KURZUS: Matematika II.

MODUL: Valószínűség-számítás

19. lecke: Valószínűségek meghatározása

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.3., 4.4. fejezet

Elméleti összefoglaló

A valószínűség-számítás axiómái a következők:

1.Az adott Ω eseménytér minden egyes A eseményéhez tartozik egy 0 és 1 közé eső P( A ) szám, azaz 0P( A )1 , amelyet az A esemény valószínűségének (valószínűségimértékének) nevezünk.
2.A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P( Ω )=1 .
3.Az egymást páronként kizáró események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségének összegével egyenlő, azaz ha az A 1 , A 2 ,, A i , események esetén A j A k = ha jk , akkor P( i A i )= i P( A i ) . (Ezt a tulajdonságot σ-additivitásnak nevezzük.)

Az A esemény ellentettjének valószínűsége P( A ¯ )=1P( A ) .

Események egy összességét teljeseseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizárják egymást és az összegük a biztos esemény, azaz az A 1 , A 2 ,, A n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha A i A j = (ha ij ) és A 1 + A 2 ++ A n =Ω .

Ha az A 1 , A 2 ,, A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a valószínűségük összege 1, vagyis P( A 1 )+P( A 2 )++P( A n )=1 .

Az A és B események BA különbségének valószínűsége P( BA )=P( B )P( AB ) .

Ha AB , akkor P( BA )=P( B )P( A ) .

Az A és B események összegének valószínűsége P( A+B )=P( A )+P( B )P( AB ) .

Kidolgozott feladatok

19.1. Legyen A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,5, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,3. Határozzuk meg az alábbiakat:

a) P( A ¯ )=?
b) P( A+B )=?
c) P( AB )=?
d) P( BA )=?
e) P( A ¯ + B ¯ )=?
f) P( A ¯ +B )=?
g) P( A B ¯ )=?

Megoldás: A megoldás során az elméleti összefoglalóban leírtakat fogjuk alkalmazni.

a) P( A ¯ )=1P( A )=10,7=0,3

b) P( A+B )=P( A )+P( B )P( AB )=0,7+0,50,3=0,9

c) P( AB )=P( A )P( AB )=0,70,3=0,4

d) P( BA )=P( B )P( AB )=0,50,3=0,2

e) használjuk fel az előző leckében megismert de Morgan-féle összefüggést: A ¯ + B ¯ = AB ¯ , továbbá alkalmazzuk az a) kérdésben felhasznált tételt: P( A ¯ + B ¯ )=P( AB ¯ )=1P( AB )=10,3=0,7

f) A megoldás menete ugyanaz, mint a b) pontban, csak A helyett A ¯ -t kell írni:
P( A ¯ +B )=P( A ¯ )+P( B )P( A ¯ B ) . Az a) pont alapján P( A ¯ )=0,3 , P( B ) értéke ismert: 0,5, már csak P( A ¯ B ) -t kell meghatározni. Ehhez írjuk fel a B eseményt egy kicsit másképp (lásd előző lecke). B=ΩB=( A+ A ¯ )B=AB+ A ¯ B
Vagyis a B esemény valószínűsége: P( B )=P( AB+ A ¯ B ) .
Ebből P( A ¯ B )=P( B )P( AB )=0,50,3=0,2
Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt: A ¯ B=BA , vagyis P( A ¯ B )=P( BA )=0,2 , mint láttuk a d) pontban.
Vagyis a kérdéses valószínűség: P( A ¯ +B)=P( A ¯ )+P(B)P( A ¯ B)=0,3+0,50,2=0,6 .

g) Az f) pont alapján ez már egyszerű:
P( A B ¯ )=P( AB )=P( A )P( AB )=0,4 (lásd c) pont)

19.2. Legyen BA , és P( A )=0,6 , P( B )=0,1 . Határozzuk meg az alábbiakat:

a) P( AB )=?
b) P( A+B )=?
c) P( AB )=?
d) P( BA )=?

Megoldás:

a) Mivel BA , ezért az AB esemény valószínűsége maga a B esemény lesz. Így P( AB )=P( B )=0,1 .

b) Az előzőhöz hasonlóan, mivel BA , ezért P( A+B )=P( A ) , így P( A+B )=0,6 .

c) P( AB )=P( A )P( AB )=0,60,1=0,5

d) P( BA )=P( B )P( AB )=0,10,1=0
Másképp: BA az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem. Mivel tudjuk, hogy BA , ezért ha B bekövetkezik, akkor A is. Vagyis az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem, a lehetetlen esemény, amelynek valószínűsége 0.

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Legyen AB , P( B )=0,7 és P( A )=0,2 . Ekkor P( A+B )=?
0,9
0,5
0,7
0,2

2. feladat

Legyen AB , P( B )=0,8 és P( A )=0,5 . Ekkor P( BA )=?
0,8
0,5
0,3
0,2

3. feladat

Legyen az A esemény valószínűsége 0,6, a B esemény valószínűsége 0,4, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,2. Ekkor P( A+B )=?
0,96
1
0,6
0,8

4. feladat

Legyen az A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,7, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,6. Ekkor P( A+ B ¯ )=?
0,8
0,9
0,7
0,6

5. feladat

Legyen AB , P( B )=0,7 és P( A )=0,3 . Ekkor P( AB ¯ )=?
0,21
0,3
0,7
0,79

6. feladat

Legyen az A esemény valószínűsége 0,2, a B esemény valószínűsége 0,6, és teljesüljön, hogy AB=Ø . Ekkor P( B ¯ A )=?
0,4
0,16
0,24
0,2

7. feladat

Legyen P( A )+P( B )=1 . Ekkor
az A és B események egymást kizáróak.
az A és B események összege a biztos esemény.
az A és B események szorzata a lehetetlen esemény.
a fentiek közül egyik sem feltétlenül igaz.

8. feladat

Legyen A+B=Ω . Ekkor biztosan igaz, hogy
P( A )+P( B )=1
P( AB )=0
P( A+B )=1
P( AB ¯ )=1

9. feladat

Ha az A és B eseményekre P( AB )=P( BA ) , akkor biztosan igaz, hogy
A=B
AB=Ø
P( A+B )=1
P( A )=P( B )

10. feladat

Ha az A, B, C események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor
P( A+B )=P( A+C )=P( B+C )
P( A )=P( B )=P( C )
P( A+B+C )=P( A )+P( B )+P( C )=1
P( ABC )=P( A )P( B )P( C )=1