KURZUS: Matematika II.

MODUL: 1. Vektorok

1.6. A sík

Tanulási cél: A sík egyenletének megismerése, felírási módjának elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények
Fejezet: 2.4.

Elméleti összefoglaló:
A térben egy síkot meghatároz egy pontja P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) és egy nem 0 vektor n ( n 1 , n 2 , n 3 ) , mely merőleges a síkra, amit a sík normálvektorának nevezünk. Ezen adatok ismeretében a sík a következő egyenlettel jellemezhető:

n 1 ( x x 0 ) + n 2 ( y y 0 ) + n 3 ( z z 0 ) = 0

Sok esetben más alakra rendezzük ezt az egyenletet.

n 1 x + n 2 y + n 3 z = n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0

Konkrét adatok esetén az n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 kifejezés értéke kiszámolható, s így az egyenlet jobb oldalán csak egyetlen szám áll.

Ha egy pont illeszkedik egy síkra, akkor koordinátáit behelyettesítve a sík egyenletébe, igaz az egyenlőség, ha nincs a síkon, behelyettesítve az egyenlőség nem áll fenn.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Írjuk fel az A ( 2, 5, 3 ) pontra illeszkedő és az

e : x = 1 + 4 t , y = 2 3 t , z = 6 + t t R egyenesre merőleges S sík egyenletét!

Megoldás:
Az egyenlet felírásához ismernünk kell a sík egy pontját, s egy a síkra merőleges nem 0 vektort. Ismert pont van, hiszen a sík illeszkedik az A pontra, tehát P 0 = A . Mivel a sík merőleges az e egyenesre, így merőleges az egyenes minden irányvektorára is. Ha tehát egy v vektor az e egyenesnek irányvektora, akkor az a síknak egyben normálvektora is, n = v .
Olvassuk  ki az egyenes egyenletrendszeréből egy irányvektorának koordinátáit.

n = v ( 4, 3, 1 )

Helyettesítsünk a sík egyenletébe.

S : 4 ( x 2 ) 3 ( y ( 5 ) ) + 1 ( z ( 3 ) ) = 0

Ugyanez átrendezve.

S : 4 x 3 y + 1 z = 4 . 2 3 . ( 5 ) + 1 . ( 3 )

S : 4 x 3 y + z = 20

2.feladat Adjunk meg két olyan pontot, mely illeszkedik az

S : 2 x + 3 y z = 12 egyenletű síkra, s adjuk meg a sík egy normálvektorának koordinátáit!

Megoldás:
Ha síkon kell pontot megadnunk, akkor általában a pont három koordinátája közül kettőt szabadon megválaszthatunk, azokat a sík egyenletébe behelyettesítjük, s a harmadik koordinátát az így kapott egyenletből kiszámoljuk. A könnyebb számolás végett sokszor célszerű 0-nak választani a koordinátákat.
Jelen esetben például ha az x és y koordinátát 0-nak választjuk akkor a 2 . 0 + 3 . 0 z = 12 egyenletet kapjuk, amiből z = 12 .

Tehát az A ( 0, 0, 12 ) pont a síkon van.

Nem muszáj azonban a koordinátákat 0-nak választani, és nem csak az első két koordinátát választhatjuk meg. Ha pl. az y = 2 és z = 4 választással élünk, akkor a 2 x + 3 . 2 4 = 12 egyenlethez jutunk, melyből x = 5 .

A síkra illeszkedő másik pont tehát pl. B ( 5, 2, 4 ) .

Egy normálvektor meghatározásához egyszerűen ki kell olvasnunk a sík egyenletéből x , y , z együtthatóit. Most tehát a sík egy normálvektora:

n ( 2, 3, 1 ) .

3. feladat Döntsük el, illeszkedik-e az A ( 2, 1, 3 ) és B ( 4, 1, 1 ) pont az

S : 3 x 2 y + 4 z = 18 egyenletű síkra, s párhuzamos-e ezzel a síkkal az

e : 2 x 3 5 = 2 y + 4 3 = 1 z egyenletű egyenes!

