KURZUS: Matematika II.

MODUL: 3. Lineáris algebra

3.1 Mátrixok, műveletek mátrixokkal (1)

Tanulási cél: A mátrix fogalmának, az összeadás, a kivonás és a számmal való szorzás műveletének megismerése és elvégzésük begyakorlása.

Elméleti összefoglaló: A mátrixok téglalap alakban elrendezett számtáblázatok. Azon, hogy egy mátrix n × m típusú azt értjük, hogy a mátrixnak n sora és m oszlopa van. Az összes n × m típusú, valós számból álló márix halmazát R n × m jelöli. A mátrixokat latin nagybetűkkel fogjuk jelölni, azt, hogy az A mátrix n × m típusú az A R n × m jelőlés jelöli. A mátrix elemeit kettős indexeléssel jelöljük, az A R n × m mátrix i -edik sorának j -edik eleme a i j . Két mátrix akkor egyenlő, ha azonos a típusuk, és az azonos helyen álló elemeik rendre megeggyeznek.

Összeadás: Legyen A , B R n × m . Az A és B mátrix összege az a A + B = C R n × m mátrix, amelynek i -edik sorának j -edik eleme

c i j = a i j + b i j , minden i = 1, 2, ... , n , j = 1, 2, ... , m indexpárra.

Ezek szereint bármely két, azonos típusú, mátrixot össze lehet adni, az eredmény is ugyanolyan típusú mátrix, az összeg mátrix elemeiet pedig úgy kapjuk, hogy összeadjuk az összedandó mátrixok azonos helyen álló elemeit.

Az összeadás kommutatív, azaz: A + B = B + A ,

az összeadás asszociatív, azaz: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) .

Számmal való szorzás: Legyen A R n × m , α R . Az A mátrix α -szorosa az a α A = C R n × m mátrix, amelynek i -edik sorának j -edik eleme

c i j = α . a i j , minden i = 1, 2, ... , n , j = 1, 2, ... , m -re.

Vagyis mátrixot úgy szorzunk valós számmal, hogy a mátrix minden elemet megszorzzuk a valós számmal.

Érvényesek az alábbi azonosságok:

α ( β A ) = ( α β ) A = β ( α A ) ,

( α + β ) A = α A + β A ,

α ( A + B ) = α A + α B .

Legyen A , B R n × m . Az A és a B mátrix különbségét a következőképp definiáljuk:

A B = A + ( 1 ) B .

Szavakban megfogalmazva ez azt jelenti, hogy a különbség elemeit úgy kapjuk, hogy az A mátrix minden eleméből kivonjuk a B mátrix megfelelő elemét.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 3.2.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Legyen A = [ 1 2 3 4 ] és B = [ 2 2 1 4 ] . Számoljuk ki A + B -t és A B -t.

Megoldás: Mindkét mátrix 2 × 2 típusú, ezért mindkét művelet elvégezhető, és az eredmény is 2 × 2 típusú lesz.

Az összeadás definíciója alapján

A + B = [ 1 2 3 4 ] + [ 2 2 1 4 ] = [ 1 + 2 2 + 2 3 + 1 4 + 4 ] = [ 1 4 4 8 ] ,

A B = [ 1 2 3 4 ] [ 2 2 1 4 ] = [ 1 2 2 2 3 1 4 4 ] = [ 3 0 2 0 ] .

2. feladat Tekintsük az A = [ 1 2 4 0 3 1 ] , B = [ 1 1 3 2 2 4 ] mátrixokat. Számoljuk ki a 2 A 3 B mátrixot.

Megoldás: Mivel 2 A = [ 2 4 8 0 6 2 ] , 3 B = [ 3 3 9 6 6 12 ] , azt kapjuk, hogy

2 A 3 B = [ 2 ( 3 ) 4 3 8 9 0 ( 6 ) 6 6 2 12 ] = [ 5 1 1 6 0 10 ] .

3. feladat Legyen A = [ 3 5 2 1 ] , B = [ 1 2 4 6 ] , C = [ 4 8 3 7 ] . Számítsuk ki a 2 ( A + B ) + ( A C ) mártixot.

Megoldás: Először a műveleti azonosságokat felhasználva átalakítjuk a kiszámolandó kifejezést.
Ekkor azt kapjuk, hogy

2 ( A + B ) + ( A C ) = 2 A + 2 B + A C = A + 2 B C .

Ebbe a formulába helyettesítünk ezután:

A + 2 B C = [ 3 + 2 4 5 + 4 8 2 + 8 3 1 + 12 7 ] = [ 5 9 3 4 ] .

4. feladat Határozzuk meg azokat az x , y , z valós számokat, amelyekre igaz az alábbi összefüggés:

[ x 1 2 2 y 3 3 4 z ] [ 2 0 1 1 1 1 3 1 1 ] = [ 6 1 1 1 4 2 0 5 1 ] .

Megoldás: Vezessük be a következő jelöléseket.

A = [ x 1 2 2 y 3 3 4 z ] , B = [ 2 0 1 1 1 1 3 1 1 ] , C = [ 6 1 1 1 4 2 0 5 1 ] .

Ekkor a feladatbeli összefüggés

A B = C

alakba írható, amiből átrendezéssel

A = B + C = [ 8 1 2 2 5 3 3 4 2 ] .

Innen leolvasható, hogy x = 8, y = 5, z = 2 kell, hogy legyen.

Ellenőrző kérdések

1. kérdés Legyen A = [ 2 5 3 1 ] , B = [ 1 1 4 2 ] . Ekkor az A ( ( A + B ) 2 A ) =
[ 5 11 1 4 ] .
[ 5 11 2 3 ]
[ 5 11 2 4 ]
[ 5 11 2 4 ] .
2. kérdés Ha A = [ 3 1 2 ] , B = [ 1 2 1 ] , akkor 4 A 7 B =
[ 19 9 1 ] .
[ 19 10 1 ] .
[ 19 10 1 ] .
[ 19 10 1 ] .
3. kérdés Legyen A = [ 1 1 2 4 ] , B = [ 2 1 1 3 ] . Ekkor 3 A + 2 B =
[ 1 5 8 6 ] .
[ 1 5 8 6 ] .
[ 1 5 8 6 ] .
[ 1 5 8 6 ] .
4. kérdés Tekintsük az alábbi mátrixokat:

A = [ 1 1 2 1 1 3 2 1 1 ] , B = [ 3 1 1 0 1 4 2 6 1 ] , C = [ 1 1 1 2 0 1 1 3 5 ]

Ekkor 3 ( A 2 B + C ) =
[ 12 6 15 3 3 12 3 24 12 ] .
[ 12 6 15 3 3 12 3 24 12 ] .
[ 12 6 15 3 3 12 3 24 12 ] .
[ 12 6 15 3 3 12 3 24 12 ] .
5. kérdés Legyen A = [ 2 1 1 1 1 0 2 1 1 ] , B = [ 1 0 1 1 0 1 1 2 1 ] . Ekkor 2 ( ( A 2 B ) 2 ( 2 A + B ) ) =
[ 4 6 14 14 6 8 20 22 14 ] .
[ 4 6 14 14 6 8 20 22 14 ]
[ 4 6 14 14 6 8 20 22 14 ] .
[ 4 6 14 14 6 8 20 22 14 ] .