KURZUS: Matematika II.

MODUL: 3. Lineáris algebra

3.2 Műveletek mátrixokkal (2)

Tanulási cél: A szorzás és a transzponálás műveletének megismerése, a műveletek elvégzésének begyakorlása.

Elméleti összefoglaló: Legyen A R n × k , B R k × m mátrix. Ekkor képezhető a C = A B R n × m szorzat mátrix, amelynek i -edik sorának j -edik eleme

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + a i 3 b 3 j + ... + a i k b k j minden i = 1, 2, ... , n , j = 1, 2, ... , m indexpárra.

Úgy kapjuk tehát a szorzat mátrix c i j elemét, hogy az elöl álló mátrixnak tekintjük az i -edik sorát, a hátul álló mátrixnak a j -edik oszlopát, majd összeszorozzuk ezek megfelelő elemeit, (a sor első elemét az oszlop első elemével, a sor második elemét az oszlop második elemével, és így tovább), és összeadjuk ezeket a szorzatokat.

A szorzatnak tehát annyi sora lesz, mint ahány sora az elöl álló mátrixnak van és annyi oszlopa, amennyi a hátul álló mátrixnak van.

Azt a feltételt, hogy a szorzatban az elöl álló mátrixnak annyi oszlopa legyen, mint ahány sora a hátul álló mátrixnak van, kompatibilitási feltételnek nevezzük.

A szorzás nem kommutatív, azaz A B B A .

A szorzás asszociatív, azaz ( A B ) C = A ( B C ) = A B C .

A szorzás mindkét oldalról disztributív az össeadásra nézve, azaz

A ( B + C ) = A B + A C , és

( A + B ) C = A C + B C .

Az A R n × m mátrix transzponáltja az az A T R m × n mátrix, amelynek i -edik sorának j -edik eleme

a i j T = a j i minden i = 1, 2, ... , m , j = 1, 2, ... , n indexpárra.

Tehát az eredeti mátrix első sorából lesz a transzponált első oszlopa, a második sorból a transzponált második oszlopa, és így tovább.

A transzponáltra vonatkozó legfontosabb azonosságok:

( A T ) T = A ,

( A + B ) T = A T + B T ,

( A B ) T = B T A T .

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 3.3.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Legyen A = [ 1 2 2 3 ] , B = [ 2 1 3 1 ] . Számítsuk ki az A B mátrixot.

Megoldás: Az elöl álló mátrix 2 × 2 -es típusú, a hátul álló is 2 × 2 -es típusú, teljesül tehát a kompatibilitási feltétel, létezik az ilyen sorrendű szorzat és az is 2 × 2 -es típusú lesz.

Jelölje a szorzatot C , azaz legyen C = A B . Ekkor

c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 = ( 1 ) . 2 + 2 . 3 = 2 + 6 = 4 .

Hasonlóan

c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 = ( 1 ) . 1 + 2 . ( 1 ) = 1 2 = 3 ,

c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 = ( 2 ) . 2 + 3 . 3 = 4 + 9 = 5 ,

és végül

c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 = ( 2 ) . 1 + 3 . ( 1 ) = 2 3 = 5 .

Tehát

C = [ 4 3 5 5 ] .

2. feladat Tekintsük az A = [ 1 2 3 2 4 2 2 1 5 ] , B = [ 2 6 3 1 4 5 3 2 1 ] mátrixokat. Számoljuk ki az A B és a B A márixokat.

Megoldás: Kezdjük az A B szorzat kiszámolásával.

Ebben az elöl álló A mátrix 3 × 3 típusú, a hátul álló B mátrix 3 × 3 típusú. Mivel a típusokban az áláhúzott számok megeggyeznek ez a két mátrix ebben a sorrendben összeszorozható. A szorzat típusa most 3 × 3 lesz. Jelölje a szorzatot C . A C mátrix kilenc elemét kell tehát kiszámolnunk.

