MODUL: 4. Integrálszámítás
4.7. Helyettesítéses integrálás
| Tanulási cél: A helyettesítéssel történő integrálás módszerének elsajátítása, és alkalmazása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 8.3. és 8.9.-8.11.
Elméleti összefoglaló: Ha az egy primitív függvénye , akkor . Ennek helyességét deriválással könnyen ellenőrizhetjük. Azaz tudjuk integrálni az olyan szorzatokat, melyeknek egyik tényezője egy összetett függvény, integrálható külső függvénnyel, a másik tényezője pedig az összetett függvény belső függvényének deriváltja, vagy annak számszorosa. A feladatok megoldását áttekinthetőbbé tehetjük, ha a következő leírási móddal élünk. Legyen . Deriváljuk mindkét oldalt, és -nek szerint deriváltját jelöljük -szel. Kapjuk: , melyből . Írjuk be ezeket az integrandusba.
Azaz a függvényt egy új változóval helyettesítjük, s a kapott függvényt ezen új változó szerint integráljuk. Az eredményben vissza kell helyettesíteni az új változó helyére a függvényt, melyet helyettesítettünk. A feladatok megoldása során gyakran nem a egyenlőség két oldalát deriváljuk szerint, hanem ezt rendezzük -re, és kapjuk, hogy , ahol a függvény inverze, s ezt deriváljuk szerint. Ennek eredménye lesz, melyből . A helyettesítés során mindenképpen azt kell elérnünk, hogy a régi változót teljesen kiküszöböljük, és csak az új változó maradjon az integrandusban. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy a régi és az új változó differenciálja, és , általában nem egyenlő. A köztük fennálló kapcsolatot, a helyettesítést leíró egyenlet deriválásával kapjuk.
Bizonyos esetekben nem az változó egy függvényét célszerű egy új változóval helyettesíteni, hanem az helyére az új változó valamilyen függvényét írni, azaz a régi változót helyettesítjük egy függvénnyel. Ilyenkor . Ezt deriváljuk szerint, és -t kapunk, melyből .
Beírva az integrandusba: .
Ezután elvégezzük az integrálást, majd visszahelyettesítünk.
A helyettesítés bármelyik módját hasznájuk, a helyettesítéssel nem magát az integrálást végezzük el. Ilyenkor az integrandust alakítjuk át, s célunk egy könnyebben integrálható függvényt kapni, mint amilyen az eredeti volt. Az integrálási lépés majd ezután következik.
A helyettesítést nagyon gyakran célszerű alkalmaznunk a következő esetekben: 1. Ha az integrandus valamelyik része összetett függvény. Ilyenkor a belső függvényt tekinthetjük új változónak, s a helyettesítés után már nem lesz összetett függvény. 2. Ha az integrandus olyan tört, melyben vagy szerepel. Ilyenkor a gyökös kifejezést vagy az exponenciálist tekintjük az új változónak, s a helyettesítés után áltálában racionális törtfüggvényt kapunk. 3. Ha az integrandusban négyzetgyök alatt másodfokú kifejezés szerepel, de az integrandus nem a gyökös kifejezés reciproka. Ilyenkor olyan helyettesítést hajtunk végre, hogy a gyök alatt teljes négyzet alakuljon ki, s ezáltal eltűnjön a gyök. Sokszor az vagy helyettesítés vezet célhoz.
A 2.1.2., 2.1.3. és 2.1.4. leckékben tárgyalt integrálási módszerek a helyettesítéses integrálás speciális esetei, de gyakori előfordulásuk miatt célszerű őket külön kezelni. |
Kidolgozott feladatok:
1. feladat
Megoldás: Az integrandus számlálójában szerepel egy összetett függvény, érdemes megpróbálnunk helyettesíteni ennek belső függvényét egy új változóval.
Rendezzük ezt -re.
Deriváljuk méndkét oldalt szerint.
Helyettesítsük be ezeket az integrandusba, egyszerűsítsünk, végezzük el az integrálást, és helyettesítsünk vissza.
|
2. feladat
Megoldás: Az integranduson belül most is látható egy összetett függvény, próbálkozhatunk a belső függvény helyettesítésével.
