Elméleti összefoglaló: A térben egy síkot meghatároz egy pontja és egy nem vektor , mely merőleges a síkra, amit a sík normálvektorának nevezünk. Ezen adatok ismeretében a sík a következő egyenlettel jellemezhető:
Sok esetben más alakra rendezzük ezt az egyenletet.
Konkrét adatok esetén az kifejezés értéke kiszámolható, s így az egyenlet jobb oldalán csak egyetlen szám áll.
Ha egy pont illeszkedik egy síkra, akkor koordinátáit behelyettesítve a sík egyenletébe, igaz az egyenlőség, ha nincs a síkon, behelyettesítve az egyenlőség nem áll fenn.
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Írjuk fel az pontra illeszkedő és az
egyenesre merőleges sík egyenletét!
Megoldás: Az egyenlet felírásához ismernünk kell a sík egy pontját, s egy a síkra merőleges nem vektort. Ismert pont van, hiszen a sík illeszkedik az pontra, tehát . Mivel a sík merőleges az egyenesre, így merőleges az egyenes minden irányvektorára is. Ha tehát egy vektor az egyenesnek irányvektora, akkor az a síknak egyben normálvektora is, . Olvassuk ki az egyenes egyenletrendszeréből egy irányvektorának koordinátáit.
Helyettesítsünk a sík egyenletébe.
Ugyanez átrendezve.
2.feladat Adjunk meg két olyan pontot, mely illeszkedik az
egyenletű síkra, s adjuk meg a sík egy normálvektorának koordinátáit!
Megoldás: Ha síkon kell pontot megadnunk, akkor általában a pont három koordinátája közül kettőt szabadon megválaszthatunk, azokat a sík egyenletébe behelyettesítjük, s a harmadik koordinátát az így kapott egyenletből kiszámoljuk. A könnyebb számolás végett sokszor célszerű 0-nak választani a koordinátákat. Jelen esetben például ha az és koordinátát 0-nak választjuk akkor a egyenletet kapjuk, amiből .
Tehát az pont a síkon van.
Nem muszáj azonban a koordinátákat 0-nak választani, és nem csak az első két koordinátát választhatjuk meg. Ha pl. az és választással élünk, akkor a egyenlethez jutunk, melyből .
A síkra illeszkedő másik pont tehát pl. .
Egy normálvektor meghatározásához egyszerűen ki kell olvasnunk a sík egyenletéből együtthatóit. Most tehát a sík egy normálvektora:
.
3. feladat Döntsük el, illeszkedik-e az és pont az
egyenletű síkra, s párhuzamos-e ezzel a síkkal az
egyenletű egyenes!
Megoldás: Az illeszkedés eldöntéséhez be kell helyettesítenünk a pontok koordinátáit a sík egyenletébe. Az pont esetén: Az pont tehát nem illeszkedik a síkra. A pont esetén: A pont tehát rajta van a síkon.
A párhuzamosság eldöntéséhez azt gondoljuk végig, hogy ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenes egy irányvektora , és a sík egy normálvektora , milyen szöget zár be egymással. Mivel a normálvektor merőleges a síkra, merőleges a sík bármely egyenesére is, ebből következően bármely a síkkal párhuzamos egyenesre is, valamint azok irányvektoraira is. Tehát ekkor az és vektorok merőlegesek. Az állítás megfordítva is igaz, ha egy egyenes irányvektora merőleges egy sík normálvektorára, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Azaz el kell döntenünk merőleges-e és . Olvassuk ki először koordinátáit a sík egyenletéből.
A koordinátáinak kiolvasásához alakítsuk át először az egyenes egyenletrendszerét.
Irányvektor lehet tehát a következő vektor: . A törtek miatt azonban célszerűbb a kétszeresét venni, így
.
Két vektor akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk 0, ezért számoljuk ki értékét.
A sík és az egyenes tehát nem párhuzamos.
4. feladat Adjuk meg az pontra illeszkedő és az síkkal párhuzamos sík egyenletét!
Megoldás: Az egyenlet felírásához szükséges pont adott, . Az sík normálvektorának pedig párhuzamosnak kell lennie az sík normálvektorával, hisz ha a két sík párhuzamos, akkor a rájuk merőleges vektorok is párhuzamosak. Eszerint azonban egyszerűen azt is mondhatjuk, hogy az vektor egyben az síknak is normálvektora, azaz . Olvassuk ki az sík normálvektorának koordinátáit az egyenletből. Vigyázzunk azonban, mert az egyenletben nem azonos oldalon szerepel. Célszerű ezért először rendezni.
Most a normálvektor koordinátái.
Írjuk fel a keresett sík egyenletét.
Átrendezve
illetve .
5. feladat Írjuk fel az háromszög síkjának egyenletét!
Megoldás: A keresett síknak most három pontja is ismert, legyen közülük . Mivel a sík egy normálvektora merőleges minden olyan vektorra, amely a síkban fekszik, ezért merőleges az és vektorra is. A probléma innentől már ismerős az előző leckéből. Két vektorból elő kell állítani egy mindkettőjükre merőleges vektort, s ezt vektoriális szorzással tehetjük meg. Elsőként azonban határozzuk meg az és vektorok koordinátáit.
