KURZUS: Matematika 1

MODUL: I. modul

4. lecke: A komplex számok (C) halmaza

Tanulási cél: Az eddig megismert valós számkör bővítése

4.1. A komplex számok fogalma, algebrai alakja

Tananyag: lecke04a.pdf

Ellenőrző kérdések
1. Mivel egyenlő Re( ( 1+3i )2( 3+4i ) ) ?
5
-5
-7
11
2. Legyen z 1 =15i és z 2 =3i . Mivel egyenlő ( 12 z 1 )( 2 z 2 +3 z 1 ¯ ) ?
-161+81i
-179-13i
179-21i
-179+21i
3. ( 43i ) 2 ( 1+i ¯ ) =
6-23i
6+25i
24-i
-8-23i
4. Mivel egyenlő Im( 1+5i 2+2i ) ?
0
1
4 3
4 3
5. 33 i 9 +2 i 2019 =
3-5i
3+i
2i
-2i
6. Mivel egyenlő 1 34i i ?
-5-3i
5+3i
3-3i
-3+3i
7. Oldja meg a 2+iz=3zi egyenletet a komplex számok halmazán!
5 8 + 5 8 i
1 2 1 2 i
5 8 5 8 i
1 2 + 1 2 i
8. Oldja meg a z 2 4z+13=0 egyenletet a komplex számok halmazán!
2±3i
2±6i
4±3i
4±6i
4.2. Komplex számok ábrázolása, trigonometrikus alak

Tananyag: lecke04b.pdf

Ellenőrző kérdések
9. Mennyi az 54i komplex szám abszolút értéke?
9
3
41
1
10. Mekkora a 23i hajlásszöge?
236,31°
326,31°
146,31°
213,63°
11. 3 i trigonometrikus alakja:
2(cos320°+isin320°)
2(cos300°+isin300°)
2(cos330°+isin330°)
2(cos210°+isin210°)
12. 2 ( cos135°+isin135° ) algebrai alakja:
1+i
1i
1i
1+i
13. Határozza meg a 3 ( cos 240 0 +isin 240 0 ) komplex szám képzetes részét!
-1,5
1,5
3 2
3 2
4.3. Műveletek trigonometrikus alakban

Tananyag: lecke04c.pdf

Ellenőrző kérdések
14. Határozza meg 1 2( cos105°+isin105° ) trigonometrikus alakját!
1 2 ( cos255°+isin255° )
1 2 ( cos345°+isin345° )
1 2 ( cos75°+isin75° )
1 2 ( cos165°+isin165° )
15. Legyen z=2+2i . Mekkora z 3 hajlásszöge?
135°
45°
315°
225°
16. Legyen z 1 =3+4i és z 2 =3( cos 100 0 +isin 100 0 ) . Határozza meg a z 1 4 z 2 értékét!
60( cos312,52°+isin312,52° )
15( cos153,13°+isin153,13° )
1875( cos153,13°+isin153,13° )
1875( cos312,52°+isin312,52° )
17. Határozza meg 4+5i köbgyökei közül a legnagyobb szögűnek a hajlásszögét!
282,87°
231,3°
287,11°
321,3°
18. Határozza meg a 5i negyedik gyökei közül a legkisebb szögűnek a hajlásszögét!
90°
45°
76,5°
67,5°
19. Mennyi a 8i köbgyökeinek szorzata?
8i
8i
8
8
4.4. Az algebra alaptétele, egyenletek

Tananyag: lecke04d.pdf

4.5. Összetett feladatok

Tananyag: lecke04e.pdf

Ellenőrző kérdések
20. Oldja meg a komplex számok halmazán a következő egyenletet:
z 2 +2z+2i=12iz
z 1 =1 z 2 =12i
z 1 =1 z 2 =1+2i
z 1 =1 z 2 =12i
z 1 =1 z 2 =1+2i
21. Oldja meg a komplex számok halmazán a következő egyenletet:
z 4 +i z 2 +12=0
z k = 6 ( cos 0 0 +k 360 0 2 +isin 0 0 +k 360 0 2 )k=0,1
z l = 8 ( cos 180 0 +l 360 0 2 +isin 180 0 +l 360 0 2 )l=0,1
z k = 6 ( cos 180 0 +k 360 0 2 +isin 180 0 +k 360 0 2 )k=0,1
z l = 8 ( cos 0 0 +l 360 0 2 +isin 0 0 +l 360 0 2 )l=0,1
z k = 6 ( cos 0 0 +k 360 0 2 +isin 0 0 +k 360 0 2 )k=0,1
z l = 8 ( cos 0 0 +l 360 0 2 +isin 0 0 +l 360 0 2 )l=0,1
z k = 6 ( cos 90 0 +k 360 0 2 +isin 90 0 +k 360 0 2 )k=0,1
z l = 8 ( cos 270 0 +l 360 0 2 +isin 270 0 +l 360 0 2 )l=0,1
22. Oldja meg a komplex számok halmazán a következő egyenletet:
( 12 3 i ) z 3 8=24(cos 60 0 +isin 60 0 )
z=2( cos( 30 0 +k 120 0 )+isin( 30 0 +k 120 0 ) )k=0,1,2
z=2( cos( 40 0 +k 120 0 )+isin( 40 0 +k 120 0 ) )k=0,1,2
z=2( cos( 60 0 +k 120 0 )+isin( 60 0 +k 120 0 ) )k=0,1,2
z=2( cos( 45 0 +k 120 0 )+isin( 45 0 +k 120 0 ) )k=0,1,2
23. Oldja meg a komplex számok halmazán a következő egyenletet:
( z 2 4z+5)( z 4 +81i)=0 .
z 1 =2+i z 2 =2i z k =9( cos( 45 0 +k 90 0 )+isin( 45 0 +k 90 0 ) )k=0,1,2
z 1 =2+i z 2 =2i z k =9( cos( 60 0 +k 90 0 )+isin( 60 0 +k 90 0 ) )k=0,1,2
z 1 =2+i z 2 =2i z k =9( cos( 67,5 0 +k 90 0 )+isin( 67,5 0 +k 90 0 ) )k=0,1,2
z 1 =2+i z 2 =2i z k =9( cos( 67,5 0 +k 90 0 )+isin( 67,5 0 +k 90 0 ) )k=0,1,2