A c 11 elem kiszámolásához az A mátrix első sorát és a B mátrix első oszlopát kell felhasználni, hiszen ez az elem az első sorban és az első oszlopban áll. Ekkor kapjuk, hogy

c 11 = 1 . 2 + 2 . 1 + 3 . 3 = 2 + 2 + 9 = 13 .

A szorzat mátrix első sorának második elemének, a c 12 elemnek, a kiszámolásához az A mátrix első sorát és a B mátrix második oszlopát kell felhasználni:

c 12 = 1 . 6 + 2 . 4 + 3 . 2 = 6 + 8 + 6 = 20 .

A c 13 elem az A mátrix első sorából és a B mátrix harmadik oszlopából

c 13 = 1 . 3 + 2 . 5 + 3 . 1 = 3 + 10 + 3 = 16 .

A szorzat mátrix második sorának első eleme, a c 21 elem, az A mátrix második sorának és a B mátrix első oszlopának felhasználásával

c 21 = 2 . 2 + 4 . 1 + 2 . 3 = 4 + 4 + 6 = 14 .

Hasonlóan számolva a többi elem:

c 22 = 2 . 6 + 4 . 4 + 2 . 2 = 12 + 16 + 4 = 32 ,

c 23 = 2 . 3 + 4 . 5 + 2 . 1 = 6 + 20 + 2 = 28 ,

c 31 = 2 . 2 + 1 . 1 + 5 . 3 = 4 + 1 + 15 = 20 ,

c 32 = 2 . 6 + 1 . 4 + 5 . 2 = 12 + 4 + 10 = 26 ,

c 33 = 2 . 3 + 1 . 5 + 5 . 1 = 6 + 5 + 5 = 16 .

Tehát A B = [ 13 20 16 14 32 28 20 26 16 ] .

A D = B A mátrix elemeit hasonlóan számolva:

d 11 = 2 . 1 + 6 . 2 + 3 . 2 = 2 + 12 + 6 = 20 ,

d 12 = 2 . 2 + 6 . 4 + 3 . 1 = 4 + 24 + 3 = 31 ,

d 13 = 2 . 3 + 6 . 2 + 3 . 5 = 6 + 12 + 15 = 33 ,

d 21 = 1 . 1 + 4 . 2 + 5 . 2 = 1 + 8 + 10 = 19 ,

d 22 = 1 . 2 + 4 . 4 + 5 . 1 = 2 + 16 + 5 = 23 ,

d 23 = 1 . 3 + 4 . 2 + 5 . 5 = 3 + 8 + 25 = 36 ,

d 31 = 3 . 1 + 2 . 2 + 1 . 2 = 3 + 4 + 2 = 9 ,

d 32 = 3 . 2 + 2 . 4 + 1 . 1 = 6 + 8 + 1 = 15 ,

d 33 = 3 . 3 + 2 . 2 + 1 . 5 = 9 + 4 + 5 = 18 .

Vagyis

B A = [ 20 31 33 19 23 36 9 15 18 ] .

Ez a példa is mutatja, hogy a mátrixok szorzása nem kommutatív.

3. feladat Legyen A = [ 2 1 3 1 2 0 ] , B = [ 1 1 3 2 1 2 ] . Számoljuk ki A B és a B A szorzatokat.

Megoldás: Mind az A B , mind a B A szorzat létezik és A B 3 × 3 -as, B A 2 × 2 -es típusú.

Most

A B = [ 4 3 8 5 4 11 2 2 6 ] ,

és

B A = [ 11 2 11 3 ] .

Már a típusok különbözősége is mutatja, hogy a szorzás nem kommutatív.

4. feladat Legyen A = [ 1 1 2 2 11 2 1 2 3 ] , B = [ 3 2 6 2 3 12 0 9 11 ] . Számítsuk ki az A B és a B A szorzatokat.

Megoldás: Mindkét szorzat létezik és mindkettő 3 × 3 -as típusú.

