KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények
3. lecke: Függvénytani alapfogalmak
Tanulási célok: a függvény fogalmához kapcsolódó kifejezések áttekintése, az értelmezési tartomány meghatározásához alkalmazott leggyakoribb eljárások gyakorlása. | |||
Elméleti összefoglaló | |||
Definíció: Legyen A és B két nem üres halmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B halmaz egy-egy elemét, akkor az A halmazon egy függvényt értelmeztünk. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, a B halmaz pedig a függvény képhalmaza. B-nek azon elemei, amelyek a hozzárendelésben részt vesznek, a függvény értékkészletét alkotják. Tehát az értékkészlet a képhalmaz része. Jelölés: az f függvény értelmezési tartománya , az f függvény értékkészlete (1. ábra). | |||
|
Definíció: Ha a függvényt f jelöli és , akkor az x-hez rendelt B-beli elemet -szel jelöljük, amit az f függvény x helyhez tartozó helyettesítési értékének nevezzük. | ||
Definíció: Az x változó neve független változó (vagy argumentum), az neve pedig függő változó, amit szokás -szel is jelölni. | ||
Definíció: Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete is valós számokból áll, egyváltozós valós függvényeknek nevezzük. | ||
Definíció: A pontok halmazát az f függvény grafikonjának nevezzük, ahol x végigfutja az f értelmezési tartományát. |
A grafikonok rengeteg különböző alakot ölthetnek, de fontos megjegyezni, hogy nem minden síkgörbe függvény grafikonja. Egy függvény az értelmezési tartományának tetszőleges pontjához csak egyetlen y értéket rendel. Ez a tulajdonság könnyen ellenőrizhető, mivel a függvény grafikont az x tengely bármely pontján átmenő függőleges egyenes legfeljebb egy pontban metszi (2-3. ábra). | |||
| |||
| |||
A függvények ábrázolásakor sokszor elegendő egy jelleggörbe megrajzolása, mely egyértelműen mutatja a függvény előjelviszonyait (az értelmezési tartomány mely részein halad a függvény az x tengely alatt és felett), a zérushelyeket, a szakadási helyek és a végtelen(ek) környezetében való viselkedését. | |||
A függvények ábrájáról az értelmezési tartományt az x tengelyről, míg az értékkészletet az y tengelyről olvassuk le. | |||
| |||
A függvények értelmezési tartományának meghatározásakor láttuk, hogy mely függvények esetében milyen kikötést kell tennünk. Nézzük meg most ezen függvények ábráját, s ez alapján is olvassuk le az értelmezési tartományt az x tengelyről. | |||
| |||
| |||
| |||
Gyökfüggvény értelmezési tartománya | |||
Egy függvény megadásához meg kell adni az értelmezési tartományt, a képhalmazt és a hozzárendelési szabályt, melynek segítségével minden elemhez meghatározható a hozzátartozó elem. Általában a hozzárendelési szabályt képlettel adjuk meg. | |||
Például: | |||
A gyakorlatban nem mindig adjuk meg az értelmezési tartományt és az értékkészletet. Ilyenkor azon x számok halmazát értjük az értelmezési tartomány alatt, amelyekre a hozzárendelési utasítás elvégezhető, illetve azon y értékek halmazát értjük értékkészlet alatt, amelyek egy-egy x számhoz tartoznak. | |||
Ebből kifolyólag, ha nem adunk meg értelmezési tartományt a lineáris függvény, hatványfüggvény, exponenciális függvény, szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény esetén, akkor a legbővebb halmaz, melyen ezek a függvények értelmezve vannak, a valós számok halmaza (). | |||
Azonban néhány függvény kivételnek számít. Ide tartozik a páros pozitív egész kitevőjű gyökfüggvény, a törtfüggvény és a logaritmusfüggvény. Vegyük sorra, hogy melyik függvény esetében milyen kikötést kell tenni. | |||
a) , ahol n páros pozitív egész | |||
Negatív számokból nem tudunk gyököt vonni a valós számok halmazán, így az argumentum nagyobb egyenlő, mint 0, azaz . | |||
b) , ahol | |||
0-nál nagyobb számoknak van csak logaritmusa, azaz a kikötés . | |||
c) | |||
Egy tört nevezőjében nem szerepelhet 0, mivel 0-val nem tudunk osztani, azaz a kikötés . |
Kidolgozott feladatok | |||||||||||||||||||||
1. feladat: Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát. | |||||||||||||||||||||
Megoldás: A függvény hozzárendelési utasítása egy tört. Tudjuk, hogy egy tört nevezője nem lehet nulla. Most tehát a valós számok közül azokat kell kizárni az értelmezési tartományból, amelyekre a nevező nulla. Megoldjuk tehát az | |||||||||||||||||||||
egyenletet. Használhatjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, vagy az szorzatra bontást. | |||||||||||||||||||||
Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azt kapjuk, hogy egyenletünk két megoldása: és . | |||||||||||||||||||||
Ebből a két számból álló halmazt kell tehát a valós számok halmazából kivonni. Így az függvény -fel jelölt értelmezési tartománya: | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
2. feladat: Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát. | |||||||||||||||||||||
Megoldás: Négyzetgyököt a valós számok körében csak nemnegatív számból vonhatunk. Ezért az a feltétel, hogy | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Ennek az egyenlőlenségnek a megoldáshalmaza adja az értelmezési tartományt. | |||||||||||||||||||||
A másodfokú egyenlőtlenség megoldását a következőképp kaphatjuk meg. Először megoldjuk az | |||||||||||||||||||||
egyenletet. Szorzatra bontva a másodfokú kifejezést | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
a két gyök tehát és . Persze a megoldóképletet is használhattuk volna. | |||||||||||||||||||||
A másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, így grafikonja egy felfelé nyíló parabola, tehát a kifejezés a két gyökén kívül pozitív, és a két gyöke között negatív (8. ábra). Az értelmezési tartományt úgy kapjuk meg, hogy a valós számok közül elhagyjuk azokat, ahol a másodfokú kifejezés negatív, azaz a nyílt intervallum pontjait. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
Ezek alapján | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Figyeljünk a zárójelekre! Az előző feladatban a valós számok halmazából egy kételemű halmazt vontunk ki, ezért használtunk ott kapcsos zárójelet. A mostani feladatban egy nyílt intervallum összes elemét kellett elhagyni a valós számok halmazából. | |||||||||||||||||||||
3. feladat: Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát. | |||||||||||||||||||||
Megoldás: Most két dolog jelent korlátozást. Az első az, hogy logaritmusát csak pozitív számnak vehetjük, tehát teljesülnie kell az | |||||||||||||||||||||
egyenlőtlenségnek. | |||||||||||||||||||||
A második az, hogy a nevezőben nem állhat nulla. | |||||||||||||||||||||
Az értelmezési tartományt tehát úgy kapjuk meg, hogy a fenti egyenlőtlenség megoldáshalmazából elhagyjuk a nevező gyökhelyeit. | |||||||||||||||||||||
Megoldjuk az egyenlőtlenséget. Mivel , a másodfokú kifejezés minden 1-től különböző szám esetén pozitív (grafikonja egy felfelé nyíló parabola, zérushelye -ben). Tehát az egyenlőtlenség megoldáshalmaza | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
A második feltételnek megfelelően . Mivel a logaritmusfüggvény csak 1-ben nulla, a nevező akkor lesz nulla, ha | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
azaz, ha | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Ennek a másodfokú egyenletnek a két megoldása és . Ezt a két számot kell tehát még elhagyni a halmazból. | |||||||||||||||||||||
Ezek alapján végül is | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
4. feladat: Mi az értelmezési tartománya az függvénynek? | |||||||||||||||||||||
Megoldás: Nyilván értelmesnek kell lenni külön a gyökös és külön a logaritmusos kifejezésnek is. | |||||||||||||||||||||
Jelölje azt a halmazt, ahol a gyökös kifejezés értelmes, azt a részhalmazt, ahol a logaritmusos kifejezés értelmes. | |||||||||||||||||||||
A ennek a két halmaznak a metszete. | |||||||||||||||||||||
Meghatározzuk először -et. Az a feltétel, hogy | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
azaz legyen. Ez alapján | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
esetén az a feltétel, hogy | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
azaz legyen. Ebből | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Ennek a két halmaznak a metszetéből kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Egyváltozós függvények értelmezési tartományát gyakran valós számok részhalmazainak metszeteként vagy uniójaként kapjuk meg. Metszetet használunk abban az esetben, ha egyik és másik feltételnek is egyszerre kell teljesülnie. Uniót használunk olyankor, mikor az egyik vagy a másik feltétel teljesül. | |||||||||||||||||||||
A valós számok részhalmazai ábrázolhatók a valós számegyenesen. Az ilyen részhalmazok metszeteit és unióit, különösen, ha azok tagjai több darabból állnak, grafikusan célszerű meghatározni a következő módon. A metszet vagy unió minden tagját feltüntetjük egy valós számegyenesen, úgy, hogy a halmazhoz tartozó pontokat megvastagítjuk. Ezeket egymás alá rajzoljuk, úgy, hogy a origók egy függőleges vonalban legyenek. Az egységet is mindegyik ábrán ugyanakkorának választjuk. Az üres kör azt jelzi, hogy az a szám nincs a halmazban, a teli kör azt, hogy benne van. | |||||||||||||||||||||
Ezután a metszetet úgy kapjuk, hogy legalul felveszünk még egy számegyenest, ügyelve arra, hogy az origója és az egysége a fentiek alá essen, és azon megjelöljük azokat a pontokat, amelyek mindegyik számegyenesen meg voltak jelölve. Az uniónál azokat a pontokat kell a legalsó számegyenesen megjelölni, amelyek valamelyik fentin meg voltak jelölve. | |||||||||||||||||||||
A feladatunk esetében ezt mutatja az alábbi ábra. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
5. feladat: Határozzuk meg az függvény értelmezési tartományát. | |||||||||||||||||||||
Megoldás: Annak kell teljesülni, hogy | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Ez akkor igaz, ha a tört értéke nulla, ami a valós számok egy részhalmazán teljesül, vagy ha a tört értéke pozitív, ami egy részhalmazon teljesül. Most ennek a két halmaznak az uniója adja a -et. | |||||||||||||||||||||
Kezdjük meghatározásával. | |||||||||||||||||||||
Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevező pedig értelmes. Az feltétel teljesül, ha . Mivel 2-ben a nevező nem nulla, így ez a tört egyetlen zérushelye, vagyis | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Rátérünk meghatározására. | |||||||||||||||||||||
Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, ez egy halmaz pontjaiban teljesül, vagy ha mind a számláló, mind a nevező negatív, ez egy pontjaiban teljesül. Ezek uniója adja -t. | |||||||||||||||||||||
Meghatározzuk először -t. Annak kell teljesülni, hogy | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
azaz , | |||||||||||||||||||||
és | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
azaz . | |||||||||||||||||||||
Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az számokra teljesül, tehát | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
esetén annak kell teljesülni, hogy | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
azaz , | |||||||||||||||||||||
és , | |||||||||||||||||||||
azaz . | |||||||||||||||||||||
Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az számokra teljesül, vagyis | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Ezeket felhasználva, amint az az alábbi ábráról is leolvasható | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
Végül is | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Az grafikus előállítása szerepel a következő ábrán. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
6. feladat: Hatátozzuk meg az függvény értelmezési tartományát. | |||||||||||||||||||||
Megoldás: A logaritmus argumentumára vonatkozó kikötés alapján teljesül az | |||||||||||||||||||||
egyenlőtlenség. | |||||||||||||||||||||
Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, vagy ha mind a kettő negatív. | |||||||||||||||||||||
Bevezetjük a következő jelöléseket. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
Kezdjük meghatározásával. | |||||||||||||||||||||
Mivel a számláló és a nevező képe is felfelé nyíló parabola, ezek a gyökeiken kívül pozitívak, és a gyökeik között negatívak. | |||||||||||||||||||||
Egyenlővé téve a számlálót is és a nevezőt is nullával, és megoldva az egyenleteket, azt kapjuk, hogy a számláló gyökei és 2, a nevező gyökei pedig és 1. | |||||||||||||||||||||
A lenti ábráról leolvashatjuk, hogy | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
Térjünk rá meghatározására. | |||||||||||||||||||||
Mivel a számláló és a nevező képe is felfelé nyíló parabola, ezért gyökeik között negatívak (Láttuk, hogy a számláló gyökei és 2, a nevező gyökei pedig és 1). A lenti ábra alapján meghatározható a metszet. | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||
Végül, az uniót is grafikusan meghatározva, az alábbi ábrából kapjuk, hogy | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Mi az függvény értelmezési tartománya?
![]() | |||||||||
2. Mi az értelmezési tartománya az függvénynek?
![]() | |||||||||
3. Legyen . Ekkor
![]() | |||||||||
4. Az függvény értelmezési tartománya
![]() | |||||||||
5. Mi az értelmezési tartománya az függvénynek?
![]() |