KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: IV. modul: Számsorozatok
9. lecke: Műveletek konvergens és tágabb értelemben vett konvergens sorozatokkal, Végtelen geometriai sor
Tanulási cél: Konvergens és tágabb értelemben vett konvergens sorozatokkal végzett műveletek megismerése, és ezek segítségével határérték meghatározása. Végtelen geometriai sor megismerése és alkalmazása pénzügyi számításoknál. | ||
Motivációs feladat | ||
Most már ismerjük a sorozat határértékének fogalmát és néhány nevezetes határértéket. Ezek ismeretében próbáljunk meg megadni a határértékét az alábbi sorozatnak. | ||
Ha nagyon nagy, a törtek értékei nagyon kicsik, tehát a sorozat 2-höz közeli értékeket vesz fel. Úgy tűnik, hogy a határérték a tagok határértékeinek összege. Vajon általában is igaz lehet, hogy konvergens sorozatok összegénél a határértékek összeadódnak? | ||
Elméleti összefoglaló | ||
A sejtés valóban igaz. Ha konvergens sorozatokkal műveleteket hajtunk végre, akkor a határértékekre az alábbi tételeket mondhatjuk ki. |
Tétel: Ha , , valamint és tetszőleges valós számok, akkor | |||||||||
|
Megjegyzés: Szemléletesen úgy fogalmazhatók meg a tételek, hogy ha konvergens sorozatokkal műveleteket végzünk, akkor a határértékekkel ugyanazokat a műveleteket végezzük el. Ha a számolás elvégezhető (0-val nem tudunk osztani), akkor készen vagyunk. | ||
Hasonló tételek igazak a tágabb értelemben vett konvergencia esetén is, de bizonyos esetekben a határérték nem adható meg ilyen egyszerűen. |
Tételek: Legyen és Ekkor a következő tételek érvényesek: | |||||||||||||||||||||
|
Gyűjtsük össze azon eseteket, amikor a határértékről semmit nem tudunk mondani. Ilyenek például rövid jelöléssel a A kritikus esetekben a sorozatokat valamilyen azonos átalakítással nem kritikus típusban visszük át, és ezután határozzuk meg a határértékeket. |
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Használjuk fel az ismert nevezetes határértékeket és határérték tételeket. | ||
Mivel , akkor . | ||
Másrészt mivel , ezért . | ||
2. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Használjuk fel, hogy | ||
Másrészt mivel , ezért . | ||
3. feladat: Határozza meg az alábbi határértékét! | ||
Megoldás: Alakítsuk ki a nevezetes határértékeket, majd alkalmazzuk a megfelelő határérték tételt! | ||
4. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Egy polinom határértékét kell meghatározni. Keressük meg -nek a legmagasabb fokszámú hatványát, majd emeljük ki. A kialakított szorzatban tényezőnként olvassuk le a határértékeket és alkalmazzuk a megfelelő határérték tételt. | ||
Megjegyzés: Egy polinom határértékét mindig -nek a legmagasabb fokszámú kifejezése határozza meg. Ha együtthatója pozitív, akkor a polinom plusz végtelenbe tart, ha negatív, akkor mínusz végtelenbe. Így egy polinom határértéke ránézésre leolvasható. | ||
5. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Ebben az esetben nem egy egyszerű polinom határértékét szeretnénk eldönteni, hanem annak egy gyökös kifejezését. Használjuk az előző módszert! A gyökön belül emeljük ki -nek a legmagasabb kitevőjű hatványát, majd a szorzattá alakítás után tényezőnként vonjunk gyököt! | ||
Tényezőnként olvassuk le a határértékeket, és képezzük ezek szorzatát! | ||
Megjegyzés: Vigyázzunk nagyon a különböző gyökös kifejezésekkel! Ha gyök alatt összeg vagy különbség áll, nem szabad tagonként gyököt vonni. Ismerni kell ezenkívül a gyökös kifejezések hatvánnyá való átírását, illetve fordítva. Hol az egyik, hol a másik alak a célravezető. | ||
6. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Először a gyökön belül emeljük ki legmagasabb hatványát, majd vonjunk tényezőnként gyököt! | ||
Az első gyökös kifejezést írjuk fel hatvány alakban, majd olvassuk le tényezőnként a határértékeket. Az első tényezőben hatványkitevője egy pozitív szám, így | ||
7. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevező határértékét. | ||
Ez egy kritikus eset, ebből az alakból még nem tudjuk leolvasni a határértéket. Mind a számlálóban mind a nevezőben emeljük ki a legmagasabb kitevőjű hatványait, azaz az -et. Az egyszerűsités után olvassuk le a számlálóban és a nevezőben a határértékeket, és alkalmazzuk a határérték tételeket: | ||
8. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Vizsgáljuk meg a számláló és a nevező határértékét. | ||
Egy kritikus esetet kell vizsgálni. Most is emeljük ki a számlálóban és a nevezőben is legmagasabb kitevőjű hatványait, majd az előzőekhez hasonlóan próbáljunk meg egyszerűsíteni! | ||
Most az -es tagok nem ejtik ki egymást, egy két tényezős szorzat alakult ki. Tényezőként olvassuk le a határértékeket. | ||
9. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket a számlálóban és a nevezőben is, akkor két polinom hányadosának határértékét kell meghatározni. | ||
Most már az előzőekhez hasonlóan járjunk el. | ||
Kritikus esetet vizsgálunk, emeljük ki a legmagasabb kitevőjű hatványát külön a számlálóban, külön a nevezőben, alakítsunk ki két tényezős szorzatot, ha lehet egyszerűsítsünk. | ||
Az első tényező 0-hoz, a második -hez, így a határérték 0. | ||
Megjegyzés: Az előző feladatok azonos jellegűek voltak. Olyan kifejezések határértékét kerestük, melyekben polinomot polinommal osztottunk, s a határérték típusa volt. Ilyenkor célszerű -nek a legmagasabb kitevőjű hatványát kiemelni mind a számlálóban, mind a nevezőben, majd egyszerűsíteni. Az átalakítás után már csak olyan kifejezések szerepelnek, amelyeknek külön-külön már ismerjük a határértékét. Végül alkalmazni kell a megfelelő határérték tételeket. | ||
10. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: A tört gyököt tartalmaz. Számlálóban emeljük ki -et, a nevezőben először emeljük ki a gyökön belül -t, majd tényezőnként vonjunk gyököt! Az egyszerűsítés után már tudunk határértéket számolni. | ||
11. feladat: Határozza meg az sorozat határértékét! | ||
Megoldás: A feladat típusú. Az egynél nagyobb alapú exponenciális kifejezéseknél a nagyobb alapú exponenciálist kell kiemelni. | ||
Felhasználva, hogy , mivel . | ||
12. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározni, amelyben exponenciális kifejezések vannak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a nevező. | ||
Kritikus esetet kell vizsgálni. Ahhoz, hogy ki tudjunk emelni, hatványozás azonosságait felhasználva alakítsuk ki számszorosát, úgy hogy a kitevőben csak legyen. | ||
Most már kiemelhetjük a számlálóban és nevezőben külön-külön a legnagyobb alapú exponenciális alakot. Ha lehet egyszerűsítsünk. | ||
13. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározni, amelyben exponenciális kifejezések vannak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a nevező. | ||
Kritikus esetet kell vizsgálni. Ahhoz, hogy ki tudjunk emelni, hatványozás azonosságait felhasználva érjük el, hogy a kitevőkben csak legyen. | ||
Most már kiemelhetjük a számlálóban és nevezőben külön-külön a legnagyobb alapú exponenciális alakot. Ha lehet egyszerűsítsünk. | ||
Nem tudunk úgy egyszerűsíteni, mint az előző feladatnál megtettük. Két tényezős szorzat alakult ki, ahol az első tényező végtelenbe tart, mivel az exponenciális kifejezés alapja egy 1-nél nagyobb szám. | ||
Ellenőrző feladatok | |||||||||
1. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
2. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
3. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
4. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! ![]() | |||||||||
5. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
6. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
7. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
8. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
9. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
10. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
11. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() |
Elméleti összefoglaló | ||
Legyen egy tetszőleges valós számsorozat. Ha a sorozat tagjait összeadjuk egy végtelen összeget kapunk, amit végtelen sornak nevezünk. | ||
Nézzünk néhány nevezetes sort. | ||
Ha , akkor belőle előállítható sor: | ||
(harmonikus sor) | ||
Ha , akkor belőle előállítható sor: | ||
(hiperharmonikus sor) |
Definíció: Az sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha , ahol természetes szám és -t a mértani sorozat kvóciensének nevezzük. | ||
Definíció: Ha egy mértani sorozat, akkor a belőle képezhető sort geometriai sornak (másnéven mértani sornak) nevezzük. | ||
A geometriai sor általános alakja: | ||
, ahol | ||
Definíció: Az tetszőleges végtelen sor -edik részletösszegének nevezzük az összeget. A sorhoz rendelhető részletösszegek egy sorozatot alkotnak. |
Példa: Harmonikus sorra írjuk fel a részletösszegek sorozatának első 5 tagját. | ||
Az első részletösszeg a sor első tagjából áll. A második részletösszeg a sor első két tagjának az összege. A harmadik részletösszeg a sor első három tagjának az összege és így tovább. | ||
A hiperharmonikus sor 8. részletösszege a sor első 8 tagjának az összege. | ||
A geometriai sor . részletösszege a sor első tagjának az összege. | ||
A felírt példák alapján látszik, hogy ha növekszik, a részletösszegek sorozata a sor egyre több és több tagját tartalmazza. Így, ha a részletösszegek sorozatának van határértéke, akkor azt indokolt a sor összegének tekinteni. |
Definíció: Ha egy tetszőleges sornál a részletösszegek sorozatának van véges határértéke, akkor azt a sor összegének nevezzük. Ilyenkor a sort konvengensnek mondjuk. Ha a részletösszegek sorozatának nincs véges határértéke, akkor a sort divergensnek nevezzük. | ||
Tétel: A harmonikus sor divergens, a hiperharmonikus sor pedig konvergens. | ||
A geometriai sor egy kivételes esetbe tartozik. A részletösszegek sorozatának határértéke a kvóciens értékétől függ. | ||
Tétel: A geometriai sor esetén a részletösszegek sorozata felírható a következő alakban: | ||
, ahol . Ha , akkor . | ||
Innen látható, hogy határértékét határértéke dönti el. Az utóbbinak tudjuk, hogy csak akkor van véges határértéke, ha . | ||
Tétel: A geometriai sor konvergens, ha teljesül, ekkor a sor összege:. | ||
Ha , akkor a geometriai sor divergens. |
Példa: Egy bankba beteszünk Ft-ot évi 6% kamatlábbal. Kamatos kamattal számolva mennyi pénzünk lesz az első, második, harmadik és . év végén? | ||
Az első év végén fog először kamatozni a pénzünk. A második év végén másodszor, harmadik év végén harmadszor, akkor . év végén alkalommal. | ||
Jól látható, hogy az év végén felvehető összeg: mértani sorozattal adható meg. | ||
Példa: Ha 4 évig minden év elején beteszünk a bankba összeget, akkor mennyi pénz lesz a számlánkon a 4. év végén? Az éves kamatláb legyen most is 6%. | ||
Valójában az előbbi mértani sorozat első négy tagjának összegére vagyunk kíváncsiak. | ||
Példa: Ha 4 évig minden hónap elején beteszünk a bankba összeget, akkor mennyi pénz lesz a számlánkon a 4. év végén? Az éves kamatláb legyen most is 6% és vegyük azt az esetet, amikor a bank havonta tőkésít. | ||
A számoláshoz szükségünk van a tőkésítések számára, ami most és a havi kamatlábra, ami pedig az éves kamatláb 1 hónapra eső időarányos része, azaz | ||
. | ||
Az első alkalommal befizetett összeget a 48 hónap alatt 48-szor tőkésítik, a második befizetett összeget 47-szer és így tovább. A utolsó összeget csak egyszer tőkésítik. Így egy 48 tagból álló összeget kellene kiszámolni. | ||
