KURZUS: Közlekedési statisztika I.
MODUL: "B" modul: Az empirikus eloszlások elemzése
6. lecke: Helyzeti középértékek
A lecke követelményei | |||||||||||||||||||||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A helyzeti középértékek a sokaságban elfoglalt helyzetüknél fogva jellemzik a vizsgált jelenséget, vagy folyamatot. | |||||||||||||||||||||||||
Abban, hogy az egyedek sokaságon belüli elhelyezkedése jellemző legyen, nyilvánvalóan az egyedeket előbb valamilyen - előre rögzített - szabály szerint rendezni kell. Például növekvő sorrendbe rendezzük az ismérvértékeket, vagyis rangsort képzünk. A helyzeti középértékek előnye, hogy függetlenek a sokaság más tagjainak értékeitől, ezért például heterogén sokaság esetén jellemzőbbek, mint az átlagok. | |||||||||||||||||||||||||
6.1. A medián | |||||||||||||||||||||||||
A kvantilis értékek a sokaság mennyiségi ismérv szerinti eloszlásának tömör leírását adják. A kvantilisek meghatározásához a rangsorból kell kiindulni. A rangsorba rendezett sokaságot 2, 3, 4, ... általában k egyenlő részre osztjuk és megállapítjuk az osztópontnak megfelelő ismérvértéket. | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Például: | |||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
A kvantilisek meghatározása általában: | |||||||||||||||||||||||||
ahol: | |||||||||||||||||||||||||
Természetesen: (lásd a következő ábrát) | |||||||||||||||||||||||||
|
A medián a sor középső, centrális helyzetű tagja, a mennyiségi ismérvnek az az értéke, amelynél ugyanannyi kisebb, mint amennyi nagyobb érték fordul elő. |
A kvantilis értékek sorszámai többnyire nem egész számok (mert a sokaság elemszáma miatt maradék nélkül nem oszthatók k-val: lásd ), ezért a megfelelő szomszédos ismérvértékekből becsléssel határozhatjuk meg a kvantilis értéket. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A medián esetén, ha a rangsor tagszáma páratlan, a középső értéket egyszerűen csak ki kell keresni. Ha a rangsor páros tagszámú, a sorszám törtszám lesz, s ebben az esetben a rangsor két középső tagjának az egyszerű számtani átlagát tekintjük mediánnak. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Például egy üzem dolgozóinak elmúlt havi teljesítményszázalékai az alábbiak: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha a rangsor 2. tagja: 94%, 3. tagja: 98%, akkor a "2,5-ik tagja": | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a szabályt lásd korábban) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha a rangsor 7. tagja: 116%, 8. tagja: 118%, akkor a "7,5-ik tagja": | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A medián sorszámának megfelelő ismérvértékek "kikeresése", meghatározása osztályközös gyakorisági sor esetén, csak becsléssel lehetséges. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Általában: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ahol: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.2. A módusz |
A diszkrét értékekkel rendelkező mennyiségi ismérv módusza a leggyakrabban előforduló ismérvérték, melyet modális értéknek is nevezünk. |
A módusz megállapításához nincs is szükség számításra, hiszen a gyakorisági sorból, vagy diagramból leolvasható, a legnagyobb értékű gyakoriság. Értékét a szélső értékek nem befolyásolják. Meghatározását többnyire ezen tulajdonsága teszi indokolttá. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Például a fenti ábra alapján megállapítható, hogy a 60 elemű diszkrét, 7 különféle ismérvértéket tartalmazó gyakorisági sor módusza Mo = 1 (mert az 1-es ismérvérték gyakorisága a legnagyobb). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Osztályközös gyakorisági sorból a móduszt is becsléssel tudjuk meghatározni: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Általában: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ahol: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A medián becslésénél közölt példánkban, legnagyobb gyakoriságú (27) az 50-100-as osztályköz: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Azt a tényt, hogy az osztályközök nem egyenlő hosszúságúak a medián becslésénél elhanyagolhatjuk (hiszen az osztályköz nagyságát a benne helyet foglaló gyakoriságok egyenletes eloszlásának feltételezésével osztjuk fel), de a módusz becslésénél ilyen esetben arányos osztályközökre kell korrigálnunk a gyakoriságokat (ismét feltételezve azok egyenletes eloszlását). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Önellenőrző kérdések | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
1. Válassza ki a medián definícióját!
![]() | ||||||||||||||||
2. Válassza ki a módusz definícióját!
![]() | ||||||||||||||||
3. Az alábbi kvantilisek esetében adja meg a kialakuló egyenlő részek és osztópontok számát! Egészítse ki a táblázatot a megfelelő egész számok beírásával!
![]() | ||||||||||||||||
4. Határozza meg az alábbi sokaság móduszát! Írja be a kettőspont után a módusz értékét!
![]() | ||||||||||||||||
5. Határozza meg az alábbi sokaság esetében a medián értékét! | ||||||||||||||||
Adatok
| ||||||||||||||||
Írja be a kettőspont után a medián értékét! A medián értéke: ![]() |