KURZUS: Irányítástechnika
MODUL: Az alapfogalmak áttekintő összefoglalása
1.3. lecke: A szükséges matematikai alapfogalmak áttekintése
Cél: A lecke célja, hogy röviden áttekintsük azon matematikai ismeretanyagot, ami a továbbiak megértése szempontjából elengedhetetlen. | |||
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes | |||
| |||
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 120 percre lesz szüksége. | |||
Kulcsfogalmak: | |||
| |||
1. Függvényekről röviden | |||
Jegyezze fel az itt közölt függvények képletét és diagramját! Tanulja meg a függvény definícióját! | |||
Röviden összefoglaljuk a legfontosabb tudnivalókat a függvényekről, s konkrétan néhány egyszerű függvényről. | |||
A függvény definíciója a következő: y az x függvénye, ha x minden tekintetbe vehető értékéhez y-nak egy, vagy több meghatározott értéke tartozik. Az x értékek a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig a függvény értékkészletét alkotják. A független x változót a vízszintes tengelyen, a függő y változót a függőleges tengelyen mérjük fel. | |||
Irányítástechnikában, legegyszerűbb esetben egyváltozós időfüggvényekről beszélünk. Ebben az esetben a függvény értelmezési tartománya az 1. ábrán látható módon a t idő, értékkészlete pedig az időpillanatokhoz tartozó konkrét számérték. A függvénykapcsolatot a következőképp jelöljük: | |||
(1) | |||
| |||
A tananyagban csupán néhány függvényre szorítkozunk, ezek a következők: | |||
| |||
(2) | |||
ahol m az egyenes meredeksége, b pedig az az érték, ahol az egyenes a függőleges tengelyt a helyen metszi. | |||
| |||
A 2. ábra két elsőfokú függvény alakulását mutatja. Az függvény meredeksége pozitív, a függvény tehát növekvő, a helyen értéke 1. Ugyanakkor az egyenes negatív meredekségű, a függvény csökkenő tendenciát mutat, s értéke 5 a helyen. | |||
Egyenes egyenletének felírásához két pontra van szükség az egyenesről, mivel (2) két paraméterrel bír. Erre később példát mutatunk. | |||
| |||
(3) | |||
alakú függvény rezgőmozgások leírására szolgál, de irányítástechnikában is lényeges szerepet tölt be. A függvény csúcsértékét X jelöli, ami a függvény amplitúdója, az ún. körfrekvencia, pedig a kezdőfázis. Sok esetben a szinuszos időfüggvény leírására a koszinuszos függvényt használjuk, a két függvény ugyanis egymásba alakítható, s ekkor | |||
(4) | |||
| |||
A 3. ábra az időfüggvény alakulását mutatja, vagy ami ugyanaz, az időfüggvényt. | |||
| |||
(5) | |||
alakú függvény alapvető fontosságú a különféle ún. átmeneti folyamatok leírására, ahol M egy konstans számérték, a helyen a függvény az M értéknél metszi a függőleges tengelyt. Ha , akkor a függvény az idő múlásával zérushoz tart (4. ábra folytonos vonallal jelölt függvénye), ha , akkor a függvény minden határon túl növekszik (4. ábra szaggatott vonallal jelölt függvénye). | |||
A 4. ábrán látható függvények közül a szaggatott vonallal vázolt függvény esetén a értéke abszolút értékben kisebb, így az lassabban változik. | |||
| |||
| |||
(6) | |||
alakú függvény csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést (), vagy egy minden határon túl növekvő amplitúdójú () szinuszos rezgést ír le. | |||
Az 5. ábra példaként egy exponenciális csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgés időfüggvényét mutatja. Így alakul például egy rugóra akasztott test kitérése az idő függvényében. | |||
| |||
2. A derivált függvény | |||
Jegyezze fel az itt közölt függvények deriváltját! Tanulja meg a definíciókat! | |||
Az (1) függvény ún. differenciahányadosa, amiből a derivált fogalma bevezethető, a következőképp definiálható. A 6. ábra mutatja a részleteket. A helyen a függvény értéke , a helyen pedig . A függvény értéke megváltozásának és a független változó megváltozásának a hányadosa a differenciahányados: | |||
(7) | |||
| |||
Ez a differenciahányados a két kiválasztott pont között az iránytangens, ugyanis pontosan a (7) hányados értékével egyezik meg. Ezt a helyen annál pontosabban tudjuk meghatározni, minél közelebb húzzuk a helyet, azaz ha a értékét minden határon túl nullára csökkentjük. Természetesen a (7) értéke is változik, amikor a értéke változik. A differenciahányados így bevezetett határértéke a derivált, vagy differenciálhányados: | |||
(8) | |||
Utóbbi jelölés azt jelenti, hogy a differenciálhányadost a helyen határoztuk meg. A helyen a függvény folytonos kell legyen, egyébként a derivált nem létezik. A derivált értéke pontról pontra változhat, így a derivált is függvénye a független változónak. | |||
A derivált egy pontban úgy értelmezhető grafikusan, hogy a függvényhez érintőt húzunk a kiszemelt pontban, s a derivált értéke pontosan az érintő egyenes meredeksége. | |||
