| Tanulási cél: Begyakorolni a kétváltozós függvény felületét adott pontban érintő érintősík egyenletének a felírását.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.4.
Elméleti összefoglaló:
Legyen az kétváltozós függvény az pontban differenciálható. Ekkor a kétváltozós függvény grafikonját, ami most egy felület, az pontban érintő érintősík egyenlete:
.
Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a szóbanforgó sík az ponton átmenő, normálvektorú sík.
Ha érintősík egyenletéből kifejezzük a változót egy kétváltozós függvényt kapunk, amelynek képlete
.
Ezt a függvényt hívjuk az függvény -beli linearizáltjának. Hasonlóan az egyváltozós esethez ez is jól közelíti az -et az pont közelében.
Ha az pont az pont közelében van, akkor
.
Az függvény megváltozása, ha az pontból elmozdulunk az pontba,
.
Ez tehát az előjeles és , jellemzően kis abszolút értékű változók függvénye. Ez a függvénymegváltozást méri a felületen elmozdulva.
Tegyük fel, hogy differenciálható az pontban. Az függvény pontbeli differenciálja
,
ami szintén az előjeles és változók függvénye. Ez az -beli linearizáltjának a megváltozását méri ha az pontból az pontba mozdulunk el. Kis elmozdulás esetén
.
Ez lehetőséget ad függvényértékek pontosságának megbecslésére, ha a változók értékének a pontosságát ismerjük. Ezt szokás hibaszámításnak nevezni. Ilyenkor a -et abszolút hibának, a mennyiséget relatív hibának is hívjuk.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Írjuk fel az függvény -beli érintősíkjának egyenletét.
Megoldás: Először is . A parciális deriváltak
.
Ezek helyettesítési értéke a szóbanforgó pontban
.
Mostmár minden készen áll, hogy behelyettesítsünk az érintősík képletébe. Ekkor azt kapjuk, hogy
,
.
Ez a keresett érintősík egyenlete. |
2. feladat Írjuk fel az függvény -beli linearizáltjának egyenletét.
Megoldás: Ugyanúgy járunk el, mint az előző feladatban.
.
.
.
Ezután az érintősík egyenlete
,
.
Ebből a linearizált egyenlete
. |
3. feladat Alkalmas linearizáltat használva számítsuk ki közelítő értékét, ha
.
Megoldás: Mivel az pont az pont közelébe esik, az függvény -beli linearizáltját fogjuk használni. Felírjuk a linearizált képletét.
.
A parciális deriváltak
.
Ezek helyettesítési értéke az pontban
.
Ezeket felhasználva a linearizált
.
Mostmár .
Kalkulátorral közvetlenül számolva , tehát valóban használható közelítést kaptunk.
|
4. feladat Írjuk fel az függvény -beli érintősíkjának egyenletét.
Megoldás: Mivel , az érintési pont koordinátái .
A parciális deriváltak
,
.
Elvégezve a behelyettesítéseket
,
vagyis az érintősík normálvektora
.
Ez alapján a keresett sík egyenlete
,
vagy rendezve
. |
5. feladat Tekintsük az függvényt és írjuk fel a -beli érintősík egyenletét.
Megoldás:, vagyis a érintési pont koordinátái . Továbbá
,
.
Így a normálvektorra adódna, de némileg egyszerűbb, ha ezt megszorozzuk -vel. Tudjuk, hogy ezt megtehetjük, hiszen a normálvektornak csak az iránya fontos.
A normálvektor tehát lehet az vektor. Ezzel
.
. |