A B = [ 5 17 16 4 25 46 7 31 51 ] ,

és

B A = [ 5 17 16 4 25 46 7 31 51 ] .

Látjuk, hogy a két eredmény ugyanaz. Az, hogy a szorzás nem kommutatív, nem jelenti azt, hogy nem léteznek mátrixok, amelyek egymással felcserélhetők, csak azt, hogy nem mindig felcserélhetők.

5. feladat Tekintsük az A = [ 1 2 4 ] , B = [ 2 1 3 ] mátrixokat és számoljuk ki az A B szorzatot.

Megoldás: A szorzat létezik, mert teljesül a kompatibilitási feltétel, és a szorzat típusa 1 × 1 . Az ilyen mátrixokat azonosítjuk a válós számokkal és zárójelek nélkül írjuk le. Tehát

A B = 1 . 2 + 2 . ( 1 ) + 4 . 3 = 2 2 + 12 = 10 .

A A mártixot, mivel csak egy sora van, sormátrixnak is hívjuk. Az ilyen mátrixok azonosíthatók a vektorokkal, most az A egy térbeli vektornak is tekinthető.

A B mátrixot, mivel egy oszlopa van, oszlopmátrixnak is hívjuk. Az ilyen mátrixok is azonosíthatók a vektorokkal, most a   B is tekinthető egy térbeli vektornak.

Vegyük még észre, hogy a fenti szorzat, ha a mátrixokat vektoroknak tekintjük, éppen ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatával egyenlő.

6. feladat Számítsuk ki az A = [ 2 1 1 3 ] és a B = [ 3 4 2 1 ] mátrixok szorzatát.

Megoldás: Ez a szorzat is létezik, és egy 4 × 1 -es és egy 1 × 4 -es mátrix szorzata 4 × 4 -es.

A B = [ 6 8 4 2 3 4 2 1 3 4 2 1 9 12 6 3 ]

7. feladat Legyen A = [ 1 2 3 4 ] . Mivel egyenlő A 3 ?

Megoldás: Egy mátrix különböző kitevős hatványai egymással felcserélhető, ezért, mivel

A 3 = A A A = A 2 A = A A 2 ,

mindegy, hogy A -t szorozzuk A 2 -el, vagy A 2 -et A -val.

Mivel A 2 = A A = [ 7 10 15 22 ] ,

A 3 = A 2 A = A A 2 = [ 37 54 81 118 ] .


8. feladat Legyen A = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] . Számítsuk ki az ( A + A 2 ) 2 mátrixot.

Megoldás: Az A -val együtt az A 2 is 3 × 3 -as mátrix, minden kijelölt művelet elvégezhető, és az eredmény is 3 × 3 -as mátrix lesz. Mivel

A 2 = A A = [ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ] ,

A + A 2 = [ 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ] .

Ezt felhasználva

( A + A 2 ) 2 = ( A + A 2 ) ( A + A 2 ) = [ 48 48 48 48 48 48 48 48 48 ] .

A további feladatokban annak ellenőrzését, hogy a kijelölt műveletek elvégezhetők és a kapott mátrixok típusának megállapítását az olvasóra bízzuk.

9. feladat Ha A = [ 3 0 1 4 ] , és B = [ 2 1 1 1 ] , akkor mivel egyenlő ( A + B T ) T ?

Megoldás: Mivel

B T = [ 2 1 1 1 ] ,

ezért

A + B T = [ 5 1 2 5 ] ,

és ezt felhasználva

( A + B T ) T = [ 5 1 2 5 ] T = [ 5 2 1 5 ] .

De úgy is számolhatunk, hogy felhasználjuk azt, hogy összeget tagonként lehet transzponálni. Ekkor

( A + B T ) T = A T + ( B T ) T = A T + B = [ 3 1 0 4 ] + [ 2 1 1 1 ] = [ 5 2 1 5 ] .

