KURZUS: Matematika II.

MODUL: 3. Lineáris algebra

3.7 Inverz mátrix

Tanulási cél: Begyakorolni az inverz mátrix Gauss-féle algoritmussal történő meghatározását.

Elméleti összefoglaló: Tekintsük az, egyszerűség kedvéért, 3 × 3 -as A mátrixot és tegyük fel, hogy létezik inverze. Ennek, egyelőre ismeretlen X inverz mátrixára teljesül, hogy

A X = I ,

vagy, kiírva a mátrixok elemeit,

[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] . [ x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 x 31 x 32 x 33 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] .

Ha a bal oldalon elvégeznénk a szorzást, akkor kapnánk egy 3 × 3 -as mátrixot, ami egyenlő az egység mátrixal. Könnyű átlátni, hogy ennek első oszlopában szereplő elemek felírásában csak az A mátrix elemei és az X mátrix első oszlopának elemei szerepelnek. Ebből az következik, hogy az inverz mátrix első oszlopa az

A . [ x 11 x 21 x 31 ] = [ 1 0 0 ]

egyenletrendszer megoldása. Teljesen hasonló igaz az inverz mátrix második és harmadik oszlopára is.

Tehát az inverz mátrix megoldásához meg kell oldanunk az alábbi kibővített mátrixú szimultán egyenletrendszert:

[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] .

Ha van inverz mátrix, akkor mindhárom egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van.

Célszerű most a Gauss-féle algoritmus alakalmazásával nem megállni akkor, amikor az együtthatómátrixot felső háromszögmátrixá alakítottuk, hanem folytatni egészen addig, míg az együttható mátrix az egységmátrixá válik. Ez, ha van inverz, mindig megtehető. Ilyenkor a jobb oldalon megjelenő mátrix a keresett inverz mátrix.

Ugyanez az eljárás más méretű mátrixok esaetén is.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 3.6.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket.

x y = 0 2 x + 3 y = 5 , x y = 3 2 x + 3 y = 4

Megoldás: Vegyük észre, hogy a két egyenletrendszer együtthatómátrixa azonos. A Gauss-féle algoritmus alakalmazása során csak az együtthatómátrix elemei döntik el, hogy mikor milyen lépést hajtunk végre. A kibővített mátrix utolsó oszlopa abban játszik szerepet, hogy azt felhasználva derül ki, hogy van-e megoldás, és ha van, akkor az hogyan adható meg.

Ennek az a következménye, hogy a két egyenletrendszer megoldása "sokáig" azonos lépések szerint halad, amit egy mátrixban is összefoglalhatunk.

Induljunk ki tehát az

[ 1 1 0 3 2 3 5 4 ]

kibővített mátrixból.

Vonjuk ki az első sor kétszeresét a másodikból.

[ 1 1 0 3 0 5 5 10 ]

Elvégeztük az együtthatómátrix felső háromszögmátrixá alakítását, leolvashatjuk a megoldásokat.

Az első egyenletrendszer megoldását úgy kapjuk, hogy a kibővített mátrix utolsó előtti oszlopát vesszük figyelembe. Ekkor a megoldás, mint az könnyen leolvasható: x = 1, y = 1 .

A második egyenletrendszer megoldásához a kibővített mátrix utolsó oszlopát kell figyelembe venni, ekkor kapjuk, hogy ekkor x = 1, y = 2 .

2. feladat Oldjuk meg az

x y + z = 1 x + y + z = 3 x y + z = 1 , x y + z = 1 x + y + z = 3 x y + z = 1

egyenletrendszereket.

Megoldás: Az eggyütthatómátrixok azonossága miatt közös kibővített mátrixot használhatunk. Ez

[ 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 ]

Első lépésként kivonjuk az első sort a másodikból, majd hozzáadjuk az első sort a hamadikhoz.

[ 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 ]

Adjuk hozzá ezután a második sort a harmadikhoz.

[ 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 0 0 2 2 4 ]

Mivel az együtthatómátrix felső háromszögmátrix, véget ért a Gauss-féle algoritmus.

