Tanulási cél: Az egyenes paraméteres és paraméter nélküli egyenletrendszerének megismerése.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 2.1. és 2.2.
Elméleti összefoglaló: Egy egyenest megadhatunk a térben, ha megadjuk egy pontját , és megadunk egy nem vektort , mellyel az egyenes párhuzamos. Ilyenkor a vektort az egyenes egy irányvektorának nevezzük. (Minden egyenesnek végtelen sok irányvektora van, hiszen minden, az egyenessel párhuzamos nem vektor irányvektor.) Ezen adatokkal az egyenes paraméteres egyenletrendszere a következő:
,
ahol az egyenletekben a paraméter bármilyen valós értéket felvehet.
Ha az irányvektor egyik koordinátája sem 0, akkor az egyenleteket lehet rendezni -re, s a kapott kifejezéseket egyenlővé lehet tenni. Így az egyenes paraméter nélküli egyenletrendszerét kapjuk, melynek alakja
.
Ha egy pont rajta van az egyenesen, akkor koordinátáit behelyettesítve igazak az egyenlőségek, ha nincs az egyenesen, akkor legalább egy egyenlőség nem teljesül.
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Írjuk fel az és pontok által meghatározot egyenes egyenletrendszerét!
Megoldás: Az egyenletrendszer felírásához két dologra van szükségünk, az egyenes egy pontjára és egy vektorra, mely párhuzamos az egyenessel. Pontot most kettőt is ismerünk, legyen például . Mivel és is az egyenesen van, az vektor is az egyenesen van, s ily módon párhuzamos is az egyenessel. Az egyenes egy irányvektora tehát . Ennek koordinátái . Az egyenes paraméteres egyenletrendszere a következő:
Ugyanez paraméter nélküli formában:
A feladatot megoldottuk, azonban egy kicsit érdemes elgondolkodni az erdményen, közelebbről azon, hogy mennyire egyértelmű az egyenes egyenletrendszere. Mivel most két pontot is ismerünk, mondhattuk volna azt is, hogy . Irányvektornak is választhattunk volna bármilyen az egyenessel párhuzamos vektort, azaz bármilyen számszorosa (kivéve a 0) is irányvektor. Példának okáért, mivel az vektor mindegyik koordinátája osztható 3-mal, könnyen tudunk mutatni egy másik olyan vektort, ami párhuzamos az egyenessel, melynek azonban a koordinátái kisebbek, mint koordinátái. (Ha kisebbek a koordináták, az a későbbiekben megkönnyítheti a számolást.) Ilyen vektor az , s ez is irányvektora az egyenesnek. Ha ezek alapján írjuk fel az egyenletrendszert, akkor a paraméteres
lesz,
a paraméter nélküli pedig
, ami
alakban is írható. Ezek az egyenletrendszerek is ugyanazt az egyenest írják le, mint az előzőek, az egyenes egyenletrendszere tehát nem egyértelmű. Könnyen előfordulhat, hogy két -első ránézésre különböző- egyenletrendszer, ugyanazt az egyenest írja le.
2. feladat Adjuk meg az
és egyenesek két pontját, és egy irányvektorát!
Megoldás: Először adjuk meg az egyenes két pontját. Mivel most paraméteres egyenletrendszerünk van, a paraméternek választunk valamilyen értéket, s ezt behelyettesítve az egyenletekbe, egy pont koordinátáit kapjuk. A legegyszerűbb ha , ekkor , azaz egy pont az egyenesen az . (Ezt a pontot formálisan is kiolvashattuk volna, hiszen csak az helyén álló számokat kell az egyenletrendszerből kiolvasni.) Vegyünk egy másik értéket, pl. . Ekkor , azaz a pontot kapjuk. Ilyen módon tetszőleges számú pontot tudunk felvenni egy egyenesen.
Nézzük az irányvektort. Most egyszerűen a paraméter előtt álló együtthatókat kell kiolvasnunk az egyenletekből. Kapjuk . (Mivel a harmadik egyenletben nem szerepel a paraméter, ezért itt az együttható 0.) Szeretnénk hangsúlyozni, hogy ennek bármely nem 0 számszorosa is irányvektor lesz.
