KURZUS: Matematika 1

MODUL: I. modul

2. lecke: Vektorok koordinátás alakja

Tanulási cél: ebben a fejezetben megmutatjuk, hogy a koordinátákkal megadott vektorokkal hogyan kell az eddig megismert fogalmakat értelmezni és a műveleteket elvégezni.

2.1. Descartes-féle koordináta rendszer, vektorok koordinátás alakja

Tananyag: lecke02a.pdf

Ellenőrző kérdések
1. Az AB szakasz felezőpontja F. Ha A(11,-3,-4) és F(-2,1,3) akkor B pont
B(4,5, -1, -1,5)
B(7,5, -2, -7,5)
B(-15,5,10)
B(-15,5,1)
2. Határozzuk meg az ABCD paralelogramma D csúcsát, ha A(1,2,3),
B(-1,1,-3) és C(5,-4,5)!
D(7, -3,-10)
D(7,-3,-11)
D(-5,7,-5)
D(7,-3,-5)
3. Egy egyenesre illeszkedik-e a következő három pont: A(1, -1, 5),
B(3, 3, 3) és C(0, -3, 4)?
igen
nem
4. Határozza meg az a=(1,1,2) irányába mutató egységnyi hosszúságú vektor koordinátáit!
( 1 2 , 1 2 ,1 )
( 1 4 , 1 4 , 1 2 )
( 1 6 , 1 6 , 6 3 )
( 1 5 , 1 6 , 1 3 )
5. Határozza meg az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontjának koordinátáit, ha A(1,1,1) és B(3,1,2) !
( 7 3 , 1 3 ,1 )
( 5 3 , 1 3 ,0 )
( 3,0, 2 3 )
( 7 3 , 1 3 , 1 3 )
2.2. Vektorok skaláris szorzata

Tananyag: lecke02b.pdf

Ellenőrző kérdések
6. Számítsa ki az a=(2,0,1) és b=(1,3,2) vektorok skaláris szorzatát!
3
4
-4
-5
7. Igaz-e, hogy az a=(2,3,1) és a b=(2,3,1) vektorok merőlegesek egymásra?
igen
nem
8. Mekkora a két vektor hajlásszöge, ha a=(1,3,2) és b=(1,1,1) ?
157,79°
22,21°
67,79°
9. Mivel egyenlő y, ha az a=(1,3,2)  két b=(1,y,1) vektorok merőleges egymásra?
-2
-1
1
0
10. Határozza meg a b=(1,2,2) vektor a=(1,1,2) vektorral párhuzamos összetevőjének koordinátáit!
( 1 3 , 2 3 , 2 3 )
( 1 2 ,1,1 )
( 1 3 , 1 3 , 2 3 )
( 1 2 , 1 2 ,1 )
2.3. Vektorok vektoriális szorzata

Tananyag: lecke02c.pdf

Ellenőrző kérdések
11. Mivel egyenlő b×a , ha a=(1,0,1) és b=(0,2,1) ?
(2, 1, 2)
(2, -1, 2)
(-2, -1, -2)
r(-2, 1, -2)
12. Mekkora az a=(1,0,1) és b=(0,2,1) vektorok által kifeszített paralelogramma területe?
9
3
1,5
4,5
13. Számítsa ki az ABC háromszög területét, ha A(3,2,5) , B(1,0,4) és C(2,6,3) !
749 2
37 2
15 2
740 2
14. Határozzuk meg az a=(1,0,1) , b=(5,3,2) és c=(3,4,2) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát!
3
-3
9
5
15. Egysíkúak-e az alábbi pontok: A(1,1,0) , B(2,1,1) , C(1,1,1) és D(4,1,5) ?
igen
nem
2.4. Összetett feladatok

Tananyag: lecke02d.pdf

Ellenőrző kérdések
16. Adott az ABC háromszög C(1,-3,2) csúcsa, valamint az AC oldal egy olyan P( 5 3 ,1, 4 3 ) pontja, amelyre AP:PC=1:2. Az AB oldal felezőpontja F( 1,0, 1 2 ) . Határozzuk meg a háromszög súlypontjának koordinátáit!
S( 1,0,1 )
S( 1,1,0 )
S( 1,1,1 )
S( 1,1,1 )
17. Kockát feszít-e ki a következő három vektor? a(8,2,4) , b(2,4,8) , c(4,8,2)
igen
nem
18. Mekkora az ABCD tetraéder D csúcsból induló testmagasságának hossza, ha A(1,1,1) , B(3,0,0) , C(0,3,0) és D(0,0,3) ?
4 12
2
2 3
6
19. Határozza meg x értékét úgy, hogy az a, b, c, vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata 62 egység legyen, ha a(x,6,8) , b(x,1,4) , c(x,5,3) !
1 3
2
1
6