KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 1. Komplex számok
1.7. A komplex exponenciális függvény és az Euler-formula
Tanulási cél: Begyakorolni a komplex számok trigonometrikus alakjában a szögek radiánban való megadását. Megismerkedni a komplex exponenciális függvénnyel. | ||
Tananyag: | ||
Elméleti összefoglaló: | ||
A komplex számok trigonometrikus alakjában eddig a komplex szám szögét fokban mértük. A szögeket azonban radiánban is mérhetjük. Ez nem annyira szemléletes, mint a fok használata, de számos előnnyel jár, és a komplex számokra alapuló komplex függvénytanban elkerülhetetlen. | ||
A két mértékegység közötti átváltást a | ||
konvenció teszi lehetővé. | ||
Ezek szerint | ||
, és . | ||
Ezek után tetszőleges fokban mért szöget könnyen átválthatunk radiánra, és fordítva. A komplex számok körében eddig megismert minden összefüggés, amelyben a komplex számok szöge fokban volt mérve, akkor is igaz, ha a szöget radiánban mérjük, egyszerűen csak a fokban mért szögeket át kell váltani radiánra. Ahogyan a trigonometrikus alak használatakor a szögekkel végzett műveleteket moduló kellett elvégezni, radián használata esetén az ilyen műveleteket moduló kell elvégezni, azaz csak a -vel vett osztási maradék számít. Némileg zavaró, hogy ha a szögeket radiánban mérjük nem szokás feltüntetni a mértékegységet. Ezek alapján tetszőleges valós szám egy radiánban mért szöget is reprezentál. | ||
Az elemi analízisben, mint majd látjuk, az egyik legfontosabb függvény a középiskolából is ismert exponenciális függvény. Az exponenciális függvény kiterjeszthető a komplex számokra is, és definiálható az szám tetszőleges komplex kitevős hatványa. Ennek a modern matematikában igen nagy szerepe van. | ||
Legyen tetszőleges komplex szám. Ekkor az hatvány definíciója: | ||
. | ||
(Itt a trigonometrikus függvények argumentuma tehát radiánban van mérve.) Vegyük észre, hogy a jobb oldalon voltaképpen egy trigonometrikus alak áll. Ebből az is következik, hogy . | ||
Ez a valós exponenciális függvény általánosítása, be lehet látni, hogy minden eddig megismert azonosság továbbra is érvényben marad, például | ||
. | ||
Nekünk most csak annyi a célunk, hogy ki tudjuk számolni pozitív valós számok komplex kitevős hatványát. | ||
Ha a komplex szám tisztán képzetes, azaz , akkor, (hiszen most , és ), | ||
. | ||
Ezt a nevezetes összefüggést Euler-formulának hívják. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat Váltsuk át az -ot radiánra és az 5 radiánt fokra. | ||
Megoldás: | ||
. | ||
. | ||
2. feladat Számítsuk ki -t. | ||
Megoldás: Legyen , Ekkor a definíció alapján, mivel -ben a valós rész nulla, a képzetes rész pedig : | ||
. | ||
Jegyezzük meg, hogy ezek szerint a komplex exponenciális függvény negatív értékű is lehet, ellentétben a válós exponenciális függvénnyel, amelynek értéke mindig pozitív. | ||
3. feladat Legyen és . Számítsuk ki -et és -t. | ||
Megoldás: Egyrészt | ||
. | ||
Ugyanakkor | ||
hiszen a trigonometrikus függvények szerint periodikusak. Ennek az a meglepő következménye van, hogy a komplex exponenciális függvény szerint periodikus. | ||
4. feladat Legyen , . Számítsuk ki értékét. | ||
Megoldás: Mint azt említettük, a komplex exponenciális függvényre minden korábban megismert azonosság változatlanul érvényes, például . Ezt felhasználva | ||
. | ||
5. feladat Mekkora az komplex szám képzetes része? | ||
Megoldás: Mivel , a keresett képzetes rész . | ||
6. feladat Számítsuk ki értékét. | ||
Megoldás: Az a megoldás kulcsa, hogy fel lehet írni a hatványt alapú hatványként. A középiskolából is tudjuk, hogy . Ezért | ||
. | ||
7. feladat Számítsuk ki értékét. | ||
Megoldás: Hasonlóan járunk el, mint az előző feladatban. | ||
. | ||
8. feladat Oldjuk meg az egyenletet. | ||
Megoldás: Tudjuk, hogy a periodikusság miatt végtelen sok ilyen szám van. Ilyenkor úgy járhatunk el, hogy először meghatározzuk azt a megoldást, amelynek a képzetes része a intervallumba esik. A többi megoldást úgy kapjuk, hogy ehhez hozzáadjuk tetszőleges egészszámú többszörösét. | ||
Legyen . Ekkor hossza egyrészt , másrészt, az egyenletünkből . Tehát , amiből következik. Azt kapjuk, hogy | ||
. | ||
Ez csak akkor teljesülhet, ha és . Tudjuk, hogy a intervallumban két olyan szám van, amelynek a koszinusza nulla: a és a . Ezek közül az első szinusza 1, a másodiké -1, tehát ez a jó nekünk. Így . | ||
Vagyis az egyik megoldás . Az össze megoldás pedig az alábbi alakban adható meg: | ||
, ahol tetszőleges. | ||
9. feladat Oldjuk meg az egyenletet. | ||
Megoldás: Mint az előző feladatban, most is feltehetjük, hogy . Felhasználva, hogy ekkor hossza egyrészt , másrészt az egyenletünkből , kapjuk, hogy , amiből . Figyelembe véve definícióját következik, hogy | ||
. | ||
Itt a második egyenlőségre figyelve kapjuk, hogy és . | ||
Ezeket az egyenleteket csak közelítően lehet megoldani. Tudjuk, hogy a intervallumban két olyan szám van, amelynek koszinusza . Ha ezek egyike , akkor a másik . Így , vagy . Az első érték szinusza pozitív (körülbelül ), ez tehát nem lehet a keresett érték, azaz . Ezek alapján az egyik megoldás , az összes megoldás pedig | ||
, ahol tetszőleges. | ||
Ellenőrző kérdések: |
1. kérdés:
![]() | ||||||||||
2. kérdés:
![]() | ||||||||||
3. kérdés:
![]() | ||||||||||
4. kérdés:
![]() | ||||||||||
5. kérdés:
![]() | ||||||||||
6. kérdés:
![]() | ||||||||||
7. kérdés:
![]() | ||||||||||
8. kérdés: Az egyenlet közelítő megoldása
![]() | ||||||||||
9. kérdés: Az egyenlet közelítő megoldása
![]() |