8. Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani a test terheletlen felületén a feszültségi állapotot leíró összefüggéseket;
- kiválasztani a terheletlen z normálisú sík feszültségi állapotát a P pontban jellemző tenzort;
- kiválasztani a terheletlen z normálisú sík alakváltozási állapotát a P pontban jellemző tenzort;
- kiválasztani a test terheletlen felületén az alakváltozási és a feszültségi jellemzőket megadó összefüggéseket (Hooke-törvényt);
- adatok alapján a test terheletlen felületén meghatározni a P ponti feszültségi tenzor mátrixát;
- kiválasztani felületi feszültségi állapot esetén a Mohr-féle feszültségi kördiagramra vonatkozó tételt;
- adatok alapján megrajzolni a Mohr-féle feszültségi kördiagramot.
|
8.1. Feszültségi és alakváltozási állapot a test terheletlen felületén |

|
A z normálisú sík terheletlen külső felület: |
. |
|
. |
- Feszültségi állapot a terheletlen felület P pontjában:
. - Alakváltozási állapot a terheletlen felület P pontjában:
. - Az alakváltozási jellemzők előállítása a feszültségekből (Hooke-törvény):
- nem független koordináta, az és fajlagos nyúlásokból kiszámítható. - A feszültségek meghatározása az alakváltozási jellemzőkből (Hooke-törvény):
|
| 1. gyakorló feladat: Felületi feszültségi tenzor mátrixának meghatározása |

|
Adott: MPa, MPa, MPa,
. A P pont a test terheletlen felületén van. |
Feladat: A P ponti feszültségi tenzor mátrixának meghatározása. |
Kidolgozás: |
A feszültségi tenzor ismert és ismeretlen koordinátái az koordináta-rendszerben: |
. |
Az síkbeli, adott koordináták felírása a tenzor koordinátáival: |
. |
. |
|
|
. |
A megoldandó egyenletrendszer: |
|
A feszültségi tenzor a kiszámolt értékekkel: |
MPa. |

|
| 8.2. A felületi alakváltozási állapot meghatározása nyúlásméréssel |
Megfigyelés: ha megváltozik egy vezeték hossza, akkor megváltozik az elektromos ellenállása is. |
Tétel: az elektromos ellenállás megváltozása arányos a hosszváltozással. |
Nyúlásmérő bélyeg - a felületnek arra a pontjára kell felragasztani, ahol mérni akarunk. |

|
Ilyen bélyeggel egy irányban (az x irányban) lehet mérni fajlagos nyúlást. A kereskedelemben kaphatók nyúlásmérő bélyegek. Ezek között vannak un. rozetták, amelyek három irányban mérnek nyúlást: |
-os rozetta:
 | -os rozetta:
 |
|
A mérés eredménye: |
A felületi alakváltozási állapot meghatározása 45°-os rozettával történő mérés esetén: |
Az alakváltozási tenzor: . |
A fajlagos nyúlásokat közvetlenül megkapjuk: |
. |
A szögtorzulást számítással kell meghatározni: |

|
. |
=, |
=. |
Ebből: . |
Az alakváltozási állapot ismeretében a feszültségek a Hooke-törvényből állíthatók elő: |
|
A -os rozetta mérési eredményeiből hasonló gondolatmenettel lehet a pontbeli alakváltozási állapotot meghatározni. |
8.3. Mohr-féle feszültségi kördiagram felületi feszültségi állapot esetén |
Felületi feszültségi állapot: . |
Tétel: Az xy síkba eső irányokhoz tartozó feszültségvektoroknak megfelelő N pontok a koordináta-rendszerben körön helyezkednek el. |
Előjelszabály a kördiagram megrajzolásához: |

|
Alkosson az x,y és m,n jobbsodratú koordináta-rendszert. |
beforgatása (-mel együtt) az x, vagy y tengelybe: |
- ha és iránya megegyezik, akkor .
- ha és iránya ellentétes, akkor .
|
A felületi feszültségi állapot Mohr-féle feszültségi kördiagramja: |

|
A diagram megszerkesztésének gondolatmenete: |
- A és pontok meghatározása (a és előjelét az vektorok beforgatásával határozzuk meg).
- A kör O középpontja: a pontokat összekötő egyenes és a tengely metszéspontja.
- A normálisok pólusa: a ponton át az x tengellyel, a ponton át az y tengellyel párhuzamos egyenesek metszéspontja.
|
A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a kördiagramból: |
Főirány: Olyan normális, amelyre merőleges síkon nem lép fel feszültség. A körön a és pont teljesíti ezt a feltételt. |
Meghatározás: A -t összekötöm a ponttal . A -t összekötöm a ponttal . |
Derékszögű háromszögből: . |
(A 3. főirány a z tengely.) |
Főfeszültségek: a tengely metszéspontjai a körrel: . |
A főfeszültségek sorszámozása: . Terheletlen felület esetén , ezért . |
A főfeszültségek kiszámítása: a kör középpontjához hozzáadjuk, illtve levonjuk a kör sugarát: |
, |
|
Tetszőleges -hez tartozó feszültségvektornak megfelelő N pont: |
- Qn-ből párhuzamos egyenest húzunk -nel: N az egyenes metszéspontja a körrel.
- Az N pont koordinátái: . (A előjelét beforgatással határozzuk meg a irányban pozitív.)
|
| 1. gyakorló feladat: A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültségek meghatározása |

|
Adott: MPa, MPa, MPa,
. |
A P pont a test terheletlen felületén van. |
A feszültségi tenzor a kiszámolt értékekkel: |
MPa. |

|
Feladat: A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültségek meghatározása. |
Kidolgozás: |

|
MPa, |
MPa, |
MPa |