KURZUS: Matematika II.

MODUL: 1. Vektorok

1.2. Vektorok skaláris szorzata

Tanulási cél: A skaláris szorzat fogalmának, kiszámítási módjának megismerése és alkalmazása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények
Fejezet: 1.4. és 1.5.

Elméleti összefoglaló:
Az a , b vektorok skaláris szorzatának nevezzük az a b = | a | | b | cos ϕ számot, ahol ϕ a vektorok által közrezárt szög.

Ha a ( a 1 , a 2 , a 3 ) és b ( b 1 , b 2 , b 3 ) , akkor a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0 ha a két vektor merőleges egymásra.

Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, a vektorok hegyesszöget, ha negatív, akkor tompaszöget zárnak be egymással.

A skaláris szorzatból meghatározható a vektorok szöge. A definíciót átrendezve

cos ϕ = a b | a | | b | , amiből a szög visszakereshető.

Ha az a vektort felbontjuk b vektorral párhuzamos és rá merőleges összetvőkre ( a p , a m ) , akkor

a p = a b | b | 2 b és a m = a a p .

Kidolgozott feladatok:

1. feladat a ( 5, 4, 2 ) , b ( 2, 3, 4 ) Mivel egyenlő a b , és mekkora szöget zár be a két vektor?

Megoldás:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 5 2 + 4 ( 3 ) + ( 2 ) ( 4 ) = 6

cos ϕ = a b | a | | b | = 6 5 2 + 4 2 + ( 2 ) 2 2 2 + ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 6 45 . 29 0.1661

Ebből ϕ 80.44 o .

2. feladat Ha a ( 2, 3, 1 ) és b ( 4, 5, z ) , valamint a két vektor merőleges, akkor mennyi a z értéke?

Megoldás:
Mivel két vektor csak akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk 0, az

a b = 2 . ( 4 ) + ( 3 ) . ( 5 ) + ( 1 ) . z = 0

egyenletnek kell teljesülni.

8 + 15 z = 0 z = 7

3. feladat Mekkora az alábbi pontokkal meghatározott háromszög legnagyobb szöge?

A ( 4, 0, 1 ) , B ( 2, 2, 3 ) , C ( 1, 5, 9 )

Megoldás:
Mivel csak a legnagyobb szög a kérdés, jó lenne eldönteni, melyik csúcsnál található, különben mindegyik szöget ki kell számolnunk, s kiválasztani a legnagyobbat. Mivel a háromszögekben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, a legnagyobb szög, a legnagyobb oldallal szemben lesz. Az olalak hosszának meghatározásához írjuk fel az A B , A C , B C vektorokat.

A B ( 2, 2, 2 ) , A C ( 5, 5, 10 ) , B C ( 3, 7, 12 )

| A B | = ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 12

| A C | = ( 5 ) 2 + 5 2 + 10 2 = 150

| B C | = ( 3 ) 2 + 7 2 + 12 2 = 202

Mivel B C a leghosszabb oldal, az A csúcsnál levő α szög a legnagyobb. Ez a szög tulajdonképpen az A B és A C vektorok szöge. Ezért

cos α = A B A C | A B | | A C | = ( 2 ) . ( 5 ) + ( 2 ) . 5 2 . 10 12 150 = 20 12 . 150 0.4714 α 118.13 o

4. feladat Bizonyítsuk be, hogy az a ( 4, 6, 12 ) , b ( 12, 4, 6 ) és c ( 6, 12, 4 ) vektorok kockát feszítenek ki!

Megoldás:
Ez úgy értendő, hogy ha a három vektort közös kezdőpontból mérjük fel, akkor egy kocka egy csúcsból induló három élvektorát kapjuk.
Ennek teljesüléséhez az szükséges, hogy a vektorok hossza azonos legyen, s egymásra páronként merőlegesek legyenek, azaz bármelyik merőleges legyen bármelyikre.
Számoljuk először a vektorok hosszát.

a = 4 2 + ( 6 ) 2 + ( 12 ) 2 = 14

Nyilvánvalóan ugyanez a másik két vektor abszolút értéke is, hiszen a koordináták csak fel vannak cserélve, valamint az előjelek változnak, de ez a négyzet miatt nem számít.

