KURZUS: Matematika II.

MODUL: Lineáris algebra

1. lecke: Vektorok összeadása, szorzása számmal, skaláris szorzata, hossza, távolsága

Tanulási cél: A vektor fogalmának, az összeadás, a kivonás, a számmal való szorzás és a skaláris szorzat műveletének megismerése és begyakorlása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 1.1. fejezet

Elméleti összefoglaló

Definíció. A valós számokból képzett "rendezett szám n-esek" halmazát n-dimenziós euklideszitérnek nevezzük és I R n -nel jelöljük. Az I R n egy x ¯ eleme (jelölés: x ¯ I R n ) tehát

x ¯ =( x 1 x 2 x n )

alakú, ahol az x 1 , x 2 ,, x n koordináták valós számok. Az I R n elemeit n-dimenziós vektoroknak vagy pontoknak nevezzük.

Definíció. Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha az azonos helyen álló koordinátái megegyeznek.

Definíció. Az I R n tér vektorai körében természetes módon értelmezhető az összeadás és a számmal való szorzás:

Tetszőleges x ¯ =( x 1 x 2 x n ) , y ¯ =( y 1 y 2 y n )I R n és λIR esetén legyen ( x 1 x 2 x n )+( y 1 y 2 y n )=( x 1 + y 1 x 2 + y 2 x n + y n ), és λ( x 1 x 2 x n )=( λ x 1 λ x 2 λ x n ) .

Vektortér axiómák

Az I R n az összeadással és a számmal való szorzással vektorteret (lineáris teret) alkot, ugyanis kielégíti az alábbi vektortér axiómákat:

x ¯ + y ¯ = y ¯ + x, ¯
x ¯ , y ¯ I R n ,
(kommutativitás összeadás esetén)
( x ¯ + y ¯ )+ z ¯ = x ¯ +( y ¯ + z ¯ ),
x ¯ , y ¯ , z ¯ I R n ,
(asszociativitás összeadás esetén)
x ¯ + 0 ¯ = x, ¯ x ¯ I R n ,(létezik nullelem: 0 ¯ =( 0 0 ) )
x ¯ +( x ¯ )= 0 ¯ , x ¯ I R n ,(létezik ellentett: x ¯ =( x 1 x 2 x n ) )

továbbá

λ( μ x ¯ )=( λμ ) x ¯ , x ¯ I R n ,λIR                                                          
λ( x ¯ + y ¯ )=λ x ¯ +λ y ¯ , ( λ+μ ) x ¯ =λ x ¯ +μ x ¯ . x ¯ , y ¯ I R n ,λ,μIR
1 x ¯ = x ¯ .

Definíció. Az x ¯ I R n vektorok hosszát a

x ¯ = x 1 2 + x 2 2 ++ x n 2

kifejezéssel definiáljuk. Ha x ¯ =1 , akkor a x ¯ -et egységvektornak nevezzük.

Definíció. Az x ¯ , y ¯ I R n vektorok (pontok) távolságát a

x ¯ y ¯ = ( x 1 y 1 ) 2 + ( x 2 y 2 ) 2 ++ ( x n y n ) 2

formulával definiáljuk.

Definíció. Az x ¯ , y ¯ I R n vektorok skaláris szorzatát

x ¯ , y ¯ = x 1 y 1 + x 2 y 2 ++ x n y n ( IR )

módon definiáljuk.

Tétel. (A skaláris szorzat tulajdonságai.)

1. x ¯ , y ¯ = y ¯ , x ¯ , x ¯ , y ¯ I R n .
2. λ x ¯ +μ y ¯ , z ¯ =λ x ¯ , z ¯ +μ y ¯ , z ¯ , x ¯ , y ¯ , z ¯ I R n ,λ,μIR.
3. x ¯ , x ¯ 0 és x ¯ , x ¯ =0 akkor és csak is akkor, ha x ¯ = 0 ¯ .

Definíció. Két x ¯ , y ¯ I R n vektort egymásra merőlegesnek mondunk, ha a skaláris szorzatuk nulla, azaz ha x ¯ , y ¯ =0 .

Definíció. A

λ 1 x ¯ 1 + λ 2 x ¯ 2 ++ λ k x ¯ k

vektort, ahol λ i IR( i=1,2,k ) , az x ¯ i I R n ( i=1,2,,k ) vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

Definíció. Az x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ k I R n vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha

λ 1 x ¯ 1 + λ 2 x ¯ 2 ++ λ k x ¯ k = 0 ¯

csak a λ 1 = λ 2 == λ k =0 esetben lehetséges.

Ellenkező esetben az x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ k vektorokat lineárisan összefüggőknek mondjuk.

Definíció. Azt az n-dimenziós egységvektort, melynek i-edik koordinátája 1 és a többi nulla, e ¯ i -vel jelöljük ( i=1,2,,n ) :

e ¯ i =( 0 0 1 0 0 )i .

Megjegyzés. Könnyen látható, hogy az e ¯ i ( i=1,,n ) vektorok lineárisan függetlenek.

Ennél több elemszámú független vektort azonban az I R n már nem tartalmaz, ui.:

Tétel. Az I R n minden n+1 elemű x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ n+1 I R n vektorrendszere lineárisan összefüggő.

Definíció. Az I R n egy n elemű lineárisan független x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ n I R n vektorrendszerét az I R n egy bázisának nevezzük.

Tétel. Az I R n bármely b ¯ 1 , b ¯ 2 ,, b ¯ n bázisa esetén minden egyes x ¯ I R n vektorhoz egyértelműen léteznek olyan c 1 , c 2 ,, c n IR számok, hogy

x ¯ = c 1 b ¯ 1 + c 2 b ¯ 2 ++ c n b ¯ n .

Definíció. Az előző tételben szereplő c i I R ( i=1,2,,n ) számokat az x ¯ vektor b ¯ 1 , b ¯ 2 ,, b ¯ n bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Megjegyzés. Tetszőleges x ¯ I R n vektornak az e ¯ 1 , e ¯ 2 ,, e ¯ n (kanonikus) bázisra vonatkozó koordinátái azonosak az x ¯ vektor x i koordinátáival.

Definíció. Azt mondjuk, hogy az x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ k vektorok alkotta vektorrendszer rangja r , ( 0rk ) ha pontosan r darab lineárisan független vektort tartalmaz.

Jelölés: r=ρ( x ¯ 1 , x ¯ 2 ,, x ¯ k ) .

Kidolgozott feladatok

1.1. Legyen a ¯ =( 1 3 2 2 ) és b ¯ =( 2 3 2 0 ) . Számoljuk ki a ¯ + b ¯ -t és a ¯ b ¯ -t.

Megoldás: Az összeadás definíciója alapján

a ¯ + b ¯ =( 1 3 2 2 )+( 2 3 2 0 )=( 1+2 33 2+2 2+0 )=( 3 0 4 2 ) ,

a ¯ b ¯ =( 1 3 2 2 )( 2 3 2 0 )=( 12 3+3 22 20 )=( 1 6 0 2 ) .

1.2. Tekintsük az a ¯ =( 2 1 1 ) , b ¯ =( 5 0 4 ) , c ¯ =( 1 3 2 ) vektorokat. Számoljuk ki a

2 a ¯ +3 b ¯ 3 c ¯ vektort.

Megoldás: Mivel 2 a ¯ =( 4 2 2 ) , 3 b ¯ =( 15 0 12 ) , 3 c ¯ =( 3 9 6 ) azt kapjuk, hogy

2 a ¯ +3 b ¯ 3 c ¯ =( 4153 2+0+9 2+126 )=( 14 11 4 ) .

1.3. Az előző feladatban megadott vektorokkal számoljuk ki a 2( a ¯ b ¯ )( a ¯ + c ¯ ) vektort.

Megoldás: A műveleti azonosságokat használva átalakítjuk a kifejezést.

2( a ¯ b ¯ )( a ¯ + c ¯ )=2 a ¯ 2 b ¯ + a ¯ c ¯ =3 a ¯ 2 b ¯ c ¯ .

3 a ¯ 2 b ¯ c ¯ =( 6+101 30+3 384 )=( 15 6 15 ) .

1.4. Adottak az a ¯ =( 2 1 0 3 ) , b ¯ =( 2 5 1 4 ) és c ¯ =( 2 1 5 1 ) vektorok. Melyik két vektor merőleges egymásra?

Megoldás: Két vektor akkor merőleges, ha a skaláris szorzatuk nulla. Ezért kiszámoljuk páronként a skaláris szorzatokat.

a ¯ , b ¯ =2( 2 )+15+01+( 3 )4=11 ,

a ¯ , c ¯ =2( 2 )+11+05+( 3 )( 1 )=0 ,

b ¯ , c ¯ =( 2 )( 2 )+51+15+4( 1 )=2 .

Tehát az a ¯ és a c ¯ vektorok merőlegesek egymásra.

1.5. Határozzuk meg az előző feladatban szereplő vektoroknak a hosszát!

Megoldás:

a ¯ = 2 2 + 1 2 + 0 2 + ( 3 ) 2 = 4+1+0+9 = 14 ,

b ¯ = ( 2 ) 2 + 5 2 + 1 2 + 4 2 = 4+25+1+16 = 46 ,

c ¯ = ( 2 ) 2 + 1 2 + 5 2 + ( 1 ) 2 = 4+1+25+1 = 31 .

1.6. Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 1 2 0 5 ), b ¯ =( 1 3 1 0 ), c ¯ =( 1 1 1 1 ), d ¯ =( 0 7 1 17 )

R 4 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, Állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.

Megoldás: Az ilyen típusú feladatok általában úgy oldhatók meg, hogy megpróbáljuk előállítani a zérusvektort a szóban forgó vektorok lineáris kombinációjaként. Ez a lineáris kombináció együtthatóira egy homogén lineáris egyenletrendszert jelent, a kérdés pedig az, hogy van-e ennek nem triviális megoldása: ha igen, a vektorok lineárisan összefüggőek, ha nincs, akkor pedig függetlenek.

Jelen feladat egyszerűbben is kezelhető: vegyük észre, hogy

b ¯ a ¯ =( 0 5 1 5 ) és c ¯ a ¯ =( 0 1 1 6 ).

Ez utóbbi kétszeresét az előbbihez adva épp a d ¯ vektort kapjuk:

d ¯ =2( c ¯ a ¯ )+( b ¯ a ¯ )=3 a ¯ + b ¯ +2 c ¯ .

Tehát a vektorok lineárisan összefüggőek.

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Ha a ¯ =( 3 1 2 ) , b ¯ =( 1 2 1 ) , akkor 4 a ¯ 7 b ¯ =
( 19 9 1 )
( 19 10 1 )
( 19 10 1 )
( 19 10 1 )

2. feladat

Legyen a ¯ =( 1 1 2 4 ) és b ¯ =( 2 1 1 3 ) . Ekkor 3 a ¯ +2 b ¯ =
( 1 5 8 6 )
( 1 5 8 6 )
( 1 5 8 6 )
( 1 5 8 6 )

3. feladat

Adottak az a ¯ =( 1 2 0 3 ) , b ¯ =( 1 1 1 1 ) és c ¯ =( 2 1 4 0 ) vektorok. Melyik két vektor merőleges egymásra?
a ¯ b ¯ , de a c ¯ vektor nem merőleges sem a ¯ vektorra sem b ¯ vektorra.
a ¯ b ¯ és a ¯ c ¯ , de b ¯ nem merőleges c ¯ vektorra.
Egyik vektor sem merőleges a másik kettőre.
Páronként merőlegesek egymásra.

4. feladat

Legyen a ¯ =( 2 1 3 ) , b ¯ =( 3 4 5 ) , c ¯ =( 3 0 4 ) és d ¯ =( 2 1 2 ) . Határozzuk meg a vektorok hosszát!
a ¯ = 14 , b ¯ =2 5 , c ¯ =5 , d ¯ =2 2 .
a ¯ = 14 , b ¯ =2 5 , c ¯ =5 , d ¯ =3 .
a ¯ = 14 , b ¯ =5 2 , c ¯ =5 , d ¯ =3 .
a ¯ = 13 , b ¯ =5 2 , c ¯ =5 , d ¯ =2 2 .

5. feladat

Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 1 3 0 1 ), b ¯ =( 0 1 1 0 ), c ¯ =( 1 2 1 3 ), d ¯ =( 1 1 2 3 )

R 4 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.
d ¯ =0 a ¯ +3 b ¯ + c ¯ .
d ¯ = a ¯ +3 b ¯ + c ¯ .
Lineárisan függetlenek.
d ¯ =3 b ¯ +2 c ¯ .

6. feladat

Lineárisan függetlenek-e az

a ¯ =( 0 0 1 ), b ¯ =( 2 0 0 ), c ¯ =( 0 1 0 )

R 3 -beli vektorok? Ha igen, bizonyítsuk ezt be. Ha nem, állítsuk elő valamelyiket a többi lineáris kombinációjaként.
c ¯ = b ¯ + a ¯ .
a ¯ = b ¯ + c ¯ .
Lineárisan függetlenek.
b ¯ = c ¯ a ¯ .