KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rudak egyszerű igénybevételei

4.4. Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a keresztmetszet I ¯ ¯ S súlyponti tehetetlenségi tenzorának alakját;
  • kiválasztani a súlyponti tehetetlenségi tenzor alapján az S súlyponti tengelyre, vagy tengelypárra számított másodrendű nyomatékot meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a Steiner-tételt;
  • kiválasztani egy ábra alapján az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok közötti összefüggéseket;
  • kiválasztani a Mohr (mór)-féle tehetetlenségi kördiagramra vonatkozó tételt;
  • kiválasztani a tehetetlenségi főirány (főtengely) értelmezését;
  • kiválasztani a tehetetlenségi főirányokkal és a fő tehetetlenségi nyomatékokkal kapcsolatos tételeket;
  • adatok alapján meghatározni különböző keresztmetszetek másodrendű nyomatékait.
Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai

a) Másodrendű nyomatéki tenzor:

Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai a keresztmetszet I ¯ ¯ S súlyponti tehetetlenségi tenzorába foglalhatók.

[ I ¯ ¯ S ]=[ I y I yz I zy I z ]

A súlyponti tehetetlenségi tenzor ismeretében bármely S súlyponti tengelyre, vagy tengelypárra számított nyomaték előállítható:

I n = n I ¯ ¯ S n ,
I m = m I ¯ ¯ S m ,
I nm = I mn = m I ¯ ¯ S n = n I ¯ ¯ S m .

b) Steiner (stejner)-tétel:

Összefüggést ad az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok között:

I z = I ζ +A y S 2 I y = I η +A z S 2 I zy = I ζη +A z S y S }

Tétel: A párhuzamos tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb.

A tétel állítása az első két egyenlet alapján könnyen belátható.

c) Mohr-féle tehetetlenségi kördiagram:

Tétel: Az I n és I mn összetartozó értékei egy derékszögű koordinátarendszerben kört határoznak meg.

A kördiagram szerkesztésének lépései:

  • az Y pont felvétele - koordinátái: I y , I zy = I yz ,
  • a Z pont felvétele - koordinátái: I z , I zy = I yz ,
  • a kör O középpontjának felvétele: a ZY egyenes szakasz és a vízszintes tengely metszéspontja.
  • a P pólus felvétele: a Z ponton át a z tengellyel, az Y ponton át az y tengellyel húzunk párhuzamost. (Ezek az egyenesek a körön metszik egymást.)

d) Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok:

  • Tehetetlenségi főirány (főtengely):
    Az az 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre I 12 = I 21 =0 .
    Az 1 jelű tengely mindig a 2 jelű tengelyre.
  • Fő tehetetlenségi nyomatékok:
    Az 1 és 2 jelű tehetetlenségi főtengelyekre számított I 1 , I 2 másodrendű nyomatékok.
  • Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok meghatározása a kördiagramban:
    Az I 1 és I 2 fő tehetetlenségi nyomatékot a kör és a diagram vízszintes tengelyének metszéspontja adja meg.
    A fő tehetetlenségi nyomatékok kiszámítása:
    ,
    A kör középpontjához hozzáadjuk, illetve levonjuk a kör sugarát.
    Megállapodás a sorszámozásra: I 1 ¯ I 2 .
    1 jelű főirány: a P pontot összekötjük az 1 ponttal.
    2 jelű főirány: a P pontot összekötjük az 2 ponttal.
    A 2 jelű főiránynak a z tengellyel bezárt szöge (derékszögű háromszögből): tg2 α 2z = 2 I zy I z I y .

Tétel: Minden keresztmetszetre van legalább egy ilyen tengelypár.

Tétel: A keresztmetszet szimmetriatengelye mindig tehetetlenségi főtengely.
A szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely is tehetetlenségi főtengely.

Tétel: Ha a keresztmetszetnek kettőnél több S ponti tehetetlenségi főtengelye van, akkor a keresztmetszet S pontján átmenő minden tengely tehetetlenségi főtengely, amelyekre számított tehetetlenségi nyomaték megegyezik: I= I 1 = I 2 .
Ebben az esetben a Mohr kör egyetlen ponttá zsugorodik.
Ilyen a kör, a körgyűrű, a négyzet és valamennyi szabályos szokszög keresztmetszet.

Megjegyzés: A főirányok meghatározásával analóg módon határozható meg a kördiagramban az S ponti n és m irányokhoz tartozó N és M pont.

A P pólusból párhuzamost húzunk n -nel    N( I n , I mn ) pont.
A P pólusból párhuzamost húzunk m -mel    M( I m , I nm ) pont.

1. gyakorló feladat: Téglalap keresztmetszet másodrendű nyomatékai

Adott: a keresztmetszet a, b mérete.

