KURZUS: Irányítástechnika
MODUL: Lineáris szabályozási körök
3.1. lecke: A tipikus alaptagok áttekintése
Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör modelljének alapvető komponenseit. | |||
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes | |||
| |||
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége. | |||
Kulcsfogalmak | |||
| |||
1. Bevezető példák | |||
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes példák legfontosabb gondolatait. | |||
A kétkaru emelő - példa arányos tagra | |||
A kétkaru emelő az 1. ábrán látható. Az emelő rúdja alaphelyzetben vízszintesen van. Vizsgáljuk meg, hogy a jobb oldali kar helyzetének nagyságú megváltozása mekkora megváltozást okoz a bal oldali kar helyzetében. | |||
| |||
Ebben a példában a bemenőjel, pedig a kimenőjel. Az x megváltozás hatására létrejövő y megváltozás az 1. ábrán látható két hasonló háromszög alapján könnyedén számítható: | |||
, | |||
ahonnan: | |||
. | |||
A kimenet tehát -szerese a bemenetnek, ami egy konstans számérték. Az ilyen típusú tagot arányos tagnak nevezzük, hiszen a kimenőjel a bemenőjellel arányosan változik. | |||
A tartály - példa integráló tagra | |||
Egy tartályba x mennyiségű folyadék áramlik be, aminek hatására a folyadék y-nal jelölt szintje emelkedik. Ha folyadékot engedünk ki a tartályból, akkor y csökken. Tételezzük fel, hogy a vizsgálat kezdetén, a időpillanatban a tartály üres. | |||
A folyadékszint pillanatnyi változási sebessége (azaz, hogy a folyadékszint milyen gyorsan emelkedik, vagy épp csökken) arányos a beömlő folyadékkal, azaz | |||
, | |||
ami átírható a következő alakra: | |||
. | |||
Ezt a típusú tagot integráló tagnak nevezzük, a kimenőjel ugyanis a bemenőjel integráljával arányos. | |||
Szemléletesen a tartály összegyűjti, integrálja a beömlő (illetve a negatív előjellel figyelembevett kiömlő) folyadékot. | |||
A differenciáló tag | |||
A valóságban differenciáló tag önállóan nem létezik, de az integráló tag fordítottjaként elképzelhető olyan ideális differenciáló tag, amelynek y kimenete az x bemenet deriváltja, | |||
2. Az ideális alaptagok | |||
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Célszerű egy táblázatban összefoglalnia. | |||
A átviteli függvény néhány egyszerű alaptag kombinációjából épül fel. Három jellegzetes alaptípus van (arányos, más néven proporcionális P-tag, integráló I-tag, differenciáló D-tag), amelyek jól elkülöníthetők az átviteli függvényben (1. táblázat). | |||
| |||
| |||
3. A tárolós alaptagok | |||
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Ismételje át előbb a Bode-alakokat, ha szükséges! | |||
Két tárolós tagot különböztetünk meg: | |||
| |||
, (15) | |||
ahol . A (15) az időtartományban egy elsőrendű differenciálegyenletnek felel meg, a gerjesztés-válasz kapcsolatot megadó rendszeregyenlet tehát | |||
(16) | |||
Az átviteli karakterisztika a következő alakot ölti: | |||
, (17) | |||
utóbbi a Bode-alakban felírt karakterisztika, ami alapján a közelítő diagramok szerkeszthetők, a pontos diagramok pedig az alábbiak szerint rajzolhatók: | |||
, | |||
. (18) | |||
| |||
A Bode-féle közelítő karakterisztikák az 1. modul 2. leckéjében megtalálhatók, a törésponti körfrekvencia értéke itt . A Bode-diagramot részletesen a 2. ábrán rajzoltuk fel, ahol a pontos és a közelítő diagramok összehasonlíthatóak. | |||
Az impulzusválasz és az ugrásválasza a és a alapján felírható: | |||
, (19) | |||
. (20) | |||
A sajátérték tehát . Az impulzusválasz és az ugrásválasz jellege a 3. ábrán tanulmányozható. | |||
| |||
| |||
, (21) | |||
amihez a következő rendszeregyenlet rendelhető: | |||
. (22) | |||
Az a kéttárolós tag ún. saját-körfrekvenciája, pedig a csillapítási tényező. A rendszernek két pólusa van, ha , akkor a pólusok valósak és aperiodikusan csillapított tagról beszélünk, ha pedig , akkor a pólusok konjugált komplex párt alkotnak és periodikusan csillapított, lengő tagról van szó. | |||
| |||
A 4. ábrán látható a kéttárolós tag Bode-diagramja, ahol kvalitatív képet kaphatunk a diagram alakulásáról. A töréspont az körfrekvencián van. Az amplitúdó-diagram alatt nullához tart, felett pedig a -40dB/dekád meredekségű egyeneshez. Ha , az környezetében egyre távolabb kerül a görbe a törésponttól, ahogy a csillapítási tényező értéke nő. Ha , akkor környezetében az amplitúdódiagram pozitív lesz, s csökkenésével a kiemelkedés egyre erőteljesebb. A fázisdiagram az körfrekvencián , csökkenő frekvencián a fázis nullához, növekvő frekvencián pedig -hoz tart. Az átmenet annál meredekebb, minél kisebb a csillapítási tényező értéke. | |||
Megjegyezzük, hogy amennyiben aperiodikus tagról beszélünk, úgy a kéttárolós tag két egytárolós tag soros kapcsolásával ekvivalens. | |||
Az aperiodikus beállás az egytárolós tag tranziens folyamatához hasonló, ahogy az az impulzusválasz és az ugrásválasz jellegében is tükröződik (l. 5. ábra). A lengő jelleg egy exponenciálisan csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést jelent az impulzusválaszban, s az ugrásválaszban. Minél kisebb a csillapítási tényező, a lengés annál nagyobb amplitúdójú. | |||
| |||
4. Az átviteli függvény P, I, D jellege stacionárius állapotban | |||
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a három jellegnek megfelelő feltételt! | |||
Az átviteli függvény az alábbi alakra hozható | |||
(23) | |||
A többtárolós tag (amely a fenti egytárolós és kéttárolós alaptagokból épül fel) a tranziensekért felel, hiszen pólusai a válaszjel tranziens összetevőiben jelentkeznek. Amikor a tranziens lecseng, a fennmaradt tag hat a bemenetre érkező jelre. Az i értékének megfelelően három eset lehetséges: | |||
| |||
5. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! A feladat egy elméleti szempontból is lényeges eredményt tartalmaz: a sajátérték és az időállandó kapcsolatát, utóbbit itt definiáljuk. | |||
A tranziens összetevő, illetve a (19) alakú impulzusválasz az alakú időfüggvény szerint alakul, ahol a sajátérték. Ha , akkor az exponenciális függvény lecseng, ellenkező esetben minden határon túl nő. A következő példában . | |||
Határozzuk meg a következő időintervallumot! Az függvényhez a 6. ábrán látható módon valamely tetszőleges t0 időpontban húzzunk egy érintőt. Ez az érintő elmetszi a vízszintes tengelyt, miközben idő telik el, s kérdés ezen időtartam. | |||
| |||
Először írjuk fel az érintő egyenesének egyenletét alakban, ahol a meredekség, ami megegyezik az exponenciális függvény deriváltjával a t0 helyen, azaz | |||
A b paraméter értékének meghatározásához használjuk fel, hogy az egyenes a t0 helyen érinti az függvényt, azaz: | |||
, | |||
ahonnan | |||
. | |||
Az egyenes egyenlete végül a következő: | |||
. | |||
Az egyenlet megoldása szolgáltatja a értéket. Az taggal lehet egyszerűsíteni, | |||
, | |||
ahonnan | |||
. (24) | |||
Ezt az értéket időállandónak nevezzük. Az időállandó tehát a sajátérték reciprokának mínusz egyszerese. | |||
Mit fejez ki az időállandó? A helyen (ami tetszőleges időpillanat lehet) a függvény értéke . A helyen pedig | |||
Szavakban: a időállandó értéke az az időintervallum, ami alatt az exponenciális függvény e-ad részére csökken. | |||
Az egy lényeges, ökölszabályként is felfogható időintervallumot jelöl: alatt ugyanis az exponenciális függvény a kezdeti értékének -ára csökken, amit sokszor elhanyagolhatónak tekintünk. Mivel a tranziensek exponenciális függvények szerint alakulnak, jó közelítés a legnagyobb időállandót (leglomhább pólust) alapul véve azt mondani, hogy a tranziens után lecseng, feltéve persze, hogy az exponenciális függvény lecsengő jellegű. | |||
Stabil rendszer időállandói pozitívak. | |||
Konjugált komplex párból álló sajátértékek esetén a valós részből kell számítani az időállandót. | |||
6. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! | |||
A pontos Bode-diagram és a törtvonalas közelítés között hol kisebb, hol nagyobb eltérés van. Határozzuk meg a legnagyobb eltérést az amplitúdódiagramon és a fázisdiagramon! Hol tökéletes az egyezés? Vizsgáljuk az egytárolós tagot (1. ábra)! | |||
A közelítő amplitúdódiagram legnagyobb hibája az törésponti körfrekvencián mutatkozik, ahogy az az 1. ábrán is látható. A közelítés szerint itt 0dB a diagram, a pontos érték (18) szerint: | |||
, | |||
decibelben: . A maximális hiba a töréspontnál tehát 3dB. | |||
A közelítő görbe és a pontos görbe az és az határok felé tartva aszimptotikusan egymásba simulnak. A hiba egyre kisebb és kisebb lesz. | |||
A közelítő fázisdiagram legnagyobb hibája - az 1. ábrán is látható - az és az körfrekvenciákon van. Előbbi helyen a közelítő görbe szerint a fázis , utóbbi helyen pedig . A pontos értéket (18) szerint lehet meghatározni: | |||
, | |||
illetve: | |||
, | |||
. | |||
7. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! | |||
Vizsgáljuk meg, hogy a (21) formula hogy adódik az szorzat szerint, ahol a * a konjugált komplex képzését jelenti, és az időállandó, míg , és a konjugált komplex párt alkotó pólusok! | |||
Vezessük be az alábbi jelöléseket: | |||
, | |||
, | |||
, | |||
így . Az az ún. sajátfrekvencia, pedig a csillapítási tényező. |
Önellenőrző kérdések | ||
Foglalja össze az ideális alaptagok (P, I, D) rendszerjellemző függvényeit! |