13. lecke: Magasabb rendű deriváltak és a Hesse-mátrix
Tanulási cél: A Hesse-mátrix megismerése. Magasabb rendű deriváltak kiszámítása és a Hesse-mátrix előállítása.
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.3. fejezet
Elméleti összefoglaló
Definíció. Azt mondjuk, hogy az , függvény kétszer differenciálható az pontban, ha megadható olyan , hogy környezete az -nak, hogy és differenciálható a pontjaiban, valamint a
parciális derivált függvények differenciálhatók az pontban.
Az függvény helyen vett másodrendű deriváltja ekkor a
Hesse-mátrix
Tétel. Ha az függvény kétszer differenciálható az helyen, akkor az helyen vett másodrendű deriválja szimmetrikus mátrix, azaz
.
Kidolgozott feladatok
13.1. Határozzuk meg a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait!
a)
, ,
b)
, .
Megoldás.
a) Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat:
A másodrendű parciális deriváltak:
b) Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat:
A másodrendű parciális deriváltak:
13.2. Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát!
, .
Megoldás. Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat:
A Hesse-mátrix
1.3. Állítsuk elő az , függvény parciális deriváltját!
Megoldás.
, ,
és
.
1.4. Határozzuk meg a függvény Hesse-mátrixát az helyen!
a)
, ,
b)
, .
Megoldás.
a) Elsőrendű parciális deriváltak:
Másodrendű deriváltak mátrixa:
és a Hesse-mátrix az helyen
b) Elsőrendű parciális deriváltak:
Másodrendű deriváltak mátrixa:
és a Hesse-mátrix az helyen
Ellenőrző kérdések
1. feladat
Határozzuk meg a következő függvény másodrendű parciális deriváltjait! , .
2. feladat
Határozzuk meg a következő függvény másodrendű parciális deriváltjait! , .
3. feladat
Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát!
, .
4. feladat
Állítsa elő az
,
függvény parciális deriváltját!
5. feladat
Állítsa elő a függvény Hesse-mátrixát az helyen! , .