KURZUS: Matematika (Függvénytan)

MODUL: Sorozatok és sorok

14. lecke: Közgazdasági alkalmazások 2.

Tanulási cél: A gyűjtő- és törlesztőjáradék fogalmának megismerése, a rájuk vonatkozó összefüggések elsajátítása.

Elméleti összefoglaló:
Járadéknak nevezzük az egyenlő időközökben befizetett összegek sorozatát. Ha a befizető célja egy bizonyos pénzösszeg felhalmozása, akkor gyűjtőjáradékról, ha a befizető fenálló tartozását akarja így kiegyenlíteni, akkor törlesztőjáradékról beszélünk.

Éljünk a következő két egyszerűsítő feltevéssel:
a) A befizetési időközök megegyeznek a kamatperiódussal.
b) Minden alaklommal ugyanakkora összeget fizetünk be.

Gyűjtés esetén az utolsó befizetés után egy befizetési idöközzel felhalmozódott pénzösszeg ( S n ) nagysága a következő módon határozható meg az alkalmanként befizetett összegből ( C ) , a befizetési időközre eső kamatlábból ( r ) és a befizetések számából ( n ) :

S n = C ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r .

Ha egy bizonyos kölcsönöszeget törlesztünk úgy, hogy a kölcsön felvétele után egy befizetési időközzel fizetjük be az első részletet, akkor a kölcsön összege ( V n ) , a törlesztőrészlet ( C ) , a befizetési időközre eső kamatláb ( r ) és a befizetések száma között a következő összefüggés áll fenn:

V n . ( 1 + r ) n = C ( 1 + r ) n 1 r .

Kidolgozott feladatok:

1. feladat 10 éven keresztül befizetünk 50 000 Ft-ot az év elején 18 %-os kamatlábra. Mennyi pénzünk lesz a 10. év végén?

Megoldás: Olyan gyűjtőjáradékról van szó, melyben C = 50 000, r = 0.18, n = 10 .

S n = C ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r S 10 = 50 000 . 1.18 1.18 10 1 0.18 1 387 757

A kérdéses időpontban tehát 1 387 757 Ft lesz a számlánkon.

2. feladat Autóra szeretnénk gyűjteni, ezért 4 éven kersztül minden hónap elején be fogunk fizetni egy bizonyos összeget egy számlára. Mekkora legyen ez az összeg, ha a 4. év végére 3 000 000 Ft-ot akarunk össszegyűjteni és a nominális kamatláb 15 %?

Megoldás: Ismét gyűjtőjáradékról van szó, de most C az ismeretlen. A szövegből S n = 3 000 000, n = 48 , a befizetési időközre eső kamatláb pedig r = 0.15 12 = 0.0125 , mert a nominális kamatláb befizetési időközre eső részét kell vennünk.

S n = C ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r C = r . S n ( 1 + r ) ( ( 1 + r ) n 1 ) = 0.0125 . 3 000 000 1.0125 ( 1.0125 48 1 ) 45 424

A megadott összeg felhalmozásához 45 424 Ft-ot kell havonta befizetnünk.

3. feladat Nyugdíjas éveinkre szeretnénk összespórolni egy kis pénzt, ezért gyűjtésbe akarunk kezdeni. A nyugdíjba vonulásunk előtt legalább mennyi idővel kezdjünk el takarékoskodni, ha havonta 5 000 Ft-ot szánunk erre a célra, a nominális kamatláb 12 %, és legalább 2 000 000 Ft-ot szeretnénk összegyűjteni?

Megoldás: A feladat hasonlít az előző kettőre, csak most a befizetések száma az ismeretlen. Ismertek: S n = 2 000 000, C = 5 000, r = 0.12 12 = 0.01 . A kamatláb esetében most is csak a nominális kamatláb befizetési időközre eső részét kell vennünk.

S n = C ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r r . S n C ( 1 + r ) + 1 = ( 1 + r ) n

Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, és cseréljük fel az oldalakat.

n . lg ( 1 + r ) = lg ( r . S n C ( 1 + r ) + 1 ) n = lg ( r . S n C ( 1 + r ) + 1 ) lg ( 1 + r ) = lg ( 0.01 . 2 000 000 5 000 . 1.01 + 1 ) lg 1.01 160.95

A gyűjtést tehát legalább 161 hónappal, azaz 13 év és 5 hónappal a nyugdíjba vonulás előtt meg kell kezdeni.

4. feladat Év elején felvettünk 500 000 Ft kölcsönt 20 %-os kamatláb mellet 4 év futamidővel úgy, hogy évente egy-egy alkalommal azonos részletet fizetünk. Az első befizetésre a kölcsön felvétele után egy évvel kerül sor. Mekkora összeget kell fizetnünk egy évben?

Megoldás: Itt már törlesztésről van szó, melyben V n = 500 000, r = 0.2, n = 4 .

V n . ( 1 + r ) n = C ( 1 + r ) n 1 r C = r . V n . ( 1 + r ) n ( 1 + r ) n 1 = 0.2 . 500 000 . 1.2 4 1.2 4 1 193 144.6

Ilyen feltételek mellett 193 145 Ft-ot kell egy-egy alkalommal fizetnünk.
(Ez azért elég lehangoló, hiszen ennek a négyszerese 772 580 Ft.)

