KURZUS: Matematika II.

MODUL: Többváltozós függvények

12. lecke: Láncszabály, Implicit függvény differenciálása

Tanulási cél: Összetett függvények differenciálása a láncszabály segítségével. Implicit függvények differenciálási módszerének az elsajátítása.

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 2.5. és 2.6. fejezetek

Elméleti összefoglaló
A láncszabály

Tétel. (Láncszabály.)

Legyenek g 1 , g 2 ,, g n :( a,b )IR differenciálható függvények és f: D f IR egy olyan n-változós függvény, melyre R g 1 × R g 2 ×× R g n D f és differenciálható a R g 1 × R g 2 ×× R g n pontokban. Ekkor a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ),, g n ( t ) ),t( a,b )

formulával képzett összetett függvény is differenciálható és

h ( t 0 )= i=1 n x i f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ),, g n ( t 0 ) ) g i ( t 0 ) , t 0 ( a,b ).

Implicit függvény differenciálása

Tétel. (Implicit függvény differenciálása.) Tegyük fel, hogy az

y=f( x ),x D f

egy

G( x,y )=0

implicit alakban megadott egyváltozós függvény. Ekkor, ha a G kétváltozós függvény differenciálható az ( x 0 , y 0 )=( x 0 ,f( x 0 ) ) pontban és y G( x 0 , y 0 )0 ,  akkor az f is differenciálható az x 0 pontban és

f ( x )= x G( x,f( x ) ) y G( x,f( x ) ) .

Kidolgozott feladatok

12.1. Legyen

g 1 ( t )= t 2 +3, g 2 ( t )= e 1t ,tIR

és

f( x,y )= x 2 +2 y 2 ,( x,y )I R 2 .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),tIR

összetett függvény deriváltját a t 0 =1 helyen!

Megoldás.

f( x,y ) x =2x, f( x,y ) y =4y,

és

g 1 ( t )=2t, g 2 ( t )= e 1t .

Ezért

h ( t 0 )= x f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ) ) g 1 ( t 0 )+ y f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ) ) g 2 ( t 0 ) =2( t 0 2 +3 )2 t 0 +4 e 1 t 0 ( e 1 t 0 ).

Így

h ( 1 )=2( 1 2 +3 )21+4 e 11 ( e 11 )=12.

12.2. Legyen

g 1 ( t )=lnt, g 2 ( t )= t+3 ,t[ 1, )

és

f( x,y )=ln( 2x+3y ) .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),t[ 1, )

összetett függvény deriváltját a t 0 =1 helyen!

Megoldás.

f( x,y ) x = 2 2x+3y , f( x,y ) y = 3 2x+3y ,

és

g 1 ( t )= 1 t , g 2 ( t )= 1 2 t+3 .

Ezért

h ( t 0 )= x f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ) ) g 1 ( t 0 )+ y f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ) ) g 2 ( t 0 ) = 2 2ln t 0 +3 t 0 +3 1 t 0 + 3 2ln t 0 +3 t 0 +3 1 2 t 0 +3 .

Így

h ( 1 )= 2 2ln1+3 1+3 1 1 + 3 2ln1+3 1+3 1 2 1+3 = 11 24 .

12.3. Legyen

g 1 ( t )=3cost, g 2 ( t )=2sint,t[ 0,2π ]

és

f( x,y )= x 2 + y 2 6,( x,y )I R 2 .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),t[ 0,2π ]

összetett függvény deriváltját a t 0 = π 4 helyen!

Megoldás.

f( x,y ) x =2x, f( x,y ) y =2y,

és

g 1 ( t )=3sint, g 2 ( t )=2cost.

Ezért

h ( t 0 )= x f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ) ) g 1 ( t 0 )+ y f( g 1 ( t 0 ), g 2 ( t 0 ) ) g 2 ( t 0 ) =6cos t 0 ( 3sin t 0 )+4sin t 0 2cos t 0 =5sin( 2 t 0 ).

Így

h ( π 4 )=5sin( 2 π 4 )=5.

12.4. Határozzuk meg az

x 2 + y 2 4xy+2=0

implicit alakban megadott függvény deriváltját az x 0 =1 helyen!

Megoldás. Esetünkben

G( x,y )= x 2 + y 2 4xy+2

és

G( x,y ) x =2x4y, G( x,y ) y =2y4x.

