KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rudak összetett igénybevételei

9. Egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételek

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a rudak összetett igénybevételei esetében a szuperpozíció elv alkalmazhatóságának a feltételét;
  • kiválasztani a húzásból és az egyenes hajlításból származó feszültség meghatározásra alkalmas összefüggést;
  • kiválasztani a zérusvonal helyét meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a veszélyes pont értelmezését;
  • húzás-nyomás és egyenes hajlítás esetén meghatározni a zérusvonal helyét, a veszélyes pontokat, a legnagyobb feszültséget;
  • húzás-nyomás és egyenes hajlítás esetén megrajzolni az y és a z tengelyek mentén a feszültségeloszlást;
  • kiválasztani a ferde hajlítás értelmezéseit;
  • kiválasztani a tehetetlenségi főtengely értelmezését;
  • kiválasztani ferde hajlítás esetén a tehetetlenségi főtengely, a zérusvonal értelmezését;
  • kiválasztani ferde hajlítás esetén a hajlítónyomaték felbontását megadó összefüggést;
  • kiválasztani ferde hajlítás esetén a feszültséget megadó összefüggést;
  • kiválasztani ferde hajlítás esetén a zérusvonalat meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a ferde hajlítás esetén a veszélyes pont helyének az értelmezését;
  • ferde hajlítás esetén meghatározni a zérusvonal helyét, a veszélyes pontokat és adott pontokban a feszültségi állapot tenzorát;
  • ferde hajlítás esetén esetén megrajzolni a feszültségeloszlást;
  • kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás definícióját;
  • kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomást helyettesítő igénybevételeket;
  • kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás feszültségi tenzorát;
  • kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén az igénybevételeket meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén a zérusvonal egyenletét;
  • kiválasztani a magidom meghatározását;
  • excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén meghatározni a rúd igénybevételeit, a keresztmetszet jellemzőit, a zérusvonal egyenletét, a veszélyes pontot és a legnagyobb feszültséget;
  • excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén megrajzolni az y és a z tengelyek mentén a feszültségeloszlást.

Rudak összetett igénybevételeinek vizsgálatánál lineárisan rugalmas esetben alkalmazható a szuperpozíció elv.

Ez azt jelenti, hogy összetett igénybevételek esetén az egyszerű igénybevételek szilárdságtani állapotai összegezhetők.

Ilyen eset például:
N,  Mh    0,
N,  Mc    0,
Mh,  Mc    0 stb.

Kivételes eset:
Ty,  Mh     0. (A nyírás csak hajlítással együtt fordul elő.)

9.1. Húzás-nyomás és egyenes hajlítás

Az ábrán az N>0 , M hz >0 eset látható.

Feltételezés: az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye.
Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és z tengelyek a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. egyenes hajlítás.

A húzásból származó feszültség: σ x N = N A .

A hajlításból származó feszültség: σ x M = M hz I z y .

A húzásból és az egyenes hajlításból származó feszültség (szuperpozíció): σ x = σ x N + σ x M = N A + M hz I z y .

Feszültségeloszlás:

Veszélyes pont: A keresztmetszetnek az a pontja, ahol a feszültség maximális (legnagyobb).
Ebben az esetben a veszélyes pont: V.

σ xmax = N A + M hz I z y V .

Zérusvonal: a keresztmetszetnek azon pontjai, ahol a σ x zérus.

σ x =0= N A + M hz I z y 0     y 0 = N M hz I z A .

Veszélyes pont: A keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontja.
A veszélyes pontnak ez a meghatározása csak abban az esetben igaz, amikor egytengelyű feszültségi állapot van.

Méretezés húzás + hajlítás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben):

1.Elhanyagoljuk a húzást.
2.Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak hajlításra.
3.Kiválasztunk egy nagyobb szabványos geometriai méretet, mint a szükséges geometriai méret.
4.A kiválasztott szabványos keresztmetszetű tartót ellenőrizzük húzás + hajlítás eredeti terhelésre.
5.Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük az eljárást.

