KURZUS: Fizika I.

MODUL: A mechanika alapjai

3. lecke: Egyenletes körmozgás

Követelmények

Legyen képes

  • értelmezni a körpályán mozgó test helyvektorát sebességvektorát és gyorsulásvektorát
  • a megtanult összefüggések felhasználásával számítási feladatokban helyesen alkalmazza a körmozgást leíró törvényeket
Tananyag

A technikai gyakorlatban sokszor előforduló feladat, hogy egy körpályán mozgó test fizikai állapotát (pillanatnyi helyzetét, sebességét, gyorsulását, fellépő erőhatásokat, és ezek időbeli változásait) meghatározzuk.

Egyenletes körmozgásról akkor beszélünk, ha az anyagi pont állandó sugarú körpályán egyenlő időközök alatt azonos forgásirányban egyenlő utat (ívhosszat) tesz meg. Ilyen például egy hagyományos óra, melynek percmutatója bármelyik 5 perc időtartam alatt a teljes körpálya 1/12 részét teszi meg. Ezt a körmozgásra jellemző érétket szögsebességnek nevezzük. Jele: ω Egysége: 1/s

A következőkben a tankönyv 2.11; 2.12; 2.13. fejezeteiben tárgyalt fizikai jellemzőket értelmezzük körpályán mozgó tömegpontokra.

Egy adott t időpontban az r(t) helyvektor az "O" origóból az "A" pontba mutat. A t-hez képest t + Δ t időpontban a tömegpont az "A" helyhez képest "s" ívhosszon való elmozdulása után "B" pontban van. Ezt mutatja az r(t+ Δ t) helyvektor. A vektorok ismert összegzési szabálya szerint az r(t) vektorból úgy kapjuk meg a "B" pontba mutató r(t+ Δ t) vektort, hogy r(t+ Δ t) = r(t)+ Δ r azaz az r(t) vektort összegezzük a Δ r vektorral.

A Δ r tehát a tömegpont Δ t idő alatti elmozdulását adja meg. A ábrán ugyan látható különbség mutatkozik a Δ r és az "s" ívhossz között, de a Δ t-t fokozatosan csökkentjük, (azaz Δ t 0 ) akkor ez a fenti ábrán értelmezettek szerint Δ r/ Δ t értéke a tömegpont t időpontbeli pályájának érintője azonos a tömegpont pillanatnyi sebességével.

A körpályán mozgó tömegpont sebességét tehát a Δ r/ Δ t határértékben pedig v = dr/dt differenciálhányados adja meg, iránya pedig a t időponthoz tartozó r(t) tartozó helyvektorra merőleges, azaz a pálya érintője.

A tömegpont "A" és "B" pontbeli sebességvektora csak abszolút értékben megegyező. Egyértelműen látható, hogy a test elmozdulásának következtében a sebességvektor iránya folyamatosan változik. A fenti ábrán az "A" és "B" pont közötti változás nagyságát és irányát a Δ v különbségvektor mutatja. A Δ v-t úgy határozhatjuk meg, hogy a B vektort párhuzamos eltolással a A sebességvektorhoz illesztjük. Így nyilvánvalóvá válik, hogy a B = A + Δ vagyis a 2.13 alapján meghatározhatjuk a körpályán mozgó test gyorsulását a = Δ V/ Δ t, illetve határértékben t 0 esetén az a = dv/dt differenciálhányadossal jellemezhető érték, iránya pedig a körpálya középpontja felé mutat. A gyorsulás mértékét analitikus elemzés helyett a következőkből is beláthatjuk.

Az ábrán a |A|=|B| és mivel érintők ezért VA merőleges r(t)-re és VB merőleges r(t)+ Δ t. A merőleges szárú szögek egyenlősége alapján a két sebességvektor által bezárt szög ϕ megegyezik a Δ t idő alatti szögváltozással.

Nagyon kicsiny ϕ esetében belátható, hogy a Δ v értéke egyenesen arányos a sebességvektorral és a Δ ϕ értékével, vagyis Δ v = v * Δ ϕ .

A Δ ϕ viszont egyenesen arányos az ívhosszal és fordítottan arányos a sugárral. Könnyen belátható, ha azt vizsgáljuk, hogy a középponti szög ϕ és az ívhossz egyenes arányban áll.

Azaz Δ s = r * Δ ϕ . Ebből Δ ϕ = Δ s/r. Az előző Δ v egyenletben helyettesítsük a Δ ϕ -re megállapított összefüggést!

