MODUL: Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása
12. Statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározása
| A lecke követelményei |
A tantárgy feldolgozása során ez a lecke a következő követelmények teljesítését segíti: |
- kiválasztani a statikailag határozott és a statikailag határozatlan szerkezet értelmezését;
- kiválasztani (síkbeli esetben) a Castigliano tétel "szöveges" alakját;
- kiválasztani (síkbeli esetben) Castigliano tételét leíró összefüggéseket;
- Castigliánó tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre.
|
Statikailag határozott szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma megegyezik a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak (a statikai ismeretlenek) számával és az egyenletrendszer az ismeretlenekre egyértelműen megoldható. |
Statikailag határozatlan szerkezet: A szerkezetre felírható, egymástól független statikai egyensúlyi egyenletek száma kisebb, mint a szerkezet ismeretlen belső és támasztó erő koordinátáinak száma, vagy az egyenletrendszerből az ismeretlenek nem határozhatók meg egyértelműen. |
(Általában az szokott előfordulni, hogy a statikai ismeretlenek száma nagyobb mint a statikai egyenletek száma.) |
Példa statikailag határozatlan szerkezetre: |

|
Statikai ismeretlen: , , , vagy . Az ismeretlenek száma: 8 db. A statikai egyenletek száma: db. |
A szerkezet statikailag kétszeresen határozatlan. |
12.1. A Castigliano tétel |

|
A tartó terhelése: . |
A tartó támasztóerői: |
A támasztóerők és az alakváltozási energia is a terhelés függvényei: . |
Síkbeli terhelés esetén: |
A Castigliano tétel (síkbeli esetben): |
, , . |
Az 1. és 2. összefüggés: A szerkezetet terhelő erő támadáspontjának az erő irányba eső elmozdulása egyenlő a szerkezet alakváltozási energiájának az erő szerint vett deriváltjával. |
A 3. összefüggés: A szerkezetet terhelő nyomaték támadáspontjában levő keresztmetszet szögelfordulása egyenlő az alakváltozási energiának a szögelfordulással megegyező irányú nyomaték szerint vett deriváltjával. |
12.2. A Castigliánó tétel alkalmazása statikailag határozatlan rúdszerkezetekre |
Feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszerének és igénybevételeinek meghatározása. A feladat megoldásának gondolatmenetét egy páldán mutatjuk be: |
a) A tartó statikailag határozottá tétele: |

|
Bejelöljük a támasztó erőrendszer négy skaláris koordinátáját. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. Módosítjuk a megtámasztást statikailag határozott tartó (törzstartó). A szerkezet többféle módon (többféle változatban) tehető statikailag határozottá: |
Változat | Törzstartó | Módosított terhelés | 1. |  | | 2. |  | | 3. |  | |
|
A statikailag határozottá tett tartóra továbbra is hat a megfelelő támasztóerő koordináta ezt a koordinátát a terheléshez soroljuk. |
A statikailag határozottá tett szerkezet (törzstartó) igénybevételei két részből állnak: az eredeti terhelésből származó részből és az ismeretlen támasztóerő koordinátából származó részből. |
A tartó hajlító igénybevételének összefüggése attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag határozottá: |
1. változat esetén: . 2. változat esetén: . 3. változat esetén: |
b) Olyan kinematikai korlátozásnak az előírása, ami az elhagyott kényszert helyettesíti: |
A kinematikai korlátozás attól függ, hogyan tesszük a tartót statikailag határozottá: |
1. változat esetén: . 2. változat esetén: . 3. változat esetén: . |
c) A Castigliano tétel alkalmazása: |
- A Castigliano tétel alkalmazása az 1. változat esetén:
. . . Az ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható. - A Castigliano tétel alkalmazása a 2. változat esetén:
.
. Az ismeretében a többi támasztóerő koordináta statikai egyensúlyi egyenletből meghatározható.
|
A Castigliano tétel alkalmazása a 3. változat esetén is a fentiekkel analóg módon történik. |
12.3. Gyakorló feladatok statikailag határozatlan rúdszerkezetek támasztó erőinek és igénybevételeinek meghatározására |
| 1. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere |

|
Adott:q, l, Iz, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. |
Feladat: A támasztó erőrendszer meg-határozása. A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. |
A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete: |

|
A hajlító igénybevétel: . |
Az alakváltozási energia: . |
- A kinematikai korlátozás:
, . - Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten:
|
Az eredeti terhelés igénybevételi ábrái a törzstartón | Az egységnyi -hez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón |  |  |
|
- Az integrálok kiszámítása:
, . - Az támasztóerő koordináta kiszámítása:
. - A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:
, .
|
2. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúd támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái |

|
Adott:F, a, Iz, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. |
Feladat: A támasztó erőrendszer megha-tározása és az igénybevételi ábrák megrajzolása. |
1. lehetséges megoldás: |
- Statikailag határozottá tétel (a görgős támasz elhagyásával) és az igénybevétel meghatározása a statikailag határozott szerkezeten:
|
Az eredeti terhelés nyomatéki ábrája a törzstartón | Az egységnyi -hoz tartozó nyomatéki ábra a törzstartón |  |  |
|
- Kinematikai korlátozás: .
- Az integrálok kiszámítása:
, . - Az kiszámítása:
. - A támasztó erőrendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:
|

|
| . ,
. |
|
- Az igénybevételi ábrák megrajzolása:
|

|
2. lehetséges megoldás: |
A tartót másképpen tesszük statiakilag határozottá. |
- Statikailag határozottá tétel (a befalazás csuklóval történő helyettesítésével) és az igénybevétel meghatározása a statikailag határozott szerkezeten:
|
Az eredeti terhelés nyomatéki ábrája a törzstartón | Az egységnyi -hez tartozó nyomatéki ábra a törzstartón |  |  |
|
- Kinematikai korlátozás: .
- Az integrálok kiszámítása:
, . - Az kiszámítása:
.
|
Az -re ugyanazt a megoldást kaptuk, mint az előző esetben. |
A többi támasztóerő koordináta kiszámítása statikai egyensúlyi egyenletekből legyen önnállóan elvégzendő feladat. |
3. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere |

|
Adott:F, a, Iz, A, E. A nyírásból származó alakváltozási energia elhanyagolható. |
Feladat: A berajzolt támasztó erőkoordináták meghatározása. A statikai ismeretlenek száma: 4. A statikai egyenletek száma: 3. A szerkezet statikailag egyszeresen határozatlan. |
- A statikailag határozottá tétel egy lehetéséges esete:
|

|
| Az igénybevételek: , . Az alakváltozási energia: . |
|
- A kinematikai korlátozás: .
- Az támasztóerő koordináta meghatározása: .
- Az integrálok kiszámítása:
, . - Az támasztóerő koordináta kiszámítása: .
- Igénybevételi ábrák a statikailag határozottá tett szerkezeten:
|
Az eredeti terhelés igénybevételi ábrái a törzstartón | Az egységnyi -hez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón |  |  |
|
- A támasztóerő-rendszer további skalár koordinátáinak meghatározása statikai egyenletekből:
|

|
|
|
|
4. gyakorló feladat: Statikailag határozatlan rúdszerkezet támasztó erőrendszere és igénybevételi ábrái |

|
Adott: m, kN, mm4, MPa. |
A nyírásból származó alakváltozási energiát elhanyagoljuk. |
Feladat: a) A tartó statikai ismeretleneinek és a rendelkezésre álló statikai egyenletek számának meghatározása. b) A támasztóerők meghatározása. c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megrajzolása. d) A tartó veszélyes keresztmetszetének meghatározása. |
Kidolgozás: |
a) A tartó statikai ismeretleneinek és a statikai egyenletek számának meghatározása: |

|
Az ismeretlen támasztóerő koordináták száma: 4. Statikai egyenletek száma: 3. A tartó statikailag egyszeresen határozatlan. |
b) A támasztóerők meghatározása: |
- Statikailag határozottá tétel:
A tartót háromféleképpen lehet határozottá tenni:
|
| 1. | Elhagyjuk az A pontban az y irányú támasztást. | | 2. | Elhagyjuk a B pontban az y irányú támasztást. | | 3. | Elhagyjuk a C pontban az y irányú támasztást. | | Ha a harmadik esetet választjuk, akkor a tartó igénybevételei: , . |
|
- A statikailag határozottá tett tartó igénybevételi ábrái:
|
 |  | Az eredeti terheléshez tartozó támasztóerő-rendszer meghatározása: | Az terheléshez tartozó támasztóerő-rendszer meghatározása: | , . , , . | , . ,
| Az eredeti terheléshez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón: | Az egységnyi terheléshez tartozó igénybevételi ábrák a törzstartón: |  |  |
|
- Kinematikai előírás: a C pont y irányú elmozdulása zérus:
Castigliano tétel: . , , . . Az integrálok kiszámítása:
,
. kN. Az pozitív, tehát a felvett irányába, vagyis felfelé mutat. - A hiányzó támasztóerő koordináták meghatározása statikai egyensúlyi egyenletekből:
, , . , .
|
c) A statikailag határozatlan szerkezet igénybevételi ábráinak megrajzolása: |

|

|
d) A veszélyes keresztmetszet meghatározása: |
Veszélyes keresztmetszet: . |
A igénybevételei: kN , kNm . |
Az igénybevételek szemléltetése: |

|