6. Karcsú, nyomott rudak kihajlása
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani a karcsú rúd, zömök rúd, centrikus nyomás, stabilitásvesztés értelmezését;
- kiválasztani a kritikus erő értelmezését;
- kiválasztani a karcsú, nyomott rudak igénybevételeit és az ezeket leíró összefüggéseket;
- kiválasztani a kihajlás Euler-féle differenciál egyenletét;
- kiválasztani karcsú, nyomott rudak esetén az -t, a -t, a minimális inercia sugarat (imin), a karcsúsági tényezőt () meghatározó összefüggéseket;
- kiválasztani karcsú, nyomott rudaknál a és a esetekben a kritikus feszültséget meghatározó összefüggéseket;
- kiválasztani a kihajlási határgörbe ábráját;
- kiválasztani különféle megtámasztások esetén a kihajlási félhullámhosszt meghatározó összefüggést;
- adatok alapján elvégezni karcsú, nyomott rudak szilárdságtani ellenőrzését, méretezését.
|
Karcsú, nyomott rudak kihajlása |
Karcsú rúd: a rúd hossza sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei. |
Zömök rúd: a rúd hossza nem sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei. |
A rúd karcsúságát a karcsúsági tényezővel fogjuk jellemezni. Karcsú rudak nyomásánál kihajlási jelenség léphet fel. A nyomásról a 4.1. pontban tanultak csak zömök rúdra érvényesek további kiegészítések nélkül. |
Centrikus nyomás: az F nyomóerő a rúd keresztmetszetének S súlypontjában támad. |

|
Tapasztalat: Az F erőt növelve, egy küszöb fölött a rúd meggörbül, hirtelen nagy elmozdulások lépnek fel (a rúd kihajlik), amelyek a rúd tönkremenetelét okozhatják. |
Stabilitásvesztés: A rudat az egyenes helyzetből kis hatással kimozdítva, a rúd nem tér vissza az egyenes alakhoz. |
Kérdés: az F erő mekkora értékénél következik be a stabilitásvesztés? |
- kritikus erő: az az erő, amelynél a stabilitásvesztés bekövetkezik. |
Az alábbiakban egy közelítő megoldást adunk a kihajlás leírására: |
a) A kritikus erő meghatározása: |
Kiindulás: a rúd középvonala terheletlen állapotban egyenes. |
Gondolatmenet: |
- Feltételezzük, hogy terhelt állapotban a rúd középvonala meggörbül. (Görbült alak csak akkor alakulhat ki, ha a terhelés elérte az értéket.)
- Keressük a görbe alak kialakulásának feltételét.
|

|
- a rúd középvonalának elmozdulása a meggörbült helyzetben. |
A rúd igénybevételei a meggörbült helyzetben: |
- Nyomás:, ahol .
- Hajlítás:, ahol .
|
A rugalmas vonal (S ponti szál) Euler-féle differenciál egyenlete: |
. |
Az egyenletet egy oldalra rendezve: . |
Ez az egyenlet másodrendű, közönséges, lineáris, állandó együtthatójú, hiányos, homogén differenciál egyenlet. |
Jelölés: . |
A kihajlás Euler-féle differenciál egyenlete:. |
Keressük az megoldást. (Keressük a görbült alak egyenletét.) |
Megoldás: . |
Peremfeltételek: |
. |
. |
A szorzat vagy akkor zérus, ha , vagy akkor, ha . A az egyenes alakot jelenti, amitől különböző megoldást keresünk. Ha , akkor érték lehet! (E közelítésben akármekkora nagy érték is lehet!) |
A megoldás a peremfeltételek figyelembevétele után: |
- A görbült alak színusz félhullám, amelynek amplitudója határozatlan, mert tetszőleges. |

|
Probléma: A konstans tetszőlegesen nagy is lehet. Nagy elmozdulások lépnek fel. A rúd tönkremegy (eltörik). |
Mi a feltétele a esetnek? |
|
|
. |
Ezek közül az erők közül a legkisebb a k=1, és esethez tartozik. Már ez a legkisebb erő is problémát okozhat: |
. |
Tapasztalat és az -ra kapott összefüggésből is ez következik: A rúd arra a keresztmetszeti tehetetlenségi főirányra merőleges síkban hajlik ki, amelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb: |
. |
A feladat megoldását a végein csuklósan megtámasztott rúdra állítottuk elő. A megoldás más megtámasztás esetén is a fenti gondolatmenettel határozható meg. |
b) A kihajlási határgörbe: |
A kritikus erő (a rúd megtámasztási módja mellett) függ a rúd hosszától és a keresztmetszetnek a hajlítással szembeni legkisebb ellenállására jellemző másodrendű nyomatéktól. Ennek a rúd geometriáját jellemző két mennyiségnek a függvényében akarjuk meghatározni a rúd tönkremenetele szempontjából kritikus feszültséget. |
Átalakítás: |
, |
ahol a minimális inercia sugár. |
Karcsúsági tényező: . |
A esetben az Euler-féle hiperbola adja a kritikus feszültséget: |
Euler-féle hiperbola: . |
- az -hoz tartozó karcsúsági tényező, vagyis . |
Euler összefüggés rugalmas kihajlásra (), vagyis értékekre érvényes. |
A , vagyis esetben a Tetmajer-féle egyenes adja meg a kritikus feszültséget: |
Tetmajer-féle egyenes: |
Ez az összefüggés képlékeny kihajlásra érvényes. |
Az Euler-féle hiperbolát és a Tetmajer-féle egyenest diagramban ábrázolva kapjuk a rúd kihajlási határgörbéjét. |
Kihajlási határgörbe: |

