KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: VI. modul: Differenciálszámítás
11. lecke: Differenciálszámítás bevezetése
Tanulási cél: A differencia és differenciálhányados fogalmának megismerése. Elemi derivált függvények megadása. Érintő egyenletének értelmezése és felírása. | |||
Motivációs példa | |||
Azt szokták mondani, hogy semmi sem állandó csak a változás. Valóban, a minket körülvevő világban minden folyamatosan átalakul, minden sok minden mással kapcsolatban van, azoktól függ. Ezeknek a viszonyoknak a felderítése a természettudományok fő feladata. A különféle függések egyik matematikai modellje a függvény fogalma. A változások sok jellemzője közül az egyik nagyon fontos a változás "sebessége". A gyorsan változó folyamatok veszélyt hordozhatnak magukban azáltal, hogy nem adnak időt a reagálásra. | |||
Egy vállalkozás szempontjából nagyon fontos kérdés, hogy a termelt mennyiséget növelve hogyan változik és milyen mértékben az összköltség. Egy termék ára befolyásolja a termék iránti keresletet és ezáltal a nyereséget is. Ha emeljük a termék árát, a kereslet és a nyereség is változni fog. Kérdés milyen irányú és milyen mértékű ez a változás. | |||
A változások gyorsaságát a matematika a derivált fogalmával ragadja meg. | |||
Elméleti összefoglaló | |||
Az analízis fejlődése, amint az gyakran máskor is előfordult, szorosan kötődött problémák megoldásához. A mi esetünkben az egyik ilyen probléma az érintő meghatározása volt. | |||
| |||
A fenti ábrán egy függvény grafikonját és annak a pontban megrajzolt "érintőjét" látjuk. Érezzük, hogy az függvény megadása és a P pont lerögzítése meghatározza az ábrán pirossal jelölt egyenest. Ennek az egyenesnek is az egyenlete, csak az a kérdés, hogy az meredekség és a konstans hogyan függ az függvénytől és a ponttól. | |||
| |||
Ez az ábra azt mutatja, hogy az érintő a szelők határhelyzetének tekinthető: a és pontokon átmenő szelő egyre "közelebb" van az érintőhöz, ahogy a Q pont egyre közelebb kerül P-hez. Ezek motiválják a következő definíciókat. | |||
Legyen az f függvény értelmezési tartományának két különböző elem, és tekintsük az függvény grafikonján a és a pontokat. | |||
|
Definíció: Az és helyekhez tartozó különbségi hányados vagy differencia hányados a | ||
tört. | ||
Definíció: Ha az helyen létezik és véges az a és x helyekhez tartozó különbségi hányadosnak a | ||
határértéke, akkor az f függvény differenciálható az helyen. Ekkor a fenti határérték értékét jelöli, és ezt az helyhez tartozó differenciálhányadosnak hívjuk, így tehát | ||
. |
Ha létezik , akkor a fenti határérték létezése miatt, és azért, mert is létezik, az hely csak belső pontja lehet a -nek. |
Definíció: Azt az függvényt, amelyik az függvény értelmezési tartományának azokban az pontjaiban van értelmezve, ahol az függvény differenciálható, és minden ilyen helyen az értéke az -beli differenciálhányados, az függvény derivált függvényének hívjuk. |
A derivált függvény értelmezési tartomány tehát részhalmaza az eredeti függvény értelmezési tartományának. | ||
A differenciálhányados segítségével az érintő problémája már megoldható. |
Definíció: Ha differenciálható az helyen, akkor az grafikonjához a pontban húzható érintő meredeksége , és az érintő egyenes egyenlete | ||
. |
Ebből látható, hogy esetén az érintő vízszintes, esetén az érintő emelkedő egyenes, vagyis az a hely közelében a függvény növekszik, és esetén pedig érintő süllyedő egyenes vagyis az a hely közelében a függvény csökken. | ||
Az érintő egyenes tekinthető egy lineáris függvény grafikonjának. Ezt a g függvényt hívjuk az f függvény a-beli linearizáltjának. Elég egy pillantást vetni egy függvényt és annak egy érintőjét mutató ábrára, hogy világos legyen: a linearizált jól közelíti az érintési pontban a függvényt. Sőt, bármilyen bonyolult is az f függvény, egy nagyon egyszerű lineáris függvény szolgáltatja ezt a jó közelítést. Ez lehetőséget ad függvényértékek közelítő meghatározására. |
Tétel: Ha az f függvény differenciálható a-ban, akkor folytonos is a-ban. |
Sőt, ennél több is igaz. Az a pontbeli differenciálhatóság azt jelenti, hogy a függvény grafikonja sima az a pont környékén, nincs szakadása és nincs töréspontja. Ha közelről nézzük a grafikont, akkor az egyenesnek tűnik. Az alábbi ábrasor ezt szemlélteti egy pontban differenciálható, és egy az a pontban nem differenciálható függvény esetén: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az analízisben a fő célunk, hogy egy függvényről a hozzárendelési utasítás ismeretében minél több információt megismerjünk. Ki fog derülni, hogy ebben a fő segédeszköz a derivált függvény. Az derivált függvény vizsgálatával az eredeti f függvény számos, minket érdeklő tulajdonsága felderíthető. (Például a növekedés vagy fogyás, maximális vagy minimális értéket, a grafikon görbülésének jellege stb.) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tehát mindenek előtt arra van szükség, hogy minél több függvény derivált függvényét egyszerűen és gyorsan elő tudjuk állítani. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az analízisben olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyek az elemi függvényekből épülnek fel a különböző műveletek segítségével. Ebből is látható, hogy a későbbiekben az elemi függvények deriváltjainak alapvető jelentőségük lesz. A következő táblázatban megadjuk az elemi függvények deriváltjait. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kidolgozott feladatok | |||
1. feladat: Írjuk fel az függvény az és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. | |||
Megoldás: Mivel az függvény értelmezési tartománya , így létezik a különbségi hányados: | |||
. | |||
A különbségi hányadosnak általában kiszámoljuk a határértékét, így azt célszerű a legegyszerűbb formában felírni. | |||
2. feladat: Számoljuk ki az függvény helyhez tartozó differenciálhányadosát. | |||
Megoldás: Tudjuk, hogy , aminek a 4 belső pontja, és | |||
így tehát . | |||
3. feladat: Hol veszi fel a nulla értéket az függvény deriváltja. | |||
Megoldás: Először elkészítjük a derivált függvényt. Legyen tetszőleges valós szám. Mivel ez egyben belső pontja is -nek. Ekkor | |||
Mivel ez tetszőleges a számra igaz, azt kaptuk, hogy , és a derivált függvény is az egész valós számok halmazán van értelmezve. | |||
, ha , tehát a derivált függvény egyedül az helyen veszi fel a nulla értéket. | |||
4. feladat: Határozzuk meg az függvény derivált függvényét. | |||
Megoldás: A függvényünk értelmezési tartománya , aminek minden pontja belső pont. Legyen tetszőleges, ekkor | |||
Ebből az következik, hogy , és , ugyan az, mint a . | |||
5. feladat: Határozzuk meg az derivált függvényét. | |||
Megoldás: Most a , aminek a 0 nem belső pontja, itt tehát f biztosan nem deriválható. Ha azonban (azaz a pozitív szám), akkor | |||
Tehát és . | |||
6. feladat: Írjuk fel az függvény grafikonjának érintőjét az helyen. | |||
Megoldás: Határozzuk meg a függvény értékét az helyen: . Az érintési pont koordinátái tehát . | |||
