KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: VII. modul: Integrálszámítás
15. lecke: Bevezetés az integrálási módszerekbe
Tanulási cél: Megismerni az és típusú függvények integrálási módszerét, valamint a parciális integrálás szabályát. Ezen módszereket alkalmazni feladatokban. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Az alapintegrálok ismeretében, és az előző leckében megismert egyszerű tételek felhasználásával a függvények elég széles körében meghatározható a primitív függvény. Az alábbiakban olyan módszereket ismertetünk, melyekkel a primitív függvényt még szélesebb körben meghatározhatjuk. |
Tétel: Ha tudjuk, hogy az függvény primitív függvénye , akkor | ||
, | ||
ahol és . |
A feladatokban való alkalmazáshoz a tételt másképp úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha olyan összetett függvényt kell integrálnunk, melynek belső függvénye lineáris, akkor integráljuk a külső függvényt, s összetételt alkotunk az eredeti belső függvénnyel, valamint osztunk a belső függvényből együtthatójával. |
Kidolgozott feladatok | ||
1. feladat: | ||
Megoldás: Az integrandusunk jól láthatóan olyan összetett függvény, amelynek belső függvénye elsőfokú polinom, vagy más szóval lineáris. Alkalmazhatjuk a fent megismert szabályt. | ||
A külső függvény . Ennek integrálja: . | ||
A belső függvény , ez felel meg -nek, azaz és . | ||
Ezután egyszerűen behelyettesítünk a szabályba. | ||
Az ilyen feladatokban általában nem szükséges sok átalakítást végrehajtani az integranduson, a hangsúly azon van, hogy felismerjük, ilyen típusú összetett függvényünk van. Ha ez sikerült, akkor már könnyű alkalmazni a szabályt. | ||
2. feladat: | ||
Megoldás: Az integranduson megint azt ismerhetjük fel, hogy olyan összetett függvény, melynek belső függvénye elsőfokú. | ||
A külső függvény most nyilván az . Ennek integrálja a következő: . | ||
A belső függvény most , tehát és . | ||
Alkalmazva az szabályt, az alábbi eredményt kapjuk: | ||
. | ||
3. feladat: | ||
Megoldás: Ha most deriválnunk kellene, akkor azt mondanánk, jelen esetben egy többszörösen összetett függvényünk van. Külső függvény az , középső a , és belső az . Nem muszáj azonban ennyire felbontanunk a függvényt, sőt integrálásnál nem is célszerű. Az előző felbontásban szereplő belső függvény, az , egy lineáris függvény. Csak annyit kell tennünk, hogy amit az előbb külső és középső függvénynek tekintettünk, azt nem bontjuk fel, hanem egyben tekintjük külső függvénynek. Azaz most lesz a külső függvény. Azért célszerű ez a felbontás, mert így a külső függvény egy alapintegrál. Tudjuk ugyanis, hogy . | ||
Amint már említettük, a belső függvény , azaz és . | ||
Alkalmazva a korábban ismertetett szabályt, az alábbi eredményt kapjuk: | ||
. | ||
4. feladat: | ||
Megoldás: Az integrandus ebben az esetben is olyan összetett függvény, melynek belső függvénye elsőfokú. | ||
A külső függvény nyilván a , melynek integrálja: . | ||
A belső függvény , tehát , és . | ||
Alkalmazva az előzőekben ismertetett szabályt, a következőt kapjuk: | ||
. | ||
5. feladat: | ||
Megoldás: Most is olyan függvényt kell integrálnunk, melynek belső függvénye lineáris. | ||
A külső függvény most az , melynek integrálja önmaga, azaz: . | ||
A belső függvény , tehát , és . | ||
Alkalmazva az előzőekben ismertetett szabályt, a következőt kapjuk: | ||
. | ||
A feladatban arra kell figyelni, hogy a lineáris belső függvényben most fordított a sorrend, azaz a konstans áll elől, és az elsőfokú rész hátul. Valamint ne feledkezzünk el arról sem, hogy az együtthatóba az előjel is beletartozik. Mivel most szerepel, ezért az elsőfokú részben az együttható . |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. ![]() | |||||||||
2. ![]() | |||||||||
3. ![]() | |||||||||
4. ![]() | |||||||||
5. ![]() |
Elméleti összefoglaló |
Tétel: . |
A feladatokban történő alkalmazáshoz a tételt úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha olyan törtet kell integrálnunk, melynek számlálója a nevező deriváltjával egyenlő, akkor az integrálás eredménye a nevező abszolút értékének a logaritmusa lesz. |
Kidolgozott feladatok | ||
6. feladat: | ||
Megoldás: Az integrandus olyan tört, melynek számlálójában épp a nevező deriváltja áll, hiszen . Ezt úgy is mondhatjuk, hogy egy típusú függvényt kell integrálnunk. | ||
Mivel most jól láthatóan , csak annyi a feladatunk, hogy behelyettesítsünk a szabályba. | ||
7. feladat: | ||
Megoldás: Most azt kell felismernünk az integranduson, hogy a számláló, csak egy konstans szorzóban tér el a nevező deriváltjától, hiszen . | ||
Ha be tudjuk csempészni a számlálóba a 3-at, akkor az integrandus típusú lesz, s el tudjuk végezni az integrálást. Hasonló esettel már találkoztunk korábban, és akkor a hiányzó konstanssal szoroztunk is, osztottunk is. Járjunk el most is így, és az osztást egyből írjuk az integrál jel elé reciprokkal történő szorzás formájában. | ||
Ezután már csak be kell helyettesítenünk az | ||
szabályba. | ||
Mivel a minden esetén, ezért hagyhattuk el az abszolút értéket az eredményben. | ||
Amint látható, ha olyan törtünk van, melyben a számláló csak konstans szorzóban különbözik a nevező deriváltjától, akkor a hiányzó konstanssal szorozva és osztva is, elérhető, hogy típusú függvény legyen az integrandus. | ||
8. feladat: | ||
Megoldás: Vegyük észre, hogy a nevező deriváltja , csak egy konstans szorzóban tér el a tört számlálójától, ami . Ahhoz, hogy típusú függvény legyen az integrandus, szükség lenne a számlálóban egy 2-es szorzóra. Az előbbiek szerint szorozzunk 2-vel, és ossszunk is 2-vel. Az osztást egyből írjuk az integrál elé -del szorzás formájában. | ||
Már csak be kell helyettesítenünk a szabályba. | ||
Az abszolút érték most is elhagyható az eredményben, hiszen minden esetén. | ||
9. feladat: | ||
Megoldás: Használjuk fel a definícióját, azaz írjunk helyette -et. | ||
Az integrálandó tört számlálója csak egy előjelben tér el a nevező deriváltjától, hiszen. Szorozzuk meg ezért az integrandust -gyel, és az integrál elé is írjunk egy negatív előjelet. Így elérjük, hogy az integrandus típusú függvény legyen. | ||
Ezután már csak be kell helyettesítenünk a megfelelő integrálási szabályba. | ||
10. feladat: | ||
Megoldás: Ugyan törtet kell integrálnunk, de most nyilván nem igaz, hogy a számlálóban a nevező deriváltja áll, hiszen a nevezőben egy szorzat van, aminek deriváltja nem 1. Látunk azonban a függvényben részletként -et, amiről tudjuk, hogy deriváltja , s a nevezőben szerepel a is. Használjuk fel a törtek azon átalakítását, amivel emeletes törtté alakíthatunk egy törtet, ha a nevezőben szorzat áll. Ezt az alábbi módon írhatjuk: | ||
vagy . | ||
Ha ezt úgy alkalmazzuk, hogy a számlálóba kerül, akkor ezzel a nevezőben maradó deriváltját kapjuk meg, azaz típusúvá sikerül alakítanunk a függvényt. | ||
Ezután már csak be kell helyettesítenünk a szabályba. | ||
A feladatot sikerült megoldanunk, de talán többen azt mondják magukban, hogy ők bizony másképp alakították volna az integrandust. Az előző feladatban szerepelt, hogy , amit most is felhasználhattunk volna. Így a tört nevezőjében még egyszerűsíthetünk is. | ||
Ezen a ponton azonban elakadunk. A kapott tört nem alapintegrál, és nem tudjuk egyik könnyen integrálható függvénytípust, azaz -t, vagy -t sem kialakítani. Az átalakításunk ugyan jó, de nem segít a függvény integrálásában. Az integrálási feladatokban tudatosan keresni kell, hogy a tanult szabályok közül melyik alkalmazható az adott esetben. Mivel már két olyan szabályt is láttunk, amiben függvény és deriváltja is szerepel, így kijelenthetjük, hogy a szabályok sok esetben csak akkor ismerhetők fel, ha jól ismerjük az alapderiváltakat. Ha nem tudjuk, melyik függvénynek mi a deriváltja, akkor nem fogjuk felismerni a feladatokban, hogy ezeket az integrálási szabályokat kellene alkalmaznunk. Ilyenkor könnyen kerülhetünk olyan zsákutcába, mint amibe fenti átalakításokkal jutottunk. | ||
11. feladat: | ||
Megoldás: Ilyen formában a tört számlálója nyilván nem egyenlő a nevező deriváltjával. De a nevezőben látjuk az -et, amiről tudjuk, hogy deriváltja , és az is ott van a nevezőben. Ha ugyanúgy emeletes törtté alakítunk, mint az előző feladatban, akkor most is típusú függvényt kapunk. Vigyünk a számlálóba az -et. | ||
A szokásos módon már csak behelyettesítünk a szabályba. | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
6. ![]() | |||||||||
7. ![]() | |||||||||
8. ![]() | |||||||||
9. ![]() | |||||||||
10. ![]() |