KURZUS: Fizika I.
MODUL: A mechanika alapjai
3. lecke: Egyenletes körmozgás
![]() | Követelmények | |
Legyen képes | ||
|
![]() | Tananyag | |
A technikai gyakorlatban sokszor előforduló feladat, hogy egy körpályán mozgó test fizikai állapotát (pillanatnyi helyzetét, sebességét, gyorsulását, fellépő erőhatásokat, és ezek időbeli változásait) meghatározzuk. | ||
Egyenletes körmozgásról akkor beszélünk, ha az anyagi pont állandó sugarú körpályán egyenlő időközök alatt azonos forgásirányban egyenlő utat (ívhosszat) tesz meg. Ilyen például egy hagyományos óra, melynek percmutatója bármelyik 5 perc időtartam alatt a teljes körpálya 1/12 részét teszi meg. Ezt a körmozgásra jellemző érétket szögsebességnek nevezzük. Jele: Egysége: 1/s | ||
A következőkben a tankönyv 2.11; 2.12; 2.13. fejezeteiben tárgyalt fizikai jellemzőket értelmezzük körpályán mozgó tömegpontokra. | ||
Egy adott t időpontban az r(t) helyvektor az "O" origóból az "A" pontba mutat. A t-hez képest t + t időpontban a tömegpont az "A" helyhez képest "s" ívhosszon való elmozdulása után "B" pontban van. Ezt mutatja az r(t+t) helyvektor. A vektorok ismert összegzési szabálya szerint az r(t) vektorból úgy kapjuk meg a "B" pontba mutató r(t+t) vektort, hogy r(t+t) = r(t)+r azaz az r(t) vektort összegezzük a r vektorral. | ||
A r tehát a tömegpont t idő alatti elmozdulását adja meg. A ábrán ugyan látható különbség mutatkozik a r és az "s" ívhossz között, de a t-t fokozatosan csökkentjük, (azaz ) akkor ez a fenti ábrán értelmezettek szerint r/t értéke a tömegpont t időpontbeli pályájának érintője azonos a tömegpont pillanatnyi sebességével. | ||
A körpályán mozgó tömegpont sebességét tehát a r/t határértékben pedig v = dr/dt differenciálhányados adja meg, iránya pedig a t időponthoz tartozó r(t) tartozó helyvektorra merőleges, azaz a pálya érintője. | ||
A tömegpont "A" és "B" pontbeli sebességvektora csak abszolút értékben megegyező. Egyértelműen látható, hogy a test elmozdulásának következtében a sebességvektor iránya folyamatosan változik. A fenti ábrán az "A" és "B" pont közötti változás nagyságát és irányát a v különbségvektor mutatja. A v-t úgy határozhatjuk meg, hogy a | ||
Az ábrán a | | ||
Nagyon kicsiny esetében belátható, hogy a v értéke egyenesen arányos a sebességvektorral és a értékével, vagyis v = v * . | ||
A viszont egyenesen arányos az ívhosszal és fordítottan arányos a sugárral. Könnyen belátható, ha azt vizsgáljuk, hogy a középponti szög és az ívhossz egyenes arányban áll. | ||
Azaz s = r * . Ebből =s/r. Az előző v egyenletben helyettesítsük a -re megállapított összefüggést! | ||
v = v * = v * s/r osszuk el az egyenlet mindkét oldalát t-vel. | ||
A körpályán mozgó egységnyi tömegű testnek a = v2/r centripetális gyorsulása van. Newton II. törvénye alapján a testre ható erő F = m * a, azaz F = m * v2 / r és a vektor a körpálya középpontja felé mutat. A centripetális gyorsulás vektorának helyzete tehát a tömegpont helyzetét meghatározó r(t) vektor helyzetével azonos. | ||
Az egyenletes körmozgáshoz azt a feltételt rögzítsük, hogy a szögsebesség = / t állandó. Ez egy teljes körülfordulásra kiterjesztve az r(t) helyvektor 2 szöggel fordul el. Egy körülfordulás idejét periódusidőnek vesszük, jele: T | ||
Ez alapján a szögsebesség: | ||
Egységsugarú körpályán való körülfordulás ívhossza 2, ebből a sebesség abszolút értéke: | ||
r sugarú pályán ez úgy módosul, hogy v = r * | ||
A periódusidő reciproka 1/T az egységnyi idő alatti periódusok számával egyezik, amit frekvenciaként definiálunk, és f-fel jelöljük, mértékegysége: Hz = 1/s | ||
A középiskolában tanulták a szögfüggvények kiterjesztését 0-360 fokra. Az ott tanultak analógiája alapján belátható, hogy a körpályán egyenletesen mozgó tömegpont helyvektorának r(t) az x koordinátára vonatkoztatott vetülete azonos (a középponti szög pillanatnyi értékéhez tartozó) r(t)*cos(t) értékével. | ||
Ugyanígy az y koordinátára vonatkoztatott vetülete a r(t)*sin(t) függvény szerint definiálható. |
![]() | Kidolgozott feladat | |
Egy tömegpont 10 cm sugarú egyenletes körmozgást végez. 1 perc alatt 100 fordulatot tesz meg. Mekkora a tömegpont sebességének a nagysága, szögsebessége és gyorsulása? | ||
Megoldás: A kör sugara r = 0,1 m. | ||
Innen könnyen megkapható körfrekvencia (más néven a szögsebesség): . | ||
Vagyis 1s alatt a test 10,47 radiánnyi szögtartományt fut be. | ||
A sebességre egyenletes körmozgás esetén a következő képletet használjuk: . | ||
A feladatban leírt körmozgás állandó nagyságú sebességgel zajlik, ezért tangenciális (érintő irányú) gyorsulás 0. | ||
A gyorsulásnak viszont mindenképp lesz sugárirányú komponense, hisz a sebességvektor változik. Ez az úgynevezett centripetális gyorsulás an, amelynek a kör közepe felé mutat, nagysága pedig an=v2/r. | ||
A feladat adatai szerint: . | ||
A test szögsebessége 10, 47 1/s, sebessége mindig érintő irányú és 1,047 m/s nagyságú. Gyorsulása minden időpontban a kör közepe fele irányul és nagysága 10,966 m/s2. | ||
![]() | Ellenőrzések |
Mi jellemző az egyenletes körmozgás gyorsulására?
![]() | ||||||||||
Melyik állítás nem igaz a egyenletes körmozgásra?
![]() | ||||||||||
Mekkora a körmozgást létrehozó erő munkája egy kör megtétele alatt?
![]() |