KURZUS: Matematika II.

MODUL: 1. Vektorok

1.8. Térelemek távolsága

Tanulási cél: A különböző térelemek (pont, egyenes, sík) közötti távolság meghatározási módjainak megismerése és alkalmazása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények
Fejezet: 2.

Elméleti összefogló:
Két pont távolsága
Az A ( a 1 , a 2 , a 3 ) és B ( b 1 , b 2 , b 3 ) pontok távolsága egyenlő | A B | -vel, azaz d A , B = ( b 1 a 1 ) 2 + ( b 2 a 2 ) 2 + ( b 3 a 3 ) 2 .
(Távolság jelölésére általában d -t használunk.)

Pont és egyenes távolsága
A P pont és az e egyenes távolsága d P , e = | P 0 P × v e | = | P 0 P × v | | v | , ahol P 0 az e egyenes tetszőleges pontja, v az egyenes irányvektora, v e pedig a v irányába mutató egységvektor.

Pont és sík távolsága
A P pont és az S sík távolsága d P , S = | P 0 P n e | = | P 0 P n | | n | , ahol P 0 az S sík tetszőleges pontja, n a sík normálvektora, n e pedig az n irányába mutató egységvektor.

Két párhuzamos egyenes távolsága
Az egyik egyenesen felveszünk egy pontot, s ennek távolságát határozzuk meg a másik egyenestől. Így a feladatot visszavezetjük pont és egyenes távolságának meghatározására.

Két kitérő egyenes távolsága
Az e és f kitérő egyenesek esetében vegyük az e egyenes egy tetszőleges pontját, s azt a síkot, mely illeszkedik az f egyenesre és párhuzamos az e egyenesssel. Ezen pont és sík távolsága megegyezik a két kitérő egyenes távolságával, így a problémát visszavezetjük pont és sík távolságának meghatározására.

Egyenes és vele párhuzamos sík távolsága
Az egyenesen felveszünk egy pontot, s ennek a távolságát határozzuk meg a síktól. Így a feladatot visszavezetjük pont és sík távolságának meghatározására.

Két párhuzamos sík távolsága
Az egyik síkon felveszünk egy pontot, s ennek távolságát határozzuk meg a másik síktól. Így a feladatot visszavezetjük pont és sík távolságának meghatározására.

Ha két alakzat metszi egymást, akkor távolságuk zérus.

1. feladat Határozzuk meg az A ( 2, 1, 5 ) , B ( 3, 2, 1 ) , C ( 6, 4, 3 ) csúcspontú háromszög kerületét!

Megoldás:
A kerület a három oldal hosszának az összege, amit úgy is mondhatunk, hogy a csúcsok egymástól mért távolságainak összege.

K = d A , B + d A , C + d B , C = | A B | + | A C | + | B C |

Az előforduló vektorok koordinátái.

A B ( 1, 3, 4 ) , A C ( 4, 5, 2 ) , B C ( 3, 2, 2 )

A vektorok abszolút értéke.

| A B | = 1 2 + 3 2 + ( 4 ) 2 = 26 , | A C | = 4 2 + 5 2 + ( 2 ) 2 = 45 , | B C | = 3 2 + 2 2 + 2 2 = 17

Végül a háromszög kerülete.

K = 26 + 45 + 17 15,93

2. feladat Határozzuk meg az A ( 4, 2, 1 ) pont és az e : x = 3 2 t , y = 4 + t , z = 6 t R egyenes távolságát!

Megoldás:
A feladat megoldása során be kell helyettesítenünk a d P , e = | P 0 P × v | | v | képletbe, ahol most P -nek az A pont felel meg. A behelyettesítés előtt azonban meg kell határoznunk az egyenes egy pontját, és irányvektorát.

P 0 ( 3, 4, 6 ) , v ( 2, 1, 0 )

Szükségünk van a P 0 P vektornak megfelelő P 0 A vektor koordinátáira is.

P 0 A ( 1, 6, 5 )

A jobb követhetőség miatt célszerű részletekben számolni. Először a vektoriális szorzatot határozzuk meg.

P 0 A × v = | i j k 1 6 5 2 1 0 | = | 6 5 1 0 | i | 1 5 2 0 | j + | 1 6 2 1 | k =

= ( ( 6 ) . 0 ( 5 ) . 1 ) i ( 1 . 0 ( 5 ) . ( 2 ) ) j + ( 1 . 1 ( 6 ) . ( 2 ) ) k = 5 i + 10 j 11 k

Ezután a vektorok abszolút értékeit számoljuk.

| P 0 A × n | = 5 2 + 10 2 + ( 11 ) 2 = 246

| v | = ( 2 ) 2 + 1 2 + 0 2 = 5

Végül behelyettesítünk a távolság képletébe.

d A , e = 246 5 = 246 5 7.01

3. feladat Milyen messze van az A ( 3, 2, 5 ) pont az S : 2 x y + z = 6 síktól?

