KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan
MODUL: Elemi környezet szilárdságtani állapotai
3.1. Elemi környezet alakváltozási állapota
A lecke követelményei | |||||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | |||||||||
| |||||||||
Elemi környezet alakváltozási állapota | |||||||||
Elemi triéder: A P pontban felvett, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektorok, illetve a P, A, B, C pontok alkotják. | |||||||||
Feltételezzük, hogy az egységvektorok A, B, C végpontjai az elemi környezeten belül helyezkednek el. | |||||||||
A P pont elemi környezetének alakváltozását az A, B, C pontoknak a terhelés hatására, a P ponthoz képes bekövetkező elmozdulásai jellemzik. Az elemi triéder alakváltozását a határozza meg. | |||||||||
Elemi környezet alakváltozása: az elemi triéder A, B, C pontjának a P ponthoz képest történő azon elmozdulásai, amelyek nem tartalmaznak merevtestszerű mozgásból származó részeket. | |||||||||
. | |||||||||
Terhelés hatására a test alakváltozik, azaz megváltozik a P pontban felvett egységvektorok hossza és egymással bezárt szöge. | |||||||||
| |||||||||
Az elemi környezet alakváltozási jellemzői: | |||||||||
Fajlagos nyúlások: , , . | |||||||||
, | |||||||||
, | |||||||||
. | |||||||||
Mértékegység az értelmezésből következően: [m/m=mm/mm=1] (kiejtése: méter per méter, vagy milliméter per milliméter). | |||||||||
Fajlagos szögváltozások (fajlagos szögtorzulások): , , . | |||||||||
A fajlagos szögváltozások a fajlagos nyúlásokkal analóg módon értelmezhetők. | |||||||||
Az értelmezésből következően: , , . | |||||||||
Mértékegység az értelmezésből következően: [rad] (kiejtése: radián). | |||||||||
Az alakváltozási jellemzők geometriai tartalma: | |||||||||
Pl. - az x irányú egységnyi hossz megváltozása, | |||||||||
Az alakváltozási jellemzők előjele: | |||||||||
| |||||||||
A szögtorzulásokat (önkényesen) megfelezve és a fél-fél szögváltozást a P ponttól egységnyi távolságra lévő pontokhoz kötve, felírható az A, B, C pontok alakváltozásból származó elmozdulás-vektora. | |||||||||
Az vektorokat alakváltozási vektoroknak nevezzük. | |||||||||
Az alakváltozási vektorok: | |||||||||
, | |||||||||
, | |||||||||
. | |||||||||
A három alakváltozási vektor egyértelműen jellemzi a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát. | |||||||||
A fenti ábra a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát szemlélteti az alakváltozási vektorok koordinátáinak ábrázolásával. Az ábrában a megváltozott szögeket leegyszerűsítve, a koordinátasíkokra vetítve jelöltük be. | |||||||||
Ismerjük azt a három értékpárt, amely a pontbeli alakváltozási állapotot egyértelműen megadja: | |||||||||
, , . | |||||||||
A P elemi környezetének alakváltozási állapota tenzorral írható le. | |||||||||
Az alakváltozási tenzor: | |||||||||
| |||||||||
Az alakváltozási tenzor mátrixa szimmetrikus A P pont (vagy P pont elemi környezetének) alakváltozási állapotát 6 skalár mennyiség egyértelműen jellemezi. | |||||||||
Az alakváltozási vektor tetszőleges irány esetén: | |||||||||
. |
1. gyakorló feladat: P pont elemi környezetének alakváltozási állapota | ||
Adott: A pont környezetében az alakváltozási jellemzők és az irány egységvektor: | ||
Feladat: | ||
a) A P ponti alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az elemi triéderen. | ||
b) Az fajlagos nyúlás és a fajlagos szögtorzulás meghatározása. | ||
Megoldás: | ||
a) Az alakváltozási tenzor mátrixának a felírása és szemléltetése az elemi triéderen: | ||
, . | ||
Szemléltetés az elemi triéderen: | ||
A -mal történő beszorzás az ábrán látható valamennyi mennyiségre vonatkozik. | ||
b) Az fajlagos nyúlás és fajlagos szögtorzulás meghatározása: | ||
, | ||
, | ||
, | ||
. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||||||||||
I. Válassza ki az elemi triéder helyes leírását! Jelölje be a 3 helyes állítást! Az elemi triédert:
![]() | |||||||||||||||||||||
II. Válassza ki az elemi környezet alakváltozásának helyes definícióját! Jelölje be a helyes állítást! Az elemi környezet alakváltozása
![]() | |||||||||||||||||||||
III. Válassza ki a terhelés hatására fellépő alakváltozás értelmezését! Jelölje be a helyes állítást!
![]() | |||||||||||||||||||||
IV. Válassza ki a fajlagos nyúlás jelölését! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
V. Válassza ki a fajlagos nyúlás mértékegységét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VI. Válassza ki a fajlagos szögváltozások (fajlagos szögtorzulások) jelölését! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VII. Válassza ki a fajlagos szögváltozás (fajlagos szögtorzulás) mértékegységét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
VIII. Válassza ki a fajlagos nyúlás előjelének az értelmezését! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
IX. Válassza ki a fajlagos szögtorzulás előjelének az értelmezését! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
X. Válassza ki az alakváltozási vektorok jelölését! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XI. Válassza ki az egy pont elemi környezetének alakváltozási állapotát leíró mennyiséget! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XII. Válassza ki az alakváltozási tenzor helyes diadikus alakját! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XIII. Válassza ki az alakváltozási tenzor helyes mátrixát! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XIV. Válassza ki az alakváltozási tenzor mátrixának általános jellemzőjét! Jelölje be a jó megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XV. Adja meg egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen jellemző skalár mennyiségek számát! Írja be a megfelelő egész számot! Egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen skalár mennyiség jellemzi. ![]() | |||||||||||||||||||||
XVI. Válassza ki az egypont elemi környezetének alakváltozási állapotát egyértelműen leíró mennyiségeket! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||||||||||
XVII. Határozza meg a P pont elemi környezetének alakváltozási állapotát! | |||||||||||||||||||||
Adatok: | |||||||||||||||||||||
A P pont alakváltozási állapota az ábrán látható módon és | |||||||||||||||||||||
, | |||||||||||||||||||||
. | |||||||||||||||||||||
Feladat: | |||||||||||||||||||||
a) A P pont alakváltozási tenzorának felírása. | |||||||||||||||||||||
1. Adja meg a P pont alakváltozási tenzorát! Értelemszerűen töltse ki a táblázatot! Használja a numerikus szektort! Csak a negatív előjelet használja!
![]() | |||||||||||||||||||||
2. Válassza ki a helyes értékét!
![]() | |||||||||||||||||||||
3. Válassza ki a helyes értékét!
![]() | |||||||||||||||||||||
4. Válassza ki a helyes értékét!
![]() | |||||||||||||||||||||
5. Adja meg értékét! Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja! Az = [rad] ![]() | |||||||||||||||||||||
6. Adja meg értékét! Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja! Az = [rad] ![]() | |||||||||||||||||||||
7. Adja meg értékét! Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja! Az = [rad] ![]() |