KURZUS: Irányítástechnika
MODUL: Lineáris szabályozási körök
3.2. lecke: Lineáris szabályozás stabilitása
Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör stabilitásának vizsgálati módszereit. | |||
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes | |||
| |||
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége. | |||
Kulcsfogalmak | |||
| |||
1. A visszacsatolás stabilitásra gyakorolt hatása | |||
Ismételje át a stabilitás fogalmát! Jegyzetfüzetében vezesse le a zárt rendszer eredő átviteli függvényét, és a stabilitás feltételét! | |||
A visszacsatolás a jelátvivő tulajdonságok befolyásolásának egyik leghatékonyabb eszköze. Szabályozástechnikában a negatív visszacsatolás alapvető jelentőségű, hiszen a szabályozás az alapjel és a visszacsatolt kimeneti jel különbségén alapszik, a kimeneti jelet negatívan csatoljuk vissza. | |||
A visszacsatolás hatással van a visszacsatolás által előálló új, zárt rendszer stabilitására. A visszacsatolás az eredetileg labilis rendszert stabilizálhatja, s fordítva, az eredetileg stabil rendszert labilissá teheti. Nyilvánvaló követelmény, hogy a szabályozóval kiegészített zárt rendszer stabil legyen. | |||
A stabilitás fogalmáról (aszimptotikus stabilitás, gerjesztés-válasz stabilitás) az 1. modulban már volt szó, így azt itt nem ismételjük meg. | |||
Mint ismeretes, a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi: | |||
. (1) | |||
Itt jelöli a szabályozó átviteli függvényét (controller) és a szabályozott szakasz (plant) átviteli függvénye. A a felnyitott (megszakított) kör eredő átviteli függvénye, amit -sel jelölünk: , s így: | |||
. (2) | |||
A zárt rendszer stabilitásának feltétele, hogy a zárt rendszer átviteli függvényének nevezője által alkotott polinomból előálló | |||
(3) | |||
karakterisztikus egyenlet gyökei (a zárt rendszer pólusai) negatív valós részűek legyenek. | |||
2. Kritériumok | |||
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a Nyquist-kritériumokat és a Bode-kritériumot! | |||
A zárt rendszer átviteli függvénye, s következésképp a felnyitott kör átviteli függvénye is a szabályozó tervezése során alakul ki, előre nem ismert. Nem megoldható tehát az, hogy a zárt rendszer stabilitását ezek alapján vizsgáljuk. Emiatt közvetett eljárásokat dolgoztak ki, mint például a Nyquist-kritérium, vagy a Bode-kritérium. | |||
a) Az egyszerűsített Nyquist-kritérium a következőképp szól: ha a felnyitott kör átviteli függvényének pólusai mind negatív valós részűek, a zárt rendszer akkor stabil, ha a átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja nem veszi körül a pontot (1. ábra). | |||
| |||
Az 1. ábra első diagramja mutatja a Nyquist-kritériumot kielégítő görbét. A középső diagram a stabilitás határhelyzetét illusztrálja, a harmadik görbe pedig az instabil rendszert. | |||
Azt a pontot kell tehát vizsgálni, ahol a Nyquist-diagram belép az egységsugarú körbe (2. ábra). Ha a belépési pont a és között van, akkor a diagram biztosan nem veszi körül a pontot, ellenkező esetben körülveszi. A metszési pontnak megfelelő körfrekvencia az vágási körfrekvencia, a fázist pedig -vel jelöljük. Ez helyett a fázistöbbletet használják: | |||
. (4) | |||
| |||
Az általánosított Nyquist-kritérium kissé továbbmegy: ha a felnyitott kör átviteli függvényének pozitív valós részű pólusai is vannak (a felnyitott kör nem stabil), a zárt rendszer még lehet stabil, ha a átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja az óramutató járásával ellentétes irányban annyiszor veszi körül a pontot, ahány jobboldali pólusa van a átviteli függvénynek. | |||
b) A Bode-kritérium a Bode-diagramot használva ad segítséget: a zárt rendszer akkor stabil, ha a felnyitott kör amplitúdógörbéje olyan körfrekvencián metszi az egységnyi erősítésnek megfelelő vízszintes tengelyt, ahol a fázistöbblet pozitív (3. ábra). | |||
| |||
