KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rudak egyszerű igénybevételei

4.3. Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a tiszta hajlítás fogalmát;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén a homogén igénybevétel, a Bernoulli (bernulli) hipotézis meghatározásait;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén az alakváltozási állapot jellemzőit;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén az egyszerű Hooke-törvényt;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén a nyúlások és szögtorzulások jellemzőit;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén az alakváltozási és a feszültségi tenzort;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén a normálfeszültség eloszlását;
  • kiválasztani a tehetetlenségi főtengely definícióit;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén a feszültség-igénybevétel kapcsolatát leíró összefüggést;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén az M hz , I z és y lehetséges előjelét;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén a zérusvonal, a maximális feszültség és a veszélyes pont definícióit;
  • kiválasztani a keresztmetszeti tényezőt meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén a fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energiát és az egész rúd alakváltozási energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani tiszta hajlítás esetén az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenletét, a rúd keresztmetszeteinek szögelfordulását és a lehajlást (a középvonal deformálódott alakja) meghatározó összefüggéseket.
Prizmatikus rudak tiszta, egyenes hajlítása

Tiszta hajlítás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag hajlító nyomaték.

Homogén igénybevétel: Az igénybevétel a rúd hossza mentén nem változik

Feltételezés: Az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye.

Kísérlet:

  • A rúd felületére négyzethálót rajzolunk.
  • Megfigyeljük (mérjük) az alakváltozást.

Az ábrán a rúd alakváltozás előtti helyzetét szaggatott vonal, az alakváltozott helyzetet folytonos vonal és a súlyponti szál alakváltozás utáni alakját pedig pontvonal jelöli.

Megfigyelés: (Bernoulli-hipotézis)

Tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei síkok és merőlegesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára.

a) Alakváltozási állapot:

  • A súlyponti szál (középvonal) terheletlen állapotban egyenes (egybeesik az x tengellyel), alakváltozás után pedig körív.
  • A középvonal hossza nem változik meg: l= l S = l S =R Φ l ,
    R - a középvonal görbületi sugara, Φ l a két szélső keresztmetszet egymással bezárt szöge az alakváltozott állapotban, ' az alakváltozás utáni állapotot jelöli.
  • A hosszirányú fajlagos nyúlást az y helyen lévő szál hosszváltozásából határozzuk meg:
    ε x = ε x (y)= l l l = ( R+y ) Φ l R Φ l R Φ l = y R =κyállandó .
    κ= 1 R - a középvonal görbülete.
  • Megfigyeljük a négyzetháló deformációját:

A nyúlások között ugyanaz a kapcsolat, mint húzás-nyomás esetén:
ε k = ε y = ε z =ν ε x , ν - a Poisson tényező.
Különbség: ε x = y R =κy= ε x (y) ,
ε y (y)= ε z (y)=ν ε x (y) .
Az alakváltozási állapot nem homogén (függ az y helykoordinátától).
  • Valamennyi szögtorzulás nulla: γ xy = γ yx =0 , γ xz = γ zx =0 , γ zy = γ yz =0 .
    Az alakváltozási tenzor: [ A ¯ ¯ (y) ]=[ ε x 0 0 0 ε y 0 0 0 ε z ] .

b) Feszültségi állapot:

Érvényes az egyszerű Hooke-törvény: σ x =E ε x .

[ F ¯ ¯ (y) ]=[ σ x 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

Az ábra az M hz >0 esetben az y>0 helyen szemlélteti a feszültségi állapotot.

σ x = σ x (y)=E ε x = E R y=κEyállandó .

A hajlított rúdban is egytengelyű feszültségi állapot alakul ki.

A feszültségi állapot itt azonban nem homogén.

Probléma: nem ismert a középvonal görbülete (az M hz igénybevétel viszont ismert).

Cél: A σ x feszültséget az M hz igénybevételből akarjuk kiszámítani.

c) A rúd igénybevételei:

A rúd igénybevételei a keresztmetszeten ébredő, felületen megoszló belső erőrendszerből számíthatók.

A keresztmetszeten ébredő belső erőrendszer sűrűsége: ρ x = σ x i = E R y i .

Az eredő erő: F S = (A) ρ x dA= (A) σ x i dA = i E R (A) ydA S z =0 = 0 .

S z a keresztmetszet súlyponti z tengelyére számított statikai nyomaték.

A keresztmetszet súlypontjára számított eredő nyomaték:

M S = (A) r × ρ x dA= (A) ( z k +y j )× σ x i dA= E R j (A) zydA I zy E R k (A) y 2 dA I z = M hz k .

A keresztmetszet másodrendű nyomatékai:

I z = (A) y 2 dA>0 - a keresztmetszet z tengelyre számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka,

I yz = (A) yzdA - a keresztmetszet yz tengelypárra számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka.

Ezeken kívül értelmezhető még:

I y = (A) z 2 dA>0 - a keresztmetszet y tengelyre számított másodrendű (tehetetlenségi) nyomatéka,

I p = (A) r 2 dA= (A) ( z 2 + y 2 ) dA>0 - a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka.

Mivel az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye, ezért I yz =0 .

Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és a z tengely a keresztmetszet S súlyponti tehetetlenségi főtengelyei.

Tétel: Minden szimmetria tengely egyben S ponti tehetetlenségi főtengely is. A szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely is tehetetlenségi főtengely.

Egyenes hajlítás: Ha az M S nyomatékvektor párhuzamos valamelyik S ponti tehetetlenségi főtengellyel. M S = M hz k - ez itt fennáll!

Ezt figyelembe véve, a keresztmetszeten ébredő feszültségek S pontra számított nyomatéka: M S = M hz k = E R I z k     E R = M hz I z .

Ezt az eredményt behelyettesítve a σ x = E R y összefüggésbe: feszültség-igénybevétel kapcsolat: σ x = M hz I z y .

Ez az összefüggés tiszta, egyenes hajlítás esetén érvényes.

d) Kiegészítés a feszültségi állapothoz:

  • Feszültségeloszlás:
    A σ x = M hz I z y összefüggésben M hz 0, M hz 0 , I z >0 , y0 és y0 lehet.
    Az ábrán az M hz >0 esethez tartozó feszültségeloszlás látható.

  • Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol σ x =0 .
    A zérusvonal egyenlete: y=0 . (Tiszta egyenes hajlításnál a zérusvonal a keresztmetszet S ponti z tengelye.)
  • Maximális feszültség, veszélyes pont:
    Maximális feszültség a keresztmetszetnek abban a pontjában ébred, amely legmesszebb van a zérusvonaltól.

σ x = M hz I z y σ max = | σ x | max .
σ max = | M hz | I z e max = | M hz | K z , e max =max( e 1 , e 2 ), itt e max = e 1 .
K z = I z e max   a keresztmetszet z tengelyre számított keresztmetszeti tényezője.
Veszélyes pont: a keresztmetszetnek az a pontja, ahol a σ max fellép.
Itt a veszélyes pont a keresztmetszet A pontja.

e) Méretezés és ellenőrzés:

  • Méretezés:
    Megkeressük a szerkezet veszélyes keresztmetszetét.
    Az a veszélyes keresztmetszet, ahol az | M hz | a legnagyobb.
    A méretezést ezen a keresztmetszeten végezzük el:
    σ max = | M hz | K z σ meg     K z ¯ K z szüks = | M hz | σ meg .
    K zszüks - szükséges keresztmetszeti tényező (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott hajlító igénybevétel esetén éppen ne menjen tönkre).
    A K z -ből a keresztmetszet jellemző mérete kiszámítható.
  • Ellenőrzés:
    Megkeressük a szerkezet veszélyes keresztmetszetét.
    Az a veszélyes keresztmetszet, ahol az | M hz | a legnagyobb.
    Az ellenőrzést ezen a keresztmetszeten végezzük el:
    σ max = | M hz | K z σ meg = σ jell n n - előírt biztonsági tényező.
    Ha ez a reláció teljesül, akkor a rúd szilárdságtani szempontból megfelel.

f) Alakváltozási energia:

A fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energia: u= 1 2 ε x σ x .

Az egész rúd alakváltozási energiája: U= (V) udV = 1 2 M hz 2 I z E l .

Ez az összefüggés akkor érvényes, ha M hz =állandó a rúd hossza mentén

g) Az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenlete:

κ= 1 R = M hz I z E - a rugalmas vonal (középvonal) görbülete.

v = y 1 R = M hz (x) I z E ,

d 2 v(x) d x 2 = d 2 y(x) d x 2 = M hz (x) I z E - közönséges másodrendű, lineáris, inhomogén differenciálegyenlet.

A differenciálegyenlet megoldása:

  • A rúd keresztmetszeteinek szögelfordulása:
    ψ z (x)= dv dx = M hz (x) I z E dx+ C 1 .
  • A lehajlás (a középvonal deformálódott alakja):
    v(x)= ( M hz (x) I z E dx)dx+ C 1 x+ C 2 .
    A C 1 , C 2 konstansok peremfeltételekből számíthatók.

h) Gyakorlati példa: vasúti kocsi tengelye.

A tengely két kerék közé eső része tisztán hajlított.

1. gyakorló feladat: Téglalap keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása

Adott:
M 0 =80 Nm, l=10 m,  a=10 mm, b=20 mm,
P(100;5;0) mm, E=2 10 5 MPa.

Feladat:

a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása.
b) Feszültségeloszlás megrajzolása a B jelű keresztmetszeten.

Kidolgozás:

a) A hajlító nyomatéki ábra megrajzolása:

b) Feszültségeloszlás megrajzolása a B jelű keresztmetszeten:

σ x = M hz I z y

2. gyakorló feladat: Kör keresztmetszetű rúd egyenes hajlítása

Adott:
F=5 kN, l 1 =2 m, l 2 =3 m, σ meg =200 MPa.

Feladat:

a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása.
b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén.

Kidolgozás:

a) A rúd igénybevételi ábráinak a megrajzolása:

Az AB rúdszakaszon tiszta hajlítás van.

Egyenes hajlítás, mert kör keresztmetszet esetén minden súlyponti tengely tehetetlenségi főtengely.

Kör és körgyűrű keresztmetszetű rudak csak egyenesen hajlíthatók

b) Feszültségeloszlás megrajzolása az AB rúdszakasz egy tetszőleges keresztmetszetén:

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki a tiszta hajlítás értelmezését!
Jelölje be a helyes megoldást!
Tiszta hajlítás:
a) a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag hajlító nyomaték
b) a rúd két keresztmetszetét hajlító nyomaték, a harmadikat húzás terheli
c) a rúd két keresztmetszetét hajlító nyomaték, a harmadikat nyomás terheli
d) a rúdnak csak az egyik keresztmetszetét terheli hajlító nyomaték
II. Válassza ki a homogén igénybevétel értelmezését tiszta hajlítás esetén!
Jelölje be a helyes megoldást!
Homogén igénybevétel:
a) az igénybevétel csak a rúd két végén változik
b) az igénybevétel a rúd hossza mentén nem változik
c) az igénybevétel a rúd keresztmetszete mentén nem változik
d) az igénybevétel a rúd két végén nem változik
III. Válassza ki a Bernoulli hipotézisét tiszta hajlítás esetén!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei síkok maradnak a rúd alakváltozott középvonalára
b) tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei merőlegesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára
c) tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei nem maradnak síkok és merőlegesek a rúd alakváltozott középvonalára
d) tiszta, homogén hajlítás esetén a rúd keresztmetszetei síkok és merőlegesek maradnak a rúd alakváltozott középvonalára
IV. Válassza ki az alakváltozási állapot jellemzőit tiszta hajlítás esetén!
Jelölje be a négy (4) helyes megoldást!
a) a súlyponti szál (középvonal) terheletlen állapotban egyenes, alakváltozás után pedig körív
b) a súlyponti szál (középvonal) terheletlen állapotban körív, alakváltozás után pedig egyenes
c) a súlyponti szál állapota az alakváltozás után nem határozható meg
d) a középvonal hossza nem állapítható meg
e) a középvonal hossza változik
f) a középvonal hossza nem változik meg
g) a nyúlások között nincs kapcsolat
h) a nyúlások közötti kapcsolatot a következő összefüggés írja le: ε k > ε y > ε z
i) a nyúlások közötti kapcsolatot a következő összefüggés írja le: ε k = ε y = ε z =ν ε x
j) csak az egyik szögtorzulás nulla
k) valamennyi szögtorzulás nulla
l) egyik szögtorzulás sem nulla
V. Válassza ki az egyszerű Hooke-törvényt!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) σ x = E ε x
b) σ x = ε x E
c) σ x =E ε x
d) σ x =E ε x ν
VI. Válassza ki a tiszta hajlítás hatására kialakuló feszültségi állapotot szemléltető tenzort!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) F ¯ ¯ (y)=[ 0 0 0 0 0 τ yz 0 τ yz σ z ]
b) F ¯ ¯ (y)=[ σ x τ yx 0 0 0 0 0 0 0 ]
c) F ¯ ¯ (y)=[ σ x 0 0 σ x 1 0 σ x 0 1 ]
d) F ¯ ¯ (y)=[ σ x 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
e) F ¯ ¯ (y)=[ σ x 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
VII. Válassza ki a tiszta hajlítás hatására kialakuló alakváltozási állapotot szemléltető tenzort!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) A ¯ ¯ (y)=[ ε x 1 1 0 ε y 1 0 0 ε z ]
b) A ¯ ¯ (y)=[ ε x 0 0 0 ε y 0 0 0 ε z ]
c) A ¯ ¯ (y)=[ ε x ε y ε z 0 1 0 0 0 1 ]
d) A ¯ ¯ (y)=[ ε x 0 1 0 1 0 1 0 0 ]
VIII. Válassza ki a tiszta hajlítás hatására kialakuló feszültségi állapot jellemzőit!
Jelölje be a két (2) helyes megoldást!
a) a hajlított rúdban egytengelyű feszültségi állapot alakul ki
b) a hajlított rúdban kéttengelyű feszültségi állapot alakul ki
c) a hajlított rúdban háromtengelyű feszültségi állapot alakul ki
d) a hajlított rúdban a feszültségi állapot nem határozható meg
e) a hajlított rúdban a feszültségi állapot homogén
f) a hajlított rúdban a feszültségi állapot nem homogén
IX. Válassza ki azt az ábrát, amely helyesen mutatja tiszta hajlítás esetén a feszültségi állapot eloszlását!
Jelölje be a helyes ábrát!
a)
b)
c)
d)
X. Válassza ki a tehetetlenségi főtengelyre érvényes állításokat!
Jelölje be a két (2) helyes megoldást!
a) minden szimmetria tengely egyben S ponti tehetetlenségi főtengely is
b) nem minden szimmetria tengely S ponti tehetetlenségi főtengely
c) nincs olyan szimmetria tengely, amely egyben S ponti tehetetlenségi főtengely is
d) nincs olyan S ponti tehetetlenségi főtengely, amely egyben szimmetria tengely is
e) a szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely soha sem tehetetlenségi főtengely
f) a szimmetria tengelyre merőleges S ponti tengely is tehetetlenségi főtengely
g) a szimmetria tengellyel párhuzamos tengely is tehetetlenségi főtengely
XI. Válassza ki a tiszta egyenes hajlítás esetén a feszültség-igénybevétel kapcsolatát leíró összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) σ x = M hz y I z
b) σ x = M hz y I z
c) σ x = M hz I z y
d) σ x = M hz y I z ν
XII. Válassza ki a tiszta egyenes hajlítás esetén a σ x = M hz I z y összefüggésben található változók lehetséges értékeit!
Jelölje be a két (2) HIBÁS megoldást!
a) M hz 0
b) M hz 0
c) M hz 0
d) I z =0
e) I z >0
f) I z <0
g) y0
h) y0
i) y0
XIII. Válassza ki a tiszta hajlítás esetén a zérusvonal meghatározását!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) σ x =0
b) σ x <0
c) σ x >0
d) tiszta hajlítás esetén nincs zérusvonal
XIV. Válassza ki a tiszta hajlítás esetén a maximális feszültség definícióját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) maximális feszültség a keresztmetszetnek abban a pontjában ébred, amely legközelebb van a zérusvonalhoz
b) maximális feszültség a keresztmetszetnek abban a pontjában ébred, amely legmesszebb van a zérusvonaltól
c) maximális feszültség mindig a keresztmetszetnek közepén ébred
d) a tiszta hajlítás esetén a maximális feszültségről nem beszélhetünk, mert mindenütt azonos nagyságú a feszültség

XV. Válassza ki a keresztmetszeti tényezőt meghatározó összefüggést!

Jelölje be a helyes megoldást!
a) K z = I z e max
b) K z = e max I z
c) K z = I z e max
d) K z = I z e max y
XVI. Válassza ki tiszta hajlítás esetén a fajlagos (térfogategységre eső) alakváltozási energiát meghatározó összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) u= ε x σ x
b) u=ν σ x
c) u= 1 2 ε x E
d) u= 1 2 ε x σ x
e) u= 1 2 ε x σ x
XVII. Válassza ki tiszta hajlítás esetén az egész rúd alakváltozási energiáját meghatározó összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) U= 1 2 M hz 2 I z E l
b) U= 1 2 M hz 2 I z l
c) U= 1 2 M hz 2 I z E
d) U= 1 2 M hz 2 I z El
e) U= 1 2 N 2 AE l
XVII. Válassza ki tiszta hajlítás esetén az S ponti szál (középvonal) differenciálegyenletét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) ν = M hz (x) I z E l
b) ν =+ M hz (x) I z E y
c) ν = M hz (x) I z E
d) ν =+ M hz (x) I z