Δ v = v * Δ ϕ = v * Δ s/r osszuk el az egyenlet mindkét oldalát Δ t-vel.
Δ v/ Δ t=(v* Δ s)/(r* Δ t) Az egyenlet bal oldalán lévő mennyiséget az "a" gyorsulással, a jobb oldalon lévő Δ s/ Δ t mennyiséget "v" sebességgel helyettesítve az a=v2/r összefüggést kapjuk.

A körpályán mozgó egységnyi tömegű testnek a = v2/r centripetális gyorsulása van. Newton II. törvénye alapján a testre ható erő F = m * a, azaz F = m * v2 / r és a vektor a körpálya középpontja felé mutat. A centripetális gyorsulás vektorának helyzete tehát a tömegpont helyzetét meghatározó r(t) vektor helyzetével azonos.

Az egyenletes körmozgáshoz azt a feltételt rögzítsük, hogy a szögsebesség ϖ = Δ ϕ / Δ t állandó. Ez egy teljes körülfordulásra kiterjesztve az r(t) helyvektor 2 π szöggel fordul el. Egy körülfordulás idejét periódusidőnek vesszük, jele: T

Ez alapján a szögsebesség: ω = 2 π / T

Egységsugarú körpályán való körülfordulás ívhossza 2 π , ebből a sebesség abszolút értéke: v = 2 π / T

r sugarú pályán ez úgy módosul, hogy v = r * ω

A periódusidő reciproka 1/T az egységnyi idő alatti periódusok számával egyezik, amit frekvenciaként definiálunk, és f-fel jelöljük, mértékegysége: Hz = 1/s

A középiskolában tanulták a szögfüggvények kiterjesztését 0-360 fokra. Az ott tanultak analógiája alapján belátható, hogy a körpályán egyenletesen mozgó tömegpont helyvektorának r(t) az x koordinátára vonatkoztatott vetülete azonos (a középponti szög pillanatnyi α = ω értékéhez tartozó) r(t)*cos ϕ (t) értékével.

Ugyanígy az y koordinátára vonatkoztatott vetülete a r(t)*sin ϕ (t) függvény szerint definiálható.

Kidolgozott feladat

Egy tömegpont 10 cm sugarú egyenletes körmozgást végez. 1 perc alatt 100 fordulatot tesz meg. Mekkora a tömegpont sebességének a nagysága, szögsebessége és gyorsulása?

Megoldás: A kör sugara r = 0,1 m.
A körmozgás periódusidő könnyen meghatározható: T = 60 s 100 = 0,6 s .

Innen könnyen megkapható körfrekvencia (más néven a szögsebesség): ϖ = 2 π T = 2 π 0,6 = 10,47 1 s .

Vagyis 1s alatt a test 10,47 radiánnyi szögtartományt fut be.

A sebességre egyenletes körmozgás esetén a következő képletet használjuk: v = r ω = 0,1 m 10,47 1 s = 1,047 m s .

A feladatban leírt körmozgás állandó nagyságú sebességgel zajlik, ezért tangenciális (érintő irányú) gyorsulás 0.

A gyorsulásnak viszont mindenképp lesz sugárirányú komponense, hisz a sebességvektor változik. Ez az úgynevezett centripetális gyorsulás an, amelynek a kör közepe felé mutat, nagysága pedig an=v2/r.

A feladat adatai szerint: a n = 1,047 2 0,1 = 10,966 m s 2 .

A test szögsebessége 10, 47 1/s, sebessége mindig érintő irányú és 1,047 m/s nagyságú. Gyorsulása minden időpontban a kör közepe fele irányul és nagysága 10,966 m/s2.

Ellenőrzések
Mi jellemző az egyenletes körmozgás gyorsulására?
a gyorsulás a kör középpontja felé mutat
a gyorsulás érintő irányú
a gyorsulás kifelé mutat
a test nem is gyorsul
Melyik állítás nem igaz a egyenletes körmozgásra?
a test gyorsuló mozgást végez
a test egyenlő idő alatt egyenlő utakat tesz meg
a test sebességének nagysága állandó
a test sebességvektora állandó
Mekkora a körmozgást létrehozó erő munkája egy kör megtétele alatt?
2 r π F cp
Nem végez munkát.
r F cp
Az átlagos munkavégzés azért 0, mert az egyik félkörben amit végez azt a második félkörben visszakapja.