KURZUS: Matematika II.
MODUL: Többváltozós függvények
15. lecke: A legkisebb négyzetek módszere és gazdasági alkalmazásai
Tanulási cél: A legkisebb négyzetek módszerének elsajátítása és begyakorlása gazdasági feladatok megoldására alkalmazva. | |||||||||||||||||||||||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.9. fejezet | |||||||||||||||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||||||||||||||
A gyakorlati életben gyakran előfordul, hogy nem ismerjük az függvényt, de ismerünk összetartozó , számpárokat, amelyekre | |||||||||||||||||||||||
, . | |||||||||||||||||||||||
Ha a számpárokat egy koordináta-rendszerben ábrázolnánk, akkor ezek az F grafikonján helyezkednek el. Ha F-et nem ismerjük, akkor az ábrázolt pontok elhelyezkedéséből próbálunk következtetni az F jellegére. Még nehezebb a feladat, ha a számpárok mérés vagy felmérés eredményei és így pontatlanságot tartalmaznak. Segítséget nyújthat a függvény meghatározásához a vizsgált jelenség jellege (pl. tudjuk, hogy a függvény lineáris). Leggyakrabban egy adott függvénycsaládból keressük meg a mérés eredményeit megközelítő függvényt. | |||||||||||||||||||||||
Definíció. A legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk akkor, amikor egy adott függvénycsalád elemei közül azt a f függvényt fogadjuk el a F legjobb közelítésének, amelyre a | |||||||||||||||||||||||
kifejezés minimális. | |||||||||||||||||||||||
alakú. Ekkor a | |||||||||||||||||||||||
kétváltozós valós függvényt kell minimalizálni a-ra és b-re. | |||||||||||||||||||||||
esetén lehet. A lineáris egyenletrendszerből értéket meghatározva a lehetséges szélsőértékhelyet kapjuk meg. A függvény | |||||||||||||||||||||||
második deriváltjáról megmutatható, hogy az mindig pozitív definit, ezért az hely minimumhely. | |||||||||||||||||||||||
Megjegyzés. A gyakorlatban az ponthalmaz alakjától függően, az lineáris közelítésen kívül, az alábbi nem-lineáris közelítések is szokásosak: | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
Ezeken kívül más, bonyolultabb függvények is használatosak. | |||||||||||||||||||||||
Némelyik kapcsolatot könnyen visszavezethető lineárisra. Exponenciális kapcsolat esetén például | |||||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||||
ami azt mutatja, hogy és között lineáris a kapcsolat és az transzformált ponthalmazra így lineáris közelítést alkalmazhatunk. | |||||||||||||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||||||||
15.1. A szőlőperonoszpóra a szőlő egyik legveszedelmesebb gombakártevője. A fertőzés lappangási ideje az időjárástól és a hőmérséklettől függ. Tapasztalták, hogy a napi közép-hőmérséklet és a lappangási idő között lineáris összefüggés van. Az alábbi táblázat a peronoszpóra lappangási idejét mutatja különböző napi középhőmérséklet esetén. | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
Határozzuk meg az adatok négyzetesen legjobban közelítő egyenest! | |||||||||||||||||||||||
Megoldás: A keresett értéket a legkisebb négyzetek módszerénél leírt módon az | |||||||||||||||||||||||
egyenletrendszer megoldásával kapjuk, ahol | |||||||||||||||||||||||
és | |||||||||||||||||||||||
Tehát az | |||||||||||||||||||||||
egyenletrendszert megoldva , így a legjobban közelítő lineáris függvény . | |||||||||||||||||||||||
15.2. Azt tapasztalták, hogy az import értékének növekedésével az importanyagok fuvarköltsége is növekszik. Hét egymást követő év adatait a következő táblázat mutatja. | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
Határozzuk meg az adatok négyzetesen legjobban közelítő egyenest! | |||||||||||||||||||||||
Megoldás: A keresett értéket a legkisebb négyzetek módszerénél leírt módon az | |||||||||||||||||||||||
egyenletrendszer megoldásával kapjuk, ahol | |||||||||||||||||||||||
és | |||||||||||||||||||||||
Tehát az | |||||||||||||||||||||||
egyenletrendszert megoldva , így a legjobban közelítő lineáris függvény . | |||||||||||||||||||||||
Ellenőrző kérdés |
Az alábbi táblázat az egy munkásra jutó öntvénymennyiség és a nagyrészt kézi munkát végző öntödei munkások aránya közötti összefüggést mutatja. Azt tapasztalták, hogy ez a kapcsolat legjobban egy exponenciális görbével közelíthető meg. Az exponenciális kapcsolatot lineárisra visszavezetve, határozzuk meg a legkisebb négyzetek módszerivel, az adatokhoz tartozó ponthalmazt legjobban megközelítő egyenest! | |||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||
Az adatokhoz tartozó ponthalmazt legjobban megközelítő egyenes: ![]() |