Feladat:

a) Az S súlyponti ξ,η tengelyekre számított I ξ , I η és I ξη tehetetlenségi nyomatékok meghatározása.
b) Az A ponti x,y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok meghatározása.

Megoldás:

a) Az S súlyponti ξ,η tengelyekre számított I ξ , I η és I ξη tehetetlenségi nyomatékok meghatározása:

I ξ = (A) η 2 dA= η= b 2 b 2 ξ= a 2 a 2 η 2 dξdη= [ ξ ] ξ= a 2 a 2 [ η 3 3 ] η= b 2 b 2 = a b 3 12 ,

I η = (A) ξ 2 dA= η= b 2 b 2 ξ= a 2 a 2 ξ 2 dξdη= [ ξ 3 3 ] ξ= a 2 a 2 [ η ] η= b 2 b 2 = a 3 b 12 ,

I ξη = I ηξ = (A) ξηdA= η= b 2 b 2 ξ= a 2 a 2 ξηdξdη= [ ξ 2 2 ] ξ= a 2 a 2 [ η 2 2 ] η= b 2 b 2 =0.

b) Az A ponti x,y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok meghatározása:

A Steiner tétel felhasználásával:

I x = I ξ +A y AS 2 = a b 3 12 +ab ( b 2 ) 2 = a b 3 3 ,

I y = I η +A x AS 2 = a b 3 12 +ab ( a 2 ) 2 = a 3 b 3 ,

I xy = I yx = I ηξ +A x AS y AS =0+ab a 2 b 2 = a 2 b 2 4 .

2. gyakorló feladat: Kör keresztmetszet másodrendű nyomatékai

Adott: a keresztmetszet d átmérője.

Feladat:

Az S ponti x,y tengelyekre szá-mított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok és az I p poláris másodrendű nyomaték meghatározása.

Megoldás:

A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka:

I p = (A) r 2 dA= (A) r 2 rdrdφ=2π r=0 d 2 r 3 dr=2π [ r 4 4 ] r=0 d 2 = d 4 π 32 .

A tengelyekre számított másodrendű nyomaték:
Az I p felírható az xy koordinátarendszerben is:

I p = (A) r 2 dA= (A) ( x 2 + y 2 )dA= (A) x 2 dA+ (A) y 2 dA= I y + I x .

Szimmetria miatt I x = I y , ezért I x = I y = I p 2 = d 4 π 64 .

A tengelypárra számított másodrendű nyomaték:

I xy = (A) xydA= (A) ( rcosφrsinφ )rdrdφ= r=0 d 2 φ=0 2π r 3 sin2φ 2 dφdr=

= [ cos2φ 4 ] φ=0 2π [ r 4 4 ] r=0 d 2 =0 .

3. gyakorló feladat: Körgyűrű keresztmetszet másodrendű nyomatékai

Adott: a keresztmetszet D külső és d belső átmérője.

Feladat:

Az S ponti x,y tengelyekre számított I x , I y és I xy tehetetlenségi nyomatékok és az I p poláris másodrendű nyomaték meghatározása.

Megoldás:

A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka:

I p = (A) r 2 dA= (A) r 2 rdrdφ=2π r= d 2 D 2 r 3 dr=2π [ r 4 4 ] r= d 2 D 2 = ( D 4 d 4 )π 32 .

A tengelyekre számított másodrendű nyomaték:
Az I p felírható az xy koordinátarendszerben is:

I p = (A) r 2 dA= (A) ( x 2 + y 2 )dA= (A) x 2 dA+ (A) y 2 dA= I y + I x .

Szimmetria miatt I x = I y , ezért I x = I y = I p 2 = ( D 4 d 4 )π 64 .

A tengelypárra számított másodrendű nyomaték:

I xy = (A) xydA= (A) ( rcosφrsinφ )rdrdφ= r= d 2 D 2 φ=0 2π r 3 sin2φ 2 dφdr=

= [ cos2φ 4 ] φ=0 2π [ r 4 4 ] r= d 2 D 2 =0 .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki a keresztmetszet I ¯ ¯ S súlyponti tehetetlenségi tenzorának helyes alakját!

Jelölje be a helyes megoldást!
a) [ I ¯ ¯ S ]=[ I y I yz I zy I z ]
b) [ I ¯ ¯ S ]=[ I yz I y I z I zy ]
c) [ I ¯ ¯ S ]=[ I y I yz I zy I z ]
d) [ I ¯ ¯ S ]=[ I yz I z I zy I z ]

II. Válassza ki a súlyponti tehetetlenségi tenzor alapján az S súlyponti tengelyre számított másodrendű nyomatékot meghatározó összefüggéseket!

