MODUL: 1. Komplex számok
1.5. Szorzás, hatványozás és osztás trigonometrikus alakban
| Tanulási cél: A szorzás, a hatványozás és az osztás begyakorlása trigonometrikus alakban adott komplex számok esetén.
Tananyag: Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1. Fejezet: 2.3. és 2.4.
Elméleti összefoglaló:
Ha , és , akkor
,
azaz a szorzat trigonometrikus alakját a tényezők trigonometrikus alakjából a következőképp kapjuk: a szorzat hossza a tényezők hosszának szorzata, a szorzat szöge a tényezők szögének összege;
,
azaz a hányados trigonometrikus alakját a tényezők trigonometrikus alakjából a következőképp kapjuk: a hányados hossza a számláló hossza osztva a nevező hosszával, a hányados szöge a számláló szöge mínusz a nevező szöge.
A szorzásra vonatkozó képletből következik, hogy a komplex szám -edik hatványa, ahol pozitív egész szám,
.
Mindhárom képlettel kapcsolatban fontos, hogy egy komplex szám szöge és közé eső forgásszög. Ezért a fenti képletekben a szögekre vonatkozó műveletek modulo értendők, azaz csak a -al vett osztási maradék számít. |
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Legyen , . Végezzük el a szorzást és a osztást trigonometrikus alakban.
Megoldás:
Alkalmazva a fenti képleteket azt kapjuk, hogy
,
és
. |
2. feladat Legyen , . Végezzük el a szorzást és a osztást trigonometrikus alakban.
Megoldás: Alkalmazuk a szorzásra vonatkozó képletet. Ekkor
,
ez azonban még nem a végeredmény, hiszen az argumentum nem és közötti szög.
Mivel
,
a -al vett osztási maradék , ez lesz a szorzat szöge.
Vagyis
.
A második kérdés esetén alkalmazva az osztásra vonatkozó képletet, azt kapjuk, hogy
,
ez azonban még nem a végeredmény, mert az argumentum negatív.
Az argumentum forgásszög, és az óramutató járásával ellentétes forgásirány a pozitív forgásirány. A negatív forgásirány azt jelenti, hogy az óramutató járásával megeggyező irányba mérjük fel a negatív szög abszolút értékét.
Az így kapott forgásszöget úgy is megkaphatjuk, hogy a pozitív forgásirányban mérünk fel
a negatív szög
nagyságú forgásszöget, ahogyan az a következő ábrán is látható.

A mi esetünkben tehát lesz az argumentum. Vagyis
. |
3. feladat Számítsuk ki trigonometrikus alakját.
Megoldás: Felírjuk trigonometrikus alakját. A hossz , a segédszögre , amiből . Mivel a negyedik negyedbe esik . Tehát a trigonometrikus alak:
.
Ezt felhasználva
.
Mivel
,
a végeredmény
. |
4. feladat Legyen . Számítsuk ki , és trigonometrikus alakját.
Megoldás: Úgy járunk el, hogy trigonometrikus alakban végezzük el a szorzásokat, így egyből megkapjuk trigonometrikus alakban a végeredményeket. Először felírjuk a , a és az trigonometrikus alakját.
,
,
.
Ezeket felhasználva
,
,
.
Érdemes megjegyezni, hogy ezek szerint pozitív valós számmal úgy szorzunk trigonometrikus alakban lévő számot, hogy csak a hosszt szorozzuk.
Az -vel való szorzás kilencven fokkal elforgatja a komplex számot ábrázoló vektort az óramutató járásával ellentétes irányban.
Tanácsoljuk, hogy a negatív valós számmal való szorzás hatását fogalmazza meg az olvasó magának. |
5. feladat Tekintsük a , a és a komplex számokat. Mi lesz trigonometrikus alakja?
Megoldás: Először is felírjuk trigonometrikus alakját.
.
Szorzáskor a hosszak összeszorzódnak, az argumentumok összeadódnak. Ez több tényező esetén is igaz. Így
. |
6. feladat Legyen és . Számítsuk ki
trigonometrikus alakját.
Megoldás: Mivel
,
és
,
ezért
. |
7. feladat Számítsuk ki trigonometrikus alakját.
Megoldás: Felhasználva, hogy
és
,
. |
8. feladat Tekintsük a következő komplex számokat: , , . Számítsuk ki trigonometrikus alakját.
Megoldás: A számlálóban az összeadást csak algebrai alakban tudjuk elvégezni, így meg kell határoznunk és algebrai alakját.
,
.
Ebből
.
Egyből felírtuk a számláló trigonometrikus alakját, mert a hátralévő osztást célszerű ebben az alakban elvégezni. Végül is
.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Írjuk fel trigonometrikus alakját. Ez |
2. kérdés: trigonometrikus alakjában a szög |
3. kérdés: |
4. kérdés: |
5. kérdés: Ha , akkor trigonometrikus alakja |
6. kérdés: Ha , akkor trigonometrikus alakja |
7. kérdés: Legyen és . Ekkor trigonometrikus alakja |
8. kérdés: Legyen , . Ekkor trigonometrikus alakja |