KURZUS: Matematika II.
MODUL: 2. Többváltozós függvények
| Tanulási cél: A kétváltozós függvények lokális szélsőértékeinek meghatározására használható módszer begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.5.
Elméleti összefoglaló: Csak kétváltozós függvényeknek az értelmezési tartomány belső pontjaiba eső lokális szélsőértékeinek megkeresésével fogunk foglalkozni, és azt is feltételezzük, hogy a szélsőérték szempontjából vizsgált függvények akárhányszor differenciálhatók.
Tekintsünk egy kétváltozós függvényt.
Ennek stacionárius pontja az értelmezési tartomány minden olyan pontja, ahol mindkét parciális derivált nulla, vagyis a stacionárius pontok az
,
gyakran nem lineáris, egyenletrendszer értelmezési tartományba eső megoldásai.
Ha a kétváltozós függvénynek az pontban lokális szélsőértéke van, és a függvény ebben a pontban differenciálható, akkor itt mindkét parciális deriváltja nulla, azaz
.
Tételezzük fel, hogy az függvénynek még a másodrendű parciális deriváltjai is folytonosak egy, az stacionárius pont körüli körlap pontjaiban. Tekintsük a
kifejezést.
Ekkor
ha , és , akkor -ben lokális minimum van,
ha , és , akkor -ben lokális maximum van,
ha , akkor -ben nincs lokális szélsőérték,
ha , akkor a módszerünkel nem tudjuk eldönteni, hogy van-e szélsőérték -ben.
Ezek szerint, ha a szükséges differenciálhatóságokat feltételezzük, és a gyakorlatban ez általában feltételezhető, akkor a szélsőértékek megkeresésére a következő módszer használható.
1) Első lépésként meghatározzuk a stacionárius pontok halmazát, szélsőérték csak ezek közül kerülhet ki.
2) A függvény segítségével kiválasztjuk, hogy a jelöltek közül melyik valóban szélsőérték, és az függvénnyel pedig eldöntjük, hogy melyik szélsőérték lokális minimum, illetve melyik lokális maximum.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Határozzuk meg az függvény lokális szésőértékeit.
Megoldás: Függvényünk értelmezési tartománya az egész sík, . Az is látszik, hogy a függvénynek minden pontban mindkét parciális deriváltja létezik. Ezért lokális szélsőértéke csak ott lehet, ahol mindkét parciális deriváltja egyidejűleg nulla.
Mivel
,
az
,
azaz a
egyenletrendszert kell megoldanunk. Ennek a lineáris egyenletrendszernek egy megoldása van, . Tehát a stacionárius halmaz, mivel az értelmezési tartomány az egész sík, az egyelemű
halmaz.
Megvizsgáljuk, hogy ez a hely valóban lokális szélsőérték helye e a függvénynek. Ehhez a másodrendű parciális deriváltakra lesz szükségünk. Ezek
.
Ezek felhasználásával
.
Mivel , az origó lokális szélsőérték hely. Továbbá, mivel , ez lokális minimum hely. A lokális minimum értéke .
Az alábbi ábra a függvény grafikonját mutatja.
 |
2. feladat Keressük meg az függvény lokális szélsőértékeit.
Megoldás: A függvényünk most is az egész a síkon értelmezve van, és mindenhol mindkét parciális deriváltja létezik. Meghatározzuk a stacionárius halmazt. Először is
.
Így tehát az
egyenletrendszert kell megoldanunk.
Ez egy kétismeretlenes nemlineáris egyenletrendszer. Az ilyenek megoldására használható egyik módszer az következő: ha valamelyik egyenletből az egyik ismeretlen kifejezhető a másikkal, akkor tegyük ezt meg, és a kapott összefüggést helyettesítsük be a másik egyenletbe. Ekkor az egyismeretlenes egyenletté válik, amelyből, szerencsés esetben, az ismeretlen lehetséges értékei kiszámolhatók. Ezt az utat fogjuk most is követni.
Vegyük észre, hogy a második egyenletből, például,
.
Ezt behelyettesítve az első egyenletbe, kapjuk az
egyenletet.
Ennek két megoldása van: és . Ha , akkor a hozzá tartozó , ha pedig , akkor a hozzá tartozó .
Mivel a függvényünk értelmezési tartománya az egész sík, mindkét megoldást meg kell vizsgálnunk, vagyis a stacionárius halmazunk a kételemű
halmaz.
Előállítjuk a függvény képletét.
Elöször is meghatározzuk a másodrendű parciális deriváltakat, (és leellenőrizzük, hogy a vegyesek egyenlőknek adódnak):
,
.
Innen mostmár
.
A függvény segítségével sorban megvizsgáljuk a jelöltjeinket.
Mivel , ez nem szélsőérték hely.
Ezzel szemben
,
ez tehát szélsőérték hely, és mivel
,
ez egy lokális maximum hely.
Végül a lokális maximum értéke
.
A függvény grafikonját az alábbi ábra mutatja.
 |
3. feladat Keressük meg az függvény lokális szésőértékeit.
Megoldás: Egy mindenütt értelmezett, és mindenhol mindkét változója szerint parciálisan deriválható függvénnel van dolgunk, tehát lokális szélsőérték csak a stacionárius pontokban lehet.
Most
.
Meg kell keresnünk tehát a
egyenletrenszer összes megoldását.
