KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
28. lecke: Nevezetes folytonos eloszlású valószínűségi változók
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.10., 4.11. fejezet | |||||||
Elméleti összefoglaló (nevezetes folytonos eloszlások) | |||||||
1. Egyenletes eloszlás | |||||||
Egy folytonos valószínűségi változót az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
eloszlásfüggvénye: . | |||||||
várható értéke: , szórása: | |||||||
2. Exponenciális eloszlás | |||||||
Egy folytonos valószínűségi változót paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
eloszlásfüggvénye: . | |||||||
várható értéke: , szórása: . | |||||||
Exponenciális eloszlással általában berendezések, alkatrészek élettartamát szokás modellezni. | |||||||
3. Normális eloszlás | |||||||
Egy folytonos valószínűségi változót m, paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
eloszlásfüggvénye: . | |||||||
várható értéke: , szórása: . | |||||||
Az m = 0, paraméterű normális eloszlást standard normális eloszlásnak nevezzük. | |||||||
Sűrűségfüggvénye: ; | |||||||
Eloszlásfüggvénye: . | |||||||
Ha standard normális eloszlású, akkor fennáll, hogy . | |||||||
Ha m, paraméterű normális eloszlású változó, akkor standardizáltja, az valószínűségi változó standard normális eloszlású. | |||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||
28.1. Egy 800 m hosszú vezeték mentén az egyes pontokban történő meghibásodás egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változó. | |||||||
| |||||||
Megoldás: Legyen a meghibásodás helyét jelentő valószínűségi változó . | |||||||
a) Mivel folytonos eloszlású valószínűségi változóról van szó, ezért minden pontban a bekövetkezés valószínűsége 0. (Vigyázat! Ez nem azt jelenti, hogy az adott esemény lehetetlen!) Vagyis a kérdéses esemény valószínűsége 0. | |||||||
b) Akkor történik a vezeték első negyedében a meghibásodás, ha . Tehát keresett a valószínűség. Írjuk fel az egyenletes eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvényét: . | |||||||
Az eloszlásfüggvény: . | |||||||
A keresett valószínűség: . | |||||||
c) Legyen az egyik hiba helye , a másiké , mindkettő egyenletes eloszlású folytonos valószínűségi változó. Keresett a valószínűség. , vagyis . | |||||||
Ábrázoljuk a megfelelő eseményeknek megfelelő ponthalmazt! | |||||||
A feltétel szerint a megfelelő pontok koordinátáinak eltérése kisebb, mint 100. Ezen pontok a és a ponthalmazok metszetét jelentik, vagyis a és a egyenesek közti részt. Ennek területe megkapható úgy, hogy a négyzet területéből kivonjuk az alsó és felső háromszögek területét, vagyis: . | |||||||
28.2. Legyen valamely pozitív intervallumon értelmezett egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Legyen továbbá , . Határozzuk meg sűrűség- és eloszlásfüggvényét! | |||||||
Megoldás: Az (a; b) intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke: , szórása: . Ezekkel a következő egyenletrendszert kapjuk: | |||||||
Ebből a sűrűségfüggvény: ; | |||||||
az eloszlásfüggvény: . | |||||||
28.3. Egy bizonyos alkatrész első meghibásodásáig eltelt idő legyen exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 2000 óra várható értékkel. Írjuk fel a valószínűségi változó sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mekkora annak a valószínűsége, hogy az alkatrész legalább 4000 óráig hibátlanul működik? | |||||||
Megoldás: Jelöljük a szóban forgó valószínűségi változót -vel! | |||||||
Így a sűrűségfüggvény: ; | |||||||
az eloszlásfüggvény: . | |||||||
A keresett valószínűség: . | |||||||
28.4. Egy berendezésben 100 egyforma alkatrész található, melyek egyenként átlagosan 10 000 órát bírnak ki meghibásodás nélkül. Az egyes elemek élettartama egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Tudjuk, hogy a berendezés akkor üzemel hiba nélkül, ha a 100-ból legalább 95 alkatrész hiba nélkül működik. Mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább 1000 órát működik a berendezés hiba nélkül? | |||||||
Megoldás: Jelölje egy alkatrész élettartamának megfelelő valószínűségi változót! | |||||||
Legyen p annak a valószínűsége, hogyegy alkatrész legalább 1000 órát üzemel hiba nélkül! Ekkor és ebből . | |||||||
28.5. Egy üzemben 2 m hosszú munkadarabokat gyártanak 3 cm szórással. 1000 db elkészítésekor várhatóan hány darab selejt keletkezik, ha a 195 és 205 cm közötti termékeket még elfogadhatónak tekinthetjük? (A munkadarabok mérete normális eloszlásúnak tekinthető.) | |||||||
Megoldás: A feladat szerint egy munkadarab mérete és paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, melyet jelöljünk -vel. | |||||||
(A függvény értékét természetesen táblázat segítségével határoztuk meg.) | |||||||
28.6. Egy búzaföld évi hozama átlagosan 140 mázsa. A feljegyzések szerint átlagosan 8 évente történik meg, hogy a termés meghaladja a 170 mázsát. Hány évente fordul elő 100 mázsánál kevesebb termés? | |||||||
