KURZUS: Matematika II.

MODUL: Többváltozós függvények

15. lecke: A legkisebb négyzetek módszere és gazdasági alkalmazásai

Tanulási cél: A legkisebb négyzetek módszerének elsajátítása és begyakorlása gazdasági feladatok megoldására alkalmazva.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.9. fejezet

Elméleti összefoglaló

A gyakorlati életben gyakran előfordul, hogy nem ismerjük az F:XY függvényt, de ismerünk összetartozó ( x i , y i ) , ( i=1,,n ) számpárokat, amelyekre

y i =F( x i ) , ( i=1,,n ) .

Ha a számpárokat egy koordináta-rendszerben ábrázolnánk, akkor ezek az F grafikonján helyezkednek el. Ha F-et nem ismerjük, akkor az ábrázolt pontok elhelyezkedéséből próbálunk következtetni az F jellegére. Még nehezebb a feladat, ha a számpárok mérés vagy felmérés eredményei és így pontatlanságot tartalmaznak. Segítséget nyújthat a függvény meghatározásához a vizsgált jelenség jellege (pl. tudjuk, hogy a függvény lineáris). Leggyakrabban egy adott függvénycsaládból keressük meg a mérés eredményeit megközelítő függvényt.

Definíció. A legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk akkor, amikor egy adott függvénycsalád elemei közül azt a f függvényt fogadjuk el a F legjobb közelítésének, amelyre a

i=1 n ( y i f( x i ) ) 2

kifejezés minimális.
Részletesen azt az esetet vizsgáljuk meg, amikor f lineáris, azaz

f( x )=ax+b

alakú. Ekkor a

h( a,b )= i=1 n ( y i f( x i ) ) 2 = i=1 n ( y i ( a x i +b ) ) 2

kétváltozós valós függvényt kell minimalizálni a-ra és b-re.
A lokális szélsőérték szükséges feltétele szerint lokális szélsőérték csak

h a = i=1 n 2( y i ( a x i +b ) )( x i ) =0 h b = i=1 n 2( y i ( a x i +b ) )( 1 ) =0 a i=1 n x i 2 +b i=1 n x i = i=1 n x i y i a i=1 n x i +bn= i=1 n y i

esetén lehet. A lineáris egyenletrendszerből ( a,b ) értéket meghatározva a lehetséges szélsőértékhelyet kapjuk meg. A h( a,b ) függvény

D 2 h( a,b )=( 2 h a 2 2 h ab 2 h ba 2 h b 2 )=( 2 i=1 n x i 2 2 i=1 n x i 2 i=1 n x i 2n )

második  deriváltjáról megmutatható, hogy az mindig pozitív definit, ezért az ( a,b ) hely minimumhely.

Megjegyzés. A gyakorlatban az ( x i , y i )( i=1,2,,n ) ponthalmaz alakjától függően, az y=ax+b lineáris közelítésen kívül, az alábbi nem-lineáris közelítések is szokásosak:

y=a x 2 +bx+c (másodfokú kapcsolat)
y= a x+b (hiperbolikus kapcsolat)
y=a e bx (exponenciális kapcsolat)

Ezeken kívül más, bonyolultabb függvények is használatosak.

Némelyik kapcsolatot könnyen visszavezethető lineárisra. Exponenciális kapcsolat esetén például

ln( y )=bx+ln( a ) ,

ami azt mutatja, hogy x és ln( y ) között lineáris a kapcsolat és az ( x i ,ln( y i ) ),( i=1,2,,n )   transzformált ponthalmazra így lineáris közelítést alkalmazhatunk.

Kidolgozott feladatok

15.1. A szőlőperonoszpóra a szőlő egyik legveszedelmesebb gombakártevője. A fertőzés lappangási ideje az időjárástól és a hőmérséklettől függ. Tapasztalták, hogy a napi közép-hőmérséklet és a lappangási idő között lineáris összefüggés van. Az alábbi táblázat a peronoszpóra lappangási idejét mutatja különböző napi középhőmérséklet esetén.

Napi középhőmérséklet
Celsius fokban
( y i )
Lappangási idő
napokban
( x i )
1018
1216
1415
1512
1610
178
186
195
205
224

Határozzuk meg az adatok négyzetesen legjobban közelítő f( x )=ax+b egyenest!

Megoldás: A keresett a,b értéket a legkisebb négyzetek módszerénél leírt módon az

a i=1 n x i 2 +b i=1 n x i = i=1 n x i y i a i=1 n x i +bn= i=1 n y i

egyenletrendszer megoldásával kapjuk, ahol

n=10, i=1 n x i =163, i=1 n x i 2 =2779, i=1 n y i =98 és i=1 n x i y i =1427.

Tehát az

2779a+163b =1427 163a+10b =98

egyenletrendszert megoldva a=1.395577,b=32.547911 , így a legjobban közelítő lineáris függvény f( x )=1.395577x+32.547911 .

15.2. Azt tapasztalták, hogy az import értékének növekedésével az importanyagok fuvarköltsége is növekszik. Hét egymást követő év adatait a következő táblázat mutatja.

Az import értéke
milliárd forintban
( y i )
Az import fuvarköltsége
millió forintban
( x i )
9.489264.4
11.284283.0
12.277319.2
13.416331.4
14.822368.9
16.472386.2
17.504395.2

Határozzuk meg az adatok négyzetesen legjobban közelítő f( x )=ax+b egyenest!

Megoldás: A keresett a,b értéket a legkisebb négyzetek módszerénél leírt módon az

a i=1 n x i 2 +b i=1 n x i = i=1 n x i y i a i=1 n x i +bn= i=1 n y i

egyenletrendszer megoldásával kapjuk, ahol

n=7, i=1 n x i =2348.3, i=1 n x i 2 =803131.65, i=1 n y i =95.264 és i=1 n x i y i =32814.0474.

Tehát az

803131.65a+2348.3b =32814.0474 2348.3a+7b =95.264

egyenletrendszert megoldva a=0.0558,b=5.0992 , így a legjobban közelítő lineáris függvény f( x )=0.0558x5.0992 .

Ellenőrző kérdés

Az alábbi táblázat az egy munkásra jutó öntvénymennyiség és a nagyrészt kézi munkát végző öntödei munkások aránya közötti összefüggést mutatja. Azt tapasztalták, hogy ez a kapcsolat legjobban egy y=b a x exponenciális görbével közelíthető meg. Az exponenciális kapcsolatot lineárisra visszavezetve, határozzuk meg a legkisebb négyzetek módszerivel, az adatokhoz tartozó ponthalmazt legjobban megközelítő ln( y )=ln( a )x+ln( b ) egyenest!

Kézi munkát végző
munkások arányának
a logaritmusa
ln( y i )
Egy főre jutó
öntvénytermelés
tonna/fő
( x i )
2,89048
3,29638
3,55532
3,68928
3,80726
3,95125
4,00721
4,09420
4,17419
4,24818
Az adatokhoz tartozó ponthalmazt legjobban megközelítő ln( y )=ln( a )x+ln( b ) egyenes:
ln( y )=0,0445x+4,9949.
ln( y )=0,0445x+4,9949.
ln( y )=0,0445x4,9949.
ln( y )=0,0445x+49,949.