MODUL: 1. Komplex számok
1.2. Komplex számok szorzása és a konjugálás művelete
| Tanulási cél: A szorzás és a konjugálás műveletének megismerése, a műveleti azonosságok begyakorlása. |
Tananyag: Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 2.1. és 2.2. |
Elméleti összefoglaló:
A szorzás definíciója:
. |
A szorzás kommutatív művelet, azaz
.
A szorzás asszociatív művelet, azaz
.
A szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz
.
A komplex szám konjugáltja a .
A konjugálás idempotens művelet, azaz
.
Összeget tagonként lehet konjugálni, azaz
.
Szorzatot tényezőnként lehet konjugálni, azaz
.
Ezek a képletek többtagú összegre vagy többtényezős szorzatra is érvényesek. |
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Végezzük el az szorzást.
Megoldás:
A szorzás definíciója szerint
.
Eljárhatunk úgy is, hogy minden tagot megszorzunk minden taggal, majd figyelembe véve, hogy , összevonjuk az azonos nemű tagokat:
.
Ez utóbbi gyakran biztonságosabb, mint a definíció közvetlen alkalmazása. |
2. feladat Mivel egyenlő ?
Megoldás:
.
De alkalmazhatjuk a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó formulát is, hiszen a komplex számok körében - egy-két kivételtől eltekintve - minden, a valós számokra megismert azonosság ugyanúgy igaz.
Ekkor azt kapjuk, hogy
.
A két eredmény természetesen ugyanaz. |
3. feladat Legyen . Számoljuk ki a kifejezés értékét.
Megoldás:
Először is . A szorzás definíciója persze a valós számmal, mint speciális komplex számmal való szorzást is mágában foglalja és a definíció arra egyszerűsödik, hogy valós számmal úgy szorzunk komplex számot, hogy megszorozzuk mind a valós, mind a képzetes részt.
Ezért
,
és így
.
Ezeket felhasználva
. |
4. feladat Számoljuk ki az kifejezést.
Megoldás:
Ha elkezdjük kiszámolni a képzetes egység hatványait ezt kapjuk:
, , , , , ami ugyanaz, mint , , ami ugyanaz, mint , ... és így tovább, a hatványok ciklikusan ismétlődnek.
Tehát
,
és
.
Ezeket felhasználva
. |
5. feladat Mivel egyenlő ?
Megoldás:
Mivel , ezért
.
Láthatjuk tehát, hogy amikor a képzetes egység természetes szám kitevőjű hatványát számoljuk csak a kitevő néggyel vett osztási maradéka számít.
|
6. feladat Számoljuk ki a kifejezést.
Megoldás:
Mivel a szorzás kommutatív és asszociatív, bármelyik két szám szorzatát megszorozva a harmadikkal megkapjuk a kifejezés értékét. Például
,
és így
. |
7. feladat
Megoldás:
.
Vegyük észre, hogy egy komplex számot szoroztunk meg a konjugáltjával és eredményül egy valós számot kaptunk. Ennek később még szerepe lesz. |
8. feladat Tekintsük a és a komplex számokat. Számoljuk ki értékét.
Megoldás:
Mivel
,
tehát
.
De, mivel összeget tagonként lehet konjugálni, számolhattunk volna így is:
|
9. feladat Legyen és . Mivel egyenlő
Megoldás:
Bonyolult kifejezések értékét általában sokféle úton ki lehet számolni.
Járjunk el most a következőképpen. Először is
,
így
,
amiből
.
Végül is tehát
|
10. feladat Oldjuk meg a komplex számok halmazán az alábbi egyenletet.
Megoldás:
Vegyük mindkét oldal konjugáltját:
.
Mivel a konjugált konjugáltja az eredeti szám, arra jutunk, hogy
.
Ebből
.
Egy másik lehetséges megoldás lépései az alábbiak:
,
,
,
,
. |
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mivel egyenlő ? |
2. kérdés: |
3. kérdés: Legyen . Mivel egyenlő |
4. kérdés: |
|
6. kérdés: |
7. kérdés: |
8. kérdés: Legyen , . Mivel egyenlő ? |
9. kérdés: |