KURZUS: Matematika II.
MODUL: 3. Lineáris algebra
| Tanulási cél: A szorzás és a transzponálás műveletének megismerése, a műveletek elvégzésének begyakorlása.
Elméleti összefoglaló: Legyen mátrix. Ekkor képezhető a szorzat mátrix, amelynek -edik sorának -edik eleme
minden indexpárra.
Úgy kapjuk tehát a szorzat mátrix elemét, hogy az elöl álló mátrixnak tekintjük az -edik sorát, a hátul álló mátrixnak a -edik oszlopát, majd összeszorozzuk ezek megfelelő elemeit, (a sor első elemét az oszlop első elemével, a sor második elemét az oszlop második elemével, és így tovább), és összeadjuk ezeket a szorzatokat.
A szorzatnak tehát annyi sora lesz, mint ahány sora az elöl álló mátrixnak van és annyi oszlopa, amennyi a hátul álló mátrixnak van.
Azt a feltételt, hogy a szorzatban az elöl álló mátrixnak annyi oszlopa legyen, mint ahány sora a hátul álló mátrixnak van, kompatibilitási feltételnek nevezzük.
A szorzás nem kommutatív, azaz .
A szorzás asszociatív, azaz .
A szorzás mindkét oldalról disztributív az össeadásra nézve, azaz
, és
.
Az mátrix transzponáltja az az mátrix, amelynek -edik sorának -edik eleme
minden indexpárra.
Tehát az eredeti mátrix első sorából lesz a transzponált első oszlopa, a második sorból a transzponált második oszlopa, és így tovább.
A transzponáltra vonatkozó legfontosabb azonosságok:
,
,
.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 3.3.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Legyen . Számítsuk ki az mátrixot.
Megoldás: Az elöl álló mátrix -es típusú, a hátul álló is -es típusú, teljesül tehát a kompatibilitási feltétel, létezik az ilyen sorrendű szorzat és az is -es típusú lesz.
Jelölje a szorzatot , azaz legyen . Ekkor
.
Hasonlóan
,
,
és végül
.
Tehát
. |
2. feladat Tekintsük az mátrixokat. Számoljuk ki az és a márixokat.
Megoldás: Kezdjük az szorzat kiszámolásával.
Ebben az elöl álló mátrix típusú, a hátul álló mátrix típusú. Mivel a típusokban az áláhúzott számok megeggyeznek ez a két mátrix ebben a sorrendben összeszorozható. A szorzat típusa most lesz. Jelölje a szorzatot . A mátrix kilenc elemét kell tehát kiszámolnunk.
A elem kiszámolásához az mátrix első sorát és a mátrix első oszlopát kell felhasználni, hiszen ez az elem az első sorban és az első oszlopban áll. Ekkor kapjuk, hogy
.
A szorzat mátrix első sorának második elemének, a elemnek, a kiszámolásához az mátrix első sorát és a mátrix második oszlopát kell felhasználni:
.
A elem az mátrix első sorából és a mátrix harmadik oszlopából
.
A szorzat mátrix második sorának első eleme, a elem, az mátrix második sorának és a mátrix első oszlopának felhasználásával
.
Hasonlóan számolva a többi elem:
,
,
,
,
.
Tehát .
A mátrix elemeit hasonlóan számolva:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Vagyis
.
Ez a példa is mutatja, hogy a mátrixok szorzása nem kommutatív. |
3. feladat Legyen . Számoljuk ki és a szorzatokat.
Megoldás: Mind az , mind a szorzat létezik és -as, -es típusú.
Most
,
és
.
Már a típusok különbözősége is mutatja, hogy a szorzás nem kommutatív. |
4. feladat Legyen . Számítsuk ki az és a szorzatokat.
Megoldás: Mindkét szorzat létezik és mindkettő -as típusú.
,
és
.
Látjuk, hogy a két eredmény ugyanaz. Az, hogy a szorzás nem kommutatív, nem jelenti azt, hogy nem léteznek mátrixok, amelyek egymással felcserélhetők, csak azt, hogy nem mindig felcserélhetők. |
5. feladat Tekintsük az mátrixokat és számoljuk ki az szorzatot.
Megoldás: A szorzat létezik, mert teljesül a kompatibilitási feltétel, és a szorzat típusa . Az ilyen mátrixokat azonosítjuk a válós számokkal és zárójelek nélkül írjuk le. Tehát
.
A mártixot, mivel csak egy sora van, sormátrixnak is hívjuk. Az ilyen mátrixok azonosíthatók a vektorokkal, most az egy térbeli vektornak is tekinthető.
A mátrixot, mivel egy oszlopa van, oszlopmátrixnak is hívjuk. Az ilyen mátrixok is azonosíthatók a vektorokkal, most a is tekinthető egy térbeli vektornak.
Vegyük még észre, hogy a fenti szorzat, ha a mátrixokat vektoroknak tekintjük, éppen ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatával egyenlő. |
6. feladat Számítsuk ki az és a mátrixok szorzatát.
Megoldás: Ez a szorzat is létezik, és egy -es és egy -es mátrix szorzata -es.
|
7. feladat Legyen . Mivel egyenlő ?
Megoldás: Egy mátrix különböző kitevős hatványai egymással felcserélhető, ezért, mivel
,
mindegy, hogy -t szorozzuk -el, vagy -et -val.
Mivel ,
.
|
8. feladat Legyen . Számítsuk ki az mátrixot.
Megoldás: Az -val együtt az is -as mátrix, minden kijelölt művelet elvégezhető, és az eredmény is -as mátrix lesz. Mivel
,
.
Ezt felhasználva
.
A további feladatokban annak ellenőrzését, hogy a kijelölt műveletek elvégezhetők és a kapott mátrixok típusának megállapítását az olvasóra bízzuk. |
9. feladat Ha , és , akkor mivel egyenlő ?
Megoldás: Mivel
,
ezért
,
és ezt felhasználva
.
De úgy is számolhatunk, hogy felhasználjuk azt, hogy összeget tagonként lehet transzponálni. Ekkor
. |
10. feladat Legyen . Számítsuk ki az mátrixot.
Megoldás: Ha ebben az alakjában számolnánk ki a kifejezés értékét, akkor négy szorzást és három összeadást kéne elvégeznünk. Érdemes átalakítanunk a kifejezést. Észrevehetjük, hogy az első két tagból kiemelhető (hátra) a , az utolsó két tagból (szintén hátra) az mátrix. Így
.
Az utolsó összeg mindkét tagjából kiemelhető előre az mátrix. Tehát
.
Az összeadás kommutatív, így . Vagyis amit ki kell számolnunk az .
Minthogy
,
.
Így csak egy összeadást és egy szorzást kellett elvégeznünk.
|
| Ellenőrző kérdések |
1. kérdés Ha , akkor |
2. kérdés Legyen . Ekkor |
3. kérdés Ha , akkor |
4. kérdés Legyen . Ekkor |
5. kérdés Tekintsük az mátrixot. Ebben az esetben |
6. kérdés Ha
,
.
akkor |
7. kérdés Ha , akkor |
8. kérdés Ha , akkor |