KURZUS: Közlekedési statisztika I.
MODUL: "B" modul: Az empirikus eloszlások elemzése
8. lecke: Az empirikus eloszlások elemzése (az aszimmetria mérése)
A lecke követelményei | |||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||
| |||||
8.1. A tapasztalati (empirikus) eloszlások | |||||
A statisztikai megfigyelés eredményeként kapott gyakorisági sorok, illetve ábráik igen nagy változatosságot mutatnak. Ugyanakkor nagy részüknél olyan hasonlóságot láthatunk, amely alapján néhány egyszerűbb eloszlástípus valamelyikébe besorolhatók. Sok esetben összetettebb eloszlások is bizonyos egyszerűbb típusokból tevődnek össze. Az empirikus eloszlások főbb típusai: | |||||
| |||||
Az empirikus eloszlástípusokat valójában a gyakorisági görbe alapján lehet megkülönböztetni. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyakorisági sor (táblázat), vagy hisztogram alapján ne lehetne következtetni a szóban forgó eloszlás típusára. | |||||
Az egymóduszú eloszlásoknak egy sűrűsödési helyük, maximumuk van, a több móduszú eloszlások két vagy több tömörülési helyet, maximumot mutatnak. | |||||
A gyakrabban előforduló eloszlások között vannak szimmetrikus vagy közel szimmetrikus eloszlások, amelyeknél a gyakoriságok egy középen levő maximum mindkét oldalán szimmetrikusan csökkennek. | |||||
| |||||
Más empirikus eloszlásoknál a gyakoriságok először meredeken emelkednek, majd a maximumot elérve fokozatosan csökkennek. Az eloszlás tehát bal oldali ferdeséget mutat, a gyakorisági görbe bal oldali aszimmetriára utal. Ellenkező esetben az eloszlás jobb oldalai aszimmetriára utal. | |||||
| |||||
Találkozhatunk J típusú eloszlásokkal is, amelyeknél a gyakoriságok fokozatosan növekednek és a maximális ismérvértékhez tartozik a maximális gyakoriság. Ha a gyakoriságok fokozatosan csökkennek és a maximális ismérvértékhez tartozik a minimális gyakoriság, akkor fordított J alakú az eloszlásról beszélünk | |||||
| |||||
A több móduszú eloszlások, összetett eloszlások, heterogén sokaságra utalnak. Ilyen például az M alakú eloszlás, amely két egy móduszú eloszlást mutató részsokaságból tevődik össze. | |||||
Ritkán előforduló összetett eloszlás az ún. U alakú eloszlás, amelynél a gyakoriságok eleinte fokozatosan csökkennek, majd újra emelkednek. | |||||
| |||||
A következő két diagram azt mutatja be, hogy ha egy heterogén sokaságot (85 elem) valamilyen ismérv alapján két részre tudunk bontani, akkor a teljes sokaság diagramja és a két részsokaság (A: 47 elem és B: 38 elem) diagramja milyen képet mutat. | |||||
| |||||
Ha a két részsokaságot (A: 47 elem és B: 38 elem) össze kívánjuk hasonlítani a bemutatott diagram alapján, akkor miért kell relatív mutatót használni az y tengelyen? | |||||
8.2. Az aszimmetria mérése | |||||
Egymóduszú eloszlásoknál az aszimmetria (vagy ferdeség) fokának a jellemzésére több mutatószám is használatos. | |||||
E mérőszámokkal szemben támasztott főbb követelmények: | |||||
| |||||
A továbbiakban két olyan mérőszámmal foglalkozunk, amelyek az előbbi követelményeknek eleget tesznek, és a korábbiaktól már ismert jellemzőket használnak fel a méréshez. | |||||
Az "F mérőszám" azon alapul, hogy szimmetrikus eloszlásnál a kvartilisek egyenlő távolságra vannak egymástól, tehát a felső kvartilis és a medián különbsége egyenlő a medián és az alsó kvartilis különbségével . | |||||
Aszimmetrikus eloszlásnál a különbségek eltérnek egymástól. Az "F mérőszám" képzésnél e távolságok nagyságát használjuk fel: | |||||
Az "F mérőszám" tehát a kvartiliseknek (felső és alsó) a mediántól mért távolságai különbségének és összegének hányadosa. | |||||
Szimmetrikus eloszlásnál az "F mérőszám" 0 értéket vesz fel, bal oldali aszimmetriánál pozitív, jobb oldali aszimmetriánál negatív előjelű lesz az értéke. | |||||
Az "F mérőszám" -nál nagyobb értéke jelentős ferdeséget jelez. | |||||
Az aszimmetria egyik általános ún. "A mérőszámának" a kidolgozása K. Pearson nevéhez fűződik. A mérőszám képzése abból indul ki, hogy szimmetrikus eloszlásnál a számtani átlag és a módusz megegyezik, míg aszimmetrikus eloszlásnál eltérnek egymástól: | |||||
