Tanulási cél: Begyakorolni lineáris egyenletrendszerek Gauss-féle algoritmussal történő megoldását.
Elméleti összefoglaló: A Gauss-féle algoritmus során alkalmazható lépések:
a) két egyenlet felcserélése,
b) egy egyenlet tetszőleges, nullától különböző számmal való megszorzása,
c) két egyenlet összeadása, ilyenkor az egyik egyenlet helyére az összeget írjuk, a többi egyenlet marad változatlan.
Ezek az átalakítások az egyenletrendszer kibővített mátrixán is végrehajthatók, ilyenkor a mátrix soraira kell öket alkalmazni.
Ezekkel az átalakításokkal elérhető, hogy az együtthatómátrix felső háromszögmátrixá váljon, azaz a főátlója alatt minden elem nulla legyen. (A főátlót azok az elemek alkotják, amelyeknek a sor és az oszlop indexe megegyezik.)
Ha az együtthatómátrix felső háromszög mátrix, akkor leolvasható, hogy van-e megoldás, és ha van, akkor a legalsó egyenletből kiindulva az ismeretlenek sorban meghatározhatók.
Akkor nincs megoldása az egyenletrendszernek, ha a felső háromszögmátrixá transzformálás után a kibővített mátrixnak van olyan sora, amelyben minden elem nulla, kivéve a sor utolsó elemét.
1. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
Megoldás: Eső lépésként felírjuk az egyenletrendszer kibővített mátrixát. Ez most
.
Adjuk hozzá az első sor kétszeresét a második sorhoz. Ekkor az alábbi mátrixot kapjuk.
Ezzel az (első két oszlopból álló) együtthatómátrixot felső háromszögmátrixá alakítottuk, és ezután az egyenletrendszer megoldása meghatározható. A utolsó mátrix ugyanis azt, az eredeti egyenletrenszerrel ekvivalens, egyenletrendszert jelenti, hogy
.
A második egyenletből . Ezt visszaírva az első egyenletbe
adódik, amiből .
A egyetlen megoldás tehát: .
2. feladat Oldjuk meg az
egyenletrendszert.
Megoldás: Most is az az első lépés, hogy felírjuk az egyenletrendszer kibővített mátrixát. Ekkor az
mátrixot kapjuk.
Mielőtt az együtthatómátrix felső háromszögmátrixá transzformálását elkezdenénk érjük el, hogy az első sor első eleme legyen. Ehhez a második sor kétszeresét kivonjuk az első sorból. Így az
mátrixhoz jutunk.
Mostmár kinullázhatjuk az egyes alatti számot, úgy, hogy az első sor kétszeresét kivonjuk a második sorból. Ekkor
adódik.
Az együtthatómátrix felső háromszögmátrix, a megoldás meghatározható. Az utolsó mátrix által meghatározott egyenletrendszer
.
A második egyenletből . Ezt az első egyenletbe behelyettesítve
,
amiből .
Most is egyetlen megoldás van: .
3. feladat Odjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
Megoldás: Az egyenletrendszer kibővített mátrixa
.
Az első sor első eleme szerencsére , ezért rögtön elkezdhetjük az együttható mátrix felső háromszögmátrixá transzformálását. Elször az első sor kétszeresét kivonjuk a második sorból, majd az első sort hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Így az alábbi mátrixhoz jutunk
.
Akkor tudnánk legkényelmesebben folytatni a háromszögmátrixá transzformálást, ha a második sor második eleme lenne, de nem az. Ezen azonban könnyen segíthetünk.
Cseréljük most meg a második és a harmadik sort, majd osszuk el kettővel az új második sort. Ekkor nyerjük, hogy
.
A következő lépésként a második sor háromszorosát hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Ekkor
.
Az első három oszlop által alkotott együttható mátrix felső háromszögmátrixá vált. Felírjuk a megoldást.
Az utolsó mátrix által kódolt egyenletrendszer
.
A harmadik egyenletből . Ezt felhasználva a második egyenletből . Végül ezek behelyettesítésével az első egyenletből .
Ismét egyértelmű megoldás van tehát: .
4. feladat Oldjuk meg az
egyenletrendszert.
Megoldás: Írjuk fel az egyenletrendszer kibővített mátrixát.
Sajnos az első sor első eleme nem , de ha a második sort kivonjuk az elsőből, akkor elérjük, hogy az legyen.
Elkezdjük a felső háromszögmátrixá transzformálást. Először az első sor kétszeresét kivonjuk a második sorból, majd az első sor négyszeresét kivonjuk a harmadik sorból. Ekkor a mártixunk így alakul
Osszuk el most a második sort mínusz öttel. Így elérjük, hogy a második sor második eleme egy legyen.
Adjuk most hozzá a második sor hatszorosát a harmadik sorhoz. Így
adódik. Ez az
egyenletrendszert jelenti.
Mostmár az utolsó egyenletből . Ennek behelyettesítésével a második egyenletből . Ezeket behelyettesítve az első egyenletbe .
Az egyértelmű megoldás tehát: .
5. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
Megoldás: Az egyenletrendszer kibővített mátrixa
.
Első lépésként az első sor háromszorosát kivonjuk a második sorból, majd a első sort kivonjuk a harmadik sorból. Ekkor a következő mátrixot nyerjük.
Vonjuk most ki a második sort a harmadikból. Ekkor kapjuk az
mátrixot.
