KURZUS: Matematika II.

MODUL: 3. Lineáris algebra

3.5 Lineáris egyenletrendszerek

Tanulási cél: Begyakorolni lineáris egyenletrendszerek Gauss-féle algoritmussal történő megoldását.

Elméleti összefoglaló: A Gauss-féle algoritmus során alkalmazható lépések:

a) két egyenlet felcserélése,

b) egy egyenlet tetszőleges, nullától különböző számmal való megszorzása,

c) két egyenlet összeadása, ilyenkor az egyik egyenlet helyére az összeget írjuk, a többi egyenlet marad változatlan.

Ezek az átalakítások az egyenletrendszer kibővített mátrixán is végrehajthatók, ilyenkor a mátrix soraira kell öket alkalmazni.

Ezekkel az átalakításokkal elérhető, hogy az együtthatómátrix felső háromszögmátrixá váljon, azaz a főátlója alatt minden elem nulla legyen. (A főátlót azok az elemek alkotják, amelyeknek a sor és az oszlop indexe megegyezik.)

Ha az együtthatómátrix felső háromszög mátrix, akkor leolvasható, hogy van-e megoldás, és ha van, akkor a legalsó egyenletből kiindulva az ismeretlenek sorban meghatározhatók.

Akkor nincs megoldása az egyenletrendszernek, ha a felső háromszögmátrixá transzformálás után a kibővített mátrixnak van olyan sora, amelyben minden elem nulla, kivéve a sor utolsó elemét.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 3.5, 3.6.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

x + 2 y = 3 2 x + 2 y = 0

Megoldás: Eső lépésként felírjuk az egyenletrendszer kibővített mátrixát. Ez most

[ 1 2 3 2 2 0 ] .

Adjuk hozzá az első sor kétszeresét a második sorhoz. Ekkor az alábbi mátrixot kapjuk.

[ 1 2 3 0 6 6 ]

Ezzel az (első két oszlopból álló) együtthatómátrixot felső háromszögmátrixá alakítottuk, és ezután az egyenletrendszer megoldása meghatározható. A utolsó mátrix ugyanis azt, az eredeti egyenletrenszerrel ekvivalens, egyenletrendszert jelenti, hogy

x + 2 y = 3 6 y = 6 .

A második egyenletből y = 1 . Ezt visszaírva az első egyenletbe

x + 2 = 3

adódik, amiből x = 1 .

A egyetlen megoldás tehát: x = 1, y = 1 .

2. feladat Oldjuk meg az

5 x + y = 4 2 x + 3 y = 1

egyenletrendszert.

Megoldás: Most is az az első lépés, hogy felírjuk az egyenletrendszer kibővített mátrixát. Ekkor az

[ 5 1 4 2 3 1 ]

mátrixot kapjuk.

Mielőtt az együtthatómátrix felső háromszögmátrixá transzformálását elkezdenénk érjük el, hogy az első sor első eleme 1 legyen. Ehhez a második sor kétszeresét kivonjuk az első sorból. Így az

[ 1 5 6 2 3 1 ]

mátrixhoz jutunk.

Mostmár kinullázhatjuk az egyes alatti számot, úgy, hogy az első sor kétszeresét kivonjuk a második sorból. Ekkor

[ 1 5 6 0 13 13 ]

adódik.

Az együtthatómátrix felső háromszögmátrix, a megoldás meghatározható. Az utolsó mátrix által meghatározott egyenletrendszer

x 5 y = 6 13 y = 13 .

A második egyenletből y = 1 . Ezt az első egyenletbe behelyettesítve

x + 5 = 6 ,

amiből x = 1 .

Most is egyetlen megoldás van: x = 1, y = 1 .

3. feladat Odjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

x + y + z = 3 2 x y + z = 2 x + y + z = 1

Megoldás: Az egyenletrendszer kibővített mátrixa

[ 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 ] .

