KURZUS: Matematika II.
MODUL: Lineáris algebra
8. lecke: A termelési mátrix
Tanulási cél: A termelési feladat átírása mátrix alakba és megoldása. A módszer megismerése és begyakorlása. | ||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.6. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Alapanyag - az a termék, amelybe más termék nem épül be. | ||
Félkész termék - más termék beleépül, de még nem végtermék. | ||
Végtermék - az a termék, amely nem épül be más termékbe. | ||
A Kközvetlen ráfordítás mátrix aij eleme azt mutatja, hogy az i-edik termékből közvetlenül (nem más terméken keresztül) mennyi épül be a j-edik termékbe. | ||
A teljes ráfordítások Tmátrixában az i-edik sor j-edik eleme azt mutatja, hogy egy darab Ai termék összesen hány darab Aj elemet tartalmaz. A T teljes ráfordítási mátrixot termelési mátrixnak is nevezik. | ||
A teljes ráfordítások mátrixa - a közvetlen ráfordítások mátrixának ismeretében - a következő képlettel határozható meg: | ||
ahol I-vel az egységmátrixot jelöljük. | ||
Megjegyzés. | ||
alapanyagból végtermék lesz. | ||
végtermékhez alapanyag kell. | ||
Az mátrix mindig invertálható, az meghatározása például Gauss eliminációval történhet (lásd 8.1. példa). | ||
Kidolgozott feladatok | ||
8.1. Tegyük fel, hogy egy üzem kétféle végterméket állít elő négyféle alkatrész felhasználásával. Az A1 és A2 jelölje a végtermékeket, az A3, A4, A5, A6 az alkatrészeket. Az egyes alkatrészek egymásba és a végtermékbe való beépülése az alábbi ábra szemlélteti. | ||
A gráfban lévő nyilak a beépülés irányát, a nyilakon elhelyezett számok a beépülés mennyiségét jelölik. Határozzuk meg a gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot! | ||
Megoldás. | ||
Az adott gráfban az A6 alapanyag, az A3, A4, és A5 félkész termék, az A1 és A2 végtermék. A gráf alapján elkészíthetjük az ún. közvetlen ráfordítások K szimbólummal jelölt mátrixát: | ||
A közvetlen ráfordítások mátrixa segítségével meghatározható T (a teljes ráfordítások mátrixa), a | ||
képletet használva. | ||
Határozzuk meg az | ||
mátrix inverzét, azaz a T termelési mátrixot! | ||
Ellenőrzés.. | ||
A példánk esetében a teljes ráfordítások mátrixa (a termelési mátrix) a következő: | ||
Látható, hogy az A1 végtermék az A6 alapagyagokból 21 egységet tartalmaz, mivel az első oszlop hatodik eleme 21. Az A2 végtermék pedig az A6-ból 44 egységet tartalmaz. | ||
8.2. Határozzuk meg az alábbi gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot! | ||
Megoldás. | ||
. | ||
Határozzuk meg a termelési mátrixot! | ||
Ennél a példánál már nem írjuk ki a táblázat jobb oldalára a sorokkal végzett műveleteket, ami csak magyarázatul szolgált az előző feladatban. | ||
Ellenőrzés.. | ||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Határozzuk meg az alábbi gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot! | |||||||||
Válassza ki a gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Határozzuk meg az alábbi gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot! | |||||||||
Válassza ki a gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!
![]() |