Tanulási cél: A skaláris szorzat fogalmának, kiszámítási módjának megismerése és alkalmazása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 1.4. és 1.5.
Elméleti összefoglaló: Az vektorok skaláris szorzatának nevezzük az számot, ahol a vektorok által közrezárt szög.
Ha és , akkor .
Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0 ha a két vektor merőleges egymásra.
Ha két vektor skaláris szorzata pozitív, a vektorok hegyesszöget, ha negatív, akkor tompaszöget zárnak be egymással.
A skaláris szorzatból meghatározható a vektorok szöge. A definíciót átrendezve
, amiből a szög visszakereshető.
Ha az vektort felbontjuk vektorral párhuzamos és rá merőleges összetvőkre , akkor
és .
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Mivel egyenlő , és mekkora szöget zár be a két vektor?
Megoldás:
Ebből .
2. feladat Ha és , valamint a két vektor merőleges, akkor mennyi a értéke?
Megoldás: Mivel két vektor csak akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk 0, az
egyenletnek kell teljesülni.
3. feladat Mekkora az alábbi pontokkal meghatározott háromszög legnagyobb szöge?
Megoldás: Mivel csak a legnagyobb szög a kérdés, jó lenne eldönteni, melyik csúcsnál található, különben mindegyik szöget ki kell számolnunk, s kiválasztani a legnagyobbat. Mivel a háromszögekben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, a legnagyobb szög, a legnagyobb oldallal szemben lesz. Az olalak hosszának meghatározásához írjuk fel az vektorokat.
Mivel a leghosszabb oldal, az csúcsnál levő szög a legnagyobb. Ez a szög tulajdonképpen az és vektorok szöge. Ezért
4. feladat Bizonyítsuk be, hogy az és vektorok kockát feszítenek ki!
Megoldás: Ez úgy értendő, hogy ha a három vektort közös kezdőpontból mérjük fel, akkor egy kocka egy csúcsból induló három élvektorát kapjuk. Ennek teljesüléséhez az szükséges, hogy a vektorok hossza azonos legyen, s egymásra páronként merőlegesek legyenek, azaz bármelyik merőleges legyen bármelyikre. Számoljuk először a vektorok hosszát.
Nyilvánvalóan ugyanez a másik két vektor abszolút értéke is, hiszen a koordináták csak fel vannak cserélve, valamint az előjelek változnak, de ez a négyzet miatt nem számít.
A merőlegességhez az kell, hogy bármely két vektor skaláris szorzata 0 legyen. Ellenőrizzük ezt.
Teljesülnek tehát a merőlegességek is, a vektorok valóban kockát feszítenek ki.
5. feladat Bontsuk fel az vektort a vektorral párhuzamos, és rá merőleges összetevőkre!
Megoldás: A feladat lényegében képletbe helyettesítés, hiszen . Célszerű részletekben számolni.
majd
6. feladat Határozzuk meg az csúcspontú háromszögben az csúcshoz tartozó magasság talppontjának koordinátáit, és a magasság hosszát!
Megoldás: A feladat szorosan kapcsolódik az előző példához, hiszen most lényegében a vektort kell felbontanunk a vektorral párhuzamos, és rá merőleges összetevőkre. A párhuzamos összetevő ugyanis a , a merőleges pedig a vektor lesz. Ez látható az alábbi ábrán.
A szükséges vektorok:
Helyettesítsük be a részeredményeket.
A koordinátáit úgy kapjuk, hogy a pont koordinátáihoz hozzáadjuk a vektor koordinátáit, hiszen . Ily módon
.
A magaság hossza egyenlő -val.
Ellenőrző kérdések:
1. kérdés: Mivel egyenlő az és vektorok skaláris szorzata?
27
21
-27
-21
2. kérdés: Döntse el, igaz vagy hamis az alábbi állítás!
Az vektor merőleges a vektorra.
3. kérdés: Mekkora az és vektorok szöge?
4. kérdés: Mivel egyenlő , ha és merőlegesek?
0
2
4
-2
5. kérdés: Mik lesznek az vektor vektorral párhuzamos összetevőjének koordinátái?
6. kérdés: Mik lesznek az csúcspontú háromszögben a csúcshoz tartozó magasság talppontjának koordinátái?