KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan
MODUL: Általános szilárdságtani állapotok
7.1. Az általános feszültségi állapot
A lecke követelményei | ||||||
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: | ||||||
| ||||||
Az általános feszültségi állapot | ||||||
a) Pont (elemi környezet) feszültségi állapota: | ||||||
Definíció: Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát az adott P ponton átmenő valamennyi irányhoz hozzárendelt feszültségvektorok összessége, halmaza alkotja. | ||||||
Megadása: a pontbeli feszültségi tenzorral. | ||||||
Feszültségi tenzor: . | ||||||
A feszültségi tenzor oszlopaiban a , , feszültségvektorok koordinátái állnak. | ||||||
Tétel: A P pontbeli feszültségállapotot egyértelműen meghatározza három, egymásra kölcsönösen merőleges elemi felületen fellépő feszültségvektor. | ||||||
A feszültségi tenzor szimmetrikus. | ||||||
b) Adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor és feszültségkoordináták kiszámítása: | ||||||
A feszültségvektor: | ||||||
, - a felületi normális, (). | ||||||
Tétel: A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon (felületen) ébredő feszültségvektor kiszámítható. | ||||||
A feszültségi koordináták kiszámítása: | ||||||
A normál feszültségi koordináta: . | ||||||
A csúsztató feszültségi koordináták: , illetve ha , és . | ||||||
A csúsztató feszültség vektor nagysága: | ||||||
. | ||||||
c) A pontbeli feszültségi állapot szemléltetése elemi kockán: | ||||||
Az x normálisú lapra a feszültségvektor koordinátáit, az y normálisú lapra a feszültségvektor koordinátáit, a z normálisú lapra pedig a feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel. | ||||||
A csúsztató feszültségek dualitásának tétele: | ||||||
Bármely két, egymásra merőleges síkon, a síkok metszésvonalára merőleges feszültségek egyenlő nagyságúak, és mindkettő egyformán vagy a metszésvonal felé, vagy azzal ellentétes irányba mutat. | ||||||
d) Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek: | ||||||
Definíció: Ha az egységvektorra merőleges felületen , azaz , akkor az irány feszültségi főirány (feszültségi főtengely), főfeszültség és az -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík. | ||||||
Tétel: Minden P pontban létezik legalább három főirány, amelyek kölcsönösen merőlegesek egymásra. | ||||||
Feszültségállapot a főtengelyek koordináta-rendszerében: | ||||||
A jelölésre vonatkozó megállapodás: . | ||||||
e) A Mohr-féle feszültségi kördiagram: | ||||||
A kördiagram a P pontbeli feszültségi állapot egy másik szemléltetési módszere. | ||||||
Tétel: Valamely főfeszültségi síkba eső összes irányhoz tartozó N pontok a koordináta-rendszerben kört határoznak meg. | ||||||
A kördiagram megrajzolása, ha egy főirány ismert: | ||||||
Adott: a P pontbeli feszültségi állapot. | ||||||
Feladat: a kördiagram megrajzolása. | ||||||
beforgatása az x és y tengelybe: | ||||||
| ||||||
A kördiagram megrajzolásának gondolatmenete: | ||||||
| ||||||
A következő lapozóskönyv a Mohr-féle feszültségi kördiagram készítését mutatja be lépésről lépésre. | ||||||
| ||||||
A kördiagramból meghatározhatók a főfeszültségek és főirányok. | ||||||
Főfeszültségek (ügyelni kell a nagyság szerinti sorba rendezésre !): | ||||||
, | ||||||
, | ||||||
. | ||||||
Főirányok: | ||||||
- a normálisok pólusa (a Px-en át az x tengellyel, a Py-on át az y tengellyel húzott párhuzamos egyenesek metszéspontja). | ||||||
főirány: a Qn P1 egyenes, főirány: a Qn P2 egyenes. | ||||||
Az irányok jobbsodrású rendszert alkotnak. | ||||||
A kördiagramban levő derékszögű háromszögből: | ||||||
|
1. gyakorló feladat: Pont feszültségi állapota | ||
Adott: MPa, , GPa. | ||
Feladat: | ||
Kidolgozás: | ||
a) A P pont feszültségi állapotának szemléltetése az elemi kockán: | ||
b) A feszültségi állapot Mohr-féle kördiagramjának megrajzolása. | ||
c) A főfeszültségek és főirányok meghatározása: | ||
MPa, | ||
MPa, | ||
MPa, | ||
, , | ||
, | ||
. |
Önellenőrző kérdések | |||||||||||||
Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket! | |||||||||||||
I. Válassza ki a pont (elemi környezet) feszültségi állapotát leíró definíciót! Jelölje be a helyes megoldást! Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát:
![]() | |||||||||||||
II. Válassza ki a pont (elemi környezet) feszültségi állapotának megadási módját! Jelölje be a helyes megoldást! Pont (elemi környezet) feszültségi állapotát:
![]() | |||||||||||||
III. Válassza ki a pont (elemi környezet) feszültségi állapotát helyesen szemléltető feszültségi tenzort! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
IV. Válassza ki a feszültségi tenzor oszlopainak a tartalmát! Jelölje be a helyes megoldást! A feszültségi tenzor oszlopaiban:
![]() | |||||||||||||
V. Válassza ki a feszültségi tenzor jellemzőjét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
VI. Válassza ki az adott normálisú elemi felületen ébredő feszültségvektor meghatározására alkalmas összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást! ahol: - a felületi normális, ()
![]() | |||||||||||||
VII. Válassza ki a normál feszültségi koordináták meghatározására alkalmas összefüggést! Jelölje be a két helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
VIII. Válassza ki a normál feszültségi koordináták meghatározására alkalmas összefüggést! Jelölje be a két helyes megoldást! ha: , és
![]() | |||||||||||||
IX. Válassza ki a csúsztató feszültség vektor nagyságának meghatározására alkalmas összefüggést! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
X. Válassza ki a pontbeli feszültségi állapotot az elemi kockán helyesen szemléltető ábrát! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
XI. Válassza ki a csúsztató feszültségek dualitásának a tételét! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
XII. Válassza ki a csúsztató feszültségek dualitásának a tételét tartalmazó összefüggéseket! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
XIII. Válassza ki a feszültségi főirány és a főfeszültségi sík definícióját! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
XIV. Válassza ki a főtengelyek koordináta-rendszerében a feszültségi állapotot megadó tenzort! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() | |||||||||||||
XV. Válassza ki a Mohr-féle feszültségi kördiagramra vonatkozó tételt! Jelölje be a helyes megoldást!
![]() |