KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rudak összetett igénybevételei

10. Nem egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételek

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása során kialakuló feszültségi állapotot jellemző feszültségi tenzort;
  • megrajzolni a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása során kialakuló feszültségeloszlást bemutató ábrákat;
  • kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása során a P pontban a főfeszültségeket és a redukált feszültségeket meghatározó összefüggéseket;
  • kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása esetén meghatározni a veszélyes pontokat, a főfeszültségeket, a redukált feszültségeket és az alakváltozási állapotot;
  • kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása esetén a P pontbeli feszültségi állapotot szemléltetni azelemi kockán és a Mohr-féle kördiagram segítségével;
  • kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása során kialakuló feszültségi állapotot jellemző feszültségi tenzort;
  • megrajzolni a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása során kialakuló feszültségeloszlást bemutató ábrát;
  • kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása során a főfeszültségeket és a redukált feszültségeket meghatározó összefüggéseket;
  • kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása esetén meghatározni a veszélyes pontokat, a főfeszültségeket és a redukált feszültségeket;
  • kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása esetén a P pontbeli feszültségi állapotot szemléltetni azelemi kockán és a Mohr-féle kördiagram segítségével;
  • kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása során kialakuló feszültségi állapotot jellemző feszültségi tenzort;
  • kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a közepes csúsztató feszültséget meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a hajlításból származó normál feszültséget és a nyírásból származó csúsztató feszültséget meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a téglalap és a kör keresztmetszetnél fellépő τ feszültségeket meghatározó összefüggéseket;
  • prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén meghatározni a veszélyes pontokat és a feszültségkoordinátákat;
  • prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a megrajzolni feszültségeloszlást;
  • prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén meghatározni a redukált feszültséget;
  • kiválasztani vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása esetén a normál feszültséget és a csúsztató feszültséget meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása esetén a nyírási középpont értelmezését.
10.1. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása

Feszültségi állapot a P pontban:

[ F ¯ ¯ ] ( Rφx ) =[ 000 00 τ φx 0 τ xφ σ x ]

σ x = N A , τ xφ = M C I p R .

Feszültség eloszlás a keresztmetszeten:

A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban:

A rúd tetszőleges P pontjában szemlélteti a feszültségi állapotot.

Főfeszültségek a P pontban:

σ 1 = σ x 2 + ( σ x 2 ) 2 + τ xφ 2 ,    σ 2 = σ R =0 ,    σ 3 = σ x 2 ( σ x 2 ) 2 + τ xφ 2 .

Redukált feszültségek a P pontban:

σ red ( Coulomb )=max( | σ 1 |,| σ 3 | ) .

σ red (Mohr)= σ 1 σ 3 =2 ( σ x 2 ) 2 + τ xφ 2 , σ red (Mohr)= σ x 2 +4 τ xφ 2 .

σ red (HMH)= 1 2 [ ( σ 1 σ 3 ) 2 + ( σ 2 σ 3 ) 2 + ( σ 1 σ 2 ) 2 ] ,

σ red (HMH)= σ x 2 +3 τ xφ 2 .

Általánosítás: minden olyan esetben érvényes, amikor a feszültség tenzorban csak egy σ és egy τ feszültség van, és ezek egy síkba esnek.

Speciális eset! (Nem ez a redukált feszültség értelmezése!)

σ red = σ 2 +β τ 2 .

Huber-Mises-Hencky: β=3 ,

Mohr:  β=4 .

Méretezés húzás + csavarás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben):

1.Elhanyagoljuk a húzást.
2.Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak csavarásra.
3.Kiválasztunk egy szabványos geometriai méretet, amely nagyobb mint a szükséges geometriai méretek.
4.A kiválasztott szabványos méretű keresztmetszetet ellenőrizzük húzás + csavarás igénybevételre.
5.Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor ismét választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük az eljárást.
1. gyakorló feladat: Húzás-nyomás és csavarás

Adott:
F=117,8 kN, M c =0,9818 kNm,
d=50 mm,
G=80 GPa, ν=0,3 .

