KURZUS: Közlekedési statisztika I.

MODUL: "C" modul: Indexszámítás

10. lecke: Az árindex

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az árindex definícióját
  • kiválasztani a Laspeyres-féle árindex, Paasche-féle árindex, az egyedi árindex, az árindexek átlagformáinak és a Fisher-féle ideális árindex matamatikai összefüggéseit
  • adatok alapján meghatározni a Laspeyres-féle árindexet, Paasche-féle árindexet, az egyedi árindexet, az árindexek átlagformáit, a Fisher-féle ideális árindexet
  • kiválasztani a statisztikai problémához megfelelő árindexet
  • a kiszámított árindex alapján minősíteni a kiindulási adatokat
  • felsorolni az árindexek összefüggéseiben szereplő tényezőket, értelmezni változásuk hatásait az eredményre

Az árindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan, az árak (termelői, fogyasztói, beszerzési stb.) együttes, átlagos változását méri.

Ahhoz tehát, hogy az árváltozások hatását vizsgáljuk, az értékváltozásban szerepet játszó másik tényezőt, a mennyiségek változását "ki kell küszöbölnünk", vagyis a mennyiségi tényezőt standardnak kell tekintenünk, "standard aggregátumot kell képeznünk".

Az árindex meghatározásánál tehát a p adatok töltik be a változó tényezők szerepét, míg a q adatok rögzítettek. Az aggregát formájú indexben, az állandónak vett, rögzített adatokat nevezzük súlyoknak.

Mivel mind a bázis időszak mennyiségi adatát, mind a tárgyi időszak mennyiségi adatát rögzíthetjük (standardnak tekinthetjük), így akár "bázis súlyozású", akár "tárgyi súlyozású" árindexet is képezhetünk.

A megoldást javaslók tiszteletére az indexeket:

  • ha a bázis időszak a standard, akkor Laspeyres-féle indexnek (jelölése felső indexben: 0 vagy L),
  • ha a tárgyi időszak a standard, akkor Paasche-féle indexnek is nevezik (jelölése felső indexben: 1 vagy P).

Az árindex aggregát formái általában:

Laspeyres-féle:

vagy bázis súlyozású I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 0

Paasche-féle:

vagy tárgyi súlyozású I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 0

Mint látható az árindex esetében valós, közgazdasági tartalommal is bíró és standard, képzett (közgazdasági tartalommal csak feltételezetten bíró) értékeket hasonlítunk össze.

Egy szervezet termelésének jellemző adatai:

Ter-
mék
meg-
neve-
zése
Mér-
ték
egy-
ség
Termék mennyiség
(q)
Egységár
eFt
(p)
Termelési érték
eFt
(v)
bázistárgybázistárgybázistárgy
i d ő s z a k o k b a n
q 0 q 1 p 0 p 1 q 0 p 0 q 1 p 1
Adb1100301267201,61,8176048228096
Bl229019600,70,9216031803
Ct1521301598051,01,2152130191766
Együtt-----329781421665

A Laspeyres-féle árindex:
I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 0 = 1100301,8+22900,92+1521301,2 1100301,6+22900,7+1521301,0 = 401678 329781 = 121,8%

A Paasche-féle árindex:
I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 0 = 1267201,8+19600,92+1598051,2 1267201,6+19600,7+1598051,0 = 421665 363929 = 115,9%

Elemzés: Az árak változása együttesen átlagosan, a Laspeyres-féle index esetében 21,8%-os növekedést, míg a Paasche-féle index esetében 15,9%-os növekedést mutat.

Megjegyzés: Az azonos adatokból meghatározott két különböző index eltérése jelentős.

Mi okozza a kétféle index eltérését?

Jól látható, hogy a kétféle index aggregát formája között csak abban van különbség, hogy más-más időszak mennyiségi adatait tekintjük standardnak, nyilvánvaló, hogy a számszerű eltérést is ez okozza.

A kétféle index, tulajdonságaikat vizsgálva, lényegében egyenrangú, a valóságot egyformán jól, illetve egyformán egyoldalúan (a mennyiségi szerkezet bázisidőszaki, vagy tárgyidőszaki rögzítésével) tükrözi.

