KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: VI. modul: Differenciálszámítás

11. lecke: Differenciálszámítás bevezetése

Tanulási cél: A differencia és differenciálhányados fogalmának megismerése. Elemi derivált függvények megadása. Érintő egyenletének értelmezése és felírása.

Motivációs példa

Azt szokták mondani, hogy semmi sem állandó csak a változás. Valóban, a minket körülvevő világban minden folyamatosan átalakul, minden sok minden mással kapcsolatban van, azoktól függ. Ezeknek a viszonyoknak a felderítése a természettudományok fő feladata. A különféle függések egyik matematikai modellje a függvény fogalma. A változások sok jellemzője közül az egyik nagyon fontos a változás "sebessége". A gyorsan változó folyamatok veszélyt hordozhatnak magukban azáltal, hogy nem adnak időt a reagálásra.

Egy vállalkozás szempontjából nagyon fontos kérdés, hogy a termelt mennyiséget növelve hogyan változik és milyen mértékben az összköltség. Egy termék ára befolyásolja a termék iránti keresletet és ezáltal a nyereséget is. Ha emeljük a termék árát, a kereslet és a nyereség is változni fog. Kérdés milyen irányú és milyen mértékű ez a változás.

A változások gyorsaságát a matematika a derivált fogalmával ragadja meg.

Elméleti összefoglaló

Az analízis fejlődése, amint az gyakran máskor is előfordult, szorosan kötődött problémák megoldásához. A mi esetünkben az egyik ilyen probléma az érintő meghatározása volt.

1. ábra

A fenti ábrán egy f(x) függvény grafikonját és annak a P(x,f(x)) pontban megrajzolt "érintőjét" látjuk. Érezzük, hogy az f(x) függvény megadása és a P pont lerögzítése meghatározza az ábrán pirossal jelölt egyenest. Ennek az egyenesnek is y=mx+b az egyenlete, csak az a kérdés, hogy az m meredekség és a b konstans hogyan függ az f(x) függvénytől és a P(x,f(x)) ponttól.

2. ábra

Ez az ábra azt mutatja, hogy az érintő a szelők határhelyzetének tekinthető: a P és Q pontokon átmenő szelő egyre "közelebb" van az érintőhöz, ahogy a Q pont egyre közelebb kerül P-hez. Ezek motiválják a következő definíciókat.

Legyen a,x D f az f függvény értelmezési tartományának két különböző elem, és tekintsük az f függvény grafikonján a P(a,f(a)) és a Q(x,f(x)) pontokat.

3. ábra

Definíció: Az a D f és x D f helyekhez tartozó különbségi hányados vagy differencia hányados a

Δf Δx = f(x)f(a) xa

tört.

Definíció: Ha az a D f helyen létezik és véges az a és x helyekhez tartozó különbségi hányadosnak a

lim xa f(x)f(a) xa

határértéke, akkor az f függvény differenciálható az a D f helyen. Ekkor a fenti határérték értékét f (a) jelöli, és ezt az a D f helyhez tartozó differenciálhányadosnak hívjuk, így tehát

f (a)= lim xa f(x)f(a) xa .

Ha létezik f (a) , akkor a fenti határérték létezése miatt, és azért, mert f(a) is létezik, az a hely csak belső pontja lehet a D f -nek.

Definíció: Azt az f függvényt, amelyik az f függvény értelmezési tartományának azokban az a pontjaiban van értelmezve, ahol az f függvény differenciálható, és minden ilyen helyen az értéke az a-beli f (a) differenciálhányados, az f függvény derivált függvényének hívjuk.

A derivált függvény értelmezési tartomány tehát részhalmaza az eredeti függvény értelmezési tartományának.

A differenciálhányados segítségével az érintő problémája már megoldható.

Definíció: Ha f differenciálható az a D f helyen, akkor az f grafikonjához a P(a,f(a)) pontban húzható érintő meredeksége f (a) , és az érintő egyenes egyenlete

y= f (a)( xa )+f(a)= f (a) m x+ f(a)a f (a) b .

Ebből látható, hogy f (a)=0 esetén az érintő vízszintes, f (a)>0 esetén az érintő emelkedő egyenes, vagyis az a hely közelében a függvény növekszik, és f (a)<0 esetén pedig érintő süllyedő egyenes vagyis az a hely közelében a függvény csökken.

Az érintő egyenes tekinthető egy lineáris g(x)= f (a)(xa)+f(a) függvény grafikonjának. Ezt a g függvényt hívjuk az f függvény a-beli linearizáltjának. Elég egy pillantást vetni egy függvényt és annak egy érintőjét mutató ábrára, hogy világos legyen: a linearizált jól közelíti az érintési pontban a függvényt. Sőt, bármilyen bonyolult is az f függvény, egy nagyon egyszerű lineáris függvény szolgáltatja ezt a jó közelítést. Ez lehetőséget ad függvényértékek közelítő meghatározására.

Tétel: Ha az f függvény differenciálható a-ban, akkor folytonos is a-ban.

Sőt, ennél több is igaz. Az a pontbeli differenciálhatóság azt jelenti, hogy a függvény grafikonja sima az a pont környékén, nincs szakadása és nincs töréspontja. Ha közelről nézzük a grafikont, akkor az egyenesnek tűnik. Az alábbi ábrasor ezt szemlélteti egy a pontban differenciálható, és egy az a pontban nem differenciálható függvény esetén:

4. ábra

Az analízisben a fő célunk, hogy egy függvényről a hozzárendelési utasítás ismeretében minél több információt megismerjünk. Ki fog derülni, hogy ebben a fő segédeszköz a derivált függvény. Az f derivált függvény vizsgálatával az eredeti f függvény számos, minket érdeklő tulajdonsága felderíthető. (Például a növekedés vagy fogyás, maximális vagy minimális értéket, a grafikon görbülésének jellege stb.)

Tehát mindenek előtt arra van szükség, hogy minél több függvény derivált függvényét egyszerűen és gyorsan elő tudjuk állítani.

Az analízisben olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyek az elemi függvényekből épülnek fel a különböző műveletek segítségével. Ebből is látható, hogy a későbbiekben az elemi függvények deriváltjainak alapvető jelentőségük lesz. A következő táblázatban megadjuk az elemi függvények deriváltjait.

f(x) f (x)
f(x)=c , ahol c konstans
D f =
f (x)=0 D f =
f(x)= x n , n pozitív egész
D f =
f (x)=n x n1
D f =
f(x)= x n , n pozitív egész
D f =\{ 0 }
f (x)=n x n1
D f =\{ 0 }
f(x)= 1 x , D f =\{ 0 } f(x)= 1 x 2 , D f =\{ 0 }
f(x)= x n , n páros pozitív egész
D f = [ 0, [
f (x)= 1 n x n1 n
D f =] 0, [
f(x)= x n , n páratlan pozitív egész
D f =
f (x)= 1 n x n1 n
D f =] ,0 [] 0, [
f(x)= x α , α , irracionális
D f =] 0, [
f (x)=α x α1
D f =] 0, [
f(x)= x
D f = [ 0, [
f (x)= 1 2 x
D f =] 0, [
f(x)= e x , D f = f (x)= e x , D f =
f(x)=lnx
D f =] 0, [
f (x)= 1 x
D f =] 0, [
f(x)= a x , a>0
D f =
f (x)= a x lna
D f =
f(x)= log a x , a>0 és a1
D f =] 0, [
f (x)= 1 xlna
D f =] 0, [
f(x)=sinx , D f = f (x)=cosx , D f =
f(x)=cosx , D f = f(x)=sinx , D f =
f(x)=t g x
D f =\{ π 2 +kπ|k }
f (x)= 1 cos 2 x
D f =\{ π 2 +kπ|k }
f(x)=ct g x
D f =\{ kπ|k }
f (x)= 1 sin 2 x
D f =\{ kπ|k }
Kidolgozott feladatok

1. feladat: Írjuk fel az f(x)= x 2 függvény az a=1 és az x helyekhez tartozó különbségi hányadosát.

Megoldás: Mivel az f függvény értelmezési tartománya , így létezik a különbségi hányados:

f(x)f(a) xa = x 2 1 x1 = (x+1)(x1) x1 =x+1 .

A különbségi hányadosnak általában kiszámoljuk a határértékét, így azt célszerű a legegyszerűbb formában felírni.

2. feladat: Számoljuk ki az f(x)= x függvény a=4 helyhez tartozó differenciálhányadosát.

Megoldás: Tudjuk, hogy D f = [ 0, [ , aminek a 4 belső pontja, és

lim xa f(x)f(a) xa = lim x4 x 4 x4 = lim x4 ( x 2 ) ( x +2 )( x 2 ) = = lim x4 1 ( x +2 ) = 1 4 ,

így tehát f (4)= 1 4 .

3. feladat: Hol veszi fel a nulla értéket az f(x)=x x 2 függvény deriváltja.

Megoldás: Először elkészítjük a derivált függvényt. Legyen a D f tetszőleges valós szám. Mivel D f = ez egyben belső pontja is D f -nek. Ekkor

f (a)= lim xa f(x)f(a) xa = lim xa x x 2 ( a a 2 ) xa = = lim xa ( xa )( x 2 a 2 ) xa = lim xa ( xa )( x+a )( xa ) xa = = lim xa ( 1( x+a ) )=12a.

Mivel ez tetszőleges a számra igaz, azt kaptuk, hogy f (x)=12x , és a derivált függvény is az egész valós számok halmazán van értelmezve.

f (x)=0 , ha x= 1 2 , tehát a derivált függvény egyedül az 1 2 helyen veszi fel a nulla értéket.

4. feladat: Határozzuk meg az f(x)= 1 x függvény derivált függvényét.

Megoldás: A függvényünk értelmezési tartománya D f =] ,0 [] 0, [ , aminek minden pontja belső pont. Legyen a D f tetszőleges, ekkor

f (a)= lim xa f(x)f(a) xa = lim xa 1 x 1 a xa = lim xa ax ax xa = = lim xa ( xa ) ax( xa ) = lim xa 1 ax = 1 a 2 .

Ebből az következik, hogy f (x)= 1 x 2 , és D f =] ,0 [] 0, [ , ugyan az, mint a D f .

5. feladat: Határozzuk meg az f(x)= x derivált függvényét.

Megoldás: Most a D f = [ 0, [ , aminek a 0 nem belső pontja, itt tehát f biztosan nem deriválható. Ha azonban 0a D f (azaz a pozitív szám), akkor

f (a)= lim xa f(x)f(a) xa = lim xa x a xa = lim xa x a ( x + a )( x a ) = = lim xa 1 x + a = 1 2 a .

Tehát f (x)= 1 2 x és D f =] 0, [ .

6. feladat: Írjuk fel az f(x)= x 2 függvény grafikonjának érintőjét az a=3 helyen.

Megoldás: Határozzuk meg a függvény értékét az a=3 helyen: f(a)=f(3)=9 . Az érintési pont koordinátái tehát ( 3,9 ) .

Meghatározzuk f (a)= f (3) értékét: az a=3 belső pontja a D f = -nek, és

f (a)= lim xa f(x)f(a) xa = lim xa x 2 a 2 xa = lim xa (x+a)(xa) xa = lim xa (x+a)=2a .

A differenciálhányados értéke az a=3 helyen, azaz a keresett érintő meredeksége:

m= f (3)=23=6

Helyettesítsünk ezután az érintőt megadó y= f (a)(xa)+f(a) képletbe.

y=6(x3)+9

A műveletek elvégzése után kapjuk, hogy az érintő egyenlete: y=6x9 .

7. feladat: Írjuk fel az f(x)= x 2 2x2 függvény a=2 -beli érintőjének egyenletét.

Megoldás: Helyettesítsük a függvénybe a megadott a=2 értéket: f(a)=f(2)= 2 2 222 . Az érintő tehát a ( 2,2 ) pontban érinti a függvény grafikonját.

A meredekség meghatározásához szükségünk van a derivált függvényre. (Valójában most is elég lenne f (2) értéke, de azt kiszámolni nem sokkal egyszerűbb, mint meghatározni a derivált függvényt, és venni annak 2-ben a helyettesítési értékét.) Az a=2 belső pontja a D f = -nek, és

f (a)= lim xa f(x)f(a) xa = lim xa x 2 2x2( a 2 2a2 ) xa = = lim xa ( x 2 a 2 )( 2x2a ) xa = lim xa ( x+a )( xa )2( xa ) xa = lim xa ( ( x+a )2 )=2a2.

A derivált függvény tehát f (x)=2x2 .

Helyettesítsünk ebbe a=2 -t, így megkapjuk a meredekséget:

m= f (2)=222=2

Részeredményeinket írjuk be az érintő y= f (a)(xa)+f(a) képletébe:

y=2( x2 )+(2) .

Végezzük el a műveleteket, és így megkapjuk az érintő egyenletének alábbi alakját:

y=2x6 .

8. feladat: Írjuk fel az f(x)= x függvény m=2 meredekségű érintőjének egyenletét.

Megoldás: Most az érintőt nem azzal határozzuk meg, hogy melyik pontban érinti a grafikont, hanem azzal, hogy mennyi a meredeksége. Mivel az érintő felírásához szükség van az érintési pont két koordinátájára, először ezeket kell meghatározni.

Tudjuk, hogy a derivált függvény f (x)= 1 2 x . Azt az a>0 számot keressük, amelyre a meredekség, azaz f (a) éppen 2. Ehhez megoldjuk az

1 2 a =2

egyenletet a-ra: a fenti képletből a = 1 4 , amiből a= 1 16 . Tehát valójában az a= 1 16 -beli érintőről van szó. Mivel f( 1 16 )= 1 4 , az érintési pont két koordinátája ( 1 16 , 1 4 ) . Az érintő y= f ( a )( xa )+f( a ) képletébe helyettesítve

y=2( x 1 16 )+ 1 4 ,

rendezve

y=2x+ 1 8 .

9. feladat: Írjuk fel az f(x)= 1 x függvénynek az y=4x9 egyenesre merőleges érintőjének egyenletét.

Megoldás: Az érintőt ismét nem az érintési pont első koordinátájával adtuk meg. Azt kell először meghatározni. Ismét az érintő meredekségéről van információnk, hiszen, ha a keresett érintő merőleges a megadott m =4 meredekségű egyenesre, akkor a meredeksége m= 1 4 . Ehhez arra kell emlékezni, hogy a síkon két egyenes akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -1. Így tehát azt az a0 számot keressük, amelyre f (a)= 1 4 . Tudjuk, hogy f (x)= 1 x 2 , így az alábbi egyenletet kell megoldanunk:

1 a 2 = 1 4 ,

amiből a 2 =4 , azaz a=±2 , két megoldást kaptunk, tehát két ilyen érintő is van.

Ha az érintési pont első koordinátája a=2 , akkor az érintési pont második koordinátája f(2)= 1 2 , és ennek az első érintőnek az egyenlete

y= 1 4 ( x2 )+ 1 2 y= x 4 +1.

Ha az érintési pont első koordinátája a=2 , akkor az érintési pont második koordinátája f(2)= 1 2 , és ennek a második érintőnek az egyenlete:

y= 1 4 ( x(2) )+( 1 2 ) y= x 4 1.

5. ábra

Az 5. ábrán a függvényünket és a két érintőjét láthatjuk.

10. feladat: Írjuk fel az f(x)= x 2 függvénynek azt az érintőjét, amelyik átmegy a Q(1,3) ponton.

Megoldás: Ismét az érintési pont meghatározásával kell kezdenünk. Tudjuk, hogy az érintő egyenlete

y= f (a)(xa)+f(a)

szerkezetű, ha figyelembe vesszük f képletét is, akkor, mivel f (x)=2x ,

y=2a(xa)+ a 2 .

Azt a számot, vagy azokat az a számokat keressük, amelyekre ez az egyenes átmegy a Q ponton, elvégezve az x=1 , y=3 helyettesítést és rendezve

3=2a(1a)+ a 2 3=2a a 2 a 2 +2a3=0.

Megoldva a kapott másodfokú egyenlete a-ra két értéket kapunk: a=1 vagy a=3 .

Az a=1 -beli érintő egyenlete az y=2a(xa)+ a 2 képletből

y=2(x1)+1 y=2x1.

Ugyanígy az a=3 -beli érintő egyenlete

y=6(x(3))+9=6(x+3)+9 y=6x9.

A függvényünket és a két érintőjét mutatja az alábbi ábra.

6. ábra

11. feladat: Az f( x )= x 3 függvény alkalmas linearizáltját felhasználva számoljuk ki közelítően 8.12 3 értékét.

Megoldás: A linearizált az érintési pont közelében közelít jól. A 8 közel van 8.12-höz, ezért az f(x)= x 3 függvény a=8 -beli linearizáltját fogjuk használni 8.12 3 közelítő értékének kiszámolására.

Szükségünk van az érintési pont második koordinátájára is: f(a)=f(8)= 8 3 =2 , az érintési pont tehát ( 8,2 ) . Mivel f (x)= ( x 3 ) = ( x 1 3 ) = 1 3 x 2 3 = 1 3 x 2 3 , azt kapjuk, hogy a meredekség f (a)= f (8)= 1 3 8 2 3 = 1 12 . Így az a=8 -beli linearizált

g(x)= 1 12 ( x8 )+2= x 12 + 4 3

Ennek a függvénynek a 8.12 helyen vett értékével közelíthető 8.12 3 . Azt kapjuk, hogy:

8.12 3 g( 8.12 )= 8.12 12 + 4 3 =2.01 .

Ha ezek után számológéppel is kiszámoljuk 8.12 3 -t, akkor a 2.009950413 értéket kapjuk. Látható, hogy a linearizált felhasználásával kapott közelítésünk meglehetősen pontos.

12. feladat: Alkalmas linearizáltat felhasználva számoljuk ki közelítően sin( 33° ) értékét.

Megoldás: Az analízisben a trigonometrikus függvények argumentumát radiánban kell megadni. Ezért először a 33 -ot átszámoljuk radiánra az x rad = π 180 x fok  képletet használva. De mivel a 33 radiánban megadott értékéhez közeli a érték is kell, hogy fel tudjuk írni az ottani linearizáltat, az átírást a következőképp csináljuk:

33 = 30 + 3 = π 180 (30+3)= π 6 + π 60 = 11π 60 =0.576 ,

(a radián mértékegységet nem írjuk ki). Innen már látjuk, hogy, mivel π 60 kicsi, az f(x)=sinx függvény a= π 6 -beli linearizáltját használhatjuk a közelítéshez. Mivel f( π 6 )=sin( π 6 )= 1 2 és f (x)=cosx , a meredekség f ( π 6 )=cos( π 6 )= 3 2 . Ezután már felírhatjuk a linearizált képletét:

g(x)= 3 2 ( x π 6 )+ 1 2 = 3 2 x+ 1 2 3 π 12 .

Ezután a keresett közelítő érték:

sin( 11π 6 )g( 11π 6 )= 3 2 11π 6 + 1 2 3 π 12 =0.5453449841 .

Ha számológéppel számoljuk sin( 33° ) -ot, akkor a 0.544639035 értéket kapjuk. Látható, hogy a közelítésünk most is elég pontos.

13. feladat: Hol metszi az f(x)= x 2 8x+19 függvény a=5 -beli érintője az x tengelyt?

Megoldás: Először felírjuk az érintő egyenletét. Mivel f(a)=f(5)=4 , az érintési pont az ( 5,4 ) koordinátájú pont. Szükségünk van f (5) értékére. Mivel f nem elemi függvény még nem ismerjük a deriváltját. Később a derivált függvény egy adott helyen vett értékét mindig úgy fogjuk kiszámolni, hogy meghatározzuk a derivált függvényt, és vesszük annak a szóban forgó helyettesítési értékét. Ehhez azonban a deriválási szabályok ismeretére van szükség, ami a következő fejezet témája. Ezért most a definíciót használva számoljuk ki f (5) értékét:

f (5)= lim x5 f(x)f(5) x5 = = lim x5 x 2 8x+194 x5 = lim x5 x 2 8x+15 x5 = = lim x5 ( x3 )( x5 ) x5 = lim x5 ( x3 )=2,

így az érintő meredeksége m= f (a)= f (5)=2 .

Ezek felhasználásával az érintő egyenlete:

y= f (a)(xa)+f(a)= =2( x5 )+4=2x6.

Az y=2x6  egyenes ott metszi az x tengelyt, ahol az y=0 . A 2x6=0 egyenletből x=3 . Tehát az f(x)= x 2 8x+19 függvény a=5 -beli érintője az ( 3,0 ) koordinátájú pontban metszi az x tengelyt. Az alábbi ábrán a függvényünket és az érintőjét láthatjuk.

7. ábra

14. feladat: Hol metszi az f(x)= x+3 függvény a=2 -beli érintője az x és az y tengelyt?

Megoldás: Úgy, mint az előző feladatban, az érintő egyenletének felírásával kezdünk. Mivel f(2)=1 , az érintési pont ( 2,1 ) . Ezen kívül az érintő felírásához f (2) értékére van szükségünk, amit most is a definíció alapján határozunk meg. (f összetett függvény, deriválásával a következő fejezetben foglalkozunk.)

f (2)= lim x2 f(x)f(2) x(2) = = lim x2 x+3 1 x+2 = lim x2 ( x+3 1 )( x+3 +1 ) ( x+2 )( x+3 +1 ) = = lim x2 ( x+2 ) ( x+2 )( x+3 +1 ) = lim x2 1 ( x+3 +1 ) = 1 2 .

Az érintő meredeksége tehát m= f (a)= f (2)= 1 2 . Ezeket felhasználva az érintő egyenlete

y= f (a)(xa)+f(a)= = 1 2 ( x(2) )+1= x 2 +2.

Az y=0 egyenletből, azaz az x 2 +2=0 egyenletből x=4 , vagyis az érintő az x tengelyt a ( 4,0 ) koordinátájú pontban metszi. Az y tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az érintő y= x 2 +2 képletében az x helyére nullát írunk, így y=2 adódik, tehát az érintő az y tengelyt a ( 0,2 ) koordinátájú pontban metszi. A függvényünket és az érintőjét mutatja az alábbi ábra.

8. ábra
Ellenőrző kérdések
1. Mi az f( x )= 3 x függvény x 0 =2 -beli érintőjének egyenlete?
y= 3 2 x+3
y= 3 4 x+3
y= 3 4 x+3
y= 3 4 x+ 3 4
2. Mi az f( x )= e x +x függvény x 0 =0 -beli érintőjének egyenlete?
y=2x+1
y=x+2
y=2x1
y=ex+1
3. Mi az f( x )= 1 x 2 függvény m=2 meredekségű érintőjének egyenlete?
y=x+2
y=x+2
y=2x+3
y=2x+4
4. Határozzuk meg az f( x )= 1 x függvény x 0 =4 -beli linearizáltját, és ezt felhasználva adjuk meg 1 5 közelítő értékét.
A linearizált y= 1 4 x+ 55 32 , s ebből 1 5 0.46875 .
A linearizált y= 1 4 x+ 27 16 , s ebből 1 5 0.4375 .
A linearizált y= 1 16 x+ 25 32 , s ebből 1 5 0.46875 .
A linearizált y= 1 16 x+ 3 4 , s ebből 1 5 0.4375 .
5. Határozzuk meg az f( x )=lnx függvény x 0 =e -beli linearizáltját, és ezt felhasználva adjuk meg ln3 közelítő értékét 4 tizedesre kerekítve.
A linearizált y= x 2e + 1 2 , s ebből ln31.0518 .
A linearizált y= x e , s ebből ln31.1036 .
A linearizált y= 2x e 1 , s ebből ln31.2073 .
A linearizált y= x 4e + 3 4 , s ebből ln31.0259 .