KURZUS: Matematika II.

MODUL: 1. Vektorok

1.3. Vektoriális szorzat

Tanulási cél: A vektoriális szorzat fogalmának, tulajdonságainak, kiszámolási módjának megismerése, s alkalmazása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények
Fejezet: 2.3.

Elméleti összefoglaló:
Az a és b vektorok vektoriális szorzatának nevezzük azt az a × b -vel jelölt vektort, melyre az alábbiak teljesülnek.

1. | a × b | = | a | | b | sin ϕ , ahol ϕ a két vektor által bezárt szög

2. a × b merőleges az a vektorra és a b vektorra is

3. a , b és a × b vektorok ezen sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak

Ha a ( a 1 , a 2 , a 3 ) és b ( b 1 , b 2 , b 3 ) , akkor

a × b = | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = | a 2 a 3 b 2 b 3 | i | a 1 a 3 b 1 b 3 | j + | a 1 a 2 b 1 b 2 | k =

= ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) i ( a 1 b 3 a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) k

A vektoriális szorzás nem kommutatív művelet, b × a = ( a × b ) .

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor 0 , ha a két vektor párhuzamos egymással.

| a × b | megadja a két vektor által kifeszített paralelogramma területének számértékét.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Mivel egyenlő a × b , ha a ( 3, 1, 4 ) és b ( 5, 2, 6 ) ?

Megoldás:

a × b = | i j k 3 1 4 5 2 6 | = | 1 4 2 6 | i | 3 4 5 6 | j + | 3 1 5 2 | k =

= ( ( 1 ) . 6 4 . 2 ) i ( 3 . 6 4 . ( 5 ) ) j + ( 3 . 2 ( 1 ) . ( 5 ) ) k = 14 i 38 j + k

azaz a × b ( 14, 38, 1 ) koordinátákkal rendelkezik.

2. feladat Egy téglatest két élvektora a ( 4, 3, 1 ) és b ( 0, 2, 6 ) . Határozzuk meg a harmadik élvektort ( c ) , ha annak hossza 65 egység!

Megoldás:
Mivel a keresett c vektor a -ra és b -re is merőleges, ezért párhuzamos a × b -vel, azaz valamilyen számszorosa a × b -nek.

a × b = | i j k 4 3 1 0 2 6 | = | 3 1 2 6 | i | 4 1 0 6 | j + | 4 3 0 2 | k =

= ( ( 3 ) . 6 1 . 2 ) i ( 4 . 6 1 . 0 ) j + ( 4 . 2 ( 3 ) . 0 ) k = 20 i 24 j + 8 k

a × b ( 20, 24, 8 )

Ahhoz, hogy megtudjuk, a c vektor hányszorosa az a × b -nek, határozzuk meg | a × b | értékét.

| a × b | = ( 20 ) 2 + ( 24 ) 2 + 8 2 = 1040 = 16 . 65 = 4 65

Mivel a × b négyszer olyan hosszú, mint az általunk keresett vektor, ezért az 1 4 -szerese lesz a feladat egy megoldása.

c 1 ( 5, 6, 2 )

Ha azonban belegondolunk, akkor láthatjuk, hogy nem csak ez a megoldás létezik, hanem ennek a vektornak a -1-szerese is megoldás. Ha úgy képzeljük el, hogy a és b vízszintesek, akkor a harmadik élvektor mutathat függőlegesen felfelé, vagy függőlegesen lefelé is. Ez látható a következő ábrán.



Két megoldás létezik tehát, s a második megoldás

c 2 ( 5, 6, 2 )

3. feladat Bizonyítsuk be, hogy az A ( 2, 3, 4 ) , B ( 4, 1, 2 ) , C ( 1, 4, 5 ) , D ( 1, 0, 7 ) csúcspontú négyszög paralelogramma, és határozzuk meg a területét!

Megoldás:
Egy négyszög akkor paralelogramma, ha szemben fekő oldalai párhuzamosak. Ez teljesül, ha két szemben fekvő, azonos irányítású oldalvektora megegyezik. Elég tehát azt igazolnunk, hogy A B = D C .

A B ( 2, 4, 2 ) és D C ( 2, 4, 2 ) , tehát valóban paralelogramma.

A területet a két kifeszítő vektor vektoriális szorzatának abszolút értékeként kaphatjuk meg, azaz

T = | A B × A D | .

A D ( 3, 3, 3 )

A B × A D = | i j k 2 4 2 3 3 3 | = | 4 2 3 3 | i | 2 2 3 3 | j + | 2 4 3 3 | k =

= ( 4 . 3 ( 2 ) . 3 ) i ( 2 . 3 ( 2 ) . ( 3 ) ) j + ( 2 . 3 4 . ( 3 ) ) k = 18 i + 18 k

A B ( 18, 0, 18 )

T = 18 2 + 0 2 + 18 2 = 648 = 18 2

4. feladat Ha az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe 6 egység, akkor hány egység a területe a c = 4 a b és d = a + 5 b vektorok által kifeszített paralelogrammának?

Megoldás:
Induljunk megint abból, hogy egy paralelogramma területe egyenlő a kifeszítő vektorok vektoriális szorzatának abszolút értékével.

T = | c × d |

Helyettesítsünk c és d helyére.

T = | ( 4 a b ) × ( a + 5 b ) |

Bontsuk fel a zárójeleket. A számok körében, ha összeget vagy különbséget egy másik összeggel vagy különbséggel szorzunk, akkor minden tagot minden taggal meg kell szorozni. Ugyanez igaz a vektoriális szorzásnál is. Ügyeljünk azonban arra, hogy a vektoriális szorzásnál számít a sorrend; nem mindegy, melyik az első, s melyik a második tényező.

