KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
24. lecke: Az eloszlásfüggvény
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.9. fejezet | |||||||||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||||||||
Egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük azt az F függvényt, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz | |||||||||||||||||
Tetszőleges valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||
24.1. Legyen a valószínűségi változó eloszlása a következő: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||
a) Egyszerűen alkalmazzuk az eloszlásfüggvény definícióját: . Azaz olyan függvényt akarunk ábrázolni, amely minden valós x értékhez hozzárendeli annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó ennél a bizonyos x-nél kisebb értéket vesz fel. | |||||||||||||||||
Az eloszlás szerint lehetséges értékei: -1; 0 ; 1; 2. Tehát annak valószínűsége, hogy -1-nél kisebb értéket vesz fel, nulla. Vagyis az eloszlásfüggvény -1-hez és a nála kisebb számokhoz nullát rendel. | |||||||||||||||||
Tekintsünk egy -1 és 0 közötti értéket. Annak valószínűsége, hogy ennél a számnál kisebb lesz értéke: 0,2, hiszen -1-et felvehet a valószínűségi változó (ami kisebb a -1 és 0 közé eső számnál), és ennek valószínűsége 0,2. | |||||||||||||||||
Nullánál a helyettesítési érték , hiszen a valószínűségi változónak csak egy nullánál kisebb lehetséges értéke van (-1), és ennek valószínűsége 0,2. | |||||||||||||||||
Az eloszlásfüggvény 0 és 1 között felvett értékét az előzőhöz hasonlóan határozzuk meg, azzal az eltéréssel, hogy egy tetszőleges 0 és 1 közötti számnál -nek két kisebb értéke van: -1 és 0. Így annak valószínűsége, hogy egy 0 és 1 közé eső számnál kisebbet vesz fel, a két lehetséges eset valószínűségének összege: 0,2+0,1=0,3. | |||||||||||||||||
Hasonlóan 1 és 2 közötti értékhez az eloszlásfüggvény 0,2+0,1+0,4=0,7-et rendel. | |||||||||||||||||
2-nél nagyobb x-ek esetén az eloszlásfüggvény értéke 1, hiszen a valószínűségi változónak a legnagyobb értéke 2. Vagyis annak valószínűsége nyilván 1, hogy egy 2-nél nagyobb számnál kisebb értéket vesz fel. | |||||||||||||||||
b) Az eloszlásból leolvasható, hogy a 0 értéket 0,1 valószínűséggel veszi fel, azaz . | |||||||||||||||||
24.2. Tekintsük a intervallumot. Ebből választunk teljesen véletlenszerűen egy számot. Jelölje a választott érétket. Adjuk meg és ábrázoljuk eloszlásfüggvényét! | |||||||||||||||||
Megoldás: Mivel az intervallumból a számokat teljesen véletlenszerűen választjuk, ezért annak valószínűsége, hogy a kiválasztott szám a intervallum valamely részintervallumába esik, arányos ezen részintervallum hosszával (lásd a geometriai valószínűségi mezőről szóló fejezetet). Így például annak valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a részintervallumba esik, egyenlő ezen részintervallum hosszának és a teljes intervallum hosszának hányadosával: . | |||||||||||||||||
A intervallumban (analízisből tudjuk) nem megszámlálhatóan végtelen sok szám van, így annak valószínűsége, hogy egy konkrét értéket választunk ki, mindig nulla, . Általában igaz, hogy folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén az egyenlőség valószínűsége mindig nulla. (Lásd a 6. tulajdonságot.) | |||||||||||||||||
Ennyi információ birtokában már fel lehet írni az eloszlásfüggvényt: | |||||||||||||||||
Annak valószínűsége, hogy , ahol , , hiszen a intervallumból választunk. | |||||||||||||||||
Annak valószínűsége, hogy , ahol , , hiszen a intervallumból választunk. | |||||||||||||||||
Annak valószínűsége, hogy , ahol : . | |||||||||||||||||
Vagyis az eloszlásfüggvény: . | |||||||||||||||||
Ábrázolva: | |||||||||||||||||
24.3. Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . | |||||||||||||||||
Határozzuk meg a következő valószínűségeket: | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: Az elméleti összefoglalóban felsorolt tulajdonságokat fogjuk felhasználni: | |||||||||||||||||
a) | |||||||||||||||||
b), mivel F(x) folytonos függvény (azt is mondhattuk volna, hogy folytonos eloszlású, tehát az egyenlőség valószínűsége 0). | |||||||||||||||||
c), hiszen . | |||||||||||||||||
d). | |||||||||||||||||
e) Jusson eszünkbe, hogy F(x) 2-nél kisebb értékekre 0, így . | |||||||||||||||||
f), hiszen F(x) 5-nél nagyobb x-ekre 1. | |||||||||||||||||
g). | |||||||||||||||||
h). | |||||||||||||||||
24.4. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: . | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||
a) | |||||||||||||||||
b) , hiszen folytonos eloszlású, így . | |||||||||||||||||
c) | |||||||||||||||||
d), hiszen folytonos eloszlású. | |||||||||||||||||
e) | |||||||||||||||||
f), másképp: értékei a intervallumból származnak, tehát biztosan nagyobb a felvett érték 0-nál. | |||||||||||||||||
24.5. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: . | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: Idézzük a feltételes valószínűség definícióját: . Vagyis az "A feltéve, hogy B" esemény valószínűsége egyenlő az együttes bekövetkezés valószínűsége osztva a feltétel valószínűségével. | |||||||||||||||||
a) A fenti jelölésekkel: , . Az együttes bekövetkezés: . Ezzel . Innen kezdve a számlálót és a nevezőt ugyanúgy kiszámítjuk, mint az előző feladatokban: | |||||||||||||||||
b) Most az együttes bekövetkezés: és , azaz . Így | |||||||||||||||||
24.6. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: . | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||||||
a) Az együttes bekövetkezés: és egyszerre teljesül, vagyis . Ezzel: . | |||||||||||||||||
b) Az együttes bekövetkezés: és . E kettő egyszerre nyilván nem teljesülhet, a két esemény kizárja egymást, így a kérdéses esemény valószínűsége 0. | |||||||||||||||||
c) Az együttes bekövetkezés: és egyszerre teljesül, vagyis . Így . | |||||||||||||||||
d) Az együttes bekövetkezés: és egyszerre teljesül, vagyis . Így . | |||||||||||||||||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor ![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor ![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor ![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Az alábbiak közül melyik lehet eloszlásfüggvény? ![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() | |||||||||
9. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor ![]() | |||||||||
10. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor
![]() |