KURZUS: Matematika II.

MODUL: Valószínűség-számítás

28. lecke: Nevezetes folytonos eloszlású valószínűségi változók

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.10., 4.11. fejezet

Elméleti összefoglaló (nevezetes folytonos eloszlások)

1. Egyenletes eloszlás

Egy folytonos ξ valószínűségi változót az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: f( x )={ 0,       ha   xa 1 b-a , ha a<xb 0,       ha    x>b ;

eloszlásfüggvénye: F( x )={ 0,       ha   xa x-a b-a , ha a<xb 1,       ha    x>b .

ξ várható értéke: M( ξ )= a+b 2 , szórása: D( ξ )= ba 12

2. Exponenciális eloszlás

Egy folytonos ξ valószínűségi változót λ>0 paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: f( x )={ 0,         ha   x0 λ e -λx , ha    x>0 ;

eloszlásfüggvénye: F( x )={ 0,         ha   x0 1 e -λx , ha    x>0 .

ξ várható értéke: M( ξ )= 1 λ , szórása: D( ξ )= 1 λ .

Exponenciális eloszlással általában berendezések, alkatrészek élettartamát szokás modellezni.

3. Normális eloszlás

Egy folytonos ξ valószínűségi változót m, σ ( σ>0 ) paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye: f( x )= 1 σ 2π e ( xm ) 2 2 σ 2 ;

eloszlásfüggvénye: F( x )=P( ξ<x )= 1 σ 2π x e ( tm ) 2 2 σ 2 dt .

ξ várható értéke: M( ξ )=m , szórása: D( ξ )=σ .

Az m = 0, σ=1 paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük.
Ennek sűrűség-,és eloszlásfüggvényét görög betűvel jelöljük:

Sűrűségfüggvénye: ϕ( x )= 1 2π e x 2 2 ;

Eloszlásfüggvénye: Φ( x )=P( ξ<x )= 1 2π x e t 2 2 dt .

Ha ξ standard normális eloszlású, akkor fennáll, hogy P( xξ<x )=Φ( x )Φ( x )=Φ( x )( 1Φ( x ) )=2Φ( x )1 .

Ha ξ m, σ paraméterű normális eloszlású változó, akkor standardizáltja, az η= ξm σ valószínűségi változó standard normális eloszlású.
A normális eloszlás a gyakorlatban legtöbbet használt eloszlás, szinte mindenhol előfordul.

Kidolgozott feladatok

28.1. Egy 800 m hosszú vezeték mentén az egyes pontokban történő meghibásodás egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változó.
Mekkora annak a valószínűsége, hogy

a)a vezeték pontosan a felénél hibásodik meg?
b)az első negyedében történik a meghibásodás?
c)két hiba együttes bekövetkezésekor a hibás helyek távolsága kisebb 100 m-nél?

Megoldás: Legyen ξ a meghibásodás helyét jelentő valószínűségi változó ( 0ξ800 ) .

a) Mivel folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért minden pontban a bekövetkezés valószínűsége 0. (Vigyázat! Ez nem azt jelenti, hogy az adott esemény lehetetlen!) Vagyis a kérdéses esemény valószínűsége 0.

b) Akkor történik a vezeték első negyedében a meghibásodás, ha ξ200 . Tehát keresett a P( ξ200 ) valószínűség. Írjuk fel az egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényét: f( x )={ 0, ha  x0 1 800 , ha  0<x800 0, ha x>800 .

Az eloszlásfüggvény: F( x )=P( ξ<x )={ 0, ha  x0 x 800 , ha  0<x800 1, ha x>800 .

A keresett valószínűség: P( ξ200 )=P( ξ<200 )+P( ξ=200 )= 200 800 +0= 1 4 .

c) Legyen az egyik hiba helye ξ, a másiké η, mindkettő egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változó. Keresett a P( | ξη |<100 ) valószínűség. | ξη |<100 , vagyis 100<ξη<100 .

Ábrázoljuk a megfelelő eseményeknek megfelelő ponthalmazt!

