KURZUS: Matematika II.
MODUL: 1. Vektorok
1.4. A vegyesszorzat
| Tanulási cél: A vegyesszorzat fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása, alkalmazása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 2.3.
Elméleti összefoglaló: Az vektorok vegyesszorzatának nevezzük az számot. (Az vektort skalárisan szorozzuk a vektorral.) Jelölés:
Ha a vegyesszorzat tényezőit ciklikusan cseréljük, a szorzat értéke nem változik, de ha csak két tényezőt cserélünk fel, akkor a szorzat előjele megváltozik, azaz
.
Három vektor vegyesszorzata akkor és csak akkor 0, ha a három vektor egysíkú.
akkor pozitív, ha és az vektorok síkjának azonos oldalára mutat, azaz ilyen sorrendben jobbrendszert alkotnak, s akkor negatív a vegyesszorzat,ha a vektorok ilyen sorrendben balrendszert alkotnak.
abszolút értéke megadja az vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatának számértékét.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg értékét, ha !
Megoldás: Először határozzuk meg -t.
Majd végezzük el a skaláris szorzást.
|
2. feladat Határozzuk meg az vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát!
Megoldás: Számítsuk ki a három vektor vegyesszorzatát, s annak abszolút értéke lesz a keresett térfogat. Első lépésként számoljuk -t.
Végezzük el a skaláris szorzást.
Ebből .
|
3. feladat Ha az vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata 5 egység, akkor mennyi a térfogata az vektorok által kifeszített paralelepipedonnak?
Megoldás: Mivel a paralelepipedon térfogata a kifeszítő vektorok vegyesszorzatának abszolút érétéke, ezért
.
Helyettesítsük be ide a három vektort megadó kifejezéseket.
Végezzük el először csak a vektoriális szorzást. Minden tagot minden taggal szoroznunk kell.
Használjuk ki, hogy , hiszen párhuzamos vektorokat szorzunk. Marad
.
Helyettesítsük ezt a térfogatot leíró összefüggésbe.
Végezzük el a skaláris szorzást; most is minden tagot minden taggal szorozni kell.
Írjuk ugyanezt a vegyesszorzat jelölésével.
Mivel három egysíkú vektor vegyesszorzata 0, ezért mindegyik tag, melyben valamelyik vektor ismétlődik, 0-val egyenlő. (Ha három vektor közül kettő azonos, akkor a három vektor biztosan egysíkú.) Ezt felhasználva
.
Használjuk fel, hogy és , hiszen mindegyikben csak két vektor lett felcserélve.
Mivel az vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata 5, ezért .
|
4. feladat Határozzuk meg értékét úgy, hogy az vektorok egysíkúak legyenek!
Megoldás: A három vektor akkor egysíkú, ha vegyesszorzatuk 0. Ha ezt felírjuk, egy egyenletet kapunk, melyben lesz az ismeretlen. Első lépésként most is a vektoriális szorzatot határozzuk meg.
Majd elvégezzük a skaláris szorzást.
Rendezve .
|
5. feladat Igazoljuk, hogy az pontok egysíkúak.
Megoldás: Ha négy pont egysíkú, akkor az egyikből a másik háromba irányított három vektor is egysíkú, s ez megfordítva is igaz. Ha például az vektorok egysíkúak, akkor a négy pont is egyetlen síkra illeszkedik. Írjuk fel a három vektor koordinátáit.
Számoljuk ki először -t.
Szorozzuk ezt skalárisan az vektorral.
Mivel a három vektor vegyesszorzata 0, a vektorok egysíkúak, s ebből következik, hogy a négy pont is egysíkú.
|
6. feladat Egy tetraéder csúcspontjai: . Határozzuk meg a tetraéder téfogatát, és csúcshoz tartozó magasságát!
Megoldás: Válasszuk ki a négy pont közül az egyeiket, például -t, s irányítsunk belőle vektorokat a másik három pontba. Az így kapott három vektor egy paralelepipedont feszít ki. Azt állíthatjuk, hogy ezen paralelepipedon térfogata, a tetraéder térfogatának hatszorosa. Ennek belátásához tekintsük az alábbi ábrát.

|
Vágjuk el a paralelepipedont a négyszög síkjával két részre. Ezáltal a térfogatot megfeleztük, hiszen a paralelepipedon úgy is mondható, hogy egy paralelogramma alapú ferde hasáb, s ezen vágással mi a hasáb alapját felezzük meg, két egyenlő területű háromszögre bontva, magasságát pedig nem változtatjuk. A keletkező két háromszög alapú hasáb közül az alapú, a belsejében tartalmazza a tetraédert, sőt azt is mondhatjuk, hogy ez hasáb valamint a teraéder közös alappal és azonos magassággal rendelkezik. Mivel a tetraéder nem más, mint egy háromszög alapú gúla, hivatkozhatunk arra a középiskolában megismert tételre, miszerint azonos alapú és magasságú hasáb és gúla esetén, a hasáb térfogata a gúla térfogatának a háromszorosa. Ezzel készen is vagyunk, hiszen a paralelepipedon térfogatát egyrészt feleztük, majd a maradékot harmadoltuk, azaz öszességében a térfogatot hatodrészére csökkentettük, miközben a tetraédert a paralelepipedonból darabolással előállítok. Mivel a paralelepipedon térfogata a kifeszítő élvektorok vegyesszorzatának abszolút értékével egyenlő, ezért a tetraéder térfogata
.
Határozzuk meg először a vektorok koordinátáit.
Számoljuk ki a vektoriális szorzatot.
Szorozzunk ezután skalárisan -vel.
Ezek után a tetraéder térfogata
.
A magasság meghatározásához írjuk fel más módon is a térfogatot. Gúla térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatának harmadával, azaz
.
Fejezzük ki ebből a magasságot.
Az előző leckében szerepelt, hogy a háromszög területét megkapjuk, ha a kifeszítő vektorok vektoriális szorzatának abszolút értékekét megfelezzük.
Ezek után a magasság
.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mivel egyenlő , ha és ? |
2. kérdés: Mekkora az vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata? |
3. kérdés: Ha az szabályos háromszög oldalainak hossza 2, akkor mivel egyenlő az vegyesszorzat? |
4. kérdés: Mivel egyenlő , ha az pontok egysíkúak? |
5. kérdés: Mekkora az tetraéder térfogata, ha csúcsai ? |
6. kérdés: Mekkora az tetraéder csúcsához tartozó magasságának hossza, ha ? |