KURZUS: Matematika II.
21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.7., 4.8. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
Ha A és B egy kísérlettel kapcsolatos két tetszőleges esemény és , akkor az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségét a kifejezéssel definiáljuk. Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A bekövetkezik. A fentiekből kifejezett egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük. |
Kidolgozott feladatok |
21.1. Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak? |
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: : az első magyar lett : a második orosz lett : a harmadik magyar lett |
A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: |
Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket! |
Összesen 12 versenyző indult, ebből 4 magyar, vagyis . |
, mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk). |
, mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10. |
A fentiekből következik, hogy . |
21.2. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre ( esetén) teljesül a következő egyenlőség: . |
Megoldás: Alakítsuk át a baloldali kifejezést: . A számláló: . Ezt felhasználva kapjuk: , ami megegyezik a jobb oldalon álló kifejezéssel. Tehát az állítást igazoltuk. |
21.3. Ismertek a következő valószínűségek: , és . Határozzuk meg a és értékét! |
Megoldás: A feltételes valószínűségek definíciója alapján kétféleképpen is felírható: , illetve . Vagyis . Behelyettesítve a megadott értékeket: . |
Fejezzük ki -t segítségével! (itt felhasználtuk, hogy és egymást kizáró események) |
Ezt visszahelyettesítjük az előzőleg kapott összefüggésbe:
|
Ebből Vagyis a kérdéses valószínűségek: és . |
21.4. Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy 1, 2 vagy 3 fiú van? |
Megoldás: Tegyük fel, hogy a fiúgyermek születésének valószínűsége (lányé szintén ). A1: 1 fiú van A2: 2 fiú van A3: 3 fiú van B: van fiú |
|
Ugyanis a 3 közül kell kiválasztani azt az egyet, amelyik fiú és ezt -féleképpen tehetjük meg. |
Hasonlóan
|
Vagyis a kapott valószínűségek: ; ; . |
21.5. Az 52 lapos francia kártyát 4 játékos között osztják szét. Jancsi kezében 5 pikk van. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a sorrendben előtte ülőnek is 5 pikk van a kezében? (Francia kártya: 4 szín (káró, pikk, treff, kör), minden színből 13 különböző lap.) |
Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: A: Jancsi kezében 5 pikk van B: az előtte ülő kezében is 5 pikk van Ezek szerint keresett a valószínűség.
Az összes lehetséges leosztások száma: (az első 52 lapból kap 13-at, a második a maradék 39-ből 13-at stb.) Azon esetek száma, mikor Jancsinál 5 pikk van: (Jancsi a 13 pikkből kap 5-öt, majd a 39 nem pikkből még 8-at, a többiek a maradék 39 lapon osztozkodnak) Vagyis annak a valószínűsége, hogy Jancsi kezében 5 pikk van: . Azon esetek száma, mikor Jancsinál is és az előtte ülőnél is 5 pikk van: (A 13 pikk közül 5-öt kap Jancsi és még 8-at a nem pikkekből; a maradék 8 pikkből 5-öt megkap az előtte ülő és még 8 lapot kap a nem pikkekből; a másik két játékosnak a maradék 26 lapot osztják ki) |
Vagyis így . |
Ezzel . |
Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0,0545. |
21.6. Hasonlóan az előző feladathoz most is kiosztjuk a francia kártya 52 lapját négy játékos között. Feltéve, hogy Jancsinál van pikk, mi a valószínűsége, hogy 2-nél több van nála? |
Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: A: Jancsinál van pikk; : Jancsinál nincs pikk. B: Jancsinak 2-nél több pikkje van Így a keresett valószínűség: . |
. (Ugyanis Jancsi csak a 39 nem pikk közül kaphat lapot, majd a többiek a megmaradt 39 lapon osztozhatnak.) |
(Ugyanis jelentése Jancsinál van pikk (A) és 2-nél több van nála (B), ha B esemény teljesül (2-nél több van nála), akkor az A esemény is biztosan teljesül).
|
|
. |
Ezzel . |
Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0,3. |
21.7.A és B legyenek független események, és . Határozzuk meg az alábbiakat: |
a) | | b) | | c) | | d) | | e) | |
|
Megoldás: |
a) Mivel A és B függetlenek, ezért , így . |
b) Tudjuk, hogy ha A és B függetlenek, akkor és B is függetlenek, így . |
c) Hasonlóan az előzőhöz és is függetlenek, így . |
d) Definíció szerint , a függetlenség miatt pedig . |
e) Az előző mintájára . |
Ellenőrző feladatok |
| 1. feladat |
Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Feltéve, hogy dobunk hatost, mi a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk hatost? |
2. feladat |
Jancsi 0,7 valószínűséggel visz virágot Juliskának. Ha Juliska virágot kap, 0,6 valószínűséggel puszit ad érte. Mi a valószínűsége, hogy Jancsi virágot visz és puszit is kap érte? |
3. feladat |
Holnap 0,8 valószínűséggel esni fog az eső. Annak valószínűsége, hogy esik az eső és kirándulni megyünk 0,6. Feltéve, hogy holnap esik az eső, mekkora valószínűséggel megyünk kirándulni? |
4. feladat |
Egy osztályban 10 fiú és 12 lány van. Három tanuló felel egy órán. Mi a valószínűsége, hogy az első fiú, a második lány, a harmadik ismét fiú, ha mindenki ugyanakkora valószínűséggel felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felehet az órán)? |
5. feladat |
A fenti osztályban mi annak a valószínűsége, hogy egymás után három fiú felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felelhet)? |
6. feladat |
Egy bajnokságban 4 budapesti és 12 vidéki csapat játszik. Mi a valószínűsége, hogy az első helyezett budapesti, a második vidéki, és a harmadik is vidéki csapat lesz? (Feltételezzük, hogy a csapatok azonos eséllyel versenyeznek a bajnoki címért.) |
7. feladat |
A és B legyenek független események, és . Ekkor |
8. feladat |
Ha A és B független események, és , , akkor |