KURZUS: Irányítástechnika
MODUL: Jelek és rendszerek
2.3. lecke: Illusztratív példák
Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje az alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket. Jelen lecke a fentiek alátámasztására néhány részletesen kidolgozott példát tartalmaz. | |||
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes | |||
| |||
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége. | |||
Kulcsfogalmak | |||
| |||
1. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! | |||
Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszer a következő állapotváltozós leírással adott: | |||
Írjuk fel a rendszert megadó A, b, cT, D paramétereket! | |||
Ezen adatok az állapotváltozós leírásból kiolvashatók: | |||
, , , . | |||
Általánosan: | |||
Határozzuk meg a rendszer átviteli függvényét! | |||
Ezt kétféleképp is megtehetjük: | |||
| |||
A Laplace-transzformált egyenletrendszer az alábbi: | |||
A változókat nagybetűvel írjuk, ebben az egyenletrendszerben ugyanis nem időfüggvények szerepelnek, hanem transzformált változók. Az idő szerinti deriváltat lecseréljük a transzformált változó és az s változó szorzatára. Ez a három egyenlet algebrai egyenletrendszert alkot, amelynek megoldása egyszerű feladat. | |||
Ebből kell a hányadost kifejezni, s azt polinom per polinom alakra hozni. Ismertnek kell tehát feltételezni az bemeneti jel transzformáltját, s ismeretlennek az , , változókat. | |||
Az egyenletrendszert bármilyen egyenletrendszer-megoldó technikával meg lehet oldani. Fejezzük ki például az első egyenletből az változót: | |||
, | |||
és helyettesítsük ezt a második egyenletbe. A zárójelek felbontása és rendezés után a következő kifejezést kapjuk: | |||
, | |||
azaz | |||
Helyettesítsük ezt a harmadik egyenletbe, ahonnan: | |||
. | |||
Az első alak a polinom per polinom alak, másképp kifejezve, racionális törtfüggvényként felírt alak. A második pedig a gyöktényezős alak, amikor a számlálóból és a nevezőből adódó polinomokat egyenlővé tesszük nullával, s ebből meghatározzuk a gyököket. Itt a nevező átalakításában a másodfokú egyenlet megoldóképletét használtuk. A nevező polinomjának fokszáma mindig nagyobb, mint a számláló polinomjának fokszáma, legfeljebb egyenlő azzal. | |||
A rendszer egyetlen zérusa , pólusai pedig , és (l. 2. lecke (41) gyöktényezős alak). | |||
| |||
(1) | |||
A determináns kifejtése a következő polinomot eredményezi: | |||
A polinom előállítása (a méretű determináns kifejtése) tehát úgy történik, hogy a főátlóban lévő elemek ( és ) szorzatából kivonjuk a mellékátlóban szereplő tényezők (-1 és -0,2) szorzatát. | |||
Az adjungált mátrix számítása méretű mátrix esetében egyszerű, a következő sémát kell alkalmazni: | |||
Első lépésben (első nyíl) az elem felírásához le kell takarni az i-edik sort és a j-edik oszlopot, s az így megmaradt skalár kifejezést kell beírni az helyre. Ezután (második nyíl) transzponálni, azaz a főátlóra tükrözni kell a mátrixot, végül (harmadik nyíl) a sakktábla-szabályt kell alkalmazni, azaz az előjeleket a formulának megfelelően kell felcserélni. Ez az adjungált mátrix, | |||
Nagyobb méretű mátrixok esetében a művelet jóval hosszabb. | |||
Végezzük el a számlálóban szereplő szorzásokat, azaz szorozzuk az adjungált mátrixot jobbról egy oszlopvektorral, s balról egy sorvektorral. Ez egy skalár kifejezést szolgáltat: | |||
=s+0,4. | |||
Részletesen kifejtve: mátrixot jobbról oszlopvektorral úgy kell szorozni, hogy a vektor első elemével beszorozzuk a mátrix első oszlopának elemeit, majd a vektor második elemével a mátrix második oszlopának elemeit, s az így előálló séma soraiban lévő elemeket összeadjuk, azaz | |||
ami egy oszlopvektor. Ezt ezután balról kell szorozni sorvektorral a következő séma szerint: | |||
Így kapjuk az s+0,4 kifejezést. A D paraméter nulla, azaz: | |||
. | |||
Az eredmény természetesen megegyezik a 1. megoldás eredményével. | |||
Az átviteli karakterisztika ugyanígy határozható meg, de s helyett végig írandó. | |||
Adjuk meg a rendszeregyenletet! | |||
Ezt a feladatot szándékosan az átviteli függvény meghatározása után tettük. | |||
A rendszeregyenlet meghatározható az állapotváltozós leírás alapján is, de az kissé hosszadalmas, a hivatkozott irodalomban az érdeklődő Olvasó megtalálja. Itt a gyorsabb utat mutatjuk be, azaz használjuk az átviteli függvényt: | |||
, | |||
ahonnan: | |||
Felhasználva az idő szerinti deriválás és a neki megfelelő transzformált közti kapcsolatot, írhatjuk, hogy: | |||
Megjegyezzük, hogy az átírás fordítva is igaz, azaz a rendszeregyenletből az átviteli függvény könnyedén felírható. | |||
Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát! | |||
Az impulzusválasz - és sok egyéb belépő jelre adott válasz - a Laplace-transzformáció kifejtési tétele alapján számítható a legegyszerűbben. Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. | |||
Induljunk ki a gyöktényezős alakból, ami parciális törtekre bontható: | |||
Az A és B paraméterek értékét a letakarásos módszerrel egyszerű számolni. Az A paramétert például úgy kell számolni, hogy a gyöktényezős alakban letakarjuk az tagot, s a megmaradt törtben s helyébe -1,24-et helyettesítünk, azaz | |||
, | |||
hasonlóképp: | |||
, | |||
azaz: | |||
Ellenőrzésképp érdemes lehet ezt az egyenlőséget ellenőrizni úgy, hogy a parciális törtek összegeként felírt alakot közös nevezőre hozzuk. | |||
Ha a parciális törtekre bontott alak rendelkezésre áll, akkor már csak az 1. transzformációs táblázatból ki kell keresni az egyes törtekhez tartozó időfüggvényt, jelen esetben: | |||
Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát! | |||
Használjuk a 2. leckében található (45) összefüggést: | |||
A kifejtési tétel értelmében: | |||
, | |||
, | |||
, | |||
azaz: | |||
Az ugrásválasz pedig: | |||
. | |||
Ellenőrizzük az impulzusválasz és az ugrásválasz kapcsolatát az időtartományban! | |||
Az ugrásválasz idő szerinti általánosított deriváltja az impulzusválasz. A deriválást a szorzatfüggvény deriváltjaként kell elvégezni: | |||
A deriválásokat elvégezve: | |||
Az első tag értéke zérus, a végeredmény pedig megegyezik a korábban is kiszámított impulzusválasszal. | |||
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ha egy függvényt Dirac-deltával szorzunk, akkor a függvényt a Dirac-delta helyén (itt a helyen) ki kell számolni, hiszen a Dirac-delta függvény mindenütt nulla, kivéve a Dirac-impulzus helyén. | |||
Vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását! | |||
A rendszer aszimptotikus stabilitása az állapotváltozós leírás rendszermátrixa alapján vizsgálandó. A rendszermátrixból nyert karakterisztikus egyenlet és a sajátértékek az alábbiak: | |||
Ezen sajátértékek valós része negatív, így a rendszer aszimptotikusan stabil. Ezen sajátértékek az állapotvektor tranziens összetevőjében alakban szerepelnek, s mivel lecsengő jellegűek, az állapotvektor nullvektorhoz tart. | |||