A "számszerű eltérés", természetesen arra sarkallta a statisztikusokat, hogy ezt az "eltérés problémát" megoldják. Számos kísérlet és megoldás született, melyek közül "Fisher indexe, az ideális index" a legjelentősebb. Fisher az ún. indexpróbák segítségével vizsgálta, a Laspeyres- és Paasche-féle indexeket, ill. azok "jóságát".

Például egyik próbája, az ún. tényerőpróba, azt "várja el" az indexektől, hogy tényezőik összefüggését - miszerint az érték egyenlő a mennyiség és az ár szorzatával - az indexek is tükrözzék, vagyis az értékindex legyen egyenlő az árindex és a volumenindex szorzatával. Ennek a követelménynek sem a Laspeyres-, sem a Paasche-index nem tesz eleget.

Egy másik próbája, az átlagpróba azt várja el, hogy ha minden termék ára (mennyisége) azonos arányban változik, akkor a volumenindex legyen egyenlő ezen aránnyal. Ezen elvárásnak eleget tesz mind a Laspeyres-, mind a Paasche-index.

Fisher számos (itt nem részletezett) próba után olyan indexet szerkesztett, amely az általa felállított és természetesen reális követelményeknek nagy részt eleget tesz:

Fisher-féle ideális árindex (jelölése felső indexben: F):

I p (F) = I p ( 0 ) I p ( 1 ) = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 0 i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 0

Az előző példa alapján:

I p (F) = 1,2181,159 = 1,412 =118,8%

Mint látható a Fisher-féle ideális index, a Laspeyres- és a Paasche-féle index mértani átlaga, egy ún. keresztezett formula.

Más statisztikusok, közgazdászok is alkottak és ajánlottak indexformulákat, számos vonatkozásban gazdagítva ezt a témakört, azonban a gyakorlatban az említett három formula használata a legelterjedtebb.

Az árváltozást is vizsgálhatjuk termékenként, meghatározva a dinamikus viszonyszámokat, amelyeket egyedi árindexeknek ( i p ) nevezünk, ahol:

i p = p 1 p 0
Termék
megnevezése
MértékegységEgységár
eFt
(p)
bázistárgy
időszak
p 0 p 1
Adb1,61,8
Bl0,70,92
Ct1,01,2

A termék: i p = 1,8 1,6 =112,5%

B termék: i p = 0,92 0,7 =131,4%

C termék: i p = 1,2 1,0 =120,0%

Elemzés: Minden termék ára növekedett a bázisidőszakhoz viszonyítva.

Az átlagos árváltozást meghatározhatjuk az egyedi árindexek súlyozott átlagaként.

A Laspeyres-féle árindex átlagformái:

I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 0 ( p 1 p 0 ) i i=1 n q i 0 p i 0 I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 1 ( p 1 p 0 ) i

A Paasche-féle árindex átlagformái:

I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 0 ( p 1 p 0 ) i i=1 n q i 1 p i 0 I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 1 ( p 1 p 0 ) i

Bizonyára megfigyelte, hogy az átlagformák képzésénél ismét érvényesül a szabály:

  • ha az indexszám számlálójának megfelelő adatokkal súlyozunk, akkor harmonikus,
  • ha a nevezőjének megfelelő adatokkal súlyozunk, akkor számtani átlagot képeztünk.

Súlyként az aggregátumok megoszlási viszonyszámai is használhatók!

Egy szervezet termelésének jellemző adatai:

Termék
megnevezése
MértékegységTermék mennyiség
(q)
Egységár
eFt
(p)
Termelési érték
eFt
(v)
bázistárgybázistárgybázistárgy
i d ő s z a k o k b a n
q 0 q 1 p 0 p 1 q 0 p 0 q 1 p 1
Adb1100301267201,61,8176048228096
Bl229019600,70,9216031803
Ct1521301598051,01,2152130191766
Együtt-----329781421665

A termék: i p =112,5%

B termék: i p =131,4%

C termék: i p =120,0%

Megjegyzés: Lásd az egyedi áridexnél kapott eredményeket.

