KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása

11. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a szerkezetre ható külső erők munkáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a fajlagos alakváltozási energiát és a rúdszerkezet alakváltozási energiáját meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a rúdszerkezet alakváltozási energiájának azt a részét, amely a rúdszerkezetek esetében általában elhanyagolható;
  • kiválasztani a rúdszerkezet alakváltozási energiájának közelítő kiszámítására alkalmas összefüggést;
  • kiválasztani a munkatételt rugalmas alakváltozás esetén megadó összefüggést;
  • kiválasztani a Betti tétel matematikai alakját;
  • kiválasztani a Betti tétel "szöveges" alakját;
  • kiválasztani a Simpson formulát;
  • adatok alapján a Betti tétel segítségével meghatározni a rúdszerkezet elmozdulását és szögelfordulását.
11.1. Munka, alakváltozási energia

a) A külső erők munkája:

Feltételezzük, hogy a terhelés és az alakvátozás folyamatosan, egyidejűleg növekedve éri el a megadott értékét.

A szerkezetre ható külső erők munkája:

W= 1 2 i=1 n F i t i + 1 2 j=1 m M j φ j .

F i - a szerkezet P i pontjára ható, i jelű (i-edik) koncentrált erő.

t i = u i i + v i j + w í k - a rugalmas vonal (középvonal) Pi pontjának (a Pi pontnál lévő keresztmetszet S pontjának) elmozdulása.

M j - a szerkezet P j pontjára ható koncentrált nyomaték.

φ j = φ xj i + φ yj j + φ zj k - a rugalmas vonal P j pontjánál lévő keresztmetszet szögelfordulása.

b) Alakváltozási energia:

  • Fajlagos alakváltozási energia: u= 1 2 ( σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz ) .
  • Rúdszerkezet alakváltozási energiája: U= (V) udV = U N + U H + U C + U T .

U N - az alakváltozási energia húzás-nyomásból származó része,
U H - az alakváltozási energia hajlításból származó része,
U C - az alakváltozási energia csavarásból származó része,
U T - az alakváltozási energia nyírásból származó része.

A nyírásból származó alakváltozási energia rész a másik három tag mellett legtöbbször elhanyagolhatóan kicsi, ezért elhanyagoljuk: U T 0 .
Rúdszerkezet alakváltozási energiájának közelítő kiszámítása:

U= (l) ( N 2 2AE + M hz 2 2E I z + M hy 2 2E I y hajlítás + M C 2G I p ) dx .

Feltételezés: az y és z a rúdkeresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei.

11.2. A Betti tétel

Munkatétel rugalmas alakváltozás esetén: W=U .
W - a rugalmas testre ható ER munkája,
U  - A rugalmas testben felhalmozott alakváltozási energia.

A Betti-tétel bevezetése:
Egy adott szerkezetre egyidejűleg két egyensúlyi erőrendszer hat.

F i M i } Az 1. jelű erőrendszer. F i M i } A 2. jelű erőrendszer.
N M h M c } Az 1. jelű erőrendszer hatására létrejövő i-génybevételek. N M h M c } A 2. jelű erőrendszer hatására létrejövő i-génybevételek.
t φ } Az 1. jelű erőrendszer hatására létrejövő
- elmozdulás,
- szögelfordulás
t φ } A 2. jelű erőrendszer hatására létrejövő
- elmozdulás,
- szögelfordulás.

Ha az 1. és 2. jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek munkája az alábbi részekre bontható:

W= W 11 + W 12 + W 22 = W 11 + W 21 + W 22 .

W 11 - az 1. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

W 12 - az 1. erőrendszer munkája a 2. erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

W 22 - a 2. erőrendszer munkája a saját maga okozta alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

W 21 - a 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon (elmozdulásokon, szögelfordulásokon).

Idegen munka: az a munka, amelyet valamely erőrendszer egy másik erőrendszer által létrehozott alakváltozáson végez.

Ha az 1. és 2. jelű erőrendszert egyidejűleg, vagy valamilyen sorrendben egymás után működtetjük a szerkezetre, akkor az erőrendszerek hatására a rúdszerkezetben felhalmozott alakváltozási energia:

U= (l) ( ( N + N ) 2 2AE + ( M hz + M hz ) 2 2E I z + ( M hy + M hy ) 2 2E I y hajlítás + ( M c + M c ) 2 2G I p ) dx

Az integranduszban elvégezve a négyzetre emelési műveleteket és a kapott tagokat célszerűen átcsoportosítva, az alakváltozási energia az alábbi részekre bontható:

U= U 11 + U 12 + U 22 = U 11 + U 21 + U 22 .

U 11 - az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon.

U 12 - az 1. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a 2. erőrendszer okozta alakváltozásokon.

U 22 - a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia a saját maga okozta alakváltozásokon.

U 21 - a 2. erőrendszer által létrehozott alakváltozási energia az 1. erőrendszer okozta alakváltozásokon.

Mivel W 11 = U 11 és W 22 = U 22 , ezért a munkatételből egyszerűen kiadódik a

Betti tétel: W 12 = W 21 = U 12 = U 21 .

A Betti tétel leggyakrabban használt alakja: W 21 = U 12 .

A 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon egyenlő az alakváltozási energia "vegyes" részével.

W 21 = i=1 n F i t i + j=1 m M j φ j a 2. erőrendszer munkája az 1. erőrendszer által okozott alakváltozásokon.

U 12 = (l) ( N N AE + M hz M hz E I z + M hy M hy E I y + M c M c I p G ) dx az alakváltozási energia "vegyes" része.

c)Az integrálok kiszámítása: közelítő képlettel (Simpson formulával).

x= x b x j f( x ) dx h 6 ( f b +4 f k + f j ) .

A közelítő képlet harmadfokú polinomig bezárólag (az integrandusz legfeljebb harmadfokú polinom lehet) az integrálra pontos értéket szolgáltat.

11.3. Rúdszerkezetek alakváltozásának számítása Betti tétellel
1. gyakorló feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása

Adott: l, q, E, A, Iz .

Feladat:
a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, ν B elmozdulásának kiszámítása.
b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, φ B szögelfordulásának kiszámítása.

Kidolgozás:

a) A rúd B jelű keresztmetszeténél az S pont (a középvonal B pontja) y irányú, ν B elmozdulásának kiszámítása:

Betti tétel:
1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők.
2. ER: a B pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú F By erő és a hozzá tartozó támasztó erők.

Az 1. ER igénybevételei: T y = T y és M hz = M hz .
A 2. ER igénybevételei:  T y = F By t B és M hz = F By m B , ahol t B és m B az egységnyi F By -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

W 21 = U 12 , ahol W 21 = ν B F By és U U H   U 12 = (l) M hz M hz I z E dx .

ν B F By = (l) M hz m B F By I z E dx   ν B = (l) M hz m B I z E dx .

Az 1. ER igénybevételi ábrái:

Az egységnyi F By -hoz tartozó igénybevételi ábrák:

Az elmozdulás kiszámítása:

ν B = (l) M hz m B I z E dx= 1 I z E l 6 [ q l 2 2 ( l )+4 q l 2 8 ( l 2 )+00 ]= 1 I z E l 6 [ q l 3 2 q l 3 4 ]= 1 I z E l 6 ( 3q l 3 4 ) .

ν B = q l 4 8E I z

Negatív előjel: a B pont lefelé, az F By -nal ellen-tétesen mozdul el.

b) A rúd B jelű keresztmetszetének z tengely körüli, φ B szögelfordulásának kiszámítása (Betti tétel):
1. ER: az adott terhelés (q vonal mentén megoszló terhelés) és a hozzá tartozó támasztó erők.
2. ER: a B pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú M Bz nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők.

Az 1. ER igénybevételei: T y = T y és M hz = M hz .
A 2. ER igénybevételei:  T y = M Bz t φ és M hz = M Bz m φ , ahol t φ és m φ az egységnyi M Bz -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

W 21 = U 12  

Az 1. ER igénybevételi ábrái:

Az egységnyi M Bz -hez tartozó igénybevételi ábrák:

A szögelfordulás kiszámítása:

φ B = 1 E I z l 6 [ q l 2 2 ( 1 )+4 q l 2 8 ( 1 )+0 ]=

= 1 E I z l 6 ( q l 2 2 q l 2 2 )= q l 3 6E I z .Negatív előjel: a B keresztmetszet a felvett nyomatékkal ellentétesen fordul el.
2. gyakorló feladat: Rúdszerkezet elmozdulása és szögelfordulása

Adott: F, a, E, A, Iz.

Feladat:
a) A rúd C jelű kereszt-metszeténél az S pont y irányú, ν C elmozdulásának kiszámítása.
b) A rúd C jelű kereszt-metszeténél a z tengely körüli φ C szögelfordulás kiszámítása.

Kidolgozás:

a) A rúd C jelű keresztmetszeténél az S pont y irányú, ν C elmozdulásának kiszámítása:

Betti tétel:
1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők.
2. ER: a C pontban ható, y irányú, tetszőleges nagyságú F Cy erő és a hozzá tartozó támasztó erők.

Az 1. ER igénybevételei: T y = T y és M hz = M hz .
A 2. ER igénybevételei:  T y = F Cy t C és M hz = F Cy m C , ahol t C és m C az egységnyi F Cy -hoz tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

W 21 = U 12 , ahol W 21 = ν C F Cy és U U H   U 12 = (l) M hz M hz I z E dx .

    ν C = (l) M hz m C I z E dx .

Az 1. ER támasztó erői: M a =0 F By =F/2 .

M b =0 F Ay =F/2 .

A 2. ER támasztó erői: M a =0=2a F By +3a1 F By = 3 2 N ,

M b =0=2a F Ay +a1 F Ay = 1 2 N .

Az 1. ER igénybevételi ábrái:

Az egységnyi F Cy -hoz tartozó igénybevételi ábrák:

Az elmozdulás kiszámítása:

ν c = (l) M hz m C E I z dx=

= 1 I z E { a 6 [ 0+4( Fa 4 ) a 4 +( Fa 2 ) a 2 ]+ a 6 [ ( Fa 2 ) a 2 +4 Fa 4 3a 4 +0 ] }=

= 1 I z E { a 6 ( F a 2 4 + F a 2 4 )+ a 6 ( F a 2 4 + 3F a 2 4 ) }= F a 3 4 I z E .

Pozitív előjel: a C pont felfelé mozdul el.

b) A rúd C jelű keresztmetszeténél a z tengely körüli φ C szögelfordulásának kiszámítása:

Betti tétel:
1. ER: az adott terhelés (F koncentrált erő) és a hozzá tartozó támasztó erők.
2. ER: a C pontban ható, z irányú, tetszőleges nagyságú M Cz nyomaték és a hozzá tartozó támasztó erők.

Az 1. ER igénybevételei: T y = T y és M hz = M hz .
A 2. ER igénybevételei: T y = M Cz t φ és M hz = M Cz m φ , ahol t φ és m φ az egységnyi M Cz -hez tartozó nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

W 21 = U 12  

Az 1. ER igénybevételi ábrái:

Az egységnyi M Cz -hez tartozó igénybevételi ábrák:

A szögelfordulás kiszámítása:

φ c = (l) M h m z I z E dx=

= 1 I z E { a 6 [ 0+4 Fa 4 1 4 + Fa 2 1 2 ]+ a 6 [ Fa 2 1 2 +4 Fa 4 3 4 +0 ] }=

= 1 I z E { a 6 ( Fa 4 + Fa 4 )+ a 6 ( Fa 4 + 3Fa 4 ) }= F a 2 4 I z E .

Pozitív előjel: a C keresztmetszet a felvett nyomatékkal megegyező irányban fordul el.
A feladat megoldásának menetéből látszik, hogy a BC rúdszakaszon minden keresztmetszetnek ugyanakkora a szögelfordulása.

3. gyakorló feladat: Rúdszerkezet elmozdulása

Adott: I z E= állandó, AE= állandó, F.

Feladat: A tartó B keresztmetszeténél az S pont x irányú, u B elmozdulásának meghatározása.

Megoldás:

Betti tétel:

1. ER: az adott terhelés (F) és a hozzá tartozó támasztó erők.
2. ER: a B pontban ható, x irányú, tetszőleges nagyságú F Bx erő és a hozzá tartozó támasztó erők.

Az 1. ER igénybevételei: N =N , T =T és M hz = M hz .
A 2. ER igénybevételei: N = F Bx n B , T = F Bx t B és M hz = F Bx m B , ahol n B , t B és m B az egységnyi F Bx -hez tartozó rúderő, nyíróerő, illetve hajlítónyomaték.

Az 1. ER. támasztó erői:
M a =0 F By =F ,
M c =0 F Ay =F ,
F x =0 F Ax =F .

A 2. ER. támasztó erői:
M a =0 F By =2N ,
M c =0 F Ay =2N ,
F x =0 F Ax =1N

Adott (1.) erőrendszer:A 2. erőrendszer:
Az 1. ER igénybevételi ábrái:A 2. ER igénybevételi ábrái:

W 21 = U 12 , ahol

W 21 = u B F Bx és U U H + U N   U 12 = (3l) M hz M hz I z E dx + (3l) N N AE dx .

    u B = (3l) M hz m B I z E dx+ (3l) N n B AE dx .

Az integrálok kiszámítása:

(3l) M hz m B E I z ds=

= 1 I z E { l 6 [ 0+4 Fl 2 l 2 +Fll ]+ l 6 [ Fll+4Fl 3 2 l+Fl2l ]+

+ l 6 [ Fl2l+4 Fl 2 l+0 ] }

= 1 I z E { 2F l 3 6 + 9F l 3 6 + 4F l 3 6 }= 1 I z E ( 15 6 F l 3 )= 5F l 3 2 I z E .

(l) Nn AE ds= 1 AE { 2l 6 [ F2+4F2+F2 ] }= 4Fl AE .

u B = 5F l 3 2 I z E + 4Fl AE .