KURZUS: Matematika II.

MODUL: Többváltozós függvények

Modulzáró feladatok

1. Az f( x,y )=3 x 2 +3 y 2 ( x,y )I R 2 függvény
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai parabolák és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai körök, rétegvonalai parabolák és értékkészlete R f =[ 0, ) .
szintvonalai körök, rétegvonalai egyenesek és értékkészlete R f =IR .
szintvonalai ellipszisek, rétegvonalai körök és értékkészlete R f =( 0, ) .
2. Határozzuk meg az

f( x,y )= e x 2 2xy+ y 2 ( x,y )I R 2

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y ) x =2( xy ) e x 2 2xy+ y 2 , f( x,y ) y =2( xy ) e x 2 2xy+ y 2 .
f( x,y ) x =2( x+y ) e x 2 2xy+ y 2 , f( x,y ) y =2( y+x ) e x 2 2xy+ y 2 .
f( x,y ) x =2( xy ) e x 2 2xy+ y 2 , f( x,y ) y =2( yx ) e x 2 2xy+ y 2 .
f( x,y ) x =2( yx ) e x 2 2xy+ y 2 , f( x,y ) y =2( yx ) e x 2 2xy+ y 2 .
3. Határozzuk meg az

f( x,y,z )=sin( z )ln( xy )( x,y,z )( 0, )×( 0, )×IR

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y,z ) x = sin( z ) x , f( x,y,z ) y = sin( z ) y , ( x,y,z ) z =cos( z )ln( xy ) .
f( x,y,z ) x = cos( z ) x , f( x,y,z ) y = cos( z ) y , ( x,y,z ) z =cos( z )ln( xy ) .
f( x,y,z ) x = sin( z ) xy , f( x,y,z ) y = sin( z ) xy , ( x,y,z ) z =cos( z )ln( xy ) .
f( x,y,z ) x = sin( z ) y , f( x,y,z ) y = sin( z ) x , ( x,y,z ) z =cos( z )ln( xy ) .
4. Határozzuk meg az

f( x,y )= x 3 + y 3 +1 3 ( x,y )I R 2

függvény v ¯ =( 3 2 , 1 2 ) irányú iránymenti deriváltját a P 0 ( 1,1 ) pontban!
1 3 3 ( 3 1 ) .
1 3 ( 3 +1 ) .
1 2 ( 3 +1 ) .
1 2 ( 3 1 ) .
5. Határozzuk meg az

arcsin( x )arccos( y )= x 2 y 2

implicit alakban megadott függvény deriváltját!
f ( x )= ( arcsin( y )2x 1 x 2 ) 1 y 2 ( arcsin( x )2y 1 y 2 ) 1 x 2 .
f ( x )= ( arccos( y )2x 1 x 2 ) 1 y 2 ( arcsin( x )+2y 1 y 2 ) 1 x 2 .
f ( x )= ( arcsin( y )2x 1 x 2 ) 1 y 2 ( arccos( x )2y 1 y 2 ) 1 x 2 .
f ( x )= ( arccos( y )2x 1 x 2 ) 1 y 2 ( arcsin( x )2y 1 y 2 ) 1 x 2 .

6. Legyen

g 1 ( t )= e t , g 2 ( t )= t 2 +1 ,tIR

és

f( x,y )= x 2 + y 2 ,( x,y )I R 2 .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),tIR

összetett függvény deriváltját a t 0 =1 helyen!
h ( 1 )=2( e 2 +1 ) .
h ( 1 )=2( e+1 ) .
h ( 1 )= e 2 +1 .
h ( 1 )=e+1 .
7. Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát!

f( x,y )=ln( x 3 y 3 ) , ( x,y )( 0, )×( 0, ) .
( 3 x 2 0 0 3 y 2 ) .
( 3 x 2 0 0 3 y 2 ) .
( 2 x 2 0 0 2 y 2 ) .
( 3 x 3 0 0 3 y 3 ) .
8. Állítsa elő az

f( x,y )= x 3 tg( y ) , ( x,y )I R 2

függvény  5 f( x,y ) x y 2 x 2   parciális deriváltját!
5 f( x,y ) x y 2 x 2 = 12sin( y ) cos 3 ( y ) .
5 f( x,y ) x y 2 x 2 = 2sin( y ) cos 3 ( y ) .
5 f( x,y ) x y 2 x 2 = 12sin( y ) cos 3 ( y ) .
5 f( x,y ) x y 2 x 2 = 6sin( y ) cos 3 ( y ) .
9. Határozzuk meg az

f( x,y )= x 3 + y 2 3x+2y

függvény lokális szélsőértékeit!
A ( 1,1 ) lokális minimum hely, ( 1,1 ) stacionárius pont.
A függvénynek nincs szélső értéke.
A függvény két minimuma van.
A ( 1,1 ) lokális maximum hely, ( 1,1 ) lokális minimum hely.
10. Határozzuk meg az

f( x,y )= e xy ( x1 )

függvény lokális szélsőértékeit!
A ( 1,0 ) lokális minimum hely.
A ( 0,1 ) stacionárius pont.
A függvény két stacionárius pontja van.
A ( 0,1 ) lokális maximum hely.