KURZUS: Matematika II.
MODUL: 2. Többváltozós függvények
| Tanulási cél: Begyakorolni a legegyszerűbb típusú határértékek meghatározását kétváltozós függvények esetén.
Tananyag: Tankönyv: Gápár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.2.
Elméleti összefoglaló: A kétváltozós függvények adott pontbeli határértékének definícióját többféle módon meg lehet fogalmazni. Minden definíció azt fogalmazza meg precízen, hogy egy pontban akkor az szám a határérték, ha a függvény argumentumával minél közelebb vagyunk a ponthoz, akkor a függvényérték annál közelebb lesznek az számhoz.
A kétváltozós függvények határértékének kiszámolását az teszi nehézzé, hogy a síkon nagyon sok irányból, nagyon sok módon lehet közeledni egy adott ponthoz. Kettőnél több válttozó esetén ezek a nehézségek persze csak fokozódnak.
Éppen ezért az alábbi feladatokkal csak annyi a célunk, hogy a határérték intuitív fogalmát illusztráljuk.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Számítsuk ki az alábbi határértéket:
.
Megoldás: A kétváltozós függvényünk három tagú összeg. Összeg határértékét tagonként lehet venni (legalábbis ha a tagok között nem szerepelnek különböző előjelű végtelenek). Ezért írhatjuk, hogy
,
Hiszen, ha , akkor és . |
2. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Tört határértéke, a határozatlan alakokat kivéve, a számláló határértéke osztva a nevező határértékével. Ezért
. |
3. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Ha a gyök alatt álló kifejezés határértéke az szám, akkor az eredeti határérték, a gyökfüggvény folytonossága miatt, nyilván .
Mármost
,
ezért
. |
4. feladat Kiszámítandó a határérték.
Megoldás: Szorzat határértéke, ha a tényezők között nem szerepel egyidejűleg a nulla és valamelyik végtelen is, a tényezők határértékének szorzata. Emiatt, minthogy
,
az eredeti limeszre
. |
5. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: A törtünk számlálójának a határértéke a szóbanforgó helyen persze . A nevező határértéke ugyan nulla, de mivel minden pontra, a nevező a pozitív számokon keresztül tart a nullához. Ha egy egyhez tartó mennyiséget egy nullához tartó, de pozitív mennyiséggel osztunk, akkor egy plusz végtelenbe tartó mennyiséget kapunk, azaz
. |
6. feladat Számítsuk ki a határértéket.
Megoldás: Ez a határérték típusú. Észrevehetjük azonban, hogy a nevező szorzatra bontható, hiszen . Ezt felhasználva
.
|
| Ellenőrző kérdések
|
1. kérdés: |
2. kérdés: |
3. kérdés: |
4. kérdés: |
5. kérdés: |