KURZUS: Matematika II.

MODUL: Többváltozós függvények

13. lecke: Magasabb rendű deriváltak és a Hesse-mátrix

Tanulási cél: A Hesse-mátrix megismerése. Magasabb rendű deriváltak kiszámítása és a Hesse-mátrix előállítása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.3. fejezet

Elméleti összefoglaló

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: D f IR D f I R n függvény kétszer differenciálható az a ¯ D f pontban, ha megadható olyan r>0 , hogy K r ( a ¯ ) D f környezete az a ¯ -nak, hogy és f differenciálható a K r ( a ¯ ) pontjaiban, valamint a

x i f: K r ( a ¯ )IR( i=1,2,,n )

parciális derivált függvények differenciálhatók az a ¯ pontban.

Az f függvény a ¯ helyen vett másodrendű deriváltja ekkor a

D 2 f( a ¯ ) =( x 1 ( x 1 f( a ¯ ) ) x 2 ( x 1 f( a ¯ ) ) x n ( x 1 f( a ¯ ) ) x 1 ( x 2 f( a ¯ ) ) x 2 ( x 2 f( a ¯ ) ) x n ( x 2 f( a ¯ ) ) x 1 ( x n f( a ¯ ) ) x 2 ( x n f( a ¯ ) ) x n ( x n f( a ¯ ) ) )I R n×n

Hesse-mátrix

Tétel. Ha az f: D f IR, D f I R n függvény kétszer differenciálható az a ¯ D f helyen, akkor  az a ¯ helyen vett másodrendű deriválja  szimmetrikus mátrix, azaz

D 2 f( a ¯ )= ( D 2 f( a ¯ ) ) T .

Kidolgozott feladatok

13.1. Határozzuk meg a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait!

a) f( x,y )= x 4 + y 4 4 x 2 y 2 , ( x,y )I R 2 ,
b) f( x,y )=xcos( y 2 ) , ( x,y )I R 2 .

Megoldás.

a) Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat:

f( x,y ) x =4 x 3 8x y 2 , f( x,y ) y =4 y 3 8 x 2 y.

A másodrendű parciális deriváltak:

2 f( x,y ) x 2 =12 x 2 8 y 2 , 2 f( x,y ) xy =16xy, 2 f( x,y ) yx =16xy, 2 f( x,y ) y 2 =12 y 2 8 x 2 .

b) Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat:

f( x,y ) x =cos( y 2 ), f( x,y ) y =2xysin( y 2 ).

A másodrendű parciális deriváltak:

2 f( x,y ) x 2 =0, 2 f( x,y ) xy =2ysin( y 2 ), 2 f( x,y ) yx =2ysin( y 2 ), 2 f( x,y ) y 2 =2xsin( y 2 )4x y 2 cos( y 2 ).

13.2. Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát!

f( x,y,z )= x 2 y 2 + z 2 +1 , ( x,y,z )I R 3 .

Megoldás. Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat:

f( x,y,z ) x = 2x y 2 + z 2 +1 , f( x,y,z ) y = 2 x 2 y ( y 2 + z 2 +1 ) 2 , f( x,y,z ) z = 2 x 2 z ( y 2 + z 2 +1 ) 2 .

A Hesse-mátrix

D 2 ( x,y,z )=( 2 y 2 + z 2 +1 4xy ( y 2 + z 2 +1 ) 2 4xz ( y 2 + z 2 +1 ) 2 4xy ( y 2 + z 2 +1 ) 2 2 x 2 ( 3 y 2 z 2 1 ) ( y 2 + z 2 +1 ) 3 8 x 2 yz ( y 2 + z 2 +1 ) 3 4xz ( y 2 + z 2 +1 ) 2 8 x 2 yz ( y 2 + z 2 +1 ) 3 2 x 2 ( 3 z 2 y 2 1 ) ( y 2 + z 2 +1 ) 3 ).

1.3. Állítsuk elő az f( x,y )=ln( x )sin( y ) , ( x,y )( 0, )×IR függvény 4 f( x,y ) x y 2 x parciális deriváltját!

Megoldás.

f( x,y ) x = sin( y ) x , 2 f( x,y ) xy = cos( y ) x , 3 f( x,y ) x y 2 = sin( y ) x

és

4 f( x,y ) x 2 yx = sin( y ) x 2 .

1.4. Határozzuk meg a függvény Hesse-mátrixát az a ¯ helyen!

a) f( x,y )=arctg x y , a ¯ =( 1,2 ) ,
b) f( x,y,z )= e xyz , a ¯ =( 2,1,1 ) .

Megoldás.

a) Elsőrendű parciális deriváltak:

f( x,y ) x = y x 2 + y 2 , f( x,y ) y = x x 2 + y 2 .

Másodrendű deriváltak mátrixa:

D 2 f( x,y )=( 2xy ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 2xy ( x 2 + y 2 ) 2 ),

és a Hesse-mátrix az a ¯ =( 1,2 ) helyen

D 2 ( 1,2 )=( 4 25 3 25 3 25 4 25 ).

b) Elsőrendű parciális deriváltak:

f( x,y,z ) x =yz e xyz , f( x,y,z ) y =xz e xyz , f( x,y,z ) z =xy e xyz .

