KURZUS: Matematika II.

MODUL: Lineáris algebra

9. lecke: Elemi bázistranszformáció

Tanulási cél: Az elemi bázistranszformáció megismerése és begyakorlása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.7. fejezet

Elméleti összefoglaló

Tétel. Legyen b ¯ 1 ,, b ¯ n az I R n egy bázisa és d ¯ = j=1 n d j b ¯ j .

1.A b ¯ 1 ,, b ¯ i1 , d ¯ , b ¯ i+1 ,, b ¯ n vektorok pontosan akkor alkotnak bázist I R n -ben, ha d i 0 .
2.Ha egy tetszőleges x ¯ vektor a b ¯ 1 ,, b ¯ n bázisban

x ¯ = j=1 n x j b ¯ j I R n ,

koordinátás alakban állítható elő, akkor a b ¯ 1 ,, b ¯ i1 , d ¯ , b ¯ i+1 ,, b ¯ n bázisra vonatkozó koordinátás előállítása

x ¯ = j=1,ji n x j b ¯ j + x i d ¯ ,

alakban adható meg, ahol

x i = x i d i , x j = x j d j x i d i = x j d j x i ,( j=1,,n;ji ).

Megjegyzések.

1.A d i 0 elemet generáló elemnek nevezzük.
2.Ha egy b ¯ 1 ,, b ¯ n bázisról d ¯ 1 ,, d ¯ n bázisra akarunk áttérni, akkor azt n db egymás utáni elemi bázistranszformációval tehetjük meg.
3.Az elemi bázistranszformációt egy táblázaton szokás végrehajtani, ahol az oszlopok a bázisba beviendő vektorok koordinátáit tartalmazzák, illetve tetszőleges más vektorokét, amelyeknek az új bázisbeli felírását szeretnénk ismerni. A táblázat bal szélére a kiinduló bázis elemeit írjuk.

Nézzük a következő példán az elemi bázistranszformáció egy lépését!

Generáló elemnek a d i 0 elemet választjuk. Keretezzük be! Ezzel megadtuk a báziscserét: a régi bázis b ¯ i vektorát d ¯ -re cseréljük. A d ¯ , x ¯ és y ¯ vektorok új bázisbeli koordinátáit a tételben megadott formulák alapján számítjuk és egy új táblázatba írjuk. A transzformációs formulákat nem oszloponként (vektoronként), hanem soronként alkalmazzuk. Vagyis minden vektornak a j. koordinátáját számítjuk ki először (ugyanúgy, mint azt a Gauss-elimininációnál is tettük). Ezáltal könnyebben megjegyezhetők lesznek a formulák.

d ¯ x ¯ y ¯ b ¯ 1 d 1 x 1 y 1 b ¯ i d i x i y i b ¯ n d n x n y n

Nézzük először az i. koordinátákat! A tételben szereplő képlet szerint d i -vel, azaz a generáló elemmel kell osztanunk. Tehát az új i. sort úgy kapjuk, hogy az

új i. sor = 1 d i i. sor.

Az x j képletében levő x i d i az új i. sor megfelelő oszlopbeli eleme, így a j. sorra vonatkozó transzformációs formula:

új j. sor = j. sor - d j (új i. sor) ( ji -re).

Ez a képlet könnyen megjegyezhető, ha arra gondolunk, hogy d ¯ új bázisbeli koordinátái: d i =1 és d j =0 ( ji -re), vagyis d j -t kell eliminálnunk a transzformáció során.

d ¯ x ¯ y ¯ b ¯ 1 0 x 1 d 1 ( x i d i ) y 1 d 1 ( y i d i ) d ¯ 1 x i d i y i d i b ¯ n 0 x n d n ( x i d i ) y n d n ( y i d i )

Kidolgozott feladatok

9.1. I R 3 -ben az e ¯ 1 , e ¯ 2 , e ¯ 3 bázisról a  d ¯ 1 , d ¯ 2 , d ¯ 3 bázisra szeretnénk áttérni, ahol

d ¯ 1 = e ¯ 1 + e ¯ 2 , d ¯ 2 = e ¯ 1 +2 e ¯ 3 , d ¯ 3 = e ¯ 1 +3 e ¯ 3 .

Legyen x ¯ =( 2 1 2 )=2 e ¯ 1 + e ¯ 2 +2 e ¯ 3 , és adjuk meg x ¯ koordinátáit a d ¯ 1 d ¯ 2 d ¯ 3 bázisban!