|
c) Nyomott karcsú rudak méretezése, ellenőrzése: |
Nyomott rudaknál a méretezést, ellenőrzést nemcsak feszültségcsúcsra, hanem kihajlásra is el kell végezni. |
Nyomott rudak esetén legtöbbször a kihajlás jelenti a nagyobb veszélyt. |
- Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra (lásd 4.1. és 4.2. pontok):
. - Ellenőrzés kihajlásra:
Először meg kell határozni a rúd karcsúsági tényezőjét:. Ezután meg kell határozni az Euler-hiperbola és a Tetmajer-egyenes érvényességi tartományát elválasztó értéket: . Ha , akkor a értéket az Euler-féle összefüggésből számítjuk: . Ha , akkor a értéket a Tetmajer-féle összefüggésből számítjuk: .
|
Méretezés, ellenőrzés kihajlásra: |
d) Általánosítás más megtámasztások esetére: |
A karcsúsági tényező: . |
Általánosítás: nem a rúd hossza, hanem a kihajlási félhullámhossz. A kihajlási félhullámhossz meghatározása: . l - a rúd tényleges hossza. |
A leggyakrabban előforduló megtámasztási módok: |
|
Gyakorlati példák kihajlásveszélyre: |
- Rácsos tartószerkezetek nyomott rúdjai.
- Robbanó motor szelepvezérlése - szelepemelő rúd.
|
A szelepvezérlés vázlata | A szelepemelő rúd mechanikai modellje |  | 
|
|
| 1. gyakorló feladat: Csuklós/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása |

|
Adott: m, kN, MPa, mm, mm, MPa, MPa, . |
Feladat: a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével. b) A rúd ellenőrzése kihajlásra. |
Kidolgozás: |
a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével: |

|
Ha , akkor: . |
Ha , akkor: |
. |
b) A rúd ellenőrzése kihajlásra: |
. |
mm2. |
mm4. |
mm. |
mm,. |
A meghatározására az Euler összefüggést kell alkalmazni. |
A tényleges feszültség: MPa. |
A kritikus feszültség: MPa. |
A rúd megfelel, ha . |
Itt teljesül , tehát a rúd kihajlásra megfelel! |
2. gyakorló feladat: Befalazott/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása |

|
Adott: mm, GPa, mm, mm, MPa, MPa. |
Feladat: a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása. b) A kritikus erő meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása: |
mm2, . |
Az y és z tengelyek tehetetlenségi főtengelyek , , |
mm4, mm. |
b) A kritikus erő meghatározása: |
. |
mm,. |
() |
A meghatározására az Euler összefüggést kell alkalmazni. |
MPa, |
N. |
3. gyakorló feladat: Görgős/befalazott megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása |

|
Adott: A rúd keresztmetszete kétféle lehet: cső, vagy négyzet. kN, GPa, MPa, MPa, |
, mm, mm, mm. |
Feladat: a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét ke-resztmetszetre. b) Ellenőrzés kihajlásra mindkét keresztmetszetre. |
Kidolgozás: |
a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét keresztmet-szetre: |
Cső keresztmetszet: mm2, |
|
mm, |
. |
Négyzet keresztmetszet: mm2, , |
mm, |
. |
b) Ellenőrzés kihajlásra: |
. |
Cső keresztmetszet: A Tetmajer összefüggést kell alkalmazni, mert . |
MPa, |
MPa. |
A rúd megfelel, ha . |
Itt a teljesül, tehát a rúd kihajlásra megfelel! |
Négyzet keresztmetszet: Az Euler-összefüggést kell alkalmazni, mert , . |
MPa, |
MPa. |
A rúd megfelel, ha . |
Itt teljesül, tehát a rúd kihajlásra megfelel! |