KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények

7. lecke: Inverz függvény

Tanulási cél: az inverz függvény fogalmának megismerése, grafikonjának képzése, egyszerűbb függvények esetében az inverz függvény képletének előállítása.

Elméleti összefoglaló

Definíció: Egy f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha bármely x 1 x 2 esetén f( x 1 )f( x 2 ) (2. ábra).

Nem kölcsönösen egyértelmű függvény
1. ábra
Kölcsönösen egyértelmű függvény
2. ábra

Példa néhány értékre kiszámítva a fenti függvények:

f( x )= ( x3 ) 2 +5 f( x )= x1 +2
x 1 =2,f( x 1 )=f( 2 )= ( 23 ) 2 +5=4 x 1 =2, f( x 1 )=f( 2 )= 21 +2=3
x 2 =4,f( x 2 )=f( 4 )= ( 43 ) 2 +5=4 x 2 =3, f( x 2 )=f( 3 )= 31 +2= 2 +23,41
f( x 1 )=f( 2 )=4= f( x 2 )=f( 4 ) f( x 1 )=f( 2 )=3 f( x 2 )=f( 3 )3,41

A szigorúan monoton függvények kölcsönösen egyértelmű függvények.

Definíció: Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű, akkor létezik f 1 -gyel jelölt inverz függvénye, mely az f értékkészletét képezi le az f értelmezési tartományára, tehát

f: D f R f

f 1 : R f D f

továbbá teljesül, hogy f 1 ( f( x ) )=f( f 1 ( x ) )=x bármely x D f esetén (3. ábra).

Inverz függvény definíciója
3. ábra

Tehát az inverz függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete, és értékkészlete az eredeti függvény értelmezési tartománya.

R f = D f 1 D f = R f 1

Megjegyzés: Az f 1 jelölés könnyen megtévesztő lehet. Ha a egy szám, akkor a 1 -gyel az 1 a reciprokot szoktuk jelölni, de az f 1 ( x ) nem 1 f(x) -et jelöl.

Ha az f függvény nem kölcsönösen egyértelmű, de az értelmezési tartományának van olyan részhalmaza, ahol e feltétel teljesül, akkor az f függvény ezen a részhalmazon értelmezett leszűkítésének a definíció alapján létezik inverze.

Erre példa a f( x )= x 2 , x függvény, amely nem invertálható, de például x[0,[ leszűkített intervallumon már létezik inverze (mert itt már szigorúan monoton), mely a f 1 ( x )= x függvény lesz (4. ábra).

186 függvény értelmezési tartományának leszűkítése, majd invertálása
4. ábra

Technikailag az inverz függvény képletét az f( x )=y egyenlet x-re való rendezésével lehet előállítani. Fontos még megjegyezni, hogy az inverz függvény inverze az eredeti függvény.

Mivel az f és f 1 függvényeknél az értelmezési tartomány és az értékkészlet helyet cserél, ezért a függvény ábrázolásánál a koordinátatengelyek is szerepet cserélnek. Ennek következtében az f( x ) és f 1 ( x ) görbék egymás tükörképei, az y=x egyenesre nézve.

Az elemi függvények között több függvény- inverz függvény pár található (5-7. ábra).

Néhány példa:

Hatványfüggvény és gyökfüggvény
5. ábra
Exponenciális és logaritmusfüggvény (a>1)
6. ábra
Exponenciális és logaritmusfüggvény (1>a>0)
7. ábra
Kidolgozott feladatok

1. feladat: Határozzuk meg az f( x )=2x3 függvény inverz függvényét.

Megoldás: Először az eredeti függvény értelmezési tartományát és az értékkészletét határozzuk meg, amiből az inverz függvény értelmezési tartományára és értékkészletére következtetünk, valamint megvizsgáljuk a függvény monotonitását, amiből az inverz függvény létezésére következtetünk (ahogy láttuk csak szigorúan monoton függvényeknek van inverze).

Ebben az esetben az f értelmezési tartománya a valós számok halmaza, szigorúan monoton növő (grafikonja egy emelkedő egyenes), értékkészlete szintén a valós számok halmaza. Így létezik az inverz függvénye és az is a valós számok halmazán van értelmezve. Az inverz függvény képletének előállításához megoldjuk az

y=2x3

egyenletet x-re, hiszen most azt keressük, hogy mit kell az y=f( x )=2x3 -mal csinálni, hogy belőle visszakapjuk az x-et.

Rendezéssel azt kapjuk, hogy

x= y+3 2 .

