KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Általános szilárdságtani állapotok

7.3. Az általános Hooke-törvény

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani az általános Hooke-törvény érvényességi feltételeit;
  • kiválasztani az izotróp anyag, anizotróp anyag, lineárisan rugalmas anyag értelmezését;
  • kiválasztani az anyag szakító diagramjának azt a szakaszát, amelyre a Hook-törvény érvényes;
  • kiválasztani az általános Hooke-törvényt leíró összefüggéseket és skaláris egyenleteket;
  • kiválasztani az általános Hooke-törvényt leíró összefüggések változóinak a megnevezését, tartalmát;
  • adatok alapján meghatározni a P pont alakváltozási állapotát;
  • a P pont alakváltozási állapotát szemléltetni az elemi triéderen.
Az általános Hooke-törvény

Az általános Hooke-törvény az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye. A Hooke-törvény tenzor egyenlet.
Az anyagtörvény olyan összefüggés, amely a feszültségi és az alakváltozási állapot között áll fenn.

Izotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függetlenek.
Pl.: fémek, kerámiák, üvegek stb.

Anizotróp az anyag, ha tulajdonságai iránytól függőek.
Pl.: fa, szálerősített műanyag stb.

Lineárisan rugalmas egy anyag, ha a belső erők (feszültségek) és az alakváltozási jellemzők között lineáris függvénykapcsolat áll fenn.

Az anyagi viselkedés jellege szakító diagrammal szemléltethető:

Alakítható anyag szakítódiagramjának jellege:Rideg anyag szakítódiagramjának jellege:
Pl.: lágyacél, alumínium, réz stb.Pl.: szerszámacél, öntöttvas, üveg, kerámia stb.

A Hooke-törvény a szakító diagram lineáris (egyenes) szakaszán írja le az anyag viselkedését.

a) Az általános Hooke-törvény egyik alakja:

A ¯ ¯ = 1 2G ( F ¯ ¯ ν 1+ν F I E ¯ ¯ ), ahol

a G csúsztató rugalmassági modulus és a ν Poisson tényező anyagjellemzők, E ¯ ¯ =[ 100 010 001 ] az egység tenzor,

F I = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 , a feszültségi tenzor első skalár invariánsa (a tenzor főátlójában álló elemek összege).

Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben).

Skaláris egyenletek:

ε x = 1 2G [ σ x ν 1+ν ( σ x + σ y + σ z ) ] 1 2 γ xy = 1 2G τ xy γ xy = 1 G τ xy ,

1 2 γ yz = 1 2G τ yz γ yz = 1 G τ yz ,

ε z = 1 2G [ σ z ν 1+ν ( σ x + σ y + σ z ) ] 1 2 γ xz = 1 2G τ xz γ xz = 1 G τ xz .

b) Az általános Hooke-törvény másik alakja:

F ¯ ¯ =2G( A ¯ ¯ + ν 12ν A I E ¯ ¯ ), ahol

a G csúsztató rugalmassági modulus és a ν Poisson tényező anyagjellemzők, E ¯ ¯ =[ 100 010 001 ] az egység tenzor,

A I = ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 az alakváltozási tenzor első skaláris invariánsa

Invariáns: értéke koordináta-rendszertől független (ugyanannyi pl. az x,y,z KR-ben, mint a főtengelyek 1,2,3 KR-ben).

Skaláris egyenletek:

σ x =2G[ ε x + ν 12ν ( ε x + ε y + ε z ) ] , τ xy =G γ xy ,

σ y =2G[ ε y + ν 12ν ( ε x + ε y + ε z ) ] , τ yz =G γ yz ,

σ z =2G[ ε z + ν 12ν ( ε x + ε y + ε z ) ] , τ xz =G γ xz .

c) A korábban megismert speciális alakok és az általános Hooke-törvény közötti kapcsolat:

  • Egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás, hajlítás):
    F ¯ ¯ =[ σ x 00 000 000 ] A ¯ ¯ =[ ε x 00 0 ε y 0 00 ε z ] ε y = ε z =ν ε x .
    Az egyszerű Hooke-törvény:  σ x =E ε x .
    Az általános Hooke-törvényből:
    σ x =2G[ ε x + ν 12ν ( ε x ν ε x ν ε x ) ]=
    =2G[ ε x + ν 12ν ( 12ν ) ε x ]=2G( 1+ν ) ε x
    A két eredményt összevetve összefüggést kapunk az E és a G rugalmassági modulusok, illetve a ν Poisson-tényező között: E=2G( 1+ν ) .
  • Csavarás:
    τ xφ =G γ xφ ezt az általános Hooke-törvényből közvetlenül megkapjuk, ha a tenzorokat az R,φ,x koordináta rendszerben írjuk fel.
1. gyakorló feladat: Pont feszültségi állapota, általános Hooke-törvény

Adott: [ F ¯ ¯ P ]=[ 70 0 40 0 50 0 40 0 10 ] MPa, ν=0,3 , G=80 GPa.

