KURZUS: Matematika II.
MODUL: 2. Többváltozós függvények
| Tanulási cél: Begyakorolni, hogy hogyan kell téglalap, vagy normáltartomány feletti kettős integrálokat visszavezetni kétszeres integrálokra.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.8.
Elméleti összefoglaló: A kéttős integrálok kiszámolásánal fontos szerepet játszik, hogy milyen halmazon kell az integrálást elvégezni. Mi csak téglalap és -re nézve normáltartomány feletti integrálokkal fogunk foglalkozni.
Téglalapon a koordináta tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalapot értünk. Egy ilyennek a megadása úgy történik, hogy megadunk két intervallumot, az egyikbe esnek a téglalaphoz tartozó pontok első, a másikba a második koordinátái.
Ha az függvény folytonos az
téglalapon, akkor
.
Legyen a és a függvény folytonos az intervallumon, és tegyük fel, hogy az intervallumon. Ekkor a
halmazt -ra nézve normáltartománynak hívjuk.
Az ilyen típusú normáltartományt tehát jobbról és balról függőleges egyenesek, alulról és felülről pedig egy-egy függvény grafikonja határolja.
Ekkor
.
Kidolgozott feladatok: |
1. feladat Számítsuk ki az függvény kettős integrálját az feltételekkel megadott téglalap felett.
Megoldás: A kettős integrált kétféleképpen is átírhatjuk kétszeres integrállá:
.
Kiszámítjuk mind a két kétszeres integrált.
Kezdjük az kétszeres integrállal. Itt a belső integrálra
adódik. Ezt figyelembe véve
.
A második felírásban a belső integrálra azt kapjuk, hogy
,
amiből
,
összahngban az előző eredménnyel. |
2. feladat Integráljuk az függvényt az feltételekkel megadott téglalap felett.
Megoldás: A két lehetséges átírás közül válasszuk az alábbit:
.
Ennek belső integrálja
.
Ebből tehát
. |
3. feladat Számítsuk ki az függvény kettős integrálját az feltételekkel megadott télalap felett.
Megoldás: Tudjuk, hogy a keresett kettős integrált két úton is kiszámolhatjuk kétszeres integrál segítségével. Most azonban az egyik átírás egyszerűbb számolást eredményez, mint a másik. A függvényünk "sokkal bonyolultabb -re nézve, mint -ra nézve". Ha a belső integrálban szerint kell integrálni, akkor egyszerűbbnek tűnik a dolgunk. Próbálkozzunk ezért az
átírással. Ekkor a belső integrál így alakul:
.
Ebből mostmár
. |
4. feladat Számítsuk ki az függvény kettős integrálját az görbék által határolt tartomány felett.
Megoldás: Ábrázoljuk először a tartományt. Ezt mutatja az alábbi ábra:

Láthatjuk az ábráról, hogy a halmaz -ra nézve normáltartomány. Valóban, a balról határoló függőleges egyenes az , a jobbról határoló függőleges egyenes az egyenes, alulról a tartományt a egyenletű egyenes, felülről a egyenletű görbe határolja. Ezek felhasználásával a kérdéses kettős integrál így írható fel kétszeres integrállal:
.
Meghatározzuk a belső integrált.
.
Ennek figyelembevételével
.
|
5. feladat Számítsuk ki az függvény integrálját az és az görbék által határolt tartományon..
Megoldás: Most is a tartomány ábrázolásával kezdjük, az alábbi ábra mutatja a halmazt.

A görbék metszépontjainak első koordinátái persze az egyenlet megoldásáva számolhatók ki. Ezek és .
Ez a halmaz is normáltartomány -ra nézve, hiszen balról az egyenletű függőleges egyenes, jobbról az egyenletű függőleges egyenes, alulról a egyenletű görbe, felülről pedig a egyenletű görbe határolja.
A halmaz feletti kettős integrál tehát kiszámolható a következő kétszeres integrállal:
.
Az itteni belső integrálra
.
Ez alapján pedig
. |
6. feladat Kiszámítandó az függvény kettős integrálja az , és csúcspontú háromszög felett.
Megoldás: Az alábbi ábrán láthatjuk a szóbanforgó, -val jelölt háromszöget.

Ez a halmaz is normáltartomány -ra nézve, ugyanis balról határolja az egyenletű függőleges egyenes, jobbról az egyenletű függőleges egyenes, alulról a egyenletű egyenes, felülről pedig a egyenletű egyenes.
Tehát
.
Most
,
ebből pedig
. |
7. feladat Számítsuk ki az függvény integrálját az , és csúcspontú háromszög fölött.
Megoldás: A feladatbeli háromszög ábrája:

Ezt a normáltartományt balról az függőleges egyenes, jobbról az függőleges egyenes, alulról a egyenletű, felülről a egyenletű egyenes határolja. Ezért
.
Mivel
.
Így
.
|
8. feladat Tekintsük az függvényt. Számítsuk ki ennek integrálját azon az első síknegyedbe eső halmazon, amelyet az , az egyenesek és az egyenletű görbe határol.
Megoldás: A halmazt az alábbi ábrán láthatjuk:

Ezt a normáltartományt balról és jobbról az , illetve az egyenletű egyenesek, alulról a , felülről a egyenletű görbék határolják.
Így a keresett kettős integrál
.
Mivel
,
.
|
| Ellenőrző kérdések |
1. kérdés: Az függvény kettős integrálja az , és csúcspontú háromszög felett |
2. kérdés: Az függvény kettős integrálja az tengely, az és az egyenesek által határolt háromszög felett |
3. kérdés: Az függvény kettős integrálja az és görbék által határolt tartomány felett |
4. kérdés: Az függvény kettős integrálja az és az görbék által határolt tartományon |
5. kérdés: Az függvény kettős integrálja az , és csúcspontú háromszög felett |
6. kérdés: Az függvény kettős integrálja azon az első síknegyedbe eső tartományon, amelyet tengely, az és görbék határolnak |