KURZUS: Matematika II.
MODUL: 2. Többváltozós függvények
| Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós függvények fogalmával, különös tekintettel a kétváltozós függvényekre. Begyakorolni a különféle függvényműveletek elvégzését, elsősorban a kompozíció műveletére figyelemmel. Begyakorolni egyszerűbb képletű kétváltozós függvények szintvonalainak meghatározását.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.1.
Elméleti összefoglaló: A kétváltozós függvények értelmezési tartománya rendezett számpárokból áll, a háromváltozósoké rendezett számhármasokból, és így tovább. Behelyettesítéskor ügyelni kell arra, hogy a megadott pont első koordinátáját írjuk az első (általában -el jelölt) változó helyére, a másodikat az (általában -al jelölt) második változó helyére, és így tovább. Különösen a különféle kompozíciók esetén fontos erre figyelni.
A kompozíciók közül a két leggyakoribb fajta az alábbi.
Adott két egyváltozós függvény, és , valamint egy kétváltozós függvény . Ekkor egy egyváltozós függvényt definiál (azokra a -kre, ahol a formulák értelmezhetők). Hasonló előfordul háromváltozós esetben is.
Adott két kétváltozós függvény: és , valamint egy , szintén kétváltozós függvény. Ekkor, ahol értelmes, az formula egy újabb kétváltozós függvényt definiál. Ez is általánosítható több változó esetére.
Ha az kétváltozós függvény grafikonját (ami a legtöbb esetben egy felület) elmetszük a egyenletű síkkal, akkor egy vonalat kapunk. Ennek egyenlete implicit alakban
.
Ezt a görbét hívjuk a magassághoz tartozó szintvonalnak. Egyszerűbb esetén ezek a vonalak különböző -kre felvázolhatók egy koordináta rendszerben, ezek rendszere információt nyújt a függvény viselkedéséről. |
Kidolgozott feladatok
1. feladat Tekintsük az kétváltozós függvényt. Számoljuk ki az , az és az helyettesítési értékeket.
Megoldás: Kezdjük értékével. Ekkor az helyére helyettesítünk -et, az helyére 2-t. Így kapjuk, hogy
.
kiszámolásakor az helyére írunk -t és az helyére -et. Ekkor
.
kiszámolásakor mindkét változó helyére -at kell írni, ekkor kapjuk, hogy
. |
2. feladat Tekintsük az és a kétváltozós függvényeket. Határozzuk meg az , az , az és a függvényeket.
Megoldás: Legyen . Ekkor az függvény hozzárendelési utasítása
,
és, mivel ezeket a műveleteket korlátozás nélkül el lehet végezni, .
Hasonlóan, legyen . Ekkor a függvény hozzárendelési utasítása
,
és most is .
Ugyanígy, ha , akkor
.
Végül az függvény esetén a hozzárendelési utasítás
.
Az értelmezési tartomány az a halmaz, ahol ez a kifejezés értelmes. A tört miatt persze a nevező nem lehet nulla. , ha . A sík pontjai közül tehát el kell hagyni az koordinátájú pontokat. Tehát
. |
3. feladat Tekintsük az függvényt. Írjuk fel az , az és az formulákat.
Megoldás: Sorban elvégezve a helyettesítéseket kapjuk, hogy
,
,
. |
4. feladat Tekintsük az kétváltozós függvényt és az mindenütt értelmezett egyváltozós függvényeket. Írjuk fel a egyváltozós függvény képletét és számoljuk ki a és a helyettesítési értékeket.
Megoldás: Kezdjük a hozzárendelési utasítás felírásával:
.
Ebből mostmár
,
és
.
|
5. feladat Tekintsük a mindenütt értelmezett , és kétváltozós függvényeket. Írjuk fel a függvény hozzárendelési utasítását.
Megoldás: Egyszerű helyettesítéssel kapjuk, hogy
. |
6. feladat Tekintsük az háromváltozós függvényt és számítsuk ki az és helyettesítési értékeket.
Megoldás:
,
. |
7. feladat Tekintsük az háromváltozós függvényt és írjuk fel az formulát.
Megoldás: Az függvény "azt csinálja", hogy az első változójához hozzáadja az első és a második változó szorzatát és ebből levonja a harmadik változó négyzetét. Tehát
. |
8. feladat Határozzuk meg az függvény magasságokhoz tartozó szintvonalait és ábrázoljuk is azokat egy koordináta rendszerben.
Megoldás: Tekintsük először a -höz tartozó szintvonalat. Tudjuk, hogy ennek egyenlete implicit alakban
.
Ebből az válozó expliciten kifejezhető
alakban. Ez egy egyenes egyenlete, tehát ez a szintvonal egy egyenes.
Teljesen hasonlóan a -hez tartozó szintvonal egyenlete
,
a -hoz tartozó szintvonal egyenlete
,
a -hez tartozóé
,
végül a -höz tartozóé
.
Ezek mindannyian egyenesek, és könnyű látni, hogy tetszőleges -hez tartozó szintvonal is ( egyenletű) egyenes. Az alábbi ábrán ezeket láthatjuk.

|
9. feladat Határozzuk meg az kétváltozós függvény magasságokhoz tartozó szintvonalait és ábrázoljuk azokat egy koordináta rendszerben.
Megoldás: Kezdjük most is a -höz tartozó szintvonallal. Ennek egyenlete
,
ami átrendezve
alakba írható. Ez a szintvonal tehát egy lefelé nyíló parabola.
Hasonlóan kapjuk, hogy a magasságokhoz tartozó szintvonalak rendre
,
,
,
.
Könnyen átlátható, hogy a tetszőleges magassághoz tartozó szintvonal egyenlete
.
Az előbbi öt parabolát mutatja az alábbi ábra.
 |
10. feladat Tekintsük az hozzárendelési utasítású kétváltozós függvényt, amelynek értelmezési tartománya a hiperbola két ága közé eső, az alábbi ábrán látható halmaz. Határozzuk meg az magasságokhoz tartozó szintvonalakat és ábrázoljuk is azokat egy koordináta rendszerben.

Megoldás: Tekintsük először a -hez tartozó szintvonalat. Ekkor a
egyenletet kapjuk. Ezt négyzetre emelve és kifejezve az -t
adódik. Ez a görbe látható az alábbi ábrán piros színnel.
Ugyanígy járva el esetén az
egyenletű hiperbolát kapjuk szintvonalként, ez látszik kék szinnel rajzolva az ábrán.
A esetén az alábbi ábrán zöldel jelölt
hiperbola a szintvonal.

Ezekből, és további magasságokban megrajzolt szintvonalakból, azt szűrhetjük le, hogy az -nél nagyobb magassághoz tartozó szintvonalak az első és a harmadik síknegyedet kitöltő hiperbolák, a tulajdonságú szintvonalak a második és harmadik síknegyedek értelmezési tartományba eső részét kitöltő hiperbolák. Az magassághoz tartozó szintvonalak a koordináta tengelyek.
Ellenőrző kérdések |
| 1. kérdés: Tekintsük az kétváltozós függvényt. Ekkor |
2. kérdés: Tekintsük a minden valós számra értelmezett és függvényeket, valamint az kétváltozós függvényt. Ekkor |
3. kérdés: Tekintsük az egész síkon értelmezett , és kétváltozós függvényeket. Ekkor |
4. kérdés: Tekintsük az háromváltozós függvényt. Ekkor |
5. kérdés Az függvény |