KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Jelek és rendszerek

2.3. lecke: Illusztratív példák

Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje az alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket. Jelen lecke a fentiek alátámasztására néhány részletesen kidolgozott példát tartalmaz.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes

  • a feladatok önálló megoldására.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége.

Kulcsfogalmak

  • jelek,
  • rendszerek,
  • ugrásválasz, impulzusválasz,
  • konvolúció,
  • állapotváltozós leírás,
  • átviteli karakterisztika,
  • Nyquist-diagram, Bode-diagram,
  • átviteli függvény,
  • Laplace-transzformáció.
1. Illusztratív példa

Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!

Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszer a következő állapotváltozós leírással adott:

x ˙ 1 = x 1 + x 2 +u, x ˙ 2 =0,2 x 1 0,4 x 2 , y= x 1 .

Írjuk fel a rendszert megadó A, b, cT, D paramétereket!

Ezen adatok az állapotváltozós leírásból kiolvashatók:

A=[ 1 1 0,2 0,4 ] b=[ 1 0 ] c T =[ 1 0 ] D=0 .

Általánosan:

x ˙ 1 = A 11 x 1 + A 12 x 2 + b 1 u, x ˙ 2 = A 21 x 1 + A 22 x 2 + b 2 u, y= c 1 x 1 + c 2 x 2 +Du.

Határozzuk meg a rendszer átviteli függvényét!

Ezt kétféleképp is megtehetjük:

1.Felírjuk a transzformált egyenleteket, s az így előálló algebrai egyenletrendszert megoldjuk.

A Laplace-transzformált egyenletrendszer az alábbi:

s X 1 = X 1 + X 2 +U, s X 2 =0,2 X 1 0,4 X 2 , Y= X 1 .

A változókat nagybetűvel írjuk, ebben az egyenletrendszerben ugyanis nem időfüggvények szerepelnek, hanem transzformált változók. Az idő szerinti deriváltat lecseréljük a transzformált változó és az s változó szorzatára. Ez a három egyenlet algebrai egyenletrendszert alkot, amelynek megoldása egyszerű feladat.

Ebből kell a W=Y/U hányadost kifejezni, s azt polinom per polinom alakra hozni. Ismertnek kell tehát feltételezni az u=u( t ) bemeneti jel U=U( s ) transzformáltját, s ismeretlennek az X 1 = X 1 ( s ) , X 2 = X 2 ( s ) , Y=Y( s ) változókat.

Az egyenletrendszert bármilyen egyenletrendszer-megoldó technikával meg lehet oldani. Fejezzük ki például az első egyenletből az X 2 változót:

X 2 =( s+1 ) X 1 U ,

és helyettesítsük ezt a második egyenletbe. A zárójelek felbontása és rendezés után a következő kifejezést kapjuk:

( s 2 +1,4s+0,2 ) X 1 =( s+0,4 )U ,

azaz

X 1 = s+0,4 s 2 +1,4s+0,2 U.

Helyettesítsük ezt a harmadik egyenletbe, ahonnan:

W( s )= Y U = s+0,4 s 2 +1,4s+0,2 = s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) .

Az első alak a polinom per polinom alak, másképp kifejezve, racionális törtfüggvényként felírt alak. A második pedig a gyöktényezős alak, amikor a számlálóból és a nevezőből adódó polinomokat egyenlővé tesszük nullával, s ebből meghatározzuk a gyököket. Itt a nevező átalakításában a másodfokú egyenlet megoldóképletét használtuk. A nevező polinomjának fokszáma mindig nagyobb, mint a számláló polinomjának fokszáma, legfeljebb egyenlő azzal.

A rendszer egyetlen zérusa s 1 =0,4 , pólusai pedig p 1 =1,24 , és p 2 =0,16 (l. 2. lecke (41) gyöktényezős alak).

