KURZUS: Matematika II.
MODUL: 1. Vektorok
1.1. Vektor fogalma, összeadása, kivonása, számmal szorzása
| Tanulási cél: A térbeli vektor fogalmának, s az egyszerű vektorműveleteknek a megismerése.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 1.1. és 2. bevezetés
Elméleti összefoglaló: Vektornak nevezzük az irányított szakaszt. Egy vektor adott, ha ismert nagyság (hossza), állása (milyen egyenessel párhuzamos), irányítása (az egyenesen merre mutat). Jelölés: vagy
Két vektor egyenlő, ha nagyságuk, állásuk, irányításuk megegyezik. Ilyenkor van olyan eltolás, mely egyiket a másikba viszi.
Az vektor hosszát, abszolút értéknek is nevezzük, s -val jelöljük.
Vektorok összeadása: Toljuk el a vektort úgy, hogy kezdőpontja az végpontjába essen. Ekkor az kezdőpontjából a végpontjába mutató vektort nevezzük a két vektor összegének és -vel jelöljük.
Vektorok kivonása: Toljuk a két vektort közös kezdőpontba. Ekkor az végpontjából végpontjába mutató vektort nevezzük a és vektorok különbségének, és -val jelöljük.
Számmal szorzás: Az vektor és a szám szorzata olyan vektor, melynek hossza , állása azonos állásával, irányítása pedig ha akkor azonos irányításával, ha akkor pedig ellentétes. Jelölés: Ha akkor .
A vektorokat a térben is koordinátákkal jellemezzük, amint ez középiskolában már a síkon szerepelt, csak nem kettő, hanem három koordináta egységvektor () van, így nem számpárok, hanem számhármasok jellemzik a vektorokat.
Ha vagy rövidebben illetve rövidebben , akkor immáron csak a rövidebb jelöléssel
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Az paralelogramma csúcsainak helyvektorai . Fejezzük ki a vektort segítségével!
Megoldás: Tekintsük az alábbi ábrát.

A pontok helyvektorai, az origóból a pontokba mutató vektorok. Ha egy vektort más vektorokból kell előállítanunk, akkor sok a esetben úgy járhatunk el, hogy az előállítani kívánt vektort, egy irányított töröttvonallal helyettesítjük, s az előllátani kívánt vektor egyenlő a töröttvonalban szereplő vektorok összegével. Jelen esetben
.
Azonban , hiszen egyforma hosszú, párhuzamos, egyirányú vektorokról van szó. Ha ismerjük két pont helyvektorát, akkor a két pont közti vektor is kifejezhető kivonással. Most
Ezt felhasználva kapjuk
.
Megjegyzés: Teljesen hasonló módon közül bármelyik kifejezhető a másik három segítségével. Az eredmények
|
2. feladat Nevezzük az paralelogramma átlóvektorát -nek, átlóvektorát pedig -nek. Fejezzük ki és segítségével, az és oldalvektorokat!
Megoldás: Tekintsük a következő ábrát.

A csúcsból felmértük a vektort, melynek végpontja legyen . Mivel négyszög is paralelogramma, párhuzamos -vel, s ebből következik, hogy egy egyenesen vannak, valamint .
Azonban az ábráról nyilvánvaló, hogy is igaz.
Ebből következik , majd .
Még a van hátra. Mivel a paralelogramma miatt, ezért .
Helyettesítsünk be itt helyére, és rendezzük vektorra a kapott egyenletet.
|
3. feladat Legyenek az szakasz végpontjainak helyvektorai és . Fejezzük ki a szakasz felezőpontjába és harmadolópontjaiba mutató helyvektorokat és segítségével! Ha mik lesznek a felezőpont és a harmadolópontok koordinátái?
Megoldás: Tekintsük az alábbi ábrát. Ezen a felezőpont , a harmadolópontok , helyvektoraik pedig .

|
Az vektor előállításához helyettesítsük őt az töröttvonallal. Ebből
.
Azonban mivel felezéspont,
.
Ezt behelyettesítve
.
Az -et megadó vektoregyenletben csak számmal szorzás és összedás szerepel. Az ilyen esetekben ugyanilyen egyenletek vannak a pontok megfelelő koordinátáira is, azaz
.
Ebből a konkrét adatokkal .
Járjunk el hasonlóképpen a harmadolópontok esetén is.
Ugyanilyen egyenlet igaz a koordinátákra is.
A megadott adatokkal és .
Megjegyzés: A feladatban levezettünk egy fontos eredményt, amit a későbbiekben még többször fogunk használni. Eszerint egy szakasz felezőpontjának koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként kapjuk. A harmadolópontokra kapott erdményünk pedig általánosítható tetszőleges arányban osztó pontra.

Eszerint az szakaszt arányban osztó pont, , koordinátáira következő igaz.
|
4. feladat Egy szabályos hatszög középpontja , két szomszédos csúcsa . Határozzuk meg a többi négy csúcs koordinátáit!
Megoldás Használjuk a következő ábra jelöléseit.

