KURZUS: Matematika II.
MODUL: Lineáris algebra
7. lecke: Mátrixok inverzének meghatározása Gauss eliminációval
Tanulási cél: Az inverz mátrix fogalmának megismerése, és meghatározása Gauss eliminációval. A módszer elsajátítása. | ||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.2. és 1.5. fejezetek | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Definíció: Az mátrix sor- és oszlop-vektorrendszerének közös rangját a mátrix rangjának nevezzük és -val jelöljük. | ||
A Gauss-eliminációt vektorok függetlenségének vizsgálatára, illetve mátrix rangjának a meghatározására is alkalmazhatjuk. | ||
Vektorok függetlenségének vizsgálata esetén az mátrixot a vizsgált alkotják, azaz | ||
, | ||
és az | ||
homogén lineáris egyenletrendszert oldjuk meg. Amennyiben az egyenletrendszernek csak az a megoldása, akkor a vektorok lineáris függetlenek, egyébként pedig lineárisan összefüggők. | ||
Egy mátrix rangjának meghatározásakor szintén az | ||
homogén lineáris egyenletrendszert oldjuk meg. A mátrix rangja annyi lesz, ahány eliminációs lépést végre tudunk hajtani. | ||
Definíció: Az mátrixot -es egységmátrixnak nevezzük. | ||
Definíció: Az négyzetes mátrixot az inverz mátrixának nevezzük, ha | ||
. | ||
Tétel: Legyen egy adott négyzetes mátrix és . Ekkor az A mátrixnak egyértelműen létezik inverze. | ||
Az A mátrix inverzét az összefüggésből határozhatjuk meg. Ez az | ||
, ahol | ||
mátrixegyenlet megoldását jelenti. Ez tulajdonképpen n darab A mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. Ha a jobboldalakat egymás mellé rakjuk csak az kiegészített táblázatra kell alkalmaznunk a Gauss elimináció módszerét. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
7.1. Határozzuk meg a következő mátrix rangját! | ||
. | ||
Megoldás. | ||
Kiküszöbölés. | ||
, | ||
. | ||
Mivel csak két Gauss lépést tudtunk tenni, ezért a mátrix rangja . Mint látható, a mátrix harmadik és a negyedik sorvektora előállítható az első két sorvektor lineáris kombinációjaként. | ||
7.2. Határozzuk meg a következő mátrix inverzét! | ||
. | ||
Megoldás. | ||
Kiküszöbölés. | ||
, | ||
Ennél a példánál már nem írjuk ki a táblázat jobb oldalára a sorokkal végzett műveleteket, ami csak magyarázatul szolgált az előző feladatban. | ||
, , | ||
Visszahelyettesítés. | ||
, , | ||
. | ||
Ellenőrzés. | ||
7.3. Határozzuk meg a következő mátrix inverzét! | ||
. | ||
Megoldás. | ||
Kiküszöbölés. | ||
, | ||
, . | ||
A táblázat bal oldalának utolsó sora nulla. Ez azt jelenti, hogy az A mátrix rangja kisebb mint három (). A tétel alapján az A mátrixnak nincs inverze. | ||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Határozzuk meg az mátrix rangját! .
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt! .
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt! .
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt! .
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt! .
![]() |