KURZUS: Matematika 1
MODUL: III. modul
11. lecke: A derivált alkalmazásai
Tanulási cél: Olyan eljárás megismerése, melynek segítségével a függvények növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából vizsgálhatók, valamint az eljárás alkalmazása szöveges feladatokban minimum vagy maximum keresésére. | ||
Tananyag: lecke11a.pdf |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Hol növekvő az függvény?
![]() | |||||||||
2. Hol csökkenő az függvény?
![]() | |||||||||
3. Hol növekvő az függvény, ha deriváltja ? Az ugyanott értelmezhető ahol .
![]() | |||||||||
4. Hol csökkenő az függvény, ha deriváltja ? Az ugyanott értelmezhető ahol .
![]() | |||||||||
5. Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az függvénynek, ha deriváltja ? Az ugyanott értelmezhető ahol .
![]() |
Tananyag: lecke11b.pdf |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
6. Egy tó egyenes partján szeretnénk elkeríteni egy téglalap alakú telket. Ehhez 200 m drótfonat áll rendelkezésünkre. A legnagyobb területű téglalapot szeretnénk elkeríteni úgy, hogy a tó felőli oldalon nem lesz kerítés. | |||||||||
| |||||||||
Ha a téglalap tópartra merőleges oldalát választjuk változónak, és -szel jelöljük, akkor az alábbi függvénnyel írható le a terület: ![]() | |||||||||
7. Az előző kérdésben a maximális területű telek oldalai az alábbiak:
![]() | |||||||||
8. Két pozitív szám összege 1. A szorzatuk maximumát keressük. Ekkor a következő függvényt kell vizsgálnunk: ![]() | |||||||||
9. Az előző kérdésben a két szám szorzatának maximuma az alábbi: ![]() | |||||||||
10. A intervallumot egy belső pontjával két részre bontjuk, és mindegyik rész fölé négyzetet emelünk. A négyzetek területösszegének minimumát szeretnénk meghatározni. Melyik függvényt kell vizsgálnunk, ha független változónak az egyik szakasz hosszát választjuk? ![]() | |||||||||
11. Egy egységnyibefogójú, egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogójára téglalapot írunk úgy, hogy két csúcsa az átfogóra, a másik két csúcsa pedig egy-egy befogóra esik. | |||||||||
| |||||||||
Keressük a legnagyobb területű ilyen téglalapot. Ha a téglalap átfogóra merőleges oldalát választjuk független változónak, és jelöljük -szel, akkor melyik függvényt kell vizsgálnunk? ![]() | |||||||||
12. Az előző kérdésben a téglalap maximális területe: ![]() |
További kidolgozott feladatok: lecke11c.pdf |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
13. Hol nő az függvény?
![]() | |||||||||
14. Hol van szélsőértéke az függvénynek?
![]() | |||||||||
15. Hol és milyen szélsőértéke van az függvénynek?
![]() | |||||||||
16. Hol csökken az függvény?
![]() | |||||||||
17. Tekintsük a koordinátarendszerben azt a téglalapot, melynek csúcsai: . A csúcson áthaladó egyenessel derékszögű háromszöget vágunk le az első síknegyed sarkánál. ( háromszög) | |||||||||
| |||||||||
Azt szeretnénk, hogy a háromszög területe minimális legyen. Ha az oldal hosszát választjuk független változónak, és -szel jelöljük, akkor az alábbi függvényt kell vizsgálnunk szélsőérték szempontjából: ![]() | |||||||||
18. Az előző kérdésben a minimális területű háromszög oldalának hossza: ![]() |