KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: VI. modul: Differenciálszámítás

13. lecke: Differenciálszámítás alkalmazásai

Tanulási cél: Olyan eljárás megismerése, melynek segítségével a függvények növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából vizsgálhatók, valamint az eljárás alkalmazása szöveges feladatokban minimum vagy maximum keresésére.

Motivációs példa

Valamely termék árbevételét az f( x ) függvény adja meg, ahol x a termék egységára Ft-ban.

Ha a jelenlegi egységár növekszik, vajon mennyivel csökken a bevétel? Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális?

Egy adott termék előállítási költségét a g( x ) függvény adja meg, ahol x a termelt mennyiség. Ha a jelenlegi termelés nő, vajon az átlagos előállítási költség mennyivel növekszik? Mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagos előállítási költség minimális?

A gyakorlati életben nagyon sok ehhez hasonló problémával találkozunk, amiben valamilyen fizikai vagy közgazdasági mennyiségnek maximumát vagy minimumát, azaz szélsőértékét keressük, egy másik mennyiség függvényében. A megadott példákban a bevétel függ a termék egységárától, vagy az előállítási költség a termelt mennyiségtől. A mennyiségek közötti kapcsolatokat az f( x ) , illetve g( x ) függvények írják le. Ha sikerül megállapítanunk, hogy ezek a függvények mikor nőnek, és mikor csökkennek, akkor azt is meg tudjuk mondani, hogy hol veszik fel a legnagyobb illetve legkisebb értékeiket. Az alábbiakban olyan módszerrel ismerkedünk meg, aminek segítségével el tudjuk dönteni, hogy egy függvény mely intervallumokon nő, és mely intervallumokon csökken, valamint hol és milyen típusú szélsőértéke van.

Elméleti összefoglaló

Mivel a derivált értéke minden pontban megadja a grafikon érintőjének meredekségét, ezért a derivált előjeléből következtethetünk arra, hogy hol nő és hol csökken a függvény, valamint hol van szélsőértéke. Szemléletesen ugyanis arra gondolhatunk, hogy ha egy pontban a derivált pozitív, akkor ott az érintő meredeksége pozitív, tehát az érintő úgymond felfelé halad, s mivel ő jól közelíti a függvényt, így a függvény is növekedni fog. Erre látunk példát az alábbi ábrán.

1. ábra

Hasonlóan okoskodhatunk akkor, ha egy pontban a derivált negatív. Ekkor az érintő nyilván lefelé halad, s ekkor a függvény csökkenni fog. Erre mutat példát az alábbi ábra.

2. ábra

Ha pedig egy függvénynek valahol szélsőértéke, azaz maximuma vagy minimuma van, akkor ott az érintőnek vízszintesnek kell lennie, tehát meredeksége 0, s így a derivált értéke itt 0 kell legyen. Erre láthatunk két példát is az alábbi ábrán.

3. ábra

Hangsúlyozzuk, hogy ez csak szemléletes okoskodás. A pontos megfogalmazás majd a most következő definíciókban és tételekben szerepel majd. Elsőként definiáljuk pontosan a lokális növekedés és csökkenés, valamint a szélsőértékek fogalmát.

Definíció: Az f függvény az x 0 D f helyen lokálisan növekvő, ha létezik az x 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x 1 < x 0 < x 2 esetén teljesül, hogy f( x 1 )<f( x 0 )<f( x 2 ) .

Az f függvény az x 0 D f helyen lokálisan csökkenő, ha létezik az x 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x 1 < x 0 < x 2 esetén teljesül, hogy f( x 1 )>f( x 0 )>f( x 2 ) .

Definíció: Az f függvénynek az x 0 helyen helyi, másképpen lokális maximuma van, ha megadható x 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x esetén f( x )f( x 0 ) .

Az f függvénynek az x 0 helyen helyi, másképpen lokális minimuma van, ha megadható x 0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x esetén f( x )f( x 0 ) .

Ezek után kimondható az alábbi tétel, melyre a szemléletes okoskodással utaltunk.

Tétel: Ha az f függvény az x 0 helyen differenciálható és f ( x 0 )>0 , akkor a függvény az x 0 helyen lokálisan növekvő.

Ha az f függvény az x 0 helyen differenciálható és f ( x 0 )<0 , akkor a függvény az x 0 helyen lokálisan csökkenő.

A tétel megfordítása azonban sajnos nem igaz. Gondoljunk ugyanis az f( x )= x 3 függvényre, amely az x 0 =0 helyen nyilván lokálisan növekvő, azonban deriváltja ott nem pozitív, hanem 0-val egyenlő. Az alábbi ábrán látható az f( x )= x 3 függvény grafikonja, amiről teljesen egyértelmű, hogy a függvény nő az x 0 =0 helyen.

4. ábra

Így nem egészen megfordításként, következő tétel mondható ki.

Tétel: Ha az f függvény az x 0 helyen differenciálható és ott lokálisan növekedő, akkor f ( x 0 )0.

Ha az f függvény az x 0 helyen differenciálható és ott lokálisan csökkenő, akkor f ( x 0 )0.

A feladatok megoldása során a lokális növekedés és csökkenés helyett, az intervallumon növekedés és csökkenés fogalmát használjuk.

Definíció: Az f függvény az ] a,b [ intervallumon növekvő, ha minden x] a,b [ esetén lokálisan növekvő.

Az f függvény az ] a,b [ intervallumon csökkenő, ha minden x] a,b [ esetén lokálisan csökkenő.

Ezek után feladatokban leginkább a tétel alábbi megfogalmazásra hivatkozunk.

Tétel: Ha f az ] a,b [ intervallumon differenciálható és minden x] a,b [ esetén f ( x )>0 , akkor f az ] a,b [ intervallumon növekvő.

Ha f az ] a,b [ intervallumon differenciálható és minden x] a,b [ esetén f ( x )<0 , akkor f az ] a,b [ intervallumon csökkenő.

A lokális szélsőértékekre is több tétel mondható ki. Az első a szélsőérték létezésének szükséges feltétele.

Tétel: Ha f differenciálható az x 0 hely valamely környeztében, és f-nek x 0 -ban lokális szélsőértéke van, akkor f ( x )=0 .

Gondoljunk bele, a tétel nem azt mondja ki, hogy ahol a derivált 0, ott szélsőérték van. Ez a tétel megfordítása lenne, és ez nem igaz. Példaként megint az f( x )= x 3 függvényt említhetjük, amelynek deriváltja az x 0 =0 helyen 0-val egyenlő, de ott nincs szélsőértéke a függvénynek, mert ott lokálisan növekvő. Tehát csak annyit mondhatunk, ahol a derivált 0, ott könnyen elképzelhető, hogy van szélsőérték. Ezért van szükségünk egy másik tételre is, ami már elégséges feltétel a szélsőérték létezésére.

Tétel: Ha az f függvény differenciálható az x 0 helyen és f ( x 0 )=0 , valamint f előjele megváltozik az x 0 -ban, akkor f-nek az x 0 helyen lokális szélsőértéke van.

A fenti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a függvényeket növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából.

1.Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a függvény értelmezhető.
2.Deriváljuk a függvényt.
3.Megoldjuk az f ( x )=0 egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol szélsőérték lehet.
4.Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s a részeken vizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba helyettesítünk.
5.Az értelmezési tartomány egyes részein a derivált előjeléből következtetünk a növekedésre, csökkenésre.

Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összefoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk a dolgokat.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Vizsgáljuk meg növekedés és csökkenés, azaz monotonitás, valamint szélsőérték szempontjából az f( x )=3 x 4 8 x 3 függvényt.

Megoldás: A függvény minden valós számra értelmezhető, azaz D f = .

f ( x )=12 x 3 24 x 2

f ( x )=012 x 3 24 x 2 =0

Emeljünk ki amit csak lehet, így alakítsunk szorzattá.

12 x 2 ( x2 )=0

Szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Két eset lesz, vagy x 2 =0 , amiből x=0 következik, vagy x2=0 , amiből x=2 következik. A derivált zérushelyei tehát most a 0 és a 2.

Készítsünk ezután egy táblázatot. Az első sorban az értelmezési tartomány részeit tüntessük fel. A derivált zérushelyei bontják részekre a valós számok halmazát. A zérushelyeknek is készítsünk külön oszlopot, mert ezeket a helyeket kell vizsgálnunk, hogy van-e bennük szélsőérték. A második sorban majd azt jelezzük, hogy az adott részen milyen előjelű a derivált. A harmadik sorban pedig majd azt, hogy azon a részen hogyan viselkedik a függvény. Most egyelőre azonban csak az első sort töltsük ki. Így az induló táblázatunk az alábbi.

x ] ,0 [ 0 ] 0,2 [ 2 ] 2, [
f ( x )
f( x )

Most vegyünk egy számot a ] ,0 [ intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. a 1 .

f ( 1 )=12 ( 1 ) 3 24 ( 1 ) 2 =36

Negatív számot kaptunk, tehát a derivált negatív értékeket vesz fel a ] ,0 [ intervallumon.

Most vegyünk egy számot a ] 0,2 [ intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. az 1.

f ( 1 )=12 1 3 24 1 2 =12

Negatív számot kaptunk, tehát a derivált negatív értékeket vesz fel a ] 0,2 [ intervallumon.

Végül vegyünk egy számot a ] 2, [ intervallumból, és helyettesítsük be a deriváltba. Ilyen szám pl. a 3.

f ( 1 )=12 3 3 24 3 2 =108

Pozitív számot kaptunk, tehát a derivált pozitív értékeket vesz fel a ] 2, [ intervallumon.

Töltsük ki ezután a táblázat második sorát, beírva a derivált előjelét. A zérushelyeken természetesen azt írjuk be, hogy a derivált ott 0.

x ] ,0 [ 0 ] 0,2 [ 2 ] 2, [
f ( x ) neg. ( ) 0neg. ( ) 0poz. ( + )
f( x )

Ezután töltsük ki a harmadik sort is. Ahol a második sorban negatív a derivált, ott a függvény csökken, ahol pedig pozitív a derivált ott a függvény nő. Amelyik zérushelynél nem vált előjelet a derivált, ott nincs szélsőérték, de ahol megváltozik a derivált előjele ott van. Ha negatívból pozitívba vált a derivált, akkor lokális minimum van, hiszen a függvény a szélsőérték előtt csökken, azután pedig nő. Míg ha pozitívból negatívba megy át a derivált, akkor lokális maximum van, mert a függvény a szélsőérték előtt nő, utána pedig csökken.

x ] ,0 [ 0 ] 0,2 [ 2 ] 2, [
f ( x ) neg. ( ) 0neg. ( ) 0poz. ( + )
f( x ) csökk. nincs SZÉ. csökk. lokális minimum

A függvény tehát csökken a ] ,2 [ intervallumon, nő a ] 2, [ intervallumon, és lokális minimuma van az x=2 helyen.

Az x=0 helyen nincs szélsőérték, mert ott nem vált előjelet a derivált, s mert a függvény előtte és utána is csökken. Ebből következik, hogy az x=0 helyen is lokálisan csökkenő a függvény.

A táblázat alapján bármilyen növekedéssel, csökkenéssel és szélsőértékkel kapcsolatos kérdésre választ tudunk adni.

A szélsőérték nagyságát is megkaphatjuk, ha helyét behelyettesítjük az eredeti függvénybe. Jelen esetben tehát 2-t helyettesítünk az f-be.

f( 2 )=3 2 4 8 2 3 =16

A függvény minimumának értéke tehát 16 .

Az alábbi ábrán a függvény grafikonja látható.

5. ábra

2. feladat: Vizsgáljuk meg növekedés és csökkenés, azaz monotonitás, valamint szélsőérték szempontjából az f( x )= 1 x + 1 x 2 függvényt.

Megoldás: A törtek miatt kikötést kell tennünk, x0 . D f =\{ 0 } .

f ( x )= ( 1 x + 1 x 2 ) = ( x 1 + x 2 ) =( 1 ) x 2 +( 2 ) x 3 = 1 x 2 2 x 3

f ( x )=0 1 x 2 2 x 3 =0

Célszerű 1 -gyel szorozni, és közös nevezőre hozni. Így az alábbit kapjuk:

x+2 x 3 =0 .

Egy tört akkor 0, ha számlálója 0. Így az x+2=0 egyenletet kapjuk, amiből x=2 .

A deriváltnak tehát most csak egy zérushelye van. A táblázat készítésekor azonban ne feledkezzünk meg arról, hogy 0-ban nem értelmezett a függvény. Így a 0-t is vegyük be a táblázatba ugyanúgy, mint a derivált zérushelyét. Így az induló táblázat a következő.

x ] ,2 [ 2 ] 2,0 [ 0 ] 0, [
f ( x ) X
f( x ) X

A 0 oszlopában az X-ekkel azt jelöltük, hogy ott a függvény nincs értelmezve.

Vegyünk egy számot a ] ,2 [ -ból, mondjuk a 3 -at, s helyettesítsük a deriváltba.

f ( 3 )= 1 ( 3 ) 2 2 ( 3 ) 3 = 1 27

Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a függvény.

Vegyünk egy számot a ] 2,0 [ -ból, mondjuk a 1 -et, s helyettesítsük a deriváltba.

f ( 1 )= 1 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 3 =1

Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a függvény.

Végül vegyünk egy számot a ] 0, [ -ból, mondjuk a 1-et, s helyettesítsük a deriváltba.

f ( 1 )= 1 1 2 2 1 3 =3

Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a függvény.

Mivel 2 előtt negatív a derivált, utána azonban pozitív, így az x=2 helyen a függvénynek lokális minimuma van.

Töltsük ki ezután egyből a táblázat második és harmadik sorát is.

x ] ,2 [ 2 ] 2,0 [ 0 ] 0, [
f ( x ) neg. ( ) 0poz. ( + ) Xneg. ( )
f( x ) csökk. lokális minimum Xcsökk.

A függvény tehát csökken a ] ,2 [ és ] 0, [ intervallumokon, nő a ] 2,0 [ intervallumon, és lokális minimuma van az x=2 helyen.

A minimum értéke f( 2 )= 1 ( 2 ) + 1 ( 2 ) 2 = 1 4 .

Bár az x=0 helyen megváltozik a derivált előjele, ez mégsem szélsőérték, hiszen itt a függvény nincs értelmezve.

Az alábbi ábrán a függvény grafikonja látható.

6. ábra

3. feladat: Hol növekvő az f függvény, ha deriváltja f ( x )=( x+2 ) ( x5 ) 2 ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .

Megoldás: Első lépésként meg kell vizsgálnunk, mi a legbővebb halmaz, amelyen f értelmezhető. Mivel nem kell semmilyen kikötést tennünk D f = , s ugyanitt értelmezhető f is.

Mivel most ismerjük a függvény deriváltját, így az f ( x )=0  egyenlet megoldásával folytatjuk.

( x+2 ) ( x5 ) 2 =0

Mivel szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet két egyszerűbb egyenletre bontható. Vagy x+2=0 , amiből x=2 , vagy ( x5 ) 2 =0 , amiből x=5 .

Készítsük most táblázatot, aminek első sorában feltüntetjük az értelmezési tartomány részeit. Most a derivált két zérushelye a 2 és az 5 bontja részekre a valós számok halmazát.

x ] ,2 [ 2 ] 2,5 [ 5 ] 5, [
f ( x )
f( x )

Vegyünk egy számot a ] ,2 [ -ból, mondjuk a 3 -at, s helyettesítsük a deriváltba.

f ( 3 )=( 3+2 ) ( 35 ) 2 =64

Mivel negatív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt negatív lesz a derivált, s így itt csökken a függvény.

Vegyünk egy számot a ] 2,5 [ -ból, mondjuk a 0-t, s helyettesítsük a deriváltba. (Egy pozitív és egy negatív szám között mindig a 0-t célszerű választani, mert azt a legegyszerűbb helyettesíteni.)

f ( 0 )=( 0+2 ) ( 05 ) 2 =50

Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a függvény.

Végül vegyünk egy számot az ] 5, [ -ból, mondjuk a 10-et, s helyettesítsük a deriváltba.

f ( 10 )=( 10+2 ) ( 105 ) 2 =300

Mivel pozitív értéket kaptunk, ezen az intervallumon mindenütt pozitív lesz a derivált, s így itt nő a függvény.

Mivel 2 előtt negatív a derivált, utána azonban pozitív, így az x=2 helyen a függvénynek lokális minimuma van.

Az x=5 helyen nem változik a derivált előjele, és a függvény 5 előtt és után is nő, így ezen a helyen nincs szélsőérték. A függvény az x=5 helyen is lokálisan nő.

x ] ,2 [ 2 ] 2,5 [ 5 ] 5, [
f ( x ) neg. ( ) 0poz. ( + ) 0poz. ( + )
f( x ) csökk. lokális minimum nincs SZÉ.

A kész táblázat alapján már csak válaszolnunk kell a kérdésre. Látható, hogy a függvény a ] 2, [ intervallumon nő.

4. feladat: Hol csökkenő az f függvény, ha deriváltja f ( x )= 3x x+4 ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .

Megoldás: A feladat nagyon hasonlít az előzőhöz, így ugyanúgy járhatunk el. Első lépésként határozzuk meg, mely halmazon értelmezhető a függvény deriváltja. A nevező nem lehet zérus, így D f =\{ 4 } .

Ezután oldjuk meg az f ( x )=0  egyenletet.

3x x+4 =03x=0x=3

Nézzük ezután, milyen részekre kell bontanunk az értelmezési tartományt. Az előzőekben szerepelt, hogy a derivált zérushelyei bontják részekre az értelmezési tartományt, mert általában ezeken a helyeken változik meg a derivált előjele. De nem csak zérushelyen változhat egy függvény előjele, hanem olyan helyen is, ahol nincs értelmezve. Gondoljunk pl. az 1 x függvényre, amely nincs értelmezve az x=0 helyen. A negatív x értékekre negatív ez a függvény, a pozitív x-ekre pedig pozitív. Nincs tehát zérushely a 0-ban, hisz a függvény itt nem is értelmezett, de a függvény előjele mégis változik. Amikor készítjük a táblázatot, akkor tehát nem csak a derivált zérushelyével kell részekre bontani az értelmezési tartományt, hanem az értelmezési tartományban levő szakadási hellyel is. Készítsük el most a táblázatot, egyelőre az első sorát kitöltve. A szakadási helyen azonban a második és a harmadik sorban jelölhetjük, hogy ott a derivált nem értelmezett, így a függvényről sem tudunk semmit mondani.

x ] ,4 [ 4 ] 4,3 [ 3 ] 3, [
f ( x ) X
f( x ) X

Ezután vizsgáljuk meg az értelmezési tartomány részein a derivált előjelét, és ebből határozzuk meg, nő vagy csökken ott a függvény.

Vegyünk egy 4 -nél kisebb számot. Legyen pl. 5 , s helyettesítsük ezt a deriváltba.

f ( 5 )= 3( 5 ) 5+4 =8

Negatív értéket kaptunk, tehát x<4 esetén negatív a derivált, ebből következően itt csökken a függvény.

Vegyünk egy 4 és 3 közé eső számot. Legyen pl. 0, s ezt is helyettesítsük a deriváltba.

f ( 0 )= 30 0+4 = 3 4

Pozitív értéket kaptunk, tehát ha 4<x<3 , akkor pozitív a derivált, s így itt nő a függvény.

Végül vegyünk egy 3-nál nagyobb számot is. Legyen pl. 4, és helyettesítsük ezt a deriváltba.

f ( 4 )= 34 4+4 = 1 8

Negatív értéket kaptunk, így ha 3<x akkor negatív a derivált, tehát ekkor csökken függvény.

Mivel a derivált értéke az x=3 helyen előjelet vált, így ezen a helyen van lokális szélsőértéke a függvénynek. Mert a derivált pozitívból negatívba megy át, így ezen a helyen lokális maximum van.

Ezután kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is.

x ] ,4 [ 4 ] 4,3 [ 3 ] 3, [
f ( x ) neg. ( ) Xpoz. ( + ) 0neg. ( )
f( x ) csökk. X lokális maximumcsökk.

A kitöltött táblázat alapján válaszolhatunk a feladat kérdésére. A függvény csökken a ] ,4 [ és ] 3, [ intervallumokon.

5. feladat: Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f függvénynek, ha deriváltja f ( x )= ( x2 ) 2 lnx ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .

Megoldás: Az előző feladatok megoldásából láthattuk, hogy egy függvény szélsőértékeinek meghatározásához is azokra a lépésekre van szükség, mint a növekedés és a csökkenés vizsgálatához. Így járjunk el hasonlóan, mint az előzőekben. Elsőként vizsgáljuk meg, mely halmazon értelmezhető a függvény deriváltja. Most a lnx miatt ki kell kötnünk, hogy x csak pozitív értékeket vehet fel, így D f = + =] 0, [ .

Ezután oldjuk meg az f ( x )=0 egyenletet.

( x2 ) 2 lnx=0

Arra hivatkozunk, hogy szorzat csak akkor lehet zérus, ha valamelyik tényezője 0. Így az egyenletet egyszerűbb egyenletekre bontjuk.

( x2 ) 2 =0 vagy lnx=0

Az első egyenlet megoldása nyilván x=2 .

A második egyenlet mindkét oldalát tekintsük úgy mint kitevőt, s az e számot emeljük fel ezen kitevőkre. Így a bal oldalon olyan kompozíciót kapunk, amiben egy függvény és inverze szerepel, így ott egyszerűen x áll.

lnx=0 e lnx = e 0 x=1

A derivált zérushelyei tehát az 1 és a 2.

Ezután elkészíthetjük a táblázatot, egyelőre csak az első sort kitöltve. Figyeljünk oda, hogy az értelmezési tartomány most csak a pozitív valós számok halmaza. Így az első részben nem a ] ,1 [ intervallum áll, hanem ott a ] 0,1 [ intervallumnak kell szerepelni.

x ] 0,1 [ 1 ] 1,2 [ 2 ] 2, [
f ( x )
f( x )

Ezután vizsgáljuk a derivált előjelét az egyes részeken, s ebből következtessünk a növekedésre vagy a csökkenésre.

A ] 0,1 [ intervallumban található pl. az 0.5 . Helyettesítsük ezt a deriváltba.

f ( 0.5 )= ( 0.52 ) 2 ln0.51.56

A derivált értéke itt negatív, tehát ezen az intervallumon csökken a függvény.

Az ] 1,2 [ intervallumban található pl. az 1.5 , amit behelyettesítünk a deriváltba.

f ( 1.5 )= ( 1.52 ) 2 ln1.50.101

A derivált értéke ezen a helyen pozitív, ebből következően ezen az intervallumon nő a függvény.

Végül a ] 2, [ intervallumban van pl. az 3, amit a deriváltba helyettesítünk.

f ( 3 )= ( 32 ) 2 ln31.10

A derivált pozitív ezen a helyen, így itt is nő a függvény.

Az x=1 helyen a derivált előjele megváltozik, így itt a függvénynek lokális szélsőértéke van. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a függvénynek.

Az x=2 helyen a derivált nem vált előjelet, így ezen a helyen nincs szélsőértéke a függvénynek. Mivel előtte és utána is növekvő a függvény, így ezen a helyen is lokálisan növekvő a függvény.

Töltsük ki ezután a táblázat második és harmadik sorát is.

x ] 0,1 [ 1 ] 1,2 [ 2 ] 2, [
f ( x ) neg. ( ) 0poz. ( + ) 0poz. ( + )
f( x ) csökk. lokális minimum nincs SZÉ.

A függvénynek tehát csak az x=1 helyen van lokális szélsőértéke, ahol lokális minimuma van.

Ellenőrző kérdések
1. Hol növekvő az f( x )=3 x 4 +12 x 3 függvény?
A ] ,3 [ intervallumon.
A ] ,0 [ intervallumon.
A ] 3, [ intervallumon.
A ] 0, [ intervallumon.
2. Hol csökkenő az f( x )=x+ 1 x függvény?
A ] ,1 [ és ] 1, [ intervallumokon.
A ] ,1 [ és ] 0,1 [ intervallumokon.
A ] 1,0 [ és ] 1, [ intervallumokon.
A ] 1,0 [ és ] 0,1 [ intervallumokon.
3. Hol növekvő az f függvény, ha deriváltja f ( x )= ( x1 ) 3 ( x+8 ) ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .
A ] ,8 [ és ] 1, [ intervallumokon.
A ] ,1 [ intervallumon.
A ] 8, [ intervallumon.
A ] 8,1 [ intervallumon.
4. Hol csökkenő az f függvény, ha deriváltja f ( x )= x5 ( x+2 ) 2 ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .
A ] ,2 [ és ] 2,5 [ intervallumokon.
A ] ,5 [ intervallumon.
A ] 2,5 [ és ] 5, [ intervallumokon.
A ] 2, [ intervallumon.
5. Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f függvénynek, ha deriváltja f ( x )= ( x7 ) 3 lnx ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .
Az x=1 és x=7 helyeken lokális minimuma van.
Az x=1 helyen lokális minimuma, az x=7 helyen lokális maximuma van.
Az x=1 és x=7 helyeken lokális maximuma van.
Az x=1 helyen lokális maximuma, az x=7 helyen lokális minimuma van.
Elméleti összefoglaló

Az eddigiekben megismertük azt a módszert, mellyel függvényeket monotonitás és szélsőérték szempontjából vizsgálni tudunk. Most foglalkozzunk azzal, hogyan tudjuk alkalmazni ezt a módszert a lecke elején vázolt problémákhoz hasonló esetekben, melyeket szöveges szélsőérték feladatoknak nevezhetünk. Az ilyen feladatokban első lépésként fel kell írnunk, egy általunk választott független változó függvényében azt a mennyiséget, aminek a szélsőértékét keressük. Ezután meg kell határozni a feladat feltételeiből, hogy a független változó milyen értékeket vehet fel. Az így kapott, szöveg szerinti értelmezési tartományon kell aztán megkeresnünk a függvény szélsőértékeit a korábban megismert módon. A módszerrel az alábbi kidolgozott feladatokon keresztül ismerkedünk meg. Megoldjuk majd a lecke elején vázolt problémát is, de előbb egyszerűbb feladatokkal foglalkozunk.

Kidolgozott feladatok

6. feladat: Mekkorának kell választani egy 20 cm kerületű téglalap oldalait, hogy területe maximális legyen? Mekkora ez a maximális terület?

Megoldás: Jelöljük a téglalap egyik oldalát x-szel, a másikat pedig y-nal.

Ekkor a téglalap területe: T=xy .

Így felírva a területet, két változó mennyiség szerepel. Azonban a két változó között kapcsolat van, hiszen a kerület 20 cm. Írjuk fel a kerületet az oldalakkal.

K=20=2x+2y

Ebből az összefüggésből az egyik változó, pl. y kifejezhető.

y=10x

Ha pedig ezután behelyettesítünk y helyére a területet leíró összefüggésben, akkor már egyváltozós függvényt kapunk. Ekkor már jelölhetjük azt is, hogy a terület az x változó függvénye.

T(x)=x(10x)=10x x 2

Ezzel olyan függvényt kaptunk, ami a terület változását írja le az egyik oldal függvényében.

Határozzuk meg ezután, hogy milyen határok között vehet fel értékeket a változó. Nyilvánvaló, hogy az x>0 feltételnek teljesülni kell, hiszen egy téglalap oldala csak pozitív lehet. Az x-nek azonban 10-nél kisebbnek is kell lennie, hiszen a téglalap másik oldala

10x , és ennek is pozitívnak kell lenni. Így a változóra a 0<x<10 feltételt kapjuk. Ezen a halmazon kell keresnünk a fenti T(x) függvény maximumát. Ehhez állítsuk elő a függvény deriváltját.

T (x)=102x

Megoldjuk a T (x)=0 egyenletet.

102x=0x=5

A deriváltnak a zérushelye a ] 0,10 [ intervallumba esik, így szóba jöhet, mint lehetséges maximum hely. Annak eldöntésére, hogy az x=5 helyen valóban maximuma van-e a területnek, célszerű elkészíteni a szokásos táblázatot.

Az első sor kitöltésekor vegyük figyelembe a 0<x<10 feltételt.

A derivált előjelének vizsgálatát immár nem részletezzük, mert nyilvánvaló, hogy melyik intervallumon pozitív, ill. negatív a derivált.

x ] 0,5 [ 5 ] 5,10 [
T ( x ) +0
T( x ) lok. max.

Az x=5 helyen tehát lokális maximuma van a függvénynek. Sőt ez a 0<x<10 feltétel mellett nem csak lokális maximum, hanem ezen a halmazon ez globális maximum is, hiszen x<5 esetén végig nő a függvény, x>5 esetén pedig végig csökken.

A terület tehát akkor lesz maximális, ha az egyik oldal 5 cm hosszúságú. Persze ekkor a másik oldal hossza is 5 cm, azaz a téglalap ekkor négyzet.

A maximális területet kell még meghatároznunk. Helyettesítsük be a maximum helyét a függvénybe.

T max =T(5)=5(105)=25

A terület maximumának értéke tehát 25 cm2.

Megjegyzés: Az ilyen feladatokban nem egyértelmű, hogy mit lesz majd a legjobb független változónak tekinteni. Jelen feladatban elég egyértelmű volt, hogy a téglalap egyik oldalát célszerű választani, de eljárhattunk volna más módon is. Mivel a két oldal összege 10, így az egyik oldal ugyanannyival rövidebb 5-nél, mint amennyivel a másik hosszabb 5-nél. Választhattuk volna változónak ezt a mennyiséget is, amivel az oldalak az 5-től eltérnek. Természetesen ekkor másik függvény írja le területet, és más a szöveg szerinti értelmezési tartomány is. Ennek megmutatása végett megoldjuk most a feladatot másik módon is.

Jelölje a téglalap két oldalát a és b. Tegyük fel, hogy a a nem rövidebb oldal, b pedig a nem hosszabb oldal, azaz ab .

Jelölje x az oldalak hosszának 5-től való eltérését.

Ekkor a=5+x , b=5x .

A téglalap terület: T=ab , amibe behelyettesítve a fentieket, egy függvényt kapunk, aminek változója x lesz.

T( x )=( 5+x )( 5x )=25 x 2

Ne feledkezzünk el annak vizsgálatáról, hogy a szöveg milyen értékeket enged meg a változóra. Jelen esetben 0x , hiszen egy eltérés nem lehet negatív, x<5 , mert a b oldalnak, azaz 5x -nek is pozitívnak kell lenni. Ez együttesen 0x<5 , vagy x [ 0,5 [ formában írható. Amint látható, most olyan intervallumon keressük a maximumot, aminek egyik vége zárt, másik vége nyitott.

Vegyük a területfüggvény deriváltját.

T ( x )=2x

Itt kell felhívnunk azonban a figyelmet arra, hogy a derivált csak a T függvény értelmezési tartományának belső pontjaiban értelmezhető, így a derivált esetén már 0<x<5 , azaz x] 0,5 [ .

Ha megoldjuk a T ( x )=0 egyenletet, ami 2x=0 , akkor abból x=0 következik.

Ez azonban nem eleme T értelmezési tartományának. Ennek ellenére olyan érzésünk támadhat, hogy ha van szélsőérték, akkor az most csak az x=0 esetén lehet. Ennek igazolására készítsünk táblázatot. Az x=0 értéket kezeljük külön, és itt a derivált sorában azt tüntetjük fel, hogy az nem értelmezett.

x0 ] 0,5 [
T ( x ) nem értelmezettneg. ( )
T( x ) maximum

A táblázatból leolvasható, hogy a függvény végig csökken, s ebből következően a maximumát az értelmezési tartomány alsó határán, azaz x=0 esetén veszi fel. Megkaptuk tehát most is, hogy akkor van szélsőérték, ha a téglalap négyzet.

Megjegyezzük, hogy ha a második megoldásunk során nem éltünk volna az ab feltevéssel, akkor x negatív értékeket is felvehetett volna. Ekkor egyrészt a 5<x feltételnek kellett volna teljesülni amiatt, hogy az a oldalnak, azaz x+5 -nek pozitívnak kell lenni. Másrészt az x<5 feltételnek kell fennállni, mert a b oldalnak, azaz 5x -nek pozitívnak kell lenni. A kettőből együttesen kapjuk, hogy 5<x<5 , azaz x] 5,5 [ . Ekkor ugyanúgy az értelmezési tartomány belső pontjában kapjuk a szélsőértéket, mint az első megoldásunkban. A fentiekből jól látható, hogy a független változó megválasztása nagyban befolyásolja a feladat megoldásának további részét. Arra is felhívjuk a figyelmet, hogy a szélsőértéket nagyon sok esetben a derivált alkalmazása nélkül is meghatározhatjuk. Ha például a második megoldásunkban kapott területet leíró függvényt T( x )=25 x 2 vizsgáljuk, akkor egyértelműen x=0 esetén van maximuma a függvénynek. Ennek oka, hogy egy konstansból vonunk x 2 -et, aminek legkisebb értéke a 0, az x=0 esetben. Így amikor x 2 a legkisebb, akkor lesz 25 x 2 a legnagyobb. Sok esetben viszont nem találunk ilyen elemi megoldást, s így ilyenkor nem tudjuk elkerülni a derivált alkalmazását.

7. feladat: Egy termék iránti keresletet a t egységár függvényében K( t )= t t 2 +4 függvény írja le. Vizsgáljuk meg, hogy milyen t egységár mellett lesz a termék iránti kereslet a legnagyobb?

Megoldás: A feladat szövegéből következik, hogy a termék utáni keresletet megadó függvény értelmezési tartománya csak a pozitív valós számok halmaza lehet, tehát t>0 . A kereslet ott lehet maximális, ahol a K függvény deriváltja 0-val egyenlő (ahol a derivált eltűnik). Első lépésként tehát deriváljuk a K függvényt.

K ( t )= 1( t 2 +4)t2t ( t 2 +4) 2 = 4 t 2 ( t 2 +4) 2

Oldjuk meg a K ( t )=0 egyenletet. Használjuk fel, hogy egy tört csak akkor lehet 0, ha a számlálója 0.

4 t 2 ( t 2 +4) 2 =0,    ha    4 t 2 =0

Egy másodfokú egyenletet kaptunk t-re, amelynek gyökei az t=±2 .

A két megoldás közül csak t 1 =2 esik a ] 0, [ intervallumba, így a táblázat elkészítésénél csak ezt kell figyelembe venni.

Készítsük el a szokásos táblázatot.

t ] 0,2 [ 2 ] 2, [
K ( t )
K( t )

A K ( t ) sorában az előjeleket például a következő módon kaphattuk meg. Választunk egy számot a ] 0,2 [ intervallumból, mondjuk az 1-et, mert azzal könnyű lesz számolni. Ezt behelyettesítjük K ( t ) -be.

K ( 1 )= 3 25 >0

Hasonlóan választunk egy számot a ] 2, [ intervallumból. Legyen ez mondjuk a 10, mert ezzel is könnyű lesz számolni.

K ( 10 )= 4100 ( 100+4 ) 2 <0

t ] 0,2 [ 2 ] 2, [
K ( t ) +0
K( t ) lok. max.

Ezután már kijelenthetjük, hogy az t=2 helyen lokális maximuma van a K( t ) függvénynek. A ] 0, [ intervallumon ez nem csak lokális, hanem globális maximum is, hiszen t=2 előtt végig nő a függvény, t=2 után pedig végig csökken.

8. feladat: Két pozitív szám szorzata 100. Melyik ez a két szám, ha összegük minimális? Mekkora a minimális összeg?

Megoldás: Legyen a két szám x és y. Tudjuk, hogy xy=100 . Fejezzük ki ebből y-t.

y= 100 x

Írjuk a két szám összegét ezután x függvényeként.

f( x )=x+ 100 x

Ennek a függvénynek kell keresnünk a minimumát a ] 0, [ intervallumon.

Deriváljuk a függvényt.

f ( x )= ( x+ 100 x ) = ( x+100 x 1 ) =1+100( 1 ) x 2 =1 100 x 2

Oldjuk meg az f ( x )=0 egyenletet.

1 100 x 2 =0 x 2 =100x=±10

Minimum szempontjából nyilván csak az x=10 esettel kell foglalkoznunk, hiszen most x>0 .

Készítsük el a már jól ismert táblázatot.

x ] 0,10 [ 10 ] 10, [
f ( x ) 0 +
f( x ) lok. min.

Az f ( x ) sorában az előjeleket például x=1 és x=100 deriváltba történő helyettesítésével kaphatjuk.

f ( 1 )=1 100 1 2 =99<0

f ( 100 )=1 100 100 2 =0.99>0

Amint látható, a függvénynek az x=10 helyen lokális minimuma van, ami pozitív x-ekre egyben globális minimum is.

Határozzuk meg ezután a másik számot, tehát y-t is.

y= 100 x = 100 10 =10

Az összeg tehát akkor lesz minimális, ha mindkét szám 10. Ekkor az összegük 20, ez a minimális összeg.

9. feladat: Adott egy 3 és 4 egység befogójú derékszögű háromszög. Tekintsük azokat a háromszögbe írható téglalapokat, amelyeknek egyik csúcsa a háromszög derékszöge, az ezzel szemközti csúcs pedig az átfogóra esik. A legnagyobb területű ilyen téglalapnak mekkorák az oldalai?

Megoldás: Készítsünk egy ábrát a háromszögről és a belé írt téglalapról.

7. ábra

A téglalap x-szel és y-nal jelölt oldala között most hasonlóság alapján lehet összefüggést találni. A P T 2 B és CAB derékszögű háromszögek hasonlóak, ezért

y 4x = 3 4

Rendezzük ezt y-ra.

y= 3 4 ( 4x )=3 3 4 x

Ezt felhasználva felírhatjuk a téglalap területét az x függvényében.

T( x )=x( 3 3 4 x )=3x 3 4 x 2

Az x változó most nyilván a ] 0,4 [ intervallumba esik, így ezen a halmazon keressük a függvény maximumát.

Deriváljuk a függvényt.

T ( x )=3 3 2 x

Megoldjuk a T ( x )=0 egyenletet.

3 3 2 x=0x=2

A szokásos táblázat segítségével megvizsgáljuk, hogy ezen a helyen valóban van-e maximuma a függvénynek.

x ] 0,2 [ 2 ] 2,4 [
T ( x ) +0
T( x ) lok. max.

A második sorban T előjelét például x=1 és x=3 helyettesítésével vizsgálhattuk.

T ( 1 )=3 3 2 1= 3 2 >0

T ( 3 )=3 3 2 3= 3 2 <0

Amint látható, az x=2 helyen lokális maximuma van a függvénynek, ami egyben globális maximum is.

Már csak a téglalap másik oldalát kell kiszámolnunk.

y=3 3 4 x=3 3 4 2= 3 2

A maximális területű téglalap oldalai tehát 2 és 3 2 hosszúságúak.

Ellenőrző kérdések

6. Egy tó egyenes partján szeretnénk elkeríteni egy téglalap alakú telket. Ehhez 200 m drótfonat áll rendelkezésünkre. A legnagyobb területű téglalapot szeretnénk elkeríteni úgy, hogy a tó felőli oldalon nem lesz kerítés.

8. ábra
Ha a téglalap tópartra merőleges oldalát választjuk változónak, és x-szel jelöljük, akkor az alábbi függvénnyel írható le a terület:
T( x )=200x x 2
T( x )=200x2 x 2
T( x )=200x+ x 2
T( x )=200x+2 x 2
7. Az előző kérdésben a maximális területű telek oldalai az alábbiak:
A partra merőleges oldal 40 m, a parttal párhuzamos oldal 120 m.
A partra merőleges oldal 50 m, a parttal párhuzamos oldal 100 m.
A partra merőleges oldal 55 m, a parttal párhuzamos oldal 90 m.
A partra merőleges oldal 200 3 m, a parttal párhuzamos oldal 200 3 m.
8. Két pozitív szám összege 1. A szorzatuk maximumát keressük. Ekkor a következő függvényt kell vizsgálnunk:
f( x )=( x1 )x
f( x )=x x 2
f( x )= ( 1 2 x ) 2
f( x )= x 2 1 4
9. Az előző kérdésben a két szám szorzatának maximuma az alábbi:
1 4
1 3
1 2
1 2
10. A [ 0,1 ] intervallumot egy belső pontjával két részre bontjuk, és mindegyik rész fölé négyzetet emelünk. A négyzetek területösszegének minimumát szeretnénk meghatározni. Melyik függvényt kell vizsgálnunk, ha független változónak az egyik szakasz hosszát választjuk?
f( x )= x 2 2x+2
f( x )=2 x 2 2x+2
f( x )=2 x 2 2x+1
f( x )=2 x 2 +1
További kidolgozott feladatok

10. feladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából az f(x)= x 2 (x+1) 2 függvényt!

Megoldás: Amikor egy függvényt valamilyen szempontból vizsgálunk, akkor elsőként mindig az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Jelen esetben ki kell kötnünk, hogy a nevező nem lehet 0, s ebből az következik, hogy x1 . A függvény értelmezési tartománya tehát: D f =\{1} .

A monotonitás vizsgálata azt jelenti, hogy meghatározzuk, hol nő, hol csökken a függvény. Ehhez elő kell állítanunk a függvény deriváltját. Alkalmazzuk a törtekre vonatkozó deriválási szabályt.

f (x)= 2x (x+1) 2 x 2 2(x+1) ( (x+1) 2 ) 2

Ez ilyen formában nagyon csúnyán néz ki, ezért próbáljunk alakítani rajta. Emeljünk ki a számlálóban, amit csak lehet, a nevezőt pedig írjuk egyetlen hatványként.

f (x)= 2x(x+1)[(x+1)x] (x+1) 4

Ezután egyszerűsítsünk, és a szögletes zárójelen belül vonjunk össze.

f (x)= 2x (x+1) 3

A derivált minél egyszerűbb alakra hozása azért fontos, mert ezután meg kell oldanunk az f (x)=0 egyenletet, valamint vizsgálnunk kell majd a derivált előjelét. Ha a derivált bonyolult alakban van felírva, akkor mind az egyenlet megoldása, mind az előjel vizsgálata nehézségekbe ütközik. Általában elmondhatjuk, hogy ha lehetőség van kiemelésre, akkor ezzel a lehetőséggel élni kell, s törtek esetében egyszerűsítsünk, ha erre lehetőség van.

Most oldjuk meg az f (x)=0 egyenletet, hogy megkapjuk, hol lehet szélsőértéke a függvénynek.

2x (x+1) 3 =0

Tört csak úgy lehet egyenlő 0-val, ha számlálója 0, így egyszerűbb egyenletet kapunk.

2x=0x=0

Ezután a szokásos módon táblázatot készíthetünk. Elsőként csak az első sort töltsük ki, melyben feltüntetjük az értelmezési tartomány részeit, melyeken belül már nem változik a derivált előjele. Az értelmezési tartományt a derivált zérushelye és az értelmezési tartományban levő szakadás bontja részekre. A szakadási hely oszlopában X-ekkel jelölhetjük, hogy ott a függvény nem értelmezett.

x ] ,1 [ 1 ] 1,0 [ 0 ] 0, [
f ( x ) X
f( x ) X

Most vizsgáljuk meg a derivált előjelét az egyes részeken. A derivált tört, így külön vizsgálhatjuk a számláló és a nevező előjelét, amiből következtethetünk a tört előjelére.

Ha x<1 , akkor a számláló, azaz 2x negatív, és a nevező, azaz (x+1) 3 is negatív, így a derivált ekkor pozitív. Ebben az esetben tehát nő a függvény.

Ha 1<x<0 , akkor 2x negatív, de (x+1) 3 pozitív, így negatív lesz a derivált. A függvény tehát ekkor csökken.

Ha 0<x , akkor 2x is pozitív, és (x+1) 3 is pozitív, azaz pozitív lesz a derivált. Ebből következően itt nő a függvény.

Az x=0 helyen a derivált előjele megváltozik, így itt szélsőértéke van a függvénynek. Mivel a derivált negatívból pozitívba megy át ezen a helyen, így itt lokális minimuma van a függvénynek.

Készítsük el a teljes táblázatot.

x ] ,1 [ 1 ] 1,0 [ 0 ] 0, [
f ( x ) +X 0 +
f( x ) X lok. min.

A táblázattal így megadtuk, hogy hol nő, és hol csökken a függvény, valamint hol, milyen jellegű szélsőértéke van. Már csak egyetlen feladatunk van, megadni a szélsőérték nagyságát. Helyettesítsük be a függvénybe azt a helyet, ahol szélsőértéke van.

f(0)= 0 2 (0+1) 2 =0

A lokális minimum értéke tehát 0.

A függvény grafikonja az alábbi ábrán látható.

9. ábra

11. feladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából az f(x)= x 2 e 2x függvényt!

Megoldás: Határozzuk meg a legbővebb halmazt, amin értelmezhető a függvény. Nem kell kikötést tennünk, így D f = .

Deriváljuk a függvényt. Alkalmazzuk a szorzatra vonatkozó deriválási szabályt, és ne feledkezzünk el arról, hogy szorzat második tényezője összetett függvény.

f (x)=2x e 2x + x 2 e 2x ( 2 )

Emeljük ki amit lehet.

f (x)=2x e 2x ( 1x )

Oldjuk meg az f ( x )=0 egyenletet.

2x e 2x ( 1x )=0

Egy három tényezős szorzat egyenlő 0-val, ami csak úgy lehetséges, ha valamelyik tényező 0. Így három egyszerűbb egyenletet kapunk.

x=0 , vagy e 2x =0 , vagy ( 1x )=0 .

Az első egyenlettel semmit sem kell tenni, a harmadiknak pedig x=1 megoldása.

A második egyenletnek nincs megoldása, mert exponenciális függvény csak pozitív értékeket vesz fel, azaz e 2x >0 minden x esetén, így e 2x 0 .

A derivált zérushelyeinek ismertében készítsük el a táblázatot, egyelőre csak az első sort kitöltve.

x ] ,0 [ 0 ] 0,1 [ 1 ] 1, [
f ( x )
f( x )

Vizsgáljuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokon.

( ,0 ) : f (1)=2( 1 ) e 2( 1 ) ( 1( 1 ) )=4 e 2 <0

( 0,1 ) : f (0.5)=20.5 e 20.5 ( 10.5 )=0.5 e 1 >0

( 1, ) : f (2)=22 e 22 ( 12 )=4 e 4 <0

Megjegyezzük, hogy a derivált előjelét a szorzat egyes tényezőinek előjeléből is könnyen vizsgálhatjuk. Például a ] ,0 [ intervallumon x nyilván negatív, az e 2x mindig pozitív, az 1x szintén pozitív. Mivel a három tényezőből csak egy negatív, így negatív lesz a szorzat is.

Hasonlóan járhatunk el a másik két intervallumon is.

Most töltsük az egész táblázatot.

x ] ,0 [ 0 ] 0,1 [ 1 ] 1, [
f ( x ) 0 +0
f( x ) lok. min. lok. max.

A táblázatból látható, hogy a függvény a ] ,0 [ és ] 1, [ intervallumokon csökken, a ] 0,1 [ intervallumon pedig nő. Az x=0 helyen lokális minimuma, az x=1 helyen pedig lokális maximuma van.

Határozzuk meg a minimum és maximum értékét is.

A lokális minimum értéke: f(0)= 0 2 e 20 =0 .

A lokális maximum értéke: f(1)= 1 2 e 21 = e 2 0.135 .

Az alábbi ábrán a függvény grafikonja látható.

10. ábra

12. feladat: Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából az f(x)= x 2 ln( x 2 ) függvényt!

Megoldás: Határozzuk meg a legbővebb halmazt, amin értelmezhető a függvény. A logaritmus miatt kell kikötést tennünk. Mivel csak pozitív számoknak létezik logaritmusa, így kikötjük, hogy x 2 >0 . Ez minden 0-tól különböző szám esetén teljesül, így D f =\{ 0 } .

Előállítjuk a függvény deriváltját. Szorzatot deriválunk, melynek második tényezője összetett függvény.

f (x)=2xln( x 2 )+ x 2 1 x 2 2x=2xln( x 2 )+2x

Emeljük ki amit lehet.

f (x)=2x( ln( x 2 )+1 )

Oldjuk meg az f (x)=0 egyenletet.

2x( ln( x 2 )+1 )=0

Vizsgáljuk külön a szorzat tényezőit, hogy mikor egyenlők 0-val.

Első tényező: x=0 . Ez nem eleme a függvény értelmezési tartományának.

Második tényező: ln( x 2 )+1=0 . Ez átrendezve ln( x 2 )=1 lesz.

A 1 -et írjuk fel ln( e 1 ) formában, így az ln( x 2 )=ln( e 1 ) egyenletet kapjuk.

A logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt elhagyhatjuk az egyenlet két oldaláról a logaritmust. Így kapjuk x 2 = e 1 = 1 e .

Ennek megoldásai: x=± 1 e .

Most készítsük el a szokásos táblázatunkat. Ez most egy kicsit hosszabb lesz mint az eddigiek, hiszen a deriváltnak két zérushelye is van, és a függvény értelmezési tartományában is van szakadás. Egyelőre csak az első sort töltsük ki, és a szakadást jelöljük.

x ] , 1 e [ 1 e ] 1 e ,0 [ 0 ] 0, 1 e [ 1 e ] 1 e , [
f ( x ) X
f( x ) X

Határozzuk meg f előjelét az egyes intervallumokon.

] , 1 e [ : f (1)=2( 1 )( ln( ( 1 ) 2 )+1 )=2( 0+1 )=2<0

] 1 e ,0 [ : f ( 1 e )=2( 1 e )( ln( ( 1 e ) 2 )+1 )= 2 e ( 2+1 )= 2 e >0

] 0, 1 e [ : f ( 1 e )=2( 1 e )( ln( ( 1 e ) 2 )+1 )= 2 e ( 2+1 )= 2 e <0

] 1 e , [ : f (1)=21( ln( 1 2 )+1 )=2( 0+1 )=2>0

Most töltsük ki a teljes táblázatot.

x ] , 1 e [ 1 e ] 1 e ,0 [ 0 ] 0, 1 e [ 1 e ] 1 e , [
f ( x ) 0 +X 0 +
f( x ) lok. min. X lok. min.

A táblázatból látható, hogy a függvény csökken a ] , 1 e [ és ] 0, 1 e [ intervallumokon, nő a ] 1 e ,0 [ és ] 1 e , [ intervallumokon. Két lokális minimuma van az x=± 1 e helyeken.

Határozzuk meg a lokális minimumok értékét is.

f( 1 e )= ( 1 e ) 2 ln( ( 1 e ) 2 )= 1 e ln( 1 e )= 1 e ( 1 )= 1 e 0.368

f( 1 e )= ( 1 e ) 2 ln( ( 1 e ) 2 )= 1 e ln( 1 e )= 1 e ( 1 )= 1 e 0.368

A két minimum értéke megegyezik.

Az alábbi ábrán a függvény grafikonja látható. Az origóban az üres karika jelzi a függvény szakadását.

11. ábra

13. feladat: Valamely joghurt iránti keresletet az f( x )= e 0.02x+10 függvény fejezi ki, melyben x a joghurt egységára Ft-ban, f( x ) pedig a hozzá tartozó heti kereslet. Milyen egységár mellett lenne a heti árbevétel maximális? Mekkora heti kereslet tartozik ezen egységárhoz, s mekkora a maximális heti árbevétel?

Megoldás: Az árbevételt a kereslet és az egységár szorzataként kapjuk, azaz a g( x )=x  f( x )= x . e 0.02x+10 függvény írja le. Ennek a függvénynek kell megkeressük a maximumát az  x > 0 feltétel mellett. (Az árak sajnos pozitívak.)

Deriváljuk a függvényt.

g ( x )= e 0,02x+10 +x e 0,02x+10 . ( 0,02 )= e 0.02x+10 ( 10,02x )

Oldjuk meg a g ( x )=0 egyenletet. Mivel g ( x ) szorzat, valamelyik tényezőnek kell nullának lennie. Az első tényező azonban mindig pozitív, ezért csak a második lehet nulla.

10,02x=0        x=50

Készítsük el a szokásos táblázatot, melyben megvizsgáljuk, hogy ez valóban szélsőérték-e.

x ] 0;50 [ x = 50 ] 50; [
g ( x ) +0
g( x ) lok. max.

Mint a táblázatból látható az  x = 50 valóban maximum hely, tehát a maximális árbevétel akkor érhető el, ha a joghurt egységára 50 Ft.

Az ehhez tartozó heti keresletet az f( x ) függvénybe történő helyettesítéssel kapjuk.

f( 50 )= e 0.02 . 50+10 = e 9 8103

Ilyen áron tehát 8103 darab joghurt adható el hetenként.

Ekkor a heti árbevétel g( 50 )= 50 . f( 50 )=405150 Ft lesz.

14. feladat: Egy adott termék termelési költségét a termelt mennyiség függvényében az f( x )=2 x 2 +500000 függvény adja meg, ahol x a termelt mennyiség, f( x ) pedig ezen termékmennyiség előállításának a költsége. Határozzuk meg, hogy mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagköltség minimális?

Megoldás: Az átlagköltség a termelési költség és a termelt mennyiség hányadosa, s így a g( x )= f( x ) x = 2 x 2 +500000 x =2x+ 500000 x függvény írja le a termelt mennyiség függvényében. Ennek a függvénynek keressük a minimumát az x>0 feltétel mellett. (A termelt mennyiség pozitív.)

Deriváljuk a függvényt.

g ( x )=2 500000 x 2

Oldjuk meg a g ( x )=0 egyenletet.

2 500000 x 2 =02 x 2 =500000x= + 500

A negatív gyök a feltétel miatt kizárható, csak a másikkal foglalkozunk.

Készítsük el a monotonitási táblázatot.

x ] 0;500 [ x = 500 ] 500; [
g ( x ) -0+
g( x ) lok. min.

A táblázatból látható, hogy az x=500 valóban lokális minimumhely, azaz a minimális termelési átlagköltség 500 darabos szériával érhető el.

Ellenőrző kérdések
11. Hol nő az f( x )= x 2 +4 x függvény?
A ] ,2 [ és ] 0,2 [ intervallumokon.
A ] 2,0 [ és ] 2, [ intervallumokon.
A ] 2,0 [ és ] 0,2 [ intervallumokon.
A ] ,2 [ és ] 2, [ intervallumokon.
12. Hol van szélsőértéke az f( x )= 6x x 2 +2 függvénynek?
Az x=2 és az x=2 helyeken.
Az x= 2 és az x=0 helyeken.
Az x=0 és az x= 2 helyeken.
Az x= 2 és az x= 2 helyeken.
13. Hol és milyen szélsőértéke van az f( x )=x e x függvénynek?
Az x= 1 2 helyen minimuma van.
Az x= 1 2 helyen maximuma van.
Az x=2 helyen minimuma van.
Az x=2 helyen maximuma van.
14. Hol csökken az f( x )=xln( x 2 ) függvény?
A ] , 1 e [ és ] 1 e , [ intervallumokon.
A ] 1 e ,0 [ és ] 0, 1 e [ intervallumokon.
A ] ,e [ és ] e, [ intervallumokon.
A ] e,0 [ és ] 0,e [ intervallumokon.
15. Valamely termék iránti heti keresletet az f( x )= e 0.1x+5 függvény fejezi ki, melyben x a termék egységára Ft-ban. Milyen egységár mellett lenne a heti árbevétel maximális?
7
8
10
12