A 3. ábra szerint tehát az amplitúdódiagram és a vízszintes tengely metszési pontja által kijelölt vágási körfrekvencián kell vizsgálni a fázistöbbletet, amit a -180°-hoz kell viszonyítani. Az ábrán jelölt fázistöbblet pozitív. Ha a fázisdiagram a vágási körfrekvencián a -180° alatt van, akkor a fázistöbblet negatív. | |||
3. Illusztratív példa | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! | |||
Egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli függvénye az alábbi: | |||
Határozzuk meg a vágási körfrekvenciát és a fázistöbbletet! Vizsgáljuk meg a stabilitást! | |||
Először rajzoljuk fel a felnyitott kör átviteli függvényéhez tartozó Bode-féle amplitúdókarakterisztika törtvonalas közelítését (4. ábra). | |||
| |||
A törtvonalas közelítés alapján a következőképp lehet meghatározni az vágási körfrekvenciát. A közelítő görbe minden szakasza egy-egy egyenes, amelyek típusú egyenlete két pontra támaszkodva felírható, ebben az esetben a | |||
alakot kell használni, a két pont pedig a meredekségű egyenes két végpontja ( és ), ahol az amplitúdó közelítő értéke , és (a két pont pontosan egy dekádra van egymástól), | |||
, | |||
és | |||
A következő két adatot kapjuk, ami egyértelmű: , ami a szakasz meredeksége és , vagyis | |||
A vágási körfrekvencián , s így írhatjuk, hogy | |||
, | |||
ahonnan | |||
A közelítő érték alapján a következő fázist kapjuk: | |||
s így | |||
A fázistöbblet pozitív, így a zárt rendszer stabil kell, hogy legyen. | |||
A pontos értéke meghatározása általában nehéz feladat, mert magas fokszámú polinomot kell megoldani. Ebben az illusztratív példában a megoldás nem túl nehéz feladat. A pontos amplitúdókarakterisztika a vágási körfrekvencián tehát egységnyi: | |||
, | |||
kifejtve | |||
Négyzetre emelés és rendezés után vezessük be az helyettesítést, | |||
, | |||
aminek egyetlen fizikailag helyes megoldása (t. i. a negatív értékű körfrekvenciának nincs fizikai tartalma), továbbá a és értékeket kapjuk. | |||
Ebből a példából is látszik, hogy a közelítő amplitúdómenet használata sokkal egyszerűbb, de tudni kell, hogy az a pontos érték egy közelítése. | |||
Végül írjuk fel a zárt rendszer eredő átviteli függvényét: | |||
, | |||
Ennek két pólusa konjugált komplex párt alkot: . A pólusok valós része negatív, azaz a zárt rendszer valóban stabil. | |||
4. Illusztratív példa | |||
Az általánosított Nyquist-kritérium tanulmányozása után olvassa el a következő példát! | |||
Egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli függvénye az alábbi: | |||
Vizsgáljuk meg a zárt rendszer stabilitást! | |||
A felnyitott körnek három pólusa van: , , . Egyik pólus tehát pozitív, az általánosított Nyquist-kritériumot kell használni. Ehhez szoftveresen felrajzoljuk a Nyquist-diagramot, ami az 5. ábrán látható (lásd Matlab nyquist utasítása). | |||
A görbe egyszer körbeveszi a -1+j0 pontot, ahogy a kritériumban is szerepel, de nem az óramutató járásával ellentétesen halad. A zárt kör tehát nem stabil. | |||
A zárt kör átviteli függvénye a következő: | |||
, | |||
ahonnan: , , . Valóban, a zárt rendszer nem stabil, hiszen konjugált komplex pólusainak valós része pozitív. | |||
|
Önellenőrző kérdések | |||
1. A felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi: | |||
Határozza meg a vágási körfrekvenciát, a fázistöbbletet és nyilatkozzon a zárt rendszer stabilitásáról! Használja a törtvonalas közelítést! | |||
2. A 6. ábrán látható Bode-diagram egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli karakterisztikáját ábrázolja (l. Matlab bode utasítása). A diagram alapján döntse el, hogy a zárt kör stabil, vagy sem! | |||
3. Vezesse le a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvényét! | |||
4. Hogy függ össze a zárt rendszer átviteli függvénye és a felnyitott kör átviteli függvénye? | |||
5. Mi a zárt rendszer stabilitásának feltétele? | |||
6. Hogy szól az egyszerűsített és az általánosított Nyquist-kritérium? | |||
7. Hogy szól a Bode-kritérium? | |||
8. Mi a vágási körfrekvencia? Mi a fázistöbblet? Rajzolja be a fázistöbbletet a komplex számsíkon és a Bode-diagramon! | |||
|