Mivel felezi az és szakaszokat, ezért
, valamint
.
Fejezzük ki ezekből az egyenletekből a két ismeretlen csúcs koordinátáit. Mivel az egyenletek teljesen hasonlóak, elég csak az első koordinátkra végrehajtani ezt, a többi koordináta ugyanúgy számolható.
Behelyettesítve a konkrét adatokat .
|
Sanjos a csúcsok esetén nem tudunk így eljárni, mert ők egymással szemközti csúcsok. Ha már az egyik koordinátáit ismerjük, akkor tudjuk majd a másikat meghatározni a fenti módon. Állítsuk elő a csúcs helyvektorát most összegként, mint az előző feladatokban, azaz a szakaszt helyettesítsük töröttvonallal.
A kapott vektoregyenlethez teljesen hasonló egyenletek igazak a megfelelő pontok koordinátáira is, azaz csak az első egyenletet kiírva
Ebből a konkrét adatokkal . Ezután már kihasználhatjuk, hogy felezi -et.
|
5. feladat Igazoljuk, hogy az előző feladat adataiból meghatározott hatszög valóban szabályos lesz.
Megoldás: Ehhez azt kell belátni, hogy a három megadott pont szabályos háromszöget alkot. Ha ez nem teljesül, akkor a fenti módon előállított hatszögnek szemközti oldalai párhuzamosak lesznek, de nem lesz minden oldala egyenlő, s így szögei sem. Elég megmutatnunk, az adatokkal meghatározott háromszög minden oldala egyenlő. Számoljuk ki tehát az oldalak hosszát. Ezt a megfelelő vektorok abszolút értékeként kapjuk, ezért írjuk fe a három oldalvektort.
azaz
Két pont közötti vektor koordinátáit úgy kapjuk, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont megfelelő koordinátáit. Így a másik két vektor . Mivel vektor abszolút értéke a koordináták négyzetösszegéből vont gyök, ezért
,
.
Mivel egyenlőek, a háromszög szabályos, s így a keletkező hatszög is szabályos.
|
6. feladat Dönsük el, egy egyenesen van-e az alábbi három pont!
Adjunk meg olyan pontot, melynek első koordinátája 1, és illeszkedik az pontok által meghatározott egyenesre!
Megoldás: Ha a három pont egy egyenesen van, akkor az és vektoroknak párhuzamosnak kell lenni. Ha két vektor párhuzamos, akkor az egyik a másiknak számszorosa, s így a vektorok megfelelő koordinátái ugyanannyiszorosak kell, hogy legyenek. Ennek vizsgálatához írjuk fel a két vektor koordinátáit.
Mint látható, a két vektor nem számszorosa egymásnak, hiszen az első koordináta 1.5, a második 2, a harmadik pedig 2.5-szerese a második vektorban, mint az elsőben, a párhuzamossághoz pedig mindhárom helyen ugyanazon szorzónak kellene állni. A három pont tehát nincs egy egyenesen.
Nézzük a feladat második felét. Legyen a keresett pont . Mivel az első koordináta 1, az első koordinátája -1. Ez az első koordinátájának -0.5-szerese, tehát a többi koordináta is ennyiszeres kell, hogy legyen, azaz . Ennek koordinátáit kell az pont koordinátáihoz adnunk, hogy a keresett pontot megkapjuk.
|
7. feladat Határozzuk meg a vektorral ellentétes irányú egységvektor koordinátáit!
Megoldás: Jelöljük a keresett vektort -vel. Határozzuk meg először a vektor hosszát.
Mivel egy hosszúságú vektorból vele párhuzamos, ellentétes irányú, 1 hosszúságú vektort kell előállítanunk, ezért a vektor szeresét kell vennünk, tehát a koordinátákat is ennyivel kell szoroznunk.
|
8. feladat Mik a pont koordinátái, ha az origótól négy egységnyire helyezkedik el, az origó és a pont között, az általuk meghatározott egyenesen?
Megoldás: A keresett pontba az origóból az vektorral megegyező irányú, 4 egység hosszúságú vektor mutat. Ezt úgy állíthatjuk elő, hogy először vesszük az irányú egységvektort, majd ezt megszorozzuk 4-gyel. Az előző feladatban láttuk, hogy egy vektorból akkor kapunk egységvektort, ha megszorozzuk hosszának reciprokával. Ebből kapjuk
.
Mivel egy pont koordinátái egyenlők a pontba mutató helyvektor koordinátáival, ezért az vektor koordinátái, egyben koordinátái is. Innen
.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Ha az szakasz végpontjainak helyvektorai , akkor hogyan fejezhető ki az -hoz közelebbi negyedelőpont helyvektora segítségével? |
2. kérdés: Mik a pont koordinátái, ha felezi az szakaszt? |
3. kérdés: Egy paralelogramma három csúcsa . Mik a csúcs koordinátái, ha egymással szemközt helyezkednek el? |
4. kérdés: Mi a pont első és harmadik koordinátája, ha a második koordináta 7, s a három pont egy egyenesre illeszkedik? |
5. kérdés: Mik a vektor irányába mutató egységvektor koordinátái? |
6. kérdés: Mik a pont koordinátái, ha az origótól 7 egségre van az origó és a pont között, az általuk meghatározott egyenesen? |