KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: V. modul: Függvény határértéke, folytonosság

10. lecke: Határérték, folytonosság

Tanulási cél: Folytonosság, határérték fogalma, határérték meghatározása grafikon segítségével, egyoldali határérték, határérték a végtelenben.

Motivációs példa

Egy üzem termelési szakaszának alakulásában általában három jellegzetes rész figyelhető meg. A termelés megindulása utáni szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Később a növekedés gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése rendszerint újra lassul. Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart. A termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az idő függvényében az

f( t )= a 1+b e λt ,a>0,λ>0

logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt időt, f( t ) pedig a termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke adja meg.

Elméleti összefoglaló

Egy pont torlódási pontja a függvény értelmezési tartományának, ha tetszőleges sugarú környezete végtelen sok pontot tartalmaz az értelmezési tartományból.

Például az f( x )=ln( x ) függvény értelmezési tartománya D f =] 0, [ . Az értelmezési tartomány minden pontja torlódási pontja is egyben, de van egy további torlódási pont is, a 0. Tehát az értelmezési tartomány torlódási pontja nem feltétlenül eleme az értelmezési tartománynak.

Egy függvény határértékét vizsgálhatjuk az értelmezési tartomány egy tetszőleges torlódási pontjában, vagy pedig a végtelenben illetve a mínusz végtelenben.

Egyoldali határérték

Az x 0 pont baloldali határértékének keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít a függvény értéke, miközben x értékei balról tartanak x 0 -hoz.

Nézzük meg a következő függvényt. Ha közelítünk balról (negatív irányból) a kettőhöz, akkor a függvényértékek háromhoz közelítenek. Jelölés: lim x 2 f( x )=3

1. ábra

Az x 0 pont jobboldali határértékének keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít a függvény értéke, miközben x értékei jobbról tartanak x 0 -hoz.

Ha kettőhöz jobbról (pozitív irányból) közelítünk, akkor a függvényértékek egyhez közelítenek. Jelölés: lim x 2 + f( x )=1

2. ábra

Tétel: Az f( x ) függvénynek egy x 0 pontban akkor és csak akkor létezik határértéke, ha ott létezik a jobb és bal oldali határértéke és ezek egyenlők.

lim x x 0 + f( x )= lim x x 0 f( x )= lim x x 0 f( x )

Az előző függvénynek x 0 =2 pontban nem létezik a határértéke, mivel lim x 2 + f( x )=1 és lim x 2 f( x )=3 .

Nézzünk meg egy másik függvényt.

3. ábra

Vizsgáljuk meg a határértéket az x 0 =1 pontban. Ez a pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja. A határértéket ebben a pontban a jobb és bal oldali határérték meghatározásával vizsgáljuk meg.

Ha az egyhez balról (negatív irányból) közelítünk, akkor látható, hogy a függvényértékek minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak. Tehát lim x 1 f( x )= .

Ha az egyhez jobbról (pozitív irányból) közelítünk, akkor a függvényértékek szintén minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak. Vagyis lim x 1 + f( x )= .

Mivel lim x 1 f( x )= és lim x 1 + f( x )= , ezért lim x1 f( x )= .

Határérték a végtelenben

A függvény viselkedését vizsgájuk olyan esetben, mikor x értéke végtelen naggyá, vagy végtelen kicsivé válik.

Határozzuk meg az alábbi függvény határértékét végtelenben és mínusz végtelenben.

4. ábra

x (x tart végtelenbe) estet vizsgálva látható, hogy a függvényértékek minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak. lim x f( x )=

x (x tart mínusz végtelenbe) esetben a függvény egyre közelít az x tengelyhez, ami azt jelenti, hogy a függvényértékek nullához tartanak. lim x f( x )=0

Folytonosság

Geometriailag az f( x ) függvény akkor folytonos egy x 0 pontban, ha a függvény grafikonjának nincs szakadása az x 0 pontban.

Ha az f( x )  függvény grafikonjának egy x 0  pontban szakadása van, akkor abban a pontban nem folytonos. Az x 0  szakadási pont nem feltétlenül eleme a függvény értelmezési tartományának.

5. ábra

Az ábrán látható függvény nem folytonos, szakadása van az x 0 =4,  x 0 =3 és x 0 =5 pontokban. Az x 0 =4,  x 0 =3 pontokban a függvény értelmezve van. Az x 0 =5 pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja.

Definíció: Legyen az f( x ) függvény értelmezve az értelmezési tartomány egy belső x 0 pontjában. Az f( x ) függvényt folytonosnak nevezzük az x 0 pontban, ha létezik a függvény határértéke az x 0 pontban és az megegyezik a függvény f( x 0 ) helyettesítési értékével, azaz:

lim x x 0 f( x )=f( x 0 ) .

Nézzük az f(x)= x 2 függvényt.

6. ábra

Vizsgáljuk meg a függvény határértékét, ha x (x tart végtelenbe). Minél nagyobb x értékeket veszünk, annál nagyobbak az f(x)= x 2 függvényérték. Tehát függvényértékek minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak, lim x f(x)= .

Most vizsgáljuk a határértékét, ha x (x tart mínusz végtelenbe). Az x értékek egyre kisebbek, viszont az f(x)= x 2 függvényértékek egyre nagyobbak lesznek. Vagyis lim x f(x)= .

Adjuk meg a függvény határértékét, ha x3 (x tart háromhoz). Mivel a függvény folytonos ebben a pontban, ezért létezik határérték és a határérték megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz lim x3 f(x)=f(3)= 3 2 =9 .

Módosítsuk kicsit az f(x)= x 2 függvényt.

f(x)={ x 2     ha  x3 1      ha   x=3

7. ábra

Nézzük meg a függvény határértékét x3 esetén. A függvény nem folytonos az adott pontban, szakadása van. Ilyen esetben balról is és jobbról is megvizsgáljuk a függvényértékeket háromhoz közeli helyeken.

Először közelítsünk balról (negatív irányból) a háromhoz és nézzük, hogy a függvényértékek mihez közelítenek.

f(2,9)=8,41 f(2,99)=8,9401 f(2,999)=8,994001 f(2,9999)=8,99940001

8. ábra

Ha hármat balról közelítjük, akkor a függvényértékek kilenchez tartanak. Ezt így jelöljük:

lim x 3 f(x)=9

Most közelítsünk jobbról (pozitív irányból) a háromhoz és nézzük, hogy a függvényértékek mihez közelítenek.

f(3,1)=9,61 f(3,01)=9,0601 f(3,001)=9,006001 f(3,0001)=9,00060001

9. ábra

Ha hármat jobbról közelítjük, a függvényértékek szintén a kilenchez tartanak. Ezt így jelöljük:

lim x 3 + f(x)=9

Mivel a jobb oldali és a bal oldali határértékek megegyeznek, ezért lim x 3 f(x)=9 .

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket:

lim x f( x ), lim x 4 f( x ), lim x 4 + f( x ), lim x4 f( x ), lim x 3 + f( x ), lim x8 f( x ), lim x f( x )

10. ábra

Az x=4  és  y=2 egyeneseket a függvény aszimptotájának nevezzük.

Ha x , akkor a függvény az y=2 aszimptotához közelít, azaz a függvényértékek kettőhöz tartanak. lim x f( x )=2

Ha x 4 , akkor a függvényértékek minden határon túl csökkennek, így lim x 4 f( x )= .

Ha x 4 + , akkor a függvényértékek minden határon túl nőnek, így lim x 4 + f( x )= .

Az x 0 =4 pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. Megnézzük a jobb és bal oldali határértéket. Mivel lim x 4 f( x )= és lim x 4 + f( x )= , ezért lim x4 f( x ) nem létezik.

Ha x 3 + , akkor az ábrából látható, hogy a függvényértékek négyhez közelítenek, tehát lim x 3 + f( x )=4 .

Az x 0 =8 pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. lim x8 f( x )=1

Ha x , akkor a függvényértékek minden határon túl csökkennek, így lim x f( x )= .

2. feladat: Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket:

lim x f( x ), lim x3 f( x ), lim x6 f( x ), lim x8 f( x ), lim x10 f( x ), lim x f( x )

11. ábra

Ha x , akkor a függvényértékek minden határon túl nőnek, így lim x f( x )= .

Az x 0 =3 pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. lim x3 f( x )=2

Az x 0 =6 pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához a jobb és bal oldali határértéket vizsgáljuk meg. lim x 6 f( x )=7 és lim x 6 + f( x )=2 , ami azt jelenti, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért lim x6 f( x ) nem létezik.

Az x 0 =8 pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához nézzük meg a jobb és bal oldali határértéket. Az ábrából látható, hogy lim x 8 f( x )=4 és lim x 8 + f( x )=4 . A jobb és bal oldali határértékek megegyeznek, ezért lim x8 f( x )=4 .

Az x 0 =10 pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. lim x10 f( x )=6

x esetén a függvényértékek minden határon túl nőnek, így lim x f( x )= .

3. feladat: Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket: lim x f( x ), lim x10 f( x ), lim x5 f( x ), lim x2 f( x ), lim x1 f( x ), lim x2,5 f( x ), lim x f( x )

12. ábra

Az x=10  és  y=4 egyeneseket a függvény aszimptotájának nevezzük.

Ha x , akkor a függvényértékek egyre kisebbek lesznek, azaz minden határon túl csökkennek, így lim x f( x )= .

Az x 0 =10 pontban látható, hogy a függvény nem folytonos, szakadása van. Megvizsgálva a jobb és bal oldali határértékeket azt kapjuk, hogy lim x 10 f( x )= és lim x 10 + f( x )= . Ez alapján lim x10 f( x )= .

Az x 0 =5 pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához a jobb és bal oldali határértéket vizsgáljuk meg. lim x 5 f( x )=8 és lim x 5 + f( x )=4 , ami azt jelenti, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért lim x5 f( x ) nem létezik.

Az x 0 =2 pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. lim x2 f( x )=1

Az x 0 =1 pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához nézzük meg a jobb és bal oldali határértéket. Az ábrából leolvasható, hogy lim x 1 f( x )=2 és lim x 1 + f( x )=8 . A jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért lim x1 f( x ) nem létezik.

Az x 0 =2,5 pontban a függvény folytonos, így a határérték egyszerűen kiolvasható az ábrából, és nem más, mint függvényérték ebben a pontban, lim x2,5 f( x )=5 .

Ha x , akkor a függvény az y=4 aszimptotához közelít, azaz a függvényértékek négyhez tartanak. lim x f( x )=4

Ellenőrző kérdések

Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket!

13. ábra
1. lim x f( x )
6
7
2. lim x6 f( x )
6
nem létezik
5
3. lim x 4 f( x )
1
4
nem létezik
4. lim x4 f( x )
1
nem létezik
4
5. lim x 4 + f( x )
nem létezik
2
7
-6
6. lim x4 f( x )
nem létezik
2
7
4
7. lim x f( x )
6
nem létezik

8. Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket!

14. ábra
 
0
4
9. lim x 4 f( x )
1
3
4
nem létezik
10. lim x4 f( x )
1
3
4
nem létezik
11. lim x 3 + f( x )
4
5,75
nem létezik
12. lim x3 f( x )
4
5,75
nem létezik
13. lim x5 f( x )
5,75
6
5
14. lim x f( x )
0
6
Kidolgozott feladatok

4. feladat: Határozza meg az f(x)= 2 x 3 4x 5 x 3 +9 függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben!

Megoldás: Vizsgáljuk először végtelenben a határértéket. Nyilvánvaló, hogy a számláló is és a nevező is végtelenhez tart, így típusú a határérték. Kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is a legnagyobb fokszámú tagot. Ez mind a két esetben az x 3 .

lim x 2 x 3 4x 5 x 3 +9 = lim x x 3 x 3 2 4 x 2 5+ 9 x 3

Az első tört határértéke lim x x 3 x 3 = lim x 1=1 .

4 x 2 és 9 x 3 is 0-hoz tart, hiszen valós szám típusúak.

Ennek következtében a határérték:

lim x x 3 x 3 2 4 x 2 5+ 9 x 3 =1 20 5+0 = 2 5

Kérdés ezután, hogy mennyit változik a helyzet, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a határértéket. Ekkor a számláló és a nevező nyilván mínusz végtelenhez tartanak, hiszen ha x negatív, akkor x 3 is negatív. A határérték tehát most típusú. Ez azonban a megoldás további lépésit nem befolyásolja. Ugyanazt az egyszerűsítést hajthatjuk végre, mint az előbb, s utána ugyanazok a részek fognak nullához tartani. Ennek következtében ugyanazt a határértéket kapjuk a mínusz végtelenben is.

lim x 2 x 3 4x 5 x 3 +9 = lim x x 3 x 3 2 4 x 2 5+ 9 x 3 =1 20 5+0 = 2 5

5. feladat: Határozza meg az f(x)= 5x+6 ( 2 x 2 3 ) 2 függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben!

Megoldás: Először végezzük el a négyzetre emelést.

f(x)= 5x+6 ( 2 x 2 3 ) 2 = 5x+6 4 x 4 12 x 2 +9

Vizsgáljuk meg először a végtelenben a határértéket. A határérték típusú. Kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is a legnagyobb fokszámú tagot. A számlálóban a legnagyobb fokszámú tag az x, a nevezőben x 4 .

lim x 5x6 4 x 4 12 x 2 +9 = lim x x x 4 5 6 x 4 12 x 2 + 9 x 4

Az első tört határértéke lim x x x 4 = lim x 1 x 3 =0 .

6 x , 12 x 2 és 9 x 4 is valós szám típusú, ezért a 0-hoz tart.

Ebből következően a függvény határértéke:

lim x x x 4 5 6 x 4 12 x 2 + 9 x 4 =0 50 40+0 =0 5 4 =0

Ha mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor csak annyi a változás, hogy a határérték típusú. (A számlálóban x mínusz végtelenhez tart, de mivel a nevezőben x 4 áll, így az végtelenhez tart.) A megoldás egyébként ugyanúgy történik, tehát az alábbiakat írhatjuk:

lim x 5x6 4 x 4 12 x 2 +9 = lim x x x 4 5 6 x 4 12 x 2 + 9 x 4 =0 50 40+0 =0 5 4 =0

6. feladat: Határozza meg a következő határértéket!

lim x ( x3 )( 2x+1 ) 4x+7

Megoldás: Először végezzük el a nevezőben levő szorzást.

lim x ( x3 )( 2x+1 ) 4x+7 = lim x 2 x 2 5x3 4x+7

Ha végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor típusú a határérték. Most x 2 -et emelünk ki a számlálóból és x-et a nevezőből.

lim x 2 x 2 5x3 4x+7 = lim x x 2 x 2 5 x 3 x 2 4+ 7 x

Az első tört határértéke lim x x 2 x = lim x x= .

A számlálóban álló 5 x , 3 x 2 , és nevezőben levő 7 x a 0-hoz tart.

Ebből következően a függvény határértéke:

lim x x 2 x 2 5 x 3 x 2 4+ 7 x = 200 4+0 = 2 4 =

A mínusz végtelenben vizsgálva a függvényt típusú a határérték. Ez a megoldás lépéseit nem befolyásolja, tehát kiemelünk x 2 -et a számlálóból és x-et a nevezőből.

lim x 2 x 2 5x3 4x+7 = lim x x 2 x 2 5 x 3 x 2 4+ 7 x

A számlálóban álló 5 x , 3 x 2 , és nevezőben levő 7 x most is a 0-hoz tart.

Viszont lim x x 2 x = lim x x= .

Ebből következően a határérték:

lim x x 2 x 2 5 x 3 x 2 4+ 7 x = 200 4+0 = 2 4 =

7. feladat: Határozza meg az f(x)= 4+7x 3 x 2 +5x+7 3 függvény határértékét a végtelenben!

Megoldás: A határérték típusú. Először alakítsuk át a gyökös kifejezést. Emeljünk ki gyökön belül, majd vonjunk gyököt tényezőnként.

lim x 47x 3 x 2 +5x+7 3 = lim x 47x x 2 ( 3+ 5 x + 7 x 2 ) 3 = lim x 47x x 2 3 3+ 5 x + 7 x 2 3

Most már egyértelműen látható, hogy a számlálóban x és a nevezőben x 2 3 a legerősebb tag.

lim x 47x x 2 3 3+ 5 x + 7 x 2 3 = lim x x x 2 3 4 x 7 3+ 5 x + 7 x 2 3

Nézzük meg az első tört határértékét lim x x x 2 3 = lim x x 1 3 = .

A számlálóban álló 4 x , és nevezőben levő 5 x , 7 x 2 a nullához tart, hiszen valós szám típusú.

Ebből következően a függvény határértéke:

lim x x x 2 3 4 x 7 3+ 5 x + 7 x 2 3 = lim x x 1 3 4 x 7 3+ 5 x + 7 x 2 3 = 7 3 3 =

8. feladat: Határozza meg az alábbi határértéket!

lim x 4 x 2 +16 x 4 4 +9 x 2 2 x 4 +5x6

Megoldás: A határérték típusú. Először alakítsuk át a gyökös kifejezéseket. Emeljünk ki gyökön belül, majd vonjunk gyököt tényezőnként.

lim x 4 x 2 +16 x 4 4 +9 x 2 2 x 4 +5x6 = lim x x 4 ( 4 x 2 +16 ) 4 +9 x 2 x 4 ( 2+ 5 x 3 6 x 4 ) =

= lim x x 4 4 ( 4 x 2 +16 ) 4 +9 x 2 x 4 2 ( 2+ 5 x 3 6 x 4 ) = lim x x ( 4 x 2 +16 ) 4 +9 x 2 x 2 ( 2+ 5 x 3 6 x 4 )

A számlálóban is és a nevezőben is x 2 a legerősebb tag. Végezzük el a kiemelést.

lim x x ( 4 x 2 +16 ) 4 +9 x 2 x 2 ( 2+ 5 x 3 6 x 4 ) = lim x x 2 x 2 1 x ( 4 x 2 +16 ) 4 +9 ( 2+ 5 x 3 6 x 4 )

Az első tört határértéke lim x x 2 x 2 = lim x 1=1 .

A számlálóban álló 1 x , 4 x 2 és nevezőben levő 5 x 3 , 6 x 4 a nullához tart, hiszen valós szám típusú.

Ebből következően a függvény határértéke:

lim x x 2 x 2 1 x ( 4 x 2 +16 ) 4 +9 ( 2+ 5 x 3 6 x 4 ) =1 0 0+16 4 +9 2+00 =1 9 2 = 9 2

Ellenőrző kérdések
15. Határozza meg az f(x)= ( 4 x 2 3 )( x+6 ) 2x5 x 3 +9 függvény határértékét mínusz végtelenben!
4 5
0
16. lim x 4 x 2 +6 x 3 3 ( x2 )( 2 x 3 +1 )
0
2
17. Határozza meg a lim x 5x+2 x 4 +3 ( 3x+4 ) 2 határértéket!
2 9
2 3
18. lim x ( 2 x 3 1 ) 2 ( 4 x 2 2x )( 53x )
1 3
0
19. lim x 2 x 5 +4 x 2 3 3 x 2 5x
0
1 2 3
19. lim x 5 x 2 + 4x+4 x 6 2x8 x 6 3
7 2
1
Kidolgozott feladatok

9. feladat: Számítsa ki a lim x 3 + x+1 x3 határértéket!

Megoldás: Egy jobb oldali határértéket kell kiszámítani.

A tört számlálója négyhez tart.

Ha x 3 + , akkor nézzük meg mihez közelít a nevezőben szereplő x3 kifejezés.

3,13=0,1 3,013=0,01 3,0013=0,001 3,00013=0,0001

A nevezőben levő x3 különbség a nullához tart, de mindig pozitív.

Ha a négyet nullához egyre közelebbi pozitív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy végtelenhez tart a függvény.

lim x 3 + x+1 x3 = 4 0 + =

10. feladat: Számítsa ki a lim x 1 x+3 4x x1 határértéket!

Megoldás: Most egy bal oldali határértéket kell kiszámítani.

A tört számlálója 2 -hez tart.

Ha x 1 , akkor nézzük meg mihez közelít a nevezőben szereplő x1 kifejezés.

0,91=0,1 0,991=0,01 0,9991=0,001 0,99991=0,0001

A nevzőben levő x1 különbség a nullához tart, de negatív irányból.

Ha a 2 -t nullához egyre közelebbi negatív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy végtelenhez tart a függvény.

lim x 1 x+3 4x x1 = 2 0 =

11. feladat: Határozza meg az f(x)= x 2 +4x+3 x 2 1 függvény határértékét x 0 =2 és x 0 =1 pontokban!

Megoldás: A függvény határértékét most véges helyen vizsgáljuk. Ilyenkor, ha az adott pontban a függvény folytonos, akkor egyszerűen csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. A határérték a függvény helyettesítési értéke.

Tehát x 0 =2 ( x2 ) esetén: lim x2 x 2 +4x+3 x 2 1 = 2 2 +42+3 2 2 1 = 15 3 .

Érdekesebb a helyzet, amikor x 0 =1 ( x1 ): lim x1 x 2 +4x+3 x 2 1 = 1 2 +41+3 1 2 1 = 8 0

Mivel a behelyettesítés után a nevezőben nulla szerepel, ebből látható, hogy az x 0 =1 pontban a függvény nincs értelmezve. A függvény ebben a pontban nem folytonos, szakadása van. (Az x 0 =1 pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja.)

Olyan tört határértéke tehát a kérdés, amelynek számlálója egy nem zérus számhoz, nevezője pedig nullához tart. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a határérték típusa valós szám0 0 .

Gondoljunk bele, ha egy véges értéket, mely nem zérus, nullához egyre közelebbi értékkel osztunk, ez azt jelenti, hogy valamelyik végtelenhez tart ekkor a függvény. Fontos szerep jut ilyenkor az előjeleknek, mert azok döntik el, hogy melyik végtelenhez tart a függvény.

A határértéket ebben az esetben úgy határozzuk meg, hogy balról is és jobbról is megvizsgáljuk a függvényértékeket egyhez közeli helyeken.

Ha egyhez balról (negatív irányból) közelítünk, akkor az x 2 1 értékek negatív irányból közelítik nullát. A számláló határértéke 8. Ha a 8-at nullához egyre közelebbi negatív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre kisebb lesz, s ez azt jelenti, hogy a mínusz végtelenhez tart a függvény.

lim x 1 x 2 +4x+3 x 2 1 = 8 0 =

Ha egyhez jobbról (pozitív irányból) közelítünk, abban az estben az x 2 1 értékek pozitív irányból közelítik nullát. A számláló határértéke változatlanul 8. Ha a 8-at nullához egyre közelebbi pozitív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy végtelenhez tart a függvény.

lim x 1 + x 2 +4x+3 x 2 1 = 8 0 + =

Mivel a jobboldali és a baloldali határérték nem egyezik meg, ezért x 0 =1 pontban a határérték nem létezik.

12. feladat: Határozza meg az f(x)= x 2 +x6 x 2 4 függvény határértékét az x 0 =2,  x 0 =1 és x 0 =3 pontokban!

Megoldás: Először nézzük a határértéket az x 0 =2 pontban. Próbáljuk behelyettesítéssel meghatározni a határértéket.

lim x2 x 2 +x6 x 2 4 = 2 2 +26 2 2 4 = 0 0

Mivel a behelyettesítés után a nevezőben nulla szerepel, ebből látható, hogy az x 0 =2 pontban a függvény nincs értelmezve. A függvény ebben a pontban nem folytonos, szakadása van. (Az x 0 =2 pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja.)

Olyan tört határértékét keressük, amelynek számlálója is és nevezője is a 0-hoz tart. Az ilyen határérték 0 0 típusú.

Mivel a számlálóban és nevezőben álló polinomnak is zérushelye a 2, ez azt jelenti, mindkettő szorzattá bontható úgy, hogy a szorzat egyik tényezője x2 .

lim x2 x 2 +x6 x 2 4 = lim x2 ( x2 )( x+3 ) ( x2 )( x+2 )

Egyszerűsítsük a törtet.

lim x2 ( x2 )( x+3 ) ( x2 )( x+2 ) = lim x2 x+3 x+2

Ebbe a törtbe már behelyettesíthető a 2, így megkapjuk a határértéket.

lim x2 x+3 x+2 = 5 4

Nézzük a határértéket az x 0 =1 pontban. Ha ebben a pontban a függvény folytonos, akkor egyszerűen csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. A határérték a függvény helyettesítési értéke.

lim x1 x 2 +x6 x 2 4 = 1 2 +16 1 2 4 = 4 3 = 4 3

Most számoljuk ki a határértéket az x 0 =3 pontban.

lim x3 x 2 +x6 x 2 4 = ( 3 ) 2 +( 3 )6 ( 3 ) 2 4 = 0 5 =0

Ellenőrző kérdések
20. Számítsa ki a lim x 5 + 2x+3 x+5 határértéket!
7
2
21. Számítsa ki a lim x 2 1+ x+2 2x határértéket!
1
3
20. Számítsa ki a lim x1 x 2 +4x+3 x 2 x2 határértéket!
1
2 3
21. Számítsa ki a lim x2 x 2 +4x+3 x 2 x2 határértéket!
nem létezik
1
2
15
22. Számítsa ki a lim x3 x 2 2x8 x 2 6x+9 határértéket!
8
1
Kidolgozott feladatok

13. feladat: Milyen a érték esetén lesz mindenhol folytonos az alábbi függvény?

f(x)={ x 2 +a     ha  x1 4 x            ha  x<1   

Megoldás: A függvény nyilvánvalóan folytonos minden x1 pontban, mert folytonos függvények szerepelnek a hozzárendelési szabályban. Akkor lesz folytonos x=1 pontban, ha itt létezik jobb és bal oldali határértéke, ezek megegyeznek, és egyenlők a függvény ezen helyen vett helyettesítési értékével.

A függvény jobb oldali határértéke:

lim x 1 + f(x)= lim x 1 + x 2 +a= 1 2 +a=1+a

A függvény bal oldali határértéke:

lim x 1 f(x)= lim x 1 4 x = 4 1 =4

A függvény helyettesítési értéke a hozzárendelési szabály szerint: f( 1 )= 1 2 +a=1+a .

Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen x=1 pontban, az kell, hogy 1+a=4 teljesüljön. Ez csak úgy lehet, ha a=3 .

14. feladat: Ábrázolja az f( x )={ 2x        ha   x<-1 5 x 2        ha   x-1 függvényt! Határozza meg az alábbi határértékeket: lim x f( x ), lim x f( x ), lim x3 f( x ), lim x1 f( x ), lim x5 f( x ) .

Megoldás: Először ábrázoljuk az f( x )=2x függvényt, majd vegyük azt a részét, ahol x<1 teljesül.

15. ábra

Most ábrázoljuk az f( x )=5 x 2 függvényt, majd vegyük azt a részét, ahol x1 teljesül.

16. ábra

Az f( x )={ 2x        ha   x<-1 5 x 2        ha   x-1 függvény grafikonja:

17. ábra

Ha x , akkor az ábra alapján látható, hogy a függvényértékek minden határon túl nőnek. Számítással is meghatározható a határérték:

lim x f( x )= lim x (2x)= lim x x( 2 x 1 )=( 01 )=( 1 )=

Ha x , akkor az ábra alapján látható, a függvényértékek minden határon túl csökkennek. Számítással is meghatározható a határérték:

lim x f( x )= lim x ( 5 x 2 )= lim x x 2 ( 5 x 2 1 )=( 01 )=( 1 )= .

Az x 0 =3 pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. lim x3 f( x )=f( 3 )=2( 3 )=5

Az x 0 =1 pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához a jobb és bal oldali határértéket vizsgáljuk meg. lim x 1 f( x )= lim x 1 ( 2x )=2( 1 )=3 és lim x 1 + f( x )= lim x 1 + ( 5 x 2 )=5 ( 1 ) 2 =51=4 , ami azt jelenti, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért lim x1 f( x ) nem létezik.

Az x 0 =5 pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. lim x5 f( x )=f( 5 )=5 5 2 =20

Ellenőrző kérdések
23. Milyen a érték esetén lesz mindenhol folytonos az alábbi függvény?
f(x)={ x 2 +2x1     ha  x>2    2xa        ha  x2   
7
-3
4
-1