Fejezzük ki -et.
Deriváljunk szerint.
Végezzük el a helyettesítést az integrandusban, majd egyszerűsítsünk, hajtsuk végre az integrálást, és helyettesítsünk vissza.
|
3. feladat
Megoldás: Ebben a feladatban is találhatunk egy összetett függvényt, a -et, célszerű ennek belső függvényét az új változónak tekinteni.
Átrendezve -re.
Hajtsuk végre a szerinti deriválást.
Írjuk be ezeket az integrandusba, utána egyszerűsítsünk, integráljunk, s térjünk vissza a régi változóra.
|
4. feladat
Megoldás: A egy összetett függvény az integranduson belül, ennek belső függvényét tekinthetjük az új változónak. Utána hajtsuk végre ugyanazokat a lépéseket, mint az előző feladatokban.
|
5. feladat
Megoldás: Az integrandus második tényezője ugyan egy összetett függvény, azonban most nem ennek belső függvényét célszerű helyettesíteni, hanem jobb az egész gyökös kifejezést új változónak tekinteni, mert ekkor az integrandusból el fog tűnni a gyök.
Írjunk be mindezt az integrandusba, és hozzuk a függvényt egyszerűbb alakra.
Ezután integráljuk a kapott polinomot, majd helyettesítsünk vissza.
|
6. feladat
Megoldás: Most az integrandus nevezője egy összetett függvény, azonban most is célszerűbb új változónak az egész gyökös kifejezést tekinteni.
Miután behelyettesítettünk az integrandusba, a kapott függvényt hozzuk egyszerűbb alakra.
Már csak egy polinomot kell integrálnunk, s azt követően visszahelyettesítenünk.
|
7. feladat
Megoldás: Az integrandus összetett függvény, egy gyökös belső függvénnyel, így ezt érdemes új változónak tekinteni.
A helyettesítés után egy szorzatot kaptunk, melynek egyik tényezője elsőfokú polinom, másik pedig . Az ilyen szorzatok esetén használhatjuk a parciális integrálást, mégpedig a polinomot választva -nek, a másik tényezőt pedig -nek.
Térjünk vissza az integrálhoz, s helyettesítsünk be a parciális integrálás szabályába. Utána határozzuk meg a visszamaradt integrált is, végül helyettesítsünk vissza.
|
8. feladat
Megoldás: Olyan törtet kell integrálnunk, melyben többször is szerepel , így célszerű ezt kezelni új változóként. Az ilyen esetben a helyettesítés várhatóan racionális törtfüggvényt eredményez.
Végezzük el az integrandusban a helyettesítést, és egyszerűsítsük a kapott függvényt.
A várakozásnak megfelelően racionális törtfüggvényt kaptunk, ráadásul egy olyan egyszerű törtet, melyet rögtön tudunk integrálni, csak célszerűbb negatív kitevős hatványként írni. Az integrálás után térjünk vissza a régi változóra, azaz helyettesítsünk vissza.
|
9. feladat
Megoldás: Ismét törtet kell integrálni, melyben szerepel gyök, legyen tehát ez az új változó.
Hajtsuk végre a helyettesítést, s írjuk egyetlen törtként a függvényt.
A kapott racionális törtet próbáljuk meg felbontani résztörtekre, mert ilyen formában még nem tudjuk integrálni. Ehhez elsőként határozzuk meg a nevező gyökeit.
Írjuk fel a gyöktényezős alakot.
Bontsuk résztörtekre a függvényt. Mivel két elsőfokú tényező van a nevezőben, ezért a számlálók konstansok lesznek.
Hozzuk közös nevezőre a törteket.
Írjuk fel az azonos fokszámú tagok együtthatóinak egyenlőségéből kapható egyenletrendszert.
(az elsőfokú tagok egyenlőségéből)
(a konstansok egyenlőségéből)
Adjuk hozzá az első egyenlet háromszorosát a második egyenlethez.
Helyettesítsük ezt be valamelyik egyenletbe, s -at kapunk.
Írjuk be az integrandusba a résztörteket, hajtsuk végre az integrálást, majd térjünk vissza a régi változóra.
|
10. feladat
Megoldás: Az integrandus olyan tört, melyben több helyen is szerepel az exponenciális függvény, ezért logikus, hogy ez legyen az új változó.
Végezzük el a helyettesítést, ne feledkezzünk meg arról, hogy . A kapott függvényt egyszerűsítsük.
Olyan racionális törtet kaptunk, melynek nevezője egy tovább már nem bontható, másodfokú kifejezés. (, azaz nincs gyöke a nevezőnek.)
Mivel a számlálóban összeg áll, a törtet szétvághatjuk két tört összegére. Az elsőben észrevehető, hogy a számláló éppen a nevező deriváltja, a második számlálójából pedig kiemelve a konstanst, egy alapintegrált kapunk. Ezután már tudunk integrálni.
Már csak visszahellyettesítenünk kell.
|
11. feladat
Megoldás: Az integrandus ugyanolyan típusú, mint az előző feladatban, így ismét az exponenciális függvényt célszerű új változónak elnevezni.
Ezután járjunk el úgy, mint a 9. feladat megoldásában, azaz határozzuk meg a nevező gyökeit, hogy felbonthassuk a törtet résztörtekre.
Írjuk fel a nevezőt szorzatként.
Írjuk fel, milyen résztörtekre lehet bontani az eredeti törtet. A nevezőben két elsőfokú tényező áll, tehát a számlálók konstansok lesznek.
Hozzuk a törteket közös nevezőre.
Írjuk fel az egyenletrendszert.
(az elsőfokú tagok egyenlőségéből)
(a konstansok egyenlőségéből)
A második egyenlet kétszeresét adjuk hozzá az első egyenlethez.
Ezt behelyettesítve valamelyik egyenletbe, -at kapunk.
Térjünk vissza az integrálhoz. Írjuk be a kapott résztörteket, integráljuk őket, s helyettesítsünk vissza.
|
12. feladat
Megoldás: Az integrálandó függvényben a négyzetgyökös kifejezés az, ami problémát okoz. Jó lenne úgy helyettesíteni, hogy megszabaduljunk a gyöktől. Ehhez a gyök alatt teljes négyzetnek kell kialakulnia. Induljunk el az azonosságból, s rendezzük át a következő módon: . Ebből látszik, hogy ha a gyök alatt helyett állna, akkor teljes négyzet lenne, s kiküszöbölhetnénk a gyököt. Most tehát a változó helyére célszerű egy függvényt helyettesíteni, az alábbiak szerint.
Rendezésre most nincsen szükség, hiszen eleve van kifejezve, így rögtön deriválhatunk.
Hajtsuk végre a helyettesítést, és hozzuk egyszerűbb alakra a függvényt.
Az átalakítás során felhasználtuk, hogy , ami nem minden esetben igaz, hanem általánosan csak mondható. A helyettesítés során azonban nem a teljes függvényt írjuk be az helyére, hanem annak egy olyan leszűkítését, amely szigorúan monoton, s ezáltal invertálható. A visszahelyettesítésnél ugyanis majd a helyére kell beírnunk, hogy miként fejezhető ki -szel, s ehhez léteznie kell a helyettesítésben szereplő függvény inverzének. Ez ebben az esetben azt jelenti, hogy mi a függvényt helyettesítettük csak. Ez a megszorítás viszont azt jelenti, hogy , és így .
Térjünk vissza az integrálhoz. Az első tényezőt célszerűbb szorzattá bontani a következő módon: . Ezután a helyére írható, majd felbonthatjuk a zárójelet.
Mivel , az integrál mindkét tagja típusú, ahol , csak az előjeleket kell megfelelő helyre írni. Ezután végezzük is el az integrálást.
A visszahelyettesítéshez szükségünk van arra, hogyan fejezhető ki az segítségével. Mivel , a sin inverzét kell vennünk, azaz lesz. Ezt kell beírnunk az integrálás eredményébe.
Lényegében készen vagyunk, hiszen az integrálás megtörtént, s visszatértünk a régi változóra. Eredményünk azonban még alakítható. Használjuk fel, hogy , ha .
Itt kihasználtuk, hogy ha egy összetett függvényben a külső függvény inverze a belső függvény, akkor egyszerűen a változót kapjuk. Jelen esetben . Írjuk be ezt az integrálás eredményébe.
|
13. feladat
Megoldás: Mint az előző feladatban, most is a gyök miatt vagyunk gondban, tehát a helyettesítéssel megint a gyöktől szeretnénk megszabadulni. Mivel az -ből kellene teljes négyzetet kialakítani, ezért most az azonosságból indulhatunk ki. Rendezzük ezt át alakra. Ha az helyére kerül, akkor tehát a gyök alatt teljes négyzet fog állni.
A helyettesítés így a következő: .
Deriváljunk szerint.
Írjuk be az integrandusba, és hozzuk egyszerűbb alakra a függvényt.
Az átalkítás során felhasználtuk, hogy , ami nem igaz minden esetben, hanem csak igaz általánosan. A helyettesítésben azonban hasonlóképp, mint az előző feladatban, nem a teljes ch függvényt írjuk a változó helyére, hanem csak annak egy invertálható leszűkítését. Emiatt a megszorítással kell élnünk, amiből következik, hogy , s ezáltal .
Folytassuk tovább az integrandus átalkítását, mert még ebből az alakból sem tudunk integrálni. A négyzettől lenne jó megszabadulni, mert most azzal van a baj. Ehhez két azonosságot használunk fel. Az elsőt már használtuk is, ez az . A második: . Adjuk össze a két azonosságot, és rendezzünk.
Egy új azonnosságot kaptunk, melyet -re vonatkozó linearizáló formulának is neveznek. Írjuk ezt be az integrandusba, s integráljunk tagonként. A második tagnál figyeljünk, mert összetett függvény lineáris belső függvénnyel, osztani kell együtthatójával.
Térjünk vissza az eredeti váltózóra. Ehhez fejezzük ki -t az -szel.
Írjuk be ezt az integrálás eredményébe.
Ezen még tudunk alakítani. Használjuk fel először a azonosságot úgy, hogy helyére kerül. A kapott kifejezés egyszerűbb alakban írható, mert , hiszen egy összetett függvényben a külső fügvény inverze a belső függvény.
A feladat megoldásának elején már szerepelt, hogy . Ebből kővetkezik:
.
Ezt beírva az integrálás eredményébe, a következőt kapjuk:
.
Megjegyzés: A feladat megoldásában felhasználtuk -re vonatkozó linearizáló formulát. Hasonló összefüggés létezik esetében is, és a formulák előállítása is teljesen hasonló. Vagy az és a , vagy az és azonosságokból indulunk el. Ezeket összeadva vagy kivonva, bármelyik négyzetes tag kifejezhető.
|
14. feladat
Megoldás: A probléma ugyanaz, mint az előző két feladatban, azaz a gyököt kellene valahogyan kiküszöbölni. Annyiban azonban más a helyzet, hogy most a gyök alatt van elsőfokú tag is. Ezért mielőtt helyettesítünk, a gyök alatti másodfokú kifejezésben alakítsunk ki teljes négyzetet.
Most vegyük elő az azonosságot, s rendezzük alakra. Látható, hogy ha az helyére kerül, akkor a gyök alatt teljes négyzet fog állni.
Helyettesítésünk ezért a következő: .
Hajtsuk végre a deriválást.
Helyettesítsünk be az integrandusba.
Ugyanazt a függvényt kell integrálnunk, mint az előző feladatban, így felhasználhatjuk az ottani részeredményünket.
Sajnos csak ennyit tudunk átmenteni, mert most mást kell visszahelyettesítenünk, mint az előző példában. Fejezzűk ki -t az segítségével.
Írjuk ezt be az integrálás eredményébe.
Alakítsunk az eredményen ugyanúgy, mint az előzőekben.
Itt egyrészt , hiszen függvény és inverze szerepel egymás után egy összetett függvényben. Másrészt felhasználhatjuk a azonosságot, s a következőt kapjuk:
.
Ezeket beírva: .
Helyettesítsük ezt be az eredménybe.
Ellenőrző kérdések:
|