MODUL: 4. Integrálszámítás
4.4. Integrálási módszerek (3)
| Tanulási cél: Az típusú függvények integrálási módszerének megismerése, s alkalmzása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 8.3.
Elméleti összefoglaló: Ha az integrandus olyan tört, melynek számlálójában a nevező deriváltja áll, akkor az integrálás eredménye a nevező abszolút értékének logaritmusa. Jelölésben:
.
Kidolgozott feladatok:
|
1. feladat
Megoldás: Legyen . Ekkor . Az integrandus tehát típusú.
|
2. feladat
Megoldás: Most , s így .
Mivel minden esetén, ezért az abszolút érték jele elhagyható. (Persze, ha kitesszük, nem hiba.)
Megjegyzés: Ha felismertük, hogy az integrandus típusú, akkor az integrálás már könnyű. A típus felismeréséhez azonban jól kell ismerni az alapderiváltakat, s ha az integrandus tört, célszerű megvizsgálni, nem tartozik-e ebbe a típusba.
|
3. feladat
Megoldás: Azt kell megvizsgálnunk, hogy a nevezőben lévő, függvény deriváltja áll-e a számlálóban. Mivel , ez most nem teljesül, de a számláló ettől csak a konstans szorzóban tér el. Célszerű az integrandust -vel szorozni és osztani, s az osztást az integrál előtt szorzásként írni -del.
Megjegyzés: Hasonlóan mint az előző leckében, most sem baj ha nem pontosan a derivált szerepel, hanem annak valamilyen számszorosa. Ilyenkor beírjuk az integrandusba a hiányzó szorzót, az integrál elé pedig annak reciprokát, s így kapunk típusú integrált. Az abszolút értéket most is elhagyhattuk, hiszen minden esetén pozitív.
|
4. feladat
Megoldás: Mivel ebben a leckében bizonyos típusú törtek integrálásával foglalkozunk, nyilvánvaló, hogy írjunk helyett -et. Legyen , ekkor . A számláló most sem pontosan a nevező deriváltja, hanem annak -szerese. Szorozzuk meg az integrandust ezért -gyel, és az integrál elé is írjunk egy negatív előjelet.
|
5. feladat
Megoldás: Az integrandus ezen alakjában nem igaz, hogy a számláló a nevező deriváltjának valamilyen számszorosa. De mivel olyan törtet kell integrálnunk, melynek nevezőjében szorzat áll, a függvény átalakítható emeletes törtté. Ez kétféle módon is megtehető, mert , azaz jelen esetben . Mivel az függvény deriváltja , most az első átalakítás célszerű, hiszen így alakul ki az típusú integrandus.
|
6. feladat
Megoldás: A számláló most sem számszorosa a nevező deriváltjának, de ismét próbálkozhatunk az emeletes törtté alakítással. Mivel az függvénx deriváltja , az a célszerű, ha a nevezőbe kerül.
Megjegyzés: Az függvény nem vesz fel negatív értéket, az abszolút érték elhagyható.
|
7. feladat
Megoldás: Mint az előző két feladatban, most is az emeletes törtté alakítással próbálkozhatunk. Mivel az függvény deriváltja , ezért az a jó ha a nevezőbe kerül.
|
8. feladat
Megoldás: Határozzuk meg először a nevezőben álló függvény deriváltját.
Ez nem azonos az integrandus számlálójával, de attól csak a konstans szorzóban tér el. Szorozzunk tehát -tel, az integrál elé pedig írjunk -öt.
|
9. feladat
Megoldás: Induljunk most is nevezőben levő függvény deriváltjának meghatározásával.
Ez csak egy előjelben tér el a tört számlálójától, ezért most az integrandust szorozzuk meg -gyel, s írjunk az integrál elé is egy negatív előjelet.
|
10. feladat
Megoldás: Deriváljuk itt is a nevezőben álló függvényt.
Az integrálandó függvény számlálója ettől csak a szorzóban különbözik, tehát szorozzuk meg az integrandust -vel, az integrál elé pedig írjunk -et.
Ellenőrző kérdések:
|