A gerjesztés-válasz stabilitás definíció szerint az impulzusválasz alapján vizsgálandó. Ha az impulzusválasz nullához tart miközben az idő a végtelenhez (azaz stacionárius állapotban), akkor a rendszer gerjesztés-válasz stabil. Amennyiben az impulzusválasz exponenciális függvényeiben szereplő sajátértékek valós része negatív, úgy ez biztosan teljesül. Az impulzusválaszban szereplő sajátértékek megegyeznek az átviteli függvény nevezőjéből alkotott polinom gyökeivel, azaz a pólusokkal. A gerjesztés-válasz stabilitásról tehát a pólusok ismeretében is lehet nyilatkozni. | |||
Figyelem! Ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztos, hogy gerjesztés-válasz stabil. Fordítva ez nem biztos, hogy igaz. | |||
Az aszimptotikusan stabil rendszer esetén tehát az állapotvektor nullához tart. Ha emellett a gerjesztőjel korlátos, akkor az biztosan korlátos lesz. Az aszimptotikusan stabil rendszer tehát biztosan gerjesztés-válasz stabil. Az azonban, hogy mely sajátértékek kerülnek a kimenőjelet megadó időfüggvénybe, a sorvektortól függ, ami esetleg nullával szorozza be azon x(t) állapotváltozó(ka)t, amely(ek) exponenciálisan növekvő, azaz nem aszimptotikusan stabil összetevő(ke)t is tartalmaz(nak). Az átviteli függvény meghatározása során mindez könnyebben látható: a számlálóban lévő zérus kiejti a nevezőben szereplő pólust. Ha tehát valamely rendszer gerjesztés-válasz stabil, az nem biztos, hogy aszimptotikusan is stabil. | |||
Határozzuk meg a rendszer válaszát, ha ! | |||
Ekkor: | |||
A kifejtési tételt használva kapjuk, hogy | |||
, | |||
, | |||
, | |||
azaz a válaszjel a következő: | |||
Határozzuk meg a rendszer átviteli karakterisztikáját! | |||
Ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor helyettesítés alkalmazható, vagyis az átviteli karakterisztika: | |||
A karakterisztikát meghatározhatjuk természetesen a (29) módszer alapján is. | |||
Határozzuk meg a rendszer állandósult válaszát, ha a gerjesztés a nem belépő ! | |||
Az átviteli karakterisztika és a gerjesztés komplex csúcsértékének felhasználásával a válasz komplex csúcsértéke kifejezhető: | |||
Az állandósult válasz tehát a következő szinuszos jel: | |||
amelynek van fizikai tartalma, hiszen a rendszer gerjesztés-válasz stabil. | |||
Rajzoljuk fel a Bode-diagramot! | |||
A Bode-féle normálalak a gyöktényezős alakból kiindulva egyszerűen felírható: | |||
=2,02 | |||
A karakterisztika négy részből tevődik össze, amelyeket külön-külön meg lehet rajzolni, ahogy az az 1. és a 2. ábrán látható. | |||
| |||
A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő amplitúdókarakterisztikája -20dB/dekád meredekséggel indul. A számlálóban szereplő 0,4 körfrekvenciától +20dB/dekád meredekség szerint nő a karakterisztika. Ezt a három részeredményt az 1. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, ami felfelé tolja az eredő diagramot. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk az 1. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot. | |||
| |||
A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő fáziskarakterisztikája -45°. A sarok-körfrekvencia alatt egy dekáddal az érték 0°, felette egy dekáddal -90°. A számlálóban szereplő Bode-alak hasonlóképp alakul, csak a pozitív tartományban. Ezt a három részeredményt a 2. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, s mivel pozitív előjelű, nem szól bele a karakterisztika alakulásába. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk a 2. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot. Ennél a diagramnál jobban oda kell figyelni, mert több töréspontja van. | |||
2. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! | |||
Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszert a következő átviteli függvénnyel írunk le: | |||
Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát! | |||
Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy: | |||
azaz: | |||
Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát! | |||
Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy: | |||
azaz: | |||
Ellenőrzésképp célszerű deriválni ezt a kifejezést, az impulzusválaszt kell kapjuk eredményül. | |||
Gyakorlásképp határozzuk meg az ugrásválaszt az impulzusválasz integrálásával is! | |||
Az általánosított derivált fogalma értelmében az integrálást a következőképp kell elvégezni: | |||
Az integrálási határok behelyettesítése után kapjuk a feladatban szereplő impulzusválasz kifejezését. Érezhető, hogy a Laplace-transzformáltak világában egyszerűbb dolgozni. | |||
Határozzuk meg a rendszer kimeneti jelét, ha a gerjesztés az ! | |||
A válaszjel Laplace-transzformáltja , így a válaszjel Laplace-transzformáltja felírható a következő alakban: | |||
A jel ismeretében: | |||
3. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! | |||
Két egytárolós, folytonos idejű rendszert összekapcsolunk különféle módon. Határozzuk meg az egyes összetett rendszerek eredő átviteli függvényét! Legyen | |||
, | |||
és | |||
Soros kapcsolás | |||
Sorosan kapcsolt rendszerek esetében az első rendszer kimenete a második rendszer bemenetévé válik, ahogy az a 3. ábrán is látható. | |||
| |||
A válaszjel a második rendszer kimeneti jele, amelynek Laplace-transzformáltja kifejezhető: | |||
, | |||
de felírható az | |||
alakban, azaz | |||
, | |||
a rendszer eredő átviteli függvénye pedig a sorbakapcsolt rendszerek átviteli függvényeinek a szorzata: | |||
(2) | |||
Itt | |||
, | |||
az impulzusválasz pedig . | |||
Párhuzamos kapcsolás | |||
A párhuzamos kapcsolás esetén a párhuzamosan kapcsolt rendszerek bemeneti jele megegyezik, a rendszerek kimeneteinek például az összege adja az eredő rendszer kimenetét (l. 4. ábra). | |||
| |||
A rendszer kimenőjele itt két jel összege, az összeadás a transzformáltakra is fennáll: | |||
, | |||
azaz | |||
, (3) | |||
vagyis | |||
, | |||
az impulzusválasz pedig . | |||
Visszacsatolást tartalmazó kapcsolás | |||
A rendszert az 5. ábra mutatja: | |||
| |||
Visszacsatolást tartalmazó rendszer hatásvázlata | |||
Az változó felírása segítségül szolgál az eredő átviteli függvény felírásában, | |||
, | |||
így | |||
Átrendezéssel kapjuk a negatív visszacsatolású rendszer eredő átviteli függvényét: | |||
(4) | |||
Ez az összefüggés szabályozási körök tervezésében nagyon fontos, hiszen reprezentálja a tervezendő szabályozót, pedig a szabályozandó szakaszt. | |||
Ha a visszacsatolás pozitív, akkor: | |||
(5) | |||
Ebben a példában a negatív és a pozitív visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi: | |||
, | |||
illetve | |||
Az impulzusválasz a második esetben egyszerű: , de a visszacsatolás labilissá teszi a rendszert, hiszen a második pólus pozitív! | |||
A negatívan visszacsatolt rendszer impulzusválasza a részlettörtekre bontás után a következő: | |||
Az impulzusválasz komplex időfüggvény, hiszen a pólusok komplex konjugált párt alkotnak. Az impulzusválaszt ebben a formájában nem tudjuk értelmezni, azt át kell alakítani a következő módon. Bontsuk fel először az exponenciális kitevőket: | |||