A merőlegességhez az kell, hogy bármely két vektor skaláris szorzata 0 legyen. Ellenőrizzük ezt.

a b = 4 . 12 + ( 6 ) . ( 4 ) + ( 12 ) . 6 = 0

a c = 4 . ( 6 ) + ( 6 ) . ( 12 ) + ( 12 ) . 4 = 0

b c = 12 . ( 6 ) + ( 4 ) . ( 12 ) + 6 . 4 = 0

Teljesülnek tehát a merőlegességek is, a vektorok valóban kockát feszítenek ki.

5. feladat Bontsuk fel az a ( 7, 1, 2 ) vektort a b ( 2, 2, 1 ) vektorral párhuzamos, és rá merőleges összetevőkre!

Megoldás:
A feladat lényegében képletbe helyettesítés, hiszen a p = a b | b | 2 b , a m = a a p .
Célszerű részletekben számolni.

a b = 7 . 2 + ( 1 ) . ( 2 ) + 2 . 1 = 18

| b | 2 = 2 2 + ( 2 ) 2 + 1 2 = 9

a p = 18 9 b = 2 b ( 4, 4, 2 ) majd a m ( 3, 3, 0 )

6. feladat Határozzuk meg az A ( 14, 1, 1 ) , B ( 0, 3, 1 ) , C ( 4, 3, 4 ) csúcspontú háromszögben az A csúcshoz tartozó magasság talppontjának koordinátáit, és a magasság hosszát!

Megoldás:
A feladat szorosan kapcsolódik az előző példához, hiszen most lényegében a B A vektort kell felbontanunk a B C vektorral párhuzamos, és rá merőleges összetevőkre. A párhuzamos összetevő ugyanis a B T , a merőleges pedig a T A vektor lesz. Ez látható az alábbi ábrán.



A szükséges vektorok: B A ( 14, 2, 2 ) , B C ( 4, 0, 3 )

B T = B A B C | B C | 2 B C

B A B C = 14 . 4 + 2 . 0 + 2 . ( 3 ) = 50

| B C | 2 = 4 2 + 0 2 + ( 3 ) 2 = 25

Helyettesítsük be a részeredményeket.

B T = 50 25 B C = 2 B C ( 8, 0, 6 )

A T koordinátáit úgy kapjuk, hogy a B pont koordinátáihoz hozzáadjuk a B T vektor koordinátáit, hiszen O T = O B + B T . Ily módon

T ( 8, 3, 7 ) .

A magaság hossza egyenlő | T A | -val.

T A = B A B T ( 6, 2, 8 )

m a = | T A | = 6 2 + 2 2 + 8 2 = 104 10.20

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő az a ( 4, 2, 7 ) és b ( 2, 4, 3 ) vektorok skaláris szorzata?
27
21
-27
-21
2. kérdés: Döntse el, igaz vagy hamis az alábbi állítás!
Az a ( 2, 5, 4 ) vektor merőleges a b ( 1, 3, 3 ) vektorra.
3. kérdés: Mekkora az a ( 0, 2, 2 ) és b ( 1, 0, 1 ) vektorok szöge?
30 o
60 o
120 o
150 o
4. kérdés: Mivel egyenlő x , ha a ( 5, 2, 4 ) és b ( x , 3, 1 ) merőlegesek?
0
2
4
-2
5. kérdés: Mik lesznek az a ( 4, 8, 12 ) vektor b ( 2, 2, 1 ) vektorral párhuzamos összetevőjének koordinátái?
a p ( 8, 8, 4 )
a p ( 8, 8, 4 )
a p ( 4, 4, 2 )
a p ( 4, 4, 2 )
6. kérdés: Mik lesznek az A ( 2, 2, 2 ) , B ( 1, 1, 4 ) , C ( 3, 1, 1 ) csúcspontú háromszögben a C csúcshoz tartozó magasság talppontjának koordinátái?
T ( 1, 0, 1 )
T ( 0, 2, 1 )
T ( 1, 1, 0 )
T ( 0, 0, 2 )