MODUL: 1. Komplex számok
1.6. Gyökvonás komplex számok körében
| Tanulási cél: Begyakorolni a gyökvonás képletének alkalmazását, és megismerkedni bizonyos, másodfokúra visszavezethető, magasabb fokszámú egyenletek megoldásával.
Tananyag: Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 2.4. és 2.5.
Elméleti összefoglaló: A komplex szám darab -edik gyökét a következő képlettel lehet előállítani:
.
Ebben a képletben a indexnek darab lehetséges értéke van, így kapjuk meg az darab -edik gyököt.
Az olvasót ne zavarja meg az itt szereplő gyökvonás. Ez valós értelemben vett -edik gyöke egy pozitív számnak, aminek az egyetlen pozitív értéke szerepel itt.
Fontos tétel az Algebra alaptétele, mely szerint egy komplex együtthatós -ed fokú polinomnak a komplex számok körében pontosan darab gyöke van.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Számítsuk ki értékeit.
Megoldás: Először felírjuk a
komplex szám trigonometrikus alakját:
.
Alkalmazzuk a gyökvonás fenti képletét.
Ebben a feladatban , tehát három gyök lesz.
,
,
és a index utolsó értéke .
Ha , akkor a fenti képletből
.
Ha , akkor
.
Végül, ha , akkor
.
Ez a három szám a három köbgyöke trigonometrikus alakban.
|
2. feladat Számítsuk ki értékeit.
Megoldás: Felírjuk trigonometrikus alakját.
.
Alkalmazzuk a gyökvonásra vonatkozó képletet. A feladatunkban
, , és .
A gyökvonás képletéből látszik, hogy minden gyök ugyanolyan hosszú. Ez a közös hossz most
.
Az első gyök szöge , a második gyök szöge ennél -kal több, a harmadik gyök szöge a második gyök szögénél -kal több, és így tovább. Tehát
,
,
,
,
. |
3. feladat Számítsuk ki értékeit.
Megoldás: A komplex számok körében minden, nullától különböző, számnak négy darab negyedik gyöke van, az 1-nek is. Az 1 gyökeit egységgyököknek hívják, és számos érdekes tulajdonságuk és alkalmazásuk van.
Minthogy , , , és minden gyök hossza , a keresett negyedik egységgyökök:
,
,
,
. |
4. feladat Számítsuk ki értékeit, és a kapott gyököket ábrázoljuk egy közös koordinátarendszerben.
Megoldás: Először is
.
A gyökök közös hossza .
, és .
Ezeket felhasználva:
,
,
,
,
,
.
Mivel minden gyök 3 hosszú, a gyökök egy origó középpontú, 3 sugarú körre esnek, és mivel a gyökök szöge között eltérés van, a gyökök egy szabályos hatszög csúcsaiban helyezkednek el. Ezt láthatjuk az alábbi ábrán.
 |
5. feladat Oldjuk meg a komplex számok halmazán a egyenletet.
Megoldás: Az Algebra alaptétele értelmében az egyenletnek hat megoldása van.
Vegyük észre, hogy az egyenlet -ben másodfokú:
.
Ha bevezetjük az új ismeretlent, az eredeti egyenlet
alakot ölt.
Ha ennek kiszámoljuk a gyökeit, (két darab gyöke van), és azok mindegyikéből köbgyököt vonunk, megkapjuk az eredeti egyenlet hat gyökét.
Például a másodfokú egyenlet megoldóképletét használva, a két gyök: és .
Köbgyököt vonunk -ből. Felírjuk először trigonometrikus alakját.
.
Innen a három köbgyök, felhasználva, hogy az elsőhöz, amelynek szöge , most -ot kell adogatni, és persze azt, hogy mindegyik gyök hossza :
,
,
.
Hasonlóan , ezért
,
,
.
Ez a hat szám az egyenletünk hat megoldása. Mivel mindegyik gyök szöge nevezetes szög, most a pontos megoldásokat kaptuk meg. Tanácsoljuk az olvasónak, hogy a gyököket írja vissza algebrai alakba és behelyettesítéssel ellenőrizze le a megoldásokat. Pl. , és
.
|
6. feladat Oldjuk meg a komplex számok halmazán a egyenletet.
Megoldás: Bevezetve az helyettesítést az
egyenletet kapjuk. Alkalmazva a megoldóképletet, ennek gyökei:
.
Itt felhasználtuk, hogy .
Innen és . Ezekből kell tehát a helyettesítés szerint négyzetgyököt vonni.
Kezdjük trigonometrikus alakjával:
.
Ennek két négyzetgyöke (, , )
,
.
Hasonlóan
,
aminek két négyzetgyöke
,
.
Megjegyezzük, hogy, például azért, mert az argumentumok közelítő értékek, ezek a gyökök is csak közelítő értékek.
Például, ha -t átírjuk algebrai alakba, akkor, 10 tizedesjegyre pontosan számolva,
adódik, amit behelyettesítve az eredeti egyenletbe az eredmény
,
ami nem nulla. De azért közel van a nullához, a közelítés elég jó.
Megjegyzés: A feladat megoldása során egy negatív valós számból kellett négyzetgyököt vonni. Mivel most a komplex számok halmazán végezzük a gyökvonást, elvileg át kellett volna írnunk ezt a számot trigonometrikus alakra, és abban elvégezni a gyökvonást, melynek eredményeként két darab komplex számot kapunk. Azonban ebben a speciális esetben rövidebben is eljárhatunk. A negatív valós számot szorzattá bontjuk úgy, hogy az egyik tényező a szám abszolút értéke, a másik pedig legyen. Ezután a gyökvonást tényezőnként végezhetjük el. Tudjuk azonban, hogy két olyan komplex szám van, melyeknek négyzete -gyel egyenlő, s ezek az és komplex számok. Azaz nem kell elvégezni trigonometrikus alakban a -ből a gyökvonást, mert az eredményt anélkül is tudjuk. Ezután a tényezők gyökeinek szorzataként kapjuk az eredeti szám gyökeit, azaz . Ezt az egyszerűbb eljárást akkor alkalmazhatjuk, ha negatív számból kell négyzetgyököt vonnunk. Ha köbgyököt, vagy magasabb kitevőjű gyököt kell vonnunk, akkor át kell térnünk trigonometrikus alakra, és a gyökvonást abban kell elvégeznünk. |
7. feladat Oldjuk meg a komplex számok körében a egyenletet.
Megoldás: Ez egy komplex együtthatós egyenlet, de ez a megoldás menetén nem változtat.
Bevezetve az helyettesítést az egyenlet
alakot ölt. A megoldóképlet komplex együtthatók esetén is érvényes, tehát
,
ahonnan , és .
Ezután
,
és miatt
,
,
.
Teljesen hasonlóan
,
és így
,
,
.
Ez a hat szám a hat megoldás, amelyek most, mivel az argumentumok nevezetes szögek, pontos gyökök.
Ellenőrző kérdések: |