KURZUS: Közlekedési statisztika I.

MODUL: "C" modul: Indexszámítás

12. lecke: Az indexszámítás főbb összefüggései

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani két ismert index esetén a harmadikat meghatározó helyes matematikai összefüggést (érték-, ár-, és volumenindex)
  • két ismert index érték alapján meghatározni a harmadik index értékét

A gyakorlati elemző munkában nagy segítséget jelent, ha tisztában vagyunk - ezért jelen fejezetben külön is kiemeljük - néhány számszerű összefüggéssel, mely az indexszámok tárgyalásánál bemutatott képletek összehasonlításából jól felismerhető.

12.1. Az érték-, az ár- és a volumenindex összefüggései
I v = I p ( 0 ) I q ( 1 )   illetve    I v = I p ( 1 ) I q ( 0 )

Az értékindex egyenlő az "ellentétes" súlyokkal számított árindex és volumenindex szorzatával. Ez az összefüggés nagyon lényeges, hiszen az értéket is a mennyiség és az ár szorzataként határoztuk meg.

Az összefüggés az indexek képleteinek felírása után könnyen belátható, tehát két index ismeretében a harmadik meghatározható:

I p ( 1 ) = I v I q ( 0 )

I q ( 1 ) = I v I p ( 0 )

I p ( 0 ) = I v I q ( 1 )

I q ( 0 ) = I v I p ( 1 )

A Fisher-féle indexeknél természetesen ugyanúgy érvényes az összefüggés:

I v = I p ( F ) I q ( F )

I p (F) = I v I q ( F )

I q (F) = I v I p ( F )

Egy szervezet termelésének jellemző adatai:

Termék
megnevezése
MértékegységTermék mennyiség
(q)
Egységár
eFt
(p)
Termelési érték
eFt
(v)
bázistárgybázistárgybázistárgy
i d ő s z a k o k b a n
q 0 q 1 p 0 p 1 q 0 p 0 q 1 p 1
Adb1100301267201,61,8176048228096
Bl229019600,70,9216031803
Ct1521301598051,01,2152130191766
Együtt-----329781421665

I v =127,9% = 121,8% - 104,9%
I p ( 0 ) =121,8% = 127,9% : 104,9%
I q ( 1 ) =104,9% = 127,9% : 121,8%

I v =127,9% = 115,9% - 110,4%
I p ( 1 ) =115,4% = 127,9% : 110,4%
I q ( 0 ) =110,4% = 127,9% : 115,9%

I v = I p ( F ) I q ( F ) =127,9% = 118,8% - 107,6%
I p (F) = I v I q ( F ) =118,8% = 127,9% : 107,6%
I q (F) = I v I p ( F ) =107,6% = 127,9% : 118,8%

A fenti táblázat adatai alapján végezze el a szükséges műveleteket, majd ellenőrizze a fenti eredményeket!

Ezen összefüggés felhasználásával közvetett számításokat végezhetünk, így "adatgyűjtést" takaríthatunk meg, hiszen például a standard aggregátumok képzése nem kis feladat, vagy számításokat takaríthatunk meg, a "harmadik index" mindig "adódik" egy hányadosként stb.

12.2. Az indexek és az aggregátumok összefüggése

Bármely index képlete, megfelel az egyszerű viszonyszámok képletének: V= A B , csak a V az indexet, A és B az aggregátumokat jelenti. Így egy index és egy aggregátum ismeretében egy további aggregátum könnyen kiszámítható. Az aggregátumoknak nemcsak a hányadosa, hanem különbsége is információforrás, ezért gyakran kiszámítjuk. (A megfelelő index számlálójának és nevezőjének különbsége). Ellentétes súlyozású ár- és volumenindex aggregátumainak különbségei is összefüggést mutatnak.

Általában:

K v = K q + K p

ahol:
K v = az értékindex aggregátumainak különbsége;
K q = a bázis súlyozású volumenindex aggregátumainak különbsége;
K p = a tárgyi súlyozású árindex aggregátumainak különbsége.

A fenti összefüggéseket szemlélteti a következő ábra, a korábbi példánk adatait is felhasználva ( I v = I q ( 0 ) I p ( 1 ) indexkörre kimutatva):

A nyilak irányában szorozni, ellenkező irányban osztani kell!

Természetesen hasonló összefüggések vannak I v = I q ( 1 ) I p ( 0 ) indexkörben is!

Elemzés: A K v példánkban úgy értelmezendő, hogy a szervezet a tárgyidőszakban 91884 e Ft termelési értékkel többet produkált, mint az előző időszakban. Termelési volumenük növeléséből ( K q ) 34148 e Ft termelési érték többletet ért el, míg az árak átlagos növeléséből ( K p ) 57736 e Ft termelési érték növekmény adódott azaz: 91884 e Ft = 34148 e Ft + 57736 e Ft.

