KURZUS: Matematika II.
MODUL: 1. Vektorok
1.10. Vegyes feladatok
| Tanulási cél: A vektorokról tanultak ismétlése, gyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 2.
Kidolgozott feladatok:
1. feladat: Határozzuk meg az csúcspontú háromszög súlypontjának koordinátáit!
Megoldás: A háromszög súlypontja a súlyvonalak metszéspontja, melyek a csúcsokat kötik össze a szemben fekvő oldal felezéspontjával. A súlypont a súlyvonalakat harmadolja úgy, hogy a csúcs felőli szakasz a hosszabb. Ezek alapján két lépésben haladhatunk. Először meghatározzuk az egyik oldal, pl. felezéspontját, legyen ez . Ezután az szakasz -hez közelebbi harmadolópontjaként kapjuk a súlypontot.

Nézzük ezután a számolást. Felezéspont koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként kapjuk.
A harmadolópont koordinátáinak számolását az első leckében már láttuk. Eszerint
Megjegyzés: Érdemes a feladatot paraméteresen is kiszámolni. Ekkor
,
s hasonló eredményt kapunk a másik két koordinátára is, tehát
.
Eszerint a súlypont koordinátáit, a három csúcs koordinátáinak számtani közepeként kapjuk.
|
2. feladat Tükrözzük a pontra az egyenest és az síkot!
Megoldás: Először nézzük az egyenest. A tükrözés során egy, az eredetivel párhuzamos, egyenest kapunk, tehát a tükörképnek ugyanaz az irányvektora, mint az eredeti egyenesnek. Olvassuk ki ennek koordinátáit.
A tükörkép egyenletrendszerének felírásához még egy pontjára van szükségünk. Vegyük az egyenes egy tetszőleges pontját, pl. az egyenletrendszerből kiolvasható. Ezt a pontot tükrözzük -re, s így kapunk egy pontot a tükörképen. Legyen az pont tükörképe .

Mivel felezi az szakaszt, a három pont koordinátáira a következő igaz.
Ezután a tükörkép egyenletrendszere.
Foglalkozzunk ezután a síkkal. Mivel a tükörkép az eredetivel párhuzamos sík, ezért normálvektora ugyanaz, mint az eredeti síknak. Koordinátáit olvassuk ki az egyenletből.
Egy pontot kell még meghatároznunk a tükörképen. Vegyünk fel -en egy pontot, legyen ez pl. . (Két koordinátát szabadon megválasztottunk, a harmadikat pedig a sík egyenletéből számoltuk.) Ezt a pontot tükrözzük -re, s így a tükörkép egy pontját kapjuk.

Ha tükörképét jelöli, akkor a koordinátákra a következők teljesülnek.
Ezután a tükörkép egyenlete már felírható.
|
3. feladat Írjuk fel az és párhuzamos egyenesek síkjában fekvő, velük párhuzamos, tőlük egyenlő távolságra levő egyenes egyenletrendszerét!
Megoldás: Mivel a három egyenes párhuzamos, az irányvektoruk ugyanaz. Olvassuk ki ennek koordinátáit.
Mint az előző feladatban, most is a keresett egyenes egy pontját kell még meghatároznunk. Ha felveszünk az és egyenesen is egy pontot, s vesszük az általuk meghatározott szakasz felezéspontját, akkor egy pontját kapjuk.

A két egyenes egy-egy pontjának koordinátái az egyenletrendszerekből kiolvashatók.
A felezéspont koordinátátit ezen pontok koordinátáinak számtani közepeként kapjuk.
Ezután a egyenes egyenletrendszere.
Megjegyzés: Teljesen hasonló lenne egy olyan feladat megoldása is, melyben két párhuzamos sík közötti, tőlük egyenlő távolságra haladó sík egyenletét kellene felírni. A síkok normálvektora ekkor a párhuzamosság miatt megegyezik. A középen levő sík egy pontját pedig megkaphatjuk, ha megfelezünk egy olyan szakaszt, melynek két végpontja a két síkon van.
|
4. feladat Határozzuk meg az egyenes síkra eső merőleges vetületének egyenletrendszerét! Számítsuk ki az egyenes és a vetület által bezárt szöget!
Megoldás: Ha egy egyenest síkra vetítünk, akkor a vetület általában egyenes lesz. Célszerű meghatározni ezen vetületi egyenes két pontját, s felírni a két pontra illeszkedő egyenes egyenletrendszerét.

