KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.3 Határérték, folytonosság

Tanulási cél: Begyakorolni a legegyszerűbb típusú határértékek meghatározását kétváltozós függvények esetén.

Tananyag:
Tankönyv: Gápár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.2.

Elméleti összefoglaló: A kétváltozós függvények adott pontbeli határértékének definícióját többféle módon meg lehet fogalmazni. Minden definíció azt fogalmazza meg precízen, hogy egy P pontban akkor az A szám a határérték, ha a függvény argumentumával minél közelebb vagyunk a P ponthoz, akkor a függvényérték annál közelebb lesznek az A számhoz.

A kétváltozós függvények határértékének kiszámolását az teszi nehézzé, hogy a síkon nagyon sok irányból, nagyon sok módon lehet közeledni egy adott ponthoz. Kettőnél több válttozó esetén ezek a nehézségek persze csak fokozódnak.

Éppen ezért az alábbi feladatokkal csak annyi a célunk, hogy a határérték intuitív fogalmát illusztráljuk.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Számítsuk ki az alábbi határértéket:

lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( 3 x y 2 + x y 2 ) .

Megoldás: A kétváltozós függvényünk három tagú összeg. Összeg határértékét tagonként lehet venni (legalábbis ha a tagok között nem szerepelnek különböző előjelű végtelenek). Ezért írhatjuk, hogy

lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( 3 x y 2 + x y 2 ) = lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( 3 x y 2 ) + lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( x y ) lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( 2 ) =

= 3 . lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( x y 2 ) + lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( x y ) lim ( x , y ) ( 2,1 ) ( 2 ) =

= 3 . 2 + 2 2 = 6 ,

Hiszen, ha ( x , y ) ( 2,1 ) , akkor x 2 és y 1 .

2. feladat Számítsuk ki a lim ( x , y ) ( 1,0 ) x y x y + x határértéket.

Megoldás: Tört határértéke, a határozatlan alakokat kivéve, a számláló határértéke osztva a nevező határértékével. Ezért

lim ( x , y ) ( 1,0 ) x y x y + x = lim ( x , y ) ( 1,0 ) ( x y ) lim ( x , y ) ( 1,0 ) ( x y + x ) = 1 1 = 1 .

3. feladat Számítsuk ki a lim ( x , y ) ( 1,2 ) x 2 + y ( x y ) 2 + 2 határértéket.

Megoldás: Ha a gyök alatt álló kifejezés határértéke az A 0 szám, akkor az eredeti határérték, a gyökfüggvény folytonossága miatt, nyilván A .

Mármost

lim ( x , y ) ( 1,2 ) ( x 2 + y ( x y ) 2 + 2 ) = 1 2 + 2 ( 1 2 ) 2 + 2 = 5 1 = 4 ,

ezért

lim ( x , y ) ( 1,2 ) x 2 + y ( x y ) 2 + 2 = 4 = 2 .

4. feladat Kiszámítandó a lim ( x , y ) ( 4, 2 ) x . y 3 + 2 x 3 határérték.

Megoldás: Szorzat határértéke, ha a tényezők között nem szerepel egyidejűleg a nulla és valamelyik végtelen is, a tényezők határértékének szorzata. Emiatt, minthogy

lim ( x , y ) ( 4, 2 ) y 3 + 2 x 3 = lim ( x , y ) ( 4, 2 ) ( y 3 + 2 x ) 3 = 8 + 8 3 = 0 ,

az eredeti limeszre

lim ( x , y ) ( 4, 2 ) x . y 3 + 2 x 3 = 4 . 0 = 0 .

5. feladat Számítsuk ki a lim ( x , y ) ( 0,0 ) x + 1 x 2 + 2 y 2 határértéket.

Megoldás: A törtünk számlálójának a határértéke a szóbanforgó helyen persze 1 . A nevező határértéke ugyan nulla, de mivel x 2 + 2 y 2 > 0 minden ( x , y ) pontra, a nevező a pozitív számokon keresztül tart a nullához. Ha egy egyhez tartó mennyiséget egy nullához tartó, de pozitív mennyiséggel osztunk, akkor egy plusz végtelenbe tartó mennyiséget kapunk, azaz

lim ( x , y ) ( 0,0 ) x + 1 x 2 + 2 y 2 = .

6. feladat Számítsuk ki a lim ( x , y ) ( 1,1 ) x y y 2 x 2 határértéket.

Megoldás: Ez a határérték 0 0 típusú. Észrevehetjük azonban, hogy a nevező szorzatra bontható, hiszen y 2 x 2 = ( y x ) ( y + x ) . Ezt felhasználva

lim ( x , y ) ( 1,1 ) x y y 2 x 2 = lim ( x , y ) ( 1,1 ) x y ( y x ) ( y + x ) =

= lim ( x , y ) ( 1,1 ) ( y x ) ( y x ) ( y + x ) = lim ( x , y ) ( 1,1 ) 1 y + x = 1 2 .

Ellenőrző kérdések

1. kérdés: lim ( x , y ) ( 1,1 ) ( 3 x 4 y + 2 ) =
1 .
1 .
0 .
2 .
2. kérdés: lim ( x , y ) ( 2,1 ) e x 2 2 y =
e 2 .
1 .
e 4 2 .
1 e .
3. kérdés: lim ( x , y ) ( 1,0 ) ln ( 1 + x y ) =
1 .
e .
0 .
.
4. kérdés: lim ( x , y ) ( 3,2 ) 4 x 2 9 y 2 2 x 3 y =
0 .
1 .
12 .
1 12 .
5. kérdés: lim ( x , y ) ( 0,0 ) cos ( x 1 + x y ) =
1 .
0 .
1 .
1 2 .