Megoldás:
Az illeszkedés eldöntéséhez be kell helyettesítenünk a pontok koordinátáit a sík egyenletébe.
Az A pont esetén: 3 . 2 2 . 1 + 4 . 3 = 16 18
Az A pont tehát nem illeszkedik a síkra.
A B pont esetén: 3 . 4 2 . ( 1 ) + 4 . 1 = 18
A B pont tehát rajta van a síkon.

A párhuzamosság eldöntéséhez azt gondoljuk végig, hogy ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes egy irányvektora ( v ) , és a sík egy normálvektora ( n ) , milyen szöget zár be egymással. Mivel a normálvektor merőleges a síkra, merőleges a sík bármely egyenesére is, ebből következően bármely a síkkal párhuzamos egyenesre is, valamint azok irányvektoraira is. Tehát ekkor az n és v vektorok merőlegesek. Az állítás megfordítva is igaz, ha egy egyenes irányvektora merőleges egy sík normálvektorára, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal.
Azaz el kell  döntenünk merőleges-e v és n .
Olvassuk ki először n koordinátáit a sík egyenletéből.

n ( 3, 2, 4 )

A v koordinátáinak kiolvasásához alakítsuk át először az egyenes egyenletrendszerét.

e : x 3 2 5 2 = y + 2 3 2 = z 1 1

Irányvektor lehet tehát a következő vektor: ( 5 2 , 3 2 , 1 ) . A törtek miatt azonban célszerűbb a kétszeresét venni, így

v ( 5, 3, 2 ) .

Két vektor akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk 0, ezért számoljuk ki n v értékét.

n v = 3 . 5 2 . 3 + 4 . ( 2 ) = 1 0

A sík és az egyenes tehát nem párhuzamos.

4. feladat Adjuk meg az A ( 4, 2, 3 ) pontra illeszkedő és az S : x + 5 y = z + 3 síkkal párhuzamos S sík egyenletét!

Megoldás:
Az egyenlet felírásához szükséges pont adott, P 0 = A . Az S sík n normálvektorának pedig párhuzamosnak kell lennie az S sík n normálvektorával, hisz ha a két sík párhuzamos, akkor a rájuk merőleges vektorok is párhuzamosak. Eszerint azonban egyszerűen azt is mondhatjuk, hogy az n vektor egyben az S síknak is normálvektora, azaz n = n .
Olvassuk ki az S sík normálvektorának koordinátáit az egyenletből. Vigyázzunk azonban, mert az egyenletben x , y , z nem azonos oldalon szerepel. Célszerű ezért először rendezni.

S : x + 5 y z = 3

Most a normálvektor koordinátái.

n ( 1, 5, 1 )

Írjuk fel a keresett sík egyenletét.

S : 1 ( x + 4 ) + 5 ( y + 2 ) 1 ( z 3 ) = 0

Átrendezve

S : x + 5 y z = 1 . ( 4 ) + 5 . ( 2 ) 1 . 3 illetve x + 5 y z = 17 .

5. feladat Írjuk fel az A ( 2, 1, 5 ) , B ( 3, 4, 1 ) , C ( 6, 5, 1 ) háromszög síkjának egyenletét!

Megoldás:
A keresett síknak most három pontja is ismert, legyen közülük P 0 = A .
Mivel a sík egy normálvektora merőleges minden olyan vektorra, amely a síkban fekszik, ezért merőleges az A B és A C vektorra is. A probléma innentől már ismerős az előző leckéből. Két vektorból elő kell állítani egy mindkettőjükre merőleges vektort, s ezt vektoriális szorzással tehetjük meg. Elsőként azonban határozzuk meg az A B és A C vektorok koordinátáit.

A B ( 5, 3, 4 ) , A C ( 4, 6, 6 )

Határozzuk meg a vektoriális szorzatukat.