Megoldás:
Lényegében annyi a feladat, hogy behelyettesítünk a d P , S = | P 0 P n | | n | képletbe, ahol P -nek most is az A felel meg. A megoldás során haladjunk ugyanúgy részletekben, mint az előző feladatban. Először határozzuk meg a sík egy pontját. Két koordináta szabadon választható, legyen y = z = 0 . A harmadik koordináta a sík egyenletéből számolható.

P 0 ( 3, 0, 0 ) P 0 A ( 0, 2, 5 )

Olvassuk ki a normálvektor koordinátáit.

n ( 2, 1, 1 )

Számoljuk ki a skaláris szorzatot.

P 0 A n = 0 . 2 + 2 . ( 1 ) + 5 . 1 = 3 | P 0 A n | = 3

(A skaláris szorzat eredménye szám, egyszerűen egy szám abszolút értékét vettük.)

| n | = 2 2 + ( 1 ) 2 + 1 2 = 6

d A , S = 3 6 = 9 6 = 3 2 1.22

4. feladat Igazoljuk, hogy az A ( 1, 3, 7 ) , B ( 3, 6, 1 ) , C ( 4, 2, 3 ) , D ( 2, 5, 3 ) csúcspontú négyszög paralelogramma, és határozzuk meg A B oldalhoz tartozó magasságot.

Megoldás:
Egy hasonló feladattal már találkoztunk a vektoriális szorzatról szóló leckében. Most kövessünk más utat a bizonyítás során, mint akkor. Használjuk fel, hogy egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha az átlói felezik egymást. Határozzuk meg a két átló felezéspontját, s ha a kettő egybeesik, akkor a négyszög paralelogramma. Legyen az A C átló felezéspontja E , a B D átló felezéspontja pedig F .

e 1 = a 1 + c 1 2 = 1 + 4 2 = 5 2 , e 2 = 3 2 2 = 1 2 , e 3 = 7 3 2 = 2 E ( 5 2 , 1 2 , 2 )

f 1 = b 1 + d 1 2 = 3 + 2 2 = 5 2 , f 2 = 6 5 2 = 1 2 , f 3 = 1 + 3 2 = 2 F ( 5 2 , 1 2 , 2 )

A négyszög tehát valóban paralelogramma.

A magasság meghatározása lényegében azt jelenti, hogy az A B és C D párhuzamos oldalegyenesek távolságát kell meghatároznunk. Ez ugyanaz, mintha a C pont távolságát határoznánk meg az A B oldal egyenesétől. Ha egyszerűen a képletbe akarunk helyettesíteni, akkor azt kell tisztáznunk, melyik jelen esetben a P és a P 0 pont, s mi a v vektor.
Most a C pont távolságát akarjuk meghatározni egy egyenestől, tehát P = C . Az A B egyenes egy pontja például A , ezért P 0 = A . Az egyenes irányvektora pedig lehet a paralelogramma megfelelő oldalvektora, azaz v = A B . Így a keresett magasság a következő.

m = d C , e = | A C × A B | | A B |

(A képletben e az A B oldal egyenesét jelöli.)

A B ( 2, 3, 6 ) , A C ( 3, 5, 10 )

A C × A B = | i j k 3 5 10 2 3 6 | = | 5 10 3 6 | i | 3 10 2 6 | j + | 3 5 2 3 | k =

= ( ( 5 ) . ( 6 ) ( 10 ) . 3 ) i ( 3 . ( 6 ) ( 10 ) . 2 ) j + ( 3 . 3 ( 5 ) . 2 ) k = 60 i 2 j + 19 k

| A C × A B | = 60 2 + ( 2 ) 2 + 19 2 = 3965

| A B | = 2 2 + 3 2 + ( 6 ) 2 = 49 = 7

m = 3965 7 9.00

5. feladat Határozzuk meg az A ( 0, 0, 0 ) , B ( 1, 0, 0 ) , C ( 1, 2, 0 ) , D ( 0, 1, 2 ) csúcspontú tetraéderben, A B és C D oldalegyenesek távolságát!

Megoldás:
A tetraéder ezen két éle kitérő, tehát két kitérő egyenes távolságát kell meghatároznunk. Mint az elméleti összefoglalóban szerepelt, ez visszavezethető pont és sík távolságára. A pont illeszkedik az egyik egyenesre, a sík pedig a másikra úgy, hogy a pontra illeszkedő egyenessel párhuzamos. Ha például a pontnak most C -t választjuk ( P = C ) , akkor a sík illeszkedik az A B oldal egyenesére, és párhuzamos a C D oldal egyenesével. Ezen S sík n normálvektora merőleges az A B és C D vektorokra, hiszen ha egy egyenes párhuzamos egy síkkal, akkor az egyenessel párhuzamos vektorok merőlegesek a sík normálvektorára. Ez azt jelenti, hogy a sík normálvektora A B × C D is lehet. Ha ezt meghatároztuk, behelyettesíthetünk a d P , S = | P 0 P n | | n | képletbe. Ebben P 0 a sík egy tetszőleges pontja, ez lehet pédául A is, ekkor P 0 P = A C .
(Mivel a távolság képletében csak a sík normálvektora szerepel, ezért a sík egyenletét nem írjuk fel.)
A B ( 1, 0, 0 ) , C D ( 1, 1, 2 ) , A C ( 1, 2, 0 )

