KURZUS: Matematika II.

MODUL: 1. Vektorok

1.9. Térelemek hajlásszöge

Tanulási cél: Módszer megismerése a térelemek (egyenes, sík) hajlásszögének meghatározására, alkalmazás feladatok megoldásában.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények
Fejezet: 2.

Elméleti összefoglaló:
Térelemek hajlásszögét a térelemek állását jellemző vektorok (egyenes esetén irányvektor, sík esetén normálvektor) szögéből határozzuk meg.
Korábban már szerepelt, hogy az a és b vektorok ϕ szögét a cos ϕ = a b | a | | b | öszefüggésből határozzuk meg.   

Két egyenes hajlásszöge
A két egyenes irányvektorainak szögét határozzuk meg, ez legyen α .
Ha α 90 o , akkor a két egyenes hajlásszöge ϕ = α .



Ha α > 90 o , akkor a két egyenes hajlásszöge ϕ = 180 o α .



Egyenes és sík hajlásszöge
Az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának szögét határozzuk meg, ez legyen α .
Ha α 90 o , akkor az egyenes és sík hajlásszöge ϕ = 90 o α .



Ha α > 90 o , akkor az egyenes és sík hajlásszöge ϕ = α 90 o .



Két sík hajlásszöge
A két sík normálvektorainak szögét határozzuk meg, ez legyen α .
Ha α 90 o , akkor a két sík hajlásszöge ϕ = α .



Ha α > 90 o , akkor a két sík hajlásszöge ϕ = 180 o α .


Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az e : x = 3 + 2 t , y = 1 4 t , z = 5 t t R és

f : 4 x 3 = y + 1 4 = z 3 egyenesek hajlásszögét!

Megoldás:
Először olvassuk ki az e egyenes irányvektorának koordinátáit.

v e ( 2, 4, 5 )

Az f irányvektorának meghatározásához alakítsunk az egyenes egyenletrendszerén.

f : x 4 3 = y + 1 4 = z 3 1 v f ( 3, 4, 1 )

Határozzuk meg az irányvektorok szögét.

cos α = v e v f | v e | | v f | = 2 . ( 3 ) 4 . 4 + 5 . 1 2 2 + ( 4 ) 2 + 5 2 ( 3 ) 2 + 4 2 + 1 2 = 17 45 26 0.4970 α 119.80 o

Mivel α > 90 o , ezért az egyenesek hajlásszöge ϕ = 180 o α 60.20 o .

2.feladat Határozzuk meg az A ( 2, 3, 1 ) , B ( 5, 4, 3 ) , C ( 2, 2, 6 ) , D ( 1, 3, 2 ) paralelogramma átlóegyeneseinek szögét! (A betűzés a szokásos, azaz óramutató járásával ellentétes körüljárású. Így az A és C egymással szemközti csúcsok.)

Megoldás:
A két egyenes irányvektorainak szögét határozzuk meg először. Az egyik egyenes irányvektora az A C , a másiké pedig a B D vektor is lehet. Adjuk meg ezen vektorok koordinátáit.

A C ( 0, 5, 7 ) , B D ( 6, 7, 1 )

Számoljuk az irányvektorok szögét.

cos α = A C B D | A C | | B D | = 0 . ( 6 ) + ( 5 ) . ( 7 ) + 7 . ( 1 ) 0 2 + ( 5 ) 2 + 7 2 ( 6 ) 2 + ( 7 ) 2 + ( 1 ) 2 = 28 74 86 0.3510 α 69.45 o

Mivel α 90 o , ezért az átlóegyenesek szöge ϕ = α = 69.45 o .

3. felaldat Számítsuk ki a z tengely és az S : 5 x + 2 y z = 12 sík hajlásszögét!

Megoldás:
Mivel most egy egyenes és egy sík szöge a kérdés, az egyenes v irányvektorára és a sík n normálvektorára van szükségünk.

v ( 0, 0, 1 ) , n ( 5, 2, 1 )

Számoljuk ki ezen vektorok szögét.

cos α = v n | v | | n | = 0 . 5 + 0 . 2 + 1 . ( 1 ) 0 2 + 0 2 + 1 0 5 2 + 2 2 + ( 1 ) 2 = 1 1 30 0.1826 α 100,52 o

Most α > 90 o , ezért az egyenes és a sík hajlásszöge ϕ = α 90 o 10.52 o .

4. feladat Határozzuk meg, mekkora szöget zár be az A ( 2, 2, 2 ) , B ( 5, 2, 1 ) , C ( 5, 2, 1 ) , D ( 5, 2, 2 ) tetraéderben az A D oldal egyenese az A B C oldallap síkjával!

Megoldás:
Mint az előző feladatban, most is egy egyenes és egy sík hajlásszöge a kérdés. Szükségünk van tehát az egyenes irányvektorára, és a sík normálvektorára. Irányvektor lehet pl. az A D
vektor, melynek koordinátái a következők:

A D ( 3, 0, 0 )

Ha kisebb számokkal akarunk számolni, akkor vehetjük ennek a harmadát, az is irányvektor lesz.

v ( 1, 0, 0 )

A sík normálvektorát megkaphatjuk két a síkon fekvő vektor, pl. A B ( 3, 0, 3 ) és A C ( 3, 4, 3 ) , vektoriális szorzataként.

A B × A C = | i j k 3 0 3 3 4 3 | = | 0 3 4 3 | i | 3 3 3 3 | j + | 3 0 3 4 | k =

= ( 0 . ( 3 ) ( 3 ) . 4 ) i ( 3 . ( 3 ) ( 3 ) . 3 ) j + ( 3 . 4 0 . 3 ) k = 12 i + 12 k

Mivel a koordináták oszthatók 12-vel, célszerűbb normálvektornak az 1 12 -szeresét venni.

n ( 1, 0, 1 )

Határozzuk meg ezután az irányvektor és a normálvektor szögét.

cos α = v n | v | | n | = 1 . 1 + 0 . 0 + 0 . 1 1 2 + 0 2 + 0 2 1 2 + 0 2 + 1 2 = 1 1 2 = 1 2 α = 45 o

Mivel α 90 o , a keresett szög ϕ = 90 o α = 45 o .

5. feladat Határozzuk meg, mekkora szöget zár be egymással az S 1 : x 7 y = 2 és az S 2 : 4 x 3 y 5 z = 6 sík?

Megoldás:
Olvassuk ki a síkok egyenletéből normálvektoraik koordinátáit.

n 1 ( 1, 7, 0 ) , n 2 ( 4, 3, 5 )

Számítsuk ki a normálvektorok szögét.

cos α = n 1 n 2 | n 1 | | n 2 | = 1 . 4 7 . ( 3 ) + 0 . ( 5 ) 1 2 + ( 7 ) 2 + 0 2 4 2 + ( 3 ) 2 + ( 5 ) 2 = 25 50 50 = 25 50 = 1 2 α = 60 o

Mivel α 90 o , a két sík szöge ϕ = α = 60 o .

6. feladat Számítsuk ki az A ( 1, 2, 1 ) , B ( 4, 2, 0 ) , C ( 5, 4, 1 ) , D ( 3, 1, 5 ) tetraéderben az A B C és A B D oldallapok síkja által bezárt szöget!

Megoldás:
Először a síkok normálvektorait kell meghatároznunk. Mindkét sík esetén a síkon fekvő két vektor vektoriális szorzatát vehetjük. Így az A B C lap síkjának normálvektora pl. A B × A C , a másiknak pedig A B × A D . Állítsuk elő a számoláshoz szükséges vektorok koordinátáit.

A B ( 5, 4, 1 ) , A C ( 6, 2, 2 ) , A D ( 2, 3, 4 )

Számoljuk a vektoriális szorzatokat.

A B × A C = | i j k 5 4 1 6 2 2 | = | 4 1 2 2 | i | 5 1 6 2 | j + | 5 4 6 2 | k =

= ( ( 4 ) . ( 2 ) ( 1 ) . 2 ) i ( 5 . ( 2 ) ( 1 ) . 6 ) j + ( 5 . 2 ( 4 ) . 6 ) k = 10 i + 4 j + 34 k

A B × A C ( 10, 4, 34 ) n 1 ( 5, 2, 17 )

A B × A D = | i j k 5 4 1 2 3 4 | = | 4 1 3 4 | i | 5 1 2 4 | j + | 5 4 2 3 | k =

= ( ( 4 ) . 4 ( 1 ) . ( 3 ) ) i ( 5 . 4 ( 1 ) . ( 2 ) ) j + ( 5 . ( 3 ) ( 4 ) . ( 2 ) ) k = 19 i 18 j 23 k

n 2 = A B × A D ( 19, 18, 23 )

Határozzuk meg ezután a normálvektorok szögét.

cos α = n 1 n 2 | n 1 | | n 2 | = 5 . ( 19 ) + 2 . ( 18 ) + 17 . ( 23 ) 5 2 + 2 2 + 17 2 ( 19 ) 2 + ( 18 ) 2 + ( 23 ) 2 = 522 318 1214 0.8401

Ebből következik α 147.15 o .

Mivel α > 90 o , ezért a két sík hajlásszöge ϕ = 180 o α 32.85 o .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mekkora szöget zár be egymással az
e : x = 1 5 t , y = 2 + 3 t , z = 4 + t t R és az f : x = 3 + 2 t , y = 4 t , z = 5 t R egyenes?
ϕ 23.17 o
ϕ 41.52 o
ϕ 53.76 o
ϕ 85.66 o
2. kérdés: Mekkora az A ( 4, 7, 5 ) , B ( 1, 2, 3 ) , C ( 2, 3, 6 ) , D ( 5, 8, 8 ) paralelogramma kisebb szöge?
ϕ 19.23 o
ϕ 46.78 o
ϕ 61.59 o
ϕ 77.95 o
3. kérdés: Mekkora szöget zár be az e : x = 3 t , y = 2 + 4 t , z = 6 5 t t R egyenes az y és z tengelyek által kifeszített síkkal?
ϕ 8.88 o
ϕ 35.18 o
ϕ 54.82 o
ϕ 81.12 o
4. kérdés: Mekkora szöget zár be az A ( 6, 2, 3 ) , B ( 1, 3, 3 ) , C ( 2, 1, 2 ) , D ( 2, 1, 3 ) tetraéder A D oldalegyenese az A B C lap síkjával?
ϕ 14.72 o
ϕ 35.26 o
ϕ 54.74 o
ϕ 75,28 o
5. kérdés: Mekkora az S 1 : 7 x + y 10 z = 2 és S 2 : 3 x + 4 y 5 z = 20 síkok szöge?
ϕ = 30 o
ϕ = 45 o
ϕ = 60 o
ϕ = 90 o
6. kérdés: Mekkora szöget zár be a negyedik kérdésben szereplő tetraéderben az A B C lap síkja az A B D lap síkjával?
ϕ 14.72 o
ϕ 35.26 o
ϕ 54.74 o
ϕ 75.28 o