A tag kiemelhető, s így: | |||
Itt felhasználhatjuk a: | |||
, | |||
és | |||
(6) | |||
azonosságok közül a szinuszfüggvényre vonatkozót, illetve, hogy : | |||
Az impulzusválasz időfüggvénye a 6. ábrán látható. | |||
| |||
Ebben a példában jól látható, hogy a komplex pólus valós része szerepel az exponenciális függvény kitevőjében, így a stabilitásvizsgálatban csak a valós részt kell vizsgálni. Az imaginárius komponens a lengő jellegű tranziens körfrekvenciáját határozza meg. | |||
4. Illusztratív példa | |||
Olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! | |||
Ebben a példában az egyik legegyszerűbb feladatot kitűzve bemutatjuk az összetevőkre bontás módszerét. A feladatot érdemes megoldani a Laplace-transzformáció módszereivel, látni fogjuk, hogy az utóbbi módszer jóval egyszerűbb utat ad a megoldáshoz. | |||
Az összetevőkre bontás módszerével határozzuk meg az alábbi állapotváltozós leírással adott rendszer ugrásválaszát és impulzusválaszát! | |||
, | |||
Első lépésben az állapotegyenletet és a kezdeti feltételt kielégítő állapotváltozót kell meghatározni a következő alakban: | |||
. | |||
a) A tranziens komponens függvénye kielégíti a homogén differenciálegyenletet, azaz | |||
, | |||
itt | |||
, | |||
a sajátérték tehát kiadódik: , a rendszer aszimptotikusan stabil, és így gerjesztés-válasz stabil. A tranziens tag: , az M paraméter értékét utolsó lépésként határozzuk meg. | |||
b) A stacionárius komponens függvénye az ugrásválasz számításakor konstans, , aminek konkrét értékét az inhomogén differenciálegyenletbe helyettesítve kapunk meg: | |||
itt | |||
, | |||
azaz . Az u helyére az egységugrásjelet helyettesítettük, aminek értéke 1, ha , következésképp a kapott K is csak a időpillanatokra igaz, a számított válaszjel tehát belépőjel. | |||
A teljes időfüggvény tehát: | |||
, | |||
ha | |||
. | |||
c) Az M meghatározása az kezdeti érték alapján történik: | |||
, | |||
azaz: | |||
, | |||
s így: | |||
, | |||
ha | |||
, | |||
vagy | |||
. | |||
A válaszjel (az ugrásválasz) a alapján az alábbi (lásd 7. ábra): | |||
. | |||
Az ugrásválasz általánosított deriváltja az impulzusválasz (lásd 7. ábra): | |||
. | |||
Érdemes a kapott eredményeket ellenőrizni a Laplace-transzformáción alapuló módszerrel! | |||
Megjegyezzük, hogy az állapotváltozós leírásban szereplő D konstans az ugrásválaszban D nagyságú ugrást eredményez a helyen, és tagként megjelenik az impulzusválaszban. | |||
|
Önellenőrző kérdések | ||
1. Adja meg az alábbi rendszeregyenleteknek megfelelő átviteli függvényt! Adja meg a rendszer impulzusválaszát és ugrásválaszát! | ||
a) , | ||
b) , | ||
c) , | ||
d) . | ||
2. A végérték-tételek felhasználásával ellenőrizze az ugrásválasz és az impulzusválasz kezdeti értékét és végértékét! | ||
3. Vázolja fel a Bode-féle közelítő amplitúdómenetet és fázismenetet! Határozza meg az áviteli karakterisztika pontos és közelítő értékét az , és helyeken! | ||
4. Nyilatkozzon az alábbi rendszerek stabilitásáról! | ||
a) | ||
b) | ||
a) A rendszermátrixból számított sajátértékek valósak és pozitívak (1,24 és 0,16), a rendszer aszimptotikusan nem stabil, s emiatt nem gerjesztés-válasz stabil; | ||
b) Az átviteli függvény két pólusa valós: -5 és +5. Az egyik pólus pozitív, így biztosan nem gerjesztés-válasz stabil. Az aszimptotikus stabilitás az átviteli függvény alapján nem dönthető el. | ||
5. Adja meg a 3. feladatban szereplő rendszer ugrásválaszát, impulzusválaszát és a nem belépő jelre adott válaszát! |