A Laspeyres-féle árindex:

I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 0 ( p 1 p 0 ) i i=1 n q i 0 p i 0 = 1760481,125+16031,314+1521301,2 176048+1603+152130

I p ( 0 ) = 401678 329781 =121,8%

I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 1 ( p 1 p 0 ) i = ( 1100301,8 )+( 22900,92 )+( 1521301,2 ) 1100301,8 1,125 + 22900,92 1,314 + 1521301,2 1,2

I p ( 0 ) = 401678 329781 =121,8%

Megjegyzés: Lásd a korábban meghatározott eredményeket.

A Paasche-féle árindex:

I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 0 ( p 1 p 0 ) i i=1 n q i 1 p i 0 = ( 1267201,6 )1,125+( 19600,7 )1,314+( 1598051,0 )1,2 ( 1267201,6 )+( 19600,7 )+( 1598051,0 )

I p ( 1 ) = 421665 363929 =115,9%

I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 1 ( p 1 p 0 ) i = 228096+1803+191766 228096 1,125 + 1803 1,314 + 191766 1,2

I p ( 1 ) = 421665 363929 =115,9%

Megjegyzés: Lásd a korábban meghatározott eredményeket.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

1. Párosítsa a következő árindexeket a megfelelő matematikai összefüggéssel!
Az árindexek neve előtti betűt írja a megfelelő matematikai összefüggés elé!
Egy árindexnek nincs párja!

a) a Laspeyres-féle árindex;
b) a Paasche-féle árindex;
c) a Fisher-féle ideális index;
d) az egyedi árindex;
e) a Laspeyres-féle árindex átlagformája.
betűjelösszefüggés
I p F = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 0 i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 0
I p ( 0 ) = i=1 n q i 0 p i 1 i=1 n q i 0 p i 0
i p = p 1 p 0
I p ( 1 ) = i=1 n q i 1 p i 1 i=1 n q i 1 p i 0

2. Határozza meg egy vállalat kereskedelmi forgalmi adatai alapján a Laspeyres-féle árindexet, a Paasche-féle árindexet, a Fisher-féle ideális árindexet és az egyedi áridexet, majd válaszoljon a következő kérdésekre!

A vállalat három termékének kereskedelmi-forgalmi jellemzői:

TermékBázisévTárgyév
Eladott mennyiség
(1000 db)
Egységár
(Ft/db)
Eladott mennyiség
(1000 db)
Egységár
(Ft/db)
A5,01995,5235
B7,33256,4450
C1,51 4502,91 399
Válassza ki Laspeyres-féle árindex helyes értékét!
114,9%
111,5%
118,3%
123,1%
116,2%
Válassza ki Paasche-féle árindex helyes értékét!
106,2%
111,5%
118,3%
101,1%
114,9%
Válassza ki Fisher-féle ideális árindex helyes értékét!
116,2%
111,5%
108,3%
101,1%
114,9%
Válassza ki a termékenkénti egyedi árindexekek helyes értékeit tartalmazó sort!
i pA =138,46%, i pB =118,09%, i pC =96,48%
i pA =111,5%, i pB =118,3%, i pC =114,9%
i pA =101,39%, i pB =128,5%, i pC =99,78%
i pA =118,09%, i pB =138,46%, i pC =96,48%
i pA =90,09%, i pB =108,43%, i pC =86,88%
Válassza ki a két helyes választ!
A kiszámított egyedi árindexek alapján megállapítható, hogy a bázisévhez képest:
az A és B termék ára csökkent
B és C termékek ára nem változott
az A termék ára növekedett, a B termék ára csökkent
az A és B termék ára növekedett
a C termék ára növekedett
a C termék ára csökkent
az A termék ára csökkent
3. Válassza ki az árindex helyes definícióját!
Az árindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan, az árak és a mennyiségek együttes, átlagos változását méri.
Az árindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan, az árak együttes, átlagos változását méri.
Az árindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan, az árak és az értékek együttes átlagos változását méri.