KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Lineáris szabályozási körök

3.1. lecke: A tipikus alaptagok áttekintése

Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör modelljének alapvető komponenseit.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes

  • az alaptagok megnevezésére, és
  • rendszerjellemző függvényeik megadására, és
  • azok felvázolására.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége.

Kulcsfogalmak

  • rendszerjellemző függvények,
  • P-, I-, D-tagok,
  • egytárolós tag,
  • kéttárolós tag,
  • sajátérték,
  • időállandó.
1. Bevezető példák

Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes példák legfontosabb gondolatait.

A kétkaru emelő - példa arányos tagra

A kétkaru emelő az 1. ábrán látható. Az emelő rúdja alaphelyzetben vízszintesen van. Vizsgáljuk meg, hogy a jobb oldali kar helyzetének x nagyságú megváltozása mekkora y megváltozást okoz a bal oldali kar helyzetében.

A kétkaru emelő
1. ábra

Ebben a példában x a bemenőjel, y pedig a kimenőjel. Az x megváltozás hatására létrejövő y megváltozás az 1. ábrán látható két hasonló háromszög alapján könnyedén számítható:

x b = y a ,

ahonnan:

y= a b x .

A kimenet tehát a/b -szerese a bemenetnek, ami egy konstans számérték. Az ilyen típusú tagot arányos tagnak nevezzük, hiszen a kimenőjel a bemenőjellel arányosan változik.

A tartály - példa integráló tagra

Egy tartályba x mennyiségű folyadék áramlik be, aminek hatására a folyadék y-nal jelölt szintje emelkedik. Ha folyadékot engedünk ki a tartályból, akkor y csökken. Tételezzük fel, hogy a vizsgálat kezdetén, a t=0 időpillanatban a tartály üres.

A folyadékszint pillanatnyi változási sebessége (azaz, hogy a folyadékszint milyen gyorsan emelkedik, vagy épp csökken) arányos a beömlő folyadékkal, azaz

y =Ax ,

ami átírható a következő alakra:

y( t )=A 0 t x( τ )dτ .

Ezt a típusú tagot integráló tagnak nevezzük, a kimenőjel ugyanis a bemenőjel integráljával arányos.

Szemléletesen a tartály összegyűjti, integrálja a beömlő (illetve a negatív előjellel figyelembevett kiömlő) folyadékot.

A differenciáló tag

A valóságban differenciáló tag önállóan nem létezik, de az integráló tag fordítottjaként elképzelhető olyan ideális differenciáló tag, amelynek y kimenete az x bemenet deriváltja,

y=Ax'

2. Az ideális alaptagok

Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Célszerű egy táblázatban összefoglalnia.

A W( s )= Y( s ) U( s ) átviteli függvény néhány egyszerű alaptag kombinációjából épül fel. Három jellegzetes alaptípus van (arányos, más néven proporcionális P-tag, integráló I-tag, differenciáló D-tag), amelyek jól elkülöníthetők az átviteli függvényben (1. táblázat).

Az ideális alaptagok összefoglalása
1. táblázat
  • Az arányos P-tag (proporcionális tag). A tag kimeneti jele a bemeneti jel konstansszorosa:

    y( t )= k P u( t ) , (1)

    ami egy algebrai egyenlet. A kimenőjel és a bemeneti jel között időkésleltetés nincs.
    Ezen tag átviteli függvénye így konstans,

    W( s )= k P . (2)

    Ez azt jelenti, hogy a W( jω )= k P átviteli karakterisztika nem függ a frekvenciától, minden frekvenciakomponenst azonos mértékben visz át:

    K( ω )=| k P | ,

    ϕ( ω )={ 0, ha k P >0, ± 180 o , ha k P <0. (3)

    Az impulzusválasza értelemszerűen Dirac-delta, ugrásválasza pedig konstans:

    w( t )= k P δ( t ) ,

    v( t )= k P 1( t ) . (4)
  • Az integráló I-tag a bementére érkező jel integrálásával képezi a kimeneti jelet:

    y( t )= 1 T I t u( τ )dτ, (5)

    ahol T I >0 konstans. Az átviteli függvény ennek megfelelően a következő:

    W( s )= 1 s T I . (6)

    Az átviteli karakterisztika tehát a következő alakot ölti:

    W( jω )= 1 jω T I , (7)

    azaz:

    K( ω )= 1 ω T I ,

    ϕ( ω )= 90 o . (8)

