KURZUS: Matematika II.

MODUL: Valószínűség-számítás

23. lecke: A valószínűségi változó

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűség-számítás, 4.9. fejezet

Elméleti összefoglaló

Ha egy kísérlettel kapcsolatos elemi események mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy-egy valós számot, akkor az elemi események Ω halmazán egy ξ:ΩIR függvényt értelmezünk. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük.

Ha egy kísérlet során az a i elemi esemény következik be és a valószínűségi változó megadásakor ehhez az x i értéket rendeltük, akkor azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó az x i értéketveszifel, az x i -t pedig a ξ egy lehetségesértékének nevezzük.

Egy valószínűségi változót diszkrétneknevezünk, ha az véges sok értéket vesz fel, vagy értékei sorozatba rendezhetők (a lehetséges értékeinek halmaza megszámlálható).

Egy valószínűségi változót folytonosnak nevezünk, ha a lehetséges értékei egy vagy több intervallumot alkotnak (lehet nem korlátos is).

Ha egy Ω eseménytéren értelmezett ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei az x k , ( k=1,2, ) valós számok, és egy esemény bekövetkezésekor a ξ értéke x i , akkor azt  mondjuk, hogy a { ξ= x i } esemény következik be és az esemény bekövetkezési valószínűségét p i =P( ξ= x i ) -vel jelöljük.

Egy ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeihez tartozó bekövetkezési valószínűségek összességét a ξ eloszlásának nevezzük. Azaz ha a ξ lehetséges értékei az x k , ( k=1,2, ) számok, akkor a ξ eloszlása a p k =P( ξ= x k ) , ( k=1,2, ) bekövetkezési valószínűségek összessége.

Kidolgozott feladatok

23.1. Egy szabályos dobókockát elgurítunk. Adjunk meg ezzel kapcsolatban legalább három valószínűségi változót!

Megoldás: Nyilván rengeteg lehetőségünk van, a leírtaktól eltérő megoldások is lehetnek.
A valószínűségi változó legyen a dobott szám. Ekkor a lehetséges értékek: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ξ értéke legyen 0, ha a dobott szám páros, és 1, ha páratlan.
ξ értéke legyen 2, ha a kocka a dobás után az asztalon marad, és 1, ha nem.
Stb.
A fentiekből látszik, hogy egy kísérlethez nagyon sokféle valószínűségi változót rendelhetünk. A feladat jellege dönti el, hogy mikor milyen valószínűségi változót érdemes vizsgálni.

23.2. 8 és 9 óra között valamikor beérek a munkahelyemre. Adjunk meg ezzel kapcsolatban egy diszkrét és egy folytonos valószínűségi változót!

Megoldás: Az előzőhöz hasonlóan itt is több (végtelen sok) megoldás létezik.
Példa folytonos valószínűségi változóra:
A valószínűségi változó legyen a beérkezés időpontja, tehát egy szám a [8;9] intervallumból.
Példa diszkrét valószínűségi változóra:
A valószínűségi változó értéke legyen 1, ha fél kilenc előtt beérek, és legyen -1, ha nem.

23.3. Két szabályos dobókockát elgurítunk, és azt vizsgáljuk, hogy a dobott számok szorzata páros vagy páratlan. Adjunk meg egy megfelelő valószínűségi változót és írjuk fel az eloszlását!

Megoldás: A két kockával kapcsolatos események közül minket most csak a dobott számok szorzatának paritása érdekel, így a valószínűségi változónk csupán két értékkel rendelkezik. Pl.: ξ:={ 0, ha a szorzat páros 1, ha a szorzat páratlan . (Természetesen más számértékek is lehetnek.)
ξeloszlásának felírásához ismernünk kell az egyes kimenetelek valószínűségét.
Annak valószínűsége, hogy a szorzat páratlan: a szorzat akkor lesz páratlan, ha mindkét tényezője páratlan. Vagyis az egyik és a másik kockával is 3-3-féle lehetőségünk van, így 33=9 lehetőség. Az összes esetek száma pedig 66=36 . Így annak valószínűsége, hogy a szorzat páratlan: 9 36 = 1 4 .
Ebből következően annak valószínűsége, hogy a szorzat páros: 1 1 4 = 3 4
Így ξeloszlása: ξ:{ 0 1 3 4 1 4

23.4. Egy pakli magyar kártyából kétszer húzunk úgy, hogy a kihúzott lapot visszatesszük. Jelentse ξ a kihúzott pirosak számát. Írjuk fel ξ eloszlását!

