KURZUS: Irányítástechnika
MODUL: Lineáris szabályozási körök
3.4. lecke: Néhány egyszerű szabályozási feladat
Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör egyszerű tervezési technikáit. A feladatok illusztrációként szolgálnak, a tervezés elsajátítása nem cél. | |||
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes | |||
| |||
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége. | |||
Kulcsfogalmak | |||
| |||
1. A szintézisről röviden | |||
Jegyezze le a szintézissel kapcsolatos alábbi információkat! | |||
A szintézis a szabályozási kör méretezése, azaz a szabályozó megtervezése, amely a különféle előírásokat teljesíti. | |||
A méretezés során természetes igény, hogy az ideális szabályozási kört megközelítsük. Az ideális szabályozási kör ismérvei a következők: | |||
| |||
Ahogy a következő példákban látni fogjuk, a szabályozott szakasszal sorbakapcsolt szabályozó úgy kompenzál, hogy a szakasz bizonyos zérusait, illetve pólusait áthelyezi, azaz egyeseket semlegesít, és újakat hoz be. Ezt soros kompenzációnak is nevezzük. | |||
2. Illusztratív példa - terheletlen egyenáramú motor fordulatszám-szabályozása | |||
Jegyezze le az egyes szabályozók hatását! | |||
Ebben a példában egy egytárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg. | |||
Az egyik legegyszerűbb szabályozandó eszköz az egyenáramú villamos motor. A motorra kapcsolt feszültséggel lehet szabályozni a motor fordulatszámát, minél nagyobb a feszültség, a motor annál gyorsabban forog, kisebb feszültségnél a motor forgása lassabb. | |||
A motor tengelyének szögsebessége és a motorra kapcsolt feszültség között a következő átviteli függvény írható fel: | |||
, | |||
ahol utóbbi egy nagyon egyszerű illusztratív példa. | |||
Az egyenáramú motor tehát egy egytárolós tag, impulzusválasza és ugrásválasza a következő: | |||
, | |||
A két függvény az 1. ábrán látható. | |||
Az ugrásválaszból egyértelműen kitűnik, hogy amennyiben a motorra hirtelen rákapcsolunk például 1V feszültséget (ugrás alakú jelet), akkor a motor tengelyének szögsebessége nem azonnal, hanem kis késleltetéssel, lassan felfutva éri el az üzemi sebességet, illetve az üzemi fordulatszámot. Ez tehát egy dinamikus rendszer. | |||
Vizsgáljuk meg az egyes szabályozók hatását a zárt rendszer ugrásválaszának tanulmányozásán keresztül! | |||
A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a jól ismert: | |||
szerint alakul. | |||
| |||
a) Ha a szabályozó egy egyszerű P-típusú szabályozó, akkor , azaz | |||
Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert (parciális törtekre bontás) is alkalmazzuk: | |||
, | |||
azaz: | |||
| |||
A zárt kör erősítése tehát (ugyanez a kimenőjel értéke stacionárius állapotban), statikus hibája pedig , ami mindig fennáll. | |||
A 2. ábra különböző értékekre mutat eredményt. Az ábrán szembetűnő az ugrásválasz stacionárius értéke a három esetben: , , illetve , és a hiba értéke , , illetve , ami nem tűnik el. A könnyen leolvasható. Az is látható, hogy növelésével a jel felfutása egyre gyorsabb, s egyre jobban megközelíti az 1,0 értéket. Technikai okokból azonban a P-tag konstansa nem növelhető tetszőlegesen, minden határon túl. Ha jobb, pontosabb eredményt akarunk elérni, más szabályozóhoz kell nyúlni. | |||
2) Ha a szabályozó egy I-típusú szabályozó, akkor , azaz a zárt szabályozási kör átviteli függvénye az alábbi: | |||
Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert is alkalmazzuk: | |||
, | |||
azaz: | |||
Ezekben a kifejezésekben | |||
a két sajátérték. | |||
| |||
A 3. ábra különböző értékekre mutat megoldást. Azt látjuk, hogy a szabályozási idő eltelte után a kimeneti jel értéke 1,0, a statikus hiba tehát nulla, ami az integráló szabályozó nagy előnye. A kimeneti jel aperiodikus, ha értéke kellően nagy, de ilyen esetben a szabályozás lassú. Kicsi értékek mellett a szabályozás gyorsabb, de lengő jellegű, s a lengés csökkenésével erőteljesebb. | |||
c) A PI-szabályozó átviteli függvénye a P-szabályozó és az I-szabályozó párhuzamos kapcsolásából áll össze: | |||