10. feladat Legyen A = [ 4 0 1 3 ] , B = [ 1 4 2 1 ] . Számítsuk ki az A B + B 2 + A 2 + B A mátrixot.

Megoldás: Ha ebben az alakjában számolnánk ki a kifejezés értékét, akkor négy szorzást és három összeadást kéne elvégeznünk. Érdemes átalakítanunk a kifejezést. Észrevehetjük, hogy az első két tagból kiemelhető (hátra) a B , az utolsó két tagból (szintén hátra) az A mátrix. Így

A B + B 2 + A 2 + B A = ( A + B ) B + ( A + B ) A .

Az utolsó összeg mindkét tagjából kiemelhető előre az A + B mátrix. Tehát

( A + B ) B + ( A + B ) A = ( A + B ) ( B + A ) .

Az összeadás kommutatív, így A + B = B + A . Vagyis amit ki kell számolnunk az ( A + B ) 2 .

Minthogy

A + B = [ 5 4 3 4 ] ,

( A + B ) 2 = [ 37 36 29 28 ] .

Így csak egy összeadást és egy szorzást kellett elvégeznünk.

Ellenőrző kérdések

1. kérdés Ha A = [ 1 1 1 1 ] , B = [ 0 1 1 0 ] , akkor A B =
[ 1 1 1 1 ] .
[ 1 1 1 1 ] .
[ 1 1 1 1 ] .
[ 1 1 1 1 ] .
2. kérdés Legyen A = [ 2 0 1 3 ] . Ekkor A 3 =
[ 8 0 19 27 ] .
[ 8 0 18 27 ] .
[ 8 1 19 27 ] .
[ 8 0 19 26 ] .
3. kérdés Ha A = [ 1 1 1 0 1 2 2 1 3 ] , akkor A A T =
[ 3 1 0 1 5 7 0 7 14 ] .
[ 3 1 0 0 5 7 0 7 14 ] .
[ 3 1 0 1 5 7 0 7 14 ] .
[ 3 1 0 1 5 7 0 7 14 ] .
4. kérdés Legyen A = [ 3 1 2 1 ] . Ekkor ( ( A + I ) 2 + I ) 2 =
[ 153 108 216 64 ] .
[ 153 106 216 63 ] .
[ 153 108 216 63 ] .
[ 155 108 213 62 ] .
5. kérdés Tekintsük az A = [ 2 1 1 1 2 1 3 1 4 ] mátrixot. Ebben az esetben A 2 + ( A T ) 2 =
[ 16 10 24 10 8 2 24 2 36 ] .
[ 18 10 22 10 8 4 22 4 34 ] .
[ 16 10 24 10 8 4 24 4 36 ] .
[ 16 10 24 10 8 4 24 4 36 ] .
6. kérdés Ha A = [ 1 1 2 1 0 2 3 1 2 ] ,

B = [ 1 0 2 2 1 1 1 3 1 ] ,

C = [ 2 1 1 1 1 0 3 1 1 ] .

akkor A B B C =
[ 5 8 6 3 10 1 7 4 9 ] .
[ 5 8 6 3 10 1 7 4 9 ] .
[ 5 8 6 3 10 1 7 4 9 ] .
[ 5 8 6 3 10 1 7 4 9 ] .
7. kérdés Ha A = [ 2 1 1 0 1 1 0 2 1 ] , B = [ 1 1 1 2 1 1 1 1 0 ] , akkor A B + A T B T =
[ 5 6 1 3 3 1 4 1 2 ] .
[ 6 5 1 3 1 3 4 1 2 ] .
[ 5 6 1 3 3 1 4 1 2 ] .
[ 5 6 1 3 3 1 4 1 2 ] .
8. kérdés Ha A = [ 2 1 2 3 0 1 ] , akkor ( A A T ) 2 =
[ 164 152 152 145 ] .
[ 145 152 152 164 ] .
[ 154 152 152 164 ] .
[ 145 150 150 146 ] .