Megoldás: Mivel kétszer húzunk, ezért a kihúzott pirosak száma lehet 0, 1, 2. A pakliban 32 lap van, ebből 8 piros (24 nem piros). Tehát annak valószínűsége, hogy egy húzás alkalmával pirosat húzunk: 8 32 = 1 4 . Nyilván a nem piros valószínűsége 3 4 .
Annak valószínűsége, hogy nem húzunk pirosat: 3 4 3 4 = 9 16
Annak valószínűsége, hogy két pirosat húzunk: 1 4 1 4 = 1 16
Annak valószínűsége, hogy egy pirosat húzunk: 2 1 4 3 4 = 6 16 (most a pirosat húzhatjuk elsőre vagy másodikra is)
Így ξ eloszlása: ξ:{ 0 1 2 9 16 6 16 1 16

23.5. Balatonmackóalsón 1 7 valószínűséggel esik az eső, 6 7 valószínűséggel nem. Egy esős nap a lángossütőnek 1000 Ft, az esernyőárusnak 5000 Ft bevételt jelent, még ha nem esik az eső, akkor 12 000 Ft, illetve 0 Ft-ot keresnek. Írjuk fel mindkét ember számára a napi bevételt leíró valószínűségi változót!

Megoldás: Ez a feladat ismét arra példa, hogy ugyanazon kísérlethez többféle valószínűségi változót is rendelhetünk. Itt az ellenérdekelt árusokra vonatkozó valószínűségi változók, ha nem is egymás fordítottjai, de eltérő súlyokkal veszik figyelembe az eseményeket:

ξ esernyős :{ 0 5000 6 7 1 7 ξ lángosos :{ 1000 12000 1 7 6 7

Ellenőrző kérdések

1 feladat

Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Az alábbiak közül melyik nem valószínűségi változó?
ξ:{ 1, ha a dobott számok szorzata páros -1, ha a dobott számok szorzata páratlan
ξ értéke a dobott számok szorzata
ξ:{ 2, ha a dobott számok összege 5-nél kisebb 1, ha a dobott számok összege 8-nál nagyobb
ξ értéke a dobott számok összege

2 feladat

Ha egy kísérlet lehetséges eredményei intervallumot alkotnak, akkor a hozzárendelhető valószínűségi változóra igaz, hogy
csak folytonos eloszlású lehet
csak diszkrét eloszlású lehet
csak végtelen sok értékű lehet
lehet diszkrét is és folytonos is

3 feladat

Ha egy kísérletnek véges sok kimenetele lehetséges, akkor a hozzárendelhető valószínűségi változóra igaz, hogy...
csak véges sok értéke lehet
lehet diszkrét is és folytonos eloszlású is
lehet végtelen sok értéke
lehet folytonos eloszlású

4 feladat

A 32 lapos magyar kártyából kétszer húzunk visszatevéssel. Jelölje ξ a kihúzott ászok számát. Ekkor ξ eloszlása:
ξ:{ 0 1 2 49 64 7 64 1 64
ξ:{ 0 1 2 49 64 14 64 1 64
ξ:{ 0 1 2 26 32 4 32 2 32
ξ:{ 0 1 2 784 1024 224 1024 4 1024

5 feladat

Egy szabályos dobókockával addig dobunk, amíg nem dobunk hatost. A bank annyi forintot fizet nekünk, ahányadikra dobtuk a hatost. Jelentse ξ a nyeremény összegét. Ekkor ξ eloszlása:
ξ:{ 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
ξ:{ 0 1 2 ... k ... 1 6 1 36 1 216 ... 1 6 k ...
ξ:{ 1 2 ... k ... 1 6 1 6 5 6 ... 1 6 ( 5 6 ) k1 ...
ξ:{ 1 2 ... k ... 1 6 1 6 2 ... 1 6 k ...

6 feladat

Egy kockával kétszer dobunk. ξ értéke legyen a dobott számok közül a nem kisebb (pl.: (3,4) esetén 4; (2,2), esetén 2). ξ eloszlása:
ξ:{ 1 2 3 4 5 6 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36
ξ:{ 2 3 4 5 6 1 36 4 36 9 36 16 36 25 36
ξ:{ 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
ξ:{ 1 2 3 4 5 6 1 6 4 36 9 36 16 36 25 36 36 36