KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények

5. lecke: Függvény tulajdonságok és az elemi függvények

Tanulási célok: a legfontosabb függvénytulajdonságok áttekintése, az elemi függvények ezen tulajdonságok alapján való jellemzése.

Elméleti összefoglaló

A következő részben felsoroljuk azokat a fogalmakat, amelyeket a függvények vizsgálata során a leggyakrabban használunk.

Definíció: Az f függvénynek az x 0 helyen globális maximuma van, ha az értelmezési tartományba eső minden x esetén f(x)f( x 0 ) (1. ábra).

Globális maximum definíciója
1. ábra

Definíció: Az f függvénynek az x 0 helyen globális minimuma van, ha az értelmezési tartományba eső minden x esetén f(x)f( x 0 ) (2. ábra).

Globális minimum definíciója
2. ábra

Definíció: Az f( x 0 ) globális maximumot és globális minimumot globális szélsőértéknek, az x 0 helyet pedig globális szélsőértékhelynek nevezzük. Ha az f( x 0 ) csak az x 0 hely valamely környezetében maximális, illetve minimális, akkor lokális maximumról, illetve lokális minimumról beszélünk, x 0 pedig lokális maximumhely, illetve lokális minimumhely, közös néven lokális szélsőértékhely (3. ábra).

Példa lokális és globális szélsőértékekre
3. ábra

x 2 , x 4 lokális minimumhely
x 1 , x 3 ,  x 5 lokális maximumhely
x 5 globális maximumhely
x 4 globális minimumhely

Definíció: Az f függvény monoton nő az ]a,b[  D f intervallumon, ha minden x 1 , x 2  ]a,b[ és x 1 < x 2 esetén teljesül, hogy f( x 1 )f( x 2 ) (4. ábra).

Monoton növekvő függvény definíciója
4. ábra

Definíció: Az f függvény monoton csökken az ]a,b[  D f intervallumon, ha minden x 1 , x 2  ]a,b[ és x 1 < x 2 esetén teljesül, hogy f( x 1 )f( x 2 ) (5. ábra).

Monoton csökkenő függvény definíciója
5. ábra

Tehát a monoton növekedés (és monoton csökkenés) definíciója megengedi, hogy a függvény grafikonjában legyenek olyan szakaszok, ahol azok párhuzamosak az x tengellyel (tehát konstansok).

Definíció: Hasonlóképp fogalmazhatóak meg a függvények szigorú monotonitására vonatkozó definíciók is. Az f függvény szigorúan monoton nő az ]a,b[  D f intervallumon, ha minden x 1 ,  x 2  ]a,b[ és x 1 < x 2 esetén teljesül, hogy f( x 1 )<f( x 2 ) (6. ábra).

Szigorúan monoton növő függvény definíciója
6. ábra

Definíció: Az f függvény szigorúan monoton csökken az ]a,b[  D f intervallumon, ha minden x 1 ,  x 2  ]a,b[ és x 1 < x 2 esetén teljesül, hogy f( x 1 )>f( x 2 ) (7. ábra).

Szigorúan monoton csökkenő függvény definíciója
7. ábra

Definíció: Az f függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden x D f esetén x is az értelmezési tartományban van és f(x)=f(x) (8. ábra).

Definíció: Az f függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha minden x D f esetén x is az értelmezési tartományban van és f( x )=f(x) (9. ábra).

Páros függvény
8. ábra
Páratlan függvény
9. ábra

Megjegyzés: A páros függvény görbéje az y tengelyre, a páratlan függvény görbéje az origóra szimmetrikus. Az x n (ahol n páros), cosx függvények párosak, az x n (ahol n páratlan), sinx,  1 x , tgx, arcsinx, arctgx függvények páratlanok. A többi elemi függvény se nem páros, se nem páratlan.

Definíció: Minden olyan x 0 érték, amelyre az f függvény helyettesítési értéke 0, azaz f( x )=0 , az f függvény zérushelye. Azaz a zérushely az f függvény x tengellyel való metszéspontjá(i)t adja meg.

Elemi függvények
Lineáris függvény

f( x )=mx+b

b az y tengellyel való metszéspont
m a meredekség

ha m>0 , akkor szigorúan monoton nő
ha m<0 , akkor szigorúan monoton csökken

D f =

R f =

nincs globális szélsőérték

Hatványfüggvény

f( x )= x n , n páros pozitív egész

D f =

R f = [ 0, [

szigorúan monoton csökken x ],0] tartományon
szigorúan monoton nő x[0,[ tartományon
globális minimum helye x=0 , értéke y=0
páros függvény

Hatványfüggvény

f( x )= x n , n páratlan pozitív egész

D f =

R f =

szigorúan monoton nő -en
nincs globális szélsőértéke
páratlan függvény

Gyökfüggvény

f( x )= x n , n páros pozitív egész

D f =[0,[

R f =[0,[

szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon
globális minimum helye x=0 , értéke y=0

Törtfüggvény

f( x )= 1 x n , n páratlan pozitív egész

D f =\{ 0 }

R f =\{ 0 }

szigorúan monoton csökken a ],  0[ és a ]0,  [ tartományokon
nincs globális szélsőértéke
páratlan függvény

Exponenciális függvény

f( x )= a x , a>1

D f =

R f =]0, [

szigorúan monoton nő -en
nincs globális szélsőértéke

Fontos kiemelni az e alapú exponenciális függvényt (más néven természetes alapú exponenciális függvény), ahol e egy irracionális szám, melynek értéke 2,7182818284..., jelölése: e x .

Exponenciális függvény

f( x )= a x , 0<a<1

D f =

R f =]0, [

szigorúan monoton csökken -en
nincs globális szélsőértéke

Példa: radioaktív elemek felezési ideje exponenciális függvényt követ, a Föld légkörében a nyomás a magasság függvényében exponenciálisan csökken

Logaritmusfüggvény

f( x )= log a x , a>1

D f =]0, [

R f =

szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon
nincs globális szélsőértéke

Fontos kiemelni a természetes logaritmus függvényt (más néven e alapú logaritmus függvény), ahol a logaritmus alapja az exponenciális függvénynél már látott e irracionális szám. Jelölése: lnx (más jelöléssel log e x )

Logaritmusfüggvény

f( x )= log a x , 0<a<1

D f =]0, [

R f =

szigorúan monoton csökken az értelmezési tartományon
nincs globális szélsőértéke

Szinuszfüggvény

f( x )=sinx

D f =

R f =[1, 1]

szigorúan monoton nő a [ π 2 +k2π, π 2 +k2π ] tartományokon, k

szigorúan monoton csökken a [ π 2 +k2π, 3π 2 +k2π ] tartományokon, k

periodikus 2π szerint

globális maximum helye x= π 2 +2kπ , értéke y=1

globális minimum helye x= 3π 2 +2kπ , értéke y=1

páratlan függvény

Koszinuszfüggvény

f( x )=cosx

D f =

R f =[ 1,1 ]

szigorúan monoton nő a [ π+k2π,2π+k2π ] tartományokon, k
szigorúan monoton csökken a [ 0+k2π,π+k2π ] tartományokon, k
periodikus 2π szerint
globális maximum helye x=0+2kπ , értéke y=1
globális minimum helye x=π+2kπ , értéke y=1
páros függvény

Tangensfüggvény

f( x )=tgx

D f =\{ π 2 +kπ | k }

R f =

szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon
periodikus π szerint
páratlan függvény

Definíció: Az aszimptota egy olyan görbe, többnyire egyenes, amelyet egy függvény grafikonja tetszőlegesen megközelít (hozzásimul), de soha el nem éri.

Például: Az f( x )= log a x függvénynek függőleges aszimptotája a x=0 egyenletű egyenes (10. ábra).

Logaritmusfüggvény függőleges aszimptotája
10. ábra

Az f( x )= a x függvénynek vízszintes aszimptotája az y=0 egyenletű egyenes (11. ábra).

Exponenciális függvény vízszintes aszimptotája
11. ábra

Az f( x )= 1 x függvénynek két aszimptotája van, a függőleges x=0 -ban, a vízszintes aszimptota y=0 -ban (12. ábra).

Törtfüggvény aszimptotái
12. ábra

Az f( x )=tgx függvénynek végtelen sok függőleges aszimptotája van az x= π 2 +kπ, k pontokban (13. ábra).

Tangensfüggvény függőleges aszimptotái
13. ábra