KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények
5. lecke: Függvény tulajdonságok és az elemi függvények
Tanulási célok: a legfontosabb függvénytulajdonságok áttekintése, az elemi függvények ezen tulajdonságok alapján való jellemzése. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
A következő részben felsoroljuk azokat a fogalmakat, amelyeket a függvények vizsgálata során a leggyakrabban használunk. |
Definíció: Az f függvénynek az helyen globális maximuma van, ha az értelmezési tartományba eső minden esetén (1. ábra). | |||
|
Definíció: Az f függvénynek az helyen globális minimuma van, ha az értelmezési tartományba eső minden esetén (2. ábra). | |||
| |||
Definíció: Az globális maximumot és globális minimumot globális szélsőértéknek, az helyet pedig globális szélsőértékhelynek nevezzük. Ha az csak az hely valamely környezetében maximális, illetve minimális, akkor lokális maximumról, illetve lokális minimumról beszélünk, pedig lokális maximumhely, illetve lokális minimumhely, közös néven lokális szélsőértékhely (3. ábra). | |||
| |||
lokális minimumhely | |||
Definíció: Az f függvény monoton nő az intervallumon, ha minden és esetén teljesül, hogy (4. ábra). | |||
| |||
Definíció: Az f függvény monoton csökken az intervallumon, ha minden és esetén teljesül, hogy (5. ábra). | |||
| |||
Tehát a monoton növekedés (és monoton csökkenés) definíciója megengedi, hogy a függvény grafikonjában legyenek olyan szakaszok, ahol azok párhuzamosak az x tengellyel (tehát konstansok). | |||
Definíció: Hasonlóképp fogalmazhatóak meg a függvények szigorú monotonitására vonatkozó definíciók is. Az f függvény szigorúan monoton nő az intervallumon, ha minden és esetén teljesül, hogy (6. ábra). | |||
| |||
Definíció: Az f függvény szigorúan monoton csökken az intervallumon, ha minden és esetén teljesül, hogy (7. ábra). | |||
| |||
Definíció: Az f függvényt páros függvénynek nevezzük, ha minden esetén is az értelmezési tartományban van és (8. ábra). | |||
Definíció: Az f függvényt páratlan függvénynek nevezzük, ha minden esetén is az értelmezési tartományban van és (9. ábra). | |||
| |||
| |||
Megjegyzés: A páros függvény görbéje az y tengelyre, a páratlan függvény görbéje az origóra szimmetrikus. Az (ahol n páros), függvények párosak, az (ahol n páratlan), függvények páratlanok. A többi elemi függvény se nem páros, se nem páratlan. | |||
Definíció: Minden olyan érték, amelyre az f függvény helyettesítési értéke 0, azaz , az f függvény zérushelye. Azaz a zérushely az f függvény x tengellyel való metszéspontjá(i)t adja meg. |
Elemi függvények | ||
Lineáris függvény | ||
| ||
b az y tengellyel való metszéspont | ||
ha , akkor szigorúan monoton nő | ||
nincs globális szélsőérték | ||
Hatványfüggvény | ||
| ||
, n páros pozitív egész | ||
szigorúan monoton csökken tartományon | ||
Hatványfüggvény | ||
| ||
, n páratlan pozitív egész | ||
szigorúan monoton nő -en | ||
Gyökfüggvény | ||
| ||
, n páros pozitív egész | ||
szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon | ||
Törtfüggvény | ||
| ||
, n páratlan pozitív egész | ||
szigorúan monoton csökken a és a tartományokon | ||
Exponenciális függvény | ||
| ||
, | ||
szigorúan monoton nő -en | ||
Fontos kiemelni az e alapú exponenciális függvényt (más néven természetes alapú exponenciális függvény), ahol e egy irracionális szám, melynek értéke 2,7182818284..., jelölése: . | ||
Exponenciális függvény | ||
| ||
, | ||
szigorúan monoton csökken -en | ||
Példa: radioaktív elemek felezési ideje exponenciális függvényt követ, a Föld légkörében a nyomás a magasság függvényében exponenciálisan csökken | ||
Logaritmusfüggvény | ||
| ||
, | ||
szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon | ||
Fontos kiemelni a természetes logaritmus függvényt (más néven e alapú logaritmus függvény), ahol a logaritmus alapja az exponenciális függvénynél már látott e irracionális szám. Jelölése: (más jelöléssel ) | ||
Logaritmusfüggvény | ||
| ||
, | ||
szigorúan monoton csökken az értelmezési tartományon | ||
Szinuszfüggvény | ||
| ||
szigorúan monoton nő a tartományokon, | ||
szigorúan monoton csökken a tartományokon, | ||
periodikus szerint | ||
globális maximum helye , értéke | ||
globális minimum helye , értéke | ||
páratlan függvény | ||
Koszinuszfüggvény | ||
| ||
szigorúan monoton nő a tartományokon, | ||
Tangensfüggvény | ||
| ||
szigorúan monoton nő az értelmezési tartományon |
Definíció: Az aszimptota egy olyan görbe, többnyire egyenes, amelyet egy függvény grafikonja tetszőlegesen megközelít (hozzásimul), de soha el nem éri. |
Például: Az függvénynek függőleges aszimptotája a egyenletű egyenes (10. ábra). | |||
| |||
Az függvénynek vízszintes aszimptotája az egyenletű egyenes (11. ábra). | |||
| |||
Az függvénynek két aszimptotája van, a függőleges -ban, a vízszintes aszimptota -ban (12. ábra). | |||
| |||
Az függvénynek végtelen sok függőleges aszimptotája van az pontokban (13. ábra). | |||
|