KURZUS: Közlekedési statisztika I.
MODUL: "C" modul: Indexszámítás
12. lecke: Az indexszámítás főbb összefüggései
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
A gyakorlati elemző munkában nagy segítséget jelent, ha tisztában vagyunk - ezért jelen fejezetben külön is kiemeljük - néhány számszerű összefüggéssel, mely az indexszámok tárgyalásánál bemutatott képletek összehasonlításából jól felismerhető. | ||
12.1. Az érték-, az ár- és a volumenindex összefüggései | ||
Az értékindex egyenlő az "ellentétes" súlyokkal számított árindex és volumenindex szorzatával. Ez az összefüggés nagyon lényeges, hiszen az értéket is a mennyiség és az ár szorzataként határoztuk meg. | ||
Az összefüggés az indexek képleteinek felírása után könnyen belátható, tehát két index ismeretében a harmadik meghatározható: | ||
A Fisher-féle indexeknél természetesen ugyanúgy érvényes az összefüggés: | ||
Egy szervezet termelésének jellemző adatai: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=127,9% = 121,8% - 104,9% | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=127,9% = 115,9% - 110,4% | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=127,9% = 118,8% - 107,6% | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A fenti táblázat adatai alapján végezze el a szükséges műveleteket, majd ellenőrizze a fenti eredményeket! |
Ezen összefüggés felhasználásával közvetett számításokat végezhetünk, így "adatgyűjtést" takaríthatunk meg, hiszen például a standard aggregátumok képzése nem kis feladat, vagy számításokat takaríthatunk meg, a "harmadik index" mindig "adódik" egy hányadosként stb. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.2. Az indexek és az aggregátumok összefüggése | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Bármely index képlete, megfelel az egyszerű viszonyszámok képletének: , csak a V az indexet, A és B az aggregátumokat jelenti. Így egy index és egy aggregátum ismeretében egy további aggregátum könnyen kiszámítható. Az aggregátumoknak nemcsak a hányadosa, hanem különbsége is információforrás, ezért gyakran kiszámítjuk. (A megfelelő index számlálójának és nevezőjének különbsége). Ellentétes súlyozású ár- és volumenindex aggregátumainak különbségei is összefüggést mutatnak. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Általában: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
ahol: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A fenti összefüggéseket szemlélteti a következő ábra, a korábbi példánk adatait is felhasználva ( indexkörre kimutatva): | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A nyilak irányában szorozni, ellenkező irányban osztani kell! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Természetesen hasonló összefüggések vannak indexkörben is! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Elemzés: A példánkban úgy értelmezendő, hogy a szervezet a tárgyidőszakban 91884 e Ft termelési értékkel többet produkált, mint az előző időszakban. Termelési volumenük növeléséből () 34148 e Ft termelési érték többletet ért el, míg az árak átlagos növeléséből () 57736 e Ft termelési érték növekmény adódott azaz: 91884 e Ft = 34148 e Ft + 57736 e Ft. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A korábban többször is felhasznált táblázat adatai alapján is meghatározható a növekmény, amely a tárgyidőszaki termelési érték és a bázisidőszaki termelési érték különbsége: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vigyázzunk arra, hogy a súlyozás fogalmának kétféle értelmét ne keverjük össze, ugyanakkor látnunk kell a kettő közötti összefüggést is! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nehézséget szokott okozni az eltérő súlyozású indexek közötti különbség magyarázata. Nem elegendő annyit mondani, hogy az indexek értéke azért különböző, mert a súlyarányok megváltoztak. Ezzel nem magyaráztuk meg, hogy miért éppen a Laspeyres súlyozású index nagyobb és miért nem a Paasche súlyozású vagy fordítva. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az alábbi egyedi indexeket ismerjük: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ezekből az egyedi indexekből sem a Laspeyres, sem a Paasche-féle volumen- vagy árindexet nem tudjuk kiszámítani. Annyit meg tudunk állapítani, hogy a volumenindex valahol 110% és 130% között lesz, az árindex pedig 80% és 90% között, bármilyen súlyozással számítjuk is ki azokat. Ezenkívül meg tudjuk még azt is mondani, hogy a Laspeyres- és a Paasche-féle indexek közül melyik lenne nagyobb. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A volumenindexet előbb Laspeyres, majd Paasche súlyozással kiszámítva, a tárgyi időszaki árakra, mint súlyokra áttérve, megnövekszik az "A" termék súlya, minthogy annak ára kevésbé csökkent (tehát viszonylag drágább lett). Az "A" termék pedig arról "nevezetes" (a volumenindex-számítás szempontjából!), hogy annak termelése kevésbé nőtt, egyedi volumenindexe alacsonyabb. Ha pedig az alacsonyabb egyedi index nagyobb súlyt kap, akkor az így számított volumenindex kisebb lesz, mint a Laspeyres súlyozású. Ugyanezt a "B" termék oldaláról is elmagyarázhatjuk. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Megjegyzés: Gondolja végig a fenti logika alapján a B termék oldaláról. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha az árindexek közötti eltérést akarjuk megmagyarázni, akkor a két megadott számoszlop szerepet cserél. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A -okról beszélünk, mint az index nagyságát elsősorban meghatározó egyedi indexről, a adatok pedig a súlyarányok megváltozásának irányáról adnak képet. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az árindexet előbb Laspeyres, majd Paasche súlyozással kiszámítva, a tárgyi időszaki mennyiségekre, mint súlyokra áttérve, megnövekszik a "B" termék súlya, minthogy annak ára jobban csökkent, egyedi árindexe alacsonyabb lesz. Tehát a Paasche súlyozású árindex kisebb lesz, mint a Laspeyres súlyozású. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Minden olyan esetben, amikor átlagosnál nagyobb egyedi indexhez átlagosnál kisebb egyedi indexek tartoznak a Paasche súlyozású index kisebb, mint a Laspeyres súlyozású. (Fordított esetben a Paasche súlyozású index lesz nagyobb) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy kereskedelmi egység értékesítési eredményei az alábbiak: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Elemezzük az értékesítési eredményességet! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Megoldás: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ellenőrizzük az eredményt: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Elemzés: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A Fisher-féle indexek alapján tehető megállapítás: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A kereskedelmi egység 32,8 %-os értékesítési forgalomnövekedést ért el 1992-ről 1993-ra, ami egyrészt egy 16,7%-os átlagos volumen-növekedésnek, másrészt egy 13,7%-os átlagos árnövekedésnek az eredménye. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mint látható, a tárgyi és bázis súlyozású ár- és volumenindexek számszerű eredményei nem mutatnak jelentősebb eltérést, tehát elegendő lett volna az indexkör meghatározása, amikoris különbségeket is közvetlenül értelmezhetjük. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Megjegyezzük, hogy a különbséget a Fisher-indexek alapján is feloszthatjuk és különbségre például az indexek logaritmusaiból képzett megoszlási viszonyszámok alapján. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. feladat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A MÁV fuvardíj bevételeire vonatkozó adatok: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Elemezzük a díjbevételek alakulását! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
mFt | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
A vasút fuvardíj bevételei 1992-ről 1993-ra átlagosan 3%-kal növekedtek, ami 40 millió Ft növekményben realizálódott. Ez az eredmény: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Gyakorlásként meghatározhatjuk az ellentétes súlyozású indexek "másik körét": | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Jól látható, hogy a bázis és tárgyi időszaki súlyozású indexek eltérése nem jelentős, de gyakorlásként még meghatározhatjuk a Fisher-indexeket: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ezek az indexek sem mutatnak nagy eltéréseket az előzőekhez képest. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Önellenőrző kérdések | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! |
1. Az alábbi összefüggések közül válassza ki azokat, amelyek két ismert index alapján a harmadik hiányzó index meghatározásához megfelelnek! Válassza ki a négy helyes választ! ![]() | ||||||||||||||||||||
2. Határozza meg az ismert indexértékek alapján a hiányzó indexeket, majd válaszoljon a következő kérdésekre! | ||||||||||||||||||||
Az értékindex: | ||||||||||||||||||||
Válassza ki a helyes értékét!
![]() | ||||||||||||||||||||
Válassza ki a helyes értékét!
![]() | ||||||||||||||||||||
Válassza ki a helyes értékét!
![]() |