KURZUS: Matematika II.

MODUL: Valószínűség-számítás

18. lecke: Műveletek eseményekkel

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.1., 4.2. fejezet

Elméleti összefoglaló

Véletlen tömegjelenségek megfigyelését kísérletnek nevezzük, a kísérlet egy lehetséges kimenete: az elemi esemény. Ezen elemi események összessége az eseménytér ( Ω). Az eseménytér részhalmazait eseményeknek nevezzük ( AΩ )

Ω: biztos esemény
Ø: lehetetlen esemény
AB : A bekövetkezése maga után vonja B bekövetkezését

Műveletek eseményekkel (A és B eseményekre):
A+B : A és B közül legalább az egyik bekövetkezik
AB : A is és B is bekövetkezik
AB : A bekövetkezik, de B nem
A ¯ : A nem következik be (az A esemény ellentettje, komplementere)
Ha AB=Ø , akkor A és B egymást kizáró események.

Műveleti tulajdonságok:

A+B=B+A
( A+B )+C=A+( B+C )
A( B+C )=AB+AC

A+A=A
A+Ø=A
A+Ω=Ω
A+ A ¯ =Ω

AB=A B ¯
AB=BA
( AB )C=A( BC )
A+BC=( A+B )( A+C )

AA=A
AØ=Ø
AΩ=A
A A ¯ =Ø

de Morgan azonosságok:
A+B ¯ = A ¯ B ¯
AB ¯ = A ¯ + B ¯

Az eseményalgebra az Ω eseménytér olyan G részhalmaza, amelyre

1.ha AG , akkor A ¯ G
2.ha A,BG , akkor A+BG
3.ha A 1 , A 2 ,...G , akkor A 1 + A 2 +...G
Kidolgozott feladatok

18.1. Kirándulni megyünk a hétvégén. Legyen az A esemény az, hogy esni fog az eső, B pedig, hogy vonattal megyünk. Értelmezzük a következő eseményeket: AB , A ¯ B ¯ , A+B ¯ , AB ¯ , AB !

Megoldás:
AB : Esni fog az eső, és vonattal megyünk.
A ¯ B ¯ : Nem fog esni az eső és nem vonattal megyünk.
A+B ¯ : A de Morgan azonosság szerint A+B ¯ = A ¯ B ¯ , vagyis ez megegyezik az előzővel.
AB ¯ : A de Morgan azonosság szerint AB ¯ = A ¯ + B ¯ , vagyis a nem fog esni az eső és a nem vonattal megyünk események közül legalább az egyik bekövetkezik. (Tipikus hibás válasz: nem fog esni az eső és nem vonattal megyünk.)
AB : AB=A B ¯ , vagyis esni fog, de nem vonattal megyünk.

18.2. Kockával dobunk kétszer egymás után. Jelentse A azt az eseményt, hogy az első dobás eredménye páros, B pedig azt, hogy a második páros. Fejezzük ki A és B segítségével az alábbiakat:

a)a dobott számok összege páros
b)a dobott számok szorzata páros
c)a dobott számok különbsége páratlan
d)a dobott számok szorzata páratlan
e)a dobott számok összege páratlan

Megoldás:
a) A dobott számok összege úgy lehet páros, ha vagy mindkettő páros ( AB ), vagy mindkettő páratlan ( A ¯ B ¯ ), tehát az összeg páros: AB+ A ¯ B ¯ .

b) A szorzat úgy lehet páros, ha valamelyik tényező páros: A+B .

c) A különbség úgy lehet páratlan, ha az egyik páros, a másik pedig páratlan. Az első páros, a második páratlan: A B ¯ ;  az első páratlan, a második páros: A ¯ B . A kettő közül valamelyiknek teljesülnie kell ahhoz, hogy a különbség páratlan legyen, tehát: A B ¯ + A ¯ B .

d) A szorzat akkor lesz páratlan, ha mindkettő páratlan, tehát: A ¯ B ¯ .

e) Az összeg akkor lesz páratlan, ha egyik páros, a másik páratlan, tehát ugyanúgy, mint a c. pontban: A B ¯ + A ¯ B .