A feltétel szerint a megfelelő pontok koordinátáinak eltérése kisebb, mint 100. Ezen pontok a ξη<100 és a 100<ξη ponthalmazok metszetét jelentik, vagyis a ξ100=η és a ξ+100=η egyenesek közti részt. Ennek területe megkapható úgy, hogy a négyzet területéből kivonjuk az alsó és felső háromszögek területét, vagyis: 800800 700700 2 2=150000 .
Az esemény keresett valószínűsége meghatározható, mint a neki megfelelő ponthalmaz területének és a teljes ponthalmaz területének hányadosa.
Így a keresett valószínűség: 150000 800800 = 15 64 0,234

28.2. Legyen ξ valamely pozitív intervallumon értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Legyen továbbá M( ξ )=10 , D( ξ )= 3 . Határozzuk meg ξ sűrűség- és eloszlásfüggvényét!

Megoldás: Az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke: a+b 2 , szórása: ba 12 . Ezekkel a következő egyenletrendszert kapjuk:

a+b 2 =10 ba 12 = 3 } a+b=20 ba= 36 =6 } b=13 a=7

Ebből a sűrűségfüggvény: f( x )={ 0,  ha x7 1 6 ,  ha 7<x13 0,  ha x>13 ;

az eloszlásfüggvény: F( x )={ 0,  ha  x7 x7 6 ,  ha  7<x13 1,  ha  x>13 .

28.3. Egy bizonyos alkatrész első meghibásodásáig eltelt idő legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 2000 óra várható értékkel. Írjuk fel a valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mekkora annak a valószínűsége, hogy az alkatrész legalább 4000 óráig hibátlanul működik?

Megoldás: Jelöljük a szóban forgó valószínűségi változót ξ-vel!
M( ξ )=2000 , és mivel exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért M( ξ )= 1 λ , vagyis az eloszlás paramétere λ= 1 2000 =0,0005 .

Így a sűrűségfüggvény: ;

az eloszlásfüggvény: f( x )={ 0,  ha  x0 0,0005 e 0,0005x ,  ha  x>0 .

A keresett valószínűség: P( ξ4000 )=1P( ξ<4000 )=1F( 4000 )=1( 1 e 0,00054000 )= e 2 0,135 .
Vagyis az alkatrész 0,135 valószínűséggel működik hibátlanul legalább 4000 óráig.

28.4. Egy berendezésben 100 egyforma alkatrész található, melyek egyenként átlagosan 10 000 órát bírnak ki meghibásodás nélkül. Az egyes elemek élettartama egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Tudjuk, hogy a berendezés akkor üzemel hiba nélkül, ha a 100-ból legalább 95 alkatrész hiba nélkül működik. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább 1000 órát működik a berendezés hiba nélkül?

Megoldás: Jelölje ξ egy alkatrész élettartamának megfelelő valószínűségi változót!
λ= 1 10000 , így a sűrűségfüggvény: f( x )= 1 10000 e 0,0001x , az eloszlásfüggvény: F( x )=1 e 0,0001x , ha x>0 .
P( a berendezés legalább 1000 óráig bírja )= P( 100 alkatrészből legalább 95 bírja 1000 óráig )= P( pontosan 95 bírja )+P( pontosan 96 bírja )+P( pontosan 97 bírja )+ P( pontosan 98 bírja )+P( pontosan 99 bírja )+P( pontosan 100 bírja )

Legyen p annak a valószínűsége, hogyegy alkatrész legalább 1000 órát üzemel hiba nélkül! Ekkor p=P( ξ1000 )=1F( 1000 )= e 1000 10000 = e 0,1 0,9 és ebből 1p0,1 .
Ezzel P( a berendezés legalább 1000 óráig bírja )= ( 100 95 ) p 95 ( 1p ) 5 +( 100 96 ) p 96 ( 1p ) 4 +( 100 97 ) p 97 ( 1p ) 3 + ( 100 98 ) p 98 ( 1p ) 2 +( 100 99 ) p 99 ( 1p ) 1 +( 100 100 ) p 100 ( 1p ) 0
0,034+0,016+0,006+0,0016+0,00003+0,0000260,0576 .
Vagyis a berendezés 0,0576 valószínűséggel üzemel legalább 1000 órát.