Megoldás. Az új bázisra való áttérést három lépésben végezzük el!

d ¯ 1 d ¯ 2 d ¯ 3 x ¯ e ¯ 1 1 1 0 2 e ¯ 2 1 0 1 1 e ¯ 3 0 2 3 2 d ¯ 1 kerül a bázisba e ¯ 1 helyére.
új 1. sor  = 1. sor
új 2. sor = 2. sor - 1 (új 1. sor)
új 3. sor = 3. sor - 0 (új 1. sor)
d ¯ 1 d ¯ 2 d ¯ 3 x ¯ d ¯ 1 1 1 0 2 e ¯ 2 0 1 1 1 e ¯ 3 0 2 3 2 d ¯ 2 kerül a bázisba e ¯ 2 helyére.
új 2. sor  =  2.sor
új 1. sor = 1. sor + (új 2.sor)
új 3. sor = 3. sor - 2 (új 2.sor)
d ¯ 1 d ¯ 2 d ¯ 3 x ¯ d ¯ 1 1 0 1 1 d ¯ 2 0 1 1 1 e ¯ 3 0 0 1 4 d ¯ 3 kerül a bázisba e ¯ 3 helyére.
új 3.sor  =  3.sor
új 1.sor = 1.sor - 1 (új 3.sor)
új 2.sor = 2.sor - 1 (új 3.sor)
d ¯ 1 d ¯ 2 d ¯ 3 x ¯ d ¯ 1 1 0 0 3 d ¯ 2 0 1 0 5 d ¯ 3 0 0 1 4 A táblázatról leolvasható, hogy
x ¯ =3 d ¯ 1 5 d ¯ 2 +4 d ¯ 3

Ellenőrzés.

x ¯ =3 d ¯ 1 5 d ¯ 2 +4 d ¯ 3 =3( e ¯ 1 + e ¯ 2 )5( e ¯ 1 +2 e ¯ 3 )+4( e ¯ 2 +3 e ¯ 3 ) =2 e ¯ 1 + e ¯ 2 +2 e ¯ 3

9.2. Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 1 2 0 ), b ¯ =( 2 5 1 ), c ¯ =( 1 3 5 )

R 3 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, Állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.

Megoldás: Az a ¯ , b ¯ , c ¯ vektorokat megpróbáljuk bevinni a bázisba. A vektortér bázisvektorai lineárisan függetlenek egymástól. Ezért a három vektorból csak annyit lehet bevinni, ahány lineárisan független.

Ha sikerül mind a hármat, akkor lineárisan függetlenek, ha nem akkor kapunk egy összefüggést a vektorok között.

a ¯ b ¯ c ¯ e ¯ 1 1 2 1 e ¯ 2 2 5 3 e ¯ 3 0 1 5 Az a ¯ kerül a bázisba e ¯ 1 helyére
1. sor marad változatlan.
új 2. sor = 2. sor ( 2 1. sor.
3. sor marad változatlan.

Mivel tudjuk, hogy az a ¯ vektor önmagával egyenlő az új bázisban, elhagyhatjuk az oszlopát.

b ¯ c ¯ a ¯ 2 1 e ¯ 2 1 5 e ¯ 3 1 5 Az b ¯ kerül a bázisba e ¯ 2 helyére
2. sor marad változatlan.
új 1. sor = 1. sor - 2 2. sor.
új 3. sor = 3. sor ( 2. sor.
c ¯ a ¯ 11 b ¯ 5 e ¯ 3 0 A generáló elem nem lehet nulla.
A c ¯ vektor nem vihető be a bázisba.
A vektorok lineárisan függőek:
c ¯ =11 a ¯ +5 b ¯

9.3. Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 1 2 3 ), b ¯ =( 2 5 7 ), c ¯ =( 1 3 3 )

R 3 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.

Megoldás: Ennél a feladatnál nem írjuk ki, hogy milyen műveletet végzünk, az leolvasható a táblázatokból.

a ¯ b ¯ c ¯ e ¯ 1 1 2 1 e ¯ 2 2 5 3 e ¯ 3 3 7 3

b ¯ c ¯ a 2 1 e ¯ 2 1 5 e ¯ 3 1 6

c ¯ a 11 c ¯ 5 e ¯ 3 1 A generáló elem nem nulla.
A c ¯ vektort be lehet vinni a bázisba.
Ezért a vektorok lineárisan függetlenek.
Ellenőrző kérdések

1. feladat

Legyenek

d ¯ 1 =( 1 0 1 ), d ¯ 2 =( 2 1 1 ), d ¯ 3 =( 1 1 1 ) és x ¯ =( 0 3 5 )

R 3 -beli vektorok.

Írja fel az x ¯ vektort a d ¯ 1 d ¯ 2 d ¯ 3 bázisban!
x ¯ =2 d ¯ 1 d ¯ 2 4 d ¯ 3 .
x ¯ =2 d ¯ 1 + d ¯ 2 4 d ¯ 3 .
x ¯ =2 d ¯ 1 2 d ¯ 3 .
x ¯ =2 d ¯ 1 + d ¯ 2 3 d ¯ 3 .

2. feladat

Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 1 3 0 3 ), b ¯ =( 0 1 1 0 ), c ¯ =( 1 2 1 3 ), d ¯ =( 1 1 2 0 )

R 4 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.

 
d ¯ =0 a ¯ +3 b ¯ + c ¯ .
d ¯ = a ¯ +3 b ¯ + c ¯ .
Lineárisan függetlenek.
d ¯ =3 b ¯ +2 c ¯ .

3. feladat

Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 1 3 1 ), b ¯ =( 2 5 2 ), c ¯ =( 1 10 5 )

R 3 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.

 
c ¯ = b ¯ a ¯ .
c ¯ =2 b ¯ a ¯ .
Lineárisan függetlenek.
c ¯ =3 a ¯ b ¯ .