KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Általános szilárdságtani állapotok

7.1. Az általános feszültségi állapot

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a pont (elemi környezet) feszültségi állapotát leíró definíciót;
  • kiválasztani a pont (elemi környezet) feszültségi állapotának megadási módját;
  • kiválasztani a pont (elemi környezet) feszültségi állapotát megadó feszültségi tenzort;
  • kiválasztani a feszültségi tenzor oszlopainak a tartalmát;
  • kiválasztani a P pontbeli feszültségi állapotot egyértelműen meghatározó jellemzőket;
  • kiválasztani a feszültségi tenzor jellemzőjét;
  • kiválasztani az adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor meghatározására alkalmas összefüggést;
  • kiválasztani a normál feszültségi koordináták, a csúsztató feszültségi koordináták,  a csúsztató feszültség vektor nagyságának meghatározására alkalmas összefüggést;
  • kiválasztani a pontbeli feszültségi állapotot az elemi kockán helyesen  szemléltető ábrát;
  • kiválasztani a csúsztató feszültségek dualitásának a tételét és az ezt leíró összefüggéseket;
  • kiválasztani a feszültségi főirány és a főfeszültségi sík definícióját;
  • kiválasztani a főfeszültséget;
  • kiválasztani a főtengelyek koordináta-rendszerében a feszültségi állapotot megadó tenzort;
  • kiválasztani a Mohr-féle feszültségi kördiagramra vonatkozó tételt;
  • kiválasztani a Mohr-féle feszültségi kördiagram megrajzolásának helyes algoritmusát;
  • adatok alapján az elemi kockán szemléltetni a P pont feszültségi állapotát;
  • adatok alapján megrajzolni a feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramját;
  • adatok alapján meghatározni a főfeszültségeket és főirányokat.
Az általános feszültségi állapot

a) Pont (elemi környezet) feszültségi állapota:

Definíció: Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát az adott P ponton átmenő valamennyi n irányhoz hozzárendelt ρ n feszültségvektorok összessége, halmaza alkotja.

Megadása: a pontbeli feszültségi tenzorral.

Feszültségi tenzor: [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ] .

A feszültségi tenzor oszlopaiban a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorok koordinátái állnak.

Tétel: A P pontbeli feszültségállapotot egyértelműen meghatározza három, egymásra kölcsönösen merőleges elemi felületen fellépő feszültségvektor.

A feszültségi tenzor szimmetrikus.

b) Adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor és feszültségkoordináták kiszámítása:

A feszültségvektor:

ρ n = F ¯ ¯ n n - a felületi normális, ( | n |=1 ).

Tétel: A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon (felületen) ébredő feszültségvektor kiszámítható.

A feszültségi koordináták kiszámítása:

A normál feszültségi koordináta: σ n = n ρ n = n ( F ¯ ¯ n ) .

A csúsztató feszültségi koordináták: τ ln = τ nl = l ρ n = l ( F ¯ ¯ n ) , illetve τ mn = τ nm = m ρ n = m ( F ¯ ¯ n ) ha l n = m n =0 , és | l |=| m |=1 .

A csúsztató feszültség vektor nagysága:

| τ n |= τ ln 2 + τ mn 2 = ρ n 2 σ n 2 .

c) A pontbeli feszültségi állapot szemléltetése elemi kockán:

Az x normálisú lapra a ρ x feszültségvektor koordinátáit, az y normálisú lapra a ρ y feszültségvektor koordinátáit, a z normálisú lapra pedig a ρ z feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel.

A csúsztató feszültségek dualitásának tétele:

Bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára merőleges τ feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat.

τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ xz = τ zx .

d) Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek:

Definíció: Ha az e egységvektorra merőleges felületen τ e = 0 , azaz ρ e = σ e e , akkor az e irány feszültségi főirány (feszültségi főtengely), σ e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík.

Tétel: Minden P pontban létezik legalább három főirány, amelyek kölcsönösen merőlegesek egymásra.

Feszültségállapot a főtengelyek koordináta-rendszerében:

[ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ σ 1 00 0 σ 2 0 00 σ 3 ]

A jelölésre vonatkozó megállapodás: σ 3 σ 2 σ 1 .

e) A Mohr-féle feszültségi kördiagram:

A kördiagram a P pontbeli feszültségi állapot egy másik szemléltetési módszere.

Tétel: Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a σ n , τ n koordináta-rendszerben kört határoznak meg.

A kördiagram megrajzolása, ha egy főirány ismert:

Adott: a P pontbeli feszültségi állapot.
Legyen a z irány tehetetlenségi főirány.

[ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy 0 τ yx σ y 0 00 σ z ]

Feladat: a kördiagram megrajzolása.
A τ feszültség előjelét beforgatással határozzuk meg.
Legyen x,y,z és m,n,z jobbsodrású (jobbsodratú) koordináta-rendszer.

n beforgatása az x és y tengelybe:

  • ha m és a τiránya megegyezik: τ>0 ,
  • ha m és a τiránya ellentétes: τ<0 .

A kördiagram megrajzolásának gondolatmenete:

  • ρ x P x , (beforgatásból: τ mn = τ yx ).
  • ρ y P y , (beforgatásból: τ mn = τ xy ).
  • P x és P y egy kör átmérőjének két végpontja, ezért O .
  • Ezen a körön van P 1 és P 2 is.
  • ρ z P z P 3 , ha σ z < σ 2 .
  • A P 1 és P 3 , valamint a P 2 és P 3 is egy-egy körön van.

A következő lapozóskönyv a Mohr-féle feszültségi kördiagram készítését mutatja be lépésről lépésre.

Mohr-féle feszültségi kördiagram
1. lépés1/11
visszaelőre

A kördiagramból meghatározhatók a főfeszültségek és főirányok.

Főfeszültségek (ügyelni kell a nagyság szerinti sorba rendezésre σ 3 σ 2 σ 1 !):

σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x σ y 2 ) 2 + τ yx 2 ,

σ 2 = σ x + σ y 2 ( σ x σ y 2 ) 2 + τ xy 2 ,

σ 3 = σ z .

Főirányok:

Q n - a normálisok pólusa (a Px-en át az x tengellyel, a Py-on át az y tengellyel húzott párhuzamos egyenesek metszéspontja).

e 1 főirány: a Qn P1 egyenes,  e 2 főirány: a Qn P2 egyenes.

Az e 1 , e 2 , e 3 irányok jobbsodrású rendszert alkotnak.

A kördiagramban levő derékszögű háromszögből:

tg2 α x1 = 2 τ yx σ x σ y α x1 =

1. gyakorló feladat: Pont feszültségi állapota

Adott: [ F ¯ ¯ P ]=[ 70 0 40 0 50 0 40 0 10 ] MPa, ν=0,3 , G=80 GPa.

Feladat:
a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán.
b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása.
c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása.

Kidolgozás:

a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán:

b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása.

c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása:

σ 1 = σ x + σ z 2 + ( σ x σ z 2 ) 2 + τ xz 2 =90 MPa,

σ 2 = σ y =50 MPa,

σ 3 = σ x + σ z 2 ( σ x σ z 2 ) 2 + τ xz 2 =10 MPa,

tg α z1 = 40 20 =2 n 1 = 2 5 i + 1 5 k ,

n 2 = j ,

n 3 = 1 5 i + 2 5 k .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki a pont (elemi környezet) feszültségi állapotát leíró definíciót!
Jelölje be a helyes megoldást!
Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát:
a) az adott P ponton átmenő egyik n irányhoz hozzárendelt egy ρ n feszültségvektor alkotja
b) az adott P ponton átmenő valamennyi n irányhoz hozzárendelt ρ n feszültségvektorok összessége, halmaza alkotja
c) az adott P ponton nem átmenő két n irányhoz hozzárendelt ρ n feszültségvektorok összessége, halmaza alkotja
II. Válassza ki a pont (elemi környezet) feszültségi állapotának megadási módját!
Jelölje be a helyes megoldást!
Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát:
a) egy feszültségi vektorral adjuk meg;
b) két feszültségi vektorral adjuk meg;
c) egy skalár mennyiséggel adjuk meg;
d) két skalár mennyiséggel adjuk meg;
e) feszültségi tenzorral adjuk meg.
III. Válassza ki a pont (elemi környezet) feszültségi állapotát helyesen szemléltető feszültségi tenzort!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x 00 0 σ y 0 00 σ z ]
b) [ F ¯ ¯ P ]=[ 1 τ xy τ xz τ yx 1 τ yz τ zx τ zy 1 ]
c) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ]
d) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x σ y σ z τ yx τ xy τ yz τ zx τ zy τ xz ]
e) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz σ y τ yx τ yz σ z τ zy τ zx ]
f) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x 11 1 σ y 1 11 σ z ]
IV. Válassza ki a feszültségi tenzor oszlopainak a tartalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A feszültségi tenzor oszlopaiban:
a) a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorok koordinátái állnak
b) a σ x , σ y , σ z normál feszültségvektorok koordinátái állnak
c) a τ xy , τ yz , τ xz feszültségvektorok koordinátái állnak
d) a l , n , m vektorok koordinátái állnak
V. Válassza ki a feszültségi tenzor jellemzőjét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a feszültségi tenzor átlójában csak egyesek lehetnek
b) a feszültségi tenzor aszimmetrikus
c) a feszültségi tenzor szimmetrikus
d) a feszültségi tenzor átlójában csak nullák lehetnek
VI. Válassza ki az adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor meghatározására alkalmas összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
ahol:
n - a felületi normális, ( | n |=1 )
a) ρ n = F ¯ ¯ × n
b) ρ n = F ¯ ¯ n
c) ρ n = n F ¯ ¯ n
d) ρ n = F ¯ ¯ n
VII. Válassza ki a normál feszültségi koordináták meghatározására alkalmas összefüggést!
Jelölje be a két helyes megoldást!
a) σ n = n ρ n n
b) σ n = n ρ n
c) σ n = n × ρ n
d) σ n = n ×( F ¯ ¯ n )
e) σ n = n ( F ¯ ¯ n )
f) σ n = n ( F ¯ ¯ × n )
VIII. Válassza ki a normál feszültségi koordináták meghatározására alkalmas összefüggést!
Jelölje be a két helyes megoldást!
ha:
l n = m n =0 , és | l |=| m |=1
a) τ ln = τ nl = l ρ n l = l ( F ¯ ¯ n ) l
b) τ ln = τ nl = ρ n l ρ n = l ( F ¯ ¯ n ) ρ n
c) τ ln = τ nl = l ρ n = l ( F ¯ ¯ n )
d) τ mn = τ nm = m ρ n = m ( F ¯ ¯ n )
e) τ mn = τ nm = m ρ n n = m ( F ¯ ¯ n )
f) τ mn = τ nm = m ρ n m = m ( F ¯ ¯ n ) m
IX. Válassza ki a csúsztató feszültség vektor nagyságának meghatározására alkalmas összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) | τ n |= τ ln 2 + τ mn 2 = ρ n 2 σ n 2
b) | τ n |= τ ln + τ mn = ρ n σ n
c) | τ n |= τ ln 2 τ mn 2 = ρ n 2 + σ n 2
d) | τ n |= τ ln 2 + σ n 2 = ρ n 2 τ mn 2
e) | τ n |= τ ln + τ mn 2 = ρ n 2 σ n
X. Válassza ki a pontbeli feszültségi állapotot az elemi kockán helyesen szemléltető ábrát!
Jelölje be a helyes megoldást!
a)
b)
c)
d)
XI. Válassza ki a csúsztató feszültségek dualitásának a tételét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) bármely két, egymással párhuzamos síkon, a síkok metszésvonalára merőleges τ feszültségek eltérő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat
b) bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalával párhuzamos τ feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat
c) bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára merőleges τ feszültségek eltérő nagyságúak
d) bármely két, egymással párhuzamos síkon, a síkok metszésvonalára merőleges τ feszültségek eltérő nagyságúak
e) bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára párhuzamos σ feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat
f) bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára merőleges τ feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat
XII. Válassza ki a csúsztató feszültségek dualitásának a tételét tartalmazó összefüggéseket!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) τ xy = τ yx
b) τ xy = τ yx , τ xz = τ zx .
c) τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ xz = τ zx .
d) τ n = τ ln 2 + τ mn 2 = ρ n 2 σ n 2
XIII. Válassza ki a feszültségi főirány és a főfeszültségi sík definícióját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) Ha az e egységvektorral párhuzamos felületen τ e 0 , azaz ρ e σ e e , akkor az e irány feszültségi főirány, σ e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík.
b) Ha az e egységvektorra merőleges felületen τ e = 0 , azaz ρ e = σ e e , akkor az e irány feszültségi főirány, σ e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík.
c) Ha az e egységvektorra merőleges felületen τ e = 0 , azaz ρ e = σ e e , akkor az e irány feszültségi főirány, τ e főfeszültség és az e -vel párhuzamos elemi felület síkja főfeszültségi sík.
d) Ha az e egységvektorra merőleges felületen τ e = 0 , azaz ρ e = σ e e , akkor az e iránnyal párhuzamos sík főfeszültségi sík, σ e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület középvonala feszültségi főirány.
XIV. Válassza ki a főtengelyek koordináta-rendszerében a feszültségi állapotot megadó tenzort!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) [ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ σ 1 σ 2 σ 2 000 000 ]
b) [ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ σ 1 11 1 σ 2 1 11 σ 3 ]
c) [ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ σ 1 00 0 σ 2 0 00 σ 3 ]
d) [ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ σ 1 00 σ 2 00 σ 3 00 ]
e) [ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ 1 τ xy τ xz τ yx 1 τ yz τ zx τ zy 1 ]
f) [ F ¯ ¯ ] (1,2,3) =[ σ 1 τ xy τ xz τ yx σ 2 τ yz τ zx τ zy σ 3 ]
XV. Válassza ki a Mohr-féle feszültségi kördiagramra vonatkozó tételt!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a σ n , ρ n koordináta-rendszerben kört határoznak meg.
b) Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a ρ n , τ n koordináta-rendszerben kört határoznak meg.
c) Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a σ n , τ n koordináta-rendszerben ha kört határoznak meg, akkor ott nem lép fel feszültség.
d) Valamely főfeszültségi síkba eső összes n irányhoz tartozó N pontok a σ n , τ n koordináta-rendszerben kört határoznak meg.