KURZUS: Matematika II.
MODUL: 3. Lineáris algebra
| Tanulási cél: A sajátértékek és sajátvektorok meghatározásának begyakorlása.
Elméleti összefoglaló: Az -es, négyzetes, mátrix karakterisztikus polinomja a, kifejtés után, -ra nézve pontosan -ed fokú polinom. Itt persze az -es egységmátrix.
A karakterisztikus polinom gyökei, azaz a
egyenlet megoldásai az mátrix sajátértékei.
Egy oszlopvektor az mátrix sajátértékhez tartozó sajátvektor, ha
.
A sajátértékhez tartozó sajátvektorok a
homogén lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatók meg.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 3.7.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Határozzuk meg az mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Megoldás: Tudjuk, hogy a sajátértékek a karakterisztikus polinom gyökei. A karakterisztikus polinomot úgy kapjuk, hogy kifejtjük a determinánst. Ez részletesen kiírva a
mátrix determinánsát jelenti, ami
.
A
karakterisztikus egyenletnek két gyöke van: és . Ezek tehát az mátrix sajátértékei.
A sajátértékhez tartozó sajátvektort úgy kapjuk meg, hogy tekintjük a
együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszert, ami most
,
és meghatározzuk ennek a megoldását.
Az egyenletrendszer kibővített mátrixa
.
Osszuk el az első sort mínusz eggyel.
Vonjuk ki ezután az első sor kétszeresét a második sorból.
Ez az alábbi egyenletrendszert jelenti:
Ennek az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Ezeket célszerű paraméteresen megadni az alábbi alakban.
,
ahol tetszőleges valós szám.
Ebből a -hez tartozó sajátvektort úgy kapjuk, hogy tekintjük azt a vektort, amelynek első koordinátája az első ismeretlen, második koordinátája a második ismeretlen, (és így tovább, ha a mátrix kétszer kettesnél nagyobb méretű). Most tehát
.
Az utolsó felírásból különösen jól látszik, hogy minden -hez tartozó sajátvektor az vektor számszorosa.
Például a -hoz tartozó sajátvektorra is teljesül az
összefüggés, hiszen
.
Meghatározzuk a -hez tartozó sajátvektorokat.
Ehhez megoldjuk a
együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszert, ami most
.
Ennek az egyenletrendszernek a kibővített mátrixa
.
Vonjuk ki az első sort a másodikból. Így a
mátrixot kapjuk, amihez a
egyenletrendszer tartozik. Ennek is végtelen sok megoldása van. Ezek paraméteres megadása az ismeretlent választva paraméternek
,
ahol tetszőleges valós szám.
Így a -höz tartozó sajátvektorra
.
Páldául a -hoz tartozó sajátvektorra is teljesül, hogy
.
|
2. feladat Keressük meg az mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Megoldás: Kezdjük a sajátértékek meghatározásával.
.
Megoldjuk -ra a
egyenletet.
Kifejtve a determinánst a harmadik sora szerint kapjuk, hogy a karakterisztikus polinom
.
Ennek a harmadfókú polinomnak a gyökei a , a nulla tehát kétszeres gyök, és a .
Az mátrixnak sajátértékei tehát a , és a .
A -hoz tartozó sajátvektorok a
együtthatómátrixú
homogén lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatók meg.
Látjuk, hogy ennek az egyenletrendszernek is végtelen sok megoldása van. Sőt, most két ismeretlent is szabadon megválaszthatunk. Ha ezek és a ismeretlenek, akkor a megoldás paraméteres alakban
.
A nulla sajátértékhez tartozó sajátvektorok tehát az
alakú vektorok, ahol és tetszőleges valós szám.
Például esetén az
vektorra is teljesül, hogy
.
A sajátértékhez tartozó sajátvektorok a
együtthatómátrixú
homogén lineáris egyenletrendszer megoldásával kaphatók meg.
Ennek kibővített mátrixa
Cseréljük meg a második és a harmadik sort, majd vonjuk ki az első sort a harmadik sorból. Ekkor kapjuk, hogy
.
Innen leolvashatjuk, hogy , és .
A végtelen sok megoldás, az ismeretlent választva paraméternek
alakban adható meg.
Tehát a -höz tartozó sajátvektorokra
.
Például a paraméterhez tartozó
sajátvektorra teljesül, hogy
. |
3. feladat Számítsuk ki az alábbi mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Megoldás: Mivel
,
.
A egyenletnek ezek szerint három különböző valós gyöke van, ezek
,
ezek a mátrixunk sajátértékei.
A -höz tartozó sajátvektorok a
együtthatómátrixú
homogén lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatók meg.
Ennek kibővített mátrixa
.
Első lépésként cseréljük fel az első és a harmadik sort:
.
Adjuk ezután hozzá az első sort a másodikhoz és az első sor háromszorosát a harmadikhoz. Ekkor az alábbi kibővített mátrixot kapjuk:
.
Ebből leolvasható az egyenletrendszer megoldása.
A második sorból kovetkezik, hogy . Az első sorból az, hogy . Az pedig tetszőleges. Tehát a megoldás paraméteres alakban
.
Innen az sajátvektor
.
esetén kapjuk, hogy az együtthatómátrix, sőt egyből a kibővített mátrix
.