Az y 0 értéket az

x 0 2 + y 0 2 4 x 0 y 0 +2=0 y 0 2 4 y 0 +3=0

azonosságból határozzuk meg. Innen azt kapjuk, hogy

y 0 = 4± 1612 2 = 4±2 2 ,

azaz az implicit függvényes megadás két explicit függvényhez is tartozik. Az egyik esetben a ( x 0 , y 0 )=( 1,3 ) és

f ( 1 )= G( 1,3 ) x G( 1,3 ) y = 2143 2341 =5,

a másik esetben pedig ( x 0 , y 0 )=( 1,1 ) és

f ( 1 )= G( 1,1 ) x G( 1,1 ) y = 2141 2141 =1,

12.5. Határozzuk meg az

e x 2 + y 2 = x 2 y 2

implicit alakban megadott függvény deriváltját!

Megoldás. Esetünkben

G( x,y )= e x 2 + y 2 x 2 y 2

és

G( x,y ) x =2x e x 2 + y 2 2x y 2 , G( x,y ) y =2y e x 2 + y 2 + 2 x 2 y 3 ,

f ( x )= G( x,y ) x G( x,y ) y = 2x e x 2 + y 2 2x y 2 2y e x 2 + y 2 + 2 x 2 y 3 = x y 3 e x 2 + y 2 xy y 4 e x 2 + y 2 + x 2 .

12.6. Határozzuk meg az

ysinx=xcosy

implicit alakban megadott függvény deriváltját!

Megoldás. Esetünkben

G( x,y )=ysinxxcosy

és

G( x,y ) x =ycosxcosy, G( x,y ) y =sinx+xsiny,

f ( x )= G( x,y ) x G( x,y ) y = ycosxcosy sinx+xsiny .

Ellenőrző kérdések

1. feladat

Legyen

g 1 ( t )= t 3 3t+2, g 2 ( t )= t 2 4,tIR

és

f( x,y )= x 2 + y 2 ,( x,y )I R 2 .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),tIR

összetett függvény deriváltját a t 0 =2 helyen!
h( 2 )=28.
h( 2 )=72.
h( 2 )=0.
h( 2 )=8.

2. feladat

Legyen

g 1 ( t )=sint, g 2 ( t )=t+ π 4 ,tIR

és

f( x,y )= x 2 + cos 2 ( y ),( x,y )I R 2 .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),tIR

összetett függvény deriváltját a t 0 = π 4 helyen!
h( π 4 )=1.
h( π 4 )= 2 2 .
h( π 4 )=0.
h( π 4 )=1.

3. feladat

Legyen

g 1 ( t )=tsint, g 2 ( t )=1cost,tIR

és

f( x,y )=ln( 2xy+1 ). .

Határozzuk meg a

h( t )=f( g 1 ( t ), g 2 ( t ) ),tIR

összetett függvény deriváltját a t 0 = π 2 helyen!
h( π 2 )= 1 π2 .
h( π 2 )= 1 2π .
h( π 2 )= π 2 1.
h( π 2 )=1 π 2 .

4. feladat

Határozzuk meg az

x 2 y 2 5x+3y+6=0

implicit alakban megadott függvény deriváltját az y 0 ( x 0 )=0 helyen!
Az( x 0 , y 0 )=( 2,0 )esetben f ( 2 )=1, az( x 0 , y 0 )=( 3,0 )esetben f ( 3 )=1.
Az( x 0 , y 0 )=( 2,0 )esetben f ( 2 )= 1 3 , az( x 0 , y 0 )=( 3,0 )esetben f ( 3 )= 1 3 .
Az( x 0 , y 0 )=( 2,0 )esetben f ( 2 )= 1 3 , az( x 0 , y 0 )=( 3,0 )esetben f ( 3 )= 1 3 .
Az( x 0 , y 0 )=( 2,0 )esetben f ( 2 )=1, az( x 0 , y 0 )=( 3,0 )esetben f ( 3 )=1.

5. feladat

Határozzuk meg az

e x 2 y 2 = x y

implicit alakban megadott függvény deriváltját!
f ( x )= y2xy e x 2 y 2 x2 y 3 e x 2 y 2 .
f ( x )= y+2xy e x 2 y 2 x+2 y 3 e x 2 y 2 .
f ( x )= y2x y 2 e x 2 y 2 x2 y 3 e x 2 y 2 .
f ( x )= y2x y 2 e x 2 y 2 x2 y 2 e x 2 y 2 .

6. feladat

Határozzuk meg az

sin( x )cos( y )+ln( xy )=1

implicit alakban megadott függvény deriváltját!
f ( x )= xycos( x )cos( y )y xysin( x )sin( y )+x .
f ( x )= xycos( x )cos( x )+y xysin( y )sin( y )x .
f ( x )= xycos( x )cos( y )+y xysin( x )sin( y )x .
f ( x )= xysin( x )sin( y )+y xycos( x )cos( y )x .