KURZUS: Matematika II.
MODUL: Lineáris algebra
1. lecke: Vektorok összeadása, szorzása számmal, skaláris szorzata, hossza, távolsága
Tanulási cél: A vektor fogalmának, az összeadás, a kivonás, a számmal való szorzás és a skaláris szorzat műveletének megismerése és begyakorlása. | |||||||||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.1. fejezet | |||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||
Definíció. A valós számokból képzett "rendezett szám -esek" halmazát -dimenziós euklideszitérnek nevezzük és -nel jelöljük. Az egy eleme (jelölés: ) tehát | |||||||||
alakú, ahol az koordináták valós számok. Az elemeit -dimenziós vektoroknak vagy pontoknak nevezzük. | |||||||||
Definíció. Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha az azonos helyen álló koordinátái megegyeznek. | |||||||||
Definíció. Az tér vektorai körében természetes módon értelmezhető az összeadás és a számmal való szorzás: | |||||||||
Tetszőleges és esetén legyen és . | |||||||||
Vektortér axiómák | |||||||||
Az az összeadással és a számmal való szorzással vektorteret (lineáris teret) alkot, ugyanis kielégíti az alábbi vektortér axiómákat: | |||||||||
| |||||||||
továbbá | |||||||||
Definíció. Az vektorok hosszát a | |||||||||
kifejezéssel definiáljuk. Ha , akkor a -et egységvektornak nevezzük. | |||||||||
Definíció. Az vektorok (pontok) távolságát a | |||||||||
formulával definiáljuk. | |||||||||
Definíció. Az vektorok skaláris szorzatát | |||||||||
módon definiáljuk. | |||||||||
Tétel. (A skaláris szorzat tulajdonságai.) | |||||||||
| |||||||||
Definíció. Két vektort egymásra merőlegesnek mondunk, ha a skaláris szorzatuk nulla, azaz ha . | |||||||||
Definíció. A | |||||||||
vektort, ahol , az vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. | |||||||||
Definíció. Az vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha | |||||||||
csak a esetben lehetséges. | |||||||||
Ellenkező esetben az vektorokat lineárisan összefüggőknek mondjuk. | |||||||||
Definíció. Azt az -dimenziós egységvektort, melynek -edik koordinátája és a többi nulla, -vel jelöljük : | |||||||||
. | |||||||||
Megjegyzés. Könnyen látható, hogy az vektorok lineárisan függetlenek. | |||||||||
Ennél több elemszámú független vektort azonban az már nem tartalmaz, ui.: | |||||||||
Tétel. Az minden elemű vektorrendszere lineárisan összefüggő. | |||||||||
Definíció. Az egy elemű lineárisan független vektorrendszerét az egy bázisának nevezzük. | |||||||||
Tétel. Az bármely bázisa esetén minden egyes vektorhoz egyértelműen léteznek olyan számok, hogy | |||||||||
. | |||||||||
Definíció. Az előző tételben szereplő számokat az vektor bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. | |||||||||
Megjegyzés. Tetszőleges vektornak az (kanonikus) bázisra vonatkozó koordinátái azonosak az vektor koordinátáival. | |||||||||
Definíció. Azt mondjuk, hogy az vektorok alkotta vektorrendszer rangja ha pontosan darab lineárisan független vektort tartalmaz. | |||||||||
Jelölés:. | |||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||
1.1. Legyen és . Számoljuk ki -t és -t. | |||||||||
Megoldás: Az összeadás definíciója alapján | |||||||||
, | |||||||||
. | |||||||||
1.2. Tekintsük az , , vektorokat. Számoljuk ki a | |||||||||
vektort. | |||||||||
Megoldás: Mivel , , azt kapjuk, hogy | |||||||||
. | |||||||||
1.3. Az előző feladatban megadott vektorokkal számoljuk ki a vektort. | |||||||||
Megoldás: A műveleti azonosságokat használva átalakítjuk a kifejezést. | |||||||||
. | |||||||||
. | |||||||||
1.4. Adottak az , és vektorok. Melyik két vektor merőleges egymásra? | |||||||||
Megoldás: Két vektor akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. Ezért kiszámoljuk páronként a skaláris szorzatokat. | |||||||||
, | |||||||||
, | |||||||||
. | |||||||||
Tehát az és a vektorok merőlegesek egymásra. | |||||||||
1.5. Határozzuk meg az előző feladatban szereplő vektoroknak a hosszát! | |||||||||
Megoldás: | |||||||||
, | |||||||||
, | |||||||||
. | |||||||||
1.6. Lineárisan függetlenek-e az | |||||||||
-beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, Állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként. | |||||||||
Megoldás: Az ilyen típusú feladatok általában úgy oldhatók meg, hogy megpróbáljuk előállítani a zérusvektort a szóban forgó vektorok lineáris kombinációjaként. Ez a lineáris kombináció együtthatóira egy homogén lineáris egyenletrendszert jelent, a kérdés pedig az, hogy van-e ennek nem triviális megoldása: ha igen, a vektorok lineárisan összefüggőek, ha nincs, akkor pedig függetlenek. | |||||||||
Jelen feladat egyszerűbben is kezelhető: vegyük észre, hogy | |||||||||
és | |||||||||
Ez utóbbi kétszeresét az előbbihez adva épp a vektort kapjuk: | |||||||||
. | |||||||||
Tehát a vektorok lineárisan összefüggőek. | |||||||||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Ha , , akkor ![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Legyen és . Ekkor ![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Adottak az , és vektorok. Melyik két vektor merőleges egymásra?
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Legyen , , és . Határozzuk meg a vektorok hosszát!
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Lineárisan függetlenek-e az -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Lineárisan függetlenek-e az -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.
![]() |