KURZUS: Közlekedési statisztika I.

MODUL: "B" modul: Az empirikus eloszlások elemzése

5. lecke: Számított középértékek (átlagok)

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a számított középértékek meghatározásához a helyes matematikai összefüggést
  • adatok alapján meghatározni a számtani átlagot, a harmonikus átlagot, a mértani átlagot és a négyzetes átlagot
  • kiválasztani a számított átlagok (középértékek) helyes nagyságrendjét leíró relációt
  • kiválasztani a statisztikai problémához megfelelő számított középértéket
  • felsorolni a számított középértékekkel szemben támasztott követelményeket
Középértékek

A középérték, azonos fajta számszerű adatok tömegének közös jellemzője, a centrális tendenciát kifejező számszerű jellemző. (A mennyiségi ismérv megfigyelt értékeit egyetlen számmal írja le.) A középértékkel szemben támasztott követelmények az alábbiak:

1.Közepes helyzetet foglaljon el, legyenek nála kisebb és nagyobb előforduló értékek.
2.Tipikus érték legyen, közel álljon a legnagyobb gyakorisággal előforduló értékekhez.
3.Egyértelműen legyen definiálva, pl. matematikai formulával.

A középértékek lehetnek: számított középértékek (vagy átlagok) és helyzeti középértékek.

Számított középértékek (átlagok)

A számított középértékek a statisztikai sokaság értékeiből meghatározott matematikai összefüggés alapján számíthatók. Értékeiket minden egyes átlagolt érték befolyásolja, de általában nem esik egybe egy tényleges értékkel sem.

Leggyakrabban x i ismérvértékek abszolút értékeinek átlagolására van szükség, amit számtani átlaggal oldhatunk meg. Esetenként viszont a társadalmi-gazdasági valóságot jobban tudjuk modellezni, ha x i ismérvértékek reciprokait (harmonikus átlag) logaritmusait (mértani átlag) négyzeteit (négyzetes átlag) átlagoljuk.

A problémákhoz kell rendelnünk a modellt! Vagyis mindig azt kell elsősorban eldöntenünk, hogy milyen átlagformulával dolgozunk.

Az átlagolandó értékek nagyon gyakran többször is előfordulnak a sokaságban, aminek "súlyt kell adnunk", vagyis az előfordulások számával meg kell szoroznunk az átlagolandó értéket. Tehát minden átlagot egyszerű és súlyozott formában is meghatározhatunk. Súlyként nemcsak a gyakoriságokat ( f i ) , hanem a relatív gyakoriságokat ( g i ) is használhatjuk.

5.1. A számtani átlag (aritmetikai átlag)

A számtani átlagot akkor alkalmazzuk, ha az értékek összege ( i=1 n x i ) értelmezhető.

Egyszerű számtani átlag
x ¯ a = i=1 n x i n = x 1 + x 2 +...+ x n n

Legyenek az ismérvértékek:

156241015

Határozzuk meg a számtani átlagot!

Megoldás:
x ¯ a = i=1 n x i n = 1+5+6+2+4+10+15 7 =6,14

Súlyozott számtani átlag
x ¯ a s = i=1 n f i x i i=1 n f i

A súlyozott számtani átlag nagysága két tényezőtől függ:

1.az átlagolandó értékek abszolút nagyságától és;
2.a súlyarányoktól (az egyes ismérvértékek előfordulási arányaitól, vagyis a relatív gyakoriságoktól).

Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott számtani átlagát:

x i 2456810
f i 3816421

Megoldás:
A szükséges részszámításokat táblázatba, ún. munkatáblába rendezhetjük:

x i f i f i x i
236
4832
51680
6424
8216
10110
Összesen:34168

Az ismérvértékek és a gyakoriságok szorzatának ( f i x i ) gyakran konkrét értelme is van. Ezen összeget értékösszegnek, szorzatát értékösszeg sornak is nevezzük

Helyettesítsünk be a formulába:
x ¯ a s = i=1 n f i x i i=1 n f i = 168 34 =4,94

5.2. A harmonikus átlag

A harmonikus átlagot akkor alkalmazzuk, ha az átlagolandó értékek reciprokainak összege értelmezhető.

Egyszerű harmonikus átlag
x ¯ h = n i=1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 +...+ 1 x n

Legyenek az ismérvértékek:

156241015

Határozzuk meg a harmonikus átlagot!

