KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.9 Feltételes szélsőértékek

Tanulási cél: Egy a lehetséges feltételes szélsőértékek meghatározását lehetővé tévő módszer elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.6.

Elméleti összefoglaló: Tételezzük fel, hogy az f ( x , y ) és g ( x , y ) függvényeknek az elsőrendű parciális derivált függvényei folytonosak egy, a g ( x , y ) = 0 görbét tartalmazó nyílt halmazon, és azt, hogy grad g ( x , y ) 0 a g ( x , y ) = 0 görbe egyetlen pontjában sem.

Ekkor, ha az f ( x , y ) függvénynek g ( x , y ) = 0 feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke van az ( a , b ) pontban, akkor ebben a pontban grad f ( a , b ) párhuzamos grad g ( a , b ) -vel, azaz

grad f ( a , b ) = λ . grad g ( a , b ) .

valamilyen λ valós számra.

Erre a tételre alapozva a feltételes szélsőértékek megkeresésére a következő módszer adódik.

A gradiensek párhuzamosságát leíró

grad f ( x , y ) = λ . grad g ( x , y )

vektoregyenletet koordinátánként kiírva az

{ f x ( x , y ) = λ . g x ( x , y ) f y ( x , y ) = λ . g y ( x , y )

egyenletrendszert kapjuk.

Ebből kiküszöbölve a λ paramétert az ismeretlenek között egy összefüggést kapunk. Ebből az egyenletből és a feltételt jelentő g ( x , y ) = 0 egyenletből álló egyenletrendszert megoldva megkapjuk a feltételes szélsőértékhelyek lehetséges jelöltjeit.

Ezek közül a jelöltek közül aztán egyszerűbb esetekben, egyéb megfontolások alapján, általában geometriai okokra hivatkozva, kiválaszthatók a valódi szélsőértékhelyek.

A megfogalmazásból az olvasó nyilván érzi, hogy ezen az úton sok buktató van, szerencsés esetben a tétel feltételei teljesülnek, és a számolások végrehajthatók.  

Kidolgozott feladatok

1. feladat Határozzuk meg, hogy az f ( x , y ) = x 2 + y 2 függvénynek mely pontokban lehet a g ( x , y ) = x + 2 y 4 = 0 feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke.

Megoldás:

Első megoldás:

A feltételt jelentő x + 2 y 4 = 0 egyenletből kifejezhetjük például az x változót:

x = 4 2 y .

Ha ezt behelyettesítjük az f függvénybe, akkor az egyváltozós

F ( y ) = ( 4 2 y ) 2 + y 2 = 16 16 y + 5 y 2

függvényt kapjuk, és az a feladatunk, hogy ennek keressük meg a lokális szélsőértékeit.

Mivel

F " ( y ) = 16 + 10 y ,

az F " ( y ) = 0 pontosan akkor, ha y = 8 5 . Az is látszik, hogy F " itt előjelet vált, mégpedig negatívból pozitívba. Ezért ez lokális minimum hely, és a hozzátartozó x érték: x = 4 2 . 8 5 = 4 5 .

Tehát a ( 4 5 , 8 5 ) pontban feltételes lokális minimum van.

Második megoldás:

A g függvény gradiens vektora

grad g ( x , y ) = ( 1,2 ) .

Ez egyetlen ( x , y ) pontban sem nullvektor.

Ezért az f függvénynek a g feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke csak olyan pontban lehet, ahol az f függvény gradiens vektora párhuzamos a g függvény gradiens vektorával, azaz

grad f ( x , y ) = λ . grad g ( x , y )

valamilyen λ valós számra.

Mivel

grad f ( x , y ) = ( 2 x ,2 y ) ,

ebből azt kapjuk, hogy ( 2 x ,2 y ) = ( λ ,2 λ ) . Kiírva ezt koordinátánként

{ 2 x = λ 2 y = 2 λ .

Kiküszöböljük ebből az egyenletrendszerből a λ -t. A második egyenletből kapjuk, hogy

λ = y .

Ezt az első egyenletbe beírva

2 x = y .

Tehát szélsőérték csak olyan, a g ( x , y ) = 0 feltételt kielégítő pontban lehet, amely az előbbi feltételt is kielégíti. Beírva az y = 2 x képletet a g ( x , y ) = 0 formulába

x + 4 x 4 = 0

adódik. Ebből x = 4 5 , és ekkor y = 8 5 .

Tehát a függvénynek egyedül a ( 4 5 , 8 5 ) pontban lehet a feltételt kielégítő szélsőértéke.

Tudjuk, hogy a módszerünkel csak ennyit tudunk megállapítani.

Most az első megoldásból tudjuk, hogy ez egy loklis minimumhely.

Tekintsük végül az alábbi ábrát.



A feladatunk geometriailag úgy értelmezhető, hogy elmetszük a felületünket az x y -síkot az x + 2 y 4 = 0 egyenesben metsző, a z tengellyel párhuzamos síkkal. Az egyenes szakasz az ábrán ezen két sík metszésvonalának egy darabja.

Ez a sík a felületünket az ábrán vastag fekete vonallal jelölt görbében metszi, (ami most egy parabola). Ennek a görbének keressük a lokális szélsőértékeit. Az ábráról is látszik, hogy most egy darab lokális minimum van.

2. feladat Határozzuk meg. hogy az f ( x , y ) = x y függvénynek mely pontokban lehet az x 2 + y 2 = 1 feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke.

Megoldás: A feltételi egyenletet kielégítő pontok az origó középpontú, egysésugarú kör pontjai.

A feltételi egyenletet nullára rendezve kapjuk, hogy

g ( x , y ) = x 2 + y 2 1 .

Most

grad f ( x , y ) = ( y , x ) ,

és

grad g ( x , y ) = ( 2 x ,2 y ) .

Ez utóbbiról láthatjuk, hogy a g feltételt kielégítő ( x , y ) pontok közül egyikben sem a nullvektor.

A körvonalunknak azokat a pontjait keressük, amelyekre

grad f ( x , y ) = λ . grad g ( x , y )

valamilyen λ valós számra, mert csak ilyen pontban lehet feltételes szélsőérték.

Kiírva a fenti vektoregyenletet koordinátánként az

{ y = 2 λ x x = 2 λ y

egyenletrendszert kapjuk.

Szélsőértéket adó pont egyik koordinátája sem lehet nulla, mert akkor az f értéke is nulla lenne, és a körvonalnak vannak olyan pontjai, ahol az f nullánál nagyobb értéket vesz fel, (például, ha mindkét koordináta pozitív), és olyan pontok is, ahol az f nullánál kisebb értéket vesz fel, (akkor, ha a két koordináta különböző előjelű).

Feltehetjük tehát, hogy sem az x , sem az y nem nulla.

Ekkor mindkét egyenletből kifejezve a 2 λ -t, az kapjuk, hogy

{ y x = 2 λ x y = 2 λ ,

amiből az

x 2 = y 2

összefüggést kapjuk. Ezt beírva a feltételi egyenletbe

2 x 2 = 1 .

Ebből x 1 = 2 2 , x 2 = 2 2 .

Ha x 1 = 2 2 , akkor két lehetséges y értéket kapunk:

y 1 = 2 2 , y 2 = 2 2 ,

ha pedig x 2 = 2 2 , akkor is két érték adódik:

y 3 = 2 2 , y 4 = 2 2 .

Tehát a

( 2 2 , 2 2 ) , ( 2 2 , 2 2 ) , ( 2 2 , 2 2 ) , ( 2 2 , 2 2 )

pontokban lehet feltételes szélsőérték.

Ezzel tehát megoldottuk a feladatunkat.

A feladatnak most is van geometriai interpretációja. A térben azok a pontok, amelyek első két koordinátái kielégítik az x 2 + y 2 = 1 egyenletet egy z tengelyű, az x y -síkot az x 2 + y 2 = 1 egyenletű körben metsző henger felületére esnek. Feladatunk tehát a henger és a függvényünk grafikonjának metszésvonalán megkeresni azokat a pontokat, amelyekben az első két koordináta szorzata a lehető legnagyobb, vagy legkisebb.

A függvényünk grafikonját, és ezt a metszésvonalat mutatja az alábbi ábra.



Az ábráról persze látszik, hogy a négy pont közül kettő, azok, amelyekben a koordináták azonos előjelűek, feltételes lokális maximumot adnak, a másik két pont pedig feltételes lokális minimumot.

3. feladat Az y = x 2 + 1 egyenesnek melyik pontja van a legközelebb az ( 1,1 ) ponthoz?