A különböző függvényekhez a matematikával foglalkozók a (7) által definiált hányados (8)-ban bevezetett határértékét, azaz a deriváltat meghatározták, amelyek táblázatok formájában a matematikakönyvekben fellelhetők. Az 1. pontban bemutatott néhány függvény deriváltja az alábbi: | |||
| |||
Az utolsó három esetben a láncszabályt, azaz a belső függvény deriváltját is alkalmazni kell! | |||
3. Az integrál | |||
Jegyezze fel az itt közölt függvények integrálját! Tanulja meg a definíciókat! | |||
Előtanulmányainkból ismert, hogy minden műveletnek megvan a párja: az összeadásnak a kivonás, a szorzásnak az osztás, a hatványozásnak a gyökvonás stb. A differenciálszámítás párja az integrálás művelete. Ekkor az függvényhez keressük azt az függvényt, amelynek deriváltja pontosan . | |||
Ebben a tananyagban az integrálás inkább formális művelet, egy-egy fogalmat definiál, s számításokban nem fogjuk használni. Igyekeztünk úgy összeállítani az anyagot, ismerve az előtanulmányi követelményeket, hogy abban az integrálás kevésbé legyen hangsúlyos. | |||
Az integrál fogalmát azonban grafikusan megadjuk (lásd 7. ábra). Valamely függvény integrálja az a terület, amelyet a függvény és a t tengely felölel két érték (itt a és b) között. | |||
| |||
Ennek jelölése a következő: | |||
(9) | |||
A különböző függvényekhez a matematikával foglalkozók az ún. primitív függvényeket meghatározták, amelyek táblázatok formájában a matematikai könyvekben fellelhetők. Ezek levezetése az analízis feladata, amivel e tananyag keretében nem foglalkozunk. | |||
4. Komplex számok | |||
Jegyezze fel az itt közölt definíciókat és összefüggéseket! | |||
Szinuszos jellegű rezgések leírására kiválóan alkalmazható a komplex számokon alapuló szimbolikus leírás, emiatt a komplex számokról röviden meg kell emlékezzünk. Egy komplex szám a 8. ábrán látható módon a komplex számsíkon ábrázolható. | |||
| |||
A vízszintes tengelyt valós (reális) tengelynek, a függőleges tengelyt képzetes (imaginárius) tengelynek nevezzük. | |||
Egy komplex számnak három alakja van: | |||
| |||
(10) | |||
ahol a a komplex szám valós része, jelölése: , b pedig a komplex szám képzetes része, . A valós tengelyre az imaginárius tengely merőleges, utóbbi irányába a egységvektor mutat. | |||
| |||
(11) | |||
azaz , és , továbbá a komplex vektor hossza (a komplex szám abszolút értéke), illetve = atan b/a a komplex vektor (a komplex szám) szöge. | |||
A trigonometrikus alak átjárást biztosít az algebrai alak és a következő, ún. Euler-alak között. | |||
| |||
(12) | |||
Euler-alak előnyösen alkalmazható. | |||
Komplex számok összeadása és kivonása könnyen elvégezhető a (10) algebrai alakban, | |||
(13) | |||
azaz az összeadandó, vagy kivonandó komplex számok valós részei és képzetes részei külön-külön összeadódnak, vagy kivonódnak, s így áll elő az összeg, vagy különbség valós és képzetes része. | |||
Komplex számok szorzása és osztása legegyszerűbben a (12) Euler-alakkal végezhető el, | |||
(14) | |||
azaz a szorzat eredményeképp kapott komplex szám abszolút értéke a két komplex szám abszolút értékeinek szorzata, a szorzat szöge pedig a két komplex szám szögeinek összege, illetve | |||
(15) | |||
azaz az osztás eredményeképp kapott komplex szám abszolút értéke a két komplex szám abszolút értékeinek hányadosa, szöge pedig a két komplex szám szögeinek különbsége. A szorzás és osztás természetesen elvégezhető algebrai alakban is, ezzel azonban nem foglalkozunk, mert az Euler-alakot pontosan a műveletek elvégzésének egyszerűsítésére vezettük be. | |||
5. Illusztratív példák | |||
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat! | |||
Írja fel az alábbi függvény egyenletét (9. ábra)! | |||
| |||
Az egyenes egyenletének felírásához két pontra van szükség az egyenesen. Ezek rendelkezésre állnak, például: , , illetve , ((0;4) és (5;2)). Helyettesítsük ezeket a (2) egyenletbe: | |||
, | |||
. | |||
Így egy kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk, aminek megoldása: , és , azaz . | |||
Végezze el a (6) függvény deriválását! | |||
A függvény két függvény szorzatából tevődik össze. A szorzatfüggvény deriválási szabálya a következő: | |||
(16) | |||
ahol , s így , illetve , s így , azaz | |||
Végezze el az alábbi két komplex szám között az alábbi műveleteket: | |||
, ! | |||
, és | |||
A művelet az algebrai alak szerint egyszerű: | |||
Az osztás és a szorzás Euler-alakban végezhető el egyszerűen, az Euler-alak - a részleteit is kiírva - a két esetben az alábbi: | |||
, , | |||
illetve | |||
, , | |||
Az osztás a következőképp végezhető el: | |||
A szorzás pedig a következő módon: | |||
Célszerű a komplex szám szögét a intervallumban felírni, oda átszámítani. |
Önellenőrző kérdések | ||
Mi a függvény? | ||
Hogy adhatunk meg függvényeket? | ||
Mi a függvény deriváltja? | ||
Definiálja a határozott integrál fogalmát! | ||
Definiálja a komplex szám fogalmát! | ||
Hogyan lehet egy komplex számot megadni? |