KURZUS: Matematika II.
MODUL: 2. Többváltozós függvények
| Tanulási cél: Egy a lehetséges feltételes szélsőértékek meghatározását lehetővé tévő módszer elsajátítása.
Tananyag: Tankönyv: Gáspár Csaba, Molnárka Győző: Lineáris algebra és többváltozós függvények. Fejezet: 4.6.
Elméleti összefoglaló: Tételezzük fel, hogy az és függvényeknek az elsőrendű parciális derivált függvényei folytonosak egy, a görbét tartalmazó nyílt halmazon, és azt, hogy a görbe egyetlen pontjában sem.
Ekkor, ha az függvénynek feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke van az pontban, akkor ebben a pontban párhuzamos -vel, azaz
.
valamilyen valós számra.
Erre a tételre alapozva a feltételes szélsőértékek megkeresésére a következő módszer adódik.
A gradiensek párhuzamosságát leíró
vektoregyenletet koordinátánként kiírva az
egyenletrendszert kapjuk.
Ebből kiküszöbölve a paramétert az ismeretlenek között egy összefüggést kapunk. Ebből az egyenletből és a feltételt jelentő egyenletből álló egyenletrendszert megoldva megkapjuk a feltételes szélsőértékhelyek lehetséges jelöltjeit.
Ezek közül a jelöltek közül aztán egyszerűbb esetekben, egyéb megfontolások alapján, általában geometriai okokra hivatkozva, kiválaszthatók a valódi szélsőértékhelyek.
A megfogalmazásból az olvasó nyilván érzi, hogy ezen az úton sok buktató van, szerencsés esetben a tétel feltételei teljesülnek, és a számolások végrehajthatók.
Kidolgozott feladatok |
1. feladat Határozzuk meg, hogy az függvénynek mely pontokban lehet a feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke.
Megoldás:
Első megoldás:
A feltételt jelentő egyenletből kifejezhetjük például az változót:
.
Ha ezt behelyettesítjük az függvénybe, akkor az egyváltozós
függvényt kapjuk, és az a feladatunk, hogy ennek keressük meg a lokális szélsőértékeit.
Mivel
,
az pontosan akkor, ha . Az is látszik, hogy itt előjelet vált, mégpedig negatívból pozitívba. Ezért ez lokális minimum hely, és a hozzátartozó érték: .
Tehát a pontban feltételes lokális minimum van.
Második megoldás:
A függvény gradiens vektora
.
Ez egyetlen pontban sem nullvektor.
Ezért az függvénynek a feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke csak olyan pontban lehet, ahol az függvény gradiens vektora párhuzamos a függvény gradiens vektorával, azaz
valamilyen valós számra.
Mivel
,
ebből azt kapjuk, hogy . Kiírva ezt koordinátánként
.
Kiküszöböljük ebből az egyenletrendszerből a -t. A második egyenletből kapjuk, hogy
.
Ezt az első egyenletbe beírva
.
Tehát szélsőérték csak olyan, a feltételt kielégítő pontban lehet, amely az előbbi feltételt is kielégíti. Beírva az képletet a formulába
adódik. Ebből , és ekkor .
Tehát a függvénynek egyedül a pontban lehet a feltételt kielégítő szélsőértéke.
Tudjuk, hogy a módszerünkel csak ennyit tudunk megállapítani.
Most az első megoldásból tudjuk, hogy ez egy loklis minimumhely.
Tekintsük végül az alábbi ábrát.

A feladatunk geometriailag úgy értelmezhető, hogy elmetszük a felületünket az -síkot az egyenesben metsző, a tengellyel párhuzamos síkkal. Az egyenes szakasz az ábrán ezen két sík metszésvonalának egy darabja.
Ez a sík a felületünket az ábrán vastag fekete vonallal jelölt görbében metszi, (ami most egy parabola). Ennek a görbének keressük a lokális szélsőértékeit. Az ábráról is látszik, hogy most egy darab lokális minimum van. |
2. feladat Határozzuk meg. hogy az függvénynek mely pontokban lehet az feltételt kielégítő feltételes szélsőértéke.
Megoldás: A feltételi egyenletet kielégítő pontok az origó középpontú, egysésugarú kör pontjai.
A feltételi egyenletet nullára rendezve kapjuk, hogy
.
Most
,
és
.
Ez utóbbiról láthatjuk, hogy a feltételt kielégítő pontok közül egyikben sem a nullvektor.
A körvonalunknak azokat a pontjait keressük, amelyekre
valamilyen valós számra, mert csak ilyen pontban lehet feltételes szélsőérték.
Kiírva a fenti vektoregyenletet koordinátánként az
egyenletrendszert kapjuk.
Szélsőértéket adó pont egyik koordinátája sem lehet nulla, mert akkor az értéke is nulla lenne, és a körvonalnak vannak olyan pontjai, ahol az nullánál nagyobb értéket vesz fel, (például, ha mindkét koordináta pozitív), és olyan pontok is, ahol az nullánál kisebb értéket vesz fel, (akkor, ha a két koordináta különböző előjelű).
Feltehetjük tehát, hogy sem az , sem az nem nulla.
Ekkor mindkét egyenletből kifejezve a -t, az kapjuk, hogy
,
amiből az
összefüggést kapjuk. Ezt beírva a feltételi egyenletbe
.
