KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: VI. modul: Differenciálszámítás
12. lecke: Deriválási szabályok
Tanulási cél: Deriválási szabályok megismerése és alkalmazása összetett függvények esetén. Magasabbrendű deriváltak meghatározása. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Amikor meghatározzuk egy függvény derivált függvényét úgy is gondolhatunk erre a folyamatra, mint egy új függvényműveletre, amelyik az eredeti függvényből elkészíti az derivált függvényt. És sokszor hasznos így, függvényműveletként gondolni a deriválásra. Persze ekkor rögtön adódik a kérdés, hogy ennek az új függvényműveletnek mi a kapcsolata a korábban megismert függvényműveletekkel. Ezeket a kapcsolatokat megfogalmazó tételeket hívjuk deriválási szabályoknak. Ebben a leckében megismerkedünk a deriválási szabályokkal, és begyakoroljuk a derivált függvény ezeken alapuló meghatározását. Ez sokkal gyorsabb és egyszerűbb, mint a definíció alkalmazása, és nagyon fontos lesz a későbbiek során. |
Tétel: Legyen tetszőleges konstans, az függvény pedig differenciálható az helyen, ekkor a függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. |
Úgy szoktunk hivatkozni erre a tételre, hogy a konstans szorzó deriváláskor kiemelhető. |
Tétel: Legyen az és a függvény differenciálható az helyen, ekkor a az függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. |
Ennek a tételnek a tömör megfogalmazása az, hogy összeg tagonként deriválható. A tétel nem csak két függvény, hanem tetszőleges számú, véges sok függvény összegének deriválásakor is érvényben marad: ha az , , ... függvények mindegyike differenciálható az helyen, akkor az függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. | ||
Ezekből a tételekből könnyen következik, hogy és a függvény differenciálható az helyen, ekkor a az függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. | ||
Sőt, a legáltalánosabban ezek a tételek így fogalmazhatók meg egy tételben: ha az , , ... függvények mindegyike differenciálható az helyen, , , ... pedig tetszőleges konstansok, akkor függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. | ||
Ezek a tételek együtt azt jelentik, hogy a deriválás lineáris művelet. |
Tétel: Legyen az és a függvény differenciálható az helyen, ekkor a az függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. |
Ez a tétel is általánosítható, például három tényező esetén így néz ki: | ||
. | ||
Figyeljük meg, hogy mivel az összeadás és a szorzás kommutatív művelet, az eddigi képletek nem változnak, ha azokban a függvényeket tetszőleges sorrendben írjuk. | ||
Az osztás nem kommutatív művelet, ezért a törtfüggvény deriválására vonatkozó képlet nem is szimmetrikus a számlálóban és a nevezőben. |
Tétel: Legyen az és a függvény differenciálható az helyen, és , Ekkor a az függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. |
A legfontosabb deriválási szabály az összetett függvény deriválási szabálya, ezt használjuk a leggyakrabban. |
Tétel: Legyen az függvény differenciálható az helyen, a függvény differenciálható az helyen. Ekkor a függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. |
Természetesen ez is általánosítható többtényezős kompozíciókra. Három tényező esetén a tétel a következő: ha az függvény differenciálható az helyen, a függvény differenciálható az helyen, a függvény pedig differenciálható a helyen, akkor a függvény is differenciálható az helyen, és | ||
. | ||
Ezt, és az előző tételt is, láncszabálynak hívják. | ||
A függvény inverzének a képzése is tekinthető függvényműveletnek, így persze van az inverz függvény deriválására vonatkozó tétel is. A gyakorlatban azonban ezt ritkán alkalmazzuk, helyette elkészítjük az inverz függvényt, és alkalmazzuk a korábbi deriválási szabályokat. | ||
Egy f függvény deriváltja maga is egy függvény. Tekinthetjük ennek a deriváltját, amit fog jelölni, és ezt f második deriváltjának hívjuk. Ennek deriváltja f harmadik deriváltja, és így tovább. Ezeknek a magasabb rendű deriváltaknak fontos szerepe van a felsőbb matematikában. |
Kidolgozott feladatok | ||
A következő feladatokban csak a derivált függvény képletének az előállításával foglalkozunk, és nem vizsgáljuk annak értelmezési tartományát. Fel fogjuk használni az elemi függvények korábban már megismert deriváltjait. | ||
1. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Az függvény egy konstans és egy hatványfüggvény szorzata, ezért a konstans szorzó a deriválás művelete élé kiemelhető: | ||
. | ||
2. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Az függvény kéttagú összeg, amit tagonként deriválhatunk, így: | ||
. | ||
3. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: . | ||
4. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Felhasználjuk, hogy a deriválás lineáris, a gyököt és a törtet pedig felírjuk hatványként, így minden derivált könnyen felismerhető elemi függvény deriváltja lesz: | ||
. | ||
Deriváláskor gyakori, hogy a törteket és a gyököket hatványokként kezeljük. | ||
5. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Végezzük el a négyzetre emelést. Ekkor kapjuk, hogy . Ezt felhasználva | ||
. | ||
Később ezt a függvény a szorzatfüggvény és az összetett függvény deriválási szabályát felhasználva is deriválni fogjuk. | ||
6. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Persze majd tagonként fogunk deriválni, de először a negyedik gyököt hatványként írjuk fel. Azután vegyük figyelembe, hogy konstans, így a deriváltja 0, és nem . | ||
felhasználva az és az elemi függvények deriváltjait. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
2. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
3. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
4. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
5. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() |
Kidolgozott feladatok | ||
7. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: A függvényünk így is írható: . Így, a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján | ||
8. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Mivel a függvényünk szorzatfüggvény, alkalmazhatjuk a szorzatfüggvény deriválási szabályát: | ||
De eljárhatunk úgy is, hogy először elvégezzük a függvényünket definiáló képletben a szorzást: . Ezután deriválás szempontjából már egyszerűbb a helyzet. | ||
Természetesen ugyanaz a végeredmény, mint az előbb. Látjuk, hogy gyakran elő fog fordulni, hogy egy deriválás több úton is elvégezhető. | ||
A továbbiakban az összegek deriváltját, ha a tagok már elemi függvények, a deriválások kijelölése nélkül, közvetlenül felírjuk. | ||
9. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Most nem célszerű elvégezni a beszorzást, mert a keletkezett szorzatok nem egyszerűsíthetők, és így kétszer is alkalmazni kéne a szorzatfüggvény deriválási szabályát. | ||
Felmerül, hogy az utolsó képletben el kell-e végezni a beszorzásokat. Amikor csak az a feladat, hogy határozzuk meg egy függvény derivált függvényét, a deriválások elvégzése után nem fogjuk a lehetséges összevonásokat elvégezni. Ez így gyorsabb és egyszerűbb. Később, amikor a derivált függvénnyel további számításokat fogunk végezni, más lesz a helyzet. | ||
10. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Először is a egy konkrét szám, konstans, és a 30 radiánban értendő; az analízisben a trigonometrikus függvények argumentuma mindig radiánban van megadva. Így , és nem 0.5, amennyi a szinusza. Tehát deriváltja nulla, továbbá | ||
11. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: A függvényünk három tényezős szorzat, de már ismerjük egy ilyen függvény deriváltjára vonatkozó képletet, az alapján | ||
12. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Ebben a feladatban elkerülhetetlen a szorzatfüggvény deriválási szabályának többszöri alkalmazása. Figyeljük meg, ahogyan először csak kijelöljük a szükséges deriválásokat. | ||
Ezután már könnyen elvégezhetjük a kijelölt deriválásokat, és azt kapjuk, hogy | ||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
6. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
7. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
8. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
9. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
10. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
11. Mi az függvény derivált függvénye?
![]() |
Kidolgozott feladatok | ||
13. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: A törtfüggvény deriválási szabályát kell alkalmazni: | ||
Figyeljük meg, hogy a számlálóban elvégeztük az összevonásokat, de a nevezőben a négyzetre emelést nem, ezt máskor sem fogjuk elvégezni, csak ha egytagú a nevező, így jobban kezelhető a kapott formula. | ||
14. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: A konstans számlálójú törteket, mint hamarosan látni fogjuk, gyakran célszerűbb összetett függvényként deriválni. De persze lehet törtként is, mint most is. | ||
Általában is | ||
. | ||
15. feladat: Számoljuk ki értékét, ha . | ||
Megoldás: Először meghatározzuk derivált függvényét, majd vesszük annak a helyettesítési értékét az 1 helyen. Hogy ne kelljen kétszer alkalmazni a tört deriválási szabályt közös nevezőre hozzuk a függvényünk: . Most már a derivált | ||
Ebből pedig . | ||
16. feladat: Számoljuk ki értékét ha, , és . | ||
Megoldás: A deriváltjával kezdünk: | ||
Ebből pedig a keresett helyettesítési érték | ||
17. feladat: Legyen . Számoljuk ki értékét, ha , és , . | ||
Megoldás: Mivel , azt kapjuk, hogy | ||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
12. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
13. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
14. Mennyi értéke, ha ?
![]() | |||||||||
15. Mennyi értéke ha , , és . ![]() | |||||||||
16 Legyen . Számoljuk ki értékét, ha , és , . ![]() |
Kidolgozott feladatok | ||
18. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Vegyük észre, hogy összetett függvény: , ha és . Ezzel a választással , . Ezért az összetett függvény deriválási szabály alapján | ||
19. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: most is összetett függvény, hiszen , ha , és . Tudjuk, hogy és . Így tehát | ||
20. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: ismét szerkezetű összetett függvény az , választással. Mivel és , azt kapjuk, hogy | ||
21. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Most , ha és . De mint tudjuk , továbbá . Ezeket felhasználva | ||
22. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Ahogy említettük, a konstans számlálójú törteket célszerűbb összetett függvényként deriválni. Ennek érdekében átírjuk a függvényünket | ||
alakba. Innen leolvasható, hogy szerkezetű összetett függvény az , választással. Ekkor , és . Ezek alapján | ||
23. feladat: Legyen . Milyen x-re lesz ? | ||
Megoldás: Az összetett függvény deriválási szabályát addig célszerű gyakorolni, hogy a kompozíció tényezőinek felírására már ne is legyen szükség. Most például a következőt kapjuk: | ||
Most még kicsit átalakítjuk képletét, hogy a gyökeit könnyen leolvashassuk. | ||
Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője az, azt kapjuk, hogy , ha , vagy , vagy . Mivel a h függvény mindenütt értelmezve van, mind a három szám megoldás. (A nulla és a kettő tizenegyszeres gyök, az egy egyszeres.) | ||
24. feladat: Legyen . Milyen x-re lesz ? | ||
Megoldás: Kezdjük a derivált függvénnyel. Mivel | ||
Tudjuk, hogy , így ennek a szorzatnak három gyöke van: a , a nulla és a . De azt is tudjuk, hogy a derivált függvény értelmezési tartománya, a definíció alapján, az eredeti függvény értelmezési tartományának részhalmaza. Akkor is, ha a derivált képletének lehetséges legbővebb értelmezési tartománya ennél bővebb. | ||
Mivel a h függvény nincs értelmezve a nullában, ezért a feladat kérdésére az a válasz, hogy , ha . | ||
25. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Ez a függvény egy háromszorosan összetett függvény: , ha , , és . Ezeknek a deriváltja rendre: | ||
. | ||
A láncszabály alapján . Vegyük azt is figyelembe, hogy, leolvasva az s képletéről, . Ezek alapján: | ||
Figyeljük meg, hogy az utolsó képletben zárójelbe tettük a tényezőt. Ha ezt nem tettük volna, és a pontot sem írtuk volna ki, amit amúgy nem is kötelező, a képlet hibás lenne. | ||
26. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | ||
Megoldás: Most is egy háromszorosan összetett függvénnyel van dolgunk, persze újra a láncszabályt fogjuk alkalmazni. Mivel , , és végül , kapjuk, hogy | ||
. | ||
27. feladat: Legyen . Határozzuk meg -et. | ||
Megoldás: Először meghatározzuk az derivált függvényt. | ||
Ezt felhasználva | ||
28. feladat: Legyen . Határozzuk meg -et. | ||
Megoldás: Most, a szorzat deriválási szabályát alkalmazva, | ||
Ez alapján, még kétszer alkalmazva a szorzat deriválási szabályát, és elvégezve a lehetséges összevonásokat | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
17. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
18. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
19. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
20. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
21. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
22. Legyen . Milyen x-re lesz ?
![]() | |||||||||
23. Legyen . Milyen x-re lesz ?
![]() | |||||||||
24. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
25. Mi az függvény derivált függvénye? ![]() | |||||||||
26. Legyen . Mi f második deriváltja? ![]() | |||||||||
27. Legyen . Mi f második deriváltja? ![]() |