1. Gyakorlati példa húzás és hajlításra: fúrógép oszlop igénybevételei.
Gk - a konzol súlyereje,  Ff - a fúrásból származó erő.
A terhelések redukciója az oszlop középvonalába:  N 0 = F f G k , M 0 = F f l f - G k l k .

A valóságos szerkezet és a mechanikai modell:

2. Gyakorlati példa nyomásra és hajlításra: beton oszlop feszültségei szélterhelésre.

Adatok:
Az oszlop méretei: a=30 cm, b=60 cm, h=2,5 m,
Az oszlop tömegsűrűsége: ρ=1600 kg/m3,
A szélnyomás: q=260 N/m2.

Feladat: A beton pillér (oszlop) alsó, A keresztmetszetében ébredő feszültségek meghatározása

Megoldás:

Az A keresztmetszet igénybevételei:

N=ρgV=ρgabh=7200N .

A felületi terhelést a súlyponti szálba, vonal mentén megoszló terhelésre redukáljuk:

p=qb=2600,6=156N/m .

T y =ph=1562,5=390N .

M hz =ph h 2 =487,5Nm .

Feszültségek az A keresztmetszetben:

σ x N = N A = 7200 0,30,6 =40000Pa=40kPa=0,04MPa .

σ x M = M hz I z y; I z = b a 3 12 =1,35 10 9 mm 4 ,

σ x M = M hz I z a 2 = 487,5 10 3 1,35 10 9 150=0,054MPa .

Feszültségek a bal oldalon: σ xb =0,094MPa,

Feszültségek a jobb oldalon: σ xj =0,014MPa .

1. gyakorló feladat: Nyomás és egyenes hajlítás

Adott:

a=40 mm,

b=60 mm,

F =(120 i ) kN,

M S =( 4 M hy j ) kNm,

R p0,2 = σ F =390 MPa.

Feladat:
a) A rúd igénybevételeinek meghatározása.
b) A zérusvonal egyenletének felírása.
c) Feszültségeloszlás megrajzolása az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása.
d) A legnagyobb feszültség meghatározása.
e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rúd igénybevételeinek meghatározása:

A rúd nyomott: N=120 kN.
A rúd y tengely körül hajlított: M hy =4 kNm.

b) A zérusvonal egyenletének a felírása:

A=ab=4060=2400 mm 2 I y = b a 3 12 = 60 40 3 12 =32 10 4 mm 4 ,

σ x = σ x , + σ x ,, = N A + M hy I y z=0

z= N A I y M hy = 120 10 3 2400 32 10 4 4 10 6   z=4 mm.

c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása:

Veszélyes pontok: az AB oldalon lévő pontok.

d) A legnagyobb feszültség meghatározása:

σ x , = N A = 120 10 3 2400 =50 MPa,

σ x ,, (z=a/2)= M hy I y ( a 2 )= 4 10 6 32 10 4 ( 40 2 )=250 MPa,

σ xmax =| σ x (z=a/2) |=50+250=300 MPa.

e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása:

σ xmax σ jell n = R p0,2 n n= R p0,2 σ xmax = 390 300 =1,3 .

9.2. Ferde hajlítás

Ferde hajlítás: ha az M h nyomatékvektor nem párhuzamos a keresztmetszet egyik tehetetlenségi főtengelyével sem.

Tehetetlenségi főtengely: az x és y tengely, ha Ixy=Iyx=0.

Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol σ x =0 .

Ferde hajlítás (másik definíció): ha az M h nyomatékvektor nem párhuzamos a zérusvonallal.

Feltételezés:x,y a keresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei.

Megoldás:
Az M h hajlítónyomatékot felbontjuk a tehetetlenségi főtengelyek irányába eső koordinátákra:

M h = M hy j M hz k

Ferde hajlítás két egyenes hajlítás szuperpoziciója (összegzése).

F ¯ ¯ =[ σ x 00 000 000 ] ,

σ x = σ x + σ x = M hz I z y+ M hy I y z .

Feszültségeloszlás:

Zérusvonal: σ x =0= M hz I z y+ M hy I y z .

