KURZUS: Matematika II.
MODUL: Lineáris algebra
2. lecke: Mátrixok összeadása, szorzása számmal, szorzása és transzponáltja
Tanulási cél: A mátrix fogalmának, az összeadás, a számmal való szorzás, a mátrixszorzás és a transzponálás műveletének megismerése és elsajátítása. | |||||
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.2. fejezet | |||||
Elméleti összefoglaló | |||||
Definíció. Az | |||||
táblázatot mátrixnak nevezzük. | |||||
Az számot a mátrix -edik sorának -edik oszlopbeli elemének nevezzük. | |||||
Az mátrix jelölésére az szimbólummal is használjuk. | |||||
Definíció. A szám és az mátrix szorzatán azt a mátrixot értjük, amelynek elemei | |||||
Definíció. Az mátrixok összegének nevezzük azt a mátrixot , amelynek elemi | |||||
. | |||||
Tétel. (A számmal való szorzás és az összeadás tulajdonságai.) | |||||
| |||||
Definíció. Az mátrixok különbségét a | |||||
formulával definiáljuk. | |||||
Definíció. Az és a mátrixok szorzatának nevezzük azt a mátrixot, amelynek elemei | |||||
. | |||||
Úgy kapjuk tehát a szorzat mátrix elemét, hogy az elöl álló mátrixnak vesszük az -edik sorát, a hátul álló mátrixnak a -edik oszlopát, összeszorozzuk megfelelő elemeit, (a sor első elemét az oszlop első elemével, a sor második elemét az oszlop második elemével, és így tovább), és összeadjuk ezeket a szorzatokat. | |||||
A szorzatnak tehát annyi sora lesz, mint amennyi az elöl álló mátrixnak van és annyi oszlopa, amennyi a hátul álló mátrixnak van. | |||||
Azt a feltételt, hogy a szorzatban az elöl álló mátrix oszlopainak a száma azonos a hátul álló mátrix sorainak a számával, kompatibilitási feltételnek nevezzük. | |||||
Megjegyzés. A érték nem más, mint az mátrix -edik sorának a mátrix -adik oszlopával való skaláris szorzata. | |||||
Tétel. (A mátrixszorzás tulajdonságai.) | |||||
| |||||
Definíció. Az mátrix transzponáltján azt az mátrixot értjük, amelynek -edik oszlopa az -edik sora és -edik sora az -edik oszlopa. | |||||
Megjegyzés. Az oszlopvektorok speciális mátrixok és a transzponáltjaik az sorvektorok. | |||||
Tétel. (A transzponált tulajdonságai.) | |||||
| |||||
Igazolható, hogy egy mátrix sor- és oszlopvektor rendszerének a rangja mindig megegyezik. A mátrix rangját ezért a következő módon definiáljuk. | |||||
Definíció. Az mátrix sor- és oszlopvektor rendszerének közös rangját a mátrix rangjának nevezzük és -val jelöljük. | |||||
Definíció. Az | |||||
mátrixot -es egységmátrixnak nevezzük. | |||||
Tétel. Legyen egy adott négyzetes mátrix és . Ekkor egyértelműen létezik olyan mátrix, amelyre | |||||
. | |||||
Ezt az mátrixot az mátrix inverzének nevezzük. | |||||
Kidolgozott feladatok | |||||
2.1. Legyen A = és B = . Számoljuk ki A+B-t és A-B-t. | |||||
Megoldás: Mindkét mátrix 2×2-es típusú, ezért mindkét művelet elvégezhető, és az eredmény is 2×2-es típusú lesz. Az összeadás definíciója alapján | |||||
A + B = + = = , | |||||
A - B = - = = . | |||||
2.2. Tekintsük az A = , B = mátrixokat. Számoljuk ki a 2A-3B mátrixot. | |||||
Megoldás: Mivel 2A = , 3B = , azt kapjuk, hogy | |||||
2A -- 3B = . | |||||
