KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Lineáris szabályozási körök

3.4. lecke: Néhány egyszerű szabályozási feladat

Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör egyszerű tervezési technikáit. A feladatok illusztrációként szolgálnak, a tervezés elsajátítása nem cél.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes

  • összefoglalni az egyes szabályozó komponensek hatását.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége.

Kulcsfogalmak

  • szabályozó,
  • P-, I-, D-típusú szabályozás,
  • PI-tag,
  • PD-tag,
  • PID-szabályozó.
1. A szintézisről röviden

Jegyezze le a szintézissel kapcsolatos alábbi információkat!

A szintézis a szabályozási kör méretezése, azaz a szabályozó megtervezése, amely a különféle előírásokat teljesíti.

A méretezés során természetes igény, hogy az ideális szabályozási kört megközelítsük. Az ideális szabályozási kör ismérvei a következők:

  • a zárt rendszer stabil;
  • a statikus hiba zérus;
  • a tranziensek nagyon gyorsan lezajlanak stb.

Ahogy a következő példákban látni fogjuk, a szabályozott szakasszal sorbakapcsolt szabályozó úgy kompenzál, hogy a szakasz bizonyos zérusait, illetve pólusait áthelyezi, azaz egyeseket semlegesít, és újakat hoz be. Ezt soros kompenzációnak is nevezzük.

2. Illusztratív példa - terheletlen egyenáramú motor fordulatszám-szabályozása

Jegyezze le az egyes szabályozók hatását!

Ebben a példában egy egytárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg.

Az egyik legegyszerűbb szabályozandó eszköz az egyenáramú villamos motor. A motorra kapcsolt feszültséggel lehet szabályozni a motor fordulatszámát, minél nagyobb a feszültség, a motor annál gyorsabban forog, kisebb feszültségnél a motor forgása lassabb.

A motor tengelyének ω( t ) szögsebessége és a motorra kapcsolt u( t ) feszültség között a következő átviteli függvény írható fel:

W( s )= Ω( s ) U( s ) = 1 s+1 ,

ahol utóbbi egy nagyon egyszerű illusztratív példa.

Az egyenáramú motor tehát egy egytárolós tag, impulzusválasza és ugrásválasza a következő:

w( t )=1( t ) e t ,

v( t )=1( t )( 1 e t )

A két függvény az 1. ábrán látható.

Az ugrásválaszból egyértelműen kitűnik, hogy amennyiben a motorra hirtelen rákapcsolunk például 1V feszültséget (ugrás alakú jelet), akkor a motor tengelyének szögsebessége nem azonnal, hanem kis késleltetéssel, lassan felfutva éri el az üzemi sebességet, illetve az üzemi fordulatszámot. Ez tehát egy dinamikus rendszer.

Vizsgáljuk meg az egyes szabályozók hatását a zárt rendszer ugrásválaszának tanulmányozásán keresztül!

A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a jól ismert:

W( s )= W C W P 1+ W C W P

szerint alakul.

Az egyenáramú motor ugrásválasza és impulzusválasza
1. ábra

a) Ha a szabályozó egy egyszerű P-típusú szabályozó, akkor W C = k P , azaz

W( s )= k P W P 1+ k P W P = k P 1 s+1 1+ k P 1 s+1 = k P s+( 1+ k P )

Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert (parciális törtekre bontás) is alkalmazzuk:

V( s )= 1 s k P s+( 1+ k P ) = k P 1+ k P s + k P 1+ k P s+( 1+ k P ) ,

azaz:

v( t )=1( t ) k P 1+ k P ( 1 e ( 1+ k P )t )

Szabályozás P-típusú szabályozóval
2. ábra

A zárt kör erősítése tehát k P 1+ k P (ugyanez a kimenőjel értéke stacionárius állapotban), statikus hibája pedig h s =1 k P 1+ k P = 1 1+ k P , ami mindig fennáll.

A 2. ábra különböző k P értékekre mutat eredményt. Az ábrán szembetűnő az ugrásválasz stacionárius értéke a három esetben: 0,1/1,10,091 , 1/2=0,5 , illetve 10/110,91 , és a hiba értéke 1/1,10,91 , 1/2=0,5 , illetve 1/110,091 , ami nem tűnik el. A k P =1 könnyen leolvasható. Az is látható, hogy k P növelésével a jel felfutása egyre gyorsabb, s egyre jobban megközelíti az 1,0 értéket. Technikai okokból azonban a P-tag konstansa nem növelhető tetszőlegesen, minden határon túl. Ha jobb, pontosabb eredményt akarunk elérni, más szabályozóhoz kell nyúlni.

2) Ha a szabályozó egy I-típusú szabályozó, akkor W C =1/s T I , azaz a zárt szabályozási kör átviteli függvénye az alábbi:

W( s )= 1 s T I   1 s+1 1+ 1 s T I   1 s+1 = 1 1+s T I + s 2 T I

Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert is alkalmazzuk:

V( s )= 1 s 1 1+s T I + s 2 T I = 1 s 1 ( s+ λ 1 )( s+ λ 2 ) = 1 λ 1 λ 2 s 1 λ 1 ( λ 2 λ 1 ) s+ λ 1 1 λ 2 ( λ 1 λ 2 ) s+ λ 2 ,

azaz:

v( t )=1( t )( 1 λ 1 λ 2 1 λ 1 ( λ 2 λ 1 ) e λ 1 t 1 λ 2 ( λ 1 λ 2 ) e λ 2 t )

Ezekben a kifejezésekben

λ 1,2 = T I ± T I 2 4 T I 2 T I

a két sajátérték.

Szabályozás I-típusú szabályozóval
3. ábra

A 3. ábra különböző T I értékekre mutat megoldást. Azt látjuk, hogy a szabályozási idő eltelte után a kimeneti jel értéke 1,0, a statikus hiba tehát nulla, ami az integráló szabályozó nagy előnye. A kimeneti jel aperiodikus, ha T I értéke kellően nagy, de ilyen esetben a szabályozás lassú. Kicsi T I értékek mellett a szabályozás gyorsabb, de lengő jellegű, s a lengés T I csökkenésével erőteljesebb.

c) A PI-szabályozó átviteli függvénye a P-szabályozó és az I-szabályozó párhuzamos kapcsolásából áll össze:

W C ( s )= k P + 1 s T I = 1+s k P T I s T I =K 1+sT sT

Utóbbi alakot fogjuk használni. A számlálóban szereplő T időállandóval ki lehet ejteni a szabályozott szakasz legnagyobb időállandóját (leglomhább, lassú pólus), K-val pedig a fázistöbbletet lehet beállítani.

Ebben az esetben a

W C ( s )=K 1+s s

választást lehet alkalmazni, s így a zárt kör átviteli függvénye az alábbi:

W( s )= K 1+s s   1 s+1 1+K 1+s s   1 s+1 = K s+K ,

azaz:

V( s )= 1 s K s+K       v( t )=1( t )( 1 e Kt )

Az ugrásválasz képletéből látszik, hogy a statikus hiba biztosan zérus lesz, a szabályozás jelen esetben aperiodikus, melynek sebessége K megválasztásától függ. A 2. ábrán látható felfutáshoz hasonló eredményt kapunk, de a statikus hiba értéke nulla.

3. Illusztratív példa - magasabb rendű rendszer szabályozása

Jegyezze le az egyes szabályozók hatását!

Ebben a példában egy háromtárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg:

W( s )= 1 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 1 )( 1+ s 5 )

A példában szereplő rendszer amplitúdókarakterisztikája
4. ábra

A szabályozandó rendszer amplitúdókarakterisztikája látható a 4. ábrán. Az átviteli függvényből közvetlenül kiolvashatók a törésponti körfrekvenciák, miáltal a karakterisztika könnyen felvázolható. A három Bode-alaknak megfelelő karakterisztikaelemet vékony vonallal, az eredőt pedig vastag vonallal rajzoltuk be.

A szakasz ugrásválasza a parciális törtekre bontás módszerével felírható:

v( t )=1( t )( 1,00,0051 e 5t +0,1389 e 1t 1,1338 e 0,1t ) ,

ami az 5. ábrán látható.

A példában szereplő rendszer ugrásválasza
5. ábra

a) Vizsgáljuk meg, mit lehet P-szabályozóval elérni. A vágási körfrekvenciát a -20dB/dekád meredekségű szakaszon célszerű beállítani, ami a 0,1 és 1,0 törésponti körfrekvenciák között található.

A P-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
6. ábra

A P-típusú szabályozóval a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikáját el lehet tolni függőleges irányba, ahogy az szaggatott vonallal a 6. ábrán is látható, ha | k P |>1,0. Hogy milyen mértékben célszerű eltolni, az nyilván a kívánt fázistartaléktól függ, amit 60° körülinek célszerű megválasztani.

Ha például k P =5,0 , akkor a felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi:

W 0 ( s )= 5 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 1 )( 1+ s 5 ) ,

a zárt köré pedig:

W( s )= 5 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 1 )( 1+ s 5 )+5

A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 6. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete:

K dB =20lg520lg ω 0,1 ,

ahonnan K dB =0 helyettesítéssel kapjuk, hogy ω c = 0,5. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 72,1° . Ha az erősítés 5,0-nél kisebb, úgy a fázistöbblet is közeledik az optimális 60° -hoz.

A zárt rendszer ugrásválaszában konjugált komplex sajátérték-pár is szerepel, a számítás menete hosszadalmas, de a végeredményt grafikusan mutatja a 7. ábra (itt a rendszer ugrásválaszát az 5. ábráról átmásoltuk, hogy azt össze lehessen hasonlítani a szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválaszával). Így a szabályozás ismérvei tanulmányozhatók. Látható, hogy a szabályozott rendszer kimenete nem éri el az 1,0 értéket, maradó, statikus hiba van, aminek értéke 1/60,167 a végérték-tétel értelmében:

v( t )= lim s0 sV( s )= lim s0 W( s )= 5 6 =0,833

A P-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
7. ábra

A 7. ábrán az is látható, hogy a kimenetnek túllendülése van, ami a komplex pólusoknak tudható be, a szabályozó tehát lengővé teszi a kimenetet, habár a stacionárius értéket rövidebb idő alatt éri el, a beállás tehát láthatóan felgyorsult. A P-tag erősítését növelve a statikus hiba kisebb lesz, de azt nem lehet minden határon túl növelni, egyrészt technikailag nem lehet megoldani, másrészt a fázistöbblet csökkeni fog.

b) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PI-szabályozóval elérni. A PI-tag átviteli függvénye:

W C ( s )=K 1+sT sT

Ennek segítségével a legkisebb törésponti frekvencia kiejthető, legyen tehát:

W C ( s )=5 1+s10 s10 ,

az 5,0 erősítést áthozzuk a P-szabályozóból, s így a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája csak az alacsonyabb frekvenciákon változik, ahogy az a 8. ábrán is látható (szaggatott vonal). Ilyen esetben a felnyitott kör átviteli függvénye némileg egyszerűsödik:

W 0 ( s )= 5 s10( 1+ s 1 )( 1+ s 5 ) ,

a zárt köré szintén:

W( s )= 5 s10( 1+ s 1 )( 1+ s 5 )+5

A PI-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
8. ábra
A PI-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
9. ábra

A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 8. ábrából kiolvasható, hogy nem változik: ω c = 0,5. Megjegyezzük, hogy a pontos érték természetesen változik, hiszen a karakterisztika is változik, de a közelítő törtvonalas karakterisztika ezen szakasza nem változik (v. ö. 6. ábra és 8. ábra). Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 58,6° , ami közelebb van az ideálishoz, mint az egyszerű P-tag eredményeképp kapott érték.

A zárt rendszer ugrásválasza a 9. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag által szolgáltatott eredményt. Látható, hogy az ugrásválasz lengő jellegű, azaz az eredő rendszer sajátértékei között van olyan, ami konjugált komplex párt alkot, ennek köszönhető a túllövés. Az integráló tag növeli a rendszer típusszámát, miáltal a statikus hiba eltűnik, látható, hogy a rendszer kimenete a szabályozási idő letelte után 1,0.

c) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PD-szabályozóval elérni. A PD-tag átviteli függvénye a következő:

W C ( s )=K 1+sT 1+s T

Ennek segítségével a -20dB/dekád meredekségű szakasz meghosszabbítható a nagyobb frekvenciák irányába, legyen az átviteli függvény a következő:

W C ( s )=20 1+s 1+ s 10

A felnyitott kör átviteli függvénye így a következőképp alakul:

W 0 ( s )= 20 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 5 )( 1+ s 10 ) ,

a zárt köré pedig

W( s )= 20 20+( 1+ s 0,1 )( 1+ s 5 )( 1+ s 10 ) ,

A PD-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
10. ábra

A 10. ábrán látható, hogy az 1,00 körfrekvenciához tartozó töréspont eltűnt, s bekerült a 10,0 körfrekvenciához egy új töréspont, miáltal a -20dB/dekád meredekségű szakasz hosszabb lett, s így a vágási körfrekvenciát ki lehet tolni magasabb frekvenciára, hiszen a kör erősítése 20.

A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 10. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete:

K dB =20lg2020lg ω 0,1 ,

ahonnan K dB =0 helyettesítéssel kapjuk, hogy ω c = 2,0. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 49,4° .

A PD-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
11. ábra

A zárt rendszer ugrásválasza a 11. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag és a PI-tag által szolgáltatott eredményeket is. Az ugrásválasz ismét lengő jellegű, de a beállás jóval gyorsabban megtörténik. Ez annak tudható be, hogy a vágási frekvenciát meg lehetett növelni, ugyanakkor maradó statikus hiba állt elő (értéke 1 20 21 =0,0476 ).

d) A PID-szabályozó a fenti előnyöket egyesíti: az I-tagnak köszönhetően pontos beállást, a D-tagnak köszönhetően pedig gyors működést biztosít.

A PID-szabályozó átviteli függvénye a következő:

W C ( s )=K 1+s T I s T I 1+s T D 1+s T D "

Legyen a szabályozó átviteli függvénye az alábbi:

W C ( s )=20 1+s10 s10 1+s 1+ s 10

A felnyitott kör átviteli függvény így a következőképp alakul:

W 0 ( s )= 2 s( 1+ s 5 )( 1+ s 10 )

A vágási körfrekvencia ω c = 2,0 (12. ábra), a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 62,9° .

A zárt rendszer eredő átviteli függvénye a következő alakot ölti:

W( s )= 2 2+s( 1+ s 5 )( 1+ s 10 )

A felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája a 10. ábrán felvázolt karakterisztikától csupán annyiban különbözik, hogy a -20 dB/dekád meredekségű szakasz a kisebb frekvenciák irányába meghosszabbodik, ahogy az a 12. ábrán is látható.

A PID-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
12. ábra

A zárt rendszer ugrásválaszát a 13. ábra mutatja, ahol a fentebb beállított szabályozók hatása is látható, s az eredmények összehasonlíthatók. A vízszintes tengelyen kicsit módosítottunk, hogy az eredmények jobban láthatók legyenek.

A PID-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
13. ábra

Az ábrán jól látható, hogy a PID-szabályozó valóban összegzi az egyes tagok előnyeit.

A P-szabályozó a hibajellel arányosan avatkozik be. A PI-szabályozó a P-tagon keresztül a hibajellel arányosan beavatkozik, de közben a hibajelet integrálja, s a beavatkozás erejét fokozatosan visszaveszi. A PD-szabályozó nemcsak a hibajellel, hanem annak deriváltjával is dolgozik. Gyorsan növekvő hibára nagy értékkel reagál, de ha a hibajel változási sebessége csökken, úgy a D-tag hatása is csökken, azaz nem várja meg, míg a hiba eltűnik, korábban reagál. A PID a PI és a PD hatásokat egyesíti.

A lecke végén megjegyezzük, hogy az ipari folyamatirányításban számos tapasztalati szabályozó beállítási módszert javasoltak, amelyek alkalmasak a gyors üzemi behangolásra. Ezek receptek arra vonatkozóan, hogy a PID-szabályozó egyes csatornáit hogyan kell beállítani előzetes mérések alapján. Ilyen recept például a Ziegler-Nichols-szabályrendszer, az Oppelt-módszer, az Aström-módszer stb.

Önellenőrző kérdések

Hogyan hat egy szabályozási körben a P-tag?

Hogyan hat egy szabályozási körben a D-tag?

Hogyan hat egy szabályozási körben az I-tag?