KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.11 Kettős integrálok

Tanulási cél: Begyakorolni, hogy hogyan kell téglalap, vagy normáltartomány feletti kettős integrálokat visszavezetni kétszeres integrálokra.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.8.

Elméleti összefoglaló: A kéttős integrálok kiszámolásánal fontos szerepet játszik, hogy milyen halmazon kell az integrálást elvégezni. Mi csak téglalap és y -re nézve normáltartomány feletti integrálokkal fogunk foglalkozni.

Téglalapon a koordináta tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalapot értünk. Egy ilyennek a megadása úgy történik, hogy megadunk két intervallumot, az egyikbe esnek a téglalaphoz tartozó pontok első, a másikba a második koordinátái.

Ha az f ( x , y ) függvény folytonos az

N = { ( x , y ) R 2 | a x b , c y d }

téglalapon, akkor

N f ( x , y ) = a b ( c d f ( x , y ) d y ) d x = c d ( a b f ( x , y ) d x ) d y .

Legyen a ϕ ( x ) és a ψ ( x ) függvény folytonos az [ a , b ] intervallumon, és tegyük fel, hogy ϕ ( x ) ψ ( x ) az [ a , b ] intervallumon. Ekkor a

T = { ( x , y ) R 2 | a x b , ϕ ( x ) y ψ ( x ) }

halmazt y -ra nézve normáltartománynak hívjuk.

Az ilyen típusú normáltartományt tehát jobbról és balról függőleges egyenesek, alulról és felülről pedig egy-egy függvény grafikonja határolja.

Ekkor

T f ( x , y ) = a b ( ϕ ( x ) ψ ( x ) f ( x , y ) d y ) d x .


Kidolgozott feladatok:

1. feladat Számítsuk ki  az f ( x , y ) = 2 x 3 y függvény kettős integrálját az 0 x 1, 0 y 2 feltételekkel megadott H téglalap felett.

Megoldás: A H f ( x , y ) kettős integrált kétféleképpen is átírhatjuk kétszeres integrállá:

H f ( x , y ) = 0 1 ( 0 2 ( 2 x 3 y ) d y ) d x = 0 2 ( 0 1 ( 2 x 3 y ) d x ) d y .

Kiszámítjuk mind a két kétszeres integrált.

Kezdjük az 0 1 ( 0 2 ( 2 x 3 y ) d y ) d x kétszeres integrállal. Itt a belső integrálra

0 2 ( 2 x 3 y ) d y = [ 2 x y 3 . y 2 2 ] 0 2 = 4 x 6

adódik. Ezt figyelembe véve

0 1 ( 0 2 ( 2 x 3 y ) d y ) d x = 0 1 ( 4 x 6 ) d x = [ 2 x 2 6 x ] 0 1 = 2 6 = 4 .

A második felírásban a belső integrálra azt kapjuk, hogy

0 1 ( 2 x 3 y ) d x = [ x 2 3 x y ] 0 1 = 1 3 y ,

amiből

0 2 ( 0 1 ( 2 x 3 y ) d x ) d y = 0 2 ( 1 3 y ) d y = [ y 3 . y 2 2 ] 0 2 = 2 6 = 4 ,

összahngban az előző eredménnyel.

2. feladat Integráljuk az f ( x , y ) = 3 x 3 + 3 x 2 y függvényt az 1 x 3, 0 y 1 feltételekkel megadott H téglalap felett.

Megoldás: A két lehetséges átírás közül válasszuk az alábbit:

H f ( x , y ) = 0 1 ( 1 3 ( 3 x 3 + 3 x 2 y ) d x ) d y .

Ennek belső integrálja

1 3 ( 3 x 3 + 3 x 2 y ) d x = [ 3 x 4 4 + x 3 y ] 1 3 = ( 243 4 + 27 y ) ( 3 4 + y ) = 60 + 26 y .

Ebből tehát

0 1 ( 1 3 ( 3 x 3 + 3 x 2 y ) d x ) d y = 0 1 ( 60 + 26 y ) d y = [ 60 y + 13 y 2 ] 0 1 = 73 .

3. feladat Számítsuk ki az f ( x , y ) = x cos ( x y ) cos 2 ( π x ) függvény kettős integrálját az 0 x 1 2 , 0 y π feltételekkel megadott H télalap felett.

Megoldás: Tudjuk, hogy a keresett kettős integrált két úton is kiszámolhatjuk kétszeres integrál segítségével. Most azonban az egyik átírás egyszerűbb számolást eredményez, mint a másik. A függvényünk "sokkal bonyolultabb x -re nézve, mint y -ra nézve". Ha a belső integrálban y szerint kell integrálni, akkor egyszerűbbnek tűnik a dolgunk. Próbálkozzunk ezért az

H f ( x , y ) = 0 1 2 ( 0 π ( x cos ( x y ) cos 2 ( π x ) ) d y ) d x

átírással. Ekkor a belső integrál így alakul:

0 π ( x cos ( x y ) cos 2 ( π x ) ) d y = [ sin ( x y ) cos 2 ( π x ) ] 0 π = sin ( π x ) cos 2 ( π x ) .

Ebből mostmár

H f = 0 1 2 ( sin ( π x ) cos 2 ( π x ) ) d x = [ 1 π . cos 3 ( π x ) 3 ] 0 1 2 = 0 ( 1 π . 1 3 ) = 1 3 π .

4. feladat Számítsuk ki az f ( x , y ) = x y függvény kettős integrálját az x = 1, x = 4, ϕ ( x ) = x 2 , ψ ( x ) = x görbék által határolt H tartomány felett.

Megoldás: Ábrázoljuk először a H tartományt. Ezt mutatja az alábbi ábra:



Láthatjuk az ábráról, hogy a H halmaz y -ra nézve normáltartomány. Valóban, a balról határoló függőleges egyenes az x = 1 , a jobbról határoló függőleges egyenes az x = 4 egyenes, alulról a tartományt a ϕ ( x ) = x 2 egyenletű egyenes, felülről a ψ ( x ) = x egyenletű görbe határolja. Ezek felhasználásával a kérdéses kettős integrál így írható fel kétszeres integrállal:

H f ( x , y ) = 1 4 ( x 2 x ( x y ) d y ) d x .

Meghatározzuk a belső integrált.

x 2 x ( x y ) d y = [ x y 2 2 ] x 2 x = x 2 2 x 3 8 .

Ennek figyelembevételével

H f ( x , y ) = 1 4 ( x 2 2 x 3 8 ) d x = [ x 3 6 x 4 32 ] 1 4 = ( 64 6 256 32 ) ( 1 6 1 32 ) = 81 32 .

5. feladat Számítsuk ki az f ( x , y ) = x + y függvény integrálját az y = x 2 és az y = x görbék által határolt H tartományon..

Megoldás: Most is a tartomány ábrázolásával kezdjük, az alábbi ábra mutatja a H halmazt.



A görbék metszépontjainak első koordinátái persze az x 2 = x egyenlet megoldásáva számolhatók ki. Ezek x = 0 és x = 1 .

Ez a halmaz is normáltartomány y -ra nézve, hiszen balról az x = 0 egyenletű függőleges egyenes, jobbról az x = 1 egyenletű függőleges egyenes, alulról a ϕ ( x ) = x 2 egyenletű görbe, felülről pedig a ψ ( x ) = x egyenletű görbe határolja.

A halmaz feletti kettős integrál tehát kiszámolható a következő kétszeres integrállal:

H f ( x , y ) = 0 1 ( x 2 x ( x + y ) d y ) d x .

Az itteni belső integrálra

x 2 x ( x + y ) d y = [ x y + y 2 2 ] x 2 x = ( x 3 2 + x 2 ) ( x 3 + x 4 2 ) = x 4 2 x 3 + x 3 2 + x 2 .

Ez alapján pedig

H f = 0 1 ( x 4 2 x 3 + x 3 2 + x 2 ) d x = [ x 5 10 x 4 4 + x 5 2 5 2 + x 2 4 ] 0 1 = 1 10 + 2 5 = 3 10 .

6. feladat Kiszámítandó az f ( x , y ) = e x 2 függvény kettős integrálja az A ( 0,0 ) , B ( 1,0 ) és C ( 1,2 ) csúcspontú háromszög felett.

Megoldás: Az alábbi ábrán láthatjuk a szóbanforgó, H -val jelölt háromszöget.



