KURZUS: Közlekedési statisztika I.
MODUL: "B" modul: Az empirikus eloszlások elemzése
5. lecke: Számított középértékek (átlagok)
A lecke követelményei | |||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||||
| |||||||
Középértékek | |||||||
A középérték, azonos fajta számszerű adatok tömegének közös jellemzője, a centrális tendenciát kifejező számszerű jellemző. (A mennyiségi ismérv megfigyelt értékeit egyetlen számmal írja le.) A középértékkel szemben támasztott követelmények az alábbiak: | |||||||
| |||||||
A középértékek lehetnek: számított középértékek (vagy átlagok) és helyzeti középértékek. | |||||||
Számított középértékek (átlagok) | |||||||
A számított középértékek a statisztikai sokaság értékeiből meghatározott matematikai összefüggés alapján számíthatók. Értékeiket minden egyes átlagolt érték befolyásolja, de általában nem esik egybe egy tényleges értékkel sem. | |||||||
Leggyakrabban ismérvértékek abszolút értékeinek átlagolására van szükség, amit számtani átlaggal oldhatunk meg. Esetenként viszont a társadalmi-gazdasági valóságot jobban tudjuk modellezni, ha ismérvértékek reciprokait (harmonikus átlag) logaritmusait (mértani átlag) négyzeteit (négyzetes átlag) átlagoljuk. | |||||||
A problémákhoz kell rendelnünk a modellt! Vagyis mindig azt kell elsősorban eldöntenünk, hogy milyen átlagformulával dolgozunk. | |||||||
Az átlagolandó értékek nagyon gyakran többször is előfordulnak a sokaságban, aminek "súlyt kell adnunk", vagyis az előfordulások számával meg kell szoroznunk az átlagolandó értéket. Tehát minden átlagot egyszerű és súlyozott formában is meghatározhatunk. Súlyként nemcsak a gyakoriságokat , hanem a relatív gyakoriságokat is használhatjuk. | |||||||
5.1. A számtani átlag (aritmetikai átlag) | |||||||
A számtani átlagot akkor alkalmazzuk, ha az értékek összege értelmezhető. | |||||||
Legyenek az ismérvértékek: | ||||||||
| ||||||||
Határozzuk meg a számtani átlagot! | ||||||||
Megoldás: |
A súlyozott számtani átlag nagysága két tényezőtől függ: | |||||
|
Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott számtani átlagát: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Az ismérvértékek és a gyakoriságok szorzatának gyakran konkrét értelme is van. Ezen összeget értékösszegnek, szorzatát értékösszeg sornak is nevezzük | |||||||||||||||||||||||||
Helyettesítsünk be a formulába: |
5.2. A harmonikus átlag | ||
A harmonikus átlagot akkor alkalmazzuk, ha az átlagolandó értékek reciprokainak összege értelmezhető. | ||
Legyenek az ismérvértékek: | ||||||||
| ||||||||
Határozzuk meg a harmonikus átlagot! | ||||||||
Megoldás: |
Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott harmonikus átlagát: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Helyettesítsünk be a formulába: |
5.3. A mértani átlag (geometriai átlag) | ||
A mértani átlagot akkor alkalmazzuk, ha az átlagolandó értékek szorzatösszege értelmezhető | ||
Legyenek az ismérvértékek: | ||||||||
| ||||||||
Határozzuk meg a mértani átlagot! | ||||||||
Megoldás: |
Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott mértani átlagát: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
A számításokat például az EXCEL program segítségével célszerű elvégezni. |
| ||||||||||||||||||||||||
Helyettesítsünk be a formulába: |
5.4. A négyzetes (kvadratikus) átlag | ||
A négyzetes átlagot akkor alkalmazzuk, amikor az átlagértékek között pozitív és negatív tagok is előfordulnak, de az előjelnek a vizsgálat szempontjából nincs jelentősége. | ||
Legyenek az ismérvértékek: | ||||||||
| ||||||||
Határozzuk meg a négyzetes átlagot! | ||||||||
Megoldás: |
Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott négyzetes átlagát: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Helyettesítsünk be a formulába: |
