KURZUS: Matematika II.
MODUL: 1. Vektorok
1.8. Térelemek távolsága
| Tanulási cél: A különböző térelemek (pont, egyenes, sík) közötti távolság meghatározási módjainak megismerése és alkalmazása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 2.
Elméleti összefogló: Két pont távolsága Az és pontok távolsága egyenlő -vel, azaz . (Távolság jelölésére általában -t használunk.)
Pont és egyenes távolsága A pont és az egyenes távolsága , ahol az egyenes tetszőleges pontja, az egyenes irányvektora, pedig a irányába mutató egységvektor.
Pont és sík távolsága A pont és az sík távolsága , ahol az sík tetszőleges pontja, a sík normálvektora, pedig az irányába mutató egységvektor.
Két párhuzamos egyenes távolsága Az egyik egyenesen felveszünk egy pontot, s ennek távolságát határozzuk meg a másik egyenestől. Így a feladatot visszavezetjük pont és egyenes távolságának meghatározására.
Két kitérő egyenes távolsága Az és kitérő egyenesek esetében vegyük az egyenes egy tetszőleges pontját, s azt a síkot, mely illeszkedik az egyenesre és párhuzamos az egyenesssel. Ezen pont és sík távolsága megegyezik a két kitérő egyenes távolságával, így a problémát visszavezetjük pont és sík távolságának meghatározására.
Egyenes és vele párhuzamos sík távolsága Az egyenesen felveszünk egy pontot, s ennek a távolságát határozzuk meg a síktól. Így a feladatot visszavezetjük pont és sík távolságának meghatározására.
Két párhuzamos sík távolsága Az egyik síkon felveszünk egy pontot, s ennek távolságát határozzuk meg a másik síktól. Így a feladatot visszavezetjük pont és sík távolságának meghatározására.
Ha két alakzat metszi egymást, akkor távolságuk zérus.
|
1. feladat Határozzuk meg az csúcspontú háromszög kerületét!
Megoldás: A kerület a három oldal hosszának az összege, amit úgy is mondhatunk, hogy a csúcsok egymástól mért távolságainak összege.
Az előforduló vektorok koordinátái.
A vektorok abszolút értéke.
Végül a háromszög kerülete.
|
2. feladat Határozzuk meg az pont és az egyenes távolságát!
Megoldás: A feladat megoldása során be kell helyettesítenünk a képletbe, ahol most -nek az pont felel meg. A behelyettesítés előtt azonban meg kell határoznunk az egyenes egy pontját, és irányvektorát.
Szükségünk van a vektornak megfelelő vektor koordinátáira is.
A jobb követhetőség miatt célszerű részletekben számolni. Először a vektoriális szorzatot határozzuk meg.
Ezután a vektorok abszolút értékeit számoljuk.
Végül behelyettesítünk a távolság képletébe.
|
3. feladat Milyen messze van az pont az síktól?
Megoldás: Lényegében annyi a feladat, hogy behelyettesítünk a képletbe, ahol -nek most is az felel meg. A megoldás során haladjunk ugyanúgy részletekben, mint az előző feladatban. Először határozzuk meg a sík egy pontját. Két koordináta szabadon választható, legyen . A harmadik koordináta a sík egyenletéből számolható.
Olvassuk ki a normálvektor koordinátáit.
Számoljuk ki a skaláris szorzatot.
(A skaláris szorzat eredménye szám, egyszerűen egy szám abszolút értékét vettük.)
|
4. feladat Igazoljuk, hogy az csúcspontú négyszög paralelogramma, és határozzuk meg oldalhoz tartozó magasságot.
Megoldás: Egy hasonló feladattal már találkoztunk a vektoriális szorzatról szóló leckében. Most kövessünk más utat a bizonyítás során, mint akkor. Használjuk fel, hogy egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha az átlói felezik egymást. Határozzuk meg a két átló felezéspontját, s ha a kettő egybeesik, akkor a négyszög paralelogramma. Legyen az átló felezéspontja , a átló felezéspontja pedig .
A négyszög tehát valóban paralelogramma.
A magasság meghatározása lényegében azt jelenti, hogy az és párhuzamos oldalegyenesek távolságát kell meghatároznunk. Ez ugyanaz, mintha a pont távolságát határoznánk meg az oldal egyenesétől. Ha egyszerűen a képletbe akarunk helyettesíteni, akkor azt kell tisztáznunk, melyik jelen esetben a és a pont, s mi a vektor. Most a pont távolságát akarjuk meghatározni egy egyenestől, tehát . Az egyenes egy pontja például , ezért . Az egyenes irányvektora pedig lehet a paralelogramma megfelelő oldalvektora, azaz . Így a keresett magasság a következő.
(A képletben az oldal egyenesét jelöli.)
|
5. feladat Határozzuk meg az csúcspontú tetraéderben, és oldalegyenesek távolságát!
Megoldás: A tetraéder ezen két éle kitérő, tehát két kitérő egyenes távolságát kell meghatároznunk. Mint az elméleti összefoglalóban szerepelt, ez visszavezethető pont és sík távolságára. A pont illeszkedik az egyik egyenesre, a sík pedig a másikra úgy, hogy a pontra illeszkedő egyenessel párhuzamos. Ha például a pontnak most -t választjuk , akkor a sík illeszkedik az oldal egyenesére, és párhuzamos a oldal egyenesével. Ezen sík normálvektora merőleges az és vektorokra, hiszen ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenessel párhuzamos vektorok merőlegesek a sík normálvektorára. Ez azt jelenti, hogy a sík normálvektora is lehet. Ha ezt meghatároztuk, behelyettesíthetünk a képletbe. Ebben a sík egy tetszőleges pontja, ez lehet pédául is, ekkor . (Mivel a távolság képletében csak a sík normálvektora szerepel, ezért a sík egyenletét nem írjuk fel.)
és ez egyben a két oldalegyenes távolsága is.
|
6. feladat Egy paralelepipedon egyik csúcsa , s az ezen csúcsból kiinduló élvektorok . A csúcsok betűzése legyen az ábrának megfelelő.

Határozzuk meg az oldalegyenes és az lapsík távolságát!
|
Megoldás: Mint az ábráról is látható, egy egyenes és egy vele párhuzamos sík távolságát kell meghatároznunk. Ezt visszavezetjük az egyenes egy tetszőleges ponjának és a síknak a távolságára. Szükségünk van tehát az egyenes egy pontjára, ez lehet pl. , s így a pont és sík távolságának képletében a helyére kerül majd. A sík egy pontja is kell, ez lehet pl. , s így képletben fog szerepelni. Még a sík normálvektora szükséges, melyet a síkon fekvő két vektor vektoriális szorzataként kaphatunk meg, így a képletben lesz. Határozzuk meg először az pont koordinátáit, melyek a pont helyvektorának, azaz -nek a koordinátái. Ehhez a helyvektort állítsuk elő ismert vektorok összegeként.
Tehát az pont koordinátáit úgy kapjuk, hogy az pont koordinátáihoz hozzáadjuk az és vektor koordinátáit.
Határozzuk meg ezután a vektoriális szorzatot.
Végül a részeredményeket helyettesítsük be a távolság képletébe.
Megjegyzés: Ugyanezt az eredményt kaptuk volna, ha az és lapok síkjának távolsága lett volna a kérdés. Ekkor két párhuzamos sík távolságát kellett volna számolni, s ezt ugyanúgy az pont és az lap síkjának távolságaként kapjuk meg.
Ellenőrző kérdések:
|