Az első egyenletrendszer megoldása a kibővített mátrix utolsó előtti oszlopával: x = 1, y = 1, z = 1 .

A második egyenletrendszer megoldása, a kibővített mátrix utolsó oszlopát véve figyelembe: x = 0, y = 1, z = 2 .

3. feladat Számoljuk ki Gauss-féle algoritmus felhasználásával az A = [ 1 2 1 3 ] mátrix inverzét.

Megoldás: A kiinduló mátrixunk a következő:

[ 1 2 1 3 | 1 0 0 1 ]

Adjuk hozzá az első sort a másodikhoz.

[ 1 2 0 1 | 1 0 1 1 ]

Ezután adjuk hozz a második sor kétszeresét az elsőhöz.

[ 1 0 0 1 | 3 2 1 1 ]

A balodali mátrixot a Gauss-féle algoritmust felhasználva egységmátrixá alakítottuk, tehát a jobb oldalon álló mátrix a keresett inverz mátrix, azaz

A 1 = [ 3 2 1 1 ] .

Könnyen leellenőrizhető, hogy valóban teljesül, hogy A A 1 = A 1 A = I .

4. feladat Számoljuk ki az

A = [ 2 3 1 1 1 1 2 2 1 ]

mátrix inverzét.

Megoldás: A

[ 2 3 1 1 1 1 2 2 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

mátrixból indulunk ki. Első lépésként felcseréljük az első és a második sort, majd az első sort megszorozzuk mínusz eggyel.

[ 1 1 1 2 3 1 2 2 1 | 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ]

Ezután hozzáadjuk az első sor kétszeresét a második sorhoz, mínusz kétszeresét a harmadik sorhoz.

[ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 | 0 1 0 1 2 0 0 2 1 ]

Szerencsés módon a bal oldali 3 × 3 -as mátrix máris felső háromszögmátrixá vált.

Következő lépésként hozzáadjuk a harmadik sort a második és az első sorhoz is.

[ 1 1 0 0 1 0 0 0 1 | 0 1 1 1 0 1 0 2 1 ]

Végül hozzáadjuk a második sort az elsőhöz.

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 1 1 2 1 0 0 0 2 1 ]

Elértük, hogy a bal oldali 3 × 3 -as mátrix az egységmátrixá vált, ekkor a jobb oldali 3 × 3 -as mátrix a keresett inverz mátrix, azaz

A 1 = [ 1 1 2 1 0 0 0 2 1 ] .

5. feladat Számítsuk ki az alábbi mátrix inverzét.

A = [ 1 4 1 1 5 2 1 6 2 ]

Megoldás: Felírva az

[ 1 4 1 1 5 2 1 6 2 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

kiinduló mátrixot, látszik, hogy első lépésként célszerű kivonni az első sort a második és a harmadik sorból.

[ 1 4 1 0 1 1 0 2 1 | 1 0 0 1 1 0 1 0 1 ]

Most a második sor kétszeresét kivonjuk a harmadik sorból.

[ 1 4 1 0 1 1 0 0 1 | 1 0 0 1 1 0 1 2 1 ]

Osszuk el ezután a harmadik sort mínusz eggyel, majd vonjuk ki a második és a harmadik sorból.

[ 1 4 0 0 1 0 0 0 1 | 2 2 1 0 1 1 1 2 1 ]

Végül vonjuk ki a második sor nágyszeresét az első sorból.

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 2 2 3 0 1 1 1 2 1 ]

Innen leolvashatjuk, hogy

A 1 = [ 2 2 3 0 1 1 1 2 1 ] .

6. feladat Mi az

A = [ 1 2 1 2 2 3 1 2 2 ]

mátrix inverz mátrixa?

Megoldás: Tekintsük a

[ 1 2 1 2 2 3 1 2 2 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

kiinduló mátrixot, és elsőként cseréljük fel az első és a harmadik sort.

[ 1 2 2 2 2 3 1 2 1 | 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ]

Ezután vonjuk ki az első sor kétszeresét a másodikból, majd adjuk hozzá az első sort a harmadikhoz.

