Elméleti összefoglaló: Két különböző egyenes helyzete a térben háromféle lehet: 1. a két egyenes metszi egymást, ekkor egy közös pont van 2. a két egyenes párhuzamos, nincs közös pont 3. a két egyenes kitérő, nincs közös pont.
Egy egyenes és egy sík helyzete a térben háromféle lehet: 1. az egyenes döfi a síkot, egy közös pont van 2. az egyenes párhuzamos a síkkal, nincs közös pont 3. az egyenes illeszkedik a síkra, végtelen sok közös pont van
Két különböző sík helyzete a térben kétféle lehet: 1. a két sík metszi egymást, végtelen sok közös pont van 2. a két sík párhuzamos, nincs közös pont
Mivel egy pont akkor illeszkedik egy alakzatra, ha koordinátáit az alakzat egyenletébe vagy egyenletrendszerébe helyettesítve igaz(ak) az egyenlőség(ek), ezért, ha egy pont két alakzat közös pontja, akkor koordinátái kielégítik mindkét alakzat egyenletét vagy egyenletrendszerét. Tehát ha két alakzat közös pontjainak meghatározása a feladat, a két alakzat egyenlete, egyenletrendszere együttesen egy egyenletrendszert alkot, s ennek megoldásai adják a közös pontokat.
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Döntsük el, milyen helyzetű az
és
egyenes!
Ha van metszéspontjuk, adjuk meg a koordinátáit!
Megoldás: Amint az fennt szerepelt, a két egyenletrendszerben szereplő egyenletek együttesen egy új egyenletrendszert alkotnak, s ennek megoldásából kapjuk a közös pontot. Mielőtt megoldjuk az egyenletrendszert, gondoljuk végig, hány egyenletünk, és hány ismeretlenünk van, és mik ezek az ismeretlenek. Mindegyik egyenes egyenletrendszere három egyenletből áll, így összesen hat egyenletünk van. A bennük szereplő ismeretlenek a koordináták, ez három ismeretlen, és a paraméterek, ami még kettő. Itt egy pillanatra álljunk meg, mert úgy néz ki mintha csak egy paraméter lenne az egyenletrendszerben, s ezt -vel jelöljük. A valóságban azonban a két egyenes egyenletrendszerében különböző paraméterek szerpelnek, s ha egy feladaton belül több egyenes is szerepel, akkor bennük a paramétert meg kell különböztetni. A feladatok adataiban azonban ezt nem szokták feltüntetni. Ezért először tegyünk csak annyit, hogy az egyenes egyenletrendszerében, a paramétert jelölő -t cseréljük ki mondjuk -re.
Így már egyértelmű, hogy mi az öt ismeretlenünk. Mivel több egyenlet van mint ismeretlen, ezért az egyenletrendszer túlhatározott. Az egyenletek és az ismeretlenek száma gyorsan csökkenthető, ha a két egyenes egyenletrendszeréből az értékét megadó kifejezéseket egyenlővé tesszük.
Már csak három egyenletünk van két ismeretlennel. Általában két ismeretlen meghatározásához két egyenlet elég. Tegyük azt, hogy megoldjuk az első két egyenlet alkotta egyenletrendszert, majd a megoldást megvizsgáljuk, kielégíti-e a harmadik egyenletet is. Ugyanis csak akkor van megoldása a három egyenletből álló rendszernek, ha mindenegyik egyenlőség igaz, tehát a harmadik is teljesül. Ha a harmadik egyenlőség nem áll fenn, akkor a két egyenesnek nincs metszéspontja. Fejezzük ki az első egyenletből -t.
Helyettesítsük be ezt a második egyenletbe.
Oldjuk meg a kapott egyismeretlenes egyenletet.
Számoljuk ki -t.
Mindkét paraméter értékét helyettesítsük a harmadik egyenletbe, külön az egyik, majd a másik oldalba.
illetve
A két oldal helyettesítési értéke megegyezik, van a három egyenletből álló egyenletrendszernek megoldása, s van a két egyenesnek metszéspontja. A metszéspontot megkapjuk, ha értékét visszahelyettesítjük az egyenes egyenletrendszerébe.
Azaz a metszéspont: .
(Ha értékét helyettesítjük az egyenes egyenletrendszerébe, természetesen ugyanezt kapjuk.)
2. feladat Metszi-e egymást az és
egyenes?
Megoldás: A feladat szinte azonos az előzővel, de most az egyik egyenes paraméter nélküli egyenletrendszerrel adott. Ha áttérünk paraméteres egyenletrendszerre, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint az előbb, de erre nincsen feltétlenül szükség. Helyettesítsük be az egyenletrendszerébe az egyenletrendszeréből helyére a paraméteres kifejezéseket.
Ez a hármas egyenlőség lényegében két egyenletet jelent. Ismeretlenünk viszont csak egy van. Vegyük csak az első két oldalt, s oldjuk meg az egyenletet.
Ezen értéket helyettesítsük a hármas egyenlőség második és harmadik részébe, s vizsgáljuk meg teljesül-e az egyenlőség. Ha igen, van metszéspont, ha nem, akkor nincs.
illetve
Mivel nincs egyenlőség, a két egyenes nem metszi egymást.
