KURZUS: Matematika II.

MODUL: Többváltozós függvények

11. lecke Többváltozós függvény differenciálszámítása, az iránymenti derivált, a parciális derivált és a gradiens

Tanulási cél. Az iránymenti derivált, a parciális derivált és a gradiens fogalmának megismerése, kiszámításának begyakorlása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.3. fejezet

Elméleti összefoglaló

Definíció. Az a ¯ +t v ¯ ,( tIR ) pontok halmazát, ahol a ¯ , v ¯ I R n az a ¯ ponton átmenő v ¯ irányvektorú egyenesnek nevezzük.

Definíció. Legyen f: D f IR D f I R n egy adott függvény, a ¯ D f egy adott pont és tegyük fel, hogy megadható olyan r>0 , hogy K r ( a ¯ ) D f . Vegyünk fel az a ¯ ponton keresztül egy egyenest, amelynek az irányvektora a v ¯ egységvektor és paramétere t. Ekkor a

lim t0 f( a ¯ +t v ¯ )f( a ¯ ) t

határértéket, amennyiben létezik és véges, az f függvény a ¯ helyen vett v ¯ irányú iránymenti deriváltjának nevezzük és D v ¯ f( a ¯ ) -val jelöljük. ( D v ¯ f( a ¯ )= lim t0 f( a ¯ +t v ¯ )f( a ¯ ) t IR )

Az a ¯ =( a 1 , a 2 ) ponton átmenő v ¯ =( v 1 , v 2 ) irányvektorú egyenes.

Definíció. Az f függvény a ¯ helyen vett e ¯ i irányú D e ¯ i f( a ¯ ) iránymenti deriváltját az f függvény a ¯ helyen vett i-edik változó szerinti parciális deriváltjának is nevezzük és f( a ¯ ) x i , x i f( a ¯ ) vagy i f( a ¯ ) -val jelöljük.

Megjegyzés. Az iránymenti derivált nem más, mint az f adott a ¯ ponton áthaladó v ¯ 0 ¯ irányra történő leszűkítésével keletkező egyváltozós g( t )=f( a ¯ +t v ¯ ) függvény közönséges (egyváltozós) deriváltja a t=0 helyen.

Emlékeztetünk az egyváltozós függvények pontbeli deriválhatóságának egy ekvivalens átfogalmazására:

f ( a )= lim xa f( x )f( a ) xa lim xa f( x )f( a ) f ( a )( xa ) xa =0 lim xa | f( x )f( a ) f ( a )( xa ) | | xa | =0.

Az egyváltozós függvények deriválhatóságának ez utóbbi alakja általánosítható a többváltozós esetre.

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: D f IR D f I R n függvény differenciálható az a ¯ D f pontban és a deriváltja a Df ( a ¯ ) T I R n sorvektor, ha megadható olyan r>0 , hogy K r ( a ¯ ) D f és

lim x ¯ a ¯ | f( x ¯ )f( a ¯ )Df( a ¯ )( x ¯ a ¯ ) | x ¯ a ¯ =0 ,

ahol

Df( a ¯ )( x ¯ a ¯ )=( d 1 , d 2 ,, d n )( x 1 a 1 x 2 a 2 x n a n )= i=1 n d i ( x i a i ) .

A Df( a ¯ ) vektort az f függvény a ¯ helyhez tartozó gradiens vektorának is nevezzük és f( a ¯ ) , illetve gradf( a ¯ ) -val is jelöljük.

Tétel. Ha az f: D f IR D f I R n függvény differenciálható az a ¯ D f helyen, akkor

Df( a ¯ )=( x 1 f( a ¯ ), x 2 f( a ¯ ),, x n f( a ¯ ) ).

Tétel. Ha az f: D f IR D f I R n függvény differenciálható az a ¯ D f helyen, akkor bármely v ¯ =( v 1 ,, v n ) 0 ¯ irányú iránymenti deriváltja is létezik és

D v ¯ f( a ¯ )=Df( a ¯ ) v ¯ v ¯ = i=1 n x i f( a ¯ ) v i v ¯ = 1 v ¯ i=1 n x i f( a ¯ ) v i

módon számítható, ahol v ¯ = v 1 2 + v 2 2 ++ v n 2 a v ¯ vektor hossza.

Kidolgozott feladatok

11.1. Határozzuk meg az alábbi függvények parciális deriváltjait!

a) f( x,y )= x 2 3xy+ y 3 ( x,y )I R 2 ,
b) f( x,y )=sin( x )+ln( x )cos( y ) , ( x,y )( 0, )×IR ,
c) f( x,y )= e cos2y x ( x,y )I R 2 ,
d) f( x,y )= ( arcsinx ) y , ( x,y )( 0,1 ]×IR ,
e) f( x,y,z )= ( x+1 ) 2 + ( y+2 ) 2 + ( z+3 ) 2 ( x,y,z )I R 3 ,
f) f( x,y,z )= x yz ( x,y,z )( 0, )×IR×IR .

Megoldás.

A f( x,y ) x parciális deriváltat a legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, hogy az y-t állandónak tekintjük és az r( x )= x 2 3xy+ y 3 függvény x változó szerinti deriváltját képezzük. A f( x,y ) y parciális deriváltat ezzel megegyező módon határozhatjuk meg, csak ebben az esetben az x-et kell állandónak tekintenünk és az s( y )= x 2 3xy+ y 3 függvény y változó szerinti deriváltját kell képeznünk.

f( x,y ) x =2x3y, f( x,y ) y =3x+3 y 2 .

b) f( x,y ) x =cos( x )+ cos( y ) x , f( x,y ) y =ln( x )sin( y ).
c) f( x,y ) x = e cos( 2y ) , f( x,y ) y =2xsin( 2y ) e cos( 2y ) .
d) f( x,y ) x = y ( arcsinx ) y1 1 x 2 , f( x,y ) y = ( arcsinx ) y ln( arcsinx ).
e) f( x,y,z ) x = x+1 ( x+1 ) 2 + ( y+2 ) 2 + ( z+3 ) 2 , f( x,y,z ) y = y+2 ( x+1 ) 2 + ( y+2 ) 2 + ( z+3 ) 3 , f( x,y,z ) z = z+3 ( x+1 ) 2 + ( y+2 ) 2 + ( z+3 ) 2 .
f) f( x,y,z ) x =yz x yz1 , f( x,y,z ) y =z x yz ln( x ), f( x,y,z ) z =y x yz ln( x ).

11.3. Határozzuk meg az alábbi függvények iránymenti deriváltját az adott v ¯ irányvektorú egyenes mentén az adott P 0 pontban!

a) f( x,y )=( x 2 1 )y , ( x,y )I R 2 , v ¯ =( 1 2 , 1 6 ), P 0 ( 5,1 ) ,
b) f( x,y )= 3 x 2 +5 y 2 +1 , ( x,y )I R 2 , v ¯ =( 2 2 , 2 2 ), P 0 ( 1,1 ) ,
c) f( x,y )= x 2y ( x,y )( 0,+ )×IR , v ¯ =( 1, 3 ), P 0 ( 1,1 ) ,
d) f( x,y )=arctg( y x ) ( x,y )( IR\{ 0 } )×IR , v ¯ =( 3 ,1 ), P 0 ( 1,1 ) .

Megoldás.
a)

f( x,y ) x =2xy f( 5,1 ) x =10, f( x,y ) y = x 2 1 f( 5,1 ) y =24,

Df( 5,1 )=( f( 5,1 ) x , f( 5,1 ) y )=( 10 , 24 ) .

A v ¯ irányú egységvektor

v ¯ e = v ¯ v ¯ = 1 v 1 2 + v 2 2 v ¯ = 1 ( 1 2 ) 2 + ( 1 6 ) 2 ( 1 2 1 6 )=( 3 10 1 10 ) ,

ezért

D v ¯ f( 5,1 )=Df( 5,1 ) v ¯ = e ( 10,24 )( 3 10 1 10 )= 6 10

b)

f( x,y ) x = 3x 3 x 2 +5 y 2 +1 f( 1,1 ) x =1, f( x,y ) y = 5y 3 x 2 +5 y 2 +1 f( 1,1 ) y = 5 3 ,

Df( 1,1 )=( f( 1,1 ) x , f( 1,1 ) y )=( 1 , 5 3 )

A v ¯ irányú egységvektor

v ¯ e = v ¯ v ¯ = 1 v 1 2 + v 2 2 v ¯ = 1 ( 2 2 ) 2 + ( 2 2 ) 2 ( 2 2 2 2 )=( 2 2 2 2 ),

ezért

D v ¯ f( 1,1 )=Df( 1,1 ) v ¯ = e ( 1, 5 3 )( 2 2 2 2 )= 2 3 .

c)

f( x,y ) x =2y x 2y1 f( 1,1 ) x =2, f( x,y ) y =2 x 2y ln( x ) f( 1,1 ) y =0,

Df( 1,1 )=( f( 1,1 ) x , f( 1,1 ) y )=( 2 , 0 )

A v ¯ irányú egységvektor

v ¯ e = v ¯ v ¯ = 1 v 1 2 + v 2 2 v ¯ = 1 1 2 + ( 3 ) 2 ( 1 3 )=( 1 2 3 2 ),

ezért

D v ¯ f( 1,1 )=Df( 1,1 ) v ¯ = e ( 2,0 )( 1 2 3 2 )=1.

d)

f( x,y ) x = 1 1+ y 2 x 2 ( y x 2 )= y x 2 + y 2 f( 1,1 ) x = 1 2 , f( x,y ) y = 1 1+ y 2 x 2 1 x = x x 2 + y 2 f( 1,1 ) y = 1 2 ,

Df( 1,1 )=( f( 1,1 ) x , f( 1,1 ) y )=( 1 2 , 1 2 )

A v ¯ irányú egységvektor

v ¯ e = v ¯ v ¯ = 1 v 1 2 + v 2 2 v ¯ = 1 ( 3 ) 2 + 1 2 ( 3 1 )=( 3 2 1 2 ),

ezért

D v ¯ f( 1,1 )=Df( 1,1 ) v ¯ = e ( 1 2 , 1 2 )( 3 2 1 2 )= 3 +1 4 .

