KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan
MODUL: Rudak egyszerű igénybevételei
4.3. Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása
A lecke követelményei | |||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||
| |||
Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása | |||
Tiszta hajlítás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag hajlító nyomaték. | |||
Homogén igénybevétel: Az igénybevétel a rúd hossza mentén nem változik | |||
Feltételezés: Az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye. | |||
Kísérlet: | |||
| |||
Az ábrán a rúd alakváltozás előtti helyzetét szaggatott vonal, az alakváltozott helyzetet folytonos vonal és a súlyponti szál alakváltozás utáni alakját pedig pontvonal jelöli. | |||
Megfigyelés: (Bernoulli-hipotézis) | |||
Tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei síkok és merőlegesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára. | |||
a) Alakváltozási állapot: | |||
| |||
| |||
| |||
b) Feszültségi állapot: | |||
Érvényes az egyszerű Hooke-törvény: . | |||
Az ábra az esetben az helyen szemlélteti a feszültségi állapotot. | |||
. | |||
A hajlított rúdban is egytengelyű feszültségi állapot alakul ki. | |||
A feszültségi állapot itt azonban nem homogén. | |||
Probléma: nem ismert a középvonal görbülete (az igénybevétel viszont ismert). | |||
Cél: A feszültséget az igénybevételből akarjuk kiszámítani. | |||
c) A rúd igénybevételei: | |||
A rúd igénybevételei a keresztmetszeten ébredő, felületen megoszló belső erőrendszerből számíthatók. | |||
A keresztmetszeten ébredő belső erőrendszer sűrűsége: . | |||
Az eredő erő: . | |||
a keresztmetszet súlyponti z tengelyére számított statikai nyomaték. | |||
A keresztmetszet súlypontjára számított eredő nyomaték: | |||
. | |||
A keresztmetszet másodrendű nyomatékai: | |||
- a keresztmetszet z tengelyre számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka, | |||
- a keresztmetszet yz tengelypárra számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka. | |||
Ezeken kívül értelmezhető még: | |||
- a keresztmetszet y tengelyre számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka, | |||
- a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka. | |||
Mivel az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye, ezért . | |||
Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és a z tengely a keresztmetszet S súlyponti tehetetlenségi főtengelyei. | |||
Tétel: Minden szimmetria tengely egyben S ponti tehetetlenségi főtengely is. A szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely is tehetetlenségi főtengely. | |||
Egyenes hajlítás: Ha az nyomatékvektor párhuzamos valamelyik S ponti tehetetlenségi főtengellyel. - ez itt fennáll! | |||
Ezt figyelembe véve, a keresztmetszeten ébredő feszültségek S pontra számított nyomatéka: . | |||
Ezt az eredményt behelyettesítve a összefüggésbe: feszültség-igénybevétel kapcsolat: . | |||
Ez az összefüggés tiszta, egyenes hajlítás esetén érvényes. | |||
d) Kiegészítés a feszültségi állapothoz: | |||
| |||
| |||
| |||
e) Méretezés és ellenőrzés: | |||
| |||
f) Alakváltozási energia: | |||
A fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energia: . | |||
Az egész rúd alakváltozási energiája: . | |||
Ez az összefüggés akkor érvényes, ha a rúd hossza mentén | |||
g) Az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenlete: | |||
- a rugalmas vonal (középvonal) görbülete. | |||
, | |||
- közönséges másodrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet. | |||
A differenciálegyenlet megoldása: | |||
| |||
h) Gyakorlati példa: vasúti kocsi tengelye. | |||
A tengely két kerék közé eső része tisztán hajlított. |
1. gyakorló feladat: Téglalap keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása | ||
Adott: | ||
Feladat: | ||
a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása: | ||
b) Feszültségeloszlás megrajzolása a B jelű keresztmetszeten: | ||
2. gyakorló feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása | ||
Adott: | ||
Feladat: | ||
a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása. | ||
Kidolgozás: | ||
a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása: | ||
Az AB rúdszakaszon tiszta hajlítás van. | ||
Egyenes hajlítás, mert kör keresztmetszet esetén minden súlyponti tengely tehetetlenségi főtengely. | ||
Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak csak egyenesen hajlíthatók | ||
b) Feszültségeloszlás megrajzolása az rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén: | ||
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||||||||||
I. Válassza ki a tiszta hajlítás értelmezését! Jelölje be a helyes megoldást! Tiszta hajlítás:
![]() | |||||||||||||||||||||||||
II. Válassza ki a homogén igénybevétel értelmezését tiszta hajlítás esetén! Jelölje be a helyes megoldást! Homogén igénybevétel:
![]() | |||||||||||||||||||||||||
III. Válassza ki a Bernoulli hipotézisét tiszta hajlítás esetén! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
IV. Válassza ki az alakváltozási állapot jellemzőit tiszta hajlítás esetén! Jelölje be a négy (4) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
V. Válassza ki az egyszerű Hooke-törvényt! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
VI. Válassza ki a tiszta hajlítás hatására kialakuló feszültségi állapotot szemléltető tenzort! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
VII. Válassza ki a tiszta hajlítás hatására kialakuló alakváltozási állapotot szemléltető tenzort! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
VIII. Válassza ki a tiszta hajlítás hatására kialakuló feszültségi állapot jellemzőit! Jelölje be a két (2) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
IX. Válassza ki azt az ábrát, amely helyesen mutatja tiszta hajlítás esetén a feszültségi állapot eloszlását! Jelölje be a helyes ábrát!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
X. Válassza ki a tehetetlenségi főtengelyre érvényes állításokat! Jelölje be a két (2) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XI. Válassza ki a tiszta egyenes hajlítás esetén a feszültség-igénybevétel kapcsolatát leíró összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XII. Válassza ki a tiszta egyenes hajlítás esetén a összefüggésben található változók lehetséges értékeit! Jelölje be a két (2) HIBÁS megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XIII. Válassza ki a tiszta hajlítás esetén a zérusvonal meghatározását! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XIV. Válassza ki a tiszta hajlítás esetén a maximális feszültség definícióját! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XV. Válassza ki a keresztmetszeti tényezőt meghatározó összefüggést! | |||||||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XVI. Válassza ki tiszta hajlítás esetén a fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energiát meghatározó összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XVII. Válassza ki tiszta hajlítás esetén az egész rúd alakváltozási energiáját meghatározó összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||||||
XVII. Válassza ki tiszta hajlítás esetén az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenletét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() |