28.5. Egy üzemben 2 m hosszú munkadarabokat gyártanak 3 cm szórással. 1000 db elkészítésekor várhatóan hány darab selejt keletkezik, ha a 195 és 205 cm közötti termékeket még elfogadhatónak tekinthetjük? (A munkadarabok mérete normális eloszlásúnak tekinthető.)

Megoldás: A feladat szerint egy munkadarab mérete m=200 és σ=3 paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, melyet jelöljünk ξ-vel.
Annak valószínűsége, hogy egy elkészült munkadarab hossza 195 és 205 cm közé esik:
P( 195ξ205 )=P( 5ξ2005 )=P( 5 3 ξ200 3 5 3 )
Mivel ξ normális eloszlású, ezért ha kivonjuk belőle a várható értékét és elosztjuk a szórásával, akkor standard normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. Tehát a fenti valószínűségre írhatjuk, hogy: Φ( 5 3 )Φ( 5 3 )=Φ( 5 3 )( 1Φ( 5 3 ) )=2Φ( 5 3 )1 2Φ( 1,67 )120,952510,905 .

(A Φ függvény értékét természetesen táblázat segítségével határoztuk meg.)
A kapott eredmény szerint 1000 darabból átlagosan 905 a megadott intervallumba esik, így átlagosan 95 selejtes munkadarab készül.

28.6. Egy búzaföld évi hozama átlagosan 140 mázsa. A feljegyzések szerint átlagosan 8 évente történik meg, hogy a termés meghaladja a 170 mázsát. Hány évente fordul elő 100 mázsánál kevesebb termés?

Megoldás: A termés évenkénti eloszlása normálisnak vehető (hiszen az egyes kalászok termésmennyisége független, azonos eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, így összegük közel normális eloszlású) m = 140 várható értékkel. Jelöljük ξ-vel a valószínűségi változónkat!
P( ξ<170 )=P( ξm σ < 170m σ )=Φ( 170m σ )=Φ( 30 σ )= 7 8 =0,875 , ugyanis 8 évből 7-szer a termés nem haladja meg a 170 mázsát.

A Φ függvény táblázatából kiolvasható, hogy Φ( 1,15 )0,875 , így 30 σ 1,15 , vagyis σ26 .

Ezzel a keresett valószínűség: P( 100 mázsánál kevesebb termés )= P( ξ<100 )=P( ξm σ < 100m σ )=Φ( 100m σ )=Φ( 100140 26 )=
Φ( 1,54 )=1Φ( 1,54 )0,06 .

Tehát annak valószínűsége, hogy egy évben 100 mázsánál kevesebb búza terem kb. 0,06; vagyis 1 0,06 16,18 , tehát kb. 16 évente fordul elő 100 mázsánál kevesebb termés.

28.7. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 5000 óra várható értékkel.

a)Mi a valószínűsége annak, hogy az alkatrész kevesebb, mint 100 óra múlva meghibásodik?
b)Feltéve, hogy 4000 óráig működött, mi a valószínűsége, hogy még legalább 6000 óráig működni fog?

Megoldás: Exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, keressük az eloszlás paraméterét. Mivel M( ξ )= 1 λ exponenciális eloszlás esetén, ezért 1 λ =5000 , így λ= 1 5000 =0,0002 .
Ebből meghatározható a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: f( x )=0,0002 e 0,0002t , valamint eloszlásfüggvénye: F( x )=1 e 0,0002x (nyilván pozitív x-ek esetén, egyébként pedig 0).

a) A esemény jelentse, hogy az alkatrész kevesebb, mint 100 óra múlva meghibásodik.
Ekkor P( A )=P( ξ<100 )=F( 100 )= 1 e 0,0002100 =1 e 0,02 0,019 .