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )= x 2 y 2 +x y 3 4x+3y, ( x,y )I R 2

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y ) x =2x y 2 + y 3 +3, f( x,y ) y =2 x 2 y+3x y 2 4.
f( x,y ) x =2x y 2 + y 3 4, f( x,y ) y =2 x 2 y+3x y 2 +3.
f( x,y ) x =2 x 2 y+ y 3 4, f( x,y ) y =2 x 2 y+3x y 2 +3.
f( x,y ) x =2x y 2 + y 3 4, f( x,y ) y =2x y 2 +3x y 2 +3.

2. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )=y e x y 2 .sin( x ), ( x,y )I R 2

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y ) x =y e x y 2 cos( x ), f( x,y ) y = e x 2ysin( x ).
f( x,y ) x =y e x + y 2 cos( x ), f( x,y ) y = e x 2ysin( x ).
f( x,y ) x =y e x y 2 cos( x ), f( x,y ) y = e x 2ycos( x ).
f( x,y ) x =y e x 2ycos( x ), f( x,y ) y = e x y 2 sin( x ).

3. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )=ln( x )arctg( y )+ ln 2 ( y ), ( x,y )( 0, )×( 0, )

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y ) x = arctg( y ) x , f( x,y ) y = ln( x ) 1+ y 2 + ln( 2y ) y .
f( x,y ) x = arctg( y ) x , f( x,y ) y = ln( x ) 1+ y 2 + 2ln( y ) y .
f( x,y ) x = arctg( y ) x , f( x,y ) y = ln( x ) cos 2 ( y ) + 2ln( y ) y .
f( x,y ) x = arctg( x ) y , f( x,y ) y = ln( x ) 1+ y 2 + 2ln( y ) y .

4. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )= x y y x , ( x,y )( 1, )×( 1, )

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y ) x =y x y1 y x + x y y x ln( x ), f( x,y ) y = x y y x ln( x )+ x y x y x1 .
f( x,y ) x =y x y1 y x + x y y x ln( y ), f( x,y ) y = x y y x ln( y )+ x y x y x1 .
f( x,y ) x =y x y1 y x + x y y x ln( y ), f( x,y ) y = x y y x ln( x )+ x y x y x1 .
f( x,y ) x =y x y1 y x ln( y ), f( x,y ) y = x y ln( x )x y x1 .

5. feladat

Határozzuk meg az

f(x,y,z)= e ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( x,y,z )I R 3

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y,z ) x =2x e ( x 2 + y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) y =2y e ( x 2 + y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) z =2z e ( x 2 + y 2 + z 2 ) .
f( x,y,z ) x =2x e ( y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) y =2y e ( x 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) z =2z e ( x 2 + y 2 ) .
f( x,y,z ) x =2x e ( x 2 + y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) y =2y e ( x 2 + y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) z =2z e ( x 2 + y 2 + z 2 ) .
f( x,y,z ) x =2x e ( x 2 + y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) y =2y e ( x 2 + y 2 + z 2 ) , f( x,y,z ) z =2z e ( x 2 + y 2 + z 2 ) .

6. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y,z )= x 3 + y 3 + z 3 3 , ( x,y,z )I R 3

függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
f( x,y,z ) x = x 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) y = y 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) z = z 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 .
f( x,y,z ) x = x 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) y = y 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) z = z 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 .
f( x,y,z ) x = 3 x 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) y = 3 y 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) z = 3 z 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 .
f( x,y,z ) x = x 2 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) y = y 2 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 , f( x,y,z ) z = z 2 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 2 3 .

7. feladat

Határozzuk meg a függvény iránymenti deriváltját az adott v ¯ irányvektorú egyenes mentén az adott P 0 pontban!
f( x,y )= x 2 +3xy y 3 , ( x,y )I R 2 , v ¯ =( 1,1 ), P 0 ( 2,1 ) .
2 2 .
3 2 .
2 .
2 2 .

8. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )=x e y y e x , ( x,y )I R 2

függvény iránymenti deriváltját az adott v ¯ =( 5,2 ) irányvektorú egyenes mentén az adott P 0 ( 0,0 ) pontban!
3 29 .
9 23 .
3 29 .
0.

9. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )= x 2 ln( y ) , ( x,y )IR×( 0, ) ,

függvény iránymenti deriváltját az adott v ¯ =( 1,1 ) irányvektorú egyenes mentén az adott P 0 ( 1,2 ) pontban!
2 ( ln( 2 ) 1 4 ).
2 ( ln( 2 )+ 1 4 ).
2 ( ln( 2 ) 1 2 ).
2 ( ln( 2 )+ 1 2 ).

10. feladat

Határozzuk meg az

f( x,y )=ln x 2 + y 2 +1 , ( x,y )I R 2 ,

függvény v ¯ =( 1, 3 ) irányú iránymenti deriváltját a P 0 ( 2,2 ) pontban!
1 9 ( 1+ 2 ).
1 9 ( 1+ 3 ).
1 9 ( 1 3 ).
1 3 ( 1+ 3 ).