A B × C D = | i j k 1 0 0 1 1 2 | = | 0 0 1 2 | i | 1 0 1 2 | j + | 1 0 1 1 | k =

= ( 0 . 2 0 . ( 1 ) ) i ( 1 . 2 0 . ( 1 ) ) j + ( 1 . ( 1 ) 0 . ( 1 ) ) k = 2 j k

n = A B × C D ( 0, 2, 1 )

| P 0 P n | = | A C ( A B × C D ) | = | 1 . 0 + 2 . ( 2 ) + ( 1 ) . 0 | = 4

| n | = | A B × C D | = 0 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 5

d C , S = 4 5 1.79 és ez egyben a két oldalegyenes távolsága is.

6. feladat Egy paralelepipedon egyik csúcsa A ( 2, 1, 3 ) , s az ezen csúcsból kiinduló élvektorok a ( 3, 3, 2 ) , b ( 1, 0, 4 ) , c ( 2, 1, 7 ) . A csúcsok betűzése legyen az ábrának megfelelő.



Határozzuk meg az F G oldalegyenes és az A B C D lapsík távolságát!

Megoldás: Mint az ábráról is látható, egy egyenes és egy vele párhuzamos sík távolságát kell meghatároznunk. Ezt visszavezetjük az egyenes egy tetszőleges ponjának és a síknak a távolságára. Szükségünk van tehát az egyenes egy pontjára, ez lehet pl. F , s így a pont és sík távolságának képletében ( d P , S = | P 0 P n | | n | ) a P helyére F kerül majd. A sík egy pontja is kell, ez lehet pl. A , s így képletben P 0 = A fog szerepelni. Még a sík normálvektora szükséges, melyet a síkon fekvő két vektor vektoriális szorzataként kaphatunk meg, így a képletben n = a × b lesz.
Határozzuk meg először az F pont koordinátáit, melyek a pont helyvektorának, azaz O F -nek a koordinátái. Ehhez a helyvektort állítsuk elő ismert vektorok összegeként.

O F = O A + A B + B F = O A + A B + A E = O A + a + c

Tehát az F pont koordinátáit úgy kapjuk, hogy az A pont koordinátáihoz hozzáadjuk az a és c vektor koordinátáit.

F ( 3, 3, 8 ) A F ( 1, 4, 5 )

Határozzuk meg ezután a vektoriális szorzatot.

a × b = | i j k 3 3 2 1 0 4 | = | 3 2 0 4 | i | 3 2 1 4 | j + | 3 3 1 0 | k =

= ( 3 . 4 ( 2 ) . 0 ) i ( 3 . 4 ( 2 ) . 1 ) j + ( 3 . 0 3 . 1 ) k = 12 i 14 j 3 k

n = a × b ( 12, 14, 3 )

P 0 P n = A F ( a × b ) = 1 . 12 + 4 . ( 14 ) + 5 . ( 3 ) = 59 | P 0 P n | = 59

| n | = 12 2 + ( 14 ) 2 + ( 3 ) 2 = 349

Végül a részeredményeket helyettesítsük be a távolság képletébe.

d = 59 349 3.16

Megjegyzés:
Ugyanezt az eredményt kaptuk volna, ha az A B C D és E F G H lapok síkjának távolsága lett volna a kérdés. Ekkor két párhuzamos sík távolságát kellett volna számolni, s ezt ugyanúgy az F pont és az A B C D lap síkjának távolságaként kapjuk meg.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Milyen messze van az A ( 5, 2, 3 ) pont a B ( 1, 4, 3 ) , C ( 5, 2, 1 ) szakasz felezéspontjától?
26
45
59
66
2. kérdés: Mennyi a P ( 1, 3, 2 ) pont és az e : x = 2 , y = 1 t , z = 10 + 4 t t R egyenes távolsága?
2
7
3
5
3. kérdés: Milyen messze van a P ( 7, 4, 9 ) pont az S : 3 x 4 z = 7 síktól?
3
5
8
10
4. kérdés: Mennyi az e : x = 2 + 3 t , y = 4 t , z = 3 + 2 t t R és f : x = 1 + 3 t , y = 11 t , z = 9 + 2 t t R párhuzamos egyenesek távolsága?
17
38
47
71
5. kérdés: Mennyi az e : x = 5 + t , y = 6 t , z = 2 + 3 t t R egyenes és az S : 4 x + y + z = 9 sík távolsága?
0
3
2 2
17
6. kérdés: Mennyi az S 1 : 6 x y + 3 z = 2 és S 2 : 6 x y + 3 z = 25 párhuzamos síkok távolsága?
23 2
19
5
43