Megoldás: Ezt a feladatot a vektorgeometriában tanultak felhasználásával, sőt, a középiskolaban tanultak alapján is, meg tudnánk oldani. Mi most feltételes szélsőérték-feladatként fogjuk megoldani feladatot.

Először is a P ( x , y ) pont távolságát az ( 1,1 ) ponttól az F ( x , y ) = ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 formulával lehet kiszámolni.

Továbbá az egyenes egyenletét nullára rendezhetjük és felírhatjuk a

2 x 2 y = 0

alakban is. Azok a pontok vannak az egyenesen, amelyek koordinátái kielégítik ezt az egyenletet.

Feladatunkat ezért megfogalmazhatjuk így is:

határozzuk meg az

F ( x , y ) = ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2

függvény

g ( x , y ) = 2 x 2 y = 0

feltételt kielégítő feltételes minimumát.

Még egy dolgot célszerű most meggondolni. A gyökfüggvény szigorú monotonitása miatt a ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 , és az ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 kifejezés ugyanott veszi fel a minimumát. Ezzel végül is a következő feladathoz jutunk.

Határozzuk meg az

f ( x , y ) = ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2

függvény

g ( x , y ) = 2 x 2 y = 0

feltételt kielégítő feltételes minimumát.

Mivel

grad f ( x , y ) = ( 2 ( x 1 ) , 2 ( y 1 ) ) ,

és

grad g ( x , y ) = ( 1, 2 ) 0 ,

feltételes szélsőérték csak a

grad f ( x , y ) = λ . grad g ( x , y )

feltételt kielégítő pontokban lehet, ahol λ valamilyen valós szám.

Kiírva koordinátánként ezt, ez azt jelenti, hogy a

{ 2 ( x 1 ) = λ 2 ( y 1 ) = 2 λ

egyenleteknek kell teljesülni.

Mindkét egyenletből kifejezve a λ -t azt kapjuk, hogy

λ = 2 2 x , λ = 1 y .

A bal oldalak egyenlőségéből következik, hogy

1 y = 2 2 x ,

amiből

y = 2 x 1 .

Beírva ezt a feltételi g ( x , y ) = 0 egyenletbe kapjuk, hogy

2 x 2 ( 2 x 1 ) = 0 ,

4 5 x = 0 ,

x = 4 5 .

Ebből y = 2 . 4 5 1 = 3 5 .

Feltételes szélsőérték tehát csak a Q ( 4 5 , 3 5 ) pontban lehet.

Mivel geometriai megfontolásból tudjuk, hogy a minimális távolságot adó pont létezik, így az nem lehet más, mint ez a Q pont.

4. feladat Az x 2 + y 2 = 45 egyenletű körvonalnak melyik pontja van a legközelebb a P ( 1,2 ) ponthoz.

Megoldás: Egy ( x , y ) koordinátájú pontnak a P ( 1,2 ) ponttól mért távolságának a negyzete

f ( x , y ) = ( x 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 .

Ennek a függvénynek keressük a legkisebb értékét, ha a pont a körvonalra esik, azaz a

g ( x , y ) = x 2 + y 2 45 = 0

feltétel mellett.

grad f ( x , y ) = ( 2 ( x 1 ) , 2 ( y 2 ) ) ,

grad g ( x , y ) = ( 2 x , 2 y ) .

Ezeknek a vektoroknak kell párhuzamosnak lenni, azaz teljesülni kell, hogy

{ 2 ( x 1 ) = 2 λ x 2 ( y 2 ) = 2 λ y .

Kiküszöböljük a λ -t. Ennek érdekében szorozzuk meg az első egyenletet y -al, a másodikat x -el.

{ 2 ( x y y ) = 2 λ x y 2 ( x y 2 x ) = 2 λ x y .

A jobb oldalak egyenlőségéből következik, hogy

2 ( x y y ) = 2 ( x y 2 x ) ,

2 y = 4 x ,

y = 2 x .

Beírva ezt a feltételi egyenletbe

x 2 + 4 x 2 = 45 ,

5 x 2 = 45 ,

x 2 = 9 .

A lehetséges szélsőértékhelyek tehát:

Q 1 ( 3, 6 ) , Q 2 ( 3, 6 ) .

Geometria megfontolásból most is tudjuk, hogy a feladatnak van megoldása.

A Q 1 pontnak a P ponttól mért távolsága 80 , a Q 2 pontnak 29 , ez a kisebb, ezért a keresett pont a Q 2 .

