KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.6 Iránymenti derivált, gradiens

Tanulási cél: Begyakorolni az iránymenti derivált kiszámolását és a gradiensvektor előállítását.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.4.

Elméleti összefoglaló:

Legyen az f ( x , y ) függvény differenciálható az ( a , b ) pontban, u = ( u 1 , u 2 ) pedig egy vektor. Ekkor az f függvény u irányú iránymenti deriváltja az ( a , b ) pontban

f u ( a , b ) = f x ( a , b ) u 1 | u | + f y ( a , b ) u 2 | u | .

Az iránymenti derivált a parciális derivált általánosítása, az x szerinti parciális derivált az u = ( 1,0 ) irányú, az y szerinti parciális derivált az u = ( 0,1 ) irányú iránymenti derivált.

Ugyanennek az f ( x , y ) függvénynek a gradiens vektora, vagy gradiense, az ( a , b ) pontban

grad f ( a , b ) = ( f x ( a , b ) , f y ( a , b ) ) .

Kidolgozott feladatok

1. feladat Számoljuk ki az f ( x , y ) = 2 x y 2 y függvény u = ( 1,2 ) irányú iránymenti deriváltját az ( a , b ) = ( 1, 1 ) pontban.

Megoldás: Először elkészítjük a parciális derivált függvényeket. Ezek most

f x ( x , y ) = 2 y 2 , f y ( x , y ) = 4 x y 1 .

Ezek helyettesítési értéke a megadott pontban

f x ( 1, 1 ) = 2, f y ( 1, 1 ) = 5 .

Mielőtt behelyettesítenénk az iránymenti derivált képletébe érdemes kiszámolni még az irányvektor hosszát is, ez most

| u | = 2 .

Ezek alapján

f u ( a , b ) = f x ( a , b ) u 1 | u | + f y ( a , b ) u 2 | u | = 2 . 1 2 + ( 5 ) . 1 2 = 7 2

2. feladat Számítsuk ki az f ( x , y ) = x e y y e x függvény ( a , b ) = ( 0,0 ) pontbeli u = ( 5, 2 ) irányú iránymenti deriváltját.

Megoldás: Mivel

f x ( x , y ) = e y y e x , f y ( x , y ) = x e y e x ,

ezért

f x ( 0,0 ) = 1, f y ( 0,0 ) = 1 .

Miután | u | = 29 ,

f u ( a , b ) = 1 . 5 29 + ( 1 ) . 2 29 = 7 29 .

3. feladat Számítsuk ki az f ( x , y ) = 2 x 3 y 2 függvény ( a , b ) = ( 1,1 ) pontbeli iránymenti deriváltjait az y = 2 x + 1 egyenes irányvektorával párhuzamos irányokban.

Megoldás: Először meghatározzuk a parciális deriváltakkal kapcsolatos dolgokat.

f x ( x , y ) = 6 x 2 y 2 , f y ( x , y ) = 4 x 3 y ,

és így

f x ( 1,1 ) = 6, f y ( 1,1 ) = 4 .

Az egyenes egy lehetéges irányvektora az u = ( 1,2 ) vektor. (Az egyenes két pontja A ( 0,1 ) és B ( 1,3 ) , és ekkor A B = ( 1,2 ) egy lehetséges irányvektor.) Ha kiszámoljuk az ilyen irányú irányvmenti deriváltat, azt kapjuk, hogy

f u ( 1,1 ) = 6 . 1 5 + 4 . 2 5 = 10 5 .

De u -val együtt minden δ u = ( δ ,2 δ ) , δ R , δ 0 vektor is lehet az egyenes irányvektora.

Legyen először δ > 0 . Ekkor, mivel most

| δ u | = δ | u | = 5 . δ ,

az adódik, hogy

f δ u ( 1,1 ) = 6 . δ 5 . δ + 4 . 2 δ 5 . δ = 10 5 .

Ha pedig δ < 0 , akkor, felhasználva, hogy δ | δ | = 1 , és azt, hogy ilyenkor | δ u | = | δ | . | u | , azt kapjuk, hogy

f δ u ( 1,1 ) = 6 . δ 5 . | δ | + 4 . 2 δ 5 . | δ | = 10 5 .

Tehát csak két különböző értéket kaphatunk iránymenti deriváltként, amelyek egymás mínusz egyszeresei.

4. feladat Határozzuk meg az f ( x , y ) = x ln ( x + y ) függvény gradiensét az ( a , b ) = ( 3, 2 ) pontban.

Megoldás: Miután

f x ( x , y ) = ln ( x + y ) + x x + y , f y ( x , y ) = x x + y

kapjuk, hogy

f x ( 3, 2 ) = ln ( 3 2 ) + 3 3 2 = 3, f y ( 3, 2 ) = 3 3 2 = 3 .

Így

grad f ( a , b ) = ( 3,3 ) .

5. feladat Írjuk fel az f ( x , y ) = ln x 2 + y 2 függvény ( a , b ) = ( 3,4 ) -beli gradiensét.

Megoldás: Az egyszerűbb deriválás érdekében érdemes felírni f -et az alábbi alakban:

f ( x , y ) = ln x 2 + y 2 = ln ( x 2 + y 2 ) 1 2 = 1 2 ln ( x 2 + y 2 ) .

Ezután

f x ( x , y ) = 1 2 . 2 x x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 , f y ( x , y ) = y x 2 + y 2 .

Innen

grad f ( 3,4 ) = ( 3 25 , 4 25 ) .

Ellenőrző kérdések

1. kérdés: Az f ( x , y ) = ( x + 2 y ) 3 függvény u = ( 2,1 ) irányú iránymenti deriváltja a P ( 1,1 ) pontban
81 5 .
108 5 .
108 5 .
135 5 .
2. kérdés: Az f ( x , y ) = ( x 2 y ) 3 függvény u = ( 3 ,1 ) irányú iránymenti deriváltja a P ( 1,1 ) pontban
6 3 3 2 .
6 3 3 2 .
3 6 3 2 .
3 3 6 2 .
3. kérdés: Az f ( x , y ) = x y x + y függvény u = ( 1,1 ) irányú iránymenti deriváltja a P ( 2,1 ) pontban
1 8 .
2 2 .
2 2 .
6 9 2 .
4. kérdés: Az f ( x , y ) = sin ( x y ) + cos ( x y ) függvény gradiens vektora a P ( 1,2 )
grad f ( 1,2 ) = ( 2.56 , 1.33 ) .
grad f ( 1,2 ) = ( 1.33 , 2.65 ) .
grad f ( 1,2 ) = ( 2.65, 1.33 ) .
grad f ( 1,2 ) = ( 2.65, 1.33 ) .
5. kérdés: Az f ( x , y ) = tg x + y függvény P ( 0,1 ) -beli gradiense
grad f ( 0,1 ) = ( 1 2 ,1 ) .
grad f ( 0,1 ) = ( 2,1 ) .
grad f ( 0,1 ) = ( 1, 1 2 ) .
grad f ( 0,1 ) = ( 2, 1 ) .
6. kérdés: Az f ( x , y ) = sin ( x y ) + cos ( x y ) függvény P ( 2,0 ) -beli gradiense
grad f ( 2,0 ) = ( 0,2 ) .
grad f ( 2,0 ) = ( 0, 2 )
grad f ( 2,0 ) = ( 2,0 ) .
grad f ( 2,0 ) = ( 2,2 ) .