Tanulási cél: A parciális derivált függvények előállításának alapos begyakorlása. A továbbiakban minden feladat megoldása során fel fogunk használni egy vagy több parciális derivált függvényt. Ezek meghatározásának biztos ismerete tehát elengedhetetlen.
A parciális deriváltak definíciójából az következik, hogy amikor valamelyik változó szerint parciálisan deriválunk, akkor az egyváltozós függvények deriválásakor megtanult szabályokat kell alkalmazni, úgy, hogy mindazokat a változókat, amelyek szerint nem deriválunk konstansnak kell tekinteni. Így persze érvényesek az összegre, szorzatra és a hányadosra vonatkozó deriválási szabályok.
Mivel összetett függvényből több fajta is elképzelhető, a leggyakrabban előfordulókra vonatkozó deriválási szabályokat (elsősorban kétváltozós függvényekre kimondva) megadjuk. Ezek alapján a többváltozós esetek általában könnyen megkaphatók.
I. típusú összetett függvény.
Tekintsük az egyváltozós és a kétváltozós függvényeket és készítsük el velük a szintén kétváltozós összetett függvényt. Ekkor azokon az helyeken, ahol az függvény differenciálható, és a függvény deriválható az helyen, a függvény is differenciálható és a parciális deriváltjaira
,
.
Ezek felírhatók a tömörebb és áttekinthetőbb
,
alakokban is.
II. típusú összetett függvény.
Egy másik fajta összetett függvényt kapunk az következő esetben. Legyen kétváltozós függvény, és pedig egyváltozós függvények. Ekkor elkészíthetjük a egyváltozós függvényt. Ekkor, ha és differenciálható -ban és differenciálható -ban, akkor is differenciálható -ban és
.
Ugyanez tömörebben
.
III. típusú összetett függvény.
Tekintsuk az pontban differenciálható és függvényeket és az pontban differenciálható függvényt. Ekkor a függvény is differenciálható az pontban és
,
.
Ezt szokás tömörebben az alábbi alakban felírni (az -et az és a függvényének tekintve):
,
.
A továbbiakban fel fogjuk tételezni, hogy a függvényeink a tekintett helyeken értelmezhetők, és a szükséges differenciálhatósági feltételek teljesülnek.
Kidolgozott feladatok
1. feladat Legyen . Számítsuk ki és értékét.
Megoldás: Kezdjük a szerinti parciális derivált kiszámolásával. Két úton is eljárhatunk.
Felírhatjuk az egyváltozós függvény képletét és meghatározzuk annak a deriváltját az helyen. Mivel
,
, tehát
.
De számolhatunk úgy is, hogy először elkészítjük az szerinti parciális derivált függvényt és annak vesszük az helyen a helyettesítési értékét. Arra kell csak ügyelni, hogy amikor szerint deriválunk az -t konstansnak kell tekinteni. Így tehát
,
(az első tagban az szerinti deriváltja , ezért konstansszorosának az szerinti deriváltja a konstansszorosa, a második tagban pedig az konstanszorosának a deriváltja a konstans).
Innen
.
A két érték persze megegyezik.
Az szerinti parciális derivált kiszámolásakor ugyanez a két módszer alkalmazható.
Most elkészíthetjük az egyváltozós függvényt és vehetjük annak deriváltját a helyen. Ekkor
.
Innen
,
és így
.
Vagy meghatározzuk először az szerinti parciális derivált függvényt és vesszük annak helyettesítési értékét az helyen. Amikor szerint deriválunk az -et konstansnak kell tekintenünk. Tehát
,
amiből
,
ugyanannyi, mint az előbb.
2. feladat Határozzuk meg az függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: Kezdjük az szerinti parciális deriválttal és használjuk az függvény szerinti parciális derivált függvényének az
jelölését. Ekkor
,
hiszen amikor szerint deriválunk az , és ezzel a is, konstansnak tekintendő.
Hasonlóan, felhasználva az
jelölést kapjuk, hogy
,
hiszen most az -et, és vele az -et is, konstansnak kell tekinteni.
3. feladat Írjuk fel a összetett függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: Ez a függvény az I típusba tartozó összetett függvény. A külső függvény most az , aminek a deriváltja a , a belső függvény , aminek szerinti deriváltja , ezért
.
Hasonlóan
,
mivel a belső függvény szerinti deriváltja .
4. feladat Határozzuk meg a függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: Ez is egy I típusú összetett függvény. A külső függvény most a , aminek a deriváltja . Hogy ne kelljen a belső függvény deriválásakor is kompozíciót deriválni, elvégezhetjük a gyök alatt a négyzetre emelést. Ekkor
.
Így
és
.
Persze ha nem bánjuk, hogy a belső függvény deriválásakor is összetett függvényt kell deriválni, akkor kapjuk, hogy
,
illetve
,
összhangban az előzőekkel.
5. feladat Határozzuk meg az függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: A függvényünk mind -re, mind -ra nézve szorzat függvény, amelynek rádásul a második tényezője az elsőnek említett típusba tartozó összetett függvény. Ezért
,
illetve
.
6. feladat Írjuk fel az függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: Függvényünk egy tört, amelynek számlálója az I típusba tartozó összetett függvény. Így
,
és
.
7. feladat Tekintsük az és az egyváltozós, valamint az kétváltozós függvényt. Írjuk fel a függvény derivált függvényét.
Megoldás: Kétféleképpen is eljárhatunk.
Az egyik lehetőség, hogy felírjuk közvetlenül a függvény képletét és vesszük annak deriváltját. Ekkor, miután
kapjuk, hogy
.
A másik lehetőség, mivel a II típusba tartozó összetett függvény, az hogy alakalmazzuk az ott közölt deriválási képletet. Ekkor felhasználva, hogy
és azt, hogy
kapjuk, hogy
.
A két eredmény természetesen egyenlő.
8. feladat Legyen , és . Határozzuk meg a függvény derivált függvényét.
Megoldás: Alkalmazzuk a II-ben szereplő láncszabályt. Mivel
és
azt kapjuk, hogy
.
9. feladat Tekintsük az , és kétváltozós függvényeket és határozzuk meg a kétváltozós függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: A egy III típusba tartozó függvény. Mielőtt az ilyen típusú függvényekre vonatkozó láncszabályt alkalmaznánk célszerű az függvényt, (a külső függvényt) felírni és (vagy amivel a belső függvényeket jelöltük) függvényeként. Most azt kapjuk, hogy
.
Mivel
,
és
,
azt kapjuk, hogy
,
illetve
.
Természetesen ugyanerre az eredményre jutunk, ha először felírjuk a képletet majd azt deriváljuk parciálisan. Most
,
és ennek parciális deriváltjai valóban a fentiek.
10. feladat Legyen és , valamint . Számítsuk ki a függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: A most is egy III típusba tartozó összetett függvény. A külső függvényt felírhatjuk a alakban. Innen
.
Továbbá
és
.
Ezeket felhasználva kapjuk, hogy
,
és
.
11. feladat Tekintsük az , és kétváltozós függvényeket. Határozzuk meg a függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: Ez a a III típusba tartozó összetett függvény. Az ottani láncszabályt fogjuk használni. Ennek érdekében célszerű most is felírni -et és függvényeként (vagy amivel a belső függvényeket jelöltük). Ekkor
,
és azt kapjuk, hogy
,
valamint
, és .
Ezek felhasználásával
,
illetve
.
Érdemes most is kipróbálni, hogy ugyanezeket kapjuk, ha felírjuk közvetlenül a formulát és annak vesszük a parciális deriváltjait. A fenti szabály alkalmazása azonban általában egyszerűbb deriválásokat jelent.
12. feladat Határozzuk meg az háromváltozós függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás:
,
,
.
13. feladat Készítsük el a -változós függvény parciális derivált függvényeit.
Megoldás: A függvényünk szerkezete most olyan, hogy az összeg tagja közül mindegyik csak egy-egy változótól függ. Ezért, amikor például az első változó szerint deriválunk az összeg első tagján kívül minden tagnak nulla a deriváltja, amikor a második változó szerint deriválunk, az összeg második tagján kívül minden tagnak nulla a deriváltja, és így tovább.
Tehát
,
,
,
. . .
.
Ellenőrző kérdések
1. kérdés: Legyen . Ekkor az elsőrendű parciális derivált függvények
.
.
.
.
2. kérdés: Legyen . Ekkor
.
.
.
.
3. kérdés: Ha , akkor
.
.
.
.
4. kérdés: Legyen . Ekkor
.
.
.
.
5. kérdés: Egy henger térfogatát az alapkörének az sugara és a magasságának a függvényében a függvény írja le. Ekkor a és deriváltakra
.
.
.
.
6. kérdés: Legyen és . Ekkor a függvényre
.
.
.
.
7. kérdés: Legyen és . Ekkor
, és .
, és .
, és .
, és .
8. kérdés: Ha , és , akkor a függvény derivált függvénye