KURZUS: Matematika II.

MODUL: 2. Többváltozós függvények

2.10 Kétszeres integrálok

Tanulási cél: A kétszeres integrálok kiszámolásának begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények.
Fejezet: 4.8.

Elméleti összefoglaló: Az alábbi típusú kétszeres integrálokkal fogunk foglalkozni:

a b ( c d f ( x , y ) d y ) d x , a b ( c d f ( x , y ) d x ) d y ,

a b ( ϕ ( x ) ψ ( x ) f ( x , y ) d y ) d x , a b ( ϕ ( y ) ψ ( y ) f ( x , y ) d x ) d y .

Minden esetben először a belső integrált kell meghatározni. Ez a másik változó függvénye lesz, mint ami szerint a belső integrálban integráltunk. Ezt a függvényt kell aztán a külső integrálban megadott határok között még integrálnunk. Amikor a belső integrálban behelyettesítjük az alsó és a felső határt, különösen, ha azok függvények, fontos észbentartanunk, hogy a belső integrálban mi a változó, hogy annak a helyére helyettesítsünk.

Kidolgozott feladatok

1. feladat Számítsuk ki az 0 1 ( 0 1 ( x y ) d x ) d y kétszeres integrált.

Megoldás: A kétszeres integrálok kiszámolását mindig a belső integrál meghatározásával kezdjük. Ez most

0 1 ( x y ) d x .

Ebben az integrálban az integrandus x y , és a d x mutatja, hogy az integrandusban az x a változó, minden mást konstansnak kell tekinteni.

Keressük tehát azt a kétváltozós függvényt, amelynek x szerinti parciális deriváltja x y . Tudjuk, hogy ilyenből végtelen sok van, amelyek egymástól csak egy, x -től nem függő, de az y -tól általában függő, x -re nézve additív konstansban különböznek. Most azt kapjuk, hogy

( x y ) d x = x 2 2 . y + c .

Innen

0 1 ( x y ) d x = [ x 2 2 . y ] 0 1 .


Ügyelni kell arra, hogy amikor behelyettesítjük a felső és az alsó határt, akkor a változó helyére helyettesítsük be őket, ami most az x . Itt a szögletes zárójelben lévő megváltozásba azért nem írtuk be a c -t, mert az nem függ x -től, a megváltozás kiszámolásakor úgyis kiesne. Így kapjuk, hogy

0 1 ( x y ) d x = [ x 2 2 . y ] 0 1 = y 2 .

A külső integrálban az y -nak ezt a függvényét kell még y szerint integrálni a 0 és 1 határok között. Tehát

0 1 ( 0 1 ( x y ) d x ) d y = 0 1 y 2 d y = [ y 2 4 ] 0 1 = 1 4 .

2. feladat Számítsuk ki az 1 0 ( 0 1 ( x + y ) d y ) d x kétszeres integrált.

Megoldás: Kezdjük a belső integrál meghatározásával. Mivel annak az integrandusában az y változó, ez most az x egy függvénye lesz.

0 1 ( x + y ) d y = [ x y + y 2 2 ] 0 1 = x + 1 2 .

(A primitív függvény meghatározásakor a konstansnak tekintett x y szerinti integrálja x y , a határokat pedig az y helyére kell behelyettesíteni.)

Ezt figyelembe véve

1 0 ( 0 1 ( x + y ) d y ) d x = 1 0 ( x + 1 2 ) d x = [ x 2 2 + x 2 ] 1 0 = 0 ( 1 2 1 2 ) = 0 .

3. feladat Számítsuk ki az 1 3 ( 0 2 x y ( x 2 y 2 1 ) d y ) d x kétszeres integrált.

Megoldás: Érdemes most az integrandusban elvégezni a szorzát, így a belső integrálra az alábbit kapjuk:

0 2 ( x 3 y 3 x y ) d y = [ x 3 y 4 4 x y 2 2 ] 0 2 = 4 x 3 2 x .

Innen

1 3 ( 0 2 ( x y ( x 2 y 2 1 ) ) d y ) d x = 1 3 ( 4 x 3 2 x ) d x = [ x 4 x 2 ] 1 3 = 72 .

4. feladat Számítsuk ki az alábbi kétszeres integrált:

0 1 ( x 1 x + 1 ( x 2 y ) d y ) d x .

Megoldás: Miután

x 1 x + 1 ( x 2 y ) d y = [ x y y 2 ] x 1 x + 1 = x ( x + 1 ) ( x + 1 ) 2 ( x ( x 1 ) ( x 1 ) 2 ) =

x 2 + x ( x 2 2 x + 1 ) ( x 2 x ) + x 2 2 x + 1 = 2 x 2 + 2 x ,

0 1 ( x 1 x + 1 ( x 2 y ) d y ) d x = 0 1 ( 2 x 2 + 2 x ) d x = [ 2 x 3 3 + x 2 ] 0 1 = 1 3 .

5. feladat Számítsuk ki az alábbi kétszeres integrált:

1 2 ( y 2 y ( x y ) d x ) d y .

Megoldás: Ebben az esetben a belső integrál

y 2 y x y d x = [ x 2 2 y ] y 2 y = 2 y y 2 .

Ebből pedig

1 2 ( y 2 y ( x y ) d x ) d y = 1 2 ( 2 y y 2 ) d y = [ y 2 y 2 4 ] 1 2 = 3 3 4 = 9 4 .

6. feladat Számítsuk ki az 1 4 1 ( x 2 x x y d y ) d x integrált.

Megoldás: Ebben az esetben

x 2 x x y d y = x 2 x x y d y = x 2 x 2 x 2 y d y = [ 2 x y ] x 2 x = 2 x 2 x x = 2 x x 3 2 ,

ezért

1 4 1 ( x 2 x x y d y ) d x = 1 4 1 ( 2 x x 3 2 ) d x = [ x 2 x 5 2 5 2 ] 1 4 1 = ( 1 2 5 ) ( 1 16 2 5 ( 1 4 ) 5 2 ) = 11 20 .

Ellenőrző kérdések

1. kérdés: Az 0 3 ( 0 2 ( x y ) d x ) d y kétszeres integrál értéke
8 .
4 .
16 .
9 .
2. kérdés: Az 0 1 ( 1 2 ( x 2 2 y ) d y ) d x kétszeres integrál értéke
8 3 .
8 3 .
15 6 .
15 6 .
3. kérdés: 0 1 ( 0 1 ( x 2 y ) 2 d y ) d x =
3 2 .
1 3 .
2 3 .
1 2 .
4. kérdés: 1 0 ( 2 x x ( 2 x y ) 2 d y ) d x =
2 .
2 .
3 .
3 .
5. kérdés: 1 2 ( y 3 y ( x 1 y ) d x ) d y =
20 3 .
22 3 .
8 .
26 3 .
6. kérdés: 0 1 ( x x ( x + 3 x y 2 ) d y ) d x =
45 38 .
48 35 .
38 45 .
35 48 .