5. feladat Kölcsönt szeretnénk felvenni 25 %-os kamatláb mellett úgy, hogy évente egy alkalommal törlesztünk, s az első részletet a felvétel után egy évvel fizetjük. Legfeljebb mekkora összeget tudunk felvenni, ha 100 000 Ft-nál többet nem tudunk egy évben fizetni, s a futamidő
a) 5 év?
b) 10 év?

Megoldás: Az előző feladthoz képest annyi a különbség, hogy más az ismeretlen. Ott ismertük a kölcsön összegét, s a törlesztőrészletet kerestük, itt pedig fordítva. A szövegből az adatok: C = 100 000, r = 0.25 , a részletek száma pedig a) esetben n = 5 , b) esetben n = 10 .
Számoljuk először az a) esetet.

V n . ( 1 + r ) n = C ( 1 + r ) n 1 r V n = C ( 1 + r ) n 1 r . ( 1 + r ) n V 5 = 100 000 1.25 5 1 0.25 . 1.25 5 = 268 928

Az 5 éves futamidő tehát legfeljebb 268 928 Ft kölcsön felvételét teszi lehetővé.
Most nézzük a b) esetet.

V n = C ( 1 + r ) n 1 r . ( 1 + r ) n V 10 = 100 000 1.25 10 1 0.25 . 1.25 10 357 050

A 10 éves futamidő pedig 357 050 Ft maximális kölcsönre ad lehetőséget.

Megjegyzés: Mint látható, a futamidővel nem arányosan nő a felvehető kölcsön összege, hiszen a futamidő növelésével egyre több kamatot kell törleszteni a kölcsön összegén kívül.

6. feladat Öröklés révén 50 éves korunkban 1 000 000 Ft-hoz jutottunk. Idősebb napjainkra gondolva bankba tettük a pénzt 15 %-os kamatlábra. Ha 65 éves korunkban nyudíjba megyünk akkor minden évben szeretnénk 1 300 000 Ft-ot kivenni, hogy szerény nyugdíjunkat kiegészítsük. Hány éven keresztül tehetjük meg ezt?

Megoldás: Itt is törlesztőrészletről van szó, hiszen tekinthetjük úgy a dolgot, hogy mi adjuk kölcsön a pénzünket a banknak, melyet a bank részletekben törleszt. A törlesztést azonban a bank nem kezdi meg egy fizetési időközzel a kölcsön felvétele után, hanem csak később. Ha úgy szeretnénk számolni, mint az előző feladatokban, akkor először ki kell számolnunk, mekkora összeg lesz a számlánkon 64 éves korunkban, mert ezután egy évvel kezdi majd el fizetni a bank a részleteket. Az így kapott összeget tekinthetjük tulajdonképpen a kölcsönnek. A megoldás tehát két lépésből áll. Először egy kamatos kamat számítás, majd utána egy járadékszámítás.
Az első lépésben C 0 = 1 000 000, r = 0.15, n = 14

C n = C 0 . ( 1 + r ) n C 14 = 1 000 000 . 1.15 14 7 075 706

A második lépésben ez a kölcsön, azaz V n = 7 075 706 . Emellett C = 1 200 000, r = 0.15 , s a törlesztés ideje az ismeretlen. Rendezzük a törlesztőjáradék képletét n -re.

V n . ( 1 + r ) n = C ( 1 + r ) n 1 r = C r ( 1 + r ) n C r C r = C r ( 1 + r ) n V n . ( 1 + r ) n = ( C r V n ) . ( 1 + r ) n

Osszuk mindkét oldalt ( C r V n ) -nel, és cseréljük fel az oldalakat.

( 1 + r ) n = C ( C r V n ) . r = C C V n . r

Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát.

n . lg ( 1 + r ) = lg ( C C V n . r ) n = lg ( C C V n . r ) lg ( 1 + r )

Helyettesítsük be az adatokat.

n = lg ( 1 300 000 1 300 000 7 075 706 . 0.15 ) lg 1.15 12.13

Azaz 12 éven keresztül tudunk ekkora összeget felvenni, s még a 13. évre is marad majd egy kisebb összeg.

Megjegyzés: Az évek számára kapott összefüggés értelmetlenné válik, ha C V n . r 0 , hiszen ekkor a számlálóban levő logaritmus nem létezik. Ez érthető is, mert ekkor a tőkére rakódó kamatnál nem veszünk fel nagyobb összeget, így a tőke nem csökken. Ha ebbe így belegondolunk, és kicsit lejjeb szállítjuk az igényeinket, akkor célszerűbb évente csupán C = V n . r = 7 075 706 . 0.15 1 061 356 Ft-ot felvenni, mert akkor ezt bármilyen hosszú ideig megtehetjük. Ha matuzsálemi kort érünk meg, akkor is megmarad a nyugdíjkiegészítésünk.

7. feladat 10 éven keresztül minden év elején beteszünk a bankba 5 000 Ft-ot. A következő 10 évben minden év elején kiveszünk 7 500 Ft-ot. Mennyi pénz lesz a számlánkon a 20. év végén, ha a kamatláb 17 %?

