KURZUS: Matematika II.

MODUL: Lineáris algebra

4. lecke: Determinánsok

Tanulási cél: A determináns fogalmának a megismerése, értékének kiszámítási módja. A módszer begyakorlása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.3. fejezet

Elméleti összefoglaló

Definíció. Az

A=( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn )I R n×n

négyzetes mátrix determinánsát, amit det( A ) -val ( det( A )IR ) jelölünk, az alábbi rekurzióval definiáljuk:

n=1 esetén det( A )= a 11 .

n>1 esetén det( A )= k=1 n a 1k ( 1 ) 1+k det( A 1k ) ,

ahol A 1k az első sor és a k-adik oszlop elhagyásával keletkező mátrix.

Jelölés. Az A mátrix determinására az | A | jelölést is használni fogjuk.

Megjegyzés.

1. A rekurzív definíciót az AI R 2×2 mátrixok determinánsára alkalmazva azt kapjuk, hogy az a főátlóban és a mellékátlóban szereplő értékek szorzatának különbsége:

det( A )=| a 11 a 12 a 21 a 22 |= a 11 a 22 a 12 a 21 .

2. Az AI R 3×3 mátrixok determinánsát a rekurzív definíció helyett célszerűbb a Sarrus-szabállyal számolni. A determináns mellé hozzáírjuk az első két oszlopot. Ezt követően először a balról jobbra haladó átlók elemeinek szorzatát képezzük, ezután negatív előjellel a jobbról balra  haladó átlók elemeinek szorzatát számítjuk ki. A determináns értéke ezen szorzatok összege:

det( A )=| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 |=| a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 .

Számos tétel szol arról, hogy hogyan változik meg egy determináns értéke, ha különféle átalakítást hajtunk végre a mátrixon.

A leggyakrabban alkalmazott a következő.

Tekintsünk egy determinánst és válasszuk ki az i-edik és a j-edik sorát. Ha az i-edik sor tetszőleges számszorosát hozzáadjuk a j-edik sorhoz, az így kapott sor legyen az új j-edik sor, a többi sort pedig nem változtatjuk meg, akkor ennek a determinánsnak ugyanannyi az értéke, mint az eredetinek. Ezzel azt lehet elérni, hogy egy sorban, vagy egy oszlopban egy elemet kivéve minden elem nulla legyen, ezután e szerint a sor vagy oszlop szerint fejtjük ki a determinánst.

Kidolgozott feladatok

4.1. Határozzuk meg a következő mátrix determinánsát!

A=( 2 1 3 4 ) .

Megoldás. det( A )=| 2 1 3 4 |=241(3)=11 .

4.2. Számoljuk ki a determináns értékét:

| cosα sinα sinα cosα | .

Megoldás. | cosα sinα sinα cosα |= cos 2 α( sin 2 α )= cos 2 α+ sin 2 α=1.

4.3. Határozzuk meg a következő mátrix determinánsát!

A=( 1 2 0 2 5 2 3 2 1 ) .

Megoldás.

det( A )=| 1 2 0 2 5 2 3 2 1 |=| 1 2 0 1 2 2 5 2 2 5 3 2 1 3 2 |=

=15( 1 )+223+02( 2 ) 05312( 2 )22( 1 )= =5+12+00+4+4=15.

4.4. Számoljuk ki a determináns értékét:

| 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 | .

Megoldás. A negyedik oszlop mínusz kétszeresét hozzáadjuk az első oszlophoz, és a negyedik oszlop mínusz egyszeresét hozzáadjuk a második és harmadik oszlopokhoz.

| 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 |=| 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 1 2 |

Kifejtve az első sora szerint. Ne feledkezzünk meg az előjelről ( 1 ) 1+4 =1 .

| 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 3 1 1 2 |=| 1 1 0 1 0 1 3 1 0 |

Ezt kifejtve a harmadik oszlop szerint. Mivel ( 1 ) 2+3 =1 , a kétszer kettes determináns előtt ( 1 )( 1 )=1 a szorzó.

| 1 1 0 1 0 1 3 1 0 |=| 1 1 4 1 |=1( 4 )=5.

4.5. Oldja meg az egyenletet!

| 1 2 x 2 1 3 x 1 3 |=0

Megoldás. Kivonjuk a második oszlop kétszeresét az első oszlopból, és háromszorosát a harmadik oszlopból. A második oszlop marad változatlan.

| 1 2 x 2 1 3 x 1 3 |=| 3 2 x6 0 1 0 x2 1 0 |=0.

Kifejtjük a második sor szerint

| 3 x6 x2 0 |=( x2 )( x6 )=0.

Az egyenlet megoldása: x=2 és x=6 .

Ellenőrző kérdések

1. feladat

 
1.
0.
1.
2.

2. feladat

 
2.
0.
1.
2.

3. feladat

 
4.
4.
3.
2.

4. feladat

 
65.
56.
65.
56.

5. feladat

 
7.
6.
7.
6.

6. feladat

 
1.
0.
1.
2.

7. feladat

Oldja meg az egyenletet!

 
x= 10 3 .
x= 10 3 .
x= 3 10 .
x= 3 10 .

8. feladat

 
3 x 3 2 x 2 +1.
2 x 3 3 x 2 +1.
2 x 3 3 x 2 1.
x 3 2 x 2 +3.