KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Csavarás

5.1. Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a tiszta csavarás definícióját;
  • kiválasztani a tiszta csavarást jellemző megfigyeléseket;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén a P pont elmozdulás vektorát és az elmozdulás vektor koordinátáinak értékeit;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén az alakváltozási állapotot leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén az alakváltozási tenzort;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén a csavarásra vonatkozó Hooke-törvényt;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén a feszültségi tenzort;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén a feszültség - igénybevétel kapcsolatát leíró összefüggést;
  • kiválasztani tiszta csavarás esetén a fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energiát és az egész rúd alakváltozási energiáját meghatározó összefüggést;
  • tiszta csavarás esetén meghatározni a szögtorzulást; az alakváltozási és a feszültségi tenzort; a fajlagos és az egész rúd alakváltozási energiáját;
  • tiszta csavarás esetén elvégezni a rúd ellenőrzését, méretezését.
Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak tiszta csavarása

Tiszta csavarás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag csavaró nyomaték.

Feltételezés: a keresztmetszet kör, vagy körgyűrű alakú.

Kísérlet:

  • A rúd felületére négyzethálót rajzolunk.
  • Megfigyeljük (mérjük) az alakváltozást.

Megfigyelés (mérés):

  • A rúd keresztmetszetei síkok maradnak és alakjuk nem változik: d =d .
  • A rúd keresztmetszetei nem mozdulnak el az x tengely irányában: l =l .
  • A rúd keresztmetszetei az x tengely körül elfordulnak. (Az elfordulás mértéke az x tengely mentén lineárisan változik.)

a) A rúd pontjainak elmozdulása:

Az x helyen lévő keresztmetszet szögelfordulása: Φ=ϑx .

ϑ= állandó - fajlagos szögelfordulás: az egymástól egységnyi távolságra levő keresztmetszetek egymáshoz képest bekövetkező szögelfordulása.

A rúd tetszőleges P pontjának elmozdulása:
A pont elmozdulás vektorát az Rφx henger koordinátarendszerben írjuk fel.

A henger koordináta-rendszer egységvektorai: e R , e φ , e x i .

A P pont elmozdulás vektora: t =u e R +ν e φ +w e x .
Az elmozdulás vektor koordinátái: u=0 , ν=RΦ=xγ , w=0 .

A P pont a keresztmetszet x tengely körüli elfordulása miatt e φ irányban mozdul el: v=Rϑx=xγ     γ=Rϑ .

b) Alakváltozási állapot:

Megfigyelés (mérés):

  • nincs hosszváltozás: ε R = ε φ = ε x =0 .
  • csak az e φ és e x = i egymással bezárt szöge változik meg:
    γ Rφ = γ φR =0 γ xR = γ Rx =0 γ xφ = γ φx =γ=ϑR .

Az alakváltozási tenzor:

[ A ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 000 00 1 2 γ φx 0 1 2 γ xφ 0 ] γ φx = γ xφ =ϑR .

Az alakváltozási állapot nem homogén: γ xφ = γ φx =γ(R) .

A γ szögtorzulás az R változó (helykoord.) lineáris függvénye.

c) Feszültségi állapot:

Érvényes a csavarásra vonatkozó Hooke-törvény:
τ xφ =G γ xφ =GϑR τ φx =G γ φx =GϑR .

G - a csúsztató rugalmassági modulus (anyagjellemző).

A G csúsztató rugalmassági modulus nem független az E rugalmassági modulustól: E=2G(1+ν) .

A feszültségi tenzor:

[ F ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 000 00 τ φx 0 τ xφ 0 ] τ xφ = τ φx =GϑR .

A feszültségi állapot szintén nem homogén: τ xφ = τ φx =τ(R) .
A τ feszültség az R helykoordináta lineáris függvénye.

Feszültségeloszlás: τ xφ = τ xφ (R)= Gϑ állandó R .

Feszültség csak ott ébred, ahol anyag van (jobb oldali ábra).
Probléma: nem ismert a fajlagos szögelfordulás (az M c igénybevétel viszont ismert).
Cél: A τ xφ feszültséget az M c igénybevételből akarjuk kiszámí-tani.

d) A keresztmetszet igénybevételei:

Az egységvektorok vektoriális szorzatai:
e R × e φ = e x ,    e φ × e x = e R ,    e x × e R = e φ .
e φ × e R = e x e x × e φ = e R e R × e x = e φ .

A keresztmetszeten ébredő feszültségvektor: ρ x = τ φx e φ =GϑR e φ =GϑR( e x × e R ) .

Az eredő erő: F S = (A) ρ x dA=Gϑ e x × (A) R e R dA S S = 0 = 0 .

S S - az S pontra számított statikai nyomaték (Értelmezése a Statika tantárgyban).

Az S súlypontra számított eredő nyomaték:

M S = ( R × ρ x )dA=Gϑ R 2 ( e R × e φ ) e x =áll. dA= e x Gϑ (A) R 2 dA= e x Gϑ I p .

I p = (A) R 2 dA - a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka.

M S =Gϑ I p e x = M c e x Gϑ I p = M c         ϑG= M c I p .

A feszültség - igénybevétel kapcsolat: τ xφ = τ φx = Gϑ R= M c I p R .

Az összefüggésben M c 0, M c 0, I p >0,R>0 lehet.

Feszültségi tenzor, feszültségek, és körkeresztmetszetű rúd esetében a feszültségeloszlás az xyz és xης koordinátarendszerben:

[ F ¯ ¯ ]=[ 0 τ xy τ xz τ yx 0 0 τ zx 0 0 ] , τ xy = τ yx = M c I p z , τ xz = τ zx = M c I p y .

Veszélyes pontok: a palást pontjai.

e)Alakváltozási energia: A fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energia: u= 1 2 γ xφ τ xφ = 1 2 τ xφ 2 G .

Az egész rúd alakváltozási energiája: U= 1 2 M c 2 I p G l .

f) Szilárdságtani ellenőrzés és méretezés:

  • Ellenőrzés:
    | τ φx | max = τ max = | M c | I p D 2 = | M c | K p ,
    K p = 2 I p D - poláris keresztmetszeti tényező.
    Ha τ max τ meg = τ jell n , akkora rúd szilárdságtani szempontból megfelel (n - előírt biztonsági tényező).
  • Méretezés: τ max = | M c | K p τ meg K p K p szüks = | M c | τ meg .

K pszüks - a szükséges poláris keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott csavaró igénybevételt tönkremenetel nélkül elviselje).

K pszüks     D ¯ .

g)Gyakorlati példa: kormányoszlop.

1. gyakorló feladat: Kör keresztmetszetű rúd csavarása

Adott:
M c =32 Nm, l=500 mm, l 1 =160 mm, d=20 mm, R B =5 mm, G=0,78 10 5 MPa.

Feladat:

a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a K 1 keresztmetszeten az η, a z és az y tengelyek mentén.
b) A K 1 keresztmetszet B pontjában az F ¯ ¯ B feszültségi tenzor mátrixának meghatározása.
c) A K 1 keresztmetszet B pontjában az A ¯ ¯ B alakváltozási tenzor mátrixának meghatározása.
d) A K 2 keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a K 1 keresztmetszethez képest.
e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása.

Kidolgozás:

a) A feszültségek eloszlásának a megrajzolása a K 1 keresztmetszeten az η, a z és az y tengelyek mentén:

τ φx = M c I p R

A poláris másodrendű nyomaték: I p = d 4 π 32 .

b) A K 1 keresztmetszet B pontjában az F ¯ ¯ B feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása:

| τ φx (B)|= | M c | I p R B I p = d 4 π 32 0,1 d 4 =16 10 3 mm4.

| τ yx (B)|= | M c | I p R B = 3,2 10 4 16 10 3 5=10 MPa,

τ yx (B)= τ xy (B)=10 MPa.

A B pont feszültségi tenzora az xyz koordináta-rendszerben:

[ F ¯ ¯ B ] (xyz) =[ 0 τ xy 0 τ yx 0 0 0 0 0 ]=[ 0 10 0 10 0 0 0 0 0 ] MPa.

A B pontbeli feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán:

c) A K 1 keresztmetszet B pontjában az A ¯ ¯ B alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása:

γ xy = γ yx = τ xy G = 10 0,78 10 5 =1,28 10 4 .

Az B pont alakváltozási tenzora mátrixa az xyz koordináta-rend-szerben:

[ A ¯ ¯ B ] (xyz) =[ 0 1 2 γ xy 0 1 2 γ yx 0 0 0 0 0 ]=[ 0 0,64 0 0,64 0 0 0 0 0 ] 10 4 .

d) A K 2 keresztmetszet szögelfordulásának a meghatározása a K 1 keresztmetszethez képest:

A fajlagos szögelfordulás:

ϑ= M c I p G 3,2 10 4 16 10 3 0,78 10 5 =2,564 10 5 rad/mm.

A szögelfordulás: Φ 12 =ϑ l 1 =2,564 10 5 160=4,1 10 3 rad.

e) A rúdban felhalmozott alakváltozási energia meghatározása:

U= 1 2 (l) M c 2 I p G dx= M c 2 2 I p G l= 10,24 10 8 500 216 10 3 0,78 10 5 =205 Nmm,

U=0,205 J.

2. gyakorló feladat: Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása

Adott: M c =4 kNm,  D d =2 G=0,8 10 5 MPa,  τ meg =70 MPa, ψ meg =0,02 rad.

Feladat:

a) A rúd méretezése (D és d meghatározása).
b) A rúd l max maximális hosszának meghatározása, ha a rúd két végének keresztmetszete közötti szögelfordulásnak Φ meg a megengedett értéke.

Kidolgozás:

a) A rúd méretezése (D és d meghatározása):

τ max = M c I p D 2 τ meg I p D M c 2 τ meg .

I p = ( D 4 d 4 )π 32 = D 4 (1 1 16 )π 32 I p D = D 3 π 15 16 32 =0,092 D 3 .

D M c 20,092 τ meg 3 = 4 10 6 20,09270 3 =67,72 mm.

Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak átmérőit szabvány írja elő.
Szabványos (MSz 4337-71 Hengerelt köracélok) méretű D értéket választva, legyen D=70 mm és ezzel d=35 mm.

Ezekkel a méretekkel számított poláris másodrendű nyomaték:
I p = ( D 4 d 4 )π 32 = ( 70 4 35 4 )π 32 =2,21 10 6 mm4.

b) A rúd l max maximális hosszának a meghatározása, ha a rúd két végének keresztmetszete közötti szögelfordulásnak Φ meg a megengedett értéke:

Φ= M c l I p G Φ meg = M c l max I p G

l max = Φ meg I p G M c =0,02 2,21 10 6 0,8 10 5 4 10 6 =884 mm.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki a tiszta csavarás definícióját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) Tiszta csavarás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag csavaró nyomaték.
b) Tiszta csavarás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele elsősorban csavaró nyomaték.
c) Tiszta csavarás: csak a rúd hosszmetszetének igénybevétele csavaró nyomaték.

II. Válassza ki a tiszta csavarást jellemző megfigyeléseket!

Jelölje be a három (3) helyes megoldást!
a) A rúd keresztmetszetei nem maradnak síkok és alakjuk nem változik: d =d .
b) A rúd keresztmetszetei síkok maradnak és alakjuk nem változik: d =d .
c) A rúd keresztmetszetei síkok maradnak és alakjuk változik: d d .
d) A rúd keresztmetszetei nem mozdulnak el az x tengely irányában: l =l .
e) A rúd keresztmetszetei elmozdulnak az x tengely irányában: l l .
f) A rúd keresztmetszetei az x tengely körül elfordulnak.
g) A rúd keresztmetszetei az x tengely körül nem fordulnak el.
h) A rúd keresztmetszetei az y tengely körül elfordulnak.

III. Válassza ki tiszta csavarás esetén a P pont elmozdulás vektorának koordinátáit!

Jelölje be a helyes megoldást!
a) u=RΦ,ν=0,w=0
b) u=0,ν=RΦ,w=0
c) u=0,ν=0,w=RΦ
d) u=νφ,ν=0,w=RΦ

IV. Válassza ki tiszta csavarás esetén az elmozdulás vektor lehetséges koordinátáit!

Jelölje be a három (3) helyes megoldást!
a) u<0
b) u>0
c) u=0
d) ν=RΦ=xγ
e) ν=uRΦ=uxγ
f) ν= R Φ = x γ
g) w>0
h) w<0
i) w=0
V. Válassza ki tiszta csavarás esetén az alakváltozási állapotot leíró összefüggéseket!
Jelölje be a négy (4) helyes megoldást!
a) ε R = ε φ = ε x =0
b) ε R =0, ε φ 0, ε x 0
c) ε R 0, ε φ 0, ε x 0
d) γ Rφ = γ φR =0
e) γ Rφ 0, γ φR 0
f) γ xR 0, γ Rx 0
g) γ xR = γ Rx =0
h) γ xφ = γ φx ,γϑR
i) γ xφ = γ φx =γ=ϑR
j) γ xφ γ φx ,γϑR
VI. Válassza ki tiszta csavarás esetén az alakváltozási tenzor helyes alakját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) [ A ¯ ¯ ] (Rφx) =[ ε R 00 00 1 2 γ φx 0 1 2 γ xφ 0 ]
b) [ A ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 000 00 1 2 γ φx 0 1 2 γ xφ 0 ]
c) [ A ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 0 ε φ 0 00 1 2 γ φx 0 1 2 γ xφ 0 ]
d) [ A ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 00 ε x 00 1 2 γ φx 0 1 2 γ xφ 0 ]
VII. Válassza ki a csavarásra vonatkozó Hooke-törvény helyes alakját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) τ xφ = G γ xφ τ φx = G γ φx
b) τ xφ = G γ xφ ε x τ φx = G γ φx ε φ
c) τ xφ =G γ xφ τ φx =G γ φx
d) τ xφ =G γ xφ ε φ τ φx =G γ φx ε x
VIII. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültségi tenzor helyes alakját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) [ F ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 000 00 τ φx 0 τ xφ 0 ]
b) [ F ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 00 τ φx 000 τ xφ 00 ]
c) [ F ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 000 τ φx 00 0 τ xφ 0 ]
d) [ F ¯ ¯ ] (Rφx) =[ 000 00 τ φR 0 τ Rφ 0 ]
IX. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültség - igénybevétel kapcsolatát leíró összefügést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) τ xφ = τ φx = M c I x R
b) τ xφ = τ φx = M c I p R
c) τ xφ = τ φx = I p M c R
d) τ xφ = τ φx = M c I p R
X. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültség - igénybevétel kapcsolatát leíró összefügés változóinak a lehetséges értékeit!
Jelölje be a négy (4) helyes megoldást!
a) M c 0
b) M c 0
c) I p =0
d) I p >0
e) I p <0
f) R<0
g) R=0
h) R>0

XI. Válassza ki tiszta csavarás esetén a feszültségi tenzor helyes alakját az xyz koordinátarendszerben!

Jelölje be a helyes megoldást!
a) [ F ¯ ¯ ]=[ 0 0 τ xz 0 0 0 τ zx 0 0 ]
b) [ F ¯ ¯ ]=[ 0 τ xy τ xz τ yx 0 0 τ zx 0 0 ]
c) [ F ¯ ¯ ]=[ 0 τ xy 0 τ yx 0 0 0 0 0 ]
d) [ F ¯ ¯ ]=[ 0 0 0 τ yx 0 0 τ zx 0 0 ]
e) [ F ¯ ¯ ]=[ 0 0 0 τ yx 0 0 τ zx 0 0 ]
XII. Válassza ki tiszta csavarás esetén a veszélyes pontot (pontokat)!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a hengerpalást pontjai
b) a henger szimmetria tengelyének a pontjai
c) a hengerátmérő felénél rajzolható a koncentrikus kör pontjai
XIII. Válassza ki tiszta csavarás esetén a fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energiát leíró összefügést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) u= 1 2 γ xφ τ xφ = 1 2 τ xφ G
b) u= 1 2 τ xφ γ xφ = 1 2 τ xφ 2 G
c) u= 1 2 γ xφ τ xφ G = 1 2 τ xφ 2
d) u= 1 2 γ xφ τ xφ = 1 2 τ xφ 2 G
XIV. Válassza ki tiszta csavarás esetén az egész rúd alakváltozási energiáját leíró összefügést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) U= 1 2 M c I x G l
b) U= 1 2 M c 2 I p G l
c) U= 1 2 M c 2 I p Gl
d) U= 1 2 M c 2 I p G l

XV. Kör keresztmetszetű rúd csavarása

Határozza meg a rúd mechanikai modelljét, majd végezze el a szilárdságtani ellenőrzése!
A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre!

Adatok:

Adott: F=6 kN, D=0,5 m, d=70 mm, τ meg =45 MPa.

Feladat:
a) A rúd mechanikai modelljének a meghatározása.
b) A rúd szilárdságtani ellenőrzése.

1. Válassza ki a rúd mechanikai modelljét bemutató ábrát!
Jelölje be a helyes megoldást!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Határozza meg a rúd igénybevételét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a rúd igénybevétele húzás
b) a rúd igénybevétele hajlítás
c) a rúd igénybevétele nyomás
d) a rúd igénybevétele csavarás
3. Határozza meg a rúd igénybevételének a nagyságát!
Írja be a kiszámított értéket (egész számot)!

A rúd igénybevétele M c = 10 6 Nmm

4. Határozza meg a K p nagyságát!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) K p =6,73 10 4 m m 3
b) K p =5,41 10 4 m m 3
c) K p =0,73 10 4 m m 3
d) K p =1,95 10 4 m m 3
5. Határozza meg a τ max nagyságát!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) τ max =11,9MPa
b) τ max =32,1MPa
c) τ max =44,6MPa
d) τ max =9,76MPa
6. Végezze el a rúd szilárdságtani ellenőrzését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) τ max τ meg ezért a tartó nem felel meg
b) τ max τ meg ezért a tartó megfelel
c) τ max τ meg ezért a tartó megfelel
d) τ max τ meg ezért a tartó nem felel meg

XVI. Körgyűrű keresztmetszetű rúd csavarása

A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre!

Adatok:

Adott: M 1 = M 1 i , M 2 =( 0,12 i ) kNm, G=80 GPa, τ meg =60 MPa, D=40 mm, d=20 mm.

Feladat:
a) Az M 1 nyomaték meghatározása azzal a feltétellel, hogy a rúd éppen megfeleljen.
b) A rúd A és C keresztmetszete közötti Φ AC elcsavarodás szögének a meghatározása.

1. Határozza meg a K p nagyságát!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) K p =7,8 10 3 m m 3
b) K p =3,581 10 4 m m 3
c) K p =1,178 10 4 m m 3
d) K p =0,432 10 4 m m 3
2. Jelölje be a helyes megoldást!
a) ha τ max τ meg   τ max = M cmax K p τ meg , akkor a rúd éppen megfelel
b) ha τ max < τ meg   τ max = M cmax K p < τ meg , akkor a rúd éppen megfelel
c) ha τ max > τ meg   τ max = M cmax K p > τ meg , akkor a rúd éppen megfelel
d) ha τ max = τ meg   τ max = M cmax K p = τ meg , akkor a rúd éppen megfelel
3. Határozza meg a keresett M 1 nyomatékot!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) M 1 =(0,432121 i ) kNm
b) M 1 =(0,706858 i ) kNm
c) M 1 =(0,015321 i ) kNm
d) M 1 =(0,321113 j ) kNm
e) M 1 =(1,326543 k ) kNm
4. Határozza meg a rúd A és C keresztmetszete közötti ψ AC elcsavarodási szögét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) ψ AC =1,03 10 2 rad
b) ψ AC =0,96 10 3 rad
c) ψ AC =7,11 10 2 rad
d) ψ AC =3,76 10 2 rad
e) ψ AC =7,96 10 3 rad