MODUL: 4. Integrálszámítás
4.11. Improprius integrálok
| Tanulási cél: Az improprius integrálok fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 8.7.
Elméleti összefoglaló: 1. Ha az integrálási intervallum nem korlátos: Ha az értelmezett az intervallumon, és integrálható minden esetben az intervallumon, valamint létezik a határérték, akkor ezt a határértéket az függvény intervallumra vett improprius integráljának nevezzük.
Jelölésben:
Szemléletesen az függvény grafikonja és az -tengely közötti előjeles területet adja meg az intervallumon.

Bár olyan síkidom előjeles területéről van szó, mely az egyik irányban nem véges, ha létezik a határérték, akkor létezik az előjeles terület is.
Hasonlóképpen járunk el, ha intervallumon kell integrálnunk.
Ekkor: .

Ha pedig az integrálási intervallum, akkor:
.

2. Ha a függvény az integrálási intervallumon nem korlátos: Legyen az függvény értelmezett az intervallumon és az hely jobboldali környezetében nem korlátos. Ha a függvény integrálható minden intervallumon és létezik a határérték, akkor ezt a határértéket az függvény intervallumon vett improprius integráljának nevezzük.
Jelölésben:
Szemléletesen most olyan síkidom előjeles területéről van szó, mely az -tengely irányában nem véges.

Hasonlóan járunk el, ha a függvény az hely baloldali környezetében nem korlátos.
Ekkor: .

Ha a függvény nem korlátos sem az hely jobboldali, sem az hely baloldali környezetében, akkor:
.

Ha a függvény egy, az intervallum belsejében levő hely környezetében nem korlátos, akkor:
.

