KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: VI. modul: Differenciálszámítás

12. lecke: Deriválási szabályok

Tanulási cél: Deriválási szabályok megismerése és alkalmazása összetett függvények esetén. Magasabbrendű deriváltak meghatározása.

Elméleti összefoglaló

Amikor meghatározzuk egy függvény derivált függvényét úgy is gondolhatunk erre a folyamatra, mint egy új függvényműveletre, amelyik az eredeti f(x) függvényből elkészíti az f (x) derivált függvényt. És sokszor hasznos így, függvényműveletként gondolni a deriválásra. Persze ekkor rögtön adódik a kérdés, hogy ennek az új függvényműveletnek mi a kapcsolata a korábban megismert függvényműveletekkel. Ezeket a kapcsolatokat megfogalmazó tételeket hívjuk deriválási szabályoknak. Ebben a leckében megismerkedünk a deriválási szabályokkal, és begyakoroljuk a derivált függvény ezeken alapuló meghatározását. Ez sokkal gyorsabb és egyszerűbb, mint a definíció alkalmazása, és nagyon fontos lesz a későbbiek során.

Tétel: Legyen c tetszőleges konstans, az f függvény pedig differenciálható az x helyen, ekkor a cf függvény is differenciálható az x helyen, és

( cf(x) ) =c f (x) .

Úgy szoktunk hivatkozni erre a tételre, hogy a konstans szorzó deriváláskor kiemelhető.

Tétel: Legyen az f és a g függvény differenciálható az x helyen, ekkor a az f+g függvény is differenciálható az x helyen, és

( f(x)+g(x) ) = f (x)+ g (x) .

Ennek a tételnek a tömör megfogalmazása az, hogy összeg tagonként deriválható. A tétel nem csak két függvény, hanem tetszőleges számú, véges sok függvény összegének deriválásakor is érvényben marad: ha az f 1 , f 2 , ... f n függvények mindegyike differenciálható az x helyen, akkor az f 1 + f 2 +...+ f n függvény is differenciálható az x helyen, és

.

Ezekből a tételekből könnyen következik, hogy f és a g függvény differenciálható az x helyen, ekkor a az fg függvény is differenciálható az x helyen, és

( f(x)g(x) ) = f (x) g (x) .

Sőt, a legáltalánosabban ezek a tételek így fogalmazhatók meg egy tételben: ha az f 1 , f 2 , ... f n függvények mindegyike differenciálható az x helyen, c 1 , c 2 , ... c n pedig tetszőleges konstansok, akkor c 1 f 1 + c 2 f 2 +...+ c n f n függvény is differenciálható az x helyen, és

.

Ezek a tételek együtt azt jelentik, hogy a deriválás lineáris művelet.

Tétel: Legyen az f és a g függvény differenciálható az x helyen, ekkor a az fg függvény is differenciálható az x helyen, és

( f(x)g(x) ) = f (x)g(x)+f(x) g (x) .

Ez a tétel is általánosítható, például három tényező esetén így néz ki:

( f(x)g(x)h(x) ) = f (x)g(x)h(x)+f(x) g (x)h(x)+f(x)g(x) h (x) .

Figyeljük meg, hogy mivel az összeadás és a szorzás kommutatív művelet, az eddigi képletek nem változnak, ha azokban a függvényeket tetszőleges sorrendben írjuk.

Az osztás nem kommutatív művelet, ezért a törtfüggvény deriválására vonatkozó képlet nem is szimmetrikus a számlálóban és a nevezőben.

Tétel: Legyen az f és a g függvény differenciálható az x helyen, és g(x)0 , Ekkor a az f g függvény is differenciálható az x helyen, és

( f(x) g(x) ) = f (x)g(x)f(x) g (x) ( g(x) ) 2 .

A legfontosabb deriválási szabály az összetett függvény deriválási szabálya, ezt használjuk a leggyakrabban.

Tétel: Legyen az f függvény differenciálható az x helyen, a g függvény differenciálható az f(x) helyen. Ekkor a gf függvény is differenciálható az x helyen, és

( g(f(x)) ) = g (f(x)) f (x) .

Természetesen ez is általánosítható többtényezős kompozíciókra. Három tényező esetén a tétel a következő: ha az f függvény differenciálható az x helyen, a g függvény differenciálható az f(x) helyen, a h függvény pedig differenciálható a g(f(x)) helyen, akkor a hgf függvény is differenciálható az x helyen, és

( h(g(f(x))) ) = h (g(f(x))) g (f(x)) f (x) .

Ezt, és az előző tételt is, láncszabálynak hívják.

A függvény inverzének a képzése is tekinthető függvényműveletnek, így persze van az inverz függvény deriválására vonatkozó tétel is. A gyakorlatban azonban ezt ritkán alkalmazzuk, helyette elkészítjük az inverz függvényt, és alkalmazzuk a korábbi deriválási szabályokat.

Egy f függvény f deriváltja maga is egy függvény. Tekinthetjük ennek a deriváltját, amit f fog jelölni, és ezt f második deriváltjának hívjuk. Ennek deriváltja f harmadik deriváltja, és így tovább. Ezeknek a magasabb rendű deriváltaknak fontos szerepe van a felsőbb matematikában.

Kidolgozott feladatok

A következő feladatokban csak a derivált függvény képletének az előállításával foglalkozunk, és nem vizsgáljuk annak értelmezési tartományát. Fel fogjuk használni az elemi függvények korábban már megismert deriváltjait.

1. feladat: Határozzuk meg az f(x)=5 x 4 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Az f függvény egy konstans és egy hatványfüggvény szorzata, ezért a konstans szorzó a deriválás művelete élé kiemelhető:

f (x)= ( 5 x 4 ) =5 ( x 4 ) =5( 4 x 3 )=20 x 3 .

2. feladat: Határozzuk meg az f(x)= x 2 +lnx függvény derivált függvényét.

Megoldás: Az f függvény kéttagú összeg, amit tagonként deriválhatunk, így:

f (x)= ( x 2 +lnx ) = ( x 2 ) + ( lnx ) =2x+ 1 x .

3. feladat: Határozzuk meg az f(x)=sinxcosx függvény derivált függvényét.

Megoldás: f (x)= ( sinx ) ( cosx ) =cosx( sinx )=cosx+sinx .

4. feladat: Határozzuk meg az f(x)= x 3 3 x +2 e x + 3 x függvény derivált függvényét.

Megoldás: Felhasználjuk, hogy a deriválás lineáris, a gyököt és a törtet pedig felírjuk hatványként, így minden derivált könnyen felismerhető elemi függvény deriváltja lesz:

f (x)= ( x 3 3 x +2 e x + 3 x ) = ( x 3 ) 3 ( x 1 2 ) +2 ( e x ) +3 ( x 1 ) =

=3 x 2 3( 1 2 x 1 2 )+2 e x +3( x 2 )=

=3 x 2 3 2 1 x +2 e x 3 x 2 .

Deriváláskor gyakori, hogy a törteket és a gyököket hatványokként kezeljük.

5. feladat: Határozzuk meg az f(t)= ( 2t1 ) 2 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Végezzük el a négyzetre emelést. Ekkor kapjuk, hogy f(t)=4 t 2 41+1 . Ezt felhasználva

f (t)= ( 4 t 2 4t+1 ) =4( t 2 )4 ( t ) + ( 1 ) =8t4 .

Később ezt a függvény a szorzatfüggvény és az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva is deriválni fogjuk.

6. feladat: Határozzuk meg az f(x)= 2 x ln2 x 3 4 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Persze majd tagonként fogunk deriválni, de először a negyedik gyököt hatványként írjuk fel. Azután vegyük figyelembe, hogy ln2 konstans, így a deriváltja 0, és nem 1 2 .

f (x)= ( 2 x ln2 x 3 4 ) = ( 2 x ) ( ln2 ) ( x 3 4 ) = = 2 x ln2 3 4 x 1 4 ,

felhasználva az a x és az x α elemi függvények deriváltjait.

Ellenőrző kérdések
1. Mi az f(x)=3 x 4 függvény derivált függvénye?
3 x 3
12 x 4
12 x 3
34 x 3
2. Mi az f(t)= 1 t ctgt függvény derivált függvénye?
lnt 1 sin 2 t
1 t 2 + 1 sin 2 t
1 t 2 1 sin 2 t
1 t 2 tgt
3. Mi az f(x)= e x+1 2 x függvény derivált függvénye?
e x+1 1 x 3
e x+1 4 x
e e x 1 x 3
e e x + 1 x 3
4. Mi az f(x)= x 3 2 3 x 4 x 2,1 függvény derivált függvénye?
3 x 2 2x 3 x1 8,2 x 1,1
3 x 2 2 3 x1 ln38,2 x 1,1
3 x 2 2 3 x1 ln38,2 x 1,1
3 x 2 2 3 x ln38,2 x 1,1
5. Mi az f(x)=2 x + 3 x 3 x 2 függvény derivált függvénye?
1 x 1 x 4 3 + 2 x 3
1 x + 1 x 4 3 2 x 3
1 x + 1 x 3 4 + 2 x 3
1 x + 1 x 4 3 + 3 x 2
Kidolgozott feladatok

7. feladat: Határozzuk meg az f(t)= ( 2t1 ) 2 függvény derivált függvényét.

Megoldás: A függvényünk így is írható: f(t)=( 2t1 )( 2t1 ) . Így, a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján

f (t)= ( 2t1 ) ( 2t1 )+( 2t1 ) ( 2t1 ) =2( 2t1 )+( 2t1 )2= =8t4.

8. feladat: Határozzuk meg az f(x)=( x 2 +x)(12 x 2 ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Mivel a függvényünk szorzatfüggvény, alkalmazhatjuk a szorzatfüggvény deriválási szabályát:

f (x)=( x 2 +x ) (12 x 2 )+( x 2 +x)(12 x 2 ) = =(2x+1)(12 x 2 )+( x 2 +x)(4x)= =1+2x6 x 2 8 x 3 ,

De eljárhatunk úgy is, hogy először elvégezzük a függvényünket definiáló képletben a szorzást: f(x)=x+ x 2 2 x 3 2 x 4 . Ezután deriválás szempontjából már egyszerűbb a helyzet.

f (x)=(x+ x 2 2 x 3 2 x 4 ) = ( x ) + ( x 2 ) 2 ( x 3 ) 2 ( x 4 ) = =1+2x6 x 2 8 x 3 .

Természetesen ugyanaz a végeredmény, mint az előbb. Látjuk, hogy gyakran elő fog fordulni, hogy egy deriválás több úton is elvégezhető.

A továbbiakban az összegek deriváltját, ha a tagok már elemi függvények, a deriválások kijelölése nélkül, közvetlenül felírjuk.

9. feladat: Határozzuk meg az f(x)=( 3x x )( e x +1 ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Most nem célszerű elvégezni a beszorzást, mert a keletkezett szorzatok nem egyszerűsíthetők, és így kétszer is alkalmazni kéne a szorzatfüggvény deriválási szabályát.

f (x)= ( 3x x ) ( e x +1 )+( 3x x ) ( e x +1 ) = =( 3 1 2 x )( e x +1 )+( 3x x ) e x .

Felmerül, hogy az utolsó képletben el kell-e végezni a beszorzásokat. Amikor csak az a feladat, hogy határozzuk meg egy függvény derivált függvényét, a deriválások elvégzése után nem fogjuk a lehetséges összevonásokat elvégezni. Ez így gyorsabb és egyszerűbb. Később, amikor a derivált függvénnyel további számításokat fogunk végezni, más lesz a helyzet.

10. feladat: Határozzuk meg az  f(x)=( tgx+sin30x )( x 3 2 x )  függvény derivált függvényét.

Megoldás: Először is a sin30 egy konkrét szám, konstans, és a 30 radiánban értendő; az analízisben a trigonometrikus függvények argumentuma mindig radiánban van megadva. Így sin30-0.9880316241 , és nem 0.5, amennyi a 30 szinusza. Tehát sin30 deriváltja nulla, továbbá

f (x)= ( tgx+sin30x ) ( x 3 2 x )+( tgx+sin30x ) ( x 3 2 x ) = =( 1 cos 2 x 1 )( x 3 2 x )+( tgx+sin30x )( 1 3 x 2 3 2 x ln2 ).

11. feladat: Határozzuk meg az f(x)= x 2 sinxlgx függvény derivált függvényét.

Megoldás: A függvényünk három tényezős szorzat, de már ismerjük egy ilyen függvény deriváltjára vonatkozó képletet, az alapján

f (x)=( x 2 sinxlgx ) = ( x 2 ) sinxlgx+ x 2 ( sinx ) lgx+ x 2 sinx ( lgx ) = =2xsinxlgx+ x 2 cosxlgx+ x 2 sinx 1 xln10 .

12. feladat: Határozzuk meg az f(x)=( x e x +1 )( x+tgx ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Ebben a feladatban elkerülhetetlen a szorzatfüggvény deriválási szabályának többszöri alkalmazása. Figyeljük meg, ahogyan először csak kijelöljük a szükséges deriválásokat.

f (x)= ( x e x +1 ) ( x+tgx )+( x e x +1 ) ( x+tgx ) = = ( x e x ) ( x+tgx )+( x e x +1 ) ( x+tgx ) = =( ( x ) e x +x ( e x ) )( x+tgx )+( x e x +1 ) ( x+tgx ) .

Ezután már könnyen elvégezhetjük a kijelölt deriválásokat, és azt kapjuk, hogy

f (x)=( e x +x e x )( x+tgx )+( x e x +1 )( 1+ 1 cos 2 x ) .

Ellenőrző kérdések
6. Mi az f(x)=x( sinx+1 ) függvény derivált függvénye?
sinx+xcosx
cosx+1+xcosx
sinx+x+xcosx
sinx+1+xcosx
7. Mi az f(x)=( x 2 2x )( 13 x 2 ) függvény derivált függvénye?
12 x 3 +18 x 2 2x2
12 x 3 +18 x 2 +2x2
12 x 3 +18 x 2 +2x+2
18 x 3 +12 x 2 +2x2
8. Mi az f(x)=( lnxx )( xlnx ) függvény derivált függvénye?
2 2lnx x 2x+2lnx
2 lnx x 2x+2lnx
2 2lnx x 2x+lnx
2 2lnx x x+2lnx
9. Mi az f(x)=( x +2 )( x 2 1 ) függvény derivált függvénye?
5 x 3 2 1 2 x +4x
5 x 3 2 1 x +4x
5 x 3 2 1 2 x +2x
5 x 3 2 + 1 2 x 4x
10. Mi az f(x)=(2x+1) x 4 (1 x 2 ) függvény derivált függvénye?
4 x 3 +10 x 4 +6 x 5 14 x 6
4 x 3 +10 x 4 6 x 5 +14 x 6
4 x 3 +10 x 4 6 x 5 14 x 6
4 x 3 10 x 4 6 x 5 14 x 6
11. Mi az f(x)=(3x1)(xlnx+2) függvény derivált függvénye?
. 6xlnxlnx+5+2x
6xlnxlnx+5+3x
6xlnxlnx5+3x
6lnxxlnx+5+3x
Kidolgozott feladatok

13. feladat: Határozzuk meg az f(x)= 2x 3x+1 függvény derivált függvényét.

Megoldás: A törtfüggvény deriválási szabályát kell alkalmazni:

f (x)= ( 2x 3x+1 ) = ( 2x ) ( 3x+1 )( 2x ) ( 3x+1 ) ( 3x+1 ) 2 = = 2( 3x+1 )( 2x )3 ( 3x+1 ) 2 = 2 ( 3x+1 ) 2 .

Figyeljük meg, hogy a számlálóban elvégeztük az összevonásokat, de a nevezőben a négyzetre emelést nem, ezt máskor sem fogjuk elvégezni, csak ha egytagú a nevező, így jobban kezelhető a kapott formula.

14. feladat: Határozzuk meg az f(x)= 3 x +1 függvény derivált függvényét.

Megoldás: A konstans számlálójú törteket, mint hamarosan látni fogjuk, gyakran célszerűbb összetett függvényként deriválni. De persze lehet törtként is, mint most is.

f (x)= ( 3 x +1 ) = ( 3 ) ( x +1 )3 ( x +1 ) ( x +1 ) 2 = = 0( x +1 )3 1 2 x ( x +1 ) 2 = 3 2 x ( x +1 ) 2 .

Általában is

( 1 g(x) ) = g (x) g 2 (x) .

15. feladat: Számoljuk ki f (1) értékét, ha f(x)= 1 x+1 + x+1 x 2 .

Megoldás: Először meghatározzuk f derivált függvényét, majd vesszük annak a helyettesítési értékét az 1 helyen. Hogy ne kelljen kétszer alkalmazni a tört deriválási szabályt közös nevezőre hozzuk a függvényünk: f(x)= x 2 + ( x+1 ) 2 (x+1) x 2 = 2 x 2 +2x+1 x 3 + x 2 . Most már a derivált

f (x)= ( 2 x 2 +2x+1 x 3 + x 2 ) = ( 2 x 2 +2x+1 ) ( x 3 + x 2 )( 2 x 2 +2x+1 ) ( x 3 + x 2 ) ( x 3 + x 2 ) 2 = = ( 4x+2 )( x 3 + x 2 )( 2 x 2 +2x+1 )( 3 x 2 +2x ) ( x 3 + x 2 ) 2 = = 4 x 4 +2 x 3 +4 x 3 +2 x 2 ( 6 x 4 +6 x 3 +3 x 2 +4 x 3 +4 x 2 +2x ) ( x 3 + x 2 ) 2 = = 2 x 4 4 x 3 5 x 2 2x x 4 ( x+1 ) 2 = 2 x 3 4 x 2 5x2 x 3 ( x+1 ) 2 .

Ebből pedig f (1)= 13 4 .

16. feladat: Számoljuk ki g (2) értékét ha f(2)=1 , f (2)=2 , és g(x)= 2x+1 f(x) .

Megoldás: A g deriváltjával kezdünk:

g (x)= ( 2x+1 f(x) ) = ( 2x+1 ) f(x)( 2x+1 ) f (x) f 2 (x) = 2f(x)( 2x+1 ) f (x) f 2 (x)

Ebből pedig a keresett helyettesítési érték

g (2)== 2f(x)( 2x+1 ) f (x) f 2 (x) = 2( 1 )52 ( 1 ) 2 =12.

17. feladat: Legyen h(x)= f(x)+1 g(x)1 . Számoljuk ki h (1) értékét, ha f(1)=1 , f (1)=2 és g(1)=2 , g (1)=1 .

Megoldás: Mivel h (x)= ( f(x)+1 g(x)1 ) = f (x)( g(x)1 )( f(x)+1 ) g (x) ( g(x)1 ) 2 , azt kapjuk, hogy

h (1)= 2( 3 )2( 1 ) ( 3 ) 2 = 4 9 .

Ellenőrző kérdések
12. Mi az f(x)= x1 x+1 függvény derivált függvénye?
2 ( x+1 ) 2
2 x 2 +1
2 x 2 1
2 ( x+1 ) 2
13. Mi az f(x)= 2 1 x függvény derivált függvénye?
1 x ( 1 x ) 2
x ( 1 x ) 2
x ( 1 x ) 2
1 x ( 1 x ) 2
14. Mennyi f (0) értéke, ha f(x)= x e x +x ?
0
1
-1
2
15. Mennyi g (1) értéke ha f(1)=1 , f (1)=2 , és g(x)= f(x) f(x)+x .
1 2
1 4
1 4
3 4
16 Legyen h(x)= f(x)+x g(x)+1 . Számoljuk ki h (1) értékét, ha f(1)=1 , f (1)=2 és g(1)=2 , g (1)=2 .
5 9
4 9
4 9
5 9
Kidolgozott feladatok

18. feladat: Határozzuk meg az h(t)= ( 2t1 ) 2 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Vegyük észre, hogy h(t) összetett függvény: h(t)=g(f(t)) , ha f(t)=2t1 és g(t)= t 2 . Ezzel a választással f (t)=2 , g (t)=2t . Ezért az összetett függvény deriválási szabály alapján

h (t)= ( g(f(t)) ) = g (f(t)) f (t)= =2f(t)2=2( 2t1 )2=8t4.

19. feladat: Határozzuk meg az h(x)= 1 x 2 függvény derivált függvényét.

Megoldás: h(x) most is összetett függvény, hiszen h(x)=g(f(x)) , ha f(x)=1 x 2 , és g(x)= x . Tudjuk, hogy f (x)=2x és g (x)= 1 2 x . Így tehát

h (x)= ( g(f(x)) ) = g (f(x)) f (x)= = 1 2 f(x) ( 2x )= 2x 2 1 x 2 = x 1 x 2 .

20. feladat: Határozzuk meg az h(x)=sin( x 2 x ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: h(x) ismét h(x)=g(f(x)) szerkezetű összetett függvény az f(x)= x 2 x , g(x)=sinx választással. Mivel f (x)=2x1 és g (x)=cosx , azt kapjuk, hogy

h (x)= ( g(f(x)) ) = g (f(x)) f (x)= =cos(f(x))( 2x1 )=cos( x 2 x )( 2x1 ).

21. feladat: Határozzuk meg az h(x)=ln( x+ x ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Most h(x)=g(f(x)) , ha f(x)=x+ x és g(x)=lnx . De mint tudjuk f (x)=1+ 1 2 x , továbbá g (x)= 1 x . Ezeket felhasználva

h (x)= ( g(f(x)) ) = g (f(x)) f (x)= = 1 f(x) ( 1+ 1 2 x )= 1 x+ x ( 1+ 1 2 x ).

22. feladat: Határozzuk meg az h(x)= 1 ( x 3 2 x ) 2 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Ahogy említettük, a konstans számlálójú törteket célszerűbb összetett függvényként deriválni. Ennek érdekében átírjuk a függvényünket

h(x)= 1 ( x 3 2 x ) 2 = ( x 3 2 x ) 2

alakba. Innen leolvasható, hogy h(x)=g(f(x)) szerkezetű összetett függvény az f(x)= x 3 2 x , g(x)= x 2 választással. Ekkor f (x)=3 x 2 + 2 x 2 , és g (x)=2 x 3 = 2 x 3 . Ezek alapján

h (x)= g (f(x)) f (x)= = 2 ( f(x) ) 3 ( 3 x 2 + 2 x 2 )= = 2 ( x 3 2 x ) 3 ( 3 x 2 + 2 x 2 ).

23. feladat: Legyen h(x)= ( x 2 2x ) 12 . Milyen x-re lesz h (x)=0 ?

Megoldás: Az összetett függvény deriválási szabályát addig célszerű gyakorolni, hogy a kompozíció tényezőinek felírására már ne is legyen szükség. Most például a következőt kapjuk:

h (x)= ( ( x 2 2x ) 12 ) =12 ( x 2 2x ) 11 ( x 2 2x ) = =12 ( x 2 2x ) 11 ( 2x2 ).

Most még kicsit átalakítjuk h (x) képletét, hogy a gyökeit könnyen leolvashassuk.

h (x)=12 ( x 2 2x ) 11 ( 2x2 )= 12 ( x( x2 ) ) 11 2( x1 )= =24 x 11 ( x2 ) 11 ( x1 ).

Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője az, azt kapjuk, hogy h (x)=0 , ha x=0 , vagy x=2 , vagy x=1 . Mivel a h függvény mindenütt értelmezve van, mind a három szám megoldás. (A nulla és a kettő tizenegyszeres gyök, az egy egyszeres.)

24. feladat: Legyen h(x)= ln 2 ( x 2 1 ) . Milyen x-re lesz h (x)=0 ?

Megoldás: Kezdjük a derivált függvénnyel. Mivel

h (x)=2ln( x 2 1 ) ( x 2 1 ) = =2ln( x 2 1 )2x=4xln( x 2 1 ).

Tudjuk, hogy ln1=0 , így ennek a szorzatnak három gyöke van: a 2 , a nulla és a 2 . De azt is tudjuk, hogy a derivált függvény értelmezési tartománya, a definíció alapján, az eredeti függvény értelmezési tartományának részhalmaza. Akkor is, ha a derivált képletének lehetséges legbővebb értelmezési tartománya ennél bővebb.

Mivel a h függvény nincs értelmezve a nullában, ezért a feladat kérdésére az a válasz, hogy h (x)=0 , ha x=± 2 .

25. feladat: Határozzuk meg az s(x)= ln( 12 x 3 ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Ez a függvény egy háromszorosan összetett függvény: s(x)=h(g(f(x))) , ha h(x)= x , g(x)=lnx , és f(x)=1 x 3 . Ezeknek a deriváltja rendre:

h (x)= 1 2 x , g (x)= 1 x , f (x)=3 x 2 .

A láncszabály alapján s (x)= h (g(f(x))) g (f(x)) f (x) . Vegyük azt is figyelembe, hogy, leolvasva az s képletéről, g(f(x))=ln( 1 x 3 ) . Ezek alapján:

s (x)= h (g(f(x))) g (f(x)) f (x)= = 1 2 g(f(x)) 1 f(x) f (x)= = 1 2 ln( 1 x 3 ) 1 1 x 3 ( 3 x 2 ).

Figyeljük meg, hogy az utolsó képletben zárójelbe tettük a 3 x 2 tényezőt. Ha ezt nem tettük volna, és a pontot sem írtuk volna ki, amit amúgy nem is kötelező, a képlet hibás lenne.

26. feladat: Határozzuk meg az s(x)=sin( e x x ) függvény derivált függvényét.

Megoldás: Most is egy háromszorosan összetett függvénnyel van dolgunk, persze újra a láncszabályt fogjuk alkalmazni. Mivel ( sinx ) =cosx , ( x ) = 1 2 x , és végül ( e x x ) = e x 1 , kapjuk, hogy

s (x)=cos( e x x )( 1 2 e x x )( e x 1 ) .

27. feladat: Legyen f(x)=2 x 3 + x 2 6x3 . Határozzuk meg f (x) -et.

Megoldás: Először meghatározzuk az f (x) derivált függvényt.

f (x)= ( 2 x 3 + x 2 6x3 ) = =6 x 2 +2x6.

Ezt felhasználva

f (x)= ( f (x) ) = = ( 6 x 2 +2x6 ) = =12x+2.

28. feladat: Legyen f(x)= x 2 cos(2x) . Határozzuk meg f (x) -et.

Megoldás: Most, a szorzat deriválási szabályát alkalmazva,

f (x)= ( x 2 cos(2x) ) = = ( x 2 ) cos(2x)+ x 2 ( cos(2x) ) = =2xcos(2x)+ x 2 ( sin(2x)2 )= =2xcos(2x)2 x 2 sin(2x).

Ez alapján, még kétszer alkalmazva a szorzat deriválási szabályát, és elvégezve a lehetséges összevonásokat

f (x)= ( 2xcos(2x)2 x 2 sin(2x) ) = =( 2 x )cos(2x)+2x ( cos(2x) ) [ ( 2 x 2 ) sin(2x)+2 x 2 ( sin(2x) ) ]= =2cos(2x)+2x( sin(2x)2 )[ 4xsin(2x)+2 x 2 cos(2x)2 ]= =2cos(2x)4xsin(2x)4xsin(2x)4 x 2 cos(2x)= =( 24 x 2 )cos(2x)8xsin(2x).

Ellenőrző kérdések
17. Mi az h(x)= ( 13x ) 3 függvény derivált függvénye?
9 ( 13x ) 2
9 ( 13x ) 3
9 ( 13x ) 2
9( 13x )
18. Mi az h(x)= x 2 2x függvény derivált függvénye?
2x1 x 2 2x
2x2 x 2 2x
x1 2 x 2 2x
x1 x 2 2x
19. Mi az h(x)=cos( xsinx ) függvény derivált függvénye?
( 1cosx )sin( xsinx )
( 1cosx )sin( x+sinx )
( 1cosx )sin( xsinx )
( 1+cosx )sin( xsinx )
20. Mi az h(x)=ln( 1 x x ) függvény derivált függvénye?
1 x 2 1 1 x x
1 x 2 1 1 x x
( 1 x 2 1 ) 1 x x
( 1 x 2 1 ) 1 x x
21. Mi az h(x)= 1 x e x x 2 függvény derivált függvénye?
e x x e x +2x ( x e x x 2 ) 2
e x x e x +2x ( x e x x 2 ) 2
e x x e x 2x ( x e x x 2 ) 2
x e x +2x ( x e x x 2 ) 2
22. Legyen h(x)= ( 2 x 3 +3 x 2 ) 3 . Milyen x-re lesz h (x)=0 ?
1 , 0, 3 2
3 2 , 1 , 0
0, 1, 3 2
3 2 , 0, 1
23. Legyen h(x)= 2x x 2 +1 . Milyen x-re lesz h (x)=0 ?
1 , 1
1 , 0
0, 1
1 , 0, 1
24. Mi az s(x)= cos 2 ( x 2 ) függvény derivált függvénye?
4cos( x 2 ) sin 2 ( x )x
4 cos 2 ( x )sin( x 2 )x
4cos( x 2 )sin( x 2 )x
2cos( x 2 )sin( x 2 )x
25. Mi az s(x)= e x 2 1 függvény derivált függvénye?
e x 2 1 x x 2 1
x 2 e x 2 1 2 x 2 1
x e x 2 1 x 2 1
x e x 2 1 2 x 2 1
26. Legyen f(x)= x 2 e x . Mi f második deriváltja?
( x 2 +4x2 ) e x
( x 2 4x+2 ) e x
( x 2 4x2 ) e x
( x 2 +4x+2 ) e x
27. Legyen f(x)=( x 2 +1 ) x 3 4 . Mi f második deriváltja?
1 16 ( 77 x 2 3 ) x 5 4
16( 77 x 2 3 ) x 5 4
1 16 ( 77 x 2 +3 ) x 5 4
1 16 ( 77 x 2 3 ) x 5 4