KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Elemi környezet szilárdságtani állapotai

3.1. Elemi környezet alakváltozási állapota

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az elemi triéder értelmezését;
  • kiválasztani az elemi környezet alakváltozásának a leírását;
  • kiválasztani a fajlagos nyúlás és a fajlagos szögváltozás értelmezését, jelét, mértékegységét;
  • kiválasztani az alakváltozási jellemzők előjelének értelmezését;
  • megadni egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát leíró alakváltozási tenzort;
  • kiválasztani az alakváltozási vektorokat;
  • kiválasztani az alakváltozási tenzor diadikus alakját;
  • kiválasztani az alakváltozási tenzor mátrixát;
  • adatok alapján meghatározni egy pont alakváltozási tenzorát;
  • kiválasztani az alakváltozási tenzort az elemi triéderen szemléltető ábrát;
  • kiválasztani az alakváltozási tenzor általános jellemzőjét;
  • megadni egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen jellemző skalár mennyiségek számát;
  • adatok alapján meghatározni a fajlagos nyúlást és a fajlagos szögtorzulást.
Elemi környezet alakváltozási állapota

Elemi triéder: A P pontban felvett, egymásra kölcsönösen merőleges i , j , k egységvektorok, illetve a P, A, B, C pontok alkotják.

Feltételezzük, hogy az i , j , k egységvektorok A, B, C végpontjai az elemi környezeten belül helyezkednek el.

A P pont elemi környezetének alakváltozását az A, B, C pontoknak a terhelés hatására, a P ponthoz képes bekövetkező elmozdulásai jellemzik. Az elemi triéder alakváltozását a P, A , B , C határozza meg.

Elemi környezet alakváltozása: az elemi triéder A, B, C pontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulásai, amelyek nem tartalmaznak merevtestszerű mozgásból származó részeket.

| i |=| j |=| k |=1 .

Terhelés hatására a test alakváltozik, azaz megváltozik a P pontban felvett egységvektorok hossza és egymással bezárt szöge.

PABC alakváltozás P A B C

Megváltozott hosszak:Megváltozott szögek:
P A ¯ =(1+ ε x ) , (π/2 γ xy )=(π/2 γ yx ) ,
P B ¯ =(1+ ε y ) , (π/2 γ yz )=(π/2 γ zy ) ,
P C ¯ =(1+ ε z ) . (π/2 γ xz )=(π/2 γ zx ) .

Az elemi környezet alakváltozási jellemzői:

Fajlagos nyúlások: ε x , ε y , ε z .

ε x = P A * ¯ PA ¯ PA ¯ = P A * ¯ 1 1         P A ¯ =(1+ ε x ) ,

ε y = P B * ¯ PB ¯ PB ¯ = P B * ¯ 1 1         P B ¯ =(1+ ε y ) ,

ε z = P C * ¯ PC ¯ PC ¯ = P C * ¯ 1 1         P C ¯ =(1+ ε y ) .

Mértékegység az értelmezésből következően: [m/m=mm/mm=1] (kiejtése: méter per méter, vagy milliméter per milliméter).

Fajlagos szögváltozások (fajlagos szögtorzulások):  γ xy , γ yz , γ xz .

A fajlagos szögváltozások a fajlagos nyúlásokkal analóg módon értelmezhetők.

Az értelmezésből következően: γ xy = γ yx , γ yz = γ zy , γ xz = γ zx .

Mértékegység az értelmezésből következően: [rad] (kiejtése: radián).

Az alakváltozási jellemzők geometriai tartalma:

Pl. ε x - az x irányú egységnyi hossz megváltozása,
γ yz - a terhelés előtt egymással π/2= 90 o -os szöget bezáró y és z irányok szögének megváltozása.

Az alakváltozási jellemzők előjele:

ε>0 megnyúlás, ε<0 rövidülés,
γ>0 a 90o-os szög csökken, γ<0 a 90o-os szög nő.

A szögtorzulásokat (önkényesen) megfelezve és a fél-fél szögváltozást a P ponttól egységnyi távolságra lévő pontokhoz kötve, felírható az A, B, C pontok alakváltozásból származó α x , α y , α z elmozdulás-vektora.

Az α x , α y , α z vektorokat alakváltozási vektoroknak nevezzük.

Az alakváltozási vektorok:

α x =( ε x i + 1 2 γ yx j + 1 2 γ zx k ) ,

α y =( 1 2 γ xy i + ε y j + 1 2 γ zy k ) ,

α z =( 1 2 γ xz i + 1 2 γ yz j + ε z k ) .

A három alakváltozási vektor egyértelműen jellemzi a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát.

A fenti ábra a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát szemlélteti az α x , α y , α z alakváltozási vektorok koordinátáinak ábrázolásával. Az ábrában a megváltozott szögeket leegyszerűsítve, a koordinátasíkokra vetítve jelöltük be.

Ismerjük azt a három értékpárt, amely a pontbeli alakváltozási állapotot egyértelműen megadja:

i     α x , j     α y , k     α z .

A P elemi környezetének alakváltozási állapota tenzorral írható le.

Az alakváltozási tenzor:

  • diadikus alakja: A ¯ ¯ P =( α x i + α y j + α z k ) ,
  • mátrixa: [ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 2 γ xy 1 2 γ xz 1 2 γ yx ε y 1 2 γ yz 1 2 γ zx 1 2 γ zy ε z ] .

Az alakváltozási tenzor mátrixa szimmetrikus    A P pont (vagy P pont elemi környezetének) alakváltozási állapotát 6 skalár mennyiség egyértelműen jellemezi.

Az alakváltozási vektor tetszőleges n irány esetén:

α n = A ¯ ¯ P n .

1. gyakorló feladat: P pont elemi környezetének alakváltozási állapota

Adott: A P pont környezetében az alakváltozási jellemzők és az n irány egységvektor:
ε x =5 10 3 , ε y =4 10 3 , ε z =10 10 3 ,
γ xy = γ yx = γ yz = γ zy =0, γ xz = γ zx =10 10 3 ,
n =(0,8 i +0,6 k ) .

Feladat:

a) A P ponti A ¯ ¯ P alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az elemi triéderen.

b) Az ε n fajlagos nyúlás és a γ ny fajlagos szögtorzulás meghatározása.

Megoldás:

a) Az A ¯ ¯ P alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az elemi triéderen:

[ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 2 γ xy 1 2 γ xz 1 2 γ yx ε y 1 2 γ yz 1 2 γ zx 1 2 γ zy ε z ] , [ A ¯ ¯ P ]=[ 5 0 5 0 4 0 5 0 10 ] 10 3 .

Szemléltetés az elemi triéderen:

A 10 3 -mal történő beszorzás az ábrán látható valamennyi mennyiségre vonatkozik.

b) Az ε n fajlagos nyúlás és γ ny fajlagos szögtorzulás meghatározása:

α n = A ¯ ¯ P n ,

[ α n ]=[ A ¯ ¯ P ][ n ]= 10 3 [ 5 0 5 0 4 0 5 0 10 ][ 0,8 0 0,6 ]= 10 3 [ 43 0 4+6 ]= 10 3 [ 1 0 2 ] ,

ε n =[ n ][ α n ]=[ 0,8 0 0,6 ][ 1 0 2 ] 10 3 =(0,8+1,2) 10 3 =2 10 3 ,

γ ny = γ yn =2 j α n =0 .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki az elemi triéder helyes leírását!
Jelölje be a 3 helyes állítást!
Az elemi triédert:
a) egy P pontban felvett
b) több pontban rögzített (pl.: A, B, C, D)
c) legalább két pontban felvett
d) egymással párhuzamos i , j , k egységvektorok
e) egymásra kölcsönösen merőleges i , j , k egységvektorok
f) kitérő i , j , k egységvektorok
g) egymásra merőleges két egységvektor
h) illetve a P, A  pont alkotja
i) illetve a P, A, C pont alkotja
j) illetve a P, A, B, C pont alkotja
II. Válassza ki az elemi környezet alakváltozásának helyes definícióját!
Jelölje be a helyes állítást!
Az elemi környezet alakváltozása
a) az elemi triéder A, Bpontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulásai, amelyek nem tartalmaznak merevtestszerű mozgásból származó részeket
b) az elemi triéder A, B, Cpontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulásai, amelyek nem tartalmaznak merevtestszerű mozgásból származó részeket
c) az elemi triéder A, B, Cpontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulásai, amelyek tartalmaznak merevtestszerű mozgásból származó részeket
d) az elemi triéder B pontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulása, amely nem tartalmaz merevtestszerű mozgásból származó részt
e) az elemi triéder B, C pontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulásai, amelyek tartalmaznak merevtestszerű mozgásból származó részeket
III. Válassza ki a terhelés hatására fellépő alakváltozás értelmezését!
Jelölje be a helyes állítást!
a) a terhelés hatására a test alakja ténylegesen nem változik
b) a terhelés hatására a test alakváltozik, de csak kis mértékben
c) a terhelés hatására a test alakváltozik, azaz megváltozik a P pontban felvett egységvektorok hossza és egymással bezárt szöge
d) a terhelés hatására a test alakváltozik, de csak a P pontban felvett egységvektorok egymással bezárt szöge változik
IV. Válassza ki a fajlagos nyúlás jelölését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a fajlagos nyúlás jelölése: ε x , ε y , ε z
b) a fajlagos nyúlás jelölése: γ xy , γ yz , γ xz
c) a fajlagos nyúlás jelölése: A, B, C
d) a fajlagos nyúlás jelölése: α x , α y , α z
e) a fajlagos nyúlás jelölése: i , j , k
V. Válassza ki a fajlagos nyúlás mértékegységét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [m]
b) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [mm]
c) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [fok]
d) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [radián]
e) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [MPa]
f) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [cm]
g) a fajlagos nyúlás mértékegysége: [m/m=mm/mm=1]
VI. Válassza ki a fajlagos szögváltozások (fajlagos szögtorzulások) jelölését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a fajlagos szögváltozás jelölése: ε x , ε y , ε z
b) a fajlagos szögváltozás jelölése: γ xy , γ yz , γ xz
c) a fajlagos szögváltozás jelölése: A, B, C
d) a fajlagos szögváltozás jelölése: α x , α y , α z
e) a fajlagos szögváltozás jelölése: i , j , k
VII. Válassza ki a fajlagos szögváltozás (fajlagos szögtorzulás) mértékegységét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [m]
b) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [mm]
c) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [fok]
d) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [radián]
e) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [MPa]
f) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [cm]
g) a fajlagos szögváltozás mértékegysége: [m/m=mm/mm=1]
VIII. Válassza ki a fajlagos nyúlás előjelének az értelmezését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) fajlagos nyúlás: ha ε>0 akkor megnyúlás
b) fajlagos nyúlás: ha ε=0 akkor rövidülés
c) fajlagos nyúlás: ha ε>0 akkor rövidülés
d) fajlagos nyúlás: ha γ>0 akkor a 180o-os szög csökken
e) fajlagos nyúlás: ha γ<0 akkor a 90o-os szög nő
f) fajlagos nyúlás: ha γ<0 akkor a 135o-os szög csökken
IX. Válassza ki a fajlagos szögtorzulás előjelének az értelmezését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) fajlagos szögváltozás: ha ε>0 akkor megnyúlás
b) fajlagos szögváltozás: ha ε=0 akkor rövidülés
c) fajlagos szögváltozás: ha ε>0 akkor rövidülés
d) fajlagos szögváltozás: ha γ>0 akkor a 180o-os szög csökken
e) fajlagos szögváltozás: ha γ<0 akkor a 90o-os szög nő
f) fajlagos szögváltozás: ha γ<0 akkor a 135o-os szög csökken
X. Válassza ki az alakváltozási vektorok jelölését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) az alakváltozási vektorok jelölése: ε x , ε y , ε z
b) az alakváltozási vektorok jelölése: γ xy , γ yz , γ xz
c) az alakváltozási vektorok jelölése: A, B, C
d) az alakváltozási vektorok jelölése: m , n , o
d) az alakváltozási vektorok jelölése: α x , α y , α z
e) az alakváltozási vektorok jelölése: i , j , k
XI. Válassza ki az egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát leíró mennyiséget!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapota egy tenzorral írható le
b) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapota egy vektorral írható le
c) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapota egy skalár mennyiséggel írható le
d) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapota két vektorral írható le
e) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapota három skalár mennyiséggel írható le
XII. Válassza ki az alakváltozási tenzor helyes diadikus alakját!
Jelölje be a jó megoldást!
a) A ¯ ¯ P =( a x × i + a y × j + a z × k )
b) A ¯ ¯ P =( α x i + α y j + α z k )
c) A ¯ ¯ P =( α x i + α y j + α z k )
d) A ¯ ¯ P =( a x m + a y n + a z o )
e) A ¯ ¯ P =( α x × ε + α y × γ + α z × γ )
XIII. Válassza ki az alakváltozási tenzor helyes mátrixát!
Jelölje be a jó megoldást!
a) [ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 1 1 2 γ yx ε y 1 1 2 γ zx 1 2 γ zy ε z ]
b) [ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 2 γ xy 1 2 γ xz 0 ε y 1 2 γ yz 0 0 ε z ]
c) [ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 2 γ xy 1 2 γ xz 1 2 γ yx ε y 1 2 γ yz 1 2 γ zx 1 2 γ zy ε z ]
d) [ A ¯ ¯ P ]=[ ε x ε y ε z γ x γ y γ z 1 2 γ x 1 2 γ y 1 2 γ z ]
e) [ A ¯ ¯ P ]=[ 1 2 γ x 1 2 γ y ε z 1 2 γ x ε y 1 2 γ z ε x 1 2 γ y 1 2 γ z ]
XIV. Válassza ki az alakváltozási tenzor mátrixának általános jellemzőjét!
Jelölje be a jó megoldást!
a) Az alakváltozási tenzor mátrixa szimmetrikus
b) Az alakváltozási tenzor mátrixának a főátlójában csak egyes található
c) Az alakváltozási tenzor mátrixának a főátlója felett csak egyesek találhatók
d) Az alakváltozási tenzor mátrixa nem mutat semmilyen szabályosságot
e) Az alakváltozási tenzor mátrixának a főátlója alatt csak nullák találhatók
XV. Adja meg egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen jellemző skalár mennyiségek számát!
Írja be a megfelelő egész számot!

Egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen skalár mennyiség jellemzi.

XVI. Válassza ki az egypont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen leíró mennyiségeket!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen öt skalár mennyiség írja le
b) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen három vektor mennyiség írja le
c) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen két mátrix írja le
d) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen három skalár mennyiség írja le
e) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen két vektor mennyiség írja le
f) egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen két mátrix írja le

XVII. Határozza meg a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát!
A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre!

Adatok:

A P pont alakváltozási állapota az ábrán látható módon és

n =( 2 2 i + 2 2 k ) ,

m =( 2 2 i 2 2 k ) .

Feladat:

a) A P pont alakváltozási tenzorának felírása.
b) Az ε x , γ xz , γ yz alakváltozási jellemzők meghatározása.
c) Az ε n , ε m , γ nm alakváltozási jellemzők meghatározása.

1. Adja meg a P pont alakváltozási tenzorát!
Értelemszerűen töltse ki a táblázatot! Használja a numerikus szektort!
Csak a negatív előjelet használja!
[ A ¯ ¯ P ]=[ ε x 1 2 γ xy 1 2 γ xz 1 2 γ yx ε y 1 2 γ yz 1 2 γ zx 1 2 γ zy ε z ] = 10 4
2. Válassza ki a ε x helyes értékét!
a) ε x =3 10 4
b) ε x =3 10 3
c) ε x =0
d) ε x =4 10 4
e) ε x =2,5 10 4
3. Válassza ki a ε n helyes értékét!
a) ε n =1 10 3
b) ε n =0,5 10 4
c) ε n =1 10 4
d) ε n =3 10 4
e) ε n =4 10 4
f) ε n =0
4. Válassza ki a ε m helyes értékét!
a) ε m =2 10 3
b) ε m =1,5 10 4
c) ε m =0,25 10 4
d) ε m = 2 2 10 4
e) ε m =4 10 4
f) ε m =0,5 10 4
5. Adja meg γ xz értékét!
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja!

Az γ xz = 10 4 [rad]

6. Adja meg γ yz értékét!
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja!

Az γ yz = 10 4 [rad]

7. Adja meg γ nm értékét!
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja!

Az γ nm = 10 4 [rad]