11. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani a szerkezetre ható külső erők munkáját meghatározó összefüggést;
- kiválasztani a fajlagos alakváltozási energiát és a rúdszerkezet alakváltozási energiáját meghatározó összefüggést;
- kiválasztani a rúdszerkezet alakváltozási energiájának azt a részét, amely a rúdszerkezetek esetében általában elhanyagolható;
- kiválasztani a rúdszerkezet alakváltozási energiájának közelítő kiszámítására alkalmas összefüggést;
- kiválasztani a munkatételt rugalmas alakváltozás esetén megadó összefüggést;
- kiválasztani a Betti tétel matematikai alakját;
- kiválasztani a Betti tétel "szöveges" alakját;
- kiválasztani a Simpson formulát;
- adatok alapján a Betti tétel segítségével meghatározni a rúdszerkezet elmozdulását és szögelfordulását.
|
11.1. Munka, alakváltozási energia |
a) A külső erők munkája: |

|
Feltételezzük, hogy a terhelés és az alakvátozás folyamatosan, egyidejűleg növekedve éri el a megadott értékét. |
A szerkezetre ható külső erők munkája: |
. |
- a szerkezet pontjára ható, i jelű (i-edik) koncentrált erő. |
- a rugalmas vonal (középvonal) Pi pontjának (a Pi pontnál lévő keresztmetszet S pontjának) elmozdulása. |
- a szerkezet pontjára ható koncentrált nyomaték. |
- a rugalmas vonal pontjánál lévő keresztmetszet szögelfordulása. |
b) Alakváltozási energia: |
- Fajlagos alakváltozási energia: .
- Rúdszerkezet alakváltozási energiája: .
|
- az alakváltozási energia húzás-nyomásból származó része, - az alakváltozási energia hajlításból származó része, - az alakváltozási energia csavarásból származó része, - az alakváltozási energia nyírásból származó része. |
A nyírásból származó alakváltozási energia rész a másik három tag mellett legtöbbször elhanyagolhatóan kicsi, ezért elhanyagoljuk: . Rúdszerkezet alakváltozási energiájának közelítő kiszámítása: |
. |
Feltételezés: az y és z a rúdkeresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei. |
11.2. A Betti tétel |
Munkatétel rugalmas alakváltozás esetén: . - a rugalmas testre ható ER munkája, - A rugalmas testben felhalmozott alakváltozási energia. |
A Betti-tétel bevezetése: Egy adott szerkezetre egyidejűleg két egyensúlyi erőrendszer hat. |
| Az 1. jelű erőrendszer. | | A 2. jelű erőrendszer. | | Az 1. jelű erőrendszer hatására létrejövő i-génybevételek. | | A 2. jelű erőrendszer hatására létrejövő i-génybevételek. | | Az 1. jelű erőrendszer hatására létrejövő - elmozdulás, - szögelfordulás | | A 2. jelű erőrendszer hatására létrejövő - elmozdulás, - szögelfordulás. |
|
Ha az 1. és 2. jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek munkája az alábbi részekre bontható: |
. |
- az 1. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). |
- az 1. erőrendszer munkája a 2. erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). |
- a 2. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). |
- a 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon). |
Idegen munka: az a munka, amelyet valamely erőrendszer egy másik erőrendszer által létrehozott alakváltozáson végez. |
Ha az 1. és 2. jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek hatására a rúdszerkezetben felhalmozott alakváltozási energia: |
|
Az integranduszban elvégezve a négyzetre emelési műveleteket és a kapott tagokat célszerűen átcsoportosítva, az alakváltozási energia az alábbi részekre bontható: |
. |
- az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon. |
- az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a 2. erőrendszer okozta alakváltozásokon. |
- a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon. |
- a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia az 1. erőrendszer okozta alakváltozásokon. |
Mivel és , ezért a munkatételből egyszerűen kiadódik a |
Betti tétel:. |
A Betti tétel leggyakrabban használt alakja:. |
A 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon egyenlő az alakváltozási energia "vegyes" részével. |
a 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon. |
az alakváltozási energia "vegyes" része. |
c)Az integrálok kiszámítása: közelítő képlettel (Simpson formulával). |

