KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása

12. Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a statikailag határozott és a statikailag határozatlan szerkezet értelmezését;
  • kiválasztani (síkbeli esetben) a Castigliano tétel "szöveges" alakját;
  • kiválasztani (síkbeli esetben) Castigliano tételét leíró összefüggéseket;
  • Castigliánó tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre.

Statikailag határozott szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma megegyezik a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak (a statikai ismeretlenek) számával és az egyenletrendszer az ismeretlenekre egyértelműen megoldható.

Statikailag határozatlan szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma kisebb, mint a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak száma, vagy az egyenletrendszerből az ismeretlenek nem határozhatók meg egyértelműen.

(Általában az szokott előfordulni, hogy a statikai ismeretlenek száma nagyobb mint a statikai egyenletek száma.)

Példa statikailag határozatlan szerkezetre:

Statikai ismeretlen:
F Ax , F Ay , M Az , F Bx , F By , M Bz ,
F 12x , F 12y , vagy F 21x , F 21y .
Az ismeretlenek száma: 8 db.
A statikai egyenletek száma: 23=6 db.

A szerkezet statikailag kétszeresen határozatlan.

12.1. A Castigliano tétel

A tartó terhelése: F i , M i (i=1,2,,n) .

A tartó támasztóerői: F A , F B

A támasztóerők és az alakváltozási energia is a terhelés függvényei:
F A = F A ( F i , M i ), F B = F B ( F i , M i ),U=U( F i , M i ) .

Síkbeli terhelés esetén: U=U( F ix , F iy , M iz )

A Castigliano tétel (síkbeli esetben):

u i = U F ix v i = U F iy φ i = U M iz .

Az 1. és 2. összefüggés: A szerkezetet terhelő F i erő támadáspontjának az F i erő irányba eső elmozdulása egyenlő a szerkezet alakváltozási energiájának az F i erő szerint vett deriváltjával.

A 3. összefüggés: A szerkezetet terhelő M iz nyomaték támadáspontjában levő keresztmetszet φ i szögelfordulása egyenlő az alakváltozási energiának a φ i szögelfordulással megegyező irányú M iz nyomaték szerint vett deriváltjával.

12.2. A Castigliánó tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre

Feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszerének és igénybevételeinek meghatározása.
A feladat megoldásának gondolatmenetét egy páldán mutatjuk be:

a) A tartó statikailag határozottá tétele:

Bejelöljük a támasztó erőrendszer négy skaláris koordinátáját.
A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan.
Módosítjuk a megtámasztást    statikailag határozott tartó (törzstartó).
A szerkezet többféle módon (többféle változatban) tehető statikailag határozottá:

VáltozatTörzstartóMódosított terhelés
1. Fés F By
2. Fés M Az
3. Fés F Ay

A statikailag határozottá tett tartóra továbbra is hat a megfelelő támasztóerő koordináta ezt a koordinátát a terheléshez soroljuk.

A statikailag határozottá tett szerkezet (törzstartó) igénybevételei két részből állnak: az eredeti terhelésből származó részből és az ismeretlen támasztóerő koordinátából származó részből.

A tartó hajlító igénybevételének M hz összefüggése attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag határozottá:

1. változat esetén: M hz = M h0 + F By m 1 .
2. változat esetén: M hz = M h0 + M Az m 2 .
3. változat esetén: M hz = M h0 + F Ay m 3

b) Olyan kinematikai korlátozásnak az előírása, ami az elhagyott kényszert helyettesíti:

A kinematikai korlátozás attól függ, hogyan tesszük a tartót  statikailag határozottá:

1. változat esetén: ν B =0 .
2. változat esetén: φ A =0 .
3. változat esetén: ν A =0 .

c) A Castigliano tétel alkalmazása:

  • A Castigliano tétel alkalmazása az 1. változat esetén:
    ν B =0= U F By = F By (l) ( M h0 + F By m 1 ) 2 2 I z E dx .
    ν B = 1 I z E (l) ( M h0 + F By m 1 ) m 1 dx = 1 I z E [ (l) M h0 m 1 dx+ F By (l) m 1 2 dx ]=0 .
    F By = (l) M h0 m 1 dx (l) m 1 2 dx .
    Az F By ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható.
  • A Castigliano tétel alkalmazása a 2. változat esetén:
    φ A =0= U M Az = M Az [ (l) ( M h0 + M Az m 2 ) 2 2 I z E dx ] .
    φ A = 1 I z E (l) ( M h0 + M Az m 2 ) m 2 dx = 1 I z E [ (l) M h0 m 2 dx+ M Az (l) m 2 2 dx ]=0
    M Az = (l) M h0 m 2 dx (l) m 2 2 dx .
    Az M Az ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható.

A Castigliano tétel alkalmazása a 3. változat esetén is a fentiekkel analóg módon történik.

12.3. Gyakorló feladatok statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározására
1. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere

Adott:q, l, Iz, E.
A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Feladat:
A támasztó erőrendszer meg-határozása.
A statikai ismeretlenek száma: 4.
A statikai egyenletek száma: 3.
A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan.

A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete:

A hajlító igénybevétel: M hz = M h0 + F By m B .

Az alakváltozási energia: U= 1 2 (l) ( M h0 + F By m B ) 2 I z E dx .

  • A kinematikai korlátozás:
    ν B =0= U F By = F By { (l) ( M h0 + F By m B ) 2 2 I z E dx } ,
    0= 1 I z E { (l) M h0 m B dx+ F By (l) m B 2 dx } .
  • Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten:
Az eredeti terhelés igénybevételi ábrái a törzstartónAz egységnyi F By -hez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón
  • Az integrálok kiszámítása:
    M h0 m B dx= l 6 [ q l 2 2 ( l )+4 q l 2 8 ( l 2 )+0 ]= 1 8 q l 4 ,
    m B 2 dx= l 6 [ l 2 +4 ( l 2 ) 2 +0 ]= l 3 3 .
  • Az F By támasztóerő koordináta kiszámítása:
    F By = M h0 m B dx m B 2 dx = q l 4 /8 l 3 /3 = 3ql 8 .
  • A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:
    F y =0= F Ay ql+ 3 8 ql F Ay = 5 8 ql ,
    M a =0= M Az q l 2 2 + 3 8 q l 2 M Az = q l 2 8 .
2. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái

Adott:F, a, Iz, E.
A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Feladat: A támasztó erőrendszer megha-tározása és az igénybevételi ábrák megrajzolása.

1. lehetséges megoldás:

  • Statikailag határozottá tétel (a görgős támasz elhagyásával) és az igénybevétel meghatározása a statikailag határozott szerkezeten:
Az eredeti terhelés nyomatéki ábrája a törzstartónAz egységnyi F By -hoz tartozó nyomatéki ábra a törzstartón
  • Kinematikai korlátozás: v B =0 F By = (2a) M h0 m 1 dx (2a) m 1 2 dx .
  • Az integrálok kiszámítása:
    (2a) M h0 m 1 dx= a 6 [ Fa( 2a )+4 Fa 2 ( 3 2 a )+0 ]= a 6 ( 2F a 2 3F a 2 )=
    = 5 6 F a 3 ,
    (2a) m 1 2 dx= 2a 6 [ 4 a 2 +4 a 2 +0 ] = 8 3 a 3 .
  • Az F By kiszámítása:
    F By = (2a) M h0 m 1 dx (2a) m 1 2 dx = 5 6 F a 3 8 3 a 3 = 15 48 F= 5 16 F .
  • A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:

F y =0 F Ay = 11 16 F .
M a =0= M Az aF+2a 5 16 F ,
M Az =aF 5 8 aF= 3 8 aF .
  • Az igénybevételi ábrák megrajzolása:

2. lehetséges megoldás:

A tartót másképpen tesszük statiakilag határozottá.

  • Statikailag határozottá tétel (a befalazás csuklóval történő helyettesítésével) és az igénybevétel meghatározása a statikailag határozott szerkezeten:
Az eredeti terhelés nyomatéki ábrája a törzstartónAz egységnyi M Az -hez tartozó nyomatéki ábra a törzstartón
  • Kinematikai korlátozás: φ A =0 M A z = (2a) M h0 m 2 dx (2a) m 2 2 dx .
  • Az integrálok kiszámítása:
    (2a) M h0 m 2 dx= a 6 [ 0+ 4 ( Fa 4 ) 3 4 +( Fa 2 ) 1 2 ]+
    + a 6 [ Fa 2 1 2 +4( Fa 4 ) 1 4 ]=
    = F a 2 6 ( 3 4 1 4 )+ F a 2 6 ( 2 4 )= F a 2 4 ,
    (2a) m 2 2 dx= 2a 6 [ 1+4 ( 1 2 ) 2 +0 ]= 4a 6 = 2 3 a .
  • Az M Az kiszámítása:
    M A z = (2a) M h0 m 2 dx (2a) m 2 2 dx = F a 2 4 2 3 a = 3Fa 8 .

Az M Az -re ugyanazt a megoldást kaptuk, mint az előző esetben.

A többi támasztóerő koordináta kiszámítása statikai egyensúlyi egyenletekből legyen önnállóan elvégzendő feladat.

3. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere

Adott:F, a, Iz, A, E.
A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható.

Feladat: A berajzolt támasztó erőkoordináták meghatározása.
A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3.
A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan.

  • A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete:

Az igénybevételek:
N= N 0 + F Bx n 1 ,
M hz = M h0 + F Bx m 1 .
Az alakváltozási energia: U= 1 2 (l) ( M h0 + F Bx m 1 ) 2 I z E ds+ 1 2 (l) ( N 0 + F Bx n 1 ) 2 AE ds .
  • A kinematikai korlátozás: u B = U F Bx = (l) ( M h0 + F Bx m 1 ) m 1 I z E ds+ (l) ( N 0 + F Bx n 1 ) n 1 AE ds=0 .
  • Az F Bx támasztóerő koordináta meghatározása: F Bx = 1 I z E (l) M h0 m 1 ds+ 1 AE (l) N 0 n 1 ds 1 I z E (l) m 1 2 ds+ 1 AE (l) n 1 2 ds .
  • Az integrálok kiszámítása:
    (3a) M h0 m 1 ds=0, (3a) m 1 2 ds=0 , (3a) N 0 n 1 dx =Fa1 , (3a) n 1 2 dx=12a .
  • Az F Bx támasztóerő koordináta kiszámítása: F Bx = (3a) N 0 n 1 dx (3a) n 1 2 dx = F 2 .
  • Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten:
Az eredeti terhelés igénybevételi ábrái a törzstartónAz egységnyi F Bx -hez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón
  • A támasztóerő-rendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:

F x =0=F F 2 + F Ax F Ax = F 2
M a =0=aF+2a F By F By = F 2
M b =0=aF2a F Ay F Ay = F 2
4. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái

Adott:
l=2 m, F=32 kN,
I z =50000 mm4,
E=2,1 10 5 MPa.

A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk.

Feladat:
a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása.
b) A támasztóerők meghatározása.
c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megrajzolása.
d) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása.

Kidolgozás:

a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása:

Az ismeretlen támasztóerő koordináták száma: 4.
Statikai egyenletek száma: 3.
A tartó statikailag egyszeresen határozatlan.

b) A támasztóerők meghatározása:

  • Statikailag határozottá tétel:
    A tartót háromféleképpen lehet határozottá tenni:
 1.Elhagyjuk az A pontban az y irányú támasztást.
 2.Elhagyjuk a B pontban az y irányú támasztást.
 3.Elhagyjuk a C pontban az y irányú támasztást.
Ha a harmadik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei:
T y = T 0 + F Cy t C M hz = M h0 + F Cy m C .
  • A statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái:
Az eredeti terheléshez tartozó támasztóerő-rendszer meghatározása:Az F Cy terheléshez tartozó támasztóerő-rendszer meghatározása:
M a =0=2l F By 3lF ,
F By =1,5F .
M b =0=2l F Ay lF ,
F Ay =0,5F ,
F x =0= F Ax .
M a =0=2l F By +4l F Cy ,
F By =2 F Cy .
M b =0=2l F Ay +2l F Cy ,
F Ay = F Cy
F x =0= F Ax
Az eredeti terheléshez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón:Az egységnyi F Cy terheléshez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón:
  • Kinematikai előírás: a C pont y irányú elmozdulása zérus:
    Castigliano tétel: v C = U F Cy =0 . U= (4l) M hz 2 2 I z E dx ,
    M hz = M h0 + F Cy m C   U= (4l) ( M h0 + F Cy m C ) 2 2 I z E dx .
    v C = U F Cy =0= 1 I z E (4l) ( M h0 + F Cy m C ) m C dx .
    0= 1 I z E ( (4l) M h0 m C dx+ F Cy (4l) m C 2 dx ) F C y = (4l) M h0 m C dx (4l) m C 2 dx
    Az integrálok kiszámítása:
    (4l) M h0 m C dx= 2l 6 [ 0+4( Fl 2 )( l )+( Fl )( 2l ) ]+
    + l 6 [ ( Fl )( 2l )+4( Fl 2 )( 3 2 l )+0 ]= 13F l 3 6 ,
    (4l) m C 2 dx= 2l 6 [ 0+4 ( l ) 2 + ( 2l ) 2 ]+
    + 2l 6 [ ( 2l ) 2 +4 ( l ) 2 +0 ]= 32 l 3 6 .
    F C y = 13F l 3 6 32 l 3 6 = 13 32 F=13 kN.
    Az F C y pozitív, tehát a felvett F C y irányába, vagyis felfelé mutat.
  • A hiányzó támasztóerő koordináták meghatározása statikai egyensúlyi egyenletekből:
    F x =0= F Ax ,
    M a =0=2l F By 3lF+4l F Cy F By =22kN .
    M b =0=2l F Ay lF+2l F Cy F Ay =3kN .

c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megrajzolása:

d) A veszélyes keresztmetszet meghatározása:

Veszélyes keresztmetszet: D .

A D igénybevételei: T y =19 kN , M hz =26 kNm .

Az igénybevételek szemléltetése: