KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.7. fejezet | |||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||
A események teljes eseményrendszert alkotnak, ha és , ha . | |||||||||
A teljes valószínűség tétele | |||||||||
Ha a események teljes eseményrendszert alkotnak, és , akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes a következő: . | |||||||||
A Bayes-tétel | |||||||||
Ha a események teljes eseményrendszert alkotnak, és , továbbá A tetszőleges olyan esemény, amelyre , akkor . | |||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||
22.1. Egy gyárban 4 gépsoron ugyanazt a terméket készítik. Az elsőn készült darabok 5%-a, a másodikon készültek 8%-a, a harmadikon és negyediken készültek 10%-a hibás. A gépek az összes termelésnek rendre 40, 30, 20, 10 százalékát adják. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék hibás? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
22.2. Eltévedtünk a piacon. A közelünkben négy ruhaárus, egy újságos és két virágárus van. A távol-keleti ruhákat menedzselők 0,6 valószínűséggel tudják megmondani a helyes irányt, a virágárus nénik 0,7 valószínűséggel, Józsi bácsi, az újságos szinte biztosan, 0,95 valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk, ha a közülük véletlenszerűen kérdezünk meg valakit? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
Összesen 4+2+1=7 árus van a környéken. Annak a valószínűsége, hogy ruhaárust választunk: ; hogy virágárust választunk ; hogy Józsi bácsit választjuk . A feladat szövege szerint annak a valószínűsége, hogy helyes útbaigazítást kapunk feltéve, hogy ruhaárustól kérdezünk: . A többi: és . | |||||||||
Írjuk fel a teljes valószínűség tételét: | |||||||||
22.3. Egy rekeszben (20 üveg) fele-fele arányban van barna és világos sör. Az üvegeket véletlenszerűen választva elkezdjük pusztítani a készletet. Mi a valószínűsége, hogy a harmadik kivett üveg barna nedűt tartalmaz? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
| |||||||||
22.4. Egy évfolyamon a lányok 0,7, a fiúk 0,6 valószínűséggel vizsgáznak sikeresen egy bizonyos tárgyból. Mi lehet az évfolyam százalékos összetétele, ha tudjuk, hogy az évfolyam 63%-a vizsgázik sikeresen? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
A teljes valószínűség tételét alkalmazva: | |||||||||
22.5. Egy üzemben 3 gépsor gyártja ugyanazt a terméket. Az első a termékek 30%-át, a második az 50%-át, a harmadik a 20%-át adja. Az elsőn készült termékek 5%-a, a másodikon készültek 7%-a, a harmadikon készültek 3%-a selejt. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott selejtes termék az első gépsoron készült? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
Így a feladatban megadott valószínűségek: | |||||||||
Ezekre alkalmazva a Bayes-tételt: | |||||||||
22.6. Egy gyárban készült termékek 70%-a másodosztályú, 30%-a első osztályú. A termékek minősítésekor a következő hibát követik el: első osztályú terméket 5% valószínűséggel minősítenek másodosztályúnak, másodosztályú terméket 2% valószínűséggel minősítenek első osztályúvá. Mi a valószínűsége annak, hogy egy első osztályúnak minősített termék valóban első osztályú? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
Ezekkel a Bayes-tétel: | |||||||||
22.7. Négy doboz mindegyikében 4 golyó van, melyek közül rendre 1, 2, 3, 4 piros. Kiválasztunk egy dobozt és abból visszatevéssel háromszor húzunk. Azt találjuk, hogy mindhárom kihúzott golyó piros. Mi a valószínűsége, hogy a dobozban levő golyók közül éppen kettő volt piros? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
Az 1. dobozban 1 db piros golyó van, a 2.-ban 2, a 3.-ban 3, a 4.-ben pedig 4. | |||||||||
| |||||||||
Annak a valószínűsége, hogy háromszor egymás után húzva piros golyót húzunk: | |||||||||
| |||||||||
Ezekkel a Bayes-tétel: | |||||||||
