KURZUS: Matematika II.

MODUL: Többváltozós függvények

10. lecke: Többváltozós függvény bevezetése, szintvonalas és rétegvonalas ábrázolása

Tanulási cél: Többváltozós függvények megadása a szintvonalas és rétegvonalas ábrázolás módszerének elsajátítása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.1. fejezet

Elméleti összefoglaló

Legyen az n egy rögzített természetes szám.

Definíció. Az a ¯ I R n pont körüli r>0 sugarú nyílt gömbön a

K r ( a ¯ )={ x ¯ I R n | x ¯ a ¯ <r } ={ ( x 1 x n )I R n | i=1 n ( x i a i ) 2 < r 2 }

halmazt értjük. Ezt a halmazt az a ¯ pont körüli r sugarú környezetnek is nevezzük.

Definíció. Az f: D f IR függvényt, ahol D f I R n n-változós valós függvénynek nevezzük. Az f helyettesítési értékét az x ¯ =( x 1 x n )I R n helyen f( x ¯ )=f( x 1 , x 2 ,, x n )IR -szel jelöljük.

Megjegyzés. A függvények értelmezési tartománya és pontjainak megadása esetében az ( x 1 x n )I R n oszlopvektoros írásmód helyett inkább az  ( x 1 ,, x n )I R n sorvektoros írásmódot használjuk!

Definíció. Az f: D f IR D f I R n függvény grafikonján a

G f ={ ( x ¯ f( x ¯ ) )I R n+1 | x ¯ D f }

halmazt értjük.

Definíció. Az S c ={ x ¯ D f | f( x ¯ )=c } pontok halmazát az f: D f IR D f I R n   függvény c R f értékhez tartozó szintvonalának ( n>2 esetén szintfelületének) nevezzük.

Megjegyzés.

1.Szintvonalakkal leggyakrabban a domborzati térképeken találkozunk, ahol az azonos tengerszint feletti magasságú helyeket jelölik ily módon.
2.A mikroökonómiában a közömbösségi görbék is szintvonalak. A szintvonal pontjaihoz tartozó ( x,y ) jószágkosarak a fogyasztó számára egyforma hasznossági szintet jelentenek.

Definíció. Az f: D f IR , D f I R n kétváltozós függvény esetében egy adott cIR értékhez tartozó

R XZ,c ={ ( x f( x,c ) )I R 2 | ( x,c ) D f }

pontok halmazát az fXZ síkra, az

R YZ,c ={ ( y f( c,y ) )I R 2 | ( c,y ) D f }

pontok halmazát pedig az fYZ síkra vonatkozó rétegvonalának nevezzük.

Kidolgozott feladatok

10.1. Határozzuk meg az

f( x,y )=2xy,( x,y ) D f =I R 2 ,

függvény értékkészletét, grafikonját, szintvonalait és rétegvonalait!

Megoldás. Értékkészlete:

R f =IR

Grafikonja:

G f ={ ( x y 2xy )I R 3 | ( x y ) D f }

Szintvonalai:

E c ={ ( x y ) D f | 2xy=c },c R f .

Azaz a függvény szintvonalai y=2xc egyenletű egyenletek. Például a c=2,1,0,12 értékekhez tartozó szintvonalak az alábbiak:

y=2x+2,y=2x+1,y=2x,y=2x1 és y=2x2 .

Rétegvonalai:

R XZ,c ={ ( x 2xc )I R 2 | ( x,c )I R 2 } , R YZ,c ={ ( y 2cy )I R 2 | ( c,y )I R 2 } .

10.2. Határozzuk meg az

f( x,y )= x 2 +y,( x,y ) D f =I R 2 ,

függvény értékkészletét, grafikonját, szintvonalait és rétegvonalait!

Megoldás. Értékkészlete:

R f =IR

Grafikonja:

G f ={ ( x y x 2 +y )I R 3 | ( x y ) D f }

Szintvonalai:

P c ={ ( x y ) D f | x 2 +y=c },c R f .

Azaz a függvény szintvonalai y= x 2 +c egyenletű parabolák. Például a c=2,1,0,12 értékekhez tartozó szintvonalak az alábbiak:

y= x 2 2,y= x 2 1,y= x 2 ,y= x 2 +1 és y= x 2 +2 .

Rétegvonalai:

R XZ,c ={ ( x x 2 +c )I R 2 | ( x,c )I R 2 }, R YZ,c ={ ( y c 2 +y )I R 2 | ( c,y )I R 2 } .

10.3. Határozzuk meg az

f( x,y )= xy ,( x,y )[ 0, )×[ 0, ) ,

függvény értékkészletét, grafikonját, szintvonalait és rétegvonalait!

Megoldás. Értékkészlete:

R f =[ 0, )

Grafikonja:

G f ={ ( x y xy )I R 3 | ( x y ) D f }

Szintvonalai:

H c ={ ( x y ) D f | xy =c } ={ ( x y ) D f | xy= c 2 },c R f .

Azaz a függvény szintvonalai a nulla középpontú y= c 2 x egyenletű hiperbolák. Például a c=1,c=2 és a c=2 értékekhez tartozó szintvonalak az alábbiak:

H 1 ={ ( x y )I R 2 |y= 1 x }, H 2 ={ ( x y )I R 2 |y= 4 x } H 3 ={ ( x y )I R 2 |y= 9 x } .

Rétegvonalai:

R XZ,c ={ ( x xc )I R 2 | ( x,c )[ 0, )×[ 0, ) } , R YZ,c ={ ( y cy )I R 2 | ( c,y )[ 0, )×[ 0, ) } .

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Az f( x,y )=3x+2y, ( x,y )I R 2 függvény...
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai egyenesek és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai egyenesek, rétegvonalai parabolák és értékkészlete R f =[ 0, ) .
szintvonalai és rétegvonalai egyenesek és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai körök és értékkészlete R f =( 0, ) .

2. feladat

Az f( x,y )= x 2 +2 y 2 , ( x,y )I R 2 függvény
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai parabolák és értékkészlete R f =[ 0, ) .
szintvonalai körök, rétegvonalai parabolák és értékkészlete R f =( 0, ) .
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai egyenesek és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai hiperbolák és értékkészlete R f =IR .

3. feladat

Az f( x,y )= 4 x 2 +4 y 2 , ( x,y )I R 2 függvény
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai parabolák és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai körök, rétegvonalai félegyenesek és értékkészlete R f =[ 0, ) .
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai egyenesek és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai hiperbolák és értékkészlete R f =[ 0, ) .

4. feladat

Az f( x,y )= e xy , ( x,y )I R 2 függvény
szintvonalai hiperbolák és értékkészlete R f =IR .
minden szintvonala párhuzamos az y=x egyenessel, és értékkészlete R f =( 0, ) .
szintvonalai félegyenesek és értékkészlete R f =( 0, ) .
minden szintvonala merőleges az y=x egyenesre és értékkészlete R f =IR .