KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.7 Magasabbrendű parciális deriváltak

Tanulási cél: A magasabb rendű parciális derivált függvények előállításának begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.4.

Elméleti összefoglaló: A kétváltozós f ( x , y ) függvény parciális derivált függvényei maguk is kétváltozó függvények. Tekinthetjük ezek parciális derivált függvényeit. Ezeket hívjuk az f ( x , y ) függvény másodrendű parciális deriváltjainak.
Ezekből tehát négy darab van:

f x x ( x , y ) , f x y ( x , y ) , f y x ( x , y ) , f y y ( x , y ) .

Az alsó indexben a változók balról jobbra olvasva mutatják a deriválások sorrendjét, tehát például az f y x ( x , y ) az y szerinti derivált x szerinti deriváltja.

Az f x x ( x , y ) és f y y ( x , y ) függvényeket tiszta másodrendű parciális deriváltaknak hívjuk, míg az f x y ( x , y ) és f y x ( x , y ) a vegyes másodrendű parciális deriváltak.

Nevezetes tény, és például önellenőrzésre előnyösen használható, hogy azokon a helyeken, ahol a vegyes másodrendű deriváltak folytonosak egyenlők is:

f x y ( x , y ) = f y x ( x , y ) .

Használni fogjuk a deriváltak tört alakú jelölését is. Például az f y x ( x , y ) másodrendű parciális deriváltat

2 f x y

is jelöli.

Ennél a jelölésnél tehát a deriválások sorrendje a nevezőben jobbról balra olvasható.

A kétváltozós f ( x , y ) függvény másodrendű parciális deriváltjai, (ha a szükséges parciális deriváltak mind léteznek), elrendezhetők az alábbi táblázatba is:

[ f x x ( x , y ) f x y ( x , y ) f y x ( x , y ) f y y ( x , y ) ] .

Ez a második deriváltak mátrixa.

Háromváltozós f ( x , y , z ) függvény esetén ez

[ f x x ( x , y , z ) f x y ( x , y , z ) f x z ( x , y , z ) f y x ( x , y , z ) f y y ( x , y , z ) f y z ( x , y , z ) f z x ( x , y , z ) f z y ( x , y , z ) f z z ( x , y , z ) ] .

Kidolgozott feladatok

1. feladat Készítsük el az f ( x , y ) = x 3 y 2 + x y 4 függvény másodrendű parciális derivált függvényeit.

Megoldás: Először persze az elsőrendű parciális deriváltakat kell meghatározni. Ezek

f x ( x , y ) = 3 x 2 y 2 + y 4

és

f y ( x , y ) = 2 x 3 y + 4 x y 3 .

Ezeket felhasználva kapjuk, hogy

f x x ( x , y ) = 6 x y 2 ,

f x y ( x , y ) = 6 x 2 y + 4 y 3 ,

f y x ( x , y ) = 6 x 2 y + 4 y 3 ,

f y y ( x , y ) = 2 x 3 + 12 x y 2 .

Látjuk, hogy a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők. Erről mindig győződjünk meg a deriválások után, ha egyenlőknek adódnak valószínűleg minden deriválásunk helyes. (Csak olyan esetekkel fogunk foglalkozni, amikor egyenlőknek kell lenniük.)

2. feladat Határozzuk meg az f ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) 2 függvény másodrendű parciális deriváltjait.

Megoldás: Hogy a deriválások egyszerűbbek legyenek célszerű elvégezni a kijelölt négyzetre emelést. Tehát

f ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) 2 = x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 .

Mostmár

f x ( x , y ) = 4 x 3 + 4 x y 2 , f y ( x , y ) = 4 x 2 y + 4 y 3 .

Ezekből pedig

f x x ( x , y ) = 12 x 2 + 4 y 2 ,

f x y ( x , y ) = 8 x y ,

f y x ( x , y ) = 8 x y ,

f y y ( x , y ) = 4 x 2 + 12 y 3 .

Az olvasó oldja meg úgy is a feladatot, hogy összetett függvény deriválásával kapja meg az elsőrendű parciális deriváltakat, és szorzatfüggvények deriválásával a másodrendűeket.

3. feladat Legyen f ( x , y ) = x y . Határozzuk meg a másodrendű parciális deriváltakat.

Megoldás: Használjuk most a parciális deriváltak tört alakú jelölését. Ekkor

f x = 1 y , f y = x y 2 .

Ebből

2 f x 2 = 2 f x x = 0 .

2 f y x = 1 y 2 .

2 f x y = 1 y 2 .

2 f y y = 2 f y 2 meghatározásához célszerű felírni f y -t

f y = x y 2

alakban. Ebből

2 f y 2 = 2 x y 3 = 2 x y 3 .

4. feladat Tekintsük az f ( x , y ) = e x sin y + e y cos x függvényt. Mutassuk meg, hogy erre a függvényre

f x x ( x , y ) + f y y ( x , y ) = 0 .

Megoldás: Mivel

f x ( x , y ) = e x sin y e y sin x , f y = e x cos y + e y cos x ,

a tiszta másodrendű deriváltakra kapjuk, hogy

f x x ( x , y ) = e x sin y e y cos x ,

illetve

f y y ( x , y ) = e x sin y + e y cos x .

Ezek összege valóban a kondtans nulla függvény.

5. feladat Határozzuk meg az f ( x , y ) = x 2 e x y 2 függvény másodrendű parciális deriváltjait.

Megoldás: Az elsőrendű deriváltak most

f x ( x , y ) = 2 x e x y 2 + x 2 y 2 e x y 2 , f y ( x , y ) = 2 x 3 y e x y 2 .

