KURZUS: Matematika II.
MODUL: Többváltozós függvények
10. lecke: Többváltozós függvény bevezetése, szintvonalas és rétegvonalas ábrázolása
Tanulási cél: Többváltozós függvények megadása a szintvonalas és rétegvonalas ábrázolás módszerének elsajátítása. | |||||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.1. fejezet | |||||
Elméleti összefoglaló | |||||
Legyen az egy rögzített természetes szám. | |||||
Definíció. Az pont körüli sugarú nyílt gömbön a | |||||
halmazt értjük. Ezt a halmazt az pont körüli sugarú környezetnek is nevezzük. | |||||
Definíció. Az függvényt, ahol , -változós valós függvénynek nevezzük. Az helyettesítési értékét az helyen -szel jelöljük. | |||||
Megjegyzés. A függvények értelmezési tartománya és pontjainak megadása esetében az oszlopvektoros írásmód helyett inkább az sorvektoros írásmódot használjuk! | |||||
Definíció. Az , függvény grafikonján a | |||||
halmazt értjük. | |||||
Definíció. Az pontok halmazát az , függvény értékhez tartozó szintvonalának ( esetén szintfelületének) nevezzük. | |||||
Megjegyzés. | |||||
| |||||
Definíció. Az , kétváltozós függvény esetében egy adott értékhez tartozó | |||||
pontok halmazát az síkra, az | |||||
pontok halmazát pedig az síkra vonatkozó rétegvonalának nevezzük. | |||||
Kidolgozott feladatok | |||||
10.1. Határozzuk meg az | |||||
, | |||||
függvény értékkészletét, grafikonját, szintvonalait és rétegvonalait! | |||||
Megoldás. Értékkészlete: | |||||
Grafikonja: | |||||
Szintvonalai: | |||||
Azaz a függvény szintvonalai egyenletű egyenletek. Például a értékekhez tartozó szintvonalak az alábbiak: | |||||
és . | |||||
Rétegvonalai: | |||||
| |||||
, . | |||||
10.2. Határozzuk meg az | |||||
, | |||||
függvény értékkészletét, grafikonját, szintvonalait és rétegvonalait! | |||||
Megoldás. Értékkészlete: | |||||
Grafikonja: | |||||
Szintvonalai: | |||||
Azaz a függvény szintvonalai egyenletű parabolák. Például a értékekhez tartozó szintvonalak az alábbiak: | |||||
és . | |||||
Rétegvonalai: | |||||
| |||||
. | |||||
10.3. Határozzuk meg az | |||||
, | |||||
függvény értékkészletét, grafikonját, szintvonalait és rétegvonalait! | |||||
Megoldás. Értékkészlete: | |||||
Grafikonja: | |||||
Szintvonalai: | |||||
Azaz a függvény szintvonalai a nulla középpontú egyenletű hiperbolák. Például a és a értékekhez tartozó szintvonalak az alábbiak: | |||||
. | |||||
Rétegvonalai: | |||||
| |||||
,. | |||||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Az függvény...
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Az függvény
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Az függvény
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Az függvény
![]() |