KURZUS: Matematika II.
MODUL: 1. Vektorok
1.9. Térelemek hajlásszöge
| Tanulási cél: Módszer megismerése a térelemek (egyenes, sík) hajlásszögének meghatározására, alkalmazás feladatok megoldásában.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények Fejezet: 2.
Elméleti összefoglaló: Térelemek hajlásszögét a térelemek állását jellemző vektorok (egyenes esetén irányvektor, sík esetén normálvektor) szögéből határozzuk meg. Korábban már szerepelt, hogy az és vektorok szögét a öszefüggésből határozzuk meg.
Két egyenes hajlásszöge A két egyenes irányvektorainak szögét határozzuk meg, ez legyen . Ha , akkor a két egyenes hajlásszöge .

Ha , akkor a két egyenes hajlásszöge .

Egyenes és sík hajlásszöge Az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának szögét határozzuk meg, ez legyen . Ha , akkor az egyenes és sík hajlásszöge .

Ha , akkor az egyenes és sík hajlásszöge .

Két sík hajlásszöge A két sík normálvektorainak szögét határozzuk meg, ez legyen . Ha , akkor a két sík hajlásszöge .

Ha , akkor a két sík hajlásszöge .

|
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az és
egyenesek hajlásszögét!
Megoldás: Először olvassuk ki az egyenes irányvektorának koordinátáit.
Az irányvektorának meghatározásához alakítsunk az egyenes egyenletrendszerén.
Határozzuk meg az irányvektorok szögét.
Mivel , ezért az egyenesek hajlásszöge .
|
2.feladat Határozzuk meg az paralelogramma átlóegyeneseinek szögét! (A betűzés a szokásos, azaz óramutató járásával ellentétes körüljárású. Így az és egymással szemközti csúcsok.)
Megoldás: A két egyenes irányvektorainak szögét határozzuk meg először. Az egyik egyenes irányvektora az , a másiké pedig a vektor is lehet. Adjuk meg ezen vektorok koordinátáit.
Számoljuk az irányvektorok szögét.
Mivel , ezért az átlóegyenesek szöge .
|
3. felaldat Számítsuk ki a tengely és az sík hajlásszögét!
Megoldás: Mivel most egy egyenes és egy sík szöge a kérdés, az egyenes irányvektorára és a sík normálvektorára van szükségünk.
Számoljuk ki ezen vektorok szögét.
Most , ezért az egyenes és a sík hajlásszöge .
|
4. feladat Határozzuk meg, mekkora szöget zár be az tetraéderben az oldal egyenese az oldallap síkjával!
Megoldás: Mint az előző feladatban, most is egy egyenes és egy sík hajlásszöge a kérdés. Szükségünk van tehát az egyenes irányvektorára, és a sík normálvektorára. Irányvektor lehet pl. az vektor, melynek koordinátái a következők:
Ha kisebb számokkal akarunk számolni, akkor vehetjük ennek a harmadát, az is irányvektor lesz.
A sík normálvektorát megkaphatjuk két a síkon fekvő vektor, pl. és , vektoriális szorzataként.
Mivel a koordináták oszthatók 12-vel, célszerűbb normálvektornak az -szeresét venni.
Határozzuk meg ezután az irányvektor és a normálvektor szögét.
Mivel , a keresett szög .
|
5. feladat Határozzuk meg, mekkora szöget zár be egymással az és az sík?
Megoldás: Olvassuk ki a síkok egyenletéből normálvektoraik koordinátáit.
Számítsuk ki a normálvektorok szögét.
Mivel , a két sík szöge .
|
6. feladat Számítsuk ki az tetraéderben az és oldallapok síkja által bezárt szöget!
Megoldás: Először a síkok normálvektorait kell meghatároznunk. Mindkét sík esetén a síkon fekvő két vektor vektoriális szorzatát vehetjük. Így az lap síkjának normálvektora pl. , a másiknak pedig . Állítsuk elő a számoláshoz szükséges vektorok koordinátáit.
Számoljuk a vektoriális szorzatokat.
Határozzuk meg ezután a normálvektorok szögét.
Ebből következik .
Mivel , ezért a két sík hajlásszöge .
Ellenőrző kérdések:
|
| 1. kérdés: Mekkora szöget zár be egymással az és az egyenes? |
2. kérdés: Mekkora az paralelogramma kisebb szöge? |
3. kérdés: Mekkora szöget zár be az egyenes az és tengelyek által kifeszített síkkal? |
4. kérdés: Mekkora szöget zár be az tetraéder oldalegyenese az lap síkjával? |
5. kérdés: Mekkora az és síkok szöge? |
6. kérdés: Mekkora szöget zár be a negyedik kérdésben szereplő tetraéderben az lap síkja az lap síkjával? |