2.Használjuk a 2. leckében lévő (50) módszert. Írjuk át az inverzmátrix kifejezését a lineáris algebrából ismert adjungált mátrix és a determináns hányadosaként:

W( s )= c T adj( sEA )b+D| sEA | | sEA | (1)

A determináns kifejtése a következő polinomot eredményezi:

| sEA |=| [ s 0 0 s ][ 1 1 0,2 0,4 ] |=| s+1 1 0,2 s+0,4 |=( s+1 )( s+0,4 )0,2= s 2 +1,4s+0,2

A polinom előállítása (a 2×2 méretű determináns kifejtése) tehát úgy történik, hogy a főátlóban lévő elemek ( s+1 és s+0,4 ) szorzatából kivonjuk a mellékátlóban szereplő tényezők (-1 és -0,2) szorzatát.

Az adjungált mátrix számítása 2×2 méretű mátrix esetében egyszerű, a következő sémát kell alkalmazni:

adj[ s+1 1 0,2 s+0,4 ][ s+0,4 0,2 1 s+1 ][ s+0,4 1 0,2 s+1 ][ s+0,4 1 0,2 s+1 ]

Első lépésben (első nyíl) az ( i,j ) elem felírásához le kell takarni az i-edik sort és a j-edik oszlopot, s az így megmaradt skalár kifejezést kell beírni az ( i,j ) helyre. Ezután (második nyíl) transzponálni, azaz a főátlóra tükrözni kell a mátrixot, végül (harmadik nyíl) a sakktábla-szabályt kell alkalmazni, azaz az előjeleket a [ +1 1 1 +1 ] formulának megfelelően kell felcserélni. Ez az adjungált mátrix,

adj[ s+1 1 0,2 s+0,4 ]=[ s+0,4 1 0,2 s+1 ]

Nagyobb méretű mátrixok esetében a művelet jóval hosszabb.

Végezzük el a számlálóban szereplő szorzásokat, azaz szorozzuk az adjungált mátrixot jobbról egy oszlopvektorral, s balról egy sorvektorral. Ez egy skalár kifejezést szolgáltat:

[ 1 0 ][ s+0,4 1 0,2 s+1 ][ 1 0 ]=[ 1 0 ][ s+0,4 0,2 ] =s+0,4.

Részletesen kifejtve: mátrixot jobbról oszlopvektorral úgy kell szorozni, hogy a vektor első elemével beszorozzuk a mátrix első oszlopának elemeit, majd a vektor második elemével a mátrix második oszlopának elemeit, s az így előálló séma soraiban lévő elemeket összeadjuk, azaz

[ A 11 A 12 A 21 A 22 ][ b 1 b 2 ]=[ A 11 b 1 + A 12 b 2 A 21 b 1 + A 22 b 2 ]

ami egy oszlopvektor. Ezt ezután balról kell szorozni sorvektorral a következő séma szerint:

[ c 1 c 2 ][ A 11 b 1 + A 12 b 2 A 21 b 1 + A 22 b 2 ]= c 1 ( A 11 b 1 + A 12 b 2 )+ c 2 ( A 21 b 1 + A 22 b 2 )

Így kapjuk az s+0,4 kifejezést. A D paraméter nulla, azaz:

W= c T adj( sEA )b+D| sEA | | sEA | = s+0,4 s 2 +1,4s+0,2 = s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) .

Az eredmény természetesen megegyezik a 1. megoldás eredményével.

Az átviteli karakterisztika ugyanígy határozható meg, de s helyett végig jω írandó.

Adjuk meg a rendszeregyenletet!

Ezt a feladatot szándékosan az átviteli függvény meghatározása után tettük.

A rendszeregyenlet meghatározható az állapotváltozós leírás alapján is, de az kissé hosszadalmas, a hivatkozott irodalomban az érdeklődő Olvasó megtalálja. Itt a gyorsabb utat mutatjuk be, azaz használjuk az átviteli függvényt:

W= Y U = s+0,4 s 2 +1,4s+0,2 ,

ahonnan:

Y s 2 +1,4Ys+0,2Y=Us+0,4U

Felhasználva az idő szerinti deriválás és a neki megfelelő transzformált közti kapcsolatot, írhatjuk, hogy:

y""+1,4y"+0,2y=u"+0,4u

Megjegyezzük, hogy az átírás fordítva is igaz, azaz a rendszeregyenletből az átviteli függvény könnyedén felírható.

Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát!

Az impulzusválasz - és sok egyéb belépő jelre adott válasz - a Laplace-transzformáció kifejtési tétele alapján számítható a legegyszerűbben. Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja.