Az összeg valójában egy geometriai sor 48. részletösszege, ahol az első tag és . | ||
Kidolgozott feladatok | ||
14. feladat: Írja fel a sor 3. és . részletösszegét! | ||
Megoldás: Egy sor harmadik részletösszeg a sor első három tagjának, az . pedig az első tagjának összege. | ||
15. feladat: Döntse el, hogy a sor konvergens-e! Ha igen, adja meg a sor összegét! | ||
Megoldás: Az előző feladatban már felírtuk a sor első pár tagját. Jól látható, hogy ez egy geometriai sor, amelynek a kvóciense . Ha a geometriai sor kvóciense pedig nagyobb, mint 1, akkor a sor nem konvergens. | ||
16. feladat: Döntse el, hogy a sor konvergens-e! Ha igen, adja meg a sor összegét! | ||
Megoldás: Ha észrevesszük, hogy a sor átírható a következő alakba , akkor azonnal látható, hogy ez egy egyszerű geometriai sor. A konvergenciához elegendő megnézni a kvócienst. Mivel a , amire teljesül a feltétel, így a sor konvergens. Az összeg számolásához szükségünk van még az első tagra. Most , így az összeg: | ||
17. feladat: Döntse el, hogy a sor konvergens-e! Ha igen adja meg a sor összegét! | ||
Megoldás: Írjuk fel a sor pár tagját: | ||
Ez egy geometriai sor, a konvergencia eldöntéséhez elegendő a kvócienst vizsgálni. Most , amelyre teljesül, hogy , ezért a sor konvergens. Olvassuk le a sor első tagját: . Most már számolhatjuk az összeget: | ||
Ellenőrző feladatok | |||||||||
12. Az alábbi sorok között hány geometriai sor van?
![]() | |||||||||
13. Írja fel a sor 6. részletösszegét! ![]() | |||||||||
14. Konvergens-e a sor! Ha igen adja meg a sor összegét!
![]() | |||||||||
15. Az alábbi geometriai sorok között hány konvergens sor van?
![]() | |||||||||
16. Egy geometriai sor első tagja és kvóciense is 1,3. Határozza meg a sor 15. részletösszegét!
![]() |
További kidolgozott feladatok | ||
18. feladat: Vizsgálja meg monotonitás és korlátosság szempontjából az alábbi sorozatot! Konvergens-e a sorozat? Ha igen, akkor adjon küszöbszámot -hoz! | ||
Megoldás: Monotonitáshoz vizsgáljuk az -edik és -edik tag különbségét. Először írjuk fel az -edik elemét a sorozatnak. | ||
Most már felírható a vizsgálandó különbség: | ||
Végezzük el a számlálóban a kijelölt szorzásokat, majd rendezzük a kifejezéseket. | ||
Tehát a sorozat szigorúan monoton nő. | ||
Mivel a sorozat szigorúan monoton nő, így a sorozat alsó korlátja a sorozat első tagja, azaz . | ||
A felső korlát vizsgálata előtt nézzük meg, hogy konvergens-e a sorozat. | ||
A sorozat konvergens (egy véges szám a határértéke). Szigorúan monoton növekedve közelíti meg -t, azaz a sorozat tagjai kisebbek lesznek, mint , így a sorozat felső korlátja . | ||
Küszöbszám meghatározásához vizsgálni kell, hogy milyen n-re teljesül az | ||
egyenlőtlenség. A határértéket ismerjük, be tudunk helyettesíteni. | ||
Bontsuk fel a zárójelet az abszolút értéken belül. | ||
Hozzuk közös nevezőre a törteket. | ||
Rendezzük a számlálót. | ||
Vizsgáljuk meg az abszolút értéken belül lévő tört előjelét. A számláló mindig pozitív, a nevező mindig negatív, ha természetes szám. Ha a törtet szorozzuk -gyel, akkor az abszolút érték elhagyható. Baloldalon a negatív előjelet vigyük a számlálóba. | ||
Oldjuk meg a kapott egyenlőtlenséget. Ügyeljünk arra, hogy mivel minden esetén negatív, az átalakításnál az egyenlőtlenség iránya megváltozik. | ||
Tehát a keresett küszöbszám 3126, ha . Ez a szám azt jelenti, hogy ha a sorozat valamely tagjának az indexe nagyobb ennél a számnál, akkor ezek az elemek -nél kisebb eltéréssel közelítik a határértéket, azaz a -t. | ||
19. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Az előző feladatok alapján, ha gyökös kifejezés alatt polinom szerepel, akkor először a gyökön belül emeljük ki legmagasabb kitevőjű hatványát. | ||
