KURZUS: Matematika 1

MODUL: I. modul

3. lecke: Térelemek

Tanulási cél: ebben a leckében megmutatjuk, hogyan használhatjuk a skaláris és a vektoriális szorzatot térbeli egyenesek és síkok egyenletének felírására.

Térelemeknek nevezzük három dimenzióban a pontot, egyenest és síkot.

3.1. Egyenes megadása térben

Tananyag: lecke03a.pdf

Ellenőrző kérdések
1. Írja fel az A(3,4,5) pontot az origóval összekötő egyenes paraméteres egyenletrendszerét!
x=3t,y=4t,z=5ttR
x=3t,y=4t,z=5ttR
x=3t,y=4t,z=5ttR
x=3t,y=4t,z=5ttR
2. Írja fel az A(2,0,4) és B(4,2,2) pontok felezőpontján áthaladó, e:x=2t,y=3+2t,z=2+t egyenessel párhuzamos egyenes paraméter nélküli egyenletét!
x+2= y1 2 =z1
x2= y1 2 =z+1
x+2= 1y 2 =z1
x+2 1 = y1 2 =z1
3. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az A(3,0,1) ponton és párhuzamos az y tengellyel!
x=3,y=t,z=1tR
x=3+t,y=t,z=1tR
x=3,y=t,z=1tR
x=3,y=t,z=ttR
4. Írja fel az A(2,2,1) ponton áthaladó 2x+yz=1 síkra merőleges egyenes egyenletét!
x=2+2t,y=2+t,z=1ttR
x=22t,y=2+t,z=1ttR
x=22t,y=2t,z=1ttR
x=2+2t,y=2+t,z=1+ttR
5. Döntse el, hogy az A(1,3,2) és a B(1,1,2) pontok rajta vannak-e a 2x+yz=1 síkon?
mindkettő rajta van
csak A van rajta
csak B van rajta
egyik sincs rajta
6. Írja fel az A(1,5,2) pontra illeszkedő és az YZ síkkal párhuzamos sík egyenletét!
x=1
y=5
z=2
x=0
7. Írja fel az A(1,0,1) pontra illeszkedő és az e: x1 2 = 1y 3 = 2z1 4 egyenesre merőleges sík egyenletét!
2x+3y+2z=0
2x3y+2z=0
2x3y2z=0
2x+3y2z=0
3.2. Térelemek kölcsönös helyzete, közös pontjai

Tananyag: lecke03b.pdf

Ellenőrző kérdések
8. Határozza meg az e:x=3+2t,y=1+t,z=2ttR és f:x=1+t,y=2+2t,z=12ttR egyenesek metszéspontját!
M(3,2,5)
M(5,2,1)
M(3,2,5)
M(1,6,3)
9. Határozza meg az e:x=33t,y=1+t,z=22ttR egyenes és az YZ sík metszéspontját!
M(0,2,0)
M(1,0,0)
M(0,2,3)
M(0,0,4)
10. Határozzuk meg az e:x=2t,y=1+t,z=12ttR egyenes és az S:x+y2z5=0 sík metszéspontját!
M(1,2,1)
M(0,3,3)
M(2,1,1)
M(0,5,0)
11. Legyen S 1 :xy+2z=6 és S 2 :2xyz=3 két egymást metsző sík. Döntsük el, hogy az A(6,14,1) és B(3,9,1) pontok közül melyik van rajta a két sík metszésvonalán?
mindkettő rajta van
csak A van rajta
csak B van rajta
egyik sincs rajta
3.3. Térelemek távolsága, hajlásszöge

Tananyag: lecke03c.pdf

Ellenőrző kérdések
12. Határozza meg az A(2,3,1) pont és az e:x=32t,y=2+t,z=5tR egyenes távolságát!
7,22
5,22
9,72
6,75
13. Határozza meg az origó és az S:x+y+z=0 sík távolságát!
2
2
0
1
14. Határozza meg az e: 2x 3 = y1 4 = 2+z 2 egyenes és az S:x2y+z=5 sík hajlásszögét!
70,22°
80,24°
55,22°
62,22°
15. Határozza meg az e:x=t,y=1t,z=1+ttR egyenes és az y tengely hajlásszögét!
35,26°
25,26°
44,74°
54,74°
16. Határozza meg az S:x3y+z=1 és az yz sík hajlásszögét!
52,45°
37,21°
72,45°
82,28°
3.4. Összetett feladatok

Tananyag: lecke03d.pdf

Ellenőrző kérdések
17. Írja fel az ABC háromszög síkjának egyenletét, ha A(2,1,5) , B(3,4,1) és C(6,5,1) !
20x3y+2z=53
xy+z=8
21x23y9z=20
4x2y+2z=20
18. Határozza meg az A(1,5,2) pont és az e:x=4,y=2+2t,z=3ttR egyenes közös síkjának egyenletét!
13x+9y+6z=20
13x9y6z=46
13x9y+6z=70
13x+9y6z=44
19. Adott egy háromszög két csúcsa és a súlypontja. Írja fel a BC oldal egyenesének egyenletét, ha A(1,2,3) , B(1,0,3) és S(2,1,3) .
x=6+7t,y=1+t,z=3ttR
x=6+7t,y=1+t,z=ttR
x=1+7t,y=t,z=3tR
x=1+7t,y=t,z=3ttR
20. Adott az ABCD tetraéder, ahol A(4,7,6),B(0,1,2),C(1,5,3) és D(4,5,2). Határozzuk meg a tetraéderben az AB oldalegyenes felezőmerőleges síkjának és a CD oldal egyenesének hajlásszögét!
17,65°
72,35°
27,65°
63,35°