Induljunk ki a gyöktényezős alakból, ami parciális törtekre bontható:

W= s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) = A s+1,24 + B s+0,16

Az A és B paraméterek értékét a letakarásos módszerrel egyszerű számolni. Az A paramétert például úgy kell számolni, hogy a gyöktényezős alakban letakarjuk az ( s+1,24 ) tagot, s a megmaradt törtben s helyébe -1,24-et helyettesítünk, azaz

A= 1,24+0,4 1,24+0,16 =0,78 ,

hasonlóképp:

B= 0,16+0,4 0,16+1,24 =0,22 ,

azaz:

W= s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) = 0,78 s+1,24 + 0,22 s+0,16

Ellenőrzésképp érdemes lehet ezt az egyenlőséget ellenőrizni úgy, hogy a parciális törtek összegeként felírt alakot közös nevezőre hozzuk.

Ha a parciális törtekre bontott alak rendelkezésre áll, akkor már csak az 1. transzformációs táblázatból ki kell keresni az egyes törtekhez tartozó időfüggvényt, jelen esetben:

w( t )=1( t )( 0,78 e 1,24t +0,22 e 0,16t )

Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát!

Használjuk a 2. leckében található (45) összefüggést:

V= 1 s W= s+0,4 s( s+1,24 )( s+0,16 ) = A s + B s+1,24 + C s+0,16 .

A kifejtési tétel értelmében:

A= 0+0,4 ( 0+1,24 )( 0+0,16 ) =2,02 ,

B= 1,24+0,4 1,24 ( 1.24+0,16 ) =0,63 ,

C= 0.16+0,4 0.16( 0.16+1,24 ) =1,39 ,

azaz:

V= s+0,4 s( s+1,24 )( s+0,16 ) = 2,02 s + 0,63 s+1,24 + 1,39 s+0,16 .

Az ugrásválasz pedig:

v( t )=1( t )( 2,020,63 e 1,24t 1,39 e 0,16t ) .

Ellenőrizzük az impulzusválasz és az ugrásválasz kapcsolatát az időtartományban!

Az ugrásválasz idő szerinti általánosított deriváltja az impulzusválasz. A deriválást a szorzatfüggvény deriváltjaként kell elvégezni:

w( t )= v "( t ) = 1 ( t )( 2,020,63 e 1,24t 1,39 e 0,16t )+1( t )( 2,020,63 e 1,24t 1,39 e 0,16t )"

A deriválásokat elvégezve:

w( t )=δ( t ) ( 2,020,63 e 1,24t 1,39 e 0,16t ) | t=0 +1( t )( 0,78 e 1,24t +0,22 e 0,16t )

Az első tag értéke zérus, a végeredmény pedig megegyezik a korábban is kiszámított impulzusválasszal.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ha egy függvényt Dirac-deltával szorzunk, akkor a függvényt a Dirac-delta helyén (itt a t=0 helyen) ki kell számolni, hiszen a Dirac-delta függvény mindenütt nulla, kivéve a Dirac-impulzus helyén.

Vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását!

A rendszer aszimptotikus stabilitása az állapotváltozós leírás rendszermátrixa alapján vizsgálandó. A rendszermátrixból nyert karakterisztikus egyenlet és a sajátértékek az alábbiak:

| λ+1 1 0,2 λ+0,4 |= λ 2 +1,4λ+0,2=0   λ 1 =1,24,  λ 2 =0,16.

Ezen sajátértékek valós része negatív, így a rendszer aszimptotikusan stabil. Ezen sajátértékek az állapotvektor tranziens összetevőjében M e λt alakban szerepelnek, s mivel lecsengő jellegűek, az állapotvektor nullvektorhoz tart.

A gerjesztés-válasz stabilitás definíció szerint az impulzusválasz alapján vizsgálandó. Ha az impulzusválasz nullához tart miközben az idő a végtelenhez (azaz stacionárius állapotban), akkor a rendszer gerjesztés-válasz stabil. Amennyiben az impulzusválasz exponenciális függvényeiben szereplő sajátértékek valós része negatív, úgy ez biztosan teljesül. Az impulzusválaszban szereplő sajátértékek megegyeznek az átviteli függvény nevezőjéből alkotott polinom gyökeivel, azaz a pólusokkal. A gerjesztés-válasz stabilitásról tehát a pólusok ismeretében is lehet nyilatkozni.

Figyelem! Ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztos, hogy gerjesztés-válasz stabil. Fordítva ez nem biztos, hogy igaz.

Az aszimptotikusan stabil rendszer esetén tehát az x( t ) állapotvektor nullához tart. Ha emellett a gerjesztőjel korlátos, akkor az y( t )= c T x( t )+Du( t ) biztosan korlátos lesz. Az aszimptotikusan stabil rendszer tehát biztosan gerjesztés-válasz stabil. Az azonban, hogy mely sajátértékek kerülnek a kimenőjelet megadó időfüggvénybe, a c T sorvektortól függ, ami esetleg nullával szorozza be azon x(t) állapotváltozó(ka)t, amely(ek) exponenciálisan növekvő, azaz nem aszimptotikusan stabil összetevő(ke)t is tartalmaz(nak). Az átviteli függvény meghatározása során mindez könnyebben látható: a számlálóban lévő zérus kiejti a nevezőben szereplő pólust. Ha tehát valamely rendszer gerjesztés-válasz stabil, az nem biztos, hogy aszimptotikusan is stabil.

Határozzuk meg a rendszer válaszát, ha u( t )=1( t )4 e 2t !

Ekkor:

Y=WU=4 s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 )( s+2 ) = A s+1,24 + B s+0,16 + C s+2 .

A kifejtési tételt használva kapjuk, hogy

A=4 1.24+0,4 ( 1,24+0,16 )( 1,24+2 ) =4,1 ,

B=4 0,16+0,4 ( 0,16+1,24 ) ( 0,16+2 ) =0,48 ,

C=4 2+0,4 ( 2+1,24 )( 2+0,16 ) =4,58 ,

azaz a válaszjel a következő:

y( t )=1( t )( 4,1 e 1,24t +0,48 e 0,16t 4,58 e 2t )

Határozzuk meg a rendszer átviteli karakterisztikáját!

Ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor jω=s helyettesítés alkalmazható, vagyis az átviteli karakterisztika:

W( jω )= jω+0,4 ( jω ) 2 +1,4jω+0,2 = jω+0,4 ( jω+1,24 )( jω+0,16 )

A karakterisztikát meghatározhatjuk természetesen a (29) módszer alapján is.

Határozzuk meg a rendszer állandósult válaszát, ha a gerjesztés a nem belépő u( t )=1,5cos( 2t+ 10 o ) !

Az átviteli karakterisztika és a gerjesztés komplex csúcsértékének felhasználásával a válasz komplex csúcsértéke kifejezhető:

Y ¯ = W ¯ U ¯ = j2+0,4 ( j2 ) 2 +1,4j2+0,2 1,5 e j 10 o =0,43 e j 64,93 o 1,5 e j 10 o =0,65 e j 54,93 o

Az állandósult válasz tehát a következő szinuszos jel:

y( t )=0,65cos( 2t 54,93 o )

amelynek van fizikai tartalma, hiszen a rendszer gerjesztés-válasz stabil.

Rajzoljuk fel a Bode-diagramot!

A Bode-féle normálalak a gyöktényezős alakból kiindulva egyszerűen felírható:

W( jω )= jω+0,4 ( jω+1,24 )( jω+0,16 ) = 0,4 1,240,16 1+ jω 0,4 ( 1+ jω 1,24 )( 1+ jω 0,16 ) =2,02 1+ jω 0,4 ( 1+ jω 1,24 )( 1+ jω 0,16 )

A karakterisztika négy részből tevődik össze, amelyeket külön-külön meg lehet rajzolni, ahogy az az 1. és a 2. ábrán látható.

A példában szereplő törtvonalas amplitúdódiagram
1. ábra

A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő amplitúdókarakterisztikája -20dB/dekád meredekséggel indul. A számlálóban szereplő 0,4 körfrekvenciától +20dB/dekád meredekség szerint nő a karakterisztika. Ezt a három részeredményt az 1. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, ami felfelé tolja az eredő diagramot. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk az 1. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot.

