Elméleti összefoglaló: Definíciója alapján egy kétváltozós függvényt két dolog határoz meg: a hozzárendelési utasítás és az értelmezési tartomány.
Ugyanúgy, mint egyváltozós estben, szokás a kétváltozós függvényeket is csupán a hozzárendelési utasítás megadásával definiálni. Ilyenkor értelmezési tartományként a síknak az a legbővebb halmaza szerepel, amelyre a hozzáremdelési utasítás értelmes.
Ezt a halmazt a legtöbb esetben egyenlőtlenségek megoldáshalmazaként kapjuk meg. A lecke az itt alkalmazható néhány módszer bemutatásával foglalkozik.
A értelmezési tartományként fellépő síkbeli halmazokat sok szempontból grafikusan a legcélszerűbb megadni. Valahogy, általában sötétítéssel, megjelöljük a halmaz belső pontjait. A határpontok esetén úgy járunk el, hogy a határoló vonal azon pontjait, amelyek nem tartoznak a -hez vékonyan hagyjuk, míg az értelmezési tartományhoz tartozókat vastagon kihúzzuk.
Kidolgozott feladatok
1. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Négyzetgyököt csak nemnegatív számból vonhatunk, ezért az értelmezési tartomány minden pontjára annak kell teljesülni, hogy
.
Azok a pontok vannak az értelmezési tartományban, amelyek koordinátái kielégítik ezt az egyenlőtlenséget.
A kétismeretlenes egyenlőtlenségek megoldásakor az egyik gyakran használható módszer a következő. Ha az összefüggés ekvivalens átalakításokkal átrendezhető úgy, hogy az egyik oldalon csak az ismeretlen álljon, akkor tegyük ezt meg. Most ez a helyzet, ugyanis rendezéssel
,
amit inkább
alakban írunk fel. (Mindig elérhetjük, hogy az a bal oldalon álljon, így is fogunk eljárni.)
Ezután, ha a relációjelet gondolatban egyenlőségjelre cseréljük, kapunk egy egyváltózós függvényt, most ez az
függvény, aminek a grafikonja egy egyenes.
Ezt a függvényt ábrázoljuk a koordináta rendszerben. A grafikon pontjaiban az egyenlő -el. A síknak a grafikon alatti pontjaiban az kisebb, mint , a grafikon fölötti pontjaiban az nagyobb, mint .
Mi azokat a pontokat keressük, amelyeknél az , ezek tehát a grafikonra eső és a grafikon alatti pontok halmaza.
A tehát egy félsík, a határoló egyenes pontjait is beleértve, ezt mutatja az alábbi ábra.
2. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Logaritmusát csak pozitív számnak vehetjük, tehát annak kell teljesülni, hogy
.
Az egyenlőtlenségek megoldásának másik, gyakran alkalmazható, módszere a szorzatra bontás. Most a bal oldal szorzatra bontható, hiszen
.
Egy szorzat akkor pozitív, ha mindkét tényezője pozitív vagy mindkét tényezője negatív. Tehát két esetet kell vizsgálnunk.
a) Ha és .
Ezt a két feltételt egyszerre az alábbi ábrán látható -el jelölt síknegyed pontjai elégítik ki. A határoló félegyenesek most nem tartoznak a halmazhoz.
b) Ha és .
Ezeket a feltételeket az alábbi ábrán szereplő -vel jelölt síknegyed pontjai elégítik ki. A határoló félegyenesek most sem tartoznak a halmazhoz.
Végül is azt kapjuk, hogy . Ezt a halmazt mutatja az alábbi ábra.
3. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: A logaritmus miatt persze az a kiinduló feltétel, hogy
.
Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldását kell megkeresnünk. Most így járhatunk el.
a) Ha , akkor az egyenlőtlenség teljesül. Tehát a függőleges koordináta tengely része az értelmezési tartománynak.
Az eredeti egyenlőtlenség átrendezhető a következő módon:
.
Ebből az az -el való átosztás után "kifejezhető". Arra kell azonban ügyelni, hogy ha az pozitív, akkor a vele való átosztáskor nem változik az egyenlőtlenség iránya, ha az negatív, akkor a vele való átosztáskor megfordul az egyenlőtlenség iránya.