Tekintsük ezután az egyenest. Célszerű úgy számolnunk, hogy a hármas egyenlőségben szereplő kifejezéseket egyenlővé tesszük ugyanazzal a számmal, s a kapott három egyenletet megoldva, egy pont három koordinátáját kapjuk. A legegyszerűbb eset, ha a kifejezéseket 0-val tesszük egyenlővé.
Az egyenes egy pontja tehát . (Ez formálisan is kiolvasható az egyenletrendszerből, de ekkor azt úgy kell alakítani, hogy a törtek számlálójában együtthatója 1 legyen, azaz
.
Ekkor egyszerűen az helyén álló számokat kell kiolvasni. (Az előjelekre azonban figyelni kell.) A másik pont meghatározásához tegyük egyenlővé a kifejezéseket pl. 2-vel.
Tehát a az egyenes egy másik pontja.
Az irányvektor koordinátáinak kiolvasásához alakítsuk úgy a törteket, hogy a számlálóban együtthatója 1 legyen.
Ekkor egyszerűen a helyén álló számokat kell vennünk, azaz . Ha nem szeretnénk törteket is szerepeltetni, akkor vehetjük a kétszeresét, s az is irányvektor lesz.
3. feladat Döntsük el, hogy az pontok közül melyik illeszkedik az
vagy
egyenesek valamelyikére!
Megoldás: Először nézzük meg mindegyik pontot, hogy illeszkedik-e az egyenesre. Mivel ez az egyenes paraméteres alakban adott, ezért ha egy pont illeszkedik rá, akkor koordinátáit behelyettesítve helyére az egyenletekbe, mindegyik egyenlet azonos érték esetén igaz.
Az pont esetén:
Mivel a kettő nem azonos a harmadik egyenletet nem is kell vizsgálnunk, az pont nem illeszkedik az egyenesre.
A pont esetén:
A pont sem illeszkedik az egyenesre.
Nézzük a harmadik pontot.
Mivel most mindhárom esetben azonos értéket kaptunk, a pont illeszkedik az egyenesre.
Vizsgáljuk ezután, hogy illeszkednek-e a pontok az egyenesre. Mivel ez az egyenes paraméter nélküli alakban adott, egyszerüen behelyettesítjük a pontok koordinátáit helyére, s ha mindegyik egyenlőség igaz, akkor a pont az egyenesen van, ha pedig nem, akkor nincs az egyenesen.
Az pont esetén:
,
tehát nem illeszkedik -re.
A pont esetén:
,
azaz a illeszkedik -re.
A pont esetén:
,
azaz nem illeszkedik -re.
4. feladat Írjuk fel az pontra illeszkedő és egyenessel párhuzamos egyenes egyenletrendszerét paraméteres és paraméter nélküli alakban!
Megoldás: A keresett egyenesnek egy pontját ismerjük, . Mivel párhuzamos -vel, ezért azon vektorok, melyek irányvektorai az egyenesnek, irányvektorai egyben -nek is. Olvassuk ki egyenletrendszeréből egy irányvektorának koordinátáit.
Írjuk fel paraméteres egyenletrendszerét.
Eddig könnyen haladtunk, de a paraméter nélküli egyenletrendszerrel baj van, hiszen az irányvektor második koordinátája 0, s így a második egyenletből nem fejezhető ki , hiszen nem is szerepel benne. Ha viszont nem szerepel benne, akkor ez már paraméter nélküli egyenlet. Fejezzük ki tehát csak a másik két egyenletből -t, s tegyük egyenlővé a kapott kifejezéseket. Az így nyert egyenlethez csatoljuk az egyenletet, s így kapjuk a paraméter nélküli egyenletrendszert.
Majd a paraméter nélküli egyenletrendszer:
Megjegyzés: Mint látható, a paraméter nélküli egyenletrendszer nem mindig azonos alakú. Ha az irányvektor koordinátái közül egy vagy kettő 0, akkor nem lehet három kifejezés egyenlőségét felírni. Ilyen esetekben két különálló egyenlet van. Az ilyen egyenesek a koordinátarendszerben speciálisan helyezkednek el. Ha csak egy koordináta zérus az irányvektorban, például , akkor az egyenes párhuzamos az és tengelyek síkjával. Ha két koordináta is zérus, például , akkor az egyenes párhuzamos a tengellyel.
