KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: VII. modul: Integrálszámítás

15. lecke: Bevezetés az integrálási módszerekbe

Tanulási cél: Megismerni az f( ax+b ) és f ( x ) f( x ) típusú függvények integrálási módszerét, valamint a parciális integrálás szabályát. Ezen módszereket alkalmazni feladatokban.

Elméleti összefoglaló

Az alapintegrálok ismeretében, és az előző leckében megismert egyszerű tételek felhasználásával a függvények elég széles körében meghatározható a primitív függvény. Az alábbiakban olyan módszereket ismertetünk, melyekkel a primitív függvényt még szélesebb körben meghatározhatjuk.

Tétel: Ha tudjuk, hogy az f függvény primitív függvénye F, akkor

f (ax+b)dx= F(ax+b) a +c ,

ahol a,b és a0 .

A feladatokban való alkalmazáshoz a tételt másképp úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha olyan összetett függvényt kell integrálnunk, melynek belső függvénye lineáris, akkor integráljuk a külső függvényt, s összetételt alkotunk az eredeti belső függvénnyel, valamint osztunk a belső függvényből x együtthatójával.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: sin(3x+π)dx

Megoldás: Az integrandusunk jól láthatóan olyan összetett függvény, amelynek belső függvénye elsőfokú polinom, vagy más szóval lineáris. Alkalmazhatjuk a fent megismert szabályt.

A külső függvény sinx . Ennek integrálja: sinxdx =cosx+c .

A belső függvény 3x+π , ez felel meg ax+b -nek, azaz a=3 és b=π .

Ezután egyszerűen behelyettesítünk a szabályba.

sin(3x+π)dx = cos(3x+π) 3 +c

Az ilyen feladatokban általában nem szükséges sok átalakítást végrehajtani az integranduson, a hangsúly azon van, hogy felismerjük, ilyen típusú összetett függvényünk van. Ha ez sikerült, akkor már könnyű alkalmazni a szabályt.

2. feladat: 1 5x8 dx

Megoldás: Az integranduson megint azt ismerhetjük fel, hogy olyan összetett függvény, melynek belső függvénye elsőfokú.

A külső függvény most nyilván az 1 x . Ennek integrálja a következő: 1 x dx =ln|x|+c .

A belső függvény most 5x8 , tehát a=5 és b=8 .

Alkalmazva az f(ax+b)dx = F(ax+b) a +c szabályt, az alábbi eredményt kapjuk:

1 5x8 dx = ln|5x8| 5 +c .

3. feladat: 1 cos 2 5x dx

Megoldás: Ha most deriválnunk kellene, akkor azt mondanánk, jelen esetben egy többszörösen összetett függvényünk van. Külső függvény az 1 x 2 , középső a cosx , és belső az 5x . Nem muszáj azonban ennyire felbontanunk a függvényt, sőt integrálásnál nem is célszerű. Az előző felbontásban szereplő belső függvény, az 5x , egy lineáris függvény. Csak annyit kell tennünk, hogy amit az előbb külső és középső függvénynek tekintettünk, azt nem bontjuk fel, hanem egyben tekintjük külső függvénynek. Azaz most 1 cos 2 x lesz a külső függvény. Azért célszerű ez a felbontás, mert így a külső függvény egy alapintegrál. Tudjuk ugyanis, hogy .

Amint már említettük, a belső függvény 5x , azaz a=5 és b=0 .

Alkalmazva a korábban ismertetett szabályt, az alábbi eredményt kapjuk:

1 cos 2 5x dx = tg5x 5 +c .

4. feladat: 4x+7 3 dx

Megoldás: Az integrandus ebben az esetben is olyan összetett függvény, melynek belső függvénye elsőfokú.

A külső függvény nyilván a x 3 , melynek integrálja: x 3 dx= x 1 3 dx= 3 4 x 4 3 +c= 3 4 x 4 3 +c .

A belső függvény 4x+7 , tehát a=4 , és b=7 .

Alkalmazva az előzőekben ismertetett szabályt, a következőt kapjuk:

4x+7 3 dx= 3 4 (4x+7) 4 3 4 +c= 3 16 (4x+7) 4 3 +c .

5. feladat: e 4x dx

Megoldás: Most is olyan függvényt kell integrálnunk, melynek belső függvénye lineáris.

A külső függvény most az e x , melynek integrálja önmaga, azaz: e x dx= e x +c .

A belső függvény 4x , tehát a=1 , és b=4 .

Alkalmazva az előzőekben ismertetett szabályt, a következőt kapjuk:

e 4x dx= e 4x 1 +c= e 4x +c .

A feladatban arra kell figyelni, hogy a lineáris belső függvényben most fordított a sorrend, azaz a konstans áll elől, és az elsőfokú rész hátul. Valamint ne feledkezzünk el arról sem, hogy az együtthatóba az előjel is beletartozik. Mivel most x szerepel, ezért az elsőfokú részben az együttható a=1 .

Ellenőrző kérdések
1. cos (2x3)dx
2sin(2x3)+c
3sin(2x3)+c
sin(2x3) 2 +c
sin(2x3) 3 +c
2. 1 56x dx
5ln( 56x )+c
ln| 56x | 5 +c
6ln( 56x )+c
ln| 56x | 6 +c
3. 1 ( 2x+5 ) 3 dx
( 2x+5 ) 2 2 +c
1 4 ( 2x+5 ) 2 +c
ln ( 2x+5 ) 3 2 +c
ln ( 2x+5 ) 3 5 +c
4. 4 85x dx
4 85x ln4 5
4 85x ln4 5
4 85x 5ln4
4 85x 5ln4
5. 4+9x dx
2 ( 4+9x ) 3 27 +c
( 4+9x ) 3 6 +c
1 8 4+9x +c
1 18 4+9x +c
Elméleti összefoglaló

Tétel: f (x) f(x) dx =ln|f(x)|+c .

A feladatokban történő alkalmazáshoz a tételt úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha olyan törtet kell integrálnunk, melynek számlálója a nevező deriváltjával egyenlő, akkor az integrálás eredménye a nevező abszolút értékének a logaritmusa lesz.

Kidolgozott feladatok

6. feladat: 3 x 2 2 x 3 2x+6 dx

Megoldás: Az integrandus olyan tört, melynek számlálójában épp a nevező deriváltja áll, hiszen ( x 3 2x+6 ) =3 x 2 2 . Ezt úgy is mondhatjuk, hogy egy f (x) f(x) típusú függvényt kell integrálnunk.

Mivel most jól láthatóan f(x)= x 3 2x+6 , csak annyi a feladatunk, hogy behelyettesítsünk a szabályba.

3 x 2 2 x 3 2x+6 dx = ( x 3 2x+6 ) x 3 2x+6 dx =ln| x 3 2x+6|+c

7. feladat: e 3x e 3x +5 dx

Megoldás: Most azt kell felismernünk az integranduson, hogy a számláló, csak egy konstans szorzóban tér el a nevező deriváltjától, hiszen ( e 3x +5 ) =3 e 3x .

Ha be tudjuk csempészni a számlálóba a 3-at, akkor az integrandus f (x) f(x) típusú lesz, s el tudjuk végezni az integrálást. Hasonló esettel már találkoztunk korábban, és akkor a hiányzó konstanssal szoroztunk is, osztottunk is. Járjunk el most is így, és az osztást egyből írjuk az integrál jel elé reciprokkal történő szorzás formájában.

e 3x e 3x +5 dx = 1 3 3 e 3x e 3x +5 dx = 1 3 ( e 3x +5 ) e 3x +5 dx

Ezután már csak be kell helyettesítenünk az

f (x) f(x) dx =ln|f(x)|+c szabályba.

1 3 ( e 3x +5 ) e 3x +5 dx = 1 3 ln| e 3x +5 |+c= 1 3 ln( e 3x +5 )+c

Mivel a e 3x +5>0 minden x esetén, ezért hagyhattuk el az abszolút értéket az eredményben.

Amint látható, ha olyan törtünk van, melyben a számláló csak konstans szorzóban különbözik a nevező deriváltjától, akkor a hiányzó konstanssal szorozva és osztva is, elérhető, hogy f (x) f(x) típusú függvény legyen az integrandus.

8. feladat: x x 2 +4 dx

Megoldás: Vegyük észre, hogy a nevező deriváltja ( x 2 +4 ) =2x , csak egy konstans szorzóban tér el a tört számlálójától, ami x. Ahhoz, hogy f (x) f(x) típusú függvény legyen az integrandus, szükség lenne a számlálóban egy 2-es szorzóra. Az előbbiek szerint szorozzunk 2-vel, és ossszunk is 2-vel. Az osztást egyből írjuk az integrál elé 1 2 -del szorzás formájában.

x x 2 +4 dx = 1 2 2x x 2 +4 dx = 1 2 ( x 2 +4 ) x 2 +4 dx

Már csak be kell helyettesítenünk a szabályba.

1 2 ( x 2 +4 ) x 2 +4 dx = 1 2 ln| x 2 +4 |+c= 1 2 ln( x 2 +4 )+c

Az abszolút érték most is elhagyható az eredményben, hiszen x 2 +4>0 minden x esetén.

9. feladat: tgxdx

Megoldás: Használjuk fel a  tgx  definícióját, azaz írjunk helyette sinx cosx -et.

tgx dx= sinx cosx dx

Az integrálandó tört számlálója csak egy előjelben tér el a nevező deriváltjától, hiszen (cosx ) =sinx . Szorozzuk meg ezért az integrandust 1 -gyel, és az integrál elé is írjunk egy negatív előjelet. Így elérjük, hogy az integrandus f (x) f(x) típusú függvény legyen.

sinx cosx dx = sinx cosx dx = (cosx ) cosx dx

Ezután már csak be kell helyettesítenünk a megfelelő integrálási szabályba.

(cosx ) cosx dx =ln|cosx|+c

10. feladat: 1 tgx cos 2 x dx

Megoldás: Ugyan törtet kell integrálnunk, de most nyilván nem igaz, hogy a számlálóban a nevező deriváltja áll, hiszen a nevezőben egy szorzat van, aminek deriváltja nem 1. Látunk azonban a függvényben részletként tgx -et, amiről tudjuk, hogy deriváltja 1 cos 2 x , s a nevezőben szerepel a cos 2 x is. Használjuk fel a törtek azon átalakítását, amivel emeletes törtté alakíthatunk egy törtet, ha a nevezőben szorzat áll. Ezt az alábbi módon írhatjuk:

1 ab = 1 a b vagy 1 ab = 1 b a .

Ha ezt úgy alkalmazzuk, hogy a számlálóba 1 cos 2 x kerül, akkor ezzel a nevezőben maradó  deriváltját kapjuk meg, azaz f (x) f(x) típusúvá sikerül alakítanunk a függvényt.

1 tgx cos 2 x dx = 1 cos 2 x tgx dx = ( tgx ) tgx dx

Ezután már csak be kell helyettesítenünk a szabályba.

( tgx ) tgx dx =ln| tgx |+c

A feladatot sikerült megoldanunk, de talán többen azt mondják magukban, hogy ők bizony másképp alakították volna az integrandust. Az előző feladatban szerepelt, hogy tgx= sinx cosx , amit most is felhasználhattunk volna. Így a tört nevezőjében még egyszerűsíthetünk is.

1 tgx cos 2 x dx = 1 sinx cosx cos 2 x dx = 1 sinxcosx dx =

Ezen a ponton azonban elakadunk. A kapott tört nem alapintegrál, és nem tudjuk egyik könnyen integrálható függvénytípust, azaz f( ax+b ) -t, vagy f (x) f(x) -t sem kialakítani. Az átalakításunk ugyan jó, de nem segít a függvény integrálásában. Az integrálási feladatokban tudatosan keresni kell, hogy a tanult szabályok közül melyik alkalmazható az adott esetben. Mivel már két olyan szabályt is láttunk, amiben függvény és deriváltja is szerepel, így kijelenthetjük, hogy a szabályok sok esetben csak akkor ismerhetők fel, ha jól ismerjük az alapderiváltakat. Ha nem tudjuk, melyik függvénynek mi a deriváltja, akkor nem fogjuk felismerni a feladatokban, hogy ezeket az integrálási szabályokat kellene alkalmaznunk. Ilyenkor könnyen kerülhetünk olyan zsákutcába, mint amibe fenti átalakításokkal jutottunk.

11. feladat: 1 xlnx dx

Megoldás: Ilyen formában a tört számlálója nyilván nem egyenlő a nevező deriváltjával. De a nevezőben látjuk az lnx -et, amiről tudjuk, hogy deriváltja 1 x , és az x is ott van a nevezőben. Ha ugyanúgy emeletes törtté alakítunk, mint az előző feladatban, akkor most is f (x) f(x) típusú függvényt kapunk. Vigyünk a számlálóba az 1 x -et.

1 xlnx dx= 1 x lnx dx= ( lnx ) lnx dx=

A szokásos módon már csak behelyettesítünk a szabályba.

( lnx ) lnx dx=ln| lnx |+c

Ellenőrző kérdések
6. 6x4 3 x 2 4x+1 dx
ln| 6x4 |+c
ln| 3 x 2 4x+1 |+c
ln| 3 x 2 4x |+c
ln| x 3 2 x 2 +x |+c
7. x 2 4 x 3 12x dx
ln| x 3 12x |+c
1 3 ln| x 3 12x |+c
3ln| x 3 12x |+c
ln| x 2 4 |+c
8. e 2x e 2x +8 dx
1 2 ln( e 2x +8 )+c
ln( e 2x +8 )+c
2ln( e 2x +8 )+c
1 e 2x ln( e 2x +8 )+c
9. ctgxdx
ln|cosx|+c
ln|cosx|+c
ln|sinx|+c
ln|sinx|+c
10. 1 ctgx sin 2 x dx
ln|ctgx|+c
ln|ctgx|+c
ln| sin 2 x|+c
ln| sin 2 x|+c