Feladat:

a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása.

b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a rúd tetszőleges keresztmetszetén.

c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése azelemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével.

d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban.

e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban.

Kidolgozás:

a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása:

A= d 2 π 4 = 50 2 π 4 =1963,5 mm4,

I p = d 4 π 32 = 50 4 π 32 =613,6 10 3 mm4.

b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a rúd tetszőleges keresztmetszetén:

Veszélyes pontok:
Húzásból veszélyes a keresztmetszet valamennyi pontja.
σ x = N A .
Csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai.
τ φx = M c I p R .
Együttesen húzásból és csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai.

c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése azelemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével:

[ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy 0 τ yx 0 0 0 0 0 ],   σ x = N A = 117,8 10 3 1963,5 =60MPa,

τ yx = τ xy = M c I p z P = 0,9818 10 6 613,6 10 3 25=40MPa.

[ F ¯ ¯ P ]=[ 60 40 0 40 0 0 0 0 0 ] MPa.

d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban:
A főfeszültségek:

σ 1 = σ x 2 + ( σ x 2 ) 2 + τ xy 2 =30+50=80 MPa,

σ 2 = σ z =0 MPa,

σ 3 = σ x 2 ( σ x 2 ) 2 + τ xy 2 =3050=20 MPa.

Redukált feszültség Coulomb szerint: σ red = σ 1 =80MPa .

Redukált feszültség Mohr szerint: σ red = σ 1 σ 3 =100 MPa, vagy σ red = ( σ x ) 2 +4 τ xy 2 =100 MPa.

Redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint:

σ red = ( σ x ) 2 +3 τ xy 2 =91,65 MPa.

e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban:

[ A ¯ ¯ P ]= 1 2G [ F ¯ ¯ P ν 1+ν F I E ¯ ¯ ],     F I = σ x + σ y + σ z =60 MPa,

ε x = 1 2G [ σ x ν 1+ν F I ]= 1 1,6 10 5 [ 60 0,3 1,3 60 ]=2,88 10 4 ,

ε y = 1 2G [ σ y ν 1+ν F I ]= 1 1,6 10 5 [ 0 0,3 1,3 60 ]=0,86 10 4 ,

ε z = 1 2G [ σ z ν 1+ν F I ]= 1 1,6 10 5 [ 0 0,3 1,3 60 ]=0,86 10 4 ,

1 2 γ xy = 1 2G [ τ xy ν 1+ν F I 0 ]= τ xy 2G = 40 1,6 10 5 =2,5 10 4 ,

[ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 2 γ xy 0 1 2 γ yx ε y 0 0 0 ε z ]=[ 2,88 2,5 0 2,5 0,86 0 0 0 0,86 ] 10 4 .

Az alakváltozási állapot szemléltetése:

10.2. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása

Feszültségi állapot a P pontban:

[ F ¯ ¯ ] ( Rφx ) =[ 000 00 τ φx 0 τ xφ σ x ]

σ x = M hz I z y τ φx = M c I p R

Feszültség eloszlás a keresztmetszeten:

A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban:

A rúd tetszőleges P pont-jában szemlélteti a feszültségi állapotot.

Főfeszültségek a P pontban:

σ 1 = σ x 2 + ( σ x 2 ) 2 + τ xφ 2 ,    σ 2 = σ R =0 ,    σ 3 = σ x 2 ( σ x 2 ) 2 + τ xφ 2 .

Veszélyes pontok:A, B.

Feszültségek a veszélyes pontokban:

σ xmax = | M h | I z d 2 = | M h | K z τ xφmax = | M c | I p d 2 = | M c | K p

Kör és körgyűrű keresztmetszet esetén: I p =2 I z K p =2 K z

Redukált feszültség a veszélyes pontokban:

σ redmax ( Coulomb )= max( | σ 1 |,| σ 3 | ) | A,B .

