KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Karcsú, nyomott rudak kihajlása

6. Karcsú, nyomott rudak kihajlása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a karcsú rúd, zömök rúd, centrikus nyomás, stabilitásvesztés értelmezését;
  • kiválasztani a kritikus erő értelmezését;
  • kiválasztani a karcsú, nyomott rudak igénybevételeit és az ezeket leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a kihajlás Euler-féle differenciál egyenletét;
  • kiválasztani karcsú, nyomott rudak esetén az F krit -t, a σ krit -t, a minimális inercia sugarat (imin), a karcsúsági tényezőt ( λ) meghatározó összefüggéseket;
  • kiválasztani karcsú, nyomott rudaknál a σ krit R A és a σ krit R A esetekben a kritikus feszültséget meghatározó összefüggéseket;
  • kiválasztani a kihajlási határgörbe ábráját;
  • kiválasztani különféle megtámasztások esetén a kihajlási félhullámhosszt meghatározó összefüggést;
  • adatok alapján elvégezni karcsú, nyomott rudak szilárdságtani ellenőrzését, méretezését.
Karcsú, nyomott rudak kihajlása

Karcsú rúd: a rúd hossza sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei.

Zömök rúd: a rúd hossza nem sokkal nagyobb, mint a keresztmetszet méretei.

A rúd karcsúságát a karcsúsági tényezővel fogjuk jellemezni.
Karcsú rudak nyomásánál kihajlási jelenség léphet fel.
A nyomásról a 4.1. pontban tanultak csak zömök rúdra érvényesek további kiegészítések nélkül.

Centrikus nyomás: az F nyomóerő a rúd keresztmetszetének S súlypontjában támad.

Tapasztalat: Az F erőt növelve, egy küszöb fölött a rúd meggörbül, hirtelen nagy elmozdulások lépnek fel (a rúd kihajlik), amelyek a rúd tönkremenetelét okozhatják.

Stabilitásvesztés: A rudat az egyenes helyzetből kis hatással kimozdítva, a rúd nem tér vissza az egyenes alakhoz.

Kérdés: az F erő mekkora értékénél következik be a stabilitásvesztés?

F krit - kritikus erő: az az erő, amelynél a stabilitásvesztés bekövetkezik.

Az alábbiakban egy közelítő megoldást adunk a kihajlás leírására:

a) A kritikus erő meghatározása:

Kiindulás: a rúd középvonala terheletlen állapotban egyenes.

Gondolatmenet:

  • Feltételezzük, hogy terhelt állapotban a rúd középvonala meggörbül. (Görbült alak csak akkor alakulhat ki, ha a terhelés elérte az F krit értéket.)
  • Keressük a görbe alak kialakulásának feltételét.

y(x) - a rúd középvonalának elmozdulása a meggörbült helyzetben.

A rúd igénybevételei a meggörbült helyzetben:

  • Nyomás: N(x)=F , ahol F F krit .
  • Hajlítás: M hz (x)=y(x)F , ahol F F krit .

A rugalmas vonal (S ponti szál) Euler-féle differenciál egyenlete:

y = d 2 y(x) d x 2 = M hz (x) E I z = F E I z y(x) .

Az egyenletet egy oldalra rendezve: y (x)+ F E I z y(x)=0 .

Ez az egyenlet másodrendű, közönséges, lineáris, állandó együtthatójú, hiányos, homogén differenciál egyenlet.

Jelölés: α 2 = F E I z .

A kihajlás Euler-féle differenciál egyenlete: y (x)+ α 2 y(x)=0 .

Keressük az y(x)0 megoldást. (Keressük a görbült alak y(x) egyenletét.)

Megoldás: y(x)= A 0 cosαx+ B 0 sinαx .

Peremfeltételek:

x=0   y(x=0)=0= A 0 1+0 A 0 =0 .

x= l 0   y(x= l 0 )=0= B 0 sinα l 0 .

A B 0 sinα l 0 szorzat vagy akkor zérus, ha B 0 =0 , vagy akkor, ha sinα l 0 =0 .
A B 0 =0 az egyenes alakot jelenti, amitől különböző megoldást keresünk.
Ha sinα l 0 =0 , akkor B 0 =tetszőleges0 érték lehet! (E közelítésben akármekkora nagy érték is lehet!)

A megoldás a peremfeltételek figyelembevétele után:

y(x)= B 0 sinαx - A görbült alak színusz félhullám, amelynek amplitudója határozatlan, mert B 0 tetszőleges.

Probléma:
A B 0 konstans tetszőlegesen nagy is lehet.
   
Nagy elmozdulások lépnek fel.
   
A rúd tönkremegy (eltörik).

Mi a feltétele a B 0 0 esetnek?

sinα l 0 =0,α l 0 =kπ, (k=1,2,,n).

α 2 l 0 2 = k 2 π 2 , F krit E I z l 0 2 = k 2 π 2 .

