KURZUS: Matematika II.
MODUL: Lineáris algebra
4. lecke: Determinánsok
Tanulási cél: A determináns fogalmának a megismerése, értékének kiszámítási módja. A módszer begyakorlása. | ||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.3. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Definíció. Az | ||
négyzetes mátrix determinánsát, amit -val jelölünk, az alábbi rekurzióval definiáljuk: | ||
esetén . | ||
esetén , | ||
ahol az első sor és a -adik oszlop elhagyásával keletkező mátrix. | ||
Jelölés. Az mátrix determinására az jelölést is használni fogjuk. | ||
Megjegyzés. | ||
1. A rekurzív definíciót az mátrixok determinánsára alkalmazva azt kapjuk, hogy az a főátlóban és a mellékátlóban szereplő értékek szorzatának különbsége: | ||
. | ||
2. Az mátrixok determinánsát a rekurzív definíció helyett célszerűbb a Sarrus-szabállyal számolni. A determináns mellé hozzáírjuk az első két oszlopot. Ezt követően először a balról jobbra haladó átlók elemeinek szorzatát képezzük, ezután negatív előjellel a jobbról balra haladó átlók elemeinek szorzatát számítjuk ki. A determináns értéke ezen szorzatok összege: | ||
Számos tétel szol arról, hogy hogyan változik meg egy determináns értéke, ha különféle átalakítást hajtunk végre a mátrixon. | ||
A leggyakrabban alkalmazott a következő. | ||
Tekintsünk egy determinánst és válasszuk ki az -edik és a -edik sorát. Ha az -edik sor tetszőleges számszorosát hozzáadjuk a -edik sorhoz, az így kapott sor legyen az új -edik sor, a többi sort pedig nem változtatjuk meg, akkor ennek a determinánsnak ugyanannyi az értéke, mint az eredetinek. Ezzel azt lehet elérni, hogy egy sorban, vagy egy oszlopban egy elemet kivéve minden elem nulla legyen, ezután e szerint a sor vagy oszlop szerint fejtjük ki a determinánst. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
4.1. Határozzuk meg a következő mátrix determinánsát! | ||
. | ||
Megoldás. . | ||
4.2. Számoljuk ki a determináns értékét: | ||
. | ||
Megoldás. | ||
4.3. Határozzuk meg a következő mátrix determinánsát! | ||
. | ||
Megoldás. | ||
4.4. Számoljuk ki a determináns értékét: | ||
. | ||
Megoldás. A negyedik oszlop mínusz kétszeresét hozzáadjuk az első oszlophoz, és a negyedik oszlop mínusz egyszeresét hozzáadjuk a második és harmadik oszlopokhoz. | ||
Kifejtve az első sora szerint. Ne feledkezzünk meg az előjelről . | ||
Ezt kifejtve a harmadik oszlop szerint. Mivel , a kétszer kettes determináns előtt a szorzó. | ||
4.5. Oldja meg az egyenletet! | ||
Megoldás. Kivonjuk a második oszlop kétszeresét az első oszlopból, és háromszorosát a harmadik oszlopból. A második oszlop marad változatlan. | ||
Kifejtjük a második sor szerint | ||
Az egyenlet megoldása: és . | ||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
Oldja meg az egyenletet! | |||||||||
![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
![]() |