KURZUS: Matematika II.

MODUL: Lineáris algebra

8. lecke: A termelési mátrix

Tanulási cél: A termelési feladat átírása mátrix alakba és megoldása. A módszer megismerése és begyakorlása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.6. fejezet

Elméleti összefoglaló

Alapanyag - az a termék, amelybe más termék nem épül be.

Félkész termék - más termék beleépül, de még nem végtermék.

Végtermék - az a termék, amely nem épül be más termékbe.

A Kközvetlen ráfordítás mátrix  aij eleme azt mutatja, hogy az i-edik termékből közvetlenül (nem más terméken keresztül) mennyi épül be a j-edik termékbe.

A teljes ráfordítások Tmátrixában az i-edik sor j-edik eleme azt mutatja, hogy egy darab Ai termék összesen hány darab Aj elemet tartalmaz. A T teljes ráfordítási mátrixot termelési mátrixnak is nevezik.

A teljes ráfordítások mátrixa - a közvetlen ráfordítások mátrixának ismeretében - a következő képlettel határozható meg:

T= (IK) 1

ahol I-vel az egységmátrixot jelöljük.

Megjegyzés.

y ¯ =(IK) x ¯ x ¯ alapanyagból y ¯ végtermék lesz.

x ¯ = (IK) 1 y ¯ y ¯ végtermékhez x ¯ alapanyag kell.

Az IK mátrix mindig invertálható, az (IK) 1 meghatározása például Gauss eliminációval történhet (lásd 8.1. példa).

Kidolgozott feladatok

8.1. Tegyük fel, hogy egy üzem kétféle végterméket állít elő négyféle alkatrész felhasználásával. Az  A1 és  A2 jelölje a végtermékeket, az  A3A4A5A6 az alkatrészeket. Az egyes alkatrészek egymásba és a végtermékbe való beépülése az alábbi ábra szemlélteti.

A gráfban lévő nyilak a beépülés irányát, a nyilakon elhelyezett számok a beépülés mennyiségét jelölik. Határozzuk meg a gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!

Megoldás.

Az adott gráfban az  A6  alapanyag, az  A3A4, és A5 félkész termék, az  A1  és  A2 végtermék. A gráf alapján elkészíthetjük az ún. közvetlen ráfordítások  K szimbólummal jelölt mátrixát:

A közvetlen ráfordítások mátrixa segítségével meghatározható T (a teljes ráfordítások mátrixa), a

T= (IK) 1

képletet használva.

Határozzuk meg az

IK=( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 4 0 1 0 3 0 0 4 2 1 )

mátrix inverzét, azaz a T termelési mátrixot!

( IK|I )=( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 2 2 1 0 0 3 2 4 0 1 0 3 0 0 4 2 1 | 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ) 1.sor 2.sor 3.sor 4.sor 5.sor 6.sor

( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 0 0 4 2 1 | 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 3 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 ) 4.sor+( 3 )1.sor 5.sor+( 3 )1.sor 6.sor+( 3 )1.sor

( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 0 4 2 1 | 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 2 0 1 0 0 3 2 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 ) 3.sor+( 2 )2.sor 4.sor+( 2 )2.sor 5.sor+( 2 )2.sor

( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 2 1 | 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 6 2 1 0 0 3 10 4 0 1 0 3 0 0 0 0 1 ) 4.sor+( 2 )3.sor 5.sor+( 4 )3.sor

( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 | 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 6 2 1 0 0 3 10 4 0 1 0 15 24 8 4 0 1 ) 6.sor+( 4 )4.sor

( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 | 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 6 2 1 0 0 3 10 4 0 1 0 21 44 16 4 2 1 ) 6.sor+( 2 )5.sor

Ellenőrzés. ( IK )T=I .

A példánk esetében a teljes ráfordítások mátrixa (a termelési mátrix) a következő:

Látható, hogy az  A1 végtermék az A6 alapagyagokból 21 egységet tartalmaz, mivel az első oszlop hatodik eleme 21. Az  A2 végtermék pedig az  A6-ból 44 egységet tartalmaz.

8.2. Határozzuk meg az alábbi gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!

Megoldás.
A gráfról leolvasható a közvetlen ráfordítások mátrixa:

IK=( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 3 1 2 1 0 4 3 2 1 1 ) .

Határozzuk meg a T= ( IK ) 1 termelési mátrixot!

( IK|I )=( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 3 1 2 1 0 4 3 2 1 1 | 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 )

Ennél a példánál már nem írjuk ki a táblázat jobb oldalára a sorokkal végzett műveleteket, ami csak magyarázatul szolgált az előző feladatban.

( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 2 1 0 0 3 2 1 1 | 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 4 0 0 0 1 )

( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 1 | 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 3 1 0 1 0 4 3 0 0 1 )

( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 | 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 7 7 2 1 0 8 9 2 0 1 )

( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 | 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 1 0 0 7 7 2 1 0 15 16 4 1 1 )=( I|T )

Ellenőrzés. ( IK )T=I .

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Határozzuk meg az alábbi gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!

Válassza ki a gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!
   
   
   
   

2. feladat

Határozzuk meg az alábbi gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!

Válassza ki a gráfhoz tartozó közvetlen ráfordítás- és termelési mátrixot!