KURZUS: Matematika II.
MODUL: Többváltozós függvények
14. lecke: Többváltozós függvények lokális szélsőértéke
Tanulási cél: A többváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározására használható módszer begyakorlása. | |||||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.7. fejezet | |||||
Elméleti összefoglaló | |||||
Definíció: Azt mondjuk, hogy az függvénynek az pontban lokális maximuma (minimuma) van, ha létezik olyan , hogy és | |||||
. | |||||
Tétel: (Lokális szélsőérték létezésére vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel.) | |||||
Ha az függvény differenciálható az pontban és itt lokális szélsőértéke van, akkor | |||||
, vagyis . | |||||
Tétel: (Lokális szélsőérték létezésére vonatkozó másodrendű elégséges feltétel.) | |||||
Ha az függvény kétszer folytonosan differenciálható az pontban és , valamint a mátrix pozitív (negatív) definit, akkor az -nek az helyen lokális minimuma (maximuma) van. | |||||
Tétel. (Lokális szélsőérték létezésére vonatkozó másodrendű szükséges feltétel.) | |||||
Ha az függvény kétszer folytonosan differenciálható az pontban és -nek az helyen lokális minimuma (maximuma) van, akkor , valamint a mátrix pozitív (negatív) szemidefinit. | |||||
A tételek alapján, ha a függvénynél a szükséges differenciálhatóságot feltételezzük, és a gyakorlatban ez általában feltételezhető, akkor a szélsőértékek megkeresésére a következő módszer használható. | |||||
| |||||
Kétváltozós függvény esetében, ha az stacionárius pontban a | |||||
, | |||||
akkor van szélsőérték, | |||||
| |||||
Ha , akkor nyeregpont, és ha , akkor módszerünkkel nem tudjuk eldönteni, hogy van-e szélsőérték az pontban. | |||||
Kidolgozott feladatok | |||||
14.1. Határozzuk meg az alábbi függvény lokális szélsőértékeit! | |||||
, . | |||||
Megoldás: A függvénynek értelmezési tartománya az egész sík, és minden pontban mindkét parciális deriváltja létezik. Ezért lokális szélső értéke ott lehet, ahol mindkét parciális deriváltja egyenlő nullával. | |||||
Mivel | |||||
. | |||||
Meg kell keresnünk a | |||||
egyenletrendszer összes megoldását. | |||||
Az első egyenletből . Ezt behelyettesítve a második egyenletbe, kapjuk, hogy | |||||
. | |||||
Ennek két megoldása van: és . Az ezekhez tartozó y értékek, a helyettesítési összefüggésből: és . | |||||
A stacionárius pontok halmaza: . | |||||
Mivel a másodrendű deriváltak: | |||||
, | |||||
. | |||||
Ezt felhasználva | |||||
, itt nincs szélsőérték, hanem nyeregpont van. | |||||
, tehát ez szélsőérték hely. | |||||
Mivel , ez lokális minimum hely, aminek értéke . | |||||
14.2. Keressük meg az | |||||
függvény lokális szélsőértékeit! | |||||
Megoldás: A függvény értelmezett, és parciálisan deriválható az egész síkon, . | |||||
. | |||||
Meg kell keresnünk a | |||||
egyenletrendszer összes megoldását. | |||||
Az első egyenletből , megkapjuk az x értékeit: . | |||||
A második egyenletből , az y értékeit számítjuk ki: | |||||
. | |||||
Mivel az első egyenlet csak x-et, a második egyenlet csak y-t tartalmaz, mindhárom x értékhez mindhárom y értéket párosítanunk kell. Így összesen kilenc stacionárius pontot kapunk: | |||||
Mivel a másodrendű deriváltak: | |||||
, | |||||
. | |||||
Ezt felhasználva | |||||
, itt nincs szélsőérték, hanem nyeregpont van. | |||||
A továbbiakban figyelembe véve, hogy a másodrendű parciális deriváltak és az függvény is x-ben és y-ban is párosak. | |||||
, tehát szélsőérték helyek. | |||||
Mivel , ezek lokális minimum helyek, aminek értéke . | |||||
, tehát szélsőérték helyek. | |||||
Mivel , ezek lokális maximum helyek, aminek értéke . | |||||
, | |||||
tehát nem szélsőérték helyek, hanem nyeregpontok. | |||||
14.3. Határozzuk meg az alábbi függvény lokális szélsőértékeit! | |||||
, . | |||||