Megoldás:
x ¯ h = n i=1 n 1 x i = 7 1 1 + 1 5 + 1 6 + 1 2 + 1 4 + 1 10 + 1 15 =3,07

Súlyozott harmonikus átlag
x ¯ h s = i=1 n f i i=1 n f i x i

Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott harmonikus átlagát:

x i 2456810
f i 3816421

Megoldás:
A szükséges részszámításokat táblázatba, ún. munkatáblába rendezhetjük:

x i f i f i x i
231,5
482,0
5163,2
640,67
820,25
1010,1
Összesen:347,72

Helyettesítsünk be a formulába:
x ¯ h s = i=1 n f i i=1 n f i x i = 34 3 2 + 8 4 + 16 8 + 4 6 + 2 8 + 1 10 = 34 7,72 =4,41

5.3. A mértani átlag (geometriai átlag)

A mértani átlagot akkor alkalmazzuk, ha az átlagolandó értékek szorzatösszege értelmezhető

Egyszerű mértani átlag
x ¯ g = Π i=1 n x i n = x 1 x 2 ... x n n

Legyenek az ismérvértékek:

156241015

Határozzuk meg a mértani átlagot!

Megoldás:
x ¯ g = x 1 x 2 x 3 x 7 n = 156241015 7 =4,48

Súlyozott mértani átlag
x ¯ g s = Π i=1 n x i f i i=1 n f i

Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott mértani átlagát:

x i 2456810
f i 3816421

Megoldás:
A szükséges részszámításokat táblázatba, ún. munkatáblába rendezhetjük:

A számításokat például az EXCEL program segítségével célszerű elvégezni.
x i f i x i f i
238
4865536
516152 587 890 625
641296
8264
10110
Összesen Σ : 34 Π : 66 355 200 000 000 000 000 000

Helyettesítsünk be a formulába:
x ¯ g s = π i=1 n x i f i i=1 n f i = 2 3 4 8 5 16 6 4 8 2 10 1 34 =4,69

5.4. A négyzetes (kvadratikus) átlag

A négyzetes átlagot akkor alkalmazzuk, amikor az átlagértékek között pozitív és negatív tagok is előfordulnak, de az előjelnek a vizsgálat szempontjából nincs jelentősége.

Egyszerű négyzetes átlag
x ¯ q = i=1 n x i 2 n = x 1 2 + x 2 2 +...+ x n 2 n

Legyenek az ismérvértékek:

156241015

Határozzuk meg a négyzetes átlagot!

Megoldás:
x ¯ q = i=1 n x i 2 n = 1 2 + 5 2 + 6 2 + 2 2 + 4 2 + 10 2 + 15 2 7 =7,63

Súlyozott négyzetes átlag
x ¯ q s = i=1 n f i x i 2 i=1 n f i

Határozzuk meg a következő gyakorisági sor súlyozott négyzetes átlagát:

x i 2456810
f i 3816421

Megoldás:
A szükséges részszámításokat táblázatba, ún. munkatáblába rendezhetjük:

x i f i f i x i 2
2312
48128
516400
64144
82128
101100
Összesen:34912

Helyettesítsünk be a formulába:
x ¯ q s = i=1 n f i x i 2 i=1 n f i = 3 2 2 +8 4 2 +16 5 2 +4 6 2 +2 8 2 +1 10 2 34 = 912 34 =5,18

5.5. Az átlagok nagyságrendje

Ugyanazon átlagolandó értékekből számított különböző fajta átlagok között az alábbi nagyságrendi reláció áll fenn:

x ¯ h x ¯ g x ¯ a x ¯ q
a)Minél nagyobb eltérést mutatnak az átlagolandó értékek, annál nagyobb lesz az eltérés az átlagok között!
b)A harmonikus és a mértani átlag a nagyon alacsony, a négyzetes átlag a nagyon magas értékekre "érzékeny"! Mit gondol miért?

1. példa:

Legyenek az ismérvértékek:

156241015

Határozzuk meg a négyféle átlagot az előzőekben bemutatott módon, majd hasonlítsuk össze a nagyságrend alapján az eredményeket!

Megoldás:
x ¯ h = 7 1 1 + 1 5 + 1 6 + 1 2 + 1 4 + 1 10 + 1 15 =3,07

x ¯ g = 156241015 7 =4,48

x ¯ a = 1+5+6+2+4+10+15 7 =6,14

x ¯ q = 1 2 + 5 2 + 6 2 + 2 2 + 4 2 + 10 2 + 15 2 7 =7,63

Ellenőrzés:
x ¯ h x ¯ g x ¯ a x ¯ q

3,074,486,147,63

2. példa:

Határozzuk meg a következő gyakorisági sor átlagait az előzőekben bemutatott módon, majd hasonlítsuk össze a nagyságrend alapján az eredményeket!

x i 2456810
f i 3816421

Megoldás:
Helyettesítsünk be a formulákba:

x ¯ h s = 34 3 2 + 8 4 + 16 8 + 4 6 + 2 8 + 1 10 = 34 7,72 =4,41

x ¯ g s = 2 3 4 8 5 16 6 4 8 2 10 1 34 =4,69

x ¯ a s = 168 34 =4,94

x ¯ q s = 3 2 2 +8 4 2 +16 5 2 +4 6 2 +2 8 2 +1 10 2 34 = 912 34 =5,18

Ellenőrzés:
x ¯ h x ¯ g x ¯ a x ¯ q

4,414,694,945,18

Megjegyzés: A négyféle átlag kiszámítása itt csak a számítás gyakorlását kívánja elősegíteni, a gyakorlatban általában csak egy - a sokasághoz indokoltan rendelhető - átlagot határozunk meg.

A fejezet tartalmával kapcsolatban jól hasznosítható információkat, feladatokat talál az "A" jegyzet 54-63. és a "B" jegyzet 71-81. oldalain!

Többnyire az szokott gondot okozni, hogy hogyan "értelmezzük" az összeg, a reciprokösszeg, a négyzetösszeg kategóriákat, vagyis hogy mikor "modellezzük helyesen" a valóságot.

Néhány gyakorlati tanács, a "kivételek" kiemelésével:

  • Négyzetes átlagot akkor kell alkalmazni, ha az átlagolandó értékek között negatív előjelű tag is van. Például valamilyen színvonaltól való eltérések átlagolása, ami a statisztikai gyakorlatban, a szóródásszámítás témakörében bír jelentőséggel.
  • A mértani átlagot a statisztikai gyakorlatban, a dinamikus viszonyszámok átlagolására használjuk. (A láncviszonyszámok szorzatának van értelme: a bázisviszonyszám, vagyis az időszak egészére vonatkozó változás.).
  • Ha az átlagolandó értékek viszonyszám típusúak (vagyis van számlálójuk és nevezőjük), akkor kell megfontolnunk, hogy harmonikus átlagot, vagy számtani átlagot számoljunk. Egyszerű átlag esetében nem nehéz eldönteni, hogy az értékek reciprokainak összege értelmes-e, s igen ritkán is fordul elő, hogy egyszerű átlaggal dolgozhatunk. A súlyozott harmonikus átlagot pedig mindig akkor kell alkalmaznunk, ha az átlagolandó értékek számlálójában szereplő dimenzióval tudunk súlyozni. Asúlyok és az átlagolandó értékek hányadosa ad értelmeseredményt! (Például: út/idő a sebesség egysége. Ha több "sebességre vonatkozó" mérés eredményeként kívánunk átlagsebességet meghatározni, s a megtett út - mint a számláló dimenziója - mennyiségével tudunk súlyozni, akkor harmonikus átlaggal kell dolgoznunk.)
  • Ha a nevező dimenziójával tudunk súlyozni, akkor számtani átlagot kell alkalmazni. A súlyok és az átlagolandó értékek szorzata ad értelmes eredményt!

Ha sikerült jól megjegyezni, hogy melyik átlagtípus, mikor használandó, abban kell gyakorlatot szereznünk, hogy a "matematikai formulába" megfelelően "helyettesítsünk be".

Szükségünk van az A témakörben tanultakra, hiszen teljes biztonsággal különbséget kell tennünk az ismérvértékek (átlagolandó-érték) és a gyakoriság (súlyozó tényező) között!

1. Feladat

Egy bizonyos munkát (munkamennyiséget) - amelyet egymás teljesítményének rontása nélkül végezhet 1, 2 vagy 3 dolgozó - egy három fős brigáddal akarunk elvégeztetni. Az egész munkamennyiséget a kiválasztott dolgozók egyenként, 14; 10 illetve 16 nap (műszak) alatt tudják elvégezni.

a)Mekkora a csapat átlagteljesítménye nap( műszak ) ( munka ) értékben?
b)Mennyi idő alatt tudják a munkát együtt elvégezni?

Megoldás:

a)A dolgozók teljesítményének középértékét harmonikus átlaggal számolhatjuk:
x ¯ h = n i=1 n 1 x i = 3 1 14 + 1 10 + 1 16 =12,82nap

A három dolgozó egyenként átlagosan 12,82 nap alatt tudná egyedül elvégezni a munkát, azaz a csoport 3 olyan "átlag dolgozóval" behelyettesíthető képzeletben, akik ilyen teljesítményre képesek.
b)Ezen érték ismeretében már könnyen válaszolhatunk a második kérdésre: ha hárman dolgoznak a brigádban, akkor az "átlagdolgozó" időszükségletének harmadrésze szükséges a munka elvégzéséhez.
t brigád = x ¯ h 3 = 12,82nap 3 =4,27nap

A harmonikus átlag teljes megértéséhez gondoljuk át a feladatot a középiskolában megismert módon:

Az egyes dolgozók napi teljesítménye az adott munkamennyiség

1 14 -ed 1 10 -ed 1 16 -odrésze

A feladatot hárman x nap alatt tudják elvégezni.
Fennáll tehát a következő egyenlőség:

x( 1 14 + 1 10 + 1 16 )=1

így x = 4,27 nap

2. Feladat

Egy szervezet két egysége azonos szolgáltatást "forgalmaz". Az "A" egységben a szolgáltatás összes költsége 2000 eFt, a fajlagos költségfelhasználás 10 eFt/szolgáltatás. A "B" egységben az összes költségfelhasználás 1200 eFt és a szolgáltatás egységéhez 12 eFt rendelhető.

Milyen az átlagos fajlagos költség a szolgáltató szervezetnél?

Megoldás:
A fajlagos költségfelhasználás, az egységnyi szolgáltatásokhoz felhasznált összes költséget jelenti:

Összesköltség(eFt) Szolgáltatásokmennyisége(db)

Az összes felmerült költség és a szolgáltatás egységéhez felhasznált költség szorzatának nincs értelme.

Hányadosuk viszont a szolgáltatások mennyiségét adja.
(Összes felmerült költség : fajlagos költség = szolgáltatások mennyisége).

A fajlagos költségfelhasználás átlagosan:
x ¯ h s = 2000+1200 2000 10 + 1200 12 = 3200eFtköltség 300dbszolgáltatás =10,7 eFt szolgáltatás(db)

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Párosítsa a következő számított középértékeket a megfelelő matematikai összefüggéssel!
A középérték neve előtti betűt írja a megfelelő matematikai összefüggés elé!
Egy középértéknek nincs párja!

a) módusz;
b) számtani átlag;
c) harmonikus átlag;
d) mértani átlag;
e) négyzetes átlag.
betűjelösszefüggés
x ¯ = n i=1 n 1 x i = n 1 x 1 + 1 x 2 +...+ 1 x n
x ¯ = i=1 n x i 2 n = x 1 2 + x 2 2 +...+ x n 2 n
x ¯ = Π i=1 n x i n = x 1 x 2 ... x n n
x ¯ = i=1 n x i n = x 1 + x 2 +...+ x n n

2. Az alábbi ismérvértékek alapján határozza meg a számtani átlagot, a harmonikus átlagot, a mértani átlagot és a négyzetes átlagot két tizedesjegy pontossággal! Az eredmények bevitelére a számbillentyűket és a tizedes vesszőt használja!

Adatok
24761031259
Írja az eredményeket az üres mezőkbe!

a) a számtani átlag értéke:
b) a harmonikus átlag értéke:
c) a mértani átlag értéke:
d) a négyzetes átlag értéke:

3. Válassza ki az azonos adatokból számított átlagok (középértékek) helyes nagyságrendjét leíró relációt!
x ¯ q x ¯ h x ¯ g x ¯ a
x ¯ a x ¯ g x ¯ q x ¯ h
x ¯ g x ¯ a x ¯ q x ¯ h
x ¯ h x ¯ g x ¯ a x ¯ q
x ¯ g x ¯ a x ¯ h x ¯ q