A B × A C = | i j k 5 3 4 4 6 6 | = | 3 4 6 6 | i | 5 4 4 6 | j + | 5 3 4 6 | k =

= ( ( 3 ) . ( 6 ) ( 4 ) . 6 ) i ( ( 5 ) . ( 6 ) ( 4 ) . 4 ) j + ( ( 5 ) . 6 ( 3 ) . 4 ) k = 42 i 46 j 18 k

A B × A C ( 42, 46, 18 )

Ez a vektor már normálvektora a keresett síknak, de nem kell feltétlenül ilyen nagy számokkal dolgoznunk. A normálvektor esetében, akárcsak az irányvektornál, nem számít a vektor hossza, csak az állása. Mivel most mindegyik koordináta páros, vegyük inkább ennek a vektornak a felét, ez is normálvektor lesz.

n ( 21, 23, 9 )

Ezután be kell helyettesítenünk a sík egyenletébe.

S : 21 ( x 2 ) 23 ( y + 1 ) 9 ( z 5 ) = 0 vagy 21 x 23 y 9 z = 21 . 2 23 . ( 1 ) 9 . 5

Majd összevonás után S : 21 x 23 y 9 z = 20 .

Megjegyzés:
A megoldás során előfordulhatott volna az A B × A C = 0 eset. Ekkor az A B és A C vektorok párhuzamosak, azaz a három pont egy egyenesre illeszkedik, így nem határoznak meg egyértelműen síkot.

6. feladat Írjuk fel az A ( 3, 2, 5 ) és az e : x + 5 3 = y 4 2 = z + 1 5 egyenes síkjának egyenletét!

Megoldás:
Az adott pont és egyenes valóban meghatároz egy síkot, mert ha az adott pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletrendszerébe, akkor látható, hogy a pont nem illeszkedik az egyenesre. Ha a pont az egyenesen lenne, akkor a sík állása a térben nem volna egyértelmű, az egyenes, mint tengely körül el lehetne forgatni.
A síkról ismerünk pontot, így P 0 = A .
A normálvektor előállítása azonban most bonyolultabb. Használjuk a következő jelölésket: a keresett sík normálvektora n , az adott egyenes irányvektora pedig v ( 3, 2, 5 ) . Mivel az egyenes illeszkedik a síkra, ezért n és v merőlegesek. Ha találunk még egy vektort, ami merőleges a normálvektorra, akkor ugyanúgy tudunk eljárni, mint az előző feladatban. Vegyük az adott egyenes egy tetszőleges pontját. Az egyenletrendszerből látható, hogy pl. a B ( 5, 4, 1 ) pont illeszkedik az egyenesre. Ha tekintjük a B A ( 8, 2, 4 ) -t, akkor az merőleges a normálvektorra, hiszen a B A a síkon fekszik. Van tehát két olyan vektorunk, amely merőleges a normálvektorra, így ezek vektoriális szorzatakénk kaphatunk egy normálvektort.

B A × v = | i j k 8 2 4 3 2 5 | = | 2 4 2 5 | i | 8 4 3 5 | j + | 8 2 3 2 | k =

= ( ( 2 ) . 5 ( 4 ) . 2 ) i ( 8 . 5 ( 4 ) . 3 ) j + ( 8 . 2 ( 2 ) . 3 ) k = 2 i 52 j + 22 k

B A × v ( 2, 52, 22 )

Mivel minden koordináta páros, vegyük a felét.

n ( 1, 26, 11 )

Behelyettesítve a sík egyenletébe.

S : 1 ( x + 5 ) 26 ( y 4 ) + 11 ( z + 1 ) = 0

A rendezést már nem részletezzük.

S : x 26 y + 11 z = 110

(Ha nem szeretjük a sok negatív számot, akkor vehetjük az egyenlet -1-szeresét.)

7. feladat Íruk fel az A ( 2, 1, 3 ) pontra illeszkedő,

e : x = 5 + 3 t , y = 4 t , z = 2 + 4 t t R egyenessel párhuzamos és az

S : 4 x 6 = y 2 z síkra merőleges S sík egyenletét!

Megoldás:
Az egyenlet felírásához szükséges pont most is adott, P 0 = A .
Az S sík n normálvektorát pedig a megadott egyenes v irányvektorából, és az ismert sík n normálvektorából állíthatjuk elő. Mivel az e egyenes párhuzamos az S síkkal, ezért n merőleges v -re, s mert S és S merőlegesek, ezért n merőleges n -re is. Az immár szokásosnak mondható feladatunk van, két vektorból elő kell állítanunk egy mindkettőre merőleges vektort, s ehhez a vektorok vektoriális szorzatát vesszük. Először azonban olvassuk ki az irányvektor koordinátáit az egyenes egyenletrendszeréből.

v ( 3, 1, 4 )

A sík normálvektorának kiolvasásához rendezzük először az egyenletét.