Jelölje be a két helyes megoldást!
a) I n = n I ¯ ¯ S n
b) I n = n I ¯ ¯ S × n
c) I n = n × I ¯ ¯ S m
d) I m = n I ¯ ¯ S m
e) I m = m I ¯ ¯ S m
f) I m = m I ¯ ¯ S × m

III. Válassza ki a súlyponti tehetetlenségi tenzor alapján az S súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékot meghatározó összefüggést!

Jelölje be a helyes megoldást!
a) I nm = I mn = m I ¯ ¯ S n = n I ¯ ¯ S m
b) I nm = I mn = m × I ¯ ¯ S n = n I ¯ ¯ S × m
c) I nm = I mn = m I ¯ ¯ S × n = n × I ¯ ¯ S m
d) I nm = I mn = m I ¯ ¯ S n = n I ¯ ¯ S m
IV. Válassza ki a Steiner-tételből következő megállapítást!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a merőleges tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb
b) a párhuzamos tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb
c) a merőleges tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legnagyobb
d) a párhuzamos tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legnagyobb

V. Válassza ki az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok közötti helyes összefüggéseket!

Jelölje be a három (3) helyes megoldást!
a) I z = I ζ A y S
b) I z = I ζ +A z S 2
c) I z = I ζ +A y S 2
d) I y = I η +A y S 2
e) I y = I η +A z S 2
f) I y = I η A y S
g) I zy = I ζη A z S 2 y S 2
h) I zy = I ζη +A z S y S
i) I zy = I ζη +A z S +A y S
j) I zy = I ζη A z S A y S
VI. Válassza ki a Mohr-féle tehetetlenségi kördiagramra vonatkozó tételt!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) az I n és I mn összetartozó értékei egy derékszögű koordinátarendszerben kört határoznak meg
b) az I n és I mn összetartozó értékei egy poláris koordinátarendszerben ellipszist határoznak meg
c) az I n és I mn összetartozó értékei egy derékszögű koordinátarendszerben két kört határoznak meg
d) az I n és I mn összetartozó értékei egy poláris koordinátarendszerben több kört határoznak meg
VII. Válassza ki a tehetetlenségi főirányok (főtengelyek) helyes értelmezését és tulajdonságát!
Jelölje be a két összefüggő jó megoldást!
a) az az 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre I 12 I 21 és I 12 0
b) az az 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre I 12 = I 21 =0
c) az az 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre I 12 > I 21 >0
d) az az 1 és 2 jelű irány (tengely), amelyekre I 12 < I 21 <0
e) az 1 jelű tengely mindig párhuzamos a 2 jelű tengellyel
f) az 1 jelű tengely soha sem a 2 jelű tengelyre
g) az 1 jelű tengely mindig 60 fokos szöget zár be a 2 jelű tengellyel
h) az 1 jelű tengely mindig a 2 jelű tengelyre

VIII. Határozza meg az ábrán bemutatott keresztmetszet másodrendű nyomatékait!

Adott: l=10 m,  a=10 mm, b=20 mm.

1. Válassza ki az I z másodrendű tehetetlenségi nyomatékot meghatározó helyes összefüggést!
Jelölje be a jó megoldást!
a) I z = a b 2 12
b) I z = a b 3 12
c) I z = a 3 b 12
d) I z = a b 3 4
2. Válassza ki az I y másodrendű tehetetlenségi nyomatékot meghatározó helyes összefüggést!
Jelölje be a jó megoldást!
a) I y = a b 4 4
b) I y = a b 3 3
c) I y = a 2 b 2 12
d) I y = a 3 b 12
3. Végezze el a szükséges számításokat, majd válassza ki az I z másodrendű tehetetlenségi nyomaték értékét!
Jelölje be a jó megoldást!
a) I z = 1 3 10 4 m m 4
b) I z = 1 3 10 3 m m 3
c) I z = 2 3 10 4 m m 4
d) I z = 4 3 10 4 m m 4
e) I z = 5 3 10 3 m m 4

IX. Határozza meg az ábrán bemutatott keresztmetszet másodrendű nyomatékát!

Adott: d=160 mm.

1. Válassza ki az I z másodrendű tehetetlenségi nyomatékot meghatározó helyes összefüggést!
Jelölje be a jó megoldást!
a) I z = d 4 π 64
b) I z = d 4 π 32
c) I z = d 3 π 16
d) I z = d 3 π 32
e) I z = d 4 π 4
f) I z = d 2 π 4
2. Végezze el a szükséges számításokat, majd válassza ki az I z másodrendű tehetetlenségi nyomaték értékét!
Jelölje be a jó megoldást!
a) I z =53,17 10 4 m m 4
b) I z =16,08 10 6 m m 4
c) I z =8,02 10 6 m m 3
d) I z =32,17 10 6 m m 4
e) I z =8,12 10 5 m m 3