KURZUS: Matematika II.
MODUL: 3. Lineáris algebra
| Tanulási cél: Begyakorolni az inverz mátrix kiszámolását az adjungált mátrix felhasználásával.
Elméleti összefoglaló: Egy négyzetes mártix -val jelölt adjungáltját úgy kapjuk, hogy minden elem helyére beírjuk az elemhez tartozó élőjeles aldetermináns értékét, és vesszük az így kapott mátrix transzponáltját.
Ha egy négyzetes mártix determinánsa nem nulla, akkor a mátrixnak van -el jelölt inverz mátrixa, ami
.
Az inverz mátrix legfontosabb tulajdonsága, hogy , ahol a (megfelelő méretű) egységmátrix.
Érvényes, hogy .
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 3.4.
Kidolgozott feladatok: |
1. feladat Számítsuk ki az mátrix transzponáltját.
Megoldás: Tudjuk, hogy transzponáláskor az eredeti mátrix sorait fel kell cserélni az oszlopaival. Az első sorból lesz a transzponált első oszlopa, a második sorból a transzponált második oszlopa, és így tovább. Tehát
.
Persze úgy is megkaphatjuk a transzponáltat, hogy a főátlóra tükrözzük az eredeti mátrixot. |
2. feladat Határozzuk meg az mátrix transzponáltját.
Megoldás: Különösen nagyobb méretű vagy nem négyzetes mártixok esetén a főátlóra való tükrözést könnyen el lehet rontani, biztonságosabb a sor-oszlop cserével számolni a transzponáltat.
Most azt kapjuk, hogy
. |
3. feladat Legyen . Határozzuk meg az mátrixot.
Megoldás: A transzponált a sor- oszlop cserével az alábbi -as mátrix:
. |
4. feladat Számítsuk ki az mártix adjungáltját.
Megoldás: Tudjuk, hogy
,
ahol az eredeti mátrix eleméhez tartozó előjeles aldetermináns.
Kiszámoljuk először -et. Ehhez, gondolatban töröljük a eredeti mátrix elemet tartalmató sorát és oszlopát, és a megmaradt számokból alkotott aldeterminánst megszorozzuk -el. A törlés után most egy -es aldetermináns marad, amelynek egyetlen eleme . Emlékezzünk arra, hogy egy egyetlen számból álló -es mátrix determinánsa, definíció szerint, a szóbanforgó szám. Ezért
.
Hasonlóan eljárva kapjuk, hogy , hiszen a -es elem sorának és oszlopának törlése után az elemet tartalmazó -es aldeterminánst kell kiszámolnunk.
Ugyanígy .
Végül .
Ezeket felhasználva
. |
5. feladat Számítsuk ki az mátrix adjungáltját.
Megoldás: Most
.
Kiszámoljuk sorban az előjeles aldeterminánsokat.
a mártix elemét tartalmazó sor és oszlop törlése után megmaradó aldetermináns -szerese, azaz
.
Hasonlóan számolva
.
.
,
,
.
Végül az utolsó sor elemeihez tartozó előjeles aldeterminánsok:
,
,
.
Így tehát
.
Látjuk, hogy az adjungáltat elég nehéz számolni, a leggyakoribb hiba az aldeterminánsok előjelének elhagyása és a transzponálás elmaradása szokott lenni, ezekre is ügyelni kell. |
6. feladat Számítsuk ki az mátrix adjungáltját.
Megoldás: A mátrixunk -es, tehát darab -as aldeterminánst kell majd kiszámolnunk, ami elég sok munkát sejtet. Mivel azonban a mátrixunkban igen sok elem nulla, ezek közül sok kiszámolása egyszerű lesz.
Például
, hiszen az elem törlése után megmaradó aldetermináns első oszlopa csupa nulla elemből áll, és így a determinánsa is nulla.
.
(A -as aldeterminánst az első oszlopa szerint fejtettük ki.)
, (mert az aldeternimáns középső oszlopa csupa nullát tartalmaz).
, ugyanazért, mint az előbb.
.
, mert a megfelelő aldeterminánsoknak mindig csupa nulla áll az első oszlopában.
, mert most az aldeterminánsok utolsó oszlopa csupa nulla.
.
.
.
.
Mindezek alapján
. |
7. feladat Számoljuk ki az mátrix inverzét.
Megoldás: Tudjuk, hogy
.
Kiszámoljuk először a determinánst.
.
Ezután meghatározzuk az adjungált mátrixot.
.
Ezek felhasználásával
.
Könnyen leellenőrizhető, hogy valóban
. |
8. feladat Számoljuk ki az mátrix inverzét.
Megoldás: A determinánst úgy fogjuk kiszámolni, hogy a második sorral manipulálva elérjük, hogy a harmadik oszlop első és utolsó eleme nulla legyen. Ehhez a középső sor egyszeresét hozzáadjuk az első sorhoz, a kétszeresét pedig a harmadik sorhoz. Ekkor
.
Az adjungált aldeterminánsok:
,
,
.
Tehát
.
Ismét győződjön meg az olvasó, hogy . |
9. feladat Számoljuk ki az mátrix inverzét.
Megoldás: Most, kivonva az első sor kétszeresét a másodikból, háromszorosát a harmadikból és kifejtve a kapott detreminánst a harmadik oszlopa szerint:
.
A előjeles aldeterminánsok pedig
,
,
.
Ezért
. |
| Ellenőrző kérdések
A következő feladatokban ne behelyettesítést végezzünk, hanem számoljuk ki az inverz mátrixot, és az alapján válaszoljunk a kérdésekre. |
1. kérdés Legyen . Ekkor |
2. kérdés Ha , akkor |
3. kérdés Ha , akkor |
4. kérdés Legyen . Ekkor |
5. kérdés Ha , akkor |
6. kérdés Ha , akkor |