Az összefüggést átrendezve:

y=y( z )= M hy M hz I z I y z=tgα I z I y z =ztgβ ,

α - az M h nyomatékvektornak a (pozitív) z tengellyel bezárt szöge,

β - a zérusvonalnak a (pozítív) z tengellyel bezárt szöge.

A zérusvonal általában nem párhuzamos az M h nyomatékvektorral.
Ez alól csak az I y = I z = I 1 = I 2 eset (az egyenes hajlítás esete) a kivétel.
Ha M hy >0 és M hz >0 , akkor a tgα negatív.

.

A σ x feszültség a zérusvonaltól távolodva lineárisan növekszik.

Veszélyes pontok (max. feszültség): a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontjai: itt A és B.

Gyakorlati példa: esztergakés igénybevételei.

A kés szárának befogását befalazással modellezzük.

Ff  -  a forgácsolásból származó erő,

Fe - az előtolásból származó erő, ha a kés a -z tengely irányában mozog a munkadarab mentén.

Mechanikai modell: térbeli terhelésű befalazott tartó.

Igénybevételi ábrák:

Veszélyes keresztmetszet: B
A B keresztmetszet igénybevételei: M hz = F f l , M hy =- F e l .

Zérusvonal: y= M hy M hz I z I y z . M hz >0 és M hy <0 , ezért az iránytangens pozitív. Mivel I z > I y β>α .

Veszélyes pontok: C, D.

2. gyakorló feladat: Ferde hajlítás

Adott:
A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele:
M S =(100 j 160 k ) Nm,
a=25 mm, b=50 mm.

Feladat:
a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése.
b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban.
c) A zérusvonal egyenletének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése:

Veszélyes pontok a B és C.

b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban:

Keresztmetszeti jellemzők:  K z = 2 I z b = 25 50 2 6 =10417 mm3, K y = 2 I y a = 50 25 2 6 =5208 mm3.

A keresztmetszet igénybevétele ferde hajlítás:

M hy =100 Nm,  M hz =160Nm .

A σ x feszültség a keresztmetszet tetszőleges pontjában:

σ x = M hz I z y+ M hy I y z .

Feszültségállapot az A, B és C pontokban:

σ x (A)= M hz I z y A + M hy I y z A = M hz K z + M hy K y =

= 160 10 3 10417 + 100 10 3 5208 =3,84 MPa,

[ F ¯ ¯ A ]=[ 3,84 0 0 0 0 0 0 0 0 ] MPa.

σ x (B)= M hz I z y B + M hy I y z B = M hz K z + M hy K y =

= 160 10 3 10417 + 100 10 3 5208 =34,56 MPa,

[ F ¯ ¯ B ]=[ 34,56 0 0 0 0 0 0 0 0 ] MPa.

σ x (C)= M hz I z y C + M hy I y z C = M hz K z M hy K y =

= 160 10 3 10417 100 10 3 5208 =34,56 MPa,

[ F ¯ ¯ C ]=[ 34,56 0 0 0 0 0 0 0 0 ] MPa.

c) A zérusvonal egyenletének meghatározása:

σ x = M hz I z y+ M hy I y z=0 .

y= M hy M hz I z I y z= M hy M hz K z K y b a z=

= 100 160 10417 5208 50 25 z=2,5z

9.3. Excentrikus (külpontos) húzás-nyomás

Definíció: Ha a keresztmetszetre ható erőrendszer eredője a rúd tengelyével párhuzamos egyetlen olyan erő, amelynek hatásvonala nem megy át a keresztmetszet S pontján.

z D , y D - az F erő támadáspontjának helykoordinátái (adott értékek).

Az F erőt redukáljuk a keresztmetszet S pontjába.


húzás + ferde hajlítás.

ferde hajlítás két egyenes hajlítás.

A rúd igénybevételei:
N=F M hz =F y D M hy =F z D } .

A rúd pontjaiban egytengelyű feszültség állapot alakul ki:

F ¯ ¯ =[ σ x 00 000 000 ] σ x = σ x N + σ x M = N A + M hz I z y+ M hy I y z .

Az igénybevételeket behelyettesítve: σ x = N A + N y D I z y+ N z D I y z .

Az inercia sugarat bevezetve: I z = i z 2 A I y = i y 2 A }     i z = I z A i y = I y A } .

A rúdirányú normál feszültség: σ x = N A ( 1+ y D i z 2 y+ z D i y 2 z ) .

Húzás esetén: N>0 .

Nyomás esetén: N<0 .

A zérusvonal egyenlete:

σ x =0=1+ y D y i z 2 + z D z i y 2   y=y( z )= i z 2 i y 2 z D y D z i z 2 y D .

A zérusvonal nem függ az erő nagyságától és előjelétől. A zérusvonal csak az erő támadáspontjának helykoordinátáitól függ.

Az egyenes általános (matematikában szokásos) alakja: y=az+b .

A zérusvonal iránytangense: a= i z 2 i y 2 z D y D .

A zérusvonal metszése az y tengellyel: b= i z 2 y D .

A zérusvonal nem megy át a keresztmetszet S pontján ( b0 ).

Feszültségeloszlás:

σ x = F A ( 1+ y D i z 2 y+ z D i y 2 z ) .

A σ x feszültség a zérusvonaltól távolodva lineárisan növekszik.
Veszélyes pont: a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb eső pontja. Veszélyes pont itt az A pont.

Magidom (belső mag): azon támadáspontok mértani helye, amelyeken ható F erő esetén a keresztmetszeten csak azonos előjelű feszültségek keletkeznek.

Ha az erő támadáspontja, a magidomon belül van, akkor a hozzá tartozó zérusvonal nem metsz bele a keresztmetszetbe a keresztmetszeten csak egynemű (+ vagy -) σ x feszültség lép fel.

P(z=a/2,y= ¯ b/2)

A keresztmetszet bal alsó, P sarokpontján átmenő zérus-vonalakhoz tartozó D támadás-pontok (egyenest alkotnak) egyenlete:

1+ y D y i z 2 + z D z i y 2 =0 ; 1 ¯ y D i z 2 b 2 + z D i y 2 a 2 =0 ;

y D ( z D )= a b i z 2 i y 2 z D + 2 i z 2 b .

Ez az egyenes a magidom egyik határvonala.

Méretezés ugyanúgy történik, mint az a húzás-nyomás + hajlítás esetében le van írva (lásd 9.1. pont).

3. gyakorló feladat: Excentrikus nyomás

Adott:  F=10 MN = 10 7 N, D( l;0,6;0,3 ) m,

Feladat:
a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a meghatározása az x=0 keresztmetszeten.
b) A zérusvonal egyenletének a felírása.
c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén és a veszélyes pont meghatározása.
d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a meghatározás az x=0 keresztmetszeten:

A rúd excentrikusan nyomott, tehát igénybevétele húzás-nyomás és ferde hajlítás:

N=F= 10 7 N =10 MN,

M hy =F z D = 10 7 0,3=3 10 6 Nm =3 MNm =3 10 9 Nmm,

M hz =F y D = 10 7 0,6=6 10 6 Nm =6 MNm =6 10 9 Nmm.

A=ab=12=2m 2 =2 10 6 mm 2 ,

I y = b a 3 12 = 2 1 3 12 =0,1667 m 4 =166,7 10 9 mm 4

I z = a b 3 12 = 1 2 3 12 =0,6667 m 4 =666,7 10 9 mm 4

b) A zérusvonal egyenletének a felírása:

σ x = σ x , + σ x ,, + σ x ,,, = N A + M hz I z y+ M hy I y z=0

y= N M hz I z A M hy M hz I z I y z= 1 y D I z A z D y D I z I y z .

y= 10 6 0,6667 2 3 6 0,6667 0,1667 z=0,55562z .

c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása:

d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása:

σ xmax = σ x (E)= σ x , (E)+ σ x ,, (E)+ σ x ,,, (E)= N A + M hz I z y E + M hy I y z E .

σ xmax = 10 7 2 + 6 10 6 0,6667 1+ 3 10 6 0,1667 0,5=

=5 10 6 9 10 6 9 10 6 =23 10 6 Pa=23MPa