KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan
MODUL: Rudak egyszerű igénybevételei
4.4. Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai
A lecke követelményei | ||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||
| ||
Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai | ||
a) Másodrendű nyomatéki tenzor: | ||
Keresztmetszetek másodrendű nyomatékai a keresztmetszet súlyponti tehetetlenségi tenzorába foglalhatók. | ||
A súlyponti tehetetlenségi tenzor ismeretében bármely S súlyponti tengelyre, vagy tengelypárra számított nyomaték előállítható: | ||
, | ||
b) Steiner (stejner)-tétel: | ||
Összefüggést ad az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok között: | ||
Tétel: A párhuzamos tengelyek közül mindig az S ponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb. | ||
A tétel állítása az első két egyenlet alapján könnyen belátható. | ||
c) Mohr-féle tehetetlenségi kördiagram: | ||
Tétel: Az és összetartozó értékei egy derékszögű koordinátarendszerben kört határoznak meg. | ||
A kördiagram szerkesztésének lépései: | ||
| ||
d) Tehetetlenségi főirányok, fő tehetetlenségi nyomatékok: | ||
| ||
Tétel: Minden keresztmetszetre van legalább egy ilyen tengelypár. | ||
Tétel: A keresztmetszet szimmetriatengelye mindig tehetetlenségi főtengely. | ||
Tétel: Ha a keresztmetszetnek kettőnél több S ponti tehetetlenségi főtengelye van, akkor a keresztmetszet S pontján átmenő minden tengely tehetetlenségi főtengely, amelyekre számított tehetetlenségi nyomaték megegyezik: . | ||
Megjegyzés: A főirányok meghatározásával analóg módon határozható meg a kördiagramban az S ponti és irányokhoz tartozó N és M pont. | ||
A P pólusból párhuzamost húzunk -nel pont. |
1. gyakorló feladat: Téglalap keresztmetszet másodrendű nyomatékai | ||
Adott: a keresztmetszet a, b mérete. | ||
Feladat: | ||
a) Az súlyponti tengelyekre számított , és tehetetlenségi nyomatékok meghatározása. | ||
Megoldás: | ||
a) Az súlyponti tengelyekre számított , és tehetetlenségi nyomatékok meghatározása: | ||
, | ||
, | ||
. | ||
b) Az A ponti tengelyekre számított , és tehetetlenségi nyomatékok meghatározása: | ||
A Steiner tétel felhasználásával: | ||
, | ||
, | ||
. | ||
2. gyakorló feladat: Kör keresztmetszet másodrendű nyomatékai | ||
Adott: a keresztmetszet d átmérője. | ||
Feladat: | ||
Az S ponti tengelyekre szá-mított , és tehetetlenségi nyomatékok és az poláris másodrendű nyomaték meghatározása. | ||
Megoldás: | ||
A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: | ||
. | ||
A tengelyekre számított másodrendű nyomaték: | ||
. | ||
Szimmetria miatt , ezért . | ||
A tengelypárra számított másodrendű nyomaték: | ||
. | ||
3. gyakorló feladat: Körgyűrű keresztmetszet másodrendű nyomatékai | ||
Adott: a keresztmetszet D külső és d belső átmérője. | ||
Feladat: | ||
Az S ponti tengelyekre számított , és tehetetlenségi nyomatékok és az poláris másodrendű nyomaték meghatározása. | ||
Megoldás: | ||
A keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka: | ||
. | ||
A tengelyekre számított másodrendű nyomaték: | ||
. | ||
Szimmetria miatt , ezért . | ||
A tengelypárra számított másodrendű nyomaték: | ||
. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||||||
I. Válassza ki a keresztmetszet súlyponti tehetetlenségi tenzorának helyes alakját! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
II. Válassza ki a súlyponti tehetetlenségi tenzor alapján az S súlyponti tengelyre számított másodrendű nyomatékot meghatározó összefüggéseket! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a két helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
III. Válassza ki a súlyponti tehetetlenségi tenzor alapján az S súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékot meghatározó összefüggést! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
IV. Válassza ki a Steiner-tételből következő megállapítást! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
V. Válassza ki az S ponti és az azzal párhuzamos tengelyekre számított tehetetlenségi nyomatékok közötti helyes összefüggéseket! | |||||||||||||||||||||
Jelölje be a három (3) helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VI. Válassza ki a Mohr-féle tehetetlenségi kördiagramra vonatkozó tételt! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VII. Válassza ki a tehetetlenségi főirányok (főtengelyek) helyes értelmezését és tulajdonságát! Jelölje be a két összefüggő jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VIII. Határozza meg az ábrán bemutatott keresztmetszet másodrendű nyomatékait! | |||||||||||||||||||||
Adott:m, mm,mm. | |||||||||||||||||||||
1. Válassza ki az másodrendű tehetetlenségi nyomatékot meghatározó helyes összefüggést! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
2. Válassza ki az másodrendű tehetetlenségi nyomatékot meghatározó helyes összefüggést! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
3. Végezze el a szükséges számításokat, majd válassza ki az másodrendű tehetetlenségi nyomaték értékét! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
IX. Határozza meg az ábrán bemutatott keresztmetszet másodrendű nyomatékát! | |||||||||||||||||||||
Adott:mm. | |||||||||||||||||||||
1. Válassza ki az másodrendű tehetetlenségi nyomatékot meghatározó helyes összefüggést! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
2. Végezze el a szükséges számításokat, majd válassza ki az másodrendű tehetetlenségi nyomaték értékét! Jelölje be a jó megoldást!
![]() |