KURZUS: Fizika közlekedésmérnököknek
MODUL: I. modul: Mértékegység rendszerek, az SI rendszer, értékes jegyek, hibaszámítás
1. lecke: Mértékegység rendszerek, az SI mértékegység rendszer
Feldolgozandó: A mértékegység rendszerekről és az SI mértékegységrendszerről alább közzétett tananyag, valamint a jegyzet 14.1 fejezete és alfejezetei (782-785 oldal). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tanulási célok: A lecke anyagának feldolgozása után Ön képes lesz: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Támpontok a tanuláshoz | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A lecke a mértékegység rendszerek kialakulásával, történetével kezdődik, ami semmilyen egyéb (matematikai, vagy előtanulmányt nem igényel. Ezt követően a korábbi mértékegység rendszerek hiányosságainak leírása és egy új "tökéletes" rendszer létrehozásának szükségességéről lesz szó. Az SI mértékegységrendszer felépítésének megértése nagyon fontos (alap, származtatott mennyiségek stb.). A prefixumok megértése és alkalmazása a hatványszámítás (tíz egész kitevős hatványaival történő számítás) ismereteit követeli meg. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az SI mértékegységrendszerről | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mértékegység rendszer használatát törvény szabályozza, illetve írja elő, nevezetesen az 1991. évi XLV. törvénya mérésügyről, egységes szerkezetben a végrehajtásáról szóló 127/1991. (X. 9.) Korm. rendelettel | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. A hosszúság mértékegysége a méter; jele: m. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. A tömeg mértékegysége a kilogramm; jele: kg. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Az idő mértékegysége a másodperc; jele: s. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. A villamos áramerősség mértékegysége az amper; jele: A. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. A termodinamikai hőmérséklet mértékegysége a kelvin; jele: K. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Az anyagmennyiség mértékegysége a mól; jele: mol. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mól alkalmazásakor meg kell határozni az elemi egység fajtáját; ez atom, molekula, ion, elektron, más részecske vagy ilyen részecskék meghatározott csoportja lehet. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. A fényerősség mértékegysége a kandela; jele: cd. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) A Nemzetközi Mértékegység-rendszer származtatott egységei az alapegységek hatványainak szorzataként vagy hányadosaként képezhetők a megfelelő mennyiségekre vonatkozó fizikai egyenletek alapján. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A származtatott egységek az alapegységeken kívül az úgynevezett külön nevű egységek segítségével is kifejezhetők. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A külön nevű származtatott egységek a következők: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) Az alap- és származtatott mértékegység többszöröseit és törtrészeit az egység neve elé illesztett, egy-egy szorzót jelentő, alább felsorolt prefixumok (SI-prefixumok) segítségével lehet képezni: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Térfogat | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Térfogat (űrtartalom) mértékegysége a liter; jele: l | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) A liter jeleként a L is használható. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Síkszög | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Síkszög-mértékegységek: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) a fok; jele: ° | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b) a perc (ívperc); jele: ` | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) a másodperc (ívmásodperc); jele: `` | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) A fokkal; az ívperccel és az ívmásodperccel kapcsolatban SI-prefixumok nem használhatók. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tömeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tömeg-mértékegység a tonna; jele: t | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Idő | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Idő-mértékegységek: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a) a perc; jele: min | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b) az óra; jele: h | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) a nap; jele: d | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d) a naptári időegységek: a hét, a hónap, az év. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) A fenti időmértékegységekkel kapcsolatban SI-prefixumok nem használhatók. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sebesség | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sebesség-mértékegység a kilométer per óra; jele: km/h | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Munka, energia | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Munka- (energia) mértékegység a wattóra; jele: W × h. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hőmérséklet | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A t Celsius hőmérsékletet a T és T0 két termodinamikai hőmérséklet közötti különbség határozza meg, ahol T0 = 273,15 K. A hőmérsékleti tartomány vagy különbség mind kelvinekben, mind Celsius-fokokban kifejezhető. A "Celsius-fok" egység a "kelvin" egységgel egyenlő. Jele: °C. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hosszúság | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Csak a légi és tengeri hajózásban használható hosszúság-mértékegység a tengeri mérföld. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) Csak a csillagászatban használható hosszúság-mértékegység a csillagászati (asztronómiai) egység. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3) Csak a csillagászatban használható hosszúság-mértékegység a parsec; jele: pc. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4) Csak a csillagászatban használható hosszúság-mértékegység a fényév. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(5) A tengeri mérfölddel, a csillagászati egységgel, a parsec-kel és a fényévvel kapcsolatban SI-prefixumok nem használhatók. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Terület | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Csak földterület meghatározására használható terület-mértékegység a hektár; jele: ha. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 ha = 10 000 m2 = 104 m2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) A hektárral kapcsolatban SI-prefixumok nem használhatók. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Síkszög | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Csak a geodéziában használható síkszög-mértékegység az újfok vagy a gon; jele: gon. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tömeg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Csak az atom- és magfizikában használható tömegmértékegység az atomi tömegegység; jele: u. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) Az atomi tömegegység a szén-12-atom tömegének 1/12-szerese. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Nyomás | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Csak folyadékok és gázok nyomásának meghatározására használható nyomás-mértékegység a bar; jele: bar. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) Orvosi vérnyomásmérő készülékeknél használható a higanyoszlop-milliméter; jele: mmHg. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Energia | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Csak az atom- és magfizikában használható energia-mértékegység az elektronvolt; jele: eV. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) Az elektronvolt az a mozgási energia, amelyre az elektron akkor tesz szert, ha vákuumban 1 volt potenciálkülönbségen halad át. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Teljesítmény | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) Csak villamos látszólagos teljesítmény meghatározására használható teljesítmény-mértékegység a voltamper; jele: VA. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2) Csak elektromos meddő teljesítmény meghatározására használható teljesítmény-mértékegység a var; jele: var. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Számítások pontossága, értékes jegyek. Mérési hibák, hibaterjedés | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A laboratóriumban használt számadatok nagy része mérésen alapszik, amelynek pontossága számos tényezőtől függ; elsősorban a méréshez használt összehasonlító eszköztől, de a kísérletet végző személy figyelmessége is befolyásolja. A méréshez mindig összehasonlító etalon szükséges, amelyhez a mérendő tárgyunkat hasonlítjuk. A mért adatok pontosságát a leírásukhoz használt értékes jegyek számával jellemezzük. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pl. a modern bolti mérlegek már gramm pontossággal mérik az árut, míg a fürdőszobai mérlegen csak a kg-ot és esetleg a fél kg-ot jelzik ki. Ezért a fürdőszobai mérlegen egyaránt 2,5 kg-nak látjuk pl. a 2,476 kg-ot is és a 2,533 kg-ot is. Azt mondjuk, hogy a fürdőszobai mérlegen két értékes jegy pontossággal lehetett a mérési adatokat leolvasni, míg a bolti készüléken 4 értékes jegyre. NEM a tizedes jegyek számítanak! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Különböző pontosságú laboratóriumi mérlegen mértük ugyanannak a mintának a tömegét. A táramérlegen mért adat 3, míg az analitikai mérlegen mért adat 6 értékes jegyet tartalmaz. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mérési adatokat mindig a leolvasásnak megfelelő pontossággal szükséges leírni! A digitális kijelzéső mérőkészülékek esetén ez egyszerő, mert a mutatott valamennyi számot lejegyezzük. A készüléken kijelzett mennyiség pontatlansága az utolsó számjegyre korlátozódik. Az analóg kijelzéső készülékek leolvasásakor, illetve összehasonlító skála használata esetén azonban a vizsgálatot végző személy észlelése is módosíthatja az eredményt, mivel az utolsó számjegy leolvasása ebben az esetben is pontatlan. Az összehasonlító etalon skálájának léptéke azt is meghatározza, hogy az adatot hány értékes jegyre lehet leolvasni. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A pénzérme átmérőjét ezzel a skálával csak 2 értékes jegyre lehet megállapítani, mert a mm-t már cask becsülni lehet; a léc hosszúságának mérésére használt vonalzóval viszont 3 értékes jegyre tudunk mérni, hiszen itt a tized mm-t kell becsülni. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Abban az esetben, ha a becsült számjegy zérus értékő, akkor azt is fel kell írni a megfelelő pontosságú adat eléréséhez. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mi a különbség a 25 cm3 és a 25,00 cm3 felírásában? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A 25 cm3-t olyan eszközzel mértük, amely olyan módon jelzi a térfogategységeket, hogy a mért térfogat lehet 24 cm3 is és lehet 26 cm3 is, mert az egész cm3-t becsültük. Ezzel szemben a 25,00 cm3 esetén garantált a 24,99 és a 25,01 cm3 közötti térfogat. Ezért a mért adatokat úgy kell felírni, hogy az jelezze a mérés (a mérőeszköz) pontosságát! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Értékes jegyek száma | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A számításokban megadott adatokat, számokat két nagy csoportba soroljuk: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A szorzó/váltó számok nem meghatározóak az értékes jegyek számának megállapításában. Ezek a különböző matematikai, fizikai, vagy kémiai összefüggések együtthatói, a mértékegységek átváltó számai (100 cm/1 m; 1 dm3 /1000 cm3; 1 h/3600 s; 1 atm/101325 Pa; 0,00 °C = 273,16 K). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mért mennyiségekben az értékes jegyek számának meghatározását az indokolja, hogy a mért adatok leírt utolsó számjegye a leolvasási pontatlanság következtében bizonytalan, becsült érték. Ezért a mért adat számjegyeinek száma függ a használt eszköz skálájának leolvashatóságától vagy a kijelzőn megjelenő jegyek számától. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mért mennyiségek értékes jegyeinek meghatározását az alábbi példák segítik: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ilyen esetekben a mért adat nagyobb pontosságát a tizedesvessző után írt megfelelő számú zérussal juttathatjuk kifejezésre ( g - 7,00 min - m), vagy a méréshez jobban igazodó mértékegységben adjuk meg az eredményt (a zérusokkal együtt): pl. 0,200 mg - 0,50 cm3 - 420 s - 8,00 cm. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mértékegység átváltáskor nem csökkenhet, és nem növekedhet meg az értékes jegyek száma! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vagyis a 2 kg (1 értékes jegy) = g (1 értékes jegy) 2000 g (4 értékes jegy). Amennyiben a 2 kg tömeget olyan mérlegen mérték, amelyik a grammokat is kijelzi, akkor helyes felírása: 2,000 kg. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Értékes jegyek száma a számításokban | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Számításaink során figyelemmel kell lenni arra, hogy az egyes adatok milyen pontosságúak (hány "értékes jegyet" tartalmaznak) és az eredményt annak megfelelően kell megadni! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tapasztalatlan számolók az eredmény pontosságának vélt növelése érdekében gyakran fölöslegesen sok számjegyet tartanak meg. Az eredmény valótlan lesz, ha a szükséges számú értékes jegynél többre adják meg, de akkor is, ha annál kevesebbre. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mért adatokból számított eredmény megadásakor ügyelni kell, hogy az NEM tartalmazhat több értékes számjegyet, mint amennyit a mért mennyiségek. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az értékes jegyek figyelembe vételével az eredmény megadása a különböző matematikai mőveletekben két alapvetően különböző módon történik. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Összeadás és kivonás esetén valamennyi jegyet figyelembe véve elvégezzük a műveletet, majd megállapítjuk azt a helyiértéket (az utolsó értékes jegyet), amely mindegyikben szerepel és erre az értékre kerekítve adjuk meg a végeredményt. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(3,461728 + 14,91 + 0,980001 + 5,2631 = 24,614829 = 24,61) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Szorzás és osztás esetén az eredmény értékes jegyeinek számát a legkevesebb értékes jegyre megadott adat határozza meg. Erre a jegyszámra kerekített végeredményt adunk meg. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Például egy kör kerülete estén (itt csak a sugár a mért adat!!!) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Logaritmus képzése esetén a kiindulási adat értékes jegyeinek száma megegyezik a logaritmus számban a tizedes vessző utáni számjegyek számával. (lg 35,46 = 1,5497) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kerekítés | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha az első elhagyandó számjegy 5-nél kisebb, akkor egyszerűen "levágjuk" a megmaradó szám után - a meghagyott számjegyek változatlanul maradnak. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3,416 3,4; 5733,332 5733,3; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha az első elhagyandó számjegy 5-nél nagyobb, vagy 5 és utána nullától eltérő számjegy áll, akkor a meghagyott utolsó számjegyet 1 egységgel megnöveljük. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
432,468 432,5; 1,252 1,3; 67,78 67,8; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ha az első elhagyandó számjegy 5 és utána nincs számjegy, vagy csak nulla áll, akkor a meghagyott utolsó számjegyet változatlanul hagyjuk - ha páros, illetve egy egységgel megnöveljük - ha páratlan. (Vagyis mindenképpen páros számra fog végződni ez a kerekített szám.) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26,15 26,2; 26,25 26,2; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A számítások pontossága - értékes jegyei | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Általában úgy járunk el helyesen a számítások során, hogy a részeredményeket egy, vagy két számjeggyel többre adjuk meg, mint a kiindulási adatokat, és a végeredményt legfeljebb a kiindulási adatok pontosságának megfelelő számú értékes jegyre kerekítjük. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Miért nem helyes, ha végeredményként minden számjegyet leírunk, amit a számológép mutat? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mért adatok számjegyei jelzik, hogy milyen pontosságú volt a mérés. Azt semmilyen számítási művelettel nem lehet növelni. Általánosságban nem érvényes, hogy minél több jegyet adunk meg a végeredményben, az annál pontosabb! | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Példa: Határozzuk meg egy fém ötvözetből készült fémgömb sűrűségét oly módon, hogy mérjük a tömegét és a térfogatát! Hány értékes jegyre adhatjuk meg az ötvözet sűrűségének számolásánál a végeredményt, ha a felírt adatok jól tükrözik a használt eszközök pontosságát? A számolási feladat megoldásához nem szükséges tudni, hogy az adatokat milyen eszközökkel mérték, de annak megfelelő pontossággal (megfelelő számú értékes jegyre) kell az adatokat megadni. A mért adatok: m = 63,97 g, V = 15,0 cm3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A tömeg 4 értékes jegyre, a térfogat 3 értékes jegyre adott, tehát az eredményt is legfeljebb 3 értékes jegyre kerekítve illik megadni. Vagyis NEM helyes a = 4,2646 g/cm3 eredmény, hanem csak a = 4,26 g/cm3. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A tömeg adata azt jelzi, hogy annak értéke 63,96 g és 63,98 g egyaránt lehet, sőt ha ez egy átlag, akkor a mérleg érzékenységétől függően vagy egységgel is eltérhetnek az egyes adatok. A térfogat mérésében hasonlóan a tized cm3 már becsült érték, vagyis 14,9-15,1 cm3 között mozoghat. A sűrűség számítása során a mért tömeget és a mért térfogatot kell elosztani. De melyik tömeget melyik térfogattal? A mérési hiba akkor mutatkozik meg, ha a legkisebb tömeget a legnagyobb térfogattal, illetve a legnagyobb tömeget a legkisebb térfogattal párosítjuk. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vagyis: = 63,96 g/15,1 cm3 = 4,235761..... g/cm3 eredményt látunk; illetve = 63,98 g/14,9 cm3 = 4,293959.....g/cm3 is lehetne. Azaz valahol 4,23 és 4,29 között van az átlagos eredmény, mint ahogy azt a megadott 4,26 g/cm3 is jelzi. Vagyis három értékes jegy szükséges: 4,26 0,03 g/cm3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mérések hibája, hibaterjedés | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Minden mérés többé-kevésbé hibás, mert tökéletes mérőeszköz és hibamentesen működő mérő személy nincs. Arra kell törekednünk, hogy a hibákat a lehető legkisebbre csökkentsük, illetve, hogy azokat számszerűen ismerjük, vagy előre megadott határon belül tartsuk. A mérési hibákat a következőképpen szokták csoportosítani. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Szisztematikus hibák, amelyek a mérőberendezés hibás szerkesztéséből, ill. szerkezetéből erednek. Ilyenek lépnek fel pl. a hosszúság mérésénél, ha a mérőműszer beosztásai nem felelnek meg a melléjük írt távolságnak. Ilyenkor célszerű ismert mennyiségek mérésével a készüléket hitelesíteni, vagy összehasonlító méréseket végezni, így az ilyenfajta hibák korrigálhatók. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Észlelési (véletlen) hiba akkor lép fel, ha pl.a tolómérővel a megengedettnél kissé nagyobb nyomást gyakorlunk a testre, úgy hogy a mérőkészülék, vagy a tárgy deformálódik. Ez esetben a mérés többszöri megismétlésével eredményeink egymástól és a valódi értéktől eltérnek, szóródnak, így a mért x értékeket csak a valódi xo érték közelítésének tekinthetjük. Ezek alapján - a későbbiekben részletezendő módon - megadhatjuk, hogy a mérés eredménye maximálisan, ill. közepesen mennyire tér el a valódi értéktől. Enélkül mérési eredményünk pontosságát nem ismerjük. A határok kijelölése önkényes, de tág határoknak nincs gyakorlati haszna, szűk határok esetén viszont fokozódik annak a veszélye, hogy a valódi xo érték nem esik a kijelölt határok közé. A mérés eredményét alakban írjuk. A abszolút hiba, a számított x középérték körül azt a tartományt jelöli ki, amelybe a valódi xo érték eshet. A különböző mérési sorozatok jóságának összehasonlítására a relatív hibát használjuk, ezt általában százalékban adjuk meg. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A hibaszámítás feladata a hiba meghatározása. A teljes hiba a berendezés elkerülhetetlen szisztematikus hibájának és a mérés véletlen hibájának összege (az összegben a hibák abszolút értékben szerepelnek): | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(A nagyságát általában feltüntetik a műszereken, a nagyságát a szórásból állapítjuk meg.) Legyen x1, ..., xn n számú mérés eredménye, ha képezzük az | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
számtani közepet, akkor a valódi értéknek a legjobb közelítését adja. Az a látszólagos hiba, ennek abszolútértékben a legnagyobb értéke a maximális hiba. A maximális hiba az egész mérési sorozat jellemzésére használható, míg a látszólagos hibák csak az egyes méréseket jellemzik. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mért mennyiségek jellemzésére a középhiba értékét használjuk, így hibaterjedés esetén is a meghatározott mennyiség középhibáját határozzuk meg. A középhiba matematikai megfelelője a szórás, a mérési eredmények változékonyságának mértéke. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Jele: ľ, dimenziója megegyezik a mérési eredmény dimenziójával. A középhibát +/- előjellel írjuk a megbízhatóság reciprok mértéke (minnél nagyobb a középhiba, annál kevésbé megbízható a mérési eredmény) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Legyenek x1, x2, x3......xn mérési eredmények, és ehhez tartozzanak , , ... véletlen hibák. Gauss-féle középhiba, a véletlen hibák négyzetösszegének középértékéből vont négyzetgyök: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
illetve | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A függvénykapcsolat legyen: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az x mennyiségre végzett mérések eredményei: x1, x2, ....xn | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A függvénykapcsolat Gauss-féle középhibája: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hibaterjedés összeg vagy különbség képzése esetén | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlő az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A függvénykapcsolat: f=x+y vagy f=x-y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A mérési eredmények: x1, y1, x2, y2, ... xn, yn | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az összeg vagy különbség középhibája: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Tetszőleges lineáris függvény középhibája | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Legyen a tetszőleges lineáris függvény: f=ąa×xąb×y ąc×z ą... ąconst | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hibaterjedés általános esetben | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az x, y, z,... mennyiségek meghatározására általában n számú mérést végzünk, így az eredmények x1, y1, z1...,x2, y2, z2...,xn, yn, zn..., ezek véletlen hibái , , , ..., , , , ... , , . Ha ezeket behelyettesítjük a g függvénybe, f értékére különböző eredményeket fogunk kapni. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A hibaterjedés általános esetben, azaz az alapképlet: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Feladatok | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Mekkora a térfogata annak a famintának, amelynek élhosszúságai: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. A Föld teljes édesvízkészletét km3-re becsülik. Mennyi ez m3-ben, illetve literben? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Az USA-ban másodpercenként átlagosan 2,0×104 szál cigarettát szívnak el. Mennyi lesz a napi fogyasztás? () | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. A tengerbe ömlött olaj kb. 120 nm vastagságú filmréteget képez a felszínen. Mekkora felületet borít be ilyen vastagságban, ha 2 hordónyi (1 hordó = 120 liter) olaj ömlik ki? (2,0 km2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. A félévi vizsgán az évfolyam 84 hallgatója közül 18% ért el jeles eredményt, 25% jót, 32% közepest, 13 % elégségest és 12% bukott meg. Számítsuk ki, hogy hányan érték el az egyes eredményeket! (15 jeles, 21 jó, 27 közepes, 11 elégséges, 10 bukás) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. A befőzéshez használt cukorszirup sűrűsége 1,118 g/cm3, kristálycukor tartalma 28,0 tömeg%. Hány kg cukrot kell feloldani, ha 2,75 liter szirupra van szükségünk? (0,861 kg) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. A fehérarany 60,0 tömeg% aranyat tartalmaz, és a maradék platina. Mennyi platinára van szükségünk, ha 175 g aranyunk van, hogy megfelelő összetételő fehéraranyat készítsünk? (117 g) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Egy 4,05 m széles, 6,10 m hosszú úszómedencében a víz átlagos mélysége 1,35 m. A víz ( = 1,00 g/cm3) fertőtlenítésére 7,00 mg/kg mennyiségő klórt használnak. Hány g klórt tartalmaz a medence? (233 g) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Határozzuk meg a szén-tetraklorid sűrűségét, ha a kimért folyadék térfogata 20,00 cm3, tömege pedig 31,91 g! ( = 1,596 g/cm3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Az emberi vérben kb. vörösvértest van milliliterenként. A vörösvértest térfogata kb. cm3, és sűrűsége 1,096 g/cm3. Hány liter vérből kaphatunk 0,500 kg vörösvértestet? ( cm3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Csapvíz melegítésével 1 csésze kávét szeretnénk készíteni. Mekkora hőmennyiség szükséges a kávé elkészítéséhez, ha 0,180 kg csapvizet 15 °C-ról 96 °C-ra kell felmelegíteni, és a víz fajhője 4,18 J/g×°C? (61 kJ) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. A higany és vegyületei erősen toxikus hatásúak. Az emberi szervezetben fontos enzimekkel reagálva irreverzibilis reakció játszódik le, amely megakadályozza az enzim mőködését. Ha egy szennyezett tóban milliliterenként 400 ng Hg található, mennyi a higany össztömege a tóban (felülete: 225 km2, átlagos mélysége: 4,35 m)? (392 t) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Egy felnőtt férfi kb. liter levegőt lélegzik be naponta. Az erősen szennyezett városi levegőben az ólom (Pb) koncentrációja 7,0 . Feltételezzük, hogy az ólom 75%-a 1,0 -nél kisebb átmérőjő részecskében van jelen, és ennek 50 %-a marad a tüdőben. Mennyi ólom raktározódik el a tüdőben 1 év alatt, ha a férfi ilyen körülmények között él? (8,1 mg) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Egy 1,23 mg tömegő emberi hajminta elemzésekor kimutatták, hogy az arzénatomot tartalmaz. Hány tömeg%-nyi arzént tartalmaz a hajminta? Kimutatható-e arzénmérgezés ebben az esetben, ha tudjuk, hogy 0,0003 tömeg% feletti As-tartalom biztosan mérgező? (0,126%, nagyon) |
Ellenőrző kérdések | |||||||||
1. Melyik nem alapegység az alábbiak közül?
![]() | |||||||||
2. Melyik nem alapmennyiség az SI-ben?
![]() | |||||||||
3. A méter definiciója a fizika melyik területéhez kapcsolódik?
![]() | |||||||||
4. Hat millió méter hány kilométer?
![]() | |||||||||
5. A nyomás nyomóerő és a felület hányadosa, amelynek a pascal (Pa) a mértékegysége. Fejezzük ki a pascalt alapegységekkel! ![]() | |||||||||
6. Az alábbi prefixumok (előtagok) közül melyik a legkisebb?
![]() |