Az első egyenletből . Ezt behelyettesítve a második egyenletbe, kapjuk, hogy
.
Ennek két megoldása van: és . Az ezekhez tartózó értékek, a helyettesítési összefüggésből, és .
A stacionárius halmaz tehát a kételemű
halmaz.
Miután
,
,
.
Ezt felhasználva
, itt tehát nincs szélsőérték.
, tehát ez szélsőérték hely.
Mégpedig, mivel , ez lokális maximum hely, aminek értéke .
Az alábbi ábra a függvény grafikonját mutatja.
 |
4. feladat Keressük meg az függvény lokális szélsőértékeit.
Megoldás: A függvényünk értelmezési tartománya az egész sík, kivéve a koordináta tengelyek pontjait, hiszen a nevezőben sem az , sem az nem lehet nulla. Ahol a függvény értelmezve van ott mindkét parciális deriváltja is létezik.
Mivel
,
a
nemlineáris egyenletrendszer -be eső megoldásait keressük.
Az első egyenletből adódik, amit a második egyenletbe beírva a
,
,
egyenletet kapjuk.
Ennek két gyöke van, az és az . Az ezekhez tartozó értékek és . Mindkét megoldás az értelmezési tartományba esik, tehát a stacionárius halmaz
.
Mivel
,
,
.
Mostmár
, ez tehát szélsőérték hely, mégpedig miatt lokális minimum hely, a minimum értéke .
Hasonlóan
, tehát ez is szélsőérték hely, mégpedig miatt ez ia minimum hely, és az itteni minimum értéke is .
A felület az alábbi ábrán látható.
 |
5. feladat Keressük meg az függvény lokális szélsőértékeit.
Megoldás: Az értelmezési tartomány most az egész sík.
.
Megoldjuk a
egyenletrendszert.
Az első egyenlet teljesül, ha , de akkor a második egyenletben kellene, hogy legyen, de ez lehetetlen. Az tehát nem lehet nulla, ezért az első egyenletet eloszthatjuk -el. Az így kapott egyenletből
.
Ezt a második egyenletbe behelyettesítve
adódik. Mivel , itt egyszerűsíthetünk -el, és az
egyenlethez jutunk. Ennek két gyöke van, az és az . Az ezekhez tartozó értékek . A stacionárius halmaz tehát
.
Mivel
,
,
.
Az első stacionárius pontban, mivel
,
és
,
lokális maximum van, amelynek értéke .
Teljesen hasonlóan a másik stacionárius pontban is lokális maximum van, és annak is értéke.
A felület az alábbi ábrán látható.

A felület érdekessége, hogy két maximum helye van, de nincs nyeregpontja. Ez olyan mintha két hegycsúcs lenne egymás mellett, de nem lenne köztük hágó. |
6. feladat Három pozitív szám összege . Mekkora lehet a szorzatuk legnagyobb értéke?
Megoldás: Jelölje a három számot , és . Ekkor
, és az szorzat legnagyobb értékét keressük.
Ha az első összefüggésből kifejezzük mondjuk a -t, akkor
adódik. Ezt beírva a szorzatba az az és az változók függvénye lesz:
.
Ne feledjük, hogy a feltétel szerint és pozitív.
Tehát az a feladatunk, hogy megkeressük az
függvény legnagyobb értékét.
A parciális deriváltakra azt kapjuk, hogy
.
Megkeressük a
egyenletrenszer összes, az értelmezési tartományba eső, megoldását.
Mivel sem az , sem az nem lehet nulla, az első egyenletet eloszthatjuk -al, a másodikat pedig -el. Ekkor az alábbi egyenletrendszert kapjuk.
.
Ha most a második egyenlet kétszereséből kivonjuk az első egyenletet a összefüggést kapjuk, amiből azt kapjuk, hogy . Ezt valamelyik egyenletbe visszaírva adódik.
A stacionárius halmaz tehát egy elemű:
.
Mivel
,
,
.
Mivel , és , a stacionárius pont lokális (és egyben globális )maximum hely. .
A szorzat legnagyobb értéke tehát . Ezt akkor veszi fel, ha mind a három tényező . |
7. feladat Tekintsük a egyenletű síkot és határozzuk meg a síknak az origóhoz legközelebb lévő pontját.
Megoldás: A síkunk a függvény garfikonja. Az erre eső térbeli pontok koordinátái
.
Látjuk, hogy a koordináták csak két változótól függnek.
Egy ilyen pontnak az origótól való távolságát a kétváltozós
függvény adja meg. Azt az pontot keressük, ahol ez a függvény a legkisebb értékét felveszi.
A gyökfüggvény szigorúan monoton növő függvény. Ezért a gyökös kifejezés ott veszi fel a legkisebb értékét, ahol a gyök alatti kifejezés. Emiatt elég azt megkeresnünk, hogy az
függvény hol veszi fel a legkisebb értékét. Így elkerüljük, hogy a deriválások során gyökös kifejezéseket kelljen deriválni.
Mostmár
,
.
A kétismeretlenes lineáris
egyenletrendszer egyetlen megoldása: .
Tehát
.
Most
,
,
így
.
Mostmár és miatt a stacionárius pont lokális és globális minimum hely. Mivel , a sík origóhoz legközelebbi pontja a
koordinátájú pont.
|