Szimmetrikus eloszlásnál az "A mérőszám" értéke 0, bal oldali aszimmetriánál pozitív, jobb oldalinál pedig negatív értéket vesz fel. Abszolút értékének nincs határozott felső korlátja, azonban már -nél nagyobb abszolút érték meglehetősen erős aszimmetriára utal. |
A munkanélküli ellátásban részesülők megoszlása a segély nagyságcsoportja szerint 1992. júniusában: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Forrás: Jász-Nagykun-Szolnok megye statisztikai zsebkönyve 1992. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Határozzuk meg: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A megoldáshoz a következő táblázat nyújt segítséget. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) A munkanélküli segély egy főre jutó összege (számtani átlag): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b) A módusz értéke 6000-8000 között van. A gyakoriság értéke 13666, az ehhez tartozó osztályköz nagysága h = 2000. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ft | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) Átlagos négyzetes eltérés: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ft | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d) Az aszimmetria mérőszáma: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tehát a tapasztalati eloszlás közepes baloldali aszimmetriát jelez! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Az empirikus eloszlások elemzésének összegzéseként megjegyezzük, hogy a középértékek, a szóródási mérőszámok és az aszimmetria mérőszámai más-más szempontból jellemzik az eloszlást. | ||
Ezzel teljessé vált az az ismeretkör, amelynek birtokában egy sokaságról számos információt, ismeretet szerezhetünk, ha élünk a megismert: | ||
| ||
módszereivel. | ||
Mindezek birtokában a sokaság eloszlásáról is képet nyerhetünk. Ezen összefüggő ismeretek, komplex alkalmazására szolgálnak az alábbi feladat. |
A MÁV egy kocsijavító egysége 1994. I. negyedévében 62 db teherkocsit javított meg. Az egy-egy teherkocsi javítására fordított idők (munkaóra) az alábbiak: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Munkatábla az átlagszámításhoz
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az osztályközös gyakorisági sorból kiindulva, átlagolandó értéknek az ún. osztályközépsőt tekintjük, ami az osztályköz szélső értékeinek egyszerű számtani közepe. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Megjegyezzük, hogy az egyes osztályközöknél, az egész számok besorolására ad útmutatást a 26 - 50; 51 - 75; 76 - 100 a két osztályköz közötti egységnyi különbség. Tehát a kerek 75 órás javítási idejű teherkocsit az 51 - 75-ös osztályba soroljuk. Ugyanakkor ezt a számításoknál nem vesszük figyelembe! Tehát 50 és 75 között értelmezzük az osztályközépsőt és nem 51 és 75 között ! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) Az osztályközös gyakorisági sorból becsült átlag: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
az átlagos javítási idő. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(Amit fajlagos javítási időnek is tekinthetünk!) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kétféle módon meghatározott átlag eltérése, természetesen az eredeti értékek és az osztályközépsők - mint becsült adatok - eltéréséből adódik. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b) A szóródás elemzése: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. A szóródás terjedelme: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
eredeti adatokból: óra a legnagyobb és a legkisebb javítási időszükséglet közötti különbség. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
gyakorisági sorból: 325 - 25 = 300 óra a legnagyobb és a legkisebb javítási időszükséglet közötti különbség. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Az interkvartilis félterjedelem (vagy kvartilis eltérés) meghatározásához, szükség van a kvartilisekre: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
eredeti adatokból: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