S : 4 x y + 2 z = 6 n ( 4, 1, 2 )

Vegyük a két vektor vektoriális szorzatát.

v × n = | i j k 3 1 4 4 1 2 | = | 1 4 1 2 | i | 3 4 4 2 | j + | 3 1 4 1 | k =

= ( ( 1 ) . 2 4 . ( 1 ) ) i ( 3 . 2 4 . 4 ) j + ( 3 . ( 1 ) ( 1 ) . 4 ) k = 2 i + 10 j + k

Tehát a keresett sík normálvektora

n ( 2, 10, 1 )

Már csak be kell helyettesítenünk P 0 és n koordinátáit a sík egyenletébe.

S : 2 ( x 2 ) + 10 ( y + 1 ) + 1 ( z 3 ) = 0 illetve 2 x + 10 y + z = 3

Megjegyzés:
Az előző leckében és ebben is előfordult több olyan feladat, melyben egy alakzatot (egyenes vagy sík) kellett megadni annak ismeretében, hogy mely pontra illeszkedik, s mely más alakzattal vagy alakzatokkal párhuzamos illetve merőleges. Az illeszkedéssel nem foglalkozunk most, ez a feladat könnyebb része. Azonban minden ilyen esetben meg kell határozni egy vektort, mely a keresett egyenes vagy sík térbeli állását jellemzi. A megadott alakzat vagy alakzatok állása a térben úgyszintén egy vektorral jellemezhető, ha egyenesről van szó, akkor az irányvektorral, ha síkról, akkor a normálvektorral. Mindig azt kell meggondolni, hogy a keresett alakzat vektora milyen szöget zár be a megadott alakzat vektorával. Ha a kettő párhuzamos, akkor azonosnak is tekinthetők. Ha pedig a két vektor merőleges, akkor találnunk kell még egy vektort, mely szintén merőleges a keresett alakzat vektorára, s vektoriális szorzással kapjuk a keresett egyenes irányvektorát vagy a keresett sík normálvektorát.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Az alábbi pontok közül melyik illeszkedik az S : 2 x y + 3 z = 5 egyenletű síkra?
A ( 3, 4, 1 )
B ( 2, 1, 1 )
C ( 2, 1, 1 )
D(3, 4, -1)
2. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik normálvektora az S : 3 x z = 7 2 y síknak?
n ( 3, 2, 1 )
n ( 6, 4, 2 )
n ( 3, 2, 1 )
n ( 6, 4, 2 )
3. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik normálvektora az x és y tengelyek által meghatározott síknak?
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 1, 0)
(1, 0, 1)
(0, 1, 1)
4. kérdés: Igaz vagy hamis az alábbi állítás?
Az S 1 : 3 x 2 y + 5 z = 6 és S 2 : 3 x + 2 y = z + 6 síkok merőlegesek.
5. kérdés: Melyik egyenlet írja le az A ( 4, 3, 1 ) , B ( 2, 1, 5 ) , C ( 2, 3, 1 ) pontok síkját?
x + 2 y = 19 + 7 z
6 x + 7 z = 25 2 y
2 y + 7 z = 21 + 6 x
6 x + 2 y 7 z = 29
6. kérdés: Melyik egyenlet írja le az A ( 1, 5, 2 ) pont és az e : x = 4 , y = 2 + 2 t , z = 3 t t R egyenes síkját?
13 x + 9 y + 6 z = 20
13 x 9 y 6 z = 46
13 x 9 y + 6 z = 70
13 x + 9 y 6 z = 44
7. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik normálvektora az S síknak, ha S párhuzamos az e : x = 2 4 t , y = 5 , z = t t R és

f : x 1 2 = y + 3 5 = z 4 3 egyenesekkel?
n ( 5, 14, 20 )
n ( 5, 10, 20 )
n ( 5, 14, 20 )
n ( 5, 10, 20 )