[ 1 2 2 0 6 1 0 4 3 | 0 0 1 0 1 2 1 0 1 ]

Most több féle úton is folytathatjuk a számolást. Érdemes törekedni arra, hogy minél tovább elkerüljük a törtekkel való számolást, valamint arra, hogy az egyesekkel nullázuk ki az oszlopuk többi elemét. Ezért a következő lépésként hozzáadjuk a második sor kétszeresét az első sorhoz, háromszorosát a harmadik sorhoz.

[ 1 10 0 0 6 1 0 14 0 | 0 2 3 0 1 2 1 3 5 ]

Ezután cseréljük fel a második és a harmadik sort, majd a második sort osszuk el 14 -el.

[ 1 10 0 0 1 0 0 6 1 | 0 2 3 1 14 3 14 5 14 0 1 2 ]

Végül adjuk hozzá a második sort az elsőhöz, illetve hatsorosát a adjuk hozzá a harmadik sorhoz.

[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 10 14 2 14 8 14 1 14 3 14 5 14 6 14 4 14 2 14 ]

Vagyis az inverz mátrix

A 1 = [ 10 14 2 14 8 14 1 14 3 14 5 14 6 14 4 14 2 14 ] = 1 14 [ 10 2 8 1 3 5 6 4 2 ] .

Az utóbbi felírás az ellenőrzéskor hasznos. Ha csak a mátrixokat szorozzuk össze, akkor az egységmátrix 14 -szeresét kell kapnunk. Az olvasó ellenőrizze ezt le!

7. feladat Számoljuk ki az

A = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ]

mátrix inverzét.

Megoldás: Ebben a feladatban csak a mátrixokat írjuk fel egymás után. Az olvasó találja ki, hogy mikor milyen átalakítást végeztünk!

[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]

[ 1 1 1 1 0 2 0 2 0 0 2 2 0 2 2 0 | 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 ]

[ 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 2 2 0 2 0 2 | 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 ]

[ 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 | 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 ]

[ 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 4 | 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ]

[ 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 | 1 0 0 0 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 ]

[ 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | 3 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 2 0 0 1 / 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 ]

[ 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | 2 / 4 0 2 / 4 0 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 ]

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 | 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 ]

Vagyis

A 1 = [ 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ] .

Ellenőrző kérdések

Az alábbi feladatokban a Gauss-féle algoritmust felhasználva határozzuk meg a mátrix inverzét, és válasszuk ki a megadott válaszok közül a helyeset.

1. kérdés Legyen A = [ 1 2 2 5 ] .
Az inverz mátrix egyik eleme 1 .
Az inverz mátrix egyik oszlopvektora [ 1 5 ] .
Az inverz mátrix egyik eleme 5 .
Az inverz mátrix minden eleme pozitív.
2. kérdés Tekintsük az A = [ 1 2 1 1 1 2 1 2 2 ] mátrixot. Ekkor
az inverz mátrixnak pontosan két eleme nulla.
az inverez mátrix elemei között több a pozitív, mint a negatív.
a 2 az inverz mátrix egyik eleme.
az inverz mátrixnak van olyan sora, amelyben két darab nulla szerepel.
3. kérdés Legyen A = [ 3 2 1 1 2 1 1 1 1 ] . Ekkor az inverz mátrix
szimmetrikus.
egyik oszlopvektora [ 0 1 2 ] .
minden eleme egész.
elemei közül a legnagyobb 3 .
4. feladat Legyen A = [ 2 1 2 2 1 1 2 1 3 ] . Ekkor az inverz mátrix
egyik sorában minden elem egyenlő.
egyik eleme 2 .
egyik eleme 1 4 .
egyik eleme nulla.
5. kérdés Tekintsük az A = [ 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 3 1 1 1 2 ] mátrixot. Ekkor az inverz mátrix
egyik sorvektora [ 1 0 1 1 ] .
legnagyobb eleme 4 .
egyik sorában minden elem pozitív.
valamelyik eleme nulla.