5. feladat Írjuk fel az ponton áthaladó, és
valamint
egyenesekre merőleges egyenes egyenletrendszerét!
Megoldás: Az egyenletrendszer felírásához szükségünk van egy pontjára, s egy -vel párhuzamos vektorra. Egy pont meg van adva, így . Az irányvektor azonban már kicsit érdekesebb eset. Éljünk a következő jelölésekkel: az egyenes egy irányvektora , az egy irányvektora , a egy irányvektora pedig . Mivel merőleges -re, ezért is merőleges -re, s mert merőleges -re is, ezért merőleges -ra is. Ha tehát ismerjük -t és -t, az a feladatunk, hogy mindkettőre merőleges vektort állítsunk elő. Ezt vektoriális szorzással tehetjük meg, azaz a egyenes egy irányvektora is lehet. A konkrét számoláshoz olvassuk ki és egyenletrendszeréből és koordinátáit. Mivel paraméteres alakban adott, egyszerűen vegyük a paraméter együtthatóit, azaz . Az egyenes egyenletrendszerét először alakítsuk át úgy, hogy a számlálókban együtthatója 1 legyen.
Ebből egy irányvektor koordinátái , de célszerűbb ennek a háromszorosát venni, hogy ne szerepeljen tört, s így lesz. Számoljuk a vektoriális szorzatot.
Ezután írjuk fel paraméteres egyenletrendszerét.
Majd a paraméter nélkülit is.
6. feladat Írjuk fel az csúcspontú háromszög síkjára merőleges, ponton áthaladó egyenes egyenletrendszerét!
Megoldás: Ismert a keresett egyenes egy pontja, tehát . Az előző feladathoz hasonlóan most is egy irányvektor meghatározása a nehezebb. Ha az egyenes egy irányvektora , akkor mivel merőleges a pontok síkjára, ezért is merőleges a pontok síkjára. Ha azonban egy vektor merőleges egy síkra, akkor merőleges bármely a síkon fekvő egyenesre, s ebből következően bármely a síkkal párhuzamos vektorra is. Jelen esetben tehát a merőleges -re, és merőleges -re. (Természetesen merőleges a -re is.) A feladat innen lényegében az előzővel azonos, elő kell állítanunk egy vektort, mely két másik vektorra merőleges. Ha vesszük -t, akkor ez lehet a keresett egyenes irányvektora. Először adjuk meg a két vektor koordinátáit.
Azután számoljuk a vektoriális szorzatot.
Ez irányvektora az egyenesnek, azaz . Ezután írjuk fel az egyenes egyenletrendszerét.
illetve
Megjegyzés: Egy egyenes megadásához a paraméteres és a paraméter nélküli egyenletrendszerek közül az egyik elegendő, a feladatokban csupán a gyakorlás miatt írtuk fel mindkettőt. A feladatokban előfordult, hogy irányvektort szoroztunk számmal, s így koordinátáit is szoroztuk, esetleg osztottuk. Ez nyugodtan megtehető, mert az irányvektornak nem számít a hossza, csak az állása. Nem szabad azonban ilyet tenni olyan vektorral, melynél a hossz és az irányítás is számít. Például egy pont helyvektorának koordinátáit nem szabad szorozni illetve osztani egy számmal, mert ekkor egy másik pont koordinátáit kapjuk.
Ellenőrző kérdések:
1. kérdés: Az alábbi pontok közül melyik illeszkedik az egyenesre?
2. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik irányvektora az egyenesnek?
3. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik irányvektora az tengelynek?
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
(1, 1, 0)
(1, 0, 1)
(0, 1, 1)
4. kérdés: Igaz vagy hamis az alábbi állítás?
Az és
egyenesek párhuzamosak.
5. kérdés: Az alábbi egyenletrendszerek közül melyik írja le az és pontokra illeszkedő egyenest?
6. kérdés: Melyik egyenletrendszer írja le az pontra illeszkedő, és egyenessel párhuzamos egyenest?
7. kérdés: Az alábbi vektorok közül melyik irányvektora az egyenesnek, ha merőleges az és vektorok által kifeszített paralelogramma síkjára?