A megoldás első lépéseként cseréljük fel az első és a harmadik sort, majd osszuk el az első sort kettővel:
.
Ezután adjuk hozzá az első sor kétszeresét a második, háromszorosát a harmadik sorhoz:
.
A megoldás felírásához ismét a ismeretlent célszerű paraméternek választani, ekkor
.
Tehát az sajátvektor
.
Ez, ha az mennyiséget választjuk paraméternek, felírható
alakban is.
esetén a kibővített mátrixra
adódik.
Cseréljük fel az első és a harmadik sort.
.
Ha most az első sort hozzáadjuk a második és a harmadik sorhoz, kapjuk, hogy
.
Innen a megoldás, ismét a ismeretlent választva paraméternek
.
Ez alapján az sajátvektor
.
Ha ki akarjuk küszöbölni a törteket, akkor ez, az mennyiséget választva paraméternek,
alakban is felírható. |
4. feladat Határozzuk meg az alábbi mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Megoldás: Most
.
A sajátértékek tehát a következők.
.
A nulla sajátértékhez tartozó sajátvektorok meghatározásához a
kibővített mátrixú homogén egyenletrendszert kell megoldanunk. Ha itt felcseréljük az első és a harmadik sort, majd hozzáadjuk az első sor kétszeresét a második, egyszeresét a harmadik sorhoz, akkor azt kapjuk, hogy
.
Most két ismeretlent, az -t és a -t, szabodon választhatjuk, a végtelen sok megoldást az
paraméteres alakban adhatjuk meg. Tehát a nulla sajátértékhez tartozó sajátvektorok:
.
A sajátértékhez tartozó sajátvektorok meghatározásához megoldjuk a
kibővített mátrixú homogén egyenletrendszert. Felcseréljük az első és a harmadik sort, majd hozzáadjuk az első sor kétszeresét a második, mínusz hétszeresét a harmadik sorhoz. Ekkor
.
Ezután a második sort elosztjuk nyolccal, és a tizenhatszorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Így kapjuk az
kibővített mátrixú egyenletrendszert. A ismeretlent paraméternek választva ennek a végtelen sok megoldása az
paraméteres alakban adható meg. Innen az sajátvektor
. |
5. feladat Keressük meg az
mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
Megoldás: A sajátértékek a
egyenletből számithatok ki.
Fejtsük ki a determinánst az első sora szerint. Ekkor az alábbi egyenletet kapjuk:
.
Ha az itt szereplő -as determinánsok közül az első kettőt az első sora, a harmadikat az első oszlopa szerint kifejtjük, akkor a következő egyenletet kapjuk:
.
Rendezve a jobb oldalt az
egyenletet kapjuk. Ennek gyökei
,
ezek az mátrix sajátértékei.
A nulla sajátértékhez tartozó sajátvektorok az
kibővített mátrixú homogén egyenletrendszer megoldásából kaphatók meg.
Cseréljük fel az első két sort, majd szorozzuk meg az első sort mínusz eggyel, végül adjuk hozzá az első sort a negyedikhez. Ez az
kibővített mátrixot adja. Most a második sort megszorozzuk mínusz eggyel és hozzáadjuk a harmadik sorhoz, ekkor kapjuk, hogy
.
Ha az egyenletrendszerünk ismeretleneit , akkor két ismeretlent, a -t és a -t tetszőlegesen választhatjuk, ezekkel a most is végtelen sok megoldás az
paraméteres alakban adható meg. A nullához tartozó sajátvektorok tehát az
vektorok.
A sajátérték esetén a
kibővített mátrixból indulunk ki.
Felcseréljük az első két sort, megszorozzuk az első sort mínusz eggyel, majd hozzáadjuk az első sor kétszeresét a második, egyszeresét a negyedik sorhoz. Kapjuk, hogy
.
Ezután felcseréljük a második és harmadik sort, megszorozzuk a második sort mínusz eggyel és hozzáadjuk a mínusz háromszorosát a harmadik, mínusz kétszeresét a negyedik sorhoz. Ekkor a kibővített mátrix az alábbi lesz:
.
Végül osszuk el a harmadik sort mínusz néggyel és adjuk hozzá a negyedikhez:
.
Innen leolvashatjuk a megoldást:
,
ami alapján a -hoz tartozó sajátvektor
.
esetén a
kibővített mátrixú egyenletet kell megoldanunk. Felcseréjük az első két sort, megszorozzuk az első sort mínusz eggyel, majd hozzáadjuk az első sor mínusz kétszeresét a második sorhoz, egyszeresét a negyedik sorhoz:
.
Ebből kapjuk a következőt: (az olvasó bizonyára kitalálja, hogy milyen átalakításokkal)
,
majd
.
Most egy ismeretlent választhatunk szabadon. Ha ez a , akkor az egyenletrendszer megoldása:
Vagyis az sajátvektor
.
|
| Ellenőrző kérdések |
1. kérdés Az mátrix sajátértékei |
2. kérdés Az mátrix sajátértékei |
3. kérdés Az mátrix sajátértékei |
4. feladat Az |
5. kérdés Az mátrix egyik sajátvektora |
6. kérdés Az mátrix egyik sajátvektora |
7. kérdés Az mátrix egyik sajátvektora |