Az első sor első eleme szerencsére 1 , ezért rögtön elkezdhetjük az együttható mátrix felső háromszögmátrixá transzformálását. Elször az első sor kétszeresét kivonjuk a második sorból, majd az első sort hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Így az alábbi mátrixhoz jutunk

[ 1 1 1 3 0 3 1 4 0 2 2 4 ] .

Akkor tudnánk legkényelmesebben folytatni a háromszögmátrixá transzformálást, ha a második sor második eleme 1 lenne, de nem az. Ezen azonban könnyen segíthetünk.

Cseréljük most meg a második és a harmadik sort, majd osszuk el kettővel az új második sort. Ekkor nyerjük, hogy

[ 1 1 1 3 0 1 1 2 0 3 1 4 ] .

A következő lépésként a második sor háromszorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Ekkor

[ 1 1 1 3 0 1 1 2 0 0 2 2 ] .

Az első három oszlop által alkotott együttható mátrix felső háromszögmátrixá vált. Felírjuk a megoldást.

Az utolsó mátrix által kódolt egyenletrendszer

x + y + z = 3 y + z = 2 2 z = 2 .

A harmadik egyenletből z = 1 . Ezt felhasználva a második egyenletből y = 1 . Végül ezek behelyettesítésével az első egyenletből x = 1 .

Ismét egyértelmű megoldás van tehát: x = 1, y = 1, z = 1 .

4. feladat Oldjuk meg az

3 x + y z = 1 2 x y + z = 1 4 x + 2 y + z = 4

egyenletrendszert.

Megoldás: Írjuk fel az egyenletrendszer kibővített mátrixát.

[ 3 1 1 1 2 1 1 1 4 2 1 4 ]

Sajnos az első sor első eleme nem 1 , de ha a második sort kivonjuk az elsőből, akkor elérjük, hogy az legyen.

[ 1 2 2 2 2 1 1 1 4 2 1 4 ]

Elkezdjük a felső háromszögmátrixá transzformálást. Először az első sor kétszeresét kivonjuk a második sorból, majd az első sor négyszeresét kivonjuk a harmadik sorból. Ekkor a mártixunk így alakul

[ 1 2 2 2 0 5 5 5 0 6 9 12 ]

Osszuk el most a második sort mínusz öttel. Így elérjük, hogy a második sor második eleme egy legyen.

[ 1 2 2 2 0 1 1 1 0 6 9 12 ]

Adjuk most hozzá a második sor hatszorosát a harmadik sorhoz. Így

[ 1 2 2 2 0 1 1 1 0 0 3 6 ]

adódik. Ez az

x + 2 y 2 z = 2 y z = 1 3 z = 6

egyenletrendszert jelenti.

Mostmár az utolsó egyenletből z = 2 . Ennek behelyettesítésével a második egyenletből y = 1 . Ezeket behelyettesítve az első egyenletbe x = 0 .

Az egyértelmű megoldás tehát: x = 0, y = 1, z = 2 .

5. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

x y z = 1 3 x + y z = 3 x + 3 y + z = 5

Megoldás: Az egyenletrendszer kibővített mátrixa

[ 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 5 ] .

Első lépésként az első sor háromszorosát kivonjuk a második sorból, majd a első sort kivonjuk a harmadik sorból. Ekkor a következő mátrixot nyerjük.

[ 1 1 1 1 0 4 2 6 0 4 2 6 ]

Vonjuk most ki a második sort a harmadikból. Ekkor kapjuk az

[ 1 1 1 1 0 4 2 6 0 0 0 0 ]

mátrixot.

Az együthatómátrix most is felső háromszögmátrix, rátérhetünk a megoldás meghatározására.

Az utolsó mátrix az alábbi egyenletrendszert jelenti.

x y z = 1 4 y + 2 z = 6 0 = 0

Itt az utolsó egyenlet egy nyilvánvaló összefüggés, és azt jelenti, hogy az eredeti egyenletrendszerben a harmadik egyenlet az első kettő következménye, ha azok teljesülnek, akkor a harmadik is automatikusan teljesül.