Utóbbi alakot fogjuk használni. A számlálóban szereplő T időállandóval ki lehet ejteni a szabályozott szakasz legnagyobb időállandóját (leglomhább, lassú pólus), K-val pedig a fázistöbbletet lehet beállítani. | |||
Ebben az esetben a | |||
választást lehet alkalmazni, s így a zárt kör átviteli függvénye az alábbi: | |||
, | |||
azaz: | |||
Az ugrásválasz képletéből látszik, hogy a statikus hiba biztosan zérus lesz, a szabályozás jelen esetben aperiodikus, melynek sebessége K megválasztásától függ. A 2. ábrán látható felfutáshoz hasonló eredményt kapunk, de a statikus hiba értéke nulla. | |||
3. Illusztratív példa - magasabb rendű rendszer szabályozása | |||
Jegyezze le az egyes szabályozók hatását! | |||
Ebben a példában egy háromtárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg: | |||
| |||
A szabályozandó rendszer amplitúdókarakterisztikája látható a 4. ábrán. Az átviteli függvényből közvetlenül kiolvashatók a törésponti körfrekvenciák, miáltal a karakterisztika könnyen felvázolható. A három Bode-alaknak megfelelő karakterisztikaelemet vékony vonallal, az eredőt pedig vastag vonallal rajzoltuk be. | |||
A szakasz ugrásválasza a parciális törtekre bontás módszerével felírható: | |||
, | |||
ami az 5. ábrán látható. | |||
| |||
a) Vizsgáljuk meg, mit lehet P-szabályozóval elérni. A vágási körfrekvenciát a -20dB/dekád meredekségű szakaszon célszerű beállítani, ami a 0,1 és 1,0 törésponti körfrekvenciák között található. | |||
| |||
A P-típusú szabályozóval a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikáját el lehet tolni függőleges irányba, ahogy az szaggatott vonallal a 6. ábrán is látható, ha Hogy milyen mértékben célszerű eltolni, az nyilván a kívánt fázistartaléktól függ, amit körülinek célszerű megválasztani. | |||
Ha például , akkor a felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi: | |||
, | |||
a zárt köré pedig: | |||
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 6. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete: | |||
, | |||
ahonnan helyettesítéssel kapjuk, hogy 0,5. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: . Ha az erősítés 5,0-nél kisebb, úgy a fázistöbblet is közeledik az optimális -hoz. | |||
A zárt rendszer ugrásválaszában konjugált komplex sajátérték-pár is szerepel, a számítás menete hosszadalmas, de a végeredményt grafikusan mutatja a 7. ábra (itt a rendszer ugrásválaszát az 5. ábráról átmásoltuk, hogy azt össze lehessen hasonlítani a szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválaszával). Így a szabályozás ismérvei tanulmányozhatók. Látható, hogy a szabályozott rendszer kimenete nem éri el az 1,0 értéket, maradó, statikus hiba van, aminek értéke a végérték-tétel értelmében: | |||
| |||
A 7. ábrán az is látható, hogy a kimenetnek túllendülése van, ami a komplex pólusoknak tudható be, a szabályozó tehát lengővé teszi a kimenetet, habár a stacionárius értéket rövidebb idő alatt éri el, a beállás tehát láthatóan felgyorsult. A P-tag erősítését növelve a statikus hiba kisebb lesz, de azt nem lehet minden határon túl növelni, egyrészt technikailag nem lehet megoldani, másrészt a fázistöbblet csökkeni fog. | |||
b) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PI-szabályozóval elérni. A PI-tag átviteli függvénye: | |||
Ennek segítségével a legkisebb törésponti frekvencia kiejthető, legyen tehát: | |||
, | |||
az 5,0 erősítést áthozzuk a P-szabályozóból, s így a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája csak az alacsonyabb frekvenciákon változik, ahogy az a 8. ábrán is látható (szaggatott vonal). Ilyen esetben a felnyitott kör átviteli függvénye némileg egyszerűsödik: | |||
, | |||
a zárt köré szintén: | |||
| |||
| |||
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 8. ábrából kiolvasható, hogy nem változik: 0,5. Megjegyezzük, hogy a pontos érték természetesen változik, hiszen a karakterisztika is változik, de a közelítő törtvonalas karakterisztika ezen szakasza nem változik (v. ö. 6. ábra és 8. ábra). Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: , ami közelebb van az ideálishoz, mint az egyszerű P-tag eredményeképp kapott érték. | |||
