KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények
4. lecke: Függvény transzformációk
Tanulási célok: lineáris függvénytranszformációk áttekintése, a transzformációk hatásának ábrázolása a függvénygörbén, függvényekkel végzett műveletek grafikonjának ábrázolása. | ||||||||||||||||
Elméleti összefoglaló | ||||||||||||||||
Sokszor egy-egy függvény ábráját egy már ismert elemi függvény görbéjéből eltolással, tükrözéssel, nyújtással vagy zsugorítással, azaz transzformációval kapjuk meg. | ||||||||||||||||
Tekintsük át a leggyakrabban előforduló függvénytranszformációkat, s azok hatását a függvénygörbére. | ||||||||||||||||
Érték transzformáció
| ||||||||||||||||
Változó transzformáció
| ||||||||||||||||
Érdemes megjegyezni, hogy ha egy függvény esetében több transzformációt kell elvégezni, akkor először a változó transzformációkat, majd az érték transzformációkat kell elvégezni. A változó transzformációk az értelmezési tartományra, míg az érték transzformációk az értékkészletre hatnak, s azt változtatják meg. |
Kidolgozott példák | |||||||||||
1. feladat: Ábrázolja az függvényt. | |||||||||||
Megoldás: Függvényábrázoláskor érdemes először az értelmezési tartományt megvizsgálni a tanult módon, s az ábrázolást követően pedig ellenőrizni, hogy az ábra valóban megfelel az értelmezési tartomány miatt tett kikötéseknek. Ebben az esetben a lineáris függvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tenni, a függvény a teljes -en értelmezve van. | |||||||||||
Az ábrázolás előtt egy átalakítást kell elvégezni | |||||||||||
Ebből az alakból már látható, hogy egy lineáris egyenes lesz a függvény képe. Az x együtthatója adja a meredekséget (), és a konstans tag pedig, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt (y tengely menti eltolás pozitív irányba -del). Ezek alapján a függvényt a 1. ábra mutatja. | |||||||||||
| |||||||||||
2. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. | |||||||||||
Megoldás: A másodfokú függvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tenni, a függvény a teljes -en értelmezve van. A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni: | |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
3. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. | |||||||||||
Megoldás: A másodfokú függvény értelmezési tartománya . Ez a másodfokú függvény az előző függvény felírásától abban különbözik, hogy nem olvashatóak le róla közvetlenül a függvénytranszformációs lépések (a függvényben több helyen szerepel az x változó). Ehhez először teljes négyzetté kell alakítanunk: | |||||||||||
Ez alapján a függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni: | |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
4. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt, majd az ábráról olvassa le, hogy hol van a függvénynek aszimptotája. | |||||||||||
Megoldás: A törtfüggvény esetében a nevezőre kikötést kell tennünk, mégpedig a nevező nem lehet 0, azaz , amiből . Tehát az értelmezési tartomány . A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni: | |||||||||||
| |||||||||||
A 6. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban nincs az -ben értelmezve, függőleges aszimptotája van ott. Valamint vízszintes aszimptotát látunk az -ben. | |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
5. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. | |||||||||||
Megoldás: A törtfüggvény esetében a nevezőre itt is kikötést kell tennünk, mégpedig a nevező nem lehet 0, azaz , amiből . Tehát az értelmezési tartomány . | |||||||||||
Ez a tört függvény az előző függvény felírásától abban különbözik, hogy nem olvashatóak le róla közvetlenül a függvénytranszformációs lépések (a függvényben több helyen szerepel az x változó). Ehhez először a következő átalakításokra van szükség (a nevezőt kialakítjuk a számlálóban, majd egyszerűsítünk): | |||||||||||
Erről a felírásból már egyértelműen leolvashatóak a függvénytranszformációs lépések, melyeket a következő sorrendben érdemes elvégezni: | |||||||||||
| |||||||||||
A 8. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban nincs az -ban értelmezve, függőleges aszimptotája van ott. | |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
6. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. | |||||||||||
Megoldás: A logaritmusfüggvény argumentumára kikötést kell tennünk, mégpedig az argumentumnak 0-nál nagyobbnak kell lennie, azaz , amiből . Tehát az értelmezési tartomány . | |||||||||||
A logaritmusfüggvény ábrázolásakor mindig meg kell néznünk a logaritmus alapját, mert az alap határozza meg a függvény monotonitását. Itt a logaritmus alapja e, ami 1-nél nagyobb (), így a logaritmusfüggvény ebben az esetben szigorúan monoton növekvő lesz. A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni: | |||||||||||
| |||||||||||
A 9. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban csak negatív értékekre van értelmezve, s az -ban függőleges aszimptotája van. | |||||||||||
| |||||||||||
7. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. Hol metszi a függvény az y tengelyt? | |||||||||||
Megoldás: Az exponenciális függvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tennünk, így a függvény a teljes -en értelmezve van. | |||||||||||
Az exponenciális függvény esetében is hasonlóan a logaritmusfüggvényhez mindig meg kell vizsgálnunk az alapot, mert az alap itt is meghatározza a függvény monotonitását. Ebben az esetben az exponenciális kifejezés alapja , ami 1-nél kisebb, de 0-nál nagyobb, így az exponenciális függvény szigorúan monoton csökkenő lesz. | |||||||||||
A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni: | |||||||||||
| |||||||||||
A 10. ábráról leolvasható, hogy a függvény az -ben metszi az y tengelyünket. (Egyszerűen végiggondolható, hogy miért. Az alapfüggvény az -ben metszi az y tengelyt. A 2. transzformációs lépés ezt a metszéspontot nem változtatja, míg a következő lépésben az ötszörösét kell venni, azaz felkerül a metszéspont az -be. A tükrözés során -be kerül, s az utolsó lépésben 1-et hozzáadva -et kapunk.) | |||||||||||
Egy lépéssel kevesebbet is végezhettünk volna, ha egy hatványazonosságot alkalmazunk az ábrázolás előtt, mégpedig | |||||||||||
Ezzel az átalakítással a második transzformációs lépés kihagyható, s alapfüggvényként az kerül ábrázolásra, a többi lépés megegyezik az előzővel. | |||||||||||
| |||||||||||
8. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. Az ábráról olvassuk le a globális szélsőértéket. | |||||||||||
Megoldás: A gyökfüggvény esetében a gyök alatti kifejezésnek nemnegatívnak kell lennie, azaz , amiből . Tehát az értelmezési tartomány . | |||||||||||
Az ábrázolás előtt az argumentumon átalakítást kell végezni a következőképp | |||||||||||
Ezt követően már leolvashatóak a függvénytranszformációs lépések: | |||||||||||
| |||||||||||
A 11. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban csak az értékekre van értelmezve. | |||||||||||
A 11. ábráról leolvasva a globális minimum helye , értéke . (Egyszerűen végiggondolható, hogy miért. Az alapfüggvénynek az origóban van globális minimuma. Az első transzformációs lépés nem változtat ezen, a következő viszont eltolja balra 2-vel, azaz átkerül az -ba. Az utolsó transzformáció során a felfelé tolással a minimum y értéke megváltozik, így lesz a minimum helye , értéke .) | |||||||||||
| |||||||||||
9. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az függvényt. | |||||||||||
Megoldás: A koszinuszfüggvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tennünk, így az értelmezési tartomány . | |||||||||||
Az ábrázolás előtt itt is az argumentumon átalakítást kell végezni a következőképp | |||||||||||
A függvényt ilyen alakban már a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni: | |||||||||||
| |||||||||||
| |||||||||||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Melyik ábra tartozik az függvényhez?
![]() | |||||||||
2. Hol van globális szélsőértéke az függvénynek?
![]() | |||||||||
3. Hol van aszimptotája az függvénynek?
![]() | |||||||||
4. Melyik ábra tartozik az függvényhez?
![]() | |||||||||
5. Melyik ábra tartozik az függvényhez?
![]() | |||||||||
6. Hol metszi az függvény az y tengelyt? ![]() | |||||||||
7. Melyik ábra tartozik az függvényhez?
![]() | |||||||||
8. Melyik hozzárendelési szabály tartozik a következő függvényábrához? ![]() ![]() |