Ez a H halmaz is normáltartomány y -ra nézve, ugyanis balról határolja az x = 0 egyenletű függőleges egyenes, jobbról az x = 1 egyenletű függőleges egyenes, alulról a ϕ ( x ) = 0 egyenletű egyenes, felülről pedig a ψ ( x ) = 2 x egyenletű egyenes.

Tehát

H f ( x , y ) = 0 1 ( 0 2 x ( e x 2 ) d y ) d x .

Most

0 2 x ( e x 2 ) d y = [ e x 2 . y ] 0 2 x = 2 x . e x 2 ,

ebből pedig

H f ( x , y ) = 0 1 ( 2 x . e x 2 ) d x = [ e x 2 ] 0 1 = e 1 .

7. feladat Számítsuk ki az f ( x , y ) = 1 1 + x 2 függvény integrálját az A ( 0,0 ) , B ( 1,1 ) és C ( 0,1 ) csúcspontú H háromszög fölött.

Megoldás: A feladatbeli háromszög ábrája:



Ezt a normáltartományt balról az x = 0 függőleges egyenes, jobbról az x = 1 függőleges egyenes, alulról a ϕ ( x ) = x egyenletű, felülről a ψ ( x ) = 1 egyenletű egyenes határolja. Ezért

H f ( x , y ) = 0 1 ( x 1 ( 1 1 + x 2 ) d y ) d x .

Mivel

x 1 ( 1 1 + x 2 ) d y = [ y 1 + x 2 ] x 1 = 1 1 + x 2 x 1 + x 2 .

Így

H f ( x , y ) = 0 1 ( 1 1 + x 2 x 1 + x 2 ) d x = [ arctg ( x ) 1 2 . ln ( 1 + x 2 ) ] 0 1 = π 4 ln 2 2 .

8. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = y e 2 x 4 x függvényt. Számítsuk ki ennek integrálját azon az első síknegyedbe eső H halmazon, amelyet az x = 0 , az y = 0 egyenesek és az y = 4 x egyenletű görbe határol.

Megoldás: A H halmazt az alábbi ábrán láthatjuk:



Ezt a normáltartományt balról és jobbról az x = 0 , illetve az x = 4 egyenletű egyenesek, alulról a ϕ ( x ) = 0 , felülről a ψ ( x ) = 4 x egyenletű görbék határolják.

Így a keresett kettős integrál

H f ( x , y ) = 0 4 ( 0 4 x ( y e 2 x 4 x ) d y ) d x .

Mivel

0 4 x ( y e 2 x 4 x ) d y = [ y 2 e 2 x 2 ( 4 x ) ] 0 4 x = ( 4 x ) e 2 x 2 ( 4 x ) = e 2 x 2 ,

H f ( x , y ) = 0 4 ( e 2 x 2 ) d x = [ e 2 x 4 ] 0 4 = e 8 4 1 4 .

Ellenőrző kérdések

1. kérdés: Az f ( x , y ) = x sin ( y ) függvény kettős integrálja az A ( 0,0 ) , B ( π ,0 ) és C ( π , π ) csúcspontú háromszög felett
π 2 + 2 2 .
2 π 2 2 .
π 2 2 + 2 .
π 2 2 2 .
2. kérdés: Az f ( x , y ) = x y függvény kettős integrálja az y tengely, az y = x és az y = x + 2 egyenesek által határolt háromszög felett
1 3 .
1 2 .
2 3 .
3 2 .
3. kérdés: Az f ( x , y ) = x 2 y függvény kettős integrálja az y = 0 és y = x x 2 görbék által határolt tartomány felett
1 16 .
1 18 .
1 20 .
1 22 .
4. kérdés: Az f ( x , y ) = x + y függvény kettős integrálja az y = x 2 és az y = x + 2 görbék által határolt tartományon
187 20 .
189 20 .
191 20 .
193 20 .
5. kérdés: Az f ( x , y ) = x y függvény kettős integrálja az A ( 0,0 ) , B ( 1, 1 ) és C ( 1,1 ) csúcspontú háromszög felett
2 3 .
3 4 .
3 2 .
4 3 .
6. kérdés: Az f ( x , y ) = 1 függvény kettős integrálja azon az első síknegyedbe eső tartományon, amelyet y tengely, az y = sin ( x ) és y = cos ( x ) görbék határolnak
0.41 .
0.48 .
0.58 .
0.68 .