b) Vezessük be a következő jelöléseket:
B: az alkatrész már 4000 óráig működött
C: az alkatrész még legalább 6000 óráig működni fog
Ekkor P( C|B ) a kérdés.
Definíció szerint P( C|B )= P( CB ) P( B ) .
P( CB )= annak a valószínűsége, hogy az alkatrész már 4000 óráig működött és még legalább 6000 óráig működni fog, vagyis annak a valószínűsége, hogy összesen legalább 10 000 óráig működni fog.
A fenti esemény valószínűsége így P( CB )=P( ξ10000 )=1P( ξ<10000 )= 1( 1 e 0,000210000 )=1( 1 e 2 )= e 2 0,135 .
A B esemény valószínűsége: P( B )=P( ξ4000 )=1P( ξ<4000 )= 1( 1 e 0,8 )= e 0,8 0,449 .
Ezekkel a keresett valószínűség: P( C|B )= P( CB ) P( B ) = e 2 e 0,8 = e 1,2 0,301 .
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a kapott érték megegyezik annak valószínűségével, hogy az alkatrész legalább 6000 óráig fog működni.
( P( ξ6000 )=1P( ξ<6000 )=11 e 0,00026000 = e 1,2 ) Tehát annak valószínűsége, hogy feltéve, hogy már 4000 órát működött, még legalább 6000 óráig bírja, megegyezik annak valószínűségével, hogy legalább 6000 óráig működik hiba nélkül. Asz ilyen tulajdonságú eloszlást örökifjú eloszlásnak nevezzük. Mint láttuk, az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságú.

28.8. Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 3. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke

a)kisebb, mint 10;
b)8 és 15 közé esik;
c)Nagyobb, mint 0.

Megoldás: Jelölje ξ a valószínűségi változónkat. Mivel most m=10 és σ=3 , ezért nem standard normális eloszlású valószínűségi változóval állunk szemben, vagyis a megoldás során a valószínűségi változót standardizálni kell. Erre azért van szükség, mert a standard normális eloszlás értékei állnak rendelkezésünkre táblázat formájában.

A standardizált valószínűségi változó: ξ * = ξm σ .

a) A esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb 10-nél.
P( A )=P( ξ<10 )=P( ξ10 3 < 1010 3 )=P( ξ10 3 <0 )= P( ξ * <0 )=Φ( 0 )=0,5

b) B esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke 8 és 15 közé esik.
P( B )=P( 8<ξ<15 )=P( 810 3 < ξ10 3 < 1510 3 )= P( 2 3 < ξ * < 5 3 )=Φ( 5 3 )Φ( 2 3 )=Φ( 5 3 )( 1Φ( 2 3 ) )= Φ( 5 3 )+Φ( 2 3 )10,9515+0,74541=0,6969

c) C esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke nagyobb, mint 0.
P( C )=P( ξ>0 )=1P( ξ0 )=1[ P( ξ<0 )+P( ξ=0 ) ]
Mivel folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket felvesz, minden pontban 0. Így P( ξ=0 )=0 .
Ezzel P( C )=1P( ξ<0 )=1P( ξ10 3 < 010 3 )= 1Φ( 10 3 )=1( 1Φ( 10 3 ) )=Φ( 10 3 )0,9995

28.9. Egy város lakosainak magasságáról a következőket tudjuk:

  • a lakosság 70%-a 180 cm-nél alacsonyabb
  • a lakosság 5%-a 190 cm-nél magasabb.

Tételezzük fel, hogy a város lakosainak magasság adatai normális eloszlású valószínűségi változót alkotnak. Határozzuk meg ennek várható értékét és szórását!

Megoldás: Jelölje ξ a valószínűségi változót, m a várható értéket, σ pedig a szórást.
Az első kijelentés szerint: P( ξ<180 )=0,7
A második kijelentés szerint: P( ξ>190 )=0,05
Standardizáljuk ξ-t!
P( ξm σ < 180m σ )=Φ( 180m σ )=0,7 .
Táblázatból visszakeresve 180m σ -ra 0,52 értéket kapjuk.
A második esetben:
P( ξ>190 )=1P( ξ190 )=1P( ξ<190 ) , hiszen folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó. Standardizálva:
P( ξ>190 )=1P( ξ<190 )=1P( ξm σ < 190m σ )=0,05 .
Vagyis: 1Φ( 190m σ )=0,05 , ebből Φ( 190m σ )=0,95 .
Táblázatból visszakeresve megkapjuk, hogy 190m σ =1,65.