Megjegyzés: Mivel nincsen metszéspont, a két egyenes vagy párhuzamos, vagy kitérő. Annak eldöntésére, hogy melyik eset áll fenn, ki kell olvasni az egyenletrendszerekből az egyenesek egy-egy irányvektorának koordinátáit, s ha azok egymás számszorosai, akkor az egyenesek párhuzamosak, ha nem, akkor kitérőek. Az első egyenes egy irányvektora . A második egyenes egy irányvektora . Mivel nem számszorosai egymásnak, a két egyenes nem párhuzamos.
3. feladat Határozzuk meg az egyenes és az sík döféspontjának koordinátáit!
Megoldás: Ha ebben az esetben egyesítjük egy egyenletrendszerbe az alakzatokat leíró egyenleteket, akkor négy egyenletünk lesz, négy ismeretlennel. Ismeretlen a három koordináta, valamint a paraméter. Ha a sík egyenletébe behelyettesítünk helyére, akkor egyismeretlenes egyenletet kapunk.
Oldjuk meg ezt az egyenletet.
Ezt visszahelyettesítjük az egyenes egyenletrendszerébe.
A döféspont tehát .
4. feladat Milyen helyzetű egymáshoz viszonyítva az sík és az
egyenes?
Megoldás: Induljunk úgy, mint az előző feladatban, azaz helyettesítsünk a sík egyenletébe helyére.
Bontsuk fel a zárójeleket, s próbáljuk megoldani az egyenletet.
Az egyenletből az összevonás után eltűnt az ismeretlen, s egy nyilvánvalóan hamis állítást kaptunk. Ebből az következik, hogy az egyenletrendszernek nincs megoldása, s az egyenesnek és a síknak nincsen közös pontja. Ez csak úgy lehetséges, ha az egyenes párhuzamos a síkkal.
Megjegyzés: A megoldás könnyen ellenőrizhető, hiszen ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára . Két vektor pedig akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk zérus. Olvassuk ki a két vektor koordinátáit.
Vegyük a skaláris szorzatot.
Tehát a sík és az egyenes valóban párhuzamos.
Azt gondoljuk még végig, milyen más lehetőség fordulhatott volna elő a megoldás során. Megtörténhetett volna, hogy az ismeretlen eltűnik az egyenletből, és igaz állítást kapunk. Ekkor értékétől függetlenül mindig igaz az egyenlet, tehát az egyenes minden pontja rajta van a síkon is, azaz a síkon fekszik.
5. feladat Határozzuk meg az és síkok metszésvonalának egyenletét!
Megoldás: Először döntsük el, nem párhuzamos-e a két sík. Ehhez olvassuk ki az egyenletekből a normálvektorok koordinátáit.
Mivel ez a két vektor nem számszorosa egymásnak, ezért nem párhuzamosak, s így a két sík sem párhuzamos.
Ha két síknak van közös pontja, akkor a metszésvonal egy egyenes. Egyenes egyenletrendszerének felírásához szükségünk van az egyenes egy pontjára, és egy irányvektorra. Az eddigi feladatokban mindig volt adott pont, most azonban ezt is nekünk kell meghatározni. A két sík egyenlete egy egyenletrendszert alkot, melyben három ismeretlen van. Mivel az ismeretlenek száma most eggyel több, mint az egyenletek száma, ezért egy ismeretlent szabadon megválaszthatunk. Az egyszerű számolás végett legyen . Az egyenletek a következőképp módosulnak.
illetve
Fejezzük ki az első egyenletből -et.
Helyettesítsünk a másik egyenletbe.
Az tehát a síkok közös pontja, s így a metszésvonalon is rajta van.
Az irányvektor meghatározásához azt gondoljuk végig, hogy mivel a metszésvonal mindkét síkra illeszkedik, ezért párhuzamos is mindkét síkkal. Az előző leckében már szerepelt, hogy ha egy egyenes párhuzanos egy síkkal, akkor az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára. Mivel ez mindkét sík normálvektorára teljesül, az egyenes irányvektorát a két sík normálvektorainak vektoriális szorzataként kaphatjuk meg.
Vegyük inkább ennek az ötödét, hogy kisebb számokkal dolgozhassunk. Így a metszésvonal irányvektora
Ezután a metszésvonal egyenlete a következő.
vagy
Megjegyzés: Ha meghatároztunk volna a két sík metszésvonaláról még egy pontot, akkor a két pontra illeszkedő egyenes egyenletrendszerét kellett volna felírnunk. Ilyen feladat szerepelt már. Ha ezt az utat követjük, a vektoriális szorzást el lehet kerülni.
Ellenőrző kérdések:
1. kérdés: Milyen helyzetű az és egyenes?
metszik egymást
kitérőek
párhuzamosak
2. kérdés: Az alábbi pontok közül melyik az és egyenesek metszéspontja?
(5, 4, 3)
(-1, -5, 2)
(0, 6, 7)
(5, 7, -1)
3. kérdés: Igaz vagy hamis a következő állítás?
Az egyenes és az sík párhuzamos.
4. kérdés: Az alábbi pontok közül melyik az egyenes és az sík döféspontja?
(-2, 3, 2)
(3, 4, 0)
(1, 6, 2)
(3, 2, -1)
5. kérdés: Igaz vagy hamis a következő állítás?
Az és síkok párhuzamosak.
6. kérdés: Az alábbi egyenesek közül melyik az és síkok metszésvonala?