    A Bode-féle amplitúdókarakterisztika tehát egy 20dB/dekád meredekségű egyenes, amely az ω=1/ T I frekvencián metszi a vízszintes tengelyt, az alacsony frekvenciás komponenseket kiemeli, a magasabb frekvenciájú komponenseket elnyomja. A fáziskarakterisztika nem függ a frekvenciától.
    Az impulzusválasz konstans, ugrásválasza pedig lineárisan nő:

    w( t )= 1 T I 1( t ) ,

    v( t )= 1 T I 1( t )t . (9)

    Utóbbi függvényt egységsebességugrásnak is nevezik.
  • A differenciáló D-tag a bementére érkező jel deriválásával képezi a kimeneti jelet.

    y( t )= T D du( t ) dt , (10)

    ahol T D >0 egy konstans. Az átviteli függvény tehát a következő:

    W( s )=s T D . (11)

    Az átviteli karakterisztika pedig a következő alakot ölti:

    W( jω )=jω T D , (12)

    azaz:

    K( ω )=ω T D ,

    ϕ( ω )= 90 o . (13)

    A Bode-féle amplitúdókarakterisztika tehát egy +20dB/dekád meredekségű egyenes, amely az ω=1/ T D frekvencián metszi a vízszintes tengelyt, az alacsony frekvenciás komponenseket elnyomja, a magasabb frekvenciájú komponenseket kiemeli. A fáziskarakterisztika nem függ a frekvenciától.
    Az impulzusválasz nem értelmezhető, mert a Dirac-delta bemenőjel deriváltját nem tudjuk értelmezni, ugrásválasza pedig a Dirac-impulzus:

    v( t )= T D δ( t ) . (14)
3. A tárolós alaptagok

Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Ismételje át előbb a Bode-alakokat, ha szükséges!

Két tárolós tagot különböztetünk meg:

  • Egytárolós tag. Az átviteli függvénye a következő:

W( s )= 1 1+sT , (15)

ahol T>0 . A (15) az időtartományban egy elsőrendű differenciálegyenletnek felel meg, a gerjesztés-válasz kapcsolatot megadó rendszeregyenlet tehát

Y( s )( 1+sT )=U( s )       y( t )+T y ˙ ( t )=u( t ) (16)

Az átviteli karakterisztika a következő alakot ölti:

W( jω )= 1 1+jωT = 1 1+j ω 1/T , (17)

utóbbi a Bode-alakban felírt karakterisztika, ami alapján a közelítő diagramok szerkeszthetők, a pontos diagramok pedig az alábbiak szerint rajzolhatók:

K( ω )= 1 1+ ( ωT ) 2 ,

ϕ( ω )=arctanωT . (18)

Az egytárolós tag közelítő és pontos Bode-diagramja
2. ábra

A Bode-féle közelítő karakterisztikák az 1. modul 2. leckéjében megtalálhatók, a törésponti körfrekvencia értéke itt 1/T . A Bode-diagramot részletesen a 2. ábrán rajzoltuk fel, ahol a pontos és a közelítő diagramok összehasonlíthatóak.

Az impulzusválasz és az ugrásválasza a W( s ) és a V( s ) alapján felírható:

W( s )= 1 1+sT = 1 T 1 s+ 1 T    w( t )= 1 T 1( t ) e t/T , (19)

V( s )= 1 T 1 s( s+ 1 T )    v( t )=1( t )( 1 e t/T ) . (20)

A sajátérték tehát λ=1/T . Az impulzusválasz és az ugrásválasz jellege a 3. ábrán tanulmányozható.

Az egytárolós tag impulzusválasza és ugrásválasza
3. ábra
  • Kéttárolós tag. Ezen tag átviteli függvénye a következő:

W( s )= 1 1+2ξ T 0 s+ T 0 2 s 2 , (21)

amihez a következő rendszeregyenlet rendelhető:

Y( s )( 1+2ξ T 0 s+ T 0 2 s 2 )=U( s )      T 0 2 y ¨ ( t )+2ξ T 0 y ˙ ( t )+y( t )=u( t ) . (22)

Az ω 0 = 1 T 0 a kéttárolós tag ún. saját-körfrekvenciája, ξ pedig a csillapítási tényező. A rendszernek két pólusa van, ha ξ>1 , akkor a pólusok valósak és aperiodikusan csillapított tagról beszélünk, ha pedig 0<ξ1 , akkor a pólusok konjugált komplex párt alkotnak és periodikusan csillapított, lengő tagról van szó.

