Tanulási cél: Összetett függvények differenciálása a láncszabály segítségével. Implicit függvények differenciálási módszerének az elsajátítása.
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.5. és 2.6. fejezetek
Elméleti összefoglaló
A láncszabály
Tétel. (Láncszabály.)
Legyenek differenciálható függvények és egy olyan -változós függvény, melyre és differenciálható a pontokban. Ekkor a
formulával képzett összetett függvény is differenciálható és
Implicit függvény differenciálása
Tétel. (Implicit függvény differenciálása.) Tegyük fel, hogy az
egy
implicit alakban megadott egyváltozós függvény. Ekkor, ha a kétváltozós függvény differenciálható az pontban és , akkor az is differenciálható az pontban és
Kidolgozott feladatok
12.1. Legyen
és
.
Határozzuk meg a
összetett függvény deriváltját a helyen!
Megoldás.
és
Ezért
Így
12.2. Legyen
és
.
Határozzuk meg a
összetett függvény deriváltját a helyen!
Megoldás.
és
Ezért
Így
12.3. Legyen
és
.
Határozzuk meg a
összetett függvény deriváltját a helyen!
Megoldás.
és
Ezért
Így
12.4. Határozzuk meg az
implicit alakban megadott függvény deriváltját az helyen!
Megoldás. Esetünkben
és
Az értéket az
azonosságból határozzuk meg. Innen azt kapjuk, hogy
,
azaz az implicit függvényes megadás két explicit függvényhez is tartozik. Az egyik esetben a és
a másik esetben pedig és
12.5. Határozzuk meg az
implicit alakban megadott függvény deriváltját!
Megoldás. Esetünkben
és
12.6. Határozzuk meg az
implicit alakban megadott függvény deriváltját!
Megoldás. Esetünkben
és
Ellenőrző kérdések
1. feladat
Legyen
és
.
Határozzuk meg a
összetett függvény deriváltját a helyen!
2. feladat
Legyen
és
.
Határozzuk meg a
összetett függvény deriváltját a helyen!
3. feladat
Legyen
és
.
Határozzuk meg a
összetett függvény deriváltját a helyen!
4. feladat
Határozzuk meg az
implicit alakban megadott függvény deriváltját az helyen!