KURZUS: Matematika II.

MODUL: Lineáris algebra

5. lecke: Szimmetrikus mátrix definitségének meghatározása

Tanulási cél: A szimmetrikus mátrix definitsége, indefinitsége, a fogalmak megismerése, meghatározása és a módszer begyakorlása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.3. fejezet

Elméleti összefoglaló

Definíció. Az A R n×n négyzetes mátrixot szimmetrikusnak nevezzük, ha  A = AT.

Definíció. Legyen A R n×n egy szimmetrikus négyzetes mátrix.

Azt mondjuk, hogy az  A mátrix pozitív definit, ha

A x ¯ x ¯ >0 , x ¯ R n \{0},

és negatív definit, ha

A x ¯ x ¯ <0 , x ¯ R n \{0},

Azt mondjuk, hogy az  A mátrix pozitív szemidefinit, ha

A x ¯ x ¯ 0 , x ¯ R n \{0},

és negatív szemidefinit, ha

A x ¯ x ¯ 0 , x ¯ R n \{0}.

Az  A mátrix indefinit, ha az előző osztályok egyikéhez sem tartozik.

Tétel: (Sylvester kritérium.)

Legyen

A=( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn ) R n×n

egy adott szimmetrikus mátrix, és jelöljük  Ak-val (k = 1, ... , n) a következő részmátrixokat:

Ak = ( a 11 a 12 a 1k a 21 a 22 a 2k a k1 a k2 a kk ) R k×k , (k = 1, ... , n).

Ekkor az  A mátrix

pozitív definit sign(det(Ak)) = 1, (k = 1, ... , n),

és

negatív definit sign(det(Ak)) = (-1)k, (k = 1, ... , n),

ahol sign az előjelfüggvényt jelöli.

Következmény. A tétel alapján speciális esetként az A=( a 11 a 12 a 21 a 22 ) R 2×2 szimmetrikus mátrixok definitségére azt kapjuk, hogy

pozitív definit a 11 >0 és a 11 a 22 a 12 a 21 >0 ,

és

negatív definit a 11 <0 és a 11 a 22 a 12 a 21 >0 .

Kidolgozott feladatok

5.1. Mutassuk meg, hogy az alábbi mátrix indefinit!

A = ( 1 2 2 1 ) .

Megoldás.

Mivel det(A)= a 11 a 22 a 12 a 21 =11( 2 )( 2 )=3<0

ezért A indefinit mátrix.

5.2. Mutassuk meg, hogy az alábbi mátrix negatív definit!

A=( 2 3 3 5 ) .

Megoldás.

Mivel a 11 =2<0 és a 11 a 22 a 12 a 21 =(2)(5)33=109=1>0 , ezért a tételt követő megjegyzés alapján az  A negatív definit mátrix.

5.3. Mutassuk meg, hogy az alábbi mátrix pozitív definit!

A=( 1 0 0 0 3 2 0 2 4 ) .

Megoldás.
Mivel

sign( det( A 1 ) )=sign( 1 )=1 ,

sign( det( A 2 ) )=sign( | 1 0 0 3 | )=sign( 3 )=1

és

sign( det( A 3 ) )=sign( | 1 0 0 0 3 2 0 2 4 | )=sign( 8 )=1 ,

ezért a tétel alapján az  A pozitív definit mátrix.

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Határozza meg a következő mátrix definitségét!
A=( 3 2 2 2 ) .
Pozitív definit.
Negatív definit.
Indefinit.
Semidefinit.

2. feladat

Határozza meg a következő mátrix definitségét!
A=( 3 4 4 3 ) .
Pozitív definit.
Negatív definit.
Indefinit.
Semidefinit.

3. feladat

Határozza meg a következő mátrix definitségét!
A=( 2 2 2 2 ) .
Pozitív definit.
Negatív definit.
Indefinit.
Semidefinit.

4. feladat

Határozza meg a következő mátrix definitségét!
A=( 3 1 3 1 2 2 3 2 4 )
Pozitív definit.
Negatív definit.
Indefinit.
Semidefinit.

5. feladat

Határozza meg a következő mátrix definitségét!
A=( 1 1 1 1 3 2 1 2 4 ) .
Pozitív definit.
Negatív definit.
Indefinit.
Semidefinit.