KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan
MODUL: Elemi környezet szilárdságtani állapotai
3.2. Elemi környezet (pont) feszültségi állapota
A lecke követelményei | |||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||||
| |||||||
Elemi környezet (pont) feszültségi állapota | |||||||
a)A feszültségvektor: a felületen megoszló belső erőrendszer intenzitásvektora (sűrűségvektora). | |||||||
A feszültségvektor jele: | |||||||
A vizsgált szilárd testre egyensúlyi erőrendszer hat. | |||||||
A testet a P ponton átmenő síkkal gondolatban két részre bontjuk. Az egyes testrészeknek külön-külön is egyensúlyban kell lenniük. Ez csak úgy lehetséges, ha a metsző síkon, felületen megoszló belső erőrendszer ébred. | |||||||
A metszet felületen ébredő erőrendszer sűrűségvektorát nevezzük feszültségvektornak. Jele . | |||||||
- a metsző felületen a testből kifelé mutató normális egységvektor ( a felületre). | |||||||
A dA elemi felületen fellépő belső erő:. | |||||||
A feszültségvektor az egységnyi felületre eső belső erő. | |||||||
A feszültségvektor mértékegysége SI mértékrendszerben: | |||||||
(Pascal, ejtsd: paszkál). | |||||||
A mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt mértékegység: | |||||||
(ejtsd megapaszkál). | |||||||
A feszültségvektor két dologtól függ: | |||||||
| |||||||
b)A feszültségvektor összetevői, koordinátái: | |||||||
- az elemi felület normális egységvektora, | |||||||
- az elemi felület síkjába eső, egymásra merőleges egységvektorok. | |||||||
Összetevők (vektorok): | |||||||
| |||||||
Koordináták (skalárok): | |||||||
| |||||||
c) Nevezetes feszültségvektorok: | |||||||
| |||||||
Ezek a feszültségvektorok egy ábrában, a P pont környezetéből kiragadott elemi kocka látható (x, y, z normálisú) oldalfelületein is ábrázolhatók. | |||||||
A nevezetes feszültégvektorok szemléltetése az elemi kockán: | |||||||
Az x normálisú (az yz síkkal párhuzamos)oldalfelületre a feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel. | |||||||
Az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségvektorok egyértelműen meghatározzák a P pont feszültségállapotát. | |||||||
c) Pont (elemi környezet) feszültségállapota: | |||||||
Definíció: Az adott P ponton átmenő valamennyi irányhoz (normálishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük. | |||||||
Pont feszültségállapota a feszültségvektorokkal, vagy az feszültségi tenzorral adható meg. | |||||||
A feszültségi tenzor: | |||||||
| |||||||
Pl. - az y normálisú felületen fellépő normál feszültség, | |||||||
A feszültségi tenzor mátrixa szimmetrikus: | |||||||
, , | |||||||
A P pont (vagy P pont elemi környezetének) feszültségi állapotát 6 skaláris mennyiség egyértelműen meghatározza: | |||||||
6 db. egymástól független skaláris mennyiség. | |||||||
d) Feszültségvektor kiszámítása:. | |||||||
A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon ébredő (bármely normálishoz tartozó) feszültségvektor kiszámítható. (A feszültségi tenzor egyértelműen meghatározza a P pont feszültségi állapotát.) |
1. feladat: A P pont elemi környezetének feszültségi állapota | ||
. | ||
Adott: | ||
MPa, | ||
, | ||
. | ||
Feladat: | ||
a) A pontban a feszültségvektorok meghatározása. | ||
b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán. | ||
c) A pontban a feszültségvektor és a feszültség koordináták meghatározása. | ||
Megoldás: | ||
a) A pontban a feszültségvektorok meghatározása: | ||
MPa. | ||
MPa. | ||
MPa. | ||
MPa. | ||
MPa. | ||
MPa. | ||
b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán: | ||
MPa. | ||
A feszültségi tenzor fenti alakban történő felírása arra hívja fel a figyelmet, hogy a tenzor oszlopaiban a feszültségvektorok koordinátái állnak. | ||
c) A pontban a feszültségvektor és a feszültség koordináták meghatározása: | ||
. | ||
MPa, | ||
MPa, | ||
MPa. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||||||||||||
I. Válassza ki a metszet felületen ébredő feszültségvektor helyes leírását! Jelölje be a helyes állítást! A feszültségvektor...
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
II. Válassza ki a feszültségvektor jelét! Jelölje be a helyes választ!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
III. Válassza ki a feszültségvektor alap mértékegységét SI mértékrendszerben! Jelölje be a helyes választ!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
IV. Válassza ki a feszültségvektor mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt mértékegységét! Jelölje be a helyes választ!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
V. Válassza ki a feszültségvektor meghatározását! Jelölje be a helyes választ! A feszültségvektor:
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
VI. Válassza ki a P ponthoz tartozó feszültségvektort meghatározó jellemzőket! Jelölje be a két helyes választ!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
VII. Csoportosítsa az ábra alapján a feszültségvektor összetevőinek, koordinátáinak a nevét valamint a jelét és az ezeket leíró összefüggéseket! | |||||||||||||||||||||||||||
n) normál feszültségvektor | |||||||||||||||||||||||||||
Írja a kisbetűket a megfelelő sorokba!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
VIII. Csoportosítsa a nevezetes feszültségvektorokat a megfelelő ábrákkal! | |||||||||||||||||||||||||||
Az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségek: | |||||||||||||||||||||||||||
a) | |||||||||||||||||||||||||||
b) | |||||||||||||||||||||||||||
c) | |||||||||||||||||||||||||||
Írja a kisbetűket a megfelelő sorokba!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
IX. Csoportosítsa a nevezetes feszültségvektorokat és a koordinátáik helyzetét az elemi kockán! | |||||||||||||||||||||||||||
a) a feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel | |||||||||||||||||||||||||||
b) a feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel | |||||||||||||||||||||||||||
c) a feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel | |||||||||||||||||||||||||||
Írja a kisbetűket a megfelelő sorokba!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
X. Válassza ki a P pont feszültségállapotának definícióját! Jelölje be a helyes választ!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XI. Válassza ki egy pont (elemi környezet) feszültségállapotát egyértelműen leíró jellemzőket! Jelölje be a helyes két választ! Egy pont feszültség állapota:
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XII. Válassza ki az feszültség tenzor helyes diadikus alakját! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XIII. Válassza ki a feszültségi tenzor helyes mátrixát! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XIV. Adja meg egy pont feszültségi állapotát egyértelműen jellemző skalár mennyiségek számát! Írja be a megfelelő egész számot! Egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen skalár mennyiség jellemzi. ![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XV. Válassza ki a feszültségi tenzor mátrixának általános jellemzőjét! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XVI. Válassza ki a feszültségvektort meghatározó helyes összefüggést! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||||
XVII. Határozza meg a P pont elemi környezetének feszültségi állapotát! | |||||||||||||||||||||||||||
Adatok: | |||||||||||||||||||||||||||
Adott: | |||||||||||||||||||||||||||
MPa, | |||||||||||||||||||||||||||
Feladat: | |||||||||||||||||||||||||||
a) A normál feszültség koordináta meghatározása. | |||||||||||||||||||||||||||
1. Adja meg normál feszültség koordináta értékét! Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja! A normál feszültség koordináta = MPa. ![]() | |||||||||||||||||||||||||||
2. Adja meg a csúsztató feszültségi vektort! Írja be a megfelelő egész számot! A pozitív és negatív előjelet egyaránt használja! A csúsztató feszültségi vektor = () MPa ![]() |