KURZUS: Mérnöki számítási módszerek

MODUL: Matematikai számítások Excellel

4. lecke: Függvényábrázolás

Cél: Műszaki és gazdasági folyamatoknál a vizsgált jelenség szinte minden esetben - egyszerű vagy bonyolultabb - matematikai függvényekkel írható le, vagy esetleg közelíthető ilyenekkel. Bármely, a jelenség természetével kapcsolatos kérdés megválaszolásához hasznos (vagy akár: elengedhetetlen), ha ábrázoljuk ezeket a függvényeket, és a további elemzést (pl.: szélsőértékek, trendek, előrejelzés) az ábra alapján végezzük el.

Sok programrendszer nyújt magas szintű támogatást és kínál kényelmes eszközrendszert a függvényábrázoláshoz és -vizsgálathoz. Az Excel vonatkozó lehetőségeinek megismerése ("klasszikus függvényvizsgálat") után tananyagunkban még továbblépünk a regressziós és a paraméterbecslési problémákra. Ráadásul - mint a későbbiekben látni fogjuk - a Matlab rendszerben is hasonló ötletekkel és eszközökkel találkozunk majd a feladatok megoldásánál, az itt megszerzett tudás tehát nagy részben eszközfüggetlen, univerzális. Mindezt Ön is jól tudja majd a saját munkájában hasznosítani, az alkalmazások tárháza meglepően széleskörű.

Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha (az Excel segítségével)

  • El tud készíteni a(z egyváltozós) függvényábrázoláshoz egy megfelelően sűrű alappont-sorozatot;
  • A megadott matematikai képlet alapján be tudja írni az Excelbe a(z egyváltozós) függvényértéket meghatározó másolható (!) kifejezést;
  • Képes ábrázolni a megfelelő diagramtípus kiválasztása után az x és y adatsorozatokat;
  • Képes a nyers grafikon megfelelő "hangolására";
  • Szükség esetén fel tud vinni új adatsorokat már létező diagramra;
  • Meg tudja határozni Solverrel (az egyváltozós esetben) a nevezetes pontokat, és ezeket jelölővel fel is tudja vinni a diagramra;
  • Képes paraméteresen adott (ha ismert az x és y értékeket előállító képlet) függvények ábrázolására, a grafikon hangolására, nevezetes pontok meghatározására és ábrára történő felvitelére;
  • Képes egyszerű regressziós feladatok megoldására.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához (a feladatok megoldásával együtt) hozzávetőlegesen 3 órára lesz szüksége.

Kulcsfogalmak

  • Függvény grafikonja, pont diagramtípus, jelölő;
  • "Hangolás", nevezetes pontok;
  • Paraméteresen adott függvény;
  • Regresszió, R-négyzet érték.
Áttekintés, matematikai alapok

Ha függvényeket szeretnénk ábrázolni, akkor legalább a praktikus használat szintjén tisztában kell lennünk a megfelelő matematikai meghatározásokkal és tulajdonságokkal! Ez a jegyzet nem matematikai témájú, ezért a részletezés helyett az alábbiakban csak felsoroljuk azokat a fogalmakat (ismereteket), amelyeket mi is természetesen használni fogunk. Az időnként szükséges további részleteket a megfelelő tevékenység (feladatrész) leírásánál külön közöljük majd. Az érdeklődő olvasónak bevezető felsőoktatási matematika tankönyveket javaslunk tanulmányozásra.

Szükséges fogalmak, ismeretek:

  • Függvény definíciója (reláció, rendezett pár, ...);
  • Értelmezési tartomány, értékkészlet, leképezés (képhalmaz, őskép);
  • Alapfüggvények diagramja (parabola, négyzetgyökfüggvény, polinomfüggvények, gyökfüggvények, trigonometrikus függvények, exponenciális és logaritmikus függvények);
  • Függvényvizsgálat (szakadási helyek, határértékek, monotonitás, szélsőértékek, konvexitás, inflexiós pontok);
  • A szélsőérték létezésének szükséges és elégséges feltételei;
  • Derivált függvény, primitív függvény.

