KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: IV. modul: Számsorozatok
8. lecke: Számsorozat fogalma és tulajdonságai
Tanulási cél: A számsorozat fogalmának és elemi tulajdonságainak megismerése. A monotonitás, korlátosság vizsgálatának elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékének megismerése. | ||
Motivációs feladat | ||
Változtassunk az egyszerű kamatos kamatra adott feladaton. Ne egyszer fizessünk be a bankba egy bizonyos összeget, hanem rendszeresen, például havonta. Feltéve, hogy tőkésítés is havonta történik, és a kamatláb fix, vajon mennyi pénzt sikerül összegyűjteni 5 hónap alatt? | ||
Az első alkalommal befizetett összegnél ötször kell kamatos kamatot számolni, a másodiknál már csak négyszer, és így tovább. | ||
A fenti képletbe behelyettesítve tudunk számolni. Kicsit időigényes, de még megoldható. De mi van akkor, ha 5 évről lenne szó? A felírt összeg hasonló gondolatmenettel már az tőkésítés miatt 60 tagból állna. Hogyan lehetne ezt az összeget minél egyszerűbben kiszámolni? | ||
Ilyen és ehhez hasonló feladatokra ad választ a matematika következő fejezete, amit számsorozatoknak nevezünk. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Speciális függvényekkel fogunk foglalkozni, amelyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza, de helyettesítési értékként már bármilyen valós számot kaphatunk. | ||
A függvényeknél szokásos jelöléstől is kicsit eltérünk. Eddig a függvényeket -fel, -vel vagy -val jelöltük. Most az vagy betűket használjuk. A független változót pedig helyett -nel jelöljük, ami alsó indexként jelenik meg. Ez a jelölésbeli eltérés azonnal felismerhetővé teszi, hogy a függvények egy speciális halmazával, a számsorozatokkal foglalkozunk. |
Definíció: Számsorozatnak nevezzük azokat a speciális függvényeket, amelyek a természetes számokhoz egy-egy valós számot rendelnek. | ||
Nézzünk meg egy-két konkrét sorozatot és próbáljunk meg egyszerű logikai következtetésekkel a legelemibb tulajdonságaikat leolvasni. | ||
1. Példa: | ||
Írjuk fel a sorozat néhány tagját. Ha a sorozatot megadó képletben az helyére az 1-et írunk, megkapjuk az első elemet. Ha 2-t írunk a másodikat, és így tovább. | ||
. | ||
Ha helyére egyre nagyobb természetes számot írunk, akkor reciproka egyre kisebb pozitív szám lesz. Azaz nagyobb indexhez kisebb helyettesítési érték tartozik. A függvényeknél már megismert hasonló tulajdonság alapján az ilyen sorozatokat nevezzük szigorúan monoton csökkenőknek. | ||
Ebből az következik, hogy az első elemnél, azaz 1-nél nagyobbat a sorozat nem vesz fel. Szintén a függvényekhez hasonlóan, mondjuk azt, hogy a sorozat felső korlátja 1, azaz a sorozat felülről korlátos. A sorozat csak pozitív értékeket vesz fel, így minden sorozatbeli elem nagyobb 0-nál. Ezt a tulajdonságot hívjuk úgy, hogy a sorozat alulról korlátos és a nullát nevezzük alsó korlátnak. | ||
Vegyük észre, hogy a sorozat nagyon nagy indexű elemei egyre közelebb és közelebb esnek nullához. Úgy is mondhatnánk, hogy a sorozat nagyon nagy indexű elemei minden határon túl megközelítik a nullát. Ezt az érdekes tulajdonságot a továbbiakban úgy mondjuk, hogy a sorozatnak a határértéke nulla és jelöljük a következőképpen: | ||
Megjegyzés: Hasonló következtetésekhez juthatunk az típusú sorozatoknál | ||
2. Példa: | ||
Írjuk fel a sorozat néhány elemét. | ||
A képlet alapján mondhatjuk, hogy minden elem 5-szöröse az előtte lévőnek. Ez pedig azt jelenti, hogy a sorozat minden eleme nagyobb, mint a nála eggyel kisebb indexű. Ezt a későbbiekben szigorúan monoton növekedésnek nevezzünk. | ||
A sorozat pozitív tagokból áll, így a nulla most is alsó korlát. De tudunk adni ennél jobb, a nullánál nagyobb alsó korlátot is. A szigorú monoton növekedés miatt a sorozat legkisebb eleme egyben a sorozat alsó korlátja is. Ennél jobb, ennél nagyobb alsó korlát már nem adható. Ezt szokás a sorozat legnagyobb alsó korlátjának nevezni. Tehát most a legnagyobb alsó korlát 5. | ||
A sorozat néhány tagja alapján úgy tudnánk megfogalmazni, hogy a sorozat tagjai a nagyon nagy számok fele tartanak, felső korlát nincs. Ezt a tulajdonságot nevezzük a későbbiekben úgy, hogy a sorozat határértéke plusz végtelen. Jele: | ||
. | ||
3. Példa: . | ||
Írjuk fel a sorozat néhány tagját. | ||
Az a sejtés, hogy a sorozat szigorúan monoton nő. Pedig ez nem igaz. | ||
Most már jobban látjuk, hogy ez a sorozat hol pozitív, hol negatív értékeket vesz fel. Ezt nevezzük úgy, hogy a sorozat nem monoton nő, nem monoton csökken, egyszerűbben nem monoton. Ebből a példából jól látható, hogy néhány tag felírása nem elegendő, hogy a monotonitást egyértelműen eldöntsük. | ||
Ez a sorozat az előző kettőtől teljesen eltér. A nagy indexű tagok a nagyon nagy pozitív és a nagyon kicsi negatív értékek között ingadozik. Most nem tudunk adni olyan számot, amit a nagy indexű tagok minden határon túl megközelítenek. | ||
A felírt példák alapján a sorozatok jellemzésénél három fontos tulajdonságot fogunk vizsgálni. A monotonitást, a korlátosságot és a határértéket. Adjuk meg ezen tulajdonságok pontos definícióit! |
Definíció: Egy sorozat monoton növekvő, ha minden természetes szám esetén. | ||
Definíció: Egy sorozat szigorúan monoton növekvő, ha minden természetes szám esetén. | ||
Definíció: Egy sorozat monoton csökkenő, ha minden természetes szám esetén. | ||
Definíció: Egy sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha minden természetes szám esetén. | ||
Monotonitás precíz vizsgálatához több módszer is alkalmazható. Mi az alábbi tételeket fogjuk használni. | ||
Tételek: | ||
Ha minden természetes szám esetén, akkor szigorúan monoton növekvő. | ||
Ha minden természetes szám esetén, akkor monoton növekvő. | ||
Ha minden természetes szám esetén, akkor szigorúan monoton csökkenő. | ||
Ha minden természetes szám esetén, akkor monoton csökkenő. | ||
Definíció: Egy sorozatot felülről korlátosnak nevezzük, ha létezik egy olyan valós szám, amelyre teljesül minden természetes szám esetén, és a számot a sorozat felső korlátjának nevezzük. | ||
Definíció: Egy sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha létezik egy olyan valós szám, amelyre teljesül minden természetes szám esetén, és a számot a sorozat alsó korlátjának nevezzük. | ||
Definíció: Egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos. | ||
Ha egy sorozatnak van alsó korlátja, akkor végtelen sok van, hiszen az ennél kisebb összes szám is alsó korlát lesz. Az alsó korlátok tehát egy halmazt alkotnak. Ebben a halmazban mindig van egy legnagyobb elem, melyet a legnagyobb alsó korlátnak nevezünk. | ||
Ha egy sorozatnak van felső korlátja, akkor végtelen sok van, hiszen az ennél nagyobb összes szám is felső korlát lesz. A felső korlátok is egy halmazt alkotnak. Ebben a halmazban mindig van egy legkisebb elem, melyet a legkisebb felső korlátnak nevezünk. |
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Írja fel az alábbi sorozat első 3, majd a 21-edik tagját! | ||
, ha | ||
Megoldás: Helyettesítsünk a sorozatot megadó képletbe az helyére rendre egyet, kettőt, hármat, legvégül pedig huszonegyet. | ||
2. feladat: Írja fel az alábbi sorozat -edik, majd az -edik elemét! | ||
, ha | ||
Megoldás: Ha a sorozat -edik elemét szeretnénk meghatározni, akkor helyére a sorozat képletébe nem egy konkrét számot, hanem -et kell írni. Hasonlóan az -edik elem felírásához helyére írjunk -t, és rendezzük a számlálót és a nevezőt is. | ||
3. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot monotonitás szempontjából! | ||
, ha | ||
Megoldás: Néhány elem felírásából már azt sejtjük, hogy a sorozat monoton növekvő. Bizonyítsuk be, hogy jó a sejtésünk. | ||
A definíció szerint bármely két egymás követő elemet kell összehasonlítani. Vigyázzunk, nem két konkrét elempárról van szó, hanem bármelyik kettőről. Ennek egyik módszere az, hogy a sorozat -edik és -edik tagjainak különbségét vizsgáljuk bármely természetes szám esetén. Állítsuk elő a sorozat -edik elemét. | ||
Most már felírhatjuk a különbséget. | ||
Hozzuk közös nevezőre a törteket. | ||
Számlálóban végezzük el a kijelölt műveleteket. | ||
Vizsgáljuk meg a kapott törtet. Azt látjuk, hogy a számláló pozitív. Mivel természetes szám, a nevező is csak pozitív lehet, hiszen két pozitív szám szorzata pozitív. Ez azt jelenti, hogy mindig nagyobb számból vonunk ki egy kisebbet, tehát két egymást követő elemnél a nagyobb indexű mindig nagyobb a nála éppen eggyel kisebb indexű elemnél. Tehát definíció szerint szigorúan monoton nő. | ||
4. feladat: Vizsgáljuk meg korlátosság szempontjából az előbb már vizsgált sorozatot. | ||
, ha | ||
Megoldás: Az sorozatról már tudjuk, hogy szigorúan monoton növekvő. Ez azt jelenti, hogy az első elem kisebb, mint bármely utána következő elem. Így az első elem alsó korlátnak tekinthető. | ||
minden természetes szám esetén | ||
Vajon van-e felső korlátja a sorozatnak? Lehet, hogy minden határon túl növekednek az értékék? Ennek eldöntésére alakítsuk át a sorozat képletét. Osszunk le tagonként -nel! | ||
Ebből az alakból nagyon jól látszik, hogy 4-ből mindig kivonunk egy kicsi pozitív számot. Tehát a sorozat felső korlátja 4, és ez azt is jelenti, hogy korlátos. A sorozat minden tagja legalább 1 és kisebb, mint 4. | ||
5. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot monotonitás szempontjából! | ||
, ha | ||
Megoldás: Monotonitás eldöntéséhez vizsgáljuk meg az különbség előjelét! | ||
Írjuk fel először az -edik tagot. | ||
Most már fel tudjuk írni a vizsgálandó különbséget. | ||
Végezzük el a számlálóban a kijelölt szorzásokat, majd rendezzük a kifejezéseket. | ||
Rendezés után a számlálóban csak egy negatív szám maradt. A nevezőben egy szorzat van, amelynek mindkét tényezője pozitív minden lehetséges -re, így egy negatív és egy pozitív szám hányadosa csak egy negatív szám lehet. Ez azt jelenti, hogy rendre kisebb számból vonunk ki egy nagyobbat, tehát két egymást követő elemnél a nagyobb indexű elem mindig kisebb a nála éppen eggyel kisebb indexűnél. Tehát definíció szerint szigorúan monoton csökkenő. | ||
6. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot korlátosság szempontjából! | ||
, ha | ||
Megoldás: Az sorozatot már monotonitás szempontjából vizsgáltuk és azt kaptuk, hogy szigorúan monoton csökken. Ez azt jelenti, hogy az első elem nagyobb, mint bármely utána következő elem, így az első elem felső korlátnak tekinthető. | ||
minden esetén | ||
Vajon van-e alsó korlátja a sorozatnak? Vegyük észre, hogy a sorozat minden eleme nagyobb 0-nál, mivel a számláló és a nevező is pozitív minden lehetséges -re. Így a 0 a definíció szerint alsó korlátnak tekinthető. Nézzük meg, hogy tudunk-e találni egy jobb, a 0-nál nagyobb alsó korlátot. Írjuk át a sorozatot egy másik formába: | ||
A kapott kifejezésből jól látható, hogy 1-hez rendre egy pozitív számot adunk, tehát 1 is egy alsó korlát. Bebizonyítható, hogy ennél jobb, azaz nagyobb alsó korlát már nem létezik, de ennek bizonyításától eltekintünk. | ||
Megjegyzés: Szemléletesen megfogalmazva a számláló nagyobb a nevezőnél minden természetes szám esetén, akkor a tört csak 1-nél nagyobb szám lehet, tehát az 1 alsó korlát. | ||
7. feladat: Vizsgálja meg monotonitás szempontjából az alábbi sorozatot! | ||
, ha | ||
Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan vizsgáljuk az -edik és-edik tag különbségét. | ||
Először írjuk fel az -edik elemét a sorozatnak! | ||
Most már felírható a vizsgálandó különbség: | ||
Végezzük el a számlálóban a kijelölt szorzásokat, majd rendezzük a kifejezéseket! | ||
A számlálóban a rendezés után most egy pozitív számot kaptunk. A nevezőben lévő mindkét tényező negatív minden lehetséges esetén. Így a tört is mindig pozitív, ami azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat szigorúan monoton növekvő. | ||
8. feladat: Vizsgálja meg korlátosság szempontjából az alábbi sorozatot! | ||
, ha | ||
Megoldás: Az előző feladatból tudjuk, hogy a sorozat szigorúan monoton nő, így a legkisebb tagja az első elem, ami tekinthető alsó korlátnak. Írjuk fel a sorozat néhány tagját, hogy vajon lehet-e felső korlátja? | ||
A felírt tagok alapján 1-nél kisebb számokat kapunk. Bizonyítsuk, be, hogy ez minden elemre teljesül. | ||
Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát -nel, ami mindig negatív, ha természetes szám. Vigyázzunk, ilyenkor az egyenlőtlenség iránya megváltozik! | ||
A kapott egyenlőtlenség mindig fennáll, ha természetes szám. Tehát a sejtés igaz, 1 a sorozat egyik felső korlátja. A sorozat felülről és alulról is korlátos. | ||
9. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából! | ||
, ha | ||
Megoldás: Vizsgáljuk először a monotonitást! Az a sejtésünk, hogy a sorozat monoton növekvő. Írjuk fel az -edik elemet! | ||
Írjuk fel a -edik és az -edik tag különbségét! | ||
Mivel rendezés után a különbség három pozitív tag összegére egyszerűsödik, így a sorozat szigorúan monoton növekvő. | ||
Vizsgáljuk most a korlátosságot! A szigorú monoton növekedés miatt a sorozat alsó korlátja a sorozat első eleme, azaz , ha természetes szám. | ||
Vajon van-e felső korlát? Úgy érezzük, hogy nincsen felső korlátja a sorozatnak, ami azt jelenti, hogy bármilyen nagy pozitív számot is adnánk meg, mindig van olyan sorozatbeli elem, ami ezt a nagy számot képes meghaladni. Szemléletesen fogalmazva, bármely nagy pozitív számnál létezik nagyobb eleme a sorozatnak. | ||
Például legyen a nagyon nagy szám 700 000. Azt sejtjük, hogy van olyan tagja a sorozatnak, ami nagyobb, mint 700 000. | ||
Vegyük a sorozat 47. tagját. Valóban nagyobb, mint 700 000. A módszert bármely nagy számra használhatjuk, így felülről nem korlátos. Vegyük észre azonban azt is, hogy ha a megoldásban az is benne van, hogy a sorozat összes olyan tagja, amelynek indexe meghaladja a 46-t, 700 000-nél nagyobb lesz. | ||
Megjegyzés: Hasonlóan eredményre jutnánk a típusú sorozatoknál ( természetes szám). De ugyanezt mondhatjuk el akkor is, ha a kitevőre csak annyit kötünk ki, hogy legyen pozitív. Például a sorozat szintén szigorúan monoton nővekvő és felülről nem korlátos. | ||
10. feladat: Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából! | ||
és , ha | ||
Megoldás: Az a sejtésünk, hogy az sorozat monoton növekvő. | ||
Írjuk fel -edik elemet. | ||
Írjuk fel a -edik és az -edik tag különbségét. | ||
Mivel 7 bármely hatványa csak pozitív lehet, így a különbség minden lehetséges -re pozitív. A sorozat tehát szigorúan monoton növekvő, de akkor a sorozat legkisebb eleme és egyben alsó korlátja is 49. | ||
A sorozat néhány tagját felírva, érezzük, hogy a sorozat nagyon erősen növekszik. Azt tudjuk mondani, hogy a sorozatnak nincs felső korlátja, mivel bármilyen nagyon nagy számot adunk, mindig létezik a sorozatnak olyan tagja, ami nagyobb, mint az előre megadott nagyon nagy szám. Szemléletesen fogalmazva, bármely nagy számnál létezik nagyobb eleme a sorozatnak. | ||
Például legyen a nagyon nagy szám a 10 000 000 000. Milyen -re fog teljesülni, hogy | ||
Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát! | ||
Osszuk el az egyenlőtlenség mindkét oldalát -tel, ami egy pozitív szám. | ||
Így az egyenlőtlenség iránya nem változik. | ||
Azt kaptuk, hogy ha , akkor , tényleg nagyobb, mint 10 milliárd. Ez a módszer bármilyen nagy pozitív számnál használható. Tehát valóban felülről nem korlátos. | ||
Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a megoldásban az is benne van, hogy ha , azaz a 6. tagtól kezdve a sorozat összes többi tagja már nagyobb, mint 10 milliárd. | ||
A sorozat tulajdonságait a mínusz előjel épp az ellenkezőjére megváltoztatja. A növekedésből csökkenés, az alsó korlátból, felső korlát lesz. Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő, felső korlátja , és alulról nem korlátos, a nagyon kicsi negatív értékek fele tart. | ||
Megjegyzés: Általában is mondhatjuk, hogy a típusú sorozatok, ha szigorúan monoton növekednek, alulról korlátosak, de felülről nem. | ||
11. feladat: Vizsgálja meg monotonitás és korlátosság alapján az alábbi sorozatot! | ||
, ha | ||
Megoldás: Írjuk fel a sorozat első 5 tagját. | ||
Jól látható, hogy a sorozat egymás után következő elemei felváltva pozitívak illetve negatívak. Így azt mondhatjuk, hogy a sorozat nem monoton növekvő és nem monoton csökkenő, egyszerűbben nem monoton. | ||
Mivel 0,5 pozitív egész hatványai 0 és 1 közé esnek, így a páros indexű tagok 0 és 1 közé, a páratlan indexűek pedig és 0 közé esnek. Tehát a sorozat korlátos és felső korlát 1, alsó korlát . | ||
Másrészt az is látszik, hogy a sorozat nevezője egyre nagyobb, így az a sejtésünk, hogy a sorozat hol pozitív, hol negatív előjelű számokkal, de minden határon túl megközelíti a nullát, tehát . | ||
Megjegyzés: Hasonló eredményre jutunk a típusú sorozatoknál, ha , akkor korlátosak, és minden határon túl megközelítik a nullát. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||||
1. Írja fel az sorozat -edik elemét! ![]() | |||||||||||
2. Vizsgálja meg az sorozatot monotonitás szempontjából!
![]() | |||||||||||
3. Vizsgálja meg az sorozatot monotonitás szempontjából!
![]() | |||||||||||
4. Vizsgálja meg az sorozatot korlátosság szempontjából!
![]() | |||||||||||
5. Válassza ki, hogy melyik állítás igaz az alábbi sorozatra! , ha
![]() | |||||||||||
6. Válassza ki, hogy melyik állítás igaz az alábbi sorozatra. , ha
![]() | |||||||||||
7. Válassza ki, hogy melyik állítás igaz az alábbi sorozatra. , ha
![]() | |||||||||||
8. Válassza ki, hogy melyik állítás igaz az alábbi sorozatra! , ha
![]() |
Elméleti összefoglaló | ||
Egy sorozat határértéke azt mutatja meg, hogy nagyon nagy indexek esetén egy adott sorozat milyen értékeket vehet fel. Találkoztuk már olyan sorozattal, amire azt mondtuk, hogy nagy index esetén a sorozat elemei egy bizonyos szám (jelöljük -val) közelében vannak. A közelséget fogalmazzuk meg a sorozat elemeinek és az számnak az eltérésével, távolságával, ami csak pozitív szám lehet. Ezt az eltérést -kel tudjuk kifejezni, ahogy két szám eltérését, távolságát megadhatjuk a számok különbségének abszolútértékével. Például és 5 eltérése, távolsága: . |
Definíció: Az sorozat határértéke az valós szám, ha bármely kicsi pozitív számhoz létezik olyan küszöbszám, ha , akkor teljesül. | ||
Átfogalmazva: Akkor mondjuk, hogy egy sorozat határértéke A valós szám, ha bármilyen kicsi eltérést, távolságot (-t) engedünk is meg az A-tól, a sorozat kellően nagy indexű elemei még ennél is közelebb vannak A-hoz. | ||
Szemléletesen: Egy sorozat határértéke egy valós szám, ha nagyon nagy indexek esetén a sorozat elemei az szám körül sűrűsödnek, másképpen -t minden határon túl megközelítik. | ||
Definíció: Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha létezik véges határértéke, minden más esetben divergensnek. | ||
Tételek: | ||
Ha egy sorozat felülről korlátos és monoton növekvő, akkor a sorozat konvergens. | ||
A divergens sorozatok között különböztessük meg azokat, amelyek minden határon túl növekednek. illetve csökkennek. Az ilyen sorozatokra mondjuk azt, hogy tágabb értelemben vett konvergens sorozatok, és plusz illetve mínusz végtelenbe tartanak. | ||
Definíció: Egy sorozat határértéke , ha bármely valós számhoz létezik olyan küszöbszám, ha , akkor is teljesül. Jele: | ||
Átfogalmazva: Egy sorozat határértéke , ha bármilyen nagy számot adunk is meg, van olyan küszöbszám, amelynél nagyobb indexű elemek még ennél is nagyobbak. | ||
Definíció: Egy sorozat határértéke , ha bármely valós számhoz létezik olyan küszöbszám, ha , akkor is teljesül. Jele: | ||
Átfogalmazva: Egy sorozat határértéke , ha bármilyen kicsi negatív számot adunk is meg, van olyan küszöbszám, amelynél nagyobb indexű elemek még ennél is kisebbek. |
Nevezetes határértékek | ||
1. Konstans sorozat (minden tagja ugyanaz a valós szám) határértéke önmaga. | ||
Példa: | ||
2. , ha | ||
Példa: vagy | ||
3. , ha | ||
Példa: vagy | ||
4. | ||
5. , ha valós szám | ||
Példa: | ||
6. | ||
Példa: | ||
7. | ||
8. Matematika egyik nevezetes sorozata sorozat. Be lehet bizonyítani, hogy szigorúan monoton növekvő és felülről korlátos, azaz egy konvergens sorozat. A határértéke pedig egy irracionális szám, amit -vel jelölünk és 5 tizedesjegy pontossággal az értéke pedig: . | ||
Matematikában az -nek kitüntetett szerepe van, ezzel az alappal szokás megadni exponenciális és logaritmusfüggvényt is (). | ||
A sorozat határértéke megváltozik, ha a számlálóban lévő 1-et bármilyen más valós számra lecseréljük. | ||
Kidolgozott feladatok | ||
12. feladat: Az sorozat határértéke 0. Adjon küszöbszámot az -hez! | ||
Megoldás: Azt szeretnénk meghatározni, hogy a sorozat milyen indexű tagjától kezdve fogják tagjai a 0-t -nél kisebb eltéréssel megközelíteni. | ||
A definícióból tudjuk, hogy ehhez azt kell megvizsgálni, hogy a sorozat milyen indexű elemei fogják teljesíteni az egyenlőtlenséget. | ||
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget! | ||
Az abszolút értéken belül egy pozitív szám van, így az abszolút érték elhagyható. | ||
Oldjuk meg a kapott egyenlőtlenséget! | ||
Tehát a 0,001-hez tartozó küszöbszám, azaz N=1598. Ez azt jelenti, hogy a sorozat 1599. tagjától kezdve a sorozatbeli elemek a 0-t 0,001-nél kisebb eltéréssel közelítik meg. A sorozat végtelen sok tagja a 0-t 0,001-nál kisebb eltéréssel közelíti meg és csak véges sok van, amelyekre ez nem teljesül. | ||
Megjegyzés: Természetesen köszöbszámnak 1598-nál nagyobb számok is megfelelnek. De a feladatok megoldásánál mindig igyekszünk a legkisebb ilyen értéket megadni. | ||
Ha -nak egyre kisebb értéket adunk, az előző megoldás alapján mindig találunk egy küszöbszámot. Ez azt jelenti, hogy a sorozat elemei egyre közelebb és közelebb kerülnek 0-hoz. | ||
13. feladat: Az sorozat határértéke 3. Adjon küszöbszámot az -hoz! | ||
Megoldás: Azt szeretnénk meghatározni, hogy a sorozat milyen indexű tagjától kezdve fogják a 3-t -nél kisebb eltéréssel megközelíteni. | ||
Írjuk fel a vizsgálandó egyenlőtlenséget! | ||
Hozzunk közös nevezőre: | ||
Rendezzük a számlálót: | ||
Az abszolút értéken belül egy negatív szám van, mivel számláló negatív, nevező pozitív minden lehetséges esetén. Egy negatív szám abszolút értékét megkapjuk, ha szorozzuk a számot -1-gyel. | ||
Oldjuk meg a kapott egyenlőtlenséget! | ||
Tehát a 0,01-hoz tartozó küszöbszám 498, ami azt jelenti, hogy a 499. indexű tagjától kezdve a sorozat elemei a 3-t 0,01-nál kisebb eltéréssel közelítik meg. A sorozat végtelen sok tagja a 3-t 0,01-nál kisebb eltéréssel közelíti meg és csak véges sok van, amelyekre ez nem teljesül. | ||
14. feladat: Határozza meg az , , , sorozat határértékét! | ||
Megoldás: A sorozatok különböző kitevőjű hatványai. Ilyen esetekben a kitevő előjele dönti el a határértéket. Ha a kitevő pozitív, akkor a határérték , ha a kitevő negatív, akkor pedig 0. | ||
15. feladat: Határozza meg az , , , sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Az első két sorozatnál valós számot osztunk pozitív kitevőjű hatványaival. Ezek rendre 0-hoz tartanak. | ||
Az utolsó kettő egyszerű konstans sorozatok. | ||
16. feladat: Határozza meg az sorozat határértékét! | ||
Megoldás: A vizsgált sorozat típusú és az alap . | ||
A nevezetes határérték 2. sora szerint, ha az alap abszolútértékben 1-nél kisebb, akkor a határérték 0. | ||
Tehát | ||
17. feladat: Határozza meg az sorozat határértékét! | ||
Megoldás: A vizsgált sorozat típusú és az alap . | ||
A nevezetes határértéknek most 3. sorát kell nézni, mert az alap -1-nél kisebb, akkor határérték nem létezik. | ||
Tehát | ||
18. feladat: Határozza meg a sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Fel kell ismerni, hogy ebben az esetben az alábbi nevezetes határértékkel van dolgunk: | ||
. | ||
Mivel most , így | ||
19. feladat: Határozza meg a sorozat határértékét! | ||
Megoldás: Fel kell ismerni, hogy ebben az esetben az alábbi nevezetes határértékkel van dolgunk: | ||
Fontos, hogy a tört előtti előjel plusz legyen. Ha a mínuszjelet bevisszük a számlálóba, akkor , így | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
9. Határozza meg az sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
10. Határozza meg a sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
11. Határozza meg a sorozat határértékét!
![]() | |||||||||
12. Hány konvergens sorozat van a felsoroltak között?
![]() | |||||||||
13. Hány tágabb értelembe vett konvergens sorozat van a felsoroltak között?
![]() | |||||||||
14. Hány divergens sorozat van a felsoroltak között?
![]() |