Így a következő egyenletrendszert kapjuk: 180m σ =0,52 190m σ =1,65 }

Szorozzuk meg mindkét egyenletet σ-val, majd a 2. egyenletből vonjuk ki az 1.-t. Így: 10=1,13σ σ=8,85

σ értékét az első egyenletbe visszahelyettesítve: 180m=0,528,85 m=175,4

28.10. Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó 5-nél kisebb értéket vesz fel: 0,1. Határozzuk meg azt az intervallumot, melyen ezt a valószínűségi változót értelmezzük. Mennyi a valószínűségi változó szórása?

Megoldás: Legyen az egyenletes eloszlás értelmezve az [a; b] intervallumon. A várható értéke: M( ξ )= a+b 2 =20 , vagyis a+b=40 .
Az 5-nél kisebb érték valószínűsége 0,1. Az egyenletes eloszlás miatt: 5a ba =0,1 .
Tehát az alábbi egyenletrendszert kaptuk: a+b=40 5a ba =0,1 }

A 2. egyenletet rendezve:
5a=0,1b0,1a 5010a=ba 509a=b

Ezt visszahelyettesítve az 1.-be:
a+509a=40 508a=40 8a=10 a= 10 8 =1,25

Ebből b=509 10 8 = 310 8 =38,75

Tehát az egyenletes eloszlású ξ valószínűségi változót az [ 1,25;38,75 ] intervallumon értelmeztük.
A valószínűségi változó szórása: D( ξ )= ba 12 = 38,751,25 12 = 37,5 12 10,825 .

Ellenőrző feladatok

1. feladat

4 m hosszú anyagot vásárolunk egy új ruhához. Az anyag hossza mentén bárhol lehet szálhiba, a hiba helye egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Mi a valószínűsége, hogy az anyag első 80 cm-e hibátlan?
0,4
0,2
0,8
0,32

2. feladat

Mi a valószínűsége, hogy az előző feladatban vásárolt anyag pontosan a felénél hibás?
0
0,5
0,2
0,32

3. feladat

Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Egy ilyen típusú alkatrész átlagosan 500 óra időtartam alatt megy tönkre. Mi a valószínűsége, hogy 800 órát kibír?
0,798
0,202
0,625
0,375

4. feladat

A fenti alkatrész egy újabb változatánál azt tapasztalták, hogy az esetek 70%-ában 800 órát is működik hiba nélkül. Hány óra lehet most az átlagos élettartam?
664
2243
571
1867

5. feladat

Az új alkatrész piacra dobásakor a cég 10 000 Ft kárpótlást ígér, ha az 500 óránál hamarabb tönkre megy. Átlagosan mennyi kárpótlást fizetnek egy termék után?
1998 Ft
2005 Ft
2006 Ft
1990 Ft

6. feladat

Mennyi legyen egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értéke ahhoz, hogy a valószínűségi változó értéke az esetek 90%-ában 1000-nél nagyobb legyen?
555
4343
9491
2358

7. feladat

Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 3, szórása 1. mi a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke 4-nél kisebb lesz?
0,999
0,841
0,773
0,629

8. feladat

Mi a valószínűsége, hogy egy 10 várható értékű, 3 szórású normális eloszlású valószínűségi változó értéke 7 és 12 közé esik?
0,841
0,741
0,600
0,587

9. feladat

Egy üzemben 30 dkg töltőtömegű konzervet gyártanak. A töltőtömeg normális eloszlásúnak tekinthető. A termékek 90%-ának töltőtömege 28 és 32 dkg közötti. Mekkora a töltőtömeget leíró valószínűségi változó szórása?
1,212
2,000
0,351
0,725