KURZUS: Gépszerkezettan II.

MODUL: I. modul: A gépelemek méretezésének alapelvei

Kiegészítés az I. modulhoz

Az alábbiakban néhány egyszerű feladat részleges megoldását követheti nyomon. Kérjük, tanulmányozta ezeket a feladatokat, majd próbálja önállóan is megoldani valamennyit.

A példákban összefoglaltuk azokat a szilárdságtani tudnivalókat is, amelyek ismerete nélkül a megoldásokhoz nem, vagy csak nagyon nehezen juthatunk el.

1. Acél esetében a megengedett feszültség meghatározásához határfeszültségnek az anyag folyáshatárát tekintjük.

Határozzuk meg a megengedett feszültséget az ReH = 250 N/mm2 folyáshatárú acél esetében, ha a biztonsági tényező értéke n = 1,5!

Számítás: σ meg = σ hat n = 250 1,5 = 167 N/mm2

2. Egyszerű igénybevételről akkor beszélünk, ha a gépalkatrészt egyidejűleg csak egyfajta (húzó, nyomó, hajlító, ...) igénybevétel terheli.

Húzó igénybevétel: egy adott gépalkatrész valamely felületére merőlegesen ható erő, amely azt erő irányú növekedésre készteti. Húzáskor az alkatrészben σ feszültség ébred.

Az alapegyenlet:

σ= F A = húzóerő húzottfelület [ N m m 2 ]

Feladat: Határozzuk meg az ébredő feszültséget egy kör keresztmetszetű rúdban, ha a rúd átmérője d=20 mm, a húzóerő pedig F=70000 N.

Számítás:

σ= F A , ahol A= d 2 π 4 [mm2]

σ= 700004 20 2 π 223 N m m 2

Milyen folyáshatárú anyagból készülhet a rúd, ha n =1,5-szörös biztonságot szeretnénk?

Határesetben a σ meg = σ ébredő =223  N mm 2

σ meg = σ határ n = R eH n R eH = σ meg n

ReH = 223*1,5 = 334,5 N/mm2

3. Határozza meg egy húzott kör keresztmetszetű rúdban az ébredő feszültséget!
Ellenőrizze, hogy a választott anyagminőségű (folyáshatárú) acél kibírja-e az igénybevételt?

Adatok:
terhelés, F = 10000N
átmérő, d = 30 mm
folyáshatár, ReH = 290 N/mm2
biztonsági tényező, n = 1,5

Számítás:

A rúdban ébredő tényleges feszültség,

σ= F A = F d 2 π 4 = 4F d 2 π = 410000 30 2 π 14,2 N m m 2

A választott anyag akkor megfelelő, ha σ tényleges σ meg

σ meg = σ határ n = R eH n = 290 1,5 =193,3 N m m 2 , tehát a választott anyag feszültség szempontjából megfelel.

Megjegyzés: egyéb szempontok (pl. gazdasági, formai) alapján ez a rúd túlméretezett, mert az ébredő feszültség túl kicsi a megengedetthez képest.
Csökkenthetjük tehát a rúd átmérőjét, vagy választhatunk kevésbé jó minőségű, vagyis kisebb folyáshatárú anyagot.

4. Nyomás: az alkatrész felületére merőleges erő hat, amely alakváltozás szempontjából rövidülést eredményez. A rúdban σ feszültség ébred. Az alapegyenlet:

σ= F A = nyomóerő nyomottfelület [ N m m 2 ]

Feladat: Négyzet keresztmetszetű oszlopot F=200000N nyomásra vesz igénybe. Az oszlop keresztmetszetének oldalhossza, a = 50 mm, anyagának folyáshatára 250N/mm2.
A szerkezet biztonsága szempontjából az anyagminőségi biztonsági tényezőt n = 2-nek választjuk. Megfelelő-e az alkalmazott oszlop?

Adatok:
F = 200000 N
a = 50 mm - amiből a felület: A = a2 = 502 = 2500 mm2
ReH = 250 N/mm2
n = 2, így:

σ meg = R eH n = 220 2 =110 N m m 2

Az oszlopban ébredő tényleges feszültség:

σ= F A = 200000 2500 =80 N m m 2

σ< σ meg , tehát az oszlop megfelelő!

5. Mekkora átmérőjű rúddal helyettesíthetnénk az előbbi négyzet keresztmetszetű oszlopot?

6. Nyírásnál τ, azaz csúsztatófeszültség ébred. A nyírás alapegyenlete:

τ= F A = nyíróerő nyírtkeresztmetszet =[ N m m 2 ]

A tényleges nyírófeszültséget mindig a megengedett nyírófeszültséghez ( τ meg ) kell viszonyítani.

Feladat: Egy csapot F = 8 kN nyíróerő terhel. A csap anyagára megengedett σ feszültség: σ meg =120  N mm 2 .

Mekkora átmérőjű csap bírja ki ezt az igénybevételt?

Adatok: F = 8 kN

σ meg =120  N mm 2 τ meg =0,65 σ meg =78  N mm 2

Határesetben τ tényleges = τ meg , ami a méretezés alapkikötése.

τ tényleges = F A ; A= d 2 π 4 [ m m 2 ]

τ tényleges = F4 d 2 π = τ meg d= 48000 π78 = 130,65 =11,43mm , tehát a csap átmérője kerekítve d = 12 mm, amely méretű csap már kibírja a fenti igénybevételt.

7. Hajlításnál σ feszültség ébred. A hajlítás alapegyenlete:

σ= M K = hajlítónyomaték keresztmetszetitényező [ N m m 2 ]

A hajlítónyomaték mindig a terhelés (erő) és karja segítségével számítható:

M = F * k [Nmm]

A hajlító igénybevételnél nagyon fontos a keresztmetszet alakja, mert az ébredő feszültség nemcsak a keresztmetszet nagyságától, hanem annak alakjától is függ. Ezt vesszük figyelembe a másodrendű vagy inercia nyomatékkal, illetve a keresztmetszeti tényezővel.
A keresztmetszeti tényező az inercianyomaték (I) és a szélsőszál távolságának (inerciasugár = e) hányadosa, bármely keresztmetszet esetén.
(A szélsőszál a semleges vonaltól (tengelytől) vett legnagyobb távolság.)

Feladat: Kör keresztmetszetű rudat F = 10 kN erő 100 mm karon hajlításra vesz igénybe. A rúd átmérője 40 mm, a megengedett feszültség a rúd anyagára 150 N/mm2.
Kibírja-e a rúd ezt az igénybevételt?

Adatok:
F = 10 kN = 10000 N
d = 40 mm
k = 100 mm
σ meg = 150 N/mm2

A hajlítónyomaték: M = F * k = 10000 * 100 = 106 Nmm

A keresztmetszeti tényező: K= I e , ahol I = a kör másodrendű nyomatéka: I= d 4 π 64 , a szélsőszál távolsága pedig: e= d 2 .

Behelyettesítve: K= d 4 π 64 d 2 = d 3 π 32 [ m m 3 ]

A fenti adatokkal: K= 40 3 π 32 =6280m m 3

A tényleges hajlítófeszültség: σ= M K = 10 6 6280 159,24 N m m 2 , tehát a rúd nem bírja ki a fenti igénybevételt, mert σ tényleges hajl. > σ meg

8. Egy tengely terhelése és helyzete az alábbi modellel jellemezhető:

Adatok:
F = 10 kN
l = 600 mm
d = 50 mm
a tengely anyagára megengedett feszültség: σ meg = 140 N/mm2

Mekkora hajlítófeszültség ébred a tengelyben?
Kibírja-e a tengely ezt az igénybevételt?

9. Milyen folyáshatárú anyagból kell készíteni (ReH =?) azt a tengelyt, amelyet M=110 Nm hajlítónyomaték terhel, a tengely átmérője d=60 mm, az elvárt biztonság pedig n =1,5?

10. Csavarásnál a keresztmetszet síkjába eső τ , ún. csúsztató feszültség ébred. A csavarás alapegyenlete:

τ= T K p = csavarónyomaték poláriskeresztmetszetitényező [ N m m 2 ]

A poláris keresztmetszeti tényező a poláris vagy más néven pontra számított másodrendű nyomatékból számítható, mértékegysége mm3.

Feladat: Egy forgó tengelyt T = 2*103 Nm csavarónyomaték terhel. A tengely átmérője d = 50 mm, a megengedett feszültség τ meg = 85 N/mm2.

Kibírja-e a tengely ezt az igénybevételt?

Adatok:
T = 2000 Nm = 2*106 Nmm
d = 50 mm
τ meg = 85 N/mm2

τ tényleges = ?

τ= T K p , ahol a Kp a körkeresztmetszet poláris keresztmetszeti tényezője:

K p = I p e , ahol I p = d 4 π 32 , e= d 2

K p = d 3 π 16 [ m m 3 ]

A fenti adatokkal: τ tényleges = T K p = 16T d 3 π = 162 10 6 50 3 π =81,5 N m m 2

Tehát a tengely kibírja az igénybevételt, mert: τ tényleges < τ meg

11. Ellenőrizze az alábbi forgó tengelyt csavarásra!

Adatok:
P = 20 kW = 2* 104 W = 2 * 104 Nm/sec
n = 10 1/sec
d = 30 mm
τ meg = 80 N/mm2

A csavarónyomaték:

T= P ω = P 2πn = 20000 2π10 =318,47Nm

A poláris keresztmetszeti tényező:

K p = d 3 π 16 = 30 3 π 16 =5298,75m m 3

A csavarófeszültség:

τ cs = T K p = 3,1847 10 5 5,29875 10 3 60 N m m 2

Megfelel a tengely, mert: τ cs < τ meg

12. Mekkora átmérőjű tengely kell P = 20 kW teljesítményű és n = 10 1/sec fordulatú hajtásnál, ha a tengely anyagára σ meg acél = 240 N/mm2 feszültség tartható?