2.3. Határozzuk meg azokat az x, y, z valós számokat, amelyekre igaz az alábbi összefüggés: | |||||
- = . | |||||
Megoldás: Vezessük be a következő jelöléseket. | |||||
A =, B = , C = . | |||||
Ekkor a feladatbeli összefüggés alakban írható, amiből átrendezéssel | |||||
A = B + C = . | |||||
Innen leolvasható x = 8, y = 5, z = 2 kell, hogy legyen. | |||||
2.4. Legyen A =, B =. Számítsuk ki a C = AB és D = BA mátrixokat. | |||||
Megoldás: Az A és B mátrixok 2×2-es típusúak, ezért a szorzat mátrixok is 2×2-es típusúak lesznek. | |||||
. | |||||
Hasonlóan | |||||
, | |||||
, | |||||
. | |||||
Tehát C = , | |||||
Most számoljuk ki a D mátrixot: | |||||
, | |||||
, | |||||
, | |||||
. | |||||
D = . | |||||
2.5. Legyen A = , B = . Számítsuk ki az AB és BA szorzatokat. | |||||
Megoldás: Mind az AB, mind a BA szorzat létezik és AB 3×3-as, BA 2×2-es típusú. | |||||
Most AB =és BA = . | |||||
Már a típusok különbözősége is mutatja, hogy a szorzás nem kommutatív. | |||||
2.6. Legyen A = , B = . Számítsuk ki az AB és BA szorzatokat. | |||||
Megoldás: Mindkét szorzat létezik és 3×3-as típusú. | |||||
AB =és BA = . | |||||
Látjuk, hogy a két eredmény ugyanaz. Az, hogy a szorzás nem kommutatív, nem jelenti azt, hogy nem léteznek mátrixok, amelyek a szorzatban egymással felcserélhetők, csak azt, hogy általában nem felcserélhetők. | |||||
2.7. Tekintsük A = , B = mátrixokat, és számítsuk ki az AB szorzatot. | |||||
Megoldás: A szorzat létezik, és a szorzat típusa 1×1. Az ilyen mátrixokat azonosítjuk a valós számokkal és zárójelek nélkül írjuk le. Tehát | |||||
. | |||||
Az A mátrixot, mivel csak egy sora van, sormátrixnak is hívjuk, míg a B mátrixot, mivel egy oszlopa van, oszlopmátrixnak is hívjuk, és mindkettő vektornak is tekinthető. | |||||
Vegyük még észre, hogy a fenti szorzat, ha mátrixokat vektoroknak tekintjük, éppen ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatával egyenlő. | |||||
2.8. Legyen A = . Mivel egyenlő A3? | |||||
Megoldás: Egy mátrix különböző kitevős hatványai egymással felcserélhető, ezért | |||||
A3 = AAA = A2A = AA2. | |||||
Mindegy, hogy az A-t szorozzuk A2-el, vagy fordítva. | |||||
Mivel A2 = AA = , | |||||
A3 = A2A = AA2 = . | |||||
2.9. Ha A = , és B = , akkor mivel egyenlő (A + BT)T? | |||||
Megoldás: Mivel BT = , ezért A + BT = , | |||||
és ezt felhasználva (A + BT)T = = . | |||||
De úgy is számolhatunk, hogy felhasználjuk azt, hogy összeget tagonként lehet transzponálni. | |||||
(A + BT)T = AT + (BT)T = + = . | |||||
Ellenőrző kérdések |
1. feladat | |||||||||
Ha , , akkor ![]() | |||||||||
2. feladat | |||||||||
Tekintsük az alábbi mátrixokat: | |||||||||
, , . | |||||||||
Ekkor ![]() | |||||||||
3. feladat | |||||||||
Ha és , akkor ![]() | |||||||||
4. feladat | |||||||||
Ha , akkor ![]() | |||||||||
5. feladat | |||||||||
Legyen . Ekkor ![]() | |||||||||
6. feladat | |||||||||
Legyen . Ekkor ![]() | |||||||||
7. feladat | |||||||||
Ha , akkor ![]() | |||||||||
8. feladat | |||||||||
Tekintsük az mátrixot. Ebben az esetben ![]() | |||||||||
9. feladat | |||||||||
Ha és , akkor ![]() |