KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Elemi környezet szilárdságtani állapotai

3.2. Elemi környezet (pont) feszültségi állapota

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a feszültségvektor értelmezését;
  • kiválasztani a feszültségvektor jelét, mértékegységét;
  • kiválasztani a feszültségvektor összetevőinek, koordinátáinak a kiszámítását;
  • párosítani a nevezetes feszültségvektorokat a megfelelő ábrákkal;
  • párosítani a nevezetes feszültségvektorokat és a koordinátáik ábrázolását az elemi kockán;
  • kiválasztani egy pont (elemi környezet) feszültségállapotát megadó definíciót;
  • kiválasztani egy pont (elemi környezet) feszültségállapotát egyértelműen leíró jellemzőket;
  • kiválasztani a feszültség tenzor diadikus alakját;
  • kiválasztani a feszültség tenzor mátrixát;
  • megadni egy pont feszültségi állapotát egyértelműen jellemző skalár mennyiségek számát;
  • kiválasztani az n normálisú felületen fellépő feszültségvektort meghatározó összefüggést;
  • adatok alapján meghatározni egy pont feszültségi állapotát (feszültségvektorok és feszültség koordináták kiszámítása);
  • adatok alapján kiválasztani az elemi kockán a feszültségi állapotot szemléltető ábrát.
Elemi környezet (pont) feszültségi állapota

a)A feszültségvektor: a felületen megoszló belső erőrendszer intenzitásvektora (sűrűségvektora).

A feszültségvektor jele: ρ n

A vizsgált szilárd testre egyensúlyi erőrendszer hat.

A testet a P ponton átmenő síkkal gondolatban két részre bontjuk. Az egyes testrészeknek külön-külön is egyensúlyban kell lenniük. Ez csak úgy lehetséges, ha a metsző síkon, felületen megoszló belső erőrendszer ébred.

A metszet felületen ébredő erőrendszer sűrűségvektorát nevezzük feszültségvektornak. Jele ρ n .

n - a metsző felületen a testből kifelé mutató normális egységvektor ( a felületre).

A dA elemi felületen fellépő belső erő: d F b = ρ n dA .

A feszültségvektor az egységnyi felületre eső belső erő.

A feszültségvektor mértékegysége SI mértékrendszerben:

N m 2 =Pa (Pascal, ejtsd: paszkál).

A mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt mértékegység:

MN m 2 = N mm 2 =MPa (ejtsd megapaszkál).

A feszültségvektor két dologtól függ:

  • a P ponton átmenő metszet felület n normálisától,
  • a P pont helyének megválasztásától.

b)A feszültségvektor összetevői, koordinátái:

n - az elemi felület normális egységvektora,

l ,   m - az elemi felület síkjába eső, egymásra merőleges egységvektorok.

Összetevők (vektorok):

  • a normál feszültségvektor: σ n = ( n ρ n ) σ n n .
  • a csúsztató feszültségvektor: τ n = ρ n σ n n .

Koordináták (skalárok):

  • a normál feszültség: σ n = n ρ n = n σ n .
  • a csúsztató feszültségek: τ mn = m ρ n = m τ n .
    τ ln = l ρ n = l τ n .

c) Nevezetes feszültségvektorok:
(az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségek)

ρ z = τ xz i + τ yz j + σ z k
ρ y = τ xy i + σ y j + τ zy k
ρ x = σ x i + τ yx j + τ zx k

Ezek a feszültségvektorok egy ábrában, a P pont környezetéből kiragadott elemi kocka látható (x, y, z normálisú) oldalfelületein is ábrázolhatók.

A nevezetes feszültégvektorok szemléltetése az elemi kockán:

Az x normálisú (az yz síkkal párhuzamos)oldalfelületre a ρ x feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel.
Az y normálisú (a zx síkkal párhuzamos)oldalfelületre a ρ y feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel.
A z normálisú (az xy síkkal párhuzamos)felületre a ρ z feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel.

Az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségvektorok egyértelműen meghatározzák a P pont feszültségállapotát.

c) Pont (elemi környezet) feszültségállapota:

Definíció: Az adott P ponton átmenő valamennyi irányhoz (normálishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük.

Pont feszültségállapota a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorokkal, vagy az F ¯ ¯ P feszültségi tenzorral adható meg.

A feszültségi tenzor:

  • diadikus alakja: F ¯ ¯ P =( ρ x i + ρ y j + ρ z k ) ,
  • mátrixa: [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ] .

Pl. σ y - az y normálisú felületen fellépő normál feszültség,
τ zx - az x normálisú felületen fellépő z irányú csúsztató feszültség.

A feszültségi tenzor mátrixa szimmetrikus:

τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ xz = τ zx

A P pont (vagy P pont elemi környezetének) feszültségi állapotát 6 skaláris mennyiség egyértelműen meghatározza:

σ x , σ y , σ z , τ xy = τ yx , τ yz = τ zy , τ xz = τ zx . } 6 db. egymástól független skaláris mennyiség.

d) Feszültségvektor kiszámítása: ρ n = F ¯ ¯ P n .

A feszültségi tenzor ismeretében a P ponton átmenő valamennyi elemi síkon ébredő (bármely n normálishoz tartozó) feszültségvektor kiszámítható. (A feszültségi tenzor egyértelműen meghatározza a P pont feszültségi állapotát.)

1. feladat: A P pont elemi környezetének feszültségi állapota

| n |=| m |=| l |=1,

n m = l m = n l =0 .

Adott:

[ F ¯ ¯ P ]=[ 50 20 40 20 80 30 40 30 20 ] MPa,

n = 1 3 i + 2 3 j + 2 3 k ,

m = 2 3 i 1 3 j + 2 3 k ,

l = 2 3 i 2 3 j + 1 3 k .

Feladat:

a) A P pontban a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorok meghatározása.

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán.

c) A P pontban a ρ n feszültségvektor és a σ n , τ mn , τ ln feszültség koordináták meghatározása.

Megoldás:

a) A P pontban a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorok meghatározása:

[ ρ x ]=[ F ¯ ¯ P ][ i ]=[ 50 20 40 20 80 30 40 30 20 ][ 1 0 0 ]=[ 50 20 40 ] MPa.

ρ x = σ x i + τ yx j + τ zx k =(50 i +20 j 40 k ) MPa.

[ ρ y ]=[ F ¯ ¯ P ][ j ]=[ 50 20 40 20 80 30 40 30 20 ][ 0 1 0 ]=[ 20 80 30 ] MPa.

ρ y = τ xy i + σ y j + τ zy k =(20 i +80 j +30 k ) MPa.

[ ρ z ]=[ F ¯ ¯ P ][ k ]=[ 50 20 40 20 80 30 40 30 20 ][ 0 0 1 ]=[ 40 30 20 ] MPa.

ρ z = τ xz i + τ yz j + σ z k =(40 i +30 j 20 k ) MPa.

b) A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán:

[ F ¯ ¯ P ]= [ ρ x ] [ ρ y ] [ ρ z ] [ 50 20 40 20 80 30 40 30 20 ] MPa.

A feszültségi tenzor fenti alakban történő felírása arra hívja fel a figyelmet, hogy a tenzor oszlopaiban a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorok koordinátái állnak.

c) A P pontban a ρ n feszültségvektor és a σ n , τ mn , τ ln feszültség koordináták meghatározása:

[ ρ n ]=[ F ¯ ¯ P ][ n ]=[ 50 20 40 20 80 30 40 30 20 ][ 1 3 2 3 2 3 ]=[ ( 50 3 + 40 3 80 3 ) ( 20 3 + 160 3 + 60 3 ) ( 40 3 + 60 3 40 3 ) ]=[ 10 3 80 20 3 ] .

[ σ n ]=[ ρ n ][ n ]=[ 10 3 80 20 3 ][ 1 3 2 3 2 3 ]= 10 9 + 160 3 40 9 =50 MPa,

[ τ ln ]=[ ϱ n ][ l ]=[ 10 3 80 20 3 ][ 2 3 2 3 1 3 ]= 20 9 160 3 20 9 = 160 3 MPa,

[ τ mn ]=[ ρ n ][ m ]=[ 10 3 80 20 3 ][ 2 3 1 3 2 3 ]= 20 9 80 3 40 9 = 100 3 MPa.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki a metszet felületen ébredő feszültségvektor helyes leírását!
Jelölje be a helyes állítást!
A feszültségvektor...
a) a test belsejében kialakuló belső koncentrált erő intenzitásvektora
b) a felületen fellépő koncentrált erő által előidézett intenzitásvektor
c) a felületen megoszló belső erőrendszer intenzitásvektora
d) a felületen megoszló belső erőrendszer erőpárja
II. Válassza ki a feszültségvektor jelét!
Jelölje be a helyes választ!
a) ρ n
b) τ
c) σ
d) n
e) ε
f) k
III. Válassza ki a feszültségvektor alap mértékegységét SI mértékrendszerben!
Jelölje be a helyes választ!
a) MN m 2 = N mm 2 =MPa
b) N m 2 =Pa
c) N m
d) N rad
IV. Válassza ki a feszültségvektor mérnöki gyakorlatban leggyakrabban használt mértékegységét!
Jelölje be a helyes választ!
a) MN m 2 = N mm 2 =MPa
b) N m 2 =Pa
c) N m
d) N cm
V. Válassza ki a feszültségvektor meghatározását!
Jelölje be a helyes választ!
A feszültségvektor:
a) belső erő
b) külső erő
c) az egységnyi felületre eső külső és belső erőkből származik
d) az egységnyi felületre eső belső erő
b) az egységnyi felületre eső külső erő
VI. Válassza ki a P ponthoz tartozó feszültségvektort meghatározó jellemzőket!
Jelölje be a két helyes választ!
a) a külső és belső erők nagysága
b) a P ponton átmenő metszet felület n normálisa
c) a külső erőpár nagysága
d) a P pont elhelyezkedése
e) a nehézségi gyorsulás értéke
f) az egységnyi felületre eső külső és belső erők nagysága

VII. Csoportosítsa az ábra alapján a feszültségvektor összetevőinek, koordinátáinak a nevét valamint a jelét és az ezeket leíró összefüggéseket!

n) normál feszültségvektor
c) csúsztató feszültségvektor
k) normál feszültség koordináta
r) csúsztató feszültség koordináta

Írja a kisbetűket a megfelelő sorokba!
Betűjel (n, c, k, r)Jel, összefüggés
σ n
σ n
l τ n
τ n
m τ n
n σ n
m ρ n
ρ n σ n n
n ρ n
l ρ n
( n ρ n ) n
τ n

VIII. Csoportosítsa a nevezetes feszültségvektorokat a megfelelő ábrákkal!

Az x, y, z normálisú elemi felületeken ébredő feszültségek:

a) ρ z = τ xz i + τ yz j + σ z k

b) ρ y = τ xy i + σ y j + τ zy k

c) ρ x = σ x i + τ yx j + τ zx k

Írja a kisbetűket a megfelelő sorokba!
Betűjel (a, b, c)Ábrák

IX. Csoportosítsa a nevezetes feszültségvektorokat és a koordinátáik helyzetét az elemi kockán!

a) a ρ x feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel

b) a ρ y feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel

c) a ρ z feszültségvektor koordinátáit rajzoljuk fel

Írja a kisbetűket a megfelelő sorokba!
Betűjel (a, b, c)
az xy síkkal párhuzamosoldalfelületre
a zx síkkal párhuzamosoldalfelületre
a z normálisú oldalfelületre
az x normálisúoldalfelületre
a y normálisúoldalfelületre
az yz síkkal párhuzamosoldalfelületre
X. Válassza ki a P pont feszültségállapotának definícióját!
Jelölje be a helyes választ!
a) adott P ponton átmenő két irányhoz (normálishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük
b) adott P ponton átmenő egyetlen irányhoz (normálishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük
c) adott P ponton átmenő valamennyi irányhoz (normálishoz) hozzárendelt feszültségvektorok összességét (halmazát) a P pont feszültségállapotának nevezzük
XI. Válassza ki egy pont (elemi környezet) feszültségállapotát egyértelműen leíró jellemzőket!
Jelölje be a helyes két választ!
Egy pont feszültség állapota:
a) három erővel adható meg
b) egy erőpárral adható meg
c) a ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorokkal adható meg
d) az i , j , k egységvektorokkal adható meg
e) az F ¯ ¯ P feszültségi tenzorral adható meg
f) az A ¯ ¯ P alakváltozási tenzorral adható meg
g) az ε x , ε y , ε z fajlagos nyúlásokkal adható meg
h) a γ xy , γ yz , γ xz fajlagos szögváltozásokkal adható meg
XII. Válassza ki az feszültség tenzor helyes diadikus alakját!
Jelölje be a jó megoldást!
a) F ¯ ¯ P =( ρ x i + ρ y j + ρ z k )
b) A ¯ ¯ P =( a x i + a y j + a z k )
c) F ¯ ¯ P =( ρ x i + ρ y j + ρ z k )
d) F ¯ ¯ P =( a x m + a y n + a z o )
e) A ¯ ¯ P =( a x × ε + a y × γ + a z × γ )
f) F ¯ ¯ P =( ρ x × i + ρ y × j + ρ z × k )
XIII. Válassza ki a feszültségi tenzor helyes mátrixát!
Jelölje be a jó megoldást!
a) [ F ¯ ¯ P ]=[ 1 τ xy τ xz τ yx 1 τ yz τ zx τ zy 1 ]
b) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy σ x τ yx σ y τ yz σ z τ zy σ z ]
c) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z ]
d) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x 0 0 τ yx σ y 0 τ zx τ zy σ z ]
e) [ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz 1 σ y τ yz 1 1 σ z ]
XIV. Adja meg egy pont feszültségi állapotát egyértelműen jellemző skalár mennyiségek számát!
Írja be a megfelelő egész számot!

Egy pont alakváltozási állapotát egyértelműen skalár mennyiség jellemzi.

XV. Válassza ki a feszültségi tenzor mátrixának általános jellemzőjét!
Jelölje be a jó megoldást!
a) A feszültségi tenzor mátrixának a főátlója felett csak egyesek találhatók
b) A feszültségi tenzor mátrixa szimmetrikus
b) A feszültségi tenzor mátrixának a főátlójában csak egyes található
d) A feszültségi tenzor mátrixa nem mutat semmilyen szabályosságot
e) A feszültségi tenzor mátrixának a főátlója alatt csak nullák találhatók
XVI. Válassza ki a feszültségvektort meghatározó helyes összefüggést!
Jelölje be a jó megoldást!
a) α n = A ¯ ¯ P n
b) ρ n = F ¯ ¯ p × n
c) ρ n = F ¯ ¯ p n
d) α n = F ¯ ¯ p n
e) ρ n = F ¯ ¯ P n

XVII. Határozza meg a P pont elemi környezetének feszültségi állapotát!
A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre!

Adatok:

Adott:

ρ n =(400 i +300 j +200 k ) MPa,
n =0,8 i +0,6 k .

Feladat:

a) A σ n normál feszültség koordináta meghatározása.
b) A τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása.

1. Adja meg σ n normál feszültség koordináta értékét!
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet használja!

A normál feszültség koordináta σ n = MPa.

2. Adja meg a τ n csúsztató feszültségi vektort!
Írja be a megfelelő egész számot! A pozitív és negatív előjelet egyaránt használja!

A csúsztató feszültségi vektor τ n = ( i j k ) MPa