A példában szereplő törtvonalas fázisdiagram
2. ábra

A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő fáziskarakterisztikája -45°. A sarok-körfrekvencia alatt egy dekáddal az érték 0°, felette egy dekáddal -90°. A számlálóban szereplő Bode-alak hasonlóképp alakul, csak a pozitív tartományban. Ezt a három részeredményt a 2. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, s mivel pozitív előjelű, nem szól bele a karakterisztika alakulásába. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk a 2. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot. Ennél a diagramnál jobban oda kell figyelni, mert több töréspontja van.

2. Illusztratív példa

Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!

Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszert a következő átviteli függvénnyel írunk le:

W( s )= 5s ( s+2 )( s+4 )

Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát!

Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy:

W( s )= 5s ( s+2 )( s+4 ) = 5( 2 ) 2+4 s+2 + 5( 4 ) 4+2 s+4 = 5 s+2 + 10 s+4 ,

azaz:

w( t )=1( t )( 5 e 2t +10 e 4t )

Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát!

Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy:

V( s )= 1 s W( s )= 5 ( s+2 )( s+4 ) = 5 2+4 s+2 + 5 4+2 s+4 = 2,5 s+2 + 2,5 s+4 ,

azaz:

v( t )=1( t )( 2,5 e 2t 2,5 e 4t )

Ellenőrzésképp célszerű deriválni ezt a kifejezést, az impulzusválaszt kell kapjuk eredményül.

Gyakorlásképp határozzuk meg az ugrásválaszt az impulzusválasz integrálásával is!

Az általánosított derivált fogalma értelmében az integrálást a következőképp kell elvégezni:

v( t )= 0 t w( τ )dτ= 0 t ( 5 e 2τ +10 e 4τ )dτ=5 [ e 2τ 2 ] 0 t +10 [ e 4τ 4 ] 0 t

Az integrálási határok behelyettesítése után kapjuk a feladatban szereplő impulzusválasz kifejezését. Érezhető, hogy a Laplace-transzformáltak világában egyszerűbb dolgozni.

Határozzuk meg a rendszer kimeneti jelét, ha a gerjesztés az u( t )=1( t )1( t10 ) !

A válaszjel Laplace-transzformáltja U( s )= 1 s 1 s e s10 , így a válaszjel Laplace-transzformáltja felírható a következő alakban:

Y( s )=W( s )U( s )= 5s ( s+2 )( s+4 ) ( 1 s 1 s e s10 )= 5 ( s+2 )( s+4 ) 5 ( s+2 )( s+4 ) e s10

A v( t ) jel ismeretében:

y( t )=1( t )( 2,5 e 2t 2,5 e 4t )1( t10 )( 2,5 e 2( t10 ) 2,5 e 4( t10 ) )

3. Illusztratív példa

Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!

Két egytárolós, folytonos idejű rendszert összekapcsolunk különféle módon. Határozzuk meg az egyes összetett rendszerek eredő átviteli függvényét! Legyen

W 1 ( s )= 5 s+2 ,

és

W 2 ( s )= 10 s+4

Soros kapcsolás

Sorosan kapcsolt rendszerek esetében az első rendszer kimenete a második rendszer bemenetévé válik, ahogy az a 3. ábrán is látható.

Sorosan kapcsolt rendszerek hatásvázlata
3. ábra

A válaszjel a második rendszer kimeneti jele, amelynek Laplace-transzformáltja kifejezhető:

Y( s )= W 2 ( s )F( s ) ,

de F( s ) felírható az

F( s )= W 1 ( s )U( s )

alakban, azaz

Y( s )= W 1 ( s ) W 2 ( s )U( s ) ,

a rendszer eredő átviteli függvénye pedig a sorbakapcsolt rendszerek átviteli függvényeinek a szorzata:

W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s ) W 2 ( s ) (2)

Itt

W( s )= 5 s+2 10 s+4 ,

az impulzusválasz pedig w( t )=1( t )25( e 2t e 4t ) .

Párhuzamos kapcsolás

A párhuzamos kapcsolás esetén a párhuzamosan kapcsolt rendszerek bemeneti jele megegyezik, a rendszerek kimeneteinek például az összege adja az eredő rendszer kimenetét (l. 4. ábra).

