KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
25. lecke: A sűrűségfüggvény
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.9. fejezet | |||||||||||||
Elméleti összefoglaló | |||||||||||||
Egy valószínűségi változót folytonoseloszlásúnak mondunk, ha az eloszlásfüggvénye integrálfüggvény, azaz van olyan függvény, amelyre | |||||||||||||
Ezt az függvényt a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. | |||||||||||||
Tetszőleges folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: | |||||||||||||
| |||||||||||||
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||
25.1. Határozzuk meg az alábbi eloszlásfüggvényekkel rendelkező valószínűségi változók sűrűségfüggvényeit: | |||||||||||||
| |||||||||||||
Megoldás: Mindkét esetben azt használjuk fel, hogy a sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény deriváltja, azaz . Azt kell szem előtt tartani, hogy az egyes részintervallumokon mi az F(x) függvény. | |||||||||||||
a) Az eloszlásfüggvény 3-nál kisebb, illetve 4-nél nagyobb x-ek setén konstans, tehát ekkor a deriváltja nulla. A két érték között , ennek deriváltja pedig . Így a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . | |||||||||||||
b) Most az eloszlásfüggvény esetén konstans, tehát a deriváltja 0. 2-nél nagyobb x-ek esetén , ennek deriváltja . Így a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . | |||||||||||||
25.2. Adott a következő függvény: . Mennyi legyen az "a" paraméter értéke, hogy f(x) egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen? | |||||||||||||
Megoldás: Az f(x) függvény akkor lesz sűrűségfüggvény, ha teljesül rá a következő két tulajdonság: minden valós x esetén, és . | |||||||||||||
Az első tulajdonság miatt . A második tulajdonság: , mivel elég azon az intervallumon integrálni, ahol f(x) nem nulla. Azt szeretnénk, hogy f(x) sűrűségfüggvény legyen, vagyis az egyenlőségnek kell teljesülni, ebből pedig "a" paraméter értéke meghatározható: | |||||||||||||
Ebből pedig következik. | |||||||||||||
25.3. Adott a következő . Mennyi legyen az "a" paraméter értéke, hogy f(x) egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen? | |||||||||||||
Megoldás: A feladat abban tér el az előzőtől, hogy nem egy határozott, hanem egy impropius integrál kiszámítását igényli. | |||||||||||||
Mivel kell, hogy teljesüljön, ezért . Másrészt teljesülnie kell az egyenlőségnek is. Most is elég ott integrálni, ahol f(x) nem nulla, tehát . Az "a" paraméter az egyenlőségből határozható meg: . Ebből pedig következik. | |||||||||||||
25.4. A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . | |||||||||||||
| |||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||
a) Az előző feladatok alapján nyilvánvaló, hogy az és az tulajdonságokat kell ellenőriznünk. esetén értelmezett (pozitív x-ek), értéke pozitív, így . A másik tulajdonság vizsgálatánál most is elég ott integrálni, ahol f(x) nullától különböző, tehát | |||||||||||||
b) A sűrűségfüggvény tulajdonságai alapján: | |||||||||||||
25.5. Legyen valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . | |||||||||||||
| |||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||
a) A kapcsolatot az eloszlás- és sűrűségfüggvény között a következőképpen is felírhatjuk: . Ebből következően ha , akkor . Ha , akkor pedig . | |||||||||||||
b) A valószínűség a sűrűségfüggvényből és az eloszlásfüggvényből is felírható: vagy . | |||||||||||||
25.6. Legyen valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . Tudjuk, hogy . Határozzuk meg az paraméter értékét! | |||||||||||||
Megoldás: Megoldandó az egyenlet. | |||||||||||||
25.7. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . | |||||||||||||
| |||||||||||||
Megoldás: | |||||||||||||
a) Ha , akkor , tehát teljesül. | |||||||||||||
b) | |||||||||||||
25.8. Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . | |||||||||||||
Megoldás: Nyilván . Így . Ebből . | |||||||||||||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Az valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: . Ekkor sűrűségfüggvénye: ![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Mennyi "a" paraméter értéke?
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Az alábbiak közül melyik nem lehet egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? ![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Az alábbiak közül melyik lehet egy valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? ![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor ![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor
![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
Az valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: . Ekkor ![]() | |||||||||
9. feladat | |||||||||
Lehet-e két valószínűségi változó sűrűségfüggvényeinek összege egy harmadik valószínűségi változó sűrűségfüggvénye?
![]() | |||||||||
10. feladat | |||||||||
Az alábbiak közül melyik nem igaz minden sűrűségfüggvényre
![]() |