Másképpen: ez az a. feladat ellentettje, vagyis AB+ A ¯ B ¯ ¯ . A de Morgan azonosság alapján:
AB+ A ¯ B ¯ ¯ = AB ¯ A ¯ B ¯ ¯ =( A ¯ + B ¯ )( A+B )=A A ¯ + A ¯ B+ B ¯ A+ B ¯ B= A ¯ B+ B ¯ A , mivel A A ¯ és B B ¯ lehetetlen esemény.

18.3. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre: ( AC )( BC )=ABC !

Megoldás: Alakítsuk át mindkét oldalt!
Bal oldal: ( AC )( BC )=( A C ¯ )( B C ¯ )=AB C ¯
Jobb oldal: ABC=AB C ¯
Azonos átalakításokkal mindkét oldalra ugyanazt az eredményt kaptuk, tehát ezzel igazoltuk az egyenlőséget.

18.4. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C, D eseményekre: AB+CD ¯ =( A ¯ + B ¯ )( C ¯ + D ¯ ) !

Megoldás: A bal oldalt a de Morgan azonosság felhasználásával átalakítjuk: AB+CD ¯ = AB ¯ CD ¯ =( A ¯ + B ¯ )( C ¯ + D ¯ ) . Ezzel igazoltuk az egyenlőséget.

18.5. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, eseményekre: ( A+B )( A+ B ¯ )( A ¯ +B )( A ¯ + B ¯ )=Ø !

Megoldás:
( AA+A B ¯ +AB+B B ¯ )( A ¯ A ¯ + A ¯ B ¯ + A ¯ B+B B ¯ )= ( A+A( B ¯ +B )+Ø )( A ¯ + A ¯ ( B ¯ +B )+Ø )= ( A+A )( A ¯ + A ¯ )=A A ¯ =Ø
Ezzel az egyenlőséget igazoltuk.

18.6. Egy irodában több telefon is van. Tekintsük a következő eseményeket:

A: minden készülék jó;
B: van rossz készülék.

Értelmezzük az alábbi eseményeket:

a) A+B
b) AB
c) A ¯
d) B ¯

Megoldás:
a) Definíció szerint az A+B esemény jelentése az, hogy A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Mivel a "minden készülék jó" és a "van rossz készülék" események közül az egyik mindig fennáll, ezért A+B=Ω (biztos esemény).

b) AB jelentése: A és B közül mindegyik bekövetkezik. Vagyis itt annak kellene teljesülni, hogy egyrészt minden készülék jó, másrészt van rossz készülék is. E kettő természetesen kizárja egymást, így AB=Ø .

c) A ¯ az az esemény, ami akkor következik be, amikor A nem következik be. Vigyázzunk a "minden készülék jó" esemény ellentettje (komplementere) nem a "minden készlék rossz" esemény, hanem a "van rossz készülék" esemény lesz. (Gondoljunk bele A ¯ jelentésébe!) Így A ¯ =B .

d) B ¯ jelentése: nem következik be a "van rossz készülék" esemény. Ezek szerint nincs rossz készülék, vagyis minden készülék jó. Tehát most B ¯ =A .

18.7. Egy pénzérmét háromszor egymás után feldobunk. Tekintsük a következő eseményeket:

A: csak fejet dobunk;
B: egy fej és két írás lesz;
C: két fej és egy írás lesz.

Fejezzük ki A, B és C esemény segítségével a "csak írás lesz" eseményt!

Megoldás: Vezessük be a következő jelölést:

D: csak írást dobunk.

Tipikus rossz megoldás:

A: csak fejet dobunk, tehát A ¯ : csak írást dobunk.

Az A esemény ellentettje (komplementere) az az esemény, amely akkor következik be, ha A nem következik be.
Mikor fordul elő, hogy nem következik be a "csak fejet dobunk"?
Ha mindhárom dobás eredménye írás, vagy két írás - egy fej, vagy két fej - egy írás dobásunk van. Vagyis A ¯ =D+B+C=D+( B+C ) .
Ebből, mivel A, D, B, C egymást kizáró események: D= A ¯ ( B+C ) . (Vagyis azokból az eseményekből, ahol nem teljesül, hogy csak fejet dobunk, elhagyjuk azokat, amikor egy fej - két írást, illetve két fej - egy írást dobunk. Marad a csak írást dobunk esemény.

