9. Egytengelyű feszültségi állapotot eredményező összetett igénybevételek
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani a rudak összetett igénybevételei esetében a szuperpozíció elv alkalmazhatóságának a feltételét;
- kiválasztani a húzásból és az egyenes hajlításból származó feszültség meghatározásra alkalmas összefüggést;
- kiválasztani a zérusvonal helyét meghatározó összefüggést;
- kiválasztani a veszélyes pont értelmezését;
- húzás-nyomás és egyenes hajlítás esetén meghatározni a zérusvonal helyét, a veszélyes pontokat, a legnagyobb feszültséget;
- húzás-nyomás és egyenes hajlítás esetén megrajzolni az y és a z tengelyek mentén a feszültségeloszlást;
|
- kiválasztani a ferde hajlítás értelmezéseit;
- kiválasztani a tehetetlenségi főtengely értelmezését;
- kiválasztani ferde hajlítás esetén a tehetetlenségi főtengely, a zérusvonal értelmezését;
- kiválasztani ferde hajlítás esetén a hajlítónyomaték felbontását megadó összefüggést;
- kiválasztani ferde hajlítás esetén a feszültséget megadó összefüggést;
- kiválasztani ferde hajlítás esetén a zérusvonalat meghatározó összefüggést;
- kiválasztani a ferde hajlítás esetén a veszélyes pont helyének az értelmezését;
- ferde hajlítás esetén meghatározni a zérusvonal helyét, a veszélyes pontokat és adott pontokban a feszültségi állapot tenzorát;
- ferde hajlítás esetén esetén megrajzolni a feszültségeloszlást;
|
- kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás definícióját;
- kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomást helyettesítő igénybevételeket;
- kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás feszültségi tenzorát;
- kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén az igénybevételeket meghatározó összefüggést;
- kiválasztani az excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén a zérusvonal egyenletét;
- kiválasztani a magidom meghatározását;
- excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén meghatározni a rúd igénybevételeit, a keresztmetszet jellemzőit, a zérusvonal egyenletét, a veszélyes pontot és a legnagyobb feszültséget;
- excentrikus (külpontos) húzás-nyomás esetén megrajzolni az y és a z tengelyek mentén a feszültségeloszlást.
|
Rudak összetett igénybevételeinek vizsgálatánál lineárisan rugalmas esetben alkalmazható a szuperpozíció elv. |
Ez azt jelenti, hogy összetett igénybevételek esetén az egyszerű igénybevételek szilárdságtani állapotai összegezhetők. |
Ilyen eset például: N, Mh 0, N, Mc 0, Mh, Mc 0 stb. |
Kivételes eset: Ty, Mh 0. (A nyírás csak hajlítással együtt fordul elő.) |
9.1. Húzás-nyomás és egyenes hajlítás |

|
Az ábrán az , eset látható. |
Feltételezés: az y tengely a keresztmetszet szimmetria tengelye. Ha ez a feltétel teljesül, akkor az y és z tengelyek a keresztmetszet S ponti tehetetlenségi főtengelyei. egyenes hajlítás. |
A húzásból származó feszültség: . |
A hajlításból származó feszültség: . |
A húzásból és az egyenes hajlításból származó feszültség (szuperpozíció): . |
Feszültségeloszlás: |

|
Veszélyes pont: A keresztmetszetnek az a pontja, ahol a feszültség maximális (legnagyobb). Ebben az esetben a veszélyes pont: V. |
. |
Zérusvonal: a keresztmetszetnek azon pontjai, ahol a zérus. |
. |
Veszélyes pont: A keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontja. A veszélyes pontnak ez a meghatározása csak abban az esetben igaz, amikor egytengelyű feszültségi állapot van. |
Méretezés húzás + hajlítás esetében (iterációs eljárás 5 lépésben): |
1. | Elhanyagoljuk a húzást. | 2. | Meghatározzuk a szükséges geometriai méreteket csak hajlításra. | 3. | Kiválasztunk egy nagyobb szabványos geometriai méretet, mint a szükséges geometriai méret. | 4. | A kiválasztott szabványos keresztmetszetű tartót ellenőrizzük húzás + hajlítás eredeti terhelésre. | 5. | Ha megfelel a tartó, akkor ezt építjük be, ha nem felel meg, akkor választunk egy ennél nagyobb szabványos méretet, és a 4. ponttól ismételjük az eljárást. |
|
1. Gyakorlati példa húzás és hajlításra: fúrógép oszlop igénybevételei. Gk - a konzol súlyereje, Ff - a fúrásból származó erő. A terhelések redukciója az oszlop középvonalába: , . |
A valóságos szerkezet és a mechanikai modell:

|
2. Gyakorlati példa nyomásra és hajlításra: beton oszlop feszültségei szélterhelésre. |

|
Adatok: Az oszlop méretei: cm, cm, m, Az oszlop tömegsűrűsége: kg/m3, A szélnyomás: N/m2. |
Feladat: A beton pillér (oszlop) alsó, keresztmetszetében ébredő feszültségek meghatározása |
Megoldás: |
Az A keresztmetszet igénybevételei: |
. |
A felületi terhelést a súlyponti szálba, vonal mentén megoszló terhelésre redukáljuk: |
. |
. |
. |

|
Feszültségek az A keresztmetszetben: |
. |
, |
. |
Feszültségek a bal oldalon: |
Feszültségek a jobb oldalon: . |
| 1. gyakorló feladat: Nyomás és egyenes hajlítás |
Adott: |

|
mm, |
mm, |
kN, |
kNm, |
MPa. |
Feladat: a) A rúd igénybevételeinek meghatározása. b) A zérusvonal egyenletének felírása. c) Feszültségeloszlás megrajzolása az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása. d) A legnagyobb feszültség meghatározása. e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A rúd igénybevételeinek meghatározása: |
A rúd nyomott: kN. |  | A rúd y tengely körül hajlított: kNm. |  |
|
b) A zérusvonal egyenletének a felírása: |
, , |
|
mm. |
c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása: |
Veszélyes pontok: az AB oldalon lévő pontok. |

|
d) A legnagyobb feszültség meghatározása: |
MPa, |
MPa, |
MPa. |
e) A tényleges biztonsági tényező meghatározása: |
. |
| 9.2. Ferde hajlítás |
Ferde hajlítás: ha az nyomatékvektor nem párhuzamos a keresztmetszet egyik tehetetlenségi főtengelyével sem. |
Tehetetlenségi főtengely: az x és y tengely, ha Ixy=Iyx=0. |
Zérusvonal: a keresztmetszet azon pontjai, ahol . |
Ferde hajlítás (másik definíció): ha az nyomatékvektor nem párhuzamos a zérusvonallal. |
Feltételezés:x,y a keresztmetszet tehetetlenségi főtengelyei. |

|
Megoldás: Az hajlítónyomatékot felbontjuk a tehetetlenségi főtengelyek irányába eső koordinátákra: |
|
Ferde hajlítás két egyenes hajlítás szuperpoziciója (összegzése). |
, |
. |
Feszültségeloszlás: |

|
Zérusvonal:. |
Az összefüggést átrendezve: |
, |
- az nyomatékvektornak a (pozitív) z tengellyel bezárt szöge, |
- a zérusvonalnak a (pozítív) z tengellyel bezárt szöge. |
A zérusvonal általában nem párhuzamos az nyomatékvektorral. Ez alól csak az eset (az egyenes hajlítás esete) a kivétel. Ha és , akkor a negatív. |
. |
A feszültség a zérusvonaltól távolodva lineárisan növekszik. |
Veszélyes pontok (max. feszültség): a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb levő pontjai: itt A és B. |
Gyakorlati példa: esztergakés igénybevételei. |

|
A kés szárának befogását befalazással modellezzük. |
Ff - a forgácsolásból származó erő, |
Fe - az előtolásból származó erő, ha a kés a -z tengely irányában mozog a munkadarab mentén. |
Mechanikai modell: térbeli terhelésű befalazott tartó. |

|
Igénybevételi ábrák: |
 
|
Veszélyes keresztmetszet: B A B keresztmetszet igénybevételei: , . |

|
Zérusvonal: . és , ezért az iránytangens pozitív. Mivel . |
Veszélyes pontok: C, D. |
| 2. gyakorló feladat: Ferde hajlítás |
Adott: A rúd K keresztmetszetének méretei és igénybevétele: Nm, mm, mm. |

|
Feladat: a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése. b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban. c) A zérusvonal egyenletének meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A feszültségeloszlás megrajzolása és a veszélyes pontok megkeresése: |

|
Veszélyes pontok a B és C. |
b) A feszültségállapot meghatározása az A, B és C pontokban: |
Keresztmetszeti jellemzők: mm3, mm3. |
A keresztmetszet igénybevétele ferde hajlítás: |
Nm, . |
A feszültség a keresztmetszet tetszőleges pontjában: |
. |
Feszültségállapot az A, B és C pontokban: |
|
MPa, |
MPa. |
|
MPa, |
MPa. |
|
MPa, |
MPa. |
c) A zérusvonal egyenletének meghatározása: |
. |
|
|

|
| 9.3. Excentrikus (külpontos) húzás-nyomás |
Definíció: Ha a keresztmetszetre ható erőrendszer eredője a rúd tengelyével párhuzamos egyetlen olyan erő, amelynek hatásvonala nem megy át a keresztmetszet S pontján. |

|
- az F erő támadáspontjának helykoordinátái (adott értékek). |

|
Az erőt redukáljuk a keresztmetszet S pontjába. |
húzás + ferde hajlítás.
ferde hajlítás két egyenes hajlítás.
A rúd igénybevételei: . |
|
A rúd pontjaiban egytengelyű feszültség állapot alakul ki: |
, . |
Az igénybevételeket behelyettesítve: . |
Az inercia sugarat bevezetve: . |
A rúdirányú normál feszültség: . |
Húzás esetén: . |
Nyomás esetén: . |
A zérusvonal egyenlete: |
, . |
A zérusvonal nem függ az erő nagyságától és előjelétől. A zérusvonal csak az erő támadáspontjának helykoordinátáitól függ. |
Az egyenes általános (matematikában szokásos) alakja: . |
A zérusvonal iránytangense: . |
A zérusvonal metszése az y tengellyel: . |
A zérusvonal nem megy át a keresztmetszet S pontján (). |
Feszültségeloszlás: |

|
. |
A feszültség a zérusvonaltól távolodva lineárisan növekszik. Veszélyes pont: a keresztmetszetnek a zérusvonaltól legtávolabb eső pontja. Veszélyes pont itt az A pont. |
Magidom (belső mag): azon támadáspontok mértani helye, amelyeken ható F erő esetén a keresztmetszeten csak azonos előjelű feszültségek keletkeznek. |
Ha az erő támadáspontja, a magidomon belül van, akkor a hozzá tartozó zérusvonal nem metsz bele a keresztmetszetbe a keresztmetszeten csak egynemű (+ vagy -) feszültség lép fel. |

|
|
A keresztmetszet bal alsó, sarokpontján átmenő zérus-vonalakhoz tartozó támadás-pontok (egyenest alkotnak) egyenlete: |
; ; |
. |
Ez az egyenes a magidom egyik határvonala. |
Méretezés ugyanúgy történik, mint az a húzás-nyomás + hajlítás esetében le van írva (lásd 9.1. pont). |
| 3. gyakorló feladat: Excentrikus nyomás |
Adott: MNN, m, |

|
Feladat: a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a meghatározása az keresztmetszeten. b) A zérusvonal egyenletének a felírása. c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén és a veszélyes pont meghatározása. d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A rúd igénybevételeinek és a keresztmetszet jellemzőinek a meghatározás az keresztmetszeten: |
A rúd excentrikusan nyomott, tehát igénybevétele húzás-nyomás és ferde hajlítás: |
N MN, |
NmMNmNmm, |
NmMNm Nmm. |

|
|
|
|
b) A zérusvonal egyenletének a felírása: |
|
. |
. |

|
c) Feszültségeloszlás az y és a z tengelyek mentén, illetve a veszélyes pontok meghatározása: |

|
d) A keresztmetszeten fellépő legnagyobb feszültség meghatározása: |
. |
|
|