A vetület egyik pontja megkapható az egyenes és az sík metszéspontjaként, ha van közös pont. Ehhez helyettesítsünk a sík egyenletébe helyére az egyenes egyenletrendszeréből.
Ezt helyettesítsük vissza az egyenes egyenletrendszerébe.
Tehát ez az pont a vetület egyik pontja lesz.
Vegyük ezután az egyenes egy tetszőleges pontját, pl. az egyenletrendszerből kiolvasható. Írjuk fel a ponton átmenő, az síkra merőleges vetítőegyenes egyenletrendszerét. Ennek irányvektora megegyezik a sík nomálvektorával, melynek koordinátáit a sík egyenletéből kapjuk.
Határozzuk meg az egyenes és az sík metszéspontjának koordinátáit, így a vetület egy másik pontját kapjuk. Nevezzük ezt -nek.
Írjuk fel a vetület , azaz egyenes egyenletrendszerét. Legyen , az irányvektor pedig az vektor.
A szög számolásához szükségünk van a két egyenes irányvektorára.
Határozzuk meg az irányvektorok szögét.
Mivel , ezért a két egyenes szöge .
|
5. feladat Tükrözzük a pontot az síkra, valamint az egyenesre, s adjuk meg a két tükörkép, és , koordinátáit!
Megoldás: Először foglalkozzunk a síkra vonatkozó tükrözéssel. Állítsuk elő a pont síkra eső merőleges vetületét, majd erre a pontra tükrözzünk.

Fel kell írnunk az ponton átmenő, síkra merőleges vetítőegyenes egyenletrendeszerét. Ennek irányvektora ugyanaz, mint a sík normálvektora.
Határozzuk meg és metszéspontjának koordinátáit.
Mivel felezi az szakaszt
.
Ugyanígy a másik két koordináta: .
A tükörkép tehát .
Jöjjön a tükrözés az egyenesre. Ehhez az pont egyenesre eső merőleges vetületét állítjuk elő, s erre a pontra tükrözünk. A vetítéshez azonban most nem vetítő egyenesre van szükség, hanem az ponton átmenő, egyenesre merőleges vetítősíkra.

A vetítősík normálvektora megegyezik az egyenes irányvektorával.
Határozzuk meg és metszéspontját.
Mivel felezi az szakaszt
,
s hasonlóan a másik két koordináta: .
A tükörkép az egyenesre vonatkozóan .
|
6. feladat Írjuk fel azon egyenes egyenletrendszerét, mely illeszkedik az síkra és merőlegesen metszi az egyenest!
Megoldás:

Ha a síkon van, és metszi az egyenest, akkor áthalad és metszéspontján . Először ezt határozzuk meg.
Az egyenes egy pontját tehát már ismerjük, még irányvektorra lenne szükségünk. Mivel illeszkedik a síkra, irányvektora merőleges a sík normálvektorára, s mert merőleges -re, ezért irányvektora is merőleges az irányvektorára. A két merőlegességi feltétélből azt mondhatjuk, hogy a keresett egyenes egy irányvektora az adott egyenes irányvektorának és az adott sík normálvektorának vektoriális szorzataként kapható meg.
Ezután az egyenes egyenletrendszere felírható.
|
7. feladat Igazoljuk, hogy az és egyenesek metszik egymást, és adjuk meg a szögfelezők egyenletrendszerét!
Megoldás: Mivel a metszésponthoz nem biztos, hogy a két egyenes egyenletrendszerében azonos paraméterérték tartozik, az egyenletrendszerében térjünk át -ről -ra. Ezután tegyük egyenlővé az azonos koordinátákat megadó kifejezéseket.
Az első egyenletet rendezve . Ezt helyettesítsük a második egyenletbe.
Ellenőrizzük, hogy a paraméterek ezen értékeivel teljesül-e a harmadik egyenlőség.
Mivel a két oldal helyettesítési értéke megegyezik, van metszéspont, melynek koordinátáit vagy visszahelyettesítésével kapjuk.
A szögfelezők meghatározásához ismernünk kellene két vektort , melyek a két egyenessel párhuzamosak, és egyforma hosszúak. Két ilyen vektor rombuszt feszít ki, melynek szögeit az átlók felezik.

Az átlók irányába mutató vektorokat kapunk, ha az oldalvektorokat összeadjuk illetve kivonjuk. Ha tehát előállítunk ilyen és vektort, akkor a szögfelezők irányvektorai és lesznek. Ilyen és vektort úgy kaphatunk, ha az egyenesek irányvektorait egymás abszolút értékével megszorozzuk. Így olyan vektorokat kapunk melyeknek hossza a két irányvektor abszolút érétékének szorzata lesz. Olvassuk ki először az irányvektorok koordinátátit.
Határozzuk meg az irányvektorok abszolút értékét.
és , azaz .
A szögfelezők irányvektorai tehát:
és .
Utolsó lépésként írjuk fel a szögfelezők egyenletrendszereit.
|
8. feladat Létezik-e olyan (nem ) vektor, mely az tengelyek pozitív irányával rendre szöget zár be? Ha van ilyen vektor, akkor adjuk meg a vele megegyező irányú egységvektor koordinátáit! Milyen feltételnek kell teljesülni az szögekre, hogy létezzen ilyen vektor?
Megoldás: Foglalkozzunk elsőként a feladat utolsó részvel, hogy milyen feltétel teljesül az szögekre, ha létezik ilyen vektor . Ehhez vegyük a skaláris szorzatát az koordináta egységvektorokkal egyrészt a koordinátákból számolva, másrészt a definíció alapján. Használjuk ki, hogy .
A három koordinátára három hasonló egyenletet kaptunk. Emeljük négyzetre ezt a három egyenletet.
Adjuk össze a három egyenletet, és a jobb oldalon emeljük ki rögtön a vektor abszolút értékét.
Mivel vektor abszolút értéke a koordináták négyzetösszegének gyöke, ezért a bal oldalon áll. Az egyenlet akkor ezzel osztható.
Ez az egyenlet nem más, mint a szögekre vonatkozó feltétel. Akkor létezik olyan vektor, mely az tengelyek pozitív irányával rendre szöget zár be, ha a szögekre ezen egyenlet teljesül.
Mivel , ezért
,
azaz létezik a feltételeknek megfelelő vektor.
Ha egységvektort keresünk akkor , s ezt helyettesítjük a koordinátákat megadó egyenletekbe.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mik az háromszög csúcsának koordinátái, ha és a súlypont ? |
2. kérdés: Mi az sík pontra vonatkozó tükörképének egyenlete? |
3. kérdés Mi azon és egyenesekkel párhuzamos, velük azonos síkban fekvő egyenes egyenletrendszere, mely -től kétszer olyan messze van mint -től, s mely nem választja el egymástól a két egyenest? |
4. kérdés: Mi az egyenes síkra eső merőleges vetületének egyenlete? |
5. kérdés: Mi a pont tükörképe az egyenesre nézve? |
6. kérdés: Az alábbi egyenesek közül melyik az és metsző egyenesek egyik szögfelezője? |
7. kérdés: Mekkora szöget zár be a vektor az tengelyek pozitív irányával, ha mindegyikkel ugyanazt a hegyesszöget zárja be? |