Megoldás: A számolás során célszerű minden összeget a 20. év végére "felkamatolni", mert így a következő lépésekben számolhatunk.
1) Gyűjtőjáradék számolása 10 éven keresztül 5 000 Ft- os összeggel.
2) Az összegyült pénz további kamatoztatása 10 éven át.
3) Gyűjtőjáradék számolása 10 éven át 7 500 Ft-os összeggel.
4) A 2. lépésben kapott összegből kivonjuk a 3. lépésben kapott összeget.

Az 1. és a 2. lépés valószínűleg mindenki számára érthető, a 3-at és a 4-et pedig úgy magyarázhatjuk, hogy a kivételeinkkel a bank kezd gyűjtésbe, és a 20. év végén benyújtja igényét az összegyűlt pénzre.

1) Gyűjtőjáradék: C = 5 000, r = 0.17, n = 10 .

S n = C ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r S 10 = 5 000 . 1.17 1.17 10 1 0.17 131 000

2) Az előző lépésben számolt összeg kamatozik: C = 131 000, r = 0.17, n = 10 .

C n = C 0 . ( 1 + r ) n C 10 = 131 000 . 1.17 10 629 695

3) Gyűjtőjáradék: C = 7 500, r = 0.17, n = 10 .

S n = C ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r S 10 = 7 5 00 . 1.17 1.17 10 1 0.17 196 5 00

4) A számlánkon levő pénz: 629 695-196 500=433 195 Ft lesz.

8. feladat Szabó úr gondos ember, ezért gyermeke 10 éves korában elkezd takarékoskodni, hogy támogathassa majd az egyetemi évek alatt. Minden évben 40 000 Ft-ot fizet be egy számlára 8 éven keresztül. Mekkora összeggel tudja évenként segíteni gyermeke tanulmányait, ha a kamatláb 14 %, s a gyermek 5 év alatt fejezi be tanulmányait?

Megoldás: Ez is összetett feladat, de ez két lépésben megoldható.
1) Gyűjtés 8 éven keresztül 40 000 Ft-os összeggel.
2) Az összegyűjtött pénznek megfelelő összeget mint kölcsönt a bank 5 év alatt törlesztőjáradék formájában kifizeti.

1) Gyűjtőjáradék: C = 40 000, r = 0.14, n = 8 .

S n = C . ( 1 + r ) ( 1 + r ) n 1 r S 8 = 40 000 . 1.14 1.14 8 1 0.14 603 414

2) Törlesztőjáradék: V n = 603 414, r = 0.14, n = 5 .

V n . ( 1 + r ) n = C ( 1 + r ) n 1 r C = r . V n . ( 1 + r ) n ( 1 + r ) n 1 = 0.14 . 603 414 . 1.14 5 1.14 5 1 175 765

Szabó úr tehát 175 765 Ft-tal tudja támogatni évenként gyermeke tanulmányait.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Minden év elején beteszünk a bankba 20 000 Ft-ot 16 %-os kamatlábra. Így gyűjtünk 15 éven keresztül. Mennyi pénzünk lesz a 15. év végén?
978 412 Ft
1 032 174 Ft
1 149 261 Ft
1 198 500 Ft
2. kérdés: Péter egy 150 000 Ft-os kerékpárra gyűjt. Mekkora összeget fizessen be havonta egy számlára, ha a nominális kamatláb 18 %, a bank havonta tőkésíti a kamatot, és egy év múlva akarja megvenni a kerékpárt?
11 332 Ft
11 648 Ft
12 053 Ft
12 321 Ft
3. kérdés: Felvettünk 1 000 000 Ft kölcsönt, melyet 6 részletben akarunk törleszteni, évenként egy-egy részletet befizetve. Mekkora lesz egy részlet, ha a kamatláb 20 %?
288 791 Ft
300 706 Ft
312 437 Ft
325 168 Ft
4. kérdés: Betettünk a bankba 5 000 000 Ft-ot. Egy év után évente kiveszünk 1 000 000 Ft-ot. Hány éven keresztül tehetjük ezt meg, ha a kamatláb 14 %?
7 év és a 8. évben lesz még egy kisebb összeg
8 év és a 9. évben lesz még egy kisebb összeg
9 év és a 10. évben lesz még egy kisebb összeg
10 év és a 11. évben lesz még egy kisebb összeg
5. kérdés: Legalább mekkora összeget helyezzünk el a nyugdíjazásunk előtti 10 évben évente egy számlán, ha a nyugdíjazás után minden évben 500 000 Ft-ot szeretnénk kivenni 15 éven keresztül, s a kamatláb 12 %?
173 264 Ft
185 429 Ft
194 116 Ft
207 472 Ft
6. kérdés: 5 éven keresztül minden év elején beteszünk a bankba 10 000 Ft-ot, majd a következő 5 év mindegyikében kiveszünk 15 000 Ft-ot. Mekkora összeg lesz a számlánkon, ha a kamatláb 15 %?
42 376 Ft
39 649 Ft
38 109 Ft
36 825 Ft