Két további esetet kapunk tehát.
b) Ha , akkor az eredeti egyenlőtlenség azzal ekvivalens, hogy
, azaz .
Az függvény képe egy hiperbola, aminek most a jobb oldali ágát kell tekintenünk. Az egyenlőtlenség a hiperbolaág alatti pontokban teljesül. Ezeknek a pontoknak a halmazát jelöljük -el. Sem a hiperbola sem a függőleges tengely pontjai nem tartoznak a halmazhoz. Ez a halmaz látható az alábbi ábrán.
c) Ha , akkor átosztáskor megfordul az egyenlőtlenség iránya, tehát
, azaz .
Ezt az egyenlőtlenséget az hiperbola bal oldali ága fölött lévő pontok elégítik ki. A hiperbola és a függőleges tengely pontjai most sincsenek a halmazban. Ezt a halmazt jelöljük -vel, ez látható a következő ábrán.
Mostmár az értelmezési tartomány a és a halmazok valamint a függőleges koordináta tengely uniója, ami a két hiperbola ág közötti pontokat jelenti, nem számítva magukra a hiperbola ágakra eső pontokat.. Ezt mutatja az alábbi ábra.
4. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Jelöljük -el azt a halmazt, amelynek a pontjaiban a logaritmusos kifejezés értelmes, -vel azt a halmazt, amelynek a pontjaiban a gyökös kifejezés értelmes. Mivel mindkét részformulának külön-külön is értelmesnek kell lenni, az értelmezési tartomány ennek a két halmaznak a metszete.
Meghatározzuk először a halmazt. Ekkor az
egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Ez átrendezve azt jelenti, hogy
.
A halmaz tehát a egyenes fölötti félsík pontjaiból áll, a határoló egyenes nem tartozik a halmazhoz. Ezt a halmazt látjuk az alábbi ábrán.
Rátérünk a halmaz meghatározására. Most az a feltétel, hogy teljesüljön az
egyenlőtlenség. Átrendezve
.
A halmaz tehát az parabolára és a parabola fölé eső pontokból áll. Az alábbi ábrán láthatjuk ennek a halmaznak a pontjait. A határoló parabola pontjai most a halmazhoz tartoznak.
Az értelmezési tartomány ennek a két halmaznak a metszete, tehát a mindkét ábrán megjelölt pontok halmaza. Ezt mutatja az utolsó ábránk.
A két parabolaív pontjai, a végpontokat kivéve, a halmazhoz tartoznak, de az egyenes szakasz pontjai nem.
5. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: A gyökvonás miatt persze az a feltétel, hogy
legyen, amit átrendezhetünk
alakban.
Ha itt a jelet gondolatban egyenlőségre cseréljük az origó középpontú sugarú kör egyenletét kapjuk. A körvonal pontjaiban az egyenlő néggyel, a körvonalon belül kisebb, mint négy, a körvonalon kívül pedig nagyobb, mint négy.
Az értelmezési tartomány most tehát a körvonalra eső és az azon belüli pontokból áll, ezt mutatja az alábbi ábra.
6. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Most annak kell teljesülni, hogy
.
Tudjuk, hogy az középpontú, sugarú kör egyenlete
.
Ha itt elvégeznénk a négyzetre emeléseket az egyenlőtlenségünk bal oldalához hasonló formulát kapnánk. Ebből arra gondulhatunk, hogy az értelmezési tartományt most is egy körvonal fogja határolni, csak az a kérdés, hogy mi a középpont és mekkora a sugár.
Teljes négyzetté való kiegészítéssel kaphatjuk meg a középpont koordinátáit és a sugár értékét.
Mivel és , azt kapjuk, hogy az eredeti egyenlőtlenségünk
vagy az ezzel ekvivalens
alakba írható.
Ha a nagyobb jelet gondulatban egyenlőre cseréljük a középpontú, sugarú kör egyenletét kapjuk.
Az értelmezési tartomány tehát az ezen a körvonalon kívüli pontokból áll, a körvonal pontjai most nem tartoznak a -hez. Az alábbi ábra azt a halmazt mutatja.
7. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Tudjuk, hogy az arkuszkoszinusz függvény értelmezési tartománya a zárt intervallum, tehát annak kell teljesülni, hogy
.
Ezt a két egyenlőtlenséget kell tehát megoldanunk.
Tekintsük először a bal oldali egyenlőtlenséget, amelynek a megoldáshalmazát jelölje . Az
egyenlőtlenség átrendezhető
, illetve
alakba.
Ebből a halmaz a középpontú, sugarú körvonal és az azon kívüli pontokból álló halmaz.
A jobb oldali egyenlőtlenség megoldáshalmazát jelölje . Az
egyenlőtlenség átrendezhető
, illetve
.
Innen a halmaz a középpontú sugarú körvonal és az azon belüli pontok halmaza.
Ezek után az értelmezési tartomány a és halmazok metszete, ami most az alábbi ábrán látható körgyűrű.
8. feladat Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Azt kell meghatároznunk, hogy mely pontokban teljesül a
egyenlőtlenség.
Ezt célszerű úgy megvizsgálni, hogy megvizsgáljuk azt, hogy a tört mikor nulla és azt, hogy mikor pozitív.
Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla és a nevezője pedig nem nulla. Ebből a számláló esetén azt kapjuk, hogy
,
azaz
,
.
A számláló tehát a középpontú sugarú körvonal pontjaiban nulla.
Teljesen hasonló számolással a nevező esetén kapjuk, hogy
,
.
A nevező tehát a középpontú, sugarú körvonal pontjaiban nulla.
Az alábbi ábrán ezt a két körvonalat látjuk.
Az is látszik, hogy a két kör egyetlen közös pontja az origó, ezt kell tehát kizárni a számláló nullhelyei közül.
Végül is tehát a tört nulla, a középpontú, sugarú kör origótól különböző pontjaiban. Ezeknek a pontoknak a halmazát jelölje , ezt mutatja a következő ábra.
Egy tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű.
Mindkettő akkor pozitív, ha
,
,
,
és ugyanakkor
,
.
Ezek az egyenlőtlenségek a két körvonal közötti pontokban teljesülnek, ahogy ezt az alábbi ábrán láthatjuk. Ezt a halmazt jelölje .
Végül a számláló is és a nevező is negatív lenne a külső körvonalon kívüli és a belső körvonalon belüli pontokban, de ilyen pont nyilván nincs.
Ezek alapján a a és halmazok uniója. Ezt mutatja az utolsó ábra.
Ellenőrző kérdések
1. kérdés Az hozzárendelési utasítású függvény értelmezési tartománya
az origó középpontú, két egység sugarú kör pontjai.
az egész sík, kivéve az origó középpontú, két egység sugarú kör pontjait.
az egész sík, kivéve az origó középpontú, két egység sugarú körnek a függőleges tengelyre nem eső pontjait.
az origó középpontú, két egység sugarú körvonalon belüli pontok.
2. kérdés Az függvény értelmezési tartománya
az origó középpontú, egységsugarú körvonal, és az körvonalon kívüli pontok halmaza.
az origó középpontú, egységsugarú körvonal pontjai.
az origó középpontú egységsugarú körvonalon belüli pontok.
az origó középpontú, egységsugarú körvonalon kívüli pontok.
3. kérdés Az függvény értelmezési tartománya
az egész sík, kivéve a és a pontokon átmenő függőleges egyenesek pontjait.
az origő középpontú, három egység sugarú körvonalon belüli pontok.
a és a pontokon átmenő függőleges egyenesek közötti pontok halmaza, az egyenesek pontjait nem számítva.
az origótól három egységnél távolabb lévő pontok halmaza.
4. kérdés Az függvény értelmezési tartománya
az egyenes alatti félsík, beleértve az egyenes pontjait is.
az egyenes feletti félsík.
az egész sík, kivéve az és egyenesek közé eső pontokat.
az és az egyenesk közötti sáv, az alsó egyenes pontjait is beleértve.
5. feladat Az függvény értelmezési tartománya
az első síknegyednek az egyenes feletti pontjainak halmaza.
az csúcspontú háromszög pontjai, kivéve a csúcspontokat.
az csúcspontú háromszög belső pontjainak halmaza.
az egész sík, kivéve az csúcspontú háromszög pontjait.