11. lecke Többváltozós függvény differenciálszámítása, az iránymenti derivált, a parciális derivált és a gradiens
Tanulási cél. Az iránymenti derivált, a parciális derivált és a gradiens fogalmának megismerése, kiszámításának begyakorlása.
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.3. fejezet
Elméleti összefoglaló
Definíció. Az pontok halmazát, ahol az ponton átmenő irányvektorú egyenesnek nevezzük.
Definíció. Legyen , egy adott függvény, egy adott pont és tegyük fel, hogy megadható olyan , hogy . Vegyünk fel az ponton keresztül egy egyenest, amelynek az irányvektora a egységvektor és paramétere . Ekkor a
határértéket, amennyiben létezik és véges, az függvény helyen vett irányú iránymenti deriváltjának nevezzük és -val jelöljük. ()
Az ponton átmenő irányvektorú egyenes.
Definíció. Az függvény helyen vett irányú iránymenti deriváltját az függvény helyen vett i-edik változó szerinti parciális deriváltjának is nevezzük és vagy -val jelöljük.
Megjegyzés. Az iránymenti derivált nem más, mint az adott ponton áthaladó irányra történő leszűkítésével keletkező egyváltozós függvény közönséges (egyváltozós) deriváltja a helyen.
Emlékeztetünk az egyváltozós függvények pontbeli deriválhatóságának egy ekvivalens átfogalmazására:
Az egyváltozós függvények deriválhatóságának ez utóbbi alakja általánosítható a többváltozós esetre.
Definíció. Azt mondjuk, hogy az , függvény differenciálható az pontban és a deriváltja a sorvektor, ha megadható olyan , hogy és
,
ahol
.
A vektort az függvény helyhez tartozó gradiens vektorának is nevezzük és , illetve -val is jelöljük.
Tétel. Ha az , függvény differenciálható az helyen, akkor
Tétel. Ha az , függvény differenciálható az helyen, akkor bármely irányú iránymenti deriváltja is létezik és
módon számítható, ahol a vektor hossza.
Kidolgozott feladatok
11.1. Határozzuk meg az alábbi függvények parciális deriváltjait!
a)
, ,
b)
, ,
c)
, ,
d)
, ,
e)
, ,
f)
, .
Megoldás.
A parciális deriváltat a legegyszerűbben úgy határozhatjuk meg, hogy az -t állandónak tekintjük és az függvény változó szerinti deriváltját képezzük. A parciális deriváltat ezzel megegyező módon határozhatjuk meg, csak ebben az esetben az -et kell állandónak tekintenünk és az függvény változó szerinti deriváltját kell képeznünk.
b)
c)
d)
e)
f)
11.3. Határozzuk meg az alábbi függvények iránymenti deriváltját az adott irányvektorú egyenes mentén az adott pontban!
a)
, , ,
b)
, , ,
c)
, , ,
d)
, , .
Megoldás. a)
.
A irányú egységvektor
,
ezért
b)
A irányú egységvektor
ezért
c)
A irányú egységvektor
ezért
d)
A irányú egységvektor
ezért
Ellenőrző kérdések
1. feladat
Határozzuk meg az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
2. feladat
Határozzuk meg az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
3. feladat
Határozzuk meg az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
4. feladat
Határozzuk meg az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
5. feladat
Határozzuk meg az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
6. feladat
Határozzuk meg az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
7. feladat
Határozzuk meg a függvény iránymenti deriváltját az adott irányvektorú egyenes mentén az adott pontban! , , .
8. feladat
Határozzuk meg az
,
függvény iránymenti deriváltját az adott irányvektorú egyenes mentén az adott pontban!
9. feladat
Határozzuk meg az
, ,
függvény iránymenti deriváltját az adott irányvektorú egyenes mentén az adott pontban!