MODUL: 1. Komplex számok
1.4. Komplex számok ábrázolása, a trigonometrikus alak
| Tanulási cél: Az Argand diagram és a trigonometrikus alak megismerése, komplex szám trigonometrikus alakra való átírásának begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 2.3.
Elméleti összefoglaló:
A komplex számok ábrázolása
Tekintsük a síkon azt a derékszögű koordináta rendszert, amelynek vízszintes tengelyén - az úgynevezett valós tengelyen - az valós szám az egység, a függőleges tengelyén pedig - az úgynevezett képzetes tengelyen - az komplex szám az egység.
Ekkor a komplex szám az koordinátájú ponttal ábrázolható. Ez az ábrázolás az Argand diagram.
Így a komplex számok és a sík pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre.
Szokás a komplex számot a koordináta rendszer origójából az koordinátájú pontba mutató vektorral is ábrázolni. Mi is ezt fogjuk használni.
A trigonometrikus alak
Minden nullától különböző komplex szám egyértelműen felírható
alakban, ahol az
valós szám a komplex szám hossza, vagy abszolút értéke, és az
,
képlettel számolható,
a komplex szám szöge, vagy argumentuma,
ez az a szög, amellyel a valós tengely pozitív felét az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy a komplex számot ábrázoló vektor irányára essen.
Erre a szögre teljesül, hogy
, és esetén .
Mivel a tangens függvény szerint periódikus, és között két olyan szög van, amelynek a tangense egy adott érték, ezért a meghatározása mindig a komplex szám ábrázolása és az argumentum berajzolása után történik az alábbi módon:
1) Ha a a valós tengelyre esik, azaz , akkor esetén , esetén .
2) Ha a a képzetes tengelyre esik, azaz , akkor esetén , esetén .
3) A többi esetben, azaz, ha és , meghatározása egy segédszög segítségével történik. Ennek a szögnek a definíciója a következő:
A koordináta rendszer origóját jelöljük -val, a komplex számot ábrázoló vektor végpontját -vel. Vetítsük le -t merőlegesen a vízszintes tengelyre és legyen a talppont . Az derékszögű háromszög -nál lévő szöge a . Erre a szögre teljesül, hogy , és értéke a képletből számológéppel kiszámolható.
Ezek után,
ha az első negyedben van, azaz , akkor ,
ha a második negyedben van, azaz , akkor ,
ha a harmadik negyedben van, azaz , akkor ,
végül
ha a negyedik negyedben van, azaz , akkor .
Ez egy ijesztően hosszú és bonyodalmas definíciónak tűnhet, de látni fogjuk rögtön, hogy nem olyan bonyolult a használata. |
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Ábrázoljuk egy koordináta renszerben a , a , a és a komplex számokat.
Megoldás:
Látjuk, hogy mind a négy komplex szám valamelyik koordináta tengelyre esik. Az alábbi ábrán láthatjuk őket:
 |
2. feladat Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben a , a , a és a komplex számokat.
Megoldás:
Mind a négy komplex szám más-más síknegyedbe esik, az alábbi ábrán láthatjuk őket.
 |
3. feladat Ábrázoljuk a és az komplex számokat és rajzoljuk be a szögüket is.
Megoldás: Külön ábrát rajzolunk -nek és -nek. Ne feledjük, hogy a komplex szám szöge az a szög, amivel a valós tengely pozitív felét az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy a komplex számot ábrázoló vektor irányába essen.
esetén az ábránk:
 |
esetén a következő ábrát kapjuk:
 |
4. feladat Írjuk fel a , a , a és a komplex számokat trigonometrikus alakban.
Megoldás:Trigonometrikus alakra való átíráskor először mindig ábrázoljuk a komplex számot.
esetén az alábbi ábrából indulunk ki:
 |
Erről az ábráról leolvashatjuk, hogy a komplex számunk hossza , a szöge pedig .
Persze a hosszt kiszámolhatuk volna az formulával is, de most egyszerűbb volt leolvasni az ábráról.
