KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak
MODUL: V. modul: Függvény határértéke, folytonosság
10. lecke: Határérték, folytonosság
Tanulási cél: Folytonosság, határérték fogalma, határérték meghatározása grafikon segítségével, egyoldali határérték, határérték a végtelenben. | |||
Motivációs példa | |||
Egy üzem termelési szakaszának alakulásában általában három jellegzetes rész figyelhető meg. A termelés megindulása utáni szakaszban a termelés még lassan emelkedik. Később a növekedés gyorsabb. A harmadik szakaszban a termelés mennyiségi növekedése rendszerint újra lassul. Itt a termelés egyre inkább egy állandó mennyiség felé tart. A termelésnek ezt a mennyiségi alakulását az idő függvényében az | |||
logisztikus függvény írja le, ahol t jelenti az eltelt időt, pedig a termelés mennyiségét. A harmadik szakaszbeli állandó termelési mennyiséget a függvény végtelenben vett határértéke adja meg. | |||
Elméleti összefoglaló | |||
Egy pont torlódási pontja a függvény értelmezési tartományának, ha tetszőleges sugarú környezete végtelen sok pontot tartalmaz az értelmezési tartományból. | |||
Például az függvény értelmezési tartománya . Az értelmezési tartomány minden pontja torlódási pontja is egyben, de van egy további torlódási pont is, a 0. Tehát az értelmezési tartomány torlódási pontja nem feltétlenül eleme az értelmezési tartománynak. | |||
Egy függvény határértékét vizsgálhatjuk az értelmezési tartomány egy tetszőleges torlódási pontjában, vagy pedig a végtelenben illetve a mínusz végtelenben. | |||
Egyoldali határérték | |||
Az pont baloldali határértékének keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít a függvény értéke, miközben x értékei balról tartanak -hoz. | |||
Nézzük meg a következő függvényt. Ha közelítünk balról (negatív irányból) a kettőhöz, akkor a függvényértékek háromhoz közelítenek. Jelölés: | |||
| |||
Az pont jobboldali határértékének keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít a függvény értéke, miközben x értékei jobbról tartanak -hoz. | |||
Ha kettőhöz jobbról (pozitív irányból) közelítünk, akkor a függvényértékek egyhez közelítenek. Jelölés: | |||
|
Tétel: Az függvénynek egy pontban akkor és csak akkor létezik határértéke, ha ott létezik a jobb és bal oldali határértéke és ezek egyenlők. | ||
Az előző függvénynek pontban nem létezik a határértéke, mivel és . | |||
Nézzünk meg egy másik függvényt. | |||
| |||
Vizsgáljuk meg a határértéket az pontban. Ez a pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja. A határértéket ebben a pontban a jobb és bal oldali határérték meghatározásával vizsgáljuk meg. | |||
Ha az egyhez balról (negatív irányból) közelítünk, akkor látható, hogy a függvényértékek minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak. Tehát . | |||
Ha az egyhez jobbról (pozitív irányból) közelítünk, akkor a függvényértékek szintén minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak. Vagyis . | |||
Mivel és , ezért . | |||
Határérték a végtelenben | |||
A függvény viselkedését vizsgájuk olyan esetben, mikor értéke végtelen naggyá, vagy végtelen kicsivé válik. | |||
Határozzuk meg az alábbi függvény határértékét végtelenben és mínusz végtelenben. | |||
| |||
(x tart végtelenbe) estet vizsgálva látható, hogy a függvényértékek minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak. | |||
(x tart mínusz végtelenbe) esetben a függvény egyre közelít az tengelyhez, ami azt jelenti, hogy a függvényértékek nullához tartanak. | |||
Folytonosság | |||
Geometriailag az függvény akkor folytonos egy pontban, ha a függvény grafikonjának nincs szakadása az pontban. | |||
Ha az függvény grafikonjának egy pontban szakadása van, akkor abban a pontban nem folytonos. Az szakadási pont nem feltétlenül eleme a függvény értelmezési tartományának. | |||
| |||
Az ábrán látható függvény nem folytonos, szakadása van az és pontokban. Az pontokban a függvény értelmezve van. Az pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja. |
Definíció: Legyen az függvény értelmezve az értelmezési tartomány egy belső pontjában. Az függvényt folytonosnak nevezzük az pontban, ha létezik a függvény határértéke az pontban és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz: | ||
. |
Nézzük az függvényt. | |||
| |||
Vizsgáljuk meg a függvény határértékét, ha (x tart végtelenbe). Minél nagyobb értékeket veszünk, annál nagyobbak az függvényérték. Tehát függvényértékek minden határon túl nőnek, azaz a végtelenhez tartanak, . | |||
Most vizsgáljuk a határértékét, ha (x tart mínusz végtelenbe). Az értékek egyre kisebbek, viszont az függvényértékek egyre nagyobbak lesznek. Vagyis . | |||
Adjuk meg a függvény határértékét, ha (x tart háromhoz). Mivel a függvény folytonos ebben a pontban, ezért létezik határérték és a határérték megegyezik a függvény helyettesítési értékével, azaz . | |||
Módosítsuk kicsit az függvényt. | |||
| |||
Nézzük meg a függvény határértékét esetén. A függvény nem folytonos az adott pontban, szakadása van. Ilyen esetben balról is és jobbról is megvizsgáljuk a függvényértékeket háromhoz közeli helyeken. | |||
Először közelítsünk balról (negatív irányból) a háromhoz és nézzük, hogy a függvényértékek mihez közelítenek. | |||
| |||
Ha hármat balról közelítjük, akkor a függvényértékek kilenchez tartanak. Ezt így jelöljük: | |||
Most közelítsünk jobbról (pozitív irányból) a háromhoz és nézzük, hogy a függvényértékek mihez közelítenek. | |||
| |||
Ha hármat jobbról közelítjük, a függvényértékek szintén a kilenchez tartanak. Ezt így jelöljük: | |||
Mivel a jobb oldali és a bal oldali határértékek megegyeznek, ezért . |
Kidolgozott feladatok | |||
1. feladat: Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket: | |||
| |||
Az egyeneseket a függvény aszimptotájának nevezzük. | |||
Ha , akkor a függvény az aszimptotához közelít, azaz a függvényértékek kettőhöz tartanak. | |||
Ha , akkor a függvényértékek minden határon túl csökkennek, így . | |||
Ha , akkor a függvényértékek minden határon túl nőnek, így . | |||
Az pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. Megnézzük a jobb és bal oldali határértéket. Mivel és , ezért nem létezik. | |||
Ha , akkor az ábrából látható, hogy a függvényértékek négyhez közelítenek, tehát . | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. | |||
Ha , akkor a függvényértékek minden határon túl csökkennek, így . | |||
2. feladat: Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket: | |||
| |||
Ha , akkor a függvényértékek minden határon túl nőnek, így . | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. | |||
Az pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához a jobb és bal oldali határértéket vizsgáljuk meg. és , ami azt jelenti, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért nem létezik. | |||
Az pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához nézzük meg a jobb és bal oldali határértéket. Az ábrából látható, hogy és . A jobb és bal oldali határértékek megegyeznek, ezért . | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. | |||
esetén a függvényértékek minden határon túl nőnek, így . | |||
3. feladat: Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket: | |||
| |||
Az egyeneseket a függvény aszimptotájának nevezzük. | |||
Ha , akkor a függvényértékek egyre kisebbek lesznek, azaz minden határon túl csökkennek, így . | |||
Az pontban látható, hogy a függvény nem folytonos, szakadása van. Megvizsgálva a jobb és bal oldali határértékeket azt kapjuk, hogy és . Ez alapján . | |||
Az pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához a jobb és bal oldali határértéket vizsgáljuk meg. és , ami azt jelenti, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért nem létezik. | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. | |||
Az pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához nézzük meg a jobb és bal oldali határértéket. Az ábrából leolvasható, hogy és . A jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért nem létezik. | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték egyszerűen kiolvasható az ábrából, és nem más, mint függvényérték ebben a pontban, . | |||
Ha , akkor a függvény az aszimptotához közelít, azaz a függvényértékek négyhez tartanak. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket! | |||||||||
| |||||||||
1. ![]() | |||||||||
2.
![]() | |||||||||
3.
![]() | |||||||||
4.
![]() | |||||||||
5.
![]() | |||||||||
6.
![]() | |||||||||
7.
![]() | |||||||||
8. Az ábra segítségével határozza meg a következő határértékeket! | |||||||||
| |||||||||
![]() | |||||||||
9.
![]() | |||||||||
10.
![]() | |||||||||
11.
![]() | |||||||||
12.
![]() | |||||||||
13. ![]() | |||||||||
14. ![]() |
Kidolgozott feladatok | ||
4. feladat: Határozza meg az függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben! | ||
Megoldás: Vizsgáljuk először végtelenben a határértéket. Nyilvánvaló, hogy a számláló is és a nevező is végtelenhez tart, így típusú a határérték. Kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is a legnagyobb fokszámú tagot. Ez mind a két esetben az . | ||
Az első tört határértéke . | ||
és is 0-hoz tart, hiszen típusúak. | ||
Ennek következtében a határérték: | ||
Kérdés ezután, hogy mennyit változik a helyzet, ha nem végtelenben, hanem mínusz végtelenben vizsgáljuk a határértéket. Ekkor a számláló és a nevező nyilván mínusz végtelenhez tartanak, hiszen ha negatív, akkor is negatív. A határérték tehát most típusú. Ez azonban a megoldás további lépésit nem befolyásolja. Ugyanazt az egyszerűsítést hajthatjuk végre, mint az előbb, s utána ugyanazok a részek fognak nullához tartani. Ennek következtében ugyanazt a határértéket kapjuk a mínusz végtelenben is. | ||
5. feladat: Határozza meg az függvény határértékét a végtelenben és a mínusz végtelenben! | ||
Megoldás: Először végezzük el a négyzetre emelést. | ||
Vizsgáljuk meg először a végtelenben a határértéket. A határérték típusú. Kiemeljük a számlálóból is és a nevezőből is a legnagyobb fokszámú tagot. A számlálóban a legnagyobb fokszámú tag az , a nevezőben . | ||
Az első tört határértéke . | ||
és is típusú, ezért a 0-hoz tart. | ||
Ebből következően a függvény határértéke: | ||
Ha mínusz végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor csak annyi a változás, hogy a határérték típusú. (A számlálóban mínusz végtelenhez tart, de mivel a nevezőben áll, így az végtelenhez tart.) A megoldás egyébként ugyanúgy történik, tehát az alábbiakat írhatjuk: | ||
6. feladat: Határozza meg a következő határértéket! | ||
Megoldás: Először végezzük el a nevezőben levő szorzást. | ||
Ha végtelenben vizsgáljuk a függvényt, akkor típusú a határérték. Most -et emelünk ki a számlálóból és -et a nevezőből. | ||
Az első tört határértéke . | ||
A számlálóban álló , és nevezőben levő a 0-hoz tart. | ||
Ebből következően a függvény határértéke: | ||
A mínusz végtelenben vizsgálva a függvényt típusú a határérték. Ez a megoldás lépéseit nem befolyásolja, tehát kiemelünk-et a számlálóból és -et a nevezőből. | ||
A számlálóban álló , és nevezőben levő most is a 0-hoz tart. | ||
Viszont . | ||
Ebből következően a határérték: | ||
7. feladat: Határozza meg az függvény határértékét a végtelenben! | ||
Megoldás: A határérték típusú. Először alakítsuk át a gyökös kifejezést. Emeljünk ki gyökön belül, majd vonjunk gyököt tényezőnként. | ||
Most már egyértelműen látható, hogy a számlálóban és a nevezőben a legerősebb tag. | ||
Nézzük meg az első tört határértékét . | ||
A számlálóban álló , és nevezőben levő a nullához tart, hiszen típusú. | ||
Ebből következően a függvény határértéke: | ||
8. feladat: Határozza meg az alábbi határértéket! | ||
Megoldás: A határérték típusú. Először alakítsuk át a gyökös kifejezéseket. Emeljünk ki gyökön belül, majd vonjunk gyököt tényezőnként. | ||
A számlálóban is és a nevezőben is a legerősebb tag. Végezzük el a kiemelést. | ||
Az első tört határértéke . | ||
A számlálóban álló és nevezőben levő a nullához tart, hiszen típusú. | ||
Ebből következően a függvény határértéke: | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
15. Határozza meg az függvény határértékét mínusz végtelenben! ![]() | |||||||||
16. ![]() | |||||||||
17. Határozza meg a határértéket! ![]() | |||||||||
18. ![]() | |||||||||
19. ![]() | |||||||||
19. ![]() |
Kidolgozott feladatok | ||
9. feladat: Számítsa ki a határértéket! | ||
Megoldás: Egy jobb oldali határértéket kell kiszámítani. | ||
A tört számlálója négyhez tart. | ||
Ha , akkor nézzük meg mihez közelít a nevezőben szereplő kifejezés. | ||
A nevezőben levő különbség a nullához tart, de mindig pozitív. | ||
Ha a négyet nullához egyre közelebbi pozitív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy végtelenhez tart a függvény. | ||
10. feladat: Számítsa ki a határértéket! | ||
Megoldás: Most egy bal oldali határértéket kell kiszámítani. | ||
A tört számlálója -hez tart. | ||
Ha , akkor nézzük meg mihez közelít a nevezőben szereplő kifejezés. | ||
A nevzőben levő különbség a nullához tart, de negatív irányból. | ||
Ha a -t nullához egyre közelebbi negatív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy végtelenhez tart a függvény. | ||
11. feladat: Határozza meg az függvény határértékét és pontokban! | ||
Megoldás: A függvény határértékét most véges helyen vizsgáljuk. Ilyenkor, ha az adott pontban a függvény folytonos, akkor egyszerűen csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. A határérték a függvény helyettesítési értéke. | ||
Tehát () esetén: . | ||
Érdekesebb a helyzet, amikor (): | ||
Mivel a behelyettesítés után a nevezőben nulla szerepel, ebből látható, hogy az pontban a függvény nincs értelmezve. A függvény ebben a pontban nem folytonos, szakadása van. (Az pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja.) | ||
Olyan tört határértéke tehát a kérdés, amelynek számlálója egy nem zérus számhoz, nevezője pedig nullához tart. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a határérték típusa . | ||
Gondoljunk bele, ha egy véges értéket, mely nem zérus, nullához egyre közelebbi értékkel osztunk, ez azt jelenti, hogy valamelyik végtelenhez tart ekkor a függvény. Fontos szerep jut ilyenkor az előjeleknek, mert azok döntik el, hogy melyik végtelenhez tart a függvény. | ||
A határértéket ebben az esetben úgy határozzuk meg, hogy balról is és jobbról is megvizsgáljuk a függvényértékeket egyhez közeli helyeken. | ||
Ha egyhez balról (negatív irányból) közelítünk, akkor az értékek negatív irányból közelítik nullát. A számláló határértéke 8. Ha a 8-at nullához egyre közelebbi negatív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre kisebb lesz, s ez azt jelenti, hogy a mínusz végtelenhez tart a függvény. | ||
Ha egyhez jobbról (pozitív irányból) közelítünk, abban az estben az értékek pozitív irányból közelítik nullát. A számláló határértéke változatlanul 8. Ha a 8-at nullához egyre közelebbi pozitív értékekkel osztjuk, akkor a tört értéke egyre nagyobb lesz, s ez azt jelenti, hogy végtelenhez tart a függvény. | ||
Mivel a jobboldali és a baloldali határérték nem egyezik meg, ezért pontban a határérték nem létezik. | ||
12. feladat: Határozza meg az függvény határértékét az és pontokban! | ||
Megoldás: Először nézzük a határértéket az pontban. Próbáljuk behelyettesítéssel meghatározni a határértéket. | ||
Mivel a behelyettesítés után a nevezőben nulla szerepel, ebből látható, hogy az pontban a függvény nincs értelmezve. A függvény ebben a pontban nem folytonos, szakadása van. (Az pont nem eleme a függvény értelmezési tartományának, csupán torlódási pontja.) | ||
Olyan tört határértékét keressük, amelynek számlálója is és nevezője is a 0-hoz tart. Az ilyen határérték típusú. | ||
Mivel a számlálóban és nevezőben álló polinomnak is zérushelye a 2, ez azt jelenti, mindkettő szorzattá bontható úgy, hogy a szorzat egyik tényezője . | ||
Egyszerűsítsük a törtet. | ||
Ebbe a törtbe már behelyettesíthető a 2, így megkapjuk a határértéket. | ||
Nézzük a határértéket az pontban. Ha ebben a pontban a függvény folytonos, akkor egyszerűen csak be kell helyettesítenünk a függvénybe. A határérték a függvény helyettesítési értéke. | ||
Most számoljuk ki a határértéket az pontban. | ||
Ellenőrző kérdések | |||||||||
20. Számítsa ki a határértéket! ![]() | |||||||||
21. Számítsa ki a határértéket! ![]() | |||||||||
20. Számítsa ki a határértéket! ![]() | |||||||||
21. Számítsa ki a határértéket!
![]() | |||||||||
22. Számítsa ki a határértéket! ![]() |
Kidolgozott feladatok | |||
13. feladat: Milyen érték esetén lesz mindenhol folytonos az alábbi függvény? | |||
Megoldás: A függvény nyilvánvalóan folytonos minden pontban, mert folytonos függvények szerepelnek a hozzárendelési szabályban. Akkor lesz folytonos pontban, ha itt létezik jobb és bal oldali határértéke, ezek megegyeznek, és egyenlők a függvény ezen helyen vett helyettesítési értékével. | |||
A függvény jobb oldali határértéke: | |||
A függvény bal oldali határértéke: | |||
A függvény helyettesítési értéke a hozzárendelési szabály szerint: . | |||
Ahhoz, hogy a függvény folytonos legyen pontban, az kell, hogy teljesüljön. Ez csak úgy lehet, ha . | |||
14. feladat: Ábrázolja az függvényt! Határozza meg az alábbi határértékeket: . | |||
Megoldás: Először ábrázoljuk az függvényt, majd vegyük azt a részét, ahol teljesül. | |||
| |||
Most ábrázoljuk az függvényt, majd vegyük azt a részét, ahol teljesül. | |||
| |||
Az függvény grafikonja: | |||
| |||
Ha , akkor az ábra alapján látható, hogy a függvényértékek minden határon túl nőnek. Számítással is meghatározható a határérték: | |||
Ha , akkor az ábra alapján látható, a függvényértékek minden határon túl csökkennek. Számítással is meghatározható a határérték: | |||
. | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. | |||
Az pontban a függvény nem folytonos, szakadása van. A határérték meghatározásához a jobb és bal oldali határértéket vizsgáljuk meg. és , ami azt jelenti, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyeznek meg, ezért nem létezik. | |||
Az pontban a függvény folytonos, így a határérték a függvényérték ebben a pontban. |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
23. Milyen érték esetén lesz mindenhol folytonos az alábbi függvény?
![]() |