Mint az eddigiekből látható, az improprius integrálokat határérték kiszámításával kapjuk meg. Ha nincsen véges határérték, akkor azt mondjuk, az improprius integrál divergens.
Felhívjuk a figyelmet arra, ha a függvény nem korlátos az integrálási intervallumon, akkor ez magának az integrál felírásának alakjából, nem egyértelmű. Csak ha megvizsgáljuk, milyen értékeket vesz fel a függvény, akkor derül ki, hogy improprius integrállal állunk szemben. Ha határozott integrál kiszámítása a feladat, akkor először mindig a függvény korlátosságát kell vizsgálnunk az integrálási intervallumon. Nagyon sok esetben azért improprius egy integrál, mert valamilyen tört az integrandus, és nevezőnek zérushelye van az integrálási intervallum belsejében vagy határán. Törtek integrálásakor tehát mindig vizsgáljuk meg, hol van a nevezőnek zérushelye.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat
Megoldás: Az integrál improprius, hiszen a felső integrálási határ , tehát határértéket kell vennünk.
Az ilyen esetekben célszerű külön elvégezni a határozatlan integrálást, hogy az integrandus átalakításai közben ne kelljen mindig írnunk a határértéket is. Járjunk el most is így, és az integrandusban a gyököt írjuk hatványként. Ezután alakítsuk az egész függvényt egyetlen hatvánnyá, és végezzük el az integrálást. Az eredményt ilyenkor érdemes gyökös alakban megadni.
A primitív függvénnyel térjünk vissza az eredeti integrálhoz, s helyettesítsünk be a Newton-Leibniz formulába.
Még a hatérérték meghatározása van hátra. A zárójelben egy függvény áll, melynek a változója, s ennek a függvénynek keressük a határértékét esetén. (Ha valakit zavar, hogy most nem a változó, akkor cserélje ki -t -re, s így a határértéket kapja.)
Mivel , ezért , s ez egyben a végeredmény is,
azaz .
|
2. feladat
Megoldás: Az integrálás felső határa , megint határértéket kell felírnunk.
A határozatlan integrálást végezzük el külön, mint az előző feladatban.
A primitív függvény ismeretében helyettesítsük be a határokat, s határozzuk meg a határértéket.
Mivel most nem kaptunk véges határértéket, így az integrál divergens.
|
3. feladat
Megoldás: Most az alsó integrálási határ nem véges, ezért írunk fel határértéket.
A határozatlan integrálásnál ne feledkezzünk meg a lineáris belső függvényről, hiszen a kitevőben nem , hanem áll.
Folytassuk az eredeti integrál meghatározását.
(Itt felhasználtuk, hogy , hiszen valamint .)
|
4. feladat
Megoldás: Mivel az alsó integrálási határ ,ezért a következő határértéket kell felírnunk.
Most is hajtsuk végre külön a határozatlan integrálást, s ehhez az integrandust írjuk hatványként. A lineáris belső függvényről itt sem szabad megfeledkezni.
Folytassuk ezután az improprius integrál kiszámítását.
(Felhasználtuk, hogy .)
Nincs véges határérték, azaz az integrál divergens.
|
5. feladat
Megoldás: Egyik határ sem véges, ezért kettős határértéket kell vennünk.
A határozatlan integráláshoz hajtsunk végre a nevezőben teljes négyzetté alakítást.
Térjünk vissza az improprius integrálhoz.
(Itt azt használtuk fel, hogy , valamint .)
|
6. feladat
Megoldás: Ismét kettős határértéket kell felírnunk, mert az integrálási intervallum egyik irányban sem véges.
A primitív függvény meghatározásához emeljünk ki az integrál elé -et, s így a nevezőben a gyök alatt -gyel kell osztanunk. Ezután az -et írjuk alakban.
Folytathatjuk az eredeti feladatot.
(Itt arra hivatkoztunk, hogy , valamint .)
Nem kaptunk véges határértéket, azaz az integrál divergens.
|
7. feladat
Megoldás: A határok végesek, de az integrandus nincsen értelmezve az helyen, és ezen hely jobboldali környezetében nem korlátos. Az integrál tehát improprius, s a következő határértékkel számolható ki.
A határozatlan integrálásnál járjunk el úgy, mint az előző feladatban, csak most -ot emelünk ki, s a keletkező helyére írunk -t.
Miután már ismerjük a primitív függvényt, behelyettesíthetjük a határokat, s a határérték is meghatározható.
(Most a határértékre hivatkoztunk, mert .)
|
8. feladat
Megoldás: Az integrandus nincs értelmezve az helyen, s ezen hely jobboldali környezetében nem korlátos. Az integrál így határértékkel számolható ki.
Írjuk az integrandust hatványként.
Helyettesítsük be a határokat, s határozzuk meg a határértéket.
(Itt , hiszen a tört nevezője pozitívan tart -hoz.)
Az integrál tehát divergens, hiszen nincs véges határérték.
|
9. feladat
Megoldás: Az integrál azért improprius, mert , s így az helyen nincs értelmezve a függvény, s ezen hely baloldali környezetében nem korlátos. Az integrál meghatározásához a következő határértéket kell felírnunk.
A határozatlan integráláshoz az -öt írjuk hatványként, mert így típusú lesz az integrandus.
Helyettesítsünk a Newton-Leibniz formulába, és határozzuk meg a limeszt.
(Mivel , ezért négyzete, majd a négyzet köbgyöke is tart zérushoz.)
|
10. feladat
Megoldás: A függvény nincs értelmezve az helyen, és ezen hely baloldali környezetében nem korlátos, ezért
.
A határozatlan integráláshoz a számlálóba írjunk egy -es szorzót, s az integrál elé pedig -et, mert így típusú lesz az integrandus.
Végezzük el az integrálási határok behelyettesítését, s számoljuk ki a határértéket.
(Mert , és , ezért .)
Mivel nem kaptunk véges határértéket, ezért az integrál divergens.
|
11. feladat
Megoldás: Az integrandus egyik integrálási határnál sincs értelmezve, s ezek megfelelő környezetében nem is korlátos. Ezért kénytelenek vagyunk kettős határértéket venni.
A primitív függvény meghatározásához, emeljünk ki az integrál elé -et, majd az -ot írjuk a gyök alatt inkább alakban.
Végezzük el a határok behelyettesítését, határozzuk meg a limeszeket.
(Mivel , és , ezért . Ugyanígy , és , ezért .)
|
12. feladat
Megoldás: Határozzuk meg a nevező gyökeit, hogy lássuk van-e zérushelye az integrálási intervallumban, mert a nevező zérushelyeinek környezetében a tört nem korlátos.
A gyökökből látható, hogy amint az előző feladatban, most sincs értelmezve az integrandus egyik határnál sem, s ezek megfelelő környezetében nem is korlátos, ezért ismét kettős limeszt kell felírnunk.
Az integrandus jelen esetben egy racionális tört, ha lehet, fel kell bontani résztörtekre. Ehhez írjuk fel a nevező gyöktényezős alakját. A gyököket már korábban meghatároztuk
Írjuk fel a megfelelő alakú résztörteket, és hozzunk közös nevezőre.
A számlálók egyenlőségéből írjuk fel az egyenletrendszert.
(az elsőfokú tagok egyenlőségéből)
(a konstansok egyenlőségéből)
Ennek megoldása: .
Írjuk be a határozatlan integrálba a függvény résztörtekre bontott alakját, s integráljunk.
Helyettesítsük be az integrálási határokat, s számítsuk ki a határértékeket.
(Itt , és miatt , valamint , és miatt .)
Az integrál divergens, mert nincs véges határérték.
|
13. feladat
Megoldás: Az integrandus nincsen értelmezve az helyen, s ezen hely környezetében nem is korlátos. Mivel ez a hely az integrálási intervallum belsejében van, ezért két részletben kell integrálnunk. Először -től -ig, majd -tól -ig. Ezek az integrálok külön-külön is impropriusok, így mindegyik esetén limeszt kell venni.
Írjuk az integrandust hatványként, s végezzük el a határozatlan integrálást.
Helyettesítsünk a Newton-Leibniz formulába, s határozzuk meg a határértékeket.
(Itt teljesen nyilvánvaló.)
|
14. feladat
Megoldás: Az integrálandó függvény nincs értelmezve az helyen, s e hely környezetében nem korlátos. Ismét két részletben kell integrálni, s mindegyik esetben határértéket kell venni.
A határozatlan integráláshoz írjuk az integrandust szorzatként úgy, hogy az egyik tényező hatványa, a másik pedig , mert így típusú lesz.
A szokásos módon helyettesítsük a határokat, és számoljuk ki a limeszeket.
(Itt , mert a nevező pozitívan tart zérushoz, és , mivel a nevező ekkor negatívan tart zérushoz.)
Nem kaptunk véges értéket, tehát az improprius integrál divergens.
Ellenőrző kérdések:
|