Az x szerinti parciális deriváltat érdemes felírni

f x ( x , y ) = ( 2 x + x 2 y 2 ) e x y 2

alakban, hogy amikor ezt deriváljuk csak egyszer kelljen a szorzat függvény deriválási szabályát alkalmazni. Ezek után tehát

f x x ( x , y ) = ( 2 + 2 x y 2 ) e x y 2 + ( 2 x + x 2 y 2 ) y 2 e x y 2 ,

f x y ( x , y ) = ( 2 x 2 y ) e x y 2 + ( 2 x + x 2 y 2 ) 2 x y e x y 2 ,

f y x ( x , y ) = 6 x 2 y e x y 2 + 2 x 3 y 3 e x y 2 ,

f y y ( x , y ) = 2 x 3 e x y 2 + 4 x 4 y 2 e x y 2 .

6. feladat Számítsuk ki f x x y ( x , y ) -t, ha f ( x , y ) = x 3 y 2 + x y 3 8 x + y 2 .

Megoldás: A keresett deriváltak sorban

f x ( x , y ) = 3 x 2 y 2 + y 3 8 ,

f x x ( x , y ) = 6 x y 2 ,

végül

f x x y ( x , y ) = 12 x y .

7. feladat Legyen f ( x , y , z ) = x e y + y z 3 + x y z . Határozzuk meg az

f x ( x , y , z ) , f y z ( x , y , z ) , f z x y ( x , y , z )

parciális deriváltakat.

Megoldás:

f x ( x , y , z ) = e y + y z .

A másodrendű parciális deriválthoz először az y szerinti deriváltat kell kiszámolni. Ez

f y ( x , y , z ) = x e y + z 3 + x z .

Ebből

f y z ( x , y , z ) = 3 z 2 + x .

Végül

f z ( x , y , z ) = 3 y z 2 + x y ,

amiből

f z x ( x , y , z ) = y ,

tehát végül is

f z x y ( x , y , z ) = 1 .

8. feladat Legyen f ( x , y ) = x y + x 2 y 3 . Írjuk fel a második deriváltak mátrixát.

Megoldás: Mivel

f x ( x , y ) = y + 2 x y 3 , f y ( x , y ) = x + 3 x 2 y 2 ,

a második deriváltak

f x x ( x , y ) = 2 y 3 , f x y ( x , y ) = 1 + 6 x y 2 ,

f y x ( x , y ) = 1 + 6 x y 2 , f y y ( x , y ) = 6 x 2 y .

Ezek felhasználásával a második deriváltak mátrixa

[ 2 y 3 1 + 6 x y 2 1 + 6 x y 2 6 x 2 y ] .

Ellenőrző kérdések

1. kérdés: Legyen f ( x , y ) = e x y . Ekkor f y x ( x , y ) =
( x + y ) e x y .
x 2 e x y + e x y .
e x y + x y e x y .
2 x y e x y .
2. kérdés: Legyen f ( x , y ) = x sin ( x + y 2 ) . Ekkor 2 f x y =
2 y cos ( x + y 2 ) 2 x ysin ( x + y 2 ) .
2 x cos ( x + y 2 ) 2 x y sin ( x + y 2 ) .
2 y cos ( x + y 2 ) 2 x sin ( x + y 2 ) .
2 x y ( cos ( x + y 2 ) sin ( x + y 2 ) ) .
3. kérdés: Legyen f ( x , y ) = ln ( x 2 + 2 y 2 ) . Ekkor f x y ( x , y ) =
4 x y ( x 2 + 2 y 2 ) 2 .
8 x y ( x 2 + 2 y 2 ) 2 .
8 x y x 4 + 4 y 4 .
2 x x 2 + 4 y .
4. kérdés: Ha f ( x , y ) = x 3 2 x y + 3 y , akkor f x x ( x , y ) =
2 x ( 4 x 2 + 18 x + 27 ) ( 2 x y + 3 y ) 3 .
8 x 3 + 36 x 2 + 27 x ( 2 x + 3 y ) 3
2 x ( 4 x 2 + 18 x + 27 ) y ( 2 x + 3 ) 3 .
16 x 2 2 y ( 2 x + 3 y ) .
5. kérdés: Legyen f ( x , y ) = x y + y x . Ekkor f x x ( x , y ) + f y y ( x , y ) =
2 y x 3 + 2 x y 3 .
2 x + 2 y x 3 + y 3 .
2 y 4 + 2 x 4 x 3 + y 3 .
2 x y 3 2 y x 3 .
6. kérdés: Tekintsük az f ( x , y ) = x 3 ( x y 2 y ) függvényt. Ekkor f x y x ( x , y ) =
6 y ( 2 x + 1 ) .
2 x ( 6 y + 1 ) .
12 x y 6 x .
6 x ( 2 y + 1 ) .
7. kérdés: Ha f ( x , y , z ) = x 2 y z 2 x y 2 z , akkor f x y z ( x , y , z ) =
4 x y 2 z .
4 y z + 2 x .
4 x z 2 y .
4 x z + 2 y .
8. kérdés: Legyen f ( x , y ) = x y e x . Ekkor a második deriváltak mártixa
[ 0 e x + e x e x + e x 2 y e x + x y e x ] .
[ 2 y e x + x y e x e x + x e x e x + x e x e x + x e x ] .
[ 2 y e y + xy e x e x + x e x e x + x e x 0 ] .
[ e x + x e x 2 y e x + x y e x 0 e x + x e x ] .