KURZUS: Fizika I.

MODUL: Rezgőmozgások

8. lecke: Csillapított rezgőmozgás

A tananyag részletes feldolgozása:

  • tankönyv 42-től 46-ig
  • CD NODE 31-től 33-ig
  • Ea3 18-tól 31-ig
A tananyag összefoglaló vázlata
  • csillapított rezgőmozgás
    • közegellenállás értelmezése
    • kis csillapítás esetén x(t) ω 0 > 0
    • csillapított rezgőmozgás frekvenciája ω cs2 = ω 02 - β 2
    • nagy csillapítás esetén β >= ω 0 "lecsengés"
  • gerjesztett rezgőmozgás
    • egyszerű harmonikus (gerjesztő) rezgés + exponenciális csillapítás
  • gerjesztett rezgés összege
  • tranziens és állandósult állapot különböző β értékekre
  • rezonancia - rezonencia görbe és a A g = a 0 | ω 0 2 ω g 2 |
Követelmények

Legyen képes

  • a csillapított rezgőmozgás jellemzőit a harmonikus rezgőmozgáshoz képest értelmezni (határozza meg a jellemző eltéréseket)
  • gerjesztett rezgőmozgások létrejöttét leírni
  • értelmezni a gerjesztett rezgéseknél a tranziens és állandósult állapotát különböző csillapítási értékek esetében
  • helyesen értelmezni a gerjesztett rezgéseknél a rezonancia jelenségét
Kidolgozott feladatok

1. Csillapított rezgés amplitúdója 10 s alatt harmadára csökken. Mennyi idő alatt fog csökkenni az amplitúdó az eredeti 10-ed részére?

Megoldás: A csillapított rezgés amplitúdójára érvényes az

A = A 0 e β t

összefüggés, ahol A0 a kezdeti amplitúdó, β pedig a csillapítási tényező. 10 s alatt A = (1/3) A0 lesz, ezért

1 3 A 0 = A 0 e β 10

Ebből 1 3 = e 10 β vagy ln 3 = 10 β

ahonnan β = 1 10 ln 3 = 0,11 1 s

Most számoljuk ki a t10 időt, ami alatt 0,1 A0-ra csökken az amplitúdó:

0,1 A 0 = A 0 e β t 10 ,

ahonnan ln 10 = 0,11 t10,

ahonnét: t10 = 20,9 s

Amplitúdó 20,9 s alatt fog 1/10-re csökkenni.

2. Egy rezgő test csillapítás nélkül 1,52 Hz körfrekvenciával rezeg. Egy sűrű közegben ez a körfrekvencia 1,48 Hz-re csökken. Mekkora a csillapítási tényező értéke? Hány másodperc múlva csökken a csillapított rezgés amplitúdója az eredeti századrészére?

Megoldás: Tudjuk, hogy a csillapított és csillapítatlan körfrekvenciák és a csillapítási tényező közt egyszerű kapcsolat van:

ω cs 2 = ω 0 2 β 2

ahonnét a csillapítási tényező:

β = ω 0 2 ω cs 2 = 0,346 1 s

Az amplitúdó 1/100 részére való csökkenése alapján felírhatjuk, hogy:

A 0 100 = A 0 e β t

ahonnét:

t = ln 100 β = 13,3 s

A csillapítási tényező 0,346 1/s és rezgések amplitúdója 13,3 s alatt csökken az eredeti 1/100-ad részére.

Ellenőrzés
Egy csillapított rezgőmozgást végző testet harmonikus rezgőmozgást végző test gerjeszti. Függ-e a gerjesztés frekvenciájától a rezgés amplitúdója?
Nem függ. A harmonikus rezgés amplitúdója független a frekvenciától.
Függ. A gerjesztő frekvencia minél jobban eltér a sajátfrekvenciától annál kisebb az amplitúdó.
Nem függ. A gerjesztő rezgés amplitúdójától függ.
Függ. Minél kisebb a gerjesztő frekvencia annál kisebb.
Egy 5*10-6 kg-os testre ható erő (SI-ben) F(x)= x2-5x.
Hol végezhet a test kis amplitúdójú rezgőmozgást?
x1=0 és x2=5
x=0
x=5
nincs ilyen x érték
Egy 5*10-6 kg-os testre ható erő (SI-ben) F(x)= x2-5x.
Mekkora a rezgés körfrekvenciája 1/s-ban?
1
5
1000
2200
Egy 2 gramm tömegű test harmonikus rezgést végez 20 N/m-es rugón. Legalább mekkora legyen a csillapítási tényező, hogy ne végezzen rezgőmozgást a test?
0,01 1/s
1 1/s
100 1/s
10000 1/s