Megoldás: A függvénynek értelmezési tartománya az egész sík, és minden pontban mindkét parciális deriváltja létezik. Ezért lokális szélső értéke ott lehet, ahol mindkét parciális deriváltja egyenlő nullával. | |||||
. | |||||
Meg kell keresnünk a | |||||
egyenletrendszer megoldását. | |||||
Az egyenletrendszer megoldása és | |||||
Egy stacionárius pontja van a koordinátájú pont. | |||||
Mivel a másodrendű deriváltak: | |||||
, | |||||
. | |||||
Ezért a pont szélsőérték hely. | |||||
Mivel , ez lokális minimum hely, aminek értéke . | |||||
14.4. Keressük meg az | |||||
függvény lokális szélsőértékeit! | |||||
Megoldás: A függvény értelmezett, és parciálisan deriválható az egész síkon, . | |||||
. | |||||
Meg oldjuk a | |||||
egyenletrendszert. | |||||
Az első egyenlet teljesül, ha , de ekkor a második egyenlet kellene, hogy legyen, de ez lehetetlen. Az x nem lehet nulla, ezért az első egyenletet oszthatjuk -el. Az így kapott egyenletből | |||||
. | |||||
Ezt a második egyenletbe behelyettesítve | |||||
adódik. Mivel , egyszerűsítünk -el, és az egyenlethez jutunk. | |||||
Ennek gyökei és . Az ezekhez tartozó y értékek . A stacionárius halmaz . | |||||
Mivel a másodrendű deriváltak: | |||||
, | |||||
. | |||||
, tehát szélsőérték helyek. | |||||
Mivel , ezek lokális maximum helyek, aminek értéke . | |||||
14.5. Három pozitív szám összege 9. Mekkora lehet a szorzatuk legnagyobb értéke? | |||||
Megoldás: Legyen a három számot x, y és z. Ekkor és szorzat legnagyobb értékét keressük. | |||||
Ha az első összefüggésből kifejezzük a z-t, akkor | |||||
adódik. Ezt beírva a szorzatba | |||||
. | |||||
Tehát feladatunk, hogy megkeressük az | |||||
függvény legnagyobb értékét. | |||||
. | |||||
Megkeressük a | |||||
egyenletrendszer összes, az értelmezési tartományba eső megoldását. | |||||
Az egyenletrendszer megoldása . | |||||
, | |||||
. | |||||
Mivel , és , a stacionárius pont maximum hely. . | |||||
14.6. A 8 dm3 térfogatú téglatestek közül melyiknek a felszíne a legkisebb? | |||||
Megoldás: Jelölje a téglatest éleit x, y és z. Ekkor és a felszíne egyenlő . | |||||
Ha az első összefüggésből kifejezzük a z-t, akkor | |||||
adódik. Ezt beírva a felszín képletébe | |||||
. | |||||
Tehát feladatunk, hogy megkeressük az | |||||
függvény legkisebb értékét. | |||||
. | |||||
Megkeressük a | |||||
egyenletrendszer összes, az értelmezési tartományba eső megoldását. | |||||
Az egyenletrendszer megoldása . | |||||
, | |||||
. | |||||
Mivel , és , a stacionárius pont minimum hely. . Tehát a minimális felszínű téglatest egy élű kocka aminek a felszíne. | |||||
14.7. Határozzuk meg az alábbi függvény lokális szélsőértékeit! | |||||
, . | |||||
Megoldás: | |||||
, | |||||
, | |||||
. | |||||
Mivel és tetszőleges esetén, ezért | |||||
a lehetséges szélsőérték hely. | |||||
, | |||||
ahol | |||||
, | |||||
, | |||||
, | |||||
, | |||||
, | |||||
. | |||||
Így a második derivált mátrixa a lehetséges szélsőérték helyen: | |||||
. | |||||
Mivel | |||||
, | |||||
és | |||||
. | |||||
Tehát a pozitív definit mátrix, ezért a lokális minimumhely az minimum értékkel. | |||||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit!
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Keresse meg az függvény lokális szélsőérték helyeit!
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Határozzuk meg az függvény lokális szélsőértékeit!
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Az függvénynek...
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Határozzuk meg az függvény lokális szélsőérték helyeit!
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Az függvénynek...
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
A 96 cm2 felszínű téglatestek közül melyiknek a térfogata a legnagyobb?
![]() |