KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan
MODUL: Csavarás
5.1. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása | ||
Tiszta csavarás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag csavaró nyomaték. | ||
Feltételezés: a keresztmetszet kör, vagy körgyűrű alakú. | ||
Kísérlet: | ||
| ||
Megfigyelés (mérés): | ||
| ||
a) A rúd pontjainak elmozdulása: | ||
Az x helyen lévő keresztmetszet szögelfordulása: . | ||
állandó - fajlagos szögelfordulás: az egymástól egységnyi távolságra levő keresztmetszetek egymáshoz képest bekövetkező szögelfordulása. | ||
A rúd tetszőleges P pontjának elmozdulása: | ||
A henger koordináta-rendszer egységvektorai: , , . | ||
A P pont elmozdulás vektora: . | ||
A P pont a keresztmetszet x tengely körüli elfordulása miatt irányban mozdul el: . | ||
b) Alakváltozási állapot: | ||
Megfigyelés (mérés): | ||
| ||
Az alakváltozási tenzor: | ||
, . | ||
Az alakváltozási állapot nem homogén: . | ||
A szögtorzulás az R változó (helykoord.) lineáris függvénye. | ||
c) Feszültségi állapot: | ||
Érvényes a csavarásra vonatkozó Hooke-törvény: | ||
G - a csúsztató rugalmassági modulus (anyagjellemző). | ||
A G csúsztató rugalmassági modulus nem független az E rugalmassági modulustól: . | ||
A feszültségi tenzor: | ||
, . | ||
A feszültségi állapot szintén nem homogén:. | ||
Feszültségeloszlás:. | ||
Feszültség csak ott ébred, ahol anyag van (jobb oldali ábra). | ||
d) A keresztmetszet igénybevételei: | ||
Az egységvektorok vektoriális szorzatai: | ||
A keresztmetszeten ébredő feszültségvektor: . | ||
Az eredő erő: . | ||
- az S pontra számított statikai nyomaték (Értelmezése a Statika tantárgyban). | ||
Az S súlypontra számított eredő nyomaték: | ||
. | ||
- a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka. | ||
. | ||
A feszültség - igénybevétel kapcsolat:. | ||
Az összefüggésben lehet. | ||
Feszültségi tenzor, feszültségek, és körkeresztmetszetű rúd esetében a feszültségeloszlás az xyz és koordinátarendszerben: | ||
,, . | ||
Veszélyes pontok: a palást pontjai. | ||
e)Alakváltozási energia: A fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energia: . | ||
Az egész rúd alakváltozási energiája: . | ||
f) Szilárdságtani ellenőrzés és méretezés: | ||
| ||
- a szükséges poláris keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott csavaró igénybevételt tönkremenetel nélkül elviselje). | ||
. | ||
g)Gyakorlati példa: kormányoszlop. | ||
1. gyakorló feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása | ||
Adott: | ||
Feladat: | ||
a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a keresztmetszeten az , a z és az y tengelyek mentén. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a keresztmetszeten az , a és az tengelyek mentén: | ||
A poláris másodrendű nyomaték: . | ||
b) A keresztmetszet B pontjában az feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása: | ||
, mm4. | ||
MPa, | ||
MPa. | ||
A B pont feszültségi tenzora az xyz koordináta-rendszerben: | ||
MPa. | ||
A B pontbeli feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: | ||
c) A keresztmetszet B pontjában az alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása: | ||
. | ||
Az B pont alakváltozási tenzora mátrixa az koordináta-rend-szerben: | ||
. | ||
d) A keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a keresztmetszethez képest: | ||
A fajlagos szögelfordulás: | ||
rad/mm. | ||
A szögelfordulás: rad. | ||
e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása: | ||
Nmm, | ||
J. | ||
2. gyakorló feladat: Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása | ||
Adott: kNm, , MPa, MPa, rad. | ||
Feladat: | ||
a) A rúd méretezése (D és d meghatározása). | ||
Kidolgozás: | ||
a) A rúd méretezése (D és d meghatározása): | ||
. | ||
. | ||
mm. | ||
Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak átmérőit szabvány írja elő. | ||
Ezekkel a méretekkel számított poláris másodrendű nyomaték: | ||
b) A rúd maximális hosszának a meghatározása, ha a rúd két végének keresztmetszete közötti szögelfordulásnak a megengedett értéke: | ||
mm. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||||||
I. Válassza ki a tiszta csavarás definícióját! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
II. Válassza ki a tiszta csavarást jellemző megfigyeléseket! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a három (3) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
III. Válassza ki tiszta csavarás esetén a P pont elmozdulás vektorának koordinátáit! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
IV. Válassza ki tiszta csavarás esetén az elmozdulás vektor lehetséges koordinátáit! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a három (3) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
V. Válassza ki tiszta csavarás esetén az alakváltozási állapotot leíró összefüggéseket! Jelölje be a négy (4) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VI. Válassza ki tiszta csavarás esetén az alakváltozási tenzor helyes alakját! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VII. Válassza ki a csavarásra vonatkozó Hooke-törvény helyes alakját! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VIII. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültségi tenzor helyes alakját! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
IX. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültség - igénybevétel kapcsolatát leíró összefügést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
X. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültség - igénybevétel kapcsolatát leíró összefügés változóinak a lehetséges értékeit! Jelölje be a négy (4) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XI. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültségi tenzor helyes alakját az xyz koordinátarendszerben! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XII. Válassza ki tiszta csavarás esetén a veszélyes pontot (pontokat)! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XIII. Válassza ki tiszta csavarás esetén a fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energiát leíró összefügést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XIV. Válassza ki tiszta csavarás esetén az egész rúd alakváltozási energiáját leíró összefügést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XV. Kör keresztmetszetű rúd csavarása | |||||||||||||||||||||
Határozza meg a rúd mechanikai modelljét, majd végezze el a szilárdságtani ellenőrzése! | |||||||||||||||||||||
Adatok: | |||||||||||||||||||||
Adott: kN, m, mm, MPa. | |||||||||||||||||||||
Feladat: | |||||||||||||||||||||
1. Válassza ki a rúd mechanikai modelljét bemutató ábrát! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
2. Határozza meg a rúd igénybevételét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
3. Határozza meg a rúd igénybevételének a nagyságát! Írja be a kiszámított értéket (egész számot)! A rúd igénybevétele ![]() | |||||||||||||||||||||
4. Határozza meg a nagyságát! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
5. Határozza meg a nagyságát! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
6. Végezze el a rúd szilárdságtani ellenőrzését! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XVI. Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása | |||||||||||||||||||||
A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre! | |||||||||||||||||||||
Adatok: | |||||||||||||||||||||
Adott:, kNm, GPa, MPa, mm, mm. | |||||||||||||||||||||
Feladat: | |||||||||||||||||||||
1. Határozza meg a nagyságát! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
2. Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
3. Határozza meg a keresett nyomatékot! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
4. Határozza meg a rúd A és C keresztmetszete közötti elcsavarodási szögét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() |