Ebből .
Ha , akkor két lehetséges értéket kapunk:
,
ha pedig , akkor is két érték adódik:
.
Tehát a
pontokban lehet feltételes szélsőérték.
Ezzel tehát megoldottuk a feladatunkat.
A feladatnak most is van geometriai interpretációja. A térben azok a pontok, amelyek első két koordinátái kielégítik az egyenletet egy tengelyű, az -síkot az egyenletű körben metsző henger felületére esnek. Feladatunk tehát a henger és a függvényünk grafikonjának metszésvonalán megkeresni azokat a pontokat, amelyekben az első két koordináta szorzata a lehető legnagyobb, vagy legkisebb.
A függvényünk grafikonját, és ezt a metszésvonalat mutatja az alábbi ábra.

Az ábráról persze látszik, hogy a négy pont közül kettő, azok, amelyekben a koordináták azonos előjelűek, feltételes lokális maximumot adnak, a másik két pont pedig feltételes lokális minimumot. |
3. feladat Az egyenesnek melyik pontja van a legközelebb az ponthoz?
Megoldás: Ezt a feladatot a vektorgeometriában tanultak felhasználásával, sőt, a középiskolaban tanultak alapján is, meg tudnánk oldani. Mi most feltételes szélsőérték-feladatként fogjuk megoldani feladatot.
Először is a pont távolságát az ponttól az formulával lehet kiszámolni.
Továbbá az egyenes egyenletét nullára rendezhetjük és felírhatjuk a
alakban is. Azok a pontok vannak az egyenesen, amelyek koordinátái kielégítik ezt az egyenletet.
Feladatunkat ezért megfogalmazhatjuk így is:
határozzuk meg az
függvény
feltételt kielégítő feltételes minimumát.
Még egy dolgot célszerű most meggondolni. A gyökfüggvény szigorú monotonitása miatt a , és az kifejezés ugyanott veszi fel a minimumát. Ezzel végül is a következő feladathoz jutunk.
Határozzuk meg az
függvény
feltételt kielégítő feltételes minimumát.
Mivel
,
és
,
feltételes szélsőérték csak a
feltételt kielégítő pontokban lehet, ahol valamilyen valós szám.
Kiírva koordinátánként ezt, ez azt jelenti, hogy a
egyenleteknek kell teljesülni.
Mindkét egyenletből kifejezve a -t azt kapjuk, hogy
.
A bal oldalak egyenlőségéből következik, hogy
,
amiből
.
Beírva ezt a feltételi egyenletbe kapjuk, hogy
,
,
.
Ebből .
Feltételes szélsőérték tehát csak a pontban lehet.
Mivel geometriai megfontolásból tudjuk, hogy a minimális távolságot adó pont létezik, így az nem lehet más, mint ez a pont.
|
4. feladat Az egyenletű körvonalnak melyik pontja van a legközelebb a ponthoz.
Megoldás: Egy koordinátájú pontnak a ponttól mért távolságának a negyzete
.
Ennek a függvénynek keressük a legkisebb értékét, ha a pont a körvonalra esik, azaz a
feltétel mellett.
,
.
Ezeknek a vektoroknak kell párhuzamosnak lenni, azaz teljesülni kell, hogy
.
Kiküszöböljük a -t. Ennek érdekében szorozzuk meg az első egyenletet -al, a másodikat -el.
.
A jobb oldalak egyenlőségéből következik, hogy
,
,
.
Beírva ezt a feltételi egyenletbe
,
,
.
A lehetséges szélsőértékhelyek tehát:
.
Geometria megfontolásból most is tudjuk, hogy a feladatnak van megoldása.
A pontnak a ponttól mért távolsága , a pontnak , ez a kisebb, ezért a keresett pont a . |
5. feladat Határozzuk meg az parabolának a ponthoz legközelebbi pontját.
Megoldás: A feladatunkat megoldjuk, ha megkeressük az
függvény, (az pontnak a pontól mért távolságának a négyzetét megadó függvény),
feltétel, (essen a pont a parabolára), melletti feltételes minimumát.
,
.
Tudjuk, az alábbi egyenletrendszernek kell teljesülni.
.
Helyettesítsük be a második egyenletből a -t az elsőbe.
,
,
.
Ha készítünk egy vázlatot a parabolánkról láthatjuk, hogy feltehetjük, hogy az nem nulla, az origónál van kisebb távolságot adó pont a parabolán, ezért oszthattunk az előbb -el.
Behelyettesítve ezt a feltételi egyenletbe kapjuk, hogy
,
,
.
Ez ugyan egy harmadfokú egyenlet, de azonnal látszik, hogy az megoldás.
Ha nullára rendezzük az egyenletet, akkor felírhatjuk, hogy
valamilyen számokkal.
Világos, hogy , a
összefüggésből pedig némi számolással kiderül, hogy .
Tehát
.
Látszik, hogy az itt szereplő másodfokú polinom diszkriminánsa negatív, ebből pedig az következik, hogy a
egyenletnek egyetlen valós megoldása van, .
Ha , akkor , vagyis minimum egyedül a pontban lehet.
Mivel biztosak lehetünk benne, hogy van megoldás, a parabola pontjai közül a pont van a legközelebb a ponthoz. |