KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Általános szilárdságtani állapotok

7.4. Szilárdságtani méretezési, ellenőrzési elméletek

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani azt az összefüggést, amely egytengelyű feszültségi állapot esetén szilárdságtani ellenőrzésre alkalmas;
  • kiválasztani azt az összefüggést, amely tetszőleges térbeli feszültségi állapot esetén szilárdságtani ellenőrzésre alkalmas;
  • kiválasztani az egytengelyű feszültségi állapot szilárdságtani ellenőrzésre használt összefüggés e változóinak az értelmezését;
  • kiválasztani a redukált feszültség/ összehasonlító feszültség/ egyenértékű feszültség definícióit;
  • kiválasztani a redukált feszültség meghatározására alkalmas elméleteket;
  • kiválasztani a Coulomb, a Mohr és a Huber-Mises-Hencky (HMH) elméletet;
  • kiválasztani a Coulomb, a Mohr és a Huber-Mises-Hencky (HMH) féle redukált feszültséget meghatározó összefüggéseket;
  • adatok alapján meghatározni a Coulomb, a Mohr és a Huber-Mises-Hencky (HMH) féle redukált feszültséget;
  • redukált feszültségek alapján elvégezni a szilárdságtani mértezést, ellenőrzést.
Szilárdságtani méretezési, ellenőrzési elméletek

a) Speciális eset - egytengelyű feszültség állapot:

σ x σ meg = σ jell n , ahol σ jell a tönkremenetelre jellemző feszültség és n az előírt biztonsági tényező.

Itt nincs probléma, mert csak egy feszültségkoordináta, a σ x nem nulla. Ezt kell összehasonlítani a tönkremenetelre jellemző feszültséggel.
Az anyag tönkremenetelét jellemző feszültség ismert az egytengelyű feszültségi állapotra! (húzó-nyomó kísérlet - szakító diagram).

b) Általános eset - tetszőleges térbeli feszültség állapot:

[ F ¯ ¯ P ]=[ σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ xy σ z ]

Nem tudom, hogy melyik feszültség koordinátát hasonlítsam össze a σ meg = σ jell n értékkel.

Redukált feszültség/ összehasonlító feszültség/ egyenértékű feszültség:

1. definíció: Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültség állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen úgy jellemzi, mintha az egytengelyű lenne.

2. definíció: Egy pont általános térbeli feszültségállapotával azonosan veszélyes egytengelyű húzófeszültség.

A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges térbeli feszültség állapotot egytengelyű feszültség állapotra vezetjük vissza.

c) Elméletek a redukált feszültség meghatározására:

  • Coulomb elmélet:
    Tönkremenetel az anyag egy pontjában akkor következik be, ha ott a legnagyobb normálfeszültség eléri a szakító, vagy a nyomó szilárdság értékét.
    A Coulomb elmélet rideg anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését abban az esetben, ha van egy domináns főfeszültség, amihez képest a másik két főfeszültség kicsi.
  • A Coulomb-féle redukált feszültség:
    σ red ( Coulomb )=max( | σ 1 |,| σ 3 | ) .
    Coulomb szerint a redukált feszültség egyenlő a főfeszültségek közül az abszolút értékben vett legnagyobbal. Az összefüggésben σ 1 a legnagyobb és σ 3 a legkisebb főfeszültség.
  • Mohr-elmélet:
    Két általános térbeli feszültségállapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha a hozzájuk tartozó legnagyobb Mohr kör átmérője megegyező.
    A Mohr-elmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését.
  • Mohr-féle redukált feszültség:
    σ red ( Mohr )= σ 1 σ 3 .
    Mohr szerint a pontbeli feszültség állapotot a károsodás szempontjából a legnagyobb Mohr-kör átmérője jellemzi. Az összefüggésben σ 1 a legnagyobb és σ 3 a legkisebb főfeszültség.
  • Huber-Mises-Hencky (HMH) elmélet:
    Két feszültségi állapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha torzulási alakváltozási energiájuk megegyezik. A HMH elmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését. A Mohr és a HMH elmélet szerint számított redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól.
    Általában σ red (HMH) σ red (Mohr) .
  • Huber-Mises-Hencky-féle redukált feszültség
    A redukált feszültség négyzete arányos az uT torzulási energiával.
    A főtengelyek 1,2,3 koordináta-rendszerében vett feszültségi koordinátákkal:
    σ red ( HMH )= 1 2 [ ( σ 1 σ 2 ) 2 + ( σ 1 σ 3 ) 2 + ( σ 2 σ 3 ) 2 ] .
    Az x,y,z koordináta-rendszerben vett feszültségi koordinátákkal:
    σ red ( HMH )= 1 2 [ ( σ x σ y ) 2 + ( σ y σ z ) 2 + ( σ x σ z ) 2 +6( τ xy 2 + τ yz 2 + τ xz 2 ) ]

d) Méretezés, ellenőrzés tetszőleges térbeli feszültségi állapot esetén:

A szerkezet szilárdságtani szempontból megfelel, ha a σ red σ meg = σ jell n feltétel teljesül a szerkezet minden pontjában.

Tetszőleges térbeli feszültségi állapot esetén mindig a redukált (összehasonlító, egyenértékű) feszültséget hasonlítjuk össze az anyagra vonatkozó megengedett feszültség értékével.

A méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén:

  • A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének (keresztmetszeteinek) megkeresése.
    A szerkezetnek az a veszélyes keresztmetszete, ahol az igénybevételek a legnagyobbak.
  • A veszélyes keresztmetszeten a veszélyes pontok megkeresése.
    A keresztmetszetnek az a veszélyes pontja (pontjai), ahol a σ red redukált feszültség a legnagyobb.
  • A veszélyes pontban (pontokban) a méretezés, ellenőrzés elvégzése a σ redmax σ meg összefüggés alapján.
1. gyakorló feladat: A redukált feszültségek meghatározása

Adott:

[ F ¯ ¯ P ]=[ 70 0 40 0 50 0 40 0 10 ] MPa,

ν=0,3 , G=80 GPa.

Feladat:
a) A főfeszültségek és főirányok meghatározása.
b) A redukált feszültségek meghatározása.

Kidolgozás:

a) A főfeszültségek és főirányok meghatározása:

σ 1 = σ x + σ z 2 + ( σ x σ z 2 ) 2 + τ xz 2 =90 MPa,

σ 2 = σ y =50 MPa,

σ 3 = σ x + σ z 2 ( σ x σ z 2 ) 2 + τ xz 2 =10 MPa,

tg α z1 = 40 20 =2 n 1 = 2 5 i + 1 5 k ,

n 2 = j ,

n 3 = 1 5 i + 2 5 k .

b) A redukált feszültségek meghatározása:

σ red (Coulomb)=max( | σ 1 |,| σ 3 | )=90 MPa

σ red (Mohr)= σ 1 σ 3 =100 MPa

σ red ( HMH )= 1 2 [ ( σ 1 σ 2 ) 2 + ( σ 1 σ 3 ) 2 + ( σ 2 σ 3 ) 2 ] = = 1 2 [ ( 9050 ) 2 + ( 90( 10 ) ) 2 + ( 50( 10 ) ) 2 ] =87,18MPa.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki azt az összefüggést, amely egytengelyű feszültségi állapot szilárdságtani ellenőrzésre alkalmas!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) σ x σ meg = σ jell n , ahol σ jell a tönkremenetelre jellemző feszültség és n<1 az előírt biztonsági tényező
b) σ x σ meg = σ jell n , ahol σ jell a tönkremenetelre jellemző feszültség és n az előírt biztonsági tényező
c) σ x σ meg = σ jell n , ahol σ jell a tönkremenetelre jellemző feszültség és n<1 az előírt biztonsági tényező
d) σ x σ meg =n σ jell , ahol σ jell a tönkremenetelre jellemző feszültség és n<1 az előírt biztonsági tényező
II. Válassza ki azt az összefüggést, amely tetszőleges térbeli feszültségi állapot szilárdságtani ellenőrzésre alkalmas!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) σ red σ meg = σ jell n , ahol n<1
b) σ red σ meg =n σ jell , ahol n>1
c) σ red σ meg = σ jell n
d) σ redmax σ meg = σ jell n
III. Válassza ki a redukált feszültség (összehasonlító feszültség/ egyenértékű feszültség) definícióját!
Jelölje be a két helyes megoldást!
a) Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültség állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen úgy jellemzi, mintha az egytengelyű lenne.
b) Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültség állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen úgy jellemzi, mintha az többtengelyű lenne.
c) Egy pont általános térbeli feszültségállapotával azonosan veszélyes egytengelyű húzófeszültség.
d) Egy pont általános térbeli feszültségállapotával azonosan veszélyes egytengelyű csavaró feszültség.
e) Egy pont általános térbeli feszültségállapotával azonosan veszélyes egytengelyű nyíró feszültség.
IV. Csoportosítsa a redukált feszültség meghatározására alkalmas elméletek nevét, értelmezését és jellemző alkalmazási területét!
Írja a nevek előtti kisbetűket a megfelelő sorba!
c) Coulomb elmélet
h) Huber-Mises-Hencky (HMH) elmélet
Betű (c, h)Elmélet
Tönkremenetel az anyag egy pontjában akkor következik be, ha ott a legnagyobb normálfeszültség eléri a szakító, vagy a nyomó szilárdság értékét.
Ez azelmélet alakítható anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését.
Két feszültségi állapot tönkremenetel szempontjából akkor azonosan veszélyes, ha torzulási alakváltozási energiájuk megegyezik.
Ez az elmélet rideg anyagok esetén adja meg jól a tönkremenetel bekövetkezését abban az esetben, ha van egy domináns főfeszültség, amihez képest a másik két főfeszültség kicsi
V. Csoportosítsa a redukált feszültség meghatározására alkalmas elméletek nevét és számításhoz alkalmazott összefüggést!
Írja a nevek előtti kisbetűket a megfelelő sorba!
c) Coulomb-elmélet
m) Mohr-elmélet
h) Huber-Mises-Hencky (HMH) elmélet
Betű (c, m, h)Kiszámítás módja
σ red = 1 2 [ ( σ x σ y ) 2 + ( σ y σ z ) 2 + ( σ x σ z ) 2 +6( τ xy 2 + τ yz 2 + τ xz 2 ) ]
σ red = σ 1 σ 3
σ red = 1 2 [ ( σ 1 σ 2 ) 2 + ( σ 1 σ 3 ) 2 + ( σ 2 σ 3 ) 2 ]
σ red =max( | σ 1 |,| σ 3 | )