A korábban többször is felhasznált táblázat adatai alapján is meghatározható a növekmény, amely a tárgyidőszaki termelési érték és a bázisidőszaki termelési érték különbsége:
421665 e Ft - 329781 e Ft = 91884 e Ft.

Vigyázzunk arra, hogy a súlyozás fogalmának kétféle értelmét ne keverjük össze, ugyanakkor látnunk kell a kettő közötti összefüggést is!

Nehézséget szokott okozni az eltérő súlyozású indexek közötti különbség magyarázata. Nem elegendő annyit mondani, hogy az indexek értéke azért különböző, mert a súlyarányok megváltoztak. Ezzel nem magyaráztuk meg, hogy miért éppen a Laspeyres súlyozású index nagyobb és miért nem a Paasche súlyozású vagy fordítva.

Az alábbi egyedi indexeket ismerjük:

Termék ( q 1 q 0 ) i
egyedi volumenindex
( p 1 p 0 ) i
egyedi árindex
A11090
B13080

Ezekből az egyedi indexekből sem a Laspeyres, sem a Paasche-féle volumen- vagy árindexet nem tudjuk kiszámítani. Annyit meg tudunk állapítani, hogy a volumenindex valahol 110% és 130% között lesz, az árindex pedig 80% és 90% között, bármilyen súlyozással számítjuk is ki azokat. Ezenkívül meg tudjuk még azt is mondani, hogy a Laspeyres- és a Paasche-féle indexek közül melyik lenne nagyobb.

A volumenindexet előbb Laspeyres, majd Paasche súlyozással kiszámítva, a tárgyi időszaki árakra, mint súlyokra áttérve, megnövekszik az "A" termék súlya, minthogy annak ára kevésbé csökkent (tehát viszonylag drágább lett). Az "A" termék pedig arról "nevezetes" (a volumenindex-számítás szempontjából!), hogy annak termelése kevésbé nőtt, egyedi volumenindexe alacsonyabb. Ha pedig az alacsonyabb egyedi index nagyobb súlyt kap, akkor az így számított volumenindex kisebb lesz, mint a Laspeyres súlyozású. Ugyanezt a "B" termék oldaláról is elmagyarázhatjuk.

Megjegyzés: Gondolja végig a fenti logika alapján a B termék oldaláról.

Ha az árindexek közötti eltérést akarjuk megmagyarázni, akkor a két megadott számoszlop szerepet cserél.

A p 1 p 0 -okról beszélünk, mint az index nagyságát elsősorban meghatározó egyedi indexről, a q 1 q 0 adatok pedig a súlyarányok megváltozásának irányáról adnak képet.

Az árindexet előbb Laspeyres, majd Paasche súlyozással kiszámítva, a tárgyi időszaki mennyiségekre, mint súlyokra áttérve, megnövekszik a "B" termék súlya, minthogy annak ára jobban csökkent, egyedi árindexe alacsonyabb lesz. Tehát a Paasche súlyozású árindex kisebb lesz, mint a Laspeyres súlyozású.

Minden olyan esetben, amikor átlagosnál nagyobb q 1 q 0 egyedi indexhez átlagosnál kisebb p 1 p 0 egyedi indexek tartoznak a Paasche súlyozású index kisebb, mint a Laspeyres súlyozású. (Fordított esetben a Paasche súlyozású index lesz nagyobb)

1. feladat

Egy kereskedelmi egység értékesítési eredményei az alábbiak:

Termék19921993
mennyiség
q 0
egységár
p 0
mennyiség
q 1
egységár
p 1
dbFtdbFt
A24483042
B16921094
C7012066112
D124150160186

Elemezzük az értékesítési eredményességet!

Megoldás:
Meghatározzuk az indexek lehetséges aggregát formáit, ezért célszerű egy munkatáblába foglalni az aggregátumokat: 

Termék q 0 p 0 q 0 p 1 q 1 p 0 q 1 p 1
A1152100814401260
B14721504920940
C8400784079207392
D18600230642400029760
Összesen29624334163428039352

I v = 39352 29624 =132,8%

I q ( 1 ) = 39352 33416 =117,8%

I q ( 0 ) = 34280 39624 =115,7%

I q (F) = 1,1781,157 =116,7%

I p ( 0 ) = 33416 29624 =112,7% vagy  I v I q ( 1 ) =1,328:1,178=112,7%

I p ( 1 ) = 39352 34280 =114,8% vagy  I v I q ( 0 ) =1,328:1,157=114,8%

I p (F) = 1,1271,148 =113,7%

Ellenőrizzük az eredményt:

I v = I p (F) I q (F) =1,1671,137=132,8% 

Elemzés:

A Fisher-féle indexek alapján tehető megállapítás:

A kereskedelmi egység 32,8 %-os értékesítési forgalomnövekedést ért el 1992-ről 1993-ra, ami egyrészt egy 16,7%-os átlagos volumen-növekedésnek, másrészt egy 13,7%-os átlagos árnövekedésnek az eredménye.

