KURZUS: Matematika II.
MODUL: 1. Vektorok
1.3. Vektoriális szorzat
| Tanulási cél: A vektoriális szorzat fogalmának, tulajdonságainak, kiszámolási módjának megismerése, s alkalmazása feladatokban.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 2.3.
Elméleti összefoglaló: Az és vektorok vektoriális szorzatának nevezzük azt az -vel jelölt vektort, melyre az alábbiak teljesülnek.
1. , ahol a két vektor által bezárt szög
2. merőleges az vektorra és a vektorra is
3. és vektorok ezen sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak
Ha és , akkor
A vektoriális szorzás nem kommutatív művelet, .
Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor , ha a két vektor párhuzamos egymással.
megadja a két vektor által kifeszített paralelogramma területének számértékét.
|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Mivel egyenlő , ha és ?
Megoldás:
azaz koordinátákkal rendelkezik.
|
2. feladat Egy téglatest két élvektora és . Határozzuk meg a harmadik élvektort , ha annak hossza egység!
Megoldás: Mivel a keresett vektor -ra és -re is merőleges, ezért párhuzamos -vel, azaz valamilyen számszorosa -nek.
Ahhoz, hogy megtudjuk, a vektor hányszorosa az -nek, határozzuk meg értékét.
Mivel négyszer olyan hosszú, mint az általunk keresett vektor, ezért az -szerese lesz a feladat egy megoldása.
Ha azonban belegondolunk, akkor láthatjuk, hogy nem csak ez a megoldás létezik, hanem ennek a vektornak a -1-szerese is megoldás. Ha úgy képzeljük el, hogy és vízszintesek, akkor a harmadik élvektor mutathat függőlegesen felfelé, vagy függőlegesen lefelé is. Ez látható a következő ábrán.

Két megoldás létezik tehát, s a második megoldás
|
3. feladat Bizonyítsuk be, hogy az csúcspontú négyszög paralelogramma, és határozzuk meg a területét!
Megoldás: Egy négyszög akkor paralelogramma, ha szemben fekő oldalai párhuzamosak. Ez teljesül, ha két szemben fekvő, azonos irányítású oldalvektora megegyezik. Elég tehát azt igazolnunk, hogy .
és , tehát valóban paralelogramma.
A területet a két kifeszítő vektor vektoriális szorzatának abszolút értékeként kaphatjuk meg, azaz
.
|
4. feladat Ha az és vektorok által kifeszített paralelogramma területe 6 egység, akkor hány egység a területe a és vektorok által kifeszített paralelogrammának?
Megoldás: Induljunk megint abból, hogy egy paralelogramma területe egyenlő a kifeszítő vektorok vektoriális szorzatának abszolút értékével.
Helyettesítsünk és helyére.
Bontsuk fel a zárójeleket. A számok körében, ha összeget vagy különbséget egy másik összeggel vagy különbséggel szorzunk, akkor minden tagot minden taggal meg kell szorozni. Ugyanez igaz a vektoriális szorzásnál is. Ügyeljünk azonban arra, hogy a vektoriális szorzásnál számít a sorrend; nem mindegy, melyik az első, s melyik a második tényező.
Ha két vektor párhuzamos, akkor a vektoriális szorzatuk . Emiatt ha egy vektort önmagával szorozzuk vektoriálisan, az eredmény lesz. Jelen esetben
.
Ezt felhasználva .
Vegyük ezután azt is figyelembe, hogy a tényezők felcserélésére a vektoriális szorzat előjelet vált, azaz .
Adott, hogy az és vektorok által kifeszített paralelogramma területe 6 egység, melyet jelöljünk -vel. Mivel , ezért
egység.
|
5. feladat Számítsuk ki az csúcspontokkal megadott háromszög területét!
Megoldás: Ha a háromszöget tükrözzük a oldal felezéspontjára, akkor az eredeti és a tükörkép együttesen egy paralelogrammát alkot, melyet az és vektorok feszítenek ki. Ezen paralelogramma területe éppen kétszerese a háromszög területének. Mivel a paralelogramma területe a kifeszítő vektorok vektoriális szorzatának abszolút értéke, ezért a háromszög területe
.
Megjegyzés: A háromszöget bármelyik oldalának felezéspontjára tükrözve paralelogrammát kapunk. A paralelogramma területe mindegyik esetben ugyanaz, de másik két oldalvektor feszíti ki. Ez látható a következő ábrán. A csúcsok oldalfelezési pontokra vonatkozó tükörképét -vel jelöltük.

Ebből következik, mindegy melyik két oldalvektor esetén vesszük a vektoriális szorzat abszolút értékének a felét, mindegyik esetben a háromszög területét kapjuk.
|
6. feladat Határozzuk meg az csúcspontú háromszög csúcsához tartozó magasságának a hosszát!
Megoldás: Egy ilyen feladatot már megoldottunk az előző leckében. Akkor az egyik oldalvektort felbontottuk egy másik oldalvektorral párhuzamos és rá merőleges összetvőre, s a merőleges összetevő hossza adta meg a magasságot. Most járjunk el más módon. Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen.
Egyrészt középiskolában megismert alakban .
Másrészt az előző feladatban megismert módon .
A két kifejezés egyenlő, s használjuk még ki, hogy az oldal hossza, azonos a vektor abszolút értékével.
Fejezzük ki a kapott egyenletből -t.
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mivel egyenlő , ha és ? |
2. kérdés: Ha az paralelogramma oldala 3 egység, akkor mivel egyenlő ? |
3. kérdés: Mekkora az és vektorok által kifeszített paralelogramma területe? |
4. kérdés: Ha az egymásra páronként merőleges egységvektorok ilyen sorrendben jobbsodrású rendszert alkotnak, akkor mivel egyenlő ? |
5. kérdés: Mekkora az csúcspontú háromszög területe? |
6. kérdés: Mekkora az csúcspontú háromszög csúcshoz tartozó magasságának hossza? |