Párhuzamosan kapcsolt rendszerek hatásvázlata
4. ábra

A rendszer kimenőjele itt két jel összege, az összeadás a transzformáltakra is fennáll:

Y( s )= Y 1 ( s )+ Y 2 ( s )= W 1 ( s )U( s )+ W 2 ( s )U( s ) ,

azaz

W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s )+ W 2 ( s ) , (3)

vagyis

W( s )= 5 s+2 + 10 s+4 = 15s+40 ( s+2 )( s+4 ) ,

az impulzusválasz pedig w( t )=1( t )( 5 e 2t +10 e 4t ) .

Visszacsatolást tartalmazó kapcsolás

A rendszert az 5. ábra mutatja:

5. ábra
Visszacsatolást tartalmazó rendszer hatásvázlata

Az F( s ) változó felírása segítségül szolgál az eredő átviteli függvény felírásában,

F( s )=U( s )Y( s ) ,

így

Y( s )= W 1 ( s ) W 2 ( s )F( s )= W 1 ( s ) W 2 ( s )U( s ) W 1 ( s ) W 2 ( s )Y( s )

Átrendezéssel kapjuk a negatív visszacsatolású rendszer eredő átviteli függvényét:

W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s ) W 2 ( s ) 1+ W 1 ( s ) W 2 ( s ) (4)

Ez az összefüggés szabályozási körök tervezésében nagyon fontos, hiszen W 1 ( s ) reprezentálja a tervezendő szabályozót, W 2 ( s ) pedig a szabályozandó szakaszt.

Ha a visszacsatolás pozitív, akkor:

W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s ) W 2 ( s ) 1 W 1 ( s ) W 2 ( s ) (5)

Ebben a példában a negatív és a pozitív visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi:

W( s )= 50 s 2 +6s+58 ,

illetve

W( s )= 50 s 2 +6s42

Az impulzusválasz a második esetben egyszerű: w( t )=1( t )( 3,5 e 10,14t +3,5 e 4,14t ) , de a visszacsatolás labilissá teszi a rendszert, hiszen a második pólus pozitív!

A negatívan visszacsatolt rendszer impulzusválasza a részlettörtekre bontás után a következő:

w( t )=1( t )( 3,57 je ( 3+j7 )t +3,57 je ( 3j7 )t )

Az impulzusválasz komplex időfüggvény, hiszen a pólusok komplex konjugált párt alkotnak. Az impulzusválaszt ebben a formájában nem tudjuk értelmezni, azt át kell alakítani a következő módon. Bontsuk fel először az exponenciális kitevőket:

w( t )=1( t )( 3,57 je 3t e j7t +3,57 je 3t e j7t )

A 3,57 je 3t tag kiemelhető, s így:

w( t )=3,57 je 3t 1( t )( e j7t e j7t )

Itt felhasználhatjuk a:

sinφ= e jφ e jφ 2j ,

és

cosφ= e jφ + e jφ 2 (6)

azonosságok közül a szinuszfüggvényre vonatkozót, illetve, hogy 1/j=j :

w( t )=3,57 e 3t 1( t ) e j7t e j7t 2j  2=7,14 e 3t 1( t )sin7t

Az impulzusválasz időfüggvénye a 6. ábrán látható.

Az ún. exponenciális burkológörbéjű szinuszos jel az impulzusválaszban
6. ábra

Ebben a példában jól látható, hogy a komplex pólus valós része szerepel az exponenciális függvény kitevőjében, így a stabilitásvizsgálatban csak a valós részt kell vizsgálni. Az imaginárius komponens a lengő jellegű tranziens körfrekvenciáját határozza meg.

4. Illusztratív példa

Olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!

Ebben a példában az egyik legegyszerűbb feladatot kitűzve bemutatjuk az összetevőkre bontás módszerét. A feladatot érdemes megoldani a Laplace-transzformáció módszereivel, látni fogjuk, hogy az utóbbi módszer jóval egyszerűbb utat ad a megoldáshoz.

