MODUL: 4. Integrálszámítás
4.10. A határozott integrál további alkalmazásai
| Tanulási cél: Megismerni a határozott integrál néhány matematikai, és egy fizikai alkalmazását.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 8.12.-8.14.
Elméleti összefoglaló: 1. Forgástest térfogata: Ha a folytonos függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó részét megforgatjuk az -tengely körül, akkor a keletkező forgástest térfogata:
.
2. Síkgörbe ívhossza: Az intervallumon folytonosan differenciálható függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának ívhossza:
.
3. Forgástest palástjának felszíne: Ha a nemnegatív, folytonosan differenciálható függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó részét megforgatjuk az -tengely körül, akkor a keletkező forgástest palástjának felszíne:
.
4. Munka: a. Változó erő munkája: Ha egy test egyenes vonalú pályán mozog, és mozgása során a pályával párhuzamos, helytől függő erő hat rá, akkor ezen erő munkája miközben a test az helyzetből a helyzetbe kerül:
,
ahol az erőt a függvény írja le, s a test helyét pedig az adja meg.
b. Gáz tágulási munkája: Miközben egy gáz térfogata -ről -re változik, munkát végez, mely munka:
,
ahol a függvény a nyomást adja meg a térfogat függvényében. Ha a gáz kitágul, akkor ez a munka pozitív, a gáz végez munkát a környezetén, míg ha a térfogat csökken, akkor a munka negatív, hiszen a környezet végez a gázon munkát.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Forgassuk meg az függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó részét, s számoljuk ki a keletkező forgástest térfogatát!
Megoldás: A megadott függvényt, és intervallumot be kell helyettesítenünk a forgástest térfogatára vonatkozó képletbe, majd ki kell számolnunk a határozott integrál értékét.
Megjegyzés: A határozott integrál alkalmazásainál általában annyi a feladat, hogy be kell helyettesítenünk a feladatban megadott függvényt egy képletbe, s az így kapott integrált ki kell számolnunk. Ha az integrandus egyszerű, mint ebben a feladatban, akkor ez nem okoz gondot. Ha viszont az integrandus bonyolult, akkor különböző integrálási módszereket kell alkalmaznunk.
|
2. feladat Határozzuk meg azon forgástest térfogatát, melyet az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli forgatásával kapunk!
Megoldás: Helyettesítsünk be ugyanúgy a térfogat képletébe, mint az előző feladatban.
A primitív függvény meghatározásához parciális integrálásra van szükség, célszerű külön elvégezni a határozatlan integrálást. A szereposztásról is döntenünk kell, legyen és . Állítsuk elő -et és -et.
Helyettesítsünk a szabályba, majd határozzuk meg a visszamaradó integrált is.
Térjünk vissza a térfogathoz.
|
3. feladat Számoljuk ki azon forgástest térfogatát, mely az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli forgatásával keletkezik!
Megoldás: Helyettesítsük be most is a függvényt és az intervallumot a térfogatképletbe.
Ehhez nagyon hasonló integrandussal még a modul első leckéjének 8. feladatában találkoztunk. Alakítsuk hasonló módon a függvényt, mint abban a feladatban. Írjuk be, hogy .
Használjuk fel az azonosságot, melyből . Helyettesítsük ezt a számlálóba, majd darboljuk fel a törtet két törtre, és egyszerűsítsünk. Ezután már el lehet végezni az integrálást, majd behelyettesíthetjük a határokat.
|
4. feladat Határozzuk meg az függvény görbéjének ívhosszát a intervallumon!
Megoldás: Helyettesítsünk a folytonos görbe ívhosszának képletébe. Mivel ebben a függvény deriváltja szerepel, ezért állítsuk elő a deriváltat.
Most jöhet az ívhossz.
Az integrandus összetett függvény, melynek belső függvénye lineáris. Amint az a modul második leckéjében szerepelt, ilyenkor integráljuk a külső függvényt, s osztunk a belső függvényből együtthatójával.
|
5. feladat Mennyi az ívhossza az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának?
Megoldás: Vegyük a függvény deriváltját.
Helyettesítsük be az ívhossz képletébe, majd a gyök alatt végezzük el a műveleteket.
A gyök alatti kifejezésben teljes négyzetet lehet felismerni, s így elűnik a négyzetgyök, és a függvényt tudjuk integrálni. Utána már csak a határokat kell behelyettesíteni.
Megjegyzés: Amikor görbe ívhosszát kell meghatároznunk, akkor sajnos egy olyan képletbe kell helyettesítenünk, amelyben gyök szerepel. Emiatt az integrálás általában nehéz, hacsak a gyök alatti kifejezés nem elsőfokú, vagy nem ismerünk fel teljes négyzetet. A behelyettesítés után mindig el kell végezni a műveleteket a gyök alatt, és a kapott kifejezést megvizsgálni, nem teljes négyzet-e.
|
6. feladat Számítsuk ki az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának ívhosszát!
Megoldás: Deriváljuk a függvényt.
Helyettesítsünk az ívhossz képletébe.
Az integrálást ebben az alakban nem tudjuk elvégezni. Célszerűbb a helyett visszatérni
-re, majd a négyzetreemelés után, közös nevezőre hozni a gyök alatt. Ezután a számlálóban egy nevezetes kifejezést ismerhetünk fel, melynek értéke . Így viszont már teljes négyzet áll a gyök alatt, s a gyök kiköszöbölhető. (Abszolút értékre nincsen szükség, mert a függvény az integrálási intervallumon pozitív.)
A gond ezután az, hogy a a nevezőben szerepel. Használjuk a nevezőben a következő átalakítást. Mivel minden esetben igaz, és , ezért esetben . Mivel így a nevezőben a félszögek szögfüggvényei jelennek meg, célszerű a számlálóba is ezeket behozni, tehát az helyére a kifejezést írni. A törtet ezután célszerű két törtre bontani, s azokat egyszerűsíteni.
A nevezőkben szereplő -es szorzók helyett írjunk inkább a számlálókba -eket, valamint az első tört elé és a tört számlálójába negatív előjelet, mert így típusú törteket kapunk. Ezeket már tudjuk integrálni, s átalakítás után be lehet a határokat helyettesíteni.
|
7. feladat Határozzuk meg az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli megforgatásakor keletkező forgástest palástjának felszínét!
Megoldás: Mivel a felszín képletében is szerepel a függvény deriváltja, most is kezdjünk a deriválással.
Helyettesítsünk be a képletbe.
A gyök alatt emeljünk négyzetre, majd hozzunk közös gyök alá, és végezzük el a műveleteket.
Az integrandus olyan összetett függvény, melynek belső függvénye lineáris. Integráljuk a külső függvényt, s ne feledkezzünk meg arról, hogy osztani kell a belső függvényből együtthatójával.
|
8. feladat Számoljuk ki azon forgástest palástjának felszínét, mely az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli forgatásakor keletkezik!
Megoldás: Deriváljuk a függvényt.
Helyettesítsünk a palástfelszín képletébe.
Írjuk a gyököt inkább hatványként, valamint szorozzunk -gyel, s az integrál elé pedig írjunk -et, mert ekkor az integrandus típusú lesz.
|
9. feladat: Mennyi a palástfelszíne annak a forgástestnek, melyet az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli forgatásával kapunk?
Megoldás: Állítsuk elő a függvény deriváltját.
Helyettesítsünk a palástfelszínt megadó képletbe.
Mivel , ezért .
Adjuk össze az és azonosságokat, s osszuk -vel. Így kapjuk a azonosságot, melyet írjunk be az integrandusba.
A integrálásánál ne feledkezzünk meg a lineáris belső függvényről, ami miatt osztani kell -vel.
|
10. feladat Mennyi munkát kell végezni ahhoz, hogy egy tömegű űrhajót magasra juttassunk a Föld felszínétől? A Föld sugara: . A Föld Tömege: . A gravitációs állandó: .
Megoldás: Az űrhajóra a Föld által kifejtett gravitációs erő hat, mely arányos az űrhajó és a Föld tömegével, és fordítva arányos tömegközéppontjaik távolságának négyzetével.
Képletben: .
Mivel a mozgás során változik a két test tömegközéppontjának távolsága, ezért változik az erő is, azaz az erő a távolság függvénye lesz. Matematikában jobban megszokot jelöléssel azt írhatjuk, hogy most , és . Az elméleti összefoglalóban szerepelt, hogy változó erő esetén . Ebbe az függvényt már be tudjuk helyettesíteni, de szükségünk van még az integrálási határokra is. Ezek azt adják meg, hogy a test kezdeti és végső helyzetéhez, az változó milyen értékei tartoznak. Kezdetben a Föld felszínén van az űrhajó, tehát , a végső helyzetben pedig a felszín felett magasságban lesz, tehát . Így már felírható a konkrét feladathoz tartozó integrál, s a munka kiszámolható.
Az integrálban állandó, így ezek kiemelhetők az integrál elé.
Megjegyzés: A behelyettesítés során célszerű mindent SI alapegységben helyettesíteni, s így az eredményt is SI alapegységben kapjuk meg. Jelen esetben a -ről célszerű áttérni -re, s -ról -ra.
|
11. feladat Kezdetben téfogatú és nyomású héliumgáz adiabatikusan tágul térfogatra. Mennyi munkát végez tágulása során a gáz?
Megoldás: Az adiabatikus folyamatokban állandó, ahol . Itt a gázrészecskék szabadsági fokainak számát jelenti, ami egyatomos gázok esetén . Ilyen gáz a hélium is, hiszen nemesgáz. Feladatunkban tehát . Ahhoz, hogy a munkát kiszámolhassuk, fel kell írnunk a függvényt, azaz meg kell adnunk, hogyan változik a nyomás a térfogat függvényében. Mivel állandó , azaz a keresett függvény , hiszen ebben csak a térfogat változik. Helyettesítsük ezt be a tágulási munka képletébe.
Mivel állandó, ezért kiemelhető az integrál elé.
Ebbe már be lehet helyettesíteni a konkrét adatokat.
Megjegyzés: Mivel állandó, ezért az utolsó összefüggésben helyére is írható, és így a munka egyszerűbben is kifejezhető.
Ez a munka legyegyszerűbb kifejezési módja adiabatikus tágulás esetén. Ahhoz azonban, hogy ezt használni tudjuk, szükségünk van -re. Ezt a egyenletből lehet kiszámolni.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mekkora az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest térfogata? |
2. kérdés: Mekkora térfogatú test keletkezik az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli megforgatásakor? |
3. kérdés: Mennyi az ívhossza az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának? |
4. kérdés: Milyen hosszú az függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó darabja? |
5. kérdés: Mekkora az függvény intervallumhoz tartozó görbedarabjának -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest palástjának felszíne? |
6. kérdés: Ha az függvény grafikonjának intervallumhoz tartozó darabját megforgatjuk az -tengely körül, akkor mekkora lesz a keletkező forgástest palástjának felszíne? |
7. kérdés: Egy nagyságú, rögzített, pozitív töltéstől távolságra nagyságú, szabad, pozitív töltés található. Mennyi munkát végez a töltés körüli elektromos mező a töltésen, miközben a két töltés -re távolodik el egymástól? Két pontszerű töltés közötti erő: , ahol a két töltés távolsága, és . |
8. kérdés: Kezdetben térfogatú, nyomású gáz állandó hőmérsékleten térfogatra tágul. Mennyi munkát végez tágulás közben a gáz? Izoterm folyamatokban állandó. |