KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok)
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 3.1. fejezet | |||||
Elméleti összefoglaló | |||||
Kidolgozott feladatok | |||||
17.1. Hányféleképpen fordulhat elő ultiban, hogy a kapott 10 lap között pontosan 4 piros, 5 zöld és 1 ász van? | |||||
Megoldás: Vegyük észre, hogy 4 piros, 5 zöld és 1 ász nem feltétlenül 10 lapot takar (pl. a piros ász piros és ász is)! | |||||
| |||||
Az első esetben nálunk van: | |||||
| |||||
Teljesen hasonlóan, ha a piros ász van nálunk: | |||||
| |||||
A harmadik esetben, ha sem a piros, sem a zöld ász nincs nálunk: | |||||
| |||||
A három esetet összegezve: | |||||
17.2. Hányféle nulla találatos totószelvény lehetséges? | |||||
Megoldás: Az egyszerűség kedvéért tekintsünk el a +1-es meccstől, vagyis csak 13 mérkőzésre tippelhetünk. | |||||
17.3. Hányféleképpen lehet pontosan 10 találatunk a fenti szerencsejátékban? (Most is tekintsünk el a +1 mérkőzéstől) | |||||
Megoldás: A 13 tippből 10 jó, 3 pedig helytelen, de egy meccsre kétféleképpen is lehet rosszul tippelni. | |||||
17.4. A miniszter 20 millió Ft jutalmat oszt szét 5 államtitkár között. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha az egység 1 millió Ft, és legalább ennyit mindenki megkap? | |||||
Megoldás: Mivel mindenki kapott legalább 1 millió Ft-ot, ezért tekinthetjük úgy, hogy már mindenki rendelkezik ezzel az 1 millióval és a maradék 15 milliót kell szétosztani 1 milliós adagokban. Ez úgy történik, hogy vesszük az 1 milliót és kiválasztunk egy embert, akinek odaadjuk és így tovább, amíg az összes pénz el nem fogy. Egy embert többször is kiválaszthatunk, és a végeredmény szempontjából csak az érdekes, hogy mennyit kapott, az nem, hogy milyen sorrendben. A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy ismétléses kombinációval állunk szemben (a kiválasztott ember személye ismétlődhet). | |||||
17.5. Egy négy házaspárból álló társaság szórakozni indult. | |||||
| |||||
Megoldás: | |||||
b) Tekintsük újra a négy házaspárt. Ők valamilyen sorrendben leülnek az asztal körül. Mivel az asztal kör alakú, ezért nincs kitüntetett első hely, vagyis ha minden pár eggyel (egy párnyival) arrébb ül, akkor ugyanazt az ültetési rendet kapjuk (ez már egy más sorrend lenne, ha nem körbe, hanem sorba ülnének, vagyis ha lenne 1. hely). Nyilván ugyanez igaz, ha 2 vagy 3 hellyel ülnének arrébb (4-nél már a kiinduló helyzetbe érnének vissza.) Vagyis minden körbeüléshez 4 sorba állítás tartozik. Ezért a lehetséges elrendezések száma: . | |||||
17.6. Hányféle négyjegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből, ha | |||||
| |||||
Megoldás: Vegyük észre, hogy a feladat nem ugyanaz, mint a 3.1.10, mert itt a 0 is szerepel a megadott számjegyek között, márpedig egy négyjegyű szám első számjegye nem lehet 0. Így mindkét esetben számolhatunk úgy, hogy meghatározzuk azon sorrendek számát, amikor a nulla is állhat az első helyen, és ebből levonjuk a 0-val kezdődőek számát. | |||||
| |||||
17.7. Húsz óvodás sétálni indul. Szépen sorban, párosával, ahogy illik. Hányféleképpen állhatnak így sorban, ha | |||||
| |||||
Megoldás: | |||||
b) Induljunk ki a fenti ábrából! Ha valamelyik párban helyet cserélnek (jobb és bal oldal felcserélődik), ez itt nem számít új sorrendnek. Sőt, ha mindegyik páron belül cserélgetnek, az még mindig ugyanaz a sorrend, hiszen most nem számít, hogy az egyes pároknál ki melyik oldalon áll. Tehát az itteni lehetőségek száma annyiad része az a) feladatbelinek, ahányféle módon tudnak a gyerekek helyet cserélni. Mind a 10 párban kétféle felállás lehet, ez lehetőség. | |||||
17.8. Az unokahúgom nagyon szeret babázni. Kedvenc babájának kikönyörgött egy teljes ruhatárat: három blúz (fehér, piros, sárga), három szoknya (kék, piros, zöld) és három pár zokni (fehér, kék, lila) alkotja a készletet. Minden nap másképp öltözteti fel, ráadásul egyszerre nem lehet rajta két azonos színű ruhadarab (pl. fehér blúz és fehér zokni). Hány napon keresztül tudja különböző összeállításba öltöztetni babáját? | |||||
Megoldás: | |||||
17.9. Egy 120 fős egyetemi évfolyam 5, egyenként 24 fős tankörből áll. Az évfolyamon a fiúk és lányok aránya 3:2. Az egyetemi kari tanács ülésére 10 fős küldöttséget kell kiállítaniuk. Hányféleképpen tehetik meg ezt, ha | |||||
| |||||
Megoldás: | |||||
b) Az évfolyamon a fiúk és a lányok aránya 3:2, vagyis 72 fiú és 48 lány van. Mivel a kiválasztás alapja is ez az arány, ezért 6 fiúból és 4 lányból fog állni a küldöttség. | |||||
Ellenőrző feladatok |
1. feladat | |||||||||
Hányféleképpen lehet pontosan 3 találatunk az ötös lottón? ![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Hány négyjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyik számjegy csak egyszer szerepelhet, és nem kerülhet a neki megfelelő sorszámú helyre?
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
A 32 lapos magyar kártyából húzunk 8 lapot. Hányféleképpen fordulhat elő az, hogy nincs nálunk ász?
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
A 32 lapos magyar kártyából húzunk 8 lapot. Hányféleképpen fordulhat elő az, hogy 4 piros és 4 ász van a kezünkben? ![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Pókerben (5 lapot kapunk az 52 lapos pakliból) hányféleképpen fordulhat elő, hogy póker van a kezünkben? ![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Hányféleképpen lehet a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával 10-zel osztható ötjegyű számot készíteni úgy, hogy egy számjegy csak egyszer szerepelhet?
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
És ha a számjegyek többször is szerepelhetnek?
![]() |