KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: IV. modul: Számsorozatok

9. lecke: Műveletek konvergens és tágabb értelemben vett konvergens sorozatokkal, Végtelen geometriai sor

Tanulási cél: Konvergens és tágabb értelemben vett konvergens sorozatokkal végzett műveletek megismerése, és ezek segítségével határérték meghatározása. Végtelen geometriai sor megismerése és alkalmazása pénzügyi számításoknál.

Motivációs feladat

Most már ismerjük a sorozat határértékének fogalmát és néhány nevezetes határértéket. Ezek ismeretében próbáljunk meg megadni a határértékét az alábbi sorozatnak.

a n =2+ 1 n 2 1 n

Ha n nagyon nagy, a törtek értékei nagyon kicsik, tehát a sorozat 2-höz közeli értékeket vesz fel. Úgy tűnik, hogy a határérték a tagok határértékeinek összege. Vajon általában is igaz lehet, hogy konvergens sorozatok összegénél a határértékek összeadódnak?

Elméleti összefoglaló

A sejtés valóban igaz. Ha konvergens sorozatokkal műveleteket hajtunk végre, akkor a határértékekre az alábbi tételeket mondhatjuk ki.

Tétel: Ha a n A , b n B , valamint A és B tetszőleges valós számok, akkor

1. lim n ( a n ± b n )=A±B
2. lim n ( a n b n )=AB
3. lim n a n b n = A B , ha B0
4. lim n a n k = lim n a n k , ha a n 0 és k=2;3;

Megjegyzés: Szemléletesen úgy fogalmazhatók meg a tételek, hogy ha konvergens sorozatokkal műveleteket végzünk, akkor a határértékekkel ugyanazokat a műveleteket végezzük el. Ha a számolás elvégezhető (0-val nem tudunk osztani), akkor készen vagyunk.

Hasonló tételek igazak a tágabb értelemben vett konvergencia esetén is, de bizonyos esetekben a határérték nem adható meg ilyen egyszerűen.

Tételek: Legyen c n és d n . Ekkor a következő tételek érvényesek:

1. lim n ( c n + d n )=+=
2. lim n ( c n d n )==?
3. lim n c n · d n ==
4. lim n c n d n = =?
5.Legyen a n Aés c n , akkor lim n ( c n ± a n )=±A=
6.Legyen a n Aés c n , akkor lim n ( a n c n )=A=
7.Legyen A , akkor A c n { haA>0 0 haA=0 haA<0
8.Legyen a n Aés c n , ekkor a n c n { haA>0 ? haA=0 haA<0
9.Ha a n 0 , akkor 1 a n { ha a n >0mindenn-re ha a n <0mindenn-re
10.Ha a n , ekkor valós szám a n valós szám =0

Gyűjtsük össze azon eseteket, amikor a határértékről semmit nem tudunk mondani. Ilyenek például rövid jelöléssel a , 0 0 0 ,  ,  ± ± . A kritikus esetekben a sorozatokat valamilyen azonos átalakítással nem kritikus típusban visszük át, és ezután határozzuk meg a határértékeket.

Kidolgozott feladatok

1. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

a n =6 ( 1+ 8 n ) 100 7 ( 8 3 ) n

Megoldás: Használjuk fel az ismert nevezetes határértékeket és határérték tételeket.

Mivel 1+ 8 n 1 , akkor ( 1+ 8 n ) 100 1 100 =1 .

Másrészt mivel 8 3 >1 , ezért ( 8 3 ) n .

lim n ( 6 ( 1+ 8 n ) 100 7 ( 8 3 ) n )=6 1 100 7=6=

2. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

a n = ( 1+ 3 n ) n + ( 1 2 ) n

Megoldás: Használjuk fel, hogy

lim n ( 1+ a n ) n = e a lim n ( 1+ 3 n ) n = e 3

Másrészt mivel | 1 2 |<1 , ezért ( 1 2 ) n 0 .

lim n ( ( 1+ 3 n ) n + ( 1 2 ) n )= e 3 +0= e 3

3. feladat: Határozza meg az alábbi határértékét!

lim n ( ( 1+ 5 n ) n + n 0.5 )=

Megoldás: Alakítsuk ki a nevezetes határértékeket, majd alkalmazzuk a megfelelő határérték tételt!

lim n ( ( 1+ 5 n ) n + n 0.5 )= lim n ( 1 ( 1+ 5 n ) n + 1 n )= 1 e 5 +0= 1 e 5 = e 5

4. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n (3 n 4 + 7 n 5 4 3 n 2 )=

Megoldás: Egy polinom határértékét kell meghatározni. Keressük meg n-nek a legmagasabb fokszámú hatványát, majd emeljük ki. A kialakított szorzatban tényezőnként olvassuk le a határértékeket és alkalmazzuk a megfelelő határérték tételt.

= lim n (3 n 4 + 7 n 5 4 3 n 2 )= lim n n 5 ( 3 n + 7 4 3 1 n 3 )=· 7 =

Megjegyzés: Egy polinom határértékét mindig n-nek a legmagasabb fokszámú kifejezése határozza meg. Ha együtthatója pozitív, akkor a polinom plusz végtelenbe tart, ha negatív, akkor mínusz végtelenbe. Így egy polinom határértéke ránézésre leolvasható.

5. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 5 n 4 2 n 2 +1 =

Megoldás: Ebben az esetben nem egy egyszerű polinom határértékét szeretnénk eldönteni, hanem annak egy gyökös kifejezését. Használjuk az előző módszert! A gyökön belül emeljük ki n-nek a legmagasabb kitevőjű hatványát, majd a szorzattá alakítás után tényezőnként vonjunk gyököt!

lim n 5 n 4 2 n 2 +1 = lim n n 4 ( 5 2 n 2 + 1 n 4 ) = lim n n 2 5 2 n 2 + 1 n 4 =

Tényezőnként olvassuk le a határértékeket, és képezzük ezek szorzatát!

= lim n n 2 5 2 n 2 + 1 n 4 = 5 =

Megjegyzés: Vigyázzunk nagyon a különböző gyökös kifejezésekkel! Ha gyök alatt összeg vagy különbség áll, nem szabad tagonként gyököt vonni. Ismerni kell ezenkívül a gyökös kifejezések hatvánnyá való átírását, illetve fordítva. Hol az egyik, hol a másik alak a célravezető.

6. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 2+n n 4 5 =

Megoldás: Először a gyökön belül emeljük ki n legmagasabb hatványát, majd vonjunk tényezőnként gyököt!

lim n 2+n n 4 5 = lim n n 4 ( 2 n 4 + 1 n 3 1 ) 5 = lim n n 4 5 2 n 4 + 1 n 3 1 5 =

Az első gyökös kifejezést írjuk fel hatvány alakban, majd olvassuk le tényezőnként a határértékeket. Az első tényezőben n hatványkitevője egy pozitív szám, így

= lim n n 4 5 2 n 4 + 1 n 3 1 5 = 1 5 =( 1 )=

7. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n n 2 +3n5 6 n 2 +7n15 =

Megoldás: Vizsgáljuk meg külön a számláló és a nevező határértékét.

lim n n 2 +3n5 6 n 2 +7n15 =

Ez egy kritikus eset, ebből az alakból még nem tudjuk leolvasni a határértéket. Mind a számlálóban mind a nevezőben emeljük ki a n legmagasabb kitevőjű hatványait, azaz az n 2 -et. Az egyszerűsités után olvassuk le a számlálóban és a nevezőben a határértékeket, és alkalmazzuk a határérték tételeket:

lim n n 2 +3n5 6 n 2 +7n15 = lim n n 2 ( 1+ 3 n 5 n 2 ) n 2 ( 6+ 7 n 15 n 2 ) = lim n n 2 n 2 1+ 3 n 5 n 2 6+ 7 n 15 n 2 =

= lim n 1 1+ 3 n 5 n 2 6+ 7 n 15 n 2 =1 1+00 6+00 = 1 6

8. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 3 n 2 11 n 3 n+11 4+7 n 2 =

Megoldás: Vizsgáljuk meg a számláló és a nevező határértékét.

lim n 3 n 2 11 n 3 n+11 4+7 n 2 =

Egy kritikus esetet kell vizsgálni. Most is emeljük ki a számlálóban és a nevezőben is n legmagasabb kitevőjű hatványait, majd az előzőekhez hasonlóan próbáljunk meg egyszerűsíteni!

lim n 3 n 2 11 n 3 n+11 4+7 n 2 = lim n n 3 ( 3 n 11 1 n 2 + 11 n 3 ) n 2 ( 4 n 2 +7 ) = lim n n 3 n 2 3 n 11 1 n 2 + 11 n 3 4 n 2 +7 =

Most az n-es tagok nem ejtik ki egymást, egy két tényezős szorzat alakult ki. Tényezőként olvassuk le a határértékeket.

= lim n n 3 n 11 1 n 2 + 11 n 3 4 n 3 +7 = 0110+0 0+7 =( 11 7 )=

9. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n ( n 2 +1)(2n+3) n 2 (3n1) 2 =

Megoldás: Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket a számlálóban és a nevezőben is, akkor két polinom hányadosának határértékét kell meghatározni.

lim n ( n 2 +1)(2n+3) n 2 (3n1) 2 = lim n 2 n 3 +3 n 2 +2n+3) n 2 (9 n 2 6n+1) =

Most már az előzőekhez hasonlóan járjunk el.

= lim n 2 n 3 +3 n 2 +2n+3 9 n 4 6 n 3 + n 2 = =

Kritikus esetet vizsgálunk, emeljük ki a n legmagasabb kitevőjű hatványát külön a számlálóban, külön a nevezőben, alakítsunk ki két tényezős szorzatot, ha lehet egyszerűsítsünk.

= lim n n 3 n 4 2+ 3 n + 2 n 2 + 3 n 3 9 6 n + 1 n 2 = lim n 1 n 2+ 3 n + 2 n 2 + 3 n 3 9 6 n + 1 n 2 =

Az első tényező 0-hoz, a második 2 9 -hez, így a határérték 0.

= lim n 1 n 2+ 3 n + 2 n 2 + 3 n 3 9 6 n + 1 n 2 =0 2+0+0+0 90+0 =0 2 9 =0

Megjegyzés: Az előző feladatok azonos jellegűek voltak. Olyan kifejezések határértékét kerestük, melyekben polinomot polinommal osztottunk, s a határérték típusa volt. Ilyenkor célszerű n-nek a legmagasabb kitevőjű hatványát kiemelni mind a számlálóban, mind a nevezőben, majd egyszerűsíteni. Az átalakítás után már csak olyan kifejezések szerepelnek, amelyeknek külön-külön már ismerjük a határértékét. Végül alkalmazni kell a megfelelő határérték tételeket.

10. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 3n+4 1+7 n 2 =

Megoldás: A tört gyököt tartalmaz. Számlálóban emeljük ki n-et, a nevezőben először emeljük ki a gyökön belül n 2 -t, majd tényezőnként vonjunk gyököt! Az egyszerűsítés után már tudunk határértéket számolni.

lim n 3n+4 1+7 n 2 = lim n n( 3+ 4 n ) n 2 ( 1 n 2 +7 ) = lim n n n 3+ 4 n 1 n 2 +7 = lim n 3+ 4 n 1 n 2 +7 = 3 7

11. feladat: Határozza meg az a n = 4 n 6 n sorozat határértékét!

Megoldás: A feladat típusú. Az egynél nagyobb alapú exponenciális kifejezéseknél a nagyobb alapú exponenciálist kell kiemelni.

lim n ( 4 n 6 n )= lim n 6 n ( 4 n 6 n 1 )= lim n 6 n ( ( 4 6 ) n 1 )=( 01 )=

Felhasználva, hogy ( 4 6 ) n 0 , mivel | 4 6 |<1 .

12. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 7 3 n1 +4 52 3 n+2 =

Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározni, amelyben exponenciális kifejezések vannak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a nevező.

lim n 7 3 n1 +4 52 3 n+2 = +4 5 =

Kritikus esetet kell vizsgálni. Ahhoz, hogy ki tudjunk emelni, hatványozás azonosságait felhasználva alakítsuk ki 3 n számszorosát, úgy hogy a kitevőben csak n legyen.

lim n 7 3 n1 +4 52 3 n+2 = lim n 7 3 1 · 3 n +4 52 3 2 · 3 n =

Most már kiemelhetjük a számlálóban és nevezőben külön-külön a legnagyobb alapú exponenciális alakot. Ha lehet egyszerűsítsünk.

= lim n 7 3 · 3 n +4 518· 3 n = lim n 3 n 3 n 7 3 + 4 3 n 5 3 n 18 = lim n 7 3 + 4 3 n 5 3 n 18 = 7 3 18 = 7 54

13. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 7 n+2 + 4 n+1 18 5 n+1 =

Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározni, amelyben exponenciális kifejezések vannak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a nevező.

lim n 7 n+2 + 4 n+1 18 5 n+1 =

Kritikus esetet kell vizsgálni. Ahhoz, hogy ki tudjunk emelni, hatványozás azonosságait felhasználva érjük el, hogy a kitevőkben csak n legyen.

lim n 7 n+2 + 4 n+1 18 5 n+1 = lim n 7 2 7 n +4 4 n 185· 5 n =

Most már kiemelhetjük a számlálóban és nevezőben külön-külön a legnagyobb alapú exponenciális alakot. Ha lehet egyszerűsítsünk.

lim n 7 n ( 49+4 4 n 7 n ) 5 n ( 1 5 n 40 ) = lim n 7 n 5 n 49+4 ( 4 7 ) n 5 ( 1 5 ) n 40 =

Nem tudunk úgy egyszerűsíteni, mint az előző feladatnál megtettük. Két tényezős szorzat alakult ki, ahol az első tényező végtelenbe tart, mivel az exponenciális kifejezés alapja egy 1-nél nagyobb szám.

= lim n ( 7 5 ) n 49+4 ( 4 7 ) n 5 ( 1 5 ) n 40 = 49+40 5040 =( 49 40 )=

Ellenőrző feladatok
1. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
a n =2 ( 9 11 ) n 4 ( 13 9 ) n + ( 0,2 ) n
0
2
-4
2. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n ( 3+ 5 n 3 + n 2 )=
0
3
5
3. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n (3+5 n 2 11 n 3 )=
3
8
4. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 12 n 6 +n2 =
12
13
5. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 314n 7n15 =
3 7
-2
1 5
2
6. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 3+n5 n 2 1+2n n 2 =
3
-3
5
-5
7. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 3n5 2 n 2 +7 =
1,5
5 7
-2,5
0
8. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 14 n 4 4 n 2 5n n 2 7 n 3 2 =
14
-4
0
9. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n (4n+1)(5n2) (n+3) 2 =
4
5
20
0
10. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 3n+1 10+4 n 2 =
0
0,3
1,5
11. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 9 4 n2 +1 4 n+1 3 =
9 64
9
1 3
4,5
Elméleti összefoglaló

Legyen a n egy tetszőleges valós számsorozat. Ha a sorozat tagjait összeadjuk egy végtelen összeget kapunk, amit végtelen sornak nevezünk.

Nézzünk néhány nevezetes sort.

Ha a n = 1 n , akkor belőle előállítható sor:

1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + (harmonikus sor)

Ha a n = 1 n 2 , akkor belőle előállítható sor:

1+ 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + 1 49 + 1 64 + (hiperharmonikus sor)

Definíció: Az a n sorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha a n =a q n1 , ahol n természetes szám és q-t a mértani sorozat kvóciensének nevezzük.

Definíció: Ha a n =a q n1 egy mértani sorozat, akkor a belőle képezhető sort geometriai sornak (másnéven mértani sornak) nevezzük.

A geometriai sor általános alakja:

a+a·q+a· q 2 +a· q n1 += k=1 a· q n1 , ahol q0, a0

Definíció: Az a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + tetszőleges végtelen sor n-edik részletösszegének nevezzük az S n = a 1 + a 2 + a 3 ++ a n = k=1 n a k  összeget. A sorhoz rendelhető részletösszegek egy sorozatot alkotnak.

Példa: Harmonikus sorra írjuk fel a részletösszegek sorozatának első 5 tagját.

Az első részletösszeg a sor első tagjából áll. A második részletösszeg a sor első két tagjának az összege. A harmadik részletösszeg a sor első három tagjának az összege és így tovább.

S 1 =1    S 2 =1+ 1 2    S 3 =1+ 1 2 + 1 3    S 4 =1+ 1 2 + 1 3 + 1 4    S 5 =1+  1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5

A hiperharmonikus sor 8. részletösszege a sor első 8 tagjának az összege.

S 8 =1+ 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + 1 49 + 1 64

A geometriai sor n. részletösszege a sor első n tagjának az összege.

S n = a 1 + a 1 ·q+ a 1 · q 2 + a 1 · q n1

A felírt példák alapján látszik, hogy ha n növekszik, a részletösszegek sorozata a sor egyre több és több tagját tartalmazza. Így, ha a részletösszegek S n sorozatának van határértéke, akkor azt indokolt a sor összegének tekinteni.

Definíció: Ha egy tetszőleges sornál a részletösszegek S n sorozatának van véges határértéke, akkor azt a sor összegének nevezzük. Ilyenkor a sort konvengensnek mondjuk. Ha a részletösszegek sorozatának nincs véges határértéke, akkor a sort divergensnek nevezzük.

Tétel: A harmonikus sor divergens, a hiperharmonikus sor pedig konvergens.

A geometriai sor egy kivételes esetbe tartozik. A részletösszegek S n sorozatának határértéke a q kvóciens értékétől függ.

Tétel: A k=1 a q k1 geometriai sor esetén a részletösszegek S n sorozata felírható a következő alakban:

S n =a q n 1 q1 , ahol q1 . Ha q=1 , akkor S n =a+a++a=na .

Innen látható, hogy S n határértékét q n határértéke dönti el. Az utóbbinak tudjuk, hogy csak akkor van véges határértéke, ha | q |<1 .

Tétel: A k=1 a q k1 geometriai sor konvergens, ha | q |<1 teljesül, ekkor a sor összege: S= a 1q .

Ha | q |1 , akkor a geometriai sor divergens.

Példa: Egy bankba beteszünk T Ft-ot évi 6% kamatlábbal. Kamatos kamattal számolva mennyi pénzünk lesz az első, második, harmadik és n. év végén?

Az első év végén fog először kamatozni a pénzünk. A második év végén másodszor, harmadik év végén harmadszor, akkor n. év végén n alkalommal.

T 1 =T·1,06        T 2 =T· 1,06 2        T 3 =T· 1,06 3       T n =T· 1,06 n .

Jól látható, hogy az n. év végén felvehető összeg: T n =T 1,06 n mértani sorozattal adható meg.

Példa: Ha 4 évig minden év elején beteszünk a bankba T összeget, akkor mennyi pénz lesz a számlánkon a 4. év végén? Az éves kamatláb legyen most is 6%.

Valójában az előbbi mértani sorozat első négy tagjának összegére vagyunk kíváncsiak.

T·1,06 +T· 1,06 2 +T· 1,06 3 +T· 1,06 4

Példa: Ha 4 évig minden hónap elején beteszünk a bankba T összeget, akkor mennyi pénz lesz a számlánkon a 4. év végén? Az éves kamatláb legyen most is 6% és vegyük azt az esetet, amikor a bank havonta tőkésít.

A számoláshoz szükségünk van a tőkésítések számára, ami most 412=48 és a havi kamatlábra, ami pedig az éves kamatláb 1 hónapra eső időarányos része, azaz

p = havi 6 12 =0,5% .

Az első alkalommal befizetett összeget a 48 hónap alatt 48-szor tőkésítik, a második befizetett összeget 47-szer és így tovább. A utolsó összeget csak egyszer tőkésítik. Így egy 48 tagból álló összeget kellene kiszámolni.

T 1,005 1 +T 1,005 2 ++T 1,005 47 +T 1,005 48

Az összeg valójában egy geometriai sor 48. részletösszege, ahol az első tag a=T1,005 és q=1,005 .

S 48 =T 1,005 1 +T 1,005 2 ++T 1,005 47 +T 1,005 48 =T1,005 1,005 48 1 1,0051 =T54,368

Kidolgozott feladatok

14. feladat: Írja fel a k=1 8 ( 5 2 ) k sor 3. és n. részletösszegét!

Megoldás: Egy sor harmadik részletösszeg a sor első három tagjának, az n. pedig az első n tagjának összege.

S 3 = k=1 3 8 ( 5 2 ) k =8( 5 2 )+8 ( 5 2 ) 2 +8 ( 5 2 ) 3 =20+50+125=195

S n = k=1 n 8 ( 5 2 ) k =8( 5 2 )+8 ( 5 2 ) 2 +8 ( 5 2 ) 3 ++8 ( 5 2 ) n

15. feladat: Döntse el, hogy a k=1 8 ( 5 2 ) k sor konvergens-e! Ha igen, adja meg a sor összegét!

Megoldás: Az előző feladatban már felírtuk a sor első pár tagját. Jól látható, hogy ez egy geometriai sor, amelynek a kvóciense 5 2 . Ha a geometriai sor kvóciense pedig nagyobb, mint 1, akkor a sor nem konvergens.

16. feladat: Döntse el, hogy a k=1 5 3 k1 sor konvergens-e! Ha igen, adja meg a sor összegét!

Megoldás: Ha észrevesszük, hogy a sor átírható a következő alakba k=1 5 3 k1 = k=1 5 ( 1 3 ) k1 , akkor azonnal látható, hogy ez egy egyszerű geometriai sor. A konvergenciához elegendő megnézni a kvócienst. Mivel a q= 1 3 , amire teljesül a | 1 3 |<1 feltétel, így a sor konvergens. Az összeg számolásához szükségünk van még az első tagra. Most a=5 , így az összeg:

S= a 1q = 5 1 1 3 = 5 2 3 = 15 2 =7,5

17. feladat: Döntse el, hogy a k=1 ( 2 5 ) k sor konvergens-e! Ha igen adja meg a sor összegét!

Megoldás: Írjuk fel a sor pár tagját:

k=1 ( 2 5 ) k = 2 5 + 4 25 8 125 + 16 625

Ez egy geometriai sor, a konvergencia eldöntéséhez elegendő a kvócienst vizsgálni. Most q= 2 5 , amelyre teljesül, hogy | 2 5 |<1 , ezért a sor konvergens. Olvassuk le a sor első tagját: a= 2 5 . Most már számolhatjuk az összeget:

S= a 1q = 2 5 1+ 2 5 = 2 5 7 5 = 2 7

Ellenőrző feladatok
12. Az alábbi sorok között hány geometriai sor van?
k=1 ( 3 4 ) k        k=1 2 n         k=1 4 n 2         k=1 ( 3 ) k
1
2
3
4
13. Írja fel a k=1 4 2k+1 sor 6. részletösszegét!
4 3 + 4 5 + 4 7 + 4 9 + 4 11 + 4 13 =3,82
4 3 + 4 5 + 4 7 + 4 9 + 4 11 + 4 13 + 4 15 =4,087
4 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 =9,8
4 3 + 4 5 + 4 7 + 4 9 + 4 11 =3,51
14. Konvergens-e a k=1 2 ( 7 9 ) k1 sor! Ha igen adja meg a sor összegét!
konvergens és a sor összege 9
konvergens és a sor összege 4,5
divergens és a sor összege 4,5
divergens, a sornak nincs véges összege
15. Az alábbi geometriai sorok között hány konvergens sor van?
k=1 5 4 ( 2 9 ) k1       k=1 ( 6 5 ) k        k=1 6 ( 1 7 ) k1         k=1 0,2 k
1
2
3
4
16. Egy geometriai sor első tagja és kvóciense is 1,3. Határozza meg a sor 15. részletösszegét!
2 85,614
2 61,423
2 17,472
1 94,578
További kidolgozott feladatok

18. feladat: Vizsgálja meg monotonitás és korlátosság szempontjából az alábbi sorozatot! Konvergens-e a sorozat? Ha igen, akkor adjon küszöbszámot ε= 1 200 -hoz!

a n = 3n+1 74n

Megoldás: Monotonitáshoz vizsgáljuk az n+1 -edik és n-edik tag különbségét. Először írjuk fel az n+1 -edik elemét a sorozatnak.

a n+1 = 3(n+1)+1 74(n+1) = 3n+4 4n+3

Most már felírható a vizsgálandó különbség:

a n+1 a n = 3n+4 34n 3n+1 74n = (3n+4)(74n)(3n+1)(34n) (34n)(74n) =

Végezzük el a számlálóban a kijelölt szorzásokat, majd rendezzük a kifejezéseket.

= 12 n 2 +5n+28(12 n 2 +5n+3) (34n)(74n) = 25 (34n)(74n) = +   >0

Tehát a sorozat szigorúan monoton nő.

Mivel a sorozat szigorúan monoton nő, így a sorozat alsó korlátja a sorozat első tagja, azaz 4 3 .

A felső korlát vizsgálata előtt nézzük meg, hogy konvergens-e a sorozat.

a n = 3n+1 74n = n n 3+ 1 n 7 n 4 = 3+ 1 n 7 n 4 3 4

A sorozat konvergens (egy véges szám a határértéke). Szigorúan monoton növekedve közelíti meg 3 4 -t, azaz a sorozat tagjai kisebbek lesznek, mint 3 4 , így a sorozat felső korlátja 3 4 .

Küszöbszám meghatározásához vizsgálni kell, hogy milyen n-re teljesül az | a n A |<ε

egyenlőtlenség. A határértéket ismerjük, be tudunk helyettesíteni.

| 3n+1 74n ( 3 4 ) |< 1 200

Bontsuk fel a zárójelet az abszolút értéken belül.

| 3n+1 74n + 3 4 |< 1 200

Hozzuk közös nevezőre a törteket.

| 4(3n+1)+3(74n) 4(74n) |< 1 200

Rendezzük a számlálót.

| 25 4(74n) |< 1 200

Vizsgáljuk meg az abszolút értéken belül lévő tört előjelét. A számláló mindig pozitív, a nevező mindig negatív, ha n természetes szám. Ha a törtet szorozzuk 1 -gyel, akkor az abszolút érték elhagyható. Baloldalon a negatív előjelet vigyük a számlálóba.

25 4(74n) < 1 200           25 4(74n) < 1 200

Oldjuk meg a kapott egyenlőtlenséget. Ügyeljünk arra, hogy mivel 74n minden n>=1 esetén negatív, az átalakításnál az egyenlőtlenség iránya megváltozik.

25 000>2(74n)      25014>8n       25014 8 =3126,75<n

Tehát a keresett küszöbszám 3126, ha ε= 1 200 . Ez a szám azt jelenti, hogy ha a sorozat valamely tagjának az indexe nagyobb ennél a számnál, akkor ezek az elemek ε= 1 200 -nél kisebb eltéréssel közelítik a határértéket, azaz a 3 4 -t.

19. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n n 7 9 n 4 +6 n 2 5 n+1 =

Megoldás: Az előző feladatok alapján, ha gyökös kifejezés alatt polinom szerepel, akkor először a gyökön belül emeljük ki n legmagasabb kitevőjű hatványát.

lim n n 7 9 n 4 +6 n 2 5 n+1 = lim n n 7 ( 1 9 n 3 + 6 n 5 ) 5 n+1 =

Majd tényezőnként vonjunk gyököt. A nevezőt is alakítsuk a szokásos módon.

lim n n 7 5 1 9 n 3 + 6 n 5 5 n( 1+ 1 n ) = lim n n 7 5 n 1 9 n 3 + 6 n 5 5 1+ 1 n = lim n n 7 5 n 1 9 n 3 + 6 n 5 5 1+ 1 n =

Az első gyökös kifejezést írjuk fel törtkitevős hatvány alakjában, majd végezzük el az osztást.

= lim n n 2 5 1 9 n 3 + 6 n 5 5 1+ 1 n = lim n n 2 5 lim n 1 9 n 3 + 6 n 5 5 1+ 1 n = 1 5 1 =

Az első tényezőben n hatványkitevője egy pozitív szám, így a keresett határérték .

20. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n (3 n 2 +1)(5 n 2 +n) n 3 (4n5) 2 =

Megoldás: Ha elvégezzük a számlálóban és a nevezőben is a kijelölt műveleteket, akkor két polinom hányadosát kapjuk.

lim n (3 n 2 +1)(5 n 2 +n) n 3 (4n5) 2 = lim n 15 n 4 +3 n 3 +5 n 2 +n n 3 (16 n 2 40n+25) = lim n 15 n 4 +3 n 3 +5 n 2 +n 16 n 5 40 n 4 +25 n 3 =

Emeljük ki n legmagasabb kitevőjű hatványát a számlálóban és a nevezőben is.

= lim n 15 n 4 +3 n 3 +5 n 2 +n 16 n 5 40 n 4 +25 n 3 = lim n n n 4 ( 15+ 3 n + 5 n 2 + 1 n 3 ) n 5 ( 16 40 n + 25 n 2 ) = lim n n 4 n 5 15+ 3 n + 5 n 2 + 1 n 3 16 40 n + 25 n 2 =

Olvassuk le tényezőnként a határértékeket.

= lim n 1 n 15+ 3 n + 5 n 2 + 1 n 3 16 40 n + 25 n 2 = lim n 1 n lim n 15+ 3 n + 5 n 2 + 1 n 3 16 40 n + 25 n 2 =0 15+0+0+0 160+0 =0

21. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

lim n 3n+5 n 2 +7 3 =

Megoldás: A határérték típusa . A gyökök miatt most nem olyan könnyű egyszerűsíteni, mint az előző feladatokban, célszerű előbb a számlálóban és a nevezőben is a gyök alatt egy kiemelést végrehajtani. A számlálóban a gyök alatt emeljünk ki n-et, a nevezőben (szintén a gyök alatt) pedig n 2 -et, majd tényezőnként vonjunk gyököt!

lim n 3n+5 n 2 +7 3 = lim n n( 3+ 5 n ) n 2 ( 1+ 7 n 2 ) 3 = lim n n . 3+ 5 n n 2 3 . 1+ 7 n 2 3 =

A kifejezés két tört szorzatára bontható, melyeknek külön-külön vizsgálhatjuk a határértékét.

lim n n n 2 3 . 3+ 5 n 1+ 7 n 2 3 = lim n n n 2 3 . lim n 3+ 5 n 1+ 7 n 2 3 =

A második tört határértéke egy nem 0 véges érték, hiszen a számláló 3 -hoz, a nevező pedig 1 3 =1 -hez tart. A tört határértéke tehát 3 . Az első törtben a gyököket célszerű inkább hatvány alakra átírni, ekkor az osztást el is tudjuk végezni, s csak egyetlen hatványt kapunk.

= lim n n n 2 3 = lim n n 1 2 n 2 3 = lim n n ( 1 2 2 3 ) = lim n n 1 6 = lim n 1 n 6 = 1 =0

Most már a szorzat tényezőinek ismerjük a határértékét, amit felhasználva fejezzük be a feladatot.

=lim n 1 n 6 . lim n 3+ 5 n 1+ 7 n 2 3 =0 3 =0

22. feladat: Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!

a n = 4 2n+1 +7 5 n1 9 2 3n

Megoldás: Egy tört határértékét kell meghatározni, amiben exponenciális kifejezések vannak. Nézzük meg, hogy hova tart a számláló és hova a nevező!

lim n 4 2n+1 +7 5 n1 9 2 3n =

Egy kritikus esetet kell eldönteni. A hatványozás azonosságait felhasználva alakítsuk át az exponenciális kifejezéseket a számlálóban és a nevezőben is.

lim n 4 2n+1 +7 5 n1 9 2 3n = lim n 4· ( 4 2 ) n +7 5 1 5 n 9 ( 2 3 ) n = lim n 4· 16 n +7 5 1 5 n 9 8 n =

Most már emeljük ki a számlálóban és a nevezőben is a legnagyobb alapú exponenciális kifejezést!

lim n 16 n ( 4+7 1 5 5 n 9 n ) 8 n ( 9 8 n 1 ) = lim n ( 16 8 ) n 4+ 7 5 ( 5 9 ) n 9 ( 1 8 ) n 1 =

Kéttényezős szorzatot kaptunk. Nézzük meg tényezőnként a határértékeket.

lim n ( 2 ) n 4+ 7 5 ( 5 9 ) n 9 ( 1 8 ) n 1 = 4+0 01 =

23. feladat: 18 éven keresztül minden év elején beteszek a bankba 70 000 Ft-ot. A 18. év végén mennyi pénzt sikerül összegyűjteni, ha az éves kamatláb 4%?

Megoldás: Írjuk fel a 18 tagból álló összeget! Használjuk fel, hogy az először befizetett összeget a 18 év alatt 18-szor tőkésítik, a második befizetett összeget már csak 17-szer, a 18. év elején befizetett összeget pedig csak egyszer.

70000 1,04 18 +70000 1,04 17 +70000 1,04 16 ++70000 1,04 2 +700001,04=

Vegyük észre, hogy egy geometriai sor 18. részletösszegét kell kiszámolni, ahol a=70 0001,04 és q=1,04 , így a felvehető összeg:

700001,04 1,04 18 1 1,041 =1866986,06Ft

24. feladat: Egy kis vállalkozás januári nyeresége 500 000 Ft volt. A körülmények úgy alakultak, hogy az év hátralévő részében, minden hónapban a nyereség az előző hónaphoz képest 5%-kal csökkent. Mennyi volt a teljes éves nyereség?

Megoldás: A januári nyereség 500 000Ft. Februárban már csak ennek a 95%-a, azaz 5000000,95 Ft míg márciusban már csak 500000 0,95 2 Ft , és így tovább. Decemberben már csak 500000 0,95 11  Ft . A teljes éves nyereség ezek szerint:

500000+500000 0,95 +500000 0,95 2 ++500000 0,95 10 +500000 0,95 11 =

egy geometriai sor 12. részletösszegét kell számolni. a=500000 és q=0,95 .

A nyereség:

500000 0,95 12 1 0,951 =4 596 399,123Ft

Ellenőrző kérdések
12. Az alábbi állítások közül melyik igaz az a n sorozatra?
a n = 43n 13n
szigorúan monoton nő és alsó korlátja 4
szigorúan monoton csökken és alsó korlátja -0,5
szigorúan monoton nő és felső korlátja 1
szigorúan monoton csökken és felső korlátja 0
13. Az alábbi állítások közül melyik igaz az a n sorozatra?
a n = 8+10n 25n
a n 2 és ε=0,001 -hez tartozó küszöbszám 2400
a n 4 és ε=0,001 -hez tartozó küszöbszám 2411
a n 2 és ε=0,001 -hez tartozó küszöbszám 2452
a n 2 és ε=0,001 -hez tartozó küszöbszám 2395
14. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n (6 n 2 +1) n 3 (n1) 2 ( 8n2 ) =
0
7
15. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n 2 n 2 3n 3 n 7 + n 3 +n 4 =
0
2
16. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
lim n n 5 +7 n 4 n 3 3 4n =
0
0,25
17. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
a n = 2 4n+1 +7 3 2n+1 59 n 4 2n1
0
-8
18. Határozza meg az alábbi sorozat határértékét!
a n = 7 4 n+1 3 5 2n+1 59 n1 2 3n+2
3
7 5
20. Húsz éven keresztül minden év elején beteszek a bankba 120 000 Ft-ot. A 20. év végén mennyi pénzt sikerül összegyűjteni, ha az éves kamatláb 3,2%?
2 986 453,12 Ft
3 023 458,667 Ft
3 396 159,232 Ft
3 290 851,969 Ft
21. Egy fakitermeléssel foglalkozó cég az egyik évben 25 000 m3 fát vágott ki. A következő 8 évben a termelés évente 2%-kal csökkent az előző évhez képest. Hány m3 fát vágtak ki a 9 év alatt összesen?
225 000 m3
207 815,3 m3
220 500 m3
204 456,56 m3