KURZUS: Alkalmazott operációkutatás

MODUL: I. modul: Az operációkutatás tárgya és módszerei

1. lecke: Lineáris programozás fogalma és grafikus megoldása

Tanulási útmutató

Az operációkutatás tárgyát és módszereit a tankönyv Bevezetés című fejezetében találja meg. Különösen felhívjuk figyelmét a kvantitatív matematikai módszerek három irányzatára. Nem feltétlen kell a fogalmakat szóról szóra megtanulni. Fontos a lényeges kulcsszavak megjegyzése, ezek azonosítják a fogalmat és különböztetik a másik fogalmaktól.

Először olvassa el a fejezetet, figyeljen oda a fogalmakban található kulcsszavakra. Konkrét példák segítik a tananyag megértését, ezért azokat is figyelmesen olvassa el. A Grafikus ábrázolás szemléletessé teszi a problémát és segíti a matematikai problémák numerikus megoldását is. A grafikus szemléltetést azért is alkalmazzuk előszeretettel, mert középiskolában általánosan használt megoldásként tanulták.

Mindig legyen kéznél jegyzetfüzet, hogy rajzokat, számításokat maga is elvégezze. Kövesse a jegyzet által bemutatott elrendezést, hogy a lényegest mindig meg tudja különböztetni a mellékszámításoktól.

Tevékenységek
  • Olvassa el tankönyvben található Bevezetést. Jegyezze meg az operációkutatás kialakulásának történetét. Jellemző kulcsszavak felhasználásával fogalmazza meg az ökonometria, az operációkutatás és kibernetika definícióját.
  • Olvassa el a tankönyvben található üzletember példát. Megismerheti az üzletember gondolkodásának sajátságait. Foglalja össze az üzletember gondolkodásának sajátosságait!
  • Olvassa és jegyezze meg a gazdasági modellezés fogalmát és lépéseit. Különösen fontos, hogy a modell három fő alkatrészét megjegyezze és megértse: a döntési változókat, a tevékenység célját leíró célfüggvényt és a tevékenység korlátozását megadó egyenlőtlenség rendszert.
  • Olvassa el a tankönyvben található Bevezetés a lineáris programozásba című részt. Tanulja meg a lineáris programozás fogalmát.
  • Figyelmesen olvassa el a tankönyvben található példát. Itt fontos, gyakorlatban is előforduló gazdasági, logikai, matematikai fogalmat talál. Ezek megértése után tudja felírni a matematikai modellt. Töltsön itt annyi időt, míg meg nem értette a szövegből következő matematikai összefüggéseket.
  • A matematikai modellt ábrázolja a középiskolában tanult koordináta-geometria módszerével. Igen megkönnyíti az ábrázolást, ha a tengelymetszeteket keresi meg! Ezt egy négyzetrácsos lapon érdemes elvégezni, hogy jól leolvashatók legyenek az L halmaz csúcspontjainak koordinátái. Ha a célfüggvényt jól tudta ábrázolni, akkor nem feltétlen kell a tankönyvben bemutatott számítást elvégezni, de fontos lesz az optimális megoldást mutató csúcspontok koordinátáit meghatározni és a hozzátartozó célfüggvény értéket kiszámítani.
  • Értelmezze a bemutatott minimumfeladatot! Ha jól megértette a grafikus ábrázolás lényegét és vele kapcsolatos matematikai-gazdasági fogalmakat, akkor már könnyű lesz a minimumfeladat értelmezése és megérti a tankönyvben bemutatott "Optimális megoldás vizsgálatát".
  • Javaslom, hogy a következő lecke tanulása előtt nézze át a grafikus megoldásokat és rögzítse az itt tanult fogalmakat.
Követelmények
  • Adott kulcsszavak felhasználásával ki tudja egészíteni az ökonometria, az operációkutatás és a kibernetika fogalmára vonatkozó hiányos mondatokat.
  • A felsorolásból ki tudja választani a modell legfontosabb alkatrészeit és azok fogalmát.
  • Felsorolásból ki tudja választani a modell fogalmát.
  • Adott szöveges problémának fel tudja írni a matematikai nyelvén a megfelelőjét. Adott szöveges feladat alapján meg tudja határozni a matematikai modell együtthatóit, feltételeit, relációit, célfüggvényeit.
  • Grafikus módszerrel meg tudja határozni egy konkrét kétváltozós lineáris programozási modell optimális megoldását.
  • A sajátosságok felismerésével be tudja jelölni az alternatív optimum, a célfüggvény nem korlátos, az ellentmondó feltételek esetét.
Önellenőrző feladatok

1. Fogalmazza meg az ökonometria, az operációkutatás és a kibernetika (mint gazdasági döntés-előkészítés) lényegét!

12345
számítógépes szimulációtörvényszerűségeketbonyolult rendszerekmatematikai statisztikaitényadatok
678910
gazdasági optimummatematikai programozáshálótervezésidősorokágazati kapcsolatok
111213
többváltozós összefüggés-vizsgálatszélsőérték feladatotszabályozás és vezérlését
Egészítse ki az alábbi mondatokat az 1-13 számokkal jelzett szavakkal. Az üres mezőkbe a helyesnek vélt szó számjelét írja. Egy helyre csak egy számot írhat!

1/a Ökonometria olyan tudományos irányzat, amely közgazdasági elmélet által megállapított múltbeli alapján és módszerek felhasználásával számszerűsíti. Jellemző eszközei a(z) elemzése, és a(z) analízise.

1/b Operációkutatás szűkebb értelemben olyan tudományos módszer, amely a döntések előkészítéséhez, a(z) meghatározásához többnyire valamilyen alkalmaz. Jellegzetes eszközei a(z) és a(z) .

1/c Kibernetika olyan tudományos irányzat, amely a(z) felépítését, és működését, valamint a rendszerek tanulmányozza. Jellegzetes eszközei közé tartozik a(z) .

12345
tulajdonságaitkiemelésétleegyszerűsítettlényeglekicsinyített
2. Fogalmazza meg a matematikai modell fogalmát! Egészítse ki az alábbi definíciót a megfelelő szavakat jelző számokkal!

A modell az objektív valóságnak az ember által alkotott képe. A leegyszerűsítés a megragadását és szolgálja. Modell így a vizsgált objektum legfontosabb alkatrészeit, , kapcsolatait tartalmazza.

3. Válassza ki a felsorolásból a modell legfontosabb alkatrészeit!
Tevékenységi vagy döntési változók.
Célfüggvény, amely a döntési változóktól függ.
Inverz mátrix.
Lehetséges megoldások halmaza.
Korlátozó feltételeket kifejező egyenlőtlenség-rendszer.

4. Írja fel a következő gazdasági probléma matematikai modelljét!

Vegyen elő egy lapot, írja le a korlátozó feltételeket és a célfüggvényt! Rendezze úgy, ahogy a szimplex módszer alkalmazásához kell, majd az együtthatókat másolja be a táblázaton látható sémákba!

Kövesse a a i1 x 1 + a i2 x 2 +...+ a in x n ( ) b i sémát.

Egy vállalat 4 féle terméket (T1...T4) termelhet 2 erőforrás (E1, E2) segítségével. Egy hónapban az első erőforrásból (munkaerő) 400 óra, a másikból (gépóra) 150 óra áll rendelkezésre. A termékek fajlagos erőforrás-szükséglete (óra/db), termékek ára és önköltsége az alábbi táblázatban látható:

ErőforrásokT1T2T3T4
E120210
E20349
Termék ára 1000Ft/db81110120175
Önköltsége 1000Ft/db524695105

Mennyit termeljünk az egyes termékekből, hogy a nyereség a lehető legnagyobb legyen?

Írja fel a feladat matematikai modelljét, ha eleget kell tennie a következő feltételeknek:

1.A munkaerőt teljesen ki kell használni.
2.A gépek kapacitása nem léphető túl.
3.A 3. termékből legalább 20 darabbal többet kell termelni, mint a 2. és a 4. termékből együtt.
4.Az 1. és a 4. termék együttes árbevétele legalább 5 000 000 Ft legyen.
5.Az összes költség legfeljebb 2 000 000 forint lehet!
6.A 3. és az 1. termékek árbevételének aránya legfeljebb 3:5 legyen.

Cél: az összes nyereség a lehető legnagyobb legyen!

A "kisebb egyenlő" illetve "nagyobb egyenlő" relációkat két jellel, <= és >= módon írja be! Az együtthatók előjelét is tüntesse fel!
4/a A munkaerőt teljesen ki kell használni.
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtthatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
1. feltétel:
4/b A gépek kapacitása nem léphető túl.
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtthatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
2. feltétel:
4/c A 3. termékből legalább 20 darabbal többet kell termelni, mint a 2. és a 4. termékből együtt.
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtthatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
3. feltétel:
4/d Az 1. és a 4. termék együttes árbevétele legalább 5 000 000 Ft legyen
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtthatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
4. feltétel:
4/e Az összes költség legfeljebb 2 000 000 forint lehet!
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtthatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
5. feltétel:
4/f A 3. és az 1. termékek árbevételének aránya legfeljebb 3:5  legyen.
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtthatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
6. feltétel:
4/g Cél: az összes nyereség a lehető legnagyobb legyen!
x 1
együtthatója
x 2
együtthatója
x 3
együtt-hatója
x 4
együtthatója
relációJobb oldal
b
célfüggvény

5. Oldja meg grafikusan a következő lineáris programozási feladatot!

x 1 x 2 0 x 1 +2 x 2 80 3 x 1 +2 x 2 120 2 x 1 20 z=160 x 1 +80 x 2 max

Vegyen elő egy négyzetrácsos lapot, és ott ábrázolja a lehetséges megoldás halmazát. Majd válassza ki az optimális megoldást és számolja ki a célfüggvény értékét!

5/a Sorolja fel a lehetséges megoldási halmaz csúcspontjainak koordinátáit. Kezdje az origóhoz legközelebb lévővel és az óramutató járásával ellenkező irányban folytassa!

A (; )
B (; )
C (; )
D (; )

5/b Optimális megoldás:

x 1 =
x 2 =
z opt =

5/c Jelölje be, hogy a fenti megoldás melyik esetnek felel meg!
Egy optimális megoldás van
Alternatív optimum esete
Célfüggvény nem korlátos
Ellentmondó feltételek esete

6. Az alábbi ábrák alapján oldja meg a feladatokat!

Melyik ábra melyik esetet szimbolizálja. Írja be az ábra számát.

Egy optimális megoldás van:
Alternatív optimum esete:
Célfüggvény nem korlátos:
Ellentmondó feltételek esete: