KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: I. modul: Halmazok
1. lecke: Halmazok
Tanulási cél: Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn-diagramon. | |||
Motivációs példa | |||
Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x és y vásárlására. Az x termék egységára 1000 pénzegység, az y ára 2000 pénzegység. Hogyan változik a költségvetési egyenes és a költségvetési halmaz, ha a fogyasztó pénzjövedelme növekszik 25 százalékkal? | |||
Elméleti összefoglaló | |||
A halmaz a matematikában alapfogalom (nem definiáljuk). | |||
Ha megpróbálnám a halmaz fogalmát körül írni, akkor azt mondanám, hogy bizonyos dolgok összessége. A halmazba tartozó dolgokat a halmaz elemeinek mondjuk. A halmazokat általában nagy betűkkel jelöljük. | |||
Nevezetes számhalmazok | |||
A természetes számok halmazát az számok alkotják. A természetes számok halmazának jele: . A természetes számok halmazának végtelen sok eleme van. | |||
Az egész számok halmazát a ...-4,-3,-2,-1,0, számok alkotják. Az egész számok halmazának jele: . Az egész számok halmazának végtelen sok eleme van. | |||
A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók alakban, ahol , és . Például: . A racionális számok halmazának jele: . A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. | |||
Az irracionális számok halmazát a végtelen nem szakaszos tizedes törtek alkotják. Például: Látható, hogy mindig eggyel több nullát írtunk az ötösök közé. Az így kapott szám biztosan végtelen nem szakaszos tizedes tört. Az irracionális számok halmazának jele:. A irracionális számok halmazának végtelen sok eleme van. | |||
A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. A valós számok halmazának jele:. | |||
A halmazt a következő módon adhatjuk meg: | |||
| |||
Ha egy halmaznak véges sok eleme van, akkor azt véges halmaznak nevezzük. Ha végtelen sok eleme van, akkor végtelen halmaznak. Azt a halmazt, amelynek egyáltalán nincs eleme üres halmaznak nevezzük. Az üres halmaz jele: vagy . | |||
A példaként megadott halmazok számossága: | |||
- véges halmazok | |||
Ha egy elem a halmazhoz tartozik, azt jellel jelöljük. Ha nem tartozik a halmazhoz, azt jellel jelöljük. | |||
(8 eleme az A halmaznak) | |||
Fontos megjegyezni, hogy egy halmazban az elemek sorrendje nem számít. | |||
Két halmaz egyenlő, ha elemeik azonosak. Eszerint az . | |||
A halmazokat, azok egymás közti viszonyait, műveleteit Venn-diagramok segítségével tudjuk szemléltetni. | |||
Az halmazt a halmaz részhalmazának nevezzük, ha az halmaz minden eleme halmaznak is eleme. Jelölés: . | |||
| |||
Halmazműveletek | |||
Az és halmaz uniójának nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az vagy a halmaznak. Jelölés: . | |||
| |||
. Bármely halmaz önmagával vett uniója önmaga. | |||
Az és halmaz metszetének nevezzük azoknak az elemeknek a halmazát, amelyek elemei az és a halmaznak. Jelölés: . | |||
| |||
. Bármely halmaz önmagával vett metszete önmaga. | |||
Halmazok uniójára és metszetére teljesül a disztributív tulajdonság. | |||
Az unió disztributivitása a metszetre nézve: | |||
A metszet disztributivitása az unióra nézve: | |||
Az és halmaz különbségét az halmaznak azok az elemei alkotják, amelyek nem elemei a halmaznak. Jelölés: . | |||
| |||
. Bármely halmazból önmagát kivonva üres halmazt kapunk. | |||
Ha az halmaz részhalmaza halmaznak, akkor az halmaz halmazra vonatkozó komplementerhalmazát (kiegészítő halmazát) a halmaz azon elemei alkotják, amelyek nincsenek benne az halmazban. Jelölés: . A halmazt alaphalmaznak nevezzük. | |||
Tehát: | |||
| |||
Tetszőleges A és B halmazra igazak az alábbi összefüggések: és . (De Morgan azonosságok) |
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: Legyen , és . Határozza meg a halmazt! | ||
Megoldás: Először meghatározzuk az halmazt. Mivel a metszetben azok az elemek vannak, amelyek mindkét halmazban benne vannak, ezért . A kivonást úgy végezzük el, hogy az halmaz elemei közül elhagyjuk azokat, amelyek a halmaznak is elemei, vagyis az 1 és 12 elemeket. Így . | ||
2. feladat: Legyen és . Határozza meg a halmazokat! | ||
Megoldás: Először meghatározzuk az halmaz elemeit. Az egyenletet az egész számok halmazán oldjuk meg. | ||
Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha vagy . Tehát . | ||
Meghatározzuk a halmaz elemeit. Olyan természetes számokat keresünk, amelyekre . Ez pontosan akkor teljesül, ha: | ||
Tehát . | ||
Az halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek legalább az egyik halmazba beletartoznak, így . | ||
Az halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek mind a kettő halmazba beletartoznak, így . | ||
Az halmazba az halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek a halmazban, tehát . | ||
A halmazba a halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek az halmazban, tehát . | ||
3. feladat: Legyen , és . Határozza meg a halmazt! | ||
Megoldás: Először meghatározzuk az halmaz elemeit. Az egyenlőtlenséget a természetes számok halmazán oldjuk meg. | ||
Tehát . | ||
Most meghatározzuk a halmaz elemeit. Olyan egész számokat keresünk, amelyekre . Ez éppen akkor teljesül, ha: | ||
Vagyis . | ||
A halmaz elemeit olyan egész számok alkotják, amelyek teljesítik a egyenlőtlenséget. | ||
A halmaznak végtelen sok eleme van. | ||
Az halmazt azok az elemek alkotják amelyek az halmazba beletartoznak, de a halmazba nem. | ||
Az halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek elemei halmaznak vagy a halmaznak. Így kapjuk, hogy . |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Legyen , és . Határozza meg a halmazt! ![]() | |||||||||
2. Legyen és . Határozza meg a halmazt! ![]() | |||||||||
3. Legyen , és . Határozza meg a halmazt! ![]() |
Kidolgozott feladatok | |||
4. feladat: Legyen és . Határozza meg a halmazokat! | |||
Megoldás: Először meghatározzuk az halmaz elemeit. A másodfokú egyenlőtlenséget a valós számok halmazán oldjuk meg. | |||
Nézzük az függvényt és határozzuk meg a zérushelyeit az képlet segítségével. | |||
, vagyis a függvény zérushelyei a és a. | |||
Ábrázoljuk a függvényt. | |||
| |||
Az egyenlőtlenség megoldásai azok a valós számok, ahol a függvényérték kisebb mint nulla (a függvény x tengely alatti része) vagy nulla. Az ábrából látható, hogy . | |||
Meghatározzuk a halmaz elemeit. Olyan valós számokat keresünk, amelyekre | |||
Ez éppen akkor teljesül, ha | |||
Tehát . | |||
| |||
Az halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek vagy az vagy a halmazba beletartoznak, így . | |||
Az halmazba azok az elemek tartoznak, amelyek mind a kettő halmazba beletartoznak, így . | |||
Az halmazba az halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek a halmazban, tehát . | |||
A halmazba a halmaz azon elemei tartoznak, amelyek nincsenek az halmazban, tehát . | |||
5. feladat: Határozza meg az halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmazát! | |||
Megoldás: Először határozzuk meg az halmazt, amit olyan valós számok alkotnak, amelyekre teljesül az egyenlőtlenség. | |||
Vegyük az függvényt és határozzuk meg a zérushelyeit. | |||
A függvény zérushelyei és . | |||
Ábrázoljuk a függvényt. | |||
| |||
Az egyenlőtlenség megoldásai azok a valós számok, ahol a függvényérték nagyobb mint nulla (a függvény x tengely feletti része). Az ábrából látható, hogy . | |||
Az halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmaza . Tehát azokat a valós számokat keressük, amelyek nincsenek benne az halmazban. | |||
| |||
6. feladat: Legyen és . Határozza meg az halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmazát! | |||
Megoldás: Először határozzuk meg az halmazt, amit olyan valós számok alkotnak, amelyekre teljesül az egyenlőtlenség. | |||
Vegyük az függvényt és határozzuk meg a zérushelyeit. | |||
A függvény zérushelyei és . | |||
Ábrázoljuk a függvényt. | |||
| |||
Az egyenlőtlenség megoldásai azok a valós számok, ahol a függvényérték kisebb mint nulla (a függvény x tengely alatti része), vagy nulla. Az ábrából látható, hogy . | |||
Most határozzuk meg a halmazt, amely olyan valós számokból áll, amelyekre teljesül az alábbi egyenlőtlenség. | |||
Tehát . | |||
A halmazba azok a valós számok tartoznak, amelyek vagy az halmaznak vagy a halmaznak elemei. | |||
| |||
Az halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmaza . Tehát azokat a valós számokat keressük, amelyek nincsenek benne az halmazban. | |||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
4. Legyen és . Határozza meg a halmazt! ![]() | |||||||||
5. Legyen és . Határozza meg a halmazt! ![]() | |||||||||
6. Legyen és . Határozza meg a halmazt! ![]() | |||||||||
7. Legyen és . Határozza meg a halmazt! ![]() | |||||||||
8. Határozza meg az halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmazát! ![]() | |||||||||
9. Legyen és Határozza meg az halmaz valós számok halmazára vonatkozó komplementerhalmazát! ![]() |
Kidolgozott feladatok | |||
7. feladat: Legyenek tetszőleges halmazok. Ábrázolja Venn-diagramon a halmazt! | |||
Megoldás: Ha semmilyen információnk nincs a halmazokról, akkor azt kell feltételezni, hogy mindhárom halmaznak vannak olyan elemei, amelyek a másik két halmazban nincsenek benne, továbbá bármely két halmaz metszetének vannak olyan elemei, amelyek a harmadik halmazhoz nem tartoznak hozzá és végül a három halmaz metszete sem üres. Ezért a következő ábrából indulunk ki. | |||
| |||
Ábrázoljuk először a halmazt. Ide a halmaznak azok az elemei tartoznak, amelyek nem elemei az halmaznak. | |||
| |||
Ábrázoljuk a halmazt. Ide azok az elemek tartoznak, amelyek mind a három halmaznak elemei. | |||
| |||
Végül ennek a két halmaznak az unióját kell venni. Tehát az halmaz: | |||
| |||
8. feladat: Legyenek tetszőleges halmazok. Igazolja Venn-diagram segítségével a következő egyenlőséget! | |||
Megoldás: Ábrázoljuk az és halmazokat. | |||
| |||
| |||
Az egyenlőség bal oldala az halmaz. | |||
| |||
Ábrázoljuk az halmazt. | |||
| |||
Az egyenlőség jobb oldala a halmaz. | |||
| |||
Mivel az egyenlet bal és jobb oldala megegyezik, ezért az egyenlőség teljesül. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
10. Legyenek tetszőleges halmazok. Ábrázolja Venn-diagramon a halmazt!
![]() | |||||||||
11. Legyenek tetszőleges halmazok. Ábrázolja Venn-diagramon a halmazt!
![]() | |||||||||
12. Tetszőleges halmazok esetén ![]() | |||||||||
13. Tetszőleges halmazok esetén ![]() | |||||||||
14. Tetszőleges halmazok esetén ![]() |