Ebből az inverz függvény képletét úgy kapjuk, hogy az y helyére x-et írunk, mivel a függvények argumentumát x-szel szoktuk jelölni. Tehát az inverz függvény képlete:

f 1 ( x )= x+3 2 = x 2 + 3 2 .

2. feladat: Határozzuk meg az f( x )= x 3 +1 függvény inverz függvényét.

Megoldás: Az x 3 függvény elemi alapfüggvény, mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a valós számok halmaza, és szigorúan monoton növő.

Ugyanezek igazak az x 3 +1 függvényre is.

Létezik tehát az inverz függvény, ami szintén minden valós számra értelmezett. Előállítjuk a képletét. Megoldjuk x-re az

y= x 3 +1

egyenletet. Kapjuk, hogy

x 3 =y1 ,

x= y1 3 .

Innen az inverz függvény

f 1 ( x )= x1 3 .

3. feladat: Határozzuk meg az f( x )= 1 x+2 függvény inverz függvényét.

Megoldás: Először is D f =], 2[]2,  [ , hiszen a nevező nem lehet nulla. Az értékkészlet meghatározása egy kicsit bonyolultabb.

Egy függvény értékkészlete azokból az y számokból áll, amelyekhez található olyan D f -beli x, hogy f( x )=y .

A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy y benne van az értékkészletben, ha megoldható x-re az y= 1 x+2

egyenlet. Persze csak olyan x jöhet szóba, amelyre x2 .

Az látszik, hogy y nem lehet nulla, hiszen a törtünk számlálója soha nem nulla. De y bármely nullától különböző szám lehet. (Egy tört értéke akkor lehet 0, ha a számlálója 0. Itt a számláló 1, így a tört értéke nem lehet 0. A nevező bármilyen nullától különböző értéket felvehet, így a tört étéke (y) is bármilyen nullától különböző érték lehet.)

Ezért R f =],  0[]0,  [

Az f függvény nem szigorúan monoton, de kölcsönösen egyértelmű, létezik tehát az inverz függvény. Hátra van még a képletének előállítása. Ennek érdekében megoldjuk x-re az

y= 1 x+2

egyenletet, feltételezve, hogy y0,    x2 . Kapjuk, hogy

x= 1 y 2 .

Ebből az inverz függvény

f 1 ( x )= 1 x 2 .

4. feladat: Határozzuk meg az f( x )= 2 x1 +3  függvény inverz függvényét.

Megoldás: A függvényünk mindenütt értelmezett és értékkészlete R f =]3,  [ , továbbá szigorúan monoton növő. Létezik tehát az inverz függvény. Az inverz képletének előállításához megoldjuk az

y= 2 x1 +3

egyenletet, feltéve, hogy y>3 .

Ekkor

2 x1 =y3 ,

majd mindkét oldal kettes alapú logaritmusát véve, és felhasználva a logaritmus egyik azonosságát
( log a ( x n )=n log a x ) azt kapjuk, hogy

log 2 ( 2 x1 )= log 2 ( y3 ) ,

( x1 ) log 2 ( 2 )= log 2 ( y3 ) ,

x1= log 2 ( y3 ) ,

x= log 2 ( y3 )+1 .

Végül is az inverz függvény képlete

f 1 ( x )= log 2 ( x3 )+1 .

5. feladat: Határozzuk meg az f( x )=ln( x+7 )3 függvény inverz függvényét.

Megoldás: A logaritmus argumentumára kell kikötést tennünk, x+7>0 .

Ezt rendezve x>7 kell, hogy teljesüljön, azaz D f =]7,  [ . Ez lesz az inverz függvény értékkészlete. A logaritmus függvény értékkészlete , így az inverz függvény értelmezési tartománya is ez lesz.

Megoldjuk x-re az y=ln( x+7 )3 egyenletet.

y+3=ln( x+7 )

y3=ln( x+7 )

Mindkét oldalt e alapra emeljük és logaritmus azonosságot ( a log a b =b ) alkalmazva kapjuk, hogy

e y3 = e ln( x+7 )

e y3 =x+7

e y3 7=x

Ez alapján az inverz függvény

f 1 ( x )= e y3 7

6. feladat: Tekinsük az f( x )= x 2 4x+4 függvényt. Határozzuk meg egy alkalmas megszorításának az inverz függvényét.

Megoldás: Az x 2 4x+4= ( x2 ) 2 felírásból látszik, hogy a függvénynek egy zérushelye van
( ( x2 ) 2 =0 egyenlet megoldásából), mégpedig az x=2 -ben. Mivel a főegyüttható pozitív, így a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, mely a 8. ábrán látható.

8. ábra

Látszik, hogy a függvény nem szigorúan monoton az egész értelmezési tartományán, de ha megszorítjuk a kettőnél nagyobb vagy egyenlő számokra, a megszorítás már az lesz.

Tekintsük tehát a g( x )= x 2 4x+4,   D g =[2,  [ függvényt (mely az eredeti függvény megszorítása) (9.ábra), és ennek határozzuk meg az inverzét.

9. ábra

A 9. ábra alapján g értékkészlete R g =[0,  [ . Ez lesz az inverz értelmezési tartománya.

Megoldjuk az y0,    x2  feltételek mellett x-re az

y= x 2 4x+4  egyenletet.

( x2 ) 2 =y ,

x2= y , (tudjuk, hogy x20 , ezért nem kell itt | x2 | -t írnunk),

x= y +2 .

A g inverz függvénye tehát

g 1 ( x )= x +2 .

7. feladat: Tekintsük az f( x )= x 2 2x+1 függvényt és alkalmas megszorításának határozzuk meg az inverzét.

Megoldás: A függvény ábrázolásához először a megoldóképlet segítségével kiszámítjuk a gyököket: x 1 =1 2 2,41, x 2 =1+ 2 0,41 . Ezek lesznek a függvény zérushelyei. Mivel a függvény főegyütthatója negatív, így egy lefelé nyíló parabola lesz a függvényünk grafikonja (10. ábra). A parabola csúcsának x koordinátája a gyökök átlaga, mivel azonos távolságra található a két zéruhelytől. A csúcs y koordinátája pedig a függvény képletébe való helyettesítéssel kapható meg: f( 1 )= ( 1 ) 2 2(1)+1=2 . (Megjegyzés: az ábrázolás egyszerűbb módjáról a Függvény transzformációk című leckében tanulunk majd.)

10. ábra

A 10. ábra alapján látszik, hogy ha megszorítjuk a függvényünket a 1 -nél nagyobb, vagy egyenlő számokra, akkor egy szigorúan monoton csökkenő függvényt kapunk.

Tekintsük tehát a g( x )=2 ( x+1 ) 2 ,   D g =[1,  [   függvényt (mely az eredeti függvény megszorítása) és határozzuk meg az inverzét (11. ábra).

11. ábra

A 11. ábra alapján világos, hogy R g =],  2] .

Megoldjuk tehát az y2,    x1 feltételek mellett x-re az

y=2 ( x+1 ) 2

egyenletet.

( x+1 ) 2 =2y ,

x+1= 2y ,

(az abszolút értéket megint nem kell kitenni, hiszen a feltételek miatt x+10 ).

Ebből

x= 2y 1 .

Ez alapján az inverz függvény

g 1 ( x )= 2x 1 .

Ellenőrző kérdések
1. Az f( x )=23x függvény inverz függvénye
f 1 ( x )= 1 3 x+ 2 3
f 1 ( x )= x 3 + 2 3
f 1 ( x )= 2x 3 1 3
f 1 ( x )= 1 3 x+ 1 3  
2. Az f( x )= x1 5 függvény inverz függvénye
f 1 ( x )= x 5 +1
f 1 ( x )= ( x+1 ) 5
f 1 ( x )=1 x 5
f 1 ( x )= x 5 +1
3. Az f( x )= 2 x1    függvény inverz függvénye
f 1 ( x )= x 2 +1
f 1 ( x )= 2 x 1
f 1 ( x )= 2x x
f 1 ( x )= 2+x x
4. Mi az f( x )= e 1x 2 függvény inverz függvénye?
f 1 ( x )=ln( x+2 )+1
f 1 ( x )=1+ln( x2 )
f 1 ( x )=1ln( x+2 )
f 1 ( x )=ln( 1x )+2
5. Mi az f( x )=2 log 6 ( 3x )4 függvény inverz függvény-e?
f 1 ( x )= 1 3 6 1 2 y+2
f 1 ( x )= 2 1 2 y+2
f 1 ( x )= 6 y+4 3
f 1 ( x )= 1 3 6 1 2 y +4
6. Az f( x )= x 2 6x+10 függvény szigorúan monoton növő az alábbi intervallumon:
[3,  [
[ 1,    4 ]
],  6[
],  3[
7. Az f( x )= x 2 +4x+2,    D f =[2,  [ függvény inverze az alábbi függvény:
f 1 ( x )= x+2 2
f 1 ( x )= x +2
f 1 ( x )= x2 +2
f 1 ( x )= x+2 +2