σ red = σ x 2 +β τ xφ 2 ,    (HMH: β=3 , Mohr: β=4 .)

σ redmax = ( M h K z ) 2 + β 4 ( M c K z ) 2 = M red K z ,    M red = M h 2 + β 4 M c 2 .

Az M red redukált nyomaték hajlítás és csavarásnál olyan szerepet játszik, mint tiszta hajlításnál a hajlítónyomaték.

σ redmax = σ red ( A )= σ red ( B ) .

Hajlítás + csavarás esetén úgy méretezünk, hogy meghatározzuk a redukált nyomatékot, és azt úgy tekintjük, mint azt egyenes hajlítás esetében tettük.

Gyakorlati példa hajlítás és csavarásra: gépkocsi hűtővíz keringető szivattyújának tengelye.

A tengely igénybevételi ábrái:

Egyszerűsítés: F 1 F 2 .

Feltételezés:
| F 1 |>| F 2 | ,
F 0 =| F 1 |+| F 2 | ,
M 0 =R( | F 1 || F 2 | ) .

Ha a nyírási igénybevételt elhanyagoljuk, akkor a tengely igénybevétele: hajlítás + csavarás

Veszélyes keresztmetszet:A.

2. gyakorló feladat: Csavarás és egyenes hajlítás

Adott: M S =(150 i +100 k ) Nm,  d=50 mm,  E=200 GPa.

Feladat:
a) Feszültségeloszlás megrajzolása az x=0 keresztmetszet z és y tengelye mentén.
b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban.

Kidolgozás:

a) Feszültségeloszlás az x=0 keresztmetszet z és y tengelye mentén:

M hz =100Nm M c =150 Nm.

Veszélyes pontok: A és B.

b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban:

A feszültségi tenzor általánosan a B pontban:

[ T ¯ ¯ P ]=[ σ x 0 τ xz 0 0 0 τ zx 0 0 ] .

A keresztmetszeti jellemzők:

K x = d 3 π 32 = 50 3 π 32 =12,27 10 3 mm3, K p =2 K x =24,54 10 3 mm3.

A feszültségi tenzor koordinátái a B pontban:

σ x = M hz K z = 100 10 3 12,27 10 3 =8,15 MPa,

τ xz = τ zx = M c K p = 150 10 3 24,54 10 3 =6,11 MPa.

10.3. Prizmatikus rudak nyírása és hajlítása

Rúdszerkezeteknél általában a nyírás önmagában nem lép fel, csak hajlítással együtt.
A nyírás és a hajlítás kapcsolata (A Mechanika - Statikában tanult egyensúly egyenlet):

d M hz dx = T y ( x )   -  az egyensúlyi egyenlet differenciális alakja,

M hz (x)= M hz (x=0) x=0 x T y (x)dx   -  az egyensúlyi egyenlet integrál alakja.

Példa: kéttámaszú konzolos tartó.

A nyírás és hajlítási feladat közelítő megoldása:
a) A σ x úgy számítható, mint hajlításnál (Ezt feltételezzük!).
b) A τ yx egyensúlyi feltételből határozható meg.

Feltételezések:
a) A z és y a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei egyenes hajlítás.
b) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a τ x feszültségek az y tengelyen egy pontban metsződnek.
c) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a τ yx állandó τ yx = τ yx ( y ) .

A keresztmetszeten ébredő feszültségek számítása:

Normál feszültség (hajlításból): σ x = M hz I z y .

Csúsztató feszültség (nyírásból): τ yx = T y S 1z (y) I z a(y) .

Az összefüggésekben:

T y - a nyíróerő, M hz - a hajlító nyomaték,

I z - a keresztmetszet z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka,

S 1z (y) -  a keresztmetszet sraffozott A 1 részének statikai nyomatéka a z tengelyre,

a(y) - az y=áll. egyenes metszetének hossza (jobboldali ábra).

