KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rudak egyszerű igénybevételei

4.2. A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a tönkremenetel, az előírt biztonsági tényező, a tényleges biztonsági tényező, a szilárdságtani ellenőrzés és méretezés fogalmát valamint az ezekhez szükséges matematikai összefüggéseket;
  • húzás-nyomás esetén meghatározni a rúd terhelhetőségét, hosszváltozását;
  • húzás-nyomás esetén megrajzolni az y és a z tengelyek mentén a keresztmetszeten ébredő feszültségek eloszlását;
  • húzás-nyomás esetén meghatározni a P pontban a feszültségi állapotot, a feszültségi tenzor mátrixát, majd a feszültségi állapotot szemléltetni az elemi kockán;
  • húzás-nyomás esetén elvégezni a rúd szilárdságtani ellenőrzését és méretezését;
  • húzás-nyomás esetén meghatározni a P pontban: a feszültségi vektort, a normál feszültséget és a csúsztató feszültséget;
  • húzás-nyomás esetén meghatározni a rúdban felhalmozott rugalmas energiát.
A szilárdságtani méretezés, ellenőrzés

Az ebben a pontban leírtak húzásra minden korlátozás nélkül, nyomásra viszont csak zömök rudakra érvényesek.

A nyomás esete az 5. fejezetben tárgyalt kiegészítésekkel kezelhető.

a) A feladatok kitűzése:

A szilárdságtani ellenőrzés:
Adott a rúd anyaga, igénybevételei és keresztmetszetének méretei.
Kérdés, hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal el tudja-e viselni?

A szilárdsági méretezés:
Adott a rúd anyaga és igénybevételei!
Feladat a keresztmetszet méreteinek meghatározása úgy, hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal elviselje.

b) Tönkremenetel (határállapot):

Tönkremenetel: Azon állapot, amelynek bekövetkeztekor a szerkezet rendeltetésszerű használatra alkalmatlanná válik.

σ jell - a rúd anyagának tönkremenetelére jellemző mennyiség.

A szakító diagram jellege (alakítható anyag esetén):

σ jell lehet pl.:
R m , vagy σ B - szakítószilárdság,
R p0,2 , vagy σ F - folyáshatár.

A választás függ a szerkezet funkciójától, a terhelés időbeni lefolyásától stb. A választást gyakran szabványok előírják.

c) Biztonsági tényezők:

  • Előírt biztonsági tényező: n
    σ meg = σ jell n . σ meg - megengedett feszültség.
    Az n>1 előírt minimális biztonsági tényezőt szabvány, vagy ennek hiányában egyéni megfontolás alapján kell megválasztani.
  • Tényleges biztonsági tényező: n t
    n t = σ jell σ t . σ t - a rúdban fellépő tényleges feszültség.
    n t >1 A tényleges biztonsági tényezőnek nagyobbnak kell lennie egynél.

d) Szilárdságtani ellenőrzés, méretezés:

  • Ellenőrzés:
    A rúd szilárdságtani szempontból megfelel, ha teljesülnek az alábbi egyenlőtlenség:
    | σ x | < ¯ ¯ σ meg = σ jell n .
    Ha a fenti reláció nem áll fenn, akkor a rúd szilárdságtani szempontból nem felel meg.
  • Méretezés:
    A rúd keresztmetszetének méretét kell meghatározni:
    | σ x |= | N | A σ meg A A szüks = | N | σ meg .
    A szüks - a keresztmetszet szükséges területe (ahhoz szükséges, hogy a rúd az adott húzó-nyomó igénybevétel esetén ne menjen tönkre).
    Az A-ból a keresztmetszet jellemző mérete kiszámítható.
    A keresztmetszet jellemező méretére lehetőleg szabványos vagy kerekített értéket kell választani. (Például a d=98,56mm méret választása nem szerencsés, viszont a d = 100 mm választás jó megoldás.)
1. gyakorló feladat: Változó keresztmetszetű rúd húzása

Adott:
l 1 =600 mm, l 2 =200 mm, d 1 =40 mm, d 2 =30 mm,
σ meg =200 MPa, E=2,1 10 5 MPa.

Feladat:

a) A rúd terhelhetőségének meghatározása.
b) A rúd hosszváltozásának a meghatározása az a) pontban meghatározott megengedett terhelés esetén.