F krit = k 2 π 2 E I z l 0 2 ,(k=1,2,,n) .

Ezek közül az erők közül a legkisebb a k=1, és I z = I min = I 2 esethez tartozik. Már ez a legkisebb erő is problémát okozhat:

F krit = F krit min = π 2 E I min l 0 2 .

Tapasztalat és az F krit -ra kapott összefüggésből is ez következik: A rúd arra a keresztmetszeti tehetetlenségi főirányra merőleges síkban hajlik ki, amelyre számított tehetetlenségi nyomaték a legkisebb:

F krit = F krit min = π 2 E I min l 0 2 = π 2 E I 2 l 0 2 .

A feladat megoldását a végein csuklósan megtámasztott rúdra állítottuk elő. A megoldás más megtámasztás esetén is a fenti gondolatmenettel határozható meg.

b) A kihajlási határgörbe:

A kritikus erő (a rúd megtámasztási módja mellett) függ a rúd l 0 hosszától és a keresztmetszetnek a hajlítással szembeni legkisebb ellenállására jellemző I min = I 2 másodrendű nyomatéktól. Ennek a rúd geometriáját jellemző két mennyiségnek a függvényében akarjuk meghatározni a rúd tönkremenetele szempontjából kritikus feszültséget.

Átalakítás:

σ krit = F krit A = π 2 I min A E l 0 2 = π 2 i min 2 E l 0 2 ,

ahol i min = I min A a minimális inercia sugár.

Karcsúsági tényező: λ= l 0 i min = l 0 A I min .

A σ krit R A esetben az Euler-féle hiperbola adja a kritikus feszültséget:

Euler-féle hiperbola: σ krit = σ krit (λ)= π 2 E λ 2 .

λ A - az σ krit = R A -hoz tartozó karcsúsági tényező, vagyis λ A =π E R A .

Euler összefüggés rugalmas kihajlásra ( σ krit R A ), vagyis λ λ A értékekre érvényes.

A σ krit R A , vagyis λ λ A esetben a Tetmajer-féle egyenes adja meg a kritikus feszültséget:

Tetmajer-féle egyenes: σ krit = σ krit (λ)= R p0,2 R A λ A λ+ R p0,2

Ez az összefüggés képlékeny kihajlásra érvényes.

Az Euler-féle hiperbolát és a Tetmajer-féle egyenest diagramban ábrázolva kapjuk a rúd σ krit (λ) kihajlási határgörbéjét.

Kihajlási határgörbe:

c) Nyomott karcsú rudak méretezése, ellenőrzése:

Nyomott rudaknál a méretezést, ellenőrzést nemcsak feszültségcsúcsra, hanem kihajlásra is el kell végezni.

Nyomott rudak esetén legtöbbször a kihajlás jelenti a nagyobb veszélyt.

  • Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra (lásd 4.1. és 4.2. pontok):
    σ x = F A σ meg = σ jell n .
  • Ellenőrzés kihajlásra:
    Először meg kell határozni a rúd karcsúsági tényezőjét: λ= l 0 i min .
    Ezután meg kell határozni az Euler-hiperbola és a Tetmajer-egyenes érvényességi tartományát elválasztó λ A értéket:
    R A = π 2 E λ A 2 λ A =π E R A .
    Ha λ λ A , akkor a σ krit értéket az Euler-féle összefüggésből számítjuk: σ krit = π 2 E λ 2 .
    Ha λ< λ A , akkor a σ krit értéket a Tetmajer-féle összefüggésből számítjuk: σ krit = R p0,2 R A λ A λ+ R p0,2 .

Méretezés, ellenőrzés kihajlásra: σ x = F A σ meg = σ krit n

d) Általánosítás más megtámasztások esetére:

A karcsúsági tényező: λ= l 0 i min .

Általánosítás: l 0 nem a rúd hossza, hanem a kihajlási félhullámhossz.
A kihajlási félhullámhossz meghatározása: l 0 =βl .
l - a rúd tényleges hossza.

A leggyakrabban előforduló megtámasztási módok:

Gyakorlati példák kihajlásveszélyre:

  • Rácsos tartószerkezetek nyomott rúdjai.
  • Robbanó motor szelepvezérlése - szelepemelő rúd.
A szelepvezérlés vázlataA szelepemelő rúd mechanikai modellje

l 0 0,7l
1. gyakorló feladat: Csuklós/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott:
l=1,1 m, F=9 kN, E=2,1 10 5 MPa, d=10 mm, a=20 mm,
R p0,2 =280 MPa, R A =240 MPa, n kr =2 .

Feladat:
a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével.
b) A rúd ellenőrzése kihajlásra.

Kidolgozás:

a) A kihajlási határgörbe megrajzolása a jellemző metszékek feltüntetésével:

Ha λ> λ A , akkor: σ krit = π 2 E λ 2 .