5.5. Az átlagok nagyságrendje | |||||
Ugyanazon átlagolandó értékekből számított különböző fajta átlagok között az alábbi nagyságrendi reláció áll fenn: | |||||
|
1. példa: | |||||||||||||||
Legyenek az ismérvértékek: | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Határozzuk meg a négyféle átlagot az előzőekben bemutatott módon, majd hasonlítsuk össze a nagyságrend alapján az eredményeket! | |||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||
Ellenőrzés: | |||||||||||||||
2. példa: | |||||||||||||||
Határozzuk meg a következő gyakorisági sor átlagait az előzőekben bemutatott módon, majd hasonlítsuk össze a nagyságrend alapján az eredményeket! | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||
Ellenőrzés: | |||||||||||||||
Megjegyzés: A négyféle átlag kiszámítása itt csak a számítás gyakorlását kívánja elősegíteni, a gyakorlatban általában csak egy - a sokasághoz indokoltan rendelhető - átlagot határozunk meg. | |||||
A fejezet tartalmával kapcsolatban jól hasznosítható információkat, feladatokat talál az "A" jegyzet 54-63. és a "B" jegyzet 71-81. oldalain! | |||||
Többnyire az szokott gondot okozni, hogy hogyan "értelmezzük" az összeg, a reciprokösszeg, a négyzetösszeg kategóriákat, vagyis hogy mikor "modellezzük helyesen" a valóságot. | |||||
Néhány gyakorlati tanács, a "kivételek" kiemelésével: | |||||
| |||||
Ha sikerült jól megjegyezni, hogy melyik átlagtípus, mikor használandó, abban kell gyakorlatot szereznünk, hogy a "matematikai formulába" megfelelően "helyettesítsünk be". | |||||
Szükségünk van az A témakörben tanultakra, hiszen teljes biztonsággal különbséget kell tennünk az ismérvértékek (átlagolandó-érték) és a gyakoriság (súlyozó tényező) között! | |||||
1. Feladat | |||||
Egy bizonyos munkát (munkamennyiséget) - amelyet egymás teljesítményének rontása nélkül végezhet 1, 2 vagy 3 dolgozó - egy három fős brigáddal akarunk elvégeztetni. Az egész munkamennyiséget a kiválasztott dolgozók egyenként, 14; 10 illetve 16 nap (műszak) alatt tudják elvégezni. | |||||
| |||||
Megoldás: | |||||
| |||||
A harmonikus átlag teljes megértéséhez gondoljuk át a feladatot a középiskolában megismert módon: | |||||
Az egyes dolgozók napi teljesítménye az adott munkamennyiség | |||||
A feladatot hárman x nap alatt tudják elvégezni. | |||||
így x = 4,27 nap | |||||
2. Feladat | |||||
Egy szervezet két egysége azonos szolgáltatást "forgalmaz". Az "A" egységben a szolgáltatás összes költsége 2000 eFt, a fajlagos költségfelhasználás 10 eFt/szolgáltatás. A "B" egységben az összes költségfelhasználás 1200 eFt és a szolgáltatás egységéhez 12 eFt rendelhető. | |||||
Milyen az átlagos fajlagos költség a szolgáltató szervezetnél? | |||||
Megoldás: | |||||
Az összes felmerült költség és a szolgáltatás egységéhez felhasznált költség szorzatának nincs értelme. | |||||
Hányadosuk viszont a szolgáltatások mennyiségét adja. | |||||
A fajlagos költségfelhasználás átlagosan: | |||||
Önellenőrző kérdések | |||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
1. Párosítsa a következő számított középértékeket a megfelelő matematikai összefüggéssel! A középérték neve előtti betűt írja a megfelelő matematikai összefüggés elé! Egy középértéknek nincs párja! a) módusz; b) számtani átlag; c) harmonikus átlag; d) mértani átlag; e) négyzetes átlag.
![]() | ||||||||||||
2. Az alábbi ismérvértékek alapján határozza meg a számtani átlagot, a harmonikus átlagot, a mértani átlagot és a négyzetes átlagot két tizedesjegy pontossággal! Az eredmények bevitelére a számbillentyűket és a tizedes vesszőt használja! | ||||||||||||
Adatok
| ||||||||||||
Írja az eredményeket az üres mezőkbe! a) a számtani átlag értéke: ![]() | ||||||||||||
3. Válassza ki az azonos adatokból számított átlagok (középértékek) helyes nagyságrendjét leíró relációt! ![]() |