5. feladat Határozzuk meg az y = x 2 parabolának a P ( 3,0 ) ponthoz legközelebbi pontját.

Megoldás: A feladatunkat megoldjuk, ha megkeressük az

f ( x , y ) = ( x 3 ) 2 + y 2

függvény, (az ( x , y ) pontnak a P ( 3,0 ) pontól mért távolságának a négyzetét megadó függvény),

g ( x , y ) = y x 2 = 0

feltétel, (essen a pont a parabolára), melletti feltételes minimumát.

grad f ( x , y ) = ( 2 ( x 3 ) , 2 y ) ,

grad g ( x , y ) = ( 2 x , 1 ) .

Tudjuk, az alábbi egyenletrendszernek kell teljesülni.

{ 2 ( x 3 ) = 2 λ x 2 y = λ .

Helyettesítsük be a második egyenletből a λ -t az elsőbe.

2 ( x 3 ) = 2 . 2 y . x ,

x 3 = 2 x y ,

1 2 + 3 2 x = y .

Ha készítünk egy vázlatot a parabolánkról láthatjuk, hogy feltehetjük, hogy az x nem nulla, az origónál van kisebb távolságot adó pont a parabolán, ezért oszthattunk az előbb x -el.

Behelyettesítve ezt a feltételi egyenletbe kapjuk, hogy

1 2 + 3 2 x = x 2 ,

3 2 x = x 2 + 1 2 ,

3 = 2 x 3 + x .

Ez ugyan egy harmadfokú egyenlet, de azonnal látszik, hogy az x = 1 megoldás.

Ha nullára rendezzük az egyenletet, akkor felírhatjuk, hogy

2 x 3 + x 3 = ( x 1 ) ( A x 2 + B x + C ) = 0

valamilyen A , B , C számokkal.

Világos, hogy A = 2, C = 3 , a

2 x 3 + x 3 = ( x 1 ) ( 2 x 3 + B x + 3 )

összefüggésből pedig némi számolással kiderül, hogy B = 2 .

Tehát

2 x 3 + x 3 = ( x 1 ) ( 2 x 2 + 2 x + 3 ) .

Látszik, hogy az itt szereplő másodfokú polinom diszkriminánsa negatív, ebből pedig az következik, hogy a

2 x 3 + x 3 = 0

egyenletnek egyetlen valós megoldása van, x = 1 .

Ha x = 1 , akkor y = 1 2 + 3 2 . 1 = 1 , vagyis minimum egyedül a Q ( 1,1 ) pontban lehet.

Mivel biztosak lehetünk benne, hogy van megoldás, a parabola pontjai közül a Q pont van a legközelebb a P ( 3,0 ) ponthoz.

Ellenőrző kérdések

1. kérdés Az f ( x , y ) = 3 x 2 + 2 y 2 függvénynek hol lehet a g ( x , y ) = y x 3 = 0 feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke?
Egyedül ( 6 5 , 9 5 ) pontban.
A ( 6 5 , 9 5 ) , ( 6 5 , 9 5 ) pontokban.
Egyedül a ( 6 5 , 9 5 ) pontban.
Csak a ( 0,3 ) pontban.
2. kérdés Az f ( x , y ) = x 2 y 2 függvénynak hol lehet a g ( x , y ) = x + y 1 = 0 feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke?
Egyedül az ( 1 2 , 1 2 ) pontban.
Csak a ( 1 3 , 2 3 ) pontban.
Csak az ( 1, 0 ) pontban.
Csak a ( 1 2 , 3 2 ) pontban.
3. kérdés Az f ( x , y ) = x + y + 2 függvénynek hány darab, a g ( x , y ) = x 2 + y 2 1 = 0 feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke van?
1 .
2 .
3 .
4 .
4. kérdés Az y = 2 x + 2 egyenes melyik pontja van a legközelebb az origóhoz?
A ( 1, 0 ) pont.
A ( 5 6 , 1 6 ) pont.
A ( 1 2 , 1 ) pont.
A ( 4 5 , 2 5 ) pont.
5. kérdés Az x 2 + y 2 = 4 egyenletű körnek melyik pontja van a legtávolabb a ( 1, 1 ) ponttól?
A ( 2 , 2 ) pont.
A ( 2 , 2 ) pont.
A ( 2 , 2 ) pont.
A ( 2 , 2 ) pont.