KURZUS: Fizika I.

MODUL: Rezgőmozgások

7. lecke: Harmonikus rezgőmozgás

A tananyag részletes feldolgozása:

  • tankönyv 39-től 42-ig
  • CD NODE 29-től 30-ig
  • Ea3 1-től 17-ig
A tananyag összefoglaló vázlata
  • rezgések kialakulása - stabil és instabil egyensúly
  • rezgőmozgás - pályája, x(t); sebessége v(t); gyorsulása a(t)
  • kis amplitúdójú rezgések
Követelmények

Legyen képes

  • az egyenes mentén mozgó testre ható erőfüggvényből meghatározni az egyensúlyhelyzetet (helyzeteket) és a rezgés paramétereit kiszámítani.
Kidolgozott feladatok

1. Egy 0,5 kg tömegű testre az F(x)=3x2+6x-9 erő hat. (SI rendszerben)
Határozza meg a test egyensúlyi pont körüli kis rezgéseinek frekvenciáját és periódus idejét!

Megoldás: Először keressük meg az egyensúlyi pontokat, vagyis azokat a pontokat, amelyekben a testre ható erő 0:

F(x)=3x2+6x-9 = 0

Ennek az egyenletnek két megoldása van: x1=1 és X2=-3 . De az egyensúly csak akkor lesz stabil (és körülötte megvalósulhat a rezgés), ha ebben a pontban az erő deriváltja negatív. Deriváljuk le az erőfüggvényt:

F'(x)=6x+6

Világos, hogy F'(x1)=F'(1)=12>0 és F'(x2)= F'(-3)=-12<0, vagyis csak az x2=-3 stabil egyensúlyi pont.

A kis rezgés körfrekvenciájára vonatkozó képlet: ω = 1 m F ( x 2 )

Ide behelyettesítve az eddigi eredményeket: ω = 1 0,5 kg ( 12 N / m ) = 24 = 4,9 1 s .

A rezgés körfrekvenciája ω =4,9 Hz, periódusideje T = 1,28 s.

A tananyag értelmezéséhez szükség szerint ismételje át a differenciál egyenletek és a deriválásról tanultakat.

2. Egy egyenes mentén mozgó testre ható erő SI egységekben az alábbi alakú: F(x)=5/x-9
Hol van a test egyensúlyban? Kialakulhat-e rezgés az egyensúly körül? Mennyi a kis rezgések periódus ideje, ha a test tömege 2 kg?

Megoldás: Egyensúly: F(x0) = 0 azaz 5/9-ed. Az F'(x) = -5/x2 behelyettesítve x0 értékét:

F ( x 0 ) = 5 ( 5 / 9 ) 2 = 81 5 tehát a derivált negatív, kialakulhat a rezgés.

A frekvencia ω = F ( x 0 ) m = 16,2 2 2,85 1 s periódusidő: T = 2 π / ω = 2,21 s

Ellenőrzések
Mi a harmonikus rezgőmozgás dinamikai feltétele?
a test kitérése lineáris az idővel
a testre ható erők eredője, a nyugalmi helyzettől kitérítve lineárisan nő a távolsággal, iránya ellentétes a kitérítés irányával
a testre állandó erő hat
a testre a hely függvényében szinuszos erő hat
Melyik biztosan nem igaz a harmonikus rezgőmozgásra?
a hely-idő függvény: x ( t ) = A sin ( ω t + ϕ 0 )
a sebesség-idő függvény: v ( t ) = A ω sin ( ω t + ϕ 0 )
a hely-idő függvény: x ( t ) = A sin ( ω t )
a gyorsulás-idő függvény: a(t)= A ω 2 sin ( ω t )
Melyik nem igaz a periodikus mozgásra?
létezik két olyan időpillanat, amikor a kitérés azonos
a hely-idő függvény csak szinuszos lehet
a harmonikus rezgő mozgás ilyen
létezik olyan T időtartam, hogy bármely n egész számra a hely-idő függvény: r(t)=r(t+nT)
Melyik nem igaz a harmonikus rezgő mozgásra?
a kitérés és gyorsulás ellentétes irányú
a sebesség ott maximális, ahol a kitérés minimális
a sebesség ott maximális, ahol a testre ható erők eredője nulla
a sebesség és kitérés arányos egymással
Mikor lesz két periodikus rezgés összege biztosan periodikus?
frekvenciájuk összege racionális szám
frekvenciájuk aránya immaginárius szám
frekvenciájuk aránya irracionális szám
frekvenciájuk aránya racionális szám