KURZUS: Matematika II.
MODUL: 3. Lineáris algebra
| Tanulási cél: Begyakorolni az inverz mátrix Gauss-féle algoritmussal történő meghatározását.
Elméleti összefoglaló: Tekintsük az, egyszerűség kedvéért, -as mátrixot és tegyük fel, hogy létezik inverze. Ennek, egyelőre ismeretlen inverz mátrixára teljesül, hogy
,
vagy, kiírva a mátrixok elemeit,
.
Ha a bal oldalon elvégeznénk a szorzást, akkor kapnánk egy -as mátrixot, ami egyenlő az egység mátrixal. Könnyű átlátni, hogy ennek első oszlopában szereplő elemek felírásában csak az mátrix elemei és az mátrix első oszlopának elemei szerepelnek. Ebből az következik, hogy az inverz mátrix első oszlopa az
egyenletrendszer megoldása. Teljesen hasonló igaz az inverz mátrix második és harmadik oszlopára is.
Tehát az inverz mátrix megoldásához meg kell oldanunk az alábbi kibővített mátrixú szimultán egyenletrendszert:
.
Ha van inverz mátrix, akkor mindhárom egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van.
Célszerű most a Gauss-féle algoritmus alakalmazásával nem megállni akkor, amikor az együtthatómátrixot felső háromszögmátrixá alakítottuk, hanem folytatni egészen addig, míg az együttható mátrix az egységmátrixá válik. Ez, ha van inverz, mindig megtehető. Ilyenkor a jobb oldalon megjelenő mátrix a keresett inverz mátrix.
Ugyanez az eljárás más méretű mátrixok esaetén is.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 3.6.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket.
Megoldás: Vegyük észre, hogy a két egyenletrendszer együtthatómátrixa azonos. A Gauss-féle algoritmus alakalmazása során csak az együtthatómátrix elemei döntik el, hogy mikor milyen lépést hajtunk végre. A kibővített mátrix utolsó oszlopa abban játszik szerepet, hogy azt felhasználva derül ki, hogy van-e megoldás, és ha van, akkor az hogyan adható meg.
Ennek az a következménye, hogy a két egyenletrendszer megoldása "sokáig" azonos lépések szerint halad, amit egy mátrixban is összefoglalhatunk.
Induljunk ki tehát az
kibővített mátrixból.
Vonjuk ki az első sor kétszeresét a másodikból.
Elvégeztük az együtthatómátrix felső háromszögmátrixá alakítását, leolvashatjuk a megoldásokat.
Az első egyenletrendszer megoldását úgy kapjuk, hogy a kibővített mátrix utolsó előtti oszlopát vesszük figyelembe. Ekkor a megoldás, mint az könnyen leolvasható: .
A második egyenletrendszer megoldásához a kibővített mátrix utolsó oszlopát kell figyelembe venni, ekkor kapjuk, hogy ekkor . |
2. feladat Oldjuk meg az
egyenletrendszereket.
Megoldás: Az eggyütthatómátrixok azonossága miatt közös kibővített mátrixot használhatunk. Ez
Első lépésként kivonjuk az első sort a másodikból, majd hozzáadjuk az első sort a hamadikhoz.
Adjuk hozzá ezután a második sort a harmadikhoz.
Mivel az együtthatómátrix felső háromszögmátrix, véget ért a Gauss-féle algoritmus.
Az első egyenletrendszer megoldása a kibővített mátrix utolsó előtti oszlopával: .
A második egyenletrendszer megoldása, a kibővített mátrix utolsó oszlopát véve figyelembe: .
|
3. feladat Számoljuk ki Gauss-féle algoritmus felhasználásával az mátrix inverzét.
Megoldás: A kiinduló mátrixunk a következő:
Adjuk hozzá az első sort a másodikhoz.
Ezután adjuk hozz a második sor kétszeresét az elsőhöz.
A balodali mátrixot a Gauss-féle algoritmust felhasználva egységmátrixá alakítottuk, tehát a jobb oldalon álló mátrix a keresett inverz mátrix, azaz
.
Könnyen leellenőrizhető, hogy valóban teljesül, hogy . |
4. feladat Számoljuk ki az
mátrix inverzét.
Megoldás: A
mátrixból indulunk ki. Első lépésként felcseréljük az első és a második sort, majd az első sort megszorozzuk mínusz eggyel.
Ezután hozzáadjuk az első sor kétszeresét a második sorhoz, mínusz kétszeresét a harmadik sorhoz.
Szerencsés módon a bal oldali -as mátrix máris felső háromszögmátrixá vált.
Következő lépésként hozzáadjuk a harmadik sort a második és az első sorhoz is.
Végül hozzáadjuk a második sort az elsőhöz.
Elértük, hogy a bal oldali -as mátrix az egységmátrixá vált, ekkor a jobb oldali -as mátrix a keresett inverz mátrix, azaz
.
|
5. feladat Számítsuk ki az alábbi mátrix inverzét.
Megoldás: Felírva az
kiinduló mátrixot, látszik, hogy első lépésként célszerű kivonni az első sort a második és a harmadik sorból.
Most a második sor kétszeresét kivonjuk a harmadik sorból.
Osszuk el ezután a harmadik sort mínusz eggyel, majd vonjuk ki a második és a harmadik sorból.
Végül vonjuk ki a második sor nágyszeresét az első sorból.
Innen leolvashatjuk, hogy
. |
6. feladat Mi az
mátrix inverz mátrixa?
Megoldás: Tekintsük a
kiinduló mátrixot, és elsőként cseréljük fel az első és a harmadik sort.
Ezután vonjuk ki az első sor kétszeresét a másodikból, majd adjuk hozzá az első sort a harmadikhoz.
Most több féle úton is folytathatjuk a számolást. Érdemes törekedni arra, hogy minél tovább elkerüljük a törtekkel való számolást, valamint arra, hogy az egyesekkel nullázuk ki az oszlopuk többi elemét. Ezért a következő lépésként hozzáadjuk a második sor kétszeresét az első sorhoz, háromszorosát a harmadik sorhoz.
Ezután cseréljük fel a második és a harmadik sort, majd a második sort osszuk el -el.
Végül adjuk hozzá a második sort az elsőhöz, illetve hatsorosát a adjuk hozzá a harmadik sorhoz.
Vagyis az inverz mátrix
.
Az utóbbi felírás az ellenőrzéskor hasznos. Ha csak a mátrixokat szorozzuk össze, akkor az egységmátrix -szeresét kell kapnunk. Az olvasó ellenőrizze ezt le! |
7. feladat Számoljuk ki az
mátrix inverzét.
Megoldás: Ebben a feladatban csak a mátrixokat írjuk fel egymás után. Az olvasó találja ki, hogy mikor milyen átalakítást végeztünk!
Vagyis
. |
| Ellenőrző kérdések
Az alábbi feladatokban a Gauss-féle algoritmust felhasználva határozzuk meg a mátrix inverzét, és válasszuk ki a megadott válaszok közül a helyeset. |
1. kérdés Legyen . |
2. kérdés Tekintsük az mátrixot. Ekkor |
3. kérdés Legyen . Ekkor az inverz mátrix |
4. feladat Legyen . Ekkor az inverz mátrix |
5. kérdés Tekintsük az mátrixot. Ekkor az inverz mátrix |