Megoldás: A termés évenkénti eloszlása normálisnak vehető (hiszen az egyes kalászok termésmennyisége független, azonos eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, így összegük közel normális eloszlású) m = 140 várható értékkel. Jelöljük -vel a valószínűségi változónkat! | |||||||
A függvény táblázatából kiolvasható, hogy , így , vagyis . | |||||||
Ezzel a keresett valószínűség: | |||||||
Tehát annak valószínűsége, hogy egy évben 100 mázsánál kevesebb búza terem kb. 0,06; vagyis , tehát kb. 16 évente fordul elő 100 mázsánál kevesebb termés. | |||||||
28.7. Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó, 5000 óra várható értékkel. | |||||||
| |||||||
Megoldás: Exponenciális eloszlású valószínűségi változóról van szó, keressük az eloszlás paraméterét. Mivel exponenciális eloszlás esetén, ezért , így . | |||||||
a) A esemény jelentse, hogy az alkatrész kevesebb, mint 100 óra múlva meghibásodik. | |||||||
b) Vezessük be a következő jelöléseket: | |||||||
28.8. Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 3. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó értéke | |||||||
| |||||||
Megoldás: Jelölje a valószínűségi változónkat. Mivel most és , ezért nem standard normális eloszlású valószínűségi változóval állunk szemben, vagyis a megoldás során a valószínűségi változót standardizálni kell. Erre azért van szükség, mert a standard normális eloszlás értékei állnak rendelkezésünkre táblázat formájában. | |||||||
A standardizált valószínűségi változó: . | |||||||
a) A esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke kisebb 10-nél. | |||||||
b) B esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke 8 és 15 közé esik. | |||||||
c) C esemény jelentse, hogy a valószínűségi változó értéke nagyobb, mint 0. | |||||||
28.9. Egy város lakosainak magasságáról a következőket tudjuk: | |||||||
| |||||||
Tételezzük fel, hogy a város lakosainak magasság adatai normális eloszlású valószínűségi változót alkotnak. Határozzuk meg ennek várható értékét és szórását! | |||||||
Megoldás: Jelölje a valószínűségi változót, m a várható értéket, pedig a szórást. | |||||||
Így a következő egyenletrendszert kapjuk: | |||||||
Szorozzuk meg mindkét egyenletet -val, majd a 2. egyenletből vonjuk ki az 1.-t. Így: | |||||||
értékét az első egyenletbe visszahelyettesítve: | |||||||
28.10. Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó 5-nél kisebb értéket vesz fel: 0,1. Határozzuk meg azt az intervallumot, melyen ezt a valószínűségi változót értelmezzük. Mennyi a valószínűségi változó szórása? | |||||||
Megoldás: Legyen az egyenletes eloszlás értelmezve az [a; b] intervallumon. A várható értéke: , vagyis . | |||||||
A 2. egyenletet rendezve: | |||||||
Ezt visszahelyettesítve az 1.-be: | |||||||
Ebből | |||||||
Tehát az egyenletes eloszlású valószínűségi változót az intervallumon értelmeztük. | |||||||
Ellenőrző feladatok |
1. feladat | |||||||||
4 m hosszú anyagot vásárolunk egy új ruhához. Az anyag hossza mentén bárhol lehet szálhiba, a hiba helye egyenletes eloszlású valószínűségi változó. Mi a valószínűsége, hogy az anyag első 80 cm-e hibátlan?
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Mi a valószínűsége, hogy az előző feladatban vásárolt anyag pontosan a felénél hibás?
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Egy alkatrész élettartama exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Egy ilyen típusú alkatrész átlagosan 500 óra időtartam alatt megy tönkre. Mi a valószínűsége, hogy 800 órát kibír?
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
A fenti alkatrész egy újabb változatánál azt tapasztalták, hogy az esetek 70%-ában 800 órát is működik hiba nélkül. Hány óra lehet most az átlagos élettartam?
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Az új alkatrész piacra dobásakor a cég 10 000 Ft kárpótlást ígér, ha az 500 óránál hamarabb tönkre megy. Átlagosan mennyi kárpótlást fizetnek egy termék után?
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Mennyi legyen egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó várható értéke ahhoz, hogy a valószínűségi változó értéke az esetek 90%-ában 1000-nél nagyobb legyen?
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
Egy normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 3, szórása 1. mi a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéke 4-nél kisebb lesz?
![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
Mi a valószínűsége, hogy egy 10 várható értékű, 3 szórású normális eloszlású valószínűségi változó értéke 7 és 12 közé esik?
![]() | |||||||||
9. feladat | |||||||||
Egy üzemben 30 dkg töltőtömegű konzervet gyártanak. A töltőtömeg normális eloszlásúnak tekinthető. A termékek 90%-ának töltőtömege 28 és 32 dkg közötti. Mekkora a töltőtömeget leíró valószínűségi változó szórása?
![]() |