KURZUS: Matematika II.
MODUL: 2. Többváltozós függvények
| Tanulási cél: A magasabb rendű parciális derivált függvények előállításának begyakorlása.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.4.
Elméleti összefoglaló: A kétváltozós függvény parciális derivált függvényei maguk is kétváltozó függvények. Tekinthetjük ezek parciális derivált függvényeit. Ezeket hívjuk az függvény másodrendű parciális deriváltjainak. Ezekből tehát négy darab van:
.
Az alsó indexben a változók balról jobbra olvasva mutatják a deriválások sorrendjét, tehát például az az szerinti derivált szerinti deriváltja.
Az és függvényeket tiszta másodrendű parciális deriváltaknak hívjuk, míg az és a vegyes másodrendű parciális deriváltak.
Nevezetes tény, és például önellenőrzésre előnyösen használható, hogy azokon a helyeken, ahol a vegyes másodrendű deriváltak folytonosak egyenlők is:
.
Használni fogjuk a deriváltak tört alakú jelölését is. Például az másodrendű parciális deriváltat
is jelöli.
Ennél a jelölésnél tehát a deriválások sorrendje a nevezőben jobbról balra olvasható.
A kétváltozós függvény másodrendű parciális deriváltjai, (ha a szükséges parciális deriváltak mind léteznek), elrendezhetők az alábbi táblázatba is:
.
Ez a második deriváltak mátrixa.
Háromváltozós függvény esetén ez
.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Készítsük el az függvény másodrendű parciális derivált függvényeit.
Megoldás: Először persze az elsőrendű parciális deriváltakat kell meghatározni. Ezek
és
.
Ezeket felhasználva kapjuk, hogy
,
,
,
.
Látjuk, hogy a vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők. Erről mindig győződjünk meg a deriválások után, ha egyenlőknek adódnak valószínűleg minden deriválásunk helyes. (Csak olyan esetekkel fogunk foglalkozni, amikor egyenlőknek kell lenniük.)
|
2. feladat Határozzuk meg az függvény másodrendű parciális deriváltjait.
Megoldás: Hogy a deriválások egyszerűbbek legyenek célszerű elvégezni a kijelölt négyzetre emelést. Tehát
.
Mostmár
.
Ezekből pedig
,
,
,
.
Az olvasó oldja meg úgy is a feladatot, hogy összetett függvény deriválásával kapja meg az elsőrendű parciális deriváltakat, és szorzatfüggvények deriválásával a másodrendűeket. |
3. feladat Legyen . Határozzuk meg a másodrendű parciális deriváltakat.
Megoldás: Használjuk most a parciális deriváltak tört alakú jelölését. Ekkor
.
Ebből
.
.
.
meghatározásához célszerű felírni -t
alakban. Ebből
.
|
4. feladat Tekintsük az függvényt. Mutassuk meg, hogy erre a függvényre
.
Megoldás: Mivel
,
a tiszta másodrendű deriváltakra kapjuk, hogy
,
illetve
.
Ezek összege valóban a kondtans nulla függvény. |
5. feladat Határozzuk meg az függvény másodrendű parciális deriváltjait.
Megoldás: Az elsőrendű deriváltak most
.
Az szerinti parciális deriváltat érdemes felírni
alakban, hogy amikor ezt deriváljuk csak egyszer kelljen a szorzat függvény deriválási szabályát alkalmazni. Ezek után tehát
,
,
,
.
|
6. feladat Számítsuk ki -t, ha .
Megoldás: A keresett deriváltak sorban
,
,
végül
. |
7. feladat Legyen . Határozzuk meg az
parciális deriváltakat.
Megoldás:
.
A másodrendű parciális deriválthoz először az szerinti deriváltat kell kiszámolni. Ez
.
Ebből
.
Végül
,
amiből
,
tehát végül is
. |
8. feladat Legyen . Írjuk fel a második deriváltak mátrixát.
Megoldás: Mivel
,
a második deriváltak
.
Ezek felhasználásával a második deriváltak mátrixa
. |
| Ellenőrző kérdések
|
1. kérdés: Legyen . Ekkor |
2. kérdés: Legyen . Ekkor |
3. kérdés: Legyen . Ekkor |
4. kérdés: Ha , akkor |
5. kérdés: Legyen . Ekkor |
6. kérdés: Tekintsük az függvényt. Ekkor |
7. kérdés: Ha , akkor |
8. kérdés: Legyen . Ekkor a második deriváltak mártixa |