KURZUS: Matematika II.

MODUL: 1. Vektorok

1.4. A vegyesszorzat

Tanulási cél: A vegyesszorzat fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása, alkalmazása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények
Fejezet: 2.3.

Elméleti összefoglaló:
Az a , b , c vektorok vegyesszorzatának nevezzük az ( a × b ) c számot.
(Az a × b vektort skalárisan szorozzuk a c vektorral.)
Jelölés: a b c

Ha a vegyesszorzat tényezőit ciklikusan cseréljük, a szorzat értéke nem változik, de ha csak két tényezőt cserélünk fel, akkor a szorzat előjele megváltozik, azaz

a b c = b c a = c a b = b a c = a c b = c b a .

Három vektor vegyesszorzata akkor és csak akkor 0, ha a három vektor egysíkú.

a b c akkor pozitív, ha c és a × b az a , b vektorok síkjának azonos oldalára mutat, azaz a , b , c ilyen sorrendben jobbrendszert alkotnak, s akkor negatív a vegyesszorzat,ha a vektorok ilyen sorrendben balrendszert alkotnak.

a b c abszolút értéke megadja az a , b , c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatának számértékét.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg a b c értékét, ha a ( 3, 4, 2 ) , b ( 1, 0, 1 ) , c ( 5, 3, 2 ) !

Megoldás:
Először határozzuk meg a × b -t.

a × b = | i j k 3 4 2 1 0 1 | = | 4 2 0 1 | i | 3 2 1 1 | j + | 3 4 1 0 | k =

= ( ( 4 ) . ( 1 ) 2 . 0 ) i ( 3 . ( 1 ) 2 . 1 ) j + ( 3 . 0 ( 4 ) . 1 ) k = 4 i + 5 j + 4 k

a × b ( 4, 5, 4 )

Majd végezzük el a skaláris szorzást.

a b c = ( a × b ) c = 4 . 5 + 5 . ( 3 ) + 4 . ( 2 ) = 3

2. feladat Határozzuk meg az a , b , c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát!
a ( 1, 2, 5 ) , b ( 4, 1, 1 ) , c ( 2, 1, 3 )

Megoldás:
Számítsuk ki a három vektor vegyesszorzatát, s annak abszolút értéke lesz a keresett térfogat.
Első lépésként számoljuk a × b -t.

a × b = | i j k 1 2 5 4 1 1 | = | 2 5 1 1 | i | 1 5 4 1 | j + | 1 2 4 1 | k =

= ( 2 . 1 ( 5 ) . 1 ) i ( ( 1 ) . 1 ( 5 ) . 4 ) j + ( ( 1 ) . 1 2 . 4 ) k = 7 i 19 j 9 k

a × b ( 7, 19, 9 )

Végezzük el a skaláris szorzást.

a b c = ( a × b ) c = 7 . 2 + ( 19 ) . 1 + ( 9 ) . 3 = 32

Ebből V = 32 .

3. feladat Ha az a , b , c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata 5 egység, akkor mennyi a térfogata az u = 2 a b , v = a + 3 c , w = 2 b c vektorok által kifeszített paralelepipedonnak?

Megoldás:
Mivel a paralelepipedon térfogata a kifeszítő vektorok vegyesszorzatának abszolút érétéke, ezért

V = | u v w | .

Helyettesítsük be ide a három vektort megadó kifejezéseket.

V = | ( 2 a b ) ( a + 3 c ) ( 2 b c ) | = | ( ( 2 a b ) × ( a + 3 c ) ) ( 2 b c ) |

Végezzük el először csak a vektoriális szorzást. Minden tagot minden taggal szoroznunk kell.

( 2 a b ) × ( a + 3 c ) = 2 ( a × a ) + 6 ( a × c ) ( b × a ) 3 ( b × c )

Használjuk ki, hogy a × a = 0 , hiszen párhuzamos vektorokat szorzunk. Marad

( 2 a b ) × ( a + 3 c ) = 6 ( a × c ) ( b × a ) 3 ( b × c ) .

Helyettesítsük ezt a térfogatot leíró összefüggésbe.

V = | ( 6 ( a × c ) ( b × a ) 3 ( b × c ) ) ( 2 b c ) |

Végezzük el a skaláris szorzást; most is minden tagot minden taggal szorozni kell.