Mint látható, a tárgyi és bázis súlyozású ár- és volumenindexek számszerű eredményei nem mutatnak jelentősebb eltérést, tehát elegendő lett volna az I v = I p ( 1 ) I q ( 0 ) indexkör meghatározása, amikoris K v = K q + K p különbségeket is közvetlenül értelmezhetjük.

Megjegyezzük, hogy a K v különbséget a Fisher-indexek alapján is feloszthatjuk K q és K p különbségre például az I q (F)   és   I p (F) indexek logaritmusaiból képzett megoszlási viszonyszámok alapján.

2. feladat

A MÁV fuvardíj bevételeire vonatkozó adatok:

Fuvarozási
relációk
A fuvardíjbevétel
millió Ft
A tarifák
1993/1992 évi
árindexei (%)
1992
q i 0 p i 0
1993
q i 1 p i 1
Belföldi450420105
Export-import56060098
Tranzit320350107

Elemezzük a díjbevételek alakulását!

I v = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 0 p i 0 = 420+600+350 450+560+320 = 1370 1330 =103%

I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 1 ( p 1 p 0 ) i = 420+600+350 420 1,05 + 600 0,98 + 350 1,07 = 1370 1340 =102,2%

I q ( 0 ) = I v I p ( 1 ) = 1,03 1,022 =101%

K q = K v K p =4030=10 mFt

A vasút fuvardíj bevételei 1992-ről 1993-ra átlagosan 3%-kal növekedtek, ami 40 millió Ft növekményben realizálódott. Ez az eredmény:

  • egyrészt az átlagos 2,2%-os tarifaemelésből adódott (30 millió Ft);
  • másrészt a fuvarfeladatok mennyiségének, átlagosan 1%-os növekedéséből (10 millió Ft).

Gyakorlásként meghatározhatjuk az ellentétes súlyozású indexek "másik körét":

I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 0 ( p 1 p 0 ) i i=1 n q i 0 p i 0 = 4501,05+5600,98+3201,07 450+560+320 = 1363,7 1330 =102,5%

I q ( 1 ) = I v I p ( 0 ) = 1,03 1,025 =100,5%

Jól látható, hogy a bázis és tárgyi időszaki súlyozású indexek eltérése nem jelentős, de gyakorlásként még meghatározhatjuk a Fisher-indexeket:

I p (F) = 1,0221,025 =102,3%

I q ( F ) = 1,0051,01 =100,7%

I v =102,3%100,7%=103%

Ezek az indexek sem mutatnak nagy eltéréseket az előzőekhez képest.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Az alábbi összefüggések közül válassza ki azokat, amelyek két ismert index alapján a harmadik hiányzó index meghatározásához megfelelnek!
Válassza ki a négy helyes választ!
I p ( 1 ) = I v I q ( 0 )
I p ( 1 ) = I v I q ( 1 )
I q ( 0 ) = I v I p ( 0 )
I q ( 1 ) = I v I p ( 0 )
I q ( 1 ) = I v I p ( 1 )
I p ( 0 ) = I v I q ( 1 )
I p ( 1 ) = I v I q ( 1 )
I p ( 0 ) = I v I q ( 0 )
I q ( 0 ) = I v I p ( 1 )

2. Határozza meg az ismert indexértékek alapján a hiányzó indexeket, majd válaszoljon a következő kérdésekre!
Adott:

Az értékindex: I v =148,5%
Az árindex: I p ( 0 ) =118,3%
A volumenindex: I q ( 0 ) =133,1% I q F =129,2%

Válassza ki a I p ( 1 ) helyes értékét!
I p ( 1 ) = 1,115
I p ( 1 ) = 1,255
I p ( 1 ) = 1,149
I p ( 1 ) = 1,234
Válassza ki a I q ( 1 ) helyes értékét!
I q ( 1 ) = 1,023
I q ( 1 ) = 1,149
I q ( 1 ) = 1,255
I q ( 1 ) = 1,115
Válassza ki a I p (F) helyes értékét!
I p (F) = 1,255
I p (F) = 1,149
I p (F) = 1,115
I p (F) = 1,354