Kidolgozás:

a) A rúd terhelhetőségének meghatározása:

σ x1 = F A 1 ; σ x2 = F A 2 .

Mivel A 1 > A 2 , ezért σ x1 < σ x2 , így σ max = σ x2 = F A 2 σ meg .

Ebből: F meg = A 2 σ meg = d 2 2 π 4 σ meg = 30 2 π 4 200=141,37 kN.

b) A rúd hosszváltozásának a meghatározása az a) pontban meghatározott megengedett terhelés esetén:

Δl=Δ l 1 +Δ l 2 = l 1 ε x1 + l 2 ε x2 = l 1 σ x1 E + l 2 σ x2 E = l 1 F E A 1 + l 2 F E A 2 =

= 4F Eπ ( l 1 d 1 2 + l 2 d 2 2 )= 4141370 210000π ( 600 40 2 + 200 30 2 )=0,512 mm.

2. gyakorló feladat: Vékony falú cső húzása

Adott:
N=30 kN, D=40 mm, d=36 mm, e n = 3 2 i 1 2 j ,
σ meg =140MPa .

Feladat:

a) Az F ¯ ¯ feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán.
b) A cső szilárdságtani ellenőrzése.
c) Az e n normálisú S síkon a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség koordináta és a τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása.

Kidolgozás:

a) Az F ¯ ¯ feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása és a feszültségi állapot ábrázolása az elemi kockán:

A= ( D 2 d 2 )π 4 = ( 40 2 36 2 )π 4 =238,76 mm2,

σ x = N A = 30 10 3 238,64 =125,65 MPa,

[ F ¯ ¯ ]=[ 125,65 0 0 0 0 0 0 0 0 ] MPa.

b) A cső szilárdságtani ellenőrzése:

σ x < σ meg ( 125,65<140 ),
tehát a cső szilárdságtani szempontból megfelel.

c) Az e n normálisú S síkon a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség és a τ n csúsztató feszültségi vektor meghatározása:

[ ρ n ]=[ F ¯ ¯ P ][ e n ]=[ 125,65 0 0 0 0 0 0 0 0 ][ 0,5 3 0,5 0 ]=[ 108,82 0 0 ] MPa,

ρ n =( 108,82 i ) MPa.

A σ n normál feszültség:

σ n = e n ρ n =( 3 2 i 1 2 j )( 108,82 i )=94,24 MPa.

A τ n csúsztató feszültségi vektor:

τ n =( e n × ρ n )× e n = ρ n ( e n ρ n ) e n = ρ n σ n e n = ρ n σ n =

=108,82 i 94,24( 3 2 i 1 2 j )=( 27,21 i +47,12 j ) MPa.

A feszültség vektorok szemléltetése:

3. gyakorló feladat: Prizmatikus zömök rúd nyomása

Adott:

n =0,8 i +0,6 j m =0,6 i +0,8 j N=600 kN,

a=50 mm, l=100 mm, σ meg =200MPa , E=2 10 5 MPa .

Feladat:

a) A keresztmetszeten ébredő feszültségek eloszlásának megrajzolása az y és a z tengelyek mentén.
b) A P pontban a feszültségi állapot meghatározása és szemléltetése az elemi kockán.
c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése.
d) A P pontban a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség és a τ mn csúsztató feszültség meghatározása.
e) A rúdban felhalmozott rugalmas energia meghatározása.

Kidolgozás:

a) A keresztmetszeten ébredő feszültségek eloszlásának megrajzolása a z és az y tengelyek mentén:

b) A P pontban a feszültségi állapotnak a meghatározása és szemléltetése az elemi kockán:

A= a 2 = 50 2 =2500 mm2.

σ x = N A = 600 10 3 2500 =240 MPa.

[ F ¯ ¯ P ]=[ σ x 0 0 0 0 0 0 0 0 ]=[ 240 0 0 0 0 0 0 0 0 ] MPa.

c) A rúd szilárdságtani ellenőrzése:

| σ x |> σ meg ( 240>200 ),
tehát a cső szilárdságtani szempontból nem felel meg.

d) A P pontban a ρ n feszültségi vektor, a σ n normál feszültség és a τ mn csúsztató feszültség meghatározása:

[ ρ n ]=[ F ¯ ¯ P ][ n ]=[ 240 0 0 0 0 0 0 0 0 ][ 0,8 0,6 0 ]=[ 192 0 0 ] MPa,

ρ n =( 192 i ) MPa,

σ n = n ρ n =( 0,8 i +0,6 j )( 192 i )=153,6 MPa,

τ mn = m ρ n =( 0,6 i +0,8 j )( 192 i )=115,2 MPa.

e) A rúdban felhalmozott rugalmas energia meghatározása.

U= N 2 l 2AE = ( 6 10 5 ) 2 100 225002 10 5 =36000Nmm=36J .

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Csoportosítsa a fogalmakat az értelmezésükkel vagy az összefüggésekkel!

a) szilárdságtani ellenőrzés
m) szilárdsági méretezés
t) tönkremenetel
e) előírt biztonsági tényező
b) tényleges biztonsági tényező

Írja a kisbetűket a megfelelő mondat vagy összefüggés mellé!
BetűkMondatok
σ meg = σ jell n
n t = σ jell σ t
A rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal el tudja-e viselni?
A keresztmetszet méreteinek meghatározása úgy, hogy a rúd az adott igénybevételt kellő biztonsággal elviselje.
Azon állapot, amelynek bekövetkeztekor a szerkezet rendeltetésszerű használatra alkalmatlanná válik.
| σ x | < ¯ ¯ σ meg = σ jell n
| σ x |= | N | A σ meg     A A szüks = | N | σ meg
A biztonsági tényezőt szabvány, vagy ennek hiányában egyéni megfontolás alapján kell megválasztani.

II. Határozza meg a prizmatikus rúd húzása során fellépő igénybevételeket!
A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre!

Adott:
a=20 mm, Δl=20μm , l=200 mm, E=2 10 5 MPa,
x P =3 mm, y P =5 mm, ν=0,3 , Δa=4,5μm .

Feladat:

a) Az ε x hosszirányú, valamint az ε y és az ε z keresztirányú nyúlások meghatározása abban az esetben ha a rúd hosszváltozása Δl .
b) A P pontban az A ¯ ¯ P alakváltozási tenzor mátrixának a meghatározása az xyz , valamint a ξηζ koordinátarendszerben.
c) Az F ¯ ¯ P feszültségi tenzor mátrixának a meghatározása a P pontban.
d) Az N rúderő meghatározása.
e) Az N rúderő meghatározása abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása Δa .

1. Adja meg az ε x értékét!
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet adja meg!

A hosszirányú nyúlás ε x = 10 4 .

2. Válassza ki az ε y értékét!
Jelölje be a helyes választ!
a) ε y =1 10 3
b) ε y =0,3 10 4
c) ε y =2 10 4
d) ε y =0,61 10 4
e) ε y =0,8 10 4
f) ε y =0,23 10 4
3. Válassza ki az ε z értékét!
Jelölje be a helyes választ!
a) ε z =1 10 3
b) ε z =0,3 10 4
c) ε z =2 10 4
d) ε z =0,61 10 4
e) ε z =0,8 10 4
f) ε z =0,43 10 4
4. Adja meg a P pontban az A ¯ ¯ P alakváltozási tenzor mátrixát az xyz koordinátarendszerben!
Írja be a táblázatba a megfelelő egész számokat! Csak a negatív előjelet adja meg!
[ A ¯ ¯ P ] (xyz) 10 5
5. Adja meg a P pontban az A ¯ ¯ P alakváltozási tenzor mátrixát a ξηζ koordinátarendszerben!
Írja be a táblázatba a megfelelő egész számokat! Csak a negatív előjelet adja meg!
[ A ¯ ¯ P ] (ξηξ) 10 5
6. Adja meg a P pontban az F ¯ ¯ P feszültségi tenzor mátrixát!
Írja be a táblázatba a megfelelő egész számokat! Csak a negatív előjelet adja meg!
[ F ¯ ¯ P ] (xyz) MPa
7. Adja az N rúderő értékét!
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet adja meg!

Az N rúderő = N.

8. Adja az N rúderő értékét abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása Δa !
Írja be a megfelelő egész számot! Csak a negatív előjelet adja meg!

Az N rúderő abban az esetben, ha az a jelű méret megváltozása Δa : N = N.