Ha szükségét érzi, keressen egy megfelelő bevezető matematika tankönyvet, és frissítse fel ismereteit a fenti témákban!

A tangens függvény hibás és korrekt ábrázolása (Maple rendszer)
1. ábra

Elemezze a tangens függvény kirajzoltatására készült két ábrát (Maple rendszer)! Milyen hibákat lát a bal oldali ábrarészen? A rajzoló parancs alapján milyen ötlettel javítottuk a hibákat a jobb oldali ábrarészen?

A következőkben áttekintjük azokat az általános lépéseket (megfelelő magyarázattal), amelyeket követve Excelben a függvényábrázolási feladat megoldható.

Az ábrázoláshoz x és y értékeket tartalmazó táblázat szükséges, ezt kell először elkészíteni (látni fogjuk, hogy más megoldás is alkalmazható lenne, pl. szimbolikusan vagy függvénydefiníció alapján is meg lehetne valósítani ugyanezt - Matlab vagy Maple rendszer).

Az értéktáblázat jellemzői:

  • Célszerűen fejléces;
  • A beosztást (értelmezési tartomány pontjai) célszerű megfelelően sűrűre venni (ne legyen "szaggatott" a függvény; az értelmezési tartomány szakadásait fel kell ismernünk!);
  • A beosztás matematikai függvényábrázolási feladatnál kötelezően monoton növekvő sorozat;
  • A második adatoszlop/sor a beosztás pontjain felvett függvényértékeket tartalmazza;
  • Egyszerű esetben 2 adatoszlop/sor, de több is lehet (ha több függvényt szeretnénk egyszerre ábrázolni).

Az elkészült értéktáblázat kijelölése után indítjuk a varázslót (Beszúrás/Diagramok). A Pont alaptípust válasszuk, görbített vonalakkal, jelölők nélkül (vigyázzunk, más kézenfekvőnek tűnő választások nem alkalmasak erre a célra!).

A beszúrt diagramot tekintsük át, hogy a függvény lefutása megfelel-e előzetes elképzelésünknek (ellenőrzés). Ha esetleg hibát követtünk el, az adatsort javítsuk.

Az elkészült nyers grafikon szinte biztosan tartalmaz néhány olyan szépséghibát, amelyek korrekcióra szorulnak ("hangolás"). Ide tartozó tevékenységek tipikusan:

  • Tengelyek léptékének beállítása;
  • Grafikon vonalvastagságának és színének beállítása.

Az utólagos módosítás egyéb lehetőségeit hajtjuk végre utoljára, amennyiben ilyenek szükségesek. Ilyen tevékenység lehet:

  • A forrásadatok bővítése új adatsorral;
  • További adatsorhoz másodlagos tengely rendelése és ennek hangolása.

Egyes nevezetes pontok ábrán való megjelenítése is a feladat részét képezheti. A függvényábrázoláshoz kapcsolódó kiegészítő tevékenység lehet a regressziós elemzés és a hozzá kapcsolódó előrejelzés.

A leckében bemutatjuk az Excel támogatását a kétváltozós függvények ábrázolásához is, de ez nem képezi a törzsanyag tárgyát.

Egyváltozós függvények ábrázolása

A függvényábrázolás fent megismert lépéseit egy konkrét feladaton keresztül mutatjuk be részletesen.

Ábrázoljuk a következő függvényeket a [-4; 4] intervallumban!

φ(x)= 1 2π e x 2 2 Φ(x)= x φ(t)dt

Ezek a standard normális eloszlást jellemző függvények. (Az Excelbe beépítettek, NORM.ELOSZLÁS(), ill. NORM.ELOSZL() - 2003-as Excel - néven!)

A kidolgozott lépéseket a következőkben próbálja ki Ön is a parancsok begépelésével, ill. a megfelelő menüpontok hívásával.

1. lépés: Az adattábla létrehozása

  • Fejlécek begépelése (görög betűk és egyéb jelek esetén: Beszúrás/Szimbólum).
  • Az x oszlopbeli adatok kitöltése (kellően sűrű sorozat, kitöltéssel a már ismert módon). Nálunk most a kezdőérték -4, a megfelelő lépésköz 0,1.
  • Első függvényértékek bevitele a B és C oszlopokba:
  • =NORM.ELOSZLÁS(A2;0;1;0) =NORM.ELOSZLÁS(A2;0;1;1)

Ezt másoljuk az oszlop többi cellájába. A NORM.ELOSZLÁS() függvény 2. és 3. adata egy normális eloszlás várhatóérték és szórás paramétereit közli, ami standardizált eloszlások esetén mindig 0 és 1. Az utolsó 4. adat egy flag, ami azt jelzi, hogy a valószínűségsűrűség-függvényre, vagy a kumulatív eloszlásfüggvényre van-e szükségünk.

2. lépés: A diagram elkészítése

Kijelöljük a forrásadat-tartományt - az x, φ( x ) , Φ( x ) oszlopokat - fejléccel együtt, majd a diagramot létrehozzuk a Beszúrás/Diagramok/Pontdiagramok/Pont görbített vonalakkal jelölők nélkül menüsoron keresztül.

Fejléces értéktáblázatból jelölő nélküli görbített vonalas diagram
2. ábra

3. lépés: A grafikon hangolása

A hangolást a Diagrameszközök/Elrendezés menüszalagon kezdeményezhetjük. A Diagramterület legördülő menüben kiválasztjuk azt a grafikus objektumot, amit módosítani akarunk, majd Kijelölés formázása indításával elvégezzük a hangolást. (Ugyanezt jobb egérklikkel is aktiválhatjuk.)

A függvénygörbéink színét és vonalvastagságát állítjuk be először (következő ábra).

Vonalstílus-beállítások
3. ábra
Jelölő nélküli görbített vonalas diagram 0,5 pontos vonallal
4. ábra

Ezután a tengelyek rendbetétele következik. Itt a következő beállítási lehetőségeket alkalmazhatjuk (megjegyezzük, hogy nem kell minden esetben az összes alapbeállítást módosítani, csak a szükségeseket):

  • Min. és max. értékek korrigálása (a tényleges intervallumra korlátozás);
  • Fő lépték beállítása;
  • Tengelyek metszéspontja;
  • Számformátum - tizedes jegyek;
  • Tengelyfeliratok helye - pl. alul.

Mi most a függvények kirajzoltatását a tényleges intervallumra korlátoztuk és módosítottuk az y tengelynél a számformátumot, ill. a tengelyfelirat helyét (következő ábra).

Adott intervallumra korlátozott görbített vonalas diagram
5. ábra

Az alacsonyabbik vonalat másodlagos tengellyel is elláthatjuk az Adatsor formázásakor (jobb egérklikk), amit természetesen ismét hangolhatunk. Ez a lépés általánosan akkor lehet fontos, ha a két függvény y értékei nagyságrendileg is különbözők. Az előző ábrán a felvett másodlagos tengely skálázásának számformátuma még nem lett hangolva! Láthatóan még ezt is be kell állítani!

Másodlagos értéktengellyel ellátott görbített vonalas diagram
6. ábra

Mit gondol, hogyan azonosítható egyértelműen az első és a másodlagos y tengelyhez tartozó két függvény? Figyelje meg az ábrán a színek megfelelő használatát!

4. lépés: Új adatsor készítése és felvétele

A továbbiakban numerikus integrálással meg akarjuk határozni a sűrűségfüggvény alatti területet (alappontonként), és fel szeretnénk rakni a diagramra. (Reményeink szerint így közelítőleg az eloszlásfüggvény pontjait kapjuk.)

Az integrál közelítő meghatározására a nagyon egyszerűen számolható trapéz formulát alkalmazzuk. Egy kis trapéz területe úgy áll elő, hogy két szomszédos alappont távolságát megszorozzuk a szomszédos függvényértékek összegének a felével, és ehhez még hozzá kell adni az előző sorban szereplő területértéket (D oszlop, következő ábra). A D2-es cella másolással kap értéket (C2-ből).

Új adatsor/oszlop készítése a trapézszabály alkalmazásával
7. ábra

Az új adatsor/oszlop diagramra történő felvitele egyszerűen egy már létező grafikonon történő jobb egérkattintással kezdeményezhető, itt a helyi menüben az Adatok kijelölése... pontot választjuk (a funkció a Tervezés menüszalagon is elérhető). A megjelenő párbeszédablakban a Hozzáadás gombra kattintunk, és értelemszerűen megadjuk az adatsor jellemzőit.

Új adatsor/oszlop felvitele a diagramra
8. ábra

A diagramot ezután viszont újra hangolni kell, mert az új adatsor (alapbeállítás szerint zöld színnel) teljesen elfedi a régi eloszlásfüggvényt. A megoldás az, hogy a folytonos vonalas megjelenítést az új adatoszlopnál jelölősre módosítjuk. A jelölő típusa legyen kör, mérete pl. 2-es, a zöld színt nem kell megváltoztatni.

Végezze el önállóan a hangolást (adatsor formázása, nincs vonal, jelölő van, lásd következő ábra).

Jelölő beállításai
9. ábra
Az új adatsor jelölős megjelenítése
10. ábra

5. lépés: Nevezetes pontok keresése, ábrázolása

A függvények nevezetes pontjainak meghatározására a Solver eszközt használjuk fel (célérték keresés). Ilyen típusú feladatok megoldásakor mindig másolt, külön kis adattáblázattal dolgozunk, az eredeti adatsort nem szabad módosítani!

Példaképpen kerestessük meg az eloszlásfüggvényen azokat a helyeket, ahol az a 0,25 illetve a 0,75 értékeket veszi fel (kvartilisek). Ehhez az értéktáblázatból alkalmas üres területre kimásolunk egy megfelelő szeletet, ezután ellenőrizzük a hivatkozásokat, majd elvégezzük a Solveres keresést.

Nevezetes pontok keresése, inicializálás és a megoldott feladat
11. ábra

Ezután az aktív diagramon a másodlagos egérrel (jobb kattintás) kezdeményezett menüben az Adatok kijelölése pontot választjuk, és a kis értéktáblázatunk x, y koordinátájú pontjait felvesszük a grafikonra. Végül folytonos vonal helyett jelölős megjelenítést választunk. Vigyázzunk arra, hogy pontok kijelölése rákattintással általában nem lehetséges! (Itt a Tervezés menüszalag használata célszerű.)

Nevezetes pontok a diagramon, megjelenésük hangolás után
12. ábra

További nevezetes pontok meghatározása szintén célérték kereséssel oldható meg. Zérushely esetében a feladat egyértelmű. Minimum- vagy maximumpontnál nemcsak a függvényértékek minimalizálását vagy maximalizálását kérhetjük, hanem azt is, hogy a deriváltfüggvény értéke az adott helyen legyen 0. (Már persze amennyiben van deriváltfüggvényünk.)

Függvények metszéspontját úgy célszerű előállítanunk, hogy a különbségfüggvény zérushelyét határozzuk meg. Ilyen esetekben tilos második értéktengelyt használni!

Határozza meg a sűrűség- és az eloszlásfüggvény metszéspontját, és vigye fel az ábrára! Próbálja ki, hogy mi történik, ha másodlagos értéktengelyt állít be!

Paraméteresen adott függvények

A műszaki életben sok síkgörbe csak paraméteresen adható meg, a pontjainak x és y koordinátái közötti kapcsolatot direkt képlettel nem lehet leírni. Sok esetben a paraméteres megadást a polárkoordinátás leírás jelenti. Más esetekben a paraméterek jelentése már összetettebb lehet.

Ilyen, paraméteresen adott görbék például a kardiodid, epiciklois, lemniszkáta, Descartes-levél, Archimédeszi spirális stb. Ezeket a görbéket az Excel segítségével nem túl bonyolult feladat ábrázolni, amennyiben a képletüket ismerjük. (A képletek megtalálhatók matematikai, műszaki, közgazdász zsebkönyvekben, illetve az interneten is.)

Vegyük például a körevolvenst és az epicikloist. Ezek metszik egymást. Az ábrázolás mellett feladatunk az lesz, hogy a metszéspontjaikat meghatározzuk.

Egyenleteik paraméteresen adottak:

Legyenek a síkgörbéink paraméterei:

p = 3 , q = 9 , w = 3 .

Első lépésként elkészítjük az értéktáblázataikat, a körevolvensét 2 fokonként, az epicikloisét fokonként 0-tól 360 fokig (A és E oszlop). A fokok alapján radiánt számolunk, ehhez beépített függvény vagy direkt képlet is használható (B és F oszlop). Az x és az y értékek előállításánál a számolt radián értékeket használjuk fel (C és D, ill. G és H oszlop), a paraméterekre nevesítve hivatkozunk (következő ábra).

Körevolvens és epiciklois fejléces értéktáblázata
13. ábra

A leírás alapján Ön is hozza létre az értéktáblázatokat, majd a további lépéseket követve ábrázolja a függvényeket és határozza meg a metszéspontokat.

Ezután következik a diagram létrehozása. Először az xK , yK értékpárokból készítjük el a folytonos vonalú pontdiagramot, majd aktív diagramterületnél az Adatok kijelölése menüben Hozzáadjuk az xE , yE értékpárokat. A vonalak színét, vastagságát, a tengelyeket meghangoljuk (következő ábra).

Jegyezze meg, hogy paraméteresen adott görbék esetében a fok, ill. radián értékeket nem vesszük bele az ábrázolni kívánt sorozatok közé!

Három metszéspontot találunk. A metszéspontok közelítő koordinátapárjait megkeressük mindkét síkgörbe táblázatában, és ezeket a szögadatokkal együtt külön táblázatrészbe másoljuk azért, hogy a Solverrel a metszéspontokat pontosítsuk.

A Solvernek azt a feladatot adjuk, hogy egy metszéspont megkeresése érdekében az

(xK  xE)   2 +  (yK  yE) 2

értékét minimalizálja a ϕ   és az α   értékek módosítása révén (négyzetes eltérés). Az egyszerre módosítandó cellák az első metszéspont keresésekor a ábrán látható táblázat J28; N28 cellái lesznek.

Körevolvens és epiciklois metszéspontjai, és a Solveres kereséshez szükséges táblázat
14. ábra

Mindhárom metszéspont meghatározása után az Adatok kijelölése menüben a zölddel jelölt területről Hozzáadjuk a metszéspontok koordinátáit csak jelölővel, de vonal nélkül.

Felületábrázolás

Folytonos kétváltozós függvénnyel megadott felületet is gyorsan lehet ábrázolni az Excellel. Ehhez szintén értéktáblázat kell, oly módon, hogy az alapsíkon egy rácsháló szélein az x ill. y értékeit felsoroljuk és a belső rácspontokban felvett függvényértékeket a belső cellákban elhelyezzük.

Példaként tekintsük a következő hiperbolikus paraboloidot:

z= x 2 a 2 y 2 b 2

Legyen az a paraméter értéke 2, a b paraméteré pedig 3 (a megfelelő cellákat elneveztük). Az előkészített rácsháló a következő ábrán látható.

Létrehozunk egy "x" nevet, amelyik az A oszlopra hivatkozik (vegyes hivatkozással), és egy "y" nevet, amelyik a 3. sorra. Így mindegyik belső cellába ugyanaz a képlet kerül, mint amit a D6 cellában látunk.

A leírás alapján Ön is hozza létre a 2-dimneziós értéktáblázatot, majd a további lépéseket követve ábrázolja a kétváltozós függvényt.

Kétváltozós függvény megjelenítéséhez szükséges értéktáblázat
15. ábra

Jelöljük ki az x és y értékeket is tartalmazó A3:V24 blokkot és a Beszúrás/Egyéb diagramnál a Felületet válasszuk. Az aktív diagram vásznán másodlagos egérgombbal válasszuk a Forgatás menüpontot, és a forgatási szöget ízlésünk szerint beállíthatjuk.

A függvény megjelenítése után szükséges lehet még további hangolás (értéktengelyek skálázása), ezt a korábbiaknak megfelelően hajthatjuk végre.

Kétváltozós függvény megjelenítése forgatással
16. ábra
Trendvonalak

Gyakori feladat az, hogy mérési adatsorainkhoz a feladat fizikai, gazdasági törvényszerűségeinek megfelelő függvényt illesszünk. Az illesztett függvényről többnyire nem követeljük meg azt, hogy minden mérési pontra illeszkedjék (interpoláció esete), hanem csak azt, hogy összességében a lehető legkisebb hibával közelítse a mérési adatpontjainkat (regressziós feladat). Az Excel néhány egyszerűbb típusfüggvényre ezt az illesztést azonnali szolgáltatásként nyújtja, amit az Excel trendvonalnak nevez.

A trendvonal szolgáltatáshoz először el kell készíteni az (x; y) pontpárjaink pontdiagramját (fontos: ne kössük össze a pontokat). A trendvonal szolgáltatás aktív diagram mellett kérhető a Diagrameszközök/Elrendezés/Elemzés/Trendvonal menüben. Itt mindig célszerű a További trendvonal beállításokat választani. A kiválasztott típushoz további szolgáltatásokat is kérhetünk, mint például a képlet, vagy R-négyzet megjelenítését, vagy a megadott x intervallumon túli folytatást (előrejelzés) is.

Trendvonalak a pontdiagramon
17. ábra

Az R-négyzet, az ún. determinációs együttható a közelítés jóságát jellemzi. Ez valójában az eredeti és a becsült y értékpárok korrelációs együtthatójának a négyzete. Minél közelebb van 1-hez, annál jobb a közelítés. A grafikonra kikért információk helye, színe, betűtípusa, a számok tizedes jegyeinek száma, stb. utólag is hangolható.

Mivel az Excel alapértelmezésben mindig fekete színt használ a trendvonalas ábrákhoz, ezért ha már legalább két regressziós görbét felrakunk az ábrára, akkor állítsuk be a színeket különbözőre (pl. első görbe: piros, második görbe: kék, harmadik görbe: zöld stb.). A görbék színének megfelelően a jelmagyarázatot is színezzük át (előző ábra).

Vegyen fel néhány adatpontot egy munkalapra, és a kapott pontdiagramhoz kérjen különböző fokszámú trendvonalakat. Kérje ki az egyenleteket és az R-négyzet együtthatókat is. Állítsa be megfelelően a színeket. Figyelje meg, hogy magasabb fokú közelítés esetén az R-négyzet együttható értéke közelebb van 1-hez.

Nemlineáris regresszió, paraméterbecslés (olvasmány)

Az Excel beépített trendvonal szolgáltatásai csak az egyszerűbb függvényekkel való közelítésre alkalmasak. Összetettebb, több paraméterrel rendelkező függvénnyel való közelítésre a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazva a Solver ad lehetőséget.

Ekkor a következőképp járunk el. Legyen adott az x és y összetartozó értékpárok sorozata. A probléma jellegéből adódóan tudjuk (nagyjából vagy akár egészen pontosan), hogy milyen típusú függvényt kell illesztenünk és a paraméterek szóba jöhető értékintervallumát is ismerjük (lásd még az alfejezet végére írt megjegyzést). Ez utóbbiból választunk kezdő paraméter értékeket, majd ezek és a képlet segítségével becslést adunk az y értékekre. A tényleges és becsült y értékek persze jócskán eltérhetnek.

Nemlineáris többparaméteres regresszió előkészítése
18. ábra

Az előző ábrán egy speciálisan gerjesztett, de időben csillapodó rendszer időbeli viselkedésének paramétereit becsüljük a mért adatokból. Az A, B paraméterek elsősorban a gerjesztést jellemzik, a D csillapítási tényező a rendszertől függ és az E paraméter a végső és stabil egyensúlyi állapotot jellemzi. A mért adatok a gyakorlatban mérési hibával terheltek, ezért az y adatsor láthatóan "szőrös".

Nemlineáris többparaméteres regresszió a paraméterek meghatározása után
19. ábra

Beszúrjuk és szebbé formáljuk az (x, y) ill. (x, regresszió) diagramot. Kiszámítjuk az eltérések négyzetösszegét, és ezt az egyetlen értéket minimalizáljuk a Solver segítségével oly módon, hogy az A, B, D, E paraméterek értékeit változtatjuk meg. Ezek lesznek a változó cellákban. A Solvert ezután a következőképpen paraméterezzük fel: A megoldási módszer a Nemlineáris ARG legyen, a pontosság 1E-15. A nemkorlátozott változók nemnegatívvá tételét jelző pipát ki kell kapcsolni.

A Solveres pontosítás után a regressziós függvényünk igen jól fog illeszkedni (előző ábra). Nyilvánvaló ugyanakkor, hogy az eltérési hiba a közelítés végrehajtása után sem lesz 0, ezt nem is várhatjuk el.

A mellékelt Regresszió.xlsx munkafüzet felhasználásával hajtsa végre Ön is a megadott regressziós feladatot!

Megjegyezzük, hogy az ilyen típusú, becslésen alapuló általános regressziós feladatoknál a modell felállítása mély, a gyakorlatban megszerezhető mérnöki-gazdasági szakmai ismereteket igényel.

Önellenőrző kérdések
1. Írjon kifejezést az alábbi függvény értékének kiszámításához! Ne használjon felesleges zárójeleket, és ne módosítsa a tagok, tényezők sorrendjét! A szükséges tartománynevesítések megtörténtek. Az e a természetes logaritmus alapja.

f( x )=a( xb ) e bx

kifejezés =

2. Nyissa meg a Függvény.xlsx munkafüzetet, és ábrázolja a következő függvényeket a [0; 30] zárt intervallumban 0,01 lépésközzel a következő feladatok alapján!

f( x )=A x B e sinx D
f ' ( x )=AB x B1 e sinx +A x B e sinx cosx

Az A1:C2 cellákba gépelje be a lenti táblázatot és nevesítse a második sor értékeit munkalap szinten "A", "B" és "D" betűvel!

ABD
51,235
Mennyi a Kódok munkalapon megjelenő sárga ellenőrző kód értéke?

Sárga kód:

Az "x" fejléc alá készítse el az ábrázolandó függvény x értékeit! Majd nevezze el vegyes hivatkozással (abszolút oszlop, relatív sor) az értékeket "x"-nek!

Mennyi a Kódok munkalapon megjelenő lila ellenőrző kód értéke?

Lila kód:

Az "f(x)" fejléc alá készítse el az adott x értékhez tartozó f(x) értékeket!

Mennyi a Kódok munkalapon megjelenő kék ellenőrző kód értéke?

Kék kód:

Az "f'(x)" fejléc alá készítse el az adott x értékhez tartozó f'(x) értékeket!

Mennyi a Kódok munkalapon megjelenő zöld ellenőrző kód értéke?

Zöld kód:

Ábrázolja a függvényeket! Hány metszéspontja van a függvényeknek a [15; 25] intervallumban?

Metszéspontok száma:

Határozza meg 5 tizedesjegy pontossággal az f(x) függvény 17 körüli minimumát!

A Solvert állítsa alaphelyzetbe, majd csak a feladatban leírt paraméterek módosítsa!
A Solver számítási pontossága 1E-15 legyen, megoldási módszerként a Nemlineáris ÁRG-t használja!

Mennyi a minimum pont x koordinátája?

A minimum x koordinátája

Mennyi a minimum pont y koordinátája?

A minimum y koordinátája

3. A következő (x; y) táblázattal adott pontokat ábrázolja összekötő nélküli pontdiagramon, majd a grafikonra tegyen fel a lineáris és másodfokú trendvonalakat képletekkel és a determinációs együttható értékével együtt!

xy
1-7
3-2
63
74
1210
1614
Mennyi a konstans együttható értéke?

Mennyi az R-négyzet értéke?