MODUL: 1. Komplex számok
1.3. Osztás a komplex számok körében
| Tanulási cél: Az osztás műveletének megismerése. A négy algebrai alapművelet megismerése után az ezekkel való számolás alapos begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 2.1. és 2.2.
Elméleti összefoglaló:
Az osztás definíciója:
.
Ez a formula elég nehézkesen alkalmazható, célszerűbb a képlet helyett magát azt az eljárást használni, amivel a képlet is levezetésre került. Erre szoktunk úgy hivatkozni, hogy osztáskor bővítünk a nevező konjugáltjával.
Az osztás disztributív az összeadásra, azaz
.
A konjugálás és az osztás kapcsolatát fejezi ki az alábbi formula:
. |
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Végezzük el a osztást.
Megoldás: Az osztás definíciója magában foglalja azt az esetet is, amikor valós számmal, mint speciális komplex számmal osztunk. Ilyenkor tehát , és a fenti képlet arra egyszerűsödik, hogy
,
azaz valós számmal úgy osztunk, hogy osztjuk a valós részt és a képzetes részt is.
Ezt felhasználva
. |
2. feladat Mivel egyenlő ?
Megoldás: Végezzük el az osztást úgy, hogy bővítünk a nevező konjugáltjával.
.
A nevezőben egy komplex számnak és a konjugáltjának a szorzata áll, az
formula alapján a nevező:
.
A számlálóban elvégezve a szorzást
.
Ezeket felhasználva
,
amit ki is találhattunk volna, hiszen látható, hogy az eredeti törtben a számláló a nevező -szerese. |
3. feladat Végezzük el a osztást.
Megoldás: Bővítve a nevező konjugáltjával a részletszámítások most a következők:
. |
4. feladat
Megoldás: Az osztási eljárás mindig ugyanaz, bővítünk a nevező konjugáltjával, legfeljebb speciális estben egyszerűbbek a részletszámítások.
.
Ha nem túl fáradságos a valós és a képzetes részt a lehető legegyszerűbb alakban érdemes felírni. Nem célszerű azonban közelítő értékeket használni, hacsak nem elkerülhetetlen. |
5. feladat Számítsuk ki az kifejezést.
Megoldás: Törteket úgy adunk össze, hogy először közös nevezőre hozzuk őket. Ez komplex számok esetén általában a nevezők szorzata, most .
Ezért az első törtet -vel, a második törtet -vel kell bővíteni. Ezeket elvégezve kapjuk, hogy
elvégezve a beszorzásokat és összevonásokat
.
El kell még végeznünk ezt az osztást.
.
|
6. feladat Legyen . Számítsuk ki -t.
Megoldás: Tehát képzetes részét kell kiszámolni. Ezt úgy fogjuk megkapni, hogy kiszámoljuk -t, és leolvassuk, hogy mi a képzetes része.
elvégezve a közös nevezőre hozást és a beszorzásokat, valamint az összevonásokat
.
Végül elvégezve az osztást is
.
Innen leolvasható, hogy
. |
7. feladat Legyen . Számítsuk ki az és az valós számokat.
Megoldás: A komplex szám valós és képzetes része a kérdés. Mivel
,
leolvashatjuk, hogy
. |
8. feladat Ha tudjuk, hogy , mivel egyenlő az és az , ha mindkettő valós szám?
Megoldás: Mivel
,
és
,
azt kapjuk, hogy
.
Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha egyenlők a valós részek és egyenlők a képzetes részek is. Ebből a következő egyenletrendszert kapjuk az ismeretlenekre:
Megoldjuk ezt a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Ha összeadjuk a két egyenletet azt kapjuk, hogy
,
azaz
.
Ezt beírva mondjuk az első egyenletbe
. |
9. feladat Legyen . Határozzuk meg az és az valós számokat.
Megoldás: A második tört nevezőjéből látszik, hogy az feltételnek teljesülnie kell. Az első tört nevezője semmilyen -ra sem lesz nulla. Keresztbeszorzással megszabadulunk a törtektől:
.
Elvégezve a szorzásokat, és összevonva az azonos nemű tagokat:
,
.
Mindkét oldalon egy komplex szám áll, a bal oldali valós része nulla. A valós és képzetes részek egyenlőségéből az ismeretlenekre az alábbi egyenletrendszer adódik:
.
Ez nem egy lineáris egyenletrendszer, de szerencsére könnyen megoldható. A második egyenletből
,
amiből
,
vagy
.
Ha , akkor az első egyenletből .
Ha , akkor .
Ezek kielégítik az feltételt is, ez a két megoldása van tehát a feladatunknak.
Ellenőrző kérdések: |
| 1. kérdés: Mivel egyenlő ? |
|
3. kérdés: |
4. kérdés: Mivel egyenlő az kifejezés? |
5. kérdés: |
6. kérdés: |
7. kérdés: Tegyük fel, hogy . Ekkor az ismeretlenek egy lehetséges értéke: |
8. kérdés: A 7. kérdésben szereplő egyenletnek hány megoldása van, ha az és ismeretlenek valós számok? |
9. kérdés: Az és valós számokra teljesül, hogy . Ekkor az ismeretlenek értéke: |