Majd tényezőnként vonjunk gyököt. A nevezőt is alakítsuk a szokásos módon. | ||
Az első gyökös kifejezést írjuk fel törtkitevős hatvány alakjában, majd végezzük el az osztást. | ||
Az első tényezőben hatványkitevője egy pozitív szám, így a keresett határérték . | ||
20. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Ha elvégezzük a számlálóban és a nevezőben is a kijelölt műveleteket, akkor két polinom hányadosát kapjuk. | ||
Emeljük ki legmagasabb kitevőjű hatványát a számlálóban és a nevezőben is. | ||
Olvassuk le tényezőnként a határértékeket. | ||
21. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: A határérték típusa . A gyökök miatt most nem olyan könnyű egyszerűsíteni, mint az előző feladatokban, célszerű előbb a számlálóban és a nevezőben is a gyök alatt egy kiemelést végrehajtani. A számlálóban a gyök alatt emeljünk ki -et, a nevezőben (szintén a gyök alatt) pedig -et, majd tényezőnként vonjunk gyököt! | ||
A kifejezés két tört szorzatára bontható, melyeknek külön-külön vizsgálhatjuk a határértékét. | ||
A második tört határértéke egy nem 0 véges érték, hiszen a számláló -hoz, a nevező pedig -hez tart. A tört határértéke tehát . Az első törtben a gyököket célszerű inkább hatvány alakra átírni, ekkor az osztást el is tudjuk végezni, s csak egyetlen hatványt kapunk. | ||
Most már a szorzat tényezőinek ismerjük a határértékét, amit felhasználva fejezzük be a feladatot. | ||
22. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározni, amiben exponenciális kifejezések vannak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a nevező! | ||
Egy kritikus esetet kell eldönteni. A hatványozás azonosságait felhasználva alakítsuk át az exponenciális kifejezéseket a számlálóban és a nevezőben is. | ||
Most már emeljük ki a számlálóban és a nevezőben is a legnagyobb alapú exponenciális kifejezést! | ||
Kéttényezős szorzatot kaptunk. Nézzük meg tényezőnként a határértékeket. | ||
23. feladat: 18 éven keresztül minden év elején beteszek a bankba 70 000 Ft-ot. A 18. év végén mennyi pénzt sikerül összegyűjteni, ha az éves kamatláb 4%? | ||
Megoldás: Írjuk fel a 18 tagból álló összeget! Használjuk fel, hogy az először befizetett összeget a 18 év alatt 18-szor tőkésítik, a második befizetett összeget már csak 17-szer, a 18. év elején befizetett összeget pedig csak egyszer. | ||
Vegyük észre, hogy egy geometriai sor 18. részletösszegét kell kiszámolni, ahol és , így a felvehető összeg: | ||
24. feladat: Egy kis vállalkozás januári nyeresége 500 000 Ft volt. A körülmények úgy alakultak, hogy az év hátralévő részében, minden hónapban a nyereség az előző hónaphoz képest 5%-kal csökkent. Mennyi volt a teljes éves nyereség? | ||
Megoldás: A januári nyereség 500 000Ft. Februárban már csak ennek a 95%-a, azaz míg márciusban már csak , és így tovább. Decemberben már csak . A teljes éves nyereség ezek szerint: | ||
egy geometriai sor 12. részletösszegét kell számolni. és . | ||
A nyereség: | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
12. Az alábbi állítások közül melyik igaz az sorozatra?
![]() | |||||||||
13. Az alábbi állítások közül melyik igaz az sorozatra?
![]() | |||||||||
14. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
15. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
16. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
17. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
18. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
20. Húsz éven keresztül minden év elején beteszek a bankba 120 000 Ft-ot. A 20. év végén mennyi pénzt sikerül összegyűjteni, ha az éves kamatláb 3,2%?
![]() | |||||||||
21. Egy fakitermeléssel foglalkozó cég az egyik évben 25 000 m3 fát vágott ki. A következő 8 évben a termelés évente 2%-kal csökkent az előző évhez képest. Hány m3 fát vágtak ki a 9 év alatt összesen?
![]() |