A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:
kiválasztani az általános Hooke-törvény érvényességi feltételeit;
kiválasztani az izotróp anyag, anizotróp anyag, lineárisan rugalmas anyag értelmezését;
kiválasztani az anyag szakító diagramjának azt a szakaszát, amelyre a Hook-törvény érvényes;
kiválasztani az általános Hooke-törvényt leíró összefüggéseket és skaláris egyenleteket;
kiválasztani az általános Hooke-törvényt leíró összefüggések változóinak a megnevezését, tartalmát;
adatok alapján meghatározni a P pont alakváltozási állapotát;
a P pont alakváltozási állapotát szemléltetni az elemi triéderen.
Az általános Hooke-törvény
Az általános Hooke-törvény az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye. A Hooke-törvény tenzor egyenlet. Az anyagtörvény olyan összefüggés, amely a feszültségi és az alakváltozási állapot között áll fenn.
Izotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függetlenek. Pl.: fémek, kerámiák, üvegek stb.
Anizotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függőek. Pl.: fa, szálerősített műanyag stb.
Lineárisan rugalmas egy anyag, ha a belső erők (feszültségek) és az alakváltozási jellemzők között lineáris függvénykapcsolat áll fenn.
Az anyagi viselkedés jellege szakító diagrammal szemléltethető:
Alakítható anyag szakítódiagramjának jellege:
Rideg anyag szakítódiagramjának jellege:
Pl.: lágyacél, alumínium, réz stb.
Pl.: szerszámacél, öntöttvas, üveg, kerámia stb.
A Hooke-törvény a szakító diagram lineáris (egyenes) szakaszán írja le az anyag viselkedését.
a) Az általános Hooke-törvény egyik alakja:
, ahol
a G csúsztató rugalmassági modulus és a Poisson tényező anyagjellemzők, az egység tenzor,
, a feszültségi tenzor első skalár invariánsa (a tenzor főátlójában álló elemek összege).
Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben).
Skaláris egyenletek:
, ,
, ,
, .
b) Az általános Hooke-törvény másik alakja:
, ahol
a G csúsztató rugalmassági modulus és a Poisson tényező anyagjellemzők, az egység tenzor,
az alakváltozási tenzor első skaláris invariánsa
Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben).
Skaláris egyenletek:
, ,
, ,
, .
c) A korábban megismert speciális alakok és az általános Hooke-törvény közötti kapcsolat:
Egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás, hajlítás): , , . Az egyszerű Hooke-törvény: . Az általános Hooke-törvényből:
A két eredményt összevetve összefüggést kapunk az E és a G rugalmassági modulusok, illetve a Poisson-tényező között: .
Csavarás: ezt az általános Hooke-törvényből közvetlenül megkapjuk, ha a tenzorokat az koordináta rendszerben írjuk fel.
1. gyakorló feladat: Pont feszültségi állapota, általános Hooke-törvény
Adott: MPa, , GPa.
Feladat: A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen.
Kidolgozás:
A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen:
A Hooke-törvény: ,
MPa,
MPa.
,
,
,
Önellenőrző kérdések
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!
I. Válassza ki az általános Hooke-törvény értelmezését! Jelölje be a helyes megoldást! Az általános Hooke-törvény:
a) az anizotróp, négyzetesen rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
b) az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
c) az izotróp, exponenciálisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
d) az anizotróp, nem rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
e) az anizotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény vektor egyenlet
f) az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény vektor egyenlet
II. Csoportosítsa a következő fogalmakat jelentésükkel és a példákkal! Írja a fogalmakat jelölő kisbetűket a megfelelő sorokba! i) izotróp anyag a) anizotróp anyag
Betűk (i, a)
Jelentés, példa
az anyag, ha tulajdonságai iránytól függetlenek
pl.: kerámia
az anyag, ha tulajdonságai iránytól függőek
pl.: fém
pl.: szálerősítésű műanyag
pl.: üveg
pl.: fa
III. Válassza ki az anyag szakító diagramjának azt a szakaszát, amelyre a Hook törvény érvényes! Írja be a megfelelő egész számot!
A keresett szakasz jele:
IV. Válassza ki az általános Hooke-törvényt leíró összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást!
a)
b)
c)
d)
e)
V. Válassza ki a feszültségi tenzor első skalár invariánsának az értelmezését! Jelölje be a helyes megoldást!
a) a tenzor főátlójában álló elemek összege
b) a tenzor főátlójában álló első két elem összege
c) a tenzor főátlójában álló elemek szorzata
d) a tenzor főátlója alatt álló elemek összege
e) a tenzor összes elemének az összege
f) a tenzor összes elemének a szorzata
VI. Válassza ki az általános Hooke-törvényt leíró összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást!
a)
b)
c)
d)
e)
VII. Válassza ki az általános Hooke-törvény -re vonatkozó helyes skaláris egyenletét! Jelölje be a helyes megoldást!
a)
b)
c)
d)
VIII. Válassza ki az általános Hooke-törvény -re vonatkozó helyes skaláris egyenletét! Jelölje be a helyes megoldást!