KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok

8. Testek felületén kialakuló szilárdságtani állapotok

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a test terheletlen felületén a feszültségi állapotot leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a terheletlen z normálisú sík feszültségi állapotát a P pontban jellemző tenzort;
  • kiválasztani a terheletlen z normálisú sík alakváltozási állapotát a P pontban jellemző tenzort;
  • kiválasztani a test terheletlen felületén az alakváltozási és a feszültségi jellemzőket megadó összefüggéseket (Hooke-törvényt);
  • adatok alapján a test terheletlen felületén meghatározni a P ponti [ F ¯ ¯ ] (xyz) feszültségi tenzor mátrixát;
  • kiválasztani felületi feszültségi állapot esetén a Mohr-féle feszültségi kördiagramra vonatkozó tételt;
  • adatok alapján megrajzolni a Mohr-féle feszültségi kördiagramot.
8.1. Feszültségi és alakváltozási állapot a test terheletlen felületén

A z normálisú sík terheletlen külső felület:

ρ z = 0 .

τ xz = τ yz = σ z =0 .

  • Feszültségi állapot a terheletlen felület P pontjában:
    [ F P ¯ ¯ ]= [ σ x τ xy 0 τ yx σ y 0 0 0 0 ] .
  • Alakváltozási állapot a terheletlen felület P pontjában:
    [ A P ¯ ¯ ]= [ ε x 1 2 γ xy 0 1 2 γ yx ε y 0 0 0 ε z ] .
  • Az alakváltozási jellemzők előállítása a feszültségekből (Hooke-törvény):
    ε x = 1 E ( σ x ν σ y ), γ xy =2 1+ν E τ xy , ε y = 1 E ( σ y ν σ x ), γ yz = γ xz =0,
    ε z = ν 1ν ( ε x + ε y ) - nem független koordináta, az ε x és ε y fajlagos nyúlásokból kiszámítható.
  • A feszültségek meghatározása az alakváltozási jellemzőkből (Hooke-törvény):
    σ x = E 1 ν 2 ( ε x +ν ε y ), τ xy = E 2(1+ν) γ xy ,
    σ y = E 1 ν 2 ( ε y +ν ε x ), τ yz =0,
    σ z =0, τ xz =0.
1. gyakorló feladat: Felületi feszültségi tenzor mátrixának meghatározása

Adott:
σ x =60 MPa, σ n =85 MPa, τ mn =15 MPa,
n =( 2 2 i + 2 2 j ),
m =( 2 2 i 2 2 j ) .
A P pont a test terheletlen felületén van.

Feladat: A P ponti [ F ¯ ¯ ] (xyz) feszültségi tenzor mátrixának meghatározása.

Kidolgozás:

A feszültségi tenzor ismert és ismeretlen koordinátái az x,y,z koordináta-rendszerben:

[ F ¯ ¯ ] (xyz) =[ σ x τ xy 0 τ yx σ y 0 0 0 0 ]=[ 60 τ xy 0 τ yx σ y 0 0 0 0 ] .

Az x,y síkbeli, adott koordináták ( σ n , τ mn ) felírása a tenzor koordinátáival:

[ ρ n ]=[ F ¯ ¯ ][ n ]=[ 60 τ xy 0 τ yx σ y 0 0 0 0 ][ 2 /2 2 /2 0 ]=[ 30 2 + τ xy 2 /2 τ yx 2 /2+ σ y 2 /2 0 ] .

σ n = ρ n n =( 30+ 1 2 τ xy )+( 1 2 τ xy + 1 2 σ y )=30+ τ xy + 1 2 σ y .

τ mn = τ nm = ρ n m =( 30 2 + τ xy 2 2 ) 2 2 +

+( τ xy 2 2 + σ y 2 2 )( 2 2 )=

=( 30+ 1 2 τ xy )+( 1 2 τ xy 1 2 σ y )=30 1 2 σ y .

A megoldandó egyenletrendszer:

0,5 σ y =30+15 τ xy +0,5 σ y =3085 ¯ } τ xy =40MPa, σ y =30MPa.

A feszültségi tenzor a kiszámolt értékekkel:

[ F ¯ ¯ ] (xyz) =[ 60 40 0 40 30 0 0 0 0 ] MPa.

8.2. A felületi alakváltozási állapot meghatározása nyúlásméréssel

Megfigyelés: ha megváltozik egy vezeték hossza, akkor megváltozik az elektromos ellenállása is.

Tétel: az elektromos ellenállás megváltozása arányos a hosszváltozással.

Nyúlásmérő bélyeg - a felületnek arra a pontjára kell felragasztani, ahol mérni akarunk.

Ilyen bélyeggel egy irányban (az x irányban) lehet mérni fajlagos nyúlást.
A kereskedelemben kaphatók nyúlásmérő bélyegek. Ezek között vannak un. rozetták, amelyek három irányban mérnek nyúlást:

45 o -os rozetta:
60 o -os rozetta:

A mérés eredménye: ε a , ε b , ε c

A felületi alakváltozási állapot meghatározása 45°-os rozettával történő mérés esetén:

Az alakváltozási tenzor: [ A ¯ ¯ ]= [ ε x 1 2 γ xy 0 1 2 γ yx ε y 0 0 0 ε z ] .

A fajlagos nyúlásokat közvetlenül megkapjuk:

ε x = ε a , ε y = ε c ,   ε z = ν 1+ν ( ε a + ε c ) .

A γ xy = γ yx szögtorzulást számítással kell meghatározni:

n = [ 2 2 2 2 0 ] .

[ α n ]=[ A ¯ ¯ ][ n ]= [ ε x 1 2 γ xy 0 1 2 γ yx ε y 0 0 0 ε z ] [ 2 2 2 2 0 ] = [ 2 2 ε x + 2 4 γ xy 2 4 γ yx + 2 2 ε y 0 ] ,

ε b = n α n =[ 2 2 2 2 0 ][ 2 2 ε x + 2 4 γ xy 2 4 γ yx + 2 2 ε y 0 ] = 1 2 ε x + 1 4 γ xy + 1 4 γ yx + 1 2 ε y .

Ebből: γ xy =2 ε b ( ε a + ε c ) .

Az alakváltozási állapot ismeretében a feszültségek a Hooke-törvényből állíthatók elő:

σ x = E 1 ν 2 ( ε x +ν ε y ), σ z =0, σ y = E 1 ν 2 ( ε y +ν ε x ), τ yz =0, τ xy = E 2(1ν) γ xy, τ xz =0.

A 60 o -os rozetta mérési eredményeiből hasonló gondolatmenettel lehet a pontbeli alakváltozási állapotot meghatározni.

8.3. Mohr-féle feszültségi kördiagram felületi feszültségi állapot esetén

Felületi feszültségi állapot: [ F ¯ ¯ ]= [ σ x τ xy 0 τ yx σ y 0 0 0 0 ] .

Tétel: Az xy síkba eső n irányokhoz tartozó ρ n feszültségvektoroknak megfelelő N pontok a σ n τ mn koordináta-rendszerben körön helyezkednek el.

Előjelszabály a kördiagram megrajzolásához:

Alkosson az x,y és m,n jobbsodratú koordináta-rendszert.

n beforgatása ( m -mel együtt) az x, vagy y tengelybe:

  • ha m és τ iránya megegyezik, akkor τ>0 .
  • ha m és τ iránya ellentétes, akkor τ<0 .

A felületi feszültségi állapot Mohr-féle feszültségi kördiagramja:

A diagram megszerkesztésének gondolatmenete:

  • A P x és P y pontok meghatározása (a τ yx és τ xy előjelét az n , m vektorok beforgatásával határozzuk meg).
  • A kör O középpontja: a P x P y pontokat összekötő egyenes és a σ n tengely metszéspontja.
  • A normálisok Q n pólusa: a P x ponton át az x tengellyel, a P y ponton át az y tengellyel párhuzamos egyenesek metszéspontja.

A főfeszültségek és a főirányok meghatározása a kördiagramból:

Főirány: Olyan normális, amelyre merőleges síkon nem lép fel τ feszültség. A körön a P 1 és P 2 pont teljesíti ezt a feltételt.

Meghatározás:
A Q n -t összekötöm a P 1 ponttal    e 1 .
A Q n -t összekötöm a P 2 ponttal    e 2 .

Derékszögű háromszögből: tg2 α x1 = 2 τ xy σ x σ y .

e 3 = k (A 3. főirány a z tengely.)

Főfeszültségek: a σ n tengely metszéspontjai a körrel: σ 1 , σ 2 .

A főfeszültségek sorszámozása: σ 1 σ 2 σ 3 . Terheletlen felület esetén σ 3 =0 , ezért σ 3 = σ z =0 .

A főfeszültségek kiszámítása: a kör középpontjához hozzáadjuk, illtve levonjuk a kör sugarát:

σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x σ y 2 ) 2 + τ yx 2 , σ 2 = σ x + σ y 2 ( σ x σ y 2 ) 2 + τ xy 2

σ 3 =0.

Tetszőleges n -hez tartozó feszültségvektornak megfelelő N pont:

  • Qn-ből párhuzamos egyenest húzunk n -nel: N az egyenes metszéspontja a körrel.
  • Az N pont koordinátái: σ n , τ mn . (A τ mn előjelét beforgatással határozzuk meg a τ mn m irányban pozitív.)
1. gyakorló feladat: A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültségek meghatározása

Adott:
σ x =60 MPa, σ n =85 MPa, τ mn =15 MPa,
n =( 2 2 i + 2 2 j ),
m =( 2 2 i 2 2 j ) .

A P pont a test terheletlen felületén van.

A feszültségi tenzor a kiszámolt értékekkel:

[ F ¯ ¯ ] (xyz) =[ 60 40 0 40 30 0 0 0 0 ] MPa.

Feladat: A Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolása és a főfeszültségek meghatározása.

Kidolgozás:

σ 1 = σ z =0 MPa,

σ 2 = σ x + σ y 2 + ( σ x σ y 2 ) 2 + τ xy 2 =45+ 15 2 + 40 2 =2,28 MPa,

σ 3 = σ x + σ y 2 ( σ x σ y 2 ) 2 + τ xy 2 =45 15 2 + 40 2 =87,72 MPa