KURZUS: Műszaki fizika alapjai

MODUL: II. modul: Tömegpontok kinematikája

4. lecke: Szabadesés, Egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás, Függőleges hajítás

Feldolgozandó:

  • A jegyzet "Pontszerű testek kinematikája" fejezete (és alfejezetei)
  • "Pontszerű testek kinematikája" előadás prezentáció
  • Példatár: 2. lecke Egyenes vonalú egyenletes és egyenletesen gyorsuló mozgás, 3. lecke Szabadesés és függőleges hajítás

Tanulási célok: A lecke anyagának feldolgozása után Ön képes lesz:

  • Az átlagsebesség és a pillanatnyi sebesség, átlaggyorsulás és pillanatnyi gyorsulás fogalmát meghatározni.
  • Meghatározni a szabadon eső test hely-idő függvényét és pillanatnyi sebességét.
  • Meghatározni az állandó gyorsulással mozgó test hely-idő függvényét és pillanatnyi sebességét.
  • Meghatározni a függőleges hajítás hely-idő függvényét és pillanatnyi sebességét.
  • Szabadeséssel, egyenes vonalú egyenletes mozgással és függőleges hajítással kapcsolatos feladatokat megoldani.

Támpontok a tanuláshoz

A szabadon eső test is egyenes vonalú mozgást végez, azonban a megtett út már nem arányos az esési idővel. Erről úgy is meggyőződhetünk, ha ábrázoljuk az utat az esési idő függvényében, nem kapunk egyenest. Az út-idő görbe inkább egy parabola ágra hasonlít. Sejtésünket igazolja, ha a szabadon eső test által megtett utat az idő négyzetének függvényében ábrázoljuk, már egyenest kapunk. Az egyenes meredeksége megadja az út és az esési idő négyzete közötti arányossági tényezőt (k=4,905 m/s2). A szabadon eső test út-idő függvénye: s(t)=kt2.

A szabadon eső test sebessége szemmel láthatóan növekszik az esés során, tehát a szabadesés már nem jellemezhető egyetlen sebesség adattal. Próbáljuk meghatározni a sebesség időbeli változását! Kiszámítjuk, hogy a t ideig eső test mekkora Δs utat tesz meg a következő Δt időtartam alatt. A Δs/Δt hányados megadja a t időpillanatban kezdődő és a t+Δt időpillanatban végződő időtartamra eső átlagsebességet: v átl =2kt+kΔt . Ha a Δt időtartamot egyre kisebbre választjuk, határértékben eljutunk a pillanatnyi sebesség fogalmához. A szabadon eső test pillanatnyi sebessége tehát: v(t)=2kt.

A mozgások leírásában annak is jelentősége van, hogy mennyire gyors, mennyire intenzív a sebesség megváltozása, azaz mekkora a testek gyorsulása. A szabadon eső test gyorsulását a v(t) sebesség-idő függvényhez hasonlóan határozhatjuk meg. Először kiszámítjuk, hogy a t ideig eső testnek mekkora a (v sebesség változása a következő (t időtartam alatt. A Δv/Δt hányados megadja a t időpillanatban kezdődő és a t+Δt időpillanatban végződő időtartamra eső átlaggyorsulást: aátl.=2k. Láthatjuk, hogy a szabadon eső test átlaggyorsulása, így pillanatnyi gyorsulása is állandó, nem függ az időtől: a(t)=2k.

A szabadon eső test gyorsulását gravitációs gyorsulásnak hívjuk és g-vel jelöljük: g=2k=9,81 m/s2. Az út-idő, ill. a sebesség-idő függvény g-vel kifejezve: s(t)=1/2gt2, v(t)=gt.

A szabadon eső test hely-idő függvényének megadásához meg kell adni a vonatkoztatási pontot, majd ahhoz koordináta rendszert kell rögzíteni. A legegyszerűbb az, ha a vonatkoztatási pontot az ejtés helyére vesszük fel, a koordináta rendszer egyik, mondjuk a z-tengelye pedig legyen függőleges. A szokás az, hogy a függőleges tengelyt felfelé irányítjuk. Ez azonban a szabadesésnél nem célszerű, hiszen egy ilyen koordináta rendszer választás esetén a gyorsulás, a sebesség és helykoordináták is az esés minden pillanatában negatív értékűek, mivel a test gyorsulása és sebessége is függőlegesen lefelé mutat, továbbá a test függőlegesen lefelé esik. Praktikusabb, ha a z-tengelyt függőlegesen lefelé irányítjuk. Egy ilyen koordináta rendszerben a szabadon eső test hely-idő, illetve sebesség-idő függvénye z(t)=1/2gt2, v(t)=gt.

Számtalan olyan mozgás létezik, ahol a test gyorsulása állandó. (A dinamikában tanulni fogjuk, hogy ha egy testre ható erő állandó, akkor a test gyorsulása is állandó lesz. Nagyságát a test tömege és az erő nagysága együttesen határozzák meg.) Ezek közé a mozgások közé tartozik a szabadesés is. Ebből következik, hogy a szabadesésnél használt hely-idő és sebesség-idő függvények érvényesek minden állandó gyorsulással történő mozgásra, amennyiben az álló helyzetből indul. (A szabadon eső testnek sincs kezdősebessége.) x(t)=x0+1/2at2, v(t)=at. X0 jelöli a test helyzetét a mozgás kezdetén, azaz t=0-kor. Ha a test mozgása a vonatkoztatási pontból indul, akkor x0=0. Csak egy kicsit kell az összefüggéseket módosítani akkor, ha az egyenletesen gyorsuló mozgásnak van kezdősebessége: x(t)=x0+v0t+1/2at2, v(t)=v0+at.

Fontos megjegyzés, hogy a fenti x(t) és v(t) összefüggések megforduló mozgásokra is alkalmazhatóak. Ez akkor fordulhat elő, ha a kezdősebesség és a gyorsulás ellenkező irányba mutat. Ebben az esetben, ha a kezdősebesség, vagy a gyorsulás a koordinátatengely irányával ellentétes irányba mutat, akkor a megfelelő képletbe negatív számot kell beírni.

Példa az állandó gyorsulással történő megforduló mozgásra a fölfelé történő függőleges hajítás, hiszen, a test kezdősebessége fölfelé, gyorsulása, a gravitációs gyorsulás pedig lefelé mutat. Ha a koordinátarendszerünk z-tengelye fölfelé mutat, akkor a függőleges hajításra a következő összefüggéseket alkalmazhatjuk: z(t)=z0+v0t-1/2gt2, v(t)=v0-gt.

Ellenőrző kérdések
1. Melyik állítás hamis? A szabadon eső test mozgása...
egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás.
egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás.
egyenes vonalú egyenletes mozgás.
egyenes vonalú gyorsuló mozgás.
3. Hogyan változik az időben az egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás gyorsulása?
A gyorsulás a mozgás során nullától különböző állandó.
A gyorsulás egyenletesen nő.
A gyorsulás a mozgás során végig nulla.
A mozgás során a test nem gyorsul.
3. Vákuumcsőben egyszerre ejtünk le egy tollpihét és egy ólomgolyót. Mekkora gyorsulással esik a tollpihe?
A tollpihe nem gyorsul, hanem egyenletesen esik.
A tollpihe g-nél kicsit kisebb gyorsulással esik.
A tollpihe g-nél sokkal kisebb gyorsulással esik.
A tollpihe g gyorsulással esik.
4. Szabadon eső test az esés utolsó másodpercében 30 m utat tesz meg. Mekkora volt a sebessége ennek az utolsó másodpercnek a kezdetén?
15 m/s
25 m/s
30 m/s
20 m/s
5. Egyenes pályán álló helyzetből induló test sebessége 3 s alatt egyenletesen 9 m/s-ra nő. Ezt követően a test 9 s alatt egyenletesen lassulva megáll. Mekkora utat tett meg a test az indulástól a megállásig?
27 m
54 m
108 m
45 m
6. Egy követ függőlegesen felfelé hajítunk 20 m/s kezdősebességgel. Hol van a kő 5 s múlva a fellövés szintjéhez képest? (Feltételezzük, hogy a test ekkor még nem érkezett le a talajra.)
Az eldobás szintje alatt 5 m-rel.
Az eldobás szintje alatt 25 m-rel.
Az eldobás szintje fölött 5 m-rel.
Pontosan az eldobás szintjén.

Ha a lecke feldolgozásában elakad, kérje a tutor segítségét!