KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.1 Többváltozós függvények bevezetése, műveletek, szintvonalak

Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós függvények fogalmával, különös tekintettel a kétváltozós függvényekre. Begyakorolni a különféle függvényműveletek elvégzését, elsősorban a kompozíció műveletére figyelemmel. Begyakorolni egyszerűbb képletű kétváltozós függvények szintvonalainak meghatározását.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.1.

Elméleti összefoglaló: A kétváltozós függvények értelmezési tartománya rendezett számpárokból áll, a háromváltozósoké rendezett számhármasokból, és így tovább. Behelyettesítéskor ügyelni kell arra, hogy a megadott pont első koordinátáját írjuk az első (általában x -el jelölt) változó helyére, a másodikat az (általában y -al jelölt) második változó helyére, és így tovább. Különösen a különféle kompozíciók esetén fontos erre figyelni.

A kompozíciók közül a két leggyakoribb fajta az alábbi.

Adott két egyváltozós függvény, x ( t ) és y ( t ) , valamint egy kétváltozós függvény f ( x , y ) . Ekkor f ( x ( t ) , y ( t ) ) egy egyváltozós függvényt definiál (azokra a t -kre, ahol a formulák értelmezhetők). Hasonló előfordul háromváltozós esetben is.

Adott két kétváltozós függvény: u ( x , y ) és v ( x , y ) , valamint egy f ( x , y ) , szintén kétváltozós függvény. Ekkor, ahol értelmes, az f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) formula egy újabb kétváltozós függvényt definiál. Ez is általánosítható több változó esetére.

Ha az f ( x , y ) kétváltozós függvény grafikonját (ami a legtöbb esetben egy felület) elmetszük a z = c egyenletű síkkal, akkor egy vonalat kapunk. Ennek egyenlete implicit alakban

f ( x , y ) = c .

Ezt a görbét hívjuk a c magassághoz tartozó szintvonalnak. Egyszerűbb f esetén ezek a vonalak különböző c -kre felvázolhatók egy koordináta rendszerben, ezek rendszere információt nyújt a függvény viselkedéséről.   

Kidolgozott feladatok

1. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = x 2 y x + 2 y , D f = R 2 kétváltozós függvényt. Számoljuk ki az f ( 1,2 ) , az f ( 2,1 ) és az f ( 3,3 ) helyettesítési értékeket.

Megoldás: Kezdjük f ( 1,2 ) értékével. Ekkor az x helyére helyettesítünk 1 -et, az y helyére 2-t. Így kapjuk, hogy

f ( 1,2 ) = 1 2 . 2 1 + 2 . 2 = 2 1 + 4 = 5 .

f ( 2,1 ) kiszámolásakor az x helyére írunk 2 -t és az y helyére 1 -et. Ekkor

f ( 2,1 ) = 2 2 . 1 2 + 2 . 1 = 4 2 + 2 = 4 .

f ( 3,3 ) kiszámolásakor mindkét változó helyére 3 -at kell írni, ekkor kapjuk, hogy

f ( 3,3 ) = 3 2 . 3 3 + 2 . 3 = 27 3 + 6 = 30 .

2. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = x + y , D f = R 2 és a g ( x , y ) = x y , D g = R 2 kétváltozós függvényeket. Határozzuk meg az f + g , az f g , az f g és a g f függvényeket.

Megoldás: Legyen u = f + g . Ekkor az u függvény hozzárendelési utasítása

u ( x , y ) = f ( x , y ) + g ( x , y ) = x + y + x y ,

és, mivel ezeket a műveleteket korlátozás nélkül el lehet végezni, D u = R 2 .

Hasonlóan, legyen v = f g . Ekkor a v függvény hozzárendelési utasítása

v ( x , y ) = f ( x , y ) g ( x , y ) = x + y x y ,

és most is D v = R 2 .

Ugyanígy, ha w = f g , akkor

w ( x , y ) = f ( x , y ) g ( x , y ) = ( x + y ) x y = x 2 y + x y 2 , D w = R 2 .

Végül az z = g f függvény esetén a hozzárendelési utasítás

z ( x , y ) = x y x + y .

Az értelmezési tartomány az a halmaz, ahol ez a kifejezés értelmes. A tört miatt persze a nevező nem lehet nulla. x + y = 0 , ha y = x . A sík pontjai közül tehát el kell hagyni az ( x , x ) koordinátájú pontokat. Tehát

D z = R 2 { ( x , x ) | x R } .

3. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = 2 x 2 y + 1 + 1, D f = { ( x , y ) R 2 | y 1 } függvényt. Írjuk fel az f ( t , t 2 ) , az f ( a b , b ) és az f ( a b , a b ) formulákat.

Megoldás: Sorban elvégezve a helyettesítéseket kapjuk, hogy

f ( t , t 2 ) = 2 t 2 t 2 + 1 + 1 ,

f ( a b , b ) = 2 ( a b ) 2 b + 1 + 1 ,

f ( a b , a b ) = 2 ( a b ) 2 a b + 1 + 1 .

4. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = x y 2 + 3 x y , D f = R 2 kétváltozós függvényt és az x ( t ) = t 1, y ( t ) = t 2 mindenütt értelmezett egyváltozós függvényeket. Írjuk fel a h ( t ) = f ( x ( t ) , y ( t ) ) egyváltozós függvény képletét és számoljuk ki a h ( 0 ) és a h ( 1 ) helyettesítési értékeket.

Megoldás: Kezdjük a hozzárendelési utasítás felírásával:

h ( t ) = f ( x ( t ) , y ( t ) ) = f ( t 1, t 2 ) = ( t 1 ) ( t 2 ) 2 + 3 ( t 1 ) t 2 = t 5 t 4 t 2 + 3 t 3 .

Ebből mostmár

h ( 0 ) = 3 ,

és

h ( 1 ) = 1 1 1 + 3 3 = 1 .

5. feladat Tekintsük a mindenütt értelmezett f ( x , y ) = ( x y + 1 ) 2 , u ( x , y ) = x y és v ( x , y ) = x + y kétváltozós függvényeket. Írjuk fel a h ( x , y ) = f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) függvény hozzárendelési utasítását.

Megoldás: Egyszerű helyettesítéssel kapjuk, hogy

h ( x , y ) = f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = f ( x y , x + y ) = ( x y ( x + y ) + 1 ) 2 = ( x 2 y + x y 2 + 1 ) 2 .

6. feladat Tekintsük az f ( x , y , z ) = x y z + y x , D f = R 3 háromváltozós függvényt és számítsuk ki az f ( 1,2,3 ) és f ( 1, 1,2 ) helyettesítési értékeket.

Megoldás:

f ( 1,2,3 ) = 1 . 2 . 3 + 2 1 = 7 ,

f ( 1, 1,2 ) = ( 1 ) . ( 1 ) . 2 + ( 1 ) ( 1 ) = 2 .

7. feladat Tekintsük az f ( x , y , z ) = x + x y z 2 , D f = R 3 háromváltozós függvényt és írjuk fel az f ( x z , z x , x + y ) formulát.

Megoldás: Az f függvény "azt csinálja", hogy az első változójához hozzáadja az első és a második változó szorzatát és ebből levonja a harmadik változó négyzetét. Tehát

f ( x z , z x , x + y ) = x z + x z ( z x ) ( x + y ) 2 = x z + x z 2 x 2 z x 2 2 x y y 2 .

8. feladat Határozzuk meg az f ( x , y ) = 2 x y , D f = R 2 függvény c = 2, 1, 0, 1, 2 magasságokhoz tartozó szintvonalait és ábrázoljuk is azokat egy koordináta rendszerben.

Megoldás: Tekintsük először a c = 2 -höz tartozó szintvonalat. Tudjuk, hogy ennek egyenlete implicit alakban

2 x y = 2 .

Ebből az y válozó expliciten kifejezhető

y = 2 x + 2

alakban. Ez egy egyenes egyenlete, tehát ez a szintvonal egy egyenes.

Teljesen hasonlóan a c = 1 -hez tartozó szintvonal egyenlete

y = 2 x + 1 ,

a c = 0 -hoz tartozó szintvonal egyenlete

y = 2 x ,

a c = 1 -hez tartozóé

y = 2 x 1 ,

végül a c = 2 -höz tartozóé

y = 2 x 2 .

Ezek mindannyian egyenesek, és könnyű látni, hogy tetszőleges c -hez tartozó szintvonal is ( y = 2 x c egyenletű) egyenes.
Az alábbi ábrán ezeket láthatjuk.


9. feladat Határozzuk meg az f ( x , y ) = x 2 + y , D f = R 2 kétváltozós függvény c = 2, 1, 0, 1, 2 magasságokhoz tartozó szintvonalait és ábrázoljuk azokat egy koordináta rendszerben.

