk konkrét példát is. Legyen mondjuk , és tekintsük az , halmazokat. Ekkor nyilván , de . | |||
7. feladat Igazoljuk, hogy -ből nem következik, hogy . | |||
Megoldás: Most is a legegyszerűbb ellenpéldát adni. Ehhez elég, ha eszünkbe jut, hogy ha egy halmaz része egy másik halmaznak, akkor a metszetük a szűkebb halmaz. Elég tehát megadnunk két halmazt, -t és -t és a metszetüknek egy részhalmazát. Ezek a feltételt kielégítik, de valóban nem igaz rájuk a következtetés. Szemléletesen ezt mutatja az alábbi Venn-diagram. | |||
| |||
A konkrét ellenpélda lehet a következő: , és . Ekkor valóban , de . | |||
8. feladat Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges , és halmazok esetén, ha és , akkor . | |||
Megoldás: Az előző két feladat mutatja, hogy külön-külön egyik feltétel sem elég ahhoz, hogy legyen. A feladat azt állítja, hogy együtt viszont már elegendőek. | |||
Azt kell tehát bizonyítani, hogy a feltételek esetén . | |||
Most kiinduló Venn-diagramot nem nagyon lehet rajzolni, és a levezetés sem járható út, (nem nagyon van mit egyszerűsíteni). Marad a kétoldali tartalmazással való bizonyítás. | |||
Először belátjuk, hogy . | |||
Legyen tetszőleges. Azt kell megmutatnunk, hogy is fennáll. | |||
Ha , akkor -nek és így a feltétel szerint vele egyenlő -nek is. Ha azért eleme a halmaznak, mert eleme -nek, akkor készen is vagyunk. Ha nem ez a helyzet, akkor , de a kiinduló feltételünk miatt , ezért is fennáll. A második feltétel szerint viszont , tehát , amiből nekünk csak az a fontos, hogy akkor is teljesül. | |||
Tehát valóban . | |||
Mivel mind a feltételek, mind a konklúzió szimmetrikusak -ban és -ben, készen is vagyunk. Az előző gondolatmentben csak fel kell cserélni és szerepét. Azért a rend kedvért, és gyakorlásképpen, belátjuk a tartalmazást is. | |||
Legyen tehát . Ekkor . Ha azért eleme az -nek, mert -ban van készen vagyunk. Ha nem, akkor muszáj, hogy legyen, de akkor is igaz, tehát most is következik, hogy-nak is. | |||
9. feladat Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges és halmazok esetén igaz a következő állítás: | |||
akkor és csak akkor, ha . | |||
Megoldás: Két állítás ekvivalenciáját kell igazolnunk, azaz megmutatni, hogy az egyik állításból következik a másik, és fordítva. | |||
Az egyik irány nyilvánvaló, hiszen ha , akkor és , tehát ekkor igaz a bal oldalon álló egyenlőség. | |||
Bizonyítsuk be azt is, hogy esetén . | |||
Most is kétoldali tartalmazással fogunk bizonyítani. | |||
Legyen , ekkor , de , tehát , amiből következik, hogy . Ez azt jelenti, hogy. | |||
A szimmetria folytán teljesen hasonlóan legyen . Ekkor , ami csak úgy lehet, hogy . Ebből következik, hogy . | |||
Ez a két tartalmazás együtt azt jelenti, hogy valóban . | |||
Ellenőrző kérdések: |
1. kérdés: Legyen , és . Ekkor
![]() | ||||||||||
2. kérdés: Legyen és . Ekkor
![]() | ||||||||||
3. kérdés: Legyenek , és tetszőleges halmazok. Ekkor Venn-diagramja:
![]() | ||||||||||
4. kérdés: Legyenek , és tetszőleges halmazok. Ekkor Venn-diagramja
![]() | ||||||||||
5. kérdés: Tetszőleges , és halmazok esetén
![]() | ||||||||||
6. kérdés: Tetszőleges , és halmazok esetén
![]() | ||||||||||
7. kérdés: Tetszőleges , és halmazok esetén
![]() | ||||||||||
8. kérdés: Tetszőleges , és halmazok esetén
![]() |