KURZUS: Matematika II.

MODUL: Lineáris algebra

7. lecke: Mátrixok inverzének meghatározása Gauss eliminációval

Tanulási cél: Az inverz mátrix fogalmának megismerése, és meghatározása Gauss eliminációval. A módszer elsajátítása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.2. és 1.5. fejezetek

Elméleti összefoglaló

Definíció: Az A R m×n mátrix sor- és oszlop-vektorrendszerének közös rangját a mátrix rangjának nevezzük és ρ( A ) -val jelöljük.

A Gauss-eliminációt vektorok függetlenségének vizsgálatára, illetve mátrix rangjának a meghatározására is alkalmazhatjuk.

Vektorok függetlenségének vizsgálata esetén az A mátrixot a vizsgált d ¯ 1 , d ¯ 2 ,, d ¯ m I R n alkotják, azaz

A=( d ¯ 1 , d ¯ 2 ,, d ¯ n ) ,

és az

A x ¯ = 0 ¯

homogén lineáris egyenletrendszert oldjuk meg. Amennyiben az egyenletrendszernek csak az x ¯ = 0 ¯ a megoldása, akkor a d ¯ 1 , d ¯ 2 ,, d ¯ m vektorok lineáris függetlenek, egyébként pedig lineárisan összefüggők.

Egy A mátrix rangjának meghatározásakor szintén az

A x ¯ = 0 ¯

homogén lineáris egyenletrendszert oldjuk meg. A mátrix rangja annyi lesz, ahány eliminációs lépést végre tudunk hajtani.

Definíció: Az I n =( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) R n×n mátrixot n×n -es egységmátrixnak nevezzük.

Definíció: Az A 1 R n×n négyzetes mátrixot az A R n×n inverz mátrixának nevezzük, ha

A 1 A=A A 1 = I n .

Tétel: Legyen A R n×n egy adott négyzetes mátrix és ρ( A )=n . Ekkor az  A mátrixnak egyértelműen létezik inverze.

Az  A mátrix A 1 inverzét az A A 1 =I összefüggésből határozhatjuk meg. Ez az

AX=I A x ¯ 1 = e ¯ 1 A x ¯ 2 = e ¯ 2 A x ¯ n = e ¯ n , ahol I=( e ¯ 1 , e ¯ 2 ,, e ¯ n ) X=( x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ n ) = A 1

mátrixegyenlet megoldását jelenti. Ez tulajdonképpen n darab A mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. Ha a jobboldalakat egymás mellé rakjuk csak az ( A| I ) kiegészített táblázatra kell alkalmaznunk a Gauss elimináció módszerét.

Kidolgozott feladatok

7.1. Határozzuk meg a következő mátrix rangját!

A=( 1 2 1 1 3 7 2 5 2 5 3 6 4 9 1 4 ) .

Megoldás.
A mátrix rangját az A x ¯ = 0 ¯ egyenletrendszerre alkalmazott Gauss-eliminációval határozhatjuk meg. A mátrix rangja annyi lesz, ahány eliminációs lépést el tudtunk végezni.

Kiküszöbölés.

A=( 1 2 1 1 3 7 2 5 2 5 3 6 4 9 1 4 ) 1.sor 2.sor 3.sor 4.sor , ( 1 2 1 1 0 1 5 8 0 1 5 8 0 1 5 8 ) 1.sor 2.sor( 3 )1.sor 3.sor( 2 )1.sor 4.sor( 4 )1.sor

( 1 2 1 1 0 1 5 8 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 1.sor 2.sor 3.sor2.sor 4.sor2.sor .

Mivel csak két Gauss lépést tudtunk tenni, ezért a mátrix rangja ρ( A )=2 . Mint látható, a mátrix harmadik és a negyedik sorvektora előállítható az első két sorvektor lineáris kombinációjaként.

7.2. Határozzuk meg a következő mátrix inverzét!

A=( 1 1 2 2 2 1 3 2 7 ) .

Megoldás.

Kiküszöbölés.

( A| I )=( 1 1 2 2 2 1 3 2 7 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ,

Ennél a példánál már nem írjuk ki a táblázat jobb oldalára a sorokkal végzett műveleteket, ami csak magyarázatul szolgált az előző feladatban.

( 1 1 2 0 0 3 0 1 1 | 1 0 0 2 1 0 3 0 1 ) ( 1 1 2 0 1 1 0 0 3 | 1 0 0 3 0 1 2 1 0 ) ,

Visszahelyettesítés.

( 1 1 2 0 1 1 0 0 1 | 1 0 0 3 0 1 2 3 1 3 0 ) ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 | 1 3 2 3 0 11 3 1 3 1 2 3 1 3 0 ) ,

( I| A 1 )=( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 4 1 1 11 3 1 3 1 2 3 1 3 0 ) .

Ellenőrzés.

7.3. Határozzuk meg a következő mátrix inverzét!

A=( 1 2 2 2 5 1 3 7 3 ) .

Megoldás.

Kiküszöbölés.

( A| I )=( 1 2 2 2 5 1 3 7 3 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ,

( 1 2 2 0 1 3 0 1 3 | 1 0 0 2 1 0 3 0 1 ) ( 1 2 2 0 1 3 0 0 0 | 1 0 0 2 1 0 1 0 1 ) .

A táblázat bal oldalának utolsó sora nulla. Ez azt jelenti, hogy az  A mátrix rangja kisebb mint három ( ρ( A )=2 ). A tétel alapján az  A mátrixnak nincs inverze.

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Határozzuk meg az A mátrix rangját!
A=( 1 2 1 0 2 2 5 0 3 2 3 6 1 3 4 1 3 1 3 0 ) .
A mátrix rangja ρ( A )=2 .
A mátrix rangja ρ( A )=3 .
A mátrix rangja ρ( A )=4 .
A mátrix rangja ρ( A )=5 .

2. feladat

Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt!
A=( 3 1 3 5 2 5 3 1 4 ) .
( 3 1 1 5 3 0 1 0 1 ) .
( 3 1 1 5 3 1 1 0 1 ) .
( 3 1 1 5 3 0 1 0 1 ) .
Nincs inverze.

3. feladat

Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt!
A=( 3 1 1 4 1 2 1 0 3 ) .
( 3 1 1 5 3 0 3 0 3 ) .
( 3 1 1 5 3 1 3 0 3 ) .
( 3 1 1 5 3 0 3 0 3 ) .
Nincs inverze.

4. feladat

Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt!
A=( 0 1 1 3 2 0 2 4 0 1 0 1 1 4 0 2 ) .
( 1 1 2 9 2 1 2 1 4 7 2 1 2 0 1 2 4 1 1 2 1 4 5 2 1 2 ) .
( 1 1 2 9 2 1 2 1 4 7 2 1 2 0 1 2 4 1 1 2 1 4 5 2 1 2 ) .
( 1 1 2 9 2 1 2 1 4 7 2 1 2 0 1 2 4 1 1 2 1 4 5 2 1 2 ) .
Nincs inverze.

5. feladat

Határozza meg a következő mátrix inverzét, és ellenőrizze az eredményt!
A=( 1 0 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 0 1 ) .
( 2 5 0 1 5 2 5 1 5 1 3 5 6 5 7 5 2 11 5 12 5 1 1 1 1 ) .
( 2 5 0 1 5 2 5 1 5 1 3 5 6 5 7 5 2 11 5 12 5 1 1 1 1 ) .
( 2 5 0 1 5 2 5 1 5 1 3 5 6 5 7 5 2 11 5 12 5 1 1 1 1 ) .
Nincs inverze.