18.8. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B eseményekre A( AB )=B( BA ) !

Megoldás: Használjuk az alábbi összefüggést (lásd elméleti összefoglaló): AB=A B ¯ .
Ezzel az egyenlőség bal oldala: AA B ¯ .
Hasonló elven átalakítható az egyenlőség jobb oldala is, csak most A és B szerepe felcserélődik: B( BA )=BB A ¯ .
Ezzel az egyenlőség: AA B ¯ =BB A ¯ .
Mindkét oldalon különbség áll, alakítsuk az oldalakat a már felhasznált azonosság ismételt alkalmazásával:
AA B ¯ =A A B ¯ ¯
BB A ¯ =B B A ¯ ¯

Használjuk fel a de Morgan azonosságokat:
A B ¯ ¯ = A ¯ + B ¯ ¯ = A ¯ +B
B A ¯ ¯ = B ¯ + A ¯ ¯ = B ¯ +A

Ezzel az egyenlőség:
A( A ¯ +B )=B( B ¯ +A )
A A ¯ +AB=B B ¯ +BA
Mivel A A ¯ =Ø , illetve B B ¯ =Ø , továbbá AB=BA , ezért a két oldal megegyezik.
A bizonyítás során csak ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az eredeti egyenlőség is fennáll, tehát az állítást igazoltuk.

Ellenőrző feladatok

1. feladat

Egy szervizbe három készüléket visznek. Jelentse B1 azt, hogy az első javíthatatlan; B2 azt, hogy a második; B3 pedig azt, hogy a harmadik. Mit jelent B 1 B 2 B 3 ?
Mindhárom javíthatatlan.
Van köztük javíthatatlan.
Nincs köztük javíthatatlan.
Mindhárom készlék jó.

2. feladat

Mit jelent B 1 ¯ B 2 B 3 ?
Legalább egy javíthatatlan.
Legalább az 1. javítható.
Az 1. javítható, a másik kettő nem.
Legalább egy javítható.

3. feladat

Fejezzük ki a következőt: az 1. és a 2. javítható, a harmadik nem!
B 1 + B 2 + B 3 ¯
B 1 B 2 ¯ + B 3
B 1 ¯ + B 2 ¯ + B 3
B 1 ¯ B 2 ¯ B 3

4. feladat

Fejezzük ki a következőt: van köztük javítható!
B 1 ¯ B 2 ¯ B 3 ¯
B 1 + B 2 + B 3
B 1 ¯ + B 2 ¯ + B 3 ¯
B 1 + B 2 + B 3 ¯

5. feladat

Mit jelent a ( B 1 ¯ + B 1 )( B 2 ¯ + B 2 ) B 3 esemény?
A 3. javíthatatlan.
Lehetetlen esemény.
Biztos esemény.
Az első kettő javítható.

6. feladat

Mit jelent a B 1 ¯ ( B 2 + B 3 ) esemény?
Csak az 1. javítható.
A 2. és a 3. javíthatatlan.
Az 1. javítható, de a 2. és a 3. közül legalább az egyik nem.
Az 1. javítható, de a 2. és a 3. közül az egyik nem.

7. feladat

Írjuk fel a biztos eseményt B1, B2 és B3 segítségével!
( B 1 + B 1 ¯ )( B 2 + B 2 ¯ )( B 3 + B 3 ¯ )
B 1 B 1 ¯ B 2 B 2 ¯ B 3 B 3 ¯
B 1 B 1 ¯ + B 2 B 2 ¯ + B 3 B 3 ¯
Nem lehet felírni a biztos eseményt.

8. feladat

A felsoroltak közül melyik jelent lehetetlen eseményt?
B 1 + B 1 ¯ + B 2 + B 2 ¯ + B 3 + B 3 ¯
B 1 ¯ B 2 + B 2 ¯ B 3 + B 3 ¯ B 1
B 1 B 2 B 3 ¯
B 1 B 1 ¯ + B 2 B 2 ¯ + B 3 B 3 ¯