KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények
7. lecke: Inverz függvény
Tanulási cél: az inverz függvény fogalmának megismerése, grafikonjának képzése, egyszerűbb függvények esetében az inverz függvény képletének előállítása. | ||
Elméleti összefoglaló | ||
Definíció: Egy f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha bármely esetén (2. ábra). |
| |||||||||
| |||||||||
Példa néhány értékre kiszámítva a fenti függvények: | |||||||||
A szigorúan monoton függvények kölcsönösen egyértelmű függvények. |
Definíció: Ha az f függvény kölcsönösen egyértelmű, akkor létezik -gyel jelölt inverz függvénye, mely az f értékkészletét képezi le az f értelmezési tartományára, tehát | ||
f: | ||
: | ||
továbbá teljesül, hogy bármely esetén (3. ábra). |
| ||||
Tehát az inverz függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete, és értékkészlete az eredeti függvény értelmezési tartománya. | ||||
| ||||
Megjegyzés: Az jelölés könnyen megtévesztő lehet. Ha a egy szám, akkor -gyel az reciprokot szoktuk jelölni, de az nem -et jelöl. | ||||
Ha az f függvény nem kölcsönösen egyértelmű, de az értelmezési tartományának van olyan részhalmaza, ahol e feltétel teljesül, akkor az f függvény ezen a részhalmazon értelmezett leszűkítésének a definíció alapján létezik inverze. | ||||
Erre példa a , függvény, amely nem invertálható, de például leszűkített intervallumon már létezik inverze (mert itt már szigorúan monoton), mely a függvény lesz (4. ábra). | ||||
| ||||
Technikailag az inverz függvény képletét az egyenlet -re való rendezésével lehet előállítani. Fontos még megjegyezni, hogy az inverz függvény inverze az eredeti függvény. | ||||
Mivel az f és függvényeknél az értelmezési tartomány és az értékkészlet helyet cserél, ezért a függvény ábrázolásánál a koordinátatengelyek is szerepet cserélnek. Ennek következtében az és görbék egymás tükörképei, az egyenesre nézve. | ||||
Az elemi függvények között több függvény- inverz függvény pár található (5-7. ábra). | ||||
Néhány példa: | ||||
| ||||
| ||||
|
Kidolgozott feladatok | |||
1. feladat: Határozzuk meg az függvény inverz függvényét. | |||
Megoldás: Először az eredeti függvény értelmezési tartományát és az értékkészletét határozzuk meg, amiből az inverz függvény értelmezési tartományára és értékkészletére következtetünk, valamint megvizsgáljuk a függvény monotonitását, amiből az inverz függvény létezésére következtetünk (ahogy láttuk csak szigorúan monoton függvényeknek van inverze). | |||
Ebben az esetben az értelmezési tartománya a valós számok halmaza, szigorúan monoton növő (grafikonja egy emelkedő egyenes), értékkészlete szintén a valós számok halmaza. Így létezik az inverz függvénye és az is a valós számok halmazán van értelmezve. Az inverz függvény képletének előállításához megoldjuk az | |||
egyenletet -re, hiszen most azt keressük, hogy mit kell az -mal csinálni, hogy belőle visszakapjuk az -et. | |||
Rendezéssel azt kapjuk, hogy | |||
. | |||
Ebből az inverz függvény képletét úgy kapjuk, hogy az helyére -et írunk, mivel a függvények argumentumát -szel szoktuk jelölni. Tehát az inverz függvény képlete: | |||
. | |||
2. feladat: Határozzuk meg az függvény inverz függvényét. | |||
Megoldás: Az függvény elemi alapfüggvény, mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a valós számok halmaza, és szigorúan monoton növő. | |||
Ugyanezek igazak az függvényre is. | |||
Létezik tehát az inverz függvény, ami szintén minden valós számra értelmezett. Előállítjuk a képletét. Megoldjuk -re az | |||
egyenletet. Kapjuk, hogy | |||
, | |||
. | |||
Innen az inverz függvény | |||
. | |||
3. feladat: Határozzuk meg az függvény inverz függvényét. | |||
Megoldás: Először is , hiszen a nevező nem lehet nulla. Az értékkészlet meghatározása egy kicsit bonyolultabb. | |||
Egy függvény értékkészlete azokból az számokból áll, amelyekhez található olyan -beli , hogy . | |||
A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy benne van az értékkészletben, ha megoldható -re az | |||
egyenlet. Persze csak olyan jöhet szóba, amelyre . | |||
Az látszik, hogy nem lehet nulla, hiszen a törtünk számlálója soha nem nulla. De bármely nullától különböző szám lehet. (Egy tört értéke akkor lehet 0, ha a számlálója 0. Itt a számláló 1, így a tört értéke nem lehet 0. A nevező bármilyen nullától különböző értéket felvehet, így a tört étéke (y) is bármilyen nullától különböző érték lehet.) | |||
Ezért | |||
Az függvény nem szigorúan monoton, de kölcsönösen egyértelmű, létezik tehát az inverz függvény. Hátra van még a képletének előállítása. Ennek érdekében megoldjuk -re az | |||
egyenletet, feltételezve, hogy . Kapjuk, hogy | |||
. | |||
Ebből az inverz függvény | |||
. | |||
4. feladat: Határozzuk meg az függvény inverz függvényét. | |||
Megoldás: A függvényünk mindenütt értelmezett és értékkészlete , továbbá szigorúan monoton növő. Létezik tehát az inverz függvény. Az inverz képletének előállításához megoldjuk az | |||
egyenletet, feltéve, hogy . | |||
Ekkor | |||
, | |||
majd mindkét oldal kettes alapú logaritmusát véve, és felhasználva a logaritmus egyik azonosságát | |||
, | |||
, | |||
, | |||
. | |||
Végül is az inverz függvény képlete | |||
. | |||
5. feladat: Határozzuk meg az függvény inverz függvényét. | |||
Megoldás: A logaritmus argumentumára kell kikötést tennünk, . | |||
Ezt rendezve kell, hogy teljesüljön, azaz . Ez lesz az inverz függvény értékkészlete. A logaritmus függvény értékkészlete , így az inverz függvény értelmezési tartománya is ez lesz. | |||
Megoldjuk x-re az egyenletet. | |||
Mindkét oldalt e alapra emeljük és logaritmus azonosságot alkalmazva kapjuk, hogy | |||
Ez alapján az inverz függvény | |||
6. feladat: Tekinsük az függvényt. Határozzuk meg egy alkalmas megszorításának az inverz függvényét. | |||
Megoldás: Az felírásból látszik, hogy a függvénynek egy zérushelye van | |||
| |||
Látszik, hogy a függvény nem szigorúan monoton az egész értelmezési tartományán, de ha megszorítjuk a kettőnél nagyobb vagy egyenlő számokra, a megszorítás már az lesz. | |||
Tekintsük tehát a függvényt (mely az eredeti függvény megszorítása) (9.ábra), és ennek határozzuk meg az inverzét. | |||
| |||
A 9. ábra alapján értékkészlete . Ez lesz az inverz értelmezési tartománya. | |||
Megoldjuk az feltételek mellett -re az | |||
egyenletet. | |||
, | |||
, (tudjuk, hogy , ezért nem kell itt -t írnunk), | |||
. | |||
A inverz függvénye tehát | |||
. | |||
7. feladat: Tekintsük az függvényt és alkalmas megszorításának határozzuk meg az inverzét. | |||
Megoldás: A függvény ábrázolásához először a megoldóképlet segítségével kiszámítjuk a gyököket: . Ezek lesznek a függvény zérushelyei. Mivel a függvény főegyütthatója negatív, így egy lefelé nyíló parabola lesz a függvényünk grafikonja (10. ábra). A parabola csúcsának x koordinátája a gyökök átlaga, mivel azonos távolságra található a két zéruhelytől. A csúcs y koordinátája pedig a függvény képletébe való helyettesítéssel kapható meg: . (Megjegyzés: az ábrázolás egyszerűbb módjáról a Függvény transzformációk című leckében tanulunk majd.) | |||
| |||
A 10. ábra alapján látszik, hogy ha megszorítjuk a függvényünket a -nél nagyobb, vagy egyenlő számokra, akkor egy szigorúan monoton csökkenő függvényt kapunk. | |||
Tekintsük tehát a függvényt (mely az eredeti függvény megszorítása) és határozzuk meg az inverzét (11. ábra). | |||
| |||
A 11. ábra alapján világos, hogy . | |||
Megoldjuk tehát az feltételek mellett -re az | |||
egyenletet. | |||
, | |||
, | |||
(az abszolút értéket megint nem kell kitenni, hiszen a feltételek miatt ). | |||
Ebből | |||
. | |||
Ez alapján az inverz függvény | |||
. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Az függvény inverz függvénye ![]() | |||||||||
2. Az függvény inverz függvénye ![]() | |||||||||
3. Az függvény inverz függvénye ![]() | |||||||||
4. Mi az függvény inverz függvénye? ![]() | |||||||||
5. Mi az függvény inverz függvény-e? ![]() | |||||||||
6. Az függvény szigorúan monoton növő az alábbi intervallumon: ![]() | |||||||||
7. Az függvény inverze az alábbi függvény: ![]() |