Feladat: A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen.

Kidolgozás:

A P pont alakváltozási állapotának meghatározása, és szemléltetése az elemi triéderen:

A Hooke-törvény: A ¯ ¯ = 1 2G ( F ¯ ¯ ν 1+ν F I E ¯ ¯ ),

F I = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 =70+50+10=130 MPa,

ν 1+ν F I = 0,3 1+0,3 130=30 MPa.

ε x = 10 5 20,8 ( 7030 )=2,5 10 4 , γ xy = τ xy G =0

ε y = 10 5 20,8 ( 5030 )=1,25 10 4 , γ yz = τ yz G =0

ε z = 10 5 20,8 ( 1030 )=1,25 10 4 , γ xz = τ xz G = 40 0,8 10 5 =5 10 4

[ A ¯ ¯ P ]=[ 2,5 0 2,5 0 1,25 0 2,5 0 1,25 ] 10 4

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki az általános Hooke-törvény értelmezését!
Jelölje be a helyes megoldást!
Az általános Hooke-törvény:
a) az anizotróp, négyzetesen rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
b) az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
c) az izotróp, exponenciálisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
d) az anizotróp, nem rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény tenzor egyenlet
e) az anizotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény vektor egyenlet
f) az izotróp, lineárisan rugalmas tulajdonságú anyagok anyagtörvénye, a Hooke-törvény vektor egyenlet
II. Csoportosítsa a következő fogalmakat jelentésükkel és a példákkal!
Írja a fogalmakat jelölő kisbetűket a megfelelő sorokba!
i) izotróp anyag
a) anizotróp anyag
Betűk (i, a)Jelentés, példa
az anyag, ha tulajdonságai iránytól függetlenek
pl.: kerámia
az anyag, ha tulajdonságai iránytól függőek
pl.: fém
pl.: szálerősítésű műanyag
pl.: üveg
pl.: fa
III. Válassza ki az anyag szakító diagramjának azt a szakaszát, amelyre a Hook törvény érvényes!
Írja be a megfelelő egész számot!



A keresett szakasz jele:

IV. Válassza ki az általános Hooke-törvényt leíró összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) A ¯ ¯ =G( F ¯ ¯ ν 1+ν F I E ¯ ¯ )
b) A ¯ ¯ = 1 2G ( ν 1+ν F I E ¯ ¯ )
c) A ¯ ¯ = 1 2G ( F ¯ ¯ ν 1+ν F I E ¯ ¯ )
d) A ¯ ¯ = 1 2G ( F ¯ ¯ ν 1+ν )
e) A ¯ ¯ = F ¯ ¯ ν 1+ν F I E ¯ ¯
V. Válassza ki a feszültségi tenzor első skalár invariánsának az értelmezését!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a tenzor főátlójában álló elemek összege
b) a tenzor főátlójában álló első két elem összege
c) a tenzor főátlójában álló elemek szorzata
d) a tenzor főátlója alatt álló elemek összege
e) a tenzor összes elemének az összege
f) a tenzor összes elemének a szorzata
VI. Válassza ki az általános Hooke-törvényt leíró összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) F ¯ ¯ =2( A ¯ ¯ + ν 12ν A I )
b) F ¯ ¯ =2G( ν 12ν A I E ¯ ¯ ) A ¯ ¯
c) F ¯ ¯ = A ¯ ¯ + ν 12ν A I E ¯ ¯ 2G
d) F ¯ ¯ = 2G A ¯ ¯ + A I E ¯ ¯
e) F ¯ ¯ =2G( A ¯ ¯ + ν 12ν A I E ¯ ¯ )
VII. Válassza ki az általános Hooke-törvény ε x -re vonatkozó helyes skaláris egyenletét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) ε x = 1 2G [ σ x + ν 1ν ( σ x + σ y + σ z ) ]
b) ε x = 1 2G [ σ x ν 1+ν ( σ x + σ y + σ z ) ]
c) ε x =2G[ ν 1+ν ( σ x + σ y + σ z ) ]
d) ε x = σ x + σ y + σ z 1+ν
VIII. Válassza ki az általános Hooke-törvény γ xz -re vonatkozó helyes skaláris egyenletét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) γ xz =G τ xz
b) γ xz = 1 G σ z
c) γ xz = 1 G σ x
d) γ xz = 1 G τ xz
e) γ xz = 1 G ( τ xz + σ x + σ z )