Az O pontot a keresztmetszet kontúrjának érintői határozzák meg.

Közepes csúsztató feszültség: τ köz = | T y | A .

Feszültségi tenzor a P pontban:

[ F ¯ ¯ ]=[ σ x τ xy τ xz τ yx 00 τ zx 00 ] .

σ x és τ yx   a fenti képletekből,

τ zx a τ x irányából határozható meg.

Speciális esetek (speciális keresztmetszetek):
Csak a τ feszültséget vizsgáljuk.

a) Téglalap keresztmetszet:

τ max = 3 2 τ köz , τ zx =0

a(y)=a, I z = a b 3 12 ,

S 1z (y)= a( b 2 y ) A sraff 1 2 ( b 2 +y )=

= a 2 ( b 2 4 y 2 ) ,

τ yx = τ yx (y)= T y A 6( 1 4 y 2 b 2 ) .

τ yx (y) másodfokú parabola.

b) Kör keresztmetszet:

a(y)=dcosφ, I z = d 4 π 64 ,

S 1z (φ)= d 3 12 cos 3 φ .

τ yx = 4 3 T y A 4 d 2 ( d 2 4 y 2 ) .

τ yx (y) parabola.

τ x irányából: τ zx =

τ max = 4 3 τ köz .

3. gyakorló feladat: Nyírás és hajlítás

Adott:

F S =( 24 T y j ) kN,  M S =( 0,72 M hz k ) kNm,

A(0,15,0) mm,

a=40 mm,  b=60 mm.

Feladat:
a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása.
b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség meghatározása az S, A és B pontokban.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása.

σ x = M hz I z y ,

τ yx = T y S z (y) I z a(y) ,

I z = a b 3 12

a(y)=a

S z = a 2 ( b 2 4 y 2 )

Veszélyes pontok: Hajlításból az y=±b/2 , nyírásból az y=0 pontok. A redukált feszültséget mindkét helyen ki kell számítani!

b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség meghatározása az S, A és B pontokban.

M hz =0,72 kNm,

T y =24 kN.

I z = a b 3 12 = 40 60 3 12 =0,72 10 6 mm4; A=ab=4060=2400 mm2,

S z ( y A )= a 2 ( b 2 4 y A 2 )= 40 2 ( 60 2 4 15 2 )=13500 mm3.

A feszültségek meghatározása:

σ x (S)=0 MPa,  τ yx (S)= 3 2 T y A = 324 10 3 22400 =15 MPa,

σ red (S)=2| τ yx (S)|=215=30 MPa.

σ x (A)= M hz I z y(A)= 0,72 10 6 0,72 10 6 15=15 MPa,

τ yx (A)= T y S z ( y A ) I z a = 24 10 3 13,5 10 3 0,72 10 6 40 =11,25 MPa,

σ red (A)= [ σ x (A)] 2 +4 [ τ yx (A)] 2 = (15) 2 +4 (11,25) 2 =27,04 MPa.

σ x (B)= M hz I z y(B)= 0,72 10 6 0,72 10 6 30=30 MPa,  τ yx (B)=0 ,

σ red (B)=| σ x (B)|=30 MPa.

4. gyakorló feladat: feladat: Nyírás és hajlítás

Adott:
F S =(25 j )kN ,
M S ( 1000 k )Nm .

Feladat:
a) A feszültségeloszlások megrajzolása.
b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlások megrajzolása:

b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában.

Az I x másodrendű nyomaték: I x = 30 50 3 12 20 30 3 12 =267,5 10 3 mm4.

Feszültségek az A pontban:

τ yx (A)=0 σ x (A)= M hz I z y A = 10 6 267,5 10 3 25=93,46 MPa.

τ zx (A)= T y S z ( z A ) I z v S z ( z A )=101020=2000 mm 3 , v=10mm ,

τ zx (A)= 25 10 3 2000 267,5 10 3 10 =18,69 MPa.

σ red ( A )= σ x 2 +4 τ zx 2 = 93,46 2 +4 18,69 2 =100,66 MPa.

[ F ¯ ¯ A ]=[ 93,46 0 18,69 0 0 0 18,69 0 0 ] MPa.

Feszültségek a B pontban:

τ yx (B)=0 ,    σ x (B)= M hz I z y B = 10 6 267,5 10 3 15=56,07 MPa.

τ zx (B)= T y S z ( z B ) I z v , S z ( z B )=10320=600 mm 3 ,v=10mm

τ zx (B)= 25 10 3 600 267,5 10 3 10 =5,61 MPa.

[ F ¯ ¯ B ]=[ 56,07 0 5,61 0 0 0 5,61 0 0 ] MPa.

σ red ( B )= σ x 2 +4 τ zx 2 = 56,07 2 +4 5,61 2 =57,18 MPa.

Feszültségek a gerincen lévő C pontban:  τ zx (C)=0 .

τ yx (C)= T y S z ( y C ) I z a = 25 10 3 103020 267,5 10 3 10 =56,07 MPa,

σ x (C)= σ x (B)=56,07 MPa.

10.4. Vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása

Vékony szelvény: ha a keresztmetszet v vastagsági mérete sokkal kisebb, mint a keresztmetszet más méretei.

Ilyenek például a szabványos idomacélok:  az I, U, L stb. szelvények.

Feltételezés: A z és y súlyponti tehetetlenségi főtengelyek.

Hajlítás: σ x = M hz I z y .

Nyírás:

  • Az s a középvonal mentén mért ívkoordináta.
  • A τ feszültség a középvonal érintőjének irányában mutatnak: τ ex = τ xe .
  • A τ feszültségek elosz-lása a v vastagság mentén állandó.

A τ feszültség kiszámítása: τ ex = τ xe = T y S 1z (s) I z v(s) .

Nyírási középpont (CT): a keresztmetszeten fellépő τ nyírófeszültségek eredőjének támadáspontja.

Tétel: A nyíró igénybevételből számított feszültségek csak akkor vannak egyensúlyban a külső (terhelő) erőrendszer eredőjével, ha a terhelés síkja átmegy a CT nyírási középponton.

Tétel: Ha a terhelés eredője nem megy át a CT nyírási középponton, akkor a keresztmetszet csavarva is lesz. A csavaró nyomatékot a terhelés eredőjének a CT nyírási középpontra számított nyomatéka adja.

A csavarás különösen nyitott vékonyfalú szelvények esetén veszélyes, mert ezeknek kicsi a csavarással szembeni ellenállásuk.

Speciális esetek:

  • A keresztmetszetnek van szimmetria tengelye: CT rajta van a szimmetriatengelyen.
  • A keresztmetszetnek két szimmetria tengelye van: CT S.

Példa: U szelvény nyírásból származó feszültsége.

T y , F H és F H a τ feszültség eredői.

Nyírási középpont:

  • A keresztmetszetnek az a pontja, amelyre a τ feszültségek nyomatáka nulla.
  • A nyomaték akkor nulla, ha a terhelés eredője átmegy a C T ponton.

Az eredő erő: F er = T y + F H F H = T y j .

Nyomaték a C T pontra: M C T =0=a T y b F H a=b F H T y .

Megjegyzés:

a)Ha a terhelés eredője átmegy a CT ponton, akkor a keresztmetszet igénybevétele: hajlítás és nyírás.
b)Ha a terhelés eredője nem megy át a CT ponton, akkor a keresztmetszet igénybevétele: hajlítás, nyírás és csavarás.

A csavarás elkerülése:
A terhelő és a támasztó erők síkjának át kell mennie a CTponton.
Ez sok esetben csak bonyolult szerkezeti megoldásokkal lehetséges.