Tanulási cél: A determinánsok kiszámolásának begyakorlása.
Elméleti összefoglaló:
Minden négyzetes mátrixhoz hozzárendelhető egy szám, a mátrix determinánsa. Az mátrix determinánsát , vagy jelöli. A definíció egy rekurzív definíció, azt mondja meg, hogy egy adott determinás kiszámolását hogyan kell visszavezetni kisebb méretű determinánsok kiszámolására.
A -es mátrix determinánsa
.
A -as mátrix determinánsa, az első sor szerint kifejtve,
.
Itt az elemhez tartozó előjeles aldetermináns. Ezt úgy kapjuk, hogy töröljük az eredeti determináns -t tartalmazó sorát és oszlopát és a megmaradt számokból álló determinánst megszorozzuk -el.
Egy determináns bármelyik sora, vagy oszlopa szerint kifejthető. Mindig a sor, vagy oszlop minden elemét megszorozzuk az elemhez tartozó előjeles aldeterminánssal, és ezeket a számokat összeadjuk.
Ez magában foglalja azt, hogy hogyan kell egy -es determinánst, bármelyik sora, vagy oszlopa szerint kifejtve visszavezetni négy -as determináns kiszámolására, és így tovább.
Egy determinánst úgy kell megszorozni egy számmal, hogy valamelyik sor, vagy valamelyik oszlop minden elemét megszerozzuk a számmal. Érvényes a detreminánsok szorzástétele, mely szerint
.
Számos tétel szól arról, hogy hogyan változik meg egy determináns értéke, ha különféle átalakítást hajtunk végre a mátrixon.
A leggyakrabban alkalmazott a következő.
Tekintsünk egy determinánst és válasszuk ki az -edik és a -edik sorát. Ha az -edik sor tetszőleges számszorosát hozzáadjuk a -edik sorhoz, az így kapott sor lesz az új -edik sor, a többi sort pedig nem változtatjuk meg, akkor ennek az új determinánsnak ugyanannyi az értéke, mint az eredetinek.
Ezzel azt lehet elérni, hogy egy sorban, vagy egy oszlopban egy elemet kivéve minden elem nulla legyen. Ezután persze e szerint a sor vagy oszlop szerint érdemes a determinánst kifejteni.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 3.4.
Kidolgozott feladatok: |