az alsó kvartilis sorszáma: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A keresett "negyedelő pont" a rangsor 15. és 16. eleme közé esik. Mivel mindkét ismérvváltozat értéke 80 óra, nincs szükség a két tag közötti "becslésre" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A felső kvartilis sorszáma: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A keresett "háromnegyedelő pont" a rangsor 47. és 48.-dik eleme közé esik. A 47. tag értéke: 170 óra a 48. tag értéke: 180 óra. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Becslés: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A medián, vagyis a felezőpont sorszáma értelemszerűen: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A rangsor 31. eleme: 110 óra; 32-ik eleme: 120 óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Me= 115 óra. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az interkvartilis félterjedelem: óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Gyakorisági sorból a becslése: óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Értelemszerűen a 47,25-ik tag becslése: óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Értelemszerűen a 31,5-ik tag becslése: óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kvartilisek értelmében, a javított teherkocsik egy negyedében 80 óránál kevesebb , felében 110 óránál kevesebb háromnegyedében 177 óránál kevesebb volt a szükséges javítási idő. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az interkvartilis félterjedelem: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A javítási időszükséglet felső és alsó kvartilisek közötti különbség fele. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Az átlagos abszolút eltérés (a gyakorisági sorból): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az átlag és a szórásmutatók meghatározásához egyetlen munkatábla szerkesztendő! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az egyes kocsijavítások ideje 55,2 órával tér el átlagosan a fajlagos kocsijavítási időtől. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Az átlagos négyzetes eltérés (a gyakorisági sorból): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
óra | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az egyes kocsijavítások ideje 67,7 órával tér el átlagosan a fajlagos kocsijavítási időtől ! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. A relatív szórás (a gyakorisági sorból): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az egyes kocsik javítása 53,3%-kal tér el a fajlagos kocsijavítási időtől! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) Az aszimmetria mérőszámai (a gyakorisági sorból): | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Aszimmetria "F" mérőszáma: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = 0,3764 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Aszimmetria "A" mérőszáma: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Szükségünk van a módusz becslésére: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kocsijavítási időszükséglet 89 óra körül tömörül! | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A = 0,5571 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tehát az aszimmetria mindkét mutatója számottevő bal oldali (az alacsonyabb értékek felé mutató) aszimmetriát jelez! Ezt szemlélti a következő diagram alakja is. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Önellenőrző kérdések | ||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
1. Párosítsa az empirikus eloszlások típusait a megfelelő diagramokkal! | |||||||||||||||
| |||||||||||||||
A diagramok feletti betűt írja az empirikus eloszlások neve elé!
![]() | |||||||||||||||
2. Párosítsa a következő aszimmetriát leíró mérőszámok neveit a megfelelő matematikai összefüggéssel! Az aszimmetriát leíró mérőszámok neve előtti betűt írja a megfelelő matematikai összefüggés elé! Egy mutatónak nincs párja! a) "A" mérőszám; b) terjedelem; c) "F" mérőszám.
![]() | |||||||||||||||
3. Az alábbi adatok dolgozók jövedelmi adataiból származnak. | |||||||||||||||
Adatok: | |||||||||||||||
Az eredményt két tizedesjegy pontosággal írja be a mezőkbe! Az aszimmetria "A" mérőszáma: ![]() | |||||||||||||||
Válassza ki a helyes megoldást! Az aszimmetria "A" mérőszáma...
![]() | |||||||||||||||
Válassza ki a helyes megoldást! Az aszimmetria "F" mérőszáma azt jelzi:
![]() |