|
. |
A közelítő képlet harmadfokú polinomig bezárólag (az integrandusz legfeljebb harmadfokú polinom lehet) az integrálra pontos értéket szolgáltat. |
11.3. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása Betti tétellel |
| 1. gyakorló feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása |

|
Adott: l, q, E, A, Iz . |
Feladat: a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, elmozdulásának kiszámítása. b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, szögelfordulásának kiszámítása. |
Kidolgozás: |
a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont (a középvonal B pontja) y irányú, elmozdulásának kiszámítása: |
Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú erő és a hozzá tartozó támasztó erők. |
Az 1. ER igénybevételei: és . A 2. ER igénybevételei: és , ahol és az egységnyi -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. |
, ahol és , . |
, . |
Az 1. ER igénybevételi ábrái: |

|
Az egységnyi -hoz tartozó igénybevételi ábrák: |

|
Az elmozdulás kiszámítása: |
. |
|
Negatív előjel: a B pont lefelé, az -nal ellen-tétesen mozdul el. |
b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, szögelfordulásának kiszámítása (Betti tétel): 1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők. |
Az 1. ER igénybevételei: és . A 2. ER igénybevételei: és , ahol és az egységnyi -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. |
,  |
Az 1. ER igénybevételi ábrái: |

|
Az egységnyi -hez tartozó igénybevételi ábrák: |

|
A szögelfordulás kiszámítása: |
|
| . | Negatív előjel: a B keresztmetszet a felvett nyomatékkal ellentétesen fordul el. |
|
2. gyakorló feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása |

|
Adott: F, a, E, A, Iz. |
Feladat: a) A rúd C jelű kereszt-metszeténél az S pont y irányú, elmozdulásának kiszámítása. b) A rúd C jelű kereszt-metszeténél a z tengely körüli szögelfordulás kiszámítása. |
Kidolgozás: |
a) A rúd C jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, elmozdulásának kiszámítása: |
Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a C pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú erő és a hozzá tartozó támasztó erők. |
Az 1. ER igénybevételei: és . A 2. ER igénybevételei: és , ahol és az egységnyi -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. |
, ahol és , . |
.
|
Az 1. ER támasztó erői: . |
. |
A 2. ER támasztó erői: , |
. |
Az 1. ER igénybevételi ábrái: |

|
Az egységnyi -hoz tartozó igénybevételi ábrák: |

|
Az elmozdulás kiszámítása: |
|
|
. |
Pozitív előjel: a C pont felfelé mozdul el. |
b) A rúd C jelű keresztmetszeténél a z tengely körüli szögelfordulásának kiszámítása: |
Betti tétel: 1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a C pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők. |
Az 1. ER igénybevételei: és . A 2. ER igénybevételei: és , ahol és az egységnyi -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. |
,  |
Az 1. ER igénybevételi ábrái: |

|
Az egységnyi -hez tartozó igénybevételi ábrák: |

|
A szögelfordulás kiszámítása: |
|
|
| . |
|
Pozitív előjel: a C keresztmetszet a felvett nyomatékkal megegyező irányban fordul el. A feladat megoldásának menetéből látszik, hogy a BC rúdszakaszon minden keresztmetszetnek ugyanakkora a szögelfordulása. |
3. gyakorló feladat: Rúdszerkezet elmozdulása |
Adott:állandó,állandó, F. |
Feladat: A tartó B keresztmetszeténél az S pont x irányú, elmozdulásának meghatározása. |
Megoldás: |
Betti tétel: |
1. ER: az adott terhelés (F) és a hozzá tartozó támasztó erők. 2. ER: a B pontban ható, x irányú, tetszőleges nagyságú erő és a hozzá tartozó támasztó erők. |

|
Az 1. ER igénybevételei: , és . A 2. ER igénybevételei: , és , ahol , és az egységnyi -hez tartozó rúderő, nyíróerő, illetve hajlítónyomaték. |
Az 1. ER. támasztó erői: , , . |
A 2. ER. támasztó erői: , ,
|
Adott (1.) erőrendszer: | A 2. erőrendszer: |  |  | Az 1. ER igénybevételi ábrái: | A 2. ER igénybevételi ábrái: |  |  |
|
, ahol |
és , . |
.
|
Az integrálok kiszámítása: |
|
|
|
. |
. |
. |