KURZUS: Matematika 1

MODUL: I. modul

1. lecke: Vektorok geometriai alakja

Tanulási cél: a vektorok fogalmának és a velük végezhető alapvető műveletek megismerése, ezek gyakorlati használhatóságának ismertetése.

1.1. Térbeli vektorok definíciója, műveletek és ezek geometriai jelentései

Tananyag: lecke01a.pdf

Ellenőrző kérdések
1. Tekintsük az ABCDEF szabályos hatszöget. Az A, B, C és D csúcsba mutató helyvektorokat jelölje rendre: a,b,c és d. Fejezzük ki az E csúcsba mutató helyvektort az a,b,c,d vektorok segítségével!
da+b
a+bd
d+ab
dab
2. Az ABCD paralelogramma síkjának egy tetszőleges pontja O. Igaz-e a következő összefüggés: OA + OC = OB + OD ?
igen
nem
3. Egy egységnyi oldalú szabályos hatszög csúcsai: A, B, C, D, E, F, középpontja K. Legyen BA =a és BC =b . Fejezze ki a megadott vektorok segítségével az ED és BK vektorokat. Határozza meg a keresett vektorok hosszát!
ED =a, BK =ab, ED =1, BK =0
ED =a, BK = 1 2 (a+b), ED =1, BK = 1 2
ED =a, BK =a+b, ED =1, BK =0
ED =a, BK =a+b, ED =1, BK =1
4. Egy kocka A csúcsából kiinduló élvektorok a, b és c. Állapítsa meg, hogy az alábbi vektorok közül melyek mutatnak az A-ból kiindulva valamelyik kockacsúcsba:
a) a+bc
b) a+c
c) bb
d) a+b+ca
mindegyik
csak az a) nem
csak b) nem
csak c) nem
5. Legyen P az AB szakasz A-hoz közelebbi negyedelő pontja. Ha az A és B pontokba mutató helyvektorok rendre a és b, akkor a P pontba mutató helyvektor:
1 5 (4a+b)
1 5 (a+4b)
1 4 (3a+b)
1 4 (a+4b)
1.2. Vektorok szorzatai

Tananyag: lecke01b.pdf

Ellenőrző kérdések
6. Ha az ABCDEFGH szabályos nyolcszög oldalainak hossza 10 egység, akkor mivel egyenlő AB , BC ?
50 2
50 2
50
50
7. Ha az ABCD paralelogramma AB oldala 6 egység, akkor mivel egyenlő AB × CD ?
0
3
6
9
8. Mivel egyenlő i×k ?
0
j
-j
1
9. Ha az ABC szabályos háromszög oldalainak hossza 2 egység, akkor mivel egyenlő az AB BC CA ?
8
4
2
0
1.3. Összetett feladatok

Tananyag: lecke01c.pdf

Ellenőrző kérdések
10. Az egységnyi oldalhosszúságú négyzet köré írt körének egy tetszőleges (a csúcsoktól különböző) P pontjából a csúcsokhoz húzott helyvektorai legyenek: PA , PB , PC , PD . Mivel egyenlő PA + PC , PB + PD ?
0
1
-1
2
11. Az előző feladatban szereplő négyzetet tekintve, mivel egyenlő PA PC , PB PD ?
0
1
-1
2
12. Mekkora szöget zárnak be az a és b egységvektorok, ha tudjuk, hogy 5a-4b és az a+2b vektorok merőlegesek egymásra?
30°
45°
60°
120°
13. Ha az a, b, c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata 19 egység, akkor mennyi a térfogata az a-b,a+b,b+2c vektorok által kifeszített paralelepipedonnak?
38
57
76
95