KURZUS: Matematika II.
MODUL: Valószínűség-számítás
26. lecke: A várható érték és a szórás
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.9. fejezet | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Egy diszkrét valószínűségi változó várható értékén a | ||
| ||
összeget értjük, amennyiben . Egyébként azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik. | ||
Egy folytonos eloszlású valószínűségi változó várható értékén a | ||
integrált értjük, amennyiben. Egyébként azt mondjuk, hogy a várható érték nem létezik. | ||
Legyen egy tetszőleges valószínűségi változó és , ahol az , és tetszőleges valós számok. Ekkor az valószínűségi változó várható értéke | ||
amennyiben a és a várható értéke létezik. | ||
Egy valószínűségi változószórásán a valószínűségi változó várható értékének négyzet-gyökét értjük, amit -val vagy -vel jelölünk. Azaz a szórása | ||
amennyiben a és a várható értéke létezik. | ||
képlettel is kiszámítható. | ||
amennyiben a szórása létezik. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
26.1. Legyen diszkrét eloszlású valószínűségi változó, eloszlása pedig: . | ||
Megoldás: A várható érték definíciója szerint . | ||
Vegyük észre, hogy az 1 kétszer szerepel a felsorolásban, hiszen -1 és 1 négyzete is 1. Természetesen a két 1-es ugyanaz a szám, így eloszlása: | ||
Most már kiszámíthatjuk a szórásnégyzetet: | ||
26.2. A diszkrét eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek az 1, 2, ..., n számok (n egy véges érték), a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig azonosak, vagyis mindegyik . Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: A feladat szerint eloszlása a következő: | ||
A várható érték: | ||
Használjuk fel, hogy az első n db pozitív egész szám összege: . Ezzel . | ||
A szórást most is a szórásnégyzetből számítjuk ki, amihez szükségünk van értékére. | ||
eloszlása: . | ||
Ebből várható értéke: | ||
Használjuk fel, hogy az első n db négyzetszám összege: . | ||
Ezzel . | ||
Vagyis a szórás: . | ||
26.3. A diszkrét eloszlású valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek az 1, 2, ... számok (végtelen sok érték!), a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig , , ..., a k értékhez tartozó tartozzon. Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: eloszlása a következő: | ||
Első ránézésre egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy az , , ..., számok valószínűség eloszlást alkotnak, tehát ezt le kellene ellenőriznünk. Annak kell teljesülnie, hogy minden valószínűség érték legyen nem-negatív, a valószínűségek összege pedig legyen 1. Ebből az első feltétel nyilván teljesül. A másodikhoz ki kell számítani az alábbi végtelen összeget: . Ez az összeg felírható a következőképpen is: , vagyis egy (remélhetőleg) ismerős sor összege a kérdés. Az kifejezés felírható formában is (közös nevezőre hozással ellenőrizzük le!). Vagyis az összeg alakban is írható. Ebből még persze nem látszik, hogy mennyi lenne maga az összeg, érdemes ehhez felírni az első néhány tagot: Az első n tag részösszege , így a végtelen sor összege 1 lesz, vagyis ezek a számok tényleg valószínűség eloszlást alkotnak, értelmes kérdés így a várható érték is. | ||
A várható érték az alábbi végtelen összeg. | ||
26.4. Egy dobókockát háromszor elgurítunk. Jelentse a dobott hatosok számát. Számítsuk ki várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3. A hozzájuk tartozó valószínűségek: | ||
Ugyanis minden dobásnál hatféle lehetőségünk van, ez a három dobásra így -féle lehetőség. Ha nem dobunk hatost, akkor minden dobásnál 5 lehetőségünk van, ez így eset. Ha egy hatost dobunk, akkor ezt háromféleképpen tehetjük (elsőre, másodikra vagy harmadikra) a nem hatosokra pedig -féle lehetőség van, ez így eset. A két hatos esete hasonlóan számítható, itt 15 esetet kapunk, három hatost pedig csak egyféleképpen dobhatunk. | ||
Így eloszlása: | ||
várható értéke: | ||
eloszlása: | ||
várható értéke: | ||
A szórásnégyzet: | ||
Így a szórás: | ||
25.5. A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: . Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: Először is ellenőrizzük le, hogy valóban sűrűségfüggvény-e. nyilvánvalóan teljesül. Másrészt , tehát valóban sűrűségfüggvényről van szó. | ||
A szórásnégyzet meghatározásához most is ki kell számítanunk várható értékét: . | ||
Így a szórásnégyzet: . | ||
A szórás pedig: . | ||
26.6. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen a következő: . Határozzuk meg várható értékét és szórását! | ||
Megoldás: Először is sűrűségfüggvényét kell kiszámítani. Ehhez az eloszlásfüggvényt kell deriválnunk: . | ||
, így a sűrűségfüggvény: . | ||
A várható érték: | ||
várható értéke: | ||
Így a szórásnégyzet: . | ||
Ebből a szórás: . | ||
26.7. A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen a következő: . | ||
Megoldás: teljesül, másrészt , tehát valóban sűrűségfüggvényről van szó. | ||
A várható érték: . | ||
Tehát a várható érték ebben az esetben nem létezik, így a szórás sem. | ||
26.8. A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye legyen: . | ||
Megoldás: Először sűrűségfüggvényét kell meghatározni: , így . | ||
A várható érték: | ||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlása a következő: .
![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlása a következő: .
![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
A valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a következő: .
![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
Ha , akkor
![]() | |||||||||
9. feladat | |||||||||
Ha , akkor
![]() | |||||||||
10. feladat | |||||||||
Az alábbiak közül melyik nem igaz:
![]() |