Meghatározzuk értékét: az belső pontja a -nek, és | |||
. | |||
A differenciálhányados értéke az helyen, azaz a keresett érintő meredeksége: | |||
Helyettesítsünk ezután az érintőt megadó képletbe. | |||
A műveletek elvégzése után kapjuk, hogy az érintő egyenlete: . | |||
7. feladat: Írjuk fel az függvény -beli érintőjének egyenletét. | |||
Megoldás: Helyettesítsük a függvénybe a megadott értéket: . Az érintő tehát a pontban érinti a függvény grafikonját. | |||
A meredekség meghatározásához szükségünk van a derivált függvényre. (Valójában most is elég lenne értéke, de azt kiszámolni nem sokkal egyszerűbb, mint meghatározni a derivált függvényt, és venni annak 2-ben a helyettesítési értékét.) Az belső pontja a -nek, és | |||
A derivált függvény tehát . | |||
Helyettesítsünk ebbe -t, így megkapjuk a meredekséget: | |||
Részeredményeinket írjuk be az érintő képletébe: | |||
. | |||
Végezzük el a műveleteket, és így megkapjuk az érintő egyenletének alábbi alakját: | |||
. | |||
8. feladat: Írjuk fel az függvény meredekségű érintőjének egyenletét. | |||
Megoldás: Most az érintőt nem azzal határozzuk meg, hogy melyik pontban érinti a grafikont, hanem azzal, hogy mennyi a meredeksége. Mivel az érintő felírásához szükség van az érintési pont két koordinátájára, először ezeket kell meghatározni. | |||
Tudjuk, hogy a derivált függvény . Azt az számot keressük, amelyre a meredekség, azaz éppen 2. Ehhez megoldjuk az | |||
egyenletet -ra: a fenti képletből , amiből . Tehát valójában az -beli érintőről van szó. Mivel , az érintési pont két koordinátája . Az érintő képletébe helyettesítve | |||
, | |||
rendezve | |||
. | |||
9. feladat: Írjuk fel az függvénynek az egyenesre merőleges érintőjének egyenletét. | |||
Megoldás: Az érintőt ismét nem az érintési pont első koordinátájával adtuk meg. Azt kell először meghatározni. Ismét az érintő meredekségéről van információnk, hiszen, ha a keresett érintő merőleges a megadott meredekségű egyenesre, akkor a meredeksége . Ehhez arra kell emlékezni, hogy a síkon két egyenes akkor merőleges egymásra, ha a meredekségeik szorzata -1. Így tehát azt az számot keressük, amelyre . Tudjuk, hogy , így az alábbi egyenletet kell megoldanunk: | |||
, | |||
amiből , azaz , két megoldást kaptunk, tehát két ilyen érintő is van. | |||
Ha az érintési pont első koordinátája , akkor az érintési pont második koordinátája , és ennek az első érintőnek az egyenlete | |||
Ha az érintési pont első koordinátája , akkor az érintési pont második koordinátája , és ennek a második érintőnek az egyenlete: | |||
| |||
Az 5. ábrán a függvényünket és a két érintőjét láthatjuk. | |||
10. feladat: Írjuk fel az függvénynek azt az érintőjét, amelyik átmegy a ponton. | |||
Megoldás: Ismét az érintési pont meghatározásával kell kezdenünk. Tudjuk, hogy az érintő egyenlete | |||
szerkezetű, ha figyelembe vesszük képletét is, akkor, mivel , | |||
. | |||
Azt számot, vagy azokat az számokat keressük, amelyekre ez az egyenes átmegy a Q ponton, elvégezve az , helyettesítést és rendezve | |||
Megoldva a kapott másodfokú egyenlete a-ra két értéket kapunk: vagy . | |||
Az -beli érintő egyenlete az képletből | |||
Ugyanígy az -beli érintő egyenlete | |||
A függvényünket és a két érintőjét mutatja az alábbi ábra. | |||
| |||
11. feladat: Az függvény alkalmas linearizáltját felhasználva számoljuk ki közelítően értékét. | |||
Megoldás: A linearizált az érintési pont közelében közelít jól. A 8 közel van 8.12-höz, ezért az függvény -beli linearizáltját fogjuk használni közelítő értékének kiszámolására. | |||
Szükségünk van az érintési pont második koordinátájára is: , az érintési pont tehát . Mivel , azt kapjuk, hogy a meredekség . Így az -beli linearizált | |||
Ennek a függvénynek a helyen vett értékével közelíthető . Azt kapjuk, hogy: | |||
. | |||
Ha ezek után számológéppel is kiszámoljuk -t, akkor a értéket kapjuk. Látható, hogy a linearizált felhasználásával kapott közelítésünk meglehetősen pontos. | |||
12. feladat: Alkalmas linearizáltat felhasználva számoljuk ki közelítően értékét. | |||
Megoldás: Az analízisben a trigonometrikus függvények argumentumát radiánban kell megadni. Ezért először a -ot átszámoljuk radiánra az képletet használva. De mivel a radiánban megadott értékéhez közeli a érték is kell, hogy fel tudjuk írni az ottani linearizáltat, az átírást a következőképp csináljuk: | |||
, | |||
(a radián mértékegységet nem írjuk ki). Innen már látjuk, hogy, mivel kicsi, az függvény -beli linearizáltját használhatjuk a közelítéshez. Mivel és , a meredekség . Ezután már felírhatjuk a linearizált képletét: | |||
. | |||
Ezután a keresett közelítő érték: | |||
. | |||
Ha számológéppel számoljuk -ot, akkor a 0.544639035 értéket kapjuk. Látható, hogy a közelítésünk most is elég pontos. | |||
13. feladat: Hol metszi az függvény -beli érintője az x tengelyt? | |||
Megoldás: Először felírjuk az érintő egyenletét. Mivel , az érintési pont az koordinátájú pont. Szükségünk van értékére. Mivel f nem elemi függvény még nem ismerjük a deriváltját. Később a derivált függvény egy adott helyen vett értékét mindig úgy fogjuk kiszámolni, hogy meghatározzuk a derivált függvényt, és vesszük annak a szóban forgó helyettesítési értékét. Ehhez azonban a deriválási szabályok ismeretére van szükség, ami a következő fejezet témája. Ezért most a definíciót használva számoljuk ki értékét: | |||
így az érintő meredeksége . | |||
Ezek felhasználásával az érintő egyenlete: | |||
Az egyenes ott metszi az x tengelyt, ahol az . A egyenletből . Tehát az függvény -beli érintője az koordinátájú pontban metszi az x tengelyt. Az alábbi ábrán a függvényünket és az érintőjét láthatjuk. | |||
| |||
14. feladat: Hol metszi az függvény -beli érintője az x és az y tengelyt? | |||
Megoldás: Úgy, mint az előző feladatban, az érintő egyenletének felírásával kezdünk. Mivel , az érintési pont . Ezen kívül az érintő felírásához értékére van szükségünk, amit most is a definíció alapján határozunk meg. (f összetett függvény, deriválásával a következő fejezetben foglalkozunk.) | |||
Az érintő meredeksége tehát . Ezeket felhasználva az érintő egyenlete | |||
Az egyenletből, azaz az egyenletből , vagyis az érintő az x tengelyt a koordinátájú pontban metszi. Az y tengellyel való metszéspontot megkapjuk, ha az érintő képletében az x helyére nullát írunk, így adódik, tehát az érintő az y tengelyt a koordinátájú pontban metszi. A függvényünket és az érintőjét mutatja az alábbi ábra. | |||
|
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Mi az függvény -beli érintőjének egyenlete? ![]() | |||||||||
2. Mi az függvény -beli érintőjének egyenlete? ![]() | |||||||||
3. Mi az függvény meredekségű érintőjének egyenlete? ![]() | |||||||||
4. Határozzuk meg az függvény-beli linearizáltját, és ezt felhasználva adjuk meg közelítő értékét.
![]() | |||||||||
5. Határozzuk meg az függvény-beli linearizáltját, és ezt felhasználva adjuk meg közelítő értékét 4 tizedesre kerekítve.
![]() |