A kéttárolós tag Bode-diagramja
4. ábra

A 4. ábrán látható a kéttárolós tag Bode-diagramja, ahol kvalitatív képet kaphatunk a diagram alakulásáról. A töréspont az ω 0 = 1 T 0 körfrekvencián van. Az amplitúdó-diagram ω 0 alatt nullához tart, ω 0 felett pedig a -40dB/dekád meredekségű egyeneshez. Ha ξ>1 , az ω 0 környezetében egyre távolabb kerül a görbe a törésponttól, ahogy a ξ csillapítási tényező értéke nő. Ha 0<ξ1 , akkor ω 0 környezetében az amplitúdódiagram pozitív lesz, s ξ csökkenésével a kiemelkedés egyre erőteljesebb. A fázisdiagram az ω 0 körfrekvencián 90 o , csökkenő frekvencián a fázis nullához, növekvő frekvencián pedig 180 o -hoz tart. Az átmenet annál meredekebb, minél kisebb a csillapítási tényező értéke.

Megjegyezzük, hogy amennyiben aperiodikus tagról beszélünk, úgy a kéttárolós tag két egytárolós tag soros kapcsolásával ekvivalens.

Az aperiodikus beállás az egytárolós tag tranziens folyamatához hasonló, ahogy az az impulzusválasz és az ugrásválasz jellegében is tükröződik (l. 5. ábra). A lengő jelleg egy exponenciálisan csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést jelent az impulzusválaszban, s az ugrásválaszban. Minél kisebb a csillapítási tényező, a lengés annál nagyobb amplitúdójú.

A kéttárolós tag impulzusválasza és ugrásválasza
5. ábra
4. Az átviteli függvény P, I, D jellege stacionárius állapotban

Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a három jellegnek megfelelő feltételt!

Az átviteli függvény az alábbi alakra hozható

W( s )=A 1 s i W t ( s ). (23)

A W t ( s ) többtárolós tag (amely a fenti egytárolós és kéttárolós alaptagokból épül fel) a tranziensekért felel, hiszen pólusai a válaszjel tranziens összetevőiben jelentkeznek. Amikor a tranziens lecseng, a fennmaradt  A 1 s i tag hat a bemenetre érkező jelre. Az i értékének megfelelően három eset lehetséges:

  • i=0 , a tag stacionárius állapotban P-tagként viselkedik;
  • i>0 , a tag stacionárius állapotban I-tagként viselkedik;
  • i<0 , a tag stacionárius állapotban D-tagként viselkedik.
5. Illusztratív példa

Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! A feladat egy elméleti szempontból is lényeges eredményt tartalmaz: a sajátérték és az időállandó kapcsolatát, utóbbit itt definiáljuk.

A tranziens összetevő, illetve a (19) alakú impulzusválasz az y( t )=M e λt alakú időfüggvény szerint alakul, ahol λ a sajátérték. Ha λ<0 , akkor az exponenciális függvény lecseng, ellenkező esetben minden határon túl nő. A következő példában λ<0 .

Határozzuk meg a következő időintervallumot! Az y( t )=M e λt függvényhez a 6. ábrán látható módon valamely tetszőleges t0 időpontban húzzunk egy érintőt. Ez az érintő elmetszi a vízszintes tengelyt, miközben τ idő telik el, s kérdés ezen időtartam.

A sajátérték és az időállandó kapcsolatához
6. ábra

Először írjuk fel az érintő egyenesének egyenletét e( t )=mt+b alakban, ahol m a meredekség, ami megegyezik az exponenciális függvény deriváltjával a t0 helyen, azaz

m= dy( t ) dt | t= t 0 =λM e λ t 0

A b paraméter értékének meghatározásához használjuk fel, hogy az e( t ) egyenes a t0 helyen érinti az y( t ) függvényt, azaz:

e( t 0 )=λM e λ t 0 t 0 +b=M e λ t 0 ,

ahonnan

b=M e λ t 0 λM e λ t 0 t 0 .

Az egyenes egyenlete végül a következő:

e( t )=λM e λ t 0 t+( M e λ t 0 λM e λ t 0 t 0 ) .

Az e( t )=0 egyenlet megoldása szolgáltatja a t= t 0 +τ értéket. Az M e λ t 0 taggal lehet egyszerűsíteni,

0=λ( t 0 +τ )+1λ t 0 ,

ahonnan

τ= 1 λ . (24)

Ezt az értéket időállandónak nevezzük. Az időállandó tehát a sajátérték reciprokának mínusz egyszerese.

Mit fejez ki az időállandó? A t= t 0 helyen (ami tetszőleges időpillanat lehet) a függvény értéke y( t 0 )=M e λ t 0 . A t= t 0 +τ helyen pedig

y( t 0 +τ )=M e λ( t 0 +τ ) =M e λ( t 0 1 λ ) =M e λ t 0 e 1 = y( t 0 ) e

Szavakban: a τ időállandó értéke az az időintervallum, ami alatt az exponenciális függvény e-ad részére csökken.

Az 5τ egy lényeges, ökölszabályként is felfogható időintervallumot jelöl: 5τ alatt ugyanis az exponenciális függvény a kezdeti értékének 1/ e 5 <1% -ára csökken, amit sokszor elhanyagolhatónak tekintünk. Mivel a tranziensek exponenciális függvények szerint alakulnak, jó közelítés a legnagyobb időállandót (leglomhább pólust) alapul véve azt mondani, hogy a tranziens 5τ után lecseng, feltéve persze, hogy az exponenciális függvény lecsengő jellegű.

Stabil rendszer időállandói pozitívak.

Konjugált komplex párból álló sajátértékek esetén a valós részből kell számítani az időállandót.

6. Illusztratív példa

Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot!

A pontos Bode-diagram és a törtvonalas közelítés között hol kisebb, hol nagyobb eltérés van. Határozzuk meg a legnagyobb eltérést az amplitúdódiagramon és a fázisdiagramon! Hol tökéletes az egyezés? Vizsgáljuk az egytárolós tagot (1. ábra)!

A közelítő amplitúdódiagram legnagyobb hibája az ω=1/T törésponti körfrekvencián mutatkozik, ahogy az az 1. ábrán is látható. A közelítés szerint itt 0dB a diagram, a pontos érték (18) szerint:

K( 1 T )= 1 1+ ( 1 T T ) 2 = 1 2 ,

decibelben: K dB =20lg 1 2 =3dB . A maximális hiba a töréspontnál tehát 3dB.

A közelítő görbe és a pontos görbe az ω0 és az ω határok felé tartva aszimptotikusan egymásba simulnak. A hiba egyre kisebb és kisebb lesz.

A közelítő fázisdiagram legnagyobb hibája - az 1. ábrán is látható - az ω=0,1/T és az ω=10/T körfrekvenciákon van. Előbbi helyen a közelítő görbe szerint a fázis 0 o , utóbbi helyen pedig 90 o . A pontos értéket (18) szerint lehet meghatározni:

ϕ( 0,1 T )=arctan 0,1 T T=arctan0,1= 5,71 o ,

illetve:

ϕ( 10 T )=arctan 10 T T=arctan10= 84,29 o ,

ϕ( 1 T )=arctan 1 T T=arctan1= 45 o .

7. Illusztratív példa

Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot!

Vizsgáljuk meg, hogy a (21) formula hogy adódik az ( 1+sτ )( 1+s τ * ) szorzat szerint, ahol a * a konjugált komplex képzését jelenti, és τ=1/p az időállandó, míg p=a+jb , és p * =ajb a konjugált komplex párt alkotó pólusok!

( 1+sτ )( 1+s τ * )=( 1 s a+jb )( 1+ s ajb )=1 2as a 2 + b 2 + s 2 a 2 + b 2

Vezessük be az alábbi jelöléseket:

ω 0 2 = a 2 + b 2 ,

T 0 = 1 ω 0 ,

ξ= a ω 0 ,

így ( 1+sτ )( 1+s τ * )=1+2ξ T 0 s+ T 0 2 s 2 . Az ω 0 az ún. sajátfrekvencia, ξ pedig a csillapítási tényező.

Önellenőrző kérdések

Foglalja össze az ideális alaptagok (P, I, D) rendszerjellemző függvényeit!
Foglalja össze az egytárolós tag rendszerjellemző függvényeit!
Foglalja össze a kéttárolós tag rendszerjellemző függvényeit!
Az átviteli függvényből hogy lehet következtetni a rendszer P, I, vagy D jellegére?
Adja meg az időállandó és a sajátérték kapcsolatát!
Mit ad meg az időállandó? Mire lehet használni?
Adja meg a közelítő Bode-diagram hibáját egytárolós tag esetén!