Megoldás: Kezdjük most is a c = 2 -höz tartozó szintvonallal. Ennek egyenlete

x 2 + y = 2 ,

ami átrendezve

y = x 2 2

alakba írható. Ez a szintvonal tehát egy lefelé nyíló parabola.

Hasonlóan kapjuk, hogy a 1, 0, 1, 2 magasságokhoz tartozó szintvonalak rendre

y = x 2 1 ,

y = x 2 ,

y = x 2 + 1 ,

y = x 2 + 2 .

Könnyen átlátható, hogy a tetszőleges c magassághoz tartozó szintvonal egyenlete

y = x 2 + c .

Az előbbi öt parabolát mutatja az alábbi ábra.

10. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = x y + 1 hozzárendelési utasítású kétváltozós függvényt, amelynek értelmezési tartománya a 1 x hiperbola két ága közé eső, az alábbi ábrán látható halmaz. Határozzuk meg az c = 1 2 , 3 2 , 7 4 magasságokhoz tartozó szintvonalakat és ábrázoljuk is azokat egy koordináta rendszerben.



Megoldás: Tekintsük először a c = 1 2 -hez tartozó szintvonalat. Ekkor a

x y + 1 = 1 2

egyenletet kapjuk. Ezt négyzetre emelve és kifejezve az y -t

y = 3 4 . 1 x

adódik. Ez a görbe látható az alábbi ábrán piros színnel.

Ugyanígy járva el c = 3 2 esetén az

y = 5 4 . 1 x

egyenletű hiperbolát kapjuk szintvonalként, ez látszik kék szinnel rajzolva az ábrán.

A c = 7 4 esetén az alábbi ábrán zöldel jelölt

y = 33 16 . 1 x

hiperbola a szintvonal.



Ezekből, és további magasságokban megrajzolt szintvonalakból, azt szűrhetjük le, hogy az 1 -nél nagyobb magassághoz tartozó szintvonalak az első és a harmadik síknegyedet kitöltő hiperbolák, a 0 c < 1 tulajdonságú szintvonalak a második és harmadik síknegyedek értelmezési tartományba eső részét kitöltő hiperbolák. Az 1 magassághoz tartozó szintvonalak a koordináta tengelyek.

Ellenőrző kérdések

1. kérdés: Tekintsük az f ( x , y ) = ( x + y 2 ) 2 , D f = R 2 kétváltozós függvényt. Ekkor f ( a 1,2 b ) =
a 2 2 a + 8 a b 2 + 1 8 b 2 + 16 b 4 .
a 2 2 a 8 a b 2 + 1 8 b 2 + 16 b 4 .
a 2 2 a + 1 + 8 a b 2 + 8 b 2 + 16 b 4 .
a 2 2 a + 8 a 2 b + 1 8 b 2 + 16 b 4 .
2. kérdés: Tekintsük a minden valós számra értelmezett x ( t ) = 1 t és y ( t ) = t + 1 függvényeket, valamint az f ( x , y ) = 1 x y + x + y , D f = { ( x , y ) R 2 | x 0, y 0 } kétváltozós függvényt. Ekkor f ( x ( t ) , y ( t ) ) =
3 t 2 2 t 2 1 .
2 t 2 + 3 t 2 1 .
3 t 2 + 2 t 2 1 .
2 t 2 3 t 2 1 .
3. kérdés: Tekintsük az egész síkon értelmezett u ( x , y ) = x 2 + y , v ( x , y ) = x y és f ( x , y ) = ( x y ) 2 x 2 kétváltozós függvényeket. Ekkor f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) =
2 x 2 y 2 2 x 3 + x 2 + 3 y 2 4 x y .
2 x 2 y 2 x 3 + 3 y 2 4 x y + x 2 .
2 x 2 y 2 x 3 + 3 y 2 + 4 x y x 2 .
2 x y 2 2 x 2 + 3 x y 4 x 2 y + y 2 .
4. kérdés: Tekintsük az f ( x , y , z ) = x 2 + x y + z 2 , D f = R 3 háromváltozós függvényt. Ekkor f ( x , x + y , y z ) =
2 x 2 + x y + y 2 2 y z + z 2 .
2 x 2 x y + y 2 2 y z + z 2 .
2 x 2 + x z + y 2 2 x y + z 2
2 x 2 x y + y 2 + 2 x y + z 2 .
5. kérdés Az f ( x , y ) = e x y függvény
minden szintvonala merőleges az y = x egyenesre.
szintvonalai hiperbolák.
szintvonalai félegyenesek.
minden szintvonala párhuzamos az y = x egyenessel.