Az együthatómátrix most is felső háromszögmátrix, rátérhetünk a megoldás meghatározására.
Az utolsó mátrix az alábbi egyenletrendszert jelenti.
Itt az utolsó egyenlet egy nyilvánvaló összefüggés, és azt jelenti, hogy az eredeti egyenletrendszerben a harmadik egyenlet az első kettő következménye, ha azok teljesülnek, akkor a harmadik is automatikusan teljesül.
A második egyenletben egynél több ismeretlen szerepel, most kettő. A két ismertlen közül az egyiket kifejezhetjük a másikkal. Például kifejezhetjük az ismeretlent a ismeretlennel. Ekkor kapjuk, hogy
.
Ha ezt visszaírjuk az első egyenletbe, akkor az ismeretlent is kifejezhetjük a -vel az alábbi módon:
,
.
Akármi is a értéke, ha , és , akkor mind a három eredeti egyenlet teljesül. Végtelen sok megoldása van tehát az egyenletrendszerünknek.
Szokás ezeket az alábbi paraméteres alakban megadni:
Például, ha , akkor kapjuk az megoldást, amelyet behelyettesítéssel könnyen leellenőrizhetünk.
Ha , akkor kapjuk az megoldást.
Észrevehetjük még, hogy a megoldások paraméteres megadása pontosan olyan, mint egy egyenes paraméteres egyenletrendszere.
Valóban erről van szó. Ugyanis három ismeretlen esetén az egyenletrendszer egyenletei egy-egy sík egyenletei. Egyértelmű megoldás van, ha ezek a síkok egy ponton mennek át, végtelen sok megoldás van, mint a mi esetünkben, ha a síkok egy egyenesen mennek át. Ennek az egyenesnek a pontjainak a koordinátái adjak a megoldáshalmazt, ezt adtuk meg az előbb paraméteres egyenletrendszer segítségével. Végül nincs megoldás, ha a síkok között vannak párhuzamos, de nem egybeeső síkok.
6. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
Megoldás: A kibővített mátrix
.
Adjuk hozzá az első sort a msodikhoz és vonjuk ki az első sor kétszeresét a harmadik sorból. Így kapjuk az
mátrixot.
Adjuk most hozzá a második sort a harmadikhoz.
Az ennek a mátrixnak megfelelő egyenletrendszer az alábbi.
Itt az utolsó egyenlet nyilván ellentmondás, a fenti egyenletrendszernek tehát nincs megoldása.
7. feladat Oldjuk meg az
egyenletrendszert.
Megoldás: Ne zavarjon meg minket, hogy csak három ismeretlen van, de négy egyenlet. Ez csak annyit jelent, hogy ha van megoldás, akkor legalább az egyik egyenlet a többi következménye. A megoldás menete ugyanaz, mint eddig.
A kibővített mátrix
.
Az első sor kétszeresét hozzáadva a második sorhoz, a mínusz kétszeresét hozzáadva a harmadik sorhoz és az egyszeresét hozzáadva a negyedik sorhoz nyerjük az
mátrixot.
Következő lépésként cseréljük fel a második sort a negyedikkel.
Adjuk hozzá ezután a második sor háromszorosát a harmadik sorhoz, mínusz háromszorosát a negyedik sorhoz.
Ha most a hrmadik sort kivonjuk a negyedikből kapjuk a
mátrixot.
Ez az
egyenletrendszert jelenti.
A értéket beírva a második egyenletbe , ezeket beírva az első egyenletbe adódik.
Az egyetlen megoldás tehát: .
8. feladat Oldjuk meg a
egyenletrendszert.
Megoldás: Ha több az ismeretlen, mint az egyenlet, mint most is, akkor, ha van megoldás, akkor végtelen sok van.
A kibővített mátrix most
.
Első lépésként cseréljük fel az első két sort.
Adjuk ezután hozzá az első sor mínusz kétszeresét a második sorhoz, egyszeresét a harmadik sorhoz. Ekkor kapjuk az
mátrixot.
Kényelmes lenne, ha most a második sor második eleme egyes lenne. Ezt most csak úgy tudnánk elérni, hogy a mátrixban törtek is megjelennek. Ez nem látszik előnyösnek. Szerencsére a harmadik sor kinullázandó második eleme a mínusz három egész számú többszöröse, konkrétan a mínusz egyszerese. Adjuk ezért hozzá a második sort a harmadikhoz. Kapjuk, hogy
.
Az ennek megfelelő egyenletrendszer
Ismét végtelen sok megoldás van. Ha , akkor a harmadik egyenletből . Ezeket beírva a második egyenletbe
,
,
,
adódik.
Ha pedig ezeket behelyettesítjük az első egyenletbe, kapjuk, hogy
,
,
.
A végtelen sok megoldás tehát a paraméter függvényében:
,
ahol tetszőleges valós szám.
9. feladat Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert.
Megoldás: A kibővített mátrix
.
Hozzáadjuk az első sor mínusz négyszeresét a másodikhoz, egyszeresét a harmadikhoz és mínusz egyszeresét a negyedikhez.
Ha most a negyedik sort elosztjuk hárommal, majd felcseréljük a második sorral kapjuk az
mátrixot.
Ezután a második sor kétszeresét hozzáadjuk a harmadik sorhoz, a hétszeresét pedig levonjuk a negyedik sorból.