Ha λ< λ A , akkor:

σ krit = R p0,2 R A λ A λ+ R p0,2 .

b) A rúd ellenőrzése kihajlásra:

R A = π 2 E λ A 2 λ A =π E R A =π 2,1 10 5 240 =92,93 .

A=( a 2 d 2 π 4 )=( 20 2 10 2 π 4 )=321,46 mm2.

I min = I z = I y =( a 4 12 d 4 π 64 )=( 20 4 12 10 4 π 64 )=12842 mm4.

i min = i z = i y = I min A = 12842 321,46 =6,32 mm.

β=1, l 0 =βl=11100=1100 mm, λ= l 0 i min = 1100 6,32 =174 .

λ λ A   (174>92,93)     A σ kr meghatározására az Euler összefüggést kell alkalmazni.

A tényleges feszültség: σ x = F A = 9000 321,46 =28 MPa.

A kritikus feszültség: σ kr = π 2 E λ 2 = π 2 2,1 10 5 174 2 =68,46 MPa.

A rúd megfelel, ha σ x σ kr n kr .

Itt σ x < σ kr n kr teljesül (28< 68,46 2 =34,23) , tehát a rúd kihajlásra megfelel!

2. gyakorló feladat: Befalazott/görgős megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott:
l=300 mm,  E=200 GPa,  v=1,5 mm,  b=30 mm,
R p0,2 =400 MPa,  R A =300 MPa.

Feladat:
a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása.
b) A kritikus erő meghatározása.

Kidolgozás:

a) A rúd keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása:

A=bv=301,5=45 mm2, I z = b v 3 12 = 30 1,5 3 12 =8,44 mm 4 , I y = v b 3 12 = 1,5 30 3 12 =3375 mm 4 .

Az y és z tengelyek tehetetlenségi főtengelyek I y = I 1 , I z = I 2 ,

I min =min( I z ; I y )=8,44 mm4 i min = I min A = 8,44 45 =0,433 mm.

b) A kritikus erő meghatározása:

R A = π 2 E λ A 2 λ A =π E R A =π 2,0 10 5 300 =81,1 .

β=0,7; l 0 =βl=0,7300=210 mm, λ= l 0 i min = 210 0,433 =484,99 .

λ> λ A   ( 484,99>81,1 )

A σ kr meghatározására az Euler összefüggést kell alkalmazni.

σ kr = π 2 E λ 2 = π 2 2,0 10 5 484,99 2 =8,39 MPa,

F kr =A σ kr =458,39=377,55 N.

3. gyakorló feladat: Görgős/befalazott megtámasztású karcsú nyomott rúd kihajlása

Adott: A rúd keresztmetszete kétféle lehet: cső, vagy négyzet.
F=55 kN,  E=200 GPa,  R p0,2 =300 MPa,  R A =200 MPa,

n kr =2 d k =2 R k =60 mm,  v=3 mm,  a=40 mm.

Feladat:
a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét ke-resztmetszetre.
b) Ellenőrzés kihajlásra mindkét keresztmetszetre.

Kidolgozás:

a) A keresztmetszeti jellemzők meghatározása mindkét keresztmet-szetre:

Cső keresztmetszet: A=2 R k πv=230π3=565,5 mm2,

I x = (A) y 2 dA= φ=0 2π ( R k sinφ) 2 v R k dφ=v R k 3 [ φ 2 sin2φ 4 ] φ=0 2π =v R k 3 π

i min = I x A = v R k 3 π 2 R k πv = R k 2 = 30 2 =21,21 mm,

λ= βl i min = 0,72000 21,21 =66 .

Négyzet keresztmetszet:  A= a 2 = 40 2 =1600 mm2 I x = a 4 12 ,

i min = I x A = a 4 /12 a 2 = a 12 = 40 12 =11,55 mm,

λ= βl i min = 0,72000 11,55 =121,21 .

b) Ellenőrzés kihajlásra:

R A = π 2 E λ A 2 λ A =π E R A =π 2,0 10 5 200 =99,35 .

Cső keresztmetszet:
A Tetmajer összefüggést kell alkalmazni, mert λ< λ A (66<99,35) .

σ kr = R p0,2 R p0,2 R A λ A λ=300 300200 99,35 66=233,57 MPa,

σ z = F A = 55000 565,5 =97,26 MPa.

A rúd megfelel, ha σ z < σ kr n kr .

Itt a σ z < σ kr n kr (97,26< 233,57 2 =116,78) teljesül, tehát a rúd kihajlásra megfelel!

Négyzet keresztmetszet:
Az Euler-összefüggést kell alkalmazni, mert λ> λ A , (121,21>99,35) .

σ kr =E π 2 λ 2 =2 10 5 π 2 121,21 2 =134,35 MPa,

σ z = F A = 55000 1600 =34,38 MPa.

A rúd megfelel, ha σ z σ kr n kr .

Itt σ z < σ kr n kr (34,38< 134,35 2 =67,18) teljesül, tehát a rúd kihajlásra megfelel!