KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
18. lecke: Műveletek eseményekkel
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.1., 4.2. fejezet | |||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||
Véletlen tömegjelenségek megfigyelését kísérletnek nevezzük, a kísérlet egy lehetséges kimenete: az elemi esemény. Ezen elemi események összessége az eseménytér (). Az eseménytér részhalmazait eseményeknek nevezzük () | |||||||||||
: biztos esemény | |||||||||||
Műveletek eseményekkel (A és B eseményekre): | |||||||||||
Műveleti tulajdonságok: | |||||||||||
de Morgan azonosságok: | |||||||||||
Az eseményalgebra az eseménytér olyan G részhalmaza, amelyre | |||||||||||
| |||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||
18.1. Kirándulni megyünk a hétvégén. Legyen az A esemény az, hogy esni fog az eső, B pedig, hogy vonattal megyünk. Értelmezzük a következő eseményeket: , , , , ! | |||||||||||
Megoldás: | |||||||||||
18.2. Kockával dobunk kétszer egymás után. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első dobás eredménye páros, B pedig azt, hogy a második páros. Fejezzük ki A és B segítségével az alábbiakat: | |||||||||||
| |||||||||||
Megoldás: | |||||||||||
b) A szorzat úgy lehet páros, ha valamelyik tényező páros: . | |||||||||||
c) A különbség úgy lehet páratlan, ha az egyik páros, a másik pedig páratlan. Az első páros, a második páratlan: ; az első páratlan, a második páros: . A kettő közül valamelyiknek teljesülnie kell ahhoz, hogy a különbség páratlan legyen, tehát: . | |||||||||||
d) A szorzat akkor lesz páratlan, ha mindkettő páratlan, tehát: . | |||||||||||
e) Az összeg akkor lesz páratlan, ha egyik páros, a másik páratlan, tehát ugyanúgy, mint a c. pontban: . | |||||||||||
Másképpen: ez az a. feladat ellentettje, vagyis . A de Morgan azonosság alapján: | |||||||||||
18.3. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre: ! | |||||||||||
Megoldás: Alakítsuk át mindkét oldalt! | |||||||||||
18.4. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C, D eseményekre:! | |||||||||||
Megoldás: A bal oldalt a de Morgan azonosság felhasználásával átalakítjuk: . Ezzel igazoltuk az egyenlőséget. | |||||||||||
18.5. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, eseményekre: ! | |||||||||||
Megoldás: | |||||||||||
18.6. Egy irodában több telefon is van. Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||||
| |||||||||||
Értelmezzük az alábbi eseményeket: | |||||||||||
| |||||||||||
Megoldás: | |||||||||||
b) jelentése: A és B közül mindegyik bekövetkezik. Vagyis itt annak kellene teljesülni, hogy egyrészt minden készülék jó, másrészt van rossz készülék is. E kettő természetesen kizárja egymást, így . | |||||||||||
c) az az esemény, ami akkor következik be, amikor A nem következik be. Vigyázzunk a "minden készülék jó" esemény ellentettje (komplementere) nem a "minden készlék rossz" esemény, hanem a "van rossz készülék" esemény lesz. (Gondoljunk bele jelentésébe!) Így . | |||||||||||
d) jelentése: nem következik be a "van rossz készülék" esemény. Ezek szerint nincs rossz készülék, vagyis minden készülék jó. Tehát most . | |||||||||||
18.7. Egy pénzérmét háromszor egymás után feldobunk. Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||||
| |||||||||||
Fejezzük ki A, B és C esemény segítségével a "csak írás lesz" eseményt! | |||||||||||
Megoldás: Vezessük be a következő jelölést: | |||||||||||
| |||||||||||
Tipikus rossz megoldás: | |||||||||||
| |||||||||||
Az A esemény ellentettje (komplementere) az az esemény, amely akkor következik be, ha A nem következik be. | |||||||||||
18.8. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B eseményekre ! | |||||||||||
Megoldás: Használjuk az alábbi összefüggést (lásd elméleti összefoglaló): . | |||||||||||
Használjuk fel a de Morgan azonosságokat: | |||||||||||
Ezzel az egyenlőség: | |||||||||||
Ellenőrző feladatok |
1. feladat | |||||||||
Egy szervizbe három készüléket visznek. Jelentse B1 azt, hogy az első javíthatatlan; B2 azt, hogy a második; B3 pedig azt, hogy a harmadik. Mit jelent ?
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Mit jelent ?
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Fejezzük ki a következőt: az 1. és a 2. javítható, a harmadik nem! ![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Fejezzük ki a következőt: van köztük javítható! ![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Mit jelent a esemény?
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Mit jelent a esemény?
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
Írjuk fel a biztos eseményt B1, B2 és B3 segítségével!
![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
A felsoroltak közül melyik jelent lehetetlen eseményt? ![]() |