A második egyenletben egynél több ismeretlen szerepel, most kettő. A két ismertlen közül az egyiket kifejezhetjük a másikkal. Például kifejezhetjük az y ismeretlent a z ismeretlennel. Ekkor kapjuk, hogy

y = 6 4 2 4 . z = 3 2 z 2 .

Ha ezt visszaírjuk az első egyenletbe, akkor az x ismeretlent is kifejezhetjük a z -vel az alábbi módon:

x ( 3 2 z 2 ) z = 1 ,

x = 1 2 + z 2 .

Akármi is a z értéke, ha y = 3 2 z 2 , és x = 1 2 + z 2 , akkor mind a három eredeti egyenlet teljesül.
Végtelen sok megoldása van tehát az egyenletrendszerünknek.

Szokás ezeket az alábbi paraméteres alakban megadni:

x = 1 2 + t 2 y = 3 2 t 2 , t R z = t

Például, ha t = 1 , akkor kapjuk az x = 1, y = 1, z = 1 megoldást, amelyet behelyettesítéssel könnyen leellenőrizhetünk.

Ha t = 1 , akkor kapjuk az x = 0, y = 2, z = 1 megoldást.

Észrevehetjük még, hogy a megoldások paraméteres megadása pontosan olyan, mint egy egyenes paraméteres egyenletrendszere.

Valóban erről van szó. Ugyanis három ismeretlen esetén az egyenletrendszer egyenletei egy-egy sík egyenletei. Egyértelmű megoldás van, ha ezek a síkok egy ponton mennek át, végtelen sok megoldás van, mint a mi esetünkben, ha a síkok egy egyenesen mennek át. Ennek az egyenesnek a pontjainak a koordinátái adjak a megoldáshalmazt, ezt adtuk meg az előbb paraméteres egyenletrendszer segítségével. Végül nincs megoldás, ha a síkok között vannak párhuzamos, de nem egybeeső síkok.


6. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

x y + z = 2 x 2 y + z = 0 2 x + y = 1

Megoldás: A kibővített mátrix

[ 1 1 1 2 1 2 1 0 2 1 0 1 ] .

Adjuk hozzá az első sort a msodikhoz és vonjuk ki az első sor kétszeresét a harmadik sorból. Így kapjuk az

[ 1 1 1 2 0 3 2 2 0 3 2 3 ]

mátrixot.

Adjuk most hozzá a második sort a harmadikhoz.

[ 1 1 1 2 0 3 2 2 0 0 0 1 ]

Az ennek a mátrixnak megfelelő egyenletrendszer az alábbi.

x y + z = 2 3 y + 2 z = 2 0 = 1

Itt az utolsó egyenlet nyilván ellentmondás, a fenti egyenletrendszernek tehát nincs megoldása.

7. feladat Oldjuk meg az

x + 2 y + 3 z = 1 2 x y + z = 1 2 x + y + z = 1 x y z = 0

egyenletrendszert.

Megoldás: Ne zavarjon meg minket, hogy csak három ismeretlen van, de négy egyenlet. Ez csak annyit jelent, hogy ha van megoldás, akkor legalább az egyik egyenlet a többi következménye. A megoldás menete ugyanaz, mint eddig.

A kibővített mátrix

[ 1 2 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 ] .

Az első sor kétszeresét hozzáadva a második sorhoz, a mínusz kétszeresét hozzáadva a harmadik sorhoz és az egyszeresét hozzáadva a negyedik sorhoz nyerjük az

[ 1 2 3 1 0 3 7 3 0 3 5 3 0 1 2 1 ]

mátrixot.

Következő lépésként cseréljük fel a második sort a negyedikkel.

[ 1 2 3 1 0 1 2 1 0 3 5 3 0 3 7 3 ]

Adjuk hozzá ezután a második sor háromszorosát a harmadik sorhoz, mínusz háromszorosát a negyedik sorhoz.

[ 1 2 3 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 1 0 ]

Ha most a hrmadik sort kivonjuk a negyedikből kapjuk a

[ 1 2 3 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ]

mátrixot.

Ez az

x + 2 y + 3 z = 1 y + 2 z = 1 z = 0 0 = 0

egyenletrendszert jelenti.

A z = 0 értéket beírva a második egyenletbe y = 1 , ezeket beírva az első egyenletbe x = 1 adódik.

Az egyetlen megoldás tehát: x = 1, y = 1, z = 0 .

8. feladat Oldjuk meg a

2 x + y + z + u = 0 x + 2 y + z u = 1 x + y + 2 z + u = 1

egyenletrendszert.

Megoldás: Ha több az ismeretlen, mint az egyenlet, mint most is, akkor, ha van megoldás, akkor végtelen sok van.

A kibővített mátrix most

[ 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ] .

Első lépésként cseréljük fel az első két sort.

[ 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 2 1 1 ]

Adjuk ezután hozzá az első sor mínusz kétszeresét a második sorhoz, egyszeresét a harmadik sorhoz. Ekkor kapjuk az

[ 1 2 1 1 1 0 3 1 3 2 0 3 3 0 2 ]

mátrixot.

Kényelmes lenne, ha most a második sor második eleme egyes lenne. Ezt most csak úgy tudnánk elérni, hogy a mátrixban törtek is megjelennek. Ez nem látszik előnyösnek. Szerencsére a harmadik sor kinullázandó második eleme a mínusz három egész számú többszöröse, konkrétan a mínusz egyszerese. Adjuk ezért hozzá a második sort a harmadikhoz. Kapjuk, hogy

[ 1 2 1 1 1 0 3 1 3 2 0 0 2 3 0 ] .

Az ennek megfelelő egyenletrendszer

x + 2 y + z u = 1 3 y z + 3 u = 2 2 z + 3 u = 0

Ismét végtelen sok megoldás van. Ha u = t , akkor a harmadik egyenletből z = 3 2 t . Ezeket beírva a második egyenletbe

3 y + 3 2 t + 3 t = 2 ,

3 y + 9 2 t = 2 ,

3 y = 2 9 2 t ,

y = 2 3 + 3 2 t

adódik.

Ha pedig ezeket behelyettesítjük az első egyenletbe, kapjuk, hogy

x + 4 3 + 3 t 3 2 t t = 1 ,

x 1 2 t = 1 3 ,

x = 1 3 + 1 2 t .

A végtelen sok megoldás tehát a t paraméter függvényében:

x = 1 3 + 1 2 t y = 2 3 + 3 2 t z = 3 2 t u = t ,

ahol t tetszőleges valós szám.

9. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.

x y + z u = 2 4 x + 3 y + 2 z + u = 20 x y + z + u = 4 x + 2 y + z u = 4

Megoldás: A kibővített mátrix

[ 1 1 1 1 2 4 3 2 1 20 1 1 1 1 4 1 2 1 1 4 ] .

Hozzáadjuk az első sor mínusz négyszeresét a másodikhoz, egyszeresét a harmadikhoz és mínusz egyszeresét a negyedikhez.

[ 1 1 1 1 2 0 7 2 5 28 0 2 2 0 2 0 3 0 0 6 ]

Ha most a negyedik sort elosztjuk hárommal, majd felcseréljük a második sorral kapjuk az

[ 1 1 1 1 2 0 1 0 0 2 0 2 2 0 2 0 7 2 5 28 ]

mátrixot.

Ezután a második sor kétszeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz, a hétszeresét pedig levonjuk a negyedik sorból.

[ 1 1 1 1 2 0 1 0 0 2 0 0 2 0 6 0 0 2 5 14 ]

Végül adjuk hozzá a harmadik sort a negyedikhez.

[ 1 1 1 1 2 0 1 0 0 2 0 0 2 0 6 0 0 0 5 20 ]

Ez a mátrix az

x y + z u = 2 y = 2 2 z = 6 5 u = 20

egyenletrendszert jelenti.

Ezekből az egyenletekből u = 4, z = 3, y = 2, x = 1 .

Ellenőrző kérdések

1. kérdés Az

3 x y = 2 2 x + y = 3

egynletrendszernek
végtelen sok megoldása van, mégpedig x = 1 t , y = 1 + t , t R .
nincs megoldása.
egyértelmű megoldása van, és ez x = 1, y = 1 .
végtelen sok megoldása van, és x = 2 t , y = 1 + t , t R .
2. kérdés A

x + y + z = 1 2 x y + z = 2 3 x + y + z = 5

egyenletrendszernek
végtelen sok megoldása van, ezek x = 1 + t , y = 1 + 2 t , z = 1 t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = 2 t , y = t , z = 3 2 t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = 2 + t , z = 3 + 2 t , t R .
egyértelmű megoldása van, mégpedig x = y = z = 1 .
3. kérdés Az

x 2 y + z = 0 x + 2 y + z = 6 x y + 2 z = 4

egyenletrendszernek
Az egyetlen megoldás: x = 1, y = 1, z = 3 .
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = 1 t , z = 2 + t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = 1 + t , y = t , z = 2 3 t , t R .
végteken ok megoldása van, ezek x = 1, y = 2, z = 3 + t , t R .
4. feladat Az

x + 2 y 2 z = 2 2 x y + z = 4 x 3 y + 3 z = 2

egyenletrendszernek
nincs megoldása.
végtelen sok megoldása van, ezek x = 2, y = t , z = t , t R
egyértelmű megoldás van, ami x = 2, y = z = 1 .
végtelen sok megoldása van, ezek x = 1 + t , y = t , z = 2 t , t R .
5. feladat A

2 x + 2 y + 2 z = 2 x 2 y z = 1 x y + z = 1

egyenletrendszernek
nincs megoldása.
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = t , z = 1 + t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = 2 + t , y = 2 t , z = 1 t , t R .
egyértelmű megoldása van, ez x = y = 0, z = 1 .
6. kérdés A

x y + 2 z = 2 2 x + y + z = 1 3 x + 2 y z = 1

egyenletrendszernek
végtelen sok megoldása van, ezek x = 3 3 t , y = 5 + 5 t , z = t , t R .
nincs megoldása.
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = t , z = 1 + t , t R .
egyértelmű megoldása van, ami x = y = 0, z = 1 .
7. kérdés A

2 x + y z = 2 3 x y + 2 z = 4 x 2 y + 3 z = 2

egyenletrendszernek
végtelen sok megoldása van, ezek x = 1 2 t , y = 1 + t , z = 1 t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = 6 5 t 5 , y = 2 5 + 7 t 5 , z = t , t R .
nincs megoldása.
végtelen sok megoldása van, ezek x = 2 t , y = 2 + 3 t , z = t , t R .
8. kérdés Az

x + 2 y + 3 z = 0 3 x + 2 y + z = 4 x 2 y + z = 2

egyenletrendszernek
egyértelmű megoldása van, ami x = y = 1, z = 1 .
végtelen sok megoldás van, ezek x = 1 + 2 t , y = 1 t , z = 1 + t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = 1, z = 2 t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = y = t , z = 3 2 t , t R .
9. kérdés A

3 x + 2 y + z = 0 x + 3 y + 2 z = 0 2 x + y + 3 z = 0

homogén egyenletrendszernek
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = 2 t , z = t , t R
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = 3 t , z = t , t R .
csak az x = y = z = 0 triviális megoldása van.
végtelen sok megoldása van, ezek x = y = t , z = 2 t , t R .
10. kérdés A

3 x + 4 y + z = 0 2 x + 2 y z = 0 x + 2 y + 2 z = 0

homogén egyenletrendszernek
csak az x = y = z = 0 triviális megoldása van.
végtelen sok megoldása van, ezek x = t , y = 2 t , z = 3 t , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = t 2 , y = 2 t 3 , z = t 5 , t R .
végtelen sok megoldása van, ezek x = 3 t , y = 5 t 2 , z = t , t R .