KURZUS: Matematika II.
19. lecke: Valószínűségek meghatározása
| Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.3., 4.4. fejezet |
Elméleti összefoglaló |
A valószínűség-számítás axiómái a következők: |
1. | Az adott eseménytér minden egyes A eseményéhez tartozik egy 0 és 1 közé eső szám, azaz , amelyet az A esemény valószínűségének (valószínűségimértékének) nevezünk. | 2. | A biztos esemény valószínűsége 1, azaz . | 3. | Az egymást páronként kizáró események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségének összegével egyenlő, azaz ha az események esetén ha , akkor . (Ezt a tulajdonságot -additivitásnak nevezzük.) |
|
Az A esemény ellentettjének valószínűsége . |
Események egy összességét teljeseseményrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizárják egymást és az összegük a biztos esemény, azaz az események teljes eseményrendszert alkotnak, ha (ha ) és . |
Ha az események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor a valószínűségük összege 1, vagyis . |
Az A és B események különbségének valószínűsége . |
Ha , akkor . |
Az A és B események összegének valószínűsége . |
Kidolgozott feladatok |
19.1. Legyen A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,5, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,3. Határozzuk meg az alábbiakat: |
a) | | b) | | c) | | d) | | e) | | f) | | g) | |
|
Megoldás: A megoldás során az elméleti összefoglalóban leírtakat fogjuk alkalmazni. |
a) |
b) |
c) |
d) |
e) használjuk fel az előző leckében megismert de Morgan-féle összefüggést: , továbbá alkalmazzuk az a) kérdésben felhasznált tételt: |
f) A megoldás menete ugyanaz, mint a b) pontban, csak A helyett -t kell írni: . Az a) pont alapján , értéke ismert: 0,5, már csak -t kell meghatározni. Ehhez írjuk fel a B eseményt egy kicsit másképp (lásd előző lecke). Vagyis a B esemény valószínűsége: . Ebből Másképp is megkaphatjuk ezt az eredményt: , vagyis , mint láttuk a d) pontban. Vagyis a kérdéses valószínűség: . |
g) Az f) pont alapján ez már egyszerű: (lásd c) pont) |
19.2. Legyen , és , . Határozzuk meg az alábbiakat: |
a) | | b) | | c) | | d) | |
|
Megoldás: |
a) Mivel , ezért az esemény valószínűsége maga a B esemény lesz. Így . |
b) Az előzőhöz hasonlóan, mivel , ezért , így . |
c) |
d) Másképp: az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem. Mivel tudjuk, hogy , ezért ha B bekövetkezik, akkor A is. Vagyis az az esemény, amikor B bekövetkezik, de A nem, a lehetetlen esemény, amelynek valószínűsége 0. |
Ellenőrző kérdések |
| 1. feladat |
Legyen , és . Ekkor |
2. feladat |
Legyen , és . Ekkor |
3. feladat |
Legyen az A esemény valószínűsége 0,6, a B esemény valószínűsége 0,4, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,2. Ekkor |
4. feladat |
Legyen az A esemény valószínűsége 0,7, a B esemény valószínűsége 0,7, az együttes bekövetkezés valószínűsége pedig 0,6. Ekkor |
5. feladat |
Legyen , és . Ekkor |
6. feladat |
Legyen az A esemény valószínűsége 0,2, a B esemény valószínűsége 0,6, és teljesüljön, hogy . Ekkor |
7. feladat |
Legyen . Ekkor |
8. feladat |
Legyen . Ekkor biztosan igaz, hogy |
9. feladat |
Ha az A és B eseményekre , akkor biztosan igaz, hogy |
10. feladat |
Ha az A, B, C események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor |