KURZUS: Matematika II.
MODUL: Lineáris algebra
5. lecke: Szimmetrikus mátrix definitségének meghatározása
Tanulási cél: A szimmetrikus mátrix definitsége, indefinitsége, a fogalmak megismerése, meghatározása és a módszer begyakorlása. | ||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.3. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Definíció. Az négyzetes mátrixot szimmetrikusnak nevezzük, ha A = AT. | ||
Definíció. Legyen egy szimmetrikus négyzetes mátrix. | ||
Azt mondjuk, hogy az A mátrix pozitív definit, ha | ||
, \{0}, | ||
és negatív definit, ha | ||
, \{0}, | ||
Azt mondjuk, hogy az A mátrix pozitív szemidefinit, ha | ||
, \{0}, | ||
és negatív szemidefinit, ha | ||
, \{0}. | ||
Az A mátrix indefinit, ha az előző osztályok egyikéhez sem tartozik. | ||
Tétel: (Sylvester kritérium.) | ||
Legyen | ||
egy adott szimmetrikus mátrix, és jelöljük Ak-val (k = 1, ... , n) a következő részmátrixokat: | ||
Ak =, (k = 1, ... , n). | ||
Ekkor az A mátrix | ||
pozitív definit sign(det(Ak)) = 1, (k = 1, ... , n), | ||
és | ||
negatív definit sign(det(Ak)) = (-1)k, (k = 1, ... , n), | ||
ahol sign az előjelfüggvényt jelöli. | ||
Következmény. A tétel alapján speciális esetként az szimmetrikus mátrixok definitségére azt kapjuk, hogy | ||
pozitív definit és , | ||
és | ||
negatív definit és . | ||
Kidolgozott feladatok | ||
5.1. Mutassuk meg, hogy az alábbi mátrix indefinit! | ||
A =. | ||
Megoldás. | ||
Mivel | ||
ezért indefinit mátrix. | ||
5.2. Mutassuk meg, hogy az alábbi mátrix negatív definit! | ||
. | ||
Megoldás. | ||
Mivel és , ezért a tételt követő megjegyzés alapján az A negatív definit mátrix. | ||
5.3. Mutassuk meg, hogy az alábbi mátrix pozitív definit! | ||
. | ||
Megoldás. | ||
, | ||
és | ||
, | ||
ezért a tétel alapján az A pozitív definit mátrix. | ||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix definitségét! .
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix definitségét! .
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix definitségét! .
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix definitségét!
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Határozza meg a következő mátrix definitségét! .
![]() |