A trigonometrikus alak tehát:
.
esetén a kiinduló ábra:
 |
Most az látszik, hogy a komplex számunk hossza , a szöge . Ezért a trigonometrikus alak
.
esetén a kiinduló ábra:
 |
Most nyilvánvalóan a hossz, és a szög . Ezek alapján a trigonometrikus alak
.
Végül a -re vonatkozó ábra:
 |
Látható, hogy a hossz , és a szög . Ezért a trigonometrikus alak
. |
5. feladat Írjuk fel trigonometrikus alakját.
Megoldás: Ábrázoljuk -t:
 |
Először kiszámoljuk a hosszt.
.
Ezután meghatározzuk a szöget. A segédszögre most az teljesül, hogy , amiből .
Mivel az ábráról látható, hogy az első síknegyedbe esik
.
Ezek alapján a trigonometrikus alak:
. |
6. feladat Határozzuk meg a komplex szám trigonometrikus alakját.
Megoldás: Ábrázoljuk -t, értékét -del közelítjük az ábrán, számoláskor persze a pontos értékkel számolunk:
 |
A hossz
.
A segédszögre , amiből .
Látjuk az ábráról, hogy a komplex számunk a második negyedben van, ezért .
Ezek alapján a trigonometrikus alak
. |
7. feladat Írjuk fel a komplex szám trigonometrikus alakját.
Megoldás: Kezdjük az ábrával, melyen -t -del közelítjük.
 |
Kiszámoljuk a hosszt, de nem az előbbi közelítő értéket használjuk, hanem a pontos értéket.
.
Az argumentum meghatározásakor a segédszögre teljesül, hogy
,
amiből .
Mivel a szóban forgó komplex szám a harmadik negyedben van
.
Végül is a trigonometrikus alak tehát:
.
|
8. feladat Határozzuk meg trigonometrikus alakját.
Megoldás: Ábrázoljuk -t, felhasználva a közelítést.
 |
Először következzék a hossz meghatározása:
.
A segédszögre , ahonnan . Minthogy a komplex szám a negyedik negyedbe esik
.
Végül ezek alapján a trigonometrikus alak:
. |
9. feladat Mivel egyenlő trigonometrikus alakja?
Megoldás: A fenti alak nem trigonometrikus alak, mert az előtt kivonás áll. Figyeljünk erre! Attól, hogy szögfüggvények szerepelnek egy szám felírásában, még nem következik, hogy az trigonometrikus alakja egy komplex számnak. Az trigonometrikus alakban az pozitív, és a szög és közé esik, a képzetes egység a szinuszos rész szorzója, és a két trigonometrikus tag között összeadás van.
Mivel trigonometrikus alakot az algebrai alakból tudunk átírni, felírjuk algebrai alakját:
.
Ezt ábrázolva az alábbi ábrát kapjuk:
 |
Innen most már
.
Másrészt , amiből .
Miután a harmadik negyedben van .
Ezekből a trigonometrikus alak:
. |
10. feladat Írjuk fel trigonometrikus alakját.
Megoldás: Ez sem trigonometrikus alak: a zárójelen kívüli szorzó negatív, és a szögfüggvények argumentuma nem egyenlő.
Először meghatározzuk az algebrai alakot.
.
Elkészítjük ábráját.
 |
Most már a hosszra adódik, a segédszögre , amiből . Minthogy az első negyedbe esik, . Ezek felhasználásával a trigonometrikus alak:
. |
11. feladat Legyen . Írjuk fel trigonometrikus alakját.
Megoldás: Szükségünk lesz algebrai alakjára, ennek meghatározásával kezdjük.
.
Innen
.
Ábrázoljuk -at, felhasználva a közelítést.
 |
hosszára kapjuk, hogy
,
ami persze ugyanannyi, mint hossza.
Most a segédszögre , amiből .
Minthogy az első síknegyedben van, a szögére .
Ezek alapján a keresett trigonometrikus alak:
.
Láthatjuk, hogy szögének és szögének az összege . Érdemes végiggondolni, hogy ez mindig így van.
Ellenőrző kérdések: |