A zárt rendszer ugrásválasza a 9. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag által szolgáltatott eredményt. Látható, hogy az ugrásválasz lengő jellegű, azaz az eredő rendszer sajátértékei között van olyan, ami konjugált komplex párt alkot, ennek köszönhető a túllövés. Az integráló tag növeli a rendszer típusszámát, miáltal a statikus hiba eltűnik, látható, hogy a rendszer kimenete a szabályozási idő letelte után 1,0. | |||
c) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PD-szabályozóval elérni. A PD-tag átviteli függvénye a következő: | |||
Ennek segítségével a -20dB/dekád meredekségű szakasz meghosszabbítható a nagyobb frekvenciák irányába, legyen az átviteli függvény a következő: | |||
A felnyitott kör átviteli függvénye így a következőképp alakul: | |||
, | |||
a zárt köré pedig | |||
, | |||
| |||
A 10. ábrán látható, hogy az 1,00 körfrekvenciához tartozó töréspont eltűnt, s bekerült a 10,0 körfrekvenciához egy új töréspont, miáltal a -20dB/dekád meredekségű szakasz hosszabb lett, s így a vágási körfrekvenciát ki lehet tolni magasabb frekvenciára, hiszen a kör erősítése 20. | |||
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 10. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete: | |||
, | |||
ahonnan helyettesítéssel kapjuk, hogy 2,0. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: . | |||
| |||
A zárt rendszer ugrásválasza a 11. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag és a PI-tag által szolgáltatott eredményeket is. Az ugrásválasz ismét lengő jellegű, de a beállás jóval gyorsabban megtörténik. Ez annak tudható be, hogy a vágási frekvenciát meg lehetett növelni, ugyanakkor maradó statikus hiba állt elő (értéke ). | |||
d) A PID-szabályozó a fenti előnyöket egyesíti: az I-tagnak köszönhetően pontos beállást, a D-tagnak köszönhetően pedig gyors működést biztosít. | |||
A PID-szabályozó átviteli függvénye a következő: | |||
Legyen a szabályozó átviteli függvénye az alábbi: | |||
A felnyitott kör átviteli függvény így a következőképp alakul: | |||
A vágási körfrekvencia 2,0 (12. ábra), a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: . | |||
A zárt rendszer eredő átviteli függvénye a következő alakot ölti: | |||
A felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája a 10. ábrán felvázolt karakterisztikától csupán annyiban különbözik, hogy a -20 dB/dekád meredekségű szakasz a kisebb frekvenciák irányába meghosszabbodik, ahogy az a 12. ábrán is látható. | |||
| |||
A zárt rendszer ugrásválaszát a 13. ábra mutatja, ahol a fentebb beállított szabályozók hatása is látható, s az eredmények összehasonlíthatók. A vízszintes tengelyen kicsit módosítottunk, hogy az eredmények jobban láthatók legyenek. | |||
| |||
Az ábrán jól látható, hogy a PID-szabályozó valóban összegzi az egyes tagok előnyeit. | |||
A P-szabályozó a hibajellel arányosan avatkozik be. A PI-szabályozó a P-tagon keresztül a hibajellel arányosan beavatkozik, de közben a hibajelet integrálja, s a beavatkozás erejét fokozatosan visszaveszi. A PD-szabályozó nemcsak a hibajellel, hanem annak deriváltjával is dolgozik. Gyorsan növekvő hibára nagy értékkel reagál, de ha a hibajel változási sebessége csökken, úgy a D-tag hatása is csökken, azaz nem várja meg, míg a hiba eltűnik, korábban reagál. A PID a PI és a PD hatásokat egyesíti. | |||
A lecke végén megjegyezzük, hogy az ipari folyamatirányításban számos tapasztalati szabályozó beállítási módszert javasoltak, amelyek alkalmasak a gyors üzemi behangolásra. Ezek receptek arra vonatkozóan, hogy a PID-szabályozó egyes csatornáit hogyan kell beállítani előzetes mérések alapján. Ilyen recept például a Ziegler-Nichols-szabályrendszer, az Oppelt-módszer, az Aström-módszer stb. |
Önellenőrző kérdések | ||
Hogyan hat egy szabályozási körben a P-tag? | ||
Hogyan hat egy szabályozási körben a D-tag? | ||
Hogyan hat egy szabályozási körben az I-tag? |