Az összetevőkre bontás módszerével határozzuk meg az alábbi állapotváltozós leírással adott rendszer ugrásválaszát és impulzusválaszát!

x ˙ =2x+4u,

y=3x+5u ,

x( 0 )=0

Első lépésben az állapotegyenletet és a kezdeti feltételt kielégítő x=x( t ) állapotváltozót kell meghatározni a következő alakban:

x( t )= x tr ( t )+ x st ( t ) .

a) A tranziens komponens x tr ( t )=M e λt függvénye kielégíti a homogén differenciálegyenletet, azaz

x ˙ tr =2 x tr ,

itt

λM e λt =2M e λt ,

a sajátérték tehát kiadódik: λ=2 , a rendszer aszimptotikusan stabil, és így gerjesztés-válasz stabil. A tranziens tag: x tr ( t )=M e 2t , az M paraméter értékét utolsó lépésként határozzuk meg.

b) A stacionárius komponens függvénye az ugrásválasz számításakor konstans, x st ( t )=K , aminek konkrét értékét az inhomogén differenciálegyenletbe helyettesítve kapunk meg:

x ˙ st =2 x st +4,

itt

0=2K+4 ,

azaz K=2 . Az u helyére az egységugrásjelet helyettesítettük, aminek értéke 1, ha t>0 , következésképp a kapott K is csak a t>0 időpillanatokra igaz, a számított válaszjel tehát belépőjel.

A teljes időfüggvény tehát:

x=M e 2t +2 ,

ha

t>0 .

c) Az M meghatározása az x( 0 ) kezdeti érték alapján történik:

x( 0 )=0=M e 20 +2 ,

azaz:

M=2 ,

s így:

x( t )=2 e 2t +2 ,

ha

t0 ,

vagy

x( t )=1( t )2( 1 e 2t ) .

A válaszjel (az ugrásválasz) a v( t )=3x( t )+51( t ) alapján az alábbi (lásd 7. ábra):

v( t )=1( t )( 116 e 2t ) .

Az ugrásválasz általánosított deriváltja az impulzusválasz (lásd 7. ábra):

w( t )=5δ( t )+1( t )12 e 2t .

Érdemes a kapott eredményeket ellenőrizni a Laplace-transzformáción alapuló módszerrel!

Megjegyezzük, hogy az állapotváltozós leírásban szereplő D konstans az ugrásválaszban D nagyságú ugrást eredményez a t=0 helyen, és Dδ( t ) tagként megjelenik az impulzusválaszban.

A példában szereplő rendszer ugrásválasza és impulzusválasza
7. ábra
Önellenőrző kérdések

1. Adja meg az alábbi rendszeregyenleteknek megfelelő átviteli függvényt! Adja meg a rendszer impulzusválaszát és ugrásválaszát!

a) y +2y=u ,

b) y +2y= u +2u ,

c) 5 y +2 y +y=3 u +u ,

d) y +6y'+8y=u .

2. A végérték-tételek felhasználásával ellenőrizze az ugrásválasz és az impulzusválasz kezdeti értékét és végértékét!

3. Vázolja fel a Bode-féle közelítő amplitúdómenetet és fázismenetet! Határozza meg az áviteli karakterisztika pontos és közelítő értékét az ω=2 , ω=20 és ω=200 helyeken!

W( s )= 1+10s ( 1+0,1s )( 1+s )

4. Nyilatkozzon az alábbi rendszerek stabilitásáról!

a) x ˙ 1 = x 1 + x 2 +2u, x ˙ 2 =0,2 x 1 +0,4 x 2 , y= x 1 .

b) W( s )= s4 ( s5 )( s+5 )

a) A rendszermátrixból számított sajátértékek valósak és pozitívak (1,24 és 0,16), a rendszer aszimptotikusan nem stabil, s emiatt nem gerjesztés-válasz stabil;

b) Az átviteli függvény két pólusa valós: -5 és +5. Az egyik pólus pozitív, így biztosan nem gerjesztés-válasz stabil. Az aszimptotikus stabilitás az átviteli függvény alapján nem dönthető el.

5. Adja meg a 3. feladatban szereplő rendszer ugrásválaszát, impulzusválaszát és a nem belépő u( t )=2cos2t jelre adott válaszát!