KURZUS: Matematika 1

MODUL: III. modul

11. lecke: A derivált alkalmazásai

Tanulási cél: Olyan eljárás megismerése, melynek segítségével a függvények növekedés, csökkenés és szélsőérték szempontjából vizsgálhatók, valamint az eljárás alkalmazása szöveges feladatokban minimum vagy maximum keresésére.

Tananyag: lecke11a.pdf

Ellenőrző kérdések
1. Hol növekvő az f( x )=3 x 4 +12 x 3 függvény?
A ( ,3 ) intervallumon.
A ( ,0 ) intervallumon.
A ( 3, ) intervallumon.
A ( 0, ) intervallumon.
2. Hol csökkenő az f( x )=x+ 1 x függvény?
A ( ,1 ) és ( 1, ) intervallumokon.
A ( ,1 ) és ( 0,1 ) intervallumokon.
A ( 1,0 ) és ( 1, ) intervallumokon.
A ( 1,0 ) és ( 0,1 ) intervallumokon.
3. Hol növekvő az f függvény, ha deriváltja f ( x )= ( x1 ) 3 ( x+8 ) ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .
A ( ,8 ) és ( 1, ) intervallumokon.
A ( ,1 ) intervallumon.
A ( 8, ) intervallumon.
A ( 8,1 ) intervallumon.
4. Hol csökkenő az f függvény, ha deriváltja f ( x )= x5 ( x+2 ) 2 ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .
A ( ,2 ) és ( 2,5 ) intervallumokon.
A ( ,5 ) intervallumon.
A ( 2,5 ) és ( 5, ) intervallumokon.
A ( 2, ) intervallumon.
5. Hol és milyen jellegű szélsőértéke van az f függvénynek, ha deriváltja f ( x )= ( x7 ) 3 lnx ? Az f ugyanott értelmezhető ahol f .
Az x=1 és x=7 helyeken lokális minimuma van.
Az x=1 helyen lokális minimuma, az x=7 helyen lokális maximuma van.
Az x=1 és x=7 helyeken lokális maximuma van.
Az x=1 helyen lokális maximuma, az x=7 helyen lokális minimuma van.

Tananyag: lecke11b.pdf

Ellenőrző kérdések

6. Egy tó egyenes partján szeretnénk elkeríteni egy téglalap alakú telket. Ehhez 200 m drótfonat áll rendelkezésünkre. A legnagyobb területű téglalapot szeretnénk elkeríteni úgy, hogy a tó felőli oldalon nem lesz kerítés.

Ha a téglalap tópartra merőleges oldalát választjuk változónak, és x-szel jelöljük, akkor az alábbi függvénnyel írható le a terület:
T( x )=200x x 2
T( x )=200x2 x 2
T( x )=200x+ x 2
T( x )=200x+2 x 2
7. Az előző kérdésben a maximális területű telek oldalai az alábbiak:
A partra merőleges oldal 40 m, a parttal párhuzamos oldal 120 m.
A partra merőleges oldal 50 m, a parttal párhuzamos oldal 100 m.
A partra merőleges oldal 55 m, a parttal párhuzamos oldal 90 m.
A partra merőleges oldal 200 3 m, a parttal párhuzamos oldal 200 3 m.
8. Két pozitív szám összege 1. A szorzatuk maximumát keressük. Ekkor a következő függvényt kell vizsgálnunk:
f( x )=( x1 )x
f( x )=x x 2
f( x )= ( 1 2 x ) 2
f( x )= x 2 1 4
9. Az előző kérdésben a két szám szorzatának maximuma az alábbi:
1 4
1 3
1 2
1 2
10. A [ 0,1 ] intervallumot egy belső pontjával két részre bontjuk, és mindegyik rész fölé négyzetet emelünk. A négyzetek területösszegének minimumát szeretnénk meghatározni. Melyik függvényt kell vizsgálnunk, ha független változónak az egyik szakasz hosszát választjuk?
f( x )= x 2 2x+2
f( x )=2 x 2 2x+2
f( x )=2 x 2 2x+1
f( x )=2 x 2 +1

11. Egy egységnyibefogójú, egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogójára téglalapot írunk úgy, hogy két csúcsa az átfogóra, a másik két csúcsa pedig egy-egy befogóra esik.

Keressük a legnagyobb területű ilyen téglalapot. Ha a téglalap átfogóra merőleges oldalát választjuk független változónak, és jelöljük x-szel, akkor melyik függvényt kell vizsgálnunk?
f( x )=( 1x )x
f( x )=( 12x )x
f( x )=( 2 x )x
f( x )=( 2 2x )x
12. Az előző kérdésben a téglalap maximális területe:
1 4
1 3
2 4
2 3

További kidolgozott feladatok: lecke11c.pdf

Ellenőrző kérdések
13. Hol nő az f( x )= x 2 +4 x függvény?
A ( ,2 ) és ( 0,2 ) intervallumokon.
A ( 2,0 ) és ( 2, ) intervallumokon.
A ( 2,0 ) és ( 0,2 ) intervallumokon.
A ( ,2 ) és ( 2, ) intervallumokon.
14. Hol van szélsőértéke az f( x )= 6x x 2 +2 függvénynek?
Az x=2 és az x=2 helyeken.
Az x= 2 és az x=0 helyeken.
Az x=0 és az x= 2 helyeken.
Az x= 2 és az x= 2 helyeken.
15. Hol és milyen szélsőértéke van az f( x )=x e x függvénynek?
Az x= 1 2 helyen minimuma van.
Az x= 1 2 helyen maximuma van.
Az x=2 helyen minimuma van.
Az x=2 helyen maximuma van.
16. Hol csökken az f( x )=xln( x 2 ) függvény?
A ( , 1 e ) és ( 1 e , ) intervallumokon.
A ( 1 e ,0 ) és ( 0, 1 e ) intervallumokon.
A ( ,e ) és ( e, ) intervallumokon.
A ( e,0 ) és ( 0,e ) intervallumokon.

17. Tekintsük a koordinátarendszerben azt a téglalapot, melynek csúcsai: A( 0;0 ),B( a;0 ),C( a;b ),D( 0;b ) . A C csúcson áthaladó egyenessel derékszögű háromszöget vágunk le az első síknegyed sarkánál. ( AEF háromszög)

Azt szeretnénk, hogy a háromszög területe minimális legyen. Ha az AE oldal hosszát választjuk független változónak, és x-szel jelöljük, akkor az alábbi függvényt kell vizsgálnunk szélsőérték szempontjából:
f( x )= a 2 x 2 xb
f( x )= a 2 ( xb ) 2 x
f( x )= b 2 x 2 xa
f( x )= b 2 ( xa ) 2 x
18. Az előző kérdésben a minimális területű háromszög AE oldalának hossza:
2 a
2a
2 ( a+b )
2( a+b )