22.8. Labdarúgó edzésen jártunk. Tudjuk, hogy a résztvevő 20 játékos közül a csatárok (5 fő) 0,9 valószínűséggel, a középpályások (7 fő) 0,8, a védők (6 fő) 0,75, a kapusok (2 fő) 0,7 valószínűséggel lövik be a büntetőt. Látunk egy játékost, aki kihagyja a büntetőjét. Mi a valószínűsége, hogy ő csatár? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
Hasonlóan: | |||||||||
Alkalmazzuk a Bayes-tételt: | |||||||||
22.9. Egy kereskedő négy beszállítótól kap árut. Az első a teljes áru mennyiségének a felét, a másodiktól a negyedét, a harmadiktól és a negyediktől egyaránt a nyolcadát szerzi be. Tapasztalata szerint a legnagyobb szállítótól kapott áru 60%-a első osztályú, a többi másodosztályú. A másodiknál ez az arány 50-50%, a maradék kettőnél 40-60%. A készletéből választott áru mekkora valószínűséggel lesz első osztályú? | |||||||||
Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: | |||||||||
A feladat szövege szerint az első szállító a teljes mennyiség felét adja, tehát annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott áru tőle származik: . Hasonlóan: , . | |||||||||
Most már felírhatjuk a teljes valószínűség tételét: | |||||||||
22.10. Az előbb említett kereskedő a reklamációk miatt szeretné kideríteni, hogy egy véletlenszerűen választott másodosztályú áru mekkora valószínűséggel származik az egyes beszállítóktól. Segítsünk neki! | |||||||||
Megoldás: A kérdés az, mi annak a valószínűsége, hogy az áru az 1. (2., 3., 4.) szállítótól származik, feltéve, hogy másodosztályú. | |||||||||
Használjuk fel az előző példa jelöléseit. Mivel csak első és másodosztályú áru fordul elő, ezért jelöli azt az eseményt, hogy az áru másodosztályú. Ezek szerint a következő valószínűségeket kell meghatározni: , , , . | |||||||||
Az előző példából ismertek az alábbi valószínűségek: , , , , , tehát . | |||||||||
Mivel mindenki csak első vagy másodosztályú árut hoz, ezért | |||||||||
Most már minden adott a Bayes-tétel alkalmazásához: | |||||||||
Ellenőrző feladatok |
1. feladat | |||||||||
Egy középiskolában 4 érettségiző osztály van. Az egyikben a tanulók negyede, a másikban fele, a harmadikban és a negyedikben ötöde vizsgázott jelesre matematikából. Minden osztályba ugyanannyian járnak. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott érettségiző diák jelesre vizsgázott?
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Egy üzemben 3 munkás szortírozza az elkészült termékeket. Az egyik 0,05 valószínűséggel hibázik a minősítéskor, a második és a harmadik rendre 0,03, illetve 0,02 valószínűséggel. Egy óra alatt az első átlagosan 28, a második 36, a harmadik 42 terméket vizsgál meg. Ha az üzem termékei közül véletlenszerűen választunk egyet, akkor mi a valószínűsége, hogy az hibás minősítést kapott?
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Egy városban a keresőképes lakosság 28%-a rendelkezik diplomával. A munkanélküliek aránya a diplomások között 5,3%, a többiek között 7,8%. Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy embert, mekkora a valószínűsége, hogy ő munkanélküli?
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Az előző feladatban szereplő városban találkoztunk egy emberrel. Megtudtuk, hogy nincs munkája. Mi a valószínűsége, hogy rendelkezik diplomával?
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Egy nemzetközi kézilabda-kupában a legjobb nyolc közé 1 magyar, 2 spanyol, 2 német, 2 orosz és 1 szlovén csapat jutott, vaksorsolással (kiemelés nélkül) párosítják őket. A magyar csapat spanyol ellenféllel szemben 0,2, némettel szemben 0,5, orosszal szemben 0,45, a szlovénnal szemben pedig 0,7 valószínűséggel szerepel sikeresen. Mi a valószínűsége, hogy továbbjut a magyar gárda?
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Feltéve, hogy a fenti magyar csapat továbbjutott, mi a valószínűsége, hogy orosz ellenfelet ejtett ki?
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
Feltéve, hogy nem jutott tovább a magyar csapat, mi a valószínűsége, hogy papíron nála erősebbtől kapott ki?
![]() |