Határozzuk meg a vektoriális szorzatukat.
Ez a vektor már normálvektora a keresett síknak, de nem kell feltétlenül ilyen nagy számokkal dolgoznunk. A normálvektor esetében, akárcsak az irányvektornál, nem számít a vektor hossza, csak az állása. Mivel most mindegyik koordináta páros, vegyük inkább ennek a vektornak a felét, ez is normálvektor lesz.
Ezután be kell helyettesítenünk a sík egyenletébe.
vagy
Majd összevonás után .
Megjegyzés: A megoldás során előfordulhatott volna az eset. Ekkor az és vektorok párhuzamosak, azaz a három pont egy egyenesre illeszkedik, így nem határoznak meg egyértelműen síkot.
6. feladat Írjuk fel az és az egyenes síkjának egyenletét!
Megoldás: Az adott pont és egyenes valóban meghatároz egy síkot, mert ha az adott pont koordinátáit behelyettesítjük az egyenes egyenletrendszerébe, akkor látható, hogy a pont nem illeszkedik az egyenesre. Ha a pont az egyenesen lenne, akkor a sík állása a térben nem volna egyértelmű, az egyenes, mint tengely körül el lehetne forgatni. A síkról ismerünk pontot, így . A normálvektor előállítása azonban most bonyolultabb. Használjuk a következő jelölésket: a keresett sík normálvektora , az adott egyenes irányvektora pedig . Mivel az egyenes illeszkedik a síkra, ezért és merőlegesek. Ha találunk még egy vektort, ami merőleges a normálvektorra, akkor ugyanúgy tudunk eljárni, mint az előző feladatban. Vegyük az adott egyenes egy tetszőleges pontját. Az egyenletrendszerből látható, hogy pl. a pont illeszkedik az egyenesre. Ha tekintjük a -t, akkor az merőleges a normálvektorra, hiszen a a síkon fekszik. Van tehát két olyan vektorunk, amely merőleges a normálvektorra, így ezek vektoriális szorzatakénk kaphatunk egy normálvektort.
Mivel minden koordináta páros, vegyük a felét.
Behelyettesítve a sík egyenletébe.
A rendezést már nem részletezzük.
(Ha nem szeretjük a sok negatív számot, akkor vehetjük az egyenlet -1-szeresét.)
7. feladat Íruk fel az pontra illeszkedő,
egyenessel párhuzamos és az
síkra merőleges sík egyenletét!
Megoldás: Az egyenlet felírásához szükséges pont most is adott, . Az sík normálvektorát pedig a megadott egyenes irányvektorából, és az ismert sík normálvektorából állíthatjuk elő. Mivel az egyenes párhuzamos az síkkal, ezért merőleges -re, s mert és merőlegesek, ezért merőleges -re is. Az immár szokásosnak mondható feladatunk van, két vektorból elő kell állítanunk egy mindkettőre merőleges vektort, s ehhez a vektorok vektoriális szorzatát vesszük. Először azonban olvassuk ki az irányvektor koordinátáit az egyenes egyenletrendszeréből.
A sík normálvektorának kiolvasásához rendezzük először az egyenletét.
Vegyük a két vektor vektoriális szorzatát.
Tehát a keresett sík normálvektora
Már csak be kell helyettesítenünk és koordinátáit a sík egyenletébe.
illetve
Megjegyzés: Az előző leckében és ebben is előfordult több olyan feladat, melyben egy alakzatot (egyenes vagy sík) kellett megadni annak ismeretében, hogy mely pontra illeszkedik, s mely más alakzattal vagy alakzatokkal párhuzamos illetve merőleges. Az illeszkedéssel nem foglalkozunk most, ez a feladat könnyebb része. Azonban minden ilyen esetben meg kell határozni egy vektort, mely a keresett egyenes vagy sík térbeli állását jellemzi. A megadott alakzat vagy alakzatok állása a térben úgyszintén egy vektorral jellemezhető, ha egyenesről van szó, akkor az irányvektorral, ha síkról, akkor a normálvektorral. Mindig azt kell meggondolni, hogy a keresett alakzat vektora milyen szöget zár be a megadott alakzat vektorával. Ha a kettő párhuzamos, akkor azonosnak is tekinthetők. Ha pedig a két vektor merőleges, akkor találnunk kell még egy vektort, mely szintén merőleges a keresett alakzat vektorára, s vektoriális szorzással kapjuk a keresett egyenes irányvektorát vagy a keresett sík normálvektorát.
Ellenőrző kérdések:
1. kérdés: Az alábbi pontok közül melyik illeszkedik az egyenletű síkra?
D(3, 4, -1)
2. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik normálvektora az síknak?
3. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik normálvektora az és tengelyek által meghatározott síknak?
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 1, 0)
(1, 0, 1)
(0, 1, 1)
4. kérdés: Igaz vagy hamis az alábbi állítás?
Az és síkok merőlegesek.
5. kérdés: Melyik egyenlet írja le az pontok síkját?
6. kérdés: Melyik egyenlet írja le az pont és az egyenes síkját?
7. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik normálvektora az síknak, ha párhuzamos az és