V = | 12 ( a × c ) b 2 ( b × a ) b 6 ( b × c ) b 6 ( a × c ) c + ( b × a ) c + 3 ( b × c ) c |

Írjuk ugyanezt a vegyesszorzat jelölésével.

V = | 12 a c b 2 b a b 6 b c b 6 a c c + b a c + 3 b c c |

Mivel három egysíkú vektor vegyesszorzata 0, ezért mindegyik tag, melyben valamelyik vektor ismétlődik, 0-val egyenlő. (Ha három vektor közül kettő azonos, akkor a három vektor biztosan egysíkú.) Ezt felhasználva

V = | 12 a c b + b a c | .

Használjuk fel, hogy a c b = a b c és b a c = a b c , hiszen mindegyikben csak két vektor lett felcserélve.

V = | 12 a b c a b c | = | 13 a b c | = 13 | a b c |

Mivel az a , b , c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata 5, ezért | a b c | = 5 .

V = 13 . 5 = 65

4. feladat Határozzuk meg x értékét úgy, hogy az a ( 3, 2, 1 ) , b ( 1, 2, 3 ) , c ( x , 5, 2 ) vektorok egysíkúak legyenek!

Megoldás:
A három vektor akkor egysíkú, ha vegyesszorzatuk 0. Ha ezt felírjuk, egy egyenletet kapunk, melyben x lesz az ismeretlen. Első lépésként most is a vektoriális szorzatot határozzuk meg.

a × b = | i j k 3 2 1 1 2 3 | = | 2 1 2 3 | i | 3 1 1 3 | j + | 3 2 1 2 | k =

( 2 . 3 1 . 2 ) i ( 3 . 3 1 . 1 ) j + ( 3 . 2 2 . 1 ) k = 4 i 8 j + 4 k

a × b ( 4, 8, 4 )

Majd elvégezzük a skaláris szorzást.

a b c = ( a × b ) c = 4 x + ( 8 ) . 5 + 4 . 2 = 0

Rendezve 4 x = 32 x = 8 .

5. feladat Igazoljuk, hogy az A ( 1, 3, 2 ) , B ( 3, 2, 3 ) , C ( 0, 0, 2 ) , D ( 3, 4, 5 ) pontok egysíkúak.

Megoldás:
Ha négy pont egysíkú, akkor az egyikből a másik háromba irányított három vektor is egysíkú, s ez megfordítva is igaz. Ha például az A B , A C , A D vektorok egysíkúak, akkor a négy pont is egyetlen síkra illeszkedik. Írjuk fel a három vektor koordinátáit.

A B ( 2, 1, 1 ) , A C ( 1, 3, 4 ) , A D ( 2, 1, 3 )

Számoljuk ki először A B × A C -t.

A B × A C = | i j k 2 1 1 1 3 4 | = | 1 1 3 4 | i | 2 1 1 4 | j + | 2 1 1 3 | k =

= ( 1 . ( 4 ) 1 . 3 ) i ( 2 . ( 4 ) 1 . ( 1 ) ) j + ( 2 . 3 1 . ( 1 ) ) k = 7 i + 7 j + 7 k

A B × A C ( 7, 7, 7 )

Szorozzuk ezt skalárisan az A D vektorral.

A B A C A D = ( A B × A C ) A D = ( 7 ) . 2 + 7 . ( 1 ) + 7 . 3 = 0

Mivel a három vektor vegyesszorzata 0, a vektorok egysíkúak, s ebből következik, hogy a négy pont is egysíkú.

6. feladat Egy tetraéder csúcspontjai: A ( 3, 2, 4 ) , B ( 5, 2, 1 ) , C ( 4, 1, 1 ) , D ( 1, 5, 3 ) . Határozzuk meg a tetraéder téfogatát, és D csúcshoz tartozó magasságát!

Megoldás:
Válasszuk ki a négy pont közül az egyeiket, például A -t, s irányítsunk belőle vektorokat a másik három pontba. Az így kapott három vektor egy paralelepipedont feszít ki. Azt állíthatjuk, hogy ezen paralelepipedon térfogata, a tetraéder térfogatának hatszorosa. Ennek belátásához tekintsük az alábbi ábrát.


Vágjuk el a paralelepipedont a B C G F négyszög síkjával két részre. Ezáltal a térfogatot megfeleztük, hiszen a paralelepipedon úgy is mondható, hogy egy paralelogramma alapú ferde hasáb, s ezen vágással mi a hasáb alapját felezzük meg, két egyenlő területű háromszögre bontva, magasságát pedig nem változtatjuk. A keletkező két háromszög alapú hasáb közül az A B C alapú, a belsejében tartalmazza a tetraédert, sőt azt is mondhatjuk, hogy ez hasáb valamint a teraéder közös alappal és azonos magassággal rendelkezik. Mivel a tetraéder nem más, mint egy háromszög alapú gúla, hivatkozhatunk arra a középiskolában megismert tételre, miszerint azonos alapú és magasságú hasáb és gúla esetén, a hasáb térfogata a gúla térfogatának a háromszorosa. Ezzel készen is vagyunk, hiszen a paralelepipedon térfogatát egyrészt feleztük, majd a maradékot harmadoltuk, azaz öszességében a térfogatot hatodrészére csökkentettük, miközben a tetraédert a paralelepipedonból darabolással előállítok. Mivel a paralelepipedon térfogata a kifeszítő élvektorok vegyesszorzatának abszolút értékével egyenlő, ezért a tetraéder térfogata

V = 1 6 | A B A C A D | = 1 6 | ( A B × A C ) A D | .

Határozzuk meg először a vektorok koordinátáit.

A B ( 2, 4, 3 ) , A C ( 1, 1, 5 ) , A D ( 2, 3, 1 )

Számoljuk ki a vektoriális szorzatot.

A B × A C = | i j k 2 4 3 1 1 5 | = | 4 3 1 5 | i | 2 3 1 5 | j + | 2 4 1 1 | k =

= ( ( 4 ) . 5 3 . ( 1 ) ) i ( 2 . 5 3 . 1 ) j + ( 2 . ( 1 ) ( 4 ) . 1 ) k = 17 i 7 j + 2 k

A B × A C ( 17, 7, 2 )

Szorozzunk ezután skalárisan A D -vel.

A B A C A D = ( A B × A C ) A D = ( 17 ) . ( 2 ) + ( 7 ) . 3 + 2 . 1 = 15

Ezek után a tetraéder térfogata

V = 1 6 | 15 | = 5 2 .

A magasság meghatározásához írjuk fel más módon is a térfogatot. Gúla térfogata egyenlő az alapterület és a magasság szorzatának harmadával, azaz

V = 1 3 T A B C . m D .

Fejezzük ki ebből a magasságot.

m D = 3 V T A B C

Az előző leckében szerepelt, hogy a háromszög területét megkapjuk, ha a kifeszítő vektorok vektoriális szorzatának abszolút értékekét megfelezzük.

T A B C = 1 2 | A B × A C | = 1 2 ( 17 ) 2 + ( 7 ) 2 + 2 2 = 1 2 342 9.25

Ezek után a magasság

m D = 3 . 5 2 1 2 342 0.81 .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő a b c , ha a ( 2, 1, 5 ) , b ( 1, 8, 1 ) és c ( 1, 2, 2 ) ?
13
-13
15
-15
2. kérdés: Mekkora az a ( 2, 3, 4 ) , b ( 1, 0, 2 ) , c ( 3, 1, 1 ) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata?
7
15
257
45
3. kérdés: Ha az A B C szabályos háromszög oldalainak hossza 2, akkor mivel egyenlő az A B B C C A vegyesszorzat?
-8
-6
0
6
8
4. kérdés: Mivel egyenlő y , ha az
A ( 3, 4, 1 ) , B ( 2, 3, 7 ) , C ( 1, 4, 3 ) , D ( 4, y , 5 ) pontok egysíkúak?
0
1
2
3
5. kérdés: Mekkora az A B C D tetraéder térfogata, ha csúcsai A ( 2, 4, 1 ) , B ( 6, 0, 1 ) , C ( 1, 1, 0 ) , D ( 2, 4, 3 ) ?
1
2
5
8
6. kérdés: Mekkora az A B C D tetraéder D csúcsához tartozó magasságának hossza, ha A ( 1, 2, 1 ) , B ( 2, 2, 2 ) , C ( 4, 4, 3 ) , D ( 5, 10, 9 ) ?
1
3
8
12