KURZUS: Fizika I.

MODUL: A mechanika alapjai

4. lecke: Dinamika

A tananyag részletes feldolgozása:

  • tankönyv 22-től 27-ig
  • CD NODE 16-tól 20-ig
  • Ea2 36-tól 46-ig
A tananyag összefoglaló vázlata
Newton törvényei Az eredeti fogalmazás magyar fordítása (in: Budó Ágoston Kísérleti Fizika I., Budapest, 1970, Tankönyvkiadó. 55. lap; 94. lap; 66. lap; 69. lap)
  • Newton törvényei
  • I. törvény; vonatkoztatási rendszer értelmezése
  • II. törvény; mozgásmennyiség, erő és tömeg
  • III. törvény; hatás ellenhatás
  • IV. törvény; az erőhatások függetlenségének elve (vagy szuperpozíció elve)
  • a lendület megmaradás törvénye
  • tömegmérése
  • newtoni mechanika korlátai

Első axióma, vagy a tehetetlenség törvénye:
"minden test megmarad a nyugalom vagy az egyenes vonalú egyenletes mozgás állapotában, hacsak ráható erők állapotának megváltoztatására nem kényszerítik"

A "mozgásmennyiség" helyett szokás más szinonim szóalakokat is használni, pl. impulzus, lendület.

Második axióma erő és tömeg: egy m tömegű, v sebességű anyagi pont mozgásmennyiségén I=mv vektormennyiséget értjük.
"A mozgásmennyiség változása arányos a ható mozgató erővel, és annak az egyenes vonalnak irányában megy végbe, amelyben az erő hat".
Itt a mozgásmennyiség változásán I-nek időegységre történő változása ( Δ I/ Δ t) értendő (pontosabban (dI/dt)=F I-nek idő szerinti differenciálhányadosa egyenlő a tömegpontra ható erővel.)
Matematikai formában:
( Δ I/ Δ t) = F
(mv/ Δ t) = F; ( Δ v/ Δ t) = a
ma = F

Harmadik axióma kölcsönhatás törvénye:
"A hatással mindig ellentétes és egyenlő nagy az ellenhatás, vagy két test egymásra való hatása mindig egyenlő nagyságú és ellentétes irányú"

Negyedik axióma az erőhatások függetlenségének vagy másképp a szuperpozíció elve:
(Ezt Newton nem fogalmazta meg törvényként, de számításaiban alkalmazta.)
"Ha egy anyagi pontra egyidejűleg több erő hat, ezek együttes hatása egyenértékű vektori eredőjük hatásával."
ma = Σ F ¯ i

Követelmények

Legyen képes

  • newtoni törvényeket a mindennapi gyakorlati tapasztalatokra épülő példákon keresztül értelmezni
  • newtoni törvények matematikailag kifejezett képleteit számítási feladatokban helyesen alkalmazni
Kidolgozott feladatok

1. Egy tömegpontra a következő erők hatnak (SI-rendszerben):

F1= (2, 1, 2), F2 = (-1, 0, 1), F3=(0, 1, 1)

Adja meg a pont gyorsulását, ha a tömege 100 g! (0,1 kg)

Megoldás: Az erők eredője Newton IV. törvénye szerint az erők vektori összege, ami x; y; z komponensenként számolható:

Fe=F1+F2+F3= (1, 2, 4)

Newton II. törvénye alapján m*a = Fe, ezért

a = F e m = ( 10, 20, 40 )

A gyorsulás nagysága a térbeli Pithagorasz-tétel szerint:

| a | = 10 2 + 20 2 + 40 2 = 45,8 m s 2

A gyorsulás vektora: a = (10, 20, 40), a gyorsulás nagysága a = 45,8 m/s2.

2. Egy m = 5 kg tömegű testre időben változó erő hat, melyet SI-ben az alábbi függvény ad meg: F(t)= 6 - 9 t.
Mekkora a test sebessége t = 3 s-kor, ha a test kezdetben állt?

Megoldás: Newton II. törvénye alapján a test gyorsulása SI-egységekben:

a(t) = F ( t ) m = 6 5 9 5 t

A test Δ v sebességváltozása a [0, 3] intervallumban az a(t) függvény grafikonja alatti területből kapható meg.

Az a(t) függvény grafikonja (az ábrában tévesen v) egyenes, melynek zérushelye van t2 = 2/3 s-kor, a grafikon alatti terület két háromszögből áll.

Az 1. háromszög területe nyilván: T 1 = t z a ( 0 ) 2 = ( 2 / 3 ) ( 6 / 5 ) 2 = 2 5

A 2.-é pedig: T 2 = ( 3 t z ) ( a ( 3 ) ) 2 = ( 7 / 3 ) ( 21 / 5 ) 2 = 49 10

A sebességváltozás tehát: (a megfelelő előjelekkel) Δ v = T 1 T 2 = 9 2

Mivel a kezdeti sebesség 0-volt, ezért t2=3 s-kor ez az érték lesz a sebesség pillanatnyi értéke is. Azaz v(3)= 9 2 = 4,5 m s .

A test sebesség 3 s-kor -4,5 m/s.

Ellenőrzések
Mikor nem mozoghat egy test állandó sebesség vektorral?
a testre egy erő hat
a testre ható erők kiegyenlítik egymást
a test nem gyorsul
a test sebesség vektorának abszolút értéke állandó
Mi az erő-ellenerő törvénye?
ha egy testre erő hat, akkor a test gyorsul
ha egy testre egy másik test erőhatást gyakorol, akkor a másik test is erőhatást gyakorol a testre
ha A test B testre F erővel hat, akkor a B test az A testre - F erővel hat
ha egy testre F erő hat, akkor a test ennek ellenére v sebességgel mozog
Melyik igaz? Egy test lendülete megmarad...
ha nem lopják el
ha gyorsul
ha ráható erők eredője nem nulla
ha sebességvektora állandó
ütközés esetén
Egy testre a következő erők hatnak:

F 1 ( 1, 0,1 ) , F 2 ( 1,1,0 ) , F 3 ( 0, 1, 1 )

Mekkora a test sebességének megváltozása 5s alatt?
5 m/s
0 m/s
15 2 m/s
-22,5 m/s
Két test ütközik. Igaz-e rájuk az impulzus megmaradás tétele, ha a külső erők eredője nulla?
Igen. Az egyik testre és a másikra is külön-külön.
Igen, de csak a két testre együtt mint zárt rendszerre.
Nem, mert külső erők nem hatnak.
Nem, mert lehet hogy rugalmatlan az ütközés.
Az alábbiak közül milyen problémák esetén nem alkalmas a Newtoni mechanika a jelenségek leírására?
A Föld Nap körüli mozgásának leírására
Nagy sebességű versenyautók tervezésénél
Elektronikai eszközök (pl.: CD, TV) tervezésénél
Üstökösök mozgásának leírására