KURZUS: Matematika 1. közgazdászoknak

MODUL: III. modul: Egyváltozós valós függvények

4. lecke: Függvény transzformációk

Tanulási célok: lineáris függvénytranszformációk áttekintése, a transzformációk hatásának ábrázolása a függvénygörbén, függvényekkel végzett műveletek grafikonjának ábrázolása.

Elméleti összefoglaló

Sokszor egy-egy függvény ábráját egy már ismert elemi függvény görbéjéből eltolással, tükrözéssel, nyújtással vagy zsugorítással, azaz transzformációval kapjuk meg.

Tekintsük át a leggyakrabban előforduló függvénytranszformációkat, s azok hatását a függvénygörbére.

Érték transzformáció
Transzformált függvényTranszformáció hatása a függvénygörbére
f( x )+a eltolás a-val az y tengely irányában a előjelének megfelelően
f(x) tükrözés x tengelyre
cf( x )   
c>1
y tengely irányú
c-szeres nyújtás
cf( x )  
0<c<1
y tengely irányú
c-szeres zsugorítás
Változó transzformáció
Transzformált függvényTranszformáció hatása a függvénygörbére
f(x+a) eltolás a-val x tengely mentén a előjelével ellentétes irányban
f(x) tükrözés y tengelyre
f( cx ) 
c>1
x tengely irányú
1 c -szeres zsugorítás
f( cx )  
0<c<1
x tengely irányú
1 c -szeres nyújtás

Érdemes megjegyezni, hogy ha egy függvény esetében több transzformációt kell elvégezni, akkor először a változó transzformációkat, majd az érték transzformációkat kell elvégezni. A változó transzformációk az értelmezési tartományra, míg az érték transzformációk az értékkészletre hatnak, s azt változtatják meg.

Kidolgozott példák

1. feladat: Ábrázolja az f( x )= 3x+1 2 függvényt.

Megoldás: Függvényábrázoláskor érdemes először az értelmezési tartományt megvizsgálni a tanult módon, s az ábrázolást követően pedig ellenőrizni, hogy az ábra valóban megfelel az értelmezési tartomány miatt tett kikötéseknek. Ebben az esetben a lineáris függvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tenni, a függvény a teljes -en értelmezve van.

Az ábrázolás előtt egy átalakítást kell elvégezni

f( x )= 3x+1 2 = 3 2 x+ 1 2 .

Ebből az alakból már látható, hogy egy lineáris egyenes lesz a függvény képe. Az x együtthatója adja a meredekséget ( m= 3 2 ), és a konstans tag pedig, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt (y tengely menti eltolás pozitív irányba 1 2 -del). Ezek alapján a függvényt a 1. ábra mutatja.

f( x )= 3x+1 2  függvény ábrája
1. ábra

2. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )= 1 2 (x+3) 2 5 függvényt.

Megoldás: A másodfokú függvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tenni, a függvény a teljes -en értelmezve van. A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni:

1. x 2
2. (x+3) 2 (Az alapfüggvényt az x tengely mentén 3-mal balra eltoljuk)
3. 1 2 (x+3) 2 (Az előző görbét az y tengely mentén felére zsugorítjuk)
4. 1 2 (x+3) 2 5 (Az előző görbét az y tengely mentén negatív irányba 5-tel eltoljuk) (2. ábra)
Függvénytranszformáció több lépésben
2. ábra

3. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )=2 x 2 +4x+6 függvényt.

Megoldás: A másodfokú függvény értelmezési tartománya . Ez a másodfokú függvény az előző függvény felírásától abban különbözik, hogy nem olvashatóak le róla közvetlenül a függvénytranszformációs lépések (a függvényben több helyen szerepel az x változó). Ehhez először teljes négyzetté kell alakítanunk:

 f( x )=2 x 2 +4x+6=2( x 2 2x3 )=2( ( x1 ) 2 4 )=2 ( x1 ) 2 +8

Ez alapján a függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni:

1. x 2
2. ( x1 ) 2 (Az alapfüggvényt az x tengely mentén 1-gyel jobbra eltoljuk)
3. 2 ( x1 ) 2 (Az előző görbét az y tengely mentén kétszeresére nyújtjuk)
4. 2 ( x1 ) 2 (Az előző görbét az x tengelyre tükrözzük)
5. 2 ( x1 ) 2 +8 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 8-cal eltoljuk) (3-4. ábra)
Függvénytranszformáció első három lépése
3. ábra
Függvénytranszformáció utolsó két lépése
4. ábra

4. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )=2 3 x+4 függvényt, majd az ábráról olvassa le, hogy hol van a függvénynek aszimptotája.

Megoldás: A törtfüggvény esetében a nevezőre kikötést kell tennünk, mégpedig a nevező nem lehet 0, azaz x+40 , amiből x4 . Tehát az értelmezési tartomány \{4} . A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni:

1. 1 x
2. 1 x+4 (Az alapfüggvényt az x tengely mentén 4-gyel balra eltoljuk)
3. 3 x+4 (Az előző görbét az y tengely mentén háromszorosára nyújtjuk)
4. 3 x+4 (Az előző görbét az x tengelyre tükrözzük)
5. 2 3 x+4 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 2-vel eltoljuk) (5-6. ábra)

A 6. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban nincs az x=4 -ben értelmezve, függőleges aszimptotája van ott. Valamint vízszintes aszimptotát látunk az y=2 -ben.

Függvénytranszformáció első három lépése
5. ábra
Függvénytranszformáció utolsó két lépése
6. ábra

5. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )= x+2 x3 függvényt.

Megoldás: A törtfüggvény esetében a nevezőre itt is kikötést kell tennünk, mégpedig a nevező nem lehet 0, azaz x30 , amiből x3 . Tehát az értelmezési tartomány \{3} .

Ez a tört függvény az előző függvény felírásától abban különbözik, hogy nem olvashatóak le róla közvetlenül a függvénytranszformációs lépések (a függvényben több helyen szerepel az x változó). Ehhez először a következő átalakításokra van szükség (a nevezőt kialakítjuk a számlálóban, majd egyszerűsítünk):

f( x )= x+2 x3 = ( x3 )+5 x3 = x3 x3 + 5 x3 =1+ 5 x3

Erről a felírásból már egyértelműen leolvashatóak a függvénytranszformációs lépések, melyeket a következő sorrendben érdemes elvégezni:

1. 1 x
2. 1 x3 (Az alapfüggvényt az x tengely mentén 3-mal jobbra eltoljuk)
3. 5 x3 (Az előző görbét az y tengely mentén ötszörösére nyújtjuk)
4. 1+ 5 x3 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 1-gyel eltoljuk) (7-8. ábra)

A 8. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban nincs az x=3 -ban értelmezve, függőleges aszimptotája van ott.

Függvénytranszformáció első három lépése
7. ábra
Függvénytranszformáció utolsó két lépése
8. ábra

6. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )= 1 3 ln(x)4 függvényt.

Megoldás: A logaritmusfüggvény argumentumára kikötést kell tennünk, mégpedig az argumentumnak 0-nál nagyobbnak kell lennie, azaz x>0 , amiből x<0 . Tehát az értelmezési tartomány x] ,0 [ .

A logaritmusfüggvény ábrázolásakor mindig meg kell néznünk a logaritmus alapját, mert az alap határozza meg a függvény monotonitását. Itt a logaritmus alapja e, ami 1-nél nagyobb ( e2,71 ), így a logaritmusfüggvény ebben az esetben szigorúan monoton növekvő lesz. A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni:

1. ln(x)
2. ln(x) (Az alapfüggvényt az y tengelyre tükrözzük)
3. 1 3 ln(x) (Az előző görbét az y tengely mentén 1 3 -szorosára zsugorítjuk)
4. 1 3 ln(x)4 (Az előző görbét az y tengely mentén negatív irányba 4-gyel eltoljuk) (9. ábra)

A 9. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban csak negatív értékekre van értelmezve, s az x=0 -ban függőleges aszimptotája van.

Függvénytranszformáció több lépésben
9. ábra

7. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )=5 ( 1 3 ) 2x +1 függvényt. Hol metszi a függvény az y tengelyt?

Megoldás: Az exponenciális függvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tennünk, így a függvény a teljes -en értelmezve van.

Az exponenciális függvény esetében is hasonlóan a logaritmusfüggvényhez mindig meg kell vizsgálnunk az alapot, mert az alap itt is meghatározza a függvény monotonitását. Ebben az esetben az exponenciális kifejezés alapja 1 3 , ami 1-nél kisebb, de 0-nál nagyobb, így az exponenciális függvény szigorúan monoton csökkenő lesz.

A függvényt a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni:

1. ( 1 3 ) x
2. ( 1 3 ) 2x (Az alapfüggvényt az x tengely mentén felére zsugorítjuk)
3. 5 ( 1 3 ) 2x (Az előző görbét az y tengely mentén ötszörösére nyújtjuk)
4. 5 ( 1 3 ) 2x (Az előző görbét az x tengelyre tükrözzük)
5. 5 ( 1 3 ) 2x +1 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 1-gyel eltoljuk) (10. ábra)

A 10. ábráról leolvasható, hogy a függvény az y=4 -ben metszi az y tengelyünket. (Egyszerűen végiggondolható, hogy miért. Az alapfüggvény az y=1 -ben metszi az y tengelyt. A 2. transzformációs lépés ezt a metszéspontot nem változtatja, míg a következő lépésben az ötszörösét kell venni, azaz felkerül a metszéspont az y=5 -be. A tükrözés során y=5 -be kerül, s az utolsó lépésben 1-et hozzáadva y=4 -et kapunk.)

Egy lépéssel kevesebbet is végezhettünk volna, ha egy hatványazonosságot alkalmazunk az ábrázolás előtt, mégpedig

( 1 3 ) 2x = ( ( 1 3 ) 2 ) x = ( 1 9 ) x .

Ezzel az átalakítással a második transzformációs lépés kihagyható, s alapfüggvényként az ( 1 9 ) x kerül ábrázolásra, a többi lépés megegyezik az előzővel.

Függvénytranszformáció több lépésben
10. ábra

8. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )= 3x+6 +5 függvényt. Az ábráról olvassuk le a globális szélsőértéket.

Megoldás: A gyökfüggvény esetében a gyök alatti kifejezésnek nemnegatívnak kell lennie, azaz 3x+60 , amiből x2 . Tehát az értelmezési tartomány x [ 2, [ .

Az ábrázolás előtt az argumentumon átalakítást kell végezni a következőképp

f( x )= 3x+6 +5= 3(x+2) +5

Ezt követően már leolvashatóak a függvénytranszformációs lépések:

1. x
2. 3x (Az alapfüggvényt az x tengely mentén harmadára zsugorítjuk)
3. 3(x+2) (Az előző görbét az x tengely mentén 2-vel balra eltoljuk)
4. 3(x+2) +5 (Az előző görbét az y tengely mentén pozitív irányba 5-tel eltoljuk) (11. ábra)

A 11. ábrán jól látszik, hogy a függvény valóban csak az x2 értékekre van értelmezve.

A 11. ábráról leolvasva a globális minimum helye x=2 , értéke y=5 . (Egyszerűen végiggondolható, hogy miért. Az alapfüggvénynek az origóban van globális minimuma. Az első transzformációs lépés nem változtat ezen, a következő viszont eltolja balra 2-vel, azaz átkerül az x=2, y=0 -ba. Az utolsó transzformáció során a felfelé tolással a minimum y értéke megváltozik, így lesz a minimum helye x=2 , értéke y=5 .)

Függvénytranszformáció több lépésben
11. ábra

9. feladat: Ábrázolja lineáris függvénytranszformációk segítségével az f( x )= 1 2 cos( 2x+π )1 függvényt.

Megoldás: A koszinuszfüggvény értelmezési tartományára nem kell kikötést tennünk, így az értelmezési tartomány .

Az ábrázolás előtt itt is az argumentumon átalakítást kell végezni a következőképp

f( x )= 1 2 cos( 2x+π )1= 1 2 cos( 2(x+ π 2 ) )1

A függvényt ilyen alakban már a következő transzformációs sorrendben érdemes ábrázolni:

1. cosx
2. cos2x (Az alapfüggvényt az x tengely mentén felére zsugorítjuk)
3. cos( 2(x+ π 2 ) ) (Az előző görbét az x tengely mentén π 2 -vel balra eltoljuk)
4. 1 2 cos( 2( x+ π 2 ) ) (Az előző görbét az y tengely mentén felére zsugorítjuk)
5. 1 2 cos( 2(x+ π 2 ) )1 (Az előző görbét az y tengely mentén negatív irányba 1-gyel eltoljuk) (12-13. ábra)
Függvénytranszformáció első három lépése
12. ábra
Függvénytranszformáció utolsó két lépése
13. ábra
Ellenőrző kérdések
1. Melyik ábra tartozik az f( x )=3 x 2 +6x9 függvényhez?
2. Hol van globális szélsőértéke az f( x )=4 (x5) 2 1 függvénynek?
globális maximum helye x=5 , értéke y=1
globális minimum helye x=5 , értéke y=1
globális minimum helye x=1 , értéke y=5
globális maximum helye x=1 , értéke y=5
3. Hol van aszimptotája az f( x )=8+ 2 x4 függvénynek?
x=4 -ben függőleges aszimptotája, y=8 -ban vízszintes aszimptotája
x=4 -ben függőleges aszimptotája, y=8 -ban vízszintes aszimptotája
x=4 -ben függőleges aszimptotája, y=8 -ban vízszintes aszimptotája
x=4 -ben függőleges aszimptotája, y=8 -ban vízszintes aszimptotája
4. Melyik ábra tartozik az f( x )= x1 x+5 függvényhez?
5. Melyik ábra tartozik az f( x )=3 log 2 ( x )+5 függvényhez?
6. Hol metszi az f( x )=4 e 2x függvény az y tengelyt?
y=2
y=2
y=4
y=4
7. Melyik ábra tartozik az f( x )=sin( 2x2π )+1 függvényhez?
8. Melyik hozzárendelési szabály tartozik a következő függvényábrához?
f( x )=3 ( 1 2 ) x5
f( x )=3 ( 1 2 ) x+5
f( x )=3 2 x+5
f( x )=3 2 x5