KURZUS: Matematika 1

MODUL: IV. modul

12. lecke: Határozatlan és határozott integrál

Tanulási cél: Megismerni a határozatlan és határozott integrál fogalmát. Elsajátítani az alapintegrálokat, és az egyszerűbb integrálási tételeket, valamint a Newton-Leibniz-formulát. Ezen ismereteket alkalmazni területszámítási és forgástestek térfogatára vonatkozó feladatokban.

Tananyag: lecke12a.pdf

Ellenőrző kérdések
1. 9 x 5 7 x dx
45 x 4 7 x ln7 +c
3 2 x 6 7 x ln7 +c
45 x 4 7 x ln7+c
3 2 x 6 7 x ln7+c
2. 4 x 3 5 dx
12 5 1 x 2 5 +c
12 5 1 x 3 5 +c
5 2 x 8 5 +c
5 2 x 5 8 +c
3. 3 x 4 dx
1 x 3 +c
1 x 3 +c
3 5 1 x 5 +c
3 5 1 x 5 +c
4. x x 3 dx
5 3 x 5 3 +c
5 3 x 3 5 +c
3 5 x 5 3 +c
3 5 x 3 5 +c
5. x ( 5 x +4 )dx
2 x 5 +2 x 2 +c (helyes)
10 3 x 3 +2 x 2 +c
2 x 5 +4 x 2 +c
10 3 x 3 +4 x 2 +c
6. x 3 +6x3 2 x 2 dx
x 2 4 3 4 x 2 + 3 x 3 +c
x 2 +3ln| x |+ 3 x 3 +c
x 2 3 4 x 2 + 3 x 3 +c
x 2 4 +3ln| x |+ 3 2x +c

Tananyag: lecke12b.pdf

Ellenőrző kérdések
7. Határozzuk meg az f( x )= x 3 függvény grafikonja és az x-tengely közötti alakzat területét a [ 0,8 ] intervallumon.
9
10
12
15
8. 1 16 x x 4 dx
1972 9
2044 9
2096 9
2110 9
9. 1 9 1 x dx
3
10 3
4
13 3
10. Határozzuk meg az f( x )=sinx függvény grafikonja és az x-tengely közötti alakzat területét a [ π 3 , π 2 ] intervallumon!
1 2
1 2
1 3
1 3
11. Határozzuk meg az f( x )=4 x 2 függvény grafikonja és az x-tengely közötti alakzat területét a [ 0,3 ] intervallumon!
3
14 3
6
23 3
12. Határozzuk meg az f( x )= x 2 +3x függvény grafikonja és az x-tengely közötti alakzat területét a [ 5,1 ] intervallumon!
6
8
12
15

Tananyag: lecke12c.pdf

Ellenőrző kérdések
13. Mekkora az f( x )= e x és g( x )=2x x 2 +2 függvények grafikonjai közti alakzat területe a [ 0,1 ] intervallumon?
5 3 e
5 3 +e
11 3 e
11 3 +e
14. Mekkora az f( x )= x 2 és g( x )=2x függvények grafikonjai közötti síkrész területe a [ 0,2 ] intervallumon?
8 3
3
19 6
10 3
15. Mekkora területű síkrészt zárnak közre az f( x )= x 2 és g( x )=3x függvények grafikonjai?
3
3,5
4
4,5
16. Forgassuk meg az x-tengely körül az f( x )= 1 x függvény [ 1,4 ] intervallumhoz tartozó íve és az x-tengely közötti síkrészt. Mekkora a keletkező forgástest térfogata?
1 4 π
1 2 π
3 4 π
3 2 π
17. Forgassuk meg az x-tengely körül az f( x )=x x1 függvény [ 1,2 ] intervallumhoz tartozó íve és az x-tengely közötti síkrészt. Mekkora a keletkező forgástest térfogata?
7 6 π
5 4 π
4 3 π
17 12 π

További kidolgozott feladatok: lecke12d.pdf

Ellenőrző kérdések
18. cos2x cosxsinx dx
sinx+cosx+c
sinxcosx+c
cosxsinx+c
sinxcosx+c
19. x+ cos 2 x x 2 cos 2 x dx
x 2 2 tgx+c
x 2 2 +tgx+c
lnxtgx+c
lnx+tgx+c
20. 1 x 2 x 2 ( x 2 +1 ) dx
1 x arctgx+c
1 x arctgx+c
1 x 2arctgx+c
1 x 2arctgx+c
21. Mekkora annak a véges síkrésznek a területe, melyet a koordinátarendszer két tengelye és az f( x )= x 3 +1 függvény grafikonja határol?
2 3
3 4
4 5
5 6
22. Mekkora területű véges síkrészt zárnak közre az f( x )= x 3 4x és g( x )=3x függvények grafikonjai?
1 4
1 2
2 3
3 4
23. Tekintsük az f( x )= x 2 ,g( x )= x 2 4 +3,h( x )=2x függvényeket. Mekkora a három függvény grafikonja által határolt véges síkrész területe?
14 3
16 3
20 3
22 3
24. Forgassuk meg az x-tengely körül az f( x )=tgx függvény [ 0, π 4 ] intervallumhoz tartozó íve és az x-tengely közötti síkrészt. Mekkora a keletkező forgástest térfogata?
4π π 2 4
π 2 2π 4
π 2 +2π 4
4π+ π 2 4