T = | 4 ( a × a ) + 20 ( a × b ) ( b × a ) 5 ( b × b ) |

Ha két vektor párhuzamos, akkor a vektoriális szorzatuk 0 . Emiatt ha egy vektort önmagával szorozzuk vektoriálisan, az eredmény 0 lesz. Jelen esetben

a × a = 0 , b × b = 0 .

Ezt felhasználva T = | 20 ( a × b ) ( b × a ) | .

Vegyük ezután azt is figyelembe, hogy a tényezők felcserélésére a vektoriális szorzat előjelet vált, azaz b × a = ( a × b ) .

T = | 20 ( a × b ) ( ( b × a ) ) | = | 20 ( a × b ) + ( a × b ) | = | 21 ( a × b ) | = 21 | a × b |

Adott, hogy az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe 6 egység, melyet jelöljünk t -vel. Mivel t = | a × b | , ezért

T = 21 t = 21 . 6 = 126 egység.

5. feladat Számítsuk ki az A ( 3, 2, 5 ) , B ( 1, 0, 4 ) , C ( 2, 6, 3 ) csúcspontokkal megadott háromszög területét!

Megoldás:
Ha a háromszöget tükrözzük a B C oldal felezéspontjára, akkor az eredeti és a tükörkép együttesen egy paralelogrammát alkot, melyet az A B és A C vektorok feszítenek ki. Ezen paralelogramma területe éppen kétszerese a háromszög területének. Mivel a paralelogramma területe a kifeszítő vektorok vektoriális szorzatának abszolút értéke, ezért a háromszög területe

T = 1 2 | A B × A C | .

A B ( 4, 2, 1 ) , A C ( 5, 4, 2 )

A B × A C = | i j k 4 2 1 5 4 2 | = | 2 1 4 2 | i | 4 1 5 2 | j + | 4 2 5 4 | k =

= ( ( 2 ) . ( 2 ) ( 1 ) . 4 ) i ( 4 . ( 2 ) ( 1 ) . 5 ) j + ( 4 . 4 ( 2 ) . 5 ) k = 8 i + 3 j + 26 k

A B × A C ( 8, 3, 26 )

| A B × A C | = 8 2 + 3 2 + 26 2 = 749

T = 749 2 13.68

Megjegyzés:
A háromszöget bármelyik oldalának felezéspontjára tükrözve paralelogrammát kapunk. A paralelogramma területe mindegyik esetben ugyanaz, de másik két oldalvektor feszíti ki. Ez látható a következő ábrán. A csúcsok oldalfelezési pontokra vonatkozó tükörképét A " , B " , C " -vel jelöltük.



Ebből következik, mindegy melyik két oldalvektor esetén vesszük a vektoriális szorzat abszolút értékének a felét, mindegyik esetben a háromszög területét kapjuk.

6. feladat Határozzuk meg az A ( 3, 3, 4 ) , B ( 1, 2, 4 ) , C ( 1, 6, 1 ) csúcspontú háromszög A csúcsához tartozó magasságának a hosszát!

Megoldás:
Egy ilyen feladatot már megoldottunk az előző leckében. Akkor az egyik oldalvektort felbontottuk egy másik oldalvektorral párhuzamos és rá merőleges összetvőre, s a merőleges összetevő hossza adta meg a magasságot. Most járjunk el más módon. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen.

Egyrészt  középiskolában megismert alakban T = 1 2 a m a .

Másrészt az előző feladatban megismert módon T = 1 2 | A B × A C | .

A két kifejezés egyenlő, s használjuk még ki, hogy az a oldal hossza, azonos a B C vektor abszolút értékével.

1 2 | B C | m a = 1 2 | A B × A C |

Fejezzük ki a kapott egyenletből m a -t.

m a = | A B × A C | | B C |

A B ( 4, 5, 0 ) , A C ( 4, 9, 3 ) , B C ( 0, 4, 3 )

A B × A C = | i j k 4 5 0 4 9 3 | = | 5 0 9 3 | i | 4 0 4 3 | j + | 4 5 4 9 | k =

= ( 5 . ( 3 ) 0 . 9 ) i ( ( 4 ) . ( 3 ) 0 . ( 4 ) ) j + ( ( 4 ) . 9 5 . ( 4 ) ) k = 15 i 12 j 16 k

A B × A C ( 15, 12, 16 )

| A B × A C | = ( 15 ) 2 + ( 12 ) 2 + ( 16 ) 2 = 625 = 25

| B C | = 0 2 + 4 2 + ( 3 ) 2 = 25 = 5

m a = 25 5 = 5

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő a × b , ha a ( 4, 3, 1 ) és b ( 5, 3, 2 ) ?
( 3, 3, 27 )
( 3, 13, 3 )
( 9, 3, 3 )
( 3, 13, 27 )
2. kérdés: Ha az A B C D paralelogramma A B oldala 3 egység, akkor mivel egyenlő | A B × C D | ?
0
3
6
9
3. kérdés: Mekkora az a ( 2, 3, 4 ) és b ( 1, 1, 0 ) vektorok által kifeszített paralelogramma területe?
3
17
33
48
4. kérdés: Ha az a , b , c egymásra páronként merőleges egységvektorok ilyen sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak, akkor mivel egyenlő b × a ?
a
a
b
b
c
c
5. kérdés: Mekkora az A ( 0, 3, 2 ) , B ( 1, 1, 5 ) , C ( 4, 2, 0 ) csúcspontú háromszög területe?
451 2
451 2
902
2 902
6. kérdés: Mekkora az A ( 2, 1, 1 ) , B ( 3, 1, 0 ) , C ( 3, 2, 4 ) csúcspontú háromszög C csúcshoz tartozó magasságának hossza?
1
3
3
2 2