Másodrendű deriváltak mátrixa:

D 2 f( x,y.z )=( y 2 z 2 e xyz ( xy z 2 z ) e xyz ( x y 2 zy ) e xyz ( xy z 2 z ) e xyz x 2 z 2 e xyz ( x 2 yzx ) e xyz ( x y 2 zy ) e xyz ( x 2 yzx ) e xyz x 2 z 2 e xyz ),

és a Hesse-mátrix az a ¯ =( 2,1,1 ) helyen

D 2 ( 2,1,1 )=( e 2 3 e 2 3 e 2 3 e 2 4 e 2 6 e 2 3 e 2 6 e 2 4 e 2 ).

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Határozzuk meg a következő függvény másodrendű parciális deriváltjait!
f( x,y )=3 x 2 3 y 2 +6xy2x+2y , ( x,y )I R 2 .
2 f( x,y ) x 2 =6, 2 f( x,y ) xy =6, 2 f( x,y ) yx =6, 2 f( x,y ) y 2 =6.
2 f( x,y ) x 2 =6, 2 f( x,y ) xy =6, 2 f( x,y ) yx =6, 2 f( x,y ) y 2 =6.
2 f( x,y ) x 2 =6, 2 f( x,y ) xy =6, 2 f( x,y ) yx =6, 2 f( x,y ) y 2 =6.
2 f( x,y ) x 2 =6, 2 f( x,y ) xy =6, 2 f( x,y ) yx =6, 2 f( x,y ) y 2 =6.

2. feladat

Határozzuk meg a következő függvény másodrendű parciális deriváltjait!
f( x,y )= sin 2 ( x )+ln( y 3 ) , ( x,y )IR×( 0, ) .
2 f( x,y ) x 2 =2sin( 2x ), 2 f( x,y ) xy =0, 2 f( x,y ) yx =0, 2 f( x,y ) y 2 = 3 y 2 .
2 f( x,y ) x 2 =2cos( 2x ), 2 f( x,y ) xy =0, 2 f( x,y ) yx =0, 2 f( x,y ) y 2 = 3 y 2 .
2 f( x,y ) x 2 =2cos( 2x ), 2 f( x,y ) xy =0, 2 f( x,y ) yx =0, 2 f( x,y ) y 2 = 3 y 2 .
2 f( x,y ) x 2 =2cos( 2x ), 2 f( x,y ) xy =0, 2 f( x,y ) yx =0, 2 f( x,y ) y 2 = 3 y 3 .

3. feladat

Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát!

f( x,y,z )= x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 , ( x,y,z )I R 3 .
D 2 ( x,y,z )=( 2( y 2 + z 2 ) 4xy 4xz 4xy 2( x 2 + z 2 ) 4yz 4xz 4yz 2( x 2 + y 2 ) ).
D 2 ( x,y,z )=( 2( y 2 + z 2 ) 2xy 2xz 2xy 2( x 2 + z 2 ) 2yz 2xz 2yz 2( x 2 + y 2 ) ).
D 2 ( x,y,z )=( 4( y 2 + z 2 ) 4xy 4xz 4xy 4( x 2 + z 2 ) 4yz 4xz 4yz 4( x 2 + y 2 ) ).
D 2 ( x,y,z )=( 2( y+z ) 4xy 4xz 4xy 2( x+z ) 4yz 4xz 4yz 2( x+y ) ).

4. feladat

Állítsa elő az

f( x,y )= e 2y arcsinx , ( x,y )[ 1,1 ]×IR

függvény  4 f( x,y ) yx y 2 parciális deriváltját!
4 f( x,y ) yx y 2 = 8 e 2y 1 x 2 .
4 f( x,y ) yx y 2 = 8 e 2y x 2 1 .
4 f( x,y ) yx y 2 = 8 e 2y 1+ x 2 .
4 f( x,y ) yx y 2 = 8 e y 1 x 2 .

5. feladat

Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát az a ¯ =( 2,2 ) helyen!
f( x,y )= x y , ( x,y )I R 2 .
D 2 ( 2,2 )=( 2 2+ln( 16 ) 2+ln( 16 ) ln( 16 ) )
D 2 ( 2,2 )=( 2 2+ln( 16 ) 2+ln( 16 ) 4 ln 2 ( 2 ) )
D 2 ( 2,2 )=( 2 2+ln( 16 ) 2+ln( 16 ) ln 2 ( 16 ) )
D 2 ( 2,2 )=( 2 2+ln( 16 ) 2+ln( 16 ) 2 ln 2 ( 2 ) )

6. feladat

Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát az a ¯ =( 2,2,0 ) helyen!

f( x,y,z )= x 2 + y 2 + z 2 +1 , ( x,y,z )I R 3 .
D 2 ( 2,2,0 )=( 5 27 4 27 0 4 27 5 27 0 0 0 1 3 ).
D 2 ( 2,2,0 )=( 5 27 4 27 0 4 27 5 27 0 0 0 1 3 ).
D 2 ( 2,2,0 )=( 5 27 0 4 27 0 5 27 0 4 27 0 1 3 ).
D 2 ( 2,2,0 )=( 5 27 0 4 27 0 5 27 0 4 27 0 1 3 ).