1. feladat Számítsuk ki az kétszeres integrált.
Megoldás: A kétszeres integrálok kiszámolását mindig a belső integrál meghatározásával kezdjük. Ez most
.
Ebben az integrálban az integrandus , és a mutatja, hogy az integrandusban az a változó, minden mást konstansnak kell tekinteni.
Keressük tehát azt a kétváltozós függvényt, amelynek szerinti parciális deriváltja . Tudjuk, hogy ilyenből végtelen sok van, amelyek egymástól csak egy, -től nem függő, de az -tól általában függő, -re nézve additív konstansban különböznek. Most azt kapjuk, hogy
.
Innen
.
Ügyelni kell arra, hogy amikor behelyettesítjük a felső és az alsó határt, akkor a változó helyére helyettesítsük be őket, ami most az . Itt a szögletes zárójelben lévő megváltozásba azért nem írtuk be a -t, mert az nem függ -től, a megváltozás kiszámolásakor úgyis kiesne. Így kapjuk, hogy
.
A külső integrálban az -nak ezt a függvényét kell még szerint integrálni a és határok között. Tehát
. |