10. Nem egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételek
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása során kialakuló feszültségi állapotot jellemző feszültségi tenzort;
- megrajzolni a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása során kialakuló feszültségeloszlást bemutató ábrákat;
- kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása során a P pontban a főfeszültségeket és a redukált feszültségeket meghatározó összefüggéseket;
- kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása esetén meghatározni a veszélyes pontokat, a főfeszültségeket, a redukált feszültségeket és az alakváltozási állapotot;
- kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása esetén a P pontbeli feszültségi állapotot szemléltetni azelemi kockán és a Mohr-féle kördiagram segítségével;
|
- kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása során kialakuló feszültségi állapotot jellemző feszültségi tenzort;
- megrajzolni a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása során kialakuló feszültségeloszlást bemutató ábrát;
- kiválasztani a kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása során a főfeszültségeket és a redukált feszültségeket meghatározó összefüggéseket;
- kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása esetén meghatározni a veszélyes pontokat, a főfeszültségeket és a redukált feszültségeket;
- kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása esetén a P pontbeli feszültségi állapotot szemléltetni azelemi kockán és a Mohr-féle kördiagram segítségével;
|
- kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása során kialakuló feszültségi állapotot jellemző feszültségi tenzort;
- kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a közepes csúsztató feszültséget meghatározó összefüggést;
- kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a hajlításból származó normál feszültséget és a nyírásból származó csúsztató feszültséget meghatározó összefüggést;
- kiválasztani prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a téglalap és a kör keresztmetszetnél fellépő feszültségeket meghatározó összefüggéseket;
- prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén meghatározni a veszélyes pontokat és a feszültségkoordinátákat;
- prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén a megrajzolni feszültségeloszlást;
- prizmatikus rudak nyírása és hajlítása esetén meghatározni a redukált feszültséget;
|
- kiválasztani vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása esetén a normál feszültséget és a csúsztató feszültséget meghatározó összefüggést;
- kiválasztani vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása esetén a nyírási középpont értelmezését.
|
10.1. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak húzás-nyomása és csavarása |

|
Feszültségi állapot a P pontban: |
|
. |

|
Feszültség eloszlás a keresztmetszeten: |

|
A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban: |

|
A rúd tetszőleges P pontjában szemlélteti a feszültségi állapotot. |
Főfeszültségek a P pontban: |
, , . |
Redukált feszültségek a P pontban: |
. |
, . |
, |
. |
Általánosítás: minden olyan esetben érvényes, amikor a feszültség tenzorban csak egy és egy feszültség van, és ezek egy síkba esnek. |

|
Speciális eset! (Nem ez a redukált feszültség értelmezése!) |
. |
Huber-Mises-Hencky: , |
Mohr: . |
Méretezés húzás + csavarás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben): |
1. | Elhanyagoljuk a húzást. | 2. | Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak csavarásra. | 3. | Kiválasztunk egy szabványos geometriai méretet, amely nagyobb mint a szükséges geometriai méretek. | 4. | A kiválasztott szabványos méretű keresztmetszetet ellenőrizzük húzás + csavarás igénybevételre. | 5. | Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor ismét választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük az eljárást. |
|
| 1. gyakorló feladat: Húzás-nyomás és csavarás |
Adott: kN, kNm, mm, GPa, . |

|
Feladat: |
a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása. |
b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a rúd tetszőleges keresztmetszetén. |
c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése azelemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével. |
d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban. |
e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban. |
Kidolgozás: |
a) A keresztmetszet területének és poláris másodrendű nyomatékának a meghatározása: |
mm4, |
mm4. |
b) A feszültségeloszlás ábrázolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása a rúd tetszőleges keresztmetszetén: |

|
Veszélyes pontok: Húzásból veszélyes a keresztmetszet valamennyi pontja. . Csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai. . Együttesen húzásból és csavarásból veszélyesek a keresztmetszet paláston lévő pontjai. |
c) A P pontbeli feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése azelemi kocka valamint a Mohr-féle kördiagram segítségével: |
|
|

|
MPa. |

|
d) A főfeszültségek és a redukált feszültségek meghatározása a P pontban: A főfeszültségek: |
MPa, |
MPa, |
MPa. |
Redukált feszültség Coulomb szerint: . |
Redukált feszültség Mohr szerint: MPa, vagy MPa. |
Redukált feszültség Huber-Mises-Hencky szerint: |
MPa. |
e) Az alakváltozási állapot meghatározása a P pontban: |
MPa, |
, |
, |
, |
, |
. |
Az alakváltozási állapot szemléltetése: |

|
| 10.2. Kör- és körgyűrű keresztmetszetű rudak hajlítása és csavarása |

|
Feszültségi állapot a P pontban: |
|
, |

|
Feszültség eloszlás a keresztmetszeten: |

|
A Mohr-féle feszültségi kördiagram a P pontban: |

|
A rúd tetszőleges P pont-jában szemlélteti a feszültségi állapotot. |
Főfeszültségek a P pontban: |
, , . |
Veszélyes pontok:A, B. |
Feszültségek a veszélyes pontokban: |
, |
Kör és körgyűrű keresztmetszet esetén: |
Redukált feszültség a veszélyes pontokban: |
. |
, (HMH: , Mohr: .) |
, . |
Az redukált nyomaték hajlítás és csavarásnál olyan szerepet játszik, mint tiszta hajlításnál a hajlítónyomaték. |
. |
Hajlítás + csavarás esetén úgy méretezünk, hogy meghatározzuk a redukált nyomatékot, és azt úgy tekintjük, mint azt egyenes hajlítás esetében tettük. |
Gyakorlati példa hajlítás és csavarásra: gépkocsi hűtővíz keringető szivattyújának tengelye. |

|
A tengely igénybevételi ábrái: |

|
Egyszerűsítés: . |
Feltételezés: , , . |
Ha a nyírási igénybevételt elhanyagoljuk, akkor a tengely igénybevétele: hajlítás + csavarás |
Veszélyes keresztmetszet:A. |
| 2. gyakorló feladat: Csavarás és egyenes hajlítás |
Adott: Nm, mm, GPa. |

|
Feladat: a) Feszültségeloszlás megrajzolása az keresztmetszet z és y tengelye mentén. b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban. |
Kidolgozás: |
a) Feszültségeloszlás az keresztmetszet z és y tengelye mentén: |

|
, Nm. |
Veszélyes pontok: A és . |
b) A feszültségi tenzor koordinátáinak a meghatározása a B pontban: |
A feszültségi tenzor általánosan a pontban: |
. |
A keresztmetszeti jellemzők: |
mm3, mm3. |
A feszültségi tenzor koordinátái a pontban: |
MPa, |
MPa. |
| 10.3. Prizmatikus rudak nyírása és hajlítása |
Rúdszerkezeteknél általában a nyírás önmagában nem lép fel, csak hajlítással együtt. A nyírás és a hajlítás kapcsolata (A Mechanika - Statikában tanult egyensúly egyenlet): |
- az egyensúlyi egyenlet differenciális alakja, |
- az egyensúlyi egyenlet integrál alakja. |
Példa: kéttámaszú konzolos tartó. |

|
A nyírás és hajlítási feladat közelítő megoldása: a) A úgy számítható, mint hajlításnál (Ezt feltételezzük!). b) A egyensúlyi feltételből határozható meg. |
Feltételezések: a) A z és y a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei egyenes hajlítás. b) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a feszültségek az y tengelyen egy pontban metsződnek. c) A z tengellyel párhuzamos egyenes mentén a állandó . |
A keresztmetszeten ébredő feszültségek számítása: |
Normál feszültség (hajlításból): . |
Csúsztató feszültség (nyírásból):. |
Az összefüggésekben: |
- a nyíróerő, - a hajlító nyomaték, |
- a keresztmetszet z tengelyre számított tehetetlenségi nyomatéka, |
- a keresztmetszet sraffozott részének statikai nyomatéka a z tengelyre, |
- az egyenes metszetének hossza (jobboldali ábra). |
|
Az O pontot a keresztmetszet kontúrjának érintői határozzák meg. |
Közepes csúsztató feszültség:. |
Feszültségi tenzor a P pontban: |
. |
és a fenti képletekből, |
a irányából határozható meg. |
Speciális esetek (speciális keresztmetszetek): Csak a feszültséget vizsgáljuk. |
a) Téglalap keresztmetszet: |

|
|
, |
|
, |
. |
másodfokú parabola. |
b) Kör keresztmetszet: |

|
, |
. |
. |
parabola. |
irányából: |
. |
| 3. gyakorló feladat: Nyírás és hajlítás |

|
Adott: |
kN, kNm, |
mm, |
mm, mm. |
Feladat: a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása. b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség meghatározása az S, A és B pontokban. |
Kidolgozás: |
a) A feszültségeloszlások megrajzolása és a veszélyes pont(ok) meghatározása. |

|
, |
, |
|
|
|
Veszélyes pontok: Hajlításból az , nyírásból az pontok. A redukált feszültséget mindkét helyen ki kell számítani! |
b) Feszültségkoordináták és a Mohr-szerinti redukált feszültség meghatározása az S, A és B pontokban. |
kNm, |
kN. |

|
mm4; mm2, |
mm3. |
A feszültségek meghatározása: |
MPa, MPa, |
MPa. |
MPa, |
MPa, |
MPa. |
MPa, , |
MPa. |
4. gyakorló feladat: feladat: Nyírás és hajlítás |

|
Adott: , . |
Feladat: a) A feszültségeloszlások megrajzolása. b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában. |
Kidolgozás: |
a) A feszültségeloszlások megrajzolása: |

|
b) A feszültségállapot, valamint a Mohr szerinti redukált feszültség meghatározása a keresztmetszet A, B, C és S pontjában. |
Az másodrendű nyomaték: mm4. |
Feszültségek az A pontban: |
, MPa. |
, , , |
MPa. |
MPa. |
MPa. |

|
Feszültségek a B pontban: |
, MPa. |
|
MPa. |
MPa. |

|
MPa. |
Feszültségek a gerincen lévő C pontban: . |
MPa, |
MPa. |
| 10.4. Vékony szelvényű rudak nyírása és hajlítása |
Vékony szelvény: ha a keresztmetszet v vastagsági mérete sokkal kisebb, mint a keresztmetszet más méretei. |
Ilyenek például a szabványos idomacélok: az I, U, L stb. szelvények. |
Feltételezés: A z és y súlyponti tehetetlenségi főtengelyek. |

|
Hajlítás: . |
Nyírás: |
- Az s a középvonal mentén mért ívkoordináta.
- A feszültség a középvonal érintőjének irányában mutatnak: .
- A feszültségek elosz-lása a v vastagság mentén állandó.
|
A feszültség kiszámítása: . |
Nyírási középpont (CT): a keresztmetszeten fellépő nyírófeszültségek eredőjének támadáspontja. |
Tétel: A nyíró igénybevételből számított feszültségek csak akkor vannak egyensúlyban a külső (terhelő) erőrendszer eredőjével, ha a terhelés síkja átmegy a CT nyírási középponton. |
Tétel: Ha a terhelés eredője nem megy át a CT nyírási középponton, akkor a keresztmetszet csavarva is lesz. A csavaró nyomatékot a terhelés eredőjének a CT nyírási középpontra számított nyomatéka adja. |
A csavarás különösen nyitott vékonyfalú szelvények esetén veszélyes, mert ezeknek kicsi a csavarással szembeni ellenállásuk. |
Speciális esetek: |
- A keresztmetszetnek van szimmetria tengelye: CT rajta van a szimmetriatengelyen.
- A keresztmetszetnek két szimmetria tengelye van: CTS.
|
Példa: U szelvény nyírásból származó feszültsége. |
|
, és a feszültség eredői. |
Nyírási középpont: |
- A keresztmetszetnek az a pontja, amelyre a feszültségek nyomatáka nulla.
- A nyomaték akkor nulla, ha a terhelés eredője átmegy a ponton.
|
Az eredő erő: . |
Nyomaték a pontra: . |
Megjegyzés: |
a) | Ha a terhelés eredője átmegy a CT ponton, akkor a keresztmetszet igénybevétele: hajlítás és nyírás. | b) | Ha a terhelés eredője nem megy át a CT ponton, akkor a keresztmetszet igénybevétele: hajlítás, nyírás és csavarás. |
|
A csavarás elkerülése: A terhelő és a támasztó erők síkjának át kell mennie a CTponton. Ez sok esetben csak bonyolult szerkezeti megoldásokkal lehetséges. |