KURZUS: Matematika II.
9. lecke: Elemi bázistranszformáció
| Tanulási cél: Az elemi bázistranszformáció megismerése és begyakorlása. |
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.7. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
Tétel. Legyen az egy bázisa és . |
1. | A vektorok pontosan akkor alkotnak bázist -ben, ha . | 2. | Ha egy tetszőleges vektor a bázisban
,
koordinátás alakban állítható elő, akkor a bázisra vonatkozó koordinátás előállítása
,
alakban adható meg, ahol
|
|
Megjegyzések. |
1. | A elemet generáló elemnek nevezzük. | 2. | Ha egy bázisról bázisra akarunk áttérni, akkor azt db egymás utáni elemi bázistranszformációval tehetjük meg. | 3. | Az elemi bázistranszformációt egy táblázaton szokás végrehajtani, ahol az oszlopok a bázisba beviendő vektorok koordinátáit tartalmazzák, illetve tetszőleges más vektorokét, amelyeknek az új bázisbeli felírását szeretnénk ismerni. A táblázat bal szélére a kiinduló bázis elemeit írjuk. |
|
Nézzük a következő példán az elemi bázistranszformáció egy lépését! |
Generáló elemnek a elemet választjuk. Keretezzük be! Ezzel megadtuk a báziscserét: a régi bázis vektorát -re cseréljük. A , és vektorok új bázisbeli koordinátáit a tételben megadott formulák alapján számítjuk és egy új táblázatba írjuk. A transzformációs formulákat nem oszloponként (vektoronként), hanem soronként alkalmazzuk. Vagyis minden vektornak a koordinátáját számítjuk ki először (ugyanúgy, mint azt a Gauss-elimininációnál is tettük). Ezáltal könnyebben megjegyezhetők lesznek a formulák. |
|
Nézzük először az koordinátákat! A tételben szereplő képlet szerint -vel, azaz a generáló elemmel kell osztanunk. Tehát az új sort úgy kapjuk, hogy az |
új sor = sor. |
Az képletében levő az új sor megfelelő oszlopbeli eleme, így a sorra vonatkozó transzformációs formula: |
új sor = sor - (új sor) (-re). |
Ez a képlet könnyen megjegyezhető, ha arra gondolunk, hogy új bázisbeli koordinátái: és (-re), vagyis -t kell eliminálnunk a transzformáció során. |
|
Kidolgozott feladatok |
9.1.-ben az bázisról a bázisra szeretnénk áttérni, ahol |
, , . |
Legyen , és adjuk meg koordinátáit a bázisban! |
Megoldás. Az új bázisra való áttérést három lépésben végezzük el! |
| kerül a bázisba helyére. új 1. sor = 1. sor új 2. sor = 2. sor - (új 1. sor) új 3. sor = 3. sor - (új 1. sor)
| | kerül a bázisba helyére. új 2. sor = 2.sor új 1. sor = 1. sor + (új 2.sor) új 3. sor = 3. sor - (új 2.sor)
| | kerül a bázisba helyére. új 3.sor = 3.sor új 1.sor = 1.sor - (új 3.sor) új 2.sor = 2.sor - (új 3.sor)
| | A táblázatról leolvasható, hogy
|
|
Ellenőrzés. |
|
9.2. Lineárisan függetlenek-e az |
|
-beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, Állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként. |
Megoldás: Az vektorokat megpróbáljuk bevinni a bázisba. A vektortér bázisvektorai lineárisan függetlenek egymástól. Ezért a három vektorból csak annyit lehet bevinni, ahány lineárisan független. |
Ha sikerül mind a hármat, akkor lineárisan függetlenek, ha nem akkor kapunk egy összefüggést a vektorok között. |
| Az kerül a bázisba helyére 1. sor marad változatlan. új 2. sor = 2. sor ( 1. sor. 3. sor marad változatlan. |
|
Mivel tudjuk, hogy az vektor önmagával egyenlő az új bázisban, elhagyhatjuk az oszlopát. |
| Az kerül a bázisba helyére 2. sor marad változatlan. új 1. sor = 1. sor - 2. sor. új 3. sor = 3. sor ( 2. sor. |
|
| A generáló elem nem lehet nulla. A vektor nem vihető be a bázisba. A vektorok lineárisan függőek:
|
|
9.3. Lineárisan függetlenek-e az |
|
-beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként. |
Megoldás: Ennél a feladatnál nem írjuk ki, hogy milyen műveletet végzünk, az leolvasható a táblázatokból. |
|
|
| A generáló elem nem nulla. A vektort be lehet vinni a bázisba. Ezért a vektorok lineárisan függetlenek. |
|
Ellenőrző kérdések |
| 1. feladat |
Legyenek |
és |
-beli vektorok. |
Írja fel az vektort a bázisban! |
2. feladat |
Lineárisan függetlenek-e az |
|
-beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként. |
|
3. feladat |
Lineárisan függetlenek-e az |
|
-beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként. |
|