KURZUS: Mechanika - Szilárdságtan

MODUL: Rudak egyszerű igénybevételei

4.1. Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása

A lecke követelményei

A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti:

  • kiválasztani a rúd, a keresztmetszet, a középvonal, a mechanika rúdmodell, a prizmatikus rúd és az igénybevétel fogalmát;
  • kiválasztani a tiszta húzás-nyomás fogalmát;
  • kiválasztani a tiszta húzás-nyomás hatására fellépő feszültségi állapot feszültségi tenzorát és a feszültséget meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a tiszta húzás-nyomás hatására létrejövő alakváltozási állapot jellemzőit;
  • kiválasztani a tiszta húzás-nyomást leíró alakváltozási tenzort és a nyúlásokat meghatározó összefüggéseket;
  • kiválasztani az egyszerű Hooke-törvényt;
  • kiválasztani a szakító diagram azon jellemzőjét, amelyből az E rugalmassági modulus meghatározható;
  • kiválasztani a ν Poisson-tényezőt (poaszon) meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a húzott-nyomott rúd esetén a fajlagos alakváltozási energiát és az egész rúdban felhalmozott alakváltozási energiát meghatározó összefüggést;
  • kiválasztani a húzás-nyomás hatására kialakuló feszültségeloszlást a keresztmetszet y és z tengelye mentén;
  • kiválasztani a húzás hatására kialakuló feszültségi állapotot szemléltető elemi kockát;
  • kiválasztani az egytengelyű feszültségi állapot definícióját;
  • adatok alapján meghatározni tiszta húzás-nyomás esetén a rúd vagy kötél igénybevételét, a feszültségi tenzort, a terhelt rúd vagy kötél hossz és átmérő változását.
Alapfogalmak

Rúd: olyan test (alkatrész), amelynek egyik mérete lényegesen nagyobb, mint a másik kettő

Keresztmetszet: a rúd legnagyobb méretére merőleges metszet.

Középvonal (súlyponti szál): a rúdkeresztmetszetek súlypontjai által alkotott vonal.

Mechanikai rúdmodell: a rudat egy vonallal, a középvonalával helyettesítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez a vonalhoz kötjük.

Mechanikai rúdmodell a rúd középvonala.

Prizmatikus rúd: olyan egyenes középvonalú rúd, amelynek keresztmetszetei állandók és a rúd középvonala menti párhuzamos eltolással egymásba tolhatók.

Igénybevétel: a rúd keresztmetszetén megoszló belső erőrendszernek (a feszültségeknek) a keresztmetszet S súlypontjába redukált vektorkettőse, illetve ennek a vektorkettősnek a skaláris koordinátái.

Prizmatikus rudak tiszta húzás-nyomása

Tiszta húzás-nyomás: a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag az N rúderő.

N>0 húzás, N<0 nyomás.

a) A rúdban kialakuló szilárdságtani állapotok:

Tapasztalat: húzás-nyomás esetén egy tetszőleges keresztmetszetű prizmatikus rúdban homogén szilárdságtani állapotok jönnek létre.

Homogén állapot: ha az állapot a rúd minden pontjában azonos.

Feszültségi állapot:

F ¯ ¯ =[ σ x 00 000 000 ] , σ x = N A = állandó.

Az összefüggésben A a rúd keresztmetszetének területe.
Húzás-nyomás esetén a rúdban csak rúdirányú σ x normál feszültségek lépnek fel.
A feszültségi állapot a rúd minden pontjában azonos.

Alakváltozási állapot:

A ¯ ¯ =[ ε x 00 0 ε y 0 00 ε z ]

Hosszirányú nyúlás: ε h = ε x = l'l l = állandó.

Keresztirányú nyúlások: ε k = ε y = ε z =ν ε x = állandó.

l - a rúd terheletlen hossza, l' - a rúd alakváltozott hossza,
ν - a Poisson tényező (anyagjellemző).

Húzás-nyomás esetén a rúdban szögtorzulások nem lépnek fel.
Az alakváltozási állapot a rúd minden pontjában azonos.

Anyagtörvény: egyszerű Hooke-törvény

σ x =E ε x .

Anyagjellemzők: E - rugalmassági modulus.

Az anyagjellemzők méréssel (húzó kísérlettel) határozhatók meg.

A szakító diagram jellege (alakítható anyagok, pl. fémek esetén):

E= σ x ε x =tgα .

Az E rugalmassági modulus a szakító diagram egyenes szakaszának iránytangense.

ν= | ϵ k | | ϵ h | .

A ν Poisson-tényező az ε k keresztirányú és az ϵ h hosszirányú fajlagos nyúlás hányadosa.

Alakváltozási energia:

  • a fajlagos (egységnyi térfogatra eső) alakváltozási energia: u= 1 2 ε x σ x .
  • az egész rúdban felhalmozott alakváltozási energia: U= (V) udV= 1 2 N 2 AE l , V=Al - a rúd térfogata.

Feszültségeloszlás a keresztmetszet y és z tengelye mentén:

A feszültségi állapot szemléltetése az elemi kockán:

N>0 σ x >0 .

A feszültségi állapot a rúd minden pontjában azonos (homogén feszültségi állapot).

Egytengelyű feszültségi állapot: Ha a feszültségi tenzorban csak egy elem különbözik nullától és ez a nem zérus elem a főátlóban áll.

Gyakorlati példák alkatrész húzás-nyomására:

  • Felvonó kötele:
A felvonó mechanikai modelljeA felvonó kötél igénybevétele tiszta húzás
  • Dugattyús motor, dugattyús kompresszor hajtórúdja
    Motor üzemmód: az F adott.
    Kompresszor üzemmód: az M adott.
A szerkezet mechanikai modelljeA hajtórúd igénybevétele tiszta húzás-nyomás
A fenti megállapítás a Mechanika - Statikából tanultak alapján egyszerűen indokolható.
  • Rácsos tartószerkezetek rúdjai (lásd: a Mechanika - Statika tantárgyban tanultak)
1. gyakorló feladat: Kör keresztmetszetű rúd húzása

Adott:

l=350 mm,
d=10 mm,
E=2,1 10 5 MPa,
ν=0,3 ,
N=50 kN.

Feladat:

a) A feszültségi tenzor [ F ¯ ¯ P ] mátrixának a meghatározása a P pontban.
b) A rúd Δl hosszváltozásának meghatározása.
c) A rúdátmérő Δd megváltozásának kiszámítása.

Kidolgozás:

a) A feszültségi tenzor [ F ¯ ¯ P ] mátrixának a meghatározása:

[ F ¯ ¯ P ]=[ σ x 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , ahol σ x = N A és A= d 2 π 4 .

A= 10 2 π 4 =78,54 mm,  σ x = 50 10 3 78,54 =636,62 MPa.

A feszültségi tenzor: [ F ¯ ¯ P ]=[ 636,62 0 0 0 0 0 0 0 0 ] MPa.

b) A rúd Δl hosszváltozásának meghatározása:

Δl=l ε x , ahol ε x = σ x E = 636,62 2,1 10 5 =3,03 10 3 ,

Δl=l ε x =3503,03 10 3 =1,061 mm.

c) A rúdátmérő Δd megváltozásának kiszámítása:

Δd=d ε k , ε k = ε y = ε z =ν ε x =0,33,03 10 3 =0,909 10 3 ,

Δd=d ε k =10(0,909 10 3 )=0,909 10 2 mm.

Önellenőrző kérdések

Olvassa el figyelmesen az alábbi feladatokat, majd a lecke tartalma alapján oldja meg őket!

I. Válassza ki a rúd fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A rúd:
a) olyan test (alkatrész), amelynek minden mérete közel azonos
b) olyan test (alkatrész), amelynek egyik mérete lényegesen nagyobb, mint a másik kettő
c) olyan test (alkatrész), amelynek egyik mérete lényegesen kisebb, mint a másik kettő
II. Válassza ki a keresztmetszet fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A keresztmetszet:
a) a rúd legnagyobb méretére merőleges metszet
b) a rúd legnagyobb méretével párhuzamos metszet
c) a rúd legkisebb méretére merőleges metszet
III. Válassza ki a középvonal (súlyponti szál) fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A középvonal:
a) a rúdkeresztmetszet egyik átlója
b) a rúdkeresztmetszetek legszélső pontjai által alkotott vonal
c) a rúdkeresztmetszetek súlypontjai által alkotott vonal
IV. Válassza ki a mechanikai rúdmodell fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A mechanikai rúdmodell:
a) a rudat két vonallal, a középvonalával és a legszélső pontjait összekötő vonallal helyettesítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez a vonalhoz kötjük
b) a rudat egy vonallal, a középvonalával helyettesítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez a vonalhoz kötjük
c) a rudat a keresztmetszetével helyettesítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez kötjük
d) a rudat a hosszmetszetével helyettesítjük és a mechanikai viselkedését jellemző mennyiségeket ehhez kötjük
V. Válassza ki a prizmatikus rúd fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A prizmatikus rúd:
a) olyan kör középvonalú rúd, amelynek keresztmetszetei állandók és a rúd középvonala menti párhuzamos eltolással egymásba tolhatók
b) olyan egyenes középvonalú rúd, amelynek keresztmetszetei változók és a rúd középvonala menti párhuzamos eltolással nem tolhatók egymásba
c) olyan egyenes középvonalú rúd, amelynek keresztmetszetei állandók és a rúd középvonala menti merőleges eltolással egymásba tolhatók
d) olyan egyenes középvonalú rúd, amelynek keresztmetszetei állandók és a rúd középvonala menti párhuzamos eltolással egymásba tolhatók
VI. Válassza ki az igénybevétel fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
Az igénybevétel:
a) a rúd keresztmetszetén megoszló belső erőrendszernek (a feszültségeknek) a keresztmetszet S súlypontjába redukált vektorkettőse, illetve ennek a vektorkettősnek a skaláris koordinátái
b) a rúd keresztmetszetére ható külső erőrendszer redukált vektorkettőse, illetve ennek a vektorkettősnek a skaláris koordinátái
c) a rúd keresztmetszetére ható koncentrált erő
d) a rúd hosszmetszetén megoszló külső erőrendszernek (a feszültségeknek) a keresztmetszet S súlypontjába redukált vektorkettőse, illetve ennek a vektorkettősnek a skaláris koordinátái
VII. Válassza ki a tiszta húzás-nyomás fogalmát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A tiszta húzás-nyomás során:
a) a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag a rúdra merőleges erő
b) a rúd egyik keresztmetszetének igénybevétele kizárólag rúderő
c) a rúd valamennyi keresztmetszetének igénybevétele kizárólag rúderő
d) a rúd egyik keresztmetszetének igénybevétele kizárólag rúderő, a másik a keresztmetszetének igénybevétele a rúdra merőleges erő
VIII. Válassza ki a helyes megoldást!
A tiszta húzás során:
a) N>0
b) N<0
c) N=0
d) N értéke nem ismert
IX. Válassza ki a húzás-nyomás hatására kialakuló szilárdságtani állapot jellemzőit!
Jelölje be a helyes megoldást!
A tiszta húzás-nyomás során:
a) egy tetszőleges keresztmetszetű prizmatikus rúdban heterogén szilárdságtani állapotok jönnek létre
b) egy tetszőleges keresztmetszetű prizmatikus rúdban homogén szilárdságtani állapotok jönnek létre
c) egy tetszőleges keresztmetszetű prizmatikus rúdban a szilárdságtani állapot nem határozható meg
X. Válassza ki a tiszta húzás-nyomás hatására kialakuló feszültség típusát!
Jelölje be a helyes megoldást!
A tiszta húzás-nyomás esetén:
a) rúdban csak rúdirányú τ feszültségek lépnek fel
b) rúdban csak rúdra merőleges normál feszültségek lépnek fel
c) rúdban csak rúdra merőleges τ feszültségek lépnek fel
d) rúdban csak rúdirányú normál feszültségek lépnek fel
XI. Válassza ki a tiszta húzás-nyomás hatására kialakuló feszültségi állapotot szemléltető tenzort!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) F ¯ ¯ =[ 0 0 0 0 0 0 0 0 σ z ]
b) F ¯ ¯ =[ σ x τ y 0 0 0 0 0 0 0 ]
c) F ¯ ¯ =[ σ x 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
d) F ¯ ¯ =[ σ x 0 0 σ x 1 0 σ x 0 1 ]
e) F ¯ ¯ =[ σ x 0 0 0 1 0 0 0 1 ]
XII. Válassza ki a tiszta húzás-nyomás hatására kialakuló feszültséget meghatározó helyes összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
(A: a keresztmetszet területe; N: a rúderő; l: a rúd hossza)
a) σ x = A N
b) σ x = N A
c) σ x =AN
d) σ x = N l
e) σ x =Nl
XIII. Válassza ki a tiszta húzás-nyomás hatására kialakuló feszültségi állapot jellemzőjét!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) a feszültségi állapot a rúdban változó
b) a feszültségi állapot a rúd közepén a legkisebb
c) a feszültségi állapot a rúd minden pontjában azonos
d) a feszültségi állapot a rúd két szélén a legnagyobb
XIV. Válassza ki a tiszta húzás-nyomás hatására kialakuló alakváltozási állapotot szemléltető tenzort!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) A ¯ ¯ =[ ε x 0 0 0 ε y 0 0 0 ε z ]
b) A ¯ ¯ =[ ε x 1 1 0 ε y 1 0 0 ε z ]
c) A ¯ ¯ =[ ε x ε y ε z 0 1 0 0 0 1 ]
d) A ¯ ¯ =[ ε x 0 1 0 0 0 1 0 0 ]
XV. Válassza ki a tiszta húzás hatására kialakuló hosszirányú nyúlást meghatározó összefüggést!
(l - a rúd terheletlen hossza, l' - a rúd alakváltozott hossza)
Jelölje be a helyes megoldást!
a) ε h = ε x = l l l
b) ε h = ε x = l l l
c) ε h = ε x = l l l
d) ε h = ε x = l l l
XVI. Válassza ki a tiszta húzás hatására kialakuló keresztirányú nyúlást meghatározó összefüggést!
( ν - a Poisson tényező [anyagjellemző])
Jelölje be a helyes megoldást!
a) ε x = ε y = ε z =ν ε k
b) ε k = ε x = ε z =ν ε z
c) ε k = ε y = ε z =ν ε x
d) ε k = ε y = ε z = ε x ν
XVII. Válassza ki az egyszerű Hooke-törvény helyes alakját!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) σ x = E ε x
b) σ x = ε x E
c) σ x =Eν
d) σ x =E ε x ν
e) σ x =E ε x
XVIII. Válassza ki azt a szakító diagramot, amelyen az E rugalmassági modulust meghatározó α szöget helyesen jelölték!
Jelölje be a helyes ábrát!
a)
b)
c)
XIX. Válassza ki a ν Poisson-tényezőt meghatározó összefüggést!
ε k keresztirányú fajlagos nyúlás
ε x hosszirányú fajlagos nyúlás
E rugalmassági modulus
Jelölje be a helyes összefüggést!
a) ν=| ε k || ε x |
b) ν= | ε k | | ε x |
c) ν=| ε k |E
d) ν= | ε k | | E |
e) ν= | E | | ε x |
XX. Válassza ki a helyes megoldást!
Húzás-nyomás esetén a rúdban:
a) szögtorzulások nem lépnek fel
b) szögtorzulások lépnek fel
c) nyúlás és szögtorzulás lép fel
XXI. Válassza ki a helyes megoldást!
Húzás-nyomás esetén:
a) az alakváltozási állapot a rúd két szélén nagyobb mint középen
b) az alakváltozási állapot a rúd közepén nagyobb mint a két szélén
c) az alakváltozási állapot a rúd minden pontjában azonos
d) az alakváltozási állapot nem határozható meg
XXII. Válassza ki a fajlagos alakváltozási energiát meghatározó összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) u= ε x σ x
b) u=ν σ x
c) u= 1 2 ε x E
d) u= 1 2 ε x σ x
e) u= 1 2 ε x σ x
XXIII. Válassza ki az egész rúdban felhalmozott alakváltozási energiát meghatározó összefüggést!
Jelölje be a helyes megoldást!
a) U= N 2 AE
b) U= 1 2 N 2 AE l
c) U= 1 2 N 2 A l
d) U= 1 2 N 2 EAl
e) U= 1 2 ε x σ x
XXIV. Válassza ki azt az ábrát, amelyen a keresztmetszet y és z tengelye mentén a húzás hatására kialakuló feszültségeloszlást helyesen jelölték!
Jelölje be a helyes ábrát!
a)
b)
c)
XXV. Válassza ki az egytengelyű feszültségi állapot definícióját!
Jelölje be a helyes megoldást!
Egytengelyű feszültségi állapot:
a) ha a feszültségi tenzorban két elem különbözik nullától és ez a két nem zérus elem a főátlóban áll
b) ha a feszültségi tenzorban csak egy elem különbözik nullától és ez a nem zérus elem nem a főátlóban áll
c) ha a feszültségi tenzorban csak egy elem nem különbözik nullától és a főátlóban csak nullák állnak
d) ha a feszültségi tenzorban csak egy elem különbözik nullától és ez a nem zérus elem a főátlóban áll

XXVI. Határozza meg a húzott rudakból álló szerkezet igénybevételeit és a C pont elmozdulását!
A számítások elvégzése után válaszoljon a kérdésekre!

Adatok:

l=5 m, a=3 m, d=3 mm,

F=4 kN, E=2,1 10 5 MPa,

b= l 2 a 2 = 5 2 3 2 =4 m,

cosα= b l = 4 5 =0,8.

1. Határozza meg | F A | értékét!
Írja be a megfelelő egész számot!

Az | F A | értéke: N

2. Határozza meg | F B | értékét!
Írja be a megfelelő egész számot!

Az | F B | értéke: N

3. Válassza ki a helyes megoldást!
Az ábrán látható rúdszerkezet:
a) A rúdja húzott B rúdja nyomott
b) B rúdja húzott A rúdja nyomott
c) mindkét rúdja nyomott
d) mindkét rúdja húzott
4. Válassza ki a helyes megoldást!
A rudak hosszváltozásának az értéke:
a) Δl= 3,21 mm
b) Δl= 8,42 mm
c) Δl= 3,76 mm
d) Δl= 1,45 mm
e) Δl= 6,92 mm

5. Válassza ki a helyes megoldást!

A C pont elmozdulása:
a) C C =Δ r = v C j =(10,53 j )mm
